Code coverage tests

This page documents the degree to which the PARI/GP source code is tested by our public test suite, distributed with the source distribution in directory src/test/. This is measured by the gcov utility; we then process gcov output using the lcov frond-end.

We test a few variants depending on Configure flags on the pari.math.u-bordeaux.fr machine (x86_64 architecture), and agregate them in the final report:

The target is 90% coverage for all mathematical modules (given that branches depending on DEBUGLEVEL or DEBUGMEM are not covered). This script is run to produce the results below.

LCOV - code coverage report
Current view: top level - basemath - trans1.c (source / functions) Hit Total Coverage
Test: PARI/GP v2.10.0 lcov report (development 19825-b77c7f8) Lines: 1840 1891 97.3 %
Date: 2016-12-06 05:49:02 Functions: 136 138 98.6 %
Legend: Lines: hit not hit

          Line data    Source code
       1             : /* Copyright (C) 2000  The PARI group.
       2             : 
       3             : This file is part of the PARI/GP package.
       4             : 
       5             : PARI/GP is free software; you can redistribute it and/or modify it under the
       6             : terms of the GNU General Public License as published by the Free Software
       7             : Foundation. It is distributed in the hope that it will be useful, but WITHOUT
       8             : ANY WARRANTY WHATSOEVER.
       9             : 
      10             : Check the License for details. You should have received a copy of it, along
      11             : with the package; see the file 'COPYING'. If not, write to the Free Software
      12             : Foundation, Inc., 51 Franklin Street, Fifth Floor, Boston, MA 02110-1301 USA. */
      13             : 
      14             : /********************************************************************/
      15             : /**                                                                **/
      16             : /**                   TRANSCENDENTAL FUNCTIONS                     **/
      17             : /**                                                                **/
      18             : /********************************************************************/
      19             : #include "pari.h"
      20             : #include "paripriv.h"
      21             : 
      22             : #ifdef LONG_IS_64BIT
      23             : static const long SQRTVERYBIGINT = 3037000500L; /* ceil(sqrt(LONG_MAX)) */
      24             : #else
      25             : static const long SQRTVERYBIGINT = 46341L;
      26             : #endif
      27             : 
      28             : static THREAD GEN gcatalan, geuler, glog2, gpi;
      29             : void
      30       64016 : pari_init_floats(void)
      31             : {
      32       64016 :   gcatalan = geuler = gpi = bernzone = glog2 = NULL;
      33       64016 : }
      34             : 
      35             : void
      36       64329 : pari_close_floats(void)
      37             : {
      38       64329 :   if (gcatalan) gunclone(gcatalan);
      39       64383 :   if (geuler) gunclone(geuler);
      40       64383 :   if (gpi) gunclone(gpi);
      41       64383 :   if (bernzone) gunclone(bernzone);
      42       64383 :   if (glog2) gunclone(glog2);
      43       64383 : }
      44             : 
      45             : /********************************************************************/
      46             : /**                   GENERIC BINARY SPLITTING                     **/
      47             : /**                    (Haible, Papanikolaou)                      **/
      48             : /********************************************************************/
      49             : void
      50        7248 : abpq_init(struct abpq *A, long n)
      51             : {
      52        7248 :   A->a = (GEN*)new_chunk(n+1);
      53        7248 :   A->b = (GEN*)new_chunk(n+1);
      54        7248 :   A->p = (GEN*)new_chunk(n+1);
      55        7248 :   A->q = (GEN*)new_chunk(n+1);
      56        7248 : }
      57             : static GEN
      58      902161 : mulii3(GEN a, GEN b, GEN c) { return mulii(mulii(a,b),c); }
      59             : static GEN
      60      267030 : mulii4(GEN a, GEN b, GEN c, GEN d) { return mulii(mulii(a,b),mulii(c,d)); }
      61             : 
      62             : /* T_{n1,n1+1}, given P = p[n1]p[n1+1] */
      63             : static GEN
      64      267030 : T2(struct abpq *A, long n1, GEN P)
      65             : {
      66      267030 :   GEN u1 = mulii4(A->a[n1], A->p[n1], A->b[n1+1], A->q[n1+1]);
      67      267030 :   GEN u2 = mulii3(A->b[n1],A->a[n1+1], P);
      68      267030 :   return addii(u1, u2);
      69             : }
      70             : 
      71             : /* assume n2 > n1. Compute sum_{n1 <= n < n2} a/b(n) p/q(n1)... p/q(n) */
      72             : void
      73      526884 : abpq_sum(struct abpq_res *r, long n1, long n2, struct abpq *A)
      74             : {
      75             :   struct abpq_res L, R;
      76             :   GEN u1, u2;
      77             :   pari_sp av;
      78             :   long n;
      79      526884 :   switch(n2 - n1)
      80             :   {
      81             :     GEN b, p, q;
      82             :     case 1:
      83          36 :       r->P = A->p[n1];
      84          36 :       r->Q = A->q[n1];
      85          36 :       r->B = A->b[n1];
      86          36 :       r->T = mulii(A->a[n1], A->p[n1]);
      87      267102 :       return;
      88             :     case 2:
      89      151535 :       r->P = mulii(A->p[n1], A->p[n1+1]);
      90      151535 :       r->Q = mulii(A->q[n1], A->q[n1+1]);
      91      151535 :       r->B = mulii(A->b[n1], A->b[n1+1]);
      92      151535 :       av = avma;
      93      151535 :       r->T = gerepileuptoint(av, T2(A, n1, r->P));
      94      151535 :       return;
      95             : 
      96             :     case 3:
      97      115495 :       p = mulii(A->p[n1+1], A->p[n1+2]);
      98      115495 :       q = mulii(A->q[n1+1], A->q[n1+2]);
      99      115495 :       b = mulii(A->b[n1+1], A->b[n1+2]);
     100      115495 :       r->P = mulii(A->p[n1], p);
     101      115495 :       r->Q = mulii(A->q[n1], q);
     102      115495 :       r->B = mulii(A->b[n1], b);
     103      115495 :       av = avma;
     104      115495 :       u1 = mulii3(b, q, A->a[n1]);
     105      115495 :       u2 = mulii(A->b[n1], T2(A, n1+1, p));
     106      115495 :       r->T = gerepileuptoint(av, mulii(A->p[n1], addii(u1, u2)));
     107      115495 :       return;
     108             :   }
     109             : 
     110      259818 :   av = avma;
     111      259818 :   n = (n1 + n2) >> 1;
     112      259818 :   abpq_sum(&L, n1, n, A);
     113      259818 :   abpq_sum(&R, n, n2, A);
     114             : 
     115      259818 :   r->P = mulii(L.P, R.P);
     116      259818 :   r->Q = mulii(L.Q, R.Q);
     117      259818 :   r->B = mulii(L.B, R.B);
     118      259818 :   u1 = mulii3(R.B,R.Q,L.T);
     119      259818 :   u2 = mulii3(L.B,L.P,R.T);
     120      259818 :   r->T = addii(u1,u2);
     121      259818 :   avma = av;
     122      259818 :   r->P = icopy(r->P);
     123      259818 :   r->Q = icopy(r->Q);
     124      259818 :   r->B = icopy(r->B);
     125      259818 :   r->T = icopy(r->T);
     126             : }
     127             : 
     128             : /********************************************************************/
     129             : /**                                                                **/
     130             : /**                               PI                               **/
     131             : /**                                                                **/
     132             : /********************************************************************/
     133             : /* replace *old clone by c. Protect against SIGINT */
     134             : static void
     135        5219 : swap_clone(GEN *old, GEN c)
     136             : {
     137        5219 :   GEN tmp = *old;
     138        5219 :   *old = c;
     139        5219 :   if (tmp) gunclone(tmp);
     140        5219 : }
     141             : 
     142             : /*                         ----
     143             :  *  53360 (640320)^(1/2)   \    (6n)! (545140134 n + 13591409)
     144             :  *  -------------------- = /    ------------------------------
     145             :  *        Pi               ----   (n!)^3 (3n)! (-640320)^(3n)
     146             :  *                         n>=0
     147             :  *
     148             :  * Ramanujan's formula + binary splitting */
     149             : static GEN
     150        2480 : pi_ramanujan(long prec)
     151             : {
     152        2480 :   const ulong B = 545140134, A = 13591409, C = 640320;
     153        2480 :   const double alpha2 = 47.11041314; /* 3log(C/12) / log(2) */
     154             :   long n, nmax, prec2;
     155             :   struct abpq_res R;
     156             :   struct abpq S;
     157             :   GEN D, u;
     158             : 
     159        2480 :   nmax = (long)(1 + prec2nbits(prec)/alpha2);
     160             : #ifdef LONG_IS_64BIT
     161        2087 :   D = utoipos(10939058860032000UL); /* C^3/24 */
     162             : #else
     163         393 :   D = uutoi(2546948UL,495419392UL);
     164             : #endif
     165        2480 :   abpq_init(&S, nmax);
     166        2480 :   S.a[0] = utoipos(A);
     167        2480 :   S.b[0] = S.p[0] = S.q[0] = gen_1;
     168       59249 :   for (n = 1; n <= nmax; n++)
     169             :   {
     170       56769 :     S.a[n] = addiu(muluu(B, n), A);
     171       56769 :     S.b[n] = gen_1;
     172       56769 :     S.p[n] = mulis(muluu(6*n-5, 2*n-1), 1-6*n);
     173       56769 :     S.q[n] = mulii(sqru(n), muliu(D,n));
     174             :   }
     175        2480 :   abpq_sum(&R, 0, nmax, &S); prec2 = prec+EXTRAPRECWORD;
     176        2480 :   u = itor(muliu(R.Q,C/12), prec2);
     177        2480 :   return rtor(mulrr(divri(u, R.T), sqrtr_abs(utor(C,prec2))), prec);
     178             : }
     179             : 
     180             : #if 0 /* Much slower than binary splitting at least up to prec = 10^8 */
     181             : /* Gauss - Brent-Salamin AGM iteration */
     182             : static GEN
     183             : pi_brent_salamin(long prec)
     184             : {
     185             :   GEN A, B, C;
     186             :   pari_sp av2;
     187             :   long i, G;
     188             : 
     189             :   G = - prec2nbits(prec);
     190             :   incrprec(prec);
     191             : 
     192             :   A = real2n(-1, prec);
     193             :   B = sqrtr_abs(A); /* = 1/sqrt(2) */
     194             :   setexpo(A, 0);
     195             :   C = real2n(-2, prec); av2 = avma;
     196             :   for (i = 0;; i++)
     197             :   {
     198             :     GEN y, a, b, B_A = subrr(B, A);
     199             :     pari_sp av3 = avma;
     200             :     if (expo(B_A) < G) break;
     201             :     a = addrr(A,B); shiftr_inplace(a, -1);
     202             :     b = mulrr(A,B);
     203             :     affrr(a, A);
     204             :     affrr(sqrtr_abs(b), B); avma = av3;
     205             :     y = sqrr(B_A); shiftr_inplace(y, i - 2);
     206             :     affrr(subrr(C, y), C); avma = av2;
     207             :   }
     208             :   shiftr_inplace(C, 2);
     209             :   return divrr(sqrr(addrr(A,B)), C);
     210             : }
     211             : GEN
     212             : constpi(long prec)
     213             : {
     214             :   pari_sp av;
     215             :   GEN tmp;
     216             :   if (gpi && realprec(gpi) >= prec) return gpi;
     217             : 
     218             :   tmp = cgetr_block(prec);
     219             :   av = avma;
     220             :   affrr(pi_brent_salamin(prec), tmp);
     221             :   swap_clone(&gpi, tmp);
     222             :   avma = av;  return gpi;
     223             : }
     224             : #endif
     225             : 
     226             : GEN
     227    10504611 : constpi(long prec)
     228             : {
     229             :   pari_sp av;
     230             :   GEN tmp;
     231    10504611 :   if (gpi && realprec(gpi) >= prec) return gpi;
     232             : 
     233        2480 :   av = avma;
     234        2480 :   tmp = gclone(pi_ramanujan(prec));
     235        2480 :   swap_clone(&gpi,tmp);
     236        2480 :   avma = av; return gpi;
     237             : }
     238             : 
     239             : GEN
     240    10503668 : mppi(long prec) { return rtor(constpi(prec), prec); }
     241             : 
     242             : /* Pi * 2^n */
     243             : GEN
     244     4342847 : Pi2n(long n, long prec)
     245             : {
     246     4342847 :   GEN x = mppi(prec); shiftr_inplace(x, n);
     247     4342847 :   return x;
     248             : }
     249             : 
     250             : /* I * Pi * 2^n */
     251             : GEN
     252        6159 : PiI2n(long n, long prec) { retmkcomplex(gen_0, Pi2n(n, prec)); }
     253             : 
     254             : /* 2I * Pi */
     255             : GEN
     256        4354 : PiI2(long prec) { return PiI2n(1, prec); }
     257             : 
     258             : /********************************************************************/
     259             : /**                                                                **/
     260             : /**                       EULER CONSTANT                           **/
     261             : /**                                                                **/
     262             : /********************************************************************/
     263             : 
     264             : GEN
     265       19766 : consteuler(long prec)
     266             : {
     267             :   GEN u,v,a,b,tmpeuler;
     268             :   long l, n1, n, k, x;
     269             :   pari_sp av1, av2;
     270             : 
     271       19766 :   if (geuler && realprec(geuler) >= prec) return geuler;
     272             : 
     273         348 :   av1 = avma; tmpeuler = cgetr_block(prec);
     274             : 
     275         348 :   incrprec(prec);
     276             : 
     277         348 :   l = prec+EXTRAPRECWORD; x = (long) (1 + prec2nbits_mul(l, LOG2/4));
     278         348 :   a = utor(x,l); u=logr_abs(a); setsigne(u,-1); affrr(u,a);
     279         348 :   b = real_1(l);
     280         348 :   v = real_1(l);
     281         348 :   n = (long)(1+3.591*x); /* z=3.591: z*[ ln(z)-1 ]=1 */
     282         348 :   n1 = minss(n, SQRTVERYBIGINT);
     283         348 :   if (x < SQRTVERYBIGINT)
     284             :   {
     285         348 :     ulong xx = x*x;
     286         348 :     av2 = avma;
     287      125294 :     for (k=1; k<n1; k++)
     288             :     {
     289      124946 :       affrr(divru(mulur(xx,b),k*k), b);
     290      124946 :       affrr(divru(addrr(divru(mulur(xx,a),k),b),k), a);
     291      124946 :       affrr(addrr(u,a), u);
     292      124946 :       affrr(addrr(v,b), v); avma = av2;
     293             :     }
     294         696 :     for (   ; k<=n; k++)
     295             :     {
     296         348 :       affrr(divru(divru(mulur(xx,b),k),k), b);
     297         348 :       affrr(divru(addrr(divru(mulur(xx,a),k),b),k), a);
     298         348 :       affrr(addrr(u,a), u);
     299         348 :       affrr(addrr(v,b), v); avma = av2;
     300             :     }
     301             :   }
     302             :   else
     303             :   {
     304           0 :     GEN xx = sqru(x);
     305           0 :     av2 = avma;
     306           0 :     for (k=1; k<n1; k++)
     307             :     {
     308           0 :       affrr(divru(mulir(xx,b),k*k), b);
     309           0 :       affrr(divru(addrr(divru(mulir(xx,a),k),b),k), a);
     310           0 :       affrr(addrr(u,a), u);
     311           0 :       affrr(addrr(v,b), v); avma = av2;
     312             :     }
     313           0 :     for (   ; k<=n; k++)
     314             :     {
     315           0 :       affrr(divru(divru(mulir(xx,b),k),k), b);
     316           0 :       affrr(divru(addrr(divru(mulir(xx,a),k),b),k), a);
     317           0 :       affrr(addrr(u,a), u);
     318           0 :       affrr(addrr(v,b), v); avma = av2;
     319             :     }
     320             :   }
     321         348 :   divrrz(u,v,tmpeuler);
     322         348 :   swap_clone(&geuler,tmpeuler);
     323         348 :   avma = av1; return geuler;
     324             : }
     325             : 
     326             : GEN
     327       19766 : mpeuler(long prec) { return rtor(consteuler(prec), prec); }
     328             : 
     329             : /********************************************************************/
     330             : /**                                                                **/
     331             : /**                       CATALAN CONSTANT                         **/
     332             : /**                                                                **/
     333             : /********************************************************************/
     334             : /* 8G = 3\sum_{n>=0} 1/(binomial(2n,n)(2n+1)^2) + Pi log(2+sqrt(3)) */
     335             : static GEN
     336          14 : catalan(long prec)
     337             : {
     338          14 :   long i, nmax = prec2nbits(prec) >> 1;
     339             :   struct abpq_res R;
     340             :   struct abpq A;
     341             :   GEN u, v;
     342          14 :   abpq_init(&A, nmax);
     343          14 :   A.a[0] = A.b[0] = A.p[0] = A.q[0] = gen_1;
     344        6510 :   for (i = 1; i <= nmax; i++)
     345             :   {
     346        6496 :     A.a[i] = gen_1;
     347        6496 :     A.b[i] = utoipos((i<<1)+1);
     348        6496 :     A.p[i] = utoipos(i);
     349        6496 :     A.q[i] = utoipos((i<<2)+2);
     350             :   }
     351          14 :   abpq_sum(&R, 0, nmax, &A);
     352          14 :   u = mulur(3, rdivii(R.T, mulii(R.B,R.Q),prec));
     353          14 :   v = mulrr(mppi(prec), logr_abs(addrs(sqrtr_abs(utor(3,prec)), 2)));
     354          14 :   u = addrr(u, v); shiftr_inplace(u, -3);
     355          14 :   return u;
     356             : }
     357             : 
     358             : GEN
     359          14 : constcatalan(long prec)
     360             : {
     361          14 :   pari_sp av = avma;
     362             :   GEN tmp;
     363          14 :   if (gcatalan && realprec(gcatalan) >= prec) return gcatalan;
     364          14 :   tmp = gclone(catalan(prec));
     365          14 :   swap_clone(&gcatalan,tmp);
     366          14 :   avma = av; return gcatalan;
     367             : }
     368             : 
     369             : GEN
     370          14 : mpcatalan(long prec) { return rtor(constcatalan(prec), prec); }
     371             : 
     372             : /********************************************************************/
     373             : /**                                                                **/
     374             : /**          TYPE CONVERSION FOR TRANSCENDENTAL FUNCTIONS          **/
     375             : /**                                                                **/
     376             : /********************************************************************/
     377             : static GEN
     378       41676 : transvec(GEN (*f)(GEN,long), GEN x, long prec)
     379             : {
     380             :   long i, l;
     381       41676 :   GEN y = cgetg_copy(x, &l);
     382       41676 :   for (i=1; i<l; i++) gel(y,i) = f(gel(x,i),prec);
     383       41669 :   return y;
     384             : }
     385             : 
     386             : GEN
     387      648166 : trans_eval(const char *fun, GEN (*f)(GEN,long), GEN x, long prec)
     388             : {
     389      648166 :   pari_sp av = avma;
     390      648166 :   if (prec < 3) pari_err_BUG("trans_eval [prec < 3]");
     391      648166 :   switch(typ(x))
     392             :   {
     393      594527 :     case t_INT:    x = f(itor(x,prec),prec); break;
     394       11907 :     case t_FRAC:   x = f(fractor(x, prec),prec); break;
     395           7 :     case t_QUAD:   x = f(quadtofp(x,prec),prec); break;
     396           7 :     case t_POLMOD: x = transvec(f, polmod_to_embed(x,prec), prec); break;
     397             :     case t_VEC:
     398             :     case t_COL:
     399       41669 :     case t_MAT: return transvec(f, x, prec);
     400          49 :     default: pari_err_TYPE(fun,x); return NULL;
     401             :   }
     402      606427 :   return gerepileupto(av, x);
     403             : }
     404             : 
     405             : /*******************************************************************/
     406             : /*                                                                 */
     407             : /*                            POWERING                             */
     408             : /*                                                                 */
     409             : /*******************************************************************/
     410             : /* x a t_REAL 0, return exp(x) */
     411             : static GEN
     412      226844 : mpexp0(GEN x)
     413             : {
     414      226844 :   long e = expo(x);
     415      226844 :   return e >= 0? real_0_bit(e): real_1_bit(-e);
     416             : }
     417             : static GEN
     418        1694 : powr0(GEN x)
     419        1694 : { return signe(x)? real_1(realprec(x)): mpexp0(x); }
     420             : 
     421             : /* x t_POL or t_SER, return scalarpol(RgX_get_1(x)) */
     422             : static GEN
     423      115969 : scalarpol_get_1(GEN x)
     424             : {
     425      115969 :   GEN y = cgetg(3,t_POL);
     426      115969 :   y[1] = evalvarn(varn(x)) | evalsigne(1);
     427      115969 :   gel(y,2) = RgX_get_1(x); return y;
     428             : }
     429             : /* to be called by the generic function gpowgs(x,s) when s = 0 */
     430             : static GEN
     431     2903707 : gpowg0(GEN x)
     432             : {
     433             :   long lx, i;
     434             :   GEN y;
     435             : 
     436     2903707 :   switch(typ(x))
     437             :   {
     438             :     case t_INT: case t_REAL: case t_FRAC: case t_PADIC:
     439      578464 :       return gen_1;
     440             : 
     441           7 :     case t_QUAD: x++; /*fall through*/
     442             :     case t_COMPLEX: {
     443       15047 :       pari_sp av = avma;
     444       15047 :       GEN a = gpowg0(gel(x,1));
     445       15047 :       GEN b = gpowg0(gel(x,2));
     446       15047 :       if (a == gen_1) return b;
     447          14 :       if (b == gen_1) return a;
     448           7 :       return gerepileupto(av, gmul(a,b));
     449             :     }
     450             :     case t_INTMOD:
     451          63 :       y = cgetg(3,t_INTMOD);
     452          63 :       gel(y,1) = icopy(gel(x,1));
     453          63 :       gel(y,2) = gen_1; return y;
     454             : 
     455        4452 :     case t_FFELT: return FF_1(x);
     456             : 
     457             :     case t_POLMOD:
     458          42 :       y = cgetg(3,t_POLMOD);
     459          42 :       gel(y,1) = gcopy(gel(x,1));
     460          42 :       gel(y,2) = scalarpol_get_1(gel(x,1)); return y;
     461             : 
     462             :     case t_RFRAC:
     463           7 :       return scalarpol_get_1(gel(x,2));
     464             :     case t_POL: case t_SER:
     465      115920 :       return scalarpol_get_1(x);
     466             : 
     467             :     case t_MAT:
     468          14 :       lx=lg(x); if (lx==1) return cgetg(1,t_MAT);
     469           7 :       if (lx != lgcols(x)) pari_err_DIM("gpow");
     470           7 :       y = matid(lx-1);
     471           7 :       for (i=1; i<lx; i++) gcoeff(y,i,i) = gpowg0(gcoeff(x,i,i));
     472           7 :       return y;
     473          14 :     case t_QFR: return qfr_1(x);
     474     2189670 :     case t_QFI: return qfi_1(x);
     475           7 :     case t_VECSMALL: return identity_perm(lg(x) - 1);
     476             :   }
     477           7 :   pari_err_TYPE("gpow",x);
     478           0 :   return NULL; /* not reached */
     479             : }
     480             : 
     481             : static GEN
     482    34963089 : _sqr(void *data /* ignored */, GEN x) { (void)data; return gsqr(x); }
     483             : static GEN
     484    14119624 : _mul(void *data /* ignored */, GEN x, GEN y) { (void)data; return gmul(x,y); }
     485             : static GEN
     486       42024 : _one(void *x) { return gpowg0((GEN) x); }
     487             : static GEN
     488     4304059 : _sqri(void *data /* ignored */, GEN x) { (void)data; return sqri(x); }
     489             : static GEN
     490     2926754 : _muli(void *data /* ignored */, GEN x, GEN y) { (void)data; return mulii(x,y); }
     491             : static GEN
     492     6293326 : _sqrr(void *data /* ignored */, GEN x) { (void)data; return sqrr(x); }
     493             : static GEN
     494      851572 : _mulr(void *data /* ignored */, GEN x, GEN y) { (void)data; return mulrr(x,y); }
     495             : static GEN
     496       23227 : _oner(void *data /* prec */) { return real_1( *(long*) data); }
     497             : 
     498             : /* INTEGER POWERING (a^n for integer a != 0 and integer n > 0)
     499             :  *
     500             :  * Use left shift binary algorithm (RS is wasteful: multiplies big numbers,
     501             :  * with LS one of them is the base, hence small). Sign of result is set
     502             :  * to s (= 1,-1). Makes life easier for caller, which otherwise might do a
     503             :  * setsigne(gen_1 / gen_m1) */
     504             : static GEN
     505    28296114 : powiu_sign(GEN a, ulong N, long s)
     506             : {
     507             :   pari_sp av;
     508             :   GEN y;
     509             : 
     510    28296114 :   if (lgefint(a) == 3)
     511             :   { /* easy if |a| < 3 */
     512    24485212 :     ulong q = a[2];
     513    24485212 :     if (q == 1) return (s>0)? gen_1: gen_m1;
     514    16459604 :     if (q == 2) { a = int2u(N); setsigne(a,s); return a; }
     515    10416699 :     q = upowuu(q, N);
     516    10416700 :     if (q) return s>0? utoipos(q): utoineg(q);
     517             :   }
     518     4336340 :   if (N <= 2) {
     519     2777512 :     if (N == 2) return sqri(a);
     520        3622 :     a = icopy(a); setsigne(a,s); return a;
     521             :   }
     522     1558828 :   av = avma;
     523     1558828 :   y = gen_powu_i(a, N, NULL, &_sqri, &_muli);
     524     1558828 :   setsigne(y,s); return gerepileuptoint(av, y);
     525             : }
     526             : /* a^n */
     527             : GEN
     528    28142283 : powiu(GEN a, ulong n)
     529             : {
     530             :   long s;
     531    28142283 :   if (!n) return gen_1;
     532    27791995 :   s = signe(a);
     533    27791995 :   if (!s) return gen_0;
     534    27780024 :   return powiu_sign(a, n, (s < 0 && odd(n))? -1: 1);
     535             : }
     536             : GEN
     537    15080069 : powis(GEN a, long n)
     538             : {
     539             :   long s;
     540             :   GEN t, y;
     541    15080069 :   if (n >= 0) return powiu(a, n);
     542       68184 :   s = signe(a);
     543       68184 :   if (!s) pari_err_INV("powis",gen_0);
     544       68184 :   t = (s < 0 && odd(n))? gen_m1: gen_1;
     545       68184 :   if (is_pm1(a)) return t;
     546             :   /* n < 0, |a| > 1 */
     547       68051 :   y = cgetg(3,t_FRAC);
     548       68051 :   gel(y,1) = t;
     549       68051 :   gel(y,2) = powiu_sign(a, -n, 1); /* force denominator > 0 */
     550       68051 :   return y;
     551             : }
     552             : GEN
     553    11150025 : powuu(ulong p, ulong N)
     554             : {
     555    11150025 :   pari_sp av = avma;
     556    11150025 :   long P[] = {evaltyp(t_INT)|_evallg(3), evalsigne(1)|evallgefint(3),0};
     557             :   ulong pN;
     558             :   GEN y;
     559    11150025 :   if (N <= 2)
     560             :   {
     561     7672491 :     if (N == 2) return sqru(p);
     562     5391535 :     if (N == 1) return utoipos(p);
     563     2487279 :     return gen_1;
     564             :   }
     565     3477534 :   if (!p) return gen_0;
     566     3477534 :   pN = upowuu(p, N);
     567     3477534 :   if (pN) return utoipos(pN);
     568      703078 :   if (p == 2) return int2u(N);
     569      702358 :   P[2] = p; av = avma;
     570      702358 :   y = gen_powu_i(P, N, NULL, &_sqri, &_muli);
     571      702358 :   return gerepileuptoint(av, y);
     572             : }
     573             : 
     574             : /* return 0 if overflow */
     575             : static ulong
     576     2740954 : usqru(ulong p) { return p & HIGHMASK? 0: p*p; }
     577             : ulong
     578    18709924 : upowuu(ulong p, ulong k)
     579             : {
     580             : #ifdef LONG_IS_64BIT
     581    16022256 :   const ulong CUTOFF3 = 2642245;
     582    16022256 :   const ulong CUTOFF4 = 65535;
     583    16022256 :   const ulong CUTOFF5 = 7131;
     584    16022256 :   const ulong CUTOFF6 = 1625;
     585    16022256 :   const ulong CUTOFF7 = 565;
     586    16022256 :   const ulong CUTOFF8 = 255;
     587    16022256 :   const ulong CUTOFF9 = 138;
     588    16022256 :   const ulong CUTOFF10 = 84;
     589    16022256 :   const ulong CUTOFF11 = 56;
     590    16022256 :   const ulong CUTOFF12 = 40;
     591    16022256 :   const ulong CUTOFF13 = 30;
     592    16022256 :   const ulong CUTOFF14 = 23;
     593    16022256 :   const ulong CUTOFF15 = 19;
     594    16022256 :   const ulong CUTOFF16 = 15;
     595    16022256 :   const ulong CUTOFF17 = 13;
     596    16022256 :   const ulong CUTOFF18 = 11;
     597    16022256 :   const ulong CUTOFF19 = 10;
     598    16022256 :   const ulong CUTOFF20 =  9;
     599             : #else
     600     2687668 :   const ulong CUTOFF3 = 1625;
     601     2687668 :   const ulong CUTOFF4 =  255;
     602     2687668 :   const ulong CUTOFF5 =   84;
     603     2687668 :   const ulong CUTOFF6 =   40;
     604     2687668 :   const ulong CUTOFF7 =   23;
     605     2687668 :   const ulong CUTOFF8 =   15;
     606     2687668 :   const ulong CUTOFF9 =   11;
     607     2687668 :   const ulong CUTOFF10 =   9;
     608     2687668 :   const ulong CUTOFF11 =   7;
     609     2687668 :   const ulong CUTOFF12 =   6;
     610     2687668 :   const ulong CUTOFF13 =   5;
     611     2687668 :   const ulong CUTOFF14 =   4;
     612     2687668 :   const ulong CUTOFF15 =   4;
     613     2687668 :   const ulong CUTOFF16 =   3;
     614     2687668 :   const ulong CUTOFF17 =   3;
     615     2687668 :   const ulong CUTOFF18 =   3;
     616     2687668 :   const ulong CUTOFF19 =   3;
     617     2687668 :   const ulong CUTOFF20 =   3;
     618             : #endif
     619             : 
     620    18709924 :   if (p <= 2)
     621             :   {
     622      775881 :     if (p < 2) return p;
     623      773277 :     return k < BITS_IN_LONG? 1UL<<k: 0;
     624             :   }
     625    17934043 :   switch(k)
     626             :   {
     627             :     ulong p2, p3, p4, p5, p8;
     628     1698327 :     case 0:  return 1;
     629     7891384 :     case 1:  return p;
     630     2740954 :     case 2:  return usqru(p);
     631     2004540 :     case 3:  if (p > CUTOFF3) return 0; return p*p*p;
     632      828684 :     case 4:  if (p > CUTOFF4) return 0; p2=p*p; return p2*p2;
     633      341584 :     case 5:  if (p > CUTOFF5) return 0; p2=p*p; return p2*p2*p;
     634      505186 :     case 6:  if (p > CUTOFF6) return 0; p2=p*p; return p2*p2*p2;
     635      102888 :     case 7:  if (p > CUTOFF7) return 0; p2=p*p; return p2*p2*p2*p;
     636      118125 :     case 8:  if (p > CUTOFF8) return 0; p2=p*p; p4=p2*p2; return p4*p4;
     637      206132 :     case 9:  if (p > CUTOFF9) return 0; p2=p*p; p4=p2*p2; return p4*p4*p;
     638       67323 :     case 10: if (p > CUTOFF10)return 0; p2=p*p; p4=p2*p2; return p4*p4*p2;
     639       31510 :     case 11: if (p > CUTOFF11)return 0; p2=p*p; p4=p2*p2; return p4*p4*p2*p;
     640       50811 :     case 12: if (p > CUTOFF12)return 0; p2=p*p; p4=p2*p2; return p4*p4*p4;
     641       59614 :     case 13: if (p > CUTOFF13)return 0; p2=p*p; p4=p2*p2; return p4*p4*p4*p;
     642       66417 :     case 14: if (p > CUTOFF14)return 0; p2=p*p; p4=p2*p2; return p4*p4*p4*p2;
     643       84050 :     case 15: if (p > CUTOFF15)return 0;
     644       18520 :       p2=p*p; p3=p2*p; p5=p3*p2; return p5*p5*p5;
     645       59584 :     case 16: if (p > CUTOFF16)return 0;
     646       14517 :       p2=p*p; p4=p2*p2; p8=p4*p4; return p8*p8;
     647       32753 :     case 17: if (p > CUTOFF17)return 0;
     648        9577 :       p2=p*p; p4=p2*p2; p8=p4*p4; return p*p8*p8;
     649       23560 :     case 18: if (p > CUTOFF18)return 0;
     650        6964 :       p2=p*p; p4=p2*p2; p8=p4*p4; return p2*p8*p8;
     651      646413 :     case 19: if (p > CUTOFF19)return 0;
     652      634539 :       p2=p*p; p4=p2*p2; p8=p4*p4; return p*p2*p8*p8;
     653       12099 :     case 20: if (p > CUTOFF20)return 0;
     654        3773 :       p2=p*p; p4=p2*p2; p8=p4*p4; return p4*p8*p8;
     655             :   }
     656             : #ifdef LONG_IS_64BIT
     657      308724 :   switch(p)
     658             :   {
     659       27594 :     case 3: if (k > 40) return 0;
     660       20214 :       break;
     661         792 :     case 4: if (k > 31) return 0;
     662          48 :       return 1UL<<(2*k);
     663       14243 :     case 5: if (k > 27) return 0;
     664        2855 :       break;
     665         678 :     case 6: if (k > 24) return 0;
     666          30 :       break;
     667        9168 :     case 7: if (k > 22) return 0;
     668        1014 :       break;
     669      256249 :     default: return 0;
     670             :   }
     671             :   /* no overflow */
     672             :   {
     673       24113 :     ulong q = upowuu(p, k >> 1);
     674       24113 :     q *= q ;
     675       24113 :     return odd(k)? q*p: q;
     676             :   }
     677             : #else
     678       53381 :   return 0;
     679             : #endif
     680             : }
     681             : 
     682             : typedef struct {
     683             :   long prec, a;
     684             :   GEN (*sqr)(GEN);
     685             :   GEN (*mulug)(ulong,GEN);
     686             : } sr_muldata;
     687             : 
     688             : static GEN
     689      295242 : _rpowuu_sqr(void *data, GEN x)
     690             : {
     691      295242 :   sr_muldata *D = (sr_muldata *)data;
     692      295242 :   if (typ(x) == t_INT && lgefint(x) >= D->prec)
     693             :   { /* switch to t_REAL */
     694        2193 :     D->sqr   = &sqrr;
     695        2193 :     D->mulug = &mulur; x = itor(x, D->prec);
     696             :   }
     697      295242 :   return D->sqr(x);
     698             : }
     699             : 
     700             : static GEN
     701       99513 : _rpowuu_msqr(void *data, GEN x)
     702             : {
     703       99513 :   GEN x2 = _rpowuu_sqr(data, x);
     704       99513 :   sr_muldata *D = (sr_muldata *)data;
     705       99513 :   return D->mulug(D->a, x2);
     706             : }
     707             : 
     708             : /* return a^n as a t_REAL of precision prec. Assume a > 0, n > 0 */
     709             : GEN
     710       97394 : rpowuu(ulong a, ulong n, long prec)
     711             : {
     712             :   pari_sp av;
     713             :   GEN y, z;
     714             :   sr_muldata D;
     715             : 
     716       97394 :   if (a == 1) return real_1(prec);
     717       97394 :   if (a == 2) return real2n(n, prec);
     718       97394 :   if (n == 1) return utor(a, prec);
     719       96666 :   z = cgetr(prec);
     720       96666 :   av = avma;
     721       96666 :   D.sqr   = &sqri;
     722       96666 :   D.mulug = &mului;
     723       96666 :   D.prec = prec;
     724       96666 :   D.a = (long)a;
     725       96666 :   y = gen_powu_fold_i(utoipos(a), n, (void*)&D, &_rpowuu_sqr, &_rpowuu_msqr);
     726       96666 :   mpaff(y, z); avma = av; return z;
     727             : }
     728             : 
     729             : GEN
     730     5151234 : powrs(GEN x, long n)
     731             : {
     732     5151234 :   pari_sp av = avma;
     733             :   GEN y;
     734     5151234 :   if (!n) return powr0(x);
     735     5151234 :   y = gen_powu_i(x, (ulong)labs(n), NULL, &_sqrr, &_mulr);
     736     5151234 :   if (n < 0) y = invr(y);
     737     5151234 :   return gerepileuptoleaf(av,y);
     738             : }
     739             : GEN
     740      169771 : powru(GEN x, ulong n)
     741             : {
     742      169771 :   pari_sp av = avma;
     743             :   GEN y;
     744      169771 :   if (!n) return powr0(x);
     745      168581 :   y = gen_powu_i(x, n, NULL, &_sqrr, &_mulr);
     746      168581 :   return gerepileuptoleaf(av,y);
     747             : }
     748             : 
     749             : GEN
     750       23227 : powersr(GEN x, long n)
     751             : {
     752       23227 :   long prec = realprec(x);
     753       23227 :   return gen_powers(x, n, 1, &prec, &_sqrr, &_mulr, &_oner);
     754             : }
     755             : 
     756             : /* x^(s/2), assume x t_REAL */
     757             : GEN
     758           0 : powrshalf(GEN x, long s)
     759             : {
     760           0 :   if (s & 1) return sqrtr(powrs(x, s));
     761           0 :   return powrs(x, s>>1);
     762             : }
     763             : /* x^(s/2), assume x t_REAL */
     764             : GEN
     765       14778 : powruhalf(GEN x, ulong s)
     766             : {
     767       14778 :   if (s & 1) return sqrtr(powru(x, s));
     768        3759 :   return powru(x, s>>1);
     769             : }
     770             : /* x^(n/d), assume x t_REAL, return t_REAL */
     771             : GEN
     772         504 : powrfrac(GEN x, long n, long d)
     773             : {
     774             :   long z;
     775         504 :   if (!n) return powr0(x);
     776           0 :   z = cgcd(n, d); if (z > 1) { n /= z; d /= z; }
     777           0 :   if (d == 1) return powrs(x, n);
     778           0 :   x = powrs(x, n);
     779           0 :   if (d == 2) return sqrtr(x);
     780           0 :   return sqrtnr(x, d);
     781             : }
     782             : 
     783             : /* assume x != 0 */
     784             : static GEN
     785      335305 : pow_monome(GEN x, long n)
     786             : {
     787      335305 :   long i, d, dx = degpol(x);
     788             :   GEN A, b, y;
     789             : 
     790      335305 :   if (n < 0) { n = -n; y = cgetg(3, t_RFRAC); } else y = NULL;
     791             : 
     792      335305 :   if (HIGHWORD(dx) || HIGHWORD(n))
     793           8 :   {
     794             :     LOCAL_HIREMAINDER;
     795           9 :     d = (long)mulll((ulong)dx, (ulong)n);
     796           9 :     if (hiremainder || (d &~ LGBITS)) d = LGBITS; /* overflow */
     797           9 :     d += 2;
     798             :   }
     799             :   else
     800      335296 :     d = dx*n + 2;
     801      335305 :   if ((d + 1) & ~LGBITS) pari_err(e_OVERFLOW,"pow_monome [degree]");
     802      335298 :   A = cgetg(d+1, t_POL); A[1] = x[1];
     803      335298 :   for (i=2; i < d; i++) gel(A,i) = gen_0;
     804      335298 :   b = gpowgs(gel(x,dx+2), n); /* not memory clean if (n < 0) */
     805      335298 :   if (!y) y = A;
     806             :   else {
     807       20433 :     GEN c = denom(b);
     808       20433 :     gel(y,1) = c; if (c != gen_1) b = gmul(b,c);
     809       20433 :     gel(y,2) = A;
     810             :   }
     811      335298 :   gel(A,d) = b; return y;
     812             : }
     813             : 
     814             : /* x t_PADIC */
     815             : static GEN
     816       40971 : powps(GEN x, long n)
     817             : {
     818       40971 :   long e = n*valp(x), v;
     819       40971 :   GEN t, y, mod, p = gel(x,2);
     820             :   pari_sp av;
     821             : 
     822       40971 :   if (!signe(gel(x,4))) {
     823          84 :     if (n < 0) pari_err_INV("powps",x);
     824          77 :     return zeropadic(p, e);
     825             :   }
     826       40887 :   v = z_pval(n, p);
     827             : 
     828       40887 :   y = cgetg(5,t_PADIC);
     829       40887 :   mod = gel(x,3);
     830       40887 :   if (v == 0) mod = icopy(mod);
     831             :   else
     832             :   {
     833       39837 :     if (precp(x) == 1 && absequaliu(p, 2)) v++;
     834       39837 :     mod = mulii(mod, powiu(p,v));
     835       39837 :     mod = gerepileuptoint((pari_sp)y, mod);
     836             :   }
     837       40887 :   y[1] = evalprecp(precp(x) + v) | evalvalp(e);
     838       40887 :   gel(y,2) = icopy(p);
     839       40887 :   gel(y,3) = mod;
     840             : 
     841       40887 :   av = avma; t = gel(x,4);
     842       40887 :   if (n < 0) { t = Fp_inv(t, mod); n = -n; }
     843       40887 :   t = Fp_powu(t, n, mod);
     844       40887 :   gel(y,4) = gerepileuptoint(av, t);
     845       40887 :   return y;
     846             : }
     847             : /* x t_PADIC */
     848             : static GEN
     849         161 : powp(GEN x, GEN n)
     850             : {
     851             :   long v;
     852         161 :   GEN y, mod, p = gel(x,2);
     853             : 
     854         161 :   if (valp(x)) pari_err_OVERFLOW("valp()");
     855             : 
     856         161 :   if (!signe(gel(x,4))) {
     857          14 :     if (signe(n) < 0) pari_err_INV("powp",x);
     858           7 :     return zeropadic(p, 0);
     859             :   }
     860         147 :   v = Z_pval(n, p);
     861             : 
     862         147 :   y = cgetg(5,t_PADIC);
     863         147 :   mod = gel(x,3);
     864         147 :   if (v == 0) mod = icopy(mod);
     865             :   else
     866             :   {
     867          70 :     mod = mulii(mod, powiu(p,v));
     868          70 :     mod = gerepileuptoint((pari_sp)y, mod);
     869             :   }
     870         147 :   y[1] = evalprecp(precp(x) + v) | _evalvalp(0);
     871         147 :   gel(y,2) = icopy(p);
     872         147 :   gel(y,3) = mod;
     873         147 :   gel(y,4) = Fp_pow(gel(x,4), n, mod);
     874         147 :   return y;
     875             : }
     876             : static GEN
     877       12620 : pow_polmod(GEN x, GEN n)
     878             : {
     879       12620 :   GEN z = cgetg(3, t_POLMOD), a = gel(x,2), T = gel(x,1);
     880       12620 :   gel(z,1) = gcopy(T);
     881       12620 :   if (typ(a) != t_POL || varn(a) != varn(T) || lg(a) <= 3)
     882        2541 :     a = powgi(a, n);
     883             :   else {
     884       10079 :     pari_sp av = avma;
     885       10079 :     GEN p = NULL;
     886       10079 :     if (RgX_is_FpX(T, &p) && RgX_is_FpX(a, &p) && p)
     887             :     {
     888        7602 :       T = RgX_to_FpX(T, p); a = RgX_to_FpX(a, p);
     889        7602 :       if (lgefint(p) == 3)
     890             :       {
     891        7595 :         ulong pp = p[2];
     892        7595 :         a = Flxq_pow(ZX_to_Flx(a, pp), n, ZX_to_Flx(T, pp), pp);
     893        7595 :         a = Flx_to_ZX(a);
     894             :       }
     895             :       else
     896           7 :         a = FpXQ_pow(a, n, T, p);
     897        7602 :       a = FpX_to_mod(a, p);
     898        7602 :       a = gerepileupto(av, a);
     899             :     }
     900             :     else
     901             :     {
     902        2477 :       avma = av;
     903        2477 :       a = RgXQ_pow(a, n, gel(z,1));
     904             :     }
     905             :   }
     906       12620 :   gel(z,2) = a; return z;
     907             : }
     908             : 
     909             : GEN
     910    44287326 : gpowgs(GEN x, long n)
     911             : {
     912             :   long m;
     913             :   pari_sp av;
     914             :   GEN y;
     915             : 
     916    44287326 :   if (n == 0) return gpowg0(x);
     917    41455744 :   if (n == 1)
     918     4064899 :     switch (typ(x)) {
     919      668565 :       case t_QFI: return redimag(x);
     920          14 :       case t_QFR: return redreal(x);
     921     3396320 :       default: return gcopy(x);
     922             :     }
     923    37390845 :   if (n ==-1) return ginv(x);
     924    33990318 :   switch(typ(x))
     925             :   {
     926    15037275 :     case t_INT: return powis(x,n);
     927     5150723 :     case t_REAL: return powrs(x,n);
     928             :     case t_INTMOD:
     929       20986 :       y = cgetg(3,t_INTMOD); gel(y,1) = icopy(gel(x,1));
     930       20986 :       gel(y,2) = Fp_pows(gel(x,2), n, gel(x,1));
     931       20986 :       return y;
     932             :     case t_FRAC:
     933             :     {
     934      224023 :       GEN a = gel(x,1), b = gel(x,2);
     935      224023 :       long s = (signe(a) < 0 && odd(n))? -1: 1;
     936      224023 :       if (n < 0) {
     937          14 :         n = -n;
     938          14 :         if (is_pm1(a)) return powiu_sign(b, n, s); /* +-1/x[2] inverts to t_INT */
     939           7 :         swap(a, b);
     940             :       }
     941      224016 :       y = cgetg(3, t_FRAC);
     942      224016 :       gel(y,1) = powiu_sign(a, n, s);
     943      224016 :       gel(y,2) = powiu_sign(b, n, 1);
     944      224016 :       return y;
     945             :     }
     946       40971 :     case t_PADIC: return powps(x, n);
     947             :     case t_RFRAC:
     948             :     {
     949          21 :       av = avma; y = cgetg(3, t_RFRAC); m = labs(n);
     950          21 :       gel(y,1) = gpowgs(gel(x,1),m);
     951          21 :       gel(y,2) = gpowgs(gel(x,2),m);
     952          21 :       if (n < 0) y = ginv(y);
     953          21 :       return gerepileupto(av,y);
     954             :     }
     955             :     case t_POLMOD: {
     956       12613 :       long N[] = {evaltyp(t_INT) | _evallg(3),0,0};
     957       12613 :       affsi(n,N); return pow_polmod(x, N);
     958             :     }
     959             :     case t_POL:
     960      398928 :       if (RgX_is_monomial(x)) return pow_monome(x, n);
     961             :     default: {
     962    13168401 :       pari_sp av = avma;
     963    13168401 :       y = gen_powu_i(x, (ulong)labs(n), NULL, &_sqr, &_mul);
     964    13168402 :       if (n < 0) y = ginv(y);
     965    13168402 :       return gerepileupto(av,y);
     966             :     }
     967             :   }
     968             : }
     969             : 
     970             : /* n a t_INT */
     971             : GEN
     972    32840264 : powgi(GEN x, GEN n)
     973             : {
     974             :   GEN y;
     975             : 
     976    32840264 :   if (!is_bigint(n)) return gpowgs(x, itos(n));
     977             :   /* probable overflow for non-modular types (typical exception: (X^0)^N) */
     978         340 :   switch(typ(x))
     979             :   {
     980             :     case t_INTMOD:
     981          49 :       y = cgetg(3,t_INTMOD); gel(y,1) = icopy(gel(x,1));
     982          49 :       gel(y,2) = Fp_pow(gel(x,2), n, gel(x,1));
     983          49 :       return y;
     984          58 :     case t_FFELT: return FF_pow(x,n);
     985         161 :     case t_PADIC: return powp(x, n);
     986             : 
     987             :     case t_INT:
     988          35 :       if (is_pm1(x)) return (signe(x) < 0 && mpodd(n))? gen_m1: gen_1;
     989          14 :       if (signe(x)) pari_err_OVERFLOW("lg()");
     990           7 :       if (signe(n) < 0) pari_err_INV("powgi",gen_0);
     991           7 :       return gen_0;
     992             :     case t_FRAC:
     993           7 :       pari_err_OVERFLOW("lg()");
     994             : 
     995          14 :     case t_QFR: return qfrpow(x, n);
     996           7 :     case t_POLMOD: return pow_polmod(x, n);
     997             :     default: {
     998           9 :       pari_sp av = avma;
     999           9 :       y = gen_pow(x, n, NULL, &_sqr, &_mul);
    1000           9 :       if (signe(n) < 0) y = ginv(y);
    1001           9 :       return gerepileupto(av,y);
    1002             :     }
    1003             :   }
    1004             : }
    1005             : 
    1006             : /* Assume x = 1 + O(t), n a scalar. Return x^n */
    1007             : static GEN
    1008         196 : ser_pow_1(GEN x, GEN n)
    1009             : {
    1010             :   long lx, mi, i, j, d;
    1011         196 :   GEN y = cgetg_copy(x, &lx), X = x+2, Y = y + 2;
    1012         196 :   y[1] = evalsigne(1) | _evalvalp(0) | evalvarn(varn(x));
    1013         196 :   d = mi = lx-3; while (mi>=1 && isrationalzero(gel(X,mi))) mi--;
    1014         196 :   gel(Y,0) = gen_1;
    1015        1974 :   for (i=1; i<=d; i++)
    1016             :   {
    1017        1778 :     pari_sp av = avma;
    1018        1778 :     GEN s = gen_0;
    1019       15246 :     for (j=1; j<=minss(i,mi); j++)
    1020             :     {
    1021       13468 :       GEN t = gsubgs(gmulgs(n,j),i-j);
    1022       13468 :       s = gadd(s, gmul(gmul(t, gel(X,j)), gel(Y,i-j)));
    1023             :     }
    1024        1778 :     gel(Y,i) = gerepileupto(av, gdivgs(s,i));
    1025             :   }
    1026         196 :   return y;
    1027             : }
    1028             : 
    1029             : /* we suppose n != 0, valp(x) = 0 and leading-term(x) != 0. Not stack clean */
    1030             : static GEN
    1031         196 : ser_pow(GEN x, GEN n, long prec)
    1032             : {
    1033             :   GEN y, c, lead;
    1034         196 :   if (varncmp(gvar(n), varn(x)) <= 0) return gexp(gmul(n, glog(x,prec)), prec);
    1035         196 :   lead = gel(x,2);
    1036         196 :   if (gequal1(lead)) return ser_pow_1(x, n);
    1037          91 :   x = ser_normalize(x);
    1038          91 :   if (typ(n) == t_FRAC && !isinexact(lead) && ispower(lead, gel(n,2), &c))
    1039          84 :     c = powgi(c, gel(n,1));
    1040             :   else
    1041           7 :     c = gpow(lead,n, prec);
    1042          91 :   y = gmul(c, ser_pow_1(x, n));
    1043             :   /* gpow(t_POLMOD,n) can be a t_COL [conjvec] */
    1044          91 :   if (typ(y) != t_SER) pari_err_TYPE("gpow", y);
    1045          91 :   return y;
    1046             : }
    1047             : 
    1048             : static long
    1049         210 : val_from_i(GEN E)
    1050             : {
    1051         210 :   if (is_bigint(E)) pari_err_OVERFLOW("sqrtn [valuation]");
    1052         203 :   return itos(E);
    1053             : }
    1054             : 
    1055             : /* return x^q, assume typ(x) = t_SER, typ(q) = t_INT/t_FRAC and q != 0 */
    1056             : static GEN
    1057         217 : ser_powfrac(GEN x, GEN q, long prec)
    1058             : {
    1059         217 :   GEN y, E = gmulsg(valp(x), q);
    1060             :   long e;
    1061             : 
    1062         217 :   if (!signe(x))
    1063             :   {
    1064          21 :     if (gsigne(q) < 0) pari_err_INV("gpow", x);
    1065          21 :     return zeroser(varn(x), val_from_i(gfloor(E)));
    1066             :   }
    1067         196 :   if (typ(E) != t_INT)
    1068           7 :     pari_err_DOMAIN("sqrtn", "valuation", "!=", mkintmod(gen_0, gel(q,2)), x);
    1069         189 :   e = val_from_i(E);
    1070         189 :   y = leafcopy(x); setvalp(y, 0);
    1071         189 :   y = ser_pow(y, q, prec);
    1072         189 :   setvalp(y, e); return y;
    1073             : }
    1074             : 
    1075             : static GEN
    1076         126 : gpow0(GEN x, GEN n, long prec)
    1077             : {
    1078         126 :   pari_sp av = avma;
    1079             :   long i, lx;
    1080             :   GEN y;
    1081         126 :   switch(typ(n))
    1082             :   {
    1083             :     case t_INT: case t_REAL: case t_FRAC: case t_COMPLEX: case t_QUAD:
    1084          84 :       break;
    1085             :     case t_VEC: case t_COL: case t_MAT:
    1086          35 :       y = cgetg_copy(n, &lx);
    1087          35 :       for (i=1; i<lx; i++) gel(y,i) = gpow0(x,gel(n,i),prec);
    1088          35 :       return y;
    1089           7 :     default: pari_err_TYPE("gpow(0,n)", n);
    1090             :   }
    1091          84 :   n = real_i(n);
    1092          84 :   if (gsigne(n) <= 0) pari_err_DOMAIN("gpow(0,n)", "n", "<=", gen_0, n);
    1093          77 :   if (!precision(x)) return gcopy(x);
    1094             : 
    1095          14 :   x = ground(gmulsg(gexpo(x),n));
    1096          14 :   if (is_bigint(x) || uel(x,2) >= HIGHEXPOBIT)
    1097           7 :     pari_err_OVERFLOW("gpow");
    1098           7 :   avma = av; return real_0_bit(itos(x));
    1099             : }
    1100             : 
    1101             : GEN
    1102    12715502 : gpow(GEN x, GEN n, long prec)
    1103             : {
    1104    12715502 :   long i, lx, tx, tn = typ(n);
    1105             :   pari_sp av;
    1106             :   GEN y;
    1107             : 
    1108    12715502 :   if (tn == t_INT) return powgi(x,n);
    1109     1885002 :   tx = typ(x);
    1110     1885002 :   if (is_matvec_t(tx))
    1111             :   {
    1112          49 :     y = cgetg_copy(x, &lx);
    1113          49 :     for (i=1; i<lx; i++) gel(y,i) = gpow(gel(x,i),n,prec);
    1114          49 :     return y;
    1115             :   }
    1116     1884953 :   av = avma;
    1117     1884953 :   switch (tx)
    1118             :   {
    1119          14 :     case t_POL: case t_RFRAC: x = toser_i(x); /* fall through */
    1120             :     case t_SER:
    1121          77 :       if (tn == t_FRAC) return gerepileupto(av, ser_powfrac(x, n, prec));
    1122          35 :       if (valp(x))
    1123          21 :         pari_err_DOMAIN("gpow [irrational exponent]",
    1124             :                         "valuation", "!=", gen_0, x);
    1125          14 :       if (lg(x) == 2) return gerepilecopy(av, x); /* O(1) */
    1126           7 :       return gerepileupto(av, ser_pow(x, n, prec));
    1127             :   }
    1128     1884876 :   if (gequal0(x)) return gpow0(x, n, prec);
    1129     1884820 :   if (tn == t_FRAC)
    1130             :   {
    1131     1684236 :     GEN z, d = gel(n,2), a = gel(n,1);
    1132     1684236 :     switch (tx)
    1133             :     {
    1134             :     case t_INTMOD:
    1135             :       {
    1136          21 :         GEN p = gel(x,1);
    1137          21 :         if (!BPSW_psp(p)) pari_err_PRIME("gpow",p);
    1138          14 :         y = cgetg(3,t_INTMOD); gel(y,1) = icopy(p);
    1139          14 :         av = avma;
    1140          14 :         z = Fp_sqrtn(gel(x,2), d, p, NULL);
    1141          14 :         if (!z) pari_err_SQRTN("gpow",x);
    1142           7 :         gel(y,2) = gerepileuptoint(av, Fp_pow(z, a, p));
    1143           7 :         return y;
    1144             :       }
    1145             : 
    1146             :     case t_PADIC:
    1147          14 :       z = Qp_sqrtn(x, d, NULL);
    1148          14 :       if (!z) pari_err_SQRTN("gpow",x);
    1149           7 :       return gerepileupto(av, powgi(z, a));
    1150             : 
    1151             :     case t_FFELT:
    1152          21 :       return gerepileupto(av,FF_pow(FF_sqrtn(x,d,NULL),a));
    1153             :     default:
    1154     1684180 :       if (gequal(d, gen_2))
    1155     1379967 :         return gerepileupto(av, gmul(powgi(x, shifti(subis(a, 1), -1)),
    1156             :                                      gsqrt(x, prec)));
    1157             :     }
    1158             :   }
    1159      504797 :   i = (long) precision(n); if (i) prec=i;
    1160      504797 :   y = gmul(n, glog(x,prec));
    1161      504797 :   return gerepileupto(av, gexp(y,prec));
    1162             : }
    1163             : 
    1164             : GEN
    1165       21150 : gpowers0(GEN x, long n, GEN x0)
    1166             : {
    1167             :   long i, l;
    1168             :   GEN V;
    1169       21150 :   if (!x0) return gpowers(x,n);
    1170       21122 :   if (n < 0) return cgetg(1,t_VEC);
    1171       21122 :   l = n+2; V = cgetg(l, t_VEC); gel(V,1) = gcopy(x0);
    1172       21122 :   for (i = 2; i < l; i++) gel(V,i) = gmul(gel(V,i-1),x);
    1173       21122 :   return V;
    1174             : }
    1175             : 
    1176             : GEN
    1177       42031 : gpowers(GEN x, long n)
    1178             : {
    1179       42031 :   if (n < 0) return cgetg(1,t_VEC);
    1180       42024 :   return gen_powers(x, n, 1, (void*)x, &_sqr, &_mul, &_one);
    1181             : }
    1182             : 
    1183             : /* return [q^1,q^4,...,q^{n^2}] */
    1184             : GEN
    1185       19036 : gsqrpowers(GEN q, long n)
    1186             : {
    1187       19036 :   pari_sp av = avma;
    1188       19036 :   GEN L = gpowers0(gsqr(q), n, q); /* L[i] = q^(2i - 1), i <= n+1 */
    1189       19036 :   GEN v = cgetg(n+1, t_VEC);
    1190             :   long i;
    1191       19036 :   gel(v, 1) = gcopy(q);
    1192       19036 :   for (i = 2; i <= n ; ++i) gel(v, i) = q = gmul(q, gel(L,i)); /* q^(i^2) */
    1193       19036 :   return gerepileupto(av, v);
    1194             : }
    1195             : 
    1196             : /* 4 | N. returns a vector RU which contains exp(2*i*k*Pi/N), k=0..N-1 */
    1197             : static GEN
    1198       56658 : grootsof1_4(long N, long prec)
    1199             : {
    1200       56658 :   GEN z, RU = cgetg(N+1,t_VEC), *v  = ((GEN*)RU) + 1;
    1201       56658 :   long i, N2 = (N>>1), N4 = (N>>2), N8 = (N>>3);
    1202             :   /* z^N2 = -1, z^N4 = I; if z^k = a+I*b, then z^(N4-k) = I*conj(z) = b+a*I */
    1203             : 
    1204       56658 :   v[0] = gen_1; v[1] = z = rootsof1u_cx(N, prec);
    1205       56658 :   if (odd(N4)) N8++;
    1206       81136 :   for (i=1; i<N8; i++)
    1207             :   {
    1208       24478 :     GEN t = v[i];
    1209       24478 :     v[i+1] = gmul(z, t);
    1210       24478 :     v[N4-i] = mkcomplex(gel(t,2), gel(t,1));
    1211             :   }
    1212       56658 :   for (i=0; i<N4; i++) v[i+N4] = mulcxI(v[i]);
    1213       56658 :   for (i=0; i<N2; i++) v[i+N2] = gneg(v[i]);
    1214       56658 :   return RU;
    1215             : }
    1216             : 
    1217             : /* as above, N arbitrary */
    1218             : GEN
    1219       62420 : grootsof1(long N, long prec)
    1220             : {
    1221             :   GEN z, RU, *v;
    1222             :   long i, k;
    1223             : 
    1224       62420 :   if ((N & 3) == 0) return grootsof1_4(N, prec);
    1225        5762 :   if (N == 1) return mkvec(gen_1);
    1226        5755 :   k = (N+3)>>1;
    1227        5755 :   RU = cgetg(N+1,t_VEC);
    1228        5755 :   v  = ((GEN*)RU) + 1;
    1229        5755 :   v[0] = gen_1; v[1] = z = rootsof1u_cx(N, prec);
    1230        5755 :   for (i=2; i<k; i++) v[i] = gmul(z, v[i-1]);
    1231        5755 :   for (   ; i<N; i++) v[i] = gconj(v[N-i]);
    1232        5755 :   return RU;
    1233             : }
    1234             : 
    1235             : /********************************************************************/
    1236             : /**                                                                **/
    1237             : /**                        RACINE CARREE                           **/
    1238             : /**                                                                **/
    1239             : /********************************************************************/
    1240             : /* assume x unit, e = precp(x) */
    1241             : GEN
    1242        1477 : Z2_sqrt(GEN x, long e)
    1243             : {
    1244        1477 :   ulong r = signe(x)>=0?mod16(x):16-mod16(x);
    1245             :   GEN z;
    1246             :   long ez;
    1247             :   pari_sp av;
    1248             : 
    1249        1477 :   switch(e)
    1250             :   {
    1251           7 :     case 1: return gen_1;
    1252         119 :     case 2: return (r & 3UL) == 1? gen_1: NULL;
    1253          14 :     case 3: return (r & 7UL) == 1? gen_1: NULL;
    1254          70 :     case 4: if (r == 1) return gen_1;
    1255          35 :             else return (r == 9)? utoipos(3): NULL;
    1256        1267 :     default: if ((r&7UL) != 1) return NULL;
    1257             :   }
    1258        1267 :   av = avma; z = (r==1)? gen_1: utoipos(3);
    1259        1267 :   ez = 3; /* number of correct bits in z (compared to sqrt(x)) */
    1260             :   for(;;)
    1261             :   {
    1262             :     GEN mod;
    1263        4634 :     ez = (ez<<1) - 1;
    1264        4634 :     if (ez > e) ez = e;
    1265        4634 :     mod = int2n(ez);
    1266        4634 :     z = addii(z, remi2n(mulii(x, Fp_inv(z,mod)), ez));
    1267        4634 :     z = shifti(z, -1); /* (z + x/z) / 2 */
    1268        4634 :     if (e == ez) return gerepileuptoint(av, z);
    1269        3367 :     if (ez < e) ez--;
    1270        3367 :     if (gc_needed(av,2))
    1271             :     {
    1272           0 :       if (DEBUGMEM > 1) pari_warn(warnmem,"Qp_sqrt");
    1273           0 :       z = gerepileuptoint(av,z);
    1274             :     }
    1275        3367 :   }
    1276             : }
    1277             : 
    1278             : /* x unit defined modulo p^e, e > 0 */
    1279             : GEN
    1280        1736 : Qp_sqrt(GEN x)
    1281             : {
    1282        1736 :   long pp, e = valp(x);
    1283        1736 :   GEN z,y,mod, p = gel(x,2);
    1284             : 
    1285        1736 :   if (gequal0(x)) return zeropadic(p, (e+1) >> 1);
    1286        1736 :   if (e & 1) return NULL;
    1287             : 
    1288        1722 :   y = cgetg(5,t_PADIC);
    1289        1722 :   pp = precp(x);
    1290        1722 :   mod = gel(x,3);
    1291        1722 :   z   = gel(x,4); /* lift to t_INT */
    1292        1722 :   e >>= 1;
    1293        1722 :   z = Zp_sqrt(z, p, pp);
    1294        1722 :   if (!z) return NULL;
    1295        1673 :   if (absequaliu(p,2))
    1296             :   {
    1297         805 :     pp  = (pp <= 3) ? 1 : pp-1;
    1298         805 :     mod = int2n(pp);
    1299             :   }
    1300         868 :   else mod = icopy(mod);
    1301        1673 :   y[1] = evalprecp(pp) | evalvalp(e);
    1302        1673 :   gel(y,2) = icopy(p);
    1303        1673 :   gel(y,3) = mod;
    1304        1673 :   gel(y,4) = z; return y;
    1305             : }
    1306             : 
    1307             : GEN
    1308         350 : Zn_sqrt(GEN d, GEN fn)
    1309             : {
    1310         350 :   pari_sp ltop = avma, btop;
    1311         350 :   GEN b = gen_0, m = gen_1;
    1312             :   long j, np;
    1313         350 :   if (typ(d) != t_INT) pari_err_TYPE("Zn_sqrt",d);
    1314         350 :   if (typ(fn) == t_INT)
    1315           0 :     fn = absZ_factor(fn);
    1316         350 :   else if (!is_Z_factorpos(fn))
    1317           0 :     pari_err_TYPE("Zn_sqrt",fn);
    1318         350 :   np = nbrows(fn);
    1319         350 :   btop = avma;
    1320        2800 :   for (j = 1; j <= np; ++j)
    1321             :   {
    1322             :     GEN  bp, mp, pr, r;
    1323        1050 :     GEN  p = gcoeff(fn, j, 1);
    1324        1050 :     long e = itos(gcoeff(fn, j, 2));
    1325        1050 :     long v = Z_pvalrem(d,p,&r);
    1326        1050 :     if (v >= e) bp =gen_0;
    1327             :     else
    1328             :     {
    1329         952 :       if (odd(v)) return NULL;
    1330         952 :       bp = Zp_sqrt(r, p, e-v);
    1331         952 :       if (!bp)    return NULL;
    1332         952 :       if (v) bp = mulii(bp, powiu(p, v>>1L));
    1333             :     }
    1334        1050 :     mp = powiu(p, e);
    1335        1050 :     pr = mulii(m, mp);
    1336        1050 :     b = Z_chinese_coprime(b, bp, m, mp, pr);
    1337        1050 :     m = pr;
    1338        1050 :     if (gc_needed(btop, 1))
    1339           0 :       gerepileall(btop, 2, &b, &m);
    1340             :   }
    1341         350 :   return gerepileupto(ltop, b);
    1342             : }
    1343             : 
    1344             : static GEN
    1345        1127 : sqrt_ser(GEN b, long prec)
    1346             : {
    1347        1127 :   long e = valp(b), vx = varn(b), lx, lold, j;
    1348             :   ulong mask;
    1349             :   GEN a, x, lta, ltx;
    1350             : 
    1351        1127 :   if (!signe(b)) return zeroser(vx, e>>1);
    1352        1127 :   a = leafcopy(b);
    1353        1127 :   x = cgetg_copy(b, &lx);
    1354        1127 :   if (e & 1)
    1355           7 :     pari_err_DOMAIN("sqrtn", "valuation", "!=", mkintmod(gen_0, gen_2), x);
    1356        1120 :   a[1] = x[1] = evalsigne(1) | evalvarn(0) | _evalvalp(0);
    1357        1120 :   lta = gel(a,2);
    1358        1120 :   if (gequal1(lta)) ltx = lta;
    1359          91 :   else if (!issquareall(lta,&ltx)) ltx = gsqrt(lta,prec);
    1360        1120 :   gel(x,2) = ltx;
    1361        1120 :   for (j = 3; j < lx; j++) gel(x,j) = gen_0;
    1362        1120 :   setlg(x,3);
    1363        1120 :   mask = quadratic_prec_mask(lx - 2);
    1364        1120 :   lold = 1;
    1365        5852 :   while (mask > 1)
    1366             :   {
    1367        3612 :     GEN y, x2 = gmul2n(x,1);
    1368        3612 :     long l = lold << 1;
    1369             : 
    1370        3612 :     if (mask & 1) l--;
    1371        3612 :     mask >>= 1;
    1372        3612 :     setlg(a, l + 2);
    1373        3612 :     setlg(x, l + 2);
    1374        3612 :     y = sqr_ser_part(x, lold, l-1) - lold;
    1375        3612 :     for (j = lold+2; j < l+2; j++) gel(y,j) = gsub(gel(y,j), gel(a,j));
    1376        3612 :     y += lold; setvalp(y, lold);
    1377        3612 :     y = normalize(y);
    1378        3612 :     y = gsub(x, gdiv(y, x2)); /* = gmul2n(gsub(x, gdiv(a,x)), -1); */
    1379        3612 :     for (j = lold+2; j < l+2; j++) gel(x,j) = gel(y,j);
    1380        3612 :     lold = l;
    1381             :   }
    1382        1120 :   x[1] = evalsigne(1) | evalvarn(vx) | _evalvalp(e >> 1);
    1383        1120 :   return x;
    1384             : }
    1385             : 
    1386             : GEN
    1387     6481804 : gsqrt(GEN x, long prec)
    1388             : {
    1389             :   pari_sp av;
    1390             :   GEN y;
    1391             : 
    1392     6481804 :   switch(typ(x))
    1393             :   {
    1394             :     case t_INT:
    1395     1958131 :       if (!signe(x)) return real_0(prec); /* no loss of accuracy */
    1396     1958124 :       x = itor(x,prec); /* fall through */
    1397     6090719 :     case t_REAL: return sqrtr(x);
    1398             : 
    1399             :     case t_INTMOD:
    1400             :     {
    1401          35 :       GEN p = gel(x,1), a;
    1402          35 :       y = cgetg(3,t_INTMOD); gel(y,1) = icopy(p);
    1403          35 :       a = Fp_sqrt(gel(x,2),p);
    1404          21 :       if (!a)
    1405             :       {
    1406           7 :         if (!BPSW_psp(p)) pari_err_PRIME("sqrt [modulus]",p);
    1407           7 :         pari_err_SQRTN("gsqrt",x);
    1408             :       }
    1409          14 :       gel(y,2) = a; return y;
    1410             :     }
    1411             : 
    1412             :     case t_COMPLEX:
    1413             :     { /* (u+iv)^2 = a+ib <=> u^2+v^2 = sqrt(a^2+b^2), u^2-v^2=a, 2uv=b */
    1414      378114 :       GEN a = gel(x,1), b = gel(x,2), r, u, v;
    1415      378114 :       if (isrationalzero(b)) return gsqrt(a, prec);
    1416      378114 :       y = cgetg(3,t_COMPLEX); av = avma;
    1417             : 
    1418      378114 :       r = cxnorm(x);
    1419      378114 :       if (typ(r) == t_INTMOD) pari_err_IMPL("sqrt(complex of t_INTMODs)");
    1420      378114 :       r = gsqrt(r, prec); /* t_REAL, |a+Ib| */
    1421      378114 :       if (!signe(r))
    1422         117 :         u = v = gerepileuptoleaf(av, sqrtr(r));
    1423      377997 :       else if (gsigne(a) < 0)
    1424             :       {
    1425             :         /* v > 0 since r > 0, a < 0, rounding errors can't make the sum of two
    1426             :          * positive numbers = 0 */
    1427       39824 :         v = sqrtr( gmul2n(gsub(r,a), -1) );
    1428       39824 :         if (gsigne(b) < 0) togglesign(v);
    1429       39824 :         v = gerepileuptoleaf(av, v); av = avma;
    1430             :         /* v = 0 is impossible */
    1431       39824 :         u = gerepileuptoleaf(av, gdiv(b, shiftr(v,1)));
    1432             :       } else {
    1433      338173 :         u = sqrtr( gmul2n(gadd(r,a), -1) );
    1434      338173 :         u = gerepileuptoleaf(av, u); av = avma;
    1435      338173 :         if (!signe(u)) /* possible if a = 0.0, e.g. sqrt(0.e-10+1e-10*I) */
    1436           7 :           v = u;
    1437             :         else
    1438      338166 :           v = gerepileuptoleaf(av, gdiv(b, shiftr(u,1)));
    1439             :       }
    1440      378114 :       gel(y,1) = u;
    1441      378114 :       gel(y,2) = v; return y;
    1442             :     }
    1443             : 
    1444             :     case t_PADIC:
    1445          49 :       y = Qp_sqrt(x);
    1446          49 :       if (!y) pari_err_SQRTN("Qp_sqrt",x);
    1447          28 :       return y;
    1448             : 
    1449          70 :     case t_FFELT: return FF_sqrt(x);
    1450             : 
    1451             :     default:
    1452       12810 :       av = avma; if (!(y = toser_i(x))) break;
    1453        1127 :       return gerepilecopy(av, sqrt_ser(y, prec));
    1454             :   }
    1455       11683 :   return trans_eval("sqrt",gsqrt,x,prec);
    1456             : }
    1457             : /********************************************************************/
    1458             : /**                                                                **/
    1459             : /**                          N-th ROOT                             **/
    1460             : /**                                                                **/
    1461             : /********************************************************************/
    1462             : static void
    1463           7 : bug_logp(GEN p)
    1464             : {
    1465           7 :   if (!BPSW_psp(p)) pari_err_PRIME("p-adic log",p);
    1466           0 :   pari_err_BUG("log_p");
    1467           0 : }
    1468             : /* Let x = 1 mod p and y := (x-1)/(x+1) = 0 (p). Then
    1469             :  * log(x) = log(1+y) - log(1-y) = 2 \sum_{k odd} y^k / k.
    1470             :  * palogaux(x) returns the last sum (not multiplied by 2) */
    1471             : static GEN
    1472       23345 : palogaux(GEN x)
    1473             : {
    1474             :   long i, k, e, pp, t;
    1475       23345 :   GEN y,s,y2, p = gel(x,2);
    1476       23345 :   int is2 = absequaliu(p,2);
    1477             : 
    1478       23345 :   y = subiu(gel(x,4), 1);
    1479       23345 :   if (!signe(y))
    1480             :   {
    1481         812 :     long v = valp(x)+precp(x);
    1482         812 :     if (is2) v--;
    1483         812 :     return zeropadic(p, v);
    1484             :   }
    1485             :   /* optimize t: log(x) = log(x^(p^t)) / p^t */
    1486       22533 :   e = Z_pval(y, p); /* valp(y) = e >= 1; precp(y) = precp(x)-e */
    1487       22533 :   if (!e) bug_logp(p);
    1488       22526 :   if (is2)
    1489        2492 :     t = sqrt( (double)(precp(x)-e) / e ); /* instead of (2*e) */
    1490             :   else
    1491       20034 :     t = sqrt( (double)(precp(x)-e) / (e * (expi(p) + hammingweight(p))) );
    1492       22526 :   for (i = 0; i < t; i++) x = gpow(x, p, 0);
    1493             : 
    1494       22526 :   y = gdiv(gaddgs(x,-1), gaddgs(x,1));
    1495       22526 :   e = valp(y); /* > 0 */
    1496       22526 :   if (e <= 0) bug_logp(p);
    1497       22526 :   pp = precp(y) + e;
    1498       22526 :   if (is2) pp--;
    1499             :   else
    1500             :   {
    1501             :     GEN p1;
    1502       20034 :     for (p1=utoipos(e); abscmpui(pp,p1) > 0; pp++) p1 = mulii(p1, p);
    1503       20034 :     pp -= 2;
    1504             :   }
    1505       22526 :   k = pp/e; if (!odd(k)) k--;
    1506       22526 :   if (DEBUGLEVEL>5)
    1507           0 :     err_printf("logp: [pp,k,e,t] = [%ld,%ld,%ld,%ld]\n",pp,k,e,t);
    1508       22526 :   if (k > 1)
    1509             :   {
    1510       21763 :     y2 = gsqr(y); s = gdivgs(gen_1,k);
    1511      119930 :     while (k > 2)
    1512             :     {
    1513       76404 :       k -= 2;
    1514       76404 :       s = gadd(gmul(y2,s), gdivgs(gen_1,k));
    1515             :     }
    1516       21763 :     y = gmul(s,y);
    1517             :   }
    1518       22526 :   if (t) setvalp(y, valp(y) - t);
    1519       22526 :   return y;
    1520             : }
    1521             : 
    1522             : GEN
    1523       23352 : Qp_log(GEN x)
    1524             : {
    1525       23352 :   pari_sp av = avma;
    1526       23352 :   GEN y, p = gel(x,2), a = gel(x,4);
    1527             : 
    1528       23352 :   if (!signe(a)) pari_err_DOMAIN("Qp_log", "argument", "=", gen_0, x);
    1529       23345 :   y = leafcopy(x); setvalp(y,0);
    1530       23345 :   if (absequaliu(p,2))
    1531        2954 :     y = palogaux(gsqr(y));
    1532       20391 :   else if (gequal1(modii(a, p)))
    1533       11452 :     y = gmul2n(palogaux(y), 1);
    1534             :   else
    1535             :   { /* compute log(x^(p-1)) / (p-1) */
    1536        8939 :     GEN mod = gel(y,3), p1 = subis(p,1);
    1537        8939 :     gel(y,4) = Fp_pow(a, p1, mod);
    1538        8939 :     p1 = diviiexact(subsi(1,mod), p1); /* 1/(p-1) */
    1539        8939 :     y = gmul(palogaux(y), shifti(p1,1));
    1540             :   }
    1541       23338 :   return gerepileupto(av,y);
    1542             : }
    1543             : 
    1544             : static GEN Qp_exp_safe(GEN x);
    1545             : 
    1546             : /*compute the p^e th root of x p-adic, assume x != 0 */
    1547             : static GEN
    1548         854 : Qp_sqrtn_ram(GEN x, long e)
    1549             : {
    1550         854 :   pari_sp ltop=avma;
    1551         854 :   GEN a, p = gel(x,2), n = powiu(p,e);
    1552         854 :   long v = valp(x), va;
    1553         854 :   if (v)
    1554             :   {
    1555             :     long z;
    1556         161 :     v = sdivsi_rem(v, n, &z);
    1557         161 :     if (z) return NULL;
    1558          91 :     x = leafcopy(x);
    1559          91 :     setvalp(x,0);
    1560             :   }
    1561             :   /*If p = 2, -1 is a root of 1 in U1: need extra check*/
    1562         784 :   if (absequaliu(p, 2) && mod8(gel(x,4)) != 1) return NULL;
    1563         749 :   a = Qp_log(x);
    1564         749 :   va = valp(a) - e;
    1565         749 :   if (va <= 0)
    1566             :   {
    1567         287 :     if (signe(gel(a,4))) return NULL;
    1568             :     /* all accuracy lost */
    1569         119 :     a = cvtop(remii(gel(x,4),p), p, 1);
    1570             :   }
    1571             :   else
    1572             :   {
    1573         462 :     setvalp(a, va); /* divide by p^e */
    1574         462 :     a = Qp_exp_safe(a);
    1575         462 :     if (!a) return NULL;
    1576             :     /* n=p^e and a^n=z*x where z is a (p-1)th-root of 1.
    1577             :      * Since z^n=z, we have (a/z)^n = x. */
    1578         462 :     a = gdiv(x, powgi(a,addis(n,-1))); /* = a/z = x/a^(n-1)*/
    1579         462 :     if (v) setvalp(a,v);
    1580             :   }
    1581         581 :   return gerepileupto(ltop,a);
    1582             : }
    1583             : 
    1584             : /*compute the nth root of x p-adic p prime with n*/
    1585             : static GEN
    1586         616 : Qp_sqrtn_unram(GEN x, GEN n, GEN *zetan)
    1587             : {
    1588             :   pari_sp av;
    1589         616 :   GEN Z, a, r, p = gel(x,2);
    1590         616 :   long v = valp(x);
    1591         616 :   if (v)
    1592             :   {
    1593             :     long z;
    1594          84 :     v = sdivsi_rem(v,n,&z);
    1595          84 :     if (z) return NULL;
    1596             :   }
    1597         609 :   r = cgetp(x); setvalp(r,v);
    1598         609 :   Z = NULL; /* -Wall */
    1599         609 :   if (zetan) Z = cgetp(x);
    1600         609 :   av = avma; a = Fp_sqrtn(gel(x,4), n, p, zetan);
    1601         609 :   if (!a) return NULL;
    1602         595 :   affii(Zp_sqrtnlift(gel(x,4), n, a, p, precp(x)), gel(r,4));
    1603         595 :   if (zetan)
    1604             :   {
    1605          14 :     affii(Zp_sqrtnlift(gen_1, n, *zetan, p, precp(x)), gel(Z,4));
    1606          14 :     *zetan = Z;
    1607             :   }
    1608         595 :   avma = av; return r;
    1609             : }
    1610             : 
    1611             : GEN
    1612        1183 : Qp_sqrtn(GEN x, GEN n, GEN *zetan)
    1613             : {
    1614             :   pari_sp av, tetpil;
    1615             :   GEN q, p;
    1616             :   long e;
    1617        1183 :   if (absequaliu(n, 2))
    1618             :   {
    1619          70 :     if (zetan) *zetan = gen_m1;
    1620          70 :     if (signe(n) < 0) x = ginv(x);
    1621          63 :     return Qp_sqrt(x);
    1622             :   }
    1623        1113 :   av = avma; p = gel(x,2);
    1624        1113 :   if (!signe(gel(x,4)))
    1625             :   {
    1626         203 :     if (signe(n) < 0) pari_err_INV("Qp_sqrtn", x);
    1627         203 :     q = divii(addis(n, valp(x)-1), n);
    1628         203 :     if (zetan) *zetan = gen_1;
    1629         203 :     avma = av; return zeropadic(p, itos(q));
    1630             :   }
    1631             :   /* treat the ramified part using logarithms */
    1632         910 :   e = Z_pvalrem(n, p, &q);
    1633         910 :   if (e) { x = Qp_sqrtn_ram(x,e); if (!x) return NULL; }
    1634         637 :   if (is_pm1(q))
    1635             :   { /* finished */
    1636          21 :     if (signe(q) < 0) x = ginv(x);
    1637          21 :     x = gerepileupto(av, x);
    1638          21 :     if (zetan)
    1639          28 :       *zetan = (e && absequaliu(p, 2))? gen_m1 /*-1 in Q_2*/
    1640          21 :                                    : gen_1;
    1641          21 :     return x;
    1642             :   }
    1643         616 :   tetpil = avma;
    1644             :   /* use hensel lift for unramified case */
    1645         616 :   x = Qp_sqrtn_unram(x, q, zetan);
    1646         616 :   if (!x) return NULL;
    1647         595 :   if (zetan)
    1648             :   {
    1649             :     GEN *gptr[2];
    1650          14 :     if (e && absequaliu(p, 2))/*-1 in Q_2*/
    1651             :     {
    1652           7 :       tetpil = avma; x = gcopy(x); *zetan = gneg(*zetan);
    1653             :     }
    1654          14 :     gptr[0] = &x; gptr[1] = zetan;
    1655          14 :     gerepilemanysp(av,tetpil,gptr,2);
    1656          14 :     return x;
    1657             :   }
    1658         581 :   return gerepile(av,tetpil,x);
    1659             : }
    1660             : 
    1661             : GEN
    1662       27291 : sqrtnint(GEN a, long n)
    1663             : {
    1664       27291 :   pari_sp ltop = avma;
    1665             :   GEN x, b, q;
    1666             :   long s, k, e;
    1667       27291 :   const ulong nm1 = n - 1;
    1668       27291 :   if (typ(a) != t_INT) pari_err_TYPE("sqrtnint",a);
    1669       27291 :   if (n <= 0) pari_err_DOMAIN("sqrtnint", "n", "<=", gen_0, stoi(n));
    1670       27284 :   if (n == 1) return icopy(a);
    1671       27284 :   s = signe(a);
    1672       27284 :   if (s < 0) pari_err_DOMAIN("sqrtnint", "x", "<", gen_0, a);
    1673       27277 :   if (!s) return gen_0;
    1674       27277 :   if (lgefint(a) == 3) return utoi(usqrtn(itou(a), n));
    1675       26848 :   e = expi(a); k = e/(2*n);
    1676       26848 :   if (k == 0)
    1677             :   {
    1678             :     long flag;
    1679         291 :     if (n > e) {avma = ltop; return gen_1;}
    1680         291 :     flag = cmpii(a, powuu(3, n)); avma = ltop;
    1681         291 :     return (flag < 0) ? gen_2: stoi(3);
    1682             :   }
    1683       26557 :   if (e < n*(BITS_IN_LONG - 1))
    1684             :   {
    1685             :     ulong s, xs, qs;
    1686       12181 :     s = 1 + e/n; xs = 1UL << s;
    1687       12181 :     qs = itou(shifti(a, -nm1*s));
    1688       82517 :     while (qs < xs) {
    1689       58162 :       xs -= (xs - qs + nm1)/n;
    1690       58162 :       q = divii(a, powuu(xs, nm1));
    1691       58162 :       if (lgefint(q) > 3) break;
    1692       58155 :       qs = itou(q);
    1693             :     }
    1694       12181 :     return utoi(xs);
    1695             :   }
    1696       14376 :   b = addsi(1, shifti(a, -n*k));
    1697       14376 :   x = shifti(addsi(1, sqrtnint(b, n)), k);
    1698       14376 :   q = divii(a, powiu(x, nm1));
    1699       46179 :   while (cmpii(q, x) < 0) /* a priori one iteration, no GC necessary */
    1700             :   {
    1701       17427 :     x = subii(x, divis(addsi(nm1, subii(x, q)), n));
    1702       17427 :     q = divii(a, powiu(x, nm1));
    1703             :   }
    1704       14376 :   return gerepileuptoleaf(ltop, x);
    1705             : }
    1706             : 
    1707             : GEN
    1708       12019 : cbrtr_abs(GEN x)
    1709             : {
    1710       12019 :   long prec = realprec(x), n = bit_accuracy(prec), e = expo(x), er = e / 3;
    1711             :   /* x 2^3(n-er) = b t_INT */
    1712       12019 :   GEN b = mantissa2nr(x, (e-3*er+1) + n*2);
    1713       12019 :   b = sqrtnint(b, 3);
    1714       12019 :   b = itor(b, prec);
    1715       12019 :   setexpo(b, expo(b)+er-n);
    1716       12019 :   return b;
    1717             : }
    1718             : 
    1719             : ulong
    1720         429 : usqrtn(ulong a, ulong n)
    1721             : {
    1722             :   ulong x, s, q;
    1723         429 :   const ulong nm1 = n - 1;
    1724         429 :   if (!n) pari_err_DOMAIN("sqrtnint", "n", "=", gen_0, utoi(n));
    1725         429 :   if (n == 1 || a == 0) return a;
    1726         429 :   s = 1 + expu(a)/n; x = 1UL << s;
    1727         429 :   q = (nm1*s >= BITS_IN_LONG)? 0: a >> (nm1*s);
    1728        1694 :   while (q < x) {
    1729             :     ulong X;
    1730         836 :     x -= (x - q + nm1)/n;
    1731         836 :     X = upowuu(x, nm1);
    1732         836 :     q = X? a/X: 0;
    1733             :   }
    1734         429 :   return x;
    1735             : }
    1736             : 
    1737             : GEN
    1738        2723 : gsqrtn(GEN x, GEN n, GEN *zetan, long prec)
    1739             : {
    1740             :   long i, lx, tx;
    1741             :   pari_sp av;
    1742             :   GEN y, z;
    1743        2723 :   if (typ(n)!=t_INT) pari_err_TYPE("sqrtn",n);
    1744        2723 :   if (!signe(n)) pari_err_DOMAIN("sqrtn", "n", "=", gen_0, n);
    1745        2723 :   if (is_pm1(n))
    1746             :   {
    1747          14 :     if (zetan) *zetan = gen_1;
    1748          14 :     return (signe(n) > 0)? gcopy(x): ginv(x);
    1749             :   }
    1750        2709 :   if (zetan) *zetan = gen_0;
    1751        2709 :   tx = typ(x);
    1752        2709 :   if (is_matvec_t(tx))
    1753             :   {
    1754           7 :     y = cgetg_copy(x, &lx);
    1755           7 :     for (i=1; i<lx; i++) gel(y,i) = gsqrtn(gel(x,i),n,NULL,prec);
    1756           7 :     return y;
    1757             :   }
    1758        2702 :   av = avma;
    1759        2702 :   switch(tx)
    1760             :   {
    1761             :   case t_INTMOD:
    1762             :     {
    1763          56 :       GEN p = gel(x,1), s;
    1764          56 :       z = gen_0;
    1765          56 :       y = cgetg(3,t_INTMOD);  gel(y,1) = icopy(p);
    1766          56 :       if (zetan) { z = cgetg(3,t_INTMOD); gel(z,1) = gel(y,1); }
    1767          56 :       s = Fp_sqrtn(gel(x,2),n,p,zetan);
    1768          35 :       if (!s) {
    1769          21 :         if (zetan) {avma=av; return gen_0;}
    1770          14 :         if (!BPSW_psp(p)) pari_err_PRIME("sqrtn [modulus]",p);
    1771           7 :         pari_err_SQRTN("gsqrtn",x);
    1772             :       }
    1773          14 :       gel(y,2) = s;
    1774          14 :       if (zetan) { gel(z,2) = *zetan; *zetan = z; }
    1775          14 :       return y;
    1776             :     }
    1777             : 
    1778             :   case t_PADIC:
    1779          56 :     y = Qp_sqrtn(x,n,zetan);
    1780          49 :     if (!y) {
    1781           7 :       if (zetan) return gen_0;
    1782           7 :       pari_err_SQRTN("gsqrtn",x);
    1783             :     }
    1784          42 :     return y;
    1785             : 
    1786          84 :   case t_FFELT: return FF_sqrtn(x,n,zetan);
    1787             : 
    1788             :   case t_INT: case t_FRAC: case t_REAL: case t_COMPLEX:
    1789        2324 :     i = precision(x); if (i) prec = i;
    1790        2324 :     if (isint1(x))
    1791           7 :       y = real_1(prec);
    1792        2317 :     else if (gequal0(x))
    1793             :     {
    1794             :       long b;
    1795          21 :       if (signe(n) < 0) pari_err_INV("gsqrtn",x);
    1796          21 :       if (isinexactreal(x))
    1797          14 :         b = sdivsi(gexpo(x), n);
    1798             :       else
    1799           7 :         b = -prec2nbits(prec);
    1800          21 :       if (typ(x) == t_COMPLEX)
    1801             :       {
    1802           7 :         y = cgetg(3,t_COMPLEX);
    1803           7 :         gel(y,1) = gel(y,2) = real_0_bit(b);
    1804             :       }
    1805             :       else
    1806          14 :         y = real_0_bit(b);
    1807             :     }
    1808             :     else
    1809             :     {
    1810        2296 :       long nn = itos_or_0(n);
    1811        2296 :       if (tx == t_INT) { x = itor(x,prec); tx = t_REAL; }
    1812        2296 :       if (nn > 0 && tx == t_REAL && signe(x) > 0)
    1813         889 :         y = sqrtnr(x, nn);
    1814             :       else
    1815        1407 :         y = gexp(gdiv(glog(x,prec), n), prec);
    1816        2296 :       y = gerepileupto(av, y);
    1817             :     }
    1818        2324 :     if (zetan) *zetan = rootsof1_cx(n,prec);
    1819        2324 :     return y;
    1820             : 
    1821             :   case t_QUAD:
    1822           7 :     return gsqrtn(quadtofp(x, prec), n, zetan, prec);
    1823             : 
    1824             :   default:
    1825         175 :     av = avma; if (!(y = toser_i(x))) break;
    1826         175 :     return gerepileupto(av, ser_powfrac(y, ginv(n), prec));
    1827             :   }
    1828           0 :   pari_err_TYPE("sqrtn",x);
    1829           0 :   return NULL;/* not reached */
    1830             : }
    1831             : 
    1832             : /********************************************************************/
    1833             : /**                                                                **/
    1834             : /**                             EXP(X) - 1                         **/
    1835             : /**                                                                **/
    1836             : /********************************************************************/
    1837             : /* exp(|x|) - 1, assume x != 0.
    1838             :  * For efficiency, x should be reduced mod log(2): if so, we have a < 0 */
    1839             : GEN
    1840     6870390 : exp1r_abs(GEN x)
    1841             : {
    1842     6870390 :   long l = realprec(x), a = expo(x), b = prec2nbits(l), L, i, n, m, B;
    1843             :   GEN y, p2, X;
    1844             :   pari_sp av;
    1845             :   double d;
    1846             : 
    1847     6870390 :   if (b + a <= 0) return mpabs(x);
    1848             : 
    1849     6865833 :   y = cgetr(l); av = avma;
    1850     6865833 :   B = b/3 + BITS_IN_LONG + (BITS_IN_LONG*BITS_IN_LONG)/ b;
    1851     6865833 :   d = a/2.; m = (long)(d + sqrt(d*d + B)); /* >= 0 */
    1852     6865833 :   if (m < (-a) * 0.1) m = 0; /* not worth it */
    1853     6865833 :   L = l + nbits2extraprec(m);
    1854             :  /* Multiplication is quadratic in this range (l is small, otherwise we
    1855             :   * use logAGM + Newton). Set Y = 2^(-e-a) x, compute truncated series
    1856             :   * sum x^k/k!: this costs roughly
    1857             :   *    m b^2 + sum_{k <= n} (k e + BITS_IN_LONG)^2
    1858             :   * bit operations with |x| <  2^(1+a), |Y| < 2^(1-e) , m = e+a and b bits of
    1859             :   * accuracy needed, so
    1860             :   *    B := (b / 3 + BITS_IN_LONG + BITS_IN_LONG^2 / b) ~ m(m-a)
    1861             :   * we want b ~ 3 m (m-a) or m~b+a hence
    1862             :   *     m = min( a/2 + sqrt(a^2/4 + B),  b + a )
    1863             :   * NB: e ~ (b/3)^(1/2) as b -> oo
    1864             :   *
    1865             :   * Truncate the sum at k = n (>= 1), the remainder is
    1866             :   *   sum_{k >= n+1} Y^k / k! < Y^(n+1) / (n+1)! (1-Y) < Y^(n+1) / n!
    1867             :   * We want Y^(n+1) / n! <= Y 2^-b, hence -n log_2 |Y| + log_2 n! >= b
    1868             :   *   log n! ~ (n + 1/2) log(n+1) - (n+1) + log(2Pi)/2,
    1869             :   * error bounded by 1/6(n+1) <= 1/12. Finally, we want
    1870             :   * n (-1/log(2) -log_2 |Y| + log_2(n+1)) >= b  */
    1871     6865833 :   b += m;
    1872     6865833 :   d = m-dbllog2(x)-1/LOG2; /* ~ -log_2 Y - 1/log(2) */
    1873     6865833 :   n = (long)(b / d);
    1874     6865833 :   if (n > 1)
    1875     6858574 :     n = (long)(b / (d + log2((double)n+1))); /* log~constant in small ranges */
    1876     6865833 :   while (n*(d+log2((double)n+1)) < b) n++; /* expect few corrections */
    1877             : 
    1878     6865833 :   X = rtor(x,L); shiftr_inplace(X, -m); setsigne(X, 1);
    1879     6865833 :   if (n == 1) p2 = X;
    1880             :   else
    1881             :   {
    1882     6865833 :     long s = 0, l1 = nbits2prec((long)(d + n + 16));
    1883     6865833 :     GEN unr = real_1(L);
    1884             :     pari_sp av2;
    1885             : 
    1886     6865833 :     p2 = cgetr(L); av2 = avma;
    1887    99557916 :     for (i=n; i>=2; i--, avma = av2)
    1888             :     { /* compute X^(n-1)/n! + ... + X/2 + 1 */
    1889             :       GEN p1, p3;
    1890    92692083 :       setprec(X,l1); p3 = divru(X,i);
    1891    92692083 :       l1 += dvmdsBIL(s - expo(p3), &s); if (l1>L) l1=L;
    1892    92692083 :       setprec(unr,l1); p1 = addrr_sign(unr,1, i == n? p3: mulrr(p3,p2),1);
    1893    92692083 :       setprec(p2,l1); affrr(p1,p2); /* p2 <- 1 + (X/i)*p2 */
    1894             :     }
    1895     6865833 :     setprec(X,L); p2 = mulrr(X,p2);
    1896             :   }
    1897             : 
    1898    76125179 :   for (i=1; i<=m; i++)
    1899             :   {
    1900    69259346 :     if (realprec(p2) > L) setprec(p2,L);
    1901    69259346 :     p2 = mulrr(p2, addsr(2,p2));
    1902             :   }
    1903     6865833 :   affrr_fixlg(p2,y); avma = av; return y;
    1904             : }
    1905             : 
    1906             : GEN
    1907        8851 : mpexpm1(GEN x)
    1908             : {
    1909        8851 :   long sx = signe(x);
    1910             :   GEN y, z;
    1911             :   pari_sp av;
    1912        8851 :   if (!sx) return real_0_bit(expo(x));
    1913        8844 :   if (sx > 0) return exp1r_abs(x);
    1914             :   /* compute exp(x) * (1 - exp(-x)) */
    1915        4121 :   av = avma; y = exp1r_abs(x);
    1916        4121 :   z = addsr(1, y); setsigne(z, -1);
    1917        4121 :   return gerepileupto(av, divrr(y, z));
    1918             : }
    1919             : 
    1920             : static GEN serexp(GEN x, long prec);
    1921             : GEN
    1922       10195 : gexpm1(GEN x, long prec)
    1923             : {
    1924       10195 :   switch(typ(x))
    1925             :   {
    1926        3948 :     case t_REAL: return mpexpm1(x);
    1927        4973 :     case t_COMPLEX: return cxexpm1(x,prec);
    1928          14 :     case t_PADIC: return gsubgs(Qp_exp(x), 1);
    1929             :     default:
    1930             :     {
    1931        1260 :       pari_sp av = avma;
    1932             :       long ey;
    1933             :       GEN y;
    1934        1260 :       if (!(y = toser_i(x))) break;
    1935        1239 :       ey = valp(y);
    1936        1239 :       if (ey < 0) pari_err_DOMAIN("expm1","valuation", "<", gen_0, x);
    1937        1239 :       if (gequal0(y)) return gcopy(y);
    1938        1232 :       if (ey)
    1939         175 :         return gerepileupto(av, gsubgs(serexp(y,prec), 1));
    1940             :       else
    1941             :       {
    1942        1057 :         GEN e1 = gexpm1(gel(y,2), prec), e = gaddgs(e1,1);
    1943        1057 :         y = gmul(e, serexp(serchop0(y),prec));
    1944        1057 :         gel(y,2) = e1;
    1945        1057 :         return gerepilecopy(av, y);
    1946             :       }
    1947             :     }
    1948             :   }
    1949          21 :   return trans_eval("expm1",gexpm1,x,prec);
    1950             : }
    1951             : /********************************************************************/
    1952             : /**                                                                **/
    1953             : /**                             EXP(X)                             **/
    1954             : /**                                                                **/
    1955             : /********************************************************************/
    1956             : 
    1957             : /* centermod(x, log(2)), set *sh to the quotient */
    1958             : static GEN
    1959     6810294 : modlog2(GEN x, long *sh)
    1960             : {
    1961     6810294 :   double d = rtodbl(x);
    1962     6810294 :   long q = (long) ((fabs(d) + (LOG2/2))/LOG2);
    1963     6810294 :   if (d > LOG2 * LONG_MAX)
    1964           0 :     pari_err_OVERFLOW("expo()"); /* avoid overflow in  q */
    1965     6810294 :   if (d < 0) q = -q;
    1966     6810294 :   *sh = q;
    1967     6810294 :   if (q) {
    1968     6657062 :     long l = realprec(x) + 1;
    1969     6657062 :     x = subrr(rtor(x,l), mulsr(q, mplog2(l)));
    1970     6657062 :     if (!signe(x)) return NULL;
    1971             :   }
    1972     6810294 :   return x;
    1973             : }
    1974             : 
    1975             : static GEN
    1976     6809351 : mpexp_basecase(GEN x)
    1977             : {
    1978     6809351 :   pari_sp av = avma;
    1979     6809351 :   long sh, l = realprec(x);
    1980             :   GEN y, z;
    1981             : 
    1982     6809351 :   y = modlog2(x, &sh);
    1983     6809351 :   if (!y) { avma = av; return real2n(sh, l); }
    1984     6809351 :   z = addsr(1, exp1r_abs(y));
    1985     6809351 :   if (signe(y) < 0) z = invr(z);
    1986     6809351 :   if (sh) {
    1987     6656119 :     shiftr_inplace(z, sh);
    1988     6656119 :     if (realprec(z) > l) z = rtor(z, l); /* spurious precision increase */
    1989             :   }
    1990             : #ifdef DEBUG
    1991             : {
    1992             :   GEN t = mplog(z), u = divrr(subrr(x, t),x);
    1993             :   if (signe(u) && expo(u) > 5-prec2nbits(minss(l,realprec(t))))
    1994             :     pari_err_BUG("exp");
    1995             : }
    1996             : #endif
    1997     6809351 :   return gerepileuptoleaf(av, z); /* NOT affrr, precision often increases */
    1998             : }
    1999             : 
    2000             : GEN
    2001     7036195 : mpexp(GEN x)
    2002             : {
    2003     7036195 :   const long s = 6; /*Initial steps using basecase*/
    2004     7036195 :   long i, p, l = realprec(x), sh;
    2005             :   GEN a, t, z;
    2006             :   ulong mask;
    2007             : 
    2008     7036195 :   if (l <= maxss(EXPNEWTON_LIMIT, (1L<<s) + 2))
    2009             :   {
    2010     7035252 :     if (!signe(x)) return mpexp0(x);
    2011     6808408 :     return mpexp_basecase(x);
    2012             :   }
    2013         943 :   z = cgetr(l); /* room for result */
    2014         943 :   x = modlog2(x, &sh);
    2015         943 :   if (!x) { avma = (pari_sp)(z+lg(z)); return real2n(sh, l); }
    2016         943 :   constpi(l); /* precompute for later logr_abs() */
    2017         943 :   mask = quadratic_prec_mask(prec2nbits(l)+BITS_IN_LONG);
    2018         943 :   for(i=0, p=1; i<s+TWOPOTBITS_IN_LONG; i++) { p <<= 1; if (mask & 1) p-=1; mask >>= 1; }
    2019         943 :   a = mpexp_basecase(rtor(x, nbits2prec(p)));
    2020         943 :   x = addrs(x,1);
    2021         943 :   if (realprec(x) < l+EXTRAPRECWORD) x = rtor(x, l+EXTRAPRECWORD);
    2022         943 :   a = rtor(a, l+EXTRAPRECWORD); /*append 0s */
    2023         943 :   t = NULL;
    2024             :   for(;;)
    2025             :   {
    2026         980 :     p <<= 1; if (mask & 1) p--;
    2027         980 :     mask >>= 1;
    2028         980 :     setprec(x, nbits2prec(p));
    2029         980 :     setprec(a, nbits2prec(p));
    2030         980 :     t = mulrr(a, subrr(x, logr_abs(a))); /* a (x - log(a)) */
    2031         980 :     if (mask == 1) break;
    2032          37 :     affrr(t, a); avma = (pari_sp)a;
    2033          37 :   }
    2034         943 :   affrr(t,z);
    2035         943 :   if (sh) shiftr_inplace(z, sh);
    2036         943 :   avma = (pari_sp)z; return z;
    2037             : }
    2038             : 
    2039             : static long
    2040       19924 : Qp_exp_prec(GEN x)
    2041             : {
    2042       19924 :   long k, e = valp(x), n = e + precp(x);
    2043       19924 :   GEN p = gel(x,2);
    2044       19924 :   int is2 = absequaliu(p,2);
    2045       19924 :   if (e < 1 || (e == 1 && is2)) return -1;
    2046       19896 :   if (is2)
    2047             :   {
    2048        6211 :     n--; e--; k = n/e;
    2049        6211 :     if (n%e == 0) k--;
    2050             :   }
    2051             :   else
    2052             :   { /* e > 0, n > 0 */
    2053       13685 :     GEN r, t = subis(p, 1);
    2054       13685 :     k = itos(dvmdii(subis(muliu(t,n), 1), subis(muliu(t,e), 1), &r));
    2055       13685 :     if (!signe(r)) k--;
    2056             :   }
    2057       19896 :   return k;
    2058             : }
    2059             : 
    2060             : static GEN
    2061       21324 : Qp_exp_safe(GEN x)
    2062             : {
    2063             :   long k;
    2064             :   pari_sp av;
    2065             :   GEN y;
    2066             : 
    2067       21324 :   if (gequal0(x)) return gaddgs(x,1);
    2068       19854 :   k = Qp_exp_prec(x);
    2069       19853 :   if (k < 0) return NULL;
    2070       19846 :   av = avma;
    2071       19846 :   for (y=gen_1; k; k--) y = gaddsg(1, gdivgs(gmul(y,x), k));
    2072       19847 :   return gerepileupto(av, y);
    2073             : }
    2074             : 
    2075             : GEN
    2076       20862 : Qp_exp(GEN x)
    2077             : {
    2078       20862 :   GEN y = Qp_exp_safe(x);
    2079       20862 :   if (!y) pari_err_DOMAIN("gexp(t_PADIC)","argument","",gen_0,x);
    2080       20855 :   return y;
    2081             : }
    2082             : 
    2083             : static GEN
    2084          49 : cos_p(GEN x)
    2085             : {
    2086             :   long k;
    2087             :   pari_sp av;
    2088             :   GEN x2, y;
    2089             : 
    2090          49 :   if (gequal0(x)) return gaddgs(x,1);
    2091          28 :   k = Qp_exp_prec(x);
    2092          28 :   if (k < 0) return NULL;
    2093          21 :   av = avma; x2 = gsqr(x);
    2094          21 :   if (k & 1) k--;
    2095         105 :   for (y=gen_1; k; k-=2)
    2096             :   {
    2097          84 :     GEN t = gdiv(gmul(y,x2), muluu(k, k-1));
    2098          84 :     y = gsubsg(1, t);
    2099             :   }
    2100          21 :   return gerepileupto(av, y);
    2101             : }
    2102             : static GEN
    2103          63 : sin_p(GEN x)
    2104             : {
    2105             :   long k;
    2106             :   pari_sp av;
    2107             :   GEN x2, y;
    2108             : 
    2109          63 :   if (gequal0(x)) return gcopy(x);
    2110          42 :   k = Qp_exp_prec(x);
    2111          42 :   if (k < 0) return NULL;
    2112          28 :   av = avma; x2 = gsqr(x);
    2113          28 :   if (k & 1) k--;
    2114         133 :   for (y=gen_1; k; k-=2)
    2115             :   {
    2116         105 :     GEN t = gdiv(gmul(y,x2), muluu(k, k+1));
    2117         105 :     y = gsubsg(1, t);
    2118             :   }
    2119          28 :   return gerepileupto(av, gmul(y, x));
    2120             : }
    2121             : 
    2122             : static GEN
    2123     1140778 : cxexp(GEN x, long prec)
    2124             : {
    2125     1140778 :   GEN r,p1,p2, y = cgetg(3,t_COMPLEX);
    2126     1140778 :   pari_sp av = avma, tetpil;
    2127     1140778 :   r = gexp(gel(x,1),prec);
    2128     1140778 :   if (gequal0(r)) { gel(y,1) = r; gel(y,2) = r; return y; }
    2129     1140778 :   gsincos(gel(x,2),&p2,&p1,prec);
    2130     1140778 :   tetpil = avma;
    2131     1140778 :   gel(y,1) = gmul(r,p1);
    2132     1140778 :   gel(y,2) = gmul(r,p2);
    2133     1140778 :   gerepilecoeffssp(av,tetpil,y+1,2);
    2134     1140778 :   return y;
    2135             : }
    2136             : 
    2137             : /* given a t_SER x^v s(x), with s(0) != 0, return x^v(s - s(0)), shallow */
    2138             : GEN
    2139       15946 : serchop0(GEN s)
    2140             : {
    2141       15946 :   long i, l = lg(s);
    2142             :   GEN y;
    2143       15946 :   if (l == 2) return s;
    2144       15946 :   if (l == 3 && isexactzero(gel(s,2))) return s;
    2145       15946 :   y = cgetg(l, t_SER); y[1] = s[1];
    2146       15946 :   gel(y,2) = gen_0; for (i=3; i <l; i++) gel(y,i) = gel(s,i);
    2147       15946 :   return normalize(y);
    2148             : }
    2149             : 
    2150             : static GEN
    2151       28525 : serexp(GEN x, long prec)
    2152             : {
    2153             :   pari_sp av;
    2154             :   long i,j,lx,ly,ex,mi;
    2155             :   GEN p1,y,xd,yd;
    2156             : 
    2157       28525 :   ex = valp(x);
    2158       28525 :   if (ex < 0) pari_err_DOMAIN("exp","valuation", "<", gen_0, x);
    2159       28518 :   if (gequal0(x)) return gaddsg(1,x);
    2160       21791 :   lx = lg(x);
    2161       21791 :   if (ex)
    2162             :   {
    2163       15043 :     ly = lx+ex; y = cgetg(ly,t_SER);
    2164       15043 :     mi = lx-1; while (mi>=3 && isrationalzero(gel(x,mi))) mi--;
    2165       15043 :     mi += ex-2;
    2166       15043 :     y[1] = evalsigne(1) | _evalvalp(0) | evalvarn(varn(x));
    2167             :     /* zd[i] = coefficient of X^i in z */
    2168       15043 :     xd = x+2-ex; yd = y+2; ly -= 2;
    2169       15043 :     gel(yd,0) = gen_1;
    2170       15043 :     for (i=1; i<ex; i++) gel(yd,i) = gen_0;
    2171       73535 :     for (   ; i<ly; i++)
    2172             :     {
    2173       58492 :       av = avma; p1 = gen_0;
    2174     2148923 :       for (j=ex; j<=minss(i,mi); j++)
    2175     2090431 :         p1 = gadd(p1, gmulgs(gmul(gel(xd,j),gel(yd,i-j)),j));
    2176       58492 :       gel(yd,i) = gerepileupto(av, gdivgs(p1,i));
    2177             :     }
    2178       15043 :     return y;
    2179             :   }
    2180        6748 :   av = avma;
    2181        6748 :   return gerepileupto(av, gmul(gexp(gel(x,2),prec), serexp(serchop0(x),prec)));
    2182             : }
    2183             : 
    2184             : GEN
    2185     5383216 : gexp(GEN x, long prec)
    2186             : {
    2187     5383216 :   switch(typ(x))
    2188             :   {
    2189     4040720 :     case t_REAL: return mpexp(x);
    2190     1140778 :     case t_COMPLEX: return cxexp(x,prec);
    2191          42 :     case t_PADIC: return Qp_exp(x);
    2192             :     default:
    2193             :     {
    2194      201676 :       pari_sp av = avma;
    2195             :       GEN y;
    2196      201676 :       if (!(y = toser_i(x))) break;
    2197       20545 :       return gerepileupto(av, serexp(y,prec));
    2198             :     }
    2199             :   }
    2200      181131 :   return trans_eval("exp",gexp,x,prec);
    2201             : }
    2202             : 
    2203             : /********************************************************************/
    2204             : /**                                                                **/
    2205             : /**                           AGM(X, Y)                            **/
    2206             : /**                                                                **/
    2207             : /********************************************************************/
    2208             : static int
    2209     4130086 : agmr_gap(GEN a, GEN b, long L)
    2210             : {
    2211     4130086 :   GEN d = subrr(b, a);
    2212     4130086 :   return (signe(d) && expo(d) - expo(b) >= L);
    2213             : }
    2214             : /* assume x > 0 */
    2215             : static GEN
    2216      293441 : agm1r_abs(GEN x)
    2217             : {
    2218      293441 :   long l = realprec(x), L = 5-prec2nbits(l);
    2219      293441 :   GEN a1, b1, y = cgetr(l);
    2220      293441 :   pari_sp av = avma;
    2221             : 
    2222      293441 :   a1 = addrr(real_1(l), x); shiftr_inplace(a1, -1);
    2223      293441 :   b1 = sqrtr_abs(x);
    2224     4423527 :   while (agmr_gap(a1,b1,L))
    2225             :   {
    2226     3836645 :     GEN a = a1;
    2227     3836645 :     a1 = addrr(a,b1); shiftr_inplace(a1, -1);
    2228     3836645 :     b1 = sqrtr_abs(mulrr(a,b1));
    2229             :   }
    2230      293441 :   affrr_fixlg(a1,y); avma = av; return y;
    2231             : }
    2232             : 
    2233             : struct agmcx_gap_t { long L, ex, cnt; };
    2234             : 
    2235             : static void
    2236       11239 : agmcx_init(GEN x, long *prec, struct agmcx_gap_t *S)
    2237             : {
    2238       11239 :   long l = precision(x);
    2239       11239 :   if (l) *prec = l;
    2240       11239 :   S->L = 1-prec2nbits(*prec);
    2241       11239 :   S->cnt = 0;
    2242       11239 :   S->ex = LONG_MAX;
    2243       11239 : }
    2244             : 
    2245             : static long
    2246       11239 : agmcx_a_b(GEN x, GEN *a1, GEN *b1, long prec)
    2247             : {
    2248       11239 :   long rotate = 0;
    2249       11239 :   if (gsigne(real_i(x))<0)
    2250             :   { /* Rotate by +/-Pi/2, so that the choice of the principal square
    2251             :      * root gives the optimal AGM. So a1 = +/-I*a1, b1=sqrt(-x). */
    2252         553 :     if (gsigne(imag_i(x))<0) { *a1=mulcxI(*a1);  rotate=-1; }
    2253         301 :     else                     { *a1=mulcxmI(*a1); rotate=1; }
    2254         553 :     x = gneg(x);
    2255             :   }
    2256       11239 :   *b1 = gsqrt(x, prec);
    2257       11239 :   return rotate;
    2258             : }
    2259             : /* return 0 if we must stop the AGM loop (a=b or a ~ b), 1 otherwise */
    2260             : static int
    2261      193560 : agmcx_gap(GEN a, GEN b, struct agmcx_gap_t *S)
    2262             : {
    2263      193560 :   GEN d = gsub(b, a);
    2264      193560 :   long ex = S->ex;
    2265      193560 :   S->ex = gexpo(d);
    2266      193560 :   if (gequal0(d) || S->ex - gexpo(b) < S->L) return 0;
    2267             :   /* if (S->ex >= ex) we're no longer making progress; twice in a row */
    2268      185498 :   if (S->ex < ex) S->cnt = 0;
    2269             :   else
    2270        6391 :     if (S->cnt++) return 0;
    2271      182321 :   return 1;
    2272             : }
    2273             : static GEN
    2274       11225 : agm1cx(GEN x, long prec)
    2275             : {
    2276             :   struct agmcx_gap_t S;
    2277             :   GEN a1, b1;
    2278       11225 :   pari_sp av = avma;
    2279             :   long rotate;
    2280       11225 :   agmcx_init(x, &prec, &S);
    2281       11225 :   a1 = gtofp(gmul2n(gadd(real_1(prec), x), -1), prec);
    2282       11225 :   rotate = agmcx_a_b(x, &a1, &b1, prec);
    2283      204699 :   while (agmcx_gap(a1,b1,&S))
    2284             :   {
    2285      182249 :     GEN a = a1;
    2286      182249 :     a1 = gmul2n(gadd(a,b1),-1);
    2287      182249 :     b1 = gsqrt(gmul(a,b1), prec);
    2288             :   }
    2289       11225 :   if (rotate) a1 = rotate>0 ? mulcxI(a1):mulcxmI(a1);
    2290       11225 :   return gerepilecopy(av,a1);
    2291             : }
    2292             : 
    2293             : GEN
    2294          14 : zellagmcx(GEN a0, GEN b0, GEN r, GEN t, long prec)
    2295             : {
    2296             :   struct agmcx_gap_t S;
    2297          14 :   pari_sp av = avma;
    2298          14 :   GEN x = gdiv(a0, b0), a1, b1;
    2299             :   long rotate;
    2300          14 :   agmcx_init(x, &prec, &S);
    2301          14 :   a1 = gtofp(gmul2n(gadd(real_1(prec), x), -1), prec);
    2302          14 :   r = gsqrt(gdiv(gmul(a1,gaddgs(r, 1)),gadd(r, x)), prec);
    2303          14 :   t = gmul(r, t);
    2304          14 :   rotate = agmcx_a_b(x, &a1, &b1, prec);
    2305         100 :   while (agmcx_gap(a1,b1,&S))
    2306             :   {
    2307          72 :     GEN a = a1, b = b1;
    2308          72 :     a1 = gmul2n(gadd(a,b),-1);
    2309          72 :     b1 = gsqrt(gmul(a,b), prec);
    2310          72 :     r = gsqrt(gdiv(gmul(a1,gaddgs(r, 1)),gadd(gmul(b, r), a )), prec);
    2311          72 :     t = gmul(r, t);
    2312             :   }
    2313          14 :   if (rotate) a1 = rotate>0 ? mulcxI(a1):mulcxmI(a1);
    2314          14 :   a1 = gmul(a1, b0);
    2315          14 :   t = gatan(gdiv(a1,t), prec);
    2316             :   /* send t to the fundamental domain if necessary */
    2317          14 :   if (gsigne(real_i(t))<0) t = gadd(t, mppi(prec));
    2318          14 :   return gerepileupto(av,gdiv(t,a1));
    2319             : }
    2320             : 
    2321             : static long
    2322          56 : ser_cmp_expo(GEN A, GEN B)
    2323             : {
    2324          56 :   long e = -(long)HIGHEXPOBIT, d = valp(B) - valp(A);
    2325          56 :   long i, la = lg(A), v = varn(B);
    2326       11256 :   for (i = 2; i < la; i++)
    2327             :   {
    2328       11200 :     GEN a = gel(A,i), b;
    2329             :     long ei;
    2330       11200 :     if (isexactzero(a)) continue;
    2331       11200 :     b = polcoeff_i(B, i-2 + d, v);
    2332       11200 :     ei = gexpo(a);
    2333       11200 :     if (!isexactzero(b)) ei -= gexpo(b);
    2334       11200 :     e = maxss(e, ei);
    2335             :   }
    2336          56 :   return e;
    2337             : }
    2338             : 
    2339             : static GEN
    2340          14 : ser_agm1(GEN y, long prec)
    2341             : {
    2342          14 :   GEN a1 = y, b1 = gen_1;
    2343          14 :   long l = lg(y)-2, l2 = 6-prec2nbits(prec), eold = LONG_MAX;
    2344             :   for(;;)
    2345             :   {
    2346          84 :     GEN a = a1, p1;
    2347          84 :     a1 = gmul2n(gadd(a,b1),-1);
    2348          84 :     b1 = gsqrt(gmul(a,b1), prec);
    2349          84 :     p1 = gsub(b1,a1);
    2350          84 :     if (isinexactreal(p1))
    2351             :     {
    2352          56 :       long e = ser_cmp_expo(p1, b1);
    2353          56 :       if (e < l2 || e >= eold) break;
    2354          49 :       eold = e;
    2355             :     }
    2356             :     else
    2357             :     {
    2358          28 :       long ep = valp(p1)-valp(b1);
    2359          28 :       if (ep >= l && gequal0(p1)) break;
    2360             :     }
    2361          70 :   }
    2362          14 :   return a1;
    2363             : }
    2364             : 
    2365             : /* agm(1,x) */
    2366             : static GEN
    2367        2578 : agm1(GEN x, long prec)
    2368             : {
    2369             :   GEN y;
    2370             :   pari_sp av;
    2371             : 
    2372        2578 :   if (gequal0(x)) return gcopy(x);
    2373        2578 :   switch(typ(x))
    2374             :   {
    2375             :     case t_INT:
    2376          28 :       if (!is_pm1(x)) break;
    2377          21 :       return (signe(x) > 0)? real_1(prec): real_0(prec);
    2378             : 
    2379        1311 :     case t_REAL: return signe(x) > 0? agm1r_abs(x): agm1cx(x, prec);
    2380             : 
    2381             :     case t_COMPLEX:
    2382        1106 :       if (gequal0(gel(x,2))) return agm1(gel(x,1), prec);
    2383        1106 :       return agm1cx(x, prec);
    2384             : 
    2385             :     case t_PADIC:
    2386             :     {
    2387          14 :       GEN a1 = x, b1 = gen_1;
    2388          14 :       long l = precp(x);
    2389          14 :       av = avma;
    2390             :       for(;;)
    2391             :       {
    2392          28 :         GEN a = a1, p1;
    2393             :         long ep;
    2394          28 :         a1 = gmul2n(gadd(a,b1),-1);
    2395          28 :         a = gmul(a,b1);
    2396          28 :         b1 = Qp_sqrt(a); if (!b1) pari_err_SQRTN("Qp_sqrt",a);
    2397          21 :         p1 = gsub(b1,a1); ep = valp(p1)-valp(b1);
    2398          21 :         if (ep<=0) { b1 = gneg_i(b1); p1 = gsub(b1,a1); ep=valp(p1)-valp(b1); }
    2399          21 :         if (ep >= l || gequal0(p1)) return gerepilecopy(av,a1);
    2400          14 :       }
    2401             :     }
    2402             : 
    2403             :     default:
    2404         119 :       av = avma; if (!(y = toser_i(x))) break;
    2405          14 :       return gerepilecopy(av, ser_agm1(y, prec));
    2406             :   }
    2407         112 :   return trans_eval("agm",agm1,x,prec);
    2408             : }
    2409             : 
    2410             : GEN
    2411        2466 : agm(GEN x, GEN y, long prec)
    2412             : {
    2413             :   pari_sp av;
    2414        2466 :   if (is_matvec_t(typ(y)))
    2415             :   {
    2416          14 :     if (is_matvec_t(typ(x))) pari_err_TYPE2("agm",x,y);
    2417           7 :     swap(x, y);
    2418             :   }
    2419        2459 :   if (gequal0(y)) return gcopy(y);
    2420        2459 :   av = avma;
    2421        2459 :   return gerepileupto(av, gmul(y, agm1(gdiv(x,y), prec)));
    2422             : }
    2423             : 
    2424             : /********************************************************************/
    2425             : /**                                                                **/
    2426             : /**                             LOG(X)                             **/
    2427             : /**                                                                **/
    2428             : /********************************************************************/
    2429             : /* atanh(u/v) using binary splitting */
    2430             : static GEN
    2431        4754 : atanhQ_split(ulong u, ulong v, long prec)
    2432             : {
    2433             :   long i, nmax;
    2434        4754 :   GEN u2 = sqru(u), v2 = sqru(v);
    2435        4754 :   double d = ((double)v) / u;
    2436             :   struct abpq_res R;
    2437             :   struct abpq A;
    2438             :   /* satisfies (2n+1) (v/u)^2n > 2^bitprec */
    2439        4754 :   nmax = (long)(prec2nbits(prec) / (2*log2(d)));
    2440        4754 :   abpq_init(&A, nmax);
    2441        4754 :   A.a[0] = A.b[0] = gen_1;
    2442        4754 :   A.p[0] = utoipos(u);
    2443        4754 :   A.q[0] = utoipos(v);
    2444      591080 :   for (i = 1; i <= nmax; i++)
    2445             :   {
    2446      586326 :     A.a[i] = gen_1;
    2447      586326 :     A.b[i] = utoipos((i<<1)+1);
    2448      586326 :     A.p[i] = u2;
    2449      586326 :     A.q[i] = v2;
    2450             :   }
    2451        4754 :   abpq_sum(&R, 0, nmax, &A);
    2452        4754 :   return rdivii(R.T, mulii(R.B,R.Q),prec);
    2453             : }
    2454             : /* log(2) = 10*atanh(1/17)+4*atanh(13/499) */
    2455             : static GEN
    2456        2377 : log2_split(long prec)
    2457             : {
    2458        2377 :   GEN u = atanhQ_split(1, 17, prec);
    2459        2377 :   GEN v = atanhQ_split(13, 499, prec);
    2460        2377 :   shiftr_inplace(v, 2);
    2461        2377 :   return addrr(mulur(10, u), v);
    2462             : }
    2463             : #if 0 /* slower ! */
    2464             : /* cf logagmr_abs(). Compute Pi/2agm(1, 4/2^n) ~ log(2^n) = n log(2) */
    2465             : static GEN
    2466             : log2_agm(long prec)
    2467             : {
    2468             :   long n = prec2nbits(prec) >> 1;
    2469             :   GEN y = divrr(Pi2n(-1, prec), agm1r_abs( real2n(2 - n, prec) ));
    2470             :   return divru(y, n);
    2471             : }
    2472             : #endif
    2473             : GEN
    2474     9451869 : constlog2(long prec)
    2475             : {
    2476             :   pari_sp av;
    2477             :   GEN tmp;
    2478     9451869 :   if (glog2 && realprec(glog2) >= prec) return glog2;
    2479             : 
    2480        2377 :   tmp = cgetr_block(prec);
    2481        2377 :   av = avma;
    2482        2377 :   affrr(log2_split(prec+EXTRAPRECWORD), tmp);
    2483        2377 :   swap_clone(&glog2,tmp);
    2484        2377 :   avma = av; return glog2;
    2485             : }
    2486             : 
    2487             : GEN
    2488     9451869 : mplog2(long prec) { return rtor(constlog2(prec), prec); }
    2489             : 
    2490             : static GEN
    2491      310774 : logagmr_abs(GEN q)
    2492             : {
    2493      310774 :   long prec = realprec(q), lim, e = expo(q);
    2494             :   GEN z, y, Q, _4ovQ;
    2495             :   pari_sp av;
    2496             : 
    2497      310774 :   if (absrnz_equal2n(q)) return e? mulsr(e, mplog2(prec)): real_0(prec);
    2498      292172 :   z = cgetr(prec); av = avma; incrprec(prec);
    2499      292172 :   lim = prec2nbits(prec) >> 1;
    2500      292172 :   Q = rtor(q,prec);
    2501      292172 :   shiftr_inplace(Q,lim-e); setsigne(Q,1);
    2502             : 
    2503      292172 :   _4ovQ = invr(Q); shiftr_inplace(_4ovQ, 2); /* 4/Q */
    2504             :   /* Pi / 2agm(1, 4/Q) ~ log(Q), q = Q * 2^(e-lim) */
    2505      292172 :   y = divrr(Pi2n(-1, prec), agm1r_abs(_4ovQ));
    2506      292172 :   y = addrr(y, mulsr(e - lim, mplog2(prec)));
    2507      292172 :   affrr_fixlg(y, z); avma = av; return z;
    2508             : }
    2509             : /*return log(|x|), assuming x != 0 */
    2510             : GEN
    2511     2869242 : logr_abs(GEN X)
    2512             : {
    2513             :   pari_sp ltop;
    2514     2869242 :   long EX, L, m, k, a, b, l = realprec(X);
    2515             :   GEN z, x, y;
    2516             :   ulong u;
    2517             :   double d;
    2518             : 
    2519     2869242 :   if (l > LOGAGM_LIMIT) return logagmr_abs(X);
    2520             : 
    2521             :  /* Assuming 1 < x < 2, we want delta = x-1, 1-x/2, 1-1/x, or 2/x-1 small.
    2522             :   * We have 2/x-1 > 1-x/2, 1-1/x < x-1. So one should be choosing between
    2523             :   * 1-1/x and 1-x/2 ( crossover sqrt(2), worse ~ 0.29 ). To avoid an inverse,
    2524             :   * we choose between x-1 and 1-x/2 ( crossover 4/3, worse ~ 0.33 ) */
    2525     2558468 :   EX = expo(X);
    2526     2558468 :   u = uel(X,2);
    2527     2558468 :   k = 2;
    2528     2558468 :   if (u > (~0UL / 3) * 2) { /* choose 1-x/2 */
    2529     1539024 :     EX++; u = ~u;
    2530     1539024 :     while (!u && ++k < l) { u = uel(X,k); u = ~u; }
    2531             :   } else { /* choose x - 1 */
    2532     1019444 :     u &= ~HIGHBIT; /* u - HIGHBIT, assuming HIGHBIT set */
    2533     1019444 :     while (!u && ++k < l) u = uel(X,k);
    2534             :   }
    2535     2558468 :   if (k == l) return EX? mulsr(EX, mplog2(l)): real_0(l);
    2536     2481910 :   z = cgetr(EX? l: l - (k-2)); ltop = avma;
    2537             : 
    2538     2481910 :   a = prec2nbits(k) + bfffo(u); /* ~ -log2 |1-x| */
    2539             :  /* Multiplication is quadratic in this range (l is small, otherwise we
    2540             :   * use AGM). Set Y = x^(1/2^m), y = (Y - 1) / (Y + 1) and compute truncated
    2541             :   * series sum y^(2k+1)/(2k+1): the costs is less than
    2542             :   *    m b^2 + sum_{k <= n} ((2k+1) e + BITS_IN_LONG)^2
    2543             :   * bit operations with |x-1| <  2^(1-a), |Y| < 2^(1-e) , m = e-a and b bits of
    2544             :   * accuracy needed (+ BITS_IN_LONG since bit accuracies increase by
    2545             :   * increments of BITS_IN_LONG), so
    2546             :   * 4n^3/3 e^2 + n^2 2e BITS_IN_LONG+ n BITS_IN_LONG ~ m b^2, with n ~ b/2e
    2547             :   * or b/6e + BITS_IN_LONG/2e + BITS_IN_LONG/2be ~ m
    2548             :   *    B := (b / 6 + BITS_IN_LONG/2 + BITS_IN_LONG^2 / 2b) ~ m(m+a)
    2549             :   *     m = min( -a/2 + sqrt(a^2/4 + B),  b - a )
    2550             :   * NB: e ~ (b/6)^(1/2) as b -> oo */
    2551     2481910 :   L = l+1;
    2552     2481910 :   b = prec2nbits(L - (k-2)); /* take loss of accuracy into account */
    2553             :   /* instead of the above pessimistic estimate for the cost of the sum, use
    2554             :    * optimistic estimate (BITS_IN_LONG -> 0) */
    2555     2481910 :   d = -a/2.; m = (long)(d + sqrt(d*d + b/6)); /* >= 0 */
    2556             : 
    2557     2481910 :   if (m > b-a) m = b-a;
    2558     2481910 :   if (m < 0.2*a) m = 0; else L += nbits2extraprec(m);
    2559     2481910 :   x = rtor(X,L);
    2560     2481910 :   setsigne(x,1); shiftr_inplace(x,-EX);
    2561             :   /* 2/3 < x < 4/3 */
    2562     2481910 :   for (k=1; k<=m; k++) x = sqrtr_abs(x);
    2563             : 
    2564     2481910 :   y = divrr(subrs(x,1), addrs(x,1)); /* = (x-1) / (x+1), close to 0 */
    2565     2481910 :   L = realprec(y); /* should be ~ l+1 - (k-2) */
    2566             :   /* log(x) = log(1+y) - log(1-y) = 2 sum_{k odd} y^k / k
    2567             :    * Truncate the sum at k = 2n+1, the remainder is
    2568             :    *   2 sum_{k >= 2n+3} y^k / k < 2y^(2n+3) / (2n+3)(1-y) < y^(2n+3)
    2569             :    * We want y^(2n+3) < y 2^(-prec2nbits(L)), hence
    2570             :    *   n+1 > -prec2nbits(L) /-log_2(y^2) */
    2571     2481910 :   d = -2*dbllog2r(y); /* ~ -log_2(y^2) */
    2572     2481910 :   k = (long)(2*(prec2nbits(L) / d));
    2573     2481910 :   k |= 1;
    2574     2481910 :   if (k >= 3)
    2575             :   {
    2576     2477793 :     GEN S, T, y2 = sqrr(y), unr = real_1(L);
    2577     2477793 :     pari_sp av = avma;
    2578     2477793 :     long s = 0, incs = (long)d, l1 = nbits2prec((long)d);
    2579     2477793 :     S = x;
    2580     2477793 :     setprec(S,  l1);
    2581     2477793 :     setprec(unr,l1); affrr(divru(unr,k), S); /* destroy x, not needed anymore */
    2582    41639245 :     for (k -= 2;; k -= 2) /* k = 2n+1, ..., 1 */
    2583             :     { /* S = y^(2n+1-k)/(2n+1) + ... + 1 / k */
    2584    41639245 :       setprec(y2, l1); T = mulrr(S,y2);
    2585    41639245 :       if (k == 1) break;
    2586             : 
    2587    39161452 :       l1 += dvmdsBIL(s + incs, &s); if (l1>L) l1=L;
    2588    39161452 :       setprec(S, l1);
    2589    39161452 :       setprec(unr,l1);
    2590    39161452 :       affrr(addrr(divru(unr, k), T), S); avma = av;
    2591    39161452 :     }
    2592             :     /* k = 1 special-cased for eficiency */
    2593     2477793 :     y = mulrr(y, addsr(1,T)); /* = log(X)/2 */
    2594             :   }
    2595     2481910 :   shiftr_inplace(y, m + 1);
    2596     2481910 :   if (EX) y = addrr(y, mulsr(EX, mplog2(l+1)));
    2597     2481910 :   affrr_fixlg(y, z); avma = ltop; return z;
    2598             : }
    2599             : 
    2600             : /* assume Im(q) != 0 and precision(q) >= prec. Compute log(q) with accuracy
    2601             :  * prec [disregard input accuracy] */
    2602             : GEN
    2603       10077 : logagmcx(GEN q, long prec)
    2604             : {
    2605       10077 :   GEN z = cgetc(prec), y, Q, a, b;
    2606             :   long lim, e, ea, eb;
    2607       10077 :   pari_sp av = avma;
    2608       10077 :   int neg = 0;
    2609             : 
    2610       10077 :   incrprec(prec);
    2611       10077 :   if (gsigne(gel(q,1)) < 0) { q = gneg(q); neg = 1; }
    2612       10077 :   lim = prec2nbits(prec) >> 1;
    2613       10077 :   Q = gtofp(q, prec);
    2614       10077 :   a = gel(Q,1);
    2615       10077 :   b = gel(Q,2);
    2616       10077 :   if (gequal0(a)) {
    2617           0 :     affrr_fixlg(logr_abs(b), gel(z,1));
    2618           0 :     y = Pi2n(-1, prec);
    2619           0 :     if (signe(b) < 0) setsigne(y, -1);
    2620           0 :     affrr_fixlg(y, gel(z,2)); avma = av; return z;
    2621             :   }
    2622       10077 :   ea = expo(a);
    2623       10077 :   eb = expo(b);
    2624       10077 :   e = ea <= eb ? lim - eb : lim - ea;
    2625       10077 :   shiftr_inplace(a, e);
    2626       10077 :   shiftr_inplace(b, e);
    2627             : 
    2628             :   /* Pi / 2agm(1, 4/Q) ~ log(Q), q = Q * 2^e */
    2629       10077 :   y = gdiv(Pi2n(-1, prec), agm1cx( gdivsg(4, Q), prec ));
    2630       10077 :   a = gel(y,1);
    2631       10077 :   b = gel(y,2);
    2632       10077 :   a = addrr(a, mulsr(-e, mplog2(prec)));
    2633       10077 :   if (realprec(a) <= LOWDEFAULTPREC) a = real_0_bit(expo(a));
    2634       17297 :   if (neg) b = gsigne(b) <= 0? gadd(b, mppi(prec))
    2635        7220 :                              : gsub(b, mppi(prec));
    2636       10077 :   affrr_fixlg(a, gel(z,1));
    2637       10077 :   affrr_fixlg(b, gel(z,2)); avma = av; return z;
    2638             : }
    2639             : 
    2640             : GEN
    2641      209969 : mplog(GEN x)
    2642             : {
    2643      209969 :   if (signe(x)<=0) pari_err_DOMAIN("mplog", "argument", "<=", gen_0, x);
    2644      209969 :   return logr_abs(x);
    2645             : }
    2646             : 
    2647             : /* pe = p^e, p prime, 0 < x < pe a t_INT coprime to p. Return the (p-1)-th
    2648             :  * root of 1 in (Z/pe)^* congruent to x mod p, resp x mod 4 if p = 2.
    2649             :  * Simplified form of Zp_sqrtnlift: 1/(p-1) is trivial to compute */
    2650             : GEN
    2651        1316 : Zp_teichmuller(GEN x, GEN p, long e, GEN pe)
    2652             : {
    2653             :   GEN q, z, p1;
    2654             :   pari_sp av;
    2655             :   ulong mask;
    2656        1316 :   if (absequaliu(p,2)) return (mod4(x) & 2)? subiu(pe,1): gen_1;
    2657        1316 :   if (e == 1) return icopy(x);
    2658        1316 :   av = avma;
    2659        1316 :   p1 = subiu(p, 1);
    2660        1316 :   mask = quadratic_prec_mask(e);
    2661        1316 :   q = p; z = remii(x, p);
    2662        7714 :   while (mask > 1)
    2663             :   { /* Newton iteration solving z^{1 - p} = 1, z = x (mod p) */
    2664        5082 :     GEN w, t, qold = q;
    2665        5082 :     if (mask <= 3) /* last iteration */
    2666        1316 :       q = pe;
    2667             :     else
    2668             :     {
    2669        3766 :       q = sqri(q);
    2670        3766 :       if (mask & 1) q = diviiexact(q, p);
    2671             :     }
    2672        5082 :     mask >>= 1;
    2673             :     /* q <= qold^2 */
    2674        5082 :     if (lgefint(q) == 3)
    2675             :     {
    2676        4935 :       ulong Z = uel(z,2), Q = uel(q,2), P1 = uel(p1,2);
    2677        4935 :       ulong W = (Q-1) / P1; /* -1/(p-1) + O(qold) */
    2678        4935 :       ulong T = Fl_mul(W, Fl_powu(Z,P1,Q) - 1, Q);
    2679        4935 :       Z = Fl_mul(Z, 1 + T, Q);
    2680        4935 :       z = utoi(Z);
    2681             :     }
    2682             :     else
    2683             :     {
    2684         147 :       w = diviiexact(addsi(-1,qold),p1); /* -1/(p-1) + O(qold) */
    2685         147 :       t = Fp_mul(w, subis(Fp_pow(z,p1,q), 1), q);
    2686         147 :       z = Fp_mul(z, addsi(1,t), q);
    2687             :     }
    2688             :   }
    2689        1316 :   return gerepileuptoint(av, z);
    2690             : }
    2691             : 
    2692             : GEN
    2693        1197 : teichmullerinit(long p, long n)
    2694             : {
    2695             :   GEN t, pn, g, v;
    2696             :   ulong gp, tp;
    2697             :   long a, m;
    2698             : 
    2699        1197 :   if (p == 2) return mkvec(gen_1);
    2700        1197 :   if (!uisprime(p)) pari_err_PRIME("teichmullerinit",utoipos(p));
    2701             : 
    2702        1197 :   m = p >> 1; /* (p-1)/2 */
    2703        1197 :   tp= gp= pgener_Fl(p); /* order (p-1), gp^m = -1 */
    2704        1197 :   pn = powuu(p, n);
    2705        1197 :   v = cgetg(p, t_VEC);
    2706        1197 :   t = g = Zp_teichmuller(utoipos(gp), utoipos(p), n, pn);
    2707        1197 :   gel(v, 1) = gen_1;
    2708        1197 :   gel(v, p-1) = subiu(pn,1);
    2709        2842 :   for (a = 1; a < m; a++)
    2710             :   {
    2711        1645 :     gel(v, tp) = t;
    2712        1645 :     gel(v, p - tp) = Fp_neg(t, pn); /* g^(m+a) = -g^a */
    2713        1645 :     if (a < m-1)
    2714             :     {
    2715         896 :       t = Fp_mul(t, g, pn); /* g^(a+1) */
    2716         896 :       tp = Fl_mul(tp, gp, p); /* t mod p  */
    2717             :     }
    2718             :   }
    2719        1197 :   return v;
    2720             : }
    2721             : 
    2722             : /* tab from teichmullerinit or NULL */
    2723             : GEN
    2724         238 : teichmuller(GEN x, GEN tab)
    2725             : {
    2726             :   GEN p, q, y, z;
    2727         238 :   long n, tx = typ(x);
    2728             : 
    2729         238 :   if (!tab)
    2730             :   {
    2731         126 :     if (tx == t_VEC && lg(x) == 3)
    2732             :     {
    2733           7 :       p = gel(x,1);
    2734           7 :       q = gel(x,2);
    2735           7 :       if (typ(p) == t_INT && typ(q) == t_INT)
    2736           7 :         return teichmullerinit(itos(p), itos(q));
    2737             :     }
    2738             :   }
    2739         112 :   else if (typ(tab) != t_VEC) pari_err_TYPE("teichmuller",tab);
    2740         231 :   if (tx!=t_PADIC) pari_err_TYPE("teichmuller",x);
    2741         231 :   z = gel(x,4);
    2742         231 :   if (!signe(z)) return gcopy(x);
    2743         231 :   p = gel(x,2);
    2744         231 :   q = gel(x,3);
    2745         231 :   n = precp(x);
    2746         231 :   y = cgetg(5,t_PADIC);
    2747         231 :   y[1] = evalprecp(n) | _evalvalp(0);
    2748         231 :   gel(y,2) = icopy(p);
    2749         231 :   gel(y,3) = icopy(q);
    2750         231 :   if (tab)
    2751             :   {
    2752         112 :     ulong pp = itou_or_0(p);
    2753         112 :     if (lg(tab) != (long)pp) pari_err_TYPE("teichmuller",tab);
    2754         112 :     z = gel(tab, umodiu(z, pp));
    2755         112 :     if (typ(z) != t_INT) pari_err_TYPE("teichmuller",tab);
    2756         112 :     z = remii(z, q);
    2757             :   }
    2758             :   else
    2759         119 :     z = Zp_teichmuller(z, p, n, q);
    2760         231 :   gel(y,4) = z;
    2761         231 :   return y;
    2762             : }
    2763             : GEN
    2764           0 : teich(GEN x) { return teichmuller(x, NULL); }
    2765             : 
    2766             : GEN
    2767     2726912 : glog(GEN x, long prec)
    2768             : {
    2769             :   pari_sp av, tetpil;
    2770             :   GEN y, p1;
    2771             :   long l;
    2772             : 
    2773     2726912 :   switch(typ(x))
    2774             :   {
    2775             :     case t_REAL:
    2776     1756194 :       if (signe(x) >= 0)
    2777             :       {
    2778     1502497 :         if (!signe(x)) pari_err_DOMAIN("log", "argument", "=", gen_0, x);
    2779     1502483 :         return logr_abs(x);
    2780             :       }
    2781      253697 :       retmkcomplex(logr_abs(x), mppi(realprec(x)));
    2782             : 
    2783             :     case t_FRAC:
    2784             :     {
    2785             :       GEN a, b;
    2786             :       long e1, e2;
    2787      120803 :       av = avma;
    2788      120803 :       a = gel(x,1);
    2789      120803 :       b = gel(x,2);
    2790      120803 :       e1 = expi(subii(a,b)); e2 = expi(b);
    2791      120803 :       if (e2 > e1) prec += nbits2nlong(e2 - e1);
    2792      120803 :       x = fractor(x, prec);
    2793      120803 :       return gerepileupto(av, glog(x, prec));
    2794             :     }
    2795             :     case t_COMPLEX:
    2796      395249 :       if (ismpzero(gel(x,2))) return glog(gel(x,1), prec);
    2797      393008 :       if (ismpzero(gel(x,1)))
    2798             :       {
    2799        3262 :         GEN a = gel(x,2), b;
    2800        3262 :         av = avma; b = Pi2n(-1,prec);
    2801        3262 :         if (gsigne(a) < 0) { setsigne(b, -1); a = gabs(a,prec); }
    2802        3262 :         a = isint1(a) ? gen_0: glog(a,prec);
    2803        3262 :         return gerepilecopy(av, mkcomplex(a, b));
    2804             :       }
    2805      389746 :       l = precision(x); if (l > prec) prec = l;
    2806      389746 :       if (prec >= LOGAGMCX_LIMIT) return logagmcx(x, prec);
    2807      379865 :       y = cgetg(3,t_COMPLEX);
    2808      379865 :       gel(y,2) = garg(x,prec);
    2809      379865 :       av = avma; p1 = glog(cxnorm(x),prec); tetpil = avma;
    2810      379865 :       gel(y,1) = gerepile(av,tetpil,gmul2n(p1,-1)); return y;
    2811             : 
    2812         357 :     case t_PADIC: return Qp_log(x);
    2813             :     default:
    2814      454309 :       av = avma; if (!(y = toser_i(x))) break;
    2815          21 :       if (!signe(y)) pari_err_DOMAIN("log", "argument", "=", gen_0, x);
    2816          21 :       if (valp(y)) pari_err_DOMAIN("log", "series valuation", "!=", gen_0, x);
    2817          14 :       p1 = integser(gdiv(derivser(y), y)); /* log(y)' = y'/y */
    2818          14 :       if (!gequal1(gel(y,2))) p1 = gadd(p1, glog(gel(y,2),prec));
    2819          14 :       return gerepileupto(av, p1);
    2820             :   }
    2821      454288 :   return trans_eval("log",glog,x,prec);
    2822             : }
    2823             : /********************************************************************/
    2824             : /**                                                                **/
    2825             : /**                        SINE, COSINE                            **/
    2826             : /**                                                                **/
    2827             : /********************************************************************/
    2828             : 
    2829             : /* Reduce x0 mod Pi/2 to x in [-Pi/4, Pi/4]. Return cos(x)-1 */
    2830             : static GEN
    2831     4448884 : mpcosm1(GEN x, long *ptmod8)
    2832             : {
    2833     4448884 :   long a = expo(x), l = realprec(x), b, L, i, n, m, B;
    2834             :   GEN y, p2, x2;
    2835             :   double d;
    2836             : 
    2837     4448884 :   n = 0;
    2838     4448884 :   if (a >= 0)
    2839             :   {
    2840             :     long p;
    2841             :     GEN q;
    2842     3328029 :     if (a > 30)
    2843             :     {
    2844         621 :       GEN z, pitemp = Pi2n(-2, nbits2prec(a + 32));
    2845         621 :       z = addrr(x,pitemp); /* = x + Pi/4 */
    2846         621 :       if (expo(z) >= bit_prec(z) + 3) pari_err_PREC("mpcosm1");
    2847         621 :       shiftr_inplace(pitemp, 1);
    2848         621 :       q = floorr( divrr(z,pitemp) ); /* round ( x / (Pi/2) ) */
    2849         621 :       p = l+EXTRAPRECWORD; x = rtor(x,p);
    2850             :     } else {
    2851     3327408 :       q = stoi((long)floor(rtodbl(x) / (M_PI/2) + 0.5));
    2852     3327408 :       p = l;
    2853             :     }
    2854     3328029 :     if (signe(q))
    2855             :     {
    2856     3328029 :       x = subrr(x, mulir(q, Pi2n(-1,p))); /* x mod Pi/2  */
    2857     3328029 :       a = expo(x);
    2858     3328029 :       if (!signe(x) && a >= 0) pari_err_PREC("mpcosm1");
    2859     3328029 :       n = mod4(q); if (n && signe(q) < 0) n = 4 - n;
    2860             :     }
    2861             :   }
    2862             :   /* a < 0 */
    2863     4448884 :   b = signe(x); *ptmod8 = (b < 0)? 4 + n: n;
    2864     4448884 :   if (!b) return real_0_bit(expo(x)*2 - 1);
    2865             : 
    2866     4261929 :   b = prec2nbits(l);
    2867     4261929 :   if (b + 2*a <= 0) {
    2868      176935 :     y = sqrr(x); shiftr_inplace(y, -1); setsigne(y, -1);
    2869      176935 :     return y;
    2870             :   }
    2871             : 
    2872     4084994 :   y = cgetr(l);
    2873     4084994 :   B = b/6 + BITS_IN_LONG + (BITS_IN_LONG*BITS_IN_LONG/2)/ b;
    2874     4084994 :   d = a/2.; m = (long)(d + sqrt(d*d + B)); /* >= 0 ,*/
    2875     4084994 :   if (m < (-a) * 0.1) m = 0; /* not worth it */
    2876     4084994 :   L = l + nbits2extraprec(m);
    2877             : 
    2878     4084994 :   b += m;
    2879     4084994 :   d = 2.0 * (m-dbllog2r(x)-1/LOG2); /* ~ 2( - log_2 Y - 1/log(2) ) */
    2880     4084994 :   n = (long)(b / d);
    2881     4084994 :   if (n > 1)
    2882     4057827 :     n = (long)(b / (d + log2((double)n+1))); /* log~constant in small ranges */
    2883     4084994 :   while (n*(d+log2((double)n+1)) < b) n++; /* expect few corrections */
    2884             : 
    2885             :  /* Multiplication is quadratic in this range (l is small, otherwise we
    2886             :   * use logAGM + Newton). Set Y = 2^(-e-a) x, compute truncated series
    2887             :   * sum Y^2k/(2k)!: this costs roughly
    2888             :   *   m b^2 + sum_{k <= n} (2k e + BITS_IN_LONG)^2
    2889             :   *   ~ floor(b/2e) b^2 / 3  + m b^2
    2890             :   * bit operations with |x| <  2^(1+a), |Y| < 2^(1-e) , m = e+a and b bits of
    2891             :   * accuracy needed, so
    2892             :   *    B := ( b / 6 + BITS_IN_LONG + BITS_IN_LONG^2 / 2b) ~ m(m-a)
    2893             :   * we want b ~ 6 m (m-a) or m~b+a hence
    2894             :   *     m = min( a/2 + sqrt(a^2/4 + b/6),  b/2 + a )
    2895             :   * NB1: e ~ (b/6)^(1/2) or b/2.
    2896             :   * NB2: We use b/4 instead of b/6 in the formula above: hand-optimized...
    2897             :   *
    2898             :   * Truncate the sum at k = n (>= 1), the remainder is
    2899             :   * < sum_{k >= n+1} Y^2k / 2k! < Y^(2n+2) / (2n+2)!(1-Y^2) < Y^(2n+2)/(2n+1)!
    2900             :   * We want ... <= Y^2 2^-b, hence -2n log_2 |Y| + log_2 (2n+1)! >= b
    2901             :   *   log n! ~ (n + 1/2) log(n+1) - (n+1) + log(2Pi)/2,
    2902             :   * error bounded by 1/6(n+1) <= 1/12. Finally, we want
    2903             :   * 2n (-1/log(2) - log_2 |Y| + log_2(2n+2)) >= b  */
    2904     4084994 :   x = rtor(x, L); shiftr_inplace(x, -m); setsigne(x, 1);
    2905     4084994 :   x2 = sqrr(x);
    2906     4084994 :   if (n == 1) { p2 = x2; shiftr_inplace(p2, -1); setsigne(p2, -1); } /*-Y^2/2*/
    2907             :   else
    2908             :   {
    2909     4084994 :     GEN unr = real_1(L);
    2910             :     pari_sp av;
    2911     4084994 :     long s = 0, l1 = nbits2prec((long)(d + n + 16));
    2912             : 
    2913     4084994 :     p2 = cgetr(L); av = avma;
    2914    25197691 :     for (i=n; i>=2; i--)
    2915             :     {
    2916             :       GEN p1;
    2917    21112697 :       setprec(x2,l1); p1 = divrunu(x2, 2*i-1);
    2918    21112697 :       l1 += dvmdsBIL(s - expo(p1), &s); if (l1>L) l1=L;
    2919    21112697 :       if (i != n) p1 = mulrr(p1,p2);
    2920    21112697 :       setprec(unr,l1); p1 = addrr_sign(unr,1, p1,-signe(p1));
    2921    21112697 :       setprec(p2,l1); affrr(p1,p2); avma = av;
    2922             :     }
    2923     4084994 :     shiftr_inplace(p2, -1); togglesign(p2); /* p2 := -p2/2 */
    2924     4084994 :     setprec(x2,L); p2 = mulrr(x2,p2);
    2925             :   }
    2926             :   /* Now p2 = sum {1<= i <=n} (-1)^i x^(2i) / (2i)! ~ cos(x) - 1 */
    2927    37673060 :   for (i=1; i<=m; i++)
    2928             :   { /* p2 = cos(x)-1 --> cos(2x)-1 */
    2929    33588066 :     p2 = mulrr(p2, addsr(2,p2));
    2930    33588066 :     shiftr_inplace(p2, 1);
    2931    33588066 :     if ((i & 31) == 0) p2 = gerepileuptoleaf((pari_sp)y, p2);
    2932             :   }
    2933     4084994 :   affrr_fixlg(p2,y); return y;
    2934             : }
    2935             : 
    2936             : /* sqrt (|1 - (1+x)^2|) = sqrt(|x*(x+2)|). Sends cos(x)-1 to |sin(x)| */
    2937             : static GEN
    2938     2880250 : mpaut(GEN x)
    2939             : {
    2940     2880250 :   pari_sp av = avma;
    2941     2880250 :   GEN t = mulrr(x, addsr(2,x)); /* != 0 */
    2942     2880250 :   if (!signe(t)) return real_0_bit(expo(t) >> 1);
    2943     2693302 :   return gerepileuptoleaf(av, sqrtr_abs(t));
    2944             : }
    2945             : 
    2946             : /********************************************************************/
    2947             : /**                            COSINE                              **/
    2948             : /********************************************************************/
    2949             : 
    2950             : GEN
    2951     2805458 : mpcos(GEN x)
    2952             : {
    2953             :   long mod8;
    2954             :   pari_sp av;
    2955             :   GEN y,p1;
    2956             : 
    2957     2805458 :   if (!signe(x)) {
    2958        1024 :     long l = nbits2prec(-expo(x));
    2959        1024 :     if (l < LOWDEFAULTPREC) l = LOWDEFAULTPREC;
    2960        1024 :     return real_1(l);
    2961             :   }
    2962             : 
    2963     2804434 :   av = avma; p1 = mpcosm1(x,&mod8);
    2964     2804434 :   switch(mod8)
    2965             :   {
    2966      860908 :     case 0: case 4: y = addsr(1,p1); break;
    2967      677361 :     case 1: case 7: y = mpaut(p1); togglesign(y); break;
    2968      663025 :     case 2: case 6: y = subsr(-1,p1); break;
    2969      603140 :     default:        y = mpaut(p1); break; /* case 3: case 5: */
    2970             :   }
    2971     2804434 :   return gerepileuptoleaf(av, y);
    2972             : }
    2973             : 
    2974             : /* convert INT or FRAC to REAL, which is later reduced mod 2Pi : avoid
    2975             :  * cancellation */
    2976             : static GEN
    2977       11683 : tofp_safe(GEN x, long prec)
    2978             : {
    2979       33943 :   return (typ(x) == t_INT || gexpo(x) > 0)? gadd(x, real_0(prec))
    2980       13559 :                                           : fractor(x, prec);
    2981             : }
    2982             : 
    2983             : GEN
    2984      215224 : gcos(GEN x, long prec)
    2985             : {
    2986             :   pari_sp av;
    2987             :   GEN r, u, v, y, u1, v1;
    2988             :   long i;
    2989             : 
    2990      215224 :   switch(typ(x))
    2991             :   {
    2992      214580 :     case t_REAL: return mpcos(x);
    2993             :     case t_COMPLEX:
    2994          21 :       if (isintzero(gel(x,1))) return gcosh(gel(x,2), prec);
    2995          14 :       i = precision(x); if (!i) i = prec;
    2996          14 :       y = cgetc(i); av = avma;
    2997          14 :       r = gexp(gel(x,2),prec);
    2998          14 :       v1 = gmul2n(addrr(invr(r),r), -1); /* = cos(I*Im(x)) */
    2999          14 :       u1 = subrr(v1, r); /* = - I*sin(I*Im(x)) */
    3000          14 :       gsincos(gel(x,1),&u,&v,prec);
    3001          14 :       affrr_fixlg(gmul(v1,v), gel(y,1));
    3002          14 :       affrr_fixlg(gmul(u1,u), gel(y,2)); avma = av; return y;
    3003             : 
    3004             :     case t_INT: case t_FRAC:
    3005         546 :       y = cgetr(prec); av = avma;
    3006         546 :       affrr_fixlg(mpcos(tofp_safe(x,prec)), y); avma = av; return y;
    3007             : 
    3008          49 :     case t_PADIC: y = cos_p(x);
    3009          49 :       if (!y) pari_err_DOMAIN("gcos(t_PADIC)","argument","",gen_0,x);
    3010          42 :       return y;
    3011             : 
    3012             :     default:
    3013          28 :       av = avma; if (!(y = toser_i(x))) break;
    3014          21 :       if (gequal0(y)) return gerepileupto(av, gaddsg(1,y));
    3015          21 :       if (valp(y) < 0)
    3016           7 :         pari_err_DOMAIN("cos","valuation", "<", gen_0, x);
    3017          14 :       gsincos(y,&u,&v,prec);
    3018          14 :       return gerepilecopy(av,v);
    3019             :   }
    3020           7 :   return trans_eval("cos",gcos,x,prec);
    3021             : }
    3022             : /********************************************************************/
    3023             : /**                             SINE                               **/
    3024             : /********************************************************************/
    3025             : 
    3026             : GEN
    3027      271772 : mpsin(GEN x)
    3028             : {
    3029             :   long mod8;
    3030             :   pari_sp av;
    3031             :   GEN y,p1;
    3032             : 
    3033      271772 :   if (!signe(x)) return real_0_bit(expo(x));
    3034             : 
    3035      269586 :   av = avma; p1 = mpcosm1(x,&mod8);
    3036      269586 :   switch(mod8)
    3037             :   {
    3038      197208 :     case 0: case 6: y=mpaut(p1); break;
    3039       22493 :     case 1: case 5: y=addsr(1,p1); break;
    3040       27677 :     case 2: case 4: y=mpaut(p1); togglesign(y); break;
    3041       22208 :     default:        y=subsr(-1,p1); break; /* case 3: case 7: */
    3042             :   }
    3043      269586 :   return gerepileuptoleaf(av, y);
    3044             : }
    3045             : 
    3046             : GEN
    3047      274873 : gsin(GEN x, long prec)
    3048             : {
    3049             :   pari_sp av;
    3050             :   GEN r, u, v, y, v1, u1;
    3051             :   long i;
    3052             : 
    3053      274873 :   switch(typ(x))
    3054             :   {
    3055      261062 :     case t_REAL: return mpsin(x);
    3056             :     case t_COMPLEX:
    3057        2954 :       if (isintzero(gel(x,1))) retmkcomplex(gen_0,gsinh(gel(x,2),prec));
    3058        2947 :       i = precision(x); if (!i) i = prec;
    3059        2947 :       y = cgetc(i); av = avma;
    3060        2947 :       r = gexp(gel(x,2),prec);
    3061        2947 :       v1 = gmul2n(addrr(invr(r),r), -1); /* = cos(I*Im(x)) */
    3062        2947 :       u1 = subrr(r, v1); /* = I*sin(I*Im(x)) */
    3063        2947 :       gsincos(gel(x,1),&u,&v,prec);
    3064        2947 :       affrr_fixlg(gmul(v1,u), gel(y,1));
    3065        2947 :       affrr_fixlg(gmul(u1,v), gel(y,2)); avma = av; return y;
    3066             : 
    3067             :     case t_INT: case t_FRAC:
    3068       10710 :       y = cgetr(prec); av = avma;
    3069       10710 :       affrr_fixlg(mpsin(tofp_safe(x,prec)), y); avma = av; return y;
    3070             : 
    3071          49 :     case t_PADIC: y = sin_p(x);
    3072          49 :       if (!y) pari_err_DOMAIN("gsin(t_PADIC)","argument","",gen_0,x);
    3073          42 :       return y;
    3074             : 
    3075             :     default:
    3076          98 :       av = avma; if (!(y = toser_i(x))) break;
    3077          91 :       if (gequal0(y)) return gerepilecopy(av, y);
    3078          91 :       if (valp(y) < 0)
    3079           7 :         pari_err_DOMAIN("sin","valuation", "<", gen_0, x);
    3080          84 :       gsincos(y,&u,&v,prec);
    3081          84 :       return gerepilecopy(av,u);
    3082             :   }
    3083           7 :   return trans_eval("sin",gsin,x,prec);
    3084             : }
    3085             : /********************************************************************/
    3086             : /**                       SINE, COSINE together                    **/
    3087             : /********************************************************************/
    3088             : 
    3089             : void
    3090     1392636 : mpsincos(GEN x, GEN *s, GEN *c)
    3091             : {
    3092             :   long mod8;
    3093             :   pari_sp av, tetpil;
    3094             :   GEN p1, *gptr[2];
    3095             : 
    3096     1392636 :   if (!signe(x))
    3097             :   {
    3098       22661 :     long e = expo(x);
    3099       22661 :     *s = real_0_bit(e);
    3100       22661 :     *c = e >= 0? real_0_bit(e): real_1_bit(-e);
    3101       45322 :     return;
    3102             :   }
    3103             : 
    3104     1369975 :   av=avma; p1=mpcosm1(x,&mod8); tetpil=avma;
    3105     1369975 :   switch(mod8)
    3106             :   {
    3107      348089 :     case 0: *c=addsr( 1,p1); *s=mpaut(p1); break;
    3108       86941 :     case 1: *s=addsr( 1,p1); *c=mpaut(p1); togglesign(*c); break;
    3109      279614 :     case 2: *c=subsr(-1,p1); *s=mpaut(p1); togglesign(*s); break;
    3110       95953 :     case 3: *s=subsr(-1,p1); *c=mpaut(p1); break;
    3111      217306 :     case 4: *c=addsr( 1,p1); *s=mpaut(p1); togglesign(*s); break;
    3112      105666 :     case 5: *s=addsr( 1,p1); *c=mpaut(p1); break;
    3113      139820 :     case 6: *c=subsr(-1,p1); *s=mpaut(p1); break;
    3114       96586 :     case 7: *s=subsr(-1,p1); *c=mpaut(p1); togglesign(*c); break;
    3115             :   }
    3116     1369975 :   gptr[0]=s; gptr[1]=c;
    3117     1369975 :   gerepilemanysp(av,tetpil,gptr,2);
    3118             : }
    3119             : 
    3120             : /* SINE and COSINE - 1 */
    3121             : void
    3122        4889 : mpsincosm1(GEN x, GEN *s, GEN *c)
    3123             : {
    3124             :   long mod8;
    3125             :   pari_sp av, tetpil;
    3126             :   GEN p1, *gptr[2];
    3127             : 
    3128        4889 :   if (!signe(x))
    3129             :   {
    3130           0 :     long e = expo(x);
    3131           0 :     *s = real_0_bit(e);
    3132           0 :     *c = real_0_bit(2*e-1);
    3133           0 :     return;
    3134             :   }
    3135        4889 :   av=avma; p1=mpcosm1(x,&mod8); tetpil=avma;
    3136        4889 :   switch(mod8)
    3137             :   {
    3138        4490 :     case 0: *c=rcopy(p1); *s=mpaut(p1); break;
    3139          28 :     case 1: *s=addsr(1,p1); *c=addrs(mpaut(p1),1); togglesign(*c); break;
    3140           0 :     case 2: *c=subsr(-2,p1); *s=mpaut(p1); togglesign(*s); break;
    3141           0 :     case 3: *s=subsr(-1,p1); *c=subrs(mpaut(p1),1); break;
    3142         287 :     case 4: *c=rcopy(p1); *s=mpaut(p1); togglesign(*s); break;
    3143          70 :     case 5: *s=addsr( 1,p1); *c=subrs(mpaut(p1),1); break;
    3144           7 :     case 6: *c=subsr(-2,p1); *s=mpaut(p1); break;
    3145           7 :     case 7: *s=subsr(-1,p1); *c=subsr(-1,mpaut(p1)); break;
    3146             :   }
    3147        4889 :   gptr[0]=s; gptr[1]=c;
    3148        4889 :   gerepilemanysp(av,tetpil,gptr,2);
    3149             : }
    3150             : 
    3151             : /* return exp(ix), x a t_REAL */
    3152             : GEN
    3153      137205 : expIr(GEN x)
    3154             : {
    3155      137205 :   pari_sp av = avma;
    3156      137205 :   GEN v = cgetg(3,t_COMPLEX);
    3157      137205 :   mpsincos(x, (GEN*)(v+2), (GEN*)(v+1));
    3158      137205 :   if (!signe(gel(v,2))) return gerepilecopy(av, gel(v,1));
    3159      134895 :   return v;
    3160             : }
    3161             : 
    3162             : /* return exp(ix)-1, x a t_REAL */
    3163             : static GEN
    3164        4889 : expm1_Ir(GEN x)
    3165             : {
    3166        4889 :   pari_sp av = avma;
    3167        4889 :   GEN v = cgetg(3,t_COMPLEX);
    3168        4889 :   mpsincosm1(x, (GEN*)(v+2), (GEN*)(v+1));
    3169        4889 :   if (!signe(gel(v,2))) return gerepilecopy(av, gel(v,1));
    3170        4889 :   return v;
    3171             : }
    3172             : 
    3173             : /* return exp(z)-1, z complex */
    3174             : GEN
    3175        4980 : cxexpm1(GEN z, long prec)
    3176             : {
    3177        4980 :   pari_sp av = avma;
    3178        4980 :   GEN X, Y, x = real_i(z), y = imag_i(z);
    3179        4980 :   if (typ(x) != t_REAL) x = gtofp(x, prec);
    3180        4980 :   if (typ(y) != t_REAL) y = gtofp(y, prec);
    3181        4980 :   if (gequal0(y)) return mpexpm1(x);
    3182        4889 :   if (gequal0(x)) return expm1_Ir(y);
    3183        4812 :   X = mpexpm1(x); /* t_REAL */
    3184        4812 :   Y = expm1_Ir(y);
    3185             :   /* exp(x+iy) - 1 = (exp(x)-1)(exp(iy)-1) + exp(x)-1 + exp(iy)-1 */
    3186        4812 :   return gerepileupto(av, gadd(gadd(X,Y), gmul(X,Y)));
    3187             : }
    3188             : 
    3189             : void
    3190     1144670 : gsincos(GEN x, GEN *s, GEN *c, long prec)
    3191             : {
    3192             :   long i, j, ex, ex2, lx, ly, mi;
    3193             :   pari_sp av, tetpil;
    3194             :   GEN y, r, u, v, u1, v1, p1, p2, p3, p4, ps, pc;
    3195             :   GEN *gptr[4];
    3196             : 
    3197     1144670 :   switch(typ(x))
    3198             :   {
    3199             :     case t_INT: case t_FRAC:
    3200         406 :       *s = cgetr(prec);
    3201         406 :       *c = cgetr(prec); av = avma;
    3202         406 :       mpsincos(tofp_safe(x, prec), &ps, &pc);
    3203         406 :       affrr_fixlg(ps,*s);
    3204     1145076 :       affrr_fixlg(pc,*c); avma = av; return;
    3205             : 
    3206             :     case t_REAL:
    3207     1143879 :       mpsincos(x,s,c); return;
    3208             : 
    3209             :     case t_COMPLEX:
    3210         147 :       i = precision(x); if (!i) i = prec;
    3211         147 :       ps = cgetc(i); *s = ps;
    3212         147 :       pc = cgetc(i); *c = pc; av = avma;
    3213         147 :       r = gexp(gel(x,2),prec);
    3214         147 :       v1 = gmul2n(addrr(invr(r),r), -1); /* = cos(I*Im(x)) */
    3215         147 :       u1 = subrr(r, v1); /* = I*sin(I*Im(x)) */
    3216         147 :       gsincos(gel(x,1), &u,&v, prec);
    3217         147 :       affrr_fixlg(mulrr(v1,u), gel(ps,1));
    3218         147 :       affrr_fixlg(mulrr(u1,v), gel(ps,2));
    3219         147 :       affrr_fixlg(mulrr(v1,v), gel(pc,1));
    3220         147 :       affrr_fixlg(mulrr(u1,u), gel(pc,2)); togglesign(gel(pc,2));
    3221         147 :       avma = av; return;
    3222             : 
    3223             :     case t_QUAD:
    3224           0 :       av = avma; gsincos(quadtofp(x, prec), s, c, prec);
    3225           0 :       gerepileall(av, 2, s, c); return;
    3226             : 
    3227             :     default:
    3228         238 :       av = avma; if (!(y = toser_i(x))) break;
    3229         238 :       if (gequal0(y)) { *s = gerepilecopy(av,y); *c = gaddsg(1,*s); return; }
    3230             : 
    3231         238 :       ex = valp(y); lx = lg(y); ex2 = 2*ex+2;
    3232         238 :       if (ex < 0) pari_err_DOMAIN("gsincos","valuation", "<", gen_0, x);
    3233         238 :       if (ex2 > lx)
    3234             :       {
    3235          28 :         *s = x == y? gcopy(y): gerepilecopy(av, y); av = avma;
    3236          28 :         *c = gerepileupto(av, gsubsg(1, gdivgs(gsqr(y),2)));
    3237          28 :         return;
    3238             :       }
    3239         210 :       if (!ex)
    3240             :       {
    3241          49 :         gsincos(serchop0(y),&u,&v,prec);
    3242          49 :         gsincos(gel(y,2),&u1,&v1,prec);
    3243          49 :         p1 = gmul(v1,v);
    3244          49 :         p2 = gmul(u1,u);
    3245          49 :         p3 = gmul(v1,u);
    3246          49 :         p4 = gmul(u1,v); tetpil = avma;
    3247          49 :         *c = gsub(p1,p2);
    3248          49 :         *s = gadd(p3,p4);
    3249          49 :         gptr[0]=s; gptr[1]=c;
    3250          49 :         gerepilemanysp(av,tetpil,gptr,2);
    3251          49 :         return;
    3252             :       }
    3253             : 
    3254         161 :       ly = lx+2*ex;
    3255         161 :       mi = lx-1; while (mi>=3 && isrationalzero(gel(y,mi))) mi--;
    3256         161 :       mi += ex-2;
    3257         161 :       pc = cgetg(ly,t_SER); *c = pc;
    3258         161 :       ps = cgetg(lx,t_SER); *s = ps;
    3259         161 :       pc[1] = evalsigne(1) | _evalvalp(0) | evalvarn(varn(y));
    3260         161 :       gel(pc,2) = gen_1; ps[1] = y[1];
    3261         161 :       for (i=2; i<ex+2; i++) gel(ps,i) = gcopy(gel(y,i));
    3262         161 :       for (i=3; i< ex2; i++) gel(pc,i) = gen_0;
    3263        2331 :       for (i=ex2; i<ly; i++)
    3264             :       {
    3265        2170 :         long ii = i-ex;
    3266        2170 :         av = avma; p1 = gen_0;
    3267        4340 :         for (j=ex; j<=minss(ii-2,mi); j++)
    3268        2170 :           p1 = gadd(p1, gmulgs(gmul(gel(y,j-ex+2),gel(ps,ii-j)),j));
    3269        2170 :         gel(pc,i) = gerepileupto(av, gdivgs(p1,2-i));
    3270        2170 :         if (ii < lx)
    3271             :         {
    3272        2002 :           av = avma; p1 = gen_0;
    3273        3836 :           for (j=ex; j<=minss(i-ex2,mi); j++)
    3274        1834 :             p1 = gadd(p1,gmulgs(gmul(gel(y,j-ex+2),gel(pc,i-j)),j));
    3275        2002 :           p1 = gdivgs(p1,i-2);
    3276        2002 :           gel(ps,ii) = gerepileupto(av, gadd(p1,gel(y,ii)));
    3277             :         }
    3278             :       }
    3279         161 :       return;
    3280             :   }
    3281           0 :   pari_err_TYPE("gsincos",x);
    3282             : }
    3283             : 
    3284             : /********************************************************************/
    3285             : /**                                                                **/
    3286             : /**                              SINC                              **/
    3287             : /**                                                                **/
    3288             : /********************************************************************/
    3289             : static GEN
    3290      107429 : mpsinc(GEN x)
    3291             : {
    3292      107429 :   pari_sp av = avma;
    3293             :   GEN s, c;
    3294             : 
    3295      107429 :   if (!signe(x)) {
    3296           0 :     long l = nbits2prec(-expo(x));
    3297           0 :     if (l < LOWDEFAULTPREC) l = LOWDEFAULTPREC;
    3298           0 :     return real_1(l);
    3299             :   }
    3300             : 
    3301      107429 :   mpsincos(x,&s,&c);
    3302      107429 :   return gerepileuptoleaf(av, divrr(s,x));
    3303             : }
    3304             : 
    3305             : GEN
    3306      107485 : gsinc(GEN x, long prec)
    3307             : {
    3308             :   pari_sp av;
    3309             :   GEN r, u, v, y, u1, v1;
    3310             :   long i;
    3311             : 
    3312      107485 :   switch(typ(x))
    3313             :   {
    3314      107422 :     case t_REAL: return mpsinc(x);
    3315             :     case t_COMPLEX:
    3316          14 :       if (isintzero(gel(x,1)))
    3317             :       {
    3318           7 :         av = avma;
    3319           7 :         return gerepileuptoleaf(av,gdiv(gsinh(gel(x,2),prec),gel(x,2)));
    3320             :       }
    3321           7 :       i = precision(x); if (!i) i = prec;
    3322           7 :       y = cgetc(i); av = avma;
    3323           7 :       r = gexp(gel(x,2),prec);
    3324           7 :       v1 = gmul2n(addrr(invr(r),r), -1); /* = cos(I*Im(x)) */
    3325           7 :       u1 = subrr(r, v1); /* = I*sin(I*Im(x)) */
    3326           7 :       gsincos(gel(x,1),&u,&v,prec);
    3327           7 :       affc_fixlg(gdiv(mkcomplex(gmul(v1,u), gmul(u1,v)), x), y);
    3328           7 :       avma = av; return y;
    3329             : 
    3330             :     case t_INT:
    3331           7 :       if (!signe(x)) return real_1(prec); /*fall through*/
    3332             :     case t_FRAC:
    3333           7 :       y = cgetr(prec); av = avma;
    3334           7 :       affrr_fixlg(mpsinc(tofp_safe(x,prec)), y); avma = av; return y;
    3335             : 
    3336             :     case t_PADIC:
    3337          21 :       if (gequal0(x)) return cvtop(gen_1, gel(x,2), valp(x));
    3338          14 :       av = avma; y = sin_p(x);
    3339          14 :       if (!y) pari_err_DOMAIN("gsinc(t_PADIC)","argument","",gen_0,x);
    3340           7 :       return gerepileuptoleaf(av,gdiv(y,x));
    3341             : 
    3342             :     default:
    3343          14 :       av = avma; if (!(y = toser_i(x))) break;
    3344          14 :       if (gequal0(y)) return gerepileupto(av, gaddsg(1,y));
    3345          14 :       if (valp(y) < 0)
    3346           7 :         pari_err_DOMAIN("sinc","valuation", "<", gen_0, x);
    3347           7 :       gsincos(y,&u,&v,prec);
    3348           7 :       return gerepilecopy(av,gdiv(u,y));
    3349             :   }
    3350           0 :   return trans_eval("sinc",gsinc,x,prec);
    3351             : }
    3352             : 
    3353             : /********************************************************************/
    3354             : /**                                                                **/
    3355             : /**                     TANGENT and COTANGENT                      **/
    3356             : /**                                                                **/
    3357             : /********************************************************************/
    3358             : static GEN
    3359          21 : mptan(GEN x)
    3360             : {
    3361          21 :   pari_sp av = avma;
    3362             :   GEN s, c;
    3363             : 
    3364          21 :   mpsincos(x,&s,&c);
    3365          21 :   if (!signe(c))
    3366           0 :     pari_err_DOMAIN("tan", "argument", "=", strtoGENstr("Pi/2 + kPi"),x);
    3367          21 :   return gerepileuptoleaf(av, divrr(s,c));
    3368             : }
    3369             : 
    3370             : GEN
    3371          77 : gtan(GEN x, long prec)
    3372             : {
    3373             :   pari_sp av;
    3374             :   GEN y, s, c;
    3375             : 
    3376          77 :   switch(typ(x))
    3377             :   {
    3378          14 :     case t_REAL: return mptan(x);
    3379             : 
    3380             :     case t_COMPLEX: {
    3381          14 :       if (isintzero(gel(x,1))) retmkcomplex(gen_0,gtanh(gel(x,2),prec));
    3382           7 :       av = avma; y = mulcxmI(gtanh(mulcxI(x), prec)); /* tan x = -I th(I x) */
    3383           7 :       gel(y,1) = gcopy(gel(y,1));
    3384           7 :       return gerepileupto(av, y);
    3385             :     }
    3386             :     case t_INT: case t_FRAC:
    3387           7 :       y = cgetr(prec); av = avma;
    3388           7 :       affrr_fixlg(mptan(tofp_safe(x,prec)), y); avma = av; return y;
    3389             : 
    3390             :     case t_PADIC:
    3391          14 :       av = avma;
    3392          14 :       return gerepileupto(av, gdiv(gsin(x,prec), gcos(x,prec)));
    3393             : 
    3394             :     default:
    3395          28 :       av = avma; if (!(y = toser_i(x))) break;
    3396          21 :       if (gequal0(y)) return gerepilecopy(av, y);
    3397          21 :       if (valp(y) < 0)
    3398           7 :         pari_err_DOMAIN("tan","valuation", "<", gen_0, x);
    3399          14 :       gsincos(y,&s,&c,prec);
    3400          14 :       return gerepileupto(av, gdiv(s,c));
    3401             :   }
    3402           7 :   return trans_eval("tan",gtan,x,prec);
    3403             : }
    3404             : 
    3405             : static GEN
    3406          21 : mpcotan(GEN x)
    3407             : {
    3408          21 :   pari_sp av=avma, tetpil;
    3409             :   GEN s,c;
    3410             : 
    3411          21 :   mpsincos(x,&s,&c); tetpil=avma;
    3412          21 :   return gerepile(av,tetpil,divrr(c,s));
    3413             : }
    3414             : 
    3415             : GEN
    3416         126 : gcotan(GEN x, long prec)
    3417             : {
    3418             :   pari_sp av;
    3419             :   GEN y, s, c;
    3420             : 
    3421         126 :   switch(typ(x))
    3422             :   {
    3423             :     case t_REAL:
    3424          14 :       return mpcotan(x);
    3425             : 
    3426             :     case t_COMPLEX:
    3427          28 :       if (isintzero(gel(x,1))) {
    3428          14 :         GEN z = cgetg(3, t_COMPLEX);
    3429          14 :         gel(z,1) = gen_0;
    3430          14 :         av = avma;
    3431          14 :         gel(z,2) = gerepileupto(av, gneg(ginv(gtanh(gel(x,2),prec))));
    3432          14 :         return z;
    3433             :       }
    3434          14 :       av = avma;
    3435          14 :       gsincos(x,&s,&c,prec);
    3436          14 :       return gerepileupto(av, gdiv(c,s));
    3437             : 
    3438             :     case t_INT: case t_FRAC:
    3439           7 :       y = cgetr(prec); av = avma;
    3440           7 :       affrr_fixlg(mpcotan(tofp_safe(x,prec)), y); avma = av; return y;
    3441             : 
    3442             :     case t_PADIC:
    3443          14 :       av = avma;
    3444          14 :       return gerepileupto(av, gdiv(gcos(x,prec), gsin(x,prec)));
    3445             : 
    3446             :     default:
    3447          63 :       av = avma; if (!(y = toser_i(x))) break;
    3448          56 :       if (gequal0(y)) pari_err_DOMAIN("cotan", "argument", "=", gen_0, y);
    3449          56 :       if (valp(y) < 0) pari_err_DOMAIN("cotan","valuation", "<", gen_0, x);
    3450          49 :       gsincos(y,&s,&c,prec);
    3451          49 :       return gerepileupto(av, gdiv(c,s));
    3452             :   }
    3453           7 :   return trans_eval("cotan",gcotan,x,prec);
    3454             : }

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