Code coverage tests

This page documents the degree to which the PARI/GP source code is tested by our public test suite, distributed with the source distribution in directory src/test/. This is measured by the gcov utility; we then process gcov output using the lcov frond-end.

We test a few variants depending on Configure flags on the pari.math.u-bordeaux.fr machine (x86_64 architecture), and agregate them in the final report:

The target is 90% coverage for all mathematical modules (given that branches depending on DEBUGLEVEL or DEBUGMEM are not covered). This script is run to produce the results below.

LCOV - code coverage report
Current view: top level - basemath - trans1.c (source / functions) Hit Total Coverage
Test: PARI/GP v2.8.0 lcov report (development 19230-c71492b) Lines: 1826 1883 97.0 %
Date: 2016-07-30 07:10:28 Functions: 135 138 97.8 %
Legend: Lines: hit not hit

          Line data    Source code
       1             : /* Copyright (C) 2000  The PARI group.
       2             : 
       3             : This file is part of the PARI/GP package.
       4             : 
       5             : PARI/GP is free software; you can redistribute it and/or modify it under the
       6             : terms of the GNU General Public License as published by the Free Software
       7             : Foundation. It is distributed in the hope that it will be useful, but WITHOUT
       8             : ANY WARRANTY WHATSOEVER.
       9             : 
      10             : Check the License for details. You should have received a copy of it, along
      11             : with the package; see the file 'COPYING'. If not, write to the Free Software
      12             : Foundation, Inc., 51 Franklin Street, Fifth Floor, Boston, MA 02110-1301 USA. */
      13             : 
      14             : /********************************************************************/
      15             : /**                                                                **/
      16             : /**                   TRANSCENDENTAL FUNCTIONS                     **/
      17             : /**                                                                **/
      18             : /********************************************************************/
      19             : #include "pari.h"
      20             : #include "paripriv.h"
      21             : 
      22             : #ifdef LONG_IS_64BIT
      23             : static const long SQRTVERYBIGINT = 3037000500L; /* ceil(sqrt(LONG_MAX)) */
      24             : #else
      25             : static const long SQRTVERYBIGINT = 46341L;
      26             : #endif
      27             : 
      28             : static THREAD GEN gcatalan, geuler, glog2, gpi;
      29             : void
      30      201818 : pari_init_floats(void)
      31             : {
      32      201818 :   gcatalan = geuler = gpi = bernzone = glog2 = NULL;
      33      201818 : }
      34             : 
      35             : void
      36      201698 : pari_close_floats(void)
      37             : {
      38      201698 :   if (gcatalan) gunclone(gcatalan);
      39      201714 :   if (geuler) gunclone(geuler);
      40      201714 :   if (gpi) gunclone(gpi);
      41      201714 :   if (bernzone) gunclone(bernzone);
      42      201714 :   if (glog2) gunclone(glog2);
      43      201714 : }
      44             : 
      45             : /********************************************************************/
      46             : /**                   GENERIC BINARY SPLITTING                     **/
      47             : /**                    (Haible, Papanikolaou)                      **/
      48             : /********************************************************************/
      49             : void
      50        6896 : abpq_init(struct abpq *A, long n)
      51             : {
      52        6896 :   A->a = (GEN*)new_chunk(n+1);
      53        6896 :   A->b = (GEN*)new_chunk(n+1);
      54        6896 :   A->p = (GEN*)new_chunk(n+1);
      55        6896 :   A->q = (GEN*)new_chunk(n+1);
      56        6896 : }
      57             : static GEN
      58      891456 : mulii3(GEN a, GEN b, GEN c) { return mulii(mulii(a,b),c); }
      59             : static GEN
      60      263609 : mulii4(GEN a, GEN b, GEN c, GEN d) { return mulii(mulii(a,b),mulii(c,d)); }
      61             : 
      62             : /* T_{n1,n1+1}, given P = p[n1]p[n1+1] */
      63             : static GEN
      64      263609 : T2(struct abpq *A, long n1, GEN P)
      65             : {
      66      263609 :   GEN u1 = mulii4(A->a[n1], A->p[n1], A->b[n1+1], A->q[n1+1]);
      67      263609 :   GEN u2 = mulii3(A->b[n1],A->a[n1+1], P);
      68      263609 :   return addii(u1, u2);
      69             : }
      70             : 
      71             : /* assume n2 > n1. Compute sum_{n1 <= n < n2} a/b(n) p/q(n1)... p/q(n) */
      72             : void
      73      520394 : abpq_sum(struct abpq_res *r, long n1, long n2, struct abpq *A)
      74             : {
      75             :   struct abpq_res L, R;
      76             :   GEN u1, u2;
      77             :   pari_sp av;
      78             :   long n;
      79      520394 :   switch(n2 - n1)
      80             :   {
      81             :     GEN b, p, q;
      82             :     case 1:
      83          36 :       r->P = A->p[n1];
      84          36 :       r->Q = A->q[n1];
      85          36 :       r->B = A->b[n1];
      86          36 :       r->T = mulii(A->a[n1], A->p[n1]);
      87      263681 :       return;
      88             :     case 2:
      89      149260 :       r->P = mulii(A->p[n1], A->p[n1+1]);
      90      149260 :       r->Q = mulii(A->q[n1], A->q[n1+1]);
      91      149260 :       r->B = mulii(A->b[n1], A->b[n1+1]);
      92      149260 :       av = avma;
      93      149260 :       r->T = gerepileuptoint(av, T2(A, n1, r->P));
      94      149260 :       return;
      95             : 
      96             :     case 3:
      97      114349 :       p = mulii(A->p[n1+1], A->p[n1+2]);
      98      114349 :       q = mulii(A->q[n1+1], A->q[n1+2]);
      99      114349 :       b = mulii(A->b[n1+1], A->b[n1+2]);
     100      114349 :       r->P = mulii(A->p[n1], p);
     101      114349 :       r->Q = mulii(A->q[n1], q);
     102      114349 :       r->B = mulii(A->b[n1], b);
     103      114349 :       av = avma;
     104      114349 :       u1 = mulii3(b, q, A->a[n1]);
     105      114349 :       u2 = mulii(A->b[n1], T2(A, n1+1, p));
     106      114349 :       r->T = gerepileuptoint(av, mulii(A->p[n1], addii(u1, u2)));
     107      114349 :       return;
     108             :   }
     109             : 
     110      256749 :   av = avma;
     111      256749 :   n = (n1 + n2) >> 1;
     112      256749 :   abpq_sum(&L, n1, n, A);
     113      256749 :   abpq_sum(&R, n, n2, A);
     114             : 
     115      256749 :   r->P = mulii(L.P, R.P);
     116      256749 :   r->Q = mulii(L.Q, R.Q);
     117      256749 :   r->B = mulii(L.B, R.B);
     118      256749 :   u1 = mulii3(R.B,R.Q,L.T);
     119      256749 :   u2 = mulii3(L.B,L.P,R.T);
     120      256749 :   r->T = addii(u1,u2);
     121      256749 :   avma = av;
     122      256749 :   r->P = icopy(r->P);
     123      256749 :   r->Q = icopy(r->Q);
     124      256749 :   r->B = icopy(r->B);
     125      256749 :   r->T = icopy(r->T);
     126             : }
     127             : 
     128             : /********************************************************************/
     129             : /**                                                                **/
     130             : /**                               PI                               **/
     131             : /**                                                                **/
     132             : /********************************************************************/
     133             : /* replace *old clone by c. Protect against SIGINT */
     134             : static void
     135        5114 : swap_clone(GEN *old, GEN c)
     136             : {
     137        5114 :   GEN tmp = *old;
     138        5114 :   *old = c;
     139        5114 :   if (tmp) gunclone(tmp);
     140        5114 : }
     141             : 
     142             : /*                         ----
     143             :  *  53360 (640320)^(1/2)   \    (6n)! (545140134 n + 13591409)
     144             :  *  -------------------- = /    ------------------------------
     145             :  *        Pi               ----   (n!)^3 (3n)! (-640320)^(3n)
     146             :  *                         n>=0
     147             :  *
     148             :  * Ramanujan's formula + binary splitting */
     149             : static GEN
     150        2398 : pi_ramanujan(long prec)
     151             : {
     152        2398 :   const ulong B = 545140134, A = 13591409, C = 640320;
     153        2398 :   const double alpha2 = 47.11041314; /* 3log(C/12) / log(2) */
     154             :   long n, nmax, prec2;
     155             :   struct abpq_res R;
     156             :   struct abpq S;
     157             :   GEN D, u;
     158             : 
     159        2398 :   nmax = (long)(1 + prec2nbits(prec)/alpha2);
     160             : #ifdef LONG_IS_64BIT
     161        2015 :   D = utoipos(10939058860032000UL); /* C^3/24 */
     162             : #else
     163         383 :   D = uutoi(2546948UL,495419392UL);
     164             : #endif
     165        2398 :   abpq_init(&S, nmax);
     166        2398 :   S.a[0] = utoipos(A);
     167        2398 :   S.b[0] = S.p[0] = S.q[0] = gen_1;
     168       58483 :   for (n = 1; n <= nmax; n++)
     169             :   {
     170       56085 :     S.a[n] = addiu(muluu(B, n), A);
     171       56085 :     S.b[n] = gen_1;
     172       56085 :     S.p[n] = mulis(muluu(6*n-5, 2*n-1), 1-6*n);
     173       56085 :     S.q[n] = mulii(sqru(n), muliu(D,n));
     174             :   }
     175        2398 :   abpq_sum(&R, 0, nmax, &S); prec2 = prec+EXTRAPRECWORD;
     176        2398 :   u = itor(muliu(R.Q,C/12), prec2);
     177        2398 :   return rtor(mulrr(divri(u, R.T), sqrtr_abs(utor(C,prec2))), prec);
     178             : }
     179             : 
     180             : #if 0 /* Much slower than binary splitting at least up to prec = 10^8 */
     181             : /* Gauss - Brent-Salamin AGM iteration */
     182             : static GEN
     183             : pi_brent_salamin(long prec)
     184             : {
     185             :   GEN A, B, C;
     186             :   pari_sp av2;
     187             :   long i, G;
     188             : 
     189             :   G = - prec2nbits(prec);
     190             :   incrprec(prec);
     191             : 
     192             :   A = real2n(-1, prec);
     193             :   B = sqrtr_abs(A); /* = 1/sqrt(2) */
     194             :   setexpo(A, 0);
     195             :   C = real2n(-2, prec); av2 = avma;
     196             :   for (i = 0;; i++)
     197             :   {
     198             :     GEN y, a, b, B_A = subrr(B, A);
     199             :     pari_sp av3 = avma;
     200             :     if (expo(B_A) < G) break;
     201             :     a = addrr(A,B); shiftr_inplace(a, -1);
     202             :     b = mulrr(A,B);
     203             :     affrr(a, A);
     204             :     affrr(sqrtr_abs(b), B); avma = av3;
     205             :     y = sqrr(B_A); shiftr_inplace(y, i - 2);
     206             :     affrr(subrr(C, y), C); avma = av2;
     207             :   }
     208             :   shiftr_inplace(C, 2);
     209             :   return divrr(sqrr(addrr(A,B)), C);
     210             : }
     211             : GEN
     212             : constpi(long prec)
     213             : {
     214             :   pari_sp av;
     215             :   GEN tmp;
     216             :   if (gpi && realprec(gpi) >= prec) return gpi;
     217             : 
     218             :   tmp = cgetr_block(prec);
     219             :   av = avma;
     220             :   affrr(pi_brent_salamin(prec), tmp);
     221             :   swap_clone(&gpi, tmp);
     222             :   avma = av;  return gpi;
     223             : }
     224             : #endif
     225             : 
     226             : GEN
     227    10429023 : constpi(long prec)
     228             : {
     229             :   pari_sp av;
     230             :   GEN tmp;
     231    10429023 :   if (gpi && realprec(gpi) >= prec) return gpi;
     232             : 
     233        2398 :   av = avma;
     234        2398 :   tmp = gclone(pi_ramanujan(prec));
     235        2398 :   swap_clone(&gpi,tmp);
     236        2398 :   avma = av; return gpi;
     237             : }
     238             : 
     239             : GEN
     240    10428098 : mppi(long prec) { return rtor(constpi(prec), prec); }
     241             : 
     242             : /* Pi * 2^n */
     243             : GEN
     244     4287384 : Pi2n(long n, long prec)
     245             : {
     246     4287384 :   GEN x = mppi(prec); shiftr_inplace(x, n);
     247     4287384 :   return x;
     248             : }
     249             : 
     250             : /* I * Pi * 2^n */
     251             : GEN
     252        7096 : PiI2n(long n, long prec) { retmkcomplex(gen_0, Pi2n(n, prec)); }
     253             : 
     254             : /* 2I * Pi */
     255             : GEN
     256        4354 : PiI2(long prec) { return PiI2n(1, prec); }
     257             : 
     258             : /********************************************************************/
     259             : /**                                                                **/
     260             : /**                       EULER CONSTANT                           **/
     261             : /**                                                                **/
     262             : /********************************************************************/
     263             : 
     264             : GEN
     265       49502 : consteuler(long prec)
     266             : {
     267             :   GEN u,v,a,b,tmpeuler;
     268             :   long l, n1, n, k, x;
     269             :   pari_sp av1, av2;
     270             : 
     271       49502 :   if (geuler && realprec(geuler) >= prec) return geuler;
     272             : 
     273         460 :   av1 = avma; tmpeuler = cgetr_block(prec);
     274             : 
     275         460 :   incrprec(prec);
     276             : 
     277         460 :   l = prec+EXTRAPRECWORD; x = (long) (1 + prec2nbits_mul(l, LOG2/4));
     278         460 :   a = utor(x,l); u=logr_abs(a); setsigne(u,-1); affrr(u,a);
     279         460 :   b = real_1(l);
     280         460 :   v = real_1(l);
     281         460 :   n = (long)(1+3.591*x); /* z=3.591: z*[ ln(z)-1 ]=1 */
     282         460 :   n1 = minss(n, SQRTVERYBIGINT);
     283         460 :   if (x < SQRTVERYBIGINT)
     284             :   {
     285         460 :     ulong xx = x*x;
     286         460 :     av2 = avma;
     287      142494 :     for (k=1; k<n1; k++)
     288             :     {
     289      142034 :       affrr(divru(mulur(xx,b),k*k), b);
     290      142034 :       affrr(divru(addrr(divru(mulur(xx,a),k),b),k), a);
     291      142034 :       affrr(addrr(u,a), u);
     292      142034 :       affrr(addrr(v,b), v); avma = av2;
     293             :     }
     294         920 :     for (   ; k<=n; k++)
     295             :     {
     296         460 :       affrr(divru(divru(mulur(xx,b),k),k), b);
     297         460 :       affrr(divru(addrr(divru(mulur(xx,a),k),b),k), a);
     298         460 :       affrr(addrr(u,a), u);
     299         460 :       affrr(addrr(v,b), v); avma = av2;
     300             :     }
     301             :   }
     302             :   else
     303             :   {
     304           0 :     GEN xx = sqru(x);
     305           0 :     av2 = avma;
     306           0 :     for (k=1; k<n1; k++)
     307             :     {
     308           0 :       affrr(divru(mulir(xx,b),k*k), b);
     309           0 :       affrr(divru(addrr(divru(mulir(xx,a),k),b),k), a);
     310           0 :       affrr(addrr(u,a), u);
     311           0 :       affrr(addrr(v,b), v); avma = av2;
     312             :     }
     313           0 :     for (   ; k<=n; k++)
     314             :     {
     315           0 :       affrr(divru(divru(mulir(xx,b),k),k), b);
     316           0 :       affrr(divru(addrr(divru(mulir(xx,a),k),b),k), a);
     317           0 :       affrr(addrr(u,a), u);
     318           0 :       affrr(addrr(v,b), v); avma = av2;
     319             :     }
     320             :   }
     321         460 :   divrrz(u,v,tmpeuler);
     322         460 :   swap_clone(&geuler,tmpeuler);
     323         460 :   avma = av1; return geuler;
     324             : }
     325             : 
     326             : GEN
     327       49502 : mpeuler(long prec) { return rtor(consteuler(prec), prec); }
     328             : 
     329             : /********************************************************************/
     330             : /**                                                                **/
     331             : /**                       CATALAN CONSTANT                         **/
     332             : /**                                                                **/
     333             : /********************************************************************/
     334             : /* 8G = 3\sum_{n>=0} 1/(binomial(2n,n)(2n+1)^2) + Pi log(2+sqrt(3)) */
     335             : static GEN
     336          14 : catalan(long prec)
     337             : {
     338          14 :   long i, nmax = prec2nbits(prec) >> 1;
     339             :   struct abpq_res R;
     340             :   struct abpq A;
     341             :   GEN u, v;
     342          14 :   abpq_init(&A, nmax);
     343          14 :   A.a[0] = A.b[0] = A.p[0] = A.q[0] = gen_1;
     344        6510 :   for (i = 1; i <= nmax; i++)
     345             :   {
     346        6496 :     A.a[i] = gen_1;
     347        6496 :     A.b[i] = utoipos((i<<1)+1);
     348        6496 :     A.p[i] = utoipos(i);
     349        6496 :     A.q[i] = utoipos((i<<2)+2);
     350             :   }
     351          14 :   abpq_sum(&R, 0, nmax, &A);
     352          14 :   u = mulur(3, rdivii(R.T, mulii(R.B,R.Q),prec));
     353          14 :   v = mulrr(mppi(prec), logr_abs(addrs(sqrtr_abs(utor(3,prec)), 2)));
     354          14 :   u = addrr(u, v); shiftr_inplace(u, -3);
     355          14 :   return u;
     356             : }
     357             : 
     358             : GEN
     359          14 : constcatalan(long prec)
     360             : {
     361          14 :   pari_sp av = avma;
     362             :   GEN tmp;
     363          14 :   if (gcatalan && realprec(gcatalan) >= prec) return gcatalan;
     364          14 :   tmp = gclone(catalan(prec));
     365          14 :   swap_clone(&gcatalan,tmp);
     366          14 :   avma = av; return gcatalan;
     367             : }
     368             : 
     369             : GEN
     370          14 : mpcatalan(long prec) { return rtor(constcatalan(prec), prec); }
     371             : 
     372             : /********************************************************************/
     373             : /**                                                                **/
     374             : /**          TYPE CONVERSION FOR TRANSCENDENTAL FUNCTIONS          **/
     375             : /**                                                                **/
     376             : /********************************************************************/
     377             : static GEN
     378       35382 : transvec(GEN (*f)(GEN,long), GEN x, long prec)
     379             : {
     380             :   long i, l;
     381       35382 :   GEN y = cgetg_copy(x, &l);
     382       35382 :   for (i=1; i<l; i++) gel(y,i) = f(gel(x,i),prec);
     383       35375 :   return y;
     384             : }
     385             : 
     386             : GEN
     387      638568 : trans_eval(const char *fun, GEN (*f)(GEN,long), GEN x, long prec)
     388             : {
     389      638568 :   pari_sp av = avma;
     390      638568 :   if (prec < 3) pari_err_BUG("trans_eval [prec < 3]");
     391      638568 :   switch(typ(x))
     392             :   {
     393      591230 :     case t_INT:    x = f(itor(x,prec),prec); break;
     394       11900 :     case t_FRAC:   x = f(fractor(x, prec),prec); break;
     395           7 :     case t_QUAD:   x = f(quadtofp(x,prec),prec); break;
     396           7 :     case t_POLMOD: x = transvec(f, polmod_to_embed(x,prec), prec); break;
     397             :     case t_VEC:
     398             :     case t_COL:
     399       35375 :     case t_MAT: return transvec(f, x, prec);
     400          49 :     default: pari_err_TYPE(fun,x); return NULL;
     401             :   }
     402      603123 :   return gerepileupto(av, x);
     403             : }
     404             : 
     405             : /*******************************************************************/
     406             : /*                                                                 */
     407             : /*                            POWERING                             */
     408             : /*                                                                 */
     409             : /*******************************************************************/
     410             : /* x a t_REAL 0, return exp(x) */
     411             : static GEN
     412      228023 : mpexp0(GEN x)
     413             : {
     414      228023 :   long e = expo(x);
     415      228023 :   return e >= 0? real_0_bit(e): real_1_bit(-e);
     416             : }
     417             : static GEN
     418        1659 : powr0(GEN x)
     419        1659 : { return signe(x)? real_1(realprec(x)): mpexp0(x); }
     420             : 
     421             : /* x t_POL or t_SER, return scalarpol(RgX_get_1(x)) */
     422             : static GEN
     423      115948 : scalarpol_get_1(GEN x)
     424             : {
     425      115948 :   GEN y = cgetg(3,t_POL);
     426      115948 :   y[1] = evalvarn(varn(x)) | evalsigne(1);
     427      115948 :   gel(y,2) = RgX_get_1(x); return y;
     428             : }
     429             : /* to be called by the generic function gpowgs(x,s) when s = 0 */
     430             : static GEN
     431     2913066 : gpowg0(GEN x)
     432             : {
     433             :   long lx, i;
     434             :   GEN y;
     435             : 
     436     2913066 :   switch(typ(x))
     437             :   {
     438             :     case t_INT: case t_REAL: case t_FRAC: case t_PADIC:
     439      573781 :       return gen_1;
     440             : 
     441           7 :     case t_QUAD: x++; /*fall through*/
     442             :     case t_COMPLEX: {
     443       14928 :       pari_sp av = avma;
     444       14928 :       GEN a = gpowg0(gel(x,1));
     445       14928 :       GEN b = gpowg0(gel(x,2));
     446       14928 :       if (a == gen_1) return b;
     447          14 :       if (b == gen_1) return a;
     448           7 :       return gerepileupto(av, gmul(a,b));
     449             :     }
     450             :     case t_INTMOD:
     451          63 :       y = cgetg(3,t_INTMOD);
     452          63 :       gel(y,1) = icopy(gel(x,1));
     453          63 :       gel(y,2) = gen_1; return y;
     454             : 
     455        4452 :     case t_FFELT: return FF_1(x);
     456             : 
     457             :     case t_POLMOD:
     458          42 :       y = cgetg(3,t_POLMOD);
     459          42 :       gel(y,1) = gcopy(gel(x,1));
     460          42 :       gel(y,2) = scalarpol_get_1(gel(x,1)); return y;
     461             : 
     462             :     case t_RFRAC:
     463           7 :       return scalarpol_get_1(gel(x,2));
     464             :     case t_POL: case t_SER:
     465      115899 :       return scalarpol_get_1(x);
     466             : 
     467             :     case t_MAT:
     468          14 :       lx=lg(x); if (lx==1) return cgetg(1,t_MAT);
     469           7 :       if (lx != lgcols(x)) pari_err_DIM("gpow");
     470           7 :       y = matid(lx-1);
     471           7 :       for (i=1; i<lx; i++) gcoeff(y,i,i) = gpowg0(gcoeff(x,i,i));
     472           7 :       return y;
     473          14 :     case t_QFR: return qfr_1(x);
     474     2203852 :     case t_QFI: return qfi_1(x);
     475           7 :     case t_VECSMALL: return identity_perm(lg(x) - 1);
     476             :   }
     477           7 :   pari_err_TYPE("gpow",x);
     478           0 :   return NULL; /* not reached */
     479             : }
     480             : 
     481             : static GEN
     482    35782755 : _sqr(void *data /* ignored */, GEN x) { (void)data; return gsqr(x); }
     483             : static GEN
     484    14374222 : _mul(void *data /* ignored */, GEN x, GEN y) { (void)data; return gmul(x,y); }
     485             : static GEN
     486       41688 : _one(void *x) { return gpowg0((GEN) x); }
     487             : static GEN
     488     4133350 : _sqri(void *data /* ignored */, GEN x) { (void)data; return sqri(x); }
     489             : static GEN
     490     2822859 : _muli(void *data /* ignored */, GEN x, GEN y) { (void)data; return mulii(x,y); }
     491             : static GEN
     492     6282923 : _sqrr(void *data /* ignored */, GEN x) { (void)data; return sqrr(x); }
     493             : static GEN
     494      847437 : _mulr(void *data /* ignored */, GEN x, GEN y) { (void)data; return mulrr(x,y); }
     495             : static GEN
     496       22268 : _oner(void *data /* prec */) { return real_1( *(long*) data); }
     497             : 
     498             : /* INTEGER POWERING (a^n for integer a != 0 and integer n > 0)
     499             :  *
     500             :  * Use left shift binary algorithm (RS is wasteful: multiplies big numbers,
     501             :  * with LS one of them is the base, hence small). Sign of result is set
     502             :  * to s (= 1,-1). Makes life easier for caller, which otherwise might do a
     503             :  * setsigne(gen_1 / gen_m1) */
     504             : static GEN
     505    28524180 : powiu_sign(GEN a, ulong N, long s)
     506             : {
     507             :   pari_sp av;
     508             :   GEN y;
     509             : 
     510    28524180 :   if (lgefint(a) == 3)
     511             :   { /* easy if |a| < 3 */
     512    24664937 :     ulong q = a[2];
     513    24664937 :     if (q == 1) return (s>0)? gen_1: gen_m1;
     514    16460515 :     if (q == 2) { a = int2u(N); setsigne(a,s); return a; }
     515    10400937 :     q = upowuu(q, N);
     516    10400937 :     if (q) return s>0? utoipos(q): utoineg(q);
     517             :   }
     518     4420087 :   if (N <= 2) {
     519     2857032 :     if (N == 2) return sqri(a);
     520        3589 :     a = icopy(a); setsigne(a,s); return a;
     521             :   }
     522     1563055 :   av = avma;
     523     1563055 :   y = gen_powu_i(a, N, NULL, &_sqri, &_muli);
     524     1563055 :   setsigne(y,s); return gerepileuptoint(av, y);
     525             : }
     526             : /* a^n */
     527             : GEN
     528    28197520 : powiu(GEN a, ulong n)
     529             : {
     530             :   long s;
     531    28197520 :   if (!n) return gen_1;
     532    27854612 :   s = signe(a);
     533    27854612 :   if (!s) return gen_0;
     534    27842622 :   return powiu_sign(a, n, (s < 0 && odd(n))? -1: 1);
     535             : }
     536             : GEN
     537    15313309 : powis(GEN a, long n)
     538             : {
     539             :   long s;
     540             :   GEN t, y;
     541    15313309 :   if (n >= 0) return powiu(a, n);
     542       68191 :   s = signe(a);
     543       68191 :   if (!s) pari_err_INV("powis",gen_0);
     544       68191 :   t = (s < 0 && odd(n))? gen_m1: gen_1;
     545       68191 :   if (is_pm1(a)) return t;
     546             :   /* n < 0, |a| > 1 */
     547       68058 :   y = cgetg(3,t_FRAC);
     548       68058 :   gel(y,1) = t;
     549       68058 :   gel(y,2) = powiu_sign(a, -n, 1); /* force denominator > 0 */
     550       68058 :   return y;
     551             : }
     552             : GEN
     553    10504657 : powuu(ulong p, ulong N)
     554             : {
     555    10504657 :   pari_sp av = avma;
     556    10504657 :   long P[] = {evaltyp(t_INT)|_evallg(3), evalsigne(1)|evallgefint(3),0};
     557             :   ulong pN;
     558             :   GEN y;
     559    10504657 :   if (N <= 2)
     560             :   {
     561     7304459 :     if (N == 2) return sqru(p);
     562     5134003 :     if (N == 1) return utoipos(p);
     563     2483658 :     return gen_1;
     564             :   }
     565     3200198 :   if (!p) return gen_0;
     566     3200198 :   pN = upowuu(p, N);
     567     3200198 :   if (pN) return utoipos(pN);
     568      604911 :   if (p == 2) return int2u(N);
     569      604198 :   P[2] = p; av = avma;
     570      604198 :   y = gen_powu_i(P, N, NULL, &_sqri, &_muli);
     571      604198 :   return gerepileuptoint(av, y);
     572             : }
     573             : 
     574             : /* return 0 if overflow */
     575             : static ulong
     576     2789520 : usqru(ulong p) { return p & HIGHMASK? 0: p*p; }
     577             : ulong
     578    16085519 : upowuu(ulong p, ulong k)
     579             : {
     580             : #ifdef LONG_IS_64BIT
     581    13806879 :   const ulong CUTOFF3 = 2642245;
     582    13806879 :   const ulong CUTOFF4 = 65535;
     583    13806879 :   const ulong CUTOFF5 = 7131;
     584    13806879 :   const ulong CUTOFF6 = 1625;
     585    13806879 :   const ulong CUTOFF7 = 565;
     586    13806879 :   const ulong CUTOFF8 = 255;
     587    13806879 :   const ulong CUTOFF9 = 138;
     588    13806879 :   const ulong CUTOFF10 = 84;
     589    13806879 :   const ulong CUTOFF11 = 56;
     590    13806879 :   const ulong CUTOFF12 = 40;
     591    13806879 :   const ulong CUTOFF13 = 30;
     592    13806879 :   const ulong CUTOFF14 = 23;
     593    13806879 :   const ulong CUTOFF15 = 19;
     594    13806879 :   const ulong CUTOFF16 = 15;
     595    13806879 :   const ulong CUTOFF17 = 13;
     596    13806879 :   const ulong CUTOFF18 = 11;
     597    13806879 :   const ulong CUTOFF19 = 10;
     598    13806879 :   const ulong CUTOFF20 =  9;
     599             : #else
     600     2278640 :   const ulong CUTOFF3 = 1625;
     601     2278640 :   const ulong CUTOFF4 =  255;
     602     2278640 :   const ulong CUTOFF5 =   84;
     603     2278640 :   const ulong CUTOFF6 =   40;
     604     2278640 :   const ulong CUTOFF7 =   23;
     605     2278640 :   const ulong CUTOFF8 =   15;
     606     2278640 :   const ulong CUTOFF9 =   11;
     607     2278640 :   const ulong CUTOFF10 =   9;
     608     2278640 :   const ulong CUTOFF11 =   7;
     609     2278640 :   const ulong CUTOFF12 =   6;
     610     2278640 :   const ulong CUTOFF13 =   5;
     611     2278640 :   const ulong CUTOFF14 =   4;
     612     2278640 :   const ulong CUTOFF15 =   4;
     613     2278640 :   const ulong CUTOFF16 =   3;
     614     2278640 :   const ulong CUTOFF17 =   3;
     615     2278640 :   const ulong CUTOFF18 =   3;
     616     2278640 :   const ulong CUTOFF19 =   3;
     617     2278640 :   const ulong CUTOFF20 =   3;
     618             : #endif
     619             : 
     620    16085519 :   if (p <= 2)
     621             :   {
     622      678392 :     if (p < 2) return p;
     623      675809 :     return k < BITS_IN_LONG? 1UL<<k: 0;
     624             :   }
     625    15407127 :   switch(k)
     626             :   {
     627             :     ulong p2, p3, p4, p5, p8;
     628      594283 :     case 0:  return 1;
     629     6801466 :     case 1:  return p;
     630     2789520 :     case 2:  return usqru(p);
     631     1947198 :     case 3:  if (p > CUTOFF3) return 0; return p*p*p;
     632      808148 :     case 4:  if (p > CUTOFF4) return 0; p2=p*p; return p2*p2;
     633      331770 :     case 5:  if (p > CUTOFF5) return 0; p2=p*p; return p2*p2*p;
     634      494991 :     case 6:  if (p > CUTOFF6) return 0; p2=p*p; return p2*p2*p2;
     635       85023 :     case 7:  if (p > CUTOFF7) return 0; p2=p*p; return p2*p2*p2*p;
     636       85488 :     case 8:  if (p > CUTOFF8) return 0; p2=p*p; p4=p2*p2; return p4*p4;
     637      165233 :     case 9:  if (p > CUTOFF9) return 0; p2=p*p; p4=p2*p2; return p4*p4*p;
     638       59404 :     case 10: if (p > CUTOFF10)return 0; p2=p*p; p4=p2*p2; return p4*p4*p2;
     639       24112 :     case 11: if (p > CUTOFF11)return 0; p2=p*p; p4=p2*p2; return p4*p4*p2*p;
     640       33623 :     case 12: if (p > CUTOFF12)return 0; p2=p*p; p4=p2*p2; return p4*p4*p4;
     641       67846 :     case 13: if (p > CUTOFF13)return 0; p2=p*p; p4=p2*p2; return p4*p4*p4*p;
     642       58875 :     case 14: if (p > CUTOFF14)return 0; p2=p*p; p4=p2*p2; return p4*p4*p4*p2;
     643       71402 :     case 15: if (p > CUTOFF15)return 0;
     644        8923 :       p2=p*p; p3=p2*p; p5=p3*p2; return p5*p5*p5;
     645       57052 :     case 16: if (p > CUTOFF16)return 0;
     646       10698 :       p2=p*p; p4=p2*p2; p8=p4*p4; return p8*p8;
     647       32782 :     case 17: if (p > CUTOFF17)return 0;
     648        9610 :       p2=p*p; p4=p2*p2; p8=p4*p4; return p*p8*p8;
     649       23362 :     case 18: if (p > CUTOFF18)return 0;
     650        7083 :       p2=p*p; p4=p2*p2; p8=p4*p4; return p2*p8*p8;
     651      509956 :     case 19: if (p > CUTOFF19)return 0;
     652      498079 :       p2=p*p; p4=p2*p2; p8=p4*p4; return p*p2*p8*p8;
     653       12132 :     case 20: if (p > CUTOFF20)return 0;
     654        3509 :       p2=p*p; p4=p2*p2; p8=p4*p4; return p4*p8*p8;
     655             :   }
     656             : #ifdef LONG_IS_64BIT
     657      301502 :   switch(p)
     658             :   {
     659       24186 :     case 3: if (k > 40) return 0;
     660       17550 :       break;
     661         792 :     case 4: if (k > 31) return 0;
     662          48 :       return 1UL<<(2*k);
     663        6612 :     case 5: if (k > 27) return 0;
     664        2760 :       break;
     665         684 :     case 6: if (k > 24) return 0;
     666          36 :       break;
     667        9942 :     case 7: if (k > 22) return 0;
     668        1014 :       break;
     669      259286 :     default: return 0;
     670             :   }
     671             :   /* no overflow */
     672             :   {
     673       21360 :     ulong q = upowuu(p, k >> 1);
     674       21360 :     q *= q ;
     675       21360 :     return odd(k)? q*p: q;
     676             :   }
     677             : #else
     678       51959 :   return 0;
     679             : #endif
     680             : }
     681             : 
     682             : typedef struct {
     683             :   long prec, a;
     684             :   GEN (*sqr)(GEN);
     685             :   GEN (*mulug)(ulong,GEN);
     686             : } sr_muldata;
     687             : 
     688             : static GEN
     689      307064 : _rpowuu_sqr(void *data, GEN x)
     690             : {
     691      307064 :   sr_muldata *D = (sr_muldata *)data;
     692      307064 :   if (typ(x) == t_INT && lgefint(x) >= D->prec)
     693             :   { /* switch to t_REAL */
     694        4209 :     D->sqr   = &sqrr;
     695        4209 :     D->mulug = &mulur; x = itor(x, D->prec);
     696             :   }
     697      307064 :   return D->sqr(x);
     698             : }
     699             : 
     700             : static GEN
     701      103793 : _rpowuu_msqr(void *data, GEN x)
     702             : {
     703      103793 :   GEN x2 = _rpowuu_sqr(data, x);
     704      103793 :   sr_muldata *D = (sr_muldata *)data;
     705      103793 :   return D->mulug(D->a, x2);
     706             : }
     707             : 
     708             : /* return a^n as a t_REAL of precision prec. Assume a > 0, n > 0 */
     709             : GEN
     710      100036 : rpowuu(ulong a, ulong n, long prec)
     711             : {
     712             :   pari_sp av;
     713             :   GEN y, z;
     714             :   sr_muldata D;
     715             : 
     716      100036 :   if (a == 1) return real_1(prec);
     717      100036 :   if (a == 2) return real2n(n, prec);
     718      100036 :   if (n == 1) return utor(a, prec);
     719       99322 :   z = cgetr(prec);
     720       99322 :   av = avma;
     721       99322 :   D.sqr   = &sqri;
     722       99322 :   D.mulug = &mului;
     723       99322 :   D.prec = prec;
     724       99322 :   D.a = (long)a;
     725       99322 :   y = gen_powu_fold_i(utoipos(a), n, (void*)&D, &_rpowuu_sqr, &_rpowuu_msqr);
     726       99322 :   mpaff(y, z); avma = av; return z;
     727             : }
     728             : 
     729             : GEN
     730     5149366 : powrs(GEN x, long n)
     731             : {
     732     5149366 :   pari_sp av = avma;
     733             :   GEN y;
     734     5149366 :   if (!n) return powr0(x);
     735     5149366 :   y = gen_powu_i(x, (ulong)labs(n), NULL, &_sqrr, &_mulr);
     736     5149366 :   if (n < 0) y = invr(y);
     737     5149366 :   return gerepileuptoleaf(av,y);
     738             : }
     739             : GEN
     740      168447 : powru(GEN x, ulong n)
     741             : {
     742      168447 :   pari_sp av = avma;
     743             :   GEN y;
     744      168447 :   if (!n) return powr0(x);
     745      167292 :   y = gen_powu_i(x, n, NULL, &_sqrr, &_mulr);
     746      167292 :   return gerepileuptoleaf(av,y);
     747             : }
     748             : 
     749             : GEN
     750       22268 : powersr(GEN x, long n)
     751             : {
     752       22268 :   long prec = realprec(x);
     753       22268 :   return gen_powers(x, n, 1, &prec, &_sqrr, &_mulr, &_oner);
     754             : }
     755             : 
     756             : /* x^(s/2), assume x t_REAL */
     757             : GEN
     758           0 : powrshalf(GEN x, long s)
     759             : {
     760           0 :   if (s & 1) return sqrtr(powrs(x, s));
     761           0 :   return powrs(x, s>>1);
     762             : }
     763             : /* x^(s/2), assume x t_REAL */
     764             : GEN
     765       15043 : powruhalf(GEN x, ulong s)
     766             : {
     767       15043 :   if (s & 1) return sqrtr(powru(x, s));
     768        3759 :   return powru(x, s>>1);
     769             : }
     770             : /* x^(n/d), assume x t_REAL, return t_REAL */
     771             : GEN
     772         504 : powrfrac(GEN x, long n, long d)
     773             : {
     774             :   long z;
     775         504 :   if (!n) return powr0(x);
     776           0 :   z = cgcd(n, d); if (z > 1) { n /= z; d /= z; }
     777           0 :   if (d == 1) return powrs(x, n);
     778           0 :   x = powrs(x, n);
     779           0 :   if (d == 2) return sqrtr(x);
     780           0 :   return sqrtnr(x, d);
     781             : }
     782             : 
     783             : /* assume x != 0 */
     784             : static GEN
     785      333165 : pow_monome(GEN x, long n)
     786             : {
     787      333165 :   long i, d, dx = degpol(x);
     788             :   GEN A, b, y;
     789             : 
     790      333165 :   if (n < 0) { n = -n; y = cgetg(3, t_RFRAC); } else y = NULL;
     791             : 
     792      333165 :   if (HIGHWORD(dx) || HIGHWORD(n))
     793           8 :   {
     794             :     LOCAL_HIREMAINDER;
     795           9 :     d = (long)mulll((ulong)dx, (ulong)n);
     796           9 :     if (hiremainder || (d &~ LGBITS)) d = LGBITS; /* overflow */
     797           9 :     d += 2;
     798             :   }
     799             :   else
     800      333156 :     d = dx*n + 2;
     801      333165 :   if ((d + 1) & ~LGBITS) pari_err(e_OVERFLOW,"pow_monome [degree]");
     802      333158 :   A = cgetg(d+1, t_POL); A[1] = x[1];
     803      333158 :   for (i=2; i < d; i++) gel(A,i) = gen_0;
     804      333158 :   b = gpowgs(gel(x,dx+2), n); /* not memory clean if (n < 0) */
     805      333158 :   if (!y) y = A;
     806             :   else {
     807       20433 :     GEN c = denom(b);
     808       20433 :     gel(y,1) = c; if (c != gen_1) b = gmul(b,c);
     809       20433 :     gel(y,2) = A;
     810             :   }
     811      333158 :   gel(A,d) = b; return y;
     812             : }
     813             : 
     814             : /* x t_PADIC */
     815             : static GEN
     816        1960 : powps(GEN x, long n)
     817             : {
     818        1960 :   long e = n*valp(x), v;
     819        1960 :   GEN t, y, mod, p = gel(x,2);
     820             :   pari_sp av;
     821             : 
     822        1960 :   if (!signe(gel(x,4))) {
     823          84 :     if (n < 0) pari_err_INV("powps",x);
     824          77 :     return zeropadic(p, e);
     825             :   }
     826        1876 :   v = z_pval(n, p);
     827             : 
     828        1876 :   y = cgetg(5,t_PADIC);
     829        1876 :   mod = gel(x,3);
     830        1876 :   if (v == 0) mod = icopy(mod);
     831             :   else
     832             :   {
     833         840 :     if (precp(x) == 1 && equaliu(p, 2)) v++;
     834         840 :     mod = mulii(mod, powiu(p,v));
     835         840 :     mod = gerepileuptoint((pari_sp)y, mod);
     836             :   }
     837        1876 :   y[1] = evalprecp(precp(x) + v) | evalvalp(e);
     838        1876 :   gel(y,2) = icopy(p);
     839        1876 :   gel(y,3) = mod;
     840             : 
     841        1876 :   av = avma; t = gel(x,4);
     842        1876 :   if (n < 0) { t = Fp_inv(t, mod); n = -n; }
     843        1876 :   t = Fp_powu(t, n, mod);
     844        1876 :   gel(y,4) = gerepileuptoint(av, t);
     845        1876 :   return y;
     846             : }
     847             : /* x t_PADIC */
     848             : static GEN
     849         161 : powp(GEN x, GEN n)
     850             : {
     851             :   long v;
     852         161 :   GEN y, mod, p = gel(x,2);
     853             : 
     854         161 :   if (valp(x)) pari_err_OVERFLOW("valp()");
     855             : 
     856         161 :   if (!signe(gel(x,4))) {
     857          14 :     if (signe(n) < 0) pari_err_INV("powp",x);
     858           7 :     return zeropadic(p, 0);
     859             :   }
     860         147 :   v = Z_pval(n, p);
     861             : 
     862         147 :   y = cgetg(5,t_PADIC);
     863         147 :   mod = gel(x,3);
     864         147 :   if (v == 0) mod = icopy(mod);
     865             :   else
     866             :   {
     867          70 :     mod = mulii(mod, powiu(p,v));
     868          70 :     mod = gerepileuptoint((pari_sp)y, mod);
     869             :   }
     870         147 :   y[1] = evalprecp(precp(x) + v) | _evalvalp(0);
     871         147 :   gel(y,2) = icopy(p);
     872         147 :   gel(y,3) = mod;
     873         147 :   gel(y,4) = Fp_pow(gel(x,4), n, mod);
     874         147 :   return y;
     875             : }
     876             : static GEN
     877       12153 : pow_polmod(GEN x, GEN n)
     878             : {
     879       12153 :   GEN z = cgetg(3, t_POLMOD), a = gel(x,2), T = gel(x,1);
     880       12153 :   gel(z,1) = gcopy(T);
     881       12153 :   if (typ(a) != t_POL || varn(a) != varn(T) || lg(a) <= 3)
     882        1393 :     a = powgi(a, n);
     883             :   else {
     884       10760 :     pari_sp av = avma;
     885       10760 :     GEN p = NULL;
     886       10760 :     if (RgX_is_FpX(T, &p) && RgX_is_FpX(a, &p) && p)
     887             :     {
     888        7602 :       T = RgX_to_FpX(T, p); a = RgX_to_FpX(a, p);
     889        7602 :       if (lgefint(p) == 3)
     890             :       {
     891        7595 :         ulong pp = p[2];
     892        7595 :         a = Flxq_pow(ZX_to_Flx(a, pp), n, ZX_to_Flx(T, pp), pp);
     893        7595 :         a = Flx_to_ZX(a);
     894             :       }
     895             :       else
     896           7 :         a = FpXQ_pow(a, n, T, p);
     897        7602 :       a = FpX_to_mod(a, p);
     898        7602 :       a = gerepileupto(av, a);
     899             :     }
     900             :     else
     901             :     {
     902        3158 :       avma = av;
     903        3158 :       a = RgXQ_pow(a, n, gel(z,1));
     904             :     }
     905             :   }
     906       12153 :   gel(z,2) = a; return z;
     907             : }
     908             : 
     909             : GEN
     910    44871227 : gpowgs(GEN x, long n)
     911             : {
     912             :   long m;
     913             :   pari_sp av;
     914             :   GEN y;
     915             : 
     916    44871227 :   if (n == 0) return gpowg0(x);
     917    42029712 :   if (n == 1)
     918     4071616 :     switch (typ(x)) {
     919      663224 :       case t_QFI: return redimag(x);
     920          14 :       case t_QFR: return redreal(x);
     921     3408378 :       default: return gcopy(x);
     922             :     }
     923    37958096 :   if (n ==-1) return ginv(x);
     924    34549195 :   switch(typ(x))
     925             :   {
     926    15270522 :     case t_INT: return powis(x,n);
     927     5148855 :     case t_REAL: return powrs(x,n);
     928             :     case t_INTMOD:
     929       20986 :       y = cgetg(3,t_INTMOD); gel(y,1) = icopy(gel(x,1));
     930       20986 :       gel(y,2) = Fp_pows(gel(x,2), n, gel(x,1));
     931       20986 :       return y;
     932             :     case t_FRAC:
     933             :     {
     934      306753 :       GEN a = gel(x,1), b = gel(x,2);
     935      306753 :       long s = (signe(a) < 0 && odd(n))? -1: 1;
     936      306753 :       if (n < 0) {
     937          14 :         n = -n;
     938          14 :         if (is_pm1(a)) return powiu_sign(b, n, s); /* +-1/x[2] inverts to t_INT */
     939           7 :         swap(a, b);
     940             :       }
     941      306746 :       y = cgetg(3, t_FRAC);
     942      306746 :       gel(y,1) = powiu_sign(a, n, s);
     943      306746 :       gel(y,2) = powiu_sign(b, n, 1);
     944      306746 :       return y;
     945             :     }
     946        1960 :     case t_PADIC: return powps(x, n);
     947             :     case t_RFRAC:
     948             :     {
     949          21 :       av = avma; y = cgetg(3, t_RFRAC); m = labs(n);
     950          21 :       gel(y,1) = gpowgs(gel(x,1),m);
     951          21 :       gel(y,2) = gpowgs(gel(x,2),m);
     952          21 :       if (n < 0) y = ginv(y);
     953          21 :       return gerepileupto(av,y);
     954             :     }
     955             :     case t_POLMOD: {
     956       12146 :       long N[] = {evaltyp(t_INT) | _evallg(3),0,0};
     957       12146 :       affsi(n,N); return pow_polmod(x, N);
     958             :     }
     959             :     case t_POL:
     960      395829 :       if (RgX_is_monomial(x)) return pow_monome(x, n);
     961             :     default: {
     962    13454787 :       pari_sp av = avma;
     963    13454787 :       y = gen_powu_i(x, (ulong)labs(n), NULL, &_sqr, &_mul);
     964    13454788 :       if (n < 0) y = ginv(y);
     965    13454788 :       return gerepileupto(av,y);
     966             :     }
     967             :   }
     968             : }
     969             : 
     970             : /* n a t_INT */
     971             : GEN
     972    32891029 : powgi(GEN x, GEN n)
     973             : {
     974             :   GEN y;
     975             : 
     976    32891029 :   if (!is_bigint(n)) return gpowgs(x, itos(n));
     977             :   /* probable overflow for non-modular types (typical exception: (X^0)^N) */
     978         325 :   switch(typ(x))
     979             :   {
     980             :     case t_INTMOD:
     981          35 :       y = cgetg(3,t_INTMOD); gel(y,1) = icopy(gel(x,1));
     982          35 :       gel(y,2) = Fp_pow(gel(x,2), n, gel(x,1));
     983          35 :       return y;
     984          57 :     case t_FFELT: return FF_pow(x,n);
     985         161 :     case t_PADIC: return powp(x, n);
     986             : 
     987             :     case t_INT:
     988          35 :       if (is_pm1(x)) return (signe(x) < 0 && mpodd(n))? gen_m1: gen_1;
     989          14 :       if (signe(x)) pari_err_OVERFLOW("lg()");
     990           7 :       if (signe(n) < 0) pari_err_INV("powgi",gen_0);
     991           7 :       return gen_0;
     992             :     case t_FRAC:
     993           7 :       pari_err_OVERFLOW("lg()");
     994             : 
     995          14 :     case t_QFR: return qfrpow(x, n);
     996           7 :     case t_POLMOD: return pow_polmod(x, n);
     997             :     default: {
     998           9 :       pari_sp av = avma;
     999           9 :       y = gen_pow(x, n, NULL, &_sqr, &_mul);
    1000           9 :       if (signe(n) < 0) y = ginv(y);
    1001           9 :       return gerepileupto(av,y);
    1002             :     }
    1003             :   }
    1004             : }
    1005             : 
    1006             : /* Assume x = 1 + O(t), n a scalar. Return x^n */
    1007             : static GEN
    1008         189 : ser_pow_1(GEN x, GEN n)
    1009             : {
    1010             :   long lx, mi, i, j, d;
    1011         189 :   GEN y = cgetg_copy(x, &lx), X = x+2, Y = y + 2;
    1012         189 :   y[1] = evalsigne(1) | _evalvalp(0) | evalvarn(varn(x));
    1013         189 :   d = mi = lx-3; while (mi>=1 && isrationalzero(gel(X,mi))) mi--;
    1014         189 :   gel(Y,0) = gen_1;
    1015        1904 :   for (i=1; i<=d; i++)
    1016             :   {
    1017        1715 :     pari_sp av = avma;
    1018        1715 :     GEN s = gen_0;
    1019       14868 :     for (j=1; j<=minss(i,mi); j++)
    1020             :     {
    1021       13153 :       GEN t = gsubgs(gmulgs(n,j),i-j);
    1022       13153 :       s = gadd(s, gmul(gmul(t, gel(X,j)), gel(Y,i-j)));
    1023             :     }
    1024        1715 :     gel(Y,i) = gerepileupto(av, gdivgs(s,i));
    1025             :   }
    1026         189 :   return y;
    1027             : }
    1028             : 
    1029             : /* we suppose n != 0, valp(x) = 0 and leading-term(x) != 0. Not stack clean */
    1030             : static GEN
    1031         189 : ser_pow(GEN x, GEN n, long prec)
    1032             : {
    1033             :   GEN y, c, lead;
    1034         189 :   if (varncmp(gvar(n), varn(x)) <= 0) return gexp(gmul(n, glog(x,prec)), prec);
    1035         189 :   lead = gel(x,2);
    1036         189 :   if (gequal1(lead)) return ser_pow_1(x, n);
    1037          91 :   x = ser_normalize(x);
    1038          91 :   if (typ(n) == t_FRAC && !isinexact(lead) && ispower(lead, gel(n,2), &c))
    1039          84 :     c = powgi(c, gel(n,1));
    1040             :   else
    1041           7 :     c = gpow(lead,n, prec);
    1042          91 :   y = gmul(c, ser_pow_1(x, n));
    1043             :   /* gpow(t_POLMOD,n) can be a t_COL [conjvec] */
    1044          91 :   if (typ(y) != t_SER) pari_err_TYPE("gpow", y);
    1045          91 :   return y;
    1046             : }
    1047             : 
    1048             : static long
    1049         203 : val_from_i(GEN E)
    1050             : {
    1051         203 :   if (is_bigint(E)) pari_err_OVERFLOW("sqrtn [valuation]");
    1052         196 :   return itos(E);
    1053             : }
    1054             : 
    1055             : /* return x^q, assume typ(x) = t_SER, typ(q) = t_INT/t_FRAC and q != 0 */
    1056             : static GEN
    1057         210 : ser_powfrac(GEN x, GEN q, long prec)
    1058             : {
    1059         210 :   GEN y, E = gmulsg(valp(x), q);
    1060             :   long e;
    1061             : 
    1062         210 :   if (!signe(x))
    1063             :   {
    1064          21 :     if (gsigne(q) < 0) pari_err_INV("gpow", x);
    1065          21 :     return zeroser(varn(x), val_from_i(gfloor(E)));
    1066             :   }
    1067         189 :   if (typ(E) != t_INT)
    1068           7 :     pari_err_DOMAIN("sqrtn", "valuation", "!=", mkintmod(gen_0, gel(q,2)), x);
    1069         182 :   e = val_from_i(E);
    1070         182 :   y = leafcopy(x); setvalp(y, 0);
    1071         182 :   y = ser_pow(y, q, prec);
    1072         182 :   setvalp(y, e); return y;
    1073             : }
    1074             : 
    1075             : static GEN
    1076         126 : gpow0(GEN x, GEN n, long prec)
    1077             : {
    1078         126 :   pari_sp av = avma;
    1079             :   long i, lx;
    1080             :   GEN y;
    1081         126 :   switch(typ(n))
    1082             :   {
    1083             :     case t_INT: case t_REAL: case t_FRAC: case t_COMPLEX: case t_QUAD:
    1084          84 :       break;
    1085             :     case t_VEC: case t_COL: case t_MAT:
    1086          35 :       y = cgetg_copy(n, &lx);
    1087          35 :       for (i=1; i<lx; i++) gel(y,i) = gpow0(x,gel(n,i),prec);
    1088          35 :       return y;
    1089           7 :     default: pari_err_TYPE("gpow(0,n)", n);
    1090             :   }
    1091          84 :   n = real_i(n);
    1092          84 :   if (gsigne(n) <= 0) pari_err_DOMAIN("gpow(0,n)", "n", "<=", gen_0, n);
    1093          77 :   if (!precision(x)) return gcopy(x);
    1094             : 
    1095          14 :   x = ground(gmulsg(gexpo(x),n));
    1096          14 :   if (is_bigint(x) || uel(x,2) >= HIGHEXPOBIT)
    1097           7 :     pari_err_OVERFLOW("gpow");
    1098           7 :   avma = av; return real_0_bit(itos(x));
    1099             : }
    1100             : 
    1101             : GEN
    1102    12654260 : gpow(GEN x, GEN n, long prec)
    1103             : {
    1104    12654260 :   long i, lx, tx, tn = typ(n);
    1105             :   pari_sp av;
    1106             :   GEN y;
    1107             : 
    1108    12654260 :   if (tn == t_INT) return powgi(x,n);
    1109     1867362 :   tx = typ(x);
    1110     1867362 :   if (is_matvec_t(tx))
    1111             :   {
    1112          49 :     y = cgetg_copy(x, &lx);
    1113          49 :     for (i=1; i<lx; i++) gel(y,i) = gpow(gel(x,i),n,prec);
    1114          49 :     return y;
    1115             :   }
    1116     1867313 :   av = avma;
    1117     1867313 :   switch (tx)
    1118             :   {
    1119          14 :     case t_POL: case t_RFRAC: x = toser_i(x); /* fall through */
    1120             :     case t_SER:
    1121          77 :       if (tn == t_FRAC) return gerepileupto(av, ser_powfrac(x, n, prec));
    1122          35 :       if (valp(x))
    1123          21 :         pari_err_DOMAIN("gpow [irrational exponent]",
    1124             :                         "valuation", "!=", gen_0, x);
    1125          14 :       if (lg(x) == 2) return gerepilecopy(av, x); /* O(1) */
    1126           7 :       return gerepileupto(av, ser_pow(x, n, prec));
    1127             :   }
    1128     1867236 :   if (gequal0(x)) return gpow0(x, n, prec);
    1129     1867180 :   if (tn == t_FRAC)
    1130             :   {
    1131     1666813 :     GEN z, d = gel(n,2), a = gel(n,1);
    1132     1666813 :     switch (tx)
    1133             :     {
    1134             :     case t_INTMOD:
    1135             :       {
    1136          21 :         GEN p = gel(x,1);
    1137          21 :         if (!BPSW_psp(p)) pari_err_PRIME("gpow",p);
    1138          14 :         y = cgetg(3,t_INTMOD); gel(y,1) = icopy(p);
    1139          14 :         av = avma;
    1140          14 :         z = Fp_sqrtn(gel(x,2), d, p, NULL);
    1141          14 :         if (!z) pari_err_SQRTN("gpow",x);
    1142           7 :         gel(y,2) = gerepileuptoint(av, Fp_pow(z, a, p));
    1143           7 :         return y;
    1144             :       }
    1145             : 
    1146             :     case t_PADIC:
    1147          14 :       z = Qp_sqrtn(x, d, NULL);
    1148          14 :       if (!z) pari_err_SQRTN("gpow",x);
    1149           7 :       return gerepileupto(av, powgi(z, a));
    1150             : 
    1151             :     case t_FFELT:
    1152          21 :       return gerepileupto(av,FF_pow(FF_sqrtn(x,d,NULL),a));
    1153             :     default:
    1154     1666757 :       if (gequal(d, gen_2))
    1155     1363207 :         return gerepileupto(av, gmul(powgi(x, shifti(subis(a, 1), -1)),
    1156             :                                      gsqrt(x, prec)));
    1157             :     }
    1158             :   }
    1159      503917 :   i = (long) precision(n); if (i) prec=i;
    1160      503917 :   y = gmul(n, glog(x,prec));
    1161      503917 :   return gerepileupto(av, gexp(y,prec));
    1162             : }
    1163             : 
    1164             : GEN
    1165       21108 : gpowers0(GEN x, long n, GEN x0)
    1166             : {
    1167             :   long i, l;
    1168             :   GEN V;
    1169       21108 :   if (!x0) return gpowers(x,n);
    1170       21080 :   if (n < 0) return cgetg(1,t_VEC);
    1171       21080 :   l = n+2; V = cgetg(l, t_VEC); gel(V,1) = gcopy(x0);
    1172       21080 :   for (i = 2; i < l; i++) gel(V,i) = gmul(gel(V,i-1),x);
    1173       21080 :   return V;
    1174             : }
    1175             : 
    1176             : GEN
    1177       41695 : gpowers(GEN x, long n)
    1178             : {
    1179       41695 :   if (n < 0) return cgetg(1,t_VEC);
    1180       41688 :   return gen_powers(x, n, 1, (void*)x, &_sqr, &_mul, &_one);
    1181             : }
    1182             : 
    1183             : /* return [q^1,q^4,...,q^{n^2}] */
    1184             : GEN
    1185       19029 : gsqrpowers(GEN q, long n)
    1186             : {
    1187       19029 :   pari_sp av = avma;
    1188       19029 :   GEN L = gpowers0(gsqr(q), n, q); /* L[i] = q^(2i - 1), i <= n+1 */
    1189       19029 :   GEN v = cgetg(n+1, t_VEC);
    1190             :   long i;
    1191       19029 :   gel(v, 1) = gcopy(q);
    1192       19029 :   for (i = 2; i <= n ; ++i) gel(v, i) = q = gmul(q, gel(L,i)); /* q^(i^2) */
    1193       19029 :   return gerepileupto(av, v);
    1194             : }
    1195             : 
    1196             : /* 4 | N. returns a vector RU which contains exp(2*i*k*Pi/N), k=0..N-1 */
    1197             : static GEN
    1198       55323 : grootsof1_4(long N, long prec)
    1199             : {
    1200       55323 :   GEN z, RU = cgetg(N+1,t_VEC), *v  = ((GEN*)RU) + 1;
    1201       55323 :   long i, N2 = (N>>1), N4 = (N>>2), N8 = (N>>3);
    1202             :   /* z^N2 = -1, z^N4 = I; if z^k = a+I*b, then z^(N4-k) = I*conj(z) = b+a*I */
    1203             : 
    1204       55323 :   v[0] = gen_1; v[1] = z = char_rootof1_u(N, prec);
    1205       55323 :   if (odd(N4)) N8++;
    1206       79647 :   for (i=1; i<N8; i++)
    1207             :   {
    1208       24324 :     GEN t = v[i];
    1209       24324 :     v[i+1] = gmul(z, t);
    1210       24324 :     v[N4-i] = mkcomplex(gel(t,2), gel(t,1));
    1211             :   }
    1212       55323 :   for (i=0; i<N4; i++) v[i+N4] = mulcxI(v[i]);
    1213       55323 :   for (i=0; i<N2; i++) v[i+N2] = gneg(v[i]);
    1214       55323 :   return RU;
    1215             : }
    1216             : 
    1217             : /* as above, N arbitrary */
    1218             : GEN
    1219       61238 : grootsof1(long N, long prec)
    1220             : {
    1221             :   GEN z, RU, *v;
    1222             :   long i, k;
    1223             : 
    1224       61238 :   if ((N & 3) == 0) return grootsof1_4(N, prec);
    1225        5915 :   if (N == 1) return mkvec(gen_1);
    1226        5908 :   k = (N+3)>>1;
    1227        5908 :   RU = cgetg(N+1,t_VEC);
    1228        5908 :   v  = ((GEN*)RU) + 1;
    1229        5908 :   v[0] = gen_1; v[1] = z = char_rootof1_u(N, prec);
    1230        5908 :   for (i=2; i<k; i++) v[i] = gmul(z, v[i-1]);
    1231        5908 :   for (   ; i<N; i++) v[i] = gconj(v[N-i]);
    1232        5908 :   return RU;
    1233             : }
    1234             : 
    1235             : /********************************************************************/
    1236             : /**                                                                **/
    1237             : /**                        RACINE CARREE                           **/
    1238             : /**                                                                **/
    1239             : /********************************************************************/
    1240             : /* assume x unit, e = precp(x) */
    1241             : GEN
    1242         854 : Z2_sqrt(GEN x, long e)
    1243             : {
    1244         854 :   ulong r = signe(x)>=0?mod16(x):16-mod16(x);
    1245             :   GEN z;
    1246             :   long ez;
    1247             :   pari_sp av;
    1248             : 
    1249         854 :   switch(e)
    1250             :   {
    1251           7 :     case 1: return gen_1;
    1252         119 :     case 2: return (r & 3UL) == 1? gen_1: NULL;
    1253          14 :     case 3: return (r & 7UL) == 1? gen_1: NULL;
    1254          70 :     case 4: if (r == 1) return gen_1;
    1255          35 :             else return (r == 9)? utoipos(3): NULL;
    1256         644 :     default: if ((r&7UL) != 1) return NULL;
    1257             :   }
    1258         644 :   av = avma; z = (r==1)? gen_1: utoipos(3);
    1259         644 :   ez = 3; /* number of correct bits in z (compared to sqrt(x)) */
    1260             :   for(;;)
    1261             :   {
    1262             :     GEN mod;
    1263        2079 :     ez = (ez<<1) - 1;
    1264        2079 :     if (ez > e) ez = e;
    1265        2079 :     mod = int2n(ez);
    1266        2079 :     z = addii(z, remi2n(mulii(x, Fp_inv(z,mod)), ez));
    1267        2079 :     z = shifti(z, -1); /* (z + x/z) / 2 */
    1268        2079 :     if (e == ez) return gerepileuptoint(av, z);
    1269        1435 :     if (ez < e) ez--;
    1270        1435 :     if (gc_needed(av,2))
    1271             :     {
    1272           0 :       if (DEBUGMEM > 1) pari_warn(warnmem,"Qp_sqrt");
    1273           0 :       z = gerepileuptoint(av,z);
    1274             :     }
    1275        1435 :   }
    1276             : }
    1277             : 
    1278             : /* x unit defined modulo p^e, e > 0 */
    1279             : GEN
    1280        1806 : Qp_sqrt(GEN x)
    1281             : {
    1282        1806 :   long pp, e = valp(x);
    1283        1806 :   GEN z,y,mod, p = gel(x,2);
    1284             : 
    1285        1806 :   if (gequal0(x)) return zeropadic(p, (e+1) >> 1);
    1286        1806 :   if (e & 1) return NULL;
    1287             : 
    1288        1792 :   y = cgetg(5,t_PADIC);
    1289        1792 :   pp = precp(x);
    1290        1792 :   mod = gel(x,3);
    1291        1792 :   z   = gel(x,4); /* lift to t_INT */
    1292        1792 :   e >>= 1;
    1293        1792 :   z = Zp_sqrt(z, p, pp);
    1294        1792 :   if (!z) return NULL;
    1295        1743 :   if (equaliu(p,2))
    1296             :   {
    1297         525 :     pp  = (pp <= 3) ? 1 : pp-1;
    1298         525 :     mod = int2n(pp);
    1299             :   }
    1300        1218 :   else mod = icopy(mod);
    1301        1743 :   y[1] = evalprecp(pp) | evalvalp(e);
    1302        1743 :   gel(y,2) = icopy(p);
    1303        1743 :   gel(y,3) = mod;
    1304        1743 :   gel(y,4) = z; return y;
    1305             : }
    1306             : 
    1307             : GEN
    1308         350 : Zn_sqrt(GEN d, GEN fn)
    1309             : {
    1310         350 :   pari_sp ltop = avma, btop;
    1311         350 :   GEN b = gen_0, m = gen_1;
    1312             :   long j, np;
    1313         350 :   if (typ(d) != t_INT) pari_err_TYPE("Zn_sqrt",d);
    1314         350 :   if (typ(fn) == t_INT)
    1315           0 :     fn = absi_factor(fn);
    1316         350 :   else if (!is_Z_factorpos(fn))
    1317           0 :     pari_err_TYPE("Zn_sqrt",fn);
    1318         350 :   np = nbrows(fn);
    1319         350 :   btop = avma;
    1320        2800 :   for (j = 1; j <= np; ++j)
    1321             :   {
    1322             :     GEN  bp, mp, pr, r;
    1323        1050 :     GEN  p = gcoeff(fn, j, 1);
    1324        1050 :     long e = itos(gcoeff(fn, j, 2));
    1325        1050 :     long v = Z_pvalrem(d,p,&r);
    1326        1050 :     if (v >= e) bp =gen_0;
    1327             :     else
    1328             :     {
    1329         952 :       if (odd(v)) return NULL;
    1330         952 :       bp = Zp_sqrt(r, p, e-v);
    1331         952 :       if (!bp)    return NULL;
    1332         952 :       if (v) bp = mulii(bp, powiu(p, v>>1L));
    1333             :     }
    1334        1050 :     mp = powiu(p, e);
    1335        1050 :     pr = mulii(m, mp);
    1336        1050 :     b = Z_chinese_coprime(b, bp, m, mp, pr);
    1337        1050 :     m = pr;
    1338        1050 :     if (gc_needed(btop, 1))
    1339           0 :       gerepileall(btop, 2, &b, &m);
    1340             :   }
    1341         350 :   return gerepileupto(ltop, b);
    1342             : }
    1343             : 
    1344             : static GEN
    1345        1134 : sqrt_ser(GEN b, long prec)
    1346             : {
    1347        1134 :   long e = valp(b), vx = varn(b), lx, lold, j;
    1348             :   ulong mask;
    1349             :   GEN a, x, lta, ltx;
    1350             : 
    1351        1134 :   if (!signe(b)) return zeroser(vx, e>>1);
    1352        1134 :   a = leafcopy(b);
    1353        1134 :   x = cgetg_copy(b, &lx);
    1354        1134 :   if (e & 1)
    1355           7 :     pari_err_DOMAIN("sqrtn", "valuation", "!=", mkintmod(gen_0, gen_2), x);
    1356        1127 :   a[1] = x[1] = evalsigne(1) | evalvarn(0) | _evalvalp(0);
    1357        1127 :   lta = gel(a,2);
    1358        1127 :   if (gequal1(lta)) ltx = lta;
    1359          35 :   else if (!issquareall(lta,&ltx)) ltx = gsqrt(lta,prec);
    1360        1127 :   gel(x,2) = ltx;
    1361        1127 :   for (j = 3; j < lx; j++) gel(x,j) = gen_0;
    1362        1127 :   setlg(x,3);
    1363        1127 :   mask = quadratic_prec_mask(lx - 2);
    1364        1127 :   lold = 1;
    1365        5453 :   while (mask > 1)
    1366             :   {
    1367        3199 :     GEN y, x2 = gmul2n(x,1);
    1368        3199 :     long l = lold << 1;
    1369             : 
    1370        3199 :     if (mask & 1) l--;
    1371        3199 :     mask >>= 1;
    1372        3199 :     setlg(a, l + 2);
    1373        3199 :     setlg(x, l + 2);
    1374        3199 :     y = sqr_ser_part(x, lold, l-1) - lold;
    1375        3199 :     for (j = lold+2; j < l+2; j++) gel(y,j) = gsub(gel(y,j), gel(a,j));
    1376        3199 :     y += lold; setvalp(y, lold);
    1377        3199 :     y = normalize(y);
    1378        3199 :     y = gsub(x, gdiv(y, x2)); /* = gmul2n(gsub(x, gdiv(a,x)), -1); */
    1379        3199 :     for (j = lold+2; j < l+2; j++) gel(x,j) = gel(y,j);
    1380        3199 :     lold = l;
    1381             :   }
    1382        1127 :   x[1] = evalsigne(1) | evalvarn(vx) | _evalvalp(e >> 1);
    1383        1127 :   return x;
    1384             : }
    1385             : 
    1386             : GEN
    1387     6038997 : gsqrt(GEN x, long prec)
    1388             : {
    1389             :   pari_sp av;
    1390             :   GEN y;
    1391             : 
    1392     6038997 :   switch(typ(x))
    1393             :   {
    1394             :     case t_INT:
    1395     1965178 :       if (!signe(x)) return real_0(prec); /* no loss of accuracy */
    1396     1965171 :       x = itor(x,prec); /* fall through */
    1397     5779685 :     case t_REAL: return sqrtr(x);
    1398             : 
    1399             :     case t_INTMOD:
    1400             :     {
    1401          35 :       GEN p = gel(x,1), a;
    1402          35 :       y = cgetg(3,t_INTMOD); gel(y,1) = icopy(p);
    1403          35 :       a = Fp_sqrt(gel(x,2),p);
    1404          21 :       if (!a)
    1405             :       {
    1406           7 :         if (!BPSW_psp(p)) pari_err_PRIME("sqrt [modulus]",p);
    1407           7 :         pari_err_SQRTN("gsqrt",x);
    1408             :       }
    1409          14 :       gel(y,2) = a; return y;
    1410             :     }
    1411             : 
    1412             :     case t_COMPLEX:
    1413             :     { /* (u+iv)^2 = a+ib <=> u^2+v^2 = sqrt(a^2+b^2), u^2-v^2=a, 2uv=b */
    1414      246341 :       GEN a = gel(x,1), b = gel(x,2), r, u, v;
    1415      246341 :       if (isrationalzero(b)) return gsqrt(a, prec);
    1416      246341 :       y = cgetg(3,t_COMPLEX); av = avma;
    1417             : 
    1418      246341 :       r = cxnorm(x);
    1419      246341 :       if (typ(r) == t_INTMOD) pari_err_IMPL("sqrt(complex of t_INTMODs)");
    1420      246341 :       r = gsqrt(r, prec); /* t_REAL, |a+Ib| */
    1421      246341 :       if (!signe(r))
    1422         117 :         u = v = gerepileuptoleaf(av, sqrtr(r));
    1423      246224 :       else if (gsigne(a) < 0)
    1424             :       {
    1425             :         /* v > 0 since r > 0, a < 0, rounding errors can't make the sum of two
    1426             :          * positive numbers = 0 */
    1427       39689 :         v = sqrtr( gmul2n(gsub(r,a), -1) );
    1428       39689 :         if (gsigne(b) < 0) togglesign(v);
    1429       39689 :         v = gerepileuptoleaf(av, v); av = avma;
    1430             :         /* v = 0 is impossible */
    1431       39689 :         u = gerepileuptoleaf(av, gdiv(b, shiftr(v,1)));
    1432             :       } else {
    1433      206535 :         u = sqrtr( gmul2n(gadd(r,a), -1) );
    1434      206535 :         u = gerepileuptoleaf(av, u); av = avma;
    1435      206535 :         if (!signe(u)) /* possible if a = 0.0, e.g. sqrt(0.e-10+1e-10*I) */
    1436           7 :           v = u;
    1437             :         else
    1438      206528 :           v = gerepileuptoleaf(av, gdiv(b, shiftr(u,1)));
    1439             :       }
    1440      246341 :       gel(y,1) = u;
    1441      246341 :       gel(y,2) = v; return y;
    1442             :     }
    1443             : 
    1444             :     case t_PADIC:
    1445          49 :       y = Qp_sqrt(x);
    1446          49 :       if (!y) pari_err_SQRTN("Qp_sqrt",x);
    1447          28 :       return y;
    1448             : 
    1449          70 :     case t_FFELT: return FF_sqrt(x);
    1450             : 
    1451             :     default:
    1452       12810 :       av = avma; if (!(y = toser_i(x))) break;
    1453        1134 :       return gerepilecopy(av, sqrt_ser(y, prec));
    1454             :   }
    1455       11676 :   return trans_eval("sqrt",gsqrt,x,prec);
    1456             : }
    1457             : /********************************************************************/
    1458             : /**                                                                **/
    1459             : /**                          N-th ROOT                             **/
    1460             : /**                                                                **/
    1461             : /********************************************************************/
    1462             : /* exp(2Ipi/n), assume n positive t_INT */
    1463             : GEN
    1464           7 : rootsof1complex(GEN n, long prec)
    1465             : {
    1466           7 :   pari_sp av = avma;
    1467           7 :   if (is_pm1(n)) return real_1(prec);
    1468           7 :   if (equaliu(n, 2)) return stor(-1, prec);
    1469           7 :   return gerepileupto(av, expIr( divri(Pi2n(1, prec), n) ));
    1470             : }
    1471             : 
    1472             : /*Only the O() of y is used*/
    1473             : GEN
    1474           0 : rootsof1padic(GEN n, GEN y)
    1475             : {
    1476           0 :   GEN z, r = cgetp(y), p = gel(y,2);
    1477           0 :   pari_sp av = avma;
    1478           0 :   z = rootsof1_Fp(n, p);
    1479           0 :   z = Zp_sqrtnlift(gen_1, n, z, p, precp(y));
    1480           0 :   affii(z, gel(r,4)); avma = av; return r;
    1481             : }
    1482             : 
    1483             : static void
    1484           7 : bug_logp(GEN p)
    1485             : {
    1486           7 :   if (!BPSW_psp(p)) pari_err_PRIME("p-adic log",p);
    1487           0 :   pari_err_BUG("log_p");
    1488           0 : }
    1489             : /* Let x = 1 mod p and y := (x-1)/(x+1) = 0 (p). Then
    1490             :  * log(x) = log(1+y) - log(1-y) = 2 \sum_{k odd} y^k / k.
    1491             :  * palogaux(x) returns the last sum (not multiplied by 2) */
    1492             : static GEN
    1493        7938 : palogaux(GEN x)
    1494             : {
    1495             :   long i, k, e, pp, t;
    1496        7938 :   GEN y,s,y2, p = gel(x,2);
    1497        7938 :   int is2 = equaliu(p,2);
    1498             : 
    1499        7938 :   y = subiu(gel(x,4), 1);
    1500        7938 :   if (!signe(y))
    1501             :   {
    1502         525 :     long v = valp(x)+precp(x);
    1503         525 :     if (is2) v--;
    1504         525 :     return zeropadic(p, v);
    1505             :   }
    1506             :   /* optimize t: log(x) = log(x^(p^t)) / p^t */
    1507        7413 :   e = Z_pval(y, p); /* valp(y) = e >= 1; precp(y) = precp(x)-e */
    1508        7413 :   if (!e) bug_logp(p);
    1509        7406 :   if (is2)
    1510          49 :     t = sqrt( (double)(precp(x)-e) / e ); /* instead of (2*e) */
    1511             :   else
    1512        7357 :     t = sqrt( (double)(precp(x)-e) / (e * (expi(p) + hammingweight(p))) );
    1513        7406 :   for (i = 0; i < t; i++) x = gpow(x, p, 0);
    1514             : 
    1515        7406 :   y = gdiv(gaddgs(x,-1), gaddgs(x,1));
    1516        7406 :   e = valp(y); /* > 0 */
    1517        7406 :   if (e <= 0) bug_logp(p);
    1518        7406 :   pp = precp(y) + e;
    1519        7406 :   if (is2) pp--;
    1520             :   else
    1521             :   {
    1522             :     GEN p1;
    1523        7357 :     for (p1=utoipos(e); cmpui(pp,p1) > 0; pp++) p1 = mulii(p1, p);
    1524        7357 :     pp -= 2;
    1525             :   }
    1526        7406 :   k = pp/e; if (!odd(k)) k--;
    1527        7406 :   if (DEBUGLEVEL>5)
    1528           0 :     err_printf("logp: [pp,k,e,t] = [%ld,%ld,%ld,%ld]\n",pp,k,e,t);
    1529        7406 :   if (k > 1)
    1530             :   {
    1531        6643 :     y2 = gsqr(y); s = gdivgs(gen_1,k);
    1532       20223 :     while (k > 2)
    1533             :     {
    1534        6937 :       k -= 2;
    1535        6937 :       s = gadd(gmul(y2,s), gdivgs(gen_1,k));
    1536             :     }
    1537        6643 :     y = gmul(s,y);
    1538             :   }
    1539        7406 :   if (t) setvalp(y, valp(y) - t);
    1540        7406 :   return y;
    1541             : }
    1542             : 
    1543             : GEN
    1544        7945 : Qp_log(GEN x)
    1545             : {
    1546        7945 :   pari_sp av = avma;
    1547        7945 :   GEN y, p = gel(x,2), a = gel(x,4);
    1548             : 
    1549        7945 :   if (!signe(a)) pari_err_DOMAIN("Qp_log", "argument", "=", gen_0, x);
    1550        7938 :   y = leafcopy(x); setvalp(y,0);
    1551        7938 :   if (equaliu(p,2))
    1552         287 :     y = palogaux(gsqr(y));
    1553        7651 :   else if (gequal1(modii(a, p)))
    1554        7133 :     y = gmul2n(palogaux(y), 1);
    1555             :   else
    1556             :   { /* compute log(x^(p-1)) / (p-1) */
    1557         518 :     GEN mod = gel(y,3), p1 = subis(p,1);
    1558         518 :     gel(y,4) = Fp_pow(a, p1, mod);
    1559         518 :     p1 = diviiexact(subsi(1,mod), p1); /* 1/(p-1) */
    1560         518 :     y = gmul(palogaux(y), shifti(p1,1));
    1561             :   }
    1562        7931 :   return gerepileupto(av,y);
    1563             : }
    1564             : 
    1565             : static GEN Qp_exp_safe(GEN x);
    1566             : 
    1567             : /*compute the p^e th root of x p-adic, assume x != 0 */
    1568             : static GEN
    1569         854 : Qp_sqrtn_ram(GEN x, long e)
    1570             : {
    1571         854 :   pari_sp ltop=avma;
    1572         854 :   GEN a, p = gel(x,2), n = powiu(p,e);
    1573         854 :   long v = valp(x), va;
    1574         854 :   if (v)
    1575             :   {
    1576             :     long z;
    1577         161 :     v = sdivsi_rem(v, n, &z);
    1578         161 :     if (z) return NULL;
    1579          91 :     x = leafcopy(x);
    1580          91 :     setvalp(x,0);
    1581             :   }
    1582             :   /*If p = 2, -1 is a root of 1 in U1: need extra check*/
    1583         784 :   if (equaliu(p, 2) && mod8(gel(x,4)) != 1) return NULL;
    1584         749 :   a = Qp_log(x);
    1585         749 :   va = valp(a) - e;
    1586         749 :   if (va <= 0)
    1587             :   {
    1588         287 :     if (signe(gel(a,4))) return NULL;
    1589             :     /* all accuracy lost */
    1590         119 :     a = cvtop(remii(gel(x,4),p), p, 1);
    1591             :   }
    1592             :   else
    1593             :   {
    1594         462 :     setvalp(a, va); /* divide by p^e */
    1595         462 :     a = Qp_exp_safe(a);
    1596         462 :     if (!a) return NULL;
    1597             :     /* n=p^e and a^n=z*x where z is a (p-1)th-root of 1.
    1598             :      * Since z^n=z, we have (a/z)^n = x. */
    1599         462 :     a = gdiv(x, powgi(a,addis(n,-1))); /* = a/z = x/a^(n-1)*/
    1600         462 :     if (v) setvalp(a,v);
    1601             :   }
    1602         581 :   return gerepileupto(ltop,a);
    1603             : }
    1604             : 
    1605             : /*compute the nth root of x p-adic p prime with n*/
    1606             : static GEN
    1607         616 : Qp_sqrtn_unram(GEN x, GEN n, GEN *zetan)
    1608             : {
    1609             :   pari_sp av;
    1610         616 :   GEN Z, a, r, p = gel(x,2);
    1611         616 :   long v = valp(x);
    1612         616 :   if (v)
    1613             :   {
    1614             :     long z;
    1615          84 :     v = sdivsi_rem(v,n,&z);
    1616          84 :     if (z) return NULL;
    1617             :   }
    1618         609 :   r = cgetp(x); setvalp(r,v);
    1619         609 :   Z = NULL; /* -Wall */
    1620         609 :   if (zetan) Z = cgetp(x);
    1621         609 :   av = avma; a = Fp_sqrtn(gel(x,4), n, p, zetan);
    1622         609 :   if (!a) return NULL;
    1623         595 :   affii(Zp_sqrtnlift(gel(x,4), n, a, p, precp(x)), gel(r,4));
    1624         595 :   if (zetan)
    1625             :   {
    1626          14 :     affii(Zp_sqrtnlift(gen_1, n, *zetan, p, precp(x)), gel(Z,4));
    1627          14 :     *zetan = Z;
    1628             :   }
    1629         595 :   avma = av; return r;
    1630             : }
    1631             : 
    1632             : GEN
    1633        1183 : Qp_sqrtn(GEN x, GEN n, GEN *zetan)
    1634             : {
    1635             :   pari_sp av, tetpil;
    1636             :   GEN q, p;
    1637             :   long e;
    1638        1183 :   if (equaliu(n, 2))
    1639             :   {
    1640          70 :     if (zetan) *zetan = gen_m1;
    1641          70 :     if (signe(n) < 0) x = ginv(x);
    1642          63 :     return Qp_sqrt(x);
    1643             :   }
    1644        1113 :   av = avma; p = gel(x,2);
    1645        1113 :   if (!signe(gel(x,4)))
    1646             :   {
    1647         203 :     if (signe(n) < 0) pari_err_INV("Qp_sqrtn", x);
    1648         203 :     q = divii(addis(n, valp(x)-1), n);
    1649         203 :     if (zetan) *zetan = gen_1;
    1650         203 :     avma = av; return zeropadic(p, itos(q));
    1651             :   }
    1652             :   /* treat the ramified part using logarithms */
    1653         910 :   e = Z_pvalrem(n, p, &q);
    1654         910 :   if (e) { x = Qp_sqrtn_ram(x,e); if (!x) return NULL; }
    1655         637 :   if (is_pm1(q))
    1656             :   { /* finished */
    1657          21 :     if (signe(q) < 0) x = ginv(x);
    1658          21 :     x = gerepileupto(av, x);
    1659          21 :     if (zetan)
    1660          28 :       *zetan = (e && equaliu(p, 2))? gen_m1 /*-1 in Q_2*/
    1661          21 :                                    : gen_1;
    1662          21 :     return x;
    1663             :   }
    1664         616 :   tetpil = avma;
    1665             :   /* use hensel lift for unramified case */
    1666         616 :   x = Qp_sqrtn_unram(x, q, zetan);
    1667         616 :   if (!x) return NULL;
    1668         595 :   if (zetan)
    1669             :   {
    1670             :     GEN *gptr[2];
    1671          14 :     if (e && equaliu(p, 2))/*-1 in Q_2*/
    1672             :     {
    1673           7 :       tetpil = avma; x = gcopy(x); *zetan = gneg(*zetan);
    1674             :     }
    1675          14 :     gptr[0] = &x; gptr[1] = zetan;
    1676          14 :     gerepilemanysp(av,tetpil,gptr,2);
    1677          14 :     return x;
    1678             :   }
    1679         581 :   return gerepile(av,tetpil,x);
    1680             : }
    1681             : 
    1682             : GEN
    1683       27004 : sqrtnint(GEN a, long n)
    1684             : {
    1685       27004 :   pari_sp ltop = avma;
    1686             :   GEN x, b, q;
    1687             :   long s, k, e;
    1688       27004 :   const ulong nm1 = n - 1;
    1689       27004 :   if (typ(a) != t_INT) pari_err_TYPE("sqrtnint",a);
    1690       27004 :   if (n <= 0) pari_err_DOMAIN("sqrtnint", "n", "<=", gen_0, stoi(n));
    1691       26997 :   if (n == 1) return icopy(a);
    1692       26997 :   s = signe(a);
    1693       26997 :   if (s < 0) pari_err_DOMAIN("sqrtnint", "x", "<", gen_0, a);
    1694       26990 :   if (!s) return gen_0;
    1695       26990 :   if (lgefint(a) == 3) return utoi(usqrtn(itou(a), n));
    1696       26561 :   e = expi(a); k = e/(2*n);
    1697       26561 :   if (k == 0)
    1698             :   {
    1699             :     long flag;
    1700         291 :     if (n > e) {avma = ltop; return gen_1;}
    1701         291 :     flag = cmpii(a, powuu(3, n)); avma = ltop;
    1702         291 :     return (flag < 0) ? gen_2: stoi(3);
    1703             :   }
    1704       26270 :   if (e < n*(BITS_IN_LONG - 1))
    1705             :   {
    1706             :     ulong s, xs, qs;
    1707       12070 :     s = 1 + e/n; xs = 1UL << s;
    1708       12070 :     qs = itou(shifti(a, -nm1*s));
    1709       81619 :     while (qs < xs) {
    1710       57486 :       xs -= (xs - qs + nm1)/n;
    1711       57486 :       q = divii(a, powuu(xs, nm1));
    1712       57486 :       if (lgefint(q) > 3) break;
    1713       57479 :       qs = itou(q);
    1714             :     }
    1715       12070 :     return utoi(xs);
    1716             :   }
    1717       14200 :   b = addsi(1, shifti(a, -n*k));
    1718       14200 :   x = shifti(addsi(1, sqrtnint(b, n)), k);
    1719       14200 :   q = divii(a, powiu(x, nm1));
    1720       45626 :   while (cmpii(q, x) < 0) /* a priori one iteration, no GC necessary */
    1721             :   {
    1722       17226 :     x = subii(x, divis(addsi(nm1, subii(x, q)), n));
    1723       17226 :     q = divii(a, powiu(x, nm1));
    1724             :   }
    1725       14200 :   return gerepileuptoleaf(ltop, x);
    1726             : }
    1727             : 
    1728             : GEN
    1729       11908 : cbrtr_abs(GEN x)
    1730             : {
    1731       11908 :   long prec = realprec(x), n = bit_accuracy(prec), e = expo(x), er = e / 3;
    1732             :   /* x 2^3(n-er) = b t_INT */
    1733       11908 :   GEN b = mantissa2nr(x, (e-3*er+1) + n*2);
    1734       11908 :   b = sqrtnint(b, 3);
    1735       11908 :   b = itor(b, prec);
    1736       11908 :   setexpo(b, expo(b)+er-n);
    1737       11908 :   return b;
    1738             : }
    1739             : 
    1740             : ulong
    1741         429 : usqrtn(ulong a, ulong n)
    1742             : {
    1743             :   ulong x, s, q;
    1744         429 :   const ulong nm1 = n - 1;
    1745         429 :   if (!n) pari_err_DOMAIN("sqrtnint", "n", "=", gen_0, utoi(n));
    1746         429 :   if (n == 1 || a == 0) return a;
    1747         429 :   s = 1 + expu(a)/n; x = 1UL << s;
    1748         429 :   q = (nm1*s >= BITS_IN_LONG)? 0: a >> (nm1*s);
    1749        1694 :   while (q < x) {
    1750             :     ulong X;
    1751         836 :     x -= (x - q + nm1)/n;
    1752         836 :     X = upowuu(x, nm1);
    1753         836 :     q = X? a/X: 0;
    1754             :   }
    1755         429 :   return x;
    1756             : }
    1757             : 
    1758             : GEN
    1759        2699 : gsqrtn(GEN x, GEN n, GEN *zetan, long prec)
    1760             : {
    1761             :   long i, lx, tx;
    1762             :   pari_sp av;
    1763             :   GEN y, z;
    1764        2699 :   if (typ(n)!=t_INT) pari_err_TYPE("sqrtn",n);
    1765        2699 :   if (!signe(n)) pari_err_DOMAIN("sqrtn", "n", "=", gen_0, n);
    1766        2699 :   if (is_pm1(n))
    1767             :   {
    1768          14 :     if (zetan) *zetan = gen_1;
    1769          14 :     return (signe(n) > 0)? gcopy(x): ginv(x);
    1770             :   }
    1771        2685 :   if (zetan) *zetan = gen_0;
    1772        2685 :   tx = typ(x);
    1773        2685 :   if (is_matvec_t(tx))
    1774             :   {
    1775           7 :     y = cgetg_copy(x, &lx);
    1776           7 :     for (i=1; i<lx; i++) gel(y,i) = gsqrtn(gel(x,i),n,NULL,prec);
    1777           7 :     return y;
    1778             :   }
    1779        2678 :   av = avma;
    1780        2678 :   switch(tx)
    1781             :   {
    1782             :   case t_INTMOD:
    1783             :     {
    1784          56 :       GEN p = gel(x,1), s;
    1785          56 :       z = gen_0;
    1786          56 :       y = cgetg(3,t_INTMOD);  gel(y,1) = icopy(p);
    1787          56 :       if (zetan) { z = cgetg(3,t_INTMOD); gel(z,1) = gel(y,1); }
    1788          56 :       s = Fp_sqrtn(gel(x,2),n,p,zetan);
    1789          35 :       if (!s) {
    1790          21 :         if (zetan) {avma=av; return gen_0;}
    1791          14 :         if (!BPSW_psp(p)) pari_err_PRIME("sqrtn [modulus]",p);
    1792           7 :         pari_err_SQRTN("gsqrtn",x);
    1793             :       }
    1794          14 :       gel(y,2) = s;
    1795          14 :       if (zetan) { gel(z,2) = *zetan; *zetan = z; }
    1796          14 :       return y;
    1797             :     }
    1798             : 
    1799             :   case t_PADIC:
    1800          56 :     y = Qp_sqrtn(x,n,zetan);
    1801          49 :     if (!y) {
    1802           7 :       if (zetan) return gen_0;
    1803           7 :       pari_err_SQRTN("gsqrtn",x);
    1804             :     }
    1805          42 :     return y;
    1806             : 
    1807          84 :   case t_FFELT: return FF_sqrtn(x,n,zetan);
    1808             : 
    1809             :   case t_INT: case t_FRAC: case t_REAL: case t_COMPLEX:
    1810        2307 :     i = precision(x); if (i) prec = i;
    1811        2307 :     if (isint1(x))
    1812           7 :       y = real_1(prec);
    1813        2300 :     else if (gequal0(x))
    1814             :     {
    1815             :       long b;
    1816          21 :       if (signe(n) < 0) pari_err_INV("gsqrtn",x);
    1817          21 :       if (isinexactreal(x))
    1818          14 :         b = sdivsi(gexpo(x), n);
    1819             :       else
    1820           7 :         b = -prec2nbits(prec);
    1821          21 :       if (typ(x) == t_COMPLEX)
    1822             :       {
    1823           7 :         y = cgetg(3,t_COMPLEX);
    1824           7 :         gel(y,1) = gel(y,2) = real_0_bit(b);
    1825             :       }
    1826             :       else
    1827          14 :         y = real_0_bit(b);
    1828             :     }
    1829             :     else
    1830             :     {
    1831        2279 :       long nn = itos_or_0(n);
    1832        2279 :       if (tx == t_INT) { x = itor(x,prec); tx = t_REAL; }
    1833        2279 :       if (nn > 0 && tx == t_REAL && signe(x) > 0)
    1834         892 :         y = sqrtnr(x, nn);
    1835             :       else
    1836        1387 :         y = gexp(gdiv(glog(x,prec), n), prec);
    1837        2279 :       y = gerepileupto(av, y);
    1838             :     }
    1839        2307 :     if (zetan) *zetan = rootsof1complex(n,prec);
    1840        2307 :     return y;
    1841             : 
    1842             :   case t_QUAD:
    1843           7 :     return gsqrtn(quadtofp(x, prec), n, zetan, prec);
    1844             : 
    1845             :   default:
    1846         168 :     av = avma; if (!(y = toser_i(x))) break;
    1847         168 :     return gerepileupto(av, ser_powfrac(y, ginv(n), prec));
    1848             :   }
    1849           0 :   pari_err_TYPE("sqrtn",x);
    1850           0 :   return NULL;/* not reached */
    1851             : }
    1852             : 
    1853             : /********************************************************************/
    1854             : /**                                                                **/
    1855             : /**                             EXP(X) - 1                         **/
    1856             : /**                                                                **/
    1857             : /********************************************************************/
    1858             : /* exp(|x|) - 1, assume x != 0.
    1859             :  * For efficiency, x should be reduced mod log(2): if so, we have a < 0 */
    1860             : GEN
    1861     6859420 : exp1r_abs(GEN x)
    1862             : {
    1863     6859420 :   long l = realprec(x), a = expo(x), b = prec2nbits(l), L, i, n, m, B;
    1864             :   GEN y, p2, X;
    1865             :   pari_sp av;
    1866             :   double d;
    1867             : 
    1868     6859420 :   if (b + a <= 0) return mpabs(x);
    1869             : 
    1870     6854759 :   y = cgetr(l); av = avma;
    1871     6854759 :   B = b/3 + BITS_IN_LONG + (BITS_IN_LONG*BITS_IN_LONG)/ b;
    1872     6854759 :   d = a/2.; m = (long)(d + sqrt(d*d + B)); /* >= 0 */
    1873     6854759 :   if (m < (-a) * 0.1) m = 0; /* not worth it */
    1874     6854759 :   L = l + nbits2extraprec(m);
    1875             :  /* Multiplication is quadratic in this range (l is small, otherwise we
    1876             :   * use logAGM + Newton). Set Y = 2^(-e-a) x, compute truncated series
    1877             :   * sum x^k/k!: this costs roughly
    1878             :   *    m b^2 + sum_{k <= n} (k e + BITS_IN_LONG)^2
    1879             :   * bit operations with |x| <  2^(1+a), |Y| < 2^(1-e) , m = e+a and b bits of
    1880             :   * accuracy needed, so
    1881             :   *    B := (b / 3 + BITS_IN_LONG + BITS_IN_LONG^2 / b) ~ m(m-a)
    1882             :   * we want b ~ 3 m (m-a) or m~b+a hence
    1883             :   *     m = min( a/2 + sqrt(a^2/4 + B),  b + a )
    1884             :   * NB: e ~ (b/3)^(1/2) as b -> oo
    1885             :   *
    1886             :   * Truncate the sum at k = n (>= 1), the remainder is
    1887             :   *   sum_{k >= n+1} Y^k / k! < Y^(n+1) / (n+1)! (1-Y) < Y^(n+1) / n!
    1888             :   * We want Y^(n+1) / n! <= Y 2^-b, hence -n log_2 |Y| + log_2 n! >= b
    1889             :   *   log n! ~ (n + 1/2) log(n+1) - (n+1) + log(2Pi)/2,
    1890             :   * error bounded by 1/6(n+1) <= 1/12. Finally, we want
    1891             :   * n (-1/log(2) -log_2 |Y| + log_2(n+1)) >= b  */
    1892     6854759 :   b += m;
    1893     6854759 :   d = m-dbllog2(x)-1/LOG2; /* ~ -log_2 Y - 1/log(2) */
    1894     6854759 :   n = (long)(b / d);
    1895     6854759 :   if (n > 1)
    1896     6847529 :     n = (long)(b / (d + log2((double)n+1))); /* log~constant in small ranges */
    1897     6854759 :   while (n*(d+log2((double)n+1)) < b) n++; /* expect few corrections */
    1898             : 
    1899     6854759 :   X = rtor(x,L); shiftr_inplace(X, -m); setsigne(X, 1);
    1900     6854759 :   if (n == 1) p2 = X;
    1901             :   else
    1902             :   {
    1903     6854759 :     long s = 0, l1 = nbits2prec((long)(d + n + 16));
    1904     6854759 :     GEN unr = real_1(L);
    1905             :     pari_sp av2;
    1906             : 
    1907     6854759 :     p2 = cgetr(L); av2 = avma;
    1908    99271827 :     for (i=n; i>=2; i--, avma = av2)
    1909             :     { /* compute X^(n-1)/n! + ... + X/2 + 1 */
    1910             :       GEN p1, p3;
    1911    92417068 :       setprec(X,l1); p3 = divru(X,i);
    1912    92417068 :       l1 += dvmdsBIL(s - expo(p3), &s); if (l1>L) l1=L;
    1913    92417068 :       setprec(unr,l1); p1 = addrr_sign(unr,1, i == n? p3: mulrr(p3,p2),1);
    1914    92417068 :       setprec(p2,l1); affrr(p1,p2); /* p2 <- 1 + (X/i)*p2 */
    1915             :     }
    1916     6854759 :     setprec(X,L); p2 = mulrr(X,p2);
    1917             :   }
    1918             : 
    1919    75968026 :   for (i=1; i<=m; i++)
    1920             :   {
    1921    69113267 :     if (realprec(p2) > L) setprec(p2,L);
    1922    69113267 :     p2 = mulrr(p2, addsr(2,p2));
    1923             :   }
    1924     6854759 :   affrr_fixlg(p2,y); avma = av; return y;
    1925             : }
    1926             : 
    1927             : GEN
    1928        8655 : mpexpm1(GEN x)
    1929             : {
    1930        8655 :   long sx = signe(x);
    1931             :   GEN y, z;
    1932             :   pari_sp av;
    1933        8655 :   if (!sx) return real_0_bit(expo(x));
    1934        8648 :   if (sx > 0) return exp1r_abs(x);
    1935             :   /* compute exp(x) * (1 - exp(-x)) */
    1936        4023 :   av = avma; y = exp1r_abs(x);
    1937        4023 :   z = addsr(1, y); setsigne(z, -1);
    1938        4023 :   return gerepileupto(av, divrr(y, z));
    1939             : }
    1940             : 
    1941             : static GEN serexp(GEN x, long prec);
    1942             : GEN
    1943        9999 : gexpm1(GEN x, long prec)
    1944             : {
    1945        9999 :   switch(typ(x))
    1946             :   {
    1947        3752 :     case t_REAL: return mpexpm1(x);
    1948        4973 :     case t_COMPLEX: return cxexpm1(x,prec);
    1949          14 :     case t_PADIC: return gsubgs(Qp_exp(x), 1);
    1950             :     default:
    1951             :     {
    1952        1260 :       pari_sp av = avma;
    1953             :       long ey;
    1954             :       GEN y;
    1955        1260 :       if (!(y = toser_i(x))) break;
    1956        1239 :       ey = valp(y);
    1957        1239 :       if (ey < 0) pari_err_DOMAIN("expm1","valuation", "<", gen_0, x);
    1958        1239 :       if (gequal0(y)) return gcopy(y);
    1959        1232 :       if (ey)
    1960         175 :         return gerepileupto(av, gsubgs(serexp(y,prec), 1));
    1961             :       else
    1962             :       {
    1963        1057 :         GEN e1 = gexpm1(gel(y,2), prec), e = gaddgs(e1,1);
    1964        1057 :         y = gmul(e, serexp(serchop0(y),prec));
    1965        1057 :         gel(y,2) = e1;
    1966        1057 :         return gerepilecopy(av, y);
    1967             :       }
    1968             :     }
    1969             :   }
    1970          21 :   return trans_eval("expm1",gexpm1,x,prec);
    1971             : }
    1972             : /********************************************************************/
    1973             : /**                                                                **/
    1974             : /**                             EXP(X)                             **/
    1975             : /**                                                                **/
    1976             : /********************************************************************/
    1977             : 
    1978             : /* centermod(x, log(2)), set *sh to the quotient */
    1979             : static GEN
    1980     6799538 : modlog2(GEN x, long *sh)
    1981             : {
    1982     6799538 :   double d = rtodbl(x);
    1983     6799538 :   long q = (long) ((fabs(d) + (LOG2/2))/LOG2);
    1984     6799538 :   if (d > LOG2 * LONG_MAX)
    1985           0 :     pari_err_OVERFLOW("expo()"); /* avoid overflow in  q */
    1986     6799538 :   if (d < 0) q = -q;
    1987     6799538 :   *sh = q;
    1988     6799538 :   if (q) {
    1989     6648876 :     long l = realprec(x) + 1;
    1990     6648876 :     x = subrr(rtor(x,l), mulsr(q, mplog2(l)));
    1991     6648876 :     if (!signe(x)) return NULL;
    1992             :   }
    1993     6799538 :   return x;
    1994             : }
    1995             : 
    1996             : static GEN
    1997     6798613 : mpexp_basecase(GEN x)
    1998             : {
    1999     6798613 :   pari_sp av = avma;
    2000     6798613 :   long sh, l = realprec(x);
    2001             :   GEN y, z;
    2002             : 
    2003     6798613 :   y = modlog2(x, &sh);
    2004     6798613 :   if (!y) { avma = av; return real2n(sh, l); }
    2005     6798613 :   z = addsr(1, exp1r_abs(y));
    2006     6798613 :   if (signe(y) < 0) z = invr(z);
    2007     6798613 :   if (sh) {
    2008     6647951 :     shiftr_inplace(z, sh);
    2009     6647951 :     if (realprec(z) > l) z = rtor(z, l); /* spurious precision increase */
    2010             :   }
    2011             : #ifdef DEBUG
    2012             : {
    2013             :   GEN t = mplog(z), u = divrr(subrr(x, t),x);
    2014             :   if (signe(u) && expo(u) > 5-prec2nbits(minss(l,realprec(t))))
    2015             :     pari_err_BUG("exp");
    2016             : }
    2017             : #endif
    2018     6798613 :   return gerepileuptoleaf(av, z); /* NOT affrr, precision often increases */
    2019             : }
    2020             : 
    2021             : GEN
    2022     7026636 : mpexp(GEN x)
    2023             : {
    2024     7026636 :   const long s = 6; /*Initial steps using basecase*/
    2025     7026636 :   long i, p, l = realprec(x), sh;
    2026             :   GEN a, t, z;
    2027             :   ulong mask;
    2028             : 
    2029     7026636 :   if (l <= maxss(EXPNEWTON_LIMIT, (1L<<s) + 2))
    2030             :   {
    2031     7025711 :     if (!signe(x)) return mpexp0(x);
    2032     6797688 :     return mpexp_basecase(x);
    2033             :   }
    2034         925 :   z = cgetr(l); /* room for result */
    2035         925 :   x = modlog2(x, &sh);
    2036         925 :   if (!x) { avma = (pari_sp)(z+lg(z)); return real2n(sh, l); }
    2037         925 :   constpi(l); /* precompute for later logr_abs() */
    2038         925 :   mask = quadratic_prec_mask(prec2nbits(l)+BITS_IN_LONG);
    2039         925 :   for(i=0, p=1; i<s+TWOPOTBITS_IN_LONG; i++) { p <<= 1; if (mask & 1) p-=1; mask >>= 1; }
    2040         925 :   a = mpexp_basecase(rtor(x, nbits2prec(p)));
    2041         925 :   x = addrs(x,1);
    2042         925 :   if (realprec(x) < l+EXTRAPRECWORD) x = rtor(x, l+EXTRAPRECWORD);
    2043         925 :   a = rtor(a, l+EXTRAPRECWORD); /*append 0s */
    2044         925 :   t = NULL;
    2045             :   for(;;)
    2046             :   {
    2047         938 :     p <<= 1; if (mask & 1) p--;
    2048         938 :     mask >>= 1;
    2049         938 :     setprec(x, nbits2prec(p));
    2050         938 :     setprec(a, nbits2prec(p));
    2051         938 :     t = mulrr(a, subrr(x, logr_abs(a))); /* a (x - log(a)) */
    2052         938 :     if (mask == 1) break;
    2053          13 :     affrr(t, a); avma = (pari_sp)a;
    2054          13 :   }
    2055         925 :   affrr(t,z);
    2056         925 :   if (sh) shiftr_inplace(z, sh);
    2057         925 :   avma = (pari_sp)z; return z;
    2058             : }
    2059             : 
    2060             : static long
    2061       19924 : Qp_exp_prec(GEN x)
    2062             : {
    2063       19924 :   long k, e = valp(x), n = e + precp(x);
    2064       19924 :   GEN p = gel(x,2);
    2065       19924 :   int is2 = equaliu(p,2);
    2066       19924 :   if (e < 1 || (e == 1 && is2)) return -1;
    2067       19896 :   if (is2)
    2068             :   {
    2069        6211 :     n--; e--; k = n/e;
    2070        6211 :     if (n%e == 0) k--;
    2071             :   }
    2072             :   else
    2073             :   { /* e > 0, n > 0 */
    2074       13685 :     GEN r, t = subis(p, 1);
    2075       13685 :     k = itos(dvmdii(subis(muliu(t,n), 1), subis(muliu(t,e), 1), &r));
    2076       13685 :     if (!signe(r)) k--;
    2077             :   }
    2078       19896 :   return k;
    2079             : }
    2080             : 
    2081             : static GEN
    2082       21324 : Qp_exp_safe(GEN x)
    2083             : {
    2084             :   long k;
    2085             :   pari_sp av;
    2086             :   GEN y;
    2087             : 
    2088       21324 :   if (gequal0(x)) return gaddgs(x,1);
    2089       19854 :   k = Qp_exp_prec(x);
    2090       19853 :   if (k < 0) return NULL;
    2091       19846 :   av = avma;
    2092       19846 :   for (y=gen_1; k; k--) y = gaddsg(1, gdivgs(gmul(y,x), k));
    2093       19847 :   return gerepileupto(av, y);
    2094             : }
    2095             : 
    2096             : GEN
    2097       20862 : Qp_exp(GEN x)
    2098             : {
    2099       20862 :   GEN y = Qp_exp_safe(x);
    2100       20862 :   if (!y) pari_err_DOMAIN("gexp(t_PADIC)","argument","",gen_0,x);
    2101       20855 :   return y;
    2102             : }
    2103             : 
    2104             : static GEN
    2105          49 : cos_p(GEN x)
    2106             : {
    2107             :   long k;
    2108             :   pari_sp av;
    2109             :   GEN x2, y;
    2110             : 
    2111          49 :   if (gequal0(x)) return gaddgs(x,1);
    2112          28 :   k = Qp_exp_prec(x);
    2113          28 :   if (k < 0) return NULL;
    2114          21 :   av = avma; x2 = gsqr(x);
    2115          21 :   if (k & 1) k--;
    2116         105 :   for (y=gen_1; k; k-=2)
    2117             :   {
    2118          84 :     GEN t = gdiv(gmul(y,x2), muluu(k, k-1));
    2119          84 :     y = gsubsg(1, t);
    2120             :   }
    2121          21 :   return gerepileupto(av, y);
    2122             : }
    2123             : static GEN
    2124          63 : sin_p(GEN x)
    2125             : {
    2126             :   long k;
    2127             :   pari_sp av;
    2128             :   GEN x2, y;
    2129             : 
    2130          63 :   if (gequal0(x)) return gcopy(x);
    2131          42 :   k = Qp_exp_prec(x);
    2132          42 :   if (k < 0) return NULL;
    2133          28 :   av = avma; x2 = gsqr(x);
    2134          28 :   if (k & 1) k--;
    2135         133 :   for (y=gen_1; k; k-=2)
    2136             :   {
    2137         105 :     GEN t = gdiv(gmul(y,x2), muluu(k, k+1));
    2138         105 :     y = gsubsg(1, t);
    2139             :   }
    2140          28 :   return gerepileupto(av, gmul(y, x));
    2141             : }
    2142             : 
    2143             : static GEN
    2144     1123705 : cxexp(GEN x, long prec)
    2145             : {
    2146     1123705 :   GEN r,p1,p2, y = cgetg(3,t_COMPLEX);
    2147     1123705 :   pari_sp av = avma, tetpil;
    2148     1123705 :   r = gexp(gel(x,1),prec);
    2149     1123705 :   if (gequal0(r)) { gel(y,1) = r; gel(y,2) = r; return y; }
    2150     1123705 :   gsincos(gel(x,2),&p2,&p1,prec);
    2151     1123705 :   tetpil = avma;
    2152     1123705 :   gel(y,1) = gmul(r,p1);
    2153     1123705 :   gel(y,2) = gmul(r,p2);
    2154     1123705 :   gerepilecoeffssp(av,tetpil,y+1,2);
    2155     1123705 :   return y;
    2156             : }
    2157             : 
    2158             : /* given a t_SER x^v s(x), with s(0) != 0, return x^v(s - s(0)), shallow */
    2159             : GEN
    2160       15638 : serchop0(GEN s)
    2161             : {
    2162       15638 :   long i, l = lg(s);
    2163             :   GEN y;
    2164       15638 :   if (l == 2) return s;
    2165       15638 :   if (l == 3 && isexactzero(gel(s,2))) return s;
    2166       15638 :   y = cgetg(l, t_SER); y[1] = s[1];
    2167       15638 :   gel(y,2) = gen_0; for (i=3; i <l; i++) gel(y,i) = gel(s,i);
    2168       15638 :   return normalize(y);
    2169             : }
    2170             : 
    2171             : static GEN
    2172       27846 : serexp(GEN x, long prec)
    2173             : {
    2174             :   pari_sp av;
    2175             :   long i,j,lx,ly,ex,mi;
    2176             :   GEN p1,y,xd,yd;
    2177             : 
    2178       27846 :   ex = valp(x);
    2179       27846 :   if (ex < 0) pari_err_DOMAIN("exp","valuation", "<", gen_0, x);
    2180       27839 :   if (gequal0(x)) return gaddsg(1,x);
    2181       21427 :   lx = lg(x);
    2182       21427 :   if (ex)
    2183             :   {
    2184       14875 :     ly = lx+ex; y = cgetg(ly,t_SER);
    2185       14875 :     mi = lx-1; while (mi>=3 && isrationalzero(gel(x,mi))) mi--;
    2186       14875 :     mi += ex-2;
    2187       14875 :     y[1] = evalsigne(1) | _evalvalp(0) | evalvarn(varn(x));
    2188             :     /* zd[i] = coefficient of X^i in z */
    2189       14875 :     xd = x+2-ex; yd = y+2; ly -= 2;
    2190       14875 :     gel(yd,0) = gen_1;
    2191       14875 :     for (i=1; i<ex; i++) gel(yd,i) = gen_0;
    2192       73059 :     for (   ; i<ly; i++)
    2193             :     {
    2194       58184 :       av = avma; p1 = gen_0;
    2195     2148223 :       for (j=ex; j<=minss(i,mi); j++)
    2196     2090039 :         p1 = gadd(p1, gmulgs(gmul(gel(xd,j),gel(yd,i-j)),j));
    2197       58184 :       gel(yd,i) = gerepileupto(av, gdivgs(p1,i));
    2198             :     }
    2199       14875 :     return y;
    2200             :   }
    2201        6552 :   av = avma;
    2202        6552 :   return gerepileupto(av, gmul(gexp(gel(x,2),prec), serexp(serchop0(x),prec)));
    2203             : }
    2204             : 
    2205             : GEN
    2206     5330235 : gexp(GEN x, long prec)
    2207             : {
    2208     5330235 :   switch(typ(x))
    2209             :   {
    2210     4005853 :     case t_REAL: return mpexp(x);
    2211     1123705 :     case t_COMPLEX: return cxexp(x,prec);
    2212          42 :     case t_PADIC: return Qp_exp(x);
    2213             :     default:
    2214             :     {
    2215      200635 :       pari_sp av = avma;
    2216             :       GEN y;
    2217      200635 :       if (!(y = toser_i(x))) break;
    2218       20062 :       return gerepileupto(av, serexp(y,prec));
    2219             :     }
    2220             :   }
    2221      180573 :   return trans_eval("exp",gexp,x,prec);
    2222             : }
    2223             : 
    2224             : /********************************************************************/
    2225             : /**                                                                **/
    2226             : /**                           AGM(X, Y)                            **/
    2227             : /**                                                                **/
    2228             : /********************************************************************/
    2229             : static int
    2230     4022363 : agmr_gap(GEN a, GEN b, long L)
    2231             : {
    2232     4022363 :   GEN d = subrr(b, a);
    2233     4022363 :   return (signe(d) && expo(d) - expo(b) >= L);
    2234             : }
    2235             : /* assume x > 0 */
    2236             : static GEN
    2237      286267 : agm1r_abs(GEN x)
    2238             : {
    2239      286267 :   long l = realprec(x), L = 5-prec2nbits(l);
    2240      286267 :   GEN a1, b1, y = cgetr(l);
    2241      286267 :   pari_sp av = avma;
    2242             : 
    2243      286267 :   a1 = addrr(real_1(l), x); shiftr_inplace(a1, -1);
    2244      286267 :   b1 = sqrtr_abs(x);
    2245     4308630 :   while (agmr_gap(a1,b1,L))
    2246             :   {
    2247     3736096 :     GEN a = a1;
    2248     3736096 :     a1 = addrr(a,b1); shiftr_inplace(a1, -1);
    2249     3736096 :     b1 = sqrtr_abs(mulrr(a,b1));
    2250             :   }
    2251      286267 :   affrr_fixlg(a1,y); avma = av; return y;
    2252             : }
    2253             : 
    2254             : struct agmcx_gap_t { long L, ex, cnt; };
    2255             : 
    2256             : static void
    2257        4089 : agmcx_init(GEN x, long *prec, struct agmcx_gap_t *S)
    2258             : {
    2259        4089 :   long l = precision(x);
    2260        4089 :   if (l) *prec = l;
    2261        4089 :   S->L = 1-prec2nbits(*prec);
    2262        4089 :   S->cnt = 0;
    2263        4089 :   S->ex = LONG_MAX;
    2264        4089 : }
    2265             : 
    2266             : static long
    2267        4089 : agmcx_a_b(GEN x, GEN *a1, GEN *b1, long prec)
    2268             : {
    2269        4089 :   long rotate = 0;
    2270        4089 :   if (gsigne(real_i(x))<0)
    2271             :   { /* Rotate by +/-Pi/2, so that the choice of the principal square
    2272             :      * root gives the optimal AGM. So a1 = +/-I*a1, b1=sqrt(-x). */
    2273         553 :     if (gsigne(imag_i(x))<0) { *a1=mulcxI(*a1);  rotate=-1; }
    2274         301 :     else                     { *a1=mulcxmI(*a1); rotate=1; }
    2275         553 :     x = gneg(x);
    2276             :   }
    2277        4089 :   *b1 = gsqrt(x, prec);
    2278        4089 :   return rotate;
    2279             : }
    2280             : /* return 0 if we must stop the AGM loop (a=b or a ~ b), 1 otherwise */
    2281             : static int
    2282       62567 : agmcx_gap(GEN a, GEN b, struct agmcx_gap_t *S)
    2283             : {
    2284       62567 :   GEN d = gsub(b, a);
    2285       62567 :   long ex = S->ex;
    2286       62567 :   S->ex = gexpo(d);
    2287       62567 :   if (gequal0(d) || S->ex - gexpo(b) < S->L) return 0;
    2288             :   /* if (S->ex >= ex) we're no longer making progress; twice in a row */
    2289       59499 :   if (S->ex < ex) S->cnt = 0;
    2290             :   else
    2291        2070 :     if (S->cnt++) return 0;
    2292       58478 :   return 1;
    2293             : }
    2294             : static GEN
    2295        4075 : agm1cx(GEN x, long prec)
    2296             : {
    2297             :   struct agmcx_gap_t S;
    2298             :   GEN a1, b1;
    2299        4075 :   pari_sp av = avma;
    2300             :   long rotate;
    2301        4075 :   agmcx_init(x, &prec, &S);
    2302        4075 :   a1 = gtofp(gmul2n(gadd(real_1(prec), x), -1), prec);
    2303        4075 :   rotate = agmcx_a_b(x, &a1, &b1, prec);
    2304       66556 :   while (agmcx_gap(a1,b1,&S))
    2305             :   {
    2306       58406 :     GEN a = a1;
    2307       58406 :     a1 = gmul2n(gadd(a,b1),-1);
    2308       58406 :     b1 = gsqrt(gmul(a,b1), prec);
    2309             :   }
    2310        4075 :   if (rotate) a1 = rotate>0 ? mulcxI(a1):mulcxmI(a1);
    2311        4075 :   return gerepilecopy(av,a1);
    2312             : }
    2313             : 
    2314             : GEN
    2315          14 : zellagmcx(GEN a0, GEN b0, GEN r, GEN t, long prec)
    2316             : {
    2317             :   struct agmcx_gap_t S;
    2318          14 :   pari_sp av = avma;
    2319          14 :   GEN x = gdiv(a0, b0), a1, b1;
    2320             :   long rotate;
    2321          14 :   agmcx_init(x, &prec, &S);
    2322          14 :   a1 = gtofp(gmul2n(gadd(real_1(prec), x), -1), prec);
    2323          14 :   r = gsqrt(gdiv(gmul(a1,gaddgs(r, 1)),gadd(r, x)), prec);
    2324          14 :   t = gmul(r, t);
    2325          14 :   rotate = agmcx_a_b(x, &a1, &b1, prec);
    2326         100 :   while (agmcx_gap(a1,b1,&S))
    2327             :   {
    2328          72 :     GEN a = a1, b = b1;
    2329          72 :     a1 = gmul2n(gadd(a,b),-1);
    2330          72 :     b1 = gsqrt(gmul(a,b), prec);
    2331          72 :     r = gsqrt(gdiv(gmul(a1,gaddgs(r, 1)),gadd(gmul(b, r), a )), prec);
    2332          72 :     t = gmul(r, t);
    2333             :   }
    2334          14 :   if (rotate) a1 = rotate>0 ? mulcxI(a1):mulcxmI(a1);
    2335          14 :   a1 = gmul(a1, b0);
    2336          14 :   t = gatan(gdiv(a1,t), prec);
    2337             :   /* send t to the fundamental domain if necessary */
    2338          14 :   if (gsigne(real_i(t))<0) t = gadd(t, mppi(prec));
    2339          14 :   return gerepileupto(av,gdiv(t,a1));
    2340             : }
    2341             : 
    2342             : /* agm(1,x) */
    2343             : static GEN
    2344        2473 : agm1(GEN x, long prec)
    2345             : {
    2346             :   GEN p1, a1, b1, y;
    2347             :   long l, l2, ep;
    2348             :   pari_sp av;
    2349             : 
    2350        2473 :   if (gequal0(x)) return gcopy(x);
    2351        2473 :   switch(typ(x))
    2352             :   {
    2353             :     case t_INT:
    2354          28 :       if (!is_pm1(x)) break;
    2355          21 :       return (signe(x) > 0)? real_1(prec): real_0(prec);
    2356             : 
    2357        1213 :     case t_REAL: return signe(x) > 0? agm1r_abs(x): agm1cx(x, prec);
    2358             : 
    2359             :     case t_COMPLEX:
    2360        1106 :       if (gequal0(gel(x,2))) return agm1(gel(x,1), prec);
    2361        1106 :       return agm1cx(x, prec);
    2362             : 
    2363             :     case t_PADIC:
    2364          14 :       av = avma;
    2365          14 :       a1 = x; b1 = gen_1; l = precp(x);
    2366             :       do
    2367             :       {
    2368          28 :         GEN a = a1;
    2369          28 :         a1 = gmul2n(gadd(a,b1),-1);
    2370          28 :         a = gmul(a,b1);
    2371          28 :         b1 = Qp_sqrt(a); if (!b1) pari_err_SQRTN("Qp_sqrt",a);
    2372          21 :         p1 = gsub(b1,a1); ep = valp(p1)-valp(b1);
    2373          21 :         if (ep<=0) { b1 = gneg_i(b1); p1 = gsub(b1,a1); ep=valp(p1)-valp(b1); }
    2374             :       }
    2375          21 :       while (ep<l && !gequal0(p1));
    2376           7 :       return gerepilecopy(av,a1);
    2377             : 
    2378             :     default:
    2379         112 :       av = avma; if (!(y = toser_i(x))) break;
    2380           7 :       a1 = y; b1 = gen_1; l = lg(y)-2;
    2381           7 :       l2 = 5-prec2nbits(prec);
    2382             :       do
    2383             :       {
    2384          28 :         GEN a = a1;
    2385          28 :         a1 = gmul2n(gadd(a,b1),-1);
    2386          28 :         b1 = gsqrt(gmul(a,b1), prec);
    2387          28 :         p1 = gsub(b1,a1); ep = valp(p1)-valp(b1);
    2388             :       }
    2389          21 :       while (ep<l && !gequal0(p1)
    2390          49 :                   && (!isinexactreal(p1) || gexpo(p1) - gexpo(b1) >= l2));
    2391           7 :       return gerepilecopy(av,a1);
    2392             :   }
    2393         112 :   return trans_eval("agm",agm1,x,prec);
    2394             : }
    2395             : 
    2396             : GEN
    2397        2361 : agm(GEN x, GEN y, long prec)
    2398             : {
    2399             :   pari_sp av;
    2400        2361 :   if (is_matvec_t(typ(y)))
    2401             :   {
    2402          14 :     if (is_matvec_t(typ(x))) pari_err_TYPE2("agm",x,y);
    2403           7 :     swap(x, y);
    2404             :   }
    2405        2354 :   if (gequal0(y)) return gcopy(y);
    2406        2354 :   av = avma;
    2407        2354 :   return gerepileupto(av, gmul(y, agm1(gdiv(x,y), prec)));
    2408             : }
    2409             : 
    2410             : /********************************************************************/
    2411             : /**                                                                **/
    2412             : /**                             LOG(X)                             **/
    2413             : /**                                                                **/
    2414             : /********************************************************************/
    2415             : /* atanh(u/v) using binary splitting */
    2416             : static GEN
    2417        4484 : atanhQ_split(ulong u, ulong v, long prec)
    2418             : {
    2419             :   long i, nmax;
    2420        4484 :   GEN u2 = sqru(u), v2 = sqru(v);
    2421        4484 :   double d = ((double)v) / u;
    2422             :   struct abpq_res R;
    2423             :   struct abpq A;
    2424             :   /* satisfies (2n+1) (v/u)^2n > 2^bitprec */
    2425        4484 :   nmax = (long)(prec2nbits(prec) / (2*log2(d)));
    2426        4484 :   abpq_init(&A, nmax);
    2427        4484 :   A.a[0] = A.b[0] = gen_1;
    2428        4484 :   A.p[0] = utoipos(u);
    2429        4484 :   A.q[0] = utoipos(v);
    2430      583506 :   for (i = 1; i <= nmax; i++)
    2431             :   {
    2432      579022 :     A.a[i] = gen_1;
    2433      579022 :     A.b[i] = utoipos((i<<1)+1);
    2434      579022 :     A.p[i] = u2;
    2435      579022 :     A.q[i] = v2;
    2436             :   }
    2437        4484 :   abpq_sum(&R, 0, nmax, &A);
    2438        4484 :   return rdivii(R.T, mulii(R.B,R.Q),prec);
    2439             : }
    2440             : /* log(2) = 10*atanh(1/17)+4*atanh(13/499) */
    2441             : static GEN
    2442        2242 : log2_split(long prec)
    2443             : {
    2444        2242 :   GEN u = atanhQ_split(1, 17, prec);
    2445        2242 :   GEN v = atanhQ_split(13, 499, prec);
    2446        2242 :   shiftr_inplace(v, 2);
    2447        2242 :   return addrr(mulur(10, u), v);
    2448             : }
    2449             : #if 0 /* slower ! */
    2450             : /* cf logagmr_abs(). Compute Pi/2agm(1, 4/2^n) ~ log(2^n) = n log(2) */
    2451             : static GEN
    2452             : log2_agm(long prec)
    2453             : {
    2454             :   long n = prec2nbits(prec) >> 1;
    2455             :   GEN y = divrr(Pi2n(-1, prec), agm1r_abs( real2n(2 - n, prec) ));
    2456             :   return divru(y, n);
    2457             : }
    2458             : #endif
    2459             : GEN
    2460     8991001 : constlog2(long prec)
    2461             : {
    2462             :   pari_sp av;
    2463             :   GEN tmp;
    2464     8991001 :   if (glog2 && realprec(glog2) >= prec) return glog2;
    2465             : 
    2466        2242 :   tmp = cgetr_block(prec);
    2467        2242 :   av = avma;
    2468        2242 :   affrr(log2_split(prec+EXTRAPRECWORD), tmp);
    2469        2242 :   swap_clone(&glog2,tmp);
    2470        2242 :   avma = av; return glog2;
    2471             : }
    2472             : 
    2473             : GEN
    2474     8991001 : mplog2(long prec) { return rtor(constlog2(prec), prec); }
    2475             : 
    2476             : static GEN
    2477      303623 : logagmr_abs(GEN q)
    2478             : {
    2479      303623 :   long prec = realprec(q), lim, e = expo(q);
    2480             :   GEN z, y, Q, _4ovQ;
    2481             :   pari_sp av;
    2482             : 
    2483      303623 :   if (absrnz_equal2n(q)) return e? mulsr(e, mplog2(prec)): real_0(prec);
    2484      285096 :   z = cgetr(prec); av = avma; incrprec(prec);
    2485      285096 :   lim = prec2nbits(prec) >> 1;
    2486      285096 :   Q = rtor(q,prec);
    2487      285096 :   shiftr_inplace(Q,lim-e); setsigne(Q,1);
    2488             : 
    2489      285096 :   _4ovQ = invr(Q); shiftr_inplace(_4ovQ, 2); /* 4/Q */
    2490             :   /* Pi / 2agm(1, 4/Q) ~ log(Q), q = Q * 2^(e-lim) */
    2491      285096 :   y = divrr(Pi2n(-1, prec), agm1r_abs(_4ovQ));
    2492      285096 :   y = addrr(y, mulsr(e - lim, mplog2(prec)));
    2493      285096 :   affrr_fixlg(y, z); avma = av; return z;
    2494             : }
    2495             : /*return log(|x|), assuming x != 0 */
    2496             : GEN
    2497     2427676 : logr_abs(GEN X)
    2498             : {
    2499             :   pari_sp ltop;
    2500     2427676 :   long EX, L, m, k, a, b, l = realprec(X);
    2501             :   GEN z, x, y;
    2502             :   ulong u;
    2503             :   double d;
    2504             : 
    2505     2427676 :   if (l > LOGAGM_LIMIT) return logagmr_abs(X);
    2506             : 
    2507             :  /* Assuming 1 < x < 2, we want delta = x-1, 1-x/2, 1-1/x, or 2/x-1 small.
    2508             :   * We have 2/x-1 > 1-x/2, 1-1/x < x-1. So one should be choosing between
    2509             :   * 1-1/x and 1-x/2 ( crossover sqrt(2), worse ~ 0.29 ). To avoid an inverse,
    2510             :   * we choose between x-1 and 1-x/2 ( crossover 4/3, worse ~ 0.33 ) */
    2511     2124053 :   EX = expo(X);
    2512     2124053 :   u = uel(X,2);
    2513     2124053 :   k = 2;
    2514     2124053 :   if (u > (~0UL / 3) * 2) { /* choose 1-x/2 */
    2515     1276618 :     EX++; u = ~u;
    2516     1276618 :     while (!u && ++k < l) { u = uel(X,k); u = ~u; }
    2517             :   } else { /* choose x - 1 */
    2518      847435 :     u &= ~HIGHBIT; /* u - HIGHBIT, assuming HIGHBIT set */
    2519      847435 :     while (!u && ++k < l) u = uel(X,k);
    2520             :   }
    2521     2124053 :   if (k == l) return EX? mulsr(EX, mplog2(l)): real_0(l);
    2522     2050039 :   z = cgetr(EX? l: l - (k-2)); ltop = avma;
    2523             : 
    2524     2050039 :   a = prec2nbits(k) + bfffo(u); /* ~ -log2 |1-x| */
    2525             :  /* Multiplication is quadratic in this range (l is small, otherwise we
    2526             :   * use AGM). Set Y = x^(1/2^m), y = (Y - 1) / (Y + 1) and compute truncated
    2527             :   * series sum y^(2k+1)/(2k+1): the costs is less than
    2528             :   *    m b^2 + sum_{k <= n} ((2k+1) e + BITS_IN_LONG)^2
    2529             :   * bit operations with |x-1| <  2^(1-a), |Y| < 2^(1-e) , m = e-a and b bits of
    2530             :   * accuracy needed (+ BITS_IN_LONG since bit accuracies increase by
    2531             :   * increments of BITS_IN_LONG), so
    2532             :   * 4n^3/3 e^2 + n^2 2e BITS_IN_LONG+ n BITS_IN_LONG ~ m b^2, with n ~ b/2e
    2533             :   * or b/6e + BITS_IN_LONG/2e + BITS_IN_LONG/2be ~ m
    2534             :   *    B := (b / 6 + BITS_IN_LONG/2 + BITS_IN_LONG^2 / 2b) ~ m(m+a)
    2535             :   *     m = min( -a/2 + sqrt(a^2/4 + B),  b - a )
    2536             :   * NB: e ~ (b/6)^(1/2) as b -> oo */
    2537     2050039 :   L = l+1;
    2538     2050039 :   b = prec2nbits(L - (k-2)); /* take loss of accuracy into account */
    2539             :   /* instead of the above pessimistic estimate for the cost of the sum, use
    2540             :    * optimistic estimate (BITS_IN_LONG -> 0) */
    2541     2050039 :   d = -a/2.; m = (long)(d + sqrt(d*d + b/6)); /* >= 0 */
    2542             : 
    2543     2050039 :   if (m > b-a) m = b-a;
    2544     2050039 :   if (m < 0.2*a) m = 0; else L += nbits2extraprec(m);
    2545     2050039 :   x = rtor(X,L);
    2546     2050039 :   setsigne(x,1); shiftr_inplace(x,-EX);
    2547             :   /* 2/3 < x < 4/3 */
    2548     2050039 :   for (k=1; k<=m; k++) x = sqrtr_abs(x);
    2549             : 
    2550     2050039 :   y = divrr(subrs(x,1), addrs(x,1)); /* = (x-1) / (x+1), close to 0 */
    2551     2050039 :   L = realprec(y); /* should be ~ l+1 - (k-2) */
    2552             :   /* log(x) = log(1+y) - log(1-y) = 2 sum_{k odd} y^k / k
    2553             :    * Truncate the sum at k = 2n+1, the remainder is
    2554             :    *   2 sum_{k >= 2n+3} y^k / k < 2y^(2n+3) / (2n+3)(1-y) < y^(2n+3)
    2555             :    * We want y^(2n+3) < y 2^(-prec2nbits(L)), hence
    2556             :    *   n+1 > -prec2nbits(L) /-log_2(y^2) */
    2557     2050039 :   d = -2*dbllog2r(y); /* ~ -log_2(y^2) */
    2558     2050039 :   k = (long)(2*(prec2nbits(L) / d));
    2559     2050039 :   k |= 1;
    2560     2050039 :   if (k >= 3)
    2561             :   {
    2562     2045447 :     GEN S, T, y2 = sqrr(y), unr = real_1(L);
    2563     2045447 :     pari_sp av = avma;
    2564     2045447 :     long s = 0, incs = (long)d, l1 = nbits2prec((long)d);
    2565     2045447 :     S = x;
    2566     2045447 :     setprec(S,  l1);
    2567     2045447 :     setprec(unr,l1); affrr(divru(unr,k), S); /* destroy x, not needed anymore */
    2568    36040939 :     for (k -= 2;; k -= 2) /* k = 2n+1, ..., 1 */
    2569             :     { /* S = y^(2n+1-k)/(2n+1) + ... + 1 / k */
    2570    36040939 :       setprec(y2, l1); T = mulrr(S,y2);
    2571    36040939 :       if (k == 1) break;
    2572             : 
    2573    33995492 :       l1 += dvmdsBIL(s + incs, &s); if (l1>L) l1=L;
    2574    33995492 :       setprec(S, l1);
    2575    33995492 :       setprec(unr,l1);
    2576    33995492 :       affrr(addrr(divru(unr, k), T), S); avma = av;
    2577    33995492 :     }
    2578             :     /* k = 1 special-cased for eficiency */
    2579     2045447 :     y = mulrr(y, addsr(1,T)); /* = log(X)/2 */
    2580             :   }
    2581     2050039 :   shiftr_inplace(y, m + 1);
    2582     2050039 :   if (EX) y = addrr(y, mulsr(EX, mplog2(l+1)));
    2583     2050039 :   affrr_fixlg(y, z); avma = ltop; return z;
    2584             : }
    2585             : 
    2586             : /* assume Im(q) != 0 and precision(q) >= prec. Compute log(q) with accuracy
    2587             :  * prec [disregard input accuracy] */
    2588             : GEN
    2589        2927 : logagmcx(GEN q, long prec)
    2590             : {
    2591        2927 :   GEN z = cgetc(prec), y, Q, a, b;
    2592             :   long lim, e, ea, eb;
    2593        2927 :   pari_sp av = avma;
    2594        2927 :   int neg = 0;
    2595             : 
    2596        2927 :   incrprec(prec);
    2597        2927 :   if (gsigne(gel(q,1)) < 0) { q = gneg(q); neg = 1; }
    2598        2927 :   lim = prec2nbits(prec) >> 1;
    2599        2927 :   Q = gtofp(q, prec);
    2600        2927 :   a = gel(Q,1);
    2601        2927 :   b = gel(Q,2);
    2602        2927 :   if (gequal0(a)) {
    2603           0 :     affrr_fixlg(logr_abs(b), gel(z,1));
    2604           0 :     y = Pi2n(-1, prec);
    2605           0 :     if (signe(b) < 0) setsigne(y, -1);
    2606           0 :     affrr_fixlg(y, gel(z,2)); avma = av; return z;
    2607             :   }
    2608        2927 :   ea = expo(a);
    2609        2927 :   eb = expo(b);
    2610        2927 :   e = ea <= eb ? lim - eb : lim - ea;
    2611        2927 :   shiftr_inplace(a, e);
    2612        2927 :   shiftr_inplace(b, e);
    2613             : 
    2614             :   /* Pi / 2agm(1, 4/Q) ~ log(Q), q = Q * 2^e */
    2615        2927 :   y = gdiv(Pi2n(-1, prec), agm1cx( gdivsg(4, Q), prec ));
    2616        2927 :   a = gel(y,1);
    2617        2927 :   b = gel(y,2);
    2618        2927 :   a = addrr(a, mulsr(-e, mplog2(prec)));
    2619        2927 :   if (realprec(a) <= LOWDEFAULTPREC) a = real_0_bit(expo(a));
    2620        4890 :   if (neg) b = gsigne(b) <= 0? gadd(b, mppi(prec))
    2621        1963 :                              : gsub(b, mppi(prec));
    2622        2927 :   affrr_fixlg(a, gel(z,1));
    2623        2927 :   affrr_fixlg(b, gel(z,2)); avma = av; return z;
    2624             : }
    2625             : 
    2626             : GEN
    2627      239887 : mplog(GEN x)
    2628             : {
    2629      239887 :   if (signe(x)<=0) pari_err_DOMAIN("mplog", "argument", "<=", gen_0, x);
    2630      239887 :   return logr_abs(x);
    2631             : }
    2632             : 
    2633             : /* pe = p^e, p prime, 0 < x < pe a t_INT coprime to p. Return the (p-1)-th
    2634             :  * root of 1 in (Z/pe)^* congruent to x mod p, resp x mod 4 if p = 2.
    2635             :  * Simplified form of Zp_sqrtnlift: 1/(p-1) is trivial to compute */
    2636             : GEN
    2637        1316 : Zp_teichmuller(GEN x, GEN p, long e, GEN pe)
    2638             : {
    2639             :   GEN q, z, p1;
    2640             :   pari_sp av;
    2641             :   ulong mask;
    2642        1316 :   if (equaliu(p,2)) return (mod4(x) & 2)? subiu(pe,1): gen_1;
    2643        1316 :   if (e == 1) return icopy(x);
    2644        1316 :   av = avma;
    2645        1316 :   p1 = subiu(p, 1);
    2646        1316 :   mask = quadratic_prec_mask(e);
    2647        1316 :   q = p; z = remii(x, p);
    2648        7714 :   while (mask > 1)
    2649             :   { /* Newton iteration solving z^{1 - p} = 1, z = x (mod p) */
    2650        5082 :     GEN w, t, qold = q;
    2651        5082 :     if (mask <= 3) /* last iteration */
    2652        1316 :       q = pe;
    2653             :     else
    2654             :     {
    2655        3766 :       q = sqri(q);
    2656        3766 :       if (mask & 1) q = diviiexact(q, p);
    2657             :     }
    2658        5082 :     mask >>= 1;
    2659             :     /* q <= qold^2 */
    2660        5082 :     if (lgefint(q) == 3)
    2661             :     {
    2662        4935 :       ulong Z = uel(z,2), Q = uel(q,2), P1 = uel(p1,2);
    2663        4935 :       ulong W = (Q-1) / P1; /* -1/(p-1) + O(qold) */
    2664        4935 :       ulong T = Fl_mul(W, Fl_powu(Z,P1,Q) - 1, Q);
    2665        4935 :       Z = Fl_mul(Z, 1 + T, Q);
    2666        4935 :       z = utoi(Z);
    2667             :     }
    2668             :     else
    2669             :     {
    2670         147 :       w = diviiexact(addsi(-1,qold),p1); /* -1/(p-1) + O(qold) */
    2671         147 :       t = Fp_mul(w, subis(Fp_pow(z,p1,q), 1), q);
    2672         147 :       z = Fp_mul(z, addsi(1,t), q);
    2673             :     }
    2674             :   }
    2675        1316 :   return gerepileuptoint(av, z);
    2676             : }
    2677             : 
    2678             : GEN
    2679        1197 : teichmullerinit(long p, long n)
    2680             : {
    2681             :   GEN t, pn, g, v;
    2682             :   ulong gp, tp;
    2683             :   long a, m;
    2684             : 
    2685        1197 :   if (p == 2) return mkvec(gen_1);
    2686        1197 :   if (!uisprime(p)) pari_err_PRIME("teichmullerinit",utoipos(p));
    2687             : 
    2688        1197 :   m = p >> 1; /* (p-1)/2 */
    2689        1197 :   tp= gp= pgener_Fl(p); /* order (p-1), gp^m = -1 */
    2690        1197 :   pn = powuu(p, n);
    2691        1197 :   v = cgetg(p, t_VEC);
    2692        1197 :   t = g = Zp_teichmuller(utoipos(gp), utoipos(p), n, pn);
    2693        1197 :   gel(v, 1) = gen_1;
    2694        1197 :   gel(v, p-1) = subiu(pn,1);
    2695        2842 :   for (a = 1; a < m; a++)
    2696             :   {
    2697        1645 :     gel(v, tp) = t;
    2698        1645 :     gel(v, p - tp) = Fp_neg(t, pn); /* g^(m+a) = -g^a */
    2699        1645 :     if (a < m-1)
    2700             :     {
    2701         896 :       t = Fp_mul(t, g, pn); /* g^(a+1) */
    2702         896 :       tp = Fl_mul(tp, gp, p); /* t mod p  */
    2703             :     }
    2704             :   }
    2705        1197 :   return v;
    2706             : }
    2707             : 
    2708             : /* tab from teichmullerinit or NULL */
    2709             : GEN
    2710         238 : teichmuller(GEN x, GEN tab)
    2711             : {
    2712             :   GEN p, q, y, z;
    2713         238 :   long n, tx = typ(x);
    2714             : 
    2715         238 :   if (!tab)
    2716             :   {
    2717         126 :     if (tx == t_VEC && lg(x) == 3)
    2718             :     {
    2719           7 :       p = gel(x,1);
    2720           7 :       q = gel(x,2);
    2721           7 :       if (typ(p) == t_INT && typ(q) == t_INT)
    2722           7 :         return teichmullerinit(itos(p), itos(q));
    2723             :     }
    2724             :   }
    2725         112 :   else if (typ(tab) != t_VEC) pari_err_TYPE("teichmuller",tab);
    2726         231 :   if (tx!=t_PADIC) pari_err_TYPE("teichmuller",x);
    2727         231 :   z = gel(x,4);
    2728         231 :   if (!signe(z)) return gcopy(x);
    2729         231 :   p = gel(x,2);
    2730         231 :   q = gel(x,3);
    2731         231 :   n = precp(x);
    2732         231 :   y = cgetg(5,t_PADIC);
    2733         231 :   y[1] = evalprecp(n) | _evalvalp(0);
    2734         231 :   gel(y,2) = icopy(p);
    2735         231 :   gel(y,3) = icopy(q);
    2736         231 :   if (tab)
    2737             :   {
    2738         112 :     ulong pp = itou_or_0(p);
    2739         112 :     if (lg(tab) != (long)pp) pari_err_TYPE("teichmuller",tab);
    2740         112 :     z = gel(tab, umodiu(z, pp));
    2741         112 :     if (typ(z) != t_INT) pari_err_TYPE("teichmuller",tab);
    2742         112 :     z = remii(z, q);
    2743             :   }
    2744             :   else
    2745         119 :     z = Zp_teichmuller(z, p, n, q);
    2746         231 :   gel(y,4) = z;
    2747         231 :   return y;
    2748             : }
    2749             : GEN
    2750           0 : teich(GEN x) { return teichmuller(x, NULL); }
    2751             : 
    2752             : GEN
    2753     2663530 : glog(GEN x, long prec)
    2754             : {
    2755             :   pari_sp av, tetpil;
    2756             :   GEN y, p1;
    2757             :   long l;
    2758             : 
    2759     2663530 :   switch(typ(x))
    2760             :   {
    2761             :     case t_REAL:
    2762     1725177 :       if (signe(x) >= 0)
    2763             :       {
    2764     1476568 :         if (!signe(x)) pari_err_DOMAIN("log", "argument", "=", gen_0, x);
    2765     1476554 :         return logr_abs(x);
    2766             :       }
    2767      248609 :       retmkcomplex(logr_abs(x), mppi(realprec(x)));
    2768             : 
    2769             :     case t_FRAC:
    2770             :     {
    2771             :       GEN a, b;
    2772             :       long e1, e2;
    2773      120453 :       av = avma;
    2774      120453 :       a = gel(x,1);
    2775      120453 :       b = gel(x,2);
    2776      120453 :       e1 = expi(subii(a,b)); e2 = expi(b);
    2777      120453 :       if (e2 > e1) prec += nbits2nlong(e2 - e1);
    2778      120453 :       x = fractor(x, prec);
    2779      120453 :       return gerepileupto(av, glog(x, prec));
    2780             :     }
    2781             :     case t_COMPLEX:
    2782      372267 :       if (ismpzero(gel(x,2))) return glog(gel(x,1), prec);
    2783      370335 :       if (ismpzero(gel(x,1)))
    2784             :       {
    2785        3297 :         GEN a = gel(x,2), b;
    2786        3297 :         av = avma; b = Pi2n(-1,prec);
    2787        3297 :         if (gsigne(a) < 0) { setsigne(b, -1); a = gabs(a,prec); }
    2788        3297 :         a = isint1(a) ? gen_0: glog(a,prec);
    2789        3297 :         return gerepilecopy(av, mkcomplex(a, b));
    2790             :       }
    2791      367038 :       l = precision(x); if (l > prec) prec = l;
    2792      367038 :       if (prec >= LOGAGMCX_LIMIT) return logagmcx(x, prec);
    2793      364307 :       y = cgetg(3,t_COMPLEX);
    2794      364307 :       gel(y,2) = garg(x,prec);
    2795      364307 :       av = avma; p1 = glog(cxnorm(x),prec); tetpil = avma;
    2796      364307 :       gel(y,1) = gerepile(av,tetpil,gmul2n(p1,-1)); return y;
    2797             : 
    2798         357 :     case t_PADIC: return Qp_log(x);
    2799             :     default:
    2800      445276 :       av = avma; if (!(y = toser_i(x))) break;
    2801          21 :       if (!signe(y)) pari_err_DOMAIN("log", "argument", "=", gen_0, x);
    2802          21 :       if (valp(y)) pari_err_DOMAIN("log", "series valuation", "!=", gen_0, x);
    2803          14 :       p1 = integser(gdiv(derivser(y), y)); /* log(y)' = y'/y */
    2804          14 :       if (!gequal1(gel(y,2))) p1 = gadd(p1, glog(gel(y,2),prec));
    2805          14 :       return gerepileupto(av, p1);
    2806             :   }
    2807      445255 :   return trans_eval("log",glog,x,prec);
    2808             : }
    2809             : /********************************************************************/
    2810             : /**                                                                **/
    2811             : /**                        SINE, COSINE                            **/
    2812             : /**                                                                **/
    2813             : /********************************************************************/
    2814             : 
    2815             : /* Reduce x0 mod Pi/2 to x in [-Pi/4, Pi/4]. Return cos(x)-1 */
    2816             : static GEN
    2817     4426738 : mpcosm1(GEN x, long *ptmod8)
    2818             : {
    2819     4426738 :   long a = expo(x), l = realprec(x), b, L, i, n, m, B;
    2820             :   GEN y, p2, x2;
    2821             :   double d;
    2822             : 
    2823     4426738 :   n = 0;
    2824     4426738 :   if (a >= 0)
    2825             :   {
    2826             :     long p;
    2827             :     GEN q;
    2828     3310639 :     if (a > 30)
    2829             :     {
    2830         763 :       GEN z, pitemp = Pi2n(-2, nbits2prec(a + 32));
    2831         763 :       z = addrr(x,pitemp); /* = x + Pi/4 */
    2832         763 :       if (expo(z) >= bit_prec(z) + 3) pari_err_PREC("mpcosm1");
    2833         763 :       shiftr_inplace(pitemp, 1);
    2834         763 :       q = floorr( divrr(z,pitemp) ); /* round ( x / (Pi/2) ) */
    2835         763 :       p = l+EXTRAPRECWORD; x = rtor(x,p);
    2836             :     } else {
    2837     3309876 :       q = stoi((long)floor(rtodbl(x) / (M_PI/2) + 0.5));
    2838     3309876 :       p = l;
    2839             :     }
    2840     3310639 :     if (signe(q))
    2841             :     {
    2842     3310639 :       x = subrr(x, mulir(q, Pi2n(-1,p))); /* x mod Pi/2  */
    2843     3310639 :       a = expo(x);
    2844     3310639 :       if (!signe(x) && a >= 0) pari_err_PREC("mpcosm1");
    2845     3310639 :       n = mod4(q); if (n && signe(q) < 0) n = 4 - n;
    2846             :     }
    2847             :   }
    2848             :   /* a < 0 */
    2849     4426738 :   b = signe(x); *ptmod8 = (b < 0)? 4 + n: n;
    2850     4426738 :   if (!b) return real_0_bit(expo(x)*2 - 1);
    2851             : 
    2852     4246836 :   b = prec2nbits(l);
    2853     4246836 :   if (b + 2*a <= 0) {
    2854      171614 :     y = sqrr(x); shiftr_inplace(y, -1); setsigne(y, -1);
    2855      171614 :     return y;
    2856             :   }
    2857             : 
    2858     4075222 :   y = cgetr(l);
    2859     4075222 :   B = b/6 + BITS_IN_LONG + (BITS_IN_LONG*BITS_IN_LONG/2)/ b;
    2860     4075222 :   d = a/2.; m = (long)(d + sqrt(d*d + B)); /* >= 0 ,*/
    2861     4075222 :   if (m < (-a) * 0.1) m = 0; /* not worth it */
    2862     4075222 :   L = l + nbits2extraprec(m);
    2863             : 
    2864     4075222 :   b += m;
    2865     4075222 :   d = 2.0 * (m-dbllog2r(x)-1/LOG2); /* ~ 2( - log_2 Y - 1/log(2) ) */
    2866     4075222 :   n = (long)(b / d);
    2867     4075222 :   if (n > 1)
    2868     4048188 :     n = (long)(b / (d + log2((double)n+1))); /* log~constant in small ranges */
    2869     4075222 :   while (n*(d+log2((double)n+1)) < b) n++; /* expect few corrections */
    2870             : 
    2871             :  /* Multiplication is quadratic in this range (l is small, otherwise we
    2872             :   * use logAGM + Newton). Set Y = 2^(-e-a) x, compute truncated series
    2873             :   * sum Y^2k/(2k)!: this costs roughly
    2874             :   *   m b^2 + sum_{k <= n} (2k e + BITS_IN_LONG)^2
    2875             :   *   ~ floor(b/2e) b^2 / 3  + m b^2
    2876             :   * bit operations with |x| <  2^(1+a), |Y| < 2^(1-e) , m = e+a and b bits of
    2877             :   * accuracy needed, so
    2878             :   *    B := ( b / 6 + BITS_IN_LONG + BITS_IN_LONG^2 / 2b) ~ m(m-a)
    2879             :   * we want b ~ 6 m (m-a) or m~b+a hence
    2880             :   *     m = min( a/2 + sqrt(a^2/4 + b/6),  b/2 + a )
    2881             :   * NB1: e ~ (b/6)^(1/2) or b/2.
    2882             :   * NB2: We use b/4 instead of b/6 in the formula above: hand-optimized...
    2883             :   *
    2884             :   * Truncate the sum at k = n (>= 1), the remainder is
    2885             :   * < sum_{k >= n+1} Y^2k / 2k! < Y^(2n+2) / (2n+2)!(1-Y^2) < Y^(2n+2)/(2n+1)!
    2886             :   * We want ... <= Y^2 2^-b, hence -2n log_2 |Y| + log_2 (2n+1)! >= b
    2887             :   *   log n! ~ (n + 1/2) log(n+1) - (n+1) + log(2Pi)/2,
    2888             :   * error bounded by 1/6(n+1) <= 1/12. Finally, we want
    2889             :   * 2n (-1/log(2) - log_2 |Y| + log_2(2n+2)) >= b  */
    2890     4075222 :   x = rtor(x, L); shiftr_inplace(x, -m); setsigne(x, 1);
    2891     4075222 :   x2 = sqrr(x);
    2892     4075222 :   if (n == 1) { p2 = x2; shiftr_inplace(p2, -1); setsigne(p2, -1); } /*-Y^2/2*/
    2893             :   else
    2894             :   {
    2895     4075222 :     GEN unr = real_1(L);
    2896             :     pari_sp av;
    2897     4075222 :     long s = 0, l1 = nbits2prec((long)(d + n + 16));
    2898             : 
    2899     4075222 :     p2 = cgetr(L); av = avma;
    2900    25069729 :     for (i=n; i>=2; i--)
    2901             :     {
    2902             :       GEN p1;
    2903    20994507 :       setprec(x2,l1); p1 = divrunu(x2, 2*i-1);
    2904    20994507 :       l1 += dvmdsBIL(s - expo(p1), &s); if (l1>L) l1=L;
    2905    20994507 :       if (i != n) p1 = mulrr(p1,p2);
    2906    20994507 :       setprec(unr,l1); p1 = addrr_sign(unr,1, p1,-signe(p1));
    2907    20994507 :       setprec(p2,l1); affrr(p1,p2); avma = av;
    2908             :     }
    2909     4075222 :     shiftr_inplace(p2, -1); togglesign(p2); /* p2 := -p2/2 */
    2910     4075222 :     setprec(x2,L); p2 = mulrr(x2,p2);
    2911             :   }
    2912             :   /* Now p2 = sum {1<= i <=n} (-1)^i x^(2i) / (2i)! ~ cos(x) - 1 */
    2913    37570306 :   for (i=1; i<=m; i++)
    2914             :   { /* p2 = cos(x)-1 --> cos(2x)-1 */
    2915    33495084 :     p2 = mulrr(p2, addsr(2,p2));
    2916    33495084 :     shiftr_inplace(p2, 1);
    2917    33495084 :     if ((i & 31) == 0) p2 = gerepileuptoleaf((pari_sp)y, p2);
    2918             :   }
    2919     4075222 :   affrr_fixlg(p2,y); return y;
    2920             : }
    2921             : 
    2922             : /* sqrt (|1 - (1+x)^2|) = sqrt(|x*(x+2)|). Sends cos(x)-1 to |sin(x)| */
    2923             : static GEN
    2924     2857411 : mpaut(GEN x)
    2925             : {
    2926     2857411 :   pari_sp av = avma;
    2927     2857411 :   GEN t = mulrr(x, addsr(2,x)); /* != 0 */
    2928     2857411 :   if (!signe(t)) return real_0_bit(expo(t) >> 1);
    2929     2677516 :   return gerepileuptoleaf(av, sqrtr_abs(t));
    2930             : }
    2931             : 
    2932             : /********************************************************************/
    2933             : /**                            COSINE                              **/
    2934             : /********************************************************************/
    2935             : 
    2936             : GEN
    2937     2805360 : mpcos(GEN x)
    2938             : {
    2939             :   long mod8;
    2940             :   pari_sp av;
    2941             :   GEN y,p1;
    2942             : 
    2943     2805360 :   if (!signe(x)) {
    2944        1024 :     long l = nbits2prec(-expo(x));
    2945        1024 :     if (l < LOWDEFAULTPREC) l = LOWDEFAULTPREC;
    2946        1024 :     return real_1(l);
    2947             :   }
    2948             : 
    2949     2804336 :   av = avma; p1 = mpcosm1(x,&mod8);
    2950     2804336 :   switch(mod8)
    2951             :   {
    2952      861160 :     case 0: case 4: y = addsr(1,p1); break;
    2953      677081 :     case 1: case 7: y = mpaut(p1); togglesign(y); break;
    2954      663228 :     case 2: case 6: y = subsr(-1,p1); break;
    2955      602867 :     default:        y = mpaut(p1); break; /* case 3: case 5: */
    2956             :   }
    2957     2804336 :   return gerepileuptoleaf(av, y);
    2958             : }
    2959             : 
    2960             : /* convert INT or FRAC to REAL, which is later reduced mod 2Pi : avoid
    2961             :  * cancellation */
    2962             : static GEN
    2963       11683 : tofp_safe(GEN x, long prec)
    2964             : {
    2965       33943 :   return (typ(x) == t_INT || gexpo(x) > 0)? gadd(x, real_0(prec))
    2966       13559 :                                           : fractor(x, prec);
    2967             : }
    2968             : 
    2969             : GEN
    2970      215126 : gcos(GEN x, long prec)
    2971             : {
    2972             :   pari_sp av;
    2973             :   GEN r, u, v, y, u1, v1;
    2974             :   long i;
    2975             : 
    2976      215126 :   switch(typ(x))
    2977             :   {
    2978      214482 :     case t_REAL: return mpcos(x);
    2979             :     case t_COMPLEX:
    2980          21 :       if (isintzero(gel(x,1))) return gcosh(gel(x,2), prec);
    2981          14 :       i = precision(x); if (!i) i = prec;
    2982          14 :       y = cgetc(i); av = avma;
    2983          14 :       r = gexp(gel(x,2),prec);
    2984          14 :       v1 = gmul2n(addrr(invr(r),r), -1); /* = cos(I*Im(x)) */
    2985          14 :       u1 = subrr(v1, r); /* = - I*sin(I*Im(x)) */
    2986          14 :       gsincos(gel(x,1),&u,&v,prec);
    2987          14 :       affrr_fixlg(gmul(v1,v), gel(y,1));
    2988          14 :       affrr_fixlg(gmul(u1,u), gel(y,2)); avma = av; return y;
    2989             : 
    2990             :     case t_INT: case t_FRAC:
    2991         546 :       y = cgetr(prec); av = avma;
    2992         546 :       affrr_fixlg(mpcos(tofp_safe(x,prec)), y); avma = av; return y;
    2993             : 
    2994          49 :     case t_PADIC: y = cos_p(x);
    2995          49 :       if (!y) pari_err_DOMAIN("gcos(t_PADIC)","argument","",gen_0,x);
    2996          42 :       return y;
    2997             : 
    2998             :     default:
    2999          28 :       av = avma; if (!(y = toser_i(x))) break;
    3000          21 :       if (gequal0(y)) return gerepileupto(av, gaddsg(1,y));
    3001          21 :       if (valp(y) < 0)
    3002           7 :         pari_err_DOMAIN("cos","valuation", "<", gen_0, x);
    3003          14 :       gsincos(y,&u,&v,prec);
    3004          14 :       return gerepilecopy(av,v);
    3005             :   }
    3006           7 :   return trans_eval("cos",gcos,x,prec);
    3007             : }
    3008             : /********************************************************************/
    3009             : /**                             SINE                               **/
    3010             : /********************************************************************/
    3011             : 
    3012             : GEN
    3013      271425 : mpsin(GEN x)
    3014             : {
    3015             :   long mod8;
    3016             :   pari_sp av;
    3017             :   GEN y,p1;
    3018             : 
    3019      271425 :   if (!signe(x)) return real_0_bit(expo(x));
    3020             : 
    3021      269239 :   av = avma; p1 = mpcosm1(x,&mod8);
    3022      269239 :   switch(mod8)
    3023             :   {
    3024      196721 :     case 0: case 6: y=mpaut(p1); break;
    3025       22717 :     case 1: case 5: y=addsr(1,p1); break;
    3026       27579 :     case 2: case 4: y=mpaut(p1); togglesign(y); break;
    3027       22222 :     default:        y=subsr(-1,p1); break; /* case 3: case 7: */
    3028             :   }
    3029      269239 :   return gerepileuptoleaf(av, y);
    3030             : }
    3031             : 
    3032             : GEN
    3033      274526 : gsin(GEN x, long prec)
    3034             : {
    3035             :   pari_sp av;
    3036             :   GEN r, u, v, y, v1, u1;
    3037             :   long i;
    3038             : 
    3039      274526 :   switch(typ(x))
    3040             :   {
    3041      260715 :     case t_REAL: return mpsin(x);
    3042             :     case t_COMPLEX:
    3043        2954 :       if (isintzero(gel(x,1))) retmkcomplex(gen_0,gsinh(gel(x,2),prec));
    3044        2947 :       i = precision(x); if (!i) i = prec;
    3045        2947 :       y = cgetc(i); av = avma;
    3046        2947 :       r = gexp(gel(x,2),prec);
    3047        2947 :       v1 = gmul2n(addrr(invr(r),r), -1); /* = cos(I*Im(x)) */
    3048        2947 :       u1 = subrr(r, v1); /* = I*sin(I*Im(x)) */
    3049        2947 :       gsincos(gel(x,1),&u,&v,prec);
    3050        2947 :       affrr_fixlg(gmul(v1,u), gel(y,1));
    3051        2947 :       affrr_fixlg(gmul(u1,v), gel(y,2)); avma = av; return y;
    3052             : 
    3053             :     case t_INT: case t_FRAC:
    3054       10710 :       y = cgetr(prec); av = avma;
    3055       10710 :       affrr_fixlg(mpsin(tofp_safe(x,prec)), y); avma = av; return y;
    3056             : 
    3057          49 :     case t_PADIC: y = sin_p(x);
    3058          49 :       if (!y) pari_err_DOMAIN("gsin(t_PADIC)","argument","",gen_0,x);
    3059          42 :       return y;
    3060             : 
    3061             :     default:
    3062          98 :       av = avma; if (!(y = toser_i(x))) break;
    3063          91 :       if (gequal0(y)) return gerepilecopy(av, y);
    3064          91 :       if (valp(y) < 0)
    3065           7 :         pari_err_DOMAIN("sin","valuation", "<", gen_0, x);
    3066          84 :       gsincos(y,&u,&v,prec);
    3067          84 :       return gerepilecopy(av,u);
    3068             :   }
    3069           7 :   return trans_eval("sin",gsin,x,prec);
    3070             : }
    3071             : /********************************************************************/
    3072             : /**                       SINE, COSINE together                    **/
    3073             : /********************************************************************/
    3074             : 
    3075             : void
    3076     1373392 : mpsincos(GEN x, GEN *s, GEN *c)
    3077             : {
    3078             :   long mod8;
    3079             :   pari_sp av, tetpil;
    3080             :   GEN p1, *gptr[2];
    3081             : 
    3082     1373392 :   if (!signe(x))
    3083             :   {
    3084       25118 :     long e = expo(x);
    3085       25118 :     *s = real_0_bit(e);
    3086       25118 :     *c = e >= 0? real_0_bit(e): real_1_bit(-e);
    3087       50236 :     return;
    3088             :   }
    3089             : 
    3090     1348274 :   av=avma; p1=mpcosm1(x,&mod8); tetpil=avma;
    3091     1348274 :   switch(mod8)
    3092             :   {
    3093      343362 :     case 0: *c=addsr( 1,p1); *s=mpaut(p1); break;
    3094       86476 :     case 1: *s=addsr( 1,p1); *c=mpaut(p1); togglesign(*c); break;
    3095      275941 :     case 2: *c=subsr(-1,p1); *s=mpaut(p1); togglesign(*s); break;
    3096       95303 :     case 3: *s=subsr(-1,p1); *c=mpaut(p1); break;
    3097      211661 :     case 4: *c=addsr( 1,p1); *s=mpaut(p1); togglesign(*s); break;
    3098      104626 :     case 5: *s=addsr( 1,p1); *c=mpaut(p1); break;
    3099      135615 :     case 6: *c=subsr(-1,p1); *s=mpaut(p1); break;
    3100       95290 :     case 7: *s=subsr(-1,p1); *c=mpaut(p1); togglesign(*c); break;
    3101             :   }
    3102     1348274 :   gptr[0]=s; gptr[1]=c;
    3103     1348274 :   gerepilemanysp(av,tetpil,gptr,2);
    3104             : }
    3105             : 
    3106             : /* SINE and COSINE - 1 */
    3107             : void
    3108        4889 : mpsincosm1(GEN x, GEN *s, GEN *c)
    3109             : {
    3110             :   long mod8;
    3111             :   pari_sp av, tetpil;
    3112             :   GEN p1, *gptr[2];
    3113             : 
    3114        4889 :   if (!signe(x))
    3115             :   {
    3116           0 :     long e = expo(x);
    3117           0 :     *s = real_0_bit(e);
    3118           0 :     *c = real_0_bit(2*e-1);
    3119           0 :     return;
    3120             :   }
    3121        4889 :   av=avma; p1=mpcosm1(x,&mod8); tetpil=avma;
    3122        4889 :   switch(mod8)
    3123             :   {
    3124        4490 :     case 0: *c=rcopy(p1); *s=mpaut(p1); break;
    3125          28 :     case 1: *s=addsr(1,p1); *c=addrs(mpaut(p1),1); togglesign(*c); break;
    3126           0 :     case 2: *c=subsr(-2,p1); *s=mpaut(p1); togglesign(*s); break;
    3127           0 :     case 3: *s=subsr(-1,p1); *c=subrs(mpaut(p1),1); break;
    3128         287 :     case 4: *c=rcopy(p1); *s=mpaut(p1); togglesign(*s); break;
    3129          70 :     case 5: *s=addsr( 1,p1); *c=subrs(mpaut(p1),1); break;
    3130           7 :     case 6: *c=subsr(-2,p1); *s=mpaut(p1); break;
    3131           7 :     case 7: *s=subsr(-1,p1); *c=subsr(-1,mpaut(p1)); break;
    3132             :   }
    3133        4889 :   gptr[0]=s; gptr[1]=c;
    3134        4889 :   gerepilemanysp(av,tetpil,gptr,2);
    3135             : }
    3136             : 
    3137             : /* return exp(ix), x a t_REAL */
    3138             : GEN
    3139       33729 : expIr(GEN x)
    3140             : {
    3141       33729 :   pari_sp av = avma;
    3142       33729 :   GEN v = cgetg(3,t_COMPLEX);
    3143       33729 :   mpsincos(x, (GEN*)(v+2), (GEN*)(v+1));
    3144       33729 :   if (!signe(gel(v,2))) return gerepilecopy(av, gel(v,1));
    3145       31419 :   return v;
    3146             : }
    3147             : 
    3148             : /* return exp(ix)-1, x a t_REAL */
    3149             : static GEN
    3150        4889 : expm1_Ir(GEN x)
    3151             : {
    3152        4889 :   pari_sp av = avma;
    3153        4889 :   GEN v = cgetg(3,t_COMPLEX);
    3154        4889 :   mpsincosm1(x, (GEN*)(v+2), (GEN*)(v+1));
    3155        4889 :   if (!signe(gel(v,2))) return gerepilecopy(av, gel(v,1));
    3156        4889 :   return v;
    3157             : }
    3158             : 
    3159             : /* return exp(z)-1, z complex */
    3160             : GEN
    3161        4980 : cxexpm1(GEN z, long prec)
    3162             : {
    3163        4980 :   pari_sp av = avma;
    3164        4980 :   GEN X, Y, x = real_i(z), y = imag_i(z);
    3165        4980 :   if (typ(x) != t_REAL) x = gtofp(x, prec);
    3166        4980 :   if (typ(y) != t_REAL) y = gtofp(y, prec);
    3167        4980 :   if (gequal0(y)) return mpexpm1(x);
    3168        4889 :   if (gequal0(x)) return expm1_Ir(y);
    3169        4812 :   X = mpexpm1(x); /* t_REAL */
    3170        4812 :   Y = expm1_Ir(y);
    3171             :   /* exp(x+iy) - 1 = (exp(x)-1)(exp(iy)-1) + exp(x)-1 + exp(iy)-1 */
    3172        4812 :   return gerepileupto(av, gadd(gadd(X,Y), gmul(X,Y)));
    3173             : }
    3174             : 
    3175             : void
    3176     1229028 : gsincos(GEN x, GEN *s, GEN *c, long prec)
    3177             : {
    3178             :   long i, j, ex, ex2, lx, ly, mi;
    3179             :   pari_sp av, tetpil;
    3180             :   GEN y, r, u, v, u1, v1, p1, p2, p3, p4, ps, pc;
    3181             :   GEN *gptr[4];
    3182             : 
    3183     1229028 :   switch(typ(x))
    3184             :   {
    3185             :     case t_INT: case t_FRAC:
    3186         406 :       *s = cgetr(prec);
    3187         406 :       *c = cgetr(prec); av = avma;
    3188         406 :       mpsincos(tofp_safe(x, prec), &ps, &pc);
    3189         406 :       affrr_fixlg(ps,*s);
    3190     1229434 :       affrr_fixlg(pc,*c); avma = av; return;
    3191             : 
    3192             :     case t_REAL:
    3193     1228237 :       mpsincos(x,s,c); return;
    3194             : 
    3195             :     case t_COMPLEX:
    3196         147 :       i = precision(x); if (!i) i = prec;
    3197         147 :       ps = cgetc(i); *s = ps;
    3198         147 :       pc = cgetc(i); *c = pc; av = avma;
    3199         147 :       r = gexp(gel(x,2),prec);
    3200         147 :       v1 = gmul2n(addrr(invr(r),r), -1); /* = cos(I*Im(x)) */
    3201         147 :       u1 = subrr(r, v1); /* = I*sin(I*Im(x)) */
    3202         147 :       gsincos(gel(x,1), &u,&v, prec);
    3203         147 :       affrr_fixlg(mulrr(v1,u), gel(ps,1));
    3204         147 :       affrr_fixlg(mulrr(u1,v), gel(ps,2));
    3205         147 :       affrr_fixlg(mulrr(v1,v), gel(pc,1));
    3206         147 :       affrr_fixlg(mulrr(u1,u), gel(pc,2)); togglesign(gel(pc,2));
    3207         147 :       avma = av; return;
    3208             : 
    3209             :     case t_QUAD:
    3210           0 :       av = avma; gsincos(quadtofp(x, prec), s, c, prec);
    3211           0 :       gerepileall(av, 2, s, c); return;
    3212             : 
    3213             :     default:
    3214         238 :       av = avma; if (!(y = toser_i(x))) break;
    3215         238 :       if (gequal0(y)) { *s = gerepilecopy(av,y); *c = gaddsg(1,*s); return; }
    3216             : 
    3217         238 :       ex = valp(y); lx = lg(y); ex2 = 2*ex+2;
    3218         238 :       if (ex < 0) pari_err_DOMAIN("gsincos","valuation", "<", gen_0, x);
    3219         238 :       if (ex2 > lx)
    3220             :       {
    3221          28 :         *s = x == y? gcopy(y): gerepilecopy(av, y); av = avma;
    3222          28 :         *c = gerepileupto(av, gsubsg(1, gdivgs(gsqr(y),2)));
    3223          28 :         return;
    3224             :       }
    3225         210 :       if (!ex)
    3226             :       {
    3227          49 :         gsincos(serchop0(y),&u,&v,prec);
    3228          49 :         gsincos(gel(y,2),&u1,&v1,prec);
    3229          49 :         p1 = gmul(v1,v);
    3230          49 :         p2 = gmul(u1,u);
    3231          49 :         p3 = gmul(v1,u);
    3232          49 :         p4 = gmul(u1,v); tetpil = avma;
    3233          49 :         *c = gsub(p1,p2);
    3234          49 :         *s = gadd(p3,p4);
    3235          49 :         gptr[0]=s; gptr[1]=c;
    3236          49 :         gerepilemanysp(av,tetpil,gptr,2);
    3237          49 :         return;
    3238             :       }
    3239             : 
    3240         161 :       ly = lx+2*ex;
    3241         161 :       mi = lx-1; while (mi>=3 && isrationalzero(gel(y,mi))) mi--;
    3242         161 :       mi += ex-2;
    3243         161 :       pc = cgetg(ly,t_SER); *c = pc;
    3244         161 :       ps = cgetg(lx,t_SER); *s = ps;
    3245         161 :       pc[1] = evalsigne(1) | _evalvalp(0) | evalvarn(varn(y));
    3246         161 :       gel(pc,2) = gen_1; ps[1] = y[1];
    3247         161 :       for (i=2; i<ex+2; i++) gel(ps,i) = gcopy(gel(y,i));
    3248         161 :       for (i=3; i< ex2; i++) gel(pc,i) = gen_0;
    3249        2331 :       for (i=ex2; i<ly; i++)
    3250             :       {
    3251        2170 :         long ii = i-ex;
    3252        2170 :         av = avma; p1 = gen_0;
    3253        4340 :         for (j=ex; j<=minss(ii-2,mi); j++)
    3254        2170 :           p1 = gadd(p1, gmulgs(gmul(gel(y,j-ex+2),gel(ps,ii-j)),j));
    3255        2170 :         gel(pc,i) = gerepileupto(av, gdivgs(p1,2-i));
    3256        2170 :         if (ii < lx)
    3257             :         {
    3258        2002 :           av = avma; p1 = gen_0;
    3259        3836 :           for (j=ex; j<=minss(i-ex2,mi); j++)
    3260        1834 :             p1 = gadd(p1,gmulgs(gmul(gel(y,j-ex+2),gel(pc,i-j)),j));
    3261        2002 :           p1 = gdivgs(p1,i-2);
    3262        2002 :           gel(ps,ii) = gerepileupto(av, gadd(p1,gel(y,ii)));
    3263             :         }
    3264             :       }
    3265         161 :       return;
    3266             :   }
    3267           0 :   pari_err_TYPE("gsincos",x);
    3268             : }
    3269             : 
    3270             : /********************************************************************/
    3271             : /**                                                                **/
    3272             : /**                              SINC                              **/
    3273             : /**                                                                **/
    3274             : /********************************************************************/
    3275             : static GEN
    3276      107303 : mpsinc(GEN x)
    3277             : {
    3278      107303 :   pari_sp av = avma;
    3279             :   GEN s, c;
    3280             : 
    3281      107303 :   if (!signe(x)) {
    3282           0 :     long l = nbits2prec(-expo(x));
    3283           0 :     if (l < LOWDEFAULTPREC) l = LOWDEFAULTPREC;
    3284           0 :     return real_1(l);
    3285             :   }
    3286             : 
    3287      107303 :   mpsincos(x,&s,&c);
    3288      107303 :   return gerepileuptoleaf(av, divrr(s,x));
    3289             : }
    3290             : 
    3291             : GEN
    3292      107359 : gsinc(GEN x, long prec)
    3293             : {
    3294             :   pari_sp av;
    3295             :   GEN r, u, v, y, u1, v1;
    3296             :   long i;
    3297             : 
    3298      107359 :   switch(typ(x))
    3299             :   {
    3300      107296 :     case t_REAL: return mpsinc(x);
    3301             :     case t_COMPLEX:
    3302          14 :       if (isintzero(gel(x,1)))
    3303             :       {
    3304           7 :         av = avma;
    3305           7 :         return gerepileuptoleaf(av,gdiv(gsinh(gel(x,2),prec),gel(x,2)));
    3306             :       }
    3307           7 :       i = precision(x); if (!i) i = prec;
    3308           7 :       y = cgetc(i); av = avma;
    3309           7 :       r = gexp(gel(x,2),prec);
    3310           7 :       v1 = gmul2n(addrr(invr(r),r), -1); /* = cos(I*Im(x)) */
    3311           7 :       u1 = subrr(r, v1); /* = I*sin(I*Im(x)) */
    3312           7 :       gsincos(gel(x,1),&u,&v,prec);
    3313           7 :       affc_fixlg(gdiv(mkcomplex(gmul(v1,u), gmul(u1,v)), x), y);
    3314           7 :       avma = av; return y;
    3315             : 
    3316             :     case t_INT:
    3317           7 :       if (!signe(x)) return real_1(prec); /*fall through*/
    3318             :     case t_FRAC:
    3319           7 :       y = cgetr(prec); av = avma;
    3320           7 :       affrr_fixlg(mpsinc(tofp_safe(x,prec)), y); avma = av; return y;
    3321             : 
    3322             :     case t_PADIC:
    3323          21 :       if (gequal0(x)) return cvtop(gen_1, gel(x,2), valp(x));
    3324          14 :       av = avma; y = sin_p(x);
    3325          14 :       if (!y) pari_err_DOMAIN("gsinc(t_PADIC)","argument","",gen_0,x);
    3326           7 :       return gerepileuptoleaf(av,gdiv(y,x));
    3327             : 
    3328             :     default:
    3329          14 :       av = avma; if (!(y = toser_i(x))) break;
    3330          14 :       if (gequal0(y)) return gerepileupto(av, gaddsg(1,y));
    3331          14 :       if (valp(y) < 0)
    3332           7 :         pari_err_DOMAIN("sinc","valuation", "<", gen_0, x);
    3333           7 :       gsincos(y,&u,&v,prec);
    3334           7 :       return gerepilecopy(av,gdiv(u,y));
    3335             :   }
    3336           0 :   return trans_eval("sinc",gsinc,x,prec);
    3337             : }
    3338             : 
    3339             : /********************************************************************/
    3340             : /**                                                                **/
    3341             : /**                     TANGENT and COTANGENT                      **/
    3342             : /**                                                                **/
    3343             : /********************************************************************/
    3344             : static GEN
    3345          21 : mptan(GEN x)
    3346             : {
    3347          21 :   pari_sp av = avma;
    3348             :   GEN s, c;
    3349             : 
    3350          21 :   mpsincos(x,&s,&c);
    3351          21 :   if (!signe(c))
    3352           0 :     pari_err_DOMAIN("tan", "argument", "=", strtoGENstr("Pi/2 + kPi"),x);
    3353          21 :   return gerepileuptoleaf(av, divrr(s,c));
    3354             : }
    3355             : 
    3356             : GEN
    3357          77 : gtan(GEN x, long prec)
    3358             : {
    3359             :   pari_sp av;
    3360             :   GEN y, s, c;
    3361             : 
    3362          77 :   switch(typ(x))
    3363             :   {
    3364          14 :     case t_REAL: return mptan(x);
    3365             : 
    3366             :     case t_COMPLEX: {
    3367          14 :       if (isintzero(gel(x,1))) retmkcomplex(gen_0,gtanh(gel(x,2),prec));
    3368           7 :       av = avma; y = mulcxmI(gtanh(mulcxI(x), prec)); /* tan x = -I th(I x) */
    3369           7 :       gel(y,1) = gcopy(gel(y,1));
    3370           7 :       return gerepileupto(av, y);
    3371             :     }
    3372             :     case t_INT: case t_FRAC:
    3373           7 :       y = cgetr(prec); av = avma;
    3374           7 :       affrr_fixlg(mptan(tofp_safe(x,prec)), y); avma = av; return y;
    3375             : 
    3376             :     case t_PADIC:
    3377          14 :       av = avma;
    3378          14 :       return gerepileupto(av, gdiv(gsin(x,prec), gcos(x,prec)));
    3379             : 
    3380             :     default:
    3381          28 :       av = avma; if (!(y = toser_i(x))) break;
    3382          21 :       if (gequal0(y)) return gerepilecopy(av, y);
    3383          21 :       if (valp(y) < 0)
    3384           7 :         pari_err_DOMAIN("tan","valuation", "<", gen_0, x);
    3385          14 :       gsincos(y,&s,&c,prec);
    3386          14 :       return gerepileupto(av, gdiv(s,c));
    3387             :   }
    3388           7 :   return trans_eval("tan",gtan,x,prec);
    3389             : }
    3390             : 
    3391             : static GEN
    3392          21 : mpcotan(GEN x)
    3393             : {
    3394          21 :   pari_sp av=avma, tetpil;
    3395             :   GEN s,c;
    3396             : 
    3397          21 :   mpsincos(x,&s,&c); tetpil=avma;
    3398          21 :   return gerepile(av,tetpil,divrr(c,s));
    3399             : }
    3400             : 
    3401             : GEN
    3402         126 : gcotan(GEN x, long prec)
    3403             : {
    3404             :   pari_sp av;
    3405             :   GEN y, s, c;
    3406             : 
    3407         126 :   switch(typ(x))
    3408             :   {
    3409             :     case t_REAL:
    3410          14 :       return mpcotan(x);
    3411             : 
    3412             :     case t_COMPLEX:
    3413          28 :       if (isintzero(gel(x,1))) {
    3414          14 :         GEN z = cgetg(3, t_COMPLEX);
    3415          14 :         gel(z,1) = gen_0;
    3416          14 :         av = avma;
    3417          14 :         gel(z,2) = gerepileupto(av, gneg(ginv(gtanh(gel(x,2),prec))));
    3418          14 :         return z;
    3419             :       }
    3420          14 :       av = avma;
    3421          14 :       gsincos(x,&s,&c,prec);
    3422          14 :       return gerepileupto(av, gdiv(c,s));
    3423             : 
    3424             :     case t_INT: case t_FRAC:
    3425           7 :       y = cgetr(prec); av = avma;
    3426           7 :       affrr_fixlg(mpcotan(tofp_safe(x,prec)), y); avma = av; return y;
    3427             : 
    3428             :     case t_PADIC:
    3429          14 :       av = avma;
    3430          14 :       return gerepileupto(av, gdiv(gcos(x,prec), gsin(x,prec)));
    3431             : 
    3432             :     default:
    3433          63 :       av = avma; if (!(y = toser_i(x))) break;
    3434          56 :       if (gequal0(y)) pari_err_DOMAIN("cotan", "argument", "=", gen_0, y);
    3435          56 :       if (valp(y) < 0) pari_err_DOMAIN("cotan","valuation", "<", gen_0, x);
    3436          49 :       gsincos(y,&s,&c,prec);
    3437          49 :       return gerepileupto(av, gdiv(c,s));
    3438             :   }
    3439           7 :   return trans_eval("cotan",gcotan,x,prec);
    3440             : }

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