Line data Source code
1 : /* Copyright (C) 2000 The PARI group.
2 :
3 : This file is part of the PARI/GP package.
4 :
5 : PARI/GP is free software; you can redistribute it and/or modify it under the
6 : terms of the GNU General Public License as published by the Free Software
7 : Foundation. It is distributed in the hope that it will be useful, but WITHOUT
8 : ANY WARRANTY WHATSOEVER.
9 :
10 : Check the License for details. You should have received a copy of it, along
11 : with the package; see the file 'COPYING'. If not, write to the Free Software
12 : Foundation, Inc., 51 Franklin Street, Fifth Floor, Boston, MA 02110-1301 USA. */
13 :
14 : /*********************************************************************/
15 : /** **/
16 : /** ARITHMETIC FUNCTIONS **/
17 : /** (first part) **/
18 : /** **/
19 : /*********************************************************************/
20 : #include "pari.h"
21 : #include "paripriv.h"
22 :
23 : /******************************************************************/
24 : /* */
25 : /* GENERATOR of (Z/mZ)* */
26 : /* */
27 : /******************************************************************/
28 : static GEN
29 79 : remove2(GEN q) { long v = vali(q); return v? shifti(q, -v): q; }
30 : static ulong
31 58181 : u_remove2(ulong q) { return q >> vals(q); }
32 : GEN
33 79 : odd_prime_divisors(GEN q) { return gel(Z_factor(remove2(q)), 1); }
34 : static GEN
35 58181 : u_odd_prime_divisors(ulong q) { return gel(factoru(u_remove2(q)), 1); }
36 : /* p odd prime, q=(p-1)/2; L0 list of (some) divisors of q = (p-1)/2 or NULL
37 : * (all prime divisors of q); return the q/l, l in L0 */
38 : static GEN
39 345 : is_gener_expo(GEN p, GEN L0)
40 : {
41 345 : GEN L, q = shifti(p,-1);
42 : long i, l;
43 345 : if (L0) {
44 303 : l = lg(L0);
45 303 : L = cgetg(l, t_VEC);
46 : } else {
47 42 : L0 = L = odd_prime_divisors(q);
48 42 : l = lg(L);
49 : }
50 518 : for (i=1; i<l; i++) gel(L,i) = diviiexact(q, gel(L0,i));
51 345 : return L;
52 : }
53 : static GEN
54 58011 : u_is_gener_expo(ulong p, GEN L0)
55 : {
56 58011 : const ulong q = p >> 1;
57 : long i;
58 : GEN L;
59 58011 : if (!L0) L0 = u_odd_prime_divisors(q);
60 58011 : L = cgetg_copy(L0,&i);
61 142495 : while (--i) L[i] = q / uel(L0,i);
62 58011 : return L;
63 : }
64 :
65 : int
66 148685 : is_gener_Fl(ulong x, ulong p, ulong p_1, GEN L)
67 : {
68 : long i;
69 148685 : if (krouu(x, p) >= 0) return 0;
70 162344 : for (i=lg(L)-1; i; i--)
71 : {
72 100785 : ulong t = Fl_powu(x, uel(L,i), p);
73 100785 : if (t == p_1 || t == 1) return 0;
74 : }
75 61559 : return 1;
76 : }
77 : /* assume p prime */
78 : ulong
79 191097 : pgener_Fl_local(ulong p, GEN L0)
80 : {
81 191097 : const pari_sp av = avma;
82 191097 : const ulong p_1 = p-1;
83 : long x;
84 : GEN L;
85 191097 : if (p <= 19) switch(p)
86 : { /* quick trivial cases */
87 21 : case 2: return 1;
88 25708 : case 7:
89 25708 : case 17: return 3;
90 107387 : default: return 2;
91 : }
92 57981 : L = u_is_gener_expo(p,L0);
93 57981 : for (x = 2;; x++)
94 143565 : if (is_gener_Fl(x,p,p_1,L)) return gc_ulong(av, x);
95 : }
96 : ulong
97 149703 : pgener_Fl(ulong p) { return pgener_Fl_local(p, NULL); }
98 :
99 : /* L[i] = set of (p-1)/2l, l ODD prime divisor of p-1 (l=2 can be included,
100 : * but wasteful) */
101 : int
102 915 : is_gener_Fp(GEN x, GEN p, GEN p_1, GEN L)
103 : {
104 915 : long i, t = lgefint(x)==3? kroui(x[2], p): kronecker(x, p);
105 915 : if (t >= 0) return 0;
106 1061 : for (i = lg(L)-1; i; i--)
107 : {
108 630 : GEN t = Fp_pow(x, gel(L,i), p);
109 630 : if (equalii(t, p_1) || equali1(t)) return 0;
110 : }
111 431 : return 1;
112 : }
113 :
114 : /* assume p prime, return a generator of all L[i]-Sylows in F_p^*. */
115 : GEN
116 42791 : pgener_Fp_local(GEN p, GEN L0)
117 : {
118 42791 : pari_sp av0 = avma;
119 : GEN x, p_1, L;
120 42791 : if (lgefint(p) == 3)
121 : {
122 : ulong z;
123 42451 : if (p[2] == 2) return gen_1;
124 33092 : if (L0) L0 = ZV_to_nv(L0);
125 33092 : z = pgener_Fl_local(uel(p,2), L0);
126 33092 : set_avma(av0); return utoipos(z);
127 : }
128 340 : p_1 = subiu(p,1); L = is_gener_expo(p, L0);
129 340 : x = utoipos(2);
130 745 : for (;; x[2]++) { if (is_gener_Fp(x, p, p_1, L)) break; }
131 340 : set_avma(av0); return utoipos(uel(x,2));
132 : }
133 :
134 : GEN
135 39711 : pgener_Fp(GEN p) { return pgener_Fp_local(p, NULL); }
136 :
137 : ulong
138 110630 : pgener_Zl(ulong p)
139 : {
140 110630 : if (p == 2) pari_err_DOMAIN("pgener_Zl","p","=",gen_2,gen_2);
141 : /* only p < 2^32 such that znprimroot(p) != znprimroot(p^2) */
142 110630 : if (p == 40487) return 10;
143 : #ifndef LONG_IS_64BIT
144 15800 : return pgener_Fl(p);
145 : #else
146 94830 : if (p < (1UL<<32)) return pgener_Fl(p);
147 : else
148 : {
149 30 : const pari_sp av = avma;
150 30 : const ulong p_1 = p-1;
151 : long x ;
152 30 : GEN p2 = sqru(p), L = u_is_gener_expo(p, NULL);
153 30 : for (x=2;;x++)
154 102 : if (is_gener_Fl(x,p,p_1,L) && !is_pm1(Fp_powu(utoipos(x),p_1,p2)))
155 30 : return gc_ulong(av, x);
156 : }
157 : #endif
158 : }
159 :
160 : /* p prime. Return a primitive root modulo p^e, e > 1 */
161 : GEN
162 110635 : pgener_Zp(GEN p)
163 : {
164 110635 : if (lgefint(p) == 3) return utoipos(pgener_Zl(p[2]));
165 : else
166 : {
167 5 : const pari_sp av = avma;
168 5 : GEN p_1 = subiu(p,1), p2 = sqri(p), L = is_gener_expo(p,NULL);
169 5 : GEN x = utoipos(2);
170 12 : for (;; x[2]++)
171 17 : if (is_gener_Fp(x,p,p_1,L) && !equali1(Fp_pow(x,p_1,p2))) break;
172 5 : set_avma(av); return utoipos(uel(x,2));
173 : }
174 : }
175 :
176 : static GEN
177 238 : gener_Zp(GEN q, GEN F)
178 : {
179 238 : GEN p = NULL;
180 238 : long e = 0;
181 238 : if (F)
182 : {
183 14 : GEN P = gel(F,1), E = gel(F,2);
184 14 : long i, l = lg(P);
185 42 : for (i = 1; i < l; i++)
186 : {
187 28 : p = gel(P,i);
188 28 : if (absequaliu(p, 2)) continue;
189 14 : if (i < l-1) pari_err_DOMAIN("znprimroot", "argument","=",F,F);
190 14 : e = itos(gel(E,i));
191 : }
192 14 : if (!p) pari_err_DOMAIN("znprimroot", "argument","=",F,F);
193 : }
194 : else
195 224 : e = Z_isanypower(q, &p);
196 238 : return e > 1? pgener_Zp(p): pgener_Fp(q);
197 : }
198 :
199 : GEN
200 308 : znprimroot(GEN N)
201 : {
202 308 : pari_sp av = avma;
203 : GEN x, n, F;
204 :
205 308 : if ((F = check_arith_non0(N,"znprimroot")))
206 : {
207 14 : F = clean_Z_factor(F);
208 14 : N = typ(N) == t_VEC? gel(N,1): factorback(F);
209 : }
210 301 : N = absi_shallow(N);
211 301 : if (abscmpiu(N, 4) <= 0) { set_avma(av); return mkintmodu(N[2]-1,N[2]); }
212 252 : switch(mod4(N))
213 : {
214 14 : case 0: /* N = 0 mod 4 */
215 14 : pari_err_DOMAIN("znprimroot", "argument","=",N,N);
216 0 : x = NULL; break;
217 21 : case 2: /* N = 2 mod 4 */
218 21 : n = shifti(N,-1); /* becomes odd */
219 21 : x = gener_Zp(n,F); if (!mod2(x)) x = addii(x,n);
220 21 : break;
221 217 : default: /* N odd */
222 217 : x = gener_Zp(N,F);
223 217 : break;
224 : }
225 238 : return gerepilecopy(av, mkintmod(x, N));
226 : }
227 :
228 : /* n | (p-1), returns a primitive n-th root of 1 in F_p^* */
229 : GEN
230 0 : rootsof1_Fp(GEN n, GEN p)
231 : {
232 0 : pari_sp av = avma;
233 0 : GEN L = odd_prime_divisors(n); /* 2 implicit in pgener_Fp_local */
234 0 : GEN z = pgener_Fp_local(p, L);
235 0 : z = Fp_pow(z, diviiexact(subiu(p,1), n), p); /* prim. n-th root of 1 */
236 0 : return gerepileuptoint(av, z);
237 : }
238 :
239 : GEN
240 217 : rootsof1u_Fp(ulong n, GEN p)
241 : {
242 217 : pari_sp av = avma;
243 217 : GEN z, L = u_odd_prime_divisors(n); /* 2 implicit in pgener_Fp_local */
244 217 : z = pgener_Fp_local(p, Flv_to_ZV(L));
245 217 : z = Fp_pow(z, diviuexact(subiu(p,1), n), p); /* prim. n-th root of 1 */
246 217 : return gerepileuptoint(av, z);
247 : }
248 :
249 : ulong
250 6335 : rootsof1_Fl(ulong n, ulong p)
251 : {
252 6335 : pari_sp av = avma;
253 6335 : GEN L = u_odd_prime_divisors(n); /* 2 implicit in pgener_Fl_local */
254 6335 : ulong z = pgener_Fl_local(p, L);
255 6335 : z = Fl_powu(z, (p-1) / n, p); /* prim. n-th root of 1 */
256 6335 : return gc_ulong(av,z);
257 : }
258 :
259 : /*********************************************************************/
260 : /** **/
261 : /** INVERSE TOTIENT FUNCTION **/
262 : /** **/
263 : /*********************************************************************/
264 : /* N t_INT, L a ZV containing all prime divisors of N, and possibly other
265 : * primes. Return factor(N) */
266 : GEN
267 350651 : Z_factor_listP(GEN N, GEN L)
268 : {
269 350651 : long i, k, l = lg(L);
270 350651 : GEN P = cgetg(l, t_COL), E = cgetg(l, t_COL);
271 1346688 : for (i = k = 1; i < l; i++)
272 : {
273 996037 : GEN p = gel(L,i);
274 996037 : long v = Z_pvalrem(N, p, &N);
275 996037 : if (v)
276 : {
277 792176 : gel(P,k) = p;
278 792176 : gel(E,k) = utoipos(v);
279 792176 : k++;
280 : }
281 : }
282 350651 : setlg(P, k);
283 350651 : setlg(E, k); return mkmat2(P,E);
284 : }
285 :
286 : /* look for x such that phi(x) = n, p | x => p > m (if m = NULL: no condition).
287 : * L is a list of primes containing all prime divisors of n. */
288 : static long
289 621565 : istotient_i(GEN n, GEN m, GEN L, GEN *px)
290 : {
291 621565 : pari_sp av = avma, av2;
292 : GEN k, D;
293 : long i, v;
294 621565 : if (m && mod2(n))
295 : {
296 270914 : if (!equali1(n)) return 0;
297 69986 : if (px) *px = gen_1;
298 69986 : return 1;
299 : }
300 350651 : D = divisors(Z_factor_listP(shifti(n, -1), L));
301 : /* loop through primes p > m, d = p-1 | n */
302 350651 : av2 = avma;
303 350651 : if (!m)
304 : { /* special case p = 2, d = 1 */
305 69986 : k = n;
306 69986 : for (v = 1;; v++) {
307 69986 : if (istotient_i(k, gen_2, L, px)) {
308 69986 : if (px) *px = shifti(*px, v);
309 69986 : return 1;
310 : }
311 0 : if (mod2(k)) break;
312 0 : k = shifti(k,-1);
313 : }
314 0 : set_avma(av2);
315 : }
316 1099462 : for (i = 1; i < lg(D); ++i)
317 : {
318 1001588 : GEN p, d = shifti(gel(D, i), 1); /* even divisors of n */
319 1001588 : if (m && cmpii(d, m) < 0) continue;
320 677782 : p = addiu(d, 1);
321 677782 : if (!isprime(p)) continue;
322 442064 : k = diviiexact(n, d);
323 481593 : for (v = 1;; v++) {
324 : GEN r;
325 481593 : if (istotient_i(k, p, L, px)) {
326 182791 : if (px) *px = mulii(*px, powiu(p, v));
327 182791 : return 1;
328 : }
329 298802 : k = dvmdii(k, p, &r);
330 298802 : if (r != gen_0) break;
331 : }
332 259273 : set_avma(av2);
333 : }
334 97874 : return gc_long(av,0);
335 : }
336 :
337 : /* find x such that phi(x) = n */
338 : long
339 70000 : istotient(GEN n, GEN *px)
340 : {
341 70000 : pari_sp av = avma;
342 70000 : if (typ(n) != t_INT) pari_err_TYPE("istotient", n);
343 70000 : if (signe(n) < 1) return 0;
344 70000 : if (mod2(n))
345 : {
346 14 : if (!equali1(n)) return 0;
347 14 : if (px) *px = gen_1;
348 14 : return 1;
349 : }
350 69986 : if (istotient_i(n, NULL, gel(Z_factor(n), 1), px))
351 : {
352 69986 : if (!px) set_avma(av);
353 : else
354 69986 : *px = gerepileuptoint(av, *px);
355 69986 : return 1;
356 : }
357 0 : return gc_long(av,0);
358 : }
359 :
360 : /*********************************************************************/
361 : /** **/
362 : /** INTEGRAL LOGARITHM **/
363 : /** **/
364 : /*********************************************************************/
365 :
366 : /* y > 1 and B > 0 integers. Return e such that y^e <= B < y^(e+1), i.e
367 : * e = floor(log_y B). Set *ptq = y^e if non-NULL */
368 : long
369 302747 : ulogintall(ulong B, ulong y, ulong *ptq)
370 : {
371 : ulong r, r2;
372 : long e;
373 :
374 302747 : if (y == 2)
375 : {
376 7840 : long eB = expu(B); /* 2^eB <= B < 2^(eB + 1) */
377 7840 : if (ptq) *ptq = 1UL << eB;
378 7840 : return eB;
379 : }
380 294907 : r = y, r2 = 1UL;
381 294907 : for (e=1;; e++)
382 : { /* here, r = y^e, r2 = y^(e-1) */
383 1015318 : if (r >= B)
384 : {
385 294674 : if (r != B) { e--; r = r2; }
386 294674 : if (ptq) *ptq = r;
387 294674 : return e;
388 : }
389 720644 : r2 = r;
390 720644 : r = umuluu_or_0(y, r);
391 720644 : if (!r)
392 : {
393 233 : if (ptq) *ptq = r2;
394 233 : return e;
395 : }
396 : }
397 : }
398 :
399 : /* y > 1 and B > 0 integers. Return e such that y^e <= B < y^(e+1), i.e
400 : * e = floor(log_y B). Set *ptq = y^e if non-NULL */
401 : long
402 315663 : logintall(GEN B, GEN y, GEN *ptq)
403 : {
404 : pari_sp av;
405 315663 : long ey, e, emax, i, eB = expi(B); /* 2^eB <= B < 2^(eB + 1) */
406 : GEN q, pow2;
407 :
408 315663 : if (lgefint(B) == 3)
409 : {
410 : ulong q;
411 302747 : if (lgefint(y) > 3)
412 : {
413 0 : if (ptq) *ptq = gen_1;
414 0 : return 0;
415 : }
416 302747 : if (!ptq) return ulogintall(B[2], y[2], NULL);
417 51923 : e = ulogintall(B[2], y[2], &q);
418 51923 : *ptq = utoi(q); return e;
419 : }
420 12916 : if (equaliu(y,2))
421 : {
422 167 : if (ptq) *ptq = int2n(eB);
423 167 : return eB;
424 : }
425 12749 : av = avma;
426 12749 : ey = expi(y);
427 : /* eB/(ey+1) - 1 < e <= eB/ey */
428 12749 : emax = eB/ey;
429 12749 : if (emax <= 13) /* e small, be naive */
430 : {
431 2034 : GEN r = y, r2 = gen_1;
432 2034 : for (e=1;; e++)
433 19834 : { /* here, r = y^e, r2 = y^(e-1) */
434 21868 : long fl = cmpii(r, B);
435 21868 : if (fl >= 0)
436 : {
437 2034 : if (fl) { e--; cgiv(r); r = r2; }
438 2034 : if (ptq) *ptq = gerepileuptoint(av, r); else set_avma(av);
439 2034 : return e;
440 : }
441 19834 : r2 = r; r = mulii(r,y);
442 : }
443 : }
444 : /* e >= 13 ey / (ey+1) >= 6.5 */
445 :
446 : /* binary splitting: compute bits of e one by one */
447 : /* compute pow2[i] = y^(2^i) [i < crude upper bound for log_2 log_y(B)] */
448 10715 : pow2 = new_chunk((long)log2(eB)+2);
449 10715 : gel(pow2,0) = y;
450 10715 : for (i=0, q=y;; )
451 52816 : {
452 63531 : GEN r = gel(pow2,i); /* r = y^2^i */
453 63531 : long fl = cmpii(r,B);
454 63531 : if (!fl)
455 : {
456 0 : e = 1L<<i;
457 0 : if (ptq) *ptq = gerepileuptoint(av, r); else set_avma(av);
458 0 : return e;
459 : }
460 63531 : if (fl > 0) { i--; break; }
461 60046 : q = r;
462 60046 : if (1L<<(i+1) > emax) break;
463 52816 : gel(pow2,++i) = sqri(q);
464 : }
465 :
466 10715 : for (e = 1L<<i;;)
467 49310 : { /* y^e = q < B < r = q * y^(2^i) */
468 60025 : pari_sp av2 = avma;
469 : long fl;
470 : GEN r;
471 60025 : if (--i < 0) break;
472 49317 : r = mulii(q, gel(pow2,i));
473 49317 : fl = cmpii(r, B);
474 49317 : if (fl > 0) set_avma(av2);
475 : else
476 : {
477 23795 : e += (1L<<i);
478 23795 : q = r;
479 23795 : if (!fl) break; /* B = r */
480 : }
481 : }
482 10715 : if (ptq) *ptq = gerepileuptoint(av, q); else set_avma(av);
483 10715 : return e;
484 : }
485 :
486 : long
487 56 : logint0(GEN B, GEN y, GEN *ptq)
488 : {
489 56 : if (typ(B) != t_INT) pari_err_TYPE("logint",B);
490 56 : if (signe(B) <= 0) pari_err_DOMAIN("logint", "x" ,"<=", gen_0, B);
491 56 : if (typ(y) != t_INT) pari_err_TYPE("logint",y);
492 56 : if (cmpis(y, 2) < 0) pari_err_DOMAIN("logint", "b" ,"<=", gen_1, y);
493 56 : return logintall(B,y,ptq);
494 : }
495 :
496 : /*********************************************************************/
497 : /** **/
498 : /** INTEGRAL SQUARE ROOT **/
499 : /** **/
500 : /*********************************************************************/
501 : GEN
502 30465 : sqrtint(GEN a)
503 : {
504 30465 : if (typ(a) != t_INT) pari_err_TYPE("sqrtint",a);
505 30465 : switch (signe(a))
506 : {
507 30451 : case 1: return sqrti(a);
508 7 : case 0: return gen_0;
509 7 : default: pari_err_DOMAIN("sqrtint", "argument", "<", gen_0,a);
510 : }
511 : return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
512 : }
513 : GEN
514 56 : sqrtint0(GEN a, GEN *r)
515 : {
516 56 : if (!r) return sqrtint(a);
517 21 : if (typ(a) != t_INT) pari_err_TYPE("sqrtint",a);
518 21 : switch (signe(a))
519 : {
520 14 : case 1: return sqrtremi(a, r);
521 7 : case 0: *r = gen_0; return gen_0;
522 0 : default: pari_err_DOMAIN("sqrtint", "argument", "<", gen_0,a);
523 : }
524 : return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
525 : }
526 :
527 : /*********************************************************************/
528 : /** **/
529 : /** PERFECT SQUARE **/
530 : /** **/
531 : /*********************************************************************/
532 : static int
533 14823729 : carremod(ulong A)
534 : {
535 14823729 : const int carresmod64[]={
536 : 1,1,0,0,1,0,0,0,0,1, 0,0,0,0,0,0,1,1,0,0, 0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,
537 : 0,0,0,1,0,0,1,0,0,0, 0,1,0,0,0,0,0,0,0,1, 0,0,0,0,0,0,0,1,0,0, 0,0,0,0};
538 14823729 : const int carresmod63[]={
539 : 1,1,0,0,1,0,0,1,0,1, 0,0,0,0,0,0,1,0,1,0, 0,0,1,0,0,1,0,0,1,0,
540 : 0,0,0,0,0,0,1,1,0,0, 0,0,0,1,0,0,1,0,0,1, 0,0,0,0,0,0,0,0,1,0, 0,0,0};
541 14823729 : const int carresmod65[]={
542 : 1,1,0,0,1,0,0,0,0,1, 1,0,0,0,1,0,1,0,0,0, 0,0,0,0,0,1,1,0,0,1,
543 : 1,0,0,0,0,1,1,0,0,1, 1,0,0,0,0,0,0,0,0,1, 0,1,0,0,0,1,1,0,0,0, 0,1,0,0,1};
544 14823729 : const int carresmod11[]={1,1,0,1,1,1,0,0,0,1, 0};
545 14823729 : return (carresmod64[A & 0x3fUL]
546 5462889 : && carresmod63[A % 63UL]
547 3228756 : && carresmod65[A % 65UL]
548 20286618 : && carresmod11[A % 11UL]);
549 : }
550 :
551 : /* emulate Z_issquareall on single-word integers */
552 : long
553 13328343 : uissquareall(ulong A, ulong *sqrtA)
554 : {
555 13328343 : if (!A) { *sqrtA = 0; return 1; }
556 13328343 : if (carremod(A))
557 : {
558 1830211 : ulong a = usqrt(A);
559 1830204 : if (a * a == A) { *sqrtA = a; return 1; }
560 : }
561 11589789 : return 0;
562 : }
563 : long
564 122308 : uissquare(ulong A)
565 : {
566 122308 : if (!A) return 1;
567 122308 : if (carremod(A))
568 : {
569 3559 : ulong a = usqrt(A);
570 3559 : if (a * a == A) return 1;
571 : }
572 118773 : return 0;
573 : }
574 :
575 : long
576 6392846 : Z_issquareall(GEN x, GEN *pt)
577 : {
578 : pari_sp av;
579 : GEN y, r;
580 :
581 6392846 : switch(signe(x))
582 : {
583 2215484 : case -1: return 0;
584 560 : case 0: if (pt) *pt=gen_0; return 1;
585 : }
586 4176802 : if (lgefint(x) == 3)
587 : {
588 2803726 : ulong u = uel(x,2), a;
589 2803726 : if (!pt) return uissquare(u);
590 2681418 : if (!uissquareall(u, &a)) return 0;
591 1378268 : *pt = utoipos(a); return 1;
592 : }
593 1373076 : if (!carremod(umodiu(x, 64*63*65*11))) return 0;
594 610112 : av = avma; y = sqrtremi(x, &r);
595 610112 : if (r != gen_0) return gc_long(av,0);
596 18699 : if (pt) { *pt = y; set_avma((pari_sp)y); } else set_avma(av);
597 18699 : return 1;
598 : }
599 :
600 : /* a t_INT, p prime */
601 : long
602 0 : Zp_issquare(GEN a, GEN p)
603 : {
604 : long v;
605 : GEN ap;
606 :
607 0 : if (!signe(a) || gequal1(a)) return 1;
608 0 : v = Z_pvalrem(a, p, &ap);
609 0 : if (v&1) return 0;
610 0 : return absequaliu(p, 2)? umodiu(ap, 8) == 1
611 0 : : kronecker(ap,p) == 1;
612 : }
613 :
614 : static long
615 3430 : polissquareall(GEN x, GEN *pt)
616 : {
617 : pari_sp av;
618 : long v;
619 : GEN y, a, b, p;
620 :
621 3430 : if (!signe(x))
622 : {
623 7 : if (pt) *pt = gcopy(x);
624 7 : return 1;
625 : }
626 3423 : if (odd(degpol(x))) return 0; /* odd degree */
627 2548 : av = avma;
628 2548 : v = RgX_valrem(x, &x);
629 2548 : if (v & 1) return gc_long(av,0);
630 2541 : a = gel(x,2); /* test constant coeff */
631 2541 : if (!pt)
632 70 : { if (!issquare(a)) return gc_long(av,0); }
633 : else
634 2471 : { if (!issquareall(a,&b)) return gc_long(av,0); }
635 2541 : if (!degpol(x)) { /* constant polynomial */
636 77 : if (!pt) return gc_long(av,1);
637 35 : y = scalarpol(b, varn(x)); goto END;
638 : }
639 2464 : p = characteristic(x);
640 2464 : if (signe(p) && !mod2(p))
641 : {
642 : long i, lx;
643 35 : if (!absequaliu(p,2)) pari_err_IMPL("issquare for even characteristic != 2");
644 28 : x = gmul(x, mkintmod(gen_1, gen_2));
645 28 : lx = lg(x);
646 28 : if ((lx-3) & 1) return gc_long(av,0);
647 49 : for (i = 3; i < lx; i+=2)
648 28 : if (!gequal0(gel(x,i))) return gc_long(av,0);
649 21 : if (pt) {
650 14 : y = cgetg((lx+3) / 2, t_POL);
651 49 : for (i = 2; i < lx; i+=2)
652 35 : if (!issquareall(gel(x,i), &gel(y, (i+2)>>1))) return gc_long(av,0);
653 14 : y[1] = evalsigne(1) | evalvarn(varn(x));
654 14 : goto END;
655 : } else {
656 21 : for (i = 2; i < lx; i+=2)
657 14 : if (!issquare(gel(x,i))) return gc_long(av,0);
658 7 : return gc_long(av,1);
659 : }
660 : }
661 : else
662 : {
663 2429 : long m = 1;
664 2429 : x = RgX_Rg_div(x,a);
665 : /* a(x^m) = B^2 => B = b(x^m) provided a(0) != 0 */
666 2429 : if (!signe(p)) x = RgX_deflate_max(x,&m);
667 2429 : y = ser2rfrac_i(gsqrt(RgX_to_ser(x,lg(x)-1),0));
668 2436 : if (!RgX_equal(RgX_sqr(y), x)) return gc_long(av,0);
669 973 : if (!pt) return gc_long(av,1);
670 966 : if (!gequal1(a)) y = gmul(b, y);
671 966 : if (m != 1) y = RgX_inflate(y,m);
672 : }
673 1015 : END:
674 1015 : if (v) y = RgX_shift_shallow(y, v>>1);
675 1015 : *pt = gerepilecopy(av, y); return 1;
676 : }
677 :
678 : /* b unit mod p */
679 : static int
680 287 : Up_ispower(GEN b, GEN K, GEN p, long d, GEN *pt)
681 : {
682 287 : if (d == 1)
683 : { /* mod p: faster */
684 203 : if (!Fp_ispower(b, K, p)) return 0;
685 203 : if (pt) *pt = Fp_sqrtn(b, K, p, NULL);
686 : }
687 : else
688 : { /* mod p^{2 +} */
689 84 : if (!ispower(cvtop(b, p, d), K, pt)) return 0;
690 63 : if (pt) *pt = gtrunc(*pt);
691 : }
692 266 : return 1;
693 : }
694 :
695 : /* We're studying whether a mod (q*p^e) is a K-th power, (q,p) = 1.
696 : * Decide mod p^e, then reduce a mod q unless q = NULL. */
697 : static int
698 427 : handle_pe(GEN *pa, GEN q, GEN L, GEN K, GEN p, long e)
699 : {
700 : GEN t, A;
701 427 : long v = Z_pvalrem(*pa, p, &A), d = e - v;
702 427 : if (d <= 0) t = gen_0;
703 : else
704 : {
705 : ulong r;
706 371 : v = uabsdivui_rem(v, K, &r);
707 371 : if (r || !Up_ispower(A, K, p, d, L? &t: NULL)) return 0;
708 266 : if (L && v) t = mulii(t, powiu(p, v));
709 : }
710 322 : if (q) *pa = modii(*pa, q);
711 322 : if (L) vectrunc_append(L, mkintmod(t, powiu(p, e)));
712 322 : return 1;
713 : }
714 : long
715 329 : Zn_ispower(GEN a, GEN q, GEN K, GEN *pt)
716 : {
717 : GEN L, N;
718 : pari_sp av;
719 : long e, i, l;
720 : ulong pp;
721 : forprime_t S;
722 :
723 329 : if (!signe(a))
724 : {
725 21 : if (pt) {
726 21 : GEN t = cgetg(3, t_INTMOD);
727 21 : gel(t,1) = icopy(q); gel(t,2) = gen_0; *pt = t;
728 : }
729 21 : return 1;
730 : }
731 : /* a != 0 */
732 308 : av = avma;
733 :
734 308 : if (typ(q) != t_INT) /* integer factorization */
735 : {
736 0 : GEN P = gel(q,1), E = gel(q,2);
737 0 : l = lg(P);
738 0 : L = pt? vectrunc_init(l): NULL;
739 0 : for (i = 1; i < l; i++)
740 : {
741 0 : GEN p = gel(P,i);
742 0 : long e = itos(gel(E,i));
743 0 : if (!handle_pe(&a, NULL, L, K, p, e)) return gc_long(av,0);
744 : }
745 0 : goto END;
746 : }
747 308 : if (!mod2(K)
748 189 : && kronecker(a, shifti(q,-vali(q))) == -1) return gc_long(av,0);
749 301 : L = pt? vectrunc_init(expi(q)+1): NULL;
750 301 : u_forprime_init(&S, 2, tridiv_bound(q));
751 883561 : while ((pp = u_forprime_next(&S)))
752 : {
753 : int stop;
754 883407 : e = Z_lvalrem_stop(&q, pp, &stop);
755 883407 : if (!e) continue;
756 182 : if (!handle_pe(&a, q, L, K, utoipos(pp), e)) return gc_long(av,0);
757 161 : if (stop)
758 : {
759 126 : if (!is_pm1(q) && !handle_pe(&a, q, L, K, q, 1)) return gc_long(av,0);
760 126 : goto END;
761 : }
762 : }
763 154 : l = lg(primetab);
764 154 : for (i = 1; i < l; i++)
765 : {
766 0 : GEN p = gel(primetab,i);
767 0 : e = Z_pvalrem(q, p, &q);
768 0 : if (!e) continue;
769 0 : if (!handle_pe(&a, q, L, K, p, e)) return gc_long(av,0);
770 0 : if (is_pm1(q)) goto END;
771 : }
772 154 : N = gcdii(a,q);
773 154 : if (!is_pm1(N))
774 : {
775 112 : if (ifac_isprime(N))
776 : {
777 70 : e = Z_pvalrem(q, N, &q);
778 70 : if (!handle_pe(&a, q, L, K, N, e)) return gc_long(av,0);
779 : }
780 : else
781 : {
782 42 : GEN part = ifac_start(N, 0);
783 : for(;;)
784 42 : {
785 : long e;
786 : GEN p;
787 84 : if (!ifac_next(&part, &p, &e)) break;
788 42 : e = Z_pvalrem(q, p, &q);
789 42 : if (!handle_pe(&a, q, L, K, p, e)) return gc_long(av,0);
790 : }
791 : }
792 : }
793 84 : if (!is_pm1(q))
794 : {
795 84 : if (ifac_isprime(q))
796 : {
797 28 : if (!handle_pe(&a, q, L, K, q, 1)) return gc_long(av,0);
798 : }
799 : else
800 : {
801 56 : GEN part = ifac_start(q, 0);
802 : for(;;)
803 84 : {
804 : long e;
805 : GEN p;
806 140 : if (!ifac_next(&part, &p, &e)) break;
807 98 : if (!handle_pe(&a, q, L, K, p, e)) return gc_long(av,0);
808 : }
809 : }
810 : }
811 0 : END:
812 196 : if (pt) *pt = gerepileupto(av, chinese1_coprime_Z(L));
813 196 : return 1;
814 : }
815 :
816 : static long
817 56 : polmodispower(GEN x, GEN K, GEN *pt)
818 : {
819 56 : pari_sp av = avma;
820 56 : GEN p = NULL, T = NULL;
821 56 : if (Rg_is_FpXQ(x, &T,&p) && p)
822 : {
823 42 : x = liftall_shallow(x);
824 42 : if (T) T = liftall_shallow(T);
825 42 : if (!Fq_ispower(x, K, T, p)) return gc_long(av,0);
826 28 : if (!pt) return gc_long(av,1);
827 21 : x = Fq_sqrtn(x, K, T,p, NULL);
828 21 : if (typ(x) == t_INT)
829 7 : x = Fp_to_mod(x,p);
830 : else
831 14 : x = mkpolmod(FpX_to_mod(x,p), FpX_to_mod(T,p));
832 21 : *pt = gerepilecopy(av, x); return 1;
833 : }
834 14 : pari_err_IMPL("ispower for general t_POLMOD");
835 0 : return 0;
836 : }
837 :
838 : long
839 164550 : issquareall(GEN x, GEN *pt)
840 : {
841 164550 : long tx = typ(x);
842 : GEN F;
843 : pari_sp av;
844 :
845 164550 : if (!pt) return issquare(x);
846 21196 : switch(tx)
847 : {
848 2772 : case t_INT: return Z_issquareall(x, pt);
849 161 : case t_FRAC: av = avma;
850 161 : F = cgetg(3, t_FRAC);
851 161 : if ( !Z_issquareall(gel(x,1), &gel(F,1))
852 161 : || !Z_issquareall(gel(x,2), &gel(F,2))) return gc_long(av,0);
853 105 : *pt = F; return 1;
854 :
855 21 : case t_POLMOD:
856 21 : return polmodispower(x, gen_2, pt);
857 3339 : case t_POL: return polissquareall(x,pt);
858 14 : case t_RFRAC: av = avma;
859 14 : F = cgetg(3, t_RFRAC);
860 14 : if ( !issquareall(gel(x,1), &gel(F,1))
861 14 : || !polissquareall(gel(x,2), &gel(F,2))) return gc_long(av,0);
862 7 : *pt = F; return 1;
863 :
864 14784 : case t_REAL: case t_COMPLEX: case t_PADIC: case t_SER:
865 14784 : if (!issquare(x)) return 0;
866 14784 : *pt = gsqrt(x, DEFAULTPREC); return 1;
867 :
868 63 : case t_INTMOD:
869 63 : return Zn_ispower(gel(x,2), gel(x,1), gen_2, pt);
870 :
871 42 : case t_FFELT: return FF_issquareall(x, pt);
872 :
873 : }
874 0 : pari_err_TYPE("issquareall",x);
875 : return 0; /* LCOV_EXCL_LINE */
876 : }
877 :
878 : long
879 158432 : issquare(GEN x)
880 : {
881 : pari_sp av;
882 : GEN a, p;
883 : long v;
884 :
885 158432 : switch(typ(x))
886 : {
887 143277 : case t_INT:
888 143277 : return Z_issquare(x);
889 :
890 14714 : case t_REAL:
891 14714 : return (signe(x)>=0);
892 :
893 77 : case t_INTMOD:
894 77 : return Zn_ispower(gel(x,2), gel(x,1), gen_2, NULL);
895 :
896 21 : case t_FRAC:
897 21 : return Z_issquare(gel(x,1)) && Z_issquare(gel(x,2));
898 :
899 7 : case t_FFELT: return FF_issquareall(x, NULL);
900 :
901 56 : case t_COMPLEX:
902 56 : return 1;
903 :
904 126 : case t_PADIC:
905 126 : a = gel(x,4); if (!signe(a)) return 1;
906 126 : if (valp(x)&1) return 0;
907 112 : p = gel(x,2);
908 112 : if (!absequaliu(p, 2)) return (kronecker(a,p) != -1);
909 :
910 42 : v = precp(x); /* here p=2, a is odd */
911 42 : if ((v>=3 && mod8(a) != 1 ) ||
912 21 : (v==2 && mod4(a) != 1)) return 0;
913 21 : return 1;
914 :
915 21 : case t_POLMOD:
916 21 : return polmodispower(x, gen_2, NULL);
917 :
918 77 : case t_POL:
919 77 : return polissquareall(x,NULL);
920 :
921 49 : case t_SER:
922 49 : if (!signe(x)) return 1;
923 42 : if (valp(x)&1) return 0;
924 35 : return issquare(gel(x,2));
925 :
926 7 : case t_RFRAC:
927 7 : av = avma; return gc_long(av, issquare(gmul(gel(x,1),gel(x,2))));
928 : }
929 0 : pari_err_TYPE("issquare",x);
930 : return 0; /* LCOV_EXCL_LINE */
931 : }
932 0 : GEN gissquare(GEN x) { return issquare(x)? gen_1: gen_0; }
933 0 : GEN gissquareall(GEN x, GEN *pt) { return issquareall(x,pt)? gen_1: gen_0; }
934 :
935 : long
936 1386 : ispolygonal(GEN x, GEN S, GEN *N)
937 : {
938 1386 : pari_sp av = avma;
939 : GEN D, d, n;
940 1386 : if (typ(x) != t_INT) pari_err_TYPE("ispolygonal", x);
941 1386 : if (typ(S) != t_INT) pari_err_TYPE("ispolygonal", S);
942 1386 : if (abscmpiu(S,3) < 0) pari_err_DOMAIN("ispolygonal","s","<", utoipos(3),S);
943 1386 : if (signe(x) < 0) return 0;
944 1386 : if (signe(x) == 0) { if (N) *N = gen_0; return 1; }
945 1260 : if (is_pm1(x)) { if (N) *N = gen_1; return 1; }
946 : /* n = (sqrt( (8s - 16) x + (s-4)^2 ) + s - 4) / 2(s - 2) */
947 1134 : if (abscmpiu(S, 1<<16) < 0) /* common case ! */
948 : {
949 441 : ulong s = S[2], r;
950 441 : if (s == 4) return Z_issquareall(x, N);
951 378 : if (s == 3)
952 0 : D = addiu(shifti(x, 3), 1);
953 : else
954 378 : D = addiu(mului(8*s - 16, x), (s-4)*(s-4));
955 378 : if (!Z_issquareall(D, &d)) return gc_long(av,0);
956 378 : if (s == 3)
957 0 : d = subiu(d, 1);
958 : else
959 378 : d = addiu(d, s - 4);
960 378 : n = absdiviu_rem(d, 2*s - 4, &r);
961 378 : if (r) return gc_long(av,0);
962 : }
963 : else
964 : {
965 693 : GEN r, S_2 = subiu(S,2), S_4 = subiu(S,4);
966 693 : D = addii(mulii(shifti(S_2,3), x), sqri(S_4));
967 693 : if (!Z_issquareall(D, &d)) return gc_long(av,0);
968 693 : d = addii(d, S_4);
969 693 : n = dvmdii(shifti(d,-1), S_2, &r);
970 693 : if (r != gen_0) return gc_long(av,0);
971 : }
972 1071 : if (N) *N = gerepileuptoint(av, n); else set_avma(av);
973 1071 : return 1;
974 : }
975 :
976 : /*********************************************************************/
977 : /** **/
978 : /** PERFECT POWER **/
979 : /** **/
980 : /*********************************************************************/
981 : static long
982 721 : polispower(GEN x, GEN K, GEN *pt)
983 : {
984 : pari_sp av;
985 721 : long v, d, k = itos(K);
986 : GEN y, a, b;
987 721 : GEN T = NULL, p = NULL;
988 :
989 721 : if (!signe(x))
990 : {
991 7 : if (pt) *pt = gcopy(x);
992 7 : return 1;
993 : }
994 714 : d = degpol(x);
995 714 : if (d % k) return 0; /* degree not multiple of k */
996 707 : av = avma;
997 707 : if (RgX_is_FpXQX(x, &T, &p) && p)
998 : { /* over Fq */
999 336 : if (T && typ(T) == t_FFELT)
1000 : {
1001 126 : if (!FFX_ispower(x, k, T, pt)) return gc_long(av,0);
1002 105 : return 1;
1003 : }
1004 210 : x = RgX_to_FqX(x,T,p);
1005 210 : if (!FqX_ispower(x, k, T,p, pt)) return gc_long(av,0);
1006 175 : if (pt) *pt = gerepileupto(av, FqX_to_mod(*pt, T, p));
1007 175 : return 1;
1008 : }
1009 371 : v = RgX_valrem(x, &x);
1010 371 : if (v % k) return 0;
1011 364 : v /= k;
1012 364 : a = gel(x,2); b = NULL;
1013 364 : if (!ispower(a, K, &b)) return gc_long(av,0);
1014 350 : if (d)
1015 : {
1016 343 : GEN p = characteristic(x);
1017 343 : a = leading_coeff(x);
1018 343 : if (!ispower(a, K, &b)) return gc_long(av,0);
1019 343 : x = RgX_normalize(x);
1020 343 : if (signe(p) && cmpii(p,K) <= 0)
1021 0 : pari_err_IMPL("ispower(general t_POL) in small characteristic");
1022 343 : y = gtrunc(gsqrtn(RgX_to_ser(x,lg(x)), K, NULL, 0));
1023 343 : if (!RgX_equal(powgi(y, K), x)) return gc_long(av,0);
1024 : }
1025 : else
1026 7 : y = pol_1(varn(x));
1027 350 : if (pt)
1028 : {
1029 350 : if (!gequal1(a))
1030 : {
1031 14 : if (!b) b = gsqrtn(a, K, NULL, DEFAULTPREC);
1032 14 : y = gmul(b,y);
1033 : }
1034 350 : if (v) y = RgX_shift_shallow(y, v);
1035 350 : *pt = gerepilecopy(av, y);
1036 : }
1037 0 : else set_avma(av);
1038 350 : return 1;
1039 : }
1040 :
1041 : long
1042 99034 : Z_ispowerall(GEN x, ulong k, GEN *pt)
1043 : {
1044 99034 : long s = signe(x);
1045 : ulong mask;
1046 99034 : if (!s) { if (pt) *pt = gen_0; return 1; }
1047 99034 : if (s > 0) {
1048 98894 : if (k == 2) return Z_issquareall(x, pt);
1049 18704 : if (k == 3) { mask = 1; return !!is_357_power(x, pt, &mask); }
1050 3569 : if (k == 5) { mask = 2; return !!is_357_power(x, pt, &mask); }
1051 3205 : if (k == 7) { mask = 4; return !!is_357_power(x, pt, &mask); }
1052 3198 : return is_kth_power(x, k, pt);
1053 : }
1054 140 : if (!odd(k)) return 0;
1055 126 : if (Z_ispowerall(absi_shallow(x), k, pt))
1056 : {
1057 112 : if (pt) *pt = negi(*pt);
1058 112 : return 1;
1059 : };
1060 14 : return 0;
1061 : }
1062 :
1063 : /* is x a K-th power mod p ? Assume p prime. */
1064 : int
1065 203 : Fp_ispower(GEN x, GEN K, GEN p)
1066 : {
1067 203 : pari_sp av = avma;
1068 : GEN p_1;
1069 203 : x = modii(x, p);
1070 203 : if (!signe(x) || equali1(x)) return gc_bool(av,1);
1071 : /* implies p > 2 */
1072 112 : p_1 = subiu(p,1);
1073 112 : K = gcdii(K, p_1);
1074 112 : if (absequaliu(K, 2)) return gc_bool(av, kronecker(x,p) > 0);
1075 49 : x = Fp_pow(x, diviiexact(p_1,K), p);
1076 49 : return gc_bool(av, equali1(x));
1077 : }
1078 :
1079 : /* x unit defined modulo 2^e, e > 0, p prime */
1080 : static int
1081 2373 : U2_issquare(GEN x, long e)
1082 : {
1083 2373 : long r = signe(x)>=0?mod8(x):8-mod8(x);
1084 2373 : if (e==1) return 1;
1085 2373 : if (e==2) return (r&3L) == 1;
1086 2009 : return r == 1;
1087 : }
1088 : /* x unit defined modulo p^e, e > 0, p prime */
1089 : static int
1090 4690 : Up_issquare(GEN x, GEN p, long e)
1091 4690 : { return (absequaliu(p,2))? U2_issquare(x, e): kronecker(x,p)==1; }
1092 :
1093 : long
1094 2548 : Zn_issquare(GEN d, GEN fn)
1095 : {
1096 : long j, np;
1097 2548 : if (typ(d) != t_INT) pari_err_TYPE("Zn_issquare",d);
1098 2548 : if (typ(fn) == t_INT) return Zn_ispower(d, fn, gen_2, NULL);
1099 : /* integer factorization */
1100 2548 : np = nbrows(fn);
1101 5320 : for (j = 1; j <= np; ++j)
1102 : {
1103 4970 : GEN r, p = gcoeff(fn, j, 1);
1104 4970 : long e = itos(gcoeff(fn, j, 2));
1105 4970 : long v = Z_pvalrem(d,p,&r);
1106 4970 : if (v < e && (odd(v) || !Up_issquare(r, p, e-v))) return 0;
1107 : }
1108 350 : return 1;
1109 : }
1110 :
1111 : /* return [N',v]; v contains all x mod N' s.t. x^2 + B x + C = 0 modulo N */
1112 : GEN
1113 2746751 : Zn_quad_roots(GEN N, GEN B, GEN C)
1114 : {
1115 2746751 : pari_sp av = avma;
1116 2746751 : GEN fa = NULL, D, w, v, P, E, F0, Q0, F, mF, A, Q, T, R, Np, N4;
1117 : long l, i, j, ct;
1118 :
1119 2746751 : if ((fa = check_arith_non0(N,"Zn_quad_roots")))
1120 : {
1121 8225 : N = typ(N) == t_VEC? gel(N,1): factorback(N);
1122 8225 : fa = clean_Z_factor(fa);
1123 : }
1124 2746751 : N = absi_shallow(N);
1125 2746751 : N4 = shifti(N,2);
1126 2746751 : D = modii(subii(sqri(B), shifti(C,2)), N4);
1127 2746751 : if (!signe(D))
1128 : { /* (x + B/2)^2 = 0 (mod N), D = B^2-4C = 0 (4N) => B even */
1129 812 : if (!fa) fa = Z_factor(N);
1130 812 : P = gel(fa,1);
1131 812 : E = ZV_to_zv(gel(fa,2));
1132 812 : l = lg(P);
1133 1757 : for (i = 1; i < l; i++) E[i] = (E[i]+1) >> 1;
1134 812 : Np = factorback2(P, E); /* x = -B mod N' */
1135 812 : B = shifti(B,-1);
1136 812 : return gerepilecopy(av, mkvec2(Np, mkvec(Fp_neg(B,Np))));
1137 : }
1138 2745939 : if (!fa)
1139 2737896 : fa = Z_factor(N4);
1140 : else /* convert to factorization of N4 = 4*N */
1141 8043 : fa = famat_reduce(famat_mulpows_shallow(fa, gen_2, 2));
1142 2745939 : P = gel(fa,1); l = lg(P);
1143 2745939 : E = ZV_to_zv(gel(fa,2));
1144 2745939 : F = cgetg(l, t_VEC);
1145 2745939 : mF= cgetg(l, t_VEC); F0 = gen_0;
1146 2745939 : Q = cgetg(l, t_VEC); Q0 = gen_1;
1147 6594784 : for (i = j = 1, ct = 0; i < l; i++)
1148 : {
1149 5984692 : GEN p = gel(P,i), q, f, mf, D0;
1150 5984692 : long t2, s = E[i], t = Z_pvalrem(D, p, &D0), d = s - t;
1151 5984692 : if (d <= 0)
1152 : {
1153 1352645 : q = powiu(p, (s+1)>>1);
1154 2213491 : Q0 = mulii(Q0, q); continue;
1155 : }
1156 : /* d > 0 */
1157 6582394 : if (odd(t)) return NULL;
1158 4446547 : t2 = t >> 1;
1159 4446547 : if (i > 1)
1160 : { /* p > 2 */
1161 2796675 : if (kronecker(D0, p) == -1) return NULL;
1162 1348529 : q = powiu(p,s-t2);
1163 1348529 : f = Zp_sqrt(D0, p, d);
1164 1348529 : if (!f) return NULL; /* p was not actually prime... */
1165 1348515 : if (t2) f = mulii(powiu(p,t2), f);
1166 1348515 : mf = Fp_neg(f, q);
1167 : }
1168 : else
1169 : { /* p = 2 */
1170 1649872 : if (d == 1) { Q0 = int2n(1+t2); F0 = NULL; continue; }
1171 1475803 : if (d == 2)
1172 : {
1173 737639 : if (Mod4(D0) != 1) return NULL;
1174 686777 : Q0 = int2n(1+t2); F0 = NULL; continue;
1175 : }
1176 : /* d > 2 */
1177 738164 : if (Mod8(D0) != 1) return NULL;
1178 286839 : q = int2n(d-1+t2);
1179 286839 : f = shifti(Z2_sqrt(D0, d), t2);
1180 286839 : mf = Fp_neg(f, q);
1181 : }
1182 1635354 : gel(Q,j) = q;
1183 1635354 : gel(F,j) = f;
1184 1635354 : gel(mF,j)= mf; j++;
1185 : }
1186 610092 : setlg(Q,j);
1187 610092 : setlg(F,j);
1188 610092 : setlg(mF,j);
1189 610092 : if (is_pm1(Q0)) A = leafcopy(F);
1190 : else
1191 : { /* append the fixed congruence (F0 mod Q0) */
1192 543053 : if (!F0) F0 = shifti(Q0,-1);
1193 543053 : A = shallowconcat(F, F0);
1194 543053 : Q = shallowconcat(Q, Q0);
1195 : }
1196 610092 : ct = 1 << (j-1);
1197 610092 : T = ZV_producttree(Q);
1198 610092 : R = ZV_chinesetree(Q,T);
1199 610092 : Np = gmael(T, lg(T)-1, 1);
1200 610092 : B = modii(B, Np);
1201 610092 : if (!signe(B)) B = NULL;
1202 610092 : Np = shifti(Np, -1); /* N' = (\prod_i Q[i]) / 2 */
1203 610092 : w = cgetg(3, t_VEC);
1204 610092 : gel(w,1) = icopy(Np);
1205 610092 : gel(w,2) = v = cgetg(ct+1, t_VEC);
1206 610092 : l = lg(F);
1207 2780211 : for (j = 1; j <= ct; j++)
1208 : {
1209 2170119 : pari_sp av2 = avma;
1210 2170119 : long m = j - 1;
1211 : GEN u;
1212 6596415 : for (i = 1; i < l; i++)
1213 : {
1214 4426296 : gel(A,i) = (m&1L)? gel(mF,i): gel(F,i);
1215 4426296 : m >>= 1;
1216 : }
1217 2170119 : u = ZV_chinese_tree(A,Q,T,R); /* u mod N' st u^2 = B^2-4C modulo 4N */
1218 2170119 : if (B) u = subii(u,B);
1219 2170119 : gel(v,j) = gerepileuptoint(av2, modii(shifti(u,-1), Np));
1220 : }
1221 610092 : return gerepileupto(av, w);
1222 : }
1223 :
1224 : static long
1225 1113 : Qp_ispower(GEN x, GEN K, GEN *pt)
1226 : {
1227 1113 : pari_sp av = avma;
1228 1113 : GEN z = Qp_sqrtn(x, K, NULL);
1229 1113 : if (!z) return gc_long(av,0);
1230 819 : if (pt) *pt = z;
1231 819 : return 1;
1232 : }
1233 :
1234 : long
1235 7097634 : ispower(GEN x, GEN K, GEN *pt)
1236 : {
1237 : GEN z;
1238 :
1239 7097634 : if (!K) return gisanypower(x, pt);
1240 97452 : if (typ(K) != t_INT) pari_err_TYPE("ispower",K);
1241 97452 : if (signe(K) <= 0) pari_err_DOMAIN("ispower","exponent","<=",gen_0,K);
1242 97452 : if (equali1(K)) { if (pt) *pt = gcopy(x); return 1; }
1243 97403 : switch(typ(x)) {
1244 25581 : case t_INT:
1245 25581 : if (lgefint(K) != 3) return 0;
1246 25573 : return Z_ispowerall(x, itou(K), pt);
1247 69736 : case t_FRAC:
1248 : {
1249 69736 : GEN a = gel(x,1), b = gel(x,2);
1250 : ulong k;
1251 69736 : if (lgefint(K) != 3) return 0;
1252 69729 : k = itou(K);
1253 69729 : if (pt) {
1254 69722 : z = cgetg(3, t_FRAC);
1255 69722 : if (Z_ispowerall(a, k, &a) && Z_ispowerall(b, k, &b)) {
1256 1386 : *pt = z; gel(z,1) = a; gel(z,2) = b; return 1;
1257 : }
1258 68336 : set_avma((pari_sp)(z + 3)); return 0;
1259 : }
1260 7 : return Z_ispower(a, k) && Z_ispower(b, k);
1261 : }
1262 189 : case t_INTMOD:
1263 189 : return Zn_ispower(gel(x,2), gel(x,1), K, pt);
1264 28 : case t_FFELT:
1265 28 : return FF_ispower(x, K, pt);
1266 :
1267 1113 : case t_PADIC:
1268 1113 : return Qp_ispower(x, K, pt);
1269 14 : case t_POLMOD:
1270 14 : return polmodispower(x, K, pt);
1271 714 : case t_POL:
1272 714 : return polispower(x, K, pt);
1273 7 : case t_RFRAC: {
1274 7 : GEN a = gel(x,1), b = gel(x,2);
1275 7 : if (pt) {
1276 7 : z = cgetg(3, t_RFRAC);
1277 7 : if (ispower(a, K, &a) && polispower(b, K, &b)) {
1278 7 : *pt = z; gel(z,1) = a; gel(z,2) = b; return 1;
1279 : }
1280 0 : set_avma((pari_sp)(z + 3)); return 0;
1281 : }
1282 0 : return (ispower(a, K, NULL) && polispower(b, K, NULL));
1283 : }
1284 7 : case t_REAL:
1285 7 : if (signe(x) < 0 && !mpodd(K)) return 0;
1286 : case t_COMPLEX:
1287 14 : if (pt) *pt = gsqrtn(x, K, NULL, DEFAULTPREC);
1288 14 : return 1;
1289 :
1290 7 : case t_SER:
1291 7 : if (signe(x) && (!dvdsi(valp(x), K) || !ispower(gel(x,2), K, NULL)))
1292 0 : return 0;
1293 7 : if (pt) *pt = gsqrtn(x, K, NULL, DEFAULTPREC);
1294 7 : return 1;
1295 : }
1296 0 : pari_err_TYPE("ispower",x);
1297 : return 0; /* LCOV_EXCL_LINE */
1298 : }
1299 :
1300 : long
1301 7000182 : gisanypower(GEN x, GEN *pty)
1302 : {
1303 7000182 : long tx = typ(x);
1304 : ulong k, h;
1305 7000182 : if (tx == t_INT) return Z_isanypower(x, pty);
1306 14 : if (tx == t_FRAC)
1307 : {
1308 14 : pari_sp av = avma;
1309 14 : GEN fa, P, E, a = gel(x,1), b = gel(x,2);
1310 : long i, j, p, e;
1311 14 : int sw = (abscmpii(a, b) > 0);
1312 :
1313 14 : if (sw) swap(a, b);
1314 14 : k = Z_isanypower(a, pty? &a: NULL);
1315 14 : if (!k)
1316 : { /* a = -1,1 or not a pure power */
1317 7 : if (!is_pm1(a)) return gc_long(av,0);
1318 7 : if (signe(a) < 0) b = negi(b);
1319 7 : k = Z_isanypower(b, pty? &b: NULL);
1320 7 : if (!k || !pty) return gc_long(av,k);
1321 7 : *pty = gerepileupto(av, ginv(b));
1322 7 : return k;
1323 : }
1324 7 : fa = factoru(k);
1325 7 : P = gel(fa,1);
1326 7 : E = gel(fa,2); h = k;
1327 14 : for (i = lg(P) - 1; i > 0; i--)
1328 : {
1329 7 : p = P[i];
1330 7 : e = E[i];
1331 21 : for (j = 0; j < e; j++)
1332 14 : if (!is_kth_power(b, p, &b)) break;
1333 7 : if (j < e) k /= upowuu(p, e - j);
1334 : }
1335 7 : if (k == 1) return gc_long(av,0);
1336 7 : if (!pty) return gc_long(av,k);
1337 0 : if (k != h) a = powiu(a, h/k);
1338 0 : *pty = gerepilecopy(av, mkfrac(a, b));
1339 0 : return k;
1340 : }
1341 0 : pari_err_TYPE("gisanypower", x);
1342 : return 0; /* LCOV_EXCL_LINE */
1343 : }
1344 :
1345 : /* v_p(x) = e != 0 for some p; return ispower(x,,&x), updating x.
1346 : * No need to optimize for 2,3,5,7 powers (done before) */
1347 : static long
1348 505715 : split_exponent(ulong e, GEN *x)
1349 : {
1350 : GEN fa, P, E;
1351 505715 : long i, j, l, k = 1;
1352 505715 : if (e == 1) return 1;
1353 14 : fa = factoru(e);
1354 14 : P = gel(fa,1);
1355 14 : E = gel(fa,2); l = lg(P);
1356 28 : for (i = 1; i < l; i++)
1357 : {
1358 14 : ulong p = P[i];
1359 28 : for (j = 0; j < E[i]; j++)
1360 : {
1361 : GEN y;
1362 14 : if (!is_kth_power(*x, p, &y)) break;
1363 14 : k *= p; *x = y;
1364 : }
1365 : }
1366 14 : return k;
1367 : }
1368 :
1369 : static long
1370 864766 : Z_isanypower_nosmalldiv(GEN *px)
1371 : { /* any prime divisor of x is > 102 */
1372 864766 : const double LOG2_103 = 6.6865; /* lower bound for log_2(103) */
1373 864766 : const double LOG103 = 4.6347; /* lower bound for log(103) */
1374 : forprime_t T;
1375 864766 : ulong mask = 7, e2;
1376 : long k, ex;
1377 864766 : GEN y, x = *px;
1378 :
1379 864766 : k = 1;
1380 866180 : while (Z_issquareall(x, &y)) { k <<= 1; x = y; }
1381 864937 : while ( (ex = is_357_power(x, &y, &mask)) ) { k *= ex; x = y; }
1382 864766 : e2 = (ulong)((expi(x) + 1) / LOG2_103); /* >= log_103 (x) */
1383 864766 : if (u_forprime_init(&T, 11, e2))
1384 : {
1385 16989 : GEN logx = NULL;
1386 16989 : const ulong Q = 30011; /* prime */
1387 : ulong p, xmodQ;
1388 16989 : double dlogx = 0;
1389 : /* cut off at x^(1/p) ~ 2^30 bits which seems to be about optimum;
1390 : * for large p the modular checks are no longer competitively fast */
1391 17031 : while ( (ex = is_pth_power(x, &y, &T, 30)) )
1392 : {
1393 42 : k *= ex; x = y;
1394 42 : e2 = (ulong)((expi(x) + 1) / LOG2_103);
1395 42 : u_forprime_restrict(&T, e2);
1396 : }
1397 16989 : if (DEBUGLEVEL>4)
1398 0 : err_printf("Z_isanypower: now k=%ld, x=%ld-bit\n", k, expi(x)+1);
1399 16989 : xmodQ = umodiu(x, Q);
1400 : /* test Q | x, just in case */
1401 16989 : if (!xmodQ) { *px = x; return k * split_exponent(Z_lval(x,Q), px); }
1402 : /* x^(1/p) < 2^31 */
1403 16975 : p = T.p;
1404 16975 : if (p <= e2)
1405 : {
1406 16961 : logx = logr_abs( itor(x, DEFAULTPREC) );
1407 16961 : dlogx = rtodbl(logx);
1408 16961 : e2 = (ulong)(dlogx / LOG103); /* >= log_103(x) */
1409 : }
1410 137298 : while (p && p <= e2)
1411 : { /* is x a p-th power ? By computing y = round(x^(1/p)).
1412 : * Check whether y^p = x, first mod Q, then exactly. */
1413 120323 : pari_sp av = avma;
1414 : long e;
1415 120323 : GEN logy = divru(logx, p), y = grndtoi(mpexp(logy), &e);
1416 120323 : ulong ymodQ = umodiu(y,Q);
1417 120323 : if (e >= -10 || Fl_powu(ymodQ, p % (Q-1), Q) != xmodQ
1418 120323 : || !equalii(powiu(y, p), x)) set_avma(av);
1419 : else
1420 : {
1421 21 : k *= p; x = y; xmodQ = ymodQ; logx = logy; dlogx /= p;
1422 21 : e2 = (ulong)(dlogx / LOG103); /* >= log_103(x) */
1423 21 : u_forprime_restrict(&T, e2);
1424 21 : continue; /* if success, retry same p */
1425 : }
1426 120302 : p = u_forprime_next(&T);
1427 : }
1428 : }
1429 864752 : *px = x; return k;
1430 : }
1431 :
1432 : static ulong tinyprimes[] = {
1433 : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71,
1434 : 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151,
1435 : 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199
1436 : };
1437 :
1438 : /* disregard the sign of x, caller will take care of x < 0 */
1439 : static long
1440 7000931 : Z_isanypower_aux(GEN x, GEN *pty)
1441 : {
1442 : long ex, v, i, l, k;
1443 : GEN y, P, E;
1444 7000931 : ulong mask, e = 0;
1445 :
1446 7000931 : if (abscmpii(x, gen_2) < 0) return 0; /* -1,0,1 */
1447 :
1448 7000917 : if (signe(x) < 0) x = negi(x);
1449 7000917 : k = l = 1;
1450 7000917 : P = cgetg(26 + 1, t_VECSMALL);
1451 7000917 : E = cgetg(26 + 1, t_VECSMALL);
1452 : /* trial division */
1453 61473391 : for(i = 0; i < 26; i++)
1454 : {
1455 60138806 : ulong p = tinyprimes[i];
1456 : int stop;
1457 60138806 : v = Z_lvalrem_stop(&x, p, &stop);
1458 60138806 : if (v)
1459 : {
1460 7922348 : P[l] = p;
1461 7922348 : E[l] = v; l++;
1462 8170393 : e = ugcd(e, v); if (e == 1) goto END;
1463 : }
1464 54720519 : if (stop) {
1465 248045 : if (is_pm1(x)) k = e;
1466 248045 : goto END;
1467 : }
1468 : }
1469 :
1470 1334585 : if (e)
1471 : { /* Bingo. Result divides e */
1472 : long v3, v5, v7;
1473 505701 : ulong e2 = e;
1474 505701 : v = u_lvalrem(e2, 2, &e2);
1475 505701 : if (v)
1476 : {
1477 375249 : for (i = 0; i < v; i++)
1478 : {
1479 374171 : if (!Z_issquareall(x, &y)) break;
1480 1288 : k <<= 1; x = y;
1481 : }
1482 : }
1483 505701 : mask = 0;
1484 505701 : v3 = u_lvalrem(e2, 3, &e2); if (v3) mask = 1;
1485 505701 : v5 = u_lvalrem(e2, 5, &e2); if (v5) mask |= 2;
1486 505701 : v7 = u_lvalrem(e2, 7, &e2); if (v7) mask |= 4;
1487 1011479 : while ( (ex = is_357_power(x, &y, &mask)) ) {
1488 77 : x = y;
1489 77 : switch(ex)
1490 : {
1491 28 : case 3: k *= 3; if (--v3 == 0) mask &= ~1; break;
1492 28 : case 5: k *= 5; if (--v5 == 0) mask &= ~2; break;
1493 21 : case 7: k *= 7; if (--v7 == 0) mask &= ~4; break;
1494 : }
1495 505778 : }
1496 505701 : k *= split_exponent(e2, &x);
1497 : }
1498 : else
1499 828884 : k = Z_isanypower_nosmalldiv(&x);
1500 7000917 : END:
1501 7000917 : if (pty && k != 1)
1502 : {
1503 8148 : if (e)
1504 : { /* add missing small factors */
1505 6867 : y = powuu(P[1], E[1] / k);
1506 14021 : for (i = 2; i < l; i++) y = mulii(y, powuu(P[i], E[i] / k));
1507 6867 : x = equali1(x)? y: mulii(x,y);
1508 : }
1509 8148 : *pty = x;
1510 : }
1511 7000917 : return k == 1? 0: k;
1512 : }
1513 :
1514 : long
1515 7000931 : Z_isanypower(GEN x, GEN *pty)
1516 : {
1517 7000931 : pari_sp av = avma;
1518 7000931 : long k = Z_isanypower_aux(x, pty);
1519 7000931 : if (!k) return gc_long(av,0);
1520 8211 : if (signe(x) < 0)
1521 : {
1522 42 : long v = vals(k);
1523 42 : if (v)
1524 : {
1525 : GEN y;
1526 28 : k >>= v;
1527 28 : if (k == 1) return gc_long(av,0);
1528 21 : if (!pty) return gc_long(av,k);
1529 14 : y = *pty;
1530 14 : y = powiu(y, 1<<v);
1531 14 : togglesign(y);
1532 14 : *pty = gerepileuptoint(av, y);
1533 14 : return k;
1534 : }
1535 14 : if (pty) togglesign_safe(pty);
1536 : }
1537 8183 : if (pty) *pty = gerepilecopy(av, *pty); else set_avma(av);
1538 8183 : return k;
1539 : }
1540 :
1541 : /* Faster than */
1542 : /* !cmpii(n, int2n(vali(n))) */
1543 : /* !cmpis(shifti(n, -vali(n)), 1) */
1544 : /* expi(n) == vali(n) */
1545 : /* hamming(n) == 1 */
1546 : /* even for single-word values, and much faster for multiword values. */
1547 : /* If all you have is a word, you can just use n & !(n & (n-1)). */
1548 : long
1549 111968 : Z_ispow2(GEN n)
1550 : {
1551 : GEN xp;
1552 : long i, lx;
1553 : ulong u;
1554 111968 : if (signe(n) != 1) return 0;
1555 111961 : xp = int_LSW(n);
1556 111961 : lx = lgefint(n);
1557 111961 : u = *xp;
1558 112262 : for (i = 3; i < lx; ++i)
1559 : {
1560 108988 : if (u) return 0;
1561 301 : xp = int_nextW(xp);
1562 301 : u = *xp;
1563 : }
1564 3274 : return !(u & (u-1));
1565 : }
1566 :
1567 : static long
1568 841905 : isprimepower_i(GEN n, GEN *pt, long flag)
1569 : {
1570 841905 : pari_sp av = avma;
1571 : long i, v;
1572 :
1573 841905 : if (typ(n) != t_INT) pari_err_TYPE("isprimepower", n);
1574 841905 : if (signe(n) <= 0) return 0;
1575 :
1576 841905 : if (lgefint(n) == 3)
1577 : {
1578 : ulong p;
1579 541183 : v = uisprimepower(n[2], &p);
1580 541183 : if (v)
1581 : {
1582 54971 : if (pt) *pt = utoipos(p);
1583 54971 : return v;
1584 : }
1585 486212 : return 0;
1586 : }
1587 1663331 : for (i = 0; i < 26; i++)
1588 : {
1589 1627449 : ulong p = tinyprimes[i];
1590 1627449 : v = Z_lvalrem(n, p, &n);
1591 1627448 : if (v)
1592 : {
1593 264839 : set_avma(av);
1594 264839 : if (!is_pm1(n)) return 0;
1595 443 : if (pt) *pt = utoipos(p);
1596 444 : return v;
1597 : }
1598 : }
1599 : /* p | n => p >= 103 */
1600 35882 : v = Z_isanypower_nosmalldiv(&n); /* expensive */
1601 35882 : if (!(flag? isprime(n): BPSW_psp(n))) return gc_long(av,0);
1602 5570 : if (pt) *pt = gerepilecopy(av, n); else set_avma(av);
1603 5570 : return v;
1604 : }
1605 : long
1606 840098 : isprimepower(GEN n, GEN *pt) { return isprimepower_i(n,pt,1); }
1607 : long
1608 1807 : ispseudoprimepower(GEN n, GEN *pt) { return isprimepower_i(n,pt,0); }
1609 :
1610 : long
1611 547644 : uisprimepower(ulong n, ulong *pp)
1612 : { /* We must have CUTOFF^11 >= ULONG_MAX and CUTOFF^3 < ULONG_MAX.
1613 : * Tests suggest that 200-300 is the best range for 64-bit platforms. */
1614 547644 : const ulong CUTOFF = 200UL;
1615 547644 : const long TINYCUTOFF = 46; /* tinyprimes[45] = 199 */
1616 547644 : const ulong CUTOFF3 = CUTOFF*CUTOFF*CUTOFF;
1617 : #ifdef LONG_IS_64BIT
1618 : /* primes preceeding the appropriate root of ULONG_MAX. */
1619 486564 : const ulong ROOT9 = 137;
1620 486564 : const ulong ROOT8 = 251;
1621 486564 : const ulong ROOT7 = 563;
1622 486564 : const ulong ROOT5 = 7129;
1623 486564 : const ulong ROOT4 = 65521;
1624 : #else
1625 61080 : const ulong ROOT9 = 11;
1626 61080 : const ulong ROOT8 = 13;
1627 61080 : const ulong ROOT7 = 23;
1628 61080 : const ulong ROOT5 = 83;
1629 61080 : const ulong ROOT4 = 251;
1630 : #endif
1631 : ulong mask;
1632 : long v, i;
1633 : int e;
1634 547644 : if (n < 2) return 0;
1635 547630 : if (!odd(n)) {
1636 275212 : if (n & (n-1)) return 0;
1637 4225 : *pp = 2; return vals(n);
1638 : }
1639 272418 : if (n < 8) { *pp = n; return 1; } /* 3,5,7 */
1640 3654382 : for (i = 1/*skip p=2*/; i < TINYCUTOFF; i++)
1641 : {
1642 3595307 : ulong p = tinyprimes[i];
1643 3595307 : if (n % p == 0)
1644 : {
1645 211726 : v = u_lvalrem(n, p, &n);
1646 211726 : if (n == 1) { *pp = p; return v; }
1647 209473 : return 0;
1648 : }
1649 : }
1650 : /* p | n => p >= CUTOFF */
1651 :
1652 59075 : if (n < CUTOFF3)
1653 : {
1654 46354 : if (n < CUTOFF*CUTOFF || uisprime_101(n)) { *pp = n; return 1; }
1655 0 : if (uissquareall(n, &n)) { *pp = n; return 2; }
1656 0 : return 0;
1657 : }
1658 :
1659 : /* Check for squares, fourth powers, and eighth powers as appropriate. */
1660 12721 : v = 1;
1661 12721 : if (uissquareall(n, &n)) {
1662 0 : v <<= 1;
1663 0 : if (CUTOFF <= ROOT4 && uissquareall(n, &n)) {
1664 0 : v <<= 1;
1665 0 : if (CUTOFF <= ROOT8 && uissquareall(n, &n)) v <<= 1;
1666 : }
1667 : }
1668 :
1669 12721 : if (CUTOFF > ROOT5) mask = 1;
1670 : else
1671 : {
1672 12720 : const ulong CUTOFF5 = CUTOFF3*CUTOFF*CUTOFF;
1673 12720 : if (n < CUTOFF5) mask = 1; else mask = 3;
1674 12720 : if (CUTOFF <= ROOT7)
1675 : {
1676 12720 : const ulong CUTOFF7 = CUTOFF5*CUTOFF*CUTOFF;
1677 12720 : if (n >= CUTOFF7) mask = 7;
1678 : }
1679 : }
1680 :
1681 12721 : if (CUTOFF <= ROOT9 && (e = uis_357_power(n, &n, &mask))) { v *= e; mask=1; }
1682 12721 : if ((e = uis_357_power(n, &n, &mask))) v *= e;
1683 :
1684 12721 : if (uisprime_101(n)) { *pp = n; return v; }
1685 6984 : return 0;
1686 : }
1687 :
1688 : /*********************************************************************/
1689 : /** **/
1690 : /** KRONECKER SYMBOL **/
1691 : /** **/
1692 : /*********************************************************************/
1693 : /* t = 3,5 mod 8 ? (= 2 not a square mod t) */
1694 : static int
1695 639038860 : ome(long t)
1696 : {
1697 639038860 : switch(t & 7)
1698 : {
1699 364409780 : case 3:
1700 364409780 : case 5: return 1;
1701 274629080 : default: return 0;
1702 : }
1703 : }
1704 : /* t a t_INT, is t = 3,5 mod 8 ? */
1705 : static int
1706 4138329 : gome(GEN t)
1707 4138329 : { return signe(t)? ome( mod2BIL(t) ): 0; }
1708 :
1709 : /* assume y odd, return kronecker(x,y) * s */
1710 : static long
1711 487499259 : krouu_s(ulong x, ulong y, long s)
1712 : {
1713 487499259 : ulong x1 = x, y1 = y, z;
1714 2144711070 : while (x1)
1715 : {
1716 1657244465 : long r = vals(x1);
1717 1657224449 : if (r)
1718 : {
1719 891180175 : if (odd(r) && ome(y1)) s = -s;
1720 891167537 : x1 >>= r;
1721 : }
1722 1657211811 : if (x1 & y1 & 2) s = -s;
1723 1657211811 : z = y1 % x1; y1 = x1; x1 = z;
1724 : }
1725 487466605 : return (y1 == 1)? s: 0;
1726 : }
1727 :
1728 : long
1729 5051044 : kronecker(GEN x, GEN y)
1730 : {
1731 5051044 : pari_sp av = avma;
1732 5051044 : long s = 1, r;
1733 : ulong xu;
1734 :
1735 5051044 : if (typ(x) != t_INT) pari_err_TYPE("kronecker",x);
1736 5051044 : if (typ(y) != t_INT) pari_err_TYPE("kronecker",y);
1737 5051044 : switch (signe(y))
1738 : {
1739 63 : case -1: y = negi(y); if (signe(x) < 0) s = -1; break;
1740 0 : case 0: return is_pm1(x);
1741 : }
1742 5051044 : r = vali(y);
1743 5051044 : if (r)
1744 : {
1745 11899 : if (!mpodd(x)) return gc_long(av,0);
1746 10359 : if (odd(r) && gome(x)) s = -s;
1747 10359 : y = shifti(y,-r);
1748 : }
1749 5049504 : x = modii(x,y);
1750 5842504 : while (lgefint(x) > 3) /* x < y */
1751 : {
1752 : GEN z;
1753 793000 : r = vali(x);
1754 792429 : if (r)
1755 : {
1756 434322 : if (odd(r) && gome(y)) s = -s;
1757 434751 : x = shifti(x,-r);
1758 : }
1759 : /* x=3 mod 4 && y=3 mod 4 ? (both are odd here) */
1760 791600 : if (mod2BIL(x) & mod2BIL(y) & 2) s = -s;
1761 793204 : z = remii(y,x); y = x; x = z;
1762 792941 : if (gc_needed(av,2))
1763 : {
1764 0 : if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"kronecker");
1765 0 : gerepileall(av, 2, &x, &y);
1766 : }
1767 : }
1768 5049504 : xu = itou(x);
1769 5049504 : if (!xu) return is_pm1(y)? s: 0;
1770 5028656 : r = vals(xu);
1771 5028656 : if (r)
1772 : {
1773 2645041 : if (odd(r) && gome(y)) s = -s;
1774 2645041 : xu >>= r;
1775 : }
1776 : /* x=3 mod 4 && y=3 mod 4 ? (both are odd here) */
1777 5028656 : if (xu & mod2BIL(y) & 2) s = -s;
1778 5028656 : return gc_long(av, krouu_s(umodiu(y,xu), xu, s));
1779 : }
1780 :
1781 : long
1782 29995 : krois(GEN x, long y)
1783 : {
1784 : ulong yu;
1785 29995 : long s = 1;
1786 :
1787 29995 : if (y <= 0)
1788 : {
1789 7 : if (y == 0) return is_pm1(x);
1790 0 : yu = (ulong)-y; if (signe(x) < 0) s = -1;
1791 : }
1792 : else
1793 29988 : yu = (ulong)y;
1794 29988 : if (!odd(yu))
1795 : {
1796 : long r;
1797 13538 : if (!mpodd(x)) return 0;
1798 9772 : r = vals(yu); yu >>= r;
1799 9772 : if (odd(r) && gome(x)) s = -s;
1800 : }
1801 26222 : return krouu_s(umodiu(x, yu), yu, s);
1802 : }
1803 : /* assume y != 0 */
1804 : long
1805 344567478 : kroiu(GEN x, ulong y)
1806 : {
1807 : long r;
1808 344567478 : if (odd(y)) return krouu_s(umodiu(x,y), y, 1);
1809 2143826 : if (!mpodd(x)) return 0;
1810 2121650 : r = vals(y); y >>= r;
1811 2121650 : return krouu_s(umodiu(x,y), y, (odd(r) && gome(x))? -1: 1);
1812 : }
1813 :
1814 : /* assume y > 0, odd, return s * kronecker(x,y) */
1815 : static long
1816 181642 : krouodd(ulong x, GEN y, long s)
1817 : {
1818 : long r;
1819 181642 : if (lgefint(y) == 3) return krouu_s(x, y[2], s);
1820 42258 : if (!x) return 0; /* y != 1 */
1821 42258 : r = vals(x);
1822 42258 : if (r)
1823 : {
1824 7568 : if (odd(r) && gome(y)) s = -s;
1825 7568 : x >>= r;
1826 : }
1827 : /* x=3 mod 4 && y=3 mod 4 ? (both are odd here) */
1828 42258 : if (x & mod2BIL(y) & 2) s = -s;
1829 42258 : return krouu_s(umodiu(y,x), x, s);
1830 : }
1831 :
1832 : long
1833 180786 : krosi(long x, GEN y)
1834 : {
1835 180786 : const pari_sp av = avma;
1836 180786 : long s = 1, r;
1837 180786 : switch (signe(y))
1838 : {
1839 0 : case -1: y = negi(y); if (x < 0) s = -1; break;
1840 0 : case 0: return (x==1 || x==-1);
1841 : }
1842 180786 : r = vali(y);
1843 180786 : if (r)
1844 : {
1845 16842 : if (!odd(x)) return gc_long(av,0);
1846 16842 : if (odd(r) && ome(x)) s = -s;
1847 16842 : y = shifti(y,-r);
1848 : }
1849 180786 : if (x < 0) { x = -x; if (mod4(y) == 3) s = -s; }
1850 180786 : return gc_long(av, krouodd((ulong)x, y, s));
1851 : }
1852 :
1853 : long
1854 856 : kroui(ulong x, GEN y)
1855 : {
1856 856 : const pari_sp av = avma;
1857 856 : long s = 1, r;
1858 856 : switch (signe(y))
1859 : {
1860 0 : case -1: y = negi(y); break;
1861 0 : case 0: return x==1UL;
1862 : }
1863 856 : r = vali(y);
1864 856 : if (r)
1865 : {
1866 0 : if (!odd(x)) return gc_long(av,0);
1867 0 : if (odd(r) && ome(x)) s = -s;
1868 0 : y = shifti(y,-r);
1869 : }
1870 856 : return gc_long(av, krouodd(x, y, s));
1871 : }
1872 :
1873 : long
1874 80666991 : kross(long x, long y)
1875 : {
1876 : ulong yu;
1877 80666991 : long s = 1;
1878 :
1879 80666991 : if (y <= 0)
1880 : {
1881 427 : if (y == 0) return (labs(x)==1);
1882 399 : yu = (ulong)-y; if (x < 0) s = -1;
1883 : }
1884 : else
1885 80666564 : yu = (ulong)y;
1886 80666963 : if (!odd(yu))
1887 : {
1888 : long r;
1889 20766131 : if (!odd(x)) return 0;
1890 14904114 : r = vals(yu); yu >>= r;
1891 14904114 : if (odd(r) && ome(x)) s = -s;
1892 : }
1893 74804946 : x %= (long)yu; if (x < 0) x += yu;
1894 74804946 : return krouu_s((ulong)x, yu, s);
1895 : }
1896 :
1897 : long
1898 62927728 : krouu(ulong x, ulong y)
1899 : {
1900 : long r;
1901 62927728 : if (odd(y)) return krouu_s(x, y, 1);
1902 1906 : if (!odd(x)) return 0;
1903 2225 : r = vals(y); y >>= r;
1904 2225 : return krouu_s(x, y, (odd(r) && ome(x))? -1: 1);
1905 : }
1906 :
1907 : /*********************************************************************/
1908 : /** **/
1909 : /** HILBERT SYMBOL **/
1910 : /** **/
1911 : /*********************************************************************/
1912 : /* x,y are t_INT or t_REAL */
1913 : static long
1914 9977 : mphilbertoo(GEN x, GEN y)
1915 : {
1916 9977 : long sx = signe(x), sy = signe(y);
1917 9977 : if (!sx || !sy) return 0;
1918 9977 : return (sx < 0 && sy < 0)? -1: 1;
1919 : }
1920 :
1921 : long
1922 53119 : hilbertii(GEN x, GEN y, GEN p)
1923 : {
1924 : pari_sp av;
1925 : long oddvx, oddvy, z;
1926 :
1927 53119 : if (!p) return mphilbertoo(x,y);
1928 43163 : if (is_pm1(p) || signe(p) < 0) pari_err_PRIME("hilbertii",p);
1929 43163 : if (!signe(x) || !signe(y)) return 0;
1930 43142 : av = avma;
1931 43142 : oddvx = odd(Z_pvalrem(x,p,&x));
1932 43142 : oddvy = odd(Z_pvalrem(y,p,&y));
1933 : /* x, y are p-units, compute hilbert(x * p^oddvx, y * p^oddvy, p) */
1934 43142 : if (absequaliu(p, 2))
1935 : {
1936 10684 : z = (Mod4(x) == 3 && Mod4(y) == 3)? -1: 1;
1937 10684 : if (oddvx && gome(y)) z = -z;
1938 10684 : if (oddvy && gome(x)) z = -z;
1939 : }
1940 : else
1941 : {
1942 32458 : z = (oddvx && oddvy && mod4(p) == 3)? -1: 1;
1943 32458 : if (oddvx && kronecker(y,p) < 0) z = -z;
1944 32458 : if (oddvy && kronecker(x,p) < 0) z = -z;
1945 : }
1946 43142 : return gc_long(av, z);
1947 : }
1948 :
1949 : static void
1950 196 : err_prec(void) { pari_err_PREC("hilbert"); }
1951 : static void
1952 161 : err_p(GEN p, GEN q) { pari_err_MODULUS("hilbert", p,q); }
1953 : static void
1954 56 : err_oo(GEN p) { pari_err_MODULUS("hilbert", p, strtoGENstr("oo")); }
1955 :
1956 : /* x t_INTMOD, *pp = prime or NULL [ unset, set it to x.mod ].
1957 : * Return lift(x) provided it's p-adic accuracy is large enough to decide
1958 : * hilbert()'s value [ problem at p = 2 ] */
1959 : static GEN
1960 420 : lift_intmod(GEN x, GEN *pp)
1961 : {
1962 420 : GEN p = *pp, N = gel(x,1);
1963 420 : x = gel(x,2);
1964 420 : if (!p)
1965 : {
1966 266 : *pp = p = N;
1967 266 : switch(itos_or_0(p))
1968 : {
1969 126 : case 2:
1970 126 : case 4: err_prec();
1971 : }
1972 140 : return x;
1973 : }
1974 154 : if (!signe(p)) err_oo(N);
1975 112 : if (absequaliu(p,2))
1976 42 : { if (vali(N) <= 2) err_prec(); }
1977 : else
1978 70 : { if (!dvdii(N,p)) err_p(N,p); }
1979 28 : if (!signe(x)) err_prec();
1980 21 : return x;
1981 : }
1982 : /* x t_PADIC, *pp = prime or NULL [ unset, set it to x.p ].
1983 : * Return lift(x)*p^(v(x) mod 2) provided it's p-adic accuracy is large enough
1984 : * to decide hilbert()'s value [ problem at p = 2 ]*/
1985 : static GEN
1986 210 : lift_padic(GEN x, GEN *pp)
1987 : {
1988 210 : GEN p = *pp, q = gel(x,2), y = gel(x,4);
1989 210 : if (!p) *pp = p = q;
1990 147 : else if (!equalii(p,q)) err_p(p, q);
1991 105 : if (absequaliu(p,2) && precp(x) <= 2) err_prec();
1992 70 : if (!signe(y)) err_prec();
1993 70 : return odd(valp(x))? mulii(p,y): y;
1994 : }
1995 :
1996 : long
1997 658 : hilbert(GEN x, GEN y, GEN p)
1998 : {
1999 658 : pari_sp av = avma;
2000 658 : long tx = typ(x), ty = typ(y);
2001 :
2002 658 : if (p && typ(p) != t_INT) pari_err_TYPE("hilbert",p);
2003 658 : if (tx == t_REAL)
2004 : {
2005 77 : if (p && signe(p)) err_oo(p);
2006 63 : switch (ty)
2007 : {
2008 7 : case t_INT:
2009 7 : case t_REAL: return mphilbertoo(x,y);
2010 0 : case t_FRAC: return mphilbertoo(x,gel(y,1));
2011 56 : default: pari_err_TYPE2("hilbert",x,y);
2012 : }
2013 : }
2014 581 : if (ty == t_REAL)
2015 : {
2016 14 : if (p && signe(p)) err_oo(p);
2017 14 : switch (tx)
2018 : {
2019 14 : case t_INT:
2020 14 : case t_REAL: return mphilbertoo(x,y);
2021 0 : case t_FRAC: return mphilbertoo(gel(x,1),y);
2022 0 : default: pari_err_TYPE2("hilbert",x,y);
2023 : }
2024 : }
2025 567 : if (tx == t_INTMOD) { x = lift_intmod(x, &p); tx = t_INT; }
2026 364 : if (ty == t_INTMOD) { y = lift_intmod(y, &p); ty = t_INT; }
2027 :
2028 308 : if (tx == t_PADIC) { x = lift_padic(x, &p); tx = t_INT; }
2029 245 : if (ty == t_PADIC) { y = lift_padic(y, &p); ty = t_INT; }
2030 :
2031 168 : if (tx == t_FRAC) { tx = t_INT; x = p? mulii(gel(x,1),gel(x,2)): gel(x,1); }
2032 168 : if (ty == t_FRAC) { ty = t_INT; y = p? mulii(gel(y,1),gel(y,2)): gel(y,1); }
2033 :
2034 168 : if (tx != t_INT || ty != t_INT) pari_err_TYPE2("hilbert",x,y);
2035 168 : if (p && !signe(p)) p = NULL;
2036 168 : return gc_long(av, hilbertii(x,y,p));
2037 : }
2038 :
2039 : /*******************************************************************/
2040 : /* */
2041 : /* SQUARE ROOT MODULO p */
2042 : /* */
2043 : /*******************************************************************/
2044 : static void
2045 3924217 : checkp(ulong q, ulong p)
2046 3924217 : { if (!q) pari_err_PRIME("Fl_nonsquare",utoipos(p)); }
2047 : /* p = 1 (mod 4) prime, return the first quadratic non-residue, a prime */
2048 : static ulong
2049 26489790 : nonsquare1_Fl(ulong p)
2050 : {
2051 : forprime_t S;
2052 : ulong q;
2053 26489790 : if ((p & 7UL) != 1) return 2UL;
2054 10604313 : q = p % 3; if (q == 2) return 3UL;
2055 3236897 : checkp(q, p);
2056 3236891 : q = p % 5; if (q == 2 || q == 3) return 5UL;
2057 427087 : checkp(q, p);
2058 427087 : q = p % 7; if (q != 4 && q >= 3) return 7UL;
2059 156631 : checkp(q, p);
2060 156631 : u_forprime_init(&S, 11, p);
2061 260232 : while ((q = u_forprime_next(&S)))
2062 : {
2063 260230 : long i = krouu(q, p);
2064 260231 : if (i < 0) return q;
2065 103601 : checkp(q, p);
2066 : }
2067 0 : checkp(0, p);
2068 : return 0; /*LCOV_EXCL_LINE*/
2069 : }
2070 : /* p > 2 a prime */
2071 : ulong
2072 7714 : nonsquare_Fl(ulong p)
2073 7714 : { return ((p & 3UL) == 3)? p-1: nonsquare1_Fl(p); }
2074 :
2075 : ulong
2076 151698 : Fl_2gener_pre(ulong p, ulong pi)
2077 : {
2078 151698 : ulong p1 = p-1;
2079 151698 : long e = vals(p1);
2080 151696 : if (e == 1) return p1;
2081 56990 : return Fl_powu_pre(nonsquare1_Fl(p), p1 >> e, p, pi);
2082 : }
2083 :
2084 : /* Tonelli-Shanks. Assume p is prime and (a,p) != -1. */
2085 : ulong
2086 63913200 : Fl_sqrt_pre_i(ulong a, ulong y, ulong p, ulong pi)
2087 : {
2088 : long i, e, k;
2089 : ulong p1, q, v, w;
2090 :
2091 63913200 : if (!a) return 0;
2092 62572856 : p1 = p - 1; e = vals(p1);
2093 62573250 : if (e == 0) /* p = 2 */
2094 : {
2095 418332 : if (p != 2) pari_err_PRIME("Fl_sqrt [modulus]",utoi(p));
2096 418928 : return ((a & 1) == 0)? 0: 1;
2097 : }
2098 62154918 : if (e == 1)
2099 : {
2100 35720520 : v = Fl_powu_pre(a, (p+1) >> 2, p, pi);
2101 35709395 : if (Fl_sqr_pre(v, p, pi) != a) return ~0UL;
2102 35685673 : p1 = p - v; if (v > p1) v = p1;
2103 35685673 : return v;
2104 : }
2105 26434398 : q = p1 >> e; /* q = (p-1)/2^oo is odd */
2106 26434398 : p1 = Fl_powu_pre(a, q >> 1, p, pi); /* a ^ [(q-1)/2] */
2107 26434407 : if (!p1) return 0;
2108 26434407 : v = Fl_mul_pre(a, p1, p, pi);
2109 26434407 : w = Fl_mul_pre(v, p1, p, pi);
2110 26434406 : if (!y) y = Fl_powu_pre(nonsquare1_Fl(p), q, p, pi);
2111 48226677 : while (w != 1)
2112 : { /* a*w = v^2, y primitive 2^e-th root of 1
2113 : a square --> w even power of y, hence w^(2^(e-1)) = 1 */
2114 21820415 : p1 = Fl_sqr_pre(w,p,pi);
2115 36610259 : for (k=1; p1 != 1 && k < e; k++) p1 = Fl_sqr_pre(p1,p,pi);
2116 21820419 : if (k == e) return ~0UL;
2117 : /* w ^ (2^k) = 1 --> w = y ^ (u * 2^(e-k)), u odd */
2118 21792279 : p1 = y;
2119 27805869 : for (i=1; i < e-k; i++) p1 = Fl_sqr_pre(p1, p, pi);
2120 21792279 : y = Fl_sqr_pre(p1, p, pi); e = k;
2121 21792277 : w = Fl_mul_pre(y, w, p, pi);
2122 21792276 : v = Fl_mul_pre(v, p1, p, pi);
2123 : }
2124 26406262 : p1 = p - v; if (v > p1) v = p1;
2125 26406262 : return v;
2126 : }
2127 :
2128 : ulong
2129 60475651 : Fl_sqrt(ulong a, ulong p)
2130 : {
2131 60475651 : ulong pi = get_Fl_red(p);
2132 60470827 : return Fl_sqrt_pre_i(a, 0, p, pi);
2133 : }
2134 :
2135 : ulong
2136 3406461 : Fl_sqrt_pre(ulong a, ulong p, ulong pi)
2137 : {
2138 3406461 : return Fl_sqrt_pre_i(a, 0, p, pi);
2139 : }
2140 :
2141 : static ulong
2142 46081 : Fl_lgener_pre_all(ulong l, long e, ulong r, ulong p, ulong pi, ulong *pt_m)
2143 : {
2144 : ulong x, y, m;
2145 46081 : ulong le1 = upowuu(l, e-1);
2146 46081 : for (x = 2; ; x++)
2147 : {
2148 72713 : y = Fl_powu_pre(x, r, p, pi);
2149 72713 : if (y==1) continue;
2150 56346 : m = Fl_powu_pre(y, le1, p, pi);
2151 56346 : if (m != 1) break;
2152 : }
2153 46081 : *pt_m = m;
2154 46081 : return y;
2155 : }
2156 :
2157 : /* solve x^l = a , l prime in G of order q.
2158 : *
2159 : * q = (l^e)*r, e >= 1, (r,l) = 1
2160 : * y generates the l-Sylow of G
2161 : * m = y^(l^(e-1)) != 1 */
2162 : static ulong
2163 111395 : Fl_sqrtl_raw(ulong a, ulong l, ulong e, ulong r, ulong p, ulong pi, ulong y, ulong m)
2164 : {
2165 : ulong p1, v, w, z, dl;
2166 : ulong u2;
2167 111395 : if (a==0) return a;
2168 111395 : u2 = Fl_inv(l%r, r);
2169 111395 : v = Fl_powu_pre(a, u2, p, pi);
2170 111391 : w = Fl_powu_pre(v, l, p, pi);
2171 111393 : w = Fl_mul_pre(w, Fl_inv(a, p), p, pi);
2172 111380 : if (w==1) return v;
2173 45409 : if (y==0) y = Fl_lgener_pre_all(l, e, r, p, pi, &m);
2174 64400 : while (w!=1)
2175 : {
2176 49655 : ulong k = 0;
2177 49655 : p1 = w;
2178 : do
2179 : {
2180 73454 : z = p1; p1 = Fl_powu_pre(p1, l, p, pi);
2181 73454 : k++;
2182 73454 : } while (p1!=1);
2183 49655 : if (k==e) return ULONG_MAX;
2184 18991 : dl = Fl_log_pre(z, m, l, p, pi);
2185 18991 : dl = Fl_neg(dl, l);
2186 18991 : p1 = Fl_powu_pre(y,dl*upowuu(l,e-k-1),p,pi);
2187 18991 : m = Fl_powu_pre(m, dl, p, pi);
2188 18991 : e = k;
2189 18991 : v = Fl_mul_pre(p1,v,p,pi);
2190 18991 : y = Fl_powu_pre(p1,l,p,pi);
2191 18991 : w = Fl_mul_pre(y,w,p,pi);
2192 : }
2193 14745 : return v;
2194 : }
2195 :
2196 : static ulong
2197 110569 : Fl_sqrtl_i(ulong a, ulong l, ulong p, ulong pi, ulong y, ulong m)
2198 : {
2199 110569 : ulong r, e = u_lvalrem(p-1, l, &r);
2200 110569 : return Fl_sqrtl_raw(a, l, e, r, p, pi, y, m);
2201 : }
2202 :
2203 : ulong
2204 110569 : Fl_sqrtl_pre(ulong a, ulong l, ulong p, ulong pi)
2205 : {
2206 110569 : return Fl_sqrtl_i(a, l, p, pi, 0, 0);
2207 : }
2208 :
2209 : ulong
2210 0 : Fl_sqrtl(ulong a, ulong l, ulong p)
2211 : {
2212 0 : ulong pi = get_Fl_red(p);
2213 0 : return Fl_sqrtl_i(a, l, p, pi, 0, 0);
2214 : }
2215 :
2216 : ulong
2217 68089 : Fl_sqrtn_pre(ulong a, long n, ulong p, ulong pi, ulong *zetan)
2218 : {
2219 68089 : ulong m, q = p-1, z;
2220 68089 : ulong nn = n >= 0 ? (ulong)n: -(ulong)n;
2221 68089 : if (a==0)
2222 : {
2223 48139 : if (n < 0) pari_err_INV("Fl_sqrtn", mkintmod(gen_0,utoi(p)));
2224 48132 : if (zetan) *zetan = 1UL;
2225 48132 : return 0;
2226 : }
2227 19950 : if (n==1)
2228 : {
2229 392 : if (zetan) *zetan = 1;
2230 392 : return n < 0? Fl_inv(a,p): a;
2231 : }
2232 19558 : if (n==2)
2233 : {
2234 4781 : if (zetan) *zetan = p-1;
2235 4781 : return Fl_sqrt_pre_i(a, 0, p, pi);
2236 : }
2237 14777 : if (a == 1 && !zetan) return a;
2238 7203 : m = ugcd(nn, q);
2239 7203 : z = 1;
2240 7203 : if (m!=1)
2241 : {
2242 630 : GEN F = factoru(m);
2243 : long i, j, e;
2244 : ulong r, zeta, y, l;
2245 1323 : for (i = nbrows(F); i; i--)
2246 : {
2247 749 : l = ucoeff(F,i,1);
2248 749 : j = ucoeff(F,i,2);
2249 749 : e = u_lvalrem(q,l, &r);
2250 749 : y = Fl_lgener_pre_all(l, e, r, p, pi, &zeta);
2251 749 : if (zetan)
2252 98 : z = Fl_mul_pre(z, Fl_powu_pre(y, upowuu(l,e-j), p, pi), p, pi);
2253 749 : if (a!=1)
2254 : do
2255 : {
2256 826 : a = Fl_sqrtl_raw(a, l, e, r, p, pi, y, zeta);
2257 812 : if (a==ULONG_MAX) return ULONG_MAX;
2258 770 : } while (--j);
2259 : }
2260 : }
2261 7147 : if (m != nn)
2262 : {
2263 6594 : ulong qm = q/m, nm = nn/m;
2264 6594 : a = Fl_powu_pre(a, Fl_inv(nm%qm, qm), p, pi);
2265 : }
2266 7147 : if (n < 0) a = Fl_inv(a, p);
2267 7147 : if (zetan) *zetan = z;
2268 7147 : return a;
2269 : }
2270 :
2271 : ulong
2272 68089 : Fl_sqrtn(ulong a, long n, ulong p, ulong *zetan)
2273 : {
2274 68089 : ulong pi = get_Fl_red(p);
2275 68089 : return Fl_sqrtn_pre(a, n, p, pi, zetan);
2276 : }
2277 :
2278 : /* Cipolla is better than Tonelli-Shanks when e = v_2(p-1) is "too big".
2279 : * Otherwise, is a constant times worse; for p = 3 (mod 4), is about 3 times worse,
2280 : * and in average is about 2 or 2.5 times worse. But try both algorithms for
2281 : * S(n) = (2^n+3)^2-8 with n = 750, 771, 779, 790, 874, 1176, 1728, 2604, etc.
2282 : *
2283 : * If X^2 := t^2 - a is not a square in F_p (so X is in F_p^2), then
2284 : * (t+X)^(p+1) = (t-X)(t+X) = a, hence sqrt(a) = (t+X)^((p+1)/2) in F_p^2.
2285 : * If (a|p)=1, then sqrt(a) is in F_p.
2286 : * cf: LNCS 2286, pp 430-434 (2002) [Gonzalo Tornaria] */
2287 :
2288 : /* compute y^2, y = y[1] + y[2] X */
2289 : static GEN
2290 449 : sqrt_Cipolla_sqr(void *data, GEN y)
2291 : {
2292 449 : GEN u = gel(y,1), v = gel(y,2), p = gel(data,2), n = gel(data,3);
2293 449 : GEN u2 = sqri(u), v2 = sqri(v);
2294 449 : v = subii(sqri(addii(v,u)), addii(u2,v2));
2295 449 : u = addii(u2, mulii(v2,n));
2296 : /* NOT mkvec2: must be gerepileupto-able */
2297 449 : retmkvec2(modii(u,p), modii(v,p));
2298 : }
2299 : /* compute (t+X) y^2 */
2300 : static GEN
2301 23 : sqrt_Cipolla_msqr(void *data, GEN y)
2302 : {
2303 23 : GEN u = gel(y,1), v = gel(y,2), a = gel(data,1), p = gel(data,2), gt = gel(data,4);
2304 23 : ulong t = gt[2];
2305 23 : GEN d = addii(u, mului(t,v)), d2= sqri(d);
2306 23 : GEN b = remii(mulii(a,v), p);
2307 23 : u = subii(mului(t,d2), mulii(b,addii(u,d)));
2308 23 : v = subii(d2, mulii(b,v));
2309 : /* NOT mkvec2: must be gerepileupto-able */
2310 23 : retmkvec2(modii(u,p), modii(v,p));
2311 : }
2312 : /* assume a reduced mod p [ otherwise correct but inefficient ] */
2313 : static GEN
2314 8 : sqrt_Cipolla(GEN a, GEN p)
2315 : {
2316 : pari_sp av1;
2317 : GEN u, v, n, y, pov2;
2318 : ulong t;
2319 :
2320 8 : if (kronecker(a, p) < 0) return NULL;
2321 8 : pov2 = shifti(p,-1);
2322 8 : if (cmpii(a,pov2) > 0) a = subii(a,p); /* center: avoid multiplying by huge base*/
2323 :
2324 8 : av1 = avma;
2325 8 : for(t=1; ; t++)
2326 : {
2327 41 : n = subsi((long)(t*t), a);
2328 41 : if (kronecker(n, p) < 0) break;
2329 33 : set_avma(av1);
2330 : }
2331 :
2332 : /* compute (t+X)^((p-1)/2) =: u+vX */
2333 8 : u = utoipos(t);
2334 8 : y = gen_pow_fold(mkvec2(u, gen_1), pov2, mkvec4(a,p,n,u),
2335 : sqrt_Cipolla_sqr, sqrt_Cipolla_msqr);
2336 : /* Now u+vX = (t+X)^((p-1)/2); thus
2337 : * (u+vX)(t+X) = sqrt(a) + 0 X
2338 : * Whence,
2339 : * sqrt(a) = (u+vt)t - v*a
2340 : * 0 = (u+vt)
2341 : * Thus a square root is v*a */
2342 :
2343 8 : v = Fp_mul(gel(y, 2), a, p);
2344 8 : if (cmpii(v,pov2) > 0) v = subii(p,v);
2345 8 : return v;
2346 : }
2347 :
2348 : /* Return NULL if p is found to be composite */
2349 : static GEN
2350 2816 : Fp_2gener_all(long e, GEN p)
2351 : {
2352 : GEN y, m;
2353 : long k;
2354 2816 : GEN q = shifti(subiu(p,1), -e); /* q = (p-1)/2^oo is odd */
2355 2816 : if (e==0 && !equaliu(p,2)) return NULL;
2356 2816 : for (k=2; ; k++)
2357 6569 : {
2358 9385 : long i = krosi(k, p);
2359 9385 : if (i >= 0)
2360 : {
2361 6569 : if (i) continue;
2362 0 : return NULL;
2363 : }
2364 2816 : y = m = Fp_pow(utoi(k), q, p);
2365 9633 : for (i=1; i<e; i++)
2366 6817 : if (equali1(m = Fp_sqr(m, p))) break;
2367 2816 : if (i == e) break; /* success */
2368 : }
2369 2816 : return y;
2370 : }
2371 :
2372 : /* Return NULL if p is found to be composite */
2373 : GEN
2374 980 : Fp_2gener(GEN p)
2375 980 : { return Fp_2gener_all(vali(subis(p,1)),p); }
2376 :
2377 : /* smallest square root */
2378 : static GEN
2379 27548 : choose_sqrt(GEN v, GEN p)
2380 : {
2381 27548 : pari_sp av = avma;
2382 27548 : GEN q = subii(p,v);
2383 27548 : if (cmpii(v,q) > 0) v = q; else set_avma(av);
2384 27548 : return v;
2385 : }
2386 : /* Tonelli-Shanks. Assume p is prime and return NULL if (a,p) = -1. */
2387 : GEN
2388 3490138 : Fp_sqrt_i(GEN a, GEN y, GEN p)
2389 : {
2390 3490138 : pari_sp av = avma;
2391 : long i, k, e;
2392 : GEN p1, q, v, w;
2393 :
2394 3490138 : if (typ(a) != t_INT) pari_err_TYPE("Fp_sqrt",a);
2395 3490138 : if (typ(p) != t_INT) pari_err_TYPE("Fp_sqrt",p);
2396 3490138 : if (signe(p) <= 0 || equali1(p)) pari_err_PRIME("Fp_sqrt",p);
2397 3490134 : if (lgefint(p) == 3)
2398 : {
2399 3462463 : ulong pp = uel(p,2), u = Fl_sqrt(umodiu(a, pp), pp);
2400 3462491 : if (u == ~0UL) return NULL;
2401 3462449 : return utoi(u);
2402 : }
2403 :
2404 27671 : a = modii(a, p); if (!signe(a)) { set_avma(av); return gen_0; }
2405 27578 : p1 = subiu(p,1); e = vali(p1);
2406 27578 : if (e <= 2)
2407 : { /* direct formulas more efficient */
2408 : pari_sp av2;
2409 22556 : if (e == 0) pari_err_PRIME("Fp_sqrt [modulus]",p); /* p != 2 */
2410 22556 : if (e == 1)
2411 : {
2412 13366 : q = addiu(shifti(p1,-2),1); /* (p+1) / 4 */
2413 13366 : v = Fp_pow(a, q, p);
2414 : }
2415 : else
2416 : { /* Atkin's formula */
2417 9190 : GEN i, a2 = shifti(a,1);
2418 9190 : if (cmpii(a2,p) >= 0) a2 = subii(a2,p);
2419 9190 : q = shifti(p1, -3); /* (p-5)/8 */
2420 9190 : v = Fp_pow(a2, q, p);
2421 9190 : i = Fp_mul(a2, Fp_sqr(v,p), p); /* i^2 = -1 */
2422 9190 : v = Fp_mul(a, Fp_mul(v, subiu(i,1), p), p);
2423 : }
2424 22556 : av2 = avma;
2425 : /* must check equality in case (a/p) = -1 or p not prime */
2426 22556 : e = equalii(Fp_sqr(v,p), a); set_avma(av2);
2427 22556 : return e? gerepileuptoint(av,choose_sqrt(v,p)): NULL;
2428 : }
2429 : /* On average, Cipolla is better than Tonelli/Shanks if and only if
2430 : * e(e-1) > 8*log2(n)+20, see LNCS 2286 pp 430 [GTL] */
2431 5022 : if (e*(e-1) > 20 + 8 * expi(p))
2432 : {
2433 8 : v = sqrt_Cipolla(a,p); if (!v) return gc_NULL(av);
2434 8 : return gerepileuptoint(av,v);
2435 : }
2436 5014 : if (!y)
2437 : {
2438 1836 : y = Fp_2gener_all(e, p);
2439 1836 : if (!y) pari_err_PRIME("Fp_sqrt [modulus]",p);
2440 : }
2441 5014 : q = shifti(p1,-e); /* q = (p-1)/2^oo is odd */
2442 5014 : p1 = Fp_pow(a, shifti(q,-1), p); /* a ^ (q-1)/2 */
2443 5014 : v = Fp_mul(a, p1, p);
2444 5014 : w = Fp_mul(v, p1, p);
2445 12072 : while (!equali1(w))
2446 : { /* a*w = v^2, y primitive 2^e-th root of 1
2447 : a square --> w even power of y, hence w^(2^(e-1)) = 1 */
2448 7058 : p1 = Fp_sqr(w,p);
2449 15240 : for (k=1; !equali1(p1) && k < e; k++) p1 = Fp_sqr(p1,p);
2450 7058 : if (k == e) return gc_NULL(av); /* p composite or (a/p) != 1 */
2451 : /* w ^ (2^k) = 1 --> w = y ^ (u * 2^(e-k)), u odd */
2452 7058 : p1 = y;
2453 10260 : for (i=1; i < e-k; i++) p1 = Fp_sqr(p1,p);
2454 7058 : y = Fp_sqr(p1, p); e = k;
2455 7058 : w = Fp_mul(y, w, p);
2456 7058 : v = Fp_mul(v, p1, p);
2457 7058 : if (gc_needed(av,1))
2458 : {
2459 0 : if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"Fp_sqrt");
2460 0 : gerepileall(av,3, &y,&w,&v);
2461 : }
2462 : }
2463 5014 : return gerepileuptoint(av, choose_sqrt(v,p));
2464 : }
2465 :
2466 : GEN
2467 3475710 : Fp_sqrt(GEN a, GEN p)
2468 : {
2469 3475710 : return Fp_sqrt_i(a, NULL, p);
2470 : }
2471 :
2472 : /*********************************************************************/
2473 : /** **/
2474 : /** GCD & BEZOUT **/
2475 : /** **/
2476 : /*********************************************************************/
2477 :
2478 : GEN
2479 27922831 : lcmii(GEN x, GEN y)
2480 : {
2481 : pari_sp av;
2482 : GEN a, b;
2483 27922831 : if (!signe(x) || !signe(y)) return gen_0;
2484 27922837 : av = avma;
2485 27922837 : a = gcdii(x,y); if (!equali1(a)) y = diviiexact(y,a);
2486 27922796 : b = mulii(x,y); setabssign(b); return gerepileuptoint(av, b);
2487 : }
2488 :
2489 : /* given x in assume 0 < x < N; return u in (Z/NZ)^* such that u x = gcd(x,N) (mod N);
2490 : * set *pd = gcd(x,N) */
2491 : GEN
2492 4330722 : Fp_invgen(GEN x, GEN N, GEN *pd)
2493 : {
2494 : GEN d, d0, e, v;
2495 4330722 : if (lgefint(N) == 3)
2496 : {
2497 3508729 : ulong dd, NN = N[2], xx = umodiu(x,NN);
2498 3508729 : if (!xx) { *pd = N; return gen_0; }
2499 3508729 : xx = Fl_invgen(xx, NN, &dd);
2500 3508729 : *pd = utoi(dd); return utoi(xx);
2501 : }
2502 821993 : *pd = d = bezout(x, N, &v, NULL);
2503 821993 : if (equali1(d)) return v;
2504 : /* vx = gcd(x,N) (mod N), v coprime to N/d but need not be coprime to N */
2505 773300 : e = diviiexact(N,d);
2506 773300 : d0 = Z_ppo(d, e); /* d = d0 d1, d0 coprime to N/d, rad(d1) | N/d */
2507 773300 : if (equali1(d0)) return v;
2508 652796 : if (!equalii(d,d0)) e = lcmii(e, diviiexact(d,d0));
2509 652796 : return Z_chinese_coprime(v, gen_1, e, d0, mulii(e,d0));
2510 : }
2511 :
2512 : /*********************************************************************/
2513 : /** **/
2514 : /** CHINESE REMAINDERS **/
2515 : /** **/
2516 : /*********************************************************************/
2517 :
2518 : /* Chinese Remainder Theorem. x and y must have the same type (integermod,
2519 : * polymod, or polynomial/vector/matrix recursively constructed with these
2520 : * as coefficients). Creates (with the same type) a z in the same residue
2521 : * class as x and the same residue class as y, if it is possible.
2522 : *
2523 : * We also allow (during recursion) two identical objects even if they are
2524 : * not integermod or polymod. For example:
2525 : *
2526 : * ? x = [1, Mod(5, 11), Mod(X + Mod(2, 7), X^2 + 1)];
2527 : * ? y = [1, Mod(7, 17), Mod(X + Mod(0, 3), X^2 + 1)];
2528 : * ? chinese(x, y)
2529 : * %3 = [1, Mod(16, 187), Mod(X + mod(9, 21), X^2 + 1)] */
2530 :
2531 : static GEN
2532 538191 : gen_chinese(GEN x, GEN(*f)(GEN,GEN))
2533 : {
2534 538191 : GEN z = gassoc_proto(f,x,NULL);
2535 538184 : if (z == gen_1) retmkintmod(gen_0,gen_1);
2536 538149 : return z;
2537 : }
2538 :
2539 : /* x t_INTMOD, y t_POLMOD; promote x to t_POLMOD mod Pol(x.mod) then
2540 : * call chinese: makes Mod(0,1) a better "neutral" element */
2541 : static GEN
2542 21 : chinese_intpol(GEN x,GEN y)
2543 : {
2544 21 : pari_sp av = avma;
2545 21 : GEN z = mkpolmod(gel(x,2), scalarpol_shallow(gel(x,1), varn(gel(y,1))));
2546 21 : return gerepileupto(av, chinese(z, y));
2547 : }
2548 :
2549 : GEN
2550 49 : chinese1(GEN x) { return gen_chinese(x,chinese); }
2551 :
2552 : GEN
2553 16504 : chinese(GEN x, GEN y)
2554 : {
2555 : pari_sp av;
2556 16504 : long tx = typ(x), ty;
2557 : GEN z,p1,p2,d,u,v;
2558 :
2559 16504 : if (!y) return chinese1(x);
2560 16455 : if (gidentical(x,y)) return gcopy(x);
2561 16448 : ty = typ(y);
2562 16448 : if (tx == ty) switch(tx)
2563 : {
2564 28 : case t_POLMOD:
2565 : {
2566 28 : GEN A = gel(x,1), B = gel(y,1);
2567 28 : GEN a = gel(x,2), b = gel(y,2);
2568 28 : if (varn(A)!=varn(B)) pari_err_VAR("chinese",A,B);
2569 28 : if (RgX_equal(A,B)) retmkpolmod(chinese(a,b), gcopy(A)); /*same modulus*/
2570 28 : av = avma;
2571 28 : d = RgX_extgcd(A,B,&u,&v);
2572 28 : p2 = gsub(b, a);
2573 28 : if (!gequal0(gmod(p2, d))) break;
2574 28 : p1 = gdiv(A,d);
2575 28 : p2 = gadd(a, gmul(gmul(u,p1), p2));
2576 :
2577 28 : z = cgetg(3, t_POLMOD);
2578 28 : gel(z,1) = gmul(p1,B);
2579 28 : gel(z,2) = gmod(p2,gel(z,1));
2580 28 : return gerepileupto(av, z);
2581 : }
2582 16385 : case t_INTMOD:
2583 : {
2584 16385 : GEN A = gel(x,1), B = gel(y,1);
2585 16385 : GEN a = gel(x,2), b = gel(y,2), c, d, C, U;
2586 16385 : z = cgetg(3,t_INTMOD);
2587 16385 : Z_chinese_pre(A, B, &C, &U, &d);
2588 16385 : c = Z_chinese_post(a, b, C, U, d);
2589 16385 : if (!c) pari_err_OP("chinese", x,y);
2590 16385 : set_avma((pari_sp)z);
2591 16385 : gel(z,1) = icopy(C);
2592 16385 : gel(z,2) = icopy(c); return z;
2593 : }
2594 7 : case t_POL:
2595 : {
2596 7 : long i, lx = lg(x), ly = lg(y);
2597 7 : if (varn(x) != varn(y)) break;
2598 7 : if (lx < ly) { swap(x,y); lswap(lx,ly); }
2599 7 : z = cgetg(lx, t_POL); z[1] = x[1];
2600 21 : for (i=2; i<ly; i++) gel(z,i) = chinese(gel(x,i),gel(y,i));
2601 14 : for ( ; i<lx; i++) gel(z,i) = gcopy(gel(x,i));
2602 7 : return z;
2603 : }
2604 :
2605 7 : case t_VEC: case t_COL: case t_MAT:
2606 : {
2607 : long i, lx;
2608 7 : z = cgetg_copy(x, &lx); if (lx!=lg(y)) break;
2609 21 : for (i=1; i<lx; i++) gel(z,i) = chinese(gel(x,i),gel(y,i));
2610 7 : return z;
2611 : }
2612 : }
2613 21 : if (tx == t_POLMOD && ty == t_INTMOD) return chinese_intpol(y,x);
2614 7 : if (ty == t_POLMOD && tx == t_INTMOD) return chinese_intpol(x,y);
2615 0 : pari_err_OP("chinese",x,y);
2616 : return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
2617 : }
2618 :
2619 : /* init chinese(Mod(.,A), Mod(.,B)) */
2620 : void
2621 238949 : Z_chinese_pre(GEN A, GEN B, GEN *pC, GEN *pU, GEN *pd)
2622 : {
2623 238949 : GEN u, d = bezout(A,B,&u,NULL); /* U = u(A/d), u(A/d) + v(B/d) = 1 */
2624 238945 : GEN t = diviiexact(A,d);
2625 238938 : *pU = mulii(u, t);
2626 238933 : *pC = mulii(t, B);
2627 238929 : if (pd) *pd = d;
2628 238929 : }
2629 : /* Assume C = lcm(A, B), U = 0 mod (A/d), U = 1 mod (B/d), a = b mod d,
2630 : * where d = gcd(A,B) or NULL, return x = a (mod A), b (mod B).
2631 : * If d not NULL, check whether a = b mod d. */
2632 : GEN
2633 1477855 : Z_chinese_post(GEN a, GEN b, GEN C, GEN U, GEN d)
2634 : {
2635 : GEN b_a;
2636 1477855 : if (!signe(a))
2637 : {
2638 399749 : if (d && !dvdii(b, d)) return NULL;
2639 399749 : return Fp_mul(b, U, C);
2640 : }
2641 1078106 : b_a = subii(b,a);
2642 1078106 : if (d && !dvdii(b_a, d)) return NULL;
2643 1078106 : return modii(addii(a, mulii(U, b_a)), C);
2644 : }
2645 : static ulong
2646 2212329 : u_chinese_post(ulong a, ulong b, ulong C, ulong U)
2647 : {
2648 2212329 : if (!a) return Fl_mul(b, U, C);
2649 2212329 : return Fl_add(a, Fl_mul(U, Fl_sub(b,a,C), C), C);
2650 : }
2651 :
2652 : GEN
2653 2142 : Z_chinese(GEN a, GEN b, GEN A, GEN B)
2654 : {
2655 2142 : pari_sp av = avma;
2656 2142 : GEN C, U; Z_chinese_pre(A, B, &C, &U, NULL);
2657 2142 : return gerepileuptoint(av, Z_chinese_post(a,b, C, U, NULL));
2658 : }
2659 : GEN
2660 220365 : Z_chinese_all(GEN a, GEN b, GEN A, GEN B, GEN *pC)
2661 : {
2662 220365 : GEN U; Z_chinese_pre(A, B, pC, &U, NULL);
2663 220346 : return Z_chinese_post(a,b, *pC, U, NULL);
2664 : }
2665 :
2666 : /* return lift(chinese(a mod A, b mod B))
2667 : * assume(A,B)=1, a,b,A,B integers and C = A*B */
2668 : GEN
2669 653846 : Z_chinese_coprime(GEN a, GEN b, GEN A, GEN B, GEN C)
2670 : {
2671 653846 : pari_sp av = avma;
2672 653846 : GEN U = mulii(Fp_inv(A,B), A);
2673 653846 : return gerepileuptoint(av, Z_chinese_post(a,b,C,U, NULL));
2674 : }
2675 : ulong
2676 2212329 : u_chinese_coprime(ulong a, ulong b, ulong A, ulong B, ulong C)
2677 2212329 : { return u_chinese_post(a,b,C, A * Fl_inv(A % B,B)); }
2678 :
2679 : /* chinese1 for coprime moduli in Z */
2680 : static GEN
2681 584809 : chinese1_coprime_Z_aux(GEN x, GEN y)
2682 : {
2683 584809 : GEN z = cgetg(3, t_INTMOD);
2684 584809 : GEN A = gel(x,1), a = gel(x, 2);
2685 584809 : GEN B = gel(y,1), b = gel(y, 2), C = mulii(A,B);
2686 584809 : pari_sp av = avma;
2687 584809 : GEN U = mulii(Fp_inv(A,B), A);
2688 584809 : gel(z,2) = gerepileuptoint(av, Z_chinese_post(a,b,C,U, NULL));
2689 584809 : gel(z,1) = C; return z;
2690 : }
2691 : GEN
2692 538142 : chinese1_coprime_Z(GEN x) {return gen_chinese(x,chinese1_coprime_Z_aux);}
2693 :
2694 : /*********************************************************************/
2695 : /** **/
2696 : /** MODULAR EXPONENTIATION **/
2697 : /** **/
2698 : /*********************************************************************/
2699 :
2700 : /* xa, ya = t_VECSMALL */
2701 : GEN
2702 1097237 : ZV_producttree(GEN xa)
2703 : {
2704 1097237 : long n = lg(xa)-1;
2705 1097237 : long m = n==1 ? 1: expu(n-1)+1;
2706 1097236 : GEN T = cgetg(m+1, t_VEC), t;
2707 : long i, j, k;
2708 1097234 : t = cgetg(((n+1)>>1)+1, t_VEC);
2709 1097233 : if (typ(xa)==t_VECSMALL)
2710 : {
2711 1144077 : for (j=1, k=1; k<n; j++, k+=2)
2712 846096 : gel(t, j) = muluu(xa[k], xa[k+1]);
2713 297981 : if (k==n) gel(t, j) = utoi(xa[k]);
2714 : } else {
2715 1647697 : for (j=1, k=1; k<n; j++, k+=2)
2716 848436 : gel(t, j) = mulii(gel(xa,k), gel(xa,k+1));
2717 799261 : if (k==n) gel(t, j) = icopy(gel(xa,k));
2718 : }
2719 1097241 : gel(T,1) = t;
2720 1882831 : for (i=2; i<=m; i++)
2721 : {
2722 785587 : GEN u = gel(T, i-1);
2723 785587 : long n = lg(u)-1;
2724 785587 : t = cgetg(((n+1)>>1)+1, t_VEC);
2725 1804784 : for (j=1, k=1; k<n; j++, k+=2)
2726 1019194 : gel(t, j) = mulii(gel(u, k), gel(u, k+1));
2727 785590 : if (k==n) gel(t, j) = gel(u, k);
2728 785590 : gel(T, i) = t;
2729 : }
2730 1097244 : return T;
2731 : }
2732 :
2733 : /* return [A mod P[i], i=1..#P], T = ZV_producttree(P) */
2734 : GEN
2735 30252226 : Z_ZV_mod_tree(GEN A, GEN P, GEN T)
2736 : {
2737 : long i,j,k;
2738 30252226 : long m = lg(T)-1, n = lg(P)-1;
2739 : GEN t;
2740 30252226 : GEN Tp = cgetg(m+1, t_VEC);
2741 30176321 : gel(Tp, m) = mkvec(A);
2742 72633194 : for (i=m-1; i>=1; i--)
2743 : {
2744 42613741 : GEN u = gel(T, i);
2745 42613741 : GEN v = gel(Tp, i+1);
2746 42613741 : long n = lg(u)-1;
2747 42613741 : t = cgetg(n+1, t_VEC);
2748 122772883 : for (j=1, k=1; k<n; j++, k+=2)
2749 : {
2750 80402928 : gel(t, k) = modii(gel(v, j), gel(u, k));
2751 80220814 : gel(t, k+1) = modii(gel(v, j), gel(u, k+1));
2752 : }
2753 42369955 : if (k==n) gel(t, k) = gel(v, j);
2754 42369955 : gel(Tp, i) = t;
2755 : }
2756 : {
2757 30019453 : GEN u = gel(T, i+1);
2758 30019453 : GEN v = gel(Tp, i+1);
2759 30019453 : long l = lg(u)-1;
2760 30019453 : if (typ(P)==t_VECSMALL)
2761 : {
2762 28929346 : GEN R = cgetg(n+1, t_VECSMALL);
2763 139147787 : for (j=1, k=1; j<=l; j++, k+=2)
2764 : {
2765 109716338 : uel(R,k) = umodiu(gel(v, j), P[k]);
2766 110163928 : if (k < n)
2767 100403065 : uel(R,k+1) = umodiu(gel(v, j), P[k+1]);
2768 : }
2769 29431449 : return R;
2770 : }
2771 : else
2772 : {
2773 1090107 : GEN R = cgetg(n+1, t_VEC);
2774 3213052 : for (j=1, k=1; j<=l; j++, k+=2)
2775 : {
2776 2115977 : gel(R,k) = modii(gel(v, j), gel(P,k));
2777 2115986 : if (k < n)
2778 1694115 : gel(R,k+1) = modii(gel(v, j), gel(P,k+1));
2779 : }
2780 1097075 : return R;
2781 : }
2782 : }
2783 : }
2784 :
2785 : /* T = ZV_producttree(P), R = ZV_chinesetree(P,T) */
2786 : GEN
2787 23976061 : ZV_chinese_tree(GEN A, GEN P, GEN T, GEN R)
2788 : {
2789 23976061 : long m = lg(T)-1, n = lg(A)-1;
2790 : long i,j,k;
2791 23976061 : GEN Tp = cgetg(m+1, t_VEC);
2792 23945133 : GEN M = gel(T, 1);
2793 23945133 : GEN t = cgetg(lg(M), t_VEC);
2794 23903111 : if (typ(P)==t_VECSMALL)
2795 : {
2796 72753628 : for (j=1, k=1; k<n; j++, k+=2)
2797 : {
2798 59601064 : pari_sp av = avma;
2799 59601064 : GEN a = mului(A[k], gel(R,k)), b = mului(A[k+1], gel(R,k+1));
2800 59260339 : GEN tj = modii(addii(mului(P[k],b), mului(P[k+1],a)), gel(M,j));
2801 59489044 : gel(t, j) = gerepileuptoint(av, tj);
2802 : }
2803 13152564 : if (k==n) gel(t, j) = modii(mului(A[k], gel(R,k)), gel(M, j));
2804 : } else
2805 : {
2806 23770610 : for (j=1, k=1; k<n; j++, k+=2)
2807 : {
2808 12998238 : pari_sp av = avma;
2809 12998238 : GEN a = mulii(gel(A,k), gel(R,k)), b = mulii(gel(A,k+1), gel(R,k+1));
2810 13002017 : GEN tj = modii(addii(mulii(gel(P,k),b), mulii(gel(P,k+1),a)), gel(M,j));
2811 12997791 : gel(t, j) = gerepileuptoint(av, tj);
2812 : }
2813 10772372 : if (k==n) gel(t, j) = modii(mulii(gel(A,k), gel(R,k)), gel(M, j));
2814 : }
2815 23915473 : gel(Tp, 1) = t;
2816 51877264 : for (i=2; i<=m; i++)
2817 : {
2818 27953260 : GEN u = gel(T, i-1), M = gel(T, i);
2819 27953260 : GEN t = cgetg(lg(M), t_VEC);
2820 27951640 : GEN v = gel(Tp, i-1);
2821 27951640 : long n = lg(v)-1;
2822 83939247 : for (j=1, k=1; k<n; j++, k+=2)
2823 : {
2824 55977456 : pari_sp av = avma;
2825 55905957 : gel(t, j) = gerepileuptoint(av, modii(addii(mulii(gel(u, k), gel(v, k+1)),
2826 55977456 : mulii(gel(u, k+1), gel(v, k))), gel(M, j)));
2827 : }
2828 27961791 : if (k==n) gel(t, j) = gel(v, k);
2829 27961791 : gel(Tp, i) = t;
2830 : }
2831 23924004 : return gmael(Tp,m,1);
2832 : }
2833 :
2834 : static GEN
2835 614916 : ncV_polint_center_tree(GEN vA, GEN P, GEN T, GEN R, GEN m2)
2836 : {
2837 614916 : long i, l = lg(gel(vA,1)), n = lg(P);
2838 614916 : GEN mod = gmael(T, lg(T)-1, 1), V = cgetg(l, t_COL);
2839 20694819 : for (i=1; i < l; i++)
2840 : {
2841 20080003 : pari_sp av = avma;
2842 20080003 : GEN c, A = cgetg(n, typ(P));
2843 : long j;
2844 162789357 : for (j=1; j < n; j++) A[j] = mael(vA,j,i);
2845 20045252 : c = Fp_center(ZV_chinese_tree(A, P, T, R), mod, m2);
2846 20072579 : gel(V,i) = gerepileuptoint(av, c);
2847 : }
2848 614816 : return V;
2849 : }
2850 :
2851 : static GEN
2852 320579 : nxV_polint_center_tree(GEN vA, GEN P, GEN T, GEN R, GEN m2)
2853 : {
2854 320579 : long i, j, l, n = lg(P);
2855 320579 : GEN mod = gmael(T, lg(T)-1, 1), V, w;
2856 320579 : w = cgetg(n, t_VECSMALL);
2857 1190304 : for(j=1; j<n; j++) w[j] = lg(gel(vA,j));
2858 320518 : l = vecsmall_max(w);
2859 320502 : V = cgetg(l, t_POL);
2860 320396 : V[1] = mael(vA,1,1);
2861 1742371 : for (i=2; i < l; i++)
2862 : {
2863 1421889 : pari_sp av = avma;
2864 1421889 : GEN c, A = cgetg(n, typ(P));
2865 1420805 : if (typ(P)==t_VECSMALL)
2866 3520039 : for (j=1; j < n; j++) A[j] = i < w[j] ? mael(vA,j,i): 0;
2867 : else
2868 1870824 : for (j=1; j < n; j++) gel(A,j) = i < w[j] ? gmael(vA,j,i): gen_0;
2869 1420805 : c = Fp_center(ZV_chinese_tree(A, P, T, R), mod, m2);
2870 1421674 : gel(V,i) = gerepileuptoint(av, c);
2871 : }
2872 320482 : return ZX_renormalize(V, l);
2873 : }
2874 :
2875 : static GEN
2876 10136 : nxCV_polint_center_tree(GEN vA, GEN P, GEN T, GEN R, GEN m2)
2877 : {
2878 10136 : long i, j, l = lg(gel(vA,1)), n = lg(P);
2879 10136 : GEN A = cgetg(n, t_VEC);
2880 10136 : GEN V = cgetg(l, t_COL);
2881 254224 : for (i=1; i < l; i++)
2882 : {
2883 909158 : for (j=1; j < n; j++) gel(A,j) = gmael(vA,j,i);
2884 244089 : gel(V,i) = nxV_polint_center_tree(A, P, T, R, m2);
2885 : }
2886 10135 : return V;
2887 : }
2888 :
2889 : static GEN
2890 91189 : polint_chinese(GEN worker, GEN mA, GEN P)
2891 : {
2892 91189 : long cnt, pending, n, i, j, l = lg(gel(mA,1));
2893 : struct pari_mt pt;
2894 : GEN done, va, M, A;
2895 : pari_timer ti;
2896 :
2897 91189 : if (l == 1) return cgetg(1, t_MAT);
2898 62137 : cnt = pending = 0;
2899 62137 : n = lg(P);
2900 62137 : A = cgetg(n, t_VEC);
2901 62137 : va = mkvec(A);
2902 62137 : M = cgetg(l, t_MAT);
2903 62137 : if (DEBUGLEVEL>4) timer_start(&ti);
2904 62137 : if (DEBUGLEVEL>5) err_printf("Start parallel Chinese remainder: ");
2905 62137 : mt_queue_start_lim(&pt, worker, l-1);
2906 476382 : for (i=1; i<l || pending; i++)
2907 : {
2908 : long workid;
2909 1856072 : for(j=1; j < n; j++) gel(A,j) = gmael(mA,j,i);
2910 414245 : mt_queue_submit(&pt, i, i<l? va: NULL);
2911 414245 : done = mt_queue_get(&pt, &workid, &pending);
2912 414245 : if (done)
2913 : {
2914 387922 : gel(M,workid) = done;
2915 387922 : if (DEBUGLEVEL>5) err_printf("%ld%% ",(++cnt)*100/(l-1));
2916 : }
2917 : }
2918 62137 : if (DEBUGLEVEL>5) err_printf("\n");
2919 62137 : if (DEBUGLEVEL>4) timer_printf(&ti, "nmV_chinese_center");
2920 62137 : mt_queue_end(&pt);
2921 62137 : return M;
2922 : }
2923 :
2924 : GEN
2925 1986 : nxMV_polint_center_tree_worker(GEN vA, GEN T, GEN R, GEN P, GEN m2)
2926 : {
2927 1986 : return nxCV_polint_center_tree(vA, P, T, R, m2);
2928 : }
2929 :
2930 : static GEN
2931 559 : nxMV_polint_center_tree_seq(GEN vA, GEN P, GEN T, GEN R, GEN m2)
2932 : {
2933 559 : long i, j, l = lg(gel(vA,1)), n = lg(P);
2934 559 : GEN A = cgetg(n, t_VEC);
2935 559 : GEN V = cgetg(l, t_MAT);
2936 8709 : for (i=1; i < l; i++)
2937 : {
2938 29963 : for (j=1; j < n; j++) gel(A,j) = gmael(vA,j,i);
2939 8150 : gel(V,i) = nxCV_polint_center_tree(A, P, T, R, m2);
2940 : }
2941 559 : return V;
2942 : }
2943 :
2944 : static GEN
2945 115 : nxMV_polint_center_tree(GEN mA, GEN P, GEN T, GEN R, GEN m2)
2946 : {
2947 115 : GEN worker = snm_closure(is_entry("_nxMV_polint_worker"), mkvec4(T, R, P, m2));
2948 115 : return polint_chinese(worker, mA, P);
2949 : }
2950 :
2951 : static GEN
2952 42115 : nmV_polint_center_tree_seq(GEN vA, GEN P, GEN T, GEN R, GEN m2)
2953 : {
2954 42115 : long i, j, l = lg(gel(vA,1)), n = lg(P);
2955 42115 : GEN A = cgetg(n, t_VEC);
2956 42114 : GEN V = cgetg(l, t_MAT);
2957 267307 : for (i=1; i < l; i++)
2958 : {
2959 1673802 : for (j=1; j < n; j++) gel(A,j) = gmael(vA,j,i);
2960 225184 : gel(V,i) = ncV_polint_center_tree(A, P, T, R, m2);
2961 : }
2962 42123 : return V;
2963 : }
2964 :
2965 : GEN
2966 385863 : nmV_polint_center_tree_worker(GEN vA, GEN T, GEN R, GEN P, GEN m2)
2967 : {
2968 385863 : return ncV_polint_center_tree(vA, P, T, R, m2);
2969 : }
2970 :
2971 : static GEN
2972 91074 : nmV_polint_center_tree(GEN mA, GEN P, GEN T, GEN R, GEN m2)
2973 : {
2974 91074 : GEN worker = snm_closure(is_entry("_polint_worker"), mkvec4(T, R, P, m2));
2975 91074 : return polint_chinese(worker, mA, P);
2976 : }
2977 :
2978 : /* return [A mod P[i], i=1..#P] */
2979 : GEN
2980 0 : Z_ZV_mod(GEN A, GEN P)
2981 : {
2982 0 : pari_sp av = avma;
2983 0 : return gerepilecopy(av, Z_ZV_mod_tree(A, P, ZV_producttree(P)));
2984 : }
2985 : /* P a t_VECSMALL */
2986 : GEN
2987 0 : Z_nv_mod(GEN A, GEN P)
2988 : {
2989 0 : pari_sp av = avma;
2990 0 : return gerepileuptoleaf(av, Z_ZV_mod_tree(A, P, ZV_producttree(P)));
2991 : }
2992 : /* B a ZX, T = ZV_producttree(P) */
2993 : GEN
2994 521417 : ZX_nv_mod_tree(GEN B, GEN A, GEN T)
2995 : {
2996 : pari_sp av;
2997 521417 : long i, j, l = lg(B), n = lg(A)-1;
2998 521417 : GEN V = cgetg(n+1, t_VEC);
2999 2950679 : for (j=1; j <= n; j++)
3000 : {
3001 2429799 : gel(V, j) = cgetg(l, t_VECSMALL);
3002 2429318 : mael(V, j, 1) = B[1]&VARNBITS;
3003 : }
3004 520880 : av = avma;
3005 6358648 : for (i=2; i < l; i++)
3006 : {
3007 5838753 : GEN v = Z_ZV_mod_tree(gel(B, i), A, T);
3008 49030262 : for (j=1; j <= n; j++)
3009 43200080 : mael(V, j, i) = v[j];
3010 5830182 : set_avma(av);
3011 : }
3012 2950109 : for (j=1; j <= n; j++)
3013 2430199 : (void) Flx_renormalize(gel(V, j), l);
3014 519910 : return V;
3015 : }
3016 :
3017 : static GEN
3018 233603 : to_ZX(GEN a, long v) { return typ(a)==t_INT? scalarpol(a,v): a; }
3019 :
3020 : GEN
3021 4293 : ZXX_nv_mod_tree(GEN P, GEN xa, GEN T, long w)
3022 : {
3023 4293 : pari_sp av = avma;
3024 4293 : long i, j, l = lg(P), n = lg(xa)-1, vP = varn(P);
3025 4293 : GEN V = cgetg(n+1, t_VEC);
3026 16784 : for (j=1; j <= n; j++)
3027 : {
3028 12491 : gel(V, j) = cgetg(l, t_POL);
3029 12491 : mael(V, j, 1) = vP;
3030 : }
3031 37032 : for (i=2; i < l; i++)
3032 : {
3033 32739 : GEN v = ZX_nv_mod_tree(to_ZX(gel(P, i), w), xa, T);
3034 141067 : for (j=1; j <= n; j++)
3035 108328 : gmael(V, j, i) = gel(v,j);
3036 : }
3037 16784 : for (j=1; j <= n; j++)
3038 12491 : (void) FlxX_renormalize(gel(V, j), l);
3039 4293 : return gerepilecopy(av, V);
3040 : }
3041 :
3042 : GEN
3043 8442 : ZXC_nv_mod_tree(GEN C, GEN xa, GEN T, long w)
3044 : {
3045 8442 : pari_sp av = avma;
3046 8442 : long i, j, l = lg(C), n = lg(xa)-1;
3047 8442 : GEN V = cgetg(n+1, t_VEC);
3048 32141 : for (j = 1; j <= n; j++)
3049 23699 : gel(V, j) = cgetg(l, t_COL);
3050 209237 : for (i = 1; i < l; i++)
3051 : {
3052 200823 : GEN v = ZX_nv_mod_tree(to_ZX(gel(C, i), w), xa, T);
3053 828735 : for (j = 1; j <= n; j++)
3054 627940 : gmael(V, j, i) = gel(v,j);
3055 : }
3056 8414 : return gerepilecopy(av, V);
3057 : }
3058 :
3059 : GEN
3060 559 : ZXM_nv_mod_tree(GEN M, GEN xa, GEN T, long w)
3061 : {
3062 559 : pari_sp av = avma;
3063 559 : long i, j, l = lg(M), n = lg(xa)-1;
3064 559 : GEN V = cgetg(n+1, t_VEC);
3065 2010 : for (j=1; j <= n; j++)
3066 1451 : gel(V, j) = cgetg(l, t_MAT);
3067 8710 : for (i=1; i < l; i++)
3068 : {
3069 8151 : GEN v = ZXC_nv_mod_tree(gel(M, i), xa, T, w);
3070 29966 : for (j=1; j <= n; j++)
3071 21815 : gmael(V, j, i) = gel(v,j);
3072 : }
3073 559 : return gerepilecopy(av, V);
3074 : }
3075 :
3076 : GEN
3077 654685 : ZV_nv_mod_tree(GEN B, GEN A, GEN T)
3078 : {
3079 : pari_sp av;
3080 654685 : long i, j, l = lg(B), n = lg(A)-1;
3081 654685 : GEN V = cgetg(n+1, t_VEC);
3082 3891312 : for (j=1; j <= n; j++)
3083 3236820 : gel(V, j) = cgetg(l, t_VECSMALL);
3084 654492 : av = avma;
3085 23967196 : for (i=1; i < l; i++)
3086 : {
3087 23314722 : GEN v = Z_ZV_mod_tree(gel(B, i), A, T);
3088 193104631 : for (j=1; j <= n; j++)
3089 169911302 : mael(V, j, i) = v[j];
3090 23193329 : set_avma(av);
3091 : }
3092 652474 : return V;
3093 : }
3094 :
3095 : GEN
3096 63870 : ZM_nv_mod_tree(GEN M, GEN xa, GEN T)
3097 : {
3098 63870 : pari_sp av = avma;
3099 63870 : long i, j, l = lg(M), n = lg(xa)-1;
3100 63870 : GEN V = cgetg(n+1, t_VEC);
3101 247095 : for (j=1; j <= n; j++)
3102 183228 : gel(V, j) = cgetg(l, t_MAT);
3103 718301 : for (i=1; i < l; i++)
3104 : {
3105 654446 : GEN v = ZV_nv_mod_tree(gel(M, i), xa, T);
3106 3892638 : for (j=1; j <= n; j++)
3107 3238204 : gmael(V, j, i) = gel(v,j);
3108 : }
3109 63855 : return gerepilecopy(av, V);
3110 : }
3111 :
3112 : static GEN
3113 1093655 : ZV_sqr(GEN z)
3114 : {
3115 1093655 : long i,l = lg(z);
3116 1093655 : GEN x = cgetg(l, t_VEC);
3117 1093650 : if (typ(z)==t_VECSMALL)
3118 2098629 : for (i=1; i<l; i++) gel(x,i) = sqru(z[i]);
3119 : else
3120 2780909 : for (i=1; i<l; i++) gel(x,i) = sqri(gel(z,i));
3121 1093635 : return x;
3122 : }
3123 :
3124 : static GEN
3125 6207533 : ZT_sqr(GEN x)
3126 : {
3127 6207533 : if (typ(x) == t_INT)
3128 3240425 : return sqri(x);
3129 8081067 : pari_APPLY_type(t_VEC, ZT_sqr(gel(x,i)))
3130 : }
3131 :
3132 : static GEN
3133 1093650 : ZV_invdivexact(GEN y, GEN x)
3134 : {
3135 1093650 : long i, l = lg(y);
3136 1093650 : GEN z = cgetg(l,t_VEC);
3137 1093649 : if (typ(x)==t_VECSMALL)
3138 2098239 : for (i=1; i<l; i++)
3139 : {
3140 1800504 : pari_sp av = avma;
3141 1800504 : ulong a = Fl_inv(umodiu(diviuexact(gel(y,i),x[i]), x[i]), x[i]);
3142 1800661 : set_avma(av);
3143 1800641 : gel(z,i) = utoipos(a);
3144 : }
3145 : else
3146 2780966 : for (i=1; i<l; i++)
3147 1985056 : gel(z,i) = Fp_inv(diviiexact(gel(y,i), gel(x,i)), gel(x,i));
3148 1093645 : return z;
3149 : }
3150 :
3151 : /* P t_VECSMALL or t_VEC of t_INT */
3152 : GEN
3153 1093646 : ZV_chinesetree(GEN P, GEN T)
3154 : {
3155 1093646 : GEN T2 = ZT_sqr(T), P2 = ZV_sqr(P);
3156 1093646 : GEN mod = gmael(T,lg(T)-1,1);
3157 1093646 : return ZV_invdivexact(Z_ZV_mod_tree(mod, P2, T2), P);
3158 : }
3159 :
3160 : static GEN
3161 192191 : gc_chinese(pari_sp av, GEN T, GEN a, GEN *pt_mod)
3162 : {
3163 192191 : if (!pt_mod)
3164 2573 : return gerepileupto(av, a);
3165 : else
3166 : {
3167 189618 : GEN mod = gmael(T, lg(T)-1, 1);
3168 189618 : gerepileall(av, 2, &a, &mod);
3169 189618 : *pt_mod = mod;
3170 189618 : return a;
3171 : }
3172 : }
3173 :
3174 : GEN
3175 41933 : ZV_chinese_center(GEN A, GEN P, GEN *pt_mod)
3176 : {
3177 41933 : pari_sp av = avma;
3178 41933 : GEN T = ZV_producttree(P);
3179 41934 : GEN R = ZV_chinesetree(P, T);
3180 41934 : GEN a = ZV_chinese_tree(A, P, T, R);
3181 41934 : GEN mod = gmael(T, lg(T)-1, 1);
3182 41934 : GEN ca = Fp_center(a, mod, shifti(mod,-1));
3183 41934 : return gc_chinese(av, T, ca, pt_mod);
3184 : }
3185 :
3186 : GEN
3187 4911 : ZV_chinese(GEN A, GEN P, GEN *pt_mod)
3188 : {
3189 4911 : pari_sp av = avma;
3190 4911 : GEN T = ZV_producttree(P);
3191 4911 : GEN R = ZV_chinesetree(P, T);
3192 4911 : GEN a = ZV_chinese_tree(A, P, T, R);
3193 4911 : return gc_chinese(av, T, a, pt_mod);
3194 : }
3195 :
3196 : GEN
3197 26157 : nxV_chinese_center_tree(GEN A, GEN P, GEN T, GEN R)
3198 : {
3199 26157 : pari_sp av = avma;
3200 26157 : GEN m2 = shifti(gmael(T, lg(T)-1, 1), -1);
3201 26156 : GEN a = nxV_polint_center_tree(A, P, T, R, m2);
3202 26158 : return gerepileupto(av, a);
3203 : }
3204 :
3205 : GEN
3206 50299 : nxV_chinese_center(GEN A, GEN P, GEN *pt_mod)
3207 : {
3208 50299 : pari_sp av = avma;
3209 50299 : GEN T = ZV_producttree(P);
3210 50299 : GEN R = ZV_chinesetree(P, T);
3211 50299 : GEN m2 = shifti(gmael(T, lg(T)-1, 1), -1);
3212 50299 : GEN a = nxV_polint_center_tree(A, P, T, R, m2);
3213 50299 : return gc_chinese(av, T, a, pt_mod);
3214 : }
3215 :
3216 : GEN
3217 3858 : ncV_chinese_center(GEN A, GEN P, GEN *pt_mod)
3218 : {
3219 3858 : pari_sp av = avma;
3220 3858 : GEN T = ZV_producttree(P);
3221 3858 : GEN R = ZV_chinesetree(P, T);
3222 3858 : GEN m2 = shifti(gmael(T, lg(T)-1, 1), -1);
3223 3858 : GEN a = ncV_polint_center_tree(A, P, T, R, m2);
3224 3858 : return gc_chinese(av, T, a, pt_mod);
3225 : }
3226 :
3227 : GEN
3228 0 : ncV_chinese_center_tree(GEN A, GEN P, GEN T, GEN R)
3229 : {
3230 0 : pari_sp av = avma;
3231 0 : GEN m2 = shifti(gmael(T, lg(T)-1, 1), -1);
3232 0 : GEN a = ncV_polint_center_tree(A, P, T, R, m2);
3233 0 : return gerepileupto(av, a);
3234 : }
3235 :
3236 : GEN
3237 0 : nmV_chinese_center_tree(GEN A, GEN P, GEN T, GEN R)
3238 : {
3239 0 : pari_sp av = avma;
3240 0 : GEN m2 = shifti(gmael(T, lg(T)-1, 1), -1);
3241 0 : GEN a = nmV_polint_center_tree(A, P, T, R, m2);
3242 0 : return gerepileupto(av, a);
3243 : }
3244 :
3245 : GEN
3246 42117 : nmV_chinese_center_tree_seq(GEN A, GEN P, GEN T, GEN R)
3247 : {
3248 42117 : pari_sp av = avma;
3249 42117 : GEN m2 = shifti(gmael(T, lg(T)-1, 1), -1);
3250 42115 : GEN a = nmV_polint_center_tree_seq(A, P, T, R, m2);
3251 42123 : return gerepileupto(av, a);
3252 : }
3253 :
3254 : GEN
3255 91074 : nmV_chinese_center(GEN A, GEN P, GEN *pt_mod)
3256 : {
3257 91074 : pari_sp av = avma;
3258 91074 : GEN T = ZV_producttree(P);
3259 91074 : GEN R = ZV_chinesetree(P, T);
3260 91074 : GEN m2 = shifti(gmael(T, lg(T)-1, 1), -1);
3261 91074 : GEN a = nmV_polint_center_tree(A, P, T, R, m2);
3262 91074 : return gc_chinese(av, T, a, pt_mod);
3263 : }
3264 :
3265 : GEN
3266 0 : nxCV_chinese_center_tree(GEN A, GEN P, GEN T, GEN R)
3267 : {
3268 0 : pari_sp av = avma;
3269 0 : GEN m2 = shifti(gmael(T, lg(T)-1, 1), -1);
3270 0 : GEN a = nxCV_polint_center_tree(A, P, T, R, m2);
3271 0 : return gerepileupto(av, a);
3272 : }
3273 :
3274 : GEN
3275 0 : nxCV_chinese_center(GEN A, GEN P, GEN *pt_mod)
3276 : {
3277 0 : pari_sp av = avma;
3278 0 : GEN T = ZV_producttree(P);
3279 0 : GEN R = ZV_chinesetree(P, T);
3280 0 : GEN m2 = shifti(gmael(T, lg(T)-1, 1), -1);
3281 0 : GEN a = nxCV_polint_center_tree(A, P, T, R, m2);
3282 0 : return gc_chinese(av, T, a, pt_mod);
3283 : }
3284 :
3285 : GEN
3286 559 : nxMV_chinese_center_tree_seq(GEN A, GEN P, GEN T, GEN R)
3287 : {
3288 559 : pari_sp av = avma;
3289 559 : GEN m2 = shifti(gmael(T, lg(T)-1, 1), -1);
3290 559 : GEN a = nxMV_polint_center_tree_seq(A, P, T, R, m2);
3291 559 : return gerepileupto(av, a);
3292 : }
3293 :
3294 : GEN
3295 115 : nxMV_chinese_center(GEN A, GEN P, GEN *pt_mod)
3296 : {
3297 115 : pari_sp av = avma;
3298 115 : GEN T = ZV_producttree(P);
3299 115 : GEN R = ZV_chinesetree(P, T);
3300 115 : GEN m2 = shifti(gmael(T, lg(T)-1, 1), -1);
3301 115 : GEN a = nxMV_polint_center_tree(A, P, T, R, m2);
3302 115 : return gc_chinese(av, T, a, pt_mod);
3303 : }
3304 :
3305 : /**********************************************************************
3306 : ** **
3307 : ** Powering over (Z/NZ)^*, small N **
3308 : ** **
3309 : **********************************************************************/
3310 :
3311 : /* 2^n mod p; assume n > 1 */
3312 : static ulong
3313 19467699 : Fl_2powu_pre(ulong n, ulong p, ulong pi)
3314 : {
3315 19467699 : ulong y = 2;
3316 19467699 : int j = 1+bfffo(n);
3317 : /* normalize, i.e set highest bit to 1 (we know n != 0) */
3318 19467699 : n<<=j; j = BITS_IN_LONG-j; /* first bit is now implicit */
3319 360250774 : for (; j; n<<=1,j--)
3320 : {
3321 340769611 : y = Fl_sqr_pre(y,p,pi);
3322 340703378 : if (n & HIGHBIT) y = Fl_double(y, p);
3323 : }
3324 19481163 : return y;
3325 : }
3326 :
3327 : /* 2^n mod p; assume n > 1 and !(p & HIGHMASK) */
3328 : static ulong
3329 774088 : Fl_2powu(ulong n, ulong p)
3330 : {
3331 774088 : ulong y = 2;
3332 774088 : int j = 1+bfffo(n);
3333 : /* normalize, i.e set highest bit to 1 (we know n != 0) */
3334 774088 : n<<=j; j = BITS_IN_LONG-j; /* first bit is now implicit */
3335 2800606 : for (; j; n<<=1,j--)
3336 : {
3337 2026518 : y = (y*y) % p;
3338 2026518 : if (n & HIGHBIT) y = Fl_double(y, p);
3339 : }
3340 774088 : return y;
3341 : }
3342 :
3343 : ulong
3344 95193618 : Fl_powu_pre(ulong x, ulong n0, ulong p, ulong pi)
3345 : {
3346 : ulong y, z, n;
3347 95193618 : if (n0 <= 1)
3348 : { /* frequent special cases */
3349 11546802 : if (n0 == 1) return x;
3350 3168937 : if (n0 == 0) return 1;
3351 : }
3352 83646816 : if (x <= 2)
3353 : {
3354 21332094 : if (x == 2) return Fl_2powu_pre(n0, p, pi);
3355 1863321 : return x; /* 0 or 1 */
3356 : }
3357 62314722 : y = 1; z = x; n = n0;
3358 : for(;;)
3359 : {
3360 546350053 : if (n&1) y = Fl_mul_pre(y,z,p,pi);
3361 546434827 : n>>=1; if (!n) return y;
3362 484132729 : z = Fl_sqr_pre(z,p,pi);
3363 : }
3364 : }
3365 :
3366 : ulong
3367 43205308 : Fl_powu(ulong x, ulong n0, ulong p)
3368 : {
3369 : ulong y, z, n;
3370 43205308 : if (n0 <= 2)
3371 : { /* frequent special cases */
3372 36083475 : if (n0 == 2) return Fl_sqr(x,p);
3373 5015966 : if (n0 == 1) return x;
3374 64564 : if (n0 == 0) return 1;
3375 : }
3376 7110394 : if (x <= 1) return x; /* 0 or 1 */
3377 7060867 : if (p & HIGHMASK)
3378 717746 : return Fl_powu_pre(x, n0, p, get_Fl_red(p));
3379 6343121 : if (x == 2) return Fl_2powu(n0, p);
3380 5569033 : y = 1; z = x; n = n0;
3381 : for(;;)
3382 : {
3383 46848482 : if (n&1) y = (y*z) % p;
3384 46848482 : n>>=1; if (!n) return y;
3385 41279449 : z = (z*z) % p;
3386 : }
3387 : }
3388 :
3389 : /* Reduce data dependency to maximize internal parallelism */
3390 : GEN
3391 11070761 : Fl_powers_pre(ulong x, long n, ulong p, ulong pi)
3392 : {
3393 : long i, k;
3394 11070761 : GEN powers = cgetg(n + 2, t_VECSMALL);
3395 11065810 : powers[1] = 1; if (n == 0) return powers;
3396 11065810 : powers[2] = x;
3397 46596641 : for (i = 3, k=2; i <= n; i+=2, k++)
3398 : {
3399 35522292 : powers[i] = Fl_sqr_pre(powers[k], p, pi);
3400 35511058 : powers[i+1] = Fl_mul_pre(powers[k], powers[k+1], p, pi);
3401 : }
3402 11074349 : if (i==n+1)
3403 9674108 : powers[i] = Fl_sqr_pre(powers[k], p, pi);
3404 11075379 : return powers;
3405 : }
3406 :
3407 : GEN
3408 3381 : Fl_powers(ulong x, long n, ulong p)
3409 : {
3410 3381 : return Fl_powers_pre(x, n, p, get_Fl_red(p));
3411 : }
3412 :
3413 : /**********************************************************************
3414 : ** **
3415 : ** Powering over (Z/NZ)^*, large N **
3416 : ** **
3417 : **********************************************************************/
3418 :
3419 : static GEN
3420 4426508 : Fp_dblsqr(GEN x, GEN N)
3421 : {
3422 4426508 : GEN z = shifti(Fp_sqr(x, N), 1);
3423 4303715 : return cmpii(z, N) >= 0? subii(z, N): z;
3424 : }
3425 :
3426 : typedef struct muldata {
3427 : GEN (*sqr)(void * E, GEN x);
3428 : GEN (*mul)(void * E, GEN x, GEN y);
3429 : GEN (*mul2)(void * E, GEN x);
3430 : } muldata;
3431 :
3432 : /* modified Barrett reduction with one fold */
3433 : /* See Fast Modular Reduction, W. Hasenplaugh, G. Gaubatz, V. Gopal, ARITH 18 */
3434 :
3435 : static GEN
3436 7964 : Fp_invmBarrett(GEN p, long s)
3437 : {
3438 7964 : GEN R, Q = dvmdii(int2n(3*s),p,&R);
3439 7964 : return mkvec2(Q,R);
3440 : }
3441 :
3442 : /* a <= (N-1)^2, 2^(2s-2) <= N < 2^(2s). Return 0 <= r < N such that
3443 : * a = r (mod N) */
3444 : static GEN
3445 4317441 : Fp_rem_mBarrett(GEN a, GEN B, long s, GEN N)
3446 : {
3447 4317441 : pari_sp av = avma;
3448 4317441 : GEN P = gel(B, 1), Q = gel(B, 2); /* 2^(3s) = P N + Q, 0 <= Q < N */
3449 4317441 : long t = expi(P)+1; /* 2^(t-1) <= P < 2^t */
3450 4317441 : GEN u = shifti(a, -3*s), v = remi2n(a, 3*s); /* a = 2^(3s)u + v */
3451 4317441 : GEN A = addii(v, mulii(Q,u)); /* 0 <= A < 2^(3s+1) */
3452 4317441 : GEN q = shifti(mulii(shifti(A, t-3*s), P), -t); /* A/N - 4 < q <= A/N */
3453 4317441 : GEN r = subii(A, mulii(q, N));
3454 4317441 : GEN sr= subii(r,N); /* 0 <= r < 4*N */
3455 4317441 : if (signe(sr)<0) return gerepileuptoint(av, r);
3456 2562950 : r=sr; sr = subii(r,N); /* 0 <= r < 3*N */
3457 2562950 : if (signe(sr)<0) return gerepileuptoint(av, r);
3458 96510 : r=sr; sr = subii(r,N); /* 0 <= r < 2*N */
3459 96510 : return gerepileuptoint(av, signe(sr)>=0 ? sr:r);
3460 : }
3461 :
3462 : /* Montgomery reduction */
3463 :
3464 : INLINE ulong
3465 776067 : init_montdata(GEN N) { return (ulong) -invmod2BIL(mod2BIL(N)); }
3466 :
3467 : struct montred
3468 : {
3469 : GEN N;
3470 : ulong inv;
3471 : };
3472 :
3473 : /* Montgomery reduction */
3474 : static GEN
3475 34503025 : _sqr_montred(void * E, GEN x)
3476 : {
3477 34503025 : struct montred * D = (struct montred *) E;
3478 34503025 : return red_montgomery(sqri(x), D->N, D->inv);
3479 : }
3480 :
3481 : /* Montgomery reduction */
3482 : static GEN
3483 2930057 : _mul_montred(void * E, GEN x, GEN y)
3484 : {
3485 2930057 : struct montred * D = (struct montred *) E;
3486 2930057 : return red_montgomery(mulii(x, y), D->N, D->inv);
3487 : }
3488 :
3489 : static GEN
3490 6479367 : _mul2_montred(void * E, GEN x)
3491 : {
3492 6479367 : struct montred * D = (struct montred *) E;
3493 6479367 : GEN z = shifti(_sqr_montred(E, x), 1);
3494 6476180 : long l = lgefint(D->N);
3495 6909362 : while (lgefint(z) > l) z = subii(z, D->N);
3496 6476663 : return z;
3497 : }
3498 :
3499 : static GEN
3500 13476658 : _sqr_remii(void* N, GEN x)
3501 13476658 : { return remii(sqri(x), (GEN) N); }
3502 :
3503 : static GEN
3504 1102719 : _mul_remii(void* N, GEN x, GEN y)
3505 1102719 : { return remii(mulii(x, y), (GEN) N); }
3506 :
3507 : static GEN
3508 3085355 : _mul2_remii(void* N, GEN x)
3509 3085355 : { return Fp_dblsqr(x, (GEN) N); }
3510 :
3511 : struct redbarrett
3512 : {
3513 : GEN iM, N;
3514 : long s;
3515 : };
3516 :
3517 : static GEN
3518 3907872 : _sqr_remiibar(void *E, GEN x)
3519 : {
3520 3907872 : struct redbarrett * D = (struct redbarrett *) E;
3521 3907872 : return Fp_rem_mBarrett(sqri(x), D->iM, D->s, D->N);
3522 : }
3523 :
3524 : static GEN
3525 409569 : _mul_remiibar(void *E, GEN x, GEN y)
3526 : {
3527 409569 : struct redbarrett * D = (struct redbarrett *) E;
3528 409569 : return Fp_rem_mBarrett(mulii(x, y), D->iM, D->s, D->N);
3529 : }
3530 :
3531 : static GEN
3532 1336113 : _mul2_remiibar(void *E, GEN x)
3533 : {
3534 1336113 : struct redbarrett * D = (struct redbarrett *) E;
3535 1336113 : return Fp_dblsqr(x, D->N);
3536 : }
3537 :
3538 : static long
3539 1033020 : Fp_select_red(GEN *y, ulong k, GEN N, long lN, muldata *D, void **pt_E)
3540 : {
3541 1033020 : if (lN >= Fp_POW_BARRETT_LIMIT && (k==0 || ((double)k)*expi(*y) > 2 + expi(N)))
3542 : {
3543 7964 : struct redbarrett * E = (struct redbarrett *) stack_malloc(sizeof(struct redbarrett));
3544 7964 : D->sqr = &_sqr_remiibar;
3545 7964 : D->mul = &_mul_remiibar;
3546 7964 : D->mul2 = &_mul2_remiibar;
3547 7964 : E->N = N;
3548 7964 : E->s = 1+(expi(N)>>1);
3549 7964 : E->iM = Fp_invmBarrett(N, E->s);
3550 7964 : *pt_E = (void*) E;
3551 7964 : return 0;
3552 : }
3553 1025056 : else if (mod2(N) && lN < Fp_POW_REDC_LIMIT)
3554 : {
3555 776062 : struct montred * E = (struct montred *) stack_malloc(sizeof(struct montred));
3556 776063 : *y = remii(shifti(*y, bit_accuracy(lN)), N);
3557 776067 : D->sqr = &_sqr_montred;
3558 776067 : D->mul = &_mul_montred;
3559 776067 : D->mul2 = &_mul2_montred;
3560 776067 : E->N = N;
3561 776067 : E->inv = init_montdata(N);
3562 776066 : *pt_E = (void*) E;
3563 776066 : return 1;
3564 : }
3565 : else
3566 : {
3567 248993 : D->sqr = &_sqr_remii;
3568 248993 : D->mul = &_mul_remii;
3569 248993 : D->mul2 = &_mul2_remii;
3570 248993 : *pt_E = (void*) N;
3571 248993 : return 0;
3572 : }
3573 : }
3574 :
3575 : GEN
3576 1507698 : Fp_powu(GEN A, ulong k, GEN N)
3577 : {
3578 1507698 : long lN = lgefint(N);
3579 : int base_is_2, use_montgomery;
3580 : muldata D;
3581 : void *E;
3582 : pari_sp av;
3583 :
3584 1507698 : if (lN == 3) {
3585 90895 : ulong n = uel(N,2);
3586 90895 : return utoi( Fl_powu(umodiu(A, n), k, n) );
3587 : }
3588 1416803 : if (k <= 2)
3589 : { /* frequent special cases */
3590 529583 : if (k == 2) return Fp_sqr(A,N);
3591 121527 : if (k == 1) return A;
3592 0 : if (k == 0) return gen_1;
3593 : }
3594 887220 : av = avma; A = modii(A,N);
3595 887221 : base_is_2 = 0;
3596 887221 : if (lgefint(A) == 3) switch(A[2])
3597 : {
3598 770 : case 1: set_avma(av); return gen_1;
3599 34331 : case 2: base_is_2 = 1; break;
3600 : }
3601 :
3602 : /* TODO: Move this out of here and use for general modular computations */
3603 886451 : use_montgomery = Fp_select_red(&A, k, N, lN, &D, &E);
3604 886451 : if (base_is_2)
3605 34331 : A = gen_powu_fold_i(A, k, E, D.sqr, D.mul2);
3606 : else
3607 852120 : A = gen_powu_i(A, k, E, D.sqr, D.mul);
3608 886450 : if (use_montgomery)
3609 : {
3610 692305 : A = red_montgomery(A, N, ((struct montred *) E)->inv);
3611 692306 : if (cmpii(A, N) >= 0) A = subii(A,N);
3612 : }
3613 886450 : return gerepileuptoint(av, A);
3614 : }
3615 :
3616 : GEN
3617 22309 : Fp_pows(GEN A, long k, GEN N)
3618 : {
3619 22309 : if (lgefint(N) == 3) {
3620 7820 : ulong n = N[2];
3621 7820 : ulong a = umodiu(A, n);
3622 7820 : if (k < 0) {
3623 133 : a = Fl_inv(a, n);
3624 133 : k = -k;
3625 : }
3626 7820 : return utoi( Fl_powu(a, (ulong)k, n) );
3627 : }
3628 14489 : if (k < 0) { A = Fp_inv(A, N); k = -k; };
3629 14489 : return Fp_powu(A, (ulong)k, N);
3630 : }
3631 :
3632 : /* A^K mod N */
3633 : GEN
3634 10043431 : Fp_pow(GEN A, GEN K, GEN N)
3635 : {
3636 : pari_sp av;
3637 10043431 : long s, lN = lgefint(N), sA, sy;
3638 : int base_is_2, use_montgomery;
3639 : GEN y;
3640 : muldata D;
3641 : void *E;
3642 :
3643 10043431 : s = signe(K);
3644 10043431 : if (!s) return dvdii(A,N)? gen_0: gen_1;
3645 9898023 : if (lN == 3 && lgefint(K) == 3)
3646 : {
3647 9516978 : ulong n = N[2], a = umodiu(A, n);
3648 9517037 : if (s < 0) a = Fl_inv(a, n);
3649 9517036 : if (a <= 1) return utoi(a); /* 0 or 1 */
3650 8773827 : return utoi(Fl_powu(a, uel(K,2), n));
3651 : }
3652 :
3653 381045 : av = avma;
3654 381045 : if (s < 0) y = Fp_inv(A,N);
3655 : else
3656 : {
3657 379203 : y = modii(A,N);
3658 379217 : if (!signe(y)) { set_avma(av); return gen_0; }
3659 : }
3660 381058 : if (lgefint(K) == 3) return gerepileuptoint(av, Fp_powu(y, K[2], N));
3661 :
3662 146750 : base_is_2 = 0;
3663 146750 : sy = abscmpii(y, shifti(N,-1)) > 0;
3664 146753 : if (sy) y = subii(N,y);
3665 146753 : sA = sy && mod2(K);
3666 146753 : if (lgefint(y) == 3) switch(y[2])
3667 : {
3668 184 : case 1: return sA ? gen_m1 : gen_1;
3669 102647 : case 2: base_is_2 = 1; break;
3670 : }
3671 :
3672 : /* TODO: Move this out of here and use for general modular computations */
3673 146569 : use_montgomery = Fp_select_red(&y, 0UL, N, lN, &D, &E);
3674 146578 : if (base_is_2)
3675 102654 : y = gen_pow_fold_i(y, K, E, D.sqr, D.mul2);
3676 : else
3677 43924 : y = gen_pow_i(y, K, E, D.sqr, D.mul);
3678 146586 : if (use_montgomery)
3679 : {
3680 83764 : y = red_montgomery(y, N, ((struct montred *) E)->inv);
3681 83762 : if (cmpii(y,N) >= 0) y = subii(y,N);
3682 : }
3683 146584 : if (sA) y = subii(N, y);
3684 146584 : return gerepileuptoint(av,y);
3685 : }
3686 :
3687 : static GEN
3688 1915315 : _Fp_mul(void *E, GEN x, GEN y) { return Fp_mul(x,y,(GEN)E); }
3689 :
3690 : static GEN
3691 23528 : _Fp_sqr(void *E, GEN x) { return Fp_sqr(x,(GEN)E); }
3692 :
3693 : static GEN
3694 55237 : _Fp_one(void *E) { (void) E; return gen_1; }
3695 :
3696 : GEN
3697 84 : Fp_pow_init(GEN x, GEN n, long k, GEN p)
3698 : {
3699 84 : return gen_pow_init(x, n, k, (void*)p, &_Fp_sqr, &_Fp_mul);
3700 : }
3701 :
3702 : GEN
3703 55090 : Fp_pow_table(GEN R, GEN n, GEN p)
3704 : {
3705 55090 : return gen_pow_table(R, n, (void*)p, &_Fp_one, &_Fp_mul);
3706 : }
3707 :
3708 : GEN
3709 2023 : Fp_powers(GEN x, long n, GEN p)
3710 : {
3711 2023 : if (lgefint(p) == 3)
3712 1876 : return Flv_to_ZV(Fl_powers(umodiu(x, uel(p, 2)), n, uel(p, 2)));
3713 147 : return gen_powers(x, n, 1, (void*)p, _Fp_sqr, _Fp_mul, _Fp_one);
3714 : }
3715 :
3716 : GEN
3717 434 : FpV_prod(GEN V, GEN p)
3718 : {
3719 434 : return gen_product(V, (void *)p, &_Fp_mul);
3720 : }
3721 :
3722 : static GEN
3723 6851537 : _Fp_pow(void *E, GEN x, GEN n) { return Fp_pow(x,n,(GEN)E); }
3724 :
3725 : static GEN
3726 105 : _Fp_rand(void *E) { return addiu(randomi(subiu((GEN)E,1)),1); }
3727 :
3728 : static GEN Fp_easylog(void *E, GEN a, GEN g, GEN ord);
3729 :
3730 : static const struct bb_group Fp_star={_Fp_mul,_Fp_pow,_Fp_rand,hash_GEN,
3731 : equalii,equali1,Fp_easylog};
3732 :
3733 : static GEN
3734 776348 : _Fp_red(void *E, GEN x) { return Fp_red(x, (GEN)E); }
3735 :
3736 : static GEN
3737 884661 : _Fp_add(void *E, GEN x, GEN y) { (void) E; return addii(x,y); }
3738 :
3739 : static GEN
3740 791849 : _Fp_neg(void *E, GEN x) { (void) E; return negi(x); }
3741 :
3742 : static GEN
3743 510856 : _Fp_rmul(void *E, GEN x, GEN y) { (void) E; return mulii(x,y); }
3744 :
3745 : static GEN
3746 34064 : _Fp_inv(void *E, GEN x) { return Fp_inv(x,(GEN)E); }
3747 :
3748 : static int
3749 221974 : _Fp_equal0(GEN x) { return signe(x)==0; }
3750 :
3751 : static GEN
3752 28883 : _Fp_s(void *E, long x) { (void) E; return stoi(x); }
3753 :
3754 : static const struct bb_field Fp_field={_Fp_red,_Fp_add,_Fp_rmul,_Fp_neg,
3755 : _Fp_inv,_Fp_equal0,_Fp_s};
3756 :
3757 7468 : const struct bb_field *get_Fp_field(void **E, GEN p)
3758 : {
3759 7468 : *E = (void*)p; return &Fp_field;
3760 : }
3761 :
3762 : /*********************************************************************/
3763 : /** **/
3764 : /** ORDER of INTEGERMOD x in (Z/nZ)* **/
3765 : /** **/
3766 : /*********************************************************************/
3767 : ulong
3768 12327 : Fl_order(ulong a, ulong o, ulong p)
3769 : {
3770 12327 : pari_sp av = avma;
3771 : GEN m, P, E;
3772 : long i;
3773 12327 : if (a==1) return 1;
3774 8694 : if (!o) o = p-1;
3775 8694 : m = factoru(o);
3776 8694 : P = gel(m,1);
3777 8694 : E = gel(m,2);
3778 22225 : for (i = lg(P)-1; i; i--)
3779 : {
3780 13531 : ulong j, l = P[i], e = E[i], t = o / upowuu(l,e), y = Fl_powu(a, t, p);
3781 13531 : if (y == 1) o = t;
3782 15190 : else for (j = 1; j < e; j++)
3783 : {
3784 4445 : y = Fl_powu(y, l, p);
3785 4445 : if (y == 1) { o = t * upowuu(l, j); break; }
3786 : }
3787 : }
3788 8694 : return gc_ulong(av, o);
3789 : }
3790 :
3791 : /*Find the exact order of a assuming a^o==1*/
3792 : GEN
3793 11201 : Fp_order(GEN a, GEN o, GEN p) {
3794 11201 : if (lgefint(p) == 3 && (!o || typ(o) == t_INT))
3795 : {
3796 21 : ulong pp = p[2], oo = (o && lgefint(o)==3)? uel(o,2): pp-1;
3797 21 : return utoi( Fl_order(umodiu(a, pp), oo, pp) );
3798 : }
3799 11180 : return gen_order(a, o, (void*)p, &Fp_star);
3800 : }
3801 : GEN
3802 56 : Fp_factored_order(GEN a, GEN o, GEN p)
3803 56 : { return gen_factored_order(a, o, (void*)p, &Fp_star); }
3804 :
3805 : /* return order of a mod p^e, e > 0, pe = p^e */
3806 : static GEN
3807 70 : Zp_order(GEN a, GEN p, long e, GEN pe)
3808 : {
3809 : GEN ap, op;
3810 70 : if (absequaliu(p, 2))
3811 : {
3812 56 : if (e == 1) return gen_1;
3813 56 : if (e == 2) return mod4(a) == 1? gen_1: gen_2;
3814 49 : if (mod4(a) == 1)
3815 14 : op = gen_1;
3816 : else {
3817 35 : op = gen_2;
3818 35 : a = Fp_sqr(a, pe);
3819 : }
3820 : } else {
3821 14 : ap = (e == 1)? a: remii(a,p);
3822 14 : op = Fp_order(ap, subiu(p,1), p);
3823 14 : if (e == 1) return op;
3824 0 : a = Fp_pow(a, op, pe); /* 1 mod p */
3825 : }
3826 49 : if (equali1(a)) return op;
3827 7 : return mulii(op, powiu(p, e - Z_pval(subiu(a,1), p)));
3828 : }
3829 :
3830 : GEN
3831 63 : znorder(GEN x, GEN o)
3832 : {
3833 63 : pari_sp av = avma;
3834 : GEN b, a;
3835 :
3836 63 : if (typ(x) != t_INTMOD) pari_err_TYPE("znorder [t_INTMOD expected]",x);
3837 56 : b = gel(x,1); a = gel(x,2);
3838 56 : if (!equali1(gcdii(a,b))) pari_err_COPRIME("znorder", a,b);
3839 49 : if (!o)
3840 : {
3841 35 : GEN fa = Z_factor(b), P = gel(fa,1), E = gel(fa,2);
3842 35 : long i, l = lg(P);
3843 35 : o = gen_1;
3844 70 : for (i = 1; i < l; i++)
3845 : {
3846 35 : GEN p = gel(P,i);
3847 35 : long e = itos(gel(E,i));
3848 :
3849 35 : if (l == 2)
3850 35 : o = Zp_order(a, p, e, b);
3851 : else {
3852 0 : GEN pe = powiu(p,e);
3853 0 : o = lcmii(o, Zp_order(remii(a,pe), p, e, pe));
3854 : }
3855 : }
3856 35 : return gerepileuptoint(av, o);
3857 : }
3858 14 : return Fp_order(a, o, b);
3859 : }
3860 : GEN
3861 0 : order(GEN x) { return znorder(x, NULL); }
3862 :
3863 : /*********************************************************************/
3864 : /** **/
3865 : /** DISCRETE LOGARITHM in (Z/nZ)* **/
3866 : /** **/
3867 : /*********************************************************************/
3868 : static GEN
3869 71242 : Fp_log_halfgcd(ulong bnd, GEN C, GEN g, GEN p)
3870 : {
3871 71242 : pari_sp av = avma;
3872 : GEN h1, h2, F, G;
3873 71242 : if (!Fp_ratlift(g,p,C,shifti(C,-1),&h1,&h2)) return gc_NULL(av);
3874 43054 : if ((F = Z_issmooth_fact(h1, bnd)) && (G = Z_issmooth_fact(h2, bnd)))
3875 : {
3876 255 : GEN M = cgetg(3, t_MAT);
3877 255 : gel(M,1) = vecsmall_concat(gel(F, 1),gel(G, 1));
3878 255 : gel(M,2) = vecsmall_concat(gel(F, 2),zv_neg_inplace(gel(G, 2)));
3879 255 : return gerepileupto(av, M);
3880 : }
3881 42799 : return gc_NULL(av);
3882 : }
3883 :
3884 : static GEN
3885 71242 : Fp_log_find_rel(GEN b, ulong bnd, GEN C, GEN p, GEN *g, long *e)
3886 : {
3887 : GEN rel;
3888 : do
3889 : {
3890 71242 : (*e)++; *g = Fp_mul(*g, b, p);
3891 71242 : rel = Fp_log_halfgcd(bnd, C, *g, p);
3892 71242 : } while (!rel);
3893 255 : return rel;
3894 : }
3895 :
3896 : struct Fp_log_rel
3897 : {
3898 : GEN rel;
3899 : ulong prmax;
3900 : long nbrel, nbmax, nbgen;
3901 : };
3902 :
3903 : /* add u^e */
3904 : static void
3905 2583 : addifsmooth1(struct Fp_log_rel *r, GEN z, long u, long e)
3906 : {
3907 2583 : pari_sp av = avma;
3908 2583 : long off = r->prmax+1;
3909 2583 : GEN F = cgetg(3, t_MAT);
3910 2583 : gel(F,1) = vecsmall_append(gel(z,1), off+u);
3911 2583 : gel(F,2) = vecsmall_append(gel(z,2), e);
3912 2583 : gel(r->rel,++r->nbrel) = gerepileupto(av, F);
3913 2583 : }
3914 :
3915 : /* add u^-1 v^-1 */
3916 : static void
3917 99869 : addifsmooth2(struct Fp_log_rel *r, GEN z, long u, long v)
3918 : {
3919 99869 : pari_sp av = avma;
3920 99869 : long off = r->prmax+1;
3921 99869 : GEN P = mkvecsmall2(off+u,off+v), E = mkvecsmall2(-1,-1);
3922 99869 : GEN F = cgetg(3, t_MAT);
3923 99869 : gel(F,1) = vecsmall_concat(gel(z,1), P);
3924 99869 : gel(F,2) = vecsmall_concat(gel(z,2), E);
3925 99869 : gel(r->rel,++r->nbrel) = gerepileupto(av, F);
3926 99869 : }
3927 :
3928 : /*
3929 : Let p=C^2+c
3930 : Solve h = (C+x)*(C+a)-p = 0 [mod l]
3931 : h= -c+x*(C+a)+C*a = 0 [mod l]
3932 : x = (c-C*a)/(C+a) [mod l]
3933 : h = -c+C*(x+a)+a*x
3934 : */
3935 :
3936 : GEN
3937 38999 : Fp_log_sieve_worker(long a, long prmax, GEN C, GEN c, GEN Ci, GEN ci, GEN pi, GEN sz)
3938 : {
3939 38999 : pari_sp ltop = avma;
3940 38999 : long th = expi(mulis(C,a)), n = lg(pi)-1;
3941 : long i, j;
3942 38993 : GEN sieve = zero_zv(a+2)+1;
3943 39012 : GEN L = cgetg(1+a+2, t_VEC);
3944 38985 : pari_sp av = avma;
3945 38985 : long rel = 1;
3946 : GEN z, h;
3947 38985 : h = addis(C,a);
3948 38965 : if ((z = Z_issmooth_fact(h, prmax)))
3949 : {
3950 2413 : gel(L, rel++) = mkvec2(z, mkvecsmall3(1, a, -1));
3951 2413 : av = avma;
3952 : }
3953 16714075 : for(i=1; i<=n; i++)
3954 : {
3955 16685302 : ulong li = pi[i], s = sz[i], al = a % li;
3956 16685302 : ulong u, iv = Fl_invsafe(Fl_add(Ci[i],al,li),li);
3957 17275323 : if (!iv) continue;
3958 16862346 : u = Fl_mul(Fl_sub(ci[i],Fl_mul(Ci[i],al,li),li), iv ,li);
3959 76970071 : for(j = u; j<=a; j+=li)
3960 60707905 : sieve[j] += s;
3961 : }
3962 33462 : th = th - expu(th)-1;
3963 27734122 : for(j=0; j<a; j++)
3964 27696075 : if (sieve[j]>=th)
3965 : {
3966 111346 : GEN h = addiu(subii(muliu(C,a+j),c), a*j);
3967 111500 : if ((z = Z_issmooth_fact(h, prmax)))
3968 : {
3969 104665 : gel(L, rel++) = mkvec2(z, mkvecsmall3(2, a, j));
3970 104905 : av = avma;
3971 6636 : } else set_avma(av);
3972 : }
3973 : /* j = a */
3974 38047 : if (sieve[a]>=th)
3975 : {
3976 420 : GEN h = addiu(subii(muliu(C,2*a),c), a*a);
3977 420 : if ((z = Z_issmooth_fact(h, prmax)))
3978 : {
3979 343 : gel(L, rel++) = mkvec2(z, mkvecsmall3(1, a, -2));
3980 343 : av = avma;
3981 : }
3982 : }
3983 38047 : setlg(L, rel);
3984 39026 : return gerepilecopy(ltop, L);
3985 : }
3986 :
3987 : static long
3988 49 : Fp_log_sieve(struct Fp_log_rel *r, GEN C, GEN c, GEN Ci, GEN ci, GEN pi, GEN sz)
3989 : {
3990 : struct pari_mt pt;
3991 49 : long i, j, nb = 0;
3992 49 : GEN worker = snm_closure(is_entry("_Fp_log_sieve_worker"),
3993 : mkvecn(7, utoi(r->prmax), C, c, Ci, ci, pi, sz));
3994 49 : long running, pending = 0;
3995 49 : GEN W = zerovec(r->nbgen);
3996 49 : mt_queue_start_lim(&pt, worker, r->nbgen);
3997 39305 : for (i = 0; (running = (i < r->nbgen)) || pending; i++)
3998 : {
3999 : GEN done;
4000 : long idx;
4001 39256 : mt_queue_submit(&pt, i, running ? mkvec(stoi(i)): NULL);
4002 39256 : done = mt_queue_get(&pt, &idx, &pending);
4003 39256 : if (!done || lg(done)==1) continue;
4004 34146 : gel(W, idx+1) = done;
4005 34146 : nb += lg(done)-1;
4006 34146 : if (DEBUGLEVEL && (i&127)==0)
4007 0 : err_printf("%ld%% ",100*nb/r->nbmax);
4008 : }
4009 49 : mt_queue_end(&pt);
4010 37870 : for(j = 1; j <= r->nbgen && r->nbrel < r->nbmax; j++)
4011 : {
4012 : long ll, m;
4013 37821 : GEN L = gel(W,j);
4014 37821 : if (isintzero(L)) continue;
4015 32942 : ll = lg(L);
4016 135394 : for (m=1; m<ll && r->nbrel < r->nbmax ; m++)
4017 : {
4018 102452 : GEN Lm = gel(L,m), h = gel(Lm, 1), v = gel(Lm, 2);
4019 102452 : if (v[1] == 1)
4020 2583 : addifsmooth1(r, h, v[2], v[3]);
4021 : else
4022 99869 : addifsmooth2(r, h, v[2], v[3]);
4023 : }
4024 : }
4025 49 : return j;
4026 : }
4027 :
4028 : static GEN
4029 525 : ECP_psi(GEN x, GEN y)
4030 : {
4031 525 : long prec = realprec(x);
4032 525 : GEN lx = glog(x, prec), ly = glog(y, prec);
4033 525 : GEN u = gdiv(lx, ly);
4034 525 : return gpow(u, gneg(u),prec);
4035 : }
4036 :
4037 : struct computeG
4038 : {
4039 : GEN C;
4040 : long bnd, nbi;
4041 : };
4042 :
4043 : static GEN
4044 525 : _computeG(void *E, GEN gen)
4045 : {
4046 525 : struct computeG * d = (struct computeG *) E;
4047 525 : GEN ps = ECP_psi(gmul(gen,d->C), stoi(d->bnd));
4048 525 : return gsub(gmul(gsqr(gen),ps),gmul2n(gaddgs(gen,d->nbi),2));
4049 : }
4050 :
4051 : static long
4052 49 : compute_nbgen(GEN C, long bnd, long nbi)
4053 : {
4054 : struct computeG d;
4055 49 : d.C = shifti(C, 1);
4056 49 : d.bnd = bnd;
4057 49 : d.nbi = nbi;
4058 49 : return itos(ground(zbrent((void*)&d, _computeG, gen_2, stoi(bnd), DEFAULTPREC)));
4059 : }
4060 :
4061 : static GEN
4062 1379 : _psi(void*E, GEN y)
4063 : {
4064 1379 : GEN lx = (GEN) E;
4065 1379 : long prec = realprec(lx);
4066 1379 : GEN ly = glog(y, prec);
4067 1379 : GEN u = gdiv(lx, ly);
4068 1379 : return gsub(gdiv(y ,ly), gpow(u, u, prec));
4069 : }
4070 :
4071 : static GEN
4072 49 : opt_param(GEN x, long prec)
4073 : {
4074 49 : return zbrent((void*)glog(x,prec), _psi, gen_2, x, prec);
4075 : }
4076 :
4077 : static GEN
4078 49 : check_kernel(long nbg, long N, long prmax, GEN C, GEN M, GEN p, GEN m)
4079 : {
4080 49 : pari_sp av = avma;
4081 49 : long lM = lg(M)-1, nbcol = lM;
4082 49 : long tbs = maxss(1, expu(nbg/expi(m)));
4083 : for (;;)
4084 35 : {
4085 84 : GEN K = FpMs_leftkernel_elt_col(M, nbcol, N, m);
4086 : GEN tab;
4087 84 : long i, f=0;
4088 84 : long l = lg(K), lm = lgefint(m);
4089 84 : GEN idx = diviiexact(subiu(p,1),m), g;
4090 : pari_timer ti;
4091 84 : if (DEBUGLEVEL) timer_start(&ti);
4092 140 : for(i=1; i<l; i++)
4093 140 : if (signe(gel(K,i)))
4094 84 : break;
4095 84 : g = Fp_pow(utoi(i), idx, p);
4096 84 : tab = Fp_pow_init(g, p, tbs, p);
4097 84 : K = FpC_Fp_mul(K, Fp_inv(gel(K,i), m), m);
4098 130438 : for(i=1; i<l; i++)
4099 : {
4100 130354 : GEN k = gel(K,i);
4101 130354 : GEN j = i<=prmax ? utoi(i): addis(C,i-(prmax+1));
4102 130354 : if (signe(k)==0 || !equalii(Fp_pow_table(tab, k, p), Fp_pow(j, idx, p)))
4103 80542 : gel(K,i) = cgetineg(lm);
4104 : else
4105 49812 : f++;
4106 : }
4107 84 : if (DEBUGLEVEL) timer_printf(&ti,"found %ld/%ld logs", f, nbg);
4108 84 : if(f > (nbg>>1)) return gerepileupto(av, K);
4109 9877 : for(i=1; i<=nbcol; i++)
4110 : {
4111 9842 : long a = 1+random_Fl(lM);
4112 9842 : swap(gel(M,a),gel(M,i));
4113 : }
4114 35 : if (4*nbcol>5*nbg) nbcol = nbcol*9/10;
4115 : }
4116 : }
4117 :
4118 : static GEN
4119 98 : Fp_log_find_ind(GEN a, GEN K, long prmax, GEN C, GEN p, GEN m)
4120 : {
4121 98 : pari_sp av=avma;
4122 98 : GEN aa = gen_1;
4123 98 : long AV = 0;
4124 : for(;;)
4125 157 : {
4126 255 : GEN A = Fp_log_find_rel(a, prmax, C, p, &aa, &AV);
4127 255 : GEN F = gel(A,1), E = gel(A,2);
4128 255 : GEN Ao = gen_0;
4129 255 : long i, l = lg(F);
4130 1386 : for(i=1; i<l; i++)
4131 : {
4132 1288 : GEN Ki = gel(K,F[i]);
4133 1288 : if (signe(Ki)<0) break;
4134 1131 : Ao = addii(Ao, mulis(Ki, E[i]));
4135 : }
4136 255 : if (i==l) return Fp_divu(Ao, AV, m);
4137 157 : aa = gerepileuptoint(av, aa);
4138 : }
4139 : }
4140 :
4141 : static GEN
4142 49 : Fp_log_index(GEN a, GEN b, GEN m, GEN p)
4143 : {
4144 49 : pari_sp av = avma, av2;
4145 49 : long i, j, nbi, nbr = 0, nbrow, nbg;
4146 : GEN C, c, Ci, ci, pi, pr, sz, l, Ao, Bo, K, d, p_1;
4147 : pari_timer ti;
4148 : struct Fp_log_rel r;
4149 49 : ulong bnds = itou(roundr_safe(opt_param(sqrti(p),DEFAULTPREC)));
4150 49 : ulong bnd = 4*bnds;
4151 49 : if (!bnds || cmpii(sqru(bnds),m)>=0) return NULL;
4152 :
4153 49 : p_1 = subiu(p,1);
4154 49 : if (!is_pm1(gcdii(m,diviiexact(p_1,m))))
4155 0 : m = diviiexact(p_1, Z_ppo(p_1, m));
4156 49 : pr = primes_upto_zv(bnd);
4157 49 : nbi = lg(pr)-1;
4158 49 : C = sqrtremi(p, &c);
4159 49 : av2 = avma;
4160 12236 : for (i = 1; i <= nbi; ++i)
4161 : {
4162 12187 : ulong lp = pr[i];
4163 25606 : while (lp <= bnd)
4164 : {
4165 13419 : nbr++;
4166 13419 : lp *= pr[i];
4167 : }
4168 : }
4169 49 : pi = cgetg(nbr+1,t_VECSMALL);
4170 49 : Ci = cgetg(nbr+1,t_VECSMALL);
4171 49 : ci = cgetg(nbr+1,t_VECSMALL);
4172 49 : sz = cgetg(nbr+1,t_VECSMALL);
4173 12236 : for (i = 1, j = 1; i <= nbi; ++i)
4174 : {
4175 12187 : ulong lp = pr[i], sp = expu(2*lp-1);
4176 25606 : while (lp <= bnd)
4177 : {
4178 13419 : pi[j] = lp;
4179 13419 : Ci[j] = umodiu(C, lp);
4180 13419 : ci[j] = umodiu(c, lp);
4181 13419 : sz[j] = sp;
4182 13419 : lp *= pr[i];
4183 13419 : j++;
4184 : }
4185 : }
4186 49 : r.nbrel = 0;
4187 49 : r.nbgen = compute_nbgen(C, bnd, nbi);
4188 49 : r.nbmax = 2*(nbi+r.nbgen);
4189 49 : r.rel = cgetg(r.nbmax+1,t_VEC);
4190 49 : r.prmax = pr[nbi];
4191 49 : if (DEBUGLEVEL)
4192 : {
4193 0 : err_printf("bnd=%lu Size FB=%ld extra gen=%ld \n", bnd, nbi, r.nbgen);
4194 0 : timer_start(&ti);
4195 : }
4196 49 : nbg = Fp_log_sieve(&r, C, c, Ci, ci, pi, sz);
4197 49 : nbrow = r.prmax + nbg;
4198 49 : if (DEBUGLEVEL)
4199 : {
4200 0 : err_printf("\n");
4201 0 : timer_printf(&ti," %ld relations, %ld generators", r.nbrel, nbi+nbg);
4202 : }
4203 49 : setlg(r.rel,r.nbrel+1);
4204 49 : r.rel = gerepilecopy(av2, r.rel);
4205 49 : K = check_kernel(nbi+nbrow-r.prmax, nbrow, r.prmax, C, r.rel, p, m);
4206 49 : if (DEBUGLEVEL) timer_start(&ti);
4207 49 : Ao = Fp_log_find_ind(a, K, r.prmax, C, p, m);
4208 49 : if (DEBUGLEVEL) timer_printf(&ti," log element");
4209 49 : Bo = Fp_log_find_ind(b, K, r.prmax, C, p, m);
4210 49 : if (DEBUGLEVEL) timer_printf(&ti," log generator");
4211 49 : d = gcdii(Ao,Bo);
4212 49 : l = Fp_div(diviiexact(Ao, d) ,diviiexact(Bo, d), m);
4213 49 : if (!equalii(a,Fp_pow(b,l,p))) pari_err_BUG("Fp_log_index");
4214 49 : return gerepileuptoint(av, l);
4215 : }
4216 :
4217 : static int
4218 1539548 : Fp_log_use_index(long e, long p)
4219 : {
4220 1539548 : return (e >= 27 && 20*(p+6)<=e*e);
4221 : }
4222 :
4223 : /* Trivial cases a = 1, -1. Return x s.t. g^x = a or [] if no such x exist */
4224 : static GEN
4225 2240425 : Fp_easylog(void *E, GEN a, GEN g, GEN ord)
4226 : {
4227 2240425 : pari_sp av = avma;
4228 2240425 : GEN p = (GEN)E;
4229 : /* assume a reduced mod p, p not necessarily prime */
4230 2240425 : if (equali1(a)) return gen_0;
4231 : /* p > 2 */
4232 1358743 : if (equalii(subiu(p,1), a)) /* -1 */
4233 : {
4234 : pari_sp av2;
4235 : GEN t;
4236 377144 : ord = get_arith_Z(ord);
4237 377144 : if (mpodd(ord)) { set_avma(av); return cgetg(1, t_VEC); } /* no solution */
4238 377130 : t = shifti(ord,-1); /* only possible solution */
4239 377130 : av2 = avma;
4240 377130 : if (!equalii(Fp_pow(g, t, p), a)) { set_avma(av); return cgetg(1, t_VEC); }
4241 377102 : set_avma(av2); return gerepileuptoint(av, t);
4242 : }
4243 981599 : if (typ(ord)==t_INT && BPSW_psp(p) && Fp_log_use_index(expi(ord),expi(p)))
4244 49 : return Fp_log_index(a, g, ord, p);
4245 981550 : return gc_NULL(av); /* not easy */
4246 : }
4247 :
4248 : GEN
4249 1256006 : Fp_log(GEN a, GEN g, GEN ord, GEN p)
4250 : {
4251 1256006 : GEN v = get_arith_ZZM(ord);
4252 1255978 : GEN F = gmael(v,2,1);
4253 1255978 : long lF = lg(F)-1, lmax;
4254 1255978 : if (lF == 0) return equali1(a)? gen_0: cgetg(1, t_VEC);
4255 1255950 : lmax = expi(gel(F,lF));
4256 1255950 : if (BPSW_psp(p) && Fp_log_use_index(lmax,expi(p)))
4257 77 : v = mkvec2(gel(v,1),ZM_famat_limit(gel(v,2),int2n(27)));
4258 1255950 : return gen_PH_log(a,g,v,(void*)p,&Fp_star);
4259 : }
4260 :
4261 : static ulong
4262 17080 : Fl_log_naive(ulong a, ulong g, ulong ord, ulong p)
4263 : {
4264 17080 : ulong i, h=1;
4265 40307 : for(i=0; i<ord; i++, h = Fl_mul(h, g, p))
4266 40307 : if(a==h) return i;
4267 0 : return ~0UL;
4268 : }
4269 :
4270 : static ulong
4271 18991 : Fl_log_naive_pre(ulong a, ulong g, ulong ord, ulong p, ulong pi)
4272 : {
4273 18991 : ulong i, h=1;
4274 47964 : for(i=0; i<ord; i++, h = Fl_mul_pre(h, g, p, pi))
4275 47964 : if(a==h) return i;
4276 0 : return ~0UL;
4277 : }
4278 :
4279 : static ulong
4280 0 : Fl_log_Fp(ulong a, ulong g, ulong ord, ulong p)
4281 : {
4282 0 : pari_sp av = avma;
4283 0 : GEN r = Fp_log(utoi(a),utoi(g),utoi(ord),utoi(p));
4284 0 : return gc_ulong(av, typ(r)==t_INT ? itou(r): ~0UL);
4285 : }
4286 :
4287 : ulong
4288 18991 : Fl_log_pre(ulong a, ulong g, ulong ord, ulong p, ulong pi)
4289 : {
4290 18991 : if (ord <= 200) return Fl_log_naive_pre(a, g, ord, p, pi);
4291 0 : return Fl_log_Fp(a, g, ord, p);
4292 : }
4293 :
4294 : ulong
4295 17080 : Fl_log(ulong a, ulong g, ulong ord, ulong p)
4296 : {
4297 17080 : if (ord <= 200)
4298 0 : return (p&HIGHMASK) ? Fl_log_naive_pre(a, g, ord, p, get_Fl_red(p))
4299 17080 : : Fl_log_naive(a, g, ord, p);
4300 0 : return Fl_log_Fp(a, g, ord, p);
4301 : }
4302 :
4303 : /* find x such that h = g^x mod N > 1, N = prod_{i <= l} P[i]^E[i], P[i] prime.
4304 : * PHI[l] = eulerphi(N / P[l]^E[l]). Destroys P/E */
4305 : static GEN
4306 112 : znlog_rec(GEN h, GEN g, GEN N, GEN P, GEN E, GEN PHI)
4307 : {
4308 112 : long l = lg(P) - 1, e = E[l];
4309 112 : GEN p = gel(P, l), phi = gel(PHI,l), pe = e == 1? p: powiu(p, e);
4310 : GEN a,b, hp,gp, hpe,gpe, ogpe; /* = order(g mod p^e) | p^(e-1)(p-1) */
4311 :
4312 112 : if (l == 1) {
4313 84 : hpe = h;
4314 84 : gpe = g;
4315 : } else {
4316 28 : hpe = modii(h, pe);
4317 28 : gpe = modii(g, pe);
4318 : }
4319 112 : if (e == 1) {
4320 28 : hp = hpe;
4321 28 : gp = gpe;
4322 : } else {
4323 84 : hp = remii(hpe, p);
4324 84 : gp = remii(gpe, p);
4325 : }
4326 112 : if (hp == gen_0 || gp == gen_0) return NULL;
4327 91 : if (absequaliu(p, 2))
4328 : {
4329 35 : GEN n = int2n(e);
4330 35 : ogpe = Zp_order(gpe, gen_2, e, n);
4331 35 : a = Fp_log(hpe, gpe, ogpe, n);
4332 35 : if (typ(a) != t_INT) return NULL;
4333 : }
4334 : else
4335 : { /* Avoid black box groups: (Z/p^2)^* / (Z/p)^* ~ (Z/pZ, +), where DL
4336 : is trivial */
4337 : /* [order(gp), factor(order(gp))] */
4338 56 : GEN v = Fp_factored_order(gp, subiu(p,1), p);
4339 56 : GEN ogp = gel(v,1);
4340 56 : if (!equali1(Fp_pow(hp, ogp, p))) return NULL;
4341 56 : a = Fp_log(hp, gp, v, p);
4342 56 : if (typ(a) != t_INT) return NULL;
4343 56 : if (e == 1) ogpe = ogp;
4344 : else
4345 : { /* find a s.t. g^a = h (mod p^e), p odd prime, e > 0, (h,p) = 1 */
4346 : /* use p-adic log: O(log p + e) mul*/
4347 : long vpogpe, vpohpe;
4348 :
4349 28 : hpe = Fp_mul(hpe, Fp_pow(gpe, negi(a), pe), pe);
4350 28 : gpe = Fp_pow(gpe, ogp, pe);
4351 : /* g,h = 1 mod p; compute b s.t. h = g^b */
4352 :
4353 : /* v_p(order g mod pe) */
4354 28 : vpogpe = equali1(gpe)? 0: e - Z_pval(subiu(gpe,1), p);
4355 : /* v_p(order h mod pe) */
4356 28 : vpohpe = equali1(hpe)? 0: e - Z_pval(subiu(hpe,1), p);
4357 28 : if (vpohpe > vpogpe) return NULL;
4358 :
4359 28 : ogpe = mulii(ogp, powiu(p, vpogpe)); /* order g mod p^e */
4360 28 : if (is_pm1(gpe)) return is_pm1(hpe)? a: NULL;
4361 28 : b = gdiv(Qp_log(cvtop(hpe, p, e)), Qp_log(cvtop(gpe, p, e)));
4362 28 : a = addii(a, mulii(ogp, padic_to_Q(b)));
4363 : }
4364 : }
4365 : /* gp^a = hp => x = a mod ogpe => generalized Pohlig-Hellman strategy */
4366 77 : if (l == 1) return a;
4367 :
4368 28 : N = diviiexact(N, pe); /* make N coprime to p */
4369 28 : h = Fp_mul(h, Fp_pow(g, modii(negi(a), phi), N), N);
4370 28 : g = Fp_pow(g, modii(ogpe, phi), N);
4371 28 : setlg(P, l); /* remove last element */
4372 28 : setlg(E, l);
4373 28 : b = znlog_rec(h, g, N, P, E, PHI);
4374 28 : if (!b) return NULL;
4375 28 : return addmulii(a, b, ogpe);
4376 : }
4377 :
4378 : static GEN
4379 84 : get_PHI(GEN P, GEN E)
4380 : {
4381 84 : long i, l = lg(P);
4382 84 : GEN PHI = cgetg(l, t_VEC);
4383 84 : gel(PHI,1) = gen_1;
4384 112 : for (i=1; i<l-1; i++)
4385 : {
4386 28 : GEN t, p = gel(P,i);
4387 28 : long e = E[i];
4388 28 : t = mulii(powiu(p, e-1), subiu(p,1));
4389 28 : if (i > 1) t = mulii(t, gel(PHI,i));
4390 28 : gel(PHI,i+1) = t;
4391 : }
4392 84 : return PHI;
4393 : }
4394 :
4395 : GEN
4396 224 : znlog(GEN h, GEN g, GEN o)
4397 : {
4398 224 : pari_sp av = avma;
4399 : GEN N, fa, P, E, x;
4400 224 : switch (typ(g))
4401 : {
4402 28 : case t_PADIC:
4403 : {
4404 28 : GEN p = gel(g,2);
4405 28 : long v = valp(g);
4406 28 : if (v < 0) pari_err_DIM("znlog");
4407 28 : if (v > 0) {
4408 0 : long k = gvaluation(h, p);
4409 0 : if (k % v) return cgetg(1,t_VEC);
4410 0 : k /= v;
4411 0 : if (!gequal(h, gpowgs(g,k))) { set_avma(av); return cgetg(1,t_VEC); }
4412 0 : set_avma(av); return stoi(k);
4413 : }
4414 28 : N = gel(g,3);
4415 28 : g = Rg_to_Fp(g, N);
4416 28 : break;
4417 : }
4418 189 : case t_INTMOD:
4419 189 : N = gel(g,1);
4420 189 : g = gel(g,2); break;
4421 7 : default: pari_err_TYPE("znlog", g);
4422 : return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
4423 : }
4424 217 : if (equali1(N)) { set_avma(av); return gen_0; }
4425 217 : h = Rg_to_Fp(h, N);
4426 210 : if (o) return gerepileupto(av, Fp_log(h, g, o, N));
4427 84 : fa = Z_factor(N);
4428 84 : P = gel(fa,1);
4429 84 : E = vec_to_vecsmall(gel(fa,2));
4430 84 : x = znlog_rec(h, g, N, P, E, get_PHI(P,E));
4431 84 : if (!x) { set_avma(av); return cgetg(1,t_VEC); }
4432 49 : return gerepileuptoint(av, x);
4433 : }
4434 :
4435 : GEN
4436 60984 : Fp_sqrtn(GEN a, GEN n, GEN p, GEN *zeta)
4437 : {
4438 60984 : if (lgefint(p)==3)
4439 : {
4440 60592 : long nn = itos_or_0(n);
4441 60592 : if (nn)
4442 : {
4443 60592 : ulong pp = p[2];
4444 : ulong uz;
4445 60592 : ulong r = Fl_sqrtn(umodiu(a,pp),nn,pp, zeta ? &uz:NULL);
4446 60571 : if (r==ULONG_MAX) return NULL;
4447 60522 : if (zeta) *zeta = utoi(uz);
4448 60522 : return utoi(r);
4449 : }
4450 : }
4451 392 : a = modii(a,p);
4452 392 : if (!signe(a))
4453 : {
4454 0 : if (zeta) *zeta = gen_1;
4455 0 : if (signe(n) < 0) pari_err_INV("Fp_sqrtn", mkintmod(gen_0,p));
4456 0 : return gen_0;
4457 : }
4458 392 : if (absequaliu(n,2))
4459 : {
4460 224 : if (zeta) *zeta = subiu(p,1);
4461 224 : return signe(n) > 0 ? Fp_sqrt(a,p): Fp_sqrt(Fp_inv(a, p),p);
4462 : }
4463 168 : return gen_Shanks_sqrtn(a,n,subiu(p,1),zeta,(void*)p,&Fp_star);
4464 : }
4465 :
4466 : /*********************************************************************/
4467 : /** **/
4468 : /** FUNDAMENTAL DISCRIMINANTS **/
4469 : /** **/
4470 : /*********************************************************************/
4471 : static long
4472 1407 : fa_isfundamental(GEN F)
4473 : {
4474 1407 : GEN P = gel(F,1), E = gel(F,2);
4475 1407 : long i, s, l = lg(P);
4476 :
4477 1407 : if (l == 1) return 1;
4478 1400 : s = signe(gel(P,1)); /* = signe(x) */
4479 1400 : if (!s) return 0;
4480 1393 : if (s < 0) { l--; P = vecslice(P,2,l); E = vecslice(E,2,l); }
4481 1393 : if (l == 1) return 0;
4482 1386 : if (!absequaliu(gel(P,1), 2))
4483 686 : i = 1; /* need x = 1 mod 4 */
4484 : else
4485 : {
4486 700 : i = 2;
4487 700 : switch(itou(gel(E,1)))
4488 : {
4489 182 : case 2: s = -s; break; /* need x/4 = 3 mod 4 */
4490 84 : case 3: s = 0; break; /* no condition mod 4 */
4491 434 : default: return 0;
4492 : }
4493 : }
4494 1974 : for(; i < l; i++)
4495 : {
4496 1190 : if (!equali1(gel(E,i))) return 0;
4497 1022 : if (s && Mod4(gel(P,i)) == 3) s = -s;
4498 : }
4499 784 : return s >= 0;
4500 : }
4501 : long
4502 20412 : isfundamental(GEN x)
4503 : {
4504 20412 : if (typ(x) != t_INT)
4505 : {
4506 1407 : pari_sp av = avma;
4507 1407 : long v = fa_isfundamental(check_arith_all(x,"isfundamental"));
4508 1407 : return gc_long(av,v);
4509 : }
4510 19005 : return Z_isfundamental(x);
4511 : }
4512 :
4513 : /* x fundamental ? */
4514 : long
4515 16547 : uposisfundamental(ulong x)
4516 : {
4517 16547 : ulong r = x & 15; /* x mod 16 */
4518 16547 : if (!r) return 0;
4519 15770 : switch(r & 3)
4520 : { /* x mod 4 */
4521 3417 : case 0: return (r == 4)? 0: uissquarefree(x >> 2);
4522 5909 : case 1: return uissquarefree(x);
4523 6444 : default: return 0;
4524 : }
4525 : }
4526 : /* -x fundamental ? */
4527 : long
4528 32754 : unegisfundamental(ulong x)
4529 : {
4530 32754 : ulong r = x & 15; /* x mod 16 */
4531 32754 : if (!r) return 0;
4532 31158 : switch(r & 3)
4533 : { /* x mod 4 */
4534 7190 : case 0: return (r == 12)? 0: uissquarefree(x >> 2);
4535 13646 : case 3: return uissquarefree(x);
4536 10322 : default: return 0;
4537 : }
4538 : }
4539 : long
4540 24913 : sisfundamental(long x)
4541 24913 : { return x < 0? unegisfundamental((ulong)(-x)): uposisfundamental(x); }
4542 :
4543 : long
4544 19572 : Z_isfundamental(GEN x)
4545 : {
4546 : long r;
4547 19572 : switch(lgefint(x))
4548 : {
4549 7 : case 2: return 0;
4550 9212 : case 3: return signe(x) < 0? unegisfundamental(x[2])
4551 26767 : : uposisfundamental(x[2]);
4552 : }
4553 2010 : r = mod16(x);
4554 2010 : if (!r) return 0;
4555 1884 : if ((r & 3) == 0)
4556 : {
4557 : pari_sp av;
4558 376 : r >>= 2; /* |x|/4 mod 4 */
4559 376 : if (signe(x) < 0) r = 4-r;
4560 376 : if (r == 1) return 0;
4561 250 : av = avma;
4562 250 : r = Z_issquarefree( shifti(x,-2) );
4563 250 : return gc_long(av, r);
4564 : }
4565 1508 : r &= 3; /* |x| mod 4 */
4566 1508 : if (signe(x) < 0) r = 4-r;
4567 1508 : return (r==1) ? Z_issquarefree(x) : 0;
4568 : }
4569 :
4570 : static GEN
4571 2821 : fa_quaddisc(GEN f)
4572 : {
4573 2821 : GEN P = gel(f,1), E = gel(f,2), s = gen_1;
4574 2821 : long i, l = lg(P);
4575 9051 : for (i = 1; i < l; i++) /* possibly including -1 */
4576 6230 : if (mpodd(gel(E,i))) s = mulii(s, gel(P,i));
4577 2821 : if (Mod4(s) > 1) s = shifti(s,2);
4578 2821 : return s;
4579 : }
4580 :
4581 : GEN
4582 2821 : quaddisc(GEN x)
4583 : {
4584 2821 : const pari_sp av = avma;
4585 2821 : if (is_rational_t(typ(x))) x = factor(x);
4586 1407 : else x = check_arith_all(x,"quaddisc");
4587 2821 : return gerepileuptoint(av, fa_quaddisc(x));
4588 : }
4589 :
4590 : /*********************************************************************/
4591 : /** **/
4592 : /** FACTORIAL **/
4593 : /** **/
4594 : /*********************************************************************/
4595 : GEN
4596 69826 : mulu_interval_step(ulong a, ulong b, ulong step)
4597 : {
4598 69826 : pari_sp av = avma;
4599 : ulong k, l, N, n;
4600 : long lx;
4601 : GEN x;
4602 :
4603 69826 : if (!a) return gen_0;
4604 69826 : if (step == 1) return mulu_interval(a, b);
4605 69826 : n = 1 + (b-a) / step;
4606 69826 : b -= (b-a) % step;
4607 69826 : if (n < 61)
4608 : {
4609 68463 : if (n == 1) return utoipos(a);
4610 53057 : x = muluu(a,a+step); if (n == 2) return x;
4611 460927 : for (k=a+2*step; k<=b; k+=step) x = mului(k,x);
4612 42600 : return gerepileuptoint(av, x);
4613 : }
4614 : /* step | b-a */
4615 1363 : lx = 1; x = cgetg(2 + n/2, t_VEC);
4616 1363 : N = b + a;
4617 1363 : for (k = a;; k += step)
4618 : {
4619 226938 : l = N - k; if (l <= k) break;
4620 225575 : gel(x,lx++) = muluu(k,l);
4621 : }
4622 1363 : if (l == k) gel(x,lx++) = utoipos(k);
4623 1363 : setlg(x, lx);
4624 1363 : return gerepileuptoint(av, ZV_prod(x));
4625 : }
4626 : /* return a * (a+1) * ... * b. Assume a <= b [ note: factoring out powers of 2
4627 : * first is slower ... ] */
4628 : GEN
4629 179739 : mulu_interval(ulong a, ulong b)
4630 : {
4631 179739 : pari_sp av = avma;
4632 : ulong k, l, N, n;
4633 : long lx;
4634 : GEN x;
4635 :
4636 179739 : if (!a) return gen_0;
4637 179739 : n = b - a + 1;
4638 179739 : if (n < 61)
4639 : {
4640 179725 : if (n == 1) return utoipos(a);
4641 124040 : x = muluu(a,a+1); if (n == 2) return x;
4642 445613 : for (k=a+2; k<=b; k++) x = mului(k,x);
4643 90846 : return gerepileuptoint(av, x);
4644 : }
4645 14 : lx = 1; x = cgetg(2 + n/2, t_VEC);
4646 14 : N = b + a;
4647 14 : for (k = a;; k++)
4648 : {
4649 7007 : l = N - k; if (l <= k) break;
4650 6993 : gel(x,lx++) = muluu(k,l);
4651 : }
4652 14 : if (l == k) gel(x,lx++) = utoipos(k);
4653 14 : setlg(x, lx);
4654 14 : return gerepileuptoint(av, ZV_prod(x));
4655 : }
4656 : GEN
4657 588 : muls_interval(long a, long b)
4658 : {
4659 588 : pari_sp av = avma;
4660 588 : long lx, k, l, N, n = b - a + 1;
4661 : GEN x;
4662 :
4663 588 : if (a <= 0 && b >= 0) return gen_0;
4664 315 : if (n < 61)
4665 : {
4666 315 : x = stoi(a);
4667 553 : for (k=a+1; k<=b; k++) x = mulsi(k,x);
4668 315 : return gerepileuptoint(av, x);
4669 : }
4670 0 : lx = 1; x = cgetg(2 + n/2, t_VEC);
4671 0 : N = b + a;
4672 0 : for (k = a;; k++)
4673 : {
4674 0 : l = N - k; if (l <= k) break;
4675 0 : gel(x,lx++) = mulss(k,l);
4676 : }
4677 0 : if (l == k) gel(x,lx++) = stoi(k);
4678 0 : setlg(x, lx);
4679 0 : return gerepileuptoint(av, ZV_prod(x));
4680 : }
4681 :
4682 : GEN
4683 173039 : mpfact(long n)
4684 : {
4685 173039 : pari_sp av = avma;
4686 : GEN a, v;
4687 : long k;
4688 173039 : if (n <= 12) switch(n)
4689 : {
4690 121209 : case 0: case 1: return gen_1;
4691 32913 : case 2: return gen_2;
4692 1109 : case 3: return utoipos(6);
4693 1506 : case 4: return utoipos(24);
4694 730 : case 5: return utoipos(120);
4695 421 : case 6: return utoipos(720);
4696 325 : case 7: return utoipos(5040);
4697 330 : case 8: return utoipos(40320);
4698 330 : case 9: return utoipos(362880);
4699 610 : case 10:return utoipos(3628800);
4700 202 : case 11:return utoipos(39916800);
4701 207 : case 12:return utoipos(479001600);
4702 0 : default: pari_err_DOMAIN("factorial", "argument","<",gen_0,stoi(n));
4703 : }
4704 13147 : v = cgetg(expu(n) + 2, t_VEC);
4705 13148 : for (k = 1;; k++)
4706 66207 : {
4707 79355 : long m = n >> (k-1), l;
4708 79355 : if (m <= 2) break;
4709 66207 : l = (1 + (n >> k)) | 1;
4710 : /* product of odd numbers in ]n / 2^k, 2 / 2^(k-1)] */
4711 66207 : a = mulu_interval_step(l, m, 2);
4712 66207 : gel(v,k) = k == 1? a: powiu(a, k);
4713 : }
4714 66205 : a = gel(v,--k); while (--k) a = mulii(a, gel(v,k));
4715 13148 : a = shifti(a, factorial_lval(n, 2));
4716 13148 : return gerepileuptoint(av, a);
4717 : }
4718 :
4719 : ulong
4720 4779 : factorial_Fl(long n, ulong p)
4721 : {
4722 : long k;
4723 : ulong v;
4724 4779 : if (p <= (ulong)n) return 0;
4725 4779 : v = Fl_powu(2, factorial_lval(n, 2), p);
4726 4780 : for (k = 1;; k++)
4727 12329 : {
4728 17109 : long m = n >> (k-1), l, i;
4729 17109 : ulong a = 1;
4730 17109 : if (m <= 2) break;
4731 12329 : l = (1 + (n >> k)) | 1;
4732 : /* product of odd numbers in ]n / 2^k, 2 / 2^(k-1)] */
4733 83976 : for (i=l; i<=m; i+=2)
4734 71647 : a = Fl_mul(a, i, p);
4735 12329 : v = Fl_mul(v, k == 1? a: Fl_powu(a, k, p), p);
4736 : }
4737 4780 : return v;
4738 : }
4739 :
4740 : GEN
4741 60 : factorial_Fp(long n, GEN p)
4742 : {
4743 60 : pari_sp av = avma;
4744 : long k;
4745 60 : GEN v = Fp_powu(gen_2, factorial_lval(n, 2), p);
4746 60 : for (k = 1;; k++)
4747 134 : {
4748 194 : long m = n >> (k-1), l, i;
4749 194 : GEN a = gen_1;
4750 194 : if (m <= 2) break;
4751 134 : l = (1 + (n >> k)) | 1;
4752 : /* product of odd numbers in ]n / 2^k, 2 / 2^(k-1)] */
4753 402 : for (i=l; i<=m; i+=2)
4754 268 : a = Fp_mulu(a, i, p);
4755 134 : v = Fp_mul(v, k == 1? a: Fp_powu(a, k, p), p);
4756 134 : v = gerepileuptoint(av, v);
4757 : }
4758 60 : return v;
4759 : }
4760 :
4761 : /*******************************************************************/
4762 : /** **/
4763 : /** LUCAS & FIBONACCI **/
4764 : /** **/
4765 : /*******************************************************************/
4766 : static void
4767 56 : lucas(ulong n, GEN *a, GEN *b)
4768 : {
4769 : GEN z, t, zt;
4770 56 : if (!n) { *a = gen_2; *b = gen_1; return; }
4771 49 : lucas(n >> 1, &z, &t); zt = mulii(z, t);
4772 49 : switch(n & 3) {
4773 14 : case 0: *a = subiu(sqri(z),2); *b = subiu(zt,1); break;
4774 14 : case 1: *a = subiu(zt,1); *b = addiu(sqri(t),2); break;
4775 7 : case 2: *a = addiu(sqri(z),2); *b = addiu(zt,1); break;
4776 14 : case 3: *a = addiu(zt,1); *b = subiu(sqri(t),2);
4777 : }
4778 49 : }
4779 :
4780 : GEN
4781 7 : fibo(long n)
4782 : {
4783 7 : pari_sp av = avma;
4784 : GEN a, b;
4785 7 : if (!n) return gen_0;
4786 7 : lucas((ulong)(labs(n)-1), &a, &b);
4787 7 : a = diviuexact(addii(shifti(a,1),b), 5);
4788 7 : if (n < 0 && !odd(n)) setsigne(a, -1);
4789 7 : return gerepileuptoint(av, a);
4790 : }
4791 :
4792 : /*******************************************************************/
4793 : /* */
4794 : /* CONTINUED FRACTIONS */
4795 : /* */
4796 : /*******************************************************************/
4797 : static GEN
4798 2830683 : icopy_lg(GEN x, long l)
4799 : {
4800 2830683 : long lx = lgefint(x);
4801 : GEN y;
4802 :
4803 2830683 : if (lx >= l) return icopy(x);
4804 35 : y = cgeti(l); affii(x, y); return y;
4805 : }
4806 :
4807 : /* continued fraction of a/b. If y != NULL, stop when partial quotients
4808 : * differ from y */
4809 : static GEN
4810 2830979 : Qsfcont(GEN a, GEN b, GEN y, ulong k)
4811 : {
4812 : GEN z, c;
4813 2830979 : ulong i, l, ly = lgefint(b);
4814 :
4815 : /* times 1 / log2( (1+sqrt(5)) / 2 ) */
4816 2830979 : l = (ulong)(3 + bit_accuracy_mul(ly, 1.44042009041256));
4817 2830979 : if (k > 0 && k+1 > 0 && l > k+1) l = k+1; /* beware overflow */
4818 2830979 : if (l > LGBITS) l = LGBITS;
4819 :
4820 2830979 : z = cgetg(l,t_VEC);
4821 2830979 : l--;
4822 2830979 : if (y) {
4823 296 : pari_sp av = avma;
4824 296 : if (l >= (ulong)lg(y)) l = lg(y)-1;
4825 19467 : for (i = 1; i <= l; i++)
4826 : {
4827 19282 : GEN q = gel(y,i);
4828 19282 : gel(z,i) = q;
4829 19282 : c = b; if (!gequal1(q)) c = mulii(q, b);
4830 19282 : c = subii(a, c);
4831 19282 : if (signe(c) < 0)
4832 : { /* partial quotient too large */
4833 110 : c = addii(c, b);
4834 110 : if (signe(c) >= 0) i++; /* by 1 */
4835 110 : break;
4836 : }
4837 19172 : if (cmpii(c, b) >= 0)
4838 : { /* partial quotient too small */
4839 1 : c = subii(c, b);
4840 1 : if (cmpii(c, b) < 0) {
4841 : /* by 1. If next quotient is 1 in y, add 1 */
4842 0 : if (i < l && equali1(gel(y,i+1))) gel(z,i) = addiu(q,1);
4843 0 : i++;
4844 : }
4845 1 : break;
4846 : }
4847 19171 : if ((i & 0xff) == 0) gerepileall(av, 2, &b, &c);
4848 19171 : a = b; b = c;
4849 : }
4850 : } else {
4851 2830683 : a = icopy_lg(a, ly);
4852 2830683 : b = icopy(b);
4853 23440276 : for (i = 1; i <= l; i++)
4854 : {
4855 23440012 : gel(z,i) = truedvmdii(a,b,&c);
4856 23440012 : if (c == gen_0) { i++; break; }
4857 20609593 : affii(c, a); cgiv(c); c = a;
4858 20609593 : a = b; b = c;
4859 : }
4860 : }
4861 2830979 : i--;
4862 2830979 : if (i > 1 && gequal1(gel(z,i)))
4863 : {
4864 85 : cgiv(gel(z,i)); --i;
4865 85 : gel(z,i) = addui(1, gel(z,i)); /* unclean: leave old z[i] on stack */
4866 : }
4867 2830979 : setlg(z,i+1); return z;
4868 : }
4869 :
4870 : static GEN
4871 0 : sersfcont(GEN a, GEN b, long k)
4872 : {
4873 0 : long i, l = typ(a) == t_POL? lg(a): 3;
4874 : GEN y, c;
4875 0 : if (lg(b) > l) l = lg(b);
4876 0 : if (k > 0 && l > k+1) l = k+1;
4877 0 : y = cgetg(l,t_VEC);
4878 0 : for (i=1; i<l; i++)
4879 : {
4880 0 : gel(y,i) = poldivrem(a,b,&c);
4881 0 : if (gequal0(c)) { i++; break; }
4882 0 : a = b; b = c;
4883 : }
4884 0 : setlg(y, i); return y;
4885 : }
4886 :
4887 : GEN
4888 2831698 : gboundcf(GEN x, long k)
4889 : {
4890 : pari_sp av;
4891 2831698 : long tx = typ(x), e;
4892 : GEN y, a, b, c;
4893 :
4894 2831698 : if (k < 0) pari_err_DOMAIN("gboundcf","nmax","<",gen_0,stoi(k));
4895 2831691 : if (is_scalar_t(tx))
4896 : {
4897 2831691 : if (gequal0(x)) return mkvec(gen_0);
4898 2831586 : switch(tx)
4899 : {
4900 896 : case t_INT: return mkveccopy(x);
4901 303 : case t_REAL:
4902 303 : av = avma;
4903 303 : c = mantissa_real(x,&e);
4904 303 : if (e < 0) pari_err_PREC("gboundcf");
4905 296 : y = int2n(e);
4906 296 : a = Qsfcont(c,y, NULL, k);
4907 296 : b = addsi(signe(x), c);
4908 296 : return gerepilecopy(av, Qsfcont(b,y, a, k));
4909 :
4910 2830387 : case t_FRAC:
4911 2830387 : av = avma;
4912 2830387 : return gerepileupto(av, Qsfcont(gel(x,1),gel(x,2), NULL, k));
4913 : }
4914 0 : pari_err_TYPE("gboundcf",x);
4915 : }
4916 :
4917 0 : switch(tx)
4918 : {
4919 0 : case t_POL: return mkveccopy(x);
4920 0 : case t_SER:
4921 0 : av = avma;
4922 0 : return gerepileupto(av, gboundcf(ser2rfrac_i(x), k));
4923 0 : case t_RFRAC:
4924 0 : av = avma;
4925 0 : return gerepilecopy(av, sersfcont(gel(x,1), gel(x,2), k));
4926 : }
4927 0 : pari_err_TYPE("gboundcf",x);
4928 : return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
4929 : }
4930 :
4931 : static GEN
4932 14 : sfcont2(GEN b, GEN x, long k)
4933 : {
4934 14 : pari_sp av = avma;
4935 14 : long lb = lg(b), tx = typ(x), i;
4936 : GEN y,p1;
4937 :
4938 14 : if (k)
4939 : {
4940 7 : if (k >= lb) pari_err_DIM("contfrac [too few denominators]");
4941 0 : lb = k+1;
4942 : }
4943 7 : y = cgetg(lb,t_VEC);
4944 7 : if (lb==1) return y;
4945 7 : if (is_scalar_t(tx))
4946 : {
4947 7 : if (!is_intreal_t(tx) && tx != t_FRAC) pari_err_TYPE("sfcont2",x);
4948 : }
4949 0 : else if (tx == t_SER) x = ser2rfrac_i(x);
4950 :
4951 7 : if (!gequal1(gel(b,1))) x = gmul(gel(b,1),x);
4952 7 : for (i = 1;;)
4953 : {
4954 35 : if (tx == t_REAL)
4955 : {
4956 35 : long e = expo(x);
4957 35 : if (e > 0 && nbits2prec(e+1) > realprec(x)) break;
4958 35 : gel(y,i) = floorr(x);
4959 35 : p1 = subri(x, gel(y,i));
4960 : }
4961 : else
4962 : {
4963 0 : gel(y,i) = gfloor(x);
4964 0 : p1 = gsub(x, gel(y,i));
4965 : }
4966 35 : if (++i >= lb) break;
4967 28 : if (gequal0(p1)) break;
4968 28 : x = gdiv(gel(b,i),p1);
4969 : }
4970 7 : setlg(y,i);
4971 7 : return gerepilecopy(av,y);
4972 : }
4973 :
4974 : GEN
4975 105 : gcf(GEN x) { return gboundcf(x,0); }
4976 : GEN
4977 0 : gcf2(GEN b, GEN x) { return contfrac0(x,b,0); }
4978 : GEN
4979 49 : contfrac0(GEN x, GEN b, long nmax)
4980 : {
4981 : long tb;
4982 :
4983 49 : if (!b) return gboundcf(x,nmax);
4984 28 : tb = typ(b);
4985 28 : if (tb == t_INT) return gboundcf(x,itos(b));
4986 21 : if (! is_vec_t(tb)) pari_err_TYPE("contfrac0",b);
4987 21 : if (nmax < 0) pari_err_DOMAIN("contfrac","nmax","<",gen_0,stoi(nmax));
4988 14 : return sfcont2(b,x,nmax);
4989 : }
4990 :
4991 : GEN
4992 245 : contfracpnqn(GEN x, long n)
4993 : {
4994 245 : pari_sp av = avma;
4995 245 : long i, lx = lg(x);
4996 : GEN M,A,B, p0,p1, q0,q1;
4997 :
4998 245 : if (lx == 1)
4999 : {
5000 28 : if (! is_matvec_t(typ(x))) pari_err_TYPE("pnqn",x);
5001 21 : if (n >= 0) return cgetg(1,t_MAT);
5002 7 : return matid(2);
5003 : }
5004 217 : switch(typ(x))
5005 : {
5006 175 : case t_VEC: case t_COL: A = x; B = NULL; break;
5007 42 : case t_MAT:
5008 42 : switch(lgcols(x))
5009 : {
5010 0 : case 2: A = row(x,1); B = NULL; break;
5011 35 : case 3: A = row(x,2); B = row(x,1); break;
5012 7 : default: pari_err_DIM("pnqn [ nbrows != 1,2 ]");
5013 : return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
5014 : }
5015 35 : break;
5016 0 : default: pari_err_TYPE("pnqn",x);
5017 : return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
5018 : }
5019 210 : p1 = gel(A,1);
5020 210 : q1 = B? gel(B,1): gen_1; /* p[0], q[0] */
5021 210 : if (n >= 0)
5022 : {
5023 175 : lx = minss(lx, n+2);
5024 175 : if (lx == 2) return gerepilecopy(av, mkmat(mkcol2(p1,q1)));
5025 : }
5026 35 : else if (lx == 2)
5027 7 : return gerepilecopy(av, mkmat2(mkcol2(p1,q1), mkcol2(gen_1,gen_0)));
5028 : /* lx >= 3 */
5029 112 : p0 = gen_1;
5030 112 : q0 = gen_0; /* p[-1], q[-1] */
5031 112 : M = cgetg(lx, t_MAT);
5032 112 : gel(M,1) = mkcol2(p1,q1);
5033 364 : for (i=2; i<lx; i++)
5034 : {
5035 252 : GEN a = gel(A,i), p2,q2;
5036 252 : if (B) {
5037 84 : GEN b = gel(B,i);
5038 84 : p0 = gmul(b,p0);
5039 84 : q0 = gmul(b,q0);
5040 : }
5041 252 : p2 = gadd(gmul(a,p1),p0); p0=p1; p1=p2;
5042 252 : q2 = gadd(gmul(a,q1),q0); q0=q1; q1=q2;
5043 252 : gel(M,i) = mkcol2(p1,q1);
5044 : }
5045 112 : if (n < 0) M = mkmat2(gel(M,lx-1), gel(M,lx-2));
5046 112 : return gerepilecopy(av, M);
5047 : }
5048 : GEN
5049 0 : pnqn(GEN x) { return contfracpnqn(x,-1); }
5050 : /* x = [a0, ..., an] from gboundcf, n >= 0;
5051 : * return [[p0, ..., pn], [q0,...,qn]] */
5052 : GEN
5053 609308 : ZV_allpnqn(GEN x)
5054 : {
5055 609308 : long i, lx = lg(x);
5056 609308 : GEN p0, p1, q0, q1, p2, q2, P,Q, v = cgetg(3,t_VEC);
5057 :
5058 609308 : gel(v,1) = P = cgetg(lx, t_VEC);
5059 609308 : gel(v,2) = Q = cgetg(lx, t_VEC);
5060 609308 : p0 = gen_1; q0 = gen_0;
5061 609308 : gel(P, 1) = p1 = gel(x,1); gel(Q, 1) = q1 = gen_1;
5062 2092209 : for (i=2; i<lx; i++)
5063 : {
5064 1482901 : GEN a = gel(x,i);
5065 1482901 : gel(P, i) = p2 = addmulii(p0, a, p1); p0 = p1; p1 = p2;
5066 1482901 : gel(Q, i) = q2 = addmulii(q0, a, q1); q0 = q1; q1 = q2;
5067 : }
5068 609308 : return v;
5069 : }
5070 :
5071 : /* write Mod(x,N) as a/b, gcd(a,b) = 1, b <= B (no condition if B = NULL) */
5072 : static GEN
5073 42 : mod_to_frac(GEN x, GEN N, GEN B)
5074 : {
5075 : GEN a, b, A;
5076 42 : if (B) A = divii(shifti(N, -1), B);
5077 : else
5078 : {
5079 14 : A = sqrti(shifti(N, -1));
5080 14 : B = A;
5081 : }
5082 42 : if (!Fp_ratlift(x, N, A,B,&a,&b) || !equali1( gcdii(a,b) )) return NULL;
5083 28 : return equali1(b)? a: mkfrac(a,b);
5084 : }
5085 :
5086 : static GEN
5087 70 : mod_to_rfrac(GEN x, GEN N, long B)
5088 : {
5089 : GEN a, b;
5090 70 : long A, d = degpol(N);
5091 70 : if (B >= 0) A = d-1 - B;
5092 : else
5093 : {
5094 42 : B = d >> 1;
5095 42 : A = odd(d)? B : B-1;
5096 : }
5097 70 : if (varn(N) != varn(x)) x = scalarpol(x, varn(N));
5098 70 : if (!RgXQ_ratlift(x, N, A, B, &a,&b) || degpol(RgX_gcd(a,b)) > 0) return NULL;
5099 56 : return gdiv(a,b);
5100 : }
5101 :
5102 : /* k > 0 t_INT, x a t_FRAC, returns the convergent a/b
5103 : * of the continued fraction of x with b <= k maximal */
5104 : static GEN
5105 7 : bestappr_frac(GEN x, GEN k)
5106 : {
5107 : pari_sp av;
5108 : GEN p0, p1, p, q0, q1, q, a, y;
5109 :
5110 7 : if (cmpii(gel(x,2),k) <= 0) return gcopy(x);
5111 0 : av = avma; y = x;
5112 0 : p1 = gen_1; p0 = truedvmdii(gel(x,1), gel(x,2), &a); /* = floor(x) */
5113 0 : q1 = gen_0; q0 = gen_1;
5114 0 : x = mkfrac(a, gel(x,2)); /* = frac(x); now 0<= x < 1 */
5115 : for(;;)
5116 : {
5117 0 : x = ginv(x); /* > 1 */
5118 0 : a = typ(x)==t_INT? x: divii(gel(x,1), gel(x,2));
5119 0 : if (cmpii(a,k) > 0)
5120 : { /* next partial quotient will overflow limits */
5121 : GEN n, d;
5122 0 : a = divii(subii(k, q1), q0);
5123 0 : p = addii(mulii(a,p0), p1); p1=p0; p0=p;
5124 0 : q = addii(mulii(a,q0), q1); q1=q0; q0=q;
5125 : /* compare |y-p0/q0|, |y-p1/q1| */
5126 0 : n = gel(y,1);
5127 0 : d = gel(y,2);
5128 0 : if (abscmpii(mulii(q1, subii(mulii(q0,n), mulii(d,p0))),
5129 : mulii(q0, subii(mulii(q1,n), mulii(d,p1)))) < 0)
5130 0 : { p1 = p0; q1 = q0; }
5131 0 : break;
5132 : }
5133 0 : p = addii(mulii(a,p0), p1); p1=p0; p0=p;
5134 0 : q = addii(mulii(a,q0), q1); q1=q0; q0=q;
5135 :
5136 0 : if (cmpii(q0,k) > 0) break;
5137 0 : x = gsub(x,a); /* 0 <= x < 1 */
5138 0 : if (typ(x) == t_INT) { p1 = p0; q1 = q0; break; } /* x = 0 */
5139 :
5140 : }
5141 0 : return gerepileupto(av, gdiv(p1,q1));
5142 : }
5143 : /* k > 0 t_INT, x != 0 a t_REAL, returns the convergent a/b
5144 : * of the continued fraction of x with b <= k maximal */
5145 : static GEN
5146 355664 : bestappr_real(GEN x, GEN k)
5147 : {
5148 355664 : pari_sp av = avma;
5149 355664 : GEN kr, p0, p1, p, q0, q1, q, a, y = x;
5150 :
5151 355664 : p1 = gen_1; a = p0 = floorr(x);
5152 355664 : q1 = gen_0; q0 = gen_1;
5153 355664 : x = subri(x,a); /* 0 <= x < 1 */
5154 355664 : if (!signe(x)) { cgiv(x); return a; }
5155 344836 : kr = itor(k, realprec(x));
5156 : for(;;)
5157 530109 : {
5158 : long d;
5159 874945 : x = invr(x); /* > 1 */
5160 874945 : if (cmprr(x,kr) > 0)
5161 : { /* next partial quotient will overflow limits */
5162 339785 : a = divii(subii(k, q1), q0);
5163 339785 : p = addii(mulii(a,p0), p1); p1=p0; p0=p;
5164 339785 : q = addii(mulii(a,q0), q1); q1=q0; q0=q;
5165 : /* compare |y-p0/q0|, |y-p1/q1| */
5166 339785 : if (abscmprr(mulir(q1, subri(mulir(q0,y), p0)),
5167 : mulir(q0, subri(mulir(q1,y), p1))) < 0)
5168 8309 : { p1 = p0; q1 = q0; }
5169 339785 : break;
5170 : }
5171 535160 : d = nbits2prec(expo(x) + 1);
5172 535160 : if (d > lg(x)) { p1 = p0; q1 = q0; break; } /* original x was ~ 0 */
5173 :
5174 534981 : a = truncr(x); /* truncr(x) will NOT raise e_PREC */
5175 534981 : p = addii(mulii(a,p0), p1); p1=p0; p0=p;
5176 534981 : q = addii(mulii(a,q0), q1); q1=q0; q0=q;
5177 :
5178 534981 : if (cmpii(q0,k) > 0) break;
5179 530913 : x = subri(x,a); /* 0 <= x < 1 */
5180 530913 : if (!signe(x)) { p1 = p0; q1 = q0; break; }
5181 : }
5182 344836 : if (signe(q1) < 0) { togglesign_safe(&p1); togglesign_safe(&q1); }
5183 344836 : return gerepilecopy(av, equali1(q1)? p1: mkfrac(p1,q1));
5184 : }
5185 :
5186 : /* k t_INT or NULL */
5187 : static GEN
5188 593545 : bestappr_Q(GEN x, GEN k)
5189 : {
5190 593545 : long lx, tx = typ(x), i;
5191 : GEN a, y;
5192 :
5193 593545 : switch(tx)
5194 : {
5195 77 : case t_INT: return icopy(x);
5196 7 : case t_FRAC: return k? bestappr_frac(x, k): gcopy(x);
5197 433863 : case t_REAL:
5198 433863 : if (!signe(x)) return gen_0;
5199 : /* i <= e iff nbits2lg(e+1) > lg(x) iff floorr(x) fails */
5200 355664 : i = bit_prec(x); if (i <= expo(x)) return NULL;
5201 355664 : return bestappr_real(x, k? k: int2n(i));
5202 :
5203 28 : case t_INTMOD: {
5204 28 : pari_sp av = avma;
5205 28 : a = mod_to_frac(gel(x,2), gel(x,1), k); if (!a) return NULL;
5206 21 : return gerepilecopy(av, a);
5207 : }
5208 14 : case t_PADIC: {
5209 14 : pari_sp av = avma;
5210 14 : long v = valp(x);
5211 14 : a = mod_to_frac(gel(x,4), gel(x,3), k); if (!a) return NULL;
5212 7 : if (v) a = gmul(a, powis(gel(x,2), v));
5213 7 : return gerepilecopy(av, a);
5214 : }
5215 :
5216 196 : case t_COMPLEX: {
5217 196 : pari_sp av = avma;
5218 196 : y = cgetg(3, t_COMPLEX);
5219 196 : gel(y,2) = bestappr(gel(x,2), k);
5220 196 : gel(y,1) = bestappr(gel(x,1), k);
5221 196 : if (gequal0(gel(y,2))) return gerepileupto(av, gel(y,1));
5222 0 : return y;
5223 : }
5224 0 : case t_SER:
5225 0 : if (ser_isexactzero(x)) return gcopy(x);
5226 : /* fall through */
5227 : case t_POLMOD: case t_POL: case t_RFRAC:
5228 : case t_VEC: case t_COL: case t_MAT:
5229 159360 : y = cgetg_copy(x, &lx);
5230 159360 : if (lontyp[tx] == 1) i = 1; else { y[1] = x[1]; i = 2; }
5231 738688 : for (; i<lx; i++)
5232 : {
5233 579328 : a = bestappr_Q(gel(x,i),k); if (!a) return NULL;
5234 579328 : gel(y,i) = a;
5235 : }
5236 159360 : if (tx == t_POL) return normalizepol(y);
5237 159346 : if (tx == t_SER) return normalize(y);
5238 159346 : return y;
5239 : }
5240 0 : pari_err_TYPE("bestappr_Q",x);
5241 : return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
5242 : }
5243 :
5244 : static GEN
5245 56 : bestappr_ser(GEN x, long B)
5246 : {
5247 56 : long dN, v = valp(x), lx = lg(x);
5248 : GEN t;
5249 56 : x = normalizepol(ser2pol_i(x, lx));
5250 56 : dN = lx-2;
5251 56 : if (v > 0)
5252 : {
5253 14 : x = RgX_shift_shallow(x, v);
5254 14 : dN += v;
5255 : }
5256 42 : else if (v < 0)
5257 : {
5258 7 : if (B >= 0) B = maxss(B+v, 0);
5259 : }
5260 56 : t = mod_to_rfrac(x, pol_xn(dN, varn(x)), B);
5261 56 : if (!t) return NULL;
5262 42 : if (v < 0)
5263 : {
5264 : GEN a, b;
5265 : long vx;
5266 7 : if (typ(t) == t_POL) return RgX_mulXn(t, v);
5267 : /* t_RFRAC */
5268 7 : vx = varn(x);
5269 7 : a = gel(t,1);
5270 7 : b = gel(t,2);
5271 7 : v -= RgX_valrem(b, &b);
5272 7 : if (typ(a) == t_POL && varn(a) == vx) v += RgX_valrem(a, &a);
5273 7 : if (v < 0) b = RgX_shift(b, -v);
5274 0 : else if (v > 0) {
5275 0 : if (typ(a) != t_POL || varn(a) != vx) a = scalarpol_shallow(a, vx);
5276 0 : a = RgX_shift(a, v);
5277 : }
5278 7 : t = mkrfraccopy(a, b);
5279 : }
5280 42 : return t;
5281 : }
5282 : static GEN bestappr_RgX(GEN x, long B);
5283 : /* x t_POLMOD, B >= 0 or < 0 [omit condition on B].
5284 : * Look for coprime t_POL a,b, deg(b)<=B, such that a/b = x */
5285 : static GEN
5286 77 : bestappr_RgX(GEN x, long B)
5287 : {
5288 77 : long i, lx, tx = typ(x);
5289 : GEN y, t;
5290 77 : switch(tx)
5291 : {
5292 0 : case t_INT: case t_REAL: case t_INTMOD: case t_FRAC:
5293 : case t_COMPLEX: case t_PADIC: case t_QUAD: case t_POL:
5294 0 : return gcopy(x);
5295 :
5296 14 : case t_RFRAC: {
5297 14 : pari_sp av = avma;
5298 14 : if (B < 0 || degpol(gel(x,2)) <= B) return gcopy(x);
5299 7 : x = rfrac_to_ser(x, 2*B+1);
5300 7 : t = bestappr_ser(x, B); if (!t) return NULL;
5301 0 : return gerepileupto(av, t);
5302 : }
5303 14 : case t_POLMOD: {
5304 14 : pari_sp av = avma;
5305 14 : t = mod_to_rfrac(gel(x,2), gel(x,1), B); if (!t) return NULL;
5306 14 : return gerepileupto(av, t);
5307 : }
5308 49 : case t_SER: {
5309 49 : pari_sp av = avma;
5310 49 : t = bestappr_ser(x, B); if (!t) return NULL;
5311 42 : return gerepileupto(av, t);
5312 : }
5313 :
5314 0 : case t_VEC: case t_COL: case t_MAT:
5315 0 : y = cgetg_copy(x, &lx);
5316 0 : if (lontyp[tx] == 1) i = 1; else { y[1] = x[1]; i = 2; }
5317 0 : for (; i<lx; i++)
5318 : {
5319 0 : t = bestappr_RgX(gel(x,i),B); if (!t) return NULL;
5320 0 : gel(y,i) = t;
5321 : }
5322 0 : return y;
5323 : }
5324 0 : pari_err_TYPE("bestappr_RgX",x);
5325 : return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
5326 : }
5327 :
5328 : /* allow k = NULL: maximal accuracy */
5329 : GEN
5330 14217 : bestappr(GEN x, GEN k)
5331 : {
5332 14217 : pari_sp av = avma;
5333 14217 : if (k) { /* replace by floor(k) */
5334 13944 : switch(typ(k))
5335 : {
5336 1785 : case t_INT:
5337 1785 : break;
5338 12159 : case t_REAL: case t_FRAC:
5339 12159 : k = floor_safe(k); /* left on stack for efficiency */
5340 12159 : if (!signe(k)) k = gen_1;
5341 12159 : break;
5342 0 : default:
5343 0 : pari_err_TYPE("bestappr [bound type]", k);
5344 0 : break;
5345 : }
5346 273 : }
5347 14217 : x = bestappr_Q(x, k);
5348 14217 : if (!x) { set_avma(av); return cgetg(1,t_VEC); }
5349 14203 : return x;
5350 : }
5351 : GEN
5352 77 : bestapprPade(GEN x, long B)
5353 : {
5354 77 : pari_sp av = avma;
5355 77 : GEN t = bestappr_RgX(x, B);
5356 77 : if (!t) { set_avma(av); return cgetg(1,t_VEC); }
5357 63 : return t;
5358 : }
5359 :
5360 : /***********************************************************************/
5361 : /** **/
5362 : /** FUNDAMENTAL UNIT AND REGULATOR (QUADRATIC FIELDS) **/
5363 : /** **/
5364 : /***********************************************************************/
5365 :
5366 : static GEN
5367 14 : get_quad(GEN f, GEN pol, long r)
5368 : {
5369 14 : GEN p1 = gcoeff(f,1,2), q1 = gcoeff(f,2,2);
5370 14 : return mkquad(pol, r? subii(p1,q1): p1, q1);
5371 : }
5372 :
5373 : /* replace f by f * [a,1; 1,0] */
5374 : static void
5375 14 : update_f(GEN f, GEN a)
5376 : {
5377 : GEN p1;
5378 14 : p1 = gcoeff(f,1,1);
5379 14 : gcoeff(f,1,1) = addii(mulii(a,p1), gcoeff(f,1,2));
5380 14 : gcoeff(f,1,2) = p1;
5381 :
5382 14 : p1 = gcoeff(f,2,1);
5383 14 : gcoeff(f,2,1) = addii(mulii(a,p1), gcoeff(f,2,2));
5384 14 : gcoeff(f,2,2) = p1;
5385 14 : }
5386 :
5387 : GEN
5388 7 : quadunit(GEN x)
5389 : {
5390 7 : pari_sp av = avma, av2;
5391 : GEN pol, y, a, u, v, sqd, f;
5392 : long r;
5393 :
5394 7 : check_quaddisc_real(x, &r, "quadunit");
5395 7 : pol = quadpoly(x);
5396 7 : sqd = sqrti(x); av2 = avma;
5397 7 : a = shifti(addui(r,sqd),-1);
5398 7 : f = mkmat2(mkcol2(a, gen_1), mkcol2(gen_1, gen_0)); /* [a,0; 1,0] */
5399 7 : u = stoi(r); v = gen_2;
5400 : for(;;)
5401 7 : {
5402 : GEN u1, v1;
5403 14 : u1 = subii(mulii(a,v),u);
5404 14 : v1 = divii(subii(x,sqri(u1)),v);
5405 14 : if ( equalii(v,v1) ) {
5406 7 : y = get_quad(f,pol,r);
5407 7 : update_f(f,a);
5408 7 : y = gdiv(get_quad(f,pol,r), conj_i(y));
5409 7 : break;
5410 : }
5411 7 : a = divii(addii(sqd,u1), v1);
5412 7 : if ( equalii(u,u1) ) {
5413 0 : y = get_quad(f,pol,r);
5414 0 : y = gdiv(y, conj_i(y));
5415 0 : break;
5416 : }
5417 7 : update_f(f,a);
5418 7 : u = u1; v = v1;
5419 7 : if (gc_needed(av2,2))
5420 : {
5421 0 : if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"quadunit");
5422 0 : gerepileall(av2,4, &a,&f,&u,&v);
5423 : }
5424 : }
5425 7 : if (signe(gel(y,3)) < 0) y = gneg(y);
5426 7 : return gerepileupto(av, y);
5427 : }
5428 :
5429 : GEN
5430 7 : quadunit0(GEN x, long v)
5431 : {
5432 7 : GEN y = quadunit(x);
5433 7 : if (v==-1) v = fetch_user_var("w");
5434 7 : setvarn(gel(y,1), v);
5435 7 : return y;
5436 : }
5437 :
5438 : GEN
5439 21 : quadregulator(GEN x, long prec)
5440 : {
5441 21 : pari_sp av = avma, av2;
5442 : GEN R, rsqd, u, v, sqd;
5443 : long r, Rexpo;
5444 :
5445 21 : check_quaddisc_real(x, &r, "quadregulator");
5446 21 : sqd = sqrti(x);
5447 21 : rsqd = gsqrt(x,prec);
5448 21 : Rexpo = 0; R = real2n(1, prec); /* = 2 */
5449 21 : av2 = avma;
5450 21 : u = stoi(r); v = gen_2;
5451 : for(;;)
5452 49 : {
5453 70 : GEN u1 = subii(mulii(divii(addii(u,sqd),v), v), u);
5454 70 : GEN v1 = divii(subii(x,sqri(u1)),v);
5455 70 : if (equalii(v,v1))
5456 : {
5457 7 : R = sqrr(R); shiftr_inplace(R, -1);
5458 7 : R = mulrr(R, divri(addir(u1,rsqd),v));
5459 7 : break;
5460 : }
5461 63 : if (equalii(u,u1))
5462 : {
5463 14 : R = sqrr(R); shiftr_inplace(R, -1);
5464 14 : break;
5465 : }
5466 49 : R = mulrr(R, divri(addir(u1,rsqd),v));
5467 49 : Rexpo += expo(R); setexpo(R,0);
5468 49 : u = u1; v = v1;
5469 49 : if (Rexpo & ~EXPOBITS) pari_err_OVERFLOW("quadregulator [exponent]");
5470 49 : if (gc_needed(av2,2))
5471 : {
5472 0 : if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"quadregulator");
5473 0 : gerepileall(av2,3, &R,&u,&v);
5474 : }
5475 : }
5476 21 : R = logr_abs(divri(R,v));
5477 21 : if (Rexpo)
5478 : {
5479 21 : GEN t = mulsr(Rexpo, mplog2(prec));
5480 21 : shiftr_inplace(t, 1);
5481 21 : R = addrr(R,t);
5482 : }
5483 21 : return gerepileuptoleaf(av, R);
5484 : }
5485 :
5486 : /*************************************************************************/
5487 : /** **/
5488 : /** CLASS NUMBER **/
5489 : /** **/
5490 : /*************************************************************************/
5491 :
5492 : int
5493 13010003 : qfb_equal1(GEN f) { return equali1(gel(f,1)); }
5494 :
5495 18412202 : static GEN qfi_pow(void *E, GEN f, GEN n)
5496 18412202 : { return E? nupow(f,n,(GEN)E): powgi(f,n); }
5497 23140615 : static GEN qfi_comp(void *E, GEN f, GEN g)
5498 23140615 : { return E? nucomp(f,g,(GEN)E): qficomp(f,g); }
5499 : static const struct bb_group qfi_group={ qfi_comp,qfi_pow,NULL,hash_GEN,
5500 : gidentical,qfb_equal1,NULL};
5501 :
5502 : GEN
5503 2955787 : qfi_order(GEN q, GEN o)
5504 2955787 : { return gen_order(q, o, NULL, &qfi_group); }
5505 :
5506 : GEN
5507 0 : qfi_log(GEN a, GEN g, GEN o)
5508 0 : { return gen_PH_log(a, g, o, NULL, &qfi_group); }
5509 :
5510 : GEN
5511 629594 : qfi_Shanks(GEN a, GEN g, long n)
5512 : {
5513 629594 : pari_sp av = avma;
5514 : GEN T, X;
5515 : long rt_n, c;
5516 :
5517 629594 : a = redimag(a);
5518 629594 : g = redimag(g);
5519 :
5520 629594 : rt_n = sqrt((double)n);
5521 629594 : c = n / rt_n;
5522 629594 : c = (c * rt_n < n + 1) ? c + 1 : c;
5523 :
5524 629594 : T = gen_Shanks_init(g, rt_n, NULL, &qfi_group);
5525 629594 : X = gen_Shanks(T, a, c, NULL, &qfi_group);
5526 :
5527 629594 : if (!X) { set_avma(av); return X; }
5528 334551 : return gerepileuptoint(av, X);
5529 : }
5530 :
5531 : GEN
5532 140 : qfbclassno0(GEN x,long flag)
5533 : {
5534 140 : switch(flag)
5535 : {
5536 126 : case 0: return map_proto_G(classno,x);
5537 14 : case 1: return map_proto_G(classno2,x);
5538 0 : default: pari_err_FLAG("qfbclassno");
5539 : }
5540 : return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
5541 : }
5542 :
5543 : /* f^h = 1, return order(f). Set *pfao to its factorization */
5544 : static GEN
5545 2791961 : find_order(void *E, GEN f, GEN h, GEN *pfao)
5546 : {
5547 2791961 : GEN v = gen_factored_order(f, h, E, &qfi_group);
5548 2791961 : *pfao = gel(v,2); return gel(v,1);
5549 : }
5550 :
5551 : static int
5552 6747 : ok_q(GEN q, GEN h, GEN d2, long r2)
5553 : {
5554 6747 : if (d2)
5555 : {
5556 7 : if (r2 <= 2 && !mpodd(q)) return 0;
5557 7 : return is_pm1(Z_ppo(q,d2));
5558 : }
5559 : else
5560 : {
5561 6740 : if (r2 <= 1 && !mpodd(q)) return 0;
5562 6740 : return is_pm1(Z_ppo(q,h));
5563 : }
5564 : }
5565 :
5566 : /* a,b given by their factorizations. Return factorization of lcm(a,b).
5567 : * Set A,B such that A*B = lcm(a, b), (A,B)=1, A|a, B|b */
5568 : static GEN
5569 364080 : split_lcm(GEN a, GEN Fa, GEN b, GEN Fb, GEN *pA, GEN *pB)
5570 : {
5571 364080 : GEN P = ZC_union_shallow(gel(Fa,1), gel(Fb,1));
5572 364080 : GEN A = gen_1, B = gen_1;
5573 364080 : long i, l = lg(P);
5574 364080 : GEN E = cgetg(l, t_COL);
5575 1076794 : for (i=1; i<l; i++)
5576 : {
5577 712714 : GEN p = gel(P,i);
5578 712714 : long va = Z_pval(a,p);
5579 712714 : long vb = Z_pval(b,p);
5580 712714 : if (va < vb)
5581 : {
5582 366221 : B = mulii(B,powiu(p,vb));
5583 366221 : gel(E,i) = utoi(vb);
5584 : }
5585 : else
5586 : {
5587 346493 : A = mulii(A,powiu(p,va));
5588 346493 : gel(E,i) = utoi(va);
5589 : }
5590 : }
5591 364080 : *pA = A;
5592 364080 : *pB = B; return mkmat2(P,E);
5593 : }
5594 :
5595 : /* g1 has order d1, f has order o, replace g1 by an element of order lcm(d1,o)*/
5596 : static void
5597 364080 : update_g1(GEN *pg1, GEN *pd1, GEN *pfad1, GEN f, GEN o, GEN fao)
5598 : {
5599 364080 : GEN A,B, g1 = *pg1, d1 = *pd1;
5600 364080 : *pfad1 = split_lcm(d1,*pfad1, o,fao, &A,&B);
5601 364080 : *pg1 = gmul(powgi(g1, diviiexact(d1,A)), powgi(f, diviiexact(o,B)));
5602 364080 : *pd1 = mulii(A,B); /* g1 has order d1 <- lcm(d1,o) */
5603 364080 : }
5604 :
5605 : /* Write x = Df^2, where D = fundamental discriminant,
5606 : * P^E = factorisation of conductor f, with E[i] >= 0 */
5607 : static void
5608 2071457 : corediscfact(GEN x, long xmod4, GEN *ptD, GEN *ptP, GEN *ptE)
5609 : {
5610 2071457 : long s = signe(x), l, i;
5611 2071457 : GEN fa = absZ_factor(x);
5612 2071457 : GEN d, P = gel(fa,1), E = gtovecsmall(gel(fa,2));
5613 :
5614 2071457 : l = lg(P); d = gen_1;
5615 5392043 : for (i=1; i<l; i++)
5616 : {
5617 3320586 : if (E[i] & 1) d = mulii(d, gel(P,i));
5618 3320586 : E[i] >>= 1;
5619 : }
5620 2071457 : if (!xmod4 && mod4(d) != ((s < 0)? 3: 1)) { d = shifti(d,2); E[1]--; }
5621 2071457 : *ptD = (s < 0)? negi(d): d;
5622 2071457 : *ptP = P;
5623 2071457 : *ptE = E;
5624 2071457 : }
5625 :
5626 : static GEN
5627 2063647 : conductor_part(GEN x, long xmod4, GEN *ptD, GEN *ptreg)
5628 : {
5629 2063647 : long l, i, s = signe(x);
5630 : GEN E, H, D, P, reg;
5631 :
5632 2063647 : corediscfact(x, xmod4, &D, &P, &E);
5633 2063647 : H = gen_1; l = lg(P);
5634 : /* f \prod_{p|f} [ 1 - (D/p) p^-1 ] = \prod_{p^e||f} p^(e-1) [ p - (D/p) ] */
5635 5358361 : for (i=1; i<l; i++)
5636 : {
5637 3294714 : long e = E[i];
5638 3294714 : if (e)
5639 : {
5640 7 : GEN p = gel(P,i);
5641 7 : H = mulii(H, subis(p, kronecker(D,p)));
5642 7 : if (e >= 2) H = mulii(H, powiu(p,e-1));
5643 : }
5644 : }
5645 :
5646 : /* divide by [ O_K^* : O^* ] */
5647 2063647 : if (s < 0)
5648 : {
5649 2063633 : reg = NULL;
5650 2063633 : switch(itou_or_0(D))
5651 : {
5652 0 : case 4: H = shifti(H,-1); break;
5653 0 : case 3: H = divis(H,3); break;
5654 : }
5655 2063633 : } else {
5656 14 : reg = quadregulator(D,DEFAULTPREC);
5657 14 : if (!equalii(x,D))
5658 0 : H = divii(H, roundr(divrr(quadregulator(x,DEFAULTPREC), reg)));
5659 : }
5660 2063647 : if (ptreg) *ptreg = reg;
5661 2063647 : *ptD = D; return H;
5662 : }
5663 :
5664 : static long
5665 2063626 : two_rank(GEN x)
5666 : {
5667 2063626 : GEN p = gel(absZ_factor(x),1);
5668 2063626 : long l = lg(p)-1;
5669 : #if 0 /* positive disc not needed */
5670 : if (signe(x) > 0)
5671 : {
5672 : long i;
5673 : for (i=1; i<=l; i++)
5674 : if (mod4(gel(p,i)) == 3) { l--; break; }
5675 : }
5676 : #endif
5677 2063626 : return l-1;
5678 : }
5679 :
5680 : static GEN
5681 39206715 : sqr_primeform(GEN x, ulong p) { return redimag(qfisqr(primeform_u(x, p))); }
5682 : /* return a set of forms hopefully generating Cl(K)^2; set L ~ L(chi_D,1) */
5683 : static GEN
5684 2063626 : get_forms(GEN D, GEN *pL)
5685 : {
5686 2063626 : const long MAXFORM = 20;
5687 2063626 : GEN L, sqrtD = gsqrt(absi_shallow(D),DEFAULTPREC);
5688 2063626 : GEN forms = vectrunc_init(MAXFORM+1);
5689 2063626 : long s, nforms = 0;
5690 : ulong p;
5691 : forprime_t S;
5692 2063626 : L = mulrr(divrr(sqrtD,mppi(DEFAULTPREC)), dbltor(1.005));/*overshoot by 0.5%*/
5693 2063626 : s = itos_or_0( truncr(shiftr(sqrtr(sqrtD), 1)) );
5694 2063626 : if (!s) pari_err_OVERFLOW("classno [discriminant too large]");
5695 2063626 : if (s < 10) s = 200;
5696 1911659 : else if (s < 20) s = 1000;
5697 1477 : else if (s < 5000) s = 5000;
5698 2063626 : u_forprime_init(&S, 2, s);
5699 343958104 : while ( (p = u_forprime_next(&S)) )
5700 : {
5701 341894478 : long d, k = kroiu(D,p);
5702 : pari_sp av2;
5703 341894478 : if (!k) continue;
5704 339652231 : if (k > 0)
5705 : {
5706 170366483 : if (++nforms < MAXFORM) vectrunc_append(forms, sqr_primeform(D,p));
5707 170366483 : d = p-1;
5708 : }
5709 : else
5710 169285748 : d = p+1;
5711 339652231 : av2 = avma; affrr(divru(mulur(p,L),d), L); set_avma(av2);
5712 : }
5713 2063626 : *pL = L; return forms;
5714 : }
5715 :
5716 : /* h ~ #G, return o = order of f, set fao = its factorization */
5717 : static GEN
5718 2063675 : Shanks_order(void *E, GEN f, GEN h, GEN *pfao)
5719 : {
5720 2063675 : long s = minss(itos(sqrti(h)), 10000);
5721 2063675 : GEN T = gen_Shanks_init(f, s, E, &qfi_group);
5722 2063675 : GEN v = gen_Shanks(T, ginv(f), ULONG_MAX, E, &qfi_group);
5723 2063675 : return find_order(E, f, addiu(v,1), pfao);
5724 : }
5725 :
5726 : /* if g = 1 in G/<f> ? */
5727 : static int
5728 518 : equal1(void *E, GEN T, ulong N, GEN g)
5729 518 : { return !!gen_Shanks(T, g, N, E, &qfi_group); }
5730 :
5731 : /* Order of 'a' in G/<f>, T = gen_Shanks_init(f,n), order(f) < n*N
5732 : * FIXME: should be gen_order, but equal1 has the wrong prototype */
5733 : static GEN
5734 112 : relative_order(void *E, GEN a, GEN o, ulong N, GEN T)
5735 : {
5736 112 : pari_sp av = avma;
5737 : long i, l;
5738 : GEN m;
5739 :
5740 112 : m = get_arith_ZZM(o);
5741 112 : if (!m) pari_err_TYPE("gen_order [missing order]",a);
5742 112 : o = gel(m,1);
5743 112 : m = gel(m,2); l = lgcols(m);
5744 322 : for (i = l-1; i; i--)
5745 : {
5746 210 : GEN t, y, p = gcoeff(m,i,1);
5747 210 : long j, e = itos(gcoeff(m,i,2));
5748 210 : if (l == 2) {
5749 35 : t = gen_1;
5750 35 : y = a;
5751 : } else {
5752 175 : t = diviiexact(o, powiu(p,e));
5753 175 : y = powgi(a, t);
5754 : }
5755 210 : if (equal1(E, T,N,y)) o = t;
5756 : else {
5757 126 : for (j = 1; j < e; j++)
5758 : {
5759 28 : y = powgi(y, p);
5760 28 : if (equal1(E, T,N,y)) break;
5761 : }
5762 119 : if (j < e) {
5763 21 : if (j > 1) p = powiu(p, j);
5764 21 : o = mulii(t, p);
5765 : }
5766 : }
5767 : }
5768 112 : return gerepilecopy(av, o);
5769 : }
5770 :
5771 : /* h(x) for x<0 using Baby Step/Giant Step.
5772 : * Assumes G is not too far from being cyclic.
5773 : *
5774 : * Compute G^2 instead of G so as to kill most of the non-cyclicity */
5775 : GEN
5776 2066037 : classno(GEN x)
5777 : {
5778 2066037 : pari_sp av = avma;
5779 : long r2, k, s, i, l;
5780 : GEN forms, hin, Hf, D, g1, d1, d2, q, L, fad1, order_bound;
5781 : void *E;
5782 :
5783 2066037 : if (signe(x) >= 0) return classno2(x);
5784 :
5785 2066030 : check_quaddisc(x, &s, &k, "classno");
5786 2066030 : if (abscmpiu(x,12) <= 0) return gen_1;
5787 :
5788 2063626 : Hf = conductor_part(x, k, &D, NULL);
5789 2063626 : if (abscmpiu(D,12) <= 0) return gerepilecopy(av, Hf);
5790 2063626 : forms = get_forms(D, &L);
5791 2063626 : r2 = two_rank(D);
5792 2063626 : hin = roundr(shiftr(L, -r2)); /* rough approximation for #G, G = Cl(K)^2 */
5793 :
5794 2063626 : l = lg(forms);
5795 2063626 : order_bound = const_vec(l-1, NULL);
5796 2063626 : E = expi(D) > 60? (void*)sqrtnint(shifti(absi_shallow(D),-2),4): NULL;
5797 2063626 : g1 = gel(forms,1);
5798 2063626 : gel(order_bound,1) = d1 = Shanks_order(E, g1, hin, &fad1);
5799 2063626 : q = diviiround(hin, d1); /* approximate order of G/<g1> */
5800 2063626 : d2 = NULL; /* not computed yet */
5801 2063626 : if (is_pm1(q)) goto END;
5802 511850 : for (i=2; i < l; i++)
5803 : {
5804 505040 : GEN o, fao, a, F, fd, f = gel(forms,i);
5805 505040 : fd = powgi(f, d1); if (is_pm1(gel(fd,1))) continue;
5806 364080 : F = powgi(fd, q);
5807 364080 : a = gel(F,1);
5808 364080 : o = is_pm1(a)? find_order(E, fd, q, &fao): Shanks_order(E, fd, q, &fao);
5809 : /* f^(d1 q) = 1 */
5810 364080 : fao = merge_factor(fad1,fao, (void*)&cmpii, &cmp_nodata);
5811 364080 : o = find_order(E, f, fao, &fao);
5812 364080 : gel(order_bound,i) = o;
5813 : /* o = order of f, fao = factor(o) */
5814 364080 : update_g1(&g1,&d1,&fad1, f,o,fao);
5815 364080 : q = diviiround(hin, d1);
5816 364080 : if (is_pm1(q)) goto END;
5817 : }
5818 : /* very probably d1 = expo(Cl^2(K)), q ~ #Cl^2(K) / d1 */
5819 6810 : if (expi(q) > 3)
5820 : { /* q large: compute d2, 2nd elt divisor */
5821 70 : ulong N, n = 2*itou(sqrti(d1));
5822 70 : GEN D = d1, T = gen_Shanks_init(g1, n, E, &qfi_group);
5823 70 : d2 = gen_1;
5824 70 : N = itou( gceil(gdivgs(d1,n)) ); /* order(g1) <= n*N */
5825 287 : for (i = 1; i < l; i++)
5826 : {
5827 280 : GEN d, f = gel(forms,i), B = gel(order_bound,i);
5828 280 : if (!B) B = find_order(E, f, fad1, /*junk*/&d);
5829 280 : f = powgi(f,d2);
5830 280 : if (equal1(E, T,N,f)) continue;
5831 112 : B = gdiv(B,d2); if (typ(B) == t_FRAC) B = gel(B,1);
5832 : /* f^B = 1 */
5833 112 : d = relative_order(E, f, B, N,T);
5834 112 : d2= mulii(d,d2);
5835 112 : D = mulii(d1,d2);
5836 112 : q = diviiround(hin,D);
5837 112 : if (is_pm1(q)) { d1 = D; goto END; }
5838 : }
5839 : /* very probably, d2 is the 2nd elementary divisor */
5840 7 : d1 = D; /* product of first two elt divisors */
5841 : }
5842 : /* impose q | d2^oo (d1^oo if d2 not computed), and compatible with known
5843 : * 2-rank */
5844 6747 : if (!ok_q(q,d1,d2,r2))
5845 : {
5846 0 : GEN q0 = q;
5847 : long d;
5848 0 : if (cmpii(mulii(q,d1), hin) < 0)
5849 : { /* try q = q0+1,-1,+2,-2 */
5850 0 : d = 1;
5851 0 : do { q = addis(q0,d); d = d>0? -d: 1-d; } while(!ok_q(q,d1,d2,r2));
5852 : }
5853 : else
5854 : { /* q0-1,+1,-2,+2 */
5855 0 : d = -1;
5856 0 : do { q = addis(q0,d); d = d<0? -d: -1-d; } while(!ok_q(q,d1,d2,r2));
5857 : }
5858 : }
5859 6747 : d1 = mulii(d1,q);
5860 :
5861 2063626 : END:
5862 2063626 : return gerepileuptoint(av, shifti(mulii(d1,Hf), r2));
5863 : }
5864 :
5865 : GEN
5866 0 : quadclassno(GEN x)
5867 : {
5868 0 : pari_sp av = avma;
5869 : GEN Hf, D;
5870 : long s, r;
5871 0 : check_quaddisc(x, &s, &r, "quadclassno");
5872 0 : if (s < 0 && abscmpiu(x,12) <= 0) return gen_1;
5873 0 : Hf = conductor_part(x, r, &D, NULL);
5874 0 : return gerepileuptoint(av, mulii(Hf, gel(quadclassunit0(D,0,NULL,0),1)));
5875 : }
5876 :
5877 : /* use Euler products */
5878 : GEN
5879 21 : classno2(GEN x)
5880 : {
5881 21 : pari_sp av = avma;
5882 21 : const long prec = DEFAULTPREC;
5883 : long n, i, r, s;
5884 : GEN p1, p2, S, p4, p5, p7, Hf, Pi, reg, logd, d, dr, D, half;
5885 :
5886 21 : check_quaddisc(x, &s, &r, "classno2");
5887 21 : if (s < 0 && abscmpiu(x,12) <= 0) return gen_1;
5888 :
5889 21 : Hf = conductor_part(x, r, &D, ®);
5890 21 : if (s < 0 && abscmpiu(D,12) <= 0) return gerepilecopy(av, Hf); /* |D| < 12*/
5891 :
5892 21 : Pi = mppi(prec);
5893 21 : d = absi_shallow(D); dr = itor(d, prec);
5894 21 : logd = logr_abs(dr);
5895 21 : p1 = sqrtr(divrr(mulir(d,logd), gmul2n(Pi,1)));
5896 21 : if (s > 0)
5897 : {
5898 14 : GEN invlogd = invr(logd);
5899 14 : p2 = subsr(1, shiftr(mulrr(logr_abs(reg),invlogd),1));
5900 14 : if (cmprr(sqrr(p2), shiftr(invlogd,1)) >= 0) p1 = mulrr(p2,p1);
5901 : }
5902 21 : n = itos_or_0( mptrunc(p1) );
5903 21 : if (!n) pari_err_OVERFLOW("classno [discriminant too large]");
5904 :
5905 21 : p4 = divri(Pi,d);
5906 21 : p7 = invr(sqrtr_abs(Pi));
5907 21 : half = real2n(-1, prec);
5908 21 : if (s > 0)
5909 : { /* i = 1, shortcut */
5910 14 : p1 = sqrtr_abs(dr);
5911 14 : p5 = subsr(1, mulrr(p7,incgamc(half,p4,prec)));
5912 14 : S = addrr(mulrr(p1,p5), eint1(p4,prec));
5913 546 : for (i=2; i<=n; i++)
5914 : {
5915 532 : long k = kroiu(D,i); if (!k) continue;
5916 434 : p2 = mulir(sqru(i), p4);
5917 434 : p5 = subsr(1, mulrr(p7,incgamc(half,p2,prec)));
5918 434 : p5 = addrr(divru(mulrr(p1,p5),i), eint1(p2,prec));
5919 434 : S = (k>0)? addrr(S,p5): subrr(S,p5);
5920 : }
5921 14 : S = shiftr(divrr(S,reg),-1);
5922 : }
5923 : else
5924 : { /* i = 1, shortcut */
5925 7 : p1 = gdiv(sqrtr_abs(dr), Pi);
5926 7 : p5 = subsr(1, mulrr(p7,incgamc(half,p4,prec)));
5927 7 : S = addrr(p5, divrr(p1, mpexp(p4)));
5928 952 : for (i=2; i<=n; i++)
5929 : {
5930 945 : long k = kroiu(D,i); if (!k) continue;
5931 945 : p2 = mulir(sqru(i), p4);
5932 945 : p5 = subsr(1, mulrr(p7,incgamc(half,p2,prec)));
5933 945 : p5 = addrr(p5, divrr(p1, mulur(i, mpexp(p2))));
5934 945 : S = (k>0)? addrr(S,p5): subrr(S,p5);
5935 : }
5936 : }
5937 21 : return gerepileuptoint(av, mulii(Hf, roundr(S)));
5938 : }
5939 :
5940 : /* 1 + q + ... + q^v, v > 0 */
5941 : static GEN
5942 120 : geomsumu(ulong q, long v)
5943 : {
5944 120 : GEN u = utoipos(1+q);
5945 120 : for (; v > 1; v--) u = addui(1, mului(q, u));
5946 120 : return u;
5947 : }
5948 : static GEN
5949 120 : geomsum(GEN q, long v)
5950 : {
5951 : GEN u;
5952 120 : if (lgefint(q) == 3) return geomsumu(q[2], v);
5953 0 : u = addiu(q,1);
5954 0 : for (; v > 1; v--) u = addui(1, mulii(q, u));
5955 0 : return u;
5956 : }
5957 :
5958 : static GEN
5959 7810 : hclassno6_large(GEN x)
5960 : {
5961 : long i, l, s, xmod4;
5962 : GEN Q, H, D, P, E;
5963 :
5964 7810 : x = negi(x);
5965 7810 : check_quaddisc(x, &s, &xmod4, "hclassno");
5966 7810 : corediscfact(x, xmod4, &D, &P, &E);
5967 :
5968 7810 : Q = quadclassunit0(D, 0, NULL, 0);
5969 7810 : H = gel(Q,1); l = lg(P);
5970 :
5971 : /* H \prod_{p^e||f} (1 + (p^e-1)/(p-1))[ p - (D/p) ] */
5972 33682 : for (i=1; i<l; i++)
5973 : {
5974 25872 : long e = E[i], s;
5975 : GEN p, t;
5976 25872 : if (!e) continue;
5977 5003 : p = gel(P,i); s = kronecker(D,p);
5978 5003 : if (e == 1) t = addiu(p, 1-s);
5979 1000 : else if (s == 1) t = powiu(p,e);
5980 120 : else t = addui(1, mulii(subis(p, s), geomsum(p,e-1)));
5981 5003 : H = mulii(H,t);
5982 : }
5983 7810 : switch( itou_or_0(D) )
5984 : {
5985 0 : case 3: H = shifti(H,1);break;
5986 0 : case 4: H = muliu(H,3); break;
5987 7810 : default:H = muliu(H,6); break;
5988 : }
5989 7810 : return H;
5990 : }
5991 :
5992 : /* x > 0, x = 0,3 (mod 4). Return 6*hclassno(x), an integer */
5993 : GEN
5994 122374 : hclassno6(GEN x)
5995 : {
5996 122374 : ulong d = itou_or_0(x);
5997 122374 : if (!d || d > 500000) return hclassno6_large(x);
5998 114564 : return utoipos(hclassno6u(d));
5999 : }
6000 :
6001 : GEN
6002 46592 : hclassno(GEN x)
6003 : {
6004 : long a, s;
6005 46592 : if (typ(x) != t_INT) pari_err_TYPE("hclassno",x);
6006 46592 : s = signe(x);
6007 46592 : if (s < 0) return gen_0;
6008 46592 : if (!s) return gdivgs(gen_1, -12);
6009 46592 : a = mod4(x); if (a == 1 || a == 2) return gen_0;
6010 46592 : return gdivgs(hclassno6(x), 6);
6011 : }
6012 : /******************************************************************/
6013 : /* */
6014 : /* RAMANUJAN's TAU FUNCTION */
6015 : /* */
6016 : /******************************************************************/
6017 : /* 4|N > 0, not fundamental at 2; 6 * Hurwitz class number in level 2,
6018 : * equal to 6*(H(N)+2H(N/4)), H=qfbhclassno */
6019 : static GEN
6020 36750 : Hspec(GEN N)
6021 : {
6022 36750 : long v2 = Z_lvalrem(N, 2, &N), v2f = v2 >> 1;
6023 : GEN t;
6024 36750 : if (odd(v2)) { v2f--; N = shifti(N,3); }
6025 32557 : else if (mod4(N)!=3) { v2f--; N = shifti(N,2); }
6026 : /* N fundamental at 2, v2f = v2(f) s.t. N = f^2 D, D fundamental */
6027 36750 : t = addui(3, muliu(subiu(int2n(v2f+1), 3), 2 - kroiu(N,2)));
6028 36750 : return mulii(t, hclassno6(N));
6029 : }
6030 :
6031 : /* Ramanujan tau function for p prime */
6032 : static GEN
6033 14903 : tauprime(GEN p)
6034 : {
6035 14903 : pari_sp av = avma, av2;
6036 : GEN s, p2, p2_7, p_9, T;
6037 : ulong lim, t, tin;
6038 :
6039 14903 : if (absequaliu(p, 2)) return utoineg(24);
6040 : /* p > 2 */
6041 11396 : p2 = sqri(p);
6042 11396 : p2_7 = mului(7, p2);
6043 11396 : p_9 = mului(9, p);
6044 11396 : av2 = avma;
6045 11396 : lim = itou(sqrtint(p));
6046 11396 : tin = mod4(p) == 3? 1: 0;
6047 11396 : s = gen_0;
6048 87178 : for (t = 1; t <= lim; ++t)
6049 : {
6050 75782 : GEN h, a, t2 = sqru(t), D = shifti(subii(p, t2), 2); /* 4(p-t^2) */
6051 : /* t mod 2 != tin <=> D not fundamental at 2 */
6052 75782 : h = ((t&1UL) == tin)? hclassno6(D): Hspec(D);
6053 75782 : a = mulii(powiu(t2,3), addii(p2_7, mulii(t2, subii(shifti(t2,2), p_9))));
6054 75782 : s = addii(s, mulii(a,h));
6055 75782 : if (!(t & 255)) s = gerepileuptoint(av2, s);
6056 : }
6057 : /* 28p^3 - 28p^2 - 90p - 35 */
6058 11396 : T = subii(shifti(mulii(p2_7, subiu(p,1)), 2), addiu(mului(90,p), 35));
6059 11396 : s = shifti(diviuexact(s, 3), 6);
6060 11396 : return gerepileuptoint(av, subii(mulii(mulii(p2,p),T), addui(1, s)));
6061 : }
6062 :
6063 : /* Ramanujan tau function, return 0 for <= 0 */
6064 : GEN
6065 7035 : ramanujantau(GEN n)
6066 : {
6067 7035 : pari_sp ltop = avma;
6068 : GEN T, F, P, E;
6069 : long j, lP;
6070 :
6071 7035 : if (!(F = check_arith_all(n,"ramanujantau")))
6072 : {
6073 7014 : if (signe(n) <= 0) return gen_0;
6074 7007 : F = Z_factor(n);
6075 : }
6076 : else
6077 : {
6078 21 : P = gel(F,1);
6079 21 : if (lg(P) == 1 || signe(gel(P,1)) <= 0) return gen_0;
6080 : }
6081 :
6082 7014 : P = gel(F,1);
6083 7014 : E = gel(F,2); lP = lg(P);
6084 7014 : T = gen_1;
6085 21917 : for (j = 1; j < lP; j++)
6086 : {
6087 14903 : GEN p = gel(P,j), tp = tauprime(p), t1 = tp, t0 = gen_1;
6088 14903 : long k, e = itou(gel(E,j));
6089 20160 : for (k = 1; k < e; k++)
6090 : {
6091 5257 : GEN t2 = subii(mulii(tp, t1), mulii(powiu(p, 11), t0));
6092 5257 : t0 = t1; t1 = t2;
6093 : }
6094 14903 : T = mulii(T, t1);
6095 : }
6096 7014 : return gerepileuptoint(ltop, T);
6097 : }
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