Line data Source code
1 : /* Copyright (C) 2000 The PARI group.
2 :
3 : This file is part of the PARI/GP package.
4 :
5 : PARI/GP is free software; you can redistribute it and/or modify it under the
6 : terms of the GNU General Public License as published by the Free Software
7 : Foundation; either version 2 of the License, or (at your option) any later
8 : version. It is distributed in the hope that it will be useful, but WITHOUT
9 : ANY WARRANTY WHATSOEVER.
10 :
11 : Check the License for details. You should have received a copy of it, along
12 : with the package; see the file 'COPYING'. If not, write to the Free Software
13 : Foundation, Inc., 51 Franklin Street, Fifth Floor, Boston, MA 02110-1301 USA. */
14 :
15 : /********************************************************************/
16 : /** **/
17 : /** TRANSCENDENTAL FUNCTIONS **/
18 : /** **/
19 : /********************************************************************/
20 : #include "pari.h"
21 : #include "paripriv.h"
22 :
23 : #define DEBUGLEVEL DEBUGLEVEL_trans
24 :
25 : #ifdef LONG_IS_64BIT
26 : static const long SQRTVERYBIGINT = 3037000500L; /* ceil(sqrt(LONG_MAX)) */
27 : #else
28 : static const long SQRTVERYBIGINT = 46341L;
29 : #endif
30 :
31 : static THREAD GEN gcatalan, geuler, glog2, gpi;
32 : void
33 326303 : pari_init_floats(void)
34 : {
35 326303 : gcatalan = geuler = gpi = zetazone = bernzone = glog2 = eulerzone = NULL;
36 326303 : }
37 :
38 : void
39 324667 : pari_close_floats(void)
40 : {
41 324667 : guncloneNULL(gcatalan);
42 323726 : guncloneNULL(geuler);
43 322295 : guncloneNULL(gpi);
44 322000 : guncloneNULL(glog2);
45 321724 : guncloneNULL(zetazone);
46 321526 : guncloneNULL_deep(bernzone);
47 321583 : guncloneNULL_deep(eulerzone);
48 321216 : }
49 :
50 : /********************************************************************/
51 : /** GENERIC BINARY SPLITTING **/
52 : /** (Haible, Papanikolaou) **/
53 : /********************************************************************/
54 : void
55 5483711 : abpq_init(struct abpq *A, long n)
56 : {
57 5483711 : A->a = (GEN*)new_chunk(n+1);
58 5493342 : A->b = (GEN*)new_chunk(n+1);
59 5498898 : A->p = (GEN*)new_chunk(n+1);
60 5498796 : A->q = (GEN*)new_chunk(n+1);
61 5498875 : }
62 : static GEN
63 163218785 : mulii3(GEN a, GEN b, GEN c) { return mulii(mulii(a,b),c); }
64 :
65 : /* T_{n1,n1+1} */
66 : static GEN
67 37533842 : T2(struct abpq *A, long n1)
68 : {
69 37533842 : GEN u = mulii3(A->a[n1], A->b[n1+1], A->q[n1+1]);
70 37572932 : GEN v = mulii3(A->b[n1], A->a[n1+1], A->p[n1+1]);
71 37575286 : return mulii(A->p[n1], addii(u, v));
72 : }
73 :
74 : /* assume n2 > n1. Compute sum_{n1 <= n < n2} a/b(n) p/q(n1)... p/q(n) */
75 : void
76 70506851 : abpq_sum(struct abpq_res *r, long n1, long n2, struct abpq *A)
77 : {
78 : struct abpq_res L, R;
79 : GEN u1, u2;
80 : pari_sp av;
81 : long n;
82 70506851 : switch(n2 - n1)
83 : {
84 : GEN b, q;
85 62 : case 1:
86 62 : r->P = A->p[n1];
87 62 : r->Q = A->q[n1];
88 62 : r->B = A->b[n1];
89 62 : r->T = mulii(A->a[n1], A->p[n1]);
90 37752714 : return;
91 23053949 : case 2:
92 23053949 : r->P = mulii(A->p[n1], A->p[n1+1]);
93 22890746 : r->Q = mulii(A->q[n1], A->q[n1+1]);
94 22868143 : r->B = mulii(A->b[n1], A->b[n1+1]);
95 22872847 : av = avma;
96 22872847 : r->T = gerepileuptoint(av, T2(A, n1));
97 22920467 : return;
98 :
99 15029497 : case 3:
100 15029497 : q = mulii(A->q[n1+1], A->q[n1+2]);
101 14966783 : b = mulii(A->b[n1+1], A->b[n1+2]);
102 14957530 : r->P = mulii3(A->p[n1], A->p[n1+1], A->p[n1+2]);
103 14957277 : r->Q = mulii(A->q[n1], q);
104 14950130 : r->B = mulii(A->b[n1], b);
105 14958024 : av = avma;
106 14958024 : u1 = mulii3(b, q, A->a[n1]);
107 14938176 : u2 = mulii(A->b[n1], T2(A, n1+1));
108 14957263 : r->T = gerepileuptoint(av, mulii(A->p[n1], addii(u1, u2)));
109 14832185 : return;
110 : }
111 :
112 32423343 : av = avma;
113 32423343 : n = (n1 + n2) >> 1;
114 32423343 : abpq_sum(&L, n1, n, A);
115 32454164 : abpq_sum(&R, n, n2, A);
116 :
117 32486093 : r->P = mulii(L.P, R.P);
118 32259065 : r->Q = mulii(L.Q, R.Q);
119 32220216 : r->B = mulii(L.B, R.B);
120 32243120 : u1 = mulii3(R.B, R.Q, L.T);
121 32171488 : u2 = mulii3(L.B, L.P, R.T);
122 32184945 : r->T = addii(u1,u2);
123 32205794 : set_avma(av);
124 32188657 : r->P = icopy(r->P);
125 32490452 : r->Q = icopy(r->Q);
126 32534698 : r->B = icopy(r->B);
127 32536967 : r->T = icopy(r->T);
128 : }
129 :
130 : /********************************************************************/
131 : /** **/
132 : /** PI **/
133 : /** **/
134 : /********************************************************************/
135 : /* replace *old clone by c. Protect against SIGINT */
136 : static void
137 83860 : swap_clone(GEN *old, GEN c)
138 83860 : { GEN tmp = *old; *old = c; guncloneNULL(tmp); }
139 :
140 : /* ----
141 : * 53360 (640320)^(1/2) \ (6n)! (545140134 n + 13591409)
142 : * -------------------- = / ------------------------------
143 : * Pi ---- (n!)^3 (3n)! (-640320)^(3n)
144 : * n>=0
145 : *
146 : * Ramanujan's formula + binary splitting */
147 : static GEN
148 41336 : pi_ramanujan(long prec)
149 : {
150 41336 : const ulong B = 545140134, A = 13591409, C = 640320;
151 41336 : const double alpha2 = 47.11041314; /* 3log(C/12) / log(2) */
152 : long n, nmax, prec2;
153 : struct abpq_res R;
154 : struct abpq S;
155 : GEN D, u;
156 :
157 41336 : nmax = (long)(1 + prec2nbits(prec)/alpha2);
158 : #ifdef LONG_IS_64BIT
159 40807 : D = utoipos(10939058860032000UL); /* C^3/24 */
160 : #else
161 525 : D = uutoi(2546948UL,495419392UL);
162 : #endif
163 41332 : abpq_init(&S, nmax);
164 41327 : S.a[0] = utoipos(A);
165 41327 : S.b[0] = S.p[0] = S.q[0] = gen_1;
166 323000 : for (n = 1; n <= nmax; n++)
167 : {
168 281685 : S.a[n] = addiu(muluu(B, n), A);
169 281574 : S.b[n] = gen_1;
170 281574 : S.p[n] = mulis(muluu(6*n-5, 2*n-1), 1-6*n);
171 281657 : S.q[n] = mulii(sqru(n), muliu(D,n));
172 : }
173 41315 : abpq_sum(&R, 0, nmax, &S); prec2 = prec+EXTRAPREC64;
174 41330 : u = itor(muliu(R.Q,C/12), prec2);
175 41335 : return rtor(mulrr(divri(u, R.T), sqrtr_abs(utor(C,prec2))), prec);
176 : }
177 :
178 : #if 0 /* Much slower than binary splitting at least up to prec = 10^8 */
179 : /* Gauss - Brent-Salamin AGM iteration */
180 : static GEN
181 : pi_brent_salamin(long prec)
182 : {
183 : GEN A, B, C;
184 : pari_sp av2;
185 : long i, G;
186 :
187 : G = - prec2nbits(prec);
188 : incrprec(prec);
189 :
190 : A = real2n(-1, prec);
191 : B = sqrtr_abs(A); /* = 1/sqrt(2) */
192 : setexpo(A, 0);
193 : C = real2n(-2, prec); av2 = avma;
194 : for (i = 0;; i++)
195 : {
196 : GEN y, a, b, B_A = subrr(B, A);
197 : pari_sp av3 = avma;
198 : if (expo(B_A) < G) break;
199 : a = addrr(A,B); shiftr_inplace(a, -1);
200 : b = mulrr(A,B);
201 : affrr(a, A);
202 : affrr(sqrtr_abs(b), B); set_avma(av3);
203 : y = sqrr(B_A); shiftr_inplace(y, i - 2);
204 : affrr(subrr(C, y), C); set_avma(av2);
205 : }
206 : shiftr_inplace(C, 2);
207 : return divrr(sqrr(addrr(A,B)), C);
208 : }
209 : #endif
210 :
211 : GEN
212 45982908 : constpi(long prec)
213 : {
214 : pari_sp av;
215 : GEN tmp;
216 45982908 : if (gpi && realprec(gpi) >= prec) return gpi;
217 :
218 41070 : av = avma;
219 41070 : tmp = gclone(pi_ramanujan(prec));
220 41341 : swap_clone(&gpi,tmp);
221 41345 : return gc_const(av, gpi);
222 : }
223 :
224 : GEN
225 45982519 : mppi(long prec) { return rtor(constpi(prec), prec); }
226 :
227 : /* Pi * 2^n */
228 : GEN
229 31126206 : Pi2n(long n, long prec)
230 : {
231 31126206 : GEN x = mppi(prec); shiftr_inplace(x, n);
232 31126016 : return x;
233 : }
234 :
235 : /* I * Pi * 2^n */
236 : GEN
237 280995 : PiI2n(long n, long prec) { retmkcomplex(gen_0, Pi2n(n, prec)); }
238 :
239 : /* 2I * Pi */
240 : GEN
241 268619 : PiI2(long prec) { return PiI2n(1, prec); }
242 :
243 : /********************************************************************/
244 : /** **/
245 : /** EULER CONSTANT **/
246 : /** **/
247 : /********************************************************************/
248 :
249 : GEN
250 57674 : consteuler(long prec)
251 : {
252 : GEN u,v,a,b,tmpeuler;
253 : long l, n1, n, k, x;
254 : pari_sp av1, av2;
255 :
256 57674 : if (geuler && realprec(geuler) >= prec) return geuler;
257 :
258 501 : av1 = avma; tmpeuler = cgetr_block(prec);
259 :
260 501 : incrprec(prec);
261 :
262 501 : l = prec+EXTRAPREC64; x = (long) (1 + prec2nbits_mul(l, M_LN2/4));
263 501 : a = utor(x,l); u=logr_abs(a); setsigne(u,-1); affrr(u,a);
264 501 : b = real_1(l);
265 501 : v = real_1(l);
266 501 : n = (long)(1+3.591*x); /* z=3.591: z*[ ln(z)-1 ]=1 */
267 501 : n1 = minss(n, SQRTVERYBIGINT);
268 501 : if (x < SQRTVERYBIGINT)
269 : {
270 501 : ulong xx = x*x;
271 501 : av2 = avma;
272 165315 : for (k=1; k<n1; k++)
273 : {
274 164814 : affrr(divru(mulur(xx,b),k*k), b);
275 164841 : affrr(divru(addrr(divru(mulur(xx,a),k),b),k), a);
276 164824 : affrr(addrr(u,a), u);
277 164788 : affrr(addrr(v,b), v); set_avma(av2);
278 : }
279 1002 : for ( ; k<=n; k++)
280 : {
281 501 : affrr(divru(divru(mulur(xx,b),k),k), b);
282 501 : affrr(divru(addrr(divru(mulur(xx,a),k),b),k), a);
283 501 : affrr(addrr(u,a), u);
284 501 : affrr(addrr(v,b), v); set_avma(av2);
285 : }
286 : }
287 : else
288 : {
289 0 : GEN xx = sqru(x);
290 0 : av2 = avma;
291 0 : for (k=1; k<n1; k++)
292 : {
293 0 : affrr(divru(mulir(xx,b),k*k), b);
294 0 : affrr(divru(addrr(divru(mulir(xx,a),k),b),k), a);
295 0 : affrr(addrr(u,a), u);
296 0 : affrr(addrr(v,b), v); set_avma(av2);
297 : }
298 0 : for ( ; k<=n; k++)
299 : {
300 0 : affrr(divru(divru(mulir(xx,b),k),k), b);
301 0 : affrr(divru(addrr(divru(mulir(xx,a),k),b),k), a);
302 0 : affrr(addrr(u,a), u);
303 0 : affrr(addrr(v,b), v); set_avma(av2);
304 : }
305 : }
306 501 : divrrz(u,v,tmpeuler);
307 501 : swap_clone(&geuler,tmpeuler);
308 501 : return gc_const(av1, geuler);
309 : }
310 :
311 : GEN
312 57674 : mpeuler(long prec) { return rtor(consteuler(prec), prec); }
313 :
314 : /********************************************************************/
315 : /** **/
316 : /** CATALAN CONSTANT **/
317 : /** **/
318 : /********************************************************************/
319 : /* inf 256^i (580i^2 - 184i + 15) (2i)!^3 (3i)!^2
320 : * 64 G = SUM ------------------------------------------
321 : * i=1 i^3 (2i-1) (6i)!^2 */
322 : static GEN
323 14 : catalan(long prec)
324 : {
325 14 : long i, nmax = 1 + prec2nbits(prec) / 7.509; /* / log2(729/4) */
326 : struct abpq_res R;
327 : struct abpq A;
328 : GEN u;
329 14 : abpq_init(&A, nmax);
330 14 : A.a[0] = gen_0; A.b[0] = A.p[0] = A.q[0] = gen_1;
331 1750 : for (i = 1; i <= nmax; i++)
332 : {
333 1736 : A.a[i] = addiu(muluu(580*i - 184, i), 15);
334 1736 : A.b[i] = muliu(powuu(i, 3), 2*i - 1);
335 1736 : A.p[i] = mului(64*i-32, powuu(i,3));
336 1736 : A.q[i] = sqri(muluu(6*i - 1, 18*i - 15));
337 : }
338 14 : abpq_sum(&R, 0, nmax, &A);
339 14 : u = rdivii(R.T, mulii(R.B,R.Q),prec);
340 14 : shiftr_inplace(u, -6); return u;
341 : }
342 :
343 : GEN
344 14 : constcatalan(long prec)
345 : {
346 14 : pari_sp av = avma;
347 : GEN tmp;
348 14 : if (gcatalan && realprec(gcatalan) >= prec) return gcatalan;
349 14 : tmp = gclone(catalan(prec));
350 14 : swap_clone(&gcatalan,tmp);
351 14 : return gc_const(av, gcatalan);
352 : }
353 :
354 : GEN
355 14 : mpcatalan(long prec) { return rtor(constcatalan(prec), prec); }
356 :
357 : /********************************************************************/
358 : /** **/
359 : /** TYPE CONVERSION FOR TRANSCENDENTAL FUNCTIONS **/
360 : /** **/
361 : /********************************************************************/
362 : static GEN
363 2006556 : transvec(GEN (*f)(GEN,long), GEN x, long prec)
364 6513919 : { pari_APPLY_same(f(gel(x,i), prec)); }
365 : static GEN
366 329 : transvecgen(void *E, GEN (*f)(void *,GEN,long), GEN x, long prec)
367 735 : { pari_APPLY_same(f(E, gel(x,i), prec)); }
368 :
369 : GEN
370 3875624 : trans_eval(const char *fun, GEN (*f)(GEN,long), GEN x, long prec)
371 : {
372 3875624 : pari_sp av = avma;
373 3875624 : if (prec < LOWDEFAULTPREC) pari_err_BUG("trans_eval [prec < 3]");
374 3875636 : switch(typ(x))
375 : {
376 1611639 : case t_INT: x = f(itor(x,prec),prec); break;
377 257382 : case t_FRAC: x = f(fractor(x, prec),prec); break;
378 7 : case t_QUAD: x = f(quadtofp(x,prec),prec); break;
379 14 : case t_POLMOD: x = transvec(f, polmod_to_embed(x,prec), prec); break;
380 2006545 : case t_VEC:
381 : case t_COL:
382 2006545 : case t_MAT: return transvec(f, x, prec);
383 49 : default: pari_err_TYPE(fun,x);
384 : return NULL;/*LCOV_EXCL_LINE*/
385 : }
386 1869037 : return gerepileupto(av, x);
387 : }
388 :
389 : GEN
390 1953 : trans_evalgen(const char *fun, void *E, GEN (*f)(void*,GEN,long),
391 : GEN x, long prec)
392 : {
393 1953 : pari_sp av = avma;
394 1953 : if (prec < LOWDEFAULTPREC) pari_err_BUG("trans_eval [prec < 3]");
395 1953 : switch(typ(x))
396 : {
397 343 : case t_INT: x = f(E, itor(x,prec),prec); break;
398 1246 : case t_FRAC: x = f(E, fractor(x, prec),prec); break;
399 0 : case t_QUAD: x = f(E, quadtofp(x,prec),prec); break;
400 70 : case t_POLMOD: x = transvecgen(E, f, polmod_to_embed(x,prec), prec); break;
401 259 : case t_VEC:
402 : case t_COL:
403 259 : case t_MAT: return transvecgen(E, f, x, prec);
404 35 : default: pari_err_TYPE(fun,x);
405 : return NULL;/*LCOV_EXCL_LINE*/
406 : }
407 1659 : return gerepileupto(av, x);
408 : }
409 :
410 : /*******************************************************************/
411 : /* */
412 : /* POWERING */
413 : /* */
414 : /*******************************************************************/
415 : /* x a t_REAL 0, return exp(x) */
416 : static GEN
417 146749 : mpexp0(GEN x)
418 : {
419 146749 : long e = expo(x);
420 146749 : return e >= 0? real_0_bit(e): real_1_bit(-e);
421 : }
422 : static GEN
423 21133 : powr0(GEN x)
424 21133 : { return signe(x)? real_1(realprec(x)): mpexp0(x); }
425 :
426 : /* assume typ(x) = t_VEC */
427 : static int
428 49 : is_ext_qfr(GEN x)
429 35 : { return lg(x) == 3 && typ(gel(x,1)) == t_QFB && !qfb_is_qfi(gel(x,1))
430 84 : && typ(gel(x,2)) == t_REAL; }
431 :
432 : /* x t_POL or t_SER, return scalarpol(Rg_get_1(x)) */
433 : static GEN
434 374138 : scalarpol_get_1(GEN x)
435 : {
436 374138 : GEN y = cgetg(3,t_POL);
437 374138 : y[1] = evalvarn(varn(x)) | evalsigne(1);
438 374138 : gel(y,2) = Rg_get_1(x); return y;
439 : }
440 : /* to be called by the generic function gpowgs(x,s) when s = 0 */
441 : static GEN
442 2722980 : gpowg0(GEN x)
443 : {
444 : long lx, i;
445 : GEN y;
446 :
447 2722980 : switch(typ(x))
448 : {
449 2302743 : case t_INT: case t_REAL: case t_FRAC: case t_PADIC:
450 2302743 : return gen_1;
451 :
452 7 : case t_QUAD: x++; /*fall through*/
453 38504 : case t_COMPLEX: {
454 38504 : pari_sp av = avma;
455 38504 : GEN a = gpowg0(gel(x,1));
456 38504 : GEN b = gpowg0(gel(x,2));
457 38504 : if (a == gen_1) return b;
458 14 : if (b == gen_1) return a;
459 7 : return gerepileupto(av, gmul(a,b));
460 : }
461 133 : case t_INTMOD:
462 133 : y = cgetg(3,t_INTMOD);
463 133 : gel(y,1) = icopy(gel(x,1));
464 133 : gel(y,2) = is_pm1(gel(x,1))? gen_0: gen_1;
465 133 : return y;
466 :
467 7287 : case t_FFELT: return FF_1(x);
468 :
469 1536 : case t_POLMOD:
470 1536 : retmkpolmod(scalarpol_get_1(gel(x,1)), gcopy(gel(x,1)));
471 :
472 28 : case t_RFRAC:
473 28 : return scalarpol_get_1(gel(x,2));
474 372574 : case t_POL: case t_SER:
475 372574 : return scalarpol_get_1(x);
476 :
477 84 : case t_MAT:
478 84 : lx=lg(x); if (lx==1) return cgetg(1,t_MAT);
479 77 : if (lx != lgcols(x)) pari_err_DIM("gpow");
480 77 : y = matid(lx-1);
481 252 : for (i=1; i<lx; i++) gcoeff(y,i,i) = gpowg0(gcoeff(x,i,i));
482 77 : return y;
483 21 : case t_VEC: if (!is_ext_qfr(x)) break;
484 : /* fall through handle extended t_QFB */
485 28 : case t_QFB: return qfbpow(x, gen_0);
486 49 : case t_VECSMALL: return identity_perm(lg(x) - 1);
487 : }
488 14 : pari_err_TYPE("gpow",x);
489 : return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
490 : }
491 :
492 : static GEN
493 6370484 : _sqr(void *data /* ignored */, GEN x) { (void)data; return gsqr(x); }
494 : static GEN
495 4141990 : _mul(void *data /* ignored */, GEN x, GEN y) { (void)data; return gmul(x,y); }
496 : static GEN
497 780013 : _one(void *x) { return gpowg0((GEN) x); }
498 : static GEN
499 81819959 : _sqri(void *data /* ignored */, GEN x) { (void)data; return sqri(x); }
500 : static GEN
501 29953721 : _muli(void *data /* ignored */, GEN x, GEN y) { (void)data; return mulii(x,y); }
502 : static GEN
503 16272882 : _sqrr(void *data /* ignored */, GEN x) { (void)data; return sqrr(x); }
504 : static GEN
505 7140699 : _mulr(void *data /* ignored */, GEN x, GEN y) { (void)data; return mulrr(x,y); }
506 : static GEN
507 14196 : _oner(void *data /* prec */) { return real_1( *(long*) data); }
508 :
509 : /* INTEGER POWERING (a^n for integer a != 0 and integer n > 0)
510 : *
511 : * Use left shift binary algorithm (RS is wasteful: multiplies big numbers,
512 : * with LS one of them is the base, hence small). Sign of result is set
513 : * to s (= 1,-1). Makes life easier for caller, which otherwise might do a
514 : * setsigne(gen_1 / gen_m1) */
515 : static GEN
516 108172469 : powiu_sign(GEN a, ulong N, long s)
517 : {
518 : pari_sp av;
519 : GEN y;
520 :
521 108172469 : if (lgefint(a) == 3)
522 : { /* easy if |a| < 3 */
523 106620050 : ulong q = a[2];
524 106620050 : if (q == 1) return (s>0)? gen_1: gen_m1;
525 97330038 : if (q == 2) { a = int2u(N); setsigne(a,s); return a; }
526 74242520 : q = upowuu(q, N);
527 74245376 : if (q) return s>0? utoipos(q): utoineg(q);
528 : }
529 32679239 : if (N <= 2) {
530 1832516 : if (N == 2) return sqri(a);
531 20479 : a = icopy(a); setsigne(a,s); return a;
532 : }
533 30846723 : av = avma;
534 30846723 : y = gen_powu_i(a, N, NULL, &_sqri, &_muli);
535 30846955 : setsigne(y,s); return gerepileuptoint(av, y);
536 : }
537 : /* a^n */
538 : GEN
539 108123351 : powiu(GEN a, ulong n)
540 : {
541 : long s;
542 108123351 : if (!n) return gen_1;
543 106862077 : s = signe(a);
544 106862077 : if (!s) return gen_0;
545 106786927 : return powiu_sign(a, n, (s < 0 && odd(n))? -1: 1);
546 : }
547 : GEN
548 21222306 : powis(GEN a, long n)
549 : {
550 : long s;
551 : GEN t, y;
552 21222306 : if (n >= 0) return powiu(a, n);
553 630362 : s = signe(a);
554 630362 : if (!s) pari_err_INV("powis",gen_0);
555 630363 : t = (s < 0 && odd(n))? gen_m1: gen_1;
556 630363 : if (is_pm1(a)) return t;
557 : /* n < 0, |a| > 1 */
558 627843 : y = cgetg(3,t_FRAC);
559 627842 : gel(y,1) = t;
560 627842 : gel(y,2) = powiu_sign(a, -n, 1); /* force denominator > 0 */
561 627841 : return y;
562 : }
563 : GEN
564 46317190 : powuu(ulong p, ulong N)
565 : {
566 : pari_sp av;
567 : ulong pN;
568 : GEN y;
569 46317190 : if (!p) return gen_0;
570 46317113 : if (N <= 2)
571 : {
572 40350595 : if (N == 2) return sqru(p);
573 38057014 : if (N == 1) return utoipos(p);
574 5087503 : return gen_1;
575 : }
576 5966518 : pN = upowuu(p, N);
577 5966532 : if (pN) return utoipos(pN);
578 997537 : if (p == 2) return int2u(N);
579 984117 : av = avma;
580 984117 : y = gen_powu_i(utoipos(p), N, NULL, &_sqri, &_muli);
581 984116 : return gerepileuptoint(av, y);
582 : }
583 :
584 : /* return 0 if overflow */
585 : static ulong
586 21495973 : usqru(ulong p) { return p & HIGHMASK? 0: p*p; }
587 : ulong
588 111863759 : upowuu(ulong p, ulong k)
589 : {
590 : #ifdef LONG_IS_64BIT
591 96012617 : const ulong CUTOFF3 = 2642245;
592 96012617 : const ulong CUTOFF4 = 65535;
593 96012617 : const ulong CUTOFF5 = 7131;
594 96012617 : const ulong CUTOFF6 = 1625;
595 96012617 : const ulong CUTOFF7 = 565;
596 96012617 : const ulong CUTOFF8 = 255;
597 96012617 : const ulong CUTOFF9 = 138;
598 96012617 : const ulong CUTOFF10 = 84;
599 96012617 : const ulong CUTOFF11 = 56;
600 96012617 : const ulong CUTOFF12 = 40;
601 96012617 : const ulong CUTOFF13 = 30;
602 96012617 : const ulong CUTOFF14 = 23;
603 96012617 : const ulong CUTOFF15 = 19;
604 96012617 : const ulong CUTOFF16 = 15;
605 96012617 : const ulong CUTOFF17 = 13;
606 96012617 : const ulong CUTOFF18 = 11;
607 96012617 : const ulong CUTOFF19 = 10;
608 96012617 : const ulong CUTOFF20 = 9;
609 : #else
610 15851142 : const ulong CUTOFF3 = 1625;
611 15851142 : const ulong CUTOFF4 = 255;
612 15851142 : const ulong CUTOFF5 = 84;
613 15851142 : const ulong CUTOFF6 = 40;
614 15851142 : const ulong CUTOFF7 = 23;
615 15851142 : const ulong CUTOFF8 = 15;
616 15851142 : const ulong CUTOFF9 = 11;
617 15851142 : const ulong CUTOFF10 = 9;
618 15851142 : const ulong CUTOFF11 = 7;
619 15851142 : const ulong CUTOFF12 = 6;
620 15851142 : const ulong CUTOFF13 = 5;
621 15851142 : const ulong CUTOFF14 = 4;
622 15851142 : const ulong CUTOFF15 = 4;
623 15851142 : const ulong CUTOFF16 = 3;
624 15851142 : const ulong CUTOFF17 = 3;
625 15851142 : const ulong CUTOFF18 = 3;
626 15851142 : const ulong CUTOFF19 = 3;
627 15851142 : const ulong CUTOFF20 = 3;
628 : #endif
629 :
630 111863759 : if (p <= 2)
631 : {
632 9649017 : if (p < 2) return p;
633 9102253 : return k < BITS_IN_LONG? 1UL<<k: 0;
634 : }
635 102214742 : switch(k)
636 : {
637 : ulong p2, p3, p4, p5, p8;
638 8700694 : case 0: return 1;
639 26150249 : case 1: return p;
640 21495969 : case 2: return usqru(p);
641 4205525 : case 3: if (p > CUTOFF3) return 0; return p*p*p;
642 11770651 : case 4: if (p > CUTOFF4) return 0; p2=p*p; return p2*p2;
643 2424988 : case 5: if (p > CUTOFF5) return 0; p2=p*p; return p2*p2*p;
644 7209040 : case 6: if (p > CUTOFF6) return 0; p2=p*p; return p2*p2*p2;
645 622463 : case 7: if (p > CUTOFF7) return 0; p2=p*p; return p2*p2*p2*p;
646 914600 : case 8: if (p > CUTOFF8) return 0; p2=p*p; p4=p2*p2; return p4*p4;
647 649823 : case 9: if (p > CUTOFF9) return 0; p2=p*p; p4=p2*p2; return p4*p4*p;
648 4990025 : case 10: if (p > CUTOFF10)return 0; p2=p*p; p4=p2*p2; return p4*p4*p2;
649 376487 : case 11: if (p > CUTOFF11)return 0; p2=p*p; p4=p2*p2; return p4*p4*p2*p;
650 4802098 : case 12: if (p > CUTOFF12)return 0; p2=p*p; p4=p2*p2; return p4*p4*p4;
651 107410 : case 13: if (p > CUTOFF13)return 0; p2=p*p; p4=p2*p2; return p4*p4*p4*p;
652 4753124 : case 14: if (p > CUTOFF14)return 0; p2=p*p; p4=p2*p2; return p4*p4*p4*p2;
653 165549 : case 15: if (p > CUTOFF15)return 0;
654 105193 : p2=p*p; p3=p2*p; p5=p3*p2; return p5*p5*p5;
655 107135 : case 16: if (p > CUTOFF16)return 0;
656 53433 : p2=p*p; p4=p2*p2; p8=p4*p4; return p8*p8;
657 80502 : case 17: if (p > CUTOFF17)return 0;
658 42068 : p2=p*p; p4=p2*p2; p8=p4*p4; return p*p8*p8;
659 70626 : case 18: if (p > CUTOFF18)return 0;
660 39678 : p2=p*p; p4=p2*p2; p8=p4*p4; return p2*p8*p8;
661 827264 : case 19: if (p > CUTOFF19)return 0;
662 773093 : p2=p*p; p4=p2*p2; p8=p4*p4; return p*p2*p8*p8;
663 81316 : case 20: if (p > CUTOFF20)return 0;
664 38992 : p2=p*p; p4=p2*p2; p8=p4*p4; return p4*p8*p8;
665 : }
666 : #ifdef LONG_IS_64BIT
667 1488886 : switch(p)
668 : {
669 221893 : case 3: if (k > 40) return 0;
670 161632 : break;
671 17034 : case 4: if (k > 31) return 0;
672 780 : return 1UL<<(2*k);
673 637520 : case 5: if (k > 27) return 0;
674 20262 : break;
675 49650 : case 6: if (k > 24) return 0;
676 9180 : break;
677 55913 : case 7: if (k > 22) return 0;
678 2800 : break;
679 506876 : default: return 0;
680 : }
681 : /* no overflow */
682 : {
683 193874 : ulong q = upowuu(p, k >> 1);
684 193875 : q *= q ;
685 193875 : return odd(k)? q*p: q;
686 : }
687 : #else
688 220318 : return 0;
689 : #endif
690 : }
691 :
692 : GEN
693 12017 : upowers(ulong x, long n)
694 : {
695 : long i;
696 12017 : GEN p = cgetg(n + 2, t_VECSMALL);
697 12017 : uel(p,1) = 1; if (n == 0) return p;
698 12017 : uel(p,2) = x;
699 91465 : for (i = 3; i <= n; i++)
700 79448 : uel(p,i) = uel(p,i-1)*x;
701 12017 : return p;
702 : }
703 :
704 : typedef struct {
705 : long prec, a;
706 : GEN (*sqr)(GEN);
707 : GEN (*mulug)(ulong,GEN);
708 : } sr_muldata;
709 :
710 : static GEN
711 1618152 : _rpowuu_sqr(void *data, GEN x)
712 : {
713 1618152 : sr_muldata *D = (sr_muldata *)data;
714 1618152 : if (typ(x) == t_INT && lg2prec(lgefint(x)) >= D->prec)
715 : { /* switch to t_REAL */
716 158014 : D->sqr = &sqrr;
717 158014 : D->mulug = &mulur; x = itor(x, D->prec);
718 : }
719 1618152 : return D->sqr(x);
720 : }
721 :
722 : static GEN
723 628023 : _rpowuu_msqr(void *data, GEN x)
724 : {
725 628023 : GEN x2 = _rpowuu_sqr(data, x);
726 628023 : sr_muldata *D = (sr_muldata *)data;
727 628023 : return D->mulug(D->a, x2);
728 : }
729 :
730 : /* return a^n as a t_REAL of precision prec. Assume a > 0, n > 0 */
731 : GEN
732 445115 : rpowuu(ulong a, ulong n, long prec)
733 : {
734 : pari_sp av;
735 : GEN y, z;
736 : sr_muldata D;
737 :
738 445115 : if (a == 1) return real_1(prec);
739 445115 : if (a == 2) return real2n(n, prec);
740 445115 : if (n == 1) return utor(a, prec);
741 439974 : z = cgetr(prec);
742 439974 : av = avma;
743 439974 : D.sqr = &sqri;
744 439974 : D.mulug = &mului;
745 439974 : D.prec = prec;
746 439974 : D.a = (long)a;
747 439974 : y = gen_powu_fold_i(utoipos(a), n, (void*)&D, &_rpowuu_sqr, &_rpowuu_msqr);
748 439974 : mpaff(y, z); return gc_const(av,z);
749 : }
750 :
751 : GEN
752 5102634 : powrs(GEN x, long n)
753 : {
754 5102634 : pari_sp av = avma;
755 : GEN y;
756 5102634 : if (!n) return powr0(x);
757 5102634 : y = gen_powu_i(x, (ulong)labs(n), NULL, &_sqrr, &_mulr);
758 5103208 : if (n < 0) y = invr(y);
759 5102839 : return gerepileuptoleaf(av,y);
760 : }
761 : GEN
762 6128654 : powru(GEN x, ulong n)
763 : {
764 6128654 : pari_sp av = avma;
765 : GEN y;
766 6128654 : if (!n) return powr0(x);
767 6108039 : y = gen_powu_i(x, n, NULL, &_sqrr, &_mulr);
768 6107902 : return gerepileuptoleaf(av,y);
769 : }
770 :
771 : GEN
772 14196 : powersr(GEN x, long n)
773 : {
774 14196 : long prec = realprec(x);
775 14196 : return gen_powers(x, n, 1, &prec, &_sqrr, &_mulr, &_oner);
776 : }
777 :
778 : /* x^(s/2), assume x t_REAL */
779 : GEN
780 0 : powrshalf(GEN x, long s)
781 : {
782 0 : if (s & 1) return sqrtr(powrs(x, s));
783 0 : return powrs(x, s>>1);
784 : }
785 : /* x^(s/2), assume x t_REAL */
786 : GEN
787 119899 : powruhalf(GEN x, ulong s)
788 : {
789 119899 : if (s & 1) return sqrtr(powru(x, s));
790 7820 : return powru(x, s>>1);
791 : }
792 : /* x^(n/d), assume x t_REAL, return t_REAL */
793 : GEN
794 518 : powrfrac(GEN x, long n, long d)
795 : {
796 : long z;
797 518 : if (!n) return powr0(x);
798 0 : z = cgcd(n, d); if (z > 1) { n /= z; d /= z; }
799 0 : if (d == 1) return powrs(x, n);
800 0 : x = powrs(x, n);
801 0 : if (d == 2) return sqrtr(x);
802 0 : return sqrtnr(x, d);
803 : }
804 :
805 : /* assume x != 0 */
806 : static GEN
807 634443 : pow_monome(GEN x, long n)
808 : {
809 634443 : long i, d, dx = degpol(x);
810 : GEN A, b, y;
811 :
812 634444 : if (n < 0) { n = -n; y = cgetg(3, t_RFRAC); } else y = NULL;
813 :
814 634444 : if (HIGHWORD(dx) || HIGHWORD(n))
815 8 : {
816 : LOCAL_HIREMAINDER;
817 9 : d = (long)mulll((ulong)dx, (ulong)n);
818 9 : if (hiremainder || (d &~ LGBITS)) d = LGBITS; /* overflow */
819 9 : d += 2;
820 : }
821 : else
822 634435 : d = dx*n + 2;
823 634444 : if ((d + 1) & ~LGBITS) pari_err(e_OVERFLOW,"pow_monome [degree]");
824 634437 : A = cgetg(d+1, t_POL); A[1] = x[1];
825 6089727 : for (i=2; i < d; i++) gel(A,i) = gen_0;
826 634436 : b = gpowgs(gel(x,dx+2), n); /* not memory clean if (n < 0) */
827 634436 : if (!y) y = A;
828 : else {
829 20482 : GEN c = denom_i(b);
830 20482 : gel(y,1) = c; if (c != gen_1) b = gmul(b,c);
831 20482 : gel(y,2) = A;
832 : }
833 634436 : gel(A,d) = b; return y;
834 : }
835 :
836 : /* x t_PADIC */
837 : static GEN
838 1316681 : powps(GEN x, long n)
839 : {
840 1316681 : long e = n*valp(x), v;
841 1316681 : GEN t, y, mod, p = gel(x,2);
842 : pari_sp av;
843 :
844 1316681 : if (!signe(gel(x,4))) {
845 84 : if (n < 0) pari_err_INV("powps",x);
846 77 : return zeropadic(p, e);
847 : }
848 1316597 : v = z_pval(n, p);
849 :
850 1316594 : y = cgetg(5,t_PADIC);
851 1316592 : mod = gel(x,3);
852 1316592 : if (v == 0) mod = icopy(mod);
853 : else
854 : {
855 86688 : if (precp(x) == 1 && absequaliu(p, 2)) v++;
856 86688 : mod = mulii(mod, powiu(p,v));
857 86688 : mod = gerepileuptoint((pari_sp)y, mod);
858 : }
859 1316592 : y[1] = evalprecp(precp(x) + v) | evalvalp(e);
860 1316592 : gel(y,2) = icopy(p);
861 1316590 : gel(y,3) = mod;
862 :
863 1316590 : av = avma; t = gel(x,4);
864 1316590 : if (n < 0) { t = Fp_inv(t, mod); n = -n; }
865 1316590 : t = Fp_powu(t, n, mod);
866 1316599 : gel(y,4) = gerepileuptoint(av, t);
867 1316599 : return y;
868 : }
869 : /* x t_PADIC */
870 : static GEN
871 161 : powp(GEN x, GEN n)
872 : {
873 : long v;
874 161 : GEN y, mod, p = gel(x,2);
875 :
876 161 : if (valp(x)) pari_err_OVERFLOW("valp()");
877 :
878 161 : if (!signe(gel(x,4))) {
879 14 : if (signe(n) < 0) pari_err_INV("powp",x);
880 7 : return zeropadic(p, 0);
881 : }
882 147 : v = Z_pval(n, p);
883 :
884 147 : y = cgetg(5,t_PADIC);
885 147 : mod = gel(x,3);
886 147 : if (v == 0) mod = icopy(mod);
887 : else
888 : {
889 70 : mod = mulii(mod, powiu(p,v));
890 70 : mod = gerepileuptoint((pari_sp)y, mod);
891 : }
892 147 : y[1] = evalprecp(precp(x) + v) | _evalvalp(0);
893 147 : gel(y,2) = icopy(p);
894 147 : gel(y,3) = mod;
895 147 : gel(y,4) = Fp_pow(gel(x,4), n, mod);
896 147 : return y;
897 : }
898 : static GEN
899 24145 : pow_polmod(GEN x, GEN n)
900 : {
901 24145 : GEN z = cgetg(3, t_POLMOD), a = gel(x,2), T = gel(x,1);
902 24145 : gel(z,1) = gcopy(T);
903 24145 : if (typ(a) != t_POL || varn(a) != varn(T) || lg(a) <= 3)
904 1269 : a = powgi(a, n);
905 : else {
906 22876 : pari_sp av = avma;
907 22876 : GEN p = NULL;
908 22876 : if (RgX_is_FpX(T, &p) && RgX_is_FpX(a, &p) && p)
909 : {
910 8771 : T = RgX_to_FpX(T, p); a = RgX_to_FpX(a, p);
911 8771 : if (lgefint(p) == 3)
912 : {
913 8764 : ulong pp = p[2];
914 8764 : a = Flxq_pow(ZX_to_Flx(a, pp), n, ZX_to_Flx(T, pp), pp);
915 8764 : a = Flx_to_ZX(a);
916 : }
917 : else
918 7 : a = FpXQ_pow(a, n, T, p);
919 8771 : a = FpX_to_mod(a, p);
920 8771 : a = gerepileupto(av, a);
921 : }
922 : else
923 : {
924 14105 : set_avma(av);
925 14105 : a = RgXQ_pow(a, n, gel(z,1));
926 : }
927 : }
928 24145 : gel(z,2) = a; return z;
929 : }
930 :
931 : GEN
932 116988282 : gpowgs(GEN x, long n)
933 : {
934 : long m;
935 : pari_sp av;
936 : GEN y;
937 :
938 116988282 : if (n == 0) return gpowg0(x);
939 115122505 : if (n == 1)
940 : {
941 73967397 : long t = typ(x);
942 73967397 : if (is_scalar_t(t)) return gcopy(x);
943 717271 : switch(t)
944 : {
945 664176 : case t_POL: case t_SER: case t_RFRAC: case t_MAT: case t_VECSMALL:
946 664176 : return gcopy(x);
947 21 : case t_VEC: if (!is_ext_qfr(x)) break;
948 : /* fall through handle extended t_QFB */
949 53081 : case t_QFB: return qfbred(x);
950 : }
951 14 : pari_err_TYPE("gpow", x);
952 : }
953 41155251 : if (n ==-1) return ginv(x);
954 32682533 : switch(typ(x))
955 : {
956 21040272 : case t_INT: return powis(x,n);
957 5093769 : case t_REAL: return powrs(x,n);
958 29372 : case t_INTMOD:
959 29372 : y = cgetg(3,t_INTMOD); gel(y,1) = icopy(gel(x,1));
960 29372 : gel(y,2) = Fp_pows(gel(x,2), n, gel(x,1));
961 29372 : return y;
962 378642 : case t_FRAC:
963 : {
964 378642 : GEN a = gel(x,1), b = gel(x,2);
965 378642 : long s = (signe(a) < 0 && odd(n))? -1: 1;
966 378642 : if (n < 0) {
967 3045 : n = -n;
968 3045 : if (is_pm1(a)) return powiu_sign(b, n, s); /* +-1/x[2] inverts to t_INT */
969 2821 : swap(a, b);
970 : }
971 378418 : y = cgetg(3, t_FRAC);
972 378418 : gel(y,1) = powiu_sign(a, n, s);
973 378418 : gel(y,2) = powiu_sign(b, n, 1);
974 378418 : return y;
975 : }
976 1316682 : case t_PADIC: return powps(x, n);
977 249144 : case t_RFRAC:
978 : {
979 249144 : av = avma; y = cgetg(3, t_RFRAC); m = labs(n);
980 249144 : gel(y,1) = gpowgs(gel(x,1),m);
981 249144 : gel(y,2) = gpowgs(gel(x,2),m);
982 249144 : if (n < 0) y = ginv(y);
983 249144 : return gerepileupto(av,y);
984 : }
985 24138 : case t_POLMOD: {
986 24138 : long N[] = {evaltyp(t_INT) | _evallg(3),0,0};
987 24138 : affsi(n,N); return pow_polmod(x, N);
988 : }
989 7 : case t_VEC: if (!is_ext_qfr(x)) pari_err_TYPE("gpow", x);
990 : /* fall through handle extended t_QFB */
991 1318357 : case t_QFB: return qfbpows(x, n);
992 1338680 : case t_POL:
993 1338680 : if (RgX_is_monomial(x)) return pow_monome(x, n);
994 : default: {
995 2597714 : pari_sp av = avma;
996 2597714 : y = gen_powu_i(x, (ulong)labs(n), NULL, &_sqr, &_mul);
997 2597774 : if (n < 0) y = ginv(y);
998 2597768 : return gerepileupto(av,y);
999 : }
1000 : }
1001 : }
1002 :
1003 : /* n a t_INT */
1004 : GEN
1005 104587507 : powgi(GEN x, GEN n)
1006 : {
1007 : GEN y;
1008 :
1009 104587507 : if (!is_bigint(n)) return gpowgs(x, itos(n));
1010 : /* probable overflow for nonmodular types (typical exception: (X^0)^N) */
1011 25599 : switch(typ(x))
1012 : {
1013 25274 : case t_INTMOD:
1014 25274 : y = cgetg(3,t_INTMOD); gel(y,1) = icopy(gel(x,1));
1015 25282 : gel(y,2) = Fp_pow(gel(x,2), n, gel(x,1));
1016 25286 : return y;
1017 101 : case t_FFELT: return FF_pow(x,n);
1018 161 : case t_PADIC: return powp(x, n);
1019 :
1020 35 : case t_INT:
1021 35 : if (is_pm1(x)) return (signe(x) < 0 && mpodd(n))? gen_m1: gen_1;
1022 14 : if (signe(x)) pari_err_OVERFLOW("lg()");
1023 7 : if (signe(n) < 0) pari_err_INV("powgi",gen_0);
1024 7 : return gen_0;
1025 7 : case t_FRAC:
1026 7 : pari_err_OVERFLOW("lg()");
1027 :
1028 0 : case t_VEC: if (!is_ext_qfr(x)) pari_err_TYPE("gpow",x);
1029 : /* fall through handle extended t_QFB */
1030 18 : case t_QFB: return qfbpow(x, n);
1031 7 : case t_POLMOD: return pow_polmod(x, n);
1032 7 : default: {
1033 7 : pari_sp av = avma;
1034 7 : y = gen_pow_i(x, n, NULL, &_sqr, &_mul);
1035 7 : if (signe(n) < 0) return gerepileupto(av, ginv(y));
1036 7 : return gerepilecopy(av,y);
1037 : }
1038 : }
1039 : }
1040 :
1041 : /* Assume x = 1 + O(t), n a scalar. Return x^n */
1042 : static GEN
1043 7966 : ser_pow_1(GEN x, GEN n)
1044 : {
1045 : long lx, mi, i, j, d;
1046 7966 : GEN y = cgetg_copy(x, &lx), X = x+2, Y = y + 2;
1047 7966 : y[1] = evalsigne(1) | _evalvalser(0) | evalvarn(varn(x));
1048 74291 : d = mi = lx-3; while (mi>=1 && isrationalzero(gel(X,mi))) mi--;
1049 7966 : gel(Y,0) = gen_1;
1050 111293 : for (i=1; i<=d; i++)
1051 : {
1052 103327 : pari_sp av = avma;
1053 103327 : GEN s = gen_0;
1054 492275 : for (j=1; j<=minss(i,mi); j++)
1055 : {
1056 388948 : GEN t = gsubgs(gmulgu(n,j),i-j);
1057 388948 : s = gadd(s, gmul(gmul(t, gel(X,j)), gel(Y,i-j)));
1058 : }
1059 103327 : gel(Y,i) = gerepileupto(av, gdivgu(s,i));
1060 : }
1061 7966 : return y;
1062 : }
1063 :
1064 : /* we suppose n != 0, valser(x) = 0 and leading-term(x) != 0. Not stack clean */
1065 : static GEN
1066 8071 : ser_pow(GEN x, GEN n, long prec)
1067 : {
1068 : GEN y, c, lead;
1069 8071 : if (varncmp(gvar(n), varn(x)) <= 0) return gexp(gmul(n, glog(x,prec)), prec);
1070 7966 : lead = gel(x,2);
1071 7966 : if (gequal1(lead)) return ser_pow_1(x, n);
1072 7539 : x = ser_normalize(x);
1073 7539 : if (typ(n) == t_FRAC && !isinexact(lead) && ispower(lead, gel(n,2), &c))
1074 182 : c = powgi(c, gel(n,1));
1075 : else
1076 7357 : c = gpow(lead,n, prec);
1077 7539 : y = gmul(c, ser_pow_1(x, n));
1078 : /* gpow(t_POLMOD,n) can be a t_COL [conjvec] */
1079 7539 : if (typ(y) != t_SER) pari_err_TYPE("gpow", y);
1080 7539 : return y;
1081 : }
1082 :
1083 : static long
1084 7980 : val_from_i(GEN E)
1085 : {
1086 7980 : if (is_bigint(E)) pari_err_OVERFLOW("sqrtn [valuation]");
1087 7973 : return itos(E);
1088 : }
1089 :
1090 : /* return x^q, assume typ(x) = t_SER, typ(q) = t_INT/t_FRAC and q != 0 */
1091 : static GEN
1092 7987 : ser_powfrac(GEN x, GEN q, long prec)
1093 : {
1094 7987 : GEN y, E = gmulsg(valser(x), q);
1095 : long e;
1096 :
1097 7987 : if (!signe(x))
1098 : {
1099 21 : if (gsigne(q) < 0) pari_err_INV("gpow", x);
1100 21 : return zeroser(varn(x), val_from_i(gfloor(E)));
1101 : }
1102 7966 : if (typ(E) != t_INT)
1103 7 : pari_err_DOMAIN("sqrtn", "valuation", "!=", mkintmod(gen_0, gel(q,2)), x);
1104 7959 : e = val_from_i(E);
1105 7959 : y = leafcopy(x); setvalser(y, 0);
1106 7959 : y = ser_pow(y, q, prec);
1107 7959 : setvalser(y, e); return y;
1108 : }
1109 :
1110 : static GEN
1111 126 : gpow0(GEN x, GEN n, long prec)
1112 : {
1113 126 : pari_sp av = avma;
1114 : long i, lx;
1115 : GEN y;
1116 126 : switch(typ(n))
1117 : {
1118 84 : case t_INT: case t_REAL: case t_FRAC: case t_COMPLEX: case t_QUAD:
1119 84 : break;
1120 35 : case t_VEC: case t_COL: case t_MAT:
1121 35 : y = cgetg_copy(n, &lx);
1122 105 : for (i=1; i<lx; i++) gel(y,i) = gpow0(x,gel(n,i),prec);
1123 35 : return y;
1124 7 : default: pari_err_TYPE("gpow(0,n)", n);
1125 : }
1126 84 : n = real_i(n);
1127 84 : if (gsigne(n) <= 0) pari_err_DOMAIN("gpow(0,n)", "n", "<=", gen_0, n);
1128 77 : if (!precision(x)) return gcopy(x);
1129 :
1130 14 : x = ground(gmulsg(gexpo(x),n));
1131 14 : if (is_bigint(x) || uel(x,2) >= HIGHEXPOBIT)
1132 7 : pari_err_OVERFLOW("gpow");
1133 7 : set_avma(av); return real_0_bit(itos(x));
1134 : }
1135 :
1136 : /* centermod(x, log(2)), set *sh to the quotient */
1137 : static GEN
1138 18783923 : modlog2(GEN x, long *sh)
1139 : {
1140 18783923 : double d = rtodbl(x), qd = (fabs(d) + M_LN2/2)/M_LN2;
1141 : long q;
1142 18783857 : if (dblexpo(qd) >= BITS_IN_LONG-1) pari_err_OVERFLOW("expo()");
1143 18783934 : q = d < 0 ? - (long) qd: (long) qd;
1144 18783934 : *sh = q;
1145 18783934 : if (q) {
1146 15552567 : long l = realprec(x) + EXTRAPRECWORD;
1147 15552567 : x = subrr(rtor(x,l), mulsr(q, mplog2(l)));
1148 15552290 : if (!signe(x)) return NULL;
1149 : }
1150 18783657 : return x;
1151 : }
1152 :
1153 : /* x^n, n a t_FRAC */
1154 : static GEN
1155 10528035 : powfrac(GEN x, GEN n, long prec)
1156 : {
1157 10528035 : GEN a = gel(n,1), d = gel(n,2);
1158 10528035 : long D = itos_or_0(d);
1159 10527793 : if (D == 2)
1160 : {
1161 8929819 : GEN y = gsqrt(x,prec);
1162 8930032 : if (!equali1(a)) y = gmul(y, powgi(x, shifti(subiu(a,1), -1)));
1163 8930468 : return y;
1164 : }
1165 1597974 : if (D && is_real_t(typ(x)) && gsigne(x) > 0)
1166 : { /* x^n = x^q * x^(r/D) */
1167 1593857 : GEN z, r, q = truedvmdis(a, D, &r);
1168 1593857 : if (typ(x) == t_REAL)
1169 : {
1170 171806 : z = sqrtnr(x, D);
1171 171806 : if (!equali1(r)) z = powgi(z, r);
1172 171806 : if (signe(q)) z = gmul(z, powgi(x, q));
1173 : }
1174 : else
1175 : {
1176 1422051 : GEN X = x;
1177 1422051 : x = gtofp(x, prec + nbits2extraprec(expi(r)));
1178 1422051 : z = sqrtnr(x, D);
1179 1422051 : if (!equali1(r)) z = powgi(z, r);
1180 1422051 : if (signe(q))
1181 : {
1182 16816 : long e = typ(X)==t_INT? expi(X): maxuu(expi(gel(X,1)), expi(gel(X,2)));
1183 16816 : z = gmul(z, powgi(cmpiu(muliu(q,e), realprec(x)) > 0? x: X, q));
1184 : }
1185 : }
1186 1593857 : return z;
1187 : }
1188 4117 : return NULL;
1189 : }
1190 :
1191 : /* n = a+ib, x > 0 real, ex ~ |log2(x)|; return precision at which
1192 : * log(x) must be computed to evaluate x^n */
1193 : long
1194 192575 : powcx_prec(long ex, GEN n, long prec)
1195 : {
1196 192575 : GEN a = gel(n,1), b = gel(n,2);
1197 192575 : long e = (ex < 2)? 0: expu(ex);
1198 192576 : e += gexpo_safe(is_rational_t(typ(a))? b: n);
1199 192576 : return e > 2? prec + nbits2extraprec(e): prec;
1200 : }
1201 : GEN
1202 5519352 : powcx(GEN x, GEN logx, GEN n, long prec)
1203 : {
1204 5519352 : GEN sxb, cxb, xa, a = gel(n,1), xb = gmul(gel(n,2), logx);
1205 5520963 : long sh, p = realprec(logx);
1206 5520963 : switch(typ(a))
1207 : {
1208 49882 : case t_INT: xa = powgi(x, a); break;
1209 5377592 : case t_FRAC: xa = powfrac(x, a, prec);
1210 5377103 : if (xa) break;
1211 : default:
1212 93496 : xa = modlog2(gmul(gel(n,1), logx), &sh);
1213 93508 : if (!xa) xa = real2n(sh, prec);
1214 : else
1215 : {
1216 93508 : if (signe(xa) && realprec(xa) > prec) setprec(xa, prec);
1217 93508 : xa = mpexp(xa); shiftr_inplace(xa, sh);
1218 : }
1219 : }
1220 5520438 : if (typ(xb) != t_REAL) return xa;
1221 5520438 : if (gexpo(xb) > 30)
1222 : {
1223 5184118 : GEN q, P = Pi2n(-2, p), z = addrr(xb,P); /* = x + Pi/4 */
1224 5182937 : shiftr_inplace(P, 1);
1225 5181415 : q = floorr(divrr(z, P)); /* round ( x / (Pi/2) ) */
1226 5157504 : xb = subrr(xb, mulir(q, P)); /* x mod Pi/2 */
1227 5182606 : sh = Mod4(q);
1228 : }
1229 : else
1230 : {
1231 336054 : long q = floor(rtodbl(xb) / (M_PI/2) + 0.5);
1232 336058 : if (q) xb = subrr(xb, mulsr(q, Pi2n(-1,p))); /* x mod Pi/2 */
1233 336057 : sh = q & 3;
1234 : }
1235 5518003 : if (signe(xb) && realprec(xb) > prec) setprec(xb, prec);
1236 5518003 : mpsincos(xb, &sxb, &cxb);
1237 5522852 : return gmul(xa, mulcxpowIs(mkcomplex(cxb, sxb), sh));
1238 : }
1239 :
1240 : GEN
1241 21622244 : gpow(GEN x, GEN n, long prec)
1242 : {
1243 21622244 : long prec0, i, lx, tx, tn = typ(n);
1244 : pari_sp av;
1245 : GEN y;
1246 :
1247 21622244 : if (tn == t_INT) return powgi(x,n);
1248 6086119 : tx = typ(x);
1249 6086119 : if (is_matvec_t(tx))
1250 : {
1251 49 : y = cgetg_copy(x, &lx);
1252 133 : for (i=1; i<lx; i++) gel(y,i) = gpow(gel(x,i),n,prec);
1253 49 : return y;
1254 : }
1255 6086126 : av = avma;
1256 6086126 : switch (tx)
1257 : {
1258 28 : case t_POL: case t_RFRAC: x = toser_i(x); /* fall through */
1259 7560 : case t_SER:
1260 7560 : if (tn == t_FRAC) return gerepileupto(av, ser_powfrac(x, n, prec));
1261 140 : if (valser(x))
1262 21 : pari_err_DOMAIN("gpow [irrational exponent]",
1263 : "valuation", "!=", gen_0, x);
1264 119 : if (lg(x) == 2) return gerepilecopy(av, x); /* O(1) */
1265 112 : return gerepileupto(av, ser_pow(x, n, prec));
1266 : }
1267 6078561 : if (gequal0(x)) return gpow0(x, n, prec);
1268 6078494 : if (tn == t_FRAC)
1269 : {
1270 5154288 : GEN p, z, a = gel(n,1), d = gel(n,2);
1271 5154288 : switch (tx)
1272 : {
1273 1481207 : case t_INT:
1274 1481207 : if (signe(x) < 0)
1275 : {
1276 42 : if (equaliu(d, 2) && Z_issquareall(negi(x), &z))
1277 : {
1278 21 : z = powgi(z, a);
1279 21 : if (Mod4(a) == 3) z = gneg(z);
1280 5150268 : return gerepilecopy(av, mkcomplex(gen_0, z));
1281 : }
1282 21 : break;
1283 : }
1284 1481165 : if (ispower(x, d, &z)) return powgi(z, a);
1285 1479205 : break;
1286 70016 : case t_FRAC:
1287 70016 : if (signe(gel(x,1)) < 0)
1288 : {
1289 28 : if (equaliu(d, 2) && ispower(absfrac(x), d, &z))
1290 7 : return gerepilecopy(av, mkcomplex(gen_0, powgi(z, a)));
1291 21 : break;
1292 : }
1293 69988 : if (ispower(x, d, &z)) return powgi(z, a);
1294 68616 : break;
1295 :
1296 21 : case t_INTMOD:
1297 21 : p = gel(x,1);
1298 21 : if (!BPSW_psp(p)) pari_err_PRIME("gpow",p);
1299 14 : y = cgetg(3,t_INTMOD); gel(y,1) = icopy(p);
1300 14 : av = avma;
1301 14 : z = Fp_sqrtn(gel(x,2), d, p, NULL);
1302 14 : if (!z) pari_err_SQRTN("gpow",x);
1303 7 : gel(y,2) = gerepileuptoint(av, Fp_pow(z, a, p));
1304 7 : return y;
1305 :
1306 14 : case t_PADIC:
1307 14 : z = Qp_sqrtn(x, d, NULL); if (!z) pari_err_SQRTN("gpow",x);
1308 7 : return gerepileupto(av, powgi(z, a));
1309 :
1310 21 : case t_FFELT:
1311 21 : return gerepileupto(av,FF_pow(FF_sqrtn(x,d,NULL),a));
1312 : }
1313 5150872 : z = powfrac(x, n, prec);
1314 5151154 : if (z) return gerepileupto(av, z);
1315 : }
1316 928316 : if (tn == t_COMPLEX && is_real_t(typ(x)) && gsigne(x) > 0)
1317 : {
1318 180766 : long p = powcx_prec(fabs(dbllog2(x)), n, prec);
1319 180767 : return gerepileupto(av, powcx(x, glog(x, p), n, prec));
1320 : }
1321 747550 : if (tn == t_PADIC) x = gcvtop(x, gel(n,2), precp(n));
1322 747550 : i = precision(n);
1323 747549 : if (i) prec = i;
1324 747549 : prec0 = prec;
1325 747549 : if (!gprecision(x))
1326 : {
1327 39458 : long e = gexpo_safe(n); /* avoided if n = 0 or gexpo not defined */
1328 39458 : if (e > 2) prec += nbits2extraprec(e);
1329 : }
1330 747549 : y = gmul(n, glog(x,prec));
1331 747521 : y = gexp(y,prec);
1332 747521 : if (prec0 == prec) return gerepileupto(av, y);
1333 29246 : return gerepilecopy(av, gprec_wtrunc(y,prec0));
1334 : }
1335 : GEN
1336 11669 : powPis(GEN s, long prec)
1337 : {
1338 11669 : pari_sp av = avma;
1339 : GEN x;
1340 11669 : if (typ(s) != t_COMPLEX) return gpow(mppi(prec), s, prec);
1341 490 : x = mppi(powcx_prec(1, s, prec));
1342 490 : return gerepileupto(av, powcx(x, logr_abs(x), s, prec));
1343 : }
1344 : GEN
1345 12187 : pow2Pis(GEN s, long prec)
1346 : {
1347 12187 : pari_sp av = avma;
1348 : GEN x;
1349 12187 : if (typ(s) != t_COMPLEX) return gpow(Pi2n(1,prec), s, prec);
1350 1876 : x = Pi2n(1, powcx_prec(2, s, prec));
1351 1876 : return gerepileupto(av, powcx(x, logr_abs(x), s, prec));
1352 : }
1353 :
1354 : GEN
1355 207348 : gpowers0(GEN x, long n, GEN x0)
1356 : {
1357 : long i, l;
1358 : GEN V;
1359 207348 : if (!x0) return gpowers(x,n);
1360 192865 : if (n < 0) return cgetg(1,t_VEC);
1361 192865 : l = n+2; V = cgetg(l, t_VEC); gel(V,1) = gcopy(x0);
1362 7601821 : for (i = 2; i < l; i++) gel(V,i) = gmul(gel(V,i-1),x);
1363 192920 : return V;
1364 : }
1365 :
1366 : GEN
1367 780017 : gpowers(GEN x, long n)
1368 : {
1369 780017 : if (n < 0) return cgetg(1,t_VEC);
1370 780010 : return gen_powers(x, n, 0, (void*)x, &_sqr, &_mul, &_one);
1371 : }
1372 :
1373 : /* return [q^1,q^4,...,q^{n^2}] */
1374 : GEN
1375 39711 : gsqrpowers(GEN q, long n)
1376 : {
1377 39711 : pari_sp av = avma;
1378 39711 : GEN L = gpowers0(gsqr(q), n, q); /* L[i] = q^(2i - 1), i <= n+1 */
1379 39711 : GEN v = cgetg(n+1, t_VEC);
1380 : long i;
1381 39711 : gel(v, 1) = gcopy(q);
1382 6737729 : for (i = 2; i <= n ; ++i) gel(v, i) = q = gmul(q, gel(L,i)); /* q^(i^2) */
1383 39711 : return gerepileupto(av, v);
1384 : }
1385 :
1386 : /* 4 | N. returns a vector RU which contains exp(2*i*k*Pi/N), k=0..N-1 */
1387 : static GEN
1388 1003630 : grootsof1_4(long N, long prec)
1389 : {
1390 1003630 : GEN z, RU = cgetg(N+1,t_COL), *v = ((GEN*)RU) + 1;
1391 1003629 : long i, N2 = (N>>1), N4 = (N>>2), N8 = (N>>3);
1392 : /* z^N2 = -1, z^N4 = I; if z^k = a+I*b, then z^(N4-k) = I*conj(z) = b+a*I */
1393 :
1394 1003629 : v[0] = gen_1; v[1] = z = rootsof1u_cx(N, prec);
1395 1003631 : if (odd(N4)) N8++;
1396 1112777 : for (i=1; i<N8; i++)
1397 : {
1398 109146 : GEN t = v[i];
1399 109146 : v[i+1] = gmul(z, t);
1400 109145 : v[N4-i] = mkcomplex(gel(t,2), gel(t,1));
1401 : }
1402 2536193 : for (i=0; i<N4; i++) v[i+N4] = mulcxI(v[i]);
1403 4068740 : for (i=0; i<N2; i++) v[i+N2] = gneg(v[i]);
1404 1003620 : return RU;
1405 : }
1406 :
1407 : /* as above, N arbitrary */
1408 : GEN
1409 1168149 : grootsof1(long N, long prec)
1410 : {
1411 : GEN z, RU, *v;
1412 : long i, k;
1413 :
1414 1168149 : if (N <= 0) pari_err_DOMAIN("rootsof1", "N", "<=", gen_0, stoi(N));
1415 1168135 : if ((N & 3) == 0) return grootsof1_4(N, prec);
1416 164505 : if (N <= 2) return N == 1? mkcol(gen_1): mkcol2(gen_1, gen_m1);
1417 45335 : k = (N+1)>>1;
1418 45335 : RU = cgetg(N+1,t_COL);
1419 45335 : v = ((GEN*)RU) + 1;
1420 45335 : v[0] = gen_1; v[1] = z = rootsof1u_cx(N, prec);
1421 108100 : for (i=2; i<k; i++) v[i] = gmul(z, v[i-1]);
1422 45335 : if (!odd(N)) v[i++] = gen_m1; /*avoid loss of accuracy*/
1423 153435 : for ( ; i<N; i++) v[i] = gconj(v[N-i]);
1424 45335 : return RU;
1425 : }
1426 :
1427 : /********************************************************************/
1428 : /** **/
1429 : /** RACINE CARREE **/
1430 : /** **/
1431 : /********************************************************************/
1432 : /* assume x unit, e = precp(x) */
1433 : GEN
1434 144690 : Z2_sqrt(GEN x, long e)
1435 : {
1436 144690 : ulong r = signe(x)>=0?mod16(x):16-mod16(x);
1437 : GEN z;
1438 : long ez;
1439 : pari_sp av;
1440 :
1441 144690 : switch(e)
1442 : {
1443 7 : case 1: return gen_1;
1444 161 : case 2: return (r & 3UL) == 1? gen_1: NULL;
1445 28 : case 3: return (r & 7UL) == 1? gen_1: NULL;
1446 71064 : case 4: if (r == 1) return gen_1;
1447 35133 : else return (r == 9)? utoipos(3): NULL;
1448 73430 : default: if ((r&7UL) != 1) return NULL;
1449 : }
1450 73430 : av = avma; z = (r==1)? gen_1: utoipos(3);
1451 73430 : ez = 3; /* number of correct bits in z (compared to sqrt(x)) */
1452 : for(;;)
1453 47978 : {
1454 : GEN mod;
1455 121408 : ez = (ez<<1) - 1;
1456 121408 : if (ez > e) ez = e;
1457 121408 : mod = int2n(ez);
1458 121408 : z = addii(z, remi2n(mulii(x, Fp_inv(z,mod)), ez));
1459 121408 : z = shifti(z, -1); /* (z + x/z) / 2 */
1460 121408 : if (e == ez) return gerepileuptoint(av, z);
1461 47978 : if (ez < e) ez--;
1462 47978 : if (gc_needed(av,2))
1463 : {
1464 0 : if (DEBUGMEM > 1) pari_warn(warnmem,"Qp_sqrt");
1465 0 : z = gerepileuptoint(av,z);
1466 : }
1467 : }
1468 : }
1469 :
1470 : /* x unit defined modulo p^e, e > 0 */
1471 : GEN
1472 1897 : Qp_sqrt(GEN x)
1473 : {
1474 1897 : long pp, e = valp(x);
1475 1897 : GEN z,y,mod, p = gel(x,2);
1476 :
1477 1897 : if (gequal0(x)) return zeropadic(p, (e+1) >> 1);
1478 1883 : if (e & 1) return NULL;
1479 :
1480 1869 : y = cgetg(5,t_PADIC);
1481 1869 : pp = precp(x);
1482 1869 : mod = gel(x,3);
1483 1869 : z = gel(x,4); /* lift to t_INT */
1484 1869 : e >>= 1;
1485 1869 : z = Zp_sqrt(z, p, pp);
1486 1869 : if (!z) return NULL;
1487 1806 : if (absequaliu(p,2))
1488 : {
1489 805 : pp = (pp <= 3) ? 1 : pp-1;
1490 805 : mod = int2n(pp);
1491 : }
1492 1001 : else mod = icopy(mod);
1493 1806 : y[1] = evalprecp(pp) | evalvalp(e);
1494 1806 : gel(y,2) = icopy(p);
1495 1806 : gel(y,3) = mod;
1496 1806 : gel(y,4) = z; return y;
1497 : }
1498 :
1499 : GEN
1500 420 : Zn_sqrt(GEN d, GEN fn)
1501 : {
1502 420 : pari_sp ltop = avma, btop;
1503 420 : GEN b = gen_0, m = gen_1;
1504 : long j, np;
1505 420 : if (typ(d) != t_INT) pari_err_TYPE("Zn_sqrt",d);
1506 420 : if (typ(fn) == t_INT)
1507 0 : fn = absZ_factor(fn);
1508 420 : else if (!is_Z_factorpos(fn))
1509 0 : pari_err_TYPE("Zn_sqrt",fn);
1510 420 : np = nbrows(fn);
1511 420 : btop = avma;
1512 1680 : for (j = 1; j <= np; ++j)
1513 : {
1514 : GEN bp, mp, pr, r;
1515 1260 : GEN p = gcoeff(fn, j, 1);
1516 1260 : long e = itos(gcoeff(fn, j, 2));
1517 1260 : long v = Z_pvalrem(d,p,&r);
1518 1260 : if (v >= e) bp =gen_0;
1519 : else
1520 : {
1521 1134 : if (odd(v)) return NULL;
1522 1134 : bp = Zp_sqrt(r, p, e-v);
1523 1134 : if (!bp) return NULL;
1524 1134 : if (v) bp = mulii(bp, powiu(p, v>>1L));
1525 : }
1526 1260 : mp = powiu(p, e);
1527 1260 : pr = mulii(m, mp);
1528 1260 : b = Z_chinese_coprime(b, bp, m, mp, pr);
1529 1260 : m = pr;
1530 1260 : if (gc_needed(btop, 1))
1531 0 : gerepileall(btop, 2, &b, &m);
1532 : }
1533 420 : return gerepileupto(ltop, b);
1534 : }
1535 :
1536 : static GEN
1537 18739 : sqrt_ser(GEN b, long prec)
1538 : {
1539 18739 : long e = valser(b), vx = varn(b), lx, lold, j;
1540 : ulong mask;
1541 : GEN a, x, lta, ltx;
1542 :
1543 18739 : if (!signe(b)) return zeroser(vx, e>>1);
1544 18739 : a = leafcopy(b);
1545 18739 : x = cgetg_copy(b, &lx);
1546 18739 : if (e & 1)
1547 14 : pari_err_DOMAIN("sqrtn", "valuation", "!=", mkintmod(gen_0, gen_2), b);
1548 18725 : a[1] = x[1] = evalsigne(1) | evalvarn(0) | _evalvalser(0);
1549 18725 : lta = gel(a,2);
1550 18725 : if (gequal1(lta)) ltx = lta;
1551 14833 : else if (!issquareall(lta,<x)) ltx = gsqrt(lta,prec);
1552 18718 : gel(x,2) = ltx;
1553 316771 : for (j = 3; j < lx; j++) gel(x,j) = gen_0;
1554 18718 : setlg(x,3);
1555 18718 : mask = quadratic_prec_mask(lx - 2);
1556 18718 : lold = 1;
1557 96715 : while (mask > 1)
1558 : {
1559 77997 : GEN y, x2 = gmul2n(x,1);
1560 77997 : long l = lold << 1, lx;
1561 :
1562 77997 : if (mask & 1) l--;
1563 77997 : mask >>= 1;
1564 77997 : setlg(a, l + 2);
1565 77997 : setlg(x, l + 2);
1566 77997 : y = sqr_ser_part(x, lold, l-1) - lold;
1567 376050 : for (j = lold+2; j < l+2; j++) gel(y,j) = gsub(gel(y,j), gel(a,j));
1568 77997 : y += lold; setvalser(y, lold);
1569 77997 : y = normalizeser(y);
1570 77997 : y = gsub(x, gdiv(y, x2)); /* = gmul2n(gsub(x, gdiv(a,x)), -1); */
1571 77997 : lx = minss(l+2, lg(y));
1572 376043 : for (j = lold+2; j < lx; j++) gel(x,j) = gel(y,j);
1573 77997 : lold = l;
1574 : }
1575 18718 : x[1] = evalsigne(1) | evalvarn(vx) | _evalvalser(e >> 1);
1576 18718 : return x;
1577 : }
1578 :
1579 : GEN
1580 62687423 : gsqrt(GEN x, long prec)
1581 : {
1582 : pari_sp av;
1583 : GEN y;
1584 :
1585 62687423 : switch(typ(x))
1586 : {
1587 5534448 : case t_INT:
1588 5534448 : if (!signe(x)) return real_0(prec); /* no loss of accuracy */
1589 5534378 : x = itor(x,prec); /* fall through */
1590 55948903 : case t_REAL: return sqrtr(x);
1591 :
1592 35 : case t_INTMOD:
1593 : {
1594 35 : GEN p = gel(x,1), a;
1595 35 : y = cgetg(3,t_INTMOD); gel(y,1) = icopy(p);
1596 35 : a = Fp_sqrt(gel(x,2),p);
1597 21 : if (!a)
1598 : {
1599 7 : if (!BPSW_psp(p)) pari_err_PRIME("sqrt [modulus]",p);
1600 7 : pari_err_SQRTN("gsqrt",x);
1601 : }
1602 14 : gel(y,2) = a; return y;
1603 : }
1604 :
1605 6460970 : case t_COMPLEX:
1606 : { /* (u+iv)^2 = a+ib <=> u^2+v^2 = sqrt(a^2+b^2), u^2-v^2=a, 2uv=b */
1607 6460970 : GEN a = gel(x,1), b = gel(x,2), r, u, v;
1608 6460970 : if (isrationalzero(b)) return gsqrt(a, prec);
1609 6460970 : y = cgetg(3,t_COMPLEX); av = avma;
1610 :
1611 6460969 : r = cxnorm(x);
1612 6460959 : if (typ(r) == t_INTMOD || typ(r) == t_PADIC)
1613 0 : pari_err_IMPL("sqrt(complex of t_INTMODs)");
1614 6460959 : r = gsqrt(r, prec); /* t_REAL, |a+Ib| */
1615 6460969 : if (!signe(r))
1616 67 : u = v = gerepileuptoleaf(av, sqrtr(r));
1617 6460902 : else if (gsigne(a) < 0)
1618 : {
1619 : /* v > 0 since r > 0, a < 0, rounding errors can't make the sum of two
1620 : * positive numbers = 0 */
1621 191408 : v = sqrtr( gmul2n(gsub(r,a), -1) );
1622 191409 : if (gsigne(b) < 0) togglesign(v);
1623 191409 : v = gerepileuptoleaf(av, v); av = avma;
1624 : /* v = 0 is impossible */
1625 191409 : u = gerepileuptoleaf(av, gdiv(b, shiftr(v,1)));
1626 : } else {
1627 6269494 : u = sqrtr( gmul2n(gadd(r,a), -1) );
1628 6269496 : u = gerepileuptoleaf(av, u); av = avma;
1629 6269496 : if (!signe(u)) /* possible if a = 0.0, e.g. sqrt(0.e-10+1e-10*I) */
1630 7 : v = u;
1631 : else
1632 6269489 : v = gerepileuptoleaf(av, gdiv(b, shiftr(u,1)));
1633 : }
1634 6460971 : gel(y,1) = u;
1635 6460971 : gel(y,2) = v; return y;
1636 : }
1637 :
1638 63 : case t_PADIC:
1639 63 : y = Qp_sqrt(x);
1640 63 : if (!y) pari_err_SQRTN("Qp_sqrt",x);
1641 42 : return y;
1642 :
1643 161 : case t_FFELT: return FF_sqrt(x);
1644 :
1645 274378 : default:
1646 274378 : av = avma; if (!(y = toser_i(x))) break;
1647 18739 : return gerepilecopy(av, sqrt_ser(y, prec));
1648 : }
1649 255639 : return trans_eval("sqrt",gsqrt,x,prec);
1650 : }
1651 : /********************************************************************/
1652 : /** **/
1653 : /** N-th ROOT **/
1654 : /** **/
1655 : /********************************************************************/
1656 :
1657 : static GEN
1658 303497 : Z_to_padic(GEN a, GEN p, long e)
1659 : {
1660 303497 : if (signe(a)==0)
1661 1281 : return zeropadic(p, e);
1662 : else
1663 : {
1664 302216 : GEN z = cgetg(5, t_PADIC);
1665 302216 : long v = Z_pvalrem(a, p, &a), d = e - v;
1666 302216 : z[1] = evalprecp(d) | evalvalp(v);
1667 302215 : gel(z,2) = icopy(p);
1668 302215 : gel(z,3) = powiu(p, d);
1669 302217 : gel(z,4) = a;
1670 302217 : return z;
1671 : }
1672 : }
1673 :
1674 : GEN
1675 195812 : Qp_log(GEN x)
1676 : {
1677 195812 : pari_sp av = avma;
1678 195812 : GEN y, p = gel(x,2), a = gel(x,4);
1679 195812 : long e = precp(x);
1680 :
1681 195812 : if (!signe(a)) pari_err_DOMAIN("Qp_log", "argument", "=", gen_0, x);
1682 195791 : if (absequaliu(p,2) || equali1(modii(a, p)))
1683 75354 : y = Zp_log(a, p, e);
1684 : else
1685 : { /* compute log(x^(p-1)) / (p-1) */
1686 120437 : GEN q = gel(x,3), t = subiu(p, 1);
1687 120436 : a = Fp_pow(a, t, q);
1688 120437 : y = Fp_mul(Zp_log(a, p, e), diviiexact(subsi(1, q), t), q);
1689 : }
1690 195791 : return gerepileupto(av, Z_to_padic(y, p, e));
1691 : }
1692 :
1693 : static GEN Qp_exp_safe(GEN x);
1694 :
1695 : /*compute the p^e th root of x p-adic, assume x != 0 */
1696 : static GEN
1697 854 : Qp_sqrtn_ram(GEN x, long e)
1698 : {
1699 854 : pari_sp ltop=avma;
1700 854 : GEN a, p = gel(x,2), n = powiu(p,e);
1701 854 : long v = valp(x), va;
1702 854 : if (v)
1703 : {
1704 : long z;
1705 161 : v = sdivsi_rem(v, n, &z);
1706 161 : if (z) return NULL;
1707 91 : x = leafcopy(x);
1708 91 : setvalp(x,0);
1709 : }
1710 : /*If p = 2, -1 is a root of 1 in U1: need extra check*/
1711 784 : if (absequaliu(p, 2) && mod8(gel(x,4)) != 1) return NULL;
1712 749 : a = Qp_log(x);
1713 749 : va = valp(a) - e;
1714 749 : if (va <= 0)
1715 : {
1716 287 : if (signe(gel(a,4))) return NULL;
1717 : /* all accuracy lost */
1718 119 : a = cvtop(remii(gel(x,4),p), p, 1);
1719 : }
1720 : else
1721 : {
1722 462 : setvalp(a, va); /* divide by p^e */
1723 462 : a = Qp_exp_safe(a);
1724 462 : if (!a) return NULL;
1725 : /* n=p^e and a^n=z*x where z is a (p-1)th-root of 1.
1726 : * Since z^n=z, we have (a/z)^n = x. */
1727 462 : a = gdiv(x, powgi(a,subiu(n,1))); /* = a/z = x/a^(n-1)*/
1728 462 : if (v) setvalp(a,v);
1729 : }
1730 581 : return gerepileupto(ltop,a);
1731 : }
1732 :
1733 : /*compute the nth root of x p-adic p prime with n*/
1734 : static GEN
1735 2037 : Qp_sqrtn_unram(GEN x, GEN n, GEN *zetan)
1736 : {
1737 : pari_sp av;
1738 2037 : GEN Z, a, r, p = gel(x,2);
1739 2037 : long v = valp(x);
1740 2037 : if (v)
1741 : {
1742 : long z;
1743 84 : v = sdivsi_rem(v,n,&z);
1744 84 : if (z) return NULL;
1745 : }
1746 2030 : r = cgetp(x); setvalp(r,v);
1747 2030 : Z = NULL; /* -Wall */
1748 2030 : if (zetan) Z = cgetp(x);
1749 2030 : av = avma; a = Fp_sqrtn(gel(x,4), n, p, zetan);
1750 2030 : if (!a) return NULL;
1751 2016 : affii(Zp_sqrtnlift(gel(x,4), n, a, p, precp(x)), gel(r,4));
1752 2016 : if (zetan)
1753 : {
1754 14 : affii(Zp_sqrtnlift(gen_1, n, *zetan, p, precp(x)), gel(Z,4));
1755 14 : *zetan = Z;
1756 : }
1757 2016 : return gc_const(av,r);
1758 : }
1759 :
1760 : GEN
1761 2604 : Qp_sqrtn(GEN x, GEN n, GEN *zetan)
1762 : {
1763 : pari_sp av, tetpil;
1764 : GEN q, p;
1765 : long e;
1766 2604 : if (absequaliu(n, 2))
1767 : {
1768 70 : if (zetan) *zetan = gen_m1;
1769 70 : if (signe(n) < 0) x = ginv(x);
1770 63 : return Qp_sqrt(x);
1771 : }
1772 2534 : av = avma; p = gel(x,2);
1773 2534 : if (!signe(gel(x,4)))
1774 : {
1775 203 : if (signe(n) < 0) pari_err_INV("Qp_sqrtn", x);
1776 203 : q = divii(addis(n, valp(x)-1), n);
1777 203 : if (zetan) *zetan = gen_1;
1778 203 : set_avma(av); return zeropadic(p, itos(q));
1779 : }
1780 : /* treat the ramified part using logarithms */
1781 2331 : e = Z_pvalrem(n, p, &q);
1782 2331 : if (e) { x = Qp_sqrtn_ram(x,e); if (!x) return NULL; }
1783 2058 : if (is_pm1(q))
1784 : { /* finished */
1785 21 : if (signe(q) < 0) x = ginv(x);
1786 21 : x = gerepileupto(av, x);
1787 21 : if (zetan)
1788 28 : *zetan = (e && absequaliu(p, 2))? gen_m1 /*-1 in Q_2*/
1789 28 : : gen_1;
1790 21 : return x;
1791 : }
1792 2037 : tetpil = avma;
1793 : /* use hensel lift for unramified case */
1794 2037 : x = Qp_sqrtn_unram(x, q, zetan);
1795 2037 : if (!x) return NULL;
1796 2016 : if (zetan)
1797 : {
1798 : GEN *gptr[2];
1799 14 : if (e && absequaliu(p, 2))/*-1 in Q_2*/
1800 : {
1801 7 : tetpil = avma; x = gcopy(x); *zetan = gneg(*zetan);
1802 : }
1803 14 : gptr[0] = &x; gptr[1] = zetan;
1804 14 : gerepilemanysp(av,tetpil,gptr,2);
1805 14 : return x;
1806 : }
1807 2002 : return gerepile(av,tetpil,x);
1808 : }
1809 :
1810 : GEN
1811 27301 : sqrtnint(GEN a, long n)
1812 : {
1813 27301 : pari_sp av = avma;
1814 : GEN x, b, q;
1815 : long s, k, e;
1816 27301 : const ulong nm1 = n - 1;
1817 27301 : if (n == 2) return sqrtint(a);
1818 23059 : if (typ(a) != t_INT)
1819 : {
1820 35 : if (typ(a) == t_REAL)
1821 : {
1822 : long e;
1823 14 : switch(signe(a))
1824 : {
1825 0 : case 0: return gen_0;
1826 7 : case -1: pari_err_DOMAIN("sqrtnint", "argument", "<", gen_0,a);
1827 : }
1828 7 : e = expo(a); if (e < 0) return gen_0;
1829 7 : if (nbits2lg(e+1) > lg(a))
1830 0 : a = floorr(sqrtnr(a,n)); /* try to avoid precision loss in truncation */
1831 : else
1832 7 : a = sqrtnint(truncr(a),n);
1833 : }
1834 : else
1835 : {
1836 21 : GEN b = gfloor(a);
1837 21 : if (typ(b) != t_INT) pari_err_TYPE("sqrtint",a);
1838 14 : if (signe(b) < 0) pari_err_DOMAIN("sqrtnint", "argument", "<", gen_0,b);
1839 7 : a = sqrtnint(b, n);
1840 : }
1841 14 : return gerepileuptoint(av, a);
1842 : }
1843 23024 : if (n <= 0) pari_err_DOMAIN("sqrtnint", "n", "<=", gen_0, stoi(n));
1844 23017 : if (n == 1) return icopy(a);
1845 20861 : s = signe(a);
1846 20861 : if (s < 0) pari_err_DOMAIN("sqrtnint", "x", "<", gen_0, a);
1847 20861 : if (!s) return gen_0;
1848 20784 : if (lgefint(a) == 3) return utoi(usqrtn(itou(a), n));
1849 14553 : e = expi(a); k = e/(2*n);
1850 14553 : if (k == 0)
1851 : {
1852 : long flag;
1853 291 : if (n > e) return gc_const(av, gen_1);
1854 291 : flag = cmpii(a, powuu(3, n)); set_avma(av);
1855 291 : return (flag < 0) ? gen_2: stoi(3);
1856 : }
1857 14262 : if (e < n*BITS_IN_LONG - 1)
1858 : {
1859 : ulong xs, qs;
1860 7128 : b = itor(a, (2*e < n*BITS_IN_LONG)? DEFAULTPREC: MEDDEFAULTPREC);
1861 7128 : x = mpexp(divru(logr_abs(b), n));
1862 7128 : xs = itou(floorr(x)) + 1; /* >= a^(1/n) */
1863 : for(;;) {
1864 14078 : q = divii(a, powuu(xs, nm1));
1865 14078 : if (lgefint(q) > 3) break;
1866 14071 : qs = itou(q); if (qs >= xs) break;
1867 6950 : xs -= (xs - qs + nm1)/n;
1868 : }
1869 7128 : return utoi(xs);
1870 : }
1871 7134 : b = addui(1, shifti(a, -n*k));
1872 7134 : x = shifti(addui(1, sqrtnint(b, n)), k);
1873 7134 : q = divii(a, powiu(x, nm1));
1874 15994 : while (cmpii(q, x) < 0) /* a priori one iteration, no GC necessary */
1875 : {
1876 8860 : x = subii(x, divis(addui(nm1, subii(x, q)), n));
1877 8860 : q = divii(a, powiu(x, nm1));
1878 : }
1879 7134 : return gerepileuptoleaf(av, x);
1880 : }
1881 :
1882 : ulong
1883 8112 : usqrtn(ulong a, ulong n)
1884 : {
1885 : ulong x, s, q;
1886 8112 : const ulong nm1 = n - 1;
1887 8112 : if (!n) pari_err_DOMAIN("sqrtnint", "n", "=", gen_0, utoi(n));
1888 8112 : if (n == 1 || a == 0) return a;
1889 8112 : s = 1 + expu(a)/n; x = 1UL << s;
1890 8112 : q = (nm1*s >= BITS_IN_LONG)? 0: a >> (nm1*s);
1891 21069 : while (q < x) {
1892 : ulong X;
1893 12956 : x -= (x - q + nm1)/n;
1894 12956 : X = upowuu(x, nm1);
1895 12957 : q = X? a/X: 0;
1896 : }
1897 8113 : return x;
1898 : }
1899 :
1900 : static ulong
1901 1734168 : cubic_prec_mask(long n)
1902 : {
1903 1734168 : long a = n, i;
1904 1734168 : ulong mask = 0;
1905 1734168 : for(i = 1;; i++, mask *= 3)
1906 8245856 : {
1907 9980024 : long c = a%3;
1908 9980024 : if (c) mask += 3 - c;
1909 9980024 : a = (a+2)/3;
1910 9980024 : if (a==1) return mask + upowuu(3, i);
1911 : }
1912 : }
1913 :
1914 : /* cubic Newton iteration, |a|^(1/n), assuming a != 0 */
1915 : GEN
1916 2796075 : sqrtnr_abs(GEN a, long n)
1917 : {
1918 : pari_sp av;
1919 : GEN x, b;
1920 : long eextra, eold, n1, n2, prec, B, v;
1921 : ulong mask;
1922 2796075 : double K = n, X;
1923 :
1924 2796075 : if (n == 1) return mpabs(a);
1925 2795380 : if (n == 2) return sqrtr_abs(a);
1926 :
1927 2448564 : prec = realprec(a); v = expo(a) / n; av = avma;
1928 2448564 : if (v) a = shiftr(a, -n*v);
1929 2448579 : b = rtor(a, DEFAULTPREC);
1930 2448593 : x = mpexp(divru(logr_abs(b), n));
1931 2448589 : if (prec == DEFAULTPREC)
1932 : {
1933 752705 : if (v) shiftr_inplace(x, v);
1934 752705 : return gerepileuptoleaf(av, x);
1935 : }
1936 1695884 : X = rtodbl(x);
1937 1695884 : K = (K*K-1) / (12*X*X); /* |x_{n+1} - x| < K |x_n - x|^3 */
1938 1695884 : eextra = dblexpo(K);
1939 1695884 : n1 = n+1;
1940 1695884 : n2 = 2*n;
1941 1695884 : B = prec2nbits(prec);
1942 1695884 : mask = cubic_prec_mask(B + 63);
1943 1695884 : eold = 1;
1944 : for(;;)
1945 6761629 : { /* reach 64 */
1946 8457513 : long enew = eold * 3;
1947 8457513 : enew -= mask % 3;
1948 8457513 : if (enew > 64) break; /* back up one step */
1949 6761629 : mask /= 3;
1950 6761629 : eold = enew;
1951 : }
1952 : for(;;)
1953 1317718 : {
1954 3013602 : long pr, enew = eold * 3;
1955 : GEN y, z;
1956 3013602 : enew -= mask % 3;
1957 3013602 : mask /= 3;
1958 3013602 : pr = nbits2prec(enew + eextra);
1959 3013602 : b = rtor(a, pr); setsigne(b,1);
1960 3013602 : x = rtor(x, pr);
1961 3013602 : y = subrr(powru(x, n), b);
1962 3013602 : z = divrr(y, addrr(mulur(n1, y), mulur(n2, b)));
1963 3013602 : shiftr_inplace(z,1);
1964 3013602 : x = subrr(x, mulrr(x,z));
1965 3013602 : if (mask == 1)
1966 : {
1967 1695884 : if (v) shiftr_inplace(x, v);
1968 1695884 : return gerepileuptoleaf(av, gprec_wtrunc(x,prec));
1969 : }
1970 1317718 : eold = enew;
1971 : }
1972 : }
1973 :
1974 : static void
1975 55223 : shiftc_inplace(GEN z, long d)
1976 : {
1977 55223 : shiftr_inplace(gel(z,1), d);
1978 55223 : shiftr_inplace(gel(z,2), d);
1979 55223 : }
1980 :
1981 : /* exp(2*Pi*I/n), same iteration as sqrtnr_abs, different initial point */
1982 : static GEN
1983 552811 : sqrtnof1(ulong n, long prec)
1984 : {
1985 : pari_sp av;
1986 : GEN x;
1987 : long eold, n1, n2, B;
1988 : ulong mask;
1989 :
1990 552811 : B = prec2nbits(prec);
1991 552811 : n1 = n+1;
1992 552811 : n2 = 2*n; av = avma;
1993 :
1994 552811 : x = expIr(divru(Pi2n(1, LOWDEFAULTPREC), n));
1995 552811 : if (prec == LOWDEFAULTPREC) return gerepileupto(av, x);
1996 38284 : mask = cubic_prec_mask(B + BITS_IN_LONG-1);
1997 38284 : eold = 1;
1998 : for(;;)
1999 149570 : { /* reach BITS_IN_LONG */
2000 187854 : long enew = eold * 3;
2001 187854 : enew -= mask % 3;
2002 187854 : if (enew > BITS_IN_LONG) break; /* back up one step */
2003 149570 : mask /= 3;
2004 149570 : eold = enew;
2005 : }
2006 : for(;;)
2007 16939 : {
2008 55223 : long pr, enew = eold * 3;
2009 : GEN y, z;
2010 55223 : enew -= mask % 3;
2011 55223 : mask /= 3;
2012 55223 : pr = nbits2prec(enew);
2013 55223 : x = cxtofp(x, pr);
2014 55223 : y = gsub(gpowgs(x, n), gen_1);
2015 55223 : z = gdiv(y, gaddgs(gmulsg(n1, y), n2));
2016 55223 : shiftc_inplace(z,1);
2017 55223 : x = gmul(x, gsubsg(1, z));
2018 55223 : if (mask == 1) return gerepilecopy(av, gprec_w(x,prec));
2019 16939 : eold = enew;
2020 : }
2021 : }
2022 :
2023 : /* exp(2iPi/d) */
2024 : GEN
2025 2156079 : rootsof1u_cx(ulong n, long prec)
2026 : {
2027 2156079 : switch(n)
2028 : {
2029 15043 : case 1: return gen_1;
2030 4067 : case 2: return gen_m1;
2031 694808 : case 4: return gen_I();
2032 41821 : case 3: case 6: case 12:
2033 : {
2034 41821 : pari_sp av = avma;
2035 41821 : GEN a = (n == 3)? mkfrac(gen_m1,gen_2): ghalf;
2036 41821 : GEN sq3 = sqrtr_abs(utor(3, prec));
2037 41821 : shiftr_inplace(sq3, -1);
2038 41821 : a = (n == 12)? mkcomplex(sq3, a): mkcomplex(a, sq3);
2039 41821 : return gerepilecopy(av, a);
2040 : }
2041 847536 : case 8:
2042 : {
2043 847536 : pari_sp av = avma;
2044 847536 : GEN sq2 = sqrtr_abs(utor(2, prec));
2045 847524 : shiftr_inplace(sq2,-1);
2046 847529 : return gerepilecopy(av, mkcomplex(sq2, sq2));
2047 : }
2048 : }
2049 552804 : return sqrtnof1(n, prec);
2050 : }
2051 : /* e(a/b) */
2052 : GEN
2053 14224 : rootsof1q_cx(long a, long b, long prec)
2054 : {
2055 14224 : long g = cgcd(a,b);
2056 : GEN z;
2057 14224 : if (g != 1) { a /= g; b /= g; }
2058 14224 : if (b < 0) { b = -b; a = -a; }
2059 14224 : z = rootsof1u_cx(b, prec);
2060 14224 : if (a < 0) { z = conj_i(z); a = -a; }
2061 14224 : return gpowgs(z, a);
2062 : }
2063 :
2064 : /* initializes powers of e(a/b) */
2065 : GEN
2066 15092 : rootsof1powinit(long a, long b, long prec)
2067 : {
2068 15092 : long g = cgcd(a,b);
2069 15092 : if (g != 1) { a /= g; b /= g; }
2070 15092 : if (b < 0) { b = -b; a = -a; }
2071 15092 : a %= b; if (a < 0) a += b;
2072 15092 : return mkvec2(grootsof1(b,prec), mkvecsmall2(a,b));
2073 : }
2074 : /* T = rootsof1powinit(a,b); return e(a/b)^c */
2075 : GEN
2076 12516938 : rootsof1pow(GEN T, long c)
2077 : {
2078 12516938 : GEN vz = gel(T,1), ab = gel(T,2);
2079 12516938 : long a = ab[1], b = ab[2]; /* a >= 0, b > 0 */
2080 12516938 : c %= b; if (c < 0) c += b;
2081 12516938 : a = Fl_mul(a, c, b);
2082 12516938 : return gel(vz, a + 1);
2083 : }
2084 :
2085 : /* exp(2iPi/d), assume d a t_INT */
2086 : GEN
2087 4536 : rootsof1_cx(GEN d, long prec)
2088 : {
2089 4536 : if (lgefint(d) == 3) return rootsof1u_cx((ulong)d[2], prec);
2090 0 : return expIr(divri(Pi2n(1,prec), d));
2091 : }
2092 :
2093 : GEN
2094 42458 : gsqrtn(GEN x, GEN n, GEN *zetan, long prec)
2095 : {
2096 : long i, lx, tx;
2097 : pari_sp av;
2098 : GEN y, z;
2099 42458 : if (typ(n)!=t_INT) pari_err_TYPE("sqrtn",n);
2100 42458 : if (!signe(n)) pari_err_DOMAIN("sqrtn", "n", "=", gen_0, n);
2101 42458 : if (is_pm1(n))
2102 : {
2103 70 : if (zetan) *zetan = gen_1;
2104 70 : return (signe(n) > 0)? gcopy(x): ginv(x);
2105 : }
2106 42388 : if (zetan) *zetan = gen_0;
2107 42388 : tx = typ(x);
2108 42388 : if (is_matvec_t(tx))
2109 : {
2110 7 : y = cgetg_copy(x, &lx);
2111 21 : for (i=1; i<lx; i++) gel(y,i) = gsqrtn(gel(x,i),n,NULL,prec);
2112 7 : return y;
2113 : }
2114 42381 : av = avma;
2115 42381 : switch(tx)
2116 : {
2117 182 : case t_INTMOD:
2118 : {
2119 182 : GEN p = gel(x,1), s;
2120 182 : z = gen_0;
2121 182 : y = cgetg(3,t_INTMOD); gel(y,1) = icopy(p);
2122 182 : if (zetan) { z = cgetg(3,t_INTMOD); gel(z,1) = gel(y,1); }
2123 182 : s = Fp_sqrtn(gel(x,2),n,p,zetan);
2124 161 : if (!s) {
2125 35 : if (zetan) return gc_const(av,gen_0);
2126 28 : if (!BPSW_psp(p)) pari_err_PRIME("sqrtn [modulus]",p);
2127 14 : pari_err_SQRTN("gsqrtn",x);
2128 : }
2129 126 : gel(y,2) = s;
2130 126 : if (zetan) { gel(z,2) = *zetan; *zetan = z; }
2131 126 : return y;
2132 : }
2133 :
2134 56 : case t_PADIC:
2135 56 : y = Qp_sqrtn(x,n,zetan);
2136 49 : if (!y) {
2137 7 : if (zetan) return gen_0;
2138 7 : pari_err_SQRTN("gsqrtn",x);
2139 : }
2140 42 : return y;
2141 :
2142 196 : case t_FFELT: return FF_sqrtn(x,n,zetan);
2143 :
2144 41373 : case t_INT: case t_FRAC: case t_REAL: case t_COMPLEX:
2145 41373 : i = precision(x); if (i) prec = i;
2146 41373 : if (isint1(x))
2147 7 : y = real_1(prec);
2148 41366 : else if (gequal0(x))
2149 : {
2150 : long b;
2151 21 : if (signe(n) < 0) pari_err_INV("gsqrtn",x);
2152 21 : if (isinexactreal(x))
2153 14 : b = sdivsi(gexpo(x), n);
2154 : else
2155 7 : b = -prec2nbits(prec);
2156 21 : if (typ(x) == t_COMPLEX)
2157 : {
2158 7 : y = cgetg(3,t_COMPLEX);
2159 7 : gel(y,1) = gel(y,2) = real_0_bit(b);
2160 : }
2161 : else
2162 14 : y = real_0_bit(b);
2163 : }
2164 : else
2165 : {
2166 41345 : long nn = itos_or_0(n);
2167 41345 : if (tx == t_INT) { x = itor(x,prec); tx = t_REAL; }
2168 41345 : if (nn > 0 && tx == t_REAL && signe(x) > 0)
2169 31112 : y = sqrtnr(x, nn);
2170 : else
2171 10233 : y = gexp(gdiv(glog(x,prec), n), prec);
2172 41345 : y = gerepileupto(av, y);
2173 : }
2174 41373 : if (zetan) *zetan = rootsof1_cx(n, prec);
2175 41373 : return y;
2176 :
2177 7 : case t_QUAD:
2178 7 : return gsqrtn(quadtofp(x, prec), n, zetan, prec);
2179 :
2180 567 : default:
2181 567 : av = avma; if (!(y = toser_i(x))) break;
2182 567 : return gerepileupto(av, ser_powfrac(y, ginv(n), prec));
2183 : }
2184 0 : pari_err_TYPE("sqrtn",x);
2185 : return NULL;/* LCOV_EXCL_LINE */
2186 : }
2187 :
2188 : /********************************************************************/
2189 : /** **/
2190 : /** EXP(X) - 1 **/
2191 : /** **/
2192 : /********************************************************************/
2193 : /* exp(|x|) - 1, assume x != 0.
2194 : * For efficiency, x should be reduced mod log(2): if so, we have a < 0 */
2195 : GEN
2196 18766706 : exp1r_abs(GEN x)
2197 : {
2198 18766706 : long l = realprec(x), a = expo(x), b = prec2nbits(l), L, i, n, m, B;
2199 : GEN y, p2, X;
2200 : pari_sp av;
2201 : double d;
2202 :
2203 18766489 : if (b + a <= 0) return mpabs(x);
2204 :
2205 18750727 : y = cgetr(l); av = avma;
2206 18749744 : B = b/3 + BITS_IN_LONG + (BITS_IN_LONG*BITS_IN_LONG)/ b;
2207 18749744 : d = a/2.; m = (long)(d + sqrt(d*d + B)); /* >= 0 */
2208 18749744 : if (m < (-a) * 0.1) m = 0; /* not worth it */
2209 : /* Multiplication is quadratic in this range (l is small, otherwise we
2210 : * use logAGM + Newton). Set Y = 2^(-e-a) x, compute truncated series
2211 : * sum_{k <= n} Y^k/k!: this costs roughly
2212 : * m b^2 + sum_{k <= n} (k e + BITS_IN_LONG)^2
2213 : * bit operations with n ~ b/e, |x| < 2^(1+a), |Y| < 2^(1-e) , m = e+a and
2214 : * b bits of accuracy needed, so
2215 : * B := (b / 3 + BITS_IN_LONG + BITS_IN_LONG^2 / b) ~ m(m-a)
2216 : * we want b ~ 3 m (m-a) or m~b+a hence
2217 : * m = min( a/2 + sqrt(a^2/4 + B), b + a )
2218 : * NB: e ~ (b/3)^(1/2) as b -> oo
2219 : *
2220 : * Truncate the sum at k = n (>= 1), the remainder is
2221 : * sum_{k >= n+1} Y^k / k! < Y^(n+1) / (n+1)! (1-Y) < Y^(n+1) / n!
2222 : * We want Y^(n+1) / n! <= Y 2^-b, hence -n log_2 |Y| + log_2 n! >= b
2223 : * log n! ~ (n + 1/2) log(n+1) - (n+1) + log(2Pi)/2,
2224 : * error bounded by 1/6(n+1) <= 1/12. Finally, we want
2225 : * n (-1/log(2) -log_2 |Y| + log_2(n+1)) >= b */
2226 18749744 : d = m-dbllog2(x)-1/M_LN2; /* ~ -log_2 Y - 1/log(2) */
2227 18750771 : while (d <= 0) { d++; m++; } /* d < 0 can occur from expm1 */
2228 18750765 : L = l + nbits2extraprec(m);
2229 18750629 : b += m;
2230 18750629 : n = (long)(b / d); /* > 0 */
2231 18750629 : if (n == 1)
2232 743922 : n = (long)(b / (d + log2((double)n+1))); /* log ~ const in small ranges */
2233 20110109 : while (n*(d+log2((double)n+1)) < b) n++; /* expect few corrections */
2234 :
2235 18750629 : X = rtor(x,L); shiftr_inplace(X, -m); setsigne(X, 1);
2236 18751627 : if (n == 1) p2 = X;
2237 : else
2238 : {
2239 18751627 : long s = 0, l1 = nbits2prec((long)(d + n + 16));
2240 18751516 : GEN unr = real_1(L);
2241 : pari_sp av2;
2242 :
2243 18751007 : p2 = cgetr(L); av2 = avma;
2244 350018968 : for (i=n; i>=2; i--, set_avma(av2))
2245 : { /* compute X^(n-1)/n! + ... + X/2 + 1 */
2246 : GEN p1, p3;
2247 331351296 : setprec(X,l1); p3 = divru(X,i);
2248 331916123 : l1 += nbits2extraprec(dvmdsBIL(s - expo(p3), &s)<<TWOPOTBITS_IN_LONG);
2249 331821545 : if (l1>L) l1=L;
2250 331821545 : setprec(unr,l1); p1 = addrr_sign(unr,1, i == n? p3: mulrr(p3,p2),1);
2251 331152485 : setprec(p2,l1); affrr(p1,p2); /* p2 <- 1 + (X/i)*p2 */
2252 : }
2253 18749352 : setprec(X,L); p2 = mulrr(X,p2);
2254 : }
2255 :
2256 18751845 : B = prec2nbits(L);
2257 201807853 : for (i = 1; i <= m; i++)
2258 : {
2259 183054425 : if (realprec(p2) > L) setprec(p2,L);
2260 183054425 : if (expo(p2) < -B)
2261 0 : shiftr_inplace(p2, 1); /* 2 + p2 ~ 2 and may blow up accuracy */
2262 : else
2263 183054425 : p2 = mulrr(p2, addsr(2,p2));
2264 : }
2265 18753428 : affrr_fixlg(p2,y); return gc_const(av,y);
2266 : }
2267 :
2268 : GEN
2269 24536 : mpexpm1(GEN x)
2270 : {
2271 24536 : const long s = 6;
2272 24536 : long B, l, sx = signe(x);
2273 : GEN y, z;
2274 : pari_sp av;
2275 24536 : if (!sx) return real_0_bit(expo(x));
2276 24529 : l = realprec(x);
2277 24529 : if (l > maxss(EXPNEWTON_LIMIT, BITS_IN_LONG<<s))
2278 : {
2279 6 : long e = expo(x);
2280 6 : if (e < 0) x = rtor(x, l + nbits2extraprec(-e));
2281 6 : return subrs(mpexp(x), 1);
2282 : }
2283 24523 : if (sx > 0) return exp1r_abs(x);
2284 10298 : B = prec2nbits(l);
2285 10298 : if (cmpsr(-B, x) > 0) return real_m1(l);
2286 : /* compute exp(x) * (1 - exp(-x)) */
2287 10291 : av = avma; y = exp1r_abs(x); /* > 0 */
2288 10291 : if (expo(y) >= -B) { z = addsr(1, y); y = divrr(y, z); }
2289 10291 : setsigne(y, -1);
2290 10291 : return gerepileuptoleaf(av, y);
2291 : }
2292 :
2293 : static GEN serexp(GEN x, long prec);
2294 : GEN
2295 26359 : gexpm1(GEN x, long prec)
2296 : {
2297 26359 : switch(typ(x))
2298 : {
2299 4220 : case t_REAL: return mpexpm1(x);
2300 20025 : case t_COMPLEX: return cxexpm1(x,prec);
2301 14 : case t_PADIC: return gsubgs(Qp_exp(x), 1);
2302 2100 : default:
2303 : {
2304 2100 : pari_sp av = avma;
2305 : long ey;
2306 : GEN y;
2307 2100 : if (!(y = toser_i(x))) break;
2308 2079 : ey = valser(y);
2309 2079 : if (ey < 0) pari_err_DOMAIN("expm1","valuation", "<", gen_0, x);
2310 2079 : if (gequal0(y)) return gcopy(y);
2311 2072 : if (ey)
2312 511 : return gerepileupto(av, gsubgs(serexp(y,prec), 1));
2313 : else
2314 : {
2315 1561 : GEN e1 = gexpm1(gel(y,2), prec), e = gaddgs(e1,1);
2316 1561 : y = gmul(e, serexp(serchop0(y),prec));
2317 1561 : gel(y,2) = e1;
2318 1561 : return gerepilecopy(av, y);
2319 : }
2320 : }
2321 : }
2322 21 : return trans_eval("expm1",gexpm1,x,prec);
2323 : }
2324 : /********************************************************************/
2325 : /** **/
2326 : /** EXP(X) **/
2327 : /** **/
2328 : /********************************************************************/
2329 : static GEN
2330 18690131 : mpexp_basecase(GEN x)
2331 : {
2332 18690131 : pari_sp av = avma;
2333 18690131 : long sh, l = realprec(x);
2334 : GEN y, z;
2335 :
2336 18690131 : y = modlog2(x, &sh);
2337 18690028 : if (!y) { set_avma(av); return real2n(sh, l); }
2338 18690028 : z = addsr(1, exp1r_abs(y));
2339 18689163 : if (signe(y) < 0) z = invr(z);
2340 18689415 : if (sh) {
2341 15459283 : shiftr_inplace(z, sh);
2342 15459171 : if (realprec(z) > l) z = rtor(z, l); /* spurious precision increase */
2343 : }
2344 : #ifdef DEBUG
2345 : {
2346 : GEN t = mplog(z), u = divrr(subrr(x, t),x);
2347 : if (signe(u) && expo(u) > 5-prec2nbits(minss(l,realprec(t))))
2348 : pari_err_BUG("exp");
2349 : }
2350 : #endif
2351 18689664 : return gerepileuptoleaf(av, z); /* NOT affrr, precision often increases */
2352 : }
2353 :
2354 : GEN
2355 18836716 : mpexp(GEN x)
2356 : {
2357 18836716 : const long s = 6; /*Initial steps using basecase*/
2358 18836716 : long i, p, l = realprec(x), sh;
2359 : GEN a, t, z;
2360 : ulong mask;
2361 :
2362 18836716 : if (l <= maxss(EXPNEWTON_LIMIT, (BITS_IN_LONG<<s) + 2))
2363 : {
2364 18836844 : if (!signe(x)) return mpexp0(x);
2365 18690095 : return mpexp_basecase(x);
2366 : }
2367 11 : z = cgetr(l); /* room for result */
2368 13 : x = modlog2(x, &sh);
2369 13 : if (!x) { set_avma((pari_sp)(z+lg(z))); return real2n(sh, l); }
2370 13 : constpi(l); /* precompute for later logr_abs() */
2371 13 : mask = quadratic_prec_mask(prec2nbits(l)+BITS_IN_LONG);
2372 168 : for(i=0, p=1; i<s+TWOPOTBITS_IN_LONG; i++) { p <<= 1; if (mask & 1) p-=1; mask >>= 1; }
2373 13 : a = mpexp_basecase(rtor(x, nbits2prec(p)));
2374 13 : x = addrs(x,1);
2375 13 : if (realprec(x) < l+EXTRAPREC64) x = rtor(x, l+EXTRAPREC64);
2376 13 : a = rtor(a, l+EXTRAPREC64); /*append 0s */
2377 13 : t = NULL;
2378 : for(;;)
2379 : {
2380 14 : p <<= 1; if (mask & 1) p--;
2381 14 : mask >>= 1;
2382 14 : setprec(x, nbits2prec(p));
2383 14 : setprec(a, nbits2prec(p));
2384 14 : t = mulrr(a, subrr(x, logr_abs(a))); /* a (x - log(a)) */
2385 14 : if (mask == 1) break;
2386 1 : affrr(t, a); set_avma((pari_sp)a);
2387 : }
2388 13 : affrr(t,z);
2389 13 : if (sh) shiftr_inplace(z, sh);
2390 13 : return gc_const((pari_sp)z, z);
2391 : }
2392 :
2393 : /* x != 0; k = ceil(tn / (te-1)), t = p-1 */
2394 : long
2395 98 : Qp_exp_prec(GEN x)
2396 : {
2397 98 : long e = valp(x), n = precp(x);
2398 : ulong a, b, q, r, p, t;
2399 :
2400 98 : if (e < 1) return -1;
2401 77 : if (e > n) return 1;
2402 77 : p = itos_or_0(gel(x,2));
2403 77 : if (!p) return n / e + 1;
2404 77 : if (p == 2) return e < 2? -1: ceildivuu(n, e - 1);
2405 : /* n >= e > 0, n = qe + r */
2406 : /* tn = q (te-1) + rt + q = (q+1)(te-1) - t(e-r) + q + 1 */
2407 63 : t = p - 1;
2408 63 : if (e == 1) return n + ceildivuu(n, t - 1);
2409 0 : q = n / e;
2410 0 : r = n % e; /* k = q + 1 if rt + q < te */
2411 0 : a = umuluu_or_0(e - r, t); if (!a || a > q) return q + 1;
2412 0 : b = umuluu_or_0(e, t); if (!b) return q + 2;
2413 0 : return q + 1 + ceildivuu(q + 1 - a, b - 1);
2414 : }
2415 :
2416 : static GEN
2417 109288 : Qp_exp_safe(GEN x)
2418 : {
2419 109288 : pari_sp av = avma;
2420 109288 : GEN p = gel(x,2), a = gel(x,4), z;
2421 109288 : long d = precp(x), v = valp(x), e = d+v;
2422 109288 : if (gequal0(x)) return gaddgs(x,1);
2423 107713 : if (v < (equaliu(p,2)? 2:1)) return NULL;
2424 107706 : z = Zp_exp(mulii(a,powiu(p,v)), p, e);
2425 107706 : return gerepileupto(av, Z_to_padic(z, p, e));
2426 : }
2427 :
2428 : GEN
2429 108826 : Qp_exp(GEN x)
2430 : {
2431 108826 : GEN y = Qp_exp_safe(x);
2432 108828 : if (!y) pari_err_DOMAIN("gexp(t_PADIC)","argument","",gen_0,x);
2433 108821 : return y;
2434 : }
2435 :
2436 : static GEN
2437 49 : cos_p(GEN x)
2438 : {
2439 : long k;
2440 : pari_sp av;
2441 : GEN x2, y;
2442 :
2443 49 : if (gequal0(x)) return gaddgs(x,1);
2444 28 : k = Qp_exp_prec(x);
2445 28 : if (k < 0) return NULL;
2446 21 : av = avma; x2 = gsqr(x);
2447 21 : if (k & 1) k--;
2448 105 : for (y=gen_1; k; k-=2)
2449 : {
2450 84 : GEN t = gdiv(gmul(y,x2), muluu(k, k-1));
2451 84 : y = gsubsg(1, t);
2452 : }
2453 21 : return gerepileupto(av, y);
2454 : }
2455 : static GEN
2456 63 : sin_p(GEN x)
2457 : {
2458 : long k;
2459 : pari_sp av;
2460 : GEN x2, y;
2461 :
2462 63 : if (gequal0(x)) return gcopy(x);
2463 42 : k = Qp_exp_prec(x);
2464 42 : if (k < 0) return NULL;
2465 28 : av = avma; x2 = gsqr(x);
2466 28 : if (k & 1) k--;
2467 133 : for (y=gen_1; k; k-=2)
2468 : {
2469 105 : GEN t = gdiv(gmul(y,x2), muluu(k, k+1));
2470 105 : y = gsubsg(1, t);
2471 : }
2472 28 : return gerepileupto(av, gmul(y, x));
2473 : }
2474 :
2475 : static GEN
2476 4625134 : cxexp(GEN x, long prec)
2477 : {
2478 4625134 : GEN r, p1, p2, y = cgetg(3,t_COMPLEX);
2479 4625042 : pari_sp av = avma, tetpil;
2480 : long l;
2481 4625042 : l = precision(x); if (l > prec) prec = l;
2482 4625129 : if (gequal0(gel(x,1)))
2483 : {
2484 347688 : gsincos(gel(x,2),&gel(y,2),&gel(y,1),prec);
2485 347706 : return y;
2486 : }
2487 4277446 : r = gexp(gel(x,1),prec);
2488 4277567 : gsincos(gel(x,2),&p2,&p1,prec);
2489 4277799 : tetpil = avma;
2490 4277799 : gel(y,1) = gmul(r,p1);
2491 4277737 : gel(y,2) = gmul(r,p2);
2492 4277779 : gerepilecoeffssp(av,tetpil,y+1,2);
2493 4277825 : return y;
2494 : }
2495 :
2496 : /* given a t_SER x^v s(x), with s(0) != 0, return x^v(s - s(0)), shallow */
2497 : GEN
2498 37562 : serchop0(GEN s)
2499 : {
2500 37562 : long i, l = lg(s);
2501 : GEN y;
2502 37562 : if (l == 2) return s;
2503 37562 : if (l == 3 && isexactzero(gel(s,2))) return s;
2504 37562 : y = cgetg(l, t_SER); y[1] = s[1];
2505 164976 : gel(y,2) = gen_0; for (i=3; i <l; i++) gel(y,i) = gel(s,i);
2506 37562 : return normalizeser(y);
2507 : }
2508 :
2509 : GEN
2510 42 : serchop_i(GEN s, long n)
2511 : {
2512 42 : long i, m, l = lg(s);
2513 : GEN y;
2514 42 : if (l == 2 || (l == 3 && isexactzero(gel(s,2))))
2515 : {
2516 14 : if (valser(s) < n) { s = shallowcopy(s); setvalser(s,n); }
2517 14 : return s;
2518 : }
2519 28 : m = n - valser(s); if (m < 0) return s;
2520 21 : if (l-m <= 2) return zeroser(varn(s), n);
2521 14 : y = cgetg(l-m, t_SER); y[1] = s[1]; setvalser(y, valser(y)+m);
2522 42 : for (i=m+2; i < l; i++) gel(y,i-m) = gel(s,i);
2523 14 : return normalizeser(y);
2524 : }
2525 : GEN
2526 42 : serchop(GEN s, long n)
2527 : {
2528 42 : pari_sp av = avma;
2529 42 : if (typ(s) != t_SER) pari_err_TYPE("serchop",s);
2530 42 : return gerepilecopy(av, serchop_i(s,n));
2531 : }
2532 :
2533 : static GEN
2534 83377 : serexp(GEN x, long prec)
2535 : {
2536 83377 : long i, j, lx, ly, mi, e = valser(x);
2537 : GEN y, xd, yd;
2538 : pari_sp av;
2539 :
2540 83377 : if (e < 0) pari_err_DOMAIN("exp","valuation", "<", gen_0, x);
2541 83370 : if (gequal0(x)) return gaddsg(1,x);
2542 70483 : lx = lg(x);
2543 70483 : if (e)
2544 : {
2545 : GEN X;
2546 55699 : ly = lx+e; y = cgetg(ly,t_SER);
2547 566888 : mi = lx-1; while (mi>=3 && isrationalzero(gel(x,mi))) mi--;
2548 55699 : mi += e-2;
2549 55699 : y[1] = evalsigne(1) | _evalvalser(0) | evalvarn(varn(x));
2550 : /* zd[i] = coefficient of X^i in z */
2551 55699 : xd = x+2-e; yd = y+2; ly -= 2;
2552 55699 : X = gel(xd,e); if (e != 1) X = gmulgu(X, e); /* left on stack */
2553 55699 : X = isint1(X)? NULL: X;
2554 55699 : gel(yd,0) = gen_1;
2555 56070 : for (i = 1; i < e; i++) gel(yd,i) = gen_0;
2556 664615 : for ( ; i < ly; i++)
2557 : {
2558 608916 : GEN t = gel(yd,i-e);
2559 608916 : long J = minss(i, mi);
2560 608916 : av = avma; if (X) t = gmul(t, X);
2561 2578765 : for (j = e + 1; j <= J; j++)
2562 1969849 : t = gadd(t, gmulgu(gmul(gel(xd,j),gel(yd,i-j)), j));
2563 608916 : gel(yd,i) = gerepileupto(av, gdivgu(t, i));
2564 : }
2565 55699 : return y;
2566 : }
2567 14784 : av = avma;
2568 14784 : return gerepileupto(av, gmul(gexp(gel(x,2),prec), serexp(serchop0(x),prec)));
2569 : }
2570 :
2571 : static GEN
2572 1468577 : expQ(GEN x, long prec)
2573 : {
2574 1468577 : GEN p, q, z, z0 = NULL;
2575 : pari_sp av;
2576 1468577 : long n, nmax, s, e, b = prec2nbits(prec);
2577 : double ex;
2578 : struct abpq_res R;
2579 : struct abpq S;
2580 :
2581 1468577 : if (typ(x) == t_INT)
2582 : {
2583 24687 : if (!signe(x)) return real_1(prec);
2584 24616 : p = x; q = gen_1;
2585 24616 : e = expi(p);
2586 24616 : if (e > b) return mpexp(itor(x, prec));
2587 : }
2588 : else
2589 : {
2590 1443890 : long ep, eq, B = usqrt(b) / 2;
2591 1443890 : p = gel(x,1); ep = expi(p);
2592 1443890 : q = gel(x,2); eq = expi(q);
2593 1443890 : if (ep > B || eq > B) return mpexp(fractor(x, prec));
2594 14637 : e = ep - eq;
2595 14637 : if (e < -3) prec += nbits2extraprec(-e); /* see addrr 'extend' rule */
2596 : }
2597 39253 : if (e > 2) { z0 = cgetr(prec); prec += EXTRAPREC64; b += BITS_IN_LONG; }
2598 39253 : z = cgetr(prec); av = avma;
2599 39253 : if (e > 0)
2600 : { /* simplify x/2^e = p / (q * 2^e) */
2601 2478 : long v = minss(e, vali(p));
2602 2478 : if (v) p = shifti(p, -v);
2603 2478 : if (e - v) q = shifti(q, e - v);
2604 : }
2605 39253 : s = signe(p);
2606 39253 : if (s < 0) p = negi(p);
2607 39252 : ex = exp2(dbllog2(x) - e) * 2.718281828; /* exp(1) * x / 2^e, x / 2^e < 2 */
2608 39252 : nmax = (long)(1 + exp(dbllambertW0(M_LN2 * b / ex)) * ex);
2609 39255 : abpq_init(&S, nmax);
2610 39280 : S.a[0] = S.b[0] = S.p[0] = S.q[0] = gen_1;
2611 3370288 : for (n = 1; n <= nmax; n++)
2612 : {
2613 3331031 : S.a[n] = gen_1;
2614 3331031 : S.b[n] = gen_1;
2615 3331031 : S.p[n] = p;
2616 3331031 : S.q[n] = muliu(q, n);
2617 : }
2618 39257 : abpq_sum(&R, 0, nmax, &S);
2619 39261 : if (s > 0) rdiviiz(R.T, R.Q, z); else rdiviiz(R.Q, R.T, z);
2620 39258 : if (e > 0)
2621 : {
2622 17136 : q = z; while (e--) q = sqrr(q);
2623 2478 : if (z0) { affrr(q, z0); z = z0; } else affrr(q,z);
2624 : }
2625 39258 : return gc_const(av,z);
2626 : }
2627 :
2628 : GEN
2629 18454280 : gexp(GEN x, long prec)
2630 : {
2631 18454280 : switch(typ(x))
2632 : {
2633 1468577 : case t_INT: case t_FRAC: return expQ(x, prec);
2634 11010524 : case t_REAL: return mpexp(x);
2635 4625090 : case t_COMPLEX: return cxexp(x,prec);
2636 70 : case t_PADIC: return Qp_exp(x);
2637 1350019 : default:
2638 : {
2639 1350019 : pari_sp av = avma;
2640 : GEN y;
2641 1350019 : if (!(y = toser_i(x))) break;
2642 66521 : return gerepileupto(av, serexp(y,prec));
2643 : }
2644 : }
2645 1284124 : return trans_eval("exp",gexp,x,prec);
2646 : }
2647 :
2648 : /********************************************************************/
2649 : /** **/
2650 : /** AGM(X, Y) **/
2651 : /** **/
2652 : /********************************************************************/
2653 : static int
2654 15783959 : agmr_gap(GEN a, GEN b, long L)
2655 : {
2656 15783959 : GEN d = subrr(b, a);
2657 15783903 : return (signe(d) && expo(d) - expo(b) >= L);
2658 : }
2659 : /* assume x > 0 */
2660 : static GEN
2661 1069848 : agm1r_abs(GEN x)
2662 : {
2663 1069848 : long l = realprec(x), L = 5-prec2nbits(l);
2664 1069847 : GEN a1, b1, y = cgetr(l);
2665 1069847 : pari_sp av = avma;
2666 :
2667 1069847 : a1 = addrr(real_1(l), x); shiftr_inplace(a1, -1);
2668 1069850 : b1 = sqrtr_abs(x);
2669 15783989 : while (agmr_gap(a1,b1,L))
2670 : {
2671 14714088 : GEN a = a1;
2672 14714088 : a1 = addrr(a,b1); shiftr_inplace(a1, -1);
2673 14714171 : b1 = sqrtr_abs(mulrr(a,b1));
2674 : }
2675 1069814 : affrr_fixlg(a1,y); return gc_const(av,y);
2676 : }
2677 :
2678 : struct agmcx_gap_t { long L, ex, cnt; };
2679 :
2680 : static void
2681 365851 : agmcx_init(GEN x, long *prec, struct agmcx_gap_t *S)
2682 : {
2683 365851 : long l = precision(x);
2684 365851 : if (l) *prec = l;
2685 365851 : S->L = 1-prec2nbits(*prec);
2686 365851 : S->cnt = 0;
2687 365851 : S->ex = LONG_MAX;
2688 365851 : }
2689 :
2690 : static long
2691 365851 : agmcx_a_b(GEN x, GEN *a1, GEN *b1, long prec)
2692 : {
2693 365851 : long rotate = 0;
2694 365851 : if (gsigne(real_i(x))<0)
2695 : { /* Rotate by +/-Pi/2, so that the choice of the principal square
2696 : * root gives the optimal AGM. So a1 = +/-I*a1, b1=sqrt(-x). */
2697 11655 : if (gsigne(imag_i(x))<0) { *a1=mulcxI(*a1); rotate=-1; }
2698 11137 : else { *a1=mulcxmI(*a1); rotate=1; }
2699 11655 : x = gneg(x);
2700 : }
2701 365851 : *b1 = gsqrt(x, prec);
2702 365851 : return rotate;
2703 : }
2704 : /* return 0 if we must stop the AGM loop (a=b or a ~ b), 1 otherwise */
2705 : static int
2706 5539414 : agmcx_gap(GEN a, GEN b, struct agmcx_gap_t *S)
2707 : {
2708 5539414 : GEN d = gsub(b, a);
2709 5539414 : long ex = S->ex;
2710 5539414 : S->ex = gexpo(d);
2711 5539414 : if (gequal0(d) || S->ex - gexpo(b) < S->L) return 0;
2712 : /* if (S->ex >= ex) we're no longer making progress; twice in a row */
2713 5277748 : if (S->ex < ex) S->cnt = 0;
2714 : else
2715 208900 : if (S->cnt++) return 0;
2716 5173563 : return 1;
2717 : }
2718 : static GEN
2719 337102 : agm1cx(GEN x, long prec)
2720 : {
2721 : struct agmcx_gap_t S;
2722 : GEN a1, b1;
2723 337102 : pari_sp av = avma;
2724 : long rotate;
2725 337102 : agmcx_init(x, &prec, &S);
2726 337102 : a1 = gtofp(gmul2n(gadd(real_1(prec), x), -1), prec);
2727 337102 : rotate = agmcx_a_b(x, &a1, &b1, prec);
2728 5357399 : while (agmcx_gap(a1,b1,&S))
2729 : {
2730 5020297 : GEN a = a1;
2731 5020297 : a1 = gmul2n(gadd(a,b1),-1);
2732 5020297 : b1 = gsqrt(gmul(a,b1), prec);
2733 : }
2734 337102 : if (rotate) a1 = rotate>0 ? mulcxI(a1):mulcxmI(a1);
2735 337102 : return gerepilecopy(av,a1);
2736 : }
2737 :
2738 : GEN
2739 28749 : zellagmcx(GEN a0, GEN b0, GEN r, GEN t, long prec)
2740 : {
2741 : struct agmcx_gap_t S;
2742 28749 : pari_sp av = avma;
2743 28749 : GEN x = gdiv(a0, b0), a1, b1;
2744 : long rotate;
2745 28749 : agmcx_init(x, &prec, &S);
2746 28749 : a1 = gtofp(gmul2n(gadd(real_1(prec), x), -1), prec);
2747 28749 : r = gsqrt(gdiv(gmul(a1,gaddgs(r, 1)),gadd(r, x)), prec);
2748 28749 : t = gmul(r, t);
2749 28749 : rotate = agmcx_a_b(x, &a1, &b1, prec);
2750 182015 : while (agmcx_gap(a1,b1,&S))
2751 : {
2752 153266 : GEN a = a1, b = b1;
2753 153266 : a1 = gmul2n(gadd(a,b),-1);
2754 153266 : b1 = gsqrt(gmul(a,b), prec);
2755 153266 : r = gsqrt(gdiv(gmul(a1,gaddgs(r, 1)),gadd(gmul(b, r), a )), prec);
2756 153266 : t = gmul(r, t);
2757 : }
2758 28749 : if (rotate) a1 = rotate>0 ? mulcxI(a1):mulcxmI(a1);
2759 28749 : a1 = gmul(a1, b0);
2760 28749 : t = gatan(gdiv(a1,t), prec);
2761 : /* send t to the fundamental domain if necessary */
2762 28749 : if (gsigne(real_i(t))<0) t = gadd(t, mppi(prec));
2763 28749 : return gerepileupto(av,gdiv(t,a1));
2764 : }
2765 :
2766 : static long
2767 49 : ser_cmp_expo(GEN A, GEN B)
2768 : {
2769 49 : long e = -(long)HIGHEXPOBIT, d = valser(B) - valser(A);
2770 49 : long i, la = lg(A), v = varn(B);
2771 9849 : for (i = 2; i < la; i++)
2772 : {
2773 9800 : GEN a = gel(A,i), b;
2774 : long ei;
2775 9800 : if (isexactzero(a)) continue;
2776 9800 : b = polcoef_i(B, i-2 + d, v);
2777 9800 : ei = gexpo(a);
2778 9800 : if (!isexactzero(b)) ei -= gexpo(b);
2779 9800 : e = maxss(e, ei);
2780 : }
2781 49 : return e;
2782 : }
2783 :
2784 : static GEN
2785 21 : ser_agm1(GEN y, long prec)
2786 : {
2787 21 : GEN a1 = y, b1 = gen_1;
2788 21 : long l = lg(y)-2, l2 = 6-prec2nbits(prec), eold = LONG_MAX;
2789 : for(;;)
2790 84 : {
2791 105 : GEN a = a1, p1;
2792 105 : a1 = gmul2n(gadd(a,b1),-1);
2793 105 : b1 = gsqrt(gmul(a,b1), prec);
2794 105 : p1 = gsub(b1,a1);
2795 105 : if (isinexactreal(p1))
2796 : {
2797 49 : long e = ser_cmp_expo(p1, b1);
2798 49 : if (e < l2 || e >= eold) break;
2799 42 : eold = e;
2800 : }
2801 56 : else if (valser(p1)-valser(b1) >= l || gequal0(p1)) break;
2802 : }
2803 21 : return a1;
2804 : }
2805 :
2806 : /* agm(1,x) */
2807 : static GEN
2808 111846 : agm1(GEN x, long prec)
2809 : {
2810 : GEN y;
2811 : pari_sp av;
2812 :
2813 111846 : if (gequal0(x)) return gcopy(x);
2814 111846 : switch(typ(x))
2815 : {
2816 28 : case t_INT:
2817 28 : if (!is_pm1(x)) break;
2818 21 : return (signe(x) > 0)? real_1(prec): real_0(prec);
2819 :
2820 74522 : case t_REAL: return signe(x) > 0? agm1r_abs(x): agm1cx(x, prec);
2821 :
2822 37156 : case t_COMPLEX:
2823 37156 : if (gequal0(gel(x,2))) return agm1(gel(x,1), prec);
2824 37121 : return agm1cx(x, prec);
2825 :
2826 14 : case t_PADIC:
2827 : {
2828 14 : GEN a1 = x, b1 = gen_1;
2829 14 : long l = precp(x);
2830 14 : av = avma;
2831 : for(;;)
2832 14 : {
2833 28 : GEN a = a1, p1;
2834 : long ep;
2835 28 : a1 = gmul2n(gadd(a,b1),-1);
2836 28 : a = gmul(a,b1);
2837 28 : b1 = Qp_sqrt(a); if (!b1) pari_err_SQRTN("Qp_sqrt",a);
2838 21 : p1 = gsub(b1,a1); ep = valp(p1)-valp(b1);
2839 21 : if (ep<=0) { b1 = gneg_i(b1); p1 = gsub(b1,a1); ep=valp(p1)-valp(b1); }
2840 21 : if (ep >= l || gequal0(p1)) return gerepilecopy(av,a1);
2841 : }
2842 : }
2843 :
2844 126 : default:
2845 126 : av = avma; if (!(y = toser_i(x))) break;
2846 21 : return gerepilecopy(av, ser_agm1(y, prec));
2847 : }
2848 112 : return trans_eval("agm",agm1,x,prec);
2849 : }
2850 :
2851 : GEN
2852 111664 : agm(GEN x, GEN y, long prec)
2853 : {
2854 : pari_sp av;
2855 111664 : if (is_matvec_t(typ(y)))
2856 : {
2857 14 : if (is_matvec_t(typ(x))) pari_err_TYPE2("agm",x,y);
2858 7 : swap(x, y);
2859 : }
2860 111657 : if (gequal0(y)) return gcopy(y);
2861 111657 : av = avma;
2862 111657 : return gerepileupto(av, gmul(y, agm1(gdiv(x,y), prec)));
2863 : }
2864 :
2865 : /* b2 != 0 */
2866 : static GEN
2867 35 : ellK_i(GEN b2, long prec)
2868 35 : { return gdiv(Pi2n(-1, prec), agm1(gsqrt(b2, prec), prec)); }
2869 : GEN
2870 28 : ellK(GEN k, long prec)
2871 : {
2872 28 : pari_sp av = avma;
2873 28 : GEN k2 = gsqr(k), b2 = gsubsg(1, k2);
2874 28 : if (gequal0(b2)) pari_err_DOMAIN("ellK", "k^2", "=", gen_1, k2);
2875 21 : return gerepileupto(av, ellK_i(b2, prec));
2876 : }
2877 :
2878 : static int
2879 84 : magm_gap(GEN a, GEN b, long L)
2880 : {
2881 84 : GEN d = gsub(b, a);
2882 84 : return !gequal0(d) && gexpo(d) - gexpo(b) >= L;
2883 : }
2884 :
2885 : /* http://www.ams.org/notices/201208/rtx120801094p.pdf
2886 : * An Eloquent Formula for the Perimeter of an Ellipse
2887 : * Semjon Adlaj, Notices of the AMS */
2888 : static GEN
2889 14 : magm(GEN a, GEN b, long prec)
2890 : {
2891 14 : long L = -prec2nbits(prec) + 16;
2892 14 : GEN c = gen_0;
2893 84 : while (magm_gap(a, b, L))
2894 : {
2895 70 : GEN u = gsqrt(gmul(gsub(a, c), gsub(b, c)), prec);
2896 70 : a = gmul2n(gadd(a, b), -1);
2897 70 : b = gadd(c, u); c = gsub(c, u);
2898 : }
2899 14 : return gmul2n(gadd(a, b), -1);
2900 : }
2901 :
2902 : GEN
2903 21 : ellE(GEN k, long prec)
2904 : {
2905 21 : pari_sp av = avma;
2906 21 : GEN b2 = gsubsg(1, gsqr(k));
2907 21 : if (gequal0(b2)) { set_avma(av); return real_1(prec); }
2908 14 : return gerepileupto(av, gmul(ellK_i(b2, prec), magm(gen_1, b2, prec)));
2909 : }
2910 :
2911 : /********************************************************************/
2912 : /** **/
2913 : /** LOG(X) **/
2914 : /** **/
2915 : /********************************************************************/
2916 : /* log(2) = 18*atanh(1/26)-2*atanh(1/4801)+8*atanh(1/8749)
2917 : * faster than 10*atanh(1/17)+4*atanh(13/499) for all precisions,
2918 : * and than Pi/2M(1,4/2^n) ~ n log(2) for bitprec at least up to 10^8 */
2919 : static GEN
2920 42019 : log2_split(long prec)
2921 : {
2922 42019 : GEN u = atanhuu(1, 26, prec);
2923 42021 : GEN v = atanhuu(1, 4801, prec);
2924 42017 : GEN w = atanhuu(1, 8749, prec);
2925 42014 : shiftr_inplace(v, 1); setsigne(v, -1);
2926 42017 : shiftr_inplace(w, 3);
2927 42013 : return addrr(mulur(18, u), addrr(v, w));
2928 : }
2929 : GEN
2930 28696074 : constlog2(long prec)
2931 : {
2932 : pari_sp av;
2933 : GEN tmp;
2934 28696074 : if (glog2 && realprec(glog2) >= prec) return glog2;
2935 :
2936 41916 : tmp = cgetr_block(prec);
2937 42018 : av = avma;
2938 42018 : affrr(log2_split(prec+EXTRAPREC64), tmp);
2939 42009 : swap_clone(&glog2,tmp);
2940 42025 : return gc_const(av,glog2);
2941 : }
2942 :
2943 : GEN
2944 28696077 : mplog2(long prec) { return rtor(constlog2(prec), prec); }
2945 :
2946 : /* dont check that q != 2^expo(q), done in logr_abs */
2947 : static GEN
2948 995367 : logagmr_abs(GEN q)
2949 : {
2950 995367 : long prec = realprec(q), e = expo(q), lim;
2951 995367 : GEN z = cgetr(prec), y, Q, _4ovQ;
2952 995364 : pari_sp av = avma;
2953 :
2954 995364 : incrprec(prec);
2955 995364 : lim = prec2nbits(prec) >> 1;
2956 995364 : Q = rtor(q,prec);
2957 995370 : shiftr_inplace(Q,lim-e); setsigne(Q,1);
2958 :
2959 995369 : _4ovQ = invr(Q); shiftr_inplace(_4ovQ, 2); /* 4/Q */
2960 : /* Pi / 2agm(1, 4/Q) ~ log(Q), q = Q * 2^(e-lim) */
2961 995368 : y = divrr(Pi2n(-1, prec), agm1r_abs(_4ovQ));
2962 995370 : y = addrr(y, mulsr(e - lim, mplog2(prec)));
2963 995371 : affrr_fixlg(y, z); return gc_const(av,z);
2964 : }
2965 :
2966 : /* sum_{k >= 0} y^(2k+1) / (2k+1), y close to 0 */
2967 : static GEN
2968 11872347 : logr_aux(GEN y)
2969 : {
2970 11872347 : long k, L = realprec(y); /* should be ~ l+1 - (k-2) */
2971 : /* log(x) = log(1+y) - log(1-y) = 2 sum_{k odd} y^k / k
2972 : * Truncate the sum at k = 2n+1, the remainder is
2973 : * 2 sum_{k >= 2n+3} y^k / k < 2y^(2n+3) / (2n+3)(1-y) < y^(2n+3)
2974 : * We want y^(2n+3) < y 2^(-prec2nbits(L)), hence
2975 : * n+1 > -prec2nbits(L) /-log_2(y^2) */
2976 11872347 : double d = -2*dbllog2r(y); /* ~ -log_2(y^2) */
2977 11872284 : k = (long)(2*(prec2nbits(L) / d));
2978 11872221 : k |= 1;
2979 11872221 : if (k >= 3)
2980 : {
2981 11840049 : GEN T, S = cgetr(L), y2 = sqrr(y), unr = real_1(L);
2982 11840334 : pari_sp av = avma;
2983 11840334 : long s = 0, incs = (long)d, l1 = nbits2prec((long)d);
2984 11840353 : setprec(S, l1);
2985 11840332 : setprec(unr,l1); affrr(divru(unr,k), S);
2986 213348544 : for (k -= 2;; k -= 2) /* k = 2n+1, ..., 1 */
2987 : { /* S = y^(2n+1-k)/(2n+1) + ... + 1 / k */
2988 213348544 : setprec(y2, l1); T = mulrr(S,y2);
2989 213473933 : if (k == 1) break;
2990 :
2991 201633546 : l1 += nbits2extraprec(dvmdsBIL(s + incs, &s)<<TWOPOTBITS_IN_LONG);
2992 201622292 : if (l1>L) l1=L;
2993 201622292 : setprec(S, l1);
2994 201612882 : setprec(unr,l1);
2995 201588857 : affrr(addrr(divru(unr, k), T), S); set_avma(av);
2996 : }
2997 : /* k = 1 special-cased for eficiency */
2998 11840387 : y = mulrr(y, addsr(1,T)); /* = log(X)/2 */
2999 : }
3000 11872563 : return y;
3001 : }
3002 : /*return log(|x|), assuming x != 0 */
3003 : GEN
3004 13688063 : logr_abs(GEN X)
3005 : {
3006 13688063 : long EX, L, m, k, a, b, l = lg(X), p = realprec(X);
3007 : GEN z, x, y;
3008 : ulong u;
3009 : double d;
3010 :
3011 : /* Assuming 1 < x < 2, we want delta = x-1, 1-x/2, 1-1/x, or 2/x-1 small.
3012 : * We have 2/x-1 > 1-x/2, 1-1/x < x-1. So one should be choosing between
3013 : * 1-1/x and 1-x/2 ( crossover sqrt(2), worse ~ 0.29 ). To avoid an inverse,
3014 : * we choose between x-1 and 1-x/2 ( crossover 4/3, worse ~ 0.33 ) */
3015 13688063 : EX = expo(X);
3016 13688063 : u = uel(X,2);
3017 13688063 : k = 2;
3018 13688063 : if (u > (~0UL / 3) * 2) { /* choose 1-x/2 */
3019 7743390 : EX++; u = ~u;
3020 7856552 : while (!u && ++k < l) { u = uel(X,k); u = ~u; }
3021 : } else { /* choose x - 1 */
3022 5944673 : u &= ~HIGHBIT; /* u - HIGHBIT, assuming HIGHBIT set */
3023 7309057 : while (!u && ++k < l) u = uel(X,k);
3024 : }
3025 13688063 : if (k == l) return EX? mulsr(EX, mplog2(p)): real_0(p);
3026 12867791 : a = bit_accuracy(k) + bfffo(u); /* ~ -log2 |1-x| */
3027 12867866 : L = p+EXTRAPRECWORD;
3028 12867866 : b = prec2nbits(L - (bit_accuracy(k))); /* take loss of accuracy into account */
3029 12867868 : if (b > 24*a*log2(prec2lg(L)) && p > LOGAGM_LIMIT) return logagmr_abs(X);
3030 :
3031 11872554 : z = cgetr(EX? p: p - bit_accuracy(k));
3032 :
3033 : /* Multiplication is quadratic in this range (l is small, otherwise we
3034 : * use AGM). Set Y = x^(1/2^m), y = (Y - 1) / (Y + 1) and compute truncated
3035 : * series sum y^(2k+1)/(2k+1): the costs is less than
3036 : * m b^2 + sum_{k <= n} ((2k+1) e + BITS_IN_LONG)^2
3037 : * bit operations with |x-1| < 2^(1-a), |Y| < 2^(1-e) , m = e-a and b bits of
3038 : * accuracy needed (+ BITS_IN_LONG since bit accuracies increase by
3039 : * increments of BITS_IN_LONG), so
3040 : * 4n^3/3 e^2 + n^2 2e BITS_IN_LONG+ n BITS_IN_LONG ~ m b^2, with n ~ b/2e
3041 : * or b/6e + BITS_IN_LONG/2e + BITS_IN_LONG/2be ~ m
3042 : * B := (b / 6 + BITS_IN_LONG/2 + BITS_IN_LONG^2 / 2b) ~ m(m+a)
3043 : * m = min( -a/2 + sqrt(a^2/4 + B), b - a )
3044 : * NB: e ~ (b/6)^(1/2) as b -> oo
3045 : * Instead of the above pessimistic estimate for the cost of the sum, use
3046 : * optimistic estimate (BITS_IN_LONG -> 0) */
3047 11872523 : d = -a/2.; m = (long)(d + sqrt(d*d + b/6)); /* >= 0 */
3048 :
3049 11872523 : if (m > b-a) m = b-a;
3050 11872523 : if (m < 0.2*a) m = 0; else L += nbits2extraprec(m);
3051 11872510 : x = rtor(X,L);
3052 11872505 : setsigne(x,1); shiftr_inplace(x,-EX);
3053 : /* 2/3 < x < 4/3 */
3054 69963970 : for (k=1; k<=m; k++) x = sqrtr_abs(x);
3055 :
3056 11872426 : y = divrr(subrs(x,1), addrs(x,1)); /* = (x-1) / (x+1), close to 0 */
3057 11872318 : y = logr_aux(y); /* log(1+y) - log(1-y) = log(x) */
3058 11872505 : shiftr_inplace(y, m + 1);
3059 11872441 : if (EX) y = addrr(y, mulsr(EX, mplog2(p+EXTRAPRECWORD)));
3060 11872150 : affrr_fixlg(y, z); return gc_const((pari_sp)z, z);
3061 : }
3062 :
3063 : /* assume Im(q) != 0 and precision(q) >= prec. Compute log(q) with accuracy
3064 : * prec [disregard input accuracy] */
3065 : GEN
3066 299939 : logagmcx(GEN q, long prec)
3067 : {
3068 299939 : GEN z = cgetc(prec), y, Q, a, b;
3069 : long lim, e, ea, eb;
3070 299939 : pari_sp av = avma;
3071 299939 : int neg = 0;
3072 :
3073 299939 : incrprec(prec);
3074 299939 : if (gsigne(gel(q,1)) < 0) { q = gneg(q); neg = 1; }
3075 299939 : lim = prec2nbits(prec) >> 1;
3076 299939 : Q = gtofp(q, prec);
3077 299939 : a = gel(Q,1);
3078 299939 : b = gel(Q,2);
3079 299939 : if (gequal0(a)) {
3080 0 : affrr_fixlg(logr_abs(b), gel(z,1));
3081 0 : y = Pi2n(-1, prec);
3082 0 : if (signe(b) < 0) setsigne(y, -1);
3083 0 : affrr_fixlg(y, gel(z,2)); return gc_const(av,z);
3084 : }
3085 299939 : ea = expo(a);
3086 299939 : eb = expo(b);
3087 299939 : e = ea <= eb ? lim - eb : lim - ea;
3088 299939 : shiftr_inplace(a, e);
3089 299939 : shiftr_inplace(b, e);
3090 :
3091 : /* Pi / 2agm(1, 4/Q) ~ log(Q), q = Q * 2^e */
3092 299939 : y = gdiv(Pi2n(-1, prec), agm1cx( gdivsg(4, Q), prec ));
3093 299939 : a = gel(y,1);
3094 299939 : b = gel(y,2);
3095 299939 : a = addrr(a, mulsr(-e, mplog2(prec)));
3096 299939 : if (realprec(a) <= LOWDEFAULTPREC) a = real_0_bit(expo(a));
3097 418458 : if (neg) b = gsigne(b) <= 0? gadd(b, mppi(prec))
3098 118519 : : gsub(b, mppi(prec));
3099 299939 : affrr_fixlg(a, gel(z,1));
3100 299939 : affrr_fixlg(b, gel(z,2)); return gc_const(av,z);
3101 : }
3102 :
3103 : GEN
3104 203741 : mplog(GEN x)
3105 : {
3106 203741 : if (signe(x)<=0) pari_err_DOMAIN("mplog", "argument", "<=", gen_0, x);
3107 203741 : return logr_abs(x);
3108 : }
3109 :
3110 : /* pe = p^e, p prime, 0 < x < pe a t_INT coprime to p. Return the (p-1)-th
3111 : * root of 1 in (Z/pe)^* congruent to x mod p, resp x mod 4 if p = 2.
3112 : * Simplified form of Zp_sqrtnlift: 1/(p-1) is trivial to compute */
3113 : GEN
3114 10549 : Zp_teichmuller(GEN x, GEN p, long e, GEN pe)
3115 : {
3116 : GEN q, z, p1;
3117 : pari_sp av;
3118 : ulong mask;
3119 10549 : if (absequaliu(p,2)) return (mod4(x) & 2)? subiu(pe,1): gen_1;
3120 9870 : if (e == 1) return icopy(x);
3121 9870 : av = avma;
3122 9870 : p1 = subiu(p, 1);
3123 9870 : mask = quadratic_prec_mask(e);
3124 9870 : q = p; z = remii(x, p);
3125 33502 : while (mask > 1)
3126 : { /* Newton iteration solving z^{1 - p} = 1, z = x (mod p) */
3127 23632 : GEN w, t, qold = q;
3128 23632 : if (mask <= 3) /* last iteration */
3129 9870 : q = pe;
3130 : else
3131 : {
3132 13762 : q = sqri(q);
3133 13762 : if (mask & 1) q = diviiexact(q, p);
3134 : }
3135 23632 : mask >>= 1;
3136 : /* q <= qold^2 */
3137 23632 : if (lgefint(q) == 3)
3138 : {
3139 23484 : ulong Z = uel(z,2), Q = uel(q,2), P1 = uel(p1,2);
3140 23484 : ulong W = (Q-1) / P1; /* -1/(p-1) + O(qold) */
3141 23484 : ulong T = Fl_mul(W, Fl_powu(Z,P1,Q) - 1, Q);
3142 23484 : Z = Fl_mul(Z, 1 + T, Q);
3143 23484 : z = utoi(Z);
3144 : }
3145 : else
3146 : {
3147 148 : w = diviiexact(subiu(qold,1),p1); /* -1/(p-1) + O(qold) */
3148 148 : t = Fp_mul(w, subiu(Fp_pow(z,p1,q), 1), q);
3149 148 : z = Fp_mul(z, addui(1,t), q);
3150 : }
3151 : }
3152 9870 : return gerepileuptoint(av, z);
3153 : }
3154 :
3155 : GEN
3156 1225 : teichmullerinit(long p, long n)
3157 : {
3158 : GEN t, pn, g, v;
3159 : ulong gp, tp;
3160 : long a, m;
3161 :
3162 1225 : if (p == 2) return mkvec(gen_1);
3163 1225 : if (!uisprime(p)) pari_err_PRIME("teichmullerinit",utoipos(p));
3164 :
3165 1225 : m = p >> 1; /* (p-1)/2 */
3166 1225 : tp= gp= pgener_Fl(p); /* order (p-1), gp^m = -1 */
3167 1225 : pn = powuu(p, n);
3168 1225 : v = cgetg(p, t_VEC);
3169 1225 : t = g = Zp_teichmuller(utoipos(gp), utoipos(p), n, pn);
3170 1225 : gel(v, 1) = gen_1;
3171 1225 : gel(v, p-1) = subiu(pn,1);
3172 3031 : for (a = 1; a < m; a++)
3173 : {
3174 1806 : gel(v, tp) = t;
3175 1806 : gel(v, p - tp) = Fp_neg(t, pn); /* g^(m+a) = -g^a */
3176 1806 : if (a < m-1)
3177 : {
3178 1029 : t = Fp_mul(t, g, pn); /* g^(a+1) */
3179 1029 : tp = Fl_mul(tp, gp, p); /* t mod p */
3180 : }
3181 : }
3182 1225 : return v;
3183 : }
3184 :
3185 : /* tab from teichmullerinit or NULL */
3186 : GEN
3187 5537 : teichmuller(GEN x, GEN tab)
3188 : {
3189 : GEN p, q, y, z;
3190 5537 : long n, tx = typ(x);
3191 :
3192 5537 : if (!tab)
3193 : {
3194 5425 : if (tx == t_VEC && lg(x) == 3)
3195 : {
3196 7 : p = gel(x,1);
3197 7 : q = gel(x,2);
3198 7 : if (typ(p) == t_INT && typ(q) == t_INT)
3199 7 : return teichmullerinit(itos(p), itos(q));
3200 : }
3201 : }
3202 112 : else if (typ(tab) != t_VEC) pari_err_TYPE("teichmuller",tab);
3203 5530 : if (tx!=t_PADIC) pari_err_TYPE("teichmuller",x);
3204 5530 : z = gel(x,4);
3205 5530 : if (!signe(z)) return gcopy(x);
3206 5530 : p = gel(x,2);
3207 5530 : q = gel(x,3);
3208 5530 : n = precp(x);
3209 5530 : y = cgetg(5,t_PADIC);
3210 5530 : y[1] = evalprecp(n) | _evalvalp(0);
3211 5530 : gel(y,2) = icopy(p);
3212 5530 : gel(y,3) = icopy(q);
3213 5530 : if (tab)
3214 : {
3215 112 : ulong pp = itou_or_0(p);
3216 112 : if (lg(tab) != (long)pp) pari_err_TYPE("teichmuller",tab);
3217 112 : z = gel(tab, umodiu(z, pp));
3218 112 : if (typ(z) != t_INT) pari_err_TYPE("teichmuller",tab);
3219 112 : z = remii(z, q);
3220 : }
3221 : else
3222 5418 : z = Zp_teichmuller(z, p, n, q);
3223 5530 : gel(y,4) = z;
3224 5530 : return y;
3225 : }
3226 : GEN
3227 5299 : teich(GEN x) { return teichmuller(x, NULL); }
3228 :
3229 : GEN
3230 17839193 : glog(GEN x, long prec)
3231 : {
3232 : pari_sp av, tetpil;
3233 : GEN y, p1;
3234 : long l;
3235 :
3236 17839193 : switch(typ(x))
3237 : {
3238 10279129 : case t_REAL:
3239 10279129 : if (signe(x) >= 0)
3240 : {
3241 8612599 : if (!signe(x)) pari_err_DOMAIN("log", "argument", "=", gen_0, x);
3242 8612592 : return logr_abs(x);
3243 : }
3244 1666530 : retmkcomplex(logr_abs(x), mppi(realprec(x)));
3245 :
3246 517122 : case t_FRAC:
3247 : {
3248 : GEN a, b;
3249 : long e1, e2;
3250 517122 : av = avma;
3251 517122 : a = gel(x,1);
3252 517122 : b = gel(x,2);
3253 517122 : e1 = expi(subii(a,b)); e2 = expi(b);
3254 517119 : if (e2 > e1) prec += nbits2extraprec(e2 - e1);
3255 517119 : x = fractor(x, prec);
3256 517120 : return gerepileupto(av, glog(x, prec));
3257 : }
3258 4710088 : case t_COMPLEX:
3259 4710088 : if (ismpzero(gel(x,2))) return glog(gel(x,1), prec);
3260 4700064 : l = precision(x); if (l > prec) prec = l;
3261 4700075 : if (ismpzero(gel(x,1)))
3262 : {
3263 70396 : GEN a = gel(x,2), b;
3264 70396 : av = avma; b = Pi2n(-1,prec);
3265 70394 : if (gsigne(a) < 0) { setsigne(b, -1); a = gabs(a,prec); }
3266 70394 : a = isint1(a) ? gen_0: glog(a,prec);
3267 70394 : return gerepilecopy(av, mkcomplex(a, b));
3268 : }
3269 4629689 : if (prec >= LOGAGMCX_LIMIT) return logagmcx(x, prec);
3270 4329934 : y = cgetg(3,t_COMPLEX);
3271 4329933 : gel(y,2) = garg(x,prec);
3272 4329934 : av = avma; p1 = glog(cxnorm(x),prec); tetpil = avma;
3273 4329928 : gel(y,1) = gerepile(av,tetpil,gmul2n(p1,-1)); return y;
3274 :
3275 322 : case t_PADIC: return Qp_log(x);
3276 2332532 : default:
3277 2332532 : av = avma; if (!(y = toser_i(x))) break;
3278 140 : if (!signe(y)) pari_err_DOMAIN("log", "argument", "=", gen_0, x);
3279 140 : if (valser(y)) pari_err_DOMAIN("log", "series valuation", "!=", gen_0, x);
3280 133 : p1 = integser(gdiv(derivser(y), y)); /* log(y)' = y'/y */
3281 133 : if (!gequal1(gel(y,2))) p1 = gadd(p1, glog(gel(y,2),prec));
3282 133 : return gerepileupto(av, p1);
3283 : }
3284 2332699 : return trans_eval("log",glog,x,prec);
3285 : }
3286 :
3287 : static GEN
3288 63 : mplog1p(GEN x)
3289 : {
3290 : long ex, a, b, l, L;
3291 63 : if (!signe(x)) return rcopy(x);
3292 63 : ex = expo(x); if (ex >= -3) return glog(addrs(x,1), 0);
3293 42 : a = -ex;
3294 42 : b = realprec(x); L = b+1;
3295 42 : if (b > a*log2(L) && b > LOGAGM_LIMIT)
3296 : {
3297 0 : x = addrs(x,1); l = b + nbits2extraprec(a);
3298 0 : if (realprec(x) < l) x = rtor(x,l);
3299 0 : return logagmr_abs(x);
3300 : }
3301 42 : x = rtor(x, L);
3302 42 : x = logr_aux(divrr(x, addrs(x,2)));
3303 42 : if (realprec(x) > b) fixlg(x, b);
3304 42 : shiftr_inplace(x,1); return x;
3305 : }
3306 :
3307 : static GEN log1p_i(GEN x, long prec);
3308 : static GEN
3309 14 : cxlog1p(GEN x, long prec)
3310 : {
3311 : pari_sp av;
3312 14 : GEN z, a, b = gel(x,2);
3313 : long l;
3314 14 : if (ismpzero(b)) return log1p_i(gel(x,1), prec);
3315 14 : l = precision(x); if (l > prec) prec = l;
3316 14 : if (prec >= LOGAGMCX_LIMIT) return logagmcx(gaddgs(x,1), prec);
3317 14 : a = gel(x,1);
3318 14 : z = cgetg(3,t_COMPLEX); av = avma;
3319 14 : a = gadd(gadd(gmul2n(a,1), gsqr(a)), gsqr(b));
3320 14 : a = log1p_i(a, prec); shiftr_inplace(a,-1);
3321 14 : gel(z,1) = gerepileupto(av, a);
3322 14 : gel(z,2) = garg(gaddgs(x,1),prec); return z;
3323 : }
3324 : static GEN
3325 133 : log1p_i(GEN x, long prec)
3326 : {
3327 133 : switch(typ(x))
3328 : {
3329 63 : case t_REAL: return mplog1p(x);
3330 14 : case t_COMPLEX: return cxlog1p(x, prec);
3331 7 : case t_PADIC: return Qp_log(gaddgs(x,1));
3332 49 : default:
3333 : {
3334 : long ey;
3335 : GEN y;
3336 49 : if (!(y = toser_i(x))) break;
3337 21 : ey = valser(y);
3338 21 : if (ey < 0) pari_err_DOMAIN("log1p","valuation", "<", gen_0, x);
3339 21 : if (gequal0(y)) return gcopy(y);
3340 14 : if (ey)
3341 7 : return glog(gaddgs(y,1),prec);
3342 : else
3343 : {
3344 7 : GEN a = gel(y,2), a1 = gaddgs(a,1);
3345 7 : y = gdiv(y, a1); gel(y,2) = gen_1;
3346 7 : return gadd(glog1p(a,prec), glog(y, prec));
3347 : }
3348 : }
3349 : }
3350 28 : return trans_eval("log1p",glog1p,x,prec);
3351 : }
3352 : GEN
3353 119 : glog1p(GEN x, long prec)
3354 : {
3355 119 : pari_sp av = avma;
3356 119 : return gerepileupto(av, log1p_i(x, prec));
3357 : }
3358 : /********************************************************************/
3359 : /** **/
3360 : /** SINE, COSINE **/
3361 : /** **/
3362 : /********************************************************************/
3363 :
3364 : /* Reduce x0 mod Pi/2 to x in [-Pi/4, Pi/4]. Return cos(x)-1 */
3365 : static GEN
3366 17355849 : mpcosm1(GEN x, long *ptmod8)
3367 : {
3368 17355849 : long a = expo(x), l = realprec(x), b, L, i, n, m, B;
3369 : GEN y, u, x2;
3370 : double d;
3371 :
3372 17355849 : n = 0;
3373 17355849 : if (a >= 0)
3374 : {
3375 : long p;
3376 : GEN q;
3377 10128145 : if (a > 30)
3378 : {
3379 684652 : GEN z, P = Pi2n(-2, nbits2prec(a + 32));
3380 684652 : z = addrr(x,P); /* = x + Pi/4 */
3381 684652 : if (expo(z) >= bit_prec(z) + 3) pari_err_PREC("mpcosm1");
3382 684652 : shiftr_inplace(P, 1);
3383 684652 : q = floorr(divrr(z, P)); /* round ( x / (Pi/2) ) */
3384 684652 : p = l+EXTRAPREC64; x = rtor(x,p);
3385 : } else {
3386 9443493 : q = stoi((long)floor(rtodbl(x) / (M_PI/2) + 0.5));
3387 9443510 : p = l;
3388 : }
3389 10132087 : if (signe(q))
3390 : {
3391 10128162 : GEN y = subrr(x, mulir(q, Pi2n(-1,p))); /* x mod Pi/2 */
3392 10128063 : long b = expo(y);
3393 10128063 : if (a - b < 7) x = y;
3394 : else
3395 : {
3396 6055402 : p += nbits2extraprec(a-b); x = rtor(x, p);
3397 6055397 : x = subrr(x, mulir(q, Pi2n(-1,p)));
3398 : }
3399 10128039 : a = b;
3400 10128039 : if (!signe(x) && a >= 0) pari_err_PREC("mpcosm1");
3401 10128039 : n = Mod4(q);
3402 : }
3403 : }
3404 : /* a < 0 */
3405 17359651 : b = signe(x); *ptmod8 = (b < 0)? 4 + n: n;
3406 17359651 : if (!b) return real_0_bit(expo(x)*2 - 1);
3407 :
3408 17359651 : b = prec2nbits(l);
3409 17355086 : if (b + 2*a <= 0) {
3410 1386442 : y = sqrr(x); shiftr_inplace(y, -1); setsigne(y, -1);
3411 1386451 : return y;
3412 : }
3413 :
3414 15968644 : y = cgetr(l);
3415 15969762 : B = b/6 + BITS_IN_LONG/2 + (BITS_IN_LONG*BITS_IN_LONG/2)/ b;
3416 15969762 : d = a/2.; m = (long)(d + sqrt(d*d + B)); /* >= 0 ,*/
3417 15969762 : if (m < (-a) * 0.1) m = 0; /* not worth it */
3418 15969762 : L = l + nbits2extraprec(m);
3419 :
3420 15969554 : b += m;
3421 15969554 : d = 2.0 * (m-dbllog2r(x)-1/M_LN2); /* ~ 2( - log_2 Y - 1/log(2) ) */
3422 15969448 : n = (long)(b / d);
3423 15969448 : if (n > 1)
3424 15911495 : n = (long)(b / (d + log2((double)n+1))); /* log~constant in small ranges */
3425 34403246 : while (n*(d+log2((double)n+1)) < b) n++; /* expect few corrections */
3426 :
3427 : /* Multiplication is quadratic in this range (l is small, otherwise we
3428 : * use logAGM + Newton). Set Y = 2^(-e-a) x, compute truncated series
3429 : * sum Y^2k/(2k)!: this costs roughly
3430 : * m b^2 + sum_{k <= n} (2k e + BITS_IN_LONG)^2
3431 : * ~ (b/2e) b^2 / 3 + m b^2
3432 : * bit operations with n ~ b/2e, |x| < 2^(1+a), |Y| < 2^(1-e) , m = e+a and
3433 : * b bits of accuracy needed, so
3434 : * B := (b / 6 + BITS_IN_LONG/2 + BITS_IN_LONG^2 / 2b) ~ m(m-a)
3435 : * we want b ~ 6 m (m-a) or m~b+a hence
3436 : * m = min( a/2 + sqrt(a^2/4 + b/6), b/2 + a )
3437 : * NB: e ~ (b/6)^(1/2) or b/2.
3438 : *
3439 : * Truncate the sum at k = n (>= 1), the remainder is
3440 : * < sum_{k >= n+1} Y^2k / 2k! < Y^(2n+2) / (2n+2)!(1-Y^2) < Y^(2n+2)/(2n+1)!
3441 : * We want ... <= Y^2 2^-b, hence -2n log_2 |Y| + log_2 (2n+1)! >= b
3442 : * log n! ~ (n + 1/2) log(n+1) - (n+1) + log(2Pi)/2,
3443 : * error bounded by 1/6(n+1) <= 1/12. Finally, we want
3444 : * 2n (-1/log(2) - log_2 |Y| + log_2(2n+2)) >= b */
3445 15969448 : x = rtor(x, L); shiftr_inplace(x, -m); setsigne(x, 1);
3446 15969976 : x2 = sqrr(x);
3447 15973031 : if (n == 1) { u = x2; shiftr_inplace(u, -1); setsigne(u, -1); } /*-Y^2/2*/
3448 : else
3449 : {
3450 15973031 : GEN un = real_1(L);
3451 : pari_sp av;
3452 15969817 : long s = 0, l1 = nbits2prec((long)(d + n + 16));
3453 :
3454 15969815 : u = cgetr(L); av = avma;
3455 239068462 : for (i = n; i >= 2; i--)
3456 : {
3457 : GEN t;
3458 223102975 : setprec(x2,l1); t = divrunextu(x2, 2*i-1);
3459 223850547 : l1 += nbits2extraprec(dvmdsBIL(s - expo(t), &s)<<TWOPOTBITS_IN_LONG);
3460 223667822 : if (l1 > L) l1 = L;
3461 223667822 : if (i != n) t = mulrr(t,u);
3462 224078909 : setprec(un,l1); t = addrr_sign(un,1, t,-signe(t));
3463 223458269 : setprec(u,l1); affrr(t,u); set_avma(av);
3464 : }
3465 15965487 : shiftr_inplace(u, -1); togglesign(u); /* u := -u/2 */
3466 15967432 : setprec(x2,L); u = mulrr(x2,u);
3467 : }
3468 : /* Now u = sum {1<= i <=n} (-1)^i x^(2i) / (2i)! ~ cos(x) - 1 */
3469 142536582 : for (i = 1; i <= m; i++)
3470 : { /* u = cos(x)-1 <- cos(2x)-1 = 2cos(x)^2 - 2 = 4u + 2u^2*/
3471 126601957 : GEN q = sqrr(u);
3472 126837456 : shiftr_inplace(u, 1); u = addrr(u, q);
3473 126657131 : shiftr_inplace(u, 1);
3474 126562554 : if ((i & 31) == 0) u = gerepileuptoleaf((pari_sp)y, u);
3475 : }
3476 15934625 : affrr_fixlg(u, y); return y;
3477 : }
3478 :
3479 : /* sqrt (|1 - (1+x)^2|) = sqrt(|x*(x+2)|). Sends cos(x)-1 to |sin(x)| */
3480 : static GEN
3481 15652661 : mpaut(GEN x)
3482 : {
3483 15652661 : GEN t = mulrr(x, addsr(2,x)); /* != 0 */
3484 15659369 : if (!signe(t)) return real_0_bit(expo(t) >> 1);
3485 15659369 : return sqrtr_abs(t);
3486 : }
3487 :
3488 : /********************************************************************/
3489 : /** COSINE **/
3490 : /********************************************************************/
3491 :
3492 : GEN
3493 2745077 : mpcos(GEN x)
3494 : {
3495 : long mod8;
3496 : pari_sp av;
3497 : GEN y, z;
3498 :
3499 2745077 : if (!signe(x)) {
3500 75 : long l = nbits2prec(-expo(x));
3501 75 : if (l < LOWDEFAULTPREC) l = LOWDEFAULTPREC;
3502 75 : return real_1(l);
3503 : }
3504 2745002 : av = avma; z = mpcosm1(x,&mod8);
3505 2744987 : switch(mod8)
3506 : {
3507 760059 : case 0: case 4: y = addsr(1,z); break;
3508 688605 : case 1: case 7: y = mpaut(z); togglesign(y); break;
3509 682289 : case 2: case 6: y = subsr(-1,z); break;
3510 614034 : default: y = mpaut(z); break; /* case 3: case 5: */
3511 : }
3512 2745018 : return gerepileuptoleaf(av, y);
3513 : }
3514 :
3515 : /* convert INT or FRAC to REAL, which is later reduced mod 2Pi : avoid
3516 : * cancellation */
3517 : static GEN
3518 13258 : tofp_safe(GEN x, long prec)
3519 : {
3520 13258 : return (typ(x) == t_INT || gexpo(x) > 0)? gadd(x, real_0(prec))
3521 26498 : : fractor(x, prec);
3522 : }
3523 :
3524 : GEN
3525 154868 : gcos(GEN x, long prec)
3526 : {
3527 : pari_sp av;
3528 : GEN a, b, u, v, y, u1, v1;
3529 : long i;
3530 :
3531 154868 : switch(typ(x))
3532 : {
3533 153585 : case t_REAL: return mpcos(x);
3534 42 : case t_COMPLEX:
3535 42 : a = gel(x,1);
3536 42 : b = gel(x,2);
3537 42 : if (isintzero(a)) return gcosh(b, prec);
3538 28 : i = precision(x); if (i) prec = i;
3539 28 : y = cgetc(prec); av = avma;
3540 28 : if (typ(b) != t_REAL) b = gtofp(b, prec);
3541 28 : mpsinhcosh(b, &u1, &v1); u1 = mpneg(u1);
3542 28 : if (typ(a) != t_REAL) a = gtofp(a, prec);
3543 28 : mpsincos(a, &u, &v);
3544 28 : affrr_fixlg(gmul(v1,v), gel(y,1));
3545 28 : affrr_fixlg(gmul(u1,u), gel(y,2)); return gc_const(av,y);
3546 :
3547 1156 : case t_INT: case t_FRAC:
3548 1156 : y = cgetr(prec); av = avma;
3549 1156 : affrr_fixlg(mpcos(tofp_safe(x,prec)), y); return gc_const(av,y);
3550 :
3551 49 : case t_PADIC: y = cos_p(x);
3552 49 : if (!y) pari_err_DOMAIN("gcos(t_PADIC)","argument","",gen_0,x);
3553 42 : return y;
3554 :
3555 36 : default:
3556 36 : av = avma; if (!(y = toser_i(x))) break;
3557 28 : if (gequal0(y)) return gerepileupto(av, gaddsg(1,y));
3558 28 : if (valser(y) < 0)
3559 7 : pari_err_DOMAIN("cos","valuation", "<", gen_0, x);
3560 21 : gsincos(y,&u,&v,prec);
3561 21 : return gerepilecopy(av,v);
3562 : }
3563 7 : return trans_eval("cos",gcos,x,prec);
3564 : }
3565 : /********************************************************************/
3566 : /** SINE **/
3567 : /********************************************************************/
3568 :
3569 : GEN
3570 834944 : mpsin(GEN x)
3571 : {
3572 : long mod8;
3573 : pari_sp av;
3574 : GEN y, z;
3575 :
3576 834944 : if (!signe(x)) return real_0_bit(expo(x));
3577 834735 : av = avma; z = mpcosm1(x,&mod8);
3578 834720 : switch(mod8)
3579 : {
3580 311655 : case 0: case 6: y = mpaut(z); break;
3581 131324 : case 1: case 5: y = addsr(1,z); break;
3582 264274 : case 2: case 4: y = mpaut(z); togglesign(y); break;
3583 127467 : default: y = subsr(-1,z); break; /* case 3: case 7: */
3584 : }
3585 834755 : return gerepileuptoleaf(av, y);
3586 : }
3587 :
3588 : GEN
3589 1246973 : gsin(GEN x, long prec)
3590 : {
3591 : pari_sp av;
3592 : GEN a, b, u, v, y, v1, u1;
3593 : long i;
3594 :
3595 1246973 : switch(typ(x))
3596 : {
3597 829761 : case t_REAL: return mpsin(x);
3598 411814 : case t_COMPLEX:
3599 411814 : a = gel(x,1);
3600 411814 : b = gel(x,2);
3601 411814 : if (isintzero(a)) retmkcomplex(gen_0,gsinh(b,prec));
3602 405829 : i = precision(x); if (i) prec = i;
3603 405829 : y = cgetc(prec); av = avma;
3604 405829 : if (typ(b) != t_REAL) b = gtofp(b, prec);
3605 405829 : mpsinhcosh(b, &u1, &v1);
3606 405829 : if (typ(a) != t_REAL) a = gtofp(a, prec);
3607 405829 : mpsincos(a, &u, &v);
3608 405829 : affrr_fixlg(gmul(v1,u), gel(y,1));
3609 405829 : affrr_fixlg(gmul(u1,v), gel(y,2)); return gc_const(av,y);
3610 :
3611 5118 : case t_INT: case t_FRAC:
3612 5118 : y = cgetr(prec); av = avma;
3613 5118 : affrr_fixlg(mpsin(tofp_safe(x,prec)), y); return gc_const(av,y);
3614 :
3615 49 : case t_PADIC: y = sin_p(x);
3616 49 : if (!y) pari_err_DOMAIN("gsin(t_PADIC)","argument","",gen_0,x);
3617 42 : return y;
3618 :
3619 231 : default:
3620 231 : av = avma; if (!(y = toser_i(x))) break;
3621 224 : if (gequal0(y)) return gerepilecopy(av, y);
3622 224 : if (valser(y) < 0)
3623 7 : pari_err_DOMAIN("sin","valuation", "<", gen_0, x);
3624 217 : gsincos(y,&u,&v,prec);
3625 217 : return gerepilecopy(av,u);
3626 : }
3627 7 : return trans_eval("sin",gsin,x,prec);
3628 : }
3629 : /********************************************************************/
3630 : /** SINE, COSINE together **/
3631 : /********************************************************************/
3632 :
3633 : void
3634 13760242 : mpsincos(GEN x, GEN *s, GEN *c)
3635 : {
3636 : long mod8;
3637 : pari_sp av, tetpil;
3638 : GEN z, *gptr[2];
3639 :
3640 13760242 : if (!signe(x))
3641 : {
3642 4043 : long e = expo(x);
3643 4043 : *s = real_0_bit(e);
3644 4043 : *c = e >= 0? real_0_bit(e): real_1_bit(-e);
3645 4043 : return;
3646 : }
3647 :
3648 13756199 : av = avma; z = mpcosm1(x, &mod8); tetpil = avma;
3649 13757506 : switch(mod8)
3650 : {
3651 4445339 : case 0: *c = addsr( 1,z); *s = mpaut(z); break;
3652 679210 : case 1: *s = addsr( 1,z); *c = mpaut(z); togglesign(*c); break;
3653 1033543 : case 2: *c = subsr(-1,z); *s = mpaut(z); togglesign(*s); break;
3654 638773 : case 3: *s = subsr(-1,z); *c = mpaut(z); break;
3655 3741962 : case 4: *c = addsr( 1,z); *s = mpaut(z); togglesign(*s); break;
3656 668911 : case 5: *s = addsr( 1,z); *c = mpaut(z); break;
3657 1882673 : case 6: *c = subsr(-1,z); *s = mpaut(z); break;
3658 670271 : case 7: *s = subsr(-1,z); *c = mpaut(z); togglesign(*c); break;
3659 : }
3660 13757980 : gptr[0] = s; gptr[1] = c; gerepilemanysp(av,tetpil,gptr,2);
3661 : }
3662 :
3663 : /* SINE and COSINE - 1 */
3664 : void
3665 19983 : mpsincosm1(GEN x, GEN *s, GEN *c)
3666 : {
3667 : long mod8;
3668 : pari_sp av, tetpil;
3669 : GEN z, *gptr[2];
3670 :
3671 19983 : if (!signe(x))
3672 : {
3673 0 : long e = expo(x);
3674 0 : *s = real_0_bit(e);
3675 0 : *c = real_0_bit(2*e-1);
3676 0 : return;
3677 : }
3678 19983 : av = avma; z = mpcosm1(x,&mod8); tetpil = avma;
3679 19983 : switch(mod8)
3680 : {
3681 6912 : case 0: *c = rcopy(z); *s = mpaut(z); break;
3682 1844 : case 1: *s = addsr(1,z); *c = addrs(mpaut(z),1); togglesign(*c); break;
3683 1573 : case 2: *c = subsr(-2,z); *s = mpaut(z); togglesign(*s); break;
3684 1839 : case 3: *s = subsr(-1,z); *c = subrs(mpaut(z),1); break;
3685 2292 : case 4: *c = rcopy(z); *s = mpaut(z); togglesign(*s); break;
3686 2038 : case 5: *s = addsr( 1,z); *c = subrs(mpaut(z),1); break;
3687 1629 : case 6: *c = subsr(-2,z); *s = mpaut(z); break;
3688 1856 : case 7: *s = subsr(-1,z); *c = subsr(-1,mpaut(z)); break;
3689 : }
3690 19983 : gptr[0] = s; gptr[1] = c;
3691 19983 : gerepilemanysp(av,tetpil,gptr,2);
3692 : }
3693 :
3694 : /* return exp(ix), x a t_REAL */
3695 : GEN
3696 881806 : expIr(GEN x)
3697 : {
3698 881806 : pari_sp av = avma;
3699 881806 : GEN v = cgetg(3,t_COMPLEX);
3700 881806 : mpsincos(x, (GEN*)(v+2), (GEN*)(v+1));
3701 881807 : if (!signe(gel(v,2))) return gerepilecopy(av, gel(v,1));
3702 879104 : return v;
3703 : }
3704 :
3705 : /* return exp(ix)-1, x a t_REAL */
3706 : static GEN
3707 19983 : expm1_Ir(GEN x)
3708 : {
3709 19983 : pari_sp av = avma;
3710 19983 : GEN v = cgetg(3,t_COMPLEX);
3711 19983 : mpsincosm1(x, (GEN*)(v+2), (GEN*)(v+1));
3712 19983 : if (!signe(gel(v,2))) return gerepilecopy(av, gel(v,1));
3713 19983 : return v;
3714 : }
3715 :
3716 : /* return exp(z)-1, z complex */
3717 : GEN
3718 20039 : cxexpm1(GEN z, long prec)
3719 : {
3720 20039 : pari_sp av = avma;
3721 20039 : GEN X, Y, x = real_i(z), y = imag_i(z);
3722 20039 : long l = precision(z);
3723 20039 : if (l) prec = l;
3724 20039 : if (typ(x) != t_REAL) x = gtofp(x, prec);
3725 20039 : if (typ(y) != t_REAL) y = gtofp(y, prec);
3726 20039 : if (gequal0(y)) return mpexpm1(x);
3727 19983 : if (gequal0(x)) return expm1_Ir(y);
3728 19850 : X = mpexpm1(x); /* t_REAL */
3729 19850 : Y = expm1_Ir(y);
3730 : /* exp(x+iy) - 1 = (exp(x)-1)(exp(iy)-1) + exp(x)-1 + exp(iy)-1 */
3731 19850 : return gerepileupto(av, gadd(gadd(X,Y), gmul(X,Y)));
3732 : }
3733 :
3734 : void
3735 4634493 : gsincos(GEN x, GEN *s, GEN *c, long prec)
3736 : {
3737 : long i, j, ex, ex2, lx, ly, mi;
3738 : pari_sp av, tetpil;
3739 : GEN y, r, u, v, u1, v1, p1, p2, p3, p4, ps, pc;
3740 : GEN *gptr[4];
3741 :
3742 4634493 : switch(typ(x))
3743 : {
3744 6947 : case t_INT: case t_FRAC:
3745 6947 : *s = cgetr(prec);
3746 6949 : *c = cgetr(prec); av = avma;
3747 6949 : mpsincos(tofp_safe(x, prec), &ps, &pc);
3748 6956 : affrr_fixlg(ps,*s);
3749 4634700 : affrr_fixlg(pc,*c); set_avma(av); return;
3750 :
3751 4622920 : case t_REAL:
3752 4622920 : mpsincos(x,s,c); return;
3753 :
3754 4130 : case t_COMPLEX:
3755 4130 : i = precision(x); if (i) prec = i;
3756 4130 : ps = cgetc(prec); *s = ps;
3757 4130 : pc = cgetc(prec); *c = pc; av = avma;
3758 4130 : r = gexp(gel(x,2),prec);
3759 4130 : v1 = gmul2n(addrr(invr(r),r), -1); /* = cos(I*Im(x)) */
3760 4130 : u1 = subrr(r, v1); /* = I*sin(I*Im(x)) */
3761 4130 : gsincos(gel(x,1), &u,&v, prec);
3762 4130 : affrr_fixlg(mulrr(v1,u), gel(ps,1));
3763 4130 : affrr_fixlg(mulrr(u1,v), gel(ps,2));
3764 4130 : affrr_fixlg(mulrr(v1,v), gel(pc,1));
3765 4130 : affrr_fixlg(mulrr(u1,u), gel(pc,2)); togglesign(gel(pc,2));
3766 4130 : set_avma(av); return;
3767 :
3768 0 : case t_QUAD:
3769 0 : av = avma; gsincos(quadtofp(x, prec), s, c, prec);
3770 0 : gerepileall(av, 2, s, c); return;
3771 :
3772 496 : default:
3773 496 : av = avma; if (!(y = toser_i(x))) break;
3774 518 : if (gequal0(y)) { *s = gerepilecopy(av,y); *c = gaddsg(1,*s); return; }
3775 :
3776 518 : ex = valser(y); lx = lg(y); ex2 = 2*ex+2;
3777 518 : if (ex < 0) pari_err_DOMAIN("gsincos","valuation", "<", gen_0, x);
3778 518 : if (ex2 > lx)
3779 : {
3780 98 : *s = x == y? gcopy(y): gerepilecopy(av, y); av = avma;
3781 98 : *c = gerepileupto(av, gsubsg(1, gdivgu(gsqr(y),2)));
3782 98 : return;
3783 : }
3784 420 : if (!ex)
3785 : {
3786 105 : gsincos(serchop0(y),&u,&v,prec);
3787 105 : gsincos(gel(y,2),&u1,&v1,prec);
3788 105 : p1 = gmul(v1,v);
3789 105 : p2 = gmul(u1,u);
3790 105 : p3 = gmul(v1,u);
3791 105 : p4 = gmul(u1,v); tetpil = avma;
3792 105 : *c = gsub(p1,p2);
3793 105 : *s = gadd(p3,p4);
3794 105 : gptr[0]=s; gptr[1]=c;
3795 105 : gerepilemanysp(av,tetpil,gptr,2);
3796 105 : return;
3797 : }
3798 :
3799 315 : ly = lx+2*ex;
3800 3066 : mi = lx-1; while (mi>=3 && isrationalzero(gel(y,mi))) mi--;
3801 315 : mi += ex-2;
3802 315 : pc = cgetg(ly,t_SER); *c = pc;
3803 315 : ps = cgetg(lx,t_SER); *s = ps;
3804 315 : pc[1] = evalsigne(1) | _evalvalser(0) | evalvarn(varn(y));
3805 315 : gel(pc,2) = gen_1; ps[1] = y[1];
3806 637 : for (i=2; i<ex+2; i++) gel(ps,i) = gcopy(gel(y,i));
3807 644 : for (i=3; i< ex2; i++) gel(pc,i) = gen_0;
3808 3577 : for (i=ex2; i<ly; i++)
3809 : {
3810 3262 : long ii = i-ex;
3811 3262 : av = avma; p1 = gen_0;
3812 7476 : for (j=ex; j<=minss(ii-2,mi); j++)
3813 4214 : p1 = gadd(p1, gmulgu(gmul(gel(y,j-ex+2),gel(ps,ii-j)),j));
3814 3262 : gel(pc,i) = gerepileupto(av, gdivgs(p1,2-i));
3815 3262 : if (ii < lx)
3816 : {
3817 2940 : av = avma; p1 = gen_0;
3818 6202 : for (j=ex; j<=minss(i-ex2,mi); j++)
3819 3262 : p1 = gadd(p1,gmulgu(gmul(gel(y,j-ex+2),gel(pc,i-j)),j));
3820 2940 : p1 = gdivgu(p1,i-2);
3821 2940 : gel(ps,ii) = gerepileupto(av, gadd(p1,gel(y,ii)));
3822 : }
3823 : }
3824 315 : return;
3825 : }
3826 0 : pari_err_TYPE("gsincos",x);
3827 : }
3828 :
3829 : /********************************************************************/
3830 : /** **/
3831 : /** SINC **/
3832 : /** **/
3833 : /********************************************************************/
3834 : static GEN
3835 2319450 : mpsinc(GEN x)
3836 : {
3837 2319450 : pari_sp av = avma;
3838 : GEN s, c;
3839 :
3840 2319450 : if (!signe(x)) {
3841 0 : long l = nbits2prec(-expo(x));
3842 0 : if (l < LOWDEFAULTPREC) l = LOWDEFAULTPREC;
3843 0 : return real_1(l);
3844 : }
3845 :
3846 2319450 : mpsincos(x,&s,&c);
3847 2319450 : return gerepileuptoleaf(av, divrr(s,x));
3848 : }
3849 :
3850 : GEN
3851 2319562 : gsinc(GEN x, long prec)
3852 : {
3853 : pari_sp av;
3854 : GEN r, u, v, y, u1, v1;
3855 : long i;
3856 :
3857 2319562 : switch(typ(x))
3858 : {
3859 2319429 : case t_REAL: return mpsinc(x);
3860 49 : case t_COMPLEX:
3861 49 : if (isintzero(gel(x,1)))
3862 : {
3863 28 : av = avma; x = gel(x,2);
3864 28 : if (gequal0(x)) return gcosh(x,prec);
3865 14 : return gerepileuptoleaf(av,gdiv(gsinh(x,prec),x));
3866 : }
3867 21 : i = precision(x); if (i) prec = i;
3868 21 : y = cgetc(prec); av = avma;
3869 21 : r = gexp(gel(x,2),prec);
3870 21 : v1 = gmul2n(addrr(invr(r),r), -1); /* = cos(I*Im(x)) */
3871 21 : u1 = subrr(r, v1); /* = I*sin(I*Im(x)) */
3872 21 : gsincos(gel(x,1),&u,&v,prec);
3873 21 : affc_fixlg(gdiv(mkcomplex(gmul(v1,u), gmul(u1,v)), x), y);
3874 21 : return gc_const(av,y);
3875 :
3876 14 : case t_INT:
3877 14 : if (!signe(x)) return real_1(prec); /*fall through*/
3878 : case t_FRAC:
3879 21 : y = cgetr(prec); av = avma;
3880 21 : affrr_fixlg(mpsinc(tofp_safe(x,prec)), y); return gc_const(av,y);
3881 :
3882 21 : case t_PADIC:
3883 21 : if (gequal0(x)) return cvtop(gen_1, gel(x,2), valp(x));
3884 14 : av = avma; y = sin_p(x);
3885 14 : if (!y) pari_err_DOMAIN("gsinc(t_PADIC)","argument","",gen_0,x);
3886 7 : return gerepileupto(av,gdiv(y,x));
3887 :
3888 35 : default:
3889 : {
3890 : long ex;
3891 35 : av = avma; if (!(y = toser_i(x))) break;
3892 35 : if (gequal0(y)) return gerepileupto(av, gaddsg(1,y));
3893 35 : ex = valser(y);
3894 35 : if (ex < 0) pari_err_DOMAIN("sinc","valuation", "<", gen_0, x);
3895 28 : if (ex)
3896 : {
3897 28 : gsincos(y,&u,&v,prec);
3898 28 : y = gerepileupto(av, gdiv(u,y));
3899 28 : if (lg(y) > 2) gel(y,2) = gen_1;
3900 28 : return y;
3901 : }
3902 : else
3903 : {
3904 0 : GEN z0, y0 = gel(y,2), y1 = serchop0(y), y10 = y1;
3905 0 : if (!gequal1(y0)) y10 = gdiv(y10, y0);
3906 0 : gsincos(y1,&u,&v,prec);
3907 0 : z0 = gdiv(gcos(y0,prec), y0);
3908 0 : y = gaddsg(1, y10);
3909 0 : u = gadd(gmul(gsinc(y0, prec),v), gmul(z0, u));
3910 0 : return gerepileupto(av,gdiv(u,y));
3911 : }
3912 : }
3913 : }
3914 0 : return trans_eval("sinc",gsinc,x,prec);
3915 : }
3916 :
3917 : /********************************************************************/
3918 : /** **/
3919 : /** TANGENT and COTANGENT **/
3920 : /** **/
3921 : /********************************************************************/
3922 : static GEN
3923 133 : mptan(GEN x)
3924 : {
3925 133 : pari_sp av = avma;
3926 : GEN s, c;
3927 :
3928 133 : mpsincos(x,&s,&c);
3929 133 : if (!signe(c))
3930 0 : pari_err_DOMAIN("tan", "argument", "=", strtoGENstr("Pi/2 + kPi"),x);
3931 133 : return gerepileuptoleaf(av, divrr(s,c));
3932 : }
3933 :
3934 : /* If exp(-|im(x)|) << 1, avoid overflow in sincos(x) */
3935 : static int
3936 4018 : tan_huge_im(GEN ix, long prec)
3937 : {
3938 4018 : long b, p = precision(ix);
3939 4018 : if (!p) p = prec;
3940 4018 : b = prec2nbits(p);
3941 4018 : return (gexpo(ix) > b || fabs(gtodouble(ix)) > (M_LN2 / 2) * b);
3942 : }
3943 : /* \pm I */
3944 : static GEN
3945 35 : real_I(long s, long prec)
3946 : {
3947 35 : GEN z = cgetg(3, t_COMPLEX);
3948 35 : gel(z,1) = real_0(prec);
3949 35 : gel(z,2) = s > 0? real_1(prec): real_m1(prec); return z;
3950 : }
3951 :
3952 : GEN
3953 224 : gtan(GEN x, long prec)
3954 : {
3955 : pari_sp av;
3956 : GEN y, s, c;
3957 :
3958 224 : switch(typ(x))
3959 : {
3960 126 : case t_REAL: return mptan(x);
3961 :
3962 42 : case t_COMPLEX: {
3963 42 : if (isintzero(gel(x,1))) retmkcomplex(gen_0,gtanh(gel(x,2),prec));
3964 28 : if (tan_huge_im(gel(x,2), prec)) return real_I(gsigne(gel(x,2)), prec);
3965 14 : av = avma; y = mulcxmI(gtanh(mulcxI(x), prec)); /* tan x = -I th(I x) */
3966 14 : gel(y,1) = gcopy(gel(y,1)); return gerepileupto(av, y);
3967 : }
3968 7 : case t_INT: case t_FRAC:
3969 7 : y = cgetr(prec); av = avma;
3970 7 : affrr_fixlg(mptan(tofp_safe(x,prec)), y); return gc_const(av,y);
3971 :
3972 14 : case t_PADIC:
3973 14 : av = avma;
3974 14 : return gerepileupto(av, gdiv(gsin(x,prec), gcos(x,prec)));
3975 :
3976 35 : default:
3977 35 : av = avma; if (!(y = toser_i(x))) break;
3978 28 : if (gequal0(y)) return gerepilecopy(av, y);
3979 28 : if (valser(y) < 0)
3980 7 : pari_err_DOMAIN("tan","valuation", "<", gen_0, x);
3981 21 : gsincos(y,&s,&c,prec);
3982 21 : return gerepileupto(av, gdiv(s,c));
3983 : }
3984 7 : return trans_eval("tan",gtan,x,prec);
3985 : }
3986 :
3987 : static GEN
3988 70 : mpcotan(GEN x)
3989 : {
3990 70 : pari_sp av=avma, tetpil;
3991 : GEN s,c;
3992 :
3993 70 : mpsincos(x,&s,&c); tetpil=avma;
3994 70 : return gerepile(av,tetpil,divrr(c,s));
3995 : }
3996 :
3997 : GEN
3998 4214 : gcotan(GEN x, long prec)
3999 : {
4000 : pari_sp av;
4001 : GEN y, s, c;
4002 :
4003 4214 : switch(typ(x))
4004 : {
4005 63 : case t_REAL:
4006 63 : return mpcotan(x);
4007 :
4008 4011 : case t_COMPLEX:
4009 4011 : if (isintzero(gel(x,1))) {
4010 21 : GEN z = cgetg(3, t_COMPLEX);
4011 21 : gel(z,1) = gen_0; av = avma;
4012 21 : gel(z,2) = gerepileupto(av, gneg(ginv(gtanh(gel(x,2),prec))));
4013 21 : return z;
4014 : }
4015 3990 : if (tan_huge_im(gel(x,2), prec)) return real_I(-gsigne(gel(x,2)), prec);
4016 3969 : av = avma; gsincos(x,&s,&c,prec);
4017 3969 : return gerepileupto(av, gdiv(c,s));
4018 :
4019 7 : case t_INT: case t_FRAC:
4020 7 : y = cgetr(prec); av = avma;
4021 7 : affrr_fixlg(mpcotan(tofp_safe(x,prec)), y); return gc_const(av,y);
4022 :
4023 14 : case t_PADIC:
4024 14 : av = avma;
4025 14 : return gerepileupto(av, gdiv(gcos(x,prec), gsin(x,prec)));
4026 :
4027 119 : default:
4028 119 : av = avma; if (!(y = toser_i(x))) break;
4029 112 : if (gequal0(y)) pari_err_DOMAIN("cotan", "argument", "=", gen_0, y);
4030 112 : if (valser(y) < 0) pari_err_DOMAIN("cotan","valuation", "<", gen_0, x);
4031 105 : gsincos(y,&s,&c,prec);
4032 105 : return gerepileupto(av, gdiv(c,s));
4033 : }
4034 7 : return trans_eval("cotan",gcotan,x,prec);
4035 : }
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