Code coverage tests

This page documents the degree to which the PARI/GP source code is tested by our public test suite, distributed with the source distribution in directory src/test/. This is measured by the gcov utility; we then process gcov output using the lcov frond-end.

We test a few variants depending on Configure flags on the pari.math.u-bordeaux.fr machine (x86_64 architecture), and agregate them in the final report:

The target is 90% coverage for all mathematical modules (given that branches depending on DEBUGLEVEL or DEBUGMEM are not covered). This script is run to produce the results below.

LCOV - code coverage report
Current view: top level - basemath - arith1.c (source / functions) Hit Total Coverage
Test: PARI/GP v2.10.0 lcov report (development 20443-183d202) Lines: 2646 2914 90.8 %
Date: 2017-03-27 05:17:48 Functions: 230 249 92.4 %
Legend: Lines: hit not hit

          Line data    Source code
       1             : /* Copyright (C) 2000  The PARI group.
       2             : 
       3             : This file is part of the PARI/GP package.
       4             : 
       5             : PARI/GP is free software; you can redistribute it and/or modify it under the
       6             : terms of the GNU General Public License as published by the Free Software
       7             : Foundation. It is distributed in the hope that it will be useful, but WITHOUT
       8             : ANY WARRANTY WHATSOEVER.
       9             : 
      10             : Check the License for details. You should have received a copy of it, along
      11             : with the package; see the file 'COPYING'. If not, write to the Free Software
      12             : Foundation, Inc., 51 Franklin Street, Fifth Floor, Boston, MA 02110-1301 USA. */
      13             : 
      14             : /*********************************************************************/
      15             : /**                                                                 **/
      16             : /**                     ARITHMETIC FUNCTIONS                        **/
      17             : /**                         (first part)                            **/
      18             : /**                                                                 **/
      19             : /*********************************************************************/
      20             : #include "pari.h"
      21             : #include "paripriv.h"
      22             : 
      23             : /******************************************************************/
      24             : /*                                                                */
      25             : /*                 GENERATOR of (Z/mZ)*                           */
      26             : /*                                                                */
      27             : /******************************************************************/
      28             : static GEN
      29          25 : remove2(GEN q) { long v = vali(q); return v? shifti(q, -v): q; }
      30             : static ulong
      31       15040 : u_remove2(ulong q) { return q >> vals(q); }
      32             : GEN
      33          25 : odd_prime_divisors(GEN q) { return gel(Z_factor(remove2(q)), 1); }
      34             : static GEN
      35       15040 : u_odd_prime_divisors(ulong q) { return gel(factoru(u_remove2(q)), 1); }
      36             : /* p odd prime, q=(p-1)/2; L0 list of (some) divisors of q = (p-1)/2 or NULL
      37             :  * (all prime divisors of q); return the q/l, l in L0 */
      38             : static GEN
      39          20 : is_gener_expo(GEN p, GEN L0)
      40             : {
      41          20 :   GEN L, q = shifti(p,-1);
      42             :   long i, l;
      43          20 :   if (L0) {
      44          10 :     l = lg(L0);
      45          10 :     L = cgetg(l, t_VEC);
      46             :   } else {
      47          10 :     L0 = L = odd_prime_divisors(q);
      48          10 :     l = lg(L);
      49             :   }
      50          20 :   for (i=1; i<l; i++) gel(L,i) = diviiexact(q, gel(L0,i));
      51          20 :   return L;
      52             : }
      53             : static GEN
      54       15108 : u_is_gener_expo(ulong p, GEN L0)
      55             : {
      56       15108 :   const ulong q = p >> 1;
      57             :   long i, l;
      58             :   GEN L;
      59       15108 :   if (L0) {
      60        1898 :     l = lg(L0);
      61        1898 :     L = cgetg(l, t_VECSMALL);
      62             :   } else {
      63       13210 :     L0 = L = u_odd_prime_divisors(q);
      64       13210 :     l = lg(L);
      65             :   }
      66       15108 :   for (i=1; i<l; i++) L[i] = q / uel(L0,i);
      67       15108 :   return L;
      68             : }
      69             : 
      70             : int
      71       33879 : is_gener_Fl(ulong x, ulong p, ulong p_1, GEN L)
      72             : {
      73             :   long i;
      74       33879 :   if (krouu(x, p) >= 0) return 0;
      75       45602 :   for (i=lg(L)-1; i; i--)
      76             :   {
      77       29379 :     ulong t = Fl_powu(x, uel(L,i), p);
      78       29379 :     if (t == p_1 || t == 1) return 0;
      79             :   }
      80       16223 :   return 1;
      81             : }
      82             : /* assume p prime */
      83             : ulong
      84       36893 : pgener_Fl_local(ulong p, GEN L0)
      85             : {
      86       36893 :   const pari_sp av = avma;
      87       36893 :   const ulong p_1 = p-1;
      88             :   long x;
      89             :   GEN L;
      90       36893 :   if (p <= 19) switch(p)
      91             :   { /* quick trivial cases */
      92          15 :     case 2:  return 1;
      93             :     case 7:
      94        2845 :     case 17: return 3;
      95       18950 :     default: return 2;
      96             :   }
      97       15083 :   L = u_is_gener_expo(p,L0);
      98       15083 :   for (x=2;;x++) { if (is_gener_Fl(x,p,p_1,L)) break; }
      99       15083 :   avma = av; return x;
     100             : }
     101             : ulong
     102       30740 : pgener_Fl(ulong p) { return pgener_Fl_local(p, NULL); }
     103             : 
     104             : /* L[i] = set of (p-1)/2l, l ODD prime divisor of p-1 (l=2 can be included,
     105             :  * but wasteful) */
     106             : int
     107          50 : is_gener_Fp(GEN x, GEN p, GEN p_1, GEN L)
     108             : {
     109          50 :   long i, t = lgefint(x)==3? kroui(x[2], p): kronecker(x, p);
     110          50 :   if (t >= 0) return 0;
     111         130 :   for (i = lg(L)-1; i; i--)
     112             :   {
     113          80 :     GEN t = Fp_pow(x, gel(L,i), p);
     114          80 :     if (equalii(t, p_1) || equali1(t)) return 0;
     115             :   }
     116          50 :   return 1;
     117             : }
     118             : 
     119             : /* assume p prime, return a generator of all L[i]-Sylows in F_p^*. */
     120             : GEN
     121        4575 : pgener_Fp_local(GEN p, GEN L0)
     122             : {
     123        4575 :   pari_sp av0 = avma;
     124             :   GEN x, p_1, L;
     125        4575 :   if (lgefint(p) == 3)
     126             :   {
     127             :     ulong z;
     128        4555 :     if (p[2] == 2) return gen_1;
     129        2940 :     if (L0) L0 = ZV_to_nv(L0);
     130        2940 :     z = pgener_Fl_local(uel(p,2), L0);
     131        2940 :     avma = av0; return utoipos(z);
     132             :   }
     133          20 :   p_1 = subiu(p,1); L = is_gener_expo(p, L0);
     134          20 :   x = utoipos(2);
     135          20 :   for (;; x[2]++) { if (is_gener_Fp(x, p, p_1, L)) break; }
     136          20 :   avma = av0; return utoipos(uel(x,2));
     137             : }
     138             : 
     139             : GEN
     140        4180 : pgener_Fp(GEN p) { return pgener_Fp_local(p, NULL); }
     141             : 
     142             : ulong
     143        2950 : pgener_Zl(ulong p)
     144             : {
     145        2950 :   if (p == 2) pari_err_DOMAIN("pgener_Zl","p","=",gen_2,gen_2);
     146             :   /* only p < 2^32 such that znprimroot(p) != znprimroot(p^2) */
     147        2950 :   if (p == 40487) return 10;
     148             : #ifndef LONG_IS_64BIT
     149             :   return pgener_Fl(p);
     150             : #else
     151        2950 :   if (p < (1UL<<32)) return pgener_Fl(p);
     152             :   else
     153             :   {
     154          25 :     const pari_sp av = avma;
     155          25 :     const ulong p_1 = p-1;
     156             :     long x ;
     157          25 :     GEN p2 = sqru(p), L = u_is_gener_expo(p, NULL);
     158          85 :     for (x=2;;x++)
     159          85 :       if (is_gener_Fl(x,p,p_1,L) && !is_pm1(Fp_powu(utoipos(x),p_1,p2))) break;
     160          60 :     avma = av; return x;
     161             :   }
     162             : #endif
     163             : }
     164             : 
     165             : /* p prime. Return a primitive root modulo p^e, e > 1 */
     166             : GEN
     167        2950 : pgener_Zp(GEN p)
     168             : {
     169        2950 :   if (lgefint(p) == 3) return utoipos(pgener_Zl(p[2]));
     170             :   else
     171             :   {
     172           0 :     const pari_sp av = avma;
     173           0 :     GEN p_1 = subiu(p,1), p2 = sqri(p), L = is_gener_expo(p,NULL);
     174           0 :     GEN x = utoipos(2);
     175           0 :     for (;; x[2]++)
     176           0 :       if (is_gener_Fp(x,p,p_1,L) && !equali1(Fp_pow(x,p_1,p2))) break;
     177           0 :     avma = av; return utoipos(uel(x,2));
     178             :   }
     179             : }
     180             : 
     181             : static GEN
     182         165 : gener_Zp(GEN q, GEN F)
     183             : {
     184         165 :   GEN p = NULL;
     185         165 :   long e = 0;
     186         165 :   if (F)
     187             :   {
     188          10 :     GEN P = gel(F,1), E = gel(F,2);
     189          10 :     long i, l = lg(P);
     190          30 :     for (i = 1; i < l; i++)
     191             :     {
     192          20 :       p = gel(P,i);
     193          20 :       if (absequaliu(p, 2)) continue;
     194          10 :       if (i < l-1) pari_err_DOMAIN("znprimroot", "argument","=",F,F);
     195          10 :       e = itos(gel(E,i));
     196             :     }
     197          10 :     if (!p) pari_err_DOMAIN("znprimroot", "argument","=",F,F);
     198             :   }
     199             :   else
     200         155 :     e = Z_isanypower(q, &p);
     201         165 :   return e > 1? pgener_Zp(p): pgener_Fp(q);
     202             : }
     203             : 
     204             : GEN
     205         215 : znprimroot(GEN N)
     206             : {
     207         215 :   pari_sp av = avma;
     208             :   GEN x, n, F;
     209             : 
     210         215 :   if ((F = check_arith_non0(N,"znprimroot")))
     211             :   {
     212          10 :     F = clean_Z_factor(F);
     213          10 :     N = typ(N) == t_VEC? gel(N,1): factorback(F);
     214             :   }
     215         210 :   if (signe(N) < 0) N = absi(N);
     216         210 :   if (abscmpiu(N, 4) <= 0) { avma = av; return mkintmodu(N[2]-1,N[2]); }
     217         175 :   switch(mod4(N))
     218             :   {
     219             :     case 0: /* N = 0 mod 4 */
     220          10 :       pari_err_DOMAIN("znprimroot", "argument","=",N,N);
     221           0 :       x = NULL; break;
     222             :     case 2: /* N = 2 mod 4 */
     223          15 :       n = shifti(N,-1); /* becomes odd */
     224          15 :       x = gener_Zp(n,F); if (!mod2(x)) x = addii(x,n);
     225          15 :       break;
     226             :     default: /* N odd */
     227         150 :       x = gener_Zp(N,F);
     228         150 :       break;
     229             :   }
     230         165 :   return gerepilecopy(av, mkintmod(x, N));
     231             : }
     232             : 
     233             : /* n | (p-1), returns a primitive n-th root of 1 in F_p^* */
     234             : GEN
     235           0 : rootsof1_Fp(GEN n, GEN p)
     236             : {
     237           0 :   pari_sp av = avma;
     238           0 :   GEN L = odd_prime_divisors(n); /* 2 implicit in pgener_Fp_local */
     239           0 :   GEN z = pgener_Fp_local(p, L);
     240           0 :   z = Fp_pow(z, diviiexact(subiu(p,1), n), p); /* prim. n-th root of 1 */
     241           0 :   return gerepileuptoint(av, z);
     242             : }
     243             : 
     244             : GEN
     245           5 : rootsof1u_Fp(ulong n, GEN p)
     246             : {
     247           5 :   pari_sp av = avma;
     248           5 :   GEN z, L = u_odd_prime_divisors(n); /* 2 implicit in pgener_Fp_local */
     249           5 :   z = pgener_Fp_local(p, Flv_to_ZV(L));
     250           5 :   z = Fp_pow(z, diviuexact(subiu(p,1), n), p); /* prim. n-th root of 1 */
     251           5 :   return gerepileuptoint(av, z);
     252             : }
     253             : 
     254             : ulong
     255        1825 : rootsof1_Fl(ulong n, ulong p)
     256             : {
     257        1825 :   pari_sp av = avma;
     258        1825 :   GEN L = u_odd_prime_divisors(n); /* 2 implicit in pgener_Fl_local */
     259        1825 :   ulong z = pgener_Fl_local(p, L);
     260        1825 :   z = Fl_powu(z, (p-1) / n, p); /* prim. n-th root of 1 */
     261        1825 :   avma = av; return z;
     262             : }
     263             : 
     264             : /*********************************************************************/
     265             : /**                                                                 **/
     266             : /**                     INVERSE TOTIENT FUNCTION                    **/
     267             : /**                                                                 **/
     268             : /*********************************************************************/
     269             : /* N t_INT, L a ZV containing all prime divisors of N, and possibly other
     270             :  * primes. Return factor(N) */
     271             : GEN
     272      250465 : Z_factor_listP(GEN N, GEN L)
     273             : {
     274      250465 :   long i, k, l = lg(L);
     275      250465 :   GEN P = cgetg(l, t_COL), E = cgetg(l, t_COL);
     276      961920 :   for (i = k = 1; i < l; i++)
     277             :   {
     278      711455 :     GEN p = gel(L,i);
     279      711455 :     long v = Z_pvalrem(N, p, &N);
     280      711455 :     if (v)
     281             :     {
     282      565840 :       gel(P,k) = p;
     283      565840 :       gel(E,k) = utoipos(v);
     284      565840 :       k++;
     285             :     }
     286             :   }
     287      250465 :   setlg(P, k);
     288      250465 :   setlg(E, k); return mkmat2(P,E);
     289             : }
     290             : 
     291             : /* look for x such that phi(x) = n, p | x => p > m (if m = NULL: no condition).
     292             :  * L is a list of primes containing all prime divisors of n. */
     293             : static long
     294      443975 : istotient_i(GEN n, GEN m, GEN L, GEN *px)
     295             : {
     296      443975 :   pari_sp av = avma, av2;
     297             :   GEN k, D;
     298             :   long i, v;
     299      443975 :   if (m && mod2(n))
     300             :   {
     301      193510 :     if (!equali1(n)) return 0;
     302       49990 :     if (px) *px = gen_1;
     303       49990 :     return 1;
     304             :   }
     305      250465 :   D = divisors(Z_factor_listP(shifti(n, -1), L));
     306             :   /* loop through primes p > m, d = p-1 | n */
     307      250465 :   av2 = avma;
     308      250465 :   if (!m)
     309             :   { /* special case p = 2, d = 1 */
     310       49990 :     k = n;
     311       49990 :     for (v = 1;; v++) {
     312       49990 :       if (istotient_i(k, gen_2, L, px)) {
     313       49990 :         if (px) *px = shifti(*px, v);
     314       49990 :         return 1;
     315             :       }
     316           0 :       if (mod2(k)) break;
     317           0 :       k = shifti(k,-1);
     318           0 :     }
     319           0 :     avma = av2;
     320             :   }
     321      785330 :   for (i = 1; i < lg(D); ++i)
     322             :   {
     323      715420 :     GEN p, d = shifti(gel(D, i), 1); /* even divisors of n */
     324      715420 :     if (m && cmpii(d, m) < 0) continue;
     325      484130 :     p = addiu(d, 1);
     326      484130 :     if (!isprime(p)) continue;
     327      315760 :     k = diviiexact(n, d);
     328      343995 :     for (v = 1;; v++) {
     329             :       GEN r;
     330      343995 :       if (istotient_i(k, p, L, px)) {
     331      130565 :         if (px) *px = mulii(*px, powiu(p, v));
     332      130565 :         return 1;
     333             :       }
     334      213430 :       k = dvmdii(k, p, &r);
     335      213430 :       if (r != gen_0) break;
     336       28235 :     }
     337      185195 :     avma = av2;
     338             :   }
     339       69910 :   avma = av; return 0;
     340             : }
     341             : 
     342             : /* find x such that phi(x) = n */
     343             : long
     344       50000 : istotient(GEN n, GEN *px)
     345             : {
     346       50000 :   pari_sp av = avma;
     347       50000 :   if (typ(n) != t_INT) pari_err_TYPE("istotient", n);
     348       50000 :   if (signe(n) < 1) return 0;
     349       50000 :   if (mod2(n))
     350             :   {
     351          10 :     if (!equali1(n)) return 0;
     352          10 :     if (px) *px = gen_1;
     353          10 :     return 1;
     354             :   }
     355       49990 :   if (istotient_i(n, NULL, gel(Z_factor(n), 1), px))
     356             :   {
     357       49990 :     if (!px) avma = av;
     358             :     else
     359       49990 :       *px = gerepileuptoint(av, *px);
     360       49990 :     return 1;
     361             :   }
     362           0 :   avma = av; return 0;
     363             : }
     364             : 
     365             : /*********************************************************************/
     366             : /**                                                                 **/
     367             : /**                     INTEGRAL LOGARITHM                          **/
     368             : /**                                                                 **/
     369             : /*********************************************************************/
     370             : 
     371             : /* y > 1 and B > 0 integers. Return e such that y^e <= B < y^(e+1), i.e
     372             :  * e = floor(log_y B). Set *ptq = y^e if non-NULL */
     373             : long
     374      173000 : ulogintall(ulong B, ulong y, ulong *ptq)
     375             : {
     376             :   ulong r, r2;
     377             :   long e;
     378             : 
     379      173000 :   if (y == 2)
     380             :   {
     381        1960 :     long eB = expu(B); /* 2^eB <= B < 2^(eB + 1) */
     382        1960 :     if (ptq) *ptq = 1 << eB;
     383        1960 :     return eB;
     384             :   }
     385      171040 :   r = y, r2 = 1UL;
     386      628590 :   for (e=1;; e++)
     387             :   { /* here, r = y^e, r2 = y^(e-1) */
     388      628590 :     if (r >= B)
     389             :     {
     390      170980 :       if (r != B) { e--; r = r2; }
     391      170980 :       if (ptq) *ptq = r;
     392      170980 :       return e;
     393             :     }
     394      457610 :     r2 = r;
     395      457610 :     r = umuluu_or_0(y, r);
     396      457610 :     if (!r)
     397             :     {
     398          60 :       if (ptq) *ptq = r2;
     399          60 :       return e;
     400             :     }
     401      457550 :   }
     402             : }
     403             : 
     404             : /* y > 1 and B > 0 integers. Return e such that y^e <= B < y^(e+1), i.e
     405             :  * e = floor(log_y B). Set *ptq = y^e if non-NULL */
     406             : long
     407      177765 : logintall(GEN B, GEN y, GEN *ptq)
     408             : {
     409             :   pari_sp av;
     410      177765 :   long ey, e, emax, i, eB = expi(B); /* 2^eB <= B < 2^(eB + 1) */
     411             :   GEN q, pow2;
     412             : 
     413      177765 :   if (lgefint(B) == 3)
     414             :   {
     415             :     ulong q;
     416      173000 :     if (lgefint(y) > 3)
     417             :     {
     418           0 :       if (ptq) *ptq = gen_1;
     419           0 :       return 0;
     420             :     }
     421      173000 :     if (!ptq) return ulogintall(B[2], y[2], NULL);
     422       32270 :     e = ulogintall(B[2], y[2], &q);
     423       32270 :     *ptq = utoi(q); return e;
     424             :   }
     425        4765 :   if (equaliu(y,2))
     426             :   {
     427         100 :     if (ptq) *ptq = int2n(eB);
     428         100 :     return eB;
     429             :   }
     430        4665 :   av = avma;
     431        4665 :   ey = expi(y);
     432             :   /* eB/(ey+1) - 1 < e <= eB/ey */
     433        4665 :   emax = eB/ey;
     434        4665 :   if (emax <= 13) /* e small, be naive */
     435             :   {
     436         665 :     GEN r = y, r2 = gen_1;
     437        7520 :     for (e=1;; e++)
     438             :     { /* here, r = y^e, r2 = y^(e-1) */
     439        7520 :       long fl = cmpii(r, B);
     440        7520 :       if (fl >= 0)
     441             :       {
     442         665 :         if (fl) { e--; cgiv(r); r = r2; }
     443         665 :         if (ptq) *ptq = gerepileuptoint(av, r); else avma = av;
     444         665 :         return e;
     445             :       }
     446        6855 :       r2 = r; r = mulii(r,y);
     447        6855 :     }
     448             :   }
     449             :   /* e >= 13 ey / (ey+1) >= 6.5 */
     450             : 
     451             :   /* binary splitting: compute bits of e one by one */
     452             :   /* compute pow2[i] = y^(2^i) [i < crude upper bound for log_2 log_y(B)] */
     453        4000 :   pow2 = new_chunk((long)log2(eB)+2);
     454        4000 :   gel(pow2,0) = y;
     455        4000 :   for (i=0, q=y;; )
     456             :   {
     457       23425 :     GEN r = gel(pow2,i); /* r = y^2^i */
     458       23425 :     long fl = cmpii(r,B);
     459       23425 :     if (!fl)
     460             :     {
     461           0 :       e = 1L<<i;
     462           0 :       if (ptq) *ptq = gerepileuptoint(av, r); else avma = av;
     463           0 :       return e;
     464             :     }
     465       23425 :     if (fl > 0) { i--; break; }
     466       22110 :     q = r;
     467       22110 :     if (1L<<(i+1) > emax) break;
     468       19425 :     gel(pow2,++i) = sqri(q);
     469       19425 :   }
     470             : 
     471        4000 :   for (e = 1L<<i;;)
     472             :   { /* y^e = q < B < r = q * y^(2^i) */
     473       22095 :     pari_sp av2 = avma;
     474             :     long fl;
     475             :     GEN r;
     476       22095 :     if (--i < 0) break;
     477       18100 :     r = mulii(q, gel(pow2,i));
     478       18100 :     fl = cmpii(r, B);
     479       18100 :     if (fl > 0) avma = av2;
     480             :     else
     481             :     {
     482        8815 :       e += (1L<<i);
     483        8815 :       q = r;
     484        8815 :       if (!fl) break; /* B = r */
     485             :     }
     486       18095 :   }
     487        4000 :   if (ptq) *ptq = gerepileuptoint(av, q); else avma = av;
     488        4000 :   return e;
     489             : }
     490             : 
     491             : long
     492          40 : logint0(GEN B, GEN y, GEN *ptq)
     493             : {
     494          40 :   if (typ(B) != t_INT) pari_err_TYPE("logint",B);
     495          40 :   if (signe(B) <= 0) pari_err_DOMAIN("logint", "x" ,"<=", gen_0, B);
     496          40 :   if (typ(y) != t_INT) pari_err_TYPE("logint",y);
     497          40 :   if (cmpis(y, 2) < 0) pari_err_DOMAIN("logint", "b" ,"<=", gen_1, y);
     498          40 :   return logintall(B,y,ptq);
     499             : }
     500             : 
     501             : /*********************************************************************/
     502             : /**                                                                 **/
     503             : /**                     INTEGRAL SQUARE ROOT                        **/
     504             : /**                                                                 **/
     505             : /*********************************************************************/
     506             : GEN
     507       28135 : sqrtint(GEN a)
     508             : {
     509       28135 :   if (typ(a) != t_INT) pari_err_TYPE("sqrtint",a);
     510       28135 :   switch (signe(a))
     511             :   {
     512       28125 :     case 1: return sqrti(a);
     513           5 :     case 0: return gen_0;
     514           5 :     default: pari_err_DOMAIN("sqrtint", "argument", "<", gen_0,a);
     515             :   }
     516             :   return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
     517             : }
     518             : 
     519             : /*********************************************************************/
     520             : /**                                                                 **/
     521             : /**                      PERFECT SQUARE                             **/
     522             : /**                                                                 **/
     523             : /*********************************************************************/
     524             : static int
     525     7190040 : carremod(ulong A)
     526             : {
     527     7190040 :   const int carresmod64[]={
     528             :     1,1,0,0,1,0,0,0,0,1, 0,0,0,0,0,0,1,1,0,0, 0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,
     529             :     0,0,0,1,0,0,1,0,0,0, 0,1,0,0,0,0,0,0,0,1, 0,0,0,0,0,0,0,1,0,0, 0,0,0,0};
     530     7190040 :   const int carresmod63[]={
     531             :     1,1,0,0,1,0,0,1,0,1, 0,0,0,0,0,0,1,0,1,0, 0,0,1,0,0,1,0,0,1,0,
     532             :     0,0,0,0,0,0,1,1,0,0, 0,0,0,1,0,0,1,0,0,1, 0,0,0,0,0,0,0,0,1,0, 0,0,0};
     533     7190040 :   const int carresmod65[]={
     534             :     1,1,0,0,1,0,0,0,0,1, 1,0,0,0,1,0,1,0,0,0, 0,0,0,0,0,1,1,0,0,1,
     535             :     1,0,0,0,0,1,1,0,0,1, 1,0,0,0,0,0,0,0,0,1, 0,1,0,0,0,1,1,0,0,0, 0,1,0,0,1};
     536     7190040 :   const int carresmod11[]={1,1,0,1,1,1,0,0,0,1, 0};
     537    14380080 :   return (carresmod64[A & 0x3fUL]
     538     3136445 :     && carresmod63[A % 63UL]
     539     1996465 :     && carresmod65[A % 65UL]
     540     8841760 :     && carresmod11[A % 11UL]);
     541             : }
     542             : 
     543             : /* emulate Z_issquareall on single-word integers */
     544             : long
     545     6147495 : uissquareall(ulong A, ulong *sqrtA)
     546             : {
     547     6147495 :   if (!A) { *sqrtA = 0; return 1; }
     548     6147495 :   if (carremod(A))
     549             :   {
     550     1070450 :     ulong a = usqrt(A);
     551     1070450 :     if (a * a == A) { *sqrtA = a; return 1; }
     552             :   }
     553     5141805 :   return 0;
     554             : }
     555             : long
     556       85565 : uissquare(ulong A)
     557             : {
     558       85565 :   if (!A) return 1;
     559       85565 :   if (carremod(A))
     560             :   {
     561        2500 :     ulong a = usqrt(A);
     562        2500 :     if (a * a == A) return 1;
     563             :   }
     564       83085 :   return 0;
     565             : }
     566             : 
     567             : long
     568     4203140 : Z_issquareall(GEN x, GEN *pt)
     569             : {
     570             :   pari_sp av;
     571             :   GEN y, r;
     572             : 
     573     4203140 :   switch(signe(x))
     574             :   {
     575     1309790 :     case -1: return 0;
     576         780 :     case 0: if (pt) *pt=gen_0; return 1;
     577             :   }
     578     2892570 :   if (lgefint(x) == 3)
     579             :   {
     580     1935590 :     ulong u = uel(x,2), a;
     581     1935590 :     if (!pt) return uissquare(u);
     582     1850025 :     if (!uissquareall(u, &a)) return 0;
     583      983645 :     *pt = utoipos(a); return 1;
     584             :   }
     585      956980 :   if (!carremod(umodiu(x, 64*63*65*11))) return 0;
     586      426485 :   av = avma; y = sqrtremi(x, &r);
     587      426485 :   if (r != gen_0) { avma = av; return 0; }
     588        4715 :   if (pt) { *pt = y; avma = (pari_sp)y; } else avma = av;
     589        4715 :   return 1;
     590             : }
     591             : 
     592             : /* a t_INT, p prime */
     593             : long
     594           0 : Zp_issquare(GEN a, GEN p)
     595             : {
     596             :   long v;
     597             :   GEN ap;
     598             : 
     599           0 :   if (!signe(a) || gequal1(a)) return 1;
     600           0 :   v = Z_pvalrem(a, p, &ap);
     601           0 :   if (v&1) return 0;
     602           0 :   return absequaliu(p, 2)? umodiu(ap, 8) == 1
     603           0 :                       : kronecker(ap,p) == 1;
     604             : }
     605             : 
     606             : static long
     607        1445 : polissquareall(GEN x, GEN *pt)
     608             : {
     609             :   pari_sp av;
     610             :   long v;
     611             :   GEN y, a, b, p;
     612             : 
     613        1445 :   if (!signe(x))
     614             :   {
     615           5 :     if (pt) *pt = gcopy(x);
     616           5 :     return 1;
     617             :   }
     618        1440 :   if (odd(degpol(x))) return 0; /* odd degree */
     619         900 :   av = avma;
     620         900 :   v = RgX_valrem(x, &x);
     621         900 :   if (v & 1) { avma = av; return 0; }
     622         895 :   a = gel(x,2); /* test constant coeff */
     623         895 :   if (!pt)
     624          45 :   { if (!issquare(a)) { avma = av; return 0; } }
     625             :   else
     626         850 :   { if (!issquareall(a,&b)) { avma = av; return 0; } }
     627         895 :   if (!degpol(x)) { /* constant polynomial */
     628          55 :     if (!pt) { avma = av; return 1; }
     629          25 :     y = scalarpol(b, varn(x)); goto END;
     630             :   }
     631         840 :   p = characteristic(x);
     632         840 :   if (signe(p) && !mod2(p))
     633             :   {
     634             :     long i, lx;
     635          25 :     if (!absequaliu(p,2)) pari_err_IMPL("issquare for even characteristic != 2");
     636          20 :     x = gmul(x, mkintmod(gen_1, gen_2));
     637          20 :     lx = lg(x);
     638          20 :     if ((lx-3) & 1) { avma = av; return 0; }
     639          35 :     for (i = 3; i < lx; i+=2)
     640          20 :       if (!gequal0(gel(x,i))) { avma = av; return 0; }
     641          15 :     if (pt) {
     642          10 :       y = cgetg((lx+3) / 2, t_POL);
     643          35 :       for (i = 2; i < lx; i+=2)
     644          25 :         if (!issquareall(gel(x,i), &gel(y, (i+2)>>1))) { avma = av; return 0; }
     645          10 :       y[1] = evalsigne(1) | evalvarn(varn(x));
     646          10 :       goto END;
     647             :     } else {
     648          15 :       for (i = 2; i < lx; i+=2)
     649          10 :         if (!issquare(gel(x,i))) { avma = av; return 0; }
     650           5 :       avma = av; return 1;
     651             :     }
     652             :   }
     653             :   else
     654             :   {
     655         815 :     long m = 1;
     656         815 :     x = RgX_Rg_div(x,a);
     657             :     /* a(x^m) = B^2 => B = b(x^m) provided a(0) != 0 */
     658         815 :     if (!signe(p)) x = RgX_deflate_max(x,&m);
     659         815 :     y = ser2rfrac_i(gsqrt(RgX_to_ser(x,lg(x)-1),0));
     660        1130 :     if (!RgX_equal(RgX_sqr(y), x)) { avma = av; return 0; }
     661         500 :     if (!pt) { avma = av; return 1; }
     662         500 :     if (!gequal1(a)) y = gmul(b, y);
     663         500 :     if (m != 1) y = RgX_inflate(y,m);
     664             :   }
     665             : END:
     666         535 :   if (v) y = RgX_shift_shallow(y, v>>1);
     667         535 :   *pt = gerepilecopy(av, y); return 1;
     668             : }
     669             : 
     670             : /* b unit mod p */
     671             : static int
     672         210 : Up_ispower(GEN b, GEN K, GEN p, long d, GEN *pt)
     673             : {
     674         210 :   if (d == 1)
     675             :   { /* mod p: faster */
     676         150 :     if (!Fp_ispower(b, K, p)) return 0;
     677         150 :     if (pt) *pt = Fp_sqrtn(b, K, p, NULL);
     678             :   }
     679             :   else
     680             :   { /* mod p^{2 +} */
     681          60 :     if (!ispower(cvtop(b, p, d), K, pt)) return 0;
     682          45 :     if (pt) *pt = gtrunc(*pt);
     683             :   }
     684         195 :   return 1;
     685             : }
     686             : 
     687             : /* We're studying whether a mod (q*p^e) is a K-th power, (q,p) = 1.
     688             :  * Decide mod p^e, then reduce a mod q unless q = NULL. */
     689             : static int
     690         310 : handle_pe(GEN *pa, GEN q, GEN L, GEN K, GEN p, long e)
     691             : {
     692             :   GEN t, A;
     693         310 :   long v = Z_pvalrem(*pa, p, &A), d = e - v;
     694         310 :   if (d <= 0) t = gen_0;
     695             :   else
     696             :   {
     697             :     ulong r;
     698         270 :     v = udivui_rem(v, K, &r);
     699         270 :     if (r || !Up_ispower(A, K, p, d, L? &t: NULL)) return 0;
     700         195 :     if (L && v) t = mulii(t, powiu(p, v));
     701             :   }
     702         235 :   if (q) *pa = modii(*pa, q);
     703         235 :   if (L) vectrunc_append(L, mkintmod(t, powiu(p, e)));
     704         235 :   return 1;
     705             : }
     706             : long
     707         230 : Zn_ispower(GEN a, GEN q, GEN K, GEN *pt)
     708             : {
     709             :   GEN L, N;
     710             :   pari_sp av;
     711             :   long e, i, l;
     712             :   ulong pp;
     713             :   forprime_t S;
     714             : 
     715         230 :   if (!signe(a))
     716             :   {
     717           5 :     if (pt) {
     718           5 :       GEN t = cgetg(3, t_INTMOD);
     719           5 :       gel(t,1) = icopy(q); gel(t,2) = gen_0; *pt = t;
     720             :     }
     721           5 :     return 1;
     722             :   }
     723             :   /* a != 0 */
     724         225 :   av = avma;
     725             : 
     726         225 :   if (typ(q) != t_INT) /* integer factorization */
     727             :   {
     728           0 :     GEN P = gel(q,1), E = gel(q,2);
     729           0 :     l = lg(P);
     730           0 :     L = pt? vectrunc_init(l): NULL;
     731           0 :     for (i = 1; i < l; i++)
     732             :     {
     733           0 :       GEN p = gel(P,i);
     734           0 :       long e = itos(gel(E,i));
     735           0 :       if (!handle_pe(&a, NULL, L, K, p, e)) { avma = av; return 0; }
     736             :     }
     737           0 :     goto END;
     738             :   }
     739         225 :   if (!mod2(K)
     740         135 :       && kronecker(a, shifti(q,-vali(q))) == -1) { avma = av; return 0; }
     741         220 :   L = pt? vectrunc_init(expi(q)+1): NULL;
     742         220 :   u_forprime_init(&S, 2, tridiv_bound(q));
     743         220 :   while ((pp = u_forprime_next(&S)))
     744             :   {
     745             :     int stop;
     746      630860 :     e = Z_lvalrem_stop(&q, pp, &stop);
     747      630860 :     if (!e) continue;
     748         150 :     if (!handle_pe(&a, q, L, K, utoipos(pp), e)) { avma = av; return 0; }
     749         120 :     if (stop)
     750             :     {
     751          95 :       if (!is_pm1(q) && !handle_pe(&a, q, L, K, q, 1)) { avma = av; return 0; }
     752          95 :       goto END;
     753             :     }
     754             :   }
     755         110 :   l = lg(primetab);
     756         110 :   for (i = 1; i < l; i++)
     757             :   {
     758           0 :     GEN p = gel(primetab,i);
     759           0 :     e = Z_pvalrem(q, p, &q);
     760           0 :     if (!e) continue;
     761           0 :     if (!handle_pe(&a, q, L, K, p, e)) { avma = av; return 0; }
     762           0 :     if (is_pm1(q)) goto END;
     763             :   }
     764         110 :   N = gcdii(a,q);
     765         110 :   if (!is_pm1(N))
     766             :   {
     767          80 :     if (ifac_isprime(N))
     768             :     {
     769          50 :       e = Z_pvalrem(q, N, &q);
     770          50 :       if (!handle_pe(&a, q, L, K, N, e)) { avma = av; return 0; }
     771             :     }
     772             :     else
     773             :     {
     774          30 :       GEN part = ifac_start(N, 0);
     775             :       for(;;)
     776             :       {
     777             :         long e;
     778             :         GEN p;
     779          60 :         if (!ifac_next(&part, &p, &e)) break;
     780          30 :         e = Z_pvalrem(q, p, &q);
     781          30 :         if (!handle_pe(&a, q, L, K, p, e)) { avma = av; return 0; }
     782          30 :       }
     783             :     }
     784             :   }
     785          60 :   if (!is_pm1(q))
     786             :   {
     787          60 :     if (ifac_isprime(q))
     788             :     {
     789          20 :       if (!handle_pe(&a, q, L, K, q, 1)) { avma = av; return 0; }
     790             :     }
     791             :     else
     792             :     {
     793          40 :       GEN part = ifac_start(q, 0);
     794             :       for(;;)
     795             :       {
     796             :         long e;
     797             :         GEN p;
     798         100 :         if (!ifac_next(&part, &p, &e)) break;
     799          70 :         if (!handle_pe(&a, q, L, K, p, e)) { avma = av; return 0; }
     800          60 :       }
     801             :     }
     802             :   }
     803             : END:
     804         145 :   if (pt) *pt = gerepileupto(av, chinese1_coprime_Z(L));
     805         145 :   return 1;
     806             : }
     807             : 
     808             : static long
     809          90 : polmodispower(GEN x, GEN K, GEN *pt)
     810             : {
     811          90 :   pari_sp av = avma;
     812          90 :   GEN p = NULL, T = NULL;
     813          90 :   if (Rg_is_FpXQ(x, &T,&p) && p)
     814             :   {
     815          80 :     x = liftall_shallow(x);
     816          80 :     if (!Fq_ispower(x, K, T, p)) { avma = av; return 0; }
     817          75 :     if (!pt) { avma = av; return 1; }
     818          70 :     x = Fq_sqrtn(x, K, T,p, NULL);
     819          70 :     if (typ(x) == t_INT)
     820           5 :       x = Fp_to_mod(x,p);
     821             :     else
     822          65 :       x = mkpolmod(FpX_to_mod(x,p), FpX_to_mod(T,p));
     823          70 :     *pt = gerepilecopy(av, x); return 1;
     824             :   }
     825          10 :   pari_err_IMPL("ispower for general t_POLMOD");
     826           0 :   return 0;
     827             : }
     828             : 
     829             : long
     830      104955 : issquareall(GEN x, GEN *pt)
     831             : {
     832      104955 :   long tx = typ(x);
     833             :   GEN F;
     834             :   pari_sp av;
     835             : 
     836      104955 :   if (!pt) return issquare(x);
     837        2930 :   switch(tx)
     838             :   {
     839        1220 :     case t_INT: return Z_issquareall(x, pt);
     840         185 :     case t_FRAC: av = avma;
     841         185 :       F = cgetg(3, t_FRAC);
     842         185 :       if (   !Z_issquareall(gel(x,1), &gel(F,1))
     843          75 :           || !Z_issquareall(gel(x,2), &gel(F,2))) { avma = av; return 0; }
     844          75 :       *pt = F; return 1;
     845             : 
     846             :     case t_POLMOD:
     847          15 :       return polmodispower(x, gen_2, pt);
     848        1390 :     case t_POL: return polissquareall(x,pt);
     849           5 :     case t_RFRAC: av = avma;
     850           5 :       F = cgetg(3, t_RFRAC);
     851           5 :       if (   !issquareall(gel(x,1), &gel(F,1))
     852           5 :           || !polissquareall(gel(x,2), &gel(F,2))) { avma = av; return 0; }
     853           5 :       *pt = F; return 1;
     854             : 
     855             :     case t_REAL: case t_COMPLEX: case t_PADIC: case t_SER:
     856          45 :       if (!issquare(x)) return 0;
     857          45 :       *pt = gsqrt(x, DEFAULTPREC); return 1;
     858             : 
     859             :     case t_INTMOD:
     860          45 :       return Zn_ispower(gel(x,2), gel(x,1), gen_2, pt);
     861             : 
     862          25 :     case t_FFELT: return FF_issquareall(x, pt);
     863             : 
     864             :   }
     865           0 :   pari_err_TYPE("issquareall",x);
     866             :   return 0; /* LCOV_EXCL_LINE */
     867             : }
     868             : 
     869             : long
     870      102220 : issquare(GEN x)
     871             : {
     872             :   pari_sp av;
     873             :   GEN a, p;
     874             :   long i, v;
     875             : 
     876      102220 :   switch(typ(x))
     877             :   {
     878             :     case t_INT:
     879      101940 :       return Z_issquare(x);
     880             : 
     881             :     case t_REAL:
     882          10 :       return (signe(x)>=0);
     883             : 
     884             :     case t_INTMOD:
     885          50 :       return Zn_ispower(gel(x,2), gel(x,1), gen_2, NULL);
     886             : 
     887             :     case t_FRAC:
     888          15 :       return Z_issquare(gel(x,1)) && Z_issquare(gel(x,2));
     889             : 
     890           5 :     case t_FFELT: return FF_issquareall(x, NULL);
     891             : 
     892             :     case t_COMPLEX:
     893          45 :       return 1;
     894             : 
     895             :     case t_PADIC:
     896          75 :       a = gel(x,4); if (!signe(a)) return 1;
     897          75 :       if (valp(x)&1) return 0;
     898          65 :       p = gel(x,2);
     899          65 :       if (!absequaliu(p, 2)) return (kronecker(a,p) != -1);
     900             : 
     901          30 :       v = precp(x); /* here p=2, a is odd */
     902          30 :       if ((v>=3 && mod8(a) != 1 ) ||
     903           0 :           (v==2 && mod4(a) != 1)) return 0;
     904          15 :       return 1;
     905             : 
     906             :     case t_POLMOD:
     907          10 :       return polmodispower(x, gen_2, NULL);
     908             : 
     909             :     case t_POL:
     910          50 :       return polissquareall(x,NULL);
     911             : 
     912             :     case t_SER:
     913          15 :       if (!signe(x)) return 1;
     914          10 :       if (valp(x)&1) return 0;
     915           5 :       return issquare(gel(x,2));
     916             : 
     917             :     case t_RFRAC:
     918           5 :       av = avma; i = issquare(gmul(gel(x,1),gel(x,2)));
     919           5 :       avma = av; return i;
     920             :   }
     921           0 :   pari_err_TYPE("issquare",x);
     922             :   return 0; /* LCOV_EXCL_LINE */
     923             : }
     924           0 : GEN gissquare(GEN x) { return issquare(x)? gen_1: gen_0; }
     925           0 : GEN gissquareall(GEN x, GEN *pt) { return issquareall(x,pt)? gen_1: gen_0; }
     926             : 
     927             : long
     928         990 : ispolygonal(GEN x, GEN S, GEN *N)
     929             : {
     930         990 :   pari_sp av = avma;
     931             :   GEN D, d, n;
     932         990 :   if (typ(x) != t_INT) pari_err_TYPE("ispolygonal", x);
     933         990 :   if (typ(S) != t_INT) pari_err_TYPE("ispolygonal", S);
     934         990 :   if (abscmpiu(S,3) < 0) pari_err_DOMAIN("ispolygonal","s","<", utoipos(3),S);
     935         990 :   if (signe(x) < 0) return 0;
     936         990 :   if (signe(x) == 0) { if (N) *N = gen_0; return 1; }
     937         900 :   if (is_pm1(x)) { if (N) *N = gen_1; return 1; }
     938             :   /* n = (sqrt( (8s - 16) x + (s-4)^2 ) + s - 4) / 2(s - 2) */
     939         810 :   if (abscmpiu(S, 1<<16) < 0) /* common case ! */
     940             :   {
     941         315 :     ulong s = S[2], r;
     942         360 :     if (s == 4) return Z_issquareall(x, N);
     943         270 :     if (s == 3)
     944           0 :       D = addiu(shifti(x, 3), 1);
     945             :     else
     946         270 :       D = addiu(mului(8*s - 16, x), (s-4)*(s-4));
     947         270 :     if (!Z_issquareall(D, &d)) { avma = av; return 0; }
     948         270 :     if (s == 3)
     949           0 :       d = subiu(d, 1);
     950             :     else
     951         270 :       d = addiu(d, s - 4);
     952         270 :     n = diviu_rem(d, 2*s - 4, &r);
     953         270 :     if (r) { avma = av; return 0; }
     954             :   }
     955             :   else
     956             :   {
     957         495 :     GEN r, S_2 = subiu(S,2), S_4 = subiu(S,4);
     958         495 :     D = addii(mulii(shifti(S_2,3), x), sqri(S_4));
     959         495 :     if (!Z_issquareall(D, &d)) { avma = av; return 0; }
     960         495 :     d = addii(d, S_4);
     961         495 :     n = dvmdii(shifti(d,-1), S_2, &r);
     962         495 :     if (r != gen_0) { avma = av; return 0; }
     963             :   }
     964         765 :   if (N) *N = gerepileuptoint(av, n); else avma = av;
     965         765 :   return 1;
     966             : }
     967             : 
     968             : /*********************************************************************/
     969             : /**                                                                 **/
     970             : /**                        PERFECT POWER                            **/
     971             : /**                                                                 **/
     972             : /*********************************************************************/
     973             : static long
     974         355 : polispower(GEN x, GEN K, GEN *pt)
     975             : {
     976             :   pari_sp av;
     977         355 :   long v, d, k = itos(K);
     978             :   GEN y, a, b;
     979             : 
     980         355 :   if (!signe(x))
     981             :   {
     982           5 :     if (pt) *pt = gcopy(x);
     983           5 :     return 1;
     984             :   }
     985         350 :   if (degpol(x) % k) return 0; /* degree not multiple of k */
     986         345 :   av = avma;
     987         345 :   y = NULL; /*-Wall*/
     988         345 :   v = RgX_valrem(x, &x);
     989         345 :   if (v % k) return 0;
     990         340 :   v /= k;
     991         340 :   a = gel(x,2); b = NULL;
     992         340 :   if (!ispower(a, K, &b)) { avma = av; return 0; }
     993         330 :   d = degpol(x);
     994         330 :   if (d)
     995             :   {
     996         235 :     GEN p = characteristic(x);
     997         235 :     a = leading_coeff(x);
     998         255 :     if (!ispower(a, K, &b)) { avma = av; return 0; }
     999         235 :     x = RgX_normalize(x);
    1000         235 :     if (signe(p))
    1001             :     {
    1002         120 :       GEN T0, T = NULL;
    1003         120 :       if (!BPSW_isprime(p))
    1004           0 :         pari_err_IMPL("ispower in non-prime characteristic");
    1005         120 :       if (RgX_is_FpXQX(x,&T,&p))
    1006             :       { /* over Fq */
    1007         120 :         T0 = T;
    1008         120 :         if (T && typ(T) == t_FFELT) T = FF_mod(T);
    1009         120 :         x = RgX_to_FqX(x,T,p);
    1010         120 :         if (!FqX_ispower(x, k, T,p, pt)) { avma = av; return 0; }
    1011         100 :         if (pt)
    1012             :         {
    1013         100 :           y = *pt;
    1014         100 :           if (!T) y = FpX_to_mod(y, p);
    1015          75 :           else if (typ(T0) == t_FFELT)
    1016          50 :             y = FqX_to_FFX(y, T0);
    1017             :           else
    1018             :           {
    1019          25 :             T = FpX_to_mod(T, p);
    1020          25 :             y = gmul(y, gmodulsg(1,T));
    1021             :           }
    1022             :         }
    1023         100 :         goto END;
    1024             :       }
    1025           0 :       if (cmpii(p,K) <= 0)
    1026           0 :         pari_err_IMPL("ispower(general t_POL) in small characteristic");
    1027             :     }
    1028         115 :     y = gtrunc(gsqrtn(RgX_to_ser(x,lg(x)), K, NULL, 0));
    1029         115 :     if (!RgX_equal(powgi(y, K), x)) { avma = av; return 0; }
    1030             :   }
    1031             :   else
    1032          95 :     y = pol_1(varn(x));
    1033             : END:
    1034         310 :   if (pt)
    1035             :   {
    1036         310 :     if (!gequal1(a))
    1037             :     {
    1038          10 :       if (!b) b = gsqrtn(a, K, NULL, DEFAULTPREC);
    1039          10 :       y = gmul(b,y);
    1040             :     }
    1041         310 :     if (v) y = RgX_shift_shallow(y, v);
    1042         310 :     *pt = gerepilecopy(av, y);
    1043             :   }
    1044           0 :   else avma = av;
    1045         310 :   return 1;
    1046             : }
    1047             : 
    1048             : long
    1049        1075 : Z_ispowerall(GEN x, ulong k, GEN *pt)
    1050             : {
    1051        1075 :   long s = signe(x);
    1052             :   ulong mask;
    1053        1075 :   if (!s) { if (pt) *pt = gen_0; return 1; }
    1054        1075 :   if (s > 0) {
    1055         965 :     if (k == 2) return Z_issquareall(x, pt);
    1056         700 :     if (k == 3) { mask = 1; return !!is_357_power(x, pt, &mask); }
    1057         145 :     if (k == 5) { mask = 2; return !!is_357_power(x, pt, &mask); }
    1058         135 :     if (k == 7) { mask = 4; return !!is_357_power(x, pt, &mask); }
    1059         130 :     return is_kth_power(x, k, pt);
    1060             :   }
    1061         110 :   if (!odd(k)) return 0;
    1062         100 :   if (Z_ispowerall(absi(x), k, pt))
    1063             :   {
    1064         100 :     if (pt) *pt = negi(*pt);
    1065         100 :     return 1;
    1066             :   };
    1067           0 :   return 0;
    1068             : }
    1069             : 
    1070             : /* is x a K-th power mod p ? Assume p prime. */
    1071             : int
    1072         165 : Fp_ispower(GEN x, GEN K, GEN p)
    1073             : {
    1074         165 :   pari_sp av = avma;
    1075             :   GEN p_1;
    1076             :   long r;
    1077         165 :   x = modii(x, p);
    1078         165 :   if (!signe(x) || equali1(x)) { avma = av; return 1; }
    1079             :   /* implies p > 2 */
    1080          75 :   p_1 = subiu(p,1);
    1081          75 :   K = gcdii(K, p_1);
    1082          75 :   if (absequaliu(K, 2)) { r = kronecker(x,p); avma = av; return (r > 0); }
    1083          25 :   x = Fp_pow(x, diviiexact(p_1,K), p);
    1084          25 :   avma = av; return equali1(x);
    1085             : }
    1086             : 
    1087             : /* x unit defined modulo 2^e, e > 0, p prime */
    1088             : static int
    1089        1695 : U2_issquare(GEN x, long e)
    1090             : {
    1091        1695 :   long r = signe(x)>=0?mod8(x):8-mod8(x);
    1092        1695 :   if (e==1) return 1;
    1093        1695 :   if (e==2) return (r&3L) == 1;
    1094        1435 :   return r == 1;
    1095             : }
    1096             : /* x unit defined modulo p^e, e > 0, p prime */
    1097             : static int
    1098        3350 : Up_issquare(GEN x, GEN p, long e)
    1099        3350 : { return (absequaliu(p,2))? U2_issquare(x, e): kronecker(x,p)==1; }
    1100             : 
    1101             : long
    1102        1820 : Zn_issquare(GEN d, GEN fn)
    1103             : {
    1104             :   long j, np;
    1105        1820 :   if (typ(d) != t_INT) pari_err_TYPE("Zn_issquare",d);
    1106        1820 :   if (typ(fn) == t_INT) return Zn_ispower(d, fn, gen_2, NULL);
    1107             :   /* integer factorization */
    1108        1820 :   np = nbrows(fn);
    1109        3800 :   for (j = 1; j <= np; ++j)
    1110             :   {
    1111        3550 :     GEN  r, p = gcoeff(fn, j, 1);
    1112        3550 :     long e = itos(gcoeff(fn, j, 2));
    1113        3550 :     long v = Z_pvalrem(d,p,&r);
    1114        3550 :     if (v < e && (odd(v) || !Up_issquare(r, p, e-v))) return 0;
    1115             :   }
    1116         250 :   return 1;
    1117             : }
    1118             : 
    1119             : static long
    1120         795 : Qp_ispower(GEN x, GEN K, GEN *pt)
    1121             : {
    1122         795 :   pari_sp av = avma;
    1123         795 :   GEN z = Qp_sqrtn(x, K, NULL);
    1124         795 :   if (!z) { avma = av; return 0; }
    1125         585 :   if (pt) *pt = z;
    1126         585 :   return 1;
    1127             : }
    1128             : 
    1129             : long
    1130     5002125 : ispower(GEN x, GEN K, GEN *pt)
    1131             : {
    1132             :   GEN z;
    1133             : 
    1134     5002125 :   if (!K) return gisanypower(x, pt);
    1135        1995 :   if (typ(K) != t_INT) pari_err_TYPE("ispower",K);
    1136        1995 :   if (signe(K) <= 0) pari_err_DOMAIN("ispower","exponent","<=",gen_0,K);
    1137        1995 :   if (equali1(K)) { if (pt) *pt = gcopy(x); return 1; }
    1138        1975 :   switch(typ(x)) {
    1139             :     case t_INT:
    1140         515 :       return Z_ispowerall(x, itou(K), pt);
    1141             :     case t_FRAC:
    1142             :     {
    1143          15 :       GEN a = gel(x,1), b = gel(x,2);
    1144          15 :       ulong k = itou(K);
    1145          15 :       if (pt) {
    1146          10 :         z = cgetg(3, t_FRAC);
    1147          10 :         if (Z_ispowerall(a, k, &a) && Z_ispowerall(b, k, &b)) {
    1148          10 :           *pt = z; gel(z,1) = a; gel(z,2) = b; return 1;
    1149             :         }
    1150           0 :         avma = (pari_sp)(z + 3); return 0;
    1151             :       }
    1152           5 :       return Z_ispower(a, k) && Z_ispower(b, k);
    1153             :     }
    1154             :     case t_INTMOD:
    1155         135 :       return Zn_ispower(gel(x,2), gel(x,1), K, pt);
    1156             :     case t_FFELT:
    1157          80 :       return FF_ispower(x, K, pt);
    1158             : 
    1159             :     case t_PADIC:
    1160         795 :       return Qp_ispower(x, K, pt);
    1161             :     case t_POLMOD:
    1162          65 :       return polmodispower(x, K, pt);
    1163             :     case t_POL:
    1164         350 :       return polispower(x, K, pt);
    1165             :     case t_RFRAC: {
    1166           5 :       GEN a = gel(x,1), b = gel(x,2);
    1167           5 :       if (pt) {
    1168           5 :         z = cgetg(3, t_RFRAC);
    1169           5 :         if (ispower(a, K, &a) && polispower(b, K, &b)) {
    1170           5 :           *pt = z; gel(z,1) = a; gel(z,2) = b; return 1;
    1171             :         }
    1172           0 :         avma = (pari_sp)(z + 3); return 0;
    1173             :       }
    1174           0 :       return (ispower(a, K, NULL) && polispower(b, K, NULL));
    1175             :     }
    1176             :     case t_REAL:
    1177           5 :       if (signe(x) < 0 && !mpodd(K)) return 0;
    1178             :     case t_COMPLEX:
    1179          10 :       if (pt) *pt = gsqrtn(x, K, NULL, DEFAULTPREC);
    1180          10 :       return 1;
    1181             : 
    1182             :     case t_SER:
    1183           5 :       if (signe(x) && (!dvdsi(valp(x), K) || !ispower(gel(x,2), K, NULL)))
    1184           0 :         return 0;
    1185           5 :       if (pt) *pt = gsqrtn(x, K, NULL, DEFAULTPREC);
    1186           5 :       return 1;
    1187             :   }
    1188           0 :   pari_err_TYPE("ispower",x);
    1189             :   return 0; /* LCOV_EXCL_LINE */
    1190             : }
    1191             : 
    1192             : long
    1193     5000130 : gisanypower(GEN x, GEN *pty)
    1194             : {
    1195     5000130 :   long tx = typ(x);
    1196             :   ulong k, h;
    1197     5000130 :   if (tx == t_INT) return Z_isanypower(x, pty);
    1198          10 :   if (tx == t_FRAC)
    1199             :   {
    1200          10 :     pari_sp av = avma;
    1201          10 :     GEN fa, P, E, a = gel(x,1), b = gel(x,2);
    1202             :     long i, j, p, e;
    1203          10 :     int sw = (abscmpii(a, b) > 0);
    1204             : 
    1205          10 :     if (sw) swap(a, b);
    1206          10 :     k = Z_isanypower(a, pty? &a: NULL);
    1207          10 :     if (!k)
    1208             :     { /* a = -1,1 or not a pure power */
    1209           5 :       if (!is_pm1(a)) { avma = av; return 0; }
    1210           5 :       if (signe(a) < 0) b = negi(b);
    1211           5 :       k = Z_isanypower(b, pty? &b: NULL);
    1212           5 :       if (!k || !pty) { avma = av; return k; }
    1213           5 :       *pty = gerepileupto(av, ginv(b));
    1214           5 :       return k;
    1215             :     }
    1216           5 :     fa = factoru(k);
    1217           5 :     P = gel(fa,1);
    1218           5 :     E = gel(fa,2); h = k;
    1219          10 :     for (i = lg(P) - 1; i > 0; i--)
    1220             :     {
    1221           5 :       p = P[i];
    1222           5 :       e = E[i];
    1223          15 :       for (j = 0; j < e; j++)
    1224          10 :         if (!is_kth_power(b, p, &b)) break;
    1225           5 :       if (j < e) k /= upowuu(p, e - j);
    1226             :     }
    1227           5 :     if (k == 1) { avma = av; return 0; }
    1228           5 :     if (!pty) { avma = av; return k; }
    1229           0 :     if (k != h) a = powiu(a, h/k);
    1230           0 :     *pty = gerepilecopy(av, mkfrac(a, b));
    1231           0 :     return k;
    1232             :   }
    1233           0 :   pari_err_TYPE("gisanypower", x);
    1234             :   return 0; /* LCOV_EXCL_LINE */
    1235             : }
    1236             : 
    1237             : /* v_p(x) = e != 0 for some p; return ispower(x,,&x), updating x.
    1238             :  * No need to optimize for 2,3,5,7 powers (done before) */
    1239             : static long
    1240      361235 : split_exponent(ulong e, GEN *x)
    1241             : {
    1242             :   GEN fa, P, E;
    1243      361235 :   long i, j, l, k = 1;
    1244      361235 :   if (e == 1) return 1;
    1245          10 :   fa = factoru(e);
    1246          10 :   P = gel(fa,1);
    1247          10 :   E = gel(fa,2); l = lg(P);
    1248          20 :   for (i = 1; i < l; i++)
    1249             :   {
    1250          10 :     ulong p = P[i];
    1251          20 :     for (j = 0; j < E[i]; j++)
    1252             :     {
    1253             :       GEN y;
    1254          10 :       if (!is_kth_power(*x, p, &y)) break;
    1255          10 :       k *= p; *x = y;
    1256             :     }
    1257             :   }
    1258          10 :   return k;
    1259             : }
    1260             : 
    1261             : static long
    1262      615835 : Z_isanypower_nosmalldiv(GEN *px)
    1263             : { /* any prime divisor of x is > 102 */
    1264      615835 :   const double LOG2_103 = 6.6865; /* lower bound for log_2(103) */
    1265      615835 :   const double LOG103 = 4.6347; /* lower bound for log(103) */
    1266             :   forprime_t T;
    1267      615835 :   ulong mask = 7, e2;
    1268             :   long k, ex;
    1269      615835 :   GEN y, x = *px;
    1270             : 
    1271      615835 :   k = 1;
    1272      615835 :   while (Z_issquareall(x, &y)) { k <<= 1; x = y; }
    1273      615835 :   while ( (ex = is_357_power(x, &y, &mask)) ) { k *= ex; x = y; }
    1274      615835 :   e2 = (ulong)((expi(x) + 1) / LOG2_103); /* >= log_103 (x) */
    1275      615835 :   if (u_forprime_init(&T, 11, e2))
    1276             :   {
    1277       12075 :     GEN logx = NULL;
    1278       12075 :     const ulong Q = 30011; /* prime */
    1279             :     ulong p, xmodQ;
    1280       12075 :     double dlogx = 0;
    1281             :     /* cut off at x^(1/p) ~ 2^30 bits which seems to be about optimum;
    1282             :      * for large p the modular checks are no longer competitively fast */
    1283       24180 :     while ( (ex = is_pth_power(x, &y, &T, 30)) )
    1284             :     {
    1285          30 :       k *= ex; x = y;
    1286          30 :       e2 = (ulong)((expi(x) + 1) / LOG2_103);
    1287          30 :       u_forprime_restrict(&T, e2);
    1288             :     }
    1289       12075 :     if (DEBUGLEVEL>4) err_printf("Z_isanypower: now k=%ld, x=%ld-bit\n", k, expi(x));
    1290       12075 :     xmodQ = umodiu(x, Q);
    1291             :     /* test Q | x, just in case */
    1292       12075 :     if (!xmodQ) { *px = x; return k * split_exponent(Z_lval(x,Q), px); }
    1293             :     /* x^(1/p) < 2^31 */
    1294       12065 :     p = T.p;
    1295       12065 :     if (p <= e2)
    1296             :     {
    1297       12055 :       logx = logr_abs( itor(x, DEFAULTPREC) );
    1298       12055 :       dlogx = rtodbl(logx);
    1299       12055 :       e2 = (ulong)(dlogx / LOG103); /* >= log_103(x) */
    1300             :     }
    1301      109000 :     while (p && p <= e2)
    1302             :     { /* is x a p-th power ? By computing y = round(x^(1/p)).
    1303             :        * Check whether y^p = x, first mod Q, then exactly. */
    1304       84870 :       pari_sp av = avma;
    1305             :       long e;
    1306       84870 :       GEN logy = divru(logx, p), y = grndtoi(mpexp(logy), &e);
    1307       84870 :       ulong ymodQ = umodiu(y,Q);
    1308       84870 :       if (e >= -10 || Fl_powu(ymodQ, p % (Q-1), Q) != xmodQ
    1309          15 :                    || !equalii(powiu(y, p), x)) avma = av;
    1310             :       else
    1311             :       {
    1312          15 :         k *= p; x = y; xmodQ = ymodQ; logx = logy; dlogx /= p;
    1313          15 :         e2 = (ulong)(dlogx / LOG103); /* >= log_103(x) */
    1314          15 :         u_forprime_restrict(&T, e2);
    1315          15 :         continue; /* if success, retry same p */
    1316             :       }
    1317       84855 :       p = u_forprime_next(&T);
    1318             :     }
    1319             :   }
    1320      615825 :   *px = x; return k;
    1321             : }
    1322             : 
    1323             : static ulong tinyprimes[] = {
    1324             :   2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71,
    1325             :   73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151,
    1326             :   157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199
    1327             : };
    1328             : 
    1329             : /* disregard the sign of x, caller will take care of x < 0 */
    1330             : static long
    1331     5000585 : Z_isanypower_aux(GEN x, GEN *pty)
    1332             : {
    1333             :   long ex, v, i, l, k;
    1334             :   GEN y, P, E;
    1335     5000585 :   ulong mask, e = 0;
    1336             : 
    1337     5000585 :   if (abscmpii(x, gen_2) < 0) return 0; /* -1,0,1 */
    1338             : 
    1339     5000575 :   if (signe(x) < 0) x = negi(x);
    1340     5000575 :   k = l = 1;
    1341     5000575 :   P = cgetg(26 + 1, t_VECSMALL);
    1342     5000575 :   E = cgetg(26 + 1, t_VECSMALL);
    1343             :   /* trial division */
    1344    87813530 :   for(i = 0; i < 26; i++)
    1345             :   {
    1346    42953595 :     ulong p = tinyprimes[i];
    1347             :     int stop;
    1348    42953595 :     v = Z_lvalrem_stop(&x, p, &stop);
    1349    42953595 :     if (v)
    1350             :     {
    1351     5658885 :       P[l] = p;
    1352     5658885 :       E[l] = v; l++;
    1353     9706290 :       e = ugcd(e, v); if (e == 1) goto END;
    1354             :     }
    1355    39083370 :     if (stop) {
    1356      177180 :       if (is_pm1(x)) k = e;
    1357      177180 :       goto END;
    1358             :     }
    1359             :   }
    1360             : 
    1361      953170 :   if (e)
    1362             :   { /* Bingo. Result divides e */
    1363             :     long v3, v5, v7;
    1364      361225 :     ulong e2 = e;
    1365      361225 :     v = u_lvalrem(e2, 2, &e2);
    1366      361225 :     if (v)
    1367             :     {
    1368      268055 :       for (i = 0; i < v; i++)
    1369             :       {
    1370      267275 :         if (!Z_issquareall(x, &y)) break;
    1371         930 :         k <<= 1; x = y;
    1372             :       }
    1373             :     }
    1374      361225 :     mask = 0;
    1375      361225 :     v3 = u_lvalrem(e2, 3, &e2); if (v3) mask = 1;
    1376      361225 :     v5 = u_lvalrem(e2, 5, &e2); if (v5) mask |= 2;
    1377      361225 :     v7 = u_lvalrem(e2, 7, &e2); if (v7) mask |= 4;
    1378      722505 :     while ( (ex = is_357_power(x, &y, &mask)) ) {
    1379          55 :       x = y;
    1380          55 :       switch(ex)
    1381             :       {
    1382          20 :         case 3: k *= 3; if (--v3 == 0) mask &= ~1; break;
    1383          20 :         case 5: k *= 5; if (--v5 == 0) mask &= ~2; break;
    1384          15 :         case 7: k *= 7; if (--v7 == 0) mask &= ~4; break;
    1385             :       }
    1386             :     }
    1387      361225 :     k *= split_exponent(e2, &x);
    1388             :   }
    1389             :   else
    1390      591945 :     k = Z_isanypower_nosmalldiv(&x);
    1391             : END:
    1392     5000575 :   if (pty && k != 1)
    1393             :   {
    1394        5715 :     if (e)
    1395             :     { /* add missing small factors */
    1396        4915 :       y = powuu(P[1], E[1] / k);
    1397        4915 :       for (i = 2; i < l; i++) y = mulii(y, powuu(P[i], E[i] / k));
    1398        4915 :       x = equali1(x)? y: mulii(x,y);
    1399             :     }
    1400        5715 :     *pty = x;
    1401             :   }
    1402     5000575 :   return k == 1? 0: k;
    1403             : }
    1404             : 
    1405             : long
    1406     5000585 : Z_isanypower(GEN x, GEN *pty)
    1407             : {
    1408     5000585 :   pari_sp av = avma;
    1409     5000585 :   long k = Z_isanypower_aux(x, pty);
    1410     5000585 :   if (!k) { avma = av; return 0; }
    1411        5760 :   if (signe(x) < 0)
    1412             :   {
    1413          30 :     long v = vals(k);
    1414          30 :     if (v)
    1415             :     {
    1416             :       GEN y;
    1417          20 :       k >>= v;
    1418          20 :       if (k == 1) { avma = av; return 0; }
    1419          15 :       if (!pty) { avma = av; return k; }
    1420          10 :       y = *pty;
    1421          10 :       y = powiu(y, 1<<v);
    1422          10 :       togglesign(y);
    1423          10 :       *pty = gerepileuptoint(av, y);
    1424          10 :       return k;
    1425             :     }
    1426          10 :     if (pty) togglesign_safe(pty);
    1427             :   }
    1428        5740 :   if (pty) *pty = gerepilecopy(av, *pty); else avma = av;
    1429        5740 :   return k;
    1430             : }
    1431             : 
    1432             : /* Faster than */
    1433             : /*   !cmpii(n, int2n(vali(n))) */
    1434             : /*   !cmpis(shifti(n, -vali(n)), 1) */
    1435             : /*   expi(n) == vali(n) */
    1436             : /*   hamming(n) == 1 */
    1437             : /* even for single-word values, and much faster for multiword values. */
    1438             : /* If all you have is a word, you can just use n & !(n & (n-1)). */
    1439             : long
    1440       18110 : Z_ispow2(GEN n)
    1441             : {
    1442             :   GEN xp;
    1443             :   long i, lx;
    1444             :   ulong u;
    1445       18110 :   if (signe(n) != 1) return 0;
    1446       18105 :   xp = int_LSW(n);
    1447       18105 :   lx = lgefint(n);
    1448       18105 :   u = *xp;
    1449       18125 :   for (i = 3; i < lx; ++i)
    1450             :   {
    1451       16320 :     if (u) return 0;
    1452          20 :     xp = int_nextW(xp);
    1453          20 :     u = *xp;
    1454             :   }
    1455        1805 :   return !(u & (u-1));
    1456             : }
    1457             : 
    1458             : static long
    1459      601060 : isprimepower_i(GEN n, GEN *pt, long flag)
    1460             : {
    1461      601060 :   pari_sp av = avma;
    1462             :   long i, v;
    1463             : 
    1464      601060 :   if (typ(n) != t_INT) pari_err_TYPE("isprimepower", n);
    1465      601060 :   if (signe(n) <= 0) return 0;
    1466             : 
    1467      601060 :   if (lgefint(n) == 3)
    1468             :   {
    1469             :     ulong p;
    1470      400805 :     v = uisprimepower(n[2], &p);
    1471      400805 :     if (v)
    1472             :     {
    1473       39905 :       if (pt) *pt = utoipos(p);
    1474       39905 :       return v;
    1475             :     }
    1476      360900 :     return 0;
    1477             :   }
    1478     1108210 :   for (i = 0; i < 26; i++)
    1479             :   {
    1480     1084320 :     ulong p = tinyprimes[i];
    1481     1084320 :     v = Z_lvalrem(n, p, &n);
    1482     1084320 :     if (v)
    1483             :     {
    1484      176365 :       avma = av;
    1485      176365 :       if (!is_pm1(n)) return 0;
    1486          85 :       if (pt) *pt = utoipos(p);
    1487          85 :       return v;
    1488             :     }
    1489             :   }
    1490             :   /* p | n => p >= 103 */
    1491       23890 :   v = Z_isanypower_nosmalldiv(&n); /* expensive */
    1492       23890 :   if (!(flag? isprime(n): BPSW_psp(n))) { avma = av; return 0; }
    1493        3270 :   if (pt) *pt = gerepilecopy(av, n); else avma = av;
    1494        3270 :   return v;
    1495             : }
    1496             : long
    1497      600070 : isprimepower(GEN n, GEN *pt) { return isprimepower_i(n,pt,1); }
    1498             : long
    1499         990 : ispseudoprimepower(GEN n, GEN *pt) { return isprimepower_i(n,pt,0); }
    1500             : 
    1501             : long
    1502      401260 : uisprimepower(ulong n, ulong *pp)
    1503             : { /* We must have CUTOFF^11 >= ULONG_MAX and CUTOFF^3 < ULONG_MAX.
    1504             :    * Tests suggest that 200-300 is the best range for 64-bit platforms. */
    1505      401260 :   const ulong CUTOFF = 200UL;
    1506      401260 :   const long TINYCUTOFF = 46;  /* tinyprimes[45] = 199 */
    1507      401260 :   const ulong CUTOFF3 = CUTOFF*CUTOFF*CUTOFF;
    1508             : #ifdef LONG_IS_64BIT
    1509             :   /* primes preceeding the appropriate root of ULONG_MAX. */
    1510      401260 :   const ulong ROOT9 = 137;
    1511      401260 :   const ulong ROOT8 = 251;
    1512      401260 :   const ulong ROOT7 = 563;
    1513      401260 :   const ulong ROOT5 = 7129;
    1514      401260 :   const ulong ROOT4 = 65521;
    1515             : #else
    1516             :   const ulong ROOT9 = 11;
    1517             :   const ulong ROOT8 = 13;
    1518             :   const ulong ROOT7 = 23;
    1519             :   const ulong ROOT5 = 83;
    1520             :   const ulong ROOT4 = 251;
    1521             : #endif
    1522             :   ulong mask;
    1523             :   long v, i;
    1524             :   int e;
    1525      401260 :   if (n < 2) return 0;
    1526      401250 :   if (!odd(n)) {
    1527      200515 :     if (n & (n-1)) return 0;
    1528         655 :     *pp = 2; return vals(n);
    1529             :   }
    1530      200735 :   if (n < 8) { *pp = n; return 1; } /* 3,5,7 */
    1531     2706810 :   for (i = 1/*skip p=2*/; i < TINYCUTOFF; i++)
    1532             :   {
    1533     2663095 :     ulong p = tinyprimes[i];
    1534     2663095 :     if (n % p == 0)
    1535             :     {
    1536      156730 :       v = u_lvalrem(n, p, &n);
    1537      156730 :       if (n == 1) { *pp = p; return v; }
    1538      155230 :       return 0;
    1539             :     }
    1540             :   }
    1541             :   /* p | n => p >= CUTOFF */
    1542             : 
    1543       43715 :   if (n < CUTOFF3)
    1544             :   {
    1545       33110 :     if (n < CUTOFF*CUTOFF || uisprime_101(n)) { *pp = n; return 1; }
    1546           0 :     if (uissquareall(n, &n)) { *pp = n; return 2; }
    1547           0 :     return 0;
    1548             :   }
    1549             : 
    1550             :   /* Check for squares, fourth powers, and eighth powers as appropriate. */
    1551       10605 :   v = 1;
    1552       10605 :   if (uissquareall(n, &n)) {
    1553           0 :     v <<= 1;
    1554           0 :     if (CUTOFF <= ROOT4 && uissquareall(n, &n)) {
    1555           0 :       v <<= 1;
    1556           0 :       if (CUTOFF <= ROOT8 && uissquareall(n, &n)) v <<= 1;
    1557             :     }
    1558             :   }
    1559             : 
    1560       10605 :   if (CUTOFF > ROOT5) mask = 1;
    1561             :   else
    1562             :   {
    1563       10605 :     const ulong CUTOFF5 = CUTOFF3*CUTOFF*CUTOFF;
    1564       10605 :     if (n < CUTOFF5) mask = 1; else mask = 3;
    1565       10605 :     if (CUTOFF <= ROOT7)
    1566             :     {
    1567       10605 :       const ulong CUTOFF7 = CUTOFF5*CUTOFF*CUTOFF;
    1568       10605 :       if (n >= CUTOFF7) mask = 7;
    1569             :     }
    1570             :   }
    1571             : 
    1572       10605 :   if (CUTOFF <= ROOT9 && (e = uis_357_power(n, &n, &mask))) { v *= e; mask=1; }
    1573       10605 :   if ((e = uis_357_power(n, &n, &mask))) v *= e;
    1574             : 
    1575       10605 :   if (uisprime_101(n)) { *pp = n; return v; }
    1576        5820 :   return 0;
    1577             : }
    1578             : 
    1579             : /*********************************************************************/
    1580             : /**                                                                 **/
    1581             : /**                        KRONECKER SYMBOL                         **/
    1582             : /**                                                                 **/
    1583             : /*********************************************************************/
    1584             : /* t = 3,5 mod 8 ?  (= 2 not a square mod t) */
    1585             : static int
    1586   399370387 : ome(long t)
    1587             : {
    1588   399370387 :   switch(t & 7)
    1589             :   {
    1590             :     case 3:
    1591   228119765 :     case 5: return 1;
    1592   171250622 :     default: return 0;
    1593             :   }
    1594             : }
    1595             : /* t a t_INT, is t = 3,5 mod 8 ? */
    1596             : static int
    1597     3131205 : gome(GEN t)
    1598     3131205 : { return signe(t)? ome( mod2BIL(t) ): 0; }
    1599             : 
    1600             : /* assume y odd, return kronecker(x,y) * s */
    1601             : static long
    1602   306048390 : krouu_s(ulong x, ulong y, long s)
    1603             : {
    1604   306048390 :   ulong x1 = x, y1 = y, z;
    1605  1640834360 :   while (x1)
    1606             :   {
    1607  1028737580 :     long r = vals(x1);
    1608  1028737580 :     if (r)
    1609             :     {
    1610   557871399 :       if (odd(r) && ome(y1)) s = -s;
    1611   557871399 :       x1 >>= r;
    1612             :     }
    1613  1028737580 :     if (x1 & y1 & 2) s = -s;
    1614  1028737580 :     z = y1 % x1; y1 = x1; x1 = z;
    1615             :   }
    1616   306048390 :   return (y1 == 1)? s: 0;
    1617             : }
    1618             : 
    1619             : long
    1620     3603595 : kronecker(GEN x, GEN y)
    1621             : {
    1622     3603595 :   pari_sp av = avma;
    1623     3603595 :   long s = 1, r;
    1624             :   ulong xu, yu;
    1625             : 
    1626     3603595 :   if (typ(x) != t_INT) pari_err_TYPE("kronecker",x);
    1627     3603595 :   if (typ(y) != t_INT) pari_err_TYPE("kronecker",y);
    1628     3603595 :   switch (signe(y))
    1629             :   {
    1630           0 :     case -1: y = negi(y); if (signe(x) < 0) s = -1; break;
    1631           0 :     case 0: return is_pm1(x);
    1632             :   }
    1633     3603595 :   r = vali(y);
    1634     3603595 :   if (r)
    1635             :   {
    1636        8465 :     if (!mpodd(x)) { avma = av; return 0; }
    1637        7240 :     if (odd(r) && gome(x)) s = -s;
    1638        7240 :     y = shifti(y,-r);
    1639             :   }
    1640     3602370 :   x = modii(x,y);
    1641     7235600 :   while (lgefint(x) > 3) /* x < y */
    1642             :   {
    1643             :     GEN z;
    1644       30860 :     r = vali(x);
    1645       30860 :     if (r)
    1646             :     {
    1647       16980 :       if (odd(r) && gome(y)) s = -s;
    1648       16980 :       x = shifti(x,-r);
    1649             :     }
    1650             :     /* x=3 mod 4 && y=3 mod 4 ? (both are odd here) */
    1651       30860 :     if (mod2BIL(x) & mod2BIL(y) & 2) s = -s;
    1652       30860 :     z = remii(y,x); y = x; x = z;
    1653       30860 :     if (gc_needed(av,2))
    1654             :     {
    1655           0 :       if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"kronecker");
    1656           0 :       gerepileall(av, 2, &x, &y);
    1657             :     }
    1658             :   }
    1659     3602370 :   xu = itou(x);
    1660     3602370 :   if (!xu) return is_pm1(y)? s: 0;
    1661     3587660 :   r = vals(xu);
    1662     3587660 :   if (r)
    1663             :   {
    1664     2495080 :     if (odd(r) && gome(y)) s = -s;
    1665     2495080 :     xu >>= r;
    1666             :   }
    1667             :   /* x=3 mod 4 && y=3 mod 4 ? (both are odd here) */
    1668     3587660 :   if (xu & mod2BIL(y) & 2) s = -s;
    1669     3587660 :   yu = umodiu(y, xu);
    1670     3587660 :   avma = av; return krouu_s(yu, xu, s);
    1671             : }
    1672             : 
    1673             : long
    1674       19855 : krois(GEN x, long y)
    1675             : {
    1676             :   ulong yu;
    1677       19855 :   long s = 1;
    1678             : 
    1679       19855 :   if (y <= 0)
    1680             :   {
    1681           0 :     if (y == 0) return is_pm1(x);
    1682           0 :     yu = (ulong)-y; if (signe(x) < 0) s = -1;
    1683             :   }
    1684             :   else
    1685       19855 :     yu = (ulong)y;
    1686       19855 :   if (!odd(yu))
    1687             :   {
    1688             :     long r;
    1689        9555 :     if (!mpodd(x)) return 0;
    1690        7135 :     r = vals(yu); yu >>= r;
    1691        7135 :     if (odd(r) && gome(x)) s = -s;
    1692             :   }
    1693       17435 :   return krouu_s(umodiu(x, yu), yu, s);
    1694             : }
    1695             : /* assume y != 0 */
    1696             : long
    1697   200581430 : kroiu(GEN x, ulong y)
    1698             : {
    1699             :   long r;
    1700   200581430 :   if (odd(y)) return krouu_s(umodiu(x,y), y, 1);
    1701     1274445 :   if (!mpodd(x)) return 0;
    1702     1248745 :   r = vals(y); y >>= r;
    1703     1248745 :   return krouu_s(umodiu(x,y), y, (odd(r) && gome(x))? -1: 1);
    1704             : }
    1705             : 
    1706             : /* assume y > 0, odd, return s * kronecker(x,y) */
    1707             : static long
    1708       21375 : krouodd(ulong x, GEN y, long s)
    1709             : {
    1710             :   long r;
    1711       21375 :   if (lgefint(y) == 3) return krouu_s(x, y[2], s);
    1712        8345 :   if (!x) return 0; /* y != 1 */
    1713        8345 :   r = vals(x);
    1714        8345 :   if (r)
    1715             :   {
    1716        5435 :     if (odd(r) && gome(y)) s = -s;
    1717        5435 :     x >>= r;
    1718             :   }
    1719             :   /* x=3 mod 4 && y=3 mod 4 ? (both are odd here) */
    1720        8345 :   if (x & mod2BIL(y) & 2) s = -s;
    1721        8345 :   return krouu_s(umodiu(y,x), x, s);
    1722             : }
    1723             : 
    1724             : long
    1725       21330 : krosi(long x, GEN y)
    1726             : {
    1727       21330 :   const pari_sp av = avma;
    1728       21330 :   long s = 1, r;
    1729       21330 :   switch (signe(y))
    1730             :   {
    1731           0 :     case -1: y = negi(y); if (x < 0) s = -1; break;
    1732           0 :     case 0: return (x==1 || x==-1);
    1733             :   }
    1734       21330 :   r = vali(y);
    1735       21330 :   if (r)
    1736             :   {
    1737           0 :     if (!odd(x)) { avma = av; return 0; }
    1738           0 :     if (odd(r) && ome(x)) s = -s;
    1739           0 :     y = shifti(y,-r);
    1740             :   }
    1741       21330 :   if (x < 0) { x = -x; if (mod4(y) == 3) s = -s; }
    1742       21330 :   s = krouodd((ulong)x, y, s);
    1743       21330 :   avma = av; return s;
    1744             : }
    1745             : 
    1746             : long
    1747          45 : kroui(ulong x, GEN y)
    1748             : {
    1749          45 :   const pari_sp av = avma;
    1750          45 :   long s = 1, r;
    1751          45 :   switch (signe(y))
    1752             :   {
    1753           0 :     case -1: y = negi(y); break;
    1754           0 :     case 0: return x==1UL;
    1755             :   }
    1756          45 :   r = vali(y);
    1757          45 :   if (r)
    1758             :   {
    1759           0 :     if (!odd(x)) { avma = av; return 0; }
    1760           0 :     if (odd(r) && ome(x)) s = -s;
    1761           0 :     y = shifti(y,-r);
    1762             :   }
    1763          45 :   s = krouodd(x, y, s);
    1764          45 :   avma = av; return s;
    1765             : }
    1766             : 
    1767             : long
    1768    34926235 : kross(long x, long y)
    1769             : {
    1770             :   ulong yu;
    1771    34926235 :   long s = 1;
    1772             : 
    1773    34926235 :   if (y <= 0)
    1774             :   {
    1775         275 :     if (y == 0) return (labs(x)==1);
    1776         275 :     yu = (ulong)-y; if (x < 0) s = -1;
    1777             :   }
    1778             :   else
    1779    34925960 :     yu = (ulong)y;
    1780    34926235 :   if (!odd(yu))
    1781             :   {
    1782             :     long r;
    1783     3353735 :     if (!odd(x)) return 0;
    1784     3353250 :     r = vals(yu); yu >>= r;
    1785     3353250 :     if (odd(r) && ome(x)) s = -s;
    1786             :   }
    1787    34925750 :   x %= (long)yu; if (x < 0) x += yu;
    1788    34925750 :   return krouu_s((ulong)x, yu, s);
    1789             : }
    1790             : 
    1791             : long
    1792    66940440 : krouu(ulong x, ulong y)
    1793             : {
    1794             :   long r;
    1795    66940440 :   if (odd(y)) return krouu_s(x, y, 1);
    1796        1320 :   if (!odd(x)) return 0;
    1797        1320 :   r = vals(y); y >>= r;
    1798        1320 :   return krouu_s(x, y, (odd(r) && ome(x))? -1: 1);
    1799             : }
    1800             : 
    1801             : /*********************************************************************/
    1802             : /**                                                                 **/
    1803             : /**                          HILBERT SYMBOL                         **/
    1804             : /**                                                                 **/
    1805             : /*********************************************************************/
    1806             : /* x,y are t_INT or t_REAL */
    1807             : static long
    1808        7130 : mphilbertoo(GEN x, GEN y)
    1809             : {
    1810        7130 :   long sx = signe(x), sy = signe(y);
    1811        7130 :   if (!sx || !sy) return 0;
    1812        7130 :   return (sx < 0 && sy < 0)? -1: 1;
    1813             : }
    1814             : 
    1815             : long
    1816       37960 : hilbertii(GEN x, GEN y, GEN p)
    1817             : {
    1818             :   pari_sp av;
    1819             :   long oddvx, oddvy, z;
    1820             : 
    1821       37960 :   if (!p) return mphilbertoo(x,y);
    1822       30845 :   if (is_pm1(p) || signe(p) < 0) pari_err_PRIME("hilbertii",p);
    1823       30845 :   if (!signe(x) || !signe(y)) return 0;
    1824       30830 :   av = avma;
    1825       30830 :   oddvx = odd(Z_pvalrem(x,p,&x));
    1826       30830 :   oddvy = odd(Z_pvalrem(y,p,&y));
    1827             :   /* x, y are p-units, compute hilbert(x * p^oddvx, y * p^oddvy, p) */
    1828       30830 :   if (absequaliu(p, 2))
    1829             :   {
    1830        7635 :     z = (Mod4(x) == 3 && Mod4(y) == 3)? -1: 1;
    1831        7635 :     if (oddvx && gome(y)) z = -z;
    1832        7635 :     if (oddvy && gome(x)) z = -z;
    1833             :   }
    1834             :   else
    1835             :   {
    1836       23195 :     z = (oddvx && oddvy && mod4(p) == 3)? -1: 1;
    1837       23195 :     if (oddvx && kronecker(y,p) < 0) z = -z;
    1838       23195 :     if (oddvy && kronecker(x,p) < 0) z = -z;
    1839             :   }
    1840       30830 :   avma = av; return z;
    1841             : }
    1842             : 
    1843             : static void
    1844         140 : err_prec(void) { pari_err_PREC("hilbert"); }
    1845             : static void
    1846         115 : err_p(GEN p, GEN q) { pari_err_MODULUS("hilbert", p,q); }
    1847             : static void
    1848          40 : err_oo(GEN p) { pari_err_MODULUS("hilbert", p, strtoGENstr("oo")); }
    1849             : 
    1850             : /* x t_INTMOD, *pp = prime or NULL [ unset, set it to x.mod ].
    1851             :  * Return lift(x) provided it's p-adic accuracy is large enough to decide
    1852             :  * hilbert()'s value [ problem at p = 2 ] */
    1853             : static GEN
    1854         300 : lift_intmod(GEN x, GEN *pp)
    1855             : {
    1856         300 :   GEN p = *pp, N = gel(x,1);
    1857         300 :   x = gel(x,2);
    1858         300 :   if (!p)
    1859             :   {
    1860         190 :     *pp = p = N;
    1861         190 :     switch(itos_or_0(p))
    1862             :     {
    1863             :       case 2:
    1864          90 :       case 4: err_prec();
    1865             :     }
    1866         100 :     return x;
    1867             :   }
    1868         110 :   if (!signe(p)) err_oo(N);
    1869          80 :   if (absequaliu(p,2))
    1870          30 :   { if (vali(N) <= 2) err_prec(); }
    1871             :   else
    1872          50 :   { if (!dvdii(N,p)) err_p(N,p); }
    1873          20 :   if (!signe(x)) err_prec();
    1874          15 :   return x;
    1875             : }
    1876             : /* x t_PADIC, *pp = prime or NULL [ unset, set it to x.p ].
    1877             :  * Return lift(x)*p^(v(x) mod 2) provided it's p-adic accuracy is large enough
    1878             :  * to decide hilbert()'s value [ problem at p = 2 ]*/
    1879             : static GEN
    1880         150 : lift_padic(GEN x, GEN *pp)
    1881             : {
    1882         150 :   GEN p = *pp, q = gel(x,2), y = gel(x,4);
    1883         150 :   if (!p) *pp = p = q;
    1884         105 :   else if (!equalii(p,q)) err_p(p, q);
    1885          75 :   if (absequaliu(p,2) && precp(x) <= 2) err_prec();
    1886          50 :   if (!signe(y)) err_prec();
    1887          50 :   return odd(valp(x))? mulii(p,y): y;
    1888             : }
    1889             : 
    1890             : long
    1891         470 : hilbert(GEN x, GEN y, GEN p)
    1892             : {
    1893         470 :   pari_sp av = avma;
    1894         470 :   long tx = typ(x), ty = typ(y), z;
    1895             : 
    1896         470 :   if (p && typ(p) != t_INT) pari_err_TYPE("hilbert",p);
    1897         470 :   if (tx == t_REAL)
    1898             :   {
    1899          55 :     if (p && signe(p)) err_oo(p);
    1900          45 :     switch (ty)
    1901             :     {
    1902             :       case t_INT:
    1903           5 :       case t_REAL: return mphilbertoo(x,y);
    1904           0 :       case t_FRAC: return mphilbertoo(x,gel(y,1));
    1905          40 :       default: pari_err_TYPE2("hilbert",x,y);
    1906             :     }
    1907             :   }
    1908         415 :   if (ty == t_REAL)
    1909             :   {
    1910          10 :     if (p && signe(p)) err_oo(p);
    1911          10 :     switch (tx)
    1912             :     {
    1913             :       case t_INT:
    1914          10 :       case t_REAL: return mphilbertoo(x,y);
    1915           0 :       case t_FRAC: return mphilbertoo(gel(x,1),y);
    1916           0 :       default: pari_err_TYPE2("hilbert",x,y);
    1917             :     }
    1918             :   }
    1919         405 :   if (tx == t_INTMOD) { x = lift_intmod(x, &p); tx = t_INT; }
    1920         260 :   if (ty == t_INTMOD) { y = lift_intmod(y, &p); ty = t_INT; }
    1921             : 
    1922         220 :   if (tx == t_PADIC) { x = lift_padic(x, &p); tx = t_INT; }
    1923         175 :   if (ty == t_PADIC) { y = lift_padic(y, &p); ty = t_INT; }
    1924             : 
    1925         120 :   if (tx == t_FRAC) { tx = t_INT; x = p? mulii(gel(x,1),gel(x,2)): gel(x,1); }
    1926         120 :   if (ty == t_FRAC) { ty = t_INT; y = p? mulii(gel(y,1),gel(y,2)): gel(y,1); }
    1927             : 
    1928         120 :   if (tx != t_INT || ty != t_INT) pari_err_TYPE2("hilbert",x,y);
    1929         120 :   if (p && !signe(p)) p = NULL;
    1930         120 :   z = hilbertii(x,y,p); avma = av; return z;
    1931             : }
    1932             : 
    1933             : /*******************************************************************/
    1934             : /*                                                                 */
    1935             : /*                       SQUARE ROOT MODULO p                      */
    1936             : /*                                                                 */
    1937             : /*******************************************************************/
    1938             : 
    1939             : static ulong
    1940    15495697 : Fl_2gener_pre_all(long e, ulong p, ulong pi, ulong *pt_m)
    1941             : {
    1942             :   ulong y, m;
    1943             :   long k, i;
    1944    15495697 :   ulong q = (p-1) >> e; /* q = (p-1)/2^oo is odd */
    1945    27681102 :   for (k=2; ; k++)
    1946             :   { /* loop terminates for k < p (even if p composite) */
    1947    27681102 :     i = krouu(k, p);
    1948    27681102 :     if (i >= 0)
    1949             :     {
    1950    12185410 :       if (i) continue;
    1951           5 :       pari_err_PRIME("Fl_sqrt [modulus]",utoi(p));
    1952             :     }
    1953    15495692 :     y = m = Fl_powu_pre(k, q, p, pi);
    1954    42319969 :     for (i=1; i<e; i++)
    1955    26824277 :       if ((m = Fl_sqr_pre(m, p, pi)) == 1) break;
    1956    15495692 :     if (i == e) break; /* success */
    1957    12185405 :   }
    1958    15495692 :   *pt_m = m;
    1959    15495692 :   return y;
    1960             : }
    1961             : 
    1962             : /* Tonelli-Shanks. Assume p is prime and (a,p) != -1. */
    1963             : static ulong
    1964    37656577 : Fl_sqrt_i(ulong a, ulong p, ulong pi, ulong y, ulong m)
    1965             : {
    1966             :   long i, e, k;
    1967             :   ulong p1, q, v, w;
    1968             : 
    1969    37656577 :   if (!a) return 0;
    1970    37054597 :   p1 = p - 1; e = vals(p1);
    1971    37054597 :   if (e == 0) /* p = 2 */
    1972             :   {
    1973      298145 :     if (p != 2) pari_err_PRIME("Fl_sqrt [modulus]",utoi(p));
    1974      298140 :     return ((a & 1) == 0)? 0: 1;
    1975             :   }
    1976    36756452 :   q = p1 >> e; /* q = (p-1)/2^oo is odd */
    1977    36756452 :   if (e == 1)    y = p1;
    1978    15495697 :   else if (y==0) y = Fl_2gener_pre_all(e, p, pi, &m);
    1979    36756447 :   p1 = Fl_powu_pre(a, q >> 1, p, pi); /* a ^ [(q-1)/2] */
    1980    36756447 :   if (!p1) return 0;
    1981    36756447 :   v = Fl_mul_pre(a, p1, p, pi);
    1982    36756447 :   w = Fl_mul_pre(v, p1, p, pi);
    1983    86467074 :   while (w != 1)
    1984             :   { /* a*w = v^2, y primitive 2^e-th root of 1
    1985             :        a square --> w even power of y, hence w^(2^(e-1)) = 1 */
    1986    13017725 :     p1 = Fl_sqr_pre(w,p,pi);
    1987    13017725 :     for (k=1; p1 != 1 && k < e; k++) p1 = Fl_sqr_pre(p1,p,pi);
    1988    13017725 :     if (k == e) return ~0UL;
    1989             :     /* w ^ (2^k) = 1 --> w = y ^ (u * 2^(e-k)), u odd */
    1990    12954180 :     p1 = y;
    1991    12954180 :     for (i=1; i < e-k; i++) p1 = Fl_sqr_pre(p1, p, pi);
    1992    12954180 :     y = Fl_sqr_pre(p1, p, pi); e = k;
    1993    12954180 :     w = Fl_mul_pre(y, w, p, pi);
    1994    12954180 :     v = Fl_mul_pre(v, p1, p, pi);
    1995             :   }
    1996    36692902 :   p1 = p - v; if (v > p1) v = p1;
    1997    36692902 :   return v;
    1998             : }
    1999             : 
    2000             : ulong
    2001    35338717 : Fl_sqrt(ulong a, ulong p)
    2002             : {
    2003    35338717 :   ulong pi = get_Fl_red(p);
    2004    35338717 :   return Fl_sqrt_i(a, p, pi, 0, 0);
    2005             : }
    2006             : 
    2007             : ulong
    2008     2317860 : Fl_sqrt_pre(ulong a, ulong p, ulong pi)
    2009             : {
    2010     2317860 :   return Fl_sqrt_i(a, p, pi, 0, 0);
    2011             : }
    2012             : 
    2013             : static ulong
    2014       42125 : Fl_lgener_pre_all(ulong l, long e, ulong r, ulong p, ulong pi, ulong *pt_m)
    2015             : {
    2016             :   ulong x, y, m;
    2017       42125 :   ulong le1 = upowuu(l, e-1);
    2018       67150 :   for (x = 2; ; x++)
    2019             :   {
    2020       67150 :     y = Fl_powu_pre(x, r, p, pi);
    2021       67150 :     if (y==1) continue;
    2022       52000 :     m = Fl_powu_pre(y, le1, p, pi);
    2023       52000 :     if (m != 1) break;
    2024       25025 :   }
    2025       42125 :   *pt_m = m;
    2026       42125 :   return y;
    2027             : }
    2028             : 
    2029             : /* solve x^l = a , l prime in G of order q.
    2030             :  *
    2031             :  * q =  (l^e)*r, e >= 1, (r,l) = 1
    2032             :  * y generates the l-Sylow of G
    2033             :  * m = y^(l^(e-1)) != 1 */
    2034             : static ulong
    2035       77935 : Fl_sqrtl_i(ulong a, ulong l, ulong p, ulong pi, ulong y, ulong m)
    2036             : {
    2037             :   ulong p1, v, w, z, dl, zm;
    2038             :   ulong r, e, u2;
    2039       77935 :   if (a==0) return a;
    2040       77930 :   e = u_lvalrem(p-1, l, &r);
    2041       77930 :   u2 = Fl_inv(l%r, r);
    2042       77930 :   v = Fl_powu_pre(a, u2, p,pi);
    2043       77930 :   w = Fl_powu_pre(v, l, p,pi);
    2044       77930 :   w = Fl_mul_pre(w, Fl_inv(a, p),p,pi);
    2045       77930 :   if (w==1) return v;
    2046       42125 :   if (y==0) y = Fl_lgener_pre_all(l, e, r, p, pi, &m);
    2047       96990 :   while (w!=1)
    2048             :   {
    2049       45125 :     ulong k = 0;
    2050       45125 :     p1 = w;
    2051             :     do
    2052             :     {
    2053       67470 :       z = p1; p1 = Fl_powu_pre(p1, l, p, pi);
    2054       67470 :       k++;
    2055       67470 :     } while (p1!=1);
    2056       45125 :     if (k==e) return ~0UL;
    2057       12740 :     dl = 0; zm = 1;
    2058       44895 :     while (z!=zm)
    2059             :     {
    2060       19415 :       zm = Fl_mul_pre(zm, m, p, pi); dl++;
    2061             :     }
    2062       12740 :     dl = Fl_neg(dl, l);
    2063       12740 :     p1 = Fl_powu_pre(y,dl*upowuu(l,e-k-1),p,pi);
    2064       12740 :     m = Fl_powu_pre(m, dl, p, pi);
    2065       12740 :     e = k;
    2066       12740 :     v = Fl_mul_pre(p1,v,p,pi);
    2067       12740 :     y = Fl_powu_pre(p1,l,p,pi);
    2068       12740 :     w = Fl_mul_pre(y,w,p,pi);
    2069             :   }
    2070        9740 :   return v;
    2071             : }
    2072             : 
    2073             : ulong
    2074       77935 : Fl_sqrtl_pre(ulong a, ulong l, ulong p, ulong pi)
    2075             : {
    2076       77935 :   return Fl_sqrtl_i(a, l, p, pi, 0, 0);
    2077             : }
    2078             : 
    2079             : ulong
    2080           0 : Fl_sqrtl(ulong a, ulong l, ulong p)
    2081             : {
    2082           0 :   ulong pi = get_Fl_red(p);
    2083           0 :   return Fl_sqrtl_i(a, l, p, pi, 0, 0);
    2084             : }
    2085             : 
    2086             : /* Cipolla is better than Tonelli-Shanks when e = v_2(p-1) is "too big".
    2087             :  * Otherwise, is a constant times worse; for p = 3 (mod 4), is about 3 times worse,
    2088             :  * and in average is about 2 or 2.5 times worse. But try both algorithms for
    2089             :  * S(n) = (2^n+3)^2-8 with n = 750, 771, 779, 790, 874, 1176, 1728, 2604, etc.
    2090             :  *
    2091             :  * If X^2 := t^2 - a  is not a square in F_p (so X is in F_p^2), then
    2092             :  *   (t+X)^(p+1) = (t-X)(t+X) = a,   hence  sqrt(a) = (t+X)^((p+1)/2)  in F_p^2.
    2093             :  * If (a|p)=1, then sqrt(a) is in F_p.
    2094             :  * cf: LNCS 2286, pp 430-434 (2002)  [Gonzalo Tornaria] */
    2095             : 
    2096             : /* compute y^2, y = y[1] + y[2] X */
    2097             : static GEN
    2098         300 : sqrt_Cipolla_sqr(void *data, GEN y)
    2099             : {
    2100         300 :   GEN u = gel(y,1), v = gel(y,2), p = gel(data,2), n = gel(data,3);
    2101         300 :   GEN u2 = sqri(u), v2 = sqri(v);
    2102         300 :   v = subii(sqri(addii(v,u)), addii(u2,v2));
    2103         300 :   u = addii(u2, mulii(v2,n));
    2104             :   /* NOT mkvec2: must be gerepileupto-able */
    2105         300 :   retmkvec2(modii(u,p), modii(v,p));
    2106             : }
    2107             : /* compute (t+X) y^2 */
    2108             : static GEN
    2109          15 : sqrt_Cipolla_msqr(void *data, GEN y)
    2110             : {
    2111          15 :   GEN u = gel(y,1), v = gel(y,2), a = gel(data,1), p = gel(data,2), gt = gel(data,4);
    2112          15 :   ulong t = gt[2];
    2113          15 :   GEN d = addii(u, mului(t,v)), d2= sqri(d);
    2114          15 :   GEN b = remii(mulii(a,v), p);
    2115          15 :   u = subii(mului(t,d2), mulii(b,addii(u,d)));
    2116          15 :   v = subii(d2, mulii(b,v));
    2117             :   /* NOT mkvec2: must be gerepileupto-able */
    2118          15 :   retmkvec2(modii(u,p), modii(v,p));
    2119             : }
    2120             : /* assume a reduced mod p [ otherwise correct but inefficient ] */
    2121             : static GEN
    2122           5 : sqrt_Cipolla(GEN a, GEN p)
    2123             : {
    2124             :   pari_sp av1;
    2125             :   GEN u, v, n, y, pov2;
    2126             :   ulong t;
    2127             : 
    2128           5 :   if (kronecker(a, p) < 0) return NULL;
    2129           5 :   pov2 = shifti(p,-1);
    2130           5 :   if (cmpii(a,pov2) > 0) a = subii(a,p); /* center: avoid multiplying by huge base*/
    2131             : 
    2132           5 :   av1 = avma;
    2133          25 :   for(t=1; ; t++)
    2134             :   {
    2135          25 :     n = subsi((long)(t*t), a);
    2136          25 :     if (kronecker(n, p) < 0) break;
    2137          20 :     avma = av1;
    2138          20 :   }
    2139             : 
    2140             :   /* compute (t+X)^((p-1)/2) =: u+vX */
    2141           5 :   u = utoipos(t);
    2142           5 :   y = gen_pow_fold(mkvec2(u, gen_1), pov2, mkvec4(a,p,n,u),
    2143             :                          sqrt_Cipolla_sqr, sqrt_Cipolla_msqr);
    2144             :   /* Now u+vX = (t+X)^((p-1)/2); thus
    2145             :    *   (u+vX)(t+X) = sqrt(a) + 0 X
    2146             :    * Whence,
    2147             :    *   sqrt(a) = (u+vt)t - v*a
    2148             :    *   0       = (u+vt)
    2149             :    * Thus a square root is v*a */
    2150             : 
    2151           5 :   v = Fp_mul(gel(y, 2), a, p);
    2152           5 :   if (cmpii(v,pov2) > 0) v = subii(p,v);
    2153           5 :   return v;
    2154             : }
    2155             : 
    2156             : #define sqrmod(x,p) (remii(sqri(x),p))
    2157             : 
    2158             : /* Tonelli-Shanks. Assume p is prime and return NULL if (a,p) = -1. */
    2159             : GEN
    2160     1661500 : Fp_sqrt(GEN a, GEN p)
    2161             : {
    2162     1661500 :   pari_sp av = avma, av1;
    2163             :   long i, k, e;
    2164             :   GEN p1, q, v, y, w, m;
    2165             : 
    2166     1661500 :   if (typ(a) != t_INT) pari_err_TYPE("Fp_sqrt",a);
    2167     1661500 :   if (typ(p) != t_INT) pari_err_TYPE("Fp_sqrt",p);
    2168     1661500 :   if (signe(p) <= 0 || equali1(p)) pari_err_PRIME("Fp_sqrt",p);
    2169     1661500 :   if (lgefint(p) == 3)
    2170             :   {
    2171     1655020 :     ulong pp = uel(p,2), u = Fl_sqrt(umodiu(a, pp), pp);
    2172     1655010 :     if (u == ~0UL) return NULL;
    2173     1654975 :     return utoi(u);
    2174             :   }
    2175             : 
    2176        6480 :   p1 = subiu(p,1); e = vali(p1);
    2177        6480 :   a = modii(a, p);
    2178             : 
    2179             :   /* On average, the algorithm of Cipolla is better than the algorithm of
    2180             :    * Tonelli and Shanks if and only if e(e-1)>8*log2(n)+20
    2181             :    * see LNCS 2286 pp 430 [GTL] */
    2182        6480 :   if (e*(e-1) > 20 + 8 * expi(p))
    2183             :   {
    2184           5 :     v = sqrt_Cipolla(a,p);
    2185           5 :     if (!v) { avma = av; return NULL; }
    2186           5 :     return gerepileuptoint(av,v);
    2187             :   }
    2188             : 
    2189        6475 :   if (e == 0) /* p = 2 */
    2190             :   {
    2191           0 :     avma = av;
    2192           0 :     if (!absequaliu(p,2)) pari_err_PRIME("Fp_sqrt [modulus]",p);
    2193           0 :     if (!signe(a) || !mod2(a)) return gen_0;
    2194           0 :     return gen_1;
    2195             :   }
    2196        6475 :   q = shifti(p1,-e); /* q = (p-1)/2^oo is odd */
    2197        6475 :   if (e == 1) y = p1;
    2198             :   else /* look for an odd power of a primitive root */
    2199        5040 :     for (k=2; ; k++)
    2200             :     { /* loop terminates for k < p (even if p composite) */
    2201             : 
    2202        5040 :       i = krosi(k,p);
    2203        5040 :       if (i >= 0)
    2204             :       {
    2205        1685 :         if (i) continue;
    2206           0 :         pari_err_PRIME("Fp_sqrt [modulus]",p);
    2207             :       }
    2208        3355 :       av1 = avma;
    2209        3355 :       y = m = Fp_pow(utoipos((ulong)k),q,p);
    2210        8125 :       for (i=1; i<e; i++)
    2211        4770 :         if (gequal1(m = sqrmod(m,p))) break;
    2212        3355 :       if (i == e) break; /* success */
    2213           0 :       avma = av1;
    2214        1685 :     }
    2215             : 
    2216        6475 :   p1 = Fp_pow(a, shifti(q,-1), p); /* a ^ [(q-1)/2] */
    2217        6475 :   if (!signe(p1)) { avma=av; return gen_0; }
    2218        6470 :   v = Fp_mul(a, p1, p);
    2219        6470 :   w = Fp_mul(v, p1, p);
    2220       15305 :   while (!equali1(w))
    2221             :   { /* a*w = v^2, y primitive 2^e-th root of 1
    2222             :        a square --> w even power of y, hence w^(2^(e-1)) = 1 */
    2223        2370 :     p1 = sqrmod(w,p);
    2224        2370 :     for (k=1; !equali1(p1) && k < e; k++) p1 = sqrmod(p1,p);
    2225        2370 :     if (k == e) { avma=av; return NULL; } /* p composite or (a/p) != 1 */
    2226             :     /* w ^ (2^k) = 1 --> w = y ^ (u * 2^(e-k)), u odd */
    2227        2365 :     p1 = y;
    2228        2365 :     for (i=1; i < e-k; i++) p1 = sqrmod(p1,p);
    2229        2365 :     y = sqrmod(p1, p); e = k;
    2230        2365 :     w = Fp_mul(y, w, p);
    2231        2365 :     v = Fp_mul(v, p1, p);
    2232        2365 :     if (gc_needed(av,1))
    2233             :     {
    2234           0 :       if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"Fp_sqrt");
    2235           0 :       gerepileall(av,3, &y,&w,&v);
    2236             :     }
    2237             :   }
    2238        6465 :   av1 = avma;
    2239        6465 :   p1 = subii(p,v); if (cmpii(v,p1) > 0) v = p1; else avma = av1;
    2240        6465 :   return gerepileuptoint(av, v);
    2241             : }
    2242             : 
    2243             : /*********************************************************************/
    2244             : /**                                                                 **/
    2245             : /**                        GCD & BEZOUT                             **/
    2246             : /**                                                                 **/
    2247             : /*********************************************************************/
    2248             : 
    2249             : GEN
    2250     2741510 : lcmii(GEN x, GEN y)
    2251             : {
    2252             :   pari_sp av;
    2253             :   GEN a, b;
    2254     2741510 :   if (!signe(x) || !signe(y)) return gen_0;
    2255     2741510 :   av = avma;
    2256     2741510 :   a = gcdii(x,y); if (!equali1(a)) y = diviiexact(y,a);
    2257     2741510 :   b = mulii(x,y); setabssign(b); return gerepileuptoint(av, b);
    2258             : }
    2259             : 
    2260             : /*********************************************************************/
    2261             : /**                                                                 **/
    2262             : /**                      CHINESE REMAINDERS                         **/
    2263             : /**                                                                 **/
    2264             : /*********************************************************************/
    2265             : 
    2266             : /* Chinese Remainder Theorem.  x and y must have the same type (integermod,
    2267             :  * polymod, or polynomial/vector/matrix recursively constructed with these
    2268             :  * as coefficients). Creates (with the same type) a z in the same residue
    2269             :  * class as x and the same residue class as y, if it is possible.
    2270             :  *
    2271             :  * We also allow (during recursion) two identical objects even if they are
    2272             :  * not integermod or polymod. For example:
    2273             :  *
    2274             :  * ? x = [1, Mod(5, 11), Mod(X + Mod(2, 7), X^2 + 1)];
    2275             :  * ? y = [1, Mod(7, 17), Mod(X + Mod(0, 3), X^2 + 1)];
    2276             :  * ? chinese(x, y)
    2277             :  * %3 = [1, Mod(16, 187), Mod(X + mod(9, 21), X^2 + 1)] */
    2278             : 
    2279             : static GEN
    2280       72050 : gen_chinese(GEN x, GEN(*f)(GEN,GEN))
    2281             : {
    2282       72050 :   GEN z = gassoc_proto(f,x,NULL);
    2283       72045 :   if (z == gen_1) retmkintmod(gen_0,gen_1);
    2284       72030 :   return z;
    2285             : }
    2286             : 
    2287             : /* x t_INTMOD, y t_POLMOD; promote x to t_POLMOD mod Pol(x.mod) then
    2288             :  * call chinese: makes Mod(0,1) a better "neutral" element */
    2289             : static GEN
    2290          15 : chinese_intpol(GEN x,GEN y)
    2291             : {
    2292          15 :   pari_sp av = avma;
    2293          15 :   GEN z = mkpolmod(gel(x,2), scalarpol_shallow(gel(x,1), varn(gel(y,1))));
    2294          15 :   return gerepileupto(av, chinese(z, y));
    2295             : }
    2296             : 
    2297             : GEN
    2298          35 : chinese1(GEN x) { return gen_chinese(x,chinese); }
    2299             : 
    2300             : GEN
    2301       11800 : chinese(GEN x, GEN y)
    2302             : {
    2303             :   pari_sp av;
    2304       11800 :   long tx = typ(x), ty;
    2305             :   GEN z,p1,p2,d,u,v;
    2306             : 
    2307       11800 :   if (!y) return chinese1(x);
    2308       11765 :   if (gidentical(x,y)) return gcopy(x);
    2309       11760 :   ty = typ(y);
    2310       11760 :   if (tx == ty) switch(tx)
    2311             :   {
    2312             :     case t_POLMOD:
    2313             :     {
    2314          20 :       GEN A = gel(x,1), B = gel(y,1);
    2315          20 :       GEN a = gel(x,2), b = gel(y,2);
    2316          20 :       if (varn(A)!=varn(B)) pari_err_VAR("chinese",A,B);
    2317          20 :       if (RgX_equal(A,B)) retmkpolmod(chinese(a,b), gcopy(A)); /*same modulus*/
    2318          20 :       av = avma;
    2319          20 :       d = RgX_extgcd(A,B,&u,&v);
    2320          20 :       p2 = gsub(b, a);
    2321          20 :       if (!gequal0(gmod(p2, d))) break;
    2322          20 :       p1 = gdiv(A,d);
    2323          20 :       p2 = gadd(a, gmul(gmul(u,p1), p2));
    2324             : 
    2325          20 :       z = cgetg(3, t_POLMOD);
    2326          20 :       gel(z,1) = gmul(p1,B);
    2327          20 :       gel(z,2) = gmod(p2,gel(z,1));
    2328          20 :       return gerepileupto(av, z);
    2329             :     }
    2330             :     case t_INTMOD:
    2331             :     {
    2332       11715 :       GEN A = gel(x,1), B = gel(y,1);
    2333       11715 :       GEN a = gel(x,2), b = gel(y,2), c, d, C, U;
    2334       11715 :       z = cgetg(3,t_INTMOD);
    2335       11715 :       Z_chinese_pre(A, B, &C, &U, &d);
    2336       11715 :       c = Z_chinese_post(a, b, C, U, d);
    2337       11715 :       if (!c) pari_err_OP("chinese", x,y);
    2338       11715 :       gel(z,1) = icopy_avma(C, (pari_sp)z);
    2339       11715 :       gel(z,2) = icopy_avma(c, (pari_sp)gel(z,1));
    2340       11715 :       avma = (pari_sp)gel(z,2); return z;
    2341             :     }
    2342             :     case t_POL:
    2343             :     {
    2344           5 :       long i, lx = lg(x), ly = lg(y);
    2345           5 :       if (varn(x) != varn(y)) break;
    2346           5 :       if (lx < ly) { swap(x,y); lswap(lx,ly); }
    2347           5 :       z = cgetg(lx, t_POL); z[1] = x[1];
    2348           5 :       for (i=2; i<ly; i++) gel(z,i) = chinese(gel(x,i),gel(y,i));
    2349           5 :       for (   ; i<lx; i++) gel(z,i) = gcopy(gel(x,i));
    2350           5 :       return z;
    2351             :     }
    2352             : 
    2353             :     case t_VEC: case t_COL: case t_MAT:
    2354             :     {
    2355             :       long i, lx;
    2356           5 :       z = cgetg_copy(x, &lx); if (lx!=lg(y)) break;
    2357           5 :       for (i=1; i<lx; i++) gel(z,i) = chinese(gel(x,i),gel(y,i));
    2358           5 :       return z;
    2359             :     }
    2360             :   }
    2361          15 :   if (tx == t_POLMOD && ty == t_INTMOD) return chinese_intpol(y,x);
    2362           5 :   if (ty == t_POLMOD && tx == t_INTMOD) return chinese_intpol(x,y);
    2363           0 :   pari_err_OP("chinese",x,y);
    2364             :   return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
    2365             : }
    2366             : 
    2367             : /* init chinese(Mod(.,A), Mod(.,B)) */
    2368             : void
    2369      185765 : Z_chinese_pre(GEN A, GEN B, GEN *pC, GEN *pU, GEN *pd)
    2370             : {
    2371      185765 :   GEN u, d = bezout(A,B,&u,NULL); /* U = u(A/d), u(A/d) + v(B/d) = 1 */
    2372      185765 :   GEN t = diviiexact(A,d);
    2373      185765 :   *pU = mulii(u, t);
    2374      185765 :   *pC = mulii(t, B);
    2375      185765 :   if (pd) *pd = d;
    2376      185765 : }
    2377             : /* Assume C = lcm(A, B), U = 0 mod (A/d), U = 1 mod (B/d), a = b mod d,
    2378             :  * where d = gcd(A,B) or NULL, return x = a (mod A), b (mod B).
    2379             :  * If d not NULL, check wether a = b mod d. */
    2380             : GEN
    2381      234140 : Z_chinese_post(GEN a, GEN b, GEN C, GEN U, GEN d)
    2382             : {
    2383             :   GEN b_a;
    2384      234140 :   if (!signe(a))
    2385             :   {
    2386      191825 :     if (d && remii(b, d) != gen_0) return NULL;
    2387      191825 :     return Fp_mul(b, U, C);
    2388             :   }
    2389       42315 :   b_a = subii(b,a);
    2390       42315 :   if (d && remii(b_a, d) != gen_0) return NULL;
    2391       42315 :   return modii(addii(a, mulii(U, b_a)), C);
    2392             : }
    2393             : static ulong
    2394       41010 : u_chinese_post(ulong a, ulong b, ulong C, ulong U)
    2395             : {
    2396       41010 :   if (!a) return Fl_mul(b, U, C);
    2397       41010 :   return Fl_add(a, Fl_mul(U, Fl_sub(b,a,C), C), C);
    2398             : }
    2399             : 
    2400             : GEN
    2401        1530 : Z_chinese(GEN a, GEN b, GEN A, GEN B)
    2402             : {
    2403        1530 :   pari_sp av = avma;
    2404        1530 :   GEN C, U; Z_chinese_pre(A, B, &C, &U, NULL);
    2405        1530 :   return gerepileuptoint(av, Z_chinese_post(a,b, C, U, NULL));
    2406             : }
    2407             : GEN
    2408      172480 : Z_chinese_all(GEN a, GEN b, GEN A, GEN B, GEN *pC)
    2409             : {
    2410      172480 :   GEN U; Z_chinese_pre(A, B, pC, &U, NULL);
    2411      172480 :   return Z_chinese_post(a,b, *pC, U, NULL);
    2412             : }
    2413             : 
    2414             : /* return lift(chinese(a mod A, b mod B))
    2415             :  * assume(A,B)=1, a,b,A,B integers and C = A*B */
    2416             : GEN
    2417         750 : Z_chinese_coprime(GEN a, GEN b, GEN A, GEN B, GEN C)
    2418             : {
    2419         750 :   pari_sp av = avma;
    2420         750 :   GEN U = mulii(Fp_inv(A,B), A);
    2421         750 :   return gerepileuptoint(av, Z_chinese_post(a,b,C,U, NULL));
    2422             : }
    2423             : ulong
    2424       41010 : u_chinese_coprime(ulong a, ulong b, ulong A, ulong B, ulong C)
    2425       41010 : { return u_chinese_post(a,b,C, A * Fl_inv(A % B,B)); }
    2426             : 
    2427             : /* chinese1 for coprime moduli in Z */
    2428             : static GEN
    2429       47435 : chinese1_coprime_Z_aux(GEN x, GEN y)
    2430             : {
    2431       47435 :   GEN z = cgetg(3, t_INTMOD);
    2432       47435 :   GEN A = gel(x,1), a = gel(x, 2);
    2433       47435 :   GEN B = gel(y,1), b = gel(y, 2), C = mulii(A,B);
    2434       47435 :   pari_sp av = avma;
    2435       47435 :   GEN U = mulii(Fp_inv(A,B), A);
    2436       47435 :   gel(z,2) = gerepileuptoint(av, Z_chinese_post(a,b,C,U, NULL));
    2437       47435 :   gel(z,1) = C; return z;
    2438             : }
    2439             : GEN
    2440       72015 : chinese1_coprime_Z(GEN x) {return gen_chinese(x,chinese1_coprime_Z_aux);}
    2441             : 
    2442             : /*********************************************************************/
    2443             : /**                                                                 **/
    2444             : /**                    MODULAR EXPONENTIATION                       **/
    2445             : /**                                                                 **/
    2446             : /*********************************************************************/
    2447             : 
    2448             : /* xa, ya = t_VECSMALL */
    2449             : GEN
    2450       42605 : ZV_producttree(GEN xa)
    2451             : {
    2452       42605 :   long n = lg(xa)-1;
    2453       42605 :   long m = n==1 ? 1: expu(n-1)+1;
    2454       42605 :   GEN T = cgetg(m+1, t_VEC), t;
    2455             :   long i, j, k;
    2456       42605 :   t = cgetg(((n+1)>>1)+1, t_VEC);
    2457       42605 :   if (typ(xa)==t_VECSMALL)
    2458             :   {
    2459      106075 :     for (j=1, k=1; k<n; j++, k+=2)
    2460       79845 :       gel(t, j) = muluu(xa[k], xa[k+1]);
    2461       26230 :     if (k==n) gel(t, j) = utoi(xa[k]);
    2462             :   } else {
    2463       72235 :     for (j=1, k=1; k<n; j++, k+=2)
    2464       55860 :       gel(t, j) = mulii(gel(xa,k), gel(xa,k+1));
    2465       16375 :     if (k==n) gel(t, j) = icopy(gel(xa,k));
    2466             :   }
    2467       42605 :   gel(T,1) = t;
    2468       99400 :   for (i=2; i<=m; i++)
    2469             :   {
    2470       56795 :     GEN u = gel(T, i-1);
    2471       56795 :     long n = lg(u)-1;
    2472       56795 :     t = cgetg(((n+1)>>1)+1, t_VEC);
    2473      166400 :     for (j=1, k=1; k<n; j++, k+=2)
    2474      109605 :       gel(t, j) = mulii(gel(u, k), gel(u, k+1));
    2475       56795 :     if (k==n) gel(t, j) = gel(u, k);
    2476       56795 :     gel(T, i) = t;
    2477             :   }
    2478       42605 :   return T;
    2479             : }
    2480             : 
    2481             : GEN
    2482      440050 : Z_ZV_mod_tree(GEN P, GEN xa, GEN T)
    2483             : {
    2484             :   long i,j,k;
    2485      440050 :   long m = lg(T)-1, n = lg(xa)-1;
    2486             :   GEN t;
    2487      440050 :   GEN Tp = cgetg(m+1, t_VEC);
    2488      440050 :   gel(Tp, m) = mkvec(P);
    2489      788220 :   for (i=m-1; i>=1; i--)
    2490             :   {
    2491      348170 :     GEN u = gel(T, i);
    2492      348170 :     GEN v = gel(Tp, i+1);
    2493      348170 :     long n = lg(u)-1;
    2494      348170 :     t = cgetg(n+1, t_VEC);
    2495      836890 :     for (j=1, k=1; k<n; j++, k+=2)
    2496             :     {
    2497      488720 :       gel(t, k)   = modii(gel(v, j), gel(u, k));
    2498      488720 :       gel(t, k+1) = modii(gel(v, j), gel(u, k+1));
    2499             :     }
    2500      348170 :     if (k==n) gel(t, k) = gel(v, j);
    2501      348170 :     gel(Tp, i) = t;
    2502             :   }
    2503             :   {
    2504      440050 :     GEN u = gel(T, i+1);
    2505      440050 :     GEN v = gel(Tp, i+1);
    2506      440050 :     long l = lg(u)-1;
    2507      440050 :     if (typ(xa)==t_VECSMALL)
    2508             :     {
    2509      397445 :       GEN R = cgetg(n+1, t_VECSMALL);
    2510     1174005 :       for (j=1, k=1; j<=l; j++, k+=2)
    2511             :       {
    2512      776560 :         uel(R,k) = umodiu(gel(v, j), xa[k]);
    2513      776560 :         if (k < n)
    2514      639585 :           uel(R,k+1) = umodiu(gel(v, j), xa[k+1]);
    2515             :       }
    2516      397445 :       return R;
    2517             :     }
    2518             :     else
    2519             :     {
    2520       42605 :       GEN R = cgetg(n+1, t_VEC);
    2521      194815 :       for (j=1, k=1; j<=l; j++, k+=2)
    2522             :       {
    2523      152210 :         gel(R,k) = modii(gel(v, j), gel(xa,k));
    2524      152210 :         if (k < n)
    2525      135705 :           gel(R,k+1) = modii(gel(v, j), gel(xa,k+1));
    2526             :       }
    2527       42605 :       return R;
    2528             :     }
    2529             :   }
    2530             : }
    2531             : 
    2532             : static GEN
    2533     1562765 : ZV_polint_tree(GEN T, GEN R, GEN xa, GEN ya)
    2534             : {
    2535     1562765 :   long m = lg(T)-1, n = lg(ya)-1;
    2536             :   long i,j,k;
    2537     1562765 :   GEN Tp = cgetg(m+1, t_VEC);
    2538     1562765 :   GEN M = gel(T, 1);
    2539     1562765 :   GEN t = cgetg(lg(M), t_VEC);
    2540     1562765 :   if (typ(xa)==t_VECSMALL)
    2541             :   {
    2542    12869610 :     for (j=1, k=1; k<n; j++, k+=2)
    2543             :     {
    2544    11323220 :       pari_sp av = avma;
    2545    11323220 :       GEN a = mului(ya[k], gel(R,k)), b = mului(ya[k+1], gel(R,k+1));
    2546    11323220 :       GEN tj = modii(addii(mului(xa[k],b), mului(xa[k+1],a)), gel(M,j));
    2547    11323220 :       gel(t, j) = gerepileuptoint(av, tj);
    2548             :     }
    2549     1546390 :     if (k==n) gel(t, j) = modii(mului(ya[k], gel(R,k)), gel(M, j));
    2550             :   } else
    2551             :   {
    2552       72235 :     for (j=1, k=1; k<n; j++, k+=2)
    2553             :     {
    2554       55860 :       pari_sp av = avma;
    2555       55860 :       GEN a = mulii(gel(ya,k), gel(R,k)), b = mulii(gel(ya,k+1), gel(R,k+1));
    2556       55860 :       GEN tj = modii(addii(mulii(gel(xa,k),b), mulii(gel(xa,k+1),a)), gel(M,j));
    2557       55860 :       gel(t, j) = gerepileuptoint(av, tj);
    2558             :     }
    2559       16375 :     if (k==n) gel(t, j) = modii(mulii(gel(ya,k), gel(R,k)), gel(M, j));
    2560             :   }
    2561     1562765 :   gel(Tp, 1) = t;
    2562     6061600 :   for (i=2; i<=m; i++)
    2563             :   {
    2564     4498835 :     GEN u = gel(T, i-1), M = gel(T, i);
    2565     4498835 :     GEN t = cgetg(lg(M), t_VEC);
    2566     4498835 :     GEN v = gel(Tp, i-1);
    2567     4498835 :     long n = lg(v)-1;
    2568    14690095 :     for (j=1, k=1; k<n; j++, k+=2)
    2569             :     {
    2570    10191260 :       pari_sp av = avma;
    2571    40765040 :       gel(t, j) = gerepileuptoint(av, modii(addii(mulii(gel(u, k), gel(v, k+1)),
    2572    30573780 :             mulii(gel(u, k+1), gel(v, k))), gel(M, j)));
    2573             :     }
    2574     4498835 :     if (k==n) gel(t, j) = gel(v, k);
    2575     4498835 :     gel(Tp, i) = t;
    2576             :   }
    2577     1562765 :   return gmael(Tp,m,1);
    2578             : }
    2579             : 
    2580             : static GEN
    2581     1523610 : ZV_polint_center_tree(GEN T, GEN R, GEN xa, GEN ya, GEN m2)
    2582             : {
    2583     1523610 :   GEN mod = gmael(T, lg(T)-1, 1);
    2584     1523610 :   GEN a = ZV_polint_tree(T, R, xa, ya);
    2585     1523610 :   return Fp_center(a, mod, m2);
    2586             : }
    2587             : 
    2588             : static GEN
    2589       29120 : ncV_polint_center_tree(GEN T, GEN R, GEN xa, GEN Va, GEN m2)
    2590             : {
    2591       29120 :   long i, j, l = lg(gel(Va,1)), n = lg(xa);
    2592       29120 :   GEN V = cgetg(l, t_COL);
    2593     1552730 :   for(i=1; i < l; i++)
    2594             :   {
    2595     1523610 :     pari_sp av = avma;
    2596     1523610 :     GEN ya = cgetg(n, t_VECSMALL);
    2597    24455315 :     for(j=1; j < n; j++)
    2598    22931705 :       ya[j] = mael(Va,j,i);
    2599     1523610 :     gel(V,i) = gerepilecopy(av, ZV_polint_center_tree(T, R, xa, ya, m2));
    2600             :   }
    2601       29120 :   return V;
    2602             : }
    2603             : 
    2604             : GEN
    2605       27150 : nmV_polint_center_tree_worker(GEN Va, GEN T, GEN R, GEN xa, GEN m2)
    2606             : {
    2607       27150 :   return ncV_polint_center_tree(T, R, xa, Va, m2);
    2608             : }
    2609             : 
    2610             : static GEN
    2611        1480 : nmV_polint_center_tree(GEN T, GEN R, GEN xa, GEN Ma, GEN m2)
    2612             : {
    2613        1480 :   long i, j, l = lg(gel(Ma,1)), n = lg(xa);
    2614        1480 :   long pending = 0, workid, cnt = 0;
    2615             :   struct pari_mt pt;
    2616             :   GEN worker, done, va, M;
    2617        1480 :   GEN ya = cgetg(n, t_VEC);
    2618        1480 :   worker = snm_closure(is_entry("_polint_worker"), mkvec4(T, R, xa, m2));
    2619        1480 :   va = mkvec(gen_0);
    2620        1480 :   M = cgetg(l, t_MAT);
    2621        1480 :   if (DEBUGLEVEL>2) err_printf("Start parallel Chinese remainder: ");
    2622        1480 :   mt_queue_start(&pt, worker);
    2623       28630 :   for (i=1; i<l || pending; i++)
    2624             :   {
    2625      396640 :     for(j=1; j < n; j++)
    2626      369490 :       gel(ya,j) = gmael(Ma,j,i);
    2627       27150 :     gel(va, 1) = ya;
    2628       27150 :     mt_queue_submit(&pt, i, i<l? va: NULL);
    2629       27150 :     done = mt_queue_get(&pt, &workid, &pending);
    2630       27150 :     if (done)
    2631             :     {
    2632       27150 :       gel(M,workid) = done;
    2633       27150 :       if (DEBUGLEVEL>2) err_printf("%ld%% ",(++cnt)*100/(l-1));
    2634             :     }
    2635             :   }
    2636        1480 :   if (DEBUGLEVEL>2) err_printf("\n");
    2637        1480 :   mt_queue_end(&pt);
    2638        1480 :   return M;
    2639             : }
    2640             : 
    2641             : GEN
    2642           0 : Z_ZV_mod(GEN P, GEN xa)
    2643             : {
    2644           0 :   pari_sp av = avma;
    2645           0 :   GEN T = ZV_producttree(xa);
    2646           0 :   return gerepilecopy(av, Z_ZV_mod_tree(P, xa, T));
    2647             : }
    2648             : 
    2649             : GEN
    2650           0 : Z_nv_mod(GEN P, GEN xa)
    2651             : {
    2652           0 :   pari_sp av = avma;
    2653           0 :   GEN T = ZV_producttree(xa);
    2654           0 :   return gerepileuptoleaf(av, Z_ZV_mod_tree(P, xa, T));
    2655             : }
    2656             : 
    2657             : GEN
    2658       25345 : ZX_nv_mod_tree(GEN P, GEN xa, GEN T)
    2659             : {
    2660       25345 :   long i, j, l = lg(P), n = lg(xa)-1;
    2661       25345 :   GEN V = cgetg(n+1, t_VEC);
    2662      121230 :   for (j=1; j <= n; j++)
    2663             :   {
    2664       95885 :     gel(V, j) = cgetg(l, t_VECSMALL);
    2665       95885 :     mael(V, j, 1) = P[1]&VARNBITS;
    2666             :   }
    2667      422790 :   for (i=2; i < l; i++)
    2668             :   {
    2669      397445 :     GEN v = Z_ZV_mod_tree(gel(P, i), xa, T);
    2670     1813590 :     for (j=1; j <= n; j++)
    2671     1416145 :       mael(V, j, i) = v[j];
    2672             :   }
    2673      121230 :   for (j=1; j <= n; j++)
    2674       95885 :     (void) Flx_renormalize(gel(V, j), l);
    2675       25345 :   return V;
    2676             : }
    2677             : 
    2678             : static GEN
    2679       42605 : ZV_sqr(GEN z)
    2680             : {
    2681       42605 :   long i,l = lg(z);
    2682       42605 :   GEN x = cgetg(l, t_VEC);
    2683       42605 :   if (typ(z)==t_VECSMALL)
    2684       26230 :     for (i=1; i<l; i++) gel(x,i) = sqru(z[i]);
    2685             :   else
    2686       16375 :     for (i=1; i<l; i++) gel(x,i) = sqri(gel(z,i));
    2687       42605 :   return x;
    2688             : }
    2689             : 
    2690             : static GEN
    2691      422735 : ZT_sqr(GEN z)
    2692             : {
    2693      422735 :   if (typ(z) == t_INT)
    2694      280730 :     return sqri(z);
    2695             :   else
    2696             :   {
    2697      142005 :     long i,l = lg(z);
    2698      142005 :     GEN x = cgetg(l, t_VEC);
    2699      142005 :     for (i=1; i<l; i++) gel(x,i) = ZT_sqr(gel(z,i));
    2700      142005 :     return x;
    2701             :   }
    2702             : }
    2703             : 
    2704             : static GEN
    2705       42605 : ZV_invdivexact(GEN y, GEN x)
    2706             : {
    2707       42605 :   long i, l = lg(y);
    2708       42605 :   GEN z = cgetg(l,t_VEC);
    2709       42605 :   if (typ(x)==t_VECSMALL)
    2710      196150 :     for (i=1; i<l; i++)
    2711             :     {
    2712      169920 :       pari_sp av = avma;
    2713      169920 :       ulong a = Fl_inv(umodiu(diviuexact(gel(y,i),x[i]), x[i]), x[i]);
    2714      169920 :       avma = av;
    2715      169920 :       gel(z,i) = utoi(a);
    2716             :     }
    2717             :   else
    2718      134370 :     for (i=1; i<l; i++)
    2719      117995 :       gel(z,i) = Fp_inv(diviiexact(gel(y,i), gel(x,i)), gel(x,i));
    2720       42605 :   return z;
    2721             : }
    2722             : 
    2723             : static GEN
    2724       42605 : ZV_chinesetree(GEN T, GEN xa)
    2725             : {
    2726       42605 :   GEN T2 = ZT_sqr(T), xa2 = ZV_sqr(xa);
    2727       42605 :   GEN mod = gmael(T,lg(T)-1,1);
    2728       42605 :   return ZV_invdivexact(Z_ZV_mod_tree(mod, xa2, T2), xa);
    2729             : }
    2730             : 
    2731             : static GEN
    2732       42605 : gc_chinese(pari_sp av, GEN T, GEN a, GEN *pt_mod)
    2733             : {
    2734       42605 :   if (!pt_mod)
    2735        1480 :     return gerepileupto(av, a);
    2736             :   else
    2737             :   {
    2738       41125 :     GEN mod = gmael(T, lg(T)-1, 1);
    2739       41125 :     gerepileall(av, 2, &a, &mod);
    2740       41125 :     *pt_mod = mod;
    2741       41125 :     return a;
    2742             :   }
    2743             : }
    2744             : 
    2745             : GEN
    2746       22780 : ZV_chinese_tree(GEN A, GEN P, GEN T, GEN *pt_mod)
    2747             : {
    2748       22780 :   pari_sp av = avma;
    2749       22780 :   GEN R = ZV_chinesetree(T, P);
    2750       22780 :   GEN a = ZV_polint_tree(T, R, P, A);
    2751       22780 :   return gc_chinese(av, T, a, pt_mod);
    2752             : }
    2753             : 
    2754             : GEN
    2755       16375 : ZV_chinese(GEN A, GEN P, GEN *pt_mod)
    2756             : {
    2757       16375 :   pari_sp av = avma;
    2758       16375 :   GEN T = ZV_producttree(P);
    2759       16375 :   GEN R = ZV_chinesetree(T, P);
    2760       16375 :   GEN a = ZV_polint_tree(T, R, P, A);
    2761       16375 :   return gc_chinese(av, T, a, pt_mod);
    2762             : }
    2763             : 
    2764             : GEN
    2765        1970 : ncV_chinese_center(GEN A, GEN P, GEN *pt_mod)
    2766             : {
    2767        1970 :   pari_sp av = avma;
    2768        1970 :   GEN T = ZV_producttree(P);
    2769        1970 :   GEN R = ZV_chinesetree(T, P);
    2770        1970 :   GEN m2 = shifti(gmael(T, lg(T)-1, 1), -1);
    2771        1970 :   GEN a = ncV_polint_center_tree(T, R, P, A, m2);
    2772        1970 :   return gc_chinese(av, T, a, pt_mod);
    2773             : }
    2774             : 
    2775             : GEN
    2776        1480 : nmV_chinese_center(GEN A, GEN P, GEN *pt_mod)
    2777             : {
    2778        1480 :   pari_sp av = avma;
    2779        1480 :   GEN T = ZV_producttree(P);
    2780        1480 :   GEN R = ZV_chinesetree(T, P);
    2781        1480 :   GEN m2 = shifti(gmael(T, lg(T)-1, 1), -1);
    2782        1480 :   GEN a = nmV_polint_center_tree(T, R, P, A, m2);
    2783        1480 :   return gc_chinese(av, T, a, pt_mod);
    2784             : }
    2785             : 
    2786             : /**********************************************************************
    2787             :  **                                                                  **
    2788             :  **                    Powering  over (Z/NZ)^*, small N              **
    2789             :  **                                                                  **
    2790             :  **********************************************************************/
    2791             : 
    2792             : /* 2^n mod p; assume n > 1 */
    2793             : static ulong
    2794     9389552 : Fl_2powu_pre(ulong n, ulong p, ulong pi)
    2795             : {
    2796     9389552 :   ulong y = 2;
    2797     9389552 :   int j = 1+bfffo(n);
    2798             :   /* normalize, i.e set highest bit to 1 (we know n != 0) */
    2799     9389552 :   n<<=j; j = BITS_IN_LONG-j; /* first bit is now implicit */
    2800   119956993 :   for (; j; n<<=1,j--)
    2801             :   {
    2802   110567441 :     y = Fl_sqr_pre(y,p,pi);
    2803   110567441 :     if (n & HIGHBIT) y = Fl_double(y, p);
    2804             :   }
    2805     9389552 :   return y;
    2806             : }
    2807             : 
    2808             : /* 2^n mod p; assume n > 1 and !(p & HIGHMASK) */
    2809             : static ulong
    2810     1580970 : Fl_2powu(ulong n, ulong p)
    2811             : {
    2812     1580970 :   ulong y = 2;
    2813     1580970 :   int j = 1+bfffo(n);
    2814             :   /* normalize, i.e set highest bit to 1 (we know n != 0) */
    2815     1580970 :   n<<=j; j = BITS_IN_LONG-j; /* first bit is now implicit */
    2816    19952390 :   for (; j; n<<=1,j--)
    2817             :   {
    2818    18371420 :     y = (y*y) % p;
    2819    18371420 :     if (n & HIGHBIT) y = Fl_double(y, p);
    2820             :   }
    2821     1580970 :   return y;
    2822             : }
    2823             : 
    2824             : ulong
    2825    54201009 : Fl_powu_pre(ulong x, ulong n0, ulong p, ulong pi)
    2826             : {
    2827             :   ulong y, z, n;
    2828    54201009 :   if (n0 <= 1)
    2829             :   { /* frequent special cases */
    2830     6493000 :     if (n0 == 1) return x;
    2831     2466370 :     if (n0 == 0) return 1;
    2832             :   }
    2833    47708009 :   if (x <= 2)
    2834             :   {
    2835    10110362 :     if (x == 2) return Fl_2powu_pre(n0, p, pi);
    2836      720810 :     return x; /* 0 or 1 */
    2837             :   }
    2838    37597647 :   y = 1; z = x; n = n0;
    2839             :   for(;;)
    2840             :   {
    2841   357806701 :     if (n&1) y = Fl_mul_pre(y,z,p,pi);
    2842   357806701 :     n>>=1; if (!n) return y;
    2843   320209054 :     z = Fl_sqr_pre(z,p,pi);
    2844   320209054 :   }
    2845             : }
    2846             : 
    2847             : ulong
    2848     9027923 : Fl_powu(ulong x, ulong n0, ulong p)
    2849             : {
    2850             :   ulong y, z, n;
    2851     9027923 :   if (n0 <= 2)
    2852             :   { /* frequent special cases */
    2853     4931172 :     if (n0 == 2) return Fl_sqr(x,p);
    2854      882090 :     if (n0 == 1) return x;
    2855        1845 :     if (n0 == 0) return 1;
    2856             :   }
    2857     4096751 :   if (x <= 1) return x; /* 0 or 1 */
    2858     4072106 :   if (p & HIGHMASK)
    2859     1235190 :     return Fl_powu_pre(x, n0, p, get_Fl_red(p));
    2860     2836916 :   if (x == 2) return Fl_2powu(n0, p);
    2861     1255946 :   y = 1; z = x; n = n0;
    2862             :   for(;;)
    2863             :   {
    2864    17812394 :     if (n&1) y = (y*z) % p;
    2865    17812394 :     n>>=1; if (!n) return y;
    2866    16556448 :     z = (z*z) % p;
    2867    16556448 :   }
    2868             : }
    2869             : 
    2870             : /* Reduce data dependency to maximize internal parallelism */
    2871             : GEN
    2872     5651220 : Fl_powers_pre(ulong x, long n, ulong p, ulong pi)
    2873             : {
    2874             :   long i, k;
    2875     5651220 :   GEN powers = cgetg(n + 2, t_VECSMALL);
    2876     5651220 :   powers[1] = 1; if (n == 0) return powers;
    2877     5651220 :   powers[2] = x;
    2878    29528725 :   for (i = 3, k=2; i <= n; i+=2, k++)
    2879             :   {
    2880    23877505 :     powers[i] = Fl_mul_pre(powers[k], powers[k], p, pi);
    2881    23877505 :     powers[i+1] = Fl_mul_pre(powers[k], powers[k+1], p, pi);
    2882             :   }
    2883     5651220 :   if (i==n+1)
    2884     5056110 :     powers[i] = Fl_mul_pre(powers[k], powers[k], p, pi);
    2885     5651220 :   return powers;
    2886             : }
    2887             : 
    2888             : GEN
    2889        1130 : Fl_powers(ulong x, long n, ulong p)
    2890             : {
    2891        1130 :   return Fl_powers_pre(x, n, p, get_Fl_red(p));
    2892             : }
    2893             : 
    2894             : /**********************************************************************
    2895             :  **                                                                  **
    2896             :  **                    Powering  over (Z/NZ)^*, large N              **
    2897             :  **                                                                  **
    2898             :  **********************************************************************/
    2899             : 
    2900             : static GEN
    2901       10008 : Fp_dblsqr(GEN x, GEN N)
    2902             : {
    2903       10008 :   GEN z = shifti(Fp_sqr(x, N), 1);
    2904       10008 :   return cmpii(z, N) >= 0? subii(z, N): z;
    2905             : }
    2906             : 
    2907             : typedef struct muldata {
    2908             :   GEN (*sqr)(void * E, GEN x);
    2909             :   GEN (*mul)(void * E, GEN x, GEN y);
    2910             :   GEN (*mul2)(void * E, GEN x);
    2911             : } muldata;
    2912             : 
    2913             : /* modified Barrett reduction with one fold */
    2914             : /* See Fast Modular Reduction, W. Hasenplaugh, G. Gaubatz, V. Gopal, ARITH 18 */
    2915             : 
    2916             : static GEN
    2917           0 : Fp_invmBarrett(GEN p, long s)
    2918             : {
    2919           0 :   GEN R, Q = dvmdii(int2n(3*s),p,&R);
    2920           0 :   return mkvec2(Q,R);
    2921             : }
    2922             : 
    2923             : /* a <= (N-1)^2, 2^(2s-2) <= N < 2^(2s). Return 0 <= r < N such that
    2924             :  * a = r (mod N) */
    2925             : static GEN
    2926           0 : Fp_rem_mBarrett(GEN a, GEN B, long s, GEN N)
    2927             : {
    2928           0 :   pari_sp av = avma;
    2929           0 :   GEN P = gel(B, 1), Q = gel(B, 2); /* 2^(3s) = P N + Q, 0 <= Q < N */
    2930           0 :   long t = expi(P)+1; /* 2^(t-1) <= P < 2^t */
    2931           0 :   GEN u = shifti(a, -3*s), v = remi2n(a, 3*s); /* a = 2^(3s)u + v */
    2932           0 :   GEN A = addii(v, mulii(Q,u)); /* 0 <= A < 2^(3s+1) */
    2933           0 :   GEN q = shifti(mulii(shifti(A, t-3*s), P), -t); /* A/N - 4 < q <= A/N */
    2934           0 :   GEN r = subii(A, mulii(q, N));
    2935           0 :   GEN sr= subii(r,N);     /* 0 <= r < 4*N */
    2936           0 :   if (signe(sr)<0) return gerepileuptoint(av, r);
    2937           0 :   r=sr; sr = subii(r,N);  /* 0 <= r < 3*N */
    2938           0 :   if (signe(sr)<0) return gerepileuptoint(av, r);
    2939           0 :   r=sr; sr = subii(r,N);  /* 0 <= r < 2*N */
    2940           0 :   return gerepileuptoint(av, signe(sr)>=0 ? sr:r);
    2941             : }
    2942             : 
    2943             : /* Montgomery reduction */
    2944             : 
    2945             : INLINE ulong
    2946      220771 : init_montdata(GEN N) { return (ulong) -invmod2BIL(mod2BIL(N)); }
    2947             : 
    2948             : struct montred
    2949             : {
    2950             :   GEN N;
    2951             :   ulong inv;
    2952             : };
    2953             : 
    2954             : /* Montgomery reduction */
    2955             : static GEN
    2956     9996521 : _sqr_montred(void * E, GEN x)
    2957             : {
    2958     9996521 :   struct montred * D = (struct montred *) E;
    2959     9996521 :   return red_montgomery(sqri(x), D->N, D->inv);
    2960             : }
    2961             : 
    2962             : /* Montgomery reduction */
    2963             : static GEN
    2964     1037702 : _mul_montred(void * E, GEN x, GEN y)
    2965             : {
    2966     1037702 :   struct montred * D = (struct montred *) E;
    2967     1037702 :   return red_montgomery(mulii(x, y), D->N, D->inv);
    2968             : }
    2969             : 
    2970             : static GEN
    2971      896287 : _mul2_montred(void * E, GEN x)
    2972             : {
    2973      896287 :   struct montred * D = (struct montred *) E;
    2974      896287 :   GEN z = shifti(_sqr_montred(E, x), 1);
    2975      896287 :   long l = lgefint(D->N);
    2976      896287 :   while (lgefint(z) > l) z = subii(z, D->N);
    2977      896287 :   return z;
    2978             : }
    2979             : 
    2980             : static GEN
    2981      605626 : _sqr_remii(void* N, GEN x)
    2982      605626 : { return remii(sqri(x), (GEN) N); }
    2983             : 
    2984             : static GEN
    2985       11033 : _mul_remii(void* N, GEN x, GEN y)
    2986       11033 : { return remii(mulii(x, y), (GEN) N); }
    2987             : 
    2988             : static GEN
    2989       10008 : _mul2_remii(void* N, GEN x)
    2990       10008 : { return Fp_dblsqr(x, (GEN) N); }
    2991             : 
    2992             : struct redbarrett
    2993             : {
    2994             :   GEN iM, N;
    2995             :   long s;
    2996             : };
    2997             : 
    2998             : static GEN
    2999           0 : _sqr_remiibar(void *E, GEN x)
    3000             : {
    3001           0 :   struct redbarrett * D = (struct redbarrett *) E;
    3002           0 :   return Fp_rem_mBarrett(sqri(x), D->iM, D->s, D->N);
    3003             : }
    3004             : 
    3005             : static GEN
    3006           0 : _mul_remiibar(void *E, GEN x, GEN y)
    3007             : {
    3008           0 :   struct redbarrett * D = (struct redbarrett *) E;
    3009           0 :   return Fp_rem_mBarrett(mulii(x, y), D->iM, D->s, D->N);
    3010             : }
    3011             : 
    3012             : static GEN
    3013           0 : _mul2_remiibar(void *E, GEN x)
    3014             : {
    3015           0 :   struct redbarrett * D = (struct redbarrett *) E;
    3016           0 :   return Fp_dblsqr(x, D->N);
    3017             : }
    3018             : 
    3019             : static long
    3020      223055 : Fp_select_red(GEN *y, ulong k, GEN N, long lN, muldata *D, void **pt_E)
    3021             : {
    3022      223055 :   if (lN >= Fp_POW_BARRETT_LIMIT && (k==0 || ((double)k)*expi(*y) > 2 + expi(N)))
    3023             :   {
    3024           0 :     struct redbarrett * E = (struct redbarrett *) stack_malloc(sizeof(struct redbarrett));
    3025           0 :     D->sqr = &_sqr_remiibar;
    3026           0 :     D->mul = &_mul_remiibar;
    3027           0 :     D->mul2 = &_mul2_remiibar;
    3028           0 :     E->N = N;
    3029           0 :     E->s = 1+(expi(N)>>1);
    3030           0 :     E->iM = Fp_invmBarrett(N, E->s);
    3031           0 :     *pt_E = (void*) E;
    3032           0 :     return 0;
    3033             :   }
    3034      223055 :   else if (mod2(N) && lN < Fp_POW_REDC_LIMIT)
    3035             :   {
    3036      220771 :     struct montred * E = (struct montred *) stack_malloc(sizeof(struct montred));
    3037      220771 :     *y = remii(shifti(*y, bit_accuracy(lN)), N);
    3038      220771 :     D->sqr = &_sqr_montred;
    3039      220771 :     D->mul = &_mul_montred;
    3040      220771 :     D->mul2 = &_mul2_montred;
    3041      220771 :     E->N = N;
    3042      220771 :     E->inv = init_montdata(N);
    3043      220771 :     *pt_E = (void*) E;
    3044      220771 :     return 1;
    3045             :   }
    3046             :   else
    3047             :   {
    3048        2284 :     D->sqr = &_sqr_remii;
    3049        2284 :     D->mul = &_mul_remii;
    3050        2284 :     D->mul2 = &_mul2_remii;
    3051        2284 :     *pt_E = (void*) N;
    3052        2284 :     return 0;
    3053             :   }
    3054             : }
    3055             : 
    3056             : GEN
    3057      643249 : Fp_powu(GEN A, ulong k, GEN N)
    3058             : {
    3059      643249 :   long lN = lgefint(N), sA;
    3060             :   int base_is_2, use_montgomery;
    3061             :   muldata D;
    3062             :   void *E;
    3063             :   pari_sp av;
    3064             : 
    3065      643249 :   if (lN == 3) {
    3066       92745 :     ulong n = uel(N,2);
    3067       92745 :     return utoi( Fl_powu(umodiu(A, n), k, n) );
    3068             :   }
    3069      550504 :   if (k <= 2)
    3070             :   { /* frequent special cases */
    3071      367399 :     if (k == 2) return Fp_sqr(A,N);
    3072       72340 :     if (k == 1) return A;
    3073           0 :     if (k == 0) return gen_1;
    3074             :   }
    3075      183105 :   sA = signe(A)==-1 && odd(k);
    3076      183105 :   base_is_2 = 0;
    3077      183105 :   if (lgefint(A) == 3) switch(A[2])
    3078             :   {
    3079         370 :     case 1: return sA ? gen_m1 : gen_1;
    3080       28185 :     case 2:  base_is_2 = 1; break;
    3081             :   }
    3082             : 
    3083             :   /* TODO: Move this out of here and use for general modular computations */
    3084      182735 :   av = avma;
    3085      182735 :   use_montgomery = Fp_select_red(&A, k, N, lN, &D, &E);
    3086      182735 :   if (base_is_2)
    3087       28185 :     A = gen_powu_fold_i(A, k, E, D.sqr, D.mul2);
    3088             :   else
    3089      154550 :     A = gen_powu_i(A, k, E, D.sqr, D.mul);
    3090      182735 :   if (use_montgomery)
    3091             :   {
    3092      181161 :     A = red_montgomery(A, N, ((struct montred *) E)->inv);
    3093      181161 :     if (cmpii(A, N) >= 0) A = subii(A,N);
    3094      181161 :     if (sA) A = subii(N, A);
    3095             :   }
    3096      182735 :   return gerepileuptoint(av, A);
    3097             : }
    3098             : 
    3099             : GEN
    3100       15010 : Fp_pows(GEN A, long k, GEN N)
    3101             : {
    3102       15010 :   if (lgefint(N) == 3) {
    3103        4995 :     ulong n = N[2];
    3104        4995 :     ulong a = umodiu(A, n);
    3105        4995 :     if (k < 0) {
    3106          10 :       a = Fl_inv(a, n);
    3107          10 :       k = -k;
    3108             :     }
    3109        4995 :     return utoi( Fl_powu(a, (ulong)k, n) );
    3110             :   }
    3111       10015 :   if (k < 0) { A = Fp_inv(A, N); k = -k; };
    3112       10015 :   return Fp_powu(A, (ulong)k, N);
    3113             : }
    3114             : 
    3115             : /* A^K mod N */
    3116             : GEN
    3117     1744046 : Fp_pow(GEN A, GEN K, GEN N)
    3118             : {
    3119     1744046 :   pari_sp av = avma;
    3120     1744046 :   long t,s, lN = lgefint(N), sA;
    3121             :   int base_is_2, use_montgomery;
    3122             :   GEN y;
    3123             :   muldata D;
    3124             :   void *E;
    3125             : 
    3126     1744046 :   s = signe(K);
    3127     1744046 :   if (!s)
    3128             :   {
    3129       12575 :     t = signe(remii(A,N)); avma = av;
    3130       12575 :     return t? gen_1: gen_0;
    3131             :   }
    3132     1731471 :   if (lN == 3)
    3133             :   {
    3134     1573562 :     ulong k, n = N[2], a = umodiu(A, n);
    3135     1573562 :     if (s < 0) a = Fl_inv(a, n);
    3136     1573552 :     if (a <= 1) return utoi(a); /* 0 or 1 */
    3137     1503597 :     if (lgefint(K) > 3)
    3138             :     { /* silly case : huge exponent, small modulus */
    3139          15 :       pari_warn(warner, "Mod(a,b)^n with n >> b : wasteful");
    3140          15 :       if (s > 0)
    3141             :       {
    3142          10 :         ulong d = ugcd(a, n);
    3143          10 :         if (d != 1)
    3144             :         { /* write n = n1 n2, with n2 maximal such that (n1,a) = 1 */
    3145           5 :           ulong n1 = u_ppo(n, d), n2 = n/n1;
    3146             : 
    3147           5 :           k = umodiu(K, eulerphiu(n1));
    3148             :           /* CRT: = a^K (mod n1), = 0 (mod n2)*/
    3149           5 :           return utoi( Fl_mul(Fl_powu(a, k, n1), n2 * Fl_inv(n2,n1), n) );
    3150             :         }
    3151             :         /* gcd(a,n) = 1 */
    3152           5 :         k = umodiu(K, eulerphiu(n));
    3153             :       }
    3154             :       else
    3155           5 :         k = umodiu(negi(K), eulerphiu(n));
    3156             :     }
    3157             :     else
    3158     1503582 :       k = uel(K,2);
    3159     1503592 :     return utoi(Fl_powu(a, k, n));
    3160             :   }
    3161             : 
    3162      157909 :   if (s < 0) y = Fp_inv(A,N);
    3163             :   else
    3164             :   {
    3165      157659 :     y = modii(A,N);
    3166      157659 :     if (!signe(y)) { avma = av; return gen_0; }
    3167             :   }
    3168      157904 :   if (lgefint(K) == 3) return gerepileuptoint(av, Fp_powu(y, K[2], N));
    3169             : 
    3170       40335 :   base_is_2 = 0;
    3171       40335 :   sA = signe(y)==-1 && mod2(K);
    3172       40335 :   if (lgefint(y) == 3) switch(y[2])
    3173             :   {
    3174          15 :     case 1: return sA ? gen_m1 : gen_1;
    3175       27500 :     case 2:  base_is_2 = 1; break;
    3176             :   }
    3177             : 
    3178             :   /* TODO: Move this out of here and use for general modular computations */
    3179       40320 :   use_montgomery = Fp_select_red(&y, 0UL, N, lN, &D, &E);
    3180       40320 :   if (base_is_2)
    3181       27500 :     y = gen_pow_fold_i(y, K, E, D.sqr, D.mul2);
    3182             :   else
    3183       12820 :     y = gen_pow_i(y, K, E, D.sqr, D.mul);
    3184       40320 :   if (use_montgomery)
    3185             :   {
    3186       39610 :     y = red_montgomery(y, N, ((struct montred *) E)->inv);
    3187       39610 :     if (cmpii(y,N) >= 0) y = subii(y,N);
    3188       39610 :     if (sA) y = subii(N, y);
    3189             :   }
    3190       40320 :   return gerepileuptoint(av,y);
    3191             : }
    3192             : 
    3193             : static GEN
    3194      118887 : _Fp_mul(void *E, GEN x, GEN y) { return Fp_mul(x,y,(GEN)E); }
    3195             : 
    3196             : static GEN
    3197         390 : _Fp_sqr(void *E, GEN x) { return Fp_sqr(x,(GEN)E); }
    3198             : 
    3199             : static GEN
    3200          30 : _Fp_one(void *E) { (void) E; return gen_1; }
    3201             : 
    3202             : GEN
    3203        1160 : Fp_powers(GEN x, long n, GEN p)
    3204             : {
    3205        1160 :   if (lgefint(p) == 3)
    3206        1130 :     return Flv_to_ZV(Fl_powers(umodiu(x, uel(p, 2)), n, uel(p, 2)));
    3207          30 :   return gen_powers(x, n, 1, (void*)p, _Fp_sqr, _Fp_mul, _Fp_one);
    3208             : }
    3209             : 
    3210             : static GEN
    3211      413482 : _Fp_pow(void *E, GEN x, GEN n) { return Fp_pow(x,n,(GEN)E); }
    3212             : 
    3213             : static GEN
    3214         685 : _Fp_rand(void *E) { return addiu(randomi(subiu((GEN)E,1)),1); }
    3215             : 
    3216             : static GEN Fp_easylog(void *E, GEN a, GEN g, GEN ord);
    3217             : 
    3218             : static const struct bb_group Fp_star={_Fp_mul,_Fp_pow,_Fp_rand,hash_GEN,
    3219             :                                       equalii,equali1,Fp_easylog};
    3220             : 
    3221             : static GEN
    3222      635172 : _Fp_red(void *E, GEN x) { return Fp_red(x, (GEN)E); }
    3223             : 
    3224             : static GEN
    3225      623270 : _Fp_add(void *E, GEN x, GEN y) { (void) E; return addii(x,y); }
    3226             : 
    3227             : static GEN
    3228       68820 : _Fp_neg(void *E, GEN x) { (void) E; return negi(x); }
    3229             : 
    3230             : static GEN
    3231      781000 : _Fp_rmul(void *E, GEN x, GEN y) { (void) E; return mulii(x,y); }
    3232             : 
    3233             : static GEN
    3234       10510 : _Fp_inv(void *E, GEN x) { return Fp_inv(x,(GEN)E); }
    3235             : 
    3236             : static int
    3237      338290 : _Fp_equal0(GEN x) { return signe(x)==0; }
    3238             : 
    3239             : static GEN
    3240       39910 : _Fp_s(void *E, long x) { (void) E; return stoi(x); }
    3241             : 
    3242             : static const struct bb_field Fp_field={_Fp_red,_Fp_add,_Fp_rmul,_Fp_neg,
    3243             :                                         _Fp_inv,_Fp_equal0,_Fp_s};
    3244             : 
    3245        2700 : const struct bb_field *get_Fp_field(void **E, GEN p)
    3246             : {
    3247        2700 :   *E = (void*)p; return &Fp_field;
    3248             : }
    3249             : 
    3250             : /*********************************************************************/
    3251             : /**                                                                 **/
    3252             : /**               ORDER of INTEGERMOD x  in  (Z/nZ)*                **/
    3253             : /**                                                                 **/
    3254             : /*********************************************************************/
    3255             : ulong
    3256        3805 : Fl_order(ulong a, ulong o, ulong p)
    3257             : {
    3258        3805 :   pari_sp av = avma;
    3259             :   GEN m, P, E;
    3260             :   long i;
    3261        3805 :   if (!o) o = p-1;
    3262        3805 :   m = factoru(o);
    3263        3805 :   P = gel(m,1);
    3264        3805 :   E = gel(m,2);
    3265        9550 :   for (i = lg(P)-1; i; i--)
    3266             :   {
    3267        5745 :     ulong j, l = P[i], e = E[i], t = o / upowuu(l,e), y = Fl_powu(a, t, p);
    3268        5745 :     if (y == 1) o = t;
    3269        5345 :     else for (j = 1; j < e; j++)
    3270             :     {
    3271        1645 :       y = Fl_powu(y, l, p);
    3272        1645 :       if (y == 1) { o = t *  upowuu(l, j); break; }
    3273             :     }
    3274             :   }
    3275        3805 :   avma = av; return o;
    3276             : }
    3277             : 
    3278             : /*Find the exact order of a assuming a^o==1*/
    3279             : GEN
    3280        7645 : Fp_order(GEN a, GEN o, GEN p) {
    3281        7645 :   if (lgefint(p) == 3 && (!o || typ(o) == t_INT))
    3282             :   {
    3283          15 :     ulong pp = p[2], oo = (o && lgefint(o)==3)? o[2]: pp-1;
    3284          15 :     return utoi( Fl_order(umodiu(a, pp), oo, pp) );
    3285             :   }
    3286        7630 :   return gen_order(a, o, (void*)p, &Fp_star);
    3287             : }
    3288             : GEN
    3289          40 : Fp_factored_order(GEN a, GEN o, GEN p)
    3290          40 : { return gen_factored_order(a, o, (void*)p, &Fp_star); }
    3291             : 
    3292             : /* return order of a mod p^e, e > 0, pe = p^e */
    3293             : static GEN
    3294          50 : Zp_order(GEN a, GEN p, long e, GEN pe)
    3295             : {
    3296             :   GEN ap, op;
    3297          50 :   if (absequaliu(p, 2))
    3298             :   {
    3299          40 :     if (e == 1) return gen_1;
    3300          40 :     if (e == 2) return mod4(a) == 1? gen_1: gen_2;
    3301          35 :     if (mod4(a) == 1)
    3302          10 :       op = gen_1;
    3303             :     else {
    3304          25 :       op = gen_2;
    3305          25 :       a = Fp_sqr(a, pe);
    3306             :     }
    3307             :   } else {
    3308          10 :     ap = (e == 1)? a: remii(a,p);
    3309          10 :     op = Fp_order(ap, subiu(p,1), p);
    3310          10 :     if (e == 1) return op;
    3311           0 :     a = Fp_pow(a, op, pe); /* 1 mod p */
    3312             :   }
    3313          35 :   if (equali1(a)) return op;
    3314           5 :   return mulii(op, powiu(p, e - Z_pval(subiu(a,1), p)));
    3315             : }
    3316             : 
    3317             : GEN
    3318          45 : znorder(GEN x, GEN o)
    3319             : {
    3320          45 :   pari_sp av = avma;
    3321             :   GEN b, a;
    3322             : 
    3323          45 :   if (typ(x) != t_INTMOD) pari_err_TYPE("znorder [t_INTMOD expected]",x);
    3324          40 :   b = gel(x,1); a = gel(x,2);
    3325          40 :   if (!equali1(gcdii(a,b))) pari_err_COPRIME("znorder", a,b);
    3326          35 :   if (!o)
    3327             :   {
    3328          25 :     GEN fa = Z_factor(b), P = gel(fa,1), E = gel(fa,2);
    3329          25 :     long i, l = lg(P);
    3330          25 :     o = gen_1;
    3331          50 :     for (i = 1; i < l; i++)
    3332             :     {
    3333          25 :       GEN p = gel(P,i);
    3334          25 :       long e = itos(gel(E,i));
    3335             : 
    3336          25 :       if (l == 2)
    3337          25 :         o = Zp_order(a, p, e, b);
    3338             :       else {
    3339           0 :         GEN pe = powiu(p,e);
    3340           0 :         o = lcmii(o, Zp_order(remii(a,pe), p, e, pe));
    3341             :       }
    3342             :     }
    3343          25 :     return gerepileuptoint(av, o);
    3344             :   }
    3345          10 :   return Fp_order(a, o, b);
    3346             : }
    3347             : GEN
    3348           0 : order(GEN x) { return znorder(x, NULL); }
    3349             : 
    3350             : /*********************************************************************/
    3351             : /**                                                                 **/
    3352             : /**               DISCRETE LOGARITHM  in  (Z/nZ)*                   **/
    3353             : /**                                                                 **/
    3354             : /*********************************************************************/
    3355             : static GEN
    3356       42720 : Fp_log_halfgcd(ulong bnd, GEN C, GEN g, GEN p)
    3357             : {
    3358       42720 :   pari_sp av = avma;
    3359             :   GEN h1, h2, F, G;
    3360       42720 :   if (!Fp_ratlift(g,p,C,shifti(C,-1),&h1,&h2)) return NULL;
    3361       25530 :   if ((F = Z_issmooth_fact(h1, bnd)) && (G = Z_issmooth_fact(h2, bnd)))
    3362             :   {
    3363         175 :     GEN M = cgetg(3, t_MAT);
    3364         175 :     gel(M,1) = vecsmall_concat(gel(F, 1),gel(G, 1));
    3365         175 :     gel(M,2) = vecsmall_concat(gel(F, 2),zv_neg_inplace(gel(G, 2)));
    3366         175 :     return gerepileupto(av, M);
    3367             :   }
    3368       25355 :   avma = av; return NULL;
    3369             : }
    3370             : 
    3371             : static GEN
    3372       42720 : Fp_log_find_rel(GEN b, ulong bnd, GEN C, GEN p, GEN *g, long *e)
    3373             : {
    3374             :   GEN rel;
    3375             :   do
    3376             :   {
    3377       42720 :     (*e)++; *g = Fp_mul(*g, b, p);
    3378       42720 :     rel = Fp_log_halfgcd(bnd, C, *g, p);
    3379       42720 :   } while (!rel);
    3380         175 :   return rel;
    3381             : }
    3382             : 
    3383             : struct Fp_log_rel
    3384             : {
    3385             :   GEN rel;
    3386             :   ulong prmax;
    3387             :   long nbrel, nbmax;
    3388             : };
    3389             : 
    3390             : /* add u^e */
    3391             : static void
    3392        1775 : addifsmooth1(struct Fp_log_rel *r, GEN z, long u, long e)
    3393             : {
    3394        1775 :   pari_sp av = avma;
    3395        1775 :   long off = r->prmax+1;
    3396        1775 :   GEN F = cgetg(3, t_MAT);
    3397        1775 :   gel(F,1) = vecsmall_append(gel(z,1), off+u);
    3398        1775 :   gel(F,2) = vecsmall_append(gel(z,2), e);
    3399        1775 :   gel(r->rel,++r->nbrel) = gerepileupto(av, F);
    3400        1775 : }
    3401             : 
    3402             : /* add u^-1 v^-1 */
    3403             : static void
    3404       67865 : addifsmooth2(struct Fp_log_rel *r, GEN z, long u, long v)
    3405             : {
    3406       67865 :   pari_sp av = avma;
    3407       67865 :   long off = r->prmax+1;
    3408       67865 :   GEN P = mkvecsmall2(off+u,off+v), E = mkvecsmall2(-1,-1);
    3409       67865 :   GEN F = cgetg(3, t_MAT);
    3410       67865 :   gel(F,1) = vecsmall_concat(gel(z,1), P);
    3411       67865 :   gel(F,2) = vecsmall_concat(gel(z,2), E);
    3412       67865 :   gel(r->rel,++r->nbrel) = gerepileupto(av, F);
    3413       67865 : }
    3414             : 
    3415             : /*
    3416             : Let p=C^2+c
    3417             : Solve h = (C+x)*(C+a)-p = 0 [mod l]
    3418             : h= -c+x*(C+a)+C*a = 0  [mod l]
    3419             : x = (c-C*a)/(C+a) [mod l]
    3420             : h = -c+C*(x+a)+a*x
    3421             : */
    3422             : 
    3423             : GEN
    3424       26330 : Fp_log_sieve_worker(long a, long prmax, GEN C, GEN c, GEN Ci, GEN ci, GEN pr, GEN sz)
    3425             : {
    3426       26330 :   pari_sp ltop = avma;
    3427       26330 :   long th = expi(C), n = lg(pr)-1;
    3428             :   long i, j;
    3429       26330 :   GEN sieve = zero_zv(a+2)+1;
    3430       26330 :   GEN L = cgetg(1+a+2, t_VEC);
    3431       26330 :   pari_sp av = avma;
    3432       26330 :   long rel = 1;
    3433             :   GEN z, h;
    3434       26330 :   h = addis(C,a);
    3435       26330 :   if ((z = Z_issmooth_fact(h, prmax)))
    3436             :   {
    3437        1560 :     gel(L, rel++) = mkvec2(z, mkvecsmall3(1, a, -1));
    3438        1560 :     av = avma;
    3439             :   }
    3440    11876300 :   for(i=1; i<=n; i++)
    3441             :   {
    3442    11849970 :     ulong li = pr[i], s = sz[i], al = a % li;
    3443    11849970 :     ulong u, iv = Fl_invsafe(Fl_add(Ci[i],al,li),li);
    3444    11849970 :     if (!iv) continue;
    3445    11789065 :     u = Fl_mul(Fl_sub(ci[i],Fl_mul(Ci[i],al,li),li), iv ,li);
    3446    46685960 :     for(j = u; j<=a; j+=li)
    3447    34896895 :       sieve[j] += s;
    3448             :   }
    3449       26330 :   th = th - expu(th)-1;
    3450    18206890 :   for(j=0; j<a; j++)
    3451    18180560 :     if (sieve[j]>=th)
    3452             :     {
    3453      181135 :       GEN h = addiu(subii(muliu(C,a+j),c), a*j);
    3454      181135 :       if ((z = Z_issmooth_fact(h, prmax)))
    3455             :       {
    3456       67910 :         gel(L, rel++) = mkvec2(z, mkvecsmall3(2, a, j));
    3457       67910 :         av = avma;
    3458      113225 :       } else avma = av;
    3459             :     }
    3460             :   /* j = a */
    3461       26330 :   if (sieve[a]>=th)
    3462             :   {
    3463         385 :     GEN h = addiu(subii(muliu(C,2*a),c), a*a);
    3464         385 :     if ((z = Z_issmooth_fact(h, prmax)))
    3465             :     {
    3466         215 :       gel(L, rel++) = mkvec2(z, mkvecsmall3(1, a, -2));
    3467         215 :       av = avma;
    3468             :     }
    3469             :   }
    3470       26330 :   setlg(L, rel);
    3471       26330 :   return gerepilecopy(ltop, L);
    3472             : }
    3473             : 
    3474             : static long
    3475          35 : Fp_log_sieve(struct Fp_log_rel *r, GEN C, GEN c, GEN Ci, GEN ci, GEN pr, GEN sz)
    3476             : {
    3477             :   struct pari_mt pt;
    3478             :   long i;
    3479          35 :   GEN worker = snm_closure(is_entry("_Fp_log_sieve_worker"),
    3480             :                mkvecn(7, utoi(r->prmax), C, c, Ci, ci, pr, sz));
    3481          35 :   long running, pending = 0;
    3482          35 :   mt_queue_start(&pt, worker);
    3483       26365 :   for (i = 0; (running = (r->nbrel < r->nbmax)) || pending; i++)
    3484             :   {
    3485             :     GEN L, done;
    3486             :     long ll, m;
    3487       26330 :     mt_queue_submit(&pt, 0, running ? mkvec(stoi(i)): NULL);
    3488       26330 :     done = mt_queue_get(&pt, NULL, &pending);
    3489       26330 :     if (!done) continue;
    3490       26330 :     L = done; ll = lg(L);
    3491       26330 :     if (ll == 1) continue;
    3492       92450 :     for (m=1; m<ll; m++)
    3493             :     {
    3494       69660 :        GEN Lm = gel(L,m), h = gel(Lm, 1), v = gel(Lm, 2);
    3495       69660 :        if (r->nbrel == r->nbmax) break;
    3496       69640 :        if (v[1] == 1)
    3497        1775 :          addifsmooth1(r, h, v[2], v[3]);
    3498             :        else
    3499       67865 :          addifsmooth2(r, h, v[2], v[3]);
    3500             :     }
    3501       22810 :     if (DEBUGLEVEL && (i&127)==0)
    3502           0 :       err_printf("%ld%% ",100*r->nbrel/(r->nbmax));
    3503             :   }
    3504          35 :   mt_queue_end(&pt);
    3505          35 :   return i;
    3506             : }
    3507             : 
    3508             : static GEN
    3509         975 : _psi(void*E, GEN y)
    3510             : {
    3511         975 :   GEN lx = (GEN) E;
    3512         975 :   long prec = realprec(lx);
    3513         975 :   GEN ly = glog(y, prec);
    3514         975 :   GEN u = gdiv(lx, ly);
    3515         975 :   return gsub(gdiv(y ,ly), gpow(u, u, prec));
    3516             : }
    3517             : 
    3518             : static GEN
    3519          35 : opt_param(GEN x, long prec)
    3520             : {
    3521          35 :   return zbrent((void*)glog(x,prec), _psi, gen_2, x, prec);
    3522             : }
    3523             : 
    3524             : static GEN
    3525          35 : check_kernel(long nbg, long N, long prmax, GEN C, GEN M, GEN p, GEN m)
    3526             : {
    3527          35 :   pari_sp av = avma;
    3528          35 :   long lM = lg(M)-1, nbcol = lM;
    3529             :   for (;;)
    3530             :   {
    3531          60 :     GEN K = FpMs_leftkernel_elt_col(M, nbcol, N, m);
    3532          60 :     long i, f=0;
    3533          60 :     long l = lg(K), lm = lgefint(m);
    3534          60 :     GEN idx = diviiexact(subiu(p,1),m), g;
    3535             :     pari_timer ti;
    3536          60 :     if (DEBUGLEVEL) timer_start(&ti);
    3537          95 :     for(i=1; i<l; i++)
    3538          95 :       if (signe(gel(K,i)))
    3539          60 :         break;
    3540          60 :     g = Fp_pow(utoi(i), idx, p);
    3541          60 :     K = FpC_Fp_mul(K, Fp_inv(gel(K,i), m), m);
    3542       92275 :     for(i=1; i<l; i++)
    3543             :     {
    3544       92215 :       GEN k = gel(K,i);
    3545       92215 :       GEN j = i<=prmax ? utoi(i): addis(C,i-(prmax+1));
    3546       92215 :       if (signe(k)==0 || !equalii(Fp_pow(g, k, p),
    3547             :             Fp_pow(j, idx, p)))
    3548       57310 :         gel(K,i) = cgetineg(lm);
    3549             :       else
    3550       34905 :         f++;
    3551             :     }
    3552          60 :     if (DEBUGLEVEL) timer_printf(&ti,"found %ld logs", f);
    3553          95 :     if(f > (nbg>>1)) return gerepileupto(av, K);
    3554        6570 :     for(i=1; i<=nbcol; i++)
    3555             :     {
    3556        6545 :       long a = 1+random_Fl(lM);
    3557        6545 :       swap(gel(M,a),gel(M,i));
    3558             :     }
    3559          25 :     if (4*nbcol>5*nbg) nbcol = nbcol*9/10;
    3560          25 :   }
    3561             : }
    3562             : 
    3563             : static GEN
    3564          70 : Fp_log_find_ind(GEN a, GEN K, long prmax, GEN C, GEN p, GEN m)
    3565             : {
    3566          70 :   pari_sp av=avma;
    3567          70 :   GEN aa = gen_1;
    3568          70 :   long AV = 0;
    3569             :   for(;;)
    3570             :   {
    3571         175 :     GEN A = Fp_log_find_rel(a, prmax, C, p, &aa, &AV);
    3572         175 :     GEN F = gel(A,1), E = gel(A,2);
    3573         175 :     GEN Ao = gen_0;
    3574         175 :     long i, l = lg(F);
    3575         870 :     for(i=1; i<l; i++)
    3576             :     {
    3577         800 :       GEN Ki = gel(K,F[i]);
    3578         800 :       if (signe(Ki)<0) break;
    3579         695 :       Ao = addii(Ao, mulis(Ki, E[i]));
    3580             :     }
    3581         245 :     if (i==l) return Fp_div(Ao, utoi(AV), m);
    3582         105 :     aa = gerepileuptoint(av, aa);
    3583         105 :   }
    3584             : }
    3585             : 
    3586             : static GEN
    3587          35 : Fp_log_index(GEN a, GEN b, GEN m, GEN p)
    3588             : {
    3589          35 :   pari_sp av = avma, av2;
    3590             :   long i, nbi, nbrow, nbg;
    3591             :   GEN C, c, Ci, ci, pr, sz, l, Ao, Bo, K, d, p_1;
    3592             :   pari_timer ti;
    3593             :   struct Fp_log_rel r;
    3594          35 :   ulong bnds = itou(roundr_safe(opt_param(sqrti(p),DEFAULTPREC)));
    3595          35 :   ulong bnd = 4*bnds;
    3596          35 :   if (!bnds || cmpii(sqru(bnds),m)>=0) return NULL;
    3597             : 
    3598          35 :   p_1 = subiu(p,1);
    3599          35 :   if (!is_pm1(gcdii(m,diviiexact(p_1,m))))
    3600           0 :     m = diviiexact(p_1, Z_ppo(p_1, m));
    3601          35 :   pr = primes_upto_zv(bnd);
    3602          35 :   nbi = lg(pr)-1;
    3603          35 :   if (DEBUGLEVEL)
    3604             :   {
    3605           0 :     err_printf("bnd=%lu Size FB=%ld\n", bnd, nbi);
    3606           0 :     timer_start(&ti);
    3607             :   }
    3608          35 :   C = sqrtremi(p, &c);
    3609          35 :   av2 = avma;
    3610          35 :   Ci = cgetg(nbi+1,t_VECSMALL);
    3611          35 :   ci = cgetg(nbi+1,t_VECSMALL);
    3612          35 :   sz = cgetg(nbi+1,t_VECSMALL);
    3613        8740 :   for (i = 1; i <= nbi; ++i)
    3614             :   {
    3615        8705 :     ulong lp = pr[i];
    3616        8705 :     Ci[i] = umodiu(C, lp);
    3617        8705 :     ci[i] = umodiu(c, lp);
    3618        8705 :     sz[i] = expu(lp);
    3619             :   }
    3620          35 :   r.nbrel = 0;
    3621          35 :   r.nbmax = 8*nbi;
    3622          35 :   r.rel = cgetg(r.nbmax+1,t_VEC);
    3623          35 :   r.prmax = pr[nbi];
    3624          35 :   nbg = Fp_log_sieve(&r, C, c, Ci, ci, pr, sz);
    3625          35 :   nbrow = r.prmax + nbg;
    3626          35 :   if (DEBUGLEVEL)
    3627             :   {
    3628           0 :     err_printf("\n");
    3629           0 :     timer_printf(&ti," %ld relations, %ld generators", r.nbrel, nbi+nbg);
    3630             :   }
    3631          35 :   setlg(r.rel,r.nbrel+1);
    3632          35 :   r.rel = gerepilecopy(av2, r.rel);
    3633          35 :   K = check_kernel(nbi+nbrow-r.prmax, nbrow, r.prmax, C, r.rel, p, m);
    3634          35 :   if (DEBUGLEVEL) timer_start(&ti);
    3635          35 :   Ao = Fp_log_find_ind(a, K, r.prmax, C, p, m);
    3636          35 :   if (DEBUGLEVEL) timer_printf(&ti," log element");
    3637          35 :   Bo = Fp_log_find_ind(b, K, r.prmax, C, p, m);
    3638          35 :   if (DEBUGLEVEL) timer_printf(&ti," log generator");
    3639          35 :   d = gcdii(Ao,Bo);
    3640          35 :   l = Fp_div(diviiexact(Ao, d) ,diviiexact(Bo, d), m);
    3641          35 :   if (!equalii(a,Fp_pow(b,l,p))) pari_err_BUG("Fp_log_index");
    3642          35 :   return gerepileuptoint(av, l);
    3643             : }
    3644             : 
    3645             : static int
    3646      115776 : Fp_log_use_index(long e, long p)
    3647             : {
    3648      115776 :   return (e >= 27 && 20*(p+6)<=e*e);
    3649             : }
    3650             : 
    3651             : /* Trivial cases a = 1, -1. Return x s.t. g^x = a or [] if no such x exist */
    3652             : static GEN
    3653      140092 : Fp_easylog(void *E, GEN a, GEN g, GEN ord)
    3654             : {
    3655      140092 :   pari_sp av = avma;
    3656      140092 :   GEN p = (GEN)E;
    3657             :   /* assume a reduced mod p, p not necessarily prime */
    3658      140092 :   if (equali1(a)) return gen_0;
    3659             :   /* p > 2 */
    3660      101446 :   if (equalii(subiu(p,1), a))  /* -1 */
    3661             :   {
    3662             :     pari_sp av2;
    3663             :     GEN t;
    3664       42525 :     ord = get_arith_Z(ord);
    3665       42525 :     if (mpodd(ord)) { avma = av; return cgetg(1, t_VEC); } /* no solution */
    3666       42515 :     t = shifti(ord,-1); /* only possible solution */
    3667       42515 :     av2 = avma;
    3668       42515 :     if (!equalii(Fp_pow(g, t, p), a)) { avma = av; return cgetg(1, t_VEC); }
    3669       42385 :     avma = av2; return gerepileuptoint(av, t);
    3670             :   }
    3671       58921 :   if (typ(ord)==t_INT && BPSW_psp(p) && Fp_log_use_index(expi(ord),expi(p)))
    3672          35 :     return Fp_log_index(a, g, ord, p);
    3673       58886 :   avma = av; return NULL; /* not easy */
    3674             : }
    3675             : 
    3676             : GEN
    3677      153349 : Fp_log(GEN a, GEN g, GEN ord, GEN p)
    3678             : {
    3679      153349 :   GEN v = get_arith_ZZM(ord);
    3680      153329 :   GEN F = gmael(v,2,1);
    3681      153329 :   long lF = lg(F)-1, lmax;
    3682      153329 :   if (lF == 0) return equali1(a)? gen_0: cgetg(1, t_VEC);
    3683       91974 :   lmax = expi(gel(F,lF));
    3684       91974 :   if (BPSW_psp(p) && Fp_log_use_index(lmax,expi(p)))
    3685          35 :     v = mkvec2(gel(v,1),ZM_famat_limit(gel(v,2),int2n(27)));
    3686       91974 :   return gen_PH_log(a,g,v,(void*)p,&Fp_star);
    3687             : }
    3688             : 
    3689             : /* find x such that h = g^x mod N > 1, N = prod_{i <= l} P[i]^E[i], P[i] prime.
    3690             :  * PHI[l] = eulerphi(N / P[l]^E[l]).   Destroys P/E */
    3691             : static GEN
    3692          80 : znlog_rec(GEN h, GEN g, GEN N, GEN P, GEN E, GEN PHI)
    3693             : {
    3694          80 :   long l = lg(P) - 1, e = E[l];
    3695          80 :   GEN p = gel(P, l), phi = gel(PHI,l), pe = e == 1? p: powiu(p, e);
    3696             :   GEN a,b, hp,gp, hpe,gpe, ogpe; /* = order(g mod p^e) | p^(e-1)(p-1) */
    3697             : 
    3698          80 :   if (l == 1) {
    3699          60 :     hpe = h;
    3700          60 :     gpe = g;
    3701             :   } else {
    3702          20 :     hpe = modii(h, pe);
    3703          20 :     gpe = modii(g, pe);
    3704             :   }
    3705          80 :   if (e == 1) {
    3706          20 :     hp = hpe;
    3707          20 :     gp = gpe;
    3708             :   } else {
    3709          60 :     hp = remii(hpe, p);
    3710          60 :     gp = remii(gpe, p);
    3711             :   }
    3712          80 :   if (hp == gen_0 || gp == gen_0) return NULL;
    3713          65 :   if (absequaliu(p, 2))
    3714             :   {
    3715          25 :     GEN n = int2n(e);
    3716          25 :     ogpe = Zp_order(gpe, gen_2, e, n);
    3717          25 :     a = Fp_log(hpe, gpe, ogpe, n);
    3718          25 :     if (typ(a) != t_INT) return NULL;
    3719             :   }
    3720             :   else
    3721             :   { /* Avoid black box groups: (Z/p^2)^* / (Z/p)^* ~ (Z/pZ, +), where DL
    3722             :        is trivial */
    3723             :     /* [order(gp), factor(order(gp))] */
    3724          40 :     GEN v = Fp_factored_order(gp, subiu(p,1), p);
    3725          40 :     GEN ogp = gel(v,1);
    3726          40 :     if (!equali1(Fp_pow(hp, ogp, p))) return NULL;
    3727          40 :     a = Fp_log(hp, gp, v, p);
    3728          40 :     if (typ(a) != t_INT) return NULL;
    3729          40 :     if (e == 1) ogpe = ogp;
    3730             :     else
    3731             :     { /* find a s.t. g^a = h (mod p^e), p odd prime, e > 0, (h,p) = 1 */
    3732             :       /* use p-adic log: O(log p + e) mul*/
    3733             :       long vpogpe, vpohpe;
    3734             : 
    3735          20 :       hpe = Fp_mul(hpe, Fp_pow(gpe, negi(a), pe), pe);
    3736          20 :       gpe = Fp_pow(gpe, ogp, pe);
    3737             :       /* g,h = 1 mod p; compute b s.t. h = g^b */
    3738             : 
    3739             :       /* v_p(order g mod pe) */
    3740          20 :       vpogpe = equali1(gpe)? 0: e - Z_pval(subiu(gpe,1), p);
    3741             :       /* v_p(order h mod pe) */
    3742          20 :       vpohpe = equali1(hpe)? 0: e - Z_pval(subiu(hpe,1), p);
    3743          20 :       if (vpohpe > vpogpe) return NULL;
    3744             : 
    3745          20 :       ogpe = mulii(ogp, powiu(p, vpogpe)); /* order g mod p^e */
    3746          20 :       if (is_pm1(gpe)) return is_pm1(hpe)? a: NULL;
    3747          20 :       b = gdiv(Qp_log(cvtop(hpe, p, e)), Qp_log(cvtop(gpe, p, e)));
    3748          20 :       a = addii(a, mulii(ogp, padic_to_Q(b)));
    3749             :     }
    3750             :   }
    3751             :   /* gp^a = hp => x = a mod ogpe => generalized Pohlig-Hellman strategy */
    3752          55 :   if (l == 1) return a;
    3753             : 
    3754          20 :   N = diviiexact(N, pe); /* make N coprime to p */
    3755          20 :   h = Fp_mul(h, Fp_pow(g, modii(negi(a), phi), N), N);
    3756          20 :   g = Fp_pow(g, modii(ogpe, phi), N);
    3757          20 :   setlg(P, l); /* remove last element */
    3758          20 :   setlg(E, l);
    3759          20 :   b = znlog_rec(h, g, N, P, E, PHI);
    3760          20 :   if (!b) return NULL;
    3761          20 :   return addmulii(a, b, ogpe);
    3762             : }
    3763             : 
    3764             : static GEN
    3765          60 : get_PHI(GEN P, GEN E)
    3766             : {
    3767          60 :   long i, l = lg(P);
    3768          60 :   GEN PHI = cgetg(l, t_VEC);
    3769          60 :   gel(PHI,1) = gen_1;
    3770          80 :   for (i=1; i<l-1; i++)
    3771             :   {
    3772          20 :     GEN t, p = gel(P,i);
    3773          20 :     long e = E[i];
    3774          20 :     t = mulii(powiu(p, e-1), subiu(p,1));
    3775          20 :     if (i > 1) t = mulii(t, gel(PHI,i));
    3776          20 :     gel(PHI,i+1) = t;
    3777             :   }
    3778          60 :   return PHI;
    3779             : }
    3780             : 
    3781             : GEN
    3782         160 : znlog(GEN h, GEN g, GEN o)
    3783             : {
    3784         160 :   pari_sp av = avma;
    3785             :   GEN N, fa, P, E, x;
    3786         160 :   switch (typ(g))
    3787             :   {
    3788             :     case t_PADIC:
    3789             :     {
    3790          20 :       GEN p = gel(g,2);
    3791          20 :       long v = valp(g);
    3792          20 :       if (v < 0) pari_err_DIM("znlog");
    3793          20 :       if (v > 0) {
    3794           0 :         long k = gvaluation(h, p);
    3795           0 :         if (k % v) return cgetg(1,t_VEC);
    3796           0 :         k /= v;
    3797           0 :         if (!gequal(h, gpowgs(g,k))) { avma = av; return cgetg(1,t_VEC); }
    3798           0 :         avma = av; return stoi(k);
    3799             :       }
    3800          20 :       N = gel(g,3);
    3801          20 :       g = Rg_to_Fp(g, N);
    3802          20 :       break;
    3803             :     }
    3804             :     case t_INTMOD:
    3805         135 :       N = gel(g,1);
    3806         135 :       g = gel(g,2); break;
    3807           5 :     default: pari_err_TYPE("znlog", g);
    3808             :       return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
    3809             :   }
    3810         155 :   if (equali1(N)) { avma = av; return gen_0; }
    3811         155 :   h = Rg_to_Fp(h, N);
    3812         150 :   if (o) return gerepileupto(av, Fp_log(h, g, o, N));
    3813          60 :   fa = Z_factor(N);
    3814          60 :   P = gel(fa,1);
    3815          60 :   E = vec_to_vecsmall(gel(fa,2));
    3816          60 :   x = znlog_rec(h, g, N, P, E, get_PHI(P,E));
    3817          60 :   if (!x) { avma = av; return cgetg(1,t_VEC); }
    3818          35 :   return gerepileuptoint(av, x);
    3819             : }
    3820             : 
    3821             : GEN
    3822       45195 : Fp_sqrtn(GEN a, GEN n, GEN p, GEN *zeta)
    3823             : {
    3824       45195 :   a = modii(a,p);
    3825       45195 :   if (!signe(a))
    3826             :   {
    3827       34325 :     if (zeta) *zeta = gen_1;
    3828       34325 :     if (signe(n) < 0) pari_err_INV("Fp_sqrtn", mkintmod(gen_0,p));
    3829       34320 :     return gen_0;
    3830             :   }
    3831       10870 :   if (absequaliu(n,2))
    3832             :   {
    3833        1715 :     if (zeta) *zeta = subiu(p,1);
    3834        1715 :     return Fp_sqrt(a,p);
    3835             :   }
    3836        9155 :   return gen_Shanks_sqrtn(a,n,subiu(p,1),zeta,(void*)p,&Fp_star);
    3837             : }
    3838             : 
    3839             : /*********************************************************************/
    3840             : /**                                                                 **/
    3841             : /**                    FUNDAMENTAL DISCRIMINANTS                    **/
    3842             : /**                                                                 **/
    3843             : /*********************************************************************/
    3844             : long
    3845       10265 : isfundamental(GEN x) {
    3846       10265 :   if (typ(x) != t_INT) pari_err_TYPE("isfundamental",x);
    3847       10265 :   return Z_isfundamental(x);
    3848             : }
    3849             : 
    3850             : /* x fundamental ? */
    3851             : long
    3852        5885 : uposisfundamental(ulong x)
    3853             : {
    3854        5885 :   ulong r = x & 15; /* x mod 16 */
    3855        5885 :   if (!r) return 0;
    3856        5560 :   switch(r & 3)
    3857             :   { /* x mod 4 */
    3858        1065 :     case 0: return (r == 4)? 0: uissquarefree(x >> 2);
    3859        1795 :     case 1: return uissquarefree(x);
    3860        2700 :     default: return 0;
    3861             :   }
    3862             : }
    3863             : /* -x fundamental ? */
    3864             : long
    3865        9690 : unegisfundamental(ulong x)
    3866             : {
    3867        9690 :   ulong r = x & 15; /* x mod 16 */
    3868        9690 :   if (!r) return 0;
    3869        9270 :   switch(r & 3)
    3870             :   { /* x mod 4 */
    3871        1555 :     case 0: return (r == 12)? 0: uissquarefree(x >> 2);
    3872        5095 :     case 3: return uissquarefree(x);
    3873        2620 :     default: return 0;
    3874             :   }
    3875             : }
    3876             : long
    3877         830 : sisfundamental(long x)
    3878         830 : { return x < 0? unegisfundamental((ulong)(-x)): uposisfundamental(x); }
    3879             : 
    3880             : long
    3881       10665 : Z_isfundamental(GEN x)
    3882             : {
    3883             :   long r;
    3884       10665 :   switch(lgefint(x))
    3885             :   {
    3886           0 :     case 2: return 0;
    3887       26725 :     case 3: return signe(x) < 0? unegisfundamental(x[2])
    3888       16065 :                                : uposisfundamental(x[2]);
    3889             :   }
    3890           5 :   r = mod16(x);
    3891           5 :   if (!r) return 0;
    3892           5 :   if ((r & 3) == 0)
    3893             :   {
    3894             :     pari_sp av;
    3895           0 :     r >>= 2; /* |x|/4 mod 4 */
    3896           0 :     if (signe(x) < 0) r = 4-r;
    3897           0 :     if (r == 1) return 0;
    3898           0 :     av = avma;
    3899           0 :     r = Z_issquarefree( shifti(x,-2) );
    3900           0 :     avma = av; return r;
    3901             :   }
    3902           5 :   r &= 3; /* |x| mod 4 */
    3903           5 :   if (signe(x) < 0) r = 4-r;
    3904           5 :   return (r==1) ? Z_issquarefree(x) : 0;
    3905             : }
    3906             : 
    3907             : GEN
    3908           5 : quaddisc(GEN x)
    3909             : {
    3910           5 :   const pari_sp av = avma;
    3911           5 :   long i,r,tx=typ(x);
    3912             :   GEN P,E,f,s;
    3913             : 
    3914           5 :   if (!is_rational_t(tx)) pari_err_TYPE("quaddisc",x);
    3915           5 :   f = factor(x);
    3916           5 :   P = gel(f,1);
    3917           5 :   E = gel(f,2); s = gen_1;
    3918          25 :   for (i=1; i<lg(P); i++)
    3919          20 :     if (odd(mael(E,i,2))) s = mulii(s,gel(P,i));
    3920           5 :   r = mod4(s); if (gsigne(x) < 0) r = 4-r;
    3921           5 :   if (r>1) s = shifti(s,2);
    3922           5 :   return gerepileuptoint(av, s);
    3923             : }
    3924             : 
    3925             : /*********************************************************************/
    3926             : /**                                                                 **/
    3927             : /**                              FACTORIAL                          **/
    3928             : /**                                                                 **/
    3929             : /*********************************************************************/
    3930             : /* return a * (a+1) * ... * b. Assume a <= b  [ note: factoring out powers of 2
    3931             :  * first is slower ... ] */
    3932             : GEN
    3933      716765 : mulu_interval(ulong a, ulong b)
    3934             : {
    3935      716765 :   pari_sp av = avma;
    3936             :   ulong k, l, N, n;
    3937             :   long lx;
    3938             :   GEN x;
    3939             : 
    3940      716765 :   if (!a) return gen_0;
    3941      716765 :   n = b - a + 1;
    3942      716765 :   if (n < 61)
    3943             :   {
    3944      710505 :     x = utoi(a);
    3945      710505 :     for (k=a+1; k<=b; k++) x = mului(k,x);
    3946      710505 :     return gerepileuptoint(av, x);
    3947             :   }
    3948        6260 :   lx = 1; x = cgetg(2 + n/2, t_VEC);
    3949        6260 :   N = b + a;
    3950      717545 :   for (k = a;; k++)
    3951             :   {
    3952      717545 :     l = N - k; if (l <= k) break;
    3953      711285 :     gel(x,lx++) = muluu(k,l);
    3954      711285 :   }
    3955        6260 :   if (l == k) gel(x,lx++) = utoipos(k);
    3956        6260 :   setlg(x, lx);
    3957        6260 :   return gerepileuptoint(av, ZV_prod(x));
    3958             : }
    3959             : GEN
    3960         320 : muls_interval(long a, long b)
    3961             : {
    3962         320 :   pari_sp av = avma;
    3963         320 :   long lx, k, l, N, n = b - a + 1;
    3964             :   GEN x;
    3965             : 
    3966         320 :   if (a <= 0 && b >= 0) return gen_0;
    3967         205 :   if (n < 61)
    3968             :   {
    3969         205 :     x = stoi(a);
    3970         205 :     for (k=a+1; k<=b; k++) x = mulsi(k,x);
    3971         205 :     return gerepileuptoint(av, x);
    3972             :   }
    3973           0 :   lx = 1; x = cgetg(2 + n/2, t_VEC);
    3974           0 :   N = b + a;
    3975           0 :   for (k = a;; k++)
    3976             :   {
    3977           0 :     l = N - k; if (l <= k) break;
    3978           0 :     gel(x,lx++) = mulss(k,l);
    3979           0 :   }
    3980           0 :   if (l == k) gel(x,lx++) = stoi(k);
    3981           0 :   setlg(x, lx);
    3982           0 :   return gerepileuptoint(av, ZV_prod(x));
    3983             : }
    3984             : 
    3985             : GEN
    3986     1675300 : mpfact(long n)
    3987             : {
    3988     1675300 :   if (n < 2)
    3989             :   {
    3990     1044795 :     if (n < 0) pari_err_DOMAIN("factorial", "argument","<",gen_0,stoi(n));
    3991     1044795 :     return gen_1;
    3992             :   }
    3993      630505 :   return mulu_interval(2UL, (ulong)n);
    3994             : }
    3995             : 
    3996             : /*******************************************************************/
    3997             : /**                                                               **/
    3998             : /**                      LUCAS & FIBONACCI                        **/
    3999             : /**                                                               **/
    4000             : /*******************************************************************/
    4001             : static void
    4002          40 : lucas(ulong n, GEN *a, GEN *b)
    4003             : {
    4004             :   GEN z, t, zt;
    4005          80 :   if (!n) { *a = gen_2; *b = gen_1; return; }
    4006          35 :   lucas(n >> 1, &z, &t); zt = mulii(z, t);
    4007          35 :   switch(n & 3) {
    4008          10 :     case  0: *a = subiu(sqri(z),2); *b = subiu(zt,1); break;
    4009          10 :     case  1: *a = subiu(zt,1);      *b = addiu(sqri(t),2); break;
    4010           5 :     case  2: *a = addiu(sqri(z),2); *b = addiu(zt,1); break;
    4011          10 :     case  3: *a = addiu(zt,1);      *b = subiu(sqri(t),2);
    4012             :   }
    4013             : }
    4014             : 
    4015             : GEN
    4016           5 : fibo(long n)
    4017             : {
    4018           5 :   pari_sp av = avma;
    4019             :   GEN a, b;
    4020           5 :   if (!n) return gen_0;
    4021           5 :   lucas((ulong)(labs(n)-1), &a, &b);
    4022           5 :   a = diviuexact(addii(shifti(a,1),b), 5);
    4023           5 :   if (n < 0 && !odd(n)) setsigne(a, -1);
    4024           5 :   return gerepileuptoint(av, a);
    4025             : }
    4026             : 
    4027             : /*******************************************************************/
    4028             : /*                                                                 */
    4029             : /*                      CONTINUED FRACTIONS                        */
    4030             : /*                                                                 */
    4031             : /*******************************************************************/
    4032             : static GEN
    4033      256715 : icopy_lg(GEN x, long l)
    4034             : {
    4035      256715 :   long lx = lgefint(x);
    4036             :   GEN y;
    4037             : 
    4038      256715 :   if (lx >= l) return icopy(x);
    4039          25 :   y = cgeti(l); affii(x, y); return y;
    4040             : }
    4041             : 
    4042             : /* continued fraction of a/b. If y != NULL, stop when partial quotients
    4043             :  * differ from y */
    4044             : static GEN
    4045      256920 : Qsfcont(GEN a, GEN b, GEN y, ulong k)
    4046             : {
    4047             :   GEN  z, c;
    4048      256920 :   ulong i, l, ly = lgefint(b);
    4049             : 
    4050             :   /* times 1 / log2( (1+sqrt(5)) / 2 )  */
    4051      256920 :   l = (ulong)(3 + bit_accuracy_mul(ly, 1.44042009041256));
    4052      256920 :   if (k > 0 && k+1 > 0 && l > k+1) l = k+1; /* beware overflow */
    4053      256920 :   if (l > LGBITS) l = LGBITS;
    4054             : 
    4055      256920 :   z = cgetg(l,t_VEC);
    4056      256920 :   l--;
    4057      256920 :   if (y) {
    4058         205 :     pari_sp av = avma;
    4059         205 :     if (l >= (ulong)lg(y)) l = lg(y)-1;
    4060       14120 :     for (i = 1; i <= l; i++)
    4061             :     {
    4062       13995 :       GEN q = gel(y,i);
    4063       13995 :       gel(z,i) = q;
    4064       13995 :       c = b; if (!gequal1(q)) c = mulii(q, b);
    4065       13995 :       c = subii(a, c);
    4066       13995 :       if (signe(c) < 0)
    4067             :       { /* partial quotient too large */
    4068          80 :         c = addii(c, b);
    4069          80 :         if (signe(c) >= 0) i++; /* by 1 */
    4070          80 :         break;
    4071             :       }
    4072       13915 :       if (cmpii(c, b) >= 0)
    4073             :       { /* partial quotient too small */
    4074           0 :         c = subii(c, b);
    4075           0 :         if (cmpii(c, b) < 0) {
    4076             :           /* by 1. If next quotient is 1 in y, add 1 */
    4077           0 :           if (i < l && equali1(gel(y,i+1))) gel(z,i) = addiu(q,1);
    4078           0 :           i++;
    4079             :         }
    4080           0 :         break;
    4081             :       }
    4082       13915 :       if ((i & 0xff) == 0) gerepileall(av, 2, &b, &c);
    4083       13915 :       a = b; b = c;
    4084             :     }
    4085             :   } else {
    4086      256715 :     a = icopy_lg(a, ly);
    4087      256715 :     b = icopy(b);
    4088      897810 :     for (i = 1; i <= l; i++)
    4089             :     {
    4090      897625 :       gel(z,i) = truedvmdii(a,b,&c);
    4091      897625 :       if (c == gen_0) { i++; break; }
    4092      641095 :       affii(c, a); cgiv(c); c = a;
    4093      641095 :       a = b; b = c;
    4094             :     }
    4095             :   }
    4096      256920 :   i--;
    4097      256920 :   if (i > 1 && gequal1(gel(z,i)))
    4098             :   {
    4099          60 :     cgiv(gel(z,i)); --i;
    4100          60 :     gel(z,i) = addui(1, gel(z,i)); /* unclean: leave old z[i] on stack */
    4101             :   }
    4102      256920 :   setlg(z,i+1); return z;
    4103             : }
    4104             : 
    4105             : static GEN
    4106           0 : sersfcont(GEN a, GEN b, long k)
    4107             : {
    4108           0 :   long i, l = typ(a) == t_POL? lg(a): 3;
    4109             :   GEN y, c;
    4110           0 :   if (lg(b) > l) l = lg(b);
    4111           0 :   if (k > 0 && l > k+1) l = k+1;
    4112           0 :   y = cgetg(l,t_VEC);
    4113           0 :   for (i=1; i<l; i++)
    4114             :   {
    4115           0 :     gel(y,i) = poldivrem(a,b,&c);
    4116           0 :     if (gequal0(c)) { i++; break; }
    4117           0 :     a = b; b = c;
    4118             :   }
    4119           0 :   setlg(y, i); return y;
    4120             : }
    4121             : 
    4122             : GEN
    4123      256940 : gboundcf(GEN x, long k)
    4124             : {
    4125             :   pari_sp av;
    4126      256940 :   long tx = typ(x), e;
    4127             :   GEN y, a, b, c;
    4128             : 
    4129      256940 :   if (k < 0) pari_err_DOMAIN("gboundcf","nmax","<",gen_0,stoi(k));
    4130      256935 :   if (is_scalar_t(tx))
    4131             :   {
    4132      256935 :     if (gequal0(x)) return mkvec(gen_0);
    4133      256720 :     switch(tx)
    4134             :     {
    4135           0 :       case t_INT: return mkveccopy(x);
    4136             :       case t_REAL:
    4137         210 :         av = avma;
    4138         210 :         c = mantissa_real(x,&e);
    4139         210 :         if (e < 0) pari_err_PREC("gboundcf");
    4140         205 :         y = int2n(e);
    4141         205 :         a = Qsfcont(c,y, NULL, k);
    4142         205 :         b = addsi(signe(x), c);
    4143         205 :         return gerepilecopy(av, Qsfcont(b,y, a, k));
    4144             : 
    4145             :       case t_FRAC:
    4146      256510 :         av = avma;
    4147      256510 :         return gerepileupto(av, Qsfcont(gel(x,1),gel(x,2), NULL, k));
    4148             :     }
    4149           0 :     pari_err_TYPE("gboundcf",x);
    4150             :   }
    4151             : 
    4152           0 :   switch(tx)
    4153             :   {
    4154           0 :     case t_POL: return mkveccopy(x);
    4155             :     case t_SER:
    4156           0 :       av = avma;
    4157           0 :       return gerepileupto(av, gboundcf(ser2rfrac_i(x), k));
    4158             :     case t_RFRAC:
    4159           0 :       av = avma;
    4160           0 :       return gerepilecopy(av, sersfcont(gel(x,1), gel(x,2), k));
    4161             :   }
    4162           0 :   pari_err_TYPE("gboundcf",x);
    4163             :   return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
    4164             : }
    4165             : 
    4166             : static GEN
    4167          10 : sfcont2(GEN b, GEN x, long k)
    4168             : {
    4169          10 :   pari_sp av = avma;
    4170          10 :   long lb = lg(b), tx = typ(x), i;
    4171             :   GEN y,p1;
    4172             : 
    4173          10 :   if (k)
    4174             :   {
    4175           5 :     if (k >= lb) pari_err_DIM("contfrac [too few denominators]");
    4176           0 :     lb = k+1;
    4177             :   }
    4178           5 :   y = cgetg(lb,t_VEC);
    4179           5 :   if (lb==1) return y;
    4180           5 :   if (is_scalar_t(tx))
    4181             :   {
    4182           5 :     if (!is_intreal_t(tx) && tx != t_FRAC) pari_err_TYPE("sfcont2",x);
    4183             :   }
    4184           0 :   else if (tx == t_SER) x = ser2rfrac_i(x);
    4185             : 
    4186           5 :   if (!gequal1(gel(b,1))) x = gmul(gel(b,1),x);
    4187           5 :   for (i = 1;;)
    4188             :   {
    4189          25 :     if (tx == t_REAL)
    4190             :     {
    4191          25 :       long e = expo(x);
    4192          25 :       if (e > 0 && nbits2prec(e+1) > realprec(x)) break;
    4193          25 :       gel(y,i) = floorr(x);
    4194          25 :       p1 = subri(x, gel(y,i));
    4195             :     }
    4196             :     else
    4197             :     {
    4198           0 :       gel(y,i) = gfloor(x);
    4199           0 :       p1 = gsub(x, gel(y,i));
    4200             :     }
    4201          25 :     if (++i >= lb) break;
    4202          20 :     if (gequal0(p1)) break;
    4203          20 :     x = gdiv(gel(b,i),p1);
    4204          20 :   }
    4205           5 :   setlg(y,i);
    4206           5 :   return gerepilecopy(av,y);
    4207             : }
    4208             : 
    4209             : 
    4210             : GEN
    4211           0 : gcf(GEN x) { return gboundcf(x,0); }
    4212             : GEN
    4213           0 : gcf2(GEN b, GEN x) { return contfrac0(x,b,0); }
    4214             : GEN
    4215          35 : contfrac0(GEN x, GEN b, long nmax)
    4216             : {
    4217             :   long tb;
    4218             : 
    4219          35 :   if (!b) return gboundcf(x,nmax);
    4220          20 :   tb = typ(b);
    4221          20 :   if (tb == t_INT) return gboundcf(x,itos(b));
    4222          15 :   if (! is_vec_t(tb)) pari_err_TYPE("contfrac0",b);
    4223          15 :   if (nmax < 0) pari_err_DOMAIN("contfrac","nmax","<",gen_0,stoi(nmax));
    4224          10 :   return sfcont2(b,x,nmax);
    4225             : }
    4226             : 
    4227             : GEN
    4228          90 : contfracpnqn(GEN x, long n)
    4229             : {
    4230          90 :   pari_sp av = avma;
    4231          90 :   long i, lx = lg(x);
    4232             :   GEN M,A,B, p0,p1, q0,q1;
    4233             : 
    4234          90 :   if (lx == 1)
    4235             :   {
    4236          20 :     if (! is_matvec_t(typ(x))) pari_err_TYPE("pnqn",x);
    4237          15 :     if (n >= 0) return cgetg(1,t_MAT);
    4238           5 :     return matid(2);
    4239             :   }
    4240          70 :   switch(typ(x))
    4241             :   {
    4242          40 :     case t_VEC: case t_COL: A = x; B = NULL; break;
    4243             :     case t_MAT:
    4244          30 :       switch(lgcols(x))
    4245             :       {
    4246           0 :         case 2: A = row(x,1); B = NULL; break;
    4247          25 :         case 3: A = row(x,2); B = row(x,1); break;
    4248           5 :         default: pari_err_DIM("pnqn [ nbrows != 1,2 ]");
    4249             :                  return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
    4250             :       }
    4251          25 :       break;
    4252           0 :     default: pari_err_TYPE("pnqn",x);
    4253             :       return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
    4254             :   }
    4255          65 :   p1 = gel(A,1);
    4256          65 :   q1 = B? gel(B,1): gen_1; /* p[0], q[0] */
    4257          65 :   if (n >= 0)
    4258             :   {
    4259          40 :     lx = minss(lx, n+2);
    4260          40 :     if (lx == 2) return gerepilecopy(av, mkmat(mkcol2(p1,q1)));
    4261             :   }
    4262          25 :   else if (lx == 2)
    4263           5 :     return gerepilecopy(av, mkmat2(mkcol2(p1,q1), mkcol2(gen_1,gen_0)));
    4264             :   /* lx >= 3 */
    4265          40 :   p0 = gen_1;
    4266          40 :   q0 = gen_0; /* p[-1], q[-1] */
    4267          40 :   M = cgetg(lx, t_MAT);
    4268          40 :   gel(M,1) = mkcol2(p1,q1);
    4269         155 :   for (i=2; i<lx; i++)
    4270             :   {
    4271         115 :     GEN a = gel(A,i), p2,q2;
    4272         115 :     if (B) {
    4273          60 :       GEN b = gel(B,i);
    4274          60 :       p0 = gmul(b,p0);
    4275          60 :       q0 = gmul(b,q0);
    4276             :     }
    4277         115 :     p2 = gadd(gmul(a,p1),p0); p0=p1; p1=p2;
    4278         115 :     q2 = gadd(gmul(a,q1),q0); q0=q1; q1=q2;
    4279         115 :     gel(M,i) = mkcol2(p1,q1);
    4280             :   }
    4281          40 :   if (n < 0) M = mkmat2(gel(M,lx-1), gel(M,lx-2));
    4282          40 :   return gerepilecopy(av, M);
    4283             : }
    4284             : GEN
    4285           0 : pnqn(GEN x) { return contfracpnqn(x,-1); }
    4286             : /* x = [a0, ..., an] from gboundcf, n >= 0;
    4287             :  * return [[p0, ..., pn], [q0,...,qn]] */
    4288             : GEN
    4289      252045 : ZV_allpnqn(GEN x)
    4290             : {
    4291      252045 :   long i, lx = lg(x);
    4292      252045 :   GEN p0, p1, q0, q1, p2, q2, P,Q, v = cgetg(3,t_VEC);
    4293             : 
    4294      252045 :   gel(v,1) = P = cgetg(lx, t_VEC);
    4295      252045 :   gel(v,2) = Q = cgetg(lx, t_VEC);
    4296      252045 :   p0 = gen_1; q0 = gen_0;
    4297      252045 :   gel(P, 1) = p1 = gel(x,1); gel(Q, 1) = q1 = gen_1;
    4298      860735 :   for (i=2; i<lx; i++)
    4299             :   {
    4300      608690 :     GEN a = gel(x,i);
    4301      608690 :     gel(P, i) = p2 = addmulii(p0, a, p1); p0 = p1; p1 = p2;
    4302      608690 :     gel(Q, i) = q2 = addmulii(q0, a, q1); q0 = q1; q1 = q2;
    4303             :   }
    4304      252045 :   return v;
    4305             : }
    4306             : 
    4307             : /* write Mod(x,N) as a/b, gcd(a,b) = 1, b <= B (no condition if B = NULL) */
    4308             : static GEN
    4309          25 : mod_to_frac(GEN x, GEN N, GEN B)
    4310             : {
    4311             :   GEN a, b, A;
    4312          25 :   if (B)
    4313             :   {
    4314          15 :     A = divii(shifti(N, -1), B);
    4315             :     /* denominator bound useless, don't use it */
    4316          15 :     if (cmpii(A, B) < 0) B = NULL;
    4317             :   }
    4318          25 :   if (!B)
    4319             :   {
    4320          10 :     A = sqrti(shifti(N, -1));
    4321          10 :     B = A;
    4322             :   }
    4323          25 :   if (!Fp_ratlift(x, N, A,B,&a,&b) || !equali1( gcdii(a,b) )) return NULL;
    4324          15 :   return equali1(b)? a: mkfrac(a,b);
    4325             : }
    4326             : 
    4327             : static GEN
    4328          40 : mod_to_rfrac(GEN x, GEN N, long B)
    4329             : {
    4330             :   GEN a, b;
    4331          40 :   long A, d = degpol(N);
    4332          40 :   if (B >= 0)
    4333             :   {
    4334          15 :     A = d-1 - B;
    4335             :     /* denominator bound useless, don't use it */
    4336          15 :     if (A < B) B = -1;
    4337             :   }
    4338          40 :   if (B < 0)
    4339             :   {
    4340          35 :     B = d >> 1;
    4341          35 :     A = odd(d)? B : B-1;
    4342             :   }
    4343          40 :   if (varn(N) != varn(x)) x = scalarpol(x, varn(N));
    4344          40 :   if (! RgXQ_ratlift(x, N, A, B, &a,&b)) return NULL;
    4345          40 :   if (degpol(RgX_gcd(a,b)) > 0) return NULL;
    4346          35 :   return gdiv(a,b);
    4347             : }
    4348             : 
    4349             : /* k > 0 t_INT, x a t_FRAC, returns the convergent a/b
    4350             :  * of the continued fraction of x with b <= k maximal */
    4351             : static GEN
    4352           0 : bestappr_frac(GEN x, GEN k)
    4353             : {
    4354             :   pari_sp av;
    4355             :   GEN p0, p1, p, q0, q1, q, a, y;
    4356             : 
    4357           0 :   if (cmpii(gel(x,2),k) <= 0) return gcopy(x);
    4358           0 :   av = avma; y = x;
    4359           0 :   p1 = gen_1; p0 = truedvmdii(gel(x,1), gel(x,2), &a); /* = floor(x) */
    4360           0 :   q1 = gen_0; q0 = gen_1;
    4361           0 :   x = mkfrac(a, gel(x,2)); /* = frac(x); now 0<= x < 1 */
    4362             :   for(;;)
    4363             :   {
    4364           0 :     x = ginv(x); /* > 1 */
    4365           0 :     a = typ(x)==t_INT? x: divii(gel(x,1), gel(x,2));
    4366           0 :     if (cmpii(a,k) > 0)
    4367             :     { /* next partial quotient will overflow limits */
    4368             :       GEN n, d;
    4369           0 :       a = divii(subii(k, q1), q0);
    4370           0 :       p = addii(mulii(a,p0), p1); p1=p0; p0=p;
    4371           0 :       q = addii(mulii(a,q0), q1); q1=q0; q0=q;
    4372             :       /* compare |y-p0/q0|, |y-p1/q1| */
    4373           0 :       n = gel(y,1);
    4374           0 :       d = gel(y,2);
    4375           0 :       if (abscmpii(mulii(q1, subii(mulii(q0,n), mulii(d,p0))),
    4376             :                    mulii(q0, subii(mulii(q1,n), mulii(d,p1)))) < 0)
    4377           0 :                    { p1 = p0; q1 = q0; }
    4378           0 :       break;
    4379             :     }
    4380           0 :     p = addii(mulii(a,p0), p1); p1=p0; p0=p;
    4381           0 :     q = addii(mulii(a,q0), q1); q1=q0; q0=q;
    4382             : 
    4383           0 :     if (cmpii(q0,k) > 0) break;
    4384           0 :     x = gsub(x,a); /* 0 <= x < 1 */
    4385           0 :     if (typ(x) == t_INT) { p1 = p0; q1 = q0; break; } /* x = 0 */
    4386             : 
    4387           0 :   }
    4388           0 :   return gerepileupto(av, gdiv(p1,q1));
    4389             : }
    4390             : /* bestappr(t_REAL != 0), to maximal accuracy */
    4391             : static GEN
    4392          15 : bestappr_real_max(GEN x)
    4393             : {
    4394          15 :   pari_sp av = avma;
    4395             :   GEN p0, p1, p, q0, q1, q, a;
    4396             :   long e;
    4397          15 :   p1 = gen_1; a = p0 = floorr(x); q1 = gen_0; q0 = gen_1;
    4398          15 :   x = subri(x,a); /* 0 <= x < 1 */
    4399          15 :   e = bit_prec(x) - expo(x);
    4400             :   for(;;)
    4401             :   {
    4402             :     long d;
    4403          30 :     if (!signe(x) || expi(q0) > e) { p1 = p0; q1 = q0; break; }
    4404          15 :     x = invr(x); /* > 1 */
    4405          15 :     d = nbits2prec(expo(x) + 1);
    4406          15 :     if (d > lg(x)) { p1 = p0; q1 = q0; break; } /* original x was ~ 0 */
    4407             : 
    4408          15 :     a = truncr(x); /* truncr(x) will NOT raise e_PREC */
    4409          15 :     p = addii(mulii(a,p0), p1); p1=p0; p0=p;
    4410          15 :     q = addii(mulii(a,q0), q1); q1=q0; q0=q;
    4411          15 :     x = subri(x,a); /* 0 <= x < 1 */
    4412          15 :   }
    4413          15 :   return gerepileupto(av, gdiv(p1,q1));
    4414             : }
    4415             : /* k > 0 t_INT, x != 0 a t_REAL, returns the convergent a/b
    4416             :  * of the continued fraction of x with b <= k maximal */
    4417             : static GEN
    4418      183101 : bestappr_real(GEN x, GEN k)
    4419             : {
    4420      183101 :   pari_sp av = avma;
    4421             :   GEN kr, p0, p1, p, q0, q1, q, a, y;
    4422             : 
    4423      183101 :   y = x;
    4424      183101 :   p1 = gen_1; a = p0 = floorr(x);
    4425      183101 :   q1 = gen_0; q0 = gen_1;
    4426      183101 :   x = subri(x,a); /* 0 <= x < 1 */
    4427      183101 :   if (!signe(x)) { cgiv(x); return a; }
    4428      179922 :   kr = itor(k, realprec(x));
    4429             :   for(;;)
    4430             :   {
    4431             :     long d;
    4432      486221 :     x = invr(x); /* > 1 */
    4433      486221 :     if (cmprr(x,kr) > 0)
    4434             :     { /* next partial quotient will overflow limits */
    4435      176794 :       a = divii(subii(k, q1), q0);
    4436      176794 :       p = addii(mulii(a,p0), p1); p1=p0; p0=p;
    4437      176794 :       q = addii(mulii(a,q0), q1); q1=q0; q0=q;
    4438             :       /* compare |y-p0/q0|, |y-p1/q1| */
    4439      176794 :       if (abscmprr(mulir(q1, subri(mulir(q0,y), p0)),
    4440             :                    mulir(q0, subri(mulir(q1,y), p1))) < 0)
    4441        2702 :                    { p1 = p0; q1 = q0; }
    4442      176794 :       break;
    4443             :     }
    4444      309427 :     d = nbits2prec(expo(x) + 1);
    4445      309427 :     if (d > lg(x)) { p1 = p0; q1 = q0; break; } /* original x was ~ 0 */
    4446             : 
    4447      309427 :     a = truncr(x); /* truncr(x) will NOT raise e_PREC */
    4448      309427 :     p = addii(mulii(a,p0), p1); p1=p0; p0=p;
    4449      309427 :     q = addii(mulii(a,q0), q1); q1=q0; q0=q;
    4450             : 
    4451      309427 :     if (cmpii(q0,k) > 0) break;
    4452      306492 :     x = subri(x,a); /* 0 <= x < 1 */
    4453      306492 :     if (!signe(x)) { p1 = p0; q1 = q0; break; }
    4454      306299 :   }
    4455      179922 :   return gerepileupto(av, gdiv(p1,q1));
    4456             : }
    4457             : 
    4458             : /* k t_INT or NULL */
    4459             : static GEN
    4460      267790 : bestappr_Q(GEN x, GEN k)
    4461             : {
    4462      267790 :   long lx, tx = typ(x), i;
    4463             :   GEN a, y;
    4464             : 
    4465      267790 :   switch(tx)
    4466             :   {
    4467           5 :     case t_INT: return icopy(x);
    4468           0 :     case t_FRAC: return k? bestappr_frac(x, k): gcopy(x);
    4469             :     case t_REAL:
    4470      204430 :       if (!signe(x)) return gen_0;
    4471      183116 :       return k? bestappr_real(x, k): bestappr_real_max(x);
    4472             : 
    4473             :     case t_INTMOD: {
    4474          15 :       pari_sp av = avma;
    4475          15 :       a = mod_to_frac(gel(x,2), gel(x,1), k); if (!a) return NULL;
    4476          10 :       return gerepilecopy(av, a);
    4477             :     }
    4478             :     case t_PADIC: {
    4479          10 :       pari_sp av = avma;
    4480          10 :       long v = valp(x);
    4481          10 :       a = mod_to_frac(gel(x,4), gel(x,3), k); if (!a) return NULL;
    4482           5 :       if (v) a = gmul(a, powis(gel(x,2), v));
    4483           5 :       return gerepilecopy(av, a);
    4484             :     }
    4485             : 
    4486             :     case t_COMPLEX: {
    4487           5 :       pari_sp av = avma;
    4488           5 :       y = cgetg(3, t_COMPLEX);
    4489           5 :       gel(y,2) = bestappr(gel(x,2), k);
    4490           5 :       gel(y,1) = bestappr(gel(x,1), k);
    4491           5 :       if (gequal0(gel(y,2))) return gerepileupto(av, gel(y,1));
    4492           0 :       return y;
    4493             :     }
    4494             :     case t_SER:
    4495           0 :       if (ser_isexactzero(x)) return gcopy(x);
    4496             :       /* fall through */
    4497             :     case t_POLMOD: case t_POL: case t_RFRAC:
    4498             :     case t_VEC: case t_COL: case t_MAT:
    4499       63325 :       y = cgetg_copy(x, &lx);
    4500       63325 :       if (lontyp[tx] == 1) i = 1; else { y[1] = x[1]; i = 2; }
    4501      325085 :       for (; i<lx; i++)
    4502             :       {
    4503      261760 :         a = bestappr_Q(gel(x,i),k); if (!a) return NULL;
    4504      261760 :         gel(y,i) = a;
    4505             :       }
    4506       63325 :       if (tx == t_POL) return normalizepol(y);
    4507       63325 :       if (tx == t_SER) return normalize(y);
    4508       63325 :       return y;
    4509             :   }
    4510           0 :   pari_err_TYPE("bestappr_Q",x);
    4511             :   return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
    4512             : }
    4513             : 
    4514             : static GEN
    4515          35 : bestappr_ser(GEN x, long B)
    4516             : {
    4517          35 :   long v = valp(x), lx = lg(x);
    4518             :   GEN N, t;
    4519          35 :   x = normalizepol(ser2pol_i(x, lx));
    4520          35 :   N = pol_xn(lx-2, varn(x));
    4521          35 :   t = mod_to_rfrac(x, N, B); if (!t) return NULL;
    4522          30 :   if (v)
    4523             :   {
    4524             :     GEN a, b;
    4525             :     long vx;
    4526          10 :     if (typ(t) == t_POL) return RgX_mulXn(t, v);
    4527             :     /* t_RFRAC */
    4528          10 :     vx = varn(x);
    4529          10 :     a = gel(t,1);
    4530          10 :     b = gel(t,2);
    4531          10 :     v -= RgX_valrem(b, &b);
    4532          10 :     if (typ(a) == t_POL && varn(a) == vx) v += RgX_valrem(a, &a);
    4533          10 :     if (v < 0) b = RgX_shift(b, -v);
    4534           5 :     else if (v > 0) {
    4535           5 :       if (typ(a) != t_POL || varn(a) != vx) a = scalarpol_shallow(a, vx);
    4536           5 :       a = RgX_shift(a, v);
    4537             :     }
    4538          10 :     t = mkrfraccopy(a, b);
    4539             :   }
    4540          30 :   return t;
    4541             : }
    4542             : static GEN bestappr_RgX(GEN x, long B);
    4543             : /* x t_POLMOD, B >= 0 or < 0 [omit condition on B].
    4544             :  * Look for coprime t_POL a,b, deg(b)<=B, such that a/b = x */
    4545             : static GEN
    4546          45 : bestappr_RgX(GEN x, long B)
    4547             : {
    4548          45 :   long i, lx, tx = typ(x);
    4549             :   GEN y, t;
    4550          45 :   switch(tx)
    4551             :   {
    4552             :     case t_INT: case t_REAL: case t_INTMOD: case t_FRAC:
    4553             :     case t_COMPLEX: case t_PADIC: case t_QUAD: case t_POL:
    4554           0 :       return gcopy(x);
    4555             : 
    4556             :     case t_RFRAC: {
    4557          10 :       pari_sp av = avma;
    4558          10 :       if (B < 0 || degpol(gel(x,2)) <= B) return gcopy(x);
    4559           5 :       x = rfrac_to_ser(x, 2*B+1);
    4560           5 :       t = bestappr_ser(x, B); if (!t) return NULL;
    4561           5 :       return gerepileupto(av, t);
    4562             :     }
    4563             :     case t_POLMOD: {
    4564           5 :       pari_sp av = avma;
    4565           5 :       t = mod_to_rfrac(gel(x,2), gel(x,1), B); if (!t) return NULL;
    4566           5 :       return gerepileupto(av, t);
    4567             :     }
    4568             :     case t_SER: {
    4569          30 :       pari_sp av = avma;
    4570          30 :       t = bestappr_ser(x, B); if (!t) return NULL;
    4571          25 :       return gerepileupto(av, t);
    4572             :     }
    4573             : 
    4574             :     case t_VEC: case t_COL: case t_MAT:
    4575           0 :       y = cgetg_copy(x, &lx);
    4576           0 :       if (lontyp[tx] == 1) i = 1; else { y[1] = x[1]; i = 2; }
    4577           0 :       for (; i<lx; i++)
    4578             :       {
    4579           0 :         t = bestappr_RgX(gel(x,i),B); if (!t) return NULL;
    4580           0 :         gel(y,i) = t;
    4581             :       }
    4582           0 :       return y;
    4583             :   }
    4584           0 :   pari_err_TYPE("bestappr_RgX",x);
    4585             :   return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
    4586             : }
    4587             : 
    4588             : /* allow k = NULL: maximal accuracy */
    4589             : GEN
    4590        6030 : bestappr(GEN x, GEN k)
    4591             : {
    4592        6030 :   pari_sp av = avma;
    4593        6030 :   if (k) { /* replace by floor(k) */
    4594        5990 :     switch(typ(k))
    4595             :     {
    4596             :       case t_INT:
    4597         120 :         break;
    4598             :       case t_REAL: case t_FRAC:
    4599        5870 :         k = floor_safe(k); /* left on stack for efficiency */
    4600        5870 :         if (!signe(k)) k = gen_1;
    4601        5870 :         break;
    4602             :       default:
    4603           0 :         pari_err_TYPE("bestappr [bound type]", k);
    4604           0 :         break;
    4605             :     }
    4606             :   }
    4607        6030 :   x = bestappr_Q(x, k);
    4608        6030 :   if (!x) { avma = av; return cgetg(1,t_VEC); }
    4609        6020 :   return x;
    4610             : }
    4611             : GEN
    4612          45 : bestapprPade(GEN x, long B)
    4613             : {
    4614          45 :   pari_sp av = avma;
    4615          45 :   GEN t = bestappr_RgX(x, B);
    4616          45 :   if (!t) { avma = av; return cgetg(1,t_VEC); }
    4617          40 :   return t;
    4618             : }
    4619             : 
    4620             : /***********************************************************************/
    4621             : /**                                                                   **/
    4622             : /**         FUNDAMENTAL UNIT AND REGULATOR (QUADRATIC FIELDS)         **/
    4623             : /**                                                                   **/
    4624             : /***********************************************************************/
    4625             : 
    4626             : static GEN
    4627          10 : get_quad(GEN f, GEN pol, long r)
    4628             : {
    4629          10 :   GEN p1 = gcoeff(f,1,2), q1 = gcoeff(f,2,2);
    4630          10 :   return mkquad(pol, r? subii(p1,q1): p1, q1);
    4631             : }
    4632             : 
    4633             : /* replace f by f * [a,1; 1,0] */
    4634             : static void
    4635          10 : update_f(GEN f, GEN a)
    4636             : {
    4637             :   GEN p1;
    4638          10 :   p1 = gcoeff(f,1,1);
    4639          10 :   gcoeff(f,1,1) = addii(mulii(a,p1), gcoeff(f,1,2));
    4640          10 :   gcoeff(f,1,2) = p1;
    4641             : 
    4642          10 :   p1 = gcoeff(f,2,1);
    4643          10 :   gcoeff(f,2,1) = addii(mulii(a,p1), gcoeff(f,2,2));
    4644          10 :   gcoeff(f,2,2) = p1;
    4645          10 : }
    4646             : 
    4647             : GEN
    4648           5 : quadunit(GEN x)
    4649             : {
    4650           5 :   pari_sp av = avma, av2;
    4651             :   GEN pol, y, a, u, v, sqd, f;
    4652             :   long r;
    4653             : 
    4654           5 :   check_quaddisc_real(x, &r, "quadunit");
    4655           5 :   pol = quadpoly(x);
    4656           5 :   sqd = sqrti(x); av2 = avma;
    4657           5 :   a = shifti(addui(r,sqd),-1);
    4658           5 :   f = mkmat2(mkcol2(a, gen_1), mkcol2(gen_1, gen_0)); /* [a,0; 1,0] */
    4659           5 :   u = stoi(r); v = gen_2;
    4660             :   for(;;)
    4661             :   {
    4662             :     GEN u1, v1;
    4663          10 :     u1 = subii(mulii(a,v),u);
    4664          10 :     v1 = divii(subii(x,sqri(u1)),v);
    4665          10 :     if ( equalii(v,v1) ) {
    4666           5 :       y = get_quad(f,pol,r);
    4667           5 :       update_f(f,a);
    4668           5 :       y = gdiv(get_quad(f,pol,r), gconj(y));
    4669           5 :       break;
    4670             :     }
    4671           5 :     a = divii(addii(sqd,u1), v1);
    4672           5 :     if ( equalii(u,u1) ) {
    4673           0 :       y = get_quad(f,pol,r);
    4674           0 :       y = gdiv(y, gconj(y));
    4675           0 :       break;
    4676             :     }
    4677           5 :     update_f(f,a);
    4678           5 :     u = u1; v = v1;
    4679           5 :     if (gc_needed(av2,2))
    4680             :     {
    4681           0 :       if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"quadunit");
    4682           0 :       gerepileall(av2,4, &a,&f,&u,&v);
    4683             :     }
    4684           5 :   }
    4685           5 :   if (signe(gel(y,3)) < 0) y = gneg(y);
    4686           5 :   return gerepileupto(av, y);
    4687             : }
    4688             : 
    4689             : GEN
    4690           5 : quadunit0(GEN x, long v)
    4691             : {
    4692           5 :   GEN y = quadunit(x);
    4693           5 :   if (v==-1) v = fetch_user_var("w");
    4694           5 :   setvarn(gel(y,1), v);
    4695           5 :   return y;
    4696             : }
    4697             : 
    4698             : GEN
    4699          15 : quadregulator(GEN x, long prec)
    4700             : {
    4701          15 :   pari_sp av = avma, av2;
    4702             :   GEN R, rsqd, u, v, sqd;
    4703             :   long r, Rexpo;
    4704             : 
    4705          15 :   check_quaddisc_real(x, &r, "quadregulator");
    4706          15 :   sqd = sqrti(x);
    4707          15 :   rsqd = gsqrt(x,prec);
    4708          15 :   Rexpo = 0; R = real2n(1, prec); /* = 2 */
    4709          15 :   av2 = avma;
    4710          15 :   u = stoi(r); v = gen_2;
    4711             :   for(;;)
    4712             :   {
    4713          50 :     GEN u1 = subii(mulii(divii(addii(u,sqd),v), v), u);
    4714          50 :     GEN v1 = divii(subii(x,sqri(u1)),v);
    4715          50 :     if (equalii(v,v1))
    4716             :     {
    4717           5 :       R = sqrr(R); shiftr_inplace(R, -1);
    4718           5 :       R = mulrr(R, divri(addir(u1,rsqd),v));
    4719           5 :       break;
    4720             :     }
    4721          45 :     if (equalii(u,u1))
    4722             :     {
    4723          10 :       R = sqrr(R); shiftr_inplace(R, -1);
    4724          10 :       break;
    4725             :     }
    4726          35 :     R = mulrr(R, divri(addir(u1,rsqd),v));
    4727          35 :     Rexpo += expo(R); setexpo(R,0);
    4728          35 :     u = u1; v = v1;
    4729          35 :     if (Rexpo & ~EXPOBITS) pari_err_OVERFLOW("quadregulator [exponent]");
    4730          35 :     if (gc_needed(av2,2))
    4731             :     {
    4732           0 :       if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"quadregulator");
    4733           0 :       gerepileall(av2,3, &R,&u,&v);
    4734             :     }
    4735          35 :   }
    4736          15 :   R = logr_abs(divri(R,v));
    4737          15 :   if (Rexpo)
    4738             :   {
    4739          15 :     GEN t = mulsr(Rexpo, mplog2(prec));
    4740          15 :     shiftr_inplace(t, 1);
    4741          15 :     R = addrr(R,t);
    4742             :   }
    4743          15 :   return gerepileuptoleaf(av, R);
    4744             : }
    4745             : 
    4746             : /*************************************************************************/
    4747             : /**                                                                     **/
    4748             : /**                            CLASS NUMBER                             **/
    4749             : /**                                                                     **/
    4750             : /*************************************************************************/
    4751             : 
    4752             : int
    4753     7536625 : qfb_equal1(GEN f) { return equali1(gel(f,1)); }
    4754             : 
    4755    10667635 : static GEN qfi_pow(void *E, GEN f, GEN n)
    4756    10667635 : { return E? nupow(f,n,(GEN)E): powgi(f,n); }
    4757    13492960 : static GEN qfi_comp(void *E, GEN f, GEN g)
    4758    13492960 : { return E? nucomp(f,g,(GEN)E): qficomp(f,g); }
    4759             : static const struct bb_group qfi_group={ qfi_comp,qfi_pow,NULL,hash_GEN,
    4760             :                                          gidentical,qfb_equal1,NULL};
    4761             : 
    4762             : GEN
    4763     1716805 : qfi_order(GEN q, GEN o)
    4764     1716805 : { return gen_order(q, o, NULL, &qfi_group); }
    4765             : 
    4766             : GEN
    4767           0 : qfi_log(GEN a, GEN g, GEN o)
    4768           0 : { return gen_PH_log(a, g, o, NULL, &qfi_group); }
    4769             : 
    4770             : GEN
    4771      370930 : qfi_Shanks(GEN a, GEN g, long n)
    4772             : {
    4773      370930 :   pari_sp av = avma;
    4774             :   GEN T, X;
    4775             :   long rt_n, c;
    4776             : 
    4777      370930 :   a = redimag(a);
    4778      370930 :   g = redimag(g);
    4779             : 
    4780      370930 :   rt_n = sqrt((double)n);
    4781      370930 :   c = n / rt_n;
    4782      370930 :   c = (c * rt_n < n + 1) ? c + 1 : c;
    4783             : 
    4784      370930 :   T = gen_Shanks_init(g, rt_n, NULL, &qfi_group);
    4785      370930 :   X = gen_Shanks(T, a, c, NULL, &qfi_group);
    4786             : 
    4787      370930 :   if (!X) { avma = av; return X; }
    4788      198825 :   return gerepileuptoint(av, X);
    4789             : }
    4790             : 
    4791             : GEN
    4792         100 : qfbclassno0(GEN x,long flag)
    4793             : {
    4794         100 :   switch(flag)
    4795             :   {
    4796          90 :     case 0: return map_proto_G(classno,x);
    4797          10 :     case 1: return map_proto_G(classno2,x);
    4798           0 :     default: pari_err_FLAG("qfbclassno");
    4799             :   }
    4800             :   return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
    4801             : }
    4802             : 
    4803             : /* f^h = 1, return order(f). Set *pfao to its factorization */
    4804             : static GEN
    4805     1606910 : find_order(void *E, GEN f, GEN h, GEN *pfao)
    4806             : {
    4807     1606910 :   GEN v = gen_factored_order(f, h, E, &qfi_group);
    4808     1606910 :   *pfao = gel(v,2); return gel(v,1);
    4809             : }
    4810             : 
    4811             : static int
    4812        3915 : ok_q(GEN q, GEN h, GEN d2, long r2)
    4813             : {
    4814        3915 :   if (d2)
    4815             :   {
    4816           5 :     if (r2 <= 2 && !mpodd(q)) return 0;
    4817           5 :     return is_pm1(Z_ppo(q,d2));
    4818             :   }
    4819             :   else
    4820             :   {
    4821        3910 :     if (r2 <= 1 && !mpodd(q)) return 0;
    4822        3910 :     return is_pm1(Z_ppo(q,h));
    4823             :   }
    4824             : }
    4825             : 
    4826             : /* a,b given by their factorizations. Return factorization of lcm(a,b).
    4827             :  * Set A,B such that A*B = lcm(a, b), (A,B)=1, A|a, B|b */
    4828             : static GEN
    4829      209375 : split_lcm(GEN a, GEN Fa, GEN b, GEN Fb, GEN *pA, GEN *pB)
    4830             : {
    4831      209375 :   GEN P = ZV_union_shallow(gel(Fa,1), gel(Fb,1));
    4832      209375 :   GEN A = gen_1, B = gen_1;
    4833      209375 :   long i, l = lg(P);
    4834      209375 :   GEN E = cgetg(l, t_COL);
    4835      618995 :   for (i=1; i<l; i++)
    4836             :   {
    4837      409620 :     GEN p = gel(P,i);
    4838      409620 :     long va = Z_pval(a,p);
    4839      409620 :     long vb = Z_pval(b,p);
    4840      409620 :     if (va < vb)
    4841             :     {
    4842      210590 :       B = mulii(B,powiu(p,vb));
    4843      210590 :       gel(E,i) = utoi(vb);
    4844             :     }
    4845             :     else
    4846             :     {
    4847      199030 :       A = mulii(A,powiu(p,va));
    4848      199030 :       gel(E,i) = utoi(va);
    4849             :     }
    4850             :   }
    4851      209375 :   *pA = A;
    4852      209375 :   *pB = B; return mkmat2(P,E);
    4853             : }
    4854             : 
    4855             : /* g1 has order d1, f has order o, replace g1 by an element of order lcm(d1,o)*/
    4856             : static void
    4857      209375 : update_g1(GEN *pg1, GEN *pd1, GEN *pfad1, GEN f, GEN o, GEN fao)
    4858             : {
    4859      209375 :   GEN A,B, g1 = *pg1, d1 = *pd1;
    4860      209375 :   *pfad1 = split_lcm(d1,*pfad1, o,fao, &A,&B);
    4861      209375 :   *pg1 = gmul(powgi(g1, diviiexact(d1,A)),  powgi(f, diviiexact(o,B)));
    4862      209375 :   *pd1 = mulii(A,B); /* g1 has order d1 <- lcm(d1,o) */
    4863      209375 : }
    4864             : 
    4865             : /* Write x = Df^2, where D = fundamental discriminant,
    4866             :  * P^E = factorisation of conductor f, with E[i] >= 0 */
    4867             : static void
    4868     1217935 : corediscfact(GEN x, long xmod4, GEN *ptD, GEN *ptP, GEN *ptE)
    4869             : {
    4870     1217935 :   long s = signe(x), l, i;
    4871     1217935 :   GEN fa = absZ_factor(x);
    4872     1217935 :   GEN d, P = gel(fa,1), E = gtovecsmall(gel(fa,2));
    4873             : 
    4874     1217935 :   l = lg(P); d = gen_1;
    4875     3190645 :   for (i=1; i<l; i++)
    4876             :   {
    4877     1972710 :     if (E[i] & 1) d = mulii(d, gel(P,i));
    4878     1972710 :     E[i] >>= 1;
    4879             :   }
    4880     1217935 :   if (!xmod4 && mod4(d) != ((s < 0)? 3: 1)) { d = shifti(d,2); E[1]--; }
    4881     1217935 :   *ptD = (s < 0)? negi(d): d;
    4882     1217935 :   *ptP = P;
    4883     1217935 :   *ptE = E;
    4884     1217935 : }
    4885             : 
    4886             : static GEN
    4887     1188050 : conductor_part(GEN x, long xmod4, GEN *ptD, GEN *ptreg)
    4888             : {
    4889     1188050 :   long l, i, s = signe(x);
    4890             :   GEN E, H, D, P, reg;
    4891             : 
    4892     1188050 :   corediscfact(x, xmod4, &D, &P, &E);
    4893     1188050 :   H = gen_1; l = lg(P);
    4894             :   /* f \prod_{p|f}  [ 1 - (D/p) p^-1 ] = \prod_{p^e||f} p^(e-1) [ p - (D/p) ] */
    4895     3085730 :   for (i=1; i<l; i++)
    4896             :   {
    4897     1897680 :     long e = E[i];
    4898     1897680 :     if (e)
    4899             :     {
    4900           5 :       GEN p = gel(P,i);
    4901           5 :       H = mulii(H, subis(p, kronecker(D,p)));
    4902           5 :       if (e >= 2) H = mulii(H, powiu(p,e-1));
    4903             :     }
    4904             :   }
    4905             : 
    4906             :   /* divide by [ O_K^* : O^* ] */
    4907     1188050 :   if (s < 0)
    4908             :   {
    4909     1188040 :     reg = NULL;
    4910     1188040 :     switch(itou_or_0(D))
    4911             :     {
    4912           0 :       case 4: H = shifti(H,-1); break;
    4913           0 :       case 3: H = divis(H,3); break;
    4914             :     }
    4915             :   } else {
    4916          10 :     reg = quadregulator(D,DEFAULTPREC);
    4917          10 :     if (!equalii(x,D))
    4918           0 :       H = divii(H, roundr(divrr(quadregulator(x,DEFAULTPREC), reg)));
    4919             :   }
    4920     1188050 :   if (ptreg) *ptreg = reg;
    4921     1188050 :   *ptD = D; return H;
    4922             : }
    4923             : 
    4924             : static long
    4925     1188035 : two_rank(GEN x)
    4926             : {
    4927     1188035 :   GEN p = gel(absZ_factor(x),1);
    4928     1188035 :   long l = lg(p)-1;
    4929             : #if 0 /* positive disc not needed */
    4930             :   if (signe(x) > 0)
    4931             :   {
    4932             :     long i;
    4933             :     for (i=1; i<=l; i++)
    4934             :       if (mod4(gel(p,i)) == 3) { l--; break; }
    4935             :   }
    4936             : #endif
    4937     1188035 :   return l-1;
    4938             : }
    4939             : 
    4940             : static GEN
    4941    22571420 : sqr_primeform(GEN x, ulong p) { return redimag(qfisqr(primeform_u(x, p))); }
    4942             : /* return a set of forms hopefully generating Cl(K)^2; set L ~ L(chi_D,1) */
    4943             : static GEN
    4944     1188035 : get_forms(GEN D, GEN *pL)
    4945             : {
    4946     1188035 :   const long MAXFORM = 20;
    4947     1188035 :   GEN L, sqrtD = gsqrt(absi(D),DEFAULTPREC), forms = vectrunc_init(MAXFORM+1);
    4948     1188035 :   long s, nforms = 0;
    4949             :   ulong p;
    4950             :   forprime_t S;
    4951     1188035 :   L = mulrr(divrr(sqrtD,mppi(DEFAULTPREC)), dbltor(1.005));/*overshoot by 0.5%*/
    4952     1188035 :   s = itos_or_0( truncr(shiftr(sqrtr(sqrtD), 1)) );
    4953     1188035 :   if (!s) pari_err_OVERFLOW("classno [discriminant too large]");
    4954     1188035 :   if      (s < 10)   s = 200;
    4955     1100410 :   else if (s < 20)   s = 1000;
    4956          85 :   else if (s < 5000) s = 5000;
    4957     1188035 :   u_forprime_init(&S, 2, s);
    4958   200607790 :   while ( (p = u_forprime_next(&S)) )
    4959             :   {
    4960   198231720 :     long d, k = kroiu(D,p);
    4961             :     pari_sp av2;
    4962   198231720 :     if (!k) continue;
    4963   196940625 :     if (k > 0)
    4964             :     {
    4965    98781300 :       if (++nforms < MAXFORM) vectrunc_append(forms, sqr_primeform(D,p));
    4966    98781300 :       d = p-1;
    4967             :     }
    4968             :     else
    4969    98159325 :       d = p+1;
    4970   196940625 :     av2 = avma; affrr(divru(mulur(p,L),d), L); avma = av2;
    4971             :   }
    4972     1188035 :   *pL = L; return forms;
    4973             : }
    4974             : 
    4975             : /* h ~ #G, return o = order of f, set fao = its factorization */
    4976             : static  GEN
    4977     1188070 : Shanks_order(void *E, GEN f, GEN h, GEN *pfao)
    4978             : {
    4979     1188070 :   long s = minss(itos(sqrti(h)), 10000);
    4980     1188070 :   GEN T = gen_Shanks_init(f, s, E, &qfi_group);
    4981     1188070 :   GEN v = gen_Shanks(T, ginv(f), ULONG_MAX, E, &qfi_group);
    4982     1188070 :   return find_order(E, f, addiu(v,1), pfao);
    4983             : }
    4984             : 
    4985             : /* if g = 1 in  G/<f> ? */
    4986             : static int
    4987         370 : equal1(void *E, GEN T, ulong N, GEN g)
    4988         370 : { return !!gen_Shanks(T, g, N, E, &qfi_group); }
    4989             : 
    4990             : /* Order of 'a' in G/<f>, T = gen_Shanks_init(f,n), order(f) < n*N
    4991             :  * FIXME: should be gen_order, but equal1 has the wrong prototype */
    4992             : static GEN
    4993          80 : relative_order(void *E, GEN a, GEN o, ulong N,  GEN T)
    4994             : {
    4995          80 :   pari_sp av = avma;
    4996             :   long i, l;
    4997             :   GEN m;
    4998             : 
    4999          80 :   m = get_arith_ZZM(o);
    5000          80 :   if (!m) pari_err_TYPE("gen_order [missing order]",a);
    5001          80 :   o = gel(m,1);
    5002          80 :   m = gel(m,2); l = lgcols(m);
    5003         230 :   for (i = l-1; i; i--)
    5004             :   {
    5005         150 :     GEN t, y, p = gcoeff(m,i,1);
    5006         150 :     long j, e = itos(gcoeff(m,i,2));
    5007         150 :     if (l == 2) {
    5008          25 :       t = gen_1;
    5009          25 :       y = a;
    5010             :     } else {
    5011         125 :       t = diviiexact(o, powiu(p,e));
    5012         125 :       y = powgi(a, t);
    5013             :     }
    5014         150 :     if (equal1(E, T,N,y)) o = t;
    5015             :     else {
    5016          90 :       for (j = 1; j < e; j++)
    5017             :       {
    5018          20 :         y = powgi(y, p);
    5019          20 :         if (equal1(E, T,N,y)) break;
    5020             :       }
    5021          85 :       if (j < e) {
    5022          15 :         if (j > 1) p = powiu(p, j);
    5023          15 :         o = mulii(t, p);
    5024             :       }
    5025             :     }
    5026             :   }
    5027          80 :   return gerepilecopy(av, o);
    5028             : }
    5029             : 
    5030             : /* h(x) for x<0 using Baby Step/Giant Step.
    5031             :  * Assumes G is not too far from being cyclic.
    5032             :  *
    5033             :  * Compute G^2 instead of G so as to kill most of the non-cyclicity */
    5034             : GEN
    5035     1189415 : classno(GEN x)
    5036             : {
    5037     1189415 :   pari_sp av = avma;
    5038             :   long r2, k, s, i, l;
    5039             :   GEN forms, hin, Hf, D, g1, d1, d2, q, L, fad1, order_bound;
    5040             :   void *E;
    5041             : 
    5042     1189415 :   if (signe(x) >= 0) return classno2(x);
    5043             : 
    5044     1189410 :   check_quaddisc(x, &s, &k, "classno");
    5045     1189410 :   if (abscmpiu(x,12) <= 0) return gen_1;
    5046             : 
    5047     1188035 :   Hf = conductor_part(x, k, &D, NULL);
    5048     1188035 :   if (abscmpiu(D,12) <= 0) return gerepilecopy(av, Hf);
    5049     1188035 :   forms =  get_forms(D, &L);
    5050     1188035 :   r2 = two_rank(D);
    5051     1188035 :   hin = roundr(shiftr(L, -r2)); /* rough approximation for #G, G = Cl(K)^2 */
    5052             : 
    5053     1188035 :   l = lg(forms);
    5054     1188035 :   order_bound = const_vec(l-1, NULL);
    5055     1188035 :   E = expi(D) > 60? (void*)sqrtnint(shifti(absi(D),-2),4): NULL;
    5056     1188035 :   g1 = gel(forms,1);
    5057     1188035 :   gel(order_bound,1) = d1 = Shanks_order(E, g1, hin, &fad1);
    5058     1188035 :   q = diviiround(hin, d1); /* approximate order of G/<g1> */
    5059     1188035 :   d2 = NULL; /* not computed yet */
    5060     1188035 :   if (is_pm1(q)) goto END;
    5061      295220 :   for (i=2; i < l; i++)
    5062             :   {
    5063      291260 :     GEN o, fao, a, F, fd, f = gel(forms,i);
    5064      291260 :     fd = powgi(f, d1); if (is_pm1(gel(fd,1))) continue;
    5065      209375 :     F = powgi(fd, q);
    5066      209375 :     a = gel(F,1);
    5067      209375 :     o = is_pm1(a)? find_order(E, fd, q, &fao): Shanks_order(E, fd, q, &fao);
    5068             :     /* f^(d1 q) = 1 */
    5069      209375 :     fao = merge_factor(fad1,fao, (void*)&cmpii, &cmp_nodata);
    5070      209375 :     o = find_order(E, f, fao, &fao);
    5071      209375 :     gel(order_bound,i) = o;
    5072             :     /* o = order of f, fao = factor(o) */
    5073      209375 :     update_g1(&g1,&d1,&fad1, f,o,fao);
    5074      209375 :     q = diviiround(hin, d1);
    5075      209375 :     if (is_pm1(q)) goto END;
    5076             :   }
    5077             :   /* very probably d1 = expo(Cl^2(K)), q ~ #Cl^2(K) / d1 */
    5078        3960 :   if (expi(q) > 3)
    5079             :   { /* q large: compute d2, 2nd elt divisor */
    5080          50 :     ulong N, n = 2*itou(sqrti(d1));
    5081          50 :     GEN D = d1, T = gen_Shanks_init(g1, n, E, &qfi_group);
    5082          50 :     d2 = gen_1;
    5083          50 :     N = itou( gceil(gdivgs(d1,n)) ); /* order(g1) <= n*N */
    5084         205 :     for (i = 1; i < l; i++)
    5085             :     {
    5086         200 :       GEN d, f = gel(forms,i), B = gel(order_bound,i);
    5087         200 :       if (!B) B = find_order(E, f, fad1, /*junk*/&d);
    5088         200 :       f = powgi(f,d2);
    5089         200 :       if (equal1(E, T,N,f)) continue;
    5090          80 :       B = gdiv(B,d2); if (typ(B) == t_FRAC) B = gel(B,1);
    5091             :       /* f^B = 1 */
    5092          80 :       d = relative_order(E, f, B, N,T);
    5093          80 :       d2= mulii(d,d2);
    5094          80 :       D = mulii(d1,d2);
    5095          80 :       q = diviiround(hin,D);
    5096          80 :       if (is_pm1(q)) { d1 = D; goto END; }
    5097             :     }
    5098             :     /* very probably, d2 is the 2nd elementary divisor */
    5099           5 :     d1 = D; /* product of first two elt divisors */
    5100             :   }
    5101             :   /* impose q | d2^oo (d1^oo if d2 not computed), and compatible with known
    5102             :    * 2-rank */
    5103        3915 :   if (!ok_q(q,d1,d2,r2))
    5104             :   {
    5105           0 :     GEN q0 = q;
    5106             :     long d;
    5107           0 :     if (cmpii(mulii(q,d1), hin) < 0)
    5108             :     { /* try q = q0+1,-1,+2,-2 */
    5109           0 :       d = 1;
    5110           0 :       do { q = addis(q0,d); d = d>0? -d: 1-d; } while(!ok_q(q,d1,d2,r2));
    5111             :     }
    5112             :     else
    5113             :     { /* q0-1,+1,-2,+2  */
    5114           0 :       d = -1;
    5115           0 :       do { q = addis(q0,d); d = d<0? -d: -1-d; } while(!ok_q(q,d1,d2,r2));
    5116             :     }
    5117             :   }
    5118        3915 :   d1 = mulii(d1,q);
    5119             : 
    5120             : END:
    5121     1188035 :   return gerepileuptoint(av, shifti(mulii(d1,Hf), r2));
    5122             : }
    5123             : 
    5124             : /* use Euler products */
    5125             : GEN
    5126          15 : classno2(GEN x)
    5127             : {
    5128          15 :   pari_sp av = avma;
    5129          15 :   const long prec = DEFAULTPREC;
    5130             :   long n, i, r, s;
    5131             :   GEN p1, p2, S, p4, p5, p7, Hf, Pi, reg, logd, d, dr, D, half;
    5132             : 
    5133          15 :   check_quaddisc(x, &s, &r, "classno2");
    5134          15 :   if (s < 0 && abscmpiu(x,12) <= 0) return gen_1;
    5135             : 
    5136          15 :   Hf = conductor_part(x, r, &D, &reg);
    5137          15 :   if (s < 0 && abscmpiu(D,12) <= 0) return gerepilecopy(av, Hf); /* |D| < 12*/
    5138             : 
    5139          15 :   Pi = mppi(prec);
    5140          15 :   d = absi(D); dr = itor(d, prec);
    5141          15 :   logd = logr_abs(dr);
    5142          15 :   p1 = sqrtr(divrr(mulir(d,logd), gmul2n(Pi,1)));
    5143          15 :   if (s > 0)
    5144             :   {
    5145          10 :     GEN invlogd = invr(logd);
    5146          10 :     p2 = subsr(1, shiftr(mulrr(logr_abs(reg),invlogd),1));
    5147          10 :     if (cmprr(sqrr(p2), shiftr(invlogd,1)) >= 0) p1 = mulrr(p2,p1);
    5148             :   }
    5149          15 :   n = itos_or_0( mptrunc(p1) );
    5150          15 :   if (!n) pari_err_OVERFLOW("classno [discriminant too large]");
    5151             : 
    5152          15 :   p4 = divri(Pi,d);
    5153          15 :   p7 = invr(sqrtr_abs(Pi));
    5154          15 :   half = real2n(-1, prec);
    5155          15 :   if (s > 0)
    5156             :   { /* i = 1, shortcut */
    5157          10 :     p1 = sqrtr_abs(dr);
    5158          10 :     p5 = subsr(1, mulrr(p7,incgamc(half,p4,prec)));
    5159          10 :     S = addrr(mulrr(p1,p5), eint1(p4,prec));
    5160         390 :     for (i=2; i<=n; i++)
    5161             :     {
    5162         380 :       long k = kroiu(D,i); if (!k) continue;
    5163         310 :       p2 = mulir(sqru(i), p4);
    5164         310 :       p5 = subsr(1, mulrr(p7,incgamc(half,p2,prec)));
    5165         310 :       p5 = addrr(divru(mulrr(p1,p5),i), eint1(p2,prec));
    5166         310 :       S = (k>0)? addrr(S,p5): subrr(S,p5);
    5167             :     }
    5168          10 :     S = shiftr(divrr(S,reg),-1);
    5169             :   }
    5170             :   else
    5171             :   { /* i = 1, shortcut */
    5172           5 :     p1 = gdiv(sqrtr_abs(dr), Pi);
    5173           5 :     p5 = subsr(1, mulrr(p7,incgamc(half,p4,prec)));
    5174           5 :     S = addrr(p5, divrr(p1, mpexp(p4)));
    5175         680 :     for (i=2; i<=n; i++)
    5176             :     {
    5177         675 :       long k = kroiu(D,i); if (!k) continue;
    5178         675 :       p2 = mulir(sqru(i), p4);
    5179         675 :       p5 = subsr(1, mulrr(p7,incgamc(half,p2,prec)));
    5180         675 :       p5 = addrr(p5, divrr(p1, mulur(i, mpexp(p2))));
    5181         675 :       S = (k>0)? addrr(S,p5): subrr(S,p5);
    5182             :     }
    5183             :   }
    5184          15 :   return gerepileuptoint(av, mulii(Hf, roundr(S)));
    5185             : }
    5186             : 
    5187             : static GEN
    5188        3635 : hclassno2(GEN x)
    5189             : {
    5190             :   long i, l, s, xmod4;
    5191             :   GEN Q, H, D, P, E;
    5192             : 
    5193        3635 :   x = negi(x);
    5194        3635 :   check_quaddisc(x, &s, &xmod4, "hclassno");
    5195        3635 :   corediscfact(x, xmod4, &D, &P, &E);
    5196             : 
    5197        3635 :   Q = quadclassunit0(D, 0, NULL, 0);
    5198        3635 :   H = gel(Q,1); l = lg(P);
    5199             : 
    5200             :   /* H \prod_{p^e||f}  (1 + (p^e-1)/(p-1))[ p - (D/p) ] */
    5201       16570 :   for (i=1; i<l; i++)
    5202             :   {
    5203       12935 :     long e = E[i];
    5204       12935 :     if (e)
    5205             :     {
    5206        2765 :       GEN p = gel(P,i), t = subis(p, kronecker(D,p));
    5207        2765 :       if (e > 1) t = mulii(t, diviiexact(subiu(powiu(p,e), 1), subiu(p,1)));
    5208        2765 :       H = mulii(H, addui(1, t));
    5209             :     }
    5210             :   }
    5211        3635 :   switch( itou_or_0(D) )
    5212             :   {
    5213           0 :     case 3: H = gdivgs(H, 3); break;
    5214           0 :     case 4: H = gdivgs(H, 2); break;
    5215             :   }
    5216        3635 :   return H;
    5217             : }
    5218             : 
    5219             : GEN
    5220       53965 : hclassno(GEN x)
    5221             : {
    5222             :   ulong a, b, b2, d, h;
    5223             :   long s;
    5224             :   int f;
    5225             : 
    5226       53965 :   if (typ(x) != t_INT) pari_err_TYPE("hclassno",x);
    5227       53965 :   s = signe(x);
    5228       53965 :   if (s < 0) return gen_0;
    5229       53965 :   if (!s) return gdivgs(gen_1, -12);
    5230             : 
    5231       53965 :   a = mod4(x); if (a == 1 || a == 2) return gen_0;
    5232             : 
    5233       53965 :   d = itou_or_0(x);
    5234       53965 :   if (!d || d > 500000) return hclassno2(x);
    5235             : 
    5236       50330 :   h = 0; b = d&1; b2 = (1+d)>>2; f=0;
    5237       50330 :   if (!b)
    5238             :   {
    5239     1469790 :     for (a=1; a*a<b2; a++)
    5240     1431280 :       if (b2%a == 0) h++;
    5241       38510 :     f = (a*a==b2); b=2; b2=(4+d)>>2;
    5242             :   }
    5243     1479925 :   while (b2*3 < d)
    5244             :   {
    5245     1379265 :     if (b2%b == 0) h++;
    5246    92332295 :     for (a=b+1; a*a < b2; a++)
    5247    90953030 :       if (b2%a == 0) h += 2;
    5248     1379265 :     if (a*a == b2) h++;
    5249     1379265 :     b += 2; b2 = (b*b+d)>>2;
    5250             :   }
    5251       50330 :   if (b2*3 == d) retmkfrac(utoipos(3*h+1), utoipos(3));
    5252       50255 :   if (f) retmkfrac(utoipos(2*h+1), gen_2);
    5253       46990 :   return utoipos(h);
    5254             : }
    5255             : 
    5256             : /******************************************************************/
    5257             : /*                                                                */
    5258             : /*                 RAMANUJAN's TAU FUNCTION                       */
    5259             : /*                                                                */
    5260             : /******************************************************************/
    5261             : 
    5262             : /* h(D) / (w(D)/2), D fundamental */
    5263             : static GEN
    5264       26250 : myh(GEN D)
    5265             : {
    5266             :   GEN Q;
    5267       26250 :   if (equalis(D, -3)) return mkfrac(gen_1, utoipos(3));
    5268       23350 :   if (equalis(D, -4)) return ghalf;
    5269       20115 :   Q = quadclassunit0(D, 0, NULL, 0); return gel(Q,1);
    5270             : }
    5271             : 
    5272             : /* 1 + q + ... + q^v */
    5273             : static GEN
    5274        4345 : geomsum(GEN q, long v)
    5275             : {
    5276             :   GEN u;
    5277        4345 :   if (v == 0) return gen_1;
    5278         195 :   u = addui(1, q);
    5279         195 :   for (; v > 1; v--) u = addui(1, mulii(q, u));
    5280         195 :   return u;
    5281             : }
    5282             : 
    5283             : /* 4|N, not fundamental at 2; Hurwitz class number in level 2,
    5284             :  * equal to H(N)+2H(N/4), H=qfbhclassno */
    5285             : static GEN
    5286       26250 : Hspec(GEN N)
    5287             : {
    5288             :   GEN D0, P, E, H, s;
    5289             :   long j, lP;
    5290             : 
    5291       26250 :   corediscfact(negi(N), 0, &D0, &P, &E);
    5292       26250 :   H = myh(D0);
    5293       26250 :   lP = lg(P); /* E[1] > 0 since N not fundamental at */
    5294       26250 :   s = addui(3, muliu(subiu(int2n(E[1]+1), 3), 2 - kroiu(D0,2)));
    5295       62095 :   for (j = 2; j < lP; j++)
    5296             :   {
    5297       35845 :     long e = E[j];
    5298       35845 :     if (e)
    5299             :     {
    5300        4345 :       ulong p = itou(gel(P,j));
    5301        4345 :       GEN q = geomsum(utoipos(p), e-1);
    5302        4345 :       s = mulii(s, addui(1, muliu(q, p - kroiu(D0,p))));
    5303             :     }
    5304             :   }
    5305       26250 :   return gmul(H,s);
    5306             : }
    5307             : 
    5308             : /* Ramanujan tau function for p prime */
    5309             : static GEN
    5310       10645 : tauprime(GEN p)
    5311             : {
    5312       10645 :   pari_sp av = avma, av2;
    5313             :   GEN s, p_27, p_9, T;
    5314             :   ulong lim, t, tin;
    5315             : 
    5316       10645 :   if (absequaliu(p, 2)) return utoineg(24);
    5317             :   /* p > 2 */
    5318        8140 :   p_27 = mulsi(7, sqri(p));
    5319        8140 :   p_9 = mulsi(9, p);
    5320        8140 :   av2 = avma;
    5321        8140 :   lim = itou(sqrtint(p));
    5322        8140 :   tin = mod4(p) == 3? 1: 0;
    5323        8140 :   s = gen_0;
    5324       62270 :   for (t = 1; t <= lim; ++t)
    5325             :   {
    5326       54130 :     GEN p2, t2 = sqru(t), t3 = shifti(subii(p, t2), 2); /* 4(p-t^2) */
    5327             :     /* t mod 2 != tin <=> t3 not fundamental at 2 */
    5328       54130 :     p2 = ((t&1) == tin) ? hclassno(t3) : Hspec(t3);
    5329       54130 :     s = gadd(s, gmul(mulii(powiu(t2,3), addii(p_27, mulii(t2, subii(mulsi(4, t2), p_9)))), p2));
    5330       54130 :     if (!(t & 255)) s = gerepileupto(av2, s);
    5331             :   }
    5332             :   /* 28p^3 - 28p^2 - 90p - 35 */
    5333        8140 :   T = subiu(mulii(p, subiu(mulii(p, subiu(mului(28, p), 28)), 90)), 35);
    5334        8140 :   return gerepileupto(av, subii(mulii(powiu(p,3),T), addui(1, gmulsg(128, s))));
    5335             : }
    5336             : 
    5337             : /* Ramanujan tau function, return 0 for <= 0 */
    5338             : GEN
    5339        5025 : ramanujantau(GEN n)
    5340             : {
    5341        5025 :   pari_sp ltop = avma;
    5342             :   GEN T, F, P, E;
    5343             :   long j, lP;
    5344             : 
    5345        5025 :   if (!(F = check_arith_all(n,"ramanujantau")))
    5346             :   {
    5347        5010 :     if (signe(n) <= 0) return gen_0;
    5348        5005 :     F = Z_factor(n);
    5349             :   }
    5350             :   else
    5351             :   {
    5352          15 :     P = gel(F,1);
    5353          15 :     if (lg(P) == 1 || signe(gel(P,1)) <= 0) return gen_0;
    5354             :   }
    5355             : 
    5356        5010 :   P = gel(F,1);
    5357        5010 :   E = gel(F,2); lP = lg(P);
    5358        5010 :   T = gen_1;
    5359       15655 :   for (j = 1; j < lP; j++)
    5360             :   {
    5361       10645 :     GEN p = gel(P,j), tp = tauprime(p), t1 = tp, t0 = gen_1;
    5362       10645 :     long k, e = itou(gel(E,j));
    5363       14400 :     for (k = 1; k < e; k++)
    5364             :     {
    5365        3755 :       GEN t2 = subii(mulii(tp, t1), mulii(powiu(p, 11), t0));
    5366        3755 :       t0 = t1; t1 = t2;
    5367             :     }
    5368       10645 :     T = mulii(T, t1);
    5369             :   }
    5370        5010 :   return gerepileuptoint(ltop, T);
    5371             : }

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