Code coverage tests

This page documents the degree to which the PARI/GP source code is tested by our public test suite, distributed with the source distribution in directory src/test/. This is measured by the gcov utility; we then process gcov output using the lcov frond-end.

We test a few variants depending on Configure flags on the pari.math.u-bordeaux.fr machine (x86_64 architecture), and agregate them in the final report:

The target is 90% coverage for all mathematical modules (given that branches depending on DEBUGLEVEL or DEBUGMEM are not covered). This script is run to produce the results below.

LCOV - code coverage report
Current view: top level - basemath - trans1.c (source / functions) Hit Total Coverage
Test: PARI/GP v2.10.0 lcov report (development 20916-a74d914) Lines: 1948 2016 96.6 %
Date: 2017-08-18 06:23:59 Functions: 141 146 96.6 %
Legend: Lines: hit not hit

          Line data    Source code
       1             : /* Copyright (C) 2000  The PARI group.
       2             : 
       3             : This file is part of the PARI/GP package.
       4             : 
       5             : PARI/GP is free software; you can redistribute it and/or modify it under the
       6             : terms of the GNU General Public License as published by the Free Software
       7             : Foundation. It is distributed in the hope that it will be useful, but WITHOUT
       8             : ANY WARRANTY WHATSOEVER.
       9             : 
      10             : Check the License for details. You should have received a copy of it, along
      11             : with the package; see the file 'COPYING'. If not, write to the Free Software
      12             : Foundation, Inc., 51 Franklin Street, Fifth Floor, Boston, MA 02110-1301 USA. */
      13             : 
      14             : /********************************************************************/
      15             : /**                                                                **/
      16             : /**                   TRANSCENDENTAL FUNCTIONS                     **/
      17             : /**                                                                **/
      18             : /********************************************************************/
      19             : #include "pari.h"
      20             : #include "paripriv.h"
      21             : 
      22             : #ifdef LONG_IS_64BIT
      23             : static const long SQRTVERYBIGINT = 3037000500L; /* ceil(sqrt(LONG_MAX)) */
      24             : #else
      25             : static const long SQRTVERYBIGINT = 46341L;
      26             : #endif
      27             : 
      28             : static THREAD GEN gcatalan, geuler, glog2, gpi;
      29             : void
      30       33658 : pari_init_floats(void)
      31             : {
      32       33658 :   gcatalan = geuler = gpi = bernzone = glog2 = NULL;
      33       33658 : }
      34             : 
      35             : void
      36       33688 : pari_close_floats(void)
      37             : {
      38       33688 :   if (gcatalan) gunclone(gcatalan);
      39       33711 :   if (geuler) gunclone(geuler);
      40       33711 :   if (gpi) gunclone(gpi);
      41       33711 :   if (bernzone) gunclone(bernzone);
      42       33711 :   if (glog2) gunclone(glog2);
      43       33711 : }
      44             : 
      45             : /********************************************************************/
      46             : /**                   GENERIC BINARY SPLITTING                     **/
      47             : /**                    (Haible, Papanikolaou)                      **/
      48             : /********************************************************************/
      49             : void
      50        6891 : abpq_init(struct abpq *A, long n)
      51             : {
      52        6891 :   A->a = (GEN*)new_chunk(n+1);
      53        6891 :   A->b = (GEN*)new_chunk(n+1);
      54        6891 :   A->p = (GEN*)new_chunk(n+1);
      55        6891 :   A->q = (GEN*)new_chunk(n+1);
      56        6891 : }
      57             : static GEN
      58      583123 : mulii3(GEN a, GEN b, GEN c) { return mulii(mulii(a,b),c); }
      59             : static GEN
      60      173095 : mulii4(GEN a, GEN b, GEN c, GEN d) { return mulii(mulii(a,b),mulii(c,d)); }
      61             : 
      62             : /* T_{n1,n1+1}, given P = p[n1]p[n1+1] */
      63             : static GEN
      64      173095 : T2(struct abpq *A, long n1, GEN P)
      65             : {
      66      173095 :   GEN u1 = mulii4(A->a[n1], A->p[n1], A->b[n1+1], A->q[n1+1]);
      67      173095 :   GEN u2 = mulii3(A->b[n1],A->a[n1+1], P);
      68      173095 :   return addii(u1, u2);
      69             : }
      70             : 
      71             : /* assume n2 > n1. Compute sum_{n1 <= n < n2} a/b(n) p/q(n1)... p/q(n) */
      72             : void
      73      339375 : abpq_sum(struct abpq_res *r, long n1, long n2, struct abpq *A)
      74             : {
      75             :   struct abpq_res L, R;
      76             :   GEN u1, u2;
      77             :   pari_sp av;
      78             :   long n;
      79      339375 :   switch(n2 - n1)
      80             :   {
      81             :     GEN b, p, q;
      82             :     case 1:
      83          38 :       r->P = A->p[n1];
      84          38 :       r->Q = A->q[n1];
      85          38 :       r->B = A->b[n1];
      86          38 :       r->T = mulii(A->a[n1], A->p[n1]);
      87      173171 :       return;
      88             :     case 2:
      89       95551 :       r->P = mulii(A->p[n1], A->p[n1+1]);
      90       95551 :       r->Q = mulii(A->q[n1], A->q[n1+1]);
      91       95551 :       r->B = mulii(A->b[n1], A->b[n1+1]);
      92       95551 :       av = avma;
      93       95551 :       r->T = gerepileuptoint(av, T2(A, n1, r->P));
      94       95551 :       return;
      95             : 
      96             :     case 3:
      97       77544 :       p = mulii(A->p[n1+1], A->p[n1+2]);
      98       77544 :       q = mulii(A->q[n1+1], A->q[n1+2]);
      99       77544 :       b = mulii(A->b[n1+1], A->b[n1+2]);
     100       77544 :       r->P = mulii(A->p[n1], p);
     101       77544 :       r->Q = mulii(A->q[n1], q);
     102       77544 :       r->B = mulii(A->b[n1], b);
     103       77544 :       av = avma;
     104       77544 :       u1 = mulii3(b, q, A->a[n1]);
     105       77544 :       u2 = mulii(A->b[n1], T2(A, n1+1, p));
     106       77544 :       r->T = gerepileuptoint(av, mulii(A->p[n1], addii(u1, u2)));
     107       77544 :       return;
     108             :   }
     109             : 
     110      166242 :   av = avma;
     111      166242 :   n = (n1 + n2) >> 1;
     112      166242 :   abpq_sum(&L, n1, n, A);
     113      166242 :   abpq_sum(&R, n, n2, A);
     114             : 
     115      166242 :   r->P = mulii(L.P, R.P);
     116      166242 :   r->Q = mulii(L.Q, R.Q);
     117      166242 :   r->B = mulii(L.B, R.B);
     118      166242 :   u1 = mulii3(R.B,R.Q,L.T);
     119      166242 :   u2 = mulii3(L.B,L.P,R.T);
     120      166242 :   r->T = addii(u1,u2);
     121      166242 :   avma = av;
     122      166242 :   r->P = icopy(r->P);
     123      166242 :   r->Q = icopy(r->Q);
     124      166242 :   r->B = icopy(r->B);
     125      166242 :   r->T = icopy(r->T);
     126             : }
     127             : 
     128             : /********************************************************************/
     129             : /**                                                                **/
     130             : /**                               PI                               **/
     131             : /**                                                                **/
     132             : /********************************************************************/
     133             : /* replace *old clone by c. Protect against SIGINT */
     134             : static void
     135        4924 : swap_clone(GEN *old, GEN c)
     136             : {
     137        4924 :   GEN tmp = *old;
     138        4924 :   *old = c;
     139        4924 :   if (tmp) gunclone(tmp);
     140        4924 : }
     141             : 
     142             : /*                         ----
     143             :  *  53360 (640320)^(1/2)   \    (6n)! (545140134 n + 13591409)
     144             :  *  -------------------- = /    ------------------------------
     145             :  *        Pi               ----   (n!)^3 (3n)! (-640320)^(3n)
     146             :  *                         n>=0
     147             :  *
     148             :  * Ramanujan's formula + binary splitting */
     149             : static GEN
     150        2193 : pi_ramanujan(long prec)
     151             : {
     152        2193 :   const ulong B = 545140134, A = 13591409, C = 640320;
     153        2193 :   const double alpha2 = 47.11041314; /* 3log(C/12) / log(2) */
     154             :   long n, nmax, prec2;
     155             :   struct abpq_res R;
     156             :   struct abpq S;
     157             :   GEN D, u;
     158             : 
     159        2193 :   nmax = (long)(1 + prec2nbits(prec)/alpha2);
     160             : #ifdef LONG_IS_64BIT
     161        1867 :   D = utoipos(10939058860032000UL); /* C^3/24 */
     162             : #else
     163         326 :   D = uutoi(2546948UL,495419392UL);
     164             : #endif
     165        2193 :   abpq_init(&S, nmax);
     166        2193 :   S.a[0] = utoipos(A);
     167        2193 :   S.b[0] = S.p[0] = S.q[0] = gen_1;
     168       36798 :   for (n = 1; n <= nmax; n++)
     169             :   {
     170       34605 :     S.a[n] = addiu(muluu(B, n), A);
     171       34605 :     S.b[n] = gen_1;
     172       34605 :     S.p[n] = mulis(muluu(6*n-5, 2*n-1), 1-6*n);
     173       34605 :     S.q[n] = mulii(sqru(n), muliu(D,n));
     174             :   }
     175        2193 :   abpq_sum(&R, 0, nmax, &S); prec2 = prec+EXTRAPRECWORD;
     176        2193 :   u = itor(muliu(R.Q,C/12), prec2);
     177        2193 :   return rtor(mulrr(divri(u, R.T), sqrtr_abs(utor(C,prec2))), prec);
     178             : }
     179             : 
     180             : #if 0 /* Much slower than binary splitting at least up to prec = 10^8 */
     181             : /* Gauss - Brent-Salamin AGM iteration */
     182             : static GEN
     183             : pi_brent_salamin(long prec)
     184             : {
     185             :   GEN A, B, C;
     186             :   pari_sp av2;
     187             :   long i, G;
     188             : 
     189             :   G = - prec2nbits(prec);
     190             :   incrprec(prec);
     191             : 
     192             :   A = real2n(-1, prec);
     193             :   B = sqrtr_abs(A); /* = 1/sqrt(2) */
     194             :   setexpo(A, 0);
     195             :   C = real2n(-2, prec); av2 = avma;
     196             :   for (i = 0;; i++)
     197             :   {
     198             :     GEN y, a, b, B_A = subrr(B, A);
     199             :     pari_sp av3 = avma;
     200             :     if (expo(B_A) < G) break;
     201             :     a = addrr(A,B); shiftr_inplace(a, -1);
     202             :     b = mulrr(A,B);
     203             :     affrr(a, A);
     204             :     affrr(sqrtr_abs(b), B); avma = av3;
     205             :     y = sqrr(B_A); shiftr_inplace(y, i - 2);
     206             :     affrr(subrr(C, y), C); avma = av2;
     207             :   }
     208             :   shiftr_inplace(C, 2);
     209             :   return divrr(sqrr(addrr(A,B)), C);
     210             : }
     211             : GEN
     212             : constpi(long prec)
     213             : {
     214             :   pari_sp av;
     215             :   GEN tmp;
     216             :   if (gpi && realprec(gpi) >= prec) return gpi;
     217             : 
     218             :   tmp = cgetr_block(prec);
     219             :   av = avma;
     220             :   affrr(pi_brent_salamin(prec), tmp);
     221             :   swap_clone(&gpi, tmp);
     222             :   avma = av;  return gpi;
     223             : }
     224             : #endif
     225             : 
     226             : GEN
     227    10884486 : constpi(long prec)
     228             : {
     229             :   pari_sp av;
     230             :   GEN tmp;
     231    10884486 :   if (gpi && realprec(gpi) >= prec) return gpi;
     232             : 
     233        2193 :   av = avma;
     234        2193 :   tmp = gclone(pi_ramanujan(prec));
     235        2193 :   swap_clone(&gpi,tmp);
     236        2193 :   avma = av; return gpi;
     237             : }
     238             : 
     239             : GEN
     240    10883795 : mppi(long prec) { return rtor(constpi(prec), prec); }
     241             : 
     242             : /* Pi * 2^n */
     243             : GEN
     244     4510708 : Pi2n(long n, long prec)
     245             : {
     246     4510708 :   GEN x = mppi(prec); shiftr_inplace(x, n);
     247     4510708 :   return x;
     248             : }
     249             : 
     250             : /* I * Pi * 2^n */
     251             : GEN
     252        9162 : PiI2n(long n, long prec) { retmkcomplex(gen_0, Pi2n(n, prec)); }
     253             : 
     254             : /* 2I * Pi */
     255             : GEN
     256        6132 : PiI2(long prec) { return PiI2n(1, prec); }
     257             : 
     258             : /********************************************************************/
     259             : /**                                                                **/
     260             : /**                       EULER CONSTANT                           **/
     261             : /**                                                                **/
     262             : /********************************************************************/
     263             : 
     264             : GEN
     265       20240 : consteuler(long prec)
     266             : {
     267             :   GEN u,v,a,b,tmpeuler;
     268             :   long l, n1, n, k, x;
     269             :   pari_sp av1, av2;
     270             : 
     271       20240 :   if (geuler && realprec(geuler) >= prec) return geuler;
     272             : 
     273         375 :   av1 = avma; tmpeuler = cgetr_block(prec);
     274             : 
     275         375 :   incrprec(prec);
     276             : 
     277         375 :   l = prec+EXTRAPRECWORD; x = (long) (1 + prec2nbits_mul(l, LOG2/4));
     278         375 :   a = utor(x,l); u=logr_abs(a); setsigne(u,-1); affrr(u,a);
     279         375 :   b = real_1(l);
     280         375 :   v = real_1(l);
     281         375 :   n = (long)(1+3.591*x); /* z=3.591: z*[ ln(z)-1 ]=1 */
     282         375 :   n1 = minss(n, SQRTVERYBIGINT);
     283         375 :   if (x < SQRTVERYBIGINT)
     284             :   {
     285         375 :     ulong xx = x*x;
     286         375 :     av2 = avma;
     287      129730 :     for (k=1; k<n1; k++)
     288             :     {
     289      129355 :       affrr(divru(mulur(xx,b),k*k), b);
     290      129355 :       affrr(divru(addrr(divru(mulur(xx,a),k),b),k), a);
     291      129355 :       affrr(addrr(u,a), u);
     292      129355 :       affrr(addrr(v,b), v); avma = av2;
     293             :     }
     294         750 :     for (   ; k<=n; k++)
     295             :     {
     296         375 :       affrr(divru(divru(mulur(xx,b),k),k), b);
     297         375 :       affrr(divru(addrr(divru(mulur(xx,a),k),b),k), a);
     298         375 :       affrr(addrr(u,a), u);
     299         375 :       affrr(addrr(v,b), v); avma = av2;
     300             :     }
     301             :   }
     302             :   else
     303             :   {
     304           0 :     GEN xx = sqru(x);
     305           0 :     av2 = avma;
     306           0 :     for (k=1; k<n1; k++)
     307             :     {
     308           0 :       affrr(divru(mulir(xx,b),k*k), b);
     309           0 :       affrr(divru(addrr(divru(mulir(xx,a),k),b),k), a);
     310           0 :       affrr(addrr(u,a), u);
     311           0 :       affrr(addrr(v,b), v); avma = av2;
     312             :     }
     313           0 :     for (   ; k<=n; k++)
     314             :     {
     315           0 :       affrr(divru(divru(mulir(xx,b),k),k), b);
     316           0 :       affrr(divru(addrr(divru(mulir(xx,a),k),b),k), a);
     317           0 :       affrr(addrr(u,a), u);
     318           0 :       affrr(addrr(v,b), v); avma = av2;
     319             :     }
     320             :   }
     321         375 :   divrrz(u,v,tmpeuler);
     322         375 :   swap_clone(&geuler,tmpeuler);
     323         375 :   avma = av1; return geuler;
     324             : }
     325             : 
     326             : GEN
     327       20240 : mpeuler(long prec) { return rtor(consteuler(prec), prec); }
     328             : 
     329             : /********************************************************************/
     330             : /**                                                                **/
     331             : /**                       CATALAN CONSTANT                         **/
     332             : /**                                                                **/
     333             : /********************************************************************/
     334             : /* 8G = 3\sum_{n>=0} 1/(binomial(2n,n)(2n+1)^2) + Pi log(2+sqrt(3)) */
     335             : static GEN
     336          14 : catalan(long prec)
     337             : {
     338          14 :   long i, nmax = prec2nbits(prec) >> 1;
     339             :   struct abpq_res R;
     340             :   struct abpq A;
     341             :   GEN u, v;
     342          14 :   abpq_init(&A, nmax);
     343          14 :   A.a[0] = A.b[0] = A.p[0] = A.q[0] = gen_1;
     344        6510 :   for (i = 1; i <= nmax; i++)
     345             :   {
     346        6496 :     A.a[i] = gen_1;
     347        6496 :     A.b[i] = utoipos((i<<1)+1);
     348        6496 :     A.p[i] = utoipos(i);
     349        6496 :     A.q[i] = utoipos((i<<2)+2);
     350             :   }
     351          14 :   abpq_sum(&R, 0, nmax, &A);
     352          14 :   u = mulur(3, rdivii(R.T, mulii(R.B,R.Q),prec));
     353          14 :   v = mulrr(mppi(prec), logr_abs(addrs(sqrtr_abs(utor(3,prec)), 2)));
     354          14 :   u = addrr(u, v); shiftr_inplace(u, -3);
     355          14 :   return u;
     356             : }
     357             : 
     358             : GEN
     359          14 : constcatalan(long prec)
     360             : {
     361          14 :   pari_sp av = avma;
     362             :   GEN tmp;
     363          14 :   if (gcatalan && realprec(gcatalan) >= prec) return gcatalan;
     364          14 :   tmp = gclone(catalan(prec));
     365          14 :   swap_clone(&gcatalan,tmp);
     366          14 :   avma = av; return gcatalan;
     367             : }
     368             : 
     369             : GEN
     370          14 : mpcatalan(long prec) { return rtor(constcatalan(prec), prec); }
     371             : 
     372             : /********************************************************************/
     373             : /**                                                                **/
     374             : /**          TYPE CONVERSION FOR TRANSCENDENTAL FUNCTIONS          **/
     375             : /**                                                                **/
     376             : /********************************************************************/
     377             : static GEN
     378       63226 : transvec(GEN (*f)(GEN,long), GEN x, long prec)
     379             : {
     380             :   long i, l;
     381       63226 :   GEN y = cgetg_copy(x, &l);
     382       63226 :   for (i=1; i<l; i++) gel(y,i) = f(gel(x,i),prec);
     383       63219 :   return y;
     384             : }
     385             : 
     386             : GEN
     387      457580 : trans_eval(const char *fun, GEN (*f)(GEN,long), GEN x, long prec)
     388             : {
     389      457580 :   pari_sp av = avma;
     390      457580 :   if (prec < 3) pari_err_BUG("trans_eval [prec < 3]");
     391      457580 :   switch(typ(x))
     392             :   {
     393      379043 :     case t_INT:    x = f(itor(x,prec),prec); break;
     394       15255 :     case t_FRAC:   x = f(fractor(x, prec),prec); break;
     395           7 :     case t_QUAD:   x = f(quadtofp(x,prec),prec); break;
     396           7 :     case t_POLMOD: x = transvec(f, polmod_to_embed(x,prec), prec); break;
     397             :     case t_VEC:
     398             :     case t_COL:
     399       63219 :     case t_MAT: return transvec(f, x, prec);
     400          49 :     default: pari_err_TYPE(fun,x); return NULL;
     401             :   }
     402      394291 :   return gerepileupto(av, x);
     403             : }
     404             : 
     405             : /*******************************************************************/
     406             : /*                                                                 */
     407             : /*                            POWERING                             */
     408             : /*                                                                 */
     409             : /*******************************************************************/
     410             : /* x a t_REAL 0, return exp(x) */
     411             : static GEN
     412      197564 : mpexp0(GEN x)
     413             : {
     414      197564 :   long e = expo(x);
     415      197564 :   return e >= 0? real_0_bit(e): real_1_bit(-e);
     416             : }
     417             : static GEN
     418        2919 : powr0(GEN x)
     419        2919 : { return signe(x)? real_1(realprec(x)): mpexp0(x); }
     420             : 
     421             : /* x t_POL or t_SER, return scalarpol(RgX_get_1(x)) */
     422             : static GEN
     423      116767 : scalarpol_get_1(GEN x)
     424             : {
     425      116767 :   GEN y = cgetg(3,t_POL);
     426      116767 :   y[1] = evalvarn(varn(x)) | evalsigne(1);
     427      116767 :   gel(y,2) = RgX_get_1(x); return y;
     428             : }
     429             : /* to be called by the generic function gpowgs(x,s) when s = 0 */
     430             : static GEN
     431     3332346 : gpowg0(GEN x)
     432             : {
     433             :   long lx, i;
     434             :   GEN y;
     435             : 
     436     3332346 :   switch(typ(x))
     437             :   {
     438             :     case t_INT: case t_REAL: case t_FRAC: case t_PADIC:
     439      645171 :       return gen_1;
     440             : 
     441           7 :     case t_QUAD: x++; /*fall through*/
     442             :     case t_COMPLEX: {
     443       16139 :       pari_sp av = avma;
     444       16139 :       GEN a = gpowg0(gel(x,1));
     445       16139 :       GEN b = gpowg0(gel(x,2));
     446       16139 :       if (a == gen_1) return b;
     447          14 :       if (b == gen_1) return a;
     448           7 :       return gerepileupto(av, gmul(a,b));
     449             :     }
     450             :     case t_INTMOD:
     451         119 :       y = cgetg(3,t_INTMOD);
     452         119 :       gel(y,1) = icopy(gel(x,1));
     453         119 :       gel(y,2) = is_pm1(gel(x,1))? gen_0: gen_1;
     454         119 :       return y;
     455             : 
     456        5607 :     case t_FFELT: return FF_1(x);
     457             : 
     458             :     case t_POLMOD:
     459         126 :       y = cgetg(3,t_POLMOD);
     460         126 :       gel(y,1) = gcopy(gel(x,1));
     461         126 :       gel(y,2) = scalarpol_get_1(gel(x,1)); return y;
     462             : 
     463             :     case t_RFRAC:
     464           7 :       return scalarpol_get_1(gel(x,2));
     465             :     case t_POL: case t_SER:
     466      116634 :       return scalarpol_get_1(x);
     467             : 
     468             :     case t_MAT:
     469          77 :       lx=lg(x); if (lx==1) return cgetg(1,t_MAT);
     470          70 :       if (lx != lgcols(x)) pari_err_DIM("gpow");
     471          70 :       y = matid(lx-1);
     472          70 :       for (i=1; i<lx; i++) gcoeff(y,i,i) = gpowg0(gcoeff(x,i,i));
     473          70 :       return y;
     474          14 :     case t_QFR: return qfr_1(x);
     475     2548438 :     case t_QFI: return qfi_1(x);
     476           7 :     case t_VECSMALL: return identity_perm(lg(x) - 1);
     477             :   }
     478           7 :   pari_err_TYPE("gpow",x);
     479             :   return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
     480             : }
     481             : 
     482             : static GEN
     483    39902391 : _sqr(void *data /* ignored */, GEN x) { (void)data; return gsqr(x); }
     484             : static GEN
     485    16144141 : _mul(void *data /* ignored */, GEN x, GEN y) { (void)data; return gmul(x,y); }
     486             : static GEN
     487       52671 : _one(void *x) { return gpowg0((GEN) x); }
     488             : static GEN
     489     4619790 : _sqri(void *data /* ignored */, GEN x) { (void)data; return sqri(x); }
     490             : static GEN
     491     3089477 : _muli(void *data /* ignored */, GEN x, GEN y) { (void)data; return mulii(x,y); }
     492             : static GEN
     493     7174412 : _sqrr(void *data /* ignored */, GEN x) { (void)data; return sqrr(x); }
     494             : static GEN
     495     1289133 : _mulr(void *data /* ignored */, GEN x, GEN y) { (void)data; return mulrr(x,y); }
     496             : static GEN
     497       24011 : _oner(void *data /* prec */) { return real_1( *(long*) data); }
     498             : 
     499             : /* INTEGER POWERING (a^n for integer a != 0 and integer n > 0)
     500             :  *
     501             :  * Use left shift binary algorithm (RS is wasteful: multiplies big numbers,
     502             :  * with LS one of them is the base, hence small). Sign of result is set
     503             :  * to s (= 1,-1). Makes life easier for caller, which otherwise might do a
     504             :  * setsigne(gen_1 / gen_m1) */
     505             : static GEN
     506    35876387 : powiu_sign(GEN a, ulong N, long s)
     507             : {
     508             :   pari_sp av;
     509             :   GEN y;
     510             : 
     511    35876387 :   if (lgefint(a) == 3)
     512             :   { /* easy if |a| < 3 */
     513    32058263 :     ulong q = a[2];
     514    32058263 :     if (q == 1) return (s>0)? gen_1: gen_m1;
     515    23645955 :     if (q == 2) { a = int2u(N); setsigne(a,s); return a; }
     516    13696196 :     q = upowuu(q, N);
     517    13696196 :     if (q) return s>0? utoipos(q): utoineg(q);
     518             :   }
     519     4474427 :   if (N <= 2) {
     520     2884357 :     if (N == 2) return sqri(a);
     521       12362 :     a = icopy(a); setsigne(a,s); return a;
     522             :   }
     523     1590070 :   av = avma;
     524     1590070 :   y = gen_powu_i(a, N, NULL, &_sqri, &_muli);
     525     1590070 :   setsigne(y,s); return gerepileuptoint(av, y);
     526             : }
     527             : /* a^n */
     528             : GEN
     529    35769723 : powiu(GEN a, ulong n)
     530             : {
     531             :   long s;
     532    35769723 :   if (!n) return gen_1;
     533    35334728 :   s = signe(a);
     534    35334728 :   if (!s) return gen_0;
     535    35322421 :   return powiu_sign(a, n, (s < 0 && odd(n))? -1: 1);
     536             : }
     537             : GEN
     538    22116500 : powis(GEN a, long n)
     539             : {
     540             :   long s;
     541             :   GEN t, y;
     542    22116500 :   if (n >= 0) return powiu(a, n);
     543      106879 :   s = signe(a);
     544      106879 :   if (!s) pari_err_INV("powis",gen_0);
     545      106879 :   t = (s < 0 && odd(n))? gen_m1: gen_1;
     546      106879 :   if (is_pm1(a)) return t;
     547             :   /* n < 0, |a| > 1 */
     548      106718 :   y = cgetg(3,t_FRAC);
     549      106718 :   gel(y,1) = t;
     550      106718 :   gel(y,2) = powiu_sign(a, -n, 1); /* force denominator > 0 */
     551      106718 :   return y;
     552             : }
     553             : GEN
     554    24030449 : powuu(ulong p, ulong N)
     555             : {
     556    24030449 :   pari_sp av = avma;
     557    24030449 :   long P[] = {evaltyp(t_INT)|_evallg(3), evalsigne(1)|evallgefint(3),0};
     558             :   ulong pN;
     559             :   GEN y;
     560    24030449 :   if (N <= 2)
     561             :   {
     562    17964985 :     if (N == 2) return sqru(p);
     563    15711858 :     if (N == 1) return utoipos(p);
     564     3426654 :     return gen_1;
     565             :   }
     566     6065464 :   if (!p) return gen_0;
     567     6065464 :   pN = upowuu(p, N);
     568     6065464 :   if (pN) return utoipos(pN);
     569      745088 :   if (p == 2) return int2u(N);
     570      744365 :   P[2] = p; av = avma;
     571      744365 :   y = gen_powu_i(P, N, NULL, &_sqri, &_muli);
     572      744365 :   return gerepileuptoint(av, y);
     573             : }
     574             : 
     575             : /* return 0 if overflow */
     576             : static ulong
     577     5094761 : usqru(ulong p) { return p & HIGHMASK? 0: p*p; }
     578             : ulong
     579    25321877 : upowuu(ulong p, ulong k)
     580             : {
     581             : #ifdef LONG_IS_64BIT
     582    21716976 :   const ulong CUTOFF3 = 2642245;
     583    21716976 :   const ulong CUTOFF4 = 65535;
     584    21716976 :   const ulong CUTOFF5 = 7131;
     585    21716976 :   const ulong CUTOFF6 = 1625;
     586    21716976 :   const ulong CUTOFF7 = 565;
     587    21716976 :   const ulong CUTOFF8 = 255;
     588    21716976 :   const ulong CUTOFF9 = 138;
     589    21716976 :   const ulong CUTOFF10 = 84;
     590    21716976 :   const ulong CUTOFF11 = 56;
     591    21716976 :   const ulong CUTOFF12 = 40;
     592    21716976 :   const ulong CUTOFF13 = 30;
     593    21716976 :   const ulong CUTOFF14 = 23;
     594    21716976 :   const ulong CUTOFF15 = 19;
     595    21716976 :   const ulong CUTOFF16 = 15;
     596    21716976 :   const ulong CUTOFF17 = 13;
     597    21716976 :   const ulong CUTOFF18 = 11;
     598    21716976 :   const ulong CUTOFF19 = 10;
     599    21716976 :   const ulong CUTOFF20 =  9;
     600             : #else
     601     3604901 :   const ulong CUTOFF3 = 1625;
     602     3604901 :   const ulong CUTOFF4 =  255;
     603     3604901 :   const ulong CUTOFF5 =   84;
     604     3604901 :   const ulong CUTOFF6 =   40;
     605     3604901 :   const ulong CUTOFF7 =   23;
     606     3604901 :   const ulong CUTOFF8 =   15;
     607     3604901 :   const ulong CUTOFF9 =   11;
     608     3604901 :   const ulong CUTOFF10 =   9;
     609     3604901 :   const ulong CUTOFF11 =   7;
     610     3604901 :   const ulong CUTOFF12 =   6;
     611     3604901 :   const ulong CUTOFF13 =   5;
     612     3604901 :   const ulong CUTOFF14 =   4;
     613     3604901 :   const ulong CUTOFF15 =   4;
     614     3604901 :   const ulong CUTOFF16 =   3;
     615     3604901 :   const ulong CUTOFF17 =   3;
     616     3604901 :   const ulong CUTOFF18 =   3;
     617     3604901 :   const ulong CUTOFF19 =   3;
     618     3604901 :   const ulong CUTOFF20 =   3;
     619             : #endif
     620             : 
     621    25321877 :   if (p <= 2)
     622             :   {
     623     2125302 :     if (p < 2) return p;
     624     1221962 :     return k < BITS_IN_LONG? 1UL<<k: 0;
     625             :   }
     626    23196575 :   switch(k)
     627             :   {
     628             :     ulong p2, p3, p4, p5, p8;
     629     1791754 :     case 0:  return 1;
     630     8071246 :     case 1:  return p;
     631     5094762 :     case 2:  return usqru(p);
     632     2127333 :     case 3:  if (p > CUTOFF3) return 0; return p*p*p;
     633     1008759 :     case 4:  if (p > CUTOFF4) return 0; p2=p*p; return p2*p2;
     634     2382867 :     case 5:  if (p > CUTOFF5) return 0; p2=p*p; return p2*p2*p;
     635      562631 :     case 6:  if (p > CUTOFF6) return 0; p2=p*p; return p2*p2*p2;
     636      145941 :     case 7:  if (p > CUTOFF7) return 0; p2=p*p; return p2*p2*p2*p;
     637      132884 :     case 8:  if (p > CUTOFF8) return 0; p2=p*p; p4=p2*p2; return p4*p4;
     638      208848 :     case 9:  if (p > CUTOFF9) return 0; p2=p*p; p4=p2*p2; return p4*p4*p;
     639       72451 :     case 10: if (p > CUTOFF10)return 0; p2=p*p; p4=p2*p2; return p4*p4*p2;
     640       35986 :     case 11: if (p > CUTOFF11)return 0; p2=p*p; p4=p2*p2; return p4*p4*p2*p;
     641       54160 :     case 12: if (p > CUTOFF12)return 0; p2=p*p; p4=p2*p2; return p4*p4*p4;
     642       77571 :     case 13: if (p > CUTOFF13)return 0; p2=p*p; p4=p2*p2; return p4*p4*p4*p;
     643       67649 :     case 14: if (p > CUTOFF14)return 0; p2=p*p; p4=p2*p2; return p4*p4*p4*p2;
     644       86365 :     case 15: if (p > CUTOFF15)return 0;
     645       19089 :       p2=p*p; p3=p2*p; p5=p3*p2; return p5*p5*p5;
     646       61367 :     case 16: if (p > CUTOFF16)return 0;
     647       15609 :       p2=p*p; p4=p2*p2; p8=p4*p4; return p8*p8;
     648       35221 :     case 17: if (p > CUTOFF17)return 0;
     649       10275 :       p2=p*p; p4=p2*p2; p8=p4*p4; return p*p8*p8;
     650       24801 :     case 18: if (p > CUTOFF18)return 0;
     651        7371 :       p2=p*p; p4=p2*p2; p8=p4*p4; return p2*p8*p8;
     652      729615 :     case 19: if (p > CUTOFF19)return 0;
     653      715964 :       p2=p*p; p4=p2*p2; p8=p4*p4; return p*p2*p8*p8;
     654       13597 :     case 20: if (p > CUTOFF20)return 0;
     655        4389 :       p2=p*p; p4=p2*p2; p8=p4*p4; return p4*p8*p8;
     656             :   }
     657             : #ifdef LONG_IS_64BIT
     658      351387 :   switch(p)
     659             :   {
     660       35946 :     case 3: if (k > 40) return 0;
     661       21816 :       break;
     662         876 :     case 4: if (k > 31) return 0;
     663          90 :       return 1UL<<(2*k);
     664       16341 :     case 5: if (k > 27) return 0;
     665        3651 :       break;
     666         756 :     case 6: if (k > 24) return 0;
     667          42 :       break;
     668       10422 :     case 7: if (k > 22) return 0;
     669        1056 :       break;
     670      287046 :     default: return 0;
     671             :   }
     672             :   /* no overflow */
     673             :   {
     674       26565 :     ulong q = upowuu(p, k >> 1);
     675       26565 :     q *= q ;
     676       26565 :     return odd(k)? q*p: q;
     677             :   }
     678             : #else
     679       59380 :   return 0;
     680             : #endif
     681             : }
     682             : 
     683             : typedef struct {
     684             :   long prec, a;
     685             :   GEN (*sqr)(GEN);
     686             :   GEN (*mulug)(ulong,GEN);
     687             : } sr_muldata;
     688             : 
     689             : static GEN
     690      473837 : _rpowuu_sqr(void *data, GEN x)
     691             : {
     692      473837 :   sr_muldata *D = (sr_muldata *)data;
     693      473837 :   if (typ(x) == t_INT && lgefint(x) >= D->prec)
     694             :   { /* switch to t_REAL */
     695       18794 :     D->sqr   = &sqrr;
     696       18794 :     D->mulug = &mulur; x = itor(x, D->prec);
     697             :   }
     698      473837 :   return D->sqr(x);
     699             : }
     700             : 
     701             : static GEN
     702      181591 : _rpowuu_msqr(void *data, GEN x)
     703             : {
     704      181591 :   GEN x2 = _rpowuu_sqr(data, x);
     705      181591 :   sr_muldata *D = (sr_muldata *)data;
     706      181591 :   return D->mulug(D->a, x2);
     707             : }
     708             : 
     709             : /* return a^n as a t_REAL of precision prec. Assume a > 0, n > 0 */
     710             : GEN
     711      127027 : rpowuu(ulong a, ulong n, long prec)
     712             : {
     713             :   pari_sp av;
     714             :   GEN y, z;
     715             :   sr_muldata D;
     716             : 
     717      127027 :   if (a == 1) return real_1(prec);
     718      127027 :   if (a == 2) return real2n(n, prec);
     719      127027 :   if (n == 1) return utor(a, prec);
     720      126208 :   z = cgetr(prec);
     721      126208 :   av = avma;
     722      126208 :   D.sqr   = &sqri;
     723      126208 :   D.mulug = &mului;
     724      126208 :   D.prec = prec;
     725      126208 :   D.a = (long)a;
     726      126208 :   y = gen_powu_fold_i(utoipos(a), n, (void*)&D, &_rpowuu_sqr, &_rpowuu_msqr);
     727      126208 :   mpaff(y, z); avma = av; return z;
     728             : }
     729             : 
     730             : GEN
     731     5352354 : powrs(GEN x, long n)
     732             : {
     733     5352354 :   pari_sp av = avma;
     734             :   GEN y;
     735     5352354 :   if (!n) return powr0(x);
     736     5352354 :   y = gen_powu_i(x, (ulong)labs(n), NULL, &_sqrr, &_mulr);
     737     5352354 :   if (n < 0) y = invr(y);
     738     5352354 :   return gerepileuptoleaf(av,y);
     739             : }
     740             : GEN
     741      624209 : powru(GEN x, ulong n)
     742             : {
     743      624209 :   pari_sp av = avma;
     744             :   GEN y;
     745      624209 :   if (!n) return powr0(x);
     746      621794 :   y = gen_powu_i(x, n, NULL, &_sqrr, &_mulr);
     747      621794 :   return gerepileuptoleaf(av,y);
     748             : }
     749             : 
     750             : GEN
     751       24011 : powersr(GEN x, long n)
     752             : {
     753       24011 :   long prec = realprec(x);
     754       24011 :   return gen_powers(x, n, 1, &prec, &_sqrr, &_mulr, &_oner);
     755             : }
     756             : 
     757             : /* x^(s/2), assume x t_REAL */
     758             : GEN
     759           0 : powrshalf(GEN x, long s)
     760             : {
     761           0 :   if (s & 1) return sqrtr(powrs(x, s));
     762           0 :   return powrs(x, s>>1);
     763             : }
     764             : /* x^(s/2), assume x t_REAL */
     765             : GEN
     766       22471 : powruhalf(GEN x, ulong s)
     767             : {
     768       22471 :   if (s & 1) return sqrtr(powru(x, s));
     769        6342 :   return powru(x, s>>1);
     770             : }
     771             : /* x^(n/d), assume x t_REAL, return t_REAL */
     772             : GEN
     773         504 : powrfrac(GEN x, long n, long d)
     774             : {
     775             :   long z;
     776         504 :   if (!n) return powr0(x);
     777           0 :   z = cgcd(n, d); if (z > 1) { n /= z; d /= z; }
     778           0 :   if (d == 1) return powrs(x, n);
     779           0 :   x = powrs(x, n);
     780           0 :   if (d == 2) return sqrtr(x);
     781           0 :   return sqrtnr(x, d);
     782             : }
     783             : 
     784             : /* assume x != 0 */
     785             : static GEN
     786      464133 : pow_monome(GEN x, long n)
     787             : {
     788      464133 :   long i, d, dx = degpol(x);
     789             :   GEN A, b, y;
     790             : 
     791      464133 :   if (n < 0) { n = -n; y = cgetg(3, t_RFRAC); } else y = NULL;
     792             : 
     793      464133 :   if (HIGHWORD(dx) || HIGHWORD(n))
     794           8 :   {
     795             :     LOCAL_HIREMAINDER;
     796           9 :     d = (long)mulll((ulong)dx, (ulong)n);
     797           9 :     if (hiremainder || (d &~ LGBITS)) d = LGBITS; /* overflow */
     798           9 :     d += 2;
     799             :   }
     800             :   else
     801      464124 :     d = dx*n + 2;
     802      464133 :   if ((d + 1) & ~LGBITS) pari_err(e_OVERFLOW,"pow_monome [degree]");
     803      464126 :   A = cgetg(d+1, t_POL); A[1] = x[1];
     804      464126 :   for (i=2; i < d; i++) gel(A,i) = gen_0;
     805      464126 :   b = gpowgs(gel(x,dx+2), n); /* not memory clean if (n < 0) */
     806      464126 :   if (!y) y = A;
     807             :   else {
     808       20433 :     GEN c = denom(b);
     809       20433 :     gel(y,1) = c; if (c != gen_1) b = gmul(b,c);
     810       20433 :     gel(y,2) = A;
     811             :   }
     812      464126 :   gel(A,d) = b; return y;
     813             : }
     814             : 
     815             : /* x t_PADIC */
     816             : static GEN
     817       41188 : powps(GEN x, long n)
     818             : {
     819       41188 :   long e = n*valp(x), v;
     820       41188 :   GEN t, y, mod, p = gel(x,2);
     821             :   pari_sp av;
     822             : 
     823       41188 :   if (!signe(gel(x,4))) {
     824          84 :     if (n < 0) pari_err_INV("powps",x);
     825          77 :     return zeropadic(p, e);
     826             :   }
     827       41104 :   v = z_pval(n, p);
     828             : 
     829       41104 :   y = cgetg(5,t_PADIC);
     830       41104 :   mod = gel(x,3);
     831       41104 :   if (v == 0) mod = icopy(mod);
     832             :   else
     833             :   {
     834       40054 :     if (precp(x) == 1 && absequaliu(p, 2)) v++;
     835       40054 :     mod = mulii(mod, powiu(p,v));
     836       40054 :     mod = gerepileuptoint((pari_sp)y, mod);
     837             :   }
     838       41104 :   y[1] = evalprecp(precp(x) + v) | evalvalp(e);
     839       41104 :   gel(y,2) = icopy(p);
     840       41104 :   gel(y,3) = mod;
     841             : 
     842       41104 :   av = avma; t = gel(x,4);
     843       41104 :   if (n < 0) { t = Fp_inv(t, mod); n = -n; }
     844       41104 :   t = Fp_powu(t, n, mod);
     845       41104 :   gel(y,4) = gerepileuptoint(av, t);
     846       41104 :   return y;
     847             : }
     848             : /* x t_PADIC */
     849             : static GEN
     850         161 : powp(GEN x, GEN n)
     851             : {
     852             :   long v;
     853         161 :   GEN y, mod, p = gel(x,2);
     854             : 
     855         161 :   if (valp(x)) pari_err_OVERFLOW("valp()");
     856             : 
     857         161 :   if (!signe(gel(x,4))) {
     858          14 :     if (signe(n) < 0) pari_err_INV("powp",x);
     859           7 :     return zeropadic(p, 0);
     860             :   }
     861         147 :   v = Z_pval(n, p);
     862             : 
     863         147 :   y = cgetg(5,t_PADIC);
     864         147 :   mod = gel(x,3);
     865         147 :   if (v == 0) mod = icopy(mod);
     866             :   else
     867             :   {
     868          70 :     mod = mulii(mod, powiu(p,v));
     869          70 :     mod = gerepileuptoint((pari_sp)y, mod);
     870             :   }
     871         147 :   y[1] = evalprecp(precp(x) + v) | _evalvalp(0);
     872         147 :   gel(y,2) = icopy(p);
     873         147 :   gel(y,3) = mod;
     874         147 :   gel(y,4) = Fp_pow(gel(x,4), n, mod);
     875         147 :   return y;
     876             : }
     877             : static GEN
     878       26690 : pow_polmod(GEN x, GEN n)
     879             : {
     880       26690 :   GEN z = cgetg(3, t_POLMOD), a = gel(x,2), T = gel(x,1);
     881       26690 :   gel(z,1) = gcopy(T);
     882       26690 :   if (typ(a) != t_POL || varn(a) != varn(T) || lg(a) <= 3)
     883        1211 :     a = powgi(a, n);
     884             :   else {
     885       25479 :     pari_sp av = avma;
     886       25479 :     GEN p = NULL;
     887       25479 :     if (RgX_is_FpX(T, &p) && RgX_is_FpX(a, &p) && p)
     888             :     {
     889        7602 :       T = RgX_to_FpX(T, p); a = RgX_to_FpX(a, p);
     890        7602 :       if (lgefint(p) == 3)
     891             :       {
     892        7595 :         ulong pp = p[2];
     893        7595 :         a = Flxq_pow(ZX_to_Flx(a, pp), n, ZX_to_Flx(T, pp), pp);
     894        7595 :         a = Flx_to_ZX(a);
     895             :       }
     896             :       else
     897           7 :         a = FpXQ_pow(a, n, T, p);
     898        7602 :       a = FpX_to_mod(a, p);
     899        7602 :       a = gerepileupto(av, a);
     900             :     }
     901             :     else
     902             :     {
     903       17877 :       avma = av;
     904       17877 :       a = RgXQ_pow(a, n, gel(z,1));
     905             :     }
     906             :   }
     907       26690 :   gel(z,2) = a; return z;
     908             : }
     909             : 
     910             : GEN
     911    95628353 : gpowgs(GEN x, long n)
     912             : {
     913             :   long m;
     914             :   pari_sp av;
     915             :   GEN y;
     916             : 
     917    95628353 :   if (n == 0) return gpowg0(x);
     918    92381103 :   if (n == 1)
     919    45244364 :     switch (typ(x)) {
     920      757177 :       case t_QFI: return redimag(x);
     921          14 :       case t_QFR: return redreal(x);
     922    44487173 :       default: return gcopy(x);
     923             :     }
     924    47136739 :   if (n ==-1) return ginv(x);
     925    43499162 :   switch(typ(x))
     926             :   {
     927    22070505 :     case t_INT: return powis(x,n);
     928     5351843 :     case t_REAL: return powrs(x,n);
     929             :     case t_INTMOD:
     930       21056 :       y = cgetg(3,t_INTMOD); gel(y,1) = icopy(gel(x,1));
     931       21056 :       gel(y,2) = Fp_pows(gel(x,2), n, gel(x,1));
     932       21056 :       return y;
     933             :     case t_FRAC:
     934             :     {
     935      223627 :       GEN a = gel(x,1), b = gel(x,2);
     936      223627 :       long s = (signe(a) < 0 && odd(n))? -1: 1;
     937      223627 :       if (n < 0) {
     938          14 :         n = -n;
     939          14 :         if (is_pm1(a)) return powiu_sign(b, n, s); /* +-1/x[2] inverts to t_INT */
     940           7 :         swap(a, b);
     941             :       }
     942      223620 :       y = cgetg(3, t_FRAC);
     943      223620 :       gel(y,1) = powiu_sign(a, n, s);
     944      223620 :       gel(y,2) = powiu_sign(b, n, 1);
     945      223620 :       return y;
     946             :     }
     947       41188 :     case t_PADIC: return powps(x, n);
     948             :     case t_RFRAC:
     949             :     {
     950      195685 :       av = avma; y = cgetg(3, t_RFRAC); m = labs(n);
     951      195685 :       gel(y,1) = gpowgs(gel(x,1),m);
     952      195685 :       gel(y,2) = gpowgs(gel(x,2),m);
     953      195685 :       if (n < 0) y = ginv(y);
     954      195685 :       return gerepileupto(av,y);
     955             :     }
     956             :     case t_POLMOD: {
     957       26683 :       long N[] = {evaltyp(t_INT) | _evallg(3),0,0};
     958       26683 :       affsi(n,N); return pow_polmod(x, N);
     959             :     }
     960             :     case t_POL:
     961      508177 :       if (RgX_is_monomial(x)) return pow_monome(x, n);
     962             :     default: {
     963    15104442 :       pari_sp av = avma;
     964    15104442 :       y = gen_powu_i(x, (ulong)labs(n), NULL, &_sqr, &_mul);
     965    15104444 :       if (n < 0) y = ginv(y);
     966    15104444 :       return gerepileupto(av,y);
     967             :     }
     968             :   }
     969             : }
     970             : 
     971             : /* n a t_INT */
     972             : GEN
     973    83315160 : powgi(GEN x, GEN n)
     974             : {
     975             :   GEN y;
     976             : 
     977    83315160 :   if (!is_bigint(n)) return gpowgs(x, itos(n));
     978             :   /* probable overflow for non-modular types (typical exception: (X^0)^N) */
     979         340 :   switch(typ(x))
     980             :   {
     981             :     case t_INTMOD:
     982          49 :       y = cgetg(3,t_INTMOD); gel(y,1) = icopy(gel(x,1));
     983          49 :       gel(y,2) = Fp_pow(gel(x,2), n, gel(x,1));
     984          49 :       return y;
     985          58 :     case t_FFELT: return FF_pow(x,n);
     986         161 :     case t_PADIC: return powp(x, n);
     987             : 
     988             :     case t_INT:
     989          35 :       if (is_pm1(x)) return (signe(x) < 0 && mpodd(n))? gen_m1: gen_1;
     990          14 :       if (signe(x)) pari_err_OVERFLOW("lg()");
     991           7 :       if (signe(n) < 0) pari_err_INV("powgi",gen_0);
     992           7 :       return gen_0;
     993             :     case t_FRAC:
     994           7 :       pari_err_OVERFLOW("lg()");
     995             : 
     996          14 :     case t_QFR: return qfrpow(x, n);
     997           7 :     case t_POLMOD: return pow_polmod(x, n);
     998             :     default: {
     999           9 :       pari_sp av = avma;
    1000           9 :       y = gen_pow(x, n, NULL, &_sqr, &_mul);
    1001           9 :       if (signe(n) < 0) y = ginv(y);
    1002           9 :       return gerepileupto(av,y);
    1003             :     }
    1004             :   }
    1005             : }
    1006             : 
    1007             : /* Assume x = 1 + O(t), n a scalar. Return x^n */
    1008             : static GEN
    1009         203 : ser_pow_1(GEN x, GEN n)
    1010             : {
    1011             :   long lx, mi, i, j, d;
    1012         203 :   GEN y = cgetg_copy(x, &lx), X = x+2, Y = y + 2;
    1013         203 :   y[1] = evalsigne(1) | _evalvalp(0) | evalvarn(varn(x));
    1014         203 :   d = mi = lx-3; while (mi>=1 && isrationalzero(gel(X,mi))) mi--;
    1015         203 :   gel(Y,0) = gen_1;
    1016        2009 :   for (i=1; i<=d; i++)
    1017             :   {
    1018        1806 :     pari_sp av = avma;
    1019        1806 :     GEN s = gen_0;
    1020       15344 :     for (j=1; j<=minss(i,mi); j++)
    1021             :     {
    1022       13538 :       GEN t = gsubgs(gmulgs(n,j),i-j);
    1023       13538 :       s = gadd(s, gmul(gmul(t, gel(X,j)), gel(Y,i-j)));
    1024             :     }
    1025        1806 :     gel(Y,i) = gerepileupto(av, gdivgs(s,i));
    1026             :   }
    1027         203 :   return y;
    1028             : }
    1029             : 
    1030             : /* we suppose n != 0, valp(x) = 0 and leading-term(x) != 0. Not stack clean */
    1031             : static GEN
    1032         203 : ser_pow(GEN x, GEN n, long prec)
    1033             : {
    1034             :   GEN y, c, lead;
    1035         203 :   if (varncmp(gvar(n), varn(x)) <= 0) return gexp(gmul(n, glog(x,prec)), prec);
    1036         203 :   lead = gel(x,2);
    1037         203 :   if (gequal1(lead)) return ser_pow_1(x, n);
    1038          91 :   x = ser_normalize(x);
    1039          91 :   if (typ(n) == t_FRAC && !isinexact(lead) && ispower(lead, gel(n,2), &c))
    1040          84 :     c = powgi(c, gel(n,1));
    1041             :   else
    1042           7 :     c = gpow(lead,n, prec);
    1043          91 :   y = gmul(c, ser_pow_1(x, n));
    1044             :   /* gpow(t_POLMOD,n) can be a t_COL [conjvec] */
    1045          91 :   if (typ(y) != t_SER) pari_err_TYPE("gpow", y);
    1046          91 :   return y;
    1047             : }
    1048             : 
    1049             : static long
    1050         217 : val_from_i(GEN E)
    1051             : {
    1052         217 :   if (is_bigint(E)) pari_err_OVERFLOW("sqrtn [valuation]");
    1053         210 :   return itos(E);
    1054             : }
    1055             : 
    1056             : /* return x^q, assume typ(x) = t_SER, typ(q) = t_INT/t_FRAC and q != 0 */
    1057             : static GEN
    1058         224 : ser_powfrac(GEN x, GEN q, long prec)
    1059             : {
    1060         224 :   GEN y, E = gmulsg(valp(x), q);
    1061             :   long e;
    1062             : 
    1063         224 :   if (!signe(x))
    1064             :   {
    1065          21 :     if (gsigne(q) < 0) pari_err_INV("gpow", x);
    1066          21 :     return zeroser(varn(x), val_from_i(gfloor(E)));
    1067             :   }
    1068         203 :   if (typ(E) != t_INT)
    1069           7 :     pari_err_DOMAIN("sqrtn", "valuation", "!=", mkintmod(gen_0, gel(q,2)), x);
    1070         196 :   e = val_from_i(E);
    1071         196 :   y = leafcopy(x); setvalp(y, 0);
    1072         196 :   y = ser_pow(y, q, prec);
    1073         196 :   setvalp(y, e); return y;
    1074             : }
    1075             : 
    1076             : static GEN
    1077         126 : gpow0(GEN x, GEN n, long prec)
    1078             : {
    1079         126 :   pari_sp av = avma;
    1080             :   long i, lx;
    1081             :   GEN y;
    1082         126 :   switch(typ(n))
    1083             :   {
    1084             :     case t_INT: case t_REAL: case t_FRAC: case t_COMPLEX: case t_QUAD:
    1085          84 :       break;
    1086             :     case t_VEC: case t_COL: case t_MAT:
    1087          35 :       y = cgetg_copy(n, &lx);
    1088          35 :       for (i=1; i<lx; i++) gel(y,i) = gpow0(x,gel(n,i),prec);
    1089          35 :       return y;
    1090           7 :     default: pari_err_TYPE("gpow(0,n)", n);
    1091             :   }
    1092          84 :   n = real_i(n);
    1093          84 :   if (gsigne(n) <= 0) pari_err_DOMAIN("gpow(0,n)", "n", "<=", gen_0, n);
    1094          77 :   if (!precision(x)) return gcopy(x);
    1095             : 
    1096          14 :   x = ground(gmulsg(gexpo(x),n));
    1097          14 :   if (is_bigint(x) || uel(x,2) >= HIGHEXPOBIT)
    1098           7 :     pari_err_OVERFLOW("gpow");
    1099           7 :   avma = av; return real_0_bit(itos(x));
    1100             : }
    1101             : 
    1102             : GEN
    1103    13132186 : gpow(GEN x, GEN n, long prec)
    1104             : {
    1105    13132186 :   long prec0, i, lx, tx, tn = typ(n);
    1106             :   pari_sp av;
    1107             :   GEN y;
    1108             : 
    1109    13132186 :   if (tn == t_INT) return powgi(x,n);
    1110     2156601 :   tx = typ(x);
    1111     2156601 :   if (is_matvec_t(tx))
    1112             :   {
    1113          49 :     y = cgetg_copy(x, &lx);
    1114          49 :     for (i=1; i<lx; i++) gel(y,i) = gpow(gel(x,i),n,prec);
    1115          49 :     return y;
    1116             :   }
    1117     2156552 :   av = avma;
    1118     2156552 :   switch (tx)
    1119             :   {
    1120          14 :     case t_POL: case t_RFRAC: x = toser_i(x); /* fall through */
    1121             :     case t_SER:
    1122          84 :       if (tn == t_FRAC) return gerepileupto(av, ser_powfrac(x, n, prec));
    1123          35 :       if (valp(x))
    1124          21 :         pari_err_DOMAIN("gpow [irrational exponent]",
    1125             :                         "valuation", "!=", gen_0, x);
    1126          14 :       if (lg(x) == 2) return gerepilecopy(av, x); /* O(1) */
    1127           7 :       return gerepileupto(av, ser_pow(x, n, prec));
    1128             :   }
    1129     2156468 :   if (gequal0(x)) return gpow0(x, n, prec);
    1130     2156412 :   if (tn == t_FRAC)
    1131             :   {
    1132     1864458 :     GEN z, d = gel(n,2), a = gel(n,1);
    1133             :     long D;
    1134     1864458 :     switch (tx)
    1135             :     {
    1136             :     case t_INTMOD:
    1137             :       {
    1138          21 :         GEN p = gel(x,1);
    1139          21 :         if (!BPSW_psp(p)) pari_err_PRIME("gpow",p);
    1140          14 :         y = cgetg(3,t_INTMOD); gel(y,1) = icopy(p);
    1141          14 :         av = avma;
    1142          14 :         z = Fp_sqrtn(gel(x,2), d, p, NULL);
    1143          14 :         if (!z) pari_err_SQRTN("gpow",x);
    1144           7 :         gel(y,2) = gerepileuptoint(av, Fp_pow(z, a, p));
    1145           7 :         return y;
    1146             :       }
    1147             : 
    1148             :     case t_PADIC:
    1149          14 :       z = Qp_sqrtn(x, d, NULL); if (!z) pari_err_SQRTN("gpow",x);
    1150           7 :       return gerepileupto(av, powgi(z, a));
    1151             : 
    1152             :     case t_FFELT:
    1153          21 :       return gerepileupto(av,FF_pow(FF_sqrtn(x,d,NULL),a));
    1154             :     default:
    1155     1864402 :       D = itos_or_0(d);
    1156     1864402 :       if (!D) break;
    1157     1864402 :       if (D == 2)
    1158             :       {
    1159     1632720 :         GEN y = gsqrt(x,prec), t = shifti(subiu(a,1), -1);
    1160     1632720 :         if (signe(t)) y = gmul(y, powgi(x,t));
    1161     1632720 :         return gerepileupto(av, y);
    1162             :       }
    1163      231682 :       if (is_real_t(tx) && gsigne(x) > 0)
    1164             :       {
    1165      230797 :         if (tx != t_REAL) x = gtofp(x, prec);
    1166      230797 :         z = sqrtnr(x, D);
    1167      230797 :         if (!equali1(a)) z = powgi(z, a);
    1168      230797 :         return gerepileuptoleaf(av, z);
    1169             :       }
    1170             :     }
    1171             :   }
    1172      292839 :   i = precision(n);
    1173      292839 :   if (i) prec = i;
    1174      292839 :   prec0 = prec;
    1175      292839 :   if (!gprecision(x) && typ(n) != t_PADIC)
    1176             :   {
    1177       37581 :     long e = gexpo(n);
    1178       37553 :     if (e > 2) prec += nbits2extraprec(e); /* branch avoided if n = 0 */
    1179             :   }
    1180      292811 :   y = gmul(n, glog(x,prec));
    1181      292783 :   y = gexp(y,prec);
    1182      292783 :   if (prec0 == prec) return gerepileupto(av, y);
    1183       31890 :   return gerepilecopy(av, gprec_wtrunc(y,prec0));
    1184             : }
    1185             : 
    1186             : GEN
    1187       25245 : gpowers0(GEN x, long n, GEN x0)
    1188             : {
    1189             :   long i, l;
    1190             :   GEN V;
    1191       25245 :   if (!x0) return gpowers(x,n);
    1192       25217 :   if (n < 0) return cgetg(1,t_VEC);
    1193       25217 :   l = n+2; V = cgetg(l, t_VEC); gel(V,1) = gcopy(x0);
    1194       25217 :   for (i = 2; i < l; i++) gel(V,i) = gmul(gel(V,i-1),x);
    1195       25217 :   return V;
    1196             : }
    1197             : 
    1198             : GEN
    1199       52678 : gpowers(GEN x, long n)
    1200             : {
    1201       52678 :   if (n < 0) return cgetg(1,t_VEC);
    1202       52671 :   return gen_powers(x, n, 1, (void*)x, &_sqr, &_mul, &_one);
    1203             : }
    1204             : 
    1205             : /* return [q^1,q^4,...,q^{n^2}] */
    1206             : GEN
    1207       22872 : gsqrpowers(GEN q, long n)
    1208             : {
    1209       22872 :   pari_sp av = avma;
    1210       22872 :   GEN L = gpowers0(gsqr(q), n, q); /* L[i] = q^(2i - 1), i <= n+1 */
    1211       22872 :   GEN v = cgetg(n+1, t_VEC);
    1212             :   long i;
    1213       22872 :   gel(v, 1) = gcopy(q);
    1214       22872 :   for (i = 2; i <= n ; ++i) gel(v, i) = q = gmul(q, gel(L,i)); /* q^(i^2) */
    1215       22872 :   return gerepileupto(av, v);
    1216             : }
    1217             : 
    1218             : /* 4 | N. returns a vector RU which contains exp(2*i*k*Pi/N), k=0..N-1 */
    1219             : static GEN
    1220       74580 : grootsof1_4(long N, long prec)
    1221             : {
    1222       74580 :   GEN z, RU = cgetg(N+1,t_VEC), *v  = ((GEN*)RU) + 1;
    1223       74580 :   long i, N2 = (N>>1), N4 = (N>>2), N8 = (N>>3);
    1224             :   /* z^N2 = -1, z^N4 = I; if z^k = a+I*b, then z^(N4-k) = I*conj(z) = b+a*I */
    1225             : 
    1226       74580 :   v[0] = gen_1; v[1] = z = rootsof1u_cx(N, prec);
    1227       74580 :   if (odd(N4)) N8++;
    1228       99686 :   for (i=1; i<N8; i++)
    1229             :   {
    1230       25106 :     GEN t = v[i];
    1231       25106 :     v[i+1] = gmul(z, t);
    1232       25106 :     v[N4-i] = mkcomplex(gel(t,2), gel(t,1));
    1233             :   }
    1234       74580 :   for (i=0; i<N4; i++) v[i+N4] = mulcxI(v[i]);
    1235       74580 :   for (i=0; i<N2; i++) v[i+N2] = gneg(v[i]);
    1236       74580 :   return RU;
    1237             : }
    1238             : 
    1239             : /* as above, N arbitrary */
    1240             : GEN
    1241       88206 : grootsof1(long N, long prec)
    1242             : {
    1243             :   GEN z, RU, *v;
    1244             :   long i, k;
    1245             : 
    1246       88206 :   if ((N & 3) == 0) return grootsof1_4(N, prec);
    1247       13626 :   if (N == 1) return mkvec(gen_1);
    1248       13619 :   k = (N+3)>>1;
    1249       13619 :   RU = cgetg(N+1,t_VEC);
    1250       13619 :   v  = ((GEN*)RU) + 1;
    1251       13619 :   v[0] = gen_1; v[1] = z = rootsof1u_cx(N, prec);
    1252       13619 :   for (i=2; i<k; i++) v[i] = gmul(z, v[i-1]);
    1253       13619 :   for (   ; i<N; i++) v[i] = gconj(v[N-i]);
    1254       13619 :   return RU;
    1255             : }
    1256             : 
    1257             : /********************************************************************/
    1258             : /**                                                                **/
    1259             : /**                        RACINE CARREE                           **/
    1260             : /**                                                                **/
    1261             : /********************************************************************/
    1262             : /* assume x unit, e = precp(x) */
    1263             : GEN
    1264        1477 : Z2_sqrt(GEN x, long e)
    1265             : {
    1266        1477 :   ulong r = signe(x)>=0?mod16(x):16-mod16(x);
    1267             :   GEN z;
    1268             :   long ez;
    1269             :   pari_sp av;
    1270             : 
    1271        1477 :   switch(e)
    1272             :   {
    1273           7 :     case 1: return gen_1;
    1274         119 :     case 2: return (r & 3UL) == 1? gen_1: NULL;
    1275          14 :     case 3: return (r & 7UL) == 1? gen_1: NULL;
    1276          70 :     case 4: if (r == 1) return gen_1;
    1277          35 :             else return (r == 9)? utoipos(3): NULL;
    1278        1267 :     default: if ((r&7UL) != 1) return NULL;
    1279             :   }
    1280        1267 :   av = avma; z = (r==1)? gen_1: utoipos(3);
    1281        1267 :   ez = 3; /* number of correct bits in z (compared to sqrt(x)) */
    1282             :   for(;;)
    1283             :   {
    1284             :     GEN mod;
    1285        4634 :     ez = (ez<<1) - 1;
    1286        4634 :     if (ez > e) ez = e;
    1287        4634 :     mod = int2n(ez);
    1288        4634 :     z = addii(z, remi2n(mulii(x, Fp_inv(z,mod)), ez));
    1289        4634 :     z = shifti(z, -1); /* (z + x/z) / 2 */
    1290        4634 :     if (e == ez) return gerepileuptoint(av, z);
    1291        3367 :     if (ez < e) ez--;
    1292        3367 :     if (gc_needed(av,2))
    1293             :     {
    1294           0 :       if (DEBUGMEM > 1) pari_warn(warnmem,"Qp_sqrt");
    1295           0 :       z = gerepileuptoint(av,z);
    1296             :     }
    1297        3367 :   }
    1298             : }
    1299             : 
    1300             : /* x unit defined modulo p^e, e > 0 */
    1301             : GEN
    1302        1736 : Qp_sqrt(GEN x)
    1303             : {
    1304        1736 :   long pp, e = valp(x);
    1305        1736 :   GEN z,y,mod, p = gel(x,2);
    1306             : 
    1307        1736 :   if (gequal0(x)) return zeropadic(p, (e+1) >> 1);
    1308        1736 :   if (e & 1) return NULL;
    1309             : 
    1310        1722 :   y = cgetg(5,t_PADIC);
    1311        1722 :   pp = precp(x);
    1312        1722 :   mod = gel(x,3);
    1313        1722 :   z   = gel(x,4); /* lift to t_INT */
    1314        1722 :   e >>= 1;
    1315        1722 :   z = Zp_sqrt(z, p, pp);
    1316        1722 :   if (!z) return NULL;
    1317        1673 :   if (absequaliu(p,2))
    1318             :   {
    1319         805 :     pp  = (pp <= 3) ? 1 : pp-1;
    1320         805 :     mod = int2n(pp);
    1321             :   }
    1322         868 :   else mod = icopy(mod);
    1323        1673 :   y[1] = evalprecp(pp) | evalvalp(e);
    1324        1673 :   gel(y,2) = icopy(p);
    1325        1673 :   gel(y,3) = mod;
    1326        1673 :   gel(y,4) = z; return y;
    1327             : }
    1328             : 
    1329             : GEN
    1330         350 : Zn_sqrt(GEN d, GEN fn)
    1331             : {
    1332         350 :   pari_sp ltop = avma, btop;
    1333         350 :   GEN b = gen_0, m = gen_1;
    1334             :   long j, np;
    1335         350 :   if (typ(d) != t_INT) pari_err_TYPE("Zn_sqrt",d);
    1336         350 :   if (typ(fn) == t_INT)
    1337           0 :     fn = absZ_factor(fn);
    1338         350 :   else if (!is_Z_factorpos(fn))
    1339           0 :     pari_err_TYPE("Zn_sqrt",fn);
    1340         350 :   np = nbrows(fn);
    1341         350 :   btop = avma;
    1342        2800 :   for (j = 1; j <= np; ++j)
    1343             :   {
    1344             :     GEN  bp, mp, pr, r;
    1345        1050 :     GEN  p = gcoeff(fn, j, 1);
    1346        1050 :     long e = itos(gcoeff(fn, j, 2));
    1347        1050 :     long v = Z_pvalrem(d,p,&r);
    1348        1050 :     if (v >= e) bp =gen_0;
    1349             :     else
    1350             :     {
    1351         952 :       if (odd(v)) return NULL;
    1352         952 :       bp = Zp_sqrt(r, p, e-v);
    1353         952 :       if (!bp)    return NULL;
    1354         952 :       if (v) bp = mulii(bp, powiu(p, v>>1L));
    1355             :     }
    1356        1050 :     mp = powiu(p, e);
    1357        1050 :     pr = mulii(m, mp);
    1358        1050 :     b = Z_chinese_coprime(b, bp, m, mp, pr);
    1359        1050 :     m = pr;
    1360        1050 :     if (gc_needed(btop, 1))
    1361           0 :       gerepileall(btop, 2, &b, &m);
    1362             :   }
    1363         350 :   return gerepileupto(ltop, b);
    1364             : }
    1365             : 
    1366             : static GEN
    1367        1638 : sqrt_ser(GEN b, long prec)
    1368             : {
    1369        1638 :   long e = valp(b), vx = varn(b), lx, lold, j;
    1370             :   ulong mask;
    1371             :   GEN a, x, lta, ltx;
    1372             : 
    1373        1638 :   if (!signe(b)) return zeroser(vx, e>>1);
    1374        1638 :   a = leafcopy(b);
    1375        1638 :   x = cgetg_copy(b, &lx);
    1376        1638 :   if (e & 1)
    1377           7 :     pari_err_DOMAIN("sqrtn", "valuation", "!=", mkintmod(gen_0, gen_2), x);
    1378        1631 :   a[1] = x[1] = evalsigne(1) | evalvarn(0) | _evalvalp(0);
    1379        1631 :   lta = gel(a,2);
    1380        1631 :   if (gequal1(lta)) ltx = lta;
    1381          91 :   else if (!issquareall(lta,&ltx)) ltx = gsqrt(lta,prec);
    1382        1631 :   gel(x,2) = ltx;
    1383        1631 :   for (j = 3; j < lx; j++) gel(x,j) = gen_0;
    1384        1631 :   setlg(x,3);
    1385        1631 :   mask = quadratic_prec_mask(lx - 2);
    1386        1631 :   lold = 1;
    1387        8571 :   while (mask > 1)
    1388             :   {
    1389        5309 :     GEN y, x2 = gmul2n(x,1);
    1390        5309 :     long l = lold << 1, lx;
    1391             : 
    1392        5309 :     if (mask & 1) l--;
    1393        5309 :     mask >>= 1;
    1394        5309 :     setlg(a, l + 2);
    1395        5309 :     setlg(x, l + 2);
    1396        5309 :     y = sqr_ser_part(x, lold, l-1) - lold;
    1397        5309 :     for (j = lold+2; j < l+2; j++) gel(y,j) = gsub(gel(y,j), gel(a,j));
    1398        5309 :     y += lold; setvalp(y, lold);
    1399        5309 :     y = normalize(y);
    1400        5309 :     y = gsub(x, gdiv(y, x2)); /* = gmul2n(gsub(x, gdiv(a,x)), -1); */
    1401        5309 :     lx = minss(l+2, lg(y));
    1402        5309 :     for (j = lold+2; j < lx; j++) gel(x,j) = gel(y,j);
    1403        5309 :     lold = l;
    1404             :   }
    1405        1631 :   x[1] = evalsigne(1) | evalvarn(vx) | _evalvalp(e >> 1);
    1406        1631 :   return x;
    1407             : }
    1408             : 
    1409             : GEN
    1410     7684511 : gsqrt(GEN x, long prec)
    1411             : {
    1412             :   pari_sp av;
    1413             :   GEN y;
    1414             : 
    1415     7684511 :   switch(typ(x))
    1416             :   {
    1417             :     case t_INT:
    1418     2262848 :       if (!signe(x)) return real_0(prec); /* no loss of accuracy */
    1419     2262841 :       x = itor(x,prec); /* fall through */
    1420     7221867 :     case t_REAL: return sqrtr(x);
    1421             : 
    1422             :     case t_INTMOD:
    1423             :     {
    1424          35 :       GEN p = gel(x,1), a;
    1425          35 :       y = cgetg(3,t_INTMOD); gel(y,1) = icopy(p);
    1426          35 :       a = Fp_sqrt(gel(x,2),p);
    1427          21 :       if (!a)
    1428             :       {
    1429           7 :         if (!BPSW_psp(p)) pari_err_PRIME("sqrt [modulus]",p);
    1430           7 :         pari_err_SQRTN("gsqrt",x);
    1431             :       }
    1432          14 :       gel(y,2) = a; return y;
    1433             :     }
    1434             : 
    1435             :     case t_COMPLEX:
    1436             :     { /* (u+iv)^2 = a+ib <=> u^2+v^2 = sqrt(a^2+b^2), u^2-v^2=a, 2uv=b */
    1437      445828 :       GEN a = gel(x,1), b = gel(x,2), r, u, v;
    1438      445828 :       if (isrationalzero(b)) return gsqrt(a, prec);
    1439      445828 :       y = cgetg(3,t_COMPLEX); av = avma;
    1440             : 
    1441      445828 :       r = cxnorm(x);
    1442      445828 :       if (typ(r) == t_INTMOD) pari_err_IMPL("sqrt(complex of t_INTMODs)");
    1443      445828 :       r = gsqrt(r, prec); /* t_REAL, |a+Ib| */
    1444      445828 :       if (!signe(r))
    1445         117 :         u = v = gerepileuptoleaf(av, sqrtr(r));
    1446      445711 :       else if (gsigne(a) < 0)
    1447             :       {
    1448             :         /* v > 0 since r > 0, a < 0, rounding errors can't make the sum of two
    1449             :          * positive numbers = 0 */
    1450       47748 :         v = sqrtr( gmul2n(gsub(r,a), -1) );
    1451       47748 :         if (gsigne(b) < 0) togglesign(v);
    1452       47748 :         v = gerepileuptoleaf(av, v); av = avma;
    1453             :         /* v = 0 is impossible */
    1454       47748 :         u = gerepileuptoleaf(av, gdiv(b, shiftr(v,1)));
    1455             :       } else {
    1456      397963 :         u = sqrtr( gmul2n(gadd(r,a), -1) );
    1457      397963 :         u = gerepileuptoleaf(av, u); av = avma;
    1458      397963 :         if (!signe(u)) /* possible if a = 0.0, e.g. sqrt(0.e-10+1e-10*I) */
    1459           7 :           v = u;
    1460             :         else
    1461      397956 :           v = gerepileuptoleaf(av, gdiv(b, shiftr(u,1)));
    1462             :       }
    1463      445828 :       gel(y,1) = u;
    1464      445828 :       gel(y,2) = v; return y;
    1465             :     }
    1466             : 
    1467             :     case t_PADIC:
    1468          49 :       y = Qp_sqrt(x);
    1469          49 :       if (!y) pari_err_SQRTN("Qp_sqrt",x);
    1470          28 :       return y;
    1471             : 
    1472          70 :     case t_FFELT: return FF_sqrt(x);
    1473             : 
    1474             :     default:
    1475       16655 :       av = avma; if (!(y = toser_i(x))) break;
    1476        1638 :       return gerepilecopy(av, sqrt_ser(y, prec));
    1477             :   }
    1478       15017 :   return trans_eval("sqrt",gsqrt,x,prec);
    1479             : }
    1480             : /********************************************************************/
    1481             : /**                                                                **/
    1482             : /**                          N-th ROOT                             **/
    1483             : /**                                                                **/
    1484             : /********************************************************************/
    1485             : static void
    1486           7 : bug_logp(GEN p)
    1487             : {
    1488           7 :   if (!BPSW_psp(p)) pari_err_PRIME("p-adic log",p);
    1489           0 :   pari_err_BUG("log_p");
    1490           0 : }
    1491             : /* Let x = 1 mod p and y := (x-1)/(x+1) = 0 (p). Then
    1492             :  * log(x) = log(1+y) - log(1-y) = 2 \sum_{k odd} y^k / k.
    1493             :  * palogaux(x) returns the last sum (not multiplied by 2) */
    1494             : static GEN
    1495       24801 : palogaux(GEN x)
    1496             : {
    1497             :   long i, k, e, pp, t;
    1498       24801 :   GEN y,s,y2, p = gel(x,2);
    1499       24801 :   int is2 = absequaliu(p,2);
    1500             : 
    1501       24801 :   y = subiu(gel(x,4), 1);
    1502       24801 :   if (!signe(y))
    1503             :   {
    1504         854 :     long v = valp(x)+precp(x);
    1505         854 :     if (is2) v--;
    1506         854 :     return zeropadic(p, v);
    1507             :   }
    1508             :   /* optimize t: log(x) = log(x^(p^t)) / p^t */
    1509       23947 :   e = Z_pval(y, p); /* valp(y) = e >= 1; precp(y) = precp(x)-e */
    1510       23947 :   if (!e) bug_logp(p);
    1511       23940 :   if (is2)
    1512        2492 :     t = sqrt( (double)(precp(x)-e) / e ); /* instead of (2*e) */
    1513             :   else
    1514       21448 :     t = sqrt( (double)(precp(x)-e) / (e * (expi(p) + hammingweight(p))) );
    1515       23940 :   for (i = 0; i < t; i++) x = gpow(x, p, 0);
    1516             : 
    1517       23940 :   y = gdiv(gaddgs(x,-1), gaddgs(x,1));
    1518       23940 :   e = valp(y); /* > 0 */
    1519       23940 :   if (e <= 0) bug_logp(p);
    1520       23940 :   pp = precp(y) + e;
    1521       23940 :   if (is2) pp--;
    1522             :   else
    1523             :   {
    1524             :     GEN p1;
    1525       21448 :     for (p1=utoipos(e); abscmpui(pp,p1) > 0; pp++) p1 = mulii(p1, p);
    1526       21448 :     pp -= 2;
    1527             :   }
    1528       23940 :   k = pp/e; if (!odd(k)) k--;
    1529       23940 :   if (DEBUGLEVEL>5)
    1530           0 :     err_printf("logp: [pp,k,e,t] = [%ld,%ld,%ld,%ld]\n",pp,k,e,t);
    1531       23940 :   if (k > 1)
    1532             :   {
    1533       22799 :     y2 = gsqr(y); s = gdivgs(gen_1,k);
    1534      123045 :     while (k > 2)
    1535             :     {
    1536       77447 :       k -= 2;
    1537       77447 :       s = gadd(gmul(y2,s), gdivgs(gen_1,k));
    1538             :     }
    1539       22799 :     y = gmul(s,y);
    1540             :   }
    1541       23940 :   if (t) setvalp(y, valp(y) - t);
    1542       23940 :   return y;
    1543             : }
    1544             : 
    1545             : GEN
    1546       24808 : Qp_log(GEN x)
    1547             : {
    1548       24808 :   pari_sp av = avma;
    1549       24808 :   GEN y, p = gel(x,2), a = gel(x,4);
    1550             : 
    1551       24808 :   if (!signe(a)) pari_err_DOMAIN("Qp_log", "argument", "=", gen_0, x);
    1552       24801 :   y = leafcopy(x); setvalp(y,0);
    1553       24801 :   if (absequaliu(p,2))
    1554        2954 :     y = palogaux(gsqr(y));
    1555       21847 :   else if (gequal1(modii(a, p)))
    1556       12901 :     y = gmul2n(palogaux(y), 1);
    1557             :   else
    1558             :   { /* compute log(x^(p-1)) / (p-1) */
    1559        8946 :     GEN mod = gel(y,3), p1 = subiu(p,1);
    1560        8946 :     gel(y,4) = Fp_pow(a, p1, mod);
    1561        8946 :     p1 = diviiexact(subsi(1,mod), p1); /* 1/(p-1) */
    1562        8946 :     y = gmul(palogaux(y), shifti(p1,1));
    1563             :   }
    1564       24794 :   return gerepileupto(av,y);
    1565             : }
    1566             : 
    1567             : static GEN Qp_exp_safe(GEN x);
    1568             : 
    1569             : /*compute the p^e th root of x p-adic, assume x != 0 */
    1570             : static GEN
    1571         854 : Qp_sqrtn_ram(GEN x, long e)
    1572             : {
    1573         854 :   pari_sp ltop=avma;
    1574         854 :   GEN a, p = gel(x,2), n = powiu(p,e);
    1575         854 :   long v = valp(x), va;
    1576         854 :   if (v)
    1577             :   {
    1578             :     long z;
    1579         161 :     v = sdivsi_rem(v, n, &z);
    1580         161 :     if (z) return NULL;
    1581          91 :     x = leafcopy(x);
    1582          91 :     setvalp(x,0);
    1583             :   }
    1584             :   /*If p = 2, -1 is a root of 1 in U1: need extra check*/
    1585         784 :   if (absequaliu(p, 2) && mod8(gel(x,4)) != 1) return NULL;
    1586         749 :   a = Qp_log(x);
    1587         749 :   va = valp(a) - e;
    1588         749 :   if (va <= 0)
    1589             :   {
    1590         287 :     if (signe(gel(a,4))) return NULL;
    1591             :     /* all accuracy lost */
    1592         119 :     a = cvtop(remii(gel(x,4),p), p, 1);
    1593             :   }
    1594             :   else
    1595             :   {
    1596         462 :     setvalp(a, va); /* divide by p^e */
    1597         462 :     a = Qp_exp_safe(a);
    1598         462 :     if (!a) return NULL;
    1599             :     /* n=p^e and a^n=z*x where z is a (p-1)th-root of 1.
    1600             :      * Since z^n=z, we have (a/z)^n = x. */
    1601         462 :     a = gdiv(x, powgi(a,subiu(n,1))); /* = a/z = x/a^(n-1)*/
    1602         462 :     if (v) setvalp(a,v);
    1603             :   }
    1604         581 :   return gerepileupto(ltop,a);
    1605             : }
    1606             : 
    1607             : /*compute the nth root of x p-adic p prime with n*/
    1608             : static GEN
    1609         616 : Qp_sqrtn_unram(GEN x, GEN n, GEN *zetan)
    1610             : {
    1611             :   pari_sp av;
    1612         616 :   GEN Z, a, r, p = gel(x,2);
    1613         616 :   long v = valp(x);
    1614         616 :   if (v)
    1615             :   {
    1616             :     long z;
    1617          84 :     v = sdivsi_rem(v,n,&z);
    1618          84 :     if (z) return NULL;
    1619             :   }
    1620         609 :   r = cgetp(x); setvalp(r,v);
    1621         609 :   Z = NULL; /* -Wall */
    1622         609 :   if (zetan) Z = cgetp(x);
    1623         609 :   av = avma; a = Fp_sqrtn(gel(x,4), n, p, zetan);
    1624         609 :   if (!a) return NULL;
    1625         595 :   affii(Zp_sqrtnlift(gel(x,4), n, a, p, precp(x)), gel(r,4));
    1626         595 :   if (zetan)
    1627             :   {
    1628          14 :     affii(Zp_sqrtnlift(gen_1, n, *zetan, p, precp(x)), gel(Z,4));
    1629          14 :     *zetan = Z;
    1630             :   }
    1631         595 :   avma = av; return r;
    1632             : }
    1633             : 
    1634             : GEN
    1635        1183 : Qp_sqrtn(GEN x, GEN n, GEN *zetan)
    1636             : {
    1637             :   pari_sp av, tetpil;
    1638             :   GEN q, p;
    1639             :   long e;
    1640        1183 :   if (absequaliu(n, 2))
    1641             :   {
    1642          70 :     if (zetan) *zetan = gen_m1;
    1643          70 :     if (signe(n) < 0) x = ginv(x);
    1644          63 :     return Qp_sqrt(x);
    1645             :   }
    1646        1113 :   av = avma; p = gel(x,2);
    1647        1113 :   if (!signe(gel(x,4)))
    1648             :   {
    1649         203 :     if (signe(n) < 0) pari_err_INV("Qp_sqrtn", x);
    1650         203 :     q = divii(addis(n, valp(x)-1), n);
    1651         203 :     if (zetan) *zetan = gen_1;
    1652         203 :     avma = av; return zeropadic(p, itos(q));
    1653             :   }
    1654             :   /* treat the ramified part using logarithms */
    1655         910 :   e = Z_pvalrem(n, p, &q);
    1656         910 :   if (e) { x = Qp_sqrtn_ram(x,e); if (!x) return NULL; }
    1657         637 :   if (is_pm1(q))
    1658             :   { /* finished */
    1659          21 :     if (signe(q) < 0) x = ginv(x);
    1660          21 :     x = gerepileupto(av, x);
    1661          21 :     if (zetan)
    1662          28 :       *zetan = (e && absequaliu(p, 2))? gen_m1 /*-1 in Q_2*/
    1663          21 :                                    : gen_1;
    1664          21 :     return x;
    1665             :   }
    1666         616 :   tetpil = avma;
    1667             :   /* use hensel lift for unramified case */
    1668         616 :   x = Qp_sqrtn_unram(x, q, zetan);
    1669         616 :   if (!x) return NULL;
    1670         595 :   if (zetan)
    1671             :   {
    1672             :     GEN *gptr[2];
    1673          14 :     if (e && absequaliu(p, 2))/*-1 in Q_2*/
    1674             :     {
    1675           7 :       tetpil = avma; x = gcopy(x); *zetan = gneg(*zetan);
    1676             :     }
    1677          14 :     gptr[0] = &x; gptr[1] = zetan;
    1678          14 :     gerepilemanysp(av,tetpil,gptr,2);
    1679          14 :     return x;
    1680             :   }
    1681         581 :   return gerepile(av,tetpil,x);
    1682             : }
    1683             : 
    1684             : GEN
    1685       10803 : sqrtnint(GEN a, long n)
    1686             : {
    1687       10803 :   pari_sp ltop = avma;
    1688             :   GEN x, b, q;
    1689             :   long s, k, e;
    1690       10803 :   const ulong nm1 = n - 1;
    1691       10803 :   if (typ(a) != t_INT) pari_err_TYPE("sqrtnint",a);
    1692       10803 :   if (n <= 0) pari_err_DOMAIN("sqrtnint", "n", "<=", gen_0, stoi(n));
    1693       10796 :   if (n == 1) return icopy(a);
    1694       10796 :   s = signe(a);
    1695       10796 :   if (s < 0) pari_err_DOMAIN("sqrtnint", "x", "<", gen_0, a);
    1696       10789 :   if (!s) return gen_0;
    1697       10789 :   if (lgefint(a) == 3) return utoi(usqrtn(itou(a), n));
    1698       10360 :   e = expi(a); k = e/(2*n);
    1699       10360 :   if (k == 0)
    1700             :   {
    1701             :     long flag;
    1702         291 :     if (n > e) {avma = ltop; return gen_1;}
    1703         291 :     flag = cmpii(a, powuu(3, n)); avma = ltop;
    1704         291 :     return (flag < 0) ? gen_2: stoi(3);
    1705             :   }
    1706       10069 :   if (e < n*(BITS_IN_LONG - 1))
    1707             :   {
    1708             :     ulong s, xs, qs;
    1709        2864 :     s = 1 + e/n; xs = 1UL << s;
    1710        2864 :     qs = itou(shifti(a, -nm1*s));
    1711       20270 :     while (qs < xs) {
    1712       14549 :       xs -= (xs - qs + nm1)/n;
    1713       14549 :       q = divii(a, powuu(xs, nm1));
    1714       14549 :       if (lgefint(q) > 3) break;
    1715       14542 :       qs = itou(q);
    1716             :     }
    1717        2864 :     return utoi(xs);
    1718             :   }
    1719        7205 :   b = addui(1, shifti(a, -n*k));
    1720        7205 :   x = shifti(addui(1, sqrtnint(b, n)), k);
    1721        7205 :   q = divii(a, powiu(x, nm1));
    1722       22892 :   while (cmpii(q, x) < 0) /* a priori one iteration, no GC necessary */
    1723             :   {
    1724        8482 :     x = subii(x, divis(addui(nm1, subii(x, q)), n));
    1725        8482 :     q = divii(a, powiu(x, nm1));
    1726             :   }
    1727        7205 :   return gerepileuptoleaf(ltop, x);
    1728             : }
    1729             : 
    1730             : ulong
    1731         429 : usqrtn(ulong a, ulong n)
    1732             : {
    1733             :   ulong x, s, q;
    1734         429 :   const ulong nm1 = n - 1;
    1735         429 :   if (!n) pari_err_DOMAIN("sqrtnint", "n", "=", gen_0, utoi(n));
    1736         429 :   if (n == 1 || a == 0) return a;
    1737         429 :   s = 1 + expu(a)/n; x = 1UL << s;
    1738         429 :   q = (nm1*s >= BITS_IN_LONG)? 0: a >> (nm1*s);
    1739        1694 :   while (q < x) {
    1740             :     ulong X;
    1741         836 :     x -= (x - q + nm1)/n;
    1742         836 :     X = upowuu(x, nm1);
    1743         836 :     q = X? a/X: 0;
    1744             :   }
    1745         429 :   return x;
    1746             : }
    1747             : 
    1748             : static ulong
    1749      209680 : cubic_prec_mask(long n)
    1750             : {
    1751      209680 :   long a = n, i;
    1752      209680 :   ulong mask = 0;
    1753     1173610 :   for(i = 1;; i++, mask *= 3)
    1754             :   {
    1755     1173610 :     long c = a%3;
    1756     1173610 :     if (c) mask += 3 - c;
    1757     1173610 :     a = (a+2)/3;
    1758     1383290 :     if (a==1) return mask + upowuu(3, i);
    1759      963930 :   }
    1760             : }
    1761             : 
    1762             : /* cubic Newton iteration, |a|^(1/n), assuming a != 0 */
    1763             : GEN
    1764      284880 : sqrtnr_abs(GEN a, long n)
    1765             : {
    1766             :   pari_sp av;
    1767             :   GEN x, b;
    1768             :   long eold, n1, n2, prec, B, v;
    1769             :   ulong mask;
    1770             : 
    1771      284880 :   if (n == 1) return mpabs(a);
    1772      284314 :   if (n == 2) return sqrtr_abs(a);
    1773             : 
    1774      265701 :   prec = realprec(a);
    1775      265701 :   B = prec2nbits(prec);
    1776      265701 :   n1 = n+1;
    1777      265701 :   n2 = 2*n; av = avma;
    1778      265701 :   v = expo(a) / n;
    1779      265701 :   if (v) a = shiftr(a, -n*v);
    1780             : 
    1781      265701 :   b = rtor(a, LOWDEFAULTPREC);
    1782      265701 :   x = mpexp(divru(logr_abs(b), n));
    1783      265701 :   if (prec == LOWDEFAULTPREC)
    1784             :   {
    1785       64903 :     if (v) shiftr_inplace(x, v);
    1786       64903 :     return gerepileuptoleaf(av, x);
    1787             :   }
    1788      200798 :   mask = cubic_prec_mask(B + BITS_IN_LONG-1);
    1789      200798 :   eold = 1;
    1790             :   for(;;)
    1791             :   { /* reach BITS_IN_LONG */
    1792      965891 :     long enew = eold * 3;
    1793      965891 :     enew -= mask % 3;
    1794      965891 :     if (enew > BITS_IN_LONG) break; /* back up one step */
    1795      765093 :     mask /= 3;
    1796      765093 :     eold = enew;
    1797      765093 :   }
    1798             :   for(;;)
    1799             :   {
    1800      361702 :     long pr, enew = eold * 3;
    1801             :     GEN y, z;
    1802      361702 :     enew -= mask % 3;
    1803      361702 :     mask /= 3;
    1804      361702 :     pr = nbits2prec(enew);
    1805      361702 :     b = rtor(a, pr); setsigne(b,1);
    1806      361702 :     x = rtor(x, pr);
    1807      361702 :     y = subrr(powru(x, n), b);
    1808      361702 :     z = divrr(y, addrr(mulur(n1, y), mulur(n2, b)));
    1809      361702 :     shiftr_inplace(z,1);
    1810      361702 :     x = mulrr(x, subsr(1,z));
    1811      361702 :     if (mask == 1)
    1812             :     {
    1813      200798 :       if (v) shiftr_inplace(x, v);
    1814      200798 :       return gerepileuptoleaf(av, gprec_wtrunc(x,prec));
    1815             :     }
    1816      160904 :     eold = enew;
    1817      160904 :   }
    1818             : }
    1819             : 
    1820             : static void
    1821       12141 : shiftc_inplace(GEN z, long d)
    1822             : {
    1823       12141 :   shiftr_inplace(gel(z,1), d);
    1824       12141 :   shiftr_inplace(gel(z,2), d);
    1825       12141 : }
    1826             : 
    1827             : /* exp(2*Pi*I/n), same iteration as sqrtnr_abs, different initial point */
    1828             : static GEN
    1829       74642 : sqrtnof1(ulong n, long prec)
    1830             : {
    1831             :   pari_sp av;
    1832             :   GEN x;
    1833             :   long eold, n1, n2, B;
    1834             :   ulong mask;
    1835             : 
    1836       74642 :   B = prec2nbits(prec);
    1837       74642 :   n1 = n+1;
    1838       74642 :   n2 = 2*n; av = avma;
    1839             : 
    1840       74642 :   x = expIr(divru(Pi2n(1, LOWDEFAULTPREC), n));
    1841       74642 :   if (prec == LOWDEFAULTPREC) return gerepileupto(av, x);
    1842        8882 :   mask = cubic_prec_mask(B + BITS_IN_LONG-1);
    1843        8882 :   eold = 1;
    1844             :   for(;;)
    1845             :   { /* reach BITS_IN_LONG */
    1846       43556 :     long enew = eold * 3;
    1847       43556 :     enew -= mask % 3;
    1848       43556 :     if (enew > BITS_IN_LONG) break; /* back up one step */
    1849       34674 :     mask /= 3;
    1850       34674 :     eold = enew;
    1851       34674 :   }
    1852             :   for(;;)
    1853             :   {
    1854       12141 :     long pr, enew = eold * 3;
    1855             :     GEN y, z;
    1856       12141 :     enew -= mask % 3;
    1857       12141 :     mask /= 3;
    1858       12141 :     pr = nbits2prec(enew);
    1859       12141 :     x = cxtofp(x, pr);
    1860       12141 :     y = gsub(gpowgs(x, n), gen_1);
    1861       12141 :     z = gdiv(y, gaddgs(gmulsg(n1, y), n2));
    1862       12141 :     shiftc_inplace(z,1);
    1863       12141 :     x = gmul(x, gsubsg(1, z));
    1864       12141 :     if (mask == 1) return gerepileupto(av, gprec_w(x,prec));
    1865        3259 :     eold = enew;
    1866        3259 :   }
    1867             : }
    1868             : 
    1869             : /* exp(2iPi/d) */
    1870             : GEN
    1871      168063 : rootsof1u_cx(ulong n, long prec)
    1872             : {
    1873      168063 :   switch(n)
    1874             :   {
    1875          21 :     case 1: return gen_1;
    1876       11165 :     case 2: return gen_m1;
    1877       26322 :     case 4: return gen_I();
    1878             :     case 3: case 6: case 12:
    1879             :     {
    1880        2462 :       pari_sp av = avma;
    1881        2462 :       GEN a = (n == 3)? mkfrac(gen_m1,gen_2): ghalf;
    1882        2462 :       GEN sq3 = sqrtr_abs(utor(3, prec));
    1883        2462 :       shiftr_inplace(sq3, -1);
    1884        2462 :       a = (n == 12)? mkcomplex(sq3, a): mkcomplex(a, sq3);
    1885        2462 :       return gerepilecopy(av, a);
    1886             :     }
    1887             :     case 8:
    1888             :     {
    1889       53451 :       pari_sp av = avma;
    1890       53451 :       GEN sq2 = sqrtr_abs(utor(2, prec));
    1891       53451 :       shiftr_inplace(sq2,-1);
    1892       53451 :       return gerepilecopy(av, mkcomplex(sq2, sq2));
    1893             :     }
    1894             :   }
    1895       74642 :   return sqrtnof1(n, prec);
    1896             : }
    1897             : /* e(a/b) */
    1898             : GEN
    1899           0 : rootsof1q_cx(long a, long b, long prec)
    1900             : {
    1901           0 :   long g = cgcd(a,b);
    1902             :   GEN z;
    1903           0 :   if (g != 1) { a /= g; b /= g; }
    1904           0 :   if (b < 0) { b = -b; a = -a; }
    1905           0 :   z = rootsof1u_cx(b, prec);
    1906           0 :   if (a < 0) { z = gconj(z); a = -a; }
    1907           0 :   return gpowgs(z, a);
    1908             : }
    1909             : 
    1910             : /* initializes powers of e(a/b) */
    1911             : GEN
    1912           0 : rootsof1powinit(long a, long b, long prec)
    1913             : {
    1914           0 :   long g = cgcd(a,b);
    1915           0 :   if (g != 1) { a /= g; b /= g; }
    1916           0 :   if (b < 0) { b = -b; a = -a; }
    1917           0 :   a %= b; if (a < 0) a += b;
    1918           0 :   return mkvec2(grootsof1(b,prec), mkvecsmall2(a,b));
    1919             : }
    1920             : /* T = rootsof1powinit(a,b); return  e(a/b)^c */
    1921             : GEN
    1922           0 : rootsof1pow(GEN T, long c)
    1923             : {
    1924           0 :   GEN vz = gel(T,1), ab = gel(T,2);
    1925           0 :   long a = ab[1], b = ab[2]; /* a >= 0, b > 0 */
    1926           0 :   c %= b; if (c < 0) c += b;
    1927           0 :   a = Fl_mul(a, c, b);
    1928           0 :   return gel(vz, a + 1);
    1929             : }
    1930             : 
    1931             : /* exp(2iPi/d), assume d a t_INT */
    1932             : GEN
    1933        3528 : rootsof1_cx(GEN d, long prec)
    1934             : {
    1935        3528 :   if (lgefint(d) == 3) return rootsof1u_cx((ulong)d[2], prec);
    1936           0 :   return expIr(divri(Pi2n(1,prec), d));
    1937             : }
    1938             : 
    1939             : GEN
    1940        3088 : gsqrtn(GEN x, GEN n, GEN *zetan, long prec)
    1941             : {
    1942             :   long i, lx, tx;
    1943             :   pari_sp av;
    1944             :   GEN y, z;
    1945        3088 :   if (typ(n)!=t_INT) pari_err_TYPE("sqrtn",n);
    1946        3088 :   if (!signe(n)) pari_err_DOMAIN("sqrtn", "n", "=", gen_0, n);
    1947        3088 :   if (is_pm1(n))
    1948             :   {
    1949          14 :     if (zetan) *zetan = gen_1;
    1950          14 :     return (signe(n) > 0)? gcopy(x): ginv(x);
    1951             :   }
    1952        3074 :   if (zetan) *zetan = gen_0;
    1953        3074 :   tx = typ(x);
    1954        3074 :   if (is_matvec_t(tx))
    1955             :   {
    1956           7 :     y = cgetg_copy(x, &lx);
    1957           7 :     for (i=1; i<lx; i++) gel(y,i) = gsqrtn(gel(x,i),n,NULL,prec);
    1958           7 :     return y;
    1959             :   }
    1960        3067 :   av = avma;
    1961        3067 :   switch(tx)
    1962             :   {
    1963             :   case t_INTMOD:
    1964             :     {
    1965          56 :       GEN p = gel(x,1), s;
    1966          56 :       z = gen_0;
    1967          56 :       y = cgetg(3,t_INTMOD);  gel(y,1) = icopy(p);
    1968          56 :       if (zetan) { z = cgetg(3,t_INTMOD); gel(z,1) = gel(y,1); }
    1969          56 :       s = Fp_sqrtn(gel(x,2),n,p,zetan);
    1970          35 :       if (!s) {
    1971          21 :         if (zetan) {avma=av; return gen_0;}
    1972          14 :         if (!BPSW_psp(p)) pari_err_PRIME("sqrtn [modulus]",p);
    1973           7 :         pari_err_SQRTN("gsqrtn",x);
    1974             :       }
    1975          14 :       gel(y,2) = s;
    1976          14 :       if (zetan) { gel(z,2) = *zetan; *zetan = z; }
    1977          14 :       return y;
    1978             :     }
    1979             : 
    1980             :   case t_PADIC:
    1981          56 :     y = Qp_sqrtn(x,n,zetan);
    1982          49 :     if (!y) {
    1983           7 :       if (zetan) return gen_0;
    1984           7 :       pari_err_SQRTN("gsqrtn",x);
    1985             :     }
    1986          42 :     return y;
    1987             : 
    1988          84 :   case t_FFELT: return FF_sqrtn(x,n,zetan);
    1989             : 
    1990             :   case t_INT: case t_FRAC: case t_REAL: case t_COMPLEX:
    1991        2689 :     i = precision(x); if (i) prec = i;
    1992        2689 :     if (isint1(x))
    1993           7 :       y = real_1(prec);
    1994        2682 :     else if (gequal0(x))
    1995             :     {
    1996             :       long b;
    1997          21 :       if (signe(n) < 0) pari_err_INV("gsqrtn",x);
    1998          21 :       if (isinexactreal(x))
    1999          14 :         b = sdivsi(gexpo(x), n);
    2000             :       else
    2001           7 :         b = -prec2nbits(prec);
    2002          21 :       if (typ(x) == t_COMPLEX)
    2003             :       {
    2004           7 :         y = cgetg(3,t_COMPLEX);
    2005           7 :         gel(y,1) = gel(y,2) = real_0_bit(b);
    2006             :       }
    2007             :       else
    2008          14 :         y = real_0_bit(b);
    2009             :     }
    2010             :     else
    2011             :     {
    2012        2661 :       long nn = itos_or_0(n);
    2013        2661 :       if (tx == t_INT) { x = itor(x,prec); tx = t_REAL; }
    2014        2661 :       if (nn > 0 && tx == t_REAL && signe(x) > 0)
    2015        1021 :         y = sqrtnr(x, nn);
    2016             :       else
    2017        1640 :         y = gexp(gdiv(glog(x,prec), n), prec);
    2018        2661 :       y = gerepileupto(av, y);
    2019             :     }
    2020        2689 :     if (zetan) *zetan = rootsof1_cx(n, prec);
    2021        2689 :     return y;
    2022             : 
    2023             :   case t_QUAD:
    2024           7 :     return gsqrtn(quadtofp(x, prec), n, zetan, prec);
    2025             : 
    2026             :   default:
    2027         175 :     av = avma; if (!(y = toser_i(x))) break;
    2028         175 :     return gerepileupto(av, ser_powfrac(y, ginv(n), prec));
    2029             :   }
    2030           0 :   pari_err_TYPE("sqrtn",x);
    2031             :   return NULL;/* LCOV_EXCL_LINE */
    2032             : }
    2033             : 
    2034             : /********************************************************************/
    2035             : /**                                                                **/
    2036             : /**                             EXP(X) - 1                         **/
    2037             : /**                                                                **/
    2038             : /********************************************************************/
    2039             : /* exp(|x|) - 1, assume x != 0.
    2040             :  * For efficiency, x should be reduced mod log(2): if so, we have a < 0 */
    2041             : GEN
    2042     6824215 : exp1r_abs(GEN x)
    2043             : {
    2044     6824215 :   long l = realprec(x), a = expo(x), b = prec2nbits(l), L, i, n, m, B;
    2045             :   GEN y, p2, X;
    2046             :   pari_sp av;
    2047             :   double d;
    2048             : 
    2049     6824215 :   if (b + a <= 0) return mpabs(x);
    2050             : 
    2051     6818527 :   y = cgetr(l); av = avma;
    2052     6818527 :   B = b/3 + BITS_IN_LONG + (BITS_IN_LONG*BITS_IN_LONG)/ b;
    2053     6818527 :   d = a/2.; m = (long)(d + sqrt(d*d + B)); /* >= 0 */
    2054     6818527 :   if (m < (-a) * 0.1) m = 0; /* not worth it */
    2055     6818527 :   L = l + nbits2extraprec(m);
    2056             :  /* Multiplication is quadratic in this range (l is small, otherwise we
    2057             :   * use logAGM + Newton). Set Y = 2^(-e-a) x, compute truncated series
    2058             :   * sum x^k/k!: this costs roughly
    2059             :   *    m b^2 + sum_{k <= n} (k e + BITS_IN_LONG)^2
    2060             :   * bit operations with |x| <  2^(1+a), |Y| < 2^(1-e) , m = e+a and b bits of
    2061             :   * accuracy needed, so
    2062             :   *    B := (b / 3 + BITS_IN_LONG + BITS_IN_LONG^2 / b) ~ m(m-a)
    2063             :   * we want b ~ 3 m (m-a) or m~b+a hence
    2064             :   *     m = min( a/2 + sqrt(a^2/4 + B),  b + a )
    2065             :   * NB: e ~ (b/3)^(1/2) as b -> oo
    2066             :   *
    2067             :   * Truncate the sum at k = n (>= 1), the remainder is
    2068             :   *   sum_{k >= n+1} Y^k / k! < Y^(n+1) / (n+1)! (1-Y) < Y^(n+1) / n!
    2069             :   * We want Y^(n+1) / n! <= Y 2^-b, hence -n log_2 |Y| + log_2 n! >= b
    2070             :   *   log n! ~ (n + 1/2) log(n+1) - (n+1) + log(2Pi)/2,
    2071             :   * error bounded by 1/6(n+1) <= 1/12. Finally, we want
    2072             :   * n (-1/log(2) -log_2 |Y| + log_2(n+1)) >= b  */
    2073     6818527 :   b += m;
    2074     6818527 :   d = m-dbllog2(x)-1/LOG2; /* ~ -log_2 Y - 1/log(2) */
    2075     6818527 :   n = (long)(b / d);
    2076     6818527 :   if (n > 1)
    2077     6811503 :     n = (long)(b / (d + log2((double)n+1))); /* log~constant in small ranges */
    2078     6818527 :   while (n*(d+log2((double)n+1)) < b) n++; /* expect few corrections */
    2079             : 
    2080     6818527 :   X = rtor(x,L); shiftr_inplace(X, -m); setsigne(X, 1);
    2081     6818527 :   if (n == 1) p2 = X;
    2082             :   else
    2083             :   {
    2084     6818527 :     long s = 0, l1 = nbits2prec((long)(d + n + 16));
    2085     6818527 :     GEN unr = real_1(L);
    2086             :     pari_sp av2;
    2087             : 
    2088     6818527 :     p2 = cgetr(L); av2 = avma;
    2089    97379990 :     for (i=n; i>=2; i--, avma = av2)
    2090             :     { /* compute X^(n-1)/n! + ... + X/2 + 1 */
    2091             :       GEN p1, p3;
    2092    90561463 :       setprec(X,l1); p3 = divru(X,i);
    2093    90561463 :       l1 += dvmdsBIL(s - expo(p3), &s); if (l1>L) l1=L;
    2094    90561463 :       setprec(unr,l1); p1 = addrr_sign(unr,1, i == n? p3: mulrr(p3,p2),1);
    2095    90561463 :       setprec(p2,l1); affrr(p1,p2); /* p2 <- 1 + (X/i)*p2 */
    2096             :     }
    2097     6818527 :     setprec(X,L); p2 = mulrr(X,p2);
    2098             :   }
    2099             : 
    2100    75443402 :   for (i=1; i<=m; i++)
    2101             :   {
    2102    68624875 :     if (realprec(p2) > L) setprec(p2,L);
    2103    68624875 :     p2 = mulrr(p2, addsr(2,p2));
    2104             :   }
    2105     6818527 :   affrr_fixlg(p2,y); avma = av; return y;
    2106             : }
    2107             : 
    2108             : GEN
    2109        8956 : mpexpm1(GEN x)
    2110             : {
    2111        8956 :   long sx = signe(x);
    2112             :   GEN y, z;
    2113             :   pari_sp av;
    2114        8956 :   if (!sx) return real_0_bit(expo(x));
    2115        8949 :   if (sx > 0) return exp1r_abs(x);
    2116             :   /* compute exp(x) * (1 - exp(-x)) */
    2117        4142 :   av = avma; y = exp1r_abs(x);
    2118        4142 :   z = addsr(1, y); setsigne(z, -1);
    2119        4142 :   return gerepileupto(av, divrr(y, z));
    2120             : }
    2121             : 
    2122             : static GEN serexp(GEN x, long prec);
    2123             : GEN
    2124       10538 : gexpm1(GEN x, long prec)
    2125             : {
    2126       10538 :   switch(typ(x))
    2127             :   {
    2128        4039 :     case t_REAL: return mpexpm1(x);
    2129        4994 :     case t_COMPLEX: return cxexpm1(x,prec);
    2130          14 :     case t_PADIC: return gsubgs(Qp_exp(x), 1);
    2131             :     default:
    2132             :     {
    2133        1491 :       pari_sp av = avma;
    2134             :       long ey;
    2135             :       GEN y;
    2136        1491 :       if (!(y = toser_i(x))) break;
    2137        1470 :       ey = valp(y);
    2138        1470 :       if (ey < 0) pari_err_DOMAIN("expm1","valuation", "<", gen_0, x);
    2139        1470 :       if (gequal0(y)) return gcopy(y);
    2140        1463 :       if (ey)
    2141         336 :         return gerepileupto(av, gsubgs(serexp(y,prec), 1));
    2142             :       else
    2143             :       {
    2144        1127 :         GEN e1 = gexpm1(gel(y,2), prec), e = gaddgs(e1,1);
    2145        1127 :         y = gmul(e, serexp(serchop0(y),prec));
    2146        1127 :         gel(y,2) = e1;
    2147        1127 :         return gerepilecopy(av, y);
    2148             :       }
    2149             :     }
    2150             :   }
    2151          21 :   return trans_eval("expm1",gexpm1,x,prec);
    2152             : }
    2153             : /********************************************************************/
    2154             : /**                                                                **/
    2155             : /**                             EXP(X)                             **/
    2156             : /**                                                                **/
    2157             : /********************************************************************/
    2158             : 
    2159             : /* centermod(x, log(2)), set *sh to the quotient */
    2160             : static GEN
    2161     6763748 : modlog2(GEN x, long *sh)
    2162             : {
    2163     6763748 :   double d = rtodbl(x), da = fabs(d);
    2164     6763748 :   long q = (long) ((da + (LOG2/2))/LOG2);
    2165     6763748 :   if (da > LOG2 * LONG_MAX)
    2166          14 :     pari_err_OVERFLOW("expo()"); /* avoid overflow in  q */
    2167     6763734 :   if (d < 0) q = -q;
    2168     6763734 :   *sh = q;
    2169     6763734 :   if (q) {
    2170     6469936 :     long l = realprec(x) + 1;
    2171     6469936 :     x = subrr(rtor(x,l), mulsr(q, mplog2(l)));
    2172     6469936 :     if (!signe(x)) return NULL;
    2173             :   }
    2174     6763734 :   return x;
    2175             : }
    2176             : 
    2177             : static GEN
    2178     6763057 : mpexp_basecase(GEN x)
    2179             : {
    2180     6763057 :   pari_sp av = avma;
    2181     6763057 :   long sh, l = realprec(x);
    2182             :   GEN y, z;
    2183             : 
    2184     6763057 :   y = modlog2(x, &sh);
    2185     6763043 :   if (!y) { avma = av; return real2n(sh, l); }
    2186     6763043 :   z = addsr(1, exp1r_abs(y));
    2187     6763043 :   if (signe(y) < 0) z = invr(z);
    2188     6763043 :   if (sh) {
    2189     6469245 :     shiftr_inplace(z, sh);
    2190     6469245 :     if (realprec(z) > l) z = rtor(z, l); /* spurious precision increase */
    2191             :   }
    2192             : #ifdef DEBUG
    2193             : {
    2194             :   GEN t = mplog(z), u = divrr(subrr(x, t),x);
    2195             :   if (signe(u) && expo(u) > 5-prec2nbits(minss(l,realprec(t))))
    2196             :     pari_err_BUG("exp");
    2197             : }
    2198             : #endif
    2199     6763043 :   return gerepileuptoleaf(av, z); /* NOT affrr, precision often increases */
    2200             : }
    2201             : 
    2202             : GEN
    2203     6960621 : mpexp(GEN x)
    2204             : {
    2205     6960621 :   const long s = 6; /*Initial steps using basecase*/
    2206     6960621 :   long i, p, l = realprec(x), sh;
    2207             :   GEN a, t, z;
    2208             :   ulong mask;
    2209             : 
    2210     6960621 :   if (l <= maxss(EXPNEWTON_LIMIT, (1L<<s) + 2))
    2211             :   {
    2212     6959930 :     if (!signe(x)) return mpexp0(x);
    2213     6762366 :     return mpexp_basecase(x);
    2214             :   }
    2215         691 :   z = cgetr(l); /* room for result */
    2216         691 :   x = modlog2(x, &sh);
    2217         691 :   if (!x) { avma = (pari_sp)(z+lg(z)); return real2n(sh, l); }
    2218         691 :   constpi(l); /* precompute for later logr_abs() */
    2219         691 :   mask = quadratic_prec_mask(prec2nbits(l)+BITS_IN_LONG);
    2220         691 :   for(i=0, p=1; i<s+TWOPOTBITS_IN_LONG; i++) { p <<= 1; if (mask & 1) p-=1; mask >>= 1; }
    2221         691 :   a = mpexp_basecase(rtor(x, nbits2prec(p)));
    2222         691 :   x = addrs(x,1);
    2223         691 :   if (realprec(x) < l+EXTRAPRECWORD) x = rtor(x, l+EXTRAPRECWORD);
    2224         691 :   a = rtor(a, l+EXTRAPRECWORD); /*append 0s */
    2225         691 :   t = NULL;
    2226             :   for(;;)
    2227             :   {
    2228         728 :     p <<= 1; if (mask & 1) p--;
    2229         728 :     mask >>= 1;
    2230         728 :     setprec(x, nbits2prec(p));
    2231         728 :     setprec(a, nbits2prec(p));
    2232         728 :     t = mulrr(a, subrr(x, logr_abs(a))); /* a (x - log(a)) */
    2233         728 :     if (mask == 1) break;
    2234          37 :     affrr(t, a); avma = (pari_sp)a;
    2235          37 :   }
    2236         691 :   affrr(t,z);
    2237         691 :   if (sh) shiftr_inplace(z, sh);
    2238         691 :   avma = (pari_sp)z; return z;
    2239             : }
    2240             : 
    2241             : static long
    2242       20237 : Qp_exp_prec(GEN x)
    2243             : {
    2244       20237 :   long k, e = valp(x), n = e + precp(x);
    2245       20237 :   GEN p = gel(x,2);
    2246       20237 :   int is2 = absequaliu(p,2);
    2247       20237 :   if (e < 1 || (e == 1 && is2)) return -1;
    2248       20209 :   if (is2)
    2249             :   {
    2250        6517 :     n--; e--; k = n/e;
    2251        6517 :     if (n%e == 0) k--;
    2252             :   }
    2253             :   else
    2254             :   { /* e > 0, n > 0 */
    2255       13692 :     GEN r, t = subiu(p, 1);
    2256       13692 :     k = itos(dvmdii(subiu(muliu(t,n), 1), subiu(muliu(t,e), 1), &r));
    2257       13692 :     if (!signe(r)) k--;
    2258             :   }
    2259       20209 :   return k;
    2260             : }
    2261             : 
    2262             : static GEN
    2263       21637 : Qp_exp_safe(GEN x)
    2264             : {
    2265             :   long k;
    2266             :   pari_sp av;
    2267             :   GEN y;
    2268             : 
    2269       21637 :   if (gequal0(x)) return gaddgs(x,1);
    2270       20167 :   k = Qp_exp_prec(x);
    2271       20166 :   if (k < 0) return NULL;
    2272       20159 :   av = avma;
    2273       20159 :   for (y=gen_1; k; k--) y = gaddsg(1, gdivgs(gmul(y,x), k));
    2274       20160 :   return gerepileupto(av, y);
    2275             : }
    2276             : 
    2277             : GEN
    2278       21175 : Qp_exp(GEN x)
    2279             : {
    2280       21175 :   GEN y = Qp_exp_safe(x);
    2281       21175 :   if (!y) pari_err_DOMAIN("gexp(t_PADIC)","argument","",gen_0,x);
    2282       21168 :   return y;
    2283             : }
    2284             : 
    2285             : static GEN
    2286          49 : cos_p(GEN x)
    2287             : {
    2288             :   long k;
    2289             :   pari_sp av;
    2290             :   GEN x2, y;
    2291             : 
    2292          49 :   if (gequal0(x)) return gaddgs(x,1);
    2293          28 :   k = Qp_exp_prec(x);
    2294          28 :   if (k < 0) return NULL;
    2295          21 :   av = avma; x2 = gsqr(x);
    2296          21 :   if (k & 1) k--;
    2297         105 :   for (y=gen_1; k; k-=2)
    2298             :   {
    2299          84 :     GEN t = gdiv(gmul(y,x2), muluu(k, k-1));
    2300          84 :     y = gsubsg(1, t);
    2301             :   }
    2302          21 :   return gerepileupto(av, y);
    2303             : }
    2304             : static GEN
    2305          63 : sin_p(GEN x)
    2306             : {
    2307             :   long k;
    2308             :   pari_sp av;
    2309             :   GEN x2, y;
    2310             : 
    2311          63 :   if (gequal0(x)) return gcopy(x);
    2312          42 :   k = Qp_exp_prec(x);
    2313          42 :   if (k < 0) return NULL;
    2314          28 :   av = avma; x2 = gsqr(x);
    2315          28 :   if (k & 1) k--;
    2316         133 :   for (y=gen_1; k; k-=2)
    2317             :   {
    2318         105 :     GEN t = gdiv(gmul(y,x2), muluu(k, k+1));
    2319         105 :     y = gsubsg(1, t);
    2320             :   }
    2321          28 :   return gerepileupto(av, gmul(y, x));
    2322             : }
    2323             : 
    2324             : static GEN
    2325     1240593 : cxexp(GEN x, long prec)
    2326             : {
    2327     1240593 :   GEN r, p1, p2, y = cgetg(3,t_COMPLEX);
    2328     1240593 :   pari_sp av = avma, tetpil;
    2329             :   long l;
    2330     1240593 :   l = precision(x); if (l > prec) prec = l;
    2331     1240593 :   r = gexp(gel(x,1),prec);
    2332     1240593 :   if (gequal0(r)) { gel(y,1) = r; gel(y,2) = r; return y; }
    2333     1240593 :   gsincos(gel(x,2),&p2,&p1,prec);
    2334     1240593 :   tetpil = avma;
    2335     1240593 :   gel(y,1) = gmul(r,p1);
    2336     1240593 :   gel(y,2) = gmul(r,p2);
    2337     1240593 :   gerepilecoeffssp(av,tetpil,y+1,2);
    2338     1240593 :   return y;
    2339             : }
    2340             : 
    2341             : /* given a t_SER x^v s(x), with s(0) != 0, return x^v(s - s(0)), shallow */
    2342             : GEN
    2343       17773 : serchop0(GEN s)
    2344             : {
    2345       17773 :   long i, l = lg(s);
    2346             :   GEN y;
    2347       17773 :   if (l == 2) return s;
    2348       17773 :   if (l == 3 && isexactzero(gel(s,2))) return s;
    2349       17773 :   y = cgetg(l, t_SER); y[1] = s[1];
    2350       17773 :   gel(y,2) = gen_0; for (i=3; i <l; i++) gel(y,i) = gel(s,i);
    2351       17773 :   return normalize(y);
    2352             : }
    2353             : 
    2354             : static GEN
    2355       32676 : serexp(GEN x, long prec)
    2356             : {
    2357             :   pari_sp av;
    2358             :   long i,j,lx,ly,ex,mi;
    2359             :   GEN p1,y,xd,yd;
    2360             : 
    2361       32676 :   ex = valp(x);
    2362       32676 :   if (ex < 0) pari_err_DOMAIN("exp","valuation", "<", gen_0, x);
    2363       32669 :   if (gequal0(x)) return gaddsg(1,x);
    2364       24675 :   lx = lg(x);
    2365       24675 :   if (ex)
    2366             :   {
    2367       17094 :     ly = lx+ex; y = cgetg(ly,t_SER);
    2368       17094 :     mi = lx-1; while (mi>=3 && isrationalzero(gel(x,mi))) mi--;
    2369       17094 :     mi += ex-2;
    2370       17094 :     y[1] = evalsigne(1) | _evalvalp(0) | evalvarn(varn(x));
    2371             :     /* zd[i] = coefficient of X^i in z */
    2372       17094 :     xd = x+2-ex; yd = y+2; ly -= 2;
    2373       17094 :     gel(yd,0) = gen_1;
    2374       17094 :     for (i=1; i<ex; i++) gel(yd,i) = gen_0;
    2375       82831 :     for (   ; i<ly; i++)
    2376             :     {
    2377       65737 :       av = avma; p1 = gen_0;
    2378     2061003 :       for (j=ex; j<=minss(i,mi); j++)
    2379     1995266 :         p1 = gadd(p1, gmulgs(gmul(gel(xd,j),gel(yd,i-j)),j));
    2380       65737 :       gel(yd,i) = gerepileupto(av, gdivgs(p1,i));
    2381             :     }
    2382       17094 :     return y;
    2383             :   }
    2384        7581 :   av = avma;
    2385        7581 :   return gerepileupto(av, gmul(gexp(gel(x,2),prec), serexp(serchop0(x),prec)));
    2386             : }
    2387             : 
    2388             : GEN
    2389     5110518 : gexp(GEN x, long prec)
    2390             : {
    2391     5110518 :   switch(typ(x))
    2392             :   {
    2393     3663727 :     case t_REAL: return mpexp(x);
    2394     1240593 :     case t_COMPLEX: return cxexp(x,prec);
    2395          49 :     case t_PADIC: return Qp_exp(x);
    2396             :     default:
    2397             :     {
    2398      206149 :       pari_sp av = avma;
    2399             :       GEN y;
    2400      206149 :       if (!(y = toser_i(x))) break;
    2401       23632 :       return gerepileupto(av, serexp(y,prec));
    2402             :     }
    2403             :   }
    2404      182517 :   return trans_eval("exp",gexp,x,prec);
    2405             : }
    2406             : 
    2407             : /********************************************************************/
    2408             : /**                                                                **/
    2409             : /**                           AGM(X, Y)                            **/
    2410             : /**                                                                **/
    2411             : /********************************************************************/
    2412             : static int
    2413     3673083 : agmr_gap(GEN a, GEN b, long L)
    2414             : {
    2415     3673083 :   GEN d = subrr(b, a);
    2416     3673083 :   return (signe(d) && expo(d) - expo(b) >= L);
    2417             : }
    2418             : /* assume x > 0 */
    2419             : static GEN
    2420      268604 : agm1r_abs(GEN x)
    2421             : {
    2422      268604 :   long l = realprec(x), L = 5-prec2nbits(l);
    2423      268604 :   GEN a1, b1, y = cgetr(l);
    2424      268604 :   pari_sp av = avma;
    2425             : 
    2426      268604 :   a1 = addrr(real_1(l), x); shiftr_inplace(a1, -1);
    2427      268604 :   b1 = sqrtr_abs(x);
    2428     3941687 :   while (agmr_gap(a1,b1,L))
    2429             :   {
    2430     3404479 :     GEN a = a1;
    2431     3404479 :     a1 = addrr(a,b1); shiftr_inplace(a1, -1);
    2432     3404479 :     b1 = sqrtr_abs(mulrr(a,b1));
    2433             :   }
    2434      268604 :   affrr_fixlg(a1,y); avma = av; return y;
    2435             : }
    2436             : 
    2437             : struct agmcx_gap_t { long L, ex, cnt; };
    2438             : 
    2439             : static void
    2440       15300 : agmcx_init(GEN x, long *prec, struct agmcx_gap_t *S)
    2441             : {
    2442       15300 :   long l = precision(x);
    2443       15300 :   if (l) *prec = l;
    2444       15300 :   S->L = 1-prec2nbits(*prec);
    2445       15300 :   S->cnt = 0;
    2446       15300 :   S->ex = LONG_MAX;
    2447       15300 : }
    2448             : 
    2449             : static long
    2450       15300 : agmcx_a_b(GEN x, GEN *a1, GEN *b1, long prec)
    2451             : {
    2452       15300 :   long rotate = 0;
    2453       15300 :   if (gsigne(real_i(x))<0)
    2454             :   { /* Rotate by +/-Pi/2, so that the choice of the principal square
    2455             :      * root gives the optimal AGM. So a1 = +/-I*a1, b1=sqrt(-x). */
    2456        1477 :     if (gsigne(imag_i(x))<0) { *a1=mulcxI(*a1);  rotate=-1; }
    2457         987 :     else                     { *a1=mulcxmI(*a1); rotate=1; }
    2458        1477 :     x = gneg(x);
    2459             :   }
    2460       15300 :   *b1 = gsqrt(x, prec);
    2461       15300 :   return rotate;
    2462             : }
    2463             : /* return 0 if we must stop the AGM loop (a=b or a ~ b), 1 otherwise */
    2464             : static int
    2465      221286 : agmcx_gap(GEN a, GEN b, struct agmcx_gap_t *S)
    2466             : {
    2467      221286 :   GEN d = gsub(b, a);
    2468      221286 :   long ex = S->ex;
    2469      221286 :   S->ex = gexpo(d);
    2470      221286 :   if (gequal0(d) || S->ex - gexpo(b) < S->L) return 0;
    2471             :   /* if (S->ex >= ex) we're no longer making progress; twice in a row */
    2472      209803 :   if (S->ex < ex) S->cnt = 0;
    2473             :   else
    2474        7685 :     if (S->cnt++) return 0;
    2475      205986 :   return 1;
    2476             : }
    2477             : static GEN
    2478       15258 : agm1cx(GEN x, long prec)
    2479             : {
    2480             :   struct agmcx_gap_t S;
    2481             :   GEN a1, b1;
    2482       15258 :   pari_sp av = avma;
    2483             :   long rotate;
    2484       15258 :   agmcx_init(x, &prec, &S);
    2485       15258 :   a1 = gtofp(gmul2n(gadd(real_1(prec), x), -1), prec);
    2486       15258 :   rotate = agmcx_a_b(x, &a1, &b1, prec);
    2487      236244 :   while (agmcx_gap(a1,b1,&S))
    2488             :   {
    2489      205728 :     GEN a = a1;
    2490      205728 :     a1 = gmul2n(gadd(a,b1),-1);
    2491      205728 :     b1 = gsqrt(gmul(a,b1), prec);
    2492             :   }
    2493       15258 :   if (rotate) a1 = rotate>0 ? mulcxI(a1):mulcxmI(a1);
    2494       15258 :   return gerepilecopy(av,a1);
    2495             : }
    2496             : 
    2497             : GEN
    2498          42 : zellagmcx(GEN a0, GEN b0, GEN r, GEN t, long prec)
    2499             : {
    2500             :   struct agmcx_gap_t S;
    2501          42 :   pari_sp av = avma;
    2502          42 :   GEN x = gdiv(a0, b0), a1, b1;
    2503             :   long rotate;
    2504          42 :   agmcx_init(x, &prec, &S);
    2505          42 :   a1 = gtofp(gmul2n(gadd(real_1(prec), x), -1), prec);
    2506          42 :   r = gsqrt(gdiv(gmul(a1,gaddgs(r, 1)),gadd(r, x)), prec);
    2507          42 :   t = gmul(r, t);
    2508          42 :   rotate = agmcx_a_b(x, &a1, &b1, prec);
    2509         342 :   while (agmcx_gap(a1,b1,&S))
    2510             :   {
    2511         258 :     GEN a = a1, b = b1;
    2512         258 :     a1 = gmul2n(gadd(a,b),-1);
    2513         258 :     b1 = gsqrt(gmul(a,b), prec);
    2514         258 :     r = gsqrt(gdiv(gmul(a1,gaddgs(r, 1)),gadd(gmul(b, r), a )), prec);
    2515         258 :     t = gmul(r, t);
    2516             :   }
    2517          42 :   if (rotate) a1 = rotate>0 ? mulcxI(a1):mulcxmI(a1);
    2518          42 :   a1 = gmul(a1, b0);
    2519          42 :   t = gatan(gdiv(a1,t), prec);
    2520             :   /* send t to the fundamental domain if necessary */
    2521          42 :   if (gsigne(real_i(t))<0) t = gadd(t, mppi(prec));
    2522          42 :   return gerepileupto(av,gdiv(t,a1));
    2523             : }
    2524             : 
    2525             : static long
    2526          56 : ser_cmp_expo(GEN A, GEN B)
    2527             : {
    2528          56 :   long e = -(long)HIGHEXPOBIT, d = valp(B) - valp(A);
    2529          56 :   long i, la = lg(A), v = varn(B);
    2530       11256 :   for (i = 2; i < la; i++)
    2531             :   {
    2532       11200 :     GEN a = gel(A,i), b;
    2533             :     long ei;
    2534       11200 :     if (isexactzero(a)) continue;
    2535       11200 :     b = polcoeff_i(B, i-2 + d, v);
    2536       11200 :     ei = gexpo(a);
    2537       11200 :     if (!isexactzero(b)) ei -= gexpo(b);
    2538       11200 :     e = maxss(e, ei);
    2539             :   }
    2540          56 :   return e;
    2541             : }
    2542             : 
    2543             : static GEN
    2544          14 : ser_agm1(GEN y, long prec)
    2545             : {
    2546          14 :   GEN a1 = y, b1 = gen_1;
    2547          14 :   long l = lg(y)-2, l2 = 6-prec2nbits(prec), eold = LONG_MAX;
    2548             :   for(;;)
    2549             :   {
    2550          84 :     GEN a = a1, p1;
    2551          84 :     a1 = gmul2n(gadd(a,b1),-1);
    2552          84 :     b1 = gsqrt(gmul(a,b1), prec);
    2553          84 :     p1 = gsub(b1,a1);
    2554          84 :     if (isinexactreal(p1))
    2555             :     {
    2556          56 :       long e = ser_cmp_expo(p1, b1);
    2557          56 :       if (e < l2 || e >= eold) break;
    2558          49 :       eold = e;
    2559             :     }
    2560             :     else
    2561             :     {
    2562          28 :       long ep = valp(p1)-valp(b1);
    2563          28 :       if (ep >= l && gequal0(p1)) break;
    2564             :     }
    2565          70 :   }
    2566          14 :   return a1;
    2567             : }
    2568             : 
    2569             : /* agm(1,x) */
    2570             : static GEN
    2571        9158 : agm1(GEN x, long prec)
    2572             : {
    2573             :   GEN y;
    2574             :   pari_sp av;
    2575             : 
    2576        9158 :   if (gequal0(x)) return gcopy(x);
    2577        9158 :   switch(typ(x))
    2578             :   {
    2579             :     case t_INT:
    2580          28 :       if (!is_pm1(x)) break;
    2581          21 :       return (signe(x) > 0)? real_1(prec): real_0(prec);
    2582             : 
    2583        3691 :     case t_REAL: return signe(x) > 0? agm1r_abs(x): agm1cx(x, prec);
    2584             : 
    2585             :     case t_COMPLEX:
    2586        5306 :       if (gequal0(gel(x,2))) return agm1(gel(x,1), prec);
    2587        5124 :       return agm1cx(x, prec);
    2588             : 
    2589             :     case t_PADIC:
    2590             :     {
    2591          14 :       GEN a1 = x, b1 = gen_1;
    2592          14 :       long l = precp(x);
    2593          14 :       av = avma;
    2594             :       for(;;)
    2595             :       {
    2596          28 :         GEN a = a1, p1;
    2597             :         long ep;
    2598          28 :         a1 = gmul2n(gadd(a,b1),-1);
    2599          28 :         a = gmul(a,b1);
    2600          28 :         b1 = Qp_sqrt(a); if (!b1) pari_err_SQRTN("Qp_sqrt",a);
    2601          21 :         p1 = gsub(b1,a1); ep = valp(p1)-valp(b1);
    2602          21 :         if (ep<=0) { b1 = gneg_i(b1); p1 = gsub(b1,a1); ep=valp(p1)-valp(b1); }
    2603          21 :         if (ep >= l || gequal0(p1)) return gerepilecopy(av,a1);
    2604          14 :       }
    2605             :     }
    2606             : 
    2607             :     default:
    2608         119 :       av = avma; if (!(y = toser_i(x))) break;
    2609          14 :       return gerepilecopy(av, ser_agm1(y, prec));
    2610             :   }
    2611         112 :   return trans_eval("agm",agm1,x,prec);
    2612             : }
    2613             : 
    2614             : GEN
    2615        8864 : agm(GEN x, GEN y, long prec)
    2616             : {
    2617             :   pari_sp av;
    2618        8864 :   if (is_matvec_t(typ(y)))
    2619             :   {
    2620          14 :     if (is_matvec_t(typ(x))) pari_err_TYPE2("agm",x,y);
    2621           7 :     swap(x, y);
    2622             :   }
    2623        8857 :   if (gequal0(y)) return gcopy(y);
    2624        8857 :   av = avma;
    2625        8857 :   return gerepileupto(av, gmul(y, agm1(gdiv(x,y), prec)));
    2626             : }
    2627             : 
    2628             : /********************************************************************/
    2629             : /**                                                                **/
    2630             : /**                             LOG(X)                             **/
    2631             : /**                                                                **/
    2632             : /********************************************************************/
    2633             : /* atanh(u/v) using binary splitting */
    2634             : static GEN
    2635        4684 : atanhQ_split(ulong u, ulong v, long prec)
    2636             : {
    2637             :   long i, nmax;
    2638        4684 :   GEN u2 = sqru(u), v2 = sqru(v);
    2639        4684 :   double d = ((double)v) / u;
    2640             :   struct abpq_res R;
    2641             :   struct abpq A;
    2642             :   /* satisfies (2n+1) (v/u)^2n > 2^bitprec */
    2643        4684 :   nmax = (long)(prec2nbits(prec) / (2*log2(d)));
    2644        4684 :   abpq_init(&A, nmax);
    2645        4684 :   A.a[0] = A.b[0] = gen_1;
    2646        4684 :   A.p[0] = utoipos(u);
    2647        4684 :   A.q[0] = utoipos(v);
    2648      387355 :   for (i = 1; i <= nmax; i++)
    2649             :   {
    2650      382671 :     A.a[i] = gen_1;
    2651      382671 :     A.b[i] = utoipos((i<<1)+1);
    2652      382671 :     A.p[i] = u2;
    2653      382671 :     A.q[i] = v2;
    2654             :   }
    2655        4684 :   abpq_sum(&R, 0, nmax, &A);
    2656        4684 :   return rdivii(R.T, mulii(R.B,R.Q),prec);
    2657             : }
    2658             : /* log(2) = 10*atanh(1/17)+4*atanh(13/499); faster than logagmr_abs()
    2659             :  * and Pi/2M(1,4/2^n) ~ n log(2) */
    2660             : static GEN
    2661        2342 : log2_split(long prec)
    2662             : {
    2663        2342 :   GEN u = atanhQ_split(1, 17, prec);
    2664        2342 :   GEN v = atanhQ_split(13, 499, prec);
    2665        2342 :   shiftr_inplace(v, 2);
    2666        2342 :   return addrr(mulur(10, u), v);
    2667             : }
    2668             : GEN
    2669     9411979 : constlog2(long prec)
    2670             : {
    2671             :   pari_sp av;
    2672             :   GEN tmp;
    2673     9411979 :   if (glog2 && realprec(glog2) >= prec) return glog2;
    2674             : 
    2675        2342 :   tmp = cgetr_block(prec);
    2676        2342 :   av = avma;
    2677        2342 :   affrr(log2_split(prec+EXTRAPRECWORD), tmp);
    2678        2342 :   swap_clone(&glog2,tmp);
    2679        2342 :   avma = av; return glog2;
    2680             : }
    2681             : 
    2682             : GEN
    2683     9411979 : mplog2(long prec) { return rtor(constlog2(prec), prec); }
    2684             : 
    2685             : static GEN
    2686      295408 : logagmr_abs(GEN q)
    2687             : {
    2688      295408 :   long prec = realprec(q), lim, e = expo(q);
    2689             :   GEN z, y, Q, _4ovQ;
    2690             :   pari_sp av;
    2691             : 
    2692      295408 :   if (absrnz_equal2n(q)) return e? mulsr(e, mplog2(prec)): real_0(prec);
    2693      264955 :   z = cgetr(prec); av = avma; incrprec(prec);
    2694      264955 :   lim = prec2nbits(prec) >> 1;
    2695      264955 :   Q = rtor(q,prec);
    2696      264955 :   shiftr_inplace(Q,lim-e); setsigne(Q,1);
    2697             : 
    2698      264955 :   _4ovQ = invr(Q); shiftr_inplace(_4ovQ, 2); /* 4/Q */
    2699             :   /* Pi / 2agm(1, 4/Q) ~ log(Q), q = Q * 2^(e-lim) */
    2700      264955 :   y = divrr(Pi2n(-1, prec), agm1r_abs(_4ovQ));
    2701      264955 :   y = addrr(y, mulsr(e - lim, mplog2(prec)));
    2702      264955 :   affrr_fixlg(y, z); avma = av; return z;
    2703             : }
    2704             : /*return log(|x|), assuming x != 0 */
    2705             : GEN
    2706     3038889 : logr_abs(GEN X)
    2707             : {
    2708             :   pari_sp ltop;
    2709     3038889 :   long EX, L, m, k, a, b, l = realprec(X);
    2710             :   GEN z, x, y;
    2711             :   ulong u;
    2712             :   double d;
    2713             : 
    2714     3038889 :   if (l > LOGAGM_LIMIT) return logagmr_abs(X);
    2715             : 
    2716             :  /* Assuming 1 < x < 2, we want delta = x-1, 1-x/2, 1-1/x, or 2/x-1 small.
    2717             :   * We have 2/x-1 > 1-x/2, 1-1/x < x-1. So one should be choosing between
    2718             :   * 1-1/x and 1-x/2 ( crossover sqrt(2), worse ~ 0.29 ). To avoid an inverse,
    2719             :   * we choose between x-1 and 1-x/2 ( crossover 4/3, worse ~ 0.33 ) */
    2720     2743481 :   EX = expo(X);
    2721     2743481 :   u = uel(X,2);
    2722     2743481 :   k = 2;
    2723     2743481 :   if (u > (~0UL / 3) * 2) { /* choose 1-x/2 */
    2724     1620256 :     EX++; u = ~u;
    2725     1620256 :     while (!u && ++k < l) { u = uel(X,k); u = ~u; }
    2726             :   } else { /* choose x - 1 */
    2727     1123225 :     u &= ~HIGHBIT; /* u - HIGHBIT, assuming HIGHBIT set */
    2728     1123225 :     while (!u && ++k < l) u = uel(X,k);
    2729             :   }
    2730     2743481 :   if (k == l) return EX? mulsr(EX, mplog2(l)): real_0(l);
    2731     2647183 :   z = cgetr(EX? l: l - (k-2)); ltop = avma;
    2732             : 
    2733     2647183 :   a = prec2nbits(k) + bfffo(u); /* ~ -log2 |1-x| */
    2734             :  /* Multiplication is quadratic in this range (l is small, otherwise we
    2735             :   * use AGM). Set Y = x^(1/2^m), y = (Y - 1) / (Y + 1) and compute truncated
    2736             :   * series sum y^(2k+1)/(2k+1): the costs is less than
    2737             :   *    m b^2 + sum_{k <= n} ((2k+1) e + BITS_IN_LONG)^2
    2738             :   * bit operations with |x-1| <  2^(1-a), |Y| < 2^(1-e) , m = e-a and b bits of
    2739             :   * accuracy needed (+ BITS_IN_LONG since bit accuracies increase by
    2740             :   * increments of BITS_IN_LONG), so
    2741             :   * 4n^3/3 e^2 + n^2 2e BITS_IN_LONG+ n BITS_IN_LONG ~ m b^2, with n ~ b/2e
    2742             :   * or b/6e + BITS_IN_LONG/2e + BITS_IN_LONG/2be ~ m
    2743             :   *    B := (b / 6 + BITS_IN_LONG/2 + BITS_IN_LONG^2 / 2b) ~ m(m+a)
    2744             :   *     m = min( -a/2 + sqrt(a^2/4 + B),  b - a )
    2745             :   * NB: e ~ (b/6)^(1/2) as b -> oo */
    2746     2647183 :   L = l+1;
    2747     2647183 :   b = prec2nbits(L - (k-2)); /* take loss of accuracy into account */
    2748             :   /* instead of the above pessimistic estimate for the cost of the sum, use
    2749             :    * optimistic estimate (BITS_IN_LONG -> 0) */
    2750     2647183 :   d = -a/2.; m = (long)(d + sqrt(d*d + b/6)); /* >= 0 */
    2751             : 
    2752     2647183 :   if (m > b-a) m = b-a;
    2753     2647183 :   if (m < 0.2*a) m = 0; else L += nbits2extraprec(m);
    2754     2647183 :   x = rtor(X,L);
    2755     2647183 :   setsigne(x,1); shiftr_inplace(x,-EX);
    2756             :   /* 2/3 < x < 4/3 */
    2757     2647183 :   for (k=1; k<=m; k++) x = sqrtr_abs(x);
    2758             : 
    2759     2647183 :   y = divrr(subrs(x,1), addrs(x,1)); /* = (x-1) / (x+1), close to 0 */
    2760     2647183 :   L = realprec(y); /* should be ~ l+1 - (k-2) */
    2761             :   /* log(x) = log(1+y) - log(1-y) = 2 sum_{k odd} y^k / k
    2762             :    * Truncate the sum at k = 2n+1, the remainder is
    2763             :    *   2 sum_{k >= 2n+3} y^k / k < 2y^(2n+3) / (2n+3)(1-y) < y^(2n+3)
    2764             :    * We want y^(2n+3) < y 2^(-prec2nbits(L)), hence
    2765             :    *   n+1 > -prec2nbits(L) /-log_2(y^2) */
    2766     2647183 :   d = -2*dbllog2r(y); /* ~ -log_2(y^2) */
    2767     2647183 :   k = (long)(2*(prec2nbits(L) / d));
    2768     2647183 :   k |= 1;
    2769     2647183 :   if (k >= 3)
    2770             :   {
    2771     2643722 :     GEN S, T, y2 = sqrr(y), unr = real_1(L);
    2772     2643722 :     pari_sp av = avma;
    2773     2643722 :     long s = 0, incs = (long)d, l1 = nbits2prec((long)d);
    2774     2643722 :     S = x;
    2775     2643722 :     setprec(S,  l1);
    2776     2643722 :     setprec(unr,l1); affrr(divru(unr,k), S); /* destroy x, not needed anymore */
    2777    43661041 :     for (k -= 2;; k -= 2) /* k = 2n+1, ..., 1 */
    2778             :     { /* S = y^(2n+1-k)/(2n+1) + ... + 1 / k */
    2779    43661041 :       setprec(y2, l1); T = mulrr(S,y2);
    2780    43661041 :       if (k == 1) break;
    2781             : 
    2782    41017319 :       l1 += dvmdsBIL(s + incs, &s); if (l1>L) l1=L;
    2783    41017319 :       setprec(S, l1);
    2784    41017319 :       setprec(unr,l1);
    2785    41017319 :       affrr(addrr(divru(unr, k), T), S); avma = av;
    2786    41017319 :     }
    2787             :     /* k = 1 special-cased for eficiency */
    2788     2643722 :     y = mulrr(y, addsr(1,T)); /* = log(X)/2 */
    2789             :   }
    2790     2647183 :   shiftr_inplace(y, m + 1);
    2791     2647183 :   if (EX) y = addrr(y, mulsr(EX, mplog2(l+1)));
    2792     2647183 :   affrr_fixlg(y, z); avma = ltop; return z;
    2793             : }
    2794             : 
    2795             : /* assume Im(q) != 0 and precision(q) >= prec. Compute log(q) with accuracy
    2796             :  * prec [disregard input accuracy] */
    2797             : GEN
    2798       10092 : logagmcx(GEN q, long prec)
    2799             : {
    2800       10092 :   GEN z = cgetc(prec), y, Q, a, b;
    2801             :   long lim, e, ea, eb;
    2802       10092 :   pari_sp av = avma;
    2803       10092 :   int neg = 0;
    2804             : 
    2805       10092 :   incrprec(prec);
    2806       10092 :   if (gsigne(gel(q,1)) < 0) { q = gneg(q); neg = 1; }
    2807       10092 :   lim = prec2nbits(prec) >> 1;
    2808       10092 :   Q = gtofp(q, prec);
    2809       10092 :   a = gel(Q,1);
    2810       10092 :   b = gel(Q,2);
    2811       10092 :   if (gequal0(a)) {
    2812           0 :     affrr_fixlg(logr_abs(b), gel(z,1));
    2813           0 :     y = Pi2n(-1, prec);
    2814           0 :     if (signe(b) < 0) setsigne(y, -1);
    2815           0 :     affrr_fixlg(y, gel(z,2)); avma = av; return z;
    2816             :   }
    2817       10092 :   ea = expo(a);
    2818       10092 :   eb = expo(b);
    2819       10092 :   e = ea <= eb ? lim - eb : lim - ea;
    2820       10092 :   shiftr_inplace(a, e);
    2821       10092 :   shiftr_inplace(b, e);
    2822             : 
    2823             :   /* Pi / 2agm(1, 4/Q) ~ log(Q), q = Q * 2^e */
    2824       10092 :   y = gdiv(Pi2n(-1, prec), agm1cx( gdivsg(4, Q), prec ));
    2825       10092 :   a = gel(y,1);
    2826       10092 :   b = gel(y,2);
    2827       10092 :   a = addrr(a, mulsr(-e, mplog2(prec)));
    2828       10092 :   if (realprec(a) <= LOWDEFAULTPREC) a = real_0_bit(expo(a));
    2829       17320 :   if (neg) b = gsigne(b) <= 0? gadd(b, mppi(prec))
    2830        7228 :                              : gsub(b, mppi(prec));
    2831       10092 :   affrr_fixlg(a, gel(z,1));
    2832       10092 :   affrr_fixlg(b, gel(z,2)); avma = av; return z;
    2833             : }
    2834             : 
    2835             : GEN
    2836      106529 : mplog(GEN x)
    2837             : {
    2838      106529 :   if (signe(x)<=0) pari_err_DOMAIN("mplog", "argument", "<=", gen_0, x);
    2839      106529 :   return logr_abs(x);
    2840             : }
    2841             : 
    2842             : /* pe = p^e, p prime, 0 < x < pe a t_INT coprime to p. Return the (p-1)-th
    2843             :  * root of 1 in (Z/pe)^* congruent to x mod p, resp x mod 4 if p = 2.
    2844             :  * Simplified form of Zp_sqrtnlift: 1/(p-1) is trivial to compute */
    2845             : GEN
    2846        1316 : Zp_teichmuller(GEN x, GEN p, long e, GEN pe)
    2847             : {
    2848             :   GEN q, z, p1;
    2849             :   pari_sp av;
    2850             :   ulong mask;
    2851        1316 :   if (absequaliu(p,2)) return (mod4(x) & 2)? subiu(pe,1): gen_1;
    2852        1316 :   if (e == 1) return icopy(x);
    2853        1316 :   av = avma;
    2854        1316 :   p1 = subiu(p, 1);
    2855        1316 :   mask = quadratic_prec_mask(e);
    2856        1316 :   q = p; z = remii(x, p);
    2857        7714 :   while (mask > 1)
    2858             :   { /* Newton iteration solving z^{1 - p} = 1, z = x (mod p) */
    2859        5082 :     GEN w, t, qold = q;
    2860        5082 :     if (mask <= 3) /* last iteration */
    2861        1316 :       q = pe;
    2862             :     else
    2863             :     {
    2864        3766 :       q = sqri(q);
    2865        3766 :       if (mask & 1) q = diviiexact(q, p);
    2866             :     }
    2867        5082 :     mask >>= 1;
    2868             :     /* q <= qold^2 */
    2869        5082 :     if (lgefint(q) == 3)
    2870             :     {
    2871        4935 :       ulong Z = uel(z,2), Q = uel(q,2), P1 = uel(p1,2);
    2872        4935 :       ulong W = (Q-1) / P1; /* -1/(p-1) + O(qold) */
    2873        4935 :       ulong T = Fl_mul(W, Fl_powu(Z,P1,Q) - 1, Q);
    2874        4935 :       Z = Fl_mul(Z, 1 + T, Q);
    2875        4935 :       z = utoi(Z);
    2876             :     }
    2877             :     else
    2878             :     {
    2879         147 :       w = diviiexact(subiu(qold,1),p1); /* -1/(p-1) + O(qold) */
    2880         147 :       t = Fp_mul(w, subiu(Fp_pow(z,p1,q), 1), q);
    2881         147 :       z = Fp_mul(z, addui(1,t), q);
    2882             :     }
    2883             :   }
    2884        1316 :   return gerepileuptoint(av, z);
    2885             : }
    2886             : 
    2887             : GEN
    2888        1197 : teichmullerinit(long p, long n)
    2889             : {
    2890             :   GEN t, pn, g, v;
    2891             :   ulong gp, tp;
    2892             :   long a, m;
    2893             : 
    2894        1197 :   if (p == 2) return mkvec(gen_1);
    2895        1197 :   if (!uisprime(p)) pari_err_PRIME("teichmullerinit",utoipos(p));
    2896             : 
    2897        1197 :   m = p >> 1; /* (p-1)/2 */
    2898        1197 :   tp= gp= pgener_Fl(p); /* order (p-1), gp^m = -1 */
    2899        1197 :   pn = powuu(p, n);
    2900        1197 :   v = cgetg(p, t_VEC);
    2901        1197 :   t = g = Zp_teichmuller(utoipos(gp), utoipos(p), n, pn);
    2902        1197 :   gel(v, 1) = gen_1;
    2903        1197 :   gel(v, p-1) = subiu(pn,1);
    2904        2842 :   for (a = 1; a < m; a++)
    2905             :   {
    2906        1645 :     gel(v, tp) = t;
    2907        1645 :     gel(v, p - tp) = Fp_neg(t, pn); /* g^(m+a) = -g^a */
    2908        1645 :     if (a < m-1)
    2909             :     {
    2910         896 :       t = Fp_mul(t, g, pn); /* g^(a+1) */
    2911         896 :       tp = Fl_mul(tp, gp, p); /* t mod p  */
    2912             :     }
    2913             :   }
    2914        1197 :   return v;
    2915             : }
    2916             : 
    2917             : /* tab from teichmullerinit or NULL */
    2918             : GEN
    2919         238 : teichmuller(GEN x, GEN tab)
    2920             : {
    2921             :   GEN p, q, y, z;
    2922         238 :   long n, tx = typ(x);
    2923             : 
    2924         238 :   if (!tab)
    2925             :   {
    2926         126 :     if (tx == t_VEC && lg(x) == 3)
    2927             :     {
    2928           7 :       p = gel(x,1);
    2929           7 :       q = gel(x,2);
    2930           7 :       if (typ(p) == t_INT && typ(q) == t_INT)
    2931           7 :         return teichmullerinit(itos(p), itos(q));
    2932             :     }
    2933             :   }
    2934         112 :   else if (typ(tab) != t_VEC) pari_err_TYPE("teichmuller",tab);
    2935         231 :   if (tx!=t_PADIC) pari_err_TYPE("teichmuller",x);
    2936         231 :   z = gel(x,4);
    2937         231 :   if (!signe(z)) return gcopy(x);
    2938         231 :   p = gel(x,2);
    2939         231 :   q = gel(x,3);
    2940         231 :   n = precp(x);
    2941         231 :   y = cgetg(5,t_PADIC);
    2942         231 :   y[1] = evalprecp(n) | _evalvalp(0);
    2943         231 :   gel(y,2) = icopy(p);
    2944         231 :   gel(y,3) = icopy(q);
    2945         231 :   if (tab)
    2946             :   {
    2947         112 :     ulong pp = itou_or_0(p);
    2948         112 :     if (lg(tab) != (long)pp) pari_err_TYPE("teichmuller",tab);
    2949         112 :     z = gel(tab, umodiu(z, pp));
    2950         112 :     if (typ(z) != t_INT) pari_err_TYPE("teichmuller",tab);
    2951         112 :     z = remii(z, q);
    2952             :   }
    2953             :   else
    2954         119 :     z = Zp_teichmuller(z, p, n, q);
    2955         231 :   gel(y,4) = z;
    2956         231 :   return y;
    2957             : }
    2958             : GEN
    2959           0 : teich(GEN x) { return teichmuller(x, NULL); }
    2960             : 
    2961             : GEN
    2962     2540606 : glog(GEN x, long prec)
    2963             : {
    2964             :   pari_sp av, tetpil;
    2965             :   GEN y, p1;
    2966             :   long l;
    2967             : 
    2968     2540606 :   switch(typ(x))
    2969             :   {
    2970             :     case t_REAL:
    2971     1679763 :       if (signe(x) >= 0)
    2972             :       {
    2973     1423083 :         if (!signe(x)) pari_err_DOMAIN("log", "argument", "=", gen_0, x);
    2974     1423069 :         return logr_abs(x);
    2975             :       }
    2976      256680 :       retmkcomplex(logr_abs(x), mppi(realprec(x)));
    2977             : 
    2978             :     case t_FRAC:
    2979             :     {
    2980             :       GEN a, b;
    2981             :       long e1, e2;
    2982      125981 :       av = avma;
    2983      125981 :       a = gel(x,1);
    2984      125981 :       b = gel(x,2);
    2985      125981 :       e1 = expi(subii(a,b)); e2 = expi(b);
    2986      125981 :       if (e2 > e1) prec += nbits2nlong(e2 - e1);
    2987      125981 :       x = fractor(x, prec);
    2988      125981 :       return gerepileupto(av, glog(x, prec));
    2989             :     }
    2990             :     case t_COMPLEX:
    2991      475523 :       if (ismpzero(gel(x,2))) return glog(gel(x,1), prec);
    2992      472947 :       l = precision(x); if (l > prec) prec = l;
    2993      472947 :       if (ismpzero(gel(x,1)))
    2994             :       {
    2995        5033 :         GEN a = gel(x,2), b;
    2996        5033 :         av = avma; b = Pi2n(-1,prec);
    2997        5033 :         if (gsigne(a) < 0) { setsigne(b, -1); a = gabs(a,prec); }
    2998        5033 :         a = isint1(a) ? gen_0: glog(a,prec);
    2999        5033 :         return gerepilecopy(av, mkcomplex(a, b));
    3000             :       }
    3001      467914 :       if (prec >= LOGAGMCX_LIMIT) return logagmcx(x, prec);
    3002      458018 :       y = cgetg(3,t_COMPLEX);
    3003      458018 :       gel(y,2) = garg(x,prec);
    3004      458018 :       av = avma; p1 = glog(cxnorm(x),prec); tetpil = avma;
    3005      458018 :       gel(y,1) = gerepile(av,tetpil,gmul2n(p1,-1)); return y;
    3006             : 
    3007         364 :     case t_PADIC: return Qp_log(x);
    3008             :     default:
    3009      258975 :       av = avma; if (!(y = toser_i(x))) break;
    3010          49 :       if (!signe(y)) pari_err_DOMAIN("log", "argument", "=", gen_0, x);
    3011          49 :       if (valp(y)) pari_err_DOMAIN("log", "series valuation", "!=", gen_0, x);
    3012          42 :       p1 = integser(gdiv(derivser(y), y)); /* log(y)' = y'/y */
    3013          42 :       if (!gequal1(gel(y,2))) p1 = gadd(p1, glog(gel(y,2),prec));
    3014          42 :       return gerepileupto(av, p1);
    3015             :   }
    3016      258926 :   return trans_eval("log",glog,x,prec);
    3017             : }
    3018             : /********************************************************************/
    3019             : /**                                                                **/
    3020             : /**                        SINE, COSINE                            **/
    3021             : /**                                                                **/
    3022             : /********************************************************************/
    3023             : 
    3024             : /* Reduce x0 mod Pi/2 to x in [-Pi/4, Pi/4]. Return cos(x)-1 */
    3025             : static GEN
    3026     4255803 : mpcosm1(GEN x, long *ptmod8)
    3027             : {
    3028     4255803 :   long a = expo(x), l = realprec(x), b, L, i, n, m, B;
    3029             :   GEN y, p2, x2;
    3030             :   double d;
    3031             : 
    3032     4255803 :   n = 0;
    3033     4255803 :   if (a >= 0)
    3034             :   {
    3035             :     long p;
    3036             :     GEN q;
    3037     3381622 :     if (a > 30)
    3038             :     {
    3039         635 :       GEN z, pitemp = Pi2n(-2, nbits2prec(a + 32));
    3040         635 :       z = addrr(x,pitemp); /* = x + Pi/4 */
    3041         635 :       if (expo(z) >= bit_prec(z) + 3) pari_err_PREC("mpcosm1");
    3042         635 :       shiftr_inplace(pitemp, 1);
    3043         635 :       q = floorr( divrr(z,pitemp) ); /* round ( x / (Pi/2) ) */
    3044         635 :       p = l+EXTRAPRECWORD; x = rtor(x,p);
    3045             :     } else {
    3046     3380987 :       q = stoi((long)floor(rtodbl(x) / (M_PI/2) + 0.5));
    3047     3380987 :       p = l;
    3048             :     }
    3049     3381622 :     if (signe(q))
    3050             :     {
    3051     3381622 :       x = subrr(x, mulir(q, Pi2n(-1,p))); /* x mod Pi/2  */
    3052     3381622 :       a = expo(x);
    3053     3381622 :       if (!signe(x) && a >= 0) pari_err_PREC("mpcosm1");
    3054     3381622 :       n = mod4(q); if (n && signe(q) < 0) n = 4 - n;
    3055             :     }
    3056             :   }
    3057             :   /* a < 0 */
    3058     4255803 :   b = signe(x); *ptmod8 = (b < 0)? 4 + n: n;
    3059     4255803 :   if (!b) return real_0_bit(expo(x)*2 - 1);
    3060             : 
    3061     4064958 :   b = prec2nbits(l);
    3062     4064958 :   if (b + 2*a <= 0) {
    3063      177213 :     y = sqrr(x); shiftr_inplace(y, -1); setsigne(y, -1);
    3064      177213 :     return y;
    3065             :   }
    3066             : 
    3067     3887745 :   y = cgetr(l);
    3068     3887745 :   B = b/6 + BITS_IN_LONG + (BITS_IN_LONG*BITS_IN_LONG/2)/ b;
    3069     3887745 :   d = a/2.; m = (long)(d + sqrt(d*d + B)); /* >= 0 ,*/
    3070     3887745 :   if (m < (-a) * 0.1) m = 0; /* not worth it */
    3071     3887745 :   L = l + nbits2extraprec(m);
    3072             : 
    3073     3887745 :   b += m;
    3074     3887745 :   d = 2.0 * (m-dbllog2r(x)-1/LOG2); /* ~ 2( - log_2 Y - 1/log(2) ) */
    3075     3887745 :   n = (long)(b / d);
    3076     3887745 :   if (n > 1)
    3077     3859952 :     n = (long)(b / (d + log2((double)n+1))); /* log~constant in small ranges */
    3078     3887745 :   while (n*(d+log2((double)n+1)) < b) n++; /* expect few corrections */
    3079             : 
    3080             :  /* Multiplication is quadratic in this range (l is small, otherwise we
    3081             :   * use logAGM + Newton). Set Y = 2^(-e-a) x, compute truncated series
    3082             :   * sum Y^2k/(2k)!: this costs roughly
    3083             :   *   m b^2 + sum_{k <= n} (2k e + BITS_IN_LONG)^2
    3084             :   *   ~ floor(b/2e) b^2 / 3  + m b^2
    3085             :   * bit operations with |x| <  2^(1+a), |Y| < 2^(1-e) , m = e+a and b bits of
    3086             :   * accuracy needed, so
    3087             :   *    B := ( b / 6 + BITS_IN_LONG + BITS_IN_LONG^2 / 2b) ~ m(m-a)
    3088             :   * we want b ~ 6 m (m-a) or m~b+a hence
    3089             :   *     m = min( a/2 + sqrt(a^2/4 + b/6),  b/2 + a )
    3090             :   * NB1: e ~ (b/6)^(1/2) or b/2.
    3091             :   * NB2: We use b/4 instead of b/6 in the formula above: hand-optimized...
    3092             :   *
    3093             :   * Truncate the sum at k = n (>= 1), the remainder is
    3094             :   * < sum_{k >= n+1} Y^2k / 2k! < Y^(2n+2) / (2n+2)!(1-Y^2) < Y^(2n+2)/(2n+1)!
    3095             :   * We want ... <= Y^2 2^-b, hence -2n log_2 |Y| + log_2 (2n+1)! >= b
    3096             :   *   log n! ~ (n + 1/2) log(n+1) - (n+1) + log(2Pi)/2,
    3097             :   * error bounded by 1/6(n+1) <= 1/12. Finally, we want
    3098             :   * 2n (-1/log(2) - log_2 |Y| + log_2(2n+2)) >= b  */
    3099     3887745 :   x = rtor(x, L); shiftr_inplace(x, -m); setsigne(x, 1);
    3100     3887745 :   x2 = sqrr(x);
    3101     3887745 :   if (n == 1) { p2 = x2; shiftr_inplace(p2, -1); setsigne(p2, -1); } /*-Y^2/2*/
    3102             :   else
    3103             :   {
    3104     3887745 :     GEN unr = real_1(L);
    3105             :     pari_sp av;
    3106     3887745 :     long s = 0, l1 = nbits2prec((long)(d + n + 16));
    3107             : 
    3108     3887745 :     p2 = cgetr(L); av = avma;
    3109    24775131 :     for (i=n; i>=2; i--)
    3110             :     {
    3111             :       GEN p1;
    3112    20887386 :       setprec(x2,l1); p1 = divrunu(x2, 2*i-1);
    3113    20887386 :       l1 += dvmdsBIL(s - expo(p1), &s); if (l1>L) l1=L;
    3114    20887386 :       if (i != n) p1 = mulrr(p1,p2);
    3115    20887386 :       setprec(unr,l1); p1 = addrr_sign(unr,1, p1,-signe(p1));
    3116    20887386 :       setprec(p2,l1); affrr(p1,p2); avma = av;
    3117             :     }
    3118     3887745 :     shiftr_inplace(p2, -1); togglesign(p2); /* p2 := -p2/2 */
    3119     3887745 :     setprec(x2,L); p2 = mulrr(x2,p2);
    3120             :   }
    3121             :   /* Now p2 = sum {1<= i <=n} (-1)^i x^(2i) / (2i)! ~ cos(x) - 1 */
    3122    35702958 :   for (i=1; i<=m; i++)
    3123             :   { /* p2 = cos(x)-1 --> cos(2x)-1 */
    3124    31815213 :     p2 = mulrr(p2, addsr(2,p2));
    3125    31815213 :     shiftr_inplace(p2, 1);
    3126    31815213 :     if ((i & 31) == 0) p2 = gerepileuptoleaf((pari_sp)y, p2);
    3127             :   }
    3128     3887745 :   affrr_fixlg(p2,y); return y;
    3129             : }
    3130             : 
    3131             : /* sqrt (|1 - (1+x)^2|) = sqrt(|x*(x+2)|). Sends cos(x)-1 to |sin(x)| */
    3132             : static GEN
    3133     2821977 : mpaut(GEN x)
    3134             : {
    3135     2821977 :   pari_sp av = avma;
    3136     2821977 :   GEN t = mulrr(x, addsr(2,x)); /* != 0 */
    3137     2821977 :   if (!signe(t)) return real_0_bit(expo(t) >> 1);
    3138     2631139 :   return gerepileuptoleaf(av, sqrtr_abs(t));
    3139             : }
    3140             : 
    3141             : /********************************************************************/
    3142             : /**                            COSINE                              **/
    3143             : /********************************************************************/
    3144             : 
    3145             : GEN
    3146     2683559 : mpcos(GEN x)
    3147             : {
    3148             :   long mod8;
    3149             :   pari_sp av;
    3150             :   GEN y,p1;
    3151             : 
    3152     2683559 :   if (!signe(x)) {
    3153           8 :     long l = nbits2prec(-expo(x));
    3154           8 :     if (l < LOWDEFAULTPREC) l = LOWDEFAULTPREC;
    3155           8 :     return real_1(l);
    3156             :   }
    3157             : 
    3158     2683551 :   av = avma; p1 = mpcosm1(x,&mod8);
    3159     2683551 :   switch(mod8)
    3160             :   {
    3161      740011 :     case 0: case 4: y = addsr(1,p1); break;
    3162      677368 :     case 1: case 7: y = mpaut(p1); togglesign(y); break;
    3163      663025 :     case 2: case 6: y = subsr(-1,p1); break;
    3164      603147 :     default:        y = mpaut(p1); break; /* case 3: case 5: */
    3165             :   }
    3166     2683551 :   return gerepileuptoleaf(av, y);
    3167             : }
    3168             : 
    3169             : /* convert INT or FRAC to REAL, which is later reduced mod 2Pi : avoid
    3170             :  * cancellation */
    3171             : static GEN
    3172       12369 : tofp_safe(GEN x, long prec)
    3173             : {
    3174       35945 :   return (typ(x) == t_INT || gexpo(x) > 0)? gadd(x, real_0(prec))
    3175       14301 :                                           : fractor(x, prec);
    3176             : }
    3177             : 
    3178             : GEN
    3179       93346 : gcos(GEN x, long prec)
    3180             : {
    3181             :   pari_sp av;
    3182             :   GEN r, u, v, y, u1, v1;
    3183             :   long i;
    3184             : 
    3185       93346 :   switch(typ(x))
    3186             :   {
    3187       92681 :     case t_REAL: return mpcos(x);
    3188             :     case t_COMPLEX:
    3189          42 :       if (isintzero(gel(x,1))) return gcosh(gel(x,2), prec);
    3190          28 :       i = precision(x); if (i) prec = i;
    3191          28 :       y = cgetc(prec); av = avma;
    3192          28 :       r = gexp(gel(x,2),prec);
    3193          28 :       v1 = gmul2n(addrr(invr(r),r), -1); /* = cos(I*Im(x)) */
    3194          28 :       u1 = subrr(v1, r); /* = - I*sin(I*Im(x)) */
    3195          28 :       gsincos(gel(x,1),&u,&v,prec);
    3196          28 :       affrr_fixlg(gmul(v1,v), gel(y,1));
    3197          28 :       affrr_fixlg(gmul(u1,u), gel(y,2)); avma = av; return y;
    3198             : 
    3199             :     case t_INT: case t_FRAC:
    3200         546 :       y = cgetr(prec); av = avma;
    3201         546 :       affrr_fixlg(mpcos(tofp_safe(x,prec)), y); avma = av; return y;
    3202             : 
    3203          49 :     case t_PADIC: y = cos_p(x);
    3204          49 :       if (!y) pari_err_DOMAIN("gcos(t_PADIC)","argument","",gen_0,x);
    3205          42 :       return y;
    3206             : 
    3207             :     default:
    3208          28 :       av = avma; if (!(y = toser_i(x))) break;
    3209          21 :       if (gequal0(y)) return gerepileupto(av, gaddsg(1,y));
    3210          21 :       if (valp(y) < 0)
    3211           7 :         pari_err_DOMAIN("cos","valuation", "<", gen_0, x);
    3212          14 :       gsincos(y,&u,&v,prec);
    3213          14 :       return gerepilecopy(av,v);
    3214             :   }
    3215           7 :   return trans_eval("cos",gcos,x,prec);
    3216             : }
    3217             : /********************************************************************/
    3218             : /**                             SINE                               **/
    3219             : /********************************************************************/
    3220             : 
    3221             : GEN
    3222      131378 : mpsin(GEN x)
    3223             : {
    3224             :   long mod8;
    3225             :   pari_sp av;
    3226             :   GEN y,p1;
    3227             : 
    3228      131378 :   if (!signe(x)) return real_0_bit(expo(x));
    3229             : 
    3230      131258 :   av = avma; p1 = mpcosm1(x,&mod8);
    3231      131258 :   switch(mod8)
    3232             :   {
    3233       78709 :     case 0: case 6: y=mpaut(p1); break;
    3234       15591 :     case 1: case 5: y=addsr(1,p1); break;
    3235       21759 :     case 2: case 4: y=mpaut(p1); togglesign(y); break;
    3236       15199 :     default:        y=subsr(-1,p1); break; /* case 3: case 7: */
    3237             :   }
    3238      131258 :   return gerepileuptoleaf(av, y);
    3239             : }
    3240             : 
    3241             : GEN
    3242      134983 : gsin(GEN x, long prec)
    3243             : {
    3244             :   pari_sp av;
    3245             :   GEN r, u, v, y, v1, u1;
    3246             :   long i;
    3247             : 
    3248      134983 :   switch(typ(x))
    3249             :   {
    3250      119786 :     case t_REAL: return mpsin(x);
    3251             :     case t_COMPLEX:
    3252        3612 :       if (isintzero(gel(x,1))) retmkcomplex(gen_0,gsinh(gel(x,2),prec));
    3253        3584 :       i = precision(x); if (i) prec = i;
    3254        3584 :       y = cgetc(prec); av = avma;
    3255        3584 :       r = gexp(gel(x,2),prec);
    3256        3584 :       v1 = gmul2n(addrr(invr(r),r), -1); /* = cos(I*Im(x)) */
    3257        3584 :       u1 = subrr(r, v1); /* = I*sin(I*Im(x)) */
    3258        3584 :       gsincos(gel(x,1),&u,&v,prec);
    3259        3584 :       affrr_fixlg(gmul(v1,u), gel(y,1));
    3260        3584 :       affrr_fixlg(gmul(u1,v), gel(y,2)); avma = av; return y;
    3261             : 
    3262             :     case t_INT: case t_FRAC:
    3263       11354 :       y = cgetr(prec); av = avma;
    3264       11354 :       affrr_fixlg(mpsin(tofp_safe(x,prec)), y); avma = av; return y;
    3265             : 
    3266          49 :     case t_PADIC: y = sin_p(x);
    3267          49 :       if (!y) pari_err_DOMAIN("gsin(t_PADIC)","argument","",gen_0,x);
    3268          42 :       return y;
    3269             : 
    3270             :     default:
    3271         182 :       av = avma; if (!(y = toser_i(x))) break;
    3272         175 :       if (gequal0(y)) return gerepilecopy(av, y);
    3273         175 :       if (valp(y) < 0)
    3274           7 :         pari_err_DOMAIN("sin","valuation", "<", gen_0, x);
    3275         168 :       gsincos(y,&u,&v,prec);
    3276         168 :       return gerepilecopy(av,u);
    3277             :   }
    3278           7 :   return trans_eval("sin",gsin,x,prec);
    3279             : }
    3280             : /********************************************************************/
    3281             : /**                       SINE, COSINE together                    **/
    3282             : /********************************************************************/
    3283             : 
    3284             : void
    3285     1458983 : mpsincos(GEN x, GEN *s, GEN *c)
    3286             : {
    3287             :   long mod8;
    3288             :   pari_sp av, tetpil;
    3289             :   GEN p1, *gptr[2];
    3290             : 
    3291     1458983 :   if (!signe(x))
    3292             :   {
    3293       22899 :     long e = expo(x);
    3294       22899 :     *s = real_0_bit(e);
    3295       22899 :     *c = e >= 0? real_0_bit(e): real_1_bit(-e);
    3296       45798 :     return;
    3297             :   }
    3298             : 
    3299     1436084 :   av=avma; p1=mpcosm1(x,&mod8); tetpil=avma;
    3300     1436084 :   switch(mod8)
    3301             :   {
    3302      337000 :     case 0: *c=addsr( 1,p1); *s=mpaut(p1); break;
    3303       97489 :     case 1: *s=addsr( 1,p1); *c=mpaut(p1); togglesign(*c); break;
    3304      295477 :     case 2: *c=subsr(-1,p1); *s=mpaut(p1); togglesign(*s); break;
    3305      104705 :     case 3: *s=subsr(-1,p1); *c=mpaut(p1); break;
    3306      229244 :     case 4: *c=addsr( 1,p1); *s=mpaut(p1); togglesign(*s); break;
    3307      112049 :     case 5: *s=addsr( 1,p1); *c=mpaut(p1); break;
    3308      150420 :     case 6: *c=subsr(-1,p1); *s=mpaut(p1); break;
    3309      109700 :     case 7: *s=subsr(-1,p1); *c=mpaut(p1); togglesign(*c); break;
    3310             :   }
    3311     1436084 :   gptr[0]=s; gptr[1]=c;
    3312     1436084 :   gerepilemanysp(av,tetpil,gptr,2);
    3313             : }
    3314             : 
    3315             : /* SINE and COSINE - 1 */
    3316             : void
    3317        4910 : mpsincosm1(GEN x, GEN *s, GEN *c)
    3318             : {
    3319             :   long mod8;
    3320             :   pari_sp av, tetpil;
    3321             :   GEN p1, *gptr[2];
    3322             : 
    3323        4910 :   if (!signe(x))
    3324             :   {
    3325           0 :     long e = expo(x);
    3326           0 :     *s = real_0_bit(e);
    3327           0 :     *c = real_0_bit(2*e-1);
    3328           0 :     return;
    3329             :   }
    3330        4910 :   av=avma; p1=mpcosm1(x,&mod8); tetpil=avma;
    3331        4910 :   switch(mod8)
    3332             :   {
    3333        4490 :     case 0: *c=rcopy(p1); *s=mpaut(p1); break;
    3334          42 :     case 1: *s=addsr(1,p1); *c=addrs(mpaut(p1),1); togglesign(*c); break;
    3335           0 :     case 2: *c=subsr(-2,p1); *s=mpaut(p1); togglesign(*s); break;
    3336           0 :     case 3: *s=subsr(-1,p1); *c=subrs(mpaut(p1),1); break;
    3337         287 :     case 4: *c=rcopy(p1); *s=mpaut(p1); togglesign(*s); break;
    3338          77 :     case 5: *s=addsr( 1,p1); *c=subrs(mpaut(p1),1); break;
    3339           7 :     case 6: *c=subsr(-2,p1); *s=mpaut(p1); break;
    3340           7 :     case 7: *s=subsr(-1,p1); *c=subsr(-1,mpaut(p1)); break;
    3341             :   }
    3342        4910 :   gptr[0]=s; gptr[1]=c;
    3343        4910 :   gerepilemanysp(av,tetpil,gptr,2);
    3344             : }
    3345             : 
    3346             : /* return exp(ix), x a t_REAL */
    3347             : GEN
    3348      103030 : expIr(GEN x)
    3349             : {
    3350      103030 :   pari_sp av = avma;
    3351      103030 :   GEN v = cgetg(3,t_COMPLEX);
    3352      103030 :   mpsincos(x, (GEN*)(v+2), (GEN*)(v+1));
    3353      103030 :   if (!signe(gel(v,2))) return gerepilecopy(av, gel(v,1));
    3354      100692 :   return v;
    3355             : }
    3356             : 
    3357             : /* return exp(ix)-1, x a t_REAL */
    3358             : static GEN
    3359        4910 : expm1_Ir(GEN x)
    3360             : {
    3361        4910 :   pari_sp av = avma;
    3362        4910 :   GEN v = cgetg(3,t_COMPLEX);
    3363        4910 :   mpsincosm1(x, (GEN*)(v+2), (GEN*)(v+1));
    3364        4910 :   if (!signe(gel(v,2))) return gerepilecopy(av, gel(v,1));
    3365        4910 :   return v;
    3366             : }
    3367             : 
    3368             : /* return exp(z)-1, z complex */
    3369             : GEN
    3370        5001 : cxexpm1(GEN z, long prec)
    3371             : {
    3372        5001 :   pari_sp av = avma;
    3373        5001 :   GEN X, Y, x = real_i(z), y = imag_i(z);
    3374        5001 :   long l = precision(z);
    3375        5001 :   if (l) prec = l;
    3376        5001 :   if (typ(x) != t_REAL) x = gtofp(x, prec);
    3377        5001 :   if (typ(y) != t_REAL) y = gtofp(y, prec);
    3378        5001 :   if (gequal0(y)) return mpexpm1(x);
    3379        4910 :   if (gequal0(x)) return expm1_Ir(y);
    3380        4826 :   X = mpexpm1(x); /* t_REAL */
    3381        4826 :   Y = expm1_Ir(y);
    3382             :   /* exp(x+iy) - 1 = (exp(x)-1)(exp(iy)-1) + exp(x)-1 + exp(iy)-1 */
    3383        4826 :   return gerepileupto(av, gadd(gadd(X,Y), gmul(X,Y)));
    3384             : }
    3385             : 
    3386             : void
    3387     1245255 : gsincos(GEN x, GEN *s, GEN *c, long prec)
    3388             : {
    3389             :   long i, j, ex, ex2, lx, ly, mi;
    3390             :   pari_sp av, tetpil;
    3391             :   GEN y, r, u, v, u1, v1, p1, p2, p3, p4, ps, pc;
    3392             :   GEN *gptr[4];
    3393             : 
    3394     1245255 :   switch(typ(x))
    3395             :   {
    3396             :     case t_INT: case t_FRAC:
    3397         448 :       *s = cgetr(prec);
    3398         448 :       *c = cgetr(prec); av = avma;
    3399         448 :       mpsincos(tofp_safe(x, prec), &ps, &pc);
    3400         448 :       affrr_fixlg(ps,*s);
    3401     1245703 :       affrr_fixlg(pc,*c); avma = av; return;
    3402             : 
    3403             :     case t_REAL:
    3404     1244324 :       mpsincos(x,s,c); return;
    3405             : 
    3406             :     case t_COMPLEX:
    3407         154 :       i = precision(x); if (i) prec = i;
    3408         154 :       ps = cgetc(prec); *s = ps;
    3409         154 :       pc = cgetc(prec); *c = pc; av = avma;
    3410         154 :       r = gexp(gel(x,2),prec);
    3411         154 :       v1 = gmul2n(addrr(invr(r),r), -1); /* = cos(I*Im(x)) */
    3412         154 :       u1 = subrr(r, v1); /* = I*sin(I*Im(x)) */
    3413         154 :       gsincos(gel(x,1), &u,&v, prec);
    3414         154 :       affrr_fixlg(mulrr(v1,u), gel(ps,1));
    3415         154 :       affrr_fixlg(mulrr(u1,v), gel(ps,2));
    3416         154 :       affrr_fixlg(mulrr(v1,v), gel(pc,1));
    3417         154 :       affrr_fixlg(mulrr(u1,u), gel(pc,2)); togglesign(gel(pc,2));
    3418         154 :       avma = av; return;
    3419             : 
    3420             :     case t_QUAD:
    3421           0 :       av = avma; gsincos(quadtofp(x, prec), s, c, prec);
    3422           0 :       gerepileall(av, 2, s, c); return;
    3423             : 
    3424             :     default:
    3425         329 :       av = avma; if (!(y = toser_i(x))) break;
    3426         329 :       if (gequal0(y)) { *s = gerepilecopy(av,y); *c = gaddsg(1,*s); return; }
    3427             : 
    3428         329 :       ex = valp(y); lx = lg(y); ex2 = 2*ex+2;
    3429         329 :       if (ex < 0) pari_err_DOMAIN("gsincos","valuation", "<", gen_0, x);
    3430         329 :       if (ex2 > lx)
    3431             :       {
    3432          98 :         *s = x == y? gcopy(y): gerepilecopy(av, y); av = avma;
    3433          98 :         *c = gerepileupto(av, gsubsg(1, gdivgs(gsqr(y),2)));
    3434          98 :         return;
    3435             :       }
    3436         231 :       if (!ex)
    3437             :       {
    3438          56 :         gsincos(serchop0(y),&u,&v,prec);
    3439          56 :         gsincos(gel(y,2),&u1,&v1,prec);
    3440          56 :         p1 = gmul(v1,v);
    3441          56 :         p2 = gmul(u1,u);
    3442          56 :         p3 = gmul(v1,u);
    3443          56 :         p4 = gmul(u1,v); tetpil = avma;
    3444          56 :         *c = gsub(p1,p2);
    3445          56 :         *s = gadd(p3,p4);
    3446          56 :         gptr[0]=s; gptr[1]=c;
    3447          56 :         gerepilemanysp(av,tetpil,gptr,2);
    3448          56 :         return;
    3449             :       }
    3450             : 
    3451         175 :       ly = lx+2*ex;
    3452         175 :       mi = lx-1; while (mi>=3 && isrationalzero(gel(y,mi))) mi--;
    3453         175 :       mi += ex-2;
    3454         175 :       pc = cgetg(ly,t_SER); *c = pc;
    3455         175 :       ps = cgetg(lx,t_SER); *s = ps;
    3456         175 :       pc[1] = evalsigne(1) | _evalvalp(0) | evalvarn(varn(y));
    3457         175 :       gel(pc,2) = gen_1; ps[1] = y[1];
    3458         175 :       for (i=2; i<ex+2; i++) gel(ps,i) = gcopy(gel(y,i));
    3459         175 :       for (i=3; i< ex2; i++) gel(pc,i) = gen_0;
    3460        2576 :       for (i=ex2; i<ly; i++)
    3461             :       {
    3462        2401 :         long ii = i-ex;
    3463        2401 :         av = avma; p1 = gen_0;
    3464        5642 :         for (j=ex; j<=minss(ii-2,mi); j++)
    3465        3241 :           p1 = gadd(p1, gmulgs(gmul(gel(y,j-ex+2),gel(ps,ii-j)),j));
    3466        2401 :         gel(pc,i) = gerepileupto(av, gdivgs(p1,2-i));
    3467        2401 :         if (ii < lx)
    3468             :         {
    3469        2219 :           av = avma; p1 = gen_0;
    3470        4893 :           for (j=ex; j<=minss(i-ex2,mi); j++)
    3471        2674 :             p1 = gadd(p1,gmulgs(gmul(gel(y,j-ex+2),gel(pc,i-j)),j));
    3472        2219 :           p1 = gdivgs(p1,i-2);
    3473        2219 :           gel(ps,ii) = gerepileupto(av, gadd(p1,gel(y,ii)));
    3474             :         }
    3475             :       }
    3476         175 :       return;
    3477             :   }
    3478           0 :   pari_err_TYPE("gsincos",x);
    3479             : }
    3480             : 
    3481             : /********************************************************************/
    3482             : /**                                                                **/
    3483             : /**                              SINC                              **/
    3484             : /**                                                                **/
    3485             : /********************************************************************/
    3486             : static GEN
    3487      107436 : mpsinc(GEN x)
    3488             : {
    3489      107436 :   pari_sp av = avma;
    3490             :   GEN s, c;
    3491             : 
    3492      107436 :   if (!signe(x)) {
    3493           0 :     long l = nbits2prec(-expo(x));
    3494           0 :     if (l < LOWDEFAULTPREC) l = LOWDEFAULTPREC;
    3495           0 :     return real_1(l);
    3496             :   }
    3497             : 
    3498      107436 :   mpsincos(x,&s,&c);
    3499      107436 :   return gerepileuptoleaf(av, divrr(s,x));
    3500             : }
    3501             : 
    3502             : GEN
    3503      107506 : gsinc(GEN x, long prec)
    3504             : {
    3505             :   pari_sp av;
    3506             :   GEN r, u, v, y, u1, v1;
    3507             :   long i;
    3508             : 
    3509      107506 :   switch(typ(x))
    3510             :   {
    3511      107429 :     case t_REAL: return mpsinc(x);
    3512             :     case t_COMPLEX:
    3513          28 :       if (isintzero(gel(x,1)))
    3514             :       {
    3515          14 :         av = avma;
    3516          14 :         return gerepileuptoleaf(av,gdiv(gsinh(gel(x,2),prec),gel(x,2)));
    3517             :       }
    3518          14 :       i = precision(x); if (i) prec = i;
    3519          14 :       y = cgetc(prec); av = avma;
    3520          14 :       r = gexp(gel(x,2),prec);
    3521          14 :       v1 = gmul2n(addrr(invr(r),r), -1); /* = cos(I*Im(x)) */
    3522          14 :       u1 = subrr(r, v1); /* = I*sin(I*Im(x)) */
    3523          14 :       gsincos(gel(x,1),&u,&v,prec);
    3524          14 :       affc_fixlg(gdiv(mkcomplex(gmul(v1,u), gmul(u1,v)), x), y);
    3525          14 :       avma = av; return y;
    3526             : 
    3527             :     case t_INT:
    3528           7 :       if (!signe(x)) return real_1(prec); /*fall through*/
    3529             :     case t_FRAC:
    3530           7 :       y = cgetr(prec); av = avma;
    3531           7 :       affrr_fixlg(mpsinc(tofp_safe(x,prec)), y); avma = av; return y;
    3532             : 
    3533             :     case t_PADIC:
    3534          21 :       if (gequal0(x)) return cvtop(gen_1, gel(x,2), valp(x));
    3535          14 :       av = avma; y = sin_p(x);
    3536          14 :       if (!y) pari_err_DOMAIN("gsinc(t_PADIC)","argument","",gen_0,x);
    3537           7 :       return gerepileuptoleaf(av,gdiv(y,x));
    3538             : 
    3539             :     default:
    3540          14 :       av = avma; if (!(y = toser_i(x))) break;
    3541          14 :       if (gequal0(y)) return gerepileupto(av, gaddsg(1,y));
    3542          14 :       if (valp(y) < 0)
    3543           7 :         pari_err_DOMAIN("sinc","valuation", "<", gen_0, x);
    3544           7 :       gsincos(y,&u,&v,prec);
    3545           7 :       return gerepilecopy(av,gdiv(u,y));
    3546             :   }
    3547           0 :   return trans_eval("sinc",gsinc,x,prec);
    3548             : }
    3549             : 
    3550             : /********************************************************************/
    3551             : /**                                                                **/
    3552             : /**                     TANGENT and COTANGENT                      **/
    3553             : /**                                                                **/
    3554             : /********************************************************************/
    3555             : static GEN
    3556          35 : mptan(GEN x)
    3557             : {
    3558          35 :   pari_sp av = avma;
    3559             :   GEN s, c;
    3560             : 
    3561          35 :   mpsincos(x,&s,&c);
    3562          35 :   if (!signe(c))
    3563           0 :     pari_err_DOMAIN("tan", "argument", "=", strtoGENstr("Pi/2 + kPi"),x);
    3564          35 :   return gerepileuptoleaf(av, divrr(s,c));
    3565             : }
    3566             : 
    3567             : GEN
    3568         105 : gtan(GEN x, long prec)
    3569             : {
    3570             :   pari_sp av;
    3571             :   GEN y, s, c;
    3572             : 
    3573         105 :   switch(typ(x))
    3574             :   {
    3575          28 :     case t_REAL: return mptan(x);
    3576             : 
    3577             :     case t_COMPLEX: {
    3578          28 :       if (isintzero(gel(x,1))) retmkcomplex(gen_0,gtanh(gel(x,2),prec));
    3579          14 :       av = avma; y = mulcxmI(gtanh(mulcxI(x), prec)); /* tan x = -I th(I x) */
    3580          14 :       gel(y,1) = gcopy(gel(y,1));
    3581          14 :       return gerepileupto(av, y);
    3582             :     }
    3583             :     case t_INT: case t_FRAC:
    3584           7 :       y = cgetr(prec); av = avma;
    3585           7 :       affrr_fixlg(mptan(tofp_safe(x,prec)), y); avma = av; return y;
    3586             : 
    3587             :     case t_PADIC:
    3588          14 :       av = avma;
    3589          14 :       return gerepileupto(av, gdiv(gsin(x,prec), gcos(x,prec)));
    3590             : 
    3591             :     default:
    3592          28 :       av = avma; if (!(y = toser_i(x))) break;
    3593          21 :       if (gequal0(y)) return gerepilecopy(av, y);
    3594          21 :       if (valp(y) < 0)
    3595           7 :         pari_err_DOMAIN("tan","valuation", "<", gen_0, x);
    3596          14 :       gsincos(y,&s,&c,prec);
    3597          14 :       return gerepileupto(av, gdiv(s,c));
    3598             :   }
    3599           7 :   return trans_eval("tan",gtan,x,prec);
    3600             : }
    3601             : 
    3602             : static GEN
    3603          35 : mpcotan(GEN x)
    3604             : {
    3605          35 :   pari_sp av=avma, tetpil;
    3606             :   GEN s,c;
    3607             : 
    3608          35 :   mpsincos(x,&s,&c); tetpil=avma;
    3609          35 :   return gerepile(av,tetpil,divrr(c,s));
    3610             : }
    3611             : 
    3612             : GEN
    3613         154 : gcotan(GEN x, long prec)
    3614             : {
    3615             :   pari_sp av;
    3616             :   GEN y, s, c;
    3617             : 
    3618         154 :   switch(typ(x))
    3619             :   {
    3620             :     case t_REAL:
    3621          28 :       return mpcotan(x);
    3622             : 
    3623             :     case t_COMPLEX:
    3624          42 :       if (isintzero(gel(x,1))) {
    3625          21 :         GEN z = cgetg(3, t_COMPLEX);
    3626          21 :         gel(z,1) = gen_0;
    3627          21 :         av = avma;
    3628          21 :         gel(z,2) = gerepileupto(av, gneg(ginv(gtanh(gel(x,2),prec))));
    3629          21 :         return z;
    3630             :       }
    3631          21 :       av = avma;
    3632          21 :       gsincos(x,&s,&c,prec);
    3633          21 :       return gerepileupto(av, gdiv(c,s));
    3634             : 
    3635             :     case t_INT: case t_FRAC:
    3636           7 :       y = cgetr(prec); av = avma;
    3637           7 :       affrr_fixlg(mpcotan(tofp_safe(x,prec)), y); avma = av; return y;
    3638             : 
    3639             :     case t_PADIC:
    3640          14 :       av = avma;
    3641          14 :       return gerepileupto(av, gdiv(gcos(x,prec), gsin(x,prec)));
    3642             : 
    3643             :     default:
    3644          63 :       av = avma; if (!(y = toser_i(x))) break;
    3645          56 :       if (gequal0(y)) pari_err_DOMAIN("cotan", "argument", "=", gen_0, y);
    3646          56 :       if (valp(y) < 0) pari_err_DOMAIN("cotan","valuation", "<", gen_0, x);
    3647          49 :       gsincos(y,&s,&c,prec);
    3648          49 :       return gerepileupto(av, gdiv(c,s));
    3649             :   }
    3650           7 :   return trans_eval("cotan",gcotan,x,prec);
    3651             : }

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