Line data Source code
1 : /* Copyright (C) 2000 The PARI group.
2 :
3 : This file is part of the PARI/GP package.
4 :
5 : PARI/GP is free software; you can redistribute it and/or modify it under the
6 : terms of the GNU General Public License as published by the Free Software
7 : Foundation. It is distributed in the hope that it will be useful, but WITHOUT
8 : ANY WARRANTY WHATSOEVER.
9 :
10 : Check the License for details. You should have received a copy of it, along
11 : with the package; see the file 'COPYING'. If not, write to the Free Software
12 : Foundation, Inc., 51 Franklin Street, Fifth Floor, Boston, MA 02110-1301 USA. */
13 :
14 : /*********************************************************************/
15 : /** **/
16 : /** ARITHMETIC FUNCTIONS **/
17 : /** (first part) **/
18 : /** **/
19 : /*********************************************************************/
20 : #include "pari.h"
21 : #include "paripriv.h"
22 :
23 : /******************************************************************/
24 : /* */
25 : /* GENERATOR of (Z/mZ)* */
26 : /* */
27 : /******************************************************************/
28 : static GEN
29 50 : remove2(GEN q) { long v = vali(q); return v? shifti(q, -v): q; }
30 : static ulong
31 56338 : u_remove2(ulong q) { return q >> vals(q); }
32 : GEN
33 50 : odd_prime_divisors(GEN q) { return gel(Z_factor(remove2(q)), 1); }
34 : static GEN
35 56339 : u_odd_prime_divisors(ulong q) { return gel(factoru(u_remove2(q)), 1); }
36 : /* p odd prime, q=(p-1)/2; L0 list of (some) divisors of q = (p-1)/2 or NULL
37 : * (all prime divisors of q); return the q/l, l in L0 */
38 : static GEN
39 251 : is_gener_expo(GEN p, GEN L0)
40 : {
41 251 : GEN L, q = shifti(p,-1);
42 : long i, l;
43 251 : if (L0) {
44 224 : l = lg(L0);
45 224 : L = cgetg(l, t_VEC);
46 : } else {
47 27 : L0 = L = odd_prime_divisors(q);
48 27 : l = lg(L);
49 : }
50 251 : for (i=1; i<l; i++) gel(L,i) = diviiexact(q, gel(L0,i));
51 251 : return L;
52 : }
53 : static GEN
54 56257 : u_is_gener_expo(ulong p, GEN L0)
55 : {
56 56257 : const ulong q = p >> 1;
57 : long i;
58 : GEN L;
59 56257 : if (!L0) L0 = u_odd_prime_divisors(q);
60 56220 : L = cgetg_copy(L0,&i);
61 56227 : while (--i) L[i] = q / uel(L0,i);
62 56227 : return L;
63 : }
64 :
65 : int
66 144026 : is_gener_Fl(ulong x, ulong p, ulong p_1, GEN L)
67 : {
68 : long i;
69 144026 : if (krouu(x, p) >= 0) return 0;
70 158787 : for (i=lg(L)-1; i; i--)
71 : {
72 98701 : ulong t = Fl_powu(x, uel(L,i), p);
73 98726 : if (t == p_1 || t == 1) return 0;
74 : }
75 60086 : return 1;
76 : }
77 : /* assume p prime */
78 : ulong
79 194898 : pgener_Fl_local(ulong p, GEN L0)
80 : {
81 194898 : const pari_sp av = avma;
82 194898 : const ulong p_1 = p-1;
83 : long x;
84 : GEN L;
85 194898 : if (p <= 19) switch(p)
86 : { /* quick trivial cases */
87 21 : case 2: return 1;
88 : case 7:
89 26233 : case 17: return 3;
90 112414 : default: return 2;
91 : }
92 56230 : L = u_is_gener_expo(p,L0);
93 138418 : for (x = 2;; x++)
94 220639 : if (is_gener_Fl(x,p,p_1,L)) return gc_ulong(av, x);
95 : }
96 : ulong
97 155775 : pgener_Fl(ulong p) { return pgener_Fl_local(p, NULL); }
98 :
99 : /* L[i] = set of (p-1)/2l, l ODD prime divisor of p-1 (l=2 can be included,
100 : * but wasteful) */
101 : int
102 526 : is_gener_Fp(GEN x, GEN p, GEN p_1, GEN L)
103 : {
104 526 : long i, t = lgefint(x)==3? kroui(x[2], p): kronecker(x, p);
105 526 : if (t >= 0) return 0;
106 480 : for (i = lg(L)-1; i; i--)
107 : {
108 179 : GEN t = Fp_pow(x, gel(L,i), p);
109 179 : if (equalii(t, p_1) || equali1(t)) return 0;
110 : }
111 301 : return 1;
112 : }
113 :
114 : /* assume p prime, return a generator of all L[i]-Sylows in F_p^*. */
115 : GEN
116 43421 : pgener_Fp_local(GEN p, GEN L0)
117 : {
118 43421 : pari_sp av0 = avma;
119 : GEN x, p_1, L;
120 43421 : if (lgefint(p) == 3)
121 : {
122 : ulong z;
123 43175 : if (p[2] == 2) return gen_1;
124 33144 : if (L0) L0 = ZV_to_nv(L0);
125 33144 : z = pgener_Fl_local(uel(p,2), L0);
126 33144 : set_avma(av0); return utoipos(z);
127 : }
128 246 : p_1 = subiu(p,1); L = is_gener_expo(p, L0);
129 246 : x = utoipos(2);
130 459 : for (;; x[2]++) { if (is_gener_Fp(x, p, p_1, L)) break; }
131 246 : set_avma(av0); return utoipos(uel(x,2));
132 : }
133 :
134 : GEN
135 41356 : pgener_Fp(GEN p) { return pgener_Fp_local(p, NULL); }
136 :
137 : ulong
138 112086 : pgener_Zl(ulong p)
139 : {
140 112086 : if (p == 2) pari_err_DOMAIN("pgener_Zl","p","=",gen_2,gen_2);
141 : /* only p < 2^32 such that znprimroot(p) != znprimroot(p^2) */
142 112086 : if (p == 40487) return 10;
143 : #ifndef LONG_IS_64BIT
144 16008 : return pgener_Fl(p);
145 : #else
146 96078 : if (p < (1UL<<32)) return pgener_Fl(p);
147 : else
148 : {
149 30 : const pari_sp av = avma;
150 30 : const ulong p_1 = p-1;
151 : long x ;
152 30 : GEN p2 = sqru(p), L = u_is_gener_expo(p, NULL);
153 102 : for (x=2;;x++)
154 174 : if (is_gener_Fl(x,p,p_1,L) && !is_pm1(Fp_powu(utoipos(x),p_1,p2)))
155 30 : return gc_ulong(av, x);
156 : }
157 : #endif
158 : }
159 :
160 : /* p prime. Return a primitive root modulo p^e, e > 1 */
161 : GEN
162 112091 : pgener_Zp(GEN p)
163 : {
164 112091 : if (lgefint(p) == 3) return utoipos(pgener_Zl(p[2]));
165 : else
166 : {
167 5 : const pari_sp av = avma;
168 5 : GEN p_1 = subiu(p,1), p2 = sqri(p), L = is_gener_expo(p,NULL);
169 5 : GEN x = utoipos(2);
170 12 : for (;; x[2]++)
171 29 : if (is_gener_Fp(x,p,p_1,L) && !equali1(Fp_pow(x,p_1,p2))) break;
172 5 : set_avma(av); return utoipos(uel(x,2));
173 : }
174 : }
175 :
176 : static GEN
177 231 : gener_Zp(GEN q, GEN F)
178 : {
179 231 : GEN p = NULL;
180 231 : long e = 0;
181 231 : if (F)
182 : {
183 14 : GEN P = gel(F,1), E = gel(F,2);
184 14 : long i, l = lg(P);
185 42 : for (i = 1; i < l; i++)
186 : {
187 28 : p = gel(P,i);
188 28 : if (absequaliu(p, 2)) continue;
189 14 : if (i < l-1) pari_err_DOMAIN("znprimroot", "argument","=",F,F);
190 14 : e = itos(gel(E,i));
191 : }
192 14 : if (!p) pari_err_DOMAIN("znprimroot", "argument","=",F,F);
193 : }
194 : else
195 217 : e = Z_isanypower(q, &p);
196 231 : return e > 1? pgener_Zp(p): pgener_Fp(q);
197 : }
198 :
199 : GEN
200 301 : znprimroot(GEN N)
201 : {
202 301 : pari_sp av = avma;
203 : GEN x, n, F;
204 :
205 301 : if ((F = check_arith_non0(N,"znprimroot")))
206 : {
207 14 : F = clean_Z_factor(F);
208 14 : N = typ(N) == t_VEC? gel(N,1): factorback(F);
209 : }
210 294 : N = absi_shallow(N);
211 294 : if (abscmpiu(N, 4) <= 0) { set_avma(av); return mkintmodu(N[2]-1,N[2]); }
212 245 : switch(mod4(N))
213 : {
214 : case 0: /* N = 0 mod 4 */
215 14 : pari_err_DOMAIN("znprimroot", "argument","=",N,N);
216 0 : x = NULL; break;
217 : case 2: /* N = 2 mod 4 */
218 21 : n = shifti(N,-1); /* becomes odd */
219 21 : x = gener_Zp(n,F); if (!mod2(x)) x = addii(x,n);
220 21 : break;
221 : default: /* N odd */
222 210 : x = gener_Zp(N,F);
223 210 : break;
224 : }
225 231 : return gerepilecopy(av, mkintmod(x, N));
226 : }
227 :
228 : /* n | (p-1), returns a primitive n-th root of 1 in F_p^* */
229 : GEN
230 0 : rootsof1_Fp(GEN n, GEN p)
231 : {
232 0 : pari_sp av = avma;
233 0 : GEN L = odd_prime_divisors(n); /* 2 implicit in pgener_Fp_local */
234 0 : GEN z = pgener_Fp_local(p, L);
235 0 : z = Fp_pow(z, diviiexact(subiu(p,1), n), p); /* prim. n-th root of 1 */
236 0 : return gerepileuptoint(av, z);
237 : }
238 :
239 : GEN
240 217 : rootsof1u_Fp(ulong n, GEN p)
241 : {
242 217 : pari_sp av = avma;
243 217 : GEN z, L = u_odd_prime_divisors(n); /* 2 implicit in pgener_Fp_local */
244 217 : z = pgener_Fp_local(p, Flv_to_ZV(L));
245 217 : z = Fp_pow(z, diviuexact(subiu(p,1), n), p); /* prim. n-th root of 1 */
246 217 : return gerepileuptoint(av, z);
247 : }
248 :
249 : ulong
250 3969 : rootsof1_Fl(ulong n, ulong p)
251 : {
252 3969 : pari_sp av = avma;
253 3969 : GEN L = u_odd_prime_divisors(n); /* 2 implicit in pgener_Fl_local */
254 3969 : ulong z = pgener_Fl_local(p, L);
255 3969 : z = Fl_powu(z, (p-1) / n, p); /* prim. n-th root of 1 */
256 3969 : return gc_ulong(av,z);
257 : }
258 :
259 : /*********************************************************************/
260 : /** **/
261 : /** INVERSE TOTIENT FUNCTION **/
262 : /** **/
263 : /*********************************************************************/
264 : /* N t_INT, L a ZV containing all prime divisors of N, and possibly other
265 : * primes. Return factor(N) */
266 : GEN
267 350651 : Z_factor_listP(GEN N, GEN L)
268 : {
269 350651 : long i, k, l = lg(L);
270 350651 : GEN P = cgetg(l, t_COL), E = cgetg(l, t_COL);
271 1346688 : for (i = k = 1; i < l; i++)
272 : {
273 996037 : GEN p = gel(L,i);
274 996037 : long v = Z_pvalrem(N, p, &N);
275 996037 : if (v)
276 : {
277 792176 : gel(P,k) = p;
278 792176 : gel(E,k) = utoipos(v);
279 792176 : k++;
280 : }
281 : }
282 350651 : setlg(P, k);
283 350651 : setlg(E, k); return mkmat2(P,E);
284 : }
285 :
286 : /* look for x such that phi(x) = n, p | x => p > m (if m = NULL: no condition).
287 : * L is a list of primes containing all prime divisors of n. */
288 : static long
289 621565 : istotient_i(GEN n, GEN m, GEN L, GEN *px)
290 : {
291 621565 : pari_sp av = avma, av2;
292 : GEN k, D;
293 : long i, v;
294 621565 : if (m && mod2(n))
295 : {
296 270914 : if (!equali1(n)) return 0;
297 69986 : if (px) *px = gen_1;
298 69986 : return 1;
299 : }
300 350651 : D = divisors(Z_factor_listP(shifti(n, -1), L));
301 : /* loop through primes p > m, d = p-1 | n */
302 350651 : av2 = avma;
303 350651 : if (!m)
304 : { /* special case p = 2, d = 1 */
305 69986 : k = n;
306 69986 : for (v = 1;; v++) {
307 69986 : if (istotient_i(k, gen_2, L, px)) {
308 69986 : if (px) *px = shifti(*px, v);
309 69986 : return 1;
310 : }
311 0 : if (mod2(k)) break;
312 0 : k = shifti(k,-1);
313 : }
314 0 : set_avma(av2);
315 : }
316 1099462 : for (i = 1; i < lg(D); ++i)
317 : {
318 1001588 : GEN p, d = shifti(gel(D, i), 1); /* even divisors of n */
319 1001588 : if (m && cmpii(d, m) < 0) continue;
320 677782 : p = addiu(d, 1);
321 677782 : if (!isprime(p)) continue;
322 442064 : k = diviiexact(n, d);
323 481593 : for (v = 1;; v++) {
324 : GEN r;
325 481593 : if (istotient_i(k, p, L, px)) {
326 182791 : if (px) *px = mulii(*px, powiu(p, v));
327 182791 : return 1;
328 : }
329 298802 : k = dvmdii(k, p, &r);
330 298802 : if (r != gen_0) break;
331 : }
332 259273 : set_avma(av2);
333 : }
334 97874 : return gc_long(av,0);
335 : }
336 :
337 : /* find x such that phi(x) = n */
338 : long
339 70000 : istotient(GEN n, GEN *px)
340 : {
341 70000 : pari_sp av = avma;
342 70000 : if (typ(n) != t_INT) pari_err_TYPE("istotient", n);
343 70000 : if (signe(n) < 1) return 0;
344 70000 : if (mod2(n))
345 : {
346 14 : if (!equali1(n)) return 0;
347 14 : if (px) *px = gen_1;
348 14 : return 1;
349 : }
350 69986 : if (istotient_i(n, NULL, gel(Z_factor(n), 1), px))
351 : {
352 69986 : if (!px) set_avma(av);
353 : else
354 69986 : *px = gerepileuptoint(av, *px);
355 69986 : return 1;
356 : }
357 0 : return gc_long(av,0);
358 : }
359 :
360 : /*********************************************************************/
361 : /** **/
362 : /** INTEGRAL LOGARITHM **/
363 : /** **/
364 : /*********************************************************************/
365 :
366 : /* y > 1 and B > 0 integers. Return e such that y^e <= B < y^(e+1), i.e
367 : * e = floor(log_y B). Set *ptq = y^e if non-NULL */
368 : long
369 263173 : ulogintall(ulong B, ulong y, ulong *ptq)
370 : {
371 : ulong r, r2;
372 : long e;
373 :
374 263173 : if (y == 2)
375 : {
376 6554 : long eB = expu(B); /* 2^eB <= B < 2^(eB + 1) */
377 6554 : if (ptq) *ptq = 1UL << eB;
378 6554 : return eB;
379 : }
380 256619 : r = y, r2 = 1UL;
381 919429 : for (e=1;; e++)
382 : { /* here, r = y^e, r2 = y^(e-1) */
383 1582239 : if (r >= B)
384 : {
385 256495 : if (r != B) { e--; r = r2; }
386 256495 : if (ptq) *ptq = r;
387 256495 : return e;
388 : }
389 662934 : r2 = r;
390 662934 : r = umuluu_or_0(y, r);
391 662934 : if (!r)
392 : {
393 124 : if (ptq) *ptq = r2;
394 124 : return e;
395 : }
396 : }
397 : }
398 :
399 : /* y > 1 and B > 0 integers. Return e such that y^e <= B < y^(e+1), i.e
400 : * e = floor(log_y B). Set *ptq = y^e if non-NULL */
401 : long
402 271890 : logintall(GEN B, GEN y, GEN *ptq)
403 : {
404 : pari_sp av;
405 271890 : long ey, e, emax, i, eB = expi(B); /* 2^eB <= B < 2^(eB + 1) */
406 : GEN q, pow2;
407 :
408 271890 : if (lgefint(B) == 3)
409 : {
410 : ulong q;
411 263173 : if (lgefint(y) > 3)
412 : {
413 0 : if (ptq) *ptq = gen_1;
414 0 : return 0;
415 : }
416 263173 : if (!ptq) return ulogintall(B[2], y[2], NULL);
417 47809 : e = ulogintall(B[2], y[2], &q);
418 47809 : *ptq = utoi(q); return e;
419 : }
420 8717 : if (equaliu(y,2))
421 : {
422 166 : if (ptq) *ptq = int2n(eB);
423 166 : return eB;
424 : }
425 8551 : av = avma;
426 8551 : ey = expi(y);
427 : /* eB/(ey+1) - 1 < e <= eB/ey */
428 8551 : emax = eB/ey;
429 8551 : if (emax <= 13) /* e small, be naive */
430 : {
431 1736 : GEN r = y, r2 = gen_1;
432 18518 : for (e=1;; e++)
433 16782 : { /* here, r = y^e, r2 = y^(e-1) */
434 18518 : long fl = cmpii(r, B);
435 18518 : if (fl >= 0)
436 : {
437 1736 : if (fl) { e--; cgiv(r); r = r2; }
438 1736 : if (ptq) *ptq = gerepileuptoint(av, r); else set_avma(av);
439 1736 : return e;
440 : }
441 16782 : r2 = r; r = mulii(r,y);
442 : }
443 : }
444 : /* e >= 13 ey / (ey+1) >= 6.5 */
445 :
446 : /* binary splitting: compute bits of e one by one */
447 : /* compute pow2[i] = y^(2^i) [i < crude upper bound for log_2 log_y(B)] */
448 6815 : pow2 = new_chunk((long)log2(eB)+2);
449 6815 : gel(pow2,0) = y;
450 6815 : for (i=0, q=y;; )
451 32052 : {
452 38867 : GEN r = gel(pow2,i); /* r = y^2^i */
453 38867 : long fl = cmpii(r,B);
454 38867 : if (!fl)
455 : {
456 0 : e = 1L<<i;
457 0 : if (ptq) *ptq = gerepileuptoint(av, r); else set_avma(av);
458 0 : return e;
459 : }
460 38867 : if (fl > 0) { i--; break; }
461 36705 : q = r;
462 36705 : if (1L<<(i+1) > emax) break;
463 32052 : gel(pow2,++i) = sqri(q);
464 : }
465 :
466 6815 : for (e = 1L<<i;;)
467 29869 : { /* y^e = q < B < r = q * y^(2^i) */
468 36684 : pari_sp av2 = avma;
469 : long fl;
470 : GEN r;
471 36684 : if (--i < 0) break;
472 29876 : r = mulii(q, gel(pow2,i));
473 29876 : fl = cmpii(r, B);
474 29876 : if (fl > 0) set_avma(av2);
475 : else
476 : {
477 14323 : e += (1L<<i);
478 14323 : q = r;
479 14323 : if (!fl) break; /* B = r */
480 : }
481 : }
482 6815 : if (ptq) *ptq = gerepileuptoint(av, q); else set_avma(av);
483 6815 : return e;
484 : }
485 :
486 : long
487 56 : logint0(GEN B, GEN y, GEN *ptq)
488 : {
489 56 : if (typ(B) != t_INT) pari_err_TYPE("logint",B);
490 56 : if (signe(B) <= 0) pari_err_DOMAIN("logint", "x" ,"<=", gen_0, B);
491 56 : if (typ(y) != t_INT) pari_err_TYPE("logint",y);
492 56 : if (cmpis(y, 2) < 0) pari_err_DOMAIN("logint", "b" ,"<=", gen_1, y);
493 56 : return logintall(B,y,ptq);
494 : }
495 :
496 : /*********************************************************************/
497 : /** **/
498 : /** INTEGRAL SQUARE ROOT **/
499 : /** **/
500 : /*********************************************************************/
501 : GEN
502 30598 : sqrtint(GEN a)
503 : {
504 30598 : if (typ(a) != t_INT) pari_err_TYPE("sqrtint",a);
505 30598 : switch (signe(a))
506 : {
507 30584 : case 1: return sqrti(a);
508 7 : case 0: return gen_0;
509 7 : default: pari_err_DOMAIN("sqrtint", "argument", "<", gen_0,a);
510 : }
511 : return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
512 : }
513 :
514 : /*********************************************************************/
515 : /** **/
516 : /** PERFECT SQUARE **/
517 : /** **/
518 : /*********************************************************************/
519 : static int
520 14854120 : carremod(ulong A)
521 : {
522 14854120 : const int carresmod64[]={
523 : 1,1,0,0,1,0,0,0,0,1, 0,0,0,0,0,0,1,1,0,0, 0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,
524 : 0,0,0,1,0,0,1,0,0,0, 0,1,0,0,0,0,0,0,0,1, 0,0,0,0,0,0,0,1,0,0, 0,0,0,0};
525 14854120 : const int carresmod63[]={
526 : 1,1,0,0,1,0,0,1,0,1, 0,0,0,0,0,0,1,0,1,0, 0,0,1,0,0,1,0,0,1,0,
527 : 0,0,0,0,0,0,1,1,0,0, 0,0,0,1,0,0,1,0,0,1, 0,0,0,0,0,0,0,0,1,0, 0,0,0};
528 14854120 : const int carresmod65[]={
529 : 1,1,0,0,1,0,0,0,0,1, 1,0,0,0,1,0,1,0,0,0, 0,0,0,0,0,1,1,0,0,1,
530 : 1,0,0,0,0,1,1,0,0,1, 1,0,0,0,0,0,0,0,0,1, 0,1,0,0,0,1,1,0,0,0, 0,1,0,0,1};
531 14854120 : const int carresmod11[]={1,1,0,1,1,1,0,0,0,1, 0};
532 14854120 : return (carresmod64[A & 0x3fUL]
533 5460545 : && carresmod63[A % 63UL]
534 3214942 : && carresmod65[A % 65UL]
535 17517447 : && carresmod11[A % 11UL]);
536 : }
537 :
538 : /* emulate Z_issquareall on single-word integers */
539 : long
540 13360719 : uissquareall(ulong A, ulong *sqrtA)
541 : {
542 13360719 : if (!A) { *sqrtA = 0; return 1; }
543 13360719 : if (carremod(A))
544 : {
545 1817349 : ulong a = usqrt(A);
546 1817329 : if (a * a == A) { *sqrtA = a; return 1; }
547 : }
548 11634514 : return 0;
549 : }
550 : long
551 122228 : uissquare(ulong A)
552 : {
553 122228 : if (!A) return 1;
554 122228 : if (carremod(A))
555 : {
556 3533 : ulong a = usqrt(A);
557 3533 : if (a * a == A) return 1;
558 : }
559 118719 : return 0;
560 : }
561 :
562 : long
563 6357030 : Z_issquareall(GEN x, GEN *pt)
564 : {
565 : pari_sp av;
566 : GEN y, r;
567 :
568 6357030 : switch(signe(x))
569 : {
570 2208428 : case -1: return 0;
571 1071 : case 0: if (pt) *pt=gen_0; return 1;
572 : }
573 4147531 : if (lgefint(x) == 3)
574 : {
575 2776463 : ulong u = uel(x,2), a;
576 2776463 : if (!pt) return uissquare(u);
577 2654235 : if (!uissquareall(u, &a)) return 0;
578 1367311 : *pt = utoipos(a); return 1;
579 : }
580 1371068 : if (!carremod(umodiu(x, 64*63*65*11))) return 0;
581 609377 : av = avma; y = sqrtremi(x, &r);
582 609377 : if (r != gen_0) return gc_long(av,0);
583 18355 : if (pt) { *pt = y; set_avma((pari_sp)y); } else set_avma(av);
584 18355 : return 1;
585 : }
586 :
587 : /* a t_INT, p prime */
588 : long
589 0 : Zp_issquare(GEN a, GEN p)
590 : {
591 : long v;
592 : GEN ap;
593 :
594 0 : if (!signe(a) || gequal1(a)) return 1;
595 0 : v = Z_pvalrem(a, p, &ap);
596 0 : if (v&1) return 0;
597 0 : return absequaliu(p, 2)? umodiu(ap, 8) == 1
598 0 : : kronecker(ap,p) == 1;
599 : }
600 :
601 : static long
602 3101 : polissquareall(GEN x, GEN *pt)
603 : {
604 : pari_sp av;
605 : long v;
606 : GEN y, a, b, p;
607 :
608 3101 : if (!signe(x))
609 : {
610 7 : if (pt) *pt = gcopy(x);
611 7 : return 1;
612 : }
613 3094 : if (odd(degpol(x))) return 0; /* odd degree */
614 2233 : av = avma;
615 2233 : v = RgX_valrem(x, &x);
616 2233 : if (v & 1) return gc_long(av,0);
617 2226 : a = gel(x,2); /* test constant coeff */
618 2226 : if (!pt)
619 70 : { if (!issquare(a)) return gc_long(av,0); }
620 : else
621 2156 : { if (!issquareall(a,&b)) return gc_long(av,0); }
622 2226 : if (!degpol(x)) { /* constant polynomial */
623 77 : if (!pt) return gc_long(av,1);
624 35 : y = scalarpol(b, varn(x)); goto END;
625 : }
626 2149 : p = characteristic(x);
627 2149 : if (signe(p) && !mod2(p))
628 : {
629 : long i, lx;
630 35 : if (!absequaliu(p,2)) pari_err_IMPL("issquare for even characteristic != 2");
631 28 : x = gmul(x, mkintmod(gen_1, gen_2));
632 28 : lx = lg(x);
633 28 : if ((lx-3) & 1) return gc_long(av,0);
634 49 : for (i = 3; i < lx; i+=2)
635 28 : if (!gequal0(gel(x,i))) return gc_long(av,0);
636 21 : if (pt) {
637 14 : y = cgetg((lx+3) / 2, t_POL);
638 49 : for (i = 2; i < lx; i+=2)
639 35 : if (!issquareall(gel(x,i), &gel(y, (i+2)>>1))) return gc_long(av,0);
640 14 : y[1] = evalsigne(1) | evalvarn(varn(x));
641 14 : goto END;
642 : } else {
643 21 : for (i = 2; i < lx; i+=2)
644 14 : if (!issquare(gel(x,i))) return gc_long(av,0);
645 7 : return gc_long(av,1);
646 : }
647 : }
648 : else
649 : {
650 2114 : long m = 1;
651 2114 : x = RgX_Rg_div(x,a);
652 : /* a(x^m) = B^2 => B = b(x^m) provided a(0) != 0 */
653 2114 : if (!signe(p)) x = RgX_deflate_max(x,&m);
654 2114 : y = ser2rfrac_i(gsqrt(RgX_to_ser(x,lg(x)-1),0));
655 3423 : if (!RgX_equal(RgX_sqr(y), x)) return gc_long(av,0);
656 812 : if (!pt) return gc_long(av,1);
657 805 : if (!gequal1(a)) y = gmul(b, y);
658 805 : if (m != 1) y = RgX_inflate(y,m);
659 : }
660 : END:
661 854 : if (v) y = RgX_shift_shallow(y, v>>1);
662 854 : *pt = gerepilecopy(av, y); return 1;
663 : }
664 :
665 : /* b unit mod p */
666 : static int
667 287 : Up_ispower(GEN b, GEN K, GEN p, long d, GEN *pt)
668 : {
669 287 : if (d == 1)
670 : { /* mod p: faster */
671 203 : if (!Fp_ispower(b, K, p)) return 0;
672 203 : if (pt) *pt = Fp_sqrtn(b, K, p, NULL);
673 : }
674 : else
675 : { /* mod p^{2 +} */
676 84 : if (!ispower(cvtop(b, p, d), K, pt)) return 0;
677 63 : if (pt) *pt = gtrunc(*pt);
678 : }
679 266 : return 1;
680 : }
681 :
682 : /* We're studying whether a mod (q*p^e) is a K-th power, (q,p) = 1.
683 : * Decide mod p^e, then reduce a mod q unless q = NULL. */
684 : static int
685 427 : handle_pe(GEN *pa, GEN q, GEN L, GEN K, GEN p, long e)
686 : {
687 : GEN t, A;
688 427 : long v = Z_pvalrem(*pa, p, &A), d = e - v;
689 427 : if (d <= 0) t = gen_0;
690 : else
691 : {
692 : ulong r;
693 371 : v = uabsdivui_rem(v, K, &r);
694 371 : if (r || !Up_ispower(A, K, p, d, L? &t: NULL)) return 0;
695 266 : if (L && v) t = mulii(t, powiu(p, v));
696 : }
697 322 : if (q) *pa = modii(*pa, q);
698 322 : if (L) vectrunc_append(L, mkintmod(t, powiu(p, e)));
699 322 : return 1;
700 : }
701 : long
702 329 : Zn_ispower(GEN a, GEN q, GEN K, GEN *pt)
703 : {
704 : GEN L, N;
705 : pari_sp av;
706 : long e, i, l;
707 : ulong pp;
708 : forprime_t S;
709 :
710 329 : if (!signe(a))
711 : {
712 21 : if (pt) {
713 21 : GEN t = cgetg(3, t_INTMOD);
714 21 : gel(t,1) = icopy(q); gel(t,2) = gen_0; *pt = t;
715 : }
716 21 : return 1;
717 : }
718 : /* a != 0 */
719 308 : av = avma;
720 :
721 308 : if (typ(q) != t_INT) /* integer factorization */
722 : {
723 0 : GEN P = gel(q,1), E = gel(q,2);
724 0 : l = lg(P);
725 0 : L = pt? vectrunc_init(l): NULL;
726 0 : for (i = 1; i < l; i++)
727 : {
728 0 : GEN p = gel(P,i);
729 0 : long e = itos(gel(E,i));
730 0 : if (!handle_pe(&a, NULL, L, K, p, e)) return gc_long(av,0);
731 : }
732 0 : goto END;
733 : }
734 308 : if (!mod2(K)
735 189 : && kronecker(a, shifti(q,-vali(q))) == -1) return gc_long(av,0);
736 301 : L = pt? vectrunc_init(expi(q)+1): NULL;
737 301 : u_forprime_init(&S, 2, tridiv_bound(q));
738 301 : while ((pp = u_forprime_next(&S)))
739 : {
740 : int stop;
741 883407 : e = Z_lvalrem_stop(&q, pp, &stop);
742 883407 : if (!e) continue;
743 203 : if (!handle_pe(&a, q, L, K, utoipos(pp), e)) return gc_long(av,0);
744 161 : if (stop)
745 : {
746 126 : if (!is_pm1(q) && !handle_pe(&a, q, L, K, q, 1)) return gc_long(av,0);
747 126 : goto END;
748 : }
749 : }
750 154 : l = lg(primetab);
751 154 : for (i = 1; i < l; i++)
752 : {
753 0 : GEN p = gel(primetab,i);
754 0 : e = Z_pvalrem(q, p, &q);
755 0 : if (!e) continue;
756 0 : if (!handle_pe(&a, q, L, K, p, e)) return gc_long(av,0);
757 0 : if (is_pm1(q)) goto END;
758 : }
759 154 : N = gcdii(a,q);
760 154 : if (!is_pm1(N))
761 : {
762 112 : if (ifac_isprime(N))
763 : {
764 70 : e = Z_pvalrem(q, N, &q);
765 70 : if (!handle_pe(&a, q, L, K, N, e)) return gc_long(av,0);
766 : }
767 : else
768 : {
769 42 : GEN part = ifac_start(N, 0);
770 : for(;;)
771 42 : {
772 : long e;
773 : GEN p;
774 84 : if (!ifac_next(&part, &p, &e)) break;
775 42 : e = Z_pvalrem(q, p, &q);
776 42 : if (!handle_pe(&a, q, L, K, p, e)) return gc_long(av,0);
777 : }
778 : }
779 : }
780 84 : if (!is_pm1(q))
781 : {
782 84 : if (ifac_isprime(q))
783 : {
784 28 : if (!handle_pe(&a, q, L, K, q, 1)) return gc_long(av,0);
785 : }
786 : else
787 : {
788 56 : GEN part = ifac_start(q, 0);
789 : for(;;)
790 84 : {
791 : long e;
792 : GEN p;
793 140 : if (!ifac_next(&part, &p, &e)) break;
794 98 : if (!handle_pe(&a, q, L, K, p, e)) return gc_long(av,0);
795 : }
796 : }
797 : }
798 : END:
799 196 : if (pt) *pt = gerepileupto(av, chinese1_coprime_Z(L));
800 196 : return 1;
801 : }
802 :
803 : static long
804 56 : polmodispower(GEN x, GEN K, GEN *pt)
805 : {
806 56 : pari_sp av = avma;
807 56 : GEN p = NULL, T = NULL;
808 56 : if (Rg_is_FpXQ(x, &T,&p) && p)
809 : {
810 42 : x = liftall_shallow(x);
811 42 : if (T) T = liftall_shallow(T);
812 42 : if (!Fq_ispower(x, K, T, p)) return gc_long(av,0);
813 28 : if (!pt) return gc_long(av,1);
814 21 : x = Fq_sqrtn(x, K, T,p, NULL);
815 21 : if (typ(x) == t_INT)
816 7 : x = Fp_to_mod(x,p);
817 : else
818 14 : x = mkpolmod(FpX_to_mod(x,p), FpX_to_mod(T,p));
819 21 : *pt = gerepilecopy(av, x); return 1;
820 : }
821 14 : pari_err_IMPL("ispower for general t_POLMOD");
822 0 : return 0;
823 : }
824 :
825 : long
826 163629 : issquareall(GEN x, GEN *pt)
827 : {
828 163629 : long tx = typ(x);
829 : GEN F;
830 : pari_sp av;
831 :
832 163629 : if (!pt) return issquare(x);
833 20475 : switch(tx)
834 : {
835 2387 : case t_INT: return Z_issquareall(x, pt);
836 161 : case t_FRAC: av = avma;
837 161 : F = cgetg(3, t_FRAC);
838 161 : if ( !Z_issquareall(gel(x,1), &gel(F,1))
839 105 : || !Z_issquareall(gel(x,2), &gel(F,2))) return gc_long(av,0);
840 105 : *pt = F; return 1;
841 :
842 : case t_POLMOD:
843 21 : return polmodispower(x, gen_2, pt);
844 3010 : case t_POL: return polissquareall(x,pt);
845 14 : case t_RFRAC: av = avma;
846 14 : F = cgetg(3, t_RFRAC);
847 14 : if ( !issquareall(gel(x,1), &gel(F,1))
848 14 : || !polissquareall(gel(x,2), &gel(F,2))) return gc_long(av,0);
849 7 : *pt = F; return 1;
850 :
851 : case t_REAL: case t_COMPLEX: case t_PADIC: case t_SER:
852 14784 : if (!issquare(x)) return 0;
853 14784 : *pt = gsqrt(x, DEFAULTPREC); return 1;
854 :
855 : case t_INTMOD:
856 63 : return Zn_ispower(gel(x,2), gel(x,1), gen_2, pt);
857 :
858 35 : case t_FFELT: return FF_issquareall(x, pt);
859 :
860 : }
861 0 : pari_err_TYPE("issquareall",x);
862 : return 0; /* LCOV_EXCL_LINE */
863 : }
864 :
865 : long
866 158239 : issquare(GEN x)
867 : {
868 : pari_sp av;
869 : GEN a, p;
870 : long v;
871 :
872 158239 : switch(typ(x))
873 : {
874 : case t_INT:
875 143084 : return Z_issquare(x);
876 :
877 : case t_REAL:
878 14714 : return (signe(x)>=0);
879 :
880 : case t_INTMOD:
881 77 : return Zn_ispower(gel(x,2), gel(x,1), gen_2, NULL);
882 :
883 : case t_FRAC:
884 21 : return Z_issquare(gel(x,1)) && Z_issquare(gel(x,2));
885 :
886 7 : case t_FFELT: return FF_issquareall(x, NULL);
887 :
888 : case t_COMPLEX:
889 56 : return 1;
890 :
891 : case t_PADIC:
892 126 : a = gel(x,4); if (!signe(a)) return 1;
893 126 : if (valp(x)&1) return 0;
894 112 : p = gel(x,2);
895 112 : if (!absequaliu(p, 2)) return (kronecker(a,p) != -1);
896 :
897 42 : v = precp(x); /* here p=2, a is odd */
898 42 : if ((v>=3 && mod8(a) != 1 ) ||
899 0 : (v==2 && mod4(a) != 1)) return 0;
900 21 : return 1;
901 :
902 : case t_POLMOD:
903 21 : return polmodispower(x, gen_2, NULL);
904 :
905 : case t_POL:
906 77 : return polissquareall(x,NULL);
907 :
908 : case t_SER:
909 49 : if (!signe(x)) return 1;
910 42 : if (valp(x)&1) return 0;
911 35 : return issquare(gel(x,2));
912 :
913 : case t_RFRAC:
914 7 : av = avma; return gc_long(av, issquare(gmul(gel(x,1),gel(x,2))));
915 : }
916 0 : pari_err_TYPE("issquare",x);
917 : return 0; /* LCOV_EXCL_LINE */
918 : }
919 0 : GEN gissquare(GEN x) { return issquare(x)? gen_1: gen_0; }
920 0 : GEN gissquareall(GEN x, GEN *pt) { return issquareall(x,pt)? gen_1: gen_0; }
921 :
922 : long
923 1386 : ispolygonal(GEN x, GEN S, GEN *N)
924 : {
925 1386 : pari_sp av = avma;
926 : GEN D, d, n;
927 1386 : if (typ(x) != t_INT) pari_err_TYPE("ispolygonal", x);
928 1386 : if (typ(S) != t_INT) pari_err_TYPE("ispolygonal", S);
929 1386 : if (abscmpiu(S,3) < 0) pari_err_DOMAIN("ispolygonal","s","<", utoipos(3),S);
930 1386 : if (signe(x) < 0) return 0;
931 1386 : if (signe(x) == 0) { if (N) *N = gen_0; return 1; }
932 1260 : if (is_pm1(x)) { if (N) *N = gen_1; return 1; }
933 : /* n = (sqrt( (8s - 16) x + (s-4)^2 ) + s - 4) / 2(s - 2) */
934 1134 : if (abscmpiu(S, 1<<16) < 0) /* common case ! */
935 : {
936 441 : ulong s = S[2], r;
937 504 : if (s == 4) return Z_issquareall(x, N);
938 378 : if (s == 3)
939 0 : D = addiu(shifti(x, 3), 1);
940 : else
941 378 : D = addiu(mului(8*s - 16, x), (s-4)*(s-4));
942 378 : if (!Z_issquareall(D, &d)) return gc_long(av,0);
943 378 : if (s == 3)
944 0 : d = subiu(d, 1);
945 : else
946 378 : d = addiu(d, s - 4);
947 378 : n = absdiviu_rem(d, 2*s - 4, &r);
948 378 : if (r) return gc_long(av,0);
949 : }
950 : else
951 : {
952 693 : GEN r, S_2 = subiu(S,2), S_4 = subiu(S,4);
953 693 : D = addii(mulii(shifti(S_2,3), x), sqri(S_4));
954 693 : if (!Z_issquareall(D, &d)) return gc_long(av,0);
955 693 : d = addii(d, S_4);
956 693 : n = dvmdii(shifti(d,-1), S_2, &r);
957 693 : if (r != gen_0) return gc_long(av,0);
958 : }
959 1071 : if (N) *N = gerepileuptoint(av, n); else set_avma(av);
960 1071 : return 1;
961 : }
962 :
963 : /*********************************************************************/
964 : /** **/
965 : /** PERFECT POWER **/
966 : /** **/
967 : /*********************************************************************/
968 : static long
969 721 : polispower(GEN x, GEN K, GEN *pt)
970 : {
971 : pari_sp av;
972 721 : long v, d, k = itos(K);
973 : GEN y, a, b;
974 721 : GEN T = NULL, p = NULL;
975 :
976 721 : if (!signe(x))
977 : {
978 7 : if (pt) *pt = gcopy(x);
979 7 : return 1;
980 : }
981 714 : d = degpol(x);
982 714 : if (d % k) return 0; /* degree not multiple of k */
983 707 : av = avma;
984 707 : if (RgX_is_FpXQX(x, &T, &p) && p)
985 : { /* over Fq */
986 336 : if (T && typ(T) == t_FFELT)
987 : {
988 126 : if (!FFX_ispower(x, k, T, pt)) return gc_long(av,0);
989 105 : return 1;
990 : }
991 210 : x = RgX_to_FqX(x,T,p);
992 210 : if (!FqX_ispower(x, k, T,p, pt)) return gc_long(av,0);
993 175 : if (pt) *pt = gerepileupto(av, FqX_to_mod(*pt, T, p));
994 175 : return 1;
995 : }
996 371 : v = RgX_valrem(x, &x);
997 371 : if (v % k) return 0;
998 364 : v /= k;
999 364 : a = gel(x,2); b = NULL;
1000 364 : if (!ispower(a, K, &b)) return gc_long(av,0);
1001 350 : if (d)
1002 : {
1003 343 : GEN p = characteristic(x);
1004 343 : a = leading_coeff(x);
1005 343 : if (!ispower(a, K, &b)) return gc_long(av,0);
1006 343 : x = RgX_normalize(x);
1007 343 : if (signe(p) && cmpii(p,K) <= 0)
1008 0 : pari_err_IMPL("ispower(general t_POL) in small characteristic");
1009 343 : y = gtrunc(gsqrtn(RgX_to_ser(x,lg(x)), K, NULL, 0));
1010 343 : if (!RgX_equal(powgi(y, K), x)) return gc_long(av,0);
1011 : }
1012 : else
1013 7 : y = pol_1(varn(x));
1014 350 : if (pt)
1015 : {
1016 350 : if (!gequal1(a))
1017 : {
1018 14 : if (!b) b = gsqrtn(a, K, NULL, DEFAULTPREC);
1019 14 : y = gmul(b,y);
1020 : }
1021 350 : if (v) y = RgX_shift_shallow(y, v);
1022 350 : *pt = gerepilecopy(av, y);
1023 : }
1024 0 : else set_avma(av);
1025 350 : return 1;
1026 : }
1027 :
1028 : long
1029 97746 : Z_ispowerall(GEN x, ulong k, GEN *pt)
1030 : {
1031 97746 : long s = signe(x);
1032 : ulong mask;
1033 97746 : if (!s) { if (pt) *pt = gen_0; return 1; }
1034 97746 : if (s > 0) {
1035 97606 : if (k == 2) return Z_issquareall(x, pt);
1036 18011 : if (k == 3) { mask = 1; return !!is_357_power(x, pt, &mask); }
1037 3255 : if (k == 5) { mask = 2; return !!is_357_power(x, pt, &mask); }
1038 3010 : if (k == 7) { mask = 4; return !!is_357_power(x, pt, &mask); }
1039 3003 : return is_kth_power(x, k, pt);
1040 : }
1041 140 : if (!odd(k)) return 0;
1042 126 : if (Z_ispowerall(absi_shallow(x), k, pt))
1043 : {
1044 112 : if (pt) *pt = negi(*pt);
1045 112 : return 1;
1046 : };
1047 14 : return 0;
1048 : }
1049 :
1050 : /* is x a K-th power mod p ? Assume p prime. */
1051 : int
1052 203 : Fp_ispower(GEN x, GEN K, GEN p)
1053 : {
1054 203 : pari_sp av = avma;
1055 : GEN p_1;
1056 203 : x = modii(x, p);
1057 203 : if (!signe(x) || equali1(x)) return gc_bool(av,1);
1058 : /* implies p > 2 */
1059 112 : p_1 = subiu(p,1);
1060 112 : K = gcdii(K, p_1);
1061 112 : if (absequaliu(K, 2)) return gc_bool(av, kronecker(x,p) > 0);
1062 49 : x = Fp_pow(x, diviiexact(p_1,K), p);
1063 49 : return gc_bool(av, equali1(x));
1064 : }
1065 :
1066 : /* x unit defined modulo 2^e, e > 0, p prime */
1067 : static int
1068 2373 : U2_issquare(GEN x, long e)
1069 : {
1070 2373 : long r = signe(x)>=0?mod8(x):8-mod8(x);
1071 2373 : if (e==1) return 1;
1072 2373 : if (e==2) return (r&3L) == 1;
1073 2009 : return r == 1;
1074 : }
1075 : /* x unit defined modulo p^e, e > 0, p prime */
1076 : static int
1077 4690 : Up_issquare(GEN x, GEN p, long e)
1078 4690 : { return (absequaliu(p,2))? U2_issquare(x, e): kronecker(x,p)==1; }
1079 :
1080 : long
1081 2548 : Zn_issquare(GEN d, GEN fn)
1082 : {
1083 : long j, np;
1084 2548 : if (typ(d) != t_INT) pari_err_TYPE("Zn_issquare",d);
1085 2548 : if (typ(fn) == t_INT) return Zn_ispower(d, fn, gen_2, NULL);
1086 : /* integer factorization */
1087 2548 : np = nbrows(fn);
1088 5320 : for (j = 1; j <= np; ++j)
1089 : {
1090 4970 : GEN r, p = gcoeff(fn, j, 1);
1091 4970 : long e = itos(gcoeff(fn, j, 2));
1092 4970 : long v = Z_pvalrem(d,p,&r);
1093 4970 : if (v < e && (odd(v) || !Up_issquare(r, p, e-v))) return 0;
1094 : }
1095 350 : return 1;
1096 : }
1097 :
1098 : /* return [N',v]; v contains all x mod N' s.t. x^2 + B x + C = 0 modulo N */
1099 : GEN
1100 2742838 : Zn_quad_roots(GEN N, GEN B, GEN C)
1101 : {
1102 2742838 : pari_sp av = avma;
1103 2742838 : GEN fa = NULL, D, w, v, P, E, F0, Q0, F, mF, A, Q, T, R, Np, N4;
1104 : long l, i, j, ct;
1105 :
1106 2742838 : if ((fa = check_arith_non0(N,"Zn_quad_roots")))
1107 14 : N = typ(N) == t_VEC? gel(N,1): factorback(N);
1108 2742838 : N = absi_shallow(N);
1109 2742838 : N4 = shifti(N,2);
1110 2742838 : D = modii(subii(sqri(B), shifti(C,2)), N4);
1111 2742838 : if (!signe(D))
1112 : { /* (x + B/2)^2 = 0 (mod N), D = B^2-4C = 0 (4N) => B even */
1113 630 : if (!fa) fa = Z_factor(N);
1114 630 : P = gel(fa,1);
1115 630 : E = ZV_to_zv(gel(fa,2));
1116 630 : l = lg(P);
1117 630 : for (i = 1; i < l; i++) E[i] = (E[i]+1) >> 1;
1118 630 : Np = factorback2(P, E); /* x = -B mod N' */
1119 630 : B = shifti(B,-1);
1120 630 : return gerepilecopy(av, mkvec2(Np, mkvec(Fp_neg(B,Np))));
1121 : }
1122 2742208 : if (!fa)
1123 2742194 : fa = Z_factor(N4);
1124 : else /* convert to factorization of N4 = 4*N */
1125 14 : fa = famat_reduce(famat_mulpows_shallow(fa, gen_2, 2));
1126 2742208 : P = gel(fa,1); l = lg(P);
1127 2742208 : E = ZV_to_zv(gel(fa,2));
1128 2742208 : F = cgetg(l, t_VEC);
1129 2742208 : mF= cgetg(l, t_VEC); F0 = gen_0;
1130 2742208 : Q = cgetg(l, t_VEC); Q0 = gen_1;
1131 6592047 : for (i = j = 1, ct = 0; i < l; i++)
1132 : {
1133 5979946 : GEN p = gel(P,i), q, f, mf, D0;
1134 5979946 : long t2, s = E[i], t = Z_pvalrem(D, p, &D0), d = s - t;
1135 5979946 : if (d <= 0)
1136 : {
1137 1355144 : q = powiu(p, (s+1)>>1);
1138 3567158 : Q0 = mulii(Q0, q); continue;
1139 : }
1140 : /* d > 0 */
1141 6754909 : if (odd(t)) return NULL;
1142 4439302 : t2 = t >> 1;
1143 4439302 : if (i > 1)
1144 : { /* p > 2 */
1145 2796759 : if (kronecker(D0, p) == -1) return NULL;
1146 1350986 : q = powiu(p,s-t2);
1147 1350986 : f = Zp_sqrt(D0, p, d); if (t2) f = mulii(powiu(p,t2), f);
1148 1350986 : mf = Fp_neg(f, q);
1149 : }
1150 : else
1151 : { /* p = 2 */
1152 1642543 : if (d == 1) { Q0 = int2n(1+t2); F0 = NULL; continue; }
1153 1468943 : if (d == 2)
1154 : {
1155 734132 : if (Mod4(D0) != 1) return NULL;
1156 683270 : Q0 = int2n(1+t2); F0 = NULL; continue;
1157 : }
1158 : /* d > 2 */
1159 734811 : if (Mod8(D0) != 1) return NULL;
1160 286839 : q = int2n(d-1+t2);
1161 286839 : f = shifti(Z2_sqrt(D0, d), t2);
1162 286839 : mf = Fp_neg(f, q);
1163 : }
1164 1637825 : gel(Q,j) = q;
1165 1637825 : gel(F,j) = f;
1166 1637825 : gel(mF,j)= mf; j++;
1167 : }
1168 612101 : setlg(Q,j);
1169 612101 : setlg(F,j);
1170 612101 : setlg(mF,j);
1171 612101 : if (is_pm1(Q0)) A = leafcopy(F);
1172 : else
1173 : { /* append the fixed congruence (F0 mod Q0) */
1174 545062 : if (!F0) F0 = shifti(Q0,-1);
1175 545062 : A = shallowconcat(F, F0);
1176 545062 : Q = shallowconcat(Q, Q0);
1177 : }
1178 612101 : ct = 1 << (j-1);
1179 612101 : T = ZV_producttree(Q);
1180 612101 : R = ZV_chinesetree(Q,T);
1181 612101 : Np = gmael(T, lg(T)-1, 1);
1182 612101 : B = modii(B, Np);
1183 612101 : if (!signe(B)) B = NULL;
1184 612101 : Np = shifti(Np, -1); /* N' = (\prod_i Q[i]) / 2 */
1185 612101 : w = cgetg(3, t_VEC);
1186 612101 : gel(w,1) = icopy(Np);
1187 612101 : gel(w,2) = v = cgetg(ct+1, t_VEC);
1188 612101 : l = lg(F);
1189 2786700 : for (j = 1; j <= ct; j++)
1190 : {
1191 2174599 : pari_sp av2 = avma;
1192 2174599 : long m = j - 1;
1193 : GEN u;
1194 6605585 : for (i = 1; i < l; i++)
1195 : {
1196 4430986 : gel(A,i) = (m&1L)? gel(mF,i): gel(F,i);
1197 4430986 : m >>= 1;
1198 : }
1199 2174599 : u = ZV_chinese_tree(A,Q,T,R); /* u mod N' st u^2 = B^2-4C modulo 4N */
1200 2174599 : if (B) u = subii(u,B);
1201 2174599 : gel(v,j) = gerepileuptoint(av2, modii(shifti(u,-1), Np));
1202 : }
1203 612101 : return gerepileupto(av, w);
1204 : }
1205 :
1206 : static long
1207 1113 : Qp_ispower(GEN x, GEN K, GEN *pt)
1208 : {
1209 1113 : pari_sp av = avma;
1210 1113 : GEN z = Qp_sqrtn(x, K, NULL);
1211 1113 : if (!z) return gc_long(av,0);
1212 819 : if (pt) *pt = z;
1213 819 : return 1;
1214 : }
1215 :
1216 : long
1217 7096836 : ispower(GEN x, GEN K, GEN *pt)
1218 : {
1219 : GEN z;
1220 :
1221 7096836 : if (!K) return gisanypower(x, pt);
1222 96654 : if (typ(K) != t_INT) pari_err_TYPE("ispower",K);
1223 96654 : if (signe(K) <= 0) pari_err_DOMAIN("ispower","exponent","<=",gen_0,K);
1224 96654 : if (equali1(K)) { if (pt) *pt = gcopy(x); return 1; }
1225 96605 : switch(typ(x)) {
1226 : case t_INT:
1227 24811 : if (lgefint(K) != 3) return 0;
1228 24804 : return Z_ispowerall(x, itou(K), pt);
1229 : case t_FRAC:
1230 : {
1231 69708 : GEN a = gel(x,1), b = gel(x,2);
1232 : ulong k;
1233 69708 : if (lgefint(K) != 3) return 0;
1234 69701 : k = itou(K);
1235 69701 : if (pt) {
1236 69694 : z = cgetg(3, t_FRAC);
1237 69694 : if (Z_ispowerall(a, k, &a) && Z_ispowerall(b, k, &b)) {
1238 1386 : *pt = z; gel(z,1) = a; gel(z,2) = b; return 1;
1239 : }
1240 68308 : set_avma((pari_sp)(z + 3)); return 0;
1241 : }
1242 7 : return Z_ispower(a, k) && Z_ispower(b, k);
1243 : }
1244 : case t_INTMOD:
1245 189 : return Zn_ispower(gel(x,2), gel(x,1), K, pt);
1246 : case t_FFELT:
1247 28 : return FF_ispower(x, K, pt);
1248 :
1249 : case t_PADIC:
1250 1113 : return Qp_ispower(x, K, pt);
1251 : case t_POLMOD:
1252 14 : return polmodispower(x, K, pt);
1253 : case t_POL:
1254 714 : return polispower(x, K, pt);
1255 : case t_RFRAC: {
1256 7 : GEN a = gel(x,1), b = gel(x,2);
1257 7 : if (pt) {
1258 7 : z = cgetg(3, t_RFRAC);
1259 7 : if (ispower(a, K, &a) && polispower(b, K, &b)) {
1260 7 : *pt = z; gel(z,1) = a; gel(z,2) = b; return 1;
1261 : }
1262 0 : set_avma((pari_sp)(z + 3)); return 0;
1263 : }
1264 0 : return (ispower(a, K, NULL) && polispower(b, K, NULL));
1265 : }
1266 : case t_REAL:
1267 7 : if (signe(x) < 0 && !mpodd(K)) return 0;
1268 : case t_COMPLEX:
1269 14 : if (pt) *pt = gsqrtn(x, K, NULL, DEFAULTPREC);
1270 14 : return 1;
1271 :
1272 : case t_SER:
1273 7 : if (signe(x) && (!dvdsi(valp(x), K) || !ispower(gel(x,2), K, NULL)))
1274 0 : return 0;
1275 7 : if (pt) *pt = gsqrtn(x, K, NULL, DEFAULTPREC);
1276 7 : return 1;
1277 : }
1278 0 : pari_err_TYPE("ispower",x);
1279 : return 0; /* LCOV_EXCL_LINE */
1280 : }
1281 :
1282 : long
1283 7000182 : gisanypower(GEN x, GEN *pty)
1284 : {
1285 7000182 : long tx = typ(x);
1286 : ulong k, h;
1287 7000182 : if (tx == t_INT) return Z_isanypower(x, pty);
1288 14 : if (tx == t_FRAC)
1289 : {
1290 14 : pari_sp av = avma;
1291 14 : GEN fa, P, E, a = gel(x,1), b = gel(x,2);
1292 : long i, j, p, e;
1293 14 : int sw = (abscmpii(a, b) > 0);
1294 :
1295 14 : if (sw) swap(a, b);
1296 14 : k = Z_isanypower(a, pty? &a: NULL);
1297 14 : if (!k)
1298 : { /* a = -1,1 or not a pure power */
1299 7 : if (!is_pm1(a)) return gc_long(av,0);
1300 7 : if (signe(a) < 0) b = negi(b);
1301 7 : k = Z_isanypower(b, pty? &b: NULL);
1302 7 : if (!k || !pty) return gc_long(av,k);
1303 7 : *pty = gerepileupto(av, ginv(b));
1304 7 : return k;
1305 : }
1306 7 : fa = factoru(k);
1307 7 : P = gel(fa,1);
1308 7 : E = gel(fa,2); h = k;
1309 14 : for (i = lg(P) - 1; i > 0; i--)
1310 : {
1311 7 : p = P[i];
1312 7 : e = E[i];
1313 21 : for (j = 0; j < e; j++)
1314 14 : if (!is_kth_power(b, p, &b)) break;
1315 7 : if (j < e) k /= upowuu(p, e - j);
1316 : }
1317 7 : if (k == 1) return gc_long(av,0);
1318 7 : if (!pty) return gc_long(av,k);
1319 0 : if (k != h) a = powiu(a, h/k);
1320 0 : *pty = gerepilecopy(av, mkfrac(a, b));
1321 0 : return k;
1322 : }
1323 0 : pari_err_TYPE("gisanypower", x);
1324 : return 0; /* LCOV_EXCL_LINE */
1325 : }
1326 :
1327 : /* v_p(x) = e != 0 for some p; return ispower(x,,&x), updating x.
1328 : * No need to optimize for 2,3,5,7 powers (done before) */
1329 : static long
1330 505715 : split_exponent(ulong e, GEN *x)
1331 : {
1332 : GEN fa, P, E;
1333 505715 : long i, j, l, k = 1;
1334 505715 : if (e == 1) return 1;
1335 14 : fa = factoru(e);
1336 14 : P = gel(fa,1);
1337 14 : E = gel(fa,2); l = lg(P);
1338 28 : for (i = 1; i < l; i++)
1339 : {
1340 14 : ulong p = P[i];
1341 28 : for (j = 0; j < E[i]; j++)
1342 : {
1343 : GEN y;
1344 14 : if (!is_kth_power(*x, p, &y)) break;
1345 14 : k *= p; *x = y;
1346 : }
1347 : }
1348 14 : return k;
1349 : }
1350 :
1351 : static long
1352 864844 : Z_isanypower_nosmalldiv(GEN *px)
1353 : { /* any prime divisor of x is > 102 */
1354 864844 : const double LOG2_103 = 6.6865; /* lower bound for log_2(103) */
1355 864844 : const double LOG103 = 4.6347; /* lower bound for log(103) */
1356 : forprime_t T;
1357 864844 : ulong mask = 7, e2;
1358 : long k, ex;
1359 864844 : GEN y, x = *px;
1360 :
1361 864844 : k = 1;
1362 864844 : while (Z_issquareall(x, &y)) { k <<= 1; x = y; }
1363 864844 : while ( (ex = is_357_power(x, &y, &mask)) ) { k *= ex; x = y; }
1364 864844 : e2 = (ulong)((expi(x) + 1) / LOG2_103); /* >= log_103 (x) */
1365 864844 : if (u_forprime_init(&T, 11, e2))
1366 : {
1367 17038 : GEN logx = NULL;
1368 17038 : const ulong Q = 30011; /* prime */
1369 : ulong p, xmodQ;
1370 17038 : double dlogx = 0;
1371 : /* cut off at x^(1/p) ~ 2^30 bits which seems to be about optimum;
1372 : * for large p the modular checks are no longer competitively fast */
1373 34118 : while ( (ex = is_pth_power(x, &y, &T, 30)) )
1374 : {
1375 42 : k *= ex; x = y;
1376 42 : e2 = (ulong)((expi(x) + 1) / LOG2_103);
1377 42 : u_forprime_restrict(&T, e2);
1378 : }
1379 17038 : if (DEBUGLEVEL>4) err_printf("Z_isanypower: now k=%ld, x=%ld-bit\n", k, expi(x));
1380 17038 : xmodQ = umodiu(x, Q);
1381 : /* test Q | x, just in case */
1382 17038 : if (!xmodQ) { *px = x; return k * split_exponent(Z_lval(x,Q), px); }
1383 : /* x^(1/p) < 2^31 */
1384 17024 : p = T.p;
1385 17024 : if (p <= e2)
1386 : {
1387 17010 : logx = logr_abs( itor(x, DEFAULTPREC) );
1388 17010 : dlogx = rtodbl(logx);
1389 17010 : e2 = (ulong)(dlogx / LOG103); /* >= log_103(x) */
1390 : }
1391 154721 : while (p && p <= e2)
1392 : { /* is x a p-th power ? By computing y = round(x^(1/p)).
1393 : * Check whether y^p = x, first mod Q, then exactly. */
1394 120673 : pari_sp av = avma;
1395 : long e;
1396 120673 : GEN logy = divru(logx, p), y = grndtoi(mpexp(logy), &e);
1397 120673 : ulong ymodQ = umodiu(y,Q);
1398 120673 : if (e >= -10 || Fl_powu(ymodQ, p % (Q-1), Q) != xmodQ
1399 21 : || !equalii(powiu(y, p), x)) set_avma(av);
1400 : else
1401 : {
1402 21 : k *= p; x = y; xmodQ = ymodQ; logx = logy; dlogx /= p;
1403 21 : e2 = (ulong)(dlogx / LOG103); /* >= log_103(x) */
1404 21 : u_forprime_restrict(&T, e2);
1405 21 : continue; /* if success, retry same p */
1406 : }
1407 120652 : p = u_forprime_next(&T);
1408 : }
1409 : }
1410 864830 : *px = x; return k;
1411 : }
1412 :
1413 : static ulong tinyprimes[] = {
1414 : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71,
1415 : 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151,
1416 : 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199
1417 : };
1418 :
1419 : /* disregard the sign of x, caller will take care of x < 0 */
1420 : static long
1421 7001002 : Z_isanypower_aux(GEN x, GEN *pty)
1422 : {
1423 : long ex, v, i, l, k;
1424 : GEN y, P, E;
1425 7001002 : ulong mask, e = 0;
1426 :
1427 7001002 : if (abscmpii(x, gen_2) < 0) return 0; /* -1,0,1 */
1428 :
1429 7000988 : if (signe(x) < 0) x = negi(x);
1430 7000988 : k = l = 1;
1431 7000988 : P = cgetg(26 + 1, t_VECSMALL);
1432 7000988 : E = cgetg(26 + 1, t_VECSMALL);
1433 : /* trial division */
1434 122950952 : for(i = 0; i < 26; i++)
1435 : {
1436 60140813 : ulong p = tinyprimes[i];
1437 : int stop;
1438 60140813 : v = Z_lvalrem_stop(&x, p, &stop);
1439 60140813 : if (v)
1440 : {
1441 7922348 : P[l] = p;
1442 7922348 : E[l] = v; l++;
1443 13588673 : e = ugcd(e, v); if (e == 1) goto END;
1444 : }
1445 54722526 : if (stop) {
1446 248038 : if (is_pm1(x)) k = e;
1447 248038 : goto END;
1448 : }
1449 : }
1450 :
1451 1334663 : if (e)
1452 : { /* Bingo. Result divides e */
1453 : long v3, v5, v7;
1454 505701 : ulong e2 = e;
1455 505701 : v = u_lvalrem(e2, 2, &e2);
1456 505701 : if (v)
1457 : {
1458 375249 : for (i = 0; i < v; i++)
1459 : {
1460 374171 : if (!Z_issquareall(x, &y)) break;
1461 1288 : k <<= 1; x = y;
1462 : }
1463 : }
1464 505701 : mask = 0;
1465 505701 : v3 = u_lvalrem(e2, 3, &e2); if (v3) mask = 1;
1466 505701 : v5 = u_lvalrem(e2, 5, &e2); if (v5) mask |= 2;
1467 505701 : v7 = u_lvalrem(e2, 7, &e2); if (v7) mask |= 4;
1468 1011479 : while ( (ex = is_357_power(x, &y, &mask)) ) {
1469 77 : x = y;
1470 77 : switch(ex)
1471 : {
1472 28 : case 3: k *= 3; if (--v3 == 0) mask &= ~1; break;
1473 28 : case 5: k *= 5; if (--v5 == 0) mask &= ~2; break;
1474 21 : case 7: k *= 7; if (--v7 == 0) mask &= ~4; break;
1475 : }
1476 : }
1477 505701 : k *= split_exponent(e2, &x);
1478 : }
1479 : else
1480 828962 : k = Z_isanypower_nosmalldiv(&x);
1481 : END:
1482 7000988 : if (pty && k != 1)
1483 : {
1484 8120 : if (e)
1485 : { /* add missing small factors */
1486 6867 : y = powuu(P[1], E[1] / k);
1487 6867 : for (i = 2; i < l; i++) y = mulii(y, powuu(P[i], E[i] / k));
1488 6867 : x = equali1(x)? y: mulii(x,y);
1489 : }
1490 8120 : *pty = x;
1491 : }
1492 7000988 : return k == 1? 0: k;
1493 : }
1494 :
1495 : long
1496 7001002 : Z_isanypower(GEN x, GEN *pty)
1497 : {
1498 7001002 : pari_sp av = avma;
1499 7001002 : long k = Z_isanypower_aux(x, pty);
1500 7001002 : if (!k) return gc_long(av,0);
1501 8183 : if (signe(x) < 0)
1502 : {
1503 42 : long v = vals(k);
1504 42 : if (v)
1505 : {
1506 : GEN y;
1507 28 : k >>= v;
1508 28 : if (k == 1) return gc_long(av,0);
1509 21 : if (!pty) return gc_long(av,k);
1510 14 : y = *pty;
1511 14 : y = powiu(y, 1<<v);
1512 14 : togglesign(y);
1513 14 : *pty = gerepileuptoint(av, y);
1514 14 : return k;
1515 : }
1516 14 : if (pty) togglesign_safe(pty);
1517 : }
1518 8155 : if (pty) *pty = gerepilecopy(av, *pty); else set_avma(av);
1519 8155 : return k;
1520 : }
1521 :
1522 : /* Faster than */
1523 : /* !cmpii(n, int2n(vali(n))) */
1524 : /* !cmpis(shifti(n, -vali(n)), 1) */
1525 : /* expi(n) == vali(n) */
1526 : /* hamming(n) == 1 */
1527 : /* even for single-word values, and much faster for multiword values. */
1528 : /* If all you have is a word, you can just use n & !(n & (n-1)). */
1529 : long
1530 98917 : Z_ispow2(GEN n)
1531 : {
1532 : GEN xp;
1533 : long i, lx;
1534 : ulong u;
1535 98917 : if (signe(n) != 1) return 0;
1536 98910 : xp = int_LSW(n);
1537 98910 : lx = lgefint(n);
1538 98910 : u = *xp;
1539 99194 : for (i = 3; i < lx; ++i)
1540 : {
1541 96039 : if (u) return 0;
1542 284 : xp = int_nextW(xp);
1543 284 : u = *xp;
1544 : }
1545 3155 : return !(u & (u-1));
1546 : }
1547 :
1548 : static long
1549 841890 : isprimepower_i(GEN n, GEN *pt, long flag)
1550 : {
1551 841890 : pari_sp av = avma;
1552 : long i, v;
1553 :
1554 841890 : if (typ(n) != t_INT) pari_err_TYPE("isprimepower", n);
1555 841890 : if (signe(n) <= 0) return 0;
1556 :
1557 841890 : if (lgefint(n) == 3)
1558 : {
1559 : ulong p;
1560 541176 : v = uisprimepower(n[2], &p);
1561 541176 : if (v)
1562 : {
1563 54964 : if (pt) *pt = utoipos(p);
1564 54964 : return v;
1565 : }
1566 486212 : return 0;
1567 : }
1568 1663323 : for (i = 0; i < 26; i++)
1569 : {
1570 1627441 : ulong p = tinyprimes[i];
1571 1627441 : v = Z_lvalrem(n, p, &n);
1572 1627440 : if (v)
1573 : {
1574 264831 : set_avma(av);
1575 264831 : if (!is_pm1(n)) return 0;
1576 435 : if (pt) *pt = utoipos(p);
1577 435 : return v;
1578 : }
1579 : }
1580 : /* p | n => p >= 103 */
1581 35882 : v = Z_isanypower_nosmalldiv(&n); /* expensive */
1582 35882 : if (!(flag? isprime(n): BPSW_psp(n))) return gc_long(av,0);
1583 5570 : if (pt) *pt = gerepilecopy(av, n); else set_avma(av);
1584 5570 : return v;
1585 : }
1586 : long
1587 840098 : isprimepower(GEN n, GEN *pt) { return isprimepower_i(n,pt,1); }
1588 : long
1589 1792 : ispseudoprimepower(GEN n, GEN *pt) { return isprimepower_i(n,pt,0); }
1590 :
1591 : long
1592 542275 : uisprimepower(ulong n, ulong *pp)
1593 : { /* We must have CUTOFF^11 >= ULONG_MAX and CUTOFF^3 < ULONG_MAX.
1594 : * Tests suggest that 200-300 is the best range for 64-bit platforms. */
1595 542275 : const ulong CUTOFF = 200UL;
1596 542275 : const long TINYCUTOFF = 46; /* tinyprimes[45] = 199 */
1597 542275 : const ulong CUTOFF3 = CUTOFF*CUTOFF*CUTOFF;
1598 : #ifdef LONG_IS_64BIT
1599 : /* primes preceeding the appropriate root of ULONG_MAX. */
1600 481962 : const ulong ROOT9 = 137;
1601 481962 : const ulong ROOT8 = 251;
1602 481962 : const ulong ROOT7 = 563;
1603 481962 : const ulong ROOT5 = 7129;
1604 481962 : const ulong ROOT4 = 65521;
1605 : #else
1606 60313 : const ulong ROOT9 = 11;
1607 60313 : const ulong ROOT8 = 13;
1608 60313 : const ulong ROOT7 = 23;
1609 60313 : const ulong ROOT5 = 83;
1610 60313 : const ulong ROOT4 = 251;
1611 : #endif
1612 : ulong mask;
1613 : long v, i;
1614 : int e;
1615 542275 : if (n < 2) return 0;
1616 542261 : if (!odd(n)) {
1617 271208 : if (n & (n-1)) return 0;
1618 1404 : *pp = 2; return vals(n);
1619 : }
1620 271053 : if (n < 8) { *pp = n; return 1; } /* 3,5,7 */
1621 3654130 : for (i = 1/*skip p=2*/; i < TINYCUTOFF; i++)
1622 : {
1623 3595055 : ulong p = tinyprimes[i];
1624 3595055 : if (n % p == 0)
1625 : {
1626 211572 : v = u_lvalrem(n, p, &n);
1627 211572 : if (n == 1) { *pp = p; return v; }
1628 209438 : return 0;
1629 : }
1630 : }
1631 : /* p | n => p >= CUTOFF */
1632 :
1633 59075 : if (n < CUTOFF3)
1634 : {
1635 46354 : if (n < CUTOFF*CUTOFF || uisprime_101(n)) { *pp = n; return 1; }
1636 0 : if (uissquareall(n, &n)) { *pp = n; return 2; }
1637 0 : return 0;
1638 : }
1639 :
1640 : /* Check for squares, fourth powers, and eighth powers as appropriate. */
1641 12721 : v = 1;
1642 12721 : if (uissquareall(n, &n)) {
1643 0 : v <<= 1;
1644 0 : if (CUTOFF <= ROOT4 && uissquareall(n, &n)) {
1645 0 : v <<= 1;
1646 0 : if (CUTOFF <= ROOT8 && uissquareall(n, &n)) v <<= 1;
1647 : }
1648 : }
1649 :
1650 12721 : if (CUTOFF > ROOT5) mask = 1;
1651 : else
1652 : {
1653 12720 : const ulong CUTOFF5 = CUTOFF3*CUTOFF*CUTOFF;
1654 12720 : if (n < CUTOFF5) mask = 1; else mask = 3;
1655 12720 : if (CUTOFF <= ROOT7)
1656 : {
1657 12720 : const ulong CUTOFF7 = CUTOFF5*CUTOFF*CUTOFF;
1658 12720 : if (n >= CUTOFF7) mask = 7;
1659 : }
1660 : }
1661 :
1662 12721 : if (CUTOFF <= ROOT9 && (e = uis_357_power(n, &n, &mask))) { v *= e; mask=1; }
1663 12721 : if ((e = uis_357_power(n, &n, &mask))) v *= e;
1664 :
1665 12721 : if (uisprime_101(n)) { *pp = n; return v; }
1666 6984 : return 0;
1667 : }
1668 :
1669 : /*********************************************************************/
1670 : /** **/
1671 : /** KRONECKER SYMBOL **/
1672 : /** **/
1673 : /*********************************************************************/
1674 : /* t = 3,5 mod 8 ? (= 2 not a square mod t) */
1675 : static int
1676 633105008 : ome(long t)
1677 : {
1678 633105008 : switch(t & 7)
1679 : {
1680 : case 3:
1681 361220062 : case 5: return 1;
1682 271884946 : default: return 0;
1683 : }
1684 : }
1685 : /* t a t_INT, is t = 3,5 mod 8 ? */
1686 : static int
1687 4184566 : gome(GEN t)
1688 4184566 : { return signe(t)? ome( mod2BIL(t) ): 0; }
1689 :
1690 : /* assume y odd, return kronecker(x,y) * s */
1691 : static long
1692 483787467 : krouu_s(ulong x, ulong y, long s)
1693 : {
1694 483787467 : ulong x1 = x, y1 = y, z;
1695 2607130225 : while (x1)
1696 : {
1697 1639606968 : long r = vals(x1);
1698 1639617502 : if (r)
1699 : {
1700 883045535 : if (odd(r) && ome(y1)) s = -s;
1701 882983324 : x1 >>= r;
1702 : }
1703 1639555291 : if (x1 & y1 & 2) s = -s;
1704 1639555291 : z = y1 % x1; y1 = x1; x1 = z;
1705 : }
1706 483735790 : return (y1 == 1)? s: 0;
1707 : }
1708 :
1709 : long
1710 5051036 : kronecker(GEN x, GEN y)
1711 : {
1712 5051036 : pari_sp av = avma;
1713 5051036 : long s = 1, r;
1714 : ulong xu;
1715 :
1716 5051036 : if (typ(x) != t_INT) pari_err_TYPE("kronecker",x);
1717 5051036 : if (typ(y) != t_INT) pari_err_TYPE("kronecker",y);
1718 5051036 : switch (signe(y))
1719 : {
1720 0 : case -1: y = negi(y); if (signe(x) < 0) s = -1; break;
1721 0 : case 0: return is_pm1(x);
1722 : }
1723 5051036 : r = vali(y);
1724 5051036 : if (r)
1725 : {
1726 11759 : if (!mpodd(x)) return gc_long(av,0);
1727 10233 : if (odd(r) && gome(x)) s = -s;
1728 10233 : y = shifti(y,-r);
1729 : }
1730 5049510 : x = modii(x,y);
1731 11058788 : while (lgefint(x) > 3) /* x < y */
1732 : {
1733 : GEN z;
1734 959768 : r = vali(x);
1735 959768 : if (r)
1736 : {
1737 523965 : if (odd(r) && gome(y)) s = -s;
1738 523965 : x = shifti(x,-r);
1739 : }
1740 : /* x=3 mod 4 && y=3 mod 4 ? (both are odd here) */
1741 959768 : if (mod2BIL(x) & mod2BIL(y) & 2) s = -s;
1742 959768 : z = remii(y,x); y = x; x = z;
1743 959768 : if (gc_needed(av,2))
1744 : {
1745 0 : if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"kronecker");
1746 0 : gerepileall(av, 2, &x, &y);
1747 : }
1748 : }
1749 5049510 : xu = itou(x);
1750 5049510 : if (!xu) return is_pm1(y)? s: 0;
1751 5028947 : r = vals(xu);
1752 5028947 : if (r)
1753 : {
1754 2642078 : if (odd(r) && gome(y)) s = -s;
1755 2642078 : xu >>= r;
1756 : }
1757 : /* x=3 mod 4 && y=3 mod 4 ? (both are odd here) */
1758 5028947 : if (xu & mod2BIL(y) & 2) s = -s;
1759 5028947 : return gc_long(av, krouu_s(umodiu(y,xu), xu, s));
1760 : }
1761 :
1762 : long
1763 31164 : krois(GEN x, long y)
1764 : {
1765 : ulong yu;
1766 31164 : long s = 1;
1767 :
1768 31164 : if (y <= 0)
1769 : {
1770 7 : if (y == 0) return is_pm1(x);
1771 0 : yu = (ulong)-y; if (signe(x) < 0) s = -1;
1772 : }
1773 : else
1774 31157 : yu = (ulong)y;
1775 31157 : if (!odd(yu))
1776 : {
1777 : long r;
1778 14217 : if (!mpodd(x)) return 0;
1779 10633 : r = vals(yu); yu >>= r;
1780 10633 : if (odd(r) && gome(x)) s = -s;
1781 : }
1782 27573 : return krouu_s(umodiu(x, yu), yu, s);
1783 : }
1784 : /* assume y != 0 */
1785 : long
1786 342596563 : kroiu(GEN x, ulong y)
1787 : {
1788 : long r;
1789 342596563 : if (odd(y)) return krouu_s(umodiu(x,y), y, 1);
1790 2132032 : if (!mpodd(x)) return 0;
1791 2109898 : r = vals(y); y >>= r;
1792 2109898 : return krouu_s(umodiu(x,y), y, (odd(r) && gome(x))? -1: 1);
1793 : }
1794 :
1795 : /* assume y > 0, odd, return s * kronecker(x,y) */
1796 : static long
1797 181218 : krouodd(ulong x, GEN y, long s)
1798 : {
1799 : long r;
1800 181218 : if (lgefint(y) == 3) return krouu_s(x, y[2], s);
1801 41890 : if (!x) return 0; /* y != 1 */
1802 41890 : r = vals(x);
1803 41890 : if (r)
1804 : {
1805 7367 : if (odd(r) && gome(y)) s = -s;
1806 7367 : x >>= r;
1807 : }
1808 : /* x=3 mod 4 && y=3 mod 4 ? (both are odd here) */
1809 41890 : if (x & mod2BIL(y) & 2) s = -s;
1810 41890 : return krouu_s(umodiu(y,x), x, s);
1811 : }
1812 :
1813 : long
1814 180703 : krosi(long x, GEN y)
1815 : {
1816 180703 : const pari_sp av = avma;
1817 180703 : long s = 1, r;
1818 180703 : switch (signe(y))
1819 : {
1820 0 : case -1: y = negi(y); if (x < 0) s = -1; break;
1821 0 : case 0: return (x==1 || x==-1);
1822 : }
1823 180703 : r = vali(y);
1824 180703 : if (r)
1825 : {
1826 16842 : if (!odd(x)) return gc_long(av,0);
1827 16842 : if (odd(r) && ome(x)) s = -s;
1828 16842 : y = shifti(y,-r);
1829 : }
1830 180703 : if (x < 0) { x = -x; if (mod4(y) == 3) s = -s; }
1831 180703 : return gc_long(av, krouodd((ulong)x, y, s));
1832 : }
1833 :
1834 : long
1835 515 : kroui(ulong x, GEN y)
1836 : {
1837 515 : const pari_sp av = avma;
1838 515 : long s = 1, r;
1839 515 : switch (signe(y))
1840 : {
1841 0 : case -1: y = negi(y); break;
1842 0 : case 0: return x==1UL;
1843 : }
1844 515 : r = vali(y);
1845 515 : if (r)
1846 : {
1847 0 : if (!odd(x)) return gc_long(av,0);
1848 0 : if (odd(r) && ome(x)) s = -s;
1849 0 : y = shifti(y,-r);
1850 : }
1851 515 : return gc_long(av, krouodd(x, y, s));
1852 : }
1853 :
1854 : long
1855 78062533 : kross(long x, long y)
1856 : {
1857 : ulong yu;
1858 78062533 : long s = 1;
1859 :
1860 78062533 : if (y <= 0)
1861 : {
1862 455 : if (y == 0) return (labs(x)==1);
1863 427 : yu = (ulong)-y; if (x < 0) s = -1;
1864 : }
1865 : else
1866 78062078 : yu = (ulong)y;
1867 78062505 : if (!odd(yu))
1868 : {
1869 : long r;
1870 19746763 : if (!odd(x)) return 0;
1871 13991860 : r = vals(yu); yu >>= r;
1872 13991860 : if (odd(r) && ome(x)) s = -s;
1873 : }
1874 72307602 : x %= (long)yu; if (x < 0) x += yu;
1875 72307602 : return krouu_s((ulong)x, yu, s);
1876 : }
1877 :
1878 : long
1879 63570533 : krouu(ulong x, ulong y)
1880 : {
1881 : long r;
1882 63570533 : if (odd(y)) return krouu_s(x, y, 1);
1883 1674 : if (!odd(x)) return 0;
1884 1674 : r = vals(y); y >>= r;
1885 1674 : return krouu_s(x, y, (odd(r) && ome(x))? -1: 1);
1886 : }
1887 :
1888 : /*********************************************************************/
1889 : /** **/
1890 : /** HILBERT SYMBOL **/
1891 : /** **/
1892 : /*********************************************************************/
1893 : /* x,y are t_INT or t_REAL */
1894 : static long
1895 9977 : mphilbertoo(GEN x, GEN y)
1896 : {
1897 9977 : long sx = signe(x), sy = signe(y);
1898 9977 : if (!sx || !sy) return 0;
1899 9977 : return (sx < 0 && sy < 0)? -1: 1;
1900 : }
1901 :
1902 : long
1903 53119 : hilbertii(GEN x, GEN y, GEN p)
1904 : {
1905 : pari_sp av;
1906 : long oddvx, oddvy, z;
1907 :
1908 53119 : if (!p) return mphilbertoo(x,y);
1909 43163 : if (is_pm1(p) || signe(p) < 0) pari_err_PRIME("hilbertii",p);
1910 43163 : if (!signe(x) || !signe(y)) return 0;
1911 43142 : av = avma;
1912 43142 : oddvx = odd(Z_pvalrem(x,p,&x));
1913 43142 : oddvy = odd(Z_pvalrem(y,p,&y));
1914 : /* x, y are p-units, compute hilbert(x * p^oddvx, y * p^oddvy, p) */
1915 43142 : if (absequaliu(p, 2))
1916 : {
1917 10684 : z = (Mod4(x) == 3 && Mod4(y) == 3)? -1: 1;
1918 10684 : if (oddvx && gome(y)) z = -z;
1919 10684 : if (oddvy && gome(x)) z = -z;
1920 : }
1921 : else
1922 : {
1923 32458 : z = (oddvx && oddvy && mod4(p) == 3)? -1: 1;
1924 32458 : if (oddvx && kronecker(y,p) < 0) z = -z;
1925 32458 : if (oddvy && kronecker(x,p) < 0) z = -z;
1926 : }
1927 43142 : return gc_long(av, z);
1928 : }
1929 :
1930 : static void
1931 196 : err_prec(void) { pari_err_PREC("hilbert"); }
1932 : static void
1933 161 : err_p(GEN p, GEN q) { pari_err_MODULUS("hilbert", p,q); }
1934 : static void
1935 56 : err_oo(GEN p) { pari_err_MODULUS("hilbert", p, strtoGENstr("oo")); }
1936 :
1937 : /* x t_INTMOD, *pp = prime or NULL [ unset, set it to x.mod ].
1938 : * Return lift(x) provided it's p-adic accuracy is large enough to decide
1939 : * hilbert()'s value [ problem at p = 2 ] */
1940 : static GEN
1941 420 : lift_intmod(GEN x, GEN *pp)
1942 : {
1943 420 : GEN p = *pp, N = gel(x,1);
1944 420 : x = gel(x,2);
1945 420 : if (!p)
1946 : {
1947 266 : *pp = p = N;
1948 266 : switch(itos_or_0(p))
1949 : {
1950 : case 2:
1951 126 : case 4: err_prec();
1952 : }
1953 140 : return x;
1954 : }
1955 154 : if (!signe(p)) err_oo(N);
1956 112 : if (absequaliu(p,2))
1957 42 : { if (vali(N) <= 2) err_prec(); }
1958 : else
1959 70 : { if (!dvdii(N,p)) err_p(N,p); }
1960 28 : if (!signe(x)) err_prec();
1961 21 : return x;
1962 : }
1963 : /* x t_PADIC, *pp = prime or NULL [ unset, set it to x.p ].
1964 : * Return lift(x)*p^(v(x) mod 2) provided it's p-adic accuracy is large enough
1965 : * to decide hilbert()'s value [ problem at p = 2 ]*/
1966 : static GEN
1967 210 : lift_padic(GEN x, GEN *pp)
1968 : {
1969 210 : GEN p = *pp, q = gel(x,2), y = gel(x,4);
1970 210 : if (!p) *pp = p = q;
1971 147 : else if (!equalii(p,q)) err_p(p, q);
1972 105 : if (absequaliu(p,2) && precp(x) <= 2) err_prec();
1973 70 : if (!signe(y)) err_prec();
1974 70 : return odd(valp(x))? mulii(p,y): y;
1975 : }
1976 :
1977 : long
1978 658 : hilbert(GEN x, GEN y, GEN p)
1979 : {
1980 658 : pari_sp av = avma;
1981 658 : long tx = typ(x), ty = typ(y);
1982 :
1983 658 : if (p && typ(p) != t_INT) pari_err_TYPE("hilbert",p);
1984 658 : if (tx == t_REAL)
1985 : {
1986 77 : if (p && signe(p)) err_oo(p);
1987 63 : switch (ty)
1988 : {
1989 : case t_INT:
1990 7 : case t_REAL: return mphilbertoo(x,y);
1991 0 : case t_FRAC: return mphilbertoo(x,gel(y,1));
1992 56 : default: pari_err_TYPE2("hilbert",x,y);
1993 : }
1994 : }
1995 581 : if (ty == t_REAL)
1996 : {
1997 14 : if (p && signe(p)) err_oo(p);
1998 14 : switch (tx)
1999 : {
2000 : case t_INT:
2001 14 : case t_REAL: return mphilbertoo(x,y);
2002 0 : case t_FRAC: return mphilbertoo(gel(x,1),y);
2003 0 : default: pari_err_TYPE2("hilbert",x,y);
2004 : }
2005 : }
2006 567 : if (tx == t_INTMOD) { x = lift_intmod(x, &p); tx = t_INT; }
2007 364 : if (ty == t_INTMOD) { y = lift_intmod(y, &p); ty = t_INT; }
2008 :
2009 308 : if (tx == t_PADIC) { x = lift_padic(x, &p); tx = t_INT; }
2010 245 : if (ty == t_PADIC) { y = lift_padic(y, &p); ty = t_INT; }
2011 :
2012 168 : if (tx == t_FRAC) { tx = t_INT; x = p? mulii(gel(x,1),gel(x,2)): gel(x,1); }
2013 168 : if (ty == t_FRAC) { ty = t_INT; y = p? mulii(gel(y,1),gel(y,2)): gel(y,1); }
2014 :
2015 168 : if (tx != t_INT || ty != t_INT) pari_err_TYPE2("hilbert",x,y);
2016 168 : if (p && !signe(p)) p = NULL;
2017 168 : return gc_long(av, hilbertii(x,y,p));
2018 : }
2019 :
2020 : /*******************************************************************/
2021 : /* */
2022 : /* SQUARE ROOT MODULO p */
2023 : /* */
2024 : /*******************************************************************/
2025 : static void
2026 3905432 : checkp(ulong q, ulong p)
2027 3905432 : { if (!q) pari_err_PRIME("Fl_nonsquare",utoipos(p)); }
2028 : /* p = 1 (mod 4) prime, return the first quadratic non-residue, a prime */
2029 : static ulong
2030 26388292 : nonsquare1_Fl(ulong p)
2031 : {
2032 : forprime_t S;
2033 : ulong q;
2034 26388292 : if ((p & 7UL) != 1) return 2UL;
2035 10571478 : q = p % 3; if (q == 2) return 3UL;
2036 3220372 : checkp(q, p);
2037 3220366 : q = p % 5; if (q == 2 || q == 3) return 5UL;
2038 423477 : checkp(q, p);
2039 423477 : q = p % 7; if (q != 4 && q >= 3) return 7UL;
2040 157539 : checkp(q, p);
2041 157539 : u_forprime_init(&S, 11, p);
2042 419123 : while ((q = u_forprime_next(&S)))
2043 : {
2044 261583 : long i = krouu(q, p);
2045 261584 : if (i < 0) return q;
2046 104045 : checkp(q, p);
2047 : }
2048 0 : checkp(0, p);
2049 : return 0; /*LCOV_EXCL_LINE*/
2050 : }
2051 : /* p > 2 a prime */
2052 : ulong
2053 7714 : nonsquare_Fl(ulong p)
2054 7714 : { return ((p & 3UL) == 3)? p-1: nonsquare1_Fl(p); }
2055 :
2056 : ulong
2057 150619 : Fl_2gener_pre(ulong p, ulong pi)
2058 : {
2059 150619 : ulong p1 = p-1;
2060 150619 : long e = vals(p1);
2061 150603 : if (e == 1) return p1;
2062 56689 : return Fl_powu_pre(nonsquare1_Fl(p), p1 >> e, p, pi);
2063 : }
2064 :
2065 : /* Tonelli-Shanks. Assume p is prime and (a,p) != -1. */
2066 : ulong
2067 63687854 : Fl_sqrt_pre_i(ulong a, ulong y, ulong p, ulong pi)
2068 : {
2069 : long i, e, k;
2070 : ulong p1, q, v, w;
2071 :
2072 63687854 : if (!a) return 0;
2073 62352053 : p1 = p - 1; e = vals(p1);
2074 62350031 : if (e == 0) /* p = 2 */
2075 : {
2076 418893 : if (p != 2) pari_err_PRIME("Fl_sqrt [modulus]",utoi(p));
2077 418886 : return ((a & 1) == 0)? 0: 1;
2078 : }
2079 61931138 : if (e == 1)
2080 : {
2081 35597971 : v = Fl_powu_pre(a, (p+1) >> 2, p, pi);
2082 35545465 : if (Fl_sqr_pre(v, p, pi) != a) return ~0UL;
2083 35517054 : p1 = p - v; if (v > p1) v = p1;
2084 35517054 : return v;
2085 : }
2086 26333167 : q = p1 >> e; /* q = (p-1)/2^oo is odd */
2087 26333167 : p1 = Fl_powu_pre(a, q >> 1, p, pi); /* a ^ [(q-1)/2] */
2088 26333210 : if (!p1) return 0;
2089 26333210 : v = Fl_mul_pre(a, p1, p, pi);
2090 26333209 : w = Fl_mul_pre(v, p1, p, pi);
2091 26333212 : if (!y) y = Fl_powu_pre(nonsquare1_Fl(p), q, p, pi);
2092 74398985 : while (w != 1)
2093 : { /* a*w = v^2, y primitive 2^e-th root of 1
2094 : a square --> w even power of y, hence w^(2^(e-1)) = 1 */
2095 21760723 : p1 = Fl_sqr_pre(w,p,pi);
2096 21760726 : for (k=1; p1 != 1 && k < e; k++) p1 = Fl_sqr_pre(p1,p,pi);
2097 21760725 : if (k == e) return ~0UL;
2098 : /* w ^ (2^k) = 1 --> w = y ^ (u * 2^(e-k)), u odd */
2099 21732583 : p1 = y;
2100 21732583 : for (i=1; i < e-k; i++) p1 = Fl_sqr_pre(p1, p, pi);
2101 21732583 : y = Fl_sqr_pre(p1, p, pi); e = k;
2102 21732584 : w = Fl_mul_pre(y, w, p, pi);
2103 21732582 : v = Fl_mul_pre(v, p1, p, pi);
2104 : }
2105 26305060 : p1 = p - v; if (v > p1) v = p1;
2106 26305060 : return v;
2107 : }
2108 :
2109 : ulong
2110 60231572 : Fl_sqrt(ulong a, ulong p)
2111 : {
2112 60231572 : ulong pi = get_Fl_red(p);
2113 60236212 : return Fl_sqrt_pre_i(a, 0, p, pi);
2114 : }
2115 :
2116 : ulong
2117 3415818 : Fl_sqrt_pre(ulong a, ulong p, ulong pi)
2118 : {
2119 3415818 : return Fl_sqrt_pre_i(a, 0, p, pi);
2120 : }
2121 :
2122 : static ulong
2123 46416 : Fl_lgener_pre_all(ulong l, long e, ulong r, ulong p, ulong pi, ulong *pt_m)
2124 : {
2125 : ulong x, y, m;
2126 46416 : ulong le1 = upowuu(l, e-1);
2127 72960 : for (x = 2; ; x++)
2128 : {
2129 99504 : y = Fl_powu_pre(x, r, p, pi);
2130 72960 : if (y==1) continue;
2131 56631 : m = Fl_powu_pre(y, le1, p, pi);
2132 56631 : if (m != 1) break;
2133 : }
2134 46416 : *pt_m = m;
2135 46416 : return y;
2136 : }
2137 :
2138 : /* solve x^l = a , l prime in G of order q.
2139 : *
2140 : * q = (l^e)*r, e >= 1, (r,l) = 1
2141 : * y generates the l-Sylow of G
2142 : * m = y^(l^(e-1)) != 1 */
2143 : static ulong
2144 110543 : Fl_sqrtl_raw(ulong a, ulong l, ulong e, ulong r, ulong p, ulong pi, ulong y, ulong m)
2145 : {
2146 : ulong p1, v, w, z, dl;
2147 : ulong u2;
2148 110543 : if (a==0) return a;
2149 110543 : u2 = Fl_inv(l%r, r);
2150 110543 : v = Fl_powu_pre(a, u2, p, pi);
2151 110538 : w = Fl_powu_pre(v, l, p, pi);
2152 110541 : w = Fl_mul_pre(w, Fl_inv(a, p), p, pi);
2153 110526 : if (w==1) return v;
2154 45259 : if (y==0) y = Fl_lgener_pre_all(l, e, r, p, pi, &m);
2155 109476 : while (w!=1)
2156 : {
2157 49532 : ulong k = 0;
2158 49532 : p1 = w;
2159 : do
2160 : {
2161 73309 : z = p1; p1 = Fl_powu_pre(p1, l, p, pi);
2162 73309 : k++;
2163 73309 : } while (p1!=1);
2164 49532 : if (k==e) return ULONG_MAX;
2165 18958 : dl = Fl_log_pre(z, m, l, p, pi);
2166 18958 : dl = Fl_neg(dl, l);
2167 18958 : p1 = Fl_powu_pre(y,dl*upowuu(l,e-k-1),p,pi);
2168 18958 : m = Fl_powu_pre(m, dl, p, pi);
2169 18958 : e = k;
2170 18958 : v = Fl_mul_pre(p1,v,p,pi);
2171 18958 : y = Fl_powu_pre(p1,l,p,pi);
2172 18958 : w = Fl_mul_pre(y,w,p,pi);
2173 : }
2174 14685 : return v;
2175 : }
2176 :
2177 : static ulong
2178 109821 : Fl_sqrtl_i(ulong a, ulong l, ulong p, ulong pi, ulong y, ulong m)
2179 : {
2180 109821 : ulong r, e = u_lvalrem(p-1, l, &r);
2181 109822 : return Fl_sqrtl_raw(a, l, e, r, p, pi, y, m);
2182 : }
2183 :
2184 : ulong
2185 109822 : Fl_sqrtl_pre(ulong a, ulong l, ulong p, ulong pi)
2186 : {
2187 109822 : return Fl_sqrtl_i(a, l, p, pi, 0, 0);
2188 : }
2189 :
2190 : ulong
2191 0 : Fl_sqrtl(ulong a, ulong l, ulong p)
2192 : {
2193 0 : ulong pi = get_Fl_red(p);
2194 0 : return Fl_sqrtl_i(a, l, p, pi, 0, 0);
2195 : }
2196 :
2197 : ulong
2198 65221 : Fl_sqrtn_pre(ulong a, long n, ulong p, ulong pi, ulong *zetan)
2199 : {
2200 65221 : ulong m, q = p-1, z;
2201 65221 : ulong nn = n >= 0 ? (ulong)n: -(ulong)n;
2202 65221 : if (a==0)
2203 : {
2204 48118 : if (n < 0) pari_err_INV("Fl_sqrtn", mkintmod(gen_0,utoi(p)));
2205 48111 : if (zetan) *zetan = 1UL;
2206 48111 : return 0;
2207 : }
2208 17103 : if (n==1)
2209 : {
2210 0 : if (zetan) *zetan = 1;
2211 0 : return n < 0? Fl_inv(a,p): a;
2212 : }
2213 17103 : if (n==2)
2214 : {
2215 3458 : if (zetan) *zetan = p-1;
2216 3458 : return Fl_sqrt_pre_i(a, 0, p, pi);
2217 : }
2218 13645 : if (a == 1 && !zetan) return a;
2219 7709 : m = ugcd(nn, q);
2220 7709 : z = 1;
2221 7709 : if (m!=1)
2222 : {
2223 1143 : GEN F = factoru(m);
2224 : long i, j, e;
2225 : ulong r, zeta, y, l;
2226 2335 : for (i = nbrows(F); i; i--)
2227 : {
2228 1248 : l = ucoeff(F,i,1);
2229 1248 : j = ucoeff(F,i,2);
2230 1248 : e = u_lvalrem(q,l, &r);
2231 1248 : y = Fl_lgener_pre_all(l, e, r, p, pi, &zeta);
2232 1248 : if (zetan)
2233 681 : z = Fl_mul_pre(z, Fl_powu_pre(y, upowuu(l,e-j), p, pi), p, pi);
2234 1248 : if (a!=1)
2235 : do
2236 : {
2237 721 : a = Fl_sqrtl_raw(a, l, e, r, p, pi, y, zeta);
2238 707 : if (a==ULONG_MAX) return ULONG_MAX;
2239 665 : } while (--j);
2240 : }
2241 : }
2242 7653 : if (m != nn)
2243 : {
2244 6587 : ulong qm = q/m, nm = nn/m;
2245 6587 : a = Fl_powu_pre(a, Fl_inv(nm%qm, qm), p, pi);
2246 : }
2247 7653 : if (n < 0) a = Fl_inv(a, p);
2248 7653 : if (zetan) *zetan = z;
2249 7653 : return a;
2250 : }
2251 :
2252 : ulong
2253 65221 : Fl_sqrtn(ulong a, long n, ulong p, ulong *zetan)
2254 : {
2255 65221 : ulong pi = get_Fl_red(p);
2256 65221 : return Fl_sqrtn_pre(a, n, p, pi, zetan);
2257 : }
2258 :
2259 : /* Cipolla is better than Tonelli-Shanks when e = v_2(p-1) is "too big".
2260 : * Otherwise, is a constant times worse; for p = 3 (mod 4), is about 3 times worse,
2261 : * and in average is about 2 or 2.5 times worse. But try both algorithms for
2262 : * S(n) = (2^n+3)^2-8 with n = 750, 771, 779, 790, 874, 1176, 1728, 2604, etc.
2263 : *
2264 : * If X^2 := t^2 - a is not a square in F_p (so X is in F_p^2), then
2265 : * (t+X)^(p+1) = (t-X)(t+X) = a, hence sqrt(a) = (t+X)^((p+1)/2) in F_p^2.
2266 : * If (a|p)=1, then sqrt(a) is in F_p.
2267 : * cf: LNCS 2286, pp 430-434 (2002) [Gonzalo Tornaria] */
2268 :
2269 : /* compute y^2, y = y[1] + y[2] X */
2270 : static GEN
2271 449 : sqrt_Cipolla_sqr(void *data, GEN y)
2272 : {
2273 449 : GEN u = gel(y,1), v = gel(y,2), p = gel(data,2), n = gel(data,3);
2274 449 : GEN u2 = sqri(u), v2 = sqri(v);
2275 449 : v = subii(sqri(addii(v,u)), addii(u2,v2));
2276 449 : u = addii(u2, mulii(v2,n));
2277 : /* NOT mkvec2: must be gerepileupto-able */
2278 449 : retmkvec2(modii(u,p), modii(v,p));
2279 : }
2280 : /* compute (t+X) y^2 */
2281 : static GEN
2282 23 : sqrt_Cipolla_msqr(void *data, GEN y)
2283 : {
2284 23 : GEN u = gel(y,1), v = gel(y,2), a = gel(data,1), p = gel(data,2), gt = gel(data,4);
2285 23 : ulong t = gt[2];
2286 23 : GEN d = addii(u, mului(t,v)), d2= sqri(d);
2287 23 : GEN b = remii(mulii(a,v), p);
2288 23 : u = subii(mului(t,d2), mulii(b,addii(u,d)));
2289 23 : v = subii(d2, mulii(b,v));
2290 : /* NOT mkvec2: must be gerepileupto-able */
2291 23 : retmkvec2(modii(u,p), modii(v,p));
2292 : }
2293 : /* assume a reduced mod p [ otherwise correct but inefficient ] */
2294 : static GEN
2295 8 : sqrt_Cipolla(GEN a, GEN p)
2296 : {
2297 : pari_sp av1;
2298 : GEN u, v, n, y, pov2;
2299 : ulong t;
2300 :
2301 8 : if (kronecker(a, p) < 0) return NULL;
2302 8 : pov2 = shifti(p,-1);
2303 8 : if (cmpii(a,pov2) > 0) a = subii(a,p); /* center: avoid multiplying by huge base*/
2304 :
2305 8 : av1 = avma;
2306 41 : for(t=1; ; t++)
2307 : {
2308 74 : n = subsi((long)(t*t), a);
2309 41 : if (kronecker(n, p) < 0) break;
2310 33 : set_avma(av1);
2311 : }
2312 :
2313 : /* compute (t+X)^((p-1)/2) =: u+vX */
2314 8 : u = utoipos(t);
2315 8 : y = gen_pow_fold(mkvec2(u, gen_1), pov2, mkvec4(a,p,n,u),
2316 : sqrt_Cipolla_sqr, sqrt_Cipolla_msqr);
2317 : /* Now u+vX = (t+X)^((p-1)/2); thus
2318 : * (u+vX)(t+X) = sqrt(a) + 0 X
2319 : * Whence,
2320 : * sqrt(a) = (u+vt)t - v*a
2321 : * 0 = (u+vt)
2322 : * Thus a square root is v*a */
2323 :
2324 8 : v = Fp_mul(gel(y, 2), a, p);
2325 8 : if (cmpii(v,pov2) > 0) v = subii(p,v);
2326 8 : return v;
2327 : }
2328 :
2329 : /* Return NULL if p is found to be composite */
2330 : static GEN
2331 2802 : Fp_2gener_all(long e, GEN p)
2332 : {
2333 : GEN y, m;
2334 : long k;
2335 2802 : GEN q = shifti(subiu(p,1), -e); /* q = (p-1)/2^oo is odd */
2336 2802 : if (e==0 && !equaliu(p,2)) return NULL;
2337 9309 : for (k=2; ; k++)
2338 6507 : {
2339 9309 : long i = krosi(k, p);
2340 9309 : if (i >= 0)
2341 : {
2342 6507 : if (i) continue;
2343 0 : return NULL;
2344 : }
2345 2802 : y = m = Fp_pow(utoi(k), q, p);
2346 9509 : for (i=1; i<e; i++)
2347 6707 : if (equali1(m = Fp_sqr(m, p))) break;
2348 2802 : if (i == e) break; /* success */
2349 : }
2350 2802 : return y;
2351 : }
2352 :
2353 : /* Return NULL if p is found to be composite */
2354 : GEN
2355 980 : Fp_2gener(GEN p)
2356 980 : { return Fp_2gener_all(vali(subis(p,1)),p); }
2357 :
2358 : /* smallest square root */
2359 : static GEN
2360 27550 : choose_sqrt(GEN v, GEN p)
2361 : {
2362 27550 : pari_sp av = avma;
2363 27550 : GEN q = subii(p,v);
2364 27550 : if (cmpii(v,q) > 0) v = q; else set_avma(av);
2365 27550 : return v;
2366 : }
2367 : /* Tonelli-Shanks. Assume p is prime and return NULL if (a,p) = -1. */
2368 : GEN
2369 3492532 : Fp_sqrt_i(GEN a, GEN y, GEN p)
2370 : {
2371 3492532 : pari_sp av = avma;
2372 : long i, k, e;
2373 : GEN p1, q, v, w;
2374 :
2375 3492532 : if (typ(a) != t_INT) pari_err_TYPE("Fp_sqrt",a);
2376 3492534 : if (typ(p) != t_INT) pari_err_TYPE("Fp_sqrt",p);
2377 3492534 : if (signe(p) <= 0 || equali1(p)) pari_err_PRIME("Fp_sqrt",p);
2378 3492534 : if (lgefint(p) == 3)
2379 : {
2380 3464877 : ulong pp = uel(p,2), u = Fl_sqrt(umodiu(a, pp), pp);
2381 3464941 : if (u == ~0UL) return NULL;
2382 3464899 : return utoi(u);
2383 : }
2384 :
2385 27657 : a = modii(a, p); if (!signe(a)) { set_avma(av); return gen_0; }
2386 27566 : p1 = subiu(p,1); e = vali(p1);
2387 27566 : if (e <= 2)
2388 : { /* direct formulas more efficient */
2389 : pari_sp av2;
2390 22558 : if (e == 0) pari_err_PRIME("Fp_sqrt [modulus]",p); /* p != 2 */
2391 22558 : if (e == 1)
2392 : {
2393 13362 : q = addiu(shifti(p1,-2),1); /* (p+1) / 4 */
2394 13362 : v = Fp_pow(a, q, p);
2395 : }
2396 : else
2397 : { /* Atkin's formula */
2398 9196 : GEN i, a2 = shifti(a,1);
2399 9196 : if (cmpii(a2,p) >= 0) a2 = subii(a2,p);
2400 9196 : q = shifti(p1, -3); /* (p-5)/8 */
2401 9196 : v = Fp_pow(a2, q, p);
2402 9196 : i = Fp_mul(a2, Fp_sqr(v,p), p); /* i^2 = -1 */
2403 9196 : v = Fp_mul(a, Fp_mul(v, subiu(i,1), p), p);
2404 : }
2405 22558 : av2 = avma;
2406 : /* must check equality in case (a/p) = -1 or p not prime */
2407 22558 : e = equalii(Fp_sqr(v,p), a); set_avma(av2);
2408 22558 : return e? gerepileuptoint(av,choose_sqrt(v,p)): NULL;
2409 : }
2410 : /* On average, Cipolla is better than Tonelli/Shanks if and only if
2411 : * e(e-1) > 8*log2(n)+20, see LNCS 2286 pp 430 [GTL] */
2412 5008 : if (e*(e-1) > 20 + 8 * expi(p))
2413 : {
2414 8 : v = sqrt_Cipolla(a,p); if (!v) return gc_NULL(av);
2415 8 : return gerepileuptoint(av,v);
2416 : }
2417 5000 : if (!y)
2418 : {
2419 1822 : y = Fp_2gener_all(e, p);
2420 1822 : if (!y) pari_err_PRIME("Fp_sqrt [modulus]",p);
2421 : }
2422 5000 : q = shifti(p1,-e); /* q = (p-1)/2^oo is odd */
2423 5000 : p1 = Fp_pow(a, shifti(q,-1), p); /* a ^ (q-1)/2 */
2424 5000 : v = Fp_mul(a, p1, p);
2425 5000 : w = Fp_mul(v, p1, p);
2426 17074 : while (!equali1(w))
2427 : { /* a*w = v^2, y primitive 2^e-th root of 1
2428 : a square --> w even power of y, hence w^(2^(e-1)) = 1 */
2429 7074 : p1 = Fp_sqr(w,p);
2430 7074 : for (k=1; !equali1(p1) && k < e; k++) p1 = Fp_sqr(p1,p);
2431 7074 : if (k == e) return gc_NULL(av); /* p composite or (a/p) != 1 */
2432 : /* w ^ (2^k) = 1 --> w = y ^ (u * 2^(e-k)), u odd */
2433 7074 : p1 = y;
2434 7074 : for (i=1; i < e-k; i++) p1 = Fp_sqr(p1,p);
2435 7074 : y = Fp_sqr(p1, p); e = k;
2436 7074 : w = Fp_mul(y, w, p);
2437 7074 : v = Fp_mul(v, p1, p);
2438 7074 : if (gc_needed(av,1))
2439 : {
2440 0 : if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"Fp_sqrt");
2441 0 : gerepileall(av,3, &y,&w,&v);
2442 : }
2443 : }
2444 5000 : return gerepileuptoint(av, choose_sqrt(v,p));
2445 : }
2446 :
2447 : GEN
2448 3478107 : Fp_sqrt(GEN a, GEN p)
2449 : {
2450 3478107 : return Fp_sqrt_i(a, NULL, p);
2451 : }
2452 :
2453 : /*********************************************************************/
2454 : /** **/
2455 : /** GCD & BEZOUT **/
2456 : /** **/
2457 : /*********************************************************************/
2458 :
2459 : GEN
2460 21229246 : lcmii(GEN x, GEN y)
2461 : {
2462 : pari_sp av;
2463 : GEN a, b;
2464 21229246 : if (!signe(x) || !signe(y)) return gen_0;
2465 21229246 : av = avma;
2466 21229246 : a = gcdii(x,y); if (!equali1(a)) y = diviiexact(y,a);
2467 21229167 : b = mulii(x,y); setabssign(b); return gerepileuptoint(av, b);
2468 : }
2469 :
2470 : /* given x in assume 0 < x < N; return u in (Z/NZ)^* such that u x = gcd(x,N) (mod N);
2471 : * set *pd = gcd(x,N) */
2472 : GEN
2473 4085367 : Fp_invgen(GEN x, GEN N, GEN *pd)
2474 : {
2475 : GEN d, d0, e, v;
2476 4085367 : if (lgefint(N) == 3)
2477 : {
2478 3544262 : ulong dd, NN = N[2], xx = umodiu(x,NN);
2479 3544262 : if (!xx) { *pd = N; return gen_0; }
2480 3544262 : xx = Fl_invgen(xx, NN, &dd);
2481 3544262 : *pd = utoi(dd); return utoi(xx);
2482 : }
2483 541105 : *pd = d = bezout(x, N, &v, NULL);
2484 541105 : if (equali1(d)) return v;
2485 : /* vx = gcd(x,N) (mod N), v coprime to N/d but need not be coprime to N */
2486 447299 : e = diviiexact(N,d);
2487 447299 : d0 = Z_ppo(d, e); /* d = d0 d1, d0 coprime to N/d, rad(d1) | N/d */
2488 447299 : if (equali1(d0)) return v;
2489 315581 : if (!equalii(d,d0)) e = lcmii(e, diviiexact(d,d0));
2490 315581 : return Z_chinese_coprime(v, gen_1, e, d0, mulii(e,d0));
2491 : }
2492 :
2493 : /*********************************************************************/
2494 : /** **/
2495 : /** CHINESE REMAINDERS **/
2496 : /** **/
2497 : /*********************************************************************/
2498 :
2499 : /* Chinese Remainder Theorem. x and y must have the same type (integermod,
2500 : * polymod, or polynomial/vector/matrix recursively constructed with these
2501 : * as coefficients). Creates (with the same type) a z in the same residue
2502 : * class as x and the same residue class as y, if it is possible.
2503 : *
2504 : * We also allow (during recursion) two identical objects even if they are
2505 : * not integermod or polymod. For example:
2506 : *
2507 : * ? x = [1, Mod(5, 11), Mod(X + Mod(2, 7), X^2 + 1)];
2508 : * ? y = [1, Mod(7, 17), Mod(X + Mod(0, 3), X^2 + 1)];
2509 : * ? chinese(x, y)
2510 : * %3 = [1, Mod(16, 187), Mod(X + mod(9, 21), X^2 + 1)] */
2511 :
2512 : static GEN
2513 584058 : gen_chinese(GEN x, GEN(*f)(GEN,GEN))
2514 : {
2515 584058 : GEN z = gassoc_proto(f,x,NULL);
2516 584051 : if (z == gen_1) retmkintmod(gen_0,gen_1);
2517 584016 : return z;
2518 : }
2519 :
2520 : /* x t_INTMOD, y t_POLMOD; promote x to t_POLMOD mod Pol(x.mod) then
2521 : * call chinese: makes Mod(0,1) a better "neutral" element */
2522 : static GEN
2523 21 : chinese_intpol(GEN x,GEN y)
2524 : {
2525 21 : pari_sp av = avma;
2526 21 : GEN z = mkpolmod(gel(x,2), scalarpol_shallow(gel(x,1), varn(gel(y,1))));
2527 21 : return gerepileupto(av, chinese(z, y));
2528 : }
2529 :
2530 : GEN
2531 49 : chinese1(GEN x) { return gen_chinese(x,chinese); }
2532 :
2533 : GEN
2534 16504 : chinese(GEN x, GEN y)
2535 : {
2536 : pari_sp av;
2537 16504 : long tx = typ(x), ty;
2538 : GEN z,p1,p2,d,u,v;
2539 :
2540 16504 : if (!y) return chinese1(x);
2541 16455 : if (gidentical(x,y)) return gcopy(x);
2542 16448 : ty = typ(y);
2543 16448 : if (tx == ty) switch(tx)
2544 : {
2545 : case t_POLMOD:
2546 : {
2547 28 : GEN A = gel(x,1), B = gel(y,1);
2548 28 : GEN a = gel(x,2), b = gel(y,2);
2549 28 : if (varn(A)!=varn(B)) pari_err_VAR("chinese",A,B);
2550 28 : if (RgX_equal(A,B)) retmkpolmod(chinese(a,b), gcopy(A)); /*same modulus*/
2551 28 : av = avma;
2552 28 : d = RgX_extgcd(A,B,&u,&v);
2553 28 : p2 = gsub(b, a);
2554 28 : if (!gequal0(gmod(p2, d))) break;
2555 28 : p1 = gdiv(A,d);
2556 28 : p2 = gadd(a, gmul(gmul(u,p1), p2));
2557 :
2558 28 : z = cgetg(3, t_POLMOD);
2559 28 : gel(z,1) = gmul(p1,B);
2560 28 : gel(z,2) = gmod(p2,gel(z,1));
2561 28 : return gerepileupto(av, z);
2562 : }
2563 : case t_INTMOD:
2564 : {
2565 16385 : GEN A = gel(x,1), B = gel(y,1);
2566 16385 : GEN a = gel(x,2), b = gel(y,2), c, d, C, U;
2567 16385 : z = cgetg(3,t_INTMOD);
2568 16385 : Z_chinese_pre(A, B, &C, &U, &d);
2569 16385 : c = Z_chinese_post(a, b, C, U, d);
2570 16385 : if (!c) pari_err_OP("chinese", x,y);
2571 16385 : set_avma((pari_sp)z);
2572 16385 : gel(z,1) = icopy(C);
2573 16385 : gel(z,2) = icopy(c); return z;
2574 : }
2575 : case t_POL:
2576 : {
2577 7 : long i, lx = lg(x), ly = lg(y);
2578 7 : if (varn(x) != varn(y)) break;
2579 7 : if (lx < ly) { swap(x,y); lswap(lx,ly); }
2580 7 : z = cgetg(lx, t_POL); z[1] = x[1];
2581 7 : for (i=2; i<ly; i++) gel(z,i) = chinese(gel(x,i),gel(y,i));
2582 7 : for ( ; i<lx; i++) gel(z,i) = gcopy(gel(x,i));
2583 7 : return z;
2584 : }
2585 :
2586 : case t_VEC: case t_COL: case t_MAT:
2587 : {
2588 : long i, lx;
2589 7 : z = cgetg_copy(x, &lx); if (lx!=lg(y)) break;
2590 7 : for (i=1; i<lx; i++) gel(z,i) = chinese(gel(x,i),gel(y,i));
2591 7 : return z;
2592 : }
2593 : }
2594 21 : if (tx == t_POLMOD && ty == t_INTMOD) return chinese_intpol(y,x);
2595 7 : if (ty == t_POLMOD && tx == t_INTMOD) return chinese_intpol(x,y);
2596 0 : pari_err_OP("chinese",x,y);
2597 : return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
2598 : }
2599 :
2600 : /* init chinese(Mod(.,A), Mod(.,B)) */
2601 : void
2602 237873 : Z_chinese_pre(GEN A, GEN B, GEN *pC, GEN *pU, GEN *pd)
2603 : {
2604 237873 : GEN u, d = bezout(A,B,&u,NULL); /* U = u(A/d), u(A/d) + v(B/d) = 1 */
2605 237878 : GEN t = diviiexact(A,d);
2606 237858 : *pU = mulii(u, t);
2607 237856 : *pC = mulii(t, B);
2608 237852 : if (pd) *pd = d;
2609 237852 : }
2610 : /* Assume C = lcm(A, B), U = 0 mod (A/d), U = 1 mod (B/d), a = b mod d,
2611 : * where d = gcd(A,B) or NULL, return x = a (mod A), b (mod B).
2612 : * If d not NULL, check whether a = b mod d. */
2613 : GEN
2614 1200081 : Z_chinese_post(GEN a, GEN b, GEN C, GEN U, GEN d)
2615 : {
2616 : GEN b_a;
2617 1200081 : if (!signe(a))
2618 : {
2619 410282 : if (d && !dvdii(b, d)) return NULL;
2620 410282 : return Fp_mul(b, U, C);
2621 : }
2622 789799 : b_a = subii(b,a);
2623 789799 : if (d && !dvdii(b_a, d)) return NULL;
2624 789799 : return modii(addii(a, mulii(U, b_a)), C);
2625 : }
2626 : static ulong
2627 2258206 : u_chinese_post(ulong a, ulong b, ulong C, ulong U)
2628 : {
2629 2258206 : if (!a) return Fl_mul(b, U, C);
2630 2258206 : return Fl_add(a, Fl_mul(U, Fl_sub(b,a,C), C), C);
2631 : }
2632 :
2633 : GEN
2634 2142 : Z_chinese(GEN a, GEN b, GEN A, GEN B)
2635 : {
2636 2142 : pari_sp av = avma;
2637 2142 : GEN C, U; Z_chinese_pre(A, B, &C, &U, NULL);
2638 2142 : return gerepileuptoint(av, Z_chinese_post(a,b, C, U, NULL));
2639 : }
2640 : GEN
2641 219290 : Z_chinese_all(GEN a, GEN b, GEN A, GEN B, GEN *pC)
2642 : {
2643 219290 : GEN U; Z_chinese_pre(A, B, pC, &U, NULL);
2644 219269 : return Z_chinese_post(a,b, *pC, U, NULL);
2645 : }
2646 :
2647 : /* return lift(chinese(a mod A, b mod B))
2648 : * assume(A,B)=1, a,b,A,B integers and C = A*B */
2649 : GEN
2650 316631 : Z_chinese_coprime(GEN a, GEN b, GEN A, GEN B, GEN C)
2651 : {
2652 316631 : pari_sp av = avma;
2653 316631 : GEN U = mulii(Fp_inv(A,B), A);
2654 316631 : return gerepileuptoint(av, Z_chinese_post(a,b,C,U, NULL));
2655 : }
2656 : ulong
2657 2258206 : u_chinese_coprime(ulong a, ulong b, ulong A, ulong B, ulong C)
2658 2258206 : { return u_chinese_post(a,b,C, A * Fl_inv(A % B,B)); }
2659 :
2660 : /* chinese1 for coprime moduli in Z */
2661 : static GEN
2662 645326 : chinese1_coprime_Z_aux(GEN x, GEN y)
2663 : {
2664 645326 : GEN z = cgetg(3, t_INTMOD);
2665 645326 : GEN A = gel(x,1), a = gel(x, 2);
2666 645326 : GEN B = gel(y,1), b = gel(y, 2), C = mulii(A,B);
2667 645326 : pari_sp av = avma;
2668 645326 : GEN U = mulii(Fp_inv(A,B), A);
2669 645326 : gel(z,2) = gerepileuptoint(av, Z_chinese_post(a,b,C,U, NULL));
2670 645326 : gel(z,1) = C; return z;
2671 : }
2672 : GEN
2673 584009 : chinese1_coprime_Z(GEN x) {return gen_chinese(x,chinese1_coprime_Z_aux);}
2674 :
2675 : /*********************************************************************/
2676 : /** **/
2677 : /** MODULAR EXPONENTIATION **/
2678 : /** **/
2679 : /*********************************************************************/
2680 :
2681 : /* xa, ya = t_VECSMALL */
2682 : GEN
2683 1110536 : ZV_producttree(GEN xa)
2684 : {
2685 1110536 : long n = lg(xa)-1;
2686 1110536 : long m = n==1 ? 1: expu(n-1)+1;
2687 1110536 : GEN T = cgetg(m+1, t_VEC), t;
2688 : long i, j, k;
2689 1110512 : t = cgetg(((n+1)>>1)+1, t_VEC);
2690 1110517 : if (typ(xa)==t_VECSMALL)
2691 : {
2692 995491 : for (j=1, k=1; k<n; j++, k+=2)
2693 579919 : gel(t, j) = muluu(xa[k], xa[k+1]);
2694 415572 : if (k==n) gel(t, j) = utoi(xa[k]);
2695 : } else {
2696 1666320 : for (j=1, k=1; k<n; j++, k+=2)
2697 971350 : gel(t, j) = mulii(gel(xa,k), gel(xa,k+1));
2698 694970 : if (k==n) gel(t, j) = icopy(gel(xa,k));
2699 : }
2700 1110538 : gel(T,1) = t;
2701 1842672 : for (i=2; i<=m; i++)
2702 : {
2703 732131 : GEN u = gel(T, i-1);
2704 732131 : long n = lg(u)-1;
2705 732131 : t = cgetg(((n+1)>>1)+1, t_VEC);
2706 1665101 : for (j=1, k=1; k<n; j++, k+=2)
2707 932967 : gel(t, j) = mulii(gel(u, k), gel(u, k+1));
2708 732134 : if (k==n) gel(t, j) = gel(u, k);
2709 732134 : gel(T, i) = t;
2710 : }
2711 1110541 : return T;
2712 : }
2713 :
2714 : /* return [A mod P[i], i=1..#P], T = ZV_producttree(P) */
2715 : GEN
2716 11221679 : Z_ZV_mod_tree(GEN A, GEN P, GEN T)
2717 : {
2718 : long i,j,k;
2719 11221679 : long m = lg(T)-1, n = lg(P)-1;
2720 : GEN t;
2721 11221679 : GEN Tp = cgetg(m+1, t_VEC);
2722 11212217 : gel(Tp, m) = mkvec(A);
2723 19064387 : for (i=m-1; i>=1; i--)
2724 : {
2725 7848200 : GEN u = gel(T, i);
2726 7848200 : GEN v = gel(Tp, i+1);
2727 7848200 : long n = lg(u)-1;
2728 7848200 : t = cgetg(n+1, t_VEC);
2729 16033977 : for (j=1, k=1; k<n; j++, k+=2)
2730 : {
2731 8182064 : gel(t, k) = modii(gel(v, j), gel(u, k));
2732 8182818 : gel(t, k+1) = modii(gel(v, j), gel(u, k+1));
2733 : }
2734 7851913 : if (k==n) gel(t, k) = gel(v, j);
2735 7851913 : gel(Tp, i) = t;
2736 : }
2737 : {
2738 11216187 : GEN u = gel(T, i+1);
2739 11216187 : GEN v = gel(Tp, i+1);
2740 11216187 : long l = lg(u)-1;
2741 11216187 : if (typ(P)==t_VECSMALL)
2742 : {
2743 10105941 : GEN R = cgetg(n+1, t_VECSMALL);
2744 27464416 : for (j=1, k=1; j<=l; j++, k+=2)
2745 : {
2746 17353087 : uel(R,k) = umodiu(gel(v, j), P[k]);
2747 17354279 : if (k < n)
2748 12280695 : uel(R,k+1) = umodiu(gel(v, j), P[k+1]);
2749 : }
2750 10111329 : return R;
2751 : }
2752 : else
2753 : {
2754 1110246 : GEN R = cgetg(n+1, t_VEC);
2755 3153174 : for (j=1, k=1; j<=l; j++, k+=2)
2756 : {
2757 2042916 : gel(R,k) = modii(gel(v, j), gel(P,k));
2758 2042980 : if (k < n)
2759 1551003 : gel(R,k+1) = modii(gel(v, j), gel(P,k+1));
2760 : }
2761 1110258 : return R;
2762 : }
2763 : }
2764 : }
2765 :
2766 : /* T = ZV_producttree(P), R = ZV_chinesetree(P,T) */
2767 : GEN
2768 8422050 : ZV_chinese_tree(GEN A, GEN P, GEN T, GEN R)
2769 : {
2770 8422050 : long m = lg(T)-1, n = lg(A)-1;
2771 : long i,j,k;
2772 8422050 : GEN Tp = cgetg(m+1, t_VEC);
2773 8399009 : GEN M = gel(T, 1);
2774 8399009 : GEN t = cgetg(lg(M), t_VEC);
2775 8384408 : if (typ(P)==t_VECSMALL)
2776 : {
2777 19411283 : for (j=1, k=1; k<n; j++, k+=2)
2778 : {
2779 16665199 : pari_sp av = avma;
2780 16665199 : GEN a = mului(A[k], gel(R,k)), b = mului(A[k+1], gel(R,k+1));
2781 16509293 : GEN tj = modii(addii(mului(P[k],b), mului(P[k+1],a)), gel(M,j));
2782 16526548 : gel(t, j) = gerepileuptoint(av, tj);
2783 : }
2784 2746084 : if (k==n) gel(t, j) = modii(mului(A[k], gel(R,k)), gel(M, j));
2785 : } else
2786 : {
2787 12799344 : for (j=1, k=1; k<n; j++, k+=2)
2788 : {
2789 7208268 : pari_sp av = avma;
2790 7208268 : GEN a = mulii(gel(A,k), gel(R,k)), b = mulii(gel(A,k+1), gel(R,k+1));
2791 7160220 : GEN tj = modii(addii(mulii(gel(P,k),b), mulii(gel(P,k+1),a)), gel(M,j));
2792 7199232 : gel(t, j) = gerepileuptoint(av, tj);
2793 : }
2794 5591076 : if (k==n) gel(t, j) = modii(mulii(gel(A,k), gel(R,k)), gel(M, j));
2795 : }
2796 8321639 : gel(Tp, 1) = t;
2797 17706378 : for (i=2; i<=m; i++)
2798 : {
2799 9340866 : GEN u = gel(T, i-1), M = gel(T, i);
2800 9340866 : GEN t = cgetg(lg(M), t_VEC);
2801 9455209 : GEN v = gel(Tp, i-1);
2802 9455209 : long n = lg(v)-1;
2803 27635420 : for (j=1, k=1; k<n; j++, k+=2)
2804 : {
2805 18250681 : pari_sp av = avma;
2806 73002724 : gel(t, j) = gerepileuptoint(av, modii(addii(mulii(gel(u, k), gel(v, k+1)),
2807 54752043 : mulii(gel(u, k+1), gel(v, k))), gel(M, j)));
2808 : }
2809 9384739 : if (k==n) gel(t, j) = gel(v, k);
2810 9384739 : gel(Tp, i) = t;
2811 : }
2812 8365512 : return gmael(Tp,m,1);
2813 : }
2814 :
2815 : static GEN
2816 236783 : ncV_polint_center_tree(GEN vA, GEN P, GEN T, GEN R, GEN m2)
2817 : {
2818 236783 : long i, l = lg(gel(vA,1)), n = lg(P);
2819 236783 : GEN mod = gmael(T, lg(T)-1, 1), V = cgetg(l, t_COL);
2820 5612284 : for (i=1; i < l; i++)
2821 : {
2822 5377324 : pari_sp av = avma;
2823 5377324 : GEN c, A = cgetg(n, typ(P));
2824 : long j;
2825 5411599 : for (j=1; j < n; j++) A[j] = mael(vA,j,i);
2826 5411599 : c = Fp_center(ZV_chinese_tree(A, P, T, R), mod, m2);
2827 5385782 : gel(V,i) = gerepileuptoint(av, c);
2828 : }
2829 234960 : return V;
2830 : }
2831 :
2832 : static GEN
2833 114232 : nxV_polint_center_tree(GEN vA, GEN P, GEN T, GEN R, GEN m2)
2834 : {
2835 114232 : long i, j, l, n = lg(P);
2836 114232 : GEN mod = gmael(T, lg(T)-1, 1), V, w;
2837 114232 : w = cgetg(n, t_VECSMALL);
2838 114279 : for(j=1; j<n; j++) w[j] = lg(gel(vA,j));
2839 114279 : l = vecsmall_max(w);
2840 114331 : V = cgetg(l, t_POL);
2841 114665 : V[1] = mael(vA,1,1);
2842 476603 : for (i=2; i < l; i++)
2843 : {
2844 362520 : pari_sp av = avma;
2845 362520 : GEN c, A = cgetg(n, typ(P));
2846 362141 : if (typ(P)==t_VECSMALL)
2847 5701 : for (j=1; j < n; j++) A[j] = i < w[j] ? mael(vA,j,i): 0;
2848 : else
2849 356440 : for (j=1; j < n; j++) gel(A,j) = i < w[j] ? gmael(vA,j,i): gen_0;
2850 362141 : c = Fp_center(ZV_chinese_tree(A, P, T, R), mod, m2);
2851 363101 : gel(V,i) = gerepileuptoint(av, c);
2852 : }
2853 114083 : return ZX_renormalize(V, l);
2854 : }
2855 :
2856 : static GEN
2857 5982 : nxCV_polint_center_tree(GEN vA, GEN P, GEN T, GEN R, GEN m2)
2858 : {
2859 5982 : long i, j, l = lg(gel(vA,1)), n = lg(P);
2860 5982 : GEN A = cgetg(n, t_VEC);
2861 5978 : GEN V = cgetg(l, t_COL);
2862 117543 : for (i=1; i < l; i++)
2863 : {
2864 111605 : for (j=1; j < n; j++) gel(A,j) = gmael(vA,j,i);
2865 111605 : gel(V,i) = nxV_polint_center_tree(A, P, T, R, m2);
2866 : }
2867 5938 : return V;
2868 : }
2869 :
2870 : static GEN
2871 19563 : polint_chinese(GEN worker, GEN mA, GEN P)
2872 : {
2873 19563 : long i, j, l = lg(gel(mA,1)), n = lg(P);
2874 19563 : long pending = 0, workid, cnt = 0;
2875 : struct pari_mt pt;
2876 : GEN done, va, M;
2877 19563 : GEN A = cgetg(n, t_VEC);
2878 19563 : va = mkvec(gen_0);
2879 19563 : M = cgetg(l, t_MAT);
2880 19563 : if (DEBUGLEVEL>2) err_printf("Start parallel Chinese remainder: ");
2881 19563 : mt_queue_start_lim(&pt, worker, l-1);
2882 267459 : for (i=1; i<l || pending; i++)
2883 : {
2884 247896 : for(j=1; j < n; j++) gel(A,j) = gmael(mA,j,i);
2885 247896 : gel(va, 1) = A;
2886 247896 : mt_queue_submit(&pt, i, i<l? va: NULL);
2887 247896 : done = mt_queue_get(&pt, &workid, &pending);
2888 247896 : if (done)
2889 : {
2890 225321 : gel(M,workid) = done;
2891 225321 : if (DEBUGLEVEL>2) err_printf("%ld%% ",(++cnt)*100/(l-1));
2892 : }
2893 : }
2894 19563 : if (DEBUGLEVEL>2) err_printf("\n");
2895 19563 : mt_queue_end(&pt);
2896 19563 : return M;
2897 : }
2898 :
2899 : GEN
2900 5539 : nxMV_polint_center_tree_worker(GEN vA, GEN T, GEN R, GEN P, GEN m2)
2901 : {
2902 5539 : return nxCV_polint_center_tree(vA, P, T, R, m2);
2903 : }
2904 :
2905 : static GEN
2906 130 : nxMV_polint_center_tree_seq(GEN vA, GEN P, GEN T, GEN R, GEN m2)
2907 : {
2908 130 : long i, j, l = lg(gel(vA,1)), n = lg(P);
2909 130 : GEN A = cgetg(n, t_VEC);
2910 130 : GEN V = cgetg(l, t_MAT);
2911 573 : for (i=1; i < l; i++)
2912 : {
2913 443 : for (j=1; j < n; j++) gel(A,j) = gmael(vA,j,i);
2914 443 : gel(V,i) = nxCV_polint_center_tree(A, P, T, R, m2);
2915 : }
2916 130 : return V;
2917 : }
2918 :
2919 : static GEN
2920 399 : nxMV_polint_center_tree(GEN mA, GEN P, GEN T, GEN R, GEN m2)
2921 : {
2922 399 : GEN worker = snm_closure(is_entry("_nxMV_polint_worker"), mkvec4(T, R, P, m2));
2923 399 : return polint_chinese(worker, mA, P);
2924 : }
2925 :
2926 : static GEN
2927 1121 : nmV_polint_center_tree_seq(GEN vA, GEN P, GEN T, GEN R, GEN m2)
2928 : {
2929 1121 : long i, j, l = lg(gel(vA,1)), n = lg(P);
2930 1121 : GEN A = cgetg(n, t_VEC);
2931 1122 : GEN V = cgetg(l, t_MAT);
2932 14511 : for (i=1; i < l; i++)
2933 : {
2934 13389 : for (j=1; j < n; j++) gel(A,j) = gmael(vA,j,i);
2935 13389 : gel(V,i) = ncV_polint_center_tree(A, P, T, R, m2);
2936 : }
2937 1122 : return V;
2938 : }
2939 :
2940 : GEN
2941 219642 : nmV_polint_center_tree_worker(GEN vA, GEN T, GEN R, GEN P, GEN m2)
2942 : {
2943 219642 : return ncV_polint_center_tree(vA, P, T, R, m2);
2944 : }
2945 :
2946 : static GEN
2947 19164 : nmV_polint_center_tree(GEN mA, GEN P, GEN T, GEN R, GEN m2)
2948 : {
2949 19164 : GEN worker = snm_closure(is_entry("_polint_worker"), mkvec4(T, R, P, m2));
2950 19164 : return polint_chinese(worker, mA, P);
2951 : }
2952 :
2953 : /* return [A mod P[i], i=1..#P] */
2954 : GEN
2955 0 : Z_ZV_mod(GEN A, GEN P)
2956 : {
2957 0 : pari_sp av = avma;
2958 0 : return gerepilecopy(av, Z_ZV_mod_tree(A, P, ZV_producttree(P)));
2959 : }
2960 : /* P a t_VECSMALL */
2961 : GEN
2962 0 : Z_nv_mod(GEN A, GEN P)
2963 : {
2964 0 : pari_sp av = avma;
2965 0 : return gerepileuptoleaf(av, Z_ZV_mod_tree(A, P, ZV_producttree(P)));
2966 : }
2967 : /* B a ZX, T = ZV_producttree(P) */
2968 : GEN
2969 416823 : ZX_nv_mod_tree(GEN B, GEN A, GEN T)
2970 : {
2971 : pari_sp av;
2972 416823 : long i, j, l = lg(B), n = lg(A)-1;
2973 416823 : GEN V = cgetg(n+1, t_VEC);
2974 1668078 : for (j=1; j <= n; j++)
2975 : {
2976 1251388 : gel(V, j) = cgetg(l, t_VECSMALL);
2977 1251361 : mael(V, j, 1) = B[1]&VARNBITS;
2978 : }
2979 416690 : av = avma;
2980 9652201 : for (i=2; i < l; i++)
2981 : {
2982 9235369 : GEN v = Z_ZV_mod_tree(gel(B, i), A, T);
2983 36667167 : for (j=1; j <= n; j++)
2984 27428971 : mael(V, j, i) = v[j];
2985 9238196 : set_avma(av);
2986 : }
2987 1668448 : for (j=1; j <= n; j++)
2988 1251612 : (void) Flx_renormalize(gel(V, j), l);
2989 416836 : return V;
2990 : }
2991 :
2992 : static GEN
2993 3417 : to_ZX(GEN a, long v) { return typ(a)==t_INT? scalarpol(a,v): a; }
2994 :
2995 : GEN
2996 407 : ZXX_nv_mod_tree(GEN P, GEN xa, GEN T, long w)
2997 : {
2998 407 : pari_sp av = avma;
2999 407 : long i, j, l = lg(P), n = lg(xa)-1, vP = varn(P);
3000 407 : GEN V = cgetg(n+1, t_VEC);
3001 1441 : for (j=1; j <= n; j++)
3002 : {
3003 1034 : gel(V, j) = cgetg(l, t_POL);
3004 1034 : mael(V, j, 1) = vP;
3005 : }
3006 1885 : for (i=2; i < l; i++)
3007 : {
3008 1478 : GEN v = ZX_nv_mod_tree(to_ZX(gel(P, i), w), xa, T);
3009 5097 : for (j=1; j <= n; j++)
3010 3619 : gmael(V, j, i) = gel(v,j);
3011 : }
3012 1441 : for (j=1; j <= n; j++)
3013 1034 : (void) FlxX_renormalize(gel(V, j), l);
3014 407 : return gerepilecopy(av, V);
3015 : }
3016 :
3017 : GEN
3018 443 : ZXC_nv_mod_tree(GEN C, GEN xa, GEN T, long w)
3019 : {
3020 443 : pari_sp av = avma;
3021 443 : long i, j, l = lg(C), n = lg(xa)-1;
3022 443 : GEN V = cgetg(n+1, t_VEC);
3023 1567 : for (j = 1; j <= n; j++)
3024 1124 : gel(V, j) = cgetg(l, t_COL);
3025 2382 : for (i = 1; i < l; i++)
3026 : {
3027 1939 : GEN v = ZX_nv_mod_tree(to_ZX(gel(C, i), w), xa, T);
3028 6761 : for (j = 1; j <= n; j++)
3029 4822 : gmael(V, j, i) = gel(v,j);
3030 : }
3031 443 : return gerepilecopy(av, V);
3032 : }
3033 :
3034 : GEN
3035 130 : ZXM_nv_mod_tree(GEN M, GEN xa, GEN T, long w)
3036 : {
3037 130 : pari_sp av = avma;
3038 130 : long i, j, l = lg(M), n = lg(xa)-1;
3039 130 : GEN V = cgetg(n+1, t_VEC);
3040 469 : for (j=1; j <= n; j++)
3041 339 : gel(V, j) = cgetg(l, t_MAT);
3042 573 : for (i=1; i < l; i++)
3043 : {
3044 443 : GEN v = ZXC_nv_mod_tree(gel(M, i), xa, T, w);
3045 1567 : for (j=1; j <= n; j++)
3046 1124 : gmael(V, j, i) = gel(v,j);
3047 : }
3048 130 : return gerepilecopy(av, V);
3049 : }
3050 :
3051 : GEN
3052 100991 : ZV_nv_mod_tree(GEN B, GEN A, GEN T)
3053 : {
3054 : pari_sp av;
3055 100991 : long i, j, l = lg(B), n = lg(A)-1;
3056 100991 : GEN V = cgetg(n+1, t_VEC);
3057 360163 : for (j=1; j <= n; j++)
3058 259291 : gel(V, j) = cgetg(l, t_VECSMALL);
3059 100872 : av = avma;
3060 978425 : for (i=1; i < l; i++)
3061 : {
3062 877450 : GEN v = Z_ZV_mod_tree(gel(B, i), A, T);
3063 3142541 : for (j=1; j <= n; j++)
3064 2264731 : mael(V, j, i) = v[j];
3065 877810 : set_avma(av);
3066 : }
3067 100975 : return V;
3068 : }
3069 :
3070 : GEN
3071 12363 : ZM_nv_mod_tree(GEN M, GEN xa, GEN T)
3072 : {
3073 12363 : pari_sp av = avma;
3074 12363 : long i, j, l = lg(M), n = lg(xa)-1;
3075 12363 : GEN V = cgetg(n+1, t_VEC);
3076 43845 : for (j=1; j <= n; j++)
3077 31473 : gel(V, j) = cgetg(l, t_MAT);
3078 113354 : for (i=1; i < l; i++)
3079 : {
3080 100991 : GEN v = ZV_nv_mod_tree(gel(M, i), xa, T);
3081 360304 : for (j=1; j <= n; j++)
3082 259322 : gmael(V, j, i) = gel(v,j);
3083 : }
3084 12363 : return gerepilecopy(av, V);
3085 : }
3086 :
3087 : static GEN
3088 1106983 : ZV_sqr(GEN z)
3089 : {
3090 1106983 : long i,l = lg(z);
3091 1106983 : GEN x = cgetg(l, t_VEC);
3092 1106942 : if (typ(z)==t_VECSMALL)
3093 415381 : for (i=1; i<l; i++) gel(x,i) = sqru(z[i]);
3094 : else
3095 691561 : for (i=1; i<l; i++) gel(x,i) = sqri(gel(z,i));
3096 1106873 : return x;
3097 : }
3098 :
3099 : static GEN
3100 5994000 : ZT_sqr(GEN z)
3101 : {
3102 5994000 : if (typ(z) == t_INT)
3103 3054892 : return sqri(z);
3104 : else
3105 : {
3106 2939108 : long i,l = lg(z);
3107 2939108 : GEN x = cgetg(l, t_VEC);
3108 2938932 : for (i=1; i<l; i++) gel(x,i) = ZT_sqr(gel(z,i));
3109 2940546 : return x;
3110 : }
3111 : }
3112 :
3113 : static GEN
3114 1106833 : ZV_invdivexact(GEN y, GEN x)
3115 : {
3116 1106833 : long i, l = lg(y);
3117 1106833 : GEN z = cgetg(l,t_VEC);
3118 1107015 : if (typ(x)==t_VECSMALL)
3119 1787666 : for (i=1; i<l; i++)
3120 : {
3121 1372385 : pari_sp av = avma;
3122 1372385 : ulong a = Fl_inv(umodiu(diviuexact(gel(y,i),x[i]), x[i]), x[i]);
3123 1372791 : set_avma(av);
3124 1372636 : gel(z,i) = utoipos(a);
3125 : }
3126 : else
3127 2888447 : for (i=1; i<l; i++)
3128 2196884 : gel(z,i) = Fp_inv(diviiexact(gel(y,i), gel(x,i)), gel(x,i));
3129 1106844 : return z;
3130 : }
3131 :
3132 : /* P t_VECSMALL or t_VEC of t_INT */
3133 : GEN
3134 1106350 : ZV_chinesetree(GEN P, GEN T)
3135 : {
3136 1106350 : GEN T2 = ZT_sqr(T), P2 = ZV_sqr(P);
3137 1106862 : GEN mod = gmael(T,lg(T)-1,1);
3138 1106862 : return ZV_invdivexact(Z_ZV_mod_tree(mod, P2, T2), P);
3139 : }
3140 :
3141 : static GEN
3142 85779 : gc_chinese(pari_sp av, GEN T, GEN a, GEN *pt_mod)
3143 : {
3144 85779 : if (!pt_mod)
3145 2559 : return gerepileupto(av, a);
3146 : else
3147 : {
3148 83220 : GEN mod = gmael(T, lg(T)-1, 1);
3149 83220 : gerepileall(av, 2, &a, &mod);
3150 83220 : *pt_mod = mod;
3151 83220 : return a;
3152 : }
3153 : }
3154 :
3155 : GEN
3156 47280 : ZV_chinese_center(GEN A, GEN P, GEN *pt_mod)
3157 : {
3158 47280 : pari_sp av = avma;
3159 47280 : GEN T = ZV_producttree(P);
3160 47280 : GEN R = ZV_chinesetree(P, T);
3161 47280 : GEN a = ZV_chinese_tree(A, P, T, R);
3162 47280 : GEN mod = gmael(T, lg(T)-1, 1);
3163 47280 : GEN ca = Fp_center(a, mod, shifti(mod,-1));
3164 47280 : return gc_chinese(av, T, ca, pt_mod);
3165 : }
3166 :
3167 : GEN
3168 13073 : ZV_chinese(GEN A, GEN P, GEN *pt_mod)
3169 : {
3170 13073 : pari_sp av = avma;
3171 13073 : GEN T = ZV_producttree(P);
3172 13073 : GEN R = ZV_chinesetree(P, T);
3173 13073 : GEN a = ZV_chinese_tree(A, P, T, R);
3174 13073 : return gc_chinese(av, T, a, pt_mod);
3175 : }
3176 :
3177 : GEN
3178 407 : nxV_chinese_center_tree(GEN A, GEN P, GEN T, GEN R)
3179 : {
3180 407 : pari_sp av = avma;
3181 407 : GEN m2 = shifti(gmael(T, lg(T)-1, 1), -1);
3182 407 : GEN a = nxV_polint_center_tree(A, P, T, R, m2);
3183 407 : return gerepileupto(av, a);
3184 : }
3185 :
3186 : GEN
3187 2103 : nxV_chinese_center(GEN A, GEN P, GEN *pt_mod)
3188 : {
3189 2103 : pari_sp av = avma;
3190 2103 : GEN T = ZV_producttree(P);
3191 2103 : GEN R = ZV_chinesetree(P, T);
3192 2103 : GEN m2 = shifti(gmael(T, lg(T)-1, 1), -1);
3193 2103 : GEN a = nxV_polint_center_tree(A, P, T, R, m2);
3194 2103 : return gc_chinese(av, T, a, pt_mod);
3195 : }
3196 :
3197 : GEN
3198 3760 : ncV_chinese_center(GEN A, GEN P, GEN *pt_mod)
3199 : {
3200 3760 : pari_sp av = avma;
3201 3760 : GEN T = ZV_producttree(P);
3202 3760 : GEN R = ZV_chinesetree(P, T);
3203 3760 : GEN m2 = shifti(gmael(T, lg(T)-1, 1), -1);
3204 3760 : GEN a = ncV_polint_center_tree(A, P, T, R, m2);
3205 3760 : return gc_chinese(av, T, a, pt_mod);
3206 : }
3207 :
3208 : GEN
3209 0 : nmV_chinese_center_tree(GEN A, GEN P, GEN T, GEN R)
3210 : {
3211 0 : pari_sp av = avma;
3212 0 : GEN m2 = shifti(gmael(T, lg(T)-1, 1), -1);
3213 0 : GEN a = nmV_polint_center_tree(A, P, T, R, m2);
3214 0 : return gerepileupto(av, a);
3215 : }
3216 :
3217 : GEN
3218 1122 : nmV_chinese_center_tree_seq(GEN A, GEN P, GEN T, GEN R)
3219 : {
3220 1122 : pari_sp av = avma;
3221 1122 : GEN m2 = shifti(gmael(T, lg(T)-1, 1), -1);
3222 1121 : GEN a = nmV_polint_center_tree_seq(A, P, T, R, m2);
3223 1122 : return gerepileupto(av, a);
3224 : }
3225 :
3226 : GEN
3227 19164 : nmV_chinese_center(GEN A, GEN P, GEN *pt_mod)
3228 : {
3229 19164 : pari_sp av = avma;
3230 19164 : GEN T = ZV_producttree(P);
3231 19164 : GEN R = ZV_chinesetree(P, T);
3232 19164 : GEN m2 = shifti(gmael(T, lg(T)-1, 1), -1);
3233 19164 : GEN a = nmV_polint_center_tree(A, P, T, R, m2);
3234 19164 : return gc_chinese(av, T, a, pt_mod);
3235 : }
3236 :
3237 : GEN
3238 130 : nxMV_chinese_center_tree_seq(GEN A, GEN P, GEN T, GEN R)
3239 : {
3240 130 : pari_sp av = avma;
3241 130 : GEN m2 = shifti(gmael(T, lg(T)-1, 1), -1);
3242 130 : GEN a = nxMV_polint_center_tree_seq(A, P, T, R, m2);
3243 130 : return gerepileupto(av, a);
3244 : }
3245 :
3246 : GEN
3247 399 : nxMV_chinese_center(GEN A, GEN P, GEN *pt_mod)
3248 : {
3249 399 : pari_sp av = avma;
3250 399 : GEN T = ZV_producttree(P);
3251 399 : GEN R = ZV_chinesetree(P, T);
3252 399 : GEN m2 = shifti(gmael(T, lg(T)-1, 1), -1);
3253 399 : GEN a = nxMV_polint_center_tree(A, P, T, R, m2);
3254 399 : return gc_chinese(av, T, a, pt_mod);
3255 : }
3256 :
3257 : /**********************************************************************
3258 : ** **
3259 : ** Powering over (Z/NZ)^*, small N **
3260 : ** **
3261 : **********************************************************************/
3262 :
3263 : /* 2^n mod p; assume n > 1 */
3264 : static ulong
3265 21023540 : Fl_2powu_pre(ulong n, ulong p, ulong pi)
3266 : {
3267 21023540 : ulong y = 2;
3268 21023540 : int j = 1+bfffo(n);
3269 : /* normalize, i.e set highest bit to 1 (we know n != 0) */
3270 21023540 : n<<=j; j = BITS_IN_LONG-j; /* first bit is now implicit */
3271 431416688 : for (; j; n<<=1,j--)
3272 : {
3273 410430051 : y = Fl_sqr_pre(y,p,pi);
3274 410364050 : if (n & HIGHBIT) y = Fl_double(y, p);
3275 : }
3276 20986637 : return y;
3277 : }
3278 :
3279 : /* 2^n mod p; assume n > 1 and !(p & HIGHMASK) */
3280 : static ulong
3281 1303424 : Fl_2powu(ulong n, ulong p)
3282 : {
3283 1303424 : ulong y = 2;
3284 1303424 : int j = 1+bfffo(n);
3285 : /* normalize, i.e set highest bit to 1 (we know n != 0) */
3286 1303424 : n<<=j; j = BITS_IN_LONG-j; /* first bit is now implicit */
3287 10626084 : for (; j; n<<=1,j--)
3288 : {
3289 9316732 : y = (y*y) % p;
3290 9316732 : if (n & HIGHBIT) y = Fl_double(y, p);
3291 : }
3292 1309352 : return y;
3293 : }
3294 :
3295 : ulong
3296 96186293 : Fl_powu_pre(ulong x, ulong n0, ulong p, ulong pi)
3297 : {
3298 : ulong y, z, n;
3299 96186293 : if (n0 <= 1)
3300 : { /* frequent special cases */
3301 11513812 : if (n0 == 1) return x;
3302 3162100 : if (n0 == 0) return 1;
3303 : }
3304 84672481 : if (x <= 2)
3305 : {
3306 22848853 : if (x == 2) return Fl_2powu_pre(n0, p, pi);
3307 1854199 : return x; /* 0 or 1 */
3308 : }
3309 61823628 : y = 1; z = x; n = n0;
3310 : for(;;)
3311 : {
3312 1018248348 : if (n&1) y = Fl_mul_pre(y,z,p,pi);
3313 540071903 : n>>=1; if (!n) return y;
3314 478302839 : z = Fl_sqr_pre(z,p,pi);
3315 : }
3316 : }
3317 :
3318 : ulong
3319 47678232 : Fl_powu(ulong x, ulong n0, ulong p)
3320 : {
3321 : ulong y, z, n;
3322 47678232 : if (n0 <= 2)
3323 : { /* frequent special cases */
3324 35148159 : if (n0 == 2) return Fl_sqr(x,p);
3325 5104442 : if (n0 == 1) return x;
3326 79400 : if (n0 == 0) return 1;
3327 : }
3328 12530073 : if (x <= 1) return x; /* 0 or 1 */
3329 12474469 : if (p & HIGHMASK)
3330 6668049 : return Fl_powu_pre(x, n0, p, get_Fl_red(p));
3331 5806420 : if (x == 2) return Fl_2powu(n0, p);
3332 4504063 : y = 1; z = x; n = n0;
3333 : for(;;)
3334 : {
3335 60217257 : if (n&1) y = (y*z) % p;
3336 32360660 : n>>=1; if (!n) return y;
3337 27856597 : z = (z*z) % p;
3338 : }
3339 : }
3340 :
3341 : /* Reduce data dependency to maximize internal parallelism */
3342 : GEN
3343 11047967 : Fl_powers_pre(ulong x, long n, ulong p, ulong pi)
3344 : {
3345 : long i, k;
3346 11047967 : GEN powers = cgetg(n + 2, t_VECSMALL);
3347 11055683 : powers[1] = 1; if (n == 0) return powers;
3348 11055683 : powers[2] = x;
3349 46483665 : for (i = 3, k=2; i <= n; i+=2, k++)
3350 : {
3351 35439770 : powers[i] = Fl_sqr_pre(powers[k], p, pi);
3352 35430631 : powers[i+1] = Fl_mul_pre(powers[k], powers[k+1], p, pi);
3353 : }
3354 11043895 : if (i==n+1)
3355 9654644 : powers[i] = Fl_sqr_pre(powers[k], p, pi);
3356 11044385 : return powers;
3357 : }
3358 :
3359 : GEN
3360 3234 : Fl_powers(ulong x, long n, ulong p)
3361 : {
3362 3234 : return Fl_powers_pre(x, n, p, get_Fl_red(p));
3363 : }
3364 :
3365 : /**********************************************************************
3366 : ** **
3367 : ** Powering over (Z/NZ)^*, large N **
3368 : ** **
3369 : **********************************************************************/
3370 :
3371 : static GEN
3372 4291905 : Fp_dblsqr(GEN x, GEN N)
3373 : {
3374 4291905 : GEN z = shifti(Fp_sqr(x, N), 1);
3375 4291898 : return cmpii(z, N) >= 0? subii(z, N): z;
3376 : }
3377 :
3378 : typedef struct muldata {
3379 : GEN (*sqr)(void * E, GEN x);
3380 : GEN (*mul)(void * E, GEN x, GEN y);
3381 : GEN (*mul2)(void * E, GEN x);
3382 : } muldata;
3383 :
3384 : /* modified Barrett reduction with one fold */
3385 : /* See Fast Modular Reduction, W. Hasenplaugh, G. Gaubatz, V. Gopal, ARITH 18 */
3386 :
3387 : static GEN
3388 10113 : Fp_invmBarrett(GEN p, long s)
3389 : {
3390 10113 : GEN R, Q = dvmdii(int2n(3*s),p,&R);
3391 10113 : return mkvec2(Q,R);
3392 : }
3393 :
3394 : /* a <= (N-1)^2, 2^(2s-2) <= N < 2^(2s). Return 0 <= r < N such that
3395 : * a = r (mod N) */
3396 : static GEN
3397 4236775 : Fp_rem_mBarrett(GEN a, GEN B, long s, GEN N)
3398 : {
3399 4236775 : pari_sp av = avma;
3400 4236775 : GEN P = gel(B, 1), Q = gel(B, 2); /* 2^(3s) = P N + Q, 0 <= Q < N */
3401 4236775 : long t = expi(P)+1; /* 2^(t-1) <= P < 2^t */
3402 4236775 : GEN u = shifti(a, -3*s), v = remi2n(a, 3*s); /* a = 2^(3s)u + v */
3403 4236775 : GEN A = addii(v, mulii(Q,u)); /* 0 <= A < 2^(3s+1) */
3404 4236775 : GEN q = shifti(mulii(shifti(A, t-3*s), P), -t); /* A/N - 4 < q <= A/N */
3405 4236775 : GEN r = subii(A, mulii(q, N));
3406 4236775 : GEN sr= subii(r,N); /* 0 <= r < 4*N */
3407 4236775 : if (signe(sr)<0) return gerepileuptoint(av, r);
3408 2550230 : r=sr; sr = subii(r,N); /* 0 <= r < 3*N */
3409 2550230 : if (signe(sr)<0) return gerepileuptoint(av, r);
3410 98279 : r=sr; sr = subii(r,N); /* 0 <= r < 2*N */
3411 98279 : return gerepileuptoint(av, signe(sr)>=0 ? sr:r);
3412 : }
3413 :
3414 : /* Montgomery reduction */
3415 :
3416 : INLINE ulong
3417 278179 : init_montdata(GEN N) { return (ulong) -invmod2BIL(mod2BIL(N)); }
3418 :
3419 : struct montred
3420 : {
3421 : GEN N;
3422 : ulong inv;
3423 : };
3424 :
3425 : /* Montgomery reduction */
3426 : static GEN
3427 31993225 : _sqr_montred(void * E, GEN x)
3428 : {
3429 31993225 : struct montred * D = (struct montred *) E;
3430 31993225 : return red_montgomery(sqri(x), D->N, D->inv);
3431 : }
3432 :
3433 : /* Montgomery reduction */
3434 : static GEN
3435 2458735 : _mul_montred(void * E, GEN x, GEN y)
3436 : {
3437 2458735 : struct montred * D = (struct montred *) E;
3438 2458735 : return red_montgomery(mulii(x, y), D->N, D->inv);
3439 : }
3440 :
3441 : static GEN
3442 5858283 : _mul2_montred(void * E, GEN x)
3443 : {
3444 5858283 : struct montred * D = (struct montred *) E;
3445 5858283 : GEN z = shifti(_sqr_montred(E, x), 1);
3446 5858245 : long l = lgefint(D->N);
3447 5858245 : while (lgefint(z) > l) z = subii(z, D->N);
3448 5858248 : return z;
3449 : }
3450 :
3451 : static GEN
3452 12990581 : _sqr_remii(void* N, GEN x)
3453 12990581 : { return remii(sqri(x), (GEN) N); }
3454 :
3455 : static GEN
3456 938832 : _mul_remii(void* N, GEN x, GEN y)
3457 938832 : { return remii(mulii(x, y), (GEN) N); }
3458 :
3459 : static GEN
3460 3027921 : _mul2_remii(void* N, GEN x)
3461 3027921 : { return Fp_dblsqr(x, (GEN) N); }
3462 :
3463 : struct redbarrett
3464 : {
3465 : GEN iM, N;
3466 : long s;
3467 : };
3468 :
3469 : static GEN
3470 3825850 : _sqr_remiibar(void *E, GEN x)
3471 : {
3472 3825850 : struct redbarrett * D = (struct redbarrett *) E;
3473 3825850 : return Fp_rem_mBarrett(sqri(x), D->iM, D->s, D->N);
3474 : }
3475 :
3476 : static GEN
3477 410925 : _mul_remiibar(void *E, GEN x, GEN y)
3478 : {
3479 410925 : struct redbarrett * D = (struct redbarrett *) E;
3480 410925 : return Fp_rem_mBarrett(mulii(x, y), D->iM, D->s, D->N);
3481 : }
3482 :
3483 : static GEN
3484 1263984 : _mul2_remiibar(void *E, GEN x)
3485 : {
3486 1263984 : struct redbarrett * D = (struct redbarrett *) E;
3487 1263984 : return Fp_dblsqr(x, D->N);
3488 : }
3489 :
3490 : static long
3491 369548 : Fp_select_red(GEN *y, ulong k, GEN N, long lN, muldata *D, void **pt_E)
3492 : {
3493 369548 : if (lN >= Fp_POW_BARRETT_LIMIT && (k==0 || ((double)k)*expi(*y) > 2 + expi(N)))
3494 : {
3495 10113 : struct redbarrett * E = (struct redbarrett *) stack_malloc(sizeof(struct redbarrett));
3496 10113 : D->sqr = &_sqr_remiibar;
3497 10113 : D->mul = &_mul_remiibar;
3498 10113 : D->mul2 = &_mul2_remiibar;
3499 10113 : E->N = N;
3500 10113 : E->s = 1+(expi(N)>>1);
3501 10113 : E->iM = Fp_invmBarrett(N, E->s);
3502 10113 : *pt_E = (void*) E;
3503 10113 : return 0;
3504 : }
3505 359435 : else if (mod2(N) && lN < Fp_POW_REDC_LIMIT)
3506 : {
3507 278101 : struct montred * E = (struct montred *) stack_malloc(sizeof(struct montred));
3508 278089 : *y = remii(shifti(*y, bit_accuracy(lN)), N);
3509 278170 : D->sqr = &_sqr_montred;
3510 278170 : D->mul = &_mul_montred;
3511 278170 : D->mul2 = &_mul2_montred;
3512 278170 : E->N = N;
3513 278170 : E->inv = init_montdata(N);
3514 278165 : *pt_E = (void*) E;
3515 278165 : return 1;
3516 : }
3517 : else
3518 : {
3519 81337 : D->sqr = &_sqr_remii;
3520 81337 : D->mul = &_mul_remii;
3521 81337 : D->mul2 = &_mul2_remii;
3522 81337 : *pt_E = (void*) N;
3523 81337 : return 0;
3524 : }
3525 : }
3526 :
3527 : GEN
3528 905522 : Fp_powu(GEN A, ulong k, GEN N)
3529 : {
3530 905522 : long lN = lgefint(N);
3531 : int base_is_2, use_montgomery;
3532 : muldata D;
3533 : void *E;
3534 : pari_sp av;
3535 :
3536 905522 : if (lN == 3) {
3537 89029 : ulong n = uel(N,2);
3538 89029 : return utoi( Fl_powu(umodiu(A, n), k, n) );
3539 : }
3540 816493 : if (k <= 2)
3541 : { /* frequent special cases */
3542 585350 : if (k == 2) return Fp_sqr(A,N);
3543 133364 : if (k == 1) return A;
3544 0 : if (k == 0) return gen_1;
3545 : }
3546 231143 : av = avma; A = modii(A,N);
3547 231137 : base_is_2 = 0;
3548 231137 : if (lgefint(A) == 3) switch(A[2])
3549 : {
3550 740 : case 1: set_avma(av); return gen_1;
3551 34258 : case 2: base_is_2 = 1; break;
3552 : }
3553 :
3554 : /* TODO: Move this out of here and use for general modular computations */
3555 230397 : use_montgomery = Fp_select_red(&A, k, N, lN, &D, &E);
3556 230396 : if (base_is_2)
3557 34258 : A = gen_powu_fold_i(A, k, E, D.sqr, D.mul2);
3558 : else
3559 196138 : A = gen_powu_i(A, k, E, D.sqr, D.mul);
3560 230411 : if (use_montgomery)
3561 : {
3562 199712 : A = red_montgomery(A, N, ((struct montred *) E)->inv);
3563 199713 : if (cmpii(A, N) >= 0) A = subii(A,N);
3564 : }
3565 230411 : return gerepileuptoint(av, A);
3566 : }
3567 :
3568 : GEN
3569 22302 : Fp_pows(GEN A, long k, GEN N)
3570 : {
3571 22302 : if (lgefint(N) == 3) {
3572 7813 : ulong n = N[2];
3573 7813 : ulong a = umodiu(A, n);
3574 7813 : if (k < 0) {
3575 126 : a = Fl_inv(a, n);
3576 126 : k = -k;
3577 : }
3578 7813 : return utoi( Fl_powu(a, (ulong)k, n) );
3579 : }
3580 14489 : if (k < 0) { A = Fp_inv(A, N); k = -k; };
3581 14489 : return Fp_powu(A, (ulong)k, N);
3582 : }
3583 :
3584 : /* A^K mod N */
3585 : GEN
3586 9932351 : Fp_pow(GEN A, GEN K, GEN N)
3587 : {
3588 : pari_sp av;
3589 9932351 : long s, lN = lgefint(N), sA;
3590 : int base_is_2, use_montgomery;
3591 : GEN y;
3592 : muldata D;
3593 : void *E;
3594 :
3595 9932351 : s = signe(K);
3596 9932351 : if (!s) return dvdii(A,N)? gen_0: gen_1;
3597 9770451 : if (lN == 3 && lgefint(K) == 3)
3598 : {
3599 9509560 : ulong n = N[2], a = umodiu(A, n);
3600 9509717 : if (s < 0) a = Fl_inv(a, n);
3601 9509718 : if (a <= 1) return utoi(a); /* 0 or 1 */
3602 8814919 : return utoi(Fl_powu(a, uel(K,2), n));
3603 : }
3604 :
3605 260891 : av = avma;
3606 260891 : if (s < 0) y = Fp_inv(A,N);
3607 : else
3608 : {
3609 260422 : y = modii(A,N);
3610 260410 : if (!signe(y)) { set_avma(av); return gen_0; }
3611 : }
3612 260877 : if (lgefint(K) == 3) return gerepileuptoint(av, Fp_powu(y, K[2], N));
3613 :
3614 139242 : base_is_2 = 0;
3615 139242 : sA = signe(y)==-1 && mod2(K);
3616 139242 : if (lgefint(y) == 3) switch(y[2])
3617 : {
3618 82 : case 1: return sA ? gen_m1 : gen_1;
3619 97339 : case 2: base_is_2 = 1; break;
3620 : }
3621 :
3622 : /* TODO: Move this out of here and use for general modular computations */
3623 139160 : use_montgomery = Fp_select_red(&y, 0UL, N, lN, &D, &E);
3624 139210 : if (base_is_2)
3625 97351 : y = gen_pow_fold_i(y, K, E, D.sqr, D.mul2);
3626 : else
3627 41859 : y = gen_pow_i(y, K, E, D.sqr, D.mul);
3628 139237 : if (use_montgomery)
3629 : {
3630 78480 : y = red_montgomery(y, N, ((struct montred *) E)->inv);
3631 78485 : if (cmpii(y,N) >= 0) y = subii(y,N);
3632 78485 : if (sA) y = subii(N, y);
3633 : }
3634 139242 : return gerepileuptoint(av,y);
3635 : }
3636 :
3637 : static GEN
3638 1961345 : _Fp_mul(void *E, GEN x, GEN y) { return Fp_mul(x,y,(GEN)E); }
3639 :
3640 : static GEN
3641 23500 : _Fp_sqr(void *E, GEN x) { return Fp_sqr(x,(GEN)E); }
3642 :
3643 : static GEN
3644 55230 : _Fp_one(void *E) { (void) E; return gen_1; }
3645 :
3646 : GEN
3647 84 : Fp_pow_init(GEN x, GEN n, long k, GEN p)
3648 : {
3649 84 : return gen_pow_init(x, n, k, (void*)p, &_Fp_sqr, &_Fp_mul);
3650 : }
3651 :
3652 : GEN
3653 55090 : Fp_pow_table(GEN R, GEN n, GEN p)
3654 : {
3655 55090 : return gen_pow_table(R, n, (void*)p, &_Fp_one, &_Fp_mul);
3656 : }
3657 :
3658 : GEN
3659 2016 : Fp_powers(GEN x, long n, GEN p)
3660 : {
3661 2016 : if (lgefint(p) == 3)
3662 1876 : return Flv_to_ZV(Fl_powers(umodiu(x, uel(p, 2)), n, uel(p, 2)));
3663 140 : return gen_powers(x, n, 1, (void*)p, _Fp_sqr, _Fp_mul, _Fp_one);
3664 : }
3665 :
3666 : static GEN
3667 7161562 : _Fp_pow(void *E, GEN x, GEN n) { return Fp_pow(x,n,(GEN)E); }
3668 :
3669 : static GEN
3670 112 : _Fp_rand(void *E) { return addiu(randomi(subiu((GEN)E,1)),1); }
3671 :
3672 : static GEN Fp_easylog(void *E, GEN a, GEN g, GEN ord);
3673 :
3674 : static const struct bb_group Fp_star={_Fp_mul,_Fp_pow,_Fp_rand,hash_GEN,
3675 : equalii,equali1,Fp_easylog};
3676 :
3677 : static GEN
3678 673855 : _Fp_red(void *E, GEN x) { return Fp_red(x, (GEN)E); }
3679 :
3680 : static GEN
3681 684958 : _Fp_add(void *E, GEN x, GEN y) { (void) E; return addii(x,y); }
3682 :
3683 : static GEN
3684 608296 : _Fp_neg(void *E, GEN x) { (void) E; return negi(x); }
3685 :
3686 : static GEN
3687 444564 : _Fp_rmul(void *E, GEN x, GEN y) { (void) E; return mulii(x,y); }
3688 :
3689 : static GEN
3690 32865 : _Fp_inv(void *E, GEN x) { return Fp_inv(x,(GEN)E); }
3691 :
3692 : static int
3693 191047 : _Fp_equal0(GEN x) { return signe(x)==0; }
3694 :
3695 : static GEN
3696 26877 : _Fp_s(void *E, long x) { (void) E; return stoi(x); }
3697 :
3698 : static const struct bb_field Fp_field={_Fp_red,_Fp_add,_Fp_rmul,_Fp_neg,
3699 : _Fp_inv,_Fp_equal0,_Fp_s};
3700 :
3701 7371 : const struct bb_field *get_Fp_field(void **E, GEN p)
3702 : {
3703 7371 : *E = (void*)p; return &Fp_field;
3704 : }
3705 :
3706 : /*********************************************************************/
3707 : /** **/
3708 : /** ORDER of INTEGERMOD x in (Z/nZ)* **/
3709 : /** **/
3710 : /*********************************************************************/
3711 : ulong
3712 12299 : Fl_order(ulong a, ulong o, ulong p)
3713 : {
3714 12299 : pari_sp av = avma;
3715 : GEN m, P, E;
3716 : long i;
3717 12299 : if (!o) o = p-1;
3718 12299 : m = factoru(o);
3719 12299 : P = gel(m,1);
3720 12299 : E = gel(m,2);
3721 29540 : for (i = lg(P)-1; i; i--)
3722 : {
3723 17241 : ulong j, l = P[i], e = E[i], t = o / upowuu(l,e), y = Fl_powu(a, t, p);
3724 17241 : if (y == 1) o = t;
3725 15176 : else for (j = 1; j < e; j++)
3726 : {
3727 4319 : y = Fl_powu(y, l, p);
3728 4319 : if (y == 1) { o = t * upowuu(l, j); break; }
3729 : }
3730 : }
3731 12299 : return gc_ulong(av, o);
3732 : }
3733 :
3734 : /*Find the exact order of a assuming a^o==1*/
3735 : GEN
3736 10858 : Fp_order(GEN a, GEN o, GEN p) {
3737 10858 : if (lgefint(p) == 3 && (!o || typ(o) == t_INT))
3738 : {
3739 21 : ulong pp = p[2], oo = (o && lgefint(o)==3)? o[2]: pp-1;
3740 21 : return utoi( Fl_order(umodiu(a, pp), oo, pp) );
3741 : }
3742 10837 : return gen_order(a, o, (void*)p, &Fp_star);
3743 : }
3744 : GEN
3745 56 : Fp_factored_order(GEN a, GEN o, GEN p)
3746 56 : { return gen_factored_order(a, o, (void*)p, &Fp_star); }
3747 :
3748 : /* return order of a mod p^e, e > 0, pe = p^e */
3749 : static GEN
3750 70 : Zp_order(GEN a, GEN p, long e, GEN pe)
3751 : {
3752 : GEN ap, op;
3753 70 : if (absequaliu(p, 2))
3754 : {
3755 56 : if (e == 1) return gen_1;
3756 56 : if (e == 2) return mod4(a) == 1? gen_1: gen_2;
3757 49 : if (mod4(a) == 1)
3758 14 : op = gen_1;
3759 : else {
3760 35 : op = gen_2;
3761 35 : a = Fp_sqr(a, pe);
3762 : }
3763 : } else {
3764 14 : ap = (e == 1)? a: remii(a,p);
3765 14 : op = Fp_order(ap, subiu(p,1), p);
3766 14 : if (e == 1) return op;
3767 0 : a = Fp_pow(a, op, pe); /* 1 mod p */
3768 : }
3769 49 : if (equali1(a)) return op;
3770 7 : return mulii(op, powiu(p, e - Z_pval(subiu(a,1), p)));
3771 : }
3772 :
3773 : GEN
3774 63 : znorder(GEN x, GEN o)
3775 : {
3776 63 : pari_sp av = avma;
3777 : GEN b, a;
3778 :
3779 63 : if (typ(x) != t_INTMOD) pari_err_TYPE("znorder [t_INTMOD expected]",x);
3780 56 : b = gel(x,1); a = gel(x,2);
3781 56 : if (!equali1(gcdii(a,b))) pari_err_COPRIME("znorder", a,b);
3782 49 : if (!o)
3783 : {
3784 35 : GEN fa = Z_factor(b), P = gel(fa,1), E = gel(fa,2);
3785 35 : long i, l = lg(P);
3786 35 : o = gen_1;
3787 70 : for (i = 1; i < l; i++)
3788 : {
3789 35 : GEN p = gel(P,i);
3790 35 : long e = itos(gel(E,i));
3791 :
3792 35 : if (l == 2)
3793 35 : o = Zp_order(a, p, e, b);
3794 : else {
3795 0 : GEN pe = powiu(p,e);
3796 0 : o = lcmii(o, Zp_order(remii(a,pe), p, e, pe));
3797 : }
3798 : }
3799 35 : return gerepileuptoint(av, o);
3800 : }
3801 14 : return Fp_order(a, o, b);
3802 : }
3803 : GEN
3804 0 : order(GEN x) { return znorder(x, NULL); }
3805 :
3806 : /*********************************************************************/
3807 : /** **/
3808 : /** DISCRETE LOGARITHM in (Z/nZ)* **/
3809 : /** **/
3810 : /*********************************************************************/
3811 : static GEN
3812 60149 : Fp_log_halfgcd(ulong bnd, GEN C, GEN g, GEN p)
3813 : {
3814 60149 : pari_sp av = avma;
3815 : GEN h1, h2, F, G;
3816 60149 : if (!Fp_ratlift(g,p,C,shifti(C,-1),&h1,&h2)) return gc_NULL(av);
3817 36139 : if ((F = Z_issmooth_fact(h1, bnd)) && (G = Z_issmooth_fact(h2, bnd)))
3818 : {
3819 231 : GEN M = cgetg(3, t_MAT);
3820 231 : gel(M,1) = vecsmall_concat(gel(F, 1),gel(G, 1));
3821 231 : gel(M,2) = vecsmall_concat(gel(F, 2),zv_neg_inplace(gel(G, 2)));
3822 231 : return gerepileupto(av, M);
3823 : }
3824 35908 : return gc_NULL(av);
3825 : }
3826 :
3827 : static GEN
3828 60149 : Fp_log_find_rel(GEN b, ulong bnd, GEN C, GEN p, GEN *g, long *e)
3829 : {
3830 : GEN rel;
3831 : do
3832 : {
3833 60149 : (*e)++; *g = Fp_mul(*g, b, p);
3834 60149 : rel = Fp_log_halfgcd(bnd, C, *g, p);
3835 60149 : } while (!rel);
3836 231 : return rel;
3837 : }
3838 :
3839 : struct Fp_log_rel
3840 : {
3841 : GEN rel;
3842 : ulong prmax;
3843 : long nbrel, nbmax, nbgen;
3844 : };
3845 :
3846 : /* add u^e */
3847 : static void
3848 2583 : addifsmooth1(struct Fp_log_rel *r, GEN z, long u, long e)
3849 : {
3850 2583 : pari_sp av = avma;
3851 2583 : long off = r->prmax+1;
3852 2583 : GEN F = cgetg(3, t_MAT);
3853 2583 : gel(F,1) = vecsmall_append(gel(z,1), off+u);
3854 2583 : gel(F,2) = vecsmall_append(gel(z,2), e);
3855 2583 : gel(r->rel,++r->nbrel) = gerepileupto(av, F);
3856 2583 : }
3857 :
3858 : /* add u^-1 v^-1 */
3859 : static void
3860 99869 : addifsmooth2(struct Fp_log_rel *r, GEN z, long u, long v)
3861 : {
3862 99869 : pari_sp av = avma;
3863 99869 : long off = r->prmax+1;
3864 99869 : GEN P = mkvecsmall2(off+u,off+v), E = mkvecsmall2(-1,-1);
3865 99869 : GEN F = cgetg(3, t_MAT);
3866 99869 : gel(F,1) = vecsmall_concat(gel(z,1), P);
3867 99869 : gel(F,2) = vecsmall_concat(gel(z,2), E);
3868 99869 : gel(r->rel,++r->nbrel) = gerepileupto(av, F);
3869 99869 : }
3870 :
3871 : /*
3872 : Let p=C^2+c
3873 : Solve h = (C+x)*(C+a)-p = 0 [mod l]
3874 : h= -c+x*(C+a)+C*a = 0 [mod l]
3875 : x = (c-C*a)/(C+a) [mod l]
3876 : h = -c+C*(x+a)+a*x
3877 : */
3878 :
3879 : GEN
3880 39030 : Fp_log_sieve_worker(long a, long prmax, GEN C, GEN c, GEN Ci, GEN ci, GEN pi, GEN sz)
3881 : {
3882 39030 : pari_sp ltop = avma;
3883 39030 : long th = expi(mulis(C,a)), n = lg(pi)-1;
3884 : long i, j;
3885 39026 : GEN sieve = zero_zv(a+2)+1;
3886 39033 : GEN L = cgetg(1+a+2, t_VEC);
3887 38984 : pari_sp av = avma;
3888 38984 : long rel = 1;
3889 : GEN z, h;
3890 38984 : h = addis(C,a);
3891 38993 : if ((z = Z_issmooth_fact(h, prmax)))
3892 : {
3893 2414 : gel(L, rel++) = mkvec2(z, mkvecsmall3(1, a, -1));
3894 2415 : av = avma;
3895 : }
3896 16725602 : for(i=1; i<=n; i++)
3897 : {
3898 16686635 : ulong li = pi[i], s = sz[i], al = a % li;
3899 16686635 : ulong u, iv = Fl_invsafe(Fl_add(Ci[i],al,li),li);
3900 17143262 : if (!iv) continue;
3901 16702640 : u = Fl_mul(Fl_sub(ci[i],Fl_mul(Ci[i],al,li),li), iv ,li);
3902 77041051 : for(j = u; j<=a; j+=li)
3903 60808994 : sieve[j] += s;
3904 : }
3905 38967 : th = th - expu(th)-1;
3906 27840418 : for(j=0; j<a; j++)
3907 27801388 : if (sieve[j]>=th)
3908 : {
3909 111509 : GEN h = addiu(subii(muliu(C,a+j),c), a*j);
3910 111456 : if ((z = Z_issmooth_fact(h, prmax)))
3911 : {
3912 104630 : gel(L, rel++) = mkvec2(z, mkvecsmall3(2, a, j));
3913 104926 : av = avma;
3914 6637 : } else set_avma(av);
3915 : }
3916 : /* j = a */
3917 39030 : if (sieve[a]>=th)
3918 : {
3919 420 : GEN h = addiu(subii(muliu(C,2*a),c), a*a);
3920 420 : if ((z = Z_issmooth_fact(h, prmax)))
3921 : {
3922 343 : gel(L, rel++) = mkvec2(z, mkvecsmall3(1, a, -2));
3923 343 : av = avma;
3924 : }
3925 : }
3926 39030 : setlg(L, rel);
3927 39028 : return gerepilecopy(ltop, L);
3928 : }
3929 :
3930 : static long
3931 49 : Fp_log_sieve(struct Fp_log_rel *r, GEN C, GEN c, GEN Ci, GEN ci, GEN pi, GEN sz)
3932 : {
3933 : struct pari_mt pt;
3934 49 : long i, j, nb = 0;
3935 49 : GEN worker = snm_closure(is_entry("_Fp_log_sieve_worker"),
3936 : mkvecn(7, utoi(r->prmax), C, c, Ci, ci, pi, sz));
3937 49 : long running, pending = 0;
3938 49 : GEN W = zerovec(r->nbgen);
3939 49 : mt_queue_start_lim(&pt, worker, r->nbgen);
3940 39305 : for (i = 0; (running = (i < r->nbgen)) || pending; i++)
3941 : {
3942 : GEN done;
3943 : long idx;
3944 39256 : mt_queue_submit(&pt, i, running ? mkvec(stoi(i)): NULL);
3945 39256 : done = mt_queue_get(&pt, &idx, &pending);
3946 39256 : if (!done || lg(done)==1) continue;
3947 34146 : gel(W, idx+1) = done;
3948 34146 : nb += lg(done)-1;
3949 34146 : if (DEBUGLEVEL && (i&127)==0)
3950 0 : err_printf("%ld%% ",100*nb/r->nbmax);
3951 : }
3952 49 : mt_queue_end(&pt);
3953 37870 : for(j = 1; j <= r->nbgen && r->nbrel < r->nbmax; j++)
3954 : {
3955 : long ll, m;
3956 37821 : GEN L = gel(W,j);
3957 37821 : if (isintzero(L)) continue;
3958 32942 : ll = lg(L);
3959 135394 : for (m=1; m<ll && r->nbrel < r->nbmax ; m++)
3960 : {
3961 102452 : GEN Lm = gel(L,m), h = gel(Lm, 1), v = gel(Lm, 2);
3962 102452 : if (v[1] == 1)
3963 2583 : addifsmooth1(r, h, v[2], v[3]);
3964 : else
3965 99869 : addifsmooth2(r, h, v[2], v[3]);
3966 : }
3967 : }
3968 49 : return j;
3969 : }
3970 :
3971 : static GEN
3972 525 : ECP_psi(GEN x, GEN y)
3973 : {
3974 525 : long prec = realprec(x);
3975 525 : GEN lx = glog(x, prec), ly = glog(y, prec);
3976 525 : GEN u = gdiv(lx, ly);
3977 525 : return gpow(u, gneg(u),prec);
3978 : }
3979 :
3980 : struct computeG
3981 : {
3982 : GEN C;
3983 : long bnd, nbi;
3984 : };
3985 :
3986 : static GEN
3987 525 : _computeG(void *E, GEN gen)
3988 : {
3989 525 : struct computeG * d = (struct computeG *) E;
3990 525 : GEN ps = ECP_psi(gmul(gen,d->C), stoi(d->bnd));
3991 525 : return gsub(gmul(gsqr(gen),ps),gmul2n(gaddgs(gen,d->nbi),2));
3992 : }
3993 :
3994 : static long
3995 49 : compute_nbgen(GEN C, long bnd, long nbi)
3996 : {
3997 : struct computeG d;
3998 49 : d.C = shifti(C, 1);
3999 49 : d.bnd = bnd;
4000 49 : d.nbi = nbi;
4001 49 : return itos(ground(zbrent((void*)&d, _computeG, gen_2, stoi(bnd), DEFAULTPREC)));
4002 : }
4003 :
4004 : static GEN
4005 1367 : _psi(void*E, GEN y)
4006 : {
4007 1367 : GEN lx = (GEN) E;
4008 1367 : long prec = realprec(lx);
4009 1367 : GEN ly = glog(y, prec);
4010 1367 : GEN u = gdiv(lx, ly);
4011 1367 : return gsub(gdiv(y ,ly), gpow(u, u, prec));
4012 : }
4013 :
4014 : static GEN
4015 49 : opt_param(GEN x, long prec)
4016 : {
4017 49 : return zbrent((void*)glog(x,prec), _psi, gen_2, x, prec);
4018 : }
4019 :
4020 : static GEN
4021 49 : check_kernel(long nbg, long N, long prmax, GEN C, GEN M, GEN p, GEN m)
4022 : {
4023 49 : pari_sp av = avma;
4024 49 : long lM = lg(M)-1, nbcol = lM;
4025 49 : long tbs = maxss(1, expu(nbg/expi(m)));
4026 : for (;;)
4027 35 : {
4028 84 : GEN K = FpMs_leftkernel_elt_col(M, nbcol, N, m);
4029 : GEN tab;
4030 84 : long i, f=0;
4031 84 : long l = lg(K), lm = lgefint(m);
4032 84 : GEN idx = diviiexact(subiu(p,1),m), g;
4033 : pari_timer ti;
4034 84 : if (DEBUGLEVEL) timer_start(&ti);
4035 140 : for(i=1; i<l; i++)
4036 140 : if (signe(gel(K,i)))
4037 84 : break;
4038 84 : g = Fp_pow(utoi(i), idx, p);
4039 84 : tab = Fp_pow_init(g, p, tbs, p);
4040 84 : K = FpC_Fp_mul(K, Fp_inv(gel(K,i), m), m);
4041 130438 : for(i=1; i<l; i++)
4042 : {
4043 130354 : GEN k = gel(K,i);
4044 130354 : GEN j = i<=prmax ? utoi(i): addis(C,i-(prmax+1));
4045 130354 : if (signe(k)==0 || !equalii(Fp_pow_table(tab, k, p), Fp_pow(j, idx, p)))
4046 80542 : gel(K,i) = cgetineg(lm);
4047 : else
4048 49812 : f++;
4049 : }
4050 84 : if (DEBUGLEVEL) timer_printf(&ti,"found %ld/%ld logs", f, nbg);
4051 133 : if(f > (nbg>>1)) return gerepileupto(av, K);
4052 9877 : for(i=1; i<=nbcol; i++)
4053 : {
4054 9842 : long a = 1+random_Fl(lM);
4055 9842 : swap(gel(M,a),gel(M,i));
4056 : }
4057 35 : if (4*nbcol>5*nbg) nbcol = nbcol*9/10;
4058 : }
4059 : }
4060 :
4061 : static GEN
4062 98 : Fp_log_find_ind(GEN a, GEN K, long prmax, GEN C, GEN p, GEN m)
4063 : {
4064 98 : pari_sp av=avma;
4065 98 : GEN aa = gen_1;
4066 98 : long AV = 0;
4067 : for(;;)
4068 133 : {
4069 231 : GEN A = Fp_log_find_rel(a, prmax, C, p, &aa, &AV);
4070 231 : GEN F = gel(A,1), E = gel(A,2);
4071 231 : GEN Ao = gen_0;
4072 231 : long i, l = lg(F);
4073 1188 : for(i=1; i<l; i++)
4074 : {
4075 1090 : GEN Ki = gel(K,F[i]);
4076 1090 : if (signe(Ki)<0) break;
4077 957 : Ao = addii(Ao, mulis(Ki, E[i]));
4078 : }
4079 329 : if (i==l) return Fp_divu(Ao, AV, m);
4080 133 : aa = gerepileuptoint(av, aa);
4081 : }
4082 : }
4083 :
4084 : static GEN
4085 49 : Fp_log_index(GEN a, GEN b, GEN m, GEN p)
4086 : {
4087 49 : pari_sp av = avma, av2;
4088 49 : long i, j, nbi, nbr = 0, nbrow, nbg;
4089 : GEN C, c, Ci, ci, pi, pr, sz, l, Ao, Bo, K, d, p_1;
4090 : pari_timer ti;
4091 : struct Fp_log_rel r;
4092 49 : ulong bnds = itou(roundr_safe(opt_param(sqrti(p),DEFAULTPREC)));
4093 49 : ulong bnd = 4*bnds;
4094 49 : if (!bnds || cmpii(sqru(bnds),m)>=0) return NULL;
4095 :
4096 49 : p_1 = subiu(p,1);
4097 49 : if (!is_pm1(gcdii(m,diviiexact(p_1,m))))
4098 0 : m = diviiexact(p_1, Z_ppo(p_1, m));
4099 49 : pr = primes_upto_zv(bnd);
4100 49 : nbi = lg(pr)-1;
4101 49 : C = sqrtremi(p, &c);
4102 49 : av2 = avma;
4103 12236 : for (i = 1; i <= nbi; ++i)
4104 : {
4105 12187 : ulong lp = pr[i];
4106 37793 : while (lp <= bnd)
4107 : {
4108 13419 : nbr++;
4109 13419 : lp *= pr[i];
4110 : }
4111 : }
4112 49 : pi = cgetg(nbr+1,t_VECSMALL);
4113 49 : Ci = cgetg(nbr+1,t_VECSMALL);
4114 49 : ci = cgetg(nbr+1,t_VECSMALL);
4115 49 : sz = cgetg(nbr+1,t_VECSMALL);
4116 12236 : for (i = 1, j = 1; i <= nbi; ++i)
4117 : {
4118 12187 : ulong lp = pr[i], sp = expu(2*lp-1);
4119 37793 : while (lp <= bnd)
4120 : {
4121 13419 : pi[j] = lp;
4122 13419 : Ci[j] = umodiu(C, lp);
4123 13419 : ci[j] = umodiu(c, lp);
4124 13419 : sz[j] = sp;
4125 13419 : lp *= pr[i];
4126 13419 : j++;
4127 : }
4128 : }
4129 49 : r.nbrel = 0;
4130 49 : r.nbgen = compute_nbgen(C, bnd, nbi);
4131 49 : r.nbmax = 2*(nbi+r.nbgen);
4132 49 : r.rel = cgetg(r.nbmax+1,t_VEC);
4133 49 : r.prmax = pr[nbi];
4134 49 : if (DEBUGLEVEL)
4135 : {
4136 0 : err_printf("bnd=%lu Size FB=%ld extra gen=%ld \n", bnd, nbi, r.nbgen);
4137 0 : timer_start(&ti);
4138 : }
4139 49 : nbg = Fp_log_sieve(&r, C, c, Ci, ci, pi, sz);
4140 49 : nbrow = r.prmax + nbg;
4141 49 : if (DEBUGLEVEL)
4142 : {
4143 0 : err_printf("\n");
4144 0 : timer_printf(&ti," %ld relations, %ld generators", r.nbrel, nbi+nbg);
4145 : }
4146 49 : setlg(r.rel,r.nbrel+1);
4147 49 : r.rel = gerepilecopy(av2, r.rel);
4148 49 : K = check_kernel(nbi+nbrow-r.prmax, nbrow, r.prmax, C, r.rel, p, m);
4149 49 : if (DEBUGLEVEL) timer_start(&ti);
4150 49 : Ao = Fp_log_find_ind(a, K, r.prmax, C, p, m);
4151 49 : if (DEBUGLEVEL) timer_printf(&ti," log element");
4152 49 : Bo = Fp_log_find_ind(b, K, r.prmax, C, p, m);
4153 49 : if (DEBUGLEVEL) timer_printf(&ti," log generator");
4154 49 : d = gcdii(Ao,Bo);
4155 49 : l = Fp_div(diviiexact(Ao, d) ,diviiexact(Bo, d), m);
4156 49 : if (!equalii(a,Fp_pow(b,l,p))) pari_err_BUG("Fp_log_index");
4157 49 : return gerepileuptoint(av, l);
4158 : }
4159 :
4160 : static int
4161 1421014 : Fp_log_use_index(long e, long p)
4162 : {
4163 1421014 : return (e >= 27 && 20*(p+6)<=e*e);
4164 : }
4165 :
4166 : /* Trivial cases a = 1, -1. Return x s.t. g^x = a or [] if no such x exist */
4167 : static GEN
4168 2150333 : Fp_easylog(void *E, GEN a, GEN g, GEN ord)
4169 : {
4170 2150333 : pari_sp av = avma;
4171 2150333 : GEN p = (GEN)E;
4172 : /* assume a reduced mod p, p not necessarily prime */
4173 2150333 : if (equali1(a)) return gen_0;
4174 : /* p > 2 */
4175 1394970 : if (equalii(subiu(p,1), a)) /* -1 */
4176 : {
4177 : pari_sp av2;
4178 : GEN t;
4179 407453 : ord = get_arith_Z(ord);
4180 407453 : if (mpodd(ord)) { set_avma(av); return cgetg(1, t_VEC); } /* no solution */
4181 407439 : t = shifti(ord,-1); /* only possible solution */
4182 407439 : av2 = avma;
4183 407439 : if (!equalii(Fp_pow(g, t, p), a)) { set_avma(av); return cgetg(1, t_VEC); }
4184 407243 : set_avma(av2); return gerepileuptoint(av, t);
4185 : }
4186 987517 : if (typ(ord)==t_INT && BPSW_psp(p) && Fp_log_use_index(expi(ord),expi(p)))
4187 49 : return Fp_log_index(a, g, ord, p);
4188 987468 : return gc_NULL(av); /* not easy */
4189 : }
4190 :
4191 : GEN
4192 1164146 : Fp_log(GEN a, GEN g, GEN ord, GEN p)
4193 : {
4194 1164146 : GEN v = get_arith_ZZM(ord);
4195 1164118 : GEN F = gmael(v,2,1);
4196 1164118 : long lF = lg(F)-1, lmax;
4197 1164118 : if (lF == 0) return equali1(a)? gen_0: cgetg(1, t_VEC);
4198 1025016 : lmax = expi(gel(F,lF));
4199 1025016 : if (BPSW_psp(p) && Fp_log_use_index(lmax,expi(p)))
4200 56 : v = mkvec2(gel(v,1),ZM_famat_limit(gel(v,2),int2n(27)));
4201 1025016 : return gen_PH_log(a,g,v,(void*)p,&Fp_star);
4202 : }
4203 :
4204 : static ulong
4205 0 : Fl_log_naive(ulong a, ulong g, ulong ord, ulong p)
4206 : {
4207 0 : ulong i, h=1;
4208 0 : for(i=0; i<ord; i++, h = Fl_mul(h, g, p))
4209 0 : if(a==h) return i;
4210 0 : return ~0UL;
4211 : }
4212 :
4213 : static ulong
4214 18958 : Fl_log_naive_pre(ulong a, ulong g, ulong ord, ulong p, ulong pi)
4215 : {
4216 18958 : ulong i, h=1;
4217 47817 : for(i=0; i<ord; i++, h = Fl_mul_pre(h, g, p, pi))
4218 47817 : if(a==h) return i;
4219 0 : return ~0UL;
4220 : }
4221 :
4222 : static ulong
4223 0 : Fl_log_Fp(ulong a, ulong g, ulong ord, ulong p)
4224 : {
4225 0 : pari_sp av = avma;
4226 0 : GEN r = Fp_log(utoi(a),utoi(g),utoi(ord),utoi(p));
4227 0 : return gc_ulong(av, typ(r)==t_INT ? itou(r): ~0UL);
4228 : }
4229 :
4230 : ulong
4231 18958 : Fl_log_pre(ulong a, ulong g, ulong ord, ulong p, ulong pi)
4232 : {
4233 18958 : if (ord <= 200) return Fl_log_naive_pre(a, g, ord, p, pi);
4234 0 : return Fl_log_Fp(a, g, ord, p);
4235 : }
4236 :
4237 : ulong
4238 0 : Fl_log(ulong a, ulong g, ulong ord, ulong p)
4239 : {
4240 0 : if (ord <= 200)
4241 0 : return (p&HIGHMASK) ? Fl_log_naive_pre(a, g, ord, p, get_Fl_red(p))
4242 0 : : Fl_log_naive(a, g, ord, p);
4243 0 : return Fl_log_Fp(a, g, ord, p);
4244 : }
4245 :
4246 : /* find x such that h = g^x mod N > 1, N = prod_{i <= l} P[i]^E[i], P[i] prime.
4247 : * PHI[l] = eulerphi(N / P[l]^E[l]). Destroys P/E */
4248 : static GEN
4249 112 : znlog_rec(GEN h, GEN g, GEN N, GEN P, GEN E, GEN PHI)
4250 : {
4251 112 : long l = lg(P) - 1, e = E[l];
4252 112 : GEN p = gel(P, l), phi = gel(PHI,l), pe = e == 1? p: powiu(p, e);
4253 : GEN a,b, hp,gp, hpe,gpe, ogpe; /* = order(g mod p^e) | p^(e-1)(p-1) */
4254 :
4255 112 : if (l == 1) {
4256 84 : hpe = h;
4257 84 : gpe = g;
4258 : } else {
4259 28 : hpe = modii(h, pe);
4260 28 : gpe = modii(g, pe);
4261 : }
4262 112 : if (e == 1) {
4263 28 : hp = hpe;
4264 28 : gp = gpe;
4265 : } else {
4266 84 : hp = remii(hpe, p);
4267 84 : gp = remii(gpe, p);
4268 : }
4269 112 : if (hp == gen_0 || gp == gen_0) return NULL;
4270 91 : if (absequaliu(p, 2))
4271 : {
4272 35 : GEN n = int2n(e);
4273 35 : ogpe = Zp_order(gpe, gen_2, e, n);
4274 35 : a = Fp_log(hpe, gpe, ogpe, n);
4275 35 : if (typ(a) != t_INT) return NULL;
4276 : }
4277 : else
4278 : { /* Avoid black box groups: (Z/p^2)^* / (Z/p)^* ~ (Z/pZ, +), where DL
4279 : is trivial */
4280 : /* [order(gp), factor(order(gp))] */
4281 56 : GEN v = Fp_factored_order(gp, subiu(p,1), p);
4282 56 : GEN ogp = gel(v,1);
4283 56 : if (!equali1(Fp_pow(hp, ogp, p))) return NULL;
4284 56 : a = Fp_log(hp, gp, v, p);
4285 56 : if (typ(a) != t_INT) return NULL;
4286 56 : if (e == 1) ogpe = ogp;
4287 : else
4288 : { /* find a s.t. g^a = h (mod p^e), p odd prime, e > 0, (h,p) = 1 */
4289 : /* use p-adic log: O(log p + e) mul*/
4290 : long vpogpe, vpohpe;
4291 :
4292 28 : hpe = Fp_mul(hpe, Fp_pow(gpe, negi(a), pe), pe);
4293 28 : gpe = Fp_pow(gpe, ogp, pe);
4294 : /* g,h = 1 mod p; compute b s.t. h = g^b */
4295 :
4296 : /* v_p(order g mod pe) */
4297 28 : vpogpe = equali1(gpe)? 0: e - Z_pval(subiu(gpe,1), p);
4298 : /* v_p(order h mod pe) */
4299 28 : vpohpe = equali1(hpe)? 0: e - Z_pval(subiu(hpe,1), p);
4300 28 : if (vpohpe > vpogpe) return NULL;
4301 :
4302 28 : ogpe = mulii(ogp, powiu(p, vpogpe)); /* order g mod p^e */
4303 28 : if (is_pm1(gpe)) return is_pm1(hpe)? a: NULL;
4304 28 : b = gdiv(Qp_log(cvtop(hpe, p, e)), Qp_log(cvtop(gpe, p, e)));
4305 28 : a = addii(a, mulii(ogp, padic_to_Q(b)));
4306 : }
4307 : }
4308 : /* gp^a = hp => x = a mod ogpe => generalized Pohlig-Hellman strategy */
4309 77 : if (l == 1) return a;
4310 :
4311 28 : N = diviiexact(N, pe); /* make N coprime to p */
4312 28 : h = Fp_mul(h, Fp_pow(g, modii(negi(a), phi), N), N);
4313 28 : g = Fp_pow(g, modii(ogpe, phi), N);
4314 28 : setlg(P, l); /* remove last element */
4315 28 : setlg(E, l);
4316 28 : b = znlog_rec(h, g, N, P, E, PHI);
4317 28 : if (!b) return NULL;
4318 28 : return addmulii(a, b, ogpe);
4319 : }
4320 :
4321 : static GEN
4322 84 : get_PHI(GEN P, GEN E)
4323 : {
4324 84 : long i, l = lg(P);
4325 84 : GEN PHI = cgetg(l, t_VEC);
4326 84 : gel(PHI,1) = gen_1;
4327 112 : for (i=1; i<l-1; i++)
4328 : {
4329 28 : GEN t, p = gel(P,i);
4330 28 : long e = E[i];
4331 28 : t = mulii(powiu(p, e-1), subiu(p,1));
4332 28 : if (i > 1) t = mulii(t, gel(PHI,i));
4333 28 : gel(PHI,i+1) = t;
4334 : }
4335 84 : return PHI;
4336 : }
4337 :
4338 : GEN
4339 224 : znlog(GEN h, GEN g, GEN o)
4340 : {
4341 224 : pari_sp av = avma;
4342 : GEN N, fa, P, E, x;
4343 224 : switch (typ(g))
4344 : {
4345 : case t_PADIC:
4346 : {
4347 28 : GEN p = gel(g,2);
4348 28 : long v = valp(g);
4349 28 : if (v < 0) pari_err_DIM("znlog");
4350 28 : if (v > 0) {
4351 0 : long k = gvaluation(h, p);
4352 0 : if (k % v) return cgetg(1,t_VEC);
4353 0 : k /= v;
4354 0 : if (!gequal(h, gpowgs(g,k))) { set_avma(av); return cgetg(1,t_VEC); }
4355 0 : set_avma(av); return stoi(k);
4356 : }
4357 28 : N = gel(g,3);
4358 28 : g = Rg_to_Fp(g, N);
4359 28 : break;
4360 : }
4361 : case t_INTMOD:
4362 189 : N = gel(g,1);
4363 189 : g = gel(g,2); break;
4364 7 : default: pari_err_TYPE("znlog", g);
4365 : return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
4366 : }
4367 217 : if (equali1(N)) { set_avma(av); return gen_0; }
4368 217 : h = Rg_to_Fp(h, N);
4369 210 : if (o) return gerepileupto(av, Fp_log(h, g, o, N));
4370 84 : fa = Z_factor(N);
4371 84 : P = gel(fa,1);
4372 84 : E = vec_to_vecsmall(gel(fa,2));
4373 84 : x = znlog_rec(h, g, N, P, E, get_PHI(P,E));
4374 84 : if (!x) { set_avma(av); return cgetg(1,t_VEC); }
4375 49 : return gerepileuptoint(av, x);
4376 : }
4377 :
4378 : GEN
4379 61525 : Fp_sqrtn(GEN a, GEN n, GEN p, GEN *zeta)
4380 : {
4381 61525 : if (lgefint(p)==3)
4382 : {
4383 61133 : long nn = itos_or_0(n);
4384 61133 : if (nn)
4385 : {
4386 61133 : ulong pp = p[2];
4387 : ulong uz;
4388 61133 : ulong r = Fl_sqrtn(umodiu(a,pp),nn,pp, zeta ? &uz:NULL);
4389 61112 : if (r==ULONG_MAX) return NULL;
4390 61063 : if (zeta) *zeta = utoi(uz);
4391 61063 : return utoi(r);
4392 : }
4393 : }
4394 392 : a = modii(a,p);
4395 392 : if (!signe(a))
4396 : {
4397 0 : if (zeta) *zeta = gen_1;
4398 0 : if (signe(n) < 0) pari_err_INV("Fp_sqrtn", mkintmod(gen_0,p));
4399 0 : return gen_0;
4400 : }
4401 392 : if (absequaliu(n,2))
4402 : {
4403 224 : if (zeta) *zeta = subiu(p,1);
4404 224 : return signe(n) > 0 ? Fp_sqrt(a,p): Fp_sqrt(Fp_inv(a, p),p);
4405 : }
4406 168 : return gen_Shanks_sqrtn(a,n,subiu(p,1),zeta,(void*)p,&Fp_star);
4407 : }
4408 :
4409 : /*********************************************************************/
4410 : /** **/
4411 : /** FUNDAMENTAL DISCRIMINANTS **/
4412 : /** **/
4413 : /*********************************************************************/
4414 : static long
4415 1407 : fa_isfundamental(GEN F)
4416 : {
4417 1407 : GEN P = gel(F,1), E = gel(F,2);
4418 1407 : long i, s, l = lg(P);
4419 :
4420 1407 : if (l == 1) return 1;
4421 1400 : s = signe(gel(P,1)); /* = signe(x) */
4422 1400 : if (!s) return 0;
4423 1393 : if (s < 0) { l--; P = vecslice(P,2,l); E = vecslice(E,2,l); }
4424 1393 : if (l == 1) return 0;
4425 1386 : if (!absequaliu(gel(P,1), 2))
4426 686 : i = 1; /* need x = 1 mod 4 */
4427 : else
4428 : {
4429 700 : i = 2;
4430 700 : switch(itou(gel(E,1)))
4431 : {
4432 182 : case 2: s = -s; break; /* need x/4 = 3 mod 4 */
4433 84 : case 3: s = 0; break; /* no condition mod 4 */
4434 434 : default: return 0;
4435 : }
4436 : }
4437 1974 : for(; i < l; i++)
4438 : {
4439 1190 : if (!equali1(gel(E,i))) return 0;
4440 1022 : if (s && Mod4(gel(P,i)) == 3) s = -s;
4441 : }
4442 784 : return s >= 0;
4443 : }
4444 : long
4445 17570 : isfundamental(GEN x)
4446 : {
4447 17570 : if (typ(x) != t_INT)
4448 : {
4449 1407 : pari_sp av = avma;
4450 1407 : long v = fa_isfundamental(check_arith_all(x,"isfundamental"));
4451 1407 : return gc_long(av,v);
4452 : }
4453 16163 : return Z_isfundamental(x);
4454 : }
4455 :
4456 : /* x fundamental ? */
4457 : long
4458 12886 : uposisfundamental(ulong x)
4459 : {
4460 12886 : ulong r = x & 15; /* x mod 16 */
4461 12886 : if (!r) return 0;
4462 12165 : switch(r & 3)
4463 : { /* x mod 4 */
4464 2381 : case 0: return (r == 4)? 0: uissquarefree(x >> 2);
4465 3690 : case 1: return uissquarefree(x);
4466 6094 : default: return 0;
4467 : }
4468 : }
4469 : /* -x fundamental ? */
4470 : long
4471 28204 : unegisfundamental(ulong x)
4472 : {
4473 28204 : ulong r = x & 15; /* x mod 16 */
4474 28204 : if (!r) return 0;
4475 26769 : switch(r & 3)
4476 : { /* x mod 4 */
4477 4992 : case 0: return (r == 12)? 0: uissquarefree(x >> 2);
4478 11455 : case 3: return uissquarefree(x);
4479 10322 : default: return 0;
4480 : }
4481 : }
4482 : long
4483 19642 : sisfundamental(long x)
4484 19642 : { return x < 0? unegisfundamental((ulong)(-x)): uposisfundamental(x); }
4485 :
4486 : long
4487 16730 : Z_isfundamental(GEN x)
4488 : {
4489 : long r;
4490 16730 : switch(lgefint(x))
4491 : {
4492 7 : case 2: return 0;
4493 22189 : case 3: return signe(x) < 0? unegisfundamental(x[2])
4494 22189 : : uposisfundamental(x[2]);
4495 : }
4496 2010 : r = mod16(x);
4497 2010 : if (!r) return 0;
4498 1884 : if ((r & 3) == 0)
4499 : {
4500 : pari_sp av;
4501 376 : r >>= 2; /* |x|/4 mod 4 */
4502 376 : if (signe(x) < 0) r = 4-r;
4503 376 : if (r == 1) return 0;
4504 250 : av = avma;
4505 250 : r = Z_issquarefree( shifti(x,-2) );
4506 250 : return gc_long(av, r);
4507 : }
4508 1508 : r &= 3; /* |x| mod 4 */
4509 1508 : if (signe(x) < 0) r = 4-r;
4510 1508 : return (r==1) ? Z_issquarefree(x) : 0;
4511 : }
4512 :
4513 : static GEN
4514 2821 : fa_quaddisc(GEN f)
4515 : {
4516 2821 : GEN P = gel(f,1), E = gel(f,2), s = gen_1;
4517 2821 : long i, l = lg(P);
4518 9051 : for (i = 1; i < l; i++) /* possibly including -1 */
4519 6230 : if (mpodd(gel(E,i))) s = mulii(s, gel(P,i));
4520 2821 : if (Mod4(s) > 1) s = shifti(s,2);
4521 2821 : return s;
4522 : }
4523 :
4524 : GEN
4525 2821 : quaddisc(GEN x)
4526 : {
4527 2821 : const pari_sp av = avma;
4528 2821 : if (is_rational_t(typ(x))) x = factor(x);
4529 1407 : else x = check_arith_all(x,"quaddisc");
4530 2821 : return gerepileuptoint(av, fa_quaddisc(x));
4531 : }
4532 :
4533 : /*********************************************************************/
4534 : /** **/
4535 : /** FACTORIAL **/
4536 : /** **/
4537 : /*********************************************************************/
4538 : GEN
4539 192738 : mulu_interval_step(ulong a, ulong b, ulong step)
4540 : {
4541 192738 : pari_sp av = avma;
4542 : ulong k, l, N, n;
4543 : long lx;
4544 : GEN x;
4545 :
4546 192738 : if (!a) return gen_0;
4547 192738 : if (step == 1) return mulu_interval(a, b);
4548 192738 : n = 1 + (b-a) / step;
4549 192738 : b -= (b-a) % step;
4550 192738 : if (n < 61)
4551 : {
4552 192023 : if (n == 1) return utoipos(a);
4553 143164 : x = muluu(a,a+step); if (n == 2) return x;
4554 103973 : for (k=a+2*step; k<=b; k+=step) x = mului(k,x);
4555 103975 : return gerepileuptoint(av, x);
4556 : }
4557 : /* step | b-a */
4558 715 : lx = 1; x = cgetg(2 + n/2, t_VEC);
4559 715 : N = b + a;
4560 201699 : for (k = a;; k += step)
4561 : {
4562 402683 : l = N - k; if (l <= k) break;
4563 200984 : gel(x,lx++) = muluu(k,l);
4564 : }
4565 715 : if (l == k) gel(x,lx++) = utoipos(k);
4566 715 : setlg(x, lx);
4567 715 : return gerepileuptoint(av, ZV_prod(x));
4568 : }
4569 : /* return a * (a+1) * ... * b. Assume a <= b [ note: factoring out powers of 2
4570 : * first is slower ... ] */
4571 : GEN
4572 154910 : mulu_interval(ulong a, ulong b)
4573 : {
4574 154910 : pari_sp av = avma;
4575 : ulong k, l, N, n;
4576 : long lx;
4577 : GEN x;
4578 :
4579 154910 : if (!a) return gen_0;
4580 154910 : n = b - a + 1;
4581 154910 : if (n < 61)
4582 : {
4583 154896 : if (n == 1) return utoipos(a);
4584 99694 : x = muluu(a,a+1); if (n == 2) return x;
4585 69139 : for (k=a+2; k<=b; k++) x = mului(k,x);
4586 69139 : return gerepileuptoint(av, x);
4587 : }
4588 14 : lx = 1; x = cgetg(2 + n/2, t_VEC);
4589 14 : N = b + a;
4590 7007 : for (k = a;; k++)
4591 : {
4592 14000 : l = N - k; if (l <= k) break;
4593 6993 : gel(x,lx++) = muluu(k,l);
4594 : }
4595 14 : if (l == k) gel(x,lx++) = utoipos(k);
4596 14 : setlg(x, lx);
4597 14 : return gerepileuptoint(av, ZV_prod(x));
4598 : }
4599 : GEN
4600 392 : muls_interval(long a, long b)
4601 : {
4602 392 : pari_sp av = avma;
4603 392 : long lx, k, l, N, n = b - a + 1;
4604 : GEN x;
4605 :
4606 392 : if (a <= 0 && b >= 0) return gen_0;
4607 231 : if (n < 61)
4608 : {
4609 231 : x = stoi(a);
4610 231 : for (k=a+1; k<=b; k++) x = mulsi(k,x);
4611 231 : return gerepileuptoint(av, x);
4612 : }
4613 0 : lx = 1; x = cgetg(2 + n/2, t_VEC);
4614 0 : N = b + a;
4615 0 : for (k = a;; k++)
4616 : {
4617 0 : l = N - k; if (l <= k) break;
4618 0 : gel(x,lx++) = mulss(k,l);
4619 : }
4620 0 : if (l == k) gel(x,lx++) = stoi(k);
4621 0 : setlg(x, lx);
4622 0 : return gerepileuptoint(av, ZV_prod(x));
4623 : }
4624 :
4625 : GEN
4626 3045703 : mpfact(long n)
4627 : {
4628 3045703 : pari_sp av = avma;
4629 : GEN a, v;
4630 : long k;
4631 3045703 : if (n <= 12) switch(n)
4632 : {
4633 1938373 : case 0: case 1: return gen_1;
4634 625451 : case 2: return gen_2;
4635 260686 : case 3: return utoipos(6);
4636 107296 : case 4: return utoipos(24);
4637 21403 : case 5: return utoipos(120);
4638 14818 : case 6: return utoipos(720);
4639 1121 : case 7: return utoipos(5040);
4640 9372 : case 8: return utoipos(40320);
4641 258 : case 9: return utoipos(362880);
4642 9260 : case 10:return utoipos(3628800);
4643 123 : case 11:return utoipos(39916800);
4644 7079 : case 12:return utoipos(479001600);
4645 0 : default: pari_err_DOMAIN("factorial", "argument","<",gen_0,stoi(n));
4646 : }
4647 50463 : v = cgetg(expu(n) + 2, t_VEC);
4648 242920 : for (k = 1;; k++)
4649 192457 : {
4650 242920 : long m = n >> (k-1), l;
4651 242920 : if (m <= 2) break;
4652 192454 : l = (1 + (n >> k)) | 1;
4653 : /* product of odd numbers in ]n / 2^k, 2 / 2^(k-1)] */
4654 192454 : a = mulu_interval_step(l, m, 2);
4655 192459 : gel(v,k) = k == 1? a: powiu(a, k);
4656 : }
4657 50466 : a = gel(v,--k); while (--k) a = mulii(a, gel(v,k));
4658 50465 : a = shifti(a, factorial_lval(n, 2));
4659 50464 : return gerepileuptoint(av, a);
4660 : }
4661 :
4662 : /*******************************************************************/
4663 : /** **/
4664 : /** LUCAS & FIBONACCI **/
4665 : /** **/
4666 : /*******************************************************************/
4667 : static void
4668 56 : lucas(ulong n, GEN *a, GEN *b)
4669 : {
4670 : GEN z, t, zt;
4671 56 : if (!n) { *a = gen_2; *b = gen_1; return; }
4672 49 : lucas(n >> 1, &z, &t); zt = mulii(z, t);
4673 49 : switch(n & 3) {
4674 14 : case 0: *a = subiu(sqri(z),2); *b = subiu(zt,1); break;
4675 14 : case 1: *a = subiu(zt,1); *b = addiu(sqri(t),2); break;
4676 7 : case 2: *a = addiu(sqri(z),2); *b = addiu(zt,1); break;
4677 14 : case 3: *a = addiu(zt,1); *b = subiu(sqri(t),2);
4678 : }
4679 : }
4680 :
4681 : GEN
4682 7 : fibo(long n)
4683 : {
4684 7 : pari_sp av = avma;
4685 : GEN a, b;
4686 7 : if (!n) return gen_0;
4687 7 : lucas((ulong)(labs(n)-1), &a, &b);
4688 7 : a = diviuexact(addii(shifti(a,1),b), 5);
4689 7 : if (n < 0 && !odd(n)) setsigne(a, -1);
4690 7 : return gerepileuptoint(av, a);
4691 : }
4692 :
4693 : /*******************************************************************/
4694 : /* */
4695 : /* CONTINUED FRACTIONS */
4696 : /* */
4697 : /*******************************************************************/
4698 : static GEN
4699 488420 : icopy_lg(GEN x, long l)
4700 : {
4701 488420 : long lx = lgefint(x);
4702 : GEN y;
4703 :
4704 488420 : if (lx >= l) return icopy(x);
4705 35 : y = cgeti(l); affii(x, y); return y;
4706 : }
4707 :
4708 : /* continued fraction of a/b. If y != NULL, stop when partial quotients
4709 : * differ from y */
4710 : static GEN
4711 488716 : Qsfcont(GEN a, GEN b, GEN y, ulong k)
4712 : {
4713 : GEN z, c;
4714 488716 : ulong i, l, ly = lgefint(b);
4715 :
4716 : /* times 1 / log2( (1+sqrt(5)) / 2 ) */
4717 488716 : l = (ulong)(3 + bit_accuracy_mul(ly, 1.44042009041256));
4718 488716 : if (k > 0 && k+1 > 0 && l > k+1) l = k+1; /* beware overflow */
4719 488716 : if (l > LGBITS) l = LGBITS;
4720 :
4721 488716 : z = cgetg(l,t_VEC);
4722 488716 : l--;
4723 488716 : if (y) {
4724 296 : pari_sp av = avma;
4725 296 : if (l >= (ulong)lg(y)) l = lg(y)-1;
4726 19488 : for (i = 1; i <= l; i++)
4727 : {
4728 19303 : GEN q = gel(y,i);
4729 19303 : gel(z,i) = q;
4730 19303 : c = b; if (!gequal1(q)) c = mulii(q, b);
4731 19303 : c = subii(a, c);
4732 19303 : if (signe(c) < 0)
4733 : { /* partial quotient too large */
4734 110 : c = addii(c, b);
4735 110 : if (signe(c) >= 0) i++; /* by 1 */
4736 110 : break;
4737 : }
4738 19193 : if (cmpii(c, b) >= 0)
4739 : { /* partial quotient too small */
4740 1 : c = subii(c, b);
4741 1 : if (cmpii(c, b) < 0) {
4742 : /* by 1. If next quotient is 1 in y, add 1 */
4743 0 : if (i < l && equali1(gel(y,i+1))) gel(z,i) = addiu(q,1);
4744 0 : i++;
4745 : }
4746 1 : break;
4747 : }
4748 19192 : if ((i & 0xff) == 0) gerepileall(av, 2, &b, &c);
4749 19192 : a = b; b = c;
4750 : }
4751 : } else {
4752 488420 : a = icopy_lg(a, ly);
4753 488420 : b = icopy(b);
4754 1738379 : for (i = 1; i <= l; i++)
4755 : {
4756 1738115 : gel(z,i) = truedvmdii(a,b,&c);
4757 1738115 : if (c == gen_0) { i++; break; }
4758 1249959 : affii(c, a); cgiv(c); c = a;
4759 1249959 : a = b; b = c;
4760 : }
4761 : }
4762 488716 : i--;
4763 488716 : if (i > 1 && gequal1(gel(z,i)))
4764 : {
4765 85 : cgiv(gel(z,i)); --i;
4766 85 : gel(z,i) = addui(1, gel(z,i)); /* unclean: leave old z[i] on stack */
4767 : }
4768 488716 : setlg(z,i+1); return z;
4769 : }
4770 :
4771 : static GEN
4772 0 : sersfcont(GEN a, GEN b, long k)
4773 : {
4774 0 : long i, l = typ(a) == t_POL? lg(a): 3;
4775 : GEN y, c;
4776 0 : if (lg(b) > l) l = lg(b);
4777 0 : if (k > 0 && l > k+1) l = k+1;
4778 0 : y = cgetg(l,t_VEC);
4779 0 : for (i=1; i<l; i++)
4780 : {
4781 0 : gel(y,i) = poldivrem(a,b,&c);
4782 0 : if (gequal0(c)) { i++; break; }
4783 0 : a = b; b = c;
4784 : }
4785 0 : setlg(y, i); return y;
4786 : }
4787 :
4788 : GEN
4789 488980 : gboundcf(GEN x, long k)
4790 : {
4791 : pari_sp av;
4792 488980 : long tx = typ(x), e;
4793 : GEN y, a, b, c;
4794 :
4795 488980 : if (k < 0) pari_err_DOMAIN("gboundcf","nmax","<",gen_0,stoi(k));
4796 488973 : if (is_scalar_t(tx))
4797 : {
4798 488973 : if (gequal0(x)) return mkvec(gen_0);
4799 488924 : switch(tx)
4800 : {
4801 497 : case t_INT: return mkveccopy(x);
4802 : case t_REAL:
4803 303 : av = avma;
4804 303 : c = mantissa_real(x,&e);
4805 303 : if (e < 0) pari_err_PREC("gboundcf");
4806 296 : y = int2n(e);
4807 296 : a = Qsfcont(c,y, NULL, k);
4808 296 : b = addsi(signe(x), c);
4809 296 : return gerepilecopy(av, Qsfcont(b,y, a, k));
4810 :
4811 : case t_FRAC:
4812 488124 : av = avma;
4813 488124 : return gerepileupto(av, Qsfcont(gel(x,1),gel(x,2), NULL, k));
4814 : }
4815 0 : pari_err_TYPE("gboundcf",x);
4816 : }
4817 :
4818 0 : switch(tx)
4819 : {
4820 0 : case t_POL: return mkveccopy(x);
4821 : case t_SER:
4822 0 : av = avma;
4823 0 : return gerepileupto(av, gboundcf(ser2rfrac_i(x), k));
4824 : case t_RFRAC:
4825 0 : av = avma;
4826 0 : return gerepilecopy(av, sersfcont(gel(x,1), gel(x,2), k));
4827 : }
4828 0 : pari_err_TYPE("gboundcf",x);
4829 : return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
4830 : }
4831 :
4832 : static GEN
4833 14 : sfcont2(GEN b, GEN x, long k)
4834 : {
4835 14 : pari_sp av = avma;
4836 14 : long lb = lg(b), tx = typ(x), i;
4837 : GEN y,p1;
4838 :
4839 14 : if (k)
4840 : {
4841 7 : if (k >= lb) pari_err_DIM("contfrac [too few denominators]");
4842 0 : lb = k+1;
4843 : }
4844 7 : y = cgetg(lb,t_VEC);
4845 7 : if (lb==1) return y;
4846 7 : if (is_scalar_t(tx))
4847 : {
4848 7 : if (!is_intreal_t(tx) && tx != t_FRAC) pari_err_TYPE("sfcont2",x);
4849 : }
4850 0 : else if (tx == t_SER) x = ser2rfrac_i(x);
4851 :
4852 7 : if (!gequal1(gel(b,1))) x = gmul(gel(b,1),x);
4853 7 : for (i = 1;;)
4854 : {
4855 63 : if (tx == t_REAL)
4856 : {
4857 35 : long e = expo(x);
4858 35 : if (e > 0 && nbits2prec(e+1) > realprec(x)) break;
4859 35 : gel(y,i) = floorr(x);
4860 35 : p1 = subri(x, gel(y,i));
4861 : }
4862 : else
4863 : {
4864 0 : gel(y,i) = gfloor(x);
4865 0 : p1 = gsub(x, gel(y,i));
4866 : }
4867 35 : if (++i >= lb) break;
4868 28 : if (gequal0(p1)) break;
4869 28 : x = gdiv(gel(b,i),p1);
4870 : }
4871 7 : setlg(y,i);
4872 7 : return gerepilecopy(av,y);
4873 : }
4874 :
4875 :
4876 : GEN
4877 105 : gcf(GEN x) { return gboundcf(x,0); }
4878 : GEN
4879 0 : gcf2(GEN b, GEN x) { return contfrac0(x,b,0); }
4880 : GEN
4881 49 : contfrac0(GEN x, GEN b, long nmax)
4882 : {
4883 : long tb;
4884 :
4885 49 : if (!b) return gboundcf(x,nmax);
4886 28 : tb = typ(b);
4887 28 : if (tb == t_INT) return gboundcf(x,itos(b));
4888 21 : if (! is_vec_t(tb)) pari_err_TYPE("contfrac0",b);
4889 21 : if (nmax < 0) pari_err_DOMAIN("contfrac","nmax","<",gen_0,stoi(nmax));
4890 14 : return sfcont2(b,x,nmax);
4891 : }
4892 :
4893 : GEN
4894 245 : contfracpnqn(GEN x, long n)
4895 : {
4896 245 : pari_sp av = avma;
4897 245 : long i, lx = lg(x);
4898 : GEN M,A,B, p0,p1, q0,q1;
4899 :
4900 245 : if (lx == 1)
4901 : {
4902 28 : if (! is_matvec_t(typ(x))) pari_err_TYPE("pnqn",x);
4903 21 : if (n >= 0) return cgetg(1,t_MAT);
4904 7 : return matid(2);
4905 : }
4906 217 : switch(typ(x))
4907 : {
4908 175 : case t_VEC: case t_COL: A = x; B = NULL; break;
4909 : case t_MAT:
4910 42 : switch(lgcols(x))
4911 : {
4912 0 : case 2: A = row(x,1); B = NULL; break;
4913 35 : case 3: A = row(x,2); B = row(x,1); break;
4914 7 : default: pari_err_DIM("pnqn [ nbrows != 1,2 ]");
4915 : return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
4916 : }
4917 35 : break;
4918 0 : default: pari_err_TYPE("pnqn",x);
4919 : return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
4920 : }
4921 210 : p1 = gel(A,1);
4922 210 : q1 = B? gel(B,1): gen_1; /* p[0], q[0] */
4923 210 : if (n >= 0)
4924 : {
4925 175 : lx = minss(lx, n+2);
4926 175 : if (lx == 2) return gerepilecopy(av, mkmat(mkcol2(p1,q1)));
4927 : }
4928 35 : else if (lx == 2)
4929 7 : return gerepilecopy(av, mkmat2(mkcol2(p1,q1), mkcol2(gen_1,gen_0)));
4930 : /* lx >= 3 */
4931 112 : p0 = gen_1;
4932 112 : q0 = gen_0; /* p[-1], q[-1] */
4933 112 : M = cgetg(lx, t_MAT);
4934 112 : gel(M,1) = mkcol2(p1,q1);
4935 364 : for (i=2; i<lx; i++)
4936 : {
4937 252 : GEN a = gel(A,i), p2,q2;
4938 252 : if (B) {
4939 84 : GEN b = gel(B,i);
4940 84 : p0 = gmul(b,p0);
4941 84 : q0 = gmul(b,q0);
4942 : }
4943 252 : p2 = gadd(gmul(a,p1),p0); p0=p1; p1=p2;
4944 252 : q2 = gadd(gmul(a,q1),q0); q0=q1; q1=q2;
4945 252 : gel(M,i) = mkcol2(p1,q1);
4946 : }
4947 112 : if (n < 0) M = mkmat2(gel(M,lx-1), gel(M,lx-2));
4948 112 : return gerepilecopy(av, M);
4949 : }
4950 : GEN
4951 0 : pnqn(GEN x) { return contfracpnqn(x,-1); }
4952 : /* x = [a0, ..., an] from gboundcf, n >= 0;
4953 : * return [[p0, ..., pn], [q0,...,qn]] */
4954 : GEN
4955 480802 : ZV_allpnqn(GEN x)
4956 : {
4957 480802 : long i, lx = lg(x);
4958 480802 : GEN p0, p1, q0, q1, p2, q2, P,Q, v = cgetg(3,t_VEC);
4959 :
4960 480802 : gel(v,1) = P = cgetg(lx, t_VEC);
4961 480802 : gel(v,2) = Q = cgetg(lx, t_VEC);
4962 480802 : p0 = gen_1; q0 = gen_0;
4963 480802 : gel(P, 1) = p1 = gel(x,1); gel(Q, 1) = q1 = gen_1;
4964 1685516 : for (i=2; i<lx; i++)
4965 : {
4966 1204714 : GEN a = gel(x,i);
4967 1204714 : gel(P, i) = p2 = addmulii(p0, a, p1); p0 = p1; p1 = p2;
4968 1204714 : gel(Q, i) = q2 = addmulii(q0, a, q1); q0 = q1; q1 = q2;
4969 : }
4970 480802 : return v;
4971 : }
4972 :
4973 : /* write Mod(x,N) as a/b, gcd(a,b) = 1, b <= B (no condition if B = NULL) */
4974 : static GEN
4975 42 : mod_to_frac(GEN x, GEN N, GEN B)
4976 : {
4977 : GEN a, b, A;
4978 42 : if (B) A = divii(shifti(N, -1), B);
4979 : else
4980 : {
4981 14 : A = sqrti(shifti(N, -1));
4982 14 : B = A;
4983 : }
4984 42 : if (!Fp_ratlift(x, N, A,B,&a,&b) || !equali1( gcdii(a,b) )) return NULL;
4985 28 : return equali1(b)? a: mkfrac(a,b);
4986 : }
4987 :
4988 : static GEN
4989 70 : mod_to_rfrac(GEN x, GEN N, long B)
4990 : {
4991 : GEN a, b;
4992 70 : long A, d = degpol(N);
4993 70 : if (B >= 0) A = d-1 - B;
4994 : else
4995 : {
4996 42 : B = d >> 1;
4997 42 : A = odd(d)? B : B-1;
4998 : }
4999 70 : if (varn(N) != varn(x)) x = scalarpol(x, varn(N));
5000 70 : if (!RgXQ_ratlift(x, N, A, B, &a,&b) || degpol(RgX_gcd(a,b)) > 0) return NULL;
5001 56 : return gdiv(a,b);
5002 : }
5003 :
5004 : /* k > 0 t_INT, x a t_FRAC, returns the convergent a/b
5005 : * of the continued fraction of x with b <= k maximal */
5006 : static GEN
5007 7 : bestappr_frac(GEN x, GEN k)
5008 : {
5009 : pari_sp av;
5010 : GEN p0, p1, p, q0, q1, q, a, y;
5011 :
5012 7 : if (cmpii(gel(x,2),k) <= 0) return gcopy(x);
5013 0 : av = avma; y = x;
5014 0 : p1 = gen_1; p0 = truedvmdii(gel(x,1), gel(x,2), &a); /* = floor(x) */
5015 0 : q1 = gen_0; q0 = gen_1;
5016 0 : x = mkfrac(a, gel(x,2)); /* = frac(x); now 0<= x < 1 */
5017 : for(;;)
5018 : {
5019 0 : x = ginv(x); /* > 1 */
5020 0 : a = typ(x)==t_INT? x: divii(gel(x,1), gel(x,2));
5021 0 : if (cmpii(a,k) > 0)
5022 : { /* next partial quotient will overflow limits */
5023 : GEN n, d;
5024 0 : a = divii(subii(k, q1), q0);
5025 0 : p = addii(mulii(a,p0), p1); p1=p0; p0=p;
5026 0 : q = addii(mulii(a,q0), q1); q1=q0; q0=q;
5027 : /* compare |y-p0/q0|, |y-p1/q1| */
5028 0 : n = gel(y,1);
5029 0 : d = gel(y,2);
5030 0 : if (abscmpii(mulii(q1, subii(mulii(q0,n), mulii(d,p0))),
5031 : mulii(q0, subii(mulii(q1,n), mulii(d,p1)))) < 0)
5032 0 : { p1 = p0; q1 = q0; }
5033 0 : break;
5034 : }
5035 0 : p = addii(mulii(a,p0), p1); p1=p0; p0=p;
5036 0 : q = addii(mulii(a,q0), q1); q1=q0; q0=q;
5037 :
5038 0 : if (cmpii(q0,k) > 0) break;
5039 0 : x = gsub(x,a); /* 0 <= x < 1 */
5040 0 : if (typ(x) == t_INT) { p1 = p0; q1 = q0; break; } /* x = 0 */
5041 :
5042 : }
5043 0 : return gerepileupto(av, gdiv(p1,q1));
5044 : }
5045 : /* k > 0 t_INT, x != 0 a t_REAL, returns the convergent a/b
5046 : * of the continued fraction of x with b <= k maximal */
5047 : static GEN
5048 312238 : bestappr_real(GEN x, GEN k)
5049 : {
5050 312238 : pari_sp av = avma;
5051 312238 : GEN kr, p0, p1, p, q0, q1, q, a, y = x;
5052 :
5053 312238 : p1 = gen_1; a = p0 = floorr(x);
5054 312238 : q1 = gen_0; q0 = gen_1;
5055 312238 : x = subri(x,a); /* 0 <= x < 1 */
5056 312238 : if (!signe(x)) { cgiv(x); return a; }
5057 303138 : kr = itor(k, realprec(x));
5058 : for(;;)
5059 483253 : {
5060 : long d;
5061 786391 : x = invr(x); /* > 1 */
5062 786391 : if (cmprr(x,kr) > 0)
5063 : { /* next partial quotient will overflow limits */
5064 298282 : a = divii(subii(k, q1), q0);
5065 298282 : p = addii(mulii(a,p0), p1); p1=p0; p0=p;
5066 298282 : q = addii(mulii(a,q0), q1); q1=q0; q0=q;
5067 : /* compare |y-p0/q0|, |y-p1/q1| */
5068 298282 : if (abscmprr(mulir(q1, subri(mulir(q0,y), p0)),
5069 : mulir(q0, subri(mulir(q1,y), p1))) < 0)
5070 9840 : { p1 = p0; q1 = q0; }
5071 298282 : break;
5072 : }
5073 488109 : d = nbits2prec(expo(x) + 1);
5074 488109 : if (d > lg(x)) { p1 = p0; q1 = q0; break; } /* original x was ~ 0 */
5075 :
5076 487924 : a = truncr(x); /* truncr(x) will NOT raise e_PREC */
5077 487924 : p = addii(mulii(a,p0), p1); p1=p0; p0=p;
5078 487924 : q = addii(mulii(a,q0), q1); q1=q0; q0=q;
5079 :
5080 487924 : if (cmpii(q0,k) > 0) break;
5081 483751 : x = subri(x,a); /* 0 <= x < 1 */
5082 483751 : if (!signe(x)) { p1 = p0; q1 = q0; break; }
5083 : }
5084 303138 : if (signe(q1) < 0) { togglesign_safe(&p1); togglesign_safe(&q1); }
5085 303138 : return gerepilecopy(av, equali1(q1)? p1: mkfrac(p1,q1));
5086 : }
5087 :
5088 : /* k t_INT or NULL */
5089 : static GEN
5090 481409 : bestappr_Q(GEN x, GEN k)
5091 : {
5092 481409 : long lx, tx = typ(x), i;
5093 : GEN a, y;
5094 :
5095 481409 : switch(tx)
5096 : {
5097 77 : case t_INT: return icopy(x);
5098 7 : case t_FRAC: return k? bestappr_frac(x, k): gcopy(x);
5099 : case t_REAL:
5100 355406 : if (!signe(x)) return gen_0;
5101 : /* i <= e iff nbits2lg(e+1) > lg(x) iff floorr(x) fails */
5102 312239 : i = bit_prec(x); if (i <= expo(x)) return NULL;
5103 312238 : return bestappr_real(x, k? k: int2n(i));
5104 :
5105 : case t_INTMOD: {
5106 28 : pari_sp av = avma;
5107 28 : a = mod_to_frac(gel(x,2), gel(x,1), k); if (!a) return NULL;
5108 21 : return gerepilecopy(av, a);
5109 : }
5110 : case t_PADIC: {
5111 14 : pari_sp av = avma;
5112 14 : long v = valp(x);
5113 14 : a = mod_to_frac(gel(x,4), gel(x,3), k); if (!a) return NULL;
5114 7 : if (v) a = gmul(a, powis(gel(x,2), v));
5115 7 : return gerepilecopy(av, a);
5116 : }
5117 :
5118 : case t_COMPLEX: {
5119 126 : pari_sp av = avma;
5120 126 : y = cgetg(3, t_COMPLEX);
5121 126 : gel(y,2) = bestappr(gel(x,2), k);
5122 126 : gel(y,1) = bestappr(gel(x,1), k);
5123 126 : if (gequal0(gel(y,2))) return gerepileupto(av, gel(y,1));
5124 0 : return y;
5125 : }
5126 : case t_SER:
5127 0 : if (ser_isexactzero(x)) return gcopy(x);
5128 : /* fall through */
5129 : case t_POLMOD: case t_POL: case t_RFRAC:
5130 : case t_VEC: case t_COL: case t_MAT:
5131 125751 : y = cgetg_copy(x, &lx);
5132 125751 : if (lontyp[tx] == 1) i = 1; else { y[1] = x[1]; i = 2; }
5133 594459 : for (; i<lx; i++)
5134 : {
5135 468710 : a = bestappr_Q(gel(x,i),k); if (!a) return NULL;
5136 468708 : gel(y,i) = a;
5137 : }
5138 125749 : if (tx == t_POL) return normalizepol(y);
5139 125735 : if (tx == t_SER) return normalize(y);
5140 125735 : return y;
5141 : }
5142 0 : pari_err_TYPE("bestappr_Q",x);
5143 : return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
5144 : }
5145 :
5146 : static GEN
5147 56 : bestappr_ser(GEN x, long B)
5148 : {
5149 56 : long dN, v = valp(x), lx = lg(x);
5150 : GEN t;
5151 56 : x = normalizepol(ser2pol_i(x, lx));
5152 56 : dN = lx-2;
5153 56 : if (v > 0)
5154 : {
5155 14 : x = RgX_shift_shallow(x, v);
5156 14 : dN += v;
5157 : }
5158 42 : else if (v < 0)
5159 : {
5160 7 : if (B >= 0) B = maxss(B+v, 0);
5161 : }
5162 56 : t = mod_to_rfrac(x, pol_xn(dN, varn(x)), B);
5163 56 : if (!t) return NULL;
5164 42 : if (v < 0)
5165 : {
5166 : GEN a, b;
5167 : long vx;
5168 7 : if (typ(t) == t_POL) return RgX_mulXn(t, v);
5169 : /* t_RFRAC */
5170 7 : vx = varn(x);
5171 7 : a = gel(t,1);
5172 7 : b = gel(t,2);
5173 7 : v -= RgX_valrem(b, &b);
5174 7 : if (typ(a) == t_POL && varn(a) == vx) v += RgX_valrem(a, &a);
5175 7 : if (v < 0) b = RgX_shift(b, -v);
5176 0 : else if (v > 0) {
5177 0 : if (typ(a) != t_POL || varn(a) != vx) a = scalarpol_shallow(a, vx);
5178 0 : a = RgX_shift(a, v);
5179 : }
5180 7 : t = mkrfraccopy(a, b);
5181 : }
5182 42 : return t;
5183 : }
5184 : static GEN bestappr_RgX(GEN x, long B);
5185 : /* x t_POLMOD, B >= 0 or < 0 [omit condition on B].
5186 : * Look for coprime t_POL a,b, deg(b)<=B, such that a/b = x */
5187 : static GEN
5188 77 : bestappr_RgX(GEN x, long B)
5189 : {
5190 77 : long i, lx, tx = typ(x);
5191 : GEN y, t;
5192 77 : switch(tx)
5193 : {
5194 : case t_INT: case t_REAL: case t_INTMOD: case t_FRAC:
5195 : case t_COMPLEX: case t_PADIC: case t_QUAD: case t_POL:
5196 0 : return gcopy(x);
5197 :
5198 : case t_RFRAC: {
5199 14 : pari_sp av = avma;
5200 14 : if (B < 0 || degpol(gel(x,2)) <= B) return gcopy(x);
5201 7 : x = rfrac_to_ser(x, 2*B+1);
5202 7 : t = bestappr_ser(x, B); if (!t) return NULL;
5203 0 : return gerepileupto(av, t);
5204 : }
5205 : case t_POLMOD: {
5206 14 : pari_sp av = avma;
5207 14 : t = mod_to_rfrac(gel(x,2), gel(x,1), B); if (!t) return NULL;
5208 14 : return gerepileupto(av, t);
5209 : }
5210 : case t_SER: {
5211 49 : pari_sp av = avma;
5212 49 : t = bestappr_ser(x, B); if (!t) return NULL;
5213 42 : return gerepileupto(av, t);
5214 : }
5215 :
5216 : case t_VEC: case t_COL: case t_MAT:
5217 0 : y = cgetg_copy(x, &lx);
5218 0 : if (lontyp[tx] == 1) i = 1; else { y[1] = x[1]; i = 2; }
5219 0 : for (; i<lx; i++)
5220 : {
5221 0 : t = bestappr_RgX(gel(x,i),B); if (!t) return NULL;
5222 0 : gel(y,i) = t;
5223 : }
5224 0 : return y;
5225 : }
5226 0 : pari_err_TYPE("bestappr_RgX",x);
5227 : return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
5228 : }
5229 :
5230 : /* allow k = NULL: maximal accuracy */
5231 : GEN
5232 12699 : bestappr(GEN x, GEN k)
5233 : {
5234 12699 : pari_sp av = avma;
5235 12699 : if (k) { /* replace by floor(k) */
5236 12426 : switch(typ(k))
5237 : {
5238 : case t_INT:
5239 1260 : break;
5240 : case t_REAL: case t_FRAC:
5241 11166 : k = floor_safe(k); /* left on stack for efficiency */
5242 11166 : if (!signe(k)) k = gen_1;
5243 11166 : break;
5244 : default:
5245 0 : pari_err_TYPE("bestappr [bound type]", k);
5246 0 : break;
5247 : }
5248 : }
5249 12699 : x = bestappr_Q(x, k);
5250 12699 : if (!x) { set_avma(av); return cgetg(1,t_VEC); }
5251 12684 : return x;
5252 : }
5253 : GEN
5254 77 : bestapprPade(GEN x, long B)
5255 : {
5256 77 : pari_sp av = avma;
5257 77 : GEN t = bestappr_RgX(x, B);
5258 77 : if (!t) { set_avma(av); return cgetg(1,t_VEC); }
5259 63 : return t;
5260 : }
5261 :
5262 : /***********************************************************************/
5263 : /** **/
5264 : /** FUNDAMENTAL UNIT AND REGULATOR (QUADRATIC FIELDS) **/
5265 : /** **/
5266 : /***********************************************************************/
5267 :
5268 : static GEN
5269 14 : get_quad(GEN f, GEN pol, long r)
5270 : {
5271 14 : GEN p1 = gcoeff(f,1,2), q1 = gcoeff(f,2,2);
5272 14 : return mkquad(pol, r? subii(p1,q1): p1, q1);
5273 : }
5274 :
5275 : /* replace f by f * [a,1; 1,0] */
5276 : static void
5277 14 : update_f(GEN f, GEN a)
5278 : {
5279 : GEN p1;
5280 14 : p1 = gcoeff(f,1,1);
5281 14 : gcoeff(f,1,1) = addii(mulii(a,p1), gcoeff(f,1,2));
5282 14 : gcoeff(f,1,2) = p1;
5283 :
5284 14 : p1 = gcoeff(f,2,1);
5285 14 : gcoeff(f,2,1) = addii(mulii(a,p1), gcoeff(f,2,2));
5286 14 : gcoeff(f,2,2) = p1;
5287 14 : }
5288 :
5289 : GEN
5290 7 : quadunit(GEN x)
5291 : {
5292 7 : pari_sp av = avma, av2;
5293 : GEN pol, y, a, u, v, sqd, f;
5294 : long r;
5295 :
5296 7 : check_quaddisc_real(x, &r, "quadunit");
5297 7 : pol = quadpoly(x);
5298 7 : sqd = sqrti(x); av2 = avma;
5299 7 : a = shifti(addui(r,sqd),-1);
5300 7 : f = mkmat2(mkcol2(a, gen_1), mkcol2(gen_1, gen_0)); /* [a,0; 1,0] */
5301 7 : u = stoi(r); v = gen_2;
5302 : for(;;)
5303 7 : {
5304 : GEN u1, v1;
5305 14 : u1 = subii(mulii(a,v),u);
5306 14 : v1 = divii(subii(x,sqri(u1)),v);
5307 14 : if ( equalii(v,v1) ) {
5308 7 : y = get_quad(f,pol,r);
5309 7 : update_f(f,a);
5310 7 : y = gdiv(get_quad(f,pol,r), conj_i(y));
5311 7 : break;
5312 : }
5313 7 : a = divii(addii(sqd,u1), v1);
5314 7 : if ( equalii(u,u1) ) {
5315 0 : y = get_quad(f,pol,r);
5316 0 : y = gdiv(y, conj_i(y));
5317 0 : break;
5318 : }
5319 7 : update_f(f,a);
5320 7 : u = u1; v = v1;
5321 7 : if (gc_needed(av2,2))
5322 : {
5323 0 : if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"quadunit");
5324 0 : gerepileall(av2,4, &a,&f,&u,&v);
5325 : }
5326 : }
5327 7 : if (signe(gel(y,3)) < 0) y = gneg(y);
5328 7 : return gerepileupto(av, y);
5329 : }
5330 :
5331 : GEN
5332 7 : quadunit0(GEN x, long v)
5333 : {
5334 7 : GEN y = quadunit(x);
5335 7 : if (v==-1) v = fetch_user_var("w");
5336 7 : setvarn(gel(y,1), v);
5337 7 : return y;
5338 : }
5339 :
5340 : GEN
5341 21 : quadregulator(GEN x, long prec)
5342 : {
5343 21 : pari_sp av = avma, av2;
5344 : GEN R, rsqd, u, v, sqd;
5345 : long r, Rexpo;
5346 :
5347 21 : check_quaddisc_real(x, &r, "quadregulator");
5348 21 : sqd = sqrti(x);
5349 21 : rsqd = gsqrt(x,prec);
5350 21 : Rexpo = 0; R = real2n(1, prec); /* = 2 */
5351 21 : av2 = avma;
5352 21 : u = stoi(r); v = gen_2;
5353 : for(;;)
5354 49 : {
5355 70 : GEN u1 = subii(mulii(divii(addii(u,sqd),v), v), u);
5356 70 : GEN v1 = divii(subii(x,sqri(u1)),v);
5357 70 : if (equalii(v,v1))
5358 : {
5359 7 : R = sqrr(R); shiftr_inplace(R, -1);
5360 7 : R = mulrr(R, divri(addir(u1,rsqd),v));
5361 7 : break;
5362 : }
5363 63 : if (equalii(u,u1))
5364 : {
5365 14 : R = sqrr(R); shiftr_inplace(R, -1);
5366 14 : break;
5367 : }
5368 49 : R = mulrr(R, divri(addir(u1,rsqd),v));
5369 49 : Rexpo += expo(R); setexpo(R,0);
5370 49 : u = u1; v = v1;
5371 49 : if (Rexpo & ~EXPOBITS) pari_err_OVERFLOW("quadregulator [exponent]");
5372 49 : if (gc_needed(av2,2))
5373 : {
5374 0 : if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"quadregulator");
5375 0 : gerepileall(av2,3, &R,&u,&v);
5376 : }
5377 : }
5378 21 : R = logr_abs(divri(R,v));
5379 21 : if (Rexpo)
5380 : {
5381 21 : GEN t = mulsr(Rexpo, mplog2(prec));
5382 21 : shiftr_inplace(t, 1);
5383 21 : R = addrr(R,t);
5384 : }
5385 21 : return gerepileuptoleaf(av, R);
5386 : }
5387 :
5388 : /*************************************************************************/
5389 : /** **/
5390 : /** CLASS NUMBER **/
5391 : /** **/
5392 : /*************************************************************************/
5393 :
5394 : int
5395 12943797 : qfb_equal1(GEN f) { return equali1(gel(f,1)); }
5396 :
5397 18316834 : static GEN qfi_pow(void *E, GEN f, GEN n)
5398 18316834 : { return E? nupow(f,n,(GEN)E): powgi(f,n); }
5399 23025703 : static GEN qfi_comp(void *E, GEN f, GEN g)
5400 23025703 : { return E? nucomp(f,g,(GEN)E): qficomp(f,g); }
5401 : static const struct bb_group qfi_group={ qfi_comp,qfi_pow,NULL,hash_GEN,
5402 : gidentical,qfb_equal1,NULL};
5403 :
5404 : GEN
5405 2941241 : qfi_order(GEN q, GEN o)
5406 2941241 : { return gen_order(q, o, NULL, &qfi_group); }
5407 :
5408 : GEN
5409 0 : qfi_log(GEN a, GEN g, GEN o)
5410 0 : { return gen_PH_log(a, g, o, NULL, &qfi_group); }
5411 :
5412 : GEN
5413 626556 : qfi_Shanks(GEN a, GEN g, long n)
5414 : {
5415 626556 : pari_sp av = avma;
5416 : GEN T, X;
5417 : long rt_n, c;
5418 :
5419 626556 : a = redimag(a);
5420 626556 : g = redimag(g);
5421 :
5422 626556 : rt_n = sqrt((double)n);
5423 626556 : c = n / rt_n;
5424 626556 : c = (c * rt_n < n + 1) ? c + 1 : c;
5425 :
5426 626556 : T = gen_Shanks_init(g, rt_n, NULL, &qfi_group);
5427 626556 : X = gen_Shanks(T, a, c, NULL, &qfi_group);
5428 :
5429 626556 : if (!X) { set_avma(av); return X; }
5430 332549 : return gerepileuptoint(av, X);
5431 : }
5432 :
5433 : GEN
5434 140 : qfbclassno0(GEN x,long flag)
5435 : {
5436 140 : switch(flag)
5437 : {
5438 126 : case 0: return map_proto_G(classno,x);
5439 14 : case 1: return map_proto_G(classno2,x);
5440 0 : default: pari_err_FLAG("qfbclassno");
5441 : }
5442 : return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
5443 : }
5444 :
5445 : /* f^h = 1, return order(f). Set *pfao to its factorization */
5446 : static GEN
5447 2776995 : find_order(void *E, GEN f, GEN h, GEN *pfao)
5448 : {
5449 2776995 : GEN v = gen_factored_order(f, h, E, &qfi_group);
5450 2776995 : *pfao = gel(v,2); return gel(v,1);
5451 : }
5452 :
5453 : static int
5454 6705 : ok_q(GEN q, GEN h, GEN d2, long r2)
5455 : {
5456 6705 : if (d2)
5457 : {
5458 7 : if (r2 <= 2 && !mpodd(q)) return 0;
5459 7 : return is_pm1(Z_ppo(q,d2));
5460 : }
5461 : else
5462 : {
5463 6698 : if (r2 <= 1 && !mpodd(q)) return 0;
5464 6698 : return is_pm1(Z_ppo(q,h));
5465 : }
5466 : }
5467 :
5468 : /* a,b given by their factorizations. Return factorization of lcm(a,b).
5469 : * Set A,B such that A*B = lcm(a, b), (A,B)=1, A|a, B|b */
5470 : static GEN
5471 362162 : split_lcm(GEN a, GEN Fa, GEN b, GEN Fb, GEN *pA, GEN *pB)
5472 : {
5473 362162 : GEN P = ZC_union_shallow(gel(Fa,1), gel(Fb,1));
5474 362162 : GEN A = gen_1, B = gen_1;
5475 362162 : long i, l = lg(P);
5476 362162 : GEN E = cgetg(l, t_COL);
5477 1071040 : for (i=1; i<l; i++)
5478 : {
5479 708878 : GEN p = gel(P,i);
5480 708878 : long va = Z_pval(a,p);
5481 708878 : long vb = Z_pval(b,p);
5482 708878 : if (va < vb)
5483 : {
5484 364289 : B = mulii(B,powiu(p,vb));
5485 364289 : gel(E,i) = utoi(vb);
5486 : }
5487 : else
5488 : {
5489 344589 : A = mulii(A,powiu(p,va));
5490 344589 : gel(E,i) = utoi(va);
5491 : }
5492 : }
5493 362162 : *pA = A;
5494 362162 : *pB = B; return mkmat2(P,E);
5495 : }
5496 :
5497 : /* g1 has order d1, f has order o, replace g1 by an element of order lcm(d1,o)*/
5498 : static void
5499 362162 : update_g1(GEN *pg1, GEN *pd1, GEN *pfad1, GEN f, GEN o, GEN fao)
5500 : {
5501 362162 : GEN A,B, g1 = *pg1, d1 = *pd1;
5502 362162 : *pfad1 = split_lcm(d1,*pfad1, o,fao, &A,&B);
5503 362162 : *pg1 = gmul(powgi(g1, diviiexact(d1,A)), powgi(f, diviiexact(o,B)));
5504 362162 : *pd1 = mulii(A,B); /* g1 has order d1 <- lcm(d1,o) */
5505 362162 : }
5506 :
5507 : /* Write x = Df^2, where D = fundamental discriminant,
5508 : * P^E = factorisation of conductor f, with E[i] >= 0 */
5509 : static void
5510 2060327 : corediscfact(GEN x, long xmod4, GEN *ptD, GEN *ptP, GEN *ptE)
5511 : {
5512 2060327 : long s = signe(x), l, i;
5513 2060327 : GEN fa = absZ_factor(x);
5514 2060327 : GEN d, P = gel(fa,1), E = gtovecsmall(gel(fa,2));
5515 :
5516 2060327 : l = lg(P); d = gen_1;
5517 5362951 : for (i=1; i<l; i++)
5518 : {
5519 3302624 : if (E[i] & 1) d = mulii(d, gel(P,i));
5520 3302624 : E[i] >>= 1;
5521 : }
5522 2060327 : if (!xmod4 && mod4(d) != ((s < 0)? 3: 1)) { d = shifti(d,2); E[1]--; }
5523 2060327 : *ptD = (s < 0)? negi(d): d;
5524 2060327 : *ptP = P;
5525 2060327 : *ptE = E;
5526 2060327 : }
5527 :
5528 : static GEN
5529 2052517 : conductor_part(GEN x, long xmod4, GEN *ptD, GEN *ptreg)
5530 : {
5531 2052517 : long l, i, s = signe(x);
5532 : GEN E, H, D, P, reg;
5533 :
5534 2052517 : corediscfact(x, xmod4, &D, &P, &E);
5535 2052517 : H = gen_1; l = lg(P);
5536 : /* f \prod_{p|f} [ 1 - (D/p) p^-1 ] = \prod_{p^e||f} p^(e-1) [ p - (D/p) ] */
5537 5329269 : for (i=1; i<l; i++)
5538 : {
5539 3276752 : long e = E[i];
5540 3276752 : if (e)
5541 : {
5542 7 : GEN p = gel(P,i);
5543 7 : H = mulii(H, subis(p, kronecker(D,p)));
5544 7 : if (e >= 2) H = mulii(H, powiu(p,e-1));
5545 : }
5546 : }
5547 :
5548 : /* divide by [ O_K^* : O^* ] */
5549 2052517 : if (s < 0)
5550 : {
5551 2052503 : reg = NULL;
5552 2052503 : switch(itou_or_0(D))
5553 : {
5554 0 : case 4: H = shifti(H,-1); break;
5555 0 : case 3: H = divis(H,3); break;
5556 : }
5557 : } else {
5558 14 : reg = quadregulator(D,DEFAULTPREC);
5559 14 : if (!equalii(x,D))
5560 0 : H = divii(H, roundr(divrr(quadregulator(x,DEFAULTPREC), reg)));
5561 : }
5562 2052517 : if (ptreg) *ptreg = reg;
5563 2052517 : *ptD = D; return H;
5564 : }
5565 :
5566 : static long
5567 2052496 : two_rank(GEN x)
5568 : {
5569 2052496 : GEN p = gel(absZ_factor(x),1);
5570 2052496 : long l = lg(p)-1;
5571 : #if 0 /* positive disc not needed */
5572 : if (signe(x) > 0)
5573 : {
5574 : long i;
5575 : for (i=1; i<=l; i++)
5576 : if (mod4(gel(p,i)) == 3) { l--; break; }
5577 : }
5578 : #endif
5579 2052496 : return l-1;
5580 : }
5581 :
5582 : static GEN
5583 38995259 : sqr_primeform(GEN x, ulong p) { return redimag(qfisqr(primeform_u(x, p))); }
5584 : /* return a set of forms hopefully generating Cl(K)^2; set L ~ L(chi_D,1) */
5585 : static GEN
5586 2052496 : get_forms(GEN D, GEN *pL)
5587 : {
5588 2052496 : const long MAXFORM = 20;
5589 2052496 : GEN L, sqrtD = gsqrt(absi_shallow(D),DEFAULTPREC);
5590 2052496 : GEN forms = vectrunc_init(MAXFORM+1);
5591 2052496 : long s, nforms = 0;
5592 : ulong p;
5593 : forprime_t S;
5594 2052496 : L = mulrr(divrr(sqrtD,mppi(DEFAULTPREC)), dbltor(1.005));/*overshoot by 0.5%*/
5595 2052496 : s = itos_or_0( truncr(shiftr(sqrtr(sqrtD), 1)) );
5596 2052496 : if (!s) pari_err_OVERFLOW("classno [discriminant too large]");
5597 2052496 : if (s < 10) s = 200;
5598 1901369 : else if (s < 20) s = 1000;
5599 1477 : else if (s < 5000) s = 5000;
5600 2052496 : u_forprime_init(&S, 2, s);
5601 344232110 : while ( (p = u_forprime_next(&S)) )
5602 : {
5603 340127118 : long d, k = kroiu(D,p);
5604 : pari_sp av2;
5605 340127118 : if (!k) continue;
5606 337897177 : if (k > 0)
5607 : {
5608 169485505 : if (++nforms < MAXFORM) vectrunc_append(forms, sqr_primeform(D,p));
5609 169485505 : d = p-1;
5610 : }
5611 : else
5612 168411672 : d = p+1;
5613 337897177 : av2 = avma; affrr(divru(mulur(p,L),d), L); set_avma(av2);
5614 : }
5615 2052496 : *pL = L; return forms;
5616 : }
5617 :
5618 : /* h ~ #G, return o = order of f, set fao = its factorization */
5619 : static GEN
5620 2052545 : Shanks_order(void *E, GEN f, GEN h, GEN *pfao)
5621 : {
5622 2052545 : long s = minss(itos(sqrti(h)), 10000);
5623 2052545 : GEN T = gen_Shanks_init(f, s, E, &qfi_group);
5624 2052545 : GEN v = gen_Shanks(T, ginv(f), ULONG_MAX, E, &qfi_group);
5625 2052545 : return find_order(E, f, addiu(v,1), pfao);
5626 : }
5627 :
5628 : /* if g = 1 in G/<f> ? */
5629 : static int
5630 518 : equal1(void *E, GEN T, ulong N, GEN g)
5631 518 : { return !!gen_Shanks(T, g, N, E, &qfi_group); }
5632 :
5633 : /* Order of 'a' in G/<f>, T = gen_Shanks_init(f,n), order(f) < n*N
5634 : * FIXME: should be gen_order, but equal1 has the wrong prototype */
5635 : static GEN
5636 112 : relative_order(void *E, GEN a, GEN o, ulong N, GEN T)
5637 : {
5638 112 : pari_sp av = avma;
5639 : long i, l;
5640 : GEN m;
5641 :
5642 112 : m = get_arith_ZZM(o);
5643 112 : if (!m) pari_err_TYPE("gen_order [missing order]",a);
5644 112 : o = gel(m,1);
5645 112 : m = gel(m,2); l = lgcols(m);
5646 322 : for (i = l-1; i; i--)
5647 : {
5648 210 : GEN t, y, p = gcoeff(m,i,1);
5649 210 : long j, e = itos(gcoeff(m,i,2));
5650 210 : if (l == 2) {
5651 35 : t = gen_1;
5652 35 : y = a;
5653 : } else {
5654 175 : t = diviiexact(o, powiu(p,e));
5655 175 : y = powgi(a, t);
5656 : }
5657 210 : if (equal1(E, T,N,y)) o = t;
5658 : else {
5659 126 : for (j = 1; j < e; j++)
5660 : {
5661 28 : y = powgi(y, p);
5662 28 : if (equal1(E, T,N,y)) break;
5663 : }
5664 119 : if (j < e) {
5665 21 : if (j > 1) p = powiu(p, j);
5666 21 : o = mulii(t, p);
5667 : }
5668 : }
5669 : }
5670 112 : return gerepilecopy(av, o);
5671 : }
5672 :
5673 : /* h(x) for x<0 using Baby Step/Giant Step.
5674 : * Assumes G is not too far from being cyclic.
5675 : *
5676 : * Compute G^2 instead of G so as to kill most of the non-cyclicity */
5677 : GEN
5678 2054893 : classno(GEN x)
5679 : {
5680 2054893 : pari_sp av = avma;
5681 : long r2, k, s, i, l;
5682 : GEN forms, hin, Hf, D, g1, d1, d2, q, L, fad1, order_bound;
5683 : void *E;
5684 :
5685 2054893 : if (signe(x) >= 0) return classno2(x);
5686 :
5687 2054886 : check_quaddisc(x, &s, &k, "classno");
5688 2054886 : if (abscmpiu(x,12) <= 0) return gen_1;
5689 :
5690 2052496 : Hf = conductor_part(x, k, &D, NULL);
5691 2052496 : if (abscmpiu(D,12) <= 0) return gerepilecopy(av, Hf);
5692 2052496 : forms = get_forms(D, &L);
5693 2052496 : r2 = two_rank(D);
5694 2052496 : hin = roundr(shiftr(L, -r2)); /* rough approximation for #G, G = Cl(K)^2 */
5695 :
5696 2052496 : l = lg(forms);
5697 2052496 : order_bound = const_vec(l-1, NULL);
5698 2052496 : E = expi(D) > 60? (void*)sqrtnint(shifti(absi_shallow(D),-2),4): NULL;
5699 2052496 : g1 = gel(forms,1);
5700 2052496 : gel(order_bound,1) = d1 = Shanks_order(E, g1, hin, &fad1);
5701 2052496 : q = diviiround(hin, d1); /* approximate order of G/<g1> */
5702 2052496 : d2 = NULL; /* not computed yet */
5703 2052496 : if (is_pm1(q)) goto END;
5704 509036 : for (i=2; i < l; i++)
5705 : {
5706 502268 : GEN o, fao, a, F, fd, f = gel(forms,i);
5707 502268 : fd = powgi(f, d1); if (is_pm1(gel(fd,1))) continue;
5708 362162 : F = powgi(fd, q);
5709 362162 : a = gel(F,1);
5710 362162 : o = is_pm1(a)? find_order(E, fd, q, &fao): Shanks_order(E, fd, q, &fao);
5711 : /* f^(d1 q) = 1 */
5712 362162 : fao = merge_factor(fad1,fao, (void*)&cmpii, &cmp_nodata);
5713 362162 : o = find_order(E, f, fao, &fao);
5714 362162 : gel(order_bound,i) = o;
5715 : /* o = order of f, fao = factor(o) */
5716 362162 : update_g1(&g1,&d1,&fad1, f,o,fao);
5717 362162 : q = diviiround(hin, d1);
5718 362162 : if (is_pm1(q)) goto END;
5719 : }
5720 : /* very probably d1 = expo(Cl^2(K)), q ~ #Cl^2(K) / d1 */
5721 6768 : if (expi(q) > 3)
5722 : { /* q large: compute d2, 2nd elt divisor */
5723 70 : ulong N, n = 2*itou(sqrti(d1));
5724 70 : GEN D = d1, T = gen_Shanks_init(g1, n, E, &qfi_group);
5725 70 : d2 = gen_1;
5726 70 : N = itou( gceil(gdivgs(d1,n)) ); /* order(g1) <= n*N */
5727 287 : for (i = 1; i < l; i++)
5728 : {
5729 280 : GEN d, f = gel(forms,i), B = gel(order_bound,i);
5730 280 : if (!B) B = find_order(E, f, fad1, /*junk*/&d);
5731 280 : f = powgi(f,d2);
5732 280 : if (equal1(E, T,N,f)) continue;
5733 112 : B = gdiv(B,d2); if (typ(B) == t_FRAC) B = gel(B,1);
5734 : /* f^B = 1 */
5735 112 : d = relative_order(E, f, B, N,T);
5736 112 : d2= mulii(d,d2);
5737 112 : D = mulii(d1,d2);
5738 112 : q = diviiround(hin,D);
5739 112 : if (is_pm1(q)) { d1 = D; goto END; }
5740 : }
5741 : /* very probably, d2 is the 2nd elementary divisor */
5742 7 : d1 = D; /* product of first two elt divisors */
5743 : }
5744 : /* impose q | d2^oo (d1^oo if d2 not computed), and compatible with known
5745 : * 2-rank */
5746 6705 : if (!ok_q(q,d1,d2,r2))
5747 : {
5748 0 : GEN q0 = q;
5749 : long d;
5750 0 : if (cmpii(mulii(q,d1), hin) < 0)
5751 : { /* try q = q0+1,-1,+2,-2 */
5752 0 : d = 1;
5753 0 : do { q = addis(q0,d); d = d>0? -d: 1-d; } while(!ok_q(q,d1,d2,r2));
5754 : }
5755 : else
5756 : { /* q0-1,+1,-2,+2 */
5757 0 : d = -1;
5758 0 : do { q = addis(q0,d); d = d<0? -d: -1-d; } while(!ok_q(q,d1,d2,r2));
5759 : }
5760 : }
5761 6705 : d1 = mulii(d1,q);
5762 :
5763 : END:
5764 2052496 : return gerepileuptoint(av, shifti(mulii(d1,Hf), r2));
5765 : }
5766 :
5767 : GEN
5768 0 : quadclassno(GEN x)
5769 : {
5770 0 : pari_sp av = avma;
5771 : GEN Hf, D;
5772 : long s, r;
5773 0 : check_quaddisc(x, &s, &r, "quadclassno");
5774 0 : if (s < 0 && abscmpiu(x,12) <= 0) return gen_1;
5775 0 : Hf = conductor_part(x, r, &D, NULL);
5776 0 : return gerepileuptoint(av, mulii(Hf, gel(quadclassunit0(D,0,NULL,0),1)));
5777 : }
5778 :
5779 : /* use Euler products */
5780 : GEN
5781 21 : classno2(GEN x)
5782 : {
5783 21 : pari_sp av = avma;
5784 21 : const long prec = DEFAULTPREC;
5785 : long n, i, r, s;
5786 : GEN p1, p2, S, p4, p5, p7, Hf, Pi, reg, logd, d, dr, D, half;
5787 :
5788 21 : check_quaddisc(x, &s, &r, "classno2");
5789 21 : if (s < 0 && abscmpiu(x,12) <= 0) return gen_1;
5790 :
5791 21 : Hf = conductor_part(x, r, &D, ®);
5792 21 : if (s < 0 && abscmpiu(D,12) <= 0) return gerepilecopy(av, Hf); /* |D| < 12*/
5793 :
5794 21 : Pi = mppi(prec);
5795 21 : d = absi_shallow(D); dr = itor(d, prec);
5796 21 : logd = logr_abs(dr);
5797 21 : p1 = sqrtr(divrr(mulir(d,logd), gmul2n(Pi,1)));
5798 21 : if (s > 0)
5799 : {
5800 14 : GEN invlogd = invr(logd);
5801 14 : p2 = subsr(1, shiftr(mulrr(logr_abs(reg),invlogd),1));
5802 14 : if (cmprr(sqrr(p2), shiftr(invlogd,1)) >= 0) p1 = mulrr(p2,p1);
5803 : }
5804 21 : n = itos_or_0( mptrunc(p1) );
5805 21 : if (!n) pari_err_OVERFLOW("classno [discriminant too large]");
5806 :
5807 21 : p4 = divri(Pi,d);
5808 21 : p7 = invr(sqrtr_abs(Pi));
5809 21 : half = real2n(-1, prec);
5810 21 : if (s > 0)
5811 : { /* i = 1, shortcut */
5812 14 : p1 = sqrtr_abs(dr);
5813 14 : p5 = subsr(1, mulrr(p7,incgamc(half,p4,prec)));
5814 14 : S = addrr(mulrr(p1,p5), eint1(p4,prec));
5815 546 : for (i=2; i<=n; i++)
5816 : {
5817 532 : long k = kroiu(D,i); if (!k) continue;
5818 434 : p2 = mulir(sqru(i), p4);
5819 434 : p5 = subsr(1, mulrr(p7,incgamc(half,p2,prec)));
5820 434 : p5 = addrr(divru(mulrr(p1,p5),i), eint1(p2,prec));
5821 434 : S = (k>0)? addrr(S,p5): subrr(S,p5);
5822 : }
5823 14 : S = shiftr(divrr(S,reg),-1);
5824 : }
5825 : else
5826 : { /* i = 1, shortcut */
5827 7 : p1 = gdiv(sqrtr_abs(dr), Pi);
5828 7 : p5 = subsr(1, mulrr(p7,incgamc(half,p4,prec)));
5829 7 : S = addrr(p5, divrr(p1, mpexp(p4)));
5830 952 : for (i=2; i<=n; i++)
5831 : {
5832 945 : long k = kroiu(D,i); if (!k) continue;
5833 945 : p2 = mulir(sqru(i), p4);
5834 945 : p5 = subsr(1, mulrr(p7,incgamc(half,p2,prec)));
5835 945 : p5 = addrr(p5, divrr(p1, mulur(i, mpexp(p2))));
5836 945 : S = (k>0)? addrr(S,p5): subrr(S,p5);
5837 : }
5838 : }
5839 21 : return gerepileuptoint(av, mulii(Hf, roundr(S)));
5840 : }
5841 :
5842 : /* 1 + q + ... + q^v, v > 0 */
5843 : static GEN
5844 120 : geomsumu(ulong q, long v)
5845 : {
5846 120 : GEN u = utoipos(1+q);
5847 120 : for (; v > 1; v--) u = addui(1, mului(q, u));
5848 120 : return u;
5849 : }
5850 : static GEN
5851 120 : geomsum(GEN q, long v)
5852 : {
5853 : GEN u;
5854 120 : if (lgefint(q) == 3) return geomsumu(q[2], v);
5855 0 : u = addiu(q,1);
5856 0 : for (; v > 1; v--) u = addui(1, mulii(q, u));
5857 0 : return u;
5858 : }
5859 :
5860 : static GEN
5861 7810 : hclassno6_large(GEN x)
5862 : {
5863 : long i, l, s, xmod4;
5864 : GEN Q, H, D, P, E;
5865 :
5866 7810 : x = negi(x);
5867 7810 : check_quaddisc(x, &s, &xmod4, "hclassno");
5868 7810 : corediscfact(x, xmod4, &D, &P, &E);
5869 :
5870 7810 : Q = quadclassunit0(D, 0, NULL, 0);
5871 7810 : H = gel(Q,1); l = lg(P);
5872 :
5873 : /* H \prod_{p^e||f} (1 + (p^e-1)/(p-1))[ p - (D/p) ] */
5874 33682 : for (i=1; i<l; i++)
5875 : {
5876 25872 : long e = E[i], s;
5877 : GEN p, t;
5878 25872 : if (!e) continue;
5879 5003 : p = gel(P,i); s = kronecker(D,p);
5880 5003 : if (e == 1) t = addiu(p, 1-s);
5881 1000 : else if (s == 1) t = powiu(p,e);
5882 120 : else t = addui(1, mulii(subis(p, s), geomsum(p,e-1)));
5883 5003 : H = mulii(H,t);
5884 : }
5885 7810 : switch( itou_or_0(D) )
5886 : {
5887 0 : case 3: H = shifti(H,1);break;
5888 0 : case 4: H = muliu(H,3); break;
5889 7810 : default:H = muliu(H,6); break;
5890 : }
5891 7810 : return H;
5892 : }
5893 :
5894 : /* x > 0, x = 0,3 (mod 4). Return 6*hclassno(x), an integer */
5895 : GEN
5896 121870 : hclassno6(GEN x)
5897 : {
5898 121870 : ulong d = itou_or_0(x);
5899 121870 : if (!d || d > 500000) return hclassno6_large(x);
5900 114060 : return utoipos(hclassno6u(d));
5901 : }
5902 :
5903 : GEN
5904 46088 : hclassno(GEN x)
5905 : {
5906 : long a, s;
5907 46088 : if (typ(x) != t_INT) pari_err_TYPE("hclassno",x);
5908 46088 : s = signe(x);
5909 46088 : if (s < 0) return gen_0;
5910 46088 : if (!s) return gdivgs(gen_1, -12);
5911 46088 : a = mod4(x); if (a == 1 || a == 2) return gen_0;
5912 46088 : return gdivgs(hclassno6(x), 6);
5913 : }
5914 : /******************************************************************/
5915 : /* */
5916 : /* RAMANUJAN's TAU FUNCTION */
5917 : /* */
5918 : /******************************************************************/
5919 : /* 4|N > 0, not fundamental at 2; 6 * Hurwitz class number in level 2,
5920 : * equal to 6*(H(N)+2H(N/4)), H=qfbhclassno */
5921 : static GEN
5922 36750 : Hspec(GEN N)
5923 : {
5924 36750 : long v2 = Z_lvalrem(N, 2, &N), v2f = v2 >> 1;
5925 : GEN t;
5926 36750 : if (odd(v2)) { v2f--; N = shifti(N,3); }
5927 32557 : else if (mod4(N)!=3) { v2f--; N = shifti(N,2); }
5928 : /* N fundamental at 2, v2f = v2(f) s.t. N = f^2 D, D fundamental */
5929 36750 : t = addui(3, muliu(subiu(int2n(v2f+1), 3), 2 - kroiu(N,2)));
5930 36750 : return mulii(t, hclassno6(N));
5931 : }
5932 :
5933 : /* Ramanujan tau function for p prime */
5934 : static GEN
5935 14903 : tauprime(GEN p)
5936 : {
5937 14903 : pari_sp av = avma, av2;
5938 : GEN s, p2, p2_7, p_9, T;
5939 : ulong lim, t, tin;
5940 :
5941 14903 : if (absequaliu(p, 2)) return utoineg(24);
5942 : /* p > 2 */
5943 11396 : p2 = sqri(p);
5944 11396 : p2_7 = mului(7, p2);
5945 11396 : p_9 = mului(9, p);
5946 11396 : av2 = avma;
5947 11396 : lim = itou(sqrtint(p));
5948 11396 : tin = mod4(p) == 3? 1: 0;
5949 11396 : s = gen_0;
5950 87178 : for (t = 1; t <= lim; ++t)
5951 : {
5952 75782 : GEN h, a, t2 = sqru(t), D = shifti(subii(p, t2), 2); /* 4(p-t^2) */
5953 : /* t mod 2 != tin <=> D not fundamental at 2 */
5954 75782 : h = ((t&1UL) == tin)? hclassno6(D): Hspec(D);
5955 75782 : a = mulii(powiu(t2,3), addii(p2_7, mulii(t2, subii(shifti(t2,2), p_9))));
5956 75782 : s = addii(s, mulii(a,h));
5957 75782 : if (!(t & 255)) s = gerepileuptoint(av2, s);
5958 : }
5959 : /* 28p^3 - 28p^2 - 90p - 35 */
5960 11396 : T = subii(shifti(mulii(p2_7, subiu(p,1)), 2), addiu(mului(90,p), 35));
5961 11396 : s = shifti(diviuexact(s, 3), 6);
5962 11396 : return gerepileuptoint(av, subii(mulii(mulii(p2,p),T), addui(1, s)));
5963 : }
5964 :
5965 : /* Ramanujan tau function, return 0 for <= 0 */
5966 : GEN
5967 7035 : ramanujantau(GEN n)
5968 : {
5969 7035 : pari_sp ltop = avma;
5970 : GEN T, F, P, E;
5971 : long j, lP;
5972 :
5973 7035 : if (!(F = check_arith_all(n,"ramanujantau")))
5974 : {
5975 7014 : if (signe(n) <= 0) return gen_0;
5976 7007 : F = Z_factor(n);
5977 : }
5978 : else
5979 : {
5980 21 : P = gel(F,1);
5981 21 : if (lg(P) == 1 || signe(gel(P,1)) <= 0) return gen_0;
5982 : }
5983 :
5984 7014 : P = gel(F,1);
5985 7014 : E = gel(F,2); lP = lg(P);
5986 7014 : T = gen_1;
5987 21917 : for (j = 1; j < lP; j++)
5988 : {
5989 14903 : GEN p = gel(P,j), tp = tauprime(p), t1 = tp, t0 = gen_1;
5990 14903 : long k, e = itou(gel(E,j));
5991 20160 : for (k = 1; k < e; k++)
5992 : {
5993 5257 : GEN t2 = subii(mulii(tp, t1), mulii(powiu(p, 11), t0));
5994 5257 : t0 = t1; t1 = t2;
5995 : }
5996 14903 : T = mulii(T, t1);
5997 : }
5998 7014 : return gerepileuptoint(ltop, T);
5999 : }
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