Code coverage tests

This page documents the degree to which the PARI/GP source code is tested by our public test suite, distributed with the source distribution in directory src/test/. This is measured by the gcov utility; we then process gcov output using the lcov frond-end.

We test a few variants depending on Configure flags on the pari.math.u-bordeaux.fr machine (x86_64 architecture), and agregate them in the final report:

The target is 90% coverage for all mathematical modules (given that branches depending on DEBUGLEVEL or DEBUGMEM are not covered). This script is run to produce the results below.

LCOV - code coverage report
Current view: top level - basemath - arith1.c (source / functions) Hit Total Coverage
Test: PARI/GP v2.12.0 lcov report (development 22872-edcf83abb) Lines: 2941 3181 92.5 %
Date: 2018-07-20 05:36:03 Functions: 273 291 93.8 %
Legend: Lines: hit not hit

          Line data    Source code
       1             : /* Copyright (C) 2000  The PARI group.
       2             : 
       3             : This file is part of the PARI/GP package.
       4             : 
       5             : PARI/GP is free software; you can redistribute it and/or modify it under the
       6             : terms of the GNU General Public License as published by the Free Software
       7             : Foundation. It is distributed in the hope that it will be useful, but WITHOUT
       8             : ANY WARRANTY WHATSOEVER.
       9             : 
      10             : Check the License for details. You should have received a copy of it, along
      11             : with the package; see the file 'COPYING'. If not, write to the Free Software
      12             : Foundation, Inc., 51 Franklin Street, Fifth Floor, Boston, MA 02110-1301 USA. */
      13             : 
      14             : /*********************************************************************/
      15             : /**                                                                 **/
      16             : /**                     ARITHMETIC FUNCTIONS                        **/
      17             : /**                         (first part)                            **/
      18             : /**                                                                 **/
      19             : /*********************************************************************/
      20             : #include "pari.h"
      21             : #include "paripriv.h"
      22             : 
      23             : /******************************************************************/
      24             : /*                                                                */
      25             : /*                 GENERATOR of (Z/mZ)*                           */
      26             : /*                                                                */
      27             : /******************************************************************/
      28             : static GEN
      29          43 : remove2(GEN q) { long v = vali(q); return v? shifti(q, -v): q; }
      30             : static ulong
      31       42623 : u_remove2(ulong q) { return q >> vals(q); }
      32             : GEN
      33          43 : odd_prime_divisors(GEN q) { return gel(Z_factor(remove2(q)), 1); }
      34             : static GEN
      35       42623 : u_odd_prime_divisors(ulong q) { return gel(factoru(u_remove2(q)), 1); }
      36             : /* p odd prime, q=(p-1)/2; L0 list of (some) divisors of q = (p-1)/2 or NULL
      37             :  * (all prime divisors of q); return the q/l, l in L0 */
      38             : static GEN
      39         244 : is_gener_expo(GEN p, GEN L0)
      40             : {
      41         244 :   GEN L, q = shifti(p,-1);
      42             :   long i, l;
      43         244 :   if (L0) {
      44         224 :     l = lg(L0);
      45         224 :     L = cgetg(l, t_VEC);
      46             :   } else {
      47          20 :     L0 = L = odd_prime_divisors(q);
      48          20 :     l = lg(L);
      49             :   }
      50         244 :   for (i=1; i<l; i++) gel(L,i) = diviiexact(q, gel(L0,i));
      51         244 :   return L;
      52             : }
      53             : static GEN
      54       41970 : u_is_gener_expo(ulong p, GEN L0)
      55             : {
      56       41970 :   const ulong q = p >> 1;
      57             :   long i, l;
      58             :   GEN L;
      59       41970 :   if (L0) {
      60        3498 :     l = lg(L0);
      61        3498 :     L = cgetg(l, t_VECSMALL);
      62             :   } else {
      63       38472 :     L0 = L = u_odd_prime_divisors(q);
      64       38475 :     l = lg(L);
      65             :   }
      66       41974 :   for (i=1; i<l; i++) L[i] = q / uel(L0,i);
      67       41974 :   return L;
      68             : }
      69             : 
      70             : int
      71      104998 : is_gener_Fl(ulong x, ulong p, ulong p_1, GEN L)
      72             : {
      73             :   long i;
      74      104998 :   if (krouu(x, p) >= 0) return 0;
      75      119504 :   for (i=lg(L)-1; i; i--)
      76             :   {
      77       74902 :     ulong t = Fl_powu(x, uel(L,i), p);
      78       74918 :     if (t == p_1 || t == 1) return 0;
      79             :   }
      80       44602 :   return 1;
      81             : }
      82             : /* assume p prime */
      83             : ulong
      84      136567 : pgener_Fl_local(ulong p, GEN L0)
      85             : {
      86      136567 :   const pari_sp av = avma;
      87      136567 :   const ulong p_1 = p-1;
      88             :   long x;
      89             :   GEN L;
      90      136567 :   if (p <= 19) switch(p)
      91             :   { /* quick trivial cases */
      92          21 :     case 2:  return 1;
      93             :     case 7:
      94       17126 :     case 17: return 3;
      95       77479 :     default: return 2;
      96             :   }
      97       41941 :   L = u_is_gener_expo(p,L0);
      98       41944 :   for (x=2;;x++) { if (is_gener_Fl(x,p,p_1,L)) break; }
      99       41960 :   avma = av; return x;
     100             : }
     101             : ulong
     102      112495 : pgener_Fl(ulong p) { return pgener_Fl_local(p, NULL); }
     103             : 
     104             : /* L[i] = set of (p-1)/2l, l ODD prime divisor of p-1 (l=2 can be included,
     105             :  * but wasteful) */
     106             : int
     107         524 : is_gener_Fp(GEN x, GEN p, GEN p_1, GEN L)
     108             : {
     109         524 :   long i, t = lgefint(x)==3? kroui(x[2], p): kronecker(x, p);
     110         524 :   if (t >= 0) return 0;
     111         477 :   for (i = lg(L)-1; i; i--)
     112             :   {
     113         182 :     GEN t = Fp_pow(x, gel(L,i), p);
     114         182 :     if (equalii(t, p_1) || equali1(t)) return 0;
     115             :   }
     116         295 :   return 1;
     117             : }
     118             : 
     119             : /* assume p prime, return a generator of all L[i]-Sylows in F_p^*. */
     120             : GEN
     121       24423 : pgener_Fp_local(GEN p, GEN L0)
     122             : {
     123       24423 :   pari_sp av0 = avma;
     124             :   GEN x, p_1, L;
     125       24423 :   if (lgefint(p) == 3)
     126             :   {
     127             :     ulong z;
     128       24184 :     if (p[2] == 2) return gen_1;
     129       18185 :     if (L0) L0 = ZV_to_nv(L0);
     130       18185 :     z = pgener_Fl_local(uel(p,2), L0);
     131       18185 :     avma = av0; return utoipos(z);
     132             :   }
     133         239 :   p_1 = subiu(p,1); L = is_gener_expo(p, L0);
     134         239 :   x = utoipos(2);
     135         452 :   for (;; x[2]++) { if (is_gener_Fp(x, p, p_1, L)) break; }
     136         239 :   avma = av0; return utoipos(uel(x,2));
     137             : }
     138             : 
     139             : GEN
     140       23590 : pgener_Fp(GEN p) { return pgener_Fp_local(p, NULL); }
     141             : 
     142             : ulong
     143       69204 : pgener_Zl(ulong p)
     144             : {
     145       69204 :   if (p == 2) pari_err_DOMAIN("pgener_Zl","p","=",gen_2,gen_2);
     146             :   /* only p < 2^32 such that znprimroot(p) != znprimroot(p^2) */
     147       69204 :   if (p == 40487) return 10;
     148             : #ifndef LONG_IS_64BIT
     149        9882 :   return pgener_Fl(p);
     150             : #else
     151       59322 :   if (p < (1UL<<32)) return pgener_Fl(p);
     152             :   else
     153             :   {
     154          30 :     const pari_sp av = avma;
     155          30 :     const ulong p_1 = p-1;
     156             :     long x ;
     157          30 :     GEN p2 = sqru(p), L = u_is_gener_expo(p, NULL);
     158         102 :     for (x=2;;x++)
     159         174 :       if (is_gener_Fl(x,p,p_1,L) && !is_pm1(Fp_powu(utoipos(x),p_1,p2))) break;
     160          30 :     avma = av; return x;
     161             :   }
     162             : #endif
     163             : }
     164             : 
     165             : /* p prime. Return a primitive root modulo p^e, e > 1 */
     166             : GEN
     167       69209 : pgener_Zp(GEN p)
     168             : {
     169       69209 :   if (lgefint(p) == 3) return utoipos(pgener_Zl(p[2]));
     170             :   else
     171             :   {
     172           5 :     const pari_sp av = avma;
     173           5 :     GEN p_1 = subiu(p,1), p2 = sqri(p), L = is_gener_expo(p,NULL);
     174           5 :     GEN x = utoipos(2);
     175          12 :     for (;; x[2]++)
     176          29 :       if (is_gener_Fp(x,p,p_1,L) && !equali1(Fp_pow(x,p_1,p2))) break;
     177           5 :     avma = av; return utoipos(uel(x,2));
     178             :   }
     179             : }
     180             : 
     181             : static GEN
     182         231 : gener_Zp(GEN q, GEN F)
     183             : {
     184         231 :   GEN p = NULL;
     185         231 :   long e = 0;
     186         231 :   if (F)
     187             :   {
     188          14 :     GEN P = gel(F,1), E = gel(F,2);
     189          14 :     long i, l = lg(P);
     190          42 :     for (i = 1; i < l; i++)
     191             :     {
     192          28 :       p = gel(P,i);
     193          28 :       if (absequaliu(p, 2)) continue;
     194          14 :       if (i < l-1) pari_err_DOMAIN("znprimroot", "argument","=",F,F);
     195          14 :       e = itos(gel(E,i));
     196             :     }
     197          14 :     if (!p) pari_err_DOMAIN("znprimroot", "argument","=",F,F);
     198             :   }
     199             :   else
     200         217 :     e = Z_isanypower(q, &p);
     201         231 :   return e > 1? pgener_Zp(p): pgener_Fp(q);
     202             : }
     203             : 
     204             : GEN
     205         301 : znprimroot(GEN N)
     206             : {
     207         301 :   pari_sp av = avma;
     208             :   GEN x, n, F;
     209             : 
     210         301 :   if ((F = check_arith_non0(N,"znprimroot")))
     211             :   {
     212          14 :     F = clean_Z_factor(F);
     213          14 :     N = typ(N) == t_VEC? gel(N,1): factorback(F);
     214             :   }
     215         294 :   N = absi_shallow(N);
     216         294 :   if (abscmpiu(N, 4) <= 0) { avma = av; return mkintmodu(N[2]-1,N[2]); }
     217         245 :   switch(mod4(N))
     218             :   {
     219             :     case 0: /* N = 0 mod 4 */
     220          14 :       pari_err_DOMAIN("znprimroot", "argument","=",N,N);
     221           0 :       x = NULL; break;
     222             :     case 2: /* N = 2 mod 4 */
     223          21 :       n = shifti(N,-1); /* becomes odd */
     224          21 :       x = gener_Zp(n,F); if (!mod2(x)) x = addii(x,n);
     225          21 :       break;
     226             :     default: /* N odd */
     227         210 :       x = gener_Zp(N,F);
     228         210 :       break;
     229             :   }
     230         231 :   return gerepilecopy(av, mkintmod(x, N));
     231             : }
     232             : 
     233             : /* n | (p-1), returns a primitive n-th root of 1 in F_p^* */
     234             : GEN
     235           0 : rootsof1_Fp(GEN n, GEN p)
     236             : {
     237           0 :   pari_sp av = avma;
     238           0 :   GEN L = odd_prime_divisors(n); /* 2 implicit in pgener_Fp_local */
     239           0 :   GEN z = pgener_Fp_local(p, L);
     240           0 :   z = Fp_pow(z, diviiexact(subiu(p,1), n), p); /* prim. n-th root of 1 */
     241           0 :   return gerepileuptoint(av, z);
     242             : }
     243             : 
     244             : GEN
     245         217 : rootsof1u_Fp(ulong n, GEN p)
     246             : {
     247         217 :   pari_sp av = avma;
     248         217 :   GEN z, L = u_odd_prime_divisors(n); /* 2 implicit in pgener_Fp_local */
     249         217 :   z = pgener_Fp_local(p, Flv_to_ZV(L));
     250         217 :   z = Fp_pow(z, diviuexact(subiu(p,1), n), p); /* prim. n-th root of 1 */
     251         217 :   return gerepileuptoint(av, z);
     252             : }
     253             : 
     254             : ulong
     255        3934 : rootsof1_Fl(ulong n, ulong p)
     256             : {
     257        3934 :   pari_sp av = avma;
     258        3934 :   GEN L = u_odd_prime_divisors(n); /* 2 implicit in pgener_Fl_local */
     259        3934 :   ulong z = pgener_Fl_local(p, L);
     260        3934 :   z = Fl_powu(z, (p-1) / n, p); /* prim. n-th root of 1 */
     261        3934 :   avma = av; return z;
     262             : }
     263             : 
     264             : /*********************************************************************/
     265             : /**                                                                 **/
     266             : /**                     INVERSE TOTIENT FUNCTION                    **/
     267             : /**                                                                 **/
     268             : /*********************************************************************/
     269             : /* N t_INT, L a ZV containing all prime divisors of N, and possibly other
     270             :  * primes. Return factor(N) */
     271             : GEN
     272      350651 : Z_factor_listP(GEN N, GEN L)
     273             : {
     274      350651 :   long i, k, l = lg(L);
     275      350651 :   GEN P = cgetg(l, t_COL), E = cgetg(l, t_COL);
     276     1346688 :   for (i = k = 1; i < l; i++)
     277             :   {
     278      996037 :     GEN p = gel(L,i);
     279      996037 :     long v = Z_pvalrem(N, p, &N);
     280      996037 :     if (v)
     281             :     {
     282      792176 :       gel(P,k) = p;
     283      792176 :       gel(E,k) = utoipos(v);
     284      792176 :       k++;
     285             :     }
     286             :   }
     287      350651 :   setlg(P, k);
     288      350651 :   setlg(E, k); return mkmat2(P,E);
     289             : }
     290             : 
     291             : /* look for x such that phi(x) = n, p | x => p > m (if m = NULL: no condition).
     292             :  * L is a list of primes containing all prime divisors of n. */
     293             : static long
     294      621565 : istotient_i(GEN n, GEN m, GEN L, GEN *px)
     295             : {
     296      621565 :   pari_sp av = avma, av2;
     297             :   GEN k, D;
     298             :   long i, v;
     299      621565 :   if (m && mod2(n))
     300             :   {
     301      270914 :     if (!equali1(n)) return 0;
     302       69986 :     if (px) *px = gen_1;
     303       69986 :     return 1;
     304             :   }
     305      350651 :   D = divisors(Z_factor_listP(shifti(n, -1), L));
     306             :   /* loop through primes p > m, d = p-1 | n */
     307      350651 :   av2 = avma;
     308      350651 :   if (!m)
     309             :   { /* special case p = 2, d = 1 */
     310       69986 :     k = n;
     311       69986 :     for (v = 1;; v++) {
     312       69986 :       if (istotient_i(k, gen_2, L, px)) {
     313       69986 :         if (px) *px = shifti(*px, v);
     314       69986 :         return 1;
     315             :       }
     316           0 :       if (mod2(k)) break;
     317           0 :       k = shifti(k,-1);
     318             :     }
     319           0 :     avma = av2;
     320             :   }
     321     1099462 :   for (i = 1; i < lg(D); ++i)
     322             :   {
     323     1001588 :     GEN p, d = shifti(gel(D, i), 1); /* even divisors of n */
     324     1001588 :     if (m && cmpii(d, m) < 0) continue;
     325      677782 :     p = addiu(d, 1);
     326      677782 :     if (!isprime(p)) continue;
     327      442064 :     k = diviiexact(n, d);
     328      481593 :     for (v = 1;; v++) {
     329             :       GEN r;
     330      481593 :       if (istotient_i(k, p, L, px)) {
     331      182791 :         if (px) *px = mulii(*px, powiu(p, v));
     332      182791 :         return 1;
     333             :       }
     334      298802 :       k = dvmdii(k, p, &r);
     335      298802 :       if (r != gen_0) break;
     336             :     }
     337      259273 :     avma = av2;
     338             :   }
     339       97874 :   avma = av; return 0;
     340             : }
     341             : 
     342             : /* find x such that phi(x) = n */
     343             : long
     344       70000 : istotient(GEN n, GEN *px)
     345             : {
     346       70000 :   pari_sp av = avma;
     347       70000 :   if (typ(n) != t_INT) pari_err_TYPE("istotient", n);
     348       70000 :   if (signe(n) < 1) return 0;
     349       70000 :   if (mod2(n))
     350             :   {
     351          14 :     if (!equali1(n)) return 0;
     352          14 :     if (px) *px = gen_1;
     353          14 :     return 1;
     354             :   }
     355       69986 :   if (istotient_i(n, NULL, gel(Z_factor(n), 1), px))
     356             :   {
     357       69986 :     if (!px) avma = av;
     358             :     else
     359       69986 :       *px = gerepileuptoint(av, *px);
     360       69986 :     return 1;
     361             :   }
     362           0 :   avma = av; return 0;
     363             : }
     364             : 
     365             : /*********************************************************************/
     366             : /**                                                                 **/
     367             : /**                     INTEGRAL LOGARITHM                          **/
     368             : /**                                                                 **/
     369             : /*********************************************************************/
     370             : 
     371             : /* y > 1 and B > 0 integers. Return e such that y^e <= B < y^(e+1), i.e
     372             :  * e = floor(log_y B). Set *ptq = y^e if non-NULL */
     373             : long
     374      253503 : ulogintall(ulong B, ulong y, ulong *ptq)
     375             : {
     376             :   ulong r, r2;
     377             :   long e;
     378             : 
     379      253503 :   if (y == 2)
     380             :   {
     381        4685 :     long eB = expu(B); /* 2^eB <= B < 2^(eB + 1) */
     382        4685 :     if (ptq) *ptq = 1UL << eB;
     383        4685 :     return eB;
     384             :   }
     385      248818 :   r = y, r2 = 1UL;
     386      899962 :   for (e=1;; e++)
     387             :   { /* here, r = y^e, r2 = y^(e-1) */
     388     1551106 :     if (r >= B)
     389             :     {
     390      248707 :       if (r != B) { e--; r = r2; }
     391      248707 :       if (ptq) *ptq = r;
     392      248707 :       return e;
     393             :     }
     394      651255 :     r2 = r;
     395      651255 :     r = umuluu_or_0(y, r);
     396      651255 :     if (!r)
     397             :     {
     398         111 :       if (ptq) *ptq = r2;
     399         111 :       return e;
     400             :     }
     401             :   }
     402             : }
     403             : 
     404             : /* y > 1 and B > 0 integers. Return e such that y^e <= B < y^(e+1), i.e
     405             :  * e = floor(log_y B). Set *ptq = y^e if non-NULL */
     406             : long
     407      261183 : logintall(GEN B, GEN y, GEN *ptq)
     408             : {
     409             :   pari_sp av;
     410      261183 :   long ey, e, emax, i, eB = expi(B); /* 2^eB <= B < 2^(eB + 1) */
     411             :   GEN q, pow2;
     412             : 
     413      261183 :   if (lgefint(B) == 3)
     414             :   {
     415             :     ulong q;
     416      253503 :     if (lgefint(y) > 3)
     417             :     {
     418           0 :       if (ptq) *ptq = gen_1;
     419           0 :       return 0;
     420             :     }
     421      253503 :     if (!ptq) return ulogintall(B[2], y[2], NULL);
     422       46929 :     e = ulogintall(B[2], y[2], &q);
     423       46929 :     *ptq = utoi(q); return e;
     424             :   }
     425        7680 :   if (equaliu(y,2))
     426             :   {
     427         159 :     if (ptq) *ptq = int2n(eB);
     428         159 :     return eB;
     429             :   }
     430        7521 :   av = avma;
     431        7521 :   ey = expi(y);
     432             :   /* eB/(ey+1) - 1 < e <= eB/ey */
     433        7521 :   emax = eB/ey;
     434        7521 :   if (emax <= 13) /* e small, be naive */
     435             :   {
     436        1492 :     GEN r = y, r2 = gen_1;
     437       15831 :     for (e=1;; e++)
     438       14339 :     { /* here, r = y^e, r2 = y^(e-1) */
     439       15831 :       long fl = cmpii(r, B);
     440       15831 :       if (fl >= 0)
     441             :       {
     442        1492 :         if (fl) { e--; cgiv(r); r = r2; }
     443        1492 :         if (ptq) *ptq = gerepileuptoint(av, r); else avma = av;
     444        1492 :         return e;
     445             :       }
     446       14339 :       r2 = r; r = mulii(r,y);
     447             :     }
     448             :   }
     449             :   /* e >= 13 ey / (ey+1) >= 6.5 */
     450             : 
     451             :   /* binary splitting: compute bits of e one by one */
     452             :   /* compute pow2[i] = y^(2^i) [i < crude upper bound for log_2 log_y(B)] */
     453        6029 :   pow2 = new_chunk((long)log2(eB)+2);
     454        6029 :   gel(pow2,0) = y;
     455        6029 :   for (i=0, q=y;; )
     456       28887 :   {
     457       34916 :     GEN r = gel(pow2,i); /* r = y^2^i */
     458       34916 :     long fl = cmpii(r,B);
     459       34916 :     if (!fl)
     460             :     {
     461           0 :       e = 1L<<i;
     462           0 :       if (ptq) *ptq = gerepileuptoint(av, r); else avma = av;
     463           0 :       return e;
     464             :     }
     465       34916 :     if (fl > 0) { i--; break; }
     466       32924 :     q = r;
     467       32924 :     if (1L<<(i+1) > emax) break;
     468       28887 :     gel(pow2,++i) = sqri(q);
     469             :   }
     470             : 
     471        6029 :   for (e = 1L<<i;;)
     472       26874 :   { /* y^e = q < B < r = q * y^(2^i) */
     473       32903 :     pari_sp av2 = avma;
     474             :     long fl;
     475             :     GEN r;
     476       32903 :     if (--i < 0) break;
     477       26881 :     r = mulii(q, gel(pow2,i));
     478       26881 :     fl = cmpii(r, B);
     479       26881 :     if (fl > 0) avma = av2;
     480             :     else
     481             :     {
     482       13036 :       e += (1L<<i);
     483       13036 :       q = r;
     484       13036 :       if (!fl) break; /* B = r */
     485             :     }
     486             :   }
     487        6029 :   if (ptq) *ptq = gerepileuptoint(av, q); else avma = av;
     488        6029 :   return e;
     489             : }
     490             : 
     491             : long
     492          56 : logint0(GEN B, GEN y, GEN *ptq)
     493             : {
     494          56 :   if (typ(B) != t_INT) pari_err_TYPE("logint",B);
     495          56 :   if (signe(B) <= 0) pari_err_DOMAIN("logint", "x" ,"<=", gen_0, B);
     496          56 :   if (typ(y) != t_INT) pari_err_TYPE("logint",y);
     497          56 :   if (cmpis(y, 2) < 0) pari_err_DOMAIN("logint", "b" ,"<=", gen_1, y);
     498          56 :   return logintall(B,y,ptq);
     499             : }
     500             : 
     501             : /*********************************************************************/
     502             : /**                                                                 **/
     503             : /**                     INTEGRAL SQUARE ROOT                        **/
     504             : /**                                                                 **/
     505             : /*********************************************************************/
     506             : GEN
     507       30577 : sqrtint(GEN a)
     508             : {
     509       30577 :   if (typ(a) != t_INT) pari_err_TYPE("sqrtint",a);
     510       30577 :   switch (signe(a))
     511             :   {
     512       30563 :     case 1: return sqrti(a);
     513           7 :     case 0: return gen_0;
     514           7 :     default: pari_err_DOMAIN("sqrtint", "argument", "<", gen_0,a);
     515             :   }
     516             :   return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
     517             : }
     518             : 
     519             : /*********************************************************************/
     520             : /**                                                                 **/
     521             : /**                      PERFECT SQUARE                             **/
     522             : /**                                                                 **/
     523             : /*********************************************************************/
     524             : static int
     525    13217157 : carremod(ulong A)
     526             : {
     527    13217157 :   const int carresmod64[]={
     528             :     1,1,0,0,1,0,0,0,0,1, 0,0,0,0,0,0,1,1,0,0, 0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,
     529             :     0,0,0,1,0,0,1,0,0,0, 0,1,0,0,0,0,0,0,0,1, 0,0,0,0,0,0,0,1,0,0, 0,0,0,0};
     530    13217157 :   const int carresmod63[]={
     531             :     1,1,0,0,1,0,0,1,0,1, 0,0,0,0,0,0,1,0,1,0, 0,0,1,0,0,1,0,0,1,0,
     532             :     0,0,0,0,0,0,1,1,0,0, 0,0,0,1,0,0,1,0,0,1, 0,0,0,0,0,0,0,0,1,0, 0,0,0};
     533    13217157 :   const int carresmod65[]={
     534             :     1,1,0,0,1,0,0,0,0,1, 1,0,0,0,1,0,1,0,0,0, 0,0,0,0,0,1,1,0,0,1,
     535             :     1,0,0,0,0,1,1,0,0,1, 1,0,0,0,0,0,0,0,0,1, 0,1,0,0,0,1,1,0,0,0, 0,1,0,0,1};
     536    13217157 :   const int carresmod11[]={1,1,0,1,1,1,0,0,0,1, 0};
     537    13217157 :   return (carresmod64[A & 0x3fUL]
     538     5146443 :     && carresmod63[A % 63UL]
     539     3124032 :     && carresmod65[A % 65UL]
     540    15818194 :     && carresmod11[A % 11UL]);
     541             : }
     542             : 
     543             : /* emulate Z_issquareall on single-word integers */
     544             : long
     545    11726515 : uissquareall(ulong A, ulong *sqrtA)
     546             : {
     547    11726515 :   if (!A) { *sqrtA = 0; return 1; }
     548    11726515 :   if (carremod(A))
     549             :   {
     550     1761212 :     ulong a = usqrt(A);
     551     1761206 :     if (a * a == A) { *sqrtA = a; return 1; }
     552             :   }
     553    10056335 :   return 0;
     554             : }
     555             : long
     556      120633 : uissquare(ulong A)
     557             : {
     558      120633 :   if (!A) return 1;
     559      120633 :   if (carremod(A))
     560             :   {
     561        3499 :     ulong a = usqrt(A);
     562        3499 :     if (a * a == A) return 1;
     563             :   }
     564      117158 :   return 0;
     565             : }
     566             : 
     567             : long
     568     6302343 : Z_issquareall(GEN x, GEN *pt)
     569             : {
     570             :   pari_sp av;
     571             :   GEN y, r;
     572             : 
     573     6302343 :   switch(signe(x))
     574             :   {
     575     2206566 :     case -1: return 0;
     576        1064 :     case 0: if (pt) *pt=gen_0; return 1;
     577             :   }
     578     4094713 :   if (lgefint(x) == 3)
     579             :   {
     580     2724727 :     ulong u = uel(x,2), a;
     581     2724727 :     if (!pt) return uissquare(u);
     582     2604094 :     if (!uissquareall(u, &a)) return 0;
     583     1392168 :     *pt = utoipos(a); return 1;
     584             :   }
     585     1369986 :   if (!carremod(umodiu(x, 64*63*65*11))) return 0;
     586      608705 :   av = avma; y = sqrtremi(x, &r);
     587      608705 :   if (r != gen_0) { avma = av; return 0; }
     588       17861 :   if (pt) { *pt = y; avma = (pari_sp)y; } else avma = av;
     589       17861 :   return 1;
     590             : }
     591             : 
     592             : /* a t_INT, p prime */
     593             : long
     594           0 : Zp_issquare(GEN a, GEN p)
     595             : {
     596             :   long v;
     597             :   GEN ap;
     598             : 
     599           0 :   if (!signe(a) || gequal1(a)) return 1;
     600           0 :   v = Z_pvalrem(a, p, &ap);
     601           0 :   if (v&1) return 0;
     602           0 :   return absequaliu(p, 2)? umodiu(ap, 8) == 1
     603           0 :                       : kronecker(ap,p) == 1;
     604             : }
     605             : 
     606             : static long
     607        3010 : polissquareall(GEN x, GEN *pt)
     608             : {
     609             :   pari_sp av;
     610             :   long v;
     611             :   GEN y, a, b, p;
     612             : 
     613        3010 :   if (!signe(x))
     614             :   {
     615           7 :     if (pt) *pt = gcopy(x);
     616           7 :     return 1;
     617             :   }
     618        3003 :   if (odd(degpol(x))) return 0; /* odd degree */
     619        2177 :   av = avma;
     620        2177 :   v = RgX_valrem(x, &x);
     621        2177 :   if (v & 1) { avma = av; return 0; }
     622        2170 :   a = gel(x,2); /* test constant coeff */
     623        2170 :   if (!pt)
     624          70 :   { if (!issquare(a)) { avma = av; return 0; } }
     625             :   else
     626        2100 :   { if (!issquareall(a,&b)) { avma = av; return 0; } }
     627        2170 :   if (!degpol(x)) { /* constant polynomial */
     628          77 :     if (!pt) { avma = av; return 1; }
     629          35 :     y = scalarpol(b, varn(x)); goto END;
     630             :   }
     631        2093 :   p = characteristic(x);
     632        2093 :   if (signe(p) && !mod2(p))
     633             :   {
     634             :     long i, lx;
     635          35 :     if (!absequaliu(p,2)) pari_err_IMPL("issquare for even characteristic != 2");
     636          28 :     x = gmul(x, mkintmod(gen_1, gen_2));
     637          28 :     lx = lg(x);
     638          28 :     if ((lx-3) & 1) { avma = av; return 0; }
     639          49 :     for (i = 3; i < lx; i+=2)
     640          28 :       if (!gequal0(gel(x,i))) { avma = av; return 0; }
     641          21 :     if (pt) {
     642          14 :       y = cgetg((lx+3) / 2, t_POL);
     643          49 :       for (i = 2; i < lx; i+=2)
     644          35 :         if (!issquareall(gel(x,i), &gel(y, (i+2)>>1))) { avma = av; return 0; }
     645          14 :       y[1] = evalsigne(1) | evalvarn(varn(x));
     646          14 :       goto END;
     647             :     } else {
     648          21 :       for (i = 2; i < lx; i+=2)
     649          14 :         if (!issquare(gel(x,i))) { avma = av; return 0; }
     650           7 :       avma = av; return 1;
     651             :     }
     652             :   }
     653             :   else
     654             :   {
     655        2058 :     long m = 1;
     656        2058 :     x = RgX_Rg_div(x,a);
     657             :     /* a(x^m) = B^2 => B = b(x^m) provided a(0) != 0 */
     658        2058 :     if (!signe(p)) x = RgX_deflate_max(x,&m);
     659        2058 :     y = ser2rfrac_i(gsqrt(RgX_to_ser(x,lg(x)-1),0));
     660        3325 :     if (!RgX_equal(RgX_sqr(y), x)) { avma = av; return 0; }
     661         798 :     if (!pt) { avma = av; return 1; }
     662         791 :     if (!gequal1(a)) y = gmul(b, y);
     663         791 :     if (m != 1) y = RgX_inflate(y,m);
     664             :   }
     665             : END:
     666         840 :   if (v) y = RgX_shift_shallow(y, v>>1);
     667         840 :   *pt = gerepilecopy(av, y); return 1;
     668             : }
     669             : 
     670             : /* b unit mod p */
     671             : static int
     672         287 : Up_ispower(GEN b, GEN K, GEN p, long d, GEN *pt)
     673             : {
     674         287 :   if (d == 1)
     675             :   { /* mod p: faster */
     676         203 :     if (!Fp_ispower(b, K, p)) return 0;
     677         203 :     if (pt) *pt = Fp_sqrtn(b, K, p, NULL);
     678             :   }
     679             :   else
     680             :   { /* mod p^{2 +} */
     681          84 :     if (!ispower(cvtop(b, p, d), K, pt)) return 0;
     682          63 :     if (pt) *pt = gtrunc(*pt);
     683             :   }
     684         266 :   return 1;
     685             : }
     686             : 
     687             : /* We're studying whether a mod (q*p^e) is a K-th power, (q,p) = 1.
     688             :  * Decide mod p^e, then reduce a mod q unless q = NULL. */
     689             : static int
     690         427 : handle_pe(GEN *pa, GEN q, GEN L, GEN K, GEN p, long e)
     691             : {
     692             :   GEN t, A;
     693         427 :   long v = Z_pvalrem(*pa, p, &A), d = e - v;
     694         427 :   if (d <= 0) t = gen_0;
     695             :   else
     696             :   {
     697             :     ulong r;
     698         371 :     v = uabsdivui_rem(v, K, &r);
     699         371 :     if (r || !Up_ispower(A, K, p, d, L? &t: NULL)) return 0;
     700         266 :     if (L && v) t = mulii(t, powiu(p, v));
     701             :   }
     702         322 :   if (q) *pa = modii(*pa, q);
     703         322 :   if (L) vectrunc_append(L, mkintmod(t, powiu(p, e)));
     704         322 :   return 1;
     705             : }
     706             : long
     707         329 : Zn_ispower(GEN a, GEN q, GEN K, GEN *pt)
     708             : {
     709             :   GEN L, N;
     710             :   pari_sp av;
     711             :   long e, i, l;
     712             :   ulong pp;
     713             :   forprime_t S;
     714             : 
     715         329 :   if (!signe(a))
     716             :   {
     717          21 :     if (pt) {
     718          21 :       GEN t = cgetg(3, t_INTMOD);
     719          21 :       gel(t,1) = icopy(q); gel(t,2) = gen_0; *pt = t;
     720             :     }
     721          21 :     return 1;
     722             :   }
     723             :   /* a != 0 */
     724         308 :   av = avma;
     725             : 
     726         308 :   if (typ(q) != t_INT) /* integer factorization */
     727             :   {
     728           0 :     GEN P = gel(q,1), E = gel(q,2);
     729           0 :     l = lg(P);
     730           0 :     L = pt? vectrunc_init(l): NULL;
     731           0 :     for (i = 1; i < l; i++)
     732             :     {
     733           0 :       GEN p = gel(P,i);
     734           0 :       long e = itos(gel(E,i));
     735           0 :       if (!handle_pe(&a, NULL, L, K, p, e)) { avma = av; return 0; }
     736             :     }
     737           0 :     goto END;
     738             :   }
     739         308 :   if (!mod2(K)
     740         189 :       && kronecker(a, shifti(q,-vali(q))) == -1) { avma = av; return 0; }
     741         301 :   L = pt? vectrunc_init(expi(q)+1): NULL;
     742         301 :   u_forprime_init(&S, 2, tridiv_bound(q));
     743         301 :   while ((pp = u_forprime_next(&S)))
     744             :   {
     745             :     int stop;
     746      883407 :     e = Z_lvalrem_stop(&q, pp, &stop);
     747      883407 :     if (!e) continue;
     748         203 :     if (!handle_pe(&a, q, L, K, utoipos(pp), e)) { avma = av; return 0; }
     749         161 :     if (stop)
     750             :     {
     751         126 :       if (!is_pm1(q) && !handle_pe(&a, q, L, K, q, 1)) { avma = av; return 0; }
     752         126 :       goto END;
     753             :     }
     754             :   }
     755         154 :   l = lg(primetab);
     756         154 :   for (i = 1; i < l; i++)
     757             :   {
     758           0 :     GEN p = gel(primetab,i);
     759           0 :     e = Z_pvalrem(q, p, &q);
     760           0 :     if (!e) continue;
     761           0 :     if (!handle_pe(&a, q, L, K, p, e)) { avma = av; return 0; }
     762           0 :     if (is_pm1(q)) goto END;
     763             :   }
     764         154 :   N = gcdii(a,q);
     765         154 :   if (!is_pm1(N))
     766             :   {
     767         112 :     if (ifac_isprime(N))
     768             :     {
     769          70 :       e = Z_pvalrem(q, N, &q);
     770          70 :       if (!handle_pe(&a, q, L, K, N, e)) { avma = av; return 0; }
     771             :     }
     772             :     else
     773             :     {
     774          42 :       GEN part = ifac_start(N, 0);
     775             :       for(;;)
     776          42 :       {
     777             :         long e;
     778             :         GEN p;
     779          84 :         if (!ifac_next(&part, &p, &e)) break;
     780          42 :         e = Z_pvalrem(q, p, &q);
     781          42 :         if (!handle_pe(&a, q, L, K, p, e)) { avma = av; return 0; }
     782             :       }
     783             :     }
     784             :   }
     785          84 :   if (!is_pm1(q))
     786             :   {
     787          84 :     if (ifac_isprime(q))
     788             :     {
     789          28 :       if (!handle_pe(&a, q, L, K, q, 1)) { avma = av; return 0; }
     790             :     }
     791             :     else
     792             :     {
     793          56 :       GEN part = ifac_start(q, 0);
     794             :       for(;;)
     795          84 :       {
     796             :         long e;
     797             :         GEN p;
     798         140 :         if (!ifac_next(&part, &p, &e)) break;
     799          98 :         if (!handle_pe(&a, q, L, K, p, e)) { avma = av; return 0; }
     800             :       }
     801             :     }
     802             :   }
     803             : END:
     804         196 :   if (pt) *pt = gerepileupto(av, chinese1_coprime_Z(L));
     805         196 :   return 1;
     806             : }
     807             : 
     808             : static long
     809          49 : polmodispower(GEN x, GEN K, GEN *pt)
     810             : {
     811          49 :   pari_sp av = avma;
     812          49 :   GEN p = NULL, T = NULL;
     813          49 :   if (Rg_is_FpXQ(x, &T,&p) && p)
     814             :   {
     815          35 :     x = liftall_shallow(x);
     816          35 :     if (!Fq_ispower(x, K, T, p)) { avma = av; return 0; }
     817          28 :     if (!pt) { avma = av; return 1; }
     818          21 :     x = Fq_sqrtn(x, K, T,p, NULL);
     819          21 :     if (typ(x) == t_INT)
     820           7 :       x = Fp_to_mod(x,p);
     821             :     else
     822          14 :       x = mkpolmod(FpX_to_mod(x,p), FpX_to_mod(T,p));
     823          21 :     *pt = gerepilecopy(av, x); return 1;
     824             :   }
     825          14 :   pari_err_IMPL("ispower for general t_POLMOD");
     826           0 :   return 0;
     827             : }
     828             : 
     829             : long
     830      163142 : issquareall(GEN x, GEN *pt)
     831             : {
     832      163142 :   long tx = typ(x);
     833             :   GEN F;
     834             :   pari_sp av;
     835             : 
     836      163142 :   if (!pt) return issquare(x);
     837       20300 :   switch(tx)
     838             :   {
     839        2331 :     case t_INT: return Z_issquareall(x, pt);
     840         161 :     case t_FRAC: av = avma;
     841         161 :       F = cgetg(3, t_FRAC);
     842         161 :       if (   !Z_issquareall(gel(x,1), &gel(F,1))
     843         105 :           || !Z_issquareall(gel(x,2), &gel(F,2))) { avma = av; return 0; }
     844         105 :       *pt = F; return 1;
     845             : 
     846             :     case t_POLMOD:
     847          21 :       return polmodispower(x, gen_2, pt);
     848        2919 :     case t_POL: return polissquareall(x,pt);
     849          14 :     case t_RFRAC: av = avma;
     850          14 :       F = cgetg(3, t_RFRAC);
     851          14 :       if (   !issquareall(gel(x,1), &gel(F,1))
     852          14 :           || !polissquareall(gel(x,2), &gel(F,2))) { avma = av; return 0; }
     853           7 :       *pt = F; return 1;
     854             : 
     855             :     case t_REAL: case t_COMPLEX: case t_PADIC: case t_SER:
     856       14756 :       if (!issquare(x)) return 0;
     857       14756 :       *pt = gsqrt(x, DEFAULTPREC); return 1;
     858             : 
     859             :     case t_INTMOD:
     860          63 :       return Zn_ispower(gel(x,2), gel(x,1), gen_2, pt);
     861             : 
     862          35 :     case t_FFELT: return FF_issquareall(x, pt);
     863             : 
     864             :   }
     865           0 :   pari_err_TYPE("issquareall",x);
     866             :   return 0; /* LCOV_EXCL_LINE */
     867             : }
     868             : 
     869             : long
     870      157871 : issquare(GEN x)
     871             : {
     872             :   pari_sp av;
     873             :   GEN a, p;
     874             :   long i, v;
     875             : 
     876      157871 :   switch(typ(x))
     877             :   {
     878             :     case t_INT:
     879      142751 :       return Z_issquare(x);
     880             : 
     881             :     case t_REAL:
     882       14714 :       return (signe(x)>=0);
     883             : 
     884             :     case t_INTMOD:
     885          77 :       return Zn_ispower(gel(x,2), gel(x,1), gen_2, NULL);
     886             : 
     887             :     case t_FRAC:
     888          21 :       return Z_issquare(gel(x,1)) && Z_issquare(gel(x,2));
     889             : 
     890           7 :     case t_FFELT: return FF_issquareall(x, NULL);
     891             : 
     892             :     case t_COMPLEX:
     893          56 :       return 1;
     894             : 
     895             :     case t_PADIC:
     896         126 :       a = gel(x,4); if (!signe(a)) return 1;
     897         126 :       if (valp(x)&1) return 0;
     898         112 :       p = gel(x,2);
     899         112 :       if (!absequaliu(p, 2)) return (kronecker(a,p) != -1);
     900             : 
     901          42 :       v = precp(x); /* here p=2, a is odd */
     902          42 :       if ((v>=3 && mod8(a) != 1 ) ||
     903           0 :           (v==2 && mod4(a) != 1)) return 0;
     904          21 :       return 1;
     905             : 
     906             :     case t_POLMOD:
     907          14 :       return polmodispower(x, gen_2, NULL);
     908             : 
     909             :     case t_POL:
     910          77 :       return polissquareall(x,NULL);
     911             : 
     912             :     case t_SER:
     913          21 :       if (!signe(x)) return 1;
     914          14 :       if (valp(x)&1) return 0;
     915           7 :       return issquare(gel(x,2));
     916             : 
     917             :     case t_RFRAC:
     918           7 :       av = avma; i = issquare(gmul(gel(x,1),gel(x,2)));
     919           7 :       avma = av; return i;
     920             :   }
     921           0 :   pari_err_TYPE("issquare",x);
     922             :   return 0; /* LCOV_EXCL_LINE */
     923             : }
     924           0 : GEN gissquare(GEN x) { return issquare(x)? gen_1: gen_0; }
     925           0 : GEN gissquareall(GEN x, GEN *pt) { return issquareall(x,pt)? gen_1: gen_0; }
     926             : 
     927             : long
     928        1386 : ispolygonal(GEN x, GEN S, GEN *N)
     929             : {
     930        1386 :   pari_sp av = avma;
     931             :   GEN D, d, n;
     932        1386 :   if (typ(x) != t_INT) pari_err_TYPE("ispolygonal", x);
     933        1386 :   if (typ(S) != t_INT) pari_err_TYPE("ispolygonal", S);
     934        1386 :   if (abscmpiu(S,3) < 0) pari_err_DOMAIN("ispolygonal","s","<", utoipos(3),S);
     935        1386 :   if (signe(x) < 0) return 0;
     936        1386 :   if (signe(x) == 0) { if (N) *N = gen_0; return 1; }
     937        1260 :   if (is_pm1(x)) { if (N) *N = gen_1; return 1; }
     938             :   /* n = (sqrt( (8s - 16) x + (s-4)^2 ) + s - 4) / 2(s - 2) */
     939        1134 :   if (abscmpiu(S, 1<<16) < 0) /* common case ! */
     940             :   {
     941         441 :     ulong s = S[2], r;
     942         504 :     if (s == 4) return Z_issquareall(x, N);
     943         378 :     if (s == 3)
     944           0 :       D = addiu(shifti(x, 3), 1);
     945             :     else
     946         378 :       D = addiu(mului(8*s - 16, x), (s-4)*(s-4));
     947         378 :     if (!Z_issquareall(D, &d)) { avma = av; return 0; }
     948         378 :     if (s == 3)
     949           0 :       d = subiu(d, 1);
     950             :     else
     951         378 :       d = addiu(d, s - 4);
     952         378 :     n = absdiviu_rem(d, 2*s - 4, &r);
     953         378 :     if (r) { avma = av; return 0; }
     954             :   }
     955             :   else
     956             :   {
     957         693 :     GEN r, S_2 = subiu(S,2), S_4 = subiu(S,4);
     958         693 :     D = addii(mulii(shifti(S_2,3), x), sqri(S_4));
     959         693 :     if (!Z_issquareall(D, &d)) { avma = av; return 0; }
     960         693 :     d = addii(d, S_4);
     961         693 :     n = dvmdii(shifti(d,-1), S_2, &r);
     962         693 :     if (r != gen_0) { avma = av; return 0; }
     963             :   }
     964        1071 :   if (N) *N = gerepileuptoint(av, n); else avma = av;
     965        1071 :   return 1;
     966             : }
     967             : 
     968             : /*********************************************************************/
     969             : /**                                                                 **/
     970             : /**                        PERFECT POWER                            **/
     971             : /**                                                                 **/
     972             : /*********************************************************************/
     973             : static long
     974         721 : polispower(GEN x, GEN K, GEN *pt)
     975             : {
     976             :   pari_sp av;
     977         721 :   long v, d, k = itos(K);
     978             :   GEN y, a, b;
     979         721 :   GEN T = NULL, p = NULL;
     980             : 
     981         721 :   if (!signe(x))
     982             :   {
     983           7 :     if (pt) *pt = gcopy(x);
     984           7 :     return 1;
     985             :   }
     986         714 :   d = degpol(x);
     987         714 :   if (d % k) return 0; /* degree not multiple of k */
     988         707 :   av = avma;
     989         707 :   if (RgX_is_FpXQX(x, &T, &p) && p)
     990             :   { /* over Fq */
     991         336 :     if (T && typ(T) == t_FFELT)
     992             :     {
     993         126 :       if (!FFX_ispower(x, k, T, pt)) { avma = av; return 0; }
     994         105 :       return 1;
     995             :     }
     996         210 :     x = RgX_to_FqX(x,T,p);
     997         210 :     if (!FqX_ispower(x, k, T,p, pt)) { avma = av; return 0; }
     998         175 :     if (pt)
     999         175 :       *pt = gerepileupto(av, FqX_to_mod(*pt, T, p));
    1000         175 :     return 1;
    1001             :   }
    1002         371 :   v = RgX_valrem(x, &x);
    1003         371 :   if (v % k) return 0;
    1004         364 :   v /= k;
    1005         364 :   a = gel(x,2); b = NULL;
    1006         364 :   if (!ispower(a, K, &b)) { avma = av; return 0; }
    1007         350 :   if (d)
    1008             :   {
    1009         343 :     GEN p = characteristic(x);
    1010         343 :     a = leading_coeff(x);
    1011         343 :     if (!ispower(a, K, &b)) { avma = av; return 0; }
    1012         343 :     x = RgX_normalize(x);
    1013         343 :     if (signe(p) && cmpii(p,K) <= 0)
    1014           0 :       pari_err_IMPL("ispower(general t_POL) in small characteristic");
    1015         343 :     y = gtrunc(gsqrtn(RgX_to_ser(x,lg(x)), K, NULL, 0));
    1016         343 :     if (!RgX_equal(powgi(y, K), x)) { avma = av; return 0; }
    1017             :   }
    1018             :   else
    1019           7 :     y = pol_1(varn(x));
    1020         350 :   if (pt)
    1021             :   {
    1022         350 :     if (!gequal1(a))
    1023             :     {
    1024          14 :       if (!b) b = gsqrtn(a, K, NULL, DEFAULTPREC);
    1025          14 :       y = gmul(b,y);
    1026             :     }
    1027         350 :     if (v) y = RgX_shift_shallow(y, v);
    1028         350 :     *pt = gerepilecopy(av, y);
    1029             :   }
    1030           0 :   else avma = av;
    1031         350 :   return 1;
    1032             : }
    1033             : 
    1034             : long
    1035        1771 : Z_ispowerall(GEN x, ulong k, GEN *pt)
    1036             : {
    1037        1771 :   long s = signe(x);
    1038             :   ulong mask;
    1039        1771 :   if (!s) { if (pt) *pt = gen_0; return 1; }
    1040        1771 :   if (s > 0) {
    1041        1645 :     if (k == 2) return Z_issquareall(x, pt);
    1042         973 :     if (k == 3) { mask = 1; return !!is_357_power(x, pt, &mask); }
    1043         196 :     if (k == 5) { mask = 2; return !!is_357_power(x, pt, &mask); }
    1044         168 :     if (k == 7) { mask = 4; return !!is_357_power(x, pt, &mask); }
    1045         161 :     return is_kth_power(x, k, pt);
    1046             :   }
    1047         126 :   if (!odd(k)) return 0;
    1048         112 :   if (Z_ispowerall(absi_shallow(x), k, pt))
    1049             :   {
    1050         112 :     if (pt) *pt = negi(*pt);
    1051         112 :     return 1;
    1052             :   };
    1053           0 :   return 0;
    1054             : }
    1055             : 
    1056             : /* is x a K-th power mod p ? Assume p prime. */
    1057             : int
    1058         224 : Fp_ispower(GEN x, GEN K, GEN p)
    1059             : {
    1060         224 :   pari_sp av = avma;
    1061             :   GEN p_1;
    1062             :   long r;
    1063         224 :   x = modii(x, p);
    1064         224 :   if (!signe(x) || equali1(x)) { avma = av; return 1; }
    1065             :   /* implies p > 2 */
    1066         126 :   p_1 = subiu(p,1);
    1067         126 :   K = gcdii(K, p_1);
    1068         126 :   if (absequaliu(K, 2)) { r = kronecker(x,p); avma = av; return (r > 0); }
    1069          49 :   x = Fp_pow(x, diviiexact(p_1,K), p);
    1070          49 :   avma = av; return equali1(x);
    1071             : }
    1072             : 
    1073             : /* x unit defined modulo 2^e, e > 0, p prime */
    1074             : static int
    1075        2373 : U2_issquare(GEN x, long e)
    1076             : {
    1077        2373 :   long r = signe(x)>=0?mod8(x):8-mod8(x);
    1078        2373 :   if (e==1) return 1;
    1079        2373 :   if (e==2) return (r&3L) == 1;
    1080        2009 :   return r == 1;
    1081             : }
    1082             : /* x unit defined modulo p^e, e > 0, p prime */
    1083             : static int
    1084        4690 : Up_issquare(GEN x, GEN p, long e)
    1085        4690 : { return (absequaliu(p,2))? U2_issquare(x, e): kronecker(x,p)==1; }
    1086             : 
    1087             : long
    1088        2548 : Zn_issquare(GEN d, GEN fn)
    1089             : {
    1090             :   long j, np;
    1091        2548 :   if (typ(d) != t_INT) pari_err_TYPE("Zn_issquare",d);
    1092        2548 :   if (typ(fn) == t_INT) return Zn_ispower(d, fn, gen_2, NULL);
    1093             :   /* integer factorization */
    1094        2548 :   np = nbrows(fn);
    1095        5320 :   for (j = 1; j <= np; ++j)
    1096             :   {
    1097        4970 :     GEN  r, p = gcoeff(fn, j, 1);
    1098        4970 :     long e = itos(gcoeff(fn, j, 2));
    1099        4970 :     long v = Z_pvalrem(d,p,&r);
    1100        4970 :     if (v < e && (odd(v) || !Up_issquare(r, p, e-v))) return 0;
    1101             :   }
    1102         350 :   return 1;
    1103             : }
    1104             : 
    1105             : static long
    1106        1113 : Qp_ispower(GEN x, GEN K, GEN *pt)
    1107             : {
    1108        1113 :   pari_sp av = avma;
    1109        1113 :   GEN z = Qp_sqrtn(x, K, NULL);
    1110        1113 :   if (!z) { avma = av; return 0; }
    1111         819 :   if (pt) *pt = z;
    1112         819 :   return 1;
    1113             : }
    1114             : 
    1115             : long
    1116     7003164 : ispower(GEN x, GEN K, GEN *pt)
    1117             : {
    1118             :   GEN z;
    1119             : 
    1120     7003164 :   if (!K) return gisanypower(x, pt);
    1121        2982 :   if (typ(K) != t_INT) pari_err_TYPE("ispower",K);
    1122        2982 :   if (signe(K) <= 0) pari_err_DOMAIN("ispower","exponent","<=",gen_0,K);
    1123        2982 :   if (equali1(K)) { if (pt) *pt = gcopy(x); return 1; }
    1124        2933 :   switch(typ(x)) {
    1125             :     case t_INT:
    1126         826 :       return Z_ispowerall(x, itou(K), pt);
    1127             :     case t_FRAC:
    1128             :     {
    1129          21 :       GEN a = gel(x,1), b = gel(x,2);
    1130          21 :       ulong k = itou(K);
    1131          21 :       if (pt) {
    1132          14 :         z = cgetg(3, t_FRAC);
    1133          14 :         if (Z_ispowerall(a, k, &a) && Z_ispowerall(b, k, &b)) {
    1134          14 :           *pt = z; gel(z,1) = a; gel(z,2) = b; return 1;
    1135             :         }
    1136           0 :         avma = (pari_sp)(z + 3); return 0;
    1137             :       }
    1138           7 :       return Z_ispower(a, k) && Z_ispower(b, k);
    1139             :     }
    1140             :     case t_INTMOD:
    1141         189 :       return Zn_ispower(gel(x,2), gel(x,1), K, pt);
    1142             :     case t_FFELT:
    1143          28 :       return FF_ispower(x, K, pt);
    1144             : 
    1145             :     case t_PADIC:
    1146        1113 :       return Qp_ispower(x, K, pt);
    1147             :     case t_POLMOD:
    1148          14 :       return polmodispower(x, K, pt);
    1149             :     case t_POL:
    1150         714 :       return polispower(x, K, pt);
    1151             :     case t_RFRAC: {
    1152           7 :       GEN a = gel(x,1), b = gel(x,2);
    1153           7 :       if (pt) {
    1154           7 :         z = cgetg(3, t_RFRAC);
    1155           7 :         if (ispower(a, K, &a) && polispower(b, K, &b)) {
    1156           7 :           *pt = z; gel(z,1) = a; gel(z,2) = b; return 1;
    1157             :         }
    1158           0 :         avma = (pari_sp)(z + 3); return 0;
    1159             :       }
    1160           0 :       return (ispower(a, K, NULL) && polispower(b, K, NULL));
    1161             :     }
    1162             :     case t_REAL:
    1163           7 :       if (signe(x) < 0 && !mpodd(K)) return 0;
    1164             :     case t_COMPLEX:
    1165          14 :       if (pt) *pt = gsqrtn(x, K, NULL, DEFAULTPREC);
    1166          14 :       return 1;
    1167             : 
    1168             :     case t_SER:
    1169           7 :       if (signe(x) && (!dvdsi(valp(x), K) || !ispower(gel(x,2), K, NULL)))
    1170           0 :         return 0;
    1171           7 :       if (pt) *pt = gsqrtn(x, K, NULL, DEFAULTPREC);
    1172           7 :       return 1;
    1173             :   }
    1174           0 :   pari_err_TYPE("ispower",x);
    1175             :   return 0; /* LCOV_EXCL_LINE */
    1176             : }
    1177             : 
    1178             : long
    1179     7000182 : gisanypower(GEN x, GEN *pty)
    1180             : {
    1181     7000182 :   long tx = typ(x);
    1182             :   ulong k, h;
    1183     7000182 :   if (tx == t_INT) return Z_isanypower(x, pty);
    1184          14 :   if (tx == t_FRAC)
    1185             :   {
    1186          14 :     pari_sp av = avma;
    1187          14 :     GEN fa, P, E, a = gel(x,1), b = gel(x,2);
    1188             :     long i, j, p, e;
    1189          14 :     int sw = (abscmpii(a, b) > 0);
    1190             : 
    1191          14 :     if (sw) swap(a, b);
    1192          14 :     k = Z_isanypower(a, pty? &a: NULL);
    1193          14 :     if (!k)
    1194             :     { /* a = -1,1 or not a pure power */
    1195           7 :       if (!is_pm1(a)) { avma = av; return 0; }
    1196           7 :       if (signe(a) < 0) b = negi(b);
    1197           7 :       k = Z_isanypower(b, pty? &b: NULL);
    1198           7 :       if (!k || !pty) { avma = av; return k; }
    1199           7 :       *pty = gerepileupto(av, ginv(b));
    1200           7 :       return k;
    1201             :     }
    1202           7 :     fa = factoru(k);
    1203           7 :     P = gel(fa,1);
    1204           7 :     E = gel(fa,2); h = k;
    1205          14 :     for (i = lg(P) - 1; i > 0; i--)
    1206             :     {
    1207           7 :       p = P[i];
    1208           7 :       e = E[i];
    1209          21 :       for (j = 0; j < e; j++)
    1210          14 :         if (!is_kth_power(b, p, &b)) break;
    1211           7 :       if (j < e) k /= upowuu(p, e - j);
    1212             :     }
    1213           7 :     if (k == 1) { avma = av; return 0; }
    1214           7 :     if (!pty) { avma = av; return k; }
    1215           0 :     if (k != h) a = powiu(a, h/k);
    1216           0 :     *pty = gerepilecopy(av, mkfrac(a, b));
    1217           0 :     return k;
    1218             :   }
    1219           0 :   pari_err_TYPE("gisanypower", x);
    1220             :   return 0; /* LCOV_EXCL_LINE */
    1221             : }
    1222             : 
    1223             : /* v_p(x) = e != 0 for some p; return ispower(x,,&x), updating x.
    1224             :  * No need to optimize for 2,3,5,7 powers (done before) */
    1225             : static long
    1226      505715 : split_exponent(ulong e, GEN *x)
    1227             : {
    1228             :   GEN fa, P, E;
    1229      505715 :   long i, j, l, k = 1;
    1230      505715 :   if (e == 1) return 1;
    1231          14 :   fa = factoru(e);
    1232          14 :   P = gel(fa,1);
    1233          14 :   E = gel(fa,2); l = lg(P);
    1234          28 :   for (i = 1; i < l; i++)
    1235             :   {
    1236          14 :     ulong p = P[i];
    1237          28 :     for (j = 0; j < E[i]; j++)
    1238             :     {
    1239             :       GEN y;
    1240          14 :       if (!is_kth_power(*x, p, &y)) break;
    1241          14 :       k *= p; *x = y;
    1242             :     }
    1243             :   }
    1244          14 :   return k;
    1245             : }
    1246             : 
    1247             : static long
    1248      864647 : Z_isanypower_nosmalldiv(GEN *px)
    1249             : { /* any prime divisor of x is > 102 */
    1250      864647 :   const double LOG2_103 = 6.6865; /* lower bound for log_2(103) */
    1251      864647 :   const double LOG103 = 4.6347; /* lower bound for log(103) */
    1252             :   forprime_t T;
    1253      864647 :   ulong mask = 7, e2;
    1254             :   long k, ex;
    1255      864647 :   GEN y, x = *px;
    1256             : 
    1257      864647 :   k = 1;
    1258      864647 :   while (Z_issquareall(x, &y)) { k <<= 1; x = y; }
    1259      864647 :   while ( (ex = is_357_power(x, &y, &mask)) ) { k *= ex; x = y; }
    1260      864647 :   e2 = (ulong)((expi(x) + 1) / LOG2_103); /* >= log_103 (x) */
    1261      864647 :   if (u_forprime_init(&T, 11, e2))
    1262             :   {
    1263       16961 :     GEN logx = NULL;
    1264       16961 :     const ulong Q = 30011; /* prime */
    1265             :     ulong p, xmodQ;
    1266       16961 :     double dlogx = 0;
    1267             :     /* cut off at x^(1/p) ~ 2^30 bits which seems to be about optimum;
    1268             :      * for large p the modular checks are no longer competitively fast */
    1269       33964 :     while ( (ex = is_pth_power(x, &y, &T, 30)) )
    1270             :     {
    1271          42 :       k *= ex; x = y;
    1272          42 :       e2 = (ulong)((expi(x) + 1) / LOG2_103);
    1273          42 :       u_forprime_restrict(&T, e2);
    1274             :     }
    1275       16961 :     if (DEBUGLEVEL>4) err_printf("Z_isanypower: now k=%ld, x=%ld-bit\n", k, expi(x));
    1276       16961 :     xmodQ = umodiu(x, Q);
    1277             :     /* test Q | x, just in case */
    1278       16961 :     if (!xmodQ) { *px = x; return k * split_exponent(Z_lval(x,Q), px); }
    1279             :     /* x^(1/p) < 2^31 */
    1280       16947 :     p = T.p;
    1281       16947 :     if (p <= e2)
    1282             :     {
    1283       16933 :       logx = logr_abs( itor(x, DEFAULTPREC) );
    1284       16933 :       dlogx = rtodbl(logx);
    1285       16933 :       e2 = (ulong)(dlogx / LOG103); /* >= log_103(x) */
    1286             :     }
    1287      153965 :     while (p && p <= e2)
    1288             :     { /* is x a p-th power ? By computing y = round(x^(1/p)).
    1289             :        * Check whether y^p = x, first mod Q, then exactly. */
    1290      120071 :       pari_sp av = avma;
    1291             :       long e;
    1292      120071 :       GEN logy = divru(logx, p), y = grndtoi(mpexp(logy), &e);
    1293      120071 :       ulong ymodQ = umodiu(y,Q);
    1294      120071 :       if (e >= -10 || Fl_powu(ymodQ, p % (Q-1), Q) != xmodQ
    1295          21 :                    || !equalii(powiu(y, p), x)) avma = av;
    1296             :       else
    1297             :       {
    1298          21 :         k *= p; x = y; xmodQ = ymodQ; logx = logy; dlogx /= p;
    1299          21 :         e2 = (ulong)(dlogx / LOG103); /* >= log_103(x) */
    1300          21 :         u_forprime_restrict(&T, e2);
    1301          21 :         continue; /* if success, retry same p */
    1302             :       }
    1303      120050 :       p = u_forprime_next(&T);
    1304             :     }
    1305             :   }
    1306      864633 :   *px = x; return k;
    1307             : }
    1308             : 
    1309             : static ulong tinyprimes[] = {
    1310             :   2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71,
    1311             :   73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151,
    1312             :   157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199
    1313             : };
    1314             : 
    1315             : /* disregard the sign of x, caller will take care of x < 0 */
    1316             : static long
    1317     7000841 : Z_isanypower_aux(GEN x, GEN *pty)
    1318             : {
    1319             :   long ex, v, i, l, k;
    1320             :   GEN y, P, E;
    1321     7000841 :   ulong mask, e = 0;
    1322             : 
    1323     7000841 :   if (abscmpii(x, gen_2) < 0) return 0; /* -1,0,1 */
    1324             : 
    1325     7000827 :   if (signe(x) < 0) x = negi(x);
    1326     7000827 :   k = l = 1;
    1327     7000827 :   P = cgetg(26 + 1, t_VECSMALL);
    1328     7000827 :   E = cgetg(26 + 1, t_VECSMALL);
    1329             :   /* trial division */
    1330   122942258 :   for(i = 0; i < 26; i++)
    1331             :   {
    1332    60136627 :     ulong p = tinyprimes[i];
    1333             :     int stop;
    1334    60136627 :     v = Z_lvalrem_stop(&x, p, &stop);
    1335    60136627 :     if (v)
    1336             :     {
    1337     7922348 :       P[l] = p;
    1338     7922348 :       E[l] = v; l++;
    1339    13588673 :       e = ugcd(e, v); if (e == 1) goto END;
    1340             :     }
    1341    54718340 :     if (stop) {
    1342      248038 :       if (is_pm1(x)) k = e;
    1343      248038 :       goto END;
    1344             :     }
    1345             :   }
    1346             : 
    1347     1334502 :   if (e)
    1348             :   { /* Bingo. Result divides e */
    1349             :     long v3, v5, v7;
    1350      505701 :     ulong e2 = e;
    1351      505701 :     v = u_lvalrem(e2, 2, &e2);
    1352      505701 :     if (v)
    1353             :     {
    1354      375249 :       for (i = 0; i < v; i++)
    1355             :       {
    1356      374171 :         if (!Z_issquareall(x, &y)) break;
    1357        1288 :         k <<= 1; x = y;
    1358             :       }
    1359             :     }
    1360      505701 :     mask = 0;
    1361      505701 :     v3 = u_lvalrem(e2, 3, &e2); if (v3) mask = 1;
    1362      505701 :     v5 = u_lvalrem(e2, 5, &e2); if (v5) mask |= 2;
    1363      505701 :     v7 = u_lvalrem(e2, 7, &e2); if (v7) mask |= 4;
    1364     1011479 :     while ( (ex = is_357_power(x, &y, &mask)) ) {
    1365          77 :       x = y;
    1366          77 :       switch(ex)
    1367             :       {
    1368          28 :         case 3: k *= 3; if (--v3 == 0) mask &= ~1; break;
    1369          28 :         case 5: k *= 5; if (--v5 == 0) mask &= ~2; break;
    1370          21 :         case 7: k *= 7; if (--v7 == 0) mask &= ~4; break;
    1371             :       }
    1372             :     }
    1373      505701 :     k *= split_exponent(e2, &x);
    1374             :   }
    1375             :   else
    1376      828801 :     k = Z_isanypower_nosmalldiv(&x);
    1377             : END:
    1378     7000827 :   if (pty && k != 1)
    1379             :   {
    1380        8029 :     if (e)
    1381             :     { /* add missing small factors */
    1382        6867 :       y = powuu(P[1], E[1] / k);
    1383        6867 :       for (i = 2; i < l; i++) y = mulii(y, powuu(P[i], E[i] / k));
    1384        6867 :       x = equali1(x)? y: mulii(x,y);
    1385             :     }
    1386        8029 :     *pty = x;
    1387             :   }
    1388     7000827 :   return k == 1? 0: k;
    1389             : }
    1390             : 
    1391             : long
    1392     7000841 : Z_isanypower(GEN x, GEN *pty)
    1393             : {
    1394     7000841 :   pari_sp av = avma;
    1395     7000841 :   long k = Z_isanypower_aux(x, pty);
    1396     7000841 :   if (!k) { avma = av; return 0; }
    1397        8092 :   if (signe(x) < 0)
    1398             :   {
    1399          42 :     long v = vals(k);
    1400          42 :     if (v)
    1401             :     {
    1402             :       GEN y;
    1403          28 :       k >>= v;
    1404          28 :       if (k == 1) { avma = av; return 0; }
    1405          21 :       if (!pty) { avma = av; return k; }
    1406          14 :       y = *pty;
    1407          14 :       y = powiu(y, 1<<v);
    1408          14 :       togglesign(y);
    1409          14 :       *pty = gerepileuptoint(av, y);
    1410          14 :       return k;
    1411             :     }
    1412          14 :     if (pty) togglesign_safe(pty);
    1413             :   }
    1414        8064 :   if (pty) *pty = gerepilecopy(av, *pty); else avma = av;
    1415        8064 :   return k;
    1416             : }
    1417             : 
    1418             : /* Faster than */
    1419             : /*   !cmpii(n, int2n(vali(n))) */
    1420             : /*   !cmpis(shifti(n, -vali(n)), 1) */
    1421             : /*   expi(n) == vali(n) */
    1422             : /*   hamming(n) == 1 */
    1423             : /* even for single-word values, and much faster for multiword values. */
    1424             : /* If all you have is a word, you can just use n & !(n & (n-1)). */
    1425             : long
    1426       80682 : Z_ispow2(GEN n)
    1427             : {
    1428             :   GEN xp;
    1429             :   long i, lx;
    1430             :   ulong u;
    1431       80682 :   if (signe(n) != 1) return 0;
    1432       80675 :   xp = int_LSW(n);
    1433       80675 :   lx = lgefint(n);
    1434       80675 :   u = *xp;
    1435       80959 :   for (i = 3; i < lx; ++i)
    1436             :   {
    1437       78140 :     if (u) return 0;
    1438         284 :     xp = int_nextW(xp);
    1439         284 :     u = *xp;
    1440             :   }
    1441        2819 :   return !(u & (u-1));
    1442             : }
    1443             : 
    1444             : static long
    1445      841788 : isprimepower_i(GEN n, GEN *pt, long flag)
    1446             : {
    1447      841788 :   pari_sp av = avma;
    1448             :   long i, v;
    1449             : 
    1450      841788 :   if (typ(n) != t_INT) pari_err_TYPE("isprimepower", n);
    1451      841788 :   if (signe(n) <= 0) return 0;
    1452             : 
    1453      841788 :   if (lgefint(n) == 3)
    1454             :   {
    1455             :     ulong p;
    1456      541121 :     v = uisprimepower(n[2], &p);
    1457      541121 :     if (v)
    1458             :     {
    1459       54909 :       if (pt) *pt = utoipos(p);
    1460       54909 :       return v;
    1461             :     }
    1462      486212 :     return 0;
    1463             :   }
    1464     1662340 :   for (i = 0; i < 26; i++)
    1465             :   {
    1466     1626494 :     ulong p = tinyprimes[i];
    1467     1626494 :     v = Z_lvalrem(n, p, &n);
    1468     1626491 :     if (v)
    1469             :     {
    1470      264818 :       avma = av;
    1471      264818 :       if (!is_pm1(n)) return 0;
    1472         424 :       if (pt) *pt = utoipos(p);
    1473         422 :       return v;
    1474             :     }
    1475             :   }
    1476             :   /* p | n => p >= 103 */
    1477       35846 :   v = Z_isanypower_nosmalldiv(&n); /* expensive */
    1478       35846 :   if (!(flag? isprime(n): BPSW_psp(n))) { avma = av; return 0; }
    1479        5534 :   if (pt) *pt = gerepilecopy(av, n); else avma = av;
    1480        5534 :   return v;
    1481             : }
    1482             : long
    1483      840098 : isprimepower(GEN n, GEN *pt) { return isprimepower_i(n,pt,1); }
    1484             : long
    1485        1690 : ispseudoprimepower(GEN n, GEN *pt) { return isprimepower_i(n,pt,0); }
    1486             : 
    1487             : long
    1488      542220 : uisprimepower(ulong n, ulong *pp)
    1489             : { /* We must have CUTOFF^11 >= ULONG_MAX and CUTOFF^3 < ULONG_MAX.
    1490             :    * Tests suggest that 200-300 is the best range for 64-bit platforms. */
    1491      542220 :   const ulong CUTOFF = 200UL;
    1492      542220 :   const long TINYCUTOFF = 46;  /* tinyprimes[45] = 199 */
    1493      542220 :   const ulong CUTOFF3 = CUTOFF*CUTOFF*CUTOFF;
    1494             : #ifdef LONG_IS_64BIT
    1495             :   /* primes preceeding the appropriate root of ULONG_MAX. */
    1496      481914 :   const ulong ROOT9 = 137;
    1497      481914 :   const ulong ROOT8 = 251;
    1498      481914 :   const ulong ROOT7 = 563;
    1499      481914 :   const ulong ROOT5 = 7129;
    1500      481914 :   const ulong ROOT4 = 65521;
    1501             : #else
    1502       60306 :   const ulong ROOT9 = 11;
    1503       60306 :   const ulong ROOT8 = 13;
    1504       60306 :   const ulong ROOT7 = 23;
    1505       60306 :   const ulong ROOT5 = 83;
    1506       60306 :   const ulong ROOT4 = 251;
    1507             : #endif
    1508             :   ulong mask;
    1509             :   long v, i;
    1510             :   int e;
    1511      542220 :   if (n < 2) return 0;
    1512      542206 :   if (!odd(n)) {
    1513      271187 :     if (n & (n-1)) return 0;
    1514        1383 :     *pp = 2; return vals(n);
    1515             :   }
    1516      271019 :   if (n < 8) { *pp = n; return 1; } /* 3,5,7 */
    1517     3653916 :   for (i = 1/*skip p=2*/; i < TINYCUTOFF; i++)
    1518             :   {
    1519     3594841 :     ulong p = tinyprimes[i];
    1520     3594841 :     if (n % p == 0)
    1521             :     {
    1522      211538 :       v = u_lvalrem(n, p, &n);
    1523      211538 :       if (n == 1) { *pp = p; return v; }
    1524      209438 :       return 0;
    1525             :     }
    1526             :   }
    1527             :   /* p | n => p >= CUTOFF */
    1528             : 
    1529       59075 :   if (n < CUTOFF3)
    1530             :   {
    1531       46354 :     if (n < CUTOFF*CUTOFF || uisprime_101(n)) { *pp = n; return 1; }
    1532           0 :     if (uissquareall(n, &n)) { *pp = n; return 2; }
    1533           0 :     return 0;
    1534             :   }
    1535             : 
    1536             :   /* Check for squares, fourth powers, and eighth powers as appropriate. */
    1537       12721 :   v = 1;
    1538       12721 :   if (uissquareall(n, &n)) {
    1539           0 :     v <<= 1;
    1540           0 :     if (CUTOFF <= ROOT4 && uissquareall(n, &n)) {
    1541           0 :       v <<= 1;
    1542           0 :       if (CUTOFF <= ROOT8 && uissquareall(n, &n)) v <<= 1;
    1543             :     }
    1544             :   }
    1545             : 
    1546       12721 :   if (CUTOFF > ROOT5) mask = 1;
    1547             :   else
    1548             :   {
    1549       12720 :     const ulong CUTOFF5 = CUTOFF3*CUTOFF*CUTOFF;
    1550       12720 :     if (n < CUTOFF5) mask = 1; else mask = 3;
    1551       12720 :     if (CUTOFF <= ROOT7)
    1552             :     {
    1553       12720 :       const ulong CUTOFF7 = CUTOFF5*CUTOFF*CUTOFF;
    1554       12720 :       if (n >= CUTOFF7) mask = 7;
    1555             :     }
    1556             :   }
    1557             : 
    1558       12721 :   if (CUTOFF <= ROOT9 && (e = uis_357_power(n, &n, &mask))) { v *= e; mask=1; }
    1559       12721 :   if ((e = uis_357_power(n, &n, &mask))) v *= e;
    1560             : 
    1561       12721 :   if (uisprime_101(n)) { *pp = n; return v; }
    1562        6984 :   return 0;
    1563             : }
    1564             : 
    1565             : /*********************************************************************/
    1566             : /**                                                                 **/
    1567             : /**                        KRONECKER SYMBOL                         **/
    1568             : /**                                                                 **/
    1569             : /*********************************************************************/
    1570             : /* t = 3,5 mod 8 ?  (= 2 not a square mod t) */
    1571             : static int
    1572   634128020 : ome(long t)
    1573             : {
    1574   634128020 :   switch(t & 7)
    1575             :   {
    1576             :     case 3:
    1577   360640202 :     case 5: return 1;
    1578   273487818 :     default: return 0;
    1579             :   }
    1580             : }
    1581             : /* t a t_INT, is t = 3,5 mod 8 ? */
    1582             : static int
    1583     5371111 : gome(GEN t)
    1584     5371111 : { return signe(t)? ome( mod2BIL(t) ): 0; }
    1585             : 
    1586             : /* assume y odd, return kronecker(x,y) * s */
    1587             : static long
    1588   480718755 : krouu_s(ulong x, ulong y, long s)
    1589             : {
    1590   480718755 :   ulong x1 = x, y1 = y, z;
    1591  2606367622 :   while (x1)
    1592             :   {
    1593  1644998896 :     long r = vals(x1);
    1594  1645063303 :     if (r)
    1595             :     {
    1596   885758877 :       if (odd(r) && ome(y1)) s = -s;
    1597   885625686 :       x1 >>= r;
    1598             :     }
    1599  1644930112 :     if (x1 & y1 & 2) s = -s;
    1600  1644930112 :     z = y1 % x1; y1 = x1; x1 = z;
    1601             :   }
    1602   480649971 :   return (y1 == 1)? s: 0;
    1603             : }
    1604             : 
    1605             : long
    1606     6103807 : kronecker(GEN x, GEN y)
    1607             : {
    1608     6103807 :   pari_sp av = avma;
    1609     6103807 :   long s = 1, r;
    1610             :   ulong xu, yu;
    1611             : 
    1612     6103807 :   if (typ(x) != t_INT) pari_err_TYPE("kronecker",x);
    1613     6103807 :   if (typ(y) != t_INT) pari_err_TYPE("kronecker",y);
    1614     6103807 :   switch (signe(y))
    1615             :   {
    1616           0 :     case -1: y = negi(y); if (signe(x) < 0) s = -1; break;
    1617           0 :     case 0: return is_pm1(x);
    1618             :   }
    1619     6103807 :   r = vali(y);
    1620     6103807 :   if (r)
    1621             :   {
    1622       12216 :     if (!mpodd(x)) { avma = av; return 0; }
    1623       10494 :     if (odd(r) && gome(x)) s = -s;
    1624       10494 :     y = shifti(y,-r);
    1625             :   }
    1626     6102085 :   x = modii(x,y);
    1627    13108465 :   while (lgefint(x) > 3) /* x < y */
    1628             :   {
    1629             :     GEN z;
    1630      904295 :     r = vali(x);
    1631      904295 :     if (r)
    1632             :     {
    1633      493412 :       if (odd(r) && gome(y)) s = -s;
    1634      493412 :       x = shifti(x,-r);
    1635             :     }
    1636             :     /* x=3 mod 4 && y=3 mod 4 ? (both are odd here) */
    1637      904295 :     if (mod2BIL(x) & mod2BIL(y) & 2) s = -s;
    1638      904295 :     z = remii(y,x); y = x; x = z;
    1639      904295 :     if (gc_needed(av,2))
    1640             :     {
    1641           0 :       if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"kronecker");
    1642           0 :       gerepileall(av, 2, &x, &y);
    1643             :     }
    1644             :   }
    1645     6102085 :   xu = itou(x);
    1646     6102085 :   if (!xu) return is_pm1(y)? s: 0;
    1647     6080904 :   r = vals(xu);
    1648     6080904 :   if (r)
    1649             :   {
    1650     4131440 :     if (odd(r) && gome(y)) s = -s;
    1651     4131440 :     xu >>= r;
    1652             :   }
    1653             :   /* x=3 mod 4 && y=3 mod 4 ? (both are odd here) */
    1654     6080904 :   if (xu & mod2BIL(y) & 2) s = -s;
    1655     6080904 :   yu = umodiu(y, xu);
    1656     6080904 :   avma = av; return krouu_s(yu, xu, s);
    1657             : }
    1658             : 
    1659             : long
    1660       30842 : krois(GEN x, long y)
    1661             : {
    1662             :   ulong yu;
    1663       30842 :   long s = 1;
    1664             : 
    1665       30842 :   if (y <= 0)
    1666             :   {
    1667           7 :     if (y == 0) return is_pm1(x);
    1668           0 :     yu = (ulong)-y; if (signe(x) < 0) s = -1;
    1669             :   }
    1670             :   else
    1671       30835 :     yu = (ulong)y;
    1672       30835 :   if (!odd(yu))
    1673             :   {
    1674             :     long r;
    1675       14056 :     if (!mpodd(x)) return 0;
    1676       10472 :     r = vals(yu); yu >>= r;
    1677       10472 :     if (odd(r) && gome(x)) s = -s;
    1678             :   }
    1679       27251 :   return krouu_s(umodiu(x, yu), yu, s);
    1680             : }
    1681             : /* assume y != 0 */
    1682             : long
    1683   342596563 : kroiu(GEN x, ulong y)
    1684             : {
    1685             :   long r;
    1686   342596563 :   if (odd(y)) return krouu_s(umodiu(x,y), y, 1);
    1687     2132032 :   if (!mpodd(x)) return 0;
    1688     2109898 :   r = vals(y); y >>= r;
    1689     2109898 :   return krouu_s(umodiu(x,y), y, (odd(r) && gome(x))? -1: 1);
    1690             : }
    1691             : 
    1692             : /* assume y > 0, odd, return s * kronecker(x,y) */
    1693             : static long
    1694      120510 : krouodd(ulong x, GEN y, long s)
    1695             : {
    1696             :   long r;
    1697      120510 :   if (lgefint(y) == 3) return krouu_s(x, y[2], s);
    1698       41844 :   if (!x) return 0; /* y != 1 */
    1699       41844 :   r = vals(x);
    1700       41844 :   if (r)
    1701             :   {
    1702        7341 :     if (odd(r) && gome(y)) s = -s;
    1703        7341 :     x >>= r;
    1704             :   }
    1705             :   /* x=3 mod 4 && y=3 mod 4 ? (both are odd here) */
    1706       41844 :   if (x & mod2BIL(y) & 2) s = -s;
    1707       41844 :   return krouu_s(umodiu(y,x), x, s);
    1708             : }
    1709             : 
    1710             : long
    1711      119997 : krosi(long x, GEN y)
    1712             : {
    1713      119997 :   const pari_sp av = avma;
    1714      119997 :   long s = 1, r;
    1715      119997 :   switch (signe(y))
    1716             :   {
    1717           0 :     case -1: y = negi(y); if (x < 0) s = -1; break;
    1718           0 :     case 0: return (x==1 || x==-1);
    1719             :   }
    1720      119997 :   r = vali(y);
    1721      119997 :   if (r)
    1722             :   {
    1723        8421 :     if (!odd(x)) { avma = av; return 0; }
    1724        8421 :     if (odd(r) && ome(x)) s = -s;
    1725        8421 :     y = shifti(y,-r);
    1726             :   }
    1727      119997 :   if (x < 0) { x = -x; if (mod4(y) == 3) s = -s; }
    1728      119997 :   s = krouodd((ulong)x, y, s);
    1729      119997 :   avma = av; return s;
    1730             : }
    1731             : 
    1732             : long
    1733         513 : kroui(ulong x, GEN y)
    1734             : {
    1735         513 :   const pari_sp av = avma;
    1736         513 :   long s = 1, r;
    1737         513 :   switch (signe(y))
    1738             :   {
    1739           0 :     case -1: y = negi(y); break;
    1740           0 :     case 0: return x==1UL;
    1741             :   }
    1742         513 :   r = vali(y);
    1743         513 :   if (r)
    1744             :   {
    1745           0 :     if (!odd(x)) { avma = av; return 0; }
    1746           0 :     if (odd(r) && ome(x)) s = -s;
    1747           0 :     y = shifti(y,-r);
    1748             :   }
    1749         513 :   s = krouodd(x, y, s);
    1750         513 :   avma = av; return s;
    1751             : }
    1752             : 
    1753             : long
    1754    73601538 : kross(long x, long y)
    1755             : {
    1756             :   ulong yu;
    1757    73601538 :   long s = 1;
    1758             : 
    1759    73601538 :   if (y <= 0)
    1760             :   {
    1761         441 :     if (y == 0) return (labs(x)==1);
    1762         413 :     yu = (ulong)-y; if (x < 0) s = -1;
    1763             :   }
    1764             :   else
    1765    73601097 :     yu = (ulong)y;
    1766    73601510 :   if (!odd(yu))
    1767             :   {
    1768             :     long r;
    1769    17156651 :     if (!odd(x)) return 0;
    1770    12332671 :     r = vals(yu); yu >>= r;
    1771    12332671 :     if (odd(r) && ome(x)) s = -s;
    1772             :   }
    1773    68777530 :   x %= (long)yu; if (x < 0) x += yu;
    1774    68777530 :   return krouu_s((ulong)x, yu, s);
    1775             : }
    1776             : 
    1777             : long
    1778    63022301 : krouu(ulong x, ulong y)
    1779             : {
    1780             :   long r;
    1781    63022301 :   if (odd(y)) return krouu_s(x, y, 1);
    1782        1674 :   if (!odd(x)) return 0;
    1783        1674 :   r = vals(y); y >>= r;
    1784        1674 :   return krouu_s(x, y, (odd(r) && ome(x))? -1: 1);
    1785             : }
    1786             : 
    1787             : /*********************************************************************/
    1788             : /**                                                                 **/
    1789             : /**                          HILBERT SYMBOL                         **/
    1790             : /**                                                                 **/
    1791             : /*********************************************************************/
    1792             : /* x,y are t_INT or t_REAL */
    1793             : static long
    1794        9982 : mphilbertoo(GEN x, GEN y)
    1795             : {
    1796        9982 :   long sx = signe(x), sy = signe(y);
    1797        9982 :   if (!sx || !sy) return 0;
    1798        9982 :   return (sx < 0 && sy < 0)? -1: 1;
    1799             : }
    1800             : 
    1801             : long
    1802       53144 : hilbertii(GEN x, GEN y, GEN p)
    1803             : {
    1804             :   pari_sp av;
    1805             :   long oddvx, oddvy, z;
    1806             : 
    1807       53144 :   if (!p) return mphilbertoo(x,y);
    1808       43183 :   if (is_pm1(p) || signe(p) < 0) pari_err_PRIME("hilbertii",p);
    1809       43183 :   if (!signe(x) || !signe(y)) return 0;
    1810       43162 :   av = avma;
    1811       43162 :   oddvx = odd(Z_pvalrem(x,p,&x));
    1812       43162 :   oddvy = odd(Z_pvalrem(y,p,&y));
    1813             :   /* x, y are p-units, compute hilbert(x * p^oddvx, y * p^oddvy, p) */
    1814       43162 :   if (absequaliu(p, 2))
    1815             :   {
    1816       10689 :     z = (Mod4(x) == 3 && Mod4(y) == 3)? -1: 1;
    1817       10689 :     if (oddvx && gome(y)) z = -z;
    1818       10689 :     if (oddvy && gome(x)) z = -z;
    1819             :   }
    1820             :   else
    1821             :   {
    1822       32473 :     z = (oddvx && oddvy && mod4(p) == 3)? -1: 1;
    1823       32473 :     if (oddvx && kronecker(y,p) < 0) z = -z;
    1824       32473 :     if (oddvy && kronecker(x,p) < 0) z = -z;
    1825             :   }
    1826       43162 :   avma = av; return z;
    1827             : }
    1828             : 
    1829             : static void
    1830         196 : err_prec(void) { pari_err_PREC("hilbert"); }
    1831             : static void
    1832         161 : err_p(GEN p, GEN q) { pari_err_MODULUS("hilbert", p,q); }
    1833             : static void
    1834          56 : err_oo(GEN p) { pari_err_MODULUS("hilbert", p, strtoGENstr("oo")); }
    1835             : 
    1836             : /* x t_INTMOD, *pp = prime or NULL [ unset, set it to x.mod ].
    1837             :  * Return lift(x) provided it's p-adic accuracy is large enough to decide
    1838             :  * hilbert()'s value [ problem at p = 2 ] */
    1839             : static GEN
    1840         420 : lift_intmod(GEN x, GEN *pp)
    1841             : {
    1842         420 :   GEN p = *pp, N = gel(x,1);
    1843         420 :   x = gel(x,2);
    1844         420 :   if (!p)
    1845             :   {
    1846         266 :     *pp = p = N;
    1847         266 :     switch(itos_or_0(p))
    1848             :     {
    1849             :       case 2:
    1850         126 :       case 4: err_prec();
    1851             :     }
    1852         140 :     return x;
    1853             :   }
    1854         154 :   if (!signe(p)) err_oo(N);
    1855         112 :   if (absequaliu(p,2))
    1856          42 :   { if (vali(N) <= 2) err_prec(); }
    1857             :   else
    1858          70 :   { if (!dvdii(N,p)) err_p(N,p); }
    1859          28 :   if (!signe(x)) err_prec();
    1860          21 :   return x;
    1861             : }
    1862             : /* x t_PADIC, *pp = prime or NULL [ unset, set it to x.p ].
    1863             :  * Return lift(x)*p^(v(x) mod 2) provided it's p-adic accuracy is large enough
    1864             :  * to decide hilbert()'s value [ problem at p = 2 ]*/
    1865             : static GEN
    1866         210 : lift_padic(GEN x, GEN *pp)
    1867             : {
    1868         210 :   GEN p = *pp, q = gel(x,2), y = gel(x,4);
    1869         210 :   if (!p) *pp = p = q;
    1870         147 :   else if (!equalii(p,q)) err_p(p, q);
    1871         105 :   if (absequaliu(p,2) && precp(x) <= 2) err_prec();
    1872          70 :   if (!signe(y)) err_prec();
    1873          70 :   return odd(valp(x))? mulii(p,y): y;
    1874             : }
    1875             : 
    1876             : long
    1877         658 : hilbert(GEN x, GEN y, GEN p)
    1878             : {
    1879         658 :   pari_sp av = avma;
    1880         658 :   long tx = typ(x), ty = typ(y), z;
    1881             : 
    1882         658 :   if (p && typ(p) != t_INT) pari_err_TYPE("hilbert",p);
    1883         658 :   if (tx == t_REAL)
    1884             :   {
    1885          77 :     if (p && signe(p)) err_oo(p);
    1886          63 :     switch (ty)
    1887             :     {
    1888             :       case t_INT:
    1889           7 :       case t_REAL: return mphilbertoo(x,y);
    1890           0 :       case t_FRAC: return mphilbertoo(x,gel(y,1));
    1891          56 :       default: pari_err_TYPE2("hilbert",x,y);
    1892             :     }
    1893             :   }
    1894         581 :   if (ty == t_REAL)
    1895             :   {
    1896          14 :     if (p && signe(p)) err_oo(p);
    1897          14 :     switch (tx)
    1898             :     {
    1899             :       case t_INT:
    1900          14 :       case t_REAL: return mphilbertoo(x,y);
    1901           0 :       case t_FRAC: return mphilbertoo(gel(x,1),y);
    1902           0 :       default: pari_err_TYPE2("hilbert",x,y);
    1903             :     }
    1904             :   }
    1905         567 :   if (tx == t_INTMOD) { x = lift_intmod(x, &p); tx = t_INT; }
    1906         364 :   if (ty == t_INTMOD) { y = lift_intmod(y, &p); ty = t_INT; }
    1907             : 
    1908         308 :   if (tx == t_PADIC) { x = lift_padic(x, &p); tx = t_INT; }
    1909         245 :   if (ty == t_PADIC) { y = lift_padic(y, &p); ty = t_INT; }
    1910             : 
    1911         168 :   if (tx == t_FRAC) { tx = t_INT; x = p? mulii(gel(x,1),gel(x,2)): gel(x,1); }
    1912         168 :   if (ty == t_FRAC) { ty = t_INT; y = p? mulii(gel(y,1),gel(y,2)): gel(y,1); }
    1913             : 
    1914         168 :   if (tx != t_INT || ty != t_INT) pari_err_TYPE2("hilbert",x,y);
    1915         168 :   if (p && !signe(p)) p = NULL;
    1916         168 :   z = hilbertii(x,y,p); avma = av; return z;
    1917             : }
    1918             : 
    1919             : /*******************************************************************/
    1920             : /*                                                                 */
    1921             : /*                       SQUARE ROOT MODULO p                      */
    1922             : /*                                                                 */
    1923             : /*******************************************************************/
    1924             : static void
    1925     4267163 : checkp(ulong q, ulong p)
    1926     4267163 : { if (!q) pari_err_PRIME("Fl_nonsquare",utoipos(p)); }
    1927             : /* p = 1 (mod 4) prime, return the first quadratic non-residue, a prime */
    1928             : static ulong
    1929    26768373 : nonsquare1_Fl(ulong p)
    1930             : {
    1931             :   forprime_t S;
    1932             :   ulong q;
    1933    26768373 :   if ((p & 7UL) != 1) return 2UL;
    1934    10951424 :   q = p % 3; if (q == 2) return 3UL;
    1935     3412517 :   checkp(q, p);
    1936     3412510 :   q = p % 5; if (q == 2 || q == 3) return 5UL;
    1937      518825 :   checkp(q, p);
    1938      518825 :   q = p % 7; if (q != 4 && q >= 3) return 7UL;
    1939      209946 :   checkp(q, p);
    1940      209946 :   u_forprime_init(&S, 11, p);
    1941      545767 :   while ((q = u_forprime_next(&S)))
    1942             :   {
    1943      335821 :     long i = krouu(q, p);
    1944      335821 :     if (i < 0) return q;
    1945      125875 :     checkp(q, p);
    1946             :   }
    1947           0 :   checkp(0, p);
    1948             :   return 0; /*LCOV_EXCL_LINE*/
    1949             : }
    1950             : /* p > 2 a prime */
    1951             : ulong
    1952        7714 : nonsquare_Fl(ulong p)
    1953        7714 : { return ((p & 3UL) == 3)? p-1: nonsquare1_Fl(p); }
    1954             : 
    1955             : ulong
    1956      150646 : Fl_2gener_pre(ulong p, ulong pi)
    1957             : {
    1958      150646 :   ulong p1 = p-1;
    1959      150646 :   long e = vals(p1);
    1960      150644 :   if (e == 1) return p1;
    1961       56689 :   return Fl_powu_pre(nonsquare1_Fl(p), p1 >> e, p, pi);
    1962             : }
    1963             : 
    1964             : /* Tonelli-Shanks. Assume p is prime and (a,p) != -1. */
    1965             : ulong
    1966    64210127 : Fl_sqrt_pre_i(ulong a, ulong y, ulong p, ulong pi)
    1967             : {
    1968             :   long i, e, k;
    1969             :   ulong p1, q, v, w;
    1970             : 
    1971    64210127 :   if (!a) return 0;
    1972    62880546 :   p1 = p - 1; e = vals(p1);
    1973    62876417 :   if (e == 0) /* p = 2 */
    1974             :   {
    1975      418894 :     if (p != 2) pari_err_PRIME("Fl_sqrt [modulus]",utoi(p));
    1976      418887 :     return ((a & 1) == 0)? 0: 1;
    1977             :   }
    1978    62457523 :   if (e == 1)
    1979             :   {
    1980    35744233 :     v = Fl_powu_pre(a, (p+1) >> 2, p, pi);
    1981    35745609 :     if (Fl_sqr_pre(v, p, pi) != a) return ~0UL;
    1982    35713146 :     p1 = p - v; if (v > p1) v = p1;
    1983    35713146 :     return v;
    1984             :   }
    1985    26713290 :   q = p1 >> e; /* q = (p-1)/2^oo is odd */
    1986    26713290 :   p1 = Fl_powu_pre(a, q >> 1, p, pi); /* a ^ [(q-1)/2] */
    1987    26713290 :   if (!p1) return 0;
    1988    26713290 :   v = Fl_mul_pre(a, p1, p, pi);
    1989    26713290 :   w = Fl_mul_pre(v, p1, p, pi);
    1990    26713290 :   if (!y) y = Fl_powu_pre(nonsquare1_Fl(p), q, p, pi);
    1991    75728625 :   while (w != 1)
    1992             :   { /* a*w = v^2, y primitive 2^e-th root of 1
    1993             :        a square --> w even power of y, hence w^(2^(e-1)) = 1 */
    1994    22330313 :     p1 = Fl_sqr_pre(w,p,pi);
    1995    22330313 :     for (k=1; p1 != 1 && k < e; k++) p1 = Fl_sqr_pre(p1,p,pi);
    1996    22330313 :     if (k == e) return ~0UL;
    1997             :     /* w ^ (2^k) = 1 --> w = y ^ (u * 2^(e-k)), u odd */
    1998    22302059 :     p1 = y;
    1999    22302059 :     for (i=1; i < e-k; i++) p1 = Fl_sqr_pre(p1, p, pi);
    2000    22302059 :     y = Fl_sqr_pre(p1, p, pi); e = k;
    2001    22302059 :     w = Fl_mul_pre(y, w, p, pi);
    2002    22302059 :     v = Fl_mul_pre(v, p1, p, pi);
    2003             :   }
    2004    26685029 :   p1 = p - v; if (v > p1) v = p1;
    2005    26685029 :   return v;
    2006             : }
    2007             : 
    2008             : ulong
    2009    60759156 : Fl_sqrt(ulong a, ulong p)
    2010             : {
    2011    60759156 :   ulong pi = get_Fl_red(p);
    2012    60760814 :   return Fl_sqrt_pre_i(a, 0, p, pi);
    2013             : }
    2014             : 
    2015             : ulong
    2016     3416097 : Fl_sqrt_pre(ulong a, ulong p, ulong pi)
    2017             : {
    2018     3416097 :   return Fl_sqrt_pre_i(a, 0, p, pi);
    2019             : }
    2020             : 
    2021             : static ulong
    2022       46242 : Fl_lgener_pre_all(ulong l, long e, ulong r, ulong p, ulong pi, ulong *pt_m)
    2023             : {
    2024             :   ulong x, y, m;
    2025       46242 :   ulong le1 = upowuu(l, e-1);
    2026       72873 :   for (x = 2; ; x++)
    2027             :   {
    2028       99504 :     y = Fl_powu_pre(x, r, p, pi);
    2029       72873 :     if (y==1) continue;
    2030       56598 :     m = Fl_powu_pre(y, le1, p, pi);
    2031       56598 :     if (m != 1) break;
    2032             :   }
    2033       46242 :   *pt_m = m;
    2034       46242 :   return y;
    2035             : }
    2036             : 
    2037             : /* solve x^l = a , l prime in G of order q.
    2038             :  *
    2039             :  * q =  (l^e)*r, e >= 1, (r,l) = 1
    2040             :  * y generates the l-Sylow of G
    2041             :  * m = y^(l^(e-1)) != 1 */
    2042             : static ulong
    2043      110495 : Fl_sqrtl_raw(ulong a, ulong l, ulong e, ulong r, ulong p, ulong pi, ulong y, ulong m)
    2044             : {
    2045             :   ulong p1, v, w, z, dl;
    2046             :   ulong u2;
    2047      110495 :   if (a==0) return a;
    2048      110495 :   u2 = Fl_inv(l%r, r);
    2049      110496 :   v = Fl_powu_pre(a, u2, p, pi);
    2050      110495 :   w = Fl_powu_pre(v, l, p, pi);
    2051      110496 :   w = Fl_mul_pre(w, Fl_inv(a, p), p, pi);
    2052      110482 :   if (w==1) return v;
    2053       45309 :   if (y==0) y = Fl_lgener_pre_all(l, e, r, p, pi, &m);
    2054      109623 :   while (w!=1)
    2055             :   {
    2056       49554 :     ulong k = 0;
    2057       49554 :     p1 = w;
    2058             :     do
    2059             :     {
    2060       73427 :       z = p1; p1 = Fl_powu_pre(p1, l, p, pi);
    2061       73427 :       k++;
    2062       73427 :     } while (p1!=1);
    2063       49554 :     if (k==e) return ULONG_MAX;
    2064       19005 :     dl = Fl_log_pre(z, m, l, p, pi);
    2065       19005 :     dl = Fl_neg(dl, l);
    2066       19005 :     p1 = Fl_powu_pre(y,dl*upowuu(l,e-k-1),p,pi);
    2067       19005 :     m = Fl_powu_pre(m, dl, p, pi);
    2068       19005 :     e = k;
    2069       19005 :     v = Fl_mul_pre(p1,v,p,pi);
    2070       19005 :     y = Fl_powu_pre(p1,l,p,pi);
    2071       19005 :     w = Fl_mul_pre(y,w,p,pi);
    2072             :   }
    2073       14760 :   return v;
    2074             : }
    2075             : 
    2076             : static ulong
    2077      109789 : Fl_sqrtl_i(ulong a, ulong l, ulong p, ulong pi, ulong y, ulong m)
    2078             : {
    2079      109789 :   ulong r, e = u_lvalrem(p-1, l, &r);
    2080      109788 :   return Fl_sqrtl_raw(a, l, e, r, p, pi, y, m);
    2081             : }
    2082             : 
    2083             : ulong
    2084      109788 : Fl_sqrtl_pre(ulong a, ulong l, ulong p, ulong pi)
    2085             : {
    2086      109788 :   return Fl_sqrtl_i(a, l, p, pi, 0, 0);
    2087             : }
    2088             : 
    2089             : ulong
    2090           0 : Fl_sqrtl(ulong a, ulong l, ulong p)
    2091             : {
    2092           0 :   ulong pi = get_Fl_red(p);
    2093           0 :   return Fl_sqrtl_i(a, l, p, pi, 0, 0);
    2094             : }
    2095             : 
    2096             : ulong
    2097       64969 : Fl_sqrtn_pre(ulong a, long n, ulong p, ulong pi, ulong *zetan)
    2098             : {
    2099       64969 :   ulong m, q = p-1, z;
    2100       64969 :   ulong nn = n >= 0 ? (ulong)n: -(ulong)n;
    2101       64969 :   if (a==0)
    2102             :   {
    2103       48118 :     if (n < 0) pari_err_INV("Fl_sqrtn", mkintmod(gen_0,utoi(p)));
    2104       48111 :     if (zetan) *zetan = 1UL;
    2105       48111 :     return 0;
    2106             :   }
    2107       16851 :   if (n==1)
    2108             :   {
    2109           0 :     if (zetan) *zetan = 1;
    2110           0 :     return n < 0? Fl_inv(a,p): a;
    2111             :   }
    2112       16851 :   if (n==2)
    2113             :   {
    2114        3444 :     if (zetan) *zetan = p-1;
    2115        3444 :     return Fl_sqrt_pre_i(a, 0, p, pi);
    2116             :   }
    2117       13407 :   if (a == 1 && !zetan) return a;
    2118        7478 :   m = ugcd(nn, q);
    2119        7478 :   z = 1;
    2120        7478 :   if (m!=1)
    2121             :   {
    2122         912 :     GEN F = factoru(m);
    2123             :     long i, j, e;
    2124             :     ulong r, zeta, y, l;
    2125        1915 :     for (i = nbrows(F); i; i--)
    2126             :     {
    2127        1017 :       l = ucoeff(F,i,1);
    2128        1017 :       j = ucoeff(F,i,2);
    2129        1017 :       e = u_lvalrem(q,l, &r);
    2130        1017 :       y = Fl_lgener_pre_all(l, e, r, p, pi, &zeta);
    2131        1017 :       if (zetan)
    2132         464 :         z = Fl_mul_pre(z, Fl_powu_pre(y, upowuu(l,e-j), p, pi), p, pi);
    2133        1017 :       if (a!=1)
    2134             :         do
    2135             :         {
    2136         707 :           a = Fl_sqrtl_raw(a, l, e, r, p, pi, y, zeta);
    2137         693 :           if (!a) return ULONG_MAX;
    2138         693 :         } while (--j);
    2139             :     }
    2140             :   }
    2141        7464 :   if (m != nn)
    2142             :   {
    2143        6594 :     ulong qm = q/m, nm = nn/m;
    2144        6594 :     a = Fl_powu_pre(a, Fl_inv(nm%qm, qm), p, pi);
    2145             :   }
    2146        7464 :   if (n < 0) a = Fl_inv(a, p);
    2147        7464 :   if (zetan) *zetan = z;
    2148        7464 :   return a;
    2149             : }
    2150             : 
    2151             : ulong
    2152       64969 : Fl_sqrtn(ulong a, long n, ulong p, ulong *zetan)
    2153             : {
    2154       64969 :   ulong pi = get_Fl_red(p);
    2155       64969 :   return Fl_sqrtn_pre(a, n, p, pi, zetan);
    2156             : }
    2157             : 
    2158             : /* Cipolla is better than Tonelli-Shanks when e = v_2(p-1) is "too big".
    2159             :  * Otherwise, is a constant times worse; for p = 3 (mod 4), is about 3 times worse,
    2160             :  * and in average is about 2 or 2.5 times worse. But try both algorithms for
    2161             :  * S(n) = (2^n+3)^2-8 with n = 750, 771, 779, 790, 874, 1176, 1728, 2604, etc.
    2162             :  *
    2163             :  * If X^2 := t^2 - a  is not a square in F_p (so X is in F_p^2), then
    2164             :  *   (t+X)^(p+1) = (t-X)(t+X) = a,   hence  sqrt(a) = (t+X)^((p+1)/2)  in F_p^2.
    2165             :  * If (a|p)=1, then sqrt(a) is in F_p.
    2166             :  * cf: LNCS 2286, pp 430-434 (2002)  [Gonzalo Tornaria] */
    2167             : 
    2168             : /* compute y^2, y = y[1] + y[2] X */
    2169             : static GEN
    2170         449 : sqrt_Cipolla_sqr(void *data, GEN y)
    2171             : {
    2172         449 :   GEN u = gel(y,1), v = gel(y,2), p = gel(data,2), n = gel(data,3);
    2173         449 :   GEN u2 = sqri(u), v2 = sqri(v);
    2174         449 :   v = subii(sqri(addii(v,u)), addii(u2,v2));
    2175         449 :   u = addii(u2, mulii(v2,n));
    2176             :   /* NOT mkvec2: must be gerepileupto-able */
    2177         449 :   retmkvec2(modii(u,p), modii(v,p));
    2178             : }
    2179             : /* compute (t+X) y^2 */
    2180             : static GEN
    2181          23 : sqrt_Cipolla_msqr(void *data, GEN y)
    2182             : {
    2183          23 :   GEN u = gel(y,1), v = gel(y,2), a = gel(data,1), p = gel(data,2), gt = gel(data,4);
    2184          23 :   ulong t = gt[2];
    2185          23 :   GEN d = addii(u, mului(t,v)), d2= sqri(d);
    2186          23 :   GEN b = remii(mulii(a,v), p);
    2187          23 :   u = subii(mului(t,d2), mulii(b,addii(u,d)));
    2188          23 :   v = subii(d2, mulii(b,v));
    2189             :   /* NOT mkvec2: must be gerepileupto-able */
    2190          23 :   retmkvec2(modii(u,p), modii(v,p));
    2191             : }
    2192             : /* assume a reduced mod p [ otherwise correct but inefficient ] */
    2193             : static GEN
    2194           8 : sqrt_Cipolla(GEN a, GEN p)
    2195             : {
    2196             :   pari_sp av1;
    2197             :   GEN u, v, n, y, pov2;
    2198             :   ulong t;
    2199             : 
    2200           8 :   if (kronecker(a, p) < 0) return NULL;
    2201           8 :   pov2 = shifti(p,-1);
    2202           8 :   if (cmpii(a,pov2) > 0) a = subii(a,p); /* center: avoid multiplying by huge base*/
    2203             : 
    2204           8 :   av1 = avma;
    2205          41 :   for(t=1; ; t++)
    2206             :   {
    2207          74 :     n = subsi((long)(t*t), a);
    2208          41 :     if (kronecker(n, p) < 0) break;
    2209          33 :     avma = av1;
    2210             :   }
    2211             : 
    2212             :   /* compute (t+X)^((p-1)/2) =: u+vX */
    2213           8 :   u = utoipos(t);
    2214           8 :   y = gen_pow_fold(mkvec2(u, gen_1), pov2, mkvec4(a,p,n,u),
    2215             :                          sqrt_Cipolla_sqr, sqrt_Cipolla_msqr);
    2216             :   /* Now u+vX = (t+X)^((p-1)/2); thus
    2217             :    *   (u+vX)(t+X) = sqrt(a) + 0 X
    2218             :    * Whence,
    2219             :    *   sqrt(a) = (u+vt)t - v*a
    2220             :    *   0       = (u+vt)
    2221             :    * Thus a square root is v*a */
    2222             : 
    2223           8 :   v = Fp_mul(gel(y, 2), a, p);
    2224           8 :   if (cmpii(v,pov2) > 0) v = subii(p,v);
    2225           8 :   return v;
    2226             : }
    2227             : 
    2228             : /* Return NULL if p is found to be composite */
    2229             : static GEN
    2230        2800 : Fp_2gener_all(long e, GEN p)
    2231             : {
    2232             :   GEN y, m;
    2233             :   long k;
    2234        2800 :   GEN q = shifti(subiu(p,1), -e); /* q = (p-1)/2^oo is odd */
    2235        2800 :   if (e==0 && !equaliu(p,2)) return NULL;
    2236        9265 :   for (k=2; ; k++)
    2237        6465 :   {
    2238        9265 :     long i = krosi(k, p);
    2239        9265 :     if (i >= 0)
    2240             :     {
    2241        6465 :       if (i) continue;
    2242           0 :       return NULL;
    2243             :     }
    2244        2800 :     y = m = Fp_pow(utoi(k), q, p);
    2245        9402 :     for (i=1; i<e; i++)
    2246        6602 :       if (equali1(m = Fp_sqr(m, p))) break;
    2247        2800 :     if (i == e) break; /* success */
    2248             :   }
    2249        2800 :   return y;
    2250             : }
    2251             : 
    2252             : /* Return NULL if p is found to be composite */
    2253             : GEN
    2254         980 : Fp_2gener(GEN p)
    2255         980 : { return Fp_2gener_all(vali(subis(p,1)),p); }
    2256             : 
    2257             : /* smallest square root */
    2258             : static GEN
    2259       27543 : choose_sqrt(GEN v, GEN p)
    2260             : {
    2261       27543 :   pari_sp av = avma;
    2262       27543 :   GEN q = subii(p,v);
    2263       27543 :   if (cmpii(v,q) > 0) v = q; else avma = av;
    2264       27543 :   return v;
    2265             : }
    2266             : /* Tonelli-Shanks. Assume p is prime and return NULL if (a,p) = -1. */
    2267             : GEN
    2268     2361838 : Fp_sqrt_i(GEN a, GEN y, GEN p)
    2269             : {
    2270     2361838 :   pari_sp av = avma;
    2271             :   long i, k, e;
    2272             :   GEN p1, q, v, w;
    2273             : 
    2274     2361838 :   if (typ(a) != t_INT) pari_err_TYPE("Fp_sqrt",a);
    2275     2361838 :   if (typ(p) != t_INT) pari_err_TYPE("Fp_sqrt",p);
    2276     2361838 :   if (signe(p) <= 0 || equali1(p)) pari_err_PRIME("Fp_sqrt",p);
    2277     2361838 :   if (lgefint(p) == 3)
    2278             :   {
    2279     2334188 :     ulong pp = uel(p,2), u = Fl_sqrt(umodiu(a, pp), pp);
    2280     2334174 :     if (u == ~0UL) return NULL;
    2281     2334132 :     return utoi(u);
    2282             :   }
    2283             : 
    2284       27650 :   a = modii(a, p); if (!signe(a)) { avma = av; return gen_0; }
    2285       27559 :   p1 = subiu(p,1); e = vali(p1);
    2286       27559 :   if (e <= 2)
    2287             :   { /* direct formulas more efficient */
    2288             :     pari_sp av2;
    2289       22553 :     if (e == 0) pari_err_PRIME("Fp_sqrt [modulus]",p); /* p != 2 */
    2290       22553 :     if (e == 1)
    2291             :     {
    2292       13346 :       q = addiu(shifti(p1,-2),1); /* (p+1) / 4 */
    2293       13346 :       v = Fp_pow(a, q, p);
    2294             :     }
    2295             :     else
    2296             :     { /* Atkin's formula */
    2297        9207 :       GEN i, a2 = shifti(a,1);
    2298        9207 :       if (cmpii(a2,p) >= 0) a2 = subii(a2,p);
    2299        9207 :       q = shifti(p1, -3); /* (p-5)/8 */
    2300        9207 :       v = Fp_pow(a2, q, p);
    2301        9207 :       i = Fp_mul(a2, Fp_sqr(v,p), p); /* i^2 = -1 */
    2302        9207 :       v = Fp_mul(a, Fp_mul(v, subiu(i,1), p), p);
    2303             :     }
    2304       22553 :     av2 = avma;
    2305             :     /* must check equality in case (a/p) = -1 or p not prime */
    2306       22553 :     e = equalii(Fp_sqr(v,p), a); avma = av2;
    2307       22553 :     return e? gerepileuptoint(av,choose_sqrt(v,p)): NULL;
    2308             :   }
    2309             :   /* On average, Cipolla is better than Tonelli/Shanks if and only if
    2310             :    * e(e-1) > 8*log2(n)+20, see LNCS 2286 pp 430 [GTL] */
    2311        5006 :   if (e*(e-1) > 20 + 8 * expi(p))
    2312             :   {
    2313           8 :     v = sqrt_Cipolla(a,p); if (!v) { avma = av; return NULL; }
    2314           8 :     return gerepileuptoint(av,v);
    2315             :   }
    2316        4998 :   if (!y)
    2317             :   {
    2318        1820 :     y = Fp_2gener_all(e, p);
    2319        1820 :     if (!y) pari_err_PRIME("Fp_sqrt [modulus]",p);
    2320             :   }
    2321        4998 :   q = shifti(p1,-e); /* q = (p-1)/2^oo is odd */
    2322        4998 :   p1 = Fp_pow(a, shifti(q,-1), p); /* a ^ (q-1)/2 */
    2323        4998 :   v = Fp_mul(a, p1, p);
    2324        4998 :   w = Fp_mul(v, p1, p);
    2325       17035 :   while (!equali1(w))
    2326             :   { /* a*w = v^2, y primitive 2^e-th root of 1
    2327             :        a square --> w even power of y, hence w^(2^(e-1)) = 1 */
    2328        7039 :     p1 = Fp_sqr(w,p);
    2329        7039 :     for (k=1; !equali1(p1) && k < e; k++) p1 = Fp_sqr(p1,p);
    2330        7039 :     if (k == e) { avma=av; return NULL; } /* p composite or (a/p) != 1 */
    2331             :     /* w ^ (2^k) = 1 --> w = y ^ (u * 2^(e-k)), u odd */
    2332        7039 :     p1 = y;
    2333        7039 :     for (i=1; i < e-k; i++) p1 = Fp_sqr(p1,p);
    2334        7039 :     y = Fp_sqr(p1, p); e = k;
    2335        7039 :     w = Fp_mul(y, w, p);
    2336        7039 :     v = Fp_mul(v, p1, p);
    2337        7039 :     if (gc_needed(av,1))
    2338             :     {
    2339           0 :       if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"Fp_sqrt");
    2340           0 :       gerepileall(av,3, &y,&w,&v);
    2341             :     }
    2342             :   }
    2343        4998 :   return gerepileuptoint(av, choose_sqrt(v,p));
    2344             : }
    2345             : 
    2346             : GEN
    2347     2347411 : Fp_sqrt(GEN a, GEN p)
    2348             : {
    2349     2347411 :   return Fp_sqrt_i(a, NULL, p);
    2350             : }
    2351             : 
    2352             : /*********************************************************************/
    2353             : /**                                                                 **/
    2354             : /**                        GCD & BEZOUT                             **/
    2355             : /**                                                                 **/
    2356             : /*********************************************************************/
    2357             : 
    2358             : GEN
    2359    19872396 : lcmii(GEN x, GEN y)
    2360             : {
    2361             :   pari_sp av;
    2362             :   GEN a, b;
    2363    19872396 :   if (!signe(x) || !signe(y)) return gen_0;
    2364    19872396 :   av = avma;
    2365    19872396 :   a = gcdii(x,y); if (!equali1(a)) y = diviiexact(y,a);
    2366    19872396 :   b = mulii(x,y); setabssign(b); return gerepileuptoint(av, b);
    2367             : }
    2368             : 
    2369             : /* given x in assume 0 < x < N; return u in (Z/NZ)^* such that u x = gcd(x,N) (mod N);
    2370             :  * set *pd = gcd(x,N) */
    2371             : GEN
    2372     3894053 : Fp_invgen(GEN x, GEN N, GEN *pd)
    2373             : {
    2374             :   GEN d, d0, e, v;
    2375     3894053 :   if (lgefint(N) == 3)
    2376             :   {
    2377     3358966 :     ulong dd, NN = N[2], xx = umodiu(x,NN);
    2378     3358966 :     if (!xx) { *pd = N; return gen_0; }
    2379     3358966 :     xx = Fl_invgen(xx, NN, &dd);
    2380     3358966 :     *pd = utoi(dd); return utoi(xx);
    2381             :   }
    2382      535087 :   *pd = d = bezout(x, N, &v, NULL);
    2383      535087 :   if (equali1(d)) return v;
    2384             :   /* vx = gcd(x,N) (mod N), v coprime to N/d but need not be coprime to N */
    2385      442936 :   e = diviiexact(N,d);
    2386      442936 :   d0 = Z_ppo(d, e); /* d = d0 d1, d0 coprime to N/d, rad(d1) | N/d */
    2387      442936 :   if (equali1(d0)) return v;
    2388      311849 :   if (!equalii(d,d0)) e = lcmii(e, diviiexact(d,d0));
    2389      311849 :   return Z_chinese_coprime(v, gen_1, e, d0, mulii(e,d0));
    2390             : }
    2391             : 
    2392             : /*********************************************************************/
    2393             : /**                                                                 **/
    2394             : /**                      CHINESE REMAINDERS                         **/
    2395             : /**                                                                 **/
    2396             : /*********************************************************************/
    2397             : 
    2398             : /* Chinese Remainder Theorem.  x and y must have the same type (integermod,
    2399             :  * polymod, or polynomial/vector/matrix recursively constructed with these
    2400             :  * as coefficients). Creates (with the same type) a z in the same residue
    2401             :  * class as x and the same residue class as y, if it is possible.
    2402             :  *
    2403             :  * We also allow (during recursion) two identical objects even if they are
    2404             :  * not integermod or polymod. For example:
    2405             :  *
    2406             :  * ? x = [1, Mod(5, 11), Mod(X + Mod(2, 7), X^2 + 1)];
    2407             :  * ? y = [1, Mod(7, 17), Mod(X + Mod(0, 3), X^2 + 1)];
    2408             :  * ? chinese(x, y)
    2409             :  * %3 = [1, Mod(16, 187), Mod(X + mod(9, 21), X^2 + 1)] */
    2410             : 
    2411             : static GEN
    2412      327170 : gen_chinese(GEN x, GEN(*f)(GEN,GEN))
    2413             : {
    2414      327170 :   GEN z = gassoc_proto(f,x,NULL);
    2415      327163 :   if (z == gen_1) retmkintmod(gen_0,gen_1);
    2416      327128 :   return z;
    2417             : }
    2418             : 
    2419             : /* x t_INTMOD, y t_POLMOD; promote x to t_POLMOD mod Pol(x.mod) then
    2420             :  * call chinese: makes Mod(0,1) a better "neutral" element */
    2421             : static GEN
    2422          21 : chinese_intpol(GEN x,GEN y)
    2423             : {
    2424          21 :   pari_sp av = avma;
    2425          21 :   GEN z = mkpolmod(gel(x,2), scalarpol_shallow(gel(x,1), varn(gel(y,1))));
    2426          21 :   return gerepileupto(av, chinese(z, y));
    2427             : }
    2428             : 
    2429             : GEN
    2430          49 : chinese1(GEN x) { return gen_chinese(x,chinese); }
    2431             : 
    2432             : GEN
    2433       16520 : chinese(GEN x, GEN y)
    2434             : {
    2435             :   pari_sp av;
    2436       16520 :   long tx = typ(x), ty;
    2437             :   GEN z,p1,p2,d,u,v;
    2438             : 
    2439       16520 :   if (!y) return chinese1(x);
    2440       16471 :   if (gidentical(x,y)) return gcopy(x);
    2441       16464 :   ty = typ(y);
    2442       16464 :   if (tx == ty) switch(tx)
    2443             :   {
    2444             :     case t_POLMOD:
    2445             :     {
    2446          28 :       GEN A = gel(x,1), B = gel(y,1);
    2447          28 :       GEN a = gel(x,2), b = gel(y,2);
    2448          28 :       if (varn(A)!=varn(B)) pari_err_VAR("chinese",A,B);
    2449          28 :       if (RgX_equal(A,B)) retmkpolmod(chinese(a,b), gcopy(A)); /*same modulus*/
    2450          28 :       av = avma;
    2451          28 :       d = RgX_extgcd(A,B,&u,&v);
    2452          28 :       p2 = gsub(b, a);
    2453          28 :       if (!gequal0(gmod(p2, d))) break;
    2454          28 :       p1 = gdiv(A,d);
    2455          28 :       p2 = gadd(a, gmul(gmul(u,p1), p2));
    2456             : 
    2457          28 :       z = cgetg(3, t_POLMOD);
    2458          28 :       gel(z,1) = gmul(p1,B);
    2459          28 :       gel(z,2) = gmod(p2,gel(z,1));
    2460          28 :       return gerepileupto(av, z);
    2461             :     }
    2462             :     case t_INTMOD:
    2463             :     {
    2464       16401 :       GEN A = gel(x,1), B = gel(y,1);
    2465       16401 :       GEN a = gel(x,2), b = gel(y,2), c, d, C, U;
    2466       16401 :       z = cgetg(3,t_INTMOD);
    2467       16401 :       Z_chinese_pre(A, B, &C, &U, &d);
    2468       16401 :       c = Z_chinese_post(a, b, C, U, d);
    2469       16401 :       if (!c) pari_err_OP("chinese", x,y);
    2470       16401 :       gel(z,1) = icopy_avma(C, (pari_sp)z);
    2471       16401 :       gel(z,2) = icopy_avma(c, (pari_sp)gel(z,1));
    2472       16401 :       avma = (pari_sp)gel(z,2); return z;
    2473             :     }
    2474             :     case t_POL:
    2475             :     {
    2476           7 :       long i, lx = lg(x), ly = lg(y);
    2477           7 :       if (varn(x) != varn(y)) break;
    2478           7 :       if (lx < ly) { swap(x,y); lswap(lx,ly); }
    2479           7 :       z = cgetg(lx, t_POL); z[1] = x[1];
    2480           7 :       for (i=2; i<ly; i++) gel(z,i) = chinese(gel(x,i),gel(y,i));
    2481           7 :       for (   ; i<lx; i++) gel(z,i) = gcopy(gel(x,i));
    2482           7 :       return z;
    2483             :     }
    2484             : 
    2485             :     case t_VEC: case t_COL: case t_MAT:
    2486             :     {
    2487             :       long i, lx;
    2488           7 :       z = cgetg_copy(x, &lx); if (lx!=lg(y)) break;
    2489           7 :       for (i=1; i<lx; i++) gel(z,i) = chinese(gel(x,i),gel(y,i));
    2490           7 :       return z;
    2491             :     }
    2492             :   }
    2493          21 :   if (tx == t_POLMOD && ty == t_INTMOD) return chinese_intpol(y,x);
    2494           7 :   if (ty == t_POLMOD && tx == t_INTMOD) return chinese_intpol(x,y);
    2495           0 :   pari_err_OP("chinese",x,y);
    2496             :   return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
    2497             : }
    2498             : 
    2499             : /* init chinese(Mod(.,A), Mod(.,B)) */
    2500             : void
    2501      237890 : Z_chinese_pre(GEN A, GEN B, GEN *pC, GEN *pU, GEN *pd)
    2502             : {
    2503      237890 :   GEN u, d = bezout(A,B,&u,NULL); /* U = u(A/d), u(A/d) + v(B/d) = 1 */
    2504      237890 :   GEN t = diviiexact(A,d);
    2505      237890 :   *pU = mulii(u, t);
    2506      237890 :   *pC = mulii(t, B);
    2507      237890 :   if (pd) *pd = d;
    2508      237890 : }
    2509             : /* Assume C = lcm(A, B), U = 0 mod (A/d), U = 1 mod (B/d), a = b mod d,
    2510             :  * where d = gcd(A,B) or NULL, return x = a (mod A), b (mod B).
    2511             :  * If d not NULL, check wether a = b mod d. */
    2512             : GEN
    2513      847109 : Z_chinese_post(GEN a, GEN b, GEN C, GEN U, GEN d)
    2514             : {
    2515             :   GEN b_a;
    2516      847109 :   if (!signe(a))
    2517             :   {
    2518      314985 :     if (d && !dvdii(b, d)) return NULL;
    2519      314985 :     return Fp_mul(b, U, C);
    2520             :   }
    2521      532124 :   b_a = subii(b,a);
    2522      532124 :   if (d && !dvdii(b_a, d)) return NULL;
    2523      532124 :   return modii(addii(a, mulii(U, b_a)), C);
    2524             : }
    2525             : static ulong
    2526     2159133 : u_chinese_post(ulong a, ulong b, ulong C, ulong U)
    2527             : {
    2528     2159133 :   if (!a) return Fl_mul(b, U, C);
    2529     2159133 :   return Fl_add(a, Fl_mul(U, Fl_sub(b,a,C), C), C);
    2530             : }
    2531             : 
    2532             : GEN
    2533        2142 : Z_chinese(GEN a, GEN b, GEN A, GEN B)
    2534             : {
    2535        2142 :   pari_sp av = avma;
    2536        2142 :   GEN C, U; Z_chinese_pre(A, B, &C, &U, NULL);
    2537        2142 :   return gerepileuptoint(av, Z_chinese_post(a,b, C, U, NULL));
    2538             : }
    2539             : GEN
    2540      219291 : Z_chinese_all(GEN a, GEN b, GEN A, GEN B, GEN *pC)
    2541             : {
    2542      219291 :   GEN U; Z_chinese_pre(A, B, pC, &U, NULL);
    2543      219291 :   return Z_chinese_post(a,b, *pC, U, NULL);
    2544             : }
    2545             : 
    2546             : /* return lift(chinese(a mod A, b mod B))
    2547             :  * assume(A,B)=1, a,b,A,B integers and C = A*B */
    2548             : GEN
    2549      312899 : Z_chinese_coprime(GEN a, GEN b, GEN A, GEN B, GEN C)
    2550             : {
    2551      312899 :   pari_sp av = avma;
    2552      312899 :   GEN U = mulii(Fp_inv(A,B), A);
    2553      312899 :   return gerepileuptoint(av, Z_chinese_post(a,b,C,U, NULL));
    2554             : }
    2555             : ulong
    2556     2159133 : u_chinese_coprime(ulong a, ulong b, ulong A, ulong B, ulong C)
    2557     2159133 : { return u_chinese_post(a,b,C, A * Fl_inv(A % B,B)); }
    2558             : 
    2559             : /* chinese1 for coprime moduli in Z */
    2560             : static GEN
    2561      296054 : chinese1_coprime_Z_aux(GEN x, GEN y)
    2562             : {
    2563      296054 :   GEN z = cgetg(3, t_INTMOD);
    2564      296054 :   GEN A = gel(x,1), a = gel(x, 2);
    2565      296054 :   GEN B = gel(y,1), b = gel(y, 2), C = mulii(A,B);
    2566      296054 :   pari_sp av = avma;
    2567      296054 :   GEN U = mulii(Fp_inv(A,B), A);
    2568      296054 :   gel(z,2) = gerepileuptoint(av, Z_chinese_post(a,b,C,U, NULL));
    2569      296054 :   gel(z,1) = C; return z;
    2570             : }
    2571             : GEN
    2572      327121 : chinese1_coprime_Z(GEN x) {return gen_chinese(x,chinese1_coprime_Z_aux);}
    2573             : 
    2574             : /*********************************************************************/
    2575             : /**                                                                 **/
    2576             : /**                    MODULAR EXPONENTIATION                       **/
    2577             : /**                                                                 **/
    2578             : /*********************************************************************/
    2579             : 
    2580             : /* xa, ya = t_VECSMALL */
    2581             : GEN
    2582      484963 : ZV_producttree(GEN xa)
    2583             : {
    2584      484963 :   long n = lg(xa)-1;
    2585      484963 :   long m = n==1 ? 1: expu(n-1)+1;
    2586      484962 :   GEN T = cgetg(m+1, t_VEC), t;
    2587             :   long i, j, k;
    2588      484955 :   t = cgetg(((n+1)>>1)+1, t_VEC);
    2589      484957 :   if (typ(xa)==t_VECSMALL)
    2590             :   {
    2591      972846 :     for (j=1, k=1; k<n; j++, k+=2)
    2592      565110 :       gel(t, j) = muluu(xa[k], xa[k+1]);
    2593      407736 :     if (k==n) gel(t, j) = utoi(xa[k]);
    2594             :   } else {
    2595      377629 :     for (j=1, k=1; k<n; j++, k+=2)
    2596      300404 :       gel(t, j) = mulii(gel(xa,k), gel(xa,k+1));
    2597       77225 :     if (k==n) gel(t, j) = icopy(gel(xa,k));
    2598             :   }
    2599      484959 :   gel(T,1) = t;
    2600      917532 :   for (i=2; i<=m; i++)
    2601             :   {
    2602      432571 :     GEN u = gel(T, i-1);
    2603      432571 :     long n = lg(u)-1;
    2604      432571 :     t = cgetg(((n+1)>>1)+1, t_VEC);
    2605     1058516 :     for (j=1, k=1; k<n; j++, k+=2)
    2606      625943 :       gel(t, j) = mulii(gel(u, k), gel(u, k+1));
    2607      432573 :     if (k==n) gel(t, j) = gel(u, k);
    2608      432573 :     gel(T, i) = t;
    2609             :   }
    2610      484961 :   return T;
    2611             : }
    2612             : 
    2613             : /* return [A mod P[i], i=1..#P], T = ZV_producttree(P) */
    2614             : GEN
    2615    10295675 : Z_ZV_mod_tree(GEN A, GEN P, GEN T)
    2616             : {
    2617             :   long i,j,k;
    2618    10295675 :   long m = lg(T)-1, n = lg(P)-1;
    2619             :   GEN t;
    2620    10295675 :   GEN Tp = cgetg(m+1, t_VEC);
    2621    10294828 :   gel(Tp, m) = mkvec(A);
    2622    17572713 :   for (i=m-1; i>=1; i--)
    2623             :   {
    2624     7277907 :     GEN u = gel(T, i);
    2625     7277907 :     GEN v = gel(Tp, i+1);
    2626     7277907 :     long n = lg(u)-1;
    2627     7277907 :     t = cgetg(n+1, t_VEC);
    2628    14834696 :     for (j=1, k=1; k<n; j++, k+=2)
    2629             :     {
    2630     7556041 :       gel(t, k)   = modii(gel(v, j), gel(u, k));
    2631     7556633 :       gel(t, k+1) = modii(gel(v, j), gel(u, k+1));
    2632             :     }
    2633     7278655 :     if (k==n) gel(t, k) = gel(v, j);
    2634     7278655 :     gel(Tp, i) = t;
    2635             :   }
    2636             :   {
    2637    10294806 :     GEN u = gel(T, i+1);
    2638    10294806 :     GEN v = gel(Tp, i+1);
    2639    10294806 :     long l = lg(u)-1;
    2640    10294806 :     if (typ(P)==t_VECSMALL)
    2641             :     {
    2642     9809980 :       GEN R = cgetg(n+1, t_VECSMALL);
    2643    26550034 :       for (j=1, k=1; j<=l; j++, k+=2)
    2644             :       {
    2645    16739505 :         uel(R,k) = umodiu(gel(v, j), P[k]);
    2646    16740248 :         if (k < n)
    2647    11764821 :           uel(R,k+1) = umodiu(gel(v, j), P[k+1]);
    2648             :       }
    2649     9810529 :       return R;
    2650             :     }
    2651             :     else
    2652             :     {
    2653      484826 :       GEN R = cgetg(n+1, t_VEC);
    2654     1595444 :       for (j=1, k=1; j<=l; j++, k+=2)
    2655             :       {
    2656     1110619 :         gel(R,k) = modii(gel(v, j), gel(P,k));
    2657     1110667 :         if (k < n)
    2658      865402 :           gel(R,k+1) = modii(gel(v, j), gel(P,k+1));
    2659             :       }
    2660      484825 :       return R;
    2661             :     }
    2662             :   }
    2663             : }
    2664             : 
    2665             : /* T = ZV_producttree(P), R = ZV_chinesetree(P,T) */
    2666             : GEN
    2667     5960748 : ZV_chinese_tree(GEN A, GEN P, GEN T, GEN R)
    2668             : {
    2669     5960748 :   long m = lg(T)-1, n = lg(A)-1;
    2670             :   long i,j,k;
    2671     5960748 :   GEN Tp = cgetg(m+1, t_VEC);
    2672     5933367 :   GEN M = gel(T, 1);
    2673     5933367 :   GEN t = cgetg(lg(M), t_VEC);
    2674     5925385 :   if (typ(P)==t_VECSMALL)
    2675             :   {
    2676    19340919 :     for (j=1, k=1; k<n; j++, k+=2)
    2677             :     {
    2678    16653758 :       pari_sp av = avma;
    2679    16653758 :       GEN a = mului(A[k], gel(R,k)), b = mului(A[k+1], gel(R,k+1));
    2680    16522071 :       GEN tj = modii(addii(mului(P[k],b), mului(P[k+1],a)), gel(M,j));
    2681    16561942 :       gel(t, j) = gerepileuptoint(av, tj);
    2682             :     }
    2683     2687161 :     if (k==n) gel(t, j) = modii(mului(A[k], gel(R,k)), gel(M, j));
    2684             :   } else
    2685             :   {
    2686     7546216 :     for (j=1, k=1; k<n; j++, k+=2)
    2687             :     {
    2688     4312142 :       pari_sp av = avma;
    2689     4312142 :       GEN a = mulii(gel(A,k), gel(R,k)), b = mulii(gel(A,k+1), gel(R,k+1));
    2690     4305370 :       GEN tj = modii(addii(mulii(gel(P,k),b), mulii(gel(P,k+1),a)), gel(M,j));
    2691     4333613 :       gel(t, j) = gerepileuptoint(av, tj);
    2692             :     }
    2693     3234074 :     if (k==n) gel(t, j) = modii(mulii(gel(A,k), gel(R,k)), gel(M, j));
    2694             :   }
    2695     5914788 :   gel(Tp, 1) = t;
    2696    13685426 :   for (i=2; i<=m; i++)
    2697             :   {
    2698     7751518 :     GEN u = gel(T, i-1), M = gel(T, i);
    2699     7751518 :     GEN t = cgetg(lg(M), t_VEC);
    2700     7815718 :     GEN v = gel(Tp, i-1);
    2701     7815718 :     long n = lg(v)-1;
    2702    24346022 :     for (j=1, k=1; k<n; j++, k+=2)
    2703             :     {
    2704    16575384 :       pari_sp av = avma;
    2705    66301536 :       gel(t, j) = gerepileuptoint(av, modii(addii(mulii(gel(u, k), gel(v, k+1)),
    2706    49726152 :             mulii(gel(u, k+1), gel(v, k))), gel(M, j)));
    2707             :     }
    2708     7770638 :     if (k==n) gel(t, j) = gel(v, k);
    2709     7770638 :     gel(Tp, i) = t;
    2710             :   }
    2711     5933908 :   return gmael(Tp,m,1);
    2712             : }
    2713             : 
    2714             : static GEN
    2715      221026 : ncV_polint_center_tree(GEN vA, GEN P, GEN T, GEN R, GEN m2)
    2716             : {
    2717      221026 :   long i, l = lg(gel(vA,1)), n = lg(P);
    2718      221026 :   GEN mod = gmael(T, lg(T)-1, 1), V = cgetg(l, t_COL);
    2719     5418736 :   for (i=1; i < l; i++)
    2720             :   {
    2721     5198111 :     pari_sp av = avma;
    2722     5198111 :     GEN c, A = cgetg(n, typ(P));
    2723             :     long j;
    2724     5222465 :     for (j=1; j < n; j++) A[j] = mael(vA,j,i);
    2725     5222465 :     c = Fp_center(ZV_chinese_tree(A, P, T, R), mod, m2);
    2726     5195291 :     gel(V,i) = gerepileuptoint(av, c);
    2727             :   }
    2728      220625 :   return V;
    2729             : }
    2730             : 
    2731             : static GEN
    2732       90043 : nxV_polint_center_tree(GEN vA, GEN P, GEN T, GEN R, GEN m2)
    2733             : {
    2734       90043 :   long i, j, l, n = lg(P);
    2735       90043 :   GEN mod = gmael(T, lg(T)-1, 1), V, w;
    2736       90043 :   w = cgetg(n, t_VECSMALL);
    2737       90029 :   for(j=1; j<n; j++) w[j] = lg(gel(vA,j));
    2738       90029 :   l = vecsmall_max(w);
    2739       90059 :   V = cgetg(l, t_POL);
    2740       90117 :   V[1] = mael(vA,1,1);
    2741      391328 :   for (i=2; i < l; i++)
    2742             :   {
    2743      301375 :     pari_sp av = avma;
    2744      301375 :     GEN c, A = cgetg(n, typ(P));
    2745      300501 :     if (typ(P)==t_VECSMALL)
    2746        5298 :       for (j=1; j < n; j++) A[j] = i < w[j] ? mael(vA,j,i): 0;
    2747             :     else
    2748      295203 :       for (j=1; j < n; j++) gel(A,j) = i < w[j] ? gmael(vA,j,i): gen_0;
    2749      300501 :     c = Fp_center(ZV_chinese_tree(A, P, T, R), mod, m2);
    2750      301167 :     gel(V,i) = gerepileuptoint(av, c);
    2751             :   }
    2752       89953 :   return ZX_renormalize(V, l);
    2753             : }
    2754             : 
    2755             : static GEN
    2756        4493 : nxCV_polint_center_tree(GEN vA, GEN P, GEN T, GEN R, GEN m2)
    2757             : {
    2758        4493 :   long i, j, l = lg(gel(vA,1)), n = lg(P);
    2759        4493 :   GEN A = cgetg(n, t_VEC);
    2760        4493 :   GEN V = cgetg(l, t_COL);
    2761       92009 :   for (i=1; i < l; i++)
    2762             :   {
    2763       87519 :     for (j=1; j < n; j++) gel(A,j) = gmael(vA,j,i);
    2764       87519 :     gel(V,i) = nxV_polint_center_tree(A, P, T, R, m2);
    2765             :   }
    2766        4490 :   return V;
    2767             : }
    2768             : 
    2769             : static GEN
    2770       18651 : polint_chinese(GEN worker, GEN mA, GEN P)
    2771             : {
    2772       18651 :   long i, j, l = lg(gel(mA,1)), n = lg(P);
    2773       18651 :   long pending = 0, workid, cnt = 0;
    2774             :   struct pari_mt pt;
    2775             :   GEN done, va, M;
    2776       18651 :   GEN A = cgetg(n, t_VEC);
    2777       18651 :   va = mkvec(gen_0);
    2778       18651 :   M = cgetg(l, t_MAT);
    2779       18651 :   if (DEBUGLEVEL>2) err_printf("Start parallel Chinese remainder: ");
    2780       18651 :   mt_queue_start_lim(&pt, worker, l-1);
    2781      252863 :   for (i=1; i<l || pending; i++)
    2782             :   {
    2783      234212 :     for(j=1; j < n; j++) gel(A,j) = gmael(mA,j,i);
    2784      234212 :     gel(va, 1) = A;
    2785      234212 :     mt_queue_submit(&pt, i, i<l? va: NULL);
    2786      234212 :     done = mt_queue_get(&pt, &workid, &pending);
    2787      234212 :     if (done)
    2788             :     {
    2789      213085 :       gel(M,workid) = done;
    2790      213085 :       if (DEBUGLEVEL>2) err_printf("%ld%% ",(++cnt)*100/(l-1));
    2791             :     }
    2792             :   }
    2793       18651 :   if (DEBUGLEVEL>2) err_printf("\n");
    2794       18651 :   mt_queue_end(&pt);
    2795       18651 :   return M;
    2796             : }
    2797             : 
    2798             : GEN
    2799        4178 : nxMV_polint_center_tree_worker(GEN vA, GEN T, GEN R, GEN P, GEN m2)
    2800             : {
    2801        4178 :   return nxCV_polint_center_tree(vA, P, T, R, m2);
    2802             : }
    2803             : 
    2804             : static GEN
    2805          66 : nxMV_polint_center_tree_seq(GEN vA, GEN P, GEN T, GEN R, GEN m2)
    2806             : {
    2807          66 :   long i, j, l = lg(gel(vA,1)), n = lg(P);
    2808          66 :   GEN A = cgetg(n, t_VEC);
    2809          66 :   GEN V = cgetg(l, t_MAT);
    2810         381 :   for (i=1; i < l; i++)
    2811             :   {
    2812         315 :     for (j=1; j < n; j++) gel(A,j) = gmael(vA,j,i);
    2813         315 :     gel(V,i) = nxCV_polint_center_tree(A, P, T, R, m2);
    2814             :   }
    2815          66 :   return V;
    2816             : }
    2817             : 
    2818             : static GEN
    2819         291 : nxMV_polint_center_tree(GEN mA, GEN P, GEN T, GEN R, GEN m2)
    2820             : {
    2821         291 :   GEN worker = snm_closure(is_entry("_nxMV_polint_worker"), mkvec4(T, R, P, m2));
    2822         291 :   return polint_chinese(worker, mA, P);
    2823             : }
    2824             : 
    2825             : static GEN
    2826         757 : nmV_polint_center_tree_seq(GEN vA, GEN P, GEN T, GEN R, GEN m2)
    2827             : {
    2828         757 :   long i, j, l = lg(gel(vA,1)), n = lg(P);
    2829         757 :   GEN A = cgetg(n, t_VEC);
    2830         757 :   GEN V = cgetg(l, t_MAT);
    2831        9193 :   for (i=1; i < l; i++)
    2832             :   {
    2833        8436 :     for (j=1; j < n; j++) gel(A,j) = gmael(vA,j,i);
    2834        8436 :     gel(V,i) = ncV_polint_center_tree(A, P, T, R, m2);
    2835             :   }
    2836         757 :   return V;
    2837             : }
    2838             : 
    2839             : GEN
    2840      208834 : nmV_polint_center_tree_worker(GEN vA, GEN T, GEN R, GEN P, GEN m2)
    2841             : {
    2842      208834 :   return ncV_polint_center_tree(vA, P, T, R, m2);
    2843             : }
    2844             : 
    2845             : static GEN
    2846       18360 : nmV_polint_center_tree(GEN mA, GEN P, GEN T, GEN R, GEN m2)
    2847             : {
    2848       18360 :   GEN worker = snm_closure(is_entry("_polint_worker"), mkvec4(T, R, P, m2));
    2849       18360 :   return polint_chinese(worker, mA, P);
    2850             : }
    2851             : 
    2852             : /* return [A mod P[i], i=1..#P] */
    2853             : GEN
    2854           0 : Z_ZV_mod(GEN A, GEN P)
    2855             : {
    2856           0 :   pari_sp av = avma;
    2857           0 :   return gerepilecopy(av, Z_ZV_mod_tree(A, P, ZV_producttree(P)));
    2858             : }
    2859             : /* P a t_VECSMALL */
    2860             : GEN
    2861           0 : Z_nv_mod(GEN A, GEN P)
    2862             : {
    2863           0 :   pari_sp av = avma;
    2864           0 :   return gerepileuptoleaf(av, Z_ZV_mod_tree(A, P, ZV_producttree(P)));
    2865             : }
    2866             : /* B a ZX, T = ZV_producttree(P) */
    2867             : GEN
    2868      408813 : ZX_nv_mod_tree(GEN B, GEN A, GEN T)
    2869             : {
    2870             :   pari_sp av;
    2871      408813 :   long i, j, l = lg(B), n = lg(A)-1;
    2872      408813 :   GEN V = cgetg(n+1, t_VEC);
    2873     1627550 :   for (j=1; j <= n; j++)
    2874             :   {
    2875     1218627 :     gel(V, j) = cgetg(l, t_VECSMALL);
    2876     1218624 :     mael(V, j, 1) = B[1]&VARNBITS;
    2877             :   }
    2878      408923 :   av = avma;
    2879     9413109 :   for (i=2; i < l; i++)
    2880             :   {
    2881     9004297 :     GEN v = Z_ZV_mod_tree(gel(B, i), A, T);
    2882    35413610 :     for (j=1; j <= n; j++)
    2883    26409424 :       mael(V, j, i) = v[j];
    2884     9004186 :     avma = av;
    2885             :   }
    2886     1627459 :   for (j=1; j <= n; j++)
    2887     1218643 :     (void) Flx_renormalize(gel(V, j), l);
    2888      408816 :   return V;
    2889             : }
    2890             : 
    2891             : static GEN
    2892        3159 : to_ZX(GEN a, long v) { return typ(a)==t_INT? scalarpol(a,v): a; }
    2893             : 
    2894             : GEN
    2895         405 : ZXX_nv_mod_tree(GEN P, GEN xa, GEN T, long w)
    2896             : {
    2897         405 :   pari_sp av = avma;
    2898         405 :   long i, j, l = lg(P), n = lg(xa)-1, vP = varn(P);
    2899         405 :   GEN V = cgetg(n+1, t_VEC);
    2900        1435 :   for (j=1; j <= n; j++)
    2901             :   {
    2902        1030 :     gel(V, j) = cgetg(l, t_POL);
    2903        1030 :     mael(V, j, 1) = vP;
    2904             :   }
    2905        1881 :   for (i=2; i < l; i++)
    2906             :   {
    2907        1476 :     GEN v = ZX_nv_mod_tree(to_ZX(gel(P, i), w), xa, T);
    2908        5091 :     for (j=1; j <= n; j++)
    2909        3615 :       gmael(V, j, i) = gel(v,j);
    2910             :   }
    2911        1435 :   for (j=1; j <= n; j++)
    2912        1030 :     (void) FlxX_renormalize(gel(V, j), l);
    2913         405 :   return gerepilecopy(av, V);
    2914             : }
    2915             : 
    2916             : GEN
    2917         315 : ZXC_nv_mod_tree(GEN C, GEN xa, GEN T, long w)
    2918             : {
    2919         315 :   pari_sp av = avma;
    2920         315 :   long i, j, l = lg(C), n = lg(xa)-1;
    2921         315 :   GEN V = cgetg(n+1, t_VEC);
    2922        1073 :   for (j = 1; j <= n; j++)
    2923         758 :     gel(V, j) = cgetg(l, t_COL);
    2924        1998 :   for (i = 1; i < l; i++)
    2925             :   {
    2926        1683 :     GEN v = ZX_nv_mod_tree(to_ZX(gel(C, i), w), xa, T);
    2927        5773 :     for (j = 1; j <= n; j++)
    2928        4090 :       gmael(V, j, i) = gel(v,j);
    2929             :   }
    2930         315 :   return gerepilecopy(av, V);
    2931             : }
    2932             : 
    2933             : GEN
    2934          66 : ZXM_nv_mod_tree(GEN M, GEN xa, GEN T, long w)
    2935             : {
    2936          66 :   pari_sp av = avma;
    2937          66 :   long i, j, l = lg(M), n = lg(xa)-1;
    2938          66 :   GEN V = cgetg(n+1, t_VEC);
    2939         222 :   for (j=1; j <= n; j++)
    2940         156 :     gel(V, j) = cgetg(l, t_MAT);
    2941         381 :   for (i=1; i < l; i++)
    2942             :   {
    2943         315 :     GEN v = ZXC_nv_mod_tree(gel(M, i), xa, T, w);
    2944        1073 :     for (j=1; j <= n; j++)
    2945         758 :       gmael(V, j, i) = gel(v,j);
    2946             :   }
    2947          66 :   return gerepilecopy(av, V);
    2948             : }
    2949             : 
    2950             : /* B a ZX, T = ZV_producttree(P) */
    2951             : GEN
    2952       96236 : ZV_nv_mod_tree(GEN B, GEN A, GEN T)
    2953             : {
    2954             :   pari_sp av;
    2955       96236 :   long i, j, l = lg(B), n = lg(A)-1;
    2956       96236 :   GEN V = cgetg(n+1, t_VEC);
    2957      343977 :   for (j=1; j <= n; j++)
    2958      247756 :     gel(V, j) = cgetg(l, t_VECSMALL);
    2959       96221 :   av = avma;
    2960      902867 :   for (i=1; i < l; i++)
    2961             :   {
    2962      806629 :     GEN v = Z_ZV_mod_tree(gel(B, i), A, T);
    2963     2904085 :     for (j=1; j <= n; j++)
    2964     2097439 :       mael(V, j, i) = v[j];
    2965      806646 :     avma = av;
    2966             :   }
    2967       96238 :   return V;
    2968             : }
    2969             : 
    2970             : GEN
    2971       12017 : ZM_nv_mod_tree(GEN M, GEN xa, GEN T)
    2972             : {
    2973       12017 :   pari_sp av = avma;
    2974       12017 :   long i, j, l = lg(M), n = lg(xa)-1;
    2975       12017 :   GEN V = cgetg(n+1, t_VEC);
    2976       42606 :   for (j=1; j <= n; j++)
    2977       30591 :     gel(V, j) = cgetg(l, t_MAT);
    2978      108253 :   for (i=1; i < l; i++)
    2979             :   {
    2980       96236 :     GEN v = ZV_nv_mod_tree(gel(M, i), xa, T);
    2981      344023 :     for (j=1; j <= n; j++)
    2982      247785 :       gmael(V, j, i) = gel(v,j);
    2983             :   }
    2984       12017 :   return gerepilecopy(av, V);
    2985             : }
    2986             : 
    2987             : static GEN
    2988      481476 : ZV_sqr(GEN z)
    2989             : {
    2990      481476 :   long i,l = lg(z);
    2991      481476 :   GEN x = cgetg(l, t_VEC);
    2992      481421 :   if (typ(z)==t_VECSMALL)
    2993      407605 :     for (i=1; i<l; i++) gel(x,i) = sqru(z[i]);
    2994             :   else
    2995       73816 :     for (i=1; i<l; i++) gel(x,i) = sqri(gel(z,i));
    2996      481398 :   return x;
    2997             : }
    2998             : 
    2999             : static GEN
    3000     3198192 : ZT_sqr(GEN z)
    3001             : {
    3002     3198192 :   if (typ(z) == t_INT)
    3003     1809218 :     return sqri(z);
    3004             :   else
    3005             :   {
    3006     1388974 :     long i,l = lg(z);
    3007     1388974 :     GEN x = cgetg(l, t_VEC);
    3008     1388892 :     for (i=1; i<l; i++) gel(x,i) = ZT_sqr(gel(z,i));
    3009     1390014 :     return x;
    3010             :   }
    3011             : }
    3012             : 
    3013             : static GEN
    3014      481404 : ZV_invdivexact(GEN y, GEN x)
    3015             : {
    3016      481404 :   long i, l = lg(y);
    3017      481404 :   GEN z = cgetg(l,t_VEC);
    3018      481473 :   if (typ(x)==t_VECSMALL)
    3019     1747984 :     for (i=1; i<l; i++)
    3020             :     {
    3021     1340422 :       pari_sp av = avma;
    3022     1340422 :       ulong a = Fl_inv(umodiu(diviuexact(gel(y,i),x[i]), x[i]), x[i]);
    3023     1340568 :       avma = av;
    3024     1340568 :       gel(z,i) = utoipos(a);
    3025             :     }
    3026             :   else
    3027      684908 :     for (i=1; i<l; i++)
    3028      611092 :       gel(z,i) = Fp_inv(diviiexact(gel(y,i), gel(x,i)), gel(x,i));
    3029      481378 :   return z;
    3030             : }
    3031             : 
    3032             : /* P t_VECSMALL or t_VEC of t_INT  */
    3033             : GEN
    3034      481026 : ZV_chinesetree(GEN P, GEN T)
    3035             : {
    3036      481026 :   GEN T2 = ZT_sqr(T), P2 = ZV_sqr(P);
    3037      481403 :   GEN mod = gmael(T,lg(T)-1,1);
    3038      481403 :   return ZV_invdivexact(Z_ZV_mod_tree(mod, P2, T2), P);
    3039             : }
    3040             : 
    3041             : static GEN
    3042       80135 : gc_chinese(pari_sp av, GEN T, GEN a, GEN *pt_mod)
    3043             : {
    3044       80135 :   if (!pt_mod)
    3045        2559 :     return gerepileupto(av, a);
    3046             :   else
    3047             :   {
    3048       77576 :     GEN mod = gmael(T, lg(T)-1, 1);
    3049       77576 :     gerepileall(av, 2, &a, &mod);
    3050       77576 :     *pt_mod = mod;
    3051       77576 :     return a;
    3052             :   }
    3053             : }
    3054             : 
    3055             : GEN
    3056       42630 : ZV_chinese_center(GEN A, GEN P, GEN *pt_mod)
    3057             : {
    3058       42630 :   pari_sp av = avma;
    3059       42630 :   GEN T = ZV_producttree(P);
    3060       42630 :   GEN R = ZV_chinesetree(P, T);
    3061       42630 :   GEN a = ZV_chinese_tree(A, P, T, R);
    3062       42630 :   GEN mod = gmael(T, lg(T)-1, 1);
    3063       42630 :   GEN ca = Fp_center(a, mod, shifti(mod,-1));
    3064       42630 :   return gc_chinese(av, T, ca, pt_mod);
    3065             : }
    3066             : 
    3067             : GEN
    3068       13073 : ZV_chinese(GEN A, GEN P, GEN *pt_mod)
    3069             : {
    3070       13073 :   pari_sp av = avma;
    3071       13073 :   GEN T = ZV_producttree(P);
    3072       13073 :   GEN R = ZV_chinesetree(P, T);
    3073       13073 :   GEN a = ZV_chinese_tree(A, P, T, R);
    3074       13073 :   return gc_chinese(av, T, a, pt_mod);
    3075             : }
    3076             : 
    3077             : GEN
    3078         405 : nxV_chinese_center_tree(GEN A, GEN P, GEN T, GEN R)
    3079             : {
    3080         405 :   pari_sp av = avma;
    3081         405 :   GEN m2 = shifti(gmael(T, lg(T)-1, 1), -1);
    3082         405 :   GEN a = nxV_polint_center_tree(A, P, T, R, m2);
    3083         405 :   return gerepileupto(av, a);
    3084             : }
    3085             : 
    3086             : GEN
    3087        2021 : nxV_chinese_center(GEN A, GEN P, GEN *pt_mod)
    3088             : {
    3089        2021 :   pari_sp av = avma;
    3090        2021 :   GEN T = ZV_producttree(P);
    3091        2021 :   GEN R = ZV_chinesetree(P, T);
    3092        2021 :   GEN m2 = shifti(gmael(T, lg(T)-1, 1), -1);
    3093        2021 :   GEN a = nxV_polint_center_tree(A, P, T, R, m2);
    3094        2021 :   return gc_chinese(av, T, a, pt_mod);
    3095             : }
    3096             : 
    3097             : GEN
    3098        3760 : ncV_chinese_center(GEN A, GEN P, GEN *pt_mod)
    3099             : {
    3100        3760 :   pari_sp av = avma;
    3101        3760 :   GEN T = ZV_producttree(P);
    3102        3760 :   GEN R = ZV_chinesetree(P, T);
    3103        3760 :   GEN m2 = shifti(gmael(T, lg(T)-1, 1), -1);
    3104        3760 :   GEN a = ncV_polint_center_tree(A, P, T, R, m2);
    3105        3760 :   return gc_chinese(av, T, a, pt_mod);
    3106             : }
    3107             : 
    3108             : GEN
    3109           0 : nmV_chinese_center_tree(GEN A, GEN P, GEN T, GEN R)
    3110             : {
    3111           0 :   pari_sp av = avma;
    3112           0 :   GEN m2 = shifti(gmael(T, lg(T)-1, 1), -1);
    3113           0 :   GEN a = nmV_polint_center_tree(A, P, T, R, m2);
    3114           0 :   return gerepileupto(av, a);
    3115             : }
    3116             : 
    3117             : GEN
    3118         757 : nmV_chinese_center_tree_seq(GEN A, GEN P, GEN T, GEN R)
    3119             : {
    3120         757 :   pari_sp av = avma;
    3121         757 :   GEN m2 = shifti(gmael(T, lg(T)-1, 1), -1);
    3122         757 :   GEN a = nmV_polint_center_tree_seq(A, P, T, R, m2);
    3123         757 :   return gerepileupto(av, a);
    3124             : }
    3125             : 
    3126             : GEN
    3127       18360 : nmV_chinese_center(GEN A, GEN P, GEN *pt_mod)
    3128             : {
    3129       18360 :   pari_sp av = avma;
    3130       18360 :   GEN T = ZV_producttree(P);
    3131       18360 :   GEN R = ZV_chinesetree(P, T);
    3132       18360 :   GEN m2 = shifti(gmael(T, lg(T)-1, 1), -1);
    3133       18360 :   GEN a = nmV_polint_center_tree(A, P, T, R, m2);
    3134       18360 :   return gc_chinese(av, T, a, pt_mod);
    3135             : }
    3136             : 
    3137             : GEN
    3138          66 : nxMV_chinese_center_tree_seq(GEN A, GEN P, GEN T, GEN R)
    3139             : {
    3140          66 :   pari_sp av = avma;
    3141          66 :   GEN m2 = shifti(gmael(T, lg(T)-1, 1), -1);
    3142          66 :   GEN a = nxMV_polint_center_tree_seq(A, P, T, R, m2);
    3143          66 :   return gerepileupto(av, a);
    3144             : }
    3145             : 
    3146             : GEN
    3147         291 : nxMV_chinese_center(GEN A, GEN P, GEN *pt_mod)
    3148             : {
    3149         291 :   pari_sp av = avma;
    3150         291 :   GEN T = ZV_producttree(P);
    3151         291 :   GEN R = ZV_chinesetree(P, T);
    3152         291 :   GEN m2 = shifti(gmael(T, lg(T)-1, 1), -1);
    3153         291 :   GEN a = nxMV_polint_center_tree(A, P, T, R, m2);
    3154         291 :   return gc_chinese(av, T, a, pt_mod);
    3155             : }
    3156             : 
    3157             : /**********************************************************************
    3158             :  **                                                                  **
    3159             :  **                    Powering  over (Z/NZ)^*, small N              **
    3160             :  **                                                                  **
    3161             :  **********************************************************************/
    3162             : 
    3163             : /* 2^n mod p; assume n > 1 */
    3164             : static ulong
    3165    20781911 : Fl_2powu_pre(ulong n, ulong p, ulong pi)
    3166             : {
    3167    20781911 :   ulong y = 2;
    3168    20781911 :   int j = 1+bfffo(n);
    3169             :   /* normalize, i.e set highest bit to 1 (we know n != 0) */
    3170    20781911 :   n<<=j; j = BITS_IN_LONG-j; /* first bit is now implicit */
    3171   421759804 :   for (; j; n<<=1,j--)
    3172             :   {
    3173   400977871 :     y = Fl_sqr_pre(y,p,pi);
    3174   400977895 :     if (n & HIGHBIT) y = Fl_double(y, p);
    3175             :   }
    3176    20781933 :   return y;
    3177             : }
    3178             : 
    3179             : /* 2^n mod p; assume n > 1 and !(p & HIGHMASK) */
    3180             : static ulong
    3181     2596993 : Fl_2powu(ulong n, ulong p)
    3182             : {
    3183     2596993 :   ulong y = 2;
    3184     2596993 :   int j = 1+bfffo(n);
    3185             :   /* normalize, i.e set highest bit to 1 (we know n != 0) */
    3186     2596993 :   n<<=j; j = BITS_IN_LONG-j; /* first bit is now implicit */
    3187    30090880 :   for (; j; n<<=1,j--)
    3188             :   {
    3189    27475269 :     y = (y*y) % p;
    3190    27475269 :     if (n & HIGHBIT) y = Fl_double(y, p);
    3191             :   }
    3192     2615611 :   return y;
    3193             : }
    3194             : 
    3195             : ulong
    3196    96725544 : Fl_powu_pre(ulong x, ulong n0, ulong p, ulong pi)
    3197             : {
    3198             :   ulong y, z, n;
    3199    96725544 :   if (n0 <= 1)
    3200             :   { /* frequent special cases */
    3201    10891664 :     if (n0 == 1) return x;
    3202     2984013 :     if (n0 == 0) return 1;
    3203             :   }
    3204    85833880 :   if (x <= 2)
    3205             :   {
    3206    22574265 :     if (x == 2) return Fl_2powu_pre(n0, p, pi);
    3207     1792341 :     return x; /* 0 or 1 */
    3208             :   }
    3209    63259615 :   y = 1; z = x; n = n0;
    3210             :   for(;;)
    3211             :   {
    3212  1061916445 :     if (n&1) y = Fl_mul_pre(y,z,p,pi);
    3213   562662814 :     n>>=1; if (!n) return y;
    3214   499403998 :     z = Fl_sqr_pre(z,p,pi);
    3215             :   }
    3216             : }
    3217             : 
    3218             : ulong
    3219    43949131 : Fl_powu(ulong x, ulong n0, ulong p)
    3220             : {
    3221             :   ulong y, z, n;
    3222    43949131 :   if (n0 <= 2)
    3223             :   { /* frequent special cases */
    3224    32238929 :     if (n0 == 2) return Fl_sqr(x,p);
    3225     3630529 :     if (n0 == 1) return x;
    3226       61963 :     if (n0 == 0) return 1;
    3227             :   }
    3228    11710202 :   if (x <= 1) return x; /* 0 or 1 */
    3229    11657890 :   if (p & HIGHMASK)
    3230     6299654 :     return Fl_powu_pre(x, n0, p, get_Fl_red(p));
    3231     5358236 :   if (x == 2) return Fl_2powu(n0, p);
    3232     2762157 :   y = 1; z = x; n = n0;
    3233             :   for(;;)
    3234             :   {
    3235    49285999 :     if (n&1) y = (y*z) % p;
    3236    26024078 :     n>>=1; if (!n) return y;
    3237    23261921 :     z = (z*z) % p;
    3238             :   }
    3239             : }
    3240             : 
    3241             : /* Reduce data dependency to maximize internal parallelism */
    3242             : GEN
    3243    11052688 : Fl_powers_pre(ulong x, long n, ulong p, ulong pi)
    3244             : {
    3245             :   long i, k;
    3246    11052688 :   GEN powers = cgetg(n + 2, t_VECSMALL);
    3247    11047329 :   powers[1] = 1; if (n == 0) return powers;
    3248    11047329 :   powers[2] = x;
    3249    46570770 :   for (i = 3, k=2; i <= n; i+=2, k++)
    3250             :   {
    3251    35511298 :     powers[i] = Fl_sqr_pre(powers[k], p, pi);
    3252    35517499 :     powers[i+1] = Fl_mul_pre(powers[k], powers[k+1], p, pi);
    3253             :   }
    3254    11059472 :   if (i==n+1)
    3255     9662217 :     powers[i] = Fl_sqr_pre(powers[k], p, pi);
    3256    11059394 :   return powers;
    3257             : }
    3258             : 
    3259             : GEN
    3260        2961 : Fl_powers(ulong x, long n, ulong p)
    3261             : {
    3262        2961 :   return Fl_powers_pre(x, n, p, get_Fl_red(p));
    3263             : }
    3264             : 
    3265             : /**********************************************************************
    3266             :  **                                                                  **
    3267             :  **                    Powering  over (Z/NZ)^*, large N              **
    3268             :  **                                                                  **
    3269             :  **********************************************************************/
    3270             : 
    3271             : static GEN
    3272     4259221 : Fp_dblsqr(GEN x, GEN N)
    3273             : {
    3274     4259221 :   GEN z = shifti(Fp_sqr(x, N), 1);
    3275     4259221 :   return cmpii(z, N) >= 0? subii(z, N): z;
    3276             : }
    3277             : 
    3278             : typedef struct muldata {
    3279             :   GEN (*sqr)(void * E, GEN x);
    3280             :   GEN (*mul)(void * E, GEN x, GEN y);
    3281             :   GEN (*mul2)(void * E, GEN x);
    3282             : } muldata;
    3283             : 
    3284             : /* modified Barrett reduction with one fold */
    3285             : /* See Fast Modular Reduction, W. Hasenplaugh, G. Gaubatz, V. Gopal, ARITH 18 */
    3286             : 
    3287             : static GEN
    3288       10092 : Fp_invmBarrett(GEN p, long s)
    3289             : {
    3290       10092 :   GEN R, Q = dvmdii(int2n(3*s),p,&R);
    3291       10092 :   return mkvec2(Q,R);
    3292             : }
    3293             : 
    3294             : /* a <= (N-1)^2, 2^(2s-2) <= N < 2^(2s). Return 0 <= r < N such that
    3295             :  * a = r (mod N) */
    3296             : static GEN
    3297     4235005 : Fp_rem_mBarrett(GEN a, GEN B, long s, GEN N)
    3298             : {
    3299     4235005 :   pari_sp av = avma;
    3300     4235005 :   GEN P = gel(B, 1), Q = gel(B, 2); /* 2^(3s) = P N + Q, 0 <= Q < N */
    3301     4235005 :   long t = expi(P)+1; /* 2^(t-1) <= P < 2^t */
    3302     4235005 :   GEN u = shifti(a, -3*s), v = remi2n(a, 3*s); /* a = 2^(3s)u + v */
    3303     4235005 :   GEN A = addii(v, mulii(Q,u)); /* 0 <= A < 2^(3s+1) */
    3304     4235005 :   GEN q = shifti(mulii(shifti(A, t-3*s), P), -t); /* A/N - 4 < q <= A/N */
    3305     4235005 :   GEN r = subii(A, mulii(q, N));
    3306     4235005 :   GEN sr= subii(r,N);     /* 0 <= r < 4*N */
    3307     4235005 :   if (signe(sr)<0) return gerepileuptoint(av, r);
    3308     2548401 :   r=sr; sr = subii(r,N);  /* 0 <= r < 3*N */
    3309     2548401 :   if (signe(sr)<0) return gerepileuptoint(av, r);
    3310       98169 :   r=sr; sr = subii(r,N);  /* 0 <= r < 2*N */
    3311       98169 :   return gerepileuptoint(av, signe(sr)>=0 ? sr:r);
    3312             : }
    3313             : 
    3314             : /* Montgomery reduction */
    3315             : 
    3316             : INLINE ulong
    3317      271268 : init_montdata(GEN N) { return (ulong) -invmod2BIL(mod2BIL(N)); }
    3318             : 
    3319             : struct montred
    3320             : {
    3321             :   GEN N;
    3322             :   ulong inv;
    3323             : };
    3324             : 
    3325             : /* Montgomery reduction */
    3326             : static GEN
    3327    29575561 : _sqr_montred(void * E, GEN x)
    3328             : {
    3329    29575561 :   struct montred * D = (struct montred *) E;
    3330    29575561 :   return red_montgomery(sqri(x), D->N, D->inv);
    3331             : }
    3332             : 
    3333             : /* Montgomery reduction */
    3334             : static GEN
    3335     2460301 : _mul_montred(void * E, GEN x, GEN y)
    3336             : {
    3337     2460301 :   struct montred * D = (struct montred *) E;
    3338     2460301 :   return red_montgomery(mulii(x, y), D->N, D->inv);
    3339             : }
    3340             : 
    3341             : static GEN
    3342     5816539 : _mul2_montred(void * E, GEN x)
    3343             : {
    3344     5816539 :   struct montred * D = (struct montred *) E;
    3345     5816539 :   GEN z = shifti(_sqr_montred(E, x), 1);
    3346     5816521 :   long l = lgefint(D->N);
    3347     5816521 :   while (lgefint(z) > l) z = subii(z, D->N);
    3348     5816522 :   return z;
    3349             : }
    3350             : 
    3351             : static GEN
    3352    10533844 : _sqr_remii(void* N, GEN x)
    3353    10533844 : { return remii(sqri(x), (GEN) N); }
    3354             : 
    3355             : static GEN
    3356      938683 : _mul_remii(void* N, GEN x, GEN y)
    3357      938683 : { return remii(mulii(x, y), (GEN) N); }
    3358             : 
    3359             : static GEN
    3360     2997472 : _mul2_remii(void* N, GEN x)
    3361     2997472 : { return Fp_dblsqr(x, (GEN) N); }
    3362             : 
    3363             : struct redbarrett
    3364             : {
    3365             :   GEN iM, N;
    3366             :   long s;
    3367             : };
    3368             : 
    3369             : static GEN
    3370     3823998 : _sqr_remiibar(void *E, GEN x)
    3371             : {
    3372     3823998 :   struct redbarrett * D = (struct redbarrett *) E;
    3373     3823998 :   return Fp_rem_mBarrett(sqri(x), D->iM, D->s, D->N);
    3374             : }
    3375             : 
    3376             : static GEN
    3377      411007 : _mul_remiibar(void *E, GEN x, GEN y)
    3378             : {
    3379      411007 :   struct redbarrett * D = (struct redbarrett *) E;
    3380      411007 :   return Fp_rem_mBarrett(mulii(x, y), D->iM, D->s, D->N);
    3381             : }
    3382             : 
    3383             : static GEN
    3384     1261749 : _mul2_remiibar(void *E, GEN x)
    3385             : {
    3386     1261749 :   struct redbarrett * D = (struct redbarrett *) E;
    3387     1261749 :   return Fp_dblsqr(x, D->N);
    3388             : }
    3389             : 
    3390             : static long
    3391      358012 : Fp_select_red(GEN *y, ulong k, GEN N, long lN, muldata *D, void **pt_E)
    3392             : {
    3393      358012 :   if (lN >= Fp_POW_BARRETT_LIMIT && (k==0 || ((double)k)*expi(*y) > 2 + expi(N)))
    3394             :   {
    3395       10092 :     struct redbarrett * E = (struct redbarrett *) stack_malloc(sizeof(struct redbarrett));
    3396       10092 :     D->sqr = &_sqr_remiibar;
    3397       10092 :     D->mul = &_mul_remiibar;
    3398       10092 :     D->mul2 = &_mul2_remiibar;
    3399       10092 :     E->N = N;
    3400       10092 :     E->s = 1+(expi(N)>>1);
    3401       10092 :     E->iM = Fp_invmBarrett(N, E->s);
    3402       10092 :     *pt_E = (void*) E;
    3403       10092 :     return 0;
    3404             :   }
    3405      347920 :   else if (mod2(N) && lN < Fp_POW_REDC_LIMIT)
    3406             :   {
    3407      271264 :     struct montred * E = (struct montred *) stack_malloc(sizeof(struct montred));
    3408      271264 :     *y = remii(shifti(*y, bit_accuracy(lN)), N);
    3409      271267 :     D->sqr = &_sqr_montred;
    3410      271267 :     D->mul = &_mul_montred;
    3411      271267 :     D->mul2 = &_mul2_montred;
    3412      271267 :     E->N = N;
    3413      271267 :     E->inv = init_montdata(N);
    3414      271267 :     *pt_E = (void*) E;
    3415      271267 :     return 1;
    3416             :   }
    3417             :   else
    3418             :   {
    3419       76655 :     D->sqr = &_sqr_remii;
    3420       76655 :     D->mul = &_mul_remii;
    3421       76655 :     D->mul2 = &_mul2_remii;
    3422       76655 :     *pt_E = (void*) N;
    3423       76655 :     return 0;
    3424             :   }
    3425             : }
    3426             : 
    3427             : GEN
    3428      882897 : Fp_powu(GEN A, ulong k, GEN N)
    3429             : {
    3430      882897 :   long lN = lgefint(N);
    3431             :   int base_is_2, use_montgomery;
    3432             :   muldata D;
    3433             :   void *E;
    3434             :   pari_sp av;
    3435             : 
    3436      882897 :   if (lN == 3) {
    3437       88481 :     ulong n = uel(N,2);
    3438       88481 :     return utoi( Fl_powu(umodiu(A, n), k, n) );
    3439             :   }
    3440      794416 :   if (k <= 2)
    3441             :   { /* frequent special cases */
    3442      565241 :     if (k == 2) return Fp_sqr(A,N);
    3443      131277 :     if (k == 1) return A;
    3444           0 :     if (k == 0) return gen_1;
    3445             :   }
    3446      229175 :   av = avma; A = modii(A,N);
    3447      229176 :   base_is_2 = 0;
    3448      229176 :   if (lgefint(A) == 3) switch(A[2])
    3449             :   {
    3450         523 :     case 1: avma = av; return gen_1;
    3451       34202 :     case 2:  base_is_2 = 1; break;
    3452             :   }
    3453             : 
    3454             :   /* TODO: Move this out of here and use for general modular computations */
    3455      228653 :   use_montgomery = Fp_select_red(&A, k, N, lN, &D, &E);
    3456      228653 :   if (base_is_2)
    3457       34202 :     A = gen_powu_fold_i(A, k, E, D.sqr, D.mul2);
    3458             :   else
    3459      194451 :     A = gen_powu_i(A, k, E, D.sqr, D.mul);
    3460      228652 :   if (use_montgomery)
    3461             :   {
    3462      198180 :     A = red_montgomery(A, N, ((struct montred *) E)->inv);
    3463      198178 :     if (cmpii(A, N) >= 0) A = subii(A,N);
    3464             :   }
    3465      228650 :   return gerepileuptoint(av, A);
    3466             : }
    3467             : 
    3468             : GEN
    3469       21623 : Fp_pows(GEN A, long k, GEN N)
    3470             : {
    3471       21623 :   if (lgefint(N) == 3) {
    3472        7372 :     ulong n = N[2];
    3473        7372 :     ulong a = umodiu(A, n);
    3474        7372 :     if (k < 0) {
    3475         126 :       a = Fl_inv(a, n);
    3476         126 :       k = -k;
    3477             :     }
    3478        7372 :     return utoi( Fl_powu(a, (ulong)k, n) );
    3479             :   }
    3480       14251 :   if (k < 0) { A = Fp_inv(A, N); k = -k; };
    3481       14251 :   return Fp_powu(A, (ulong)k, N);
    3482             : }
    3483             : 
    3484             : /* A^K mod N */
    3485             : GEN
    3486     5528198 : Fp_pow(GEN A, GEN K, GEN N)
    3487             : {
    3488             :   pari_sp av;
    3489     5528198 :   long s, lN = lgefint(N), sA;
    3490             :   int base_is_2, use_montgomery;
    3491             :   GEN y;
    3492             :   muldata D;
    3493             :   void *E;
    3494             : 
    3495     5528198 :   s = signe(K);
    3496     5528198 :   if (!s) return dvdii(A,N)? gen_0: gen_1;
    3497     5451086 :   if (lN == 3 && lgefint(K) == 3)
    3498             :   {
    3499     5200168 :     ulong n = N[2], a = umodiu(A, n);
    3500     5200168 :     if (s < 0) a = Fl_inv(a, n);
    3501     5200168 :     if (a <= 1) return utoi(a); /* 0 or 1 */
    3502     4867932 :     return utoi(Fl_powu(a, uel(K,2), n));
    3503             :   }
    3504             : 
    3505      250918 :   av = avma;
    3506      250918 :   if (s < 0) y = Fp_inv(A,N);
    3507             :   else
    3508             :   {
    3509      250450 :     y = modii(A,N);
    3510      250452 :     if (!signe(y)) { avma = av; return gen_0; }
    3511             :   }
    3512      250918 :   if (lgefint(K) == 3) return gerepileuptoint(av, Fp_powu(y, K[2], N));
    3513             : 
    3514      129441 :   base_is_2 = 0;
    3515      129441 :   sA = signe(y)==-1 && mod2(K);
    3516      129441 :   if (lgefint(y) == 3) switch(y[2])
    3517             :   {
    3518          82 :     case 1: return sA ? gen_m1 : gen_1;
    3519       87415 :     case 2:  base_is_2 = 1; break;
    3520             :   }
    3521             : 
    3522             :   /* TODO: Move this out of here and use for general modular computations */
    3523      129359 :   use_montgomery = Fp_select_red(&y, 0UL, N, lN, &D, &E);
    3524      129361 :   if (base_is_2)
    3525       87415 :     y = gen_pow_fold_i(y, K, E, D.sqr, D.mul2);
    3526             :   else
    3527       41946 :     y = gen_pow_i(y, K, E, D.sqr, D.mul);
    3528      129359 :   if (use_montgomery)
    3529             :   {
    3530       73084 :     y = red_montgomery(y, N, ((struct montred *) E)->inv);
    3531       73084 :     if (cmpii(y,N) >= 0) y = subii(y,N);
    3532       73082 :     if (sA) y = subii(N, y);
    3533             :   }
    3534      129357 :   return gerepileuptoint(av,y);
    3535             : }
    3536             : 
    3537             : static GEN
    3538     1247536 : _Fp_mul(void *E, GEN x, GEN y) { return Fp_mul(x,y,(GEN)E); }
    3539             : 
    3540             : static GEN
    3541       23500 : _Fp_sqr(void *E, GEN x) { return Fp_sqr(x,(GEN)E); }
    3542             : 
    3543             : static GEN
    3544       55230 : _Fp_one(void *E) { (void) E; return gen_1; }
    3545             : 
    3546             : GEN
    3547          84 : Fp_pow_init(GEN x, GEN n, long k, GEN p)
    3548             : {
    3549          84 :   return gen_pow_init(x, n, k, (void*)p, &_Fp_sqr, &_Fp_mul);
    3550             : }
    3551             : 
    3552             : GEN
    3553       55090 : Fp_pow_table(GEN R, GEN n, GEN p)
    3554             : {
    3555       55090 :   return gen_pow_table(R, n, (void*)p, &_Fp_one, &_Fp_mul);
    3556             : }
    3557             : 
    3558             : GEN
    3559        2016 : Fp_powers(GEN x, long n, GEN p)
    3560             : {
    3561        2016 :   if (lgefint(p) == 3)
    3562        1876 :     return Flv_to_ZV(Fl_powers(umodiu(x, uel(p, 2)), n, uel(p, 2)));
    3563         140 :   return gen_powers(x, n, 1, (void*)p, _Fp_sqr, _Fp_mul, _Fp_one);
    3564             : }
    3565             : 
    3566             : static GEN
    3567     3179631 : _Fp_pow(void *E, GEN x, GEN n) { return Fp_pow(x,n,(GEN)E); }
    3568             : 
    3569             : static GEN
    3570         112 : _Fp_rand(void *E) { return addiu(randomi(subiu((GEN)E,1)),1); }
    3571             : 
    3572             : static GEN Fp_easylog(void *E, GEN a, GEN g, GEN ord);
    3573             : 
    3574             : static const struct bb_group Fp_star={_Fp_mul,_Fp_pow,_Fp_rand,hash_GEN,
    3575             :                                       equalii,equali1,Fp_easylog};
    3576             : 
    3577             : static GEN
    3578     1052565 : _Fp_red(void *E, GEN x) { return Fp_red(x, (GEN)E); }
    3579             : 
    3580             : static GEN
    3581     1504160 : _Fp_add(void *E, GEN x, GEN y) { (void) E; return addii(x,y); }
    3582             : 
    3583             : static GEN
    3584      268331 : _Fp_neg(void *E, GEN x) { (void) E; return negi(x); }
    3585             : 
    3586             : static GEN
    3587     1665214 : _Fp_rmul(void *E, GEN x, GEN y) { (void) E; return mulii(x,y); }
    3588             : 
    3589             : static GEN
    3590       27616 : _Fp_inv(void *E, GEN x) { return Fp_inv(x,(GEN)E); }
    3591             : 
    3592             : static int
    3593      385860 : _Fp_equal0(GEN x) { return signe(x)==0; }
    3594             : 
    3595             : static GEN
    3596      150543 : _Fp_s(void *E, long x) { (void) E; return stoi(x); }
    3597             : 
    3598             : static const struct bb_field Fp_field={_Fp_red,_Fp_add,_Fp_rmul,_Fp_neg,
    3599             :                                         _Fp_inv,_Fp_equal0,_Fp_s};
    3600             : 
    3601        7371 : const struct bb_field *get_Fp_field(void **E, GEN p)
    3602             : {
    3603        7371 :   *E = (void*)p; return &Fp_field;
    3604             : }
    3605             : 
    3606             : /*********************************************************************/
    3607             : /**                                                                 **/
    3608             : /**               ORDER of INTEGERMOD x  in  (Z/nZ)*                **/
    3609             : /**                                                                 **/
    3610             : /*********************************************************************/
    3611             : ulong
    3612       12096 : Fl_order(ulong a, ulong o, ulong p)
    3613             : {
    3614       12096 :   pari_sp av = avma;
    3615             :   GEN m, P, E;
    3616             :   long i;
    3617       12096 :   if (!o) o = p-1;
    3618       12096 :   m = factoru(o);
    3619       12096 :   P = gel(m,1);
    3620       12096 :   E = gel(m,2);
    3621       28952 :   for (i = lg(P)-1; i; i--)
    3622             :   {
    3623       16856 :     ulong j, l = P[i], e = E[i], t = o / upowuu(l,e), y = Fl_powu(a, t, p);
    3624       16856 :     if (y == 1) o = t;
    3625       14861 :     else for (j = 1; j < e; j++)
    3626             :     {
    3627        4284 :       y = Fl_powu(y, l, p);
    3628        4284 :       if (y == 1) { o = t *  upowuu(l, j); break; }
    3629             :     }
    3630             :   }
    3631       12096 :   avma = av; return o;
    3632             : }
    3633             : 
    3634             : /*Find the exact order of a assuming a^o==1*/
    3635             : GEN
    3636       10676 : Fp_order(GEN a, GEN o, GEN p) {
    3637       10676 :   if (lgefint(p) == 3 && (!o || typ(o) == t_INT))
    3638             :   {
    3639          21 :     ulong pp = p[2], oo = (o && lgefint(o)==3)? o[2]: pp-1;
    3640          21 :     return utoi( Fl_order(umodiu(a, pp), oo, pp) );
    3641             :   }
    3642       10655 :   return gen_order(a, o, (void*)p, &Fp_star);
    3643             : }
    3644             : GEN
    3645          56 : Fp_factored_order(GEN a, GEN o, GEN p)
    3646          56 : { return gen_factored_order(a, o, (void*)p, &Fp_star); }
    3647             : 
    3648             : /* return order of a mod p^e, e > 0, pe = p^e */
    3649             : static GEN
    3650          70 : Zp_order(GEN a, GEN p, long e, GEN pe)
    3651             : {
    3652             :   GEN ap, op;
    3653          70 :   if (absequaliu(p, 2))
    3654             :   {
    3655          56 :     if (e == 1) return gen_1;
    3656          56 :     if (e == 2) return mod4(a) == 1? gen_1: gen_2;
    3657          49 :     if (mod4(a) == 1)
    3658          14 :       op = gen_1;
    3659             :     else {
    3660          35 :       op = gen_2;
    3661          35 :       a = Fp_sqr(a, pe);
    3662             :     }
    3663             :   } else {
    3664          14 :     ap = (e == 1)? a: remii(a,p);
    3665          14 :     op = Fp_order(ap, subiu(p,1), p);
    3666          14 :     if (e == 1) return op;
    3667           0 :     a = Fp_pow(a, op, pe); /* 1 mod p */
    3668             :   }
    3669          49 :   if (equali1(a)) return op;
    3670           7 :   return mulii(op, powiu(p, e - Z_pval(subiu(a,1), p)));
    3671             : }
    3672             : 
    3673             : GEN
    3674          63 : znorder(GEN x, GEN o)
    3675             : {
    3676          63 :   pari_sp av = avma;
    3677             :   GEN b, a;
    3678             : 
    3679          63 :   if (typ(x) != t_INTMOD) pari_err_TYPE("znorder [t_INTMOD expected]",x);
    3680          56 :   b = gel(x,1); a = gel(x,2);
    3681          56 :   if (!equali1(gcdii(a,b))) pari_err_COPRIME("znorder", a,b);
    3682          49 :   if (!o)
    3683             :   {
    3684          35 :     GEN fa = Z_factor(b), P = gel(fa,1), E = gel(fa,2);
    3685          35 :     long i, l = lg(P);
    3686          35 :     o = gen_1;
    3687          70 :     for (i = 1; i < l; i++)
    3688             :     {
    3689          35 :       GEN p = gel(P,i);
    3690          35 :       long e = itos(gel(E,i));
    3691             : 
    3692          35 :       if (l == 2)
    3693          35 :         o = Zp_order(a, p, e, b);
    3694             :       else {
    3695           0 :         GEN pe = powiu(p,e);
    3696           0 :         o = lcmii(o, Zp_order(remii(a,pe), p, e, pe));
    3697             :       }
    3698             :     }
    3699          35 :     return gerepileuptoint(av, o);
    3700             :   }
    3701          14 :   return Fp_order(a, o, b);
    3702             : }
    3703             : GEN
    3704           0 : order(GEN x) { return znorder(x, NULL); }
    3705             : 
    3706             : /*********************************************************************/
    3707             : /**                                                                 **/
    3708             : /**               DISCRETE LOGARITHM  in  (Z/nZ)*                   **/
    3709             : /**                                                                 **/
    3710             : /*********************************************************************/
    3711             : static GEN
    3712       59520 : Fp_log_halfgcd(ulong bnd, GEN C, GEN g, GEN p)
    3713             : {
    3714       59520 :   pari_sp av = avma;
    3715             :   GEN h1, h2, F, G;
    3716       59520 :   if (!Fp_ratlift(g,p,C,shifti(C,-1),&h1,&h2)) return NULL;
    3717       35723 :   if ((F = Z_issmooth_fact(h1, bnd)) && (G = Z_issmooth_fact(h2, bnd)))
    3718             :   {
    3719         226 :     GEN M = cgetg(3, t_MAT);
    3720         226 :     gel(M,1) = vecsmall_concat(gel(F, 1),gel(G, 1));
    3721         226 :     gel(M,2) = vecsmall_concat(gel(F, 2),zv_neg_inplace(gel(G, 2)));
    3722         226 :     return gerepileupto(av, M);
    3723             :   }
    3724       35497 :   avma = av; return NULL;
    3725             : }
    3726             : 
    3727             : static GEN
    3728       59520 : Fp_log_find_rel(GEN b, ulong bnd, GEN C, GEN p, GEN *g, long *e)
    3729             : {
    3730             :   GEN rel;
    3731             :   do
    3732             :   {
    3733       59520 :     (*e)++; *g = Fp_mul(*g, b, p);
    3734       59520 :     rel = Fp_log_halfgcd(bnd, C, *g, p);
    3735       59520 :   } while (!rel);
    3736         226 :   return rel;
    3737             : }
    3738             : 
    3739             : struct Fp_log_rel
    3740             : {
    3741             :   GEN rel;
    3742             :   ulong prmax;
    3743             :   long nbrel, nbmax, nbgen;
    3744             : };
    3745             : 
    3746             : /* add u^e */
    3747             : static void
    3748        2583 : addifsmooth1(struct Fp_log_rel *r, GEN z, long u, long e)
    3749             : {
    3750        2583 :   pari_sp av = avma;
    3751        2583 :   long off = r->prmax+1;
    3752        2583 :   GEN F = cgetg(3, t_MAT);
    3753        2583 :   gel(F,1) = vecsmall_append(gel(z,1), off+u);
    3754        2583 :   gel(F,2) = vecsmall_append(gel(z,2), e);
    3755        2583 :   gel(r->rel,++r->nbrel) = gerepileupto(av, F);
    3756        2583 : }
    3757             : 
    3758             : /* add u^-1 v^-1 */
    3759             : static void
    3760       99869 : addifsmooth2(struct Fp_log_rel *r, GEN z, long u, long v)
    3761             : {
    3762       99869 :   pari_sp av = avma;
    3763       99869 :   long off = r->prmax+1;
    3764       99869 :   GEN P = mkvecsmall2(off+u,off+v), E = mkvecsmall2(-1,-1);
    3765       99869 :   GEN F = cgetg(3, t_MAT);
    3766       99869 :   gel(F,1) = vecsmall_concat(gel(z,1), P);
    3767       99869 :   gel(F,2) = vecsmall_concat(gel(z,2), E);
    3768       99869 :   gel(r->rel,++r->nbrel) = gerepileupto(av, F);
    3769       99869 : }
    3770             : 
    3771             : /*
    3772             : Let p=C^2+c
    3773             : Solve h = (C+x)*(C+a)-p = 0 [mod l]
    3774             : h= -c+x*(C+a)+C*a = 0  [mod l]
    3775             : x = (c-C*a)/(C+a) [mod l]
    3776             : h = -c+C*(x+a)+a*x
    3777             : */
    3778             : 
    3779             : GEN
    3780       39020 : Fp_log_sieve_worker(long a, long prmax, GEN C, GEN c, GEN Ci, GEN ci, GEN pi, GEN sz)
    3781             : {
    3782       39020 :   pari_sp ltop = avma;
    3783       39020 :   long th = expi(mulis(C,a)), n = lg(pi)-1;
    3784             :   long i, j;
    3785       39017 :   GEN sieve = zero_zv(a+2)+1;
    3786       39036 :   GEN L = cgetg(1+a+2, t_VEC);
    3787       39022 :   pari_sp av = avma;
    3788       39022 :   long rel = 1;
    3789             :   GEN z, h;
    3790       39022 :   h = addis(C,a);
    3791       39004 :   if ((z = Z_issmooth_fact(h, prmax)))
    3792             :   {
    3793        2415 :     gel(L, rel++) = mkvec2(z, mkvecsmall3(1, a, -1));
    3794        2415 :     av = avma;
    3795             :   }
    3796    16761861 :   for(i=1; i<=n; i++)
    3797             :   {
    3798    16722896 :     ulong li = pi[i], s = sz[i], al = a % li;
    3799    16722896 :     ulong u, iv = Fl_invsafe(Fl_add(Ci[i],al,li),li);
    3800    17246358 :     if (!iv) continue;
    3801    16783209 :     u = Fl_mul(Fl_sub(ci[i],Fl_mul(Ci[i],al,li),li), iv ,li);
    3802    76677994 :     for(j = u; j<=a; j+=li)
    3803    60411034 :       sieve[j] += s;
    3804             :   }
    3805       38965 :   th = th - expu(th)-1;
    3806    27880928 :   for(j=0; j<a; j++)
    3807    27841894 :     if (sieve[j]>=th)
    3808             :     {
    3809      116710 :       GEN h = addiu(subii(muliu(C,a+j),c), a*j);
    3810      111523 :       if ((z = Z_issmooth_fact(h, prmax)))
    3811             :       {
    3812      104741 :         gel(L, rel++) = mkvec2(z, mkvecsmall3(2, a, j));
    3813      104908 :         av = avma;
    3814        6644 :       } else avma = av;
    3815             :     }
    3816             :   /* j = a */
    3817       39034 :   if (sieve[a]>=th)
    3818             :   {
    3819         420 :     GEN h = addiu(subii(muliu(C,2*a),c), a*a);
    3820         420 :     if ((z = Z_issmooth_fact(h, prmax)))
    3821             :     {
    3822         343 :       gel(L, rel++) = mkvec2(z, mkvecsmall3(1, a, -2));
    3823         343 :       av = avma;
    3824             :     }
    3825             :   }
    3826       39034 :   setlg(L, rel);
    3827       39036 :   return gerepilecopy(ltop, L);
    3828             : }
    3829             : 
    3830             : static long
    3831          49 : Fp_log_sieve(struct Fp_log_rel *r, GEN C, GEN c, GEN Ci, GEN ci, GEN pi, GEN sz)
    3832             : {
    3833             :   struct pari_mt pt;
    3834          49 :   long i, j, nb = 0;
    3835          49 :   GEN worker = snm_closure(is_entry("_Fp_log_sieve_worker"),
    3836             :                mkvecn(7, utoi(r->prmax), C, c, Ci, ci, pi, sz));
    3837          49 :   long running, pending = 0;
    3838          49 :   GEN W = zerovec(r->nbgen);
    3839          49 :   mt_queue_start_lim(&pt, worker, r->nbgen);
    3840       39305 :   for (i = 0; (running = (i < r->nbgen)) || pending; i++)
    3841             :   {
    3842             :     GEN done;
    3843             :     long idx;
    3844       39256 :     mt_queue_submit(&pt, i, running ? mkvec(stoi(i)): NULL);
    3845       39256 :     done = mt_queue_get(&pt, &idx, &pending);
    3846       39256 :     if (!done || lg(done)==1) continue;
    3847       34146 :     gel(W, idx+1) = done;
    3848       34146 :     nb += lg(done)-1;
    3849       34146 :     if (DEBUGLEVEL && (i&127)==0)
    3850           0 :       err_printf("%ld%% ",100*nb/r->nbmax);
    3851             :   }
    3852          49 :   mt_queue_end(&pt);
    3853       37870 :   for(j = 1; j <= r->nbgen && r->nbrel < r->nbmax; j++)
    3854             :   {
    3855             :     long ll, m;
    3856       37821 :     GEN L = gel(W,j);
    3857       37821 :     if (isintzero(L)) continue;
    3858       32942 :     ll = lg(L);
    3859      135394 :     for (m=1; m<ll && r->nbrel < r->nbmax ; m++)
    3860             :     {
    3861      102452 :       GEN Lm = gel(L,m), h = gel(Lm, 1), v = gel(Lm, 2);
    3862      102452 :       if (v[1] == 1)
    3863        2583 :         addifsmooth1(r, h, v[2], v[3]);
    3864             :       else
    3865       99869 :         addifsmooth2(r, h, v[2], v[3]);
    3866             :     }
    3867             :   }
    3868          49 :   return j;
    3869             : }
    3870             : 
    3871             : static GEN
    3872         525 : ECP_psi(GEN x, GEN y)
    3873             : {
    3874         525 :   long prec = realprec(x);
    3875         525 :   GEN lx = glog(x, prec), ly = glog(y, prec);
    3876         525 :   GEN u = gdiv(lx, ly);
    3877         525 :   return gpow(u, gneg(u),prec);
    3878             : }
    3879             : 
    3880             : struct computeG
    3881             : {
    3882             :   GEN C;
    3883             :   long bnd, nbi;
    3884             : };
    3885             : 
    3886             : static GEN
    3887         525 : _computeG(void *E, GEN gen)
    3888             : {
    3889         525 :   struct computeG * d = (struct computeG *) E;
    3890         525 :   GEN ps = ECP_psi(gmul(gen,d->C), stoi(d->bnd));
    3891         525 :   return gsub(gmul(gsqr(gen),ps),gmul2n(gaddgs(gen,d->nbi),2));
    3892             : }
    3893             : 
    3894             : static long
    3895          49 : compute_nbgen(GEN C, long bnd, long nbi)
    3896             : {
    3897             :   struct computeG d;
    3898          49 :   d.C = shifti(C, 1);
    3899          49 :   d.bnd = bnd;
    3900          49 :   d.nbi = nbi;
    3901          49 :   return itos(ground(zbrent((void*)&d, _computeG, gen_2, stoi(bnd), DEFAULTPREC)));
    3902             : }
    3903             : 
    3904             : static GEN
    3905        1367 : _psi(void*E, GEN y)
    3906             : {
    3907        1367 :   GEN lx = (GEN) E;
    3908        1367 :   long prec = realprec(lx);
    3909        1367 :   GEN ly = glog(y, prec);
    3910        1367 :   GEN u = gdiv(lx, ly);
    3911        1367 :   return gsub(gdiv(y ,ly), gpow(u, u, prec));
    3912             : }
    3913             : 
    3914             : static GEN
    3915          49 : opt_param(GEN x, long prec)
    3916             : {
    3917          49 :   return zbrent((void*)glog(x,prec), _psi, gen_2, x, prec);
    3918             : }
    3919             : 
    3920             : static GEN
    3921          49 : check_kernel(long nbg, long N, long prmax, GEN C, GEN M, GEN p, GEN m)
    3922             : {
    3923          49 :   pari_sp av = avma;
    3924          49 :   long lM = lg(M)-1, nbcol = lM;
    3925          49 :   long tbs = maxss(1, expu(nbg/expi(m)));
    3926             :   for (;;)
    3927          35 :   {
    3928          84 :     GEN K = FpMs_leftkernel_elt_col(M, nbcol, N, m);
    3929             :     GEN tab;
    3930          84 :     long i, f=0;
    3931          84 :     long l = lg(K), lm = lgefint(m);
    3932          84 :     GEN idx = diviiexact(subiu(p,1),m), g;
    3933             :     pari_timer ti;
    3934          84 :     if (DEBUGLEVEL) timer_start(&ti);
    3935         140 :     for(i=1; i<l; i++)
    3936         140 :       if (signe(gel(K,i)))
    3937          84 :         break;
    3938          84 :     g = Fp_pow(utoi(i), idx, p);
    3939          84 :     tab = Fp_pow_init(g, p, tbs, p);
    3940          84 :     K = FpC_Fp_mul(K, Fp_inv(gel(K,i), m), m);
    3941      130438 :     for(i=1; i<l; i++)
    3942             :     {
    3943      130354 :       GEN k = gel(K,i);
    3944      130354 :       GEN j = i<=prmax ? utoi(i): addis(C,i-(prmax+1));
    3945      130354 :       if (signe(k)==0 || !equalii(Fp_pow_table(tab, k, p), Fp_pow(j, idx, p)))
    3946       80542 :         gel(K,i) = cgetineg(lm);
    3947             :       else
    3948       49812 :         f++;
    3949             :     }
    3950          84 :     if (DEBUGLEVEL) timer_printf(&ti,"found %ld/%ld logs", f, nbg);
    3951         133 :     if(f > (nbg>>1)) return gerepileupto(av, K);
    3952        9877 :     for(i=1; i<=nbcol; i++)
    3953             :     {
    3954        9842 :       long a = 1+random_Fl(lM);
    3955        9842 :       swap(gel(M,a),gel(M,i));
    3956             :     }
    3957          35 :     if (4*nbcol>5*nbg) nbcol = nbcol*9/10;
    3958             :   }
    3959             : }
    3960             : 
    3961             : static GEN
    3962          98 : Fp_log_find_ind(GEN a, GEN K, long prmax, GEN C, GEN p, GEN m)
    3963             : {
    3964          98 :   pari_sp av=avma;
    3965          98 :   GEN aa = gen_1;
    3966          98 :   long AV = 0;
    3967             :   for(;;)
    3968         128 :   {
    3969         226 :     GEN A = Fp_log_find_rel(a, prmax, C, p, &aa, &AV);
    3970         226 :     GEN F = gel(A,1), E = gel(A,2);
    3971         226 :     GEN Ao = gen_0;
    3972         226 :     long i, l = lg(F);
    3973        1145 :     for(i=1; i<l; i++)
    3974             :     {
    3975        1047 :       GEN Ki = gel(K,F[i]);
    3976        1047 :       if (signe(Ki)<0) break;
    3977         919 :       Ao = addii(Ao, mulis(Ki, E[i]));
    3978             :     }
    3979         324 :     if (i==l) return Fp_div(Ao, utoi(AV), m);
    3980         128 :     aa = gerepileuptoint(av, aa);
    3981             :   }
    3982             : }
    3983             : 
    3984             : static GEN
    3985          49 : Fp_log_index(GEN a, GEN b, GEN m, GEN p)
    3986             : {
    3987          49 :   pari_sp av = avma, av2;
    3988          49 :   long i, j, nbi, nbr = 0, nbrow, nbg;
    3989             :   GEN C, c, Ci, ci, pi, pr, sz, l, Ao, Bo, K, d, p_1;
    3990             :   pari_timer ti;
    3991             :   struct Fp_log_rel r;
    3992          49 :   ulong bnds = itou(roundr_safe(opt_param(sqrti(p),DEFAULTPREC)));
    3993          49 :   ulong bnd = 4*bnds;
    3994          49 :   if (!bnds || cmpii(sqru(bnds),m)>=0) return NULL;
    3995             : 
    3996          49 :   p_1 = subiu(p,1);
    3997          49 :   if (!is_pm1(gcdii(m,diviiexact(p_1,m))))
    3998           0 :     m = diviiexact(p_1, Z_ppo(p_1, m));
    3999          49 :   pr = primes_upto_zv(bnd);
    4000          49 :   nbi = lg(pr)-1;
    4001          49 :   C = sqrtremi(p, &c);
    4002          49 :   av2 = avma;
    4003       12236 :   for (i = 1; i <= nbi; ++i)
    4004             :   {
    4005       12187 :     ulong lp = pr[i];
    4006       37793 :     while (lp <= bnd)
    4007             :     {
    4008       13419 :       nbr++;
    4009       13419 :       lp *= pr[i];
    4010             :     }
    4011             :   }
    4012          49 :   pi = cgetg(nbr+1,t_VECSMALL);
    4013          49 :   Ci = cgetg(nbr+1,t_VECSMALL);
    4014          49 :   ci = cgetg(nbr+1,t_VECSMALL);
    4015          49 :   sz = cgetg(nbr+1,t_VECSMALL);
    4016       12236 :   for (i = 1, j = 1; i <= nbi; ++i)
    4017             :   {
    4018       12187 :     ulong lp = pr[i], sp = expu(2*lp-1);
    4019       37793 :     while (lp <= bnd)
    4020             :     {
    4021       13419 :       pi[j] = lp;
    4022       13419 :       Ci[j] = umodiu(C, lp);
    4023       13419 :       ci[j] = umodiu(c, lp);
    4024       13419 :       sz[j] = sp;
    4025       13419 :       lp *= pr[i];
    4026       13419 :       j++;
    4027             :     }
    4028             :   }
    4029          49 :   r.nbrel = 0;
    4030          49 :   r.nbgen = compute_nbgen(C, bnd, nbi);
    4031          49 :   r.nbmax = 2*(nbi+r.nbgen);
    4032          49 :   r.rel = cgetg(r.nbmax+1,t_VEC);
    4033          49 :   r.prmax = pr[nbi];
    4034          49 :   if (DEBUGLEVEL)
    4035             :   {
    4036           0 :     err_printf("bnd=%lu Size FB=%ld extra gen=%ld \n", bnd, nbi, r.nbgen);
    4037           0 :     timer_start(&ti);
    4038             :   }
    4039          49 :   nbg = Fp_log_sieve(&r, C, c, Ci, ci, pi, sz);
    4040          49 :   nbrow = r.prmax + nbg;
    4041          49 :   if (DEBUGLEVEL)
    4042             :   {
    4043           0 :     err_printf("\n");
    4044           0 :     timer_printf(&ti," %ld relations, %ld generators", r.nbrel, nbi+nbg);
    4045             :   }
    4046          49 :   setlg(r.rel,r.nbrel+1);
    4047          49 :   r.rel = gerepilecopy(av2, r.rel);
    4048          49 :   K = check_kernel(nbi+nbrow-r.prmax, nbrow, r.prmax, C, r.rel, p, m);
    4049          49 :   if (DEBUGLEVEL) timer_start(&ti);
    4050          49 :   Ao = Fp_log_find_ind(a, K, r.prmax, C, p, m);
    4051          49 :   if (DEBUGLEVEL) timer_printf(&ti," log element");
    4052          49 :   Bo = Fp_log_find_ind(b, K, r.prmax, C, p, m);
    4053          49 :   if (DEBUGLEVEL) timer_printf(&ti," log generator");
    4054          49 :   d = gcdii(Ao,Bo);
    4055          49 :   l = Fp_div(diviiexact(Ao, d) ,diviiexact(Bo, d), m);
    4056          49 :   if (!equalii(a,Fp_pow(b,l,p))) pari_err_BUG("Fp_log_index");
    4057          49 :   return gerepileuptoint(av, l);
    4058             : }
    4059             : 
    4060             : static int
    4061      713406 : Fp_log_use_index(long e, long p)
    4062             : {
    4063      713406 :   return (e >= 27 && 20*(p+6)<=e*e);
    4064             : }
    4065             : 
    4066             : /* Trivial cases a = 1, -1. Return x s.t. g^x = a or [] if no such x exist */
    4067             : static GEN
    4068     1076092 : Fp_easylog(void *E, GEN a, GEN g, GEN ord)
    4069             : {
    4070     1076092 :   pari_sp av = avma;
    4071     1076092 :   GEN p = (GEN)E;
    4072             :   /* assume a reduced mod p, p not necessarily prime */
    4073     1076092 :   if (equali1(a)) return gen_0;
    4074             :   /* p > 2 */
    4075      662590 :   if (equalii(subiu(p,1), a))  /* -1 */
    4076             :   {
    4077             :     pari_sp av2;
    4078             :     GEN t;
    4079      218013 :     ord = get_arith_Z(ord);
    4080      218013 :     if (mpodd(ord)) { avma = av; return cgetg(1, t_VEC); } /* no solution */
    4081      217999 :     t = shifti(ord,-1); /* only possible solution */
    4082      217999 :     av2 = avma;
    4083      217999 :     if (!equalii(Fp_pow(g, t, p), a)) { avma = av; return cgetg(1, t_VEC); }
    4084      217803 :     avma = av2; return gerepileuptoint(av, t);
    4085             :   }
    4086      444577 :   if (typ(ord)==t_INT && BPSW_psp(p) && Fp_log_use_index(expi(ord),expi(p)))
    4087          49 :     return Fp_log_index(a, g, ord, p);
    4088      444528 :   avma = av; return NULL; /* not easy */
    4089             : }
    4090             : 
    4091             : GEN
    4092      747600 : Fp_log(GEN a, GEN g, GEN ord, GEN p)
    4093             : {
    4094      747600 :   GEN v = get_arith_ZZM(ord);
    4095      747572 :   GEN F = gmael(v,2,1);
    4096      747572 :   long lF = lg(F)-1, lmax;
    4097      747572 :   if (lF == 0) return equali1(a)? gen_0: cgetg(1, t_VEC);
    4098      631276 :   lmax = expi(gel(F,lF));
    4099      631276 :   if (BPSW_psp(p) && Fp_log_use_index(lmax,expi(p)))
    4100          49 :     v = mkvec2(gel(v,1),ZM_famat_limit(gel(v,2),int2n(27)));
    4101      631276 :   return gen_PH_log(a,g,v,(void*)p,&Fp_star);
    4102             : }
    4103             : 
    4104             : static ulong
    4105           0 : Fl_log_naive(ulong a, ulong g, ulong ord, ulong p)
    4106             : {
    4107           0 :   ulong i, h=1;
    4108           0 :   for(i=0; i<ord; i++, h = Fl_mul(h, g, p))
    4109           0 :     if(a==h) return i;
    4110           0 :   return ~0UL;
    4111             : }
    4112             : 
    4113             : static ulong
    4114       19005 : Fl_log_naive_pre(ulong a, ulong g, ulong ord, ulong p, ulong pi)
    4115             : {
    4116       19005 :   ulong i, h=1;
    4117       47866 :   for(i=0; i<ord; i++, h = Fl_mul_pre(h, g, p, pi))
    4118       47866 :     if(a==h) return i;
    4119           0 :   return ~0UL;
    4120             : }
    4121             : 
    4122             : static ulong
    4123           0 : Fl_log_Fp(ulong a, ulong g, ulong ord, ulong p)
    4124             : {
    4125           0 :   pari_sp av = avma;
    4126           0 :   GEN r = Fp_log(utoi(a),utoi(g),utoi(ord),utoi(p));
    4127           0 :   ulong z = typ(r)==t_INT ? itou(r): ~0L;
    4128           0 :   avma = av; return z;
    4129             : }
    4130             : 
    4131             : ulong
    4132       19005 : Fl_log_pre(ulong a, ulong g, ulong ord, ulong p, ulong pi)
    4133             : {
    4134       19005 :   if (ord <= 200) return Fl_log_naive_pre(a, g, ord, p, pi);
    4135           0 :   return Fl_log_Fp(a, g, ord, p);
    4136             : }
    4137             : 
    4138             : ulong
    4139           0 : Fl_log(ulong a, ulong g, ulong ord, ulong p)
    4140             : {
    4141           0 :   if (ord <= 200)
    4142           0 :   return (p&HIGHMASK) ? Fl_log_naive_pre(a, g, ord, p, get_Fl_red(p))
    4143           0 :                       : Fl_log_naive(a, g, ord, p);
    4144           0 :   return Fl_log_Fp(a, g, ord, p);
    4145             : }
    4146             : 
    4147             : /* find x such that h = g^x mod N > 1, N = prod_{i <= l} P[i]^E[i], P[i] prime.
    4148             :  * PHI[l] = eulerphi(N / P[l]^E[l]).   Destroys P/E */
    4149             : static GEN
    4150         112 : znlog_rec(GEN h, GEN g, GEN N, GEN P, GEN E, GEN PHI)
    4151             : {
    4152         112 :   long l = lg(P) - 1, e = E[l];
    4153         112 :   GEN p = gel(P, l), phi = gel(PHI,l), pe = e == 1? p: powiu(p, e);
    4154             :   GEN a,b, hp,gp, hpe,gpe, ogpe; /* = order(g mod p^e) | p^(e-1)(p-1) */
    4155             : 
    4156         112 :   if (l == 1) {
    4157          84 :     hpe = h;
    4158          84 :     gpe = g;
    4159             :   } else {
    4160          28 :     hpe = modii(h, pe);
    4161          28 :     gpe = modii(g, pe);
    4162             :   }
    4163         112 :   if (e == 1) {
    4164          28 :     hp = hpe;
    4165          28 :     gp = gpe;
    4166             :   } else {
    4167          84 :     hp = remii(hpe, p);
    4168          84 :     gp = remii(gpe, p);
    4169             :   }
    4170         112 :   if (hp == gen_0 || gp == gen_0) return NULL;
    4171          91 :   if (absequaliu(p, 2))
    4172             :   {
    4173          35 :     GEN n = int2n(e);
    4174          35 :     ogpe = Zp_order(gpe, gen_2, e, n);
    4175          35 :     a = Fp_log(hpe, gpe, ogpe, n);
    4176          35 :     if (typ(a) != t_INT) return NULL;
    4177             :   }
    4178             :   else
    4179             :   { /* Avoid black box groups: (Z/p^2)^* / (Z/p)^* ~ (Z/pZ, +), where DL
    4180             :        is trivial */
    4181             :     /* [order(gp), factor(order(gp))] */
    4182          56 :     GEN v = Fp_factored_order(gp, subiu(p,1), p);
    4183          56 :     GEN ogp = gel(v,1);
    4184          56 :     if (!equali1(Fp_pow(hp, ogp, p))) return NULL;
    4185          56 :     a = Fp_log(hp, gp, v, p);
    4186          56 :     if (typ(a) != t_INT) return NULL;
    4187          56 :     if (e == 1) ogpe = ogp;
    4188             :     else
    4189             :     { /* find a s.t. g^a = h (mod p^e), p odd prime, e > 0, (h,p) = 1 */
    4190             :       /* use p-adic log: O(log p + e) mul*/
    4191             :       long vpogpe, vpohpe;
    4192             : 
    4193          28 :       hpe = Fp_mul(hpe, Fp_pow(gpe, negi(a), pe), pe);
    4194          28 :       gpe = Fp_pow(gpe, ogp, pe);
    4195             :       /* g,h = 1 mod p; compute b s.t. h = g^b */
    4196             : 
    4197             :       /* v_p(order g mod pe) */
    4198          28 :       vpogpe = equali1(gpe)? 0: e - Z_pval(subiu(gpe,1), p);
    4199             :       /* v_p(order h mod pe) */
    4200          28 :       vpohpe = equali1(hpe)? 0: e - Z_pval(subiu(hpe,1), p);
    4201          28 :       if (vpohpe > vpogpe) return NULL;
    4202             : 
    4203          28 :       ogpe = mulii(ogp, powiu(p, vpogpe)); /* order g mod p^e */
    4204          28 :       if (is_pm1(gpe)) return is_pm1(hpe)? a: NULL;
    4205          28 :       b = gdiv(Qp_log(cvtop(hpe, p, e)), Qp_log(cvtop(gpe, p, e)));
    4206          28 :       a = addii(a, mulii(ogp, padic_to_Q(b)));
    4207             :     }
    4208             :   }
    4209             :   /* gp^a = hp => x = a mod ogpe => generalized Pohlig-Hellman strategy */
    4210          77 :   if (l == 1) return a;
    4211             : 
    4212          28 :   N = diviiexact(N, pe); /* make N coprime to p */
    4213          28 :   h = Fp_mul(h, Fp_pow(g, modii(negi(a), phi), N), N);
    4214          28 :   g = Fp_pow(g, modii(ogpe, phi), N);
    4215          28 :   setlg(P, l); /* remove last element */
    4216          28 :   setlg(E, l);
    4217          28 :   b = znlog_rec(h, g, N, P, E, PHI);
    4218          28 :   if (!b) return NULL;
    4219          28 :   return addmulii(a, b, ogpe);
    4220             : }
    4221             : 
    4222             : static GEN
    4223          84 : get_PHI(GEN P, GEN E)
    4224             : {
    4225          84 :   long i, l = lg(P);
    4226          84 :   GEN PHI = cgetg(l, t_VEC);
    4227          84 :   gel(PHI,1) = gen_1;
    4228         112 :   for (i=1; i<l-1; i++)
    4229             :   {
    4230          28 :     GEN t, p = gel(P,i);
    4231          28 :     long e = E[i];
    4232          28 :     t = mulii(powiu(p, e-1), subiu(p,1));
    4233          28 :     if (i > 1) t = mulii(t, gel(PHI,i));
    4234          28 :     gel(PHI,i+1) = t;
    4235             :   }
    4236          84 :   return PHI;
    4237             : }
    4238             : 
    4239             : GEN
    4240         224 : znlog(GEN h, GEN g, GEN o)
    4241             : {
    4242         224 :   pari_sp av = avma;
    4243             :   GEN N, fa, P, E, x;
    4244         224 :   switch (typ(g))
    4245             :   {
    4246             :     case t_PADIC:
    4247             :     {
    4248          28 :       GEN p = gel(g,2);
    4249          28 :       long v = valp(g);
    4250          28 :       if (v < 0) pari_err_DIM("znlog");
    4251          28 :       if (v > 0) {
    4252           0 :         long k = gvaluation(h, p);
    4253           0 :         if (k % v) return cgetg(1,t_VEC);
    4254           0 :         k /= v;
    4255           0 :         if (!gequal(h, gpowgs(g,k))) { avma = av; return cgetg(1,t_VEC); }
    4256           0 :         avma = av; return stoi(k);
    4257             :       }
    4258          28 :       N = gel(g,3);
    4259          28 :       g = Rg_to_Fp(g, N);
    4260          28 :       break;
    4261             :     }
    4262             :     case t_INTMOD:
    4263         189 :       N = gel(g,1);
    4264         189 :       g = gel(g,2); break;
    4265           7 :     default: pari_err_TYPE("znlog", g);
    4266             :       return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
    4267             :   }
    4268         217 :   if (equali1(N)) { avma = av; return gen_0; }
    4269         217 :   h = Rg_to_Fp(h, N);
    4270         210 :   if (o) return gerepileupto(av, Fp_log(h, g, o, N));
    4271          84 :   fa = Z_factor(N);
    4272          84 :   P = gel(fa,1);
    4273          84 :   E = vec_to_vecsmall(gel(fa,2));
    4274          84 :   x = znlog_rec(h, g, N, P, E, get_PHI(P,E));
    4275          84 :   if (!x) { avma = av; return cgetg(1,t_VEC); }
    4276          49 :   return gerepileuptoint(av, x);
    4277             : }
    4278             : 
    4279             : GEN
    4280       61301 : Fp_sqrtn(GEN a, GEN n, GEN p, GEN *zeta)
    4281             : {
    4282       61301 :   if (lgefint(p)==3)
    4283             :   {
    4284       60909 :     long nn = itos_or_0(n);
    4285       60909 :     if (nn)
    4286             :     {
    4287       60909 :       ulong pp = p[2];
    4288             :       ulong uz;
    4289       60909 :       ulong r = Fl_sqrtn(umodiu(a,pp),nn,pp, zeta ? &uz:NULL);
    4290       60888 :       if (r==ULONG_MAX) return NULL;
    4291       60853 :       if (zeta) *zeta = utoi(uz);
    4292       60853 :       return utoi(r);
    4293             :     }
    4294             :   }
    4295         392 :   a = modii(a,p);
    4296         392 :   if (!signe(a))
    4297             :   {
    4298           0 :     if (zeta) *zeta = gen_1;
    4299           0 :     if (signe(n) < 0) pari_err_INV("Fp_sqrtn", mkintmod(gen_0,p));
    4300           0 :     return gen_0;
    4301             :   }
    4302         392 :   if (absequaliu(n,2))
    4303             :   {
    4304         224 :     if (zeta) *zeta = subiu(p,1);
    4305         224 :     return signe(n) > 0 ? Fp_sqrt(a,p): Fp_sqrt(Fp_inv(a, p),p);
    4306             :   }
    4307         168 :   return gen_Shanks_sqrtn(a,n,subiu(p,1),zeta,(void*)p,&Fp_star);
    4308             : }
    4309             : 
    4310             : /*********************************************************************/
    4311             : /**                                                                 **/
    4312             : /**                    FUNDAMENTAL DISCRIMINANTS                    **/
    4313             : /**                                                                 **/
    4314             : /*********************************************************************/
    4315             : static int
    4316        1407 : fa_isfundamental(GEN F)
    4317             : {
    4318        1407 :   GEN P = gel(F,1), E = gel(F,2);
    4319        1407 :   long i, s, l = lg(P);
    4320             : 
    4321        1407 :   if (l == 1) return 1;
    4322        1400 :   s = signe(gel(P,1)); /* = signe(x) */
    4323        1400 :   if (!s) return 0;
    4324        1393 :   if (s < 0) { l--; P = vecslice(P,2,l); E = vecslice(E,2,l); }
    4325        1393 :   if (l == 1) return 0;
    4326        1386 :   if (!absequaliu(gel(P,1), 2))
    4327         686 :     i = 1; /* need x = 1 mod 4 */
    4328             :   else
    4329             :   {
    4330         700 :     i = 2;
    4331         700 :     switch(itou(gel(E,1)))
    4332             :     {
    4333         182 :       case 2: s = -s; break; /* need x/4 = 3 mod 4 */
    4334          84 :       case 3: s = 0; break; /* no condition mod 4 */
    4335         434 :       default: return 0;
    4336             :     }
    4337             :   }
    4338        1974 :   for(; i < l; i++)
    4339             :   {
    4340        1190 :     if (!equali1(gel(E,i))) return 0;
    4341        1022 :     if (s && Mod4(gel(P,i)) == 3) s = -s;
    4342             :   }
    4343         784 :   return s >= 0;
    4344             : }
    4345             : long
    4346       17563 : isfundamental(GEN x)
    4347             : {
    4348       17563 :   if (typ(x) != t_INT)
    4349             :   {
    4350        1407 :     pari_sp av = avma;
    4351        1407 :     int v = fa_isfundamental(check_arith_all(x,"isfundamental"));
    4352        1407 :     avma = av; return v;
    4353             :   }
    4354       16156 :   return Z_isfundamental(x);
    4355             : }
    4356             : 
    4357             : /* x fundamental ? */
    4358             : long
    4359       10583 : uposisfundamental(ulong x)
    4360             : {
    4361       10583 :   ulong r = x & 15; /* x mod 16 */
    4362       10583 :   if (!r) return 0;
    4363       10002 :   switch(r & 3)
    4364             :   { /* x mod 4 */
    4365        1947 :     case 0: return (r == 4)? 0: uissquarefree(x >> 2);
    4366        3109 :     case 1: return uissquarefree(x);
    4367        4946 :     default: return 0;
    4368             :   }
    4369             : }
    4370             : /* -x fundamental ? */
    4371             : long
    4372       21211 : unegisfundamental(ulong x)
    4373             : {
    4374       21211 :   ulong r = x & 15; /* x mod 16 */
    4375       21211 :   if (!r) return 0;
    4376       20210 :   switch(r & 3)
    4377             :   { /* x mod 4 */
    4378        3676 :     case 0: return (r == 12)? 0: uissquarefree(x >> 2);
    4379        9698 :     case 3: return uissquarefree(x);
    4380        6836 :     default: return 0;
    4381             :   }
    4382             : }
    4383             : long
    4384       10353 : sisfundamental(long x)
    4385       10353 : { return x < 0? unegisfundamental((ulong)(-x)): uposisfundamental(x); }
    4386             : 
    4387             : long
    4388       16723 : Z_isfundamental(GEN x)
    4389             : {
    4390             :   long r;
    4391       16723 :   switch(lgefint(x))
    4392             :   {
    4393           7 :     case 2: return 0;
    4394       22175 :     case 3: return signe(x) < 0? unegisfundamental(x[2])
    4395       22175 :                                : uposisfundamental(x[2]);
    4396             :   }
    4397        2010 :   r = mod16(x);
    4398        2010 :   if (!r) return 0;
    4399        1884 :   if ((r & 3) == 0)
    4400             :   {
    4401             :     pari_sp av;
    4402         376 :     r >>= 2; /* |x|/4 mod 4 */
    4403         376 :     if (signe(x) < 0) r = 4-r;
    4404         376 :     if (r == 1) return 0;
    4405         250 :     av = avma;
    4406         250 :     r = Z_issquarefree( shifti(x,-2) );
    4407         250 :     avma = av; return r;
    4408             :   }
    4409        1508 :   r &= 3; /* |x| mod 4 */
    4410        1508 :   if (signe(x) < 0) r = 4-r;
    4411        1508 :   return (r==1) ? Z_issquarefree(x) : 0;
    4412             : }
    4413             : 
    4414             : static GEN
    4415        2821 : fa_quaddisc(GEN f)
    4416             : {
    4417        2821 :   GEN P = gel(f,1), E = gel(f,2), s = gen_1;
    4418        2821 :   long i, l = lg(P);
    4419        9051 :   for (i = 1; i < l; i++) /* possibly including -1 */
    4420        6230 :     if (mpodd(gel(E,i))) s = mulii(s, gel(P,i));
    4421        2821 :   if (Mod4(s) > 1) s = shifti(s,2);
    4422        2821 :   return s;
    4423             : }
    4424             : 
    4425             : GEN
    4426        2821 : quaddisc(GEN x)
    4427             : {
    4428        2821 :   const pari_sp av = avma;
    4429        2821 :   if (is_rational_t(typ(x))) x = factor(x);
    4430        1407 :   else x = check_arith_all(x,"quaddisc");
    4431        2821 :   return gerepileuptoint(av, fa_quaddisc(x));
    4432             : }
    4433             : 
    4434             : /*********************************************************************/
    4435             : /**                                                                 **/
    4436             : /**                              FACTORIAL                          **/
    4437             : /**                                                                 **/
    4438             : /*********************************************************************/
    4439             : /* return a * (a+1) * ... * b. Assume a <= b  [ note: factoring out powers of 2
    4440             :  * first is slower ... ] */
    4441             : GEN
    4442     1208921 : mulu_interval(ulong a, ulong b)
    4443             : {
    4444     1208921 :   pari_sp av = avma;
    4445             :   ulong k, l, N, n;
    4446             :   long lx;
    4447             :   GEN x;
    4448             : 
    4449     1208921 :   if (!a) return gen_0;
    4450     1208921 :   n = b - a + 1;
    4451     1208921 :   if (n < 61)
    4452             :   {
    4453     1200794 :     if (n == 1) return utoi(a);
    4454      574631 :     x = muluu(a,a+1); if (n == 2) return x;
    4455      284064 :     for (k=a+2; k<=b; k++) x = mului(k,x);
    4456      284064 :     return gerepileuptoint(av, x);
    4457             :   }
    4458        8127 :   lx = 1; x = cgetg(2 + n/2, t_VEC);
    4459        8127 :   N = b + a;
    4460      980334 :   for (k = a;; k++)
    4461             :   {
    4462     1952541 :     l = N - k; if (l <= k) break;
    4463      972207 :     gel(x,lx++) = muluu(k,l);
    4464             :   }
    4465        8127 :   if (l == k) gel(x,lx++) = utoipos(k);
    4466        8127 :   setlg(x, lx);
    4467        8127 :   return gerepileuptoint(av, ZV_prod(x));
    4468             : }
    4469             : GEN
    4470         448 : muls_interval(long a, long b)
    4471             : {
    4472         448 :   pari_sp av = avma;
    4473         448 :   long lx, k, l, N, n = b - a + 1;
    4474             :   GEN x;
    4475             : 
    4476         448 :   if (a <= 0 && b >= 0) return gen_0;
    4477         287 :   if (n < 61)
    4478             :   {
    4479         287 :     x = stoi(a);
    4480         287 :     for (k=a+1; k<=b; k++) x = mulsi(k,x);
    4481         287 :     return gerepileuptoint(av, x);
    4482             :   }
    4483           0 :   lx = 1; x = cgetg(2 + n/2, t_VEC);
    4484           0 :   N = b + a;
    4485           0 :   for (k = a;; k++)
    4486             :   {
    4487           0 :     l = N - k; if (l <= k) break;
    4488           0 :     gel(x,lx++) = mulss(k,l);
    4489             :   }
    4490           0 :   if (l == k) gel(x,lx++) = stoi(k);
    4491           0 :   setlg(x, lx);
    4492           0 :   return gerepileuptoint(av, ZV_prod(x));
    4493             : }
    4494             : 
    4495             : GEN
    4496     2934676 : mpfact(long n)
    4497             : {
    4498     2934676 :   if (n < 2)
    4499             :   {
    4500     1848295 :     if (n < 0) pari_err_DOMAIN("factorial", "argument","<",gen_0,stoi(n));
    4501     1848295 :     return gen_1;
    4502             :   }
    4503     1086381 :   return mulu_interval(2UL, (ulong)n);
    4504             : }
    4505             : 
    4506             : /*******************************************************************/
    4507             : /**                                                               **/
    4508             : /**                      LUCAS & FIBONACCI                        **/
    4509             : /**                                                               **/
    4510             : /*******************************************************************/
    4511             : static void
    4512          56 : lucas(ulong n, GEN *a, GEN *b)
    4513             : {
    4514             :   GEN z, t, zt;
    4515          56 :   if (!n) { *a = gen_2; *b = gen_1; return; }
    4516          49 :   lucas(n >> 1, &z, &t); zt = mulii(z, t);
    4517          49 :   switch(n & 3) {
    4518          14 :     case  0: *a = subiu(sqri(z),2); *b = subiu(zt,1); break;
    4519          14 :     case  1: *a = subiu(zt,1);      *b = addiu(sqri(t),2); break;
    4520           7 :     case  2: *a = addiu(sqri(z),2); *b = addiu(zt,1); break;
    4521          14 :     case  3: *a = addiu(zt,1);      *b = subiu(sqri(t),2);
    4522             :   }
    4523             : }
    4524             : 
    4525             : GEN
    4526           7 : fibo(long n)
    4527             : {
    4528           7 :   pari_sp av = avma;
    4529             :   GEN a, b;
    4530           7 :   if (!n) return gen_0;
    4531           7 :   lucas((ulong)(labs(n)-1), &a, &b);
    4532           7 :   a = diviuexact(addii(shifti(a,1),b), 5);
    4533           7 :   if (n < 0 && !odd(n)) setsigne(a, -1);
    4534           7 :   return gerepileuptoint(av, a);
    4535             : }
    4536             : 
    4537             : /*******************************************************************/
    4538             : /*                                                                 */
    4539             : /*                      CONTINUED FRACTIONS                        */
    4540             : /*                                                                 */
    4541             : /*******************************************************************/
    4542             : static GEN
    4543      488413 : icopy_lg(GEN x, long l)
    4544             : {
    4545      488413 :   long lx = lgefint(x);
    4546             :   GEN y;
    4547             : 
    4548      488413 :   if (lx >= l) return icopy(x);
    4549          35 :   y = cgeti(l); affii(x, y); return y;
    4550             : }
    4551             : 
    4552             : /* continued fraction of a/b. If y != NULL, stop when partial quotients
    4553             :  * differ from y */
    4554             : static GEN
    4555      488709 : Qsfcont(GEN a, GEN b, GEN y, ulong k)
    4556             : {
    4557             :   GEN  z, c;
    4558      488709 :   ulong i, l, ly = lgefint(b);
    4559             : 
    4560             :   /* times 1 / log2( (1+sqrt(5)) / 2 )  */
    4561      488709 :   l = (ulong)(3 + bit_accuracy_mul(ly, 1.44042009041256));
    4562      488709 :   if (k > 0 && k+1 > 0 && l > k+1) l = k+1; /* beware overflow */
    4563      488709 :   if (l > LGBITS) l = LGBITS;
    4564             : 
    4565      488709 :   z = cgetg(l,t_VEC);
    4566      488709 :   l--;
    4567      488709 :   if (y) {
    4568         296 :     pari_sp av = avma;
    4569         296 :     if (l >= (ulong)lg(y)) l = lg(y)-1;
    4570       19488 :     for (i = 1; i <= l; i++)
    4571             :     {
    4572       19303 :       GEN q = gel(y,i);
    4573       19303 :       gel(z,i) = q;
    4574       19303 :       c = b; if (!gequal1(q)) c = mulii(q, b);
    4575       19303 :       c = subii(a, c);
    4576       19303 :       if (signe(c) < 0)
    4577             :       { /* partial quotient too large */
    4578         110 :         c = addii(c, b);
    4579         110 :         if (signe(c) >= 0) i++; /* by 1 */
    4580         110 :         break;
    4581             :       }
    4582       19193 :       if (cmpii(c, b) >= 0)
    4583             :       { /* partial quotient too small */
    4584           1 :         c = subii(c, b);
    4585           1 :         if (cmpii(c, b) < 0) {
    4586             :           /* by 1. If next quotient is 1 in y, add 1 */
    4587           0 :           if (i < l && equali1(gel(y,i+1))) gel(z,i) = addiu(q,1);
    4588           0 :           i++;
    4589             :         }
    4590           1 :         break;
    4591             :       }
    4592       19192 :       if ((i & 0xff) == 0) gerepileall(av, 2, &b, &c);
    4593       19192 :       a = b; b = c;
    4594             :     }
    4595             :   } else {
    4596      488413 :     a = icopy_lg(a, ly);
    4597      488413 :     b = icopy(b);
    4598     1738365 :     for (i = 1; i <= l; i++)
    4599             :     {
    4600     1738101 :       gel(z,i) = truedvmdii(a,b,&c);
    4601     1738101 :       if (c == gen_0) { i++; break; }
    4602     1249952 :       affii(c, a); cgiv(c); c = a;
    4603     1249952 :       a = b; b = c;
    4604             :     }
    4605             :   }
    4606      488709 :   i--;
    4607      488709 :   if (i > 1 && gequal1(gel(z,i)))
    4608             :   {
    4609          85 :     cgiv(gel(z,i)); --i;
    4610          85 :     gel(z,i) = addui(1, gel(z,i)); /* unclean: leave old z[i] on stack */
    4611             :   }
    4612      488709 :   setlg(z,i+1); return z;
    4613             : }
    4614             : 
    4615             : static GEN
    4616           0 : sersfcont(GEN a, GEN b, long k)
    4617             : {
    4618           0 :   long i, l = typ(a) == t_POL? lg(a): 3;
    4619             :   GEN y, c;
    4620           0 :   if (lg(b) > l) l = lg(b);
    4621           0 :   if (k > 0 && l > k+1) l = k+1;
    4622           0 :   y = cgetg(l,t_VEC);
    4623           0 :   for (i=1; i<l; i++)
    4624             :   {
    4625           0 :     gel(y,i) = poldivrem(a,b,&c);
    4626           0 :     if (gequal0(c)) { i++; break; }
    4627           0 :     a = b; b = c;
    4628             :   }
    4629           0 :   setlg(y, i); return y;
    4630             : }
    4631             : 
    4632             : GEN
    4633      488973 : gboundcf(GEN x, long k)
    4634             : {
    4635             :   pari_sp av;
    4636      488973 :   long tx = typ(x), e;
    4637             :   GEN y, a, b, c;
    4638             : 
    4639      488973 :   if (k < 0) pari_err_DOMAIN("gboundcf","nmax","<",gen_0,stoi(k));
    4640      488966 :   if (is_scalar_t(tx))
    4641             :   {
    4642      488966 :     if (gequal0(x)) return mkvec(gen_0);
    4643      488917 :     switch(tx)
    4644             :     {
    4645         497 :       case t_INT: return mkveccopy(x);
    4646             :       case t_REAL:
    4647         303 :         av = avma;
    4648         303 :         c = mantissa_real(x,&e);
    4649         303 :         if (e < 0) pari_err_PREC("gboundcf");
    4650         296 :         y = int2n(e);
    4651         296 :         a = Qsfcont(c,y, NULL, k);
    4652         296 :         b = addsi(signe(x), c);
    4653         296 :         return gerepilecopy(av, Qsfcont(b,y, a, k));
    4654             : 
    4655             :       case t_FRAC:
    4656      488117 :         av = avma;
    4657      488117 :         return gerepileupto(av, Qsfcont(gel(x,1),gel(x,2), NULL, k));
    4658             :     }
    4659           0 :     pari_err_TYPE("gboundcf",x);
    4660             :   }
    4661             : 
    4662           0 :   switch(tx)
    4663             :   {
    4664           0 :     case t_POL: return mkveccopy(x);
    4665             :     case t_SER:
    4666           0 :       av = avma;
    4667           0 :       return gerepileupto(av, gboundcf(ser2rfrac_i(x), k));
    4668             :     case t_RFRAC:
    4669           0 :       av = avma;
    4670           0 :       return gerepilecopy(av, sersfcont(gel(x,1), gel(x,2), k));
    4671             :   }
    4672           0 :   pari_err_TYPE("gboundcf",x);
    4673             :   return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
    4674             : }
    4675             : 
    4676             : static GEN
    4677          14 : sfcont2(GEN b, GEN x, long k)
    4678             : {
    4679          14 :   pari_sp av = avma;
    4680          14 :   long lb = lg(b), tx = typ(x), i;
    4681             :   GEN y,p1;
    4682             : 
    4683          14 :   if (k)
    4684             :   {
    4685           7 :     if (k >= lb) pari_err_DIM("contfrac [too few denominators]");
    4686           0 :     lb = k+1;
    4687             :   }
    4688           7 :   y = cgetg(lb,t_VEC);
    4689           7 :   if (lb==1) return y;
    4690           7 :   if (is_scalar_t(tx))
    4691             :   {
    4692           7 :     if (!is_intreal_t(tx) && tx != t_FRAC) pari_err_TYPE("sfcont2",x);
    4693             :   }
    4694           0 :   else if (tx == t_SER) x = ser2rfrac_i(x);
    4695             : 
    4696           7 :   if (!gequal1(gel(b,1))) x = gmul(gel(b,1),x);
    4697           7 :   for (i = 1;;)
    4698             :   {
    4699          63 :     if (tx == t_REAL)
    4700             :     {
    4701          35 :       long e = expo(x);
    4702          35 :       if (e > 0 && nbits2prec(e+1) > realprec(x)) break;
    4703          35 :       gel(y,i) = floorr(x);
    4704          35 :       p1 = subri(x, gel(y,i));
    4705             :     }
    4706             :     else
    4707             :     {
    4708           0 :       gel(y,i) = gfloor(x);
    4709           0 :       p1 = gsub(x, gel(y,i));
    4710             :     }
    4711          35 :     if (++i >= lb) break;
    4712          28 :     if (gequal0(p1)) break;
    4713          28 :     x = gdiv(gel(b,i),p1);
    4714             :   }
    4715           7 :   setlg(y,i);
    4716           7 :   return gerepilecopy(av,y);
    4717             : }
    4718             : 
    4719             : 
    4720             : GEN
    4721          98 : gcf(GEN x) { return gboundcf(x,0); }
    4722             : GEN
    4723           0 : gcf2(GEN b, GEN x) { return contfrac0(x,b,0); }
    4724             : GEN
    4725          49 : contfrac0(GEN x, GEN b, long nmax)
    4726             : {
    4727             :   long tb;
    4728             : 
    4729          49 :   if (!b) return gboundcf(x,nmax);
    4730          28 :   tb = typ(b);
    4731          28 :   if (tb == t_INT) return gboundcf(x,itos(b));
    4732          21 :   if (! is_vec_t(tb)) pari_err_TYPE("contfrac0",b);
    4733          21 :   if (nmax < 0) pari_err_DOMAIN("contfrac","nmax","<",gen_0,stoi(nmax));
    4734          14 :   return sfcont2(b,x,nmax);
    4735             : }
    4736             : 
    4737             : GEN
    4738         238 : contfracpnqn(GEN x, long n)
    4739             : {
    4740         238 :   pari_sp av = avma;
    4741         238 :   long i, lx = lg(x);
    4742             :   GEN M,A,B, p0,p1, q0,q1;
    4743             : 
    4744         238 :   if (lx == 1)
    4745             :   {
    4746          28 :     if (! is_matvec_t(typ(x))) pari_err_TYPE("pnqn",x);
    4747          21 :     if (n >= 0) return cgetg(1,t_MAT);
    4748           7 :     return matid(2);
    4749             :   }
    4750         210 :   switch(typ(x))
    4751             :   {
    4752         168 :     case t_VEC: case t_COL: A = x; B = NULL; break;
    4753             :     case t_MAT:
    4754          42 :       switch(lgcols(x))
    4755             :       {
    4756           0 :         case 2: A = row(x,1); B = NULL; break;
    4757          35 :         case 3: A = row(x,2); B = row(x,1); break;
    4758           7 :         default: pari_err_DIM("pnqn [ nbrows != 1,2 ]");
    4759             :                  return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
    4760             :       }
    4761          35 :       break;
    4762           0 :     default: pari_err_TYPE("pnqn",x);
    4763             :       return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
    4764             :   }
    4765         203 :   p1 = gel(A,1);
    4766         203 :   q1 = B? gel(B,1): gen_1; /* p[0], q[0] */
    4767         203 :   if (n >= 0)
    4768             :   {
    4769         168 :     lx = minss(lx, n+2);
    4770         168 :     if (lx == 2) return gerepilecopy(av, mkmat(mkcol2(p1,q1)));
    4771             :   }
    4772          35 :   else if (lx == 2)
    4773           7 :     return gerepilecopy(av, mkmat2(mkcol2(p1,q1), mkcol2(gen_1,gen_0)));
    4774             :   /* lx >= 3 */
    4775         105 :   p0 = gen_1;
    4776         105 :   q0 = gen_0; /* p[-1], q[-1] */
    4777         105 :   M = cgetg(lx, t_MAT);
    4778         105 :   gel(M,1) = mkcol2(p1,q1);
    4779         350 :   for (i=2; i<lx; i++)
    4780             :   {
    4781         245 :     GEN a = gel(A,i), p2,q2;
    4782         245 :     if (B) {
    4783          84 :       GEN b = gel(B,i);
    4784          84 :       p0 = gmul(b,p0);
    4785          84 :       q0 = gmul(b,q0);
    4786             :     }
    4787         245 :     p2 = gadd(gmul(a,p1),p0); p0=p1; p1=p2;
    4788         245 :     q2 = gadd(gmul(a,q1),q0); q0=q1; q1=q2;
    4789         245 :     gel(M,i) = mkcol2(p1,q1);
    4790             :   }
    4791         105 :   if (n < 0) M = mkmat2(gel(M,lx-1), gel(M,lx-2));
    4792         105 :   return gerepilecopy(av, M);
    4793             : }
    4794             : GEN
    4795           0 : pnqn(GEN x) { return contfracpnqn(x,-1); }
    4796             : /* x = [a0, ..., an] from gboundcf, n >= 0;
    4797             :  * return [[p0, ..., pn], [q0,...,qn]] */
    4798             : GEN
    4799      480802 : ZV_allpnqn(GEN x)
    4800             : {
    4801      480802 :   long i, lx = lg(x);
    4802      480802 :   GEN p0, p1, q0, q1, p2, q2, P,Q, v = cgetg(3,t_VEC);
    4803             : 
    4804      480802 :   gel(v,1) = P = cgetg(lx, t_VEC);
    4805      480802 :   gel(v,2) = Q = cgetg(lx, t_VEC);
    4806      480802 :   p0 = gen_1; q0 = gen_0;
    4807      480802 :   gel(P, 1) = p1 = gel(x,1); gel(Q, 1) = q1 = gen_1;
    4808     1685516 :   for (i=2; i<lx; i++)
    4809             :   {
    4810     1204714 :     GEN a = gel(x,i);
    4811     1204714 :     gel(P, i) = p2 = addmulii(p0, a, p1); p0 = p1; p1 = p2;
    4812     1204714 :     gel(Q, i) = q2 = addmulii(q0, a, q1); q0 = q1; q1 = q2;
    4813             :   }
    4814      480802 :   return v;
    4815             : }
    4816             : 
    4817             : /* write Mod(x,N) as a/b, gcd(a,b) = 1, b <= B (no condition if B = NULL) */
    4818             : static GEN
    4819          42 : mod_to_frac(GEN x, GEN N, GEN B)
    4820             : {
    4821             :   GEN a, b, A;
    4822          42 :   if (B) A = divii(shifti(N, -1), B);
    4823             :   else
    4824             :   {
    4825          14 :     A = sqrti(shifti(N, -1));
    4826          14 :     B = A;
    4827             :   }
    4828          42 :   if (!Fp_ratlift(x, N, A,B,&a,&b) || !equali1( gcdii(a,b) )) return NULL;
    4829          28 :   return equali1(b)? a: mkfrac(a,b);
    4830             : }
    4831             : 
    4832             : static GEN
    4833          70 : mod_to_rfrac(GEN x, GEN N, long B)
    4834             : {
    4835             :   GEN a, b;
    4836          70 :   long A, d = degpol(N);
    4837          70 :   if (B >= 0) A = d-1 - B;
    4838             :   else
    4839             :   {
    4840          42 :     B = d >> 1;
    4841          42 :     A = odd(d)? B : B-1;
    4842             :   }
    4843          70 :   if (varn(N) != varn(x)) x = scalarpol(x, varn(N));
    4844          70 :   if (!RgXQ_ratlift(x, N, A, B, &a,&b) || degpol(RgX_gcd(a,b)) > 0) return NULL;
    4845          56 :   return gdiv(a,b);
    4846             : }
    4847             : 
    4848             : /* k > 0 t_INT, x a t_FRAC, returns the convergent a/b
    4849             :  * of the continued fraction of x with b <= k maximal */
    4850             : static GEN
    4851           0 : bestappr_frac(GEN x, GEN k)
    4852             : {
    4853             :   pari_sp av;
    4854             :   GEN p0, p1, p, q0, q1, q, a, y;
    4855             : 
    4856           0 :   if (cmpii(gel(x,2),k) <= 0) return gcopy(x);
    4857           0 :   av = avma; y = x;
    4858           0 :   p1 = gen_1; p0 = truedvmdii(gel(x,1), gel(x,2), &a); /* = floor(x) */
    4859           0 :   q1 = gen_0; q0 = gen_1;
    4860           0 :   x = mkfrac(a, gel(x,2)); /* = frac(x); now 0<= x < 1 */
    4861             :   for(;;)
    4862             :   {
    4863           0 :     x = ginv(x); /* > 1 */
    4864           0 :     a = typ(x)==t_INT? x: divii(gel(x,1), gel(x,2));
    4865           0 :     if (cmpii(a,k) > 0)
    4866             :     { /* next partial quotient will overflow limits */
    4867             :       GEN n, d;
    4868           0 :       a = divii(subii(k, q1), q0);
    4869           0 :       p = addii(mulii(a,p0), p1); p1=p0; p0=p;
    4870           0 :       q = addii(mulii(a,q0), q1); q1=q0; q0=q;
    4871             :       /* compare |y-p0/q0|, |y-p1/q1| */
    4872           0 :       n = gel(y,1);
    4873           0 :       d = gel(y,2);
    4874           0 :       if (abscmpii(mulii(q1, subii(mulii(q0,n), mulii(d,p0))),
    4875             :                    mulii(q0, subii(mulii(q1,n), mulii(d,p1)))) < 0)
    4876           0 :                    { p1 = p0; q1 = q0; }
    4877           0 :       break;
    4878             :     }
    4879           0 :     p = addii(mulii(a,p0), p1); p1=p0; p0=p;
    4880           0 :     q = addii(mulii(a,q0), q1); q1=q0; q0=q;
    4881             : 
    4882           0 :     if (cmpii(q0,k) > 0) break;
    4883           0 :     x = gsub(x,a); /* 0 <= x < 1 */
    4884           0 :     if (typ(x) == t_INT) { p1 = p0; q1 = q0; break; } /* x = 0 */
    4885             : 
    4886             :   }
    4887           0 :   return gerepileupto(av, gdiv(p1,q1));
    4888             : }
    4889             : /* k > 0 t_INT, x != 0 a t_REAL, returns the convergent a/b
    4890             :  * of the continued fraction of x with b <= k maximal */
    4891             : static GEN
    4892      277862 : bestappr_real(GEN x, GEN k)
    4893             : {
    4894      277862 :   pari_sp av = avma;
    4895      277862 :   GEN kr, p0, p1, p, q0, q1, q, a, y = x;
    4896             : 
    4897      277862 :   p1 = gen_1; a = p0 = floorr(x);
    4898      277862 :   q1 = gen_0; q0 = gen_1;
    4899      277862 :   x = subri(x,a); /* 0 <= x < 1 */
    4900      277862 :   if (!signe(x)) { cgiv(x); return a; }
    4901      270724 :   kr = itor(k, realprec(x));
    4902             :   for(;;)
    4903      468363 :   {
    4904             :     long d;
    4905      739087 :     x = invr(x); /* > 1 */
    4906      739087 :     if (cmprr(x,kr) > 0)
    4907             :     { /* next partial quotient will overflow limits */
    4908      265909 :       a = divii(subii(k, q1), q0);
    4909      265909 :       p = addii(mulii(a,p0), p1); p1=p0; p0=p;
    4910      265909 :       q = addii(mulii(a,q0), q1); q1=q0; q0=q;
    4911             :       /* compare |y-p0/q0|, |y-p1/q1| */
    4912      265909 :       if (abscmprr(mulir(q1, subri(mulir(q0,y), p0)),
    4913             :                    mulir(q0, subri(mulir(q1,y), p1))) < 0)
    4914        5055 :                    { p1 = p0; q1 = q0; }
    4915      265909 :       break;
    4916             :     }
    4917      473178 :     d = nbits2prec(expo(x) + 1);
    4918      473178 :     if (d > lg(x)) { p1 = p0; q1 = q0; break; } /* original x was ~ 0 */
    4919             : 
    4920      472993 :     a = truncr(x); /* truncr(x) will NOT raise e_PREC */
    4921      472993 :     p = addii(mulii(a,p0), p1); p1=p0; p0=p;
    4922      472993 :     q = addii(mulii(a,q0), q1); q1=q0; q0=q;
    4923             : 
    4924      472993 :     if (cmpii(q0,k) > 0) break;
    4925      468820 :     x = subri(x,a); /* 0 <= x < 1 */
    4926      468820 :     if (!signe(x)) { p1 = p0; q1 = q0; break; }
    4927             :   }
    4928      270724 :   if (signe(q1) < 0) { togglesign_safe(&p1); togglesign_safe(&q1); }
    4929      270724 :   return gerepilecopy(av, equali1(q1)? p1: mkfrac(p1,q1));
    4930             : }
    4931             : 
    4932             : /* k t_INT or NULL */
    4933             : static GEN
    4934      426445 : bestappr_Q(GEN x, GEN k)
    4935             : {
    4936      426445 :   long lx, tx = typ(x), i;
    4937             :   GEN a, y;
    4938             : 
    4939      426445 :   switch(tx)
    4940             :   {
    4941          77 :     case t_INT: return icopy(x);
    4942           0 :     case t_FRAC: return k? bestappr_frac(x, k): gcopy(x);
    4943             :     case t_REAL:
    4944      317529 :       if (!signe(x)) return gen_0;
    4945             :       /* i <= e iff nbits2lg(e+1) > lg(x) iff floorr(x) fails */
    4946      277863 :       i = bit_prec(x); if (i <= expo(x)) return NULL;
    4947      277862 :       return bestappr_real(x, k? k: int2n(i));
    4948             : 
    4949             :     case t_INTMOD: {
    4950          28 :       pari_sp av = avma;
    4951          28 :       a = mod_to_frac(gel(x,2), gel(x,1), k); if (!a) return NULL;
    4952          21 :       return gerepilecopy(av, a);
    4953             :     }
    4954             :     case t_PADIC: {
    4955          14 :       pari_sp av = avma;
    4956          14 :       long v = valp(x);
    4957          14 :       a = mod_to_frac(gel(x,4), gel(x,3), k); if (!a) return NULL;
    4958           7 :       if (v) a = gmul(a, powis(gel(x,2), v));
    4959           7 :       return gerepilecopy(av, a);
    4960             :     }
    4961             : 
    4962             :     case t_COMPLEX: {
    4963         126 :       pari_sp av = avma;
    4964         126 :       y = cgetg(3, t_COMPLEX);
    4965         126 :       gel(y,2) = bestappr(gel(x,2), k);
    4966         126 :       gel(y,1) = bestappr(gel(x,1), k);
    4967         126 :       if (gequal0(gel(y,2))) return gerepileupto(av, gel(y,1));
    4968           0 :       return y;
    4969             :     }
    4970             :     case t_SER:
    4971           0 :       if (ser_isexactzero(x)) return gcopy(x);
    4972             :       /* fall through */
    4973             :     case t_POLMOD: case t_POL: case t_RFRAC:
    4974             :     case t_VEC: case t_COL: case t_MAT:
    4975      108671 :       y = cgetg_copy(x, &lx);
    4976      108671 :       if (lontyp[tx] == 1) i = 1; else { y[1] = x[1]; i = 2; }
    4977      523941 :       for (; i<lx; i++)
    4978             :       {
    4979      415272 :         a = bestappr_Q(gel(x,i),k); if (!a) return NULL;
    4980      415270 :         gel(y,i) = a;
    4981             :       }
    4982      108669 :       if (tx == t_POL) return normalizepol(y);
    4983      108655 :       if (tx == t_SER) return normalize(y);
    4984      108655 :       return y;
    4985             :   }
    4986           0 :   pari_err_TYPE("bestappr_Q",x);
    4987             :   return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
    4988             : }
    4989             : 
    4990             : static GEN
    4991          56 : bestappr_ser(GEN x, long B)
    4992             : {
    4993          56 :   long dN, v = valp(x), lx = lg(x);
    4994             :   GEN t;
    4995          56 :   x = normalizepol(ser2pol_i(x, lx));
    4996          56 :   dN = lx-2;
    4997          56 :   if (v > 0)
    4998             :   {
    4999          14 :     x = RgX_shift_shallow(x, v);
    5000          14 :     dN += v;
    5001             :   }
    5002          42 :   else if (v < 0)
    5003             :   {
    5004           7 :     if (B >= 0) B = maxss(B+v, 0);
    5005             :   }
    5006          56 :   t = mod_to_rfrac(x, pol_xn(dN, varn(x)), B);
    5007          56 :   if (!t) return NULL;
    5008          42 :   if (v < 0)
    5009             :   {
    5010             :     GEN a, b;
    5011             :     long vx;
    5012           7 :     if (typ(t) == t_POL) return RgX_mulXn(t, v);
    5013             :     /* t_RFRAC */
    5014           7 :     vx = varn(x);
    5015           7 :     a = gel(t,1);
    5016           7 :     b = gel(t,2);
    5017           7 :     v -= RgX_valrem(b, &b);
    5018           7 :     if (typ(a) == t_POL && varn(a) == vx) v += RgX_valrem(a, &a);
    5019           7 :     if (v < 0) b = RgX_shift(b, -v);
    5020           0 :     else if (v > 0) {
    5021           0 :       if (typ(a) != t_POL || varn(a) != vx) a = scalarpol_shallow(a, vx);
    5022           0 :       a = RgX_shift(a, v);
    5023             :     }
    5024           7 :     t = mkrfraccopy(a, b);
    5025             :   }
    5026          42 :   return t;
    5027             : }
    5028             : static GEN bestappr_RgX(GEN x, long B);
    5029             : /* x t_POLMOD, B >= 0 or < 0 [omit condition on B].
    5030             :  * Look for coprime t_POL a,b, deg(b)<=B, such that a/b = x */
    5031             : static GEN
    5032          77 : bestappr_RgX(GEN x, long B)
    5033             : {
    5034          77 :   long i, lx, tx = typ(x);
    5035             :   GEN y, t;
    5036          77 :   switch(tx)
    5037             :   {
    5038             :     case t_INT: case t_REAL: case t_INTMOD: case t_FRAC:
    5039             :     case t_COMPLEX: case t_PADIC: case t_QUAD: case t_POL:
    5040           0 :       return gcopy(x);
    5041             : 
    5042             :     case t_RFRAC: {
    5043          14 :       pari_sp av = avma;
    5044          14 :       if (B < 0 || degpol(gel(x,2)) <= B) return gcopy(x);
    5045           7 :       x = rfrac_to_ser(x, 2*B+1);
    5046           7 :       t = bestappr_ser(x, B); if (!t) return NULL;
    5047           0 :       return gerepileupto(av, t);
    5048             :     }
    5049             :     case t_POLMOD: {
    5050          14 :       pari_sp av = avma;
    5051          14 :       t = mod_to_rfrac(gel(x,2), gel(x,1), B); if (!t) return NULL;
    5052          14 :       return gerepileupto(av, t);
    5053             :     }
    5054             :     case t_SER: {
    5055          49 :       pari_sp av = avma;
    5056          49 :       t = bestappr_ser(x, B); if (!t) return NULL;
    5057          42 :       return gerepileupto(av, t);
    5058             :     }
    5059             : 
    5060             :     case t_VEC: case t_COL: case t_MAT:
    5061           0 :       y = cgetg_copy(x, &lx);
    5062           0 :       if (lontyp[tx] == 1) i = 1; else { y[1] = x[1]; i = 2; }
    5063           0 :       for (; i<lx; i++)
    5064             :       {
    5065           0 :         t = bestappr_RgX(gel(x,i),B); if (!t) return NULL;
    5066           0 :         gel(y,i) = t;
    5067             :       }
    5068           0 :       return y;
    5069             :   }
    5070           0 :   pari_err_TYPE("bestappr_RgX",x);
    5071             :   return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
    5072             : }
    5073             : 
    5074             : /* allow k = NULL: maximal accuracy */
    5075             : GEN
    5076       11173 : bestappr(GEN x, GEN k)
    5077             : {
    5078       11173 :   pari_sp av = avma;
    5079       11173 :   if (k) { /* replace by floor(k) */
    5080       10900 :     switch(typ(k))
    5081             :     {
    5082             :       case t_INT:
    5083        1225 :         break;
    5084             :       case t_REAL: case t_FRAC:
    5085        9675 :         k = floor_safe(k); /* left on stack for efficiency */
    5086        9675 :         if (!signe(k)) k = gen_1;
    5087        9675 :         break;
    5088             :       default:
    5089           0 :         pari_err_TYPE("bestappr [bound type]", k);
    5090           0 :         break;
    5091             :     }
    5092             :   }
    5093       11173 :   x = bestappr_Q(x, k);
    5094       11173 :   if (!x) { avma = av; return cgetg(1,t_VEC); }
    5095       11158 :   return x;
    5096             : }
    5097             : GEN
    5098          77 : bestapprPade(GEN x, long B)
    5099             : {
    5100          77 :   pari_sp av = avma;
    5101          77 :   GEN t = bestappr_RgX(x, B);
    5102          77 :   if (!t) { avma = av; return cgetg(1,t_VEC); }
    5103          63 :   return t;
    5104             : }
    5105             : 
    5106             : /***********************************************************************/
    5107             : /**                                                                   **/
    5108             : /**         FUNDAMENTAL UNIT AND REGULATOR (QUADRATIC FIELDS)         **/
    5109             : /**                                                                   **/
    5110             : /***********************************************************************/
    5111             : 
    5112             : static GEN
    5113          14 : get_quad(GEN f, GEN pol, long r)
    5114             : {
    5115          14 :   GEN p1 = gcoeff(f,1,2), q1 = gcoeff(f,2,2);
    5116          14 :   return mkquad(pol, r? subii(p1,q1): p1, q1);
    5117             : }
    5118             : 
    5119             : /* replace f by f * [a,1; 1,0] */
    5120             : static void
    5121          14 : update_f(GEN f, GEN a)
    5122             : {
    5123             :   GEN p1;
    5124          14 :   p1 = gcoeff(f,1,1);
    5125          14 :   gcoeff(f,1,1) = addii(mulii(a,p1), gcoeff(f,1,2));
    5126          14 :   gcoeff(f,1,2) = p1;
    5127             : 
    5128          14 :   p1 = gcoeff(f,2,1);
    5129          14 :   gcoeff(f,2,1) = addii(mulii(a,p1), gcoeff(f,2,2));
    5130          14 :   gcoeff(f,2,2) = p1;
    5131          14 : }
    5132             : 
    5133             : GEN
    5134           7 : quadunit(GEN x)
    5135             : {
    5136           7 :   pari_sp av = avma, av2;
    5137             :   GEN pol, y, a, u, v, sqd, f;
    5138             :   long r;
    5139             : 
    5140           7 :   check_quaddisc_real(x, &r, "quadunit");
    5141           7 :   pol = quadpoly(x);
    5142           7 :   sqd = sqrti(x); av2 = avma;
    5143           7 :   a = shifti(addui(r,sqd),-1);
    5144           7 :   f = mkmat2(mkcol2(a, gen_1), mkcol2(gen_1, gen_0)); /* [a,0; 1,0] */
    5145           7 :   u = stoi(r); v = gen_2;
    5146             :   for(;;)
    5147           7 :   {
    5148             :     GEN u1, v1;
    5149          14 :     u1 = subii(mulii(a,v),u);
    5150          14 :     v1 = divii(subii(x,sqri(u1)),v);
    5151          14 :     if ( equalii(v,v1) ) {
    5152           7 :       y = get_quad(f,pol,r);
    5153           7 :       update_f(f,a);
    5154           7 :       y = gdiv(get_quad(f,pol,r), conj_i(y));
    5155           7 :       break;
    5156             :     }
    5157           7 :     a = divii(addii(sqd,u1), v1);
    5158           7 :     if ( equalii(u,u1) ) {
    5159           0 :       y = get_quad(f,pol,r);
    5160           0 :       y = gdiv(y, conj_i(y));
    5161           0 :       break;
    5162             :     }
    5163           7 :     update_f(f,a);
    5164           7 :     u = u1; v = v1;
    5165           7 :     if (gc_needed(av2,2))
    5166             :     {
    5167           0 :       if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"quadunit");
    5168           0 :       gerepileall(av2,4, &a,&f,&u,&v);
    5169             :     }
    5170             :   }
    5171           7 :   if (signe(gel(y,3)) < 0) y = gneg(y);
    5172           7 :   return gerepileupto(av, y);
    5173             : }
    5174             : 
    5175             : GEN
    5176           7 : quadunit0(GEN x, long v)
    5177             : {
    5178           7 :   GEN y = quadunit(x);
    5179           7 :   if (v==-1) v = fetch_user_var("w");
    5180           7 :   setvarn(gel(y,1), v);
    5181           7 :   return y;
    5182             : }
    5183             : 
    5184             : GEN
    5185          21 : quadregulator(GEN x, long prec)
    5186             : {
    5187          21 :   pari_sp av = avma, av2;
    5188             :   GEN R, rsqd, u, v, sqd;
    5189             :   long r, Rexpo;
    5190             : 
    5191          21 :   check_quaddisc_real(x, &r, "quadregulator");
    5192          21 :   sqd = sqrti(x);
    5193          21 :   rsqd = gsqrt(x,prec);
    5194          21 :   Rexpo = 0; R = real2n(1, prec); /* = 2 */
    5195          21 :   av2 = avma;
    5196          21 :   u = stoi(r); v = gen_2;
    5197             :   for(;;)
    5198          49 :   {
    5199          70 :     GEN u1 = subii(mulii(divii(addii(u,sqd),v), v), u);
    5200          70 :     GEN v1 = divii(subii(x,sqri(u1)),v);
    5201          70 :     if (equalii(v,v1))
    5202             :     {
    5203           7 :       R = sqrr(R); shiftr_inplace(R, -1);
    5204           7 :       R = mulrr(R, divri(addir(u1,rsqd),v));
    5205           7 :       break;
    5206             :     }
    5207          63 :     if (equalii(u,u1))
    5208             :     {
    5209          14 :       R = sqrr(R); shiftr_inplace(R, -1);
    5210          14 :       break;
    5211             :     }
    5212          49 :     R = mulrr(R, divri(addir(u1,rsqd),v));
    5213          49 :     Rexpo += expo(R); setexpo(R,0);
    5214          49 :     u = u1; v = v1;
    5215          49 :     if (Rexpo & ~EXPOBITS) pari_err_OVERFLOW("quadregulator [exponent]");
    5216          49 :     if (gc_needed(av2,2))
    5217             :     {
    5218           0 :       if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"quadregulator");
    5219           0 :       gerepileall(av2,3, &R,&u,&v);
    5220             :     }
    5221             :   }
    5222          21 :   R = logr_abs(divri(R,v));
    5223          21 :   if (Rexpo)
    5224             :   {
    5225          21 :     GEN t = mulsr(Rexpo, mplog2(prec));
    5226          21 :     shiftr_inplace(t, 1);
    5227          21 :     R = addrr(R,t);
    5228             :   }
    5229          21 :   return gerepileuptoleaf(av, R);
    5230             : }
    5231             : 
    5232             : /*************************************************************************/
    5233             : /**                                                                     **/
    5234             : /**                            CLASS NUMBER                             **/
    5235             : /**                                                                     **/
    5236             : /*************************************************************************/
    5237             : 
    5238             : int
    5239    12943797 : qfb_equal1(GEN f) { return equali1(gel(f,1)); }
    5240             : 
    5241    18316834 : static GEN qfi_pow(void *E, GEN f, GEN n)
    5242    18316834 : { return E? nupow(f,n,(GEN)E): powgi(f,n); }
    5243    23025703 : static GEN qfi_comp(void *E, GEN f, GEN g)
    5244    23025703 : { return E? nucomp(f,g,(GEN)E): qficomp(f,g); }
    5245             : static const struct bb_group qfi_group={ qfi_comp,qfi_pow,NULL,hash_GEN,
    5246             :                                          gidentical,qfb_equal1,NULL};
    5247             : 
    5248             : GEN
    5249     2941241 : qfi_order(GEN q, GEN o)
    5250     2941241 : { return gen_order(q, o, NULL, &qfi_group); }
    5251             : 
    5252             : GEN
    5253           0 : qfi_log(GEN a, GEN g, GEN o)
    5254           0 : { return gen_PH_log(a, g, o, NULL, &qfi_group); }
    5255             : 
    5256             : GEN
    5257      626556 : qfi_Shanks(GEN a, GEN g, long n)
    5258             : {
    5259      626556 :   pari_sp av = avma;
    5260             :   GEN T, X;
    5261             :   long rt_n, c;
    5262             : 
    5263      626556 :   a = redimag(a);
    5264      626556 :   g = redimag(g);
    5265             : 
    5266      626556 :   rt_n = sqrt((double)n);
    5267      626556 :   c = n / rt_n;
    5268      626556 :   c = (c * rt_n < n + 1) ? c + 1 : c;
    5269             : 
    5270      626556 :   T = gen_Shanks_init(g, rt_n, NULL, &qfi_group);
    5271      626556 :   X = gen_Shanks(T, a, c, NULL, &qfi_group);
    5272             : 
    5273      626556 :   if (!X) { avma = av; return X; }
    5274      332549 :   return gerepileuptoint(av, X);
    5275             : }
    5276             : 
    5277             : GEN
    5278         140 : qfbclassno0(GEN x,long flag)
    5279             : {
    5280         140 :   switch(flag)
    5281             :   {
    5282         126 :     case 0: return map_proto_G(classno,x);
    5283          14 :     case 1: return map_proto_G(classno2,x);
    5284           0 :     default: pari_err_FLAG("qfbclassno");
    5285             :   }
    5286             :   return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
    5287             : }
    5288             : 
    5289             : /* f^h = 1, return order(f). Set *pfao to its factorization */
    5290             : static GEN
    5291     2776995 : find_order(void *E, GEN f, GEN h, GEN *pfao)
    5292             : {
    5293     2776995 :   GEN v = gen_factored_order(f, h, E, &qfi_group);
    5294     2776995 :   *pfao = gel(v,2); return gel(v,1);
    5295             : }
    5296             : 
    5297             : static int
    5298        6705 : ok_q(GEN q, GEN h, GEN d2, long r2)
    5299             : {
    5300        6705 :   if (d2)
    5301             :   {
    5302           7 :     if (r2 <= 2 && !mpodd(q)) return 0;
    5303           7 :     return is_pm1(Z_ppo(q,d2));
    5304             :   }
    5305             :   else
    5306             :   {
    5307        6698 :     if (r2 <= 1 && !mpodd(q)) return 0;
    5308        6698 :     return is_pm1(Z_ppo(q,h));
    5309             :   }
    5310             : }
    5311             : 
    5312             : /* a,b given by their factorizations. Return factorization of lcm(a,b).
    5313             :  * Set A,B such that A*B = lcm(a, b), (A,B)=1, A|a, B|b */
    5314             : static GEN
    5315      362162 : split_lcm(GEN a, GEN Fa, GEN b, GEN Fb, GEN *pA, GEN *pB)
    5316             : {
    5317      362162 :   GEN P = ZC_union_shallow(gel(Fa,1), gel(Fb,1));
    5318      362162 :   GEN A = gen_1, B = gen_1;
    5319      362162 :   long i, l = lg(P);
    5320      362162 :   GEN E = cgetg(l, t_COL);
    5321     1071040 :   for (i=1; i<l; i++)
    5322             :   {
    5323      708878 :     GEN p = gel(P,i);
    5324      708878 :     long va = Z_pval(a,p);
    5325      708878 :     long vb = Z_pval(b,p);
    5326      708878 :     if (va < vb)
    5327             :     {
    5328      364289 :       B = mulii(B,powiu(p,vb));
    5329      364289 :       gel(E,i) = utoi(vb);
    5330             :     }
    5331             :     else
    5332             :     {
    5333      344589 :       A = mulii(A,powiu(p,va));
    5334      344589 :       gel(E,i) = utoi(va);
    5335             :     }
    5336             :   }
    5337      362162 :   *pA = A;
    5338      362162 :   *pB = B; return mkmat2(P,E);
    5339             : }
    5340             : 
    5341             : /* g1 has order d1, f has order o, replace g1 by an element of order lcm(d1,o)*/
    5342             : static void
    5343      362162 : update_g1(GEN *pg1, GEN *pd1, GEN *pfad1, GEN f, GEN o, GEN fao)
    5344             : {
    5345      362162 :   GEN A,B, g1 = *pg1, d1 = *pd1;
    5346      362162 :   *pfad1 = split_lcm(d1,*pfad1, o,fao, &A,&B);
    5347      362162 :   *pg1 = gmul(powgi(g1, diviiexact(d1,A)),  powgi(f, diviiexact(o,B)));
    5348      362162 :   *pd1 = mulii(A,B); /* g1 has order d1 <- lcm(d1,o) */
    5349      362162 : }
    5350             : 
    5351             : /* Write x = Df^2, where D = fundamental discriminant,
    5352             :  * P^E = factorisation of conductor f, with E[i] >= 0 */
    5353             : static void
    5354     2060327 : corediscfact(GEN x, long xmod4, GEN *ptD, GEN *ptP, GEN *ptE)
    5355             : {
    5356     2060327 :   long s = signe(x), l, i;
    5357     2060327 :   GEN fa = absZ_factor(x);
    5358     2060327 :   GEN d, P = gel(fa,1), E = gtovecsmall(gel(fa,2));
    5359             : 
    5360     2060327 :   l = lg(P); d = gen_1;
    5361     5362951 :   for (i=1; i<l; i++)
    5362             :   {
    5363     3302624 :     if (E[i] & 1) d = mulii(d, gel(P,i));
    5364     3302624 :     E[i] >>= 1;
    5365             :   }
    5366     2060327 :   if (!xmod4 && mod4(d) != ((s < 0)? 3: 1)) { d = shifti(d,2); E[1]--; }
    5367     2060327 :   *ptD = (s < 0)? negi(d): d;
    5368     2060327 :   *ptP = P;
    5369     2060327 :   *ptE = E;
    5370     2060327 : }
    5371             : 
    5372             : static GEN
    5373     2052517 : conductor_part(GEN x, long xmod4, GEN *ptD, GEN *ptreg)
    5374             : {
    5375     2052517 :   long l, i, s = signe(x);
    5376             :   GEN E, H, D, P, reg;
    5377             : 
    5378     2052517 :   corediscfact(x, xmod4, &D, &P, &E);
    5379     2052517 :   H = gen_1; l = lg(P);
    5380             :   /* f \prod_{p|f}  [ 1 - (D/p) p^-1 ] = \prod_{p^e||f} p^(e-1) [ p - (D/p) ] */
    5381     5329269 :   for (i=1; i<l; i++)
    5382             :   {
    5383     3276752 :     long e = E[i];
    5384     3276752 :     if (e)
    5385             :     {
    5386           7 :       GEN p = gel(P,i);
    5387           7 :       H = mulii(H, subis(p, kronecker(D,p)));
    5388           7 :       if (e >= 2) H = mulii(H, powiu(p,e-1));
    5389             :     }
    5390             :   }
    5391             : 
    5392             :   /* divide by [ O_K^* : O^* ] */
    5393     2052517 :   if (s < 0)
    5394             :   {
    5395     2052503 :     reg = NULL;
    5396     2052503 :     switch(itou_or_0(D))
    5397             :     {
    5398           0 :       case 4: H = shifti(H,-1); break;
    5399           0 :       case 3: H = divis(H,3); break;
    5400             :     }
    5401             :   } else {
    5402          14 :     reg = quadregulator(D,DEFAULTPREC);
    5403          14 :     if (!equalii(x,D))
    5404           0 :       H = divii(H, roundr(divrr(quadregulator(x,DEFAULTPREC), reg)));
    5405             :   }
    5406     2052517 :   if (ptreg) *ptreg = reg;
    5407     2052517 :   *ptD = D; return H;
    5408             : }
    5409             : 
    5410             : static long
    5411     2052496 : two_rank(GEN x)
    5412             : {
    5413     2052496 :   GEN p = gel(absZ_factor(x),1);
    5414     2052496 :   long l = lg(p)-1;
    5415             : #if 0 /* positive disc not needed */
    5416             :   if (signe(x) > 0)
    5417             :   {
    5418             :     long i;
    5419             :     for (i=1; i<=l; i++)
    5420             :       if (mod4(gel(p,i)) == 3) { l--; break; }
    5421             :   }
    5422             : #endif
    5423     2052496 :   return l-1;
    5424             : }
    5425             : 
    5426             : static GEN
    5427    38995259 : sqr_primeform(GEN x, ulong p) { return redimag(qfisqr(primeform_u(x, p))); }
    5428             : /* return a set of forms hopefully generating Cl(K)^2; set L ~ L(chi_D,1) */
    5429             : static GEN
    5430     2052496 : get_forms(GEN D, GEN *pL)
    5431             : {
    5432     2052496 :   const long MAXFORM = 20;
    5433     2052496 :   GEN L, sqrtD = gsqrt(absi_shallow(D),DEFAULTPREC);
    5434     2052496 :   GEN forms = vectrunc_init(MAXFORM+1);
    5435     2052496 :   long s, nforms = 0;
    5436             :   ulong p;
    5437             :   forprime_t S;
    5438     2052496 :   L = mulrr(divrr(sqrtD,mppi(DEFAULTPREC)), dbltor(1.005));/*overshoot by 0.5%*/
    5439     2052496 :   s = itos_or_0( truncr(shiftr(sqrtr(sqrtD), 1)) );
    5440     2052496 :   if (!s) pari_err_OVERFLOW("classno [discriminant too large]");
    5441     2052496 :   if      (s < 10)   s = 200;
    5442     1901369 :   else if (s < 20)   s = 1000;
    5443        1477 :   else if (s < 5000) s = 5000;
    5444     2052496 :   u_forprime_init(&S, 2, s);
    5445   344232110 :   while ( (p = u_forprime_next(&S)) )
    5446             :   {
    5447   340127118 :     long d, k = kroiu(D,p);
    5448             :     pari_sp av2;
    5449   340127118 :     if (!k) continue;
    5450   337897177 :     if (k > 0)
    5451             :     {
    5452   169485505 :       if (++nforms < MAXFORM) vectrunc_append(forms, sqr_primeform(D,p));
    5453   169485505 :       d = p-1;
    5454             :     }
    5455             :     else
    5456   168411672 :       d = p+1;
    5457   337897177 :     av2 = avma; affrr(divru(mulur(p,L),d), L); avma = av2;
    5458             :   }
    5459     2052496 :   *pL = L; return forms;
    5460             : }
    5461             : 
    5462             : /* h ~ #G, return o = order of f, set fao = its factorization */
    5463             : static  GEN
    5464     2052545 : Shanks_order(void *E, GEN f, GEN h, GEN *pfao)
    5465             : {
    5466     2052545 :   long s = minss(itos(sqrti(h)), 10000);
    5467     2052545 :   GEN T = gen_Shanks_init(f, s, E, &qfi_group);
    5468     2052545 :   GEN v = gen_Shanks(T, ginv(f), ULONG_MAX, E, &qfi_group);
    5469     2052545 :   return find_order(E, f, addiu(v,1), pfao);
    5470             : }
    5471             : 
    5472             : /* if g = 1 in  G/<f> ? */
    5473             : static int
    5474         518 : equal1(void *E, GEN T, ulong N, GEN g)
    5475         518 : { return !!gen_Shanks(T, g, N, E, &qfi_group); }
    5476             : 
    5477             : /* Order of 'a' in G/<f>, T = gen_Shanks_init(f,n), order(f) < n*N
    5478             :  * FIXME: should be gen_order, but equal1 has the wrong prototype */
    5479             : static GEN
    5480         112 : relative_order(void *E, GEN a, GEN o, ulong N,  GEN T)
    5481             : {
    5482         112 :   pari_sp av = avma;
    5483             :   long i, l;
    5484             :   GEN m;
    5485             : 
    5486         112 :   m = get_arith_ZZM(o);
    5487         112 :   if (!m) pari_err_TYPE("gen_order [missing order]",a);
    5488         112 :   o = gel(m,1);
    5489         112 :   m = gel(m,2); l = lgcols(m);
    5490         322 :   for (i = l-1; i; i--)
    5491             :   {
    5492         210 :     GEN t, y, p = gcoeff(m,i,1);
    5493         210 :     long j, e = itos(gcoeff(m,i,2));
    5494         210 :     if (l == 2) {
    5495          35 :       t = gen_1;
    5496          35 :       y = a;
    5497             :     } else {
    5498         175 :       t = diviiexact(o, powiu(p,e));
    5499         175 :       y = powgi(a, t);
    5500             :     }
    5501         210 :     if (equal1(E, T,N,y)) o = t;
    5502             :     else {
    5503         126 :       for (j = 1; j < e; j++)
    5504             :       {
    5505          28 :         y = powgi(y, p);
    5506          28 :         if (equal1(E, T,N,y)) break;
    5507             :       }
    5508         119 :       if (j < e) {
    5509          21 :         if (j > 1) p = powiu(p, j);
    5510          21 :         o = mulii(t, p);
    5511             :       }
    5512             :     }
    5513             :   }
    5514         112 :   return gerepilecopy(av, o);
    5515             : }
    5516             : 
    5517             : /* h(x) for x<0 using Baby Step/Giant Step.
    5518             :  * Assumes G is not too far from being cyclic.
    5519             :  *
    5520             :  * Compute G^2 instead of G so as to kill most of the non-cyclicity */
    5521             : GEN
    5522     2054893 : classno(GEN x)
    5523             : {
    5524     2054893 :   pari_sp av = avma;
    5525             :   long r2, k, s, i, l;
    5526             :   GEN forms, hin, Hf, D, g1, d1, d2, q, L, fad1, order_bound;
    5527             :   void *E;
    5528             : 
    5529     2054893 :   if (signe(x) >= 0) return classno2(x);
    5530             : 
    5531     2054886 :   check_quaddisc(x, &s, &k, "classno");
    5532     2054886 :   if (abscmpiu(x,12) <= 0) return gen_1;
    5533             : 
    5534     2052496 :   Hf = conductor_part(x, k, &D, NULL);
    5535     2052496 :   if (abscmpiu(D,12) <= 0) return gerepilecopy(av, Hf);
    5536     2052496 :   forms =  get_forms(D, &L);
    5537     2052496 :   r2 = two_rank(D);
    5538     2052496 :   hin = roundr(shiftr(L, -r2)); /* rough approximation for #G, G = Cl(K)^2 */
    5539             : 
    5540     2052496 :   l = lg(forms);
    5541     2052496 :   order_bound = const_vec(l-1, NULL);
    5542     2052496 :   E = expi(D) > 60? (void*)sqrtnint(shifti(absi_shallow(D),-2),4): NULL;
    5543     2052496 :   g1 = gel(forms,1);
    5544     2052496 :   gel(order_bound,1) = d1 = Shanks_order(E, g1, hin, &fad1);
    5545     2052496 :   q = diviiround(hin, d1); /* approximate order of G/<g1> */
    5546     2052496 :   d2 = NULL; /* not computed yet */
    5547     2052496 :   if (is_pm1(q)) goto END;
    5548      509036 :   for (i=2; i < l; i++)
    5549             :   {
    5550      502268 :     GEN o, fao, a, F, fd, f = gel(forms,i);
    5551      502268 :     fd = powgi(f, d1); if (is_pm1(gel(fd,1))) continue;
    5552      362162 :     F = powgi(fd, q);
    5553      362162 :     a = gel(F,1);
    5554      362162 :     o = is_pm1(a)? find_order(E, fd, q, &fao): Shanks_order(E, fd, q, &fao);
    5555             :     /* f^(d1 q) = 1 */
    5556      362162 :     fao = merge_factor(fad1,fao, (void*)&cmpii, &cmp_nodata);
    5557      362162 :     o = find_order(E, f, fao, &fao);
    5558      362162 :     gel(order_bound,i) = o;
    5559             :     /* o = order of f, fao = factor(o) */
    5560      362162 :     update_g1(&g1,&d1,&fad1, f,o,fao);
    5561      362162 :     q = diviiround(hin, d1);
    5562      362162 :     if (is_pm1(q)) goto END;
    5563             :   }
    5564             :   /* very probably d1 = expo(Cl^2(K)), q ~ #Cl^2(K) / d1 */
    5565        6768 :   if (expi(q) > 3)
    5566             :   { /* q large: compute d2, 2nd elt divisor */
    5567          70 :     ulong N, n = 2*itou(sqrti(d1));
    5568          70 :     GEN D = d1, T = gen_Shanks_init(g1, n, E, &qfi_group);
    5569          70 :     d2 = gen_1;
    5570          70 :     N = itou( gceil(gdivgs(d1,n)) ); /* order(g1) <= n*N */
    5571         287 :     for (i = 1; i < l; i++)
    5572             :     {
    5573         280 :       GEN d, f = gel(forms,i), B = gel(order_bound,i);
    5574         280 :       if (!B) B = find_order(E, f, fad1, /*junk*/&d);
    5575         280 :       f = powgi(f,d2);
    5576         280 :       if (equal1(E, T,N,f)) continue;
    5577         112 :       B = gdiv(B,d2); if (typ(B) == t_FRAC) B = gel(B,1);
    5578             :       /* f^B = 1 */
    5579         112 :       d = relative_order(E, f, B, N,T);
    5580         112 :       d2= mulii(d,d2);
    5581         112 :       D = mulii(d1,d2);
    5582         112 :       q = diviiround(hin,D);
    5583         112 :       if (is_pm1(q)) { d1 = D; goto END; }
    5584             :     }
    5585             :     /* very probably, d2 is the 2nd elementary divisor */
    5586           7 :     d1 = D; /* product of first two elt divisors */
    5587             :   }
    5588             :   /* impose q | d2^oo (d1^oo if d2 not computed), and compatible with known
    5589             :    * 2-rank */
    5590        6705 :   if (!ok_q(q,d1,d2,r2))
    5591             :   {
    5592           0 :     GEN q0 = q;
    5593             :     long d;
    5594           0 :     if (cmpii(mulii(q,d1), hin) < 0)
    5595             :     { /* try q = q0+1,-1,+2,-2 */
    5596           0 :       d = 1;
    5597           0 :       do { q = addis(q0,d); d = d>0? -d: 1-d; } while(!ok_q(q,d1,d2,r2));
    5598             :     }
    5599             :     else
    5600             :     { /* q0-1,+1,-2,+2  */
    5601           0 :       d = -1;
    5602           0 :       do { q = addis(q0,d); d = d<0? -d: -1-d; } while(!ok_q(q,d1,d2,r2));
    5603             :     }
    5604             :   }
    5605        6705 :   d1 = mulii(d1,q);
    5606             : 
    5607             : END:
    5608     2052496 :   return gerepileuptoint(av, shifti(mulii(d1,Hf), r2));
    5609             : }
    5610             : 
    5611             : GEN
    5612           0 : quadclassno(GEN x)
    5613             : {
    5614           0 :   pari_sp av = avma;
    5615             :   GEN Hf, D;
    5616             :   long s, r;
    5617           0 :   check_quaddisc(x, &s, &r, "quadclassno");
    5618           0 :   if (s < 0 && abscmpiu(x,12) <= 0) return gen_1;
    5619           0 :   Hf = conductor_part(x, r, &D, NULL);
    5620           0 :   return gerepileuptoint(av, mulii(Hf, gel(quadclassunit0(D,0,NULL,0),1)));
    5621             : }
    5622             : 
    5623             : /* use Euler products */
    5624             : GEN
    5625          21 : classno2(GEN x)
    5626             : {
    5627          21 :   pari_sp av = avma;
    5628          21 :   const long prec = DEFAULTPREC;
    5629             :   long n, i, r, s;
    5630             :   GEN p1, p2, S, p4, p5, p7, Hf, Pi, reg, logd, d, dr, D, half;
    5631             : 
    5632          21 :   check_quaddisc(x, &s, &r, "classno2");
    5633          21 :   if (s < 0 && abscmpiu(x,12) <= 0) return gen_1;
    5634             : 
    5635          21 :   Hf = conductor_part(x, r, &D, &reg);
    5636          21 :   if (s < 0 && abscmpiu(D,12) <= 0) return gerepilecopy(av, Hf); /* |D| < 12*/
    5637             : 
    5638          21 :   Pi = mppi(prec);
    5639          21 :   d = absi_shallow(D); dr = itor(d, prec);
    5640          21 :   logd = logr_abs(dr);
    5641          21 :   p1 = sqrtr(divrr(mulir(d,logd), gmul2n(Pi,1)));
    5642          21 :   if (s > 0)
    5643             :   {
    5644          14 :     GEN invlogd = invr(logd);
    5645          14 :     p2 = subsr(1, shiftr(mulrr(logr_abs(reg),invlogd),1));
    5646          14 :     if (cmprr(sqrr(p2), shiftr(invlogd,1)) >= 0) p1 = mulrr(p2,p1);
    5647             :   }
    5648          21 :   n = itos_or_0( mptrunc(p1) );
    5649          21 :   if (!n) pari_err_OVERFLOW("classno [discriminant too large]");
    5650             : 
    5651          21 :   p4 = divri(Pi,d);
    5652          21 :   p7 = invr(sqrtr_abs(Pi));
    5653          21 :   half = real2n(-1, prec);
    5654          21 :   if (s > 0)
    5655             :   { /* i = 1, shortcut */
    5656          14 :     p1 = sqrtr_abs(dr);
    5657          14 :     p5 = subsr(1, mulrr(p7,incgamc(half,p4,prec)));
    5658          14 :     S = addrr(mulrr(p1,p5), eint1(p4,prec));
    5659         546 :     for (i=2; i<=n; i++)
    5660             :     {
    5661         532 :       long k = kroiu(D,i); if (!k) continue;
    5662         434 :       p2 = mulir(sqru(i), p4);
    5663         434 :       p5 = subsr(1, mulrr(p7,incgamc(half,p2,prec)));
    5664         434 :       p5 = addrr(divru(mulrr(p1,p5),i), eint1(p2,prec));
    5665         434 :       S = (k>0)? addrr(S,p5): subrr(S,p5);
    5666             :     }
    5667          14 :     S = shiftr(divrr(S,reg),-1);
    5668             :   }
    5669             :   else
    5670             :   { /* i = 1, shortcut */
    5671           7 :     p1 = gdiv(sqrtr_abs(dr), Pi);
    5672           7 :     p5 = subsr(1, mulrr(p7,incgamc(half,p4,prec)));
    5673           7 :     S = addrr(p5, divrr(p1, mpexp(p4)));
    5674         952 :     for (i=2; i<=n; i++)
    5675             :     {
    5676         945 :       long k = kroiu(D,i); if (!k) continue;
    5677         945 :       p2 = mulir(sqru(i), p4);
    5678         945 :       p5 = subsr(1, mulrr(p7,incgamc(half,p2,prec)));
    5679         945 :       p5 = addrr(p5, divrr(p1, mulur(i, mpexp(p2))));
    5680         945 :       S = (k>0)? addrr(S,p5): subrr(S,p5);
    5681             :     }
    5682             :   }
    5683          21 :   return gerepileuptoint(av, mulii(Hf, roundr(S)));
    5684             : }
    5685             : 
    5686             : /* 1 + q + ... + q^v, v > 0 */
    5687             : static GEN
    5688         120 : geomsumu(ulong q, long v)
    5689             : {
    5690         120 :   GEN u = utoipos(1+q);
    5691         120 :   for (; v > 1; v--) u = addui(1, mului(q, u));
    5692         120 :   return u;
    5693             : }
    5694             : static GEN
    5695         120 : geomsum(GEN q, long v)
    5696             : {
    5697             :   GEN u;
    5698         120 :   if (lgefint(q) == 3) return geomsumu(q[2], v);
    5699           0 :   u = addiu(q,1);
    5700           0 :   for (; v > 1; v--) u = addui(1, mulii(q, u));
    5701           0 :   return u;
    5702             : }
    5703             : 
    5704             : static GEN
    5705        7810 : hclassno6_large(GEN x)
    5706             : {
    5707             :   long i, l, s, xmod4;
    5708             :   GEN Q, H, D, P, E;
    5709             : 
    5710        7810 :   x = negi(x);
    5711        7810 :   check_quaddisc(x, &s, &xmod4, "hclassno");
    5712        7810 :   corediscfact(x, xmod4, &D, &P, &E);
    5713             : 
    5714        7810 :   Q = quadclassunit0(D, 0, NULL, 0);
    5715        7810 :   H = gel(Q,1); l = lg(P);
    5716             : 
    5717             :   /* H \prod_{p^e||f}  (1 + (p^e-1)/(p-1))[ p - (D/p) ] */
    5718       33682 :   for (i=1; i<l; i++)
    5719             :   {
    5720       25872 :     long e = E[i], s;
    5721             :     GEN p, t;
    5722       25872 :     if (!e) continue;
    5723        5003 :     p = gel(P,i); s = kronecker(D,p);
    5724        5003 :     if (e == 1) t = addiu(p, 1-s);
    5725        1000 :     else if (s == 1) t = powiu(p,e);
    5726         120 :     else t = addui(1, mulii(subis(p, s), geomsum(p,e-1)));
    5727        5003 :     H = mulii(H,t);
    5728             :   }
    5729        7810 :   switch( itou_or_0(D) )
    5730             :   {
    5731           0 :     case 3: H = shifti(H,1);break;
    5732           0 :     case 4: H = muliu(H,3); break;
    5733        7810 :     default:H = muliu(H,6); break;
    5734             :   }
    5735        7810 :   return H;
    5736             : }
    5737             : 
    5738             : /* x > 0, x = 0,3 (mod 4). Return 6*hclassno(x), an integer */
    5739             : GEN
    5740      121870 : hclassno6(GEN x)
    5741             : {
    5742      121870 :   ulong d = itou_or_0(x);
    5743      121870 :   if (!d || d > 500000) return hclassno6_large(x);
    5744      114060 :   return utoipos(hclassno6u(d));
    5745             : }
    5746             : 
    5747             : GEN
    5748       46088 : hclassno(GEN x)
    5749             : {
    5750             :   long a, s;
    5751       46088 :   if (typ(x) != t_INT) pari_err_TYPE("hclassno",x);
    5752       46088 :   s = signe(x);
    5753       46088 :   if (s < 0) return gen_0;
    5754       46088 :   if (!s) return gdivgs(gen_1, -12);
    5755       46088 :   a = mod4(x); if (a == 1 || a == 2) return gen_0;
    5756       46088 :   return gdivgs(hclassno6(x), 6);
    5757             : }
    5758             : /******************************************************************/
    5759             : /*                                                                */
    5760             : /*                 RAMANUJAN's TAU FUNCTION                       */
    5761             : /*                                                                */
    5762             : /******************************************************************/
    5763             : /* 4|N > 0, not fundamental at 2; 6 * Hurwitz class number in level 2,
    5764             :  * equal to 6*(H(N)+2H(N/4)), H=qfbhclassno */
    5765             : static GEN
    5766       36750 : Hspec(GEN N)
    5767             : {
    5768       36750 :   long v2 = Z_lvalrem(N, 2, &N), v2f = v2 >> 1;
    5769             :   GEN t;
    5770       36750 :   if (odd(v2)) { v2f--; N = shifti(N,3); }
    5771       32557 :   else if (mod4(N)!=3) { v2f--; N = shifti(N,2); }
    5772             :   /* N fundamental at 2, v2f = v2(f) s.t. N = f^2 D, D fundamental */
    5773       36750 :   t = addui(3, muliu(subiu(int2n(v2f+1), 3), 2 - kroiu(N,2)));
    5774       36750 :   return mulii(t, hclassno6(N));
    5775             : }
    5776             : 
    5777             : /* Ramanujan tau function for p prime */
    5778             : static GEN
    5779       14903 : tauprime(GEN p)
    5780             : {
    5781       14903 :   pari_sp av = avma, av2;
    5782             :   GEN s, p2, p2_7, p_9, T;
    5783             :   ulong lim, t, tin;
    5784             : 
    5785       14903 :   if (absequaliu(p, 2)) return utoineg(24);
    5786             :   /* p > 2 */
    5787       11396 :   p2 = sqri(p);
    5788       11396 :   p2_7 = mului(7, p2);
    5789       11396 :   p_9 = mului(9, p);
    5790       11396 :   av2 = avma;
    5791       11396 :   lim = itou(sqrtint(p));
    5792       11396 :   tin = mod4(p) == 3? 1: 0;
    5793       11396 :   s = gen_0;
    5794       87178 :   for (t = 1; t <= lim; ++t)
    5795             :   {
    5796       75782 :     GEN h, a, t2 = sqru(t), D = shifti(subii(p, t2), 2); /* 4(p-t^2) */
    5797             :     /* t mod 2 != tin <=> D not fundamental at 2 */
    5798       75782 :     h = ((t&1UL) == tin)? hclassno6(D): Hspec(D);
    5799       75782 :     a = mulii(powiu(t2,3), addii(p2_7, mulii(t2, subii(shifti(t2,2), p_9))));
    5800       75782 :     s = addii(s, mulii(a,h));
    5801       75782 :     if (!(t & 255)) s = gerepileuptoint(av2, s);
    5802             :   }
    5803             :   /* 28p^3 - 28p^2 - 90p - 35 */
    5804       11396 :   T = subii(shifti(mulii(p2_7, subiu(p,1)), 2), addiu(mului(90,p), 35));
    5805       11396 :   s = shifti(diviuexact(s, 3), 6);
    5806       11396 :   return gerepileuptoint(av, subii(mulii(mulii(p2,p),T), addui(1, s)));
    5807             : }
    5808             : 
    5809             : /* Ramanujan tau function, return 0 for <= 0 */
    5810             : GEN
    5811        7035 : ramanujantau(GEN n)
    5812             : {
    5813        7035 :   pari_sp ltop = avma;
    5814             :   GEN T, F, P, E;
    5815             :   long j, lP;
    5816             : 
    5817        7035 :   if (!(F = check_arith_all(n,"ramanujantau")))
    5818             :   {
    5819        7014 :     if (signe(n) <= 0) return gen_0;
    5820        7007 :     F = Z_factor(n);
    5821             :   }
    5822             :   else
    5823             :   {
    5824          21 :     P = gel(F,1);
    5825          21 :     if (lg(P) == 1 || signe(gel(P,1)) <= 0) return gen_0;
    5826             :   }
    5827             : 
    5828        7014 :   P = gel(F,1);
    5829        7014 :   E = gel(F,2); lP = lg(P);
    5830        7014 :   T = gen_1;
    5831       21917 :   for (j = 1; j < lP; j++)
    5832             :   {
    5833       14903 :     GEN p = gel(P,j), tp = tauprime(p), t1 = tp, t0 = gen_1;
    5834       14903 :     long k, e = itou(gel(E,j));
    5835       20160 :     for (k = 1; k < e; k++)
    5836             :     {
    5837        5257 :       GEN t2 = subii(mulii(tp, t1), mulii(powiu(p, 11), t0));
    5838        5257 :       t0 = t1; t1 = t2;
    5839             :     }
    5840       14903 :     T = mulii(T, t1);
    5841             :   }
    5842        7014 :   return gerepileuptoint(ltop, T);
    5843             : }

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