Line data Source code
1 : /* Copyright (C) 2000 The PARI group.
2 :
3 : This file is part of the PARI/GP package.
4 :
5 : PARI/GP is free software; you can redistribute it and/or modify it under the
6 : terms of the GNU General Public License as published by the Free Software
7 : Foundation. It is distributed in the hope that it will be useful, but WITHOUT
8 : ANY WARRANTY WHATSOEVER.
9 :
10 : Check the License for details. You should have received a copy of it, along
11 : with the package; see the file 'COPYING'. If not, write to the Free Software
12 : Foundation, Inc., 51 Franklin Street, Fifth Floor, Boston, MA 02110-1301 USA. */
13 :
14 : /*********************************************************************/
15 : /** **/
16 : /** ARITHMETIC FUNCTIONS **/
17 : /** (first part) **/
18 : /** **/
19 : /*********************************************************************/
20 : #include "pari.h"
21 : #include "paripriv.h"
22 :
23 : /******************************************************************/
24 : /* */
25 : /* GENERATOR of (Z/mZ)* */
26 : /* */
27 : /******************************************************************/
28 : static GEN
29 50 : remove2(GEN q) { long v = vali(q); return v? shifti(q, -v): q; }
30 : static ulong
31 56409 : u_remove2(ulong q) { return q >> vals(q); }
32 : GEN
33 50 : odd_prime_divisors(GEN q) { return gel(Z_factor(remove2(q)), 1); }
34 : static GEN
35 56409 : u_odd_prime_divisors(ulong q) { return gel(factoru(u_remove2(q)), 1); }
36 : /* p odd prime, q=(p-1)/2; L0 list of (some) divisors of q = (p-1)/2 or NULL
37 : * (all prime divisors of q); return the q/l, l in L0 */
38 : static GEN
39 251 : is_gener_expo(GEN p, GEN L0)
40 : {
41 251 : GEN L, q = shifti(p,-1);
42 : long i, l;
43 251 : if (L0) {
44 224 : l = lg(L0);
45 224 : L = cgetg(l, t_VEC);
46 : } else {
47 27 : L0 = L = odd_prime_divisors(q);
48 27 : l = lg(L);
49 : }
50 251 : for (i=1; i<l; i++) gel(L,i) = diviiexact(q, gel(L0,i));
51 251 : return L;
52 : }
53 : static GEN
54 56315 : u_is_gener_expo(ulong p, GEN L0)
55 : {
56 56315 : const ulong q = p >> 1;
57 : long i;
58 : GEN L;
59 56315 : if (!L0) L0 = u_odd_prime_divisors(q);
60 56282 : L = cgetg_copy(L0,&i);
61 56282 : while (--i) L[i] = q / uel(L0,i);
62 56282 : return L;
63 : }
64 :
65 : int
66 144314 : is_gener_Fl(ulong x, ulong p, ulong p_1, GEN L)
67 : {
68 : long i;
69 144314 : if (krouu(x, p) >= 0) return 0;
70 159180 : for (i=lg(L)-1; i; i--)
71 : {
72 98957 : ulong t = Fl_powu(x, uel(L,i), p);
73 98974 : if (t == p_1 || t == 1) return 0;
74 : }
75 60223 : return 1;
76 : }
77 : /* assume p prime */
78 : ulong
79 195090 : pgener_Fl_local(ulong p, GEN L0)
80 : {
81 195090 : const pari_sp av = avma;
82 195090 : const ulong p_1 = p-1;
83 : long x;
84 : GEN L;
85 195090 : if (p <= 19) switch(p)
86 : { /* quick trivial cases */
87 21 : case 2: return 1;
88 : case 7:
89 26275 : case 17: return 3;
90 112509 : default: return 2;
91 : }
92 56285 : L = u_is_gener_expo(p,L0);
93 138627 : for (x = 2;; x++)
94 221001 : if (is_gener_Fl(x,p,p_1,L)) return gc_ulong(av, x);
95 : }
96 : ulong
97 155889 : pgener_Fl(ulong p) { return pgener_Fl_local(p, NULL); }
98 :
99 : /* L[i] = set of (p-1)/2l, l ODD prime divisor of p-1 (l=2 can be included,
100 : * but wasteful) */
101 : int
102 527 : is_gener_Fp(GEN x, GEN p, GEN p_1, GEN L)
103 : {
104 527 : long i, t = lgefint(x)==3? kroui(x[2], p): kronecker(x, p);
105 527 : if (t >= 0) return 0;
106 482 : for (i = lg(L)-1; i; i--)
107 : {
108 181 : GEN t = Fp_pow(x, gel(L,i), p);
109 181 : if (equalii(t, p_1) || equali1(t)) return 0;
110 : }
111 301 : return 1;
112 : }
113 :
114 : /* assume p prime, return a generator of all L[i]-Sylows in F_p^*. */
115 : GEN
116 43463 : pgener_Fp_local(GEN p, GEN L0)
117 : {
118 43463 : pari_sp av0 = avma;
119 : GEN x, p_1, L;
120 43463 : if (lgefint(p) == 3)
121 : {
122 : ulong z;
123 43217 : if (p[2] == 2) return gen_1;
124 33207 : if (L0) L0 = ZV_to_nv(L0);
125 33207 : z = pgener_Fl_local(uel(p,2), L0);
126 33207 : set_avma(av0); return utoipos(z);
127 : }
128 246 : p_1 = subiu(p,1); L = is_gener_expo(p, L0);
129 246 : x = utoipos(2);
130 459 : for (;; x[2]++) { if (is_gener_Fp(x, p, p_1, L)) break; }
131 246 : set_avma(av0); return utoipos(uel(x,2));
132 : }
133 :
134 : GEN
135 41370 : pgener_Fp(GEN p) { return pgener_Fp_local(p, NULL); }
136 :
137 : ulong
138 112170 : pgener_Zl(ulong p)
139 : {
140 112170 : if (p == 2) pari_err_DOMAIN("pgener_Zl","p","=",gen_2,gen_2);
141 : /* only p < 2^32 such that znprimroot(p) != znprimroot(p^2) */
142 112170 : if (p == 40487) return 10;
143 : #ifndef LONG_IS_64BIT
144 16020 : return pgener_Fl(p);
145 : #else
146 96150 : if (p < (1UL<<32)) return pgener_Fl(p);
147 : else
148 : {
149 30 : const pari_sp av = avma;
150 30 : const ulong p_1 = p-1;
151 : long x ;
152 30 : GEN p2 = sqru(p), L = u_is_gener_expo(p, NULL);
153 102 : for (x=2;;x++)
154 174 : if (is_gener_Fl(x,p,p_1,L) && !is_pm1(Fp_powu(utoipos(x),p_1,p2)))
155 30 : return gc_ulong(av, x);
156 : }
157 : #endif
158 : }
159 :
160 : /* p prime. Return a primitive root modulo p^e, e > 1 */
161 : GEN
162 112175 : pgener_Zp(GEN p)
163 : {
164 112175 : if (lgefint(p) == 3) return utoipos(pgener_Zl(p[2]));
165 : else
166 : {
167 5 : const pari_sp av = avma;
168 5 : GEN p_1 = subiu(p,1), p2 = sqri(p), L = is_gener_expo(p,NULL);
169 5 : GEN x = utoipos(2);
170 12 : for (;; x[2]++)
171 29 : if (is_gener_Fp(x,p,p_1,L) && !equali1(Fp_pow(x,p_1,p2))) break;
172 5 : set_avma(av); return utoipos(uel(x,2));
173 : }
174 : }
175 :
176 : static GEN
177 231 : gener_Zp(GEN q, GEN F)
178 : {
179 231 : GEN p = NULL;
180 231 : long e = 0;
181 231 : if (F)
182 : {
183 14 : GEN P = gel(F,1), E = gel(F,2);
184 14 : long i, l = lg(P);
185 42 : for (i = 1; i < l; i++)
186 : {
187 28 : p = gel(P,i);
188 28 : if (absequaliu(p, 2)) continue;
189 14 : if (i < l-1) pari_err_DOMAIN("znprimroot", "argument","=",F,F);
190 14 : e = itos(gel(E,i));
191 : }
192 14 : if (!p) pari_err_DOMAIN("znprimroot", "argument","=",F,F);
193 : }
194 : else
195 217 : e = Z_isanypower(q, &p);
196 231 : return e > 1? pgener_Zp(p): pgener_Fp(q);
197 : }
198 :
199 : GEN
200 301 : znprimroot(GEN N)
201 : {
202 301 : pari_sp av = avma;
203 : GEN x, n, F;
204 :
205 301 : if ((F = check_arith_non0(N,"znprimroot")))
206 : {
207 14 : F = clean_Z_factor(F);
208 14 : N = typ(N) == t_VEC? gel(N,1): factorback(F);
209 : }
210 294 : N = absi_shallow(N);
211 294 : if (abscmpiu(N, 4) <= 0) { set_avma(av); return mkintmodu(N[2]-1,N[2]); }
212 245 : switch(mod4(N))
213 : {
214 : case 0: /* N = 0 mod 4 */
215 14 : pari_err_DOMAIN("znprimroot", "argument","=",N,N);
216 0 : x = NULL; break;
217 : case 2: /* N = 2 mod 4 */
218 21 : n = shifti(N,-1); /* becomes odd */
219 21 : x = gener_Zp(n,F); if (!mod2(x)) x = addii(x,n);
220 21 : break;
221 : default: /* N odd */
222 210 : x = gener_Zp(N,F);
223 210 : break;
224 : }
225 231 : return gerepilecopy(av, mkintmod(x, N));
226 : }
227 :
228 : /* n | (p-1), returns a primitive n-th root of 1 in F_p^* */
229 : GEN
230 0 : rootsof1_Fp(GEN n, GEN p)
231 : {
232 0 : pari_sp av = avma;
233 0 : GEN L = odd_prime_divisors(n); /* 2 implicit in pgener_Fp_local */
234 0 : GEN z = pgener_Fp_local(p, L);
235 0 : z = Fp_pow(z, diviiexact(subiu(p,1), n), p); /* prim. n-th root of 1 */
236 0 : return gerepileuptoint(av, z);
237 : }
238 :
239 : GEN
240 217 : rootsof1u_Fp(ulong n, GEN p)
241 : {
242 217 : pari_sp av = avma;
243 217 : GEN z, L = u_odd_prime_divisors(n); /* 2 implicit in pgener_Fp_local */
244 217 : z = pgener_Fp_local(p, Flv_to_ZV(L));
245 217 : z = Fp_pow(z, diviuexact(subiu(p,1), n), p); /* prim. n-th root of 1 */
246 217 : return gerepileuptoint(av, z);
247 : }
248 :
249 : ulong
250 3976 : rootsof1_Fl(ulong n, ulong p)
251 : {
252 3976 : pari_sp av = avma;
253 3976 : GEN L = u_odd_prime_divisors(n); /* 2 implicit in pgener_Fl_local */
254 3976 : ulong z = pgener_Fl_local(p, L);
255 3976 : z = Fl_powu(z, (p-1) / n, p); /* prim. n-th root of 1 */
256 3976 : return gc_ulong(av,z);
257 : }
258 :
259 : /*********************************************************************/
260 : /** **/
261 : /** INVERSE TOTIENT FUNCTION **/
262 : /** **/
263 : /*********************************************************************/
264 : /* N t_INT, L a ZV containing all prime divisors of N, and possibly other
265 : * primes. Return factor(N) */
266 : GEN
267 350651 : Z_factor_listP(GEN N, GEN L)
268 : {
269 350651 : long i, k, l = lg(L);
270 350651 : GEN P = cgetg(l, t_COL), E = cgetg(l, t_COL);
271 1346688 : for (i = k = 1; i < l; i++)
272 : {
273 996037 : GEN p = gel(L,i);
274 996037 : long v = Z_pvalrem(N, p, &N);
275 996037 : if (v)
276 : {
277 792176 : gel(P,k) = p;
278 792176 : gel(E,k) = utoipos(v);
279 792176 : k++;
280 : }
281 : }
282 350651 : setlg(P, k);
283 350651 : setlg(E, k); return mkmat2(P,E);
284 : }
285 :
286 : /* look for x such that phi(x) = n, p | x => p > m (if m = NULL: no condition).
287 : * L is a list of primes containing all prime divisors of n. */
288 : static long
289 621565 : istotient_i(GEN n, GEN m, GEN L, GEN *px)
290 : {
291 621565 : pari_sp av = avma, av2;
292 : GEN k, D;
293 : long i, v;
294 621565 : if (m && mod2(n))
295 : {
296 270914 : if (!equali1(n)) return 0;
297 69986 : if (px) *px = gen_1;
298 69986 : return 1;
299 : }
300 350651 : D = divisors(Z_factor_listP(shifti(n, -1), L));
301 : /* loop through primes p > m, d = p-1 | n */
302 350651 : av2 = avma;
303 350651 : if (!m)
304 : { /* special case p = 2, d = 1 */
305 69986 : k = n;
306 69986 : for (v = 1;; v++) {
307 69986 : if (istotient_i(k, gen_2, L, px)) {
308 69986 : if (px) *px = shifti(*px, v);
309 69986 : return 1;
310 : }
311 0 : if (mod2(k)) break;
312 0 : k = shifti(k,-1);
313 : }
314 0 : set_avma(av2);
315 : }
316 1099462 : for (i = 1; i < lg(D); ++i)
317 : {
318 1001588 : GEN p, d = shifti(gel(D, i), 1); /* even divisors of n */
319 1001588 : if (m && cmpii(d, m) < 0) continue;
320 677782 : p = addiu(d, 1);
321 677782 : if (!isprime(p)) continue;
322 442064 : k = diviiexact(n, d);
323 481593 : for (v = 1;; v++) {
324 : GEN r;
325 481593 : if (istotient_i(k, p, L, px)) {
326 182791 : if (px) *px = mulii(*px, powiu(p, v));
327 182791 : return 1;
328 : }
329 298802 : k = dvmdii(k, p, &r);
330 298802 : if (r != gen_0) break;
331 : }
332 259273 : set_avma(av2);
333 : }
334 97874 : return gc_long(av,0);
335 : }
336 :
337 : /* find x such that phi(x) = n */
338 : long
339 70000 : istotient(GEN n, GEN *px)
340 : {
341 70000 : pari_sp av = avma;
342 70000 : if (typ(n) != t_INT) pari_err_TYPE("istotient", n);
343 70000 : if (signe(n) < 1) return 0;
344 70000 : if (mod2(n))
345 : {
346 14 : if (!equali1(n)) return 0;
347 14 : if (px) *px = gen_1;
348 14 : return 1;
349 : }
350 69986 : if (istotient_i(n, NULL, gel(Z_factor(n), 1), px))
351 : {
352 69986 : if (!px) set_avma(av);
353 : else
354 69986 : *px = gerepileuptoint(av, *px);
355 69986 : return 1;
356 : }
357 0 : return gc_long(av,0);
358 : }
359 :
360 : /*********************************************************************/
361 : /** **/
362 : /** INTEGRAL LOGARITHM **/
363 : /** **/
364 : /*********************************************************************/
365 :
366 : /* y > 1 and B > 0 integers. Return e such that y^e <= B < y^(e+1), i.e
367 : * e = floor(log_y B). Set *ptq = y^e if non-NULL */
368 : long
369 264497 : ulogintall(ulong B, ulong y, ulong *ptq)
370 : {
371 : ulong r, r2;
372 : long e;
373 :
374 264497 : if (y == 2)
375 : {
376 6554 : long eB = expu(B); /* 2^eB <= B < 2^(eB + 1) */
377 6554 : if (ptq) *ptq = 1UL << eB;
378 6554 : return eB;
379 : }
380 257943 : r = y, r2 = 1UL;
381 930879 : for (e=1;; e++)
382 : { /* here, r = y^e, r2 = y^(e-1) */
383 1603815 : if (r >= B)
384 : {
385 257744 : if (r != B) { e--; r = r2; }
386 257744 : if (ptq) *ptq = r;
387 257744 : return e;
388 : }
389 673135 : r2 = r;
390 673135 : r = umuluu_or_0(y, r);
391 673135 : if (!r)
392 : {
393 199 : if (ptq) *ptq = r2;
394 199 : return e;
395 : }
396 : }
397 : }
398 :
399 : /* y > 1 and B > 0 integers. Return e such that y^e <= B < y^(e+1), i.e
400 : * e = floor(log_y B). Set *ptq = y^e if non-NULL */
401 : long
402 279689 : logintall(GEN B, GEN y, GEN *ptq)
403 : {
404 : pari_sp av;
405 279689 : long ey, e, emax, i, eB = expi(B); /* 2^eB <= B < 2^(eB + 1) */
406 : GEN q, pow2;
407 :
408 279689 : if (lgefint(B) == 3)
409 : {
410 : ulong q;
411 264497 : if (lgefint(y) > 3)
412 : {
413 0 : if (ptq) *ptq = gen_1;
414 0 : return 0;
415 : }
416 264497 : if (!ptq) return ulogintall(B[2], y[2], NULL);
417 48005 : e = ulogintall(B[2], y[2], &q);
418 48005 : *ptq = utoi(q); return e;
419 : }
420 15192 : if (equaliu(y,2))
421 : {
422 166 : if (ptq) *ptq = int2n(eB);
423 166 : return eB;
424 : }
425 15026 : av = avma;
426 15026 : ey = expi(y);
427 : /* eB/(ey+1) - 1 < e <= eB/ey */
428 15026 : emax = eB/ey;
429 15026 : if (emax <= 13) /* e small, be naive */
430 : {
431 2594 : GEN r = y, r2 = gen_1;
432 27514 : for (e=1;; e++)
433 24920 : { /* here, r = y^e, r2 = y^(e-1) */
434 27514 : long fl = cmpii(r, B);
435 27514 : if (fl >= 0)
436 : {
437 2594 : if (fl) { e--; cgiv(r); r = r2; }
438 2594 : if (ptq) *ptq = gerepileuptoint(av, r); else set_avma(av);
439 2594 : return e;
440 : }
441 24920 : r2 = r; r = mulii(r,y);
442 : }
443 : }
444 : /* e >= 13 ey / (ey+1) >= 6.5 */
445 :
446 : /* binary splitting: compute bits of e one by one */
447 : /* compute pow2[i] = y^(2^i) [i < crude upper bound for log_2 log_y(B)] */
448 12432 : pow2 = new_chunk((long)log2(eB)+2);
449 12432 : gel(pow2,0) = y;
450 12432 : for (i=0, q=y;; )
451 59673 : {
452 72105 : GEN r = gel(pow2,i); /* r = y^2^i */
453 72105 : long fl = cmpii(r,B);
454 72105 : if (!fl)
455 : {
456 0 : e = 1L<<i;
457 0 : if (ptq) *ptq = gerepileuptoint(av, r); else set_avma(av);
458 0 : return e;
459 : }
460 72105 : if (fl > 0) { i--; break; }
461 68544 : q = r;
462 68544 : if (1L<<(i+1) > emax) break;
463 59673 : gel(pow2,++i) = sqri(q);
464 : }
465 :
466 12432 : for (e = 1L<<i;;)
467 56091 : { /* y^e = q < B < r = q * y^(2^i) */
468 68523 : pari_sp av2 = avma;
469 : long fl;
470 : GEN r;
471 68523 : if (--i < 0) break;
472 56098 : r = mulii(q, gel(pow2,i));
473 56098 : fl = cmpii(r, B);
474 56098 : if (fl > 0) set_avma(av2);
475 : else
476 : {
477 26550 : e += (1L<<i);
478 26550 : q = r;
479 26550 : if (!fl) break; /* B = r */
480 : }
481 : }
482 12432 : if (ptq) *ptq = gerepileuptoint(av, q); else set_avma(av);
483 12432 : return e;
484 : }
485 :
486 : long
487 56 : logint0(GEN B, GEN y, GEN *ptq)
488 : {
489 56 : if (typ(B) != t_INT) pari_err_TYPE("logint",B);
490 56 : if (signe(B) <= 0) pari_err_DOMAIN("logint", "x" ,"<=", gen_0, B);
491 56 : if (typ(y) != t_INT) pari_err_TYPE("logint",y);
492 56 : if (cmpis(y, 2) < 0) pari_err_DOMAIN("logint", "b" ,"<=", gen_1, y);
493 56 : return logintall(B,y,ptq);
494 : }
495 :
496 : /*********************************************************************/
497 : /** **/
498 : /** INTEGRAL SQUARE ROOT **/
499 : /** **/
500 : /*********************************************************************/
501 : GEN
502 30598 : sqrtint(GEN a)
503 : {
504 30598 : if (typ(a) != t_INT) pari_err_TYPE("sqrtint",a);
505 30598 : switch (signe(a))
506 : {
507 30584 : case 1: return sqrti(a);
508 7 : case 0: return gen_0;
509 7 : default: pari_err_DOMAIN("sqrtint", "argument", "<", gen_0,a);
510 : }
511 : return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
512 : }
513 :
514 : /*********************************************************************/
515 : /** **/
516 : /** PERFECT SQUARE **/
517 : /** **/
518 : /*********************************************************************/
519 : static int
520 14882250 : carremod(ulong A)
521 : {
522 14882250 : const int carresmod64[]={
523 : 1,1,0,0,1,0,0,0,0,1, 0,0,0,0,0,0,1,1,0,0, 0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,
524 : 0,0,0,1,0,0,1,0,0,0, 0,1,0,0,0,0,0,0,0,1, 0,0,0,0,0,0,0,1,0,0, 0,0,0,0};
525 14882250 : const int carresmod63[]={
526 : 1,1,0,0,1,0,0,1,0,1, 0,0,0,0,0,0,1,0,1,0, 0,0,1,0,0,1,0,0,1,0,
527 : 0,0,0,0,0,0,1,1,0,0, 0,0,0,1,0,0,1,0,0,1, 0,0,0,0,0,0,0,0,1,0, 0,0,0};
528 14882250 : const int carresmod65[]={
529 : 1,1,0,0,1,0,0,0,0,1, 1,0,0,0,1,0,1,0,0,0, 0,0,0,0,0,1,1,0,0,1,
530 : 1,0,0,0,0,1,1,0,0,1, 1,0,0,0,0,0,0,0,0,1, 0,1,0,0,0,1,1,0,0,0, 0,1,0,0,1};
531 14882250 : const int carresmod11[]={1,1,0,1,1,1,0,0,0,1, 0};
532 14882250 : return (carresmod64[A & 0x3fUL]
533 5472126 : && carresmod63[A % 63UL]
534 3226176 : && carresmod65[A % 65UL]
535 17556761 : && carresmod11[A % 11UL]);
536 : }
537 :
538 : /* emulate Z_issquareall on single-word integers */
539 : long
540 13387721 : uissquareall(ulong A, ulong *sqrtA)
541 : {
542 13387721 : if (!A) { *sqrtA = 0; return 1; }
543 13387721 : if (carremod(A))
544 : {
545 1827774 : ulong a = usqrt(A);
546 1827753 : if (a * a == A) { *sqrtA = a; return 1; }
547 : }
548 11651073 : return 0;
549 : }
550 : long
551 122275 : uissquare(ulong A)
552 : {
553 122275 : if (!A) return 1;
554 122275 : if (carremod(A))
555 : {
556 3553 : ulong a = usqrt(A);
557 3553 : if (a * a == A) return 1;
558 : }
559 118746 : return 0;
560 : }
561 :
562 : long
563 6383195 : Z_issquareall(GEN x, GEN *pt)
564 : {
565 : pari_sp av;
566 : GEN y, r;
567 :
568 6383195 : switch(signe(x))
569 : {
570 2208477 : case -1: return 0;
571 1071 : case 0: if (pt) *pt=gen_0; return 1;
572 : }
573 4173647 : if (lgefint(x) == 3)
574 : {
575 2801485 : ulong u = uel(x,2), a;
576 2801485 : if (!pt) return uissquare(u);
577 2679210 : if (!uissquareall(u, &a)) return 0;
578 1377505 : *pt = utoipos(a); return 1;
579 : }
580 1372162 : if (!carremod(umodiu(x, 64*63*65*11))) return 0;
581 610007 : av = avma; y = sqrtremi(x, &r);
582 610007 : if (r != gen_0) return gc_long(av,0);
583 18612 : if (pt) { *pt = y; set_avma((pari_sp)y); } else set_avma(av);
584 18612 : return 1;
585 : }
586 :
587 : /* a t_INT, p prime */
588 : long
589 0 : Zp_issquare(GEN a, GEN p)
590 : {
591 : long v;
592 : GEN ap;
593 :
594 0 : if (!signe(a) || gequal1(a)) return 1;
595 0 : v = Z_pvalrem(a, p, &ap);
596 0 : if (v&1) return 0;
597 0 : return absequaliu(p, 2)? umodiu(ap, 8) == 1
598 0 : : kronecker(ap,p) == 1;
599 : }
600 :
601 : static long
602 3171 : polissquareall(GEN x, GEN *pt)
603 : {
604 : pari_sp av;
605 : long v;
606 : GEN y, a, b, p;
607 :
608 3171 : if (!signe(x))
609 : {
610 7 : if (pt) *pt = gcopy(x);
611 7 : return 1;
612 : }
613 3164 : if (odd(degpol(x))) return 0; /* odd degree */
614 2303 : av = avma;
615 2303 : v = RgX_valrem(x, &x);
616 2303 : if (v & 1) return gc_long(av,0);
617 2296 : a = gel(x,2); /* test constant coeff */
618 2296 : if (!pt)
619 70 : { if (!issquare(a)) return gc_long(av,0); }
620 : else
621 2226 : { if (!issquareall(a,&b)) return gc_long(av,0); }
622 2296 : if (!degpol(x)) { /* constant polynomial */
623 77 : if (!pt) return gc_long(av,1);
624 35 : y = scalarpol(b, varn(x)); goto END;
625 : }
626 2219 : p = characteristic(x);
627 2219 : if (signe(p) && !mod2(p))
628 : {
629 : long i, lx;
630 35 : if (!absequaliu(p,2)) pari_err_IMPL("issquare for even characteristic != 2");
631 28 : x = gmul(x, mkintmod(gen_1, gen_2));
632 28 : lx = lg(x);
633 28 : if ((lx-3) & 1) return gc_long(av,0);
634 49 : for (i = 3; i < lx; i+=2)
635 28 : if (!gequal0(gel(x,i))) return gc_long(av,0);
636 21 : if (pt) {
637 14 : y = cgetg((lx+3) / 2, t_POL);
638 49 : for (i = 2; i < lx; i+=2)
639 35 : if (!issquareall(gel(x,i), &gel(y, (i+2)>>1))) return gc_long(av,0);
640 14 : y[1] = evalsigne(1) | evalvarn(varn(x));
641 14 : goto END;
642 : } else {
643 21 : for (i = 2; i < lx; i+=2)
644 14 : if (!issquare(gel(x,i))) return gc_long(av,0);
645 7 : return gc_long(av,1);
646 : }
647 : }
648 : else
649 : {
650 2184 : long m = 1;
651 2184 : x = RgX_Rg_div(x,a);
652 : /* a(x^m) = B^2 => B = b(x^m) provided a(0) != 0 */
653 2184 : if (!signe(p)) x = RgX_deflate_max(x,&m);
654 2184 : y = ser2rfrac_i(gsqrt(RgX_to_ser(x,lg(x)-1),0));
655 3493 : if (!RgX_equal(RgX_sqr(y), x)) return gc_long(av,0);
656 882 : if (!pt) return gc_long(av,1);
657 875 : if (!gequal1(a)) y = gmul(b, y);
658 875 : if (m != 1) y = RgX_inflate(y,m);
659 : }
660 : END:
661 924 : if (v) y = RgX_shift_shallow(y, v>>1);
662 924 : *pt = gerepilecopy(av, y); return 1;
663 : }
664 :
665 : /* b unit mod p */
666 : static int
667 287 : Up_ispower(GEN b, GEN K, GEN p, long d, GEN *pt)
668 : {
669 287 : if (d == 1)
670 : { /* mod p: faster */
671 203 : if (!Fp_ispower(b, K, p)) return 0;
672 203 : if (pt) *pt = Fp_sqrtn(b, K, p, NULL);
673 : }
674 : else
675 : { /* mod p^{2 +} */
676 84 : if (!ispower(cvtop(b, p, d), K, pt)) return 0;
677 63 : if (pt) *pt = gtrunc(*pt);
678 : }
679 266 : return 1;
680 : }
681 :
682 : /* We're studying whether a mod (q*p^e) is a K-th power, (q,p) = 1.
683 : * Decide mod p^e, then reduce a mod q unless q = NULL. */
684 : static int
685 427 : handle_pe(GEN *pa, GEN q, GEN L, GEN K, GEN p, long e)
686 : {
687 : GEN t, A;
688 427 : long v = Z_pvalrem(*pa, p, &A), d = e - v;
689 427 : if (d <= 0) t = gen_0;
690 : else
691 : {
692 : ulong r;
693 371 : v = uabsdivui_rem(v, K, &r);
694 371 : if (r || !Up_ispower(A, K, p, d, L? &t: NULL)) return 0;
695 266 : if (L && v) t = mulii(t, powiu(p, v));
696 : }
697 322 : if (q) *pa = modii(*pa, q);
698 322 : if (L) vectrunc_append(L, mkintmod(t, powiu(p, e)));
699 322 : return 1;
700 : }
701 : long
702 329 : Zn_ispower(GEN a, GEN q, GEN K, GEN *pt)
703 : {
704 : GEN L, N;
705 : pari_sp av;
706 : long e, i, l;
707 : ulong pp;
708 : forprime_t S;
709 :
710 329 : if (!signe(a))
711 : {
712 21 : if (pt) {
713 21 : GEN t = cgetg(3, t_INTMOD);
714 21 : gel(t,1) = icopy(q); gel(t,2) = gen_0; *pt = t;
715 : }
716 21 : return 1;
717 : }
718 : /* a != 0 */
719 308 : av = avma;
720 :
721 308 : if (typ(q) != t_INT) /* integer factorization */
722 : {
723 0 : GEN P = gel(q,1), E = gel(q,2);
724 0 : l = lg(P);
725 0 : L = pt? vectrunc_init(l): NULL;
726 0 : for (i = 1; i < l; i++)
727 : {
728 0 : GEN p = gel(P,i);
729 0 : long e = itos(gel(E,i));
730 0 : if (!handle_pe(&a, NULL, L, K, p, e)) return gc_long(av,0);
731 : }
732 0 : goto END;
733 : }
734 308 : if (!mod2(K)
735 189 : && kronecker(a, shifti(q,-vali(q))) == -1) return gc_long(av,0);
736 301 : L = pt? vectrunc_init(expi(q)+1): NULL;
737 301 : u_forprime_init(&S, 2, tridiv_bound(q));
738 301 : while ((pp = u_forprime_next(&S)))
739 : {
740 : int stop;
741 883407 : e = Z_lvalrem_stop(&q, pp, &stop);
742 883407 : if (!e) continue;
743 203 : if (!handle_pe(&a, q, L, K, utoipos(pp), e)) return gc_long(av,0);
744 161 : if (stop)
745 : {
746 126 : if (!is_pm1(q) && !handle_pe(&a, q, L, K, q, 1)) return gc_long(av,0);
747 126 : goto END;
748 : }
749 : }
750 154 : l = lg(primetab);
751 154 : for (i = 1; i < l; i++)
752 : {
753 0 : GEN p = gel(primetab,i);
754 0 : e = Z_pvalrem(q, p, &q);
755 0 : if (!e) continue;
756 0 : if (!handle_pe(&a, q, L, K, p, e)) return gc_long(av,0);
757 0 : if (is_pm1(q)) goto END;
758 : }
759 154 : N = gcdii(a,q);
760 154 : if (!is_pm1(N))
761 : {
762 112 : if (ifac_isprime(N))
763 : {
764 70 : e = Z_pvalrem(q, N, &q);
765 70 : if (!handle_pe(&a, q, L, K, N, e)) return gc_long(av,0);
766 : }
767 : else
768 : {
769 42 : GEN part = ifac_start(N, 0);
770 : for(;;)
771 42 : {
772 : long e;
773 : GEN p;
774 84 : if (!ifac_next(&part, &p, &e)) break;
775 42 : e = Z_pvalrem(q, p, &q);
776 42 : if (!handle_pe(&a, q, L, K, p, e)) return gc_long(av,0);
777 : }
778 : }
779 : }
780 84 : if (!is_pm1(q))
781 : {
782 84 : if (ifac_isprime(q))
783 : {
784 28 : if (!handle_pe(&a, q, L, K, q, 1)) return gc_long(av,0);
785 : }
786 : else
787 : {
788 56 : GEN part = ifac_start(q, 0);
789 : for(;;)
790 84 : {
791 : long e;
792 : GEN p;
793 140 : if (!ifac_next(&part, &p, &e)) break;
794 98 : if (!handle_pe(&a, q, L, K, p, e)) return gc_long(av,0);
795 : }
796 : }
797 : }
798 : END:
799 196 : if (pt) *pt = gerepileupto(av, chinese1_coprime_Z(L));
800 196 : return 1;
801 : }
802 :
803 : static long
804 56 : polmodispower(GEN x, GEN K, GEN *pt)
805 : {
806 56 : pari_sp av = avma;
807 56 : GEN p = NULL, T = NULL;
808 56 : if (Rg_is_FpXQ(x, &T,&p) && p)
809 : {
810 42 : x = liftall_shallow(x);
811 42 : if (T) T = liftall_shallow(T);
812 42 : if (!Fq_ispower(x, K, T, p)) return gc_long(av,0);
813 28 : if (!pt) return gc_long(av,1);
814 21 : x = Fq_sqrtn(x, K, T,p, NULL);
815 21 : if (typ(x) == t_INT)
816 7 : x = Fp_to_mod(x,p);
817 : else
818 14 : x = mkpolmod(FpX_to_mod(x,p), FpX_to_mod(T,p));
819 21 : *pt = gerepilecopy(av, x); return 1;
820 : }
821 14 : pari_err_IMPL("ispower for general t_POLMOD");
822 0 : return 0;
823 : }
824 :
825 : long
826 163976 : issquareall(GEN x, GEN *pt)
827 : {
828 163976 : long tx = typ(x);
829 : GEN F;
830 : pari_sp av;
831 :
832 163976 : if (!pt) return issquare(x);
833 20622 : switch(tx)
834 : {
835 2464 : case t_INT: return Z_issquareall(x, pt);
836 161 : case t_FRAC: av = avma;
837 161 : F = cgetg(3, t_FRAC);
838 161 : if ( !Z_issquareall(gel(x,1), &gel(F,1))
839 105 : || !Z_issquareall(gel(x,2), &gel(F,2))) return gc_long(av,0);
840 105 : *pt = F; return 1;
841 :
842 : case t_POLMOD:
843 21 : return polmodispower(x, gen_2, pt);
844 3080 : case t_POL: return polissquareall(x,pt);
845 14 : case t_RFRAC: av = avma;
846 14 : F = cgetg(3, t_RFRAC);
847 14 : if ( !issquareall(gel(x,1), &gel(F,1))
848 14 : || !polissquareall(gel(x,2), &gel(F,2))) return gc_long(av,0);
849 7 : *pt = F; return 1;
850 :
851 : case t_REAL: case t_COMPLEX: case t_PADIC: case t_SER:
852 14784 : if (!issquare(x)) return 0;
853 14784 : *pt = gsqrt(x, DEFAULTPREC); return 1;
854 :
855 : case t_INTMOD:
856 63 : return Zn_ispower(gel(x,2), gel(x,1), gen_2, pt);
857 :
858 35 : case t_FFELT: return FF_issquareall(x, pt);
859 :
860 : }
861 0 : pari_err_TYPE("issquareall",x);
862 : return 0; /* LCOV_EXCL_LINE */
863 : }
864 :
865 : long
866 158439 : issquare(GEN x)
867 : {
868 : pari_sp av;
869 : GEN a, p;
870 : long v;
871 :
872 158439 : switch(typ(x))
873 : {
874 : case t_INT:
875 143284 : return Z_issquare(x);
876 :
877 : case t_REAL:
878 14714 : return (signe(x)>=0);
879 :
880 : case t_INTMOD:
881 77 : return Zn_ispower(gel(x,2), gel(x,1), gen_2, NULL);
882 :
883 : case t_FRAC:
884 21 : return Z_issquare(gel(x,1)) && Z_issquare(gel(x,2));
885 :
886 7 : case t_FFELT: return FF_issquareall(x, NULL);
887 :
888 : case t_COMPLEX:
889 56 : return 1;
890 :
891 : case t_PADIC:
892 126 : a = gel(x,4); if (!signe(a)) return 1;
893 126 : if (valp(x)&1) return 0;
894 112 : p = gel(x,2);
895 112 : if (!absequaliu(p, 2)) return (kronecker(a,p) != -1);
896 :
897 42 : v = precp(x); /* here p=2, a is odd */
898 42 : if ((v>=3 && mod8(a) != 1 ) ||
899 0 : (v==2 && mod4(a) != 1)) return 0;
900 21 : return 1;
901 :
902 : case t_POLMOD:
903 21 : return polmodispower(x, gen_2, NULL);
904 :
905 : case t_POL:
906 77 : return polissquareall(x,NULL);
907 :
908 : case t_SER:
909 49 : if (!signe(x)) return 1;
910 42 : if (valp(x)&1) return 0;
911 35 : return issquare(gel(x,2));
912 :
913 : case t_RFRAC:
914 7 : av = avma; return gc_long(av, issquare(gmul(gel(x,1),gel(x,2))));
915 : }
916 0 : pari_err_TYPE("issquare",x);
917 : return 0; /* LCOV_EXCL_LINE */
918 : }
919 0 : GEN gissquare(GEN x) { return issquare(x)? gen_1: gen_0; }
920 0 : GEN gissquareall(GEN x, GEN *pt) { return issquareall(x,pt)? gen_1: gen_0; }
921 :
922 : long
923 1386 : ispolygonal(GEN x, GEN S, GEN *N)
924 : {
925 1386 : pari_sp av = avma;
926 : GEN D, d, n;
927 1386 : if (typ(x) != t_INT) pari_err_TYPE("ispolygonal", x);
928 1386 : if (typ(S) != t_INT) pari_err_TYPE("ispolygonal", S);
929 1386 : if (abscmpiu(S,3) < 0) pari_err_DOMAIN("ispolygonal","s","<", utoipos(3),S);
930 1386 : if (signe(x) < 0) return 0;
931 1386 : if (signe(x) == 0) { if (N) *N = gen_0; return 1; }
932 1260 : if (is_pm1(x)) { if (N) *N = gen_1; return 1; }
933 : /* n = (sqrt( (8s - 16) x + (s-4)^2 ) + s - 4) / 2(s - 2) */
934 1134 : if (abscmpiu(S, 1<<16) < 0) /* common case ! */
935 : {
936 441 : ulong s = S[2], r;
937 504 : if (s == 4) return Z_issquareall(x, N);
938 378 : if (s == 3)
939 0 : D = addiu(shifti(x, 3), 1);
940 : else
941 378 : D = addiu(mului(8*s - 16, x), (s-4)*(s-4));
942 378 : if (!Z_issquareall(D, &d)) return gc_long(av,0);
943 378 : if (s == 3)
944 0 : d = subiu(d, 1);
945 : else
946 378 : d = addiu(d, s - 4);
947 378 : n = absdiviu_rem(d, 2*s - 4, &r);
948 378 : if (r) return gc_long(av,0);
949 : }
950 : else
951 : {
952 693 : GEN r, S_2 = subiu(S,2), S_4 = subiu(S,4);
953 693 : D = addii(mulii(shifti(S_2,3), x), sqri(S_4));
954 693 : if (!Z_issquareall(D, &d)) return gc_long(av,0);
955 693 : d = addii(d, S_4);
956 693 : n = dvmdii(shifti(d,-1), S_2, &r);
957 693 : if (r != gen_0) return gc_long(av,0);
958 : }
959 1071 : if (N) *N = gerepileuptoint(av, n); else set_avma(av);
960 1071 : return 1;
961 : }
962 :
963 : /*********************************************************************/
964 : /** **/
965 : /** PERFECT POWER **/
966 : /** **/
967 : /*********************************************************************/
968 : static long
969 721 : polispower(GEN x, GEN K, GEN *pt)
970 : {
971 : pari_sp av;
972 721 : long v, d, k = itos(K);
973 : GEN y, a, b;
974 721 : GEN T = NULL, p = NULL;
975 :
976 721 : if (!signe(x))
977 : {
978 7 : if (pt) *pt = gcopy(x);
979 7 : return 1;
980 : }
981 714 : d = degpol(x);
982 714 : if (d % k) return 0; /* degree not multiple of k */
983 707 : av = avma;
984 707 : if (RgX_is_FpXQX(x, &T, &p) && p)
985 : { /* over Fq */
986 336 : if (T && typ(T) == t_FFELT)
987 : {
988 126 : if (!FFX_ispower(x, k, T, pt)) return gc_long(av,0);
989 105 : return 1;
990 : }
991 210 : x = RgX_to_FqX(x,T,p);
992 210 : if (!FqX_ispower(x, k, T,p, pt)) return gc_long(av,0);
993 175 : if (pt) *pt = gerepileupto(av, FqX_to_mod(*pt, T, p));
994 175 : return 1;
995 : }
996 371 : v = RgX_valrem(x, &x);
997 371 : if (v % k) return 0;
998 364 : v /= k;
999 364 : a = gel(x,2); b = NULL;
1000 364 : if (!ispower(a, K, &b)) return gc_long(av,0);
1001 350 : if (d)
1002 : {
1003 343 : GEN p = characteristic(x);
1004 343 : a = leading_coeff(x);
1005 343 : if (!ispower(a, K, &b)) return gc_long(av,0);
1006 343 : x = RgX_normalize(x);
1007 343 : if (signe(p) && cmpii(p,K) <= 0)
1008 0 : pari_err_IMPL("ispower(general t_POL) in small characteristic");
1009 343 : y = gtrunc(gsqrtn(RgX_to_ser(x,lg(x)), K, NULL, 0));
1010 343 : if (!RgX_equal(powgi(y, K), x)) return gc_long(av,0);
1011 : }
1012 : else
1013 7 : y = pol_1(varn(x));
1014 350 : if (pt)
1015 : {
1016 350 : if (!gequal1(a))
1017 : {
1018 14 : if (!b) b = gsqrtn(a, K, NULL, DEFAULTPREC);
1019 14 : y = gmul(b,y);
1020 : }
1021 350 : if (v) y = RgX_shift_shallow(y, v);
1022 350 : *pt = gerepilecopy(av, y);
1023 : }
1024 0 : else set_avma(av);
1025 350 : return 1;
1026 : }
1027 :
1028 : long
1029 97822 : Z_ispowerall(GEN x, ulong k, GEN *pt)
1030 : {
1031 97822 : long s = signe(x);
1032 : ulong mask;
1033 97822 : if (!s) { if (pt) *pt = gen_0; return 1; }
1034 97822 : if (s > 0) {
1035 97682 : if (k == 2) return Z_issquareall(x, pt);
1036 18059 : if (k == 3) { mask = 1; return !!is_357_power(x, pt, &mask); }
1037 3303 : if (k == 5) { mask = 2; return !!is_357_power(x, pt, &mask); }
1038 3065 : if (k == 7) { mask = 4; return !!is_357_power(x, pt, &mask); }
1039 3058 : return is_kth_power(x, k, pt);
1040 : }
1041 140 : if (!odd(k)) return 0;
1042 126 : if (Z_ispowerall(absi_shallow(x), k, pt))
1043 : {
1044 112 : if (pt) *pt = negi(*pt);
1045 112 : return 1;
1046 : };
1047 14 : return 0;
1048 : }
1049 :
1050 : /* is x a K-th power mod p ? Assume p prime. */
1051 : int
1052 203 : Fp_ispower(GEN x, GEN K, GEN p)
1053 : {
1054 203 : pari_sp av = avma;
1055 : GEN p_1;
1056 203 : x = modii(x, p);
1057 203 : if (!signe(x) || equali1(x)) return gc_bool(av,1);
1058 : /* implies p > 2 */
1059 112 : p_1 = subiu(p,1);
1060 112 : K = gcdii(K, p_1);
1061 112 : if (absequaliu(K, 2)) return gc_bool(av, kronecker(x,p) > 0);
1062 49 : x = Fp_pow(x, diviiexact(p_1,K), p);
1063 49 : return gc_bool(av, equali1(x));
1064 : }
1065 :
1066 : /* x unit defined modulo 2^e, e > 0, p prime */
1067 : static int
1068 2373 : U2_issquare(GEN x, long e)
1069 : {
1070 2373 : long r = signe(x)>=0?mod8(x):8-mod8(x);
1071 2373 : if (e==1) return 1;
1072 2373 : if (e==2) return (r&3L) == 1;
1073 2009 : return r == 1;
1074 : }
1075 : /* x unit defined modulo p^e, e > 0, p prime */
1076 : static int
1077 4690 : Up_issquare(GEN x, GEN p, long e)
1078 4690 : { return (absequaliu(p,2))? U2_issquare(x, e): kronecker(x,p)==1; }
1079 :
1080 : long
1081 2548 : Zn_issquare(GEN d, GEN fn)
1082 : {
1083 : long j, np;
1084 2548 : if (typ(d) != t_INT) pari_err_TYPE("Zn_issquare",d);
1085 2548 : if (typ(fn) == t_INT) return Zn_ispower(d, fn, gen_2, NULL);
1086 : /* integer factorization */
1087 2548 : np = nbrows(fn);
1088 5320 : for (j = 1; j <= np; ++j)
1089 : {
1090 4970 : GEN r, p = gcoeff(fn, j, 1);
1091 4970 : long e = itos(gcoeff(fn, j, 2));
1092 4970 : long v = Z_pvalrem(d,p,&r);
1093 4970 : if (v < e && (odd(v) || !Up_issquare(r, p, e-v))) return 0;
1094 : }
1095 350 : return 1;
1096 : }
1097 :
1098 : /* return [N',v]; v contains all x mod N' s.t. x^2 + B x + C = 0 modulo N */
1099 : GEN
1100 2742838 : Zn_quad_roots(GEN N, GEN B, GEN C)
1101 : {
1102 2742838 : pari_sp av = avma;
1103 2742838 : GEN fa = NULL, D, w, v, P, E, F0, Q0, F, mF, A, Q, T, R, Np, N4;
1104 : long l, i, j, ct;
1105 :
1106 2742838 : if ((fa = check_arith_non0(N,"Zn_quad_roots")))
1107 14 : N = typ(N) == t_VEC? gel(N,1): factorback(N);
1108 2742838 : N = absi_shallow(N);
1109 2742838 : N4 = shifti(N,2);
1110 2742838 : D = modii(subii(sqri(B), shifti(C,2)), N4);
1111 2742838 : if (!signe(D))
1112 : { /* (x + B/2)^2 = 0 (mod N), D = B^2-4C = 0 (4N) => B even */
1113 630 : if (!fa) fa = Z_factor(N);
1114 630 : P = gel(fa,1);
1115 630 : E = ZV_to_zv(gel(fa,2));
1116 630 : l = lg(P);
1117 630 : for (i = 1; i < l; i++) E[i] = (E[i]+1) >> 1;
1118 630 : Np = factorback2(P, E); /* x = -B mod N' */
1119 630 : B = shifti(B,-1);
1120 630 : return gerepilecopy(av, mkvec2(Np, mkvec(Fp_neg(B,Np))));
1121 : }
1122 2742208 : if (!fa)
1123 2742194 : fa = Z_factor(N4);
1124 : else /* convert to factorization of N4 = 4*N */
1125 14 : fa = famat_reduce(famat_mulpows_shallow(fa, gen_2, 2));
1126 2742208 : P = gel(fa,1); l = lg(P);
1127 2742208 : E = ZV_to_zv(gel(fa,2));
1128 2742208 : F = cgetg(l, t_VEC);
1129 2742208 : mF= cgetg(l, t_VEC); F0 = gen_0;
1130 2742208 : Q = cgetg(l, t_VEC); Q0 = gen_1;
1131 6592047 : for (i = j = 1, ct = 0; i < l; i++)
1132 : {
1133 5979946 : GEN p = gel(P,i), q, f, mf, D0;
1134 5979946 : long t2, s = E[i], t = Z_pvalrem(D, p, &D0), d = s - t;
1135 5979946 : if (d <= 0)
1136 : {
1137 1355144 : q = powiu(p, (s+1)>>1);
1138 3567158 : Q0 = mulii(Q0, q); continue;
1139 : }
1140 : /* d > 0 */
1141 6754909 : if (odd(t)) return NULL;
1142 4439302 : t2 = t >> 1;
1143 4439302 : if (i > 1)
1144 : { /* p > 2 */
1145 2796759 : if (kronecker(D0, p) == -1) return NULL;
1146 1350986 : q = powiu(p,s-t2);
1147 1350986 : f = Zp_sqrt(D0, p, d); if (t2) f = mulii(powiu(p,t2), f);
1148 1350986 : mf = Fp_neg(f, q);
1149 : }
1150 : else
1151 : { /* p = 2 */
1152 1642543 : if (d == 1) { Q0 = int2n(1+t2); F0 = NULL; continue; }
1153 1468943 : if (d == 2)
1154 : {
1155 734132 : if (Mod4(D0) != 1) return NULL;
1156 683270 : Q0 = int2n(1+t2); F0 = NULL; continue;
1157 : }
1158 : /* d > 2 */
1159 734811 : if (Mod8(D0) != 1) return NULL;
1160 286839 : q = int2n(d-1+t2);
1161 286839 : f = shifti(Z2_sqrt(D0, d), t2);
1162 286839 : mf = Fp_neg(f, q);
1163 : }
1164 1637825 : gel(Q,j) = q;
1165 1637825 : gel(F,j) = f;
1166 1637825 : gel(mF,j)= mf; j++;
1167 : }
1168 612101 : setlg(Q,j);
1169 612101 : setlg(F,j);
1170 612101 : setlg(mF,j);
1171 612101 : if (is_pm1(Q0)) A = leafcopy(F);
1172 : else
1173 : { /* append the fixed congruence (F0 mod Q0) */
1174 545062 : if (!F0) F0 = shifti(Q0,-1);
1175 545062 : A = shallowconcat(F, F0);
1176 545062 : Q = shallowconcat(Q, Q0);
1177 : }
1178 612101 : ct = 1 << (j-1);
1179 612101 : T = ZV_producttree(Q);
1180 612101 : R = ZV_chinesetree(Q,T);
1181 612101 : Np = gmael(T, lg(T)-1, 1);
1182 612101 : B = modii(B, Np);
1183 612101 : if (!signe(B)) B = NULL;
1184 612101 : Np = shifti(Np, -1); /* N' = (\prod_i Q[i]) / 2 */
1185 612101 : w = cgetg(3, t_VEC);
1186 612101 : gel(w,1) = icopy(Np);
1187 612101 : gel(w,2) = v = cgetg(ct+1, t_VEC);
1188 612101 : l = lg(F);
1189 2786700 : for (j = 1; j <= ct; j++)
1190 : {
1191 2174599 : pari_sp av2 = avma;
1192 2174599 : long m = j - 1;
1193 : GEN u;
1194 6605585 : for (i = 1; i < l; i++)
1195 : {
1196 4430986 : gel(A,i) = (m&1L)? gel(mF,i): gel(F,i);
1197 4430986 : m >>= 1;
1198 : }
1199 2174599 : u = ZV_chinese_tree(A,Q,T,R); /* u mod N' st u^2 = B^2-4C modulo 4N */
1200 2174599 : if (B) u = subii(u,B);
1201 2174599 : gel(v,j) = gerepileuptoint(av2, modii(shifti(u,-1), Np));
1202 : }
1203 612101 : return gerepileupto(av, w);
1204 : }
1205 :
1206 : static long
1207 1113 : Qp_ispower(GEN x, GEN K, GEN *pt)
1208 : {
1209 1113 : pari_sp av = avma;
1210 1113 : GEN z = Qp_sqrtn(x, K, NULL);
1211 1113 : if (!z) return gc_long(av,0);
1212 819 : if (pt) *pt = z;
1213 819 : return 1;
1214 : }
1215 :
1216 : long
1217 7096920 : ispower(GEN x, GEN K, GEN *pt)
1218 : {
1219 : GEN z;
1220 :
1221 7096920 : if (!K) return gisanypower(x, pt);
1222 96738 : if (typ(K) != t_INT) pari_err_TYPE("ispower",K);
1223 96738 : if (signe(K) <= 0) pari_err_DOMAIN("ispower","exponent","<=",gen_0,K);
1224 96738 : if (equali1(K)) { if (pt) *pt = gcopy(x); return 1; }
1225 96689 : switch(typ(x)) {
1226 : case t_INT:
1227 24895 : if (lgefint(K) != 3) return 0;
1228 24887 : return Z_ispowerall(x, itou(K), pt);
1229 : case t_FRAC:
1230 : {
1231 69708 : GEN a = gel(x,1), b = gel(x,2);
1232 : ulong k;
1233 69708 : if (lgefint(K) != 3) return 0;
1234 69701 : k = itou(K);
1235 69701 : if (pt) {
1236 69694 : z = cgetg(3, t_FRAC);
1237 69694 : if (Z_ispowerall(a, k, &a) && Z_ispowerall(b, k, &b)) {
1238 1386 : *pt = z; gel(z,1) = a; gel(z,2) = b; return 1;
1239 : }
1240 68308 : set_avma((pari_sp)(z + 3)); return 0;
1241 : }
1242 7 : return Z_ispower(a, k) && Z_ispower(b, k);
1243 : }
1244 : case t_INTMOD:
1245 189 : return Zn_ispower(gel(x,2), gel(x,1), K, pt);
1246 : case t_FFELT:
1247 28 : return FF_ispower(x, K, pt);
1248 :
1249 : case t_PADIC:
1250 1113 : return Qp_ispower(x, K, pt);
1251 : case t_POLMOD:
1252 14 : return polmodispower(x, K, pt);
1253 : case t_POL:
1254 714 : return polispower(x, K, pt);
1255 : case t_RFRAC: {
1256 7 : GEN a = gel(x,1), b = gel(x,2);
1257 7 : if (pt) {
1258 7 : z = cgetg(3, t_RFRAC);
1259 7 : if (ispower(a, K, &a) && polispower(b, K, &b)) {
1260 7 : *pt = z; gel(z,1) = a; gel(z,2) = b; return 1;
1261 : }
1262 0 : set_avma((pari_sp)(z + 3)); return 0;
1263 : }
1264 0 : return (ispower(a, K, NULL) && polispower(b, K, NULL));
1265 : }
1266 : case t_REAL:
1267 7 : if (signe(x) < 0 && !mpodd(K)) return 0;
1268 : case t_COMPLEX:
1269 14 : if (pt) *pt = gsqrtn(x, K, NULL, DEFAULTPREC);
1270 14 : return 1;
1271 :
1272 : case t_SER:
1273 7 : if (signe(x) && (!dvdsi(valp(x), K) || !ispower(gel(x,2), K, NULL)))
1274 0 : return 0;
1275 7 : if (pt) *pt = gsqrtn(x, K, NULL, DEFAULTPREC);
1276 7 : return 1;
1277 : }
1278 0 : pari_err_TYPE("ispower",x);
1279 : return 0; /* LCOV_EXCL_LINE */
1280 : }
1281 :
1282 : long
1283 7000182 : gisanypower(GEN x, GEN *pty)
1284 : {
1285 7000182 : long tx = typ(x);
1286 : ulong k, h;
1287 7000182 : if (tx == t_INT) return Z_isanypower(x, pty);
1288 14 : if (tx == t_FRAC)
1289 : {
1290 14 : pari_sp av = avma;
1291 14 : GEN fa, P, E, a = gel(x,1), b = gel(x,2);
1292 : long i, j, p, e;
1293 14 : int sw = (abscmpii(a, b) > 0);
1294 :
1295 14 : if (sw) swap(a, b);
1296 14 : k = Z_isanypower(a, pty? &a: NULL);
1297 14 : if (!k)
1298 : { /* a = -1,1 or not a pure power */
1299 7 : if (!is_pm1(a)) return gc_long(av,0);
1300 7 : if (signe(a) < 0) b = negi(b);
1301 7 : k = Z_isanypower(b, pty? &b: NULL);
1302 7 : if (!k || !pty) return gc_long(av,k);
1303 7 : *pty = gerepileupto(av, ginv(b));
1304 7 : return k;
1305 : }
1306 7 : fa = factoru(k);
1307 7 : P = gel(fa,1);
1308 7 : E = gel(fa,2); h = k;
1309 14 : for (i = lg(P) - 1; i > 0; i--)
1310 : {
1311 7 : p = P[i];
1312 7 : e = E[i];
1313 21 : for (j = 0; j < e; j++)
1314 14 : if (!is_kth_power(b, p, &b)) break;
1315 7 : if (j < e) k /= upowuu(p, e - j);
1316 : }
1317 7 : if (k == 1) return gc_long(av,0);
1318 7 : if (!pty) return gc_long(av,k);
1319 0 : if (k != h) a = powiu(a, h/k);
1320 0 : *pty = gerepilecopy(av, mkfrac(a, b));
1321 0 : return k;
1322 : }
1323 0 : pari_err_TYPE("gisanypower", x);
1324 : return 0; /* LCOV_EXCL_LINE */
1325 : }
1326 :
1327 : /* v_p(x) = e != 0 for some p; return ispower(x,,&x), updating x.
1328 : * No need to optimize for 2,3,5,7 powers (done before) */
1329 : static long
1330 505715 : split_exponent(ulong e, GEN *x)
1331 : {
1332 : GEN fa, P, E;
1333 505715 : long i, j, l, k = 1;
1334 505715 : if (e == 1) return 1;
1335 14 : fa = factoru(e);
1336 14 : P = gel(fa,1);
1337 14 : E = gel(fa,2); l = lg(P);
1338 28 : for (i = 1; i < l; i++)
1339 : {
1340 14 : ulong p = P[i];
1341 28 : for (j = 0; j < E[i]; j++)
1342 : {
1343 : GEN y;
1344 14 : if (!is_kth_power(*x, p, &y)) break;
1345 14 : k *= p; *x = y;
1346 : }
1347 : }
1348 14 : return k;
1349 : }
1350 :
1351 : static long
1352 864731 : Z_isanypower_nosmalldiv(GEN *px)
1353 : { /* any prime divisor of x is > 102 */
1354 864731 : const double LOG2_103 = 6.6865; /* lower bound for log_2(103) */
1355 864731 : const double LOG103 = 4.6347; /* lower bound for log(103) */
1356 : forprime_t T;
1357 864731 : ulong mask = 7, e2;
1358 : long k, ex;
1359 864731 : GEN y, x = *px;
1360 :
1361 864731 : k = 1;
1362 864731 : while (Z_issquareall(x, &y)) { k <<= 1; x = y; }
1363 864731 : while ( (ex = is_357_power(x, &y, &mask)) ) { k *= ex; x = y; }
1364 864731 : e2 = (ulong)((expi(x) + 1) / LOG2_103); /* >= log_103 (x) */
1365 864731 : if (u_forprime_init(&T, 11, e2))
1366 : {
1367 16982 : GEN logx = NULL;
1368 16982 : const ulong Q = 30011; /* prime */
1369 : ulong p, xmodQ;
1370 16982 : double dlogx = 0;
1371 : /* cut off at x^(1/p) ~ 2^30 bits which seems to be about optimum;
1372 : * for large p the modular checks are no longer competitively fast */
1373 34006 : while ( (ex = is_pth_power(x, &y, &T, 30)) )
1374 : {
1375 42 : k *= ex; x = y;
1376 42 : e2 = (ulong)((expi(x) + 1) / LOG2_103);
1377 42 : u_forprime_restrict(&T, e2);
1378 : }
1379 16982 : if (DEBUGLEVEL>4)
1380 0 : err_printf("Z_isanypower: now k=%ld, x=%ld-bit\n", k, expi(x)+1);
1381 16982 : xmodQ = umodiu(x, Q);
1382 : /* test Q | x, just in case */
1383 16982 : if (!xmodQ) { *px = x; return k * split_exponent(Z_lval(x,Q), px); }
1384 : /* x^(1/p) < 2^31 */
1385 16968 : p = T.p;
1386 16968 : if (p <= e2)
1387 : {
1388 16954 : logx = logr_abs( itor(x, DEFAULTPREC) );
1389 16954 : dlogx = rtodbl(logx);
1390 16954 : e2 = (ulong)(dlogx / LOG103); /* >= log_103(x) */
1391 : }
1392 154147 : while (p && p <= e2)
1393 : { /* is x a p-th power ? By computing y = round(x^(1/p)).
1394 : * Check whether y^p = x, first mod Q, then exactly. */
1395 120211 : pari_sp av = avma;
1396 : long e;
1397 120211 : GEN logy = divru(logx, p), y = grndtoi(mpexp(logy), &e);
1398 120211 : ulong ymodQ = umodiu(y,Q);
1399 120211 : if (e >= -10 || Fl_powu(ymodQ, p % (Q-1), Q) != xmodQ
1400 21 : || !equalii(powiu(y, p), x)) set_avma(av);
1401 : else
1402 : {
1403 21 : k *= p; x = y; xmodQ = ymodQ; logx = logy; dlogx /= p;
1404 21 : e2 = (ulong)(dlogx / LOG103); /* >= log_103(x) */
1405 21 : u_forprime_restrict(&T, e2);
1406 21 : continue; /* if success, retry same p */
1407 : }
1408 120190 : p = u_forprime_next(&T);
1409 : }
1410 : }
1411 864717 : *px = x; return k;
1412 : }
1413 :
1414 : static ulong tinyprimes[] = {
1415 : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71,
1416 : 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151,
1417 : 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199
1418 : };
1419 :
1420 : /* disregard the sign of x, caller will take care of x < 0 */
1421 : static long
1422 7000889 : Z_isanypower_aux(GEN x, GEN *pty)
1423 : {
1424 : long ex, v, i, l, k;
1425 : GEN y, P, E;
1426 7000889 : ulong mask, e = 0;
1427 :
1428 7000889 : if (abscmpii(x, gen_2) < 0) return 0; /* -1,0,1 */
1429 :
1430 7000875 : if (signe(x) < 0) x = negi(x);
1431 7000875 : k = l = 1;
1432 7000875 : P = cgetg(26 + 1, t_VECSMALL);
1433 7000875 : E = cgetg(26 + 1, t_VECSMALL);
1434 : /* trial division */
1435 122944850 : for(i = 0; i < 26; i++)
1436 : {
1437 60137875 : ulong p = tinyprimes[i];
1438 : int stop;
1439 60137875 : v = Z_lvalrem_stop(&x, p, &stop);
1440 60137875 : if (v)
1441 : {
1442 7922348 : P[l] = p;
1443 7922348 : E[l] = v; l++;
1444 13588673 : e = ugcd(e, v); if (e == 1) goto END;
1445 : }
1446 54719588 : if (stop) {
1447 248038 : if (is_pm1(x)) k = e;
1448 248038 : goto END;
1449 : }
1450 : }
1451 :
1452 1334550 : if (e)
1453 : { /* Bingo. Result divides e */
1454 : long v3, v5, v7;
1455 505701 : ulong e2 = e;
1456 505701 : v = u_lvalrem(e2, 2, &e2);
1457 505701 : if (v)
1458 : {
1459 375249 : for (i = 0; i < v; i++)
1460 : {
1461 374171 : if (!Z_issquareall(x, &y)) break;
1462 1288 : k <<= 1; x = y;
1463 : }
1464 : }
1465 505701 : mask = 0;
1466 505701 : v3 = u_lvalrem(e2, 3, &e2); if (v3) mask = 1;
1467 505701 : v5 = u_lvalrem(e2, 5, &e2); if (v5) mask |= 2;
1468 505701 : v7 = u_lvalrem(e2, 7, &e2); if (v7) mask |= 4;
1469 1011479 : while ( (ex = is_357_power(x, &y, &mask)) ) {
1470 77 : x = y;
1471 77 : switch(ex)
1472 : {
1473 28 : case 3: k *= 3; if (--v3 == 0) mask &= ~1; break;
1474 28 : case 5: k *= 5; if (--v5 == 0) mask &= ~2; break;
1475 21 : case 7: k *= 7; if (--v7 == 0) mask &= ~4; break;
1476 : }
1477 : }
1478 505701 : k *= split_exponent(e2, &x);
1479 : }
1480 : else
1481 828849 : k = Z_isanypower_nosmalldiv(&x);
1482 : END:
1483 7000875 : if (pty && k != 1)
1484 : {
1485 8141 : if (e)
1486 : { /* add missing small factors */
1487 6867 : y = powuu(P[1], E[1] / k);
1488 6867 : for (i = 2; i < l; i++) y = mulii(y, powuu(P[i], E[i] / k));
1489 6867 : x = equali1(x)? y: mulii(x,y);
1490 : }
1491 8141 : *pty = x;
1492 : }
1493 7000875 : return k == 1? 0: k;
1494 : }
1495 :
1496 : long
1497 7000889 : Z_isanypower(GEN x, GEN *pty)
1498 : {
1499 7000889 : pari_sp av = avma;
1500 7000889 : long k = Z_isanypower_aux(x, pty);
1501 7000889 : if (!k) return gc_long(av,0);
1502 8204 : if (signe(x) < 0)
1503 : {
1504 42 : long v = vals(k);
1505 42 : if (v)
1506 : {
1507 : GEN y;
1508 28 : k >>= v;
1509 28 : if (k == 1) return gc_long(av,0);
1510 21 : if (!pty) return gc_long(av,k);
1511 14 : y = *pty;
1512 14 : y = powiu(y, 1<<v);
1513 14 : togglesign(y);
1514 14 : *pty = gerepileuptoint(av, y);
1515 14 : return k;
1516 : }
1517 14 : if (pty) togglesign_safe(pty);
1518 : }
1519 8176 : if (pty) *pty = gerepilecopy(av, *pty); else set_avma(av);
1520 8176 : return k;
1521 : }
1522 :
1523 : /* Faster than */
1524 : /* !cmpii(n, int2n(vali(n))) */
1525 : /* !cmpis(shifti(n, -vali(n)), 1) */
1526 : /* expi(n) == vali(n) */
1527 : /* hamming(n) == 1 */
1528 : /* even for single-word values, and much faster for multiword values. */
1529 : /* If all you have is a word, you can just use n & !(n & (n-1)). */
1530 : long
1531 101725 : Z_ispow2(GEN n)
1532 : {
1533 : GEN xp;
1534 : long i, lx;
1535 : ulong u;
1536 101725 : if (signe(n) != 1) return 0;
1537 101718 : xp = int_LSW(n);
1538 101718 : lx = lgefint(n);
1539 101718 : u = *xp;
1540 102002 : for (i = 3; i < lx; ++i)
1541 : {
1542 98847 : if (u) return 0;
1543 284 : xp = int_nextW(xp);
1544 284 : u = *xp;
1545 : }
1546 3155 : return !(u & (u-1));
1547 : }
1548 :
1549 : static long
1550 841891 : isprimepower_i(GEN n, GEN *pt, long flag)
1551 : {
1552 841891 : pari_sp av = avma;
1553 : long i, v;
1554 :
1555 841891 : if (typ(n) != t_INT) pari_err_TYPE("isprimepower", n);
1556 841891 : if (signe(n) <= 0) return 0;
1557 :
1558 841891 : if (lgefint(n) == 3)
1559 : {
1560 : ulong p;
1561 541176 : v = uisprimepower(n[2], &p);
1562 541176 : if (v)
1563 : {
1564 54964 : if (pt) *pt = utoipos(p);
1565 54964 : return v;
1566 : }
1567 486212 : return 0;
1568 : }
1569 1663324 : for (i = 0; i < 26; i++)
1570 : {
1571 1627442 : ulong p = tinyprimes[i];
1572 1627442 : v = Z_lvalrem(n, p, &n);
1573 1627438 : if (v)
1574 : {
1575 264829 : set_avma(av);
1576 264831 : if (!is_pm1(n)) return 0;
1577 435 : if (pt) *pt = utoipos(p);
1578 437 : return v;
1579 : }
1580 : }
1581 : /* p | n => p >= 103 */
1582 35882 : v = Z_isanypower_nosmalldiv(&n); /* expensive */
1583 35882 : if (!(flag? isprime(n): BPSW_psp(n))) return gc_long(av,0);
1584 5570 : if (pt) *pt = gerepilecopy(av, n); else set_avma(av);
1585 5570 : return v;
1586 : }
1587 : long
1588 840098 : isprimepower(GEN n, GEN *pt) { return isprimepower_i(n,pt,1); }
1589 : long
1590 1792 : ispseudoprimepower(GEN n, GEN *pt) { return isprimepower_i(n,pt,0); }
1591 :
1592 : long
1593 547777 : uisprimepower(ulong n, ulong *pp)
1594 : { /* We must have CUTOFF^11 >= ULONG_MAX and CUTOFF^3 < ULONG_MAX.
1595 : * Tests suggest that 200-300 is the best range for 64-bit platforms. */
1596 547777 : const ulong CUTOFF = 200UL;
1597 547777 : const long TINYCUTOFF = 46; /* tinyprimes[45] = 199 */
1598 547777 : const ulong CUTOFF3 = CUTOFF*CUTOFF*CUTOFF;
1599 : #ifdef LONG_IS_64BIT
1600 : /* primes preceeding the appropriate root of ULONG_MAX. */
1601 486678 : const ulong ROOT9 = 137;
1602 486678 : const ulong ROOT8 = 251;
1603 486678 : const ulong ROOT7 = 563;
1604 486678 : const ulong ROOT5 = 7129;
1605 486678 : const ulong ROOT4 = 65521;
1606 : #else
1607 61099 : const ulong ROOT9 = 11;
1608 61099 : const ulong ROOT8 = 13;
1609 61099 : const ulong ROOT7 = 23;
1610 61099 : const ulong ROOT5 = 83;
1611 61099 : const ulong ROOT4 = 251;
1612 : #endif
1613 : ulong mask;
1614 : long v, i;
1615 : int e;
1616 547777 : if (n < 2) return 0;
1617 547763 : if (!odd(n)) {
1618 275402 : if (n & (n-1)) return 0;
1619 4778 : *pp = 2; return vals(n);
1620 : }
1621 272361 : if (n < 8) { *pp = n; return 1; } /* 3,5,7 */
1622 3654361 : for (i = 1/*skip p=2*/; i < TINYCUTOFF; i++)
1623 : {
1624 3595286 : ulong p = tinyprimes[i];
1625 3595286 : if (n % p == 0)
1626 : {
1627 211705 : v = u_lvalrem(n, p, &n);
1628 211705 : if (n == 1) { *pp = p; return v; }
1629 209466 : return 0;
1630 : }
1631 : }
1632 : /* p | n => p >= CUTOFF */
1633 :
1634 59075 : if (n < CUTOFF3)
1635 : {
1636 46354 : if (n < CUTOFF*CUTOFF || uisprime_101(n)) { *pp = n; return 1; }
1637 0 : if (uissquareall(n, &n)) { *pp = n; return 2; }
1638 0 : return 0;
1639 : }
1640 :
1641 : /* Check for squares, fourth powers, and eighth powers as appropriate. */
1642 12721 : v = 1;
1643 12721 : if (uissquareall(n, &n)) {
1644 0 : v <<= 1;
1645 0 : if (CUTOFF <= ROOT4 && uissquareall(n, &n)) {
1646 0 : v <<= 1;
1647 0 : if (CUTOFF <= ROOT8 && uissquareall(n, &n)) v <<= 1;
1648 : }
1649 : }
1650 :
1651 12721 : if (CUTOFF > ROOT5) mask = 1;
1652 : else
1653 : {
1654 12720 : const ulong CUTOFF5 = CUTOFF3*CUTOFF*CUTOFF;
1655 12720 : if (n < CUTOFF5) mask = 1; else mask = 3;
1656 12720 : if (CUTOFF <= ROOT7)
1657 : {
1658 12720 : const ulong CUTOFF7 = CUTOFF5*CUTOFF*CUTOFF;
1659 12720 : if (n >= CUTOFF7) mask = 7;
1660 : }
1661 : }
1662 :
1663 12721 : if (CUTOFF <= ROOT9 && (e = uis_357_power(n, &n, &mask))) { v *= e; mask=1; }
1664 12721 : if ((e = uis_357_power(n, &n, &mask))) v *= e;
1665 :
1666 12721 : if (uisprime_101(n)) { *pp = n; return v; }
1667 6984 : return 0;
1668 : }
1669 :
1670 : /*********************************************************************/
1671 : /** **/
1672 : /** KRONECKER SYMBOL **/
1673 : /** **/
1674 : /*********************************************************************/
1675 : /* t = 3,5 mod 8 ? (= 2 not a square mod t) */
1676 : static int
1677 631258905 : ome(long t)
1678 : {
1679 631258905 : switch(t & 7)
1680 : {
1681 : case 3:
1682 359553040 : case 5: return 1;
1683 271705865 : default: return 0;
1684 : }
1685 : }
1686 : /* t a t_INT, is t = 3,5 mod 8 ? */
1687 : static int
1688 4185336 : gome(GEN t)
1689 4185336 : { return signe(t)? ome( mod2BIL(t) ): 0; }
1690 :
1691 : /* assume y odd, return kronecker(x,y) * s */
1692 : static long
1693 481282027 : krouu_s(ulong x, ulong y, long s)
1694 : {
1695 481282027 : ulong x1 = x, y1 = y, z;
1696 2597473316 : while (x1)
1697 : {
1698 1634937467 : long r = vals(x1);
1699 1635013039 : if (r)
1700 : {
1701 880499977 : if (odd(r) && ome(y1)) s = -s;
1702 880396200 : x1 >>= r;
1703 : }
1704 1634909262 : if (x1 & y1 & 2) s = -s;
1705 1634909262 : z = y1 % x1; y1 = x1; x1 = z;
1706 : }
1707 481253822 : return (y1 == 1)? s: 0;
1708 : }
1709 :
1710 : long
1711 5052234 : kronecker(GEN x, GEN y)
1712 : {
1713 5052234 : pari_sp av = avma;
1714 5052234 : long s = 1, r;
1715 : ulong xu;
1716 :
1717 5052234 : if (typ(x) != t_INT) pari_err_TYPE("kronecker",x);
1718 5052234 : if (typ(y) != t_INT) pari_err_TYPE("kronecker",y);
1719 5052234 : switch (signe(y))
1720 : {
1721 63 : case -1: y = negi(y); if (signe(x) < 0) s = -1; break;
1722 0 : case 0: return is_pm1(x);
1723 : }
1724 5052234 : r = vali(y);
1725 5052234 : if (r)
1726 : {
1727 11899 : if (!mpodd(x)) return gc_long(av,0);
1728 10359 : if (odd(r) && gome(x)) s = -s;
1729 10359 : y = shifti(y,-r);
1730 : }
1731 5050694 : x = modii(x,y);
1732 11061157 : while (lgefint(x) > 3) /* x < y */
1733 : {
1734 : GEN z;
1735 959769 : r = vali(x);
1736 959769 : if (r)
1737 : {
1738 523966 : if (odd(r) && gome(y)) s = -s;
1739 523966 : x = shifti(x,-r);
1740 : }
1741 : /* x=3 mod 4 && y=3 mod 4 ? (both are odd here) */
1742 959769 : if (mod2BIL(x) & mod2BIL(y) & 2) s = -s;
1743 959769 : z = remii(y,x); y = x; x = z;
1744 959769 : if (gc_needed(av,2))
1745 : {
1746 0 : if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"kronecker");
1747 0 : gerepileall(av, 2, &x, &y);
1748 : }
1749 : }
1750 5050694 : xu = itou(x);
1751 5050694 : if (!xu) return is_pm1(y)? s: 0;
1752 5029724 : r = vals(xu);
1753 5029724 : if (r)
1754 : {
1755 2642520 : if (odd(r) && gome(y)) s = -s;
1756 2642520 : xu >>= r;
1757 : }
1758 : /* x=3 mod 4 && y=3 mod 4 ? (both are odd here) */
1759 5029724 : if (xu & mod2BIL(y) & 2) s = -s;
1760 5029724 : return gc_long(av, krouu_s(umodiu(y,xu), xu, s));
1761 : }
1762 :
1763 : long
1764 31220 : krois(GEN x, long y)
1765 : {
1766 : ulong yu;
1767 31220 : long s = 1;
1768 :
1769 31220 : if (y <= 0)
1770 : {
1771 7 : if (y == 0) return is_pm1(x);
1772 0 : yu = (ulong)-y; if (signe(x) < 0) s = -1;
1773 : }
1774 : else
1775 31213 : yu = (ulong)y;
1776 31213 : if (!odd(yu))
1777 : {
1778 : long r;
1779 14245 : if (!mpodd(x)) return 0;
1780 10633 : r = vals(yu); yu >>= r;
1781 10633 : if (odd(r) && gome(x)) s = -s;
1782 : }
1783 27601 : return krouu_s(umodiu(x, yu), yu, s);
1784 : }
1785 : /* assume y != 0 */
1786 : long
1787 342603229 : kroiu(GEN x, ulong y)
1788 : {
1789 : long r;
1790 342603229 : if (odd(y)) return krouu_s(umodiu(x,y), y, 1);
1791 2132381 : if (!mpodd(x)) return 0;
1792 2110247 : r = vals(y); y >>= r;
1793 2110247 : return krouu_s(umodiu(x,y), y, (odd(r) && gome(x))? -1: 1);
1794 : }
1795 :
1796 : /* assume y > 0, odd, return s * kronecker(x,y) */
1797 : static long
1798 181226 : krouodd(ulong x, GEN y, long s)
1799 : {
1800 : long r;
1801 181226 : if (lgefint(y) == 3) return krouu_s(x, y[2], s);
1802 41891 : if (!x) return 0; /* y != 1 */
1803 41891 : r = vals(x);
1804 41891 : if (r)
1805 : {
1806 7366 : if (odd(r) && gome(y)) s = -s;
1807 7366 : x >>= r;
1808 : }
1809 : /* x=3 mod 4 && y=3 mod 4 ? (both are odd here) */
1810 41891 : if (x & mod2BIL(y) & 2) s = -s;
1811 41891 : return krouu_s(umodiu(y,x), x, s);
1812 : }
1813 :
1814 : long
1815 180710 : krosi(long x, GEN y)
1816 : {
1817 180710 : const pari_sp av = avma;
1818 180710 : long s = 1, r;
1819 180710 : switch (signe(y))
1820 : {
1821 0 : case -1: y = negi(y); if (x < 0) s = -1; break;
1822 0 : case 0: return (x==1 || x==-1);
1823 : }
1824 180710 : r = vali(y);
1825 180710 : if (r)
1826 : {
1827 16842 : if (!odd(x)) return gc_long(av,0);
1828 16842 : if (odd(r) && ome(x)) s = -s;
1829 16842 : y = shifti(y,-r);
1830 : }
1831 180710 : if (x < 0) { x = -x; if (mod4(y) == 3) s = -s; }
1832 180710 : return gc_long(av, krouodd((ulong)x, y, s));
1833 : }
1834 :
1835 : long
1836 516 : kroui(ulong x, GEN y)
1837 : {
1838 516 : const pari_sp av = avma;
1839 516 : long s = 1, r;
1840 516 : switch (signe(y))
1841 : {
1842 0 : case -1: y = negi(y); break;
1843 0 : case 0: return x==1UL;
1844 : }
1845 516 : r = vali(y);
1846 516 : if (r)
1847 : {
1848 0 : if (!odd(x)) return gc_long(av,0);
1849 0 : if (odd(r) && ome(x)) s = -s;
1850 0 : y = shifti(y,-r);
1851 : }
1852 516 : return gc_long(av, krouodd(x, y, s));
1853 : }
1854 :
1855 : long
1856 78063219 : kross(long x, long y)
1857 : {
1858 : ulong yu;
1859 78063219 : long s = 1;
1860 :
1861 78063219 : if (y <= 0)
1862 : {
1863 427 : if (y == 0) return (labs(x)==1);
1864 399 : yu = (ulong)-y; if (x < 0) s = -1;
1865 : }
1866 : else
1867 78062792 : yu = (ulong)y;
1868 78063191 : if (!odd(yu))
1869 : {
1870 : long r;
1871 19746896 : if (!odd(x)) return 0;
1872 13991951 : r = vals(yu); yu >>= r;
1873 13991951 : if (odd(r) && ome(x)) s = -s;
1874 : }
1875 72308246 : x %= (long)yu; if (x < 0) x += yu;
1876 72308246 : return krouu_s((ulong)x, yu, s);
1877 : }
1878 :
1879 : long
1880 61060067 : krouu(ulong x, ulong y)
1881 : {
1882 : long r;
1883 61060067 : if (odd(y)) return krouu_s(x, y, 1);
1884 1605 : if (!odd(x)) return 0;
1885 1605 : r = vals(y); y >>= r;
1886 1605 : return krouu_s(x, y, (odd(r) && ome(x))? -1: 1);
1887 : }
1888 :
1889 : /*********************************************************************/
1890 : /** **/
1891 : /** HILBERT SYMBOL **/
1892 : /** **/
1893 : /*********************************************************************/
1894 : /* x,y are t_INT or t_REAL */
1895 : static long
1896 9977 : mphilbertoo(GEN x, GEN y)
1897 : {
1898 9977 : long sx = signe(x), sy = signe(y);
1899 9977 : if (!sx || !sy) return 0;
1900 9977 : return (sx < 0 && sy < 0)? -1: 1;
1901 : }
1902 :
1903 : long
1904 53119 : hilbertii(GEN x, GEN y, GEN p)
1905 : {
1906 : pari_sp av;
1907 : long oddvx, oddvy, z;
1908 :
1909 53119 : if (!p) return mphilbertoo(x,y);
1910 43163 : if (is_pm1(p) || signe(p) < 0) pari_err_PRIME("hilbertii",p);
1911 43163 : if (!signe(x) || !signe(y)) return 0;
1912 43142 : av = avma;
1913 43142 : oddvx = odd(Z_pvalrem(x,p,&x));
1914 43142 : oddvy = odd(Z_pvalrem(y,p,&y));
1915 : /* x, y are p-units, compute hilbert(x * p^oddvx, y * p^oddvy, p) */
1916 43142 : if (absequaliu(p, 2))
1917 : {
1918 10684 : z = (Mod4(x) == 3 && Mod4(y) == 3)? -1: 1;
1919 10684 : if (oddvx && gome(y)) z = -z;
1920 10684 : if (oddvy && gome(x)) z = -z;
1921 : }
1922 : else
1923 : {
1924 32458 : z = (oddvx && oddvy && mod4(p) == 3)? -1: 1;
1925 32458 : if (oddvx && kronecker(y,p) < 0) z = -z;
1926 32458 : if (oddvy && kronecker(x,p) < 0) z = -z;
1927 : }
1928 43142 : return gc_long(av, z);
1929 : }
1930 :
1931 : static void
1932 196 : err_prec(void) { pari_err_PREC("hilbert"); }
1933 : static void
1934 161 : err_p(GEN p, GEN q) { pari_err_MODULUS("hilbert", p,q); }
1935 : static void
1936 56 : err_oo(GEN p) { pari_err_MODULUS("hilbert", p, strtoGENstr("oo")); }
1937 :
1938 : /* x t_INTMOD, *pp = prime or NULL [ unset, set it to x.mod ].
1939 : * Return lift(x) provided it's p-adic accuracy is large enough to decide
1940 : * hilbert()'s value [ problem at p = 2 ] */
1941 : static GEN
1942 420 : lift_intmod(GEN x, GEN *pp)
1943 : {
1944 420 : GEN p = *pp, N = gel(x,1);
1945 420 : x = gel(x,2);
1946 420 : if (!p)
1947 : {
1948 266 : *pp = p = N;
1949 266 : switch(itos_or_0(p))
1950 : {
1951 : case 2:
1952 126 : case 4: err_prec();
1953 : }
1954 140 : return x;
1955 : }
1956 154 : if (!signe(p)) err_oo(N);
1957 112 : if (absequaliu(p,2))
1958 42 : { if (vali(N) <= 2) err_prec(); }
1959 : else
1960 70 : { if (!dvdii(N,p)) err_p(N,p); }
1961 28 : if (!signe(x)) err_prec();
1962 21 : return x;
1963 : }
1964 : /* x t_PADIC, *pp = prime or NULL [ unset, set it to x.p ].
1965 : * Return lift(x)*p^(v(x) mod 2) provided it's p-adic accuracy is large enough
1966 : * to decide hilbert()'s value [ problem at p = 2 ]*/
1967 : static GEN
1968 210 : lift_padic(GEN x, GEN *pp)
1969 : {
1970 210 : GEN p = *pp, q = gel(x,2), y = gel(x,4);
1971 210 : if (!p) *pp = p = q;
1972 147 : else if (!equalii(p,q)) err_p(p, q);
1973 105 : if (absequaliu(p,2) && precp(x) <= 2) err_prec();
1974 70 : if (!signe(y)) err_prec();
1975 70 : return odd(valp(x))? mulii(p,y): y;
1976 : }
1977 :
1978 : long
1979 658 : hilbert(GEN x, GEN y, GEN p)
1980 : {
1981 658 : pari_sp av = avma;
1982 658 : long tx = typ(x), ty = typ(y);
1983 :
1984 658 : if (p && typ(p) != t_INT) pari_err_TYPE("hilbert",p);
1985 658 : if (tx == t_REAL)
1986 : {
1987 77 : if (p && signe(p)) err_oo(p);
1988 63 : switch (ty)
1989 : {
1990 : case t_INT:
1991 7 : case t_REAL: return mphilbertoo(x,y);
1992 0 : case t_FRAC: return mphilbertoo(x,gel(y,1));
1993 56 : default: pari_err_TYPE2("hilbert",x,y);
1994 : }
1995 : }
1996 581 : if (ty == t_REAL)
1997 : {
1998 14 : if (p && signe(p)) err_oo(p);
1999 14 : switch (tx)
2000 : {
2001 : case t_INT:
2002 14 : case t_REAL: return mphilbertoo(x,y);
2003 0 : case t_FRAC: return mphilbertoo(gel(x,1),y);
2004 0 : default: pari_err_TYPE2("hilbert",x,y);
2005 : }
2006 : }
2007 567 : if (tx == t_INTMOD) { x = lift_intmod(x, &p); tx = t_INT; }
2008 364 : if (ty == t_INTMOD) { y = lift_intmod(y, &p); ty = t_INT; }
2009 :
2010 308 : if (tx == t_PADIC) { x = lift_padic(x, &p); tx = t_INT; }
2011 245 : if (ty == t_PADIC) { y = lift_padic(y, &p); ty = t_INT; }
2012 :
2013 168 : if (tx == t_FRAC) { tx = t_INT; x = p? mulii(gel(x,1),gel(x,2)): gel(x,1); }
2014 168 : if (ty == t_FRAC) { ty = t_INT; y = p? mulii(gel(y,1),gel(y,2)): gel(y,1); }
2015 :
2016 168 : if (tx != t_INT || ty != t_INT) pari_err_TYPE2("hilbert",x,y);
2017 168 : if (p && !signe(p)) p = NULL;
2018 168 : return gc_long(av, hilbertii(x,y,p));
2019 : }
2020 :
2021 : /*******************************************************************/
2022 : /* */
2023 : /* SQUARE ROOT MODULO p */
2024 : /* */
2025 : /*******************************************************************/
2026 : static void
2027 3913007 : checkp(ulong q, ulong p)
2028 3913007 : { if (!q) pari_err_PRIME("Fl_nonsquare",utoipos(p)); }
2029 : /* p = 1 (mod 4) prime, return the first quadratic non-residue, a prime */
2030 : static ulong
2031 26411686 : nonsquare1_Fl(ulong p)
2032 : {
2033 : forprime_t S;
2034 : ulong q;
2035 26411686 : if ((p & 7UL) != 1) return 2UL;
2036 10581344 : q = p % 3; if (q == 2) return 3UL;
2037 3225066 : checkp(q, p);
2038 3225059 : q = p % 5; if (q == 2 || q == 3) return 5UL;
2039 425027 : checkp(q, p);
2040 425027 : q = p % 7; if (q != 4 && q >= 3) return 7UL;
2041 158485 : checkp(q, p);
2042 158486 : u_forprime_init(&S, 11, p);
2043 421400 : while ((q = u_forprime_next(&S)))
2044 : {
2045 262914 : long i = krouu(q, p);
2046 262914 : if (i < 0) return q;
2047 104428 : checkp(q, p);
2048 : }
2049 0 : checkp(0, p);
2050 : return 0; /*LCOV_EXCL_LINE*/
2051 : }
2052 : /* p > 2 a prime */
2053 : ulong
2054 7714 : nonsquare_Fl(ulong p)
2055 7714 : { return ((p & 3UL) == 3)? p-1: nonsquare1_Fl(p); }
2056 :
2057 : ulong
2058 150628 : Fl_2gener_pre(ulong p, ulong pi)
2059 : {
2060 150628 : ulong p1 = p-1;
2061 150628 : long e = vals(p1);
2062 150626 : if (e == 1) return p1;
2063 56689 : return Fl_powu_pre(nonsquare1_Fl(p), p1 >> e, p, pi);
2064 : }
2065 :
2066 : /* Tonelli-Shanks. Assume p is prime and (a,p) != -1. */
2067 : ulong
2068 63737095 : Fl_sqrt_pre_i(ulong a, ulong y, ulong p, ulong pi)
2069 : {
2070 : long i, e, k;
2071 : ulong p1, q, v, w;
2072 :
2073 63737095 : if (!a) return 0;
2074 62400829 : p1 = p - 1; e = vals(p1);
2075 62399972 : if (e == 0) /* p = 2 */
2076 : {
2077 418935 : if (p != 2) pari_err_PRIME("Fl_sqrt [modulus]",utoi(p));
2078 418928 : return ((a & 1) == 0)? 0: 1;
2079 : }
2080 61981037 : if (e == 1)
2081 : {
2082 35624460 : v = Fl_powu_pre(a, (p+1) >> 2, p, pi);
2083 35573702 : if (Fl_sqr_pre(v, p, pi) != a) return ~0UL;
2084 35543945 : p1 = p - v; if (v > p1) v = p1;
2085 35543945 : return v;
2086 : }
2087 26356577 : q = p1 >> e; /* q = (p-1)/2^oo is odd */
2088 26356577 : p1 = Fl_powu_pre(a, q >> 1, p, pi); /* a ^ [(q-1)/2] */
2089 26356604 : if (!p1) return 0;
2090 26356604 : v = Fl_mul_pre(a, p1, p, pi);
2091 26356607 : w = Fl_mul_pre(v, p1, p, pi);
2092 26356605 : if (!y) y = Fl_powu_pre(nonsquare1_Fl(p), q, p, pi);
2093 74467601 : while (w != 1)
2094 : { /* a*w = v^2, y primitive 2^e-th root of 1
2095 : a square --> w even power of y, hence w^(2^(e-1)) = 1 */
2096 21782545 : p1 = Fl_sqr_pre(w,p,pi);
2097 21782543 : for (k=1; p1 != 1 && k < e; k++) p1 = Fl_sqr_pre(p1,p,pi);
2098 21782544 : if (k == e) return ~0UL;
2099 : /* w ^ (2^k) = 1 --> w = y ^ (u * 2^(e-k)), u odd */
2100 21754402 : p1 = y;
2101 21754402 : for (i=1; i < e-k; i++) p1 = Fl_sqr_pre(p1, p, pi);
2102 21754402 : y = Fl_sqr_pre(p1, p, pi); e = k;
2103 21754403 : w = Fl_mul_pre(y, w, p, pi);
2104 21754403 : v = Fl_mul_pre(v, p1, p, pi);
2105 : }
2106 26328454 : p1 = p - v; if (v > p1) v = p1;
2107 26328454 : return v;
2108 : }
2109 :
2110 : ulong
2111 60291160 : Fl_sqrt(ulong a, ulong p)
2112 : {
2113 60291160 : ulong pi = get_Fl_red(p);
2114 60286249 : return Fl_sqrt_pre_i(a, 0, p, pi);
2115 : }
2116 :
2117 : ulong
2118 3415851 : Fl_sqrt_pre(ulong a, ulong p, ulong pi)
2119 : {
2120 3415851 : return Fl_sqrt_pre_i(a, 0, p, pi);
2121 : }
2122 :
2123 : static ulong
2124 46429 : Fl_lgener_pre_all(ulong l, long e, ulong r, ulong p, ulong pi, ulong *pt_m)
2125 : {
2126 : ulong x, y, m;
2127 46429 : ulong le1 = upowuu(l, e-1);
2128 72987 : for (x = 2; ; x++)
2129 : {
2130 99545 : y = Fl_powu_pre(x, r, p, pi);
2131 72987 : if (y==1) continue;
2132 56644 : m = Fl_powu_pre(y, le1, p, pi);
2133 56644 : if (m != 1) break;
2134 : }
2135 46429 : *pt_m = m;
2136 46429 : return y;
2137 : }
2138 :
2139 : /* solve x^l = a , l prime in G of order q.
2140 : *
2141 : * q = (l^e)*r, e >= 1, (r,l) = 1
2142 : * y generates the l-Sylow of G
2143 : * m = y^(l^(e-1)) != 1 */
2144 : static ulong
2145 110539 : Fl_sqrtl_raw(ulong a, ulong l, ulong e, ulong r, ulong p, ulong pi, ulong y, ulong m)
2146 : {
2147 : ulong p1, v, w, z, dl;
2148 : ulong u2;
2149 110539 : if (a==0) return a;
2150 110539 : u2 = Fl_inv(l%r, r);
2151 110540 : v = Fl_powu_pre(a, u2, p, pi);
2152 110540 : w = Fl_powu_pre(v, l, p, pi);
2153 110540 : w = Fl_mul_pre(w, Fl_inv(a, p), p, pi);
2154 110526 : if (w==1) return v;
2155 45259 : if (y==0) y = Fl_lgener_pre_all(l, e, r, p, pi, &m);
2156 109476 : while (w!=1)
2157 : {
2158 49532 : ulong k = 0;
2159 49532 : p1 = w;
2160 : do
2161 : {
2162 73309 : z = p1; p1 = Fl_powu_pre(p1, l, p, pi);
2163 73309 : k++;
2164 73309 : } while (p1!=1);
2165 49532 : if (k==e) return ULONG_MAX;
2166 18958 : dl = Fl_log_pre(z, m, l, p, pi);
2167 18958 : dl = Fl_neg(dl, l);
2168 18958 : p1 = Fl_powu_pre(y,dl*upowuu(l,e-k-1),p,pi);
2169 18958 : m = Fl_powu_pre(m, dl, p, pi);
2170 18958 : e = k;
2171 18958 : v = Fl_mul_pre(p1,v,p,pi);
2172 18958 : y = Fl_powu_pre(p1,l,p,pi);
2173 18958 : w = Fl_mul_pre(y,w,p,pi);
2174 : }
2175 14685 : return v;
2176 : }
2177 :
2178 : static ulong
2179 109817 : Fl_sqrtl_i(ulong a, ulong l, ulong p, ulong pi, ulong y, ulong m)
2180 : {
2181 109817 : ulong r, e = u_lvalrem(p-1, l, &r);
2182 109818 : return Fl_sqrtl_raw(a, l, e, r, p, pi, y, m);
2183 : }
2184 :
2185 : ulong
2186 109817 : Fl_sqrtl_pre(ulong a, ulong l, ulong p, ulong pi)
2187 : {
2188 109817 : return Fl_sqrtl_i(a, l, p, pi, 0, 0);
2189 : }
2190 :
2191 : ulong
2192 0 : Fl_sqrtl(ulong a, ulong l, ulong p)
2193 : {
2194 0 : ulong pi = get_Fl_red(p);
2195 0 : return Fl_sqrtl_i(a, l, p, pi, 0, 0);
2196 : }
2197 :
2198 : ulong
2199 65276 : Fl_sqrtn_pre(ulong a, long n, ulong p, ulong pi, ulong *zetan)
2200 : {
2201 65276 : ulong m, q = p-1, z;
2202 65276 : ulong nn = n >= 0 ? (ulong)n: -(ulong)n;
2203 65276 : if (a==0)
2204 : {
2205 48139 : if (n < 0) pari_err_INV("Fl_sqrtn", mkintmod(gen_0,utoi(p)));
2206 48132 : if (zetan) *zetan = 1UL;
2207 48132 : return 0;
2208 : }
2209 17137 : if (n==1)
2210 : {
2211 0 : if (zetan) *zetan = 1;
2212 0 : return n < 0? Fl_inv(a,p): a;
2213 : }
2214 17137 : if (n==2)
2215 : {
2216 3465 : if (zetan) *zetan = p-1;
2217 3465 : return Fl_sqrt_pre_i(a, 0, p, pi);
2218 : }
2219 13672 : if (a == 1 && !zetan) return a;
2220 7729 : m = ugcd(nn, q);
2221 7729 : z = 1;
2222 7729 : if (m!=1)
2223 : {
2224 1156 : GEN F = factoru(m);
2225 : long i, j, e;
2226 : ulong r, zeta, y, l;
2227 2361 : for (i = nbrows(F); i; i--)
2228 : {
2229 1261 : l = ucoeff(F,i,1);
2230 1261 : j = ucoeff(F,i,2);
2231 1261 : e = u_lvalrem(q,l, &r);
2232 1261 : y = Fl_lgener_pre_all(l, e, r, p, pi, &zeta);
2233 1261 : if (zetan)
2234 694 : z = Fl_mul_pre(z, Fl_powu_pre(y, upowuu(l,e-j), p, pi), p, pi);
2235 1261 : if (a!=1)
2236 : do
2237 : {
2238 721 : a = Fl_sqrtl_raw(a, l, e, r, p, pi, y, zeta);
2239 707 : if (a==ULONG_MAX) return ULONG_MAX;
2240 665 : } while (--j);
2241 : }
2242 : }
2243 7673 : if (m != nn)
2244 : {
2245 6594 : ulong qm = q/m, nm = nn/m;
2246 6594 : a = Fl_powu_pre(a, Fl_inv(nm%qm, qm), p, pi);
2247 : }
2248 7673 : if (n < 0) a = Fl_inv(a, p);
2249 7673 : if (zetan) *zetan = z;
2250 7673 : return a;
2251 : }
2252 :
2253 : ulong
2254 65276 : Fl_sqrtn(ulong a, long n, ulong p, ulong *zetan)
2255 : {
2256 65276 : ulong pi = get_Fl_red(p);
2257 65276 : return Fl_sqrtn_pre(a, n, p, pi, zetan);
2258 : }
2259 :
2260 : /* Cipolla is better than Tonelli-Shanks when e = v_2(p-1) is "too big".
2261 : * Otherwise, is a constant times worse; for p = 3 (mod 4), is about 3 times worse,
2262 : * and in average is about 2 or 2.5 times worse. But try both algorithms for
2263 : * S(n) = (2^n+3)^2-8 with n = 750, 771, 779, 790, 874, 1176, 1728, 2604, etc.
2264 : *
2265 : * If X^2 := t^2 - a is not a square in F_p (so X is in F_p^2), then
2266 : * (t+X)^(p+1) = (t-X)(t+X) = a, hence sqrt(a) = (t+X)^((p+1)/2) in F_p^2.
2267 : * If (a|p)=1, then sqrt(a) is in F_p.
2268 : * cf: LNCS 2286, pp 430-434 (2002) [Gonzalo Tornaria] */
2269 :
2270 : /* compute y^2, y = y[1] + y[2] X */
2271 : static GEN
2272 449 : sqrt_Cipolla_sqr(void *data, GEN y)
2273 : {
2274 449 : GEN u = gel(y,1), v = gel(y,2), p = gel(data,2), n = gel(data,3);
2275 449 : GEN u2 = sqri(u), v2 = sqri(v);
2276 449 : v = subii(sqri(addii(v,u)), addii(u2,v2));
2277 449 : u = addii(u2, mulii(v2,n));
2278 : /* NOT mkvec2: must be gerepileupto-able */
2279 449 : retmkvec2(modii(u,p), modii(v,p));
2280 : }
2281 : /* compute (t+X) y^2 */
2282 : static GEN
2283 23 : sqrt_Cipolla_msqr(void *data, GEN y)
2284 : {
2285 23 : GEN u = gel(y,1), v = gel(y,2), a = gel(data,1), p = gel(data,2), gt = gel(data,4);
2286 23 : ulong t = gt[2];
2287 23 : GEN d = addii(u, mului(t,v)), d2= sqri(d);
2288 23 : GEN b = remii(mulii(a,v), p);
2289 23 : u = subii(mului(t,d2), mulii(b,addii(u,d)));
2290 23 : v = subii(d2, mulii(b,v));
2291 : /* NOT mkvec2: must be gerepileupto-able */
2292 23 : retmkvec2(modii(u,p), modii(v,p));
2293 : }
2294 : /* assume a reduced mod p [ otherwise correct but inefficient ] */
2295 : static GEN
2296 8 : sqrt_Cipolla(GEN a, GEN p)
2297 : {
2298 : pari_sp av1;
2299 : GEN u, v, n, y, pov2;
2300 : ulong t;
2301 :
2302 8 : if (kronecker(a, p) < 0) return NULL;
2303 8 : pov2 = shifti(p,-1);
2304 8 : if (cmpii(a,pov2) > 0) a = subii(a,p); /* center: avoid multiplying by huge base*/
2305 :
2306 8 : av1 = avma;
2307 41 : for(t=1; ; t++)
2308 : {
2309 74 : n = subsi((long)(t*t), a);
2310 41 : if (kronecker(n, p) < 0) break;
2311 33 : set_avma(av1);
2312 : }
2313 :
2314 : /* compute (t+X)^((p-1)/2) =: u+vX */
2315 8 : u = utoipos(t);
2316 8 : y = gen_pow_fold(mkvec2(u, gen_1), pov2, mkvec4(a,p,n,u),
2317 : sqrt_Cipolla_sqr, sqrt_Cipolla_msqr);
2318 : /* Now u+vX = (t+X)^((p-1)/2); thus
2319 : * (u+vX)(t+X) = sqrt(a) + 0 X
2320 : * Whence,
2321 : * sqrt(a) = (u+vt)t - v*a
2322 : * 0 = (u+vt)
2323 : * Thus a square root is v*a */
2324 :
2325 8 : v = Fp_mul(gel(y, 2), a, p);
2326 8 : if (cmpii(v,pov2) > 0) v = subii(p,v);
2327 8 : return v;
2328 : }
2329 :
2330 : /* Return NULL if p is found to be composite */
2331 : static GEN
2332 2802 : Fp_2gener_all(long e, GEN p)
2333 : {
2334 : GEN y, m;
2335 : long k;
2336 2802 : GEN q = shifti(subiu(p,1), -e); /* q = (p-1)/2^oo is odd */
2337 2802 : if (e==0 && !equaliu(p,2)) return NULL;
2338 9309 : for (k=2; ; k++)
2339 6507 : {
2340 9309 : long i = krosi(k, p);
2341 9309 : if (i >= 0)
2342 : {
2343 6507 : if (i) continue;
2344 0 : return NULL;
2345 : }
2346 2802 : y = m = Fp_pow(utoi(k), q, p);
2347 9509 : for (i=1; i<e; i++)
2348 6707 : if (equali1(m = Fp_sqr(m, p))) break;
2349 2802 : if (i == e) break; /* success */
2350 : }
2351 2802 : return y;
2352 : }
2353 :
2354 : /* Return NULL if p is found to be composite */
2355 : GEN
2356 980 : Fp_2gener(GEN p)
2357 980 : { return Fp_2gener_all(vali(subis(p,1)),p); }
2358 :
2359 : /* smallest square root */
2360 : static GEN
2361 27550 : choose_sqrt(GEN v, GEN p)
2362 : {
2363 27550 : pari_sp av = avma;
2364 27550 : GEN q = subii(p,v);
2365 27550 : if (cmpii(v,q) > 0) v = q; else set_avma(av);
2366 27550 : return v;
2367 : }
2368 : /* Tonelli-Shanks. Assume p is prime and return NULL if (a,p) = -1. */
2369 : GEN
2370 3492990 : Fp_sqrt_i(GEN a, GEN y, GEN p)
2371 : {
2372 3492990 : pari_sp av = avma;
2373 : long i, k, e;
2374 : GEN p1, q, v, w;
2375 :
2376 3492990 : if (typ(a) != t_INT) pari_err_TYPE("Fp_sqrt",a);
2377 3492990 : if (typ(p) != t_INT) pari_err_TYPE("Fp_sqrt",p);
2378 3492990 : if (signe(p) <= 0 || equali1(p)) pari_err_PRIME("Fp_sqrt",p);
2379 3492988 : if (lgefint(p) == 3)
2380 : {
2381 3465331 : ulong pp = uel(p,2), u = Fl_sqrt(umodiu(a, pp), pp);
2382 3465399 : if (u == ~0UL) return NULL;
2383 3465357 : return utoi(u);
2384 : }
2385 :
2386 27657 : a = modii(a, p); if (!signe(a)) { set_avma(av); return gen_0; }
2387 27566 : p1 = subiu(p,1); e = vali(p1);
2388 27566 : if (e <= 2)
2389 : { /* direct formulas more efficient */
2390 : pari_sp av2;
2391 22558 : if (e == 0) pari_err_PRIME("Fp_sqrt [modulus]",p); /* p != 2 */
2392 22558 : if (e == 1)
2393 : {
2394 13362 : q = addiu(shifti(p1,-2),1); /* (p+1) / 4 */
2395 13362 : v = Fp_pow(a, q, p);
2396 : }
2397 : else
2398 : { /* Atkin's formula */
2399 9196 : GEN i, a2 = shifti(a,1);
2400 9196 : if (cmpii(a2,p) >= 0) a2 = subii(a2,p);
2401 9196 : q = shifti(p1, -3); /* (p-5)/8 */
2402 9196 : v = Fp_pow(a2, q, p);
2403 9196 : i = Fp_mul(a2, Fp_sqr(v,p), p); /* i^2 = -1 */
2404 9196 : v = Fp_mul(a, Fp_mul(v, subiu(i,1), p), p);
2405 : }
2406 22558 : av2 = avma;
2407 : /* must check equality in case (a/p) = -1 or p not prime */
2408 22558 : e = equalii(Fp_sqr(v,p), a); set_avma(av2);
2409 22558 : return e? gerepileuptoint(av,choose_sqrt(v,p)): NULL;
2410 : }
2411 : /* On average, Cipolla is better than Tonelli/Shanks if and only if
2412 : * e(e-1) > 8*log2(n)+20, see LNCS 2286 pp 430 [GTL] */
2413 5008 : if (e*(e-1) > 20 + 8 * expi(p))
2414 : {
2415 8 : v = sqrt_Cipolla(a,p); if (!v) return gc_NULL(av);
2416 8 : return gerepileuptoint(av,v);
2417 : }
2418 5000 : if (!y)
2419 : {
2420 1822 : y = Fp_2gener_all(e, p);
2421 1822 : if (!y) pari_err_PRIME("Fp_sqrt [modulus]",p);
2422 : }
2423 5000 : q = shifti(p1,-e); /* q = (p-1)/2^oo is odd */
2424 5000 : p1 = Fp_pow(a, shifti(q,-1), p); /* a ^ (q-1)/2 */
2425 5000 : v = Fp_mul(a, p1, p);
2426 5000 : w = Fp_mul(v, p1, p);
2427 17074 : while (!equali1(w))
2428 : { /* a*w = v^2, y primitive 2^e-th root of 1
2429 : a square --> w even power of y, hence w^(2^(e-1)) = 1 */
2430 7074 : p1 = Fp_sqr(w,p);
2431 7074 : for (k=1; !equali1(p1) && k < e; k++) p1 = Fp_sqr(p1,p);
2432 7074 : if (k == e) return gc_NULL(av); /* p composite or (a/p) != 1 */
2433 : /* w ^ (2^k) = 1 --> w = y ^ (u * 2^(e-k)), u odd */
2434 7074 : p1 = y;
2435 7074 : for (i=1; i < e-k; i++) p1 = Fp_sqr(p1,p);
2436 7074 : y = Fp_sqr(p1, p); e = k;
2437 7074 : w = Fp_mul(y, w, p);
2438 7074 : v = Fp_mul(v, p1, p);
2439 7074 : if (gc_needed(av,1))
2440 : {
2441 0 : if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"Fp_sqrt");
2442 0 : gerepileall(av,3, &y,&w,&v);
2443 : }
2444 : }
2445 5000 : return gerepileuptoint(av, choose_sqrt(v,p));
2446 : }
2447 :
2448 : GEN
2449 3478562 : Fp_sqrt(GEN a, GEN p)
2450 : {
2451 3478562 : return Fp_sqrt_i(a, NULL, p);
2452 : }
2453 :
2454 : /*********************************************************************/
2455 : /** **/
2456 : /** GCD & BEZOUT **/
2457 : /** **/
2458 : /*********************************************************************/
2459 :
2460 : GEN
2461 21622204 : lcmii(GEN x, GEN y)
2462 : {
2463 : pari_sp av;
2464 : GEN a, b;
2465 21622204 : if (!signe(x) || !signe(y)) return gen_0;
2466 21622204 : av = avma;
2467 21622204 : a = gcdii(x,y); if (!equali1(a)) y = diviiexact(y,a);
2468 21622154 : b = mulii(x,y); setabssign(b); return gerepileuptoint(av, b);
2469 : }
2470 :
2471 : /* given x in assume 0 < x < N; return u in (Z/NZ)^* such that u x = gcd(x,N) (mod N);
2472 : * set *pd = gcd(x,N) */
2473 : GEN
2474 4173970 : Fp_invgen(GEN x, GEN N, GEN *pd)
2475 : {
2476 : GEN d, d0, e, v;
2477 4173970 : if (lgefint(N) == 3)
2478 : {
2479 3645278 : ulong dd, NN = N[2], xx = umodiu(x,NN);
2480 3645278 : if (!xx) { *pd = N; return gen_0; }
2481 3645278 : xx = Fl_invgen(xx, NN, &dd);
2482 3645278 : *pd = utoi(dd); return utoi(xx);
2483 : }
2484 528692 : *pd = d = bezout(x, N, &v, NULL);
2485 528692 : if (equali1(d)) return v;
2486 : /* vx = gcd(x,N) (mod N), v coprime to N/d but need not be coprime to N */
2487 442914 : e = diviiexact(N,d);
2488 442914 : d0 = Z_ppo(d, e); /* d = d0 d1, d0 coprime to N/d, rad(d1) | N/d */
2489 442914 : if (equali1(d0)) return v;
2490 310550 : if (!equalii(d,d0)) e = lcmii(e, diviiexact(d,d0));
2491 310550 : return Z_chinese_coprime(v, gen_1, e, d0, mulii(e,d0));
2492 : }
2493 :
2494 : /*********************************************************************/
2495 : /** **/
2496 : /** CHINESE REMAINDERS **/
2497 : /** **/
2498 : /*********************************************************************/
2499 :
2500 : /* Chinese Remainder Theorem. x and y must have the same type (integermod,
2501 : * polymod, or polynomial/vector/matrix recursively constructed with these
2502 : * as coefficients). Creates (with the same type) a z in the same residue
2503 : * class as x and the same residue class as y, if it is possible.
2504 : *
2505 : * We also allow (during recursion) two identical objects even if they are
2506 : * not integermod or polymod. For example:
2507 : *
2508 : * ? x = [1, Mod(5, 11), Mod(X + Mod(2, 7), X^2 + 1)];
2509 : * ? y = [1, Mod(7, 17), Mod(X + Mod(0, 3), X^2 + 1)];
2510 : * ? chinese(x, y)
2511 : * %3 = [1, Mod(16, 187), Mod(X + mod(9, 21), X^2 + 1)] */
2512 :
2513 : static GEN
2514 585279 : gen_chinese(GEN x, GEN(*f)(GEN,GEN))
2515 : {
2516 585279 : GEN z = gassoc_proto(f,x,NULL);
2517 585272 : if (z == gen_1) retmkintmod(gen_0,gen_1);
2518 585237 : return z;
2519 : }
2520 :
2521 : /* x t_INTMOD, y t_POLMOD; promote x to t_POLMOD mod Pol(x.mod) then
2522 : * call chinese: makes Mod(0,1) a better "neutral" element */
2523 : static GEN
2524 21 : chinese_intpol(GEN x,GEN y)
2525 : {
2526 21 : pari_sp av = avma;
2527 21 : GEN z = mkpolmod(gel(x,2), scalarpol_shallow(gel(x,1), varn(gel(y,1))));
2528 21 : return gerepileupto(av, chinese(z, y));
2529 : }
2530 :
2531 : GEN
2532 49 : chinese1(GEN x) { return gen_chinese(x,chinese); }
2533 :
2534 : GEN
2535 16504 : chinese(GEN x, GEN y)
2536 : {
2537 : pari_sp av;
2538 16504 : long tx = typ(x), ty;
2539 : GEN z,p1,p2,d,u,v;
2540 :
2541 16504 : if (!y) return chinese1(x);
2542 16455 : if (gidentical(x,y)) return gcopy(x);
2543 16448 : ty = typ(y);
2544 16448 : if (tx == ty) switch(tx)
2545 : {
2546 : case t_POLMOD:
2547 : {
2548 28 : GEN A = gel(x,1), B = gel(y,1);
2549 28 : GEN a = gel(x,2), b = gel(y,2);
2550 28 : if (varn(A)!=varn(B)) pari_err_VAR("chinese",A,B);
2551 28 : if (RgX_equal(A,B)) retmkpolmod(chinese(a,b), gcopy(A)); /*same modulus*/
2552 28 : av = avma;
2553 28 : d = RgX_extgcd(A,B,&u,&v);
2554 28 : p2 = gsub(b, a);
2555 28 : if (!gequal0(gmod(p2, d))) break;
2556 28 : p1 = gdiv(A,d);
2557 28 : p2 = gadd(a, gmul(gmul(u,p1), p2));
2558 :
2559 28 : z = cgetg(3, t_POLMOD);
2560 28 : gel(z,1) = gmul(p1,B);
2561 28 : gel(z,2) = gmod(p2,gel(z,1));
2562 28 : return gerepileupto(av, z);
2563 : }
2564 : case t_INTMOD:
2565 : {
2566 16385 : GEN A = gel(x,1), B = gel(y,1);
2567 16385 : GEN a = gel(x,2), b = gel(y,2), c, d, C, U;
2568 16385 : z = cgetg(3,t_INTMOD);
2569 16385 : Z_chinese_pre(A, B, &C, &U, &d);
2570 16385 : c = Z_chinese_post(a, b, C, U, d);
2571 16385 : if (!c) pari_err_OP("chinese", x,y);
2572 16385 : set_avma((pari_sp)z);
2573 16385 : gel(z,1) = icopy(C);
2574 16385 : gel(z,2) = icopy(c); return z;
2575 : }
2576 : case t_POL:
2577 : {
2578 7 : long i, lx = lg(x), ly = lg(y);
2579 7 : if (varn(x) != varn(y)) break;
2580 7 : if (lx < ly) { swap(x,y); lswap(lx,ly); }
2581 7 : z = cgetg(lx, t_POL); z[1] = x[1];
2582 7 : for (i=2; i<ly; i++) gel(z,i) = chinese(gel(x,i),gel(y,i));
2583 7 : for ( ; i<lx; i++) gel(z,i) = gcopy(gel(x,i));
2584 7 : return z;
2585 : }
2586 :
2587 : case t_VEC: case t_COL: case t_MAT:
2588 : {
2589 : long i, lx;
2590 7 : z = cgetg_copy(x, &lx); if (lx!=lg(y)) break;
2591 7 : for (i=1; i<lx; i++) gel(z,i) = chinese(gel(x,i),gel(y,i));
2592 7 : return z;
2593 : }
2594 : }
2595 21 : if (tx == t_POLMOD && ty == t_INTMOD) return chinese_intpol(y,x);
2596 7 : if (ty == t_POLMOD && tx == t_INTMOD) return chinese_intpol(x,y);
2597 0 : pari_err_OP("chinese",x,y);
2598 : return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
2599 : }
2600 :
2601 : /* init chinese(Mod(.,A), Mod(.,B)) */
2602 : void
2603 237878 : Z_chinese_pre(GEN A, GEN B, GEN *pC, GEN *pU, GEN *pd)
2604 : {
2605 237878 : GEN u, d = bezout(A,B,&u,NULL); /* U = u(A/d), u(A/d) + v(B/d) = 1 */
2606 237879 : GEN t = diviiexact(A,d);
2607 237870 : *pU = mulii(u, t);
2608 237861 : *pC = mulii(t, B);
2609 237859 : if (pd) *pd = d;
2610 237859 : }
2611 : /* Assume C = lcm(A, B), U = 0 mod (A/d), U = 1 mod (B/d), a = b mod d,
2612 : * where d = gcd(A,B) or NULL, return x = a (mod A), b (mod B).
2613 : * If d not NULL, check whether a = b mod d. */
2614 : GEN
2615 1198708 : Z_chinese_post(GEN a, GEN b, GEN C, GEN U, GEN d)
2616 : {
2617 : GEN b_a;
2618 1198708 : if (!signe(a))
2619 : {
2620 410330 : if (d && !dvdii(b, d)) return NULL;
2621 410330 : return Fp_mul(b, U, C);
2622 : }
2623 788378 : b_a = subii(b,a);
2624 788378 : if (d && !dvdii(b_a, d)) return NULL;
2625 788378 : return modii(addii(a, mulii(U, b_a)), C);
2626 : }
2627 : static ulong
2628 2332724 : u_chinese_post(ulong a, ulong b, ulong C, ulong U)
2629 : {
2630 2332724 : if (!a) return Fl_mul(b, U, C);
2631 2332724 : return Fl_add(a, Fl_mul(U, Fl_sub(b,a,C), C), C);
2632 : }
2633 :
2634 : GEN
2635 2142 : Z_chinese(GEN a, GEN b, GEN A, GEN B)
2636 : {
2637 2142 : pari_sp av = avma;
2638 2142 : GEN C, U; Z_chinese_pre(A, B, &C, &U, NULL);
2639 2142 : return gerepileuptoint(av, Z_chinese_post(a,b, C, U, NULL));
2640 : }
2641 : GEN
2642 219295 : Z_chinese_all(GEN a, GEN b, GEN A, GEN B, GEN *pC)
2643 : {
2644 219295 : GEN U; Z_chinese_pre(A, B, pC, &U, NULL);
2645 219276 : return Z_chinese_post(a,b, *pC, U, NULL);
2646 : }
2647 :
2648 : /* return lift(chinese(a mod A, b mod B))
2649 : * assume(A,B)=1, a,b,A,B integers and C = A*B */
2650 : GEN
2651 311600 : Z_chinese_coprime(GEN a, GEN b, GEN A, GEN B, GEN C)
2652 : {
2653 311600 : pari_sp av = avma;
2654 311600 : GEN U = mulii(Fp_inv(A,B), A);
2655 311600 : return gerepileuptoint(av, Z_chinese_post(a,b,C,U, NULL));
2656 : }
2657 : ulong
2658 2332724 : u_chinese_coprime(ulong a, ulong b, ulong A, ulong B, ulong C)
2659 2332724 : { return u_chinese_post(a,b,C, A * Fl_inv(A % B,B)); }
2660 :
2661 : /* chinese1 for coprime moduli in Z */
2662 : static GEN
2663 648981 : chinese1_coprime_Z_aux(GEN x, GEN y)
2664 : {
2665 648981 : GEN z = cgetg(3, t_INTMOD);
2666 648981 : GEN A = gel(x,1), a = gel(x, 2);
2667 648981 : GEN B = gel(y,1), b = gel(y, 2), C = mulii(A,B);
2668 648981 : pari_sp av = avma;
2669 648981 : GEN U = mulii(Fp_inv(A,B), A);
2670 648981 : gel(z,2) = gerepileuptoint(av, Z_chinese_post(a,b,C,U, NULL));
2671 648981 : gel(z,1) = C; return z;
2672 : }
2673 : GEN
2674 585230 : chinese1_coprime_Z(GEN x) {return gen_chinese(x,chinese1_coprime_Z_aux);}
2675 :
2676 : /*********************************************************************/
2677 : /** **/
2678 : /** MODULAR EXPONENTIATION **/
2679 : /** **/
2680 : /*********************************************************************/
2681 :
2682 : /* xa, ya = t_VECSMALL */
2683 : GEN
2684 1236425 : ZV_producttree(GEN xa)
2685 : {
2686 1236425 : long n = lg(xa)-1;
2687 1236425 : long m = n==1 ? 1: expu(n-1)+1;
2688 1236408 : GEN T = cgetg(m+1, t_VEC), t;
2689 : long i, j, k;
2690 1236320 : t = cgetg(((n+1)>>1)+1, t_VEC);
2691 1236230 : if (typ(xa)==t_VECSMALL)
2692 : {
2693 1016119 : for (j=1, k=1; k<n; j++, k+=2)
2694 590617 : gel(t, j) = muluu(xa[k], xa[k+1]);
2695 425502 : if (k==n) gel(t, j) = utoi(xa[k]);
2696 : } else {
2697 1856036 : for (j=1, k=1; k<n; j++, k+=2)
2698 1045299 : gel(t, j) = mulii(gel(xa,k), gel(xa,k+1));
2699 810737 : if (k==n) gel(t, j) = icopy(gel(xa,k));
2700 : }
2701 1236182 : gel(T,1) = t;
2702 1964604 : for (i=2; i<=m; i++)
2703 : {
2704 728433 : GEN u = gel(T, i-1);
2705 728433 : long n = lg(u)-1;
2706 728433 : t = cgetg(((n+1)>>1)+1, t_VEC);
2707 1661736 : for (j=1, k=1; k<n; j++, k+=2)
2708 933314 : gel(t, j) = mulii(gel(u, k), gel(u, k+1));
2709 728422 : if (k==n) gel(t, j) = gel(u, k);
2710 728422 : gel(T, i) = t;
2711 : }
2712 1236171 : return T;
2713 : }
2714 :
2715 : /* return [A mod P[i], i=1..#P], T = ZV_producttree(P) */
2716 : GEN
2717 15721661 : Z_ZV_mod_tree(GEN A, GEN P, GEN T)
2718 : {
2719 : long i,j,k;
2720 15721661 : long m = lg(T)-1, n = lg(P)-1;
2721 : GEN t;
2722 15721661 : GEN Tp = cgetg(m+1, t_VEC);
2723 15619979 : gel(Tp, m) = mkvec(A);
2724 25490322 : for (i=m-1; i>=1; i--)
2725 : {
2726 9877981 : GEN u = gel(T, i);
2727 9877981 : GEN v = gel(Tp, i+1);
2728 9877981 : long n = lg(u)-1;
2729 9877981 : t = cgetg(n+1, t_VEC);
2730 20199099 : for (j=1, k=1; k<n; j++, k+=2)
2731 : {
2732 10276678 : gel(t, k) = modii(gel(v, j), gel(u, k));
2733 10310104 : gel(t, k+1) = modii(gel(v, j), gel(u, k+1));
2734 : }
2735 9922421 : if (k==n) gel(t, k) = gel(v, j);
2736 9922421 : gel(Tp, i) = t;
2737 : }
2738 : {
2739 15612341 : GEN u = gel(T, i+1);
2740 15612341 : GEN v = gel(Tp, i+1);
2741 15612341 : long l = lg(u)-1;
2742 15612341 : if (typ(P)==t_VECSMALL)
2743 : {
2744 14376275 : GEN R = cgetg(n+1, t_VECSMALL);
2745 38149233 : for (j=1, k=1; j<=l; j++, k+=2)
2746 : {
2747 23656429 : uel(R,k) = umodiu(gel(v, j), P[k]);
2748 23780796 : if (k < n)
2749 16695500 : uel(R,k+1) = umodiu(gel(v, j), P[k+1]);
2750 : }
2751 14492804 : return R;
2752 : }
2753 : else
2754 : {
2755 1236066 : GEN R = cgetg(n+1, t_VEC);
2756 3405322 : for (j=1, k=1; j<=l; j++, k+=2)
2757 : {
2758 2169188 : gel(R,k) = modii(gel(v, j), gel(P,k));
2759 2169396 : if (k < n)
2760 1635813 : gel(R,k+1) = modii(gel(v, j), gel(P,k+1));
2761 : }
2762 1236134 : return R;
2763 : }
2764 : }
2765 : }
2766 :
2767 : /* T = ZV_producttree(P), R = ZV_chinesetree(P,T) */
2768 : GEN
2769 14100316 : ZV_chinese_tree(GEN A, GEN P, GEN T, GEN R)
2770 : {
2771 14100316 : long m = lg(T)-1, n = lg(A)-1;
2772 : long i,j,k;
2773 14100316 : GEN Tp = cgetg(m+1, t_VEC);
2774 14067502 : GEN M = gel(T, 1);
2775 14067502 : GEN t = cgetg(lg(M), t_VEC);
2776 14022933 : if (typ(P)==t_VECSMALL)
2777 : {
2778 28157229 : for (j=1, k=1; k<n; j++, k+=2)
2779 : {
2780 21002714 : pari_sp av = avma;
2781 21002714 : GEN a = mului(A[k], gel(R,k)), b = mului(A[k+1], gel(R,k+1));
2782 20850256 : GEN tj = modii(addii(mului(P[k],b), mului(P[k+1],a)), gel(M,j));
2783 20940918 : gel(t, j) = gerepileuptoint(av, tj);
2784 : }
2785 7154515 : if (k==n) gel(t, j) = modii(mului(A[k], gel(R,k)), gel(M, j));
2786 : } else
2787 : {
2788 20103624 : for (j=1, k=1; k<n; j++, k+=2)
2789 : {
2790 13263588 : pari_sp av = avma;
2791 13263588 : GEN a = mulii(gel(A,k), gel(R,k)), b = mulii(gel(A,k+1), gel(R,k+1));
2792 13146526 : GEN tj = modii(addii(mulii(gel(P,k),b), mulii(gel(P,k+1),a)), gel(M,j));
2793 13244875 : gel(t, j) = gerepileuptoint(av, tj);
2794 : }
2795 6840036 : if (k==n) gel(t, j) = modii(mulii(gel(A,k), gel(R,k)), gel(M, j));
2796 : }
2797 13964736 : gel(Tp, 1) = t;
2798 26760027 : for (i=2; i<=m; i++)
2799 : {
2800 12714887 : GEN u = gel(T, i-1), M = gel(T, i);
2801 12714887 : GEN t = cgetg(lg(M), t_VEC);
2802 12857881 : GEN v = gel(Tp, i-1);
2803 12857881 : long n = lg(v)-1;
2804 38319690 : for (j=1, k=1; k<n; j++, k+=2)
2805 : {
2806 25524399 : pari_sp av = avma;
2807 102097596 : gel(t, j) = gerepileuptoint(av, modii(addii(mulii(gel(u, k), gel(v, k+1)),
2808 76573197 : mulii(gel(u, k+1), gel(v, k))), gel(M, j)));
2809 : }
2810 12795291 : if (k==n) gel(t, j) = gel(v, k);
2811 12795291 : gel(Tp, i) = t;
2812 : }
2813 14045140 : return gmael(Tp,m,1);
2814 : }
2815 :
2816 : static GEN
2817 342752 : ncV_polint_center_tree(GEN vA, GEN P, GEN T, GEN R, GEN m2)
2818 : {
2819 342752 : long i, l = lg(gel(vA,1)), n = lg(P);
2820 342752 : GEN mod = gmael(T, lg(T)-1, 1), V = cgetg(l, t_COL);
2821 11186280 : for (i=1; i < l; i++)
2822 : {
2823 10845306 : pari_sp av = avma;
2824 10845306 : GEN c, A = cgetg(n, typ(P));
2825 : long j;
2826 10888553 : for (j=1; j < n; j++) A[j] = mael(vA,j,i);
2827 10888553 : c = Fp_center(ZV_chinese_tree(A, P, T, R), mod, m2);
2828 10872040 : gel(V,i) = gerepileuptoint(av, c);
2829 : }
2830 340974 : return V;
2831 : }
2832 :
2833 : static GEN
2834 149588 : nxV_polint_center_tree(GEN vA, GEN P, GEN T, GEN R, GEN m2)
2835 : {
2836 149588 : long i, j, l, n = lg(P);
2837 149588 : GEN mod = gmael(T, lg(T)-1, 1), V, w;
2838 149588 : w = cgetg(n, t_VECSMALL);
2839 149655 : for(j=1; j<n; j++) w[j] = lg(gel(vA,j));
2840 149655 : l = vecsmall_max(w);
2841 149723 : V = cgetg(l, t_POL);
2842 150094 : V[1] = mael(vA,1,1);
2843 717149 : for (i=2; i < l; i++)
2844 : {
2845 567790 : pari_sp av = avma;
2846 567790 : GEN c, A = cgetg(n, typ(P));
2847 567198 : if (typ(P)==t_VECSMALL)
2848 12400 : for (j=1; j < n; j++) A[j] = i < w[j] ? mael(vA,j,i): 0;
2849 : else
2850 554798 : for (j=1; j < n; j++) gel(A,j) = i < w[j] ? gmael(vA,j,i): gen_0;
2851 567198 : c = Fp_center(ZV_chinese_tree(A, P, T, R), mod, m2);
2852 568447 : gel(V,i) = gerepileuptoint(av, c);
2853 : }
2854 149359 : return ZX_renormalize(V, l);
2855 : }
2856 :
2857 : static GEN
2858 6249 : nxCV_polint_center_tree(GEN vA, GEN P, GEN T, GEN R, GEN m2)
2859 : {
2860 6249 : long i, j, l = lg(gel(vA,1)), n = lg(P);
2861 6249 : GEN A = cgetg(n, t_VEC);
2862 6249 : GEN V = cgetg(l, t_COL);
2863 121069 : for (i=1; i < l; i++)
2864 : {
2865 114869 : for (j=1; j < n; j++) gel(A,j) = gmael(vA,j,i);
2866 114869 : gel(V,i) = nxV_polint_center_tree(A, P, T, R, m2);
2867 : }
2868 6200 : return V;
2869 : }
2870 :
2871 : static GEN
2872 104414 : polint_chinese(GEN worker, GEN mA, GEN P)
2873 : {
2874 104414 : long cnt, pending, n, i, j, l = lg(gel(mA,1));
2875 : struct pari_mt pt;
2876 : GEN done, va, M, A;
2877 : pari_timer ti;
2878 :
2879 104414 : if (l == 1) return cgetg(1, t_MAT);
2880 52730 : cnt = pending = 0;
2881 52730 : n = lg(P);
2882 52730 : A = cgetg(n, t_VEC);
2883 52730 : va = mkvec(gen_0);
2884 52730 : M = cgetg(l, t_MAT);
2885 52730 : if (DEBUGLEVEL>4) timer_start(&ti);
2886 52730 : if (DEBUGLEVEL>5) err_printf("Start parallel Chinese remainder: ");
2887 52730 : mt_queue_start_lim(&pt, worker, l-1);
2888 347995 : for (i=1; i<l || pending; i++)
2889 : {
2890 : long workid;
2891 295265 : for(j=1; j < n; j++) gel(A,j) = gmael(mA,j,i);
2892 295265 : gel(va, 1) = A;
2893 295265 : mt_queue_submit(&pt, i, i<l? va: NULL);
2894 295265 : done = mt_queue_get(&pt, &workid, &pending);
2895 295265 : if (done)
2896 : {
2897 271711 : gel(M,workid) = done;
2898 271711 : if (DEBUGLEVEL>5) err_printf("%ld%% ",(++cnt)*100/(l-1));
2899 : }
2900 : }
2901 52730 : if (DEBUGLEVEL>5) err_printf("\n");
2902 52730 : if (DEBUGLEVEL>4) timer_printf(&ti, "nmV_chinese_center");
2903 52730 : mt_queue_end(&pt);
2904 52730 : return M;
2905 : }
2906 :
2907 : GEN
2908 5806 : nxMV_polint_center_tree_worker(GEN vA, GEN T, GEN R, GEN P, GEN m2)
2909 : {
2910 5806 : return nxCV_polint_center_tree(vA, P, T, R, m2);
2911 : }
2912 :
2913 : static GEN
2914 130 : nxMV_polint_center_tree_seq(GEN vA, GEN P, GEN T, GEN R, GEN m2)
2915 : {
2916 130 : long i, j, l = lg(gel(vA,1)), n = lg(P);
2917 130 : GEN A = cgetg(n, t_VEC);
2918 130 : GEN V = cgetg(l, t_MAT);
2919 573 : for (i=1; i < l; i++)
2920 : {
2921 443 : for (j=1; j < n; j++) gel(A,j) = gmael(vA,j,i);
2922 443 : gel(V,i) = nxCV_polint_center_tree(A, P, T, R, m2);
2923 : }
2924 130 : return V;
2925 : }
2926 :
2927 : static GEN
2928 420 : nxMV_polint_center_tree(GEN mA, GEN P, GEN T, GEN R, GEN m2)
2929 : {
2930 420 : GEN worker = snm_closure(is_entry("_nxMV_polint_worker"), mkvec4(T, R, P, m2));
2931 420 : return polint_chinese(worker, mA, P);
2932 : }
2933 :
2934 : static GEN
2935 4546 : nmV_polint_center_tree_seq(GEN vA, GEN P, GEN T, GEN R, GEN m2)
2936 : {
2937 4546 : long i, j, l = lg(gel(vA,1)), n = lg(P);
2938 4546 : GEN A = cgetg(n, t_VEC);
2939 4546 : GEN V = cgetg(l, t_MAT);
2940 77779 : for (i=1; i < l; i++)
2941 : {
2942 73231 : for (j=1; j < n; j++) gel(A,j) = gmael(vA,j,i);
2943 73231 : gel(V,i) = ncV_polint_center_tree(A, P, T, R, m2);
2944 : }
2945 4548 : return V;
2946 : }
2947 :
2948 : GEN
2949 265767 : nmV_polint_center_tree_worker(GEN vA, GEN T, GEN R, GEN P, GEN m2)
2950 : {
2951 265767 : return ncV_polint_center_tree(vA, P, T, R, m2);
2952 : }
2953 :
2954 : static GEN
2955 103994 : nmV_polint_center_tree(GEN mA, GEN P, GEN T, GEN R, GEN m2)
2956 : {
2957 103994 : GEN worker = snm_closure(is_entry("_polint_worker"), mkvec4(T, R, P, m2));
2958 103994 : return polint_chinese(worker, mA, P);
2959 : }
2960 :
2961 : /* return [A mod P[i], i=1..#P] */
2962 : GEN
2963 0 : Z_ZV_mod(GEN A, GEN P)
2964 : {
2965 0 : pari_sp av = avma;
2966 0 : return gerepilecopy(av, Z_ZV_mod_tree(A, P, ZV_producttree(P)));
2967 : }
2968 : /* P a t_VECSMALL */
2969 : GEN
2970 0 : Z_nv_mod(GEN A, GEN P)
2971 : {
2972 0 : pari_sp av = avma;
2973 0 : return gerepileuptoleaf(av, Z_ZV_mod_tree(A, P, ZV_producttree(P)));
2974 : }
2975 : /* B a ZX, T = ZV_producttree(P) */
2976 : GEN
2977 425024 : ZX_nv_mod_tree(GEN B, GEN A, GEN T)
2978 : {
2979 : pari_sp av;
2980 425024 : long i, j, l = lg(B), n = lg(A)-1;
2981 425024 : GEN V = cgetg(n+1, t_VEC);
2982 1691793 : for (j=1; j <= n; j++)
2983 : {
2984 1265660 : gel(V, j) = cgetg(l, t_VECSMALL);
2985 1265276 : mael(V, j, 1) = B[1]&VARNBITS;
2986 : }
2987 426133 : av = avma;
2988 9748764 : for (i=2; i < l; i++)
2989 : {
2990 9324717 : GEN v = Z_ZV_mod_tree(gel(B, i), A, T);
2991 36957721 : for (j=1; j <= n; j++)
2992 27631182 : mael(V, j, i) = v[j];
2993 9326539 : set_avma(av);
2994 : }
2995 1688819 : for (j=1; j <= n; j++)
2996 1264424 : (void) Flx_renormalize(gel(V, j), l);
2997 424395 : return V;
2998 : }
2999 :
3000 : static GEN
3001 3371 : to_ZX(GEN a, long v) { return typ(a)==t_INT? scalarpol(a,v): a; }
3002 :
3003 : GEN
3004 394 : ZXX_nv_mod_tree(GEN P, GEN xa, GEN T, long w)
3005 : {
3006 394 : pari_sp av = avma;
3007 394 : long i, j, l = lg(P), n = lg(xa)-1, vP = varn(P);
3008 394 : GEN V = cgetg(n+1, t_VEC);
3009 1389 : for (j=1; j <= n; j++)
3010 : {
3011 995 : gel(V, j) = cgetg(l, t_POL);
3012 995 : mael(V, j, 1) = vP;
3013 : }
3014 1827 : for (i=2; i < l; i++)
3015 : {
3016 1432 : GEN v = ZX_nv_mod_tree(to_ZX(gel(P, i), w), xa, T);
3017 4914 : for (j=1; j <= n; j++)
3018 3481 : gmael(V, j, i) = gel(v,j);
3019 : }
3020 1393 : for (j=1; j <= n; j++)
3021 998 : (void) FlxX_renormalize(gel(V, j), l);
3022 395 : return gerepilecopy(av, V);
3023 : }
3024 :
3025 : GEN
3026 443 : ZXC_nv_mod_tree(GEN C, GEN xa, GEN T, long w)
3027 : {
3028 443 : pari_sp av = avma;
3029 443 : long i, j, l = lg(C), n = lg(xa)-1;
3030 443 : GEN V = cgetg(n+1, t_VEC);
3031 1567 : for (j = 1; j <= n; j++)
3032 1124 : gel(V, j) = cgetg(l, t_COL);
3033 2382 : for (i = 1; i < l; i++)
3034 : {
3035 1939 : GEN v = ZX_nv_mod_tree(to_ZX(gel(C, i), w), xa, T);
3036 6761 : for (j = 1; j <= n; j++)
3037 4822 : gmael(V, j, i) = gel(v,j);
3038 : }
3039 443 : return gerepilecopy(av, V);
3040 : }
3041 :
3042 : GEN
3043 130 : ZXM_nv_mod_tree(GEN M, GEN xa, GEN T, long w)
3044 : {
3045 130 : pari_sp av = avma;
3046 130 : long i, j, l = lg(M), n = lg(xa)-1;
3047 130 : GEN V = cgetg(n+1, t_VEC);
3048 469 : for (j=1; j <= n; j++)
3049 339 : gel(V, j) = cgetg(l, t_MAT);
3050 573 : for (i=1; i < l; i++)
3051 : {
3052 443 : GEN v = ZXC_nv_mod_tree(gel(M, i), xa, T, w);
3053 1567 : for (j=1; j <= n; j++)
3054 1124 : gmael(V, j, i) = gel(v,j);
3055 : }
3056 130 : return gerepilecopy(av, V);
3057 : }
3058 :
3059 : GEN
3060 163102 : ZV_nv_mod_tree(GEN B, GEN A, GEN T)
3061 : {
3062 : pari_sp av;
3063 163102 : long i, j, l = lg(B), n = lg(A)-1;
3064 163102 : GEN V = cgetg(n+1, t_VEC);
3065 573631 : for (j=1; j <= n; j++)
3066 411384 : gel(V, j) = cgetg(l, t_VECSMALL);
3067 162247 : av = avma;
3068 5337531 : for (i=1; i < l; i++)
3069 : {
3070 5174499 : GEN v = Z_ZV_mod_tree(gel(B, i), A, T);
3071 18285304 : for (j=1; j <= n; j++)
3072 13077186 : mael(V, j, i) = v[j];
3073 5208118 : set_avma(av);
3074 : }
3075 163032 : return V;
3076 : }
3077 :
3078 : GEN
3079 15592 : ZM_nv_mod_tree(GEN M, GEN xa, GEN T)
3080 : {
3081 15592 : pari_sp av = avma;
3082 15592 : long i, j, l = lg(M), n = lg(xa)-1;
3083 15592 : GEN V = cgetg(n+1, t_VEC);
3084 54279 : for (j=1; j <= n; j++)
3085 38659 : gel(V, j) = cgetg(l, t_MAT);
3086 178656 : for (i=1; i < l; i++)
3087 : {
3088 163098 : GEN v = ZV_nv_mod_tree(gel(M, i), xa, T);
3089 575539 : for (j=1; j <= n; j++)
3090 412503 : gmael(V, j, i) = gel(v,j);
3091 : }
3092 15558 : return gerepilecopy(av, V);
3093 : }
3094 :
3095 : static GEN
3096 1232910 : ZV_sqr(GEN z)
3097 : {
3098 1232910 : long i,l = lg(z);
3099 1232910 : GEN x = cgetg(l, t_VEC);
3100 1232794 : if (typ(z)==t_VECSMALL)
3101 425466 : for (i=1; i<l; i++) gel(x,i) = sqru(z[i]);
3102 : else
3103 807328 : for (i=1; i<l; i++) gel(x,i) = sqri(gel(z,i));
3104 1232733 : return x;
3105 : }
3106 :
3107 : static GEN
3108 6368794 : ZT_sqr(GEN z)
3109 : {
3110 6368794 : if (typ(z) == t_INT)
3111 3181711 : return sqri(z);
3112 : else
3113 : {
3114 3187083 : long i,l = lg(z);
3115 3187083 : GEN x = cgetg(l, t_VEC);
3116 3186636 : for (i=1; i<l; i++) gel(x,i) = ZT_sqr(gel(z,i));
3117 3188720 : return x;
3118 : }
3119 : }
3120 :
3121 : static GEN
3122 1232679 : ZV_invdivexact(GEN y, GEN x)
3123 : {
3124 1232679 : long i, l = lg(y);
3125 1232679 : GEN z = cgetg(l,t_VEC);
3126 1232873 : if (typ(x)==t_VECSMALL)
3127 1814489 : for (i=1; i<l; i++)
3128 : {
3129 1389146 : pari_sp av = avma;
3130 1389146 : ulong a = Fl_inv(umodiu(diviuexact(gel(y,i),x[i]), x[i]), x[i]);
3131 1389978 : set_avma(av);
3132 1389681 : gel(z,i) = utoipos(a);
3133 : }
3134 : else
3135 3198179 : for (i=1; i<l; i++)
3136 2390853 : gel(z,i) = Fp_inv(diviiexact(gel(y,i), gel(x,i)), gel(x,i));
3137 1232669 : return z;
3138 : }
3139 :
3140 : /* P t_VECSMALL or t_VEC of t_INT */
3141 : GEN
3142 1232213 : ZV_chinesetree(GEN P, GEN T)
3143 : {
3144 1232213 : GEN T2 = ZT_sqr(T), P2 = ZV_sqr(P);
3145 1232716 : GEN mod = gmael(T,lg(T)-1,1);
3146 1232716 : return ZV_invdivexact(Z_ZV_mod_tree(mod, P2, T2), P);
3147 : }
3148 :
3149 : static GEN
3150 201545 : gc_chinese(pari_sp av, GEN T, GEN a, GEN *pt_mod)
3151 : {
3152 201545 : if (!pt_mod)
3153 2559 : return gerepileupto(av, a);
3154 : else
3155 : {
3156 198986 : GEN mod = gmael(T, lg(T)-1, 1);
3157 198986 : gerepileall(av, 2, &a, &mod);
3158 198987 : *pt_mod = mod;
3159 198987 : return a;
3160 : }
3161 : }
3162 :
3163 : GEN
3164 48512 : ZV_chinese_center(GEN A, GEN P, GEN *pt_mod)
3165 : {
3166 48512 : pari_sp av = avma;
3167 48512 : GEN T = ZV_producttree(P);
3168 48512 : GEN R = ZV_chinesetree(P, T);
3169 48512 : GEN a = ZV_chinese_tree(A, P, T, R);
3170 48511 : GEN mod = gmael(T, lg(T)-1, 1);
3171 48511 : GEN ca = Fp_center(a, mod, shifti(mod,-1));
3172 48511 : return gc_chinese(av, T, ca, pt_mod);
3173 : }
3174 :
3175 : GEN
3176 12822 : ZV_chinese(GEN A, GEN P, GEN *pt_mod)
3177 : {
3178 12822 : pari_sp av = avma;
3179 12822 : GEN T = ZV_producttree(P);
3180 12822 : GEN R = ZV_chinesetree(P, T);
3181 12822 : GEN a = ZV_chinese_tree(A, P, T, R);
3182 12822 : return gc_chinese(av, T, a, pt_mod);
3183 : }
3184 :
3185 : GEN
3186 2494 : nxV_chinese_center_tree(GEN A, GEN P, GEN T, GEN R)
3187 : {
3188 2494 : pari_sp av = avma;
3189 2494 : GEN m2 = shifti(gmael(T, lg(T)-1, 1), -1);
3190 2494 : GEN a = nxV_polint_center_tree(A, P, T, R, m2);
3191 2496 : return gerepileupto(av, a);
3192 : }
3193 :
3194 : GEN
3195 32038 : nxV_chinese_center(GEN A, GEN P, GEN *pt_mod)
3196 : {
3197 32038 : pari_sp av = avma;
3198 32038 : GEN T = ZV_producttree(P);
3199 32038 : GEN R = ZV_chinesetree(P, T);
3200 32038 : GEN m2 = shifti(gmael(T, lg(T)-1, 1), -1);
3201 32038 : GEN a = nxV_polint_center_tree(A, P, T, R, m2);
3202 32038 : return gc_chinese(av, T, a, pt_mod);
3203 : }
3204 :
3205 : GEN
3206 3760 : ncV_chinese_center(GEN A, GEN P, GEN *pt_mod)
3207 : {
3208 3760 : pari_sp av = avma;
3209 3760 : GEN T = ZV_producttree(P);
3210 3760 : GEN R = ZV_chinesetree(P, T);
3211 3760 : GEN m2 = shifti(gmael(T, lg(T)-1, 1), -1);
3212 3760 : GEN a = ncV_polint_center_tree(A, P, T, R, m2);
3213 3760 : return gc_chinese(av, T, a, pt_mod);
3214 : }
3215 :
3216 : GEN
3217 0 : nmV_chinese_center_tree(GEN A, GEN P, GEN T, GEN R)
3218 : {
3219 0 : pari_sp av = avma;
3220 0 : GEN m2 = shifti(gmael(T, lg(T)-1, 1), -1);
3221 0 : GEN a = nmV_polint_center_tree(A, P, T, R, m2);
3222 0 : return gerepileupto(av, a);
3223 : }
3224 :
3225 : GEN
3226 4549 : nmV_chinese_center_tree_seq(GEN A, GEN P, GEN T, GEN R)
3227 : {
3228 4549 : pari_sp av = avma;
3229 4549 : GEN m2 = shifti(gmael(T, lg(T)-1, 1), -1);
3230 4546 : GEN a = nmV_polint_center_tree_seq(A, P, T, R, m2);
3231 4548 : return gerepileupto(av, a);
3232 : }
3233 :
3234 : GEN
3235 103994 : nmV_chinese_center(GEN A, GEN P, GEN *pt_mod)
3236 : {
3237 103994 : pari_sp av = avma;
3238 103994 : GEN T = ZV_producttree(P);
3239 103994 : GEN R = ZV_chinesetree(P, T);
3240 103994 : GEN m2 = shifti(gmael(T, lg(T)-1, 1), -1);
3241 103994 : GEN a = nmV_polint_center_tree(A, P, T, R, m2);
3242 103994 : return gc_chinese(av, T, a, pt_mod);
3243 : }
3244 :
3245 : GEN
3246 130 : nxMV_chinese_center_tree_seq(GEN A, GEN P, GEN T, GEN R)
3247 : {
3248 130 : pari_sp av = avma;
3249 130 : GEN m2 = shifti(gmael(T, lg(T)-1, 1), -1);
3250 130 : GEN a = nxMV_polint_center_tree_seq(A, P, T, R, m2);
3251 130 : return gerepileupto(av, a);
3252 : }
3253 :
3254 : GEN
3255 420 : nxMV_chinese_center(GEN A, GEN P, GEN *pt_mod)
3256 : {
3257 420 : pari_sp av = avma;
3258 420 : GEN T = ZV_producttree(P);
3259 420 : GEN R = ZV_chinesetree(P, T);
3260 420 : GEN m2 = shifti(gmael(T, lg(T)-1, 1), -1);
3261 420 : GEN a = nxMV_polint_center_tree(A, P, T, R, m2);
3262 420 : return gc_chinese(av, T, a, pt_mod);
3263 : }
3264 :
3265 : /**********************************************************************
3266 : ** **
3267 : ** Powering over (Z/NZ)^*, small N **
3268 : ** **
3269 : **********************************************************************/
3270 :
3271 : /* 2^n mod p; assume n > 1 */
3272 : static ulong
3273 19480646 : Fl_2powu_pre(ulong n, ulong p, ulong pi)
3274 : {
3275 19480646 : ulong y = 2;
3276 19480646 : int j = 1+bfffo(n);
3277 : /* normalize, i.e set highest bit to 1 (we know n != 0) */
3278 19480646 : n<<=j; j = BITS_IN_LONG-j; /* first bit is now implicit */
3279 359842425 : for (; j; n<<=1,j--)
3280 : {
3281 340460112 : y = Fl_sqr_pre(y,p,pi);
3282 340295504 : if (n & HIGHBIT) y = Fl_double(y, p);
3283 : }
3284 19382313 : return y;
3285 : }
3286 :
3287 : /* 2^n mod p; assume n > 1 and !(p & HIGHMASK) */
3288 : static ulong
3289 798306 : Fl_2powu(ulong n, ulong p)
3290 : {
3291 798306 : ulong y = 2;
3292 798306 : int j = 1+bfffo(n);
3293 : /* normalize, i.e set highest bit to 1 (we know n != 0) */
3294 798306 : n<<=j; j = BITS_IN_LONG-j; /* first bit is now implicit */
3295 2890715 : for (; j; n<<=1,j--)
3296 : {
3297 2092405 : y = (y*y) % p;
3298 2092405 : if (n & HIGHBIT) y = Fl_double(y, p);
3299 : }
3300 798310 : return y;
3301 : }
3302 :
3303 : ulong
3304 94856970 : Fl_powu_pre(ulong x, ulong n0, ulong p, ulong pi)
3305 : {
3306 : ulong y, z, n;
3307 94856970 : if (n0 <= 1)
3308 : { /* frequent special cases */
3309 11515817 : if (n0 == 1) return x;
3310 3162839 : if (n0 == 0) return 1;
3311 : }
3312 83341153 : if (x <= 2)
3313 : {
3314 21262969 : if (x == 2) return Fl_2powu_pre(n0, p, pi);
3315 1854510 : return x; /* 0 or 1 */
3316 : }
3317 62078184 : y = 1; z = x; n = n0;
3318 : for(;;)
3319 : {
3320 1024750202 : if (n&1) y = Fl_mul_pre(y,z,p,pi);
3321 543482152 : n>>=1; if (!n) return y;
3322 481463020 : z = Fl_sqr_pre(z,p,pi);
3323 : }
3324 : }
3325 :
3326 : ulong
3327 41511449 : Fl_powu(ulong x, ulong n0, ulong p)
3328 : {
3329 : ulong y, z, n;
3330 41511449 : if (n0 <= 2)
3331 : { /* frequent special cases */
3332 34600908 : if (n0 == 2) return Fl_sqr(x,p);
3333 5066004 : if (n0 == 1) return x;
3334 81206 : if (n0 == 0) return 1;
3335 : }
3336 6910541 : if (x <= 1) return x; /* 0 or 1 */
3337 6854839 : if (p & HIGHMASK)
3338 631297 : return Fl_powu_pre(x, n0, p, get_Fl_red(p));
3339 6223542 : if (x == 2) return Fl_2powu(n0, p);
3340 5425237 : y = 1; z = x; n = n0;
3341 : for(;;)
3342 : {
3343 85590979 : if (n&1) y = (y*z) % p;
3344 45508108 : n>>=1; if (!n) return y;
3345 40082871 : z = (z*z) % p;
3346 : }
3347 : }
3348 :
3349 : /* Reduce data dependency to maximize internal parallelism */
3350 : GEN
3351 11046440 : Fl_powers_pre(ulong x, long n, ulong p, ulong pi)
3352 : {
3353 : long i, k;
3354 11046440 : GEN powers = cgetg(n + 2, t_VECSMALL);
3355 11060998 : powers[1] = 1; if (n == 0) return powers;
3356 11060998 : powers[2] = x;
3357 46491515 : for (i = 3, k=2; i <= n; i+=2, k++)
3358 : {
3359 35446358 : powers[i] = Fl_sqr_pre(powers[k], p, pi);
3360 35431407 : powers[i+1] = Fl_mul_pre(powers[k], powers[k+1], p, pi);
3361 : }
3362 11045157 : if (i==n+1)
3363 9656391 : powers[i] = Fl_sqr_pre(powers[k], p, pi);
3364 11045237 : return powers;
3365 : }
3366 :
3367 : GEN
3368 3311 : Fl_powers(ulong x, long n, ulong p)
3369 : {
3370 3311 : return Fl_powers_pre(x, n, p, get_Fl_red(p));
3371 : }
3372 :
3373 : /**********************************************************************
3374 : ** **
3375 : ** Powering over (Z/NZ)^*, large N **
3376 : ** **
3377 : **********************************************************************/
3378 :
3379 : static GEN
3380 4292078 : Fp_dblsqr(GEN x, GEN N)
3381 : {
3382 4292078 : GEN z = shifti(Fp_sqr(x, N), 1);
3383 4292079 : return cmpii(z, N) >= 0? subii(z, N): z;
3384 : }
3385 :
3386 : typedef struct muldata {
3387 : GEN (*sqr)(void * E, GEN x);
3388 : GEN (*mul)(void * E, GEN x, GEN y);
3389 : GEN (*mul2)(void * E, GEN x);
3390 : } muldata;
3391 :
3392 : /* modified Barrett reduction with one fold */
3393 : /* See Fast Modular Reduction, W. Hasenplaugh, G. Gaubatz, V. Gopal, ARITH 18 */
3394 :
3395 : static GEN
3396 12002 : Fp_invmBarrett(GEN p, long s)
3397 : {
3398 12002 : GEN R, Q = dvmdii(int2n(3*s),p,&R);
3399 12002 : return mkvec2(Q,R);
3400 : }
3401 :
3402 : /* a <= (N-1)^2, 2^(2s-2) <= N < 2^(2s). Return 0 <= r < N such that
3403 : * a = r (mod N) */
3404 : static GEN
3405 4238299 : Fp_rem_mBarrett(GEN a, GEN B, long s, GEN N)
3406 : {
3407 4238299 : pari_sp av = avma;
3408 4238299 : GEN P = gel(B, 1), Q = gel(B, 2); /* 2^(3s) = P N + Q, 0 <= Q < N */
3409 4238299 : long t = expi(P)+1; /* 2^(t-1) <= P < 2^t */
3410 4238299 : GEN u = shifti(a, -3*s), v = remi2n(a, 3*s); /* a = 2^(3s)u + v */
3411 4238299 : GEN A = addii(v, mulii(Q,u)); /* 0 <= A < 2^(3s+1) */
3412 4238299 : GEN q = shifti(mulii(shifti(A, t-3*s), P), -t); /* A/N - 4 < q <= A/N */
3413 4238299 : GEN r = subii(A, mulii(q, N));
3414 4238299 : GEN sr= subii(r,N); /* 0 <= r < 4*N */
3415 4238299 : if (signe(sr)<0) return gerepileuptoint(av, r);
3416 2552618 : r=sr; sr = subii(r,N); /* 0 <= r < 3*N */
3417 2552618 : if (signe(sr)<0) return gerepileuptoint(av, r);
3418 98419 : r=sr; sr = subii(r,N); /* 0 <= r < 2*N */
3419 98419 : return gerepileuptoint(av, signe(sr)>=0 ? sr:r);
3420 : }
3421 :
3422 : /* Montgomery reduction */
3423 :
3424 : INLINE ulong
3425 278834 : init_montdata(GEN N) { return (ulong) -invmod2BIL(mod2BIL(N)); }
3426 :
3427 : struct montred
3428 : {
3429 : GEN N;
3430 : ulong inv;
3431 : };
3432 :
3433 : /* Montgomery reduction */
3434 : static GEN
3435 32002200 : _sqr_montred(void * E, GEN x)
3436 : {
3437 32002200 : struct montred * D = (struct montred *) E;
3438 32002200 : return red_montgomery(sqri(x), D->N, D->inv);
3439 : }
3440 :
3441 : /* Montgomery reduction */
3442 : static GEN
3443 2443870 : _mul_montred(void * E, GEN x, GEN y)
3444 : {
3445 2443870 : struct montred * D = (struct montred *) E;
3446 2443870 : return red_montgomery(mulii(x, y), D->N, D->inv);
3447 : }
3448 :
3449 : static GEN
3450 5862606 : _mul2_montred(void * E, GEN x)
3451 : {
3452 5862606 : struct montred * D = (struct montred *) E;
3453 5862606 : GEN z = shifti(_sqr_montred(E, x), 1);
3454 5862591 : long l = lgefint(D->N);
3455 5862591 : while (lgefint(z) > l) z = subii(z, D->N);
3456 5862594 : return z;
3457 : }
3458 :
3459 : static GEN
3460 13019220 : _sqr_remii(void* N, GEN x)
3461 13019220 : { return remii(sqri(x), (GEN) N); }
3462 :
3463 : static GEN
3464 942038 : _mul_remii(void* N, GEN x, GEN y)
3465 942038 : { return remii(mulii(x, y), (GEN) N); }
3466 :
3467 : static GEN
3468 3027708 : _mul2_remii(void* N, GEN x)
3469 3027708 : { return Fp_dblsqr(x, (GEN) N); }
3470 :
3471 : struct redbarrett
3472 : {
3473 : GEN iM, N;
3474 : long s;
3475 : };
3476 :
3477 : static GEN
3478 3829512 : _sqr_remiibar(void *E, GEN x)
3479 : {
3480 3829512 : struct redbarrett * D = (struct redbarrett *) E;
3481 3829512 : return Fp_rem_mBarrett(sqri(x), D->iM, D->s, D->N);
3482 : }
3483 :
3484 : static GEN
3485 408787 : _mul_remiibar(void *E, GEN x, GEN y)
3486 : {
3487 408787 : struct redbarrett * D = (struct redbarrett *) E;
3488 408787 : return Fp_rem_mBarrett(mulii(x, y), D->iM, D->s, D->N);
3489 : }
3490 :
3491 : static GEN
3492 1264370 : _mul2_remiibar(void *E, GEN x)
3493 : {
3494 1264370 : struct redbarrett * D = (struct redbarrett *) E;
3495 1264370 : return Fp_dblsqr(x, D->N);
3496 : }
3497 :
3498 : static long
3499 382928 : Fp_select_red(GEN *y, ulong k, GEN N, long lN, muldata *D, void **pt_E)
3500 : {
3501 382928 : if (lN >= Fp_POW_BARRETT_LIMIT && (k==0 || ((double)k)*expi(*y) > 2 + expi(N)))
3502 : {
3503 12002 : struct redbarrett * E = (struct redbarrett *) stack_malloc(sizeof(struct redbarrett));
3504 12002 : D->sqr = &_sqr_remiibar;
3505 12002 : D->mul = &_mul_remiibar;
3506 12002 : D->mul2 = &_mul2_remiibar;
3507 12002 : E->N = N;
3508 12002 : E->s = 1+(expi(N)>>1);
3509 12002 : E->iM = Fp_invmBarrett(N, E->s);
3510 12002 : *pt_E = (void*) E;
3511 12002 : return 0;
3512 : }
3513 370926 : else if (mod2(N) && lN < Fp_POW_REDC_LIMIT)
3514 : {
3515 278792 : struct montred * E = (struct montred *) stack_malloc(sizeof(struct montred));
3516 278792 : *y = remii(shifti(*y, bit_accuracy(lN)), N);
3517 278825 : D->sqr = &_sqr_montred;
3518 278825 : D->mul = &_mul_montred;
3519 278825 : D->mul2 = &_mul2_montred;
3520 278825 : E->N = N;
3521 278825 : E->inv = init_montdata(N);
3522 278823 : *pt_E = (void*) E;
3523 278823 : return 1;
3524 : }
3525 : else
3526 : {
3527 92164 : D->sqr = &_sqr_remii;
3528 92164 : D->mul = &_mul_remii;
3529 92164 : D->mul2 = &_mul2_remii;
3530 92164 : *pt_E = (void*) N;
3531 92164 : return 0;
3532 : }
3533 : }
3534 :
3535 : GEN
3536 1465275 : Fp_powu(GEN A, ulong k, GEN N)
3537 : {
3538 1465275 : long lN = lgefint(N);
3539 : int base_is_2, use_montgomery;
3540 : muldata D;
3541 : void *E;
3542 : pari_sp av;
3543 :
3544 1465275 : if (lN == 3) {
3545 86310 : ulong n = uel(N,2);
3546 86310 : return utoi( Fl_powu(umodiu(A, n), k, n) );
3547 : }
3548 1378965 : if (k <= 2)
3549 : { /* frequent special cases */
3550 1134823 : if (k == 2) return Fp_sqr(A,N);
3551 143706 : if (k == 1) return A;
3552 0 : if (k == 0) return gen_1;
3553 : }
3554 244142 : av = avma; A = modii(A,N);
3555 244142 : base_is_2 = 0;
3556 244142 : if (lgefint(A) == 3) switch(A[2])
3557 : {
3558 740 : case 1: set_avma(av); return gen_1;
3559 34536 : case 2: base_is_2 = 1; break;
3560 : }
3561 :
3562 : /* TODO: Move this out of here and use for general modular computations */
3563 243402 : use_montgomery = Fp_select_red(&A, k, N, lN, &D, &E);
3564 243405 : if (base_is_2)
3565 34536 : A = gen_powu_fold_i(A, k, E, D.sqr, D.mul2);
3566 : else
3567 208869 : A = gen_powu_i(A, k, E, D.sqr, D.mul);
3568 243404 : if (use_montgomery)
3569 : {
3570 200085 : A = red_montgomery(A, N, ((struct montred *) E)->inv);
3571 200086 : if (cmpii(A, N) >= 0) A = subii(A,N);
3572 : }
3573 243405 : return gerepileuptoint(av, A);
3574 : }
3575 :
3576 : GEN
3577 22302 : Fp_pows(GEN A, long k, GEN N)
3578 : {
3579 22302 : if (lgefint(N) == 3) {
3580 7813 : ulong n = N[2];
3581 7813 : ulong a = umodiu(A, n);
3582 7813 : if (k < 0) {
3583 126 : a = Fl_inv(a, n);
3584 126 : k = -k;
3585 : }
3586 7813 : return utoi( Fl_powu(a, (ulong)k, n) );
3587 : }
3588 14489 : if (k < 0) { A = Fp_inv(A, N); k = -k; };
3589 14489 : return Fp_powu(A, (ulong)k, N);
3590 : }
3591 :
3592 : /* A^K mod N */
3593 : GEN
3594 9950681 : Fp_pow(GEN A, GEN K, GEN N)
3595 : {
3596 : pari_sp av;
3597 9950681 : long s, lN = lgefint(N), sA;
3598 : int base_is_2, use_montgomery;
3599 : GEN y;
3600 : muldata D;
3601 : void *E;
3602 :
3603 9950681 : s = signe(K);
3604 9950681 : if (!s) return dvdii(A,N)? gen_0: gen_1;
3605 9788172 : if (lN == 3 && lgefint(K) == 3)
3606 : {
3607 9526388 : ulong n = N[2], a = umodiu(A, n);
3608 9526479 : if (s < 0) a = Fl_inv(a, n);
3609 9526478 : if (a <= 1) return utoi(a); /* 0 or 1 */
3610 8830877 : return utoi(Fl_powu(a, uel(K,2), n));
3611 : }
3612 :
3613 261784 : av = avma;
3614 261784 : if (s < 0) y = Fp_inv(A,N);
3615 : else
3616 : {
3617 261314 : y = modii(A,N);
3618 261293 : if (!signe(y)) { set_avma(av); return gen_0; }
3619 : }
3620 261763 : if (lgefint(K) == 3) return gerepileuptoint(av, Fp_powu(y, K[2], N));
3621 :
3622 139608 : base_is_2 = 0;
3623 139608 : sA = signe(y)==-1 && mod2(K);
3624 139608 : if (lgefint(y) == 3) switch(y[2])
3625 : {
3626 82 : case 1: return sA ? gen_m1 : gen_1;
3627 97635 : case 2: base_is_2 = 1; break;
3628 : }
3629 :
3630 : /* TODO: Move this out of here and use for general modular computations */
3631 139526 : use_montgomery = Fp_select_red(&y, 0UL, N, lN, &D, &E);
3632 139575 : if (base_is_2)
3633 97649 : y = gen_pow_fold_i(y, K, E, D.sqr, D.mul2);
3634 : else
3635 41926 : y = gen_pow_i(y, K, E, D.sqr, D.mul);
3636 139598 : if (use_montgomery)
3637 : {
3638 78750 : y = red_montgomery(y, N, ((struct montred *) E)->inv);
3639 78747 : if (cmpii(y,N) >= 0) y = subii(y,N);
3640 78743 : if (sA) y = subii(N, y);
3641 : }
3642 139591 : return gerepileuptoint(av,y);
3643 : }
3644 :
3645 : static GEN
3646 1966968 : _Fp_mul(void *E, GEN x, GEN y) { return Fp_mul(x,y,(GEN)E); }
3647 :
3648 : static GEN
3649 23500 : _Fp_sqr(void *E, GEN x) { return Fp_sqr(x,(GEN)E); }
3650 :
3651 : static GEN
3652 55230 : _Fp_one(void *E) { (void) E; return gen_1; }
3653 :
3654 : GEN
3655 84 : Fp_pow_init(GEN x, GEN n, long k, GEN p)
3656 : {
3657 84 : return gen_pow_init(x, n, k, (void*)p, &_Fp_sqr, &_Fp_mul);
3658 : }
3659 :
3660 : GEN
3661 55090 : Fp_pow_table(GEN R, GEN n, GEN p)
3662 : {
3663 55090 : return gen_pow_table(R, n, (void*)p, &_Fp_one, &_Fp_mul);
3664 : }
3665 :
3666 : GEN
3667 2016 : Fp_powers(GEN x, long n, GEN p)
3668 : {
3669 2016 : if (lgefint(p) == 3)
3670 1876 : return Flv_to_ZV(Fl_powers(umodiu(x, uel(p, 2)), n, uel(p, 2)));
3671 140 : return gen_powers(x, n, 1, (void*)p, _Fp_sqr, _Fp_mul, _Fp_one);
3672 : }
3673 :
3674 : static GEN
3675 7179370 : _Fp_pow(void *E, GEN x, GEN n) { return Fp_pow(x,n,(GEN)E); }
3676 :
3677 : static GEN
3678 112 : _Fp_rand(void *E) { return addiu(randomi(subiu((GEN)E,1)),1); }
3679 :
3680 : static GEN Fp_easylog(void *E, GEN a, GEN g, GEN ord);
3681 :
3682 : static const struct bb_group Fp_star={_Fp_mul,_Fp_pow,_Fp_rand,hash_GEN,
3683 : equalii,equali1,Fp_easylog};
3684 :
3685 : static GEN
3686 673855 : _Fp_red(void *E, GEN x) { return Fp_red(x, (GEN)E); }
3687 :
3688 : static GEN
3689 684958 : _Fp_add(void *E, GEN x, GEN y) { (void) E; return addii(x,y); }
3690 :
3691 : static GEN
3692 608296 : _Fp_neg(void *E, GEN x) { (void) E; return negi(x); }
3693 :
3694 : static GEN
3695 444564 : _Fp_rmul(void *E, GEN x, GEN y) { (void) E; return mulii(x,y); }
3696 :
3697 : static GEN
3698 32865 : _Fp_inv(void *E, GEN x) { return Fp_inv(x,(GEN)E); }
3699 :
3700 : static int
3701 191047 : _Fp_equal0(GEN x) { return signe(x)==0; }
3702 :
3703 : static GEN
3704 26877 : _Fp_s(void *E, long x) { (void) E; return stoi(x); }
3705 :
3706 : static const struct bb_field Fp_field={_Fp_red,_Fp_add,_Fp_rmul,_Fp_neg,
3707 : _Fp_inv,_Fp_equal0,_Fp_s};
3708 :
3709 7371 : const struct bb_field *get_Fp_field(void **E, GEN p)
3710 : {
3711 7371 : *E = (void*)p; return &Fp_field;
3712 : }
3713 :
3714 : /*********************************************************************/
3715 : /** **/
3716 : /** ORDER of INTEGERMOD x in (Z/nZ)* **/
3717 : /** **/
3718 : /*********************************************************************/
3719 : ulong
3720 12453 : Fl_order(ulong a, ulong o, ulong p)
3721 : {
3722 12453 : pari_sp av = avma;
3723 : GEN m, P, E;
3724 : long i;
3725 12453 : if (!o) o = p-1;
3726 12453 : m = factoru(o);
3727 12453 : P = gel(m,1);
3728 12453 : E = gel(m,2);
3729 29946 : for (i = lg(P)-1; i; i--)
3730 : {
3731 17493 : ulong j, l = P[i], e = E[i], t = o / upowuu(l,e), y = Fl_powu(a, t, p);
3732 17493 : if (y == 1) o = t;
3733 15316 : else for (j = 1; j < e; j++)
3734 : {
3735 4319 : y = Fl_powu(y, l, p);
3736 4319 : if (y == 1) { o = t * upowuu(l, j); break; }
3737 : }
3738 : }
3739 12453 : return gc_ulong(av, o);
3740 : }
3741 :
3742 : /*Find the exact order of a assuming a^o==1*/
3743 : GEN
3744 10858 : Fp_order(GEN a, GEN o, GEN p) {
3745 10858 : if (lgefint(p) == 3 && (!o || typ(o) == t_INT))
3746 : {
3747 21 : ulong pp = p[2], oo = (o && lgefint(o)==3)? uel(o,2): pp-1;
3748 21 : return utoi( Fl_order(umodiu(a, pp), oo, pp) );
3749 : }
3750 10837 : return gen_order(a, o, (void*)p, &Fp_star);
3751 : }
3752 : GEN
3753 56 : Fp_factored_order(GEN a, GEN o, GEN p)
3754 56 : { return gen_factored_order(a, o, (void*)p, &Fp_star); }
3755 :
3756 : /* return order of a mod p^e, e > 0, pe = p^e */
3757 : static GEN
3758 70 : Zp_order(GEN a, GEN p, long e, GEN pe)
3759 : {
3760 : GEN ap, op;
3761 70 : if (absequaliu(p, 2))
3762 : {
3763 56 : if (e == 1) return gen_1;
3764 56 : if (e == 2) return mod4(a) == 1? gen_1: gen_2;
3765 49 : if (mod4(a) == 1)
3766 14 : op = gen_1;
3767 : else {
3768 35 : op = gen_2;
3769 35 : a = Fp_sqr(a, pe);
3770 : }
3771 : } else {
3772 14 : ap = (e == 1)? a: remii(a,p);
3773 14 : op = Fp_order(ap, subiu(p,1), p);
3774 14 : if (e == 1) return op;
3775 0 : a = Fp_pow(a, op, pe); /* 1 mod p */
3776 : }
3777 49 : if (equali1(a)) return op;
3778 7 : return mulii(op, powiu(p, e - Z_pval(subiu(a,1), p)));
3779 : }
3780 :
3781 : GEN
3782 63 : znorder(GEN x, GEN o)
3783 : {
3784 63 : pari_sp av = avma;
3785 : GEN b, a;
3786 :
3787 63 : if (typ(x) != t_INTMOD) pari_err_TYPE("znorder [t_INTMOD expected]",x);
3788 56 : b = gel(x,1); a = gel(x,2);
3789 56 : if (!equali1(gcdii(a,b))) pari_err_COPRIME("znorder", a,b);
3790 49 : if (!o)
3791 : {
3792 35 : GEN fa = Z_factor(b), P = gel(fa,1), E = gel(fa,2);
3793 35 : long i, l = lg(P);
3794 35 : o = gen_1;
3795 70 : for (i = 1; i < l; i++)
3796 : {
3797 35 : GEN p = gel(P,i);
3798 35 : long e = itos(gel(E,i));
3799 :
3800 35 : if (l == 2)
3801 35 : o = Zp_order(a, p, e, b);
3802 : else {
3803 0 : GEN pe = powiu(p,e);
3804 0 : o = lcmii(o, Zp_order(remii(a,pe), p, e, pe));
3805 : }
3806 : }
3807 35 : return gerepileuptoint(av, o);
3808 : }
3809 14 : return Fp_order(a, o, b);
3810 : }
3811 : GEN
3812 0 : order(GEN x) { return znorder(x, NULL); }
3813 :
3814 : /*********************************************************************/
3815 : /** **/
3816 : /** DISCRETE LOGARITHM in (Z/nZ)* **/
3817 : /** **/
3818 : /*********************************************************************/
3819 : static GEN
3820 59493 : Fp_log_halfgcd(ulong bnd, GEN C, GEN g, GEN p)
3821 : {
3822 59493 : pari_sp av = avma;
3823 : GEN h1, h2, F, G;
3824 59493 : if (!Fp_ratlift(g,p,C,shifti(C,-1),&h1,&h2)) return gc_NULL(av);
3825 35706 : if ((F = Z_issmooth_fact(h1, bnd)) && (G = Z_issmooth_fact(h2, bnd)))
3826 : {
3827 227 : GEN M = cgetg(3, t_MAT);
3828 227 : gel(M,1) = vecsmall_concat(gel(F, 1),gel(G, 1));
3829 227 : gel(M,2) = vecsmall_concat(gel(F, 2),zv_neg_inplace(gel(G, 2)));
3830 227 : return gerepileupto(av, M);
3831 : }
3832 35479 : return gc_NULL(av);
3833 : }
3834 :
3835 : static GEN
3836 59493 : Fp_log_find_rel(GEN b, ulong bnd, GEN C, GEN p, GEN *g, long *e)
3837 : {
3838 : GEN rel;
3839 : do
3840 : {
3841 59493 : (*e)++; *g = Fp_mul(*g, b, p);
3842 59493 : rel = Fp_log_halfgcd(bnd, C, *g, p);
3843 59493 : } while (!rel);
3844 227 : return rel;
3845 : }
3846 :
3847 : struct Fp_log_rel
3848 : {
3849 : GEN rel;
3850 : ulong prmax;
3851 : long nbrel, nbmax, nbgen;
3852 : };
3853 :
3854 : /* add u^e */
3855 : static void
3856 2583 : addifsmooth1(struct Fp_log_rel *r, GEN z, long u, long e)
3857 : {
3858 2583 : pari_sp av = avma;
3859 2583 : long off = r->prmax+1;
3860 2583 : GEN F = cgetg(3, t_MAT);
3861 2583 : gel(F,1) = vecsmall_append(gel(z,1), off+u);
3862 2583 : gel(F,2) = vecsmall_append(gel(z,2), e);
3863 2583 : gel(r->rel,++r->nbrel) = gerepileupto(av, F);
3864 2583 : }
3865 :
3866 : /* add u^-1 v^-1 */
3867 : static void
3868 99869 : addifsmooth2(struct Fp_log_rel *r, GEN z, long u, long v)
3869 : {
3870 99869 : pari_sp av = avma;
3871 99869 : long off = r->prmax+1;
3872 99869 : GEN P = mkvecsmall2(off+u,off+v), E = mkvecsmall2(-1,-1);
3873 99869 : GEN F = cgetg(3, t_MAT);
3874 99869 : gel(F,1) = vecsmall_concat(gel(z,1), P);
3875 99869 : gel(F,2) = vecsmall_concat(gel(z,2), E);
3876 99869 : gel(r->rel,++r->nbrel) = gerepileupto(av, F);
3877 99869 : }
3878 :
3879 : /*
3880 : Let p=C^2+c
3881 : Solve h = (C+x)*(C+a)-p = 0 [mod l]
3882 : h= -c+x*(C+a)+C*a = 0 [mod l]
3883 : x = (c-C*a)/(C+a) [mod l]
3884 : h = -c+C*(x+a)+a*x
3885 : */
3886 :
3887 : GEN
3888 39033 : Fp_log_sieve_worker(long a, long prmax, GEN C, GEN c, GEN Ci, GEN ci, GEN pi, GEN sz)
3889 : {
3890 39033 : pari_sp ltop = avma;
3891 39033 : long th = expi(mulis(C,a)), n = lg(pi)-1;
3892 : long i, j;
3893 39024 : GEN sieve = zero_zv(a+2)+1;
3894 39035 : GEN L = cgetg(1+a+2, t_VEC);
3895 39017 : pari_sp av = avma;
3896 39017 : long rel = 1;
3897 : GEN z, h;
3898 39017 : h = addis(C,a);
3899 39007 : if ((z = Z_issmooth_fact(h, prmax)))
3900 : {
3901 2415 : gel(L, rel++) = mkvec2(z, mkvecsmall3(1, a, -1));
3902 2414 : av = avma;
3903 : }
3904 16609365 : for(i=1; i<=n; i++)
3905 : {
3906 16570419 : ulong li = pi[i], s = sz[i], al = a % li;
3907 16570419 : ulong u, iv = Fl_invsafe(Fl_add(Ci[i],al,li),li);
3908 17035782 : if (!iv) continue;
3909 16607616 : u = Fl_mul(Fl_sub(ci[i],Fl_mul(Ci[i],al,li),li), iv ,li);
3910 76298060 : for(j = u; j<=a; j+=li)
3911 60170911 : sieve[j] += s;
3912 : }
3913 38946 : th = th - expu(th)-1;
3914 27873729 : for(j=0; j<a; j++)
3915 27834695 : if (sieve[j]>=th)
3916 : {
3917 111460 : GEN h = addiu(subii(muliu(C,a+j),c), a*j);
3918 111454 : if ((z = Z_issmooth_fact(h, prmax)))
3919 : {
3920 104751 : gel(L, rel++) = mkvec2(z, mkvecsmall3(2, a, j));
3921 104920 : av = avma;
3922 6638 : } else set_avma(av);
3923 : }
3924 : /* j = a */
3925 39034 : if (sieve[a]>=th)
3926 : {
3927 420 : GEN h = addiu(subii(muliu(C,2*a),c), a*a);
3928 420 : if ((z = Z_issmooth_fact(h, prmax)))
3929 : {
3930 343 : gel(L, rel++) = mkvec2(z, mkvecsmall3(1, a, -2));
3931 343 : av = avma;
3932 : }
3933 : }
3934 39034 : setlg(L, rel);
3935 39033 : return gerepilecopy(ltop, L);
3936 : }
3937 :
3938 : static long
3939 49 : Fp_log_sieve(struct Fp_log_rel *r, GEN C, GEN c, GEN Ci, GEN ci, GEN pi, GEN sz)
3940 : {
3941 : struct pari_mt pt;
3942 49 : long i, j, nb = 0;
3943 49 : GEN worker = snm_closure(is_entry("_Fp_log_sieve_worker"),
3944 : mkvecn(7, utoi(r->prmax), C, c, Ci, ci, pi, sz));
3945 49 : long running, pending = 0;
3946 49 : GEN W = zerovec(r->nbgen);
3947 49 : mt_queue_start_lim(&pt, worker, r->nbgen);
3948 39305 : for (i = 0; (running = (i < r->nbgen)) || pending; i++)
3949 : {
3950 : GEN done;
3951 : long idx;
3952 39256 : mt_queue_submit(&pt, i, running ? mkvec(stoi(i)): NULL);
3953 39256 : done = mt_queue_get(&pt, &idx, &pending);
3954 39256 : if (!done || lg(done)==1) continue;
3955 34146 : gel(W, idx+1) = done;
3956 34146 : nb += lg(done)-1;
3957 34146 : if (DEBUGLEVEL && (i&127)==0)
3958 0 : err_printf("%ld%% ",100*nb/r->nbmax);
3959 : }
3960 49 : mt_queue_end(&pt);
3961 37870 : for(j = 1; j <= r->nbgen && r->nbrel < r->nbmax; j++)
3962 : {
3963 : long ll, m;
3964 37821 : GEN L = gel(W,j);
3965 37821 : if (isintzero(L)) continue;
3966 32942 : ll = lg(L);
3967 135394 : for (m=1; m<ll && r->nbrel < r->nbmax ; m++)
3968 : {
3969 102452 : GEN Lm = gel(L,m), h = gel(Lm, 1), v = gel(Lm, 2);
3970 102452 : if (v[1] == 1)
3971 2583 : addifsmooth1(r, h, v[2], v[3]);
3972 : else
3973 99869 : addifsmooth2(r, h, v[2], v[3]);
3974 : }
3975 : }
3976 49 : return j;
3977 : }
3978 :
3979 : static GEN
3980 525 : ECP_psi(GEN x, GEN y)
3981 : {
3982 525 : long prec = realprec(x);
3983 525 : GEN lx = glog(x, prec), ly = glog(y, prec);
3984 525 : GEN u = gdiv(lx, ly);
3985 525 : return gpow(u, gneg(u),prec);
3986 : }
3987 :
3988 : struct computeG
3989 : {
3990 : GEN C;
3991 : long bnd, nbi;
3992 : };
3993 :
3994 : static GEN
3995 525 : _computeG(void *E, GEN gen)
3996 : {
3997 525 : struct computeG * d = (struct computeG *) E;
3998 525 : GEN ps = ECP_psi(gmul(gen,d->C), stoi(d->bnd));
3999 525 : return gsub(gmul(gsqr(gen),ps),gmul2n(gaddgs(gen,d->nbi),2));
4000 : }
4001 :
4002 : static long
4003 49 : compute_nbgen(GEN C, long bnd, long nbi)
4004 : {
4005 : struct computeG d;
4006 49 : d.C = shifti(C, 1);
4007 49 : d.bnd = bnd;
4008 49 : d.nbi = nbi;
4009 49 : return itos(ground(zbrent((void*)&d, _computeG, gen_2, stoi(bnd), DEFAULTPREC)));
4010 : }
4011 :
4012 : static GEN
4013 1367 : _psi(void*E, GEN y)
4014 : {
4015 1367 : GEN lx = (GEN) E;
4016 1367 : long prec = realprec(lx);
4017 1367 : GEN ly = glog(y, prec);
4018 1367 : GEN u = gdiv(lx, ly);
4019 1367 : return gsub(gdiv(y ,ly), gpow(u, u, prec));
4020 : }
4021 :
4022 : static GEN
4023 49 : opt_param(GEN x, long prec)
4024 : {
4025 49 : return zbrent((void*)glog(x,prec), _psi, gen_2, x, prec);
4026 : }
4027 :
4028 : static GEN
4029 49 : check_kernel(long nbg, long N, long prmax, GEN C, GEN M, GEN p, GEN m)
4030 : {
4031 49 : pari_sp av = avma;
4032 49 : long lM = lg(M)-1, nbcol = lM;
4033 49 : long tbs = maxss(1, expu(nbg/expi(m)));
4034 : for (;;)
4035 35 : {
4036 84 : GEN K = FpMs_leftkernel_elt_col(M, nbcol, N, m);
4037 : GEN tab;
4038 84 : long i, f=0;
4039 84 : long l = lg(K), lm = lgefint(m);
4040 84 : GEN idx = diviiexact(subiu(p,1),m), g;
4041 : pari_timer ti;
4042 84 : if (DEBUGLEVEL) timer_start(&ti);
4043 140 : for(i=1; i<l; i++)
4044 140 : if (signe(gel(K,i)))
4045 84 : break;
4046 84 : g = Fp_pow(utoi(i), idx, p);
4047 84 : tab = Fp_pow_init(g, p, tbs, p);
4048 84 : K = FpC_Fp_mul(K, Fp_inv(gel(K,i), m), m);
4049 130438 : for(i=1; i<l; i++)
4050 : {
4051 130354 : GEN k = gel(K,i);
4052 130354 : GEN j = i<=prmax ? utoi(i): addis(C,i-(prmax+1));
4053 130354 : if (signe(k)==0 || !equalii(Fp_pow_table(tab, k, p), Fp_pow(j, idx, p)))
4054 80542 : gel(K,i) = cgetineg(lm);
4055 : else
4056 49812 : f++;
4057 : }
4058 84 : if (DEBUGLEVEL) timer_printf(&ti,"found %ld/%ld logs", f, nbg);
4059 133 : if(f > (nbg>>1)) return gerepileupto(av, K);
4060 9877 : for(i=1; i<=nbcol; i++)
4061 : {
4062 9842 : long a = 1+random_Fl(lM);
4063 9842 : swap(gel(M,a),gel(M,i));
4064 : }
4065 35 : if (4*nbcol>5*nbg) nbcol = nbcol*9/10;
4066 : }
4067 : }
4068 :
4069 : static GEN
4070 98 : Fp_log_find_ind(GEN a, GEN K, long prmax, GEN C, GEN p, GEN m)
4071 : {
4072 98 : pari_sp av=avma;
4073 98 : GEN aa = gen_1;
4074 98 : long AV = 0;
4075 : for(;;)
4076 129 : {
4077 227 : GEN A = Fp_log_find_rel(a, prmax, C, p, &aa, &AV);
4078 227 : GEN F = gel(A,1), E = gel(A,2);
4079 227 : GEN Ao = gen_0;
4080 227 : long i, l = lg(F);
4081 1147 : for(i=1; i<l; i++)
4082 : {
4083 1049 : GEN Ki = gel(K,F[i]);
4084 1049 : if (signe(Ki)<0) break;
4085 920 : Ao = addii(Ao, mulis(Ki, E[i]));
4086 : }
4087 325 : if (i==l) return Fp_divu(Ao, AV, m);
4088 129 : aa = gerepileuptoint(av, aa);
4089 : }
4090 : }
4091 :
4092 : static GEN
4093 49 : Fp_log_index(GEN a, GEN b, GEN m, GEN p)
4094 : {
4095 49 : pari_sp av = avma, av2;
4096 49 : long i, j, nbi, nbr = 0, nbrow, nbg;
4097 : GEN C, c, Ci, ci, pi, pr, sz, l, Ao, Bo, K, d, p_1;
4098 : pari_timer ti;
4099 : struct Fp_log_rel r;
4100 49 : ulong bnds = itou(roundr_safe(opt_param(sqrti(p),DEFAULTPREC)));
4101 49 : ulong bnd = 4*bnds;
4102 49 : if (!bnds || cmpii(sqru(bnds),m)>=0) return NULL;
4103 :
4104 49 : p_1 = subiu(p,1);
4105 49 : if (!is_pm1(gcdii(m,diviiexact(p_1,m))))
4106 0 : m = diviiexact(p_1, Z_ppo(p_1, m));
4107 49 : pr = primes_upto_zv(bnd);
4108 49 : nbi = lg(pr)-1;
4109 49 : C = sqrtremi(p, &c);
4110 49 : av2 = avma;
4111 12236 : for (i = 1; i <= nbi; ++i)
4112 : {
4113 12187 : ulong lp = pr[i];
4114 37793 : while (lp <= bnd)
4115 : {
4116 13419 : nbr++;
4117 13419 : lp *= pr[i];
4118 : }
4119 : }
4120 49 : pi = cgetg(nbr+1,t_VECSMALL);
4121 49 : Ci = cgetg(nbr+1,t_VECSMALL);
4122 49 : ci = cgetg(nbr+1,t_VECSMALL);
4123 49 : sz = cgetg(nbr+1,t_VECSMALL);
4124 12236 : for (i = 1, j = 1; i <= nbi; ++i)
4125 : {
4126 12187 : ulong lp = pr[i], sp = expu(2*lp-1);
4127 37793 : while (lp <= bnd)
4128 : {
4129 13419 : pi[j] = lp;
4130 13419 : Ci[j] = umodiu(C, lp);
4131 13419 : ci[j] = umodiu(c, lp);
4132 13419 : sz[j] = sp;
4133 13419 : lp *= pr[i];
4134 13419 : j++;
4135 : }
4136 : }
4137 49 : r.nbrel = 0;
4138 49 : r.nbgen = compute_nbgen(C, bnd, nbi);
4139 49 : r.nbmax = 2*(nbi+r.nbgen);
4140 49 : r.rel = cgetg(r.nbmax+1,t_VEC);
4141 49 : r.prmax = pr[nbi];
4142 49 : if (DEBUGLEVEL)
4143 : {
4144 0 : err_printf("bnd=%lu Size FB=%ld extra gen=%ld \n", bnd, nbi, r.nbgen);
4145 0 : timer_start(&ti);
4146 : }
4147 49 : nbg = Fp_log_sieve(&r, C, c, Ci, ci, pi, sz);
4148 49 : nbrow = r.prmax + nbg;
4149 49 : if (DEBUGLEVEL)
4150 : {
4151 0 : err_printf("\n");
4152 0 : timer_printf(&ti," %ld relations, %ld generators", r.nbrel, nbi+nbg);
4153 : }
4154 49 : setlg(r.rel,r.nbrel+1);
4155 49 : r.rel = gerepilecopy(av2, r.rel);
4156 49 : K = check_kernel(nbi+nbrow-r.prmax, nbrow, r.prmax, C, r.rel, p, m);
4157 49 : if (DEBUGLEVEL) timer_start(&ti);
4158 49 : Ao = Fp_log_find_ind(a, K, r.prmax, C, p, m);
4159 49 : if (DEBUGLEVEL) timer_printf(&ti," log element");
4160 49 : Bo = Fp_log_find_ind(b, K, r.prmax, C, p, m);
4161 49 : if (DEBUGLEVEL) timer_printf(&ti," log generator");
4162 49 : d = gcdii(Ao,Bo);
4163 49 : l = Fp_div(diviiexact(Ao, d) ,diviiexact(Bo, d), m);
4164 49 : if (!equalii(a,Fp_pow(b,l,p))) pari_err_BUG("Fp_log_index");
4165 49 : return gerepileuptoint(av, l);
4166 : }
4167 :
4168 : static int
4169 1425356 : Fp_log_use_index(long e, long p)
4170 : {
4171 1425356 : return (e >= 27 && 20*(p+6)<=e*e);
4172 : }
4173 :
4174 : /* Trivial cases a = 1, -1. Return x s.t. g^x = a or [] if no such x exist */
4175 : static GEN
4176 2159272 : Fp_easylog(void *E, GEN a, GEN g, GEN ord)
4177 : {
4178 2159272 : pari_sp av = avma;
4179 2159272 : GEN p = (GEN)E;
4180 : /* assume a reduced mod p, p not necessarily prime */
4181 2159272 : if (equali1(a)) return gen_0;
4182 : /* p > 2 */
4183 1399082 : if (equalii(subiu(p,1), a)) /* -1 */
4184 : {
4185 : pari_sp av2;
4186 : GEN t;
4187 407661 : ord = get_arith_Z(ord);
4188 407661 : if (mpodd(ord)) { set_avma(av); return cgetg(1, t_VEC); } /* no solution */
4189 407647 : t = shifti(ord,-1); /* only possible solution */
4190 407647 : av2 = avma;
4191 407647 : if (!equalii(Fp_pow(g, t, p), a)) { set_avma(av); return cgetg(1, t_VEC); }
4192 407486 : set_avma(av2); return gerepileuptoint(av, t);
4193 : }
4194 991421 : if (typ(ord)==t_INT && BPSW_psp(p) && Fp_log_use_index(expi(ord),expi(p)))
4195 49 : return Fp_log_index(a, g, ord, p);
4196 991372 : return gc_NULL(av); /* not easy */
4197 : }
4198 :
4199 : GEN
4200 1171968 : Fp_log(GEN a, GEN g, GEN ord, GEN p)
4201 : {
4202 1171968 : GEN v = get_arith_ZZM(ord);
4203 1171940 : GEN F = gmael(v,2,1);
4204 1171940 : long lF = lg(F)-1, lmax;
4205 1171940 : if (lF == 0) return equali1(a)? gen_0: cgetg(1, t_VEC);
4206 1032950 : lmax = expi(gel(F,lF));
4207 1032950 : if (BPSW_psp(p) && Fp_log_use_index(lmax,expi(p)))
4208 56 : v = mkvec2(gel(v,1),ZM_famat_limit(gel(v,2),int2n(27)));
4209 1032950 : return gen_PH_log(a,g,v,(void*)p,&Fp_star);
4210 : }
4211 :
4212 : static ulong
4213 0 : Fl_log_naive(ulong a, ulong g, ulong ord, ulong p)
4214 : {
4215 0 : ulong i, h=1;
4216 0 : for(i=0; i<ord; i++, h = Fl_mul(h, g, p))
4217 0 : if(a==h) return i;
4218 0 : return ~0UL;
4219 : }
4220 :
4221 : static ulong
4222 18958 : Fl_log_naive_pre(ulong a, ulong g, ulong ord, ulong p, ulong pi)
4223 : {
4224 18958 : ulong i, h=1;
4225 47817 : for(i=0; i<ord; i++, h = Fl_mul_pre(h, g, p, pi))
4226 47817 : if(a==h) return i;
4227 0 : return ~0UL;
4228 : }
4229 :
4230 : static ulong
4231 0 : Fl_log_Fp(ulong a, ulong g, ulong ord, ulong p)
4232 : {
4233 0 : pari_sp av = avma;
4234 0 : GEN r = Fp_log(utoi(a),utoi(g),utoi(ord),utoi(p));
4235 0 : return gc_ulong(av, typ(r)==t_INT ? itou(r): ~0UL);
4236 : }
4237 :
4238 : ulong
4239 18958 : Fl_log_pre(ulong a, ulong g, ulong ord, ulong p, ulong pi)
4240 : {
4241 18958 : if (ord <= 200) return Fl_log_naive_pre(a, g, ord, p, pi);
4242 0 : return Fl_log_Fp(a, g, ord, p);
4243 : }
4244 :
4245 : ulong
4246 0 : Fl_log(ulong a, ulong g, ulong ord, ulong p)
4247 : {
4248 0 : if (ord <= 200)
4249 0 : return (p&HIGHMASK) ? Fl_log_naive_pre(a, g, ord, p, get_Fl_red(p))
4250 0 : : Fl_log_naive(a, g, ord, p);
4251 0 : return Fl_log_Fp(a, g, ord, p);
4252 : }
4253 :
4254 : /* find x such that h = g^x mod N > 1, N = prod_{i <= l} P[i]^E[i], P[i] prime.
4255 : * PHI[l] = eulerphi(N / P[l]^E[l]). Destroys P/E */
4256 : static GEN
4257 112 : znlog_rec(GEN h, GEN g, GEN N, GEN P, GEN E, GEN PHI)
4258 : {
4259 112 : long l = lg(P) - 1, e = E[l];
4260 112 : GEN p = gel(P, l), phi = gel(PHI,l), pe = e == 1? p: powiu(p, e);
4261 : GEN a,b, hp,gp, hpe,gpe, ogpe; /* = order(g mod p^e) | p^(e-1)(p-1) */
4262 :
4263 112 : if (l == 1) {
4264 84 : hpe = h;
4265 84 : gpe = g;
4266 : } else {
4267 28 : hpe = modii(h, pe);
4268 28 : gpe = modii(g, pe);
4269 : }
4270 112 : if (e == 1) {
4271 28 : hp = hpe;
4272 28 : gp = gpe;
4273 : } else {
4274 84 : hp = remii(hpe, p);
4275 84 : gp = remii(gpe, p);
4276 : }
4277 112 : if (hp == gen_0 || gp == gen_0) return NULL;
4278 91 : if (absequaliu(p, 2))
4279 : {
4280 35 : GEN n = int2n(e);
4281 35 : ogpe = Zp_order(gpe, gen_2, e, n);
4282 35 : a = Fp_log(hpe, gpe, ogpe, n);
4283 35 : if (typ(a) != t_INT) return NULL;
4284 : }
4285 : else
4286 : { /* Avoid black box groups: (Z/p^2)^* / (Z/p)^* ~ (Z/pZ, +), where DL
4287 : is trivial */
4288 : /* [order(gp), factor(order(gp))] */
4289 56 : GEN v = Fp_factored_order(gp, subiu(p,1), p);
4290 56 : GEN ogp = gel(v,1);
4291 56 : if (!equali1(Fp_pow(hp, ogp, p))) return NULL;
4292 56 : a = Fp_log(hp, gp, v, p);
4293 56 : if (typ(a) != t_INT) return NULL;
4294 56 : if (e == 1) ogpe = ogp;
4295 : else
4296 : { /* find a s.t. g^a = h (mod p^e), p odd prime, e > 0, (h,p) = 1 */
4297 : /* use p-adic log: O(log p + e) mul*/
4298 : long vpogpe, vpohpe;
4299 :
4300 28 : hpe = Fp_mul(hpe, Fp_pow(gpe, negi(a), pe), pe);
4301 28 : gpe = Fp_pow(gpe, ogp, pe);
4302 : /* g,h = 1 mod p; compute b s.t. h = g^b */
4303 :
4304 : /* v_p(order g mod pe) */
4305 28 : vpogpe = equali1(gpe)? 0: e - Z_pval(subiu(gpe,1), p);
4306 : /* v_p(order h mod pe) */
4307 28 : vpohpe = equali1(hpe)? 0: e - Z_pval(subiu(hpe,1), p);
4308 28 : if (vpohpe > vpogpe) return NULL;
4309 :
4310 28 : ogpe = mulii(ogp, powiu(p, vpogpe)); /* order g mod p^e */
4311 28 : if (is_pm1(gpe)) return is_pm1(hpe)? a: NULL;
4312 28 : b = gdiv(Qp_log(cvtop(hpe, p, e)), Qp_log(cvtop(gpe, p, e)));
4313 28 : a = addii(a, mulii(ogp, padic_to_Q(b)));
4314 : }
4315 : }
4316 : /* gp^a = hp => x = a mod ogpe => generalized Pohlig-Hellman strategy */
4317 77 : if (l == 1) return a;
4318 :
4319 28 : N = diviiexact(N, pe); /* make N coprime to p */
4320 28 : h = Fp_mul(h, Fp_pow(g, modii(negi(a), phi), N), N);
4321 28 : g = Fp_pow(g, modii(ogpe, phi), N);
4322 28 : setlg(P, l); /* remove last element */
4323 28 : setlg(E, l);
4324 28 : b = znlog_rec(h, g, N, P, E, PHI);
4325 28 : if (!b) return NULL;
4326 28 : return addmulii(a, b, ogpe);
4327 : }
4328 :
4329 : static GEN
4330 84 : get_PHI(GEN P, GEN E)
4331 : {
4332 84 : long i, l = lg(P);
4333 84 : GEN PHI = cgetg(l, t_VEC);
4334 84 : gel(PHI,1) = gen_1;
4335 112 : for (i=1; i<l-1; i++)
4336 : {
4337 28 : GEN t, p = gel(P,i);
4338 28 : long e = E[i];
4339 28 : t = mulii(powiu(p, e-1), subiu(p,1));
4340 28 : if (i > 1) t = mulii(t, gel(PHI,i));
4341 28 : gel(PHI,i+1) = t;
4342 : }
4343 84 : return PHI;
4344 : }
4345 :
4346 : GEN
4347 224 : znlog(GEN h, GEN g, GEN o)
4348 : {
4349 224 : pari_sp av = avma;
4350 : GEN N, fa, P, E, x;
4351 224 : switch (typ(g))
4352 : {
4353 : case t_PADIC:
4354 : {
4355 28 : GEN p = gel(g,2);
4356 28 : long v = valp(g);
4357 28 : if (v < 0) pari_err_DIM("znlog");
4358 28 : if (v > 0) {
4359 0 : long k = gvaluation(h, p);
4360 0 : if (k % v) return cgetg(1,t_VEC);
4361 0 : k /= v;
4362 0 : if (!gequal(h, gpowgs(g,k))) { set_avma(av); return cgetg(1,t_VEC); }
4363 0 : set_avma(av); return stoi(k);
4364 : }
4365 28 : N = gel(g,3);
4366 28 : g = Rg_to_Fp(g, N);
4367 28 : break;
4368 : }
4369 : case t_INTMOD:
4370 189 : N = gel(g,1);
4371 189 : g = gel(g,2); break;
4372 7 : default: pari_err_TYPE("znlog", g);
4373 : return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
4374 : }
4375 217 : if (equali1(N)) { set_avma(av); return gen_0; }
4376 217 : h = Rg_to_Fp(h, N);
4377 210 : if (o) return gerepileupto(av, Fp_log(h, g, o, N));
4378 84 : fa = Z_factor(N);
4379 84 : P = gel(fa,1);
4380 84 : E = vec_to_vecsmall(gel(fa,2));
4381 84 : x = znlog_rec(h, g, N, P, E, get_PHI(P,E));
4382 84 : if (!x) { set_avma(av); return cgetg(1,t_VEC); }
4383 49 : return gerepileuptoint(av, x);
4384 : }
4385 :
4386 : GEN
4387 61573 : Fp_sqrtn(GEN a, GEN n, GEN p, GEN *zeta)
4388 : {
4389 61573 : if (lgefint(p)==3)
4390 : {
4391 61181 : long nn = itos_or_0(n);
4392 61181 : if (nn)
4393 : {
4394 61181 : ulong pp = p[2];
4395 : ulong uz;
4396 61181 : ulong r = Fl_sqrtn(umodiu(a,pp),nn,pp, zeta ? &uz:NULL);
4397 61160 : if (r==ULONG_MAX) return NULL;
4398 61111 : if (zeta) *zeta = utoi(uz);
4399 61111 : return utoi(r);
4400 : }
4401 : }
4402 392 : a = modii(a,p);
4403 392 : if (!signe(a))
4404 : {
4405 0 : if (zeta) *zeta = gen_1;
4406 0 : if (signe(n) < 0) pari_err_INV("Fp_sqrtn", mkintmod(gen_0,p));
4407 0 : return gen_0;
4408 : }
4409 392 : if (absequaliu(n,2))
4410 : {
4411 224 : if (zeta) *zeta = subiu(p,1);
4412 224 : return signe(n) > 0 ? Fp_sqrt(a,p): Fp_sqrt(Fp_inv(a, p),p);
4413 : }
4414 168 : return gen_Shanks_sqrtn(a,n,subiu(p,1),zeta,(void*)p,&Fp_star);
4415 : }
4416 :
4417 : /*********************************************************************/
4418 : /** **/
4419 : /** FUNDAMENTAL DISCRIMINANTS **/
4420 : /** **/
4421 : /*********************************************************************/
4422 : static long
4423 1407 : fa_isfundamental(GEN F)
4424 : {
4425 1407 : GEN P = gel(F,1), E = gel(F,2);
4426 1407 : long i, s, l = lg(P);
4427 :
4428 1407 : if (l == 1) return 1;
4429 1400 : s = signe(gel(P,1)); /* = signe(x) */
4430 1400 : if (!s) return 0;
4431 1393 : if (s < 0) { l--; P = vecslice(P,2,l); E = vecslice(E,2,l); }
4432 1393 : if (l == 1) return 0;
4433 1386 : if (!absequaliu(gel(P,1), 2))
4434 686 : i = 1; /* need x = 1 mod 4 */
4435 : else
4436 : {
4437 700 : i = 2;
4438 700 : switch(itou(gel(E,1)))
4439 : {
4440 182 : case 2: s = -s; break; /* need x/4 = 3 mod 4 */
4441 84 : case 3: s = 0; break; /* no condition mod 4 */
4442 434 : default: return 0;
4443 : }
4444 : }
4445 1974 : for(; i < l; i++)
4446 : {
4447 1190 : if (!equali1(gel(E,i))) return 0;
4448 1022 : if (s && Mod4(gel(P,i)) == 3) s = -s;
4449 : }
4450 784 : return s >= 0;
4451 : }
4452 : long
4453 17584 : isfundamental(GEN x)
4454 : {
4455 17584 : if (typ(x) != t_INT)
4456 : {
4457 1407 : pari_sp av = avma;
4458 1407 : long v = fa_isfundamental(check_arith_all(x,"isfundamental"));
4459 1407 : return gc_long(av,v);
4460 : }
4461 16177 : return Z_isfundamental(x);
4462 : }
4463 :
4464 : /* x fundamental ? */
4465 : long
4466 12886 : uposisfundamental(ulong x)
4467 : {
4468 12886 : ulong r = x & 15; /* x mod 16 */
4469 12886 : if (!r) return 0;
4470 12165 : switch(r & 3)
4471 : { /* x mod 4 */
4472 2381 : case 0: return (r == 4)? 0: uissquarefree(x >> 2);
4473 3690 : case 1: return uissquarefree(x);
4474 6094 : default: return 0;
4475 : }
4476 : }
4477 : /* -x fundamental ? */
4478 : long
4479 28218 : unegisfundamental(ulong x)
4480 : {
4481 28218 : ulong r = x & 15; /* x mod 16 */
4482 28218 : if (!r) return 0;
4483 26783 : switch(r & 3)
4484 : { /* x mod 4 */
4485 5006 : case 0: return (r == 12)? 0: uissquarefree(x >> 2);
4486 11455 : case 3: return uissquarefree(x);
4487 10322 : default: return 0;
4488 : }
4489 : }
4490 : long
4491 19642 : sisfundamental(long x)
4492 19642 : { return x < 0? unegisfundamental((ulong)(-x)): uposisfundamental(x); }
4493 :
4494 : long
4495 16744 : Z_isfundamental(GEN x)
4496 : {
4497 : long r;
4498 16744 : switch(lgefint(x))
4499 : {
4500 7 : case 2: return 0;
4501 22217 : case 3: return signe(x) < 0? unegisfundamental(x[2])
4502 22217 : : uposisfundamental(x[2]);
4503 : }
4504 2010 : r = mod16(x);
4505 2010 : if (!r) return 0;
4506 1884 : if ((r & 3) == 0)
4507 : {
4508 : pari_sp av;
4509 376 : r >>= 2; /* |x|/4 mod 4 */
4510 376 : if (signe(x) < 0) r = 4-r;
4511 376 : if (r == 1) return 0;
4512 250 : av = avma;
4513 250 : r = Z_issquarefree( shifti(x,-2) );
4514 250 : return gc_long(av, r);
4515 : }
4516 1508 : r &= 3; /* |x| mod 4 */
4517 1508 : if (signe(x) < 0) r = 4-r;
4518 1508 : return (r==1) ? Z_issquarefree(x) : 0;
4519 : }
4520 :
4521 : static GEN
4522 2821 : fa_quaddisc(GEN f)
4523 : {
4524 2821 : GEN P = gel(f,1), E = gel(f,2), s = gen_1;
4525 2821 : long i, l = lg(P);
4526 9051 : for (i = 1; i < l; i++) /* possibly including -1 */
4527 6230 : if (mpodd(gel(E,i))) s = mulii(s, gel(P,i));
4528 2821 : if (Mod4(s) > 1) s = shifti(s,2);
4529 2821 : return s;
4530 : }
4531 :
4532 : GEN
4533 2821 : quaddisc(GEN x)
4534 : {
4535 2821 : const pari_sp av = avma;
4536 2821 : if (is_rational_t(typ(x))) x = factor(x);
4537 1407 : else x = check_arith_all(x,"quaddisc");
4538 2821 : return gerepileuptoint(av, fa_quaddisc(x));
4539 : }
4540 :
4541 : /*********************************************************************/
4542 : /** **/
4543 : /** FACTORIAL **/
4544 : /** **/
4545 : /*********************************************************************/
4546 : GEN
4547 196542 : mulu_interval_step(ulong a, ulong b, ulong step)
4548 : {
4549 196542 : pari_sp av = avma;
4550 : ulong k, l, N, n;
4551 : long lx;
4552 : GEN x;
4553 :
4554 196542 : if (!a) return gen_0;
4555 196542 : if (step == 1) return mulu_interval(a, b);
4556 196542 : n = 1 + (b-a) / step;
4557 196542 : b -= (b-a) % step;
4558 196542 : if (n < 61)
4559 : {
4560 195841 : if (n == 1) return utoipos(a);
4561 145210 : x = muluu(a,a+step); if (n == 2) return x;
4562 105031 : for (k=a+2*step; k<=b; k+=step) x = mului(k,x);
4563 105037 : return gerepileuptoint(av, x);
4564 : }
4565 : /* step | b-a */
4566 701 : lx = 1; x = cgetg(2 + n/2, t_VEC);
4567 701 : N = b + a;
4568 201258 : for (k = a;; k += step)
4569 : {
4570 401815 : l = N - k; if (l <= k) break;
4571 200557 : gel(x,lx++) = muluu(k,l);
4572 : }
4573 701 : if (l == k) gel(x,lx++) = utoipos(k);
4574 701 : setlg(x, lx);
4575 701 : return gerepileuptoint(av, ZV_prod(x));
4576 : }
4577 : /* return a * (a+1) * ... * b. Assume a <= b [ note: factoring out powers of 2
4578 : * first is slower ... ] */
4579 : GEN
4580 155015 : mulu_interval(ulong a, ulong b)
4581 : {
4582 155015 : pari_sp av = avma;
4583 : ulong k, l, N, n;
4584 : long lx;
4585 : GEN x;
4586 :
4587 155015 : if (!a) return gen_0;
4588 155015 : n = b - a + 1;
4589 155015 : if (n < 61)
4590 : {
4591 155001 : if (n == 1) return utoipos(a);
4592 99680 : x = muluu(a,a+1); if (n == 2) return x;
4593 69132 : for (k=a+2; k<=b; k++) x = mului(k,x);
4594 69132 : return gerepileuptoint(av, x);
4595 : }
4596 14 : lx = 1; x = cgetg(2 + n/2, t_VEC);
4597 14 : N = b + a;
4598 7007 : for (k = a;; k++)
4599 : {
4600 14000 : l = N - k; if (l <= k) break;
4601 6993 : gel(x,lx++) = muluu(k,l);
4602 : }
4603 14 : if (l == k) gel(x,lx++) = utoipos(k);
4604 14 : setlg(x, lx);
4605 14 : return gerepileuptoint(av, ZV_prod(x));
4606 : }
4607 : GEN
4608 392 : muls_interval(long a, long b)
4609 : {
4610 392 : pari_sp av = avma;
4611 392 : long lx, k, l, N, n = b - a + 1;
4612 : GEN x;
4613 :
4614 392 : if (a <= 0 && b >= 0) return gen_0;
4615 231 : if (n < 61)
4616 : {
4617 231 : x = stoi(a);
4618 231 : for (k=a+1; k<=b; k++) x = mulsi(k,x);
4619 231 : return gerepileuptoint(av, x);
4620 : }
4621 0 : lx = 1; x = cgetg(2 + n/2, t_VEC);
4622 0 : N = b + a;
4623 0 : for (k = a;; k++)
4624 : {
4625 0 : l = N - k; if (l <= k) break;
4626 0 : gel(x,lx++) = mulss(k,l);
4627 : }
4628 0 : if (l == k) gel(x,lx++) = stoi(k);
4629 0 : setlg(x, lx);
4630 0 : return gerepileuptoint(av, ZV_prod(x));
4631 : }
4632 :
4633 : GEN
4634 3047840 : mpfact(long n)
4635 : {
4636 3047840 : pari_sp av = avma;
4637 : GEN a, v;
4638 : long k;
4639 3047840 : if (n <= 12) switch(n)
4640 : {
4641 1940552 : case 0: case 1: return gen_1;
4642 625313 : case 2: return gen_2;
4643 261024 : case 3: return utoipos(6);
4644 107081 : case 4: return utoipos(24);
4645 21405 : case 5: return utoipos(120);
4646 14806 : case 6: return utoipos(720);
4647 1123 : case 7: return utoipos(5040);
4648 9262 : case 8: return utoipos(40320);
4649 260 : case 9: return utoipos(362880);
4650 9255 : case 10:return utoipos(3628800);
4651 125 : case 11:return utoipos(39916800);
4652 7074 : case 12:return utoipos(479001600);
4653 0 : default: pari_err_DOMAIN("factorial", "argument","<",gen_0,stoi(n));
4654 : }
4655 50560 : v = cgetg(expu(n) + 2, t_VEC);
4656 243521 : for (k = 1;; k++)
4657 192959 : {
4658 243521 : long m = n >> (k-1), l;
4659 243521 : if (m <= 2) break;
4660 192956 : l = (1 + (n >> k)) | 1;
4661 : /* product of odd numbers in ]n / 2^k, 2 / 2^(k-1)] */
4662 192956 : a = mulu_interval_step(l, m, 2);
4663 192952 : gel(v,k) = k == 1? a: powiu(a, k);
4664 : }
4665 50565 : a = gel(v,--k); while (--k) a = mulii(a, gel(v,k));
4666 50559 : a = shifti(a, factorial_lval(n, 2));
4667 50558 : return gerepileuptoint(av, a);
4668 : }
4669 :
4670 : /*******************************************************************/
4671 : /** **/
4672 : /** LUCAS & FIBONACCI **/
4673 : /** **/
4674 : /*******************************************************************/
4675 : static void
4676 56 : lucas(ulong n, GEN *a, GEN *b)
4677 : {
4678 : GEN z, t, zt;
4679 56 : if (!n) { *a = gen_2; *b = gen_1; return; }
4680 49 : lucas(n >> 1, &z, &t); zt = mulii(z, t);
4681 49 : switch(n & 3) {
4682 14 : case 0: *a = subiu(sqri(z),2); *b = subiu(zt,1); break;
4683 14 : case 1: *a = subiu(zt,1); *b = addiu(sqri(t),2); break;
4684 7 : case 2: *a = addiu(sqri(z),2); *b = addiu(zt,1); break;
4685 14 : case 3: *a = addiu(zt,1); *b = subiu(sqri(t),2);
4686 : }
4687 : }
4688 :
4689 : GEN
4690 7 : fibo(long n)
4691 : {
4692 7 : pari_sp av = avma;
4693 : GEN a, b;
4694 7 : if (!n) return gen_0;
4695 7 : lucas((ulong)(labs(n)-1), &a, &b);
4696 7 : a = diviuexact(addii(shifti(a,1),b), 5);
4697 7 : if (n < 0 && !odd(n)) setsigne(a, -1);
4698 7 : return gerepileuptoint(av, a);
4699 : }
4700 :
4701 : /*******************************************************************/
4702 : /* */
4703 : /* CONTINUED FRACTIONS */
4704 : /* */
4705 : /*******************************************************************/
4706 : static GEN
4707 488420 : icopy_lg(GEN x, long l)
4708 : {
4709 488420 : long lx = lgefint(x);
4710 : GEN y;
4711 :
4712 488420 : if (lx >= l) return icopy(x);
4713 35 : y = cgeti(l); affii(x, y); return y;
4714 : }
4715 :
4716 : /* continued fraction of a/b. If y != NULL, stop when partial quotients
4717 : * differ from y */
4718 : static GEN
4719 488716 : Qsfcont(GEN a, GEN b, GEN y, ulong k)
4720 : {
4721 : GEN z, c;
4722 488716 : ulong i, l, ly = lgefint(b);
4723 :
4724 : /* times 1 / log2( (1+sqrt(5)) / 2 ) */
4725 488716 : l = (ulong)(3 + bit_accuracy_mul(ly, 1.44042009041256));
4726 488716 : if (k > 0 && k+1 > 0 && l > k+1) l = k+1; /* beware overflow */
4727 488716 : if (l > LGBITS) l = LGBITS;
4728 :
4729 488716 : z = cgetg(l,t_VEC);
4730 488716 : l--;
4731 488716 : if (y) {
4732 296 : pari_sp av = avma;
4733 296 : if (l >= (ulong)lg(y)) l = lg(y)-1;
4734 19488 : for (i = 1; i <= l; i++)
4735 : {
4736 19303 : GEN q = gel(y,i);
4737 19303 : gel(z,i) = q;
4738 19303 : c = b; if (!gequal1(q)) c = mulii(q, b);
4739 19303 : c = subii(a, c);
4740 19303 : if (signe(c) < 0)
4741 : { /* partial quotient too large */
4742 110 : c = addii(c, b);
4743 110 : if (signe(c) >= 0) i++; /* by 1 */
4744 110 : break;
4745 : }
4746 19193 : if (cmpii(c, b) >= 0)
4747 : { /* partial quotient too small */
4748 1 : c = subii(c, b);
4749 1 : if (cmpii(c, b) < 0) {
4750 : /* by 1. If next quotient is 1 in y, add 1 */
4751 0 : if (i < l && equali1(gel(y,i+1))) gel(z,i) = addiu(q,1);
4752 0 : i++;
4753 : }
4754 1 : break;
4755 : }
4756 19192 : if ((i & 0xff) == 0) gerepileall(av, 2, &b, &c);
4757 19192 : a = b; b = c;
4758 : }
4759 : } else {
4760 488420 : a = icopy_lg(a, ly);
4761 488420 : b = icopy(b);
4762 1738379 : for (i = 1; i <= l; i++)
4763 : {
4764 1738115 : gel(z,i) = truedvmdii(a,b,&c);
4765 1738115 : if (c == gen_0) { i++; break; }
4766 1249959 : affii(c, a); cgiv(c); c = a;
4767 1249959 : a = b; b = c;
4768 : }
4769 : }
4770 488716 : i--;
4771 488716 : if (i > 1 && gequal1(gel(z,i)))
4772 : {
4773 85 : cgiv(gel(z,i)); --i;
4774 85 : gel(z,i) = addui(1, gel(z,i)); /* unclean: leave old z[i] on stack */
4775 : }
4776 488716 : setlg(z,i+1); return z;
4777 : }
4778 :
4779 : static GEN
4780 0 : sersfcont(GEN a, GEN b, long k)
4781 : {
4782 0 : long i, l = typ(a) == t_POL? lg(a): 3;
4783 : GEN y, c;
4784 0 : if (lg(b) > l) l = lg(b);
4785 0 : if (k > 0 && l > k+1) l = k+1;
4786 0 : y = cgetg(l,t_VEC);
4787 0 : for (i=1; i<l; i++)
4788 : {
4789 0 : gel(y,i) = poldivrem(a,b,&c);
4790 0 : if (gequal0(c)) { i++; break; }
4791 0 : a = b; b = c;
4792 : }
4793 0 : setlg(y, i); return y;
4794 : }
4795 :
4796 : GEN
4797 488980 : gboundcf(GEN x, long k)
4798 : {
4799 : pari_sp av;
4800 488980 : long tx = typ(x), e;
4801 : GEN y, a, b, c;
4802 :
4803 488980 : if (k < 0) pari_err_DOMAIN("gboundcf","nmax","<",gen_0,stoi(k));
4804 488973 : if (is_scalar_t(tx))
4805 : {
4806 488973 : if (gequal0(x)) return mkvec(gen_0);
4807 488924 : switch(tx)
4808 : {
4809 497 : case t_INT: return mkveccopy(x);
4810 : case t_REAL:
4811 303 : av = avma;
4812 303 : c = mantissa_real(x,&e);
4813 303 : if (e < 0) pari_err_PREC("gboundcf");
4814 296 : y = int2n(e);
4815 296 : a = Qsfcont(c,y, NULL, k);
4816 296 : b = addsi(signe(x), c);
4817 296 : return gerepilecopy(av, Qsfcont(b,y, a, k));
4818 :
4819 : case t_FRAC:
4820 488124 : av = avma;
4821 488124 : return gerepileupto(av, Qsfcont(gel(x,1),gel(x,2), NULL, k));
4822 : }
4823 0 : pari_err_TYPE("gboundcf",x);
4824 : }
4825 :
4826 0 : switch(tx)
4827 : {
4828 0 : case t_POL: return mkveccopy(x);
4829 : case t_SER:
4830 0 : av = avma;
4831 0 : return gerepileupto(av, gboundcf(ser2rfrac_i(x), k));
4832 : case t_RFRAC:
4833 0 : av = avma;
4834 0 : return gerepilecopy(av, sersfcont(gel(x,1), gel(x,2), k));
4835 : }
4836 0 : pari_err_TYPE("gboundcf",x);
4837 : return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
4838 : }
4839 :
4840 : static GEN
4841 14 : sfcont2(GEN b, GEN x, long k)
4842 : {
4843 14 : pari_sp av = avma;
4844 14 : long lb = lg(b), tx = typ(x), i;
4845 : GEN y,p1;
4846 :
4847 14 : if (k)
4848 : {
4849 7 : if (k >= lb) pari_err_DIM("contfrac [too few denominators]");
4850 0 : lb = k+1;
4851 : }
4852 7 : y = cgetg(lb,t_VEC);
4853 7 : if (lb==1) return y;
4854 7 : if (is_scalar_t(tx))
4855 : {
4856 7 : if (!is_intreal_t(tx) && tx != t_FRAC) pari_err_TYPE("sfcont2",x);
4857 : }
4858 0 : else if (tx == t_SER) x = ser2rfrac_i(x);
4859 :
4860 7 : if (!gequal1(gel(b,1))) x = gmul(gel(b,1),x);
4861 7 : for (i = 1;;)
4862 : {
4863 63 : if (tx == t_REAL)
4864 : {
4865 35 : long e = expo(x);
4866 35 : if (e > 0 && nbits2prec(e+1) > realprec(x)) break;
4867 35 : gel(y,i) = floorr(x);
4868 35 : p1 = subri(x, gel(y,i));
4869 : }
4870 : else
4871 : {
4872 0 : gel(y,i) = gfloor(x);
4873 0 : p1 = gsub(x, gel(y,i));
4874 : }
4875 35 : if (++i >= lb) break;
4876 28 : if (gequal0(p1)) break;
4877 28 : x = gdiv(gel(b,i),p1);
4878 : }
4879 7 : setlg(y,i);
4880 7 : return gerepilecopy(av,y);
4881 : }
4882 :
4883 :
4884 : GEN
4885 105 : gcf(GEN x) { return gboundcf(x,0); }
4886 : GEN
4887 0 : gcf2(GEN b, GEN x) { return contfrac0(x,b,0); }
4888 : GEN
4889 49 : contfrac0(GEN x, GEN b, long nmax)
4890 : {
4891 : long tb;
4892 :
4893 49 : if (!b) return gboundcf(x,nmax);
4894 28 : tb = typ(b);
4895 28 : if (tb == t_INT) return gboundcf(x,itos(b));
4896 21 : if (! is_vec_t(tb)) pari_err_TYPE("contfrac0",b);
4897 21 : if (nmax < 0) pari_err_DOMAIN("contfrac","nmax","<",gen_0,stoi(nmax));
4898 14 : return sfcont2(b,x,nmax);
4899 : }
4900 :
4901 : GEN
4902 245 : contfracpnqn(GEN x, long n)
4903 : {
4904 245 : pari_sp av = avma;
4905 245 : long i, lx = lg(x);
4906 : GEN M,A,B, p0,p1, q0,q1;
4907 :
4908 245 : if (lx == 1)
4909 : {
4910 28 : if (! is_matvec_t(typ(x))) pari_err_TYPE("pnqn",x);
4911 21 : if (n >= 0) return cgetg(1,t_MAT);
4912 7 : return matid(2);
4913 : }
4914 217 : switch(typ(x))
4915 : {
4916 175 : case t_VEC: case t_COL: A = x; B = NULL; break;
4917 : case t_MAT:
4918 42 : switch(lgcols(x))
4919 : {
4920 0 : case 2: A = row(x,1); B = NULL; break;
4921 35 : case 3: A = row(x,2); B = row(x,1); break;
4922 7 : default: pari_err_DIM("pnqn [ nbrows != 1,2 ]");
4923 : return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
4924 : }
4925 35 : break;
4926 0 : default: pari_err_TYPE("pnqn",x);
4927 : return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
4928 : }
4929 210 : p1 = gel(A,1);
4930 210 : q1 = B? gel(B,1): gen_1; /* p[0], q[0] */
4931 210 : if (n >= 0)
4932 : {
4933 175 : lx = minss(lx, n+2);
4934 175 : if (lx == 2) return gerepilecopy(av, mkmat(mkcol2(p1,q1)));
4935 : }
4936 35 : else if (lx == 2)
4937 7 : return gerepilecopy(av, mkmat2(mkcol2(p1,q1), mkcol2(gen_1,gen_0)));
4938 : /* lx >= 3 */
4939 112 : p0 = gen_1;
4940 112 : q0 = gen_0; /* p[-1], q[-1] */
4941 112 : M = cgetg(lx, t_MAT);
4942 112 : gel(M,1) = mkcol2(p1,q1);
4943 364 : for (i=2; i<lx; i++)
4944 : {
4945 252 : GEN a = gel(A,i), p2,q2;
4946 252 : if (B) {
4947 84 : GEN b = gel(B,i);
4948 84 : p0 = gmul(b,p0);
4949 84 : q0 = gmul(b,q0);
4950 : }
4951 252 : p2 = gadd(gmul(a,p1),p0); p0=p1; p1=p2;
4952 252 : q2 = gadd(gmul(a,q1),q0); q0=q1; q1=q2;
4953 252 : gel(M,i) = mkcol2(p1,q1);
4954 : }
4955 112 : if (n < 0) M = mkmat2(gel(M,lx-1), gel(M,lx-2));
4956 112 : return gerepilecopy(av, M);
4957 : }
4958 : GEN
4959 0 : pnqn(GEN x) { return contfracpnqn(x,-1); }
4960 : /* x = [a0, ..., an] from gboundcf, n >= 0;
4961 : * return [[p0, ..., pn], [q0,...,qn]] */
4962 : GEN
4963 480802 : ZV_allpnqn(GEN x)
4964 : {
4965 480802 : long i, lx = lg(x);
4966 480802 : GEN p0, p1, q0, q1, p2, q2, P,Q, v = cgetg(3,t_VEC);
4967 :
4968 480802 : gel(v,1) = P = cgetg(lx, t_VEC);
4969 480802 : gel(v,2) = Q = cgetg(lx, t_VEC);
4970 480802 : p0 = gen_1; q0 = gen_0;
4971 480802 : gel(P, 1) = p1 = gel(x,1); gel(Q, 1) = q1 = gen_1;
4972 1685516 : for (i=2; i<lx; i++)
4973 : {
4974 1204714 : GEN a = gel(x,i);
4975 1204714 : gel(P, i) = p2 = addmulii(p0, a, p1); p0 = p1; p1 = p2;
4976 1204714 : gel(Q, i) = q2 = addmulii(q0, a, q1); q0 = q1; q1 = q2;
4977 : }
4978 480802 : return v;
4979 : }
4980 :
4981 : /* write Mod(x,N) as a/b, gcd(a,b) = 1, b <= B (no condition if B = NULL) */
4982 : static GEN
4983 42 : mod_to_frac(GEN x, GEN N, GEN B)
4984 : {
4985 : GEN a, b, A;
4986 42 : if (B) A = divii(shifti(N, -1), B);
4987 : else
4988 : {
4989 14 : A = sqrti(shifti(N, -1));
4990 14 : B = A;
4991 : }
4992 42 : if (!Fp_ratlift(x, N, A,B,&a,&b) || !equali1( gcdii(a,b) )) return NULL;
4993 28 : return equali1(b)? a: mkfrac(a,b);
4994 : }
4995 :
4996 : static GEN
4997 70 : mod_to_rfrac(GEN x, GEN N, long B)
4998 : {
4999 : GEN a, b;
5000 70 : long A, d = degpol(N);
5001 70 : if (B >= 0) A = d-1 - B;
5002 : else
5003 : {
5004 42 : B = d >> 1;
5005 42 : A = odd(d)? B : B-1;
5006 : }
5007 70 : if (varn(N) != varn(x)) x = scalarpol(x, varn(N));
5008 70 : if (!RgXQ_ratlift(x, N, A, B, &a,&b) || degpol(RgX_gcd(a,b)) > 0) return NULL;
5009 56 : return gdiv(a,b);
5010 : }
5011 :
5012 : /* k > 0 t_INT, x a t_FRAC, returns the convergent a/b
5013 : * of the continued fraction of x with b <= k maximal */
5014 : static GEN
5015 7 : bestappr_frac(GEN x, GEN k)
5016 : {
5017 : pari_sp av;
5018 : GEN p0, p1, p, q0, q1, q, a, y;
5019 :
5020 7 : if (cmpii(gel(x,2),k) <= 0) return gcopy(x);
5021 0 : av = avma; y = x;
5022 0 : p1 = gen_1; p0 = truedvmdii(gel(x,1), gel(x,2), &a); /* = floor(x) */
5023 0 : q1 = gen_0; q0 = gen_1;
5024 0 : x = mkfrac(a, gel(x,2)); /* = frac(x); now 0<= x < 1 */
5025 : for(;;)
5026 : {
5027 0 : x = ginv(x); /* > 1 */
5028 0 : a = typ(x)==t_INT? x: divii(gel(x,1), gel(x,2));
5029 0 : if (cmpii(a,k) > 0)
5030 : { /* next partial quotient will overflow limits */
5031 : GEN n, d;
5032 0 : a = divii(subii(k, q1), q0);
5033 0 : p = addii(mulii(a,p0), p1); p1=p0; p0=p;
5034 0 : q = addii(mulii(a,q0), q1); q1=q0; q0=q;
5035 : /* compare |y-p0/q0|, |y-p1/q1| */
5036 0 : n = gel(y,1);
5037 0 : d = gel(y,2);
5038 0 : if (abscmpii(mulii(q1, subii(mulii(q0,n), mulii(d,p0))),
5039 : mulii(q0, subii(mulii(q1,n), mulii(d,p1)))) < 0)
5040 0 : { p1 = p0; q1 = q0; }
5041 0 : break;
5042 : }
5043 0 : p = addii(mulii(a,p0), p1); p1=p0; p0=p;
5044 0 : q = addii(mulii(a,q0), q1); q1=q0; q0=q;
5045 :
5046 0 : if (cmpii(q0,k) > 0) break;
5047 0 : x = gsub(x,a); /* 0 <= x < 1 */
5048 0 : if (typ(x) == t_INT) { p1 = p0; q1 = q0; break; } /* x = 0 */
5049 :
5050 : }
5051 0 : return gerepileupto(av, gdiv(p1,q1));
5052 : }
5053 : /* k > 0 t_INT, x != 0 a t_REAL, returns the convergent a/b
5054 : * of the continued fraction of x with b <= k maximal */
5055 : static GEN
5056 330423 : bestappr_real(GEN x, GEN k)
5057 : {
5058 330423 : pari_sp av = avma;
5059 330423 : GEN kr, p0, p1, p, q0, q1, q, a, y = x;
5060 :
5061 330423 : p1 = gen_1; a = p0 = floorr(x);
5062 330423 : q1 = gen_0; q0 = gen_1;
5063 330423 : x = subri(x,a); /* 0 <= x < 1 */
5064 330423 : if (!signe(x)) { cgiv(x); return a; }
5065 321432 : kr = itor(k, realprec(x));
5066 : for(;;)
5067 474411 : {
5068 : long d;
5069 795843 : x = invr(x); /* > 1 */
5070 795843 : if (cmprr(x,kr) > 0)
5071 : { /* next partial quotient will overflow limits */
5072 316388 : a = divii(subii(k, q1), q0);
5073 316388 : p = addii(mulii(a,p0), p1); p1=p0; p0=p;
5074 316388 : q = addii(mulii(a,q0), q1); q1=q0; q0=q;
5075 : /* compare |y-p0/q0|, |y-p1/q1| */
5076 316388 : if (abscmprr(mulir(q1, subri(mulir(q0,y), p0)),
5077 : mulir(q0, subri(mulir(q1,y), p1))) < 0)
5078 10939 : { p1 = p0; q1 = q0; }
5079 316388 : break;
5080 : }
5081 479455 : d = nbits2prec(expo(x) + 1);
5082 479455 : if (d > lg(x)) { p1 = p0; q1 = q0; break; } /* original x was ~ 0 */
5083 :
5084 479270 : a = truncr(x); /* truncr(x) will NOT raise e_PREC */
5085 479270 : p = addii(mulii(a,p0), p1); p1=p0; p0=p;
5086 479270 : q = addii(mulii(a,q0), q1); q1=q0; q0=q;
5087 :
5088 479270 : if (cmpii(q0,k) > 0) break;
5089 475083 : x = subri(x,a); /* 0 <= x < 1 */
5090 475083 : if (!signe(x)) { p1 = p0; q1 = q0; break; }
5091 : }
5092 321432 : if (signe(q1) < 0) { togglesign_safe(&p1); togglesign_safe(&q1); }
5093 321432 : return gerepilecopy(av, equali1(q1)? p1: mkfrac(p1,q1));
5094 : }
5095 :
5096 : /* k t_INT or NULL */
5097 : static GEN
5098 502772 : bestappr_Q(GEN x, GEN k)
5099 : {
5100 502772 : long lx, tx = typ(x), i;
5101 : GEN a, y;
5102 :
5103 502772 : switch(tx)
5104 : {
5105 77 : case t_INT: return icopy(x);
5106 7 : case t_FRAC: return k? bestappr_frac(x, k): gcopy(x);
5107 : case t_REAL:
5108 373510 : if (!signe(x)) return gen_0;
5109 : /* i <= e iff nbits2lg(e+1) > lg(x) iff floorr(x) fails */
5110 330424 : i = bit_prec(x); if (i <= expo(x)) return NULL;
5111 330423 : return bestappr_real(x, k? k: int2n(i));
5112 :
5113 : case t_INTMOD: {
5114 28 : pari_sp av = avma;
5115 28 : a = mod_to_frac(gel(x,2), gel(x,1), k); if (!a) return NULL;
5116 21 : return gerepilecopy(av, a);
5117 : }
5118 : case t_PADIC: {
5119 14 : pari_sp av = avma;
5120 14 : long v = valp(x);
5121 14 : a = mod_to_frac(gel(x,4), gel(x,3), k); if (!a) return NULL;
5122 7 : if (v) a = gmul(a, powis(gel(x,2), v));
5123 7 : return gerepilecopy(av, a);
5124 : }
5125 :
5126 : case t_COMPLEX: {
5127 126 : pari_sp av = avma;
5128 126 : y = cgetg(3, t_COMPLEX);
5129 126 : gel(y,2) = bestappr(gel(x,2), k);
5130 126 : gel(y,1) = bestappr(gel(x,1), k);
5131 126 : if (gequal0(gel(y,2))) return gerepileupto(av, gel(y,1));
5132 0 : return y;
5133 : }
5134 : case t_SER:
5135 0 : if (ser_isexactzero(x)) return gcopy(x);
5136 : /* fall through */
5137 : case t_POLMOD: case t_POL: case t_RFRAC:
5138 : case t_VEC: case t_COL: case t_MAT:
5139 129010 : y = cgetg_copy(x, &lx);
5140 129010 : if (lontyp[tx] == 1) i = 1; else { y[1] = x[1]; i = 2; }
5141 618960 : for (; i<lx; i++)
5142 : {
5143 489952 : a = bestappr_Q(gel(x,i),k); if (!a) return NULL;
5144 489950 : gel(y,i) = a;
5145 : }
5146 129008 : if (tx == t_POL) return normalizepol(y);
5147 128994 : if (tx == t_SER) return normalize(y);
5148 128994 : return y;
5149 : }
5150 0 : pari_err_TYPE("bestappr_Q",x);
5151 : return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
5152 : }
5153 :
5154 : static GEN
5155 56 : bestappr_ser(GEN x, long B)
5156 : {
5157 56 : long dN, v = valp(x), lx = lg(x);
5158 : GEN t;
5159 56 : x = normalizepol(ser2pol_i(x, lx));
5160 56 : dN = lx-2;
5161 56 : if (v > 0)
5162 : {
5163 14 : x = RgX_shift_shallow(x, v);
5164 14 : dN += v;
5165 : }
5166 42 : else if (v < 0)
5167 : {
5168 7 : if (B >= 0) B = maxss(B+v, 0);
5169 : }
5170 56 : t = mod_to_rfrac(x, pol_xn(dN, varn(x)), B);
5171 56 : if (!t) return NULL;
5172 42 : if (v < 0)
5173 : {
5174 : GEN a, b;
5175 : long vx;
5176 7 : if (typ(t) == t_POL) return RgX_mulXn(t, v);
5177 : /* t_RFRAC */
5178 7 : vx = varn(x);
5179 7 : a = gel(t,1);
5180 7 : b = gel(t,2);
5181 7 : v -= RgX_valrem(b, &b);
5182 7 : if (typ(a) == t_POL && varn(a) == vx) v += RgX_valrem(a, &a);
5183 7 : if (v < 0) b = RgX_shift(b, -v);
5184 0 : else if (v > 0) {
5185 0 : if (typ(a) != t_POL || varn(a) != vx) a = scalarpol_shallow(a, vx);
5186 0 : a = RgX_shift(a, v);
5187 : }
5188 7 : t = mkrfraccopy(a, b);
5189 : }
5190 42 : return t;
5191 : }
5192 : static GEN bestappr_RgX(GEN x, long B);
5193 : /* x t_POLMOD, B >= 0 or < 0 [omit condition on B].
5194 : * Look for coprime t_POL a,b, deg(b)<=B, such that a/b = x */
5195 : static GEN
5196 77 : bestappr_RgX(GEN x, long B)
5197 : {
5198 77 : long i, lx, tx = typ(x);
5199 : GEN y, t;
5200 77 : switch(tx)
5201 : {
5202 : case t_INT: case t_REAL: case t_INTMOD: case t_FRAC:
5203 : case t_COMPLEX: case t_PADIC: case t_QUAD: case t_POL:
5204 0 : return gcopy(x);
5205 :
5206 : case t_RFRAC: {
5207 14 : pari_sp av = avma;
5208 14 : if (B < 0 || degpol(gel(x,2)) <= B) return gcopy(x);
5209 7 : x = rfrac_to_ser(x, 2*B+1);
5210 7 : t = bestappr_ser(x, B); if (!t) return NULL;
5211 0 : return gerepileupto(av, t);
5212 : }
5213 : case t_POLMOD: {
5214 14 : pari_sp av = avma;
5215 14 : t = mod_to_rfrac(gel(x,2), gel(x,1), B); if (!t) return NULL;
5216 14 : return gerepileupto(av, t);
5217 : }
5218 : case t_SER: {
5219 49 : pari_sp av = avma;
5220 49 : t = bestappr_ser(x, B); if (!t) return NULL;
5221 42 : return gerepileupto(av, t);
5222 : }
5223 :
5224 : case t_VEC: case t_COL: case t_MAT:
5225 0 : y = cgetg_copy(x, &lx);
5226 0 : if (lontyp[tx] == 1) i = 1; else { y[1] = x[1]; i = 2; }
5227 0 : for (; i<lx; i++)
5228 : {
5229 0 : t = bestappr_RgX(gel(x,i),B); if (!t) return NULL;
5230 0 : gel(y,i) = t;
5231 : }
5232 0 : return y;
5233 : }
5234 0 : pari_err_TYPE("bestappr_RgX",x);
5235 : return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
5236 : }
5237 :
5238 : /* allow k = NULL: maximal accuracy */
5239 : GEN
5240 12820 : bestappr(GEN x, GEN k)
5241 : {
5242 12820 : pari_sp av = avma;
5243 12820 : if (k) { /* replace by floor(k) */
5244 12547 : switch(typ(k))
5245 : {
5246 : case t_INT:
5247 1260 : break;
5248 : case t_REAL: case t_FRAC:
5249 11287 : k = floor_safe(k); /* left on stack for efficiency */
5250 11287 : if (!signe(k)) k = gen_1;
5251 11287 : break;
5252 : default:
5253 0 : pari_err_TYPE("bestappr [bound type]", k);
5254 0 : break;
5255 : }
5256 : }
5257 12820 : x = bestappr_Q(x, k);
5258 12820 : if (!x) { set_avma(av); return cgetg(1,t_VEC); }
5259 12805 : return x;
5260 : }
5261 : GEN
5262 77 : bestapprPade(GEN x, long B)
5263 : {
5264 77 : pari_sp av = avma;
5265 77 : GEN t = bestappr_RgX(x, B);
5266 77 : if (!t) { set_avma(av); return cgetg(1,t_VEC); }
5267 63 : return t;
5268 : }
5269 :
5270 : /***********************************************************************/
5271 : /** **/
5272 : /** FUNDAMENTAL UNIT AND REGULATOR (QUADRATIC FIELDS) **/
5273 : /** **/
5274 : /***********************************************************************/
5275 :
5276 : static GEN
5277 14 : get_quad(GEN f, GEN pol, long r)
5278 : {
5279 14 : GEN p1 = gcoeff(f,1,2), q1 = gcoeff(f,2,2);
5280 14 : return mkquad(pol, r? subii(p1,q1): p1, q1);
5281 : }
5282 :
5283 : /* replace f by f * [a,1; 1,0] */
5284 : static void
5285 14 : update_f(GEN f, GEN a)
5286 : {
5287 : GEN p1;
5288 14 : p1 = gcoeff(f,1,1);
5289 14 : gcoeff(f,1,1) = addii(mulii(a,p1), gcoeff(f,1,2));
5290 14 : gcoeff(f,1,2) = p1;
5291 :
5292 14 : p1 = gcoeff(f,2,1);
5293 14 : gcoeff(f,2,1) = addii(mulii(a,p1), gcoeff(f,2,2));
5294 14 : gcoeff(f,2,2) = p1;
5295 14 : }
5296 :
5297 : GEN
5298 7 : quadunit(GEN x)
5299 : {
5300 7 : pari_sp av = avma, av2;
5301 : GEN pol, y, a, u, v, sqd, f;
5302 : long r;
5303 :
5304 7 : check_quaddisc_real(x, &r, "quadunit");
5305 7 : pol = quadpoly(x);
5306 7 : sqd = sqrti(x); av2 = avma;
5307 7 : a = shifti(addui(r,sqd),-1);
5308 7 : f = mkmat2(mkcol2(a, gen_1), mkcol2(gen_1, gen_0)); /* [a,0; 1,0] */
5309 7 : u = stoi(r); v = gen_2;
5310 : for(;;)
5311 7 : {
5312 : GEN u1, v1;
5313 14 : u1 = subii(mulii(a,v),u);
5314 14 : v1 = divii(subii(x,sqri(u1)),v);
5315 14 : if ( equalii(v,v1) ) {
5316 7 : y = get_quad(f,pol,r);
5317 7 : update_f(f,a);
5318 7 : y = gdiv(get_quad(f,pol,r), conj_i(y));
5319 7 : break;
5320 : }
5321 7 : a = divii(addii(sqd,u1), v1);
5322 7 : if ( equalii(u,u1) ) {
5323 0 : y = get_quad(f,pol,r);
5324 0 : y = gdiv(y, conj_i(y));
5325 0 : break;
5326 : }
5327 7 : update_f(f,a);
5328 7 : u = u1; v = v1;
5329 7 : if (gc_needed(av2,2))
5330 : {
5331 0 : if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"quadunit");
5332 0 : gerepileall(av2,4, &a,&f,&u,&v);
5333 : }
5334 : }
5335 7 : if (signe(gel(y,3)) < 0) y = gneg(y);
5336 7 : return gerepileupto(av, y);
5337 : }
5338 :
5339 : GEN
5340 7 : quadunit0(GEN x, long v)
5341 : {
5342 7 : GEN y = quadunit(x);
5343 7 : if (v==-1) v = fetch_user_var("w");
5344 7 : setvarn(gel(y,1), v);
5345 7 : return y;
5346 : }
5347 :
5348 : GEN
5349 21 : quadregulator(GEN x, long prec)
5350 : {
5351 21 : pari_sp av = avma, av2;
5352 : GEN R, rsqd, u, v, sqd;
5353 : long r, Rexpo;
5354 :
5355 21 : check_quaddisc_real(x, &r, "quadregulator");
5356 21 : sqd = sqrti(x);
5357 21 : rsqd = gsqrt(x,prec);
5358 21 : Rexpo = 0; R = real2n(1, prec); /* = 2 */
5359 21 : av2 = avma;
5360 21 : u = stoi(r); v = gen_2;
5361 : for(;;)
5362 49 : {
5363 70 : GEN u1 = subii(mulii(divii(addii(u,sqd),v), v), u);
5364 70 : GEN v1 = divii(subii(x,sqri(u1)),v);
5365 70 : if (equalii(v,v1))
5366 : {
5367 7 : R = sqrr(R); shiftr_inplace(R, -1);
5368 7 : R = mulrr(R, divri(addir(u1,rsqd),v));
5369 7 : break;
5370 : }
5371 63 : if (equalii(u,u1))
5372 : {
5373 14 : R = sqrr(R); shiftr_inplace(R, -1);
5374 14 : break;
5375 : }
5376 49 : R = mulrr(R, divri(addir(u1,rsqd),v));
5377 49 : Rexpo += expo(R); setexpo(R,0);
5378 49 : u = u1; v = v1;
5379 49 : if (Rexpo & ~EXPOBITS) pari_err_OVERFLOW("quadregulator [exponent]");
5380 49 : if (gc_needed(av2,2))
5381 : {
5382 0 : if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"quadregulator");
5383 0 : gerepileall(av2,3, &R,&u,&v);
5384 : }
5385 : }
5386 21 : R = logr_abs(divri(R,v));
5387 21 : if (Rexpo)
5388 : {
5389 21 : GEN t = mulsr(Rexpo, mplog2(prec));
5390 21 : shiftr_inplace(t, 1);
5391 21 : R = addrr(R,t);
5392 : }
5393 21 : return gerepileuptoleaf(av, R);
5394 : }
5395 :
5396 : /*************************************************************************/
5397 : /** **/
5398 : /** CLASS NUMBER **/
5399 : /** **/
5400 : /*************************************************************************/
5401 :
5402 : int
5403 12943797 : qfb_equal1(GEN f) { return equali1(gel(f,1)); }
5404 :
5405 18316834 : static GEN qfi_pow(void *E, GEN f, GEN n)
5406 18316834 : { return E? nupow(f,n,(GEN)E): powgi(f,n); }
5407 23025703 : static GEN qfi_comp(void *E, GEN f, GEN g)
5408 23025703 : { return E? nucomp(f,g,(GEN)E): qficomp(f,g); }
5409 : static const struct bb_group qfi_group={ qfi_comp,qfi_pow,NULL,hash_GEN,
5410 : gidentical,qfb_equal1,NULL};
5411 :
5412 : GEN
5413 2941241 : qfi_order(GEN q, GEN o)
5414 2941241 : { return gen_order(q, o, NULL, &qfi_group); }
5415 :
5416 : GEN
5417 0 : qfi_log(GEN a, GEN g, GEN o)
5418 0 : { return gen_PH_log(a, g, o, NULL, &qfi_group); }
5419 :
5420 : GEN
5421 626556 : qfi_Shanks(GEN a, GEN g, long n)
5422 : {
5423 626556 : pari_sp av = avma;
5424 : GEN T, X;
5425 : long rt_n, c;
5426 :
5427 626556 : a = redimag(a);
5428 626556 : g = redimag(g);
5429 :
5430 626556 : rt_n = sqrt((double)n);
5431 626556 : c = n / rt_n;
5432 626556 : c = (c * rt_n < n + 1) ? c + 1 : c;
5433 :
5434 626556 : T = gen_Shanks_init(g, rt_n, NULL, &qfi_group);
5435 626556 : X = gen_Shanks(T, a, c, NULL, &qfi_group);
5436 :
5437 626556 : if (!X) { set_avma(av); return X; }
5438 332549 : return gerepileuptoint(av, X);
5439 : }
5440 :
5441 : GEN
5442 140 : qfbclassno0(GEN x,long flag)
5443 : {
5444 140 : switch(flag)
5445 : {
5446 126 : case 0: return map_proto_G(classno,x);
5447 14 : case 1: return map_proto_G(classno2,x);
5448 0 : default: pari_err_FLAG("qfbclassno");
5449 : }
5450 : return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
5451 : }
5452 :
5453 : /* f^h = 1, return order(f). Set *pfao to its factorization */
5454 : static GEN
5455 2776995 : find_order(void *E, GEN f, GEN h, GEN *pfao)
5456 : {
5457 2776995 : GEN v = gen_factored_order(f, h, E, &qfi_group);
5458 2776995 : *pfao = gel(v,2); return gel(v,1);
5459 : }
5460 :
5461 : static int
5462 6705 : ok_q(GEN q, GEN h, GEN d2, long r2)
5463 : {
5464 6705 : if (d2)
5465 : {
5466 7 : if (r2 <= 2 && !mpodd(q)) return 0;
5467 7 : return is_pm1(Z_ppo(q,d2));
5468 : }
5469 : else
5470 : {
5471 6698 : if (r2 <= 1 && !mpodd(q)) return 0;
5472 6698 : return is_pm1(Z_ppo(q,h));
5473 : }
5474 : }
5475 :
5476 : /* a,b given by their factorizations. Return factorization of lcm(a,b).
5477 : * Set A,B such that A*B = lcm(a, b), (A,B)=1, A|a, B|b */
5478 : static GEN
5479 362162 : split_lcm(GEN a, GEN Fa, GEN b, GEN Fb, GEN *pA, GEN *pB)
5480 : {
5481 362162 : GEN P = ZC_union_shallow(gel(Fa,1), gel(Fb,1));
5482 362162 : GEN A = gen_1, B = gen_1;
5483 362162 : long i, l = lg(P);
5484 362162 : GEN E = cgetg(l, t_COL);
5485 1071040 : for (i=1; i<l; i++)
5486 : {
5487 708878 : GEN p = gel(P,i);
5488 708878 : long va = Z_pval(a,p);
5489 708878 : long vb = Z_pval(b,p);
5490 708878 : if (va < vb)
5491 : {
5492 364289 : B = mulii(B,powiu(p,vb));
5493 364289 : gel(E,i) = utoi(vb);
5494 : }
5495 : else
5496 : {
5497 344589 : A = mulii(A,powiu(p,va));
5498 344589 : gel(E,i) = utoi(va);
5499 : }
5500 : }
5501 362162 : *pA = A;
5502 362162 : *pB = B; return mkmat2(P,E);
5503 : }
5504 :
5505 : /* g1 has order d1, f has order o, replace g1 by an element of order lcm(d1,o)*/
5506 : static void
5507 362162 : update_g1(GEN *pg1, GEN *pd1, GEN *pfad1, GEN f, GEN o, GEN fao)
5508 : {
5509 362162 : GEN A,B, g1 = *pg1, d1 = *pd1;
5510 362162 : *pfad1 = split_lcm(d1,*pfad1, o,fao, &A,&B);
5511 362162 : *pg1 = gmul(powgi(g1, diviiexact(d1,A)), powgi(f, diviiexact(o,B)));
5512 362162 : *pd1 = mulii(A,B); /* g1 has order d1 <- lcm(d1,o) */
5513 362162 : }
5514 :
5515 : /* Write x = Df^2, where D = fundamental discriminant,
5516 : * P^E = factorisation of conductor f, with E[i] >= 0 */
5517 : static void
5518 2060327 : corediscfact(GEN x, long xmod4, GEN *ptD, GEN *ptP, GEN *ptE)
5519 : {
5520 2060327 : long s = signe(x), l, i;
5521 2060327 : GEN fa = absZ_factor(x);
5522 2060327 : GEN d, P = gel(fa,1), E = gtovecsmall(gel(fa,2));
5523 :
5524 2060327 : l = lg(P); d = gen_1;
5525 5362951 : for (i=1; i<l; i++)
5526 : {
5527 3302624 : if (E[i] & 1) d = mulii(d, gel(P,i));
5528 3302624 : E[i] >>= 1;
5529 : }
5530 2060327 : if (!xmod4 && mod4(d) != ((s < 0)? 3: 1)) { d = shifti(d,2); E[1]--; }
5531 2060327 : *ptD = (s < 0)? negi(d): d;
5532 2060327 : *ptP = P;
5533 2060327 : *ptE = E;
5534 2060327 : }
5535 :
5536 : static GEN
5537 2052517 : conductor_part(GEN x, long xmod4, GEN *ptD, GEN *ptreg)
5538 : {
5539 2052517 : long l, i, s = signe(x);
5540 : GEN E, H, D, P, reg;
5541 :
5542 2052517 : corediscfact(x, xmod4, &D, &P, &E);
5543 2052517 : H = gen_1; l = lg(P);
5544 : /* f \prod_{p|f} [ 1 - (D/p) p^-1 ] = \prod_{p^e||f} p^(e-1) [ p - (D/p) ] */
5545 5329269 : for (i=1; i<l; i++)
5546 : {
5547 3276752 : long e = E[i];
5548 3276752 : if (e)
5549 : {
5550 7 : GEN p = gel(P,i);
5551 7 : H = mulii(H, subis(p, kronecker(D,p)));
5552 7 : if (e >= 2) H = mulii(H, powiu(p,e-1));
5553 : }
5554 : }
5555 :
5556 : /* divide by [ O_K^* : O^* ] */
5557 2052517 : if (s < 0)
5558 : {
5559 2052503 : reg = NULL;
5560 2052503 : switch(itou_or_0(D))
5561 : {
5562 0 : case 4: H = shifti(H,-1); break;
5563 0 : case 3: H = divis(H,3); break;
5564 : }
5565 : } else {
5566 14 : reg = quadregulator(D,DEFAULTPREC);
5567 14 : if (!equalii(x,D))
5568 0 : H = divii(H, roundr(divrr(quadregulator(x,DEFAULTPREC), reg)));
5569 : }
5570 2052517 : if (ptreg) *ptreg = reg;
5571 2052517 : *ptD = D; return H;
5572 : }
5573 :
5574 : static long
5575 2052496 : two_rank(GEN x)
5576 : {
5577 2052496 : GEN p = gel(absZ_factor(x),1);
5578 2052496 : long l = lg(p)-1;
5579 : #if 0 /* positive disc not needed */
5580 : if (signe(x) > 0)
5581 : {
5582 : long i;
5583 : for (i=1; i<=l; i++)
5584 : if (mod4(gel(p,i)) == 3) { l--; break; }
5585 : }
5586 : #endif
5587 2052496 : return l-1;
5588 : }
5589 :
5590 : static GEN
5591 38995259 : sqr_primeform(GEN x, ulong p) { return redimag(qfisqr(primeform_u(x, p))); }
5592 : /* return a set of forms hopefully generating Cl(K)^2; set L ~ L(chi_D,1) */
5593 : static GEN
5594 2052496 : get_forms(GEN D, GEN *pL)
5595 : {
5596 2052496 : const long MAXFORM = 20;
5597 2052496 : GEN L, sqrtD = gsqrt(absi_shallow(D),DEFAULTPREC);
5598 2052496 : GEN forms = vectrunc_init(MAXFORM+1);
5599 2052496 : long s, nforms = 0;
5600 : ulong p;
5601 : forprime_t S;
5602 2052496 : L = mulrr(divrr(sqrtD,mppi(DEFAULTPREC)), dbltor(1.005));/*overshoot by 0.5%*/
5603 2052496 : s = itos_or_0( truncr(shiftr(sqrtr(sqrtD), 1)) );
5604 2052496 : if (!s) pari_err_OVERFLOW("classno [discriminant too large]");
5605 2052496 : if (s < 10) s = 200;
5606 1901369 : else if (s < 20) s = 1000;
5607 1477 : else if (s < 5000) s = 5000;
5608 2052496 : u_forprime_init(&S, 2, s);
5609 344232110 : while ( (p = u_forprime_next(&S)) )
5610 : {
5611 340127118 : long d, k = kroiu(D,p);
5612 : pari_sp av2;
5613 340127118 : if (!k) continue;
5614 337897177 : if (k > 0)
5615 : {
5616 169485505 : if (++nforms < MAXFORM) vectrunc_append(forms, sqr_primeform(D,p));
5617 169485505 : d = p-1;
5618 : }
5619 : else
5620 168411672 : d = p+1;
5621 337897177 : av2 = avma; affrr(divru(mulur(p,L),d), L); set_avma(av2);
5622 : }
5623 2052496 : *pL = L; return forms;
5624 : }
5625 :
5626 : /* h ~ #G, return o = order of f, set fao = its factorization */
5627 : static GEN
5628 2052545 : Shanks_order(void *E, GEN f, GEN h, GEN *pfao)
5629 : {
5630 2052545 : long s = minss(itos(sqrti(h)), 10000);
5631 2052545 : GEN T = gen_Shanks_init(f, s, E, &qfi_group);
5632 2052545 : GEN v = gen_Shanks(T, ginv(f), ULONG_MAX, E, &qfi_group);
5633 2052545 : return find_order(E, f, addiu(v,1), pfao);
5634 : }
5635 :
5636 : /* if g = 1 in G/<f> ? */
5637 : static int
5638 518 : equal1(void *E, GEN T, ulong N, GEN g)
5639 518 : { return !!gen_Shanks(T, g, N, E, &qfi_group); }
5640 :
5641 : /* Order of 'a' in G/<f>, T = gen_Shanks_init(f,n), order(f) < n*N
5642 : * FIXME: should be gen_order, but equal1 has the wrong prototype */
5643 : static GEN
5644 112 : relative_order(void *E, GEN a, GEN o, ulong N, GEN T)
5645 : {
5646 112 : pari_sp av = avma;
5647 : long i, l;
5648 : GEN m;
5649 :
5650 112 : m = get_arith_ZZM(o);
5651 112 : if (!m) pari_err_TYPE("gen_order [missing order]",a);
5652 112 : o = gel(m,1);
5653 112 : m = gel(m,2); l = lgcols(m);
5654 322 : for (i = l-1; i; i--)
5655 : {
5656 210 : GEN t, y, p = gcoeff(m,i,1);
5657 210 : long j, e = itos(gcoeff(m,i,2));
5658 210 : if (l == 2) {
5659 35 : t = gen_1;
5660 35 : y = a;
5661 : } else {
5662 175 : t = diviiexact(o, powiu(p,e));
5663 175 : y = powgi(a, t);
5664 : }
5665 210 : if (equal1(E, T,N,y)) o = t;
5666 : else {
5667 126 : for (j = 1; j < e; j++)
5668 : {
5669 28 : y = powgi(y, p);
5670 28 : if (equal1(E, T,N,y)) break;
5671 : }
5672 119 : if (j < e) {
5673 21 : if (j > 1) p = powiu(p, j);
5674 21 : o = mulii(t, p);
5675 : }
5676 : }
5677 : }
5678 112 : return gerepilecopy(av, o);
5679 : }
5680 :
5681 : /* h(x) for x<0 using Baby Step/Giant Step.
5682 : * Assumes G is not too far from being cyclic.
5683 : *
5684 : * Compute G^2 instead of G so as to kill most of the non-cyclicity */
5685 : GEN
5686 2054893 : classno(GEN x)
5687 : {
5688 2054893 : pari_sp av = avma;
5689 : long r2, k, s, i, l;
5690 : GEN forms, hin, Hf, D, g1, d1, d2, q, L, fad1, order_bound;
5691 : void *E;
5692 :
5693 2054893 : if (signe(x) >= 0) return classno2(x);
5694 :
5695 2054886 : check_quaddisc(x, &s, &k, "classno");
5696 2054886 : if (abscmpiu(x,12) <= 0) return gen_1;
5697 :
5698 2052496 : Hf = conductor_part(x, k, &D, NULL);
5699 2052496 : if (abscmpiu(D,12) <= 0) return gerepilecopy(av, Hf);
5700 2052496 : forms = get_forms(D, &L);
5701 2052496 : r2 = two_rank(D);
5702 2052496 : hin = roundr(shiftr(L, -r2)); /* rough approximation for #G, G = Cl(K)^2 */
5703 :
5704 2052496 : l = lg(forms);
5705 2052496 : order_bound = const_vec(l-1, NULL);
5706 2052496 : E = expi(D) > 60? (void*)sqrtnint(shifti(absi_shallow(D),-2),4): NULL;
5707 2052496 : g1 = gel(forms,1);
5708 2052496 : gel(order_bound,1) = d1 = Shanks_order(E, g1, hin, &fad1);
5709 2052496 : q = diviiround(hin, d1); /* approximate order of G/<g1> */
5710 2052496 : d2 = NULL; /* not computed yet */
5711 2052496 : if (is_pm1(q)) goto END;
5712 509036 : for (i=2; i < l; i++)
5713 : {
5714 502268 : GEN o, fao, a, F, fd, f = gel(forms,i);
5715 502268 : fd = powgi(f, d1); if (is_pm1(gel(fd,1))) continue;
5716 362162 : F = powgi(fd, q);
5717 362162 : a = gel(F,1);
5718 362162 : o = is_pm1(a)? find_order(E, fd, q, &fao): Shanks_order(E, fd, q, &fao);
5719 : /* f^(d1 q) = 1 */
5720 362162 : fao = merge_factor(fad1,fao, (void*)&cmpii, &cmp_nodata);
5721 362162 : o = find_order(E, f, fao, &fao);
5722 362162 : gel(order_bound,i) = o;
5723 : /* o = order of f, fao = factor(o) */
5724 362162 : update_g1(&g1,&d1,&fad1, f,o,fao);
5725 362162 : q = diviiround(hin, d1);
5726 362162 : if (is_pm1(q)) goto END;
5727 : }
5728 : /* very probably d1 = expo(Cl^2(K)), q ~ #Cl^2(K) / d1 */
5729 6768 : if (expi(q) > 3)
5730 : { /* q large: compute d2, 2nd elt divisor */
5731 70 : ulong N, n = 2*itou(sqrti(d1));
5732 70 : GEN D = d1, T = gen_Shanks_init(g1, n, E, &qfi_group);
5733 70 : d2 = gen_1;
5734 70 : N = itou( gceil(gdivgs(d1,n)) ); /* order(g1) <= n*N */
5735 287 : for (i = 1; i < l; i++)
5736 : {
5737 280 : GEN d, f = gel(forms,i), B = gel(order_bound,i);
5738 280 : if (!B) B = find_order(E, f, fad1, /*junk*/&d);
5739 280 : f = powgi(f,d2);
5740 280 : if (equal1(E, T,N,f)) continue;
5741 112 : B = gdiv(B,d2); if (typ(B) == t_FRAC) B = gel(B,1);
5742 : /* f^B = 1 */
5743 112 : d = relative_order(E, f, B, N,T);
5744 112 : d2= mulii(d,d2);
5745 112 : D = mulii(d1,d2);
5746 112 : q = diviiround(hin,D);
5747 112 : if (is_pm1(q)) { d1 = D; goto END; }
5748 : }
5749 : /* very probably, d2 is the 2nd elementary divisor */
5750 7 : d1 = D; /* product of first two elt divisors */
5751 : }
5752 : /* impose q | d2^oo (d1^oo if d2 not computed), and compatible with known
5753 : * 2-rank */
5754 6705 : if (!ok_q(q,d1,d2,r2))
5755 : {
5756 0 : GEN q0 = q;
5757 : long d;
5758 0 : if (cmpii(mulii(q,d1), hin) < 0)
5759 : { /* try q = q0+1,-1,+2,-2 */
5760 0 : d = 1;
5761 0 : do { q = addis(q0,d); d = d>0? -d: 1-d; } while(!ok_q(q,d1,d2,r2));
5762 : }
5763 : else
5764 : { /* q0-1,+1,-2,+2 */
5765 0 : d = -1;
5766 0 : do { q = addis(q0,d); d = d<0? -d: -1-d; } while(!ok_q(q,d1,d2,r2));
5767 : }
5768 : }
5769 6705 : d1 = mulii(d1,q);
5770 :
5771 : END:
5772 2052496 : return gerepileuptoint(av, shifti(mulii(d1,Hf), r2));
5773 : }
5774 :
5775 : GEN
5776 0 : quadclassno(GEN x)
5777 : {
5778 0 : pari_sp av = avma;
5779 : GEN Hf, D;
5780 : long s, r;
5781 0 : check_quaddisc(x, &s, &r, "quadclassno");
5782 0 : if (s < 0 && abscmpiu(x,12) <= 0) return gen_1;
5783 0 : Hf = conductor_part(x, r, &D, NULL);
5784 0 : return gerepileuptoint(av, mulii(Hf, gel(quadclassunit0(D,0,NULL,0),1)));
5785 : }
5786 :
5787 : /* use Euler products */
5788 : GEN
5789 21 : classno2(GEN x)
5790 : {
5791 21 : pari_sp av = avma;
5792 21 : const long prec = DEFAULTPREC;
5793 : long n, i, r, s;
5794 : GEN p1, p2, S, p4, p5, p7, Hf, Pi, reg, logd, d, dr, D, half;
5795 :
5796 21 : check_quaddisc(x, &s, &r, "classno2");
5797 21 : if (s < 0 && abscmpiu(x,12) <= 0) return gen_1;
5798 :
5799 21 : Hf = conductor_part(x, r, &D, ®);
5800 21 : if (s < 0 && abscmpiu(D,12) <= 0) return gerepilecopy(av, Hf); /* |D| < 12*/
5801 :
5802 21 : Pi = mppi(prec);
5803 21 : d = absi_shallow(D); dr = itor(d, prec);
5804 21 : logd = logr_abs(dr);
5805 21 : p1 = sqrtr(divrr(mulir(d,logd), gmul2n(Pi,1)));
5806 21 : if (s > 0)
5807 : {
5808 14 : GEN invlogd = invr(logd);
5809 14 : p2 = subsr(1, shiftr(mulrr(logr_abs(reg),invlogd),1));
5810 14 : if (cmprr(sqrr(p2), shiftr(invlogd,1)) >= 0) p1 = mulrr(p2,p1);
5811 : }
5812 21 : n = itos_or_0( mptrunc(p1) );
5813 21 : if (!n) pari_err_OVERFLOW("classno [discriminant too large]");
5814 :
5815 21 : p4 = divri(Pi,d);
5816 21 : p7 = invr(sqrtr_abs(Pi));
5817 21 : half = real2n(-1, prec);
5818 21 : if (s > 0)
5819 : { /* i = 1, shortcut */
5820 14 : p1 = sqrtr_abs(dr);
5821 14 : p5 = subsr(1, mulrr(p7,incgamc(half,p4,prec)));
5822 14 : S = addrr(mulrr(p1,p5), eint1(p4,prec));
5823 546 : for (i=2; i<=n; i++)
5824 : {
5825 532 : long k = kroiu(D,i); if (!k) continue;
5826 434 : p2 = mulir(sqru(i), p4);
5827 434 : p5 = subsr(1, mulrr(p7,incgamc(half,p2,prec)));
5828 434 : p5 = addrr(divru(mulrr(p1,p5),i), eint1(p2,prec));
5829 434 : S = (k>0)? addrr(S,p5): subrr(S,p5);
5830 : }
5831 14 : S = shiftr(divrr(S,reg),-1);
5832 : }
5833 : else
5834 : { /* i = 1, shortcut */
5835 7 : p1 = gdiv(sqrtr_abs(dr), Pi);
5836 7 : p5 = subsr(1, mulrr(p7,incgamc(half,p4,prec)));
5837 7 : S = addrr(p5, divrr(p1, mpexp(p4)));
5838 952 : for (i=2; i<=n; i++)
5839 : {
5840 945 : long k = kroiu(D,i); if (!k) continue;
5841 945 : p2 = mulir(sqru(i), p4);
5842 945 : p5 = subsr(1, mulrr(p7,incgamc(half,p2,prec)));
5843 945 : p5 = addrr(p5, divrr(p1, mulur(i, mpexp(p2))));
5844 945 : S = (k>0)? addrr(S,p5): subrr(S,p5);
5845 : }
5846 : }
5847 21 : return gerepileuptoint(av, mulii(Hf, roundr(S)));
5848 : }
5849 :
5850 : /* 1 + q + ... + q^v, v > 0 */
5851 : static GEN
5852 120 : geomsumu(ulong q, long v)
5853 : {
5854 120 : GEN u = utoipos(1+q);
5855 120 : for (; v > 1; v--) u = addui(1, mului(q, u));
5856 120 : return u;
5857 : }
5858 : static GEN
5859 120 : geomsum(GEN q, long v)
5860 : {
5861 : GEN u;
5862 120 : if (lgefint(q) == 3) return geomsumu(q[2], v);
5863 0 : u = addiu(q,1);
5864 0 : for (; v > 1; v--) u = addui(1, mulii(q, u));
5865 0 : return u;
5866 : }
5867 :
5868 : static GEN
5869 7810 : hclassno6_large(GEN x)
5870 : {
5871 : long i, l, s, xmod4;
5872 : GEN Q, H, D, P, E;
5873 :
5874 7810 : x = negi(x);
5875 7810 : check_quaddisc(x, &s, &xmod4, "hclassno");
5876 7810 : corediscfact(x, xmod4, &D, &P, &E);
5877 :
5878 7810 : Q = quadclassunit0(D, 0, NULL, 0);
5879 7810 : H = gel(Q,1); l = lg(P);
5880 :
5881 : /* H \prod_{p^e||f} (1 + (p^e-1)/(p-1))[ p - (D/p) ] */
5882 33682 : for (i=1; i<l; i++)
5883 : {
5884 25872 : long e = E[i], s;
5885 : GEN p, t;
5886 25872 : if (!e) continue;
5887 5003 : p = gel(P,i); s = kronecker(D,p);
5888 5003 : if (e == 1) t = addiu(p, 1-s);
5889 1000 : else if (s == 1) t = powiu(p,e);
5890 120 : else t = addui(1, mulii(subis(p, s), geomsum(p,e-1)));
5891 5003 : H = mulii(H,t);
5892 : }
5893 7810 : switch( itou_or_0(D) )
5894 : {
5895 0 : case 3: H = shifti(H,1);break;
5896 0 : case 4: H = muliu(H,3); break;
5897 7810 : default:H = muliu(H,6); break;
5898 : }
5899 7810 : return H;
5900 : }
5901 :
5902 : /* x > 0, x = 0,3 (mod 4). Return 6*hclassno(x), an integer */
5903 : GEN
5904 121870 : hclassno6(GEN x)
5905 : {
5906 121870 : ulong d = itou_or_0(x);
5907 121870 : if (!d || d > 500000) return hclassno6_large(x);
5908 114060 : return utoipos(hclassno6u(d));
5909 : }
5910 :
5911 : GEN
5912 46088 : hclassno(GEN x)
5913 : {
5914 : long a, s;
5915 46088 : if (typ(x) != t_INT) pari_err_TYPE("hclassno",x);
5916 46088 : s = signe(x);
5917 46088 : if (s < 0) return gen_0;
5918 46088 : if (!s) return gdivgs(gen_1, -12);
5919 46088 : a = mod4(x); if (a == 1 || a == 2) return gen_0;
5920 46088 : return gdivgs(hclassno6(x), 6);
5921 : }
5922 : /******************************************************************/
5923 : /* */
5924 : /* RAMANUJAN's TAU FUNCTION */
5925 : /* */
5926 : /******************************************************************/
5927 : /* 4|N > 0, not fundamental at 2; 6 * Hurwitz class number in level 2,
5928 : * equal to 6*(H(N)+2H(N/4)), H=qfbhclassno */
5929 : static GEN
5930 36750 : Hspec(GEN N)
5931 : {
5932 36750 : long v2 = Z_lvalrem(N, 2, &N), v2f = v2 >> 1;
5933 : GEN t;
5934 36750 : if (odd(v2)) { v2f--; N = shifti(N,3); }
5935 32557 : else if (mod4(N)!=3) { v2f--; N = shifti(N,2); }
5936 : /* N fundamental at 2, v2f = v2(f) s.t. N = f^2 D, D fundamental */
5937 36750 : t = addui(3, muliu(subiu(int2n(v2f+1), 3), 2 - kroiu(N,2)));
5938 36750 : return mulii(t, hclassno6(N));
5939 : }
5940 :
5941 : /* Ramanujan tau function for p prime */
5942 : static GEN
5943 14903 : tauprime(GEN p)
5944 : {
5945 14903 : pari_sp av = avma, av2;
5946 : GEN s, p2, p2_7, p_9, T;
5947 : ulong lim, t, tin;
5948 :
5949 14903 : if (absequaliu(p, 2)) return utoineg(24);
5950 : /* p > 2 */
5951 11396 : p2 = sqri(p);
5952 11396 : p2_7 = mului(7, p2);
5953 11396 : p_9 = mului(9, p);
5954 11396 : av2 = avma;
5955 11396 : lim = itou(sqrtint(p));
5956 11396 : tin = mod4(p) == 3? 1: 0;
5957 11396 : s = gen_0;
5958 87178 : for (t = 1; t <= lim; ++t)
5959 : {
5960 75782 : GEN h, a, t2 = sqru(t), D = shifti(subii(p, t2), 2); /* 4(p-t^2) */
5961 : /* t mod 2 != tin <=> D not fundamental at 2 */
5962 75782 : h = ((t&1UL) == tin)? hclassno6(D): Hspec(D);
5963 75782 : a = mulii(powiu(t2,3), addii(p2_7, mulii(t2, subii(shifti(t2,2), p_9))));
5964 75782 : s = addii(s, mulii(a,h));
5965 75782 : if (!(t & 255)) s = gerepileuptoint(av2, s);
5966 : }
5967 : /* 28p^3 - 28p^2 - 90p - 35 */
5968 11396 : T = subii(shifti(mulii(p2_7, subiu(p,1)), 2), addiu(mului(90,p), 35));
5969 11396 : s = shifti(diviuexact(s, 3), 6);
5970 11396 : return gerepileuptoint(av, subii(mulii(mulii(p2,p),T), addui(1, s)));
5971 : }
5972 :
5973 : /* Ramanujan tau function, return 0 for <= 0 */
5974 : GEN
5975 7035 : ramanujantau(GEN n)
5976 : {
5977 7035 : pari_sp ltop = avma;
5978 : GEN T, F, P, E;
5979 : long j, lP;
5980 :
5981 7035 : if (!(F = check_arith_all(n,"ramanujantau")))
5982 : {
5983 7014 : if (signe(n) <= 0) return gen_0;
5984 7007 : F = Z_factor(n);
5985 : }
5986 : else
5987 : {
5988 21 : P = gel(F,1);
5989 21 : if (lg(P) == 1 || signe(gel(P,1)) <= 0) return gen_0;
5990 : }
5991 :
5992 7014 : P = gel(F,1);
5993 7014 : E = gel(F,2); lP = lg(P);
5994 7014 : T = gen_1;
5995 21917 : for (j = 1; j < lP; j++)
5996 : {
5997 14903 : GEN p = gel(P,j), tp = tauprime(p), t1 = tp, t0 = gen_1;
5998 14903 : long k, e = itou(gel(E,j));
5999 20160 : for (k = 1; k < e; k++)
6000 : {
6001 5257 : GEN t2 = subii(mulii(tp, t1), mulii(powiu(p, 11), t0));
6002 5257 : t0 = t1; t1 = t2;
6003 : }
6004 14903 : T = mulii(T, t1);
6005 : }
6006 7014 : return gerepileuptoint(ltop, T);
6007 : }
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