Code coverage tests

This page documents the degree to which the PARI/GP source code is tested by our public test suite, distributed with the source distribution in directory src/test/. This is measured by the gcov utility; we then process gcov output using the lcov frond-end.

We test a few variants depending on Configure flags on the pari.math.u-bordeaux.fr machine (x86_64 architecture), and agregate them in the final report:

The target is 90% coverage for all mathematical modules (given that branches depending on DEBUGLEVEL or DEBUGMEM are not covered). This script is run to produce the results below.

LCOV - code coverage report
Current view: top level - basemath - arith1.c (source / functions) Hit Total Coverage
Test: PARI/GP v2.8.0 lcov report (development 19369-efd6c3d) Lines: 2617 2845 92.0 %
Date: 2016-08-29 06:11:50 Functions: 228 242 94.2 %
Legend: Lines: hit not hit

          Line data    Source code
       1             : /* Copyright (C) 2000  The PARI group.
       2             : 
       3             : This file is part of the PARI/GP package.
       4             : 
       5             : PARI/GP is free software; you can redistribute it and/or modify it under the
       6             : terms of the GNU General Public License as published by the Free Software
       7             : Foundation. It is distributed in the hope that it will be useful, but WITHOUT
       8             : ANY WARRANTY WHATSOEVER.
       9             : 
      10             : Check the License for details. You should have received a copy of it, along
      11             : with the package; see the file 'COPYING'. If not, write to the Free Software
      12             : Foundation, Inc., 51 Franklin Street, Fifth Floor, Boston, MA 02110-1301 USA. */
      13             : 
      14             : /*********************************************************************/
      15             : /**                                                                 **/
      16             : /**                     ARITHMETIC FUNCTIONS                        **/
      17             : /**                         (first part)                            **/
      18             : /**                                                                 **/
      19             : /*********************************************************************/
      20             : #include "pari.h"
      21             : #include "paripriv.h"
      22             : 
      23             : /******************************************************************/
      24             : /*                                                                */
      25             : /*                 GENERATOR of (Z/mZ)*                           */
      26             : /*                                                                */
      27             : /******************************************************************/
      28             : static GEN
      29          42 : remove2(GEN q) { long v = vali(q); return v? shifti(q, -v): q; }
      30             : static ulong
      31       21313 : u_remove2(ulong q) { return q >> vals(q); }
      32             : GEN
      33          42 : odd_prime_divisors(GEN q) { return gel(Z_factor(remove2(q)), 1); }
      34             : static GEN
      35       21313 : u_odd_prime_divisors(ulong q) { return gel(factoru(u_remove2(q)), 1); }
      36             : /* p odd prime, q=(p-1)/2; L0 list of (some) divisors of q = (p-1)/2 or NULL
      37             :  * (all prime divisors of q); return the q/l, l in L0 */
      38             : static GEN
      39          33 : is_gener_expo(GEN p, GEN L0)
      40             : {
      41          33 :   GEN L, q = shifti(p,-1);
      42             :   long i, l;
      43          33 :   if (L0) {
      44          14 :     l = lg(L0);
      45          14 :     L = cgetg(l, t_VEC);
      46             :   } else {
      47          19 :     L0 = L = odd_prime_divisors(q);
      48          19 :     l = lg(L);
      49             :   }
      50          33 :   for (i=1; i<l; i++) gel(L,i) = diviiexact(q, gel(L0,i));
      51          33 :   return L;
      52             : }
      53             : static GEN
      54       21647 : u_is_gener_expo(ulong p, GEN L0)
      55             : {
      56       21647 :   const ulong q = p >> 1;
      57             :   long i, l;
      58             :   GEN L;
      59       21647 :   if (L0) {
      60        2357 :     l = lg(L0);
      61        2357 :     L = cgetg(l, t_VECSMALL);
      62             :   } else {
      63       19290 :     L0 = L = u_odd_prime_divisors(q);
      64       19290 :     l = lg(L);
      65             :   }
      66       21647 :   for (i=1; i<l; i++) L[i] = q / uel(L0,i);
      67       21647 :   return L;
      68             : }
      69             : 
      70             : int
      71       52239 : is_gener_Fl(ulong x, ulong p, ulong p_1, GEN L)
      72             : {
      73             :   long i;
      74       52239 :   if (krouu(x, p) >= 0) return 0;
      75       66506 :   for (i=lg(L)-1; i; i--)
      76             :   {
      77       43405 :     ulong t = Fl_powu(x, uel(L,i), p);
      78       43405 :     if (t == p_1 || t == 1) return 0;
      79             :   }
      80       23101 :   return 1;
      81             : }
      82             : /* assume p prime */
      83             : ulong
      84       52033 : pgener_Fl_local(ulong p, GEN L0)
      85             : {
      86       52033 :   const pari_sp av = avma;
      87       52033 :   const ulong p_1 = p-1;
      88             :   long x;
      89             :   GEN L;
      90       52033 :   if (p <= 19) switch(p)
      91             :   { /* quick trivial cases */
      92          42 :     case 2:  return 1;
      93             :     case 7:
      94        3859 :     case 17: return 3;
      95       26509 :     default: return 2;
      96             :   }
      97       21623 :   L = u_is_gener_expo(p,L0);
      98       21623 :   for (x=2;;x++) { if (is_gener_Fl(x,p,p_1,L)) break; }
      99       21623 :   avma = av; return x;
     100             : }
     101             : ulong
     102       43594 : pgener_Fl(ulong p) { return pgener_Fl_local(p, NULL); }
     103             : 
     104             : /* L[i] = set of (p-1)/2l, l ODD prime divisor of p-1 (l=2 can be included,
     105             :  * but wasteful) */
     106             : int
     107         141 : is_gener_Fp(GEN x, GEN p, GEN p_1, GEN L)
     108             : {
     109         141 :   long i, t = lgefint(x)==3? kroui(x[2], p): kronecker(x, p);
     110         141 :   if (t >= 0) return 0;
     111         381 :   for (i = lg(L)-1; i; i--)
     112             :   {
     113         255 :     GEN t = Fp_pow(x, gel(L,i), p);
     114         255 :     if (equalii(t, p_1) || equali1(t)) return 0;
     115             :   }
     116         126 :   return 1;
     117             : }
     118             : 
     119             : /* assume p prime, return a generator of all L[i]-Sylows in F_p^*. */
     120             : GEN
     121        7560 : pgener_Fp_local(GEN p, GEN L0)
     122             : {
     123        7560 :   pari_sp av0 = avma;
     124             :   GEN x, p_1, L;
     125        7560 :   if (lgefint(p) == 3)
     126             :   {
     127             :     ulong z;
     128        7531 :     if (p[2] == 2) return gen_1;
     129        4773 :     if (L0) L0 = ZV_to_nv(L0);
     130        4773 :     z = pgener_Fl_local(uel(p,2), L0);
     131        4773 :     avma = av0; return utoipos(z);
     132             :   }
     133          29 :   p_1 = subis(p,1); L = is_gener_expo(p, L0);
     134          29 :   x = utoipos(2);
     135          32 :   for (;; x[2]++) { if (is_gener_Fp(x, p, p_1, L)) break; }
     136          29 :   avma = av0; return utoipos(uel(x,2));
     137             : }
     138             : 
     139             : GEN
     140        7035 : pgener_Fp(GEN p) { return pgener_Fp_local(p, NULL); }
     141             : 
     142             : ulong
     143        3797 : pgener_Zl(ulong p)
     144             : {
     145        3797 :   if (p == 2) pari_err_DOMAIN("pgener_Zl","p","=",gen_2,gen_2);
     146             :   /* only p < 2^32 such that znprimroot(p) != znprimroot(p^2) */
     147        3797 :   if (p == 40487) return 10;
     148             : #ifndef LONG_IS_64BIT
     149         539 :   return pgener_Fl(p);
     150             : #else
     151        3258 :   if (p < (1UL<<32)) return pgener_Fl(p);
     152             :   else
     153             :   {
     154          24 :     const pari_sp av = avma;
     155          24 :     const ulong p_1 = p-1;
     156             :     long x ;
     157          24 :     GEN p2 = sqru(p), L = u_is_gener_expo(p, NULL);
     158          96 :     for (x=2;;x++)
     159          96 :       if (is_gener_Fl(x,p,p_1,L) && !is_pm1(Fp_powu(utoipos(x),p_1,p2))) break;
     160          72 :     avma = av; return x;
     161             :   }
     162             : #endif
     163             : }
     164             : 
     165             : /* p prime. Return a primitive root modulo p^e, e > 1 */
     166             : GEN
     167        3801 : pgener_Zp(GEN p)
     168             : {
     169        3801 :   if (lgefint(p) == 3) return utoipos(pgener_Zl(p[2]));
     170             :   else
     171             :   {
     172           4 :     const pari_sp av = avma;
     173           4 :     GEN p_1 = subis(p,1), p2 = sqri(p), L = is_gener_expo(p,NULL);
     174           4 :     GEN x = utoipos(2);
     175          12 :     for (;; x[2]++)
     176          16 :       if (is_gener_Fp(x,p,p_1,L) && !equali1(Fp_pow(x,p_1,p2))) break;
     177          12 :     avma = av; return utoipos(uel(x,2));
     178             :   }
     179             : }
     180             : 
     181             : static GEN
     182         287 : gener_Zp(GEN q, GEN F)
     183             : {
     184         287 :   GEN p = NULL;
     185         287 :   long e = 0;
     186         287 :   if (F)
     187             :   {
     188          14 :     GEN P = gel(F,1), E = gel(F,2);
     189          14 :     long i, l = lg(P);
     190          42 :     for (i = 1; i < l; i++)
     191             :     {
     192          28 :       p = gel(P,i);
     193          28 :       if (absequaliu(p, 2)) continue;
     194          14 :       if (i < l-1) pari_err_DOMAIN("znprimroot", "argument","=",F,F);
     195          14 :       e = itos(gel(E,i));
     196             :     }
     197          14 :     if (!p) pari_err_DOMAIN("znprimroot", "argument","=",F,F);
     198             :   }
     199             :   else
     200         273 :     e = Z_isanypower(q, &p);
     201         287 :   return e > 1? pgener_Zp(p): pgener_Fp(q);
     202             : }
     203             : 
     204             : GEN
     205         357 : znprimroot(GEN N)
     206             : {
     207         357 :   pari_sp av = avma;
     208             :   GEN x, n, F;
     209             : 
     210         357 :   if ((F = check_arith_non0(N,"znprimroot")))
     211             :   {
     212          14 :     F = clean_Z_factor(F);
     213          14 :     N = typ(N) == t_VEC? gel(N,1): factorback(F);
     214             :   }
     215         350 :   if (signe(N) < 0) N = absi(N);
     216         350 :   if (abscmpiu(N, 4) <= 0) { avma = av; return mkintmodu(N[2]-1,N[2]); }
     217         301 :   switch(mod4(N))
     218             :   {
     219             :     case 0: /* N = 0 mod 4 */
     220          14 :       pari_err_DOMAIN("znprimroot", "argument","=",N,N);
     221           0 :       x = NULL; break;
     222             :     case 2: /* N = 2 mod 4 */
     223          21 :       n = shifti(N,-1); /* becomes odd */
     224          21 :       x = gener_Zp(n,F); if (!mod2(x)) x = addii(x,n);
     225          21 :       break;
     226             :     default: /* N odd */
     227         266 :       x = gener_Zp(N,F);
     228         266 :       break;
     229             :   }
     230         287 :   return gerepilecopy(av, mkintmod(x, N));
     231             : }
     232             : 
     233             : /* n | (p-1), returns a primitive n-th root of 1 in F_p^* */
     234             : GEN
     235           0 : rootsof1_Fp(GEN n, GEN p)
     236             : {
     237           0 :   pari_sp av = avma;
     238           0 :   GEN L = odd_prime_divisors(n); /* 2 implicit in pgener_Fp_local */
     239           0 :   GEN z = pgener_Fp_local(p, L);
     240           0 :   z = Fp_pow(z, diviiexact(subis(p,1), n), p); /* prim. n-th root of 1 */
     241           0 :   return gerepileuptoint(av, z);
     242             : }
     243             : 
     244             : GEN
     245         301 : rootsof1u_Fp(ulong n, GEN p)
     246             : {
     247         301 :   pari_sp av = avma;
     248         301 :   GEN z, L = u_odd_prime_divisors(n); /* 2 implicit in pgener_Fp_local */
     249         301 :   z = pgener_Fp_local(p, Flv_to_ZV(L));
     250         301 :   z = Fp_pow(z, diviuexact(subis(p,1), n), p); /* prim. n-th root of 1 */
     251         301 :   return gerepileuptoint(av, z);
     252             : }
     253             : 
     254             : ulong
     255        1722 : rootsof1_Fl(ulong n, ulong p)
     256             : {
     257        1722 :   pari_sp av = avma;
     258        1722 :   GEN L = u_odd_prime_divisors(n); /* 2 implicit in pgener_Fl_local */
     259        1722 :   ulong z = pgener_Fl_local(p, L);
     260        1722 :   z = Fl_powu(z, (p-1) / n, p); /* prim. n-th root of 1 */
     261        1722 :   avma = av; return z;
     262             : }
     263             : 
     264             : /*********************************************************************/
     265             : /**                                                                 **/
     266             : /**                     INVERSE TOTIENT FUNCTION                    **/
     267             : /**                                                                 **/
     268             : /*********************************************************************/
     269             : /* N t_INT, L a ZV containing all prime divisors of N, and possibly other
     270             :  * primes. Return factor(N) */
     271             : GEN
     272      350651 : Z_factor_listP(GEN N, GEN L)
     273             : {
     274      350651 :   long i, k, l = lg(L);
     275      350651 :   GEN P = cgetg(l, t_COL), E = cgetg(l, t_COL);
     276     1346688 :   for (i = k = 1; i < l; i++)
     277             :   {
     278      996037 :     GEN p = gel(L,i);
     279      996037 :     long v = Z_pvalrem(N, p, &N);
     280      996037 :     if (v)
     281             :     {
     282      792176 :       gel(P,k) = p;
     283      792176 :       gel(E,k) = utoipos(v);
     284      792176 :       k++;
     285             :     }
     286             :   }
     287      350651 :   setlg(P, k);
     288      350651 :   setlg(E, k); return mkmat2(P,E);
     289             : }
     290             : 
     291             : /* look for x such that phi(x) = n, p | x => p > m (if m = NULL: no condition).
     292             :  * L is a list of primes containing all prime divisors of n. */
     293             : static long
     294      621565 : istotient_i(GEN n, GEN m, GEN L, GEN *px)
     295             : {
     296      621565 :   pari_sp av = avma, av2;
     297             :   GEN k, D;
     298             :   long i, v;
     299      621565 :   if (m && mod2(n))
     300             :   {
     301      270914 :     if (!equali1(n)) return 0;
     302       69986 :     if (px) *px = gen_1;
     303       69986 :     return 1;
     304             :   }
     305      350651 :   D = divisors(Z_factor_listP(shifti(n, -1), L));
     306             :   /* loop through primes p > m, d = p-1 | n */
     307      350651 :   av2 = avma;
     308      350651 :   if (!m)
     309             :   { /* special case p = 2, d = 1 */
     310       69986 :     k = n;
     311       69986 :     for (v = 1;; v++) {
     312       69986 :       if (istotient_i(k, gen_2, L, px)) {
     313       69986 :         if (px) *px = shifti(*px, v);
     314       69986 :         return 1;
     315             :       }
     316           0 :       if (mod2(k)) break;
     317           0 :       k = shifti(k,-1);
     318           0 :     }
     319           0 :     avma = av2;
     320             :   }
     321     1099462 :   for (i = 1; i < lg(D); ++i)
     322             :   {
     323     1001588 :     GEN p, d = shifti(gel(D, i), 1); /* even divisors of n */
     324     1001588 :     if (m && cmpii(d, m) < 0) continue;
     325      677782 :     p = addiu(d, 1);
     326      677782 :     if (!isprime(p)) continue;
     327      442064 :     k = diviiexact(n, d);
     328      481593 :     for (v = 1;; v++) {
     329             :       GEN r;
     330      481593 :       if (istotient_i(k, p, L, px)) {
     331      182791 :         if (px) *px = mulii(*px, powiu(p, v));
     332      182791 :         return 1;
     333             :       }
     334      298802 :       k = dvmdii(k, p, &r);
     335      298802 :       if (r != gen_0) break;
     336       39529 :     }
     337      259273 :     avma = av2;
     338             :   }
     339       97874 :   avma = av; return 0;
     340             : }
     341             : 
     342             : /* find x such that phi(x) = n */
     343             : long
     344       70000 : istotient(GEN n, GEN *px)
     345             : {
     346       70000 :   pari_sp av = avma;
     347       70000 :   if (typ(n) != t_INT) pari_err_TYPE("istotient", n);
     348       70000 :   if (signe(n) < 1) return 0;
     349       70000 :   if (mod2(n))
     350             :   {
     351          14 :     if (!equali1(n)) return 0;
     352          14 :     if (px) *px = gen_1;
     353          14 :     return 1;
     354             :   }
     355       69986 :   if (istotient_i(n, NULL, gel(Z_factor(n), 1), px))
     356             :   {
     357       69986 :     if (!px) avma = av;
     358             :     else
     359       69986 :       *px = gerepileuptoint(av, *px);
     360       69986 :     return 1;
     361             :   }
     362           0 :   avma = av; return 0;
     363             : }
     364             : 
     365             : /*********************************************************************/
     366             : /**                                                                 **/
     367             : /**                     INTEGRAL LOGARITHM                          **/
     368             : /**                                                                 **/
     369             : /*********************************************************************/
     370             : 
     371             : /* y > 1 and B > 0 integers. Return e such that y^e <= B < y^(e+1), i.e
     372             :  * e = floor(log_y B). Set *ptq = y^e if non-NULL */
     373             : long
     374      443093 : logintall(GEN B, GEN y, GEN *ptq)
     375             : {
     376             :   pari_sp av;
     377      443093 :   long ey, e, emax, i, eB = expi(B); /* 2^eB <= B < 2^(eB + 1) */
     378             :   GEN q, pow2;
     379             : 
     380      443093 :   if (equaliu(y,2))
     381             :   {
     382        3395 :     if (ptq) *ptq = int2n(eB);
     383        3395 :     return eB;
     384             :   }
     385      439698 :   av = avma;
     386      439698 :   ey = expi(y);
     387             :   /* eB/(ey+1) - 1 < e <= eB/ey */
     388      439698 :   emax = eB/ey;
     389      439698 :   if (emax <= 13) /* e small, be naive */
     390             :   {
     391      418702 :     GEN r = y, r2 = gen_1;
     392     1033917 :     for (e=1;; e++)
     393             :     { /* here, r = y^e, r2 = y^(e-1) */
     394     1033917 :       long fl = cmpii(r, B);
     395     1033917 :       if (fl >= 0)
     396             :       {
     397      418702 :         if (fl) { e--; cgiv(r); r = r2; }
     398      418702 :         if (ptq) *ptq = gerepileuptoint(av, r); else avma = av;
     399      418702 :         return e;
     400             :       }
     401      615215 :       r2 = r; r = mulii(r,y);
     402      615215 :     }
     403             :   }
     404             :   /* e >= 13 ey / (ey+1) >= 6.5 */
     405             : 
     406             :   /* binary splitting: compute bits of e one by one */
     407             :   /* compute pow2[i] = y^(2^i) [i < crude upper bound for log_2 log_y(B)] */
     408       20996 :   pow2 = new_chunk((long)log2(eB)+2);
     409       20996 :   gel(pow2,0) = y;
     410       20996 :   for (i=0, q=y;; )
     411             :   {
     412      109608 :     GEN r = gel(pow2,i); /* r = y^2^i */
     413      109608 :     long fl = cmpii(r,B);
     414      109608 :     if (!fl)
     415             :     {
     416           0 :       e = 1L<<i;
     417           0 :       if (ptq) *ptq = gerepileuptoint(av, r); else avma = av;
     418           0 :       return e;
     419             :     }
     420      109608 :     if (fl > 0) { i--; break; }
     421       92374 :     q = r;
     422       92374 :     if (1L<<(i+1) > emax) break;
     423       88612 :     gel(pow2,++i) = sqri(q);
     424       88612 :   }
     425             : 
     426       20996 :   for (e = 1L<<i;;)
     427             :   { /* y^e = q < B < r = q * y^(2^i) */
     428       92353 :     pari_sp av2 = avma;
     429             :     long fl;
     430             :     GEN r;
     431       92353 :     if (--i < 0) break;
     432       71364 :     r = mulii(q, gel(pow2,i));
     433       71364 :     fl = cmpii(r, B);
     434       71364 :     if (fl > 0) avma = av2;
     435             :     else
     436             :     {
     437       45747 :       e += (1L<<i);
     438       45747 :       q = r;
     439       45747 :       if (!fl) break; /* B = r */
     440             :     }
     441       71357 :   }
     442       20996 :   if (ptq) *ptq = gerepileuptoint(av, q); else avma = av;
     443       20996 :   return e;
     444             : }
     445             : 
     446             : long
     447          42 : logint0(GEN B, GEN y, GEN *ptq)
     448             : {
     449          42 :   if (typ(B) != t_INT) pari_err_TYPE("logint",B);
     450          42 :   if (signe(B) <= 0) pari_err_DOMAIN("logint", "x" ,"<=", gen_0, B);
     451          42 :   if (typ(y) != t_INT) pari_err_TYPE("logint",y);
     452          42 :   if (cmpis(y, 2) < 0) pari_err_DOMAIN("logint", "b" ,"<=", gen_1, y);
     453          42 :   return logintall(B,y,ptq);
     454             : }
     455             : 
     456             : /*********************************************************************/
     457             : /**                                                                 **/
     458             : /**                     INTEGRAL SQUARE ROOT                        **/
     459             : /**                                                                 **/
     460             : /*********************************************************************/
     461             : GEN
     462       38669 : sqrtint(GEN a)
     463             : {
     464       38669 :   if (typ(a) != t_INT) pari_err_TYPE("sqrtint",a);
     465       38669 :   switch (signe(a))
     466             :   {
     467       38655 :     case 1: return sqrti(a);
     468           7 :     case 0: return gen_0;
     469           7 :     default: pari_err_DOMAIN("sqrtint", "argument", "<", gen_0,a);
     470             :   }
     471           0 :   return NULL; /* not reached */
     472             : }
     473             : 
     474             : /*********************************************************************/
     475             : /**                                                                 **/
     476             : /**                      PERFECT SQUARE                             **/
     477             : /**                                                                 **/
     478             : /*********************************************************************/
     479             : static int
     480     8762449 : carremod(ulong A)
     481             : {
     482     8762449 :   const int carresmod64[]={
     483             :     1,1,0,0,1,0,0,0,0,1, 0,0,0,0,0,0,1,1,0,0, 0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,
     484             :     0,0,0,1,0,0,1,0,0,0, 0,1,0,0,0,0,0,0,0,1, 0,0,0,0,0,0,0,1,0,0, 0,0,0,0};
     485     8762449 :   const int carresmod63[]={
     486             :     1,1,0,0,1,0,0,1,0,1, 0,0,0,0,0,0,1,0,1,0, 0,0,1,0,0,1,0,0,1,0,
     487             :     0,0,0,0,0,0,1,1,0,0, 0,0,0,1,0,0,1,0,0,1, 0,0,0,0,0,0,0,0,1,0, 0,0,0};
     488     8762449 :   const int carresmod65[]={
     489             :     1,1,0,0,1,0,0,0,0,1, 1,0,0,0,1,0,1,0,0,0, 0,0,0,0,0,1,1,0,0,1,
     490             :     1,0,0,0,0,1,1,0,0,1, 1,0,0,0,0,0,0,0,0,1, 0,1,0,0,0,1,1,0,0,0, 0,1,0,0,1};
     491     8762449 :   const int carresmod11[]={1,1,0,1,1,1,0,0,0,1, 0};
     492    17524898 :   return (carresmod64[A & 0x3fUL]
     493     3227096 :     && carresmod63[A % 63UL]
     494     1938320 :     && carresmod65[A % 65UL]
     495    10349854 :     && carresmod11[A % 11UL]);
     496             : }
     497             : 
     498             : /* emulate Z_issquareall on single-word integers */
     499             : long
     500     8596349 : uissquareall(ulong A, ulong *sqrtA)
     501             : {
     502     8596349 :   if (!A) { *sqrtA = 0; return 1; }
     503     8596349 :   if (carremod(A))
     504             :   {
     505     1496992 :     ulong a = usqrt(A);
     506     1496947 :     if (a * a == A) { *sqrtA = a; return 1; }
     507             :   }
     508     7189179 :   return 0;
     509             : }
     510             : long
     511      115450 : uissquare(ulong A)
     512             : {
     513      115450 :   if (!A) return 1;
     514      115450 :   if (carremod(A))
     515             :   {
     516        2335 :     ulong a = usqrt(A);
     517        2335 :     if (a * a == A) return 1;
     518             :   }
     519      113139 :   return 0;
     520             : }
     521             : 
     522             : long
     523     4605856 : Z_issquareall(GEN x, GEN *pt)
     524             : {
     525             :   pari_sp av;
     526             :   GEN y, r;
     527             : 
     528     4605856 :   switch(signe(x))
     529             :   {
     530     1856209 :     case -1: return 0;
     531         686 :     case 0: if (pt) *pt=gen_0; return 1;
     532             :   }
     533     2748961 :   if (lgefint(x) == 3)
     534             :   {
     535     2698458 :     ulong u = uel(x,2), a;
     536     2698458 :     if (!pt) return uissquare(u);
     537     2583008 :     if (!uissquareall(u, &a)) return 0;
     538     1376130 :     *pt = utoipos(a); return 1;
     539             :   }
     540       50503 :   if (!carremod(umodiu(x, 64*63*65*11))) return 0;
     541        6263 :   av = avma; y = sqrtremi(x, &r);
     542        6263 :   if (r != gen_0) { avma = av; return 0; }
     543        5676 :   if (pt) { *pt = y; avma = (pari_sp)y; } else avma = av;
     544        5676 :   return 1;
     545             : }
     546             : 
     547             : /* a t_INT, p prime */
     548             : long
     549           0 : Zp_issquare(GEN a, GEN p)
     550             : {
     551             :   long v;
     552             :   GEN ap;
     553             : 
     554           0 :   if (!signe(a) || gequal1(a)) return 1;
     555           0 :   v = Z_pvalrem(a, p, &ap);
     556           0 :   if (v&1) return 0;
     557           0 :   return absequaliu(p, 2)? umodiu(ap, 8) == 1
     558           0 :                       : kronecker(ap,p) == 1;
     559             : }
     560             : 
     561             : static long
     562        1533 : polissquareall(GEN x, GEN *pt)
     563             : {
     564             :   pari_sp av;
     565             :   long v;
     566             :   GEN y, a, b, p;
     567             : 
     568        1533 :   if (!signe(x))
     569             :   {
     570           7 :     if (pt) *pt = gcopy(x);
     571           7 :     return 1;
     572             :   }
     573        1526 :   if (odd(degpol(x))) return 0; /* odd degree */
     574         980 :   av = avma;
     575         980 :   v = RgX_valrem(x, &x);
     576         980 :   if (v & 1) { avma = av; return 0; }
     577         973 :   a = gel(x,2); /* test constant coeff */
     578         973 :   if (!pt)
     579          63 :   { if (!issquare(a)) { avma = av; return 0; } }
     580             :   else
     581         910 :   { if (!issquareall(a,&b)) { avma = av; return 0; } }
     582         973 :   if (!degpol(x)) { /* constant polynomial */
     583          77 :     if (!pt) { avma = av; return 1; }
     584          35 :     y = scalarpol(b, varn(x)); goto END;
     585             :   }
     586         896 :   p = characteristic(x);
     587         896 :   if (signe(p) && !mod2(p))
     588             :   {
     589             :     long i, lx;
     590          35 :     if (!absequaliu(p,2)) pari_err_IMPL("issquare for even characteristic != 2");
     591          28 :     x = gmul(x, mkintmod(gen_1, gen_2));
     592          28 :     lx = lg(x);
     593          28 :     if ((lx-3) & 1) { avma = av; return 0; }
     594          49 :     for (i = 3; i < lx; i+=2)
     595          28 :       if (!gequal0(gel(x,i))) { avma = av; return 0; }
     596          21 :     if (pt) {
     597          14 :       y = cgetg((lx+3) / 2, t_POL);
     598          49 :       for (i = 2; i < lx; i+=2)
     599          35 :         if (!issquareall(gel(x,i), &gel(y, (i+2)>>1))) { avma = av; return 0; }
     600          14 :       y[1] = evalsigne(1) | evalvarn(varn(x));
     601          14 :       goto END;
     602             :     } else {
     603          21 :       for (i = 2; i < lx; i+=2)
     604          14 :         if (!issquare(gel(x,i))) { avma = av; return 0; }
     605           7 :       avma = av; return 1;
     606             :     }
     607             :   }
     608             :   else
     609             :   {
     610         861 :     long m = 1;
     611         861 :     x = RgX_Rg_div(x,a);
     612             :     /* a(x^m) = B^2 => B = b(x^m) provided a(0) != 0 */
     613         861 :     if (!signe(p)) x = RgX_deflate_max(x,&m);
     614         861 :     y = ser2rfrac_i(gsqrt(RgX_to_ser(x,lg(x)-1),0));
     615        1113 :     if (!RgX_equal(RgX_sqr(y), x)) { avma = av; return 0; }
     616         609 :     if (!pt) { avma = av; return 1; }
     617         609 :     if (!gequal1(a)) y = gmul(b, y);
     618         609 :     if (m != 1) y = RgX_inflate(y,m);
     619             :   }
     620             : END:
     621         658 :   if (v) y = RgX_shift_shallow(y, v>>1);
     622         658 :   *pt = gerepilecopy(av, y); return 1;
     623             : }
     624             : 
     625             : /* b unit mod p */
     626             : static int
     627         294 : Up_ispower(GEN b, GEN K, GEN p, long d, GEN *pt)
     628             : {
     629         294 :   if (d == 1)
     630             :   { /* mod p: faster */
     631         210 :     if (!Fp_ispower(b, K, p)) return 0;
     632         210 :     if (pt) *pt = Fp_sqrtn(b, K, p, NULL);
     633             :   }
     634             :   else
     635             :   { /* mod p^{2 +} */
     636          84 :     if (!ispower(cvtop(b, p, d), K, pt)) return 0;
     637          63 :     if (pt) *pt = gtrunc(*pt);
     638             :   }
     639         273 :   return 1;
     640             : }
     641             : 
     642             : /* We're studying whether a mod (q*p^e) is a K-th power, (q,p) = 1.
     643             :  * Decide mod p^e, then reduce a mod q unless q = NULL. */
     644             : static int
     645         434 : handle_pe(GEN *pa, GEN q, GEN L, GEN K, GEN p, long e)
     646             : {
     647             :   GEN t, A;
     648         434 :   long v = Z_pvalrem(*pa, p, &A), d = e - v;
     649         434 :   if (d <= 0) t = gen_0;
     650             :   else
     651             :   {
     652             :     ulong r;
     653         378 :     v = udivui_rem(v, K, &r);
     654         378 :     if (r || !Up_ispower(A, K, p, d, L? &t: NULL)) return 0;
     655         273 :     if (L && v) t = mulii(t, powiu(p, v));
     656             :   }
     657         329 :   if (q) *pa = modii(*pa, q);
     658         329 :   if (L) vectrunc_append(L, mkintmod(t, powiu(p, e)));
     659         329 :   return 1;
     660             : }
     661             : long
     662         322 : Zn_ispower(GEN a, GEN q, GEN K, GEN *pt)
     663             : {
     664             :   GEN L, N;
     665             :   pari_sp av;
     666             :   long e, i, l;
     667             :   ulong pp;
     668             :   forprime_t S;
     669             : 
     670         322 :   if (!signe(a))
     671             :   {
     672           7 :     if (pt) {
     673           7 :       GEN t = cgetg(3, t_INTMOD);
     674           7 :       gel(t,1) = icopy(q); gel(t,2) = gen_0; *pt = t;
     675             :     }
     676           7 :     return 1;
     677             :   }
     678             :   /* a != 0 */
     679         315 :   av = avma;
     680             : 
     681         315 :   if (typ(q) != t_INT) /* integer factorization */
     682             :   {
     683           0 :     GEN P = gel(q,1), E = gel(q,2);
     684           0 :     l = lg(P);
     685           0 :     L = pt? vectrunc_init(l): NULL;
     686           0 :     for (i = 1; i < l; i++)
     687             :     {
     688           0 :       GEN p = gel(P,i);
     689           0 :       long e = itos(gel(E,i));
     690           0 :       if (!handle_pe(&a, NULL, L, K, p, e)) { avma = av; return 0; }
     691             :     }
     692           0 :     goto END;
     693             :   }
     694         315 :   if (!mod2(K)
     695         189 :       && kronecker(a, shifti(q,-vali(q))) == -1) { avma = av; return 0; }
     696         308 :   L = pt? vectrunc_init(expi(q)+1): NULL;
     697         308 :   u_forprime_init(&S, 2, tridiv_bound(q));
     698         308 :   while ((pp = u_forprime_next(&S)))
     699             :   {
     700             :     int stop;
     701      883204 :     e = Z_lvalrem_stop(&q, pp, &stop);
     702      883204 :     if (!e) continue;
     703         210 :     if (!handle_pe(&a, q, L, K, utoipos(pp), e)) { avma = av; return 0; }
     704         168 :     if (stop)
     705             :     {
     706         133 :       if (!is_pm1(q) && !handle_pe(&a, q, L, K, q, 1)) { avma = av; return 0; }
     707         133 :       goto END;
     708             :     }
     709             :   }
     710         154 :   l = lg(primetab);
     711         154 :   for (i = 1; i < l; i++)
     712             :   {
     713           0 :     GEN p = gel(primetab,i);
     714           0 :     e = Z_pvalrem(q, p, &q);
     715           0 :     if (!e) continue;
     716           0 :     if (!handle_pe(&a, q, L, K, p, e)) { avma = av; return 0; }
     717           0 :     if (is_pm1(q)) goto END;
     718             :   }
     719         154 :   N = gcdii(a,q);
     720         154 :   if (!is_pm1(N))
     721             :   {
     722         112 :     if (ifac_isprime(N))
     723             :     {
     724          70 :       e = Z_pvalrem(q, N, &q);
     725          70 :       if (!handle_pe(&a, q, L, K, N, e)) { avma = av; return 0; }
     726             :     }
     727             :     else
     728             :     {
     729          42 :       GEN part = ifac_start(N, 0);
     730             :       for(;;)
     731             :       {
     732             :         long e;
     733             :         GEN p;
     734          84 :         if (!ifac_next(&part, &p, &e)) break;
     735          42 :         e = Z_pvalrem(q, p, &q);
     736          42 :         if (!handle_pe(&a, q, L, K, p, e)) { avma = av; return 0; }
     737          42 :       }
     738             :     }
     739             :   }
     740          84 :   if (!is_pm1(q))
     741             :   {
     742          84 :     if (ifac_isprime(q))
     743             :     {
     744          28 :       if (!handle_pe(&a, q, L, K, q, 1)) { avma = av; return 0; }
     745             :     }
     746             :     else
     747             :     {
     748          56 :       GEN part = ifac_start(q, 0);
     749             :       for(;;)
     750             :       {
     751             :         long e;
     752             :         GEN p;
     753         140 :         if (!ifac_next(&part, &p, &e)) break;
     754          98 :         if (!handle_pe(&a, q, L, K, p, e)) { avma = av; return 0; }
     755          84 :       }
     756             :     }
     757             :   }
     758             : END:
     759         203 :   if (pt) *pt = gerepileupto(av, chinese1_coprime_Z(L));
     760         203 :   return 1;
     761             : }
     762             : 
     763             : static long
     764         126 : polmodispower(GEN x, GEN K, GEN *pt)
     765             : {
     766         126 :   pari_sp av = avma;
     767         126 :   GEN p = NULL, T = NULL;
     768         126 :   if (Rg_is_FpXQ(x, &T,&p) && p)
     769             :   {
     770         112 :     x = liftall_shallow(x);
     771         112 :     if (!Fq_ispower(x, K, T, p)) { avma = av; return 0; }
     772         105 :     if (!pt) { avma = av; return 1; }
     773          98 :     x = Fq_sqrtn(x, K, T,p, NULL);
     774          98 :     if (typ(x) == t_INT)
     775           7 :       x = Fp_to_mod(x,p);
     776             :     else
     777          91 :       x = mkpolmod(FpX_to_mod(x,p), FpX_to_mod(T,p));
     778          98 :     *pt = gerepilecopy(av, x); return 1;
     779             :   }
     780          14 :   pari_err_IMPL("ispower for general t_POLMOD");
     781           0 :   return 0;
     782             : }
     783             : 
     784             : long
     785      146027 : issquareall(GEN x, GEN *pt)
     786             : {
     787      146027 :   long tx = typ(x);
     788             :   GEN F;
     789             :   pari_sp av;
     790             : 
     791      146027 :   if (!pt) return issquare(x);
     792        3192 :   switch(tx)
     793             :   {
     794        1365 :     case t_INT: return Z_issquareall(x, pt);
     795         238 :     case t_FRAC: av = avma;
     796         238 :       F = cgetg(3, t_FRAC);
     797         238 :       if (   !Z_issquareall(gel(x,1), &gel(F,1))
     798         105 :           || !Z_issquareall(gel(x,2), &gel(F,2))) { avma = av; return 0; }
     799         105 :       *pt = F; return 1;
     800             : 
     801             :     case t_POLMOD:
     802          21 :       return polmodispower(x, gen_2, pt);
     803        1456 :     case t_POL: return polissquareall(x,pt);
     804           7 :     case t_RFRAC: av = avma;
     805           7 :       F = cgetg(3, t_RFRAC);
     806           7 :       if (   !issquareall(gel(x,1), &gel(F,1))
     807           7 :           || !polissquareall(gel(x,2), &gel(F,2))) { avma = av; return 0; }
     808           7 :       *pt = F; return 1;
     809             : 
     810             :     case t_REAL: case t_COMPLEX: case t_PADIC: case t_SER:
     811           7 :       if (!issquare(x)) return 0;
     812           7 :       *pt = gsqrt(x, DEFAULTPREC); return 1;
     813             : 
     814             :     case t_INTMOD:
     815          63 :       return Zn_ispower(gel(x,2), gel(x,1), gen_2, pt);
     816             : 
     817          35 :     case t_FFELT: return FF_issquareall(x, pt);
     818             : 
     819             :   }
     820           0 :   pari_err_TYPE("issquareall",x);
     821           0 :   return 0; /* not reached */
     822             : }
     823             : 
     824             : long
     825      143052 : issquare(GEN x)
     826             : {
     827             :   pari_sp av;
     828             :   GEN a, p;
     829             :   long i, v;
     830             : 
     831      143052 :   switch(typ(x))
     832             :   {
     833             :     case t_INT:
     834      142716 :       return Z_issquare(x);
     835             : 
     836             :     case t_REAL:
     837          14 :       return (signe(x)>=0);
     838             : 
     839             :     case t_INTMOD:
     840          70 :       return Zn_ispower(gel(x,2), gel(x,1), gen_2, NULL);
     841             : 
     842             :     case t_FRAC:
     843          21 :       return Z_issquare(gel(x,1)) && Z_issquare(gel(x,2));
     844             : 
     845           7 :     case t_FFELT: return FF_issquareall(x, NULL);
     846             : 
     847             :     case t_COMPLEX:
     848           7 :       return 1;
     849             : 
     850             :     case t_PADIC:
     851         105 :       a = gel(x,4); if (!signe(a)) return 1;
     852         105 :       if (valp(x)&1) return 0;
     853          91 :       p = gel(x,2);
     854          91 :       if (!absequaliu(p, 2)) return (kronecker(a,p) != -1);
     855             : 
     856          21 :       v = precp(x); /* here p=2, a is odd */
     857          21 :       if ((v>=3 && mod8(a) != 1 ) ||
     858           0 :           (v==2 && mod4(a) != 1)) return 0;
     859           7 :       return 1;
     860             : 
     861             :     case t_POLMOD:
     862          14 :       return polmodispower(x, gen_2, NULL);
     863             : 
     864             :     case t_POL:
     865          70 :       return polissquareall(x,NULL);
     866             : 
     867             :     case t_SER:
     868          21 :       if (!signe(x)) return 1;
     869          14 :       if (valp(x)&1) return 0;
     870           7 :       return issquare(gel(x,2));
     871             : 
     872             :     case t_RFRAC:
     873           7 :       av = avma; i = issquare(gmul(gel(x,1),gel(x,2)));
     874           7 :       avma = av; return i;
     875             :   }
     876           0 :   pari_err_TYPE("issquare",x);
     877           0 :   return 0; /* not reached */
     878             : }
     879           0 : GEN gissquare(GEN x) { return issquare(x)? gen_1: gen_0; }
     880           0 : GEN gissquareall(GEN x, GEN *pt) { return issquareall(x,pt)? gen_1: gen_0; }
     881             : 
     882             : long
     883        1386 : ispolygonal(GEN x, GEN S, GEN *N)
     884             : {
     885        1386 :   pari_sp av = avma;
     886             :   GEN D, d, n;
     887        1386 :   if (typ(x) != t_INT) pari_err_TYPE("ispolygonal", x);
     888        1386 :   if (typ(S) != t_INT) pari_err_TYPE("ispolygonal", S);
     889        1386 :   if (abscmpiu(S,3) < 0) pari_err_DOMAIN("ispolygonal","s","<", utoipos(3),S);
     890        1386 :   if (signe(x) < 0) return 0;
     891        1386 :   if (signe(x) == 0) { if (N) *N = gen_0; return 1; }
     892        1260 :   if (is_pm1(x)) { if (N) *N = gen_1; return 1; }
     893             :   /* n = (sqrt( (8s - 16) x + (s-4)^2 ) + s - 4) / 2(s - 2) */
     894        1134 :   if (abscmpiu(S, 1<<16) < 0) /* common case ! */
     895             :   {
     896         441 :     ulong s = S[2], r;
     897         504 :     if (s == 4) return Z_issquareall(x, N);
     898         378 :     if (s == 3)
     899           0 :       D = addiu(shifti(x, 3), 1);
     900             :     else
     901         378 :       D = addiu(mului(8*s - 16, x), (s-4)*(s-4));
     902         378 :     if (!Z_issquareall(D, &d)) { avma = av; return 0; }
     903         378 :     if (s == 3)
     904           0 :       d = subiu(d, 1);
     905             :     else
     906         378 :       d = addiu(d, s - 4);
     907         378 :     n = diviu_rem(d, 2*s - 4, &r);
     908         378 :     if (r) { avma = av; return 0; }
     909             :   }
     910             :   else
     911             :   {
     912         693 :     GEN r, S_2 = subiu(S,2), S_4 = subiu(S,4);
     913         693 :     D = addii(mulii(shifti(S_2,3), x), sqri(S_4));
     914         693 :     if (!Z_issquareall(D, &d)) { avma = av; return 0; }
     915         693 :     d = addii(d, S_4);
     916         693 :     n = dvmdii(shifti(d,-1), S_2, &r);
     917         693 :     if (r != gen_0) { avma = av; return 0; }
     918             :   }
     919        1071 :   if (N) *N = gerepileuptoint(av, n); else avma = av;
     920        1071 :   return 1;
     921             : }
     922             : 
     923             : /*********************************************************************/
     924             : /**                                                                 **/
     925             : /**                        PERFECT POWER                            **/
     926             : /**                                                                 **/
     927             : /*********************************************************************/
     928             : static long
     929         497 : polispower(GEN x, GEN K, GEN *pt)
     930             : {
     931             :   pari_sp av;
     932         497 :   long v, d, k = itos(K);
     933             :   GEN y, a, b;
     934             : 
     935         497 :   if (!signe(x))
     936             :   {
     937           7 :     if (pt) *pt = gcopy(x);
     938           7 :     return 1;
     939             :   }
     940         490 :   if (degpol(x) % k) return 0; /* degree not multiple of k */
     941         483 :   av = avma;
     942         483 :   y = NULL; /*-Wall*/
     943         483 :   v = RgX_valrem(x, &x);
     944         483 :   if (v % k) return 0;
     945         476 :   v /= k;
     946         476 :   a = gel(x,2); b = NULL;
     947         476 :   if (!ispower(a, K, &b)) { avma = av; return 0; }
     948         462 :   d = degpol(x);
     949         462 :   if (d)
     950             :   {
     951         322 :     GEN p = characteristic(x);
     952         322 :     a = leading_coeff(x);
     953         350 :     if (!ispower(a, K, &b)) { avma = av; return 0; }
     954         322 :     x = RgX_normalize(x);
     955         322 :     if (signe(p))
     956             :     {
     957         168 :       GEN T0, T = NULL;
     958         168 :       if (!BPSW_isprime(p))
     959           0 :         pari_err_IMPL("ispower in non-prime characteristic");
     960         168 :       if (RgX_is_FpXQX(x,&T,&p))
     961             :       { /* over Fq */
     962         168 :         T0 = T;
     963         168 :         if (T && typ(T) == t_FFELT) T = FF_mod(T);
     964         168 :         x = RgX_to_FqX(x,T,p);
     965         168 :         if (!FqX_ispower(x, k, T,p, pt)) { avma = av; return 0; }
     966         140 :         if (pt)
     967             :         {
     968         140 :           y = *pt;
     969         140 :           if (!T) y = FpX_to_mod(y, p);
     970         105 :           else if (typ(T0) == t_FFELT)
     971          70 :             y = FqX_to_FFX(y, T0);
     972             :           else
     973             :           {
     974          35 :             T = FpX_to_mod(T, p);
     975          35 :             y = gmul(y, gmodulsg(1,T));
     976             :           }
     977             :         }
     978         140 :         goto END;
     979             :       }
     980           0 :       if (cmpii(p,K) <= 0)
     981           0 :         pari_err_IMPL("ispower(general t_POL) in small characteristic");
     982             :     }
     983         154 :     y = gtrunc(gsqrtn(RgX_to_ser(x,lg(x)), K, NULL, 0));
     984         154 :     if (!RgX_equal(powgi(y, K), x)) { avma = av; return 0; }
     985             :   }
     986             :   else
     987         140 :     y = pol_1(varn(x));
     988             : END:
     989         434 :   if (pt)
     990             :   {
     991         434 :     if (!gequal1(a))
     992             :     {
     993          14 :       if (!b) b = gsqrtn(a, K, NULL, DEFAULTPREC);
     994          14 :       y = gmul(b,y);
     995             :     }
     996         434 :     if (v) y = RgX_shift_shallow(y, v);
     997         434 :     *pt = gerepilecopy(av, y);
     998             :   }
     999           0 :   else avma = av;
    1000         434 :   return 1;
    1001             : }
    1002             : 
    1003             : long
    1004        1512 : Z_ispowerall(GEN x, ulong k, GEN *pt)
    1005             : {
    1006        1512 :   long s = signe(x);
    1007             :   ulong mask;
    1008        1512 :   if (!s) { if (pt) *pt = gen_0; return 1; }
    1009        1512 :   if (s > 0) {
    1010        1358 :     if (k == 2) return Z_issquareall(x, pt);
    1011         987 :     if (k == 3) { mask = 1; return !!is_357_power(x, pt, &mask); }
    1012         217 :     if (k == 5) { mask = 2; return !!is_357_power(x, pt, &mask); }
    1013         203 :     if (k == 7) { mask = 4; return !!is_357_power(x, pt, &mask); }
    1014         196 :     return is_kth_power(x, k, pt);
    1015             :   }
    1016         154 :   if (!odd(k)) return 0;
    1017         140 :   if (Z_ispowerall(absi(x), k, pt))
    1018             :   {
    1019         140 :     if (pt) *pt = negi(*pt);
    1020         140 :     return 1;
    1021             :   };
    1022           0 :   return 0;
    1023             : }
    1024             : 
    1025             : /* is x a K-th power mod p ? Assume p prime. */
    1026             : int
    1027         210 : Fp_ispower(GEN x, GEN K, GEN p)
    1028             : {
    1029         210 :   pari_sp av = avma;
    1030             :   GEN p_1;
    1031             :   long r;
    1032         210 :   x = modii(x, p);
    1033         210 :   if (!signe(x) || equali1(x)) { avma = av; return 1; }
    1034             :   /* implies p > 2 */
    1035          91 :   p_1 = subiu(p,1);
    1036          91 :   K = gcdii(K, p_1);
    1037          91 :   if (absequaliu(K, 2)) { r = kronecker(x,p); avma = av; return (r > 0); }
    1038          35 :   x = Fp_pow(x, diviiexact(p_1,K), p);
    1039          35 :   avma = av; return equali1(x);
    1040             : }
    1041             : 
    1042             : /* x unit defined modulo 2^e, e > 0, p prime */
    1043             : static int
    1044        2373 : U2_issquare(GEN x, long e)
    1045             : {
    1046        2373 :   long r = signe(x)>=0?mod8(x):8-mod8(x);
    1047        2373 :   if (e==1) return 1;
    1048        2373 :   if (e==2) return (r&3L) == 1;
    1049        2009 :   return r == 1;
    1050             : }
    1051             : /* x unit defined modulo p^e, e > 0, p prime */
    1052             : static int
    1053        4690 : Up_issquare(GEN x, GEN p, long e)
    1054        4690 : { return (absequaliu(p,2))? U2_issquare(x, e): kronecker(x,p)==1; }
    1055             : 
    1056             : long
    1057        2548 : Zn_issquare(GEN d, GEN fn)
    1058             : {
    1059             :   long j, np;
    1060        2548 :   if (typ(d) != t_INT) pari_err_TYPE("Zn_issquare",d);
    1061        2548 :   if (typ(fn) == t_INT) return Zn_ispower(d, fn, gen_2, NULL);
    1062             :   /* integer factorization */
    1063        2548 :   np = nbrows(fn);
    1064        5320 :   for (j = 1; j <= np; ++j)
    1065             :   {
    1066        4970 :     GEN  r, p = gcoeff(fn, j, 1);
    1067        4970 :     long e = itos(gcoeff(fn, j, 2));
    1068        4970 :     long v = Z_pvalrem(d,p,&r);
    1069        4970 :     if (v < e && (odd(v) || !Up_issquare(r, p, e-v))) return 0;
    1070             :   }
    1071         350 :   return 1;
    1072             : }
    1073             : 
    1074             : static long
    1075        1113 : Qp_ispower(GEN x, GEN K, GEN *pt)
    1076             : {
    1077        1113 :   pari_sp av = avma;
    1078        1113 :   GEN z = Qp_sqrtn(x, K, NULL);
    1079        1113 :   if (!z) { avma = av; return 0; }
    1080         819 :   if (pt) *pt = z;
    1081         819 :   return 1;
    1082             : }
    1083             : 
    1084             : long
    1085     7002961 : ispower(GEN x, GEN K, GEN *pt)
    1086             : {
    1087             :   GEN z;
    1088             : 
    1089     7002961 :   if (!K) return gisanypower(x, pt);
    1090        2800 :   if (typ(K) != t_INT) pari_err_TYPE("ispower",K);
    1091        2800 :   if (signe(K) <= 0) pari_err_DOMAIN("ispower","exponent","<=",gen_0,K);
    1092        2800 :   if (equali1(K)) { if (pt) *pt = gcopy(x); return 1; }
    1093        2772 :   switch(typ(x)) {
    1094             :     case t_INT:
    1095         728 :       return Z_ispowerall(x, itou(K), pt);
    1096             :     case t_FRAC:
    1097             :     {
    1098          21 :       GEN a = gel(x,1), b = gel(x,2);
    1099          21 :       ulong k = itou(K);
    1100          21 :       if (pt) {
    1101          14 :         z = cgetg(3, t_FRAC);
    1102          14 :         if (Z_ispowerall(a, k, &a) && Z_ispowerall(b, k, &b)) {
    1103          14 :           *pt = z; gel(z,1) = a; gel(z,2) = b; return 1;
    1104             :         }
    1105           0 :         avma = (pari_sp)(z + 3); return 0;
    1106             :       }
    1107           7 :       return Z_ispower(a, k) && Z_ispower(b, k);
    1108             :     }
    1109             :     case t_INTMOD:
    1110         189 :       return Zn_ispower(gel(x,2), gel(x,1), K, pt);
    1111             :     case t_FFELT:
    1112         112 :       return FF_ispower(x, K, pt);
    1113             : 
    1114             :     case t_PADIC:
    1115        1113 :       return Qp_ispower(x, K, pt);
    1116             :     case t_POLMOD:
    1117          91 :       return polmodispower(x, K, pt);
    1118             :     case t_POL:
    1119         490 :       return polispower(x, K, pt);
    1120             :     case t_RFRAC: {
    1121           7 :       GEN a = gel(x,1), b = gel(x,2);
    1122           7 :       if (pt) {
    1123           7 :         z = cgetg(3, t_RFRAC);
    1124           7 :         if (ispower(a, K, &a) && polispower(b, K, &b)) {
    1125           7 :           *pt = z; gel(z,1) = a; gel(z,2) = b; return 1;
    1126             :         }
    1127           0 :         avma = (pari_sp)(z + 3); return 0;
    1128             :       }
    1129           0 :       return (ispower(a, K, NULL) && polispower(b, K, NULL));
    1130             :     }
    1131             :     case t_REAL:
    1132           7 :       if (signe(x) < 0 && !mpodd(K)) return 0;
    1133             :     case t_COMPLEX:
    1134          14 :       if (pt) *pt = gsqrtn(x, K, NULL, DEFAULTPREC);
    1135          14 :       return 1;
    1136             : 
    1137             :     case t_SER:
    1138           7 :       if (signe(x) && (!dvdsi(valp(x), K) || !ispower(gel(x,2), K, NULL)))
    1139           0 :         return 0;
    1140           7 :       if (pt) *pt = gsqrtn(x, K, NULL, DEFAULTPREC);
    1141           7 :       return 1;
    1142             :   }
    1143           0 :   pari_err_TYPE("ispower",x);
    1144           0 :   return 0; /* not reached */
    1145             : }
    1146             : 
    1147             : long
    1148     7000161 : gisanypower(GEN x, GEN *pty)
    1149             : {
    1150     7000161 :   long tx = typ(x);
    1151             :   ulong k, h;
    1152     7000161 :   if (tx == t_INT) return Z_isanypower(x, pty);
    1153          14 :   if (tx == t_FRAC)
    1154             :   {
    1155          14 :     pari_sp av = avma;
    1156          14 :     GEN fa, P, E, a = gel(x,1), b = gel(x,2);
    1157             :     long i, j, p, e;
    1158          14 :     int sw = (abscmpii(a, b) > 0);
    1159             : 
    1160          14 :     if (sw) swap(a, b);
    1161          14 :     k = Z_isanypower(a, pty? &a: NULL);
    1162          14 :     if (!k)
    1163             :     { /* a = -1,1 or not a pure power */
    1164           7 :       if (!is_pm1(a)) { avma = av; return 0; }
    1165           7 :       if (signe(a) < 0) b = negi(b);
    1166           7 :       k = Z_isanypower(b, pty? &b: NULL);
    1167           7 :       if (!k || !pty) { avma = av; return k; }
    1168           7 :       *pty = gerepileupto(av, ginv(b));
    1169           7 :       return k;
    1170             :     }
    1171           7 :     fa = factoru(k);
    1172           7 :     P = gel(fa,1);
    1173           7 :     E = gel(fa,2); h = k;
    1174          14 :     for (i = lg(P) - 1; i > 0; i--)
    1175             :     {
    1176           7 :       p = P[i];
    1177           7 :       e = E[i];
    1178          21 :       for (j = 0; j < e; j++)
    1179          14 :         if (!is_kth_power(b, p, &b)) break;
    1180           7 :       if (j < e) k /= upowuu(p, e - j);
    1181             :     }
    1182           7 :     if (k == 1) { avma = av; return 0; }
    1183           7 :     if (!pty) { avma = av; return k; }
    1184           0 :     if (k != h) a = powiu(a, h/k);
    1185           0 :     *pty = gerepilecopy(av, mkfrac(a, b));
    1186           0 :     return k;
    1187             :   }
    1188           0 :   pari_err_TYPE("gisanypower", x);
    1189           0 :   return 0; /* not reached */
    1190             : }
    1191             : 
    1192             : /* v_p(x) = e != 0 for some p; return ispower(x,,&x), updating x.
    1193             :  * No need to optimize for 2,3,5,7 powers (done before) */
    1194             : static long
    1195      505729 : split_exponent(ulong e, GEN *x)
    1196             : {
    1197             :   GEN fa, P, E;
    1198      505729 :   long i, j, l, k = 1;
    1199      505729 :   if (e == 1) return 1;
    1200          14 :   fa = factoru(e);
    1201          14 :   P = gel(fa,1);
    1202          14 :   E = gel(fa,2); l = lg(P);
    1203          28 :   for (i = 1; i < l; i++)
    1204             :   {
    1205          14 :     ulong p = P[i];
    1206          28 :     for (j = 0; j < E[i]; j++)
    1207             :     {
    1208             :       GEN y;
    1209          14 :       if (!is_kth_power(*x, p, &y)) break;
    1210          14 :       k *= p; *x = y;
    1211             :     }
    1212             :   }
    1213          14 :   return k;
    1214             : }
    1215             : 
    1216             : static long
    1217      864316 : Z_isanypower_nosmalldiv(GEN *px)
    1218             : { /* any prime divisor of x is > 102 */
    1219      864316 :   const double LOG2_103 = 6.6865; /* lower bound for log_2(103) */
    1220      864316 :   const double LOG103 = 4.6347; /* lower bound for log(103) */
    1221             :   forprime_t T;
    1222      864316 :   ulong mask = 7, e2;
    1223             :   long k, ex;
    1224      864316 :   GEN y, x = *px;
    1225             : 
    1226      864316 :   k = 1;
    1227      864316 :   while (Z_issquareall(x, &y)) { k <<= 1; x = y; }
    1228      864316 :   while ( (ex = is_357_power(x, &y, &mask)) ) { k *= ex; x = y; }
    1229      864316 :   e2 = (ulong)((expi(x) + 1) / LOG2_103); /* >= log_103 (x) */
    1230      864316 :   if (u_forprime_init(&T, 11, e2))
    1231             :   {
    1232       16814 :     GEN logx = NULL;
    1233       16814 :     const ulong Q = 30011; /* prime */
    1234             :     ulong p, xmodQ;
    1235       16814 :     double dlogx = 0;
    1236             :     /* cut off at x^(1/p) ~ 2^30 bits which seems to be about optimum;
    1237             :      * for large p the modular checks are no longer competitively fast */
    1238       33649 :     while ( (ex = is_pth_power(x, &y, &T, 30)) )
    1239             :     {
    1240          21 :       k *= ex; x = y;
    1241          21 :       e2 = (ulong)((expi(x) + 1) / LOG2_103);
    1242          21 :       u_forprime_restrict(&T, e2);
    1243             :     }
    1244       16814 :     if (DEBUGLEVEL>4) err_printf("Z_isanypower: now k=%ld, x=%ld-bit\n", k, expi(x));
    1245       16814 :     xmodQ = umodiu(x, Q);
    1246             :     /* test Q | x, just in case */
    1247       16814 :     if (!xmodQ) { *px = x; return k * split_exponent(Z_lval(x,Q), px); }
    1248             :     /* x^(1/p) < 2^31 */
    1249       16800 :     p = T.p;
    1250       16800 :     if (p <= e2)
    1251             :     {
    1252       16786 :       logx = logr_abs( itor(x, DEFAULTPREC) );
    1253       16786 :       dlogx = rtodbl(logx);
    1254       16786 :       e2 = (ulong)(dlogx / LOG103); /* >= log_103(x) */
    1255             :     }
    1256      151480 :     while (p && p <= e2)
    1257             :     { /* is x a p-th power ? By computing y = round(x^(1/p)).
    1258             :        * Check whether y^p = x, first mod Q, then exactly. */
    1259      117880 :       pari_sp av = avma;
    1260             :       long e;
    1261      117880 :       GEN logy = divru(logx, p), y = grndtoi(mpexp(logy), &e);
    1262      117880 :       ulong ymodQ = umodiu(y,Q);
    1263      117880 :       if (e >= -10 || Fl_powu(ymodQ, p % (Q-1), Q) != xmodQ
    1264          21 :                    || !equalii(powiu(y, p), x)) avma = av;
    1265             :       else
    1266             :       {
    1267          21 :         k *= p; x = y; xmodQ = ymodQ; logx = logy; dlogx /= p;
    1268          21 :         e2 = (ulong)(dlogx / LOG103); /* >= log_103(x) */
    1269          21 :         u_forprime_restrict(&T, e2);
    1270          21 :         continue; /* if success, retry same p */
    1271             :       }
    1272      117859 :       p = u_forprime_next(&T);
    1273             :     }
    1274             :   }
    1275      864302 :   *px = x; return k;
    1276             : }
    1277             : 
    1278             : static ulong tinyprimes[] = {
    1279             :   2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71,
    1280             :   73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151,
    1281             :   157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199
    1282             : };
    1283             : 
    1284             : /* disregard the sign of x, caller will take care of x < 0 */
    1285             : static long
    1286     7000630 : Z_isanypower_aux(GEN x, GEN *pty)
    1287             : {
    1288             :   long ex, v, i, l, k;
    1289             :   GEN y, P, E;
    1290     7000630 :   ulong mask, e = 0;
    1291             : 
    1292     7000630 :   if (abscmpii(x, gen_2) < 0) return 0; /* -1,0,1 */
    1293             : 
    1294     7000616 :   if (signe(x) < 0) x = negi(x);
    1295     7000616 :   k = l = 1;
    1296     7000616 :   P = cgetg(26 + 1, t_VECSMALL);
    1297     7000616 :   E = cgetg(26 + 1, t_VECSMALL);
    1298             :   /* trial division */
    1299   122926272 :   for(i = 0; i < 26; i++)
    1300             :   {
    1301    60128943 :     ulong p = tinyprimes[i];
    1302             :     int stop;
    1303    60128943 :     v = Z_lvalrem_stop(&x, p, &stop);
    1304    60128943 :     if (v)
    1305             :     {
    1306     7922439 :       P[l] = p;
    1307     7922439 :       E[l] = v; l++;
    1308    13588862 :       e = ugcd(e, v); if (e == 1) goto END;
    1309             :     }
    1310    54710628 :     if (stop) {
    1311      248108 :       if (is_pm1(x)) k = e;
    1312      248108 :       goto END;
    1313             :     }
    1314             :   }
    1315             : 
    1316     1334193 :   if (e)
    1317             :   { /* Bingo. Result divides e */
    1318             :     long v3, v5, v7;
    1319      505715 :     ulong e2 = e;
    1320      505715 :     v = u_lvalrem(e2, 2, &e2);
    1321      505715 :     if (v)
    1322             :     {
    1323      375277 :       for (i = 0; i < v; i++)
    1324             :       {
    1325      374185 :         if (!Z_issquareall(x, &y)) break;
    1326        1302 :         k <<= 1; x = y;
    1327             :       }
    1328             :     }
    1329      505715 :     mask = 0;
    1330      505715 :     v3 = u_lvalrem(e2, 3, &e2); if (v3) mask = 1;
    1331      505715 :     v5 = u_lvalrem(e2, 5, &e2); if (v5) mask |= 2;
    1332      505715 :     v7 = u_lvalrem(e2, 7, &e2); if (v7) mask |= 4;
    1333     1011507 :     while ( (ex = is_357_power(x, &y, &mask)) ) {
    1334          77 :       x = y;
    1335          77 :       switch(ex)
    1336             :       {
    1337          28 :         case 3: k *= 3; if (--v3 == 0) mask &= ~1; break;
    1338          28 :         case 5: k *= 5; if (--v5 == 0) mask &= ~2; break;
    1339          21 :         case 7: k *= 7; if (--v7 == 0) mask &= ~4; break;
    1340             :       }
    1341             :     }
    1342      505715 :     k *= split_exponent(e2, &x);
    1343             :   }
    1344             :   else
    1345      828478 :     k = Z_isanypower_nosmalldiv(&x);
    1346             : END:
    1347     7000616 :   if (pty && k != 1)
    1348             :   {
    1349        7959 :     if (e)
    1350             :     { /* add missing small factors */
    1351        6881 :       y = powuu(P[1], E[1] / k);
    1352        6881 :       for (i = 2; i < l; i++) y = mulii(y, powuu(P[i], E[i] / k));
    1353        6881 :       x = equali1(x)? y: mulii(x,y);
    1354             :     }
    1355        7959 :     *pty = x;
    1356             :   }
    1357     7000616 :   return k == 1? 0: k;
    1358             : }
    1359             : 
    1360             : long
    1361     7000630 : Z_isanypower(GEN x, GEN *pty)
    1362             : {
    1363     7000630 :   pari_sp av = avma;
    1364     7000630 :   long k = Z_isanypower_aux(x, pty);
    1365     7000630 :   if (!k) { avma = av; return 0; }
    1366        8001 :   if (signe(x) < 0)
    1367             :   {
    1368          42 :     long v = vals(k);
    1369          42 :     if (v)
    1370             :     {
    1371             :       GEN y;
    1372          28 :       k >>= v;
    1373          28 :       if (k == 1) { avma = av; return 0; }
    1374          21 :       if (!pty) { avma = av; return k; }
    1375          14 :       y = *pty;
    1376          14 :       y = powiu(y, 1<<v);
    1377          14 :       togglesign(y);
    1378          14 :       *pty = gerepileuptoint(av, y);
    1379          14 :       return k;
    1380             :     }
    1381          14 :     if (pty) togglesign_safe(pty);
    1382             :   }
    1383        7973 :   if (pty) *pty = gerepilecopy(av, *pty); else avma = av;
    1384        7973 :   return k;
    1385             : }
    1386             : 
    1387             : /* Faster than */
    1388             : /*   !cmpii(n, int2n(vali(n))) */
    1389             : /*   !cmpis(shifti(n, -vali(n)), 1) */
    1390             : /*   expi(n) == vali(n) */
    1391             : /*   hamming(n) == 1 */
    1392             : /* even for single-word values, and much faster for multiword values. */
    1393             : /* If all you have is a word, you can just use n & !(n & (n-1)). */
    1394             : long
    1395       30830 : Z_ispow2(GEN n)
    1396             : {
    1397             :   GEN xp;
    1398             :   long i, lx;
    1399             :   ulong u;
    1400       30830 :   if (signe(n) != 1) return 0;
    1401       30823 :   xp = int_LSW(n);
    1402       30823 :   lx = lgefint(n);
    1403       30823 :   u = *xp;
    1404       30855 :   for (i = 3; i < lx; ++i)
    1405             :   {
    1406       28372 :     if (u) return 0;
    1407          32 :     xp = int_nextW(xp);
    1408          32 :     u = *xp;
    1409             :   }
    1410        2483 :   return !(u & (u-1)); /* faster than hamming_word(u) == 1 */
    1411             : }
    1412             : 
    1413             : static long
    1414      841632 : isprimepower_i(GEN n, GEN *pt, long flag)
    1415             : {
    1416      841632 :   pari_sp av = avma;
    1417             :   long i, v;
    1418             : 
    1419      841632 :   if (typ(n) != t_INT) pari_err_TYPE("isprimepower", n);
    1420      841632 :   if (signe(n) <= 0) return 0;
    1421             : 
    1422      841632 :   if (lgefint(n) == 3)
    1423             :   {
    1424             :     ulong p;
    1425      541061 :     v = uisprimepower(n[2], &p);
    1426      541061 :     if (v)
    1427             :     {
    1428       54849 :       if (pt) *pt = utoipos(p);
    1429       54849 :       return v;
    1430             :     }
    1431      486212 :     return 0;
    1432             :   }
    1433     1662031 :   for (i = 0; i < 26; i++)
    1434             :   {
    1435     1626193 :     ulong p = tinyprimes[i];
    1436     1626193 :     v = Z_lvalrem(n, p, &n);
    1437     1626193 :     if (v)
    1438             :     {
    1439      264733 :       avma = av;
    1440      264733 :       if (!is_pm1(n)) return 0;
    1441         337 :       if (pt) *pt = utoipos(p);
    1442         338 :       return v;
    1443             :     }
    1444             :   }
    1445             :   /* p | n => p >= 103 */
    1446       35838 :   v = Z_isanypower_nosmalldiv(&n); /* expensive */
    1447       35838 :   if (!(flag? isprime(n): BPSW_psp(n))) { avma = av; return 0; }
    1448        5526 :   if (pt) *pt = gerepilecopy(av, n); else avma = av;
    1449        5526 :   return v;
    1450             : }
    1451             : long
    1452      840098 : isprimepower(GEN n, GEN *pt) { return isprimepower_i(n,pt,1); }
    1453             : long
    1454        1534 : ispseudoprimepower(GEN n, GEN *pt) { return isprimepower_i(n,pt,0); }
    1455             : 
    1456             : long
    1457      541670 : uisprimepower(ulong n, ulong *pp)
    1458             : { /* We must have CUTOFF^11 >= ULONG_MAX and CUTOFF^3 < ULONG_MAX.
    1459             :    * Tests suggest that 200-300 is the best range for 64-bit platforms. */
    1460      541670 :   const ulong CUTOFF = 200UL;
    1461      541670 :   const long TINYCUTOFF = 46;  /* tinyprimes[45] = 199 */
    1462      541670 :   const ulong CUTOFF3 = CUTOFF*CUTOFF*CUTOFF;
    1463             : #ifdef LONG_IS_64BIT
    1464             :   /* primes preceeding the appropriate root of ULONG_MAX. */
    1465      481440 :   const ulong ROOT9 = 137;
    1466      481440 :   const ulong ROOT8 = 251;
    1467      481440 :   const ulong ROOT7 = 563;
    1468      481440 :   const ulong ROOT5 = 7129;
    1469      481440 :   const ulong ROOT4 = 65521;
    1470             : #else
    1471       60230 :   const ulong ROOT9 = 11;
    1472       60230 :   const ulong ROOT8 = 13;
    1473       60230 :   const ulong ROOT7 = 23;
    1474       60230 :   const ulong ROOT5 = 83;
    1475       60230 :   const ulong ROOT4 = 251;
    1476             : #endif
    1477             :   ulong mask;
    1478             :   long v, i;
    1479             :   int e;
    1480      541670 :   if (n < 2) return 0;
    1481      541656 :   if (!odd(n)) {
    1482      270683 :     if (n & (n-1)) return 0;
    1483         886 :     *pp = 2; return vals(n);
    1484             :   }
    1485      270973 :   if (n < 8) { *pp = n; return 1; } /* 3,5,7 */
    1486     3653596 :   for (i = 1/*skip p=2*/; i < TINYCUTOFF; i++)
    1487             :   {
    1488     3594527 :     ulong p = tinyprimes[i];
    1489     3594527 :     if (n % p == 0)
    1490             :     {
    1491      211519 :       v = u_lvalrem(n, p, &n);
    1492      211519 :       if (n == 1) { *pp = p; return v; }
    1493      209438 :       return 0;
    1494             :     }
    1495             :   }
    1496             :   /* p | n => p >= CUTOFF */
    1497             : 
    1498       59069 :   if (n < CUTOFF3)
    1499             :   {
    1500       46354 :     if (n < CUTOFF*CUTOFF || uisprime_101(n)) { *pp = n; return 1; }
    1501           0 :     if (uissquareall(n, &n)) { *pp = n; return 2; }
    1502           0 :     return 0;
    1503             :   }
    1504             : 
    1505             :   /* Check for squares, fourth powers, and eighth powers as appropriate. */
    1506       12715 :   v = 1;
    1507       12715 :   if (uissquareall(n, &n)) {
    1508           0 :     v <<= 1;
    1509           0 :     if (CUTOFF <= ROOT4 && uissquareall(n, &n)) {
    1510           0 :       v <<= 1;
    1511           0 :       if (CUTOFF <= ROOT8 && uissquareall(n, &n)) v <<= 1;
    1512             :     }
    1513             :   }
    1514             : 
    1515       12715 :   if (CUTOFF > ROOT5) mask = 1;
    1516             :   else
    1517             :   {
    1518       12714 :     const ulong CUTOFF5 = CUTOFF3*CUTOFF*CUTOFF;
    1519       12714 :     if (n < CUTOFF5) mask = 1; else mask = 3;
    1520       12714 :     if (CUTOFF <= ROOT7)
    1521             :     {
    1522       12714 :       const ulong CUTOFF7 = CUTOFF5*CUTOFF*CUTOFF;
    1523       12714 :       if (n >= CUTOFF7) mask = 7;
    1524             :     }
    1525             :   }
    1526             : 
    1527       12715 :   if (CUTOFF <= ROOT9 && (e = uis_357_power(n, &n, &mask))) { v *= e; mask=1; }
    1528       12715 :   if ((e = uis_357_power(n, &n, &mask))) v *= e;
    1529             : 
    1530       12715 :   if (uisprime_101(n)) { *pp = n; return v; }
    1531        6984 :   return 0;
    1532             : }
    1533             : 
    1534             : /*********************************************************************/
    1535             : /**                                                                 **/
    1536             : /**                        KRONECKER SYMBOL                         **/
    1537             : /**                                                                 **/
    1538             : /*********************************************************************/
    1539             : /* t = 3,5 mod 8 ?  (= 2 not a square mod t) */
    1540             : static int
    1541   540066587 : ome(long t)
    1542             : {
    1543   540066587 :   switch(t & 7)
    1544             :   {
    1545             :     case 3:
    1546   310728379 :     case 5: return 1;
    1547   229338208 :     default: return 0;
    1548             :   }
    1549             : }
    1550             : /* t a t_INT, is t = 3,5 mod 8 ? */
    1551             : static int
    1552     4412355 : gome(GEN t)
    1553     4412355 : { return signe(t)? ome( mod2BIL(t) ): 0; }
    1554             : 
    1555             : /* assume y odd, return kronecker(x,y) * s */
    1556             : static long
    1557   408086503 : krouu_s(ulong x, ulong y, long s)
    1558             : {
    1559   408086503 :   ulong x1 = x, y1 = y, z;
    1560  2198373546 :   while (x1)
    1561             :   {
    1562  1382285929 :     long r = vals(x1);
    1563  1382366794 :     if (r)
    1564             :     {
    1565   755691962 :       if (odd(r) && ome(y1)) s = -s;
    1566   755525708 :       x1 >>= r;
    1567             :     }
    1568  1382200540 :     if (x1 & y1 & 2) s = -s;
    1569  1382200540 :     z = y1 % x1; y1 = x1; x1 = z;
    1570             :   }
    1571   408001114 :   return (y1 == 1)? s: 0;
    1572             : }
    1573             : 
    1574             : long
    1575     5054527 : kronecker(GEN x, GEN y)
    1576             : {
    1577     5054527 :   pari_sp av = avma;
    1578     5054527 :   long s = 1, r;
    1579             :   ulong xu, yu;
    1580             : 
    1581     5054527 :   if (typ(x) != t_INT) pari_err_TYPE("kronecker",x);
    1582     5054527 :   if (typ(y) != t_INT) pari_err_TYPE("kronecker",y);
    1583     5054527 :   switch (signe(y))
    1584             :   {
    1585           0 :     case -1: y = negi(y); if (signe(x) < 0) s = -1; break;
    1586           0 :     case 0: return is_pm1(x);
    1587             :   }
    1588     5054527 :   r = vali(y);
    1589     5054527 :   if (r)
    1590             :   {
    1591       10403 :     if (!mpodd(x)) { avma = av; return 0; }
    1592       10200 :     if (odd(r) && gome(x)) s = -s;
    1593       10200 :     y = shifti(y,-r);
    1594             :   }
    1595     5054324 :   x = modii(x,y);
    1596    10184086 :   while (lgefint(x) > 3) /* x < y */
    1597             :   {
    1598             :     GEN z;
    1599       75438 :     r = vali(x);
    1600       75438 :     if (r)
    1601             :     {
    1602       41330 :       if (odd(r) && gome(y)) s = -s;
    1603       41330 :       x = shifti(x,-r);
    1604             :     }
    1605             :     /* x=3 mod 4 && y=3 mod 4 ? (both are odd here) */
    1606       75438 :     if (mod2BIL(x) & mod2BIL(y) & 2) s = -s;
    1607       75438 :     z = remii(y,x); y = x; x = z;
    1608       75438 :     if (gc_needed(av,2))
    1609             :     {
    1610           0 :       if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"kronecker");
    1611           0 :       gerepileall(av, 2, &x, &y);
    1612             :     }
    1613             :   }
    1614     5054324 :   xu = itou(x);
    1615     5054324 :   if (!xu) return is_pm1(y)? s: 0;
    1616     5033659 :   r = vals(xu);
    1617     5033659 :   if (r)
    1618             :   {
    1619     3492996 :     if (odd(r) && gome(y)) s = -s;
    1620     3492996 :     xu >>= r;
    1621             :   }
    1622             :   /* x=3 mod 4 && y=3 mod 4 ? (both are odd here) */
    1623     5033659 :   if (xu & mod2BIL(y) & 2) s = -s;
    1624     5033659 :   yu = umodiu(y, xu);
    1625     5033659 :   avma = av; return krouu_s(yu, xu, s);
    1626             : }
    1627             : 
    1628             : long
    1629       27699 : krois(GEN x, long y)
    1630             : {
    1631             :   ulong yu;
    1632       27699 :   long s = 1;
    1633             : 
    1634       27699 :   if (y <= 0)
    1635             :   {
    1636           0 :     if (y == 0) return is_pm1(x);
    1637           0 :     yu = (ulong)-y; if (signe(x) < 0) s = -1;
    1638             :   }
    1639             :   else
    1640       27699 :     yu = (ulong)y;
    1641       27699 :   if (!odd(yu))
    1642             :   {
    1643             :     long r;
    1644       13335 :     if (!mpodd(x)) return 0;
    1645        9961 :     r = vals(yu); yu >>= r;
    1646        9961 :     if (odd(r) && gome(x)) s = -s;
    1647             :   }
    1648       24325 :   return krouu_s(umodiu(x, yu), yu, s);
    1649             : }
    1650             : /* assume y != 0 */
    1651             : long
    1652   283954419 : kroiu(GEN x, ulong y)
    1653             : {
    1654             :   long r;
    1655   283954419 :   if (odd(y)) return krouu_s(umodiu(x,y), y, 1);
    1656     1800022 :   if (!mpodd(x)) return 0;
    1657     1764042 :   r = vals(y); y >>= r;
    1658     1764042 :   return krouu_s(umodiu(x,y), y, (odd(r) && gome(x))? -1: 1);
    1659             : }
    1660             : 
    1661             : /* assume y > 0, odd, return s * kronecker(x,y) */
    1662             : static long
    1663       31309 : krouodd(ulong x, GEN y, long s)
    1664             : {
    1665             :   long r;
    1666       31309 :   if (lgefint(y) == 3) return krouu_s(x, y[2], s);
    1667       13046 :   if (!x) return 0; /* y != 1 */
    1668       13046 :   r = vals(x);
    1669       13046 :   if (r)
    1670             :   {
    1671        8429 :     if (odd(r) && gome(y)) s = -s;
    1672        8429 :     x >>= r;
    1673             :   }
    1674             :   /* x=3 mod 4 && y=3 mod 4 ? (both are odd here) */
    1675       13046 :   if (x & mod2BIL(y) & 2) s = -s;
    1676       13046 :   return krouu_s(umodiu(y,x), x, s);
    1677             : }
    1678             : 
    1679             : long
    1680       31197 : krosi(long x, GEN y)
    1681             : {
    1682       31197 :   const pari_sp av = avma;
    1683       31197 :   long s = 1, r;
    1684       31197 :   switch (signe(y))
    1685             :   {
    1686           0 :     case -1: y = negi(y); if (x < 0) s = -1; break;
    1687           0 :     case 0: return (x==1 || x==-1);
    1688             :   }
    1689       31197 :   r = vali(y);
    1690       31197 :   if (r)
    1691             :   {
    1692           0 :     if (!odd(x)) { avma = av; return 0; }
    1693           0 :     if (odd(r) && ome(x)) s = -s;
    1694           0 :     y = shifti(y,-r);
    1695             :   }
    1696       31197 :   if (x < 0) { x = -x; if (mod4(y) == 3) s = -s; }
    1697       31197 :   s = krouodd((ulong)x, y, s);
    1698       31197 :   avma = av; return s;
    1699             : }
    1700             : 
    1701             : long
    1702         112 : kroui(ulong x, GEN y)
    1703             : {
    1704         112 :   const pari_sp av = avma;
    1705         112 :   long s = 1, r;
    1706         112 :   switch (signe(y))
    1707             :   {
    1708           0 :     case -1: y = negi(y); break;
    1709           0 :     case 0: return x==1UL;
    1710             :   }
    1711         112 :   r = vali(y);
    1712         112 :   if (r)
    1713             :   {
    1714           0 :     if (!odd(x)) { avma = av; return 0; }
    1715           0 :     if (odd(r) && ome(x)) s = -s;
    1716           0 :     y = shifti(y,-r);
    1717             :   }
    1718         112 :   s = krouodd(x, y, s);
    1719         112 :   avma = av; return s;
    1720             : }
    1721             : 
    1722             : long
    1723    46125977 : kross(long x, long y)
    1724             : {
    1725             :   ulong yu;
    1726    46125977 :   long s = 1;
    1727             : 
    1728    46125977 :   if (y <= 0)
    1729             :   {
    1730         385 :     if (y == 0) return (labs(x)==1);
    1731         385 :     yu = (ulong)-y; if (x < 0) s = -1;
    1732             :   }
    1733             :   else
    1734    46125592 :     yu = (ulong)y;
    1735    46125977 :   if (!odd(yu))
    1736             :   {
    1737             :     long r;
    1738     4745297 :     if (!odd(x)) return 0;
    1739     4744618 :     r = vals(yu); yu >>= r;
    1740     4744618 :     if (odd(r) && ome(x)) s = -s;
    1741             :   }
    1742    46125298 :   x %= (long)yu; if (x < 0) x += yu;
    1743    46125298 :   return krouu_s((ulong)x, yu, s);
    1744             : }
    1745             : 
    1746             : long
    1747    72844733 : krouu(ulong x, ulong y)
    1748             : {
    1749             :   long r;
    1750    72844733 :   if (odd(y)) return krouu_s(x, y, 1);
    1751        1884 :   if (!odd(x)) return 0;
    1752        1884 :   r = vals(y); y >>= r;
    1753        1884 :   return krouu_s(x, y, (odd(r) && ome(x))? -1: 1);
    1754             : }
    1755             : 
    1756             : /*********************************************************************/
    1757             : /**                                                                 **/
    1758             : /**                          HILBERT SYMBOL                         **/
    1759             : /**                                                                 **/
    1760             : /*********************************************************************/
    1761             : /* x,y are t_INT or t_REAL */
    1762             : static long
    1763        9982 : mphilbertoo(GEN x, GEN y)
    1764             : {
    1765        9982 :   long sx = signe(x), sy = signe(y);
    1766        9982 :   if (!sx || !sy) return 0;
    1767        9982 :   return (sx < 0 && sy < 0)? -1: 1;
    1768             : }
    1769             : 
    1770             : long
    1771       53144 : hilbertii(GEN x, GEN y, GEN p)
    1772             : {
    1773             :   pari_sp av;
    1774             :   long oddvx, oddvy, z;
    1775             : 
    1776       53144 :   if (!p) return mphilbertoo(x,y);
    1777       43183 :   if (is_pm1(p) || signe(p) < 0) pari_err_PRIME("hilbertii",p);
    1778       43183 :   if (!signe(x) || !signe(y)) return 0;
    1779       43162 :   av = avma;
    1780       43162 :   oddvx = odd(Z_pvalrem(x,p,&x));
    1781       43162 :   oddvy = odd(Z_pvalrem(y,p,&y));
    1782             :   /* x, y are p-units, compute hilbert(x * p^oddvx, y * p^oddvy, p) */
    1783       43162 :   if (absequaliu(p, 2))
    1784             :   {
    1785       10689 :     z = (Mod4(x) == 3 && Mod4(y) == 3)? -1: 1;
    1786       10689 :     if (oddvx && gome(y)) z = -z;
    1787       10689 :     if (oddvy && gome(x)) z = -z;
    1788             :   }
    1789             :   else
    1790             :   {
    1791       32473 :     z = (oddvx && oddvy && mod4(p) == 3)? -1: 1;
    1792       32473 :     if (oddvx && kronecker(y,p) < 0) z = -z;
    1793       32473 :     if (oddvy && kronecker(x,p) < 0) z = -z;
    1794             :   }
    1795       43162 :   avma = av; return z;
    1796             : }
    1797             : 
    1798             : static void
    1799         196 : err_prec(void) { pari_err_PREC("hilbert"); }
    1800             : static void
    1801         161 : err_p(GEN p, GEN q) { pari_err_MODULUS("hilbert", p,q); }
    1802             : static void
    1803          56 : err_oo(GEN p) { pari_err_MODULUS("hilbert", p, strtoGENstr("oo")); }
    1804             : 
    1805             : /* x t_INTMOD, *pp = prime or NULL [ unset, set it to x.mod ].
    1806             :  * Return lift(x) provided it's p-adic accuracy is large enough to decide
    1807             :  * hilbert()'s value [ problem at p = 2 ] */
    1808             : static GEN
    1809         420 : lift_intmod(GEN x, GEN *pp)
    1810             : {
    1811         420 :   GEN p = *pp, N = gel(x,1);
    1812         420 :   x = gel(x,2);
    1813         420 :   if (!p)
    1814             :   {
    1815         266 :     *pp = p = N;
    1816         266 :     switch(itos_or_0(p))
    1817             :     {
    1818             :       case 2:
    1819         126 :       case 4: err_prec();
    1820             :     }
    1821         140 :     return x;
    1822             :   }
    1823         154 :   if (!signe(p)) err_oo(N);
    1824         112 :   if (absequaliu(p,2))
    1825          42 :   { if (vali(N) <= 2) err_prec(); }
    1826             :   else
    1827          70 :   { if (!dvdii(N,p)) err_p(N,p); }
    1828          28 :   if (!signe(x)) err_prec();
    1829          21 :   return x;
    1830             : }
    1831             : /* x t_PADIC, *pp = prime or NULL [ unset, set it to x.p ].
    1832             :  * Return lift(x)*p^(v(x) mod 2) provided it's p-adic accuracy is large enough
    1833             :  * to decide hilbert()'s value [ problem at p = 2 ]*/
    1834             : static GEN
    1835         210 : lift_padic(GEN x, GEN *pp)
    1836             : {
    1837         210 :   GEN p = *pp, q = gel(x,2), y = gel(x,4);
    1838         210 :   if (!p) *pp = p = q;
    1839         147 :   else if (!equalii(p,q)) err_p(p, q);
    1840         105 :   if (absequaliu(p,2) && precp(x) <= 2) err_prec();
    1841          70 :   if (!signe(y)) err_prec();
    1842          70 :   return odd(valp(x))? mulii(p,y): y;
    1843             : }
    1844             : 
    1845             : long
    1846         658 : hilbert(GEN x, GEN y, GEN p)
    1847             : {
    1848         658 :   pari_sp av = avma;
    1849         658 :   long tx = typ(x), ty = typ(y), z;
    1850             : 
    1851         658 :   if (p && typ(p) != t_INT) pari_err_TYPE("hilbert",p);
    1852         658 :   if (tx == t_REAL)
    1853             :   {
    1854          77 :     if (p && signe(p)) err_oo(p);
    1855          63 :     switch (ty)
    1856             :     {
    1857             :       case t_INT:
    1858           7 :       case t_REAL: return mphilbertoo(x,y);
    1859           0 :       case t_FRAC: return mphilbertoo(x,gel(y,1));
    1860          56 :       default: pari_err_TYPE2("hilbert",x,y);
    1861             :     }
    1862             :   }
    1863         581 :   if (ty == t_REAL)
    1864             :   {
    1865          14 :     if (p && signe(p)) err_oo(p);
    1866          14 :     switch (tx)
    1867             :     {
    1868             :       case t_INT:
    1869          14 :       case t_REAL: return mphilbertoo(x,y);
    1870           0 :       case t_FRAC: return mphilbertoo(gel(x,1),y);
    1871           0 :       default: pari_err_TYPE2("hilbert",x,y);
    1872             :     }
    1873             :   }
    1874         567 :   if (tx == t_INTMOD) { x = lift_intmod(x, &p); tx = t_INT; }
    1875         364 :   if (ty == t_INTMOD) { y = lift_intmod(y, &p); ty = t_INT; }
    1876             : 
    1877         308 :   if (tx == t_PADIC) { x = lift_padic(x, &p); tx = t_INT; }
    1878         245 :   if (ty == t_PADIC) { y = lift_padic(y, &p); ty = t_INT; }
    1879             : 
    1880         168 :   if (tx == t_FRAC) { tx = t_INT; x = p? mulii(gel(x,1),gel(x,2)): gel(x,1); }
    1881         168 :   if (ty == t_FRAC) { ty = t_INT; y = p? mulii(gel(y,1),gel(y,2)): gel(y,1); }
    1882             : 
    1883         168 :   if (tx != t_INT || ty != t_INT) pari_err_TYPE2("hilbert",x,y);
    1884         168 :   if (p && !signe(p)) p = NULL;
    1885         168 :   z = hilbertii(x,y,p); avma = av; return z;
    1886             : }
    1887             : 
    1888             : /*******************************************************************/
    1889             : /*                                                                 */
    1890             : /*                       SQUARE ROOT MODULO p                      */
    1891             : /*                                                                 */
    1892             : /*******************************************************************/
    1893             : 
    1894             : static ulong
    1895    22199498 : Fl_2gener_pre_all(long e, ulong p, ulong pi, ulong *pt_m)
    1896             : {
    1897             :   ulong y, m;
    1898             :   long k, i;
    1899    22199498 :   ulong q = (p-1) >> e; /* q = (p-1)/2^oo is odd */
    1900    39573280 :   for (k=2; ; k++)
    1901             :   { /* loop terminates for k < p (even if p composite) */
    1902    39573280 :     i = krouu(k, p);
    1903    39573280 :     if (i >= 0)
    1904             :     {
    1905    17373789 :       if (i) continue;
    1906           7 :       pari_err_PRIME("Fl_sqrt [modulus]",utoi(p));
    1907             :     }
    1908    22199491 :     y = m = Fl_powu_pre(k, q, p, pi);
    1909    60650563 :     for (i=1; i<e; i++)
    1910    38451072 :       if ((m = Fl_sqr_pre(m, p, pi)) == 1) break;
    1911    22199491 :     if (i == e) break; /* success */
    1912    17373782 :   }
    1913    22199491 :   *pt_m = m;
    1914    22199491 :   return y;
    1915             : }
    1916             : 
    1917             : /* Tonelli-Shanks. Assume p is prime and (a,p) != -1. */
    1918             : static ulong
    1919    53882297 : Fl_sqrt_i(ulong a, ulong p, ulong pi, ulong y, ulong m)
    1920             : {
    1921             :   long i, e, k;
    1922             :   ulong p1, q, v, w;
    1923             : 
    1924    53882297 :   if (!a) return 0;
    1925    53036068 :   p1 = p - 1; e = vals(p1);
    1926    53046324 :   if (e == 0) /* p = 2 */
    1927             :   {
    1928      417235 :     if (p != 2) pari_err_PRIME("Fl_sqrt [modulus]",utoi(p));
    1929      417228 :     return ((a & 1) == 0)? 0: 1;
    1930             :   }
    1931    52629089 :   q = p1 >> e; /* q = (p-1)/2^oo is odd */
    1932    52629089 :   if (e == 1)    y = p1;
    1933    22199498 :   else if (y==0) y = Fl_2gener_pre_all(e, p, pi, &m);
    1934    52629082 :   p1 = Fl_powu_pre(a, q >> 1, p, pi); /* a ^ [(q-1)/2] */
    1935    52600312 :   if (!p1) return 0;
    1936    52600312 :   v = Fl_mul_pre(a, p1, p, pi);
    1937    52604317 :   w = Fl_mul_pre(v, p1, p, pi);
    1938   123792350 :   while (w != 1)
    1939             :   { /* a*w = v^2, y primitive 2^e-th root of 1
    1940             :        a square --> w even power of y, hence w^(2^(e-1)) = 1 */
    1941    18681421 :     p1 = Fl_sqr_pre(w,p,pi);
    1942    18681421 :     for (k=1; p1 != 1 && k < e; k++) p1 = Fl_sqr_pre(p1,p,pi);
    1943    18681421 :     if (k == e) return ~0UL;
    1944             :     /* w ^ (2^k) = 1 --> w = y ^ (u * 2^(e-k)), u odd */
    1945    18586084 :     p1 = y;
    1946    18586084 :     for (i=1; i < e-k; i++) p1 = Fl_sqr_pre(p1, p, pi);
    1947    18586084 :     y = Fl_sqr_pre(p1, p, pi); e = k;
    1948    18586084 :     w = Fl_mul_pre(y, w, p, pi);
    1949    18586084 :     v = Fl_mul_pre(v, p1, p, pi);
    1950             :   }
    1951    52507503 :   p1 = p - v; if (v > p1) v = p1;
    1952    52507503 :   return v;
    1953             : }
    1954             : 
    1955             : ulong
    1956    50418803 : Fl_sqrt(ulong a, ulong p)
    1957             : {
    1958    50418803 :   ulong pi = get_Fl_red(p);
    1959    50410387 :   return Fl_sqrt_i(a, p, pi, 0, 0);
    1960             : }
    1961             : 
    1962             : ulong
    1963     3472459 : Fl_sqrt_pre(ulong a, ulong p, ulong pi)
    1964             : {
    1965     3472459 :   return Fl_sqrt_i(a, p, pi, 0, 0);
    1966             : }
    1967             : 
    1968             : static ulong
    1969       63230 : Fl_lgener_pre_all(ulong l, long e, ulong r, ulong p, ulong pi, ulong *pt_m)
    1970             : {
    1971             :   ulong x, y, m;
    1972       63230 :   ulong le1 = upowuu(l, e-1);
    1973      100463 :   for (x = 2; ; x++)
    1974             :   {
    1975      100463 :     y = Fl_powu_pre(x, r, p, pi);
    1976      100463 :     if (y==1) continue;
    1977       78196 :     m = Fl_powu_pre(y, le1, p, pi);
    1978       78196 :     if (m != 1) break;
    1979       37233 :   }
    1980       63230 :   *pt_m = m;
    1981       63230 :   return y;
    1982             : }
    1983             : 
    1984             : /* solve x^l = a , l prime in G of order q.
    1985             :  *
    1986             :  * q =  (l^e)*r, e >= 1, (r,l) = 1
    1987             :  * y generates the l-Sylow of G
    1988             :  * m = y^(l^(e-1)) != 1 */
    1989             : static ulong
    1990      115504 : Fl_sqrtl_i(ulong a, ulong l, ulong p, ulong pi, ulong y, ulong m)
    1991             : {
    1992             :   ulong p1, v, w, z, dl, zm;
    1993             :   ulong r, e, u2;
    1994      115504 :   if (a==0) return a;
    1995      115499 :   e = u_lvalrem(p-1, l, &r);
    1996      115501 :   u2 = Fl_inv(l%r, r);
    1997      115503 :   v = Fl_powu_pre(a, u2, p,pi);
    1998      115502 :   w = Fl_powu_pre(v, l, p,pi);
    1999      115503 :   w = Fl_mul_pre(w, Fl_inv(a, p),p,pi);
    2000      115503 :   if (w==1) return v;
    2001       63230 :   if (y==0) y = Fl_lgener_pre_all(l, e, r, p, pi, &m);
    2002      145426 :   while (w!=1)
    2003             :   {
    2004       67654 :     ulong k = 0;
    2005       67654 :     p1 = w;
    2006             :     do
    2007             :     {
    2008      101172 :       z = p1; p1 = Fl_powu_pre(p1, l, p, pi);
    2009      101172 :       k++;
    2010      101172 :     } while (p1!=1);
    2011       67654 :     if (k==e) return ~0UL;
    2012       18966 :     dl = 0; zm = 1;
    2013       66822 :     while (z!=zm)
    2014             :     {
    2015       28890 :       zm = Fl_mul_pre(zm, m, p, pi); dl++;
    2016             :     }
    2017       18966 :     dl = Fl_neg(dl, l);
    2018       18966 :     p1 = Fl_powu_pre(y,dl*upowuu(l,e-k-1),p,pi);
    2019       18966 :     m = Fl_powu_pre(m, dl, p, pi);
    2020       18966 :     e = k;
    2021       18966 :     v = Fl_mul_pre(p1,v,p,pi);
    2022       18966 :     y = Fl_powu_pre(p1,l,p,pi);
    2023       18966 :     w = Fl_mul_pre(y,w,p,pi);
    2024             :   }
    2025       14542 :   return v;
    2026             : }
    2027             : 
    2028             : ulong
    2029      115505 : Fl_sqrtl_pre(ulong a, ulong l, ulong p, ulong pi)
    2030             : {
    2031      115505 :   return Fl_sqrtl_i(a, l, p, pi, 0, 0);
    2032             : }
    2033             : 
    2034             : ulong
    2035           0 : Fl_sqrtl(ulong a, ulong l, ulong p)
    2036             : {
    2037           0 :   ulong pi = get_Fl_red(p);
    2038           0 :   return Fl_sqrtl_i(a, l, p, pi, 0, 0);
    2039             : }
    2040             : 
    2041             : /* Cipolla is better than Tonelli-Shanks when e = v_2(p-1) is "too big".
    2042             :  * Otherwise, is a constant times worse; for p = 3 (mod 4), is about 3 times worse,
    2043             :  * and in average is about 2 or 2.5 times worse. But try both algorithms for
    2044             :  * S(n) = (2^n+3)^2-8 with n = 750, 771, 779, 790, 874, 1176, 1728, 2604, etc.
    2045             :  *
    2046             :  * If X^2 := t^2 - a  is not a square in F_p (so X is in F_p^2), then
    2047             :  *   (t+X)^(p+1) = (t-X)(t+X) = a,   hence  sqrt(a) = (t+X)^((p+1)/2)  in F_p^2.
    2048             :  * If (a|p)=1, then sqrt(a) is in F_p.
    2049             :  * cf: LNCS 2286, pp 430-434 (2002)  [Gonzalo Tornaria] */
    2050             : 
    2051             : /* compute y^2, y = y[1] + y[2] X */
    2052             : static GEN
    2053         449 : sqrt_Cipolla_sqr(void *data, GEN y)
    2054             : {
    2055         449 :   GEN u = gel(y,1), v = gel(y,2), p = gel(data,2), n = gel(data,3);
    2056         449 :   GEN u2 = sqri(u), v2 = sqri(v);
    2057         449 :   v = subii(sqri(addii(v,u)), addii(u2,v2));
    2058         449 :   u = addii(u2, mulii(v2,n));
    2059             :   /* NOT mkvec2: must be gerepileupto-able */
    2060         449 :   retmkvec2(modii(u,p), modii(v,p));
    2061             : }
    2062             : /* compute (t+X) y^2 */
    2063             : static GEN
    2064          23 : sqrt_Cipolla_msqr(void *data, GEN y)
    2065             : {
    2066          23 :   GEN u = gel(y,1), v = gel(y,2), a = gel(data,1), p = gel(data,2), gt = gel(data,4);
    2067          23 :   ulong t = gt[2];
    2068          23 :   GEN d = addii(u, mului(t,v)), d2= sqri(d);
    2069          23 :   GEN b = remii(mulii(a,v), p);
    2070          23 :   u = subii(mului(t,d2), mulii(b,addii(u,d)));
    2071          23 :   v = subii(d2, mulii(b,v));
    2072             :   /* NOT mkvec2: must be gerepileupto-able */
    2073          23 :   retmkvec2(modii(u,p), modii(v,p));
    2074             : }
    2075             : /* assume a reduced mod p [ otherwise correct but inefficient ] */
    2076             : static GEN
    2077           8 : sqrt_Cipolla(GEN a, GEN p)
    2078             : {
    2079             :   pari_sp av1;
    2080             :   GEN u, v, n, y, pov2;
    2081             :   ulong t;
    2082             : 
    2083           8 :   if (kronecker(a, p) < 0) return NULL;
    2084           8 :   pov2 = shifti(p,-1);
    2085           8 :   if (cmpii(a,pov2) > 0) a = subii(a,p); /* center: avoid multiplying by huge base*/
    2086             : 
    2087           8 :   av1 = avma;
    2088          41 :   for(t=1; ; t++)
    2089             :   {
    2090          41 :     n = subsi((long)(t*t), a);
    2091          41 :     if (kronecker(n, p) < 0) break;
    2092          33 :     avma = av1;
    2093          33 :   }
    2094             : 
    2095             :   /* compute (t+X)^((p-1)/2) =: u+vX */
    2096           8 :   u = utoipos(t);
    2097           8 :   y = gen_pow_fold(mkvec2(u, gen_1), pov2, mkvec4(a,p,n,u),
    2098             :                          sqrt_Cipolla_sqr, sqrt_Cipolla_msqr);
    2099             :   /* Now u+vX = (t+X)^((p-1)/2); thus
    2100             :    *   (u+vX)(t+X) = sqrt(a) + 0 X
    2101             :    * Whence,
    2102             :    *   sqrt(a) = (u+vt)t - v*a
    2103             :    *   0       = (u+vt)
    2104             :    * Thus a square root is v*a */
    2105             : 
    2106           8 :   v = Fp_mul(gel(y, 2), a, p);
    2107           8 :   if (cmpii(v,pov2) > 0) v = subii(p,v);
    2108           8 :   return v;
    2109             : }
    2110             : 
    2111             : #define sqrmod(x,p) (remii(sqri(x),p))
    2112             : 
    2113             : /* Tonelli-Shanks. Assume p is prime and return NULL if (a,p) = -1. */
    2114             : GEN
    2115     2337439 : Fp_sqrt(GEN a, GEN p)
    2116             : {
    2117     2337439 :   pari_sp av = avma, av1;
    2118             :   long i, k, e;
    2119             :   GEN p1, q, v, y, w, m;
    2120             : 
    2121     2337439 :   if (typ(a) != t_INT) pari_err_TYPE("Fp_sqrt",a);
    2122     2337439 :   if (typ(p) != t_INT) pari_err_TYPE("Fp_sqrt",p);
    2123     2337439 :   if (signe(p) <= 0 || equali1(p)) pari_err_PRIME("Fp_sqrt",p);
    2124     2337439 :   if (lgefint(p) == 3)
    2125             :   {
    2126     2327329 :     ulong pp = uel(p,2), u = Fl_sqrt(umodiu(a, pp), pp);
    2127     2327315 :     if (u == ~0UL) return NULL;
    2128     2327266 :     return utoi(u);
    2129             :   }
    2130             : 
    2131       10110 :   p1 = addsi(-1,p); e = vali(p1);
    2132       10110 :   a = modii(a, p);
    2133             : 
    2134             :   /* On average, the algorithm of Cipolla is better than the algorithm of
    2135             :    * Tonelli and Shanks if and only if e(e-1)>8*log2(n)+20
    2136             :    * see LNCS 2286 pp 430 [GTL] */
    2137       10110 :   if (e*(e-1) > 20 + 8 * expi(p))
    2138             :   {
    2139           8 :     v = sqrt_Cipolla(a,p);
    2140           8 :     if (!v) { avma = av; return NULL; }
    2141           8 :     return gerepileuptoint(av,v);
    2142             :   }
    2143             : 
    2144       10102 :   if (e == 0) /* p = 2 */
    2145             :   {
    2146           0 :     avma = av;
    2147           0 :     if (!absequaliu(p,2)) pari_err_PRIME("Fp_sqrt [modulus]",p);
    2148           0 :     if (!signe(a) || !mod2(a)) return gen_0;
    2149           0 :     return gen_1;
    2150             :   }
    2151       10102 :   q = shifti(p1,-e); /* q = (p-1)/2^oo is odd */
    2152       10102 :   if (e == 1) y = p1;
    2153             :   else /* look for an odd power of a primitive root */
    2154        8326 :     for (k=2; ; k++)
    2155             :     { /* loop terminates for k < p (even if p composite) */
    2156             : 
    2157        8326 :       i = krosi(k,p);
    2158        8326 :       if (i >= 0)
    2159             :       {
    2160        3131 :         if (i) continue;
    2161           0 :         pari_err_PRIME("Fp_sqrt [modulus]",p);
    2162             :       }
    2163        5195 :       av1 = avma;
    2164        5195 :       y = m = Fp_pow(utoipos((ulong)k),q,p);
    2165       12826 :       for (i=1; i<e; i++)
    2166        7631 :         if (gequal1(m = sqrmod(m,p))) break;
    2167        5195 :       if (i == e) break; /* success */
    2168           0 :       avma = av1;
    2169        3131 :     }
    2170             : 
    2171       10102 :   p1 = Fp_pow(a, shifti(q,-1), p); /* a ^ [(q-1)/2] */
    2172       10102 :   if (!signe(p1)) { avma=av; return gen_0; }
    2173       10095 :   v = Fp_mul(a, p1, p);
    2174       10095 :   w = Fp_mul(v, p1, p);
    2175       23992 :   while (!equali1(w))
    2176             :   { /* a*w = v^2, y primitive 2^e-th root of 1
    2177             :        a square --> w even power of y, hence w^(2^(e-1)) = 1 */
    2178        3812 :     p1 = sqrmod(w,p);
    2179        3812 :     for (k=1; !equali1(p1) && k < e; k++) p1 = sqrmod(p1,p);
    2180        3812 :     if (k == e) { avma=av; return NULL; } /* p composite or (a/p) != 1 */
    2181             :     /* w ^ (2^k) = 1 --> w = y ^ (u * 2^(e-k)), u odd */
    2182        3802 :     p1 = y;
    2183        3802 :     for (i=1; i < e-k; i++) p1 = sqrmod(p1,p);
    2184        3802 :     y = sqrmod(p1, p); e = k;
    2185        3802 :     w = Fp_mul(y, w, p);
    2186        3802 :     v = Fp_mul(v, p1, p);
    2187        3802 :     if (gc_needed(av,1))
    2188             :     {
    2189           0 :       if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"Fp_sqrt");
    2190           0 :       gerepileall(av,3, &y,&w,&v);
    2191             :     }
    2192             :   }
    2193       10085 :   av1 = avma;
    2194       10085 :   p1 = subii(p,v); if (cmpii(v,p1) > 0) v = p1; else avma = av1;
    2195       10085 :   return gerepileuptoint(av, v);
    2196             : }
    2197             : 
    2198             : /*********************************************************************/
    2199             : /**                                                                 **/
    2200             : /**                        GCD & BEZOUT                             **/
    2201             : /**                                                                 **/
    2202             : /*********************************************************************/
    2203             : 
    2204             : GEN
    2205     3842026 : lcmii(GEN x, GEN y)
    2206             : {
    2207             :   pari_sp av;
    2208             :   GEN a, b;
    2209     3842026 :   if (!signe(x) || !signe(y)) return gen_0;
    2210     3842026 :   av = avma;
    2211     3842026 :   a = gcdii(x,y); if (!equali1(a)) y = diviiexact(y,a);
    2212     3842026 :   b = mulii(x,y); setabssign(b); return gerepileuptoint(av, b);
    2213             : }
    2214             : 
    2215             : /*********************************************************************/
    2216             : /**                                                                 **/
    2217             : /**                      CHINESE REMAINDERS                         **/
    2218             : /**                                                                 **/
    2219             : /*********************************************************************/
    2220             : 
    2221             : /* Chinese Remainder Theorem.  x and y must have the same type (integermod,
    2222             :  * polymod, or polynomial/vector/matrix recursively constructed with these
    2223             :  * as coefficients). Creates (with the same type) a z in the same residue
    2224             :  * class as x and the same residue class as y, if it is possible.
    2225             :  *
    2226             :  * We also allow (during recursion) two identical objects even if they are
    2227             :  * not integermod or polymod. For example:
    2228             :  *
    2229             :  * ? x = [1, Mod(5, 11), Mod(X + Mod(2, 7), X^2 + 1)];
    2230             :  * ? y = [1, Mod(7, 17), Mod(X + Mod(0, 3), X^2 + 1)];
    2231             :  * ? chinese(x, y)
    2232             :  * %3 = [1, Mod(16, 187), Mod(X + mod(9, 21), X^2 + 1)] */
    2233             : 
    2234             : static GEN
    2235      100989 : gen_chinese(GEN x, GEN(*f)(GEN,GEN))
    2236             : {
    2237      100989 :   GEN z = gassoc_proto(f,x,NULL);
    2238      100982 :   if (z == gen_1) retmkintmod(gen_0,gen_1);
    2239      100968 :   return z;
    2240             : }
    2241             : 
    2242             : /* x t_INTMOD, y t_POLMOD; promote x to t_POLMOD mod Pol(x.mod) then
    2243             :  * call chinese: makes Mod(0,1) a better "neutral" element */
    2244             : static GEN
    2245          21 : chinese_intpol(GEN x,GEN y)
    2246             : {
    2247          21 :   pari_sp av = avma;
    2248          21 :   GEN z = mkpolmod(gel(x,2), scalarpol_shallow(gel(x,1), varn(gel(y,1))));
    2249          21 :   return gerepileupto(av, chinese(z, y));
    2250             : }
    2251             : 
    2252             : GEN
    2253          49 : chinese1(GEN x) { return gen_chinese(x,chinese); }
    2254             : 
    2255             : GEN
    2256       16520 : chinese(GEN x, GEN y)
    2257             : {
    2258             :   pari_sp av;
    2259       16520 :   long tx = typ(x), ty;
    2260             :   GEN z,p1,p2,d,u,v;
    2261             : 
    2262       16520 :   if (!y) return chinese1(x);
    2263       16471 :   if (gidentical(x,y)) return gcopy(x);
    2264       16464 :   ty = typ(y);
    2265       16464 :   if (tx == ty) switch(tx)
    2266             :   {
    2267             :     case t_POLMOD:
    2268             :     {
    2269          28 :       GEN A = gel(x,1), B = gel(y,1);
    2270          28 :       GEN a = gel(x,2), b = gel(y,2);
    2271          28 :       if (varn(A)!=varn(B)) pari_err_VAR("chinese",A,B);
    2272          28 :       if (RgX_equal(A,B)) retmkpolmod(chinese(a,b), gcopy(A)); /*same modulus*/
    2273          28 :       av = avma;
    2274          28 :       d = RgX_extgcd(A,B,&u,&v);
    2275          28 :       p2 = gsub(b, a);
    2276          28 :       if (!gequal0(gmod(p2, d))) break;
    2277          28 :       p1 = gdiv(A,d);
    2278          28 :       p2 = gadd(a, gmul(gmul(u,p1), p2));
    2279             : 
    2280          28 :       z = cgetg(3, t_POLMOD);
    2281          28 :       gel(z,1) = gmul(p1,B);
    2282          28 :       gel(z,2) = gmod(p2,gel(z,1));
    2283          28 :       return gerepileupto(av, z);
    2284             :     }
    2285             :     case t_INTMOD:
    2286             :     {
    2287       16401 :       GEN A = gel(x,1), B = gel(y,1);
    2288       16401 :       GEN a = gel(x,2), b = gel(y,2), c, d, C, U;
    2289       16401 :       z = cgetg(3,t_INTMOD);
    2290       16401 :       Z_chinese_pre(A, B, &C, &U, &d);
    2291       16401 :       c = Z_chinese_post(a, b, C, U, d);
    2292       16401 :       if (!c) pari_err_OP("chinese", x,y);
    2293       16401 :       gel(z,1) = icopy_avma(C, (pari_sp)z);
    2294       16401 :       gel(z,2) = icopy_avma(c, (pari_sp)gel(z,1));
    2295       16401 :       avma = (pari_sp)gel(z,2); return z;
    2296             :     }
    2297             :     case t_POL:
    2298             :     {
    2299           7 :       long i, lx = lg(x), ly = lg(y);
    2300           7 :       if (varn(x) != varn(y)) break;
    2301           7 :       if (lx < ly) { swap(x,y); lswap(lx,ly); }
    2302           7 :       z = cgetg(lx, t_POL); z[1] = x[1];
    2303           7 :       for (i=2; i<ly; i++) gel(z,i) = chinese(gel(x,i),gel(y,i));
    2304           7 :       for (   ; i<lx; i++) gel(z,i) = gcopy(gel(x,i));
    2305           7 :       return z;
    2306             :     }
    2307             : 
    2308             :     case t_VEC: case t_COL: case t_MAT:
    2309             :     {
    2310             :       long i, lx;
    2311           7 :       z = cgetg_copy(x, &lx); if (lx!=lg(y)) break;
    2312           7 :       for (i=1; i<lx; i++) gel(z,i) = chinese(gel(x,i),gel(y,i));
    2313           7 :       return z;
    2314             :     }
    2315             :   }
    2316          21 :   if (tx == t_POLMOD && ty == t_INTMOD) return chinese_intpol(y,x);
    2317           7 :   if (ty == t_POLMOD && tx == t_INTMOD) return chinese_intpol(x,y);
    2318           0 :   pari_err_OP("chinese",x,y);
    2319           0 :   return NULL; /* not reached */
    2320             : }
    2321             : 
    2322             : /* init chinese(Mod(.,A), Mod(.,B)) */
    2323             : void
    2324      436786 : Z_chinese_pre(GEN A, GEN B, GEN *pC, GEN *pU, GEN *pd)
    2325             : {
    2326      436786 :   GEN u, d = bezout(A,B,&u,NULL); /* U = u(A/d), u(A/d) + v(B/d) = 1 */
    2327      436786 :   GEN t = diviiexact(A,d);
    2328      436786 :   *pU = mulii(u, t);
    2329      436786 :   *pC = mulii(t, B);
    2330      436786 :   if (pd) *pd = d;
    2331      436786 : }
    2332             : /* Assume C = lcm(A, B), U = 0 mod (A/d), U = 1 mod (B/d), a = b mod d,
    2333             :  * where d = gcd(A,B) or NULL, return x = a (mod A), b (mod B).
    2334             :  * If d not NULL, check wether a = b mod d. */
    2335             : GEN
    2336      589062 : Z_chinese_post(GEN a, GEN b, GEN C, GEN U, GEN d)
    2337             : {
    2338             :   GEN b_a;
    2339      589062 :   if (!signe(a))
    2340             :   {
    2341      445930 :     if (d && remii(b, d) != gen_0) return NULL;
    2342      445930 :     return Fp_mul(b, U, C);
    2343             :   }
    2344      143132 :   b_a = subii(b,a);
    2345      143132 :   if (d && remii(b_a, d) != gen_0) return NULL;
    2346      143132 :   return modii(addii(a, mulii(U, b_a)), C);
    2347             : }
    2348             : GEN
    2349        2142 : Z_chinese(GEN a, GEN b, GEN A, GEN B)
    2350             : {
    2351        2142 :   pari_sp av = avma;
    2352        2142 :   GEN C, U; Z_chinese_pre(A, B, &C, &U, NULL);
    2353        2142 :   return gerepileuptoint(av, Z_chinese_post(a,b, C, U, NULL));
    2354             : }
    2355             : GEN
    2356      418187 : Z_chinese_all(GEN a, GEN b, GEN A, GEN B, GEN *pC)
    2357             : {
    2358      418187 :   GEN U; Z_chinese_pre(A, B, pC, &U, NULL);
    2359      418187 :   return Z_chinese_post(a,b, *pC, U, NULL);
    2360             : }
    2361             : 
    2362             : /* return lift(chinese(a mod A, b mod B))
    2363             :  * assume(A,B)=1, a,b,A,B integers and C = A*B */
    2364             : GEN
    2365       83153 : Z_chinese_coprime(GEN a, GEN b, GEN A, GEN B, GEN C)
    2366             : {
    2367       83153 :   pari_sp av = avma;
    2368       83153 :   GEN U = mulii(Fp_inv(A,B), A);
    2369       83153 :   return gerepileuptoint(av, Z_chinese_post(a,b,C,U, NULL));
    2370             : }
    2371             : 
    2372             : /* chinese1 for coprime moduli in Z */
    2373             : static GEN
    2374       68857 : chinese1_coprime_Z_aux(GEN x, GEN y)
    2375             : {
    2376       68857 :   GEN z = cgetg(3, t_INTMOD);
    2377       68857 :   GEN A = gel(x,1), a = gel(x, 2);
    2378       68857 :   GEN B = gel(y,1), b = gel(y, 2), C = mulii(A,B);
    2379       68857 :   pari_sp av = avma;
    2380       68857 :   GEN U = mulii(Fp_inv(A,B), A);
    2381       68857 :   gel(z,2) = gerepileuptoint(av, Z_chinese_post(a,b,C,U, NULL));
    2382       68857 :   gel(z,1) = C; return z;
    2383             : }
    2384             : GEN
    2385      100940 : chinese1_coprime_Z(GEN x) {return gen_chinese(x,chinese1_coprime_Z_aux);}
    2386             : 
    2387             : /*********************************************************************/
    2388             : /**                                                                 **/
    2389             : /**                    MODULAR EXPONENTIATION                       **/
    2390             : /**                                                                 **/
    2391             : /*********************************************************************/
    2392             : 
    2393             : /* xa, ya = t_VECSMALL */
    2394             : GEN
    2395      163838 : ZV_producttree(GEN xa)
    2396             : {
    2397      163838 :   long n = lg(xa)-1;
    2398      163838 :   long m = n==1 ? 1: expu(n-1)+1;
    2399      163839 :   GEN T = cgetg(m+1, t_VEC), t;
    2400             :   long i, j, k;
    2401      163838 :   t = cgetg(((n+1)>>1)+1, t_VEC);
    2402      163837 :   if (typ(xa)==t_VECSMALL)
    2403             :   {
    2404      187186 :     for (j=1, k=1; k<n; j++, k+=2)
    2405      135428 :       gel(t, j) = muluu(xa[k], xa[k+1]);
    2406       51758 :     if (k==n) gel(t, j) = utoi(xa[k]);
    2407             :   } else {
    2408      297076 :     for (j=1, k=1; k<n; j++, k+=2)
    2409      184997 :       gel(t, j) = mulii(gel(xa,k), gel(xa,k+1));
    2410      112079 :     if (k==n) gel(t, j) = icopy(gel(xa,k));
    2411             :   }
    2412      163836 :   gel(T,1) = t;
    2413      289309 :   for (i=2; i<=m; i++)
    2414             :   {
    2415      125472 :     GEN u = gel(T, i-1);
    2416      125472 :     long n = lg(u)-1;
    2417      125472 :     t = cgetg(((n+1)>>1)+1, t_VEC);
    2418      332901 :     for (j=1, k=1; k<n; j++, k+=2)
    2419      207428 :       gel(t, j) = mulii(gel(u, k), gel(u, k+1));
    2420      125473 :     if (k==n) gel(t, j) = gel(u, k);
    2421      125473 :     gel(T, i) = t;
    2422             :   }
    2423      163837 :   return T;
    2424             : }
    2425             : 
    2426             : static GEN
    2427      855503 : Z_ZV_mod_tree(GEN P, GEN xa, GEN T)
    2428             : {
    2429             :   long i,j,k;
    2430      855503 :   long m = lg(T)-1, n = lg(xa)-1;
    2431             :   GEN t;
    2432      855503 :   GEN Tp = cgetg(m+1, t_VEC);
    2433      855476 :   gel(Tp, m) = mkvec(P);
    2434     1517841 :   for (i=m-1; i>=1; i--)
    2435             :   {
    2436      662419 :     GEN u = gel(T, i);
    2437      662419 :     GEN v = gel(Tp, i+1);
    2438      662419 :     long n = lg(u)-1;
    2439      662419 :     t = cgetg(n+1, t_VEC);
    2440     1624572 :     for (j=1, k=1; k<n; j++, k+=2)
    2441             :     {
    2442      962136 :       gel(t, k)   = modii(gel(v, j), gel(u, k));
    2443      962142 :       gel(t, k+1) = modii(gel(v, j), gel(u, k+1));
    2444             :     }
    2445      662436 :     if (k==n) gel(t, k) = gel(v, j);
    2446      662436 :     gel(Tp, i) = t;
    2447             :   }
    2448             :   {
    2449      855422 :     GEN u = gel(T, i+1);
    2450      855422 :     GEN v = gel(Tp, i+1);
    2451      855422 :     long l = lg(u)-1;
    2452      855422 :     if (typ(xa)==t_VECSMALL)
    2453             :     {
    2454      691586 :       GEN R = cgetg(n+1, t_VECSMALL);
    2455     2137927 :       for (j=1, k=1; j<=l; j++, k+=2)
    2456             :       {
    2457     1446281 :         uel(R,k) = umodiu(gel(v, j), xa[k]);
    2458     1446326 :         if (k < n)
    2459     1192901 :           uel(R,k+1) = umodiu(gel(v, j), xa[k+1]);
    2460             :       }
    2461      691646 :       return R;
    2462             :     }
    2463             :     else
    2464             :     {
    2465      163836 :       GEN R = cgetg(n+1, t_VEC);
    2466      535104 :       for (j=1, k=1; j<=l; j++, k+=2)
    2467             :       {
    2468      371262 :         gel(R,k) = modii(gel(v, j), gel(xa,k));
    2469      371267 :         if (k < n)
    2470      320423 :           gel(R,k+1) = modii(gel(v, j), gel(xa,k+1));
    2471             :       }
    2472      163842 :       return R;
    2473             :     }
    2474             :   }
    2475             : }
    2476             : 
    2477             : static GEN
    2478     2270369 : ZV_polint_tree(GEN T, GEN R, GEN xa, GEN ya)
    2479             : {
    2480     2270369 :   long m = lg(T)-1, n = lg(ya)-1;
    2481             :   long i,j,k;
    2482     2270369 :   GEN Tp = cgetg(m+1, t_VEC);
    2483     2265090 :   GEN M = gel(T, 1);
    2484     2265090 :   GEN t = cgetg(lg(M), t_VEC);
    2485     2306879 :   if (typ(xa)==t_VECSMALL)
    2486             :   {
    2487    17956651 :     for (j=1, k=1; k<n; j++, k+=2)
    2488             :     {
    2489    15809535 :       pari_sp av = avma;
    2490    15809535 :       GEN a = mului(ya[k], gel(R,k)), b = mului(ya[k+1], gel(R,k+1));
    2491    15671704 :       GEN tj = modii(addii(mului(xa[k],b), mului(xa[k+1],a)), gel(M,j));
    2492    15667109 :       gel(t, j) = gerepileuptoint(av, tj);
    2493             :     }
    2494     2147116 :     if (k==n) gel(t, j) = modii(mului(ya[k], gel(R,k)), gel(M, j));
    2495             :   } else
    2496             :   {
    2497      297076 :     for (j=1, k=1; k<n; j++, k+=2)
    2498             :     {
    2499      184997 :       pari_sp av = avma;
    2500      184997 :       GEN a = mulii(gel(ya,k), gel(R,k)), b = mulii(gel(ya,k+1), gel(R,k+1));
    2501      184997 :       GEN tj = modii(addii(mulii(gel(xa,k),b), mulii(gel(xa,k+1),a)), gel(M,j));
    2502      184997 :       gel(t, j) = gerepileuptoint(av, tj);
    2503             :     }
    2504      112079 :     if (k==n) gel(t, j) = modii(mulii(gel(ya,k), gel(R,k)), gel(M, j));
    2505             :   }
    2506     2258212 :   gel(Tp, 1) = t;
    2507     8454312 :   for (i=2; i<=m; i++)
    2508             :   {
    2509     6194337 :     GEN u = gel(T, i-1), M = gel(T, i);
    2510     6194337 :     GEN t = cgetg(lg(M), t_VEC);
    2511     6270767 :     GEN v = gel(Tp, i-1);
    2512     6270767 :     long n = lg(v)-1;
    2513    20636532 :     for (j=1, k=1; k<n; j++, k+=2)
    2514             :     {
    2515    14440432 :       pari_sp av = avma;
    2516    57761728 :       gel(t, j) = gerepileuptoint(av, modii(addii(mulii(gel(u, k), gel(v, k+1)),
    2517    43321296 :             mulii(gel(u, k+1), gel(v, k))), gel(M, j)));
    2518             :     }
    2519     6196100 :     if (k==n) gel(t, j) = gel(v, k);
    2520     6196100 :     gel(Tp, i) = t;
    2521             :   }
    2522     2259975 :   return gmael(Tp,m,1);
    2523             : }
    2524             : 
    2525             : static GEN
    2526     2129702 : ZV_polint_center_tree(GEN T, GEN R, GEN xa, GEN ya, GEN m2)
    2527             : {
    2528     2129702 :   GEN mod = gmael(T, lg(T)-1, 1);
    2529     2129702 :   GEN a = ZV_polint_tree(T, R, xa, ya);
    2530     2100771 :   return Fp_center(a, mod, m2);
    2531             : }
    2532             : 
    2533             : static GEN
    2534       40819 : ncV_polint_center_tree(GEN T, GEN R, GEN xa, GEN Va, GEN m2)
    2535             : {
    2536       40819 :   long i, j, l = lg(gel(Va,1)), n = lg(xa);
    2537       40819 :   GEN V = cgetg(l, t_COL);
    2538     2165220 :   for(i=1; i < l; i++)
    2539             :   {
    2540     2124216 :     pari_sp av = avma;
    2541     2124216 :     GEN ya = cgetg(n, t_VECSMALL);
    2542    34905781 :     for(j=1; j < n; j++)
    2543    32772754 :       ya[j] = mael(Va,j,i);
    2544     2133027 :     gel(V,i) = gerepilecopy(av, ZV_polint_center_tree(T, R, xa, ya, m2));
    2545             :   }
    2546       41004 :   return V;
    2547             : }
    2548             : 
    2549             : GEN
    2550       38029 : nmV_polint_center_tree_worker(GEN Va, GEN T, GEN R, GEN xa, GEN m2)
    2551             : {
    2552       38029 :   return ncV_polint_center_tree(T, R, xa, Va, m2);
    2553             : }
    2554             : 
    2555             : static GEN
    2556        2090 : nmV_polint_center_tree(GEN T, GEN R, GEN xa, GEN Ma, GEN m2)
    2557             : {
    2558        2090 :   long i, j, l = lg(gel(Ma,1)), n = lg(xa);
    2559        2090 :   long pending = 0, workid, cnt = 0;
    2560             :   struct pari_mt pt;
    2561             :   GEN worker, done, va, M;
    2562        2090 :   GEN ya = cgetg(n, t_VEC);
    2563        2090 :   worker = snm_closure(is_entry("_polint_worker"), mkvec4(T, R, xa, m2));
    2564        2090 :   va = mkvec(gen_0);
    2565        2090 :   M = cgetg(l, t_MAT);
    2566        2090 :   if (DEBUGLEVEL>2) err_printf("Start parallel Chinese remainder: ");
    2567        2090 :   mt_queue_start(&pt, worker);
    2568       43765 :   for (i=1; i<l || pending; i++)
    2569             :   {
    2570      611825 :     for(j=1; j < n; j++)
    2571      570150 :       gel(ya,j) = gmael(Ma,j,i);
    2572       41675 :     gel(va, 1) = ya;
    2573       41675 :     mt_queue_submit(&pt, i, i<l? va: NULL);
    2574       41675 :     done = mt_queue_get(&pt, &workid, &pending);
    2575       41675 :     if (done)
    2576             :     {
    2577       38256 :       gel(M,workid) = done;
    2578       38256 :       if (DEBUGLEVEL>2) err_printf("%ld%% ",(++cnt)*100/(l-1));
    2579             :     }
    2580             :   }
    2581        2090 :   if (DEBUGLEVEL>2) err_printf("\n");
    2582        2090 :   mt_queue_end(&pt);
    2583        2090 :   return M;
    2584             : }
    2585             : 
    2586             : GEN
    2587           0 : Z_ZV_mod(GEN P, GEN xa)
    2588             : {
    2589           0 :   pari_sp av = avma;
    2590           0 :   GEN T = ZV_producttree(xa);
    2591           0 :   return gerepileuptoleaf(av, Z_ZV_mod_tree(P, xa, T));
    2592             : }
    2593             : 
    2594             : GEN
    2595           0 : Z_nv_mod(GEN P, GEN xa)
    2596             : {
    2597           0 :   return Z_ZV_mod(P, xa);
    2598             : }
    2599             : 
    2600             : GEN
    2601       59046 : ZX_nv_mod_tree(GEN P, GEN xa, GEN T)
    2602             : {
    2603       59046 :   long i, j, l = lg(P), n = lg(xa)-1;
    2604       59046 :   GEN V = cgetg(n+1, t_VEC);
    2605      253791 :   for (j=1; j <= n; j++)
    2606             :   {
    2607      194728 :     gel(V, j) = cgetg(l, t_VECSMALL);
    2608      194728 :     mael(V, j, 1) = P[1]&VARNBITS;
    2609             :   }
    2610      750695 :   for (i=2; i < l; i++)
    2611             :   {
    2612      691645 :     GEN v = Z_ZV_mod_tree(gel(P, i), xa, T);
    2613     3330848 :     for (j=1; j <= n; j++)
    2614     2639216 :       mael(V, j, i) = v[j];
    2615             :   }
    2616      253776 :   for (j=1; j <= n; j++)
    2617      194730 :     (void) Flx_renormalize(gel(V, j), l);
    2618       59046 :   return V;
    2619             : }
    2620             : 
    2621             : static GEN
    2622      163840 : ZV_sqr(GEN z)
    2623             : {
    2624      163840 :   long i,l = lg(z);
    2625      163840 :   GEN x = cgetg(l, t_VEC);
    2626      163838 :   if (typ(z)==t_VECSMALL)
    2627       51759 :     for (i=1; i<l; i++) gel(x,i) = sqru(z[i]);
    2628             :   else
    2629      112079 :     for (i=1; i<l; i++) gel(x,i) = sqri(gel(z,i));
    2630      163838 :   return x;
    2631             : }
    2632             : 
    2633             : static GEN
    2634     1061236 : ZT_sqr(GEN z)
    2635             : {
    2636     1061236 :   if (typ(z) == t_INT)
    2637      608087 :     return sqri(z);
    2638             :   else
    2639             :   {
    2640      453149 :     long i,l = lg(z);
    2641      453149 :     GEN x = cgetg(l, t_VEC);
    2642      453148 :     for (i=1; i<l; i++) gel(x,i) = ZT_sqr(gel(z,i));
    2643      453149 :     return x;
    2644             :   }
    2645             : }
    2646             : 
    2647             : static GEN
    2648      163838 : ZV_invdivexact(GEN y, GEN x)
    2649             : {
    2650      163838 :   long i, l = lg(y);
    2651      163838 :   GEN z = cgetg(l,t_VEC);
    2652      163839 :   if (typ(x)==t_VECSMALL)
    2653      339497 :     for (i=1; i<l; i++)
    2654             :     {
    2655      287735 :       pari_sp av = avma;
    2656      287735 :       ulong a = Fl_inv(umodiu(diviuexact(gel(y,i),x[i]), x[i]), x[i]);
    2657      287739 :       avma = av;
    2658      287739 :       gel(z,i) = utoi(a);
    2659             :     }
    2660             :   else
    2661      516035 :     for (i=1; i<l; i++)
    2662      403956 :       gel(z,i) = Fp_inv(diviiexact(gel(y,i), gel(x,i)), gel(x,i));
    2663      163841 :   return z;
    2664             : }
    2665             : 
    2666             : static GEN
    2667      163839 : ZV_chinesetree(GEN T, GEN xa)
    2668             : {
    2669      163839 :   GEN T2 = ZT_sqr(T), xa2 = ZV_sqr(xa);
    2670      163838 :   GEN mod = gmael(T,lg(T)-1,1);
    2671      163838 :   return ZV_invdivexact(Z_ZV_mod_tree(mod, xa2, T2), xa);
    2672             : }
    2673             : 
    2674             : static GEN
    2675      163832 : gc_chinese(pari_sp av, GEN T, GEN a, GEN *pt_mod)
    2676             : {
    2677      163832 :   if (!pt_mod)
    2678        2090 :     return gerepileupto(av, a);
    2679             :   else
    2680             :   {
    2681      161742 :     GEN mod = gmael(T, lg(T)-1, 1);
    2682      161742 :     gerepileall(av, 2, &a, &mod);
    2683      161751 :     *pt_mod = mod;
    2684      161751 :     return a;
    2685             :   }
    2686             : }
    2687             : 
    2688             : GEN
    2689       46876 : ZV_chinese_tree(GEN A, GEN P, GEN T, GEN *pt_mod)
    2690             : {
    2691       46876 :   pari_sp av = avma;
    2692       46876 :   GEN R = ZV_chinesetree(T, P);
    2693       46877 :   GEN a = ZV_polint_tree(T, R, P, A);
    2694       46869 :   return gc_chinese(av, T, a, pt_mod);
    2695             : }
    2696             : 
    2697             : GEN
    2698      112079 : ZV_chinese(GEN A, GEN P, GEN *pt_mod)
    2699             : {
    2700      112079 :   pari_sp av = avma;
    2701      112079 :   GEN T = ZV_producttree(P);
    2702      112079 :   GEN R = ZV_chinesetree(T, P);
    2703      112079 :   GEN a = ZV_polint_tree(T, R, P, A);
    2704      112079 :   return gc_chinese(av, T, a, pt_mod);
    2705             : }
    2706             : 
    2707             : GEN
    2708        2794 : ncV_chinese_center(GEN A, GEN P, GEN *pt_mod)
    2709             : {
    2710        2794 :   pari_sp av = avma;
    2711        2794 :   GEN T = ZV_producttree(P);
    2712        2794 :   GEN R = ZV_chinesetree(T, P);
    2713        2794 :   GEN m2 = shifti(gmael(T, lg(T)-1, 1), -1);
    2714        2794 :   GEN a = ncV_polint_center_tree(T, R, P, A, m2);
    2715        2794 :   return gc_chinese(av, T, a, pt_mod);
    2716             : }
    2717             : 
    2718             : GEN
    2719        2090 : nmV_chinese_center(GEN A, GEN P, GEN *pt_mod)
    2720             : {
    2721        2090 :   pari_sp av = avma;
    2722        2090 :   GEN T = ZV_producttree(P);
    2723        2090 :   GEN R = ZV_chinesetree(T, P);
    2724        2090 :   GEN m2 = shifti(gmael(T, lg(T)-1, 1), -1);
    2725        2090 :   GEN a = nmV_polint_center_tree(T, R, P, A, m2);
    2726        2090 :   return gc_chinese(av, T, a, pt_mod);
    2727             : }
    2728             : 
    2729             : /**********************************************************************
    2730             :  **                                                                  **
    2731             :  **                    Powering  over (Z/NZ)^*, small N              **
    2732             :  **                                                                  **
    2733             :  **********************************************************************/
    2734             : 
    2735             : ulong
    2736   118015989 : Fl_powu_pre(ulong x, ulong n0, ulong p, ulong pi)
    2737             : {
    2738             :   ulong y, z, n;
    2739   118015989 :   if (n0 <= 1)
    2740             :   { /* frequent special cases */
    2741     9157328 :     if (n0 == 1) return x;
    2742     3476351 :     if (n0 == 0) return 1;
    2743             :   }
    2744   108858661 :   if (x <= 1) return x; /* 0 or 1 */
    2745   107841029 :   y = 1; z = x; n = n0;
    2746             :   for(;;)
    2747             :   {
    2748  3168958944 :     if (n&1) y = Fl_mul_pre(y,z,p,pi);
    2749  3168939759 :     n>>=1; if (!n) return y;
    2750  3061118319 :     z = Fl_sqr_pre(z,p,pi);
    2751  3061117915 :   }
    2752             : }
    2753             : 
    2754             : ulong
    2755    61118189 : Fl_powu(ulong x, ulong n0, ulong p)
    2756             : {
    2757             :   ulong y, z, n;
    2758    61118189 :   if (n0 <= 2)
    2759             :   { /* frequent special cases */
    2760    14851303 :     if (n0 == 2) return Fl_sqr(x,p);
    2761     2074733 :     if (n0 == 1) return x;
    2762        2638 :     if (n0 == 0) return 1;
    2763             :   }
    2764    46266886 :   if (x <= 1) return x; /* 0 or 1 */
    2765    46229601 :   if (!SMALL_ULONG(p))
    2766    42156405 :     return Fl_powu_pre(x, n0, p, get_Fl_red(p));
    2767     4073196 :   y = 1; z = x; n = n0;
    2768             :   for(;;)
    2769             :   {
    2770    52608359 :     if (n&1) y = Fl_mul(y,z,p);
    2771    52627039 :     n>>=1; if (!n) return y;
    2772    48547748 :     z = Fl_sqr(z,p);
    2773    48535163 :   }
    2774             : }
    2775             : 
    2776             : /* Reduce data dependency to maximize internal parallelism */
    2777             : GEN
    2778     8283715 : Fl_powers_pre(ulong x, long n, ulong p, ulong pi)
    2779             : {
    2780             :   long i, k;
    2781     8283715 :   GEN powers = cgetg(n + 2, t_VECSMALL);
    2782     8297675 :   powers[1] = 1; if (n == 0) return powers;
    2783     8297675 :   powers[2] = x;
    2784    43847714 :   for (i = 3, k=2; i <= n; i+=2, k++)
    2785             :   {
    2786    35568823 :     powers[i] = Fl_mul_pre(powers[k], powers[k], p, pi);
    2787    35551808 :     powers[i+1] = Fl_mul_pre(powers[k], powers[k+1], p, pi);
    2788             :   }
    2789     8278891 :   if (i==n+1)
    2790     7342120 :     powers[i] = Fl_mul_pre(powers[k], powers[k], p, pi);
    2791     8279358 :   return powers;
    2792             : }
    2793             : 
    2794             : GEN
    2795        1520 : Fl_powers(ulong x, long n, ulong p)
    2796             : {
    2797        1520 :   return Fl_powers_pre(x, n, p, get_Fl_red(p));
    2798             : }
    2799             : 
    2800             : /**********************************************************************
    2801             :  **                                                                  **
    2802             :  **                    Powering  over (Z/NZ)^*, large N              **
    2803             :  **                                                                  **
    2804             :  **********************************************************************/
    2805             : 
    2806             : static GEN
    2807      386982 : Fp_dblsqr(GEN x, GEN N)
    2808             : {
    2809      386982 :   GEN z = shifti(Fp_sqr(x, N), 1);
    2810      386982 :   return cmpii(z, N) >= 0? subii(z, N): z;
    2811             : }
    2812             : 
    2813             : typedef struct muldata {
    2814             :   GEN (*sqr)(void * E, GEN x);
    2815             :   GEN (*mul)(void * E, GEN x, GEN y);
    2816             :   GEN (*mul2)(void * E, GEN x);
    2817             : } muldata;
    2818             : 
    2819             : /* modified Barrett reduction with one fold */
    2820             : /* See Fast Modular Reduction, W. Hasenplaugh, G. Gaubatz, V. Gopal, ARITH 18 */
    2821             : 
    2822             : static GEN
    2823        5165 : Fp_invmBarrett(GEN p, long s)
    2824             : {
    2825        5165 :   GEN R, Q = dvmdii(int2n(3*s),p,&R);
    2826        5165 :   return mkvec2(Q,R);
    2827             : }
    2828             : 
    2829             : /* a <= (N-1)^2, 2^(2s-2) <= N < 2^(2s). Return 0 <= r < N such that
    2830             :  * a = r (mod N) */
    2831             : static GEN
    2832      316804 : Fp_rem_mBarrett(GEN a, GEN B, long s, GEN N)
    2833             : {
    2834      316804 :   pari_sp av = avma;
    2835      316804 :   GEN P = gel(B, 1), Q = gel(B, 2); /* 2^(3s) = P N + Q, 0 <= Q < N */
    2836      316804 :   long t = expi(P)+1; /* 2^(t-1) <= P < 2^t */
    2837      316804 :   GEN u = shifti(a, -3*s), v = remi2n(a, 3*s); /* a = 2^(3s)u + v */
    2838      316804 :   GEN A = addii(v, mulii(Q,u)); /* 0 <= A < 2^(3s+1) */
    2839      316804 :   GEN q = shifti(mulii(shifti(A, t-3*s), P), -t); /* A/N - 4 < q <= A/N */
    2840      316804 :   GEN r = subii(A, mulii(q, N));
    2841      316804 :   GEN sr= subii(r,N);     /* 0 <= r < 4*N */
    2842      316804 :   if (signe(sr)<0) return gerepileuptoint(av, r);
    2843      304612 :   r=sr; sr = subii(r,N);  /* 0 <= r < 3*N */
    2844      304612 :   if (signe(sr)<0) return gerepileuptoint(av, r);
    2845       17436 :   r=sr; sr = subii(r,N);  /* 0 <= r < 2*N */
    2846       17436 :   return gerepileuptoint(av, signe(sr)>=0 ? sr:r);
    2847             : }
    2848             : 
    2849             : /* Montgomery reduction */
    2850             : 
    2851             : INLINE ulong
    2852      239767 : init_montdata(GEN N) { return (ulong) -invmod2BIL(mod2BIL(N)); }
    2853             : 
    2854             : struct montred
    2855             : {
    2856             :   GEN N;
    2857             :   ulong inv;
    2858             : };
    2859             : 
    2860             : /* Montgomery reduction */
    2861             : static GEN
    2862    11849726 : _sqr_montred(void * E, GEN x)
    2863             : {
    2864    11849726 :   struct montred * D = (struct montred *) E;
    2865    11849726 :   return red_montgomery(sqri(x), D->N, D->inv);
    2866             : }
    2867             : 
    2868             : /* Montgomery reduction */
    2869             : static GEN
    2870     1238106 : _mul_montred(void * E, GEN x, GEN y)
    2871             : {
    2872     1238106 :   struct montred * D = (struct montred *) E;
    2873     1238106 :   return red_montgomery(mulii(x, y), D->N, D->inv);
    2874             : }
    2875             : 
    2876             : static GEN
    2877      812247 : _mul2_montred(void * E, GEN x)
    2878             : {
    2879      812247 :   struct montred * D = (struct montred *) E;
    2880      812247 :   GEN z = shifti(_sqr_montred(E, x), 1);
    2881      812253 :   long l = lgefint(D->N);
    2882      812253 :   while (lgefint(z) > l) z = subii(z, D->N);
    2883      812255 :   return z;
    2884             : }
    2885             : 
    2886             : static GEN
    2887     3630018 : _sqr_remii(void* N, GEN x)
    2888     3630018 : { return remii(sqri(x), (GEN) N); }
    2889             : 
    2890             : static GEN
    2891      240735 : _mul_remii(void* N, GEN x, GEN y)
    2892      240735 : { return remii(mulii(x, y), (GEN) N); }
    2893             : 
    2894             : static GEN
    2895      382619 : _mul2_remii(void* N, GEN x)
    2896      382619 : { return Fp_dblsqr(x, (GEN) N); }
    2897             : 
    2898             : struct redbarrett
    2899             : {
    2900             :   GEN iM, N;
    2901             :   long s;
    2902             : };
    2903             : 
    2904             : static GEN
    2905      308401 : _sqr_remiibar(void *E, GEN x)
    2906             : {
    2907      308401 :   struct redbarrett * D = (struct redbarrett *) E;
    2908      308401 :   return Fp_rem_mBarrett(sqri(x), D->iM, D->s, D->N);
    2909             : }
    2910             : 
    2911             : static GEN
    2912        8403 : _mul_remiibar(void *E, GEN x, GEN y)
    2913             : {
    2914        8403 :   struct redbarrett * D = (struct redbarrett *) E;
    2915        8403 :   return Fp_rem_mBarrett(mulii(x, y), D->iM, D->s, D->N);
    2916             : }
    2917             : 
    2918             : static GEN
    2919        4363 : _mul2_remiibar(void *E, GEN x)
    2920             : {
    2921        4363 :   struct redbarrett * D = (struct redbarrett *) E;
    2922        4363 :   return Fp_dblsqr(x, D->N);
    2923             : }
    2924             : 
    2925             : static long
    2926      312565 : Fp_select_red(GEN *y, ulong k, GEN N, long lN, muldata *D, void **pt_E)
    2927             : {
    2928      312565 :   if (lN >= Fp_POW_BARRETT_LIMIT && (k==0 || ((double)k)*expi(*y) > 2 + expi(N)))
    2929             :   {
    2930        5165 :     struct redbarrett * E = (struct redbarrett *) stack_malloc(sizeof(struct redbarrett));
    2931        5165 :     D->sqr = &_sqr_remiibar;
    2932        5165 :     D->mul = &_mul_remiibar;
    2933        5165 :     D->mul2 = &_mul2_remiibar;
    2934        5165 :     E->N = N;
    2935        5165 :     E->s = 1+(expi(N)>>1);
    2936        5165 :     E->iM = Fp_invmBarrett(N, E->s);
    2937        5165 :     *pt_E = (void*) E;
    2938        5165 :     return 0;
    2939             :   }
    2940      307400 :   else if (mod2(N) && lN < Fp_POW_REDC_LIMIT)
    2941             :   {
    2942      239767 :     struct montred * E = (struct montred *) stack_malloc(sizeof(struct montred));
    2943      239767 :     *y = remii(shifti(*y, bit_accuracy(lN)), N);
    2944      239767 :     D->sqr = &_sqr_montred;
    2945      239767 :     D->mul = &_mul_montred;
    2946      239767 :     D->mul2 = &_mul2_montred;
    2947      239767 :     E->N = N;
    2948      239767 :     E->inv = init_montdata(N);
    2949      239767 :     *pt_E = (void*) E;
    2950      239767 :     return 1;
    2951             :   }
    2952             :   else
    2953             :   {
    2954       67633 :     D->sqr = &_sqr_remii;
    2955       67633 :     D->mul = &_mul_remii;
    2956       67633 :     D->mul2 = &_mul2_remii;
    2957       67633 :     *pt_E = (void*) N;
    2958       67633 :     return 0;
    2959             :   }
    2960             : }
    2961             : 
    2962             : GEN
    2963      887130 : Fp_powu(GEN A, ulong k, GEN N)
    2964             : {
    2965      887130 :   long lN = lgefint(N), sA;
    2966             :   int base_is_2, use_montgomery;
    2967             :   muldata D;
    2968             :   void *E;
    2969             :   pari_sp av;
    2970             : 
    2971      887130 :   if (lN == 3) {
    2972      144630 :     ulong n = uel(N,2);
    2973      144630 :     return utoi( Fl_powu(umodiu(A, n), k, n) );
    2974             :   }
    2975      742500 :   if (k <= 2)
    2976             :   { /* frequent special cases */
    2977      522978 :     if (k == 2) return Fp_sqr(A,N);
    2978      119112 :     if (k == 1) return A;
    2979           0 :     if (k == 0) return gen_1;
    2980             :   }
    2981      219522 :   sA = signe(A)==-1 && odd(k);
    2982      219522 :   base_is_2 = 0;
    2983      219522 :   if (lgefint(A) == 3) switch(A[2])
    2984             :   {
    2985         492 :     case 1: return sA ? gen_m1 : gen_1;
    2986       36762 :     case 2:  base_is_2 = 1; break;
    2987             :   }
    2988             : 
    2989             :   /* TODO: Move this out of here and use for general modular computations */
    2990      219030 :   av = avma;
    2991      219030 :   use_montgomery = Fp_select_red(&A, k, N, lN, &D, &E);
    2992      219030 :   if (base_is_2)
    2993       36762 :     A = gen_powu_fold_i(A, k, E, D.sqr, D.mul2);
    2994             :   else
    2995      182268 :     A = gen_powu_i(A, k, E, D.sqr, D.mul);
    2996      219030 :   if (use_montgomery)
    2997             :   {
    2998      195717 :     A = red_montgomery(A, N, ((struct montred *) E)->inv);
    2999      195717 :     if (cmpii(A, N) >= 0) A = subii(A,N);
    3000      195717 :     if (sA) A = subii(N, A);
    3001             :   }
    3002      219030 :   return gerepileuptoint(av, A);
    3003             : }
    3004             : 
    3005             : GEN
    3006       21000 : Fp_pows(GEN A, long k, GEN N)
    3007             : {
    3008       21000 :   if (lgefint(N) == 3) {
    3009        6973 :     ulong n = N[2];
    3010        6973 :     ulong a = umodiu(A, n);
    3011        6973 :     if (k < 0) {
    3012          14 :       a = Fl_inv(a, n);
    3013          14 :       k = -k;
    3014             :     }
    3015        6973 :     return utoi( Fl_powu(a, (ulong)k, n) );
    3016             :   }
    3017       14027 :   if (k < 0) { A = Fp_inv(A, N); k = -k; };
    3018       14027 :   return Fp_powu(A, (ulong)k, N);
    3019             : }
    3020             : 
    3021             : /* A^K mod N */
    3022             : GEN
    3023     2458938 : Fp_pow(GEN A, GEN K, GEN N)
    3024             : {
    3025     2458938 :   pari_sp av = avma;
    3026     2458938 :   long t,s, lN = lgefint(N), sA;
    3027             :   int base_is_2, use_montgomery;
    3028             :   GEN y;
    3029             :   muldata D;
    3030             :   void *E;
    3031             : 
    3032     2458938 :   s = signe(K);
    3033     2458938 :   if (!s)
    3034             :   {
    3035       13748 :     t = signe(remii(A,N)); avma = av;
    3036       13748 :     return t? gen_1: gen_0;
    3037             :   }
    3038     2445190 :   if (lN == 3)
    3039             :   {
    3040     2205468 :     ulong k, n = N[2], a = umodiu(A, n);
    3041     2205468 :     if (s < 0) a = Fl_inv(a, n);
    3042     2205454 :     if (a <= 1) return utoi(a); /* 0 or 1 */
    3043     2099818 :     if (lgefint(K) > 3)
    3044             :     { /* silly case : huge exponent, small modulus */
    3045          21 :       pari_warn(warner, "Mod(a,b)^n with n >> b : wasteful");
    3046          21 :       if (s > 0)
    3047             :       {
    3048          14 :         ulong d = ugcd(a, n);
    3049          14 :         if (d != 1)
    3050             :         { /* write n = n1 n2, with n2 maximal such that (n1,a) = 1 */
    3051           7 :           ulong n1 = ucoprime_part(n, d), n2 = n/n1;
    3052             : 
    3053           7 :           k = umodiu(K, eulerphiu(n1));
    3054             :           /* CRT: = a^K (mod n1), = 0 (mod n2)*/
    3055           7 :           return utoi( Fl_mul(Fl_powu(a, k, n1), n2 * Fl_inv(n2,n1), n) );
    3056             :         }
    3057             :         /* gcd(a,n) = 1 */
    3058           7 :         k = umodiu(K, eulerphiu(n));
    3059             :       }
    3060             :       else
    3061           7 :         k = umodiu(negi(K), eulerphiu(n));
    3062             :     }
    3063             :     else
    3064     2099797 :       k = uel(K,2);
    3065     2099811 :     return utoi(Fl_powu(a, k, n));
    3066             :   }
    3067             : 
    3068      239722 :   if (s < 0) y = Fp_inv(A,N);
    3069             :   else
    3070             :   {
    3071      239371 :     y = modii(A,N);
    3072      239371 :     if (!signe(y)) { avma = av; return gen_0; }
    3073             :   }
    3074      239715 :   if (lgefint(K) == 3) return gerepileuptoint(av, Fp_powu(y, K[2], N));
    3075             : 
    3076       93596 :   base_is_2 = 0;
    3077       93596 :   sA = signe(y)==-1 && mod2(K);
    3078       93596 :   if (lgefint(y) == 3) switch(y[2])
    3079             :   {
    3080          61 :     case 1: return sA ? gen_m1 : gen_1;
    3081       64719 :     case 2:  base_is_2 = 1; break;
    3082             :   }
    3083             : 
    3084             :   /* TODO: Move this out of here and use for general modular computations */
    3085       93535 :   use_montgomery = Fp_select_red(&y, 0UL, N, lN, &D, &E);
    3086       93535 :   if (base_is_2)
    3087       64719 :     y = gen_pow_fold_i(y, K, E, D.sqr, D.mul2);
    3088             :   else
    3089       28816 :     y = gen_pow_i(y, K, E, D.sqr, D.mul);
    3090       93534 :   if (use_montgomery)
    3091             :   {
    3092       44049 :     y = red_montgomery(y, N, ((struct montred *) E)->inv);
    3093       44050 :     if (cmpii(y,N) >= 0) y = subii(y,N);
    3094       44049 :     if (sA) y = subii(N, y);
    3095             :   }
    3096       93534 :   return gerepileuptoint(av,y);
    3097             : }
    3098             : 
    3099             : static GEN
    3100      159555 : _Fp_mul(void *E, GEN x, GEN y) { return Fp_mul(x,y,(GEN)E); }
    3101             : 
    3102             : static GEN
    3103         948 : _Fp_sqr(void *E, GEN x) { return Fp_sqr(x,(GEN)E); }
    3104             : 
    3105             : static GEN
    3106         104 : _Fp_one(void *E) { (void) E; return gen_1; }
    3107             : 
    3108             : GEN
    3109        1624 : Fp_powers(GEN x, long n, GEN p)
    3110             : {
    3111        1624 :   if (lgefint(p) == 3)
    3112        1520 :     return Flv_to_ZV(Fl_powers(umodiu(x, uel(p, 2)), n, uel(p, 2)));
    3113         104 :   return gen_powers(x, n, 1, (void*)p, _Fp_sqr, _Fp_mul, _Fp_one);
    3114             : }
    3115             : 
    3116             : static GEN
    3117      587739 : _Fp_pow(void *E, GEN x, GEN n) { return Fp_pow(x,n,(GEN)E); }
    3118             : 
    3119             : static GEN
    3120         413 : _Fp_rand(void *E) { return addis(randomi(subis((GEN)E,1)),1); }
    3121             : 
    3122             : static GEN Fp_easylog(void *E, GEN a, GEN g, GEN ord);
    3123             : 
    3124             : static const struct bb_group Fp_star={_Fp_mul,_Fp_pow,_Fp_rand,hash_GEN,
    3125             :                                       equalii,equali1,Fp_easylog};
    3126             : 
    3127             : static GEN
    3128      935783 : _Fp_red(void *E, GEN x) { return Fp_red(x, (GEN)E); }
    3129             : 
    3130             : static GEN
    3131      944352 : _Fp_add(void *E, GEN x, GEN y) { (void) E; return addii(x,y); }
    3132             : 
    3133             : static GEN
    3134      103113 : _Fp_neg(void *E, GEN x) { (void) E; return negi(x); }
    3135             : 
    3136             : static GEN
    3137     1181019 : _Fp_rmul(void *E, GEN x, GEN y) { (void) E; return mulii(x,y); }
    3138             : 
    3139             : static GEN
    3140       18323 : _Fp_inv(void *E, GEN x) { return Fp_inv(x,(GEN)E); }
    3141             : 
    3142             : static int
    3143      526253 : _Fp_equal0(GEN x) { return signe(x)==0; }
    3144             : 
    3145             : static GEN
    3146       82540 : _Fp_s(void *E, long x) { (void) E; return stoi(x); }
    3147             : 
    3148             : static const struct bb_field Fp_field={_Fp_red,_Fp_add,_Fp_rmul,_Fp_neg,
    3149             :                                         _Fp_inv,_Fp_equal0,_Fp_s};
    3150             : 
    3151        4557 : const struct bb_field *get_Fp_field(void **E, GEN p)
    3152             : {
    3153        4557 :   *E = (void*)p; return &Fp_field;
    3154             : }
    3155             : 
    3156             : /*********************************************************************/
    3157             : /**                                                                 **/
    3158             : /**               ORDER of INTEGERMOD x  in  (Z/nZ)*                **/
    3159             : /**                                                                 **/
    3160             : /*********************************************************************/
    3161             : ulong
    3162        5180 : Fl_order(ulong a, ulong o, ulong p)
    3163             : {
    3164        5180 :   pari_sp av = avma;
    3165             :   GEN m, P, E;
    3166             :   long i;
    3167        5180 :   if (!o) o = p-1;
    3168        5180 :   m = factoru(o);
    3169        5180 :   P = gel(m,1);
    3170        5180 :   E = gel(m,2);
    3171       12943 :   for (i = lg(P)-1; i; i--)
    3172             :   {
    3173        7763 :     ulong j, l = P[i], e = E[i], t = o / upowuu(l,e), y = Fl_powu(a, t, p);
    3174        7763 :     if (y == 1) o = t;
    3175        7224 :     else for (j = 1; j < e; j++)
    3176             :     {
    3177        2247 :       y = Fl_powu(y, l, p);
    3178        2247 :       if (y == 1) { o = t *  upowuu(l, j); break; }
    3179             :     }
    3180             :   }
    3181        5180 :   avma = av; return o;
    3182             : }
    3183             : 
    3184             : /*Find the exact order of a assuming a^o==1*/
    3185             : GEN
    3186       10624 : Fp_order(GEN a, GEN o, GEN p) {
    3187       10624 :   if (lgefint(p) == 3 && (!o || typ(o) == t_INT))
    3188             :   {
    3189          21 :     ulong pp = p[2], oo = (o && lgefint(o)==3)? o[2]: pp-1;
    3190          21 :     return utoi( Fl_order(umodiu(a, pp), oo, pp) );
    3191             :   }
    3192       10603 :   return gen_order(a, o, (void*)p, &Fp_star);
    3193             : }
    3194             : GEN
    3195          56 : Fp_factored_order(GEN a, GEN o, GEN p)
    3196          56 : { return gen_factored_order(a, o, (void*)p, &Fp_star); }
    3197             : 
    3198             : /* return order of a mod p^e, e > 0, pe = p^e */
    3199             : static GEN
    3200          70 : Zp_order(GEN a, GEN p, long e, GEN pe)
    3201             : {
    3202             :   GEN ap, op;
    3203          70 :   if (absequaliu(p, 2))
    3204             :   {
    3205          56 :     if (e == 1) return gen_1;
    3206          56 :     if (e == 2) return mod4(a) == 1? gen_1: gen_2;
    3207          49 :     if (mod4(a) == 1)
    3208          14 :       op = gen_1;
    3209             :     else {
    3210          35 :       op = gen_2;
    3211          35 :       a = Fp_sqr(a, pe);
    3212             :     }
    3213             :   } else {
    3214          14 :     ap = (e == 1)? a: remii(a,p);
    3215          14 :     op = Fp_order(ap, subis(p,1), p);
    3216          14 :     if (e == 1) return op;
    3217           0 :     a = Fp_pow(a, op, pe); /* 1 mod p */
    3218             :   }
    3219          49 :   if (equali1(a)) return op;
    3220           7 :   return mulii(op, powiu(p, e - Z_pval(subis(a,1), p)));
    3221             : }
    3222             : 
    3223             : GEN
    3224          63 : znorder(GEN x, GEN o)
    3225             : {
    3226          63 :   pari_sp av = avma;
    3227             :   GEN b, a;
    3228             : 
    3229          63 :   if (typ(x) != t_INTMOD) pari_err_TYPE("znorder [t_INTMOD expected]",x);
    3230          56 :   b = gel(x,1); a = gel(x,2);
    3231          56 :   if (!equali1(gcdii(a,b))) pari_err_COPRIME("znorder", a,b);
    3232          49 :   if (!o)
    3233             :   {
    3234          35 :     GEN fa = Z_factor(b), P = gel(fa,1), E = gel(fa,2);
    3235          35 :     long i, l = lg(P);
    3236          35 :     o = gen_1;
    3237          70 :     for (i = 1; i < l; i++)
    3238             :     {
    3239          35 :       GEN p = gel(P,i);
    3240          35 :       long e = itos(gel(E,i));
    3241             : 
    3242          35 :       if (l == 2)
    3243          35 :         o = Zp_order(a, p, e, b);
    3244             :       else {
    3245           0 :         GEN pe = powiu(p,e);
    3246           0 :         o = lcmii(o, Zp_order(remii(a,pe), p, e, pe));
    3247             :       }
    3248             :     }
    3249          35 :     return gerepileuptoint(av, o);
    3250             :   }
    3251          14 :   return Fp_order(a, o, b);
    3252             : }
    3253             : GEN
    3254           0 : order(GEN x) { return znorder(x, NULL); }
    3255             : 
    3256             : /*********************************************************************/
    3257             : /**                                                                 **/
    3258             : /**               DISCRETE LOGARITHM  in  (Z/nZ)*                   **/
    3259             : /**                                                                 **/
    3260             : /*********************************************************************/
    3261             : static GEN
    3262       56805 : Fp_log_halfgcd(ulong bnd, GEN C, GEN g, GEN p)
    3263             : {
    3264       56805 :   pari_sp av = avma;
    3265             :   GEN h1, h2, F, G;
    3266       56805 :   if (!Fp_ratlift(g,p,C,shifti(C,-1),&h1,&h2)) return NULL;
    3267       34174 :   if ((F = Z_issmooth_fact(h1, bnd)) && (G = Z_issmooth_fact(h2, bnd)))
    3268             :   {
    3269         231 :     GEN M = cgetg(3, t_MAT);
    3270         231 :     gel(M,1) = vecsmall_concat(gel(F, 1),gel(G, 1));
    3271         231 :     gel(M,2) = vecsmall_concat(gel(F, 2),zv_neg_inplace(gel(G, 2)));
    3272         231 :     return gerepileupto(av, M);
    3273             :   }
    3274       33943 :   avma = av; return NULL;
    3275             : }
    3276             : 
    3277             : static GEN
    3278       56805 : Fp_log_find_rel(GEN b, ulong bnd, GEN C, GEN p, GEN *g, long *e)
    3279             : {
    3280             :   GEN rel;
    3281             :   do
    3282             :   {
    3283       56805 :     (*e)++; *g = Fp_mul(*g, b, p);
    3284       56805 :     rel = Fp_log_halfgcd(bnd, C, *g, p);
    3285       56805 :   } while (!rel);
    3286         231 :   return rel;
    3287             : }
    3288             : 
    3289             : struct Fp_log_rel
    3290             : {
    3291             :   GEN rel;
    3292             :   long *sieve;
    3293             :   ulong prmax;
    3294             :   long nbrel, nbmax;
    3295             : };
    3296             : 
    3297             : /* add u^e */
    3298             : static long
    3299       37401 : addifsmooth1(struct Fp_log_rel *r, GEN h, long u, long e)
    3300             : {
    3301       37401 :   pari_sp av = avma;
    3302             :   GEN z;
    3303       37401 :   if ((z = Z_issmooth_fact(h, r->prmax)))
    3304             :   {
    3305        2485 :     long off = r->prmax+1;
    3306        2485 :     GEN F = cgetg(3, t_MAT);
    3307        2485 :     gel(F,1) = vecsmall_append(gel(z,1), off+u);
    3308        2485 :     gel(F,2) = vecsmall_append(gel(z,2), e);
    3309        2485 :     gel(r->rel,++r->nbrel) = gerepileupto(av, F);
    3310             :   }
    3311       37401 :   return r->nbrel==r->nbmax;
    3312             : }
    3313             : 
    3314             : /* add u^-1 v^-1 */
    3315             : static long
    3316      253358 : addifsmooth2(struct Fp_log_rel *r, GEN h, long u, long v)
    3317             : {
    3318      253358 :   pari_sp av = avma;
    3319             :   GEN z;
    3320      253358 :   if ((z = Z_issmooth_fact(h, r->prmax)))
    3321             :   {
    3322       95011 :     long off = r->prmax+1;
    3323       95011 :     GEN P = mkvecsmall2(off+u,off+v), E = mkvecsmall2(-1,-1);
    3324       95011 :     GEN F = cgetg(3, t_MAT);
    3325       95011 :     gel(F,1) = vecsmall_concat(gel(z,1), P);
    3326       95011 :     gel(F,2) = vecsmall_concat(gel(z,2), E);
    3327       95011 :     gel(r->rel,++r->nbrel) = gerepileupto(av, F);
    3328             :   }
    3329      253358 :   return r->nbrel==r->nbmax;
    3330             : }
    3331             : 
    3332             : /*
    3333             : Let p=C^2+c
    3334             : Solve h = (C+x)*(C+a)-p = 0 [mod l]
    3335             : h= -c+x*(C+a)+C*a = 0  [mod l]
    3336             : x = (c-C*a)/(C+a) [mod l]
    3337             : h = -c+C*(x+a)+a*x
    3338             : */
    3339             : 
    3340             : static void
    3341       36862 : Fp_log_sieve_h(struct Fp_log_rel *r, GEN C, GEN c, GEN Ci, GEN ci, long a, GEN pr, GEN sz)
    3342             : {
    3343       36862 :   long th = expi(C), n = lg(pr)-1;
    3344             :   long i,j;
    3345       36862 :   if (addifsmooth1(r, addis(C,a), a, -1)) return;
    3346    25526508 :   for(j=0; j<=a; j++)
    3347    25489646 :     r->sieve[j]=0;
    3348    16626820 :   for(i=1; i<=n; i++)
    3349             :   {
    3350    16589958 :     ulong li = pr[i], s = sz[i], al = a % li;
    3351    16589958 :     ulong u, iv = Fl_invsafe(Fl_add(Ci[i],al,li),li);
    3352    16589958 :     if (!iv) continue;
    3353    16504691 :     u = Fl_mul(Fl_sub(ci[i],Fl_mul(Ci[i],al,li),li), iv ,li);
    3354    65360344 :     for(j = u; j<=a; j+=li)
    3355    48855653 :       r->sieve[j] += s;
    3356             :   }
    3357       36862 :   th = th - expu(th)-1;
    3358    25465797 :   for(j=0; j<a; j++)
    3359    25428984 :     if (r->sieve[j]>=th)
    3360             :     {
    3361      253358 :       GEN h = addiu(subii(muliu(C,a+j),c), a*j);
    3362      253358 :       if (addifsmooth2(r, h, a, j)) return;
    3363             :     }
    3364             :   /* j = a */
    3365       36813 :     if (r->sieve[a]>=th)
    3366             :     {
    3367         539 :       GEN h = addiu(subii(muliu(C,2*a),c), a*a);
    3368         539 :       if (addifsmooth1(r, h, a, -2)) return;
    3369             :     }
    3370             : }
    3371             : 
    3372             : static GEN
    3373        1367 : _psi(void*E, GEN y)
    3374             : {
    3375        1367 :   GEN lx = (GEN) E;
    3376        1367 :   long prec = realprec(lx);
    3377        1367 :   GEN ly = glog(y, prec);
    3378        1367 :   GEN u = gdiv(lx, ly);
    3379        1367 :   return gsub(gdiv(y ,ly), gpow(u, u, prec));
    3380             : }
    3381             : 
    3382             : static GEN
    3383          49 : opt_param(GEN x, long prec)
    3384             : {
    3385          49 :   return zbrent((void*)glog(x,prec), _psi, gen_2, x, prec);
    3386             : }
    3387             : 
    3388             : static GEN
    3389          49 : check_kernel(long nbg, long N, long prmax, GEN C, GEN M, GEN p, GEN m)
    3390             : {
    3391          49 :   pari_sp av = avma;
    3392          49 :   long lM = lg(M)-1, nbcol = lM;
    3393             :   for (;;)
    3394             :   {
    3395          84 :     GEN K = FpMs_leftkernel_elt_col(M, nbcol, N, m);
    3396          84 :     long i, f=0;
    3397          84 :     long l = lg(K), lm = lgefint(m);
    3398          84 :     GEN idx = diviiexact(subis(p,1),m), g;
    3399             :     pari_timer ti;
    3400          84 :     if (DEBUGLEVEL) timer_start(&ti);
    3401         133 :     for(i=1; i<l; i++)
    3402         133 :       if (signe(gel(K,i)))
    3403          84 :         break;
    3404          84 :     g = Fp_pow(utoi(i), idx, p);
    3405          84 :     K = FpC_Fp_mul(K, Fp_inv(gel(K,i), m), m);
    3406      129185 :     for(i=1; i<l; i++)
    3407             :     {
    3408      129101 :       GEN k = gel(K,i);
    3409      129101 :       GEN j = i<=prmax ? utoi(i): addis(C,i-(prmax+1));
    3410      129101 :       if (signe(k)==0 || !equalii(Fp_pow(g, k, p),
    3411             :             Fp_pow(j, idx, p)))
    3412       80234 :         gel(K,i) = cgetineg(lm);
    3413             :       else
    3414       48867 :         f++;
    3415             :     }
    3416          84 :     if (DEBUGLEVEL) timer_printf(&ti,"found %ld logs", f);
    3417         133 :     if(f > (nbg>>1)) return gerepileupto(av, K);
    3418        9198 :     for(i=1; i<=nbcol; i++)
    3419             :     {
    3420        9163 :       long a = 1+random_Fl(lM);
    3421        9163 :       swap(gel(M,a),gel(M,i));
    3422             :     }
    3423          35 :     if (4*nbcol>5*nbg) nbcol = nbcol*9/10;
    3424          35 :   }
    3425             : }
    3426             : 
    3427             : static GEN
    3428          98 : Fp_log_find_ind(GEN a, GEN K, long prmax, GEN C, GEN p, GEN m)
    3429             : {
    3430          98 :   pari_sp av=avma;
    3431          98 :   GEN aa = gen_1;
    3432          98 :   long AV = 0;
    3433             :   for(;;)
    3434             :   {
    3435         231 :     GEN A = Fp_log_find_rel(a, prmax, C, p, &aa, &AV);
    3436         231 :     GEN F = gel(A,1), E = gel(A,2);
    3437         231 :     GEN Ao = gen_0;
    3438         231 :     long i, l = lg(F);
    3439        1162 :     for(i=1; i<l; i++)
    3440             :     {
    3441        1064 :       GEN Ki = gel(K,F[i]);
    3442        1064 :       if (signe(Ki)<0) break;
    3443         931 :       Ao = addii(Ao, mulis(Ki, E[i]));
    3444             :     }
    3445         329 :     if (i==l) return Fp_div(Ao, utoi(AV), m);
    3446         133 :     aa = gerepileuptoint(av, aa);
    3447         133 :   }
    3448             : }
    3449             : 
    3450             : static GEN
    3451          49 : Fp_log_index(GEN a, GEN b, GEN m, GEN p)
    3452             : {
    3453          49 :   pari_sp av = avma, av2;
    3454             :   long i, nbi, nbrow;
    3455             :   GEN C, c, Ci, ci, pr, sz, l, Ao, Bo, K, d, p_1;
    3456             :   pari_timer ti;
    3457             :   struct Fp_log_rel r;
    3458          49 :   ulong bnds = itou(roundr_safe(opt_param(sqrti(p),DEFAULTPREC)));
    3459          49 :   ulong bnd = 4*bnds;
    3460          49 :   if (!bnds || cmpii(sqru(bnds),m)>=0) return NULL;
    3461             : 
    3462          49 :   p_1 = subiu(p,1);
    3463          49 :   if (!is_pm1(gcdii(m,diviiexact(p_1,m))))
    3464           0 :     m = diviiexact(p_1, coprime_part(p_1, m));
    3465          49 :   pr = primes_upto_zv(bnd);
    3466          49 :   nbi = lg(pr)-1;
    3467          49 :   if (DEBUGLEVEL)
    3468             :   {
    3469           0 :     err_printf("bnd=%lu Size FB=%ld\n", bnd, nbi);
    3470           0 :     timer_start(&ti);
    3471             :   }
    3472          49 :   C = sqrtremi(p, &c);
    3473          49 :   av2 = avma;
    3474          49 :   Ci = cgetg(nbi+1,t_VECSMALL);
    3475          49 :   ci = cgetg(nbi+1,t_VECSMALL);
    3476          49 :   sz = cgetg(nbi+1,t_VECSMALL);
    3477       12236 :   for (i = 1; i <= nbi; ++i)
    3478             :   {
    3479       12187 :     ulong lp = pr[i];
    3480       12187 :     Ci[i] = umodiu(C, lp);
    3481       12187 :     ci[i] = umodiu(c, lp);
    3482       12187 :     sz[i] = expu(lp);
    3483             :   }
    3484          49 :   r.nbrel = 0;
    3485          49 :   r.nbmax = 8*nbi;
    3486          49 :   r.rel = cgetg(r.nbmax+1,t_VEC);
    3487          49 :   r.sieve = cgetg(r.nbmax+2,t_VECSMALL)+1;
    3488          49 :   r.prmax = pr[nbi];
    3489       36911 :   for(i=0; r.nbrel < r.nbmax; i++)
    3490             :   {
    3491       36862 :     Fp_log_sieve_h(&r, C, c, Ci, ci, i, pr, sz);
    3492       36862 :     if (DEBUGLEVEL && (i&127)==0)
    3493           0 :       err_printf("%ld%% ",100*r.nbrel/(r.nbmax));
    3494             :   }
    3495          49 :   nbrow = r.prmax+i;
    3496          49 :   if (DEBUGLEVEL)
    3497             :   {
    3498           0 :     err_printf("\n");
    3499           0 :     timer_printf(&ti," %ld relations, %ld generators", r.nbrel, nbi+i);
    3500             :   }
    3501          49 :   setlg(r.rel,r.nbrel+1);
    3502          49 :   r.rel = gerepileupto(av2, r.rel);
    3503          49 :   K = check_kernel(nbi+nbrow-r.prmax, nbrow, r.prmax, C, r.rel, p, m);
    3504          49 :   if (DEBUGLEVEL) timer_start(&ti);
    3505          49 :   Ao = Fp_log_find_ind(a, K, r.prmax, C, p, m);
    3506          49 :   if (DEBUGLEVEL) timer_printf(&ti," log element");
    3507          49 :   Bo = Fp_log_find_ind(b, K, r.prmax, C, p, m);
    3508          49 :   if (DEBUGLEVEL) timer_printf(&ti," log generator");
    3509          49 :   d = gcdii(Ao,Bo);
    3510          49 :   l = Fp_div(diviiexact(Ao, d) ,diviiexact(Bo, d), m);
    3511          49 :   if (!equalii(a,Fp_pow(b,l,p))) pari_err_BUG("Fp_log_index");
    3512          49 :   return gerepileuptoint(av, l);
    3513             : }
    3514             : 
    3515             : static int
    3516      191281 : Fp_log_use_index(long e, long p)
    3517             : {
    3518      191281 :   return (e >= 27 && 20*(p+6)<=e*e);
    3519             : }
    3520             : 
    3521             : /* Trivial cases a = 1, -1. Return x s.t. g^x = a or [] if no such x exist */
    3522             : static GEN
    3523      210061 : Fp_easylog(void *E, GEN a, GEN g, GEN ord)
    3524             : {
    3525      210061 :   pari_sp av = avma;
    3526      210061 :   GEN p = (GEN)E;
    3527             :   /* assume a reduced mod p, p not necessarily prime */
    3528      210061 :   if (equali1(a)) return gen_0;
    3529             :   /* p > 2 */
    3530      142758 :   if (equalii(subis(p,1), a))  /* -1 */
    3531             :   {
    3532             :     pari_sp av2;
    3533             :     GEN t;
    3534       58783 :     ord = get_arith_Z(ord);
    3535       58783 :     if (mpodd(ord)) { avma = av; return cgetg(1, t_VEC); } /* no solution */
    3536       58769 :     t = shifti(ord,-1); /* only possible solution */
    3537       58769 :     av2 = avma;
    3538       58769 :     if (!equalii(Fp_pow(g, t, p), a)) { avma = av; return cgetg(1, t_VEC); }
    3539       58587 :     avma = av2; return gerepileuptoint(av, t);
    3540             :   }
    3541       83975 :   if (typ(ord)==t_INT && BPSW_psp(p) && Fp_log_use_index(expi(ord),expi(p)))
    3542          49 :     return Fp_log_index(a, g, ord, p);
    3543       83926 :   avma = av; return NULL; /* not easy */
    3544             : }
    3545             : 
    3546             : GEN
    3547      206730 : Fp_log(GEN a, GEN g, GEN ord, GEN p)
    3548             : {
    3549      206730 :   GEN v = get_arith_ZZM(ord);
    3550      206702 :   GEN F = gmael(v,2,1);
    3551      206702 :   long lF = lg(F)-1, lmax;
    3552      206702 :   if (lF == 0) return equali1(a)? gen_0: cgetg(1, t_VEC);
    3553      155602 :   lmax = expi(gel(F,lF));
    3554      155602 :   if (BPSW_psp(p) && Fp_log_use_index(lmax,expi(p)))
    3555          49 :     v = mkvec2(gel(v,1),ZM_famat_limit(gel(v,2),int2n(27)));
    3556      155602 :   return gen_PH_log(a,g,v,(void*)p,&Fp_star);
    3557             : }
    3558             : 
    3559             : /* find x such that h = g^x mod N > 1, N = prod_{i <= l} P[i]^E[i], P[i] prime.
    3560             :  * PHI[l] = eulerphi(N / P[l]^E[l]).   Destroys P/E */
    3561             : static GEN
    3562         112 : znlog_rec(GEN h, GEN g, GEN N, GEN P, GEN E, GEN PHI)
    3563             : {
    3564         112 :   long l = lg(P) - 1, e = E[l];
    3565         112 :   GEN p = gel(P, l), phi = gel(PHI,l), pe = e == 1? p: powiu(p, e);
    3566             :   GEN a,b, hp,gp, hpe,gpe, ogpe; /* = order(g mod p^e) | p^(e-1)(p-1) */
    3567             : 
    3568         112 :   if (l == 1) {
    3569          84 :     hpe = h;
    3570          84 :     gpe = g;
    3571             :   } else {
    3572          28 :     hpe = modii(h, pe);
    3573          28 :     gpe = modii(g, pe);
    3574             :   }
    3575         112 :   if (e == 1) {
    3576          28 :     hp = hpe;
    3577          28 :     gp = gpe;
    3578             :   } else {
    3579          84 :     hp = remii(hpe, p);
    3580          84 :     gp = remii(gpe, p);
    3581             :   }
    3582         112 :   if (hp == gen_0 || gp == gen_0) return NULL;
    3583          91 :   if (absequaliu(p, 2))
    3584             :   {
    3585          35 :     GEN n = int2n(e);
    3586          35 :     ogpe = Zp_order(gpe, gen_2, e, n);
    3587          35 :     a = Fp_log(hpe, gpe, ogpe, n);
    3588          35 :     if (typ(a) != t_INT) return NULL;
    3589             :   }
    3590             :   else
    3591             :   { /* Avoid black box groups: (Z/p^2)^* / (Z/p)^* ~ (Z/pZ, +), where DL
    3592             :        is trivial */
    3593             :     /* [order(gp), factor(order(gp))] */
    3594          56 :     GEN v = Fp_factored_order(gp, subis(p,1), p);
    3595          56 :     GEN ogp = gel(v,1);
    3596          56 :     if (!equali1(Fp_pow(hp, ogp, p))) return NULL;
    3597          56 :     a = Fp_log(hp, gp, v, p);
    3598          56 :     if (typ(a) != t_INT) return NULL;
    3599          56 :     if (e == 1) ogpe = ogp;
    3600             :     else
    3601             :     { /* find a s.t. g^a = h (mod p^e), p odd prime, e > 0, (h,p) = 1 */
    3602             :       /* use p-adic log: O(log p + e) mul*/
    3603             :       long vpogpe, vpohpe;
    3604             : 
    3605          28 :       hpe = Fp_mul(hpe, Fp_pow(gpe, negi(a), pe), pe);
    3606          28 :       gpe = Fp_pow(gpe, ogp, pe);
    3607             :       /* g,h = 1 mod p; compute b s.t. h = g^b */
    3608             : 
    3609             :       /* v_p(order g mod pe) */
    3610          28 :       vpogpe = equali1(gpe)? 0: e - Z_pval(subis(gpe,1), p);
    3611             :       /* v_p(order h mod pe) */
    3612          28 :       vpohpe = equali1(hpe)? 0: e - Z_pval(subis(hpe,1), p);
    3613          28 :       if (vpohpe > vpogpe) return NULL;
    3614             : 
    3615          28 :       ogpe = mulii(ogp, powiu(p, vpogpe)); /* order g mod p^e */
    3616          28 :       if (is_pm1(gpe)) return is_pm1(hpe)? a: NULL;
    3617          28 :       b = gdiv(Qp_log(cvtop(hpe, p, e)), Qp_log(cvtop(gpe, p, e)));
    3618          28 :       a = addii(a, mulii(ogp, padic_to_Q(b)));
    3619             :     }
    3620             :   }
    3621             :   /* gp^a = hp => x = a mod ogpe => generalized Pohlig-Hellman strategy */
    3622          77 :   if (l == 1) return a;
    3623             : 
    3624          28 :   N = diviiexact(N, pe); /* make N coprime to p */
    3625          28 :   h = Fp_mul(h, Fp_pow(g, modii(negi(a), phi), N), N);
    3626          28 :   g = Fp_pow(g, modii(ogpe, phi), N);
    3627          28 :   setlg(P, l); /* remove last element */
    3628          28 :   setlg(E, l);
    3629          28 :   b = znlog_rec(h, g, N, P, E, PHI);
    3630          28 :   if (!b) return NULL;
    3631          28 :   return addmulii(a, b, ogpe);
    3632             : }
    3633             : 
    3634             : static GEN
    3635          84 : get_PHI(GEN P, GEN E)
    3636             : {
    3637          84 :   long i, l = lg(P);
    3638          84 :   GEN PHI = cgetg(l, t_VEC);
    3639          84 :   gel(PHI,1) = gen_1;
    3640         112 :   for (i=1; i<l-1; i++)
    3641             :   {
    3642          28 :     GEN t, p = gel(P,i);
    3643          28 :     long e = E[i];
    3644          28 :     t = mulii(powiu(p, e-1), subis(p,1));
    3645          28 :     if (i > 1) t = mulii(t, gel(PHI,i));
    3646          28 :     gel(PHI,i+1) = t;
    3647             :   }
    3648          84 :   return PHI;
    3649             : }
    3650             : 
    3651             : GEN
    3652         217 : znlog(GEN h, GEN g, GEN o)
    3653             : {
    3654         217 :   pari_sp av = avma;
    3655             :   GEN N, fa, P, E, x;
    3656         217 :   switch (typ(g))
    3657             :   {
    3658             :     case t_PADIC:
    3659             :     {
    3660          28 :       GEN p = gel(g,2);
    3661          28 :       long v = valp(g);
    3662          28 :       if (v < 0) pari_err_DIM("znlog");
    3663          28 :       if (v > 0) {
    3664           0 :         long k = gvaluation(h, p);
    3665           0 :         if (k % v) return cgetg(1,t_VEC);
    3666           0 :         k /= v;
    3667           0 :         if (!gequal(h, gpowgs(g,k))) { avma = av; return cgetg(1,t_VEC); }
    3668           0 :         avma = av; return stoi(k);
    3669             :       }
    3670          28 :       N = gel(g,3);
    3671          28 :       g = Rg_to_Fp(g, N);
    3672          28 :       break;
    3673             :     }
    3674             :     case t_INTMOD:
    3675         189 :       N = gel(g,1);
    3676         189 :       g = gel(g,2); break;
    3677           0 :     default: pari_err_TYPE("znlog", g);
    3678           0 :       return NULL; /* not reached */
    3679             :   }
    3680         217 :   if (equali1(N)) { avma = av; return gen_0; }
    3681         217 :   h = Rg_to_Fp(h, N);
    3682         210 :   if (o) return gerepileupto(av, Fp_log(h, g, o, N));
    3683          84 :   fa = Z_factor(N);
    3684          84 :   P = gel(fa,1);
    3685          84 :   E = vec_to_vecsmall(gel(fa,2));
    3686          84 :   x = znlog_rec(h, g, N, P, E, get_PHI(P,E));
    3687          84 :   if (!x) { avma = av; return cgetg(1,t_VEC); }
    3688          49 :   return gerepileuptoint(av, x);
    3689             : }
    3690             : 
    3691             : GEN
    3692       62328 : Fp_sqrtn(GEN a, GEN n, GEN p, GEN *zeta)
    3693             : {
    3694       62328 :   a = modii(a,p);
    3695       62328 :   if (!signe(a))
    3696             :   {
    3697       48034 :     if (zeta) *zeta = gen_1;
    3698       48034 :     if (signe(n) < 0) pari_err_INV("Fp_sqrtn", mkintmod(gen_0,p));
    3699       48027 :     return gen_0;
    3700             :   }
    3701       14294 :   if (absequaliu(n,2))
    3702             :   {
    3703        1932 :     if (zeta) *zeta = addis(p,-1);
    3704        1932 :     return Fp_sqrt(a,p);
    3705             :   }
    3706       12362 :   return gen_Shanks_sqrtn(a,n,addis(p,-1),zeta,(void*)p,&Fp_star);
    3707             : }
    3708             : 
    3709             : /*********************************************************************/
    3710             : /**                                                                 **/
    3711             : /**                    FUNDAMENTAL DISCRIMINANTS                    **/
    3712             : /**                                                                 **/
    3713             : /*********************************************************************/
    3714             : long
    3715       14371 : isfundamental(GEN x) {
    3716       14371 :   if (typ(x) != t_INT) pari_err_TYPE("isfundamental",x);
    3717       14371 :   return Z_isfundamental(x);
    3718             : }
    3719             : 
    3720             : /* x fundamental ? */
    3721             : long
    3722        7209 : uposisfundamental(ulong x)
    3723             : {
    3724        7209 :   ulong r = x & 15; /* x mod 16 */
    3725        7209 :   if (!r) return 0;
    3726        6817 :   switch(r & 3)
    3727             :   { /* x mod 4 */
    3728        1303 :     case 0: return (r == 4)? 0: uissquarefree(x >> 2);
    3729        2234 :     case 1: return uissquarefree(x);
    3730        3280 :     default: return 0;
    3731             :   }
    3732             : }
    3733             : /* -x fundamental ? */
    3734             : long
    3735       12545 : unegisfundamental(ulong x)
    3736             : {
    3737       12545 :   ulong r = x & 15; /* x mod 16 */
    3738       12545 :   if (!r) return 0;
    3739       12020 :   switch(r & 3)
    3740             :   { /* x mod 4 */
    3741        1982 :     case 0: return (r == 12)? 0: uissquarefree(x >> 2);
    3742        6912 :     case 3: return uissquarefree(x);
    3743        3126 :     default: return 0;
    3744             :   }
    3745             : }
    3746             : long
    3747        1078 : sisfundamental(long x)
    3748        1078 : { return x < 0? unegisfundamental((ulong)(-x)): uposisfundamental(x); }
    3749             : 
    3750             : long
    3751       14931 : Z_isfundamental(GEN x)
    3752             : {
    3753             :   long r;
    3754       14931 :   switch(lgefint(x))
    3755             :   {
    3756           0 :     case 2: return 0;
    3757       32415 :     case 3: return signe(x) < 0? unegisfundamental(x[2])
    3758       19494 :                                : uposisfundamental(x[2]);
    3759             :   }
    3760        2010 :   r = mod16(x);
    3761        2010 :   if (!r) return 0;
    3762        1884 :   if ((r & 3) == 0)
    3763             :   {
    3764             :     pari_sp av;
    3765         376 :     r >>= 2; /* |x|/4 mod 4 */
    3766         376 :     if (signe(x) < 0) r = 4-r;
    3767         376 :     if (r == 1) return 0;
    3768         250 :     av = avma;
    3769         250 :     r = Z_issquarefree( shifti(x,-2) );
    3770         250 :     avma = av; return r;
    3771             :   }
    3772        1508 :   r &= 3; /* |x| mod 4 */
    3773        1508 :   if (signe(x) < 0) r = 4-r;
    3774        1508 :   return (r==1) ? Z_issquarefree(x) : 0;
    3775             : }
    3776             : 
    3777             : GEN
    3778           7 : quaddisc(GEN x)
    3779             : {
    3780           7 :   const pari_sp av = avma;
    3781           7 :   long i,r,tx=typ(x);
    3782             :   GEN P,E,f,s;
    3783             : 
    3784           7 :   if (!is_rational_t(tx)) pari_err_TYPE("quaddisc",x);
    3785           7 :   f = factor(x);
    3786           7 :   P = gel(f,1);
    3787           7 :   E = gel(f,2); s = gen_1;
    3788          35 :   for (i=1; i<lg(P); i++)
    3789          28 :     if (odd(mael(E,i,2))) s = mulii(s,gel(P,i));
    3790           7 :   r = mod4(s); if (gsigne(x) < 0) r = 4-r;
    3791           7 :   if (r>1) s = shifti(s,2);
    3792           7 :   return gerepileuptoint(av, s);
    3793             : }
    3794             : 
    3795             : /*********************************************************************/
    3796             : /**                                                                 **/
    3797             : /**                              FACTORIAL                          **/
    3798             : /**                                                                 **/
    3799             : /*********************************************************************/
    3800             : /* return a * (a+1) * ... * b. Assume a <= b  [ note: factoring out powers of 2
    3801             :  * first is slower ... ] */
    3802             : GEN
    3803      993311 : mulu_interval(ulong a, ulong b)
    3804             : {
    3805      993311 :   pari_sp av = avma;
    3806             :   ulong k, l, N, n;
    3807             :   long lx;
    3808             :   GEN x;
    3809             : 
    3810      993311 :   if (!a) return gen_0;
    3811      993311 :   n = b - a + 1;
    3812      993311 :   if (n < 61)
    3813             :   {
    3814      988284 :     x = utoi(a);
    3815      988284 :     for (k=a+1; k<=b; k++) x = mului(k,x);
    3816      988285 :     return gerepileuptoint(av, x);
    3817             :   }
    3818        5027 :   lx = 1; x = cgetg(2 + n/2, t_VEC);
    3819        5027 :   N = b + a;
    3820      722381 :   for (k = a;; k++)
    3821             :   {
    3822      722381 :     l = N - k; if (l <= k) break;
    3823      717354 :     gel(x,lx++) = muluu(k,l);
    3824      717354 :   }
    3825        5027 :   if (l == k) gel(x,lx++) = utoipos(k);
    3826        5027 :   setlg(x, lx);
    3827        5027 :   return gerepileuptoint(av, ZV_prod(x));
    3828             : }
    3829             : GEN
    3830         245 : muls_interval(long a, long b)
    3831             : {
    3832         245 :   pari_sp av = avma;
    3833         245 :   long lx, k, l, N, n = b - a + 1;
    3834             :   GEN x;
    3835             : 
    3836         245 :   if (a <= 0 && b >= 0) return gen_0;
    3837          98 :   if (n < 61)
    3838             :   {
    3839          98 :     x = stoi(a);
    3840          98 :     for (k=a+1; k<=b; k++) x = mulsi(k,x);
    3841          98 :     return gerepileuptoint(av, x);
    3842             :   }
    3843           0 :   lx = 1; x = cgetg(2 + n/2, t_VEC);
    3844           0 :   N = b + a;
    3845           0 :   for (k = a;; k++)
    3846             :   {
    3847           0 :     l = N - k; if (l <= k) break;
    3848           0 :     gel(x,lx++) = mulss(k,l);
    3849           0 :   }
    3850           0 :   if (l == k) gel(x,lx++) = stoi(k);
    3851           0 :   setlg(x, lx);
    3852           0 :   return gerepileuptoint(av, ZV_prod(x));
    3853             : }
    3854             : 
    3855             : GEN
    3856     2324376 : mpfact(long n)
    3857             : {
    3858     2324376 :   if (n < 2)
    3859             :   {
    3860     1451633 :     if (n < 0) pari_err_DOMAIN("factorial", "argument","<",gen_0,stoi(n));
    3861     1451633 :     return gen_1;
    3862             :   }
    3863      872743 :   return mulu_interval(2UL, (ulong)n);
    3864             : }
    3865             : 
    3866             : /*******************************************************************/
    3867             : /**                                                               **/
    3868             : /**                      LUCAS & FIBONACCI                        **/
    3869             : /**                                                               **/
    3870             : /*******************************************************************/
    3871             : static void
    3872          56 : lucas(ulong n, GEN *a, GEN *b)
    3873             : {
    3874             :   GEN z, t, zt;
    3875         112 :   if (!n) { *a = gen_2; *b = gen_1; return; }
    3876          49 :   lucas(n >> 1, &z, &t); zt = mulii(z, t);
    3877          49 :   switch(n & 3) {
    3878          14 :     case  0: *a = addsi(-2,sqri(z)); *b = addsi(-1,zt); break;
    3879          14 :     case  1: *a = addsi(-1,zt);      *b = addsi(2,sqri(t)); break;
    3880           7 :     case  2: *a = addsi(2,sqri(z));  *b = addsi(1,zt); break;
    3881          14 :     case  3: *a = addsi(1,zt);       *b = addsi(-2,sqri(t));
    3882             :   }
    3883             : }
    3884             : 
    3885             : GEN
    3886           7 : fibo(long n)
    3887             : {
    3888           7 :   pari_sp av = avma;
    3889             :   GEN a, b;
    3890           7 :   if (!n) return gen_0;
    3891           7 :   lucas((ulong)(labs(n)-1), &a, &b);
    3892           7 :   a = diviuexact(addii(shifti(a,1),b), 5);
    3893           7 :   if (n < 0 && !odd(n)) setsigne(a, -1);
    3894           7 :   return gerepileuptoint(av, a);
    3895             : }
    3896             : 
    3897             : /*******************************************************************/
    3898             : /*                                                                 */
    3899             : /*                      CONTINUED FRACTIONS                        */
    3900             : /*                                                                 */
    3901             : /*******************************************************************/
    3902             : static GEN
    3903      359179 : icopy_lg(GEN x, long l)
    3904             : {
    3905      359179 :   long lx = lgefint(x);
    3906             :   GEN y;
    3907             : 
    3908      359179 :   if (lx >= l) return icopy(x);
    3909          35 :   y = cgeti(l); affii(x, y); return y;
    3910             : }
    3911             : 
    3912             : /* continued fraction of a/b. If y != NULL, stop when partial quotients
    3913             :  * differ from y */
    3914             : static GEN
    3915      359468 : Qsfcont(GEN a, GEN b, GEN y, ulong k)
    3916             : {
    3917             :   GEN  z, c;
    3918      359468 :   ulong i, l, ly = lgefint(b);
    3919             : 
    3920             :   /* times 1 / log2( (1+sqrt(5)) / 2 )  */
    3921      359468 :   l = (ulong)(3 + bit_accuracy_mul(ly, 1.44042009041256));
    3922      359468 :   if (k > 0 && k+1 > 0 && l > k+1) l = k+1; /* beware overflow */
    3923      359468 :   if (l > LGBITS) l = LGBITS;
    3924             : 
    3925      359468 :   z = cgetg(l,t_VEC);
    3926      359468 :   l--;
    3927      359468 :   if (y) {
    3928         289 :     pari_sp av = avma;
    3929         289 :     if (l >= (ulong)lg(y)) l = lg(y)-1;
    3930       19467 :     for (i = 1; i <= l; i++)
    3931             :     {
    3932       19289 :       GEN q = gel(y,i);
    3933       19289 :       gel(z,i) = q;
    3934       19289 :       c = b; if (!gequal1(q)) c = mulii(q, b);
    3935       19289 :       c = subii(a, c);
    3936       19289 :       if (signe(c) < 0)
    3937             :       { /* partial quotient too large */
    3938         110 :         c = addii(c, b);
    3939         110 :         if (signe(c) >= 0) i++; /* by 1 */
    3940         110 :         break;
    3941             :       }
    3942       19179 :       if (cmpii(c, b) >= 0)
    3943             :       { /* partial quotient too small */
    3944           1 :         c = subii(c, b);
    3945           1 :         if (cmpii(c, b) < 0) {
    3946             :           /* by 1. If next quotient is 1 in y, add 1 */
    3947           0 :           if (i < l && equali1(gel(y,i+1))) gel(z,i) = addis(q,1);
    3948           0 :           i++;
    3949             :         }
    3950           1 :         break;
    3951             :       }
    3952       19178 :       if ((i & 0xff) == 0) gerepileall(av, 2, &b, &c);
    3953       19178 :       a = b; b = c;
    3954             :     }
    3955             :   } else {
    3956      359179 :     a = icopy_lg(a, ly);
    3957      359179 :     b = icopy(b);
    3958     1254574 :     for (i = 1; i <= l; i++)
    3959             :     {
    3960     1254310 :       gel(z,i) = truedvmdii(a,b,&c);
    3961     1254310 :       if (c == gen_0) { i++; break; }
    3962      895395 :       affii(c, a); cgiv(c); c = a;
    3963      895395 :       a = b; b = c;
    3964             :     }
    3965             :   }
    3966      359468 :   i--;
    3967      359468 :   if (i > 1 && gequal1(gel(z,i)))
    3968             :   {
    3969          85 :     cgiv(gel(z,i)); --i;
    3970          85 :     gel(z,i) = addsi(1, gel(z,i)); /* unclean: leave old z[i] on stack */
    3971             :   }
    3972      359468 :   setlg(z,i+1); return z;
    3973             : }
    3974             : 
    3975             : static GEN
    3976           0 : sersfcont(GEN a, GEN b, long k)
    3977             : {
    3978           0 :   long i, l = typ(a) == t_POL? lg(a): 3;
    3979             :   GEN y, c;
    3980           0 :   if (lg(b) > l) l = lg(b);
    3981           0 :   if (k > 0 && l > k+1) l = k+1;
    3982           0 :   y = cgetg(l,t_VEC);
    3983           0 :   for (i=1; i<l; i++)
    3984             :   {
    3985           0 :     gel(y,i) = poldivrem(a,b,&c);
    3986           0 :     if (gequal0(c)) { i++; break; }
    3987           0 :     a = b; b = c;
    3988             :   }
    3989           0 :   setlg(y, i); return y;
    3990             : }
    3991             : 
    3992             : GEN
    3993      359473 : gboundcf(GEN x, long k)
    3994             : {
    3995             :   pari_sp av;
    3996      359473 :   long tx = typ(x), e;
    3997             :   GEN y, a, b, c;
    3998             : 
    3999      359473 :   if (k < 0) pari_err_DOMAIN("gboundcf","nmax","<",gen_0,stoi(k));
    4000      359466 :   if (is_scalar_t(tx))
    4001             :   {
    4002      359466 :     if (gequal0(x)) return mkvec(gen_0);
    4003      359186 :     switch(tx)
    4004             :     {
    4005           0 :       case t_INT: return mkveccopy(x);
    4006             :       case t_REAL:
    4007         296 :         av = avma;
    4008         296 :         c = mantissa_real(x,&e);
    4009         296 :         if (e < 0) pari_err_PREC("gboundcf");
    4010         289 :         y = int2n(e);
    4011         289 :         a = Qsfcont(c,y, NULL, k);
    4012         289 :         b = addsi(signe(x), c);
    4013         289 :         return gerepilecopy(av, Qsfcont(b,y, a, k));
    4014             : 
    4015             :       case t_FRAC:
    4016      358890 :         av = avma;
    4017      358890 :         return gerepileupto(av, Qsfcont(gel(x,1),gel(x,2), NULL, k));
    4018             :     }
    4019           0 :     pari_err_TYPE("gboundcf",x);
    4020             :   }
    4021             : 
    4022           0 :   switch(tx)
    4023             :   {
    4024           0 :     case t_POL: return mkveccopy(x);
    4025             :     case t_SER:
    4026           0 :       av = avma;
    4027           0 :       return gerepileupto(av, gboundcf(ser2rfrac_i(x), k));
    4028             :     case t_RFRAC:
    4029           0 :       av = avma;
    4030           0 :       return gerepilecopy(av, sersfcont(gel(x,1), gel(x,2), k));
    4031             :   }
    4032           0 :   pari_err_TYPE("gboundcf",x);
    4033           0 :   return NULL; /* not reached */
    4034             : }
    4035             : 
    4036             : static GEN
    4037          14 : sfcont2(GEN b, GEN x, long k)
    4038             : {
    4039          14 :   pari_sp av = avma;
    4040          14 :   long lb = lg(b), tx = typ(x), i;
    4041             :   GEN y,p1;
    4042             : 
    4043          14 :   if (k)
    4044             :   {
    4045           7 :     if (k >= lb) pari_err_DIM("contfrac [too few denominators]");
    4046           0 :     lb = k+1;
    4047             :   }
    4048           7 :   y = cgetg(lb,t_VEC);
    4049           7 :   if (lb==1) return y;
    4050           7 :   if (is_scalar_t(tx))
    4051             :   {
    4052           7 :     if (!is_intreal_t(tx) && tx != t_FRAC) pari_err_TYPE("sfcont2",x);
    4053             :   }
    4054           0 :   else if (tx == t_SER) x = ser2rfrac_i(x);
    4055             : 
    4056           7 :   if (!gequal1(gel(b,1))) x = gmul(gel(b,1),x);
    4057           7 :   for (i = 1;;)
    4058             :   {
    4059          35 :     if (tx == t_REAL)
    4060             :     {
    4061          35 :       long e = expo(x);
    4062          35 :       if (e > 0 && nbits2prec(e+1) > realprec(x)) break;
    4063          35 :       gel(y,i) = floorr(x);
    4064          35 :       p1 = subri(x, gel(y,i));
    4065             :     }
    4066             :     else
    4067             :     {
    4068           0 :       gel(y,i) = gfloor(x);
    4069           0 :       p1 = gsub(x, gel(y,i));
    4070             :     }
    4071          35 :     if (++i >= lb) break;
    4072          28 :     if (gequal0(p1)) break;
    4073          28 :     x = gdiv(gel(b,i),p1);
    4074          28 :   }
    4075           7 :   setlg(y,i);
    4076           7 :   return gerepilecopy(av,y);
    4077             : }
    4078             : 
    4079             : 
    4080             : GEN
    4081           0 : gcf(GEN x) { return gboundcf(x,0); }
    4082             : GEN
    4083           0 : gcf2(GEN b, GEN x) { return contfrac0(x,b,0); }
    4084             : GEN
    4085          49 : contfrac0(GEN x, GEN b, long nmax)
    4086             : {
    4087             :   long tb;
    4088             : 
    4089          49 :   if (!b) return gboundcf(x,nmax);
    4090          28 :   tb = typ(b);
    4091          28 :   if (tb == t_INT) return gboundcf(x,itos(b));
    4092          21 :   if (! is_vec_t(tb)) pari_err_TYPE("contfrac0",b);
    4093          21 :   if (nmax < 0) pari_err_DOMAIN("contfrac","nmax","<",gen_0,stoi(nmax));
    4094          14 :   return sfcont2(b,x,nmax);
    4095             : }
    4096             : 
    4097             : GEN
    4098         126 : contfracpnqn(GEN x, long n)
    4099             : {
    4100         126 :   pari_sp av = avma;
    4101         126 :   long i, lx = lg(x);
    4102             :   GEN M,A,B, p0,p1, q0,q1;
    4103             : 
    4104         126 :   if (lx == 1)
    4105             :   {
    4106          28 :     if (! is_matvec_t(typ(x))) pari_err_TYPE("pnqn",x);
    4107          21 :     if (n >= 0) return cgetg(1,t_MAT);
    4108           7 :     return matid(2);
    4109             :   }
    4110          98 :   switch(typ(x))
    4111             :   {
    4112          56 :     case t_VEC: case t_COL: A = x; B = NULL; break;
    4113             :     case t_MAT:
    4114          42 :       switch(lgcols(x))
    4115             :       {
    4116           0 :         case 2: A = row(x,1); B = NULL; break;
    4117          35 :         case 3: A = row(x,2); B = row(x,1); break;
    4118           7 :         default: pari_err_DIM("pnqn [ nbrows != 1,2 ]");
    4119           0 :                  return NULL; /*not reached*/
    4120             :       }
    4121          35 :       break;
    4122           0 :     default: pari_err_TYPE("pnqn",x);
    4123           0 :       return NULL; /*not reached*/
    4124             :   }
    4125          91 :   p1 = gel(A,1);
    4126          91 :   q1 = B? gel(B,1): gen_1; /* p[0], q[0] */
    4127          91 :   if (n >= 0)
    4128             :   {
    4129          56 :     lx = minss(lx, n+2);
    4130          56 :     if (lx == 2) return gerepilecopy(av, mkmat(mkcol2(p1,q1)));
    4131             :   }
    4132          35 :   else if (lx == 2)
    4133           7 :     return gerepilecopy(av, mkmat2(mkcol2(p1,q1), mkcol2(gen_1,gen_0)));
    4134             :   /* lx >= 3 */
    4135          56 :   p0 = gen_1;
    4136          56 :   q0 = gen_0; /* p[-1], q[-1] */
    4137          56 :   M = cgetg(lx, t_MAT);
    4138          56 :   gel(M,1) = mkcol2(p1,q1);
    4139         217 :   for (i=2; i<lx; i++)
    4140             :   {
    4141         161 :     GEN a = gel(A,i), p2,q2;
    4142         161 :     if (B) {
    4143          84 :       GEN b = gel(B,i);
    4144          84 :       p0 = gmul(b,p0);
    4145          84 :       q0 = gmul(b,q0);
    4146             :     }
    4147         161 :     p2 = gadd(gmul(a,p1),p0); p0=p1; p1=p2;
    4148         161 :     q2 = gadd(gmul(a,q1),q0); q0=q1; q1=q2;
    4149         161 :     gel(M,i) = mkcol2(p1,q1);
    4150             :   }
    4151          56 :   if (n < 0) M = mkmat2(gel(M,lx-1), gel(M,lx-2));
    4152          56 :   return gerepilecopy(av, M);
    4153             : }
    4154             : GEN
    4155           0 : pnqn(GEN x) { return contfracpnqn(x,-1); }
    4156             : /* x = [a0, ..., an] from gboundcf, n >= 0;
    4157             :  * return [[p0, ..., pn], [q0,...,qn]] */
    4158             : GEN
    4159      352730 : ZV_allpnqn(GEN x)
    4160             : {
    4161      352730 :   long i, lx = lg(x);
    4162      352730 :   GEN p0, p1, q0, q1, p2, q2, P,Q, v = cgetg(3,t_VEC);
    4163             : 
    4164      352730 :   gel(v,1) = P = cgetg(lx, t_VEC);
    4165      352730 :   gel(v,2) = Q = cgetg(lx, t_VEC);
    4166      352730 :   p0 = gen_1; q0 = gen_0;
    4167      352730 :   gel(P, 1) = p1 = gel(x,1); gel(Q, 1) = q1 = gen_1;
    4168     1204644 :   for (i=2; i<lx; i++)
    4169             :   {
    4170      851914 :     GEN a = gel(x,i);
    4171      851914 :     gel(P, i) = p2 = addmulii(p0, a, p1); p0 = p1; p1 = p2;
    4172      851914 :     gel(Q, i) = q2 = addmulii(q0, a, q1); q0 = q1; q1 = q2;
    4173             :   }
    4174      352730 :   return v;
    4175             : }
    4176             : 
    4177             : /* write Mod(x,N) as a/b, gcd(a,b) = 1, b <= B (no condition if B = NULL) */
    4178             : static GEN
    4179          35 : mod_to_frac(GEN x, GEN N, GEN B)
    4180             : {
    4181             :   GEN a, b, A;
    4182          35 :   if (B)
    4183             :   {
    4184          21 :     A = divii(shifti(N, -1), B);
    4185             :     /* denominator bound useless, don't use it */
    4186          21 :     if (cmpii(A, B) < 0) B = NULL;
    4187             :   }
    4188          35 :   if (!B)
    4189             :   {
    4190          14 :     A = sqrti(shifti(N, -1));
    4191          14 :     B = A;
    4192             :   }
    4193          35 :   if (!Fp_ratlift(x, N, A,B,&a,&b) || !equali1( gcdii(a,b) )) return NULL;
    4194          21 :   return equali1(b)? a: mkfrac(a,b);
    4195             : }
    4196             : 
    4197             : static GEN
    4198          56 : mod_to_rfrac(GEN x, GEN N, long B)
    4199             : {
    4200             :   GEN a, b;
    4201          56 :   long A, d = degpol(N);
    4202          56 :   if (B >= 0)
    4203             :   {
    4204          21 :     A = d-1 - B;
    4205             :     /* denominator bound useless, don't use it */
    4206          21 :     if (A < B) B = -1;
    4207             :   }
    4208          56 :   if (B < 0)
    4209             :   {
    4210          42 :     B = d >> 1;
    4211          42 :     A = odd(d)? B : B-1;
    4212             :   }
    4213          56 :   if (varn(N) != varn(x)) x = scalarpol(x, varn(N));
    4214          56 :   if (! RgXQ_ratlift(x, N, A, B, &a,&b)) return NULL;
    4215          56 :   if (degpol(RgX_gcd(a,b)) > 0) return NULL;
    4216          49 :   return gdiv(a,b);
    4217             : }
    4218             : 
    4219             : /* k > 0 t_INT, x a t_FRAC, returns the convergent a/b
    4220             :  * of the continued fraction of x with b <= k maximal */
    4221             : static GEN
    4222           0 : bestappr_frac(GEN x, GEN k)
    4223             : {
    4224             :   pari_sp av;
    4225             :   GEN p0, p1, p, q0, q1, q, a, y;
    4226             : 
    4227           0 :   if (cmpii(gel(x,2),k) <= 0) return gcopy(x);
    4228           0 :   av = avma; y = x;
    4229           0 :   p1 = gen_1; p0 = truedvmdii(gel(x,1), gel(x,2), &a); /* = floor(x) */
    4230           0 :   q1 = gen_0; q0 = gen_1;
    4231           0 :   x = mkfrac(a, gel(x,2)); /* = frac(x); now 0<= x < 1 */
    4232             :   for(;;)
    4233             :   {
    4234           0 :     x = ginv(x); /* > 1 */
    4235           0 :     a = typ(x)==t_INT? x: divii(gel(x,1), gel(x,2));
    4236           0 :     if (cmpii(a,k) > 0)
    4237             :     { /* next partial quotient will overflow limits */
    4238             :       GEN n, d;
    4239           0 :       a = divii(subii(k, q1), q0);
    4240           0 :       p = addii(mulii(a,p0), p1); p1=p0; p0=p;
    4241           0 :       q = addii(mulii(a,q0), q1); q1=q0; q0=q;
    4242             :       /* compare |y-p0/q0|, |y-p1/q1| */
    4243           0 :       n = gel(y,1);
    4244           0 :       d = gel(y,2);
    4245           0 :       if (abscmpii(mulii(q1, subii(mulii(q0,n), mulii(d,p0))),
    4246             :                    mulii(q0, subii(mulii(q1,n), mulii(d,p1)))) < 0)
    4247           0 :                    { p1 = p0; q1 = q0; }
    4248           0 :       break;
    4249             :     }
    4250           0 :     p = addii(mulii(a,p0), p1); p1=p0; p0=p;
    4251           0 :     q = addii(mulii(a,q0), q1); q1=q0; q0=q;
    4252             : 
    4253           0 :     if (cmpii(q0,k) > 0) break;
    4254           0 :     x = gsub(x,a); /* 0 <= x < 1 */
    4255           0 :     if (typ(x) == t_INT) { p1 = p0; q1 = q0; break; } /* x = 0 */
    4256             : 
    4257           0 :   }
    4258           0 :   return gerepileupto(av, gdiv(p1,q1));
    4259             : }
    4260             : /* bestappr(t_REAL != 0), to maximal accuracy */
    4261             : static GEN
    4262          21 : bestappr_real_max(GEN x)
    4263             : {
    4264          21 :   pari_sp av = avma;
    4265             :   GEN p0, p1, p, q0, q1, q, a;
    4266             :   long e;
    4267          21 :   p1 = gen_1; a = p0 = floorr(x); q1 = gen_0; q0 = gen_1;
    4268          21 :   x = subri(x,a); /* 0 <= x < 1 */
    4269          21 :   e = bit_prec(x) - expo(x);
    4270             :   for(;;)
    4271             :   {
    4272             :     long d;
    4273          42 :     if (!signe(x) || expi(q0) > e) { p1 = p0; q1 = q0; break; }
    4274          22 :     x = invr(x); /* > 1 */
    4275          22 :     d = nbits2prec(expo(x) + 1);
    4276          22 :     if (d > lg(x)) { p1 = p0; q1 = q0; break; } /* original x was ~ 0 */
    4277             : 
    4278          21 :     a = truncr(x); /* truncr(x) will NOT raise e_PREC */
    4279          21 :     p = addii(mulii(a,p0), p1); p1=p0; p0=p;
    4280          21 :     q = addii(mulii(a,q0), q1); q1=q0; q0=q;
    4281          21 :     x = subri(x,a); /* 0 <= x < 1 */
    4282          21 :   }
    4283          21 :   return gerepileupto(av, gdiv(p1,q1));
    4284             : }
    4285             : /* k > 0 t_INT, x != 0 a t_REAL, returns the convergent a/b
    4286             :  * of the continued fraction of x with b <= k maximal */
    4287             : static GEN
    4288      228367 : bestappr_real(GEN x, GEN k)
    4289             : {
    4290      228367 :   pari_sp av = avma;
    4291             :   GEN kr, p0, p1, p, q0, q1, q, a, y;
    4292             : 
    4293      228367 :   y = x;
    4294      228367 :   p1 = gen_1; a = p0 = floorr(x);
    4295      228367 :   q1 = gen_0; q0 = gen_1;
    4296      228367 :   x = subri(x,a); /* 0 <= x < 1 */
    4297      228367 :   if (!signe(x)) { cgiv(x); return a; }
    4298      224313 :   kr = itor(k, realprec(x));
    4299             :   for(;;)
    4300             :   {
    4301             :     long d;
    4302      650941 :     x = invr(x); /* > 1 */
    4303      650941 :     if (cmprr(x,kr) > 0)
    4304             :     { /* next partial quotient will overflow limits */
    4305      219865 :       a = divii(subii(k, q1), q0);
    4306      219865 :       p = addii(mulii(a,p0), p1); p1=p0; p0=p;
    4307      219865 :       q = addii(mulii(a,q0), q1); q1=q0; q0=q;
    4308             :       /* compare |y-p0/q0|, |y-p1/q1| */
    4309      219865 :       if (abscmprr(mulir(q1, subri(mulir(q0,y), p0)),
    4310             :                    mulir(q0, subri(mulir(q1,y), p1))) < 0)
    4311        3404 :                    { p1 = p0; q1 = q0; }
    4312      219865 :       break;
    4313             :     }
    4314      431076 :     d = nbits2prec(expo(x) + 1);
    4315      431076 :     if (d > lg(x)) { p1 = p0; q1 = q0; break; } /* original x was ~ 0 */
    4316             : 
    4317      431073 :     a = truncr(x); /* truncr(x) will NOT raise e_PREC */
    4318      431073 :     p = addii(mulii(a,p0), p1); p1=p0; p0=p;
    4319      431073 :     q = addii(mulii(a,q0), q1); q1=q0; q0=q;
    4320             : 
    4321      431073 :     if (cmpii(q0,k) > 0) break;
    4322      426995 :     x = subri(x,a); /* 0 <= x < 1 */
    4323      426995 :     if (!signe(x)) { p1 = p0; q1 = q0; break; }
    4324      426628 :   }
    4325      224313 :   return gerepileupto(av, gdiv(p1,q1));
    4326             : }
    4327             : 
    4328             : /* k t_INT or NULL */
    4329             : static GEN
    4330      341540 : bestappr_Q(GEN x, GEN k)
    4331             : {
    4332      341540 :   long lx, tx = typ(x), i;
    4333             :   GEN a, y;
    4334             : 
    4335      341540 :   switch(tx)
    4336             :   {
    4337           0 :     case t_INT: return icopy(x);
    4338           0 :     case t_FRAC: return k? bestappr_frac(x, k): gcopy(x);
    4339             :     case t_REAL:
    4340      262990 :       if (!signe(x)) return gen_0;
    4341      228388 :       return k? bestappr_real(x, k): bestappr_real_max(x);
    4342             : 
    4343             :     case t_INTMOD: {
    4344          21 :       pari_sp av = avma;
    4345          21 :       a = mod_to_frac(gel(x,2), gel(x,1), k); if (!a) return NULL;
    4346          14 :       return gerepilecopy(av, a);
    4347             :     }
    4348             :     case t_PADIC: {
    4349          14 :       pari_sp av = avma;
    4350          14 :       long v = valp(x);
    4351          14 :       a = mod_to_frac(gel(x,4), gel(x,3), k); if (!a) return NULL;
    4352           7 :       if (v) a = gmul(a, powis(gel(x,2), v));
    4353           7 :       return gerepilecopy(av, a);
    4354             :     }
    4355             : 
    4356             :     case t_SER:
    4357           0 :       if (ser_isexactzero(x)) return gcopy(x);
    4358             :       /* fall through */
    4359             :     case t_COMPLEX: case t_POLMOD: case t_POL: case t_RFRAC:
    4360             :     case t_VEC: case t_COL: case t_MAT:
    4361       78515 :       y = cgetg_copy(x, &lx);
    4362       78515 :       if (lontyp[tx] == 1) i = 1; else { y[1] = x[1]; i = 2; }
    4363      411899 :       for (; i<lx; i++)
    4364             :       {
    4365      333384 :         a = bestappr_Q(gel(x,i),k); if (!a) return NULL;
    4366      333384 :         gel(y,i) = a;
    4367             :       }
    4368       78515 :       if (tx == t_POL) return normalizepol(y);
    4369       78515 :       if (tx == t_SER) return normalize(y);
    4370       78515 :       return y;
    4371             :   }
    4372           0 :   pari_err_TYPE("bestappr_Q",x);
    4373           0 :   return NULL; /* not reached */
    4374             : }
    4375             : 
    4376             : static GEN
    4377          49 : bestappr_ser(GEN x, long B)
    4378             : {
    4379          49 :   long v = valp(x), lx = lg(x);
    4380             :   GEN N, t;
    4381          49 :   x = normalizepol(ser2pol_i(x, lx));
    4382          49 :   N = monomial(gen_1, lx-2, varn(x));
    4383          49 :   t = mod_to_rfrac(x, N, B); if (!t) return NULL;
    4384          42 :   if (v)
    4385             :   {
    4386             :     GEN a, b;
    4387             :     long vx;
    4388          14 :     if (typ(t) == t_POL) return RgX_mulXn(t, v);
    4389             :     /* t_RFRAC */
    4390          14 :     vx = varn(x);
    4391          14 :     a = gel(t,1);
    4392          14 :     b = gel(t,2);
    4393          14 :     v -= RgX_valrem(b, &b);
    4394          14 :     if (typ(a) == t_POL && varn(a) == vx) v += RgX_valrem(a, &a);
    4395          14 :     if (v < 0) b = RgX_shift(b, -v);
    4396           7 :     else if (v > 0) {
    4397           7 :       if (typ(a) != t_POL || varn(a) != vx) a = scalarpol_shallow(a, vx);
    4398           7 :       a = RgX_shift(a, v);
    4399             :     }
    4400          14 :     t = mkrfraccopy(a, b);
    4401             :   }
    4402          42 :   return t;
    4403             : }
    4404             : static GEN bestappr_RgX(GEN x, long B);
    4405             : /* x t_POLMOD, B >= 0 or < 0 [omit condition on B].
    4406             :  * Look for coprime t_POL a,b, deg(b)<=B, such that a/b = x */
    4407             : static GEN
    4408          63 : bestappr_RgX(GEN x, long B)
    4409             : {
    4410          63 :   long i, lx, tx = typ(x);
    4411             :   GEN y, t;
    4412          63 :   switch(tx)
    4413             :   {
    4414             :     case t_INT: case t_REAL: case t_INTMOD: case t_FRAC:
    4415             :     case t_COMPLEX: case t_PADIC: case t_QUAD: case t_POL:
    4416           0 :       return gcopy(x);
    4417             : 
    4418             :     case t_RFRAC: {
    4419          14 :       pari_sp av = avma;
    4420          14 :       if (B < 0 || degpol(gel(x,2)) <= B) return gcopy(x);
    4421           7 :       x = rfractoser(x, varn(gel(x,2)), 2*B+1);
    4422           7 :       t = bestappr_ser(x, B); if (!t) return NULL;
    4423           7 :       return gerepileupto(av, t);
    4424             :     }
    4425             :     case t_POLMOD: {
    4426           7 :       pari_sp av = avma;
    4427           7 :       t = mod_to_rfrac(gel(x,2), gel(x,1), B); if (!t) return NULL;
    4428           7 :       return gerepileupto(av, t);
    4429             :     }
    4430             :     case t_SER: {
    4431          42 :       pari_sp av = avma;
    4432          42 :       t = bestappr_ser(x, B); if (!t) return NULL;
    4433          35 :       return gerepileupto(av, t);
    4434             :     }
    4435             : 
    4436             :     case t_VEC: case t_COL: case t_MAT:
    4437           0 :       y = cgetg_copy(x, &lx);
    4438           0 :       if (lontyp[tx] == 1) i = 1; else { y[1] = x[1]; i = 2; }
    4439           0 :       for (; i<lx; i++)
    4440             :       {
    4441           0 :         t = bestappr_RgX(gel(x,i),B); if (!t) return NULL;
    4442           0 :         gel(y,i) = t;
    4443             :       }
    4444           0 :       return y;
    4445             :   }
    4446           0 :   pari_err_TYPE("bestappr_RgX",x);
    4447           0 :   return NULL; /* not reached */
    4448             : }
    4449             : 
    4450             : /* allow k = NULL: maximal accuracy */
    4451             : GEN
    4452        8156 : bestappr(GEN x, GEN k)
    4453             : {
    4454        8156 :   pari_sp av = avma;
    4455        8156 :   if (k) { /* replace by floor(k) */
    4456        8121 :     switch(typ(k))
    4457             :     {
    4458             :       case t_INT:
    4459         161 :         break;
    4460             :       case t_REAL: case t_FRAC:
    4461        7960 :         k = floor_safe(k); /* left on stack for efficiency */
    4462        7960 :         if (!signe(k)) k = gen_1;
    4463        7960 :         break;
    4464             :       default:
    4465           0 :         pari_err_TYPE("bestappr [bound type]", k);
    4466           0 :         break;
    4467             :     }
    4468             :   }
    4469        8156 :   x = bestappr_Q(x, k);
    4470        8156 :   if (!x) { avma = av; return cgetg(1,t_VEC); }
    4471        8142 :   return x;
    4472             : }
    4473             : GEN
    4474          63 : bestapprPade(GEN x, long B)
    4475             : {
    4476          63 :   pari_sp av = avma;
    4477          63 :   GEN t = bestappr_RgX(x, B);
    4478          63 :   if (!t) { avma = av; return cgetg(1,t_VEC); }
    4479          56 :   return t;
    4480             : }
    4481             : 
    4482             : /***********************************************************************/
    4483             : /**                                                                   **/
    4484             : /**         FUNDAMENTAL UNIT AND REGULATOR (QUADRATIC FIELDS)         **/
    4485             : /**                                                                   **/
    4486             : /***********************************************************************/
    4487             : 
    4488             : static GEN
    4489          14 : get_quad(GEN f, GEN pol, long r)
    4490             : {
    4491          14 :   GEN p1 = gcoeff(f,1,2), q1 = gcoeff(f,2,2);
    4492          14 :   return mkquad(pol, r? subii(p1,q1): p1, q1);
    4493             : }
    4494             : 
    4495             : /* replace f by f * [a,1; 1,0] */
    4496             : static void
    4497          14 : update_f(GEN f, GEN a)
    4498             : {
    4499             :   GEN p1;
    4500          14 :   p1 = gcoeff(f,1,1);
    4501          14 :   gcoeff(f,1,1) = addii(mulii(a,p1), gcoeff(f,1,2));
    4502          14 :   gcoeff(f,1,2) = p1;
    4503             : 
    4504          14 :   p1 = gcoeff(f,2,1);
    4505          14 :   gcoeff(f,2,1) = addii(mulii(a,p1), gcoeff(f,2,2));
    4506          14 :   gcoeff(f,2,2) = p1;
    4507          14 : }
    4508             : 
    4509             : GEN
    4510           7 : quadunit(GEN x)
    4511             : {
    4512           7 :   pari_sp av = avma, av2;
    4513             :   GEN pol, y, a, u, v, sqd, f;
    4514             :   long r;
    4515             : 
    4516           7 :   check_quaddisc_real(x, &r, "quadunit");
    4517           7 :   pol = quadpoly(x);
    4518           7 :   sqd = sqrti(x); av2 = avma;
    4519           7 :   a = shifti(addsi(r,sqd),-1);
    4520           7 :   f = mkmat2(mkcol2(a, gen_1), mkcol2(gen_1, gen_0)); /* [a,0; 1,0] */
    4521           7 :   u = stoi(r); v = gen_2;
    4522             :   for(;;)
    4523             :   {
    4524             :     GEN u1, v1;
    4525          14 :     u1 = subii(mulii(a,v),u);
    4526          14 :     v1 = divii(subii(x,sqri(u1)),v);
    4527          14 :     if ( equalii(v,v1) ) {
    4528           7 :       y = get_quad(f,pol,r);
    4529           7 :       update_f(f,a);
    4530           7 :       y = gdiv(get_quad(f,pol,r), gconj(y));
    4531           7 :       break;
    4532             :     }
    4533           7 :     a = divii(addii(sqd,u1), v1);
    4534           7 :     if ( equalii(u,u1) ) {
    4535           0 :       y = get_quad(f,pol,r);
    4536           0 :       y = gdiv(y, gconj(y));
    4537           0 :       break;
    4538             :     }
    4539           7 :     update_f(f,a);
    4540           7 :     u = u1; v = v1;
    4541           7 :     if (gc_needed(av2,2))
    4542             :     {
    4543           0 :       if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"quadunit");
    4544           0 :       gerepileall(av2,4, &a,&f,&u,&v);
    4545             :     }
    4546           7 :   }
    4547           7 :   if (signe(gel(y,3)) < 0) y = gneg(y);
    4548           7 :   return gerepileupto(av, y);
    4549             : }
    4550             : 
    4551             : GEN
    4552          21 : quadregulator(GEN x, long prec)
    4553             : {
    4554          21 :   pari_sp av = avma, av2;
    4555             :   GEN R, rsqd, u, v, sqd;
    4556             :   long r, Rexpo;
    4557             : 
    4558          21 :   check_quaddisc_real(x, &r, "quadregulator");
    4559          21 :   sqd = sqrti(x);
    4560          21 :   rsqd = gsqrt(x,prec);
    4561          21 :   Rexpo = 0; R = real2n(1, prec); /* = 2 */
    4562          21 :   av2 = avma;
    4563          21 :   u = stoi(r); v = gen_2;
    4564             :   for(;;)
    4565             :   {
    4566          70 :     GEN u1 = subii(mulii(divii(addii(u,sqd),v), v), u);
    4567          70 :     GEN v1 = divii(subii(x,sqri(u1)),v);
    4568          70 :     if (equalii(v,v1))
    4569             :     {
    4570           7 :       R = sqrr(R); shiftr_inplace(R, -1);
    4571           7 :       R = mulrr(R, divri(addir(u1,rsqd),v));
    4572           7 :       break;
    4573             :     }
    4574          63 :     if (equalii(u,u1))
    4575             :     {
    4576          14 :       R = sqrr(R); shiftr_inplace(R, -1);
    4577          14 :       break;
    4578             :     }
    4579          49 :     R = mulrr(R, divri(addir(u1,rsqd),v));
    4580          49 :     Rexpo += expo(R); setexpo(R,0);
    4581          49 :     u = u1; v = v1;
    4582          49 :     if (Rexpo & ~EXPOBITS) pari_err_OVERFLOW("quadregulator [exponent]");
    4583          49 :     if (gc_needed(av2,2))
    4584             :     {
    4585           0 :       if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"quadregulator");
    4586           0 :       gerepileall(av2,3, &R,&u,&v);
    4587             :     }
    4588          49 :   }
    4589          21 :   R = logr_abs(divri(R,v));
    4590          21 :   if (Rexpo)
    4591             :   {
    4592          21 :     GEN t = mulsr(Rexpo, mplog2(prec));
    4593          21 :     shiftr_inplace(t, 1);
    4594          21 :     R = addrr(R,t);
    4595             :   }
    4596          21 :   return gerepileuptoleaf(av, R);
    4597             : }
    4598             : 
    4599             : /*************************************************************************/
    4600             : /**                                                                     **/
    4601             : /**                            CLASS NUMBER                             **/
    4602             : /**                                                                     **/
    4603             : /*************************************************************************/
    4604             : 
    4605             : int
    4606    10628904 : qfb_equal1(GEN f) { return equali1(gel(f,1)); }
    4607             : 
    4608    15047085 : static GEN qfi_pow(void *E, GEN f, GEN n)
    4609    15047085 : { return E? nupow(f,n,(GEN)E): powgi(f,n); }
    4610    18997455 : static GEN qfi_comp(void *E, GEN f, GEN g)
    4611    18997455 : { return E? nucomp(f,g,(GEN)E): qficomp(f,g); }
    4612             : static const struct bb_group qfi_group={ qfi_comp,qfi_pow,NULL,hash_GEN,
    4613             :                                          gidentical,qfb_equal1,NULL};
    4614             : 
    4615             : GEN
    4616     2418537 : qfi_order(GEN q, GEN o)
    4617     2418537 : { return gen_order(q, o, NULL, &qfi_group); }
    4618             : 
    4619             : GEN
    4620           0 : qfi_log(GEN a, GEN g, GEN o)
    4621           0 : { return gen_PH_log(a, g, o, NULL, &qfi_group); }
    4622             : 
    4623             : GEN
    4624      521297 : qfi_Shanks(GEN a, GEN g, long n)
    4625             : {
    4626      521297 :   pari_sp av = avma;
    4627             :   GEN T, X;
    4628             :   long rt_n, c;
    4629             : 
    4630      521297 :   a = redimag(a);
    4631      521297 :   g = redimag(g);
    4632             : 
    4633      521297 :   rt_n = sqrt((double)n);
    4634      521297 :   c = n / rt_n;
    4635      521297 :   c = (c * rt_n < n + 1) ? c + 1 : c;
    4636             : 
    4637      521297 :   T = gen_Shanks_init(g, rt_n, NULL, &qfi_group);
    4638      521297 :   X = gen_Shanks(T, a, c, NULL, &qfi_group);
    4639             : 
    4640      521297 :   if (!X) { avma = av; return X; }
    4641      279692 :   return gerepileuptoint(av, X);
    4642             : }
    4643             : 
    4644             : GEN
    4645         140 : qfbclassno0(GEN x,long flag)
    4646             : {
    4647         140 :   switch(flag)
    4648             :   {
    4649         126 :     case 0: return map_proto_G(classno,x);
    4650          14 :     case 1: return map_proto_G(classno2,x);
    4651           0 :     default: pari_err_FLAG("qfbclassno");
    4652             :   }
    4653           0 :   return NULL; /* not reached */
    4654             : }
    4655             : 
    4656             : /* f^h = 1, return order(f). Set *pfao to its factorization */
    4657             : static GEN
    4658     2270664 : find_order(void *E, GEN f, GEN h, GEN *pfao)
    4659             : {
    4660     2270664 :   GEN v = gen_factored_order(f, h, E, &qfi_group);
    4661     2270664 :   *pfao = gel(v,2); return gel(v,1);
    4662             : }
    4663             : 
    4664             : static int
    4665        5550 : ok_q(GEN q, GEN h, GEN d2, long r2)
    4666             : {
    4667        5550 :   if (d2)
    4668             :   {
    4669           7 :     if (r2 <= 2 && !mpodd(q)) return 0;
    4670           7 :     return is_pm1(coprime_part(q,d2));
    4671             :   }
    4672             :   else
    4673             :   {
    4674        5543 :     if (r2 <= 1 && !mpodd(q)) return 0;
    4675        5543 :     return is_pm1(coprime_part(q,h));
    4676             :   }
    4677             : }
    4678             : 
    4679             : /* a,b given by their factorizations. Return factorization of lcm(a,b).
    4680             :  * Set A,B such that A*B = lcm(a, b), (A,B)=1, A|a, B|b */
    4681             : static GEN
    4682      295900 : split_lcm(GEN a, GEN Fa, GEN b, GEN Fb, GEN *pA, GEN *pB)
    4683             : {
    4684      295900 :   GEN P = ZV_union_shallow(gel(Fa,1), gel(Fb,1));
    4685      295900 :   GEN A = gen_1, B = gen_1;
    4686      295900 :   long i, l = lg(P);
    4687      295900 :   GEN E = cgetg(l, t_COL);
    4688      874865 :   for (i=1; i<l; i++)
    4689             :   {
    4690      578965 :     GEN p = gel(P,i);
    4691      578965 :     long va = Z_pval(a,p);
    4692      578965 :     long vb = Z_pval(b,p);
    4693      578965 :     if (va < vb)
    4694             :     {
    4695      297621 :       B = mulii(B,powiu(p,vb));
    4696      297621 :       gel(E,i) = utoi(vb);
    4697             :     }
    4698             :     else
    4699             :     {
    4700      281344 :       A = mulii(A,powiu(p,va));
    4701      281344 :       gel(E,i) = utoi(va);
    4702             :     }
    4703             :   }
    4704      295900 :   *pA = A;
    4705      295900 :   *pB = B; return mkmat2(P,E);
    4706             : }
    4707             : 
    4708             : /* g1 has order d1, f has order o, replace g1 by an element of order lcm(d1,o)*/
    4709             : static void
    4710      295900 : update_g1(GEN *pg1, GEN *pd1, GEN *pfad1, GEN f, GEN o, GEN fao)
    4711             : {
    4712      295900 :   GEN A,B, g1 = *pg1, d1 = *pd1;
    4713      295900 :   *pfad1 = split_lcm(d1,*pfad1, o,fao, &A,&B);
    4714      295900 :   *pg1 = gmul(powgi(g1, diviiexact(d1,A)),  powgi(f, diviiexact(o,B)));
    4715      295900 :   *pd1 = mulii(A,B); /* g1 has order d1 <- lcm(d1,o) */
    4716      295900 : }
    4717             : 
    4718             : /* Write x = Df^2, where D = fundamental discriminant,
    4719             :  * P^E = factorisation of conductor f, with E[i] >= 0 */
    4720             : static void
    4721     1720764 : corediscfact(GEN x, long xmod4, GEN *ptD, GEN *ptP, GEN *ptE)
    4722             : {
    4723     1720764 :   long s = signe(x), l, i;
    4724     1720764 :   GEN fa = absZ_factor(x);
    4725     1720764 :   GEN d, P = gel(fa,1), E = gtovecsmall(gel(fa,2));
    4726             : 
    4727     1720764 :   l = lg(P); d = gen_1;
    4728     4508027 :   for (i=1; i<l; i++)
    4729             :   {
    4730     2787263 :     if (E[i] & 1) d = mulii(d, gel(P,i));
    4731     2787263 :     E[i] >>= 1;
    4732             :   }
    4733     1720764 :   if (!xmod4 && mod4(d) != ((s < 0)? 3: 1)) { d = shifti(d,2); E[1]--; }
    4734     1720764 :   *ptD = (s < 0)? negi(d): d;
    4735     1720764 :   *ptP = P;
    4736     1720764 :   *ptE = E;
    4737     1720764 : }
    4738             : 
    4739             : static GEN
    4740     1678710 : conductor_part(GEN x, long xmod4, GEN *ptD, GEN *ptreg)
    4741             : {
    4742     1678710 :   long l, i, s = signe(x);
    4743             :   GEN E, H, D, P, reg;
    4744             : 
    4745     1678710 :   corediscfact(x, xmod4, &D, &P, &E);
    4746     1678710 :   H = gen_1; l = lg(P);
    4747             :   /* f \prod_{p|f}  [ 1 - (D/p) p^-1 ] = \prod_{p^e||f} p^(e-1) [ p - (D/p) ] */
    4748     4360301 :   for (i=1; i<l; i++)
    4749             :   {
    4750     2681591 :     long e = E[i];
    4751     2681591 :     if (e)
    4752             :     {
    4753           7 :       GEN p = gel(P,i);
    4754           7 :       H = mulii(H, subis(p, kronecker(D,p)));
    4755           7 :       if (e >= 2) H = mulii(H, powiu(p,e-1));
    4756             :     }
    4757             :   }
    4758             : 
    4759             :   /* divide by [ O_K^* : O^* ] */
    4760     1678710 :   if (s < 0)
    4761             :   {
    4762     1678696 :     reg = NULL;
    4763     1678696 :     switch(itou_or_0(D))
    4764             :     {
    4765           0 :       case 4: H = shifti(H,-1); break;
    4766           0 :       case 3: H = divis(H,3); break;
    4767             :     }
    4768             :   } else {
    4769          14 :     reg = quadregulator(D,DEFAULTPREC);
    4770          14 :     if (!equalii(x,D))
    4771           0 :       H = divii(H, roundr(divrr(quadregulator(x,DEFAULTPREC), reg)));
    4772             :   }
    4773     1678710 :   if (ptreg) *ptreg = reg;
    4774     1678710 :   *ptD = D; return H;
    4775             : }
    4776             : 
    4777             : static long
    4778     1678689 : two_rank(GEN x)
    4779             : {
    4780     1678689 :   GEN p = gel(absZ_factor(x),1);
    4781     1678689 :   long l = lg(p)-1;
    4782             : #if 0 /* positive disc not needed */
    4783             :   if (signe(x) > 0)
    4784             :   {
    4785             :     long i;
    4786             :     for (i=1; i<=l; i++)
    4787             :       if (mod4(gel(p,i)) == 3) { l--; break; }
    4788             :   }
    4789             : #endif
    4790     1678689 :   return l-1;
    4791             : }
    4792             : 
    4793             : static GEN
    4794    31893332 : sqr_primeform(GEN x, ulong p) { return redimag(qfisqr(primeform_u(x, p))); }
    4795             : /* return a set of forms hopefully generating Cl(K)^2; set L ~ L(chi_D,1) */
    4796             : static GEN
    4797     1678689 : get_forms(GEN D, GEN *pL)
    4798             : {
    4799     1678689 :   const long MAXFORM = 20;
    4800     1678689 :   GEN L, sqrtD = gsqrt(absi(D),DEFAULTPREC), forms = vectrunc_init(MAXFORM+1);
    4801     1678689 :   long s, nforms = 0;
    4802             :   ulong p;
    4803             :   forprime_t S;
    4804     1678689 :   L = mulrr(divrr(sqrtD,mppi(DEFAULTPREC)), dbltor(1.005));/*overshoot by 0.5%*/
    4805     1678689 :   s = itos_or_0( truncr(shiftr(sqrtr(sqrtD), 1)) );
    4806     1678689 :   if (!s) pari_err_OVERFLOW("classno [discriminant too large]");
    4807     1678689 :   if      (s < 10)   s = 200;
    4808     1554960 :   else if (s < 20)   s = 1000;
    4809        1477 :   else if (s < 5000) s = 5000;
    4810     1678689 :   u_forprime_init(&S, 2, s);
    4811   284027476 :   while ( (p = u_forprime_next(&S)) )
    4812             :   {
    4813   280670098 :     long d, k = kroiu(D,p);
    4814             :     pari_sp av2;
    4815   280670098 :     if (!k) continue;
    4816   278845499 :     if (k > 0)
    4817             :     {
    4818   139862100 :       if (++nforms < MAXFORM) vectrunc_append(forms, sqr_primeform(D,p));
    4819   139862100 :       d = p-1;
    4820             :     }
    4821             :     else
    4822   138983399 :       d = p+1;
    4823   278845499 :     av2 = avma; affrr(divru(mulur(p,L),d), L); avma = av2;
    4824             :   }
    4825     1678689 :   *pL = L; return forms;
    4826             : }
    4827             : 
    4828             : /* h ~ #G, return o = order of f, set fao = its factorization */
    4829             : static  GEN
    4830     1678738 : Shanks_order(void *E, GEN f, GEN h, GEN *pfao)
    4831             : {
    4832     1678738 :   long s = minss(itos(sqrti(h)), 10000);
    4833     1678738 :   GEN T = gen_Shanks_init(f, s, E, &qfi_group);
    4834     1678738 :   GEN v = gen_Shanks(T, ginv(f), ULONG_MAX, E, &qfi_group);
    4835     1678738 :   return find_order(E, f, addiu(v,1), pfao);
    4836             : }
    4837             : 
    4838             : /* if g = 1 in  G/<f> ? */
    4839             : static int
    4840         518 : equal1(void *E, GEN T, ulong N, GEN g)
    4841         518 : { return !!gen_Shanks(T, g, N, E, &qfi_group); }
    4842             : 
    4843             : /* Order of 'a' in G/<f>, T = gen_Shanks_init(f,n), order(f) < n*N
    4844             :  * FIXME: should be gen_order, but equal1 has the wrong prototype */
    4845             : static GEN
    4846         112 : relative_order(void *E, GEN a, GEN o, ulong N,  GEN T)
    4847             : {
    4848         112 :   pari_sp av = avma;
    4849             :   long i, l;
    4850             :   GEN m;
    4851             : 
    4852         112 :   m = get_arith_ZZM(o);
    4853         112 :   if (!m) pari_err_TYPE("gen_order [missing order]",a);
    4854         112 :   o = gel(m,1);
    4855         112 :   m = gel(m,2); l = lgcols(m);
    4856         322 :   for (i = l-1; i; i--)
    4857             :   {
    4858         210 :     GEN t, y, p = gcoeff(m,i,1);
    4859         210 :     long j, e = itos(gcoeff(m,i,2));
    4860         210 :     if (l == 2) {
    4861          35 :       t = gen_1;
    4862          35 :       y = a;
    4863             :     } else {
    4864         175 :       t = diviiexact(o, powiu(p,e));
    4865         175 :       y = powgi(a, t);
    4866             :     }
    4867         210 :     if (equal1(E, T,N,y)) o = t;
    4868             :     else {
    4869         126 :       for (j = 1; j < e; j++)
    4870             :       {
    4871          28 :         y = powgi(y, p);
    4872          28 :         if (equal1(E, T,N,y)) break;
    4873             :       }
    4874         119 :       if (j < e) {
    4875          21 :         if (j > 1) p = powiu(p, j);
    4876          21 :         o = mulii(t, p);
    4877             :       }
    4878             :     }
    4879             :   }
    4880         112 :   return gerepilecopy(av, o);
    4881             : }
    4882             : 
    4883             : /* h(x) for x<0 using Baby Step/Giant Step.
    4884             :  * Assumes G is not too far from being cyclic.
    4885             :  *
    4886             :  * Compute G^2 instead of G so as to kill most of the non-cyclicity */
    4887             : GEN
    4888     1680638 : classno(GEN x)
    4889             : {
    4890     1680638 :   pari_sp av = avma;
    4891             :   long r2, k, s, i, l;
    4892             :   GEN forms, hin, Hf, D, g1, d1, d2, q, L, fad1, order_bound;
    4893             :   void *E;
    4894             : 
    4895     1680638 :   if (signe(x) >= 0) return classno2(x);
    4896             : 
    4897     1680631 :   check_quaddisc(x, &s, &k, "classno");
    4898     1680631 :   if (abscmpiu(x,12) <= 0) return gen_1;
    4899             : 
    4900     1678689 :   Hf = conductor_part(x, k, &D, NULL);
    4901     1678689 :   if (abscmpiu(D,12) <= 0) return gerepilecopy(av, Hf);
    4902     1678689 :   forms =  get_forms(D, &L);
    4903     1678689 :   r2 = two_rank(D);
    4904     1678689 :   hin = roundr(shiftr(L, -r2)); /* rough approximation for #G, G = Cl(K)^2 */
    4905             : 
    4906     1678689 :   l = lg(forms);
    4907     1678689 :   order_bound = const_vec(l-1, NULL);
    4908     1678689 :   E = expi(D) > 60? (void*)sqrtnint(shifti(absi(D),-2),4): NULL;
    4909     1678689 :   g1 = gel(forms,1);
    4910     1678689 :   gel(order_bound,1) = d1 = Shanks_order(E, g1, hin, &fad1);
    4911     1678689 :   q = diviiround(hin, d1); /* approximate order of G/<g1> */
    4912     1678689 :   d2 = NULL; /* not computed yet */
    4913     1678689 :   if (is_pm1(q)) goto END;
    4914      417553 :   for (i=2; i < l; i++)
    4915             :   {
    4916      411940 :     GEN o, fao, a, F, fd, f = gel(forms,i);
    4917      411940 :     fd = powgi(f, d1); if (is_pm1(gel(fd,1))) continue;
    4918      295900 :     F = powgi(fd, q);
    4919      295900 :     a = gel(F,1);
    4920      295900 :     o = is_pm1(a)? find_order(E, fd, q, &fao): Shanks_order(E, fd, q, &fao);
    4921             :     /* f^(d1 q) = 1 */
    4922      295900 :     fao = merge_factor(fad1,fao, (void*)&cmpii, &cmp_nodata);
    4923      295900 :     o = find_order(E, f, fao, &fao);
    4924      295900 :     gel(order_bound,i) = o;
    4925             :     /* o = order of f, fao = factor(o) */
    4926      295900 :     update_g1(&g1,&d1,&fad1, f,o,fao);
    4927      295900 :     q = diviiround(hin, d1);
    4928      295900 :     if (is_pm1(q)) goto END;
    4929             :   }
    4930             :   /* very probably d1 = expo(Cl^2(K)), q ~ #Cl^2(K) / d1 */
    4931        5613 :   if (expi(q) > 3)
    4932             :   { /* q large: compute d2, 2nd elt divisor */
    4933          70 :     ulong N, n = 2*itou(sqrti(d1));
    4934          70 :     GEN D = d1, T = gen_Shanks_init(g1, n, E, &qfi_group);
    4935          70 :     d2 = gen_1;
    4936          70 :     N = itou( gceil(gdivgs(d1,n)) ); /* order(g1) <= n*N */
    4937         287 :     for (i = 1; i < l; i++)
    4938             :     {
    4939         280 :       GEN d, f = gel(forms,i), B = gel(order_bound,i);
    4940         280 :       if (!B) B = find_order(E, f, fad1, /*junk*/&d);
    4941         280 :       f = powgi(f,d2);
    4942         280 :       if (equal1(E, T,N,f)) continue;
    4943         112 :       B = gdiv(B,d2); if (typ(B) == t_FRAC) B = gel(B,1);
    4944             :       /* f^B = 1 */
    4945         112 :       d = relative_order(E, f, B, N,T);
    4946         112 :       d2= mulii(d,d2);
    4947         112 :       D = mulii(d1,d2);
    4948         112 :       q = diviiround(hin,D);
    4949         112 :       if (is_pm1(q)) { d1 = D; goto END; }
    4950             :     }
    4951             :     /* very probably, d2 is the 2nd elementary divisor */
    4952           7 :     d1 = D; /* product of first two elt divisors */
    4953             :   }
    4954             :   /* impose q | d2^oo (d1^oo if d2 not computed), and compatible with known
    4955             :    * 2-rank */
    4956        5550 :   if (!ok_q(q,d1,d2,r2))
    4957             :   {
    4958           0 :     GEN q0 = q;
    4959             :     long d;
    4960           0 :     if (cmpii(mulii(q,d1), hin) < 0)
    4961             :     { /* try q = q0+1,-1,+2,-2 */
    4962           0 :       d = 1;
    4963           0 :       do { q = addis(q0,d); d = d>0? -d: 1-d; } while(!ok_q(q,d1,d2,r2));
    4964             :     }
    4965             :     else
    4966             :     { /* q0-1,+1,-2,+2  */
    4967           0 :       d = -1;
    4968           0 :       do { q = addis(q0,d); d = d<0? -d: -1-d; } while(!ok_q(q,d1,d2,r2));
    4969             :     }
    4970             :   }
    4971        5550 :   d1 = mulii(d1,q);
    4972             : 
    4973             : END:
    4974     1678689 :   return gerepileuptoint(av, shifti(mulii(d1,Hf), r2));
    4975             : }
    4976             : 
    4977             : /* use Euler products */
    4978             : GEN
    4979          21 : classno2(GEN x)
    4980             : {
    4981          21 :   pari_sp av = avma;
    4982          21 :   const long prec = DEFAULTPREC;
    4983             :   long n, i, r, s;
    4984             :   GEN p1, p2, S, p4, p5, p7, Hf, Pi, reg, logd, d, dr, D, half;
    4985             : 
    4986          21 :   check_quaddisc(x, &s, &r, "classno2");
    4987          21 :   if (s < 0 && abscmpiu(x,12) <= 0) return gen_1;
    4988             : 
    4989          21 :   Hf = conductor_part(x, r, &D, &reg);
    4990          21 :   if (s < 0 && abscmpiu(D,12) <= 0) return gerepilecopy(av, Hf); /* |D| < 12*/
    4991             : 
    4992          21 :   Pi = mppi(prec);
    4993          21 :   d = absi(D); dr = itor(d, prec);
    4994          21 :   logd = logr_abs(dr);
    4995          21 :   p1 = sqrtr(divrr(mulir(d,logd), gmul2n(Pi,1)));
    4996          21 :   if (s > 0)
    4997             :   {
    4998          14 :     GEN invlogd = invr(logd);
    4999          14 :     p2 = subsr(1, shiftr(mulrr(logr_abs(reg),invlogd),1));
    5000          14 :     if (cmprr(sqrr(p2), shiftr(invlogd,1)) >= 0) p1 = mulrr(p2,p1);
    5001             :   }
    5002          21 :   n = itos_or_0( mptrunc(p1) );
    5003          21 :   if (!n) pari_err_OVERFLOW("classno [discriminant too large]");
    5004             : 
    5005          21 :   p4 = divri(Pi,d);
    5006          21 :   p7 = invr(sqrtr_abs(Pi));
    5007          21 :   half = real2n(-1, prec);
    5008          21 :   if (s > 0)
    5009             :   { /* i = 1, shortcut */
    5010          14 :     p1 = sqrtr_abs(dr);
    5011          14 :     p5 = subsr(1, mulrr(p7,incgamc(half,p4,prec)));
    5012          14 :     S = addrr(mulrr(p1,p5), eint1(p4,prec));
    5013         546 :     for (i=2; i<=n; i++)
    5014             :     {
    5015         532 :       long k = kroiu(D,i); if (!k) continue;
    5016         434 :       p2 = mulir(sqru(i), p4);
    5017         434 :       p5 = subsr(1, mulrr(p7,incgamc(half,p2,prec)));
    5018         434 :       p5 = addrr(divru(mulrr(p1,p5),i), eint1(p2,prec));
    5019         434 :       S = (k>0)? addrr(S,p5): subrr(S,p5);
    5020             :     }
    5021          14 :     S = shiftr(divrr(S,reg),-1);
    5022             :   }
    5023             :   else
    5024             :   { /* i = 1, shortcut */
    5025           7 :     p1 = gdiv(sqrtr_abs(dr), Pi);
    5026           7 :     p5 = subsr(1, mulrr(p7,incgamc(half,p4,prec)));
    5027           7 :     S = addrr(p5, divrr(p1, mpexp(p4)));
    5028         952 :     for (i=2; i<=n; i++)
    5029             :     {
    5030         945 :       long k = kroiu(D,i); if (!k) continue;
    5031         945 :       p2 = mulir(sqru(i), p4);
    5032         945 :       p5 = subsr(1, mulrr(p7,incgamc(half,p2,prec)));
    5033         945 :       p5 = addrr(p5, divrr(p1, mulur(i, mpexp(p2))));
    5034         945 :       S = (k>0)? addrr(S,p5): subrr(S,p5);
    5035             :     }
    5036             :   }
    5037          21 :   return gerepileuptoint(av, mulii(Hf, roundr(S)));
    5038             : }
    5039             : 
    5040             : static GEN
    5041        5304 : hclassno2(GEN x)
    5042             : {
    5043             :   long i, l, s, xmod4;
    5044             :   GEN Q, H, D, P, E;
    5045             : 
    5046        5304 :   x = negi(x);
    5047        5304 :   check_quaddisc(x, &s, &xmod4, "hclassno");
    5048        5304 :   corediscfact(x, xmod4, &D, &P, &E);
    5049             : 
    5050        5304 :   Q = quadclassunit0(D, 0, NULL, 0);
    5051        5304 :   H = gel(Q,1); l = lg(P);
    5052             : 
    5053             :   /* H \prod_{p^e||f}  (1 + (p^e-1)/(p-1))[ p - (D/p) ] */
    5054       24043 :   for (i=1; i<l; i++)
    5055             :   {
    5056       18739 :     long e = E[i];
    5057       18739 :     if (e)
    5058             :     {
    5059        4198 :       GEN p = gel(P,i), t = subis(p, kronecker(D,p));
    5060        4198 :       if (e > 1) t = mulii(t, diviiexact(subis(powiu(p,e), 1), subis(p,1)));
    5061        4198 :       H = mulii(H, addsi(1, t));
    5062             :     }
    5063             :   }
    5064        5304 :   switch( itou_or_0(D) )
    5065             :   {
    5066           0 :     case 3: H = gdivgs(H, 3); break;
    5067           0 :     case 4: H = gdivgs(H, 2); break;
    5068             :   }
    5069        5304 :   return H;
    5070             : }
    5071             : 
    5072             : GEN
    5073       76111 : hclassno(GEN x)
    5074             : {
    5075             :   ulong a, b, b2, d, h;
    5076             :   long s;
    5077             :   int f;
    5078             : 
    5079       76111 :   if (typ(x) != t_INT) pari_err_TYPE("hclassno",x);
    5080       76111 :   s = signe(x);
    5081       76111 :   if (s < 0) return gen_0;
    5082       76111 :   if (!s) return gdivgs(gen_1, -12);
    5083             : 
    5084       76111 :   a = mod4(x); if (a == 1 || a == 2) return gen_0;
    5085             : 
    5086       76111 :   d = itou_or_0(x);
    5087       76111 :   if (!d || d > 500000) return hclassno2(x);
    5088             : 
    5089       70807 :   h = 0; b = d&1; b2 = (1+d)>>2; f=0;
    5090       70807 :   if (!b)
    5091             :   {
    5092     2074994 :     for (a=1; a*a<b2; a++)
    5093     2020913 :       if (b2%a == 0) h++;
    5094       54081 :     f = (a*a==b2); b=2; b2=(4+d)>>2;
    5095             :   }
    5096     2092598 :   while (b2*3 < d)
    5097             :   {
    5098     1950984 :     if (b2%b == 0) h++;
    5099   131085034 :     for (a=b+1; a*a < b2; a++)
    5100   129134050 :       if (b2%a == 0) h += 2;
    5101     1950984 :     if (a*a == b2) h++;
    5102     1950984 :     b += 2; b2 = (b*b+d)>>2;
    5103             :   }
    5104       70807 :   if (b2*3 == d) retmkfrac(utoipos(3*h+1), utoipos(3));
    5105       70702 :   if (f) retmkfrac(utoipos(2*h+1), gen_2);
    5106       66131 :   return utoipos(h);
    5107             : }
    5108             : 
    5109             : /******************************************************************/
    5110             : /*                                                                */
    5111             : /*                 RAMANUJAN's TAU FUNCTION                       */
    5112             : /*                                                                */
    5113             : /******************************************************************/
    5114             : 
    5115             : /* h(D) / (w(D)/2), D fundamental */
    5116             : static GEN
    5117       36750 : myh(GEN D)
    5118             : {
    5119             :   GEN Q;
    5120       36750 :   if (equalis(D, -3)) return mkfrac(gen_1, utoipos(3));
    5121       32690 :   if (equalis(D, -4)) return ghalf;
    5122       28161 :   Q = quadclassunit0(D, 0, NULL, 0); return gel(Q,1);
    5123             : }
    5124             : 
    5125             : /* 1 + q + ... + q^v */
    5126             : static GEN
    5127        6083 : geomsum(GEN q, long v)
    5128             : {
    5129             :   GEN u;
    5130        6083 :   if (v == 0) return gen_1;
    5131         273 :   u = addui(1, q);
    5132         273 :   for (; v > 1; v--) u = addui(1, mulii(q, u));
    5133         273 :   return u;
    5134             : }
    5135             : 
    5136             : /* 4|N, not fundamental at 2; Hurwitz class number in level 2,
    5137             :  * equal to H(N)+2H(N/4), H=qfbhclassno */
    5138             : static GEN
    5139       36750 : Hspec(GEN N)
    5140             : {
    5141             :   GEN D0, P, E, H, s;
    5142             :   long j, lP;
    5143             : 
    5144       36750 :   corediscfact(negi(N), 0, &D0, &P, &E);
    5145       36750 :   H = myh(D0);
    5146       36750 :   lP = lg(P); /* E[1] > 0 since N not fundamental at */
    5147       36750 :   s = addui(3, muliu(subiu(int2n(E[1]+1), 3), 2 - kroiu(D0,2)));
    5148       86933 :   for (j = 2; j < lP; j++)
    5149             :   {
    5150       50183 :     long e = E[j];
    5151       50183 :     if (e)
    5152             :     {
    5153        6083 :       ulong p = itou(gel(P,j));
    5154        6083 :       GEN q = geomsum(utoipos(p), e-1);
    5155        6083 :       s = mulii(s, addui(1, muliu(q, p - kroiu(D0,p))));
    5156             :     }
    5157             :   }
    5158       36750 :   return gmul(H,s);
    5159             : }
    5160             : 
    5161             : /* Ramanujan tau function for p prime */
    5162             : static GEN
    5163       14903 : tauprime(GEN p)
    5164             : {
    5165       14903 :   pari_sp av = avma, av2;
    5166             :   GEN s, p_27, p_9, T;
    5167             :   ulong lim, t, tin;
    5168             : 
    5169       14903 :   if (absequaliu(p, 2)) return utoineg(24);
    5170             :   /* p > 2 */
    5171       11396 :   p_27 = mulsi(7, sqri(p));
    5172       11396 :   p_9 = mulsi(9, p);
    5173       11396 :   av2 = avma;
    5174       11396 :   lim = itou(sqrtint(p));
    5175       11396 :   tin = mod4(p) == 3? 1: 0;
    5176       11396 :   s = gen_0;
    5177       87178 :   for (t = 1; t <= lim; ++t)
    5178             :   {
    5179       75782 :     GEN p2, t2 = sqru(t), t3 = shifti(subii(p, t2), 2); /* 4(p-t^2) */
    5180             :     /* t mod 2 != tin <=> t3 not fundamental at 2 */
    5181       75782 :     p2 = ((t&1) == tin) ? hclassno(t3) : Hspec(t3);
    5182       75782 :     s = gadd(s, gmul(mulii(powiu(t2,3), addii(p_27, mulii(t2, subii(mulsi(4, t2), p_9)))), p2));
    5183       75782 :     if (!(t & 255)) s = gerepileupto(av2, s);
    5184             :   }
    5185             :   /* 28p^3 - 28p^2 - 90p - 35 */
    5186       11396 :   T = addsi(-35, mulii(p, addsi(-90, mulii(p, addsi(-28, mulsi(28, p))))));
    5187       11396 :   return gerepileupto(av, subii(mulii(powiu(p,3),T), addsi(1, gmulsg(128, s))));
    5188             : }
    5189             : 
    5190             : /* Ramanujan tau function, return 0 for <= 0 */
    5191             : GEN
    5192        7035 : ramanujantau(GEN n)
    5193             : {
    5194        7035 :   pari_sp ltop = avma;
    5195             :   GEN T, F, P, E;
    5196             :   long j, lP;
    5197             : 
    5198        7035 :   if (!(F = check_arith_all(n,"ramanujantau")))
    5199             :   {
    5200        7014 :     if (signe(n) <= 0) return gen_0;
    5201        7007 :     F = Z_factor(n);
    5202             :   }
    5203             :   else
    5204             :   {
    5205          21 :     P = gel(F,1);
    5206          21 :     if (lg(P) == 1 || signe(gel(P,1)) <= 0) return gen_0;
    5207             :   }
    5208             : 
    5209        7014 :   P = gel(F,1);
    5210        7014 :   E = gel(F,2); lP = lg(P);
    5211        7014 :   T = gen_1;
    5212       21917 :   for (j = 1; j < lP; j++)
    5213             :   {
    5214       14903 :     GEN p = gel(P,j), tp = tauprime(p), t1 = tp, t0 = gen_1;
    5215       14903 :     long k, e = itou(gel(E,j));
    5216       20160 :     for (k = 1; k < e; k++)
    5217             :     {
    5218        5257 :       GEN t2 = subii(mulii(tp, t1), mulii(powiu(p, 11), t0));
    5219        5257 :       t0 = t1; t1 = t2;
    5220             :     }
    5221       14903 :     T = mulii(T, t1);
    5222             :   }
    5223        7014 :   return gerepileuptoint(ltop, T);
    5224             : }

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