Code coverage tests

This page documents the degree to which the PARI/GP source code is tested by our public test suite, distributed with the source distribution in directory src/test/. This is measured by the gcov utility; we then process gcov output using the lcov frond-end.

We test a few variants depending on Configure flags on the pari.math.u-bordeaux.fr machine (x86_64 architecture), and agregate them in the final report:

The target is to exceed 90% coverage for all mathematical modules (given that branches depending on DEBUGLEVEL or DEBUGMEM are not covered). This script is run to produce the results below.

LCOV - code coverage report
Current view: top level - basemath - arith1.c (source / functions) Hit Total Coverage
Test: PARI/GP v2.12.0 lcov report (development 23022-5b494f78e) Lines: 2979 3217 92.6 %
Date: 2018-09-24 05:37:44 Functions: 274 292 93.8 %
Legend: Lines: hit not hit

          Line data    Source code
       1             : /* Copyright (C) 2000  The PARI group.
       2             : 
       3             : This file is part of the PARI/GP package.
       4             : 
       5             : PARI/GP is free software; you can redistribute it and/or modify it under the
       6             : terms of the GNU General Public License as published by the Free Software
       7             : Foundation. It is distributed in the hope that it will be useful, but WITHOUT
       8             : ANY WARRANTY WHATSOEVER.
       9             : 
      10             : Check the License for details. You should have received a copy of it, along
      11             : with the package; see the file 'COPYING'. If not, write to the Free Software
      12             : Foundation, Inc., 51 Franklin Street, Fifth Floor, Boston, MA 02110-1301 USA. */
      13             : 
      14             : /*********************************************************************/
      15             : /**                                                                 **/
      16             : /**                     ARITHMETIC FUNCTIONS                        **/
      17             : /**                         (first part)                            **/
      18             : /**                                                                 **/
      19             : /*********************************************************************/
      20             : #include "pari.h"
      21             : #include "paripriv.h"
      22             : 
      23             : /******************************************************************/
      24             : /*                                                                */
      25             : /*                 GENERATOR of (Z/mZ)*                           */
      26             : /*                                                                */
      27             : /******************************************************************/
      28             : static GEN
      29          43 : remove2(GEN q) { long v = vali(q); return v? shifti(q, -v): q; }
      30             : static ulong
      31       42626 : u_remove2(ulong q) { return q >> vals(q); }
      32             : GEN
      33          43 : odd_prime_divisors(GEN q) { return gel(Z_factor(remove2(q)), 1); }
      34             : static GEN
      35       42627 : u_odd_prime_divisors(ulong q) { return gel(factoru(u_remove2(q)), 1); }
      36             : /* p odd prime, q=(p-1)/2; L0 list of (some) divisors of q = (p-1)/2 or NULL
      37             :  * (all prime divisors of q); return the q/l, l in L0 */
      38             : static GEN
      39         244 : is_gener_expo(GEN p, GEN L0)
      40             : {
      41         244 :   GEN L, q = shifti(p,-1);
      42             :   long i, l;
      43         244 :   if (L0) {
      44         224 :     l = lg(L0);
      45         224 :     L = cgetg(l, t_VEC);
      46             :   } else {
      47          20 :     L0 = L = odd_prime_divisors(q);
      48          20 :     l = lg(L);
      49             :   }
      50         244 :   for (i=1; i<l; i++) gel(L,i) = diviiexact(q, gel(L0,i));
      51         244 :   return L;
      52             : }
      53             : static GEN
      54       41972 : u_is_gener_expo(ulong p, GEN L0)
      55             : {
      56       41972 :   const ulong q = p >> 1;
      57             :   long i, l;
      58             :   GEN L;
      59       41972 :   if (L0) {
      60        3496 :     l = lg(L0);
      61        3496 :     L = cgetg(l, t_VECSMALL);
      62             :   } else {
      63       38476 :     L0 = L = u_odd_prime_divisors(q);
      64       38471 :     l = lg(L);
      65             :   }
      66       41968 :   for (i=1; i<l; i++) L[i] = q / uel(L0,i);
      67       41968 :   return L;
      68             : }
      69             : 
      70             : int
      71      105008 : is_gener_Fl(ulong x, ulong p, ulong p_1, GEN L)
      72             : {
      73             :   long i;
      74      105008 :   if (krouu(x, p) >= 0) return 0;
      75      119512 :   for (i=lg(L)-1; i; i--)
      76             :   {
      77       74910 :     ulong t = Fl_powu(x, uel(L,i), p);
      78       74918 :     if (t == p_1 || t == 1) return 0;
      79             :   }
      80       44602 :   return 1;
      81             : }
      82             : /* assume p prime */
      83             : ulong
      84      136567 : pgener_Fl_local(ulong p, GEN L0)
      85             : {
      86      136567 :   const pari_sp av = avma;
      87      136567 :   const ulong p_1 = p-1;
      88             :   long x;
      89             :   GEN L;
      90      136567 :   if (p <= 19) switch(p)
      91             :   { /* quick trivial cases */
      92          21 :     case 2:  return 1;
      93             :     case 7:
      94       17126 :     case 17: return 3;
      95       77477 :     default: return 2;
      96             :   }
      97       41943 :   L = u_is_gener_expo(p,L0);
      98      100938 :   for (x = 2;; x++)
      99      159940 :     if (is_gener_Fl(x,p,p_1,L)) return gc_ulong(av, x);
     100             : }
     101             : ulong
     102      112493 : pgener_Fl(ulong p) { return pgener_Fl_local(p, NULL); }
     103             : 
     104             : /* L[i] = set of (p-1)/2l, l ODD prime divisor of p-1 (l=2 can be included,
     105             :  * but wasteful) */
     106             : int
     107         520 : is_gener_Fp(GEN x, GEN p, GEN p_1, GEN L)
     108             : {
     109         520 :   long i, t = lgefint(x)==3? kroui(x[2], p): kronecker(x, p);
     110         520 :   if (t >= 0) return 0;
     111         468 :   for (i = lg(L)-1; i; i--)
     112             :   {
     113         174 :     GEN t = Fp_pow(x, gel(L,i), p);
     114         174 :     if (equalii(t, p_1) || equali1(t)) return 0;
     115             :   }
     116         294 :   return 1;
     117             : }
     118             : 
     119             : /* assume p prime, return a generator of all L[i]-Sylows in F_p^*. */
     120             : GEN
     121       24423 : pgener_Fp_local(GEN p, GEN L0)
     122             : {
     123       24423 :   pari_sp av0 = avma;
     124             :   GEN x, p_1, L;
     125       24423 :   if (lgefint(p) == 3)
     126             :   {
     127             :     ulong z;
     128       24184 :     if (p[2] == 2) return gen_1;
     129       18185 :     if (L0) L0 = ZV_to_nv(L0);
     130       18185 :     z = pgener_Fl_local(uel(p,2), L0);
     131       18185 :     set_avma(av0); return utoipos(z);
     132             :   }
     133         239 :   p_1 = subiu(p,1); L = is_gener_expo(p, L0);
     134         239 :   x = utoipos(2);
     135         452 :   for (;; x[2]++) { if (is_gener_Fp(x, p, p_1, L)) break; }
     136         239 :   set_avma(av0); return utoipos(uel(x,2));
     137             : }
     138             : 
     139             : GEN
     140       23590 : pgener_Fp(GEN p) { return pgener_Fp_local(p, NULL); }
     141             : 
     142             : ulong
     143       69204 : pgener_Zl(ulong p)
     144             : {
     145       69204 :   if (p == 2) pari_err_DOMAIN("pgener_Zl","p","=",gen_2,gen_2);
     146             :   /* only p < 2^32 such that znprimroot(p) != znprimroot(p^2) */
     147       69204 :   if (p == 40487) return 10;
     148             : #ifndef LONG_IS_64BIT
     149        9882 :   return pgener_Fl(p);
     150             : #else
     151       59322 :   if (p < (1UL<<32)) return pgener_Fl(p);
     152             :   else
     153             :   {
     154          30 :     const pari_sp av = avma;
     155          30 :     const ulong p_1 = p-1;
     156             :     long x ;
     157          30 :     GEN p2 = sqru(p), L = u_is_gener_expo(p, NULL);
     158         102 :     for (x=2;;x++)
     159         174 :       if (is_gener_Fl(x,p,p_1,L) && !is_pm1(Fp_powu(utoipos(x),p_1,p2)))
     160          30 :         return gc_ulong(av, x);
     161             :   }
     162             : #endif
     163             : }
     164             : 
     165             : /* p prime. Return a primitive root modulo p^e, e > 1 */
     166             : GEN
     167       69209 : pgener_Zp(GEN p)
     168             : {
     169       69209 :   if (lgefint(p) == 3) return utoipos(pgener_Zl(p[2]));
     170             :   else
     171             :   {
     172           5 :     const pari_sp av = avma;
     173           5 :     GEN p_1 = subiu(p,1), p2 = sqri(p), L = is_gener_expo(p,NULL);
     174           5 :     GEN x = utoipos(2);
     175          12 :     for (;; x[2]++)
     176          29 :       if (is_gener_Fp(x,p,p_1,L) && !equali1(Fp_pow(x,p_1,p2))) break;
     177           5 :     set_avma(av); return utoipos(uel(x,2));
     178             :   }
     179             : }
     180             : 
     181             : static GEN
     182         231 : gener_Zp(GEN q, GEN F)
     183             : {
     184         231 :   GEN p = NULL;
     185         231 :   long e = 0;
     186         231 :   if (F)
     187             :   {
     188          14 :     GEN P = gel(F,1), E = gel(F,2);
     189          14 :     long i, l = lg(P);
     190          42 :     for (i = 1; i < l; i++)
     191             :     {
     192          28 :       p = gel(P,i);
     193          28 :       if (absequaliu(p, 2)) continue;
     194          14 :       if (i < l-1) pari_err_DOMAIN("znprimroot", "argument","=",F,F);
     195          14 :       e = itos(gel(E,i));
     196             :     }
     197          14 :     if (!p) pari_err_DOMAIN("znprimroot", "argument","=",F,F);
     198             :   }
     199             :   else
     200         217 :     e = Z_isanypower(q, &p);
     201         231 :   return e > 1? pgener_Zp(p): pgener_Fp(q);
     202             : }
     203             : 
     204             : GEN
     205         301 : znprimroot(GEN N)
     206             : {
     207         301 :   pari_sp av = avma;
     208             :   GEN x, n, F;
     209             : 
     210         301 :   if ((F = check_arith_non0(N,"znprimroot")))
     211             :   {
     212          14 :     F = clean_Z_factor(F);
     213          14 :     N = typ(N) == t_VEC? gel(N,1): factorback(F);
     214             :   }
     215         294 :   N = absi_shallow(N);
     216         294 :   if (abscmpiu(N, 4) <= 0) { set_avma(av); return mkintmodu(N[2]-1,N[2]); }
     217         245 :   switch(mod4(N))
     218             :   {
     219             :     case 0: /* N = 0 mod 4 */
     220          14 :       pari_err_DOMAIN("znprimroot", "argument","=",N,N);
     221           0 :       x = NULL; break;
     222             :     case 2: /* N = 2 mod 4 */
     223          21 :       n = shifti(N,-1); /* becomes odd */
     224          21 :       x = gener_Zp(n,F); if (!mod2(x)) x = addii(x,n);
     225          21 :       break;
     226             :     default: /* N odd */
     227         210 :       x = gener_Zp(N,F);
     228         210 :       break;
     229             :   }
     230         231 :   return gerepilecopy(av, mkintmod(x, N));
     231             : }
     232             : 
     233             : /* n | (p-1), returns a primitive n-th root of 1 in F_p^* */
     234             : GEN
     235           0 : rootsof1_Fp(GEN n, GEN p)
     236             : {
     237           0 :   pari_sp av = avma;
     238           0 :   GEN L = odd_prime_divisors(n); /* 2 implicit in pgener_Fp_local */
     239           0 :   GEN z = pgener_Fp_local(p, L);
     240           0 :   z = Fp_pow(z, diviiexact(subiu(p,1), n), p); /* prim. n-th root of 1 */
     241           0 :   return gerepileuptoint(av, z);
     242             : }
     243             : 
     244             : GEN
     245         217 : rootsof1u_Fp(ulong n, GEN p)
     246             : {
     247         217 :   pari_sp av = avma;
     248         217 :   GEN z, L = u_odd_prime_divisors(n); /* 2 implicit in pgener_Fp_local */
     249         217 :   z = pgener_Fp_local(p, Flv_to_ZV(L));
     250         217 :   z = Fp_pow(z, diviuexact(subiu(p,1), n), p); /* prim. n-th root of 1 */
     251         217 :   return gerepileuptoint(av, z);
     252             : }
     253             : 
     254             : ulong
     255        3934 : rootsof1_Fl(ulong n, ulong p)
     256             : {
     257        3934 :   pari_sp av = avma;
     258        3934 :   GEN L = u_odd_prime_divisors(n); /* 2 implicit in pgener_Fl_local */
     259        3934 :   ulong z = pgener_Fl_local(p, L);
     260        3934 :   z = Fl_powu(z, (p-1) / n, p); /* prim. n-th root of 1 */
     261        3934 :   return gc_ulong(av,z);
     262             : }
     263             : 
     264             : /*********************************************************************/
     265             : /**                                                                 **/
     266             : /**                     INVERSE TOTIENT FUNCTION                    **/
     267             : /**                                                                 **/
     268             : /*********************************************************************/
     269             : /* N t_INT, L a ZV containing all prime divisors of N, and possibly other
     270             :  * primes. Return factor(N) */
     271             : GEN
     272      350651 : Z_factor_listP(GEN N, GEN L)
     273             : {
     274      350651 :   long i, k, l = lg(L);
     275      350651 :   GEN P = cgetg(l, t_COL), E = cgetg(l, t_COL);
     276     1346688 :   for (i = k = 1; i < l; i++)
     277             :   {
     278      996037 :     GEN p = gel(L,i);
     279      996037 :     long v = Z_pvalrem(N, p, &N);
     280      996037 :     if (v)
     281             :     {
     282      792176 :       gel(P,k) = p;
     283      792176 :       gel(E,k) = utoipos(v);
     284      792176 :       k++;
     285             :     }
     286             :   }
     287      350651 :   setlg(P, k);
     288      350651 :   setlg(E, k); return mkmat2(P,E);
     289             : }
     290             : 
     291             : /* look for x such that phi(x) = n, p | x => p > m (if m = NULL: no condition).
     292             :  * L is a list of primes containing all prime divisors of n. */
     293             : static long
     294      621565 : istotient_i(GEN n, GEN m, GEN L, GEN *px)
     295             : {
     296      621565 :   pari_sp av = avma, av2;
     297             :   GEN k, D;
     298             :   long i, v;
     299      621565 :   if (m && mod2(n))
     300             :   {
     301      270914 :     if (!equali1(n)) return 0;
     302       69986 :     if (px) *px = gen_1;
     303       69986 :     return 1;
     304             :   }
     305      350651 :   D = divisors(Z_factor_listP(shifti(n, -1), L));
     306             :   /* loop through primes p > m, d = p-1 | n */
     307      350651 :   av2 = avma;
     308      350651 :   if (!m)
     309             :   { /* special case p = 2, d = 1 */
     310       69986 :     k = n;
     311       69986 :     for (v = 1;; v++) {
     312       69986 :       if (istotient_i(k, gen_2, L, px)) {
     313       69986 :         if (px) *px = shifti(*px, v);
     314       69986 :         return 1;
     315             :       }
     316           0 :       if (mod2(k)) break;
     317           0 :       k = shifti(k,-1);
     318             :     }
     319           0 :     set_avma(av2);
     320             :   }
     321     1099462 :   for (i = 1; i < lg(D); ++i)
     322             :   {
     323     1001588 :     GEN p, d = shifti(gel(D, i), 1); /* even divisors of n */
     324     1001588 :     if (m && cmpii(d, m) < 0) continue;
     325      677782 :     p = addiu(d, 1);
     326      677782 :     if (!isprime(p)) continue;
     327      442064 :     k = diviiexact(n, d);
     328      481593 :     for (v = 1;; v++) {
     329             :       GEN r;
     330      481593 :       if (istotient_i(k, p, L, px)) {
     331      182791 :         if (px) *px = mulii(*px, powiu(p, v));
     332      182791 :         return 1;
     333             :       }
     334      298802 :       k = dvmdii(k, p, &r);
     335      298802 :       if (r != gen_0) break;
     336             :     }
     337      259273 :     set_avma(av2);
     338             :   }
     339       97874 :   return gc_long(av,0);
     340             : }
     341             : 
     342             : /* find x such that phi(x) = n */
     343             : long
     344       70000 : istotient(GEN n, GEN *px)
     345             : {
     346       70000 :   pari_sp av = avma;
     347       70000 :   if (typ(n) != t_INT) pari_err_TYPE("istotient", n);
     348       70000 :   if (signe(n) < 1) return 0;
     349       70000 :   if (mod2(n))
     350             :   {
     351          14 :     if (!equali1(n)) return 0;
     352          14 :     if (px) *px = gen_1;
     353          14 :     return 1;
     354             :   }
     355       69986 :   if (istotient_i(n, NULL, gel(Z_factor(n), 1), px))
     356             :   {
     357       69986 :     if (!px) set_avma(av);
     358             :     else
     359       69986 :       *px = gerepileuptoint(av, *px);
     360       69986 :     return 1;
     361             :   }
     362           0 :   return gc_long(av,0);
     363             : }
     364             : 
     365             : /*********************************************************************/
     366             : /**                                                                 **/
     367             : /**                     INTEGRAL LOGARITHM                          **/
     368             : /**                                                                 **/
     369             : /*********************************************************************/
     370             : 
     371             : /* y > 1 and B > 0 integers. Return e such that y^e <= B < y^(e+1), i.e
     372             :  * e = floor(log_y B). Set *ptq = y^e if non-NULL */
     373             : long
     374      253511 : ulogintall(ulong B, ulong y, ulong *ptq)
     375             : {
     376             :   ulong r, r2;
     377             :   long e;
     378             : 
     379      253511 :   if (y == 2)
     380             :   {
     381        4685 :     long eB = expu(B); /* 2^eB <= B < 2^(eB + 1) */
     382        4685 :     if (ptq) *ptq = 1UL << eB;
     383        4685 :     return eB;
     384             :   }
     385      248826 :   r = y, r2 = 1UL;
     386      899992 :   for (e=1;; e++)
     387             :   { /* here, r = y^e, r2 = y^(e-1) */
     388     1551158 :     if (r >= B)
     389             :     {
     390      248715 :       if (r != B) { e--; r = r2; }
     391      248715 :       if (ptq) *ptq = r;
     392      248715 :       return e;
     393             :     }
     394      651277 :     r2 = r;
     395      651277 :     r = umuluu_or_0(y, r);
     396      651277 :     if (!r)
     397             :     {
     398         111 :       if (ptq) *ptq = r2;
     399         111 :       return e;
     400             :     }
     401             :   }
     402             : }
     403             : 
     404             : /* y > 1 and B > 0 integers. Return e such that y^e <= B < y^(e+1), i.e
     405             :  * e = floor(log_y B). Set *ptq = y^e if non-NULL */
     406             : long
     407      261205 : logintall(GEN B, GEN y, GEN *ptq)
     408             : {
     409             :   pari_sp av;
     410      261205 :   long ey, e, emax, i, eB = expi(B); /* 2^eB <= B < 2^(eB + 1) */
     411             :   GEN q, pow2;
     412             : 
     413      261205 :   if (lgefint(B) == 3)
     414             :   {
     415             :     ulong q;
     416      253511 :     if (lgefint(y) > 3)
     417             :     {
     418           0 :       if (ptq) *ptq = gen_1;
     419           0 :       return 0;
     420             :     }
     421      253511 :     if (!ptq) return ulogintall(B[2], y[2], NULL);
     422       46936 :     e = ulogintall(B[2], y[2], &q);
     423       46936 :     *ptq = utoi(q); return e;
     424             :   }
     425        7694 :   if (equaliu(y,2))
     426             :   {
     427         159 :     if (ptq) *ptq = int2n(eB);
     428         159 :     return eB;
     429             :   }
     430        7535 :   av = avma;
     431        7535 :   ey = expi(y);
     432             :   /* eB/(ey+1) - 1 < e <= eB/ey */
     433        7535 :   emax = eB/ey;
     434        7535 :   if (emax <= 13) /* e small, be naive */
     435             :   {
     436        1499 :     GEN r = y, r2 = gen_1;
     437       15915 :     for (e=1;; e++)
     438       14416 :     { /* here, r = y^e, r2 = y^(e-1) */
     439       15915 :       long fl = cmpii(r, B);
     440       15915 :       if (fl >= 0)
     441             :       {
     442        1499 :         if (fl) { e--; cgiv(r); r = r2; }
     443        1499 :         if (ptq) *ptq = gerepileuptoint(av, r); else set_avma(av);
     444        1499 :         return e;
     445             :       }
     446       14416 :       r2 = r; r = mulii(r,y);
     447             :     }
     448             :   }
     449             :   /* e >= 13 ey / (ey+1) >= 6.5 */
     450             : 
     451             :   /* binary splitting: compute bits of e one by one */
     452             :   /* compute pow2[i] = y^(2^i) [i < crude upper bound for log_2 log_y(B)] */
     453        6036 :   pow2 = new_chunk((long)log2(eB)+2);
     454        6036 :   gel(pow2,0) = y;
     455        6036 :   for (i=0, q=y;; )
     456       28929 :   {
     457       34965 :     GEN r = gel(pow2,i); /* r = y^2^i */
     458       34965 :     long fl = cmpii(r,B);
     459       34965 :     if (!fl)
     460             :     {
     461           0 :       e = 1L<<i;
     462           0 :       if (ptq) *ptq = gerepileuptoint(av, r); else set_avma(av);
     463           0 :       return e;
     464             :     }
     465       34965 :     if (fl > 0) { i--; break; }
     466       32973 :     q = r;
     467       32973 :     if (1L<<(i+1) > emax) break;
     468       28929 :     gel(pow2,++i) = sqri(q);
     469             :   }
     470             : 
     471        6036 :   for (e = 1L<<i;;)
     472       26916 :   { /* y^e = q < B < r = q * y^(2^i) */
     473       32952 :     pari_sp av2 = avma;
     474             :     long fl;
     475             :     GEN r;
     476       32952 :     if (--i < 0) break;
     477       26923 :     r = mulii(q, gel(pow2,i));
     478       26923 :     fl = cmpii(r, B);
     479       26923 :     if (fl > 0) set_avma(av2);
     480             :     else
     481             :     {
     482       13071 :       e += (1L<<i);
     483       13071 :       q = r;
     484       13071 :       if (!fl) break; /* B = r */
     485             :     }
     486             :   }
     487        6036 :   if (ptq) *ptq = gerepileuptoint(av, q); else set_avma(av);
     488        6036 :   return e;
     489             : }
     490             : 
     491             : long
     492          56 : logint0(GEN B, GEN y, GEN *ptq)
     493             : {
     494          56 :   if (typ(B) != t_INT) pari_err_TYPE("logint",B);
     495          56 :   if (signe(B) <= 0) pari_err_DOMAIN("logint", "x" ,"<=", gen_0, B);
     496          56 :   if (typ(y) != t_INT) pari_err_TYPE("logint",y);
     497          56 :   if (cmpis(y, 2) < 0) pari_err_DOMAIN("logint", "b" ,"<=", gen_1, y);
     498          56 :   return logintall(B,y,ptq);
     499             : }
     500             : 
     501             : /*********************************************************************/
     502             : /**                                                                 **/
     503             : /**                     INTEGRAL SQUARE ROOT                        **/
     504             : /**                                                                 **/
     505             : /*********************************************************************/
     506             : GEN
     507       30577 : sqrtint(GEN a)
     508             : {
     509       30577 :   if (typ(a) != t_INT) pari_err_TYPE("sqrtint",a);
     510       30577 :   switch (signe(a))
     511             :   {
     512       30563 :     case 1: return sqrti(a);
     513           7 :     case 0: return gen_0;
     514           7 :     default: pari_err_DOMAIN("sqrtint", "argument", "<", gen_0,a);
     515             :   }
     516             :   return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
     517             : }
     518             : 
     519             : /*********************************************************************/
     520             : /**                                                                 **/
     521             : /**                      PERFECT SQUARE                             **/
     522             : /**                                                                 **/
     523             : /*********************************************************************/
     524             : static int
     525    13337611 : carremod(ulong A)
     526             : {
     527    13337611 :   const int carresmod64[]={
     528             :     1,1,0,0,1,0,0,0,0,1, 0,0,0,0,0,0,1,1,0,0, 0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,
     529             :     0,0,0,1,0,0,1,0,0,0, 0,1,0,0,0,0,0,0,0,1, 0,0,0,0,0,0,0,1,0,0, 0,0,0,0};
     530    13337611 :   const int carresmod63[]={
     531             :     1,1,0,0,1,0,0,1,0,1, 0,0,0,0,0,0,1,0,1,0, 0,0,1,0,0,1,0,0,1,0,
     532             :     0,0,0,0,0,0,1,1,0,0, 0,0,0,1,0,0,1,0,0,1, 0,0,0,0,0,0,0,0,1,0, 0,0,0};
     533    13337611 :   const int carresmod65[]={
     534             :     1,1,0,0,1,0,0,0,0,1, 1,0,0,0,1,0,1,0,0,0, 0,0,0,0,0,1,1,0,0,1,
     535             :     1,0,0,0,0,1,1,0,0,1, 1,0,0,0,0,0,0,0,0,1, 0,1,0,0,0,1,1,0,0,0, 0,1,0,0,1};
     536    13337611 :   const int carresmod11[]={1,1,0,1,1,1,0,0,0,1, 0};
     537    13337611 :   return (carresmod64[A & 0x3fUL]
     538     5177533 :     && carresmod63[A % 63UL]
     539     3135200 :     && carresmod65[A % 65UL]
     540    15946579 :     && carresmod11[A % 11UL]);
     541             : }
     542             : 
     543             : /* emulate Z_issquareall on single-word integers */
     544             : long
     545    11846823 : uissquareall(ulong A, ulong *sqrtA)
     546             : {
     547    11846823 :   if (!A) { *sqrtA = 0; return 1; }
     548    11846823 :   if (carremod(A))
     549             :   {
     550     1768804 :     ulong a = usqrt(A);
     551     1768795 :     if (a * a == A) { *sqrtA = a; return 1; }
     552             :   }
     553    10169086 :   return 0;
     554             : }
     555             : long
     556      120633 : uissquare(ulong A)
     557             : {
     558      120633 :   if (!A) return 1;
     559      120633 :   if (carremod(A))
     560             :   {
     561        3499 :     ulong a = usqrt(A);
     562        3499 :     if (a * a == A) return 1;
     563             :   }
     564      117158 :   return 0;
     565             : }
     566             : 
     567             : long
     568     6381616 : Z_issquareall(GEN x, GEN *pt)
     569             : {
     570             :   pari_sp av;
     571             :   GEN y, r;
     572             : 
     573     6381616 :   switch(signe(x))
     574             :   {
     575     2206566 :     case -1: return 0;
     576        1064 :     case 0: if (pt) *pt=gen_0; return 1;
     577             :   }
     578     4173986 :   if (lgefint(x) == 3)
     579             :   {
     580     2803846 :     ulong u = uel(x,2), a;
     581     2803846 :     if (!pt) return uissquare(u);
     582     2683213 :     if (!uissquareall(u, &a)) return 0;
     583     1396882 :     *pt = utoipos(a); return 1;
     584             :   }
     585     1370140 :   if (!carremod(umodiu(x, 64*63*65*11))) return 0;
     586      608761 :   av = avma; y = sqrtremi(x, &r);
     587      608761 :   if (r != gen_0) return gc_long(av,0);
     588       17917 :   if (pt) { *pt = y; avma = (pari_sp)y; } else set_avma(av);
     589       17917 :   return 1;
     590             : }
     591             : 
     592             : /* a t_INT, p prime */
     593             : long
     594           0 : Zp_issquare(GEN a, GEN p)
     595             : {
     596             :   long v;
     597             :   GEN ap;
     598             : 
     599           0 :   if (!signe(a) || gequal1(a)) return 1;
     600           0 :   v = Z_pvalrem(a, p, &ap);
     601           0 :   if (v&1) return 0;
     602           0 :   return absequaliu(p, 2)? umodiu(ap, 8) == 1
     603           0 :                       : kronecker(ap,p) == 1;
     604             : }
     605             : 
     606             : static long
     607        3010 : polissquareall(GEN x, GEN *pt)
     608             : {
     609             :   pari_sp av;
     610             :   long v;
     611             :   GEN y, a, b, p;
     612             : 
     613        3010 :   if (!signe(x))
     614             :   {
     615           7 :     if (pt) *pt = gcopy(x);
     616           7 :     return 1;
     617             :   }
     618        3003 :   if (odd(degpol(x))) return 0; /* odd degree */
     619        2177 :   av = avma;
     620        2177 :   v = RgX_valrem(x, &x);
     621        2177 :   if (v & 1) return gc_long(av,0);
     622        2170 :   a = gel(x,2); /* test constant coeff */
     623        2170 :   if (!pt)
     624          70 :   { if (!issquare(a)) return gc_long(av,0); }
     625             :   else
     626        2100 :   { if (!issquareall(a,&b)) return gc_long(av,0); }
     627        2170 :   if (!degpol(x)) { /* constant polynomial */
     628          77 :     if (!pt) return gc_long(av,1);
     629          35 :     y = scalarpol(b, varn(x)); goto END;
     630             :   }
     631        2093 :   p = characteristic(x);
     632        2093 :   if (signe(p) && !mod2(p))
     633             :   {
     634             :     long i, lx;
     635          35 :     if (!absequaliu(p,2)) pari_err_IMPL("issquare for even characteristic != 2");
     636          28 :     x = gmul(x, mkintmod(gen_1, gen_2));
     637          28 :     lx = lg(x);
     638          28 :     if ((lx-3) & 1) return gc_long(av,0);
     639          49 :     for (i = 3; i < lx; i+=2)
     640          28 :       if (!gequal0(gel(x,i))) return gc_long(av,0);
     641          21 :     if (pt) {
     642          14 :       y = cgetg((lx+3) / 2, t_POL);
     643          49 :       for (i = 2; i < lx; i+=2)
     644          35 :         if (!issquareall(gel(x,i), &gel(y, (i+2)>>1))) return gc_long(av,0);
     645          14 :       y[1] = evalsigne(1) | evalvarn(varn(x));
     646          14 :       goto END;
     647             :     } else {
     648          21 :       for (i = 2; i < lx; i+=2)
     649          14 :         if (!issquare(gel(x,i))) return gc_long(av,0);
     650           7 :       return gc_long(av,1);
     651             :     }
     652             :   }
     653             :   else
     654             :   {
     655        2058 :     long m = 1;
     656        2058 :     x = RgX_Rg_div(x,a);
     657             :     /* a(x^m) = B^2 => B = b(x^m) provided a(0) != 0 */
     658        2058 :     if (!signe(p)) x = RgX_deflate_max(x,&m);
     659        2058 :     y = ser2rfrac_i(gsqrt(RgX_to_ser(x,lg(x)-1),0));
     660        3325 :     if (!RgX_equal(RgX_sqr(y), x)) return gc_long(av,0);
     661         798 :     if (!pt) return gc_long(av,1);
     662         791 :     if (!gequal1(a)) y = gmul(b, y);
     663         791 :     if (m != 1) y = RgX_inflate(y,m);
     664             :   }
     665             : END:
     666         840 :   if (v) y = RgX_shift_shallow(y, v>>1);
     667         840 :   *pt = gerepilecopy(av, y); return 1;
     668             : }
     669             : 
     670             : /* b unit mod p */
     671             : static int
     672         287 : Up_ispower(GEN b, GEN K, GEN p, long d, GEN *pt)
     673             : {
     674         287 :   if (d == 1)
     675             :   { /* mod p: faster */
     676         203 :     if (!Fp_ispower(b, K, p)) return 0;
     677         203 :     if (pt) *pt = Fp_sqrtn(b, K, p, NULL);
     678             :   }
     679             :   else
     680             :   { /* mod p^{2 +} */
     681          84 :     if (!ispower(cvtop(b, p, d), K, pt)) return 0;
     682          63 :     if (pt) *pt = gtrunc(*pt);
     683             :   }
     684         266 :   return 1;
     685             : }
     686             : 
     687             : /* We're studying whether a mod (q*p^e) is a K-th power, (q,p) = 1.
     688             :  * Decide mod p^e, then reduce a mod q unless q = NULL. */
     689             : static int
     690         427 : handle_pe(GEN *pa, GEN q, GEN L, GEN K, GEN p, long e)
     691             : {
     692             :   GEN t, A;
     693         427 :   long v = Z_pvalrem(*pa, p, &A), d = e - v;
     694         427 :   if (d <= 0) t = gen_0;
     695             :   else
     696             :   {
     697             :     ulong r;
     698         371 :     v = uabsdivui_rem(v, K, &r);
     699         371 :     if (r || !Up_ispower(A, K, p, d, L? &t: NULL)) return 0;
     700         266 :     if (L && v) t = mulii(t, powiu(p, v));
     701             :   }
     702         322 :   if (q) *pa = modii(*pa, q);
     703         322 :   if (L) vectrunc_append(L, mkintmod(t, powiu(p, e)));
     704         322 :   return 1;
     705             : }
     706             : long
     707         329 : Zn_ispower(GEN a, GEN q, GEN K, GEN *pt)
     708             : {
     709             :   GEN L, N;
     710             :   pari_sp av;
     711             :   long e, i, l;
     712             :   ulong pp;
     713             :   forprime_t S;
     714             : 
     715         329 :   if (!signe(a))
     716             :   {
     717          21 :     if (pt) {
     718          21 :       GEN t = cgetg(3, t_INTMOD);
     719          21 :       gel(t,1) = icopy(q); gel(t,2) = gen_0; *pt = t;
     720             :     }
     721          21 :     return 1;
     722             :   }
     723             :   /* a != 0 */
     724         308 :   av = avma;
     725             : 
     726         308 :   if (typ(q) != t_INT) /* integer factorization */
     727             :   {
     728           0 :     GEN P = gel(q,1), E = gel(q,2);
     729           0 :     l = lg(P);
     730           0 :     L = pt? vectrunc_init(l): NULL;
     731           0 :     for (i = 1; i < l; i++)
     732             :     {
     733           0 :       GEN p = gel(P,i);
     734           0 :       long e = itos(gel(E,i));
     735           0 :       if (!handle_pe(&a, NULL, L, K, p, e)) return gc_long(av,0);
     736             :     }
     737           0 :     goto END;
     738             :   }
     739         308 :   if (!mod2(K)
     740         189 :       && kronecker(a, shifti(q,-vali(q))) == -1) return gc_long(av,0);
     741         301 :   L = pt? vectrunc_init(expi(q)+1): NULL;
     742         301 :   u_forprime_init(&S, 2, tridiv_bound(q));
     743         301 :   while ((pp = u_forprime_next(&S)))
     744             :   {
     745             :     int stop;
     746      883407 :     e = Z_lvalrem_stop(&q, pp, &stop);
     747      883407 :     if (!e) continue;
     748         203 :     if (!handle_pe(&a, q, L, K, utoipos(pp), e)) return gc_long(av,0);
     749         161 :     if (stop)
     750             :     {
     751         126 :       if (!is_pm1(q) && !handle_pe(&a, q, L, K, q, 1)) return gc_long(av,0);
     752         126 :       goto END;
     753             :     }
     754             :   }
     755         154 :   l = lg(primetab);
     756         154 :   for (i = 1; i < l; i++)
     757             :   {
     758           0 :     GEN p = gel(primetab,i);
     759           0 :     e = Z_pvalrem(q, p, &q);
     760           0 :     if (!e) continue;
     761           0 :     if (!handle_pe(&a, q, L, K, p, e)) return gc_long(av,0);
     762           0 :     if (is_pm1(q)) goto END;
     763             :   }
     764         154 :   N = gcdii(a,q);
     765         154 :   if (!is_pm1(N))
     766             :   {
     767         112 :     if (ifac_isprime(N))
     768             :     {
     769          70 :       e = Z_pvalrem(q, N, &q);
     770          70 :       if (!handle_pe(&a, q, L, K, N, e)) return gc_long(av,0);
     771             :     }
     772             :     else
     773             :     {
     774          42 :       GEN part = ifac_start(N, 0);
     775             :       for(;;)
     776          42 :       {
     777             :         long e;
     778             :         GEN p;
     779          84 :         if (!ifac_next(&part, &p, &e)) break;
     780          42 :         e = Z_pvalrem(q, p, &q);
     781          42 :         if (!handle_pe(&a, q, L, K, p, e)) return gc_long(av,0);
     782             :       }
     783             :     }
     784             :   }
     785          84 :   if (!is_pm1(q))
     786             :   {
     787          84 :     if (ifac_isprime(q))
     788             :     {
     789          28 :       if (!handle_pe(&a, q, L, K, q, 1)) return gc_long(av,0);
     790             :     }
     791             :     else
     792             :     {
     793          56 :       GEN part = ifac_start(q, 0);
     794             :       for(;;)
     795          84 :       {
     796             :         long e;
     797             :         GEN p;
     798         140 :         if (!ifac_next(&part, &p, &e)) break;
     799          98 :         if (!handle_pe(&a, q, L, K, p, e)) return gc_long(av,0);
     800             :       }
     801             :     }
     802             :   }
     803             : END:
     804         196 :   if (pt) *pt = gerepileupto(av, chinese1_coprime_Z(L));
     805         196 :   return 1;
     806             : }
     807             : 
     808             : static long
     809          56 : polmodispower(GEN x, GEN K, GEN *pt)
     810             : {
     811          56 :   pari_sp av = avma;
     812          56 :   GEN p = NULL, T = NULL;
     813          56 :   if (Rg_is_FpXQ(x, &T,&p) && p)
     814             :   {
     815          42 :     x = liftall_shallow(x);
     816          42 :     if (T) T = liftall_shallow(T);
     817          42 :     if (!Fq_ispower(x, K, T, p)) return gc_long(av,0);
     818          28 :     if (!pt) return gc_long(av,1);
     819          21 :     x = Fq_sqrtn(x, K, T,p, NULL);
     820          21 :     if (typ(x) == t_INT)
     821           7 :       x = Fp_to_mod(x,p);
     822             :     else
     823          14 :       x = mkpolmod(FpX_to_mod(x,p), FpX_to_mod(T,p));
     824          21 :     *pt = gerepilecopy(av, x); return 1;
     825             :   }
     826          14 :   pari_err_IMPL("ispower for general t_POLMOD");
     827           0 :   return 0;
     828             : }
     829             : 
     830             : long
     831      163149 : issquareall(GEN x, GEN *pt)
     832             : {
     833      163149 :   long tx = typ(x);
     834             :   GEN F;
     835             :   pari_sp av;
     836             : 
     837      163149 :   if (!pt) return issquare(x);
     838       20300 :   switch(tx)
     839             :   {
     840        2331 :     case t_INT: return Z_issquareall(x, pt);
     841         161 :     case t_FRAC: av = avma;
     842         161 :       F = cgetg(3, t_FRAC);
     843         161 :       if (   !Z_issquareall(gel(x,1), &gel(F,1))
     844         105 :           || !Z_issquareall(gel(x,2), &gel(F,2))) return gc_long(av,0);
     845         105 :       *pt = F; return 1;
     846             : 
     847             :     case t_POLMOD:
     848          21 :       return polmodispower(x, gen_2, pt);
     849        2919 :     case t_POL: return polissquareall(x,pt);
     850          14 :     case t_RFRAC: av = avma;
     851          14 :       F = cgetg(3, t_RFRAC);
     852          14 :       if (   !issquareall(gel(x,1), &gel(F,1))
     853          14 :           || !polissquareall(gel(x,2), &gel(F,2))) return gc_long(av,0);
     854           7 :       *pt = F; return 1;
     855             : 
     856             :     case t_REAL: case t_COMPLEX: case t_PADIC: case t_SER:
     857       14756 :       if (!issquare(x)) return 0;
     858       14756 :       *pt = gsqrt(x, DEFAULTPREC); return 1;
     859             : 
     860             :     case t_INTMOD:
     861          63 :       return Zn_ispower(gel(x,2), gel(x,1), gen_2, pt);
     862             : 
     863          35 :     case t_FFELT: return FF_issquareall(x, pt);
     864             : 
     865             :   }
     866           0 :   pari_err_TYPE("issquareall",x);
     867             :   return 0; /* LCOV_EXCL_LINE */
     868             : }
     869             : 
     870             : long
     871      157878 : issquare(GEN x)
     872             : {
     873             :   pari_sp av;
     874             :   GEN a, p;
     875             :   long v;
     876             : 
     877      157878 :   switch(typ(x))
     878             :   {
     879             :     case t_INT:
     880      142751 :       return Z_issquare(x);
     881             : 
     882             :     case t_REAL:
     883       14714 :       return (signe(x)>=0);
     884             : 
     885             :     case t_INTMOD:
     886          77 :       return Zn_ispower(gel(x,2), gel(x,1), gen_2, NULL);
     887             : 
     888             :     case t_FRAC:
     889          21 :       return Z_issquare(gel(x,1)) && Z_issquare(gel(x,2));
     890             : 
     891           7 :     case t_FFELT: return FF_issquareall(x, NULL);
     892             : 
     893             :     case t_COMPLEX:
     894          56 :       return 1;
     895             : 
     896             :     case t_PADIC:
     897         126 :       a = gel(x,4); if (!signe(a)) return 1;
     898         126 :       if (valp(x)&1) return 0;
     899         112 :       p = gel(x,2);
     900         112 :       if (!absequaliu(p, 2)) return (kronecker(a,p) != -1);
     901             : 
     902          42 :       v = precp(x); /* here p=2, a is odd */
     903          42 :       if ((v>=3 && mod8(a) != 1 ) ||
     904           0 :           (v==2 && mod4(a) != 1)) return 0;
     905          21 :       return 1;
     906             : 
     907             :     case t_POLMOD:
     908          21 :       return polmodispower(x, gen_2, NULL);
     909             : 
     910             :     case t_POL:
     911          77 :       return polissquareall(x,NULL);
     912             : 
     913             :     case t_SER:
     914          21 :       if (!signe(x)) return 1;
     915          14 :       if (valp(x)&1) return 0;
     916           7 :       return issquare(gel(x,2));
     917             : 
     918             :     case t_RFRAC:
     919           7 :       av = avma; return gc_long(av, issquare(gmul(gel(x,1),gel(x,2))));
     920             :   }
     921           0 :   pari_err_TYPE("issquare",x);
     922             :   return 0; /* LCOV_EXCL_LINE */
     923             : }
     924           0 : GEN gissquare(GEN x) { return issquare(x)? gen_1: gen_0; }
     925           0 : GEN gissquareall(GEN x, GEN *pt) { return issquareall(x,pt)? gen_1: gen_0; }
     926             : 
     927             : long
     928        1386 : ispolygonal(GEN x, GEN S, GEN *N)
     929             : {
     930        1386 :   pari_sp av = avma;
     931             :   GEN D, d, n;
     932        1386 :   if (typ(x) != t_INT) pari_err_TYPE("ispolygonal", x);
     933        1386 :   if (typ(S) != t_INT) pari_err_TYPE("ispolygonal", S);
     934        1386 :   if (abscmpiu(S,3) < 0) pari_err_DOMAIN("ispolygonal","s","<", utoipos(3),S);
     935        1386 :   if (signe(x) < 0) return 0;
     936        1386 :   if (signe(x) == 0) { if (N) *N = gen_0; return 1; }
     937        1260 :   if (is_pm1(x)) { if (N) *N = gen_1; return 1; }
     938             :   /* n = (sqrt( (8s - 16) x + (s-4)^2 ) + s - 4) / 2(s - 2) */
     939        1134 :   if (abscmpiu(S, 1<<16) < 0) /* common case ! */
     940             :   {
     941         441 :     ulong s = S[2], r;
     942         504 :     if (s == 4) return Z_issquareall(x, N);
     943         378 :     if (s == 3)
     944           0 :       D = addiu(shifti(x, 3), 1);
     945             :     else
     946         378 :       D = addiu(mului(8*s - 16, x), (s-4)*(s-4));
     947         378 :     if (!Z_issquareall(D, &d)) return gc_long(av,0);
     948         378 :     if (s == 3)
     949           0 :       d = subiu(d, 1);
     950             :     else
     951         378 :       d = addiu(d, s - 4);
     952         378 :     n = absdiviu_rem(d, 2*s - 4, &r);
     953         378 :     if (r) return gc_long(av,0);
     954             :   }
     955             :   else
     956             :   {
     957         693 :     GEN r, S_2 = subiu(S,2), S_4 = subiu(S,4);
     958         693 :     D = addii(mulii(shifti(S_2,3), x), sqri(S_4));
     959         693 :     if (!Z_issquareall(D, &d)) return gc_long(av,0);
     960         693 :     d = addii(d, S_4);
     961         693 :     n = dvmdii(shifti(d,-1), S_2, &r);
     962         693 :     if (r != gen_0) return gc_long(av,0);
     963             :   }
     964        1071 :   if (N) *N = gerepileuptoint(av, n); else set_avma(av);
     965        1071 :   return 1;
     966             : }
     967             : 
     968             : /*********************************************************************/
     969             : /**                                                                 **/
     970             : /**                        PERFECT POWER                            **/
     971             : /**                                                                 **/
     972             : /*********************************************************************/
     973             : static long
     974         721 : polispower(GEN x, GEN K, GEN *pt)
     975             : {
     976             :   pari_sp av;
     977         721 :   long v, d, k = itos(K);
     978             :   GEN y, a, b;
     979         721 :   GEN T = NULL, p = NULL;
     980             : 
     981         721 :   if (!signe(x))
     982             :   {
     983           7 :     if (pt) *pt = gcopy(x);
     984           7 :     return 1;
     985             :   }
     986         714 :   d = degpol(x);
     987         714 :   if (d % k) return 0; /* degree not multiple of k */
     988         707 :   av = avma;
     989         707 :   if (RgX_is_FpXQX(x, &T, &p) && p)
     990             :   { /* over Fq */
     991         336 :     if (T && typ(T) == t_FFELT)
     992             :     {
     993         126 :       if (!FFX_ispower(x, k, T, pt)) return gc_long(av,0);
     994         105 :       return 1;
     995             :     }
     996         210 :     x = RgX_to_FqX(x,T,p);
     997         210 :     if (!FqX_ispower(x, k, T,p, pt)) return gc_long(av,0);
     998         175 :     if (pt) *pt = gerepileupto(av, FqX_to_mod(*pt, T, p));
     999         175 :     return 1;
    1000             :   }
    1001         371 :   v = RgX_valrem(x, &x);
    1002         371 :   if (v % k) return 0;
    1003         364 :   v /= k;
    1004         364 :   a = gel(x,2); b = NULL;
    1005         364 :   if (!ispower(a, K, &b)) return gc_long(av,0);
    1006         350 :   if (d)
    1007             :   {
    1008         343 :     GEN p = characteristic(x);
    1009         343 :     a = leading_coeff(x);
    1010         343 :     if (!ispower(a, K, &b)) return gc_long(av,0);
    1011         343 :     x = RgX_normalize(x);
    1012         343 :     if (signe(p) && cmpii(p,K) <= 0)
    1013           0 :       pari_err_IMPL("ispower(general t_POL) in small characteristic");
    1014         343 :     y = gtrunc(gsqrtn(RgX_to_ser(x,lg(x)), K, NULL, 0));
    1015         343 :     if (!RgX_equal(powgi(y, K), x)) return gc_long(av,0);
    1016             :   }
    1017             :   else
    1018           7 :     y = pol_1(varn(x));
    1019         350 :   if (pt)
    1020             :   {
    1021         350 :     if (!gequal1(a))
    1022             :     {
    1023          14 :       if (!b) b = gsqrtn(a, K, NULL, DEFAULTPREC);
    1024          14 :       y = gmul(b,y);
    1025             :     }
    1026         350 :     if (v) y = RgX_shift_shallow(y, v);
    1027         350 :     *pt = gerepilecopy(av, y);
    1028             :   }
    1029           0 :   else set_avma(av);
    1030         350 :   return 1;
    1031             : }
    1032             : 
    1033             : long
    1034       97270 : Z_ispowerall(GEN x, ulong k, GEN *pt)
    1035             : {
    1036       97270 :   long s = signe(x);
    1037             :   ulong mask;
    1038       97270 :   if (!s) { if (pt) *pt = gen_0; return 1; }
    1039       97270 :   if (s > 0) {
    1040       97130 :     if (k == 2) return Z_issquareall(x, pt);
    1041       17955 :     if (k == 3) { mask = 1; return !!is_357_power(x, pt, &mask); }
    1042        3206 :     if (k == 5) { mask = 2; return !!is_357_power(x, pt, &mask); }
    1043        2982 :     if (k == 7) { mask = 4; return !!is_357_power(x, pt, &mask); }
    1044        2975 :     return is_kth_power(x, k, pt);
    1045             :   }
    1046         140 :   if (!odd(k)) return 0;
    1047         126 :   if (Z_ispowerall(absi_shallow(x), k, pt))
    1048             :   {
    1049         112 :     if (pt) *pt = negi(*pt);
    1050         112 :     return 1;
    1051             :   };
    1052          14 :   return 0;
    1053             : }
    1054             : 
    1055             : /* is x a K-th power mod p ? Assume p prime. */
    1056             : int
    1057         203 : Fp_ispower(GEN x, GEN K, GEN p)
    1058             : {
    1059         203 :   pari_sp av = avma;
    1060             :   GEN p_1;
    1061         203 :   x = modii(x, p);
    1062         203 :   if (!signe(x) || equali1(x)) return gc_bool(av,1);
    1063             :   /* implies p > 2 */
    1064         112 :   p_1 = subiu(p,1);
    1065         112 :   K = gcdii(K, p_1);
    1066         112 :   if (absequaliu(K, 2)) return gc_bool(av, kronecker(x,p) > 0);
    1067          49 :   x = Fp_pow(x, diviiexact(p_1,K), p);
    1068          49 :   return gc_bool(av, equali1(x));
    1069             : }
    1070             : 
    1071             : /* x unit defined modulo 2^e, e > 0, p prime */
    1072             : static int
    1073        2373 : U2_issquare(GEN x, long e)
    1074             : {
    1075        2373 :   long r = signe(x)>=0?mod8(x):8-mod8(x);
    1076        2373 :   if (e==1) return 1;
    1077        2373 :   if (e==2) return (r&3L) == 1;
    1078        2009 :   return r == 1;
    1079             : }
    1080             : /* x unit defined modulo p^e, e > 0, p prime */
    1081             : static int
    1082        4690 : Up_issquare(GEN x, GEN p, long e)
    1083        4690 : { return (absequaliu(p,2))? U2_issquare(x, e): kronecker(x,p)==1; }
    1084             : 
    1085             : long
    1086        2548 : Zn_issquare(GEN d, GEN fn)
    1087             : {
    1088             :   long j, np;
    1089        2548 :   if (typ(d) != t_INT) pari_err_TYPE("Zn_issquare",d);
    1090        2548 :   if (typ(fn) == t_INT) return Zn_ispower(d, fn, gen_2, NULL);
    1091             :   /* integer factorization */
    1092        2548 :   np = nbrows(fn);
    1093        5320 :   for (j = 1; j <= np; ++j)
    1094             :   {
    1095        4970 :     GEN  r, p = gcoeff(fn, j, 1);
    1096        4970 :     long e = itos(gcoeff(fn, j, 2));
    1097        4970 :     long v = Z_pvalrem(d,p,&r);
    1098        4970 :     if (v < e && (odd(v) || !Up_issquare(r, p, e-v))) return 0;
    1099             :   }
    1100         350 :   return 1;
    1101             : }
    1102             : 
    1103             : static long
    1104        1113 : Qp_ispower(GEN x, GEN K, GEN *pt)
    1105             : {
    1106        1113 :   pari_sp av = avma;
    1107        1113 :   GEN z = Qp_sqrtn(x, K, NULL);
    1108        1113 :   if (!z) return gc_long(av,0);
    1109         819 :   if (pt) *pt = z;
    1110         819 :   return 1;
    1111             : }
    1112             : 
    1113             : long
    1114     7096283 : ispower(GEN x, GEN K, GEN *pt)
    1115             : {
    1116             :   GEN z;
    1117             : 
    1118     7096283 :   if (!K) return gisanypower(x, pt);
    1119       96101 :   if (typ(K) != t_INT) pari_err_TYPE("ispower",K);
    1120       96101 :   if (signe(K) <= 0) pari_err_DOMAIN("ispower","exponent","<=",gen_0,K);
    1121       96101 :   if (equali1(K)) { if (pt) *pt = gcopy(x); return 1; }
    1122       96052 :   switch(typ(x)) {
    1123             :     case t_INT:
    1124       24314 :       return Z_ispowerall(x, itou(K), pt);
    1125             :     case t_FRAC:
    1126             :     {
    1127       69652 :       GEN a = gel(x,1), b = gel(x,2);
    1128       69652 :       ulong k = itou(K);
    1129       69652 :       if (pt) {
    1130       69645 :         z = cgetg(3, t_FRAC);
    1131       69645 :         if (Z_ispowerall(a, k, &a) && Z_ispowerall(b, k, &b)) {
    1132        1386 :           *pt = z; gel(z,1) = a; gel(z,2) = b; return 1;
    1133             :         }
    1134       68259 :         avma = (pari_sp)(z + 3); return 0;
    1135             :       }
    1136           7 :       return Z_ispower(a, k) && Z_ispower(b, k);
    1137             :     }
    1138             :     case t_INTMOD:
    1139         189 :       return Zn_ispower(gel(x,2), gel(x,1), K, pt);
    1140             :     case t_FFELT:
    1141          28 :       return FF_ispower(x, K, pt);
    1142             : 
    1143             :     case t_PADIC:
    1144        1113 :       return Qp_ispower(x, K, pt);
    1145             :     case t_POLMOD:
    1146          14 :       return polmodispower(x, K, pt);
    1147             :     case t_POL:
    1148         714 :       return polispower(x, K, pt);
    1149             :     case t_RFRAC: {
    1150           7 :       GEN a = gel(x,1), b = gel(x,2);
    1151           7 :       if (pt) {
    1152           7 :         z = cgetg(3, t_RFRAC);
    1153           7 :         if (ispower(a, K, &a) && polispower(b, K, &b)) {
    1154           7 :           *pt = z; gel(z,1) = a; gel(z,2) = b; return 1;
    1155             :         }
    1156           0 :         avma = (pari_sp)(z + 3); return 0;
    1157             :       }
    1158           0 :       return (ispower(a, K, NULL) && polispower(b, K, NULL));
    1159             :     }
    1160             :     case t_REAL:
    1161           7 :       if (signe(x) < 0 && !mpodd(K)) return 0;
    1162             :     case t_COMPLEX:
    1163          14 :       if (pt) *pt = gsqrtn(x, K, NULL, DEFAULTPREC);
    1164          14 :       return 1;
    1165             : 
    1166             :     case t_SER:
    1167           7 :       if (signe(x) && (!dvdsi(valp(x), K) || !ispower(gel(x,2), K, NULL)))
    1168           0 :         return 0;
    1169           7 :       if (pt) *pt = gsqrtn(x, K, NULL, DEFAULTPREC);
    1170           7 :       return 1;
    1171             :   }
    1172           0 :   pari_err_TYPE("ispower",x);
    1173             :   return 0; /* LCOV_EXCL_LINE */
    1174             : }
    1175             : 
    1176             : long
    1177     7000182 : gisanypower(GEN x, GEN *pty)
    1178             : {
    1179     7000182 :   long tx = typ(x);
    1180             :   ulong k, h;
    1181     7000182 :   if (tx == t_INT) return Z_isanypower(x, pty);
    1182          14 :   if (tx == t_FRAC)
    1183             :   {
    1184          14 :     pari_sp av = avma;
    1185          14 :     GEN fa, P, E, a = gel(x,1), b = gel(x,2);
    1186             :     long i, j, p, e;
    1187          14 :     int sw = (abscmpii(a, b) > 0);
    1188             : 
    1189          14 :     if (sw) swap(a, b);
    1190          14 :     k = Z_isanypower(a, pty? &a: NULL);
    1191          14 :     if (!k)
    1192             :     { /* a = -1,1 or not a pure power */
    1193           7 :       if (!is_pm1(a)) return gc_long(av,0);
    1194           7 :       if (signe(a) < 0) b = negi(b);
    1195           7 :       k = Z_isanypower(b, pty? &b: NULL);
    1196           7 :       if (!k || !pty) return gc_long(av,k);
    1197           7 :       *pty = gerepileupto(av, ginv(b));
    1198           7 :       return k;
    1199             :     }
    1200           7 :     fa = factoru(k);
    1201           7 :     P = gel(fa,1);
    1202           7 :     E = gel(fa,2); h = k;
    1203          14 :     for (i = lg(P) - 1; i > 0; i--)
    1204             :     {
    1205           7 :       p = P[i];
    1206           7 :       e = E[i];
    1207          21 :       for (j = 0; j < e; j++)
    1208          14 :         if (!is_kth_power(b, p, &b)) break;
    1209           7 :       if (j < e) k /= upowuu(p, e - j);
    1210             :     }
    1211           7 :     if (k == 1) return gc_long(av,0);
    1212           7 :     if (!pty) return gc_long(av,k);
    1213           0 :     if (k != h) a = powiu(a, h/k);
    1214           0 :     *pty = gerepilecopy(av, mkfrac(a, b));
    1215           0 :     return k;
    1216             :   }
    1217           0 :   pari_err_TYPE("gisanypower", x);
    1218             :   return 0; /* LCOV_EXCL_LINE */
    1219             : }
    1220             : 
    1221             : /* v_p(x) = e != 0 for some p; return ispower(x,,&x), updating x.
    1222             :  * No need to optimize for 2,3,5,7 powers (done before) */
    1223             : static long
    1224      505715 : split_exponent(ulong e, GEN *x)
    1225             : {
    1226             :   GEN fa, P, E;
    1227      505715 :   long i, j, l, k = 1;
    1228      505715 :   if (e == 1) return 1;
    1229          14 :   fa = factoru(e);
    1230          14 :   P = gel(fa,1);
    1231          14 :   E = gel(fa,2); l = lg(P);
    1232          28 :   for (i = 1; i < l; i++)
    1233             :   {
    1234          14 :     ulong p = P[i];
    1235          28 :     for (j = 0; j < E[i]; j++)
    1236             :     {
    1237             :       GEN y;
    1238          14 :       if (!is_kth_power(*x, p, &y)) break;
    1239          14 :       k *= p; *x = y;
    1240             :     }
    1241             :   }
    1242          14 :   return k;
    1243             : }
    1244             : 
    1245             : static long
    1246      864647 : Z_isanypower_nosmalldiv(GEN *px)
    1247             : { /* any prime divisor of x is > 102 */
    1248      864647 :   const double LOG2_103 = 6.6865; /* lower bound for log_2(103) */
    1249      864647 :   const double LOG103 = 4.6347; /* lower bound for log(103) */
    1250             :   forprime_t T;
    1251      864647 :   ulong mask = 7, e2;
    1252             :   long k, ex;
    1253      864647 :   GEN y, x = *px;
    1254             : 
    1255      864647 :   k = 1;
    1256      864647 :   while (Z_issquareall(x, &y)) { k <<= 1; x = y; }
    1257      864647 :   while ( (ex = is_357_power(x, &y, &mask)) ) { k *= ex; x = y; }
    1258      864647 :   e2 = (ulong)((expi(x) + 1) / LOG2_103); /* >= log_103 (x) */
    1259      864647 :   if (u_forprime_init(&T, 11, e2))
    1260             :   {
    1261       16961 :     GEN logx = NULL;
    1262       16961 :     const ulong Q = 30011; /* prime */
    1263             :     ulong p, xmodQ;
    1264       16961 :     double dlogx = 0;
    1265             :     /* cut off at x^(1/p) ~ 2^30 bits which seems to be about optimum;
    1266             :      * for large p the modular checks are no longer competitively fast */
    1267       33964 :     while ( (ex = is_pth_power(x, &y, &T, 30)) )
    1268             :     {
    1269          42 :       k *= ex; x = y;
    1270          42 :       e2 = (ulong)((expi(x) + 1) / LOG2_103);
    1271          42 :       u_forprime_restrict(&T, e2);
    1272             :     }
    1273       16961 :     if (DEBUGLEVEL>4) err_printf("Z_isanypower: now k=%ld, x=%ld-bit\n", k, expi(x));
    1274       16961 :     xmodQ = umodiu(x, Q);
    1275             :     /* test Q | x, just in case */
    1276       16961 :     if (!xmodQ) { *px = x; return k * split_exponent(Z_lval(x,Q), px); }
    1277             :     /* x^(1/p) < 2^31 */
    1278       16947 :     p = T.p;
    1279       16947 :     if (p <= e2)
    1280             :     {
    1281       16933 :       logx = logr_abs( itor(x, DEFAULTPREC) );
    1282       16933 :       dlogx = rtodbl(logx);
    1283       16933 :       e2 = (ulong)(dlogx / LOG103); /* >= log_103(x) */
    1284             :     }
    1285      153965 :     while (p && p <= e2)
    1286             :     { /* is x a p-th power ? By computing y = round(x^(1/p)).
    1287             :        * Check whether y^p = x, first mod Q, then exactly. */
    1288      120071 :       pari_sp av = avma;
    1289             :       long e;
    1290      120071 :       GEN logy = divru(logx, p), y = grndtoi(mpexp(logy), &e);
    1291      120071 :       ulong ymodQ = umodiu(y,Q);
    1292      120071 :       if (e >= -10 || Fl_powu(ymodQ, p % (Q-1), Q) != xmodQ
    1293          21 :                    || !equalii(powiu(y, p), x)) set_avma(av);
    1294             :       else
    1295             :       {
    1296          21 :         k *= p; x = y; xmodQ = ymodQ; logx = logy; dlogx /= p;
    1297          21 :         e2 = (ulong)(dlogx / LOG103); /* >= log_103(x) */
    1298          21 :         u_forprime_restrict(&T, e2);
    1299          21 :         continue; /* if success, retry same p */
    1300             :       }
    1301      120050 :       p = u_forprime_next(&T);
    1302             :     }
    1303             :   }
    1304      864633 :   *px = x; return k;
    1305             : }
    1306             : 
    1307             : static ulong tinyprimes[] = {
    1308             :   2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71,
    1309             :   73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151,
    1310             :   157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199
    1311             : };
    1312             : 
    1313             : /* disregard the sign of x, caller will take care of x < 0 */
    1314             : static long
    1315     7000841 : Z_isanypower_aux(GEN x, GEN *pty)
    1316             : {
    1317             :   long ex, v, i, l, k;
    1318             :   GEN y, P, E;
    1319     7000841 :   ulong mask, e = 0;
    1320             : 
    1321     7000841 :   if (abscmpii(x, gen_2) < 0) return 0; /* -1,0,1 */
    1322             : 
    1323     7000827 :   if (signe(x) < 0) x = negi(x);
    1324     7000827 :   k = l = 1;
    1325     7000827 :   P = cgetg(26 + 1, t_VECSMALL);
    1326     7000827 :   E = cgetg(26 + 1, t_VECSMALL);
    1327             :   /* trial division */
    1328   122942258 :   for(i = 0; i < 26; i++)
    1329             :   {
    1330    60136627 :     ulong p = tinyprimes[i];
    1331             :     int stop;
    1332    60136627 :     v = Z_lvalrem_stop(&x, p, &stop);
    1333    60136627 :     if (v)
    1334             :     {
    1335     7922348 :       P[l] = p;
    1336     7922348 :       E[l] = v; l++;
    1337    13588673 :       e = ugcd(e, v); if (e == 1) goto END;
    1338             :     }
    1339    54718340 :     if (stop) {
    1340      248038 :       if (is_pm1(x)) k = e;
    1341      248038 :       goto END;
    1342             :     }
    1343             :   }
    1344             : 
    1345     1334502 :   if (e)
    1346             :   { /* Bingo. Result divides e */
    1347             :     long v3, v5, v7;
    1348      505701 :     ulong e2 = e;
    1349      505701 :     v = u_lvalrem(e2, 2, &e2);
    1350      505701 :     if (v)
    1351             :     {
    1352      375249 :       for (i = 0; i < v; i++)
    1353             :       {
    1354      374171 :         if (!Z_issquareall(x, &y)) break;
    1355        1288 :         k <<= 1; x = y;
    1356             :       }
    1357             :     }
    1358      505701 :     mask = 0;
    1359      505701 :     v3 = u_lvalrem(e2, 3, &e2); if (v3) mask = 1;
    1360      505701 :     v5 = u_lvalrem(e2, 5, &e2); if (v5) mask |= 2;
    1361      505701 :     v7 = u_lvalrem(e2, 7, &e2); if (v7) mask |= 4;
    1362     1011479 :     while ( (ex = is_357_power(x, &y, &mask)) ) {
    1363          77 :       x = y;
    1364          77 :       switch(ex)
    1365             :       {
    1366          28 :         case 3: k *= 3; if (--v3 == 0) mask &= ~1; break;
    1367          28 :         case 5: k *= 5; if (--v5 == 0) mask &= ~2; break;
    1368          21 :         case 7: k *= 7; if (--v7 == 0) mask &= ~4; break;
    1369             :       }
    1370             :     }
    1371      505701 :     k *= split_exponent(e2, &x);
    1372             :   }
    1373             :   else
    1374      828801 :     k = Z_isanypower_nosmalldiv(&x);
    1375             : END:
    1376     7000827 :   if (pty && k != 1)
    1377             :   {
    1378        8029 :     if (e)
    1379             :     { /* add missing small factors */
    1380        6867 :       y = powuu(P[1], E[1] / k);
    1381        6867 :       for (i = 2; i < l; i++) y = mulii(y, powuu(P[i], E[i] / k));
    1382        6867 :       x = equali1(x)? y: mulii(x,y);
    1383             :     }
    1384        8029 :     *pty = x;
    1385             :   }
    1386     7000827 :   return k == 1? 0: k;
    1387             : }
    1388             : 
    1389             : long
    1390     7000841 : Z_isanypower(GEN x, GEN *pty)
    1391             : {
    1392     7000841 :   pari_sp av = avma;
    1393     7000841 :   long k = Z_isanypower_aux(x, pty);
    1394     7000841 :   if (!k) return gc_long(av,0);
    1395        8092 :   if (signe(x) < 0)
    1396             :   {
    1397          42 :     long v = vals(k);
    1398          42 :     if (v)
    1399             :     {
    1400             :       GEN y;
    1401          28 :       k >>= v;
    1402          28 :       if (k == 1) return gc_long(av,0);
    1403          21 :       if (!pty) return gc_long(av,k);
    1404          14 :       y = *pty;
    1405          14 :       y = powiu(y, 1<<v);
    1406          14 :       togglesign(y);
    1407          14 :       *pty = gerepileuptoint(av, y);
    1408          14 :       return k;
    1409             :     }
    1410          14 :     if (pty) togglesign_safe(pty);
    1411             :   }
    1412        8064 :   if (pty) *pty = gerepilecopy(av, *pty); else set_avma(av);
    1413        8064 :   return k;
    1414             : }
    1415             : 
    1416             : /* Faster than */
    1417             : /*   !cmpii(n, int2n(vali(n))) */
    1418             : /*   !cmpis(shifti(n, -vali(n)), 1) */
    1419             : /*   expi(n) == vali(n) */
    1420             : /*   hamming(n) == 1 */
    1421             : /* even for single-word values, and much faster for multiword values. */
    1422             : /* If all you have is a word, you can just use n & !(n & (n-1)). */
    1423             : long
    1424       80640 : Z_ispow2(GEN n)
    1425             : {
    1426             :   GEN xp;
    1427             :   long i, lx;
    1428             :   ulong u;
    1429       80640 :   if (signe(n) != 1) return 0;
    1430       80633 :   xp = int_LSW(n);
    1431       80633 :   lx = lgefint(n);
    1432       80633 :   u = *xp;
    1433       80917 :   for (i = 3; i < lx; ++i)
    1434             :   {
    1435       78098 :     if (u) return 0;
    1436         284 :     xp = int_nextW(xp);
    1437         284 :     u = *xp;
    1438             :   }
    1439        2819 :   return !(u & (u-1));
    1440             : }
    1441             : 
    1442             : static long
    1443      841800 : isprimepower_i(GEN n, GEN *pt, long flag)
    1444             : {
    1445      841800 :   pari_sp av = avma;
    1446             :   long i, v;
    1447             : 
    1448      841800 :   if (typ(n) != t_INT) pari_err_TYPE("isprimepower", n);
    1449      841800 :   if (signe(n) <= 0) return 0;
    1450             : 
    1451      841800 :   if (lgefint(n) == 3)
    1452             :   {
    1453             :     ulong p;
    1454      541121 :     v = uisprimepower(n[2], &p);
    1455      541121 :     if (v)
    1456             :     {
    1457       54909 :       if (pt) *pt = utoipos(p);
    1458       54909 :       return v;
    1459             :     }
    1460      486212 :     return 0;
    1461             :   }
    1462     1662352 :   for (i = 0; i < 26; i++)
    1463             :   {
    1464     1626506 :     ulong p = tinyprimes[i];
    1465     1626506 :     v = Z_lvalrem(n, p, &n);
    1466     1626506 :     if (v)
    1467             :     {
    1468      264833 :       set_avma(av);
    1469      264833 :       if (!is_pm1(n)) return 0;
    1470         437 :       if (pt) *pt = utoipos(p);
    1471         437 :       return v;
    1472             :     }
    1473             :   }
    1474             :   /* p | n => p >= 103 */
    1475       35846 :   v = Z_isanypower_nosmalldiv(&n); /* expensive */
    1476       35846 :   if (!(flag? isprime(n): BPSW_psp(n))) return gc_long(av,0);
    1477        5534 :   if (pt) *pt = gerepilecopy(av, n); else set_avma(av);
    1478        5534 :   return v;
    1479             : }
    1480             : long
    1481      840098 : isprimepower(GEN n, GEN *pt) { return isprimepower_i(n,pt,1); }
    1482             : long
    1483        1702 : ispseudoprimepower(GEN n, GEN *pt) { return isprimepower_i(n,pt,0); }
    1484             : 
    1485             : long
    1486      542220 : uisprimepower(ulong n, ulong *pp)
    1487             : { /* We must have CUTOFF^11 >= ULONG_MAX and CUTOFF^3 < ULONG_MAX.
    1488             :    * Tests suggest that 200-300 is the best range for 64-bit platforms. */
    1489      542220 :   const ulong CUTOFF = 200UL;
    1490      542220 :   const long TINYCUTOFF = 46;  /* tinyprimes[45] = 199 */
    1491      542220 :   const ulong CUTOFF3 = CUTOFF*CUTOFF*CUTOFF;
    1492             : #ifdef LONG_IS_64BIT
    1493             :   /* primes preceeding the appropriate root of ULONG_MAX. */
    1494      481914 :   const ulong ROOT9 = 137;
    1495      481914 :   const ulong ROOT8 = 251;
    1496      481914 :   const ulong ROOT7 = 563;
    1497      481914 :   const ulong ROOT5 = 7129;
    1498      481914 :   const ulong ROOT4 = 65521;
    1499             : #else
    1500       60306 :   const ulong ROOT9 = 11;
    1501       60306 :   const ulong ROOT8 = 13;
    1502       60306 :   const ulong ROOT7 = 23;
    1503       60306 :   const ulong ROOT5 = 83;
    1504       60306 :   const ulong ROOT4 = 251;
    1505             : #endif
    1506             :   ulong mask;
    1507             :   long v, i;
    1508             :   int e;
    1509      542220 :   if (n < 2) return 0;
    1510      542206 :   if (!odd(n)) {
    1511      271187 :     if (n & (n-1)) return 0;
    1512        1383 :     *pp = 2; return vals(n);
    1513             :   }
    1514      271019 :   if (n < 8) { *pp = n; return 1; } /* 3,5,7 */
    1515     3653916 :   for (i = 1/*skip p=2*/; i < TINYCUTOFF; i++)
    1516             :   {
    1517     3594841 :     ulong p = tinyprimes[i];
    1518     3594841 :     if (n % p == 0)
    1519             :     {
    1520      211538 :       v = u_lvalrem(n, p, &n);
    1521      211538 :       if (n == 1) { *pp = p; return v; }
    1522      209438 :       return 0;
    1523             :     }
    1524             :   }
    1525             :   /* p | n => p >= CUTOFF */
    1526             : 
    1527       59075 :   if (n < CUTOFF3)
    1528             :   {
    1529       46354 :     if (n < CUTOFF*CUTOFF || uisprime_101(n)) { *pp = n; return 1; }
    1530           0 :     if (uissquareall(n, &n)) { *pp = n; return 2; }
    1531           0 :     return 0;
    1532             :   }
    1533             : 
    1534             :   /* Check for squares, fourth powers, and eighth powers as appropriate. */
    1535       12721 :   v = 1;
    1536       12721 :   if (uissquareall(n, &n)) {
    1537           0 :     v <<= 1;
    1538           0 :     if (CUTOFF <= ROOT4 && uissquareall(n, &n)) {
    1539           0 :       v <<= 1;
    1540           0 :       if (CUTOFF <= ROOT8 && uissquareall(n, &n)) v <<= 1;
    1541             :     }
    1542             :   }
    1543             : 
    1544       12721 :   if (CUTOFF > ROOT5) mask = 1;
    1545             :   else
    1546             :   {
    1547       12720 :     const ulong CUTOFF5 = CUTOFF3*CUTOFF*CUTOFF;
    1548       12720 :     if (n < CUTOFF5) mask = 1; else mask = 3;
    1549       12720 :     if (CUTOFF <= ROOT7)
    1550             :     {
    1551       12720 :       const ulong CUTOFF7 = CUTOFF5*CUTOFF*CUTOFF;
    1552       12720 :       if (n >= CUTOFF7) mask = 7;
    1553             :     }
    1554             :   }
    1555             : 
    1556       12721 :   if (CUTOFF <= ROOT9 && (e = uis_357_power(n, &n, &mask))) { v *= e; mask=1; }
    1557       12721 :   if ((e = uis_357_power(n, &n, &mask))) v *= e;
    1558             : 
    1559       12721 :   if (uisprime_101(n)) { *pp = n; return v; }
    1560        6984 :   return 0;
    1561             : }
    1562             : 
    1563             : /*********************************************************************/
    1564             : /**                                                                 **/
    1565             : /**                        KRONECKER SYMBOL                         **/
    1566             : /**                                                                 **/
    1567             : /*********************************************************************/
    1568             : /* t = 3,5 mod 8 ?  (= 2 not a square mod t) */
    1569             : static int
    1570   634139638 : ome(long t)
    1571             : {
    1572   634139638 :   switch(t & 7)
    1573             :   {
    1574             :     case 3:
    1575   360650571 :     case 5: return 1;
    1576   273489067 :     default: return 0;
    1577             :   }
    1578             : }
    1579             : /* t a t_INT, is t = 3,5 mod 8 ? */
    1580             : static int
    1581     5371109 : gome(GEN t)
    1582     5371109 : { return signe(t)? ome( mod2BIL(t) ): 0; }
    1583             : 
    1584             : /* assume y odd, return kronecker(x,y) * s */
    1585             : static long
    1586   480758104 : krouu_s(ulong x, ulong y, long s)
    1587             : {
    1588   480758104 :   ulong x1 = x, y1 = y, z;
    1589  2606450005 :   while (x1)
    1590             :   {
    1591  1644968494 :     long r = vals(x1);
    1592  1645016626 :     if (r)
    1593             :     {
    1594   885745690 :       if (odd(r) && ome(y1)) s = -s;
    1595   885662861 :       x1 >>= r;
    1596             :     }
    1597  1644933797 :     if (x1 & y1 & 2) s = -s;
    1598  1644933797 :     z = y1 % x1; y1 = x1; x1 = z;
    1599             :   }
    1600   480723407 :   return (y1 == 1)? s: 0;
    1601             : }
    1602             : 
    1603             : long
    1604     6103821 : kronecker(GEN x, GEN y)
    1605             : {
    1606     6103821 :   pari_sp av = avma;
    1607     6103821 :   long s = 1, r;
    1608             :   ulong xu;
    1609             : 
    1610     6103821 :   if (typ(x) != t_INT) pari_err_TYPE("kronecker",x);
    1611     6103821 :   if (typ(y) != t_INT) pari_err_TYPE("kronecker",y);
    1612     6103821 :   switch (signe(y))
    1613             :   {
    1614           0 :     case -1: y = negi(y); if (signe(x) < 0) s = -1; break;
    1615           0 :     case 0: return is_pm1(x);
    1616             :   }
    1617     6103821 :   r = vali(y);
    1618     6103821 :   if (r)
    1619             :   {
    1620       12216 :     if (!mpodd(x)) return gc_long(av,0);
    1621       10494 :     if (odd(r) && gome(x)) s = -s;
    1622       10494 :     y = shifti(y,-r);
    1623             :   }
    1624     6102099 :   x = modii(x,y);
    1625    13108493 :   while (lgefint(x) > 3) /* x < y */
    1626             :   {
    1627             :     GEN z;
    1628      904295 :     r = vali(x);
    1629      904295 :     if (r)
    1630             :     {
    1631      493412 :       if (odd(r) && gome(y)) s = -s;
    1632      493412 :       x = shifti(x,-r);
    1633             :     }
    1634             :     /* x=3 mod 4 && y=3 mod 4 ? (both are odd here) */
    1635      904295 :     if (mod2BIL(x) & mod2BIL(y) & 2) s = -s;
    1636      904295 :     z = remii(y,x); y = x; x = z;
    1637      904295 :     if (gc_needed(av,2))
    1638             :     {
    1639           0 :       if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"kronecker");
    1640           0 :       gerepileall(av, 2, &x, &y);
    1641             :     }
    1642             :   }
    1643     6102099 :   xu = itou(x);
    1644     6102099 :   if (!xu) return is_pm1(y)? s: 0;
    1645     6080918 :   r = vals(xu);
    1646     6080918 :   if (r)
    1647             :   {
    1648     4131454 :     if (odd(r) && gome(y)) s = -s;
    1649     4131454 :     xu >>= r;
    1650             :   }
    1651             :   /* x=3 mod 4 && y=3 mod 4 ? (both are odd here) */
    1652     6080918 :   if (xu & mod2BIL(y) & 2) s = -s;
    1653     6080918 :   return gc_long(av, krouu_s(umodiu(y,xu), xu, s));
    1654             : }
    1655             : 
    1656             : long
    1657       30842 : krois(GEN x, long y)
    1658             : {
    1659             :   ulong yu;
    1660       30842 :   long s = 1;
    1661             : 
    1662       30842 :   if (y <= 0)
    1663             :   {
    1664           7 :     if (y == 0) return is_pm1(x);
    1665           0 :     yu = (ulong)-y; if (signe(x) < 0) s = -1;
    1666             :   }
    1667             :   else
    1668       30835 :     yu = (ulong)y;
    1669       30835 :   if (!odd(yu))
    1670             :   {
    1671             :     long r;
    1672       14056 :     if (!mpodd(x)) return 0;
    1673       10472 :     r = vals(yu); yu >>= r;
    1674       10472 :     if (odd(r) && gome(x)) s = -s;
    1675             :   }
    1676       27251 :   return krouu_s(umodiu(x, yu), yu, s);
    1677             : }
    1678             : /* assume y != 0 */
    1679             : long
    1680   342596563 : kroiu(GEN x, ulong y)
    1681             : {
    1682             :   long r;
    1683   342596563 :   if (odd(y)) return krouu_s(umodiu(x,y), y, 1);
    1684     2132032 :   if (!mpodd(x)) return 0;
    1685     2109898 :   r = vals(y); y >>= r;
    1686     2109898 :   return krouu_s(umodiu(x,y), y, (odd(r) && gome(x))? -1: 1);
    1687             : }
    1688             : 
    1689             : /* assume y > 0, odd, return s * kronecker(x,y) */
    1690             : static long
    1691      120506 : krouodd(ulong x, GEN y, long s)
    1692             : {
    1693             :   long r;
    1694      120506 :   if (lgefint(y) == 3) return krouu_s(x, y[2], s);
    1695       41840 :   if (!x) return 0; /* y != 1 */
    1696       41840 :   r = vals(x);
    1697       41840 :   if (r)
    1698             :   {
    1699        7337 :     if (odd(r) && gome(y)) s = -s;
    1700        7337 :     x >>= r;
    1701             :   }
    1702             :   /* x=3 mod 4 && y=3 mod 4 ? (both are odd here) */
    1703       41840 :   if (x & mod2BIL(y) & 2) s = -s;
    1704       41840 :   return krouu_s(umodiu(y,x), x, s);
    1705             : }
    1706             : 
    1707             : long
    1708      119997 : krosi(long x, GEN y)
    1709             : {
    1710      119997 :   const pari_sp av = avma;
    1711      119997 :   long s = 1, r;
    1712      119997 :   switch (signe(y))
    1713             :   {
    1714           0 :     case -1: y = negi(y); if (x < 0) s = -1; break;
    1715           0 :     case 0: return (x==1 || x==-1);
    1716             :   }
    1717      119997 :   r = vali(y);
    1718      119997 :   if (r)
    1719             :   {
    1720        8421 :     if (!odd(x)) return gc_long(av,0);
    1721        8421 :     if (odd(r) && ome(x)) s = -s;
    1722        8421 :     y = shifti(y,-r);
    1723             :   }
    1724      119997 :   if (x < 0) { x = -x; if (mod4(y) == 3) s = -s; }
    1725      119997 :   return gc_long(av, krouodd((ulong)x, y, s));
    1726             : }
    1727             : 
    1728             : long
    1729         509 : kroui(ulong x, GEN y)
    1730             : {
    1731         509 :   const pari_sp av = avma;
    1732         509 :   long s = 1, r;
    1733         509 :   switch (signe(y))
    1734             :   {
    1735           0 :     case -1: y = negi(y); break;
    1736           0 :     case 0: return x==1UL;
    1737             :   }
    1738         509 :   r = vali(y);
    1739         509 :   if (r)
    1740             :   {
    1741           0 :     if (!odd(x)) return gc_long(av,0);
    1742           0 :     if (odd(r) && ome(x)) s = -s;
    1743           0 :     y = shifti(y,-r);
    1744             :   }
    1745         509 :   return gc_long(av,  krouodd(x, y, s));
    1746             : }
    1747             : 
    1748             : long
    1749    73638253 : kross(long x, long y)
    1750             : {
    1751             :   ulong yu;
    1752    73638253 :   long s = 1;
    1753             : 
    1754    73638253 :   if (y <= 0)
    1755             :   {
    1756         441 :     if (y == 0) return (labs(x)==1);
    1757         413 :     yu = (ulong)-y; if (x < 0) s = -1;
    1758             :   }
    1759             :   else
    1760    73637812 :     yu = (ulong)y;
    1761    73638225 :   if (!odd(yu))
    1762             :   {
    1763             :     long r;
    1764    17167277 :     if (!odd(x)) return 0;
    1765    12339335 :     r = vals(yu); yu >>= r;
    1766    12339335 :     if (odd(r) && ome(x)) s = -s;
    1767             :   }
    1768    68810283 :   x %= (long)yu; if (x < 0) x += yu;
    1769    68810283 :   return krouu_s((ulong)x, yu, s);
    1770             : }
    1771             : 
    1772             : long
    1773    63055662 : krouu(ulong x, ulong y)
    1774             : {
    1775             :   long r;
    1776    63055662 :   if (odd(y)) return krouu_s(x, y, 1);
    1777        1674 :   if (!odd(x)) return 0;
    1778        1674 :   r = vals(y); y >>= r;
    1779        1674 :   return krouu_s(x, y, (odd(r) && ome(x))? -1: 1);
    1780             : }
    1781             : 
    1782             : /*********************************************************************/
    1783             : /**                                                                 **/
    1784             : /**                          HILBERT SYMBOL                         **/
    1785             : /**                                                                 **/
    1786             : /*********************************************************************/
    1787             : /* x,y are t_INT or t_REAL */
    1788             : static long
    1789        9982 : mphilbertoo(GEN x, GEN y)
    1790             : {
    1791        9982 :   long sx = signe(x), sy = signe(y);
    1792        9982 :   if (!sx || !sy) return 0;
    1793        9982 :   return (sx < 0 && sy < 0)? -1: 1;
    1794             : }
    1795             : 
    1796             : long
    1797       53144 : hilbertii(GEN x, GEN y, GEN p)
    1798             : {
    1799             :   pari_sp av;
    1800             :   long oddvx, oddvy, z;
    1801             : 
    1802       53144 :   if (!p) return mphilbertoo(x,y);
    1803       43183 :   if (is_pm1(p) || signe(p) < 0) pari_err_PRIME("hilbertii",p);
    1804       43183 :   if (!signe(x) || !signe(y)) return 0;
    1805       43162 :   av = avma;
    1806       43162 :   oddvx = odd(Z_pvalrem(x,p,&x));
    1807       43162 :   oddvy = odd(Z_pvalrem(y,p,&y));
    1808             :   /* x, y are p-units, compute hilbert(x * p^oddvx, y * p^oddvy, p) */
    1809       43162 :   if (absequaliu(p, 2))
    1810             :   {
    1811       10689 :     z = (Mod4(x) == 3 && Mod4(y) == 3)? -1: 1;
    1812       10689 :     if (oddvx && gome(y)) z = -z;
    1813       10689 :     if (oddvy && gome(x)) z = -z;
    1814             :   }
    1815             :   else
    1816             :   {
    1817       32473 :     z = (oddvx && oddvy && mod4(p) == 3)? -1: 1;
    1818       32473 :     if (oddvx && kronecker(y,p) < 0) z = -z;
    1819       32473 :     if (oddvy && kronecker(x,p) < 0) z = -z;
    1820             :   }
    1821       43162 :   return gc_long(av, z);
    1822             : }
    1823             : 
    1824             : static void
    1825         196 : err_prec(void) { pari_err_PREC("hilbert"); }
    1826             : static void
    1827         161 : err_p(GEN p, GEN q) { pari_err_MODULUS("hilbert", p,q); }
    1828             : static void
    1829          56 : err_oo(GEN p) { pari_err_MODULUS("hilbert", p, strtoGENstr("oo")); }
    1830             : 
    1831             : /* x t_INTMOD, *pp = prime or NULL [ unset, set it to x.mod ].
    1832             :  * Return lift(x) provided it's p-adic accuracy is large enough to decide
    1833             :  * hilbert()'s value [ problem at p = 2 ] */
    1834             : static GEN
    1835         420 : lift_intmod(GEN x, GEN *pp)
    1836             : {
    1837         420 :   GEN p = *pp, N = gel(x,1);
    1838         420 :   x = gel(x,2);
    1839         420 :   if (!p)
    1840             :   {
    1841         266 :     *pp = p = N;
    1842         266 :     switch(itos_or_0(p))
    1843             :     {
    1844             :       case 2:
    1845         126 :       case 4: err_prec();
    1846             :     }
    1847         140 :     return x;
    1848             :   }
    1849         154 :   if (!signe(p)) err_oo(N);
    1850         112 :   if (absequaliu(p,2))
    1851          42 :   { if (vali(N) <= 2) err_prec(); }
    1852             :   else
    1853          70 :   { if (!dvdii(N,p)) err_p(N,p); }
    1854          28 :   if (!signe(x)) err_prec();
    1855          21 :   return x;
    1856             : }
    1857             : /* x t_PADIC, *pp = prime or NULL [ unset, set it to x.p ].
    1858             :  * Return lift(x)*p^(v(x) mod 2) provided it's p-adic accuracy is large enough
    1859             :  * to decide hilbert()'s value [ problem at p = 2 ]*/
    1860             : static GEN
    1861         210 : lift_padic(GEN x, GEN *pp)
    1862             : {
    1863         210 :   GEN p = *pp, q = gel(x,2), y = gel(x,4);
    1864         210 :   if (!p) *pp = p = q;
    1865         147 :   else if (!equalii(p,q)) err_p(p, q);
    1866         105 :   if (absequaliu(p,2) && precp(x) <= 2) err_prec();
    1867          70 :   if (!signe(y)) err_prec();
    1868          70 :   return odd(valp(x))? mulii(p,y): y;
    1869             : }
    1870             : 
    1871             : long
    1872         658 : hilbert(GEN x, GEN y, GEN p)
    1873             : {
    1874         658 :   pari_sp av = avma;
    1875         658 :   long tx = typ(x), ty = typ(y);
    1876             : 
    1877         658 :   if (p && typ(p) != t_INT) pari_err_TYPE("hilbert",p);
    1878         658 :   if (tx == t_REAL)
    1879             :   {
    1880          77 :     if (p && signe(p)) err_oo(p);
    1881          63 :     switch (ty)
    1882             :     {
    1883             :       case t_INT:
    1884           7 :       case t_REAL: return mphilbertoo(x,y);
    1885           0 :       case t_FRAC: return mphilbertoo(x,gel(y,1));
    1886          56 :       default: pari_err_TYPE2("hilbert",x,y);
    1887             :     }
    1888             :   }
    1889         581 :   if (ty == t_REAL)
    1890             :   {
    1891          14 :     if (p && signe(p)) err_oo(p);
    1892          14 :     switch (tx)
    1893             :     {
    1894             :       case t_INT:
    1895          14 :       case t_REAL: return mphilbertoo(x,y);
    1896           0 :       case t_FRAC: return mphilbertoo(gel(x,1),y);
    1897           0 :       default: pari_err_TYPE2("hilbert",x,y);
    1898             :     }
    1899             :   }
    1900         567 :   if (tx == t_INTMOD) { x = lift_intmod(x, &p); tx = t_INT; }
    1901         364 :   if (ty == t_INTMOD) { y = lift_intmod(y, &p); ty = t_INT; }
    1902             : 
    1903         308 :   if (tx == t_PADIC) { x = lift_padic(x, &p); tx = t_INT; }
    1904         245 :   if (ty == t_PADIC) { y = lift_padic(y, &p); ty = t_INT; }
    1905             : 
    1906         168 :   if (tx == t_FRAC) { tx = t_INT; x = p? mulii(gel(x,1),gel(x,2)): gel(x,1); }
    1907         168 :   if (ty == t_FRAC) { ty = t_INT; y = p? mulii(gel(y,1),gel(y,2)): gel(y,1); }
    1908             : 
    1909         168 :   if (tx != t_INT || ty != t_INT) pari_err_TYPE2("hilbert",x,y);
    1910         168 :   if (p && !signe(p)) p = NULL;
    1911         168 :   return gc_long(av, hilbertii(x,y,p));
    1912             : }
    1913             : 
    1914             : /*******************************************************************/
    1915             : /*                                                                 */
    1916             : /*                       SQUARE ROOT MODULO p                      */
    1917             : /*                                                                 */
    1918             : /*******************************************************************/
    1919             : static void
    1920     4267163 : checkp(ulong q, ulong p)
    1921     4267163 : { if (!q) pari_err_PRIME("Fl_nonsquare",utoipos(p)); }
    1922             : /* p = 1 (mod 4) prime, return the first quadratic non-residue, a prime */
    1923             : static ulong
    1924    26768372 : nonsquare1_Fl(ulong p)
    1925             : {
    1926             :   forprime_t S;
    1927             :   ulong q;
    1928    26768372 :   if ((p & 7UL) != 1) return 2UL;
    1929    10951424 :   q = p % 3; if (q == 2) return 3UL;
    1930     3412517 :   checkp(q, p);
    1931     3412510 :   q = p % 5; if (q == 2 || q == 3) return 5UL;
    1932      518825 :   checkp(q, p);
    1933      518825 :   q = p % 7; if (q != 4 && q >= 3) return 7UL;
    1934      209946 :   checkp(q, p);
    1935      209946 :   u_forprime_init(&S, 11, p);
    1936      545767 :   while ((q = u_forprime_next(&S)))
    1937             :   {
    1938      335821 :     long i = krouu(q, p);
    1939      335821 :     if (i < 0) return q;
    1940      125875 :     checkp(q, p);
    1941             :   }
    1942           0 :   checkp(0, p);
    1943             :   return 0; /*LCOV_EXCL_LINE*/
    1944             : }
    1945             : /* p > 2 a prime */
    1946             : ulong
    1947        7714 : nonsquare_Fl(ulong p)
    1948        7714 : { return ((p & 3UL) == 3)? p-1: nonsquare1_Fl(p); }
    1949             : 
    1950             : ulong
    1951      150648 : Fl_2gener_pre(ulong p, ulong pi)
    1952             : {
    1953      150648 :   ulong p1 = p-1;
    1954      150648 :   long e = vals(p1);
    1955      150650 :   if (e == 1) return p1;
    1956       56689 :   return Fl_powu_pre(nonsquare1_Fl(p), p1 >> e, p, pi);
    1957             : }
    1958             : 
    1959             : /* Tonelli-Shanks. Assume p is prime and (a,p) != -1. */
    1960             : ulong
    1961    64213721 : Fl_sqrt_pre_i(ulong a, ulong y, ulong p, ulong pi)
    1962             : {
    1963             :   long i, e, k;
    1964             :   ulong p1, q, v, w;
    1965             : 
    1966    64213721 :   if (!a) return 0;
    1967    62884140 :   p1 = p - 1; e = vals(p1);
    1968    62886920 :   if (e == 0) /* p = 2 */
    1969             :   {
    1970      418894 :     if (p != 2) pari_err_PRIME("Fl_sqrt [modulus]",utoi(p));
    1971      418887 :     return ((a & 1) == 0)? 0: 1;
    1972             :   }
    1973    62468026 :   if (e == 1)
    1974             :   {
    1975    35754737 :     v = Fl_powu_pre(a, (p+1) >> 2, p, pi);
    1976    35744177 :     if (Fl_sqr_pre(v, p, pi) != a) return ~0UL;
    1977    35712370 :     p1 = p - v; if (v > p1) v = p1;
    1978    35712370 :     return v;
    1979             :   }
    1980    26713289 :   q = p1 >> e; /* q = (p-1)/2^oo is odd */
    1981    26713289 :   p1 = Fl_powu_pre(a, q >> 1, p, pi); /* a ^ [(q-1)/2] */
    1982    26713289 :   if (!p1) return 0;
    1983    26713289 :   v = Fl_mul_pre(a, p1, p, pi);
    1984    26713289 :   w = Fl_mul_pre(v, p1, p, pi);
    1985    26713289 :   if (!y) y = Fl_powu_pre(nonsquare1_Fl(p), q, p, pi);
    1986    75728623 :   while (w != 1)
    1987             :   { /* a*w = v^2, y primitive 2^e-th root of 1
    1988             :        a square --> w even power of y, hence w^(2^(e-1)) = 1 */
    1989    22330313 :     p1 = Fl_sqr_pre(w,p,pi);
    1990    22330313 :     for (k=1; p1 != 1 && k < e; k++) p1 = Fl_sqr_pre(p1,p,pi);
    1991    22330313 :     if (k == e) return ~0UL;
    1992             :     /* w ^ (2^k) = 1 --> w = y ^ (u * 2^(e-k)), u odd */
    1993    22302059 :     p1 = y;
    1994    22302059 :     for (i=1; i < e-k; i++) p1 = Fl_sqr_pre(p1, p, pi);
    1995    22302059 :     y = Fl_sqr_pre(p1, p, pi); e = k;
    1996    22302059 :     w = Fl_mul_pre(y, w, p, pi);
    1997    22302059 :     v = Fl_mul_pre(v, p1, p, pi);
    1998             :   }
    1999    26685028 :   p1 = p - v; if (v > p1) v = p1;
    2000    26685028 :   return v;
    2001             : }
    2002             : 
    2003             : ulong
    2004    60760584 : Fl_sqrt(ulong a, ulong p)
    2005             : {
    2006    60760584 :   ulong pi = get_Fl_red(p);
    2007    60764600 :   return Fl_sqrt_pre_i(a, 0, p, pi);
    2008             : }
    2009             : 
    2010             : ulong
    2011     3416105 : Fl_sqrt_pre(ulong a, ulong p, ulong pi)
    2012             : {
    2013     3416105 :   return Fl_sqrt_pre_i(a, 0, p, pi);
    2014             : }
    2015             : 
    2016             : static ulong
    2017       46242 : Fl_lgener_pre_all(ulong l, long e, ulong r, ulong p, ulong pi, ulong *pt_m)
    2018             : {
    2019             :   ulong x, y, m;
    2020       46242 :   ulong le1 = upowuu(l, e-1);
    2021       72873 :   for (x = 2; ; x++)
    2022             :   {
    2023       99504 :     y = Fl_powu_pre(x, r, p, pi);
    2024       72873 :     if (y==1) continue;
    2025       56598 :     m = Fl_powu_pre(y, le1, p, pi);
    2026       56598 :     if (m != 1) break;
    2027             :   }
    2028       46242 :   *pt_m = m;
    2029       46242 :   return y;
    2030             : }
    2031             : 
    2032             : /* solve x^l = a , l prime in G of order q.
    2033             :  *
    2034             :  * q =  (l^e)*r, e >= 1, (r,l) = 1
    2035             :  * y generates the l-Sylow of G
    2036             :  * m = y^(l^(e-1)) != 1 */
    2037             : static ulong
    2038      110494 : Fl_sqrtl_raw(ulong a, ulong l, ulong e, ulong r, ulong p, ulong pi, ulong y, ulong m)
    2039             : {
    2040             :   ulong p1, v, w, z, dl;
    2041             :   ulong u2;
    2042      110494 :   if (a==0) return a;
    2043      110494 :   u2 = Fl_inv(l%r, r);
    2044      110491 :   v = Fl_powu_pre(a, u2, p, pi);
    2045      110494 :   w = Fl_powu_pre(v, l, p, pi);
    2046      110493 :   w = Fl_mul_pre(w, Fl_inv(a, p), p, pi);
    2047      110481 :   if (w==1) return v;
    2048       45309 :   if (y==0) y = Fl_lgener_pre_all(l, e, r, p, pi, &m);
    2049      109623 :   while (w!=1)
    2050             :   {
    2051       49554 :     ulong k = 0;
    2052       49554 :     p1 = w;
    2053             :     do
    2054             :     {
    2055       73427 :       z = p1; p1 = Fl_powu_pre(p1, l, p, pi);
    2056       73427 :       k++;
    2057       73427 :     } while (p1!=1);
    2058       49554 :     if (k==e) return ULONG_MAX;
    2059       19005 :     dl = Fl_log_pre(z, m, l, p, pi);
    2060       19005 :     dl = Fl_neg(dl, l);
    2061       19005 :     p1 = Fl_powu_pre(y,dl*upowuu(l,e-k-1),p,pi);
    2062       19005 :     m = Fl_powu_pre(m, dl, p, pi);
    2063       19005 :     e = k;
    2064       19005 :     v = Fl_mul_pre(p1,v,p,pi);
    2065       19005 :     y = Fl_powu_pre(p1,l,p,pi);
    2066       19005 :     w = Fl_mul_pre(y,w,p,pi);
    2067             :   }
    2068       14760 :   return v;
    2069             : }
    2070             : 
    2071             : static ulong
    2072      109786 : Fl_sqrtl_i(ulong a, ulong l, ulong p, ulong pi, ulong y, ulong m)
    2073             : {
    2074      109786 :   ulong r, e = u_lvalrem(p-1, l, &r);
    2075      109787 :   return Fl_sqrtl_raw(a, l, e, r, p, pi, y, m);
    2076             : }
    2077             : 
    2078             : ulong
    2079      109786 : Fl_sqrtl_pre(ulong a, ulong l, ulong p, ulong pi)
    2080             : {
    2081      109786 :   return Fl_sqrtl_i(a, l, p, pi, 0, 0);
    2082             : }
    2083             : 
    2084             : ulong
    2085           0 : Fl_sqrtl(ulong a, ulong l, ulong p)
    2086             : {
    2087           0 :   ulong pi = get_Fl_red(p);
    2088           0 :   return Fl_sqrtl_i(a, l, p, pi, 0, 0);
    2089             : }
    2090             : 
    2091             : ulong
    2092       64969 : Fl_sqrtn_pre(ulong a, long n, ulong p, ulong pi, ulong *zetan)
    2093             : {
    2094       64969 :   ulong m, q = p-1, z;
    2095       64969 :   ulong nn = n >= 0 ? (ulong)n: -(ulong)n;
    2096       64969 :   if (a==0)
    2097             :   {
    2098       48118 :     if (n < 0) pari_err_INV("Fl_sqrtn", mkintmod(gen_0,utoi(p)));
    2099       48111 :     if (zetan) *zetan = 1UL;
    2100       48111 :     return 0;
    2101             :   }
    2102       16851 :   if (n==1)
    2103             :   {
    2104           0 :     if (zetan) *zetan = 1;
    2105           0 :     return n < 0? Fl_inv(a,p): a;
    2106             :   }
    2107       16851 :   if (n==2)
    2108             :   {
    2109        3444 :     if (zetan) *zetan = p-1;
    2110        3444 :     return Fl_sqrt_pre_i(a, 0, p, pi);
    2111             :   }
    2112       13407 :   if (a == 1 && !zetan) return a;
    2113        7478 :   m = ugcd(nn, q);
    2114        7478 :   z = 1;
    2115        7478 :   if (m!=1)
    2116             :   {
    2117         912 :     GEN F = factoru(m);
    2118             :     long i, j, e;
    2119             :     ulong r, zeta, y, l;
    2120        1915 :     for (i = nbrows(F); i; i--)
    2121             :     {
    2122        1017 :       l = ucoeff(F,i,1);
    2123        1017 :       j = ucoeff(F,i,2);
    2124        1017 :       e = u_lvalrem(q,l, &r);
    2125        1017 :       y = Fl_lgener_pre_all(l, e, r, p, pi, &zeta);
    2126        1017 :       if (zetan)
    2127         464 :         z = Fl_mul_pre(z, Fl_powu_pre(y, upowuu(l,e-j), p, pi), p, pi);
    2128        1017 :       if (a!=1)
    2129             :         do
    2130             :         {
    2131         707 :           a = Fl_sqrtl_raw(a, l, e, r, p, pi, y, zeta);
    2132         693 :           if (!a) return ULONG_MAX;
    2133         693 :         } while (--j);
    2134             :     }
    2135             :   }
    2136        7464 :   if (m != nn)
    2137             :   {
    2138        6594 :     ulong qm = q/m, nm = nn/m;
    2139        6594 :     a = Fl_powu_pre(a, Fl_inv(nm%qm, qm), p, pi);
    2140             :   }
    2141        7464 :   if (n < 0) a = Fl_inv(a, p);
    2142        7464 :   if (zetan) *zetan = z;
    2143        7464 :   return a;
    2144             : }
    2145             : 
    2146             : ulong
    2147       64969 : Fl_sqrtn(ulong a, long n, ulong p, ulong *zetan)
    2148             : {
    2149       64969 :   ulong pi = get_Fl_red(p);
    2150       64969 :   return Fl_sqrtn_pre(a, n, p, pi, zetan);
    2151             : }
    2152             : 
    2153             : /* Cipolla is better than Tonelli-Shanks when e = v_2(p-1) is "too big".
    2154             :  * Otherwise, is a constant times worse; for p = 3 (mod 4), is about 3 times worse,
    2155             :  * and in average is about 2 or 2.5 times worse. But try both algorithms for
    2156             :  * S(n) = (2^n+3)^2-8 with n = 750, 771, 779, 790, 874, 1176, 1728, 2604, etc.
    2157             :  *
    2158             :  * If X^2 := t^2 - a  is not a square in F_p (so X is in F_p^2), then
    2159             :  *   (t+X)^(p+1) = (t-X)(t+X) = a,   hence  sqrt(a) = (t+X)^((p+1)/2)  in F_p^2.
    2160             :  * If (a|p)=1, then sqrt(a) is in F_p.
    2161             :  * cf: LNCS 2286, pp 430-434 (2002)  [Gonzalo Tornaria] */
    2162             : 
    2163             : /* compute y^2, y = y[1] + y[2] X */
    2164             : static GEN
    2165         449 : sqrt_Cipolla_sqr(void *data, GEN y)
    2166             : {
    2167         449 :   GEN u = gel(y,1), v = gel(y,2), p = gel(data,2), n = gel(data,3);
    2168         449 :   GEN u2 = sqri(u), v2 = sqri(v);
    2169         449 :   v = subii(sqri(addii(v,u)), addii(u2,v2));
    2170         449 :   u = addii(u2, mulii(v2,n));
    2171             :   /* NOT mkvec2: must be gerepileupto-able */
    2172         449 :   retmkvec2(modii(u,p), modii(v,p));
    2173             : }
    2174             : /* compute (t+X) y^2 */
    2175             : static GEN
    2176          23 : sqrt_Cipolla_msqr(void *data, GEN y)
    2177             : {
    2178          23 :   GEN u = gel(y,1), v = gel(y,2), a = gel(data,1), p = gel(data,2), gt = gel(data,4);
    2179          23 :   ulong t = gt[2];
    2180          23 :   GEN d = addii(u, mului(t,v)), d2= sqri(d);
    2181          23 :   GEN b = remii(mulii(a,v), p);
    2182          23 :   u = subii(mului(t,d2), mulii(b,addii(u,d)));
    2183          23 :   v = subii(d2, mulii(b,v));
    2184             :   /* NOT mkvec2: must be gerepileupto-able */
    2185          23 :   retmkvec2(modii(u,p), modii(v,p));
    2186             : }
    2187             : /* assume a reduced mod p [ otherwise correct but inefficient ] */
    2188             : static GEN
    2189           8 : sqrt_Cipolla(GEN a, GEN p)
    2190             : {
    2191             :   pari_sp av1;
    2192             :   GEN u, v, n, y, pov2;
    2193             :   ulong t;
    2194             : 
    2195           8 :   if (kronecker(a, p) < 0) return NULL;
    2196           8 :   pov2 = shifti(p,-1);
    2197           8 :   if (cmpii(a,pov2) > 0) a = subii(a,p); /* center: avoid multiplying by huge base*/
    2198             : 
    2199           8 :   av1 = avma;
    2200          41 :   for(t=1; ; t++)
    2201             :   {
    2202          74 :     n = subsi((long)(t*t), a);
    2203          41 :     if (kronecker(n, p) < 0) break;
    2204          33 :     set_avma(av1);
    2205             :   }
    2206             : 
    2207             :   /* compute (t+X)^((p-1)/2) =: u+vX */
    2208           8 :   u = utoipos(t);
    2209           8 :   y = gen_pow_fold(mkvec2(u, gen_1), pov2, mkvec4(a,p,n,u),
    2210             :                          sqrt_Cipolla_sqr, sqrt_Cipolla_msqr);
    2211             :   /* Now u+vX = (t+X)^((p-1)/2); thus
    2212             :    *   (u+vX)(t+X) = sqrt(a) + 0 X
    2213             :    * Whence,
    2214             :    *   sqrt(a) = (u+vt)t - v*a
    2215             :    *   0       = (u+vt)
    2216             :    * Thus a square root is v*a */
    2217             : 
    2218           8 :   v = Fp_mul(gel(y, 2), a, p);
    2219           8 :   if (cmpii(v,pov2) > 0) v = subii(p,v);
    2220           8 :   return v;
    2221             : }
    2222             : 
    2223             : /* Return NULL if p is found to be composite */
    2224             : static GEN
    2225        2800 : Fp_2gener_all(long e, GEN p)
    2226             : {
    2227             :   GEN y, m;
    2228             :   long k;
    2229        2800 :   GEN q = shifti(subiu(p,1), -e); /* q = (p-1)/2^oo is odd */
    2230        2800 :   if (e==0 && !equaliu(p,2)) return NULL;
    2231        9265 :   for (k=2; ; k++)
    2232        6465 :   {
    2233        9265 :     long i = krosi(k, p);
    2234        9265 :     if (i >= 0)
    2235             :     {
    2236        6465 :       if (i) continue;
    2237           0 :       return NULL;
    2238             :     }
    2239        2800 :     y = m = Fp_pow(utoi(k), q, p);
    2240        9402 :     for (i=1; i<e; i++)
    2241        6602 :       if (equali1(m = Fp_sqr(m, p))) break;
    2242        2800 :     if (i == e) break; /* success */
    2243             :   }
    2244        2800 :   return y;
    2245             : }
    2246             : 
    2247             : /* Return NULL if p is found to be composite */
    2248             : GEN
    2249         980 : Fp_2gener(GEN p)
    2250         980 : { return Fp_2gener_all(vali(subis(p,1)),p); }
    2251             : 
    2252             : /* smallest square root */
    2253             : static GEN
    2254       27543 : choose_sqrt(GEN v, GEN p)
    2255             : {
    2256       27543 :   pari_sp av = avma;
    2257       27543 :   GEN q = subii(p,v);
    2258       27543 :   if (cmpii(v,q) > 0) v = q; else set_avma(av);
    2259       27543 :   return v;
    2260             : }
    2261             : /* Tonelli-Shanks. Assume p is prime and return NULL if (a,p) = -1. */
    2262             : GEN
    2263     2361838 : Fp_sqrt_i(GEN a, GEN y, GEN p)
    2264             : {
    2265     2361838 :   pari_sp av = avma;
    2266             :   long i, k, e;
    2267             :   GEN p1, q, v, w;
    2268             : 
    2269     2361838 :   if (typ(a) != t_INT) pari_err_TYPE("Fp_sqrt",a);
    2270     2361838 :   if (typ(p) != t_INT) pari_err_TYPE("Fp_sqrt",p);
    2271     2361838 :   if (signe(p) <= 0 || equali1(p)) pari_err_PRIME("Fp_sqrt",p);
    2272     2361838 :   if (lgefint(p) == 3)
    2273             :   {
    2274     2334188 :     ulong pp = uel(p,2), u = Fl_sqrt(umodiu(a, pp), pp);
    2275     2334174 :     if (u == ~0UL) return NULL;
    2276     2334132 :     return utoi(u);
    2277             :   }
    2278             : 
    2279       27650 :   a = modii(a, p); if (!signe(a)) { set_avma(av); return gen_0; }
    2280       27559 :   p1 = subiu(p,1); e = vali(p1);
    2281       27559 :   if (e <= 2)
    2282             :   { /* direct formulas more efficient */
    2283             :     pari_sp av2;
    2284       22553 :     if (e == 0) pari_err_PRIME("Fp_sqrt [modulus]",p); /* p != 2 */
    2285       22553 :     if (e == 1)
    2286             :     {
    2287       13346 :       q = addiu(shifti(p1,-2),1); /* (p+1) / 4 */
    2288       13346 :       v = Fp_pow(a, q, p);
    2289             :     }
    2290             :     else
    2291             :     { /* Atkin's formula */
    2292        9207 :       GEN i, a2 = shifti(a,1);
    2293        9207 :       if (cmpii(a2,p) >= 0) a2 = subii(a2,p);
    2294        9207 :       q = shifti(p1, -3); /* (p-5)/8 */
    2295        9207 :       v = Fp_pow(a2, q, p);
    2296        9207 :       i = Fp_mul(a2, Fp_sqr(v,p), p); /* i^2 = -1 */
    2297        9207 :       v = Fp_mul(a, Fp_mul(v, subiu(i,1), p), p);
    2298             :     }
    2299       22553 :     av2 = avma;
    2300             :     /* must check equality in case (a/p) = -1 or p not prime */
    2301       22553 :     e = equalii(Fp_sqr(v,p), a); set_avma(av2);
    2302       22553 :     return e? gerepileuptoint(av,choose_sqrt(v,p)): NULL;
    2303             :   }
    2304             :   /* On average, Cipolla is better than Tonelli/Shanks if and only if
    2305             :    * e(e-1) > 8*log2(n)+20, see LNCS 2286 pp 430 [GTL] */
    2306        5006 :   if (e*(e-1) > 20 + 8 * expi(p))
    2307             :   {
    2308           8 :     v = sqrt_Cipolla(a,p); if (!v) return gc_NULL(av);
    2309           8 :     return gerepileuptoint(av,v);
    2310             :   }
    2311        4998 :   if (!y)
    2312             :   {
    2313        1820 :     y = Fp_2gener_all(e, p);
    2314        1820 :     if (!y) pari_err_PRIME("Fp_sqrt [modulus]",p);
    2315             :   }
    2316        4998 :   q = shifti(p1,-e); /* q = (p-1)/2^oo is odd */
    2317        4998 :   p1 = Fp_pow(a, shifti(q,-1), p); /* a ^ (q-1)/2 */
    2318        4998 :   v = Fp_mul(a, p1, p);
    2319        4998 :   w = Fp_mul(v, p1, p);
    2320       17035 :   while (!equali1(w))
    2321             :   { /* a*w = v^2, y primitive 2^e-th root of 1
    2322             :        a square --> w even power of y, hence w^(2^(e-1)) = 1 */
    2323        7039 :     p1 = Fp_sqr(w,p);
    2324        7039 :     for (k=1; !equali1(p1) && k < e; k++) p1 = Fp_sqr(p1,p);
    2325        7039 :     if (k == e) return gc_NULL(av); /* p composite or (a/p) != 1 */
    2326             :     /* w ^ (2^k) = 1 --> w = y ^ (u * 2^(e-k)), u odd */
    2327        7039 :     p1 = y;
    2328        7039 :     for (i=1; i < e-k; i++) p1 = Fp_sqr(p1,p);
    2329        7039 :     y = Fp_sqr(p1, p); e = k;
    2330        7039 :     w = Fp_mul(y, w, p);
    2331        7039 :     v = Fp_mul(v, p1, p);
    2332        7039 :     if (gc_needed(av,1))
    2333             :     {
    2334           0 :       if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"Fp_sqrt");
    2335           0 :       gerepileall(av,3, &y,&w,&v);
    2336             :     }
    2337             :   }
    2338        4998 :   return gerepileuptoint(av, choose_sqrt(v,p));
    2339             : }
    2340             : 
    2341             : GEN
    2342     2347411 : Fp_sqrt(GEN a, GEN p)
    2343             : {
    2344     2347411 :   return Fp_sqrt_i(a, NULL, p);
    2345             : }
    2346             : 
    2347             : /*********************************************************************/
    2348             : /**                                                                 **/
    2349             : /**                        GCD & BEZOUT                             **/
    2350             : /**                                                                 **/
    2351             : /*********************************************************************/
    2352             : 
    2353             : GEN
    2354    19893041 : lcmii(GEN x, GEN y)
    2355             : {
    2356             :   pari_sp av;
    2357             :   GEN a, b;
    2358    19893041 :   if (!signe(x) || !signe(y)) return gen_0;
    2359    19893041 :   av = avma;
    2360    19893041 :   a = gcdii(x,y); if (!equali1(a)) y = diviiexact(y,a);
    2361    19893041 :   b = mulii(x,y); setabssign(b); return gerepileuptoint(av, b);
    2362             : }
    2363             : 
    2364             : /* given x in assume 0 < x < N; return u in (Z/NZ)^* such that u x = gcd(x,N) (mod N);
    2365             :  * set *pd = gcd(x,N) */
    2366             : GEN
    2367     3894165 : Fp_invgen(GEN x, GEN N, GEN *pd)
    2368             : {
    2369             :   GEN d, d0, e, v;
    2370     3894165 :   if (lgefint(N) == 3)
    2371             :   {
    2372     3359078 :     ulong dd, NN = N[2], xx = umodiu(x,NN);
    2373     3359078 :     if (!xx) { *pd = N; return gen_0; }
    2374     3359078 :     xx = Fl_invgen(xx, NN, &dd);
    2375     3359078 :     *pd = utoi(dd); return utoi(xx);
    2376             :   }
    2377      535087 :   *pd = d = bezout(x, N, &v, NULL);
    2378      535087 :   if (equali1(d)) return v;
    2379             :   /* vx = gcd(x,N) (mod N), v coprime to N/d but need not be coprime to N */
    2380      442936 :   e = diviiexact(N,d);
    2381      442936 :   d0 = Z_ppo(d, e); /* d = d0 d1, d0 coprime to N/d, rad(d1) | N/d */
    2382      442936 :   if (equali1(d0)) return v;
    2383      311849 :   if (!equalii(d,d0)) e = lcmii(e, diviiexact(d,d0));
    2384      311849 :   return Z_chinese_coprime(v, gen_1, e, d0, mulii(e,d0));
    2385             : }
    2386             : 
    2387             : /*********************************************************************/
    2388             : /**                                                                 **/
    2389             : /**                      CHINESE REMAINDERS                         **/
    2390             : /**                                                                 **/
    2391             : /*********************************************************************/
    2392             : 
    2393             : /* Chinese Remainder Theorem.  x and y must have the same type (integermod,
    2394             :  * polymod, or polynomial/vector/matrix recursively constructed with these
    2395             :  * as coefficients). Creates (with the same type) a z in the same residue
    2396             :  * class as x and the same residue class as y, if it is possible.
    2397             :  *
    2398             :  * We also allow (during recursion) two identical objects even if they are
    2399             :  * not integermod or polymod. For example:
    2400             :  *
    2401             :  * ? x = [1, Mod(5, 11), Mod(X + Mod(2, 7), X^2 + 1)];
    2402             :  * ? y = [1, Mod(7, 17), Mod(X + Mod(0, 3), X^2 + 1)];
    2403             :  * ? chinese(x, y)
    2404             :  * %3 = [1, Mod(16, 187), Mod(X + mod(9, 21), X^2 + 1)] */
    2405             : 
    2406             : static GEN
    2407      327171 : gen_chinese(GEN x, GEN(*f)(GEN,GEN))
    2408             : {
    2409      327171 :   GEN z = gassoc_proto(f,x,NULL);
    2410      327164 :   if (z == gen_1) retmkintmod(gen_0,gen_1);
    2411      327129 :   return z;
    2412             : }
    2413             : 
    2414             : /* x t_INTMOD, y t_POLMOD; promote x to t_POLMOD mod Pol(x.mod) then
    2415             :  * call chinese: makes Mod(0,1) a better "neutral" element */
    2416             : static GEN
    2417          21 : chinese_intpol(GEN x,GEN y)
    2418             : {
    2419          21 :   pari_sp av = avma;
    2420          21 :   GEN z = mkpolmod(gel(x,2), scalarpol_shallow(gel(x,1), varn(gel(y,1))));
    2421          21 :   return gerepileupto(av, chinese(z, y));
    2422             : }
    2423             : 
    2424             : GEN
    2425          49 : chinese1(GEN x) { return gen_chinese(x,chinese); }
    2426             : 
    2427             : GEN
    2428       16520 : chinese(GEN x, GEN y)
    2429             : {
    2430             :   pari_sp av;
    2431       16520 :   long tx = typ(x), ty;
    2432             :   GEN z,p1,p2,d,u,v;
    2433             : 
    2434       16520 :   if (!y) return chinese1(x);
    2435       16471 :   if (gidentical(x,y)) return gcopy(x);
    2436       16464 :   ty = typ(y);
    2437       16464 :   if (tx == ty) switch(tx)
    2438             :   {
    2439             :     case t_POLMOD:
    2440             :     {
    2441          28 :       GEN A = gel(x,1), B = gel(y,1);
    2442          28 :       GEN a = gel(x,2), b = gel(y,2);
    2443          28 :       if (varn(A)!=varn(B)) pari_err_VAR("chinese",A,B);
    2444          28 :       if (RgX_equal(A,B)) retmkpolmod(chinese(a,b), gcopy(A)); /*same modulus*/
    2445          28 :       av = avma;
    2446          28 :       d = RgX_extgcd(A,B,&u,&v);
    2447          28 :       p2 = gsub(b, a);
    2448          28 :       if (!gequal0(gmod(p2, d))) break;
    2449          28 :       p1 = gdiv(A,d);
    2450          28 :       p2 = gadd(a, gmul(gmul(u,p1), p2));
    2451             : 
    2452          28 :       z = cgetg(3, t_POLMOD);
    2453          28 :       gel(z,1) = gmul(p1,B);
    2454          28 :       gel(z,2) = gmod(p2,gel(z,1));
    2455          28 :       return gerepileupto(av, z);
    2456             :     }
    2457             :     case t_INTMOD:
    2458             :     {
    2459       16401 :       GEN A = gel(x,1), B = gel(y,1);
    2460       16401 :       GEN a = gel(x,2), b = gel(y,2), c, d, C, U;
    2461       16401 :       z = cgetg(3,t_INTMOD);
    2462       16401 :       Z_chinese_pre(A, B, &C, &U, &d);
    2463       16401 :       c = Z_chinese_post(a, b, C, U, d);
    2464       16401 :       if (!c) pari_err_OP("chinese", x,y);
    2465       16401 :       gel(z,1) = icopy_avma(C, (pari_sp)z);
    2466       16401 :       gel(z,2) = icopy_avma(c, (pari_sp)gel(z,1));
    2467       16401 :       avma = (pari_sp)gel(z,2); return z;
    2468             :     }
    2469             :     case t_POL:
    2470             :     {
    2471           7 :       long i, lx = lg(x), ly = lg(y);
    2472           7 :       if (varn(x) != varn(y)) break;
    2473           7 :       if (lx < ly) { swap(x,y); lswap(lx,ly); }
    2474           7 :       z = cgetg(lx, t_POL); z[1] = x[1];
    2475           7 :       for (i=2; i<ly; i++) gel(z,i) = chinese(gel(x,i),gel(y,i));
    2476           7 :       for (   ; i<lx; i++) gel(z,i) = gcopy(gel(x,i));
    2477           7 :       return z;
    2478             :     }
    2479             : 
    2480             :     case t_VEC: case t_COL: case t_MAT:
    2481             :     {
    2482             :       long i, lx;
    2483           7 :       z = cgetg_copy(x, &lx); if (lx!=lg(y)) break;
    2484           7 :       for (i=1; i<lx; i++) gel(z,i) = chinese(gel(x,i),gel(y,i));
    2485           7 :       return z;
    2486             :     }
    2487             :   }
    2488          21 :   if (tx == t_POLMOD && ty == t_INTMOD) return chinese_intpol(y,x);
    2489           7 :   if (ty == t_POLMOD && tx == t_INTMOD) return chinese_intpol(x,y);
    2490           0 :   pari_err_OP("chinese",x,y);
    2491             :   return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
    2492             : }
    2493             : 
    2494             : /* init chinese(Mod(.,A), Mod(.,B)) */
    2495             : void
    2496      237890 : Z_chinese_pre(GEN A, GEN B, GEN *pC, GEN *pU, GEN *pd)
    2497             : {
    2498      237890 :   GEN u, d = bezout(A,B,&u,NULL); /* U = u(A/d), u(A/d) + v(B/d) = 1 */
    2499      237890 :   GEN t = diviiexact(A,d);
    2500      237890 :   *pU = mulii(u, t);
    2501      237890 :   *pC = mulii(t, B);
    2502      237890 :   if (pd) *pd = d;
    2503      237890 : }
    2504             : /* Assume C = lcm(A, B), U = 0 mod (A/d), U = 1 mod (B/d), a = b mod d,
    2505             :  * where d = gcd(A,B) or NULL, return x = a (mod A), b (mod B).
    2506             :  * If d not NULL, check wether a = b mod d. */
    2507             : GEN
    2508      847109 : Z_chinese_post(GEN a, GEN b, GEN C, GEN U, GEN d)
    2509             : {
    2510             :   GEN b_a;
    2511      847109 :   if (!signe(a))
    2512             :   {
    2513      314984 :     if (d && !dvdii(b, d)) return NULL;
    2514      314984 :     return Fp_mul(b, U, C);
    2515             :   }
    2516      532125 :   b_a = subii(b,a);
    2517      532125 :   if (d && !dvdii(b_a, d)) return NULL;
    2518      532125 :   return modii(addii(a, mulii(U, b_a)), C);
    2519             : }
    2520             : static ulong
    2521     2159133 : u_chinese_post(ulong a, ulong b, ulong C, ulong U)
    2522             : {
    2523     2159133 :   if (!a) return Fl_mul(b, U, C);
    2524     2159133 :   return Fl_add(a, Fl_mul(U, Fl_sub(b,a,C), C), C);
    2525             : }
    2526             : 
    2527             : GEN
    2528        2142 : Z_chinese(GEN a, GEN b, GEN A, GEN B)
    2529             : {
    2530        2142 :   pari_sp av = avma;
    2531        2142 :   GEN C, U; Z_chinese_pre(A, B, &C, &U, NULL);
    2532        2142 :   return gerepileuptoint(av, Z_chinese_post(a,b, C, U, NULL));
    2533             : }
    2534             : GEN
    2535      219291 : Z_chinese_all(GEN a, GEN b, GEN A, GEN B, GEN *pC)
    2536             : {
    2537      219291 :   GEN U; Z_chinese_pre(A, B, pC, &U, NULL);
    2538      219291 :   return Z_chinese_post(a,b, *pC, U, NULL);
    2539             : }
    2540             : 
    2541             : /* return lift(chinese(a mod A, b mod B))
    2542             :  * assume(A,B)=1, a,b,A,B integers and C = A*B */
    2543             : GEN
    2544      312899 : Z_chinese_coprime(GEN a, GEN b, GEN A, GEN B, GEN C)
    2545             : {
    2546      312899 :   pari_sp av = avma;
    2547      312899 :   GEN U = mulii(Fp_inv(A,B), A);
    2548      312899 :   return gerepileuptoint(av, Z_chinese_post(a,b,C,U, NULL));
    2549             : }
    2550             : ulong
    2551     2159133 : u_chinese_coprime(ulong a, ulong b, ulong A, ulong B, ulong C)
    2552     2159133 : { return u_chinese_post(a,b,C, A * Fl_inv(A % B,B)); }
    2553             : 
    2554             : /* chinese1 for coprime moduli in Z */
    2555             : static GEN
    2556      296054 : chinese1_coprime_Z_aux(GEN x, GEN y)
    2557             : {
    2558      296054 :   GEN z = cgetg(3, t_INTMOD);
    2559      296054 :   GEN A = gel(x,1), a = gel(x, 2);
    2560      296054 :   GEN B = gel(y,1), b = gel(y, 2), C = mulii(A,B);
    2561      296054 :   pari_sp av = avma;
    2562      296054 :   GEN U = mulii(Fp_inv(A,B), A);
    2563      296054 :   gel(z,2) = gerepileuptoint(av, Z_chinese_post(a,b,C,U, NULL));
    2564      296054 :   gel(z,1) = C; return z;
    2565             : }
    2566             : GEN
    2567      327122 : chinese1_coprime_Z(GEN x) {return gen_chinese(x,chinese1_coprime_Z_aux);}
    2568             : 
    2569             : /*********************************************************************/
    2570             : /**                                                                 **/
    2571             : /**                    MODULAR EXPONENTIATION                       **/
    2572             : /**                                                                 **/
    2573             : /*********************************************************************/
    2574             : 
    2575             : /* xa, ya = t_VECSMALL */
    2576             : GEN
    2577      485794 : ZV_producttree(GEN xa)
    2578             : {
    2579      485794 :   long n = lg(xa)-1;
    2580      485794 :   long m = n==1 ? 1: expu(n-1)+1;
    2581      485794 :   GEN T = cgetg(m+1, t_VEC), t;
    2582             :   long i, j, k;
    2583      485792 :   t = cgetg(((n+1)>>1)+1, t_VEC);
    2584      485793 :   if (typ(xa)==t_VECSMALL)
    2585             :   {
    2586      974254 :     for (j=1, k=1; k<n; j++, k+=2)
    2587      566065 :       gel(t, j) = muluu(xa[k], xa[k+1]);
    2588      408189 :     if (k==n) gel(t, j) = utoi(xa[k]);
    2589             :   } else {
    2590      378779 :     for (j=1, k=1; k<n; j++, k+=2)
    2591      301177 :       gel(t, j) = mulii(gel(xa,k), gel(xa,k+1));
    2592       77602 :     if (k==n) gel(t, j) = icopy(gel(xa,k));
    2593             :   }
    2594      485791 :   gel(T,1) = t;
    2595      919164 :   for (i=2; i<=m; i++)
    2596             :   {
    2597      433374 :     GEN u = gel(T, i-1);
    2598      433374 :     long n = lg(u)-1;
    2599      433374 :     t = cgetg(((n+1)>>1)+1, t_VEC);
    2600     1060452 :     for (j=1, k=1; k<n; j++, k+=2)
    2601      627079 :       gel(t, j) = mulii(gel(u, k), gel(u, k+1));
    2602      433373 :     if (k==n) gel(t, j) = gel(u, k);
    2603      433373 :     gel(T, i) = t;
    2604             :   }
    2605      485790 :   return T;
    2606             : }
    2607             : 
    2608             : /* return [A mod P[i], i=1..#P], T = ZV_producttree(P) */
    2609             : GEN
    2610    10357258 : Z_ZV_mod_tree(GEN A, GEN P, GEN T)
    2611             : {
    2612             :   long i,j,k;
    2613    10357258 :   long m = lg(T)-1, n = lg(P)-1;
    2614             :   GEN t;
    2615    10357258 :   GEN Tp = cgetg(m+1, t_VEC);
    2616    10355211 :   gel(Tp, m) = mkvec(A);
    2617    17654378 :   for (i=m-1; i>=1; i--)
    2618             :   {
    2619     7299353 :     GEN u = gel(T, i);
    2620     7299353 :     GEN v = gel(Tp, i+1);
    2621     7299353 :     long n = lg(u)-1;
    2622     7299353 :     t = cgetg(n+1, t_VEC);
    2623    14880352 :     for (j=1, k=1; k<n; j++, k+=2)
    2624             :     {
    2625     7579811 :       gel(t, k)   = modii(gel(v, j), gel(u, k));
    2626     7580650 :       gel(t, k+1) = modii(gel(v, j), gel(u, k+1));
    2627             :     }
    2628     7300541 :     if (k==n) gel(t, k) = gel(v, j);
    2629     7300541 :     gel(Tp, i) = t;
    2630             :   }
    2631             :   {
    2632    10355025 :     GEN u = gel(T, i+1);
    2633    10355025 :     GEN v = gel(Tp, i+1);
    2634    10355025 :     long l = lg(u)-1;
    2635    10355025 :     if (typ(P)==t_VECSMALL)
    2636             :     {
    2637     9869444 :       GEN R = cgetg(n+1, t_VECSMALL);
    2638    26693313 :       for (j=1, k=1; j<=l; j++, k+=2)
    2639             :       {
    2640    16821256 :         uel(R,k) = umodiu(gel(v, j), P[k]);
    2641    16823265 :         if (k < n)
    2642    11836287 :           uel(R,k+1) = umodiu(gel(v, j), P[k+1]);
    2643             :       }
    2644     9872057 :       return R;
    2645             :     }
    2646             :     else
    2647             :     {
    2648      485581 :       GEN R = cgetg(n+1, t_VEC);
    2649     1598038 :       for (j=1, k=1; j<=l; j++, k+=2)
    2650             :       {
    2651     1112455 :         gel(R,k) = modii(gel(v, j), gel(P,k));
    2652     1112499 :         if (k < n)
    2653      867028 :           gel(R,k+1) = modii(gel(v, j), gel(P,k+1));
    2654             :       }
    2655      485583 :       return R;
    2656             :     }
    2657             :   }
    2658             : }
    2659             : 
    2660             : /* T = ZV_producttree(P), R = ZV_chinesetree(P,T) */
    2661             : GEN
    2662     6078267 : ZV_chinese_tree(GEN A, GEN P, GEN T, GEN R)
    2663             : {
    2664     6078267 :   long m = lg(T)-1, n = lg(A)-1;
    2665             :   long i,j,k;
    2666     6078267 :   GEN Tp = cgetg(m+1, t_VEC);
    2667     6049645 :   GEN M = gel(T, 1);
    2668     6049645 :   GEN t = cgetg(lg(M), t_VEC);
    2669     6058689 :   if (typ(P)==t_VECSMALL)
    2670             :   {
    2671    19525851 :     for (j=1, k=1; k<n; j++, k+=2)
    2672             :     {
    2673    16770054 :       pari_sp av = avma;
    2674    16770054 :       GEN a = mului(A[k], gel(R,k)), b = mului(A[k+1], gel(R,k+1));
    2675    16632842 :       GEN tj = modii(addii(mului(P[k],b), mului(P[k+1],a)), gel(M,j));
    2676    16672200 :       gel(t, j) = gerepileuptoint(av, tj);
    2677             :     }
    2678     2755797 :     if (k==n) gel(t, j) = modii(mului(A[k], gel(R,k)), gel(M, j));
    2679             :   } else
    2680             :   {
    2681     7725936 :     for (j=1, k=1; k<n; j++, k+=2)
    2682             :     {
    2683     4437373 :       pari_sp av = avma;
    2684     4437373 :       GEN a = mulii(gel(A,k), gel(R,k)), b = mulii(gel(A,k+1), gel(R,k+1));
    2685     4426715 :       GEN tj = modii(addii(mulii(gel(P,k),b), mulii(gel(P,k+1),a)), gel(M,j));
    2686     4457213 :       gel(t, j) = gerepileuptoint(av, tj);
    2687             :     }
    2688     3288563 :     if (k==n) gel(t, j) = modii(mulii(gel(A,k), gel(R,k)), gel(M, j));
    2689             :   }
    2690     6036670 :   gel(Tp, 1) = t;
    2691    13881382 :   for (i=2; i<=m; i++)
    2692             :   {
    2693     7831040 :     GEN u = gel(T, i-1), M = gel(T, i);
    2694     7831040 :     GEN t = cgetg(lg(M), t_VEC);
    2695     7871984 :     GEN v = gel(Tp, i-1);
    2696     7871984 :     long n = lg(v)-1;
    2697    24528820 :     for (j=1, k=1; k<n; j++, k+=2)
    2698             :     {
    2699    16684108 :       pari_sp av = avma;
    2700    66736432 :       gel(t, j) = gerepileuptoint(av, modii(addii(mulii(gel(u, k), gel(v, k+1)),
    2701    50052324 :             mulii(gel(u, k+1), gel(v, k))), gel(M, j)));
    2702             :     }
    2703     7844712 :     if (k==n) gel(t, j) = gel(v, k);
    2704     7844712 :     gel(Tp, i) = t;
    2705             :   }
    2706     6050342 :   return gmael(Tp,m,1);
    2707             : }
    2708             : 
    2709             : static GEN
    2710      229458 : ncV_polint_center_tree(GEN vA, GEN P, GEN T, GEN R, GEN m2)
    2711             : {
    2712      229458 :   long i, l = lg(gel(vA,1)), n = lg(P);
    2713      229458 :   GEN mod = gmael(T, lg(T)-1, 1), V = cgetg(l, t_COL);
    2714     5533599 :   for (i=1; i < l; i++)
    2715             :   {
    2716     5304571 :     pari_sp av = avma;
    2717     5304571 :     GEN c, A = cgetg(n, typ(P));
    2718             :     long j;
    2719     5319379 :     for (j=1; j < n; j++) A[j] = mael(vA,j,i);
    2720     5319379 :     c = Fp_center(ZV_chinese_tree(A, P, T, R), mod, m2);
    2721     5299207 :     gel(V,i) = gerepileuptoint(av, c);
    2722             :   }
    2723      229028 :   return V;
    2724             : }
    2725             : 
    2726             : static GEN
    2727       90045 : nxV_polint_center_tree(GEN vA, GEN P, GEN T, GEN R, GEN m2)
    2728             : {
    2729       90045 :   long i, j, l, n = lg(P);
    2730       90045 :   GEN mod = gmael(T, lg(T)-1, 1), V, w;
    2731       90045 :   w = cgetg(n, t_VECSMALL);
    2732       89995 :   for(j=1; j<n; j++) w[j] = lg(gel(vA,j));
    2733       89995 :   l = vecsmall_max(w);
    2734       90052 :   V = cgetg(l, t_POL);
    2735       90095 :   V[1] = mael(vA,1,1);
    2736      391091 :   for (i=2; i < l; i++)
    2737             :   {
    2738      301096 :     pari_sp av = avma;
    2739      301096 :     GEN c, A = cgetg(n, typ(P));
    2740      300044 :     if (typ(P)==t_VECSMALL)
    2741        5325 :       for (j=1; j < n; j++) A[j] = i < w[j] ? mael(vA,j,i): 0;
    2742             :     else
    2743      294719 :       for (j=1; j < n; j++) gel(A,j) = i < w[j] ? gmael(vA,j,i): gen_0;
    2744      300044 :     c = Fp_center(ZV_chinese_tree(A, P, T, R), mod, m2);
    2745      300767 :     gel(V,i) = gerepileuptoint(av, c);
    2746             :   }
    2747       89995 :   return ZX_renormalize(V, l);
    2748             : }
    2749             : 
    2750             : static GEN
    2751        4493 : nxCV_polint_center_tree(GEN vA, GEN P, GEN T, GEN R, GEN m2)
    2752             : {
    2753        4493 :   long i, j, l = lg(gel(vA,1)), n = lg(P);
    2754        4493 :   GEN A = cgetg(n, t_VEC);
    2755        4491 :   GEN V = cgetg(l, t_COL);
    2756       92040 :   for (i=1; i < l; i++)
    2757             :   {
    2758       87553 :     for (j=1; j < n; j++) gel(A,j) = gmael(vA,j,i);
    2759       87553 :     gel(V,i) = nxV_polint_center_tree(A, P, T, R, m2);
    2760             :   }
    2761        4487 :   return V;
    2762             : }
    2763             : 
    2764             : static GEN
    2765       19005 : polint_chinese(GEN worker, GEN mA, GEN P)
    2766             : {
    2767       19005 :   long i, j, l = lg(gel(mA,1)), n = lg(P);
    2768       19005 :   long pending = 0, workid, cnt = 0;
    2769             :   struct pari_mt pt;
    2770             :   GEN done, va, M;
    2771       19005 :   GEN A = cgetg(n, t_VEC);
    2772       19005 :   va = mkvec(gen_0);
    2773       19005 :   M = cgetg(l, t_MAT);
    2774       19005 :   if (DEBUGLEVEL>2) err_printf("Start parallel Chinese remainder: ");
    2775       19005 :   mt_queue_start_lim(&pt, worker, l-1);
    2776      257931 :   for (i=1; i<l || pending; i++)
    2777             :   {
    2778      238926 :     for(j=1; j < n; j++) gel(A,j) = gmael(mA,j,i);
    2779      238926 :     gel(va, 1) = A;
    2780      238926 :     mt_queue_submit(&pt, i, i<l? va: NULL);
    2781      238926 :     done = mt_queue_get(&pt, &workid, &pending);
    2782      238926 :     if (done)
    2783             :     {
    2784      217268 :       gel(M,workid) = done;
    2785      217268 :       if (DEBUGLEVEL>2) err_printf("%ld%% ",(++cnt)*100/(l-1));
    2786             :     }
    2787             :   }
    2788       19005 :   if (DEBUGLEVEL>2) err_printf("\n");
    2789       19005 :   mt_queue_end(&pt);
    2790       19005 :   return M;
    2791             : }
    2792             : 
    2793             : GEN
    2794        4178 : nxMV_polint_center_tree_worker(GEN vA, GEN T, GEN R, GEN P, GEN m2)
    2795             : {
    2796        4178 :   return nxCV_polint_center_tree(vA, P, T, R, m2);
    2797             : }
    2798             : 
    2799             : static GEN
    2800          66 : nxMV_polint_center_tree_seq(GEN vA, GEN P, GEN T, GEN R, GEN m2)
    2801             : {
    2802          66 :   long i, j, l = lg(gel(vA,1)), n = lg(P);
    2803          66 :   GEN A = cgetg(n, t_VEC);
    2804          66 :   GEN V = cgetg(l, t_MAT);
    2805         381 :   for (i=1; i < l; i++)
    2806             :   {
    2807         315 :     for (j=1; j < n; j++) gel(A,j) = gmael(vA,j,i);
    2808         315 :     gel(V,i) = nxCV_polint_center_tree(A, P, T, R, m2);
    2809             :   }
    2810          66 :   return V;
    2811             : }
    2812             : 
    2813             : static GEN
    2814         291 : nxMV_polint_center_tree(GEN mA, GEN P, GEN T, GEN R, GEN m2)
    2815             : {
    2816         291 :   GEN worker = snm_closure(is_entry("_nxMV_polint_worker"), mkvec4(T, R, P, m2));
    2817         291 :   return polint_chinese(worker, mA, P);
    2818             : }
    2819             : 
    2820             : static GEN
    2821        1088 : nmV_polint_center_tree_seq(GEN vA, GEN P, GEN T, GEN R, GEN m2)
    2822             : {
    2823        1088 :   long i, j, l = lg(gel(vA,1)), n = lg(P);
    2824        1088 :   GEN A = cgetg(n, t_VEC);
    2825        1088 :   GEN V = cgetg(l, t_MAT);
    2826       13781 :   for (i=1; i < l; i++)
    2827             :   {
    2828       12693 :     for (j=1; j < n; j++) gel(A,j) = gmael(vA,j,i);
    2829       12693 :     gel(V,i) = ncV_polint_center_tree(A, P, T, R, m2);
    2830             :   }
    2831        1088 :   return V;
    2832             : }
    2833             : 
    2834             : GEN
    2835      213012 : nmV_polint_center_tree_worker(GEN vA, GEN T, GEN R, GEN P, GEN m2)
    2836             : {
    2837      213012 :   return ncV_polint_center_tree(vA, P, T, R, m2);
    2838             : }
    2839             : 
    2840             : static GEN
    2841       18714 : nmV_polint_center_tree(GEN mA, GEN P, GEN T, GEN R, GEN m2)
    2842             : {
    2843       18714 :   GEN worker = snm_closure(is_entry("_polint_worker"), mkvec4(T, R, P, m2));
    2844       18714 :   return polint_chinese(worker, mA, P);
    2845             : }
    2846             : 
    2847             : /* return [A mod P[i], i=1..#P] */
    2848             : GEN
    2849           0 : Z_ZV_mod(GEN A, GEN P)
    2850             : {
    2851           0 :   pari_sp av = avma;
    2852           0 :   return gerepilecopy(av, Z_ZV_mod_tree(A, P, ZV_producttree(P)));
    2853             : }
    2854             : /* P a t_VECSMALL */
    2855             : GEN
    2856           0 : Z_nv_mod(GEN A, GEN P)
    2857             : {
    2858           0 :   pari_sp av = avma;
    2859           0 :   return gerepileuptoleaf(av, Z_ZV_mod_tree(A, P, ZV_producttree(P)));
    2860             : }
    2861             : /* B a ZX, T = ZV_producttree(P) */
    2862             : GEN
    2863      408935 : ZX_nv_mod_tree(GEN B, GEN A, GEN T)
    2864             : {
    2865             :   pari_sp av;
    2866      408935 :   long i, j, l = lg(B), n = lg(A)-1;
    2867      408935 :   GEN V = cgetg(n+1, t_VEC);
    2868     1628839 :   for (j=1; j <= n; j++)
    2869             :   {
    2870     1219854 :     gel(V, j) = cgetg(l, t_VECSMALL);
    2871     1219846 :     mael(V, j, 1) = B[1]&VARNBITS;
    2872             :   }
    2873      408985 :   av = avma;
    2874     9413600 :   for (i=2; i < l; i++)
    2875             :   {
    2876     9004667 :     GEN v = Z_ZV_mod_tree(gel(B, i), A, T);
    2877    35425727 :     for (j=1; j <= n; j++)
    2878    26421004 :       mael(V, j, i) = v[j];
    2879     9004723 :     set_avma(av);
    2880             :   }
    2881     1628778 :   for (j=1; j <= n; j++)
    2882     1219848 :     (void) Flx_renormalize(gel(V, j), l);
    2883      408930 :   return V;
    2884             : }
    2885             : 
    2886             : static GEN
    2887        3159 : to_ZX(GEN a, long v) { return typ(a)==t_INT? scalarpol(a,v): a; }
    2888             : 
    2889             : GEN
    2890         405 : ZXX_nv_mod_tree(GEN P, GEN xa, GEN T, long w)
    2891             : {
    2892         405 :   pari_sp av = avma;
    2893         405 :   long i, j, l = lg(P), n = lg(xa)-1, vP = varn(P);
    2894         405 :   GEN V = cgetg(n+1, t_VEC);
    2895        1435 :   for (j=1; j <= n; j++)
    2896             :   {
    2897        1030 :     gel(V, j) = cgetg(l, t_POL);
    2898        1030 :     mael(V, j, 1) = vP;
    2899             :   }
    2900        1881 :   for (i=2; i < l; i++)
    2901             :   {
    2902        1476 :     GEN v = ZX_nv_mod_tree(to_ZX(gel(P, i), w), xa, T);
    2903        5091 :     for (j=1; j <= n; j++)
    2904        3615 :       gmael(V, j, i) = gel(v,j);
    2905             :   }
    2906        1435 :   for (j=1; j <= n; j++)
    2907        1030 :     (void) FlxX_renormalize(gel(V, j), l);
    2908         405 :   return gerepilecopy(av, V);
    2909             : }
    2910             : 
    2911             : GEN
    2912         315 : ZXC_nv_mod_tree(GEN C, GEN xa, GEN T, long w)
    2913             : {
    2914         315 :   pari_sp av = avma;
    2915         315 :   long i, j, l = lg(C), n = lg(xa)-1;
    2916         315 :   GEN V = cgetg(n+1, t_VEC);
    2917        1073 :   for (j = 1; j <= n; j++)
    2918         758 :     gel(V, j) = cgetg(l, t_COL);
    2919        1998 :   for (i = 1; i < l; i++)
    2920             :   {
    2921        1683 :     GEN v = ZX_nv_mod_tree(to_ZX(gel(C, i), w), xa, T);
    2922        5773 :     for (j = 1; j <= n; j++)
    2923        4090 :       gmael(V, j, i) = gel(v,j);
    2924             :   }
    2925         315 :   return gerepilecopy(av, V);
    2926             : }
    2927             : 
    2928             : GEN
    2929          66 : ZXM_nv_mod_tree(GEN M, GEN xa, GEN T, long w)
    2930             : {
    2931          66 :   pari_sp av = avma;
    2932          66 :   long i, j, l = lg(M), n = lg(xa)-1;
    2933          66 :   GEN V = cgetg(n+1, t_VEC);
    2934         222 :   for (j=1; j <= n; j++)
    2935         156 :     gel(V, j) = cgetg(l, t_MAT);
    2936         381 :   for (i=1; i < l; i++)
    2937             :   {
    2938         315 :     GEN v = ZXC_nv_mod_tree(gel(M, i), xa, T, w);
    2939        1073 :     for (j=1; j <= n; j++)
    2940         758 :       gmael(V, j, i) = gel(v,j);
    2941             :   }
    2942          66 :   return gerepilecopy(av, V);
    2943             : }
    2944             : 
    2945             : /* B a ZX, T = ZV_producttree(P) */
    2946             : GEN
    2947      100511 : ZV_nv_mod_tree(GEN B, GEN A, GEN T)
    2948             : {
    2949             :   pari_sp av;
    2950      100511 :   long i, j, l = lg(B), n = lg(A)-1;
    2951      100511 :   GEN V = cgetg(n+1, t_VEC);
    2952      358552 :   for (j=1; j <= n; j++)
    2953      258217 :     gel(V, j) = cgetg(l, t_VECSMALL);
    2954      100335 :   av = avma;
    2955      967793 :   for (i=1; i < l; i++)
    2956             :   {
    2957      867280 :     GEN v = Z_ZV_mod_tree(gel(B, i), A, T);
    2958     3111260 :     for (j=1; j <= n; j++)
    2959     2243489 :       mael(V, j, i) = v[j];
    2960      867771 :     set_avma(av);
    2961             :   }
    2962      100513 :   return V;
    2963             : }
    2964             : 
    2965             : GEN
    2966       12348 : ZM_nv_mod_tree(GEN M, GEN xa, GEN T)
    2967             : {
    2968       12348 :   pari_sp av = avma;
    2969       12348 :   long i, j, l = lg(M), n = lg(xa)-1;
    2970       12348 :   GEN V = cgetg(n+1, t_VEC);
    2971       43774 :   for (j=1; j <= n; j++)
    2972       31427 :     gel(V, j) = cgetg(l, t_MAT);
    2973      112859 :   for (i=1; i < l; i++)
    2974             :   {
    2975      100511 :     GEN v = ZV_nv_mod_tree(gel(M, i), xa, T);
    2976      358797 :     for (j=1; j <= n; j++)
    2977      258285 :       gmael(V, j, i) = gel(v,j);
    2978             :   }
    2979       12348 :   return gerepilecopy(av, V);
    2980             : }
    2981             : 
    2982             : static GEN
    2983      482271 : ZV_sqr(GEN z)
    2984             : {
    2985      482271 :   long i,l = lg(z);
    2986      482271 :   GEN x = cgetg(l, t_VEC);
    2987      482246 :   if (typ(z)==t_VECSMALL)
    2988      408053 :     for (i=1; i<l; i++) gel(x,i) = sqru(z[i]);
    2989             :   else
    2990       74193 :     for (i=1; i<l; i++) gel(x,i) = sqri(gel(z,i));
    2991      482170 :   return x;
    2992             : }
    2993             : 
    2994             : static GEN
    2995     3203467 : ZT_sqr(GEN z)
    2996             : {
    2997     3203467 :   if (typ(z) == t_INT)
    2998     1812407 :     return sqri(z);
    2999             :   else
    3000             :   {
    3001     1391060 :     long i,l = lg(z);
    3002     1391060 :     GEN x = cgetg(l, t_VEC);
    3003     1390917 :     for (i=1; i<l; i++) gel(x,i) = ZT_sqr(gel(z,i));
    3004     1392387 :     return x;
    3005             :   }
    3006             : }
    3007             : 
    3008             : static GEN
    3009      482152 : ZV_invdivexact(GEN y, GEN x)
    3010             : {
    3011      482152 :   long i, l = lg(y);
    3012      482152 :   GEN z = cgetg(l,t_VEC);
    3013      482286 :   if (typ(x)==t_VECSMALL)
    3014     1750314 :     for (i=1; i<l; i++)
    3015             :     {
    3016     1342343 :       pari_sp av = avma;
    3017     1342343 :       ulong a = Fl_inv(umodiu(diviuexact(gel(y,i),x[i]), x[i]), x[i]);
    3018     1342538 :       set_avma(av);
    3019     1342477 :       gel(z,i) = utoipos(a);
    3020             :     }
    3021             :   else
    3022      686912 :     for (i=1; i<l; i++)
    3023      612719 :       gel(z,i) = Fp_inv(diviiexact(gel(y,i), gel(x,i)), gel(x,i));
    3024      482164 :   return z;
    3025             : }
    3026             : 
    3027             : /* P t_VECSMALL or t_VEC of t_INT  */
    3028             : GEN
    3029      481704 : ZV_chinesetree(GEN P, GEN T)
    3030             : {
    3031      481704 :   GEN T2 = ZT_sqr(T), P2 = ZV_sqr(P);
    3032      482162 :   GEN mod = gmael(T,lg(T)-1,1);
    3033      482162 :   return ZV_invdivexact(Z_ZV_mod_tree(mod, P2, T2), P);
    3034             : }
    3035             : 
    3036             : static GEN
    3037       80512 : gc_chinese(pari_sp av, GEN T, GEN a, GEN *pt_mod)
    3038             : {
    3039       80512 :   if (!pt_mod)
    3040        2559 :     return gerepileupto(av, a);
    3041             :   else
    3042             :   {
    3043       77953 :     GEN mod = gmael(T, lg(T)-1, 1);
    3044       77953 :     gerepileall(av, 2, &a, &mod);
    3045       77953 :     *pt_mod = mod;
    3046       77953 :     return a;
    3047             :   }
    3048             : }
    3049             : 
    3050             : GEN
    3051       42653 : ZV_chinese_center(GEN A, GEN P, GEN *pt_mod)
    3052             : {
    3053       42653 :   pari_sp av = avma;
    3054       42653 :   GEN T = ZV_producttree(P);
    3055       42653 :   GEN R = ZV_chinesetree(P, T);
    3056       42653 :   GEN a = ZV_chinese_tree(A, P, T, R);
    3057       42653 :   GEN mod = gmael(T, lg(T)-1, 1);
    3058       42653 :   GEN ca = Fp_center(a, mod, shifti(mod,-1));
    3059       42653 :   return gc_chinese(av, T, ca, pt_mod);
    3060             : }
    3061             : 
    3062             : GEN
    3063       13073 : ZV_chinese(GEN A, GEN P, GEN *pt_mod)
    3064             : {
    3065       13073 :   pari_sp av = avma;
    3066       13073 :   GEN T = ZV_producttree(P);
    3067       13073 :   GEN R = ZV_chinesetree(P, T);
    3068       13073 :   GEN a = ZV_chinese_tree(A, P, T, R);
    3069       13073 :   return gc_chinese(av, T, a, pt_mod);
    3070             : }
    3071             : 
    3072             : GEN
    3073         405 : nxV_chinese_center_tree(GEN A, GEN P, GEN T, GEN R)
    3074             : {
    3075         405 :   pari_sp av = avma;
    3076         405 :   GEN m2 = shifti(gmael(T, lg(T)-1, 1), -1);
    3077         405 :   GEN a = nxV_polint_center_tree(A, P, T, R, m2);
    3078         405 :   return gerepileupto(av, a);
    3079             : }
    3080             : 
    3081             : GEN
    3082        2021 : nxV_chinese_center(GEN A, GEN P, GEN *pt_mod)
    3083             : {
    3084        2021 :   pari_sp av = avma;
    3085        2021 :   GEN T = ZV_producttree(P);
    3086        2021 :   GEN R = ZV_chinesetree(P, T);
    3087        2021 :   GEN m2 = shifti(gmael(T, lg(T)-1, 1), -1);
    3088        2021 :   GEN a = nxV_polint_center_tree(A, P, T, R, m2);
    3089        2021 :   return gc_chinese(av, T, a, pt_mod);
    3090             : }
    3091             : 
    3092             : GEN
    3093        3760 : ncV_chinese_center(GEN A, GEN P, GEN *pt_mod)
    3094             : {
    3095        3760 :   pari_sp av = avma;
    3096        3760 :   GEN T = ZV_producttree(P);
    3097        3760 :   GEN R = ZV_chinesetree(P, T);
    3098        3760 :   GEN m2 = shifti(gmael(T, lg(T)-1, 1), -1);
    3099        3760 :   GEN a = ncV_polint_center_tree(A, P, T, R, m2);
    3100        3760 :   return gc_chinese(av, T, a, pt_mod);
    3101             : }
    3102             : 
    3103             : GEN
    3104           0 : nmV_chinese_center_tree(GEN A, GEN P, GEN T, GEN R)
    3105             : {
    3106           0 :   pari_sp av = avma;
    3107           0 :   GEN m2 = shifti(gmael(T, lg(T)-1, 1), -1);
    3108           0 :   GEN a = nmV_polint_center_tree(A, P, T, R, m2);
    3109           0 :   return gerepileupto(av, a);
    3110             : }
    3111             : 
    3112             : GEN
    3113        1088 : nmV_chinese_center_tree_seq(GEN A, GEN P, GEN T, GEN R)
    3114             : {
    3115        1088 :   pari_sp av = avma;
    3116        1088 :   GEN m2 = shifti(gmael(T, lg(T)-1, 1), -1);
    3117        1088 :   GEN a = nmV_polint_center_tree_seq(A, P, T, R, m2);
    3118        1088 :   return gerepileupto(av, a);
    3119             : }
    3120             : 
    3121             : GEN
    3122       18714 : nmV_chinese_center(GEN A, GEN P, GEN *pt_mod)
    3123             : {
    3124       18714 :   pari_sp av = avma;
    3125       18714 :   GEN T = ZV_producttree(P);
    3126       18714 :   GEN R = ZV_chinesetree(P, T);
    3127       18714 :   GEN m2 = shifti(gmael(T, lg(T)-1, 1), -1);
    3128       18714 :   GEN a = nmV_polint_center_tree(A, P, T, R, m2);
    3129       18714 :   return gc_chinese(av, T, a, pt_mod);
    3130             : }
    3131             : 
    3132             : GEN
    3133          66 : nxMV_chinese_center_tree_seq(GEN A, GEN P, GEN T, GEN R)
    3134             : {
    3135          66 :   pari_sp av = avma;
    3136          66 :   GEN m2 = shifti(gmael(T, lg(T)-1, 1), -1);
    3137          66 :   GEN a = nxMV_polint_center_tree_seq(A, P, T, R, m2);
    3138          66 :   return gerepileupto(av, a);
    3139             : }
    3140             : 
    3141             : GEN
    3142         291 : nxMV_chinese_center(GEN A, GEN P, GEN *pt_mod)
    3143             : {
    3144         291 :   pari_sp av = avma;
    3145         291 :   GEN T = ZV_producttree(P);
    3146         291 :   GEN R = ZV_chinesetree(P, T);
    3147         291 :   GEN m2 = shifti(gmael(T, lg(T)-1, 1), -1);
    3148         291 :   GEN a = nxMV_polint_center_tree(A, P, T, R, m2);
    3149         291 :   return gc_chinese(av, T, a, pt_mod);
    3150             : }
    3151             : 
    3152             : /**********************************************************************
    3153             :  **                                                                  **
    3154             :  **                    Powering  over (Z/NZ)^*, small N              **
    3155             :  **                                                                  **
    3156             :  **********************************************************************/
    3157             : 
    3158             : /* 2^n mod p; assume n > 1 */
    3159             : static ulong
    3160    20829939 : Fl_2powu_pre(ulong n, ulong p, ulong pi)
    3161             : {
    3162    20829939 :   ulong y = 2;
    3163    20829939 :   int j = 1+bfffo(n);
    3164             :   /* normalize, i.e set highest bit to 1 (we know n != 0) */
    3165    20829939 :   n<<=j; j = BITS_IN_LONG-j; /* first bit is now implicit */
    3166   424701638 :   for (; j; n<<=1,j--)
    3167             :   {
    3168   403871668 :     y = Fl_sqr_pre(y,p,pi);
    3169   403871706 :     if (n & HIGHBIT) y = Fl_double(y, p);
    3170             :   }
    3171    20829970 :   return y;
    3172             : }
    3173             : 
    3174             : /* 2^n mod p; assume n > 1 and !(p & HIGHMASK) */
    3175             : static ulong
    3176     2582139 : Fl_2powu(ulong n, ulong p)
    3177             : {
    3178     2582139 :   ulong y = 2;
    3179     2582139 :   int j = 1+bfffo(n);
    3180             :   /* normalize, i.e set highest bit to 1 (we know n != 0) */
    3181     2582139 :   n<<=j; j = BITS_IN_LONG-j; /* first bit is now implicit */
    3182    29929596 :   for (; j; n<<=1,j--)
    3183             :   {
    3184    27326381 :     y = (y*y) % p;
    3185    27326381 :     if (n & HIGHBIT) y = Fl_double(y, p);
    3186             :   }
    3187     2603215 :   return y;
    3188             : }
    3189             : 
    3190             : ulong
    3191    96781054 : Fl_powu_pre(ulong x, ulong n0, ulong p, ulong pi)
    3192             : {
    3193             :   ulong y, z, n;
    3194    96781054 :   if (n0 <= 1)
    3195             :   { /* frequent special cases */
    3196    10891664 :     if (n0 == 1) return x;
    3197     2984013 :     if (n0 == 0) return 1;
    3198             :   }
    3199    85889390 :   if (x <= 2)
    3200             :   {
    3201    22622297 :     if (x == 2) return Fl_2powu_pre(n0, p, pi);
    3202     1792341 :     return x; /* 0 or 1 */
    3203             :   }
    3204    63267093 :   y = 1; z = x; n = n0;
    3205             :   for(;;)
    3206             :   {
    3207  1059942727 :     if (n&1) y = Fl_mul_pre(y,z,p,pi);
    3208   561777629 :     n>>=1; if (!n) return y;
    3209   498519999 :     z = Fl_sqr_pre(z,p,pi);
    3210             :   }
    3211             : }
    3212             : 
    3213             : ulong
    3214    43936044 : Fl_powu(ulong x, ulong n0, ulong p)
    3215             : {
    3216             :   ulong y, z, n;
    3217    43936044 :   if (n0 <= 2)
    3218             :   { /* frequent special cases */
    3219    32191308 :     if (n0 == 2) return Fl_sqr(x,p);
    3220     3645603 :     if (n0 == 1) return x;
    3221       61963 :     if (n0 == 0) return 1;
    3222             :   }
    3223    11744736 :   if (x <= 1) return x; /* 0 or 1 */
    3224    11692046 :   if (p & HIGHMASK)
    3225     6347745 :     return Fl_powu_pre(x, n0, p, get_Fl_red(p));
    3226     5344301 :   if (x == 2) return Fl_2powu(n0, p);
    3227     2762286 :   y = 1; z = x; n = n0;
    3228             :   for(;;)
    3229             :   {
    3230    49286472 :     if (n&1) y = (y*z) % p;
    3231    26024379 :     n>>=1; if (!n) return y;
    3232    23262093 :     z = (z*z) % p;
    3233             :   }
    3234             : }
    3235             : 
    3236             : /* Reduce data dependency to maximize internal parallelism */
    3237             : GEN
    3238    11055009 : Fl_powers_pre(ulong x, long n, ulong p, ulong pi)
    3239             : {
    3240             :   long i, k;
    3241    11055009 :   GEN powers = cgetg(n + 2, t_VECSMALL);
    3242    11045905 :   powers[1] = 1; if (n == 0) return powers;
    3243    11045905 :   powers[2] = x;
    3244    46590080 :   for (i = 3, k=2; i <= n; i+=2, k++)
    3245             :   {
    3246    35527135 :     powers[i] = Fl_sqr_pre(powers[k], p, pi);
    3247    35541355 :     powers[i+1] = Fl_mul_pre(powers[k], powers[k+1], p, pi);
    3248             :   }
    3249    11062945 :   if (i==n+1)
    3250     9665656 :     powers[i] = Fl_sqr_pre(powers[k], p, pi);
    3251    11062813 :   return powers;
    3252             : }
    3253             : 
    3254             : GEN
    3255        2961 : Fl_powers(ulong x, long n, ulong p)
    3256             : {
    3257        2961 :   return Fl_powers_pre(x, n, p, get_Fl_red(p));
    3258             : }
    3259             : 
    3260             : /**********************************************************************
    3261             :  **                                                                  **
    3262             :  **                    Powering  over (Z/NZ)^*, large N              **
    3263             :  **                                                                  **
    3264             :  **********************************************************************/
    3265             : 
    3266             : static GEN
    3267     4259039 : Fp_dblsqr(GEN x, GEN N)
    3268             : {
    3269     4259039 :   GEN z = shifti(Fp_sqr(x, N), 1);
    3270     4259039 :   return cmpii(z, N) >= 0? subii(z, N): z;
    3271             : }
    3272             : 
    3273             : typedef struct muldata {
    3274             :   GEN (*sqr)(void * E, GEN x);
    3275             :   GEN (*mul)(void * E, GEN x, GEN y);
    3276             :   GEN (*mul2)(void * E, GEN x);
    3277             : } muldata;
    3278             : 
    3279             : /* modified Barrett reduction with one fold */
    3280             : /* See Fast Modular Reduction, W. Hasenplaugh, G. Gaubatz, V. Gopal, ARITH 18 */
    3281             : 
    3282             : static GEN
    3283       10092 : Fp_invmBarrett(GEN p, long s)
    3284             : {
    3285       10092 :   GEN R, Q = dvmdii(int2n(3*s),p,&R);
    3286       10092 :   return mkvec2(Q,R);
    3287             : }
    3288             : 
    3289             : /* a <= (N-1)^2, 2^(2s-2) <= N < 2^(2s). Return 0 <= r < N such that
    3290             :  * a = r (mod N) */
    3291             : static GEN
    3292     4235005 : Fp_rem_mBarrett(GEN a, GEN B, long s, GEN N)
    3293             : {
    3294     4235005 :   pari_sp av = avma;
    3295     4235005 :   GEN P = gel(B, 1), Q = gel(B, 2); /* 2^(3s) = P N + Q, 0 <= Q < N */
    3296     4235005 :   long t = expi(P)+1; /* 2^(t-1) <= P < 2^t */
    3297     4235005 :   GEN u = shifti(a, -3*s), v = remi2n(a, 3*s); /* a = 2^(3s)u + v */
    3298     4235005 :   GEN A = addii(v, mulii(Q,u)); /* 0 <= A < 2^(3s+1) */
    3299     4235005 :   GEN q = shifti(mulii(shifti(A, t-3*s), P), -t); /* A/N - 4 < q <= A/N */
    3300     4235005 :   GEN r = subii(A, mulii(q, N));
    3301     4235005 :   GEN sr= subii(r,N);     /* 0 <= r < 4*N */
    3302     4235005 :   if (signe(sr)<0) return gerepileuptoint(av, r);
    3303     2548401 :   r=sr; sr = subii(r,N);  /* 0 <= r < 3*N */
    3304     2548401 :   if (signe(sr)<0) return gerepileuptoint(av, r);
    3305       98169 :   r=sr; sr = subii(r,N);  /* 0 <= r < 2*N */
    3306       98169 :   return gerepileuptoint(av, signe(sr)>=0 ? sr:r);
    3307             : }
    3308             : 
    3309             : /* Montgomery reduction */
    3310             : 
    3311             : INLINE ulong
    3312      271348 : init_montdata(GEN N) { return (ulong) -invmod2BIL(mod2BIL(N)); }
    3313             : 
    3314             : struct montred
    3315             : {
    3316             :   GEN N;
    3317             :   ulong inv;
    3318             : };
    3319             : 
    3320             : /* Montgomery reduction */
    3321             : static GEN
    3322    29546749 : _sqr_montred(void * E, GEN x)
    3323             : {
    3324    29546749 :   struct montred * D = (struct montred *) E;
    3325    29546749 :   return red_montgomery(sqri(x), D->N, D->inv);
    3326             : }
    3327             : 
    3328             : /* Montgomery reduction */
    3329             : static GEN
    3330     2460463 : _mul_montred(void * E, GEN x, GEN y)
    3331             : {
    3332     2460463 :   struct montred * D = (struct montred *) E;
    3333     2460463 :   return red_montgomery(mulii(x, y), D->N, D->inv);
    3334             : }
    3335             : 
    3336             : static GEN
    3337     5815969 : _mul2_montred(void * E, GEN x)
    3338             : {
    3339     5815969 :   struct montred * D = (struct montred *) E;
    3340     5815969 :   GEN z = shifti(_sqr_montred(E, x), 1);
    3341     5815933 :   long l = lgefint(D->N);
    3342     5815933 :   while (lgefint(z) > l) z = subii(z, D->N);
    3343     5815936 :   return z;
    3344             : }
    3345             : 
    3346             : static GEN
    3347    10530274 : _sqr_remii(void* N, GEN x)
    3348    10530274 : { return remii(sqri(x), (GEN) N); }
    3349             : 
    3350             : static GEN
    3351      938696 : _mul_remii(void* N, GEN x, GEN y)
    3352      938696 : { return remii(mulii(x, y), (GEN) N); }
    3353             : 
    3354             : static GEN
    3355     2997290 : _mul2_remii(void* N, GEN x)
    3356     2997290 : { return Fp_dblsqr(x, (GEN) N); }
    3357             : 
    3358             : struct redbarrett
    3359             : {
    3360             :   GEN iM, N;
    3361             :   long s;
    3362             : };
    3363             : 
    3364             : static GEN
    3365     3823998 : _sqr_remiibar(void *E, GEN x)
    3366             : {
    3367     3823998 :   struct redbarrett * D = (struct redbarrett *) E;
    3368     3823998 :   return Fp_rem_mBarrett(sqri(x), D->iM, D->s, D->N);
    3369             : }
    3370             : 
    3371             : static GEN
    3372      411007 : _mul_remiibar(void *E, GEN x, GEN y)
    3373             : {
    3374      411007 :   struct redbarrett * D = (struct redbarrett *) E;
    3375      411007 :   return Fp_rem_mBarrett(mulii(x, y), D->iM, D->s, D->N);
    3376             : }
    3377             : 
    3378             : static GEN
    3379     1261749 : _mul2_remiibar(void *E, GEN x)
    3380             : {
    3381     1261749 :   struct redbarrett * D = (struct redbarrett *) E;
    3382     1261749 :   return Fp_dblsqr(x, D->N);
    3383             : }
    3384             : 
    3385             : static long
    3386      358083 : Fp_select_red(GEN *y, ulong k, GEN N, long lN, muldata *D, void **pt_E)
    3387             : {
    3388      358083 :   if (lN >= Fp_POW_BARRETT_LIMIT && (k==0 || ((double)k)*expi(*y) > 2 + expi(N)))
    3389             :   {
    3390       10092 :     struct redbarrett * E = (struct redbarrett *) stack_malloc(sizeof(struct redbarrett));
    3391       10092 :     D->sqr = &_sqr_remiibar;
    3392       10092 :     D->mul = &_mul_remiibar;
    3393       10092 :     D->mul2 = &_mul2_remiibar;
    3394       10092 :     E->N = N;
    3395       10092 :     E->s = 1+(expi(N)>>1);
    3396       10092 :     E->iM = Fp_invmBarrett(N, E->s);
    3397       10092 :     *pt_E = (void*) E;
    3398       10092 :     return 0;
    3399             :   }
    3400      347991 :   else if (mod2(N) && lN < Fp_POW_REDC_LIMIT)
    3401             :   {
    3402      271347 :     struct montred * E = (struct montred *) stack_malloc(sizeof(struct montred));
    3403      271347 :     *y = remii(shifti(*y, bit_accuracy(lN)), N);
    3404      271352 :     D->sqr = &_sqr_montred;
    3405      271352 :     D->mul = &_mul_montred;
    3406      271352 :     D->mul2 = &_mul2_montred;
    3407      271352 :     E->N = N;
    3408      271352 :     E->inv = init_montdata(N);
    3409      271347 :     *pt_E = (void*) E;
    3410      271347 :     return 1;
    3411             :   }
    3412             :   else
    3413             :   {
    3414       76644 :     D->sqr = &_sqr_remii;
    3415       76644 :     D->mul = &_mul_remii;
    3416       76644 :     D->mul2 = &_mul2_remii;
    3417       76644 :     *pt_E = (void*) N;
    3418       76644 :     return 0;
    3419             :   }
    3420             : }
    3421             : 
    3422             : GEN
    3423      895732 : Fp_powu(GEN A, ulong k, GEN N)
    3424             : {
    3425      895732 :   long lN = lgefint(N);
    3426             :   int base_is_2, use_montgomery;
    3427             :   muldata D;
    3428             :   void *E;
    3429             :   pari_sp av;
    3430             : 
    3431      895732 :   if (lN == 3) {
    3432       88481 :     ulong n = uel(N,2);
    3433       88481 :     return utoi( Fl_powu(umodiu(A, n), k, n) );
    3434             :   }
    3435      807251 :   if (k <= 2)
    3436             :   { /* frequent special cases */
    3437      577732 :     if (k == 2) return Fp_sqr(A,N);
    3438      131258 :     if (k == 1) return A;
    3439           0 :     if (k == 0) return gen_1;
    3440             :   }
    3441      229519 :   av = avma; A = modii(A,N);
    3442      229519 :   base_is_2 = 0;
    3443      229519 :   if (lgefint(A) == 3) switch(A[2])
    3444             :   {
    3445         523 :     case 1: set_avma(av); return gen_1;
    3446       34240 :     case 2:  base_is_2 = 1; break;
    3447             :   }
    3448             : 
    3449             :   /* TODO: Move this out of here and use for general modular computations */
    3450      228996 :   use_montgomery = Fp_select_red(&A, k, N, lN, &D, &E);
    3451      228996 :   if (base_is_2)
    3452       34240 :     A = gen_powu_fold_i(A, k, E, D.sqr, D.mul2);
    3453             :   else
    3454      194756 :     A = gen_powu_i(A, k, E, D.sqr, D.mul);
    3455      228995 :   if (use_montgomery)
    3456             :   {
    3457      198503 :     A = red_montgomery(A, N, ((struct montred *) E)->inv);
    3458      198503 :     if (cmpii(A, N) >= 0) A = subii(A,N);
    3459             :   }
    3460      228995 :   return gerepileuptoint(av, A);
    3461             : }
    3462             : 
    3463             : GEN
    3464       21623 : Fp_pows(GEN A, long k, GEN N)
    3465             : {
    3466       21623 :   if (lgefint(N) == 3) {
    3467        7372 :     ulong n = N[2];
    3468        7372 :     ulong a = umodiu(A, n);
    3469        7372 :     if (k < 0) {
    3470         126 :       a = Fl_inv(a, n);
    3471         126 :       k = -k;
    3472             :     }
    3473        7372 :     return utoi( Fl_powu(a, (ulong)k, n) );
    3474             :   }
    3475       14251 :   if (k < 0) { A = Fp_inv(A, N); k = -k; };
    3476       14251 :   return Fp_powu(A, (ulong)k, N);
    3477             : }
    3478             : 
    3479             : /* A^K mod N */
    3480             : GEN
    3481     5527965 : Fp_pow(GEN A, GEN K, GEN N)
    3482             : {
    3483             :   pari_sp av;
    3484     5527965 :   long s, lN = lgefint(N), sA;
    3485             :   int base_is_2, use_montgomery;
    3486             :   GEN y;
    3487             :   muldata D;
    3488             :   void *E;
    3489             : 
    3490     5527965 :   s = signe(K);
    3491     5527965 :   if (!s) return dvdii(A,N)? gen_0: gen_1;
    3492     5450853 :   if (lN == 3 && lgefint(K) == 3)
    3493             :   {
    3494     5200171 :     ulong n = N[2], a = umodiu(A, n);
    3495     5200171 :     if (s < 0) a = Fl_inv(a, n);
    3496     5200171 :     if (a <= 1) return utoi(a); /* 0 or 1 */
    3497     4867935 :     return utoi(Fl_powu(a, uel(K,2), n));
    3498             :   }
    3499             : 
    3500      250682 :   av = avma;
    3501      250682 :   if (s < 0) y = Fp_inv(A,N);
    3502             :   else
    3503             :   {
    3504      250212 :     y = modii(A,N);
    3505      250211 :     if (!signe(y)) { set_avma(av); return gen_0; }
    3506             :   }
    3507      250681 :   if (lgefint(K) == 3) return gerepileuptoint(av, Fp_powu(y, K[2], N));
    3508             : 
    3509      129170 :   base_is_2 = 0;
    3510      129170 :   sA = signe(y)==-1 && mod2(K);
    3511      129170 :   if (lgefint(y) == 3) switch(y[2])
    3512             :   {
    3513          82 :     case 1: return sA ? gen_m1 : gen_1;
    3514       87146 :     case 2:  base_is_2 = 1; break;
    3515             :   }
    3516             : 
    3517             :   /* TODO: Move this out of here and use for general modular computations */
    3518      129088 :   use_montgomery = Fp_select_red(&y, 0UL, N, lN, &D, &E);
    3519      129086 :   if (base_is_2)
    3520       87146 :     y = gen_pow_fold_i(y, K, E, D.sqr, D.mul2);
    3521             :   else
    3522       41940 :     y = gen_pow_i(y, K, E, D.sqr, D.mul);
    3523      129086 :   if (use_montgomery)
    3524             :   {
    3525       72842 :     y = red_montgomery(y, N, ((struct montred *) E)->inv);
    3526       72849 :     if (cmpii(y,N) >= 0) y = subii(y,N);
    3527       72847 :     if (sA) y = subii(N, y);
    3528             :   }
    3529      129091 :   return gerepileuptoint(av,y);
    3530             : }
    3531             : 
    3532             : static GEN
    3533     1247603 : _Fp_mul(void *E, GEN x, GEN y) { return Fp_mul(x,y,(GEN)E); }
    3534             : 
    3535             : static GEN
    3536       23500 : _Fp_sqr(void *E, GEN x) { return Fp_sqr(x,(GEN)E); }
    3537             : 
    3538             : static GEN
    3539       55230 : _Fp_one(void *E) { (void) E; return gen_1; }
    3540             : 
    3541             : GEN
    3542          84 : Fp_pow_init(GEN x, GEN n, long k, GEN p)
    3543             : {
    3544          84 :   return gen_pow_init(x, n, k, (void*)p, &_Fp_sqr, &_Fp_mul);
    3545             : }
    3546             : 
    3547             : GEN
    3548       55090 : Fp_pow_table(GEN R, GEN n, GEN p)
    3549             : {
    3550       55090 :   return gen_pow_table(R, n, (void*)p, &_Fp_one, &_Fp_mul);
    3551             : }
    3552             : 
    3553             : GEN
    3554        2016 : Fp_powers(GEN x, long n, GEN p)
    3555             : {
    3556        2016 :   if (lgefint(p) == 3)
    3557        1876 :     return Flv_to_ZV(Fl_powers(umodiu(x, uel(p, 2)), n, uel(p, 2)));
    3558         140 :   return gen_powers(x, n, 1, (void*)p, _Fp_sqr, _Fp_mul, _Fp_one);
    3559             : }
    3560             : 
    3561             : static GEN
    3562     3179649 : _Fp_pow(void *E, GEN x, GEN n) { return Fp_pow(x,n,(GEN)E); }
    3563             : 
    3564             : static GEN
    3565         112 : _Fp_rand(void *E) { return addiu(randomi(subiu((GEN)E,1)),1); }
    3566             : 
    3567             : static GEN Fp_easylog(void *E, GEN a, GEN g, GEN ord);
    3568             : 
    3569             : static const struct bb_group Fp_star={_Fp_mul,_Fp_pow,_Fp_rand,hash_GEN,
    3570             :                                       equalii,equali1,Fp_easylog};
    3571             : 
    3572             : static GEN
    3573     1052565 : _Fp_red(void *E, GEN x) { return Fp_red(x, (GEN)E); }
    3574             : 
    3575             : static GEN
    3576     1504160 : _Fp_add(void *E, GEN x, GEN y) { (void) E; return addii(x,y); }
    3577             : 
    3578             : static GEN
    3579      268331 : _Fp_neg(void *E, GEN x) { (void) E; return negi(x); }
    3580             : 
    3581             : static GEN
    3582     1665214 : _Fp_rmul(void *E, GEN x, GEN y) { (void) E; return mulii(x,y); }
    3583             : 
    3584             : static GEN
    3585       27616 : _Fp_inv(void *E, GEN x) { return Fp_inv(x,(GEN)E); }
    3586             : 
    3587             : static int
    3588      385860 : _Fp_equal0(GEN x) { return signe(x)==0; }
    3589             : 
    3590             : static GEN
    3591      150543 : _Fp_s(void *E, long x) { (void) E; return stoi(x); }
    3592             : 
    3593             : static const struct bb_field Fp_field={_Fp_red,_Fp_add,_Fp_rmul,_Fp_neg,
    3594             :                                         _Fp_inv,_Fp_equal0,_Fp_s};
    3595             : 
    3596        7371 : const struct bb_field *get_Fp_field(void **E, GEN p)
    3597             : {
    3598        7371 :   *E = (void*)p; return &Fp_field;
    3599             : }
    3600             : 
    3601             : /*********************************************************************/
    3602             : /**                                                                 **/
    3603             : /**               ORDER of INTEGERMOD x  in  (Z/nZ)*                **/
    3604             : /**                                                                 **/
    3605             : /*********************************************************************/
    3606             : ulong
    3607       12096 : Fl_order(ulong a, ulong o, ulong p)
    3608             : {
    3609       12096 :   pari_sp av = avma;
    3610             :   GEN m, P, E;
    3611             :   long i;
    3612       12096 :   if (!o) o = p-1;
    3613       12096 :   m = factoru(o);
    3614       12096 :   P = gel(m,1);
    3615       12096 :   E = gel(m,2);
    3616       28952 :   for (i = lg(P)-1; i; i--)
    3617             :   {
    3618       16856 :     ulong j, l = P[i], e = E[i], t = o / upowuu(l,e), y = Fl_powu(a, t, p);
    3619       16856 :     if (y == 1) o = t;
    3620       14861 :     else for (j = 1; j < e; j++)
    3621             :     {
    3622        4284 :       y = Fl_powu(y, l, p);
    3623        4284 :       if (y == 1) { o = t *  upowuu(l, j); break; }
    3624             :     }
    3625             :   }
    3626       12096 :   return gc_ulong(av, o);
    3627             : }
    3628             : 
    3629             : /*Find the exact order of a assuming a^o==1*/
    3630             : GEN
    3631       10676 : Fp_order(GEN a, GEN o, GEN p) {
    3632       10676 :   if (lgefint(p) == 3 && (!o || typ(o) == t_INT))
    3633             :   {
    3634          21 :     ulong pp = p[2], oo = (o && lgefint(o)==3)? o[2]: pp-1;
    3635          21 :     return utoi( Fl_order(umodiu(a, pp), oo, pp) );
    3636             :   }
    3637       10655 :   return gen_order(a, o, (void*)p, &Fp_star);
    3638             : }
    3639             : GEN
    3640          56 : Fp_factored_order(GEN a, GEN o, GEN p)
    3641          56 : { return gen_factored_order(a, o, (void*)p, &Fp_star); }
    3642             : 
    3643             : /* return order of a mod p^e, e > 0, pe = p^e */
    3644             : static GEN
    3645          70 : Zp_order(GEN a, GEN p, long e, GEN pe)
    3646             : {
    3647             :   GEN ap, op;
    3648          70 :   if (absequaliu(p, 2))
    3649             :   {
    3650          56 :     if (e == 1) return gen_1;
    3651          56 :     if (e == 2) return mod4(a) == 1? gen_1: gen_2;
    3652          49 :     if (mod4(a) == 1)
    3653          14 :       op = gen_1;
    3654             :     else {
    3655          35 :       op = gen_2;
    3656          35 :       a = Fp_sqr(a, pe);
    3657             :     }
    3658             :   } else {
    3659          14 :     ap = (e == 1)? a: remii(a,p);
    3660          14 :     op = Fp_order(ap, subiu(p,1), p);
    3661          14 :     if (e == 1) return op;
    3662           0 :     a = Fp_pow(a, op, pe); /* 1 mod p */
    3663             :   }
    3664          49 :   if (equali1(a)) return op;
    3665           7 :   return mulii(op, powiu(p, e - Z_pval(subiu(a,1), p)));
    3666             : }
    3667             : 
    3668             : GEN
    3669          63 : znorder(GEN x, GEN o)
    3670             : {
    3671          63 :   pari_sp av = avma;
    3672             :   GEN b, a;
    3673             : 
    3674          63 :   if (typ(x) != t_INTMOD) pari_err_TYPE("znorder [t_INTMOD expected]",x);
    3675          56 :   b = gel(x,1); a = gel(x,2);
    3676          56 :   if (!equali1(gcdii(a,b))) pari_err_COPRIME("znorder", a,b);
    3677          49 :   if (!o)
    3678             :   {
    3679          35 :     GEN fa = Z_factor(b), P = gel(fa,1), E = gel(fa,2);
    3680          35 :     long i, l = lg(P);
    3681          35 :     o = gen_1;
    3682          70 :     for (i = 1; i < l; i++)
    3683             :     {
    3684          35 :       GEN p = gel(P,i);
    3685          35 :       long e = itos(gel(E,i));
    3686             : 
    3687          35 :       if (l == 2)
    3688          35 :         o = Zp_order(a, p, e, b);
    3689             :       else {
    3690           0 :         GEN pe = powiu(p,e);
    3691           0 :         o = lcmii(o, Zp_order(remii(a,pe), p, e, pe));
    3692             :       }
    3693             :     }
    3694          35 :     return gerepileuptoint(av, o);
    3695             :   }
    3696          14 :   return Fp_order(a, o, b);
    3697             : }
    3698             : GEN
    3699           0 : order(GEN x) { return znorder(x, NULL); }
    3700             : 
    3701             : /*********************************************************************/
    3702             : /**                                                                 **/
    3703             : /**               DISCRETE LOGARITHM  in  (Z/nZ)*                   **/
    3704             : /**                                                                 **/
    3705             : /*********************************************************************/
    3706             : static GEN
    3707       59681 : Fp_log_halfgcd(ulong bnd, GEN C, GEN g, GEN p)
    3708             : {
    3709       59681 :   pari_sp av = avma;
    3710             :   GEN h1, h2, F, G;
    3711       59681 :   if (!Fp_ratlift(g,p,C,shifti(C,-1),&h1,&h2)) return gc_NULL(av);
    3712       35839 :   if ((F = Z_issmooth_fact(h1, bnd)) && (G = Z_issmooth_fact(h2, bnd)))
    3713             :   {
    3714         228 :     GEN M = cgetg(3, t_MAT);
    3715         228 :     gel(M,1) = vecsmall_concat(gel(F, 1),gel(G, 1));
    3716         228 :     gel(M,2) = vecsmall_concat(gel(F, 2),zv_neg_inplace(gel(G, 2)));
    3717         228 :     return gerepileupto(av, M);
    3718             :   }
    3719       35611 :   return gc_NULL(av);
    3720             : }
    3721             : 
    3722             : static GEN
    3723       59681 : Fp_log_find_rel(GEN b, ulong bnd, GEN C, GEN p, GEN *g, long *e)
    3724             : {
    3725             :   GEN rel;
    3726             :   do
    3727             :   {
    3728       59681 :     (*e)++; *g = Fp_mul(*g, b, p);
    3729       59681 :     rel = Fp_log_halfgcd(bnd, C, *g, p);
    3730       59681 :   } while (!rel);
    3731         228 :   return rel;
    3732             : }
    3733             : 
    3734             : struct Fp_log_rel
    3735             : {
    3736             :   GEN rel;
    3737             :   ulong prmax;
    3738             :   long nbrel, nbmax, nbgen;
    3739             : };
    3740             : 
    3741             : /* add u^e */
    3742             : static void
    3743        2583 : addifsmooth1(struct Fp_log_rel *r, GEN z, long u, long e)
    3744             : {
    3745        2583 :   pari_sp av = avma;
    3746        2583 :   long off = r->prmax+1;
    3747        2583 :   GEN F = cgetg(3, t_MAT);
    3748        2583 :   gel(F,1) = vecsmall_append(gel(z,1), off+u);
    3749        2583 :   gel(F,2) = vecsmall_append(gel(z,2), e);
    3750        2583 :   gel(r->rel,++r->nbrel) = gerepileupto(av, F);
    3751        2583 : }
    3752             : 
    3753             : /* add u^-1 v^-1 */
    3754             : static void
    3755       99869 : addifsmooth2(struct Fp_log_rel *r, GEN z, long u, long v)
    3756             : {
    3757       99869 :   pari_sp av = avma;
    3758       99869 :   long off = r->prmax+1;
    3759       99869 :   GEN P = mkvecsmall2(off+u,off+v), E = mkvecsmall2(-1,-1);
    3760       99869 :   GEN F = cgetg(3, t_MAT);
    3761       99869 :   gel(F,1) = vecsmall_concat(gel(z,1), P);
    3762       99869 :   gel(F,2) = vecsmall_concat(gel(z,2), E);
    3763       99869 :   gel(r->rel,++r->nbrel) = gerepileupto(av, F);
    3764       99869 : }
    3765             : 
    3766             : /*
    3767             : Let p=C^2+c
    3768             : Solve h = (C+x)*(C+a)-p = 0 [mod l]
    3769             : h= -c+x*(C+a)+C*a = 0  [mod l]
    3770             : x = (c-C*a)/(C+a) [mod l]
    3771             : h = -c+C*(x+a)+a*x
    3772             : */
    3773             : 
    3774             : GEN
    3775       38975 : Fp_log_sieve_worker(long a, long prmax, GEN C, GEN c, GEN Ci, GEN ci, GEN pi, GEN sz)
    3776             : {
    3777       38975 :   pari_sp ltop = avma;
    3778       38975 :   long th = expi(mulis(C,a)), n = lg(pi)-1;
    3779             :   long i, j;
    3780       38990 :   GEN sieve = zero_zv(a+2)+1;
    3781       39026 :   GEN L = cgetg(1+a+2, t_VEC);
    3782       39015 :   pari_sp av = avma;
    3783       39015 :   long rel = 1;
    3784             :   GEN z, h;
    3785       39015 :   h = addis(C,a);
    3786       38979 :   if ((z = Z_issmooth_fact(h, prmax)))
    3787             :   {
    3788        2414 :     gel(L, rel++) = mkvec2(z, mkvecsmall3(1, a, -1));
    3789        2414 :     av = avma;
    3790             :   }
    3791    16697871 :   for(i=1; i<=n; i++)
    3792             :   {
    3793    16658931 :     ulong li = pi[i], s = sz[i], al = a % li;
    3794    16658931 :     ulong u, iv = Fl_invsafe(Fl_add(Ci[i],al,li),li);
    3795    17166068 :     if (!iv) continue;
    3796    16718624 :     u = Fl_mul(Fl_sub(ci[i],Fl_mul(Ci[i],al,li),li), iv ,li);
    3797    76324171 :     for(j = u; j<=a; j+=li)
    3798    60101852 :       sieve[j] += s;
    3799             :   }
    3800       38940 :   th = th - expu(th)-1;
    3801    27885186 :   for(j=0; j<a; j++)
    3802    27846151 :     if (sieve[j]>=th)
    3803             :     {
    3804      111580 :       GEN h = addiu(subii(muliu(C,a+j),c), a*j);
    3805      111483 :       if ((z = Z_issmooth_fact(h, prmax)))
    3806             :       {
    3807      104796 :         gel(L, rel++) = mkvec2(z, mkvecsmall3(2, a, j));
    3808      104955 :         av = avma;
    3809        6648 :       } else set_avma(av);
    3810             :     }
    3811             :   /* j = a */
    3812       39035 :   if (sieve[a]>=th)
    3813             :   {
    3814         420 :     GEN h = addiu(subii(muliu(C,2*a),c), a*a);
    3815         420 :     if ((z = Z_issmooth_fact(h, prmax)))
    3816             :     {
    3817         343 :       gel(L, rel++) = mkvec2(z, mkvecsmall3(1, a, -2));
    3818         343 :       av = avma;
    3819             :     }
    3820             :   }
    3821       39035 :   setlg(L, rel);
    3822       39034 :   return gerepilecopy(ltop, L);
    3823             : }
    3824             : 
    3825             : static long
    3826          49 : Fp_log_sieve(struct Fp_log_rel *r, GEN C, GEN c, GEN Ci, GEN ci, GEN pi, GEN sz)
    3827             : {
    3828             :   struct pari_mt pt;
    3829          49 :   long i, j, nb = 0;
    3830          49 :   GEN worker = snm_closure(is_entry("_Fp_log_sieve_worker"),
    3831             :                mkvecn(7, utoi(r->prmax), C, c, Ci, ci, pi, sz));
    3832          49 :   long running, pending = 0;
    3833          49 :   GEN W = zerovec(r->nbgen);
    3834          49 :   mt_queue_start_lim(&pt, worker, r->nbgen);
    3835       39305 :   for (i = 0; (running = (i < r->nbgen)) || pending; i++)
    3836             :   {
    3837             :     GEN done;
    3838             :     long idx;
    3839       39256 :     mt_queue_submit(&pt, i, running ? mkvec(stoi(i)): NULL);
    3840       39256 :     done = mt_queue_get(&pt, &idx, &pending);
    3841       39256 :     if (!done || lg(done)==1) continue;
    3842       34146 :     gel(W, idx+1) = done;
    3843       34146 :     nb += lg(done)-1;
    3844       34146 :     if (DEBUGLEVEL && (i&127)==0)
    3845           0 :       err_printf("%ld%% ",100*nb/r->nbmax);
    3846             :   }
    3847          49 :   mt_queue_end(&pt);
    3848       37870 :   for(j = 1; j <= r->nbgen && r->nbrel < r->nbmax; j++)
    3849             :   {
    3850             :     long ll, m;
    3851       37821 :     GEN L = gel(W,j);
    3852       37821 :     if (isintzero(L)) continue;
    3853       32942 :     ll = lg(L);
    3854      135394 :     for (m=1; m<ll && r->nbrel < r->nbmax ; m++)
    3855             :     {
    3856      102452 :       GEN Lm = gel(L,m), h = gel(Lm, 1), v = gel(Lm, 2);
    3857      102452 :       if (v[1] == 1)
    3858        2583 :         addifsmooth1(r, h, v[2], v[3]);
    3859             :       else
    3860       99869 :         addifsmooth2(r, h, v[2], v[3]);
    3861             :     }
    3862             :   }
    3863          49 :   return j;
    3864             : }
    3865             : 
    3866             : static GEN
    3867         525 : ECP_psi(GEN x, GEN y)
    3868             : {
    3869         525 :   long prec = realprec(x);
    3870         525 :   GEN lx = glog(x, prec), ly = glog(y, prec);
    3871         525 :   GEN u = gdiv(lx, ly);
    3872         525 :   return gpow(u, gneg(u),prec);
    3873             : }
    3874             : 
    3875             : struct computeG
    3876             : {
    3877             :   GEN C;
    3878             :   long bnd, nbi;
    3879             : };
    3880             : 
    3881             : static GEN
    3882         525 : _computeG(void *E, GEN gen)
    3883             : {
    3884         525 :   struct computeG * d = (struct computeG *) E;
    3885         525 :   GEN ps = ECP_psi(gmul(gen,d->C), stoi(d->bnd));
    3886         525 :   return gsub(gmul(gsqr(gen),ps),gmul2n(gaddgs(gen,d->nbi),2));
    3887             : }
    3888             : 
    3889             : static long
    3890          49 : compute_nbgen(GEN C, long bnd, long nbi)
    3891             : {
    3892             :   struct computeG d;
    3893          49 :   d.C = shifti(C, 1);
    3894          49 :   d.bnd = bnd;
    3895          49 :   d.nbi = nbi;
    3896          49 :   return itos(ground(zbrent((void*)&d, _computeG, gen_2, stoi(bnd), DEFAULTPREC)));
    3897             : }
    3898             : 
    3899             : static GEN
    3900        1367 : _psi(void*E, GEN y)
    3901             : {
    3902        1367 :   GEN lx = (GEN) E;
    3903        1367 :   long prec = realprec(lx);
    3904        1367 :   GEN ly = glog(y, prec);
    3905        1367 :   GEN u = gdiv(lx, ly);
    3906        1367 :   return gsub(gdiv(y ,ly), gpow(u, u, prec));
    3907             : }
    3908             : 
    3909             : static GEN
    3910          49 : opt_param(GEN x, long prec)
    3911             : {
    3912          49 :   return zbrent((void*)glog(x,prec), _psi, gen_2, x, prec);
    3913             : }
    3914             : 
    3915             : static GEN
    3916          49 : check_kernel(long nbg, long N, long prmax, GEN C, GEN M, GEN p, GEN m)
    3917             : {
    3918          49 :   pari_sp av = avma;
    3919          49 :   long lM = lg(M)-1, nbcol = lM;
    3920          49 :   long tbs = maxss(1, expu(nbg/expi(m)));
    3921             :   for (;;)
    3922          35 :   {
    3923          84 :     GEN K = FpMs_leftkernel_elt_col(M, nbcol, N, m);
    3924             :     GEN tab;
    3925          84 :     long i, f=0;
    3926          84 :     long l = lg(K), lm = lgefint(m);
    3927          84 :     GEN idx = diviiexact(subiu(p,1),m), g;
    3928             :     pari_timer ti;
    3929          84 :     if (DEBUGLEVEL) timer_start(&ti);
    3930         140 :     for(i=1; i<l; i++)
    3931         140 :       if (signe(gel(K,i)))
    3932          84 :         break;
    3933          84 :     g = Fp_pow(utoi(i), idx, p);
    3934          84 :     tab = Fp_pow_init(g, p, tbs, p);
    3935          84 :     K = FpC_Fp_mul(K, Fp_inv(gel(K,i), m), m);
    3936      130438 :     for(i=1; i<l; i++)
    3937             :     {
    3938      130354 :       GEN k = gel(K,i);
    3939      130354 :       GEN j = i<=prmax ? utoi(i): addis(C,i-(prmax+1));
    3940      130354 :       if (signe(k)==0 || !equalii(Fp_pow_table(tab, k, p), Fp_pow(j, idx, p)))
    3941       80542 :         gel(K,i) = cgetineg(lm);
    3942             :       else
    3943       49812 :         f++;
    3944             :     }
    3945          84 :     if (DEBUGLEVEL) timer_printf(&ti,"found %ld/%ld logs", f, nbg);
    3946         133 :     if(f > (nbg>>1)) return gerepileupto(av, K);
    3947        9877 :     for(i=1; i<=nbcol; i++)
    3948             :     {
    3949        9842 :       long a = 1+random_Fl(lM);
    3950        9842 :       swap(gel(M,a),gel(M,i));
    3951             :     }
    3952          35 :     if (4*nbcol>5*nbg) nbcol = nbcol*9/10;
    3953             :   }
    3954             : }
    3955             : 
    3956             : static GEN
    3957          98 : Fp_log_find_ind(GEN a, GEN K, long prmax, GEN C, GEN p, GEN m)
    3958             : {
    3959          98 :   pari_sp av=avma;
    3960          98 :   GEN aa = gen_1;
    3961          98 :   long AV = 0;
    3962             :   for(;;)
    3963         130 :   {
    3964         228 :     GEN A = Fp_log_find_rel(a, prmax, C, p, &aa, &AV);
    3965         228 :     GEN F = gel(A,1), E = gel(A,2);
    3966         228 :     GEN Ao = gen_0;
    3967         228 :     long i, l = lg(F);
    3968        1156 :     for(i=1; i<l; i++)
    3969             :     {
    3970        1058 :       GEN Ki = gel(K,F[i]);
    3971        1058 :       if (signe(Ki)<0) break;
    3972         928 :       Ao = addii(Ao, mulis(Ki, E[i]));
    3973             :     }
    3974         326 :     if (i==l) return Fp_div(Ao, utoi(AV), m);
    3975         130 :     aa = gerepileuptoint(av, aa);
    3976             :   }
    3977             : }
    3978             : 
    3979             : static GEN
    3980          49 : Fp_log_index(GEN a, GEN b, GEN m, GEN p)
    3981             : {
    3982          49 :   pari_sp av = avma, av2;
    3983          49 :   long i, j, nbi, nbr = 0, nbrow, nbg;
    3984             :   GEN C, c, Ci, ci, pi, pr, sz, l, Ao, Bo, K, d, p_1;
    3985             :   pari_timer ti;
    3986             :   struct Fp_log_rel r;
    3987          49 :   ulong bnds = itou(roundr_safe(opt_param(sqrti(p),DEFAULTPREC)));
    3988          49 :   ulong bnd = 4*bnds;
    3989          49 :   if (!bnds || cmpii(sqru(bnds),m)>=0) return NULL;
    3990             : 
    3991          49 :   p_1 = subiu(p,1);
    3992          49 :   if (!is_pm1(gcdii(m,diviiexact(p_1,m))))
    3993           0 :     m = diviiexact(p_1, Z_ppo(p_1, m));
    3994          49 :   pr = primes_upto_zv(bnd);
    3995          49 :   nbi = lg(pr)-1;
    3996          49 :   C = sqrtremi(p, &c);
    3997          49 :   av2 = avma;
    3998       12236 :   for (i = 1; i <= nbi; ++i)
    3999             :   {
    4000       12187 :     ulong lp = pr[i];
    4001       37793 :     while (lp <= bnd)
    4002             :     {
    4003       13419 :       nbr++;
    4004       13419 :       lp *= pr[i];
    4005             :     }
    4006             :   }
    4007          49 :   pi = cgetg(nbr+1,t_VECSMALL);
    4008          49 :   Ci = cgetg(nbr+1,t_VECSMALL);
    4009          49 :   ci = cgetg(nbr+1,t_VECSMALL);
    4010          49 :   sz = cgetg(nbr+1,t_VECSMALL);
    4011       12236 :   for (i = 1, j = 1; i <= nbi; ++i)
    4012             :   {
    4013       12187 :     ulong lp = pr[i], sp = expu(2*lp-1);
    4014       37793 :     while (lp <= bnd)
    4015             :     {
    4016       13419 :       pi[j] = lp;
    4017       13419 :       Ci[j] = umodiu(C, lp);
    4018       13419 :       ci[j] = umodiu(c, lp);
    4019       13419 :       sz[j] = sp;
    4020       13419 :       lp *= pr[i];
    4021       13419 :       j++;
    4022             :     }
    4023             :   }
    4024          49 :   r.nbrel = 0;
    4025          49 :   r.nbgen = compute_nbgen(C, bnd, nbi);
    4026          49 :   r.nbmax = 2*(nbi+r.nbgen);
    4027          49 :   r.rel = cgetg(r.nbmax+1,t_VEC);
    4028          49 :   r.prmax = pr[nbi];
    4029          49 :   if (DEBUGLEVEL)
    4030             :   {
    4031           0 :     err_printf("bnd=%lu Size FB=%ld extra gen=%ld \n", bnd, nbi, r.nbgen);
    4032           0 :     timer_start(&ti);
    4033             :   }
    4034          49 :   nbg = Fp_log_sieve(&r, C, c, Ci, ci, pi, sz);
    4035          49 :   nbrow = r.prmax + nbg;
    4036          49 :   if (DEBUGLEVEL)
    4037             :   {
    4038           0 :     err_printf("\n");
    4039           0 :     timer_printf(&ti," %ld relations, %ld generators", r.nbrel, nbi+nbg);
    4040             :   }
    4041          49 :   setlg(r.rel,r.nbrel+1);
    4042          49 :   r.rel = gerepilecopy(av2, r.rel);
    4043          49 :   K = check_kernel(nbi+nbrow-r.prmax, nbrow, r.prmax, C, r.rel, p, m);
    4044          49 :   if (DEBUGLEVEL) timer_start(&ti);
    4045          49 :   Ao = Fp_log_find_ind(a, K, r.prmax, C, p, m);
    4046          49 :   if (DEBUGLEVEL) timer_printf(&ti," log element");
    4047          49 :   Bo = Fp_log_find_ind(b, K, r.prmax, C, p, m);
    4048          49 :   if (DEBUGLEVEL) timer_printf(&ti," log generator");
    4049          49 :   d = gcdii(Ao,Bo);
    4050          49 :   l = Fp_div(diviiexact(Ao, d) ,diviiexact(Bo, d), m);
    4051          49 :   if (!equalii(a,Fp_pow(b,l,p))) pari_err_BUG("Fp_log_index");
    4052          49 :   return gerepileuptoint(av, l);
    4053             : }
    4054             : 
    4055             : static int
    4056      713471 : Fp_log_use_index(long e, long p)
    4057             : {
    4058      713471 :   return (e >= 27 && 20*(p+6)<=e*e);
    4059             : }
    4060             : 
    4061             : /* Trivial cases a = 1, -1. Return x s.t. g^x = a or [] if no such x exist */
    4062             : static GEN
    4063     1076163 : Fp_easylog(void *E, GEN a, GEN g, GEN ord)
    4064             : {
    4065     1076163 :   pari_sp av = avma;
    4066     1076163 :   GEN p = (GEN)E;
    4067             :   /* assume a reduced mod p, p not necessarily prime */
    4068     1076163 :   if (equali1(a)) return gen_0;
    4069             :   /* p > 2 */
    4070      662606 :   if (equalii(subiu(p,1), a))  /* -1 */
    4071             :   {
    4072             :     pari_sp av2;
    4073             :     GEN t;
    4074      218027 :     ord = get_arith_Z(ord);
    4075      218027 :     if (mpodd(ord)) { set_avma(av); return cgetg(1, t_VEC); } /* no solution */
    4076      218013 :     t = shifti(ord,-1); /* only possible solution */
    4077      218013 :     av2 = avma;
    4078      218013 :     if (!equalii(Fp_pow(g, t, p), a)) { set_avma(av); return cgetg(1, t_VEC); }
    4079      217817 :     set_avma(av2); return gerepileuptoint(av, t);
    4080             :   }
    4081      444579 :   if (typ(ord)==t_INT && BPSW_psp(p) && Fp_log_use_index(expi(ord),expi(p)))
    4082          49 :     return Fp_log_index(a, g, ord, p);
    4083      444530 :   return gc_NULL(av); /* not easy */
    4084             : }
    4085             : 
    4086             : GEN
    4087      747665 : Fp_log(GEN a, GEN g, GEN ord, GEN p)
    4088             : {
    4089      747665 :   GEN v = get_arith_ZZM(ord);
    4090      747637 :   GEN F = gmael(v,2,1);
    4091      747637 :   long lF = lg(F)-1, lmax;
    4092      747637 :   if (lF == 0) return equali1(a)? gen_0: cgetg(1, t_VEC);
    4093      631341 :   lmax = expi(gel(F,lF));
    4094      631341 :   if (BPSW_psp(p) && Fp_log_use_index(lmax,expi(p)))
    4095          49 :     v = mkvec2(gel(v,1),ZM_famat_limit(gel(v,2),int2n(27)));
    4096      631341 :   return gen_PH_log(a,g,v,(void*)p,&Fp_star);
    4097             : }
    4098             : 
    4099             : static ulong
    4100           0 : Fl_log_naive(ulong a, ulong g, ulong ord, ulong p)
    4101             : {
    4102           0 :   ulong i, h=1;
    4103           0 :   for(i=0; i<ord; i++, h = Fl_mul(h, g, p))
    4104           0 :     if(a==h) return i;
    4105           0 :   return ~0UL;
    4106             : }
    4107             : 
    4108             : static ulong
    4109       19005 : Fl_log_naive_pre(ulong a, ulong g, ulong ord, ulong p, ulong pi)
    4110             : {
    4111       19005 :   ulong i, h=1;
    4112       47866 :   for(i=0; i<ord; i++, h = Fl_mul_pre(h, g, p, pi))
    4113       47866 :     if(a==h) return i;
    4114           0 :   return ~0UL;
    4115             : }
    4116             : 
    4117             : static ulong
    4118           0 : Fl_log_Fp(ulong a, ulong g, ulong ord, ulong p)
    4119             : {
    4120           0 :   pari_sp av = avma;
    4121           0 :   GEN r = Fp_log(utoi(a),utoi(g),utoi(ord),utoi(p));
    4122           0 :   return gc_ulong(av, typ(r)==t_INT ? itou(r): ~0UL);
    4123             : }
    4124             : 
    4125             : ulong
    4126       19005 : Fl_log_pre(ulong a, ulong g, ulong ord, ulong p, ulong pi)
    4127             : {
    4128       19005 :   if (ord <= 200) return Fl_log_naive_pre(a, g, ord, p, pi);
    4129           0 :   return Fl_log_Fp(a, g, ord, p);
    4130             : }
    4131             : 
    4132             : ulong
    4133           0 : Fl_log(ulong a, ulong g, ulong ord, ulong p)
    4134             : {
    4135           0 :   if (ord <= 200)
    4136           0 :   return (p&HIGHMASK) ? Fl_log_naive_pre(a, g, ord, p, get_Fl_red(p))
    4137           0 :                       : Fl_log_naive(a, g, ord, p);
    4138           0 :   return Fl_log_Fp(a, g, ord, p);
    4139             : }
    4140             : 
    4141             : /* find x such that h = g^x mod N > 1, N = prod_{i <= l} P[i]^E[i], P[i] prime.
    4142             :  * PHI[l] = eulerphi(N / P[l]^E[l]).   Destroys P/E */
    4143             : static GEN
    4144         112 : znlog_rec(GEN h, GEN g, GEN N, GEN P, GEN E, GEN PHI)
    4145             : {
    4146         112 :   long l = lg(P) - 1, e = E[l];
    4147         112 :   GEN p = gel(P, l), phi = gel(PHI,l), pe = e == 1? p: powiu(p, e);
    4148             :   GEN a,b, hp,gp, hpe,gpe, ogpe; /* = order(g mod p^e) | p^(e-1)(p-1) */
    4149             : 
    4150         112 :   if (l == 1) {
    4151          84 :     hpe = h;
    4152          84 :     gpe = g;
    4153             :   } else {
    4154          28 :     hpe = modii(h, pe);
    4155          28 :     gpe = modii(g, pe);
    4156             :   }
    4157         112 :   if (e == 1) {
    4158          28 :     hp = hpe;
    4159          28 :     gp = gpe;
    4160             :   } else {
    4161          84 :     hp = remii(hpe, p);
    4162          84 :     gp = remii(gpe, p);
    4163             :   }
    4164         112 :   if (hp == gen_0 || gp == gen_0) return NULL;
    4165          91 :   if (absequaliu(p, 2))
    4166             :   {
    4167          35 :     GEN n = int2n(e);
    4168          35 :     ogpe = Zp_order(gpe, gen_2, e, n);
    4169          35 :     a = Fp_log(hpe, gpe, ogpe, n);
    4170          35 :     if (typ(a) != t_INT) return NULL;
    4171             :   }
    4172             :   else
    4173             :   { /* Avoid black box groups: (Z/p^2)^* / (Z/p)^* ~ (Z/pZ, +), where DL
    4174             :        is trivial */
    4175             :     /* [order(gp), factor(order(gp))] */
    4176          56 :     GEN v = Fp_factored_order(gp, subiu(p,1), p);
    4177          56 :     GEN ogp = gel(v,1);
    4178          56 :     if (!equali1(Fp_pow(hp, ogp, p))) return NULL;
    4179          56 :     a = Fp_log(hp, gp, v, p);
    4180          56 :     if (typ(a) != t_INT) return NULL;
    4181          56 :     if (e == 1) ogpe = ogp;
    4182             :     else
    4183             :     { /* find a s.t. g^a = h (mod p^e), p odd prime, e > 0, (h,p) = 1 */
    4184             :       /* use p-adic log: O(log p + e) mul*/
    4185             :       long vpogpe, vpohpe;
    4186             : 
    4187          28 :       hpe = Fp_mul(hpe, Fp_pow(gpe, negi(a), pe), pe);
    4188          28 :       gpe = Fp_pow(gpe, ogp, pe);
    4189             :       /* g,h = 1 mod p; compute b s.t. h = g^b */
    4190             : 
    4191             :       /* v_p(order g mod pe) */
    4192          28 :       vpogpe = equali1(gpe)? 0: e - Z_pval(subiu(gpe,1), p);
    4193             :       /* v_p(order h mod pe) */
    4194          28 :       vpohpe = equali1(hpe)? 0: e - Z_pval(subiu(hpe,1), p);
    4195          28 :       if (vpohpe > vpogpe) return NULL;
    4196             : 
    4197          28 :       ogpe = mulii(ogp, powiu(p, vpogpe)); /* order g mod p^e */
    4198          28 :       if (is_pm1(gpe)) return is_pm1(hpe)? a: NULL;
    4199          28 :       b = gdiv(Qp_log(cvtop(hpe, p, e)), Qp_log(cvtop(gpe, p, e)));
    4200          28 :       a = addii(a, mulii(ogp, padic_to_Q(b)));
    4201             :     }
    4202             :   }
    4203             :   /* gp^a = hp => x = a mod ogpe => generalized Pohlig-Hellman strategy */
    4204          77 :   if (l == 1) return a;
    4205             : 
    4206          28 :   N = diviiexact(N, pe); /* make N coprime to p */
    4207          28 :   h = Fp_mul(h, Fp_pow(g, modii(negi(a), phi), N), N);
    4208          28 :   g = Fp_pow(g, modii(ogpe, phi), N);
    4209          28 :   setlg(P, l); /* remove last element */
    4210          28 :   setlg(E, l);
    4211          28 :   b = znlog_rec(h, g, N, P, E, PHI);
    4212          28 :   if (!b) return NULL;
    4213          28 :   return addmulii(a, b, ogpe);
    4214             : }
    4215             : 
    4216             : static GEN
    4217          84 : get_PHI(GEN P, GEN E)
    4218             : {
    4219          84 :   long i, l = lg(P);
    4220          84 :   GEN PHI = cgetg(l, t_VEC);
    4221          84 :   gel(PHI,1) = gen_1;
    4222         112 :   for (i=1; i<l-1; i++)
    4223             :   {
    4224          28 :     GEN t, p = gel(P,i);
    4225          28 :     long e = E[i];
    4226          28 :     t = mulii(powiu(p, e-1), subiu(p,1));
    4227          28 :     if (i > 1) t = mulii(t, gel(PHI,i));
    4228          28 :     gel(PHI,i+1) = t;
    4229             :   }
    4230          84 :   return PHI;
    4231             : }
    4232             : 
    4233             : GEN
    4234         224 : znlog(GEN h, GEN g, GEN o)
    4235             : {
    4236         224 :   pari_sp av = avma;
    4237             :   GEN N, fa, P, E, x;
    4238         224 :   switch (typ(g))
    4239             :   {
    4240             :     case t_PADIC:
    4241             :     {
    4242          28 :       GEN p = gel(g,2);
    4243          28 :       long v = valp(g);
    4244          28 :       if (v < 0) pari_err_DIM("znlog");
    4245          28 :       if (v > 0) {
    4246           0 :         long k = gvaluation(h, p);
    4247           0 :         if (k % v) return cgetg(1,t_VEC);
    4248           0 :         k /= v;
    4249           0 :         if (!gequal(h, gpowgs(g,k))) { set_avma(av); return cgetg(1,t_VEC); }
    4250           0 :         set_avma(av); return stoi(k);
    4251             :       }
    4252          28 :       N = gel(g,3);
    4253          28 :       g = Rg_to_Fp(g, N);
    4254          28 :       break;
    4255             :     }
    4256             :     case t_INTMOD:
    4257         189 :       N = gel(g,1);
    4258         189 :       g = gel(g,2); break;
    4259           7 :     default: pari_err_TYPE("znlog", g);
    4260             :       return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
    4261             :   }
    4262         217 :   if (equali1(N)) { set_avma(av); return gen_0; }
    4263         217 :   h = Rg_to_Fp(h, N);
    4264         210 :   if (o) return gerepileupto(av, Fp_log(h, g, o, N));
    4265          84 :   fa = Z_factor(N);
    4266          84 :   P = gel(fa,1);
    4267          84 :   E = vec_to_vecsmall(gel(fa,2));
    4268          84 :   x = znlog_rec(h, g, N, P, E, get_PHI(P,E));
    4269          84 :   if (!x) { set_avma(av); return cgetg(1,t_VEC); }
    4270          49 :   return gerepileuptoint(av, x);
    4271             : }
    4272             : 
    4273             : GEN
    4274       61301 : Fp_sqrtn(GEN a, GEN n, GEN p, GEN *zeta)
    4275             : {
    4276       61301 :   if (lgefint(p)==3)
    4277             :   {
    4278       60909 :     long nn = itos_or_0(n);
    4279       60909 :     if (nn)
    4280             :     {
    4281       60909 :       ulong pp = p[2];
    4282             :       ulong uz;
    4283       60909 :       ulong r = Fl_sqrtn(umodiu(a,pp),nn,pp, zeta ? &uz:NULL);
    4284       60888 :       if (r==ULONG_MAX) return NULL;
    4285       60853 :       if (zeta) *zeta = utoi(uz);
    4286       60853 :       return utoi(r);
    4287             :     }
    4288             :   }
    4289         392 :   a = modii(a,p);
    4290         392 :   if (!signe(a))
    4291             :   {
    4292           0 :     if (zeta) *zeta = gen_1;
    4293           0 :     if (signe(n) < 0) pari_err_INV("Fp_sqrtn", mkintmod(gen_0,p));
    4294           0 :     return gen_0;
    4295             :   }
    4296         392 :   if (absequaliu(n,2))
    4297             :   {
    4298         224 :     if (zeta) *zeta = subiu(p,1);
    4299         224 :     return signe(n) > 0 ? Fp_sqrt(a,p): Fp_sqrt(Fp_inv(a, p),p);
    4300             :   }
    4301         168 :   return gen_Shanks_sqrtn(a,n,subiu(p,1),zeta,(void*)p,&Fp_star);
    4302             : }
    4303             : 
    4304             : /*********************************************************************/
    4305             : /**                                                                 **/
    4306             : /**                    FUNDAMENTAL DISCRIMINANTS                    **/
    4307             : /**                                                                 **/
    4308             : /*********************************************************************/
    4309             : static long
    4310        1407 : fa_isfundamental(GEN F)
    4311             : {
    4312        1407 :   GEN P = gel(F,1), E = gel(F,2);
    4313        1407 :   long i, s, l = lg(P);
    4314             : 
    4315        1407 :   if (l == 1) return 1;
    4316        1400 :   s = signe(gel(P,1)); /* = signe(x) */
    4317        1400 :   if (!s) return 0;
    4318        1393 :   if (s < 0) { l--; P = vecslice(P,2,l); E = vecslice(E,2,l); }
    4319        1393 :   if (l == 1) return 0;
    4320        1386 :   if (!absequaliu(gel(P,1), 2))
    4321         686 :     i = 1; /* need x = 1 mod 4 */
    4322             :   else
    4323             :   {
    4324         700 :     i = 2;
    4325         700 :     switch(itou(gel(E,1)))
    4326             :     {
    4327         182 :       case 2: s = -s; break; /* need x/4 = 3 mod 4 */
    4328          84 :       case 3: s = 0; break; /* no condition mod 4 */
    4329         434 :       default: return 0;
    4330             :     }
    4331             :   }
    4332        1974 :   for(; i < l; i++)
    4333             :   {
    4334        1190 :     if (!equali1(gel(E,i))) return 0;
    4335        1022 :     if (s && Mod4(gel(P,i)) == 3) s = -s;
    4336             :   }
    4337         784 :   return s >= 0;
    4338             : }
    4339             : long
    4340       17563 : isfundamental(GEN x)
    4341             : {
    4342       17563 :   if (typ(x) != t_INT)
    4343             :   {
    4344        1407 :     pari_sp av = avma;
    4345        1407 :     long v = fa_isfundamental(check_arith_all(x,"isfundamental"));
    4346        1407 :     return gc_long(av,v);
    4347             :   }
    4348       16156 :   return Z_isfundamental(x);
    4349             : }
    4350             : 
    4351             : /* x fundamental ? */
    4352             : long
    4353       10583 : uposisfundamental(ulong x)
    4354             : {
    4355       10583 :   ulong r = x & 15; /* x mod 16 */
    4356       10583 :   if (!r) return 0;
    4357       10002 :   switch(r & 3)
    4358             :   { /* x mod 4 */
    4359        1947 :     case 0: return (r == 4)? 0: uissquarefree(x >> 2);
    4360        3109 :     case 1: return uissquarefree(x);
    4361        4946 :     default: return 0;
    4362             :   }
    4363             : }
    4364             : /* -x fundamental ? */
    4365             : long
    4366       21211 : unegisfundamental(ulong x)
    4367             : {
    4368       21211 :   ulong r = x & 15; /* x mod 16 */
    4369       21211 :   if (!r) return 0;
    4370       20210 :   switch(r & 3)
    4371             :   { /* x mod 4 */
    4372        3676 :     case 0: return (r == 12)? 0: uissquarefree(x >> 2);
    4373        9698 :     case 3: return uissquarefree(x);
    4374        6836 :     default: return 0;
    4375             :   }
    4376             : }
    4377             : long
    4378       10353 : sisfundamental(long x)
    4379       10353 : { return x < 0? unegisfundamental((ulong)(-x)): uposisfundamental(x); }
    4380             : 
    4381             : long
    4382       16723 : Z_isfundamental(GEN x)
    4383             : {
    4384             :   long r;
    4385       16723 :   switch(lgefint(x))
    4386             :   {
    4387           7 :     case 2: return 0;
    4388       22175 :     case 3: return signe(x) < 0? unegisfundamental(x[2])
    4389       22175 :                                : uposisfundamental(x[2]);
    4390             :   }
    4391        2010 :   r = mod16(x);
    4392        2010 :   if (!r) return 0;
    4393        1884 :   if ((r & 3) == 0)
    4394             :   {
    4395             :     pari_sp av;
    4396         376 :     r >>= 2; /* |x|/4 mod 4 */
    4397         376 :     if (signe(x) < 0) r = 4-r;
    4398         376 :     if (r == 1) return 0;
    4399         250 :     av = avma;
    4400         250 :     r = Z_issquarefree( shifti(x,-2) );
    4401         250 :     return gc_long(av, r);
    4402             :   }
    4403        1508 :   r &= 3; /* |x| mod 4 */
    4404        1508 :   if (signe(x) < 0) r = 4-r;
    4405        1508 :   return (r==1) ? Z_issquarefree(x) : 0;
    4406             : }
    4407             : 
    4408             : static GEN
    4409        2821 : fa_quaddisc(GEN f)
    4410             : {
    4411        2821 :   GEN P = gel(f,1), E = gel(f,2), s = gen_1;
    4412        2821 :   long i, l = lg(P);
    4413        9051 :   for (i = 1; i < l; i++) /* possibly including -1 */
    4414        6230 :     if (mpodd(gel(E,i))) s = mulii(s, gel(P,i));
    4415        2821 :   if (Mod4(s) > 1) s = shifti(s,2);
    4416        2821 :   return s;
    4417             : }
    4418             : 
    4419             : GEN
    4420        2821 : quaddisc(GEN x)
    4421             : {
    4422        2821 :   const pari_sp av = avma;
    4423        2821 :   if (is_rational_t(typ(x))) x = factor(x);
    4424        1407 :   else x = check_arith_all(x,"quaddisc");
    4425        2821 :   return gerepileuptoint(av, fa_quaddisc(x));
    4426             : }
    4427             : 
    4428             : /*********************************************************************/
    4429             : /**                                                                 **/
    4430             : /**                              FACTORIAL                          **/
    4431             : /**                                                                 **/
    4432             : /*********************************************************************/
    4433             : GEN
    4434      178844 : mulu_interval_step(ulong a, ulong b, ulong step)
    4435             : {
    4436      178844 :   pari_sp av = avma;
    4437             :   ulong k, l, N, n;
    4438             :   long lx;
    4439             :   GEN x;
    4440             : 
    4441      178844 :   if (!a) return gen_0;
    4442      178844 :   if (step == 1) return mulu_interval(a, b);
    4443      178844 :   n = 1 + (b-a) / step;
    4444      178844 :   b -= (b-a) % step;
    4445      178844 :   if (n < 61)
    4446             :   {
    4447      177548 :     if (n == 1) return utoipos(a);
    4448      131784 :     x = muluu(a,a+step); if (n == 2) return x;
    4449       95536 :     for (k=a+2*step; k<=b; k+=step) x = mului(k,x);
    4450       95536 :     return gerepileuptoint(av, x);
    4451             :   }
    4452             :   /* step | b-a */
    4453        1296 :   lx = 1; x = cgetg(2 + n/2, t_VEC);
    4454        1296 :   N = b + a;
    4455      240115 :   for (k = a;; k += step)
    4456             :   {
    4457      478934 :     l = N - k; if (l <= k) break;
    4458      238819 :     gel(x,lx++) = muluu(k,l);
    4459             :   }
    4460        1296 :   if (l == k) gel(x,lx++) = utoipos(k);
    4461        1296 :   setlg(x, lx);
    4462        1296 :   return gerepileuptoint(av, ZV_prod(x));
    4463             : }
    4464             : /* return a * (a+1) * ... * b. Assume a <= b  [ note: factoring out powers of 2
    4465             :  * first is slower ... ] */
    4466             : GEN
    4467      118692 : mulu_interval(ulong a, ulong b)
    4468             : {
    4469      118692 :   pari_sp av = avma;
    4470             :   ulong k, l, N, n;
    4471             :   long lx;
    4472             :   GEN x;
    4473             : 
    4474      118692 :   if (!a) return gen_0;
    4475      118692 :   n = b - a + 1;
    4476      118692 :   if (n < 61)
    4477             :   {
    4478      118636 :     if (n == 1) return utoipos(a);
    4479       99617 :     x = muluu(a,a+1); if (n == 2) return x;
    4480       69097 :     for (k=a+2; k<=b; k++) x = mului(k,x);
    4481       69097 :     return gerepileuptoint(av, x);
    4482             :   }
    4483          56 :   lx = 1; x = cgetg(2 + n/2, t_VEC);
    4484          56 :   N = b + a;
    4485        8736 :   for (k = a;; k++)
    4486             :   {
    4487       17416 :     l = N - k; if (l <= k) break;
    4488        8680 :     gel(x,lx++) = muluu(k,l);
    4489             :   }
    4490          56 :   if (l == k) gel(x,lx++) = utoipos(k);
    4491          56 :   setlg(x, lx);
    4492          56 :   return gerepileuptoint(av, ZV_prod(x));
    4493             : }
    4494             : GEN
    4495         448 : muls_interval(long a, long b)
    4496             : {
    4497         448 :   pari_sp av = avma;
    4498         448 :   long lx, k, l, N, n = b - a + 1;
    4499             :   GEN x;
    4500             : 
    4501         448 :   if (a <= 0 && b >= 0) return gen_0;
    4502         287 :   if (n < 61)
    4503             :   {
    4504         287 :     x = stoi(a);
    4505         287 :     for (k=a+1; k<=b; k++) x = mulsi(k,x);
    4506         287 :     return gerepileuptoint(av, x);
    4507             :   }
    4508           0 :   lx = 1; x = cgetg(2 + n/2, t_VEC);
    4509           0 :   N = b + a;
    4510           0 :   for (k = a;; k++)
    4511             :   {
    4512           0 :     l = N - k; if (l <= k) break;
    4513           0 :     gel(x,lx++) = mulss(k,l);
    4514             :   }
    4515           0 :   if (l == k) gel(x,lx++) = stoi(k);
    4516           0 :   setlg(x, lx);
    4517           0 :   return gerepileuptoint(av, ZV_prod(x));
    4518             : }
    4519             : 
    4520             : GEN
    4521     3033138 : mpfact(long n)
    4522             : {
    4523     3033138 :   pari_sp av = avma;
    4524             :   GEN a, v;
    4525             :   long k;
    4526     3033138 :   if (n <= 12) switch(n)
    4527             :   {
    4528     1932211 :     case 0: case 1: return gen_1;
    4529      623881 :     case 2: return gen_2;
    4530      259998 :     case 3: return utoipos(6);
    4531      107161 :     case 4: return utoipos(24);
    4532       21296 :     case 5: return utoipos(120);
    4533       14753 :     case 6: return utoipos(720);
    4534        1056 :     case 7: return utoipos(5040);
    4535        9307 :     case 8: return utoipos(40320);
    4536         165 :     case 9: return utoipos(362880);
    4537        9195 :     case 10:return utoipos(3628800);
    4538          58 :     case 11:return utoipos(39916800);
    4539        7014 :     case 12:return utoipos(479001600);
    4540           0 :     default: pari_err_DOMAIN("factorial", "argument","<",gen_0,stoi(n));
    4541             :   }
    4542       47043 :   v = cgetg(expu(n) + 2, t_VEC);
    4543      225642 :   for (k = 1;; k++)
    4544      178598 :   {
    4545      225642 :     long m = n >> (k-1), l;
    4546      225642 :     if (m <= 2) break;
    4547      178599 :     l = (1 + (n >> k)) | 1;
    4548             :     /* product of odd numbers in ]n / 2^k, 2 / 2^(k-1)] */
    4549      178599 :     a = mulu_interval_step(l, m, 2);
    4550      178599 :     gel(v,k) = k == 1? a: powiu(a, k);
    4551             :   }
    4552       47043 :   a = gel(v,--k); while (--k) a = mulii(a, gel(v,k));
    4553       47043 :   a = shifti(a, factorial_lval(n, 2));
    4554       47043 :   return gerepileuptoint(av, a);
    4555             : }
    4556             : 
    4557             : /*******************************************************************/
    4558             : /**                                                               **/
    4559             : /**                      LUCAS & FIBONACCI                        **/
    4560             : /**                                                               **/
    4561             : /*******************************************************************/
    4562             : static void
    4563          56 : lucas(ulong n, GEN *a, GEN *b)
    4564             : {
    4565             :   GEN z, t, zt;
    4566          56 :   if (!n) { *a = gen_2; *b = gen_1; return; }
    4567          49 :   lucas(n >> 1, &z, &t); zt = mulii(z, t);
    4568          49 :   switch(n & 3) {
    4569          14 :     case  0: *a = subiu(sqri(z),2); *b = subiu(zt,1); break;
    4570          14 :     case  1: *a = subiu(zt,1);      *b = addiu(sqri(t),2); break;
    4571           7 :     case  2: *a = addiu(sqri(z),2); *b = addiu(zt,1); break;
    4572          14 :     case  3: *a = addiu(zt,1);      *b = subiu(sqri(t),2);
    4573             :   }
    4574             : }
    4575             : 
    4576             : GEN
    4577           7 : fibo(long n)
    4578             : {
    4579           7 :   pari_sp av = avma;
    4580             :   GEN a, b;
    4581           7 :   if (!n) return gen_0;
    4582           7 :   lucas((ulong)(labs(n)-1), &a, &b);
    4583           7 :   a = diviuexact(addii(shifti(a,1),b), 5);
    4584           7 :   if (n < 0 && !odd(n)) setsigne(a, -1);
    4585           7 :   return gerepileuptoint(av, a);
    4586             : }
    4587             : 
    4588             : /*******************************************************************/
    4589             : /*                                                                 */
    4590             : /*                      CONTINUED FRACTIONS                        */
    4591             : /*                                                                 */
    4592             : /*******************************************************************/
    4593             : static GEN
    4594      488413 : icopy_lg(GEN x, long l)
    4595             : {
    4596      488413 :   long lx = lgefint(x);
    4597             :   GEN y;
    4598             : 
    4599      488413 :   if (lx >= l) return icopy(x);
    4600          35 :   y = cgeti(l); affii(x, y); return y;
    4601             : }
    4602             : 
    4603             : /* continued fraction of a/b. If y != NULL, stop when partial quotients
    4604             :  * differ from y */
    4605             : static GEN
    4606      488709 : Qsfcont(GEN a, GEN b, GEN y, ulong k)
    4607             : {
    4608             :   GEN  z, c;
    4609      488709 :   ulong i, l, ly = lgefint(b);
    4610             : 
    4611             :   /* times 1 / log2( (1+sqrt(5)) / 2 )  */
    4612      488709 :   l = (ulong)(3 + bit_accuracy_mul(ly, 1.44042009041256));
    4613      488709 :   if (k > 0 && k+1 > 0 && l > k+1) l = k+1; /* beware overflow */
    4614      488709 :   if (l > LGBITS) l = LGBITS;
    4615             : 
    4616      488709 :   z = cgetg(l,t_VEC);
    4617      488709 :   l--;
    4618      488709 :   if (y) {
    4619         296 :     pari_sp av = avma;
    4620         296 :     if (l >= (ulong)lg(y)) l = lg(y)-1;
    4621       19488 :     for (i = 1; i <= l; i++)
    4622             :     {
    4623       19303 :       GEN q = gel(y,i);
    4624       19303 :       gel(z,i) = q;
    4625       19303 :       c = b; if (!gequal1(q)) c = mulii(q, b);
    4626       19303 :       c = subii(a, c);
    4627       19303 :       if (signe(c) < 0)
    4628             :       { /* partial quotient too large */
    4629         110 :         c = addii(c, b);
    4630         110 :         if (signe(c) >= 0) i++; /* by 1 */
    4631         110 :         break;
    4632             :       }
    4633       19193 :       if (cmpii(c, b) >= 0)
    4634             :       { /* partial quotient too small */
    4635           1 :         c = subii(c, b);
    4636           1 :         if (cmpii(c, b) < 0) {
    4637             :           /* by 1. If next quotient is 1 in y, add 1 */
    4638           0 :           if (i < l && equali1(gel(y,i+1))) gel(z,i) = addiu(q,1);
    4639           0 :           i++;
    4640             :         }
    4641           1 :         break;
    4642             :       }
    4643       19192 :       if ((i & 0xff) == 0) gerepileall(av, 2, &b, &c);
    4644       19192 :       a = b; b = c;
    4645             :     }
    4646             :   } else {
    4647      488413 :     a = icopy_lg(a, ly);
    4648      488413 :     b = icopy(b);
    4649     1738365 :     for (i = 1; i <= l; i++)
    4650             :     {
    4651     1738101 :       gel(z,i) = truedvmdii(a,b,&c);
    4652     1738101 :       if (c == gen_0) { i++; break; }
    4653     1249952 :       affii(c, a); cgiv(c); c = a;
    4654     1249952 :       a = b; b = c;
    4655             :     }
    4656             :   }
    4657      488709 :   i--;
    4658      488709 :   if (i > 1 && gequal1(gel(z,i)))
    4659             :   {
    4660          85 :     cgiv(gel(z,i)); --i;
    4661          85 :     gel(z,i) = addui(1, gel(z,i)); /* unclean: leave old z[i] on stack */
    4662             :   }
    4663      488709 :   setlg(z,i+1); return z;
    4664             : }
    4665             : 
    4666             : static GEN
    4667           0 : sersfcont(GEN a, GEN b, long k)
    4668             : {
    4669           0 :   long i, l = typ(a) == t_POL? lg(a): 3;
    4670             :   GEN y, c;
    4671           0 :   if (lg(b) > l) l = lg(b);
    4672           0 :   if (k > 0 && l > k+1) l = k+1;
    4673           0 :   y = cgetg(l,t_VEC);
    4674           0 :   for (i=1; i<l; i++)
    4675             :   {
    4676           0 :     gel(y,i) = poldivrem(a,b,&c);
    4677           0 :     if (gequal0(c)) { i++; break; }
    4678           0 :     a = b; b = c;
    4679             :   }
    4680           0 :   setlg(y, i); return y;
    4681             : }
    4682             : 
    4683             : GEN
    4684      488973 : gboundcf(GEN x, long k)
    4685             : {
    4686             :   pari_sp av;
    4687      488973 :   long tx = typ(x), e;
    4688             :   GEN y, a, b, c;
    4689             : 
    4690      488973 :   if (k < 0) pari_err_DOMAIN("gboundcf","nmax","<",gen_0,stoi(k));
    4691      488966 :   if (is_scalar_t(tx))
    4692             :   {
    4693      488966 :     if (gequal0(x)) return mkvec(gen_0);
    4694      488917 :     switch(tx)
    4695             :     {
    4696         497 :       case t_INT: return mkveccopy(x);
    4697             :       case t_REAL:
    4698         303 :         av = avma;
    4699         303 :         c = mantissa_real(x,&e);
    4700         303 :         if (e < 0) pari_err_PREC("gboundcf");
    4701         296 :         y = int2n(e);
    4702         296 :         a = Qsfcont(c,y, NULL, k);
    4703         296 :         b = addsi(signe(x), c);
    4704         296 :         return gerepilecopy(av, Qsfcont(b,y, a, k));
    4705             : 
    4706             :       case t_FRAC:
    4707      488117 :         av = avma;
    4708      488117 :         return gerepileupto(av, Qsfcont(gel(x,1),gel(x,2), NULL, k));
    4709             :     }
    4710           0 :     pari_err_TYPE("gboundcf",x);
    4711             :   }
    4712             : 
    4713           0 :   switch(tx)
    4714             :   {
    4715           0 :     case t_POL: return mkveccopy(x);
    4716             :     case t_SER:
    4717           0 :       av = avma;
    4718           0 :       return gerepileupto(av, gboundcf(ser2rfrac_i(x), k));
    4719             :     case t_RFRAC:
    4720           0 :       av = avma;
    4721           0 :       return gerepilecopy(av, sersfcont(gel(x,1), gel(x,2), k));
    4722             :   }
    4723           0 :   pari_err_TYPE("gboundcf",x);
    4724             :   return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
    4725             : }
    4726             : 
    4727             : static GEN
    4728          14 : sfcont2(GEN b, GEN x, long k)
    4729             : {
    4730          14 :   pari_sp av = avma;
    4731          14 :   long lb = lg(b), tx = typ(x), i;
    4732             :   GEN y,p1;
    4733             : 
    4734          14 :   if (k)
    4735             :   {
    4736           7 :     if (k >= lb) pari_err_DIM("contfrac [too few denominators]");
    4737           0 :     lb = k+1;
    4738             :   }
    4739           7 :   y = cgetg(lb,t_VEC);
    4740           7 :   if (lb==1) return y;
    4741           7 :   if (is_scalar_t(tx))
    4742             :   {
    4743           7 :     if (!is_intreal_t(tx) && tx != t_FRAC) pari_err_TYPE("sfcont2",x);
    4744             :   }
    4745           0 :   else if (tx == t_SER) x = ser2rfrac_i(x);
    4746             : 
    4747           7 :   if (!gequal1(gel(b,1))) x = gmul(gel(b,1),x);
    4748           7 :   for (i = 1;;)
    4749             :   {
    4750          63 :     if (tx == t_REAL)
    4751             :     {
    4752          35 :       long e = expo(x);
    4753          35 :       if (e > 0 && nbits2prec(e+1) > realprec(x)) break;
    4754          35 :       gel(y,i) = floorr(x);
    4755          35 :       p1 = subri(x, gel(y,i));
    4756             :     }
    4757             :     else
    4758             :     {
    4759           0 :       gel(y,i) = gfloor(x);
    4760           0 :       p1 = gsub(x, gel(y,i));
    4761             :     }
    4762          35 :     if (++i >= lb) break;
    4763          28 :     if (gequal0(p1)) break;
    4764          28 :     x = gdiv(gel(b,i),p1);
    4765             :   }
    4766           7 :   setlg(y,i);
    4767           7 :   return gerepilecopy(av,y);
    4768             : }
    4769             : 
    4770             : 
    4771             : GEN
    4772          98 : gcf(GEN x) { return gboundcf(x,0); }
    4773             : GEN
    4774           0 : gcf2(GEN b, GEN x) { return contfrac0(x,b,0); }
    4775             : GEN
    4776          49 : contfrac0(GEN x, GEN b, long nmax)
    4777             : {
    4778             :   long tb;
    4779             : 
    4780          49 :   if (!b) return gboundcf(x,nmax);
    4781          28 :   tb = typ(b);
    4782          28 :   if (tb == t_INT) return gboundcf(x,itos(b));
    4783          21 :   if (! is_vec_t(tb)) pari_err_TYPE("contfrac0",b);
    4784          21 :   if (nmax < 0) pari_err_DOMAIN("contfrac","nmax","<",gen_0,stoi(nmax));
    4785          14 :   return sfcont2(b,x,nmax);
    4786             : }
    4787             : 
    4788             : GEN
    4789         238 : contfracpnqn(GEN x, long n)
    4790             : {
    4791         238 :   pari_sp av = avma;
    4792         238 :   long i, lx = lg(x);
    4793             :   GEN M,A,B, p0,p1, q0,q1;
    4794             : 
    4795         238 :   if (lx == 1)
    4796             :   {
    4797          28 :     if (! is_matvec_t(typ(x))) pari_err_TYPE("pnqn",x);
    4798          21 :     if (n >= 0) return cgetg(1,t_MAT);
    4799           7 :     return matid(2);
    4800             :   }
    4801         210 :   switch(typ(x))
    4802             :   {
    4803         168 :     case t_VEC: case t_COL: A = x; B = NULL; break;
    4804             :     case t_MAT:
    4805          42 :       switch(lgcols(x))
    4806             :       {
    4807           0 :         case 2: A = row(x,1); B = NULL; break;
    4808          35 :         case 3: A = row(x,2); B = row(x,1); break;
    4809           7 :         default: pari_err_DIM("pnqn [ nbrows != 1,2 ]");
    4810             :                  return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
    4811             :       }
    4812          35 :       break;
    4813           0 :     default: pari_err_TYPE("pnqn",x);
    4814             :       return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
    4815             :   }
    4816         203 :   p1 = gel(A,1);
    4817         203 :   q1 = B? gel(B,1): gen_1; /* p[0], q[0] */
    4818         203 :   if (n >= 0)
    4819             :   {
    4820         168 :     lx = minss(lx, n+2);
    4821         168 :     if (lx == 2) return gerepilecopy(av, mkmat(mkcol2(p1,q1)));
    4822             :   }
    4823          35 :   else if (lx == 2)
    4824           7 :     return gerepilecopy(av, mkmat2(mkcol2(p1,q1), mkcol2(gen_1,gen_0)));
    4825             :   /* lx >= 3 */
    4826         105 :   p0 = gen_1;
    4827         105 :   q0 = gen_0; /* p[-1], q[-1] */
    4828         105 :   M = cgetg(lx, t_MAT);
    4829         105 :   gel(M,1) = mkcol2(p1,q1);
    4830         350 :   for (i=2; i<lx; i++)
    4831             :   {
    4832         245 :     GEN a = gel(A,i), p2,q2;
    4833         245 :     if (B) {
    4834          84 :       GEN b = gel(B,i);
    4835          84 :       p0 = gmul(b,p0);
    4836          84 :       q0 = gmul(b,q0);
    4837             :     }
    4838         245 :     p2 = gadd(gmul(a,p1),p0); p0=p1; p1=p2;
    4839         245 :     q2 = gadd(gmul(a,q1),q0); q0=q1; q1=q2;
    4840         245 :     gel(M,i) = mkcol2(p1,q1);
    4841             :   }
    4842         105 :   if (n < 0) M = mkmat2(gel(M,lx-1), gel(M,lx-2));
    4843         105 :   return gerepilecopy(av, M);
    4844             : }
    4845             : GEN
    4846           0 : pnqn(GEN x) { return contfracpnqn(x,-1); }
    4847             : /* x = [a0, ..., an] from gboundcf, n >= 0;
    4848             :  * return [[p0, ..., pn], [q0,...,qn]] */
    4849             : GEN
    4850      480802 : ZV_allpnqn(GEN x)
    4851             : {
    4852      480802 :   long i, lx = lg(x);
    4853      480802 :   GEN p0, p1, q0, q1, p2, q2, P,Q, v = cgetg(3,t_VEC);
    4854             : 
    4855      480802 :   gel(v,1) = P = cgetg(lx, t_VEC);
    4856      480802 :   gel(v,2) = Q = cgetg(lx, t_VEC);
    4857      480802 :   p0 = gen_1; q0 = gen_0;
    4858      480802 :   gel(P, 1) = p1 = gel(x,1); gel(Q, 1) = q1 = gen_1;
    4859     1685516 :   for (i=2; i<lx; i++)
    4860             :   {
    4861     1204714 :     GEN a = gel(x,i);
    4862     1204714 :     gel(P, i) = p2 = addmulii(p0, a, p1); p0 = p1; p1 = p2;
    4863     1204714 :     gel(Q, i) = q2 = addmulii(q0, a, q1); q0 = q1; q1 = q2;
    4864             :   }
    4865      480802 :   return v;
    4866             : }
    4867             : 
    4868             : /* write Mod(x,N) as a/b, gcd(a,b) = 1, b <= B (no condition if B = NULL) */
    4869             : static GEN
    4870          42 : mod_to_frac(GEN x, GEN N, GEN B)
    4871             : {
    4872             :   GEN a, b, A;
    4873          42 :   if (B) A = divii(shifti(N, -1), B);
    4874             :   else
    4875             :   {
    4876          14 :     A = sqrti(shifti(N, -1));
    4877          14 :     B = A;
    4878             :   }
    4879          42 :   if (!Fp_ratlift(x, N, A,B,&a,&b) || !equali1( gcdii(a,b) )) return NULL;
    4880          28 :   return equali1(b)? a: mkfrac(a,b);
    4881             : }
    4882             : 
    4883             : static GEN
    4884          70 : mod_to_rfrac(GEN x, GEN N, long B)
    4885             : {
    4886             :   GEN a, b;
    4887          70 :   long A, d = degpol(N);
    4888          70 :   if (B >= 0) A = d-1 - B;
    4889             :   else
    4890             :   {
    4891          42 :     B = d >> 1;
    4892          42 :     A = odd(d)? B : B-1;
    4893             :   }
    4894          70 :   if (varn(N) != varn(x)) x = scalarpol(x, varn(N));
    4895          70 :   if (!RgXQ_ratlift(x, N, A, B, &a,&b) || degpol(RgX_gcd(a,b)) > 0) return NULL;
    4896          56 :   return gdiv(a,b);
    4897             : }
    4898             : 
    4899             : /* k > 0 t_INT, x a t_FRAC, returns the convergent a/b
    4900             :  * of the continued fraction of x with b <= k maximal */
    4901             : static GEN
    4902           0 : bestappr_frac(GEN x, GEN k)
    4903             : {
    4904             :   pari_sp av;
    4905             :   GEN p0, p1, p, q0, q1, q, a, y;
    4906             : 
    4907           0 :   if (cmpii(gel(x,2),k) <= 0) return gcopy(x);
    4908           0 :   av = avma; y = x;
    4909           0 :   p1 = gen_1; p0 = truedvmdii(gel(x,1), gel(x,2), &a); /* = floor(x) */
    4910           0 :   q1 = gen_0; q0 = gen_1;
    4911           0 :   x = mkfrac(a, gel(x,2)); /* = frac(x); now 0<= x < 1 */
    4912             :   for(;;)
    4913             :   {
    4914           0 :     x = ginv(x); /* > 1 */
    4915           0 :     a = typ(x)==t_INT? x: divii(gel(x,1), gel(x,2));
    4916           0 :     if (cmpii(a,k) > 0)
    4917             :     { /* next partial quotient will overflow limits */
    4918             :       GEN n, d;
    4919           0 :       a = divii(subii(k, q1), q0);
    4920           0 :       p = addii(mulii(a,p0), p1); p1=p0; p0=p;
    4921           0 :       q = addii(mulii(a,q0), q1); q1=q0; q0=q;
    4922             :       /* compare |y-p0/q0|, |y-p1/q1| */
    4923           0 :       n = gel(y,1);
    4924           0 :       d = gel(y,2);
    4925           0 :       if (abscmpii(mulii(q1, subii(mulii(q0,n), mulii(d,p0))),
    4926             :                    mulii(q0, subii(mulii(q1,n), mulii(d,p1)))) < 0)
    4927           0 :                    { p1 = p0; q1 = q0; }
    4928           0 :       break;
    4929             :     }
    4930           0 :     p = addii(mulii(a,p0), p1); p1=p0; p0=p;
    4931           0 :     q = addii(mulii(a,q0), q1); q1=q0; q0=q;
    4932             : 
    4933           0 :     if (cmpii(q0,k) > 0) break;
    4934           0 :     x = gsub(x,a); /* 0 <= x < 1 */
    4935           0 :     if (typ(x) == t_INT) { p1 = p0; q1 = q0; break; } /* x = 0 */
    4936             : 
    4937             :   }
    4938           0 :   return gerepileupto(av, gdiv(p1,q1));
    4939             : }
    4940             : /* k > 0 t_INT, x != 0 a t_REAL, returns the convergent a/b
    4941             :  * of the continued fraction of x with b <= k maximal */
    4942             : static GEN
    4943      277862 : bestappr_real(GEN x, GEN k)
    4944             : {
    4945      277862 :   pari_sp av = avma;
    4946      277862 :   GEN kr, p0, p1, p, q0, q1, q, a, y = x;
    4947             : 
    4948      277862 :   p1 = gen_1; a = p0 = floorr(x);
    4949      277862 :   q1 = gen_0; q0 = gen_1;
    4950      277862 :   x = subri(x,a); /* 0 <= x < 1 */
    4951      277862 :   if (!signe(x)) { cgiv(x); return a; }
    4952      270700 :   kr = itor(k, realprec(x));
    4953             :   for(;;)
    4954      468370 :   {
    4955             :     long d;
    4956      739070 :     x = invr(x); /* > 1 */
    4957      739070 :     if (cmprr(x,kr) > 0)
    4958             :     { /* next partial quotient will overflow limits */
    4959      265891 :       a = divii(subii(k, q1), q0);
    4960      265891 :       p = addii(mulii(a,p0), p1); p1=p0; p0=p;
    4961      265891 :       q = addii(mulii(a,q0), q1); q1=q0; q0=q;
    4962             :       /* compare |y-p0/q0|, |y-p1/q1| */
    4963      265891 :       if (abscmprr(mulir(q1, subri(mulir(q0,y), p0)),
    4964             :                    mulir(q0, subri(mulir(q1,y), p1))) < 0)
    4965        5055 :                    { p1 = p0; q1 = q0; }
    4966      265891 :       break;
    4967             :     }
    4968      473179 :     d = nbits2prec(expo(x) + 1);
    4969      473179 :     if (d > lg(x)) { p1 = p0; q1 = q0; break; } /* original x was ~ 0 */
    4970             : 
    4971      472994 :     a = truncr(x); /* truncr(x) will NOT raise e_PREC */
    4972      472994 :     p = addii(mulii(a,p0), p1); p1=p0; p0=p;
    4973      472994 :     q = addii(mulii(a,q0), q1); q1=q0; q0=q;
    4974             : 
    4975      472994 :     if (cmpii(q0,k) > 0) break;
    4976      468821 :     x = subri(x,a); /* 0 <= x < 1 */
    4977      468821 :     if (!signe(x)) { p1 = p0; q1 = q0; break; }
    4978             :   }
    4979      270700 :   if (signe(q1) < 0) { togglesign_safe(&p1); togglesign_safe(&q1); }
    4980      270700 :   return gerepilecopy(av, equali1(q1)? p1: mkfrac(p1,q1));
    4981             : }
    4982             : 
    4983             : /* k t_INT or NULL */
    4984             : static GEN
    4985      426445 : bestappr_Q(GEN x, GEN k)
    4986             : {
    4987      426445 :   long lx, tx = typ(x), i;
    4988             :   GEN a, y;
    4989             : 
    4990      426445 :   switch(tx)
    4991             :   {
    4992          77 :     case t_INT: return icopy(x);
    4993           0 :     case t_FRAC: return k? bestappr_frac(x, k): gcopy(x);
    4994             :     case t_REAL:
    4995      317529 :       if (!signe(x)) return gen_0;
    4996             :       /* i <= e iff nbits2lg(e+1) > lg(x) iff floorr(x) fails */
    4997      277863 :       i = bit_prec(x); if (i <= expo(x)) return NULL;
    4998      277862 :       return bestappr_real(x, k? k: int2n(i));
    4999             : 
    5000             :     case t_INTMOD: {
    5001          28 :       pari_sp av = avma;
    5002          28 :       a = mod_to_frac(gel(x,2), gel(x,1), k); if (!a) return NULL;
    5003          21 :       return gerepilecopy(av, a);
    5004             :     }
    5005             :     case t_PADIC: {
    5006          14 :       pari_sp av = avma;
    5007          14 :       long v = valp(x);
    5008          14 :       a = mod_to_frac(gel(x,4), gel(x,3), k); if (!a) return NULL;
    5009           7 :       if (v) a = gmul(a, powis(gel(x,2), v));
    5010           7 :       return gerepilecopy(av, a);
    5011             :     }
    5012             : 
    5013             :     case t_COMPLEX: {
    5014         126 :       pari_sp av = avma;
    5015         126 :       y = cgetg(3, t_COMPLEX);
    5016         126 :       gel(y,2) = bestappr(gel(x,2), k);
    5017         126 :       gel(y,1) = bestappr(gel(x,1), k);
    5018         126 :       if (gequal0(gel(y,2))) return gerepileupto(av, gel(y,1));
    5019           0 :       return y;
    5020             :     }
    5021             :     case t_SER:
    5022           0 :       if (ser_isexactzero(x)) return gcopy(x);
    5023             :       /* fall through */
    5024             :     case t_POLMOD: case t_POL: case t_RFRAC:
    5025             :     case t_VEC: case t_COL: case t_MAT:
    5026      108671 :       y = cgetg_copy(x, &lx);
    5027      108671 :       if (lontyp[tx] == 1) i = 1; else { y[1] = x[1]; i = 2; }
    5028      523941 :       for (; i<lx; i++)
    5029             :       {
    5030      415272 :         a = bestappr_Q(gel(x,i),k); if (!a) return NULL;
    5031      415270 :         gel(y,i) = a;
    5032             :       }
    5033      108669 :       if (tx == t_POL) return normalizepol(y);
    5034      108655 :       if (tx == t_SER) return normalize(y);
    5035      108655 :       return y;
    5036             :   }
    5037           0 :   pari_err_TYPE("bestappr_Q",x);
    5038             :   return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
    5039             : }
    5040             : 
    5041             : static GEN
    5042          56 : bestappr_ser(GEN x, long B)
    5043             : {
    5044          56 :   long dN, v = valp(x), lx = lg(x);
    5045             :   GEN t;
    5046          56 :   x = normalizepol(ser2pol_i(x, lx));
    5047          56 :   dN = lx-2;
    5048          56 :   if (v > 0)
    5049             :   {
    5050          14 :     x = RgX_shift_shallow(x, v);
    5051          14 :     dN += v;
    5052             :   }
    5053          42 :   else if (v < 0)
    5054             :   {
    5055           7 :     if (B >= 0) B = maxss(B+v, 0);
    5056             :   }
    5057          56 :   t = mod_to_rfrac(x, pol_xn(dN, varn(x)), B);
    5058          56 :   if (!t) return NULL;
    5059          42 :   if (v < 0)
    5060             :   {
    5061             :     GEN a, b;
    5062             :     long vx;
    5063           7 :     if (typ(t) == t_POL) return RgX_mulXn(t, v);
    5064             :     /* t_RFRAC */
    5065           7 :     vx = varn(x);
    5066           7 :     a = gel(t,1);
    5067           7 :     b = gel(t,2);
    5068           7 :     v -= RgX_valrem(b, &b);
    5069           7 :     if (typ(a) == t_POL && varn(a) == vx) v += RgX_valrem(a, &a);
    5070           7 :     if (v < 0) b = RgX_shift(b, -v);
    5071           0 :     else if (v > 0) {
    5072           0 :       if (typ(a) != t_POL || varn(a) != vx) a = scalarpol_shallow(a, vx);
    5073           0 :       a = RgX_shift(a, v);
    5074             :     }
    5075           7 :     t = mkrfraccopy(a, b);
    5076             :   }
    5077          42 :   return t;
    5078             : }
    5079             : static GEN bestappr_RgX(GEN x, long B);
    5080             : /* x t_POLMOD, B >= 0 or < 0 [omit condition on B].
    5081             :  * Look for coprime t_POL a,b, deg(b)<=B, such that a/b = x */
    5082             : static GEN
    5083          77 : bestappr_RgX(GEN x, long B)
    5084             : {
    5085          77 :   long i, lx, tx = typ(x);
    5086             :   GEN y, t;
    5087          77 :   switch(tx)
    5088             :   {
    5089             :     case t_INT: case t_REAL: case t_INTMOD: case t_FRAC:
    5090             :     case t_COMPLEX: case t_PADIC: case t_QUAD: case t_POL:
    5091           0 :       return gcopy(x);
    5092             : 
    5093             :     case t_RFRAC: {
    5094          14 :       pari_sp av = avma;
    5095          14 :       if (B < 0 || degpol(gel(x,2)) <= B) return gcopy(x);
    5096           7 :       x = rfrac_to_ser(x, 2*B+1);
    5097           7 :       t = bestappr_ser(x, B); if (!t) return NULL;
    5098           0 :       return gerepileupto(av, t);
    5099             :     }
    5100             :     case t_POLMOD: {
    5101          14 :       pari_sp av = avma;
    5102          14 :       t = mod_to_rfrac(gel(x,2), gel(x,1), B); if (!t) return NULL;
    5103          14 :       return gerepileupto(av, t);
    5104             :     }
    5105             :     case t_SER: {
    5106          49 :       pari_sp av = avma;
    5107          49 :       t = bestappr_ser(x, B); if (!t) return NULL;
    5108          42 :       return gerepileupto(av, t);
    5109             :     }
    5110             : 
    5111             :     case t_VEC: case t_COL: case t_MAT:
    5112           0 :       y = cgetg_copy(x, &lx);
    5113           0 :       if (lontyp[tx] == 1) i = 1; else { y[1] = x[1]; i = 2; }
    5114           0 :       for (; i<lx; i++)
    5115             :       {
    5116           0 :         t = bestappr_RgX(gel(x,i),B); if (!t) return NULL;
    5117           0 :         gel(y,i) = t;
    5118             :       }
    5119           0 :       return y;
    5120             :   }
    5121           0 :   pari_err_TYPE("bestappr_RgX",x);
    5122             :   return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
    5123             : }
    5124             : 
    5125             : /* allow k = NULL: maximal accuracy */
    5126             : GEN
    5127       11173 : bestappr(GEN x, GEN k)
    5128             : {
    5129       11173 :   pari_sp av = avma;
    5130       11173 :   if (k) { /* replace by floor(k) */
    5131       10900 :     switch(typ(k))
    5132             :     {
    5133             :       case t_INT:
    5134        1225 :         break;
    5135             :       case t_REAL: case t_FRAC:
    5136        9675 :         k = floor_safe(k); /* left on stack for efficiency */
    5137        9675 :         if (!signe(k)) k = gen_1;
    5138        9675 :         break;
    5139             :       default:
    5140           0 :         pari_err_TYPE("bestappr [bound type]", k);
    5141           0 :         break;
    5142             :     }
    5143             :   }
    5144       11173 :   x = bestappr_Q(x, k);
    5145       11173 :   if (!x) { set_avma(av); return cgetg(1,t_VEC); }
    5146       11158 :   return x;
    5147             : }
    5148             : GEN
    5149          77 : bestapprPade(GEN x, long B)
    5150             : {
    5151          77 :   pari_sp av = avma;
    5152          77 :   GEN t = bestappr_RgX(x, B);
    5153          77 :   if (!t) { set_avma(av); return cgetg(1,t_VEC); }
    5154          63 :   return t;
    5155             : }
    5156             : 
    5157             : /***********************************************************************/
    5158             : /**                                                                   **/
    5159             : /**         FUNDAMENTAL UNIT AND REGULATOR (QUADRATIC FIELDS)         **/
    5160             : /**                                                                   **/
    5161             : /***********************************************************************/
    5162             : 
    5163             : static GEN
    5164          14 : get_quad(GEN f, GEN pol, long r)
    5165             : {
    5166          14 :   GEN p1 = gcoeff(f,1,2), q1 = gcoeff(f,2,2);
    5167          14 :   return mkquad(pol, r? subii(p1,q1): p1, q1);
    5168             : }
    5169             : 
    5170             : /* replace f by f * [a,1; 1,0] */
    5171             : static void
    5172          14 : update_f(GEN f, GEN a)
    5173             : {
    5174             :   GEN p1;
    5175          14 :   p1 = gcoeff(f,1,1);
    5176          14 :   gcoeff(f,1,1) = addii(mulii(a,p1), gcoeff(f,1,2));
    5177          14 :   gcoeff(f,1,2) = p1;
    5178             : 
    5179          14 :   p1 = gcoeff(f,2,1);
    5180          14 :   gcoeff(f,2,1) = addii(mulii(a,p1), gcoeff(f,2,2));
    5181          14 :   gcoeff(f,2,2) = p1;
    5182          14 : }
    5183             : 
    5184             : GEN
    5185           7 : quadunit(GEN x)
    5186             : {
    5187           7 :   pari_sp av = avma, av2;
    5188             :   GEN pol, y, a, u, v, sqd, f;
    5189             :   long r;
    5190             : 
    5191           7 :   check_quaddisc_real(x, &r, "quadunit");
    5192           7 :   pol = quadpoly(x);
    5193           7 :   sqd = sqrti(x); av2 = avma;
    5194           7 :   a = shifti(addui(r,sqd),-1);
    5195           7 :   f = mkmat2(mkcol2(a, gen_1), mkcol2(gen_1, gen_0)); /* [a,0; 1,0] */
    5196           7 :   u = stoi(r); v = gen_2;
    5197             :   for(;;)
    5198           7 :   {
    5199             :     GEN u1, v1;
    5200          14 :     u1 = subii(mulii(a,v),u);
    5201          14 :     v1 = divii(subii(x,sqri(u1)),v);
    5202          14 :     if ( equalii(v,v1) ) {
    5203           7 :       y = get_quad(f,pol,r);
    5204           7 :       update_f(f,a);
    5205           7 :       y = gdiv(get_quad(f,pol,r), conj_i(y));
    5206           7 :       break;
    5207             :     }
    5208           7 :     a = divii(addii(sqd,u1), v1);
    5209           7 :     if ( equalii(u,u1) ) {
    5210           0 :       y = get_quad(f,pol,r);
    5211           0 :       y = gdiv(y, conj_i(y));
    5212           0 :       break;
    5213             :     }
    5214           7 :     update_f(f,a);
    5215           7 :     u = u1; v = v1;
    5216           7 :     if (gc_needed(av2,2))
    5217             :     {
    5218           0 :       if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"quadunit");
    5219           0 :       gerepileall(av2,4, &a,&f,&u,&v);
    5220             :     }
    5221             :   }
    5222           7 :   if (signe(gel(y,3)) < 0) y = gneg(y);
    5223           7 :   return gerepileupto(av, y);
    5224             : }
    5225             : 
    5226             : GEN
    5227           7 : quadunit0(GEN x, long v)
    5228             : {
    5229           7 :   GEN y = quadunit(x);
    5230           7 :   if (v==-1) v = fetch_user_var("w");
    5231           7 :   setvarn(gel(y,1), v);
    5232           7 :   return y;
    5233             : }
    5234             : 
    5235             : GEN
    5236          21 : quadregulator(GEN x, long prec)
    5237             : {
    5238          21 :   pari_sp av = avma, av2;
    5239             :   GEN R, rsqd, u, v, sqd;
    5240             :   long r, Rexpo;
    5241             : 
    5242          21 :   check_quaddisc_real(x, &r, "quadregulator");
    5243          21 :   sqd = sqrti(x);
    5244          21 :   rsqd = gsqrt(x,prec);
    5245          21 :   Rexpo = 0; R = real2n(1, prec); /* = 2 */
    5246          21 :   av2 = avma;
    5247          21 :   u = stoi(r); v = gen_2;
    5248             :   for(;;)
    5249          49 :   {
    5250          70 :     GEN u1 = subii(mulii(divii(addii(u,sqd),v), v), u);
    5251          70 :     GEN v1 = divii(subii(x,sqri(u1)),v);
    5252          70 :     if (equalii(v,v1))
    5253             :     {
    5254           7 :       R = sqrr(R); shiftr_inplace(R, -1);
    5255           7 :       R = mulrr(R, divri(addir(u1,rsqd),v));
    5256           7 :       break;
    5257             :     }
    5258          63 :     if (equalii(u,u1))
    5259             :     {
    5260          14 :       R = sqrr(R); shiftr_inplace(R, -1);
    5261          14 :       break;
    5262             :     }
    5263          49 :     R = mulrr(R, divri(addir(u1,rsqd),v));
    5264          49 :     Rexpo += expo(R); setexpo(R,0);
    5265          49 :     u = u1; v = v1;
    5266          49 :     if (Rexpo & ~EXPOBITS) pari_err_OVERFLOW("quadregulator [exponent]");
    5267          49 :     if (gc_needed(av2,2))
    5268             :     {
    5269           0 :       if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"quadregulator");
    5270           0 :       gerepileall(av2,3, &R,&u,&v);
    5271             :     }
    5272             :   }
    5273          21 :   R = logr_abs(divri(R,v));
    5274          21 :   if (Rexpo)
    5275             :   {
    5276          21 :     GEN t = mulsr(Rexpo, mplog2(prec));
    5277          21 :     shiftr_inplace(t, 1);
    5278          21 :     R = addrr(R,t);
    5279             :   }
    5280          21 :   return gerepileuptoleaf(av, R);
    5281             : }
    5282             : 
    5283             : /*************************************************************************/
    5284             : /**                                                                     **/
    5285             : /**                            CLASS NUMBER                             **/
    5286             : /**                                                                     **/
    5287             : /*************************************************************************/
    5288             : 
    5289             : int
    5290    12943797 : qfb_equal1(GEN f) { return equali1(gel(f,1)); }
    5291             : 
    5292    18316834 : static GEN qfi_pow(void *E, GEN f, GEN n)
    5293    18316834 : { return E? nupow(f,n,(GEN)E): powgi(f,n); }
    5294    23025703 : static GEN qfi_comp(void *E, GEN f, GEN g)
    5295    23025703 : { return E? nucomp(f,g,(GEN)E): qficomp(f,g); }
    5296             : static const struct bb_group qfi_group={ qfi_comp,qfi_pow,NULL,hash_GEN,
    5297             :                                          gidentical,qfb_equal1,NULL};
    5298             : 
    5299             : GEN
    5300     2941241 : qfi_order(GEN q, GEN o)
    5301     2941241 : { return gen_order(q, o, NULL, &qfi_group); }
    5302             : 
    5303             : GEN
    5304           0 : qfi_log(GEN a, GEN g, GEN o)
    5305           0 : { return gen_PH_log(a, g, o, NULL, &qfi_group); }
    5306             : 
    5307             : GEN
    5308      626556 : qfi_Shanks(GEN a, GEN g, long n)
    5309             : {
    5310      626556 :   pari_sp av = avma;
    5311             :   GEN T, X;
    5312             :   long rt_n, c;
    5313             : 
    5314      626556 :   a = redimag(a);
    5315      626556 :   g = redimag(g);
    5316             : 
    5317      626556 :   rt_n = sqrt((double)n);
    5318      626556 :   c = n / rt_n;
    5319      626556 :   c = (c * rt_n < n + 1) ? c + 1 : c;
    5320             : 
    5321      626556 :   T = gen_Shanks_init(g, rt_n, NULL, &qfi_group);
    5322      626556 :   X = gen_Shanks(T, a, c, NULL, &qfi_group);
    5323             : 
    5324      626556 :   if (!X) { set_avma(av); return X; }
    5325      332549 :   return gerepileuptoint(av, X);
    5326             : }
    5327             : 
    5328             : GEN
    5329         140 : qfbclassno0(GEN x,long flag)
    5330             : {
    5331         140 :   switch(flag)
    5332             :   {
    5333         126 :     case 0: return map_proto_G(classno,x);
    5334          14 :     case 1: return map_proto_G(classno2,x);
    5335           0 :     default: pari_err_FLAG("qfbclassno");
    5336             :   }
    5337             :   return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
    5338             : }
    5339             : 
    5340             : /* f^h = 1, return order(f). Set *pfao to its factorization */
    5341             : static GEN
    5342     2776995 : find_order(void *E, GEN f, GEN h, GEN *pfao)
    5343             : {
    5344     2776995 :   GEN v = gen_factored_order(f, h, E, &qfi_group);
    5345     2776995 :   *pfao = gel(v,2); return gel(v,1);
    5346             : }
    5347             : 
    5348             : static int
    5349        6705 : ok_q(GEN q, GEN h, GEN d2, long r2)
    5350             : {
    5351        6705 :   if (d2)
    5352             :   {
    5353           7 :     if (r2 <= 2 && !mpodd(q)) return 0;
    5354           7 :     return is_pm1(Z_ppo(q,d2));
    5355             :   }
    5356             :   else
    5357             :   {
    5358        6698 :     if (r2 <= 1 && !mpodd(q)) return 0;
    5359        6698 :     return is_pm1(Z_ppo(q,h));
    5360             :   }
    5361             : }
    5362             : 
    5363             : /* a,b given by their factorizations. Return factorization of lcm(a,b).
    5364             :  * Set A,B such that A*B = lcm(a, b), (A,B)=1, A|a, B|b */
    5365             : static GEN
    5366      362162 : split_lcm(GEN a, GEN Fa, GEN b, GEN Fb, GEN *pA, GEN *pB)
    5367             : {
    5368      362162 :   GEN P = ZC_union_shallow(gel(Fa,1), gel(Fb,1));
    5369      362162 :   GEN A = gen_1, B = gen_1;
    5370      362162 :   long i, l = lg(P);
    5371      362162 :   GEN E = cgetg(l, t_COL);
    5372     1071040 :   for (i=1; i<l; i++)
    5373             :   {
    5374      708878 :     GEN p = gel(P,i);
    5375      708878 :     long va = Z_pval(a,p);
    5376      708878 :     long vb = Z_pval(b,p);
    5377      708878 :     if (va < vb)
    5378             :     {
    5379      364289 :       B = mulii(B,powiu(p,vb));
    5380      364289 :       gel(E,i) = utoi(vb);
    5381             :     }
    5382             :     else
    5383             :     {
    5384      344589 :       A = mulii(A,powiu(p,va));
    5385      344589 :       gel(E,i) = utoi(va);
    5386             :     }
    5387             :   }
    5388      362162 :   *pA = A;
    5389      362162 :   *pB = B; return mkmat2(P,E);
    5390             : }
    5391             : 
    5392             : /* g1 has order d1, f has order o, replace g1 by an element of order lcm(d1,o)*/
    5393             : static void
    5394      362162 : update_g1(GEN *pg1, GEN *pd1, GEN *pfad1, GEN f, GEN o, GEN fao)
    5395             : {
    5396      362162 :   GEN A,B, g1 = *pg1, d1 = *pd1;
    5397      362162 :   *pfad1 = split_lcm(d1,*pfad1, o,fao, &A,&B);
    5398      362162 :   *pg1 = gmul(powgi(g1, diviiexact(d1,A)),  powgi(f, diviiexact(o,B)));
    5399      362162 :   *pd1 = mulii(A,B); /* g1 has order d1 <- lcm(d1,o) */
    5400      362162 : }
    5401             : 
    5402             : /* Write x = Df^2, where D = fundamental discriminant,
    5403             :  * P^E = factorisation of conductor f, with E[i] >= 0 */
    5404             : static void
    5405     2060327 : corediscfact(GEN x, long xmod4, GEN *ptD, GEN *ptP, GEN *ptE)
    5406             : {
    5407     2060327 :   long s = signe(x), l, i;
    5408     2060327 :   GEN fa = absZ_factor(x);
    5409     2060327 :   GEN d, P = gel(fa,1), E = gtovecsmall(gel(fa,2));
    5410             : 
    5411     2060327 :   l = lg(P); d = gen_1;
    5412     5362951 :   for (i=1; i<l; i++)
    5413             :   {
    5414     3302624 :     if (E[i] & 1) d = mulii(d, gel(P,i));
    5415     3302624 :     E[i] >>= 1;
    5416             :   }
    5417     2060327 :   if (!xmod4 && mod4(d) != ((s < 0)? 3: 1)) { d = shifti(d,2); E[1]--; }
    5418     2060327 :   *ptD = (s < 0)? negi(d): d;
    5419     2060327 :   *ptP = P;
    5420     2060327 :   *ptE = E;
    5421     2060327 : }
    5422             : 
    5423             : static GEN
    5424     2052517 : conductor_part(GEN x, long xmod4, GEN *ptD, GEN *ptreg)
    5425             : {
    5426     2052517 :   long l, i, s = signe(x);
    5427             :   GEN E, H, D, P, reg;
    5428             : 
    5429     2052517 :   corediscfact(x, xmod4, &D, &P, &E);
    5430     2052517 :   H = gen_1; l = lg(P);
    5431             :   /* f \prod_{p|f}  [ 1 - (D/p) p^-1 ] = \prod_{p^e||f} p^(e-1) [ p - (D/p) ] */
    5432     5329269 :   for (i=1; i<l; i++)
    5433             :   {
    5434     3276752 :     long e = E[i];
    5435     3276752 :     if (e)
    5436             :     {
    5437           7 :       GEN p = gel(P,i);
    5438           7 :       H = mulii(H, subis(p, kronecker(D,p)));
    5439           7 :       if (e >= 2) H = mulii(H, powiu(p,e-1));
    5440             :     }
    5441             :   }
    5442             : 
    5443             :   /* divide by [ O_K^* : O^* ] */
    5444     2052517 :   if (s < 0)
    5445             :   {
    5446     2052503 :     reg = NULL;
    5447     2052503 :     switch(itou_or_0(D))
    5448             :     {
    5449           0 :       case 4: H = shifti(H,-1); break;
    5450           0 :       case 3: H = divis(H,3); break;
    5451             :     }
    5452             :   } else {
    5453          14 :     reg = quadregulator(D,DEFAULTPREC);
    5454          14 :     if (!equalii(x,D))
    5455           0 :       H = divii(H, roundr(divrr(quadregulator(x,DEFAULTPREC), reg)));
    5456             :   }
    5457     2052517 :   if (ptreg) *ptreg = reg;
    5458     2052517 :   *ptD = D; return H;
    5459             : }
    5460             : 
    5461             : static long
    5462     2052496 : two_rank(GEN x)
    5463             : {
    5464     2052496 :   GEN p = gel(absZ_factor(x),1);
    5465     2052496 :   long l = lg(p)-1;
    5466             : #if 0 /* positive disc not needed */
    5467             :   if (signe(x) > 0)
    5468             :   {
    5469             :     long i;
    5470             :     for (i=1; i<=l; i++)
    5471             :       if (mod4(gel(p,i)) == 3) { l--; break; }
    5472             :   }
    5473             : #endif
    5474     2052496 :   return l-1;
    5475             : }
    5476             : 
    5477             : static GEN
    5478    38995259 : sqr_primeform(GEN x, ulong p) { return redimag(qfisqr(primeform_u(x, p))); }
    5479             : /* return a set of forms hopefully generating Cl(K)^2; set L ~ L(chi_D,1) */
    5480             : static GEN
    5481     2052496 : get_forms(GEN D, GEN *pL)
    5482             : {
    5483     2052496 :   const long MAXFORM = 20;
    5484     2052496 :   GEN L, sqrtD = gsqrt(absi_shallow(D),DEFAULTPREC);
    5485     2052496 :   GEN forms = vectrunc_init(MAXFORM+1);
    5486     2052496 :   long s, nforms = 0;
    5487             :   ulong p;
    5488             :   forprime_t S;
    5489     2052496 :   L = mulrr(divrr(sqrtD,mppi(DEFAULTPREC)), dbltor(1.005));/*overshoot by 0.5%*/
    5490     2052496 :   s = itos_or_0( truncr(shiftr(sqrtr(sqrtD), 1)) );
    5491     2052496 :   if (!s) pari_err_OVERFLOW("classno [discriminant too large]");
    5492     2052496 :   if      (s < 10)   s = 200;
    5493     1901369 :   else if (s < 20)   s = 1000;
    5494        1477 :   else if (s < 5000) s = 5000;
    5495     2052496 :   u_forprime_init(&S, 2, s);
    5496   344232110 :   while ( (p = u_forprime_next(&S)) )
    5497             :   {
    5498   340127118 :     long d, k = kroiu(D,p);
    5499             :     pari_sp av2;
    5500   340127118 :     if (!k) continue;
    5501   337897177 :     if (k > 0)
    5502             :     {
    5503   169485505 :       if (++nforms < MAXFORM) vectrunc_append(forms, sqr_primeform(D,p));
    5504   169485505 :       d = p-1;
    5505             :     }
    5506             :     else
    5507   168411672 :       d = p+1;
    5508   337897177 :     av2 = avma; affrr(divru(mulur(p,L),d), L); set_avma(av2);
    5509             :   }
    5510     2052496 :   *pL = L; return forms;
    5511             : }
    5512             : 
    5513             : /* h ~ #G, return o = order of f, set fao = its factorization */
    5514             : static  GEN
    5515     2052545 : Shanks_order(void *E, GEN f, GEN h, GEN *pfao)
    5516             : {
    5517     2052545 :   long s = minss(itos(sqrti(h)), 10000);
    5518     2052545 :   GEN T = gen_Shanks_init(f, s, E, &qfi_group);
    5519     2052545 :   GEN v = gen_Shanks(T, ginv(f), ULONG_MAX, E, &qfi_group);
    5520     2052545 :   return find_order(E, f, addiu(v,1), pfao);
    5521             : }
    5522             : 
    5523             : /* if g = 1 in  G/<f> ? */
    5524             : static int
    5525         518 : equal1(void *E, GEN T, ulong N, GEN g)
    5526         518 : { return !!gen_Shanks(T, g, N, E, &qfi_group); }
    5527             : 
    5528             : /* Order of 'a' in G/<f>, T = gen_Shanks_init(f,n), order(f) < n*N
    5529             :  * FIXME: should be gen_order, but equal1 has the wrong prototype */
    5530             : static GEN
    5531         112 : relative_order(void *E, GEN a, GEN o, ulong N,  GEN T)
    5532             : {
    5533         112 :   pari_sp av = avma;
    5534             :   long i, l;
    5535             :   GEN m;
    5536             : 
    5537         112 :   m = get_arith_ZZM(o);
    5538         112 :   if (!m) pari_err_TYPE("gen_order [missing order]",a);
    5539         112 :   o = gel(m,1);
    5540         112 :   m = gel(m,2); l = lgcols(m);
    5541         322 :   for (i = l-1; i; i--)
    5542             :   {
    5543         210 :     GEN t, y, p = gcoeff(m,i,1);
    5544         210 :     long j, e = itos(gcoeff(m,i,2));
    5545         210 :     if (l == 2) {
    5546          35 :       t = gen_1;
    5547          35 :       y = a;
    5548             :     } else {
    5549         175 :       t = diviiexact(o, powiu(p,e));
    5550         175 :       y = powgi(a, t);
    5551             :     }
    5552         210 :     if (equal1(E, T,N,y)) o = t;
    5553             :     else {
    5554         126 :       for (j = 1; j < e; j++)
    5555             :       {
    5556          28 :         y = powgi(y, p);
    5557          28 :         if (equal1(E, T,N,y)) break;
    5558             :       }
    5559         119 :       if (j < e) {
    5560          21 :         if (j > 1) p = powiu(p, j);
    5561          21 :         o = mulii(t, p);
    5562             :       }
    5563             :     }
    5564             :   }
    5565         112 :   return gerepilecopy(av, o);
    5566             : }
    5567             : 
    5568             : /* h(x) for x<0 using Baby Step/Giant Step.
    5569             :  * Assumes G is not too far from being cyclic.
    5570             :  *
    5571             :  * Compute G^2 instead of G so as to kill most of the non-cyclicity */
    5572             : GEN
    5573     2054893 : classno(GEN x)
    5574             : {
    5575     2054893 :   pari_sp av = avma;
    5576             :   long r2, k, s, i, l;
    5577             :   GEN forms, hin, Hf, D, g1, d1, d2, q, L, fad1, order_bound;
    5578             :   void *E;
    5579             : 
    5580     2054893 :   if (signe(x) >= 0) return classno2(x);
    5581             : 
    5582     2054886 :   check_quaddisc(x, &s, &k, "classno");
    5583     2054886 :   if (abscmpiu(x,12) <= 0) return gen_1;
    5584             : 
    5585     2052496 :   Hf = conductor_part(x, k, &D, NULL);
    5586     2052496 :   if (abscmpiu(D,12) <= 0) return gerepilecopy(av, Hf);
    5587     2052496 :   forms =  get_forms(D, &L);
    5588     2052496 :   r2 = two_rank(D);
    5589     2052496 :   hin = roundr(shiftr(L, -r2)); /* rough approximation for #G, G = Cl(K)^2 */
    5590             : 
    5591     2052496 :   l = lg(forms);
    5592     2052496 :   order_bound = const_vec(l-1, NULL);
    5593     2052496 :   E = expi(D) > 60? (void*)sqrtnint(shifti(absi_shallow(D),-2),4): NULL;
    5594     2052496 :   g1 = gel(forms,1);
    5595     2052496 :   gel(order_bound,1) = d1 = Shanks_order(E, g1, hin, &fad1);
    5596     2052496 :   q = diviiround(hin, d1); /* approximate order of G/<g1> */
    5597     2052496 :   d2 = NULL; /* not computed yet */
    5598     2052496 :   if (is_pm1(q)) goto END;
    5599      509036 :   for (i=2; i < l; i++)
    5600             :   {
    5601      502268 :     GEN o, fao, a, F, fd, f = gel(forms,i);
    5602      502268 :     fd = powgi(f, d1); if (is_pm1(gel(fd,1))) continue;
    5603      362162 :     F = powgi(fd, q);
    5604      362162 :     a = gel(F,1);
    5605      362162 :     o = is_pm1(a)? find_order(E, fd, q, &fao): Shanks_order(E, fd, q, &fao);
    5606             :     /* f^(d1 q) = 1 */
    5607      362162 :     fao = merge_factor(fad1,fao, (void*)&cmpii, &cmp_nodata);
    5608      362162 :     o = find_order(E, f, fao, &fao);
    5609      362162 :     gel(order_bound,i) = o;
    5610             :     /* o = order of f, fao = factor(o) */
    5611      362162 :     update_g1(&g1,&d1,&fad1, f,o,fao);
    5612      362162 :     q = diviiround(hin, d1);
    5613      362162 :     if (is_pm1(q)) goto END;
    5614             :   }
    5615             :   /* very probably d1 = expo(Cl^2(K)), q ~ #Cl^2(K) / d1 */
    5616        6768 :   if (expi(q) > 3)
    5617             :   { /* q large: compute d2, 2nd elt divisor */
    5618          70 :     ulong N, n = 2*itou(sqrti(d1));
    5619          70 :     GEN D = d1, T = gen_Shanks_init(g1, n, E, &qfi_group);
    5620          70 :     d2 = gen_1;
    5621          70 :     N = itou( gceil(gdivgs(d1,n)) ); /* order(g1) <= n*N */
    5622         287 :     for (i = 1; i < l; i++)
    5623             :     {
    5624         280 :       GEN d, f = gel(forms,i), B = gel(order_bound,i);
    5625         280 :       if (!B) B = find_order(E, f, fad1, /*junk*/&d);
    5626         280 :       f = powgi(f,d2);
    5627         280 :       if (equal1(E, T,N,f)) continue;
    5628         112 :       B = gdiv(B,d2); if (typ(B) == t_FRAC) B = gel(B,1);
    5629             :       /* f^B = 1 */
    5630         112 :       d = relative_order(E, f, B, N,T);
    5631         112 :       d2= mulii(d,d2);
    5632         112 :       D = mulii(d1,d2);
    5633         112 :       q = diviiround(hin,D);
    5634         112 :       if (is_pm1(q)) { d1 = D; goto END; }
    5635             :     }
    5636             :     /* very probably, d2 is the 2nd elementary divisor */
    5637           7 :     d1 = D; /* product of first two elt divisors */
    5638             :   }
    5639             :   /* impose q | d2^oo (d1^oo if d2 not computed), and compatible with known
    5640             :    * 2-rank */
    5641        6705 :   if (!ok_q(q,d1,d2,r2))
    5642             :   {
    5643           0 :     GEN q0 = q;
    5644             :     long d;
    5645           0 :     if (cmpii(mulii(q,d1), hin) < 0)
    5646             :     { /* try q = q0+1,-1,+2,-2 */
    5647           0 :       d = 1;
    5648           0 :       do { q = addis(q0,d); d = d>0? -d: 1-d; } while(!ok_q(q,d1,d2,r2));
    5649             :     }
    5650             :     else
    5651             :     { /* q0-1,+1,-2,+2  */
    5652           0 :       d = -1;
    5653           0 :       do { q = addis(q0,d); d = d<0? -d: -1-d; } while(!ok_q(q,d1,d2,r2));
    5654             :     }
    5655             :   }
    5656        6705 :   d1 = mulii(d1,q);
    5657             : 
    5658             : END:
    5659     2052496 :   return gerepileuptoint(av, shifti(mulii(d1,Hf), r2));
    5660             : }
    5661             : 
    5662             : GEN
    5663           0 : quadclassno(GEN x)
    5664             : {
    5665           0 :   pari_sp av = avma;
    5666             :   GEN Hf, D;
    5667             :   long s, r;
    5668           0 :   check_quaddisc(x, &s, &r, "quadclassno");
    5669           0 :   if (s < 0 && abscmpiu(x,12) <= 0) return gen_1;
    5670           0 :   Hf = conductor_part(x, r, &D, NULL);
    5671           0 :   return gerepileuptoint(av, mulii(Hf, gel(quadclassunit0(D,0,NULL,0),1)));
    5672             : }
    5673             : 
    5674             : /* use Euler products */
    5675             : GEN
    5676          21 : classno2(GEN x)
    5677             : {
    5678          21 :   pari_sp av = avma;
    5679          21 :   const long prec = DEFAULTPREC;
    5680             :   long n, i, r, s;
    5681             :   GEN p1, p2, S, p4, p5, p7, Hf, Pi, reg, logd, d, dr, D, half;
    5682             : 
    5683          21 :   check_quaddisc(x, &s, &r, "classno2");
    5684          21 :   if (s < 0 && abscmpiu(x,12) <= 0) return gen_1;
    5685             : 
    5686          21 :   Hf = conductor_part(x, r, &D, &reg);
    5687          21 :   if (s < 0 && abscmpiu(D,12) <= 0) return gerepilecopy(av, Hf); /* |D| < 12*/
    5688             : 
    5689          21 :   Pi = mppi(prec);
    5690          21 :   d = absi_shallow(D); dr = itor(d, prec);
    5691          21 :   logd = logr_abs(dr);
    5692          21 :   p1 = sqrtr(divrr(mulir(d,logd), gmul2n(Pi,1)));
    5693          21 :   if (s > 0)
    5694             :   {
    5695          14 :     GEN invlogd = invr(logd);
    5696          14 :     p2 = subsr(1, shiftr(mulrr(logr_abs(reg),invlogd),1));
    5697          14 :     if (cmprr(sqrr(p2), shiftr(invlogd,1)) >= 0) p1 = mulrr(p2,p1);
    5698             :   }
    5699          21 :   n = itos_or_0( mptrunc(p1) );
    5700          21 :   if (!n) pari_err_OVERFLOW("classno [discriminant too large]");
    5701             : 
    5702          21 :   p4 = divri(Pi,d);
    5703          21 :   p7 = invr(sqrtr_abs(Pi));
    5704          21 :   half = real2n(-1, prec);
    5705          21 :   if (s > 0)
    5706             :   { /* i = 1, shortcut */
    5707          14 :     p1 = sqrtr_abs(dr);
    5708          14 :     p5 = subsr(1, mulrr(p7,incgamc(half,p4,prec)));
    5709          14 :     S = addrr(mulrr(p1,p5), eint1(p4,prec));
    5710         546 :     for (i=2; i<=n; i++)
    5711             :     {
    5712         532 :       long k = kroiu(D,i); if (!k) continue;
    5713         434 :       p2 = mulir(sqru(i), p4);
    5714         434 :       p5 = subsr(1, mulrr(p7,incgamc(half,p2,prec)));
    5715         434 :       p5 = addrr(divru(mulrr(p1,p5),i), eint1(p2,prec));
    5716         434 :       S = (k>0)? addrr(S,p5): subrr(S,p5);
    5717             :     }
    5718          14 :     S = shiftr(divrr(S,reg),-1);
    5719             :   }
    5720             :   else
    5721             :   { /* i = 1, shortcut */
    5722           7 :     p1 = gdiv(sqrtr_abs(dr), Pi);
    5723           7 :     p5 = subsr(1, mulrr(p7,incgamc(half,p4,prec)));
    5724           7 :     S = addrr(p5, divrr(p1, mpexp(p4)));
    5725         952 :     for (i=2; i<=n; i++)
    5726             :     {
    5727         945 :       long k = kroiu(D,i); if (!k) continue;
    5728         945 :       p2 = mulir(sqru(i), p4);
    5729         945 :       p5 = subsr(1, mulrr(p7,incgamc(half,p2,prec)));
    5730         945 :       p5 = addrr(p5, divrr(p1, mulur(i, mpexp(p2))));
    5731         945 :       S = (k>0)? addrr(S,p5): subrr(S,p5);
    5732             :     }
    5733             :   }
    5734          21 :   return gerepileuptoint(av, mulii(Hf, roundr(S)));
    5735             : }
    5736             : 
    5737             : /* 1 + q + ... + q^v, v > 0 */
    5738             : static GEN
    5739         120 : geomsumu(ulong q, long v)
    5740             : {
    5741         120 :   GEN u = utoipos(1+q);
    5742         120 :   for (; v > 1; v--) u = addui(1, mului(q, u));
    5743         120 :   return u;
    5744             : }
    5745             : static GEN
    5746         120 : geomsum(GEN q, long v)
    5747             : {
    5748             :   GEN u;
    5749         120 :   if (lgefint(q) == 3) return geomsumu(q[2], v);
    5750           0 :   u = addiu(q,1);
    5751           0 :   for (; v > 1; v--) u = addui(1, mulii(q, u));
    5752           0 :   return u;
    5753             : }
    5754             : 
    5755             : static GEN
    5756        7810 : hclassno6_large(GEN x)
    5757             : {
    5758             :   long i, l, s, xmod4;
    5759             :   GEN Q, H, D, P, E;
    5760             : 
    5761        7810 :   x = negi(x);
    5762        7810 :   check_quaddisc(x, &s, &xmod4, "hclassno");
    5763        7810 :   corediscfact(x, xmod4, &D, &P, &E);
    5764             : 
    5765        7810 :   Q = quadclassunit0(D, 0, NULL, 0);
    5766        7810 :   H = gel(Q,1); l = lg(P);
    5767             : 
    5768             :   /* H \prod_{p^e||f}  (1 + (p^e-1)/(p-1))[ p - (D/p) ] */
    5769       33682 :   for (i=1; i<l; i++)
    5770             :   {
    5771       25872 :     long e = E[i], s;
    5772             :     GEN p, t;
    5773       25872 :     if (!e) continue;
    5774        5003 :     p = gel(P,i); s = kronecker(D,p);
    5775        5003 :     if (e == 1) t = addiu(p, 1-s);
    5776        1000 :     else if (s == 1) t = powiu(p,e);
    5777         120 :     else t = addui(1, mulii(subis(p, s), geomsum(p,e-1)));
    5778        5003 :     H = mulii(H,t);
    5779             :   }
    5780        7810 :   switch( itou_or_0(D) )
    5781             :   {
    5782           0 :     case 3: H = shifti(H,1);break;
    5783           0 :     case 4: H = muliu(H,3); break;
    5784        7810 :     default:H = muliu(H,6); break;
    5785             :   }
    5786        7810 :   return H;
    5787             : }
    5788             : 
    5789             : /* x > 0, x = 0,3 (mod 4). Return 6*hclassno(x), an integer */
    5790             : GEN
    5791      121870 : hclassno6(GEN x)
    5792             : {
    5793      121870 :   ulong d = itou_or_0(x);
    5794      121870 :   if (!d || d > 500000) return hclassno6_large(x);
    5795      114060 :   return utoipos(hclassno6u(d));
    5796             : }
    5797             : 
    5798             : GEN
    5799       46088 : hclassno(GEN x)
    5800             : {
    5801             :   long a, s;
    5802       46088 :   if (typ(x) != t_INT) pari_err_TYPE("hclassno",x);
    5803       46088 :   s = signe(x);
    5804       46088 :   if (s < 0) return gen_0;
    5805       46088 :   if (!s) return gdivgs(gen_1, -12);
    5806       46088 :   a = mod4(x); if (a == 1 || a == 2) return gen_0;
    5807       46088 :   return gdivgs(hclassno6(x), 6);
    5808             : }
    5809             : /******************************************************************/
    5810             : /*                                                                */
    5811             : /*                 RAMANUJAN's TAU FUNCTION                       */
    5812             : /*                                                                */
    5813             : /******************************************************************/
    5814             : /* 4|N > 0, not fundamental at 2; 6 * Hurwitz class number in level 2,
    5815             :  * equal to 6*(H(N)+2H(N/4)), H=qfbhclassno */
    5816             : static GEN
    5817       36750 : Hspec(GEN N)
    5818             : {
    5819       36750 :   long v2 = Z_lvalrem(N, 2, &N), v2f = v2 >> 1;
    5820             :   GEN t;
    5821       36750 :   if (odd(v2)) { v2f--; N = shifti(N,3); }
    5822       32557 :   else if (mod4(N)!=3) { v2f--; N = shifti(N,2); }
    5823             :   /* N fundamental at 2, v2f = v2(f) s.t. N = f^2 D, D fundamental */
    5824       36750 :   t = addui(3, muliu(subiu(int2n(v2f+1), 3), 2 - kroiu(N,2)));
    5825       36750 :   return mulii(t, hclassno6(N));
    5826             : }
    5827             : 
    5828             : /* Ramanujan tau function for p prime */
    5829             : static GEN
    5830       14903 : tauprime(GEN p)
    5831             : {
    5832       14903 :   pari_sp av = avma, av2;
    5833             :   GEN s, p2, p2_7, p_9, T;
    5834             :   ulong lim, t, tin;
    5835             : 
    5836       14903 :   if (absequaliu(p, 2)) return utoineg(24);
    5837             :   /* p > 2 */
    5838       11396 :   p2 = sqri(p);
    5839       11396 :   p2_7 = mului(7, p2);
    5840       11396 :   p_9 = mului(9, p);
    5841       11396 :   av2 = avma;
    5842       11396 :   lim = itou(sqrtint(p));
    5843       11396 :   tin = mod4(p) == 3? 1: 0;
    5844       11396 :   s = gen_0;
    5845       87178 :   for (t = 1; t <= lim; ++t)
    5846             :   {
    5847       75782 :     GEN h, a, t2 = sqru(t), D = shifti(subii(p, t2), 2); /* 4(p-t^2) */
    5848             :     /* t mod 2 != tin <=> D not fundamental at 2 */
    5849       75782 :     h = ((t&1UL) == tin)? hclassno6(D): Hspec(D);
    5850       75782 :     a = mulii(powiu(t2,3), addii(p2_7, mulii(t2, subii(shifti(t2,2), p_9))));
    5851       75782 :     s = addii(s, mulii(a,h));
    5852       75782 :     if (!(t & 255)) s = gerepileuptoint(av2, s);
    5853             :   }
    5854             :   /* 28p^3 - 28p^2 - 90p - 35 */
    5855       11396 :   T = subii(shifti(mulii(p2_7, subiu(p,1)), 2), addiu(mului(90,p), 35));
    5856       11396 :   s = shifti(diviuexact(s, 3), 6);
    5857       11396 :   return gerepileuptoint(av, subii(mulii(mulii(p2,p),T), addui(1, s)));
    5858             : }
    5859             : 
    5860             : /* Ramanujan tau function, return 0 for <= 0 */
    5861             : GEN
    5862        7035 : ramanujantau(GEN n)
    5863             : {
    5864        7035 :   pari_sp ltop = avma;
    5865             :   GEN T, F, P, E;
    5866             :   long j, lP;
    5867             : 
    5868        7035 :   if (!(F = check_arith_all(n,"ramanujantau")))
    5869             :   {
    5870        7014 :     if (signe(n) <= 0) return gen_0;
    5871        7007 :     F = Z_factor(n);
    5872             :   }
    5873             :   else
    5874             :   {
    5875          21 :     P = gel(F,1);
    5876          21 :     if (lg(P) == 1 || signe(gel(P,1)) <= 0) return gen_0;
    5877             :   }
    5878             : 
    5879        7014 :   P = gel(F,1);
    5880        7014 :   E = gel(F,2); lP = lg(P);
    5881        7014 :   T = gen_1;
    5882       21917 :   for (j = 1; j < lP; j++)
    5883             :   {
    5884       14903 :     GEN p = gel(P,j), tp = tauprime(p), t1 = tp, t0 = gen_1;
    5885       14903 :     long k, e = itou(gel(E,j));
    5886       20160 :     for (k = 1; k < e; k++)
    5887             :     {
    5888        5257 :       GEN t2 = subii(mulii(tp, t1), mulii(powiu(p, 11), t0));
    5889        5257 :       t0 = t1; t1 = t2;
    5890             :     }
    5891       14903 :     T = mulii(T, t1);
    5892             :   }
    5893        7014 :   return gerepileuptoint(ltop, T);
    5894             : }

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