Line data Source code
1 : /* Copyright (C) 2000 The PARI group.
2 :
3 : This file is part of the PARI/GP package.
4 :
5 : PARI/GP is free software; you can redistribute it and/or modify it under the
6 : terms of the GNU General Public License as published by the Free Software
7 : Foundation. It is distributed in the hope that it will be useful, but WITHOUT
8 : ANY WARRANTY WHATSOEVER.
9 :
10 : Check the License for details. You should have received a copy of it, along
11 : with the package; see the file 'COPYING'. If not, write to the Free Software
12 : Foundation, Inc., 51 Franklin Street, Fifth Floor, Boston, MA 02110-1301 USA. */
13 :
14 : /*********************************************************************/
15 : /** **/
16 : /** ARITHMETIC FUNCTIONS **/
17 : /** (first part) **/
18 : /** **/
19 : /*********************************************************************/
20 : #include "pari.h"
21 : #include "paripriv.h"
22 :
23 : /******************************************************************/
24 : /* */
25 : /* GENERATOR of (Z/mZ)* */
26 : /* */
27 : /******************************************************************/
28 : static GEN
29 43 : remove2(GEN q) { long v = vali(q); return v? shifti(q, -v): q; }
30 : static ulong
31 56041 : u_remove2(ulong q) { return q >> vals(q); }
32 : GEN
33 43 : odd_prime_divisors(GEN q) { return gel(Z_factor(remove2(q)), 1); }
34 : static GEN
35 56042 : u_odd_prime_divisors(ulong q) { return gel(factoru(u_remove2(q)), 1); }
36 : /* p odd prime, q=(p-1)/2; L0 list of (some) divisors of q = (p-1)/2 or NULL
37 : * (all prime divisors of q); return the q/l, l in L0 */
38 : static GEN
39 244 : is_gener_expo(GEN p, GEN L0)
40 : {
41 244 : GEN L, q = shifti(p,-1);
42 : long i, l;
43 244 : if (L0) {
44 224 : l = lg(L0);
45 224 : L = cgetg(l, t_VEC);
46 : } else {
47 20 : L0 = L = odd_prime_divisors(q);
48 20 : l = lg(L);
49 : }
50 244 : for (i=1; i<l; i++) gel(L,i) = diviiexact(q, gel(L0,i));
51 244 : return L;
52 : }
53 : static GEN
54 55567 : u_is_gener_expo(ulong p, GEN L0)
55 : {
56 55567 : const ulong q = p >> 1;
57 : long i, l;
58 : GEN L;
59 55567 : if (L0) {
60 3673 : l = lg(L0);
61 3673 : L = cgetg(l, t_VECSMALL);
62 : } else {
63 51894 : L0 = L = u_odd_prime_divisors(q);
64 51898 : l = lg(L);
65 : }
66 55572 : for (i=1; i<l; i++) L[i] = q / uel(L0,i);
67 55572 : return L;
68 : }
69 :
70 : int
71 141767 : is_gener_Fl(ulong x, ulong p, ulong p_1, GEN L)
72 : {
73 : long i;
74 141767 : if (krouu(x, p) >= 0) return 0;
75 156987 : for (i=lg(L)-1; i; i--)
76 : {
77 97817 : ulong t = Fl_powu(x, uel(L,i), p);
78 97832 : if (t == p_1 || t == 1) return 0;
79 : }
80 59170 : return 1;
81 : }
82 : /* assume p prime */
83 : ulong
84 192693 : pgener_Fl_local(ulong p, GEN L0)
85 : {
86 192693 : const pari_sp av = avma;
87 192693 : const ulong p_1 = p-1;
88 : long x;
89 : GEN L;
90 192693 : if (p <= 19) switch(p)
91 : { /* quick trivial cases */
92 21 : case 2: return 1;
93 : case 7:
94 25848 : case 17: return 3;
95 111285 : default: return 2;
96 : }
97 55539 : L = u_is_gener_expo(p,L0);
98 136400 : for (x = 2;; x++)
99 217258 : if (is_gener_Fl(x,p,p_1,L)) return gc_ulong(av, x);
100 : }
101 : ulong
102 155371 : pgener_Fl(ulong p) { return pgener_Fl_local(p, NULL); }
103 :
104 : /* L[i] = set of (p-1)/2l, l ODD prime divisor of p-1 (l=2 can be included,
105 : * but wasteful) */
106 : int
107 520 : is_gener_Fp(GEN x, GEN p, GEN p_1, GEN L)
108 : {
109 520 : long i, t = lgefint(x)==3? kroui(x[2], p): kronecker(x, p);
110 520 : if (t >= 0) return 0;
111 469 : for (i = lg(L)-1; i; i--)
112 : {
113 174 : GEN t = Fp_pow(x, gel(L,i), p);
114 174 : if (equalii(t, p_1) || equali1(t)) return 0;
115 : }
116 295 : return 1;
117 : }
118 :
119 : /* assume p prime, return a generator of all L[i]-Sylows in F_p^*. */
120 : GEN
121 41216 : pgener_Fp_local(GEN p, GEN L0)
122 : {
123 41216 : pari_sp av0 = avma;
124 : GEN x, p_1, L;
125 41216 : if (lgefint(p) == 3)
126 : {
127 : ulong z;
128 40977 : if (p[2] == 2) return gen_1;
129 31429 : if (L0) L0 = ZV_to_nv(L0);
130 31429 : z = pgener_Fl_local(uel(p,2), L0);
131 31429 : set_avma(av0); return utoipos(z);
132 : }
133 239 : p_1 = subiu(p,1); L = is_gener_expo(p, L0);
134 239 : x = utoipos(2);
135 452 : for (;; x[2]++) { if (is_gener_Fp(x, p, p_1, L)) break; }
136 239 : set_avma(av0); return utoipos(uel(x,2));
137 : }
138 :
139 : GEN
140 40068 : pgener_Fp(GEN p) { return pgener_Fp_local(p, NULL); }
141 :
142 : ulong
143 111918 : pgener_Zl(ulong p)
144 : {
145 111918 : if (p == 2) pari_err_DOMAIN("pgener_Zl","p","=",gen_2,gen_2);
146 : /* only p < 2^32 such that znprimroot(p) != znprimroot(p^2) */
147 111918 : if (p == 40487) return 10;
148 : #ifndef LONG_IS_64BIT
149 15984 : return pgener_Fl(p);
150 : #else
151 95934 : if (p < (1UL<<32)) return pgener_Fl(p);
152 : else
153 : {
154 30 : const pari_sp av = avma;
155 30 : const ulong p_1 = p-1;
156 : long x ;
157 30 : GEN p2 = sqru(p), L = u_is_gener_expo(p, NULL);
158 102 : for (x=2;;x++)
159 174 : if (is_gener_Fl(x,p,p_1,L) && !is_pm1(Fp_powu(utoipos(x),p_1,p2)))
160 30 : return gc_ulong(av, x);
161 : }
162 : #endif
163 : }
164 :
165 : /* p prime. Return a primitive root modulo p^e, e > 1 */
166 : GEN
167 111923 : pgener_Zp(GEN p)
168 : {
169 111923 : if (lgefint(p) == 3) return utoipos(pgener_Zl(p[2]));
170 : else
171 : {
172 5 : const pari_sp av = avma;
173 5 : GEN p_1 = subiu(p,1), p2 = sqri(p), L = is_gener_expo(p,NULL);
174 5 : GEN x = utoipos(2);
175 12 : for (;; x[2]++)
176 29 : if (is_gener_Fp(x,p,p_1,L) && !equali1(Fp_pow(x,p_1,p2))) break;
177 5 : set_avma(av); return utoipos(uel(x,2));
178 : }
179 : }
180 :
181 : static GEN
182 231 : gener_Zp(GEN q, GEN F)
183 : {
184 231 : GEN p = NULL;
185 231 : long e = 0;
186 231 : if (F)
187 : {
188 14 : GEN P = gel(F,1), E = gel(F,2);
189 14 : long i, l = lg(P);
190 42 : for (i = 1; i < l; i++)
191 : {
192 28 : p = gel(P,i);
193 28 : if (absequaliu(p, 2)) continue;
194 14 : if (i < l-1) pari_err_DOMAIN("znprimroot", "argument","=",F,F);
195 14 : e = itos(gel(E,i));
196 : }
197 14 : if (!p) pari_err_DOMAIN("znprimroot", "argument","=",F,F);
198 : }
199 : else
200 217 : e = Z_isanypower(q, &p);
201 231 : return e > 1? pgener_Zp(p): pgener_Fp(q);
202 : }
203 :
204 : GEN
205 301 : znprimroot(GEN N)
206 : {
207 301 : pari_sp av = avma;
208 : GEN x, n, F;
209 :
210 301 : if ((F = check_arith_non0(N,"znprimroot")))
211 : {
212 14 : F = clean_Z_factor(F);
213 14 : N = typ(N) == t_VEC? gel(N,1): factorback(F);
214 : }
215 294 : N = absi_shallow(N);
216 294 : if (abscmpiu(N, 4) <= 0) { set_avma(av); return mkintmodu(N[2]-1,N[2]); }
217 245 : switch(mod4(N))
218 : {
219 : case 0: /* N = 0 mod 4 */
220 14 : pari_err_DOMAIN("znprimroot", "argument","=",N,N);
221 0 : x = NULL; break;
222 : case 2: /* N = 2 mod 4 */
223 21 : n = shifti(N,-1); /* becomes odd */
224 21 : x = gener_Zp(n,F); if (!mod2(x)) x = addii(x,n);
225 21 : break;
226 : default: /* N odd */
227 210 : x = gener_Zp(N,F);
228 210 : break;
229 : }
230 231 : return gerepilecopy(av, mkintmod(x, N));
231 : }
232 :
233 : /* n | (p-1), returns a primitive n-th root of 1 in F_p^* */
234 : GEN
235 0 : rootsof1_Fp(GEN n, GEN p)
236 : {
237 0 : pari_sp av = avma;
238 0 : GEN L = odd_prime_divisors(n); /* 2 implicit in pgener_Fp_local */
239 0 : GEN z = pgener_Fp_local(p, L);
240 0 : z = Fp_pow(z, diviiexact(subiu(p,1), n), p); /* prim. n-th root of 1 */
241 0 : return gerepileuptoint(av, z);
242 : }
243 :
244 : GEN
245 217 : rootsof1u_Fp(ulong n, GEN p)
246 : {
247 217 : pari_sp av = avma;
248 217 : GEN z, L = u_odd_prime_divisors(n); /* 2 implicit in pgener_Fp_local */
249 217 : z = pgener_Fp_local(p, Flv_to_ZV(L));
250 217 : z = Fp_pow(z, diviuexact(subiu(p,1), n), p); /* prim. n-th root of 1 */
251 217 : return gerepileuptoint(av, z);
252 : }
253 :
254 : ulong
255 3934 : rootsof1_Fl(ulong n, ulong p)
256 : {
257 3934 : pari_sp av = avma;
258 3934 : GEN L = u_odd_prime_divisors(n); /* 2 implicit in pgener_Fl_local */
259 3934 : ulong z = pgener_Fl_local(p, L);
260 3934 : z = Fl_powu(z, (p-1) / n, p); /* prim. n-th root of 1 */
261 3934 : return gc_ulong(av,z);
262 : }
263 :
264 : /*********************************************************************/
265 : /** **/
266 : /** INVERSE TOTIENT FUNCTION **/
267 : /** **/
268 : /*********************************************************************/
269 : /* N t_INT, L a ZV containing all prime divisors of N, and possibly other
270 : * primes. Return factor(N) */
271 : GEN
272 350651 : Z_factor_listP(GEN N, GEN L)
273 : {
274 350651 : long i, k, l = lg(L);
275 350651 : GEN P = cgetg(l, t_COL), E = cgetg(l, t_COL);
276 1346688 : for (i = k = 1; i < l; i++)
277 : {
278 996037 : GEN p = gel(L,i);
279 996037 : long v = Z_pvalrem(N, p, &N);
280 996037 : if (v)
281 : {
282 792176 : gel(P,k) = p;
283 792176 : gel(E,k) = utoipos(v);
284 792176 : k++;
285 : }
286 : }
287 350651 : setlg(P, k);
288 350651 : setlg(E, k); return mkmat2(P,E);
289 : }
290 :
291 : /* look for x such that phi(x) = n, p | x => p > m (if m = NULL: no condition).
292 : * L is a list of primes containing all prime divisors of n. */
293 : static long
294 621565 : istotient_i(GEN n, GEN m, GEN L, GEN *px)
295 : {
296 621565 : pari_sp av = avma, av2;
297 : GEN k, D;
298 : long i, v;
299 621565 : if (m && mod2(n))
300 : {
301 270914 : if (!equali1(n)) return 0;
302 69986 : if (px) *px = gen_1;
303 69986 : return 1;
304 : }
305 350651 : D = divisors(Z_factor_listP(shifti(n, -1), L));
306 : /* loop through primes p > m, d = p-1 | n */
307 350651 : av2 = avma;
308 350651 : if (!m)
309 : { /* special case p = 2, d = 1 */
310 69986 : k = n;
311 69986 : for (v = 1;; v++) {
312 69986 : if (istotient_i(k, gen_2, L, px)) {
313 69986 : if (px) *px = shifti(*px, v);
314 69986 : return 1;
315 : }
316 0 : if (mod2(k)) break;
317 0 : k = shifti(k,-1);
318 : }
319 0 : set_avma(av2);
320 : }
321 1099462 : for (i = 1; i < lg(D); ++i)
322 : {
323 1001588 : GEN p, d = shifti(gel(D, i), 1); /* even divisors of n */
324 1001588 : if (m && cmpii(d, m) < 0) continue;
325 677782 : p = addiu(d, 1);
326 677782 : if (!isprime(p)) continue;
327 442064 : k = diviiexact(n, d);
328 481593 : for (v = 1;; v++) {
329 : GEN r;
330 481593 : if (istotient_i(k, p, L, px)) {
331 182791 : if (px) *px = mulii(*px, powiu(p, v));
332 182791 : return 1;
333 : }
334 298802 : k = dvmdii(k, p, &r);
335 298802 : if (r != gen_0) break;
336 : }
337 259273 : set_avma(av2);
338 : }
339 97874 : return gc_long(av,0);
340 : }
341 :
342 : /* find x such that phi(x) = n */
343 : long
344 70000 : istotient(GEN n, GEN *px)
345 : {
346 70000 : pari_sp av = avma;
347 70000 : if (typ(n) != t_INT) pari_err_TYPE("istotient", n);
348 70000 : if (signe(n) < 1) return 0;
349 70000 : if (mod2(n))
350 : {
351 14 : if (!equali1(n)) return 0;
352 14 : if (px) *px = gen_1;
353 14 : return 1;
354 : }
355 69986 : if (istotient_i(n, NULL, gel(Z_factor(n), 1), px))
356 : {
357 69986 : if (!px) set_avma(av);
358 : else
359 69986 : *px = gerepileuptoint(av, *px);
360 69986 : return 1;
361 : }
362 0 : return gc_long(av,0);
363 : }
364 :
365 : /*********************************************************************/
366 : /** **/
367 : /** INTEGRAL LOGARITHM **/
368 : /** **/
369 : /*********************************************************************/
370 :
371 : /* y > 1 and B > 0 integers. Return e such that y^e <= B < y^(e+1), i.e
372 : * e = floor(log_y B). Set *ptq = y^e if non-NULL */
373 : long
374 262081 : ulogintall(ulong B, ulong y, ulong *ptq)
375 : {
376 : ulong r, r2;
377 : long e;
378 :
379 262081 : if (y == 2)
380 : {
381 6477 : long eB = expu(B); /* 2^eB <= B < 2^(eB + 1) */
382 6477 : if (ptq) *ptq = 1UL << eB;
383 6477 : return eB;
384 : }
385 255604 : r = y, r2 = 1UL;
386 914709 : for (e=1;; e++)
387 : { /* here, r = y^e, r2 = y^(e-1) */
388 1573814 : if (r >= B)
389 : {
390 255492 : if (r != B) { e--; r = r2; }
391 255492 : if (ptq) *ptq = r;
392 255492 : return e;
393 : }
394 659217 : r2 = r;
395 659217 : r = umuluu_or_0(y, r);
396 659217 : if (!r)
397 : {
398 112 : if (ptq) *ptq = r2;
399 112 : return e;
400 : }
401 : }
402 : }
403 :
404 : /* y > 1 and B > 0 integers. Return e such that y^e <= B < y^(e+1), i.e
405 : * e = floor(log_y B). Set *ptq = y^e if non-NULL */
406 : long
407 270049 : logintall(GEN B, GEN y, GEN *ptq)
408 : {
409 : pari_sp av;
410 270049 : long ey, e, emax, i, eB = expi(B); /* 2^eB <= B < 2^(eB + 1) */
411 : GEN q, pow2;
412 :
413 270049 : if (lgefint(B) == 3)
414 : {
415 : ulong q;
416 262081 : if (lgefint(y) > 3)
417 : {
418 0 : if (ptq) *ptq = gen_1;
419 0 : return 0;
420 : }
421 262081 : if (!ptq) return ulogintall(B[2], y[2], NULL);
422 47111 : e = ulogintall(B[2], y[2], &q);
423 47111 : *ptq = utoi(q); return e;
424 : }
425 7968 : if (equaliu(y,2))
426 : {
427 166 : if (ptq) *ptq = int2n(eB);
428 166 : return eB;
429 : }
430 7802 : av = avma;
431 7802 : ey = expi(y);
432 : /* eB/(ey+1) - 1 < e <= eB/ey */
433 7802 : emax = eB/ey;
434 7802 : if (emax <= 13) /* e small, be naive */
435 : {
436 1563 : GEN r = y, r2 = gen_1;
437 16619 : for (e=1;; e++)
438 15056 : { /* here, r = y^e, r2 = y^(e-1) */
439 16619 : long fl = cmpii(r, B);
440 16619 : if (fl >= 0)
441 : {
442 1563 : if (fl) { e--; cgiv(r); r = r2; }
443 1563 : if (ptq) *ptq = gerepileuptoint(av, r); else set_avma(av);
444 1563 : return e;
445 : }
446 15056 : r2 = r; r = mulii(r,y);
447 : }
448 : }
449 : /* e >= 13 ey / (ey+1) >= 6.5 */
450 :
451 : /* binary splitting: compute bits of e one by one */
452 : /* compute pow2[i] = y^(2^i) [i < crude upper bound for log_2 log_y(B)] */
453 6239 : pow2 = new_chunk((long)log2(eB)+2);
454 6239 : gel(pow2,0) = y;
455 6239 : for (i=0, q=y;; )
456 29806 : {
457 36045 : GEN r = gel(pow2,i); /* r = y^2^i */
458 36045 : long fl = cmpii(r,B);
459 36045 : if (!fl)
460 : {
461 0 : e = 1L<<i;
462 0 : if (ptq) *ptq = gerepileuptoint(av, r); else set_avma(av);
463 0 : return e;
464 : }
465 36045 : if (fl > 0) { i--; break; }
466 33978 : q = r;
467 33978 : if (1L<<(i+1) > emax) break;
468 29806 : gel(pow2,++i) = sqri(q);
469 : }
470 :
471 6239 : for (e = 1L<<i;;)
472 27718 : { /* y^e = q < B < r = q * y^(2^i) */
473 33957 : pari_sp av2 = avma;
474 : long fl;
475 : GEN r;
476 33957 : if (--i < 0) break;
477 27725 : r = mulii(q, gel(pow2,i));
478 27725 : fl = cmpii(r, B);
479 27725 : if (fl > 0) set_avma(av2);
480 : else
481 : {
482 13409 : e += (1L<<i);
483 13409 : q = r;
484 13409 : if (!fl) break; /* B = r */
485 : }
486 : }
487 6239 : if (ptq) *ptq = gerepileuptoint(av, q); else set_avma(av);
488 6239 : return e;
489 : }
490 :
491 : long
492 56 : logint0(GEN B, GEN y, GEN *ptq)
493 : {
494 56 : if (typ(B) != t_INT) pari_err_TYPE("logint",B);
495 56 : if (signe(B) <= 0) pari_err_DOMAIN("logint", "x" ,"<=", gen_0, B);
496 56 : if (typ(y) != t_INT) pari_err_TYPE("logint",y);
497 56 : if (cmpis(y, 2) < 0) pari_err_DOMAIN("logint", "b" ,"<=", gen_1, y);
498 56 : return logintall(B,y,ptq);
499 : }
500 :
501 : /*********************************************************************/
502 : /** **/
503 : /** INTEGRAL SQUARE ROOT **/
504 : /** **/
505 : /*********************************************************************/
506 : GEN
507 30598 : sqrtint(GEN a)
508 : {
509 30598 : if (typ(a) != t_INT) pari_err_TYPE("sqrtint",a);
510 30598 : switch (signe(a))
511 : {
512 30584 : case 1: return sqrti(a);
513 7 : case 0: return gen_0;
514 7 : default: pari_err_DOMAIN("sqrtint", "argument", "<", gen_0,a);
515 : }
516 : return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
517 : }
518 :
519 : /*********************************************************************/
520 : /** **/
521 : /** PERFECT SQUARE **/
522 : /** **/
523 : /*********************************************************************/
524 : static int
525 14844564 : carremod(ulong A)
526 : {
527 14844564 : const int carresmod64[]={
528 : 1,1,0,0,1,0,0,0,0,1, 0,0,0,0,0,0,1,1,0,0, 0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,
529 : 0,0,0,1,0,0,1,0,0,0, 0,1,0,0,0,0,0,0,0,1, 0,0,0,0,0,0,0,1,0,0, 0,0,0,0};
530 14844564 : const int carresmod63[]={
531 : 1,1,0,0,1,0,0,1,0,1, 0,0,0,0,0,0,1,0,1,0, 0,0,1,0,0,1,0,0,1,0,
532 : 0,0,0,0,0,0,1,1,0,0, 0,0,0,1,0,0,1,0,0,1, 0,0,0,0,0,0,0,0,1,0, 0,0,0};
533 14844564 : const int carresmod65[]={
534 : 1,1,0,0,1,0,0,0,0,1, 1,0,0,0,1,0,1,0,0,0, 0,0,0,0,0,1,1,0,0,1,
535 : 1,0,0,0,0,1,1,0,0,1, 1,0,0,0,0,0,0,0,0,1, 0,1,0,0,0,1,1,0,0,0, 0,1,0,0,1};
536 14844564 : const int carresmod11[]={1,1,0,1,1,1,0,0,0,1, 0};
537 14844564 : return (carresmod64[A & 0x3fUL]
538 5458218 : && carresmod63[A % 63UL]
539 3213592 : && carresmod65[A % 65UL]
540 17506588 : && carresmod11[A % 11UL]);
541 : }
542 :
543 : /* emulate Z_issquareall on single-word integers */
544 : long
545 13351572 : uissquareall(ulong A, ulong *sqrtA)
546 : {
547 13351572 : if (!A) { *sqrtA = 0; return 1; }
548 13351572 : if (carremod(A))
549 : {
550 1816246 : ulong a = usqrt(A);
551 1816234 : if (a * a == A) { *sqrtA = a; return 1; }
552 : }
553 11626411 : return 0;
554 : }
555 : long
556 122200 : uissquare(ulong A)
557 : {
558 122200 : if (!A) return 1;
559 122200 : if (carremod(A))
560 : {
561 3505 : ulong a = usqrt(A);
562 3505 : if (a * a == A) return 1;
563 : }
564 118719 : return 0;
565 : }
566 :
567 : long
568 6356324 : Z_issquareall(GEN x, GEN *pt)
569 : {
570 : pari_sp av;
571 : GEN y, r;
572 :
573 6356324 : switch(signe(x))
574 : {
575 2208386 : case -1: return 0;
576 1071 : case 0: if (pt) *pt=gen_0; return 1;
577 : }
578 4146867 : if (lgefint(x) == 3)
579 : {
580 2776105 : ulong u = uel(x,2), a;
581 2776105 : if (!pt) return uissquare(u);
582 2653905 : if (!uissquareall(u, &a)) return 0;
583 1367158 : *pt = utoipos(a); return 1;
584 : }
585 1370762 : if (!carremod(umodiu(x, 64*63*65*11))) return 0;
586 609222 : av = avma; y = sqrtremi(x, &r);
587 609222 : if (r != gen_0) return gc_long(av,0);
588 18200 : if (pt) { *pt = y; set_avma((pari_sp)y); } else set_avma(av);
589 18200 : return 1;
590 : }
591 :
592 : /* a t_INT, p prime */
593 : long
594 0 : Zp_issquare(GEN a, GEN p)
595 : {
596 : long v;
597 : GEN ap;
598 :
599 0 : if (!signe(a) || gequal1(a)) return 1;
600 0 : v = Z_pvalrem(a, p, &ap);
601 0 : if (v&1) return 0;
602 0 : return absequaliu(p, 2)? umodiu(ap, 8) == 1
603 0 : : kronecker(ap,p) == 1;
604 : }
605 :
606 : static long
607 3038 : polissquareall(GEN x, GEN *pt)
608 : {
609 : pari_sp av;
610 : long v;
611 : GEN y, a, b, p;
612 :
613 3038 : if (!signe(x))
614 : {
615 7 : if (pt) *pt = gcopy(x);
616 7 : return 1;
617 : }
618 3031 : if (odd(degpol(x))) return 0; /* odd degree */
619 2198 : av = avma;
620 2198 : v = RgX_valrem(x, &x);
621 2198 : if (v & 1) return gc_long(av,0);
622 2191 : a = gel(x,2); /* test constant coeff */
623 2191 : if (!pt)
624 70 : { if (!issquare(a)) return gc_long(av,0); }
625 : else
626 2121 : { if (!issquareall(a,&b)) return gc_long(av,0); }
627 2191 : if (!degpol(x)) { /* constant polynomial */
628 77 : if (!pt) return gc_long(av,1);
629 35 : y = scalarpol(b, varn(x)); goto END;
630 : }
631 2114 : p = characteristic(x);
632 2114 : if (signe(p) && !mod2(p))
633 : {
634 : long i, lx;
635 35 : if (!absequaliu(p,2)) pari_err_IMPL("issquare for even characteristic != 2");
636 28 : x = gmul(x, mkintmod(gen_1, gen_2));
637 28 : lx = lg(x);
638 28 : if ((lx-3) & 1) return gc_long(av,0);
639 49 : for (i = 3; i < lx; i+=2)
640 28 : if (!gequal0(gel(x,i))) return gc_long(av,0);
641 21 : if (pt) {
642 14 : y = cgetg((lx+3) / 2, t_POL);
643 49 : for (i = 2; i < lx; i+=2)
644 35 : if (!issquareall(gel(x,i), &gel(y, (i+2)>>1))) return gc_long(av,0);
645 14 : y[1] = evalsigne(1) | evalvarn(varn(x));
646 14 : goto END;
647 : } else {
648 21 : for (i = 2; i < lx; i+=2)
649 14 : if (!issquare(gel(x,i))) return gc_long(av,0);
650 7 : return gc_long(av,1);
651 : }
652 : }
653 : else
654 : {
655 2079 : long m = 1;
656 2079 : x = RgX_Rg_div(x,a);
657 : /* a(x^m) = B^2 => B = b(x^m) provided a(0) != 0 */
658 2079 : if (!signe(p)) x = RgX_deflate_max(x,&m);
659 2079 : y = ser2rfrac_i(gsqrt(RgX_to_ser(x,lg(x)-1),0));
660 3367 : if (!RgX_equal(RgX_sqr(y), x)) return gc_long(av,0);
661 798 : if (!pt) return gc_long(av,1);
662 791 : if (!gequal1(a)) y = gmul(b, y);
663 791 : if (m != 1) y = RgX_inflate(y,m);
664 : }
665 : END:
666 840 : if (v) y = RgX_shift_shallow(y, v>>1);
667 840 : *pt = gerepilecopy(av, y); return 1;
668 : }
669 :
670 : /* b unit mod p */
671 : static int
672 287 : Up_ispower(GEN b, GEN K, GEN p, long d, GEN *pt)
673 : {
674 287 : if (d == 1)
675 : { /* mod p: faster */
676 203 : if (!Fp_ispower(b, K, p)) return 0;
677 203 : if (pt) *pt = Fp_sqrtn(b, K, p, NULL);
678 : }
679 : else
680 : { /* mod p^{2 +} */
681 84 : if (!ispower(cvtop(b, p, d), K, pt)) return 0;
682 63 : if (pt) *pt = gtrunc(*pt);
683 : }
684 266 : return 1;
685 : }
686 :
687 : /* We're studying whether a mod (q*p^e) is a K-th power, (q,p) = 1.
688 : * Decide mod p^e, then reduce a mod q unless q = NULL. */
689 : static int
690 427 : handle_pe(GEN *pa, GEN q, GEN L, GEN K, GEN p, long e)
691 : {
692 : GEN t, A;
693 427 : long v = Z_pvalrem(*pa, p, &A), d = e - v;
694 427 : if (d <= 0) t = gen_0;
695 : else
696 : {
697 : ulong r;
698 371 : v = uabsdivui_rem(v, K, &r);
699 371 : if (r || !Up_ispower(A, K, p, d, L? &t: NULL)) return 0;
700 266 : if (L && v) t = mulii(t, powiu(p, v));
701 : }
702 322 : if (q) *pa = modii(*pa, q);
703 322 : if (L) vectrunc_append(L, mkintmod(t, powiu(p, e)));
704 322 : return 1;
705 : }
706 : long
707 329 : Zn_ispower(GEN a, GEN q, GEN K, GEN *pt)
708 : {
709 : GEN L, N;
710 : pari_sp av;
711 : long e, i, l;
712 : ulong pp;
713 : forprime_t S;
714 :
715 329 : if (!signe(a))
716 : {
717 21 : if (pt) {
718 21 : GEN t = cgetg(3, t_INTMOD);
719 21 : gel(t,1) = icopy(q); gel(t,2) = gen_0; *pt = t;
720 : }
721 21 : return 1;
722 : }
723 : /* a != 0 */
724 308 : av = avma;
725 :
726 308 : if (typ(q) != t_INT) /* integer factorization */
727 : {
728 0 : GEN P = gel(q,1), E = gel(q,2);
729 0 : l = lg(P);
730 0 : L = pt? vectrunc_init(l): NULL;
731 0 : for (i = 1; i < l; i++)
732 : {
733 0 : GEN p = gel(P,i);
734 0 : long e = itos(gel(E,i));
735 0 : if (!handle_pe(&a, NULL, L, K, p, e)) return gc_long(av,0);
736 : }
737 0 : goto END;
738 : }
739 308 : if (!mod2(K)
740 189 : && kronecker(a, shifti(q,-vali(q))) == -1) return gc_long(av,0);
741 301 : L = pt? vectrunc_init(expi(q)+1): NULL;
742 301 : u_forprime_init(&S, 2, tridiv_bound(q));
743 301 : while ((pp = u_forprime_next(&S)))
744 : {
745 : int stop;
746 883407 : e = Z_lvalrem_stop(&q, pp, &stop);
747 883407 : if (!e) continue;
748 203 : if (!handle_pe(&a, q, L, K, utoipos(pp), e)) return gc_long(av,0);
749 161 : if (stop)
750 : {
751 126 : if (!is_pm1(q) && !handle_pe(&a, q, L, K, q, 1)) return gc_long(av,0);
752 126 : goto END;
753 : }
754 : }
755 154 : l = lg(primetab);
756 154 : for (i = 1; i < l; i++)
757 : {
758 0 : GEN p = gel(primetab,i);
759 0 : e = Z_pvalrem(q, p, &q);
760 0 : if (!e) continue;
761 0 : if (!handle_pe(&a, q, L, K, p, e)) return gc_long(av,0);
762 0 : if (is_pm1(q)) goto END;
763 : }
764 154 : N = gcdii(a,q);
765 154 : if (!is_pm1(N))
766 : {
767 112 : if (ifac_isprime(N))
768 : {
769 70 : e = Z_pvalrem(q, N, &q);
770 70 : if (!handle_pe(&a, q, L, K, N, e)) return gc_long(av,0);
771 : }
772 : else
773 : {
774 42 : GEN part = ifac_start(N, 0);
775 : for(;;)
776 42 : {
777 : long e;
778 : GEN p;
779 84 : if (!ifac_next(&part, &p, &e)) break;
780 42 : e = Z_pvalrem(q, p, &q);
781 42 : if (!handle_pe(&a, q, L, K, p, e)) return gc_long(av,0);
782 : }
783 : }
784 : }
785 84 : if (!is_pm1(q))
786 : {
787 84 : if (ifac_isprime(q))
788 : {
789 28 : if (!handle_pe(&a, q, L, K, q, 1)) return gc_long(av,0);
790 : }
791 : else
792 : {
793 56 : GEN part = ifac_start(q, 0);
794 : for(;;)
795 84 : {
796 : long e;
797 : GEN p;
798 140 : if (!ifac_next(&part, &p, &e)) break;
799 98 : if (!handle_pe(&a, q, L, K, p, e)) return gc_long(av,0);
800 : }
801 : }
802 : }
803 : END:
804 196 : if (pt) *pt = gerepileupto(av, chinese1_coprime_Z(L));
805 196 : return 1;
806 : }
807 :
808 : static long
809 56 : polmodispower(GEN x, GEN K, GEN *pt)
810 : {
811 56 : pari_sp av = avma;
812 56 : GEN p = NULL, T = NULL;
813 56 : if (Rg_is_FpXQ(x, &T,&p) && p)
814 : {
815 42 : x = liftall_shallow(x);
816 42 : if (T) T = liftall_shallow(T);
817 42 : if (!Fq_ispower(x, K, T, p)) return gc_long(av,0);
818 28 : if (!pt) return gc_long(av,1);
819 21 : x = Fq_sqrtn(x, K, T,p, NULL);
820 21 : if (typ(x) == t_INT)
821 7 : x = Fp_to_mod(x,p);
822 : else
823 14 : x = mkpolmod(FpX_to_mod(x,p), FpX_to_mod(T,p));
824 21 : *pt = gerepilecopy(av, x); return 1;
825 : }
826 14 : pari_err_IMPL("ispower for general t_POLMOD");
827 0 : return 0;
828 : }
829 :
830 : long
831 163503 : issquareall(GEN x, GEN *pt)
832 : {
833 163503 : long tx = typ(x);
834 : GEN F;
835 : pari_sp av;
836 :
837 163503 : if (!pt) return issquare(x);
838 20349 : switch(tx)
839 : {
840 2352 : case t_INT: return Z_issquareall(x, pt);
841 161 : case t_FRAC: av = avma;
842 161 : F = cgetg(3, t_FRAC);
843 161 : if ( !Z_issquareall(gel(x,1), &gel(F,1))
844 105 : || !Z_issquareall(gel(x,2), &gel(F,2))) return gc_long(av,0);
845 105 : *pt = F; return 1;
846 :
847 : case t_POLMOD:
848 21 : return polmodispower(x, gen_2, pt);
849 2947 : case t_POL: return polissquareall(x,pt);
850 14 : case t_RFRAC: av = avma;
851 14 : F = cgetg(3, t_RFRAC);
852 14 : if ( !issquareall(gel(x,1), &gel(F,1))
853 14 : || !polissquareall(gel(x,2), &gel(F,2))) return gc_long(av,0);
854 7 : *pt = F; return 1;
855 :
856 : case t_REAL: case t_COMPLEX: case t_PADIC: case t_SER:
857 14756 : if (!issquare(x)) return 0;
858 14756 : *pt = gsqrt(x, DEFAULTPREC); return 1;
859 :
860 : case t_INTMOD:
861 63 : return Zn_ispower(gel(x,2), gel(x,1), gen_2, pt);
862 :
863 35 : case t_FFELT: return FF_issquareall(x, pt);
864 :
865 : }
866 0 : pari_err_TYPE("issquareall",x);
867 : return 0; /* LCOV_EXCL_LINE */
868 : }
869 :
870 : long
871 158183 : issquare(GEN x)
872 : {
873 : pari_sp av;
874 : GEN a, p;
875 : long v;
876 :
877 158183 : switch(typ(x))
878 : {
879 : case t_INT:
880 143056 : return Z_issquare(x);
881 :
882 : case t_REAL:
883 14714 : return (signe(x)>=0);
884 :
885 : case t_INTMOD:
886 77 : return Zn_ispower(gel(x,2), gel(x,1), gen_2, NULL);
887 :
888 : case t_FRAC:
889 21 : return Z_issquare(gel(x,1)) && Z_issquare(gel(x,2));
890 :
891 7 : case t_FFELT: return FF_issquareall(x, NULL);
892 :
893 : case t_COMPLEX:
894 56 : return 1;
895 :
896 : case t_PADIC:
897 126 : a = gel(x,4); if (!signe(a)) return 1;
898 126 : if (valp(x)&1) return 0;
899 112 : p = gel(x,2);
900 112 : if (!absequaliu(p, 2)) return (kronecker(a,p) != -1);
901 :
902 42 : v = precp(x); /* here p=2, a is odd */
903 42 : if ((v>=3 && mod8(a) != 1 ) ||
904 0 : (v==2 && mod4(a) != 1)) return 0;
905 21 : return 1;
906 :
907 : case t_POLMOD:
908 21 : return polmodispower(x, gen_2, NULL);
909 :
910 : case t_POL:
911 77 : return polissquareall(x,NULL);
912 :
913 : case t_SER:
914 21 : if (!signe(x)) return 1;
915 14 : if (valp(x)&1) return 0;
916 7 : return issquare(gel(x,2));
917 :
918 : case t_RFRAC:
919 7 : av = avma; return gc_long(av, issquare(gmul(gel(x,1),gel(x,2))));
920 : }
921 0 : pari_err_TYPE("issquare",x);
922 : return 0; /* LCOV_EXCL_LINE */
923 : }
924 0 : GEN gissquare(GEN x) { return issquare(x)? gen_1: gen_0; }
925 0 : GEN gissquareall(GEN x, GEN *pt) { return issquareall(x,pt)? gen_1: gen_0; }
926 :
927 : long
928 1386 : ispolygonal(GEN x, GEN S, GEN *N)
929 : {
930 1386 : pari_sp av = avma;
931 : GEN D, d, n;
932 1386 : if (typ(x) != t_INT) pari_err_TYPE("ispolygonal", x);
933 1386 : if (typ(S) != t_INT) pari_err_TYPE("ispolygonal", S);
934 1386 : if (abscmpiu(S,3) < 0) pari_err_DOMAIN("ispolygonal","s","<", utoipos(3),S);
935 1386 : if (signe(x) < 0) return 0;
936 1386 : if (signe(x) == 0) { if (N) *N = gen_0; return 1; }
937 1260 : if (is_pm1(x)) { if (N) *N = gen_1; return 1; }
938 : /* n = (sqrt( (8s - 16) x + (s-4)^2 ) + s - 4) / 2(s - 2) */
939 1134 : if (abscmpiu(S, 1<<16) < 0) /* common case ! */
940 : {
941 441 : ulong s = S[2], r;
942 504 : if (s == 4) return Z_issquareall(x, N);
943 378 : if (s == 3)
944 0 : D = addiu(shifti(x, 3), 1);
945 : else
946 378 : D = addiu(mului(8*s - 16, x), (s-4)*(s-4));
947 378 : if (!Z_issquareall(D, &d)) return gc_long(av,0);
948 378 : if (s == 3)
949 0 : d = subiu(d, 1);
950 : else
951 378 : d = addiu(d, s - 4);
952 378 : n = absdiviu_rem(d, 2*s - 4, &r);
953 378 : if (r) return gc_long(av,0);
954 : }
955 : else
956 : {
957 693 : GEN r, S_2 = subiu(S,2), S_4 = subiu(S,4);
958 693 : D = addii(mulii(shifti(S_2,3), x), sqri(S_4));
959 693 : if (!Z_issquareall(D, &d)) return gc_long(av,0);
960 693 : d = addii(d, S_4);
961 693 : n = dvmdii(shifti(d,-1), S_2, &r);
962 693 : if (r != gen_0) return gc_long(av,0);
963 : }
964 1071 : if (N) *N = gerepileuptoint(av, n); else set_avma(av);
965 1071 : return 1;
966 : }
967 :
968 : /*********************************************************************/
969 : /** **/
970 : /** PERFECT POWER **/
971 : /** **/
972 : /*********************************************************************/
973 : static long
974 721 : polispower(GEN x, GEN K, GEN *pt)
975 : {
976 : pari_sp av;
977 721 : long v, d, k = itos(K);
978 : GEN y, a, b;
979 721 : GEN T = NULL, p = NULL;
980 :
981 721 : if (!signe(x))
982 : {
983 7 : if (pt) *pt = gcopy(x);
984 7 : return 1;
985 : }
986 714 : d = degpol(x);
987 714 : if (d % k) return 0; /* degree not multiple of k */
988 707 : av = avma;
989 707 : if (RgX_is_FpXQX(x, &T, &p) && p)
990 : { /* over Fq */
991 336 : if (T && typ(T) == t_FFELT)
992 : {
993 126 : if (!FFX_ispower(x, k, T, pt)) return gc_long(av,0);
994 105 : return 1;
995 : }
996 210 : x = RgX_to_FqX(x,T,p);
997 210 : if (!FqX_ispower(x, k, T,p, pt)) return gc_long(av,0);
998 175 : if (pt) *pt = gerepileupto(av, FqX_to_mod(*pt, T, p));
999 175 : return 1;
1000 : }
1001 371 : v = RgX_valrem(x, &x);
1002 371 : if (v % k) return 0;
1003 364 : v /= k;
1004 364 : a = gel(x,2); b = NULL;
1005 364 : if (!ispower(a, K, &b)) return gc_long(av,0);
1006 350 : if (d)
1007 : {
1008 343 : GEN p = characteristic(x);
1009 343 : a = leading_coeff(x);
1010 343 : if (!ispower(a, K, &b)) return gc_long(av,0);
1011 343 : x = RgX_normalize(x);
1012 343 : if (signe(p) && cmpii(p,K) <= 0)
1013 0 : pari_err_IMPL("ispower(general t_POL) in small characteristic");
1014 343 : y = gtrunc(gsqrtn(RgX_to_ser(x,lg(x)), K, NULL, 0));
1015 343 : if (!RgX_equal(powgi(y, K), x)) return gc_long(av,0);
1016 : }
1017 : else
1018 7 : y = pol_1(varn(x));
1019 350 : if (pt)
1020 : {
1021 350 : if (!gequal1(a))
1022 : {
1023 14 : if (!b) b = gsqrtn(a, K, NULL, DEFAULTPREC);
1024 14 : y = gmul(b,y);
1025 : }
1026 350 : if (v) y = RgX_shift_shallow(y, v);
1027 350 : *pt = gerepilecopy(av, y);
1028 : }
1029 0 : else set_avma(av);
1030 350 : return 1;
1031 : }
1032 :
1033 : long
1034 97851 : Z_ispowerall(GEN x, ulong k, GEN *pt)
1035 : {
1036 97851 : long s = signe(x);
1037 : ulong mask;
1038 97851 : if (!s) { if (pt) *pt = gen_0; return 1; }
1039 97851 : if (s > 0) {
1040 97711 : if (k == 2) return Z_issquareall(x, pt);
1041 18025 : if (k == 3) { mask = 1; return !!is_357_power(x, pt, &mask); }
1042 3262 : if (k == 5) { mask = 2; return !!is_357_power(x, pt, &mask); }
1043 3010 : if (k == 7) { mask = 4; return !!is_357_power(x, pt, &mask); }
1044 3003 : return is_kth_power(x, k, pt);
1045 : }
1046 140 : if (!odd(k)) return 0;
1047 126 : if (Z_ispowerall(absi_shallow(x), k, pt))
1048 : {
1049 112 : if (pt) *pt = negi(*pt);
1050 112 : return 1;
1051 : };
1052 14 : return 0;
1053 : }
1054 :
1055 : /* is x a K-th power mod p ? Assume p prime. */
1056 : int
1057 203 : Fp_ispower(GEN x, GEN K, GEN p)
1058 : {
1059 203 : pari_sp av = avma;
1060 : GEN p_1;
1061 203 : x = modii(x, p);
1062 203 : if (!signe(x) || equali1(x)) return gc_bool(av,1);
1063 : /* implies p > 2 */
1064 112 : p_1 = subiu(p,1);
1065 112 : K = gcdii(K, p_1);
1066 112 : if (absequaliu(K, 2)) return gc_bool(av, kronecker(x,p) > 0);
1067 49 : x = Fp_pow(x, diviiexact(p_1,K), p);
1068 49 : return gc_bool(av, equali1(x));
1069 : }
1070 :
1071 : /* x unit defined modulo 2^e, e > 0, p prime */
1072 : static int
1073 2373 : U2_issquare(GEN x, long e)
1074 : {
1075 2373 : long r = signe(x)>=0?mod8(x):8-mod8(x);
1076 2373 : if (e==1) return 1;
1077 2373 : if (e==2) return (r&3L) == 1;
1078 2009 : return r == 1;
1079 : }
1080 : /* x unit defined modulo p^e, e > 0, p prime */
1081 : static int
1082 4690 : Up_issquare(GEN x, GEN p, long e)
1083 4690 : { return (absequaliu(p,2))? U2_issquare(x, e): kronecker(x,p)==1; }
1084 :
1085 : long
1086 2548 : Zn_issquare(GEN d, GEN fn)
1087 : {
1088 : long j, np;
1089 2548 : if (typ(d) != t_INT) pari_err_TYPE("Zn_issquare",d);
1090 2548 : if (typ(fn) == t_INT) return Zn_ispower(d, fn, gen_2, NULL);
1091 : /* integer factorization */
1092 2548 : np = nbrows(fn);
1093 5320 : for (j = 1; j <= np; ++j)
1094 : {
1095 4970 : GEN r, p = gcoeff(fn, j, 1);
1096 4970 : long e = itos(gcoeff(fn, j, 2));
1097 4970 : long v = Z_pvalrem(d,p,&r);
1098 4970 : if (v < e && (odd(v) || !Up_issquare(r, p, e-v))) return 0;
1099 : }
1100 350 : return 1;
1101 : }
1102 :
1103 : /* return [N',v]; v contains all x mod N' s.t. x^2 + B x + C = 0 modulo N */
1104 : GEN
1105 2742838 : Zn_quad_roots(GEN N, GEN B, GEN C)
1106 : {
1107 2742838 : pari_sp av = avma;
1108 2742838 : GEN fa = NULL, D, w, v, P, E, F0, Q0, F, mF, A, Q, T, R, Np, N4;
1109 : long l, i, j, ct;
1110 :
1111 2742838 : if ((fa = check_arith_non0(N,"Zn_quad_roots")))
1112 14 : N = typ(N) == t_VEC? gel(N,1): factorback(N);
1113 2742838 : N = absi_shallow(N);
1114 2742838 : N4 = shifti(N,2);
1115 2742838 : D = modii(subii(sqri(B), shifti(C,2)), N4);
1116 2742838 : if (!signe(D))
1117 : { /* (x + B/2)^2 = 0 (mod N), D = B^2-4C = 0 (4N) => B even */
1118 630 : if (!fa) fa = Z_factor(N);
1119 630 : P = gel(fa,1);
1120 630 : E = ZV_to_zv(gel(fa,2));
1121 630 : l = lg(P);
1122 630 : for (i = 1; i < l; i++) E[i] = (E[i]+1) >> 1;
1123 630 : Np = factorback2(P, E); /* x = -B mod N' */
1124 630 : B = shifti(B,-1);
1125 630 : return gerepilecopy(av, mkvec2(Np, mkvec(Fp_neg(B,Np))));
1126 : }
1127 2742208 : if (!fa)
1128 2742194 : fa = Z_factor(N4);
1129 : else /* convert to factorization of N4 = 4*N */
1130 14 : fa = famat_reduce(famat_mulpows_shallow(fa, gen_2, 2));
1131 2742208 : P = gel(fa,1); l = lg(P);
1132 2742208 : E = ZV_to_zv(gel(fa,2));
1133 2742208 : F = cgetg(l, t_VEC);
1134 2742208 : mF= cgetg(l, t_VEC); F0 = gen_0;
1135 2742208 : Q = cgetg(l, t_VEC); Q0 = gen_1;
1136 6592047 : for (i = j = 1, ct = 0; i < l; i++)
1137 : {
1138 5979946 : GEN p = gel(P,i), q, f, mf, D0;
1139 5979946 : long t2, s = E[i], t = Z_pvalrem(D, p, &D0), d = s - t;
1140 5979946 : if (d <= 0)
1141 : {
1142 1355144 : q = powiu(p, (s+1)>>1);
1143 3567158 : Q0 = mulii(Q0, q); continue;
1144 : }
1145 : /* d > 0 */
1146 6754909 : if (odd(t)) return NULL;
1147 4439302 : t2 = t >> 1;
1148 4439302 : if (i > 1)
1149 : { /* p > 2 */
1150 2796759 : if (kronecker(D0, p) == -1) return NULL;
1151 1350986 : q = powiu(p,s-t2);
1152 1350986 : f = Zp_sqrt(D0, p, d); if (t2) f = mulii(powiu(p,t2), f);
1153 1350986 : mf = Fp_neg(f, q);
1154 : }
1155 : else
1156 : { /* p = 2 */
1157 1642543 : if (d == 1) { Q0 = int2n(1+t2); F0 = NULL; continue; }
1158 1468943 : if (d == 2)
1159 : {
1160 734132 : if (Mod4(D0) != 1) return NULL;
1161 683270 : Q0 = int2n(1+t2); F0 = NULL; continue;
1162 : }
1163 : /* d > 2 */
1164 734811 : if (Mod8(D0) != 1) return NULL;
1165 286839 : q = int2n(d-1+t2);
1166 286839 : f = shifti(Z2_sqrt(D0, d), t2);
1167 286839 : mf = Fp_neg(f, q);
1168 : }
1169 1637825 : gel(Q,j) = q;
1170 1637825 : gel(F,j) = f;
1171 1637825 : gel(mF,j)= mf; j++;
1172 : }
1173 612101 : setlg(Q,j);
1174 612101 : setlg(F,j);
1175 612101 : setlg(mF,j);
1176 612101 : if (is_pm1(Q0)) A = leafcopy(F);
1177 : else
1178 : { /* append the fixed congruence (F0 mod Q0) */
1179 545062 : if (!F0) F0 = shifti(Q0,-1);
1180 545062 : A = shallowconcat(F, F0);
1181 545062 : Q = shallowconcat(Q, Q0);
1182 : }
1183 612101 : ct = 1 << (j-1);
1184 612101 : T = ZV_producttree(Q);
1185 612101 : R = ZV_chinesetree(Q,T);
1186 612101 : Np = gmael(T, lg(T)-1, 1);
1187 612101 : B = modii(B, Np);
1188 612101 : if (!signe(B)) B = NULL;
1189 612101 : Np = shifti(Np, -1); /* N' = (\prod_i Q[i]) / 2 */
1190 612101 : w = cgetg(3, t_VEC);
1191 612101 : gel(w,1) = icopy(Np);
1192 612101 : gel(w,2) = v = cgetg(ct+1, t_VEC);
1193 612101 : l = lg(F);
1194 2786700 : for (j = 1; j <= ct; j++)
1195 : {
1196 2174599 : pari_sp av2 = avma;
1197 2174599 : long m = j - 1;
1198 : GEN u;
1199 6605585 : for (i = 1; i < l; i++)
1200 : {
1201 4430986 : gel(A,i) = (m&1L)? gel(mF,i): gel(F,i);
1202 4430986 : m >>= 1;
1203 : }
1204 2174599 : u = ZV_chinese_tree(A,Q,T,R); /* u mod N' st u^2 = B^2-4C modulo 4N */
1205 2174599 : if (B) u = subii(u,B);
1206 2174599 : gel(v,j) = gerepileuptoint(av2, modii(shifti(u,-1), Np));
1207 : }
1208 612101 : return gerepileupto(av, w);
1209 : }
1210 :
1211 : static long
1212 1113 : Qp_ispower(GEN x, GEN K, GEN *pt)
1213 : {
1214 1113 : pari_sp av = avma;
1215 1113 : GEN z = Qp_sqrtn(x, K, NULL);
1216 1113 : if (!z) return gc_long(av,0);
1217 819 : if (pt) *pt = z;
1218 819 : return 1;
1219 : }
1220 :
1221 : long
1222 7096850 : ispower(GEN x, GEN K, GEN *pt)
1223 : {
1224 : GEN z;
1225 :
1226 7096850 : if (!K) return gisanypower(x, pt);
1227 96668 : if (typ(K) != t_INT) pari_err_TYPE("ispower",K);
1228 96668 : if (signe(K) <= 0) pari_err_DOMAIN("ispower","exponent","<=",gen_0,K);
1229 96668 : if (equali1(K)) { if (pt) *pt = gcopy(x); return 1; }
1230 96619 : switch(typ(x)) {
1231 : case t_INT:
1232 24839 : return Z_ispowerall(x, itou(K), pt);
1233 : case t_FRAC:
1234 : {
1235 69694 : GEN a = gel(x,1), b = gel(x,2);
1236 69694 : ulong k = itou(K);
1237 69694 : if (pt) {
1238 69687 : z = cgetg(3, t_FRAC);
1239 69687 : if (Z_ispowerall(a, k, &a) && Z_ispowerall(b, k, &b)) {
1240 1386 : *pt = z; gel(z,1) = a; gel(z,2) = b; return 1;
1241 : }
1242 68301 : set_avma((pari_sp)(z + 3)); return 0;
1243 : }
1244 7 : return Z_ispower(a, k) && Z_ispower(b, k);
1245 : }
1246 : case t_INTMOD:
1247 189 : return Zn_ispower(gel(x,2), gel(x,1), K, pt);
1248 : case t_FFELT:
1249 28 : return FF_ispower(x, K, pt);
1250 :
1251 : case t_PADIC:
1252 1113 : return Qp_ispower(x, K, pt);
1253 : case t_POLMOD:
1254 14 : return polmodispower(x, K, pt);
1255 : case t_POL:
1256 714 : return polispower(x, K, pt);
1257 : case t_RFRAC: {
1258 7 : GEN a = gel(x,1), b = gel(x,2);
1259 7 : if (pt) {
1260 7 : z = cgetg(3, t_RFRAC);
1261 7 : if (ispower(a, K, &a) && polispower(b, K, &b)) {
1262 7 : *pt = z; gel(z,1) = a; gel(z,2) = b; return 1;
1263 : }
1264 0 : set_avma((pari_sp)(z + 3)); return 0;
1265 : }
1266 0 : return (ispower(a, K, NULL) && polispower(b, K, NULL));
1267 : }
1268 : case t_REAL:
1269 7 : if (signe(x) < 0 && !mpodd(K)) return 0;
1270 : case t_COMPLEX:
1271 14 : if (pt) *pt = gsqrtn(x, K, NULL, DEFAULTPREC);
1272 14 : return 1;
1273 :
1274 : case t_SER:
1275 7 : if (signe(x) && (!dvdsi(valp(x), K) || !ispower(gel(x,2), K, NULL)))
1276 0 : return 0;
1277 7 : if (pt) *pt = gsqrtn(x, K, NULL, DEFAULTPREC);
1278 7 : return 1;
1279 : }
1280 0 : pari_err_TYPE("ispower",x);
1281 : return 0; /* LCOV_EXCL_LINE */
1282 : }
1283 :
1284 : long
1285 7000182 : gisanypower(GEN x, GEN *pty)
1286 : {
1287 7000182 : long tx = typ(x);
1288 : ulong k, h;
1289 7000182 : if (tx == t_INT) return Z_isanypower(x, pty);
1290 14 : if (tx == t_FRAC)
1291 : {
1292 14 : pari_sp av = avma;
1293 14 : GEN fa, P, E, a = gel(x,1), b = gel(x,2);
1294 : long i, j, p, e;
1295 14 : int sw = (abscmpii(a, b) > 0);
1296 :
1297 14 : if (sw) swap(a, b);
1298 14 : k = Z_isanypower(a, pty? &a: NULL);
1299 14 : if (!k)
1300 : { /* a = -1,1 or not a pure power */
1301 7 : if (!is_pm1(a)) return gc_long(av,0);
1302 7 : if (signe(a) < 0) b = negi(b);
1303 7 : k = Z_isanypower(b, pty? &b: NULL);
1304 7 : if (!k || !pty) return gc_long(av,k);
1305 7 : *pty = gerepileupto(av, ginv(b));
1306 7 : return k;
1307 : }
1308 7 : fa = factoru(k);
1309 7 : P = gel(fa,1);
1310 7 : E = gel(fa,2); h = k;
1311 14 : for (i = lg(P) - 1; i > 0; i--)
1312 : {
1313 7 : p = P[i];
1314 7 : e = E[i];
1315 21 : for (j = 0; j < e; j++)
1316 14 : if (!is_kth_power(b, p, &b)) break;
1317 7 : if (j < e) k /= upowuu(p, e - j);
1318 : }
1319 7 : if (k == 1) return gc_long(av,0);
1320 7 : if (!pty) return gc_long(av,k);
1321 0 : if (k != h) a = powiu(a, h/k);
1322 0 : *pty = gerepilecopy(av, mkfrac(a, b));
1323 0 : return k;
1324 : }
1325 0 : pari_err_TYPE("gisanypower", x);
1326 : return 0; /* LCOV_EXCL_LINE */
1327 : }
1328 :
1329 : /* v_p(x) = e != 0 for some p; return ispower(x,,&x), updating x.
1330 : * No need to optimize for 2,3,5,7 powers (done before) */
1331 : static long
1332 505715 : split_exponent(ulong e, GEN *x)
1333 : {
1334 : GEN fa, P, E;
1335 505715 : long i, j, l, k = 1;
1336 505715 : if (e == 1) return 1;
1337 14 : fa = factoru(e);
1338 14 : P = gel(fa,1);
1339 14 : E = gel(fa,2); l = lg(P);
1340 28 : for (i = 1; i < l; i++)
1341 : {
1342 14 : ulong p = P[i];
1343 28 : for (j = 0; j < E[i]; j++)
1344 : {
1345 : GEN y;
1346 14 : if (!is_kth_power(*x, p, &y)) break;
1347 14 : k *= p; *x = y;
1348 : }
1349 : }
1350 14 : return k;
1351 : }
1352 :
1353 : static long
1354 864668 : Z_isanypower_nosmalldiv(GEN *px)
1355 : { /* any prime divisor of x is > 102 */
1356 864668 : const double LOG2_103 = 6.6865; /* lower bound for log_2(103) */
1357 864668 : const double LOG103 = 4.6347; /* lower bound for log(103) */
1358 : forprime_t T;
1359 864668 : ulong mask = 7, e2;
1360 : long k, ex;
1361 864668 : GEN y, x = *px;
1362 :
1363 864668 : k = 1;
1364 864668 : while (Z_issquareall(x, &y)) { k <<= 1; x = y; }
1365 864668 : while ( (ex = is_357_power(x, &y, &mask)) ) { k *= ex; x = y; }
1366 864668 : e2 = (ulong)((expi(x) + 1) / LOG2_103); /* >= log_103 (x) */
1367 864668 : if (u_forprime_init(&T, 11, e2))
1368 : {
1369 16982 : GEN logx = NULL;
1370 16982 : const ulong Q = 30011; /* prime */
1371 : ulong p, xmodQ;
1372 16982 : double dlogx = 0;
1373 : /* cut off at x^(1/p) ~ 2^30 bits which seems to be about optimum;
1374 : * for large p the modular checks are no longer competitively fast */
1375 34006 : while ( (ex = is_pth_power(x, &y, &T, 30)) )
1376 : {
1377 42 : k *= ex; x = y;
1378 42 : e2 = (ulong)((expi(x) + 1) / LOG2_103);
1379 42 : u_forprime_restrict(&T, e2);
1380 : }
1381 16982 : if (DEBUGLEVEL>4) err_printf("Z_isanypower: now k=%ld, x=%ld-bit\n", k, expi(x));
1382 16982 : xmodQ = umodiu(x, Q);
1383 : /* test Q | x, just in case */
1384 16982 : if (!xmodQ) { *px = x; return k * split_exponent(Z_lval(x,Q), px); }
1385 : /* x^(1/p) < 2^31 */
1386 16968 : p = T.p;
1387 16968 : if (p <= e2)
1388 : {
1389 16954 : logx = logr_abs( itor(x, DEFAULTPREC) );
1390 16954 : dlogx = rtodbl(logx);
1391 16954 : e2 = (ulong)(dlogx / LOG103); /* >= log_103(x) */
1392 : }
1393 154434 : while (p && p <= e2)
1394 : { /* is x a p-th power ? By computing y = round(x^(1/p)).
1395 : * Check whether y^p = x, first mod Q, then exactly. */
1396 120498 : pari_sp av = avma;
1397 : long e;
1398 120498 : GEN logy = divru(logx, p), y = grndtoi(mpexp(logy), &e);
1399 120498 : ulong ymodQ = umodiu(y,Q);
1400 120498 : if (e >= -10 || Fl_powu(ymodQ, p % (Q-1), Q) != xmodQ
1401 21 : || !equalii(powiu(y, p), x)) set_avma(av);
1402 : else
1403 : {
1404 21 : k *= p; x = y; xmodQ = ymodQ; logx = logy; dlogx /= p;
1405 21 : e2 = (ulong)(dlogx / LOG103); /* >= log_103(x) */
1406 21 : u_forprime_restrict(&T, e2);
1407 21 : continue; /* if success, retry same p */
1408 : }
1409 120477 : p = u_forprime_next(&T);
1410 : }
1411 : }
1412 864654 : *px = x; return k;
1413 : }
1414 :
1415 : static ulong tinyprimes[] = {
1416 : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71,
1417 : 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151,
1418 : 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199
1419 : };
1420 :
1421 : /* disregard the sign of x, caller will take care of x < 0 */
1422 : static long
1423 7000862 : Z_isanypower_aux(GEN x, GEN *pty)
1424 : {
1425 : long ex, v, i, l, k;
1426 : GEN y, P, E;
1427 7000862 : ulong mask, e = 0;
1428 :
1429 7000862 : if (abscmpii(x, gen_2) < 0) return 0; /* -1,0,1 */
1430 :
1431 7000848 : if (signe(x) < 0) x = negi(x);
1432 7000848 : k = l = 1;
1433 7000848 : P = cgetg(26 + 1, t_VECSMALL);
1434 7000848 : E = cgetg(26 + 1, t_VECSMALL);
1435 : /* trial division */
1436 122943392 : for(i = 0; i < 26; i++)
1437 : {
1438 60137173 : ulong p = tinyprimes[i];
1439 : int stop;
1440 60137173 : v = Z_lvalrem_stop(&x, p, &stop);
1441 60137173 : if (v)
1442 : {
1443 7922348 : P[l] = p;
1444 7922348 : E[l] = v; l++;
1445 13588673 : e = ugcd(e, v); if (e == 1) goto END;
1446 : }
1447 54718886 : if (stop) {
1448 248038 : if (is_pm1(x)) k = e;
1449 248038 : goto END;
1450 : }
1451 : }
1452 :
1453 1334523 : if (e)
1454 : { /* Bingo. Result divides e */
1455 : long v3, v5, v7;
1456 505701 : ulong e2 = e;
1457 505701 : v = u_lvalrem(e2, 2, &e2);
1458 505701 : if (v)
1459 : {
1460 375249 : for (i = 0; i < v; i++)
1461 : {
1462 374171 : if (!Z_issquareall(x, &y)) break;
1463 1288 : k <<= 1; x = y;
1464 : }
1465 : }
1466 505701 : mask = 0;
1467 505701 : v3 = u_lvalrem(e2, 3, &e2); if (v3) mask = 1;
1468 505701 : v5 = u_lvalrem(e2, 5, &e2); if (v5) mask |= 2;
1469 505701 : v7 = u_lvalrem(e2, 7, &e2); if (v7) mask |= 4;
1470 1011479 : while ( (ex = is_357_power(x, &y, &mask)) ) {
1471 77 : x = y;
1472 77 : switch(ex)
1473 : {
1474 28 : case 3: k *= 3; if (--v3 == 0) mask &= ~1; break;
1475 28 : case 5: k *= 5; if (--v5 == 0) mask &= ~2; break;
1476 21 : case 7: k *= 7; if (--v7 == 0) mask &= ~4; break;
1477 : }
1478 : }
1479 505701 : k *= split_exponent(e2, &x);
1480 : }
1481 : else
1482 828822 : k = Z_isanypower_nosmalldiv(&x);
1483 : END:
1484 7000848 : if (pty && k != 1)
1485 : {
1486 8029 : if (e)
1487 : { /* add missing small factors */
1488 6867 : y = powuu(P[1], E[1] / k);
1489 6867 : for (i = 2; i < l; i++) y = mulii(y, powuu(P[i], E[i] / k));
1490 6867 : x = equali1(x)? y: mulii(x,y);
1491 : }
1492 8029 : *pty = x;
1493 : }
1494 7000848 : return k == 1? 0: k;
1495 : }
1496 :
1497 : long
1498 7000862 : Z_isanypower(GEN x, GEN *pty)
1499 : {
1500 7000862 : pari_sp av = avma;
1501 7000862 : long k = Z_isanypower_aux(x, pty);
1502 7000862 : if (!k) return gc_long(av,0);
1503 8092 : if (signe(x) < 0)
1504 : {
1505 42 : long v = vals(k);
1506 42 : if (v)
1507 : {
1508 : GEN y;
1509 28 : k >>= v;
1510 28 : if (k == 1) return gc_long(av,0);
1511 21 : if (!pty) return gc_long(av,k);
1512 14 : y = *pty;
1513 14 : y = powiu(y, 1<<v);
1514 14 : togglesign(y);
1515 14 : *pty = gerepileuptoint(av, y);
1516 14 : return k;
1517 : }
1518 14 : if (pty) togglesign_safe(pty);
1519 : }
1520 8064 : if (pty) *pty = gerepilecopy(av, *pty); else set_avma(av);
1521 8064 : return k;
1522 : }
1523 :
1524 : /* Faster than */
1525 : /* !cmpii(n, int2n(vali(n))) */
1526 : /* !cmpis(shifti(n, -vali(n)), 1) */
1527 : /* expi(n) == vali(n) */
1528 : /* hamming(n) == 1 */
1529 : /* even for single-word values, and much faster for multiword values. */
1530 : /* If all you have is a word, you can just use n & !(n & (n-1)). */
1531 : long
1532 80881 : Z_ispow2(GEN n)
1533 : {
1534 : GEN xp;
1535 : long i, lx;
1536 : ulong u;
1537 80881 : if (signe(n) != 1) return 0;
1538 80874 : xp = int_LSW(n);
1539 80874 : lx = lgefint(n);
1540 80874 : u = *xp;
1541 81158 : for (i = 3; i < lx; ++i)
1542 : {
1543 78339 : if (u) return 0;
1544 284 : xp = int_nextW(xp);
1545 284 : u = *xp;
1546 : }
1547 2819 : return !(u & (u-1));
1548 : }
1549 :
1550 : static long
1551 841834 : isprimepower_i(GEN n, GEN *pt, long flag)
1552 : {
1553 841834 : pari_sp av = avma;
1554 : long i, v;
1555 :
1556 841834 : if (typ(n) != t_INT) pari_err_TYPE("isprimepower", n);
1557 841834 : if (signe(n) <= 0) return 0;
1558 :
1559 841834 : if (lgefint(n) == 3)
1560 : {
1561 : ulong p;
1562 541156 : v = uisprimepower(n[2], &p);
1563 541156 : if (v)
1564 : {
1565 54944 : if (pt) *pt = utoipos(p);
1566 54944 : return v;
1567 : }
1568 486212 : return 0;
1569 : }
1570 1662351 : for (i = 0; i < 26; i++)
1571 : {
1572 1626505 : ulong p = tinyprimes[i];
1573 1626505 : v = Z_lvalrem(n, p, &n);
1574 1626504 : if (v)
1575 : {
1576 264831 : set_avma(av);
1577 264832 : if (!is_pm1(n)) return 0;
1578 436 : if (pt) *pt = utoipos(p);
1579 436 : return v;
1580 : }
1581 : }
1582 : /* p | n => p >= 103 */
1583 35846 : v = Z_isanypower_nosmalldiv(&n); /* expensive */
1584 35846 : if (!(flag? isprime(n): BPSW_psp(n))) return gc_long(av,0);
1585 5534 : if (pt) *pt = gerepilecopy(av, n); else set_avma(av);
1586 5534 : return v;
1587 : }
1588 : long
1589 840098 : isprimepower(GEN n, GEN *pt) { return isprimepower_i(n,pt,1); }
1590 : long
1591 1736 : ispseudoprimepower(GEN n, GEN *pt) { return isprimepower_i(n,pt,0); }
1592 :
1593 : long
1594 542255 : uisprimepower(ulong n, ulong *pp)
1595 : { /* We must have CUTOFF^11 >= ULONG_MAX and CUTOFF^3 < ULONG_MAX.
1596 : * Tests suggest that 200-300 is the best range for 64-bit platforms. */
1597 542255 : const ulong CUTOFF = 200UL;
1598 542255 : const long TINYCUTOFF = 46; /* tinyprimes[45] = 199 */
1599 542255 : const ulong CUTOFF3 = CUTOFF*CUTOFF*CUTOFF;
1600 : #ifdef LONG_IS_64BIT
1601 : /* primes preceeding the appropriate root of ULONG_MAX. */
1602 481944 : const ulong ROOT9 = 137;
1603 481944 : const ulong ROOT8 = 251;
1604 481944 : const ulong ROOT7 = 563;
1605 481944 : const ulong ROOT5 = 7129;
1606 481944 : const ulong ROOT4 = 65521;
1607 : #else
1608 60311 : const ulong ROOT9 = 11;
1609 60311 : const ulong ROOT8 = 13;
1610 60311 : const ulong ROOT7 = 23;
1611 60311 : const ulong ROOT5 = 83;
1612 60311 : const ulong ROOT4 = 251;
1613 : #endif
1614 : ulong mask;
1615 : long v, i;
1616 : int e;
1617 542255 : if (n < 2) return 0;
1618 542241 : if (!odd(n)) {
1619 271208 : if (n & (n-1)) return 0;
1620 1404 : *pp = 2; return vals(n);
1621 : }
1622 271033 : if (n < 8) { *pp = n; return 1; } /* 3,5,7 */
1623 3653930 : for (i = 1/*skip p=2*/; i < TINYCUTOFF; i++)
1624 : {
1625 3594855 : ulong p = tinyprimes[i];
1626 3594855 : if (n % p == 0)
1627 : {
1628 211552 : v = u_lvalrem(n, p, &n);
1629 211552 : if (n == 1) { *pp = p; return v; }
1630 209438 : return 0;
1631 : }
1632 : }
1633 : /* p | n => p >= CUTOFF */
1634 :
1635 59075 : if (n < CUTOFF3)
1636 : {
1637 46354 : if (n < CUTOFF*CUTOFF || uisprime_101(n)) { *pp = n; return 1; }
1638 0 : if (uissquareall(n, &n)) { *pp = n; return 2; }
1639 0 : return 0;
1640 : }
1641 :
1642 : /* Check for squares, fourth powers, and eighth powers as appropriate. */
1643 12721 : v = 1;
1644 12721 : if (uissquareall(n, &n)) {
1645 0 : v <<= 1;
1646 0 : if (CUTOFF <= ROOT4 && uissquareall(n, &n)) {
1647 0 : v <<= 1;
1648 0 : if (CUTOFF <= ROOT8 && uissquareall(n, &n)) v <<= 1;
1649 : }
1650 : }
1651 :
1652 12721 : if (CUTOFF > ROOT5) mask = 1;
1653 : else
1654 : {
1655 12720 : const ulong CUTOFF5 = CUTOFF3*CUTOFF*CUTOFF;
1656 12720 : if (n < CUTOFF5) mask = 1; else mask = 3;
1657 12720 : if (CUTOFF <= ROOT7)
1658 : {
1659 12720 : const ulong CUTOFF7 = CUTOFF5*CUTOFF*CUTOFF;
1660 12720 : if (n >= CUTOFF7) mask = 7;
1661 : }
1662 : }
1663 :
1664 12721 : if (CUTOFF <= ROOT9 && (e = uis_357_power(n, &n, &mask))) { v *= e; mask=1; }
1665 12721 : if ((e = uis_357_power(n, &n, &mask))) v *= e;
1666 :
1667 12721 : if (uisprime_101(n)) { *pp = n; return v; }
1668 6984 : return 0;
1669 : }
1670 :
1671 : /*********************************************************************/
1672 : /** **/
1673 : /** KRONECKER SYMBOL **/
1674 : /** **/
1675 : /*********************************************************************/
1676 : /* t = 3,5 mod 8 ? (= 2 not a square mod t) */
1677 : static int
1678 632910230 : ome(long t)
1679 : {
1680 632910230 : switch(t & 7)
1681 : {
1682 : case 3:
1683 361097114 : case 5: return 1;
1684 271813116 : default: return 0;
1685 : }
1686 : }
1687 : /* t a t_INT, is t = 3,5 mod 8 ? */
1688 : static int
1689 4184264 : gome(GEN t)
1690 4184264 : { return signe(t)? ome( mod2BIL(t) ): 0; }
1691 :
1692 : /* assume y odd, return kronecker(x,y) * s */
1693 : static long
1694 483678299 : krouu_s(ulong x, ulong y, long s)
1695 : {
1696 483678299 : ulong x1 = x, y1 = y, z;
1697 2605936382 : while (x1)
1698 : {
1699 1638613097 : long r = vals(x1);
1700 1638616849 : if (r)
1701 : {
1702 882559097 : if (odd(r) && ome(y1)) s = -s;
1703 882522032 : x1 >>= r;
1704 : }
1705 1638579784 : if (x1 & y1 & 2) s = -s;
1706 1638579784 : z = y1 % x1; y1 = x1; x1 = z;
1707 : }
1708 483644986 : return (y1 == 1)? s: 0;
1709 : }
1710 :
1711 : long
1712 5050029 : kronecker(GEN x, GEN y)
1713 : {
1714 5050029 : pari_sp av = avma;
1715 5050029 : long s = 1, r;
1716 : ulong xu;
1717 :
1718 5050029 : if (typ(x) != t_INT) pari_err_TYPE("kronecker",x);
1719 5050029 : if (typ(y) != t_INT) pari_err_TYPE("kronecker",y);
1720 5050029 : switch (signe(y))
1721 : {
1722 0 : case -1: y = negi(y); if (signe(x) < 0) s = -1; break;
1723 0 : case 0: return is_pm1(x);
1724 : }
1725 5050029 : r = vali(y);
1726 5050029 : if (r)
1727 : {
1728 11754 : if (!mpodd(x)) return gc_long(av,0);
1729 10228 : if (odd(r) && gome(x)) s = -s;
1730 10228 : y = shifti(y,-r);
1731 : }
1732 5048503 : x = modii(x,y);
1733 11057238 : while (lgefint(x) > 3) /* x < y */
1734 : {
1735 : GEN z;
1736 960232 : r = vali(x);
1737 960232 : if (r)
1738 : {
1739 524226 : if (odd(r) && gome(y)) s = -s;
1740 524226 : x = shifti(x,-r);
1741 : }
1742 : /* x=3 mod 4 && y=3 mod 4 ? (both are odd here) */
1743 960232 : if (mod2BIL(x) & mod2BIL(y) & 2) s = -s;
1744 960232 : z = remii(y,x); y = x; x = z;
1745 960232 : if (gc_needed(av,2))
1746 : {
1747 0 : if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"kronecker");
1748 0 : gerepileall(av, 2, &x, &y);
1749 : }
1750 : }
1751 5048503 : xu = itou(x);
1752 5048503 : if (!xu) return is_pm1(y)? s: 0;
1753 5028043 : r = vals(xu);
1754 5028043 : if (r)
1755 : {
1756 2641626 : if (odd(r) && gome(y)) s = -s;
1757 2641626 : xu >>= r;
1758 : }
1759 : /* x=3 mod 4 && y=3 mod 4 ? (both are odd here) */
1760 5028043 : if (xu & mod2BIL(y) & 2) s = -s;
1761 5028043 : return gc_long(av, krouu_s(umodiu(y,xu), xu, s));
1762 : }
1763 :
1764 : long
1765 30842 : krois(GEN x, long y)
1766 : {
1767 : ulong yu;
1768 30842 : long s = 1;
1769 :
1770 30842 : if (y <= 0)
1771 : {
1772 7 : if (y == 0) return is_pm1(x);
1773 0 : yu = (ulong)-y; if (signe(x) < 0) s = -1;
1774 : }
1775 : else
1776 30835 : yu = (ulong)y;
1777 30835 : if (!odd(yu))
1778 : {
1779 : long r;
1780 14056 : if (!mpodd(x)) return 0;
1781 10472 : r = vals(yu); yu >>= r;
1782 10472 : if (odd(r) && gome(x)) s = -s;
1783 : }
1784 27251 : return krouu_s(umodiu(x, yu), yu, s);
1785 : }
1786 : /* assume y != 0 */
1787 : long
1788 342596563 : kroiu(GEN x, ulong y)
1789 : {
1790 : long r;
1791 342596563 : if (odd(y)) return krouu_s(umodiu(x,y), y, 1);
1792 2132032 : if (!mpodd(x)) return 0;
1793 2109898 : r = vals(y); y >>= r;
1794 2109898 : return krouu_s(umodiu(x,y), y, (odd(r) && gome(x))? -1: 1);
1795 : }
1796 :
1797 : /* assume y > 0, odd, return s * kronecker(x,y) */
1798 : static long
1799 181212 : krouodd(ulong x, GEN y, long s)
1800 : {
1801 : long r;
1802 181212 : if (lgefint(y) == 3) return krouu_s(x, y[2], s);
1803 41884 : if (!x) return 0; /* y != 1 */
1804 41884 : r = vals(x);
1805 41884 : if (r)
1806 : {
1807 7359 : if (odd(r) && gome(y)) s = -s;
1808 7359 : x >>= r;
1809 : }
1810 : /* x=3 mod 4 && y=3 mod 4 ? (both are odd here) */
1811 41884 : if (x & mod2BIL(y) & 2) s = -s;
1812 41884 : return krouu_s(umodiu(y,x), x, s);
1813 : }
1814 :
1815 : long
1816 180703 : krosi(long x, GEN y)
1817 : {
1818 180703 : const pari_sp av = avma;
1819 180703 : long s = 1, r;
1820 180703 : switch (signe(y))
1821 : {
1822 0 : case -1: y = negi(y); if (x < 0) s = -1; break;
1823 0 : case 0: return (x==1 || x==-1);
1824 : }
1825 180703 : r = vali(y);
1826 180703 : if (r)
1827 : {
1828 16842 : if (!odd(x)) return gc_long(av,0);
1829 16842 : if (odd(r) && ome(x)) s = -s;
1830 16842 : y = shifti(y,-r);
1831 : }
1832 180703 : if (x < 0) { x = -x; if (mod4(y) == 3) s = -s; }
1833 180703 : return gc_long(av, krouodd((ulong)x, y, s));
1834 : }
1835 :
1836 : long
1837 509 : kroui(ulong x, GEN y)
1838 : {
1839 509 : const pari_sp av = avma;
1840 509 : long s = 1, r;
1841 509 : switch (signe(y))
1842 : {
1843 0 : case -1: y = negi(y); break;
1844 0 : case 0: return x==1UL;
1845 : }
1846 509 : r = vali(y);
1847 509 : if (r)
1848 : {
1849 0 : if (!odd(x)) return gc_long(av,0);
1850 0 : if (odd(r) && ome(x)) s = -s;
1851 0 : y = shifti(y,-r);
1852 : }
1853 509 : return gc_long(av, krouodd(x, y, s));
1854 : }
1855 :
1856 : long
1857 78061231 : kross(long x, long y)
1858 : {
1859 : ulong yu;
1860 78061231 : long s = 1;
1861 :
1862 78061231 : if (y <= 0)
1863 : {
1864 441 : if (y == 0) return (labs(x)==1);
1865 413 : yu = (ulong)-y; if (x < 0) s = -1;
1866 : }
1867 : else
1868 78060790 : yu = (ulong)y;
1869 78061203 : if (!odd(yu))
1870 : {
1871 : long r;
1872 19745972 : if (!odd(x)) return 0;
1873 13991286 : r = vals(yu); yu >>= r;
1874 13991286 : if (odd(r) && ome(x)) s = -s;
1875 : }
1876 72306517 : x %= (long)yu; if (x < 0) x += yu;
1877 72306517 : return krouu_s((ulong)x, yu, s);
1878 : }
1879 :
1880 : long
1881 63481357 : krouu(ulong x, ulong y)
1882 : {
1883 : long r;
1884 63481357 : if (odd(y)) return krouu_s(x, y, 1);
1885 1674 : if (!odd(x)) return 0;
1886 1674 : r = vals(y); y >>= r;
1887 1674 : return krouu_s(x, y, (odd(r) && ome(x))? -1: 1);
1888 : }
1889 :
1890 : /*********************************************************************/
1891 : /** **/
1892 : /** HILBERT SYMBOL **/
1893 : /** **/
1894 : /*********************************************************************/
1895 : /* x,y are t_INT or t_REAL */
1896 : static long
1897 9982 : mphilbertoo(GEN x, GEN y)
1898 : {
1899 9982 : long sx = signe(x), sy = signe(y);
1900 9982 : if (!sx || !sy) return 0;
1901 9982 : return (sx < 0 && sy < 0)? -1: 1;
1902 : }
1903 :
1904 : long
1905 53144 : hilbertii(GEN x, GEN y, GEN p)
1906 : {
1907 : pari_sp av;
1908 : long oddvx, oddvy, z;
1909 :
1910 53144 : if (!p) return mphilbertoo(x,y);
1911 43183 : if (is_pm1(p) || signe(p) < 0) pari_err_PRIME("hilbertii",p);
1912 43183 : if (!signe(x) || !signe(y)) return 0;
1913 43162 : av = avma;
1914 43162 : oddvx = odd(Z_pvalrem(x,p,&x));
1915 43162 : oddvy = odd(Z_pvalrem(y,p,&y));
1916 : /* x, y are p-units, compute hilbert(x * p^oddvx, y * p^oddvy, p) */
1917 43162 : if (absequaliu(p, 2))
1918 : {
1919 10689 : z = (Mod4(x) == 3 && Mod4(y) == 3)? -1: 1;
1920 10689 : if (oddvx && gome(y)) z = -z;
1921 10689 : if (oddvy && gome(x)) z = -z;
1922 : }
1923 : else
1924 : {
1925 32473 : z = (oddvx && oddvy && mod4(p) == 3)? -1: 1;
1926 32473 : if (oddvx && kronecker(y,p) < 0) z = -z;
1927 32473 : if (oddvy && kronecker(x,p) < 0) z = -z;
1928 : }
1929 43162 : return gc_long(av, z);
1930 : }
1931 :
1932 : static void
1933 196 : err_prec(void) { pari_err_PREC("hilbert"); }
1934 : static void
1935 161 : err_p(GEN p, GEN q) { pari_err_MODULUS("hilbert", p,q); }
1936 : static void
1937 56 : err_oo(GEN p) { pari_err_MODULUS("hilbert", p, strtoGENstr("oo")); }
1938 :
1939 : /* x t_INTMOD, *pp = prime or NULL [ unset, set it to x.mod ].
1940 : * Return lift(x) provided it's p-adic accuracy is large enough to decide
1941 : * hilbert()'s value [ problem at p = 2 ] */
1942 : static GEN
1943 420 : lift_intmod(GEN x, GEN *pp)
1944 : {
1945 420 : GEN p = *pp, N = gel(x,1);
1946 420 : x = gel(x,2);
1947 420 : if (!p)
1948 : {
1949 266 : *pp = p = N;
1950 266 : switch(itos_or_0(p))
1951 : {
1952 : case 2:
1953 126 : case 4: err_prec();
1954 : }
1955 140 : return x;
1956 : }
1957 154 : if (!signe(p)) err_oo(N);
1958 112 : if (absequaliu(p,2))
1959 42 : { if (vali(N) <= 2) err_prec(); }
1960 : else
1961 70 : { if (!dvdii(N,p)) err_p(N,p); }
1962 28 : if (!signe(x)) err_prec();
1963 21 : return x;
1964 : }
1965 : /* x t_PADIC, *pp = prime or NULL [ unset, set it to x.p ].
1966 : * Return lift(x)*p^(v(x) mod 2) provided it's p-adic accuracy is large enough
1967 : * to decide hilbert()'s value [ problem at p = 2 ]*/
1968 : static GEN
1969 210 : lift_padic(GEN x, GEN *pp)
1970 : {
1971 210 : GEN p = *pp, q = gel(x,2), y = gel(x,4);
1972 210 : if (!p) *pp = p = q;
1973 147 : else if (!equalii(p,q)) err_p(p, q);
1974 105 : if (absequaliu(p,2) && precp(x) <= 2) err_prec();
1975 70 : if (!signe(y)) err_prec();
1976 70 : return odd(valp(x))? mulii(p,y): y;
1977 : }
1978 :
1979 : long
1980 658 : hilbert(GEN x, GEN y, GEN p)
1981 : {
1982 658 : pari_sp av = avma;
1983 658 : long tx = typ(x), ty = typ(y);
1984 :
1985 658 : if (p && typ(p) != t_INT) pari_err_TYPE("hilbert",p);
1986 658 : if (tx == t_REAL)
1987 : {
1988 77 : if (p && signe(p)) err_oo(p);
1989 63 : switch (ty)
1990 : {
1991 : case t_INT:
1992 7 : case t_REAL: return mphilbertoo(x,y);
1993 0 : case t_FRAC: return mphilbertoo(x,gel(y,1));
1994 56 : default: pari_err_TYPE2("hilbert",x,y);
1995 : }
1996 : }
1997 581 : if (ty == t_REAL)
1998 : {
1999 14 : if (p && signe(p)) err_oo(p);
2000 14 : switch (tx)
2001 : {
2002 : case t_INT:
2003 14 : case t_REAL: return mphilbertoo(x,y);
2004 0 : case t_FRAC: return mphilbertoo(gel(x,1),y);
2005 0 : default: pari_err_TYPE2("hilbert",x,y);
2006 : }
2007 : }
2008 567 : if (tx == t_INTMOD) { x = lift_intmod(x, &p); tx = t_INT; }
2009 364 : if (ty == t_INTMOD) { y = lift_intmod(y, &p); ty = t_INT; }
2010 :
2011 308 : if (tx == t_PADIC) { x = lift_padic(x, &p); tx = t_INT; }
2012 245 : if (ty == t_PADIC) { y = lift_padic(y, &p); ty = t_INT; }
2013 :
2014 168 : if (tx == t_FRAC) { tx = t_INT; x = p? mulii(gel(x,1),gel(x,2)): gel(x,1); }
2015 168 : if (ty == t_FRAC) { ty = t_INT; y = p? mulii(gel(y,1),gel(y,2)): gel(y,1); }
2016 :
2017 168 : if (tx != t_INT || ty != t_INT) pari_err_TYPE2("hilbert",x,y);
2018 168 : if (p && !signe(p)) p = NULL;
2019 168 : return gc_long(av, hilbertii(x,y,p));
2020 : }
2021 :
2022 : /*******************************************************************/
2023 : /* */
2024 : /* SQUARE ROOT MODULO p */
2025 : /* */
2026 : /*******************************************************************/
2027 : static void
2028 3904876 : checkp(ulong q, ulong p)
2029 3904876 : { if (!q) pari_err_PRIME("Fl_nonsquare",utoipos(p)); }
2030 : /* p = 1 (mod 4) prime, return the first quadratic non-residue, a prime */
2031 : static ulong
2032 26383305 : nonsquare1_Fl(ulong p)
2033 : {
2034 : forprime_t S;
2035 : ulong q;
2036 26383305 : if ((p & 7UL) != 1) return 2UL;
2037 10569873 : q = p % 3; if (q == 2) return 3UL;
2038 3219916 : checkp(q, p);
2039 3219909 : q = p % 5; if (q == 2 || q == 3) return 5UL;
2040 423399 : checkp(q, p);
2041 423399 : q = p % 7; if (q != 4 && q >= 3) return 7UL;
2042 157516 : checkp(q, p);
2043 157516 : u_forprime_init(&S, 11, p);
2044 419077 : while ((q = u_forprime_next(&S)))
2045 : {
2046 261560 : long i = krouu(q, p);
2047 261561 : if (i < 0) return q;
2048 104045 : checkp(q, p);
2049 : }
2050 0 : checkp(0, p);
2051 : return 0; /*LCOV_EXCL_LINE*/
2052 : }
2053 : /* p > 2 a prime */
2054 : ulong
2055 7714 : nonsquare_Fl(ulong p)
2056 7714 : { return ((p & 3UL) == 3)? p-1: nonsquare1_Fl(p); }
2057 :
2058 : ulong
2059 150651 : Fl_2gener_pre(ulong p, ulong pi)
2060 : {
2061 150651 : ulong p1 = p-1;
2062 150651 : long e = vals(p1);
2063 150650 : if (e == 1) return p1;
2064 56689 : return Fl_powu_pre(nonsquare1_Fl(p), p1 >> e, p, pi);
2065 : }
2066 :
2067 : /* Tonelli-Shanks. Assume p is prime and (a,p) != -1. */
2068 : ulong
2069 63677928 : Fl_sqrt_pre_i(ulong a, ulong y, ulong p, ulong pi)
2070 : {
2071 : long i, e, k;
2072 : ulong p1, q, v, w;
2073 :
2074 63677928 : if (!a) return 0;
2075 62343891 : p1 = p - 1; e = vals(p1);
2076 62345277 : if (e == 0) /* p = 2 */
2077 : {
2078 418894 : if (p != 2) pari_err_PRIME("Fl_sqrt [modulus]",utoi(p));
2079 418887 : return ((a & 1) == 0)? 0: 1;
2080 : }
2081 61926383 : if (e == 1)
2082 : {
2083 35598172 : v = Fl_powu_pre(a, (p+1) >> 2, p, pi);
2084 35590069 : if (Fl_sqr_pre(v, p, pi) != a) return ~0UL;
2085 35558799 : p1 = p - v; if (v > p1) v = p1;
2086 35558799 : return v;
2087 : }
2088 26328211 : q = p1 >> e; /* q = (p-1)/2^oo is odd */
2089 26328211 : p1 = Fl_powu_pre(a, q >> 1, p, pi); /* a ^ [(q-1)/2] */
2090 26328225 : if (!p1) return 0;
2091 26328225 : v = Fl_mul_pre(a, p1, p, pi);
2092 26328224 : w = Fl_mul_pre(v, p1, p, pi);
2093 26328224 : if (!y) y = Fl_powu_pre(nonsquare1_Fl(p), q, p, pi);
2094 74385191 : while (w != 1)
2095 : { /* a*w = v^2, y primitive 2^e-th root of 1
2096 : a square --> w even power of y, hence w^(2^(e-1)) = 1 */
2097 21756900 : p1 = Fl_sqr_pre(w,p,pi);
2098 21756900 : for (k=1; p1 != 1 && k < e; k++) p1 = Fl_sqr_pre(p1,p,pi);
2099 21756900 : if (k == e) return ~0UL;
2100 : /* w ^ (2^k) = 1 --> w = y ^ (u * 2^(e-k)), u odd */
2101 21728758 : p1 = y;
2102 21728758 : for (i=1; i < e-k; i++) p1 = Fl_sqr_pre(p1, p, pi);
2103 21728758 : y = Fl_sqr_pre(p1, p, pi); e = k;
2104 21728759 : w = Fl_mul_pre(y, w, p, pi);
2105 21728759 : v = Fl_mul_pre(v, p1, p, pi);
2106 : }
2107 26300074 : p1 = p - v; if (v > p1) v = p1;
2108 26300074 : return v;
2109 : }
2110 :
2111 : ulong
2112 60222227 : Fl_sqrt(ulong a, ulong p)
2113 : {
2114 60222227 : ulong pi = get_Fl_red(p);
2115 60226694 : return Fl_sqrt_pre_i(a, 0, p, pi);
2116 : }
2117 :
2118 : ulong
2119 3415849 : Fl_sqrt_pre(ulong a, ulong p, ulong pi)
2120 : {
2121 3415849 : return Fl_sqrt_pre_i(a, 0, p, pi);
2122 : }
2123 :
2124 : static ulong
2125 46213 : Fl_lgener_pre_all(ulong l, long e, ulong r, ulong p, ulong pi, ulong *pt_m)
2126 : {
2127 : ulong x, y, m;
2128 46213 : ulong le1 = upowuu(l, e-1);
2129 72708 : for (x = 2; ; x++)
2130 : {
2131 99203 : y = Fl_powu_pre(x, r, p, pi);
2132 72708 : if (y==1) continue;
2133 56428 : m = Fl_powu_pre(y, le1, p, pi);
2134 56428 : if (m != 1) break;
2135 : }
2136 46213 : *pt_m = m;
2137 46213 : return y;
2138 : }
2139 :
2140 : /* solve x^l = a , l prime in G of order q.
2141 : *
2142 : * q = (l^e)*r, e >= 1, (r,l) = 1
2143 : * y generates the l-Sylow of G
2144 : * m = y^(l^(e-1)) != 1 */
2145 : static ulong
2146 110528 : Fl_sqrtl_raw(ulong a, ulong l, ulong e, ulong r, ulong p, ulong pi, ulong y, ulong m)
2147 : {
2148 : ulong p1, v, w, z, dl;
2149 : ulong u2;
2150 110528 : if (a==0) return a;
2151 110528 : u2 = Fl_inv(l%r, r);
2152 110529 : v = Fl_powu_pre(a, u2, p, pi);
2153 110528 : w = Fl_powu_pre(v, l, p, pi);
2154 110528 : w = Fl_mul_pre(w, Fl_inv(a, p), p, pi);
2155 110514 : if (w==1) return v;
2156 45252 : if (y==0) y = Fl_lgener_pre_all(l, e, r, p, pi, &m);
2157 109462 : while (w!=1)
2158 : {
2159 49525 : ulong k = 0;
2160 49525 : p1 = w;
2161 : do
2162 : {
2163 73302 : z = p1; p1 = Fl_powu_pre(p1, l, p, pi);
2164 73302 : k++;
2165 73302 : } while (p1!=1);
2166 49525 : if (k==e) return ULONG_MAX;
2167 18958 : dl = Fl_log_pre(z, m, l, p, pi);
2168 18958 : dl = Fl_neg(dl, l);
2169 18958 : p1 = Fl_powu_pre(y,dl*upowuu(l,e-k-1),p,pi);
2170 18958 : m = Fl_powu_pre(m, dl, p, pi);
2171 18958 : e = k;
2172 18958 : v = Fl_mul_pre(p1,v,p,pi);
2173 18958 : y = Fl_powu_pre(p1,l,p,pi);
2174 18958 : w = Fl_mul_pre(y,w,p,pi);
2175 : }
2176 14685 : return v;
2177 : }
2178 :
2179 : static ulong
2180 109820 : Fl_sqrtl_i(ulong a, ulong l, ulong p, ulong pi, ulong y, ulong m)
2181 : {
2182 109820 : ulong r, e = u_lvalrem(p-1, l, &r);
2183 109821 : return Fl_sqrtl_raw(a, l, e, r, p, pi, y, m);
2184 : }
2185 :
2186 : ulong
2187 109819 : Fl_sqrtl_pre(ulong a, ulong l, ulong p, ulong pi)
2188 : {
2189 109819 : return Fl_sqrtl_i(a, l, p, pi, 0, 0);
2190 : }
2191 :
2192 : ulong
2193 0 : Fl_sqrtl(ulong a, ulong l, ulong p)
2194 : {
2195 0 : ulong pi = get_Fl_red(p);
2196 0 : return Fl_sqrtl_i(a, l, p, pi, 0, 0);
2197 : }
2198 :
2199 : ulong
2200 64997 : Fl_sqrtn_pre(ulong a, long n, ulong p, ulong pi, ulong *zetan)
2201 : {
2202 64997 : ulong m, q = p-1, z;
2203 64997 : ulong nn = n >= 0 ? (ulong)n: -(ulong)n;
2204 64997 : if (a==0)
2205 : {
2206 48118 : if (n < 0) pari_err_INV("Fl_sqrtn", mkintmod(gen_0,utoi(p)));
2207 48111 : if (zetan) *zetan = 1UL;
2208 48111 : return 0;
2209 : }
2210 16879 : if (n==1)
2211 : {
2212 0 : if (zetan) *zetan = 1;
2213 0 : return n < 0? Fl_inv(a,p): a;
2214 : }
2215 16879 : if (n==2)
2216 : {
2217 3444 : if (zetan) *zetan = p-1;
2218 3444 : return Fl_sqrt_pre_i(a, 0, p, pi);
2219 : }
2220 13435 : if (a == 1 && !zetan) return a;
2221 7506 : m = ugcd(nn, q);
2222 7506 : z = 1;
2223 7506 : if (m!=1)
2224 : {
2225 940 : GEN F = factoru(m);
2226 : long i, j, e;
2227 : ulong r, zeta, y, l;
2228 1971 : for (i = nbrows(F); i; i--)
2229 : {
2230 1045 : l = ucoeff(F,i,1);
2231 1045 : j = ucoeff(F,i,2);
2232 1045 : e = u_lvalrem(q,l, &r);
2233 1045 : y = Fl_lgener_pre_all(l, e, r, p, pi, &zeta);
2234 1045 : if (zetan)
2235 492 : z = Fl_mul_pre(z, Fl_powu_pre(y, upowuu(l,e-j), p, pi), p, pi);
2236 1045 : if (a!=1)
2237 : do
2238 : {
2239 707 : a = Fl_sqrtl_raw(a, l, e, r, p, pi, y, zeta);
2240 693 : if (!a) return ULONG_MAX;
2241 693 : } while (--j);
2242 : }
2243 : }
2244 7492 : if (m != nn)
2245 : {
2246 6594 : ulong qm = q/m, nm = nn/m;
2247 6594 : a = Fl_powu_pre(a, Fl_inv(nm%qm, qm), p, pi);
2248 : }
2249 7492 : if (n < 0) a = Fl_inv(a, p);
2250 7492 : if (zetan) *zetan = z;
2251 7492 : return a;
2252 : }
2253 :
2254 : ulong
2255 64997 : Fl_sqrtn(ulong a, long n, ulong p, ulong *zetan)
2256 : {
2257 64997 : ulong pi = get_Fl_red(p);
2258 64997 : return Fl_sqrtn_pre(a, n, p, pi, zetan);
2259 : }
2260 :
2261 : /* Cipolla is better than Tonelli-Shanks when e = v_2(p-1) is "too big".
2262 : * Otherwise, is a constant times worse; for p = 3 (mod 4), is about 3 times worse,
2263 : * and in average is about 2 or 2.5 times worse. But try both algorithms for
2264 : * S(n) = (2^n+3)^2-8 with n = 750, 771, 779, 790, 874, 1176, 1728, 2604, etc.
2265 : *
2266 : * If X^2 := t^2 - a is not a square in F_p (so X is in F_p^2), then
2267 : * (t+X)^(p+1) = (t-X)(t+X) = a, hence sqrt(a) = (t+X)^((p+1)/2) in F_p^2.
2268 : * If (a|p)=1, then sqrt(a) is in F_p.
2269 : * cf: LNCS 2286, pp 430-434 (2002) [Gonzalo Tornaria] */
2270 :
2271 : /* compute y^2, y = y[1] + y[2] X */
2272 : static GEN
2273 449 : sqrt_Cipolla_sqr(void *data, GEN y)
2274 : {
2275 449 : GEN u = gel(y,1), v = gel(y,2), p = gel(data,2), n = gel(data,3);
2276 449 : GEN u2 = sqri(u), v2 = sqri(v);
2277 449 : v = subii(sqri(addii(v,u)), addii(u2,v2));
2278 449 : u = addii(u2, mulii(v2,n));
2279 : /* NOT mkvec2: must be gerepileupto-able */
2280 449 : retmkvec2(modii(u,p), modii(v,p));
2281 : }
2282 : /* compute (t+X) y^2 */
2283 : static GEN
2284 23 : sqrt_Cipolla_msqr(void *data, GEN y)
2285 : {
2286 23 : GEN u = gel(y,1), v = gel(y,2), a = gel(data,1), p = gel(data,2), gt = gel(data,4);
2287 23 : ulong t = gt[2];
2288 23 : GEN d = addii(u, mului(t,v)), d2= sqri(d);
2289 23 : GEN b = remii(mulii(a,v), p);
2290 23 : u = subii(mului(t,d2), mulii(b,addii(u,d)));
2291 23 : v = subii(d2, mulii(b,v));
2292 : /* NOT mkvec2: must be gerepileupto-able */
2293 23 : retmkvec2(modii(u,p), modii(v,p));
2294 : }
2295 : /* assume a reduced mod p [ otherwise correct but inefficient ] */
2296 : static GEN
2297 8 : sqrt_Cipolla(GEN a, GEN p)
2298 : {
2299 : pari_sp av1;
2300 : GEN u, v, n, y, pov2;
2301 : ulong t;
2302 :
2303 8 : if (kronecker(a, p) < 0) return NULL;
2304 8 : pov2 = shifti(p,-1);
2305 8 : if (cmpii(a,pov2) > 0) a = subii(a,p); /* center: avoid multiplying by huge base*/
2306 :
2307 8 : av1 = avma;
2308 41 : for(t=1; ; t++)
2309 : {
2310 74 : n = subsi((long)(t*t), a);
2311 41 : if (kronecker(n, p) < 0) break;
2312 33 : set_avma(av1);
2313 : }
2314 :
2315 : /* compute (t+X)^((p-1)/2) =: u+vX */
2316 8 : u = utoipos(t);
2317 8 : y = gen_pow_fold(mkvec2(u, gen_1), pov2, mkvec4(a,p,n,u),
2318 : sqrt_Cipolla_sqr, sqrt_Cipolla_msqr);
2319 : /* Now u+vX = (t+X)^((p-1)/2); thus
2320 : * (u+vX)(t+X) = sqrt(a) + 0 X
2321 : * Whence,
2322 : * sqrt(a) = (u+vt)t - v*a
2323 : * 0 = (u+vt)
2324 : * Thus a square root is v*a */
2325 :
2326 8 : v = Fp_mul(gel(y, 2), a, p);
2327 8 : if (cmpii(v,pov2) > 0) v = subii(p,v);
2328 8 : return v;
2329 : }
2330 :
2331 : /* Return NULL if p is found to be composite */
2332 : static GEN
2333 2802 : Fp_2gener_all(long e, GEN p)
2334 : {
2335 : GEN y, m;
2336 : long k;
2337 2802 : GEN q = shifti(subiu(p,1), -e); /* q = (p-1)/2^oo is odd */
2338 2802 : if (e==0 && !equaliu(p,2)) return NULL;
2339 9309 : for (k=2; ; k++)
2340 6507 : {
2341 9309 : long i = krosi(k, p);
2342 9309 : if (i >= 0)
2343 : {
2344 6507 : if (i) continue;
2345 0 : return NULL;
2346 : }
2347 2802 : y = m = Fp_pow(utoi(k), q, p);
2348 9509 : for (i=1; i<e; i++)
2349 6707 : if (equali1(m = Fp_sqr(m, p))) break;
2350 2802 : if (i == e) break; /* success */
2351 : }
2352 2802 : return y;
2353 : }
2354 :
2355 : /* Return NULL if p is found to be composite */
2356 : GEN
2357 980 : Fp_2gener(GEN p)
2358 980 : { return Fp_2gener_all(vali(subis(p,1)),p); }
2359 :
2360 : /* smallest square root */
2361 : static GEN
2362 27550 : choose_sqrt(GEN v, GEN p)
2363 : {
2364 27550 : pari_sp av = avma;
2365 27550 : GEN q = subii(p,v);
2366 27550 : if (cmpii(v,q) > 0) v = q; else set_avma(av);
2367 27550 : return v;
2368 : }
2369 : /* Tonelli-Shanks. Assume p is prime and return NULL if (a,p) = -1. */
2370 : GEN
2371 3492122 : Fp_sqrt_i(GEN a, GEN y, GEN p)
2372 : {
2373 3492122 : pari_sp av = avma;
2374 : long i, k, e;
2375 : GEN p1, q, v, w;
2376 :
2377 3492122 : if (typ(a) != t_INT) pari_err_TYPE("Fp_sqrt",a);
2378 3492124 : if (typ(p) != t_INT) pari_err_TYPE("Fp_sqrt",p);
2379 3492124 : if (signe(p) <= 0 || equali1(p)) pari_err_PRIME("Fp_sqrt",p);
2380 3492126 : if (lgefint(p) == 3)
2381 : {
2382 3464469 : ulong pp = uel(p,2), u = Fl_sqrt(umodiu(a, pp), pp);
2383 3464491 : if (u == ~0UL) return NULL;
2384 3464449 : return utoi(u);
2385 : }
2386 :
2387 27657 : a = modii(a, p); if (!signe(a)) { set_avma(av); return gen_0; }
2388 27566 : p1 = subiu(p,1); e = vali(p1);
2389 27566 : if (e <= 2)
2390 : { /* direct formulas more efficient */
2391 : pari_sp av2;
2392 22558 : if (e == 0) pari_err_PRIME("Fp_sqrt [modulus]",p); /* p != 2 */
2393 22558 : if (e == 1)
2394 : {
2395 13362 : q = addiu(shifti(p1,-2),1); /* (p+1) / 4 */
2396 13362 : v = Fp_pow(a, q, p);
2397 : }
2398 : else
2399 : { /* Atkin's formula */
2400 9196 : GEN i, a2 = shifti(a,1);
2401 9196 : if (cmpii(a2,p) >= 0) a2 = subii(a2,p);
2402 9196 : q = shifti(p1, -3); /* (p-5)/8 */
2403 9196 : v = Fp_pow(a2, q, p);
2404 9196 : i = Fp_mul(a2, Fp_sqr(v,p), p); /* i^2 = -1 */
2405 9196 : v = Fp_mul(a, Fp_mul(v, subiu(i,1), p), p);
2406 : }
2407 22558 : av2 = avma;
2408 : /* must check equality in case (a/p) = -1 or p not prime */
2409 22558 : e = equalii(Fp_sqr(v,p), a); set_avma(av2);
2410 22558 : return e? gerepileuptoint(av,choose_sqrt(v,p)): NULL;
2411 : }
2412 : /* On average, Cipolla is better than Tonelli/Shanks if and only if
2413 : * e(e-1) > 8*log2(n)+20, see LNCS 2286 pp 430 [GTL] */
2414 5008 : if (e*(e-1) > 20 + 8 * expi(p))
2415 : {
2416 8 : v = sqrt_Cipolla(a,p); if (!v) return gc_NULL(av);
2417 8 : return gerepileuptoint(av,v);
2418 : }
2419 5000 : if (!y)
2420 : {
2421 1822 : y = Fp_2gener_all(e, p);
2422 1822 : if (!y) pari_err_PRIME("Fp_sqrt [modulus]",p);
2423 : }
2424 5000 : q = shifti(p1,-e); /* q = (p-1)/2^oo is odd */
2425 5000 : p1 = Fp_pow(a, shifti(q,-1), p); /* a ^ (q-1)/2 */
2426 5000 : v = Fp_mul(a, p1, p);
2427 5000 : w = Fp_mul(v, p1, p);
2428 17076 : while (!equali1(w))
2429 : { /* a*w = v^2, y primitive 2^e-th root of 1
2430 : a square --> w even power of y, hence w^(2^(e-1)) = 1 */
2431 7076 : p1 = Fp_sqr(w,p);
2432 7076 : for (k=1; !equali1(p1) && k < e; k++) p1 = Fp_sqr(p1,p);
2433 7076 : if (k == e) return gc_NULL(av); /* p composite or (a/p) != 1 */
2434 : /* w ^ (2^k) = 1 --> w = y ^ (u * 2^(e-k)), u odd */
2435 7076 : p1 = y;
2436 7076 : for (i=1; i < e-k; i++) p1 = Fp_sqr(p1,p);
2437 7076 : y = Fp_sqr(p1, p); e = k;
2438 7076 : w = Fp_mul(y, w, p);
2439 7076 : v = Fp_mul(v, p1, p);
2440 7076 : if (gc_needed(av,1))
2441 : {
2442 0 : if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"Fp_sqrt");
2443 0 : gerepileall(av,3, &y,&w,&v);
2444 : }
2445 : }
2446 5000 : return gerepileuptoint(av, choose_sqrt(v,p));
2447 : }
2448 :
2449 : GEN
2450 3477691 : Fp_sqrt(GEN a, GEN p)
2451 : {
2452 3477691 : return Fp_sqrt_i(a, NULL, p);
2453 : }
2454 :
2455 : /*********************************************************************/
2456 : /** **/
2457 : /** GCD & BEZOUT **/
2458 : /** **/
2459 : /*********************************************************************/
2460 :
2461 : GEN
2462 20512893 : lcmii(GEN x, GEN y)
2463 : {
2464 : pari_sp av;
2465 : GEN a, b;
2466 20512893 : if (!signe(x) || !signe(y)) return gen_0;
2467 20512893 : av = avma;
2468 20512893 : a = gcdii(x,y); if (!equali1(a)) y = diviiexact(y,a);
2469 20512863 : b = mulii(x,y); setabssign(b); return gerepileuptoint(av, b);
2470 : }
2471 :
2472 : /* given x in assume 0 < x < N; return u in (Z/NZ)^* such that u x = gcd(x,N) (mod N);
2473 : * set *pd = gcd(x,N) */
2474 : GEN
2475 3968571 : Fp_invgen(GEN x, GEN N, GEN *pd)
2476 : {
2477 : GEN d, d0, e, v;
2478 3968571 : if (lgefint(N) == 3)
2479 : {
2480 3432697 : ulong dd, NN = N[2], xx = umodiu(x,NN);
2481 3432697 : if (!xx) { *pd = N; return gen_0; }
2482 3432697 : xx = Fl_invgen(xx, NN, &dd);
2483 3432697 : *pd = utoi(dd); return utoi(xx);
2484 : }
2485 535874 : *pd = d = bezout(x, N, &v, NULL);
2486 535874 : if (equali1(d)) return v;
2487 : /* vx = gcd(x,N) (mod N), v coprime to N/d but need not be coprime to N */
2488 443669 : e = diviiexact(N,d);
2489 443669 : d0 = Z_ppo(d, e); /* d = d0 d1, d0 coprime to N/d, rad(d1) | N/d */
2490 443669 : if (equali1(d0)) return v;
2491 312561 : if (!equalii(d,d0)) e = lcmii(e, diviiexact(d,d0));
2492 312561 : return Z_chinese_coprime(v, gen_1, e, d0, mulii(e,d0));
2493 : }
2494 :
2495 : /*********************************************************************/
2496 : /** **/
2497 : /** CHINESE REMAINDERS **/
2498 : /** **/
2499 : /*********************************************************************/
2500 :
2501 : /* Chinese Remainder Theorem. x and y must have the same type (integermod,
2502 : * polymod, or polynomial/vector/matrix recursively constructed with these
2503 : * as coefficients). Creates (with the same type) a z in the same residue
2504 : * class as x and the same residue class as y, if it is possible.
2505 : *
2506 : * We also allow (during recursion) two identical objects even if they are
2507 : * not integermod or polymod. For example:
2508 : *
2509 : * ? x = [1, Mod(5, 11), Mod(X + Mod(2, 7), X^2 + 1)];
2510 : * ? y = [1, Mod(7, 17), Mod(X + Mod(0, 3), X^2 + 1)];
2511 : * ? chinese(x, y)
2512 : * %3 = [1, Mod(16, 187), Mod(X + mod(9, 21), X^2 + 1)] */
2513 :
2514 : static GEN
2515 556541 : gen_chinese(GEN x, GEN(*f)(GEN,GEN))
2516 : {
2517 556541 : GEN z = gassoc_proto(f,x,NULL);
2518 556534 : if (z == gen_1) retmkintmod(gen_0,gen_1);
2519 556499 : return z;
2520 : }
2521 :
2522 : /* x t_INTMOD, y t_POLMOD; promote x to t_POLMOD mod Pol(x.mod) then
2523 : * call chinese: makes Mod(0,1) a better "neutral" element */
2524 : static GEN
2525 21 : chinese_intpol(GEN x,GEN y)
2526 : {
2527 21 : pari_sp av = avma;
2528 21 : GEN z = mkpolmod(gel(x,2), scalarpol_shallow(gel(x,1), varn(gel(y,1))));
2529 21 : return gerepileupto(av, chinese(z, y));
2530 : }
2531 :
2532 : GEN
2533 49 : chinese1(GEN x) { return gen_chinese(x,chinese); }
2534 :
2535 : GEN
2536 16520 : chinese(GEN x, GEN y)
2537 : {
2538 : pari_sp av;
2539 16520 : long tx = typ(x), ty;
2540 : GEN z,p1,p2,d,u,v;
2541 :
2542 16520 : if (!y) return chinese1(x);
2543 16471 : if (gidentical(x,y)) return gcopy(x);
2544 16464 : ty = typ(y);
2545 16464 : if (tx == ty) switch(tx)
2546 : {
2547 : case t_POLMOD:
2548 : {
2549 28 : GEN A = gel(x,1), B = gel(y,1);
2550 28 : GEN a = gel(x,2), b = gel(y,2);
2551 28 : if (varn(A)!=varn(B)) pari_err_VAR("chinese",A,B);
2552 28 : if (RgX_equal(A,B)) retmkpolmod(chinese(a,b), gcopy(A)); /*same modulus*/
2553 28 : av = avma;
2554 28 : d = RgX_extgcd(A,B,&u,&v);
2555 28 : p2 = gsub(b, a);
2556 28 : if (!gequal0(gmod(p2, d))) break;
2557 28 : p1 = gdiv(A,d);
2558 28 : p2 = gadd(a, gmul(gmul(u,p1), p2));
2559 :
2560 28 : z = cgetg(3, t_POLMOD);
2561 28 : gel(z,1) = gmul(p1,B);
2562 28 : gel(z,2) = gmod(p2,gel(z,1));
2563 28 : return gerepileupto(av, z);
2564 : }
2565 : case t_INTMOD:
2566 : {
2567 16401 : GEN A = gel(x,1), B = gel(y,1);
2568 16401 : GEN a = gel(x,2), b = gel(y,2), c, d, C, U;
2569 16401 : z = cgetg(3,t_INTMOD);
2570 16401 : Z_chinese_pre(A, B, &C, &U, &d);
2571 16401 : c = Z_chinese_post(a, b, C, U, d);
2572 16401 : if (!c) pari_err_OP("chinese", x,y);
2573 16401 : set_avma((pari_sp)z);
2574 16401 : gel(z,1) = icopy(C);
2575 16401 : gel(z,2) = icopy(c); return z;
2576 : }
2577 : case t_POL:
2578 : {
2579 7 : long i, lx = lg(x), ly = lg(y);
2580 7 : if (varn(x) != varn(y)) break;
2581 7 : if (lx < ly) { swap(x,y); lswap(lx,ly); }
2582 7 : z = cgetg(lx, t_POL); z[1] = x[1];
2583 7 : for (i=2; i<ly; i++) gel(z,i) = chinese(gel(x,i),gel(y,i));
2584 7 : for ( ; i<lx; i++) gel(z,i) = gcopy(gel(x,i));
2585 7 : return z;
2586 : }
2587 :
2588 : case t_VEC: case t_COL: case t_MAT:
2589 : {
2590 : long i, lx;
2591 7 : z = cgetg_copy(x, &lx); if (lx!=lg(y)) break;
2592 7 : for (i=1; i<lx; i++) gel(z,i) = chinese(gel(x,i),gel(y,i));
2593 7 : return z;
2594 : }
2595 : }
2596 21 : if (tx == t_POLMOD && ty == t_INTMOD) return chinese_intpol(y,x);
2597 7 : if (ty == t_POLMOD && tx == t_INTMOD) return chinese_intpol(x,y);
2598 0 : pari_err_OP("chinese",x,y);
2599 : return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
2600 : }
2601 :
2602 : /* init chinese(Mod(.,A), Mod(.,B)) */
2603 : void
2604 237895 : Z_chinese_pre(GEN A, GEN B, GEN *pC, GEN *pU, GEN *pd)
2605 : {
2606 237895 : GEN u, d = bezout(A,B,&u,NULL); /* U = u(A/d), u(A/d) + v(B/d) = 1 */
2607 237893 : GEN t = diviiexact(A,d);
2608 237882 : *pU = mulii(u, t);
2609 237880 : *pC = mulii(t, B);
2610 237879 : if (pd) *pd = d;
2611 237879 : }
2612 : /* Assume C = lcm(A, B), U = 0 mod (A/d), U = 1 mod (B/d), a = b mod d,
2613 : * where d = gcd(A,B) or NULL, return x = a (mod A), b (mod B).
2614 : * If d not NULL, check whether a = b mod d. */
2615 : GEN
2616 1160355 : Z_chinese_post(GEN a, GEN b, GEN C, GEN U, GEN d)
2617 : {
2618 : GEN b_a;
2619 1160355 : if (!signe(a))
2620 : {
2621 399705 : if (d && !dvdii(b, d)) return NULL;
2622 399705 : return Fp_mul(b, U, C);
2623 : }
2624 760650 : b_a = subii(b,a);
2625 760650 : if (d && !dvdii(b_a, d)) return NULL;
2626 760650 : return modii(addii(a, mulii(U, b_a)), C);
2627 : }
2628 : static ulong
2629 2211284 : u_chinese_post(ulong a, ulong b, ulong C, ulong U)
2630 : {
2631 2211284 : if (!a) return Fl_mul(b, U, C);
2632 2211284 : return Fl_add(a, Fl_mul(U, Fl_sub(b,a,C), C), C);
2633 : }
2634 :
2635 : GEN
2636 2142 : Z_chinese(GEN a, GEN b, GEN A, GEN B)
2637 : {
2638 2142 : pari_sp av = avma;
2639 2142 : GEN C, U; Z_chinese_pre(A, B, &C, &U, NULL);
2640 2142 : return gerepileuptoint(av, Z_chinese_post(a,b, C, U, NULL));
2641 : }
2642 : GEN
2643 219297 : Z_chinese_all(GEN a, GEN b, GEN A, GEN B, GEN *pC)
2644 : {
2645 219297 : GEN U; Z_chinese_pre(A, B, pC, &U, NULL);
2646 219280 : return Z_chinese_post(a,b, *pC, U, NULL);
2647 : }
2648 :
2649 : /* return lift(chinese(a mod A, b mod B))
2650 : * assume(A,B)=1, a,b,A,B integers and C = A*B */
2651 : GEN
2652 313611 : Z_chinese_coprime(GEN a, GEN b, GEN A, GEN B, GEN C)
2653 : {
2654 313611 : pari_sp av = avma;
2655 313611 : GEN U = mulii(Fp_inv(A,B), A);
2656 313611 : return gerepileuptoint(av, Z_chinese_post(a,b,C,U, NULL));
2657 : }
2658 : ulong
2659 2211284 : u_chinese_coprime(ulong a, ulong b, ulong A, ulong B, ulong C)
2660 2211284 : { return u_chinese_post(a,b,C, A * Fl_inv(A % B,B)); }
2661 :
2662 : /* chinese1 for coprime moduli in Z */
2663 : static GEN
2664 608597 : chinese1_coprime_Z_aux(GEN x, GEN y)
2665 : {
2666 608597 : GEN z = cgetg(3, t_INTMOD);
2667 608597 : GEN A = gel(x,1), a = gel(x, 2);
2668 608597 : GEN B = gel(y,1), b = gel(y, 2), C = mulii(A,B);
2669 608597 : pari_sp av = avma;
2670 608597 : GEN U = mulii(Fp_inv(A,B), A);
2671 608597 : gel(z,2) = gerepileuptoint(av, Z_chinese_post(a,b,C,U, NULL));
2672 608597 : gel(z,1) = C; return z;
2673 : }
2674 : GEN
2675 556492 : chinese1_coprime_Z(GEN x) {return gen_chinese(x,chinese1_coprime_Z_aux);}
2676 :
2677 : /*********************************************************************/
2678 : /** **/
2679 : /** MODULAR EXPONENTIATION **/
2680 : /** **/
2681 : /*********************************************************************/
2682 :
2683 : /* xa, ya = t_VECSMALL */
2684 : GEN
2685 1106142 : ZV_producttree(GEN xa)
2686 : {
2687 1106142 : long n = lg(xa)-1;
2688 1106142 : long m = n==1 ? 1: expu(n-1)+1;
2689 1106142 : GEN T = cgetg(m+1, t_VEC), t;
2690 : long i, j, k;
2691 1106133 : t = cgetg(((n+1)>>1)+1, t_VEC);
2692 1106099 : if (typ(xa)==t_VECSMALL)
2693 : {
2694 993045 : for (j=1, k=1; k<n; j++, k+=2)
2695 578666 : gel(t, j) = muluu(xa[k], xa[k+1]);
2696 414379 : if (k==n) gel(t, j) = utoi(xa[k]);
2697 : } else {
2698 1654531 : for (j=1, k=1; k<n; j++, k+=2)
2699 962774 : gel(t, j) = mulii(gel(xa,k), gel(xa,k+1));
2700 691757 : if (k==n) gel(t, j) = icopy(gel(xa,k));
2701 : }
2702 1106131 : gel(T,1) = t;
2703 1833814 : for (i=2; i<=m; i++)
2704 : {
2705 727674 : GEN u = gel(T, i-1);
2706 727674 : long n = lg(u)-1;
2707 727674 : t = cgetg(((n+1)>>1)+1, t_VEC);
2708 1653903 : for (j=1, k=1; k<n; j++, k+=2)
2709 926220 : gel(t, j) = mulii(gel(u, k), gel(u, k+1));
2710 727683 : if (k==n) gel(t, j) = gel(u, k);
2711 727683 : gel(T, i) = t;
2712 : }
2713 1106140 : return T;
2714 : }
2715 :
2716 : /* return [A mod P[i], i=1..#P], T = ZV_producttree(P) */
2717 : GEN
2718 11193458 : Z_ZV_mod_tree(GEN A, GEN P, GEN T)
2719 : {
2720 : long i,j,k;
2721 11193458 : long m = lg(T)-1, n = lg(P)-1;
2722 : GEN t;
2723 11193458 : GEN Tp = cgetg(m+1, t_VEC);
2724 11179910 : gel(Tp, m) = mkvec(A);
2725 19015478 : for (i=m-1; i>=1; i--)
2726 : {
2727 7829673 : GEN u = gel(T, i);
2728 7829673 : GEN v = gel(Tp, i+1);
2729 7829673 : long n = lg(u)-1;
2730 7829673 : t = cgetg(n+1, t_VEC);
2731 15995336 : for (j=1, k=1; k<n; j++, k+=2)
2732 : {
2733 8158813 : gel(t, k) = modii(gel(v, j), gel(u, k));
2734 8161205 : gel(t, k+1) = modii(gel(v, j), gel(u, k+1));
2735 : }
2736 7836523 : if (k==n) gel(t, k) = gel(v, j);
2737 7836523 : gel(Tp, i) = t;
2738 : }
2739 : {
2740 11185805 : GEN u = gel(T, i+1);
2741 11185805 : GEN v = gel(Tp, i+1);
2742 11185805 : long l = lg(u)-1;
2743 11185805 : if (typ(P)==t_VECSMALL)
2744 : {
2745 10079895 : GEN R = cgetg(n+1, t_VECSMALL);
2746 27397986 : for (j=1, k=1; j<=l; j++, k+=2)
2747 : {
2748 17312160 : uel(R,k) = umodiu(gel(v, j), P[k]);
2749 17314573 : if (k < n)
2750 12249950 : uel(R,k+1) = umodiu(gel(v, j), P[k+1]);
2751 : }
2752 10085826 : return R;
2753 : }
2754 : else
2755 : {
2756 1105910 : GEN R = cgetg(n+1, t_VEC);
2757 3137898 : for (j=1, k=1; j<=l; j++, k+=2)
2758 : {
2759 2031961 : gel(R,k) = modii(gel(v, j), gel(P,k));
2760 2032036 : if (k < n)
2761 1541264 : gel(R,k+1) = modii(gel(v, j), gel(P,k+1));
2762 : }
2763 1105937 : return R;
2764 : }
2765 : }
2766 : }
2767 :
2768 : /* T = ZV_producttree(P), R = ZV_chinesetree(P,T) */
2769 : GEN
2770 8399358 : ZV_chinese_tree(GEN A, GEN P, GEN T, GEN R)
2771 : {
2772 8399358 : long m = lg(T)-1, n = lg(A)-1;
2773 : long i,j,k;
2774 8399358 : GEN Tp = cgetg(m+1, t_VEC);
2775 8372664 : GEN M = gel(T, 1);
2776 8372664 : GEN t = cgetg(lg(M), t_VEC);
2777 8375084 : if (typ(P)==t_VECSMALL)
2778 : {
2779 19580941 : for (j=1, k=1; k<n; j++, k+=2)
2780 : {
2781 16808732 : pari_sp av = avma;
2782 16808732 : GEN a = mului(A[k], gel(R,k)), b = mului(A[k+1], gel(R,k+1));
2783 16734494 : GEN tj = modii(addii(mului(P[k],b), mului(P[k+1],a)), gel(M,j));
2784 16701606 : gel(t, j) = gerepileuptoint(av, tj);
2785 : }
2786 2772209 : if (k==n) gel(t, j) = modii(mului(A[k], gel(R,k)), gel(M, j));
2787 : } else
2788 : {
2789 12761431 : for (j=1, k=1; k<n; j++, k+=2)
2790 : {
2791 7181200 : pari_sp av = avma;
2792 7181200 : GEN a = mulii(gel(A,k), gel(R,k)), b = mulii(gel(A,k+1), gel(R,k+1));
2793 7166552 : GEN tj = modii(addii(mulii(gel(P,k),b), mulii(gel(P,k+1),a)), gel(M,j));
2794 7195530 : gel(t, j) = gerepileuptoint(av, tj);
2795 : }
2796 5580231 : if (k==n) gel(t, j) = modii(mulii(gel(A,k), gel(R,k)), gel(M, j));
2797 : }
2798 8343940 : gel(Tp, 1) = t;
2799 17751137 : for (i=2; i<=m; i++)
2800 : {
2801 9386036 : GEN u = gel(T, i-1), M = gel(T, i);
2802 9386036 : GEN t = cgetg(lg(M), t_VEC);
2803 9439347 : GEN v = gel(Tp, i-1);
2804 9439347 : long n = lg(v)-1;
2805 27687546 : for (j=1, k=1; k<n; j++, k+=2)
2806 : {
2807 18280349 : pari_sp av = avma;
2808 73121396 : gel(t, j) = gerepileuptoint(av, modii(addii(mulii(gel(u, k), gel(v, k+1)),
2809 54841047 : mulii(gel(u, k+1), gel(v, k))), gel(M, j)));
2810 : }
2811 9407197 : if (k==n) gel(t, j) = gel(v, k);
2812 9407197 : gel(Tp, i) = t;
2813 : }
2814 8365101 : return gmael(Tp,m,1);
2815 : }
2816 :
2817 : static GEN
2818 233474 : ncV_polint_center_tree(GEN vA, GEN P, GEN T, GEN R, GEN m2)
2819 : {
2820 233474 : long i, l = lg(gel(vA,1)), n = lg(P);
2821 233474 : GEN mod = gmael(T, lg(T)-1, 1), V = cgetg(l, t_COL);
2822 5621593 : for (i=1; i < l; i++)
2823 : {
2824 5388602 : pari_sp av = avma;
2825 5388602 : GEN c, A = cgetg(n, typ(P));
2826 : long j;
2827 5420251 : for (j=1; j < n; j++) A[j] = mael(vA,j,i);
2828 5420251 : c = Fp_center(ZV_chinese_tree(A, P, T, R), mod, m2);
2829 5387395 : gel(V,i) = gerepileuptoint(av, c);
2830 : }
2831 232991 : return V;
2832 : }
2833 :
2834 : static GEN
2835 114576 : nxV_polint_center_tree(GEN vA, GEN P, GEN T, GEN R, GEN m2)
2836 : {
2837 114576 : long i, j, l, n = lg(P);
2838 114576 : GEN mod = gmael(T, lg(T)-1, 1), V, w;
2839 114576 : w = cgetg(n, t_VECSMALL);
2840 114475 : for(j=1; j<n; j++) w[j] = lg(gel(vA,j));
2841 114475 : l = vecsmall_max(w);
2842 114506 : V = cgetg(l, t_POL);
2843 114729 : V[1] = mael(vA,1,1);
2844 462703 : for (i=2; i < l; i++)
2845 : {
2846 348314 : pari_sp av = avma;
2847 348314 : GEN c, A = cgetg(n, typ(P));
2848 347406 : if (typ(P)==t_VECSMALL)
2849 5683 : for (j=1; j < n; j++) A[j] = i < w[j] ? mael(vA,j,i): 0;
2850 : else
2851 341723 : for (j=1; j < n; j++) gel(A,j) = i < w[j] ? gmael(vA,j,i): gen_0;
2852 347406 : c = Fp_center(ZV_chinese_tree(A, P, T, R), mod, m2);
2853 347979 : gel(V,i) = gerepileuptoint(av, c);
2854 : }
2855 114389 : return ZX_renormalize(V, l);
2856 : }
2857 :
2858 : static GEN
2859 5902 : nxCV_polint_center_tree(GEN vA, GEN P, GEN T, GEN R, GEN m2)
2860 : {
2861 5902 : long i, j, l = lg(gel(vA,1)), n = lg(P);
2862 5902 : GEN A = cgetg(n, t_VEC);
2863 5901 : GEN V = cgetg(l, t_COL);
2864 117833 : for (i=1; i < l; i++)
2865 : {
2866 111932 : for (j=1; j < n; j++) gel(A,j) = gmael(vA,j,i);
2867 111932 : gel(V,i) = nxV_polint_center_tree(A, P, T, R, m2);
2868 : }
2869 5901 : return V;
2870 : }
2871 :
2872 : static GEN
2873 19271 : polint_chinese(GEN worker, GEN mA, GEN P)
2874 : {
2875 19271 : long i, j, l = lg(gel(mA,1)), n = lg(P);
2876 19271 : long pending = 0, workid, cnt = 0;
2877 : struct pari_mt pt;
2878 : GEN done, va, M;
2879 19271 : GEN A = cgetg(n, t_VEC);
2880 19271 : va = mkvec(gen_0);
2881 19271 : M = cgetg(l, t_MAT);
2882 19271 : if (DEBUGLEVEL>2) err_printf("Start parallel Chinese remainder: ");
2883 19271 : mt_queue_start_lim(&pt, worker, l-1);
2884 263347 : for (i=1; i<l || pending; i++)
2885 : {
2886 244076 : for(j=1; j < n; j++) gel(A,j) = gmael(mA,j,i);
2887 244076 : gel(va, 1) = A;
2888 244076 : mt_queue_submit(&pt, i, i<l? va: NULL);
2889 244076 : done = mt_queue_get(&pt, &workid, &pending);
2890 244076 : if (done)
2891 : {
2892 221848 : gel(M,workid) = done;
2893 221848 : if (DEBUGLEVEL>2) err_printf("%ld%% ",(++cnt)*100/(l-1));
2894 : }
2895 : }
2896 19271 : if (DEBUGLEVEL>2) err_printf("\n");
2897 19271 : mt_queue_end(&pt);
2898 19271 : return M;
2899 : }
2900 :
2901 : GEN
2902 5459 : nxMV_polint_center_tree_worker(GEN vA, GEN T, GEN R, GEN P, GEN m2)
2903 : {
2904 5459 : return nxCV_polint_center_tree(vA, P, T, R, m2);
2905 : }
2906 :
2907 : static GEN
2908 130 : nxMV_polint_center_tree_seq(GEN vA, GEN P, GEN T, GEN R, GEN m2)
2909 : {
2910 130 : long i, j, l = lg(gel(vA,1)), n = lg(P);
2911 130 : GEN A = cgetg(n, t_VEC);
2912 130 : GEN V = cgetg(l, t_MAT);
2913 573 : for (i=1; i < l; i++)
2914 : {
2915 443 : for (j=1; j < n; j++) gel(A,j) = gmael(vA,j,i);
2916 443 : gel(V,i) = nxCV_polint_center_tree(A, P, T, R, m2);
2917 : }
2918 130 : return V;
2919 : }
2920 :
2921 : static GEN
2922 391 : nxMV_polint_center_tree(GEN mA, GEN P, GEN T, GEN R, GEN m2)
2923 : {
2924 391 : GEN worker = snm_closure(is_entry("_nxMV_polint_worker"), mkvec4(T, R, P, m2));
2925 391 : return polint_chinese(worker, mA, P);
2926 : }
2927 :
2928 : static GEN
2929 1122 : nmV_polint_center_tree_seq(GEN vA, GEN P, GEN T, GEN R, GEN m2)
2930 : {
2931 1122 : long i, j, l = lg(gel(vA,1)), n = lg(P);
2932 1122 : GEN A = cgetg(n, t_VEC);
2933 1122 : GEN V = cgetg(l, t_MAT);
2934 14527 : for (i=1; i < l; i++)
2935 : {
2936 13404 : for (j=1; j < n; j++) gel(A,j) = gmael(vA,j,i);
2937 13404 : gel(V,i) = ncV_polint_center_tree(A, P, T, R, m2);
2938 : }
2939 1123 : return V;
2940 : }
2941 :
2942 : GEN
2943 216310 : nmV_polint_center_tree_worker(GEN vA, GEN T, GEN R, GEN P, GEN m2)
2944 : {
2945 216310 : return ncV_polint_center_tree(vA, P, T, R, m2);
2946 : }
2947 :
2948 : static GEN
2949 18880 : nmV_polint_center_tree(GEN mA, GEN P, GEN T, GEN R, GEN m2)
2950 : {
2951 18880 : GEN worker = snm_closure(is_entry("_polint_worker"), mkvec4(T, R, P, m2));
2952 18880 : return polint_chinese(worker, mA, P);
2953 : }
2954 :
2955 : /* return [A mod P[i], i=1..#P] */
2956 : GEN
2957 0 : Z_ZV_mod(GEN A, GEN P)
2958 : {
2959 0 : pari_sp av = avma;
2960 0 : return gerepilecopy(av, Z_ZV_mod_tree(A, P, ZV_producttree(P)));
2961 : }
2962 : /* P a t_VECSMALL */
2963 : GEN
2964 0 : Z_nv_mod(GEN A, GEN P)
2965 : {
2966 0 : pari_sp av = avma;
2967 0 : return gerepileuptoleaf(av, Z_ZV_mod_tree(A, P, ZV_producttree(P)));
2968 : }
2969 : /* B a ZX, T = ZV_producttree(P) */
2970 : GEN
2971 415340 : ZX_nv_mod_tree(GEN B, GEN A, GEN T)
2972 : {
2973 : pari_sp av;
2974 415340 : long i, j, l = lg(B), n = lg(A)-1;
2975 415340 : GEN V = cgetg(n+1, t_VEC);
2976 1663118 : for (j=1; j <= n; j++)
2977 : {
2978 1247968 : gel(V, j) = cgetg(l, t_VECSMALL);
2979 1247960 : mael(V, j, 1) = B[1]&VARNBITS;
2980 : }
2981 415150 : av = avma;
2982 9622963 : for (i=2; i < l; i++)
2983 : {
2984 9207632 : GEN v = Z_ZV_mod_tree(gel(B, i), A, T);
2985 36567460 : for (j=1; j <= n; j++)
2986 27357531 : mael(V, j, i) = v[j];
2987 9209929 : set_avma(av);
2988 : }
2989 1663544 : for (j=1; j <= n; j++)
2990 1248235 : (void) Flx_renormalize(gel(V, j), l);
2991 415309 : return V;
2992 : }
2993 :
2994 : static GEN
2995 3415 : to_ZX(GEN a, long v) { return typ(a)==t_INT? scalarpol(a,v): a; }
2996 :
2997 : GEN
2998 405 : ZXX_nv_mod_tree(GEN P, GEN xa, GEN T, long w)
2999 : {
3000 405 : pari_sp av = avma;
3001 405 : long i, j, l = lg(P), n = lg(xa)-1, vP = varn(P);
3002 405 : GEN V = cgetg(n+1, t_VEC);
3003 1435 : for (j=1; j <= n; j++)
3004 : {
3005 1030 : gel(V, j) = cgetg(l, t_POL);
3006 1030 : mael(V, j, 1) = vP;
3007 : }
3008 1881 : for (i=2; i < l; i++)
3009 : {
3010 1476 : GEN v = ZX_nv_mod_tree(to_ZX(gel(P, i), w), xa, T);
3011 5091 : for (j=1; j <= n; j++)
3012 3615 : gmael(V, j, i) = gel(v,j);
3013 : }
3014 1435 : for (j=1; j <= n; j++)
3015 1030 : (void) FlxX_renormalize(gel(V, j), l);
3016 405 : return gerepilecopy(av, V);
3017 : }
3018 :
3019 : GEN
3020 443 : ZXC_nv_mod_tree(GEN C, GEN xa, GEN T, long w)
3021 : {
3022 443 : pari_sp av = avma;
3023 443 : long i, j, l = lg(C), n = lg(xa)-1;
3024 443 : GEN V = cgetg(n+1, t_VEC);
3025 1567 : for (j = 1; j <= n; j++)
3026 1124 : gel(V, j) = cgetg(l, t_COL);
3027 2382 : for (i = 1; i < l; i++)
3028 : {
3029 1939 : GEN v = ZX_nv_mod_tree(to_ZX(gel(C, i), w), xa, T);
3030 6761 : for (j = 1; j <= n; j++)
3031 4822 : gmael(V, j, i) = gel(v,j);
3032 : }
3033 443 : return gerepilecopy(av, V);
3034 : }
3035 :
3036 : GEN
3037 130 : ZXM_nv_mod_tree(GEN M, GEN xa, GEN T, long w)
3038 : {
3039 130 : pari_sp av = avma;
3040 130 : long i, j, l = lg(M), n = lg(xa)-1;
3041 130 : GEN V = cgetg(n+1, t_VEC);
3042 469 : for (j=1; j <= n; j++)
3043 339 : gel(V, j) = cgetg(l, t_MAT);
3044 573 : for (i=1; i < l; i++)
3045 : {
3046 443 : GEN v = ZXC_nv_mod_tree(gel(M, i), xa, T, w);
3047 1567 : for (j=1; j <= n; j++)
3048 1124 : gmael(V, j, i) = gel(v,j);
3049 : }
3050 130 : return gerepilecopy(av, V);
3051 : }
3052 :
3053 : /* B a ZX, T = ZV_producttree(P) */
3054 : GEN
3055 101203 : ZV_nv_mod_tree(GEN B, GEN A, GEN T)
3056 : {
3057 : pari_sp av;
3058 101203 : long i, j, l = lg(B), n = lg(A)-1;
3059 101203 : GEN V = cgetg(n+1, t_VEC);
3060 360634 : for (j=1; j <= n; j++)
3061 259691 : gel(V, j) = cgetg(l, t_VECSMALL);
3062 100943 : av = avma;
3063 982045 : for (i=1; i < l; i++)
3064 : {
3065 880837 : GEN v = Z_ZV_mod_tree(gel(B, i), A, T);
3066 3154308 : for (j=1; j <= n; j++)
3067 2272802 : mael(V, j, i) = v[j];
3068 881506 : set_avma(av);
3069 : }
3070 101208 : return V;
3071 : }
3072 :
3073 : GEN
3074 12383 : ZM_nv_mod_tree(GEN M, GEN xa, GEN T)
3075 : {
3076 12383 : pari_sp av = avma;
3077 12383 : long i, j, l = lg(M), n = lg(xa)-1;
3078 12383 : GEN V = cgetg(n+1, t_VEC);
3079 43880 : for (j=1; j <= n; j++)
3080 31502 : gel(V, j) = cgetg(l, t_MAT);
3081 113586 : for (i=1; i < l; i++)
3082 : {
3083 101203 : GEN v = ZV_nv_mod_tree(gel(M, i), xa, T);
3084 360979 : for (j=1; j <= n; j++)
3085 259771 : gmael(V, j, i) = gel(v,j);
3086 : }
3087 12383 : return gerepilecopy(av, V);
3088 : }
3089 :
3090 : static GEN
3091 1102611 : ZV_sqr(GEN z)
3092 : {
3093 1102611 : long i,l = lg(z);
3094 1102611 : GEN x = cgetg(l, t_VEC);
3095 1102541 : if (typ(z)==t_VECSMALL)
3096 414193 : for (i=1; i<l; i++) gel(x,i) = sqru(z[i]);
3097 : else
3098 688348 : for (i=1; i<l; i++) gel(x,i) = sqri(gel(z,i));
3099 1102534 : return x;
3100 : }
3101 :
3102 : static GEN
3103 5961278 : ZT_sqr(GEN z)
3104 : {
3105 5961278 : if (typ(z) == t_INT)
3106 3035613 : return sqri(z);
3107 : else
3108 : {
3109 2925665 : long i,l = lg(z);
3110 2925665 : GEN x = cgetg(l, t_VEC);
3111 2925548 : for (i=1; i<l; i++) gel(x,i) = ZT_sqr(gel(z,i));
3112 2927387 : return x;
3113 : }
3114 : }
3115 :
3116 : static GEN
3117 1102507 : ZV_invdivexact(GEN y, GEN x)
3118 : {
3119 1102507 : long i, l = lg(y);
3120 1102507 : GEN z = cgetg(l,t_VEC);
3121 1102644 : if (typ(x)==t_VECSMALL)
3122 1783919 : for (i=1; i<l; i++)
3123 : {
3124 1369787 : pari_sp av = avma;
3125 1369787 : ulong a = Fl_inv(umodiu(diviuexact(gel(y,i),x[i]), x[i]), x[i]);
3126 1370200 : set_avma(av);
3127 1370011 : gel(z,i) = utoipos(a);
3128 : }
3129 : else
3130 2867023 : for (i=1; i<l; i++)
3131 2178675 : gel(z,i) = Fp_inv(diviiexact(gel(y,i), gel(x,i)), gel(x,i));
3132 1102480 : return z;
3133 : }
3134 :
3135 : /* P t_VECSMALL or t_VEC of t_INT */
3136 : GEN
3137 1101869 : ZV_chinesetree(GEN P, GEN T)
3138 : {
3139 1101869 : GEN T2 = ZT_sqr(T), P2 = ZV_sqr(P);
3140 1102524 : GEN mod = gmael(T,lg(T)-1,1);
3141 1102524 : return ZV_invdivexact(Z_ZV_mod_tree(mod, P2, T2), P);
3142 : }
3143 :
3144 : static GEN
3145 82566 : gc_chinese(pari_sp av, GEN T, GEN a, GEN *pt_mod)
3146 : {
3147 82566 : if (!pt_mod)
3148 2559 : return gerepileupto(av, a);
3149 : else
3150 : {
3151 80007 : GEN mod = gmael(T, lg(T)-1, 1);
3152 80007 : gerepileall(av, 2, &a, &mod);
3153 80007 : *pt_mod = mod;
3154 80007 : return a;
3155 : }
3156 : }
3157 :
3158 : GEN
3159 44392 : ZV_chinese_center(GEN A, GEN P, GEN *pt_mod)
3160 : {
3161 44392 : pari_sp av = avma;
3162 44392 : GEN T = ZV_producttree(P);
3163 44392 : GEN R = ZV_chinesetree(P, T);
3164 44392 : GEN a = ZV_chinese_tree(A, P, T, R);
3165 44392 : GEN mod = gmael(T, lg(T)-1, 1);
3166 44392 : GEN ca = Fp_center(a, mod, shifti(mod,-1));
3167 44392 : return gc_chinese(av, T, ca, pt_mod);
3168 : }
3169 :
3170 : GEN
3171 13073 : ZV_chinese(GEN A, GEN P, GEN *pt_mod)
3172 : {
3173 13073 : pari_sp av = avma;
3174 13073 : GEN T = ZV_producttree(P);
3175 13073 : GEN R = ZV_chinesetree(P, T);
3176 13073 : GEN a = ZV_chinese_tree(A, P, T, R);
3177 13073 : return gc_chinese(av, T, a, pt_mod);
3178 : }
3179 :
3180 : GEN
3181 405 : nxV_chinese_center_tree(GEN A, GEN P, GEN T, GEN R)
3182 : {
3183 405 : pari_sp av = avma;
3184 405 : GEN m2 = shifti(gmael(T, lg(T)-1, 1), -1);
3185 405 : GEN a = nxV_polint_center_tree(A, P, T, R, m2);
3186 405 : return gerepileupto(av, a);
3187 : }
3188 :
3189 : GEN
3190 2070 : nxV_chinese_center(GEN A, GEN P, GEN *pt_mod)
3191 : {
3192 2070 : pari_sp av = avma;
3193 2070 : GEN T = ZV_producttree(P);
3194 2070 : GEN R = ZV_chinesetree(P, T);
3195 2070 : GEN m2 = shifti(gmael(T, lg(T)-1, 1), -1);
3196 2070 : GEN a = nxV_polint_center_tree(A, P, T, R, m2);
3197 2070 : return gc_chinese(av, T, a, pt_mod);
3198 : }
3199 :
3200 : GEN
3201 3760 : ncV_chinese_center(GEN A, GEN P, GEN *pt_mod)
3202 : {
3203 3760 : pari_sp av = avma;
3204 3760 : GEN T = ZV_producttree(P);
3205 3760 : GEN R = ZV_chinesetree(P, T);
3206 3760 : GEN m2 = shifti(gmael(T, lg(T)-1, 1), -1);
3207 3760 : GEN a = ncV_polint_center_tree(A, P, T, R, m2);
3208 3760 : return gc_chinese(av, T, a, pt_mod);
3209 : }
3210 :
3211 : GEN
3212 0 : nmV_chinese_center_tree(GEN A, GEN P, GEN T, GEN R)
3213 : {
3214 0 : pari_sp av = avma;
3215 0 : GEN m2 = shifti(gmael(T, lg(T)-1, 1), -1);
3216 0 : GEN a = nmV_polint_center_tree(A, P, T, R, m2);
3217 0 : return gerepileupto(av, a);
3218 : }
3219 :
3220 : GEN
3221 1122 : nmV_chinese_center_tree_seq(GEN A, GEN P, GEN T, GEN R)
3222 : {
3223 1122 : pari_sp av = avma;
3224 1122 : GEN m2 = shifti(gmael(T, lg(T)-1, 1), -1);
3225 1123 : GEN a = nmV_polint_center_tree_seq(A, P, T, R, m2);
3226 1123 : return gerepileupto(av, a);
3227 : }
3228 :
3229 : GEN
3230 18880 : nmV_chinese_center(GEN A, GEN P, GEN *pt_mod)
3231 : {
3232 18880 : pari_sp av = avma;
3233 18880 : GEN T = ZV_producttree(P);
3234 18880 : GEN R = ZV_chinesetree(P, T);
3235 18880 : GEN m2 = shifti(gmael(T, lg(T)-1, 1), -1);
3236 18880 : GEN a = nmV_polint_center_tree(A, P, T, R, m2);
3237 18880 : return gc_chinese(av, T, a, pt_mod);
3238 : }
3239 :
3240 : GEN
3241 130 : nxMV_chinese_center_tree_seq(GEN A, GEN P, GEN T, GEN R)
3242 : {
3243 130 : pari_sp av = avma;
3244 130 : GEN m2 = shifti(gmael(T, lg(T)-1, 1), -1);
3245 130 : GEN a = nxMV_polint_center_tree_seq(A, P, T, R, m2);
3246 130 : return gerepileupto(av, a);
3247 : }
3248 :
3249 : GEN
3250 391 : nxMV_chinese_center(GEN A, GEN P, GEN *pt_mod)
3251 : {
3252 391 : pari_sp av = avma;
3253 391 : GEN T = ZV_producttree(P);
3254 391 : GEN R = ZV_chinesetree(P, T);
3255 391 : GEN m2 = shifti(gmael(T, lg(T)-1, 1), -1);
3256 391 : GEN a = nxMV_polint_center_tree(A, P, T, R, m2);
3257 391 : return gc_chinese(av, T, a, pt_mod);
3258 : }
3259 :
3260 : /**********************************************************************
3261 : ** **
3262 : ** Powering over (Z/NZ)^*, small N **
3263 : ** **
3264 : **********************************************************************/
3265 :
3266 : /* 2^n mod p; assume n > 1 */
3267 : static ulong
3268 20952458 : Fl_2powu_pre(ulong n, ulong p, ulong pi)
3269 : {
3270 20952458 : ulong y = 2;
3271 20952458 : int j = 1+bfffo(n);
3272 : /* normalize, i.e set highest bit to 1 (we know n != 0) */
3273 20952458 : n<<=j; j = BITS_IN_LONG-j; /* first bit is now implicit */
3274 427533471 : for (; j; n<<=1,j--)
3275 : {
3276 406622419 : y = Fl_sqr_pre(y,p,pi);
3277 406554071 : if (n & HIGHBIT) y = Fl_double(y, p);
3278 : }
3279 20911052 : return y;
3280 : }
3281 :
3282 : /* 2^n mod p; assume n > 1 and !(p & HIGHMASK) */
3283 : static ulong
3284 1393182 : Fl_2powu(ulong n, ulong p)
3285 : {
3286 1393182 : ulong y = 2;
3287 1393182 : int j = 1+bfffo(n);
3288 : /* normalize, i.e set highest bit to 1 (we know n != 0) */
3289 1393182 : n<<=j; j = BITS_IN_LONG-j; /* first bit is now implicit */
3290 12076690 : for (; j; n<<=1,j--)
3291 : {
3292 10675192 : y = (y*y) % p;
3293 10675192 : if (n & HIGHBIT) y = Fl_double(y, p);
3294 : }
3295 1401498 : return y;
3296 : }
3297 :
3298 : ulong
3299 96095039 : Fl_powu_pre(ulong x, ulong n0, ulong p, ulong pi)
3300 : {
3301 : ulong y, z, n;
3302 96095039 : if (n0 <= 1)
3303 : { /* frequent special cases */
3304 11509706 : if (n0 == 1) return x;
3305 3160927 : if (n0 == 0) return 1;
3306 : }
3307 84585333 : if (x <= 2)
3308 : {
3309 22770000 : if (x == 2) return Fl_2powu_pre(n0, p, pi);
3310 1853193 : return x; /* 0 or 1 */
3311 : }
3312 61815333 : y = 1; z = x; n = n0;
3313 : for(;;)
3314 : {
3315 1021943431 : if (n&1) y = Fl_mul_pre(y,z,p,pi);
3316 542043915 : n>>=1; if (!n) return y;
3317 480236703 : z = Fl_sqr_pre(z,p,pi);
3318 : }
3319 : }
3320 :
3321 : ulong
3322 46464248 : Fl_powu(ulong x, ulong n0, ulong p)
3323 : {
3324 : ulong y, z, n;
3325 46464248 : if (n0 <= 2)
3326 : { /* frequent special cases */
3327 34158380 : if (n0 == 2) return Fl_sqr(x,p);
3328 4892151 : if (n0 == 1) return x;
3329 61963 : if (n0 == 0) return 1;
3330 : }
3331 12305868 : if (x <= 1) return x; /* 0 or 1 */
3332 12252608 : if (p & HIGHMASK)
3333 6589852 : return Fl_powu_pre(x, n0, p, get_Fl_red(p));
3334 5662756 : if (x == 2) return Fl_2powu(n0, p);
3335 4271416 : y = 1; z = x; n = n0;
3336 : for(;;)
3337 : {
3338 58624150 : if (n&1) y = (y*z) % p;
3339 31447783 : n>>=1; if (!n) return y;
3340 27176367 : z = (z*z) % p;
3341 : }
3342 : }
3343 :
3344 : /* Reduce data dependency to maximize internal parallelism */
3345 : GEN
3346 11047726 : Fl_powers_pre(ulong x, long n, ulong p, ulong pi)
3347 : {
3348 : long i, k;
3349 11047726 : GEN powers = cgetg(n + 2, t_VECSMALL);
3350 11032117 : powers[1] = 1; if (n == 0) return powers;
3351 11032117 : powers[2] = x;
3352 46527817 : for (i = 3, k=2; i <= n; i+=2, k++)
3353 : {
3354 35476269 : powers[i] = Fl_sqr_pre(powers[k], p, pi);
3355 35492510 : powers[i+1] = Fl_mul_pre(powers[k], powers[k+1], p, pi);
3356 : }
3357 11051548 : if (i==n+1)
3358 9662151 : powers[i] = Fl_sqr_pre(powers[k], p, pi);
3359 11051970 : return powers;
3360 : }
3361 :
3362 : GEN
3363 3038 : Fl_powers(ulong x, long n, ulong p)
3364 : {
3365 3038 : return Fl_powers_pre(x, n, p, get_Fl_red(p));
3366 : }
3367 :
3368 : /**********************************************************************
3369 : ** **
3370 : ** Powering over (Z/NZ)^*, large N **
3371 : ** **
3372 : **********************************************************************/
3373 :
3374 : static GEN
3375 4262895 : Fp_dblsqr(GEN x, GEN N)
3376 : {
3377 4262895 : GEN z = shifti(Fp_sqr(x, N), 1);
3378 4262895 : return cmpii(z, N) >= 0? subii(z, N): z;
3379 : }
3380 :
3381 : typedef struct muldata {
3382 : GEN (*sqr)(void * E, GEN x);
3383 : GEN (*mul)(void * E, GEN x, GEN y);
3384 : GEN (*mul2)(void * E, GEN x);
3385 : } muldata;
3386 :
3387 : /* modified Barrett reduction with one fold */
3388 : /* See Fast Modular Reduction, W. Hasenplaugh, G. Gaubatz, V. Gopal, ARITH 18 */
3389 :
3390 : static GEN
3391 10113 : Fp_invmBarrett(GEN p, long s)
3392 : {
3393 10113 : GEN R, Q = dvmdii(int2n(3*s),p,&R);
3394 10113 : return mkvec2(Q,R);
3395 : }
3396 :
3397 : /* a <= (N-1)^2, 2^(2s-2) <= N < 2^(2s). Return 0 <= r < N such that
3398 : * a = r (mod N) */
3399 : static GEN
3400 4236775 : Fp_rem_mBarrett(GEN a, GEN B, long s, GEN N)
3401 : {
3402 4236775 : pari_sp av = avma;
3403 4236775 : GEN P = gel(B, 1), Q = gel(B, 2); /* 2^(3s) = P N + Q, 0 <= Q < N */
3404 4236775 : long t = expi(P)+1; /* 2^(t-1) <= P < 2^t */
3405 4236775 : GEN u = shifti(a, -3*s), v = remi2n(a, 3*s); /* a = 2^(3s)u + v */
3406 4236775 : GEN A = addii(v, mulii(Q,u)); /* 0 <= A < 2^(3s+1) */
3407 4236775 : GEN q = shifti(mulii(shifti(A, t-3*s), P), -t); /* A/N - 4 < q <= A/N */
3408 4236775 : GEN r = subii(A, mulii(q, N));
3409 4236775 : GEN sr= subii(r,N); /* 0 <= r < 4*N */
3410 4236775 : if (signe(sr)<0) return gerepileuptoint(av, r);
3411 2550230 : r=sr; sr = subii(r,N); /* 0 <= r < 3*N */
3412 2550230 : if (signe(sr)<0) return gerepileuptoint(av, r);
3413 98279 : r=sr; sr = subii(r,N); /* 0 <= r < 2*N */
3414 98279 : return gerepileuptoint(av, signe(sr)>=0 ? sr:r);
3415 : }
3416 :
3417 : /* Montgomery reduction */
3418 :
3419 : INLINE ulong
3420 272788 : init_montdata(GEN N) { return (ulong) -invmod2BIL(mod2BIL(N)); }
3421 :
3422 : struct montred
3423 : {
3424 : GEN N;
3425 : ulong inv;
3426 : };
3427 :
3428 : /* Montgomery reduction */
3429 : static GEN
3430 29686974 : _sqr_montred(void * E, GEN x)
3431 : {
3432 29686974 : struct montred * D = (struct montred *) E;
3433 29686974 : return red_montgomery(sqri(x), D->N, D->inv);
3434 : }
3435 :
3436 : /* Montgomery reduction */
3437 : static GEN
3438 2458566 : _mul_montred(void * E, GEN x, GEN y)
3439 : {
3440 2458566 : struct montred * D = (struct montred *) E;
3441 2458566 : return red_montgomery(mulii(x, y), D->N, D->inv);
3442 : }
3443 :
3444 : static GEN
3445 5838823 : _mul2_montred(void * E, GEN x)
3446 : {
3447 5838823 : struct montred * D = (struct montred *) E;
3448 5838823 : GEN z = shifti(_sqr_montred(E, x), 1);
3449 5838800 : long l = lgefint(D->N);
3450 5838800 : while (lgefint(z) > l) z = subii(z, D->N);
3451 5838799 : return z;
3452 : }
3453 :
3454 : static GEN
3455 10550693 : _sqr_remii(void* N, GEN x)
3456 10550693 : { return remii(sqri(x), (GEN) N); }
3457 :
3458 : static GEN
3459 938653 : _mul_remii(void* N, GEN x, GEN y)
3460 938653 : { return remii(mulii(x, y), (GEN) N); }
3461 :
3462 : static GEN
3463 2998911 : _mul2_remii(void* N, GEN x)
3464 2998911 : { return Fp_dblsqr(x, (GEN) N); }
3465 :
3466 : struct redbarrett
3467 : {
3468 : GEN iM, N;
3469 : long s;
3470 : };
3471 :
3472 : static GEN
3473 3825850 : _sqr_remiibar(void *E, GEN x)
3474 : {
3475 3825850 : struct redbarrett * D = (struct redbarrett *) E;
3476 3825850 : return Fp_rem_mBarrett(sqri(x), D->iM, D->s, D->N);
3477 : }
3478 :
3479 : static GEN
3480 410925 : _mul_remiibar(void *E, GEN x, GEN y)
3481 : {
3482 410925 : struct redbarrett * D = (struct redbarrett *) E;
3483 410925 : return Fp_rem_mBarrett(mulii(x, y), D->iM, D->s, D->N);
3484 : }
3485 :
3486 : static GEN
3487 1263984 : _mul2_remiibar(void *E, GEN x)
3488 : {
3489 1263984 : struct redbarrett * D = (struct redbarrett *) E;
3490 1263984 : return Fp_dblsqr(x, D->N);
3491 : }
3492 :
3493 : static long
3494 359759 : Fp_select_red(GEN *y, ulong k, GEN N, long lN, muldata *D, void **pt_E)
3495 : {
3496 359759 : if (lN >= Fp_POW_BARRETT_LIMIT && (k==0 || ((double)k)*expi(*y) > 2 + expi(N)))
3497 : {
3498 10113 : struct redbarrett * E = (struct redbarrett *) stack_malloc(sizeof(struct redbarrett));
3499 10113 : D->sqr = &_sqr_remiibar;
3500 10113 : D->mul = &_mul_remiibar;
3501 10113 : D->mul2 = &_mul2_remiibar;
3502 10113 : E->N = N;
3503 10113 : E->s = 1+(expi(N)>>1);
3504 10113 : E->iM = Fp_invmBarrett(N, E->s);
3505 10113 : *pt_E = (void*) E;
3506 10113 : return 0;
3507 : }
3508 349646 : else if (mod2(N) && lN < Fp_POW_REDC_LIMIT)
3509 : {
3510 272775 : struct montred * E = (struct montred *) stack_malloc(sizeof(struct montred));
3511 272774 : *y = remii(shifti(*y, bit_accuracy(lN)), N);
3512 272787 : D->sqr = &_sqr_montred;
3513 272787 : D->mul = &_mul_montred;
3514 272787 : D->mul2 = &_mul2_montred;
3515 272787 : E->N = N;
3516 272787 : E->inv = init_montdata(N);
3517 272789 : *pt_E = (void*) E;
3518 272789 : return 1;
3519 : }
3520 : else
3521 : {
3522 76872 : D->sqr = &_sqr_remii;
3523 76872 : D->mul = &_mul_remii;
3524 76872 : D->mul2 = &_mul2_remii;
3525 76872 : *pt_E = (void*) N;
3526 76872 : return 0;
3527 : }
3528 : }
3529 :
3530 : GEN
3531 900759 : Fp_powu(GEN A, ulong k, GEN N)
3532 : {
3533 900759 : long lN = lgefint(N);
3534 : int base_is_2, use_montgomery;
3535 : muldata D;
3536 : void *E;
3537 : pari_sp av;
3538 :
3539 900759 : if (lN == 3) {
3540 88714 : ulong n = uel(N,2);
3541 88714 : return utoi( Fl_powu(umodiu(A, n), k, n) );
3542 : }
3543 812045 : if (k <= 2)
3544 : { /* frequent special cases */
3545 582185 : if (k == 2) return Fp_sqr(A,N);
3546 131793 : if (k == 1) return A;
3547 0 : if (k == 0) return gen_1;
3548 : }
3549 229860 : av = avma; A = modii(A,N);
3550 229859 : base_is_2 = 0;
3551 229859 : if (lgefint(A) == 3) switch(A[2])
3552 : {
3553 740 : case 1: set_avma(av); return gen_1;
3554 34240 : case 2: base_is_2 = 1; break;
3555 : }
3556 :
3557 : /* TODO: Move this out of here and use for general modular computations */
3558 229119 : use_montgomery = Fp_select_red(&A, k, N, lN, &D, &E);
3559 229119 : if (base_is_2)
3560 34240 : A = gen_powu_fold_i(A, k, E, D.sqr, D.mul2);
3561 : else
3562 194879 : A = gen_powu_i(A, k, E, D.sqr, D.mul);
3563 229117 : if (use_montgomery)
3564 : {
3565 198609 : A = red_montgomery(A, N, ((struct montred *) E)->inv);
3566 198610 : if (cmpii(A, N) >= 0) A = subii(A,N);
3567 : }
3568 229117 : return gerepileuptoint(av, A);
3569 : }
3570 :
3571 : GEN
3572 22302 : Fp_pows(GEN A, long k, GEN N)
3573 : {
3574 22302 : if (lgefint(N) == 3) {
3575 7813 : ulong n = N[2];
3576 7813 : ulong a = umodiu(A, n);
3577 7813 : if (k < 0) {
3578 126 : a = Fl_inv(a, n);
3579 126 : k = -k;
3580 : }
3581 7813 : return utoi( Fl_powu(a, (ulong)k, n) );
3582 : }
3583 14489 : if (k < 0) { A = Fp_inv(A, N); k = -k; };
3584 14489 : return Fp_powu(A, (ulong)k, N);
3585 : }
3586 :
3587 : /* A^K mod N */
3588 : GEN
3589 9424127 : Fp_pow(GEN A, GEN K, GEN N)
3590 : {
3591 : pari_sp av;
3592 9424127 : long s, lN = lgefint(N), sA;
3593 : int base_is_2, use_montgomery;
3594 : GEN y;
3595 : muldata D;
3596 : void *E;
3597 :
3598 9424127 : s = signe(K);
3599 9424127 : if (!s) return dvdii(A,N)? gen_0: gen_1;
3600 9273788 : if (lN == 3 && lgefint(K) == 3)
3601 : {
3602 9021526 : ulong n = N[2], a = umodiu(A, n);
3603 9021580 : if (s < 0) a = Fl_inv(a, n);
3604 9021580 : if (a <= 1) return utoi(a); /* 0 or 1 */
3605 8366357 : return utoi(Fl_powu(a, uel(K,2), n));
3606 : }
3607 :
3608 252262 : av = avma;
3609 252262 : if (s < 0) y = Fp_inv(A,N);
3610 : else
3611 : {
3612 251792 : y = modii(A,N);
3613 251786 : if (!signe(y)) { set_avma(av); return gen_0; }
3614 : }
3615 252258 : if (lgefint(K) == 3) return gerepileuptoint(av, Fp_powu(y, K[2], N));
3616 :
3617 130721 : base_is_2 = 0;
3618 130721 : sA = signe(y)==-1 && mod2(K);
3619 130721 : if (lgefint(y) == 3) switch(y[2])
3620 : {
3621 82 : case 1: return sA ? gen_m1 : gen_1;
3622 88768 : case 2: base_is_2 = 1; break;
3623 : }
3624 :
3625 : /* TODO: Move this out of here and use for general modular computations */
3626 130639 : use_montgomery = Fp_select_red(&y, 0UL, N, lN, &D, &E);
3627 130654 : if (base_is_2)
3628 88769 : y = gen_pow_fold_i(y, K, E, D.sqr, D.mul2);
3629 : else
3630 41885 : y = gen_pow_i(y, K, E, D.sqr, D.mul);
3631 130648 : if (use_montgomery)
3632 : {
3633 74171 : y = red_montgomery(y, N, ((struct montred *) E)->inv);
3634 74175 : if (cmpii(y,N) >= 0) y = subii(y,N);
3635 74175 : if (sA) y = subii(N, y);
3636 : }
3637 130652 : return gerepileuptoint(av,y);
3638 : }
3639 :
3640 : static GEN
3641 1853834 : _Fp_mul(void *E, GEN x, GEN y) { return Fp_mul(x,y,(GEN)E); }
3642 :
3643 : static GEN
3644 23500 : _Fp_sqr(void *E, GEN x) { return Fp_sqr(x,(GEN)E); }
3645 :
3646 : static GEN
3647 55230 : _Fp_one(void *E) { (void) E; return gen_1; }
3648 :
3649 : GEN
3650 84 : Fp_pow_init(GEN x, GEN n, long k, GEN p)
3651 : {
3652 84 : return gen_pow_init(x, n, k, (void*)p, &_Fp_sqr, &_Fp_mul);
3653 : }
3654 :
3655 : GEN
3656 55090 : Fp_pow_table(GEN R, GEN n, GEN p)
3657 : {
3658 55090 : return gen_pow_table(R, n, (void*)p, &_Fp_one, &_Fp_mul);
3659 : }
3660 :
3661 : GEN
3662 2016 : Fp_powers(GEN x, long n, GEN p)
3663 : {
3664 2016 : if (lgefint(p) == 3)
3665 1876 : return Flv_to_ZV(Fl_powers(umodiu(x, uel(p, 2)), n, uel(p, 2)));
3666 140 : return gen_powers(x, n, 1, (void*)p, _Fp_sqr, _Fp_mul, _Fp_one);
3667 : }
3668 :
3669 : static GEN
3670 6698427 : _Fp_pow(void *E, GEN x, GEN n) { return Fp_pow(x,n,(GEN)E); }
3671 :
3672 : static GEN
3673 112 : _Fp_rand(void *E) { return addiu(randomi(subiu((GEN)E,1)),1); }
3674 :
3675 : static GEN Fp_easylog(void *E, GEN a, GEN g, GEN ord);
3676 :
3677 : static const struct bb_group Fp_star={_Fp_mul,_Fp_pow,_Fp_rand,hash_GEN,
3678 : equalii,equali1,Fp_easylog};
3679 :
3680 : static GEN
3681 1052565 : _Fp_red(void *E, GEN x) { return Fp_red(x, (GEN)E); }
3682 :
3683 : static GEN
3684 1504160 : _Fp_add(void *E, GEN x, GEN y) { (void) E; return addii(x,y); }
3685 :
3686 : static GEN
3687 268331 : _Fp_neg(void *E, GEN x) { (void) E; return negi(x); }
3688 :
3689 : static GEN
3690 1665214 : _Fp_rmul(void *E, GEN x, GEN y) { (void) E; return mulii(x,y); }
3691 :
3692 : static GEN
3693 27616 : _Fp_inv(void *E, GEN x) { return Fp_inv(x,(GEN)E); }
3694 :
3695 : static int
3696 385860 : _Fp_equal0(GEN x) { return signe(x)==0; }
3697 :
3698 : static GEN
3699 150543 : _Fp_s(void *E, long x) { (void) E; return stoi(x); }
3700 :
3701 : static const struct bb_field Fp_field={_Fp_red,_Fp_add,_Fp_rmul,_Fp_neg,
3702 : _Fp_inv,_Fp_equal0,_Fp_s};
3703 :
3704 7371 : const struct bb_field *get_Fp_field(void **E, GEN p)
3705 : {
3706 7371 : *E = (void*)p; return &Fp_field;
3707 : }
3708 :
3709 : /*********************************************************************/
3710 : /** **/
3711 : /** ORDER of INTEGERMOD x in (Z/nZ)* **/
3712 : /** **/
3713 : /*********************************************************************/
3714 : ulong
3715 12229 : Fl_order(ulong a, ulong o, ulong p)
3716 : {
3717 12229 : pari_sp av = avma;
3718 : GEN m, P, E;
3719 : long i;
3720 12229 : if (!o) o = p-1;
3721 12229 : m = factoru(o);
3722 12229 : P = gel(m,1);
3723 12229 : E = gel(m,2);
3724 29337 : for (i = lg(P)-1; i; i--)
3725 : {
3726 17108 : ulong j, l = P[i], e = E[i], t = o / upowuu(l,e), y = Fl_powu(a, t, p);
3727 17108 : if (y == 1) o = t;
3728 15064 : else for (j = 1; j < e; j++)
3729 : {
3730 4312 : y = Fl_powu(y, l, p);
3731 4312 : if (y == 1) { o = t * upowuu(l, j); break; }
3732 : }
3733 : }
3734 12229 : return gc_ulong(av, o);
3735 : }
3736 :
3737 : /*Find the exact order of a assuming a^o==1*/
3738 : GEN
3739 10676 : Fp_order(GEN a, GEN o, GEN p) {
3740 10676 : if (lgefint(p) == 3 && (!o || typ(o) == t_INT))
3741 : {
3742 21 : ulong pp = p[2], oo = (o && lgefint(o)==3)? o[2]: pp-1;
3743 21 : return utoi( Fl_order(umodiu(a, pp), oo, pp) );
3744 : }
3745 10655 : return gen_order(a, o, (void*)p, &Fp_star);
3746 : }
3747 : GEN
3748 56 : Fp_factored_order(GEN a, GEN o, GEN p)
3749 56 : { return gen_factored_order(a, o, (void*)p, &Fp_star); }
3750 :
3751 : /* return order of a mod p^e, e > 0, pe = p^e */
3752 : static GEN
3753 70 : Zp_order(GEN a, GEN p, long e, GEN pe)
3754 : {
3755 : GEN ap, op;
3756 70 : if (absequaliu(p, 2))
3757 : {
3758 56 : if (e == 1) return gen_1;
3759 56 : if (e == 2) return mod4(a) == 1? gen_1: gen_2;
3760 49 : if (mod4(a) == 1)
3761 14 : op = gen_1;
3762 : else {
3763 35 : op = gen_2;
3764 35 : a = Fp_sqr(a, pe);
3765 : }
3766 : } else {
3767 14 : ap = (e == 1)? a: remii(a,p);
3768 14 : op = Fp_order(ap, subiu(p,1), p);
3769 14 : if (e == 1) return op;
3770 0 : a = Fp_pow(a, op, pe); /* 1 mod p */
3771 : }
3772 49 : if (equali1(a)) return op;
3773 7 : return mulii(op, powiu(p, e - Z_pval(subiu(a,1), p)));
3774 : }
3775 :
3776 : GEN
3777 63 : znorder(GEN x, GEN o)
3778 : {
3779 63 : pari_sp av = avma;
3780 : GEN b, a;
3781 :
3782 63 : if (typ(x) != t_INTMOD) pari_err_TYPE("znorder [t_INTMOD expected]",x);
3783 56 : b = gel(x,1); a = gel(x,2);
3784 56 : if (!equali1(gcdii(a,b))) pari_err_COPRIME("znorder", a,b);
3785 49 : if (!o)
3786 : {
3787 35 : GEN fa = Z_factor(b), P = gel(fa,1), E = gel(fa,2);
3788 35 : long i, l = lg(P);
3789 35 : o = gen_1;
3790 70 : for (i = 1; i < l; i++)
3791 : {
3792 35 : GEN p = gel(P,i);
3793 35 : long e = itos(gel(E,i));
3794 :
3795 35 : if (l == 2)
3796 35 : o = Zp_order(a, p, e, b);
3797 : else {
3798 0 : GEN pe = powiu(p,e);
3799 0 : o = lcmii(o, Zp_order(remii(a,pe), p, e, pe));
3800 : }
3801 : }
3802 35 : return gerepileuptoint(av, o);
3803 : }
3804 14 : return Fp_order(a, o, b);
3805 : }
3806 : GEN
3807 0 : order(GEN x) { return znorder(x, NULL); }
3808 :
3809 : /*********************************************************************/
3810 : /** **/
3811 : /** DISCRETE LOGARITHM in (Z/nZ)* **/
3812 : /** **/
3813 : /*********************************************************************/
3814 : static GEN
3815 60389 : Fp_log_halfgcd(ulong bnd, GEN C, GEN g, GEN p)
3816 : {
3817 60389 : pari_sp av = avma;
3818 : GEN h1, h2, F, G;
3819 60389 : if (!Fp_ratlift(g,p,C,shifti(C,-1),&h1,&h2)) return gc_NULL(av);
3820 36273 : if ((F = Z_issmooth_fact(h1, bnd)) && (G = Z_issmooth_fact(h2, bnd)))
3821 : {
3822 231 : GEN M = cgetg(3, t_MAT);
3823 231 : gel(M,1) = vecsmall_concat(gel(F, 1),gel(G, 1));
3824 231 : gel(M,2) = vecsmall_concat(gel(F, 2),zv_neg_inplace(gel(G, 2)));
3825 231 : return gerepileupto(av, M);
3826 : }
3827 36042 : return gc_NULL(av);
3828 : }
3829 :
3830 : static GEN
3831 60389 : Fp_log_find_rel(GEN b, ulong bnd, GEN C, GEN p, GEN *g, long *e)
3832 : {
3833 : GEN rel;
3834 : do
3835 : {
3836 60389 : (*e)++; *g = Fp_mul(*g, b, p);
3837 60389 : rel = Fp_log_halfgcd(bnd, C, *g, p);
3838 60389 : } while (!rel);
3839 231 : return rel;
3840 : }
3841 :
3842 : struct Fp_log_rel
3843 : {
3844 : GEN rel;
3845 : ulong prmax;
3846 : long nbrel, nbmax, nbgen;
3847 : };
3848 :
3849 : /* add u^e */
3850 : static void
3851 2583 : addifsmooth1(struct Fp_log_rel *r, GEN z, long u, long e)
3852 : {
3853 2583 : pari_sp av = avma;
3854 2583 : long off = r->prmax+1;
3855 2583 : GEN F = cgetg(3, t_MAT);
3856 2583 : gel(F,1) = vecsmall_append(gel(z,1), off+u);
3857 2583 : gel(F,2) = vecsmall_append(gel(z,2), e);
3858 2583 : gel(r->rel,++r->nbrel) = gerepileupto(av, F);
3859 2583 : }
3860 :
3861 : /* add u^-1 v^-1 */
3862 : static void
3863 99869 : addifsmooth2(struct Fp_log_rel *r, GEN z, long u, long v)
3864 : {
3865 99869 : pari_sp av = avma;
3866 99869 : long off = r->prmax+1;
3867 99869 : GEN P = mkvecsmall2(off+u,off+v), E = mkvecsmall2(-1,-1);
3868 99869 : GEN F = cgetg(3, t_MAT);
3869 99869 : gel(F,1) = vecsmall_concat(gel(z,1), P);
3870 99869 : gel(F,2) = vecsmall_concat(gel(z,2), E);
3871 99869 : gel(r->rel,++r->nbrel) = gerepileupto(av, F);
3872 99869 : }
3873 :
3874 : /*
3875 : Let p=C^2+c
3876 : Solve h = (C+x)*(C+a)-p = 0 [mod l]
3877 : h= -c+x*(C+a)+C*a = 0 [mod l]
3878 : x = (c-C*a)/(C+a) [mod l]
3879 : h = -c+C*(x+a)+a*x
3880 : */
3881 :
3882 : GEN
3883 38964 : Fp_log_sieve_worker(long a, long prmax, GEN C, GEN c, GEN Ci, GEN ci, GEN pi, GEN sz)
3884 : {
3885 38964 : pari_sp ltop = avma;
3886 38964 : long th = expi(mulis(C,a)), n = lg(pi)-1;
3887 : long i, j;
3888 38915 : GEN sieve = zero_zv(a+2)+1;
3889 38980 : GEN L = cgetg(1+a+2, t_VEC);
3890 38961 : pari_sp av = avma;
3891 38961 : long rel = 1;
3892 : GEN z, h;
3893 38961 : h = addis(C,a);
3894 38928 : if ((z = Z_issmooth_fact(h, prmax)))
3895 : {
3896 2414 : gel(L, rel++) = mkvec2(z, mkvecsmall3(1, a, -1));
3897 2413 : av = avma;
3898 : }
3899 16701212 : for(i=1; i<=n; i++)
3900 : {
3901 16662272 : ulong li = pi[i], s = sz[i], al = a % li;
3902 16662272 : ulong u, iv = Fl_invsafe(Fl_add(Ci[i],al,li),li);
3903 17130327 : if (!iv) continue;
3904 16683716 : u = Fl_mul(Fl_sub(ci[i],Fl_mul(Ci[i],al,li),li), iv ,li);
3905 76170626 : for(j = u; j<=a; j+=li)
3906 59949016 : sieve[j] += s;
3907 : }
3908 38940 : th = th - expu(th)-1;
3909 27789446 : for(j=0; j<a; j++)
3910 27750413 : if (sieve[j]>=th)
3911 : {
3912 111569 : GEN h = addiu(subii(muliu(C,a+j),c), a*j);
3913 111447 : if ((z = Z_issmooth_fact(h, prmax)))
3914 : {
3915 104807 : gel(L, rel++) = mkvec2(z, mkvecsmall3(2, a, j));
3916 104917 : av = avma;
3917 6656 : } else set_avma(av);
3918 : }
3919 : /* j = a */
3920 39033 : if (sieve[a]>=th)
3921 : {
3922 420 : GEN h = addiu(subii(muliu(C,2*a),c), a*a);
3923 420 : if ((z = Z_issmooth_fact(h, prmax)))
3924 : {
3925 343 : gel(L, rel++) = mkvec2(z, mkvecsmall3(1, a, -2));
3926 343 : av = avma;
3927 : }
3928 : }
3929 39033 : setlg(L, rel);
3930 39034 : return gerepilecopy(ltop, L);
3931 : }
3932 :
3933 : static long
3934 49 : Fp_log_sieve(struct Fp_log_rel *r, GEN C, GEN c, GEN Ci, GEN ci, GEN pi, GEN sz)
3935 : {
3936 : struct pari_mt pt;
3937 49 : long i, j, nb = 0;
3938 49 : GEN worker = snm_closure(is_entry("_Fp_log_sieve_worker"),
3939 : mkvecn(7, utoi(r->prmax), C, c, Ci, ci, pi, sz));
3940 49 : long running, pending = 0;
3941 49 : GEN W = zerovec(r->nbgen);
3942 49 : mt_queue_start_lim(&pt, worker, r->nbgen);
3943 39305 : for (i = 0; (running = (i < r->nbgen)) || pending; i++)
3944 : {
3945 : GEN done;
3946 : long idx;
3947 39256 : mt_queue_submit(&pt, i, running ? mkvec(stoi(i)): NULL);
3948 39256 : done = mt_queue_get(&pt, &idx, &pending);
3949 39256 : if (!done || lg(done)==1) continue;
3950 34146 : gel(W, idx+1) = done;
3951 34146 : nb += lg(done)-1;
3952 34146 : if (DEBUGLEVEL && (i&127)==0)
3953 0 : err_printf("%ld%% ",100*nb/r->nbmax);
3954 : }
3955 49 : mt_queue_end(&pt);
3956 37870 : for(j = 1; j <= r->nbgen && r->nbrel < r->nbmax; j++)
3957 : {
3958 : long ll, m;
3959 37821 : GEN L = gel(W,j);
3960 37821 : if (isintzero(L)) continue;
3961 32942 : ll = lg(L);
3962 135394 : for (m=1; m<ll && r->nbrel < r->nbmax ; m++)
3963 : {
3964 102452 : GEN Lm = gel(L,m), h = gel(Lm, 1), v = gel(Lm, 2);
3965 102452 : if (v[1] == 1)
3966 2583 : addifsmooth1(r, h, v[2], v[3]);
3967 : else
3968 99869 : addifsmooth2(r, h, v[2], v[3]);
3969 : }
3970 : }
3971 49 : return j;
3972 : }
3973 :
3974 : static GEN
3975 525 : ECP_psi(GEN x, GEN y)
3976 : {
3977 525 : long prec = realprec(x);
3978 525 : GEN lx = glog(x, prec), ly = glog(y, prec);
3979 525 : GEN u = gdiv(lx, ly);
3980 525 : return gpow(u, gneg(u),prec);
3981 : }
3982 :
3983 : struct computeG
3984 : {
3985 : GEN C;
3986 : long bnd, nbi;
3987 : };
3988 :
3989 : static GEN
3990 525 : _computeG(void *E, GEN gen)
3991 : {
3992 525 : struct computeG * d = (struct computeG *) E;
3993 525 : GEN ps = ECP_psi(gmul(gen,d->C), stoi(d->bnd));
3994 525 : return gsub(gmul(gsqr(gen),ps),gmul2n(gaddgs(gen,d->nbi),2));
3995 : }
3996 :
3997 : static long
3998 49 : compute_nbgen(GEN C, long bnd, long nbi)
3999 : {
4000 : struct computeG d;
4001 49 : d.C = shifti(C, 1);
4002 49 : d.bnd = bnd;
4003 49 : d.nbi = nbi;
4004 49 : return itos(ground(zbrent((void*)&d, _computeG, gen_2, stoi(bnd), DEFAULTPREC)));
4005 : }
4006 :
4007 : static GEN
4008 1367 : _psi(void*E, GEN y)
4009 : {
4010 1367 : GEN lx = (GEN) E;
4011 1367 : long prec = realprec(lx);
4012 1367 : GEN ly = glog(y, prec);
4013 1367 : GEN u = gdiv(lx, ly);
4014 1367 : return gsub(gdiv(y ,ly), gpow(u, u, prec));
4015 : }
4016 :
4017 : static GEN
4018 49 : opt_param(GEN x, long prec)
4019 : {
4020 49 : return zbrent((void*)glog(x,prec), _psi, gen_2, x, prec);
4021 : }
4022 :
4023 : static GEN
4024 49 : check_kernel(long nbg, long N, long prmax, GEN C, GEN M, GEN p, GEN m)
4025 : {
4026 49 : pari_sp av = avma;
4027 49 : long lM = lg(M)-1, nbcol = lM;
4028 49 : long tbs = maxss(1, expu(nbg/expi(m)));
4029 : for (;;)
4030 35 : {
4031 84 : GEN K = FpMs_leftkernel_elt_col(M, nbcol, N, m);
4032 : GEN tab;
4033 84 : long i, f=0;
4034 84 : long l = lg(K), lm = lgefint(m);
4035 84 : GEN idx = diviiexact(subiu(p,1),m), g;
4036 : pari_timer ti;
4037 84 : if (DEBUGLEVEL) timer_start(&ti);
4038 140 : for(i=1; i<l; i++)
4039 140 : if (signe(gel(K,i)))
4040 84 : break;
4041 84 : g = Fp_pow(utoi(i), idx, p);
4042 84 : tab = Fp_pow_init(g, p, tbs, p);
4043 84 : K = FpC_Fp_mul(K, Fp_inv(gel(K,i), m), m);
4044 130438 : for(i=1; i<l; i++)
4045 : {
4046 130354 : GEN k = gel(K,i);
4047 130354 : GEN j = i<=prmax ? utoi(i): addis(C,i-(prmax+1));
4048 130354 : if (signe(k)==0 || !equalii(Fp_pow_table(tab, k, p), Fp_pow(j, idx, p)))
4049 80542 : gel(K,i) = cgetineg(lm);
4050 : else
4051 49812 : f++;
4052 : }
4053 84 : if (DEBUGLEVEL) timer_printf(&ti,"found %ld/%ld logs", f, nbg);
4054 133 : if(f > (nbg>>1)) return gerepileupto(av, K);
4055 9877 : for(i=1; i<=nbcol; i++)
4056 : {
4057 9842 : long a = 1+random_Fl(lM);
4058 9842 : swap(gel(M,a),gel(M,i));
4059 : }
4060 35 : if (4*nbcol>5*nbg) nbcol = nbcol*9/10;
4061 : }
4062 : }
4063 :
4064 : static GEN
4065 98 : Fp_log_find_ind(GEN a, GEN K, long prmax, GEN C, GEN p, GEN m)
4066 : {
4067 98 : pari_sp av=avma;
4068 98 : GEN aa = gen_1;
4069 98 : long AV = 0;
4070 : for(;;)
4071 133 : {
4072 231 : GEN A = Fp_log_find_rel(a, prmax, C, p, &aa, &AV);
4073 231 : GEN F = gel(A,1), E = gel(A,2);
4074 231 : GEN Ao = gen_0;
4075 231 : long i, l = lg(F);
4076 1178 : for(i=1; i<l; i++)
4077 : {
4078 1080 : GEN Ki = gel(K,F[i]);
4079 1080 : if (signe(Ki)<0) break;
4080 947 : Ao = addii(Ao, mulis(Ki, E[i]));
4081 : }
4082 329 : if (i==l) return Fp_divu(Ao, AV, m);
4083 133 : aa = gerepileuptoint(av, aa);
4084 : }
4085 : }
4086 :
4087 : static GEN
4088 49 : Fp_log_index(GEN a, GEN b, GEN m, GEN p)
4089 : {
4090 49 : pari_sp av = avma, av2;
4091 49 : long i, j, nbi, nbr = 0, nbrow, nbg;
4092 : GEN C, c, Ci, ci, pi, pr, sz, l, Ao, Bo, K, d, p_1;
4093 : pari_timer ti;
4094 : struct Fp_log_rel r;
4095 49 : ulong bnds = itou(roundr_safe(opt_param(sqrti(p),DEFAULTPREC)));
4096 49 : ulong bnd = 4*bnds;
4097 49 : if (!bnds || cmpii(sqru(bnds),m)>=0) return NULL;
4098 :
4099 49 : p_1 = subiu(p,1);
4100 49 : if (!is_pm1(gcdii(m,diviiexact(p_1,m))))
4101 0 : m = diviiexact(p_1, Z_ppo(p_1, m));
4102 49 : pr = primes_upto_zv(bnd);
4103 49 : nbi = lg(pr)-1;
4104 49 : C = sqrtremi(p, &c);
4105 49 : av2 = avma;
4106 12236 : for (i = 1; i <= nbi; ++i)
4107 : {
4108 12187 : ulong lp = pr[i];
4109 37793 : while (lp <= bnd)
4110 : {
4111 13419 : nbr++;
4112 13419 : lp *= pr[i];
4113 : }
4114 : }
4115 49 : pi = cgetg(nbr+1,t_VECSMALL);
4116 49 : Ci = cgetg(nbr+1,t_VECSMALL);
4117 49 : ci = cgetg(nbr+1,t_VECSMALL);
4118 49 : sz = cgetg(nbr+1,t_VECSMALL);
4119 12236 : for (i = 1, j = 1; i <= nbi; ++i)
4120 : {
4121 12187 : ulong lp = pr[i], sp = expu(2*lp-1);
4122 37793 : while (lp <= bnd)
4123 : {
4124 13419 : pi[j] = lp;
4125 13419 : Ci[j] = umodiu(C, lp);
4126 13419 : ci[j] = umodiu(c, lp);
4127 13419 : sz[j] = sp;
4128 13419 : lp *= pr[i];
4129 13419 : j++;
4130 : }
4131 : }
4132 49 : r.nbrel = 0;
4133 49 : r.nbgen = compute_nbgen(C, bnd, nbi);
4134 49 : r.nbmax = 2*(nbi+r.nbgen);
4135 49 : r.rel = cgetg(r.nbmax+1,t_VEC);
4136 49 : r.prmax = pr[nbi];
4137 49 : if (DEBUGLEVEL)
4138 : {
4139 0 : err_printf("bnd=%lu Size FB=%ld extra gen=%ld \n", bnd, nbi, r.nbgen);
4140 0 : timer_start(&ti);
4141 : }
4142 49 : nbg = Fp_log_sieve(&r, C, c, Ci, ci, pi, sz);
4143 49 : nbrow = r.prmax + nbg;
4144 49 : if (DEBUGLEVEL)
4145 : {
4146 0 : err_printf("\n");
4147 0 : timer_printf(&ti," %ld relations, %ld generators", r.nbrel, nbi+nbg);
4148 : }
4149 49 : setlg(r.rel,r.nbrel+1);
4150 49 : r.rel = gerepilecopy(av2, r.rel);
4151 49 : K = check_kernel(nbi+nbrow-r.prmax, nbrow, r.prmax, C, r.rel, p, m);
4152 49 : if (DEBUGLEVEL) timer_start(&ti);
4153 49 : Ao = Fp_log_find_ind(a, K, r.prmax, C, p, m);
4154 49 : if (DEBUGLEVEL) timer_printf(&ti," log element");
4155 49 : Bo = Fp_log_find_ind(b, K, r.prmax, C, p, m);
4156 49 : if (DEBUGLEVEL) timer_printf(&ti," log generator");
4157 49 : d = gcdii(Ao,Bo);
4158 49 : l = Fp_div(diviiexact(Ao, d) ,diviiexact(Bo, d), m);
4159 49 : if (!equalii(a,Fp_pow(b,l,p))) pari_err_BUG("Fp_log_index");
4160 49 : return gerepileuptoint(av, l);
4161 : }
4162 :
4163 : static int
4164 1375745 : Fp_log_use_index(long e, long p)
4165 : {
4166 1375745 : return (e >= 27 && 20*(p+6)<=e*e);
4167 : }
4168 :
4169 : /* Trivial cases a = 1, -1. Return x s.t. g^x = a or [] if no such x exist */
4170 : static GEN
4171 2049086 : Fp_easylog(void *E, GEN a, GEN g, GEN ord)
4172 : {
4173 2049086 : pari_sp av = avma;
4174 2049086 : GEN p = (GEN)E;
4175 : /* assume a reduced mod p, p not necessarily prime */
4176 2049086 : if (equali1(a)) return gen_0;
4177 : /* p > 2 */
4178 1311659 : if (equalii(subiu(p,1), a)) /* -1 */
4179 : {
4180 : pari_sp av2;
4181 : GEN t;
4182 381925 : ord = get_arith_Z(ord);
4183 381925 : if (mpodd(ord)) { set_avma(av); return cgetg(1, t_VEC); } /* no solution */
4184 381911 : t = shifti(ord,-1); /* only possible solution */
4185 381911 : av2 = avma;
4186 381911 : if (!equalii(Fp_pow(g, t, p), a)) { set_avma(av); return cgetg(1, t_VEC); }
4187 381715 : set_avma(av2); return gerepileuptoint(av, t);
4188 : }
4189 929734 : if (typ(ord)==t_INT && BPSW_psp(p) && Fp_log_use_index(expi(ord),expi(p)))
4190 49 : return Fp_log_index(a, g, ord, p);
4191 929685 : return gc_NULL(av); /* not easy */
4192 : }
4193 :
4194 : GEN
4195 1158848 : Fp_log(GEN a, GEN g, GEN ord, GEN p)
4196 : {
4197 1158848 : GEN v = get_arith_ZZM(ord);
4198 1158820 : GEN F = gmael(v,2,1);
4199 1158820 : long lF = lg(F)-1, lmax;
4200 1158820 : if (lF == 0) return equali1(a)? gen_0: cgetg(1, t_VEC);
4201 1012088 : lmax = expi(gel(F,lF));
4202 1012088 : if (BPSW_psp(p) && Fp_log_use_index(lmax,expi(p)))
4203 49 : v = mkvec2(gel(v,1),ZM_famat_limit(gel(v,2),int2n(27)));
4204 1012088 : return gen_PH_log(a,g,v,(void*)p,&Fp_star);
4205 : }
4206 :
4207 : static ulong
4208 0 : Fl_log_naive(ulong a, ulong g, ulong ord, ulong p)
4209 : {
4210 0 : ulong i, h=1;
4211 0 : for(i=0; i<ord; i++, h = Fl_mul(h, g, p))
4212 0 : if(a==h) return i;
4213 0 : return ~0UL;
4214 : }
4215 :
4216 : static ulong
4217 18958 : Fl_log_naive_pre(ulong a, ulong g, ulong ord, ulong p, ulong pi)
4218 : {
4219 18958 : ulong i, h=1;
4220 47817 : for(i=0; i<ord; i++, h = Fl_mul_pre(h, g, p, pi))
4221 47817 : if(a==h) return i;
4222 0 : return ~0UL;
4223 : }
4224 :
4225 : static ulong
4226 0 : Fl_log_Fp(ulong a, ulong g, ulong ord, ulong p)
4227 : {
4228 0 : pari_sp av = avma;
4229 0 : GEN r = Fp_log(utoi(a),utoi(g),utoi(ord),utoi(p));
4230 0 : return gc_ulong(av, typ(r)==t_INT ? itou(r): ~0UL);
4231 : }
4232 :
4233 : ulong
4234 18958 : Fl_log_pre(ulong a, ulong g, ulong ord, ulong p, ulong pi)
4235 : {
4236 18958 : if (ord <= 200) return Fl_log_naive_pre(a, g, ord, p, pi);
4237 0 : return Fl_log_Fp(a, g, ord, p);
4238 : }
4239 :
4240 : ulong
4241 0 : Fl_log(ulong a, ulong g, ulong ord, ulong p)
4242 : {
4243 0 : if (ord <= 200)
4244 0 : return (p&HIGHMASK) ? Fl_log_naive_pre(a, g, ord, p, get_Fl_red(p))
4245 0 : : Fl_log_naive(a, g, ord, p);
4246 0 : return Fl_log_Fp(a, g, ord, p);
4247 : }
4248 :
4249 : /* find x such that h = g^x mod N > 1, N = prod_{i <= l} P[i]^E[i], P[i] prime.
4250 : * PHI[l] = eulerphi(N / P[l]^E[l]). Destroys P/E */
4251 : static GEN
4252 112 : znlog_rec(GEN h, GEN g, GEN N, GEN P, GEN E, GEN PHI)
4253 : {
4254 112 : long l = lg(P) - 1, e = E[l];
4255 112 : GEN p = gel(P, l), phi = gel(PHI,l), pe = e == 1? p: powiu(p, e);
4256 : GEN a,b, hp,gp, hpe,gpe, ogpe; /* = order(g mod p^e) | p^(e-1)(p-1) */
4257 :
4258 112 : if (l == 1) {
4259 84 : hpe = h;
4260 84 : gpe = g;
4261 : } else {
4262 28 : hpe = modii(h, pe);
4263 28 : gpe = modii(g, pe);
4264 : }
4265 112 : if (e == 1) {
4266 28 : hp = hpe;
4267 28 : gp = gpe;
4268 : } else {
4269 84 : hp = remii(hpe, p);
4270 84 : gp = remii(gpe, p);
4271 : }
4272 112 : if (hp == gen_0 || gp == gen_0) return NULL;
4273 91 : if (absequaliu(p, 2))
4274 : {
4275 35 : GEN n = int2n(e);
4276 35 : ogpe = Zp_order(gpe, gen_2, e, n);
4277 35 : a = Fp_log(hpe, gpe, ogpe, n);
4278 35 : if (typ(a) != t_INT) return NULL;
4279 : }
4280 : else
4281 : { /* Avoid black box groups: (Z/p^2)^* / (Z/p)^* ~ (Z/pZ, +), where DL
4282 : is trivial */
4283 : /* [order(gp), factor(order(gp))] */
4284 56 : GEN v = Fp_factored_order(gp, subiu(p,1), p);
4285 56 : GEN ogp = gel(v,1);
4286 56 : if (!equali1(Fp_pow(hp, ogp, p))) return NULL;
4287 56 : a = Fp_log(hp, gp, v, p);
4288 56 : if (typ(a) != t_INT) return NULL;
4289 56 : if (e == 1) ogpe = ogp;
4290 : else
4291 : { /* find a s.t. g^a = h (mod p^e), p odd prime, e > 0, (h,p) = 1 */
4292 : /* use p-adic log: O(log p + e) mul*/
4293 : long vpogpe, vpohpe;
4294 :
4295 28 : hpe = Fp_mul(hpe, Fp_pow(gpe, negi(a), pe), pe);
4296 28 : gpe = Fp_pow(gpe, ogp, pe);
4297 : /* g,h = 1 mod p; compute b s.t. h = g^b */
4298 :
4299 : /* v_p(order g mod pe) */
4300 28 : vpogpe = equali1(gpe)? 0: e - Z_pval(subiu(gpe,1), p);
4301 : /* v_p(order h mod pe) */
4302 28 : vpohpe = equali1(hpe)? 0: e - Z_pval(subiu(hpe,1), p);
4303 28 : if (vpohpe > vpogpe) return NULL;
4304 :
4305 28 : ogpe = mulii(ogp, powiu(p, vpogpe)); /* order g mod p^e */
4306 28 : if (is_pm1(gpe)) return is_pm1(hpe)? a: NULL;
4307 28 : b = gdiv(Qp_log(cvtop(hpe, p, e)), Qp_log(cvtop(gpe, p, e)));
4308 28 : a = addii(a, mulii(ogp, padic_to_Q(b)));
4309 : }
4310 : }
4311 : /* gp^a = hp => x = a mod ogpe => generalized Pohlig-Hellman strategy */
4312 77 : if (l == 1) return a;
4313 :
4314 28 : N = diviiexact(N, pe); /* make N coprime to p */
4315 28 : h = Fp_mul(h, Fp_pow(g, modii(negi(a), phi), N), N);
4316 28 : g = Fp_pow(g, modii(ogpe, phi), N);
4317 28 : setlg(P, l); /* remove last element */
4318 28 : setlg(E, l);
4319 28 : b = znlog_rec(h, g, N, P, E, PHI);
4320 28 : if (!b) return NULL;
4321 28 : return addmulii(a, b, ogpe);
4322 : }
4323 :
4324 : static GEN
4325 84 : get_PHI(GEN P, GEN E)
4326 : {
4327 84 : long i, l = lg(P);
4328 84 : GEN PHI = cgetg(l, t_VEC);
4329 84 : gel(PHI,1) = gen_1;
4330 112 : for (i=1; i<l-1; i++)
4331 : {
4332 28 : GEN t, p = gel(P,i);
4333 28 : long e = E[i];
4334 28 : t = mulii(powiu(p, e-1), subiu(p,1));
4335 28 : if (i > 1) t = mulii(t, gel(PHI,i));
4336 28 : gel(PHI,i+1) = t;
4337 : }
4338 84 : return PHI;
4339 : }
4340 :
4341 : GEN
4342 224 : znlog(GEN h, GEN g, GEN o)
4343 : {
4344 224 : pari_sp av = avma;
4345 : GEN N, fa, P, E, x;
4346 224 : switch (typ(g))
4347 : {
4348 : case t_PADIC:
4349 : {
4350 28 : GEN p = gel(g,2);
4351 28 : long v = valp(g);
4352 28 : if (v < 0) pari_err_DIM("znlog");
4353 28 : if (v > 0) {
4354 0 : long k = gvaluation(h, p);
4355 0 : if (k % v) return cgetg(1,t_VEC);
4356 0 : k /= v;
4357 0 : if (!gequal(h, gpowgs(g,k))) { set_avma(av); return cgetg(1,t_VEC); }
4358 0 : set_avma(av); return stoi(k);
4359 : }
4360 28 : N = gel(g,3);
4361 28 : g = Rg_to_Fp(g, N);
4362 28 : break;
4363 : }
4364 : case t_INTMOD:
4365 189 : N = gel(g,1);
4366 189 : g = gel(g,2); break;
4367 7 : default: pari_err_TYPE("znlog", g);
4368 : return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
4369 : }
4370 217 : if (equali1(N)) { set_avma(av); return gen_0; }
4371 217 : h = Rg_to_Fp(h, N);
4372 210 : if (o) return gerepileupto(av, Fp_log(h, g, o, N));
4373 84 : fa = Z_factor(N);
4374 84 : P = gel(fa,1);
4375 84 : E = vec_to_vecsmall(gel(fa,2));
4376 84 : x = znlog_rec(h, g, N, P, E, get_PHI(P,E));
4377 84 : if (!x) { set_avma(av); return cgetg(1,t_VEC); }
4378 49 : return gerepileuptoint(av, x);
4379 : }
4380 :
4381 : GEN
4382 61329 : Fp_sqrtn(GEN a, GEN n, GEN p, GEN *zeta)
4383 : {
4384 61329 : if (lgefint(p)==3)
4385 : {
4386 60937 : long nn = itos_or_0(n);
4387 60937 : if (nn)
4388 : {
4389 60937 : ulong pp = p[2];
4390 : ulong uz;
4391 60937 : ulong r = Fl_sqrtn(umodiu(a,pp),nn,pp, zeta ? &uz:NULL);
4392 60916 : if (r==ULONG_MAX) return NULL;
4393 60881 : if (zeta) *zeta = utoi(uz);
4394 60881 : return utoi(r);
4395 : }
4396 : }
4397 392 : a = modii(a,p);
4398 392 : if (!signe(a))
4399 : {
4400 0 : if (zeta) *zeta = gen_1;
4401 0 : if (signe(n) < 0) pari_err_INV("Fp_sqrtn", mkintmod(gen_0,p));
4402 0 : return gen_0;
4403 : }
4404 392 : if (absequaliu(n,2))
4405 : {
4406 224 : if (zeta) *zeta = subiu(p,1);
4407 224 : return signe(n) > 0 ? Fp_sqrt(a,p): Fp_sqrt(Fp_inv(a, p),p);
4408 : }
4409 168 : return gen_Shanks_sqrtn(a,n,subiu(p,1),zeta,(void*)p,&Fp_star);
4410 : }
4411 :
4412 : /*********************************************************************/
4413 : /** **/
4414 : /** FUNDAMENTAL DISCRIMINANTS **/
4415 : /** **/
4416 : /*********************************************************************/
4417 : static long
4418 1407 : fa_isfundamental(GEN F)
4419 : {
4420 1407 : GEN P = gel(F,1), E = gel(F,2);
4421 1407 : long i, s, l = lg(P);
4422 :
4423 1407 : if (l == 1) return 1;
4424 1400 : s = signe(gel(P,1)); /* = signe(x) */
4425 1400 : if (!s) return 0;
4426 1393 : if (s < 0) { l--; P = vecslice(P,2,l); E = vecslice(E,2,l); }
4427 1393 : if (l == 1) return 0;
4428 1386 : if (!absequaliu(gel(P,1), 2))
4429 686 : i = 1; /* need x = 1 mod 4 */
4430 : else
4431 : {
4432 700 : i = 2;
4433 700 : switch(itou(gel(E,1)))
4434 : {
4435 182 : case 2: s = -s; break; /* need x/4 = 3 mod 4 */
4436 84 : case 3: s = 0; break; /* no condition mod 4 */
4437 434 : default: return 0;
4438 : }
4439 : }
4440 1974 : for(; i < l; i++)
4441 : {
4442 1190 : if (!equali1(gel(E,i))) return 0;
4443 1022 : if (s && Mod4(gel(P,i)) == 3) s = -s;
4444 : }
4445 784 : return s >= 0;
4446 : }
4447 : long
4448 17563 : isfundamental(GEN x)
4449 : {
4450 17563 : if (typ(x) != t_INT)
4451 : {
4452 1407 : pari_sp av = avma;
4453 1407 : long v = fa_isfundamental(check_arith_all(x,"isfundamental"));
4454 1407 : return gc_long(av,v);
4455 : }
4456 16156 : return Z_isfundamental(x);
4457 : }
4458 :
4459 : /* x fundamental ? */
4460 : long
4461 12886 : uposisfundamental(ulong x)
4462 : {
4463 12886 : ulong r = x & 15; /* x mod 16 */
4464 12886 : if (!r) return 0;
4465 12165 : switch(r & 3)
4466 : { /* x mod 4 */
4467 2381 : case 0: return (r == 4)? 0: uissquarefree(x >> 2);
4468 3690 : case 1: return uissquarefree(x);
4469 6094 : default: return 0;
4470 : }
4471 : }
4472 : /* -x fundamental ? */
4473 : long
4474 28197 : unegisfundamental(ulong x)
4475 : {
4476 28197 : ulong r = x & 15; /* x mod 16 */
4477 28197 : if (!r) return 0;
4478 26762 : switch(r & 3)
4479 : { /* x mod 4 */
4480 4992 : case 0: return (r == 12)? 0: uissquarefree(x >> 2);
4481 11448 : case 3: return uissquarefree(x);
4482 10322 : default: return 0;
4483 : }
4484 : }
4485 : long
4486 19642 : sisfundamental(long x)
4487 19642 : { return x < 0? unegisfundamental((ulong)(-x)): uposisfundamental(x); }
4488 :
4489 : long
4490 16723 : Z_isfundamental(GEN x)
4491 : {
4492 : long r;
4493 16723 : switch(lgefint(x))
4494 : {
4495 7 : case 2: return 0;
4496 22175 : case 3: return signe(x) < 0? unegisfundamental(x[2])
4497 22175 : : uposisfundamental(x[2]);
4498 : }
4499 2010 : r = mod16(x);
4500 2010 : if (!r) return 0;
4501 1884 : if ((r & 3) == 0)
4502 : {
4503 : pari_sp av;
4504 376 : r >>= 2; /* |x|/4 mod 4 */
4505 376 : if (signe(x) < 0) r = 4-r;
4506 376 : if (r == 1) return 0;
4507 250 : av = avma;
4508 250 : r = Z_issquarefree( shifti(x,-2) );
4509 250 : return gc_long(av, r);
4510 : }
4511 1508 : r &= 3; /* |x| mod 4 */
4512 1508 : if (signe(x) < 0) r = 4-r;
4513 1508 : return (r==1) ? Z_issquarefree(x) : 0;
4514 : }
4515 :
4516 : static GEN
4517 2821 : fa_quaddisc(GEN f)
4518 : {
4519 2821 : GEN P = gel(f,1), E = gel(f,2), s = gen_1;
4520 2821 : long i, l = lg(P);
4521 9051 : for (i = 1; i < l; i++) /* possibly including -1 */
4522 6230 : if (mpodd(gel(E,i))) s = mulii(s, gel(P,i));
4523 2821 : if (Mod4(s) > 1) s = shifti(s,2);
4524 2821 : return s;
4525 : }
4526 :
4527 : GEN
4528 2821 : quaddisc(GEN x)
4529 : {
4530 2821 : const pari_sp av = avma;
4531 2821 : if (is_rational_t(typ(x))) x = factor(x);
4532 1407 : else x = check_arith_all(x,"quaddisc");
4533 2821 : return gerepileuptoint(av, fa_quaddisc(x));
4534 : }
4535 :
4536 : /*********************************************************************/
4537 : /** **/
4538 : /** FACTORIAL **/
4539 : /** **/
4540 : /*********************************************************************/
4541 : GEN
4542 192470 : mulu_interval_step(ulong a, ulong b, ulong step)
4543 : {
4544 192470 : pari_sp av = avma;
4545 : ulong k, l, N, n;
4546 : long lx;
4547 : GEN x;
4548 :
4549 192470 : if (!a) return gen_0;
4550 192470 : if (step == 1) return mulu_interval(a, b);
4551 192470 : n = 1 + (b-a) / step;
4552 192470 : b -= (b-a) % step;
4553 192470 : if (n < 61)
4554 : {
4555 191755 : if (n == 1) return utoipos(a);
4556 142923 : x = muluu(a,a+step); if (n == 2) return x;
4557 103819 : for (k=a+2*step; k<=b; k+=step) x = mului(k,x);
4558 103813 : return gerepileuptoint(av, x);
4559 : }
4560 : /* step | b-a */
4561 715 : lx = 1; x = cgetg(2 + n/2, t_VEC);
4562 715 : N = b + a;
4563 201699 : for (k = a;; k += step)
4564 : {
4565 402683 : l = N - k; if (l <= k) break;
4566 200984 : gel(x,lx++) = muluu(k,l);
4567 : }
4568 715 : if (l == k) gel(x,lx++) = utoipos(k);
4569 715 : setlg(x, lx);
4570 715 : return gerepileuptoint(av, ZV_prod(x));
4571 : }
4572 : /* return a * (a+1) * ... * b. Assume a <= b [ note: factoring out powers of 2
4573 : * first is slower ... ] */
4574 : GEN
4575 118762 : mulu_interval(ulong a, ulong b)
4576 : {
4577 118762 : pari_sp av = avma;
4578 : ulong k, l, N, n;
4579 : long lx;
4580 : GEN x;
4581 :
4582 118762 : if (!a) return gen_0;
4583 118762 : n = b - a + 1;
4584 118762 : if (n < 61)
4585 : {
4586 118706 : if (n == 1) return utoipos(a);
4587 99687 : x = muluu(a,a+1); if (n == 2) return x;
4588 69167 : for (k=a+2; k<=b; k++) x = mului(k,x);
4589 69167 : return gerepileuptoint(av, x);
4590 : }
4591 56 : lx = 1; x = cgetg(2 + n/2, t_VEC);
4592 56 : N = b + a;
4593 8736 : for (k = a;; k++)
4594 : {
4595 17416 : l = N - k; if (l <= k) break;
4596 8680 : gel(x,lx++) = muluu(k,l);
4597 : }
4598 56 : if (l == k) gel(x,lx++) = utoipos(k);
4599 56 : setlg(x, lx);
4600 56 : return gerepileuptoint(av, ZV_prod(x));
4601 : }
4602 : GEN
4603 448 : muls_interval(long a, long b)
4604 : {
4605 448 : pari_sp av = avma;
4606 448 : long lx, k, l, N, n = b - a + 1;
4607 : GEN x;
4608 :
4609 448 : if (a <= 0 && b >= 0) return gen_0;
4610 287 : if (n < 61)
4611 : {
4612 287 : x = stoi(a);
4613 287 : for (k=a+1; k<=b; k++) x = mulsi(k,x);
4614 287 : return gerepileuptoint(av, x);
4615 : }
4616 0 : lx = 1; x = cgetg(2 + n/2, t_VEC);
4617 0 : N = b + a;
4618 0 : for (k = a;; k++)
4619 : {
4620 0 : l = N - k; if (l <= k) break;
4621 0 : gel(x,lx++) = mulss(k,l);
4622 : }
4623 0 : if (l == k) gel(x,lx++) = stoi(k);
4624 0 : setlg(x, lx);
4625 0 : return gerepileuptoint(av, ZV_prod(x));
4626 : }
4627 :
4628 : GEN
4629 3043622 : mpfact(long n)
4630 : {
4631 3043622 : pari_sp av = avma;
4632 : GEN a, v;
4633 : long k;
4634 3043622 : if (n <= 12) switch(n)
4635 : {
4636 1937092 : case 0: case 1: return gen_1;
4637 624954 : case 2: return gen_2;
4638 260504 : case 3: return utoipos(6);
4639 107233 : case 4: return utoipos(24);
4640 21403 : case 5: return utoipos(120);
4641 14818 : case 6: return utoipos(720);
4642 1121 : case 7: return utoipos(5040);
4643 9372 : case 8: return utoipos(40320);
4644 258 : case 9: return utoipos(362880);
4645 9260 : case 10:return utoipos(3628800);
4646 123 : case 11:return utoipos(39916800);
4647 7079 : case 12:return utoipos(479001600);
4648 0 : default: pari_err_DOMAIN("factorial", "argument","<",gen_0,stoi(n));
4649 : }
4650 50405 : v = cgetg(expu(n) + 2, t_VEC);
4651 242600 : for (k = 1;; k++)
4652 192196 : {
4653 242600 : long m = n >> (k-1), l;
4654 242600 : if (m <= 2) break;
4655 192189 : l = (1 + (n >> k)) | 1;
4656 : /* product of odd numbers in ]n / 2^k, 2 / 2^(k-1)] */
4657 192189 : a = mulu_interval_step(l, m, 2);
4658 192191 : gel(v,k) = k == 1? a: powiu(a, k);
4659 : }
4660 50411 : a = gel(v,--k); while (--k) a = mulii(a, gel(v,k));
4661 50407 : a = shifti(a, factorial_lval(n, 2));
4662 50404 : return gerepileuptoint(av, a);
4663 : }
4664 :
4665 : /*******************************************************************/
4666 : /** **/
4667 : /** LUCAS & FIBONACCI **/
4668 : /** **/
4669 : /*******************************************************************/
4670 : static void
4671 56 : lucas(ulong n, GEN *a, GEN *b)
4672 : {
4673 : GEN z, t, zt;
4674 56 : if (!n) { *a = gen_2; *b = gen_1; return; }
4675 49 : lucas(n >> 1, &z, &t); zt = mulii(z, t);
4676 49 : switch(n & 3) {
4677 14 : case 0: *a = subiu(sqri(z),2); *b = subiu(zt,1); break;
4678 14 : case 1: *a = subiu(zt,1); *b = addiu(sqri(t),2); break;
4679 7 : case 2: *a = addiu(sqri(z),2); *b = addiu(zt,1); break;
4680 14 : case 3: *a = addiu(zt,1); *b = subiu(sqri(t),2);
4681 : }
4682 : }
4683 :
4684 : GEN
4685 7 : fibo(long n)
4686 : {
4687 7 : pari_sp av = avma;
4688 : GEN a, b;
4689 7 : if (!n) return gen_0;
4690 7 : lucas((ulong)(labs(n)-1), &a, &b);
4691 7 : a = diviuexact(addii(shifti(a,1),b), 5);
4692 7 : if (n < 0 && !odd(n)) setsigne(a, -1);
4693 7 : return gerepileuptoint(av, a);
4694 : }
4695 :
4696 : /*******************************************************************/
4697 : /* */
4698 : /* CONTINUED FRACTIONS */
4699 : /* */
4700 : /*******************************************************************/
4701 : static GEN
4702 488420 : icopy_lg(GEN x, long l)
4703 : {
4704 488420 : long lx = lgefint(x);
4705 : GEN y;
4706 :
4707 488420 : if (lx >= l) return icopy(x);
4708 35 : y = cgeti(l); affii(x, y); return y;
4709 : }
4710 :
4711 : /* continued fraction of a/b. If y != NULL, stop when partial quotients
4712 : * differ from y */
4713 : static GEN
4714 488716 : Qsfcont(GEN a, GEN b, GEN y, ulong k)
4715 : {
4716 : GEN z, c;
4717 488716 : ulong i, l, ly = lgefint(b);
4718 :
4719 : /* times 1 / log2( (1+sqrt(5)) / 2 ) */
4720 488716 : l = (ulong)(3 + bit_accuracy_mul(ly, 1.44042009041256));
4721 488716 : if (k > 0 && k+1 > 0 && l > k+1) l = k+1; /* beware overflow */
4722 488716 : if (l > LGBITS) l = LGBITS;
4723 :
4724 488716 : z = cgetg(l,t_VEC);
4725 488716 : l--;
4726 488716 : if (y) {
4727 296 : pari_sp av = avma;
4728 296 : if (l >= (ulong)lg(y)) l = lg(y)-1;
4729 19488 : for (i = 1; i <= l; i++)
4730 : {
4731 19303 : GEN q = gel(y,i);
4732 19303 : gel(z,i) = q;
4733 19303 : c = b; if (!gequal1(q)) c = mulii(q, b);
4734 19303 : c = subii(a, c);
4735 19303 : if (signe(c) < 0)
4736 : { /* partial quotient too large */
4737 110 : c = addii(c, b);
4738 110 : if (signe(c) >= 0) i++; /* by 1 */
4739 110 : break;
4740 : }
4741 19193 : if (cmpii(c, b) >= 0)
4742 : { /* partial quotient too small */
4743 1 : c = subii(c, b);
4744 1 : if (cmpii(c, b) < 0) {
4745 : /* by 1. If next quotient is 1 in y, add 1 */
4746 0 : if (i < l && equali1(gel(y,i+1))) gel(z,i) = addiu(q,1);
4747 0 : i++;
4748 : }
4749 1 : break;
4750 : }
4751 19192 : if ((i & 0xff) == 0) gerepileall(av, 2, &b, &c);
4752 19192 : a = b; b = c;
4753 : }
4754 : } else {
4755 488420 : a = icopy_lg(a, ly);
4756 488420 : b = icopy(b);
4757 1738379 : for (i = 1; i <= l; i++)
4758 : {
4759 1738115 : gel(z,i) = truedvmdii(a,b,&c);
4760 1738115 : if (c == gen_0) { i++; break; }
4761 1249959 : affii(c, a); cgiv(c); c = a;
4762 1249959 : a = b; b = c;
4763 : }
4764 : }
4765 488716 : i--;
4766 488716 : if (i > 1 && gequal1(gel(z,i)))
4767 : {
4768 85 : cgiv(gel(z,i)); --i;
4769 85 : gel(z,i) = addui(1, gel(z,i)); /* unclean: leave old z[i] on stack */
4770 : }
4771 488716 : setlg(z,i+1); return z;
4772 : }
4773 :
4774 : static GEN
4775 0 : sersfcont(GEN a, GEN b, long k)
4776 : {
4777 0 : long i, l = typ(a) == t_POL? lg(a): 3;
4778 : GEN y, c;
4779 0 : if (lg(b) > l) l = lg(b);
4780 0 : if (k > 0 && l > k+1) l = k+1;
4781 0 : y = cgetg(l,t_VEC);
4782 0 : for (i=1; i<l; i++)
4783 : {
4784 0 : gel(y,i) = poldivrem(a,b,&c);
4785 0 : if (gequal0(c)) { i++; break; }
4786 0 : a = b; b = c;
4787 : }
4788 0 : setlg(y, i); return y;
4789 : }
4790 :
4791 : GEN
4792 488980 : gboundcf(GEN x, long k)
4793 : {
4794 : pari_sp av;
4795 488980 : long tx = typ(x), e;
4796 : GEN y, a, b, c;
4797 :
4798 488980 : if (k < 0) pari_err_DOMAIN("gboundcf","nmax","<",gen_0,stoi(k));
4799 488973 : if (is_scalar_t(tx))
4800 : {
4801 488973 : if (gequal0(x)) return mkvec(gen_0);
4802 488924 : switch(tx)
4803 : {
4804 497 : case t_INT: return mkveccopy(x);
4805 : case t_REAL:
4806 303 : av = avma;
4807 303 : c = mantissa_real(x,&e);
4808 303 : if (e < 0) pari_err_PREC("gboundcf");
4809 296 : y = int2n(e);
4810 296 : a = Qsfcont(c,y, NULL, k);
4811 296 : b = addsi(signe(x), c);
4812 296 : return gerepilecopy(av, Qsfcont(b,y, a, k));
4813 :
4814 : case t_FRAC:
4815 488124 : av = avma;
4816 488124 : return gerepileupto(av, Qsfcont(gel(x,1),gel(x,2), NULL, k));
4817 : }
4818 0 : pari_err_TYPE("gboundcf",x);
4819 : }
4820 :
4821 0 : switch(tx)
4822 : {
4823 0 : case t_POL: return mkveccopy(x);
4824 : case t_SER:
4825 0 : av = avma;
4826 0 : return gerepileupto(av, gboundcf(ser2rfrac_i(x), k));
4827 : case t_RFRAC:
4828 0 : av = avma;
4829 0 : return gerepilecopy(av, sersfcont(gel(x,1), gel(x,2), k));
4830 : }
4831 0 : pari_err_TYPE("gboundcf",x);
4832 : return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
4833 : }
4834 :
4835 : static GEN
4836 14 : sfcont2(GEN b, GEN x, long k)
4837 : {
4838 14 : pari_sp av = avma;
4839 14 : long lb = lg(b), tx = typ(x), i;
4840 : GEN y,p1;
4841 :
4842 14 : if (k)
4843 : {
4844 7 : if (k >= lb) pari_err_DIM("contfrac [too few denominators]");
4845 0 : lb = k+1;
4846 : }
4847 7 : y = cgetg(lb,t_VEC);
4848 7 : if (lb==1) return y;
4849 7 : if (is_scalar_t(tx))
4850 : {
4851 7 : if (!is_intreal_t(tx) && tx != t_FRAC) pari_err_TYPE("sfcont2",x);
4852 : }
4853 0 : else if (tx == t_SER) x = ser2rfrac_i(x);
4854 :
4855 7 : if (!gequal1(gel(b,1))) x = gmul(gel(b,1),x);
4856 7 : for (i = 1;;)
4857 : {
4858 63 : if (tx == t_REAL)
4859 : {
4860 35 : long e = expo(x);
4861 35 : if (e > 0 && nbits2prec(e+1) > realprec(x)) break;
4862 35 : gel(y,i) = floorr(x);
4863 35 : p1 = subri(x, gel(y,i));
4864 : }
4865 : else
4866 : {
4867 0 : gel(y,i) = gfloor(x);
4868 0 : p1 = gsub(x, gel(y,i));
4869 : }
4870 35 : if (++i >= lb) break;
4871 28 : if (gequal0(p1)) break;
4872 28 : x = gdiv(gel(b,i),p1);
4873 : }
4874 7 : setlg(y,i);
4875 7 : return gerepilecopy(av,y);
4876 : }
4877 :
4878 :
4879 : GEN
4880 105 : gcf(GEN x) { return gboundcf(x,0); }
4881 : GEN
4882 0 : gcf2(GEN b, GEN x) { return contfrac0(x,b,0); }
4883 : GEN
4884 49 : contfrac0(GEN x, GEN b, long nmax)
4885 : {
4886 : long tb;
4887 :
4888 49 : if (!b) return gboundcf(x,nmax);
4889 28 : tb = typ(b);
4890 28 : if (tb == t_INT) return gboundcf(x,itos(b));
4891 21 : if (! is_vec_t(tb)) pari_err_TYPE("contfrac0",b);
4892 21 : if (nmax < 0) pari_err_DOMAIN("contfrac","nmax","<",gen_0,stoi(nmax));
4893 14 : return sfcont2(b,x,nmax);
4894 : }
4895 :
4896 : GEN
4897 245 : contfracpnqn(GEN x, long n)
4898 : {
4899 245 : pari_sp av = avma;
4900 245 : long i, lx = lg(x);
4901 : GEN M,A,B, p0,p1, q0,q1;
4902 :
4903 245 : if (lx == 1)
4904 : {
4905 28 : if (! is_matvec_t(typ(x))) pari_err_TYPE("pnqn",x);
4906 21 : if (n >= 0) return cgetg(1,t_MAT);
4907 7 : return matid(2);
4908 : }
4909 217 : switch(typ(x))
4910 : {
4911 175 : case t_VEC: case t_COL: A = x; B = NULL; break;
4912 : case t_MAT:
4913 42 : switch(lgcols(x))
4914 : {
4915 0 : case 2: A = row(x,1); B = NULL; break;
4916 35 : case 3: A = row(x,2); B = row(x,1); break;
4917 7 : default: pari_err_DIM("pnqn [ nbrows != 1,2 ]");
4918 : return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
4919 : }
4920 35 : break;
4921 0 : default: pari_err_TYPE("pnqn",x);
4922 : return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
4923 : }
4924 210 : p1 = gel(A,1);
4925 210 : q1 = B? gel(B,1): gen_1; /* p[0], q[0] */
4926 210 : if (n >= 0)
4927 : {
4928 175 : lx = minss(lx, n+2);
4929 175 : if (lx == 2) return gerepilecopy(av, mkmat(mkcol2(p1,q1)));
4930 : }
4931 35 : else if (lx == 2)
4932 7 : return gerepilecopy(av, mkmat2(mkcol2(p1,q1), mkcol2(gen_1,gen_0)));
4933 : /* lx >= 3 */
4934 112 : p0 = gen_1;
4935 112 : q0 = gen_0; /* p[-1], q[-1] */
4936 112 : M = cgetg(lx, t_MAT);
4937 112 : gel(M,1) = mkcol2(p1,q1);
4938 364 : for (i=2; i<lx; i++)
4939 : {
4940 252 : GEN a = gel(A,i), p2,q2;
4941 252 : if (B) {
4942 84 : GEN b = gel(B,i);
4943 84 : p0 = gmul(b,p0);
4944 84 : q0 = gmul(b,q0);
4945 : }
4946 252 : p2 = gadd(gmul(a,p1),p0); p0=p1; p1=p2;
4947 252 : q2 = gadd(gmul(a,q1),q0); q0=q1; q1=q2;
4948 252 : gel(M,i) = mkcol2(p1,q1);
4949 : }
4950 112 : if (n < 0) M = mkmat2(gel(M,lx-1), gel(M,lx-2));
4951 112 : return gerepilecopy(av, M);
4952 : }
4953 : GEN
4954 0 : pnqn(GEN x) { return contfracpnqn(x,-1); }
4955 : /* x = [a0, ..., an] from gboundcf, n >= 0;
4956 : * return [[p0, ..., pn], [q0,...,qn]] */
4957 : GEN
4958 480802 : ZV_allpnqn(GEN x)
4959 : {
4960 480802 : long i, lx = lg(x);
4961 480802 : GEN p0, p1, q0, q1, p2, q2, P,Q, v = cgetg(3,t_VEC);
4962 :
4963 480802 : gel(v,1) = P = cgetg(lx, t_VEC);
4964 480802 : gel(v,2) = Q = cgetg(lx, t_VEC);
4965 480802 : p0 = gen_1; q0 = gen_0;
4966 480802 : gel(P, 1) = p1 = gel(x,1); gel(Q, 1) = q1 = gen_1;
4967 1685516 : for (i=2; i<lx; i++)
4968 : {
4969 1204714 : GEN a = gel(x,i);
4970 1204714 : gel(P, i) = p2 = addmulii(p0, a, p1); p0 = p1; p1 = p2;
4971 1204714 : gel(Q, i) = q2 = addmulii(q0, a, q1); q0 = q1; q1 = q2;
4972 : }
4973 480802 : return v;
4974 : }
4975 :
4976 : /* write Mod(x,N) as a/b, gcd(a,b) = 1, b <= B (no condition if B = NULL) */
4977 : static GEN
4978 42 : mod_to_frac(GEN x, GEN N, GEN B)
4979 : {
4980 : GEN a, b, A;
4981 42 : if (B) A = divii(shifti(N, -1), B);
4982 : else
4983 : {
4984 14 : A = sqrti(shifti(N, -1));
4985 14 : B = A;
4986 : }
4987 42 : if (!Fp_ratlift(x, N, A,B,&a,&b) || !equali1( gcdii(a,b) )) return NULL;
4988 28 : return equali1(b)? a: mkfrac(a,b);
4989 : }
4990 :
4991 : static GEN
4992 70 : mod_to_rfrac(GEN x, GEN N, long B)
4993 : {
4994 : GEN a, b;
4995 70 : long A, d = degpol(N);
4996 70 : if (B >= 0) A = d-1 - B;
4997 : else
4998 : {
4999 42 : B = d >> 1;
5000 42 : A = odd(d)? B : B-1;
5001 : }
5002 70 : if (varn(N) != varn(x)) x = scalarpol(x, varn(N));
5003 70 : if (!RgXQ_ratlift(x, N, A, B, &a,&b) || degpol(RgX_gcd(a,b)) > 0) return NULL;
5004 56 : return gdiv(a,b);
5005 : }
5006 :
5007 : /* k > 0 t_INT, x a t_FRAC, returns the convergent a/b
5008 : * of the continued fraction of x with b <= k maximal */
5009 : static GEN
5010 0 : bestappr_frac(GEN x, GEN k)
5011 : {
5012 : pari_sp av;
5013 : GEN p0, p1, p, q0, q1, q, a, y;
5014 :
5015 0 : if (cmpii(gel(x,2),k) <= 0) return gcopy(x);
5016 0 : av = avma; y = x;
5017 0 : p1 = gen_1; p0 = truedvmdii(gel(x,1), gel(x,2), &a); /* = floor(x) */
5018 0 : q1 = gen_0; q0 = gen_1;
5019 0 : x = mkfrac(a, gel(x,2)); /* = frac(x); now 0<= x < 1 */
5020 : for(;;)
5021 : {
5022 0 : x = ginv(x); /* > 1 */
5023 0 : a = typ(x)==t_INT? x: divii(gel(x,1), gel(x,2));
5024 0 : if (cmpii(a,k) > 0)
5025 : { /* next partial quotient will overflow limits */
5026 : GEN n, d;
5027 0 : a = divii(subii(k, q1), q0);
5028 0 : p = addii(mulii(a,p0), p1); p1=p0; p0=p;
5029 0 : q = addii(mulii(a,q0), q1); q1=q0; q0=q;
5030 : /* compare |y-p0/q0|, |y-p1/q1| */
5031 0 : n = gel(y,1);
5032 0 : d = gel(y,2);
5033 0 : if (abscmpii(mulii(q1, subii(mulii(q0,n), mulii(d,p0))),
5034 : mulii(q0, subii(mulii(q1,n), mulii(d,p1)))) < 0)
5035 0 : { p1 = p0; q1 = q0; }
5036 0 : break;
5037 : }
5038 0 : p = addii(mulii(a,p0), p1); p1=p0; p0=p;
5039 0 : q = addii(mulii(a,q0), q1); q1=q0; q0=q;
5040 :
5041 0 : if (cmpii(q0,k) > 0) break;
5042 0 : x = gsub(x,a); /* 0 <= x < 1 */
5043 0 : if (typ(x) == t_INT) { p1 = p0; q1 = q0; break; } /* x = 0 */
5044 :
5045 : }
5046 0 : return gerepileupto(av, gdiv(p1,q1));
5047 : }
5048 : /* k > 0 t_INT, x != 0 a t_REAL, returns the convergent a/b
5049 : * of the continued fraction of x with b <= k maximal */
5050 : static GEN
5051 282913 : bestappr_real(GEN x, GEN k)
5052 : {
5053 282913 : pari_sp av = avma;
5054 282913 : GEN kr, p0, p1, p, q0, q1, q, a, y = x;
5055 :
5056 282913 : p1 = gen_1; a = p0 = floorr(x);
5057 282913 : q1 = gen_0; q0 = gen_1;
5058 282913 : x = subri(x,a); /* 0 <= x < 1 */
5059 282913 : if (!signe(x)) { cgiv(x); return a; }
5060 274724 : kr = itor(k, realprec(x));
5061 : for(;;)
5062 468914 : {
5063 : long d;
5064 743638 : x = invr(x); /* > 1 */
5065 743638 : if (cmprr(x,kr) > 0)
5066 : { /* next partial quotient will overflow limits */
5067 269909 : a = divii(subii(k, q1), q0);
5068 269909 : p = addii(mulii(a,p0), p1); p1=p0; p0=p;
5069 269909 : q = addii(mulii(a,q0), q1); q1=q0; q0=q;
5070 : /* compare |y-p0/q0|, |y-p1/q1| */
5071 269909 : if (abscmprr(mulir(q1, subri(mulir(q0,y), p0)),
5072 : mulir(q0, subri(mulir(q1,y), p1))) < 0)
5073 6826 : { p1 = p0; q1 = q0; }
5074 269909 : break;
5075 : }
5076 473729 : d = nbits2prec(expo(x) + 1);
5077 473729 : if (d > lg(x)) { p1 = p0; q1 = q0; break; } /* original x was ~ 0 */
5078 :
5079 473544 : a = truncr(x); /* truncr(x) will NOT raise e_PREC */
5080 473544 : p = addii(mulii(a,p0), p1); p1=p0; p0=p;
5081 473544 : q = addii(mulii(a,q0), q1); q1=q0; q0=q;
5082 :
5083 473544 : if (cmpii(q0,k) > 0) break;
5084 469371 : x = subri(x,a); /* 0 <= x < 1 */
5085 469371 : if (!signe(x)) { p1 = p0; q1 = q0; break; }
5086 : }
5087 274724 : if (signe(q1) < 0) { togglesign_safe(&p1); togglesign_safe(&q1); }
5088 274724 : return gerepilecopy(av, equali1(q1)? p1: mkfrac(p1,q1));
5089 : }
5090 :
5091 : /* k t_INT or NULL */
5092 : static GEN
5093 437988 : bestappr_Q(GEN x, GEN k)
5094 : {
5095 437988 : long lx, tx = typ(x), i;
5096 : GEN a, y;
5097 :
5098 437988 : switch(tx)
5099 : {
5100 77 : case t_INT: return icopy(x);
5101 0 : case t_FRAC: return k? bestappr_frac(x, k): gcopy(x);
5102 : case t_REAL:
5103 323759 : if (!signe(x)) return gen_0;
5104 : /* i <= e iff nbits2lg(e+1) > lg(x) iff floorr(x) fails */
5105 282914 : i = bit_prec(x); if (i <= expo(x)) return NULL;
5106 282913 : return bestappr_real(x, k? k: int2n(i));
5107 :
5108 : case t_INTMOD: {
5109 28 : pari_sp av = avma;
5110 28 : a = mod_to_frac(gel(x,2), gel(x,1), k); if (!a) return NULL;
5111 21 : return gerepilecopy(av, a);
5112 : }
5113 : case t_PADIC: {
5114 14 : pari_sp av = avma;
5115 14 : long v = valp(x);
5116 14 : a = mod_to_frac(gel(x,4), gel(x,3), k); if (!a) return NULL;
5117 7 : if (v) a = gmul(a, powis(gel(x,2), v));
5118 7 : return gerepilecopy(av, a);
5119 : }
5120 :
5121 : case t_COMPLEX: {
5122 126 : pari_sp av = avma;
5123 126 : y = cgetg(3, t_COMPLEX);
5124 126 : gel(y,2) = bestappr(gel(x,2), k);
5125 126 : gel(y,1) = bestappr(gel(x,1), k);
5126 126 : if (gequal0(gel(y,2))) return gerepileupto(av, gel(y,1));
5127 0 : return y;
5128 : }
5129 : case t_SER:
5130 0 : if (ser_isexactzero(x)) return gcopy(x);
5131 : /* fall through */
5132 : case t_POLMOD: case t_POL: case t_RFRAC:
5133 : case t_VEC: case t_COL: case t_MAT:
5134 113984 : y = cgetg_copy(x, &lx);
5135 113984 : if (lontyp[tx] == 1) i = 1; else { y[1] = x[1]; i = 2; }
5136 539964 : for (; i<lx; i++)
5137 : {
5138 425982 : a = bestappr_Q(gel(x,i),k); if (!a) return NULL;
5139 425980 : gel(y,i) = a;
5140 : }
5141 113982 : if (tx == t_POL) return normalizepol(y);
5142 113968 : if (tx == t_SER) return normalize(y);
5143 113968 : return y;
5144 : }
5145 0 : pari_err_TYPE("bestappr_Q",x);
5146 : return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
5147 : }
5148 :
5149 : static GEN
5150 56 : bestappr_ser(GEN x, long B)
5151 : {
5152 56 : long dN, v = valp(x), lx = lg(x);
5153 : GEN t;
5154 56 : x = normalizepol(ser2pol_i(x, lx));
5155 56 : dN = lx-2;
5156 56 : if (v > 0)
5157 : {
5158 14 : x = RgX_shift_shallow(x, v);
5159 14 : dN += v;
5160 : }
5161 42 : else if (v < 0)
5162 : {
5163 7 : if (B >= 0) B = maxss(B+v, 0);
5164 : }
5165 56 : t = mod_to_rfrac(x, pol_xn(dN, varn(x)), B);
5166 56 : if (!t) return NULL;
5167 42 : if (v < 0)
5168 : {
5169 : GEN a, b;
5170 : long vx;
5171 7 : if (typ(t) == t_POL) return RgX_mulXn(t, v);
5172 : /* t_RFRAC */
5173 7 : vx = varn(x);
5174 7 : a = gel(t,1);
5175 7 : b = gel(t,2);
5176 7 : v -= RgX_valrem(b, &b);
5177 7 : if (typ(a) == t_POL && varn(a) == vx) v += RgX_valrem(a, &a);
5178 7 : if (v < 0) b = RgX_shift(b, -v);
5179 0 : else if (v > 0) {
5180 0 : if (typ(a) != t_POL || varn(a) != vx) a = scalarpol_shallow(a, vx);
5181 0 : a = RgX_shift(a, v);
5182 : }
5183 7 : t = mkrfraccopy(a, b);
5184 : }
5185 42 : return t;
5186 : }
5187 : static GEN bestappr_RgX(GEN x, long B);
5188 : /* x t_POLMOD, B >= 0 or < 0 [omit condition on B].
5189 : * Look for coprime t_POL a,b, deg(b)<=B, such that a/b = x */
5190 : static GEN
5191 77 : bestappr_RgX(GEN x, long B)
5192 : {
5193 77 : long i, lx, tx = typ(x);
5194 : GEN y, t;
5195 77 : switch(tx)
5196 : {
5197 : case t_INT: case t_REAL: case t_INTMOD: case t_FRAC:
5198 : case t_COMPLEX: case t_PADIC: case t_QUAD: case t_POL:
5199 0 : return gcopy(x);
5200 :
5201 : case t_RFRAC: {
5202 14 : pari_sp av = avma;
5203 14 : if (B < 0 || degpol(gel(x,2)) <= B) return gcopy(x);
5204 7 : x = rfrac_to_ser(x, 2*B+1);
5205 7 : t = bestappr_ser(x, B); if (!t) return NULL;
5206 0 : return gerepileupto(av, t);
5207 : }
5208 : case t_POLMOD: {
5209 14 : pari_sp av = avma;
5210 14 : t = mod_to_rfrac(gel(x,2), gel(x,1), B); if (!t) return NULL;
5211 14 : return gerepileupto(av, t);
5212 : }
5213 : case t_SER: {
5214 49 : pari_sp av = avma;
5215 49 : t = bestappr_ser(x, B); if (!t) return NULL;
5216 42 : return gerepileupto(av, t);
5217 : }
5218 :
5219 : case t_VEC: case t_COL: case t_MAT:
5220 0 : y = cgetg_copy(x, &lx);
5221 0 : if (lontyp[tx] == 1) i = 1; else { y[1] = x[1]; i = 2; }
5222 0 : for (; i<lx; i++)
5223 : {
5224 0 : t = bestappr_RgX(gel(x,i),B); if (!t) return NULL;
5225 0 : gel(y,i) = t;
5226 : }
5227 0 : return y;
5228 : }
5229 0 : pari_err_TYPE("bestappr_RgX",x);
5230 : return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
5231 : }
5232 :
5233 : /* allow k = NULL: maximal accuracy */
5234 : GEN
5235 12006 : bestappr(GEN x, GEN k)
5236 : {
5237 12006 : pari_sp av = avma;
5238 12006 : if (k) { /* replace by floor(k) */
5239 11733 : switch(typ(k))
5240 : {
5241 : case t_INT:
5242 1225 : break;
5243 : case t_REAL: case t_FRAC:
5244 10508 : k = floor_safe(k); /* left on stack for efficiency */
5245 10508 : if (!signe(k)) k = gen_1;
5246 10508 : break;
5247 : default:
5248 0 : pari_err_TYPE("bestappr [bound type]", k);
5249 0 : break;
5250 : }
5251 : }
5252 12006 : x = bestappr_Q(x, k);
5253 12006 : if (!x) { set_avma(av); return cgetg(1,t_VEC); }
5254 11991 : return x;
5255 : }
5256 : GEN
5257 77 : bestapprPade(GEN x, long B)
5258 : {
5259 77 : pari_sp av = avma;
5260 77 : GEN t = bestappr_RgX(x, B);
5261 77 : if (!t) { set_avma(av); return cgetg(1,t_VEC); }
5262 63 : return t;
5263 : }
5264 :
5265 : /***********************************************************************/
5266 : /** **/
5267 : /** FUNDAMENTAL UNIT AND REGULATOR (QUADRATIC FIELDS) **/
5268 : /** **/
5269 : /***********************************************************************/
5270 :
5271 : static GEN
5272 14 : get_quad(GEN f, GEN pol, long r)
5273 : {
5274 14 : GEN p1 = gcoeff(f,1,2), q1 = gcoeff(f,2,2);
5275 14 : return mkquad(pol, r? subii(p1,q1): p1, q1);
5276 : }
5277 :
5278 : /* replace f by f * [a,1; 1,0] */
5279 : static void
5280 14 : update_f(GEN f, GEN a)
5281 : {
5282 : GEN p1;
5283 14 : p1 = gcoeff(f,1,1);
5284 14 : gcoeff(f,1,1) = addii(mulii(a,p1), gcoeff(f,1,2));
5285 14 : gcoeff(f,1,2) = p1;
5286 :
5287 14 : p1 = gcoeff(f,2,1);
5288 14 : gcoeff(f,2,1) = addii(mulii(a,p1), gcoeff(f,2,2));
5289 14 : gcoeff(f,2,2) = p1;
5290 14 : }
5291 :
5292 : GEN
5293 7 : quadunit(GEN x)
5294 : {
5295 7 : pari_sp av = avma, av2;
5296 : GEN pol, y, a, u, v, sqd, f;
5297 : long r;
5298 :
5299 7 : check_quaddisc_real(x, &r, "quadunit");
5300 7 : pol = quadpoly(x);
5301 7 : sqd = sqrti(x); av2 = avma;
5302 7 : a = shifti(addui(r,sqd),-1);
5303 7 : f = mkmat2(mkcol2(a, gen_1), mkcol2(gen_1, gen_0)); /* [a,0; 1,0] */
5304 7 : u = stoi(r); v = gen_2;
5305 : for(;;)
5306 7 : {
5307 : GEN u1, v1;
5308 14 : u1 = subii(mulii(a,v),u);
5309 14 : v1 = divii(subii(x,sqri(u1)),v);
5310 14 : if ( equalii(v,v1) ) {
5311 7 : y = get_quad(f,pol,r);
5312 7 : update_f(f,a);
5313 7 : y = gdiv(get_quad(f,pol,r), conj_i(y));
5314 7 : break;
5315 : }
5316 7 : a = divii(addii(sqd,u1), v1);
5317 7 : if ( equalii(u,u1) ) {
5318 0 : y = get_quad(f,pol,r);
5319 0 : y = gdiv(y, conj_i(y));
5320 0 : break;
5321 : }
5322 7 : update_f(f,a);
5323 7 : u = u1; v = v1;
5324 7 : if (gc_needed(av2,2))
5325 : {
5326 0 : if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"quadunit");
5327 0 : gerepileall(av2,4, &a,&f,&u,&v);
5328 : }
5329 : }
5330 7 : if (signe(gel(y,3)) < 0) y = gneg(y);
5331 7 : return gerepileupto(av, y);
5332 : }
5333 :
5334 : GEN
5335 7 : quadunit0(GEN x, long v)
5336 : {
5337 7 : GEN y = quadunit(x);
5338 7 : if (v==-1) v = fetch_user_var("w");
5339 7 : setvarn(gel(y,1), v);
5340 7 : return y;
5341 : }
5342 :
5343 : GEN
5344 21 : quadregulator(GEN x, long prec)
5345 : {
5346 21 : pari_sp av = avma, av2;
5347 : GEN R, rsqd, u, v, sqd;
5348 : long r, Rexpo;
5349 :
5350 21 : check_quaddisc_real(x, &r, "quadregulator");
5351 21 : sqd = sqrti(x);
5352 21 : rsqd = gsqrt(x,prec);
5353 21 : Rexpo = 0; R = real2n(1, prec); /* = 2 */
5354 21 : av2 = avma;
5355 21 : u = stoi(r); v = gen_2;
5356 : for(;;)
5357 49 : {
5358 70 : GEN u1 = subii(mulii(divii(addii(u,sqd),v), v), u);
5359 70 : GEN v1 = divii(subii(x,sqri(u1)),v);
5360 70 : if (equalii(v,v1))
5361 : {
5362 7 : R = sqrr(R); shiftr_inplace(R, -1);
5363 7 : R = mulrr(R, divri(addir(u1,rsqd),v));
5364 7 : break;
5365 : }
5366 63 : if (equalii(u,u1))
5367 : {
5368 14 : R = sqrr(R); shiftr_inplace(R, -1);
5369 14 : break;
5370 : }
5371 49 : R = mulrr(R, divri(addir(u1,rsqd),v));
5372 49 : Rexpo += expo(R); setexpo(R,0);
5373 49 : u = u1; v = v1;
5374 49 : if (Rexpo & ~EXPOBITS) pari_err_OVERFLOW("quadregulator [exponent]");
5375 49 : if (gc_needed(av2,2))
5376 : {
5377 0 : if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"quadregulator");
5378 0 : gerepileall(av2,3, &R,&u,&v);
5379 : }
5380 : }
5381 21 : R = logr_abs(divri(R,v));
5382 21 : if (Rexpo)
5383 : {
5384 21 : GEN t = mulsr(Rexpo, mplog2(prec));
5385 21 : shiftr_inplace(t, 1);
5386 21 : R = addrr(R,t);
5387 : }
5388 21 : return gerepileuptoleaf(av, R);
5389 : }
5390 :
5391 : /*************************************************************************/
5392 : /** **/
5393 : /** CLASS NUMBER **/
5394 : /** **/
5395 : /*************************************************************************/
5396 :
5397 : int
5398 12943797 : qfb_equal1(GEN f) { return equali1(gel(f,1)); }
5399 :
5400 18316834 : static GEN qfi_pow(void *E, GEN f, GEN n)
5401 18316834 : { return E? nupow(f,n,(GEN)E): powgi(f,n); }
5402 23025703 : static GEN qfi_comp(void *E, GEN f, GEN g)
5403 23025703 : { return E? nucomp(f,g,(GEN)E): qficomp(f,g); }
5404 : static const struct bb_group qfi_group={ qfi_comp,qfi_pow,NULL,hash_GEN,
5405 : gidentical,qfb_equal1,NULL};
5406 :
5407 : GEN
5408 2941241 : qfi_order(GEN q, GEN o)
5409 2941241 : { return gen_order(q, o, NULL, &qfi_group); }
5410 :
5411 : GEN
5412 0 : qfi_log(GEN a, GEN g, GEN o)
5413 0 : { return gen_PH_log(a, g, o, NULL, &qfi_group); }
5414 :
5415 : GEN
5416 626556 : qfi_Shanks(GEN a, GEN g, long n)
5417 : {
5418 626556 : pari_sp av = avma;
5419 : GEN T, X;
5420 : long rt_n, c;
5421 :
5422 626556 : a = redimag(a);
5423 626556 : g = redimag(g);
5424 :
5425 626556 : rt_n = sqrt((double)n);
5426 626556 : c = n / rt_n;
5427 626556 : c = (c * rt_n < n + 1) ? c + 1 : c;
5428 :
5429 626556 : T = gen_Shanks_init(g, rt_n, NULL, &qfi_group);
5430 626556 : X = gen_Shanks(T, a, c, NULL, &qfi_group);
5431 :
5432 626556 : if (!X) { set_avma(av); return X; }
5433 332549 : return gerepileuptoint(av, X);
5434 : }
5435 :
5436 : GEN
5437 140 : qfbclassno0(GEN x,long flag)
5438 : {
5439 140 : switch(flag)
5440 : {
5441 126 : case 0: return map_proto_G(classno,x);
5442 14 : case 1: return map_proto_G(classno2,x);
5443 0 : default: pari_err_FLAG("qfbclassno");
5444 : }
5445 : return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
5446 : }
5447 :
5448 : /* f^h = 1, return order(f). Set *pfao to its factorization */
5449 : static GEN
5450 2776995 : find_order(void *E, GEN f, GEN h, GEN *pfao)
5451 : {
5452 2776995 : GEN v = gen_factored_order(f, h, E, &qfi_group);
5453 2776995 : *pfao = gel(v,2); return gel(v,1);
5454 : }
5455 :
5456 : static int
5457 6705 : ok_q(GEN q, GEN h, GEN d2, long r2)
5458 : {
5459 6705 : if (d2)
5460 : {
5461 7 : if (r2 <= 2 && !mpodd(q)) return 0;
5462 7 : return is_pm1(Z_ppo(q,d2));
5463 : }
5464 : else
5465 : {
5466 6698 : if (r2 <= 1 && !mpodd(q)) return 0;
5467 6698 : return is_pm1(Z_ppo(q,h));
5468 : }
5469 : }
5470 :
5471 : /* a,b given by their factorizations. Return factorization of lcm(a,b).
5472 : * Set A,B such that A*B = lcm(a, b), (A,B)=1, A|a, B|b */
5473 : static GEN
5474 362162 : split_lcm(GEN a, GEN Fa, GEN b, GEN Fb, GEN *pA, GEN *pB)
5475 : {
5476 362162 : GEN P = ZC_union_shallow(gel(Fa,1), gel(Fb,1));
5477 362162 : GEN A = gen_1, B = gen_1;
5478 362162 : long i, l = lg(P);
5479 362162 : GEN E = cgetg(l, t_COL);
5480 1071040 : for (i=1; i<l; i++)
5481 : {
5482 708878 : GEN p = gel(P,i);
5483 708878 : long va = Z_pval(a,p);
5484 708878 : long vb = Z_pval(b,p);
5485 708878 : if (va < vb)
5486 : {
5487 364289 : B = mulii(B,powiu(p,vb));
5488 364289 : gel(E,i) = utoi(vb);
5489 : }
5490 : else
5491 : {
5492 344589 : A = mulii(A,powiu(p,va));
5493 344589 : gel(E,i) = utoi(va);
5494 : }
5495 : }
5496 362162 : *pA = A;
5497 362162 : *pB = B; return mkmat2(P,E);
5498 : }
5499 :
5500 : /* g1 has order d1, f has order o, replace g1 by an element of order lcm(d1,o)*/
5501 : static void
5502 362162 : update_g1(GEN *pg1, GEN *pd1, GEN *pfad1, GEN f, GEN o, GEN fao)
5503 : {
5504 362162 : GEN A,B, g1 = *pg1, d1 = *pd1;
5505 362162 : *pfad1 = split_lcm(d1,*pfad1, o,fao, &A,&B);
5506 362162 : *pg1 = gmul(powgi(g1, diviiexact(d1,A)), powgi(f, diviiexact(o,B)));
5507 362162 : *pd1 = mulii(A,B); /* g1 has order d1 <- lcm(d1,o) */
5508 362162 : }
5509 :
5510 : /* Write x = Df^2, where D = fundamental discriminant,
5511 : * P^E = factorisation of conductor f, with E[i] >= 0 */
5512 : static void
5513 2060327 : corediscfact(GEN x, long xmod4, GEN *ptD, GEN *ptP, GEN *ptE)
5514 : {
5515 2060327 : long s = signe(x), l, i;
5516 2060327 : GEN fa = absZ_factor(x);
5517 2060327 : GEN d, P = gel(fa,1), E = gtovecsmall(gel(fa,2));
5518 :
5519 2060327 : l = lg(P); d = gen_1;
5520 5362951 : for (i=1; i<l; i++)
5521 : {
5522 3302624 : if (E[i] & 1) d = mulii(d, gel(P,i));
5523 3302624 : E[i] >>= 1;
5524 : }
5525 2060327 : if (!xmod4 && mod4(d) != ((s < 0)? 3: 1)) { d = shifti(d,2); E[1]--; }
5526 2060327 : *ptD = (s < 0)? negi(d): d;
5527 2060327 : *ptP = P;
5528 2060327 : *ptE = E;
5529 2060327 : }
5530 :
5531 : static GEN
5532 2052517 : conductor_part(GEN x, long xmod4, GEN *ptD, GEN *ptreg)
5533 : {
5534 2052517 : long l, i, s = signe(x);
5535 : GEN E, H, D, P, reg;
5536 :
5537 2052517 : corediscfact(x, xmod4, &D, &P, &E);
5538 2052517 : H = gen_1; l = lg(P);
5539 : /* f \prod_{p|f} [ 1 - (D/p) p^-1 ] = \prod_{p^e||f} p^(e-1) [ p - (D/p) ] */
5540 5329269 : for (i=1; i<l; i++)
5541 : {
5542 3276752 : long e = E[i];
5543 3276752 : if (e)
5544 : {
5545 7 : GEN p = gel(P,i);
5546 7 : H = mulii(H, subis(p, kronecker(D,p)));
5547 7 : if (e >= 2) H = mulii(H, powiu(p,e-1));
5548 : }
5549 : }
5550 :
5551 : /* divide by [ O_K^* : O^* ] */
5552 2052517 : if (s < 0)
5553 : {
5554 2052503 : reg = NULL;
5555 2052503 : switch(itou_or_0(D))
5556 : {
5557 0 : case 4: H = shifti(H,-1); break;
5558 0 : case 3: H = divis(H,3); break;
5559 : }
5560 : } else {
5561 14 : reg = quadregulator(D,DEFAULTPREC);
5562 14 : if (!equalii(x,D))
5563 0 : H = divii(H, roundr(divrr(quadregulator(x,DEFAULTPREC), reg)));
5564 : }
5565 2052517 : if (ptreg) *ptreg = reg;
5566 2052517 : *ptD = D; return H;
5567 : }
5568 :
5569 : static long
5570 2052496 : two_rank(GEN x)
5571 : {
5572 2052496 : GEN p = gel(absZ_factor(x),1);
5573 2052496 : long l = lg(p)-1;
5574 : #if 0 /* positive disc not needed */
5575 : if (signe(x) > 0)
5576 : {
5577 : long i;
5578 : for (i=1; i<=l; i++)
5579 : if (mod4(gel(p,i)) == 3) { l--; break; }
5580 : }
5581 : #endif
5582 2052496 : return l-1;
5583 : }
5584 :
5585 : static GEN
5586 38995259 : sqr_primeform(GEN x, ulong p) { return redimag(qfisqr(primeform_u(x, p))); }
5587 : /* return a set of forms hopefully generating Cl(K)^2; set L ~ L(chi_D,1) */
5588 : static GEN
5589 2052496 : get_forms(GEN D, GEN *pL)
5590 : {
5591 2052496 : const long MAXFORM = 20;
5592 2052496 : GEN L, sqrtD = gsqrt(absi_shallow(D),DEFAULTPREC);
5593 2052496 : GEN forms = vectrunc_init(MAXFORM+1);
5594 2052496 : long s, nforms = 0;
5595 : ulong p;
5596 : forprime_t S;
5597 2052496 : L = mulrr(divrr(sqrtD,mppi(DEFAULTPREC)), dbltor(1.005));/*overshoot by 0.5%*/
5598 2052496 : s = itos_or_0( truncr(shiftr(sqrtr(sqrtD), 1)) );
5599 2052496 : if (!s) pari_err_OVERFLOW("classno [discriminant too large]");
5600 2052496 : if (s < 10) s = 200;
5601 1901369 : else if (s < 20) s = 1000;
5602 1477 : else if (s < 5000) s = 5000;
5603 2052496 : u_forprime_init(&S, 2, s);
5604 344232110 : while ( (p = u_forprime_next(&S)) )
5605 : {
5606 340127118 : long d, k = kroiu(D,p);
5607 : pari_sp av2;
5608 340127118 : if (!k) continue;
5609 337897177 : if (k > 0)
5610 : {
5611 169485505 : if (++nforms < MAXFORM) vectrunc_append(forms, sqr_primeform(D,p));
5612 169485505 : d = p-1;
5613 : }
5614 : else
5615 168411672 : d = p+1;
5616 337897177 : av2 = avma; affrr(divru(mulur(p,L),d), L); set_avma(av2);
5617 : }
5618 2052496 : *pL = L; return forms;
5619 : }
5620 :
5621 : /* h ~ #G, return o = order of f, set fao = its factorization */
5622 : static GEN
5623 2052545 : Shanks_order(void *E, GEN f, GEN h, GEN *pfao)
5624 : {
5625 2052545 : long s = minss(itos(sqrti(h)), 10000);
5626 2052545 : GEN T = gen_Shanks_init(f, s, E, &qfi_group);
5627 2052545 : GEN v = gen_Shanks(T, ginv(f), ULONG_MAX, E, &qfi_group);
5628 2052545 : return find_order(E, f, addiu(v,1), pfao);
5629 : }
5630 :
5631 : /* if g = 1 in G/<f> ? */
5632 : static int
5633 518 : equal1(void *E, GEN T, ulong N, GEN g)
5634 518 : { return !!gen_Shanks(T, g, N, E, &qfi_group); }
5635 :
5636 : /* Order of 'a' in G/<f>, T = gen_Shanks_init(f,n), order(f) < n*N
5637 : * FIXME: should be gen_order, but equal1 has the wrong prototype */
5638 : static GEN
5639 112 : relative_order(void *E, GEN a, GEN o, ulong N, GEN T)
5640 : {
5641 112 : pari_sp av = avma;
5642 : long i, l;
5643 : GEN m;
5644 :
5645 112 : m = get_arith_ZZM(o);
5646 112 : if (!m) pari_err_TYPE("gen_order [missing order]",a);
5647 112 : o = gel(m,1);
5648 112 : m = gel(m,2); l = lgcols(m);
5649 322 : for (i = l-1; i; i--)
5650 : {
5651 210 : GEN t, y, p = gcoeff(m,i,1);
5652 210 : long j, e = itos(gcoeff(m,i,2));
5653 210 : if (l == 2) {
5654 35 : t = gen_1;
5655 35 : y = a;
5656 : } else {
5657 175 : t = diviiexact(o, powiu(p,e));
5658 175 : y = powgi(a, t);
5659 : }
5660 210 : if (equal1(E, T,N,y)) o = t;
5661 : else {
5662 126 : for (j = 1; j < e; j++)
5663 : {
5664 28 : y = powgi(y, p);
5665 28 : if (equal1(E, T,N,y)) break;
5666 : }
5667 119 : if (j < e) {
5668 21 : if (j > 1) p = powiu(p, j);
5669 21 : o = mulii(t, p);
5670 : }
5671 : }
5672 : }
5673 112 : return gerepilecopy(av, o);
5674 : }
5675 :
5676 : /* h(x) for x<0 using Baby Step/Giant Step.
5677 : * Assumes G is not too far from being cyclic.
5678 : *
5679 : * Compute G^2 instead of G so as to kill most of the non-cyclicity */
5680 : GEN
5681 2054893 : classno(GEN x)
5682 : {
5683 2054893 : pari_sp av = avma;
5684 : long r2, k, s, i, l;
5685 : GEN forms, hin, Hf, D, g1, d1, d2, q, L, fad1, order_bound;
5686 : void *E;
5687 :
5688 2054893 : if (signe(x) >= 0) return classno2(x);
5689 :
5690 2054886 : check_quaddisc(x, &s, &k, "classno");
5691 2054886 : if (abscmpiu(x,12) <= 0) return gen_1;
5692 :
5693 2052496 : Hf = conductor_part(x, k, &D, NULL);
5694 2052496 : if (abscmpiu(D,12) <= 0) return gerepilecopy(av, Hf);
5695 2052496 : forms = get_forms(D, &L);
5696 2052496 : r2 = two_rank(D);
5697 2052496 : hin = roundr(shiftr(L, -r2)); /* rough approximation for #G, G = Cl(K)^2 */
5698 :
5699 2052496 : l = lg(forms);
5700 2052496 : order_bound = const_vec(l-1, NULL);
5701 2052496 : E = expi(D) > 60? (void*)sqrtnint(shifti(absi_shallow(D),-2),4): NULL;
5702 2052496 : g1 = gel(forms,1);
5703 2052496 : gel(order_bound,1) = d1 = Shanks_order(E, g1, hin, &fad1);
5704 2052496 : q = diviiround(hin, d1); /* approximate order of G/<g1> */
5705 2052496 : d2 = NULL; /* not computed yet */
5706 2052496 : if (is_pm1(q)) goto END;
5707 509036 : for (i=2; i < l; i++)
5708 : {
5709 502268 : GEN o, fao, a, F, fd, f = gel(forms,i);
5710 502268 : fd = powgi(f, d1); if (is_pm1(gel(fd,1))) continue;
5711 362162 : F = powgi(fd, q);
5712 362162 : a = gel(F,1);
5713 362162 : o = is_pm1(a)? find_order(E, fd, q, &fao): Shanks_order(E, fd, q, &fao);
5714 : /* f^(d1 q) = 1 */
5715 362162 : fao = merge_factor(fad1,fao, (void*)&cmpii, &cmp_nodata);
5716 362162 : o = find_order(E, f, fao, &fao);
5717 362162 : gel(order_bound,i) = o;
5718 : /* o = order of f, fao = factor(o) */
5719 362162 : update_g1(&g1,&d1,&fad1, f,o,fao);
5720 362162 : q = diviiround(hin, d1);
5721 362162 : if (is_pm1(q)) goto END;
5722 : }
5723 : /* very probably d1 = expo(Cl^2(K)), q ~ #Cl^2(K) / d1 */
5724 6768 : if (expi(q) > 3)
5725 : { /* q large: compute d2, 2nd elt divisor */
5726 70 : ulong N, n = 2*itou(sqrti(d1));
5727 70 : GEN D = d1, T = gen_Shanks_init(g1, n, E, &qfi_group);
5728 70 : d2 = gen_1;
5729 70 : N = itou( gceil(gdivgs(d1,n)) ); /* order(g1) <= n*N */
5730 287 : for (i = 1; i < l; i++)
5731 : {
5732 280 : GEN d, f = gel(forms,i), B = gel(order_bound,i);
5733 280 : if (!B) B = find_order(E, f, fad1, /*junk*/&d);
5734 280 : f = powgi(f,d2);
5735 280 : if (equal1(E, T,N,f)) continue;
5736 112 : B = gdiv(B,d2); if (typ(B) == t_FRAC) B = gel(B,1);
5737 : /* f^B = 1 */
5738 112 : d = relative_order(E, f, B, N,T);
5739 112 : d2= mulii(d,d2);
5740 112 : D = mulii(d1,d2);
5741 112 : q = diviiround(hin,D);
5742 112 : if (is_pm1(q)) { d1 = D; goto END; }
5743 : }
5744 : /* very probably, d2 is the 2nd elementary divisor */
5745 7 : d1 = D; /* product of first two elt divisors */
5746 : }
5747 : /* impose q | d2^oo (d1^oo if d2 not computed), and compatible with known
5748 : * 2-rank */
5749 6705 : if (!ok_q(q,d1,d2,r2))
5750 : {
5751 0 : GEN q0 = q;
5752 : long d;
5753 0 : if (cmpii(mulii(q,d1), hin) < 0)
5754 : { /* try q = q0+1,-1,+2,-2 */
5755 0 : d = 1;
5756 0 : do { q = addis(q0,d); d = d>0? -d: 1-d; } while(!ok_q(q,d1,d2,r2));
5757 : }
5758 : else
5759 : { /* q0-1,+1,-2,+2 */
5760 0 : d = -1;
5761 0 : do { q = addis(q0,d); d = d<0? -d: -1-d; } while(!ok_q(q,d1,d2,r2));
5762 : }
5763 : }
5764 6705 : d1 = mulii(d1,q);
5765 :
5766 : END:
5767 2052496 : return gerepileuptoint(av, shifti(mulii(d1,Hf), r2));
5768 : }
5769 :
5770 : GEN
5771 0 : quadclassno(GEN x)
5772 : {
5773 0 : pari_sp av = avma;
5774 : GEN Hf, D;
5775 : long s, r;
5776 0 : check_quaddisc(x, &s, &r, "quadclassno");
5777 0 : if (s < 0 && abscmpiu(x,12) <= 0) return gen_1;
5778 0 : Hf = conductor_part(x, r, &D, NULL);
5779 0 : return gerepileuptoint(av, mulii(Hf, gel(quadclassunit0(D,0,NULL,0),1)));
5780 : }
5781 :
5782 : /* use Euler products */
5783 : GEN
5784 21 : classno2(GEN x)
5785 : {
5786 21 : pari_sp av = avma;
5787 21 : const long prec = DEFAULTPREC;
5788 : long n, i, r, s;
5789 : GEN p1, p2, S, p4, p5, p7, Hf, Pi, reg, logd, d, dr, D, half;
5790 :
5791 21 : check_quaddisc(x, &s, &r, "classno2");
5792 21 : if (s < 0 && abscmpiu(x,12) <= 0) return gen_1;
5793 :
5794 21 : Hf = conductor_part(x, r, &D, ®);
5795 21 : if (s < 0 && abscmpiu(D,12) <= 0) return gerepilecopy(av, Hf); /* |D| < 12*/
5796 :
5797 21 : Pi = mppi(prec);
5798 21 : d = absi_shallow(D); dr = itor(d, prec);
5799 21 : logd = logr_abs(dr);
5800 21 : p1 = sqrtr(divrr(mulir(d,logd), gmul2n(Pi,1)));
5801 21 : if (s > 0)
5802 : {
5803 14 : GEN invlogd = invr(logd);
5804 14 : p2 = subsr(1, shiftr(mulrr(logr_abs(reg),invlogd),1));
5805 14 : if (cmprr(sqrr(p2), shiftr(invlogd,1)) >= 0) p1 = mulrr(p2,p1);
5806 : }
5807 21 : n = itos_or_0( mptrunc(p1) );
5808 21 : if (!n) pari_err_OVERFLOW("classno [discriminant too large]");
5809 :
5810 21 : p4 = divri(Pi,d);
5811 21 : p7 = invr(sqrtr_abs(Pi));
5812 21 : half = real2n(-1, prec);
5813 21 : if (s > 0)
5814 : { /* i = 1, shortcut */
5815 14 : p1 = sqrtr_abs(dr);
5816 14 : p5 = subsr(1, mulrr(p7,incgamc(half,p4,prec)));
5817 14 : S = addrr(mulrr(p1,p5), eint1(p4,prec));
5818 546 : for (i=2; i<=n; i++)
5819 : {
5820 532 : long k = kroiu(D,i); if (!k) continue;
5821 434 : p2 = mulir(sqru(i), p4);
5822 434 : p5 = subsr(1, mulrr(p7,incgamc(half,p2,prec)));
5823 434 : p5 = addrr(divru(mulrr(p1,p5),i), eint1(p2,prec));
5824 434 : S = (k>0)? addrr(S,p5): subrr(S,p5);
5825 : }
5826 14 : S = shiftr(divrr(S,reg),-1);
5827 : }
5828 : else
5829 : { /* i = 1, shortcut */
5830 7 : p1 = gdiv(sqrtr_abs(dr), Pi);
5831 7 : p5 = subsr(1, mulrr(p7,incgamc(half,p4,prec)));
5832 7 : S = addrr(p5, divrr(p1, mpexp(p4)));
5833 952 : for (i=2; i<=n; i++)
5834 : {
5835 945 : long k = kroiu(D,i); if (!k) continue;
5836 945 : p2 = mulir(sqru(i), p4);
5837 945 : p5 = subsr(1, mulrr(p7,incgamc(half,p2,prec)));
5838 945 : p5 = addrr(p5, divrr(p1, mulur(i, mpexp(p2))));
5839 945 : S = (k>0)? addrr(S,p5): subrr(S,p5);
5840 : }
5841 : }
5842 21 : return gerepileuptoint(av, mulii(Hf, roundr(S)));
5843 : }
5844 :
5845 : /* 1 + q + ... + q^v, v > 0 */
5846 : static GEN
5847 120 : geomsumu(ulong q, long v)
5848 : {
5849 120 : GEN u = utoipos(1+q);
5850 120 : for (; v > 1; v--) u = addui(1, mului(q, u));
5851 120 : return u;
5852 : }
5853 : static GEN
5854 120 : geomsum(GEN q, long v)
5855 : {
5856 : GEN u;
5857 120 : if (lgefint(q) == 3) return geomsumu(q[2], v);
5858 0 : u = addiu(q,1);
5859 0 : for (; v > 1; v--) u = addui(1, mulii(q, u));
5860 0 : return u;
5861 : }
5862 :
5863 : static GEN
5864 7810 : hclassno6_large(GEN x)
5865 : {
5866 : long i, l, s, xmod4;
5867 : GEN Q, H, D, P, E;
5868 :
5869 7810 : x = negi(x);
5870 7810 : check_quaddisc(x, &s, &xmod4, "hclassno");
5871 7810 : corediscfact(x, xmod4, &D, &P, &E);
5872 :
5873 7810 : Q = quadclassunit0(D, 0, NULL, 0);
5874 7810 : H = gel(Q,1); l = lg(P);
5875 :
5876 : /* H \prod_{p^e||f} (1 + (p^e-1)/(p-1))[ p - (D/p) ] */
5877 33682 : for (i=1; i<l; i++)
5878 : {
5879 25872 : long e = E[i], s;
5880 : GEN p, t;
5881 25872 : if (!e) continue;
5882 5003 : p = gel(P,i); s = kronecker(D,p);
5883 5003 : if (e == 1) t = addiu(p, 1-s);
5884 1000 : else if (s == 1) t = powiu(p,e);
5885 120 : else t = addui(1, mulii(subis(p, s), geomsum(p,e-1)));
5886 5003 : H = mulii(H,t);
5887 : }
5888 7810 : switch( itou_or_0(D) )
5889 : {
5890 0 : case 3: H = shifti(H,1);break;
5891 0 : case 4: H = muliu(H,3); break;
5892 7810 : default:H = muliu(H,6); break;
5893 : }
5894 7810 : return H;
5895 : }
5896 :
5897 : /* x > 0, x = 0,3 (mod 4). Return 6*hclassno(x), an integer */
5898 : GEN
5899 121870 : hclassno6(GEN x)
5900 : {
5901 121870 : ulong d = itou_or_0(x);
5902 121870 : if (!d || d > 500000) return hclassno6_large(x);
5903 114060 : return utoipos(hclassno6u(d));
5904 : }
5905 :
5906 : GEN
5907 46088 : hclassno(GEN x)
5908 : {
5909 : long a, s;
5910 46088 : if (typ(x) != t_INT) pari_err_TYPE("hclassno",x);
5911 46088 : s = signe(x);
5912 46088 : if (s < 0) return gen_0;
5913 46088 : if (!s) return gdivgs(gen_1, -12);
5914 46088 : a = mod4(x); if (a == 1 || a == 2) return gen_0;
5915 46088 : return gdivgs(hclassno6(x), 6);
5916 : }
5917 : /******************************************************************/
5918 : /* */
5919 : /* RAMANUJAN's TAU FUNCTION */
5920 : /* */
5921 : /******************************************************************/
5922 : /* 4|N > 0, not fundamental at 2; 6 * Hurwitz class number in level 2,
5923 : * equal to 6*(H(N)+2H(N/4)), H=qfbhclassno */
5924 : static GEN
5925 36750 : Hspec(GEN N)
5926 : {
5927 36750 : long v2 = Z_lvalrem(N, 2, &N), v2f = v2 >> 1;
5928 : GEN t;
5929 36750 : if (odd(v2)) { v2f--; N = shifti(N,3); }
5930 32557 : else if (mod4(N)!=3) { v2f--; N = shifti(N,2); }
5931 : /* N fundamental at 2, v2f = v2(f) s.t. N = f^2 D, D fundamental */
5932 36750 : t = addui(3, muliu(subiu(int2n(v2f+1), 3), 2 - kroiu(N,2)));
5933 36750 : return mulii(t, hclassno6(N));
5934 : }
5935 :
5936 : /* Ramanujan tau function for p prime */
5937 : static GEN
5938 14903 : tauprime(GEN p)
5939 : {
5940 14903 : pari_sp av = avma, av2;
5941 : GEN s, p2, p2_7, p_9, T;
5942 : ulong lim, t, tin;
5943 :
5944 14903 : if (absequaliu(p, 2)) return utoineg(24);
5945 : /* p > 2 */
5946 11396 : p2 = sqri(p);
5947 11396 : p2_7 = mului(7, p2);
5948 11396 : p_9 = mului(9, p);
5949 11396 : av2 = avma;
5950 11396 : lim = itou(sqrtint(p));
5951 11396 : tin = mod4(p) == 3? 1: 0;
5952 11396 : s = gen_0;
5953 87178 : for (t = 1; t <= lim; ++t)
5954 : {
5955 75782 : GEN h, a, t2 = sqru(t), D = shifti(subii(p, t2), 2); /* 4(p-t^2) */
5956 : /* t mod 2 != tin <=> D not fundamental at 2 */
5957 75782 : h = ((t&1UL) == tin)? hclassno6(D): Hspec(D);
5958 75782 : a = mulii(powiu(t2,3), addii(p2_7, mulii(t2, subii(shifti(t2,2), p_9))));
5959 75782 : s = addii(s, mulii(a,h));
5960 75782 : if (!(t & 255)) s = gerepileuptoint(av2, s);
5961 : }
5962 : /* 28p^3 - 28p^2 - 90p - 35 */
5963 11396 : T = subii(shifti(mulii(p2_7, subiu(p,1)), 2), addiu(mului(90,p), 35));
5964 11396 : s = shifti(diviuexact(s, 3), 6);
5965 11396 : return gerepileuptoint(av, subii(mulii(mulii(p2,p),T), addui(1, s)));
5966 : }
5967 :
5968 : /* Ramanujan tau function, return 0 for <= 0 */
5969 : GEN
5970 7035 : ramanujantau(GEN n)
5971 : {
5972 7035 : pari_sp ltop = avma;
5973 : GEN T, F, P, E;
5974 : long j, lP;
5975 :
5976 7035 : if (!(F = check_arith_all(n,"ramanujantau")))
5977 : {
5978 7014 : if (signe(n) <= 0) return gen_0;
5979 7007 : F = Z_factor(n);
5980 : }
5981 : else
5982 : {
5983 21 : P = gel(F,1);
5984 21 : if (lg(P) == 1 || signe(gel(P,1)) <= 0) return gen_0;
5985 : }
5986 :
5987 7014 : P = gel(F,1);
5988 7014 : E = gel(F,2); lP = lg(P);
5989 7014 : T = gen_1;
5990 21917 : for (j = 1; j < lP; j++)
5991 : {
5992 14903 : GEN p = gel(P,j), tp = tauprime(p), t1 = tp, t0 = gen_1;
5993 14903 : long k, e = itou(gel(E,j));
5994 20160 : for (k = 1; k < e; k++)
5995 : {
5996 5257 : GEN t2 = subii(mulii(tp, t1), mulii(powiu(p, 11), t0));
5997 5257 : t0 = t1; t1 = t2;
5998 : }
5999 14903 : T = mulii(T, t1);
6000 : }
6001 7014 : return gerepileuptoint(ltop, T);
6002 : }
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