Line data Source code
1 : /* Copyright (C) 2000 The PARI group.
2 :
3 : This file is part of the PARI/GP package.
4 :
5 : PARI/GP is free software; you can redistribute it and/or modify it under the
6 : terms of the GNU General Public License as published by the Free Software
7 : Foundation. It is distributed in the hope that it will be useful, but WITHOUT
8 : ANY WARRANTY WHATSOEVER.
9 :
10 : Check the License for details. You should have received a copy of it, along
11 : with the package; see the file 'COPYING'. If not, write to the Free Software
12 : Foundation, Inc., 51 Franklin Street, Fifth Floor, Boston, MA 02110-1301 USA. */
13 :
14 : /*********************************************************************/
15 : /** **/
16 : /** ARITHMETIC FUNCTIONS **/
17 : /** (first part) **/
18 : /** **/
19 : /*********************************************************************/
20 : #include "pari.h"
21 : #include "paripriv.h"
22 :
23 : /******************************************************************/
24 : /* */
25 : /* GENERATOR of (Z/mZ)* */
26 : /* */
27 : /******************************************************************/
28 : static GEN
29 43 : remove2(GEN q) { long v = vali(q); return v? shifti(q, -v): q; }
30 : static ulong
31 42626 : u_remove2(ulong q) { return q >> vals(q); }
32 : GEN
33 43 : odd_prime_divisors(GEN q) { return gel(Z_factor(remove2(q)), 1); }
34 : static GEN
35 42627 : u_odd_prime_divisors(ulong q) { return gel(factoru(u_remove2(q)), 1); }
36 : /* p odd prime, q=(p-1)/2; L0 list of (some) divisors of q = (p-1)/2 or NULL
37 : * (all prime divisors of q); return the q/l, l in L0 */
38 : static GEN
39 244 : is_gener_expo(GEN p, GEN L0)
40 : {
41 244 : GEN L, q = shifti(p,-1);
42 : long i, l;
43 244 : if (L0) {
44 224 : l = lg(L0);
45 224 : L = cgetg(l, t_VEC);
46 : } else {
47 20 : L0 = L = odd_prime_divisors(q);
48 20 : l = lg(L);
49 : }
50 244 : for (i=1; i<l; i++) gel(L,i) = diviiexact(q, gel(L0,i));
51 244 : return L;
52 : }
53 : static GEN
54 41972 : u_is_gener_expo(ulong p, GEN L0)
55 : {
56 41972 : const ulong q = p >> 1;
57 : long i, l;
58 : GEN L;
59 41972 : if (L0) {
60 3496 : l = lg(L0);
61 3496 : L = cgetg(l, t_VECSMALL);
62 : } else {
63 38476 : L0 = L = u_odd_prime_divisors(q);
64 38471 : l = lg(L);
65 : }
66 41968 : for (i=1; i<l; i++) L[i] = q / uel(L0,i);
67 41968 : return L;
68 : }
69 :
70 : int
71 105008 : is_gener_Fl(ulong x, ulong p, ulong p_1, GEN L)
72 : {
73 : long i;
74 105008 : if (krouu(x, p) >= 0) return 0;
75 119512 : for (i=lg(L)-1; i; i--)
76 : {
77 74910 : ulong t = Fl_powu(x, uel(L,i), p);
78 74918 : if (t == p_1 || t == 1) return 0;
79 : }
80 44602 : return 1;
81 : }
82 : /* assume p prime */
83 : ulong
84 136567 : pgener_Fl_local(ulong p, GEN L0)
85 : {
86 136567 : const pari_sp av = avma;
87 136567 : const ulong p_1 = p-1;
88 : long x;
89 : GEN L;
90 136567 : if (p <= 19) switch(p)
91 : { /* quick trivial cases */
92 21 : case 2: return 1;
93 : case 7:
94 17126 : case 17: return 3;
95 77477 : default: return 2;
96 : }
97 41943 : L = u_is_gener_expo(p,L0);
98 100938 : for (x = 2;; x++)
99 159940 : if (is_gener_Fl(x,p,p_1,L)) return gc_ulong(av, x);
100 : }
101 : ulong
102 112493 : pgener_Fl(ulong p) { return pgener_Fl_local(p, NULL); }
103 :
104 : /* L[i] = set of (p-1)/2l, l ODD prime divisor of p-1 (l=2 can be included,
105 : * but wasteful) */
106 : int
107 520 : is_gener_Fp(GEN x, GEN p, GEN p_1, GEN L)
108 : {
109 520 : long i, t = lgefint(x)==3? kroui(x[2], p): kronecker(x, p);
110 520 : if (t >= 0) return 0;
111 468 : for (i = lg(L)-1; i; i--)
112 : {
113 174 : GEN t = Fp_pow(x, gel(L,i), p);
114 174 : if (equalii(t, p_1) || equali1(t)) return 0;
115 : }
116 294 : return 1;
117 : }
118 :
119 : /* assume p prime, return a generator of all L[i]-Sylows in F_p^*. */
120 : GEN
121 24423 : pgener_Fp_local(GEN p, GEN L0)
122 : {
123 24423 : pari_sp av0 = avma;
124 : GEN x, p_1, L;
125 24423 : if (lgefint(p) == 3)
126 : {
127 : ulong z;
128 24184 : if (p[2] == 2) return gen_1;
129 18185 : if (L0) L0 = ZV_to_nv(L0);
130 18185 : z = pgener_Fl_local(uel(p,2), L0);
131 18185 : set_avma(av0); return utoipos(z);
132 : }
133 239 : p_1 = subiu(p,1); L = is_gener_expo(p, L0);
134 239 : x = utoipos(2);
135 452 : for (;; x[2]++) { if (is_gener_Fp(x, p, p_1, L)) break; }
136 239 : set_avma(av0); return utoipos(uel(x,2));
137 : }
138 :
139 : GEN
140 23590 : pgener_Fp(GEN p) { return pgener_Fp_local(p, NULL); }
141 :
142 : ulong
143 69204 : pgener_Zl(ulong p)
144 : {
145 69204 : if (p == 2) pari_err_DOMAIN("pgener_Zl","p","=",gen_2,gen_2);
146 : /* only p < 2^32 such that znprimroot(p) != znprimroot(p^2) */
147 69204 : if (p == 40487) return 10;
148 : #ifndef LONG_IS_64BIT
149 9882 : return pgener_Fl(p);
150 : #else
151 59322 : if (p < (1UL<<32)) return pgener_Fl(p);
152 : else
153 : {
154 30 : const pari_sp av = avma;
155 30 : const ulong p_1 = p-1;
156 : long x ;
157 30 : GEN p2 = sqru(p), L = u_is_gener_expo(p, NULL);
158 102 : for (x=2;;x++)
159 174 : if (is_gener_Fl(x,p,p_1,L) && !is_pm1(Fp_powu(utoipos(x),p_1,p2)))
160 30 : return gc_ulong(av, x);
161 : }
162 : #endif
163 : }
164 :
165 : /* p prime. Return a primitive root modulo p^e, e > 1 */
166 : GEN
167 69209 : pgener_Zp(GEN p)
168 : {
169 69209 : if (lgefint(p) == 3) return utoipos(pgener_Zl(p[2]));
170 : else
171 : {
172 5 : const pari_sp av = avma;
173 5 : GEN p_1 = subiu(p,1), p2 = sqri(p), L = is_gener_expo(p,NULL);
174 5 : GEN x = utoipos(2);
175 12 : for (;; x[2]++)
176 29 : if (is_gener_Fp(x,p,p_1,L) && !equali1(Fp_pow(x,p_1,p2))) break;
177 5 : set_avma(av); return utoipos(uel(x,2));
178 : }
179 : }
180 :
181 : static GEN
182 231 : gener_Zp(GEN q, GEN F)
183 : {
184 231 : GEN p = NULL;
185 231 : long e = 0;
186 231 : if (F)
187 : {
188 14 : GEN P = gel(F,1), E = gel(F,2);
189 14 : long i, l = lg(P);
190 42 : for (i = 1; i < l; i++)
191 : {
192 28 : p = gel(P,i);
193 28 : if (absequaliu(p, 2)) continue;
194 14 : if (i < l-1) pari_err_DOMAIN("znprimroot", "argument","=",F,F);
195 14 : e = itos(gel(E,i));
196 : }
197 14 : if (!p) pari_err_DOMAIN("znprimroot", "argument","=",F,F);
198 : }
199 : else
200 217 : e = Z_isanypower(q, &p);
201 231 : return e > 1? pgener_Zp(p): pgener_Fp(q);
202 : }
203 :
204 : GEN
205 301 : znprimroot(GEN N)
206 : {
207 301 : pari_sp av = avma;
208 : GEN x, n, F;
209 :
210 301 : if ((F = check_arith_non0(N,"znprimroot")))
211 : {
212 14 : F = clean_Z_factor(F);
213 14 : N = typ(N) == t_VEC? gel(N,1): factorback(F);
214 : }
215 294 : N = absi_shallow(N);
216 294 : if (abscmpiu(N, 4) <= 0) { set_avma(av); return mkintmodu(N[2]-1,N[2]); }
217 245 : switch(mod4(N))
218 : {
219 : case 0: /* N = 0 mod 4 */
220 14 : pari_err_DOMAIN("znprimroot", "argument","=",N,N);
221 0 : x = NULL; break;
222 : case 2: /* N = 2 mod 4 */
223 21 : n = shifti(N,-1); /* becomes odd */
224 21 : x = gener_Zp(n,F); if (!mod2(x)) x = addii(x,n);
225 21 : break;
226 : default: /* N odd */
227 210 : x = gener_Zp(N,F);
228 210 : break;
229 : }
230 231 : return gerepilecopy(av, mkintmod(x, N));
231 : }
232 :
233 : /* n | (p-1), returns a primitive n-th root of 1 in F_p^* */
234 : GEN
235 0 : rootsof1_Fp(GEN n, GEN p)
236 : {
237 0 : pari_sp av = avma;
238 0 : GEN L = odd_prime_divisors(n); /* 2 implicit in pgener_Fp_local */
239 0 : GEN z = pgener_Fp_local(p, L);
240 0 : z = Fp_pow(z, diviiexact(subiu(p,1), n), p); /* prim. n-th root of 1 */
241 0 : return gerepileuptoint(av, z);
242 : }
243 :
244 : GEN
245 217 : rootsof1u_Fp(ulong n, GEN p)
246 : {
247 217 : pari_sp av = avma;
248 217 : GEN z, L = u_odd_prime_divisors(n); /* 2 implicit in pgener_Fp_local */
249 217 : z = pgener_Fp_local(p, Flv_to_ZV(L));
250 217 : z = Fp_pow(z, diviuexact(subiu(p,1), n), p); /* prim. n-th root of 1 */
251 217 : return gerepileuptoint(av, z);
252 : }
253 :
254 : ulong
255 3934 : rootsof1_Fl(ulong n, ulong p)
256 : {
257 3934 : pari_sp av = avma;
258 3934 : GEN L = u_odd_prime_divisors(n); /* 2 implicit in pgener_Fl_local */
259 3934 : ulong z = pgener_Fl_local(p, L);
260 3934 : z = Fl_powu(z, (p-1) / n, p); /* prim. n-th root of 1 */
261 3934 : return gc_ulong(av,z);
262 : }
263 :
264 : /*********************************************************************/
265 : /** **/
266 : /** INVERSE TOTIENT FUNCTION **/
267 : /** **/
268 : /*********************************************************************/
269 : /* N t_INT, L a ZV containing all prime divisors of N, and possibly other
270 : * primes. Return factor(N) */
271 : GEN
272 350651 : Z_factor_listP(GEN N, GEN L)
273 : {
274 350651 : long i, k, l = lg(L);
275 350651 : GEN P = cgetg(l, t_COL), E = cgetg(l, t_COL);
276 1346688 : for (i = k = 1; i < l; i++)
277 : {
278 996037 : GEN p = gel(L,i);
279 996037 : long v = Z_pvalrem(N, p, &N);
280 996037 : if (v)
281 : {
282 792176 : gel(P,k) = p;
283 792176 : gel(E,k) = utoipos(v);
284 792176 : k++;
285 : }
286 : }
287 350651 : setlg(P, k);
288 350651 : setlg(E, k); return mkmat2(P,E);
289 : }
290 :
291 : /* look for x such that phi(x) = n, p | x => p > m (if m = NULL: no condition).
292 : * L is a list of primes containing all prime divisors of n. */
293 : static long
294 621565 : istotient_i(GEN n, GEN m, GEN L, GEN *px)
295 : {
296 621565 : pari_sp av = avma, av2;
297 : GEN k, D;
298 : long i, v;
299 621565 : if (m && mod2(n))
300 : {
301 270914 : if (!equali1(n)) return 0;
302 69986 : if (px) *px = gen_1;
303 69986 : return 1;
304 : }
305 350651 : D = divisors(Z_factor_listP(shifti(n, -1), L));
306 : /* loop through primes p > m, d = p-1 | n */
307 350651 : av2 = avma;
308 350651 : if (!m)
309 : { /* special case p = 2, d = 1 */
310 69986 : k = n;
311 69986 : for (v = 1;; v++) {
312 69986 : if (istotient_i(k, gen_2, L, px)) {
313 69986 : if (px) *px = shifti(*px, v);
314 69986 : return 1;
315 : }
316 0 : if (mod2(k)) break;
317 0 : k = shifti(k,-1);
318 : }
319 0 : set_avma(av2);
320 : }
321 1099462 : for (i = 1; i < lg(D); ++i)
322 : {
323 1001588 : GEN p, d = shifti(gel(D, i), 1); /* even divisors of n */
324 1001588 : if (m && cmpii(d, m) < 0) continue;
325 677782 : p = addiu(d, 1);
326 677782 : if (!isprime(p)) continue;
327 442064 : k = diviiexact(n, d);
328 481593 : for (v = 1;; v++) {
329 : GEN r;
330 481593 : if (istotient_i(k, p, L, px)) {
331 182791 : if (px) *px = mulii(*px, powiu(p, v));
332 182791 : return 1;
333 : }
334 298802 : k = dvmdii(k, p, &r);
335 298802 : if (r != gen_0) break;
336 : }
337 259273 : set_avma(av2);
338 : }
339 97874 : return gc_long(av,0);
340 : }
341 :
342 : /* find x such that phi(x) = n */
343 : long
344 70000 : istotient(GEN n, GEN *px)
345 : {
346 70000 : pari_sp av = avma;
347 70000 : if (typ(n) != t_INT) pari_err_TYPE("istotient", n);
348 70000 : if (signe(n) < 1) return 0;
349 70000 : if (mod2(n))
350 : {
351 14 : if (!equali1(n)) return 0;
352 14 : if (px) *px = gen_1;
353 14 : return 1;
354 : }
355 69986 : if (istotient_i(n, NULL, gel(Z_factor(n), 1), px))
356 : {
357 69986 : if (!px) set_avma(av);
358 : else
359 69986 : *px = gerepileuptoint(av, *px);
360 69986 : return 1;
361 : }
362 0 : return gc_long(av,0);
363 : }
364 :
365 : /*********************************************************************/
366 : /** **/
367 : /** INTEGRAL LOGARITHM **/
368 : /** **/
369 : /*********************************************************************/
370 :
371 : /* y > 1 and B > 0 integers. Return e such that y^e <= B < y^(e+1), i.e
372 : * e = floor(log_y B). Set *ptq = y^e if non-NULL */
373 : long
374 253511 : ulogintall(ulong B, ulong y, ulong *ptq)
375 : {
376 : ulong r, r2;
377 : long e;
378 :
379 253511 : if (y == 2)
380 : {
381 4685 : long eB = expu(B); /* 2^eB <= B < 2^(eB + 1) */
382 4685 : if (ptq) *ptq = 1UL << eB;
383 4685 : return eB;
384 : }
385 248826 : r = y, r2 = 1UL;
386 899992 : for (e=1;; e++)
387 : { /* here, r = y^e, r2 = y^(e-1) */
388 1551158 : if (r >= B)
389 : {
390 248715 : if (r != B) { e--; r = r2; }
391 248715 : if (ptq) *ptq = r;
392 248715 : return e;
393 : }
394 651277 : r2 = r;
395 651277 : r = umuluu_or_0(y, r);
396 651277 : if (!r)
397 : {
398 111 : if (ptq) *ptq = r2;
399 111 : return e;
400 : }
401 : }
402 : }
403 :
404 : /* y > 1 and B > 0 integers. Return e such that y^e <= B < y^(e+1), i.e
405 : * e = floor(log_y B). Set *ptq = y^e if non-NULL */
406 : long
407 261205 : logintall(GEN B, GEN y, GEN *ptq)
408 : {
409 : pari_sp av;
410 261205 : long ey, e, emax, i, eB = expi(B); /* 2^eB <= B < 2^(eB + 1) */
411 : GEN q, pow2;
412 :
413 261205 : if (lgefint(B) == 3)
414 : {
415 : ulong q;
416 253511 : if (lgefint(y) > 3)
417 : {
418 0 : if (ptq) *ptq = gen_1;
419 0 : return 0;
420 : }
421 253511 : if (!ptq) return ulogintall(B[2], y[2], NULL);
422 46936 : e = ulogintall(B[2], y[2], &q);
423 46936 : *ptq = utoi(q); return e;
424 : }
425 7694 : if (equaliu(y,2))
426 : {
427 159 : if (ptq) *ptq = int2n(eB);
428 159 : return eB;
429 : }
430 7535 : av = avma;
431 7535 : ey = expi(y);
432 : /* eB/(ey+1) - 1 < e <= eB/ey */
433 7535 : emax = eB/ey;
434 7535 : if (emax <= 13) /* e small, be naive */
435 : {
436 1499 : GEN r = y, r2 = gen_1;
437 15915 : for (e=1;; e++)
438 14416 : { /* here, r = y^e, r2 = y^(e-1) */
439 15915 : long fl = cmpii(r, B);
440 15915 : if (fl >= 0)
441 : {
442 1499 : if (fl) { e--; cgiv(r); r = r2; }
443 1499 : if (ptq) *ptq = gerepileuptoint(av, r); else set_avma(av);
444 1499 : return e;
445 : }
446 14416 : r2 = r; r = mulii(r,y);
447 : }
448 : }
449 : /* e >= 13 ey / (ey+1) >= 6.5 */
450 :
451 : /* binary splitting: compute bits of e one by one */
452 : /* compute pow2[i] = y^(2^i) [i < crude upper bound for log_2 log_y(B)] */
453 6036 : pow2 = new_chunk((long)log2(eB)+2);
454 6036 : gel(pow2,0) = y;
455 6036 : for (i=0, q=y;; )
456 28929 : {
457 34965 : GEN r = gel(pow2,i); /* r = y^2^i */
458 34965 : long fl = cmpii(r,B);
459 34965 : if (!fl)
460 : {
461 0 : e = 1L<<i;
462 0 : if (ptq) *ptq = gerepileuptoint(av, r); else set_avma(av);
463 0 : return e;
464 : }
465 34965 : if (fl > 0) { i--; break; }
466 32973 : q = r;
467 32973 : if (1L<<(i+1) > emax) break;
468 28929 : gel(pow2,++i) = sqri(q);
469 : }
470 :
471 6036 : for (e = 1L<<i;;)
472 26916 : { /* y^e = q < B < r = q * y^(2^i) */
473 32952 : pari_sp av2 = avma;
474 : long fl;
475 : GEN r;
476 32952 : if (--i < 0) break;
477 26923 : r = mulii(q, gel(pow2,i));
478 26923 : fl = cmpii(r, B);
479 26923 : if (fl > 0) set_avma(av2);
480 : else
481 : {
482 13071 : e += (1L<<i);
483 13071 : q = r;
484 13071 : if (!fl) break; /* B = r */
485 : }
486 : }
487 6036 : if (ptq) *ptq = gerepileuptoint(av, q); else set_avma(av);
488 6036 : return e;
489 : }
490 :
491 : long
492 56 : logint0(GEN B, GEN y, GEN *ptq)
493 : {
494 56 : if (typ(B) != t_INT) pari_err_TYPE("logint",B);
495 56 : if (signe(B) <= 0) pari_err_DOMAIN("logint", "x" ,"<=", gen_0, B);
496 56 : if (typ(y) != t_INT) pari_err_TYPE("logint",y);
497 56 : if (cmpis(y, 2) < 0) pari_err_DOMAIN("logint", "b" ,"<=", gen_1, y);
498 56 : return logintall(B,y,ptq);
499 : }
500 :
501 : /*********************************************************************/
502 : /** **/
503 : /** INTEGRAL SQUARE ROOT **/
504 : /** **/
505 : /*********************************************************************/
506 : GEN
507 30577 : sqrtint(GEN a)
508 : {
509 30577 : if (typ(a) != t_INT) pari_err_TYPE("sqrtint",a);
510 30577 : switch (signe(a))
511 : {
512 30563 : case 1: return sqrti(a);
513 7 : case 0: return gen_0;
514 7 : default: pari_err_DOMAIN("sqrtint", "argument", "<", gen_0,a);
515 : }
516 : return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
517 : }
518 :
519 : /*********************************************************************/
520 : /** **/
521 : /** PERFECT SQUARE **/
522 : /** **/
523 : /*********************************************************************/
524 : static int
525 13337611 : carremod(ulong A)
526 : {
527 13337611 : const int carresmod64[]={
528 : 1,1,0,0,1,0,0,0,0,1, 0,0,0,0,0,0,1,1,0,0, 0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,
529 : 0,0,0,1,0,0,1,0,0,0, 0,1,0,0,0,0,0,0,0,1, 0,0,0,0,0,0,0,1,0,0, 0,0,0,0};
530 13337611 : const int carresmod63[]={
531 : 1,1,0,0,1,0,0,1,0,1, 0,0,0,0,0,0,1,0,1,0, 0,0,1,0,0,1,0,0,1,0,
532 : 0,0,0,0,0,0,1,1,0,0, 0,0,0,1,0,0,1,0,0,1, 0,0,0,0,0,0,0,0,1,0, 0,0,0};
533 13337611 : const int carresmod65[]={
534 : 1,1,0,0,1,0,0,0,0,1, 1,0,0,0,1,0,1,0,0,0, 0,0,0,0,0,1,1,0,0,1,
535 : 1,0,0,0,0,1,1,0,0,1, 1,0,0,0,0,0,0,0,0,1, 0,1,0,0,0,1,1,0,0,0, 0,1,0,0,1};
536 13337611 : const int carresmod11[]={1,1,0,1,1,1,0,0,0,1, 0};
537 13337611 : return (carresmod64[A & 0x3fUL]
538 5177533 : && carresmod63[A % 63UL]
539 3135200 : && carresmod65[A % 65UL]
540 15946579 : && carresmod11[A % 11UL]);
541 : }
542 :
543 : /* emulate Z_issquareall on single-word integers */
544 : long
545 11846823 : uissquareall(ulong A, ulong *sqrtA)
546 : {
547 11846823 : if (!A) { *sqrtA = 0; return 1; }
548 11846823 : if (carremod(A))
549 : {
550 1768804 : ulong a = usqrt(A);
551 1768795 : if (a * a == A) { *sqrtA = a; return 1; }
552 : }
553 10169086 : return 0;
554 : }
555 : long
556 120633 : uissquare(ulong A)
557 : {
558 120633 : if (!A) return 1;
559 120633 : if (carremod(A))
560 : {
561 3499 : ulong a = usqrt(A);
562 3499 : if (a * a == A) return 1;
563 : }
564 117158 : return 0;
565 : }
566 :
567 : long
568 6381616 : Z_issquareall(GEN x, GEN *pt)
569 : {
570 : pari_sp av;
571 : GEN y, r;
572 :
573 6381616 : switch(signe(x))
574 : {
575 2206566 : case -1: return 0;
576 1064 : case 0: if (pt) *pt=gen_0; return 1;
577 : }
578 4173986 : if (lgefint(x) == 3)
579 : {
580 2803846 : ulong u = uel(x,2), a;
581 2803846 : if (!pt) return uissquare(u);
582 2683213 : if (!uissquareall(u, &a)) return 0;
583 1396882 : *pt = utoipos(a); return 1;
584 : }
585 1370140 : if (!carremod(umodiu(x, 64*63*65*11))) return 0;
586 608761 : av = avma; y = sqrtremi(x, &r);
587 608761 : if (r != gen_0) return gc_long(av,0);
588 17917 : if (pt) { *pt = y; avma = (pari_sp)y; } else set_avma(av);
589 17917 : return 1;
590 : }
591 :
592 : /* a t_INT, p prime */
593 : long
594 0 : Zp_issquare(GEN a, GEN p)
595 : {
596 : long v;
597 : GEN ap;
598 :
599 0 : if (!signe(a) || gequal1(a)) return 1;
600 0 : v = Z_pvalrem(a, p, &ap);
601 0 : if (v&1) return 0;
602 0 : return absequaliu(p, 2)? umodiu(ap, 8) == 1
603 0 : : kronecker(ap,p) == 1;
604 : }
605 :
606 : static long
607 3010 : polissquareall(GEN x, GEN *pt)
608 : {
609 : pari_sp av;
610 : long v;
611 : GEN y, a, b, p;
612 :
613 3010 : if (!signe(x))
614 : {
615 7 : if (pt) *pt = gcopy(x);
616 7 : return 1;
617 : }
618 3003 : if (odd(degpol(x))) return 0; /* odd degree */
619 2177 : av = avma;
620 2177 : v = RgX_valrem(x, &x);
621 2177 : if (v & 1) return gc_long(av,0);
622 2170 : a = gel(x,2); /* test constant coeff */
623 2170 : if (!pt)
624 70 : { if (!issquare(a)) return gc_long(av,0); }
625 : else
626 2100 : { if (!issquareall(a,&b)) return gc_long(av,0); }
627 2170 : if (!degpol(x)) { /* constant polynomial */
628 77 : if (!pt) return gc_long(av,1);
629 35 : y = scalarpol(b, varn(x)); goto END;
630 : }
631 2093 : p = characteristic(x);
632 2093 : if (signe(p) && !mod2(p))
633 : {
634 : long i, lx;
635 35 : if (!absequaliu(p,2)) pari_err_IMPL("issquare for even characteristic != 2");
636 28 : x = gmul(x, mkintmod(gen_1, gen_2));
637 28 : lx = lg(x);
638 28 : if ((lx-3) & 1) return gc_long(av,0);
639 49 : for (i = 3; i < lx; i+=2)
640 28 : if (!gequal0(gel(x,i))) return gc_long(av,0);
641 21 : if (pt) {
642 14 : y = cgetg((lx+3) / 2, t_POL);
643 49 : for (i = 2; i < lx; i+=2)
644 35 : if (!issquareall(gel(x,i), &gel(y, (i+2)>>1))) return gc_long(av,0);
645 14 : y[1] = evalsigne(1) | evalvarn(varn(x));
646 14 : goto END;
647 : } else {
648 21 : for (i = 2; i < lx; i+=2)
649 14 : if (!issquare(gel(x,i))) return gc_long(av,0);
650 7 : return gc_long(av,1);
651 : }
652 : }
653 : else
654 : {
655 2058 : long m = 1;
656 2058 : x = RgX_Rg_div(x,a);
657 : /* a(x^m) = B^2 => B = b(x^m) provided a(0) != 0 */
658 2058 : if (!signe(p)) x = RgX_deflate_max(x,&m);
659 2058 : y = ser2rfrac_i(gsqrt(RgX_to_ser(x,lg(x)-1),0));
660 3325 : if (!RgX_equal(RgX_sqr(y), x)) return gc_long(av,0);
661 798 : if (!pt) return gc_long(av,1);
662 791 : if (!gequal1(a)) y = gmul(b, y);
663 791 : if (m != 1) y = RgX_inflate(y,m);
664 : }
665 : END:
666 840 : if (v) y = RgX_shift_shallow(y, v>>1);
667 840 : *pt = gerepilecopy(av, y); return 1;
668 : }
669 :
670 : /* b unit mod p */
671 : static int
672 287 : Up_ispower(GEN b, GEN K, GEN p, long d, GEN *pt)
673 : {
674 287 : if (d == 1)
675 : { /* mod p: faster */
676 203 : if (!Fp_ispower(b, K, p)) return 0;
677 203 : if (pt) *pt = Fp_sqrtn(b, K, p, NULL);
678 : }
679 : else
680 : { /* mod p^{2 +} */
681 84 : if (!ispower(cvtop(b, p, d), K, pt)) return 0;
682 63 : if (pt) *pt = gtrunc(*pt);
683 : }
684 266 : return 1;
685 : }
686 :
687 : /* We're studying whether a mod (q*p^e) is a K-th power, (q,p) = 1.
688 : * Decide mod p^e, then reduce a mod q unless q = NULL. */
689 : static int
690 427 : handle_pe(GEN *pa, GEN q, GEN L, GEN K, GEN p, long e)
691 : {
692 : GEN t, A;
693 427 : long v = Z_pvalrem(*pa, p, &A), d = e - v;
694 427 : if (d <= 0) t = gen_0;
695 : else
696 : {
697 : ulong r;
698 371 : v = uabsdivui_rem(v, K, &r);
699 371 : if (r || !Up_ispower(A, K, p, d, L? &t: NULL)) return 0;
700 266 : if (L && v) t = mulii(t, powiu(p, v));
701 : }
702 322 : if (q) *pa = modii(*pa, q);
703 322 : if (L) vectrunc_append(L, mkintmod(t, powiu(p, e)));
704 322 : return 1;
705 : }
706 : long
707 329 : Zn_ispower(GEN a, GEN q, GEN K, GEN *pt)
708 : {
709 : GEN L, N;
710 : pari_sp av;
711 : long e, i, l;
712 : ulong pp;
713 : forprime_t S;
714 :
715 329 : if (!signe(a))
716 : {
717 21 : if (pt) {
718 21 : GEN t = cgetg(3, t_INTMOD);
719 21 : gel(t,1) = icopy(q); gel(t,2) = gen_0; *pt = t;
720 : }
721 21 : return 1;
722 : }
723 : /* a != 0 */
724 308 : av = avma;
725 :
726 308 : if (typ(q) != t_INT) /* integer factorization */
727 : {
728 0 : GEN P = gel(q,1), E = gel(q,2);
729 0 : l = lg(P);
730 0 : L = pt? vectrunc_init(l): NULL;
731 0 : for (i = 1; i < l; i++)
732 : {
733 0 : GEN p = gel(P,i);
734 0 : long e = itos(gel(E,i));
735 0 : if (!handle_pe(&a, NULL, L, K, p, e)) return gc_long(av,0);
736 : }
737 0 : goto END;
738 : }
739 308 : if (!mod2(K)
740 189 : && kronecker(a, shifti(q,-vali(q))) == -1) return gc_long(av,0);
741 301 : L = pt? vectrunc_init(expi(q)+1): NULL;
742 301 : u_forprime_init(&S, 2, tridiv_bound(q));
743 301 : while ((pp = u_forprime_next(&S)))
744 : {
745 : int stop;
746 883407 : e = Z_lvalrem_stop(&q, pp, &stop);
747 883407 : if (!e) continue;
748 203 : if (!handle_pe(&a, q, L, K, utoipos(pp), e)) return gc_long(av,0);
749 161 : if (stop)
750 : {
751 126 : if (!is_pm1(q) && !handle_pe(&a, q, L, K, q, 1)) return gc_long(av,0);
752 126 : goto END;
753 : }
754 : }
755 154 : l = lg(primetab);
756 154 : for (i = 1; i < l; i++)
757 : {
758 0 : GEN p = gel(primetab,i);
759 0 : e = Z_pvalrem(q, p, &q);
760 0 : if (!e) continue;
761 0 : if (!handle_pe(&a, q, L, K, p, e)) return gc_long(av,0);
762 0 : if (is_pm1(q)) goto END;
763 : }
764 154 : N = gcdii(a,q);
765 154 : if (!is_pm1(N))
766 : {
767 112 : if (ifac_isprime(N))
768 : {
769 70 : e = Z_pvalrem(q, N, &q);
770 70 : if (!handle_pe(&a, q, L, K, N, e)) return gc_long(av,0);
771 : }
772 : else
773 : {
774 42 : GEN part = ifac_start(N, 0);
775 : for(;;)
776 42 : {
777 : long e;
778 : GEN p;
779 84 : if (!ifac_next(&part, &p, &e)) break;
780 42 : e = Z_pvalrem(q, p, &q);
781 42 : if (!handle_pe(&a, q, L, K, p, e)) return gc_long(av,0);
782 : }
783 : }
784 : }
785 84 : if (!is_pm1(q))
786 : {
787 84 : if (ifac_isprime(q))
788 : {
789 28 : if (!handle_pe(&a, q, L, K, q, 1)) return gc_long(av,0);
790 : }
791 : else
792 : {
793 56 : GEN part = ifac_start(q, 0);
794 : for(;;)
795 84 : {
796 : long e;
797 : GEN p;
798 140 : if (!ifac_next(&part, &p, &e)) break;
799 98 : if (!handle_pe(&a, q, L, K, p, e)) return gc_long(av,0);
800 : }
801 : }
802 : }
803 : END:
804 196 : if (pt) *pt = gerepileupto(av, chinese1_coprime_Z(L));
805 196 : return 1;
806 : }
807 :
808 : static long
809 56 : polmodispower(GEN x, GEN K, GEN *pt)
810 : {
811 56 : pari_sp av = avma;
812 56 : GEN p = NULL, T = NULL;
813 56 : if (Rg_is_FpXQ(x, &T,&p) && p)
814 : {
815 42 : x = liftall_shallow(x);
816 42 : if (T) T = liftall_shallow(T);
817 42 : if (!Fq_ispower(x, K, T, p)) return gc_long(av,0);
818 28 : if (!pt) return gc_long(av,1);
819 21 : x = Fq_sqrtn(x, K, T,p, NULL);
820 21 : if (typ(x) == t_INT)
821 7 : x = Fp_to_mod(x,p);
822 : else
823 14 : x = mkpolmod(FpX_to_mod(x,p), FpX_to_mod(T,p));
824 21 : *pt = gerepilecopy(av, x); return 1;
825 : }
826 14 : pari_err_IMPL("ispower for general t_POLMOD");
827 0 : return 0;
828 : }
829 :
830 : long
831 163149 : issquareall(GEN x, GEN *pt)
832 : {
833 163149 : long tx = typ(x);
834 : GEN F;
835 : pari_sp av;
836 :
837 163149 : if (!pt) return issquare(x);
838 20300 : switch(tx)
839 : {
840 2331 : case t_INT: return Z_issquareall(x, pt);
841 161 : case t_FRAC: av = avma;
842 161 : F = cgetg(3, t_FRAC);
843 161 : if ( !Z_issquareall(gel(x,1), &gel(F,1))
844 105 : || !Z_issquareall(gel(x,2), &gel(F,2))) return gc_long(av,0);
845 105 : *pt = F; return 1;
846 :
847 : case t_POLMOD:
848 21 : return polmodispower(x, gen_2, pt);
849 2919 : case t_POL: return polissquareall(x,pt);
850 14 : case t_RFRAC: av = avma;
851 14 : F = cgetg(3, t_RFRAC);
852 14 : if ( !issquareall(gel(x,1), &gel(F,1))
853 14 : || !polissquareall(gel(x,2), &gel(F,2))) return gc_long(av,0);
854 7 : *pt = F; return 1;
855 :
856 : case t_REAL: case t_COMPLEX: case t_PADIC: case t_SER:
857 14756 : if (!issquare(x)) return 0;
858 14756 : *pt = gsqrt(x, DEFAULTPREC); return 1;
859 :
860 : case t_INTMOD:
861 63 : return Zn_ispower(gel(x,2), gel(x,1), gen_2, pt);
862 :
863 35 : case t_FFELT: return FF_issquareall(x, pt);
864 :
865 : }
866 0 : pari_err_TYPE("issquareall",x);
867 : return 0; /* LCOV_EXCL_LINE */
868 : }
869 :
870 : long
871 157878 : issquare(GEN x)
872 : {
873 : pari_sp av;
874 : GEN a, p;
875 : long v;
876 :
877 157878 : switch(typ(x))
878 : {
879 : case t_INT:
880 142751 : return Z_issquare(x);
881 :
882 : case t_REAL:
883 14714 : return (signe(x)>=0);
884 :
885 : case t_INTMOD:
886 77 : return Zn_ispower(gel(x,2), gel(x,1), gen_2, NULL);
887 :
888 : case t_FRAC:
889 21 : return Z_issquare(gel(x,1)) && Z_issquare(gel(x,2));
890 :
891 7 : case t_FFELT: return FF_issquareall(x, NULL);
892 :
893 : case t_COMPLEX:
894 56 : return 1;
895 :
896 : case t_PADIC:
897 126 : a = gel(x,4); if (!signe(a)) return 1;
898 126 : if (valp(x)&1) return 0;
899 112 : p = gel(x,2);
900 112 : if (!absequaliu(p, 2)) return (kronecker(a,p) != -1);
901 :
902 42 : v = precp(x); /* here p=2, a is odd */
903 42 : if ((v>=3 && mod8(a) != 1 ) ||
904 0 : (v==2 && mod4(a) != 1)) return 0;
905 21 : return 1;
906 :
907 : case t_POLMOD:
908 21 : return polmodispower(x, gen_2, NULL);
909 :
910 : case t_POL:
911 77 : return polissquareall(x,NULL);
912 :
913 : case t_SER:
914 21 : if (!signe(x)) return 1;
915 14 : if (valp(x)&1) return 0;
916 7 : return issquare(gel(x,2));
917 :
918 : case t_RFRAC:
919 7 : av = avma; return gc_long(av, issquare(gmul(gel(x,1),gel(x,2))));
920 : }
921 0 : pari_err_TYPE("issquare",x);
922 : return 0; /* LCOV_EXCL_LINE */
923 : }
924 0 : GEN gissquare(GEN x) { return issquare(x)? gen_1: gen_0; }
925 0 : GEN gissquareall(GEN x, GEN *pt) { return issquareall(x,pt)? gen_1: gen_0; }
926 :
927 : long
928 1386 : ispolygonal(GEN x, GEN S, GEN *N)
929 : {
930 1386 : pari_sp av = avma;
931 : GEN D, d, n;
932 1386 : if (typ(x) != t_INT) pari_err_TYPE("ispolygonal", x);
933 1386 : if (typ(S) != t_INT) pari_err_TYPE("ispolygonal", S);
934 1386 : if (abscmpiu(S,3) < 0) pari_err_DOMAIN("ispolygonal","s","<", utoipos(3),S);
935 1386 : if (signe(x) < 0) return 0;
936 1386 : if (signe(x) == 0) { if (N) *N = gen_0; return 1; }
937 1260 : if (is_pm1(x)) { if (N) *N = gen_1; return 1; }
938 : /* n = (sqrt( (8s - 16) x + (s-4)^2 ) + s - 4) / 2(s - 2) */
939 1134 : if (abscmpiu(S, 1<<16) < 0) /* common case ! */
940 : {
941 441 : ulong s = S[2], r;
942 504 : if (s == 4) return Z_issquareall(x, N);
943 378 : if (s == 3)
944 0 : D = addiu(shifti(x, 3), 1);
945 : else
946 378 : D = addiu(mului(8*s - 16, x), (s-4)*(s-4));
947 378 : if (!Z_issquareall(D, &d)) return gc_long(av,0);
948 378 : if (s == 3)
949 0 : d = subiu(d, 1);
950 : else
951 378 : d = addiu(d, s - 4);
952 378 : n = absdiviu_rem(d, 2*s - 4, &r);
953 378 : if (r) return gc_long(av,0);
954 : }
955 : else
956 : {
957 693 : GEN r, S_2 = subiu(S,2), S_4 = subiu(S,4);
958 693 : D = addii(mulii(shifti(S_2,3), x), sqri(S_4));
959 693 : if (!Z_issquareall(D, &d)) return gc_long(av,0);
960 693 : d = addii(d, S_4);
961 693 : n = dvmdii(shifti(d,-1), S_2, &r);
962 693 : if (r != gen_0) return gc_long(av,0);
963 : }
964 1071 : if (N) *N = gerepileuptoint(av, n); else set_avma(av);
965 1071 : return 1;
966 : }
967 :
968 : /*********************************************************************/
969 : /** **/
970 : /** PERFECT POWER **/
971 : /** **/
972 : /*********************************************************************/
973 : static long
974 721 : polispower(GEN x, GEN K, GEN *pt)
975 : {
976 : pari_sp av;
977 721 : long v, d, k = itos(K);
978 : GEN y, a, b;
979 721 : GEN T = NULL, p = NULL;
980 :
981 721 : if (!signe(x))
982 : {
983 7 : if (pt) *pt = gcopy(x);
984 7 : return 1;
985 : }
986 714 : d = degpol(x);
987 714 : if (d % k) return 0; /* degree not multiple of k */
988 707 : av = avma;
989 707 : if (RgX_is_FpXQX(x, &T, &p) && p)
990 : { /* over Fq */
991 336 : if (T && typ(T) == t_FFELT)
992 : {
993 126 : if (!FFX_ispower(x, k, T, pt)) return gc_long(av,0);
994 105 : return 1;
995 : }
996 210 : x = RgX_to_FqX(x,T,p);
997 210 : if (!FqX_ispower(x, k, T,p, pt)) return gc_long(av,0);
998 175 : if (pt) *pt = gerepileupto(av, FqX_to_mod(*pt, T, p));
999 175 : return 1;
1000 : }
1001 371 : v = RgX_valrem(x, &x);
1002 371 : if (v % k) return 0;
1003 364 : v /= k;
1004 364 : a = gel(x,2); b = NULL;
1005 364 : if (!ispower(a, K, &b)) return gc_long(av,0);
1006 350 : if (d)
1007 : {
1008 343 : GEN p = characteristic(x);
1009 343 : a = leading_coeff(x);
1010 343 : if (!ispower(a, K, &b)) return gc_long(av,0);
1011 343 : x = RgX_normalize(x);
1012 343 : if (signe(p) && cmpii(p,K) <= 0)
1013 0 : pari_err_IMPL("ispower(general t_POL) in small characteristic");
1014 343 : y = gtrunc(gsqrtn(RgX_to_ser(x,lg(x)), K, NULL, 0));
1015 343 : if (!RgX_equal(powgi(y, K), x)) return gc_long(av,0);
1016 : }
1017 : else
1018 7 : y = pol_1(varn(x));
1019 350 : if (pt)
1020 : {
1021 350 : if (!gequal1(a))
1022 : {
1023 14 : if (!b) b = gsqrtn(a, K, NULL, DEFAULTPREC);
1024 14 : y = gmul(b,y);
1025 : }
1026 350 : if (v) y = RgX_shift_shallow(y, v);
1027 350 : *pt = gerepilecopy(av, y);
1028 : }
1029 0 : else set_avma(av);
1030 350 : return 1;
1031 : }
1032 :
1033 : long
1034 97270 : Z_ispowerall(GEN x, ulong k, GEN *pt)
1035 : {
1036 97270 : long s = signe(x);
1037 : ulong mask;
1038 97270 : if (!s) { if (pt) *pt = gen_0; return 1; }
1039 97270 : if (s > 0) {
1040 97130 : if (k == 2) return Z_issquareall(x, pt);
1041 17955 : if (k == 3) { mask = 1; return !!is_357_power(x, pt, &mask); }
1042 3206 : if (k == 5) { mask = 2; return !!is_357_power(x, pt, &mask); }
1043 2982 : if (k == 7) { mask = 4; return !!is_357_power(x, pt, &mask); }
1044 2975 : return is_kth_power(x, k, pt);
1045 : }
1046 140 : if (!odd(k)) return 0;
1047 126 : if (Z_ispowerall(absi_shallow(x), k, pt))
1048 : {
1049 112 : if (pt) *pt = negi(*pt);
1050 112 : return 1;
1051 : };
1052 14 : return 0;
1053 : }
1054 :
1055 : /* is x a K-th power mod p ? Assume p prime. */
1056 : int
1057 203 : Fp_ispower(GEN x, GEN K, GEN p)
1058 : {
1059 203 : pari_sp av = avma;
1060 : GEN p_1;
1061 203 : x = modii(x, p);
1062 203 : if (!signe(x) || equali1(x)) return gc_bool(av,1);
1063 : /* implies p > 2 */
1064 112 : p_1 = subiu(p,1);
1065 112 : K = gcdii(K, p_1);
1066 112 : if (absequaliu(K, 2)) return gc_bool(av, kronecker(x,p) > 0);
1067 49 : x = Fp_pow(x, diviiexact(p_1,K), p);
1068 49 : return gc_bool(av, equali1(x));
1069 : }
1070 :
1071 : /* x unit defined modulo 2^e, e > 0, p prime */
1072 : static int
1073 2373 : U2_issquare(GEN x, long e)
1074 : {
1075 2373 : long r = signe(x)>=0?mod8(x):8-mod8(x);
1076 2373 : if (e==1) return 1;
1077 2373 : if (e==2) return (r&3L) == 1;
1078 2009 : return r == 1;
1079 : }
1080 : /* x unit defined modulo p^e, e > 0, p prime */
1081 : static int
1082 4690 : Up_issquare(GEN x, GEN p, long e)
1083 4690 : { return (absequaliu(p,2))? U2_issquare(x, e): kronecker(x,p)==1; }
1084 :
1085 : long
1086 2548 : Zn_issquare(GEN d, GEN fn)
1087 : {
1088 : long j, np;
1089 2548 : if (typ(d) != t_INT) pari_err_TYPE("Zn_issquare",d);
1090 2548 : if (typ(fn) == t_INT) return Zn_ispower(d, fn, gen_2, NULL);
1091 : /* integer factorization */
1092 2548 : np = nbrows(fn);
1093 5320 : for (j = 1; j <= np; ++j)
1094 : {
1095 4970 : GEN r, p = gcoeff(fn, j, 1);
1096 4970 : long e = itos(gcoeff(fn, j, 2));
1097 4970 : long v = Z_pvalrem(d,p,&r);
1098 4970 : if (v < e && (odd(v) || !Up_issquare(r, p, e-v))) return 0;
1099 : }
1100 350 : return 1;
1101 : }
1102 :
1103 : static long
1104 1113 : Qp_ispower(GEN x, GEN K, GEN *pt)
1105 : {
1106 1113 : pari_sp av = avma;
1107 1113 : GEN z = Qp_sqrtn(x, K, NULL);
1108 1113 : if (!z) return gc_long(av,0);
1109 819 : if (pt) *pt = z;
1110 819 : return 1;
1111 : }
1112 :
1113 : long
1114 7096283 : ispower(GEN x, GEN K, GEN *pt)
1115 : {
1116 : GEN z;
1117 :
1118 7096283 : if (!K) return gisanypower(x, pt);
1119 96101 : if (typ(K) != t_INT) pari_err_TYPE("ispower",K);
1120 96101 : if (signe(K) <= 0) pari_err_DOMAIN("ispower","exponent","<=",gen_0,K);
1121 96101 : if (equali1(K)) { if (pt) *pt = gcopy(x); return 1; }
1122 96052 : switch(typ(x)) {
1123 : case t_INT:
1124 24314 : return Z_ispowerall(x, itou(K), pt);
1125 : case t_FRAC:
1126 : {
1127 69652 : GEN a = gel(x,1), b = gel(x,2);
1128 69652 : ulong k = itou(K);
1129 69652 : if (pt) {
1130 69645 : z = cgetg(3, t_FRAC);
1131 69645 : if (Z_ispowerall(a, k, &a) && Z_ispowerall(b, k, &b)) {
1132 1386 : *pt = z; gel(z,1) = a; gel(z,2) = b; return 1;
1133 : }
1134 68259 : avma = (pari_sp)(z + 3); return 0;
1135 : }
1136 7 : return Z_ispower(a, k) && Z_ispower(b, k);
1137 : }
1138 : case t_INTMOD:
1139 189 : return Zn_ispower(gel(x,2), gel(x,1), K, pt);
1140 : case t_FFELT:
1141 28 : return FF_ispower(x, K, pt);
1142 :
1143 : case t_PADIC:
1144 1113 : return Qp_ispower(x, K, pt);
1145 : case t_POLMOD:
1146 14 : return polmodispower(x, K, pt);
1147 : case t_POL:
1148 714 : return polispower(x, K, pt);
1149 : case t_RFRAC: {
1150 7 : GEN a = gel(x,1), b = gel(x,2);
1151 7 : if (pt) {
1152 7 : z = cgetg(3, t_RFRAC);
1153 7 : if (ispower(a, K, &a) && polispower(b, K, &b)) {
1154 7 : *pt = z; gel(z,1) = a; gel(z,2) = b; return 1;
1155 : }
1156 0 : avma = (pari_sp)(z + 3); return 0;
1157 : }
1158 0 : return (ispower(a, K, NULL) && polispower(b, K, NULL));
1159 : }
1160 : case t_REAL:
1161 7 : if (signe(x) < 0 && !mpodd(K)) return 0;
1162 : case t_COMPLEX:
1163 14 : if (pt) *pt = gsqrtn(x, K, NULL, DEFAULTPREC);
1164 14 : return 1;
1165 :
1166 : case t_SER:
1167 7 : if (signe(x) && (!dvdsi(valp(x), K) || !ispower(gel(x,2), K, NULL)))
1168 0 : return 0;
1169 7 : if (pt) *pt = gsqrtn(x, K, NULL, DEFAULTPREC);
1170 7 : return 1;
1171 : }
1172 0 : pari_err_TYPE("ispower",x);
1173 : return 0; /* LCOV_EXCL_LINE */
1174 : }
1175 :
1176 : long
1177 7000182 : gisanypower(GEN x, GEN *pty)
1178 : {
1179 7000182 : long tx = typ(x);
1180 : ulong k, h;
1181 7000182 : if (tx == t_INT) return Z_isanypower(x, pty);
1182 14 : if (tx == t_FRAC)
1183 : {
1184 14 : pari_sp av = avma;
1185 14 : GEN fa, P, E, a = gel(x,1), b = gel(x,2);
1186 : long i, j, p, e;
1187 14 : int sw = (abscmpii(a, b) > 0);
1188 :
1189 14 : if (sw) swap(a, b);
1190 14 : k = Z_isanypower(a, pty? &a: NULL);
1191 14 : if (!k)
1192 : { /* a = -1,1 or not a pure power */
1193 7 : if (!is_pm1(a)) return gc_long(av,0);
1194 7 : if (signe(a) < 0) b = negi(b);
1195 7 : k = Z_isanypower(b, pty? &b: NULL);
1196 7 : if (!k || !pty) return gc_long(av,k);
1197 7 : *pty = gerepileupto(av, ginv(b));
1198 7 : return k;
1199 : }
1200 7 : fa = factoru(k);
1201 7 : P = gel(fa,1);
1202 7 : E = gel(fa,2); h = k;
1203 14 : for (i = lg(P) - 1; i > 0; i--)
1204 : {
1205 7 : p = P[i];
1206 7 : e = E[i];
1207 21 : for (j = 0; j < e; j++)
1208 14 : if (!is_kth_power(b, p, &b)) break;
1209 7 : if (j < e) k /= upowuu(p, e - j);
1210 : }
1211 7 : if (k == 1) return gc_long(av,0);
1212 7 : if (!pty) return gc_long(av,k);
1213 0 : if (k != h) a = powiu(a, h/k);
1214 0 : *pty = gerepilecopy(av, mkfrac(a, b));
1215 0 : return k;
1216 : }
1217 0 : pari_err_TYPE("gisanypower", x);
1218 : return 0; /* LCOV_EXCL_LINE */
1219 : }
1220 :
1221 : /* v_p(x) = e != 0 for some p; return ispower(x,,&x), updating x.
1222 : * No need to optimize for 2,3,5,7 powers (done before) */
1223 : static long
1224 505715 : split_exponent(ulong e, GEN *x)
1225 : {
1226 : GEN fa, P, E;
1227 505715 : long i, j, l, k = 1;
1228 505715 : if (e == 1) return 1;
1229 14 : fa = factoru(e);
1230 14 : P = gel(fa,1);
1231 14 : E = gel(fa,2); l = lg(P);
1232 28 : for (i = 1; i < l; i++)
1233 : {
1234 14 : ulong p = P[i];
1235 28 : for (j = 0; j < E[i]; j++)
1236 : {
1237 : GEN y;
1238 14 : if (!is_kth_power(*x, p, &y)) break;
1239 14 : k *= p; *x = y;
1240 : }
1241 : }
1242 14 : return k;
1243 : }
1244 :
1245 : static long
1246 864647 : Z_isanypower_nosmalldiv(GEN *px)
1247 : { /* any prime divisor of x is > 102 */
1248 864647 : const double LOG2_103 = 6.6865; /* lower bound for log_2(103) */
1249 864647 : const double LOG103 = 4.6347; /* lower bound for log(103) */
1250 : forprime_t T;
1251 864647 : ulong mask = 7, e2;
1252 : long k, ex;
1253 864647 : GEN y, x = *px;
1254 :
1255 864647 : k = 1;
1256 864647 : while (Z_issquareall(x, &y)) { k <<= 1; x = y; }
1257 864647 : while ( (ex = is_357_power(x, &y, &mask)) ) { k *= ex; x = y; }
1258 864647 : e2 = (ulong)((expi(x) + 1) / LOG2_103); /* >= log_103 (x) */
1259 864647 : if (u_forprime_init(&T, 11, e2))
1260 : {
1261 16961 : GEN logx = NULL;
1262 16961 : const ulong Q = 30011; /* prime */
1263 : ulong p, xmodQ;
1264 16961 : double dlogx = 0;
1265 : /* cut off at x^(1/p) ~ 2^30 bits which seems to be about optimum;
1266 : * for large p the modular checks are no longer competitively fast */
1267 33964 : while ( (ex = is_pth_power(x, &y, &T, 30)) )
1268 : {
1269 42 : k *= ex; x = y;
1270 42 : e2 = (ulong)((expi(x) + 1) / LOG2_103);
1271 42 : u_forprime_restrict(&T, e2);
1272 : }
1273 16961 : if (DEBUGLEVEL>4) err_printf("Z_isanypower: now k=%ld, x=%ld-bit\n", k, expi(x));
1274 16961 : xmodQ = umodiu(x, Q);
1275 : /* test Q | x, just in case */
1276 16961 : if (!xmodQ) { *px = x; return k * split_exponent(Z_lval(x,Q), px); }
1277 : /* x^(1/p) < 2^31 */
1278 16947 : p = T.p;
1279 16947 : if (p <= e2)
1280 : {
1281 16933 : logx = logr_abs( itor(x, DEFAULTPREC) );
1282 16933 : dlogx = rtodbl(logx);
1283 16933 : e2 = (ulong)(dlogx / LOG103); /* >= log_103(x) */
1284 : }
1285 153965 : while (p && p <= e2)
1286 : { /* is x a p-th power ? By computing y = round(x^(1/p)).
1287 : * Check whether y^p = x, first mod Q, then exactly. */
1288 120071 : pari_sp av = avma;
1289 : long e;
1290 120071 : GEN logy = divru(logx, p), y = grndtoi(mpexp(logy), &e);
1291 120071 : ulong ymodQ = umodiu(y,Q);
1292 120071 : if (e >= -10 || Fl_powu(ymodQ, p % (Q-1), Q) != xmodQ
1293 21 : || !equalii(powiu(y, p), x)) set_avma(av);
1294 : else
1295 : {
1296 21 : k *= p; x = y; xmodQ = ymodQ; logx = logy; dlogx /= p;
1297 21 : e2 = (ulong)(dlogx / LOG103); /* >= log_103(x) */
1298 21 : u_forprime_restrict(&T, e2);
1299 21 : continue; /* if success, retry same p */
1300 : }
1301 120050 : p = u_forprime_next(&T);
1302 : }
1303 : }
1304 864633 : *px = x; return k;
1305 : }
1306 :
1307 : static ulong tinyprimes[] = {
1308 : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71,
1309 : 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151,
1310 : 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199
1311 : };
1312 :
1313 : /* disregard the sign of x, caller will take care of x < 0 */
1314 : static long
1315 7000841 : Z_isanypower_aux(GEN x, GEN *pty)
1316 : {
1317 : long ex, v, i, l, k;
1318 : GEN y, P, E;
1319 7000841 : ulong mask, e = 0;
1320 :
1321 7000841 : if (abscmpii(x, gen_2) < 0) return 0; /* -1,0,1 */
1322 :
1323 7000827 : if (signe(x) < 0) x = negi(x);
1324 7000827 : k = l = 1;
1325 7000827 : P = cgetg(26 + 1, t_VECSMALL);
1326 7000827 : E = cgetg(26 + 1, t_VECSMALL);
1327 : /* trial division */
1328 122942258 : for(i = 0; i < 26; i++)
1329 : {
1330 60136627 : ulong p = tinyprimes[i];
1331 : int stop;
1332 60136627 : v = Z_lvalrem_stop(&x, p, &stop);
1333 60136627 : if (v)
1334 : {
1335 7922348 : P[l] = p;
1336 7922348 : E[l] = v; l++;
1337 13588673 : e = ugcd(e, v); if (e == 1) goto END;
1338 : }
1339 54718340 : if (stop) {
1340 248038 : if (is_pm1(x)) k = e;
1341 248038 : goto END;
1342 : }
1343 : }
1344 :
1345 1334502 : if (e)
1346 : { /* Bingo. Result divides e */
1347 : long v3, v5, v7;
1348 505701 : ulong e2 = e;
1349 505701 : v = u_lvalrem(e2, 2, &e2);
1350 505701 : if (v)
1351 : {
1352 375249 : for (i = 0; i < v; i++)
1353 : {
1354 374171 : if (!Z_issquareall(x, &y)) break;
1355 1288 : k <<= 1; x = y;
1356 : }
1357 : }
1358 505701 : mask = 0;
1359 505701 : v3 = u_lvalrem(e2, 3, &e2); if (v3) mask = 1;
1360 505701 : v5 = u_lvalrem(e2, 5, &e2); if (v5) mask |= 2;
1361 505701 : v7 = u_lvalrem(e2, 7, &e2); if (v7) mask |= 4;
1362 1011479 : while ( (ex = is_357_power(x, &y, &mask)) ) {
1363 77 : x = y;
1364 77 : switch(ex)
1365 : {
1366 28 : case 3: k *= 3; if (--v3 == 0) mask &= ~1; break;
1367 28 : case 5: k *= 5; if (--v5 == 0) mask &= ~2; break;
1368 21 : case 7: k *= 7; if (--v7 == 0) mask &= ~4; break;
1369 : }
1370 : }
1371 505701 : k *= split_exponent(e2, &x);
1372 : }
1373 : else
1374 828801 : k = Z_isanypower_nosmalldiv(&x);
1375 : END:
1376 7000827 : if (pty && k != 1)
1377 : {
1378 8029 : if (e)
1379 : { /* add missing small factors */
1380 6867 : y = powuu(P[1], E[1] / k);
1381 6867 : for (i = 2; i < l; i++) y = mulii(y, powuu(P[i], E[i] / k));
1382 6867 : x = equali1(x)? y: mulii(x,y);
1383 : }
1384 8029 : *pty = x;
1385 : }
1386 7000827 : return k == 1? 0: k;
1387 : }
1388 :
1389 : long
1390 7000841 : Z_isanypower(GEN x, GEN *pty)
1391 : {
1392 7000841 : pari_sp av = avma;
1393 7000841 : long k = Z_isanypower_aux(x, pty);
1394 7000841 : if (!k) return gc_long(av,0);
1395 8092 : if (signe(x) < 0)
1396 : {
1397 42 : long v = vals(k);
1398 42 : if (v)
1399 : {
1400 : GEN y;
1401 28 : k >>= v;
1402 28 : if (k == 1) return gc_long(av,0);
1403 21 : if (!pty) return gc_long(av,k);
1404 14 : y = *pty;
1405 14 : y = powiu(y, 1<<v);
1406 14 : togglesign(y);
1407 14 : *pty = gerepileuptoint(av, y);
1408 14 : return k;
1409 : }
1410 14 : if (pty) togglesign_safe(pty);
1411 : }
1412 8064 : if (pty) *pty = gerepilecopy(av, *pty); else set_avma(av);
1413 8064 : return k;
1414 : }
1415 :
1416 : /* Faster than */
1417 : /* !cmpii(n, int2n(vali(n))) */
1418 : /* !cmpis(shifti(n, -vali(n)), 1) */
1419 : /* expi(n) == vali(n) */
1420 : /* hamming(n) == 1 */
1421 : /* even for single-word values, and much faster for multiword values. */
1422 : /* If all you have is a word, you can just use n & !(n & (n-1)). */
1423 : long
1424 80640 : Z_ispow2(GEN n)
1425 : {
1426 : GEN xp;
1427 : long i, lx;
1428 : ulong u;
1429 80640 : if (signe(n) != 1) return 0;
1430 80633 : xp = int_LSW(n);
1431 80633 : lx = lgefint(n);
1432 80633 : u = *xp;
1433 80917 : for (i = 3; i < lx; ++i)
1434 : {
1435 78098 : if (u) return 0;
1436 284 : xp = int_nextW(xp);
1437 284 : u = *xp;
1438 : }
1439 2819 : return !(u & (u-1));
1440 : }
1441 :
1442 : static long
1443 841800 : isprimepower_i(GEN n, GEN *pt, long flag)
1444 : {
1445 841800 : pari_sp av = avma;
1446 : long i, v;
1447 :
1448 841800 : if (typ(n) != t_INT) pari_err_TYPE("isprimepower", n);
1449 841800 : if (signe(n) <= 0) return 0;
1450 :
1451 841800 : if (lgefint(n) == 3)
1452 : {
1453 : ulong p;
1454 541121 : v = uisprimepower(n[2], &p);
1455 541121 : if (v)
1456 : {
1457 54909 : if (pt) *pt = utoipos(p);
1458 54909 : return v;
1459 : }
1460 486212 : return 0;
1461 : }
1462 1662352 : for (i = 0; i < 26; i++)
1463 : {
1464 1626506 : ulong p = tinyprimes[i];
1465 1626506 : v = Z_lvalrem(n, p, &n);
1466 1626506 : if (v)
1467 : {
1468 264833 : set_avma(av);
1469 264833 : if (!is_pm1(n)) return 0;
1470 437 : if (pt) *pt = utoipos(p);
1471 437 : return v;
1472 : }
1473 : }
1474 : /* p | n => p >= 103 */
1475 35846 : v = Z_isanypower_nosmalldiv(&n); /* expensive */
1476 35846 : if (!(flag? isprime(n): BPSW_psp(n))) return gc_long(av,0);
1477 5534 : if (pt) *pt = gerepilecopy(av, n); else set_avma(av);
1478 5534 : return v;
1479 : }
1480 : long
1481 840098 : isprimepower(GEN n, GEN *pt) { return isprimepower_i(n,pt,1); }
1482 : long
1483 1702 : ispseudoprimepower(GEN n, GEN *pt) { return isprimepower_i(n,pt,0); }
1484 :
1485 : long
1486 542220 : uisprimepower(ulong n, ulong *pp)
1487 : { /* We must have CUTOFF^11 >= ULONG_MAX and CUTOFF^3 < ULONG_MAX.
1488 : * Tests suggest that 200-300 is the best range for 64-bit platforms. */
1489 542220 : const ulong CUTOFF = 200UL;
1490 542220 : const long TINYCUTOFF = 46; /* tinyprimes[45] = 199 */
1491 542220 : const ulong CUTOFF3 = CUTOFF*CUTOFF*CUTOFF;
1492 : #ifdef LONG_IS_64BIT
1493 : /* primes preceeding the appropriate root of ULONG_MAX. */
1494 481914 : const ulong ROOT9 = 137;
1495 481914 : const ulong ROOT8 = 251;
1496 481914 : const ulong ROOT7 = 563;
1497 481914 : const ulong ROOT5 = 7129;
1498 481914 : const ulong ROOT4 = 65521;
1499 : #else
1500 60306 : const ulong ROOT9 = 11;
1501 60306 : const ulong ROOT8 = 13;
1502 60306 : const ulong ROOT7 = 23;
1503 60306 : const ulong ROOT5 = 83;
1504 60306 : const ulong ROOT4 = 251;
1505 : #endif
1506 : ulong mask;
1507 : long v, i;
1508 : int e;
1509 542220 : if (n < 2) return 0;
1510 542206 : if (!odd(n)) {
1511 271187 : if (n & (n-1)) return 0;
1512 1383 : *pp = 2; return vals(n);
1513 : }
1514 271019 : if (n < 8) { *pp = n; return 1; } /* 3,5,7 */
1515 3653916 : for (i = 1/*skip p=2*/; i < TINYCUTOFF; i++)
1516 : {
1517 3594841 : ulong p = tinyprimes[i];
1518 3594841 : if (n % p == 0)
1519 : {
1520 211538 : v = u_lvalrem(n, p, &n);
1521 211538 : if (n == 1) { *pp = p; return v; }
1522 209438 : return 0;
1523 : }
1524 : }
1525 : /* p | n => p >= CUTOFF */
1526 :
1527 59075 : if (n < CUTOFF3)
1528 : {
1529 46354 : if (n < CUTOFF*CUTOFF || uisprime_101(n)) { *pp = n; return 1; }
1530 0 : if (uissquareall(n, &n)) { *pp = n; return 2; }
1531 0 : return 0;
1532 : }
1533 :
1534 : /* Check for squares, fourth powers, and eighth powers as appropriate. */
1535 12721 : v = 1;
1536 12721 : if (uissquareall(n, &n)) {
1537 0 : v <<= 1;
1538 0 : if (CUTOFF <= ROOT4 && uissquareall(n, &n)) {
1539 0 : v <<= 1;
1540 0 : if (CUTOFF <= ROOT8 && uissquareall(n, &n)) v <<= 1;
1541 : }
1542 : }
1543 :
1544 12721 : if (CUTOFF > ROOT5) mask = 1;
1545 : else
1546 : {
1547 12720 : const ulong CUTOFF5 = CUTOFF3*CUTOFF*CUTOFF;
1548 12720 : if (n < CUTOFF5) mask = 1; else mask = 3;
1549 12720 : if (CUTOFF <= ROOT7)
1550 : {
1551 12720 : const ulong CUTOFF7 = CUTOFF5*CUTOFF*CUTOFF;
1552 12720 : if (n >= CUTOFF7) mask = 7;
1553 : }
1554 : }
1555 :
1556 12721 : if (CUTOFF <= ROOT9 && (e = uis_357_power(n, &n, &mask))) { v *= e; mask=1; }
1557 12721 : if ((e = uis_357_power(n, &n, &mask))) v *= e;
1558 :
1559 12721 : if (uisprime_101(n)) { *pp = n; return v; }
1560 6984 : return 0;
1561 : }
1562 :
1563 : /*********************************************************************/
1564 : /** **/
1565 : /** KRONECKER SYMBOL **/
1566 : /** **/
1567 : /*********************************************************************/
1568 : /* t = 3,5 mod 8 ? (= 2 not a square mod t) */
1569 : static int
1570 634139638 : ome(long t)
1571 : {
1572 634139638 : switch(t & 7)
1573 : {
1574 : case 3:
1575 360650571 : case 5: return 1;
1576 273489067 : default: return 0;
1577 : }
1578 : }
1579 : /* t a t_INT, is t = 3,5 mod 8 ? */
1580 : static int
1581 5371109 : gome(GEN t)
1582 5371109 : { return signe(t)? ome( mod2BIL(t) ): 0; }
1583 :
1584 : /* assume y odd, return kronecker(x,y) * s */
1585 : static long
1586 480758104 : krouu_s(ulong x, ulong y, long s)
1587 : {
1588 480758104 : ulong x1 = x, y1 = y, z;
1589 2606450005 : while (x1)
1590 : {
1591 1644968494 : long r = vals(x1);
1592 1645016626 : if (r)
1593 : {
1594 885745690 : if (odd(r) && ome(y1)) s = -s;
1595 885662861 : x1 >>= r;
1596 : }
1597 1644933797 : if (x1 & y1 & 2) s = -s;
1598 1644933797 : z = y1 % x1; y1 = x1; x1 = z;
1599 : }
1600 480723407 : return (y1 == 1)? s: 0;
1601 : }
1602 :
1603 : long
1604 6103821 : kronecker(GEN x, GEN y)
1605 : {
1606 6103821 : pari_sp av = avma;
1607 6103821 : long s = 1, r;
1608 : ulong xu;
1609 :
1610 6103821 : if (typ(x) != t_INT) pari_err_TYPE("kronecker",x);
1611 6103821 : if (typ(y) != t_INT) pari_err_TYPE("kronecker",y);
1612 6103821 : switch (signe(y))
1613 : {
1614 0 : case -1: y = negi(y); if (signe(x) < 0) s = -1; break;
1615 0 : case 0: return is_pm1(x);
1616 : }
1617 6103821 : r = vali(y);
1618 6103821 : if (r)
1619 : {
1620 12216 : if (!mpodd(x)) return gc_long(av,0);
1621 10494 : if (odd(r) && gome(x)) s = -s;
1622 10494 : y = shifti(y,-r);
1623 : }
1624 6102099 : x = modii(x,y);
1625 13108493 : while (lgefint(x) > 3) /* x < y */
1626 : {
1627 : GEN z;
1628 904295 : r = vali(x);
1629 904295 : if (r)
1630 : {
1631 493412 : if (odd(r) && gome(y)) s = -s;
1632 493412 : x = shifti(x,-r);
1633 : }
1634 : /* x=3 mod 4 && y=3 mod 4 ? (both are odd here) */
1635 904295 : if (mod2BIL(x) & mod2BIL(y) & 2) s = -s;
1636 904295 : z = remii(y,x); y = x; x = z;
1637 904295 : if (gc_needed(av,2))
1638 : {
1639 0 : if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"kronecker");
1640 0 : gerepileall(av, 2, &x, &y);
1641 : }
1642 : }
1643 6102099 : xu = itou(x);
1644 6102099 : if (!xu) return is_pm1(y)? s: 0;
1645 6080918 : r = vals(xu);
1646 6080918 : if (r)
1647 : {
1648 4131454 : if (odd(r) && gome(y)) s = -s;
1649 4131454 : xu >>= r;
1650 : }
1651 : /* x=3 mod 4 && y=3 mod 4 ? (both are odd here) */
1652 6080918 : if (xu & mod2BIL(y) & 2) s = -s;
1653 6080918 : return gc_long(av, krouu_s(umodiu(y,xu), xu, s));
1654 : }
1655 :
1656 : long
1657 30842 : krois(GEN x, long y)
1658 : {
1659 : ulong yu;
1660 30842 : long s = 1;
1661 :
1662 30842 : if (y <= 0)
1663 : {
1664 7 : if (y == 0) return is_pm1(x);
1665 0 : yu = (ulong)-y; if (signe(x) < 0) s = -1;
1666 : }
1667 : else
1668 30835 : yu = (ulong)y;
1669 30835 : if (!odd(yu))
1670 : {
1671 : long r;
1672 14056 : if (!mpodd(x)) return 0;
1673 10472 : r = vals(yu); yu >>= r;
1674 10472 : if (odd(r) && gome(x)) s = -s;
1675 : }
1676 27251 : return krouu_s(umodiu(x, yu), yu, s);
1677 : }
1678 : /* assume y != 0 */
1679 : long
1680 342596563 : kroiu(GEN x, ulong y)
1681 : {
1682 : long r;
1683 342596563 : if (odd(y)) return krouu_s(umodiu(x,y), y, 1);
1684 2132032 : if (!mpodd(x)) return 0;
1685 2109898 : r = vals(y); y >>= r;
1686 2109898 : return krouu_s(umodiu(x,y), y, (odd(r) && gome(x))? -1: 1);
1687 : }
1688 :
1689 : /* assume y > 0, odd, return s * kronecker(x,y) */
1690 : static long
1691 120506 : krouodd(ulong x, GEN y, long s)
1692 : {
1693 : long r;
1694 120506 : if (lgefint(y) == 3) return krouu_s(x, y[2], s);
1695 41840 : if (!x) return 0; /* y != 1 */
1696 41840 : r = vals(x);
1697 41840 : if (r)
1698 : {
1699 7337 : if (odd(r) && gome(y)) s = -s;
1700 7337 : x >>= r;
1701 : }
1702 : /* x=3 mod 4 && y=3 mod 4 ? (both are odd here) */
1703 41840 : if (x & mod2BIL(y) & 2) s = -s;
1704 41840 : return krouu_s(umodiu(y,x), x, s);
1705 : }
1706 :
1707 : long
1708 119997 : krosi(long x, GEN y)
1709 : {
1710 119997 : const pari_sp av = avma;
1711 119997 : long s = 1, r;
1712 119997 : switch (signe(y))
1713 : {
1714 0 : case -1: y = negi(y); if (x < 0) s = -1; break;
1715 0 : case 0: return (x==1 || x==-1);
1716 : }
1717 119997 : r = vali(y);
1718 119997 : if (r)
1719 : {
1720 8421 : if (!odd(x)) return gc_long(av,0);
1721 8421 : if (odd(r) && ome(x)) s = -s;
1722 8421 : y = shifti(y,-r);
1723 : }
1724 119997 : if (x < 0) { x = -x; if (mod4(y) == 3) s = -s; }
1725 119997 : return gc_long(av, krouodd((ulong)x, y, s));
1726 : }
1727 :
1728 : long
1729 509 : kroui(ulong x, GEN y)
1730 : {
1731 509 : const pari_sp av = avma;
1732 509 : long s = 1, r;
1733 509 : switch (signe(y))
1734 : {
1735 0 : case -1: y = negi(y); break;
1736 0 : case 0: return x==1UL;
1737 : }
1738 509 : r = vali(y);
1739 509 : if (r)
1740 : {
1741 0 : if (!odd(x)) return gc_long(av,0);
1742 0 : if (odd(r) && ome(x)) s = -s;
1743 0 : y = shifti(y,-r);
1744 : }
1745 509 : return gc_long(av, krouodd(x, y, s));
1746 : }
1747 :
1748 : long
1749 73638253 : kross(long x, long y)
1750 : {
1751 : ulong yu;
1752 73638253 : long s = 1;
1753 :
1754 73638253 : if (y <= 0)
1755 : {
1756 441 : if (y == 0) return (labs(x)==1);
1757 413 : yu = (ulong)-y; if (x < 0) s = -1;
1758 : }
1759 : else
1760 73637812 : yu = (ulong)y;
1761 73638225 : if (!odd(yu))
1762 : {
1763 : long r;
1764 17167277 : if (!odd(x)) return 0;
1765 12339335 : r = vals(yu); yu >>= r;
1766 12339335 : if (odd(r) && ome(x)) s = -s;
1767 : }
1768 68810283 : x %= (long)yu; if (x < 0) x += yu;
1769 68810283 : return krouu_s((ulong)x, yu, s);
1770 : }
1771 :
1772 : long
1773 63055662 : krouu(ulong x, ulong y)
1774 : {
1775 : long r;
1776 63055662 : if (odd(y)) return krouu_s(x, y, 1);
1777 1674 : if (!odd(x)) return 0;
1778 1674 : r = vals(y); y >>= r;
1779 1674 : return krouu_s(x, y, (odd(r) && ome(x))? -1: 1);
1780 : }
1781 :
1782 : /*********************************************************************/
1783 : /** **/
1784 : /** HILBERT SYMBOL **/
1785 : /** **/
1786 : /*********************************************************************/
1787 : /* x,y are t_INT or t_REAL */
1788 : static long
1789 9982 : mphilbertoo(GEN x, GEN y)
1790 : {
1791 9982 : long sx = signe(x), sy = signe(y);
1792 9982 : if (!sx || !sy) return 0;
1793 9982 : return (sx < 0 && sy < 0)? -1: 1;
1794 : }
1795 :
1796 : long
1797 53144 : hilbertii(GEN x, GEN y, GEN p)
1798 : {
1799 : pari_sp av;
1800 : long oddvx, oddvy, z;
1801 :
1802 53144 : if (!p) return mphilbertoo(x,y);
1803 43183 : if (is_pm1(p) || signe(p) < 0) pari_err_PRIME("hilbertii",p);
1804 43183 : if (!signe(x) || !signe(y)) return 0;
1805 43162 : av = avma;
1806 43162 : oddvx = odd(Z_pvalrem(x,p,&x));
1807 43162 : oddvy = odd(Z_pvalrem(y,p,&y));
1808 : /* x, y are p-units, compute hilbert(x * p^oddvx, y * p^oddvy, p) */
1809 43162 : if (absequaliu(p, 2))
1810 : {
1811 10689 : z = (Mod4(x) == 3 && Mod4(y) == 3)? -1: 1;
1812 10689 : if (oddvx && gome(y)) z = -z;
1813 10689 : if (oddvy && gome(x)) z = -z;
1814 : }
1815 : else
1816 : {
1817 32473 : z = (oddvx && oddvy && mod4(p) == 3)? -1: 1;
1818 32473 : if (oddvx && kronecker(y,p) < 0) z = -z;
1819 32473 : if (oddvy && kronecker(x,p) < 0) z = -z;
1820 : }
1821 43162 : return gc_long(av, z);
1822 : }
1823 :
1824 : static void
1825 196 : err_prec(void) { pari_err_PREC("hilbert"); }
1826 : static void
1827 161 : err_p(GEN p, GEN q) { pari_err_MODULUS("hilbert", p,q); }
1828 : static void
1829 56 : err_oo(GEN p) { pari_err_MODULUS("hilbert", p, strtoGENstr("oo")); }
1830 :
1831 : /* x t_INTMOD, *pp = prime or NULL [ unset, set it to x.mod ].
1832 : * Return lift(x) provided it's p-adic accuracy is large enough to decide
1833 : * hilbert()'s value [ problem at p = 2 ] */
1834 : static GEN
1835 420 : lift_intmod(GEN x, GEN *pp)
1836 : {
1837 420 : GEN p = *pp, N = gel(x,1);
1838 420 : x = gel(x,2);
1839 420 : if (!p)
1840 : {
1841 266 : *pp = p = N;
1842 266 : switch(itos_or_0(p))
1843 : {
1844 : case 2:
1845 126 : case 4: err_prec();
1846 : }
1847 140 : return x;
1848 : }
1849 154 : if (!signe(p)) err_oo(N);
1850 112 : if (absequaliu(p,2))
1851 42 : { if (vali(N) <= 2) err_prec(); }
1852 : else
1853 70 : { if (!dvdii(N,p)) err_p(N,p); }
1854 28 : if (!signe(x)) err_prec();
1855 21 : return x;
1856 : }
1857 : /* x t_PADIC, *pp = prime or NULL [ unset, set it to x.p ].
1858 : * Return lift(x)*p^(v(x) mod 2) provided it's p-adic accuracy is large enough
1859 : * to decide hilbert()'s value [ problem at p = 2 ]*/
1860 : static GEN
1861 210 : lift_padic(GEN x, GEN *pp)
1862 : {
1863 210 : GEN p = *pp, q = gel(x,2), y = gel(x,4);
1864 210 : if (!p) *pp = p = q;
1865 147 : else if (!equalii(p,q)) err_p(p, q);
1866 105 : if (absequaliu(p,2) && precp(x) <= 2) err_prec();
1867 70 : if (!signe(y)) err_prec();
1868 70 : return odd(valp(x))? mulii(p,y): y;
1869 : }
1870 :
1871 : long
1872 658 : hilbert(GEN x, GEN y, GEN p)
1873 : {
1874 658 : pari_sp av = avma;
1875 658 : long tx = typ(x), ty = typ(y);
1876 :
1877 658 : if (p && typ(p) != t_INT) pari_err_TYPE("hilbert",p);
1878 658 : if (tx == t_REAL)
1879 : {
1880 77 : if (p && signe(p)) err_oo(p);
1881 63 : switch (ty)
1882 : {
1883 : case t_INT:
1884 7 : case t_REAL: return mphilbertoo(x,y);
1885 0 : case t_FRAC: return mphilbertoo(x,gel(y,1));
1886 56 : default: pari_err_TYPE2("hilbert",x,y);
1887 : }
1888 : }
1889 581 : if (ty == t_REAL)
1890 : {
1891 14 : if (p && signe(p)) err_oo(p);
1892 14 : switch (tx)
1893 : {
1894 : case t_INT:
1895 14 : case t_REAL: return mphilbertoo(x,y);
1896 0 : case t_FRAC: return mphilbertoo(gel(x,1),y);
1897 0 : default: pari_err_TYPE2("hilbert",x,y);
1898 : }
1899 : }
1900 567 : if (tx == t_INTMOD) { x = lift_intmod(x, &p); tx = t_INT; }
1901 364 : if (ty == t_INTMOD) { y = lift_intmod(y, &p); ty = t_INT; }
1902 :
1903 308 : if (tx == t_PADIC) { x = lift_padic(x, &p); tx = t_INT; }
1904 245 : if (ty == t_PADIC) { y = lift_padic(y, &p); ty = t_INT; }
1905 :
1906 168 : if (tx == t_FRAC) { tx = t_INT; x = p? mulii(gel(x,1),gel(x,2)): gel(x,1); }
1907 168 : if (ty == t_FRAC) { ty = t_INT; y = p? mulii(gel(y,1),gel(y,2)): gel(y,1); }
1908 :
1909 168 : if (tx != t_INT || ty != t_INT) pari_err_TYPE2("hilbert",x,y);
1910 168 : if (p && !signe(p)) p = NULL;
1911 168 : return gc_long(av, hilbertii(x,y,p));
1912 : }
1913 :
1914 : /*******************************************************************/
1915 : /* */
1916 : /* SQUARE ROOT MODULO p */
1917 : /* */
1918 : /*******************************************************************/
1919 : static void
1920 4267163 : checkp(ulong q, ulong p)
1921 4267163 : { if (!q) pari_err_PRIME("Fl_nonsquare",utoipos(p)); }
1922 : /* p = 1 (mod 4) prime, return the first quadratic non-residue, a prime */
1923 : static ulong
1924 26768372 : nonsquare1_Fl(ulong p)
1925 : {
1926 : forprime_t S;
1927 : ulong q;
1928 26768372 : if ((p & 7UL) != 1) return 2UL;
1929 10951424 : q = p % 3; if (q == 2) return 3UL;
1930 3412517 : checkp(q, p);
1931 3412510 : q = p % 5; if (q == 2 || q == 3) return 5UL;
1932 518825 : checkp(q, p);
1933 518825 : q = p % 7; if (q != 4 && q >= 3) return 7UL;
1934 209946 : checkp(q, p);
1935 209946 : u_forprime_init(&S, 11, p);
1936 545767 : while ((q = u_forprime_next(&S)))
1937 : {
1938 335821 : long i = krouu(q, p);
1939 335821 : if (i < 0) return q;
1940 125875 : checkp(q, p);
1941 : }
1942 0 : checkp(0, p);
1943 : return 0; /*LCOV_EXCL_LINE*/
1944 : }
1945 : /* p > 2 a prime */
1946 : ulong
1947 7714 : nonsquare_Fl(ulong p)
1948 7714 : { return ((p & 3UL) == 3)? p-1: nonsquare1_Fl(p); }
1949 :
1950 : ulong
1951 150648 : Fl_2gener_pre(ulong p, ulong pi)
1952 : {
1953 150648 : ulong p1 = p-1;
1954 150648 : long e = vals(p1);
1955 150650 : if (e == 1) return p1;
1956 56689 : return Fl_powu_pre(nonsquare1_Fl(p), p1 >> e, p, pi);
1957 : }
1958 :
1959 : /* Tonelli-Shanks. Assume p is prime and (a,p) != -1. */
1960 : ulong
1961 64213721 : Fl_sqrt_pre_i(ulong a, ulong y, ulong p, ulong pi)
1962 : {
1963 : long i, e, k;
1964 : ulong p1, q, v, w;
1965 :
1966 64213721 : if (!a) return 0;
1967 62884140 : p1 = p - 1; e = vals(p1);
1968 62886920 : if (e == 0) /* p = 2 */
1969 : {
1970 418894 : if (p != 2) pari_err_PRIME("Fl_sqrt [modulus]",utoi(p));
1971 418887 : return ((a & 1) == 0)? 0: 1;
1972 : }
1973 62468026 : if (e == 1)
1974 : {
1975 35754737 : v = Fl_powu_pre(a, (p+1) >> 2, p, pi);
1976 35744177 : if (Fl_sqr_pre(v, p, pi) != a) return ~0UL;
1977 35712370 : p1 = p - v; if (v > p1) v = p1;
1978 35712370 : return v;
1979 : }
1980 26713289 : q = p1 >> e; /* q = (p-1)/2^oo is odd */
1981 26713289 : p1 = Fl_powu_pre(a, q >> 1, p, pi); /* a ^ [(q-1)/2] */
1982 26713289 : if (!p1) return 0;
1983 26713289 : v = Fl_mul_pre(a, p1, p, pi);
1984 26713289 : w = Fl_mul_pre(v, p1, p, pi);
1985 26713289 : if (!y) y = Fl_powu_pre(nonsquare1_Fl(p), q, p, pi);
1986 75728623 : while (w != 1)
1987 : { /* a*w = v^2, y primitive 2^e-th root of 1
1988 : a square --> w even power of y, hence w^(2^(e-1)) = 1 */
1989 22330313 : p1 = Fl_sqr_pre(w,p,pi);
1990 22330313 : for (k=1; p1 != 1 && k < e; k++) p1 = Fl_sqr_pre(p1,p,pi);
1991 22330313 : if (k == e) return ~0UL;
1992 : /* w ^ (2^k) = 1 --> w = y ^ (u * 2^(e-k)), u odd */
1993 22302059 : p1 = y;
1994 22302059 : for (i=1; i < e-k; i++) p1 = Fl_sqr_pre(p1, p, pi);
1995 22302059 : y = Fl_sqr_pre(p1, p, pi); e = k;
1996 22302059 : w = Fl_mul_pre(y, w, p, pi);
1997 22302059 : v = Fl_mul_pre(v, p1, p, pi);
1998 : }
1999 26685028 : p1 = p - v; if (v > p1) v = p1;
2000 26685028 : return v;
2001 : }
2002 :
2003 : ulong
2004 60760584 : Fl_sqrt(ulong a, ulong p)
2005 : {
2006 60760584 : ulong pi = get_Fl_red(p);
2007 60764600 : return Fl_sqrt_pre_i(a, 0, p, pi);
2008 : }
2009 :
2010 : ulong
2011 3416105 : Fl_sqrt_pre(ulong a, ulong p, ulong pi)
2012 : {
2013 3416105 : return Fl_sqrt_pre_i(a, 0, p, pi);
2014 : }
2015 :
2016 : static ulong
2017 46242 : Fl_lgener_pre_all(ulong l, long e, ulong r, ulong p, ulong pi, ulong *pt_m)
2018 : {
2019 : ulong x, y, m;
2020 46242 : ulong le1 = upowuu(l, e-1);
2021 72873 : for (x = 2; ; x++)
2022 : {
2023 99504 : y = Fl_powu_pre(x, r, p, pi);
2024 72873 : if (y==1) continue;
2025 56598 : m = Fl_powu_pre(y, le1, p, pi);
2026 56598 : if (m != 1) break;
2027 : }
2028 46242 : *pt_m = m;
2029 46242 : return y;
2030 : }
2031 :
2032 : /* solve x^l = a , l prime in G of order q.
2033 : *
2034 : * q = (l^e)*r, e >= 1, (r,l) = 1
2035 : * y generates the l-Sylow of G
2036 : * m = y^(l^(e-1)) != 1 */
2037 : static ulong
2038 110494 : Fl_sqrtl_raw(ulong a, ulong l, ulong e, ulong r, ulong p, ulong pi, ulong y, ulong m)
2039 : {
2040 : ulong p1, v, w, z, dl;
2041 : ulong u2;
2042 110494 : if (a==0) return a;
2043 110494 : u2 = Fl_inv(l%r, r);
2044 110491 : v = Fl_powu_pre(a, u2, p, pi);
2045 110494 : w = Fl_powu_pre(v, l, p, pi);
2046 110493 : w = Fl_mul_pre(w, Fl_inv(a, p), p, pi);
2047 110481 : if (w==1) return v;
2048 45309 : if (y==0) y = Fl_lgener_pre_all(l, e, r, p, pi, &m);
2049 109623 : while (w!=1)
2050 : {
2051 49554 : ulong k = 0;
2052 49554 : p1 = w;
2053 : do
2054 : {
2055 73427 : z = p1; p1 = Fl_powu_pre(p1, l, p, pi);
2056 73427 : k++;
2057 73427 : } while (p1!=1);
2058 49554 : if (k==e) return ULONG_MAX;
2059 19005 : dl = Fl_log_pre(z, m, l, p, pi);
2060 19005 : dl = Fl_neg(dl, l);
2061 19005 : p1 = Fl_powu_pre(y,dl*upowuu(l,e-k-1),p,pi);
2062 19005 : m = Fl_powu_pre(m, dl, p, pi);
2063 19005 : e = k;
2064 19005 : v = Fl_mul_pre(p1,v,p,pi);
2065 19005 : y = Fl_powu_pre(p1,l,p,pi);
2066 19005 : w = Fl_mul_pre(y,w,p,pi);
2067 : }
2068 14760 : return v;
2069 : }
2070 :
2071 : static ulong
2072 109786 : Fl_sqrtl_i(ulong a, ulong l, ulong p, ulong pi, ulong y, ulong m)
2073 : {
2074 109786 : ulong r, e = u_lvalrem(p-1, l, &r);
2075 109787 : return Fl_sqrtl_raw(a, l, e, r, p, pi, y, m);
2076 : }
2077 :
2078 : ulong
2079 109786 : Fl_sqrtl_pre(ulong a, ulong l, ulong p, ulong pi)
2080 : {
2081 109786 : return Fl_sqrtl_i(a, l, p, pi, 0, 0);
2082 : }
2083 :
2084 : ulong
2085 0 : Fl_sqrtl(ulong a, ulong l, ulong p)
2086 : {
2087 0 : ulong pi = get_Fl_red(p);
2088 0 : return Fl_sqrtl_i(a, l, p, pi, 0, 0);
2089 : }
2090 :
2091 : ulong
2092 64969 : Fl_sqrtn_pre(ulong a, long n, ulong p, ulong pi, ulong *zetan)
2093 : {
2094 64969 : ulong m, q = p-1, z;
2095 64969 : ulong nn = n >= 0 ? (ulong)n: -(ulong)n;
2096 64969 : if (a==0)
2097 : {
2098 48118 : if (n < 0) pari_err_INV("Fl_sqrtn", mkintmod(gen_0,utoi(p)));
2099 48111 : if (zetan) *zetan = 1UL;
2100 48111 : return 0;
2101 : }
2102 16851 : if (n==1)
2103 : {
2104 0 : if (zetan) *zetan = 1;
2105 0 : return n < 0? Fl_inv(a,p): a;
2106 : }
2107 16851 : if (n==2)
2108 : {
2109 3444 : if (zetan) *zetan = p-1;
2110 3444 : return Fl_sqrt_pre_i(a, 0, p, pi);
2111 : }
2112 13407 : if (a == 1 && !zetan) return a;
2113 7478 : m = ugcd(nn, q);
2114 7478 : z = 1;
2115 7478 : if (m!=1)
2116 : {
2117 912 : GEN F = factoru(m);
2118 : long i, j, e;
2119 : ulong r, zeta, y, l;
2120 1915 : for (i = nbrows(F); i; i--)
2121 : {
2122 1017 : l = ucoeff(F,i,1);
2123 1017 : j = ucoeff(F,i,2);
2124 1017 : e = u_lvalrem(q,l, &r);
2125 1017 : y = Fl_lgener_pre_all(l, e, r, p, pi, &zeta);
2126 1017 : if (zetan)
2127 464 : z = Fl_mul_pre(z, Fl_powu_pre(y, upowuu(l,e-j), p, pi), p, pi);
2128 1017 : if (a!=1)
2129 : do
2130 : {
2131 707 : a = Fl_sqrtl_raw(a, l, e, r, p, pi, y, zeta);
2132 693 : if (!a) return ULONG_MAX;
2133 693 : } while (--j);
2134 : }
2135 : }
2136 7464 : if (m != nn)
2137 : {
2138 6594 : ulong qm = q/m, nm = nn/m;
2139 6594 : a = Fl_powu_pre(a, Fl_inv(nm%qm, qm), p, pi);
2140 : }
2141 7464 : if (n < 0) a = Fl_inv(a, p);
2142 7464 : if (zetan) *zetan = z;
2143 7464 : return a;
2144 : }
2145 :
2146 : ulong
2147 64969 : Fl_sqrtn(ulong a, long n, ulong p, ulong *zetan)
2148 : {
2149 64969 : ulong pi = get_Fl_red(p);
2150 64969 : return Fl_sqrtn_pre(a, n, p, pi, zetan);
2151 : }
2152 :
2153 : /* Cipolla is better than Tonelli-Shanks when e = v_2(p-1) is "too big".
2154 : * Otherwise, is a constant times worse; for p = 3 (mod 4), is about 3 times worse,
2155 : * and in average is about 2 or 2.5 times worse. But try both algorithms for
2156 : * S(n) = (2^n+3)^2-8 with n = 750, 771, 779, 790, 874, 1176, 1728, 2604, etc.
2157 : *
2158 : * If X^2 := t^2 - a is not a square in F_p (so X is in F_p^2), then
2159 : * (t+X)^(p+1) = (t-X)(t+X) = a, hence sqrt(a) = (t+X)^((p+1)/2) in F_p^2.
2160 : * If (a|p)=1, then sqrt(a) is in F_p.
2161 : * cf: LNCS 2286, pp 430-434 (2002) [Gonzalo Tornaria] */
2162 :
2163 : /* compute y^2, y = y[1] + y[2] X */
2164 : static GEN
2165 449 : sqrt_Cipolla_sqr(void *data, GEN y)
2166 : {
2167 449 : GEN u = gel(y,1), v = gel(y,2), p = gel(data,2), n = gel(data,3);
2168 449 : GEN u2 = sqri(u), v2 = sqri(v);
2169 449 : v = subii(sqri(addii(v,u)), addii(u2,v2));
2170 449 : u = addii(u2, mulii(v2,n));
2171 : /* NOT mkvec2: must be gerepileupto-able */
2172 449 : retmkvec2(modii(u,p), modii(v,p));
2173 : }
2174 : /* compute (t+X) y^2 */
2175 : static GEN
2176 23 : sqrt_Cipolla_msqr(void *data, GEN y)
2177 : {
2178 23 : GEN u = gel(y,1), v = gel(y,2), a = gel(data,1), p = gel(data,2), gt = gel(data,4);
2179 23 : ulong t = gt[2];
2180 23 : GEN d = addii(u, mului(t,v)), d2= sqri(d);
2181 23 : GEN b = remii(mulii(a,v), p);
2182 23 : u = subii(mului(t,d2), mulii(b,addii(u,d)));
2183 23 : v = subii(d2, mulii(b,v));
2184 : /* NOT mkvec2: must be gerepileupto-able */
2185 23 : retmkvec2(modii(u,p), modii(v,p));
2186 : }
2187 : /* assume a reduced mod p [ otherwise correct but inefficient ] */
2188 : static GEN
2189 8 : sqrt_Cipolla(GEN a, GEN p)
2190 : {
2191 : pari_sp av1;
2192 : GEN u, v, n, y, pov2;
2193 : ulong t;
2194 :
2195 8 : if (kronecker(a, p) < 0) return NULL;
2196 8 : pov2 = shifti(p,-1);
2197 8 : if (cmpii(a,pov2) > 0) a = subii(a,p); /* center: avoid multiplying by huge base*/
2198 :
2199 8 : av1 = avma;
2200 41 : for(t=1; ; t++)
2201 : {
2202 74 : n = subsi((long)(t*t), a);
2203 41 : if (kronecker(n, p) < 0) break;
2204 33 : set_avma(av1);
2205 : }
2206 :
2207 : /* compute (t+X)^((p-1)/2) =: u+vX */
2208 8 : u = utoipos(t);
2209 8 : y = gen_pow_fold(mkvec2(u, gen_1), pov2, mkvec4(a,p,n,u),
2210 : sqrt_Cipolla_sqr, sqrt_Cipolla_msqr);
2211 : /* Now u+vX = (t+X)^((p-1)/2); thus
2212 : * (u+vX)(t+X) = sqrt(a) + 0 X
2213 : * Whence,
2214 : * sqrt(a) = (u+vt)t - v*a
2215 : * 0 = (u+vt)
2216 : * Thus a square root is v*a */
2217 :
2218 8 : v = Fp_mul(gel(y, 2), a, p);
2219 8 : if (cmpii(v,pov2) > 0) v = subii(p,v);
2220 8 : return v;
2221 : }
2222 :
2223 : /* Return NULL if p is found to be composite */
2224 : static GEN
2225 2800 : Fp_2gener_all(long e, GEN p)
2226 : {
2227 : GEN y, m;
2228 : long k;
2229 2800 : GEN q = shifti(subiu(p,1), -e); /* q = (p-1)/2^oo is odd */
2230 2800 : if (e==0 && !equaliu(p,2)) return NULL;
2231 9265 : for (k=2; ; k++)
2232 6465 : {
2233 9265 : long i = krosi(k, p);
2234 9265 : if (i >= 0)
2235 : {
2236 6465 : if (i) continue;
2237 0 : return NULL;
2238 : }
2239 2800 : y = m = Fp_pow(utoi(k), q, p);
2240 9402 : for (i=1; i<e; i++)
2241 6602 : if (equali1(m = Fp_sqr(m, p))) break;
2242 2800 : if (i == e) break; /* success */
2243 : }
2244 2800 : return y;
2245 : }
2246 :
2247 : /* Return NULL if p is found to be composite */
2248 : GEN
2249 980 : Fp_2gener(GEN p)
2250 980 : { return Fp_2gener_all(vali(subis(p,1)),p); }
2251 :
2252 : /* smallest square root */
2253 : static GEN
2254 27543 : choose_sqrt(GEN v, GEN p)
2255 : {
2256 27543 : pari_sp av = avma;
2257 27543 : GEN q = subii(p,v);
2258 27543 : if (cmpii(v,q) > 0) v = q; else set_avma(av);
2259 27543 : return v;
2260 : }
2261 : /* Tonelli-Shanks. Assume p is prime and return NULL if (a,p) = -1. */
2262 : GEN
2263 2361838 : Fp_sqrt_i(GEN a, GEN y, GEN p)
2264 : {
2265 2361838 : pari_sp av = avma;
2266 : long i, k, e;
2267 : GEN p1, q, v, w;
2268 :
2269 2361838 : if (typ(a) != t_INT) pari_err_TYPE("Fp_sqrt",a);
2270 2361838 : if (typ(p) != t_INT) pari_err_TYPE("Fp_sqrt",p);
2271 2361838 : if (signe(p) <= 0 || equali1(p)) pari_err_PRIME("Fp_sqrt",p);
2272 2361838 : if (lgefint(p) == 3)
2273 : {
2274 2334188 : ulong pp = uel(p,2), u = Fl_sqrt(umodiu(a, pp), pp);
2275 2334174 : if (u == ~0UL) return NULL;
2276 2334132 : return utoi(u);
2277 : }
2278 :
2279 27650 : a = modii(a, p); if (!signe(a)) { set_avma(av); return gen_0; }
2280 27559 : p1 = subiu(p,1); e = vali(p1);
2281 27559 : if (e <= 2)
2282 : { /* direct formulas more efficient */
2283 : pari_sp av2;
2284 22553 : if (e == 0) pari_err_PRIME("Fp_sqrt [modulus]",p); /* p != 2 */
2285 22553 : if (e == 1)
2286 : {
2287 13346 : q = addiu(shifti(p1,-2),1); /* (p+1) / 4 */
2288 13346 : v = Fp_pow(a, q, p);
2289 : }
2290 : else
2291 : { /* Atkin's formula */
2292 9207 : GEN i, a2 = shifti(a,1);
2293 9207 : if (cmpii(a2,p) >= 0) a2 = subii(a2,p);
2294 9207 : q = shifti(p1, -3); /* (p-5)/8 */
2295 9207 : v = Fp_pow(a2, q, p);
2296 9207 : i = Fp_mul(a2, Fp_sqr(v,p), p); /* i^2 = -1 */
2297 9207 : v = Fp_mul(a, Fp_mul(v, subiu(i,1), p), p);
2298 : }
2299 22553 : av2 = avma;
2300 : /* must check equality in case (a/p) = -1 or p not prime */
2301 22553 : e = equalii(Fp_sqr(v,p), a); set_avma(av2);
2302 22553 : return e? gerepileuptoint(av,choose_sqrt(v,p)): NULL;
2303 : }
2304 : /* On average, Cipolla is better than Tonelli/Shanks if and only if
2305 : * e(e-1) > 8*log2(n)+20, see LNCS 2286 pp 430 [GTL] */
2306 5006 : if (e*(e-1) > 20 + 8 * expi(p))
2307 : {
2308 8 : v = sqrt_Cipolla(a,p); if (!v) return gc_NULL(av);
2309 8 : return gerepileuptoint(av,v);
2310 : }
2311 4998 : if (!y)
2312 : {
2313 1820 : y = Fp_2gener_all(e, p);
2314 1820 : if (!y) pari_err_PRIME("Fp_sqrt [modulus]",p);
2315 : }
2316 4998 : q = shifti(p1,-e); /* q = (p-1)/2^oo is odd */
2317 4998 : p1 = Fp_pow(a, shifti(q,-1), p); /* a ^ (q-1)/2 */
2318 4998 : v = Fp_mul(a, p1, p);
2319 4998 : w = Fp_mul(v, p1, p);
2320 17035 : while (!equali1(w))
2321 : { /* a*w = v^2, y primitive 2^e-th root of 1
2322 : a square --> w even power of y, hence w^(2^(e-1)) = 1 */
2323 7039 : p1 = Fp_sqr(w,p);
2324 7039 : for (k=1; !equali1(p1) && k < e; k++) p1 = Fp_sqr(p1,p);
2325 7039 : if (k == e) return gc_NULL(av); /* p composite or (a/p) != 1 */
2326 : /* w ^ (2^k) = 1 --> w = y ^ (u * 2^(e-k)), u odd */
2327 7039 : p1 = y;
2328 7039 : for (i=1; i < e-k; i++) p1 = Fp_sqr(p1,p);
2329 7039 : y = Fp_sqr(p1, p); e = k;
2330 7039 : w = Fp_mul(y, w, p);
2331 7039 : v = Fp_mul(v, p1, p);
2332 7039 : if (gc_needed(av,1))
2333 : {
2334 0 : if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"Fp_sqrt");
2335 0 : gerepileall(av,3, &y,&w,&v);
2336 : }
2337 : }
2338 4998 : return gerepileuptoint(av, choose_sqrt(v,p));
2339 : }
2340 :
2341 : GEN
2342 2347411 : Fp_sqrt(GEN a, GEN p)
2343 : {
2344 2347411 : return Fp_sqrt_i(a, NULL, p);
2345 : }
2346 :
2347 : /*********************************************************************/
2348 : /** **/
2349 : /** GCD & BEZOUT **/
2350 : /** **/
2351 : /*********************************************************************/
2352 :
2353 : GEN
2354 19893041 : lcmii(GEN x, GEN y)
2355 : {
2356 : pari_sp av;
2357 : GEN a, b;
2358 19893041 : if (!signe(x) || !signe(y)) return gen_0;
2359 19893041 : av = avma;
2360 19893041 : a = gcdii(x,y); if (!equali1(a)) y = diviiexact(y,a);
2361 19893041 : b = mulii(x,y); setabssign(b); return gerepileuptoint(av, b);
2362 : }
2363 :
2364 : /* given x in assume 0 < x < N; return u in (Z/NZ)^* such that u x = gcd(x,N) (mod N);
2365 : * set *pd = gcd(x,N) */
2366 : GEN
2367 3894165 : Fp_invgen(GEN x, GEN N, GEN *pd)
2368 : {
2369 : GEN d, d0, e, v;
2370 3894165 : if (lgefint(N) == 3)
2371 : {
2372 3359078 : ulong dd, NN = N[2], xx = umodiu(x,NN);
2373 3359078 : if (!xx) { *pd = N; return gen_0; }
2374 3359078 : xx = Fl_invgen(xx, NN, &dd);
2375 3359078 : *pd = utoi(dd); return utoi(xx);
2376 : }
2377 535087 : *pd = d = bezout(x, N, &v, NULL);
2378 535087 : if (equali1(d)) return v;
2379 : /* vx = gcd(x,N) (mod N), v coprime to N/d but need not be coprime to N */
2380 442936 : e = diviiexact(N,d);
2381 442936 : d0 = Z_ppo(d, e); /* d = d0 d1, d0 coprime to N/d, rad(d1) | N/d */
2382 442936 : if (equali1(d0)) return v;
2383 311849 : if (!equalii(d,d0)) e = lcmii(e, diviiexact(d,d0));
2384 311849 : return Z_chinese_coprime(v, gen_1, e, d0, mulii(e,d0));
2385 : }
2386 :
2387 : /*********************************************************************/
2388 : /** **/
2389 : /** CHINESE REMAINDERS **/
2390 : /** **/
2391 : /*********************************************************************/
2392 :
2393 : /* Chinese Remainder Theorem. x and y must have the same type (integermod,
2394 : * polymod, or polynomial/vector/matrix recursively constructed with these
2395 : * as coefficients). Creates (with the same type) a z in the same residue
2396 : * class as x and the same residue class as y, if it is possible.
2397 : *
2398 : * We also allow (during recursion) two identical objects even if they are
2399 : * not integermod or polymod. For example:
2400 : *
2401 : * ? x = [1, Mod(5, 11), Mod(X + Mod(2, 7), X^2 + 1)];
2402 : * ? y = [1, Mod(7, 17), Mod(X + Mod(0, 3), X^2 + 1)];
2403 : * ? chinese(x, y)
2404 : * %3 = [1, Mod(16, 187), Mod(X + mod(9, 21), X^2 + 1)] */
2405 :
2406 : static GEN
2407 327171 : gen_chinese(GEN x, GEN(*f)(GEN,GEN))
2408 : {
2409 327171 : GEN z = gassoc_proto(f,x,NULL);
2410 327164 : if (z == gen_1) retmkintmod(gen_0,gen_1);
2411 327129 : return z;
2412 : }
2413 :
2414 : /* x t_INTMOD, y t_POLMOD; promote x to t_POLMOD mod Pol(x.mod) then
2415 : * call chinese: makes Mod(0,1) a better "neutral" element */
2416 : static GEN
2417 21 : chinese_intpol(GEN x,GEN y)
2418 : {
2419 21 : pari_sp av = avma;
2420 21 : GEN z = mkpolmod(gel(x,2), scalarpol_shallow(gel(x,1), varn(gel(y,1))));
2421 21 : return gerepileupto(av, chinese(z, y));
2422 : }
2423 :
2424 : GEN
2425 49 : chinese1(GEN x) { return gen_chinese(x,chinese); }
2426 :
2427 : GEN
2428 16520 : chinese(GEN x, GEN y)
2429 : {
2430 : pari_sp av;
2431 16520 : long tx = typ(x), ty;
2432 : GEN z,p1,p2,d,u,v;
2433 :
2434 16520 : if (!y) return chinese1(x);
2435 16471 : if (gidentical(x,y)) return gcopy(x);
2436 16464 : ty = typ(y);
2437 16464 : if (tx == ty) switch(tx)
2438 : {
2439 : case t_POLMOD:
2440 : {
2441 28 : GEN A = gel(x,1), B = gel(y,1);
2442 28 : GEN a = gel(x,2), b = gel(y,2);
2443 28 : if (varn(A)!=varn(B)) pari_err_VAR("chinese",A,B);
2444 28 : if (RgX_equal(A,B)) retmkpolmod(chinese(a,b), gcopy(A)); /*same modulus*/
2445 28 : av = avma;
2446 28 : d = RgX_extgcd(A,B,&u,&v);
2447 28 : p2 = gsub(b, a);
2448 28 : if (!gequal0(gmod(p2, d))) break;
2449 28 : p1 = gdiv(A,d);
2450 28 : p2 = gadd(a, gmul(gmul(u,p1), p2));
2451 :
2452 28 : z = cgetg(3, t_POLMOD);
2453 28 : gel(z,1) = gmul(p1,B);
2454 28 : gel(z,2) = gmod(p2,gel(z,1));
2455 28 : return gerepileupto(av, z);
2456 : }
2457 : case t_INTMOD:
2458 : {
2459 16401 : GEN A = gel(x,1), B = gel(y,1);
2460 16401 : GEN a = gel(x,2), b = gel(y,2), c, d, C, U;
2461 16401 : z = cgetg(3,t_INTMOD);
2462 16401 : Z_chinese_pre(A, B, &C, &U, &d);
2463 16401 : c = Z_chinese_post(a, b, C, U, d);
2464 16401 : if (!c) pari_err_OP("chinese", x,y);
2465 16401 : gel(z,1) = icopy_avma(C, (pari_sp)z);
2466 16401 : gel(z,2) = icopy_avma(c, (pari_sp)gel(z,1));
2467 16401 : avma = (pari_sp)gel(z,2); return z;
2468 : }
2469 : case t_POL:
2470 : {
2471 7 : long i, lx = lg(x), ly = lg(y);
2472 7 : if (varn(x) != varn(y)) break;
2473 7 : if (lx < ly) { swap(x,y); lswap(lx,ly); }
2474 7 : z = cgetg(lx, t_POL); z[1] = x[1];
2475 7 : for (i=2; i<ly; i++) gel(z,i) = chinese(gel(x,i),gel(y,i));
2476 7 : for ( ; i<lx; i++) gel(z,i) = gcopy(gel(x,i));
2477 7 : return z;
2478 : }
2479 :
2480 : case t_VEC: case t_COL: case t_MAT:
2481 : {
2482 : long i, lx;
2483 7 : z = cgetg_copy(x, &lx); if (lx!=lg(y)) break;
2484 7 : for (i=1; i<lx; i++) gel(z,i) = chinese(gel(x,i),gel(y,i));
2485 7 : return z;
2486 : }
2487 : }
2488 21 : if (tx == t_POLMOD && ty == t_INTMOD) return chinese_intpol(y,x);
2489 7 : if (ty == t_POLMOD && tx == t_INTMOD) return chinese_intpol(x,y);
2490 0 : pari_err_OP("chinese",x,y);
2491 : return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
2492 : }
2493 :
2494 : /* init chinese(Mod(.,A), Mod(.,B)) */
2495 : void
2496 237890 : Z_chinese_pre(GEN A, GEN B, GEN *pC, GEN *pU, GEN *pd)
2497 : {
2498 237890 : GEN u, d = bezout(A,B,&u,NULL); /* U = u(A/d), u(A/d) + v(B/d) = 1 */
2499 237890 : GEN t = diviiexact(A,d);
2500 237890 : *pU = mulii(u, t);
2501 237890 : *pC = mulii(t, B);
2502 237890 : if (pd) *pd = d;
2503 237890 : }
2504 : /* Assume C = lcm(A, B), U = 0 mod (A/d), U = 1 mod (B/d), a = b mod d,
2505 : * where d = gcd(A,B) or NULL, return x = a (mod A), b (mod B).
2506 : * If d not NULL, check wether a = b mod d. */
2507 : GEN
2508 847109 : Z_chinese_post(GEN a, GEN b, GEN C, GEN U, GEN d)
2509 : {
2510 : GEN b_a;
2511 847109 : if (!signe(a))
2512 : {
2513 314984 : if (d && !dvdii(b, d)) return NULL;
2514 314984 : return Fp_mul(b, U, C);
2515 : }
2516 532125 : b_a = subii(b,a);
2517 532125 : if (d && !dvdii(b_a, d)) return NULL;
2518 532125 : return modii(addii(a, mulii(U, b_a)), C);
2519 : }
2520 : static ulong
2521 2159133 : u_chinese_post(ulong a, ulong b, ulong C, ulong U)
2522 : {
2523 2159133 : if (!a) return Fl_mul(b, U, C);
2524 2159133 : return Fl_add(a, Fl_mul(U, Fl_sub(b,a,C), C), C);
2525 : }
2526 :
2527 : GEN
2528 2142 : Z_chinese(GEN a, GEN b, GEN A, GEN B)
2529 : {
2530 2142 : pari_sp av = avma;
2531 2142 : GEN C, U; Z_chinese_pre(A, B, &C, &U, NULL);
2532 2142 : return gerepileuptoint(av, Z_chinese_post(a,b, C, U, NULL));
2533 : }
2534 : GEN
2535 219291 : Z_chinese_all(GEN a, GEN b, GEN A, GEN B, GEN *pC)
2536 : {
2537 219291 : GEN U; Z_chinese_pre(A, B, pC, &U, NULL);
2538 219291 : return Z_chinese_post(a,b, *pC, U, NULL);
2539 : }
2540 :
2541 : /* return lift(chinese(a mod A, b mod B))
2542 : * assume(A,B)=1, a,b,A,B integers and C = A*B */
2543 : GEN
2544 312899 : Z_chinese_coprime(GEN a, GEN b, GEN A, GEN B, GEN C)
2545 : {
2546 312899 : pari_sp av = avma;
2547 312899 : GEN U = mulii(Fp_inv(A,B), A);
2548 312899 : return gerepileuptoint(av, Z_chinese_post(a,b,C,U, NULL));
2549 : }
2550 : ulong
2551 2159133 : u_chinese_coprime(ulong a, ulong b, ulong A, ulong B, ulong C)
2552 2159133 : { return u_chinese_post(a,b,C, A * Fl_inv(A % B,B)); }
2553 :
2554 : /* chinese1 for coprime moduli in Z */
2555 : static GEN
2556 296054 : chinese1_coprime_Z_aux(GEN x, GEN y)
2557 : {
2558 296054 : GEN z = cgetg(3, t_INTMOD);
2559 296054 : GEN A = gel(x,1), a = gel(x, 2);
2560 296054 : GEN B = gel(y,1), b = gel(y, 2), C = mulii(A,B);
2561 296054 : pari_sp av = avma;
2562 296054 : GEN U = mulii(Fp_inv(A,B), A);
2563 296054 : gel(z,2) = gerepileuptoint(av, Z_chinese_post(a,b,C,U, NULL));
2564 296054 : gel(z,1) = C; return z;
2565 : }
2566 : GEN
2567 327122 : chinese1_coprime_Z(GEN x) {return gen_chinese(x,chinese1_coprime_Z_aux);}
2568 :
2569 : /*********************************************************************/
2570 : /** **/
2571 : /** MODULAR EXPONENTIATION **/
2572 : /** **/
2573 : /*********************************************************************/
2574 :
2575 : /* xa, ya = t_VECSMALL */
2576 : GEN
2577 485794 : ZV_producttree(GEN xa)
2578 : {
2579 485794 : long n = lg(xa)-1;
2580 485794 : long m = n==1 ? 1: expu(n-1)+1;
2581 485794 : GEN T = cgetg(m+1, t_VEC), t;
2582 : long i, j, k;
2583 485792 : t = cgetg(((n+1)>>1)+1, t_VEC);
2584 485793 : if (typ(xa)==t_VECSMALL)
2585 : {
2586 974254 : for (j=1, k=1; k<n; j++, k+=2)
2587 566065 : gel(t, j) = muluu(xa[k], xa[k+1]);
2588 408189 : if (k==n) gel(t, j) = utoi(xa[k]);
2589 : } else {
2590 378779 : for (j=1, k=1; k<n; j++, k+=2)
2591 301177 : gel(t, j) = mulii(gel(xa,k), gel(xa,k+1));
2592 77602 : if (k==n) gel(t, j) = icopy(gel(xa,k));
2593 : }
2594 485791 : gel(T,1) = t;
2595 919164 : for (i=2; i<=m; i++)
2596 : {
2597 433374 : GEN u = gel(T, i-1);
2598 433374 : long n = lg(u)-1;
2599 433374 : t = cgetg(((n+1)>>1)+1, t_VEC);
2600 1060452 : for (j=1, k=1; k<n; j++, k+=2)
2601 627079 : gel(t, j) = mulii(gel(u, k), gel(u, k+1));
2602 433373 : if (k==n) gel(t, j) = gel(u, k);
2603 433373 : gel(T, i) = t;
2604 : }
2605 485790 : return T;
2606 : }
2607 :
2608 : /* return [A mod P[i], i=1..#P], T = ZV_producttree(P) */
2609 : GEN
2610 10357258 : Z_ZV_mod_tree(GEN A, GEN P, GEN T)
2611 : {
2612 : long i,j,k;
2613 10357258 : long m = lg(T)-1, n = lg(P)-1;
2614 : GEN t;
2615 10357258 : GEN Tp = cgetg(m+1, t_VEC);
2616 10355211 : gel(Tp, m) = mkvec(A);
2617 17654378 : for (i=m-1; i>=1; i--)
2618 : {
2619 7299353 : GEN u = gel(T, i);
2620 7299353 : GEN v = gel(Tp, i+1);
2621 7299353 : long n = lg(u)-1;
2622 7299353 : t = cgetg(n+1, t_VEC);
2623 14880352 : for (j=1, k=1; k<n; j++, k+=2)
2624 : {
2625 7579811 : gel(t, k) = modii(gel(v, j), gel(u, k));
2626 7580650 : gel(t, k+1) = modii(gel(v, j), gel(u, k+1));
2627 : }
2628 7300541 : if (k==n) gel(t, k) = gel(v, j);
2629 7300541 : gel(Tp, i) = t;
2630 : }
2631 : {
2632 10355025 : GEN u = gel(T, i+1);
2633 10355025 : GEN v = gel(Tp, i+1);
2634 10355025 : long l = lg(u)-1;
2635 10355025 : if (typ(P)==t_VECSMALL)
2636 : {
2637 9869444 : GEN R = cgetg(n+1, t_VECSMALL);
2638 26693313 : for (j=1, k=1; j<=l; j++, k+=2)
2639 : {
2640 16821256 : uel(R,k) = umodiu(gel(v, j), P[k]);
2641 16823265 : if (k < n)
2642 11836287 : uel(R,k+1) = umodiu(gel(v, j), P[k+1]);
2643 : }
2644 9872057 : return R;
2645 : }
2646 : else
2647 : {
2648 485581 : GEN R = cgetg(n+1, t_VEC);
2649 1598038 : for (j=1, k=1; j<=l; j++, k+=2)
2650 : {
2651 1112455 : gel(R,k) = modii(gel(v, j), gel(P,k));
2652 1112499 : if (k < n)
2653 867028 : gel(R,k+1) = modii(gel(v, j), gel(P,k+1));
2654 : }
2655 485583 : return R;
2656 : }
2657 : }
2658 : }
2659 :
2660 : /* T = ZV_producttree(P), R = ZV_chinesetree(P,T) */
2661 : GEN
2662 6078267 : ZV_chinese_tree(GEN A, GEN P, GEN T, GEN R)
2663 : {
2664 6078267 : long m = lg(T)-1, n = lg(A)-1;
2665 : long i,j,k;
2666 6078267 : GEN Tp = cgetg(m+1, t_VEC);
2667 6049645 : GEN M = gel(T, 1);
2668 6049645 : GEN t = cgetg(lg(M), t_VEC);
2669 6058689 : if (typ(P)==t_VECSMALL)
2670 : {
2671 19525851 : for (j=1, k=1; k<n; j++, k+=2)
2672 : {
2673 16770054 : pari_sp av = avma;
2674 16770054 : GEN a = mului(A[k], gel(R,k)), b = mului(A[k+1], gel(R,k+1));
2675 16632842 : GEN tj = modii(addii(mului(P[k],b), mului(P[k+1],a)), gel(M,j));
2676 16672200 : gel(t, j) = gerepileuptoint(av, tj);
2677 : }
2678 2755797 : if (k==n) gel(t, j) = modii(mului(A[k], gel(R,k)), gel(M, j));
2679 : } else
2680 : {
2681 7725936 : for (j=1, k=1; k<n; j++, k+=2)
2682 : {
2683 4437373 : pari_sp av = avma;
2684 4437373 : GEN a = mulii(gel(A,k), gel(R,k)), b = mulii(gel(A,k+1), gel(R,k+1));
2685 4426715 : GEN tj = modii(addii(mulii(gel(P,k),b), mulii(gel(P,k+1),a)), gel(M,j));
2686 4457213 : gel(t, j) = gerepileuptoint(av, tj);
2687 : }
2688 3288563 : if (k==n) gel(t, j) = modii(mulii(gel(A,k), gel(R,k)), gel(M, j));
2689 : }
2690 6036670 : gel(Tp, 1) = t;
2691 13881382 : for (i=2; i<=m; i++)
2692 : {
2693 7831040 : GEN u = gel(T, i-1), M = gel(T, i);
2694 7831040 : GEN t = cgetg(lg(M), t_VEC);
2695 7871984 : GEN v = gel(Tp, i-1);
2696 7871984 : long n = lg(v)-1;
2697 24528820 : for (j=1, k=1; k<n; j++, k+=2)
2698 : {
2699 16684108 : pari_sp av = avma;
2700 66736432 : gel(t, j) = gerepileuptoint(av, modii(addii(mulii(gel(u, k), gel(v, k+1)),
2701 50052324 : mulii(gel(u, k+1), gel(v, k))), gel(M, j)));
2702 : }
2703 7844712 : if (k==n) gel(t, j) = gel(v, k);
2704 7844712 : gel(Tp, i) = t;
2705 : }
2706 6050342 : return gmael(Tp,m,1);
2707 : }
2708 :
2709 : static GEN
2710 229458 : ncV_polint_center_tree(GEN vA, GEN P, GEN T, GEN R, GEN m2)
2711 : {
2712 229458 : long i, l = lg(gel(vA,1)), n = lg(P);
2713 229458 : GEN mod = gmael(T, lg(T)-1, 1), V = cgetg(l, t_COL);
2714 5533599 : for (i=1; i < l; i++)
2715 : {
2716 5304571 : pari_sp av = avma;
2717 5304571 : GEN c, A = cgetg(n, typ(P));
2718 : long j;
2719 5319379 : for (j=1; j < n; j++) A[j] = mael(vA,j,i);
2720 5319379 : c = Fp_center(ZV_chinese_tree(A, P, T, R), mod, m2);
2721 5299207 : gel(V,i) = gerepileuptoint(av, c);
2722 : }
2723 229028 : return V;
2724 : }
2725 :
2726 : static GEN
2727 90045 : nxV_polint_center_tree(GEN vA, GEN P, GEN T, GEN R, GEN m2)
2728 : {
2729 90045 : long i, j, l, n = lg(P);
2730 90045 : GEN mod = gmael(T, lg(T)-1, 1), V, w;
2731 90045 : w = cgetg(n, t_VECSMALL);
2732 89995 : for(j=1; j<n; j++) w[j] = lg(gel(vA,j));
2733 89995 : l = vecsmall_max(w);
2734 90052 : V = cgetg(l, t_POL);
2735 90095 : V[1] = mael(vA,1,1);
2736 391091 : for (i=2; i < l; i++)
2737 : {
2738 301096 : pari_sp av = avma;
2739 301096 : GEN c, A = cgetg(n, typ(P));
2740 300044 : if (typ(P)==t_VECSMALL)
2741 5325 : for (j=1; j < n; j++) A[j] = i < w[j] ? mael(vA,j,i): 0;
2742 : else
2743 294719 : for (j=1; j < n; j++) gel(A,j) = i < w[j] ? gmael(vA,j,i): gen_0;
2744 300044 : c = Fp_center(ZV_chinese_tree(A, P, T, R), mod, m2);
2745 300767 : gel(V,i) = gerepileuptoint(av, c);
2746 : }
2747 89995 : return ZX_renormalize(V, l);
2748 : }
2749 :
2750 : static GEN
2751 4493 : nxCV_polint_center_tree(GEN vA, GEN P, GEN T, GEN R, GEN m2)
2752 : {
2753 4493 : long i, j, l = lg(gel(vA,1)), n = lg(P);
2754 4493 : GEN A = cgetg(n, t_VEC);
2755 4491 : GEN V = cgetg(l, t_COL);
2756 92040 : for (i=1; i < l; i++)
2757 : {
2758 87553 : for (j=1; j < n; j++) gel(A,j) = gmael(vA,j,i);
2759 87553 : gel(V,i) = nxV_polint_center_tree(A, P, T, R, m2);
2760 : }
2761 4487 : return V;
2762 : }
2763 :
2764 : static GEN
2765 19005 : polint_chinese(GEN worker, GEN mA, GEN P)
2766 : {
2767 19005 : long i, j, l = lg(gel(mA,1)), n = lg(P);
2768 19005 : long pending = 0, workid, cnt = 0;
2769 : struct pari_mt pt;
2770 : GEN done, va, M;
2771 19005 : GEN A = cgetg(n, t_VEC);
2772 19005 : va = mkvec(gen_0);
2773 19005 : M = cgetg(l, t_MAT);
2774 19005 : if (DEBUGLEVEL>2) err_printf("Start parallel Chinese remainder: ");
2775 19005 : mt_queue_start_lim(&pt, worker, l-1);
2776 257931 : for (i=1; i<l || pending; i++)
2777 : {
2778 238926 : for(j=1; j < n; j++) gel(A,j) = gmael(mA,j,i);
2779 238926 : gel(va, 1) = A;
2780 238926 : mt_queue_submit(&pt, i, i<l? va: NULL);
2781 238926 : done = mt_queue_get(&pt, &workid, &pending);
2782 238926 : if (done)
2783 : {
2784 217268 : gel(M,workid) = done;
2785 217268 : if (DEBUGLEVEL>2) err_printf("%ld%% ",(++cnt)*100/(l-1));
2786 : }
2787 : }
2788 19005 : if (DEBUGLEVEL>2) err_printf("\n");
2789 19005 : mt_queue_end(&pt);
2790 19005 : return M;
2791 : }
2792 :
2793 : GEN
2794 4178 : nxMV_polint_center_tree_worker(GEN vA, GEN T, GEN R, GEN P, GEN m2)
2795 : {
2796 4178 : return nxCV_polint_center_tree(vA, P, T, R, m2);
2797 : }
2798 :
2799 : static GEN
2800 66 : nxMV_polint_center_tree_seq(GEN vA, GEN P, GEN T, GEN R, GEN m2)
2801 : {
2802 66 : long i, j, l = lg(gel(vA,1)), n = lg(P);
2803 66 : GEN A = cgetg(n, t_VEC);
2804 66 : GEN V = cgetg(l, t_MAT);
2805 381 : for (i=1; i < l; i++)
2806 : {
2807 315 : for (j=1; j < n; j++) gel(A,j) = gmael(vA,j,i);
2808 315 : gel(V,i) = nxCV_polint_center_tree(A, P, T, R, m2);
2809 : }
2810 66 : return V;
2811 : }
2812 :
2813 : static GEN
2814 291 : nxMV_polint_center_tree(GEN mA, GEN P, GEN T, GEN R, GEN m2)
2815 : {
2816 291 : GEN worker = snm_closure(is_entry("_nxMV_polint_worker"), mkvec4(T, R, P, m2));
2817 291 : return polint_chinese(worker, mA, P);
2818 : }
2819 :
2820 : static GEN
2821 1088 : nmV_polint_center_tree_seq(GEN vA, GEN P, GEN T, GEN R, GEN m2)
2822 : {
2823 1088 : long i, j, l = lg(gel(vA,1)), n = lg(P);
2824 1088 : GEN A = cgetg(n, t_VEC);
2825 1088 : GEN V = cgetg(l, t_MAT);
2826 13781 : for (i=1; i < l; i++)
2827 : {
2828 12693 : for (j=1; j < n; j++) gel(A,j) = gmael(vA,j,i);
2829 12693 : gel(V,i) = ncV_polint_center_tree(A, P, T, R, m2);
2830 : }
2831 1088 : return V;
2832 : }
2833 :
2834 : GEN
2835 213012 : nmV_polint_center_tree_worker(GEN vA, GEN T, GEN R, GEN P, GEN m2)
2836 : {
2837 213012 : return ncV_polint_center_tree(vA, P, T, R, m2);
2838 : }
2839 :
2840 : static GEN
2841 18714 : nmV_polint_center_tree(GEN mA, GEN P, GEN T, GEN R, GEN m2)
2842 : {
2843 18714 : GEN worker = snm_closure(is_entry("_polint_worker"), mkvec4(T, R, P, m2));
2844 18714 : return polint_chinese(worker, mA, P);
2845 : }
2846 :
2847 : /* return [A mod P[i], i=1..#P] */
2848 : GEN
2849 0 : Z_ZV_mod(GEN A, GEN P)
2850 : {
2851 0 : pari_sp av = avma;
2852 0 : return gerepilecopy(av, Z_ZV_mod_tree(A, P, ZV_producttree(P)));
2853 : }
2854 : /* P a t_VECSMALL */
2855 : GEN
2856 0 : Z_nv_mod(GEN A, GEN P)
2857 : {
2858 0 : pari_sp av = avma;
2859 0 : return gerepileuptoleaf(av, Z_ZV_mod_tree(A, P, ZV_producttree(P)));
2860 : }
2861 : /* B a ZX, T = ZV_producttree(P) */
2862 : GEN
2863 408935 : ZX_nv_mod_tree(GEN B, GEN A, GEN T)
2864 : {
2865 : pari_sp av;
2866 408935 : long i, j, l = lg(B), n = lg(A)-1;
2867 408935 : GEN V = cgetg(n+1, t_VEC);
2868 1628839 : for (j=1; j <= n; j++)
2869 : {
2870 1219854 : gel(V, j) = cgetg(l, t_VECSMALL);
2871 1219846 : mael(V, j, 1) = B[1]&VARNBITS;
2872 : }
2873 408985 : av = avma;
2874 9413600 : for (i=2; i < l; i++)
2875 : {
2876 9004667 : GEN v = Z_ZV_mod_tree(gel(B, i), A, T);
2877 35425727 : for (j=1; j <= n; j++)
2878 26421004 : mael(V, j, i) = v[j];
2879 9004723 : set_avma(av);
2880 : }
2881 1628778 : for (j=1; j <= n; j++)
2882 1219848 : (void) Flx_renormalize(gel(V, j), l);
2883 408930 : return V;
2884 : }
2885 :
2886 : static GEN
2887 3159 : to_ZX(GEN a, long v) { return typ(a)==t_INT? scalarpol(a,v): a; }
2888 :
2889 : GEN
2890 405 : ZXX_nv_mod_tree(GEN P, GEN xa, GEN T, long w)
2891 : {
2892 405 : pari_sp av = avma;
2893 405 : long i, j, l = lg(P), n = lg(xa)-1, vP = varn(P);
2894 405 : GEN V = cgetg(n+1, t_VEC);
2895 1435 : for (j=1; j <= n; j++)
2896 : {
2897 1030 : gel(V, j) = cgetg(l, t_POL);
2898 1030 : mael(V, j, 1) = vP;
2899 : }
2900 1881 : for (i=2; i < l; i++)
2901 : {
2902 1476 : GEN v = ZX_nv_mod_tree(to_ZX(gel(P, i), w), xa, T);
2903 5091 : for (j=1; j <= n; j++)
2904 3615 : gmael(V, j, i) = gel(v,j);
2905 : }
2906 1435 : for (j=1; j <= n; j++)
2907 1030 : (void) FlxX_renormalize(gel(V, j), l);
2908 405 : return gerepilecopy(av, V);
2909 : }
2910 :
2911 : GEN
2912 315 : ZXC_nv_mod_tree(GEN C, GEN xa, GEN T, long w)
2913 : {
2914 315 : pari_sp av = avma;
2915 315 : long i, j, l = lg(C), n = lg(xa)-1;
2916 315 : GEN V = cgetg(n+1, t_VEC);
2917 1073 : for (j = 1; j <= n; j++)
2918 758 : gel(V, j) = cgetg(l, t_COL);
2919 1998 : for (i = 1; i < l; i++)
2920 : {
2921 1683 : GEN v = ZX_nv_mod_tree(to_ZX(gel(C, i), w), xa, T);
2922 5773 : for (j = 1; j <= n; j++)
2923 4090 : gmael(V, j, i) = gel(v,j);
2924 : }
2925 315 : return gerepilecopy(av, V);
2926 : }
2927 :
2928 : GEN
2929 66 : ZXM_nv_mod_tree(GEN M, GEN xa, GEN T, long w)
2930 : {
2931 66 : pari_sp av = avma;
2932 66 : long i, j, l = lg(M), n = lg(xa)-1;
2933 66 : GEN V = cgetg(n+1, t_VEC);
2934 222 : for (j=1; j <= n; j++)
2935 156 : gel(V, j) = cgetg(l, t_MAT);
2936 381 : for (i=1; i < l; i++)
2937 : {
2938 315 : GEN v = ZXC_nv_mod_tree(gel(M, i), xa, T, w);
2939 1073 : for (j=1; j <= n; j++)
2940 758 : gmael(V, j, i) = gel(v,j);
2941 : }
2942 66 : return gerepilecopy(av, V);
2943 : }
2944 :
2945 : /* B a ZX, T = ZV_producttree(P) */
2946 : GEN
2947 100511 : ZV_nv_mod_tree(GEN B, GEN A, GEN T)
2948 : {
2949 : pari_sp av;
2950 100511 : long i, j, l = lg(B), n = lg(A)-1;
2951 100511 : GEN V = cgetg(n+1, t_VEC);
2952 358552 : for (j=1; j <= n; j++)
2953 258217 : gel(V, j) = cgetg(l, t_VECSMALL);
2954 100335 : av = avma;
2955 967793 : for (i=1; i < l; i++)
2956 : {
2957 867280 : GEN v = Z_ZV_mod_tree(gel(B, i), A, T);
2958 3111260 : for (j=1; j <= n; j++)
2959 2243489 : mael(V, j, i) = v[j];
2960 867771 : set_avma(av);
2961 : }
2962 100513 : return V;
2963 : }
2964 :
2965 : GEN
2966 12348 : ZM_nv_mod_tree(GEN M, GEN xa, GEN T)
2967 : {
2968 12348 : pari_sp av = avma;
2969 12348 : long i, j, l = lg(M), n = lg(xa)-1;
2970 12348 : GEN V = cgetg(n+1, t_VEC);
2971 43774 : for (j=1; j <= n; j++)
2972 31427 : gel(V, j) = cgetg(l, t_MAT);
2973 112859 : for (i=1; i < l; i++)
2974 : {
2975 100511 : GEN v = ZV_nv_mod_tree(gel(M, i), xa, T);
2976 358797 : for (j=1; j <= n; j++)
2977 258285 : gmael(V, j, i) = gel(v,j);
2978 : }
2979 12348 : return gerepilecopy(av, V);
2980 : }
2981 :
2982 : static GEN
2983 482271 : ZV_sqr(GEN z)
2984 : {
2985 482271 : long i,l = lg(z);
2986 482271 : GEN x = cgetg(l, t_VEC);
2987 482246 : if (typ(z)==t_VECSMALL)
2988 408053 : for (i=1; i<l; i++) gel(x,i) = sqru(z[i]);
2989 : else
2990 74193 : for (i=1; i<l; i++) gel(x,i) = sqri(gel(z,i));
2991 482170 : return x;
2992 : }
2993 :
2994 : static GEN
2995 3203467 : ZT_sqr(GEN z)
2996 : {
2997 3203467 : if (typ(z) == t_INT)
2998 1812407 : return sqri(z);
2999 : else
3000 : {
3001 1391060 : long i,l = lg(z);
3002 1391060 : GEN x = cgetg(l, t_VEC);
3003 1390917 : for (i=1; i<l; i++) gel(x,i) = ZT_sqr(gel(z,i));
3004 1392387 : return x;
3005 : }
3006 : }
3007 :
3008 : static GEN
3009 482152 : ZV_invdivexact(GEN y, GEN x)
3010 : {
3011 482152 : long i, l = lg(y);
3012 482152 : GEN z = cgetg(l,t_VEC);
3013 482286 : if (typ(x)==t_VECSMALL)
3014 1750314 : for (i=1; i<l; i++)
3015 : {
3016 1342343 : pari_sp av = avma;
3017 1342343 : ulong a = Fl_inv(umodiu(diviuexact(gel(y,i),x[i]), x[i]), x[i]);
3018 1342538 : set_avma(av);
3019 1342477 : gel(z,i) = utoipos(a);
3020 : }
3021 : else
3022 686912 : for (i=1; i<l; i++)
3023 612719 : gel(z,i) = Fp_inv(diviiexact(gel(y,i), gel(x,i)), gel(x,i));
3024 482164 : return z;
3025 : }
3026 :
3027 : /* P t_VECSMALL or t_VEC of t_INT */
3028 : GEN
3029 481704 : ZV_chinesetree(GEN P, GEN T)
3030 : {
3031 481704 : GEN T2 = ZT_sqr(T), P2 = ZV_sqr(P);
3032 482162 : GEN mod = gmael(T,lg(T)-1,1);
3033 482162 : return ZV_invdivexact(Z_ZV_mod_tree(mod, P2, T2), P);
3034 : }
3035 :
3036 : static GEN
3037 80512 : gc_chinese(pari_sp av, GEN T, GEN a, GEN *pt_mod)
3038 : {
3039 80512 : if (!pt_mod)
3040 2559 : return gerepileupto(av, a);
3041 : else
3042 : {
3043 77953 : GEN mod = gmael(T, lg(T)-1, 1);
3044 77953 : gerepileall(av, 2, &a, &mod);
3045 77953 : *pt_mod = mod;
3046 77953 : return a;
3047 : }
3048 : }
3049 :
3050 : GEN
3051 42653 : ZV_chinese_center(GEN A, GEN P, GEN *pt_mod)
3052 : {
3053 42653 : pari_sp av = avma;
3054 42653 : GEN T = ZV_producttree(P);
3055 42653 : GEN R = ZV_chinesetree(P, T);
3056 42653 : GEN a = ZV_chinese_tree(A, P, T, R);
3057 42653 : GEN mod = gmael(T, lg(T)-1, 1);
3058 42653 : GEN ca = Fp_center(a, mod, shifti(mod,-1));
3059 42653 : return gc_chinese(av, T, ca, pt_mod);
3060 : }
3061 :
3062 : GEN
3063 13073 : ZV_chinese(GEN A, GEN P, GEN *pt_mod)
3064 : {
3065 13073 : pari_sp av = avma;
3066 13073 : GEN T = ZV_producttree(P);
3067 13073 : GEN R = ZV_chinesetree(P, T);
3068 13073 : GEN a = ZV_chinese_tree(A, P, T, R);
3069 13073 : return gc_chinese(av, T, a, pt_mod);
3070 : }
3071 :
3072 : GEN
3073 405 : nxV_chinese_center_tree(GEN A, GEN P, GEN T, GEN R)
3074 : {
3075 405 : pari_sp av = avma;
3076 405 : GEN m2 = shifti(gmael(T, lg(T)-1, 1), -1);
3077 405 : GEN a = nxV_polint_center_tree(A, P, T, R, m2);
3078 405 : return gerepileupto(av, a);
3079 : }
3080 :
3081 : GEN
3082 2021 : nxV_chinese_center(GEN A, GEN P, GEN *pt_mod)
3083 : {
3084 2021 : pari_sp av = avma;
3085 2021 : GEN T = ZV_producttree(P);
3086 2021 : GEN R = ZV_chinesetree(P, T);
3087 2021 : GEN m2 = shifti(gmael(T, lg(T)-1, 1), -1);
3088 2021 : GEN a = nxV_polint_center_tree(A, P, T, R, m2);
3089 2021 : return gc_chinese(av, T, a, pt_mod);
3090 : }
3091 :
3092 : GEN
3093 3760 : ncV_chinese_center(GEN A, GEN P, GEN *pt_mod)
3094 : {
3095 3760 : pari_sp av = avma;
3096 3760 : GEN T = ZV_producttree(P);
3097 3760 : GEN R = ZV_chinesetree(P, T);
3098 3760 : GEN m2 = shifti(gmael(T, lg(T)-1, 1), -1);
3099 3760 : GEN a = ncV_polint_center_tree(A, P, T, R, m2);
3100 3760 : return gc_chinese(av, T, a, pt_mod);
3101 : }
3102 :
3103 : GEN
3104 0 : nmV_chinese_center_tree(GEN A, GEN P, GEN T, GEN R)
3105 : {
3106 0 : pari_sp av = avma;
3107 0 : GEN m2 = shifti(gmael(T, lg(T)-1, 1), -1);
3108 0 : GEN a = nmV_polint_center_tree(A, P, T, R, m2);
3109 0 : return gerepileupto(av, a);
3110 : }
3111 :
3112 : GEN
3113 1088 : nmV_chinese_center_tree_seq(GEN A, GEN P, GEN T, GEN R)
3114 : {
3115 1088 : pari_sp av = avma;
3116 1088 : GEN m2 = shifti(gmael(T, lg(T)-1, 1), -1);
3117 1088 : GEN a = nmV_polint_center_tree_seq(A, P, T, R, m2);
3118 1088 : return gerepileupto(av, a);
3119 : }
3120 :
3121 : GEN
3122 18714 : nmV_chinese_center(GEN A, GEN P, GEN *pt_mod)
3123 : {
3124 18714 : pari_sp av = avma;
3125 18714 : GEN T = ZV_producttree(P);
3126 18714 : GEN R = ZV_chinesetree(P, T);
3127 18714 : GEN m2 = shifti(gmael(T, lg(T)-1, 1), -1);
3128 18714 : GEN a = nmV_polint_center_tree(A, P, T, R, m2);
3129 18714 : return gc_chinese(av, T, a, pt_mod);
3130 : }
3131 :
3132 : GEN
3133 66 : nxMV_chinese_center_tree_seq(GEN A, GEN P, GEN T, GEN R)
3134 : {
3135 66 : pari_sp av = avma;
3136 66 : GEN m2 = shifti(gmael(T, lg(T)-1, 1), -1);
3137 66 : GEN a = nxMV_polint_center_tree_seq(A, P, T, R, m2);
3138 66 : return gerepileupto(av, a);
3139 : }
3140 :
3141 : GEN
3142 291 : nxMV_chinese_center(GEN A, GEN P, GEN *pt_mod)
3143 : {
3144 291 : pari_sp av = avma;
3145 291 : GEN T = ZV_producttree(P);
3146 291 : GEN R = ZV_chinesetree(P, T);
3147 291 : GEN m2 = shifti(gmael(T, lg(T)-1, 1), -1);
3148 291 : GEN a = nxMV_polint_center_tree(A, P, T, R, m2);
3149 291 : return gc_chinese(av, T, a, pt_mod);
3150 : }
3151 :
3152 : /**********************************************************************
3153 : ** **
3154 : ** Powering over (Z/NZ)^*, small N **
3155 : ** **
3156 : **********************************************************************/
3157 :
3158 : /* 2^n mod p; assume n > 1 */
3159 : static ulong
3160 20829939 : Fl_2powu_pre(ulong n, ulong p, ulong pi)
3161 : {
3162 20829939 : ulong y = 2;
3163 20829939 : int j = 1+bfffo(n);
3164 : /* normalize, i.e set highest bit to 1 (we know n != 0) */
3165 20829939 : n<<=j; j = BITS_IN_LONG-j; /* first bit is now implicit */
3166 424701638 : for (; j; n<<=1,j--)
3167 : {
3168 403871668 : y = Fl_sqr_pre(y,p,pi);
3169 403871706 : if (n & HIGHBIT) y = Fl_double(y, p);
3170 : }
3171 20829970 : return y;
3172 : }
3173 :
3174 : /* 2^n mod p; assume n > 1 and !(p & HIGHMASK) */
3175 : static ulong
3176 2582139 : Fl_2powu(ulong n, ulong p)
3177 : {
3178 2582139 : ulong y = 2;
3179 2582139 : int j = 1+bfffo(n);
3180 : /* normalize, i.e set highest bit to 1 (we know n != 0) */
3181 2582139 : n<<=j; j = BITS_IN_LONG-j; /* first bit is now implicit */
3182 29929596 : for (; j; n<<=1,j--)
3183 : {
3184 27326381 : y = (y*y) % p;
3185 27326381 : if (n & HIGHBIT) y = Fl_double(y, p);
3186 : }
3187 2603215 : return y;
3188 : }
3189 :
3190 : ulong
3191 96781054 : Fl_powu_pre(ulong x, ulong n0, ulong p, ulong pi)
3192 : {
3193 : ulong y, z, n;
3194 96781054 : if (n0 <= 1)
3195 : { /* frequent special cases */
3196 10891664 : if (n0 == 1) return x;
3197 2984013 : if (n0 == 0) return 1;
3198 : }
3199 85889390 : if (x <= 2)
3200 : {
3201 22622297 : if (x == 2) return Fl_2powu_pre(n0, p, pi);
3202 1792341 : return x; /* 0 or 1 */
3203 : }
3204 63267093 : y = 1; z = x; n = n0;
3205 : for(;;)
3206 : {
3207 1059942727 : if (n&1) y = Fl_mul_pre(y,z,p,pi);
3208 561777629 : n>>=1; if (!n) return y;
3209 498519999 : z = Fl_sqr_pre(z,p,pi);
3210 : }
3211 : }
3212 :
3213 : ulong
3214 43936044 : Fl_powu(ulong x, ulong n0, ulong p)
3215 : {
3216 : ulong y, z, n;
3217 43936044 : if (n0 <= 2)
3218 : { /* frequent special cases */
3219 32191308 : if (n0 == 2) return Fl_sqr(x,p);
3220 3645603 : if (n0 == 1) return x;
3221 61963 : if (n0 == 0) return 1;
3222 : }
3223 11744736 : if (x <= 1) return x; /* 0 or 1 */
3224 11692046 : if (p & HIGHMASK)
3225 6347745 : return Fl_powu_pre(x, n0, p, get_Fl_red(p));
3226 5344301 : if (x == 2) return Fl_2powu(n0, p);
3227 2762286 : y = 1; z = x; n = n0;
3228 : for(;;)
3229 : {
3230 49286472 : if (n&1) y = (y*z) % p;
3231 26024379 : n>>=1; if (!n) return y;
3232 23262093 : z = (z*z) % p;
3233 : }
3234 : }
3235 :
3236 : /* Reduce data dependency to maximize internal parallelism */
3237 : GEN
3238 11055009 : Fl_powers_pre(ulong x, long n, ulong p, ulong pi)
3239 : {
3240 : long i, k;
3241 11055009 : GEN powers = cgetg(n + 2, t_VECSMALL);
3242 11045905 : powers[1] = 1; if (n == 0) return powers;
3243 11045905 : powers[2] = x;
3244 46590080 : for (i = 3, k=2; i <= n; i+=2, k++)
3245 : {
3246 35527135 : powers[i] = Fl_sqr_pre(powers[k], p, pi);
3247 35541355 : powers[i+1] = Fl_mul_pre(powers[k], powers[k+1], p, pi);
3248 : }
3249 11062945 : if (i==n+1)
3250 9665656 : powers[i] = Fl_sqr_pre(powers[k], p, pi);
3251 11062813 : return powers;
3252 : }
3253 :
3254 : GEN
3255 2961 : Fl_powers(ulong x, long n, ulong p)
3256 : {
3257 2961 : return Fl_powers_pre(x, n, p, get_Fl_red(p));
3258 : }
3259 :
3260 : /**********************************************************************
3261 : ** **
3262 : ** Powering over (Z/NZ)^*, large N **
3263 : ** **
3264 : **********************************************************************/
3265 :
3266 : static GEN
3267 4259039 : Fp_dblsqr(GEN x, GEN N)
3268 : {
3269 4259039 : GEN z = shifti(Fp_sqr(x, N), 1);
3270 4259039 : return cmpii(z, N) >= 0? subii(z, N): z;
3271 : }
3272 :
3273 : typedef struct muldata {
3274 : GEN (*sqr)(void * E, GEN x);
3275 : GEN (*mul)(void * E, GEN x, GEN y);
3276 : GEN (*mul2)(void * E, GEN x);
3277 : } muldata;
3278 :
3279 : /* modified Barrett reduction with one fold */
3280 : /* See Fast Modular Reduction, W. Hasenplaugh, G. Gaubatz, V. Gopal, ARITH 18 */
3281 :
3282 : static GEN
3283 10092 : Fp_invmBarrett(GEN p, long s)
3284 : {
3285 10092 : GEN R, Q = dvmdii(int2n(3*s),p,&R);
3286 10092 : return mkvec2(Q,R);
3287 : }
3288 :
3289 : /* a <= (N-1)^2, 2^(2s-2) <= N < 2^(2s). Return 0 <= r < N such that
3290 : * a = r (mod N) */
3291 : static GEN
3292 4235005 : Fp_rem_mBarrett(GEN a, GEN B, long s, GEN N)
3293 : {
3294 4235005 : pari_sp av = avma;
3295 4235005 : GEN P = gel(B, 1), Q = gel(B, 2); /* 2^(3s) = P N + Q, 0 <= Q < N */
3296 4235005 : long t = expi(P)+1; /* 2^(t-1) <= P < 2^t */
3297 4235005 : GEN u = shifti(a, -3*s), v = remi2n(a, 3*s); /* a = 2^(3s)u + v */
3298 4235005 : GEN A = addii(v, mulii(Q,u)); /* 0 <= A < 2^(3s+1) */
3299 4235005 : GEN q = shifti(mulii(shifti(A, t-3*s), P), -t); /* A/N - 4 < q <= A/N */
3300 4235005 : GEN r = subii(A, mulii(q, N));
3301 4235005 : GEN sr= subii(r,N); /* 0 <= r < 4*N */
3302 4235005 : if (signe(sr)<0) return gerepileuptoint(av, r);
3303 2548401 : r=sr; sr = subii(r,N); /* 0 <= r < 3*N */
3304 2548401 : if (signe(sr)<0) return gerepileuptoint(av, r);
3305 98169 : r=sr; sr = subii(r,N); /* 0 <= r < 2*N */
3306 98169 : return gerepileuptoint(av, signe(sr)>=0 ? sr:r);
3307 : }
3308 :
3309 : /* Montgomery reduction */
3310 :
3311 : INLINE ulong
3312 271348 : init_montdata(GEN N) { return (ulong) -invmod2BIL(mod2BIL(N)); }
3313 :
3314 : struct montred
3315 : {
3316 : GEN N;
3317 : ulong inv;
3318 : };
3319 :
3320 : /* Montgomery reduction */
3321 : static GEN
3322 29546749 : _sqr_montred(void * E, GEN x)
3323 : {
3324 29546749 : struct montred * D = (struct montred *) E;
3325 29546749 : return red_montgomery(sqri(x), D->N, D->inv);
3326 : }
3327 :
3328 : /* Montgomery reduction */
3329 : static GEN
3330 2460463 : _mul_montred(void * E, GEN x, GEN y)
3331 : {
3332 2460463 : struct montred * D = (struct montred *) E;
3333 2460463 : return red_montgomery(mulii(x, y), D->N, D->inv);
3334 : }
3335 :
3336 : static GEN
3337 5815969 : _mul2_montred(void * E, GEN x)
3338 : {
3339 5815969 : struct montred * D = (struct montred *) E;
3340 5815969 : GEN z = shifti(_sqr_montred(E, x), 1);
3341 5815933 : long l = lgefint(D->N);
3342 5815933 : while (lgefint(z) > l) z = subii(z, D->N);
3343 5815936 : return z;
3344 : }
3345 :
3346 : static GEN
3347 10530274 : _sqr_remii(void* N, GEN x)
3348 10530274 : { return remii(sqri(x), (GEN) N); }
3349 :
3350 : static GEN
3351 938696 : _mul_remii(void* N, GEN x, GEN y)
3352 938696 : { return remii(mulii(x, y), (GEN) N); }
3353 :
3354 : static GEN
3355 2997290 : _mul2_remii(void* N, GEN x)
3356 2997290 : { return Fp_dblsqr(x, (GEN) N); }
3357 :
3358 : struct redbarrett
3359 : {
3360 : GEN iM, N;
3361 : long s;
3362 : };
3363 :
3364 : static GEN
3365 3823998 : _sqr_remiibar(void *E, GEN x)
3366 : {
3367 3823998 : struct redbarrett * D = (struct redbarrett *) E;
3368 3823998 : return Fp_rem_mBarrett(sqri(x), D->iM, D->s, D->N);
3369 : }
3370 :
3371 : static GEN
3372 411007 : _mul_remiibar(void *E, GEN x, GEN y)
3373 : {
3374 411007 : struct redbarrett * D = (struct redbarrett *) E;
3375 411007 : return Fp_rem_mBarrett(mulii(x, y), D->iM, D->s, D->N);
3376 : }
3377 :
3378 : static GEN
3379 1261749 : _mul2_remiibar(void *E, GEN x)
3380 : {
3381 1261749 : struct redbarrett * D = (struct redbarrett *) E;
3382 1261749 : return Fp_dblsqr(x, D->N);
3383 : }
3384 :
3385 : static long
3386 358083 : Fp_select_red(GEN *y, ulong k, GEN N, long lN, muldata *D, void **pt_E)
3387 : {
3388 358083 : if (lN >= Fp_POW_BARRETT_LIMIT && (k==0 || ((double)k)*expi(*y) > 2 + expi(N)))
3389 : {
3390 10092 : struct redbarrett * E = (struct redbarrett *) stack_malloc(sizeof(struct redbarrett));
3391 10092 : D->sqr = &_sqr_remiibar;
3392 10092 : D->mul = &_mul_remiibar;
3393 10092 : D->mul2 = &_mul2_remiibar;
3394 10092 : E->N = N;
3395 10092 : E->s = 1+(expi(N)>>1);
3396 10092 : E->iM = Fp_invmBarrett(N, E->s);
3397 10092 : *pt_E = (void*) E;
3398 10092 : return 0;
3399 : }
3400 347991 : else if (mod2(N) && lN < Fp_POW_REDC_LIMIT)
3401 : {
3402 271347 : struct montred * E = (struct montred *) stack_malloc(sizeof(struct montred));
3403 271347 : *y = remii(shifti(*y, bit_accuracy(lN)), N);
3404 271352 : D->sqr = &_sqr_montred;
3405 271352 : D->mul = &_mul_montred;
3406 271352 : D->mul2 = &_mul2_montred;
3407 271352 : E->N = N;
3408 271352 : E->inv = init_montdata(N);
3409 271347 : *pt_E = (void*) E;
3410 271347 : return 1;
3411 : }
3412 : else
3413 : {
3414 76644 : D->sqr = &_sqr_remii;
3415 76644 : D->mul = &_mul_remii;
3416 76644 : D->mul2 = &_mul2_remii;
3417 76644 : *pt_E = (void*) N;
3418 76644 : return 0;
3419 : }
3420 : }
3421 :
3422 : GEN
3423 895732 : Fp_powu(GEN A, ulong k, GEN N)
3424 : {
3425 895732 : long lN = lgefint(N);
3426 : int base_is_2, use_montgomery;
3427 : muldata D;
3428 : void *E;
3429 : pari_sp av;
3430 :
3431 895732 : if (lN == 3) {
3432 88481 : ulong n = uel(N,2);
3433 88481 : return utoi( Fl_powu(umodiu(A, n), k, n) );
3434 : }
3435 807251 : if (k <= 2)
3436 : { /* frequent special cases */
3437 577732 : if (k == 2) return Fp_sqr(A,N);
3438 131258 : if (k == 1) return A;
3439 0 : if (k == 0) return gen_1;
3440 : }
3441 229519 : av = avma; A = modii(A,N);
3442 229519 : base_is_2 = 0;
3443 229519 : if (lgefint(A) == 3) switch(A[2])
3444 : {
3445 523 : case 1: set_avma(av); return gen_1;
3446 34240 : case 2: base_is_2 = 1; break;
3447 : }
3448 :
3449 : /* TODO: Move this out of here and use for general modular computations */
3450 228996 : use_montgomery = Fp_select_red(&A, k, N, lN, &D, &E);
3451 228996 : if (base_is_2)
3452 34240 : A = gen_powu_fold_i(A, k, E, D.sqr, D.mul2);
3453 : else
3454 194756 : A = gen_powu_i(A, k, E, D.sqr, D.mul);
3455 228995 : if (use_montgomery)
3456 : {
3457 198503 : A = red_montgomery(A, N, ((struct montred *) E)->inv);
3458 198503 : if (cmpii(A, N) >= 0) A = subii(A,N);
3459 : }
3460 228995 : return gerepileuptoint(av, A);
3461 : }
3462 :
3463 : GEN
3464 21623 : Fp_pows(GEN A, long k, GEN N)
3465 : {
3466 21623 : if (lgefint(N) == 3) {
3467 7372 : ulong n = N[2];
3468 7372 : ulong a = umodiu(A, n);
3469 7372 : if (k < 0) {
3470 126 : a = Fl_inv(a, n);
3471 126 : k = -k;
3472 : }
3473 7372 : return utoi( Fl_powu(a, (ulong)k, n) );
3474 : }
3475 14251 : if (k < 0) { A = Fp_inv(A, N); k = -k; };
3476 14251 : return Fp_powu(A, (ulong)k, N);
3477 : }
3478 :
3479 : /* A^K mod N */
3480 : GEN
3481 5527965 : Fp_pow(GEN A, GEN K, GEN N)
3482 : {
3483 : pari_sp av;
3484 5527965 : long s, lN = lgefint(N), sA;
3485 : int base_is_2, use_montgomery;
3486 : GEN y;
3487 : muldata D;
3488 : void *E;
3489 :
3490 5527965 : s = signe(K);
3491 5527965 : if (!s) return dvdii(A,N)? gen_0: gen_1;
3492 5450853 : if (lN == 3 && lgefint(K) == 3)
3493 : {
3494 5200171 : ulong n = N[2], a = umodiu(A, n);
3495 5200171 : if (s < 0) a = Fl_inv(a, n);
3496 5200171 : if (a <= 1) return utoi(a); /* 0 or 1 */
3497 4867935 : return utoi(Fl_powu(a, uel(K,2), n));
3498 : }
3499 :
3500 250682 : av = avma;
3501 250682 : if (s < 0) y = Fp_inv(A,N);
3502 : else
3503 : {
3504 250212 : y = modii(A,N);
3505 250211 : if (!signe(y)) { set_avma(av); return gen_0; }
3506 : }
3507 250681 : if (lgefint(K) == 3) return gerepileuptoint(av, Fp_powu(y, K[2], N));
3508 :
3509 129170 : base_is_2 = 0;
3510 129170 : sA = signe(y)==-1 && mod2(K);
3511 129170 : if (lgefint(y) == 3) switch(y[2])
3512 : {
3513 82 : case 1: return sA ? gen_m1 : gen_1;
3514 87146 : case 2: base_is_2 = 1; break;
3515 : }
3516 :
3517 : /* TODO: Move this out of here and use for general modular computations */
3518 129088 : use_montgomery = Fp_select_red(&y, 0UL, N, lN, &D, &E);
3519 129086 : if (base_is_2)
3520 87146 : y = gen_pow_fold_i(y, K, E, D.sqr, D.mul2);
3521 : else
3522 41940 : y = gen_pow_i(y, K, E, D.sqr, D.mul);
3523 129086 : if (use_montgomery)
3524 : {
3525 72842 : y = red_montgomery(y, N, ((struct montred *) E)->inv);
3526 72849 : if (cmpii(y,N) >= 0) y = subii(y,N);
3527 72847 : if (sA) y = subii(N, y);
3528 : }
3529 129091 : return gerepileuptoint(av,y);
3530 : }
3531 :
3532 : static GEN
3533 1247603 : _Fp_mul(void *E, GEN x, GEN y) { return Fp_mul(x,y,(GEN)E); }
3534 :
3535 : static GEN
3536 23500 : _Fp_sqr(void *E, GEN x) { return Fp_sqr(x,(GEN)E); }
3537 :
3538 : static GEN
3539 55230 : _Fp_one(void *E) { (void) E; return gen_1; }
3540 :
3541 : GEN
3542 84 : Fp_pow_init(GEN x, GEN n, long k, GEN p)
3543 : {
3544 84 : return gen_pow_init(x, n, k, (void*)p, &_Fp_sqr, &_Fp_mul);
3545 : }
3546 :
3547 : GEN
3548 55090 : Fp_pow_table(GEN R, GEN n, GEN p)
3549 : {
3550 55090 : return gen_pow_table(R, n, (void*)p, &_Fp_one, &_Fp_mul);
3551 : }
3552 :
3553 : GEN
3554 2016 : Fp_powers(GEN x, long n, GEN p)
3555 : {
3556 2016 : if (lgefint(p) == 3)
3557 1876 : return Flv_to_ZV(Fl_powers(umodiu(x, uel(p, 2)), n, uel(p, 2)));
3558 140 : return gen_powers(x, n, 1, (void*)p, _Fp_sqr, _Fp_mul, _Fp_one);
3559 : }
3560 :
3561 : static GEN
3562 3179649 : _Fp_pow(void *E, GEN x, GEN n) { return Fp_pow(x,n,(GEN)E); }
3563 :
3564 : static GEN
3565 112 : _Fp_rand(void *E) { return addiu(randomi(subiu((GEN)E,1)),1); }
3566 :
3567 : static GEN Fp_easylog(void *E, GEN a, GEN g, GEN ord);
3568 :
3569 : static const struct bb_group Fp_star={_Fp_mul,_Fp_pow,_Fp_rand,hash_GEN,
3570 : equalii,equali1,Fp_easylog};
3571 :
3572 : static GEN
3573 1052565 : _Fp_red(void *E, GEN x) { return Fp_red(x, (GEN)E); }
3574 :
3575 : static GEN
3576 1504160 : _Fp_add(void *E, GEN x, GEN y) { (void) E; return addii(x,y); }
3577 :
3578 : static GEN
3579 268331 : _Fp_neg(void *E, GEN x) { (void) E; return negi(x); }
3580 :
3581 : static GEN
3582 1665214 : _Fp_rmul(void *E, GEN x, GEN y) { (void) E; return mulii(x,y); }
3583 :
3584 : static GEN
3585 27616 : _Fp_inv(void *E, GEN x) { return Fp_inv(x,(GEN)E); }
3586 :
3587 : static int
3588 385860 : _Fp_equal0(GEN x) { return signe(x)==0; }
3589 :
3590 : static GEN
3591 150543 : _Fp_s(void *E, long x) { (void) E; return stoi(x); }
3592 :
3593 : static const struct bb_field Fp_field={_Fp_red,_Fp_add,_Fp_rmul,_Fp_neg,
3594 : _Fp_inv,_Fp_equal0,_Fp_s};
3595 :
3596 7371 : const struct bb_field *get_Fp_field(void **E, GEN p)
3597 : {
3598 7371 : *E = (void*)p; return &Fp_field;
3599 : }
3600 :
3601 : /*********************************************************************/
3602 : /** **/
3603 : /** ORDER of INTEGERMOD x in (Z/nZ)* **/
3604 : /** **/
3605 : /*********************************************************************/
3606 : ulong
3607 12096 : Fl_order(ulong a, ulong o, ulong p)
3608 : {
3609 12096 : pari_sp av = avma;
3610 : GEN m, P, E;
3611 : long i;
3612 12096 : if (!o) o = p-1;
3613 12096 : m = factoru(o);
3614 12096 : P = gel(m,1);
3615 12096 : E = gel(m,2);
3616 28952 : for (i = lg(P)-1; i; i--)
3617 : {
3618 16856 : ulong j, l = P[i], e = E[i], t = o / upowuu(l,e), y = Fl_powu(a, t, p);
3619 16856 : if (y == 1) o = t;
3620 14861 : else for (j = 1; j < e; j++)
3621 : {
3622 4284 : y = Fl_powu(y, l, p);
3623 4284 : if (y == 1) { o = t * upowuu(l, j); break; }
3624 : }
3625 : }
3626 12096 : return gc_ulong(av, o);
3627 : }
3628 :
3629 : /*Find the exact order of a assuming a^o==1*/
3630 : GEN
3631 10676 : Fp_order(GEN a, GEN o, GEN p) {
3632 10676 : if (lgefint(p) == 3 && (!o || typ(o) == t_INT))
3633 : {
3634 21 : ulong pp = p[2], oo = (o && lgefint(o)==3)? o[2]: pp-1;
3635 21 : return utoi( Fl_order(umodiu(a, pp), oo, pp) );
3636 : }
3637 10655 : return gen_order(a, o, (void*)p, &Fp_star);
3638 : }
3639 : GEN
3640 56 : Fp_factored_order(GEN a, GEN o, GEN p)
3641 56 : { return gen_factored_order(a, o, (void*)p, &Fp_star); }
3642 :
3643 : /* return order of a mod p^e, e > 0, pe = p^e */
3644 : static GEN
3645 70 : Zp_order(GEN a, GEN p, long e, GEN pe)
3646 : {
3647 : GEN ap, op;
3648 70 : if (absequaliu(p, 2))
3649 : {
3650 56 : if (e == 1) return gen_1;
3651 56 : if (e == 2) return mod4(a) == 1? gen_1: gen_2;
3652 49 : if (mod4(a) == 1)
3653 14 : op = gen_1;
3654 : else {
3655 35 : op = gen_2;
3656 35 : a = Fp_sqr(a, pe);
3657 : }
3658 : } else {
3659 14 : ap = (e == 1)? a: remii(a,p);
3660 14 : op = Fp_order(ap, subiu(p,1), p);
3661 14 : if (e == 1) return op;
3662 0 : a = Fp_pow(a, op, pe); /* 1 mod p */
3663 : }
3664 49 : if (equali1(a)) return op;
3665 7 : return mulii(op, powiu(p, e - Z_pval(subiu(a,1), p)));
3666 : }
3667 :
3668 : GEN
3669 63 : znorder(GEN x, GEN o)
3670 : {
3671 63 : pari_sp av = avma;
3672 : GEN b, a;
3673 :
3674 63 : if (typ(x) != t_INTMOD) pari_err_TYPE("znorder [t_INTMOD expected]",x);
3675 56 : b = gel(x,1); a = gel(x,2);
3676 56 : if (!equali1(gcdii(a,b))) pari_err_COPRIME("znorder", a,b);
3677 49 : if (!o)
3678 : {
3679 35 : GEN fa = Z_factor(b), P = gel(fa,1), E = gel(fa,2);
3680 35 : long i, l = lg(P);
3681 35 : o = gen_1;
3682 70 : for (i = 1; i < l; i++)
3683 : {
3684 35 : GEN p = gel(P,i);
3685 35 : long e = itos(gel(E,i));
3686 :
3687 35 : if (l == 2)
3688 35 : o = Zp_order(a, p, e, b);
3689 : else {
3690 0 : GEN pe = powiu(p,e);
3691 0 : o = lcmii(o, Zp_order(remii(a,pe), p, e, pe));
3692 : }
3693 : }
3694 35 : return gerepileuptoint(av, o);
3695 : }
3696 14 : return Fp_order(a, o, b);
3697 : }
3698 : GEN
3699 0 : order(GEN x) { return znorder(x, NULL); }
3700 :
3701 : /*********************************************************************/
3702 : /** **/
3703 : /** DISCRETE LOGARITHM in (Z/nZ)* **/
3704 : /** **/
3705 : /*********************************************************************/
3706 : static GEN
3707 59681 : Fp_log_halfgcd(ulong bnd, GEN C, GEN g, GEN p)
3708 : {
3709 59681 : pari_sp av = avma;
3710 : GEN h1, h2, F, G;
3711 59681 : if (!Fp_ratlift(g,p,C,shifti(C,-1),&h1,&h2)) return gc_NULL(av);
3712 35839 : if ((F = Z_issmooth_fact(h1, bnd)) && (G = Z_issmooth_fact(h2, bnd)))
3713 : {
3714 228 : GEN M = cgetg(3, t_MAT);
3715 228 : gel(M,1) = vecsmall_concat(gel(F, 1),gel(G, 1));
3716 228 : gel(M,2) = vecsmall_concat(gel(F, 2),zv_neg_inplace(gel(G, 2)));
3717 228 : return gerepileupto(av, M);
3718 : }
3719 35611 : return gc_NULL(av);
3720 : }
3721 :
3722 : static GEN
3723 59681 : Fp_log_find_rel(GEN b, ulong bnd, GEN C, GEN p, GEN *g, long *e)
3724 : {
3725 : GEN rel;
3726 : do
3727 : {
3728 59681 : (*e)++; *g = Fp_mul(*g, b, p);
3729 59681 : rel = Fp_log_halfgcd(bnd, C, *g, p);
3730 59681 : } while (!rel);
3731 228 : return rel;
3732 : }
3733 :
3734 : struct Fp_log_rel
3735 : {
3736 : GEN rel;
3737 : ulong prmax;
3738 : long nbrel, nbmax, nbgen;
3739 : };
3740 :
3741 : /* add u^e */
3742 : static void
3743 2583 : addifsmooth1(struct Fp_log_rel *r, GEN z, long u, long e)
3744 : {
3745 2583 : pari_sp av = avma;
3746 2583 : long off = r->prmax+1;
3747 2583 : GEN F = cgetg(3, t_MAT);
3748 2583 : gel(F,1) = vecsmall_append(gel(z,1), off+u);
3749 2583 : gel(F,2) = vecsmall_append(gel(z,2), e);
3750 2583 : gel(r->rel,++r->nbrel) = gerepileupto(av, F);
3751 2583 : }
3752 :
3753 : /* add u^-1 v^-1 */
3754 : static void
3755 99869 : addifsmooth2(struct Fp_log_rel *r, GEN z, long u, long v)
3756 : {
3757 99869 : pari_sp av = avma;
3758 99869 : long off = r->prmax+1;
3759 99869 : GEN P = mkvecsmall2(off+u,off+v), E = mkvecsmall2(-1,-1);
3760 99869 : GEN F = cgetg(3, t_MAT);
3761 99869 : gel(F,1) = vecsmall_concat(gel(z,1), P);
3762 99869 : gel(F,2) = vecsmall_concat(gel(z,2), E);
3763 99869 : gel(r->rel,++r->nbrel) = gerepileupto(av, F);
3764 99869 : }
3765 :
3766 : /*
3767 : Let p=C^2+c
3768 : Solve h = (C+x)*(C+a)-p = 0 [mod l]
3769 : h= -c+x*(C+a)+C*a = 0 [mod l]
3770 : x = (c-C*a)/(C+a) [mod l]
3771 : h = -c+C*(x+a)+a*x
3772 : */
3773 :
3774 : GEN
3775 38975 : Fp_log_sieve_worker(long a, long prmax, GEN C, GEN c, GEN Ci, GEN ci, GEN pi, GEN sz)
3776 : {
3777 38975 : pari_sp ltop = avma;
3778 38975 : long th = expi(mulis(C,a)), n = lg(pi)-1;
3779 : long i, j;
3780 38990 : GEN sieve = zero_zv(a+2)+1;
3781 39026 : GEN L = cgetg(1+a+2, t_VEC);
3782 39015 : pari_sp av = avma;
3783 39015 : long rel = 1;
3784 : GEN z, h;
3785 39015 : h = addis(C,a);
3786 38979 : if ((z = Z_issmooth_fact(h, prmax)))
3787 : {
3788 2414 : gel(L, rel++) = mkvec2(z, mkvecsmall3(1, a, -1));
3789 2414 : av = avma;
3790 : }
3791 16697871 : for(i=1; i<=n; i++)
3792 : {
3793 16658931 : ulong li = pi[i], s = sz[i], al = a % li;
3794 16658931 : ulong u, iv = Fl_invsafe(Fl_add(Ci[i],al,li),li);
3795 17166068 : if (!iv) continue;
3796 16718624 : u = Fl_mul(Fl_sub(ci[i],Fl_mul(Ci[i],al,li),li), iv ,li);
3797 76324171 : for(j = u; j<=a; j+=li)
3798 60101852 : sieve[j] += s;
3799 : }
3800 38940 : th = th - expu(th)-1;
3801 27885186 : for(j=0; j<a; j++)
3802 27846151 : if (sieve[j]>=th)
3803 : {
3804 111580 : GEN h = addiu(subii(muliu(C,a+j),c), a*j);
3805 111483 : if ((z = Z_issmooth_fact(h, prmax)))
3806 : {
3807 104796 : gel(L, rel++) = mkvec2(z, mkvecsmall3(2, a, j));
3808 104955 : av = avma;
3809 6648 : } else set_avma(av);
3810 : }
3811 : /* j = a */
3812 39035 : if (sieve[a]>=th)
3813 : {
3814 420 : GEN h = addiu(subii(muliu(C,2*a),c), a*a);
3815 420 : if ((z = Z_issmooth_fact(h, prmax)))
3816 : {
3817 343 : gel(L, rel++) = mkvec2(z, mkvecsmall3(1, a, -2));
3818 343 : av = avma;
3819 : }
3820 : }
3821 39035 : setlg(L, rel);
3822 39034 : return gerepilecopy(ltop, L);
3823 : }
3824 :
3825 : static long
3826 49 : Fp_log_sieve(struct Fp_log_rel *r, GEN C, GEN c, GEN Ci, GEN ci, GEN pi, GEN sz)
3827 : {
3828 : struct pari_mt pt;
3829 49 : long i, j, nb = 0;
3830 49 : GEN worker = snm_closure(is_entry("_Fp_log_sieve_worker"),
3831 : mkvecn(7, utoi(r->prmax), C, c, Ci, ci, pi, sz));
3832 49 : long running, pending = 0;
3833 49 : GEN W = zerovec(r->nbgen);
3834 49 : mt_queue_start_lim(&pt, worker, r->nbgen);
3835 39305 : for (i = 0; (running = (i < r->nbgen)) || pending; i++)
3836 : {
3837 : GEN done;
3838 : long idx;
3839 39256 : mt_queue_submit(&pt, i, running ? mkvec(stoi(i)): NULL);
3840 39256 : done = mt_queue_get(&pt, &idx, &pending);
3841 39256 : if (!done || lg(done)==1) continue;
3842 34146 : gel(W, idx+1) = done;
3843 34146 : nb += lg(done)-1;
3844 34146 : if (DEBUGLEVEL && (i&127)==0)
3845 0 : err_printf("%ld%% ",100*nb/r->nbmax);
3846 : }
3847 49 : mt_queue_end(&pt);
3848 37870 : for(j = 1; j <= r->nbgen && r->nbrel < r->nbmax; j++)
3849 : {
3850 : long ll, m;
3851 37821 : GEN L = gel(W,j);
3852 37821 : if (isintzero(L)) continue;
3853 32942 : ll = lg(L);
3854 135394 : for (m=1; m<ll && r->nbrel < r->nbmax ; m++)
3855 : {
3856 102452 : GEN Lm = gel(L,m), h = gel(Lm, 1), v = gel(Lm, 2);
3857 102452 : if (v[1] == 1)
3858 2583 : addifsmooth1(r, h, v[2], v[3]);
3859 : else
3860 99869 : addifsmooth2(r, h, v[2], v[3]);
3861 : }
3862 : }
3863 49 : return j;
3864 : }
3865 :
3866 : static GEN
3867 525 : ECP_psi(GEN x, GEN y)
3868 : {
3869 525 : long prec = realprec(x);
3870 525 : GEN lx = glog(x, prec), ly = glog(y, prec);
3871 525 : GEN u = gdiv(lx, ly);
3872 525 : return gpow(u, gneg(u),prec);
3873 : }
3874 :
3875 : struct computeG
3876 : {
3877 : GEN C;
3878 : long bnd, nbi;
3879 : };
3880 :
3881 : static GEN
3882 525 : _computeG(void *E, GEN gen)
3883 : {
3884 525 : struct computeG * d = (struct computeG *) E;
3885 525 : GEN ps = ECP_psi(gmul(gen,d->C), stoi(d->bnd));
3886 525 : return gsub(gmul(gsqr(gen),ps),gmul2n(gaddgs(gen,d->nbi),2));
3887 : }
3888 :
3889 : static long
3890 49 : compute_nbgen(GEN C, long bnd, long nbi)
3891 : {
3892 : struct computeG d;
3893 49 : d.C = shifti(C, 1);
3894 49 : d.bnd = bnd;
3895 49 : d.nbi = nbi;
3896 49 : return itos(ground(zbrent((void*)&d, _computeG, gen_2, stoi(bnd), DEFAULTPREC)));
3897 : }
3898 :
3899 : static GEN
3900 1367 : _psi(void*E, GEN y)
3901 : {
3902 1367 : GEN lx = (GEN) E;
3903 1367 : long prec = realprec(lx);
3904 1367 : GEN ly = glog(y, prec);
3905 1367 : GEN u = gdiv(lx, ly);
3906 1367 : return gsub(gdiv(y ,ly), gpow(u, u, prec));
3907 : }
3908 :
3909 : static GEN
3910 49 : opt_param(GEN x, long prec)
3911 : {
3912 49 : return zbrent((void*)glog(x,prec), _psi, gen_2, x, prec);
3913 : }
3914 :
3915 : static GEN
3916 49 : check_kernel(long nbg, long N, long prmax, GEN C, GEN M, GEN p, GEN m)
3917 : {
3918 49 : pari_sp av = avma;
3919 49 : long lM = lg(M)-1, nbcol = lM;
3920 49 : long tbs = maxss(1, expu(nbg/expi(m)));
3921 : for (;;)
3922 35 : {
3923 84 : GEN K = FpMs_leftkernel_elt_col(M, nbcol, N, m);
3924 : GEN tab;
3925 84 : long i, f=0;
3926 84 : long l = lg(K), lm = lgefint(m);
3927 84 : GEN idx = diviiexact(subiu(p,1),m), g;
3928 : pari_timer ti;
3929 84 : if (DEBUGLEVEL) timer_start(&ti);
3930 140 : for(i=1; i<l; i++)
3931 140 : if (signe(gel(K,i)))
3932 84 : break;
3933 84 : g = Fp_pow(utoi(i), idx, p);
3934 84 : tab = Fp_pow_init(g, p, tbs, p);
3935 84 : K = FpC_Fp_mul(K, Fp_inv(gel(K,i), m), m);
3936 130438 : for(i=1; i<l; i++)
3937 : {
3938 130354 : GEN k = gel(K,i);
3939 130354 : GEN j = i<=prmax ? utoi(i): addis(C,i-(prmax+1));
3940 130354 : if (signe(k)==0 || !equalii(Fp_pow_table(tab, k, p), Fp_pow(j, idx, p)))
3941 80542 : gel(K,i) = cgetineg(lm);
3942 : else
3943 49812 : f++;
3944 : }
3945 84 : if (DEBUGLEVEL) timer_printf(&ti,"found %ld/%ld logs", f, nbg);
3946 133 : if(f > (nbg>>1)) return gerepileupto(av, K);
3947 9877 : for(i=1; i<=nbcol; i++)
3948 : {
3949 9842 : long a = 1+random_Fl(lM);
3950 9842 : swap(gel(M,a),gel(M,i));
3951 : }
3952 35 : if (4*nbcol>5*nbg) nbcol = nbcol*9/10;
3953 : }
3954 : }
3955 :
3956 : static GEN
3957 98 : Fp_log_find_ind(GEN a, GEN K, long prmax, GEN C, GEN p, GEN m)
3958 : {
3959 98 : pari_sp av=avma;
3960 98 : GEN aa = gen_1;
3961 98 : long AV = 0;
3962 : for(;;)
3963 130 : {
3964 228 : GEN A = Fp_log_find_rel(a, prmax, C, p, &aa, &AV);
3965 228 : GEN F = gel(A,1), E = gel(A,2);
3966 228 : GEN Ao = gen_0;
3967 228 : long i, l = lg(F);
3968 1156 : for(i=1; i<l; i++)
3969 : {
3970 1058 : GEN Ki = gel(K,F[i]);
3971 1058 : if (signe(Ki)<0) break;
3972 928 : Ao = addii(Ao, mulis(Ki, E[i]));
3973 : }
3974 326 : if (i==l) return Fp_div(Ao, utoi(AV), m);
3975 130 : aa = gerepileuptoint(av, aa);
3976 : }
3977 : }
3978 :
3979 : static GEN
3980 49 : Fp_log_index(GEN a, GEN b, GEN m, GEN p)
3981 : {
3982 49 : pari_sp av = avma, av2;
3983 49 : long i, j, nbi, nbr = 0, nbrow, nbg;
3984 : GEN C, c, Ci, ci, pi, pr, sz, l, Ao, Bo, K, d, p_1;
3985 : pari_timer ti;
3986 : struct Fp_log_rel r;
3987 49 : ulong bnds = itou(roundr_safe(opt_param(sqrti(p),DEFAULTPREC)));
3988 49 : ulong bnd = 4*bnds;
3989 49 : if (!bnds || cmpii(sqru(bnds),m)>=0) return NULL;
3990 :
3991 49 : p_1 = subiu(p,1);
3992 49 : if (!is_pm1(gcdii(m,diviiexact(p_1,m))))
3993 0 : m = diviiexact(p_1, Z_ppo(p_1, m));
3994 49 : pr = primes_upto_zv(bnd);
3995 49 : nbi = lg(pr)-1;
3996 49 : C = sqrtremi(p, &c);
3997 49 : av2 = avma;
3998 12236 : for (i = 1; i <= nbi; ++i)
3999 : {
4000 12187 : ulong lp = pr[i];
4001 37793 : while (lp <= bnd)
4002 : {
4003 13419 : nbr++;
4004 13419 : lp *= pr[i];
4005 : }
4006 : }
4007 49 : pi = cgetg(nbr+1,t_VECSMALL);
4008 49 : Ci = cgetg(nbr+1,t_VECSMALL);
4009 49 : ci = cgetg(nbr+1,t_VECSMALL);
4010 49 : sz = cgetg(nbr+1,t_VECSMALL);
4011 12236 : for (i = 1, j = 1; i <= nbi; ++i)
4012 : {
4013 12187 : ulong lp = pr[i], sp = expu(2*lp-1);
4014 37793 : while (lp <= bnd)
4015 : {
4016 13419 : pi[j] = lp;
4017 13419 : Ci[j] = umodiu(C, lp);
4018 13419 : ci[j] = umodiu(c, lp);
4019 13419 : sz[j] = sp;
4020 13419 : lp *= pr[i];
4021 13419 : j++;
4022 : }
4023 : }
4024 49 : r.nbrel = 0;
4025 49 : r.nbgen = compute_nbgen(C, bnd, nbi);
4026 49 : r.nbmax = 2*(nbi+r.nbgen);
4027 49 : r.rel = cgetg(r.nbmax+1,t_VEC);
4028 49 : r.prmax = pr[nbi];
4029 49 : if (DEBUGLEVEL)
4030 : {
4031 0 : err_printf("bnd=%lu Size FB=%ld extra gen=%ld \n", bnd, nbi, r.nbgen);
4032 0 : timer_start(&ti);
4033 : }
4034 49 : nbg = Fp_log_sieve(&r, C, c, Ci, ci, pi, sz);
4035 49 : nbrow = r.prmax + nbg;
4036 49 : if (DEBUGLEVEL)
4037 : {
4038 0 : err_printf("\n");
4039 0 : timer_printf(&ti," %ld relations, %ld generators", r.nbrel, nbi+nbg);
4040 : }
4041 49 : setlg(r.rel,r.nbrel+1);
4042 49 : r.rel = gerepilecopy(av2, r.rel);
4043 49 : K = check_kernel(nbi+nbrow-r.prmax, nbrow, r.prmax, C, r.rel, p, m);
4044 49 : if (DEBUGLEVEL) timer_start(&ti);
4045 49 : Ao = Fp_log_find_ind(a, K, r.prmax, C, p, m);
4046 49 : if (DEBUGLEVEL) timer_printf(&ti," log element");
4047 49 : Bo = Fp_log_find_ind(b, K, r.prmax, C, p, m);
4048 49 : if (DEBUGLEVEL) timer_printf(&ti," log generator");
4049 49 : d = gcdii(Ao,Bo);
4050 49 : l = Fp_div(diviiexact(Ao, d) ,diviiexact(Bo, d), m);
4051 49 : if (!equalii(a,Fp_pow(b,l,p))) pari_err_BUG("Fp_log_index");
4052 49 : return gerepileuptoint(av, l);
4053 : }
4054 :
4055 : static int
4056 713471 : Fp_log_use_index(long e, long p)
4057 : {
4058 713471 : return (e >= 27 && 20*(p+6)<=e*e);
4059 : }
4060 :
4061 : /* Trivial cases a = 1, -1. Return x s.t. g^x = a or [] if no such x exist */
4062 : static GEN
4063 1076163 : Fp_easylog(void *E, GEN a, GEN g, GEN ord)
4064 : {
4065 1076163 : pari_sp av = avma;
4066 1076163 : GEN p = (GEN)E;
4067 : /* assume a reduced mod p, p not necessarily prime */
4068 1076163 : if (equali1(a)) return gen_0;
4069 : /* p > 2 */
4070 662606 : if (equalii(subiu(p,1), a)) /* -1 */
4071 : {
4072 : pari_sp av2;
4073 : GEN t;
4074 218027 : ord = get_arith_Z(ord);
4075 218027 : if (mpodd(ord)) { set_avma(av); return cgetg(1, t_VEC); } /* no solution */
4076 218013 : t = shifti(ord,-1); /* only possible solution */
4077 218013 : av2 = avma;
4078 218013 : if (!equalii(Fp_pow(g, t, p), a)) { set_avma(av); return cgetg(1, t_VEC); }
4079 217817 : set_avma(av2); return gerepileuptoint(av, t);
4080 : }
4081 444579 : if (typ(ord)==t_INT && BPSW_psp(p) && Fp_log_use_index(expi(ord),expi(p)))
4082 49 : return Fp_log_index(a, g, ord, p);
4083 444530 : return gc_NULL(av); /* not easy */
4084 : }
4085 :
4086 : GEN
4087 747665 : Fp_log(GEN a, GEN g, GEN ord, GEN p)
4088 : {
4089 747665 : GEN v = get_arith_ZZM(ord);
4090 747637 : GEN F = gmael(v,2,1);
4091 747637 : long lF = lg(F)-1, lmax;
4092 747637 : if (lF == 0) return equali1(a)? gen_0: cgetg(1, t_VEC);
4093 631341 : lmax = expi(gel(F,lF));
4094 631341 : if (BPSW_psp(p) && Fp_log_use_index(lmax,expi(p)))
4095 49 : v = mkvec2(gel(v,1),ZM_famat_limit(gel(v,2),int2n(27)));
4096 631341 : return gen_PH_log(a,g,v,(void*)p,&Fp_star);
4097 : }
4098 :
4099 : static ulong
4100 0 : Fl_log_naive(ulong a, ulong g, ulong ord, ulong p)
4101 : {
4102 0 : ulong i, h=1;
4103 0 : for(i=0; i<ord; i++, h = Fl_mul(h, g, p))
4104 0 : if(a==h) return i;
4105 0 : return ~0UL;
4106 : }
4107 :
4108 : static ulong
4109 19005 : Fl_log_naive_pre(ulong a, ulong g, ulong ord, ulong p, ulong pi)
4110 : {
4111 19005 : ulong i, h=1;
4112 47866 : for(i=0; i<ord; i++, h = Fl_mul_pre(h, g, p, pi))
4113 47866 : if(a==h) return i;
4114 0 : return ~0UL;
4115 : }
4116 :
4117 : static ulong
4118 0 : Fl_log_Fp(ulong a, ulong g, ulong ord, ulong p)
4119 : {
4120 0 : pari_sp av = avma;
4121 0 : GEN r = Fp_log(utoi(a),utoi(g),utoi(ord),utoi(p));
4122 0 : return gc_ulong(av, typ(r)==t_INT ? itou(r): ~0UL);
4123 : }
4124 :
4125 : ulong
4126 19005 : Fl_log_pre(ulong a, ulong g, ulong ord, ulong p, ulong pi)
4127 : {
4128 19005 : if (ord <= 200) return Fl_log_naive_pre(a, g, ord, p, pi);
4129 0 : return Fl_log_Fp(a, g, ord, p);
4130 : }
4131 :
4132 : ulong
4133 0 : Fl_log(ulong a, ulong g, ulong ord, ulong p)
4134 : {
4135 0 : if (ord <= 200)
4136 0 : return (p&HIGHMASK) ? Fl_log_naive_pre(a, g, ord, p, get_Fl_red(p))
4137 0 : : Fl_log_naive(a, g, ord, p);
4138 0 : return Fl_log_Fp(a, g, ord, p);
4139 : }
4140 :
4141 : /* find x such that h = g^x mod N > 1, N = prod_{i <= l} P[i]^E[i], P[i] prime.
4142 : * PHI[l] = eulerphi(N / P[l]^E[l]). Destroys P/E */
4143 : static GEN
4144 112 : znlog_rec(GEN h, GEN g, GEN N, GEN P, GEN E, GEN PHI)
4145 : {
4146 112 : long l = lg(P) - 1, e = E[l];
4147 112 : GEN p = gel(P, l), phi = gel(PHI,l), pe = e == 1? p: powiu(p, e);
4148 : GEN a,b, hp,gp, hpe,gpe, ogpe; /* = order(g mod p^e) | p^(e-1)(p-1) */
4149 :
4150 112 : if (l == 1) {
4151 84 : hpe = h;
4152 84 : gpe = g;
4153 : } else {
4154 28 : hpe = modii(h, pe);
4155 28 : gpe = modii(g, pe);
4156 : }
4157 112 : if (e == 1) {
4158 28 : hp = hpe;
4159 28 : gp = gpe;
4160 : } else {
4161 84 : hp = remii(hpe, p);
4162 84 : gp = remii(gpe, p);
4163 : }
4164 112 : if (hp == gen_0 || gp == gen_0) return NULL;
4165 91 : if (absequaliu(p, 2))
4166 : {
4167 35 : GEN n = int2n(e);
4168 35 : ogpe = Zp_order(gpe, gen_2, e, n);
4169 35 : a = Fp_log(hpe, gpe, ogpe, n);
4170 35 : if (typ(a) != t_INT) return NULL;
4171 : }
4172 : else
4173 : { /* Avoid black box groups: (Z/p^2)^* / (Z/p)^* ~ (Z/pZ, +), where DL
4174 : is trivial */
4175 : /* [order(gp), factor(order(gp))] */
4176 56 : GEN v = Fp_factored_order(gp, subiu(p,1), p);
4177 56 : GEN ogp = gel(v,1);
4178 56 : if (!equali1(Fp_pow(hp, ogp, p))) return NULL;
4179 56 : a = Fp_log(hp, gp, v, p);
4180 56 : if (typ(a) != t_INT) return NULL;
4181 56 : if (e == 1) ogpe = ogp;
4182 : else
4183 : { /* find a s.t. g^a = h (mod p^e), p odd prime, e > 0, (h,p) = 1 */
4184 : /* use p-adic log: O(log p + e) mul*/
4185 : long vpogpe, vpohpe;
4186 :
4187 28 : hpe = Fp_mul(hpe, Fp_pow(gpe, negi(a), pe), pe);
4188 28 : gpe = Fp_pow(gpe, ogp, pe);
4189 : /* g,h = 1 mod p; compute b s.t. h = g^b */
4190 :
4191 : /* v_p(order g mod pe) */
4192 28 : vpogpe = equali1(gpe)? 0: e - Z_pval(subiu(gpe,1), p);
4193 : /* v_p(order h mod pe) */
4194 28 : vpohpe = equali1(hpe)? 0: e - Z_pval(subiu(hpe,1), p);
4195 28 : if (vpohpe > vpogpe) return NULL;
4196 :
4197 28 : ogpe = mulii(ogp, powiu(p, vpogpe)); /* order g mod p^e */
4198 28 : if (is_pm1(gpe)) return is_pm1(hpe)? a: NULL;
4199 28 : b = gdiv(Qp_log(cvtop(hpe, p, e)), Qp_log(cvtop(gpe, p, e)));
4200 28 : a = addii(a, mulii(ogp, padic_to_Q(b)));
4201 : }
4202 : }
4203 : /* gp^a = hp => x = a mod ogpe => generalized Pohlig-Hellman strategy */
4204 77 : if (l == 1) return a;
4205 :
4206 28 : N = diviiexact(N, pe); /* make N coprime to p */
4207 28 : h = Fp_mul(h, Fp_pow(g, modii(negi(a), phi), N), N);
4208 28 : g = Fp_pow(g, modii(ogpe, phi), N);
4209 28 : setlg(P, l); /* remove last element */
4210 28 : setlg(E, l);
4211 28 : b = znlog_rec(h, g, N, P, E, PHI);
4212 28 : if (!b) return NULL;
4213 28 : return addmulii(a, b, ogpe);
4214 : }
4215 :
4216 : static GEN
4217 84 : get_PHI(GEN P, GEN E)
4218 : {
4219 84 : long i, l = lg(P);
4220 84 : GEN PHI = cgetg(l, t_VEC);
4221 84 : gel(PHI,1) = gen_1;
4222 112 : for (i=1; i<l-1; i++)
4223 : {
4224 28 : GEN t, p = gel(P,i);
4225 28 : long e = E[i];
4226 28 : t = mulii(powiu(p, e-1), subiu(p,1));
4227 28 : if (i > 1) t = mulii(t, gel(PHI,i));
4228 28 : gel(PHI,i+1) = t;
4229 : }
4230 84 : return PHI;
4231 : }
4232 :
4233 : GEN
4234 224 : znlog(GEN h, GEN g, GEN o)
4235 : {
4236 224 : pari_sp av = avma;
4237 : GEN N, fa, P, E, x;
4238 224 : switch (typ(g))
4239 : {
4240 : case t_PADIC:
4241 : {
4242 28 : GEN p = gel(g,2);
4243 28 : long v = valp(g);
4244 28 : if (v < 0) pari_err_DIM("znlog");
4245 28 : if (v > 0) {
4246 0 : long k = gvaluation(h, p);
4247 0 : if (k % v) return cgetg(1,t_VEC);
4248 0 : k /= v;
4249 0 : if (!gequal(h, gpowgs(g,k))) { set_avma(av); return cgetg(1,t_VEC); }
4250 0 : set_avma(av); return stoi(k);
4251 : }
4252 28 : N = gel(g,3);
4253 28 : g = Rg_to_Fp(g, N);
4254 28 : break;
4255 : }
4256 : case t_INTMOD:
4257 189 : N = gel(g,1);
4258 189 : g = gel(g,2); break;
4259 7 : default: pari_err_TYPE("znlog", g);
4260 : return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
4261 : }
4262 217 : if (equali1(N)) { set_avma(av); return gen_0; }
4263 217 : h = Rg_to_Fp(h, N);
4264 210 : if (o) return gerepileupto(av, Fp_log(h, g, o, N));
4265 84 : fa = Z_factor(N);
4266 84 : P = gel(fa,1);
4267 84 : E = vec_to_vecsmall(gel(fa,2));
4268 84 : x = znlog_rec(h, g, N, P, E, get_PHI(P,E));
4269 84 : if (!x) { set_avma(av); return cgetg(1,t_VEC); }
4270 49 : return gerepileuptoint(av, x);
4271 : }
4272 :
4273 : GEN
4274 61301 : Fp_sqrtn(GEN a, GEN n, GEN p, GEN *zeta)
4275 : {
4276 61301 : if (lgefint(p)==3)
4277 : {
4278 60909 : long nn = itos_or_0(n);
4279 60909 : if (nn)
4280 : {
4281 60909 : ulong pp = p[2];
4282 : ulong uz;
4283 60909 : ulong r = Fl_sqrtn(umodiu(a,pp),nn,pp, zeta ? &uz:NULL);
4284 60888 : if (r==ULONG_MAX) return NULL;
4285 60853 : if (zeta) *zeta = utoi(uz);
4286 60853 : return utoi(r);
4287 : }
4288 : }
4289 392 : a = modii(a,p);
4290 392 : if (!signe(a))
4291 : {
4292 0 : if (zeta) *zeta = gen_1;
4293 0 : if (signe(n) < 0) pari_err_INV("Fp_sqrtn", mkintmod(gen_0,p));
4294 0 : return gen_0;
4295 : }
4296 392 : if (absequaliu(n,2))
4297 : {
4298 224 : if (zeta) *zeta = subiu(p,1);
4299 224 : return signe(n) > 0 ? Fp_sqrt(a,p): Fp_sqrt(Fp_inv(a, p),p);
4300 : }
4301 168 : return gen_Shanks_sqrtn(a,n,subiu(p,1),zeta,(void*)p,&Fp_star);
4302 : }
4303 :
4304 : /*********************************************************************/
4305 : /** **/
4306 : /** FUNDAMENTAL DISCRIMINANTS **/
4307 : /** **/
4308 : /*********************************************************************/
4309 : static long
4310 1407 : fa_isfundamental(GEN F)
4311 : {
4312 1407 : GEN P = gel(F,1), E = gel(F,2);
4313 1407 : long i, s, l = lg(P);
4314 :
4315 1407 : if (l == 1) return 1;
4316 1400 : s = signe(gel(P,1)); /* = signe(x) */
4317 1400 : if (!s) return 0;
4318 1393 : if (s < 0) { l--; P = vecslice(P,2,l); E = vecslice(E,2,l); }
4319 1393 : if (l == 1) return 0;
4320 1386 : if (!absequaliu(gel(P,1), 2))
4321 686 : i = 1; /* need x = 1 mod 4 */
4322 : else
4323 : {
4324 700 : i = 2;
4325 700 : switch(itou(gel(E,1)))
4326 : {
4327 182 : case 2: s = -s; break; /* need x/4 = 3 mod 4 */
4328 84 : case 3: s = 0; break; /* no condition mod 4 */
4329 434 : default: return 0;
4330 : }
4331 : }
4332 1974 : for(; i < l; i++)
4333 : {
4334 1190 : if (!equali1(gel(E,i))) return 0;
4335 1022 : if (s && Mod4(gel(P,i)) == 3) s = -s;
4336 : }
4337 784 : return s >= 0;
4338 : }
4339 : long
4340 17563 : isfundamental(GEN x)
4341 : {
4342 17563 : if (typ(x) != t_INT)
4343 : {
4344 1407 : pari_sp av = avma;
4345 1407 : long v = fa_isfundamental(check_arith_all(x,"isfundamental"));
4346 1407 : return gc_long(av,v);
4347 : }
4348 16156 : return Z_isfundamental(x);
4349 : }
4350 :
4351 : /* x fundamental ? */
4352 : long
4353 10583 : uposisfundamental(ulong x)
4354 : {
4355 10583 : ulong r = x & 15; /* x mod 16 */
4356 10583 : if (!r) return 0;
4357 10002 : switch(r & 3)
4358 : { /* x mod 4 */
4359 1947 : case 0: return (r == 4)? 0: uissquarefree(x >> 2);
4360 3109 : case 1: return uissquarefree(x);
4361 4946 : default: return 0;
4362 : }
4363 : }
4364 : /* -x fundamental ? */
4365 : long
4366 21211 : unegisfundamental(ulong x)
4367 : {
4368 21211 : ulong r = x & 15; /* x mod 16 */
4369 21211 : if (!r) return 0;
4370 20210 : switch(r & 3)
4371 : { /* x mod 4 */
4372 3676 : case 0: return (r == 12)? 0: uissquarefree(x >> 2);
4373 9698 : case 3: return uissquarefree(x);
4374 6836 : default: return 0;
4375 : }
4376 : }
4377 : long
4378 10353 : sisfundamental(long x)
4379 10353 : { return x < 0? unegisfundamental((ulong)(-x)): uposisfundamental(x); }
4380 :
4381 : long
4382 16723 : Z_isfundamental(GEN x)
4383 : {
4384 : long r;
4385 16723 : switch(lgefint(x))
4386 : {
4387 7 : case 2: return 0;
4388 22175 : case 3: return signe(x) < 0? unegisfundamental(x[2])
4389 22175 : : uposisfundamental(x[2]);
4390 : }
4391 2010 : r = mod16(x);
4392 2010 : if (!r) return 0;
4393 1884 : if ((r & 3) == 0)
4394 : {
4395 : pari_sp av;
4396 376 : r >>= 2; /* |x|/4 mod 4 */
4397 376 : if (signe(x) < 0) r = 4-r;
4398 376 : if (r == 1) return 0;
4399 250 : av = avma;
4400 250 : r = Z_issquarefree( shifti(x,-2) );
4401 250 : return gc_long(av, r);
4402 : }
4403 1508 : r &= 3; /* |x| mod 4 */
4404 1508 : if (signe(x) < 0) r = 4-r;
4405 1508 : return (r==1) ? Z_issquarefree(x) : 0;
4406 : }
4407 :
4408 : static GEN
4409 2821 : fa_quaddisc(GEN f)
4410 : {
4411 2821 : GEN P = gel(f,1), E = gel(f,2), s = gen_1;
4412 2821 : long i, l = lg(P);
4413 9051 : for (i = 1; i < l; i++) /* possibly including -1 */
4414 6230 : if (mpodd(gel(E,i))) s = mulii(s, gel(P,i));
4415 2821 : if (Mod4(s) > 1) s = shifti(s,2);
4416 2821 : return s;
4417 : }
4418 :
4419 : GEN
4420 2821 : quaddisc(GEN x)
4421 : {
4422 2821 : const pari_sp av = avma;
4423 2821 : if (is_rational_t(typ(x))) x = factor(x);
4424 1407 : else x = check_arith_all(x,"quaddisc");
4425 2821 : return gerepileuptoint(av, fa_quaddisc(x));
4426 : }
4427 :
4428 : /*********************************************************************/
4429 : /** **/
4430 : /** FACTORIAL **/
4431 : /** **/
4432 : /*********************************************************************/
4433 : GEN
4434 178844 : mulu_interval_step(ulong a, ulong b, ulong step)
4435 : {
4436 178844 : pari_sp av = avma;
4437 : ulong k, l, N, n;
4438 : long lx;
4439 : GEN x;
4440 :
4441 178844 : if (!a) return gen_0;
4442 178844 : if (step == 1) return mulu_interval(a, b);
4443 178844 : n = 1 + (b-a) / step;
4444 178844 : b -= (b-a) % step;
4445 178844 : if (n < 61)
4446 : {
4447 177548 : if (n == 1) return utoipos(a);
4448 131784 : x = muluu(a,a+step); if (n == 2) return x;
4449 95536 : for (k=a+2*step; k<=b; k+=step) x = mului(k,x);
4450 95536 : return gerepileuptoint(av, x);
4451 : }
4452 : /* step | b-a */
4453 1296 : lx = 1; x = cgetg(2 + n/2, t_VEC);
4454 1296 : N = b + a;
4455 240115 : for (k = a;; k += step)
4456 : {
4457 478934 : l = N - k; if (l <= k) break;
4458 238819 : gel(x,lx++) = muluu(k,l);
4459 : }
4460 1296 : if (l == k) gel(x,lx++) = utoipos(k);
4461 1296 : setlg(x, lx);
4462 1296 : return gerepileuptoint(av, ZV_prod(x));
4463 : }
4464 : /* return a * (a+1) * ... * b. Assume a <= b [ note: factoring out powers of 2
4465 : * first is slower ... ] */
4466 : GEN
4467 118692 : mulu_interval(ulong a, ulong b)
4468 : {
4469 118692 : pari_sp av = avma;
4470 : ulong k, l, N, n;
4471 : long lx;
4472 : GEN x;
4473 :
4474 118692 : if (!a) return gen_0;
4475 118692 : n = b - a + 1;
4476 118692 : if (n < 61)
4477 : {
4478 118636 : if (n == 1) return utoipos(a);
4479 99617 : x = muluu(a,a+1); if (n == 2) return x;
4480 69097 : for (k=a+2; k<=b; k++) x = mului(k,x);
4481 69097 : return gerepileuptoint(av, x);
4482 : }
4483 56 : lx = 1; x = cgetg(2 + n/2, t_VEC);
4484 56 : N = b + a;
4485 8736 : for (k = a;; k++)
4486 : {
4487 17416 : l = N - k; if (l <= k) break;
4488 8680 : gel(x,lx++) = muluu(k,l);
4489 : }
4490 56 : if (l == k) gel(x,lx++) = utoipos(k);
4491 56 : setlg(x, lx);
4492 56 : return gerepileuptoint(av, ZV_prod(x));
4493 : }
4494 : GEN
4495 448 : muls_interval(long a, long b)
4496 : {
4497 448 : pari_sp av = avma;
4498 448 : long lx, k, l, N, n = b - a + 1;
4499 : GEN x;
4500 :
4501 448 : if (a <= 0 && b >= 0) return gen_0;
4502 287 : if (n < 61)
4503 : {
4504 287 : x = stoi(a);
4505 287 : for (k=a+1; k<=b; k++) x = mulsi(k,x);
4506 287 : return gerepileuptoint(av, x);
4507 : }
4508 0 : lx = 1; x = cgetg(2 + n/2, t_VEC);
4509 0 : N = b + a;
4510 0 : for (k = a;; k++)
4511 : {
4512 0 : l = N - k; if (l <= k) break;
4513 0 : gel(x,lx++) = mulss(k,l);
4514 : }
4515 0 : if (l == k) gel(x,lx++) = stoi(k);
4516 0 : setlg(x, lx);
4517 0 : return gerepileuptoint(av, ZV_prod(x));
4518 : }
4519 :
4520 : GEN
4521 3033138 : mpfact(long n)
4522 : {
4523 3033138 : pari_sp av = avma;
4524 : GEN a, v;
4525 : long k;
4526 3033138 : if (n <= 12) switch(n)
4527 : {
4528 1932211 : case 0: case 1: return gen_1;
4529 623881 : case 2: return gen_2;
4530 259998 : case 3: return utoipos(6);
4531 107161 : case 4: return utoipos(24);
4532 21296 : case 5: return utoipos(120);
4533 14753 : case 6: return utoipos(720);
4534 1056 : case 7: return utoipos(5040);
4535 9307 : case 8: return utoipos(40320);
4536 165 : case 9: return utoipos(362880);
4537 9195 : case 10:return utoipos(3628800);
4538 58 : case 11:return utoipos(39916800);
4539 7014 : case 12:return utoipos(479001600);
4540 0 : default: pari_err_DOMAIN("factorial", "argument","<",gen_0,stoi(n));
4541 : }
4542 47043 : v = cgetg(expu(n) + 2, t_VEC);
4543 225642 : for (k = 1;; k++)
4544 178598 : {
4545 225642 : long m = n >> (k-1), l;
4546 225642 : if (m <= 2) break;
4547 178599 : l = (1 + (n >> k)) | 1;
4548 : /* product of odd numbers in ]n / 2^k, 2 / 2^(k-1)] */
4549 178599 : a = mulu_interval_step(l, m, 2);
4550 178599 : gel(v,k) = k == 1? a: powiu(a, k);
4551 : }
4552 47043 : a = gel(v,--k); while (--k) a = mulii(a, gel(v,k));
4553 47043 : a = shifti(a, factorial_lval(n, 2));
4554 47043 : return gerepileuptoint(av, a);
4555 : }
4556 :
4557 : /*******************************************************************/
4558 : /** **/
4559 : /** LUCAS & FIBONACCI **/
4560 : /** **/
4561 : /*******************************************************************/
4562 : static void
4563 56 : lucas(ulong n, GEN *a, GEN *b)
4564 : {
4565 : GEN z, t, zt;
4566 56 : if (!n) { *a = gen_2; *b = gen_1; return; }
4567 49 : lucas(n >> 1, &z, &t); zt = mulii(z, t);
4568 49 : switch(n & 3) {
4569 14 : case 0: *a = subiu(sqri(z),2); *b = subiu(zt,1); break;
4570 14 : case 1: *a = subiu(zt,1); *b = addiu(sqri(t),2); break;
4571 7 : case 2: *a = addiu(sqri(z),2); *b = addiu(zt,1); break;
4572 14 : case 3: *a = addiu(zt,1); *b = subiu(sqri(t),2);
4573 : }
4574 : }
4575 :
4576 : GEN
4577 7 : fibo(long n)
4578 : {
4579 7 : pari_sp av = avma;
4580 : GEN a, b;
4581 7 : if (!n) return gen_0;
4582 7 : lucas((ulong)(labs(n)-1), &a, &b);
4583 7 : a = diviuexact(addii(shifti(a,1),b), 5);
4584 7 : if (n < 0 && !odd(n)) setsigne(a, -1);
4585 7 : return gerepileuptoint(av, a);
4586 : }
4587 :
4588 : /*******************************************************************/
4589 : /* */
4590 : /* CONTINUED FRACTIONS */
4591 : /* */
4592 : /*******************************************************************/
4593 : static GEN
4594 488413 : icopy_lg(GEN x, long l)
4595 : {
4596 488413 : long lx = lgefint(x);
4597 : GEN y;
4598 :
4599 488413 : if (lx >= l) return icopy(x);
4600 35 : y = cgeti(l); affii(x, y); return y;
4601 : }
4602 :
4603 : /* continued fraction of a/b. If y != NULL, stop when partial quotients
4604 : * differ from y */
4605 : static GEN
4606 488709 : Qsfcont(GEN a, GEN b, GEN y, ulong k)
4607 : {
4608 : GEN z, c;
4609 488709 : ulong i, l, ly = lgefint(b);
4610 :
4611 : /* times 1 / log2( (1+sqrt(5)) / 2 ) */
4612 488709 : l = (ulong)(3 + bit_accuracy_mul(ly, 1.44042009041256));
4613 488709 : if (k > 0 && k+1 > 0 && l > k+1) l = k+1; /* beware overflow */
4614 488709 : if (l > LGBITS) l = LGBITS;
4615 :
4616 488709 : z = cgetg(l,t_VEC);
4617 488709 : l--;
4618 488709 : if (y) {
4619 296 : pari_sp av = avma;
4620 296 : if (l >= (ulong)lg(y)) l = lg(y)-1;
4621 19488 : for (i = 1; i <= l; i++)
4622 : {
4623 19303 : GEN q = gel(y,i);
4624 19303 : gel(z,i) = q;
4625 19303 : c = b; if (!gequal1(q)) c = mulii(q, b);
4626 19303 : c = subii(a, c);
4627 19303 : if (signe(c) < 0)
4628 : { /* partial quotient too large */
4629 110 : c = addii(c, b);
4630 110 : if (signe(c) >= 0) i++; /* by 1 */
4631 110 : break;
4632 : }
4633 19193 : if (cmpii(c, b) >= 0)
4634 : { /* partial quotient too small */
4635 1 : c = subii(c, b);
4636 1 : if (cmpii(c, b) < 0) {
4637 : /* by 1. If next quotient is 1 in y, add 1 */
4638 0 : if (i < l && equali1(gel(y,i+1))) gel(z,i) = addiu(q,1);
4639 0 : i++;
4640 : }
4641 1 : break;
4642 : }
4643 19192 : if ((i & 0xff) == 0) gerepileall(av, 2, &b, &c);
4644 19192 : a = b; b = c;
4645 : }
4646 : } else {
4647 488413 : a = icopy_lg(a, ly);
4648 488413 : b = icopy(b);
4649 1738365 : for (i = 1; i <= l; i++)
4650 : {
4651 1738101 : gel(z,i) = truedvmdii(a,b,&c);
4652 1738101 : if (c == gen_0) { i++; break; }
4653 1249952 : affii(c, a); cgiv(c); c = a;
4654 1249952 : a = b; b = c;
4655 : }
4656 : }
4657 488709 : i--;
4658 488709 : if (i > 1 && gequal1(gel(z,i)))
4659 : {
4660 85 : cgiv(gel(z,i)); --i;
4661 85 : gel(z,i) = addui(1, gel(z,i)); /* unclean: leave old z[i] on stack */
4662 : }
4663 488709 : setlg(z,i+1); return z;
4664 : }
4665 :
4666 : static GEN
4667 0 : sersfcont(GEN a, GEN b, long k)
4668 : {
4669 0 : long i, l = typ(a) == t_POL? lg(a): 3;
4670 : GEN y, c;
4671 0 : if (lg(b) > l) l = lg(b);
4672 0 : if (k > 0 && l > k+1) l = k+1;
4673 0 : y = cgetg(l,t_VEC);
4674 0 : for (i=1; i<l; i++)
4675 : {
4676 0 : gel(y,i) = poldivrem(a,b,&c);
4677 0 : if (gequal0(c)) { i++; break; }
4678 0 : a = b; b = c;
4679 : }
4680 0 : setlg(y, i); return y;
4681 : }
4682 :
4683 : GEN
4684 488973 : gboundcf(GEN x, long k)
4685 : {
4686 : pari_sp av;
4687 488973 : long tx = typ(x), e;
4688 : GEN y, a, b, c;
4689 :
4690 488973 : if (k < 0) pari_err_DOMAIN("gboundcf","nmax","<",gen_0,stoi(k));
4691 488966 : if (is_scalar_t(tx))
4692 : {
4693 488966 : if (gequal0(x)) return mkvec(gen_0);
4694 488917 : switch(tx)
4695 : {
4696 497 : case t_INT: return mkveccopy(x);
4697 : case t_REAL:
4698 303 : av = avma;
4699 303 : c = mantissa_real(x,&e);
4700 303 : if (e < 0) pari_err_PREC("gboundcf");
4701 296 : y = int2n(e);
4702 296 : a = Qsfcont(c,y, NULL, k);
4703 296 : b = addsi(signe(x), c);
4704 296 : return gerepilecopy(av, Qsfcont(b,y, a, k));
4705 :
4706 : case t_FRAC:
4707 488117 : av = avma;
4708 488117 : return gerepileupto(av, Qsfcont(gel(x,1),gel(x,2), NULL, k));
4709 : }
4710 0 : pari_err_TYPE("gboundcf",x);
4711 : }
4712 :
4713 0 : switch(tx)
4714 : {
4715 0 : case t_POL: return mkveccopy(x);
4716 : case t_SER:
4717 0 : av = avma;
4718 0 : return gerepileupto(av, gboundcf(ser2rfrac_i(x), k));
4719 : case t_RFRAC:
4720 0 : av = avma;
4721 0 : return gerepilecopy(av, sersfcont(gel(x,1), gel(x,2), k));
4722 : }
4723 0 : pari_err_TYPE("gboundcf",x);
4724 : return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
4725 : }
4726 :
4727 : static GEN
4728 14 : sfcont2(GEN b, GEN x, long k)
4729 : {
4730 14 : pari_sp av = avma;
4731 14 : long lb = lg(b), tx = typ(x), i;
4732 : GEN y,p1;
4733 :
4734 14 : if (k)
4735 : {
4736 7 : if (k >= lb) pari_err_DIM("contfrac [too few denominators]");
4737 0 : lb = k+1;
4738 : }
4739 7 : y = cgetg(lb,t_VEC);
4740 7 : if (lb==1) return y;
4741 7 : if (is_scalar_t(tx))
4742 : {
4743 7 : if (!is_intreal_t(tx) && tx != t_FRAC) pari_err_TYPE("sfcont2",x);
4744 : }
4745 0 : else if (tx == t_SER) x = ser2rfrac_i(x);
4746 :
4747 7 : if (!gequal1(gel(b,1))) x = gmul(gel(b,1),x);
4748 7 : for (i = 1;;)
4749 : {
4750 63 : if (tx == t_REAL)
4751 : {
4752 35 : long e = expo(x);
4753 35 : if (e > 0 && nbits2prec(e+1) > realprec(x)) break;
4754 35 : gel(y,i) = floorr(x);
4755 35 : p1 = subri(x, gel(y,i));
4756 : }
4757 : else
4758 : {
4759 0 : gel(y,i) = gfloor(x);
4760 0 : p1 = gsub(x, gel(y,i));
4761 : }
4762 35 : if (++i >= lb) break;
4763 28 : if (gequal0(p1)) break;
4764 28 : x = gdiv(gel(b,i),p1);
4765 : }
4766 7 : setlg(y,i);
4767 7 : return gerepilecopy(av,y);
4768 : }
4769 :
4770 :
4771 : GEN
4772 98 : gcf(GEN x) { return gboundcf(x,0); }
4773 : GEN
4774 0 : gcf2(GEN b, GEN x) { return contfrac0(x,b,0); }
4775 : GEN
4776 49 : contfrac0(GEN x, GEN b, long nmax)
4777 : {
4778 : long tb;
4779 :
4780 49 : if (!b) return gboundcf(x,nmax);
4781 28 : tb = typ(b);
4782 28 : if (tb == t_INT) return gboundcf(x,itos(b));
4783 21 : if (! is_vec_t(tb)) pari_err_TYPE("contfrac0",b);
4784 21 : if (nmax < 0) pari_err_DOMAIN("contfrac","nmax","<",gen_0,stoi(nmax));
4785 14 : return sfcont2(b,x,nmax);
4786 : }
4787 :
4788 : GEN
4789 238 : contfracpnqn(GEN x, long n)
4790 : {
4791 238 : pari_sp av = avma;
4792 238 : long i, lx = lg(x);
4793 : GEN M,A,B, p0,p1, q0,q1;
4794 :
4795 238 : if (lx == 1)
4796 : {
4797 28 : if (! is_matvec_t(typ(x))) pari_err_TYPE("pnqn",x);
4798 21 : if (n >= 0) return cgetg(1,t_MAT);
4799 7 : return matid(2);
4800 : }
4801 210 : switch(typ(x))
4802 : {
4803 168 : case t_VEC: case t_COL: A = x; B = NULL; break;
4804 : case t_MAT:
4805 42 : switch(lgcols(x))
4806 : {
4807 0 : case 2: A = row(x,1); B = NULL; break;
4808 35 : case 3: A = row(x,2); B = row(x,1); break;
4809 7 : default: pari_err_DIM("pnqn [ nbrows != 1,2 ]");
4810 : return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
4811 : }
4812 35 : break;
4813 0 : default: pari_err_TYPE("pnqn",x);
4814 : return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
4815 : }
4816 203 : p1 = gel(A,1);
4817 203 : q1 = B? gel(B,1): gen_1; /* p[0], q[0] */
4818 203 : if (n >= 0)
4819 : {
4820 168 : lx = minss(lx, n+2);
4821 168 : if (lx == 2) return gerepilecopy(av, mkmat(mkcol2(p1,q1)));
4822 : }
4823 35 : else if (lx == 2)
4824 7 : return gerepilecopy(av, mkmat2(mkcol2(p1,q1), mkcol2(gen_1,gen_0)));
4825 : /* lx >= 3 */
4826 105 : p0 = gen_1;
4827 105 : q0 = gen_0; /* p[-1], q[-1] */
4828 105 : M = cgetg(lx, t_MAT);
4829 105 : gel(M,1) = mkcol2(p1,q1);
4830 350 : for (i=2; i<lx; i++)
4831 : {
4832 245 : GEN a = gel(A,i), p2,q2;
4833 245 : if (B) {
4834 84 : GEN b = gel(B,i);
4835 84 : p0 = gmul(b,p0);
4836 84 : q0 = gmul(b,q0);
4837 : }
4838 245 : p2 = gadd(gmul(a,p1),p0); p0=p1; p1=p2;
4839 245 : q2 = gadd(gmul(a,q1),q0); q0=q1; q1=q2;
4840 245 : gel(M,i) = mkcol2(p1,q1);
4841 : }
4842 105 : if (n < 0) M = mkmat2(gel(M,lx-1), gel(M,lx-2));
4843 105 : return gerepilecopy(av, M);
4844 : }
4845 : GEN
4846 0 : pnqn(GEN x) { return contfracpnqn(x,-1); }
4847 : /* x = [a0, ..., an] from gboundcf, n >= 0;
4848 : * return [[p0, ..., pn], [q0,...,qn]] */
4849 : GEN
4850 480802 : ZV_allpnqn(GEN x)
4851 : {
4852 480802 : long i, lx = lg(x);
4853 480802 : GEN p0, p1, q0, q1, p2, q2, P,Q, v = cgetg(3,t_VEC);
4854 :
4855 480802 : gel(v,1) = P = cgetg(lx, t_VEC);
4856 480802 : gel(v,2) = Q = cgetg(lx, t_VEC);
4857 480802 : p0 = gen_1; q0 = gen_0;
4858 480802 : gel(P, 1) = p1 = gel(x,1); gel(Q, 1) = q1 = gen_1;
4859 1685516 : for (i=2; i<lx; i++)
4860 : {
4861 1204714 : GEN a = gel(x,i);
4862 1204714 : gel(P, i) = p2 = addmulii(p0, a, p1); p0 = p1; p1 = p2;
4863 1204714 : gel(Q, i) = q2 = addmulii(q0, a, q1); q0 = q1; q1 = q2;
4864 : }
4865 480802 : return v;
4866 : }
4867 :
4868 : /* write Mod(x,N) as a/b, gcd(a,b) = 1, b <= B (no condition if B = NULL) */
4869 : static GEN
4870 42 : mod_to_frac(GEN x, GEN N, GEN B)
4871 : {
4872 : GEN a, b, A;
4873 42 : if (B) A = divii(shifti(N, -1), B);
4874 : else
4875 : {
4876 14 : A = sqrti(shifti(N, -1));
4877 14 : B = A;
4878 : }
4879 42 : if (!Fp_ratlift(x, N, A,B,&a,&b) || !equali1( gcdii(a,b) )) return NULL;
4880 28 : return equali1(b)? a: mkfrac(a,b);
4881 : }
4882 :
4883 : static GEN
4884 70 : mod_to_rfrac(GEN x, GEN N, long B)
4885 : {
4886 : GEN a, b;
4887 70 : long A, d = degpol(N);
4888 70 : if (B >= 0) A = d-1 - B;
4889 : else
4890 : {
4891 42 : B = d >> 1;
4892 42 : A = odd(d)? B : B-1;
4893 : }
4894 70 : if (varn(N) != varn(x)) x = scalarpol(x, varn(N));
4895 70 : if (!RgXQ_ratlift(x, N, A, B, &a,&b) || degpol(RgX_gcd(a,b)) > 0) return NULL;
4896 56 : return gdiv(a,b);
4897 : }
4898 :
4899 : /* k > 0 t_INT, x a t_FRAC, returns the convergent a/b
4900 : * of the continued fraction of x with b <= k maximal */
4901 : static GEN
4902 0 : bestappr_frac(GEN x, GEN k)
4903 : {
4904 : pari_sp av;
4905 : GEN p0, p1, p, q0, q1, q, a, y;
4906 :
4907 0 : if (cmpii(gel(x,2),k) <= 0) return gcopy(x);
4908 0 : av = avma; y = x;
4909 0 : p1 = gen_1; p0 = truedvmdii(gel(x,1), gel(x,2), &a); /* = floor(x) */
4910 0 : q1 = gen_0; q0 = gen_1;
4911 0 : x = mkfrac(a, gel(x,2)); /* = frac(x); now 0<= x < 1 */
4912 : for(;;)
4913 : {
4914 0 : x = ginv(x); /* > 1 */
4915 0 : a = typ(x)==t_INT? x: divii(gel(x,1), gel(x,2));
4916 0 : if (cmpii(a,k) > 0)
4917 : { /* next partial quotient will overflow limits */
4918 : GEN n, d;
4919 0 : a = divii(subii(k, q1), q0);
4920 0 : p = addii(mulii(a,p0), p1); p1=p0; p0=p;
4921 0 : q = addii(mulii(a,q0), q1); q1=q0; q0=q;
4922 : /* compare |y-p0/q0|, |y-p1/q1| */
4923 0 : n = gel(y,1);
4924 0 : d = gel(y,2);
4925 0 : if (abscmpii(mulii(q1, subii(mulii(q0,n), mulii(d,p0))),
4926 : mulii(q0, subii(mulii(q1,n), mulii(d,p1)))) < 0)
4927 0 : { p1 = p0; q1 = q0; }
4928 0 : break;
4929 : }
4930 0 : p = addii(mulii(a,p0), p1); p1=p0; p0=p;
4931 0 : q = addii(mulii(a,q0), q1); q1=q0; q0=q;
4932 :
4933 0 : if (cmpii(q0,k) > 0) break;
4934 0 : x = gsub(x,a); /* 0 <= x < 1 */
4935 0 : if (typ(x) == t_INT) { p1 = p0; q1 = q0; break; } /* x = 0 */
4936 :
4937 : }
4938 0 : return gerepileupto(av, gdiv(p1,q1));
4939 : }
4940 : /* k > 0 t_INT, x != 0 a t_REAL, returns the convergent a/b
4941 : * of the continued fraction of x with b <= k maximal */
4942 : static GEN
4943 277862 : bestappr_real(GEN x, GEN k)
4944 : {
4945 277862 : pari_sp av = avma;
4946 277862 : GEN kr, p0, p1, p, q0, q1, q, a, y = x;
4947 :
4948 277862 : p1 = gen_1; a = p0 = floorr(x);
4949 277862 : q1 = gen_0; q0 = gen_1;
4950 277862 : x = subri(x,a); /* 0 <= x < 1 */
4951 277862 : if (!signe(x)) { cgiv(x); return a; }
4952 270700 : kr = itor(k, realprec(x));
4953 : for(;;)
4954 468370 : {
4955 : long d;
4956 739070 : x = invr(x); /* > 1 */
4957 739070 : if (cmprr(x,kr) > 0)
4958 : { /* next partial quotient will overflow limits */
4959 265891 : a = divii(subii(k, q1), q0);
4960 265891 : p = addii(mulii(a,p0), p1); p1=p0; p0=p;
4961 265891 : q = addii(mulii(a,q0), q1); q1=q0; q0=q;
4962 : /* compare |y-p0/q0|, |y-p1/q1| */
4963 265891 : if (abscmprr(mulir(q1, subri(mulir(q0,y), p0)),
4964 : mulir(q0, subri(mulir(q1,y), p1))) < 0)
4965 5055 : { p1 = p0; q1 = q0; }
4966 265891 : break;
4967 : }
4968 473179 : d = nbits2prec(expo(x) + 1);
4969 473179 : if (d > lg(x)) { p1 = p0; q1 = q0; break; } /* original x was ~ 0 */
4970 :
4971 472994 : a = truncr(x); /* truncr(x) will NOT raise e_PREC */
4972 472994 : p = addii(mulii(a,p0), p1); p1=p0; p0=p;
4973 472994 : q = addii(mulii(a,q0), q1); q1=q0; q0=q;
4974 :
4975 472994 : if (cmpii(q0,k) > 0) break;
4976 468821 : x = subri(x,a); /* 0 <= x < 1 */
4977 468821 : if (!signe(x)) { p1 = p0; q1 = q0; break; }
4978 : }
4979 270700 : if (signe(q1) < 0) { togglesign_safe(&p1); togglesign_safe(&q1); }
4980 270700 : return gerepilecopy(av, equali1(q1)? p1: mkfrac(p1,q1));
4981 : }
4982 :
4983 : /* k t_INT or NULL */
4984 : static GEN
4985 426445 : bestappr_Q(GEN x, GEN k)
4986 : {
4987 426445 : long lx, tx = typ(x), i;
4988 : GEN a, y;
4989 :
4990 426445 : switch(tx)
4991 : {
4992 77 : case t_INT: return icopy(x);
4993 0 : case t_FRAC: return k? bestappr_frac(x, k): gcopy(x);
4994 : case t_REAL:
4995 317529 : if (!signe(x)) return gen_0;
4996 : /* i <= e iff nbits2lg(e+1) > lg(x) iff floorr(x) fails */
4997 277863 : i = bit_prec(x); if (i <= expo(x)) return NULL;
4998 277862 : return bestappr_real(x, k? k: int2n(i));
4999 :
5000 : case t_INTMOD: {
5001 28 : pari_sp av = avma;
5002 28 : a = mod_to_frac(gel(x,2), gel(x,1), k); if (!a) return NULL;
5003 21 : return gerepilecopy(av, a);
5004 : }
5005 : case t_PADIC: {
5006 14 : pari_sp av = avma;
5007 14 : long v = valp(x);
5008 14 : a = mod_to_frac(gel(x,4), gel(x,3), k); if (!a) return NULL;
5009 7 : if (v) a = gmul(a, powis(gel(x,2), v));
5010 7 : return gerepilecopy(av, a);
5011 : }
5012 :
5013 : case t_COMPLEX: {
5014 126 : pari_sp av = avma;
5015 126 : y = cgetg(3, t_COMPLEX);
5016 126 : gel(y,2) = bestappr(gel(x,2), k);
5017 126 : gel(y,1) = bestappr(gel(x,1), k);
5018 126 : if (gequal0(gel(y,2))) return gerepileupto(av, gel(y,1));
5019 0 : return y;
5020 : }
5021 : case t_SER:
5022 0 : if (ser_isexactzero(x)) return gcopy(x);
5023 : /* fall through */
5024 : case t_POLMOD: case t_POL: case t_RFRAC:
5025 : case t_VEC: case t_COL: case t_MAT:
5026 108671 : y = cgetg_copy(x, &lx);
5027 108671 : if (lontyp[tx] == 1) i = 1; else { y[1] = x[1]; i = 2; }
5028 523941 : for (; i<lx; i++)
5029 : {
5030 415272 : a = bestappr_Q(gel(x,i),k); if (!a) return NULL;
5031 415270 : gel(y,i) = a;
5032 : }
5033 108669 : if (tx == t_POL) return normalizepol(y);
5034 108655 : if (tx == t_SER) return normalize(y);
5035 108655 : return y;
5036 : }
5037 0 : pari_err_TYPE("bestappr_Q",x);
5038 : return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
5039 : }
5040 :
5041 : static GEN
5042 56 : bestappr_ser(GEN x, long B)
5043 : {
5044 56 : long dN, v = valp(x), lx = lg(x);
5045 : GEN t;
5046 56 : x = normalizepol(ser2pol_i(x, lx));
5047 56 : dN = lx-2;
5048 56 : if (v > 0)
5049 : {
5050 14 : x = RgX_shift_shallow(x, v);
5051 14 : dN += v;
5052 : }
5053 42 : else if (v < 0)
5054 : {
5055 7 : if (B >= 0) B = maxss(B+v, 0);
5056 : }
5057 56 : t = mod_to_rfrac(x, pol_xn(dN, varn(x)), B);
5058 56 : if (!t) return NULL;
5059 42 : if (v < 0)
5060 : {
5061 : GEN a, b;
5062 : long vx;
5063 7 : if (typ(t) == t_POL) return RgX_mulXn(t, v);
5064 : /* t_RFRAC */
5065 7 : vx = varn(x);
5066 7 : a = gel(t,1);
5067 7 : b = gel(t,2);
5068 7 : v -= RgX_valrem(b, &b);
5069 7 : if (typ(a) == t_POL && varn(a) == vx) v += RgX_valrem(a, &a);
5070 7 : if (v < 0) b = RgX_shift(b, -v);
5071 0 : else if (v > 0) {
5072 0 : if (typ(a) != t_POL || varn(a) != vx) a = scalarpol_shallow(a, vx);
5073 0 : a = RgX_shift(a, v);
5074 : }
5075 7 : t = mkrfraccopy(a, b);
5076 : }
5077 42 : return t;
5078 : }
5079 : static GEN bestappr_RgX(GEN x, long B);
5080 : /* x t_POLMOD, B >= 0 or < 0 [omit condition on B].
5081 : * Look for coprime t_POL a,b, deg(b)<=B, such that a/b = x */
5082 : static GEN
5083 77 : bestappr_RgX(GEN x, long B)
5084 : {
5085 77 : long i, lx, tx = typ(x);
5086 : GEN y, t;
5087 77 : switch(tx)
5088 : {
5089 : case t_INT: case t_REAL: case t_INTMOD: case t_FRAC:
5090 : case t_COMPLEX: case t_PADIC: case t_QUAD: case t_POL:
5091 0 : return gcopy(x);
5092 :
5093 : case t_RFRAC: {
5094 14 : pari_sp av = avma;
5095 14 : if (B < 0 || degpol(gel(x,2)) <= B) return gcopy(x);
5096 7 : x = rfrac_to_ser(x, 2*B+1);
5097 7 : t = bestappr_ser(x, B); if (!t) return NULL;
5098 0 : return gerepileupto(av, t);
5099 : }
5100 : case t_POLMOD: {
5101 14 : pari_sp av = avma;
5102 14 : t = mod_to_rfrac(gel(x,2), gel(x,1), B); if (!t) return NULL;
5103 14 : return gerepileupto(av, t);
5104 : }
5105 : case t_SER: {
5106 49 : pari_sp av = avma;
5107 49 : t = bestappr_ser(x, B); if (!t) return NULL;
5108 42 : return gerepileupto(av, t);
5109 : }
5110 :
5111 : case t_VEC: case t_COL: case t_MAT:
5112 0 : y = cgetg_copy(x, &lx);
5113 0 : if (lontyp[tx] == 1) i = 1; else { y[1] = x[1]; i = 2; }
5114 0 : for (; i<lx; i++)
5115 : {
5116 0 : t = bestappr_RgX(gel(x,i),B); if (!t) return NULL;
5117 0 : gel(y,i) = t;
5118 : }
5119 0 : return y;
5120 : }
5121 0 : pari_err_TYPE("bestappr_RgX",x);
5122 : return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
5123 : }
5124 :
5125 : /* allow k = NULL: maximal accuracy */
5126 : GEN
5127 11173 : bestappr(GEN x, GEN k)
5128 : {
5129 11173 : pari_sp av = avma;
5130 11173 : if (k) { /* replace by floor(k) */
5131 10900 : switch(typ(k))
5132 : {
5133 : case t_INT:
5134 1225 : break;
5135 : case t_REAL: case t_FRAC:
5136 9675 : k = floor_safe(k); /* left on stack for efficiency */
5137 9675 : if (!signe(k)) k = gen_1;
5138 9675 : break;
5139 : default:
5140 0 : pari_err_TYPE("bestappr [bound type]", k);
5141 0 : break;
5142 : }
5143 : }
5144 11173 : x = bestappr_Q(x, k);
5145 11173 : if (!x) { set_avma(av); return cgetg(1,t_VEC); }
5146 11158 : return x;
5147 : }
5148 : GEN
5149 77 : bestapprPade(GEN x, long B)
5150 : {
5151 77 : pari_sp av = avma;
5152 77 : GEN t = bestappr_RgX(x, B);
5153 77 : if (!t) { set_avma(av); return cgetg(1,t_VEC); }
5154 63 : return t;
5155 : }
5156 :
5157 : /***********************************************************************/
5158 : /** **/
5159 : /** FUNDAMENTAL UNIT AND REGULATOR (QUADRATIC FIELDS) **/
5160 : /** **/
5161 : /***********************************************************************/
5162 :
5163 : static GEN
5164 14 : get_quad(GEN f, GEN pol, long r)
5165 : {
5166 14 : GEN p1 = gcoeff(f,1,2), q1 = gcoeff(f,2,2);
5167 14 : return mkquad(pol, r? subii(p1,q1): p1, q1);
5168 : }
5169 :
5170 : /* replace f by f * [a,1; 1,0] */
5171 : static void
5172 14 : update_f(GEN f, GEN a)
5173 : {
5174 : GEN p1;
5175 14 : p1 = gcoeff(f,1,1);
5176 14 : gcoeff(f,1,1) = addii(mulii(a,p1), gcoeff(f,1,2));
5177 14 : gcoeff(f,1,2) = p1;
5178 :
5179 14 : p1 = gcoeff(f,2,1);
5180 14 : gcoeff(f,2,1) = addii(mulii(a,p1), gcoeff(f,2,2));
5181 14 : gcoeff(f,2,2) = p1;
5182 14 : }
5183 :
5184 : GEN
5185 7 : quadunit(GEN x)
5186 : {
5187 7 : pari_sp av = avma, av2;
5188 : GEN pol, y, a, u, v, sqd, f;
5189 : long r;
5190 :
5191 7 : check_quaddisc_real(x, &r, "quadunit");
5192 7 : pol = quadpoly(x);
5193 7 : sqd = sqrti(x); av2 = avma;
5194 7 : a = shifti(addui(r,sqd),-1);
5195 7 : f = mkmat2(mkcol2(a, gen_1), mkcol2(gen_1, gen_0)); /* [a,0; 1,0] */
5196 7 : u = stoi(r); v = gen_2;
5197 : for(;;)
5198 7 : {
5199 : GEN u1, v1;
5200 14 : u1 = subii(mulii(a,v),u);
5201 14 : v1 = divii(subii(x,sqri(u1)),v);
5202 14 : if ( equalii(v,v1) ) {
5203 7 : y = get_quad(f,pol,r);
5204 7 : update_f(f,a);
5205 7 : y = gdiv(get_quad(f,pol,r), conj_i(y));
5206 7 : break;
5207 : }
5208 7 : a = divii(addii(sqd,u1), v1);
5209 7 : if ( equalii(u,u1) ) {
5210 0 : y = get_quad(f,pol,r);
5211 0 : y = gdiv(y, conj_i(y));
5212 0 : break;
5213 : }
5214 7 : update_f(f,a);
5215 7 : u = u1; v = v1;
5216 7 : if (gc_needed(av2,2))
5217 : {
5218 0 : if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"quadunit");
5219 0 : gerepileall(av2,4, &a,&f,&u,&v);
5220 : }
5221 : }
5222 7 : if (signe(gel(y,3)) < 0) y = gneg(y);
5223 7 : return gerepileupto(av, y);
5224 : }
5225 :
5226 : GEN
5227 7 : quadunit0(GEN x, long v)
5228 : {
5229 7 : GEN y = quadunit(x);
5230 7 : if (v==-1) v = fetch_user_var("w");
5231 7 : setvarn(gel(y,1), v);
5232 7 : return y;
5233 : }
5234 :
5235 : GEN
5236 21 : quadregulator(GEN x, long prec)
5237 : {
5238 21 : pari_sp av = avma, av2;
5239 : GEN R, rsqd, u, v, sqd;
5240 : long r, Rexpo;
5241 :
5242 21 : check_quaddisc_real(x, &r, "quadregulator");
5243 21 : sqd = sqrti(x);
5244 21 : rsqd = gsqrt(x,prec);
5245 21 : Rexpo = 0; R = real2n(1, prec); /* = 2 */
5246 21 : av2 = avma;
5247 21 : u = stoi(r); v = gen_2;
5248 : for(;;)
5249 49 : {
5250 70 : GEN u1 = subii(mulii(divii(addii(u,sqd),v), v), u);
5251 70 : GEN v1 = divii(subii(x,sqri(u1)),v);
5252 70 : if (equalii(v,v1))
5253 : {
5254 7 : R = sqrr(R); shiftr_inplace(R, -1);
5255 7 : R = mulrr(R, divri(addir(u1,rsqd),v));
5256 7 : break;
5257 : }
5258 63 : if (equalii(u,u1))
5259 : {
5260 14 : R = sqrr(R); shiftr_inplace(R, -1);
5261 14 : break;
5262 : }
5263 49 : R = mulrr(R, divri(addir(u1,rsqd),v));
5264 49 : Rexpo += expo(R); setexpo(R,0);
5265 49 : u = u1; v = v1;
5266 49 : if (Rexpo & ~EXPOBITS) pari_err_OVERFLOW("quadregulator [exponent]");
5267 49 : if (gc_needed(av2,2))
5268 : {
5269 0 : if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"quadregulator");
5270 0 : gerepileall(av2,3, &R,&u,&v);
5271 : }
5272 : }
5273 21 : R = logr_abs(divri(R,v));
5274 21 : if (Rexpo)
5275 : {
5276 21 : GEN t = mulsr(Rexpo, mplog2(prec));
5277 21 : shiftr_inplace(t, 1);
5278 21 : R = addrr(R,t);
5279 : }
5280 21 : return gerepileuptoleaf(av, R);
5281 : }
5282 :
5283 : /*************************************************************************/
5284 : /** **/
5285 : /** CLASS NUMBER **/
5286 : /** **/
5287 : /*************************************************************************/
5288 :
5289 : int
5290 12943797 : qfb_equal1(GEN f) { return equali1(gel(f,1)); }
5291 :
5292 18316834 : static GEN qfi_pow(void *E, GEN f, GEN n)
5293 18316834 : { return E? nupow(f,n,(GEN)E): powgi(f,n); }
5294 23025703 : static GEN qfi_comp(void *E, GEN f, GEN g)
5295 23025703 : { return E? nucomp(f,g,(GEN)E): qficomp(f,g); }
5296 : static const struct bb_group qfi_group={ qfi_comp,qfi_pow,NULL,hash_GEN,
5297 : gidentical,qfb_equal1,NULL};
5298 :
5299 : GEN
5300 2941241 : qfi_order(GEN q, GEN o)
5301 2941241 : { return gen_order(q, o, NULL, &qfi_group); }
5302 :
5303 : GEN
5304 0 : qfi_log(GEN a, GEN g, GEN o)
5305 0 : { return gen_PH_log(a, g, o, NULL, &qfi_group); }
5306 :
5307 : GEN
5308 626556 : qfi_Shanks(GEN a, GEN g, long n)
5309 : {
5310 626556 : pari_sp av = avma;
5311 : GEN T, X;
5312 : long rt_n, c;
5313 :
5314 626556 : a = redimag(a);
5315 626556 : g = redimag(g);
5316 :
5317 626556 : rt_n = sqrt((double)n);
5318 626556 : c = n / rt_n;
5319 626556 : c = (c * rt_n < n + 1) ? c + 1 : c;
5320 :
5321 626556 : T = gen_Shanks_init(g, rt_n, NULL, &qfi_group);
5322 626556 : X = gen_Shanks(T, a, c, NULL, &qfi_group);
5323 :
5324 626556 : if (!X) { set_avma(av); return X; }
5325 332549 : return gerepileuptoint(av, X);
5326 : }
5327 :
5328 : GEN
5329 140 : qfbclassno0(GEN x,long flag)
5330 : {
5331 140 : switch(flag)
5332 : {
5333 126 : case 0: return map_proto_G(classno,x);
5334 14 : case 1: return map_proto_G(classno2,x);
5335 0 : default: pari_err_FLAG("qfbclassno");
5336 : }
5337 : return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
5338 : }
5339 :
5340 : /* f^h = 1, return order(f). Set *pfao to its factorization */
5341 : static GEN
5342 2776995 : find_order(void *E, GEN f, GEN h, GEN *pfao)
5343 : {
5344 2776995 : GEN v = gen_factored_order(f, h, E, &qfi_group);
5345 2776995 : *pfao = gel(v,2); return gel(v,1);
5346 : }
5347 :
5348 : static int
5349 6705 : ok_q(GEN q, GEN h, GEN d2, long r2)
5350 : {
5351 6705 : if (d2)
5352 : {
5353 7 : if (r2 <= 2 && !mpodd(q)) return 0;
5354 7 : return is_pm1(Z_ppo(q,d2));
5355 : }
5356 : else
5357 : {
5358 6698 : if (r2 <= 1 && !mpodd(q)) return 0;
5359 6698 : return is_pm1(Z_ppo(q,h));
5360 : }
5361 : }
5362 :
5363 : /* a,b given by their factorizations. Return factorization of lcm(a,b).
5364 : * Set A,B such that A*B = lcm(a, b), (A,B)=1, A|a, B|b */
5365 : static GEN
5366 362162 : split_lcm(GEN a, GEN Fa, GEN b, GEN Fb, GEN *pA, GEN *pB)
5367 : {
5368 362162 : GEN P = ZC_union_shallow(gel(Fa,1), gel(Fb,1));
5369 362162 : GEN A = gen_1, B = gen_1;
5370 362162 : long i, l = lg(P);
5371 362162 : GEN E = cgetg(l, t_COL);
5372 1071040 : for (i=1; i<l; i++)
5373 : {
5374 708878 : GEN p = gel(P,i);
5375 708878 : long va = Z_pval(a,p);
5376 708878 : long vb = Z_pval(b,p);
5377 708878 : if (va < vb)
5378 : {
5379 364289 : B = mulii(B,powiu(p,vb));
5380 364289 : gel(E,i) = utoi(vb);
5381 : }
5382 : else
5383 : {
5384 344589 : A = mulii(A,powiu(p,va));
5385 344589 : gel(E,i) = utoi(va);
5386 : }
5387 : }
5388 362162 : *pA = A;
5389 362162 : *pB = B; return mkmat2(P,E);
5390 : }
5391 :
5392 : /* g1 has order d1, f has order o, replace g1 by an element of order lcm(d1,o)*/
5393 : static void
5394 362162 : update_g1(GEN *pg1, GEN *pd1, GEN *pfad1, GEN f, GEN o, GEN fao)
5395 : {
5396 362162 : GEN A,B, g1 = *pg1, d1 = *pd1;
5397 362162 : *pfad1 = split_lcm(d1,*pfad1, o,fao, &A,&B);
5398 362162 : *pg1 = gmul(powgi(g1, diviiexact(d1,A)), powgi(f, diviiexact(o,B)));
5399 362162 : *pd1 = mulii(A,B); /* g1 has order d1 <- lcm(d1,o) */
5400 362162 : }
5401 :
5402 : /* Write x = Df^2, where D = fundamental discriminant,
5403 : * P^E = factorisation of conductor f, with E[i] >= 0 */
5404 : static void
5405 2060327 : corediscfact(GEN x, long xmod4, GEN *ptD, GEN *ptP, GEN *ptE)
5406 : {
5407 2060327 : long s = signe(x), l, i;
5408 2060327 : GEN fa = absZ_factor(x);
5409 2060327 : GEN d, P = gel(fa,1), E = gtovecsmall(gel(fa,2));
5410 :
5411 2060327 : l = lg(P); d = gen_1;
5412 5362951 : for (i=1; i<l; i++)
5413 : {
5414 3302624 : if (E[i] & 1) d = mulii(d, gel(P,i));
5415 3302624 : E[i] >>= 1;
5416 : }
5417 2060327 : if (!xmod4 && mod4(d) != ((s < 0)? 3: 1)) { d = shifti(d,2); E[1]--; }
5418 2060327 : *ptD = (s < 0)? negi(d): d;
5419 2060327 : *ptP = P;
5420 2060327 : *ptE = E;
5421 2060327 : }
5422 :
5423 : static GEN
5424 2052517 : conductor_part(GEN x, long xmod4, GEN *ptD, GEN *ptreg)
5425 : {
5426 2052517 : long l, i, s = signe(x);
5427 : GEN E, H, D, P, reg;
5428 :
5429 2052517 : corediscfact(x, xmod4, &D, &P, &E);
5430 2052517 : H = gen_1; l = lg(P);
5431 : /* f \prod_{p|f} [ 1 - (D/p) p^-1 ] = \prod_{p^e||f} p^(e-1) [ p - (D/p) ] */
5432 5329269 : for (i=1; i<l; i++)
5433 : {
5434 3276752 : long e = E[i];
5435 3276752 : if (e)
5436 : {
5437 7 : GEN p = gel(P,i);
5438 7 : H = mulii(H, subis(p, kronecker(D,p)));
5439 7 : if (e >= 2) H = mulii(H, powiu(p,e-1));
5440 : }
5441 : }
5442 :
5443 : /* divide by [ O_K^* : O^* ] */
5444 2052517 : if (s < 0)
5445 : {
5446 2052503 : reg = NULL;
5447 2052503 : switch(itou_or_0(D))
5448 : {
5449 0 : case 4: H = shifti(H,-1); break;
5450 0 : case 3: H = divis(H,3); break;
5451 : }
5452 : } else {
5453 14 : reg = quadregulator(D,DEFAULTPREC);
5454 14 : if (!equalii(x,D))
5455 0 : H = divii(H, roundr(divrr(quadregulator(x,DEFAULTPREC), reg)));
5456 : }
5457 2052517 : if (ptreg) *ptreg = reg;
5458 2052517 : *ptD = D; return H;
5459 : }
5460 :
5461 : static long
5462 2052496 : two_rank(GEN x)
5463 : {
5464 2052496 : GEN p = gel(absZ_factor(x),1);
5465 2052496 : long l = lg(p)-1;
5466 : #if 0 /* positive disc not needed */
5467 : if (signe(x) > 0)
5468 : {
5469 : long i;
5470 : for (i=1; i<=l; i++)
5471 : if (mod4(gel(p,i)) == 3) { l--; break; }
5472 : }
5473 : #endif
5474 2052496 : return l-1;
5475 : }
5476 :
5477 : static GEN
5478 38995259 : sqr_primeform(GEN x, ulong p) { return redimag(qfisqr(primeform_u(x, p))); }
5479 : /* return a set of forms hopefully generating Cl(K)^2; set L ~ L(chi_D,1) */
5480 : static GEN
5481 2052496 : get_forms(GEN D, GEN *pL)
5482 : {
5483 2052496 : const long MAXFORM = 20;
5484 2052496 : GEN L, sqrtD = gsqrt(absi_shallow(D),DEFAULTPREC);
5485 2052496 : GEN forms = vectrunc_init(MAXFORM+1);
5486 2052496 : long s, nforms = 0;
5487 : ulong p;
5488 : forprime_t S;
5489 2052496 : L = mulrr(divrr(sqrtD,mppi(DEFAULTPREC)), dbltor(1.005));/*overshoot by 0.5%*/
5490 2052496 : s = itos_or_0( truncr(shiftr(sqrtr(sqrtD), 1)) );
5491 2052496 : if (!s) pari_err_OVERFLOW("classno [discriminant too large]");
5492 2052496 : if (s < 10) s = 200;
5493 1901369 : else if (s < 20) s = 1000;
5494 1477 : else if (s < 5000) s = 5000;
5495 2052496 : u_forprime_init(&S, 2, s);
5496 344232110 : while ( (p = u_forprime_next(&S)) )
5497 : {
5498 340127118 : long d, k = kroiu(D,p);
5499 : pari_sp av2;
5500 340127118 : if (!k) continue;
5501 337897177 : if (k > 0)
5502 : {
5503 169485505 : if (++nforms < MAXFORM) vectrunc_append(forms, sqr_primeform(D,p));
5504 169485505 : d = p-1;
5505 : }
5506 : else
5507 168411672 : d = p+1;
5508 337897177 : av2 = avma; affrr(divru(mulur(p,L),d), L); set_avma(av2);
5509 : }
5510 2052496 : *pL = L; return forms;
5511 : }
5512 :
5513 : /* h ~ #G, return o = order of f, set fao = its factorization */
5514 : static GEN
5515 2052545 : Shanks_order(void *E, GEN f, GEN h, GEN *pfao)
5516 : {
5517 2052545 : long s = minss(itos(sqrti(h)), 10000);
5518 2052545 : GEN T = gen_Shanks_init(f, s, E, &qfi_group);
5519 2052545 : GEN v = gen_Shanks(T, ginv(f), ULONG_MAX, E, &qfi_group);
5520 2052545 : return find_order(E, f, addiu(v,1), pfao);
5521 : }
5522 :
5523 : /* if g = 1 in G/<f> ? */
5524 : static int
5525 518 : equal1(void *E, GEN T, ulong N, GEN g)
5526 518 : { return !!gen_Shanks(T, g, N, E, &qfi_group); }
5527 :
5528 : /* Order of 'a' in G/<f>, T = gen_Shanks_init(f,n), order(f) < n*N
5529 : * FIXME: should be gen_order, but equal1 has the wrong prototype */
5530 : static GEN
5531 112 : relative_order(void *E, GEN a, GEN o, ulong N, GEN T)
5532 : {
5533 112 : pari_sp av = avma;
5534 : long i, l;
5535 : GEN m;
5536 :
5537 112 : m = get_arith_ZZM(o);
5538 112 : if (!m) pari_err_TYPE("gen_order [missing order]",a);
5539 112 : o = gel(m,1);
5540 112 : m = gel(m,2); l = lgcols(m);
5541 322 : for (i = l-1; i; i--)
5542 : {
5543 210 : GEN t, y, p = gcoeff(m,i,1);
5544 210 : long j, e = itos(gcoeff(m,i,2));
5545 210 : if (l == 2) {
5546 35 : t = gen_1;
5547 35 : y = a;
5548 : } else {
5549 175 : t = diviiexact(o, powiu(p,e));
5550 175 : y = powgi(a, t);
5551 : }
5552 210 : if (equal1(E, T,N,y)) o = t;
5553 : else {
5554 126 : for (j = 1; j < e; j++)
5555 : {
5556 28 : y = powgi(y, p);
5557 28 : if (equal1(E, T,N,y)) break;
5558 : }
5559 119 : if (j < e) {
5560 21 : if (j > 1) p = powiu(p, j);
5561 21 : o = mulii(t, p);
5562 : }
5563 : }
5564 : }
5565 112 : return gerepilecopy(av, o);
5566 : }
5567 :
5568 : /* h(x) for x<0 using Baby Step/Giant Step.
5569 : * Assumes G is not too far from being cyclic.
5570 : *
5571 : * Compute G^2 instead of G so as to kill most of the non-cyclicity */
5572 : GEN
5573 2054893 : classno(GEN x)
5574 : {
5575 2054893 : pari_sp av = avma;
5576 : long r2, k, s, i, l;
5577 : GEN forms, hin, Hf, D, g1, d1, d2, q, L, fad1, order_bound;
5578 : void *E;
5579 :
5580 2054893 : if (signe(x) >= 0) return classno2(x);
5581 :
5582 2054886 : check_quaddisc(x, &s, &k, "classno");
5583 2054886 : if (abscmpiu(x,12) <= 0) return gen_1;
5584 :
5585 2052496 : Hf = conductor_part(x, k, &D, NULL);
5586 2052496 : if (abscmpiu(D,12) <= 0) return gerepilecopy(av, Hf);
5587 2052496 : forms = get_forms(D, &L);
5588 2052496 : r2 = two_rank(D);
5589 2052496 : hin = roundr(shiftr(L, -r2)); /* rough approximation for #G, G = Cl(K)^2 */
5590 :
5591 2052496 : l = lg(forms);
5592 2052496 : order_bound = const_vec(l-1, NULL);
5593 2052496 : E = expi(D) > 60? (void*)sqrtnint(shifti(absi_shallow(D),-2),4): NULL;
5594 2052496 : g1 = gel(forms,1);
5595 2052496 : gel(order_bound,1) = d1 = Shanks_order(E, g1, hin, &fad1);
5596 2052496 : q = diviiround(hin, d1); /* approximate order of G/<g1> */
5597 2052496 : d2 = NULL; /* not computed yet */
5598 2052496 : if (is_pm1(q)) goto END;
5599 509036 : for (i=2; i < l; i++)
5600 : {
5601 502268 : GEN o, fao, a, F, fd, f = gel(forms,i);
5602 502268 : fd = powgi(f, d1); if (is_pm1(gel(fd,1))) continue;
5603 362162 : F = powgi(fd, q);
5604 362162 : a = gel(F,1);
5605 362162 : o = is_pm1(a)? find_order(E, fd, q, &fao): Shanks_order(E, fd, q, &fao);
5606 : /* f^(d1 q) = 1 */
5607 362162 : fao = merge_factor(fad1,fao, (void*)&cmpii, &cmp_nodata);
5608 362162 : o = find_order(E, f, fao, &fao);
5609 362162 : gel(order_bound,i) = o;
5610 : /* o = order of f, fao = factor(o) */
5611 362162 : update_g1(&g1,&d1,&fad1, f,o,fao);
5612 362162 : q = diviiround(hin, d1);
5613 362162 : if (is_pm1(q)) goto END;
5614 : }
5615 : /* very probably d1 = expo(Cl^2(K)), q ~ #Cl^2(K) / d1 */
5616 6768 : if (expi(q) > 3)
5617 : { /* q large: compute d2, 2nd elt divisor */
5618 70 : ulong N, n = 2*itou(sqrti(d1));
5619 70 : GEN D = d1, T = gen_Shanks_init(g1, n, E, &qfi_group);
5620 70 : d2 = gen_1;
5621 70 : N = itou( gceil(gdivgs(d1,n)) ); /* order(g1) <= n*N */
5622 287 : for (i = 1; i < l; i++)
5623 : {
5624 280 : GEN d, f = gel(forms,i), B = gel(order_bound,i);
5625 280 : if (!B) B = find_order(E, f, fad1, /*junk*/&d);
5626 280 : f = powgi(f,d2);
5627 280 : if (equal1(E, T,N,f)) continue;
5628 112 : B = gdiv(B,d2); if (typ(B) == t_FRAC) B = gel(B,1);
5629 : /* f^B = 1 */
5630 112 : d = relative_order(E, f, B, N,T);
5631 112 : d2= mulii(d,d2);
5632 112 : D = mulii(d1,d2);
5633 112 : q = diviiround(hin,D);
5634 112 : if (is_pm1(q)) { d1 = D; goto END; }
5635 : }
5636 : /* very probably, d2 is the 2nd elementary divisor */
5637 7 : d1 = D; /* product of first two elt divisors */
5638 : }
5639 : /* impose q | d2^oo (d1^oo if d2 not computed), and compatible with known
5640 : * 2-rank */
5641 6705 : if (!ok_q(q,d1,d2,r2))
5642 : {
5643 0 : GEN q0 = q;
5644 : long d;
5645 0 : if (cmpii(mulii(q,d1), hin) < 0)
5646 : { /* try q = q0+1,-1,+2,-2 */
5647 0 : d = 1;
5648 0 : do { q = addis(q0,d); d = d>0? -d: 1-d; } while(!ok_q(q,d1,d2,r2));
5649 : }
5650 : else
5651 : { /* q0-1,+1,-2,+2 */
5652 0 : d = -1;
5653 0 : do { q = addis(q0,d); d = d<0? -d: -1-d; } while(!ok_q(q,d1,d2,r2));
5654 : }
5655 : }
5656 6705 : d1 = mulii(d1,q);
5657 :
5658 : END:
5659 2052496 : return gerepileuptoint(av, shifti(mulii(d1,Hf), r2));
5660 : }
5661 :
5662 : GEN
5663 0 : quadclassno(GEN x)
5664 : {
5665 0 : pari_sp av = avma;
5666 : GEN Hf, D;
5667 : long s, r;
5668 0 : check_quaddisc(x, &s, &r, "quadclassno");
5669 0 : if (s < 0 && abscmpiu(x,12) <= 0) return gen_1;
5670 0 : Hf = conductor_part(x, r, &D, NULL);
5671 0 : return gerepileuptoint(av, mulii(Hf, gel(quadclassunit0(D,0,NULL,0),1)));
5672 : }
5673 :
5674 : /* use Euler products */
5675 : GEN
5676 21 : classno2(GEN x)
5677 : {
5678 21 : pari_sp av = avma;
5679 21 : const long prec = DEFAULTPREC;
5680 : long n, i, r, s;
5681 : GEN p1, p2, S, p4, p5, p7, Hf, Pi, reg, logd, d, dr, D, half;
5682 :
5683 21 : check_quaddisc(x, &s, &r, "classno2");
5684 21 : if (s < 0 && abscmpiu(x,12) <= 0) return gen_1;
5685 :
5686 21 : Hf = conductor_part(x, r, &D, ®);
5687 21 : if (s < 0 && abscmpiu(D,12) <= 0) return gerepilecopy(av, Hf); /* |D| < 12*/
5688 :
5689 21 : Pi = mppi(prec);
5690 21 : d = absi_shallow(D); dr = itor(d, prec);
5691 21 : logd = logr_abs(dr);
5692 21 : p1 = sqrtr(divrr(mulir(d,logd), gmul2n(Pi,1)));
5693 21 : if (s > 0)
5694 : {
5695 14 : GEN invlogd = invr(logd);
5696 14 : p2 = subsr(1, shiftr(mulrr(logr_abs(reg),invlogd),1));
5697 14 : if (cmprr(sqrr(p2), shiftr(invlogd,1)) >= 0) p1 = mulrr(p2,p1);
5698 : }
5699 21 : n = itos_or_0( mptrunc(p1) );
5700 21 : if (!n) pari_err_OVERFLOW("classno [discriminant too large]");
5701 :
5702 21 : p4 = divri(Pi,d);
5703 21 : p7 = invr(sqrtr_abs(Pi));
5704 21 : half = real2n(-1, prec);
5705 21 : if (s > 0)
5706 : { /* i = 1, shortcut */
5707 14 : p1 = sqrtr_abs(dr);
5708 14 : p5 = subsr(1, mulrr(p7,incgamc(half,p4,prec)));
5709 14 : S = addrr(mulrr(p1,p5), eint1(p4,prec));
5710 546 : for (i=2; i<=n; i++)
5711 : {
5712 532 : long k = kroiu(D,i); if (!k) continue;
5713 434 : p2 = mulir(sqru(i), p4);
5714 434 : p5 = subsr(1, mulrr(p7,incgamc(half,p2,prec)));
5715 434 : p5 = addrr(divru(mulrr(p1,p5),i), eint1(p2,prec));
5716 434 : S = (k>0)? addrr(S,p5): subrr(S,p5);
5717 : }
5718 14 : S = shiftr(divrr(S,reg),-1);
5719 : }
5720 : else
5721 : { /* i = 1, shortcut */
5722 7 : p1 = gdiv(sqrtr_abs(dr), Pi);
5723 7 : p5 = subsr(1, mulrr(p7,incgamc(half,p4,prec)));
5724 7 : S = addrr(p5, divrr(p1, mpexp(p4)));
5725 952 : for (i=2; i<=n; i++)
5726 : {
5727 945 : long k = kroiu(D,i); if (!k) continue;
5728 945 : p2 = mulir(sqru(i), p4);
5729 945 : p5 = subsr(1, mulrr(p7,incgamc(half,p2,prec)));
5730 945 : p5 = addrr(p5, divrr(p1, mulur(i, mpexp(p2))));
5731 945 : S = (k>0)? addrr(S,p5): subrr(S,p5);
5732 : }
5733 : }
5734 21 : return gerepileuptoint(av, mulii(Hf, roundr(S)));
5735 : }
5736 :
5737 : /* 1 + q + ... + q^v, v > 0 */
5738 : static GEN
5739 120 : geomsumu(ulong q, long v)
5740 : {
5741 120 : GEN u = utoipos(1+q);
5742 120 : for (; v > 1; v--) u = addui(1, mului(q, u));
5743 120 : return u;
5744 : }
5745 : static GEN
5746 120 : geomsum(GEN q, long v)
5747 : {
5748 : GEN u;
5749 120 : if (lgefint(q) == 3) return geomsumu(q[2], v);
5750 0 : u = addiu(q,1);
5751 0 : for (; v > 1; v--) u = addui(1, mulii(q, u));
5752 0 : return u;
5753 : }
5754 :
5755 : static GEN
5756 7810 : hclassno6_large(GEN x)
5757 : {
5758 : long i, l, s, xmod4;
5759 : GEN Q, H, D, P, E;
5760 :
5761 7810 : x = negi(x);
5762 7810 : check_quaddisc(x, &s, &xmod4, "hclassno");
5763 7810 : corediscfact(x, xmod4, &D, &P, &E);
5764 :
5765 7810 : Q = quadclassunit0(D, 0, NULL, 0);
5766 7810 : H = gel(Q,1); l = lg(P);
5767 :
5768 : /* H \prod_{p^e||f} (1 + (p^e-1)/(p-1))[ p - (D/p) ] */
5769 33682 : for (i=1; i<l; i++)
5770 : {
5771 25872 : long e = E[i], s;
5772 : GEN p, t;
5773 25872 : if (!e) continue;
5774 5003 : p = gel(P,i); s = kronecker(D,p);
5775 5003 : if (e == 1) t = addiu(p, 1-s);
5776 1000 : else if (s == 1) t = powiu(p,e);
5777 120 : else t = addui(1, mulii(subis(p, s), geomsum(p,e-1)));
5778 5003 : H = mulii(H,t);
5779 : }
5780 7810 : switch( itou_or_0(D) )
5781 : {
5782 0 : case 3: H = shifti(H,1);break;
5783 0 : case 4: H = muliu(H,3); break;
5784 7810 : default:H = muliu(H,6); break;
5785 : }
5786 7810 : return H;
5787 : }
5788 :
5789 : /* x > 0, x = 0,3 (mod 4). Return 6*hclassno(x), an integer */
5790 : GEN
5791 121870 : hclassno6(GEN x)
5792 : {
5793 121870 : ulong d = itou_or_0(x);
5794 121870 : if (!d || d > 500000) return hclassno6_large(x);
5795 114060 : return utoipos(hclassno6u(d));
5796 : }
5797 :
5798 : GEN
5799 46088 : hclassno(GEN x)
5800 : {
5801 : long a, s;
5802 46088 : if (typ(x) != t_INT) pari_err_TYPE("hclassno",x);
5803 46088 : s = signe(x);
5804 46088 : if (s < 0) return gen_0;
5805 46088 : if (!s) return gdivgs(gen_1, -12);
5806 46088 : a = mod4(x); if (a == 1 || a == 2) return gen_0;
5807 46088 : return gdivgs(hclassno6(x), 6);
5808 : }
5809 : /******************************************************************/
5810 : /* */
5811 : /* RAMANUJAN's TAU FUNCTION */
5812 : /* */
5813 : /******************************************************************/
5814 : /* 4|N > 0, not fundamental at 2; 6 * Hurwitz class number in level 2,
5815 : * equal to 6*(H(N)+2H(N/4)), H=qfbhclassno */
5816 : static GEN
5817 36750 : Hspec(GEN N)
5818 : {
5819 36750 : long v2 = Z_lvalrem(N, 2, &N), v2f = v2 >> 1;
5820 : GEN t;
5821 36750 : if (odd(v2)) { v2f--; N = shifti(N,3); }
5822 32557 : else if (mod4(N)!=3) { v2f--; N = shifti(N,2); }
5823 : /* N fundamental at 2, v2f = v2(f) s.t. N = f^2 D, D fundamental */
5824 36750 : t = addui(3, muliu(subiu(int2n(v2f+1), 3), 2 - kroiu(N,2)));
5825 36750 : return mulii(t, hclassno6(N));
5826 : }
5827 :
5828 : /* Ramanujan tau function for p prime */
5829 : static GEN
5830 14903 : tauprime(GEN p)
5831 : {
5832 14903 : pari_sp av = avma, av2;
5833 : GEN s, p2, p2_7, p_9, T;
5834 : ulong lim, t, tin;
5835 :
5836 14903 : if (absequaliu(p, 2)) return utoineg(24);
5837 : /* p > 2 */
5838 11396 : p2 = sqri(p);
5839 11396 : p2_7 = mului(7, p2);
5840 11396 : p_9 = mului(9, p);
5841 11396 : av2 = avma;
5842 11396 : lim = itou(sqrtint(p));
5843 11396 : tin = mod4(p) == 3? 1: 0;
5844 11396 : s = gen_0;
5845 87178 : for (t = 1; t <= lim; ++t)
5846 : {
5847 75782 : GEN h, a, t2 = sqru(t), D = shifti(subii(p, t2), 2); /* 4(p-t^2) */
5848 : /* t mod 2 != tin <=> D not fundamental at 2 */
5849 75782 : h = ((t&1UL) == tin)? hclassno6(D): Hspec(D);
5850 75782 : a = mulii(powiu(t2,3), addii(p2_7, mulii(t2, subii(shifti(t2,2), p_9))));
5851 75782 : s = addii(s, mulii(a,h));
5852 75782 : if (!(t & 255)) s = gerepileuptoint(av2, s);
5853 : }
5854 : /* 28p^3 - 28p^2 - 90p - 35 */
5855 11396 : T = subii(shifti(mulii(p2_7, subiu(p,1)), 2), addiu(mului(90,p), 35));
5856 11396 : s = shifti(diviuexact(s, 3), 6);
5857 11396 : return gerepileuptoint(av, subii(mulii(mulii(p2,p),T), addui(1, s)));
5858 : }
5859 :
5860 : /* Ramanujan tau function, return 0 for <= 0 */
5861 : GEN
5862 7035 : ramanujantau(GEN n)
5863 : {
5864 7035 : pari_sp ltop = avma;
5865 : GEN T, F, P, E;
5866 : long j, lP;
5867 :
5868 7035 : if (!(F = check_arith_all(n,"ramanujantau")))
5869 : {
5870 7014 : if (signe(n) <= 0) return gen_0;
5871 7007 : F = Z_factor(n);
5872 : }
5873 : else
5874 : {
5875 21 : P = gel(F,1);
5876 21 : if (lg(P) == 1 || signe(gel(P,1)) <= 0) return gen_0;
5877 : }
5878 :
5879 7014 : P = gel(F,1);
5880 7014 : E = gel(F,2); lP = lg(P);
5881 7014 : T = gen_1;
5882 21917 : for (j = 1; j < lP; j++)
5883 : {
5884 14903 : GEN p = gel(P,j), tp = tauprime(p), t1 = tp, t0 = gen_1;
5885 14903 : long k, e = itou(gel(E,j));
5886 20160 : for (k = 1; k < e; k++)
5887 : {
5888 5257 : GEN t2 = subii(mulii(tp, t1), mulii(powiu(p, 11), t0));
5889 5257 : t0 = t1; t1 = t2;
5890 : }
5891 14903 : T = mulii(T, t1);
5892 : }
5893 7014 : return gerepileuptoint(ltop, T);
5894 : }
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