Line data Source code
1 : /* Copyright (C) 2000 The PARI group.
2 :
3 : This file is part of the PARI/GP package.
4 :
5 : PARI/GP is free software; you can redistribute it and/or modify it under the
6 : terms of the GNU General Public License as published by the Free Software
7 : Foundation. It is distributed in the hope that it will be useful, but WITHOUT
8 : ANY WARRANTY WHATSOEVER.
9 :
10 : Check the License for details. You should have received a copy of it, along
11 : with the package; see the file 'COPYING'. If not, write to the Free Software
12 : Foundation, Inc., 51 Franklin Street, Fifth Floor, Boston, MA 02110-1301 USA. */
13 :
14 : /*********************************************************************/
15 : /** **/
16 : /** ARITHMETIC FUNCTIONS **/
17 : /** (first part) **/
18 : /** **/
19 : /*********************************************************************/
20 : #include "pari.h"
21 : #include "paripriv.h"
22 :
23 : /******************************************************************/
24 : /* */
25 : /* GENERATOR of (Z/mZ)* */
26 : /* */
27 : /******************************************************************/
28 : static GEN
29 43 : remove2(GEN q) { long v = vali(q); return v? shifti(q, -v): q; }
30 : static ulong
31 41160 : u_remove2(ulong q) { return q >> vals(q); }
32 : GEN
33 43 : odd_prime_divisors(GEN q) { return gel(Z_factor(remove2(q)), 1); }
34 : static GEN
35 41159 : u_odd_prime_divisors(ulong q) { return gel(factoru(u_remove2(q)), 1); }
36 : /* p odd prime, q=(p-1)/2; L0 list of (some) divisors of q = (p-1)/2 or NULL
37 : * (all prime divisors of q); return the q/l, l in L0 */
38 : static GEN
39 34 : is_gener_expo(GEN p, GEN L0)
40 : {
41 34 : GEN L, q = shifti(p,-1);
42 : long i, l;
43 34 : if (L0) {
44 14 : l = lg(L0);
45 14 : L = cgetg(l, t_VEC);
46 : } else {
47 20 : L0 = L = odd_prime_divisors(q);
48 20 : l = lg(L);
49 : }
50 34 : for (i=1; i<l; i++) gel(L,i) = diviiexact(q, gel(L0,i));
51 34 : return L;
52 : }
53 : static GEN
54 41235 : u_is_gener_expo(ulong p, GEN L0)
55 : {
56 41235 : const ulong q = p >> 1;
57 : long i, l;
58 : GEN L;
59 41235 : if (L0) {
60 2521 : l = lg(L0);
61 2521 : L = cgetg(l, t_VECSMALL);
62 : } else {
63 38714 : L0 = L = u_odd_prime_divisors(q);
64 38706 : l = lg(L);
65 : }
66 41228 : for (i=1; i<l; i++) L[i] = q / uel(L0,i);
67 41228 : return L;
68 : }
69 :
70 : int
71 109595 : is_gener_Fl(ulong x, ulong p, ulong p_1, GEN L)
72 : {
73 : long i;
74 109595 : if (krouu(x, p) >= 0) return 0;
75 120909 : for (i=lg(L)-1; i; i--)
76 : {
77 77039 : ulong t = Fl_powu(x, uel(L,i), p);
78 77046 : if (t == p_1 || t == 1) return 0;
79 : }
80 43870 : return 1;
81 : }
82 : /* assume p prime */
83 : ulong
84 134623 : pgener_Fl_local(ulong p, GEN L0)
85 : {
86 134623 : const pari_sp av = avma;
87 134623 : const ulong p_1 = p-1;
88 : long x;
89 : GEN L;
90 134623 : if (p <= 19) switch(p)
91 : { /* quick trivial cases */
92 21 : case 2: return 1;
93 : case 7:
94 16932 : case 17: return 3;
95 76466 : default: return 2;
96 : }
97 41204 : L = u_is_gener_expo(p,L0);
98 41195 : for (x=2;;x++) { if (is_gener_Fl(x,p,p_1,L)) break; }
99 41215 : avma = av; return x;
100 : }
101 : ulong
102 112119 : pgener_Fl(ulong p) { return pgener_Fl_local(p, NULL); }
103 :
104 : /* L[i] = set of (p-1)/2l, l ODD prime divisor of p-1 (l=2 can be included,
105 : * but wasteful) */
106 : int
107 93 : is_gener_Fp(GEN x, GEN p, GEN p_1, GEN L)
108 : {
109 93 : long i, t = lgefint(x)==3? kroui(x[2], p): kronecker(x, p);
110 93 : if (t >= 0) return 0;
111 238 : for (i = lg(L)-1; i; i--)
112 : {
113 160 : GEN t = Fp_pow(x, gel(L,i), p);
114 160 : if (equalii(t, p_1) || equali1(t)) return 0;
115 : }
116 78 : return 1;
117 : }
118 :
119 : /* assume p prime, return a generator of all L[i]-Sylows in F_p^*. */
120 : GEN
121 23884 : pgener_Fp_local(GEN p, GEN L0)
122 : {
123 23884 : pari_sp av0 = avma;
124 : GEN x, p_1, L;
125 23884 : if (lgefint(p) == 3)
126 : {
127 : ulong z;
128 23855 : if (p[2] == 2) return gen_1;
129 17926 : if (L0) L0 = ZV_to_nv(L0);
130 17926 : z = pgener_Fl_local(uel(p,2), L0);
131 17926 : avma = av0; return utoipos(z);
132 : }
133 29 : p_1 = subiu(p,1); L = is_gener_expo(p, L0);
134 29 : x = utoipos(2);
135 32 : for (;; x[2]++) { if (is_gener_Fp(x, p, p_1, L)) break; }
136 29 : avma = av0; return utoipos(uel(x,2));
137 : }
138 :
139 : GEN
140 23331 : pgener_Fp(GEN p) { return pgener_Fp_local(p, NULL); }
141 :
142 : ulong
143 69918 : pgener_Zl(ulong p)
144 : {
145 69918 : if (p == 2) pari_err_DOMAIN("pgener_Zl","p","=",gen_2,gen_2);
146 : /* only p < 2^32 such that znprimroot(p) != znprimroot(p^2) */
147 69918 : if (p == 40487) return 10;
148 : #ifndef LONG_IS_64BIT
149 9984 : return pgener_Fl(p);
150 : #else
151 59934 : if (p < (1UL<<32)) return pgener_Fl(p);
152 : else
153 : {
154 30 : const pari_sp av = avma;
155 30 : const ulong p_1 = p-1;
156 : long x ;
157 30 : GEN p2 = sqru(p), L = u_is_gener_expo(p, NULL);
158 102 : for (x=2;;x++)
159 102 : if (is_gener_Fl(x,p,p_1,L) && !is_pm1(Fp_powu(utoipos(x),p_1,p2))) break;
160 72 : avma = av; return x;
161 : }
162 : #endif
163 : }
164 :
165 : /* p prime. Return a primitive root modulo p^e, e > 1 */
166 : GEN
167 69923 : pgener_Zp(GEN p)
168 : {
169 69923 : if (lgefint(p) == 3) return utoipos(pgener_Zl(p[2]));
170 : else
171 : {
172 5 : const pari_sp av = avma;
173 5 : GEN p_1 = subiu(p,1), p2 = sqri(p), L = is_gener_expo(p,NULL);
174 5 : GEN x = utoipos(2);
175 12 : for (;; x[2]++)
176 17 : if (is_gener_Fp(x,p,p_1,L) && !equali1(Fp_pow(x,p_1,p2))) break;
177 12 : avma = av; return utoipos(uel(x,2));
178 : }
179 : }
180 :
181 : static GEN
182 231 : gener_Zp(GEN q, GEN F)
183 : {
184 231 : GEN p = NULL;
185 231 : long e = 0;
186 231 : if (F)
187 : {
188 14 : GEN P = gel(F,1), E = gel(F,2);
189 14 : long i, l = lg(P);
190 42 : for (i = 1; i < l; i++)
191 : {
192 28 : p = gel(P,i);
193 28 : if (absequaliu(p, 2)) continue;
194 14 : if (i < l-1) pari_err_DOMAIN("znprimroot", "argument","=",F,F);
195 14 : e = itos(gel(E,i));
196 : }
197 14 : if (!p) pari_err_DOMAIN("znprimroot", "argument","=",F,F);
198 : }
199 : else
200 217 : e = Z_isanypower(q, &p);
201 231 : return e > 1? pgener_Zp(p): pgener_Fp(q);
202 : }
203 :
204 : GEN
205 301 : znprimroot(GEN N)
206 : {
207 301 : pari_sp av = avma;
208 : GEN x, n, F;
209 :
210 301 : if ((F = check_arith_non0(N,"znprimroot")))
211 : {
212 14 : F = clean_Z_factor(F);
213 14 : N = typ(N) == t_VEC? gel(N,1): factorback(F);
214 : }
215 294 : if (signe(N) < 0) N = absi(N);
216 294 : if (abscmpiu(N, 4) <= 0) { avma = av; return mkintmodu(N[2]-1,N[2]); }
217 245 : switch(mod4(N))
218 : {
219 : case 0: /* N = 0 mod 4 */
220 14 : pari_err_DOMAIN("znprimroot", "argument","=",N,N);
221 0 : x = NULL; break;
222 : case 2: /* N = 2 mod 4 */
223 21 : n = shifti(N,-1); /* becomes odd */
224 21 : x = gener_Zp(n,F); if (!mod2(x)) x = addii(x,n);
225 21 : break;
226 : default: /* N odd */
227 210 : x = gener_Zp(N,F);
228 210 : break;
229 : }
230 231 : return gerepilecopy(av, mkintmod(x, N));
231 : }
232 :
233 : /* n | (p-1), returns a primitive n-th root of 1 in F_p^* */
234 : GEN
235 0 : rootsof1_Fp(GEN n, GEN p)
236 : {
237 0 : pari_sp av = avma;
238 0 : GEN L = odd_prime_divisors(n); /* 2 implicit in pgener_Fp_local */
239 0 : GEN z = pgener_Fp_local(p, L);
240 0 : z = Fp_pow(z, diviiexact(subiu(p,1), n), p); /* prim. n-th root of 1 */
241 0 : return gerepileuptoint(av, z);
242 : }
243 :
244 : GEN
245 7 : rootsof1u_Fp(ulong n, GEN p)
246 : {
247 7 : pari_sp av = avma;
248 7 : GEN z, L = u_odd_prime_divisors(n); /* 2 implicit in pgener_Fp_local */
249 7 : z = pgener_Fp_local(p, Flv_to_ZV(L));
250 7 : z = Fp_pow(z, diviuexact(subiu(p,1), n), p); /* prim. n-th root of 1 */
251 7 : return gerepileuptoint(av, z);
252 : }
253 :
254 : ulong
255 2436 : rootsof1_Fl(ulong n, ulong p)
256 : {
257 2436 : pari_sp av = avma;
258 2436 : GEN L = u_odd_prime_divisors(n); /* 2 implicit in pgener_Fl_local */
259 2436 : ulong z = pgener_Fl_local(p, L);
260 2436 : z = Fl_powu(z, (p-1) / n, p); /* prim. n-th root of 1 */
261 2436 : avma = av; return z;
262 : }
263 :
264 : /*********************************************************************/
265 : /** **/
266 : /** INVERSE TOTIENT FUNCTION **/
267 : /** **/
268 : /*********************************************************************/
269 : /* N t_INT, L a ZV containing all prime divisors of N, and possibly other
270 : * primes. Return factor(N) */
271 : GEN
272 350651 : Z_factor_listP(GEN N, GEN L)
273 : {
274 350651 : long i, k, l = lg(L);
275 350651 : GEN P = cgetg(l, t_COL), E = cgetg(l, t_COL);
276 1346688 : for (i = k = 1; i < l; i++)
277 : {
278 996037 : GEN p = gel(L,i);
279 996037 : long v = Z_pvalrem(N, p, &N);
280 996037 : if (v)
281 : {
282 792176 : gel(P,k) = p;
283 792176 : gel(E,k) = utoipos(v);
284 792176 : k++;
285 : }
286 : }
287 350651 : setlg(P, k);
288 350651 : setlg(E, k); return mkmat2(P,E);
289 : }
290 :
291 : /* look for x such that phi(x) = n, p | x => p > m (if m = NULL: no condition).
292 : * L is a list of primes containing all prime divisors of n. */
293 : static long
294 621565 : istotient_i(GEN n, GEN m, GEN L, GEN *px)
295 : {
296 621565 : pari_sp av = avma, av2;
297 : GEN k, D;
298 : long i, v;
299 621565 : if (m && mod2(n))
300 : {
301 270914 : if (!equali1(n)) return 0;
302 69986 : if (px) *px = gen_1;
303 69986 : return 1;
304 : }
305 350651 : D = divisors(Z_factor_listP(shifti(n, -1), L));
306 : /* loop through primes p > m, d = p-1 | n */
307 350651 : av2 = avma;
308 350651 : if (!m)
309 : { /* special case p = 2, d = 1 */
310 69986 : k = n;
311 69986 : for (v = 1;; v++) {
312 69986 : if (istotient_i(k, gen_2, L, px)) {
313 69986 : if (px) *px = shifti(*px, v);
314 69986 : return 1;
315 : }
316 0 : if (mod2(k)) break;
317 0 : k = shifti(k,-1);
318 0 : }
319 0 : avma = av2;
320 : }
321 1099462 : for (i = 1; i < lg(D); ++i)
322 : {
323 1001588 : GEN p, d = shifti(gel(D, i), 1); /* even divisors of n */
324 1001588 : if (m && cmpii(d, m) < 0) continue;
325 677782 : p = addiu(d, 1);
326 677782 : if (!isprime(p)) continue;
327 442064 : k = diviiexact(n, d);
328 481593 : for (v = 1;; v++) {
329 : GEN r;
330 481593 : if (istotient_i(k, p, L, px)) {
331 182791 : if (px) *px = mulii(*px, powiu(p, v));
332 182791 : return 1;
333 : }
334 298802 : k = dvmdii(k, p, &r);
335 298802 : if (r != gen_0) break;
336 39529 : }
337 259273 : avma = av2;
338 : }
339 97874 : avma = av; return 0;
340 : }
341 :
342 : /* find x such that phi(x) = n */
343 : long
344 70000 : istotient(GEN n, GEN *px)
345 : {
346 70000 : pari_sp av = avma;
347 70000 : if (typ(n) != t_INT) pari_err_TYPE("istotient", n);
348 70000 : if (signe(n) < 1) return 0;
349 70000 : if (mod2(n))
350 : {
351 14 : if (!equali1(n)) return 0;
352 14 : if (px) *px = gen_1;
353 14 : return 1;
354 : }
355 69986 : if (istotient_i(n, NULL, gel(Z_factor(n), 1), px))
356 : {
357 69986 : if (!px) avma = av;
358 : else
359 69986 : *px = gerepileuptoint(av, *px);
360 69986 : return 1;
361 : }
362 0 : avma = av; return 0;
363 : }
364 :
365 : /*********************************************************************/
366 : /** **/
367 : /** INTEGRAL LOGARITHM **/
368 : /** **/
369 : /*********************************************************************/
370 :
371 : /* y > 1 and B > 0 integers. Return e such that y^e <= B < y^(e+1), i.e
372 : * e = floor(log_y B). Set *ptq = y^e if non-NULL */
373 : long
374 251169 : ulogintall(ulong B, ulong y, ulong *ptq)
375 : {
376 : ulong r, r2;
377 : long e;
378 :
379 251169 : if (y == 2)
380 : {
381 4810 : long eB = expu(B); /* 2^eB <= B < 2^(eB + 1) */
382 4810 : if (ptq) *ptq = 1UL << eB;
383 4810 : return eB;
384 : }
385 246359 : r = y, r2 = 1UL;
386 894248 : for (e=1;; e++)
387 : { /* here, r = y^e, r2 = y^(e-1) */
388 894248 : if (r >= B)
389 : {
390 246249 : if (r != B) { e--; r = r2; }
391 246249 : if (ptq) *ptq = r;
392 246249 : return e;
393 : }
394 647999 : r2 = r;
395 647999 : r = umuluu_or_0(y, r);
396 647999 : if (!r)
397 : {
398 110 : if (ptq) *ptq = r2;
399 110 : return e;
400 : }
401 647889 : }
402 : }
403 :
404 : /* y > 1 and B > 0 integers. Return e such that y^e <= B < y^(e+1), i.e
405 : * e = floor(log_y B). Set *ptq = y^e if non-NULL */
406 : long
407 258728 : logintall(GEN B, GEN y, GEN *ptq)
408 : {
409 : pari_sp av;
410 258728 : long ey, e, emax, i, eB = expi(B); /* 2^eB <= B < 2^(eB + 1) */
411 : GEN q, pow2;
412 :
413 258728 : if (lgefint(B) == 3)
414 : {
415 : ulong q;
416 251169 : if (lgefint(y) > 3)
417 : {
418 0 : if (ptq) *ptq = gen_1;
419 0 : return 0;
420 : }
421 251169 : if (!ptq) return ulogintall(B[2], y[2], NULL);
422 45815 : e = ulogintall(B[2], y[2], &q);
423 45815 : *ptq = utoi(q); return e;
424 : }
425 7559 : if (equaliu(y,2))
426 : {
427 146 : if (ptq) *ptq = int2n(eB);
428 146 : return eB;
429 : }
430 7413 : av = avma;
431 7413 : ey = expi(y);
432 : /* eB/(ey+1) - 1 < e <= eB/ey */
433 7413 : emax = eB/ey;
434 7413 : if (emax <= 13) /* e small, be naive */
435 : {
436 1505 : GEN r = y, r2 = gen_1;
437 16002 : for (e=1;; e++)
438 : { /* here, r = y^e, r2 = y^(e-1) */
439 16002 : long fl = cmpii(r, B);
440 16002 : if (fl >= 0)
441 : {
442 1505 : if (fl) { e--; cgiv(r); r = r2; }
443 1505 : if (ptq) *ptq = gerepileuptoint(av, r); else avma = av;
444 1505 : return e;
445 : }
446 14497 : r2 = r; r = mulii(r,y);
447 14497 : }
448 : }
449 : /* e >= 13 ey / (ey+1) >= 6.5 */
450 :
451 : /* binary splitting: compute bits of e one by one */
452 : /* compute pow2[i] = y^(2^i) [i < crude upper bound for log_2 log_y(B)] */
453 5908 : pow2 = new_chunk((long)log2(eB)+2);
454 5908 : gel(pow2,0) = y;
455 5908 : for (i=0, q=y;; )
456 : {
457 34176 : GEN r = gel(pow2,i); /* r = y^2^i */
458 34176 : long fl = cmpii(r,B);
459 34176 : if (!fl)
460 : {
461 0 : e = 1L<<i;
462 0 : if (ptq) *ptq = gerepileuptoint(av, r); else avma = av;
463 0 : return e;
464 : }
465 34176 : if (fl > 0) { i--; break; }
466 32281 : q = r;
467 32281 : if (1L<<(i+1) > emax) break;
468 28268 : gel(pow2,++i) = sqri(q);
469 28268 : }
470 :
471 5908 : for (e = 1L<<i;;)
472 : { /* y^e = q < B < r = q * y^(2^i) */
473 32260 : pari_sp av2 = avma;
474 : long fl;
475 : GEN r;
476 32260 : if (--i < 0) break;
477 26359 : r = mulii(q, gel(pow2,i));
478 26359 : fl = cmpii(r, B);
479 26359 : if (fl > 0) avma = av2;
480 : else
481 : {
482 12676 : e += (1L<<i);
483 12676 : q = r;
484 12676 : if (!fl) break; /* B = r */
485 : }
486 26352 : }
487 5908 : if (ptq) *ptq = gerepileuptoint(av, q); else avma = av;
488 5908 : return e;
489 : }
490 :
491 : long
492 56 : logint0(GEN B, GEN y, GEN *ptq)
493 : {
494 56 : if (typ(B) != t_INT) pari_err_TYPE("logint",B);
495 56 : if (signe(B) <= 0) pari_err_DOMAIN("logint", "x" ,"<=", gen_0, B);
496 56 : if (typ(y) != t_INT) pari_err_TYPE("logint",y);
497 56 : if (cmpis(y, 2) < 0) pari_err_DOMAIN("logint", "b" ,"<=", gen_1, y);
498 56 : return logintall(B,y,ptq);
499 : }
500 :
501 : /*********************************************************************/
502 : /** **/
503 : /** INTEGRAL SQUARE ROOT **/
504 : /** **/
505 : /*********************************************************************/
506 : GEN
507 39439 : sqrtint(GEN a)
508 : {
509 39439 : if (typ(a) != t_INT) pari_err_TYPE("sqrtint",a);
510 39439 : switch (signe(a))
511 : {
512 39425 : case 1: return sqrti(a);
513 7 : case 0: return gen_0;
514 7 : default: pari_err_DOMAIN("sqrtint", "argument", "<", gen_0,a);
515 : }
516 : return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
517 : }
518 :
519 : /*********************************************************************/
520 : /** **/
521 : /** PERFECT SQUARE **/
522 : /** **/
523 : /*********************************************************************/
524 : static int
525 13447259 : carremod(ulong A)
526 : {
527 13447259 : const int carresmod64[]={
528 : 1,1,0,0,1,0,0,0,0,1, 0,0,0,0,0,0,1,1,0,0, 0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,
529 : 0,0,0,1,0,0,1,0,0,0, 0,1,0,0,0,0,0,0,0,1, 0,0,0,0,0,0,0,1,0,0, 0,0,0,0};
530 13447259 : const int carresmod63[]={
531 : 1,1,0,0,1,0,0,1,0,1, 0,0,0,0,0,0,1,0,1,0, 0,0,1,0,0,1,0,0,1,0,
532 : 0,0,0,0,0,0,1,1,0,0, 0,0,0,1,0,0,1,0,0,1, 0,0,0,0,0,0,0,0,1,0, 0,0,0};
533 13447259 : const int carresmod65[]={
534 : 1,1,0,0,1,0,0,0,0,1, 1,0,0,0,1,0,1,0,0,0, 0,0,0,0,0,1,1,0,0,1,
535 : 1,0,0,0,0,1,1,0,0,1, 1,0,0,0,0,0,0,0,0,1, 0,1,0,0,0,1,1,0,0,0, 0,1,0,0,1};
536 13447259 : const int carresmod11[]={1,1,0,1,1,1,0,0,0,1, 0};
537 26894518 : return (carresmod64[A & 0x3fUL]
538 5340855 : && carresmod63[A % 63UL]
539 3174246 : && carresmod65[A % 65UL]
540 16075592 : && carresmod11[A % 11UL]);
541 : }
542 :
543 : /* emulate Z_issquareall on single-word integers */
544 : long
545 11981656 : uissquareall(ulong A, ulong *sqrtA)
546 : {
547 11981656 : if (!A) { *sqrtA = 0; return 1; }
548 11981656 : if (carremod(A))
549 : {
550 1788835 : ulong a = usqrt(A);
551 1788762 : if (a * a == A) { *sqrtA = a; return 1; }
552 : }
553 10283636 : return 0;
554 : }
555 : long
556 120651 : uissquare(ulong A)
557 : {
558 120651 : if (!A) return 1;
559 120651 : if (carremod(A))
560 : {
561 3469 : ulong a = usqrt(A);
562 3469 : if (a * a == A) return 1;
563 : }
564 117206 : return 0;
565 : }
566 :
567 : long
568 5911556 : Z_issquareall(GEN x, GEN *pt)
569 : {
570 : pari_sp av;
571 : GEN y, r;
572 :
573 5911556 : switch(signe(x))
574 : {
575 1856447 : case -1: return 0;
576 1029 : case 0: if (pt) *pt=gen_0; return 1;
577 : }
578 4054080 : if (lgefint(x) == 3)
579 : {
580 2709167 : ulong u = uel(x,2), a;
581 2709167 : if (!pt) return uissquare(u);
582 2588516 : if (!uissquareall(u, &a)) return 0;
583 1376972 : *pt = utoipos(a); return 1;
584 : }
585 1344913 : if (!carremod(umodiu(x, 64*63*65*11))) return 0;
586 597944 : av = avma; y = sqrtremi(x, &r);
587 597944 : if (r != gen_0) { avma = av; return 0; }
588 7270 : if (pt) { *pt = y; avma = (pari_sp)y; } else avma = av;
589 7270 : return 1;
590 : }
591 :
592 : /* a t_INT, p prime */
593 : long
594 0 : Zp_issquare(GEN a, GEN p)
595 : {
596 : long v;
597 : GEN ap;
598 :
599 0 : if (!signe(a) || gequal1(a)) return 1;
600 0 : v = Z_pvalrem(a, p, &ap);
601 0 : if (v&1) return 0;
602 0 : return absequaliu(p, 2)? umodiu(ap, 8) == 1
603 0 : : kronecker(ap,p) == 1;
604 : }
605 :
606 : static long
607 2275 : polissquareall(GEN x, GEN *pt)
608 : {
609 : pari_sp av;
610 : long v;
611 : GEN y, a, b, p;
612 :
613 2275 : if (!signe(x))
614 : {
615 7 : if (pt) *pt = gcopy(x);
616 7 : return 1;
617 : }
618 2268 : if (odd(degpol(x))) return 0; /* odd degree */
619 1477 : av = avma;
620 1477 : v = RgX_valrem(x, &x);
621 1477 : if (v & 1) { avma = av; return 0; }
622 1470 : a = gel(x,2); /* test constant coeff */
623 1470 : if (!pt)
624 70 : { if (!issquare(a)) { avma = av; return 0; } }
625 : else
626 1400 : { if (!issquareall(a,&b)) { avma = av; return 0; } }
627 1470 : if (!degpol(x)) { /* constant polynomial */
628 77 : if (!pt) { avma = av; return 1; }
629 35 : y = scalarpol(b, varn(x)); goto END;
630 : }
631 1393 : p = characteristic(x);
632 1393 : if (signe(p) && !mod2(p))
633 : {
634 : long i, lx;
635 35 : if (!absequaliu(p,2)) pari_err_IMPL("issquare for even characteristic != 2");
636 28 : x = gmul(x, mkintmod(gen_1, gen_2));
637 28 : lx = lg(x);
638 28 : if ((lx-3) & 1) { avma = av; return 0; }
639 49 : for (i = 3; i < lx; i+=2)
640 28 : if (!gequal0(gel(x,i))) { avma = av; return 0; }
641 21 : if (pt) {
642 14 : y = cgetg((lx+3) / 2, t_POL);
643 49 : for (i = 2; i < lx; i+=2)
644 35 : if (!issquareall(gel(x,i), &gel(y, (i+2)>>1))) { avma = av; return 0; }
645 14 : y[1] = evalsigne(1) | evalvarn(varn(x));
646 14 : goto END;
647 : } else {
648 21 : for (i = 2; i < lx; i+=2)
649 14 : if (!issquare(gel(x,i))) { avma = av; return 0; }
650 7 : avma = av; return 1;
651 : }
652 : }
653 : else
654 : {
655 1358 : long m = 1;
656 1358 : x = RgX_Rg_div(x,a);
657 : /* a(x^m) = B^2 => B = b(x^m) provided a(0) != 0 */
658 1358 : if (!signe(p)) x = RgX_deflate_max(x,&m);
659 1358 : y = ser2rfrac_i(gsqrt(RgX_to_ser(x,lg(x)-1),0));
660 1939 : if (!RgX_equal(RgX_sqr(y), x)) { avma = av; return 0; }
661 784 : if (!pt) { avma = av; return 1; }
662 777 : if (!gequal1(a)) y = gmul(b, y);
663 777 : if (m != 1) y = RgX_inflate(y,m);
664 : }
665 : END:
666 826 : if (v) y = RgX_shift_shallow(y, v>>1);
667 826 : *pt = gerepilecopy(av, y); return 1;
668 : }
669 :
670 : /* b unit mod p */
671 : static int
672 301 : Up_ispower(GEN b, GEN K, GEN p, long d, GEN *pt)
673 : {
674 301 : if (d == 1)
675 : { /* mod p: faster */
676 217 : if (!Fp_ispower(b, K, p)) return 0;
677 217 : if (pt) *pt = Fp_sqrtn(b, K, p, NULL);
678 : }
679 : else
680 : { /* mod p^{2 +} */
681 84 : if (!ispower(cvtop(b, p, d), K, pt)) return 0;
682 63 : if (pt) *pt = gtrunc(*pt);
683 : }
684 280 : return 1;
685 : }
686 :
687 : /* We're studying whether a mod (q*p^e) is a K-th power, (q,p) = 1.
688 : * Decide mod p^e, then reduce a mod q unless q = NULL. */
689 : static int
690 441 : handle_pe(GEN *pa, GEN q, GEN L, GEN K, GEN p, long e)
691 : {
692 : GEN t, A;
693 441 : long v = Z_pvalrem(*pa, p, &A), d = e - v;
694 441 : if (d <= 0) t = gen_0;
695 : else
696 : {
697 : ulong r;
698 385 : v = udivui_rem(v, K, &r);
699 385 : if (r || !Up_ispower(A, K, p, d, L? &t: NULL)) return 0;
700 280 : if (L && v) t = mulii(t, powiu(p, v));
701 : }
702 336 : if (q) *pa = modii(*pa, q);
703 336 : if (L) vectrunc_append(L, mkintmod(t, powiu(p, e)));
704 336 : return 1;
705 : }
706 : long
707 329 : Zn_ispower(GEN a, GEN q, GEN K, GEN *pt)
708 : {
709 : GEN L, N;
710 : pari_sp av;
711 : long e, i, l;
712 : ulong pp;
713 : forprime_t S;
714 :
715 329 : if (!signe(a))
716 : {
717 7 : if (pt) {
718 7 : GEN t = cgetg(3, t_INTMOD);
719 7 : gel(t,1) = icopy(q); gel(t,2) = gen_0; *pt = t;
720 : }
721 7 : return 1;
722 : }
723 : /* a != 0 */
724 322 : av = avma;
725 :
726 322 : if (typ(q) != t_INT) /* integer factorization */
727 : {
728 0 : GEN P = gel(q,1), E = gel(q,2);
729 0 : l = lg(P);
730 0 : L = pt? vectrunc_init(l): NULL;
731 0 : for (i = 1; i < l; i++)
732 : {
733 0 : GEN p = gel(P,i);
734 0 : long e = itos(gel(E,i));
735 0 : if (!handle_pe(&a, NULL, L, K, p, e)) { avma = av; return 0; }
736 : }
737 0 : goto END;
738 : }
739 322 : if (!mod2(K)
740 196 : && kronecker(a, shifti(q,-vali(q))) == -1) { avma = av; return 0; }
741 315 : L = pt? vectrunc_init(expi(q)+1): NULL;
742 315 : u_forprime_init(&S, 2, tridiv_bound(q));
743 315 : while ((pp = u_forprime_next(&S)))
744 : {
745 : int stop;
746 883337 : e = Z_lvalrem_stop(&q, pp, &stop);
747 883337 : if (!e) continue;
748 217 : if (!handle_pe(&a, q, L, K, utoipos(pp), e)) { avma = av; return 0; }
749 175 : if (stop)
750 : {
751 140 : if (!is_pm1(q) && !handle_pe(&a, q, L, K, q, 1)) { avma = av; return 0; }
752 140 : goto END;
753 : }
754 : }
755 154 : l = lg(primetab);
756 154 : for (i = 1; i < l; i++)
757 : {
758 0 : GEN p = gel(primetab,i);
759 0 : e = Z_pvalrem(q, p, &q);
760 0 : if (!e) continue;
761 0 : if (!handle_pe(&a, q, L, K, p, e)) { avma = av; return 0; }
762 0 : if (is_pm1(q)) goto END;
763 : }
764 154 : N = gcdii(a,q);
765 154 : if (!is_pm1(N))
766 : {
767 112 : if (ifac_isprime(N))
768 : {
769 70 : e = Z_pvalrem(q, N, &q);
770 70 : if (!handle_pe(&a, q, L, K, N, e)) { avma = av; return 0; }
771 : }
772 : else
773 : {
774 42 : GEN part = ifac_start(N, 0);
775 : for(;;)
776 : {
777 : long e;
778 : GEN p;
779 84 : if (!ifac_next(&part, &p, &e)) break;
780 42 : e = Z_pvalrem(q, p, &q);
781 42 : if (!handle_pe(&a, q, L, K, p, e)) { avma = av; return 0; }
782 42 : }
783 : }
784 : }
785 84 : if (!is_pm1(q))
786 : {
787 84 : if (ifac_isprime(q))
788 : {
789 28 : if (!handle_pe(&a, q, L, K, q, 1)) { avma = av; return 0; }
790 : }
791 : else
792 : {
793 56 : GEN part = ifac_start(q, 0);
794 : for(;;)
795 : {
796 : long e;
797 : GEN p;
798 140 : if (!ifac_next(&part, &p, &e)) break;
799 98 : if (!handle_pe(&a, q, L, K, p, e)) { avma = av; return 0; }
800 84 : }
801 : }
802 : }
803 : END:
804 210 : if (pt) *pt = gerepileupto(av, chinese1_coprime_Z(L));
805 210 : return 1;
806 : }
807 :
808 : static long
809 126 : polmodispower(GEN x, GEN K, GEN *pt)
810 : {
811 126 : pari_sp av = avma;
812 126 : GEN p = NULL, T = NULL;
813 126 : if (Rg_is_FpXQ(x, &T,&p) && p)
814 : {
815 112 : x = liftall_shallow(x);
816 112 : if (!Fq_ispower(x, K, T, p)) { avma = av; return 0; }
817 105 : if (!pt) { avma = av; return 1; }
818 98 : x = Fq_sqrtn(x, K, T,p, NULL);
819 98 : if (typ(x) == t_INT)
820 7 : x = Fp_to_mod(x,p);
821 : else
822 91 : x = mkpolmod(FpX_to_mod(x,p), FpX_to_mod(T,p));
823 98 : *pt = gerepilecopy(av, x); return 1;
824 : }
825 14 : pari_err_IMPL("ispower for general t_POLMOD");
826 0 : return 0;
827 : }
828 :
829 : long
830 147406 : issquareall(GEN x, GEN *pt)
831 : {
832 147406 : long tx = typ(x);
833 : GEN F;
834 : pari_sp av;
835 :
836 147406 : if (!pt) return issquare(x);
837 4564 : switch(tx)
838 : {
839 1925 : case t_INT: return Z_issquareall(x, pt);
840 259 : case t_FRAC: av = avma;
841 259 : F = cgetg(3, t_FRAC);
842 259 : if ( !Z_issquareall(gel(x,1), &gel(F,1))
843 105 : || !Z_issquareall(gel(x,2), &gel(F,2))) { avma = av; return 0; }
844 105 : *pt = F; return 1;
845 :
846 : case t_POLMOD:
847 21 : return polmodispower(x, gen_2, pt);
848 2191 : case t_POL: return polissquareall(x,pt);
849 7 : case t_RFRAC: av = avma;
850 7 : F = cgetg(3, t_RFRAC);
851 7 : if ( !issquareall(gel(x,1), &gel(F,1))
852 7 : || !polissquareall(gel(x,2), &gel(F,2))) { avma = av; return 0; }
853 7 : *pt = F; return 1;
854 :
855 : case t_REAL: case t_COMPLEX: case t_PADIC: case t_SER:
856 63 : if (!issquare(x)) return 0;
857 63 : *pt = gsqrt(x, DEFAULTPREC); return 1;
858 :
859 : case t_INTMOD:
860 63 : return Zn_ispower(gel(x,2), gel(x,1), gen_2, pt);
861 :
862 35 : case t_FFELT: return FF_issquareall(x, pt);
863 :
864 : }
865 0 : pari_err_TYPE("issquareall",x);
866 : return 0; /* LCOV_EXCL_LINE */
867 : }
868 :
869 : long
870 143122 : issquare(GEN x)
871 : {
872 : pari_sp av;
873 : GEN a, p;
874 : long i, v;
875 :
876 143122 : switch(typ(x))
877 : {
878 : case t_INT:
879 142716 : return Z_issquare(x);
880 :
881 : case t_REAL:
882 14 : return (signe(x)>=0);
883 :
884 : case t_INTMOD:
885 77 : return Zn_ispower(gel(x,2), gel(x,1), gen_2, NULL);
886 :
887 : case t_FRAC:
888 21 : return Z_issquare(gel(x,1)) && Z_issquare(gel(x,2));
889 :
890 7 : case t_FFELT: return FF_issquareall(x, NULL);
891 :
892 : case t_COMPLEX:
893 63 : return 1;
894 :
895 : case t_PADIC:
896 105 : a = gel(x,4); if (!signe(a)) return 1;
897 105 : if (valp(x)&1) return 0;
898 91 : p = gel(x,2);
899 91 : if (!absequaliu(p, 2)) return (kronecker(a,p) != -1);
900 :
901 42 : v = precp(x); /* here p=2, a is odd */
902 42 : if ((v>=3 && mod8(a) != 1 ) ||
903 0 : (v==2 && mod4(a) != 1)) return 0;
904 21 : return 1;
905 :
906 : case t_POLMOD:
907 14 : return polmodispower(x, gen_2, NULL);
908 :
909 : case t_POL:
910 77 : return polissquareall(x,NULL);
911 :
912 : case t_SER:
913 21 : if (!signe(x)) return 1;
914 14 : if (valp(x)&1) return 0;
915 7 : return issquare(gel(x,2));
916 :
917 : case t_RFRAC:
918 7 : av = avma; i = issquare(gmul(gel(x,1),gel(x,2)));
919 7 : avma = av; return i;
920 : }
921 0 : pari_err_TYPE("issquare",x);
922 : return 0; /* LCOV_EXCL_LINE */
923 : }
924 0 : GEN gissquare(GEN x) { return issquare(x)? gen_1: gen_0; }
925 0 : GEN gissquareall(GEN x, GEN *pt) { return issquareall(x,pt)? gen_1: gen_0; }
926 :
927 : long
928 1386 : ispolygonal(GEN x, GEN S, GEN *N)
929 : {
930 1386 : pari_sp av = avma;
931 : GEN D, d, n;
932 1386 : if (typ(x) != t_INT) pari_err_TYPE("ispolygonal", x);
933 1386 : if (typ(S) != t_INT) pari_err_TYPE("ispolygonal", S);
934 1386 : if (abscmpiu(S,3) < 0) pari_err_DOMAIN("ispolygonal","s","<", utoipos(3),S);
935 1386 : if (signe(x) < 0) return 0;
936 1386 : if (signe(x) == 0) { if (N) *N = gen_0; return 1; }
937 1260 : if (is_pm1(x)) { if (N) *N = gen_1; return 1; }
938 : /* n = (sqrt( (8s - 16) x + (s-4)^2 ) + s - 4) / 2(s - 2) */
939 1134 : if (abscmpiu(S, 1<<16) < 0) /* common case ! */
940 : {
941 441 : ulong s = S[2], r;
942 504 : if (s == 4) return Z_issquareall(x, N);
943 378 : if (s == 3)
944 0 : D = addiu(shifti(x, 3), 1);
945 : else
946 378 : D = addiu(mului(8*s - 16, x), (s-4)*(s-4));
947 378 : if (!Z_issquareall(D, &d)) { avma = av; return 0; }
948 378 : if (s == 3)
949 0 : d = subiu(d, 1);
950 : else
951 378 : d = addiu(d, s - 4);
952 378 : n = diviu_rem(d, 2*s - 4, &r);
953 378 : if (r) { avma = av; return 0; }
954 : }
955 : else
956 : {
957 693 : GEN r, S_2 = subiu(S,2), S_4 = subiu(S,4);
958 693 : D = addii(mulii(shifti(S_2,3), x), sqri(S_4));
959 693 : if (!Z_issquareall(D, &d)) { avma = av; return 0; }
960 693 : d = addii(d, S_4);
961 693 : n = dvmdii(shifti(d,-1), S_2, &r);
962 693 : if (r != gen_0) { avma = av; return 0; }
963 : }
964 1071 : if (N) *N = gerepileuptoint(av, n); else avma = av;
965 1071 : return 1;
966 : }
967 :
968 : /*********************************************************************/
969 : /** **/
970 : /** PERFECT POWER **/
971 : /** **/
972 : /*********************************************************************/
973 : static long
974 497 : polispower(GEN x, GEN K, GEN *pt)
975 : {
976 : pari_sp av;
977 497 : long v, d, k = itos(K);
978 : GEN y, a, b;
979 :
980 497 : if (!signe(x))
981 : {
982 7 : if (pt) *pt = gcopy(x);
983 7 : return 1;
984 : }
985 490 : if (degpol(x) % k) return 0; /* degree not multiple of k */
986 483 : av = avma;
987 483 : y = NULL; /*-Wall*/
988 483 : v = RgX_valrem(x, &x);
989 483 : if (v % k) return 0;
990 476 : v /= k;
991 476 : a = gel(x,2); b = NULL;
992 476 : if (!ispower(a, K, &b)) { avma = av; return 0; }
993 462 : d = degpol(x);
994 462 : if (d)
995 : {
996 329 : GEN p = characteristic(x);
997 329 : a = leading_coeff(x);
998 357 : if (!ispower(a, K, &b)) { avma = av; return 0; }
999 329 : x = RgX_normalize(x);
1000 329 : if (signe(p))
1001 : {
1002 168 : GEN T0, T = NULL;
1003 168 : if (!BPSW_isprime(p))
1004 0 : pari_err_IMPL("ispower in non-prime characteristic");
1005 168 : if (RgX_is_FpXQX(x,&T,&p))
1006 : { /* over Fq */
1007 168 : T0 = T;
1008 168 : if (T && typ(T) == t_FFELT) T = FF_mod(T);
1009 168 : x = RgX_to_FqX(x,T,p);
1010 168 : if (!FqX_ispower(x, k, T,p, pt)) { avma = av; return 0; }
1011 140 : if (pt)
1012 : {
1013 140 : y = *pt;
1014 140 : if (!T) y = FpX_to_mod(y, p);
1015 105 : else if (typ(T0) == t_FFELT)
1016 70 : y = FqX_to_FFX(y, T0);
1017 : else
1018 : {
1019 35 : T = FpX_to_mod(T, p);
1020 35 : y = gmul(y, gmodulsg(1,T));
1021 : }
1022 : }
1023 140 : goto END;
1024 : }
1025 0 : if (cmpii(p,K) <= 0)
1026 0 : pari_err_IMPL("ispower(general t_POL) in small characteristic");
1027 : }
1028 161 : y = gtrunc(gsqrtn(RgX_to_ser(x,lg(x)), K, NULL, 0));
1029 161 : if (!RgX_equal(powgi(y, K), x)) { avma = av; return 0; }
1030 : }
1031 : else
1032 133 : y = pol_1(varn(x));
1033 : END:
1034 434 : if (pt)
1035 : {
1036 434 : if (!gequal1(a))
1037 : {
1038 14 : if (!b) b = gsqrtn(a, K, NULL, DEFAULTPREC);
1039 14 : y = gmul(b,y);
1040 : }
1041 434 : if (v) y = RgX_shift_shallow(y, v);
1042 434 : *pt = gerepilecopy(av, y);
1043 : }
1044 0 : else avma = av;
1045 434 : return 1;
1046 : }
1047 :
1048 : long
1049 1505 : Z_ispowerall(GEN x, ulong k, GEN *pt)
1050 : {
1051 1505 : long s = signe(x);
1052 : ulong mask;
1053 1505 : if (!s) { if (pt) *pt = gen_0; return 1; }
1054 1505 : if (s > 0) {
1055 1351 : if (k == 2) return Z_issquareall(x, pt);
1056 980 : if (k == 3) { mask = 1; return !!is_357_power(x, pt, &mask); }
1057 203 : if (k == 5) { mask = 2; return !!is_357_power(x, pt, &mask); }
1058 189 : if (k == 7) { mask = 4; return !!is_357_power(x, pt, &mask); }
1059 182 : return is_kth_power(x, k, pt);
1060 : }
1061 154 : if (!odd(k)) return 0;
1062 140 : if (Z_ispowerall(absi(x), k, pt))
1063 : {
1064 140 : if (pt) *pt = negi(*pt);
1065 140 : return 1;
1066 : };
1067 0 : return 0;
1068 : }
1069 :
1070 : /* is x a K-th power mod p ? Assume p prime. */
1071 : int
1072 238 : Fp_ispower(GEN x, GEN K, GEN p)
1073 : {
1074 238 : pari_sp av = avma;
1075 : GEN p_1;
1076 : long r;
1077 238 : x = modii(x, p);
1078 238 : if (!signe(x) || equali1(x)) { avma = av; return 1; }
1079 : /* implies p > 2 */
1080 112 : p_1 = subiu(p,1);
1081 112 : K = gcdii(K, p_1);
1082 112 : if (absequaliu(K, 2)) { r = kronecker(x,p); avma = av; return (r > 0); }
1083 35 : x = Fp_pow(x, diviiexact(p_1,K), p);
1084 35 : avma = av; return equali1(x);
1085 : }
1086 :
1087 : /* x unit defined modulo 2^e, e > 0, p prime */
1088 : static int
1089 2373 : U2_issquare(GEN x, long e)
1090 : {
1091 2373 : long r = signe(x)>=0?mod8(x):8-mod8(x);
1092 2373 : if (e==1) return 1;
1093 2373 : if (e==2) return (r&3L) == 1;
1094 2009 : return r == 1;
1095 : }
1096 : /* x unit defined modulo p^e, e > 0, p prime */
1097 : static int
1098 4690 : Up_issquare(GEN x, GEN p, long e)
1099 4690 : { return (absequaliu(p,2))? U2_issquare(x, e): kronecker(x,p)==1; }
1100 :
1101 : long
1102 2548 : Zn_issquare(GEN d, GEN fn)
1103 : {
1104 : long j, np;
1105 2548 : if (typ(d) != t_INT) pari_err_TYPE("Zn_issquare",d);
1106 2548 : if (typ(fn) == t_INT) return Zn_ispower(d, fn, gen_2, NULL);
1107 : /* integer factorization */
1108 2548 : np = nbrows(fn);
1109 5320 : for (j = 1; j <= np; ++j)
1110 : {
1111 4970 : GEN r, p = gcoeff(fn, j, 1);
1112 4970 : long e = itos(gcoeff(fn, j, 2));
1113 4970 : long v = Z_pvalrem(d,p,&r);
1114 4970 : if (v < e && (odd(v) || !Up_issquare(r, p, e-v))) return 0;
1115 : }
1116 350 : return 1;
1117 : }
1118 :
1119 : static long
1120 1113 : Qp_ispower(GEN x, GEN K, GEN *pt)
1121 : {
1122 1113 : pari_sp av = avma;
1123 1113 : GEN z = Qp_sqrtn(x, K, NULL);
1124 1113 : if (!z) { avma = av; return 0; }
1125 819 : if (pt) *pt = z;
1126 819 : return 1;
1127 : }
1128 :
1129 : long
1130 7002975 : ispower(GEN x, GEN K, GEN *pt)
1131 : {
1132 : GEN z;
1133 :
1134 7002975 : if (!K) return gisanypower(x, pt);
1135 2793 : if (typ(K) != t_INT) pari_err_TYPE("ispower",K);
1136 2793 : if (signe(K) <= 0) pari_err_DOMAIN("ispower","exponent","<=",gen_0,K);
1137 2793 : if (equali1(K)) { if (pt) *pt = gcopy(x); return 1; }
1138 2765 : switch(typ(x)) {
1139 : case t_INT:
1140 721 : return Z_ispowerall(x, itou(K), pt);
1141 : case t_FRAC:
1142 : {
1143 21 : GEN a = gel(x,1), b = gel(x,2);
1144 21 : ulong k = itou(K);
1145 21 : if (pt) {
1146 14 : z = cgetg(3, t_FRAC);
1147 14 : if (Z_ispowerall(a, k, &a) && Z_ispowerall(b, k, &b)) {
1148 14 : *pt = z; gel(z,1) = a; gel(z,2) = b; return 1;
1149 : }
1150 0 : avma = (pari_sp)(z + 3); return 0;
1151 : }
1152 7 : return Z_ispower(a, k) && Z_ispower(b, k);
1153 : }
1154 : case t_INTMOD:
1155 189 : return Zn_ispower(gel(x,2), gel(x,1), K, pt);
1156 : case t_FFELT:
1157 112 : return FF_ispower(x, K, pt);
1158 :
1159 : case t_PADIC:
1160 1113 : return Qp_ispower(x, K, pt);
1161 : case t_POLMOD:
1162 91 : return polmodispower(x, K, pt);
1163 : case t_POL:
1164 490 : return polispower(x, K, pt);
1165 : case t_RFRAC: {
1166 7 : GEN a = gel(x,1), b = gel(x,2);
1167 7 : if (pt) {
1168 7 : z = cgetg(3, t_RFRAC);
1169 7 : if (ispower(a, K, &a) && polispower(b, K, &b)) {
1170 7 : *pt = z; gel(z,1) = a; gel(z,2) = b; return 1;
1171 : }
1172 0 : avma = (pari_sp)(z + 3); return 0;
1173 : }
1174 0 : return (ispower(a, K, NULL) && polispower(b, K, NULL));
1175 : }
1176 : case t_REAL:
1177 7 : if (signe(x) < 0 && !mpodd(K)) return 0;
1178 : case t_COMPLEX:
1179 14 : if (pt) *pt = gsqrtn(x, K, NULL, DEFAULTPREC);
1180 14 : return 1;
1181 :
1182 : case t_SER:
1183 7 : if (signe(x) && (!dvdsi(valp(x), K) || !ispower(gel(x,2), K, NULL)))
1184 0 : return 0;
1185 7 : if (pt) *pt = gsqrtn(x, K, NULL, DEFAULTPREC);
1186 7 : return 1;
1187 : }
1188 0 : pari_err_TYPE("ispower",x);
1189 : return 0; /* LCOV_EXCL_LINE */
1190 : }
1191 :
1192 : long
1193 7000182 : gisanypower(GEN x, GEN *pty)
1194 : {
1195 7000182 : long tx = typ(x);
1196 : ulong k, h;
1197 7000182 : if (tx == t_INT) return Z_isanypower(x, pty);
1198 14 : if (tx == t_FRAC)
1199 : {
1200 14 : pari_sp av = avma;
1201 14 : GEN fa, P, E, a = gel(x,1), b = gel(x,2);
1202 : long i, j, p, e;
1203 14 : int sw = (abscmpii(a, b) > 0);
1204 :
1205 14 : if (sw) swap(a, b);
1206 14 : k = Z_isanypower(a, pty? &a: NULL);
1207 14 : if (!k)
1208 : { /* a = -1,1 or not a pure power */
1209 7 : if (!is_pm1(a)) { avma = av; return 0; }
1210 7 : if (signe(a) < 0) b = negi(b);
1211 7 : k = Z_isanypower(b, pty? &b: NULL);
1212 7 : if (!k || !pty) { avma = av; return k; }
1213 7 : *pty = gerepileupto(av, ginv(b));
1214 7 : return k;
1215 : }
1216 7 : fa = factoru(k);
1217 7 : P = gel(fa,1);
1218 7 : E = gel(fa,2); h = k;
1219 14 : for (i = lg(P) - 1; i > 0; i--)
1220 : {
1221 7 : p = P[i];
1222 7 : e = E[i];
1223 21 : for (j = 0; j < e; j++)
1224 14 : if (!is_kth_power(b, p, &b)) break;
1225 7 : if (j < e) k /= upowuu(p, e - j);
1226 : }
1227 7 : if (k == 1) { avma = av; return 0; }
1228 7 : if (!pty) { avma = av; return k; }
1229 0 : if (k != h) a = powiu(a, h/k);
1230 0 : *pty = gerepilecopy(av, mkfrac(a, b));
1231 0 : return k;
1232 : }
1233 0 : pari_err_TYPE("gisanypower", x);
1234 : return 0; /* LCOV_EXCL_LINE */
1235 : }
1236 :
1237 : /* v_p(x) = e != 0 for some p; return ispower(x,,&x), updating x.
1238 : * No need to optimize for 2,3,5,7 powers (done before) */
1239 : static long
1240 505729 : split_exponent(ulong e, GEN *x)
1241 : {
1242 : GEN fa, P, E;
1243 505729 : long i, j, l, k = 1;
1244 505729 : if (e == 1) return 1;
1245 14 : fa = factoru(e);
1246 14 : P = gel(fa,1);
1247 14 : E = gel(fa,2); l = lg(P);
1248 28 : for (i = 1; i < l; i++)
1249 : {
1250 14 : ulong p = P[i];
1251 28 : for (j = 0; j < E[i]; j++)
1252 : {
1253 : GEN y;
1254 14 : if (!is_kth_power(*x, p, &y)) break;
1255 14 : k *= p; *x = y;
1256 : }
1257 : }
1258 14 : return k;
1259 : }
1260 :
1261 : static long
1262 864570 : Z_isanypower_nosmalldiv(GEN *px)
1263 : { /* any prime divisor of x is > 102 */
1264 864570 : const double LOG2_103 = 6.6865; /* lower bound for log_2(103) */
1265 864570 : const double LOG103 = 4.6347; /* lower bound for log(103) */
1266 : forprime_t T;
1267 864570 : ulong mask = 7, e2;
1268 : long k, ex;
1269 864570 : GEN y, x = *px;
1270 :
1271 864570 : k = 1;
1272 864570 : while (Z_issquareall(x, &y)) { k <<= 1; x = y; }
1273 864570 : while ( (ex = is_357_power(x, &y, &mask)) ) { k *= ex; x = y; }
1274 864570 : e2 = (ulong)((expi(x) + 1) / LOG2_103); /* >= log_103 (x) */
1275 864570 : if (u_forprime_init(&T, 11, e2))
1276 : {
1277 16905 : GEN logx = NULL;
1278 16905 : const ulong Q = 30011; /* prime */
1279 : ulong p, xmodQ;
1280 16905 : double dlogx = 0;
1281 : /* cut off at x^(1/p) ~ 2^30 bits which seems to be about optimum;
1282 : * for large p the modular checks are no longer competitively fast */
1283 33852 : while ( (ex = is_pth_power(x, &y, &T, 30)) )
1284 : {
1285 42 : k *= ex; x = y;
1286 42 : e2 = (ulong)((expi(x) + 1) / LOG2_103);
1287 42 : u_forprime_restrict(&T, e2);
1288 : }
1289 16905 : if (DEBUGLEVEL>4) err_printf("Z_isanypower: now k=%ld, x=%ld-bit\n", k, expi(x));
1290 16905 : xmodQ = umodiu(x, Q);
1291 : /* test Q | x, just in case */
1292 16905 : if (!xmodQ) { *px = x; return k * split_exponent(Z_lval(x,Q), px); }
1293 : /* x^(1/p) < 2^31 */
1294 16891 : p = T.p;
1295 16891 : if (p <= e2)
1296 : {
1297 16877 : logx = logr_abs( itor(x, DEFAULTPREC) );
1298 16877 : dlogx = rtodbl(logx);
1299 16877 : e2 = (ulong)(dlogx / LOG103); /* >= log_103(x) */
1300 : }
1301 152621 : while (p && p <= e2)
1302 : { /* is x a p-th power ? By computing y = round(x^(1/p)).
1303 : * Check whether y^p = x, first mod Q, then exactly. */
1304 118839 : pari_sp av = avma;
1305 : long e;
1306 118839 : GEN logy = divru(logx, p), y = grndtoi(mpexp(logy), &e);
1307 118839 : ulong ymodQ = umodiu(y,Q);
1308 118839 : if (e >= -10 || Fl_powu(ymodQ, p % (Q-1), Q) != xmodQ
1309 21 : || !equalii(powiu(y, p), x)) avma = av;
1310 : else
1311 : {
1312 21 : k *= p; x = y; xmodQ = ymodQ; logx = logy; dlogx /= p;
1313 21 : e2 = (ulong)(dlogx / LOG103); /* >= log_103(x) */
1314 21 : u_forprime_restrict(&T, e2);
1315 21 : continue; /* if success, retry same p */
1316 : }
1317 118818 : p = u_forprime_next(&T);
1318 : }
1319 : }
1320 864556 : *px = x; return k;
1321 : }
1322 :
1323 : static ulong tinyprimes[] = {
1324 : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71,
1325 : 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151,
1326 : 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199
1327 : };
1328 :
1329 : /* disregard the sign of x, caller will take care of x < 0 */
1330 : static long
1331 7000819 : Z_isanypower_aux(GEN x, GEN *pty)
1332 : {
1333 : long ex, v, i, l, k;
1334 : GEN y, P, E;
1335 7000819 : ulong mask, e = 0;
1336 :
1337 7000819 : if (abscmpii(x, gen_2) < 0) return 0; /* -1,0,1 */
1338 :
1339 7000805 : if (signe(x) < 0) x = negi(x);
1340 7000805 : k = l = 1;
1341 7000805 : P = cgetg(26 + 1, t_VECSMALL);
1342 7000805 : E = cgetg(26 + 1, t_VECSMALL);
1343 : /* trial division */
1344 122938942 : for(i = 0; i < 26; i++)
1345 : {
1346 60135033 : ulong p = tinyprimes[i];
1347 : int stop;
1348 60135033 : v = Z_lvalrem_stop(&x, p, &stop);
1349 60135033 : if (v)
1350 : {
1351 7922439 : P[l] = p;
1352 7922439 : E[l] = v; l++;
1353 13588806 : e = ugcd(e, v); if (e == 1) goto END;
1354 : }
1355 54716718 : if (stop) {
1356 248052 : if (is_pm1(x)) k = e;
1357 248052 : goto END;
1358 : }
1359 : }
1360 :
1361 1334438 : if (e)
1362 : { /* Bingo. Result divides e */
1363 : long v3, v5, v7;
1364 505715 : ulong e2 = e;
1365 505715 : v = u_lvalrem(e2, 2, &e2);
1366 505715 : if (v)
1367 : {
1368 375277 : for (i = 0; i < v; i++)
1369 : {
1370 374185 : if (!Z_issquareall(x, &y)) break;
1371 1302 : k <<= 1; x = y;
1372 : }
1373 : }
1374 505715 : mask = 0;
1375 505715 : v3 = u_lvalrem(e2, 3, &e2); if (v3) mask = 1;
1376 505715 : v5 = u_lvalrem(e2, 5, &e2); if (v5) mask |= 2;
1377 505715 : v7 = u_lvalrem(e2, 7, &e2); if (v7) mask |= 4;
1378 1011507 : while ( (ex = is_357_power(x, &y, &mask)) ) {
1379 77 : x = y;
1380 77 : switch(ex)
1381 : {
1382 28 : case 3: k *= 3; if (--v3 == 0) mask &= ~1; break;
1383 28 : case 5: k *= 5; if (--v5 == 0) mask &= ~2; break;
1384 21 : case 7: k *= 7; if (--v7 == 0) mask &= ~4; break;
1385 : }
1386 : }
1387 505715 : k *= split_exponent(e2, &x);
1388 : }
1389 : else
1390 828723 : k = Z_isanypower_nosmalldiv(&x);
1391 : END:
1392 7000805 : if (pty && k != 1)
1393 : {
1394 8001 : if (e)
1395 : { /* add missing small factors */
1396 6881 : y = powuu(P[1], E[1] / k);
1397 6881 : for (i = 2; i < l; i++) y = mulii(y, powuu(P[i], E[i] / k));
1398 6881 : x = equali1(x)? y: mulii(x,y);
1399 : }
1400 8001 : *pty = x;
1401 : }
1402 7000805 : return k == 1? 0: k;
1403 : }
1404 :
1405 : long
1406 7000819 : Z_isanypower(GEN x, GEN *pty)
1407 : {
1408 7000819 : pari_sp av = avma;
1409 7000819 : long k = Z_isanypower_aux(x, pty);
1410 7000819 : if (!k) { avma = av; return 0; }
1411 8064 : if (signe(x) < 0)
1412 : {
1413 42 : long v = vals(k);
1414 42 : if (v)
1415 : {
1416 : GEN y;
1417 28 : k >>= v;
1418 28 : if (k == 1) { avma = av; return 0; }
1419 21 : if (!pty) { avma = av; return k; }
1420 14 : y = *pty;
1421 14 : y = powiu(y, 1<<v);
1422 14 : togglesign(y);
1423 14 : *pty = gerepileuptoint(av, y);
1424 14 : return k;
1425 : }
1426 14 : if (pty) togglesign_safe(pty);
1427 : }
1428 8036 : if (pty) *pty = gerepilecopy(av, *pty); else avma = av;
1429 8036 : return k;
1430 : }
1431 :
1432 : /* Faster than */
1433 : /* !cmpii(n, int2n(vali(n))) */
1434 : /* !cmpis(shifti(n, -vali(n)), 1) */
1435 : /* expi(n) == vali(n) */
1436 : /* hamming(n) == 1 */
1437 : /* even for single-word values, and much faster for multiword values. */
1438 : /* If all you have is a word, you can just use n & !(n & (n-1)). */
1439 : long
1440 29641 : Z_ispow2(GEN n)
1441 : {
1442 : GEN xp;
1443 : long i, lx;
1444 : ulong u;
1445 29641 : if (signe(n) != 1) return 0;
1446 29634 : xp = int_LSW(n);
1447 29634 : lx = lgefint(n);
1448 29634 : u = *xp;
1449 29666 : for (i = 3; i < lx; ++i)
1450 : {
1451 27057 : if (u) return 0;
1452 32 : xp = int_nextW(xp);
1453 32 : u = *xp;
1454 : }
1455 2609 : return !(u & (u-1));
1456 : }
1457 :
1458 : static long
1459 842000 : isprimepower_i(GEN n, GEN *pt, long flag)
1460 : {
1461 842000 : pari_sp av = avma;
1462 : long i, v;
1463 :
1464 842000 : if (typ(n) != t_INT) pari_err_TYPE("isprimepower", n);
1465 842001 : if (signe(n) <= 0) return 0;
1466 :
1467 842001 : if (lgefint(n) == 3)
1468 : {
1469 : ulong p;
1470 541114 : v = uisprimepower(n[2], &p);
1471 541114 : if (v)
1472 : {
1473 54902 : if (pt) *pt = utoipos(p);
1474 54902 : return v;
1475 : }
1476 486212 : return 0;
1477 : }
1478 1662585 : for (i = 0; i < 26; i++)
1479 : {
1480 1626738 : ulong p = tinyprimes[i];
1481 1626738 : v = Z_lvalrem(n, p, &n);
1482 1626737 : if (v)
1483 : {
1484 265039 : avma = av;
1485 265039 : if (!is_pm1(n)) return 0;
1486 645 : if (pt) *pt = utoipos(p);
1487 643 : return v;
1488 : }
1489 : }
1490 : /* p | n => p >= 103 */
1491 35847 : v = Z_isanypower_nosmalldiv(&n); /* expensive */
1492 35847 : if (!(flag? isprime(n): BPSW_psp(n))) { avma = av; return 0; }
1493 5535 : if (pt) *pt = gerepilecopy(av, n); else avma = av;
1494 5535 : return v;
1495 : }
1496 : long
1497 840098 : isprimepower(GEN n, GEN *pt) { return isprimepower_i(n,pt,1); }
1498 : long
1499 1902 : ispseudoprimepower(GEN n, GEN *pt) { return isprimepower_i(n,pt,0); }
1500 :
1501 : long
1502 541751 : uisprimepower(ulong n, ulong *pp)
1503 : { /* We must have CUTOFF^11 >= ULONG_MAX and CUTOFF^3 < ULONG_MAX.
1504 : * Tests suggest that 200-300 is the best range for 64-bit platforms. */
1505 541751 : const ulong CUTOFF = 200UL;
1506 541751 : const long TINYCUTOFF = 46; /* tinyprimes[45] = 199 */
1507 541751 : const ulong CUTOFF3 = CUTOFF*CUTOFF*CUTOFF;
1508 : #ifdef LONG_IS_64BIT
1509 : /* primes preceeding the appropriate root of ULONG_MAX. */
1510 481512 : const ulong ROOT9 = 137;
1511 481512 : const ulong ROOT8 = 251;
1512 481512 : const ulong ROOT7 = 563;
1513 481512 : const ulong ROOT5 = 7129;
1514 481512 : const ulong ROOT4 = 65521;
1515 : #else
1516 60239 : const ulong ROOT9 = 11;
1517 60239 : const ulong ROOT8 = 13;
1518 60239 : const ulong ROOT7 = 23;
1519 60239 : const ulong ROOT5 = 83;
1520 60239 : const ulong ROOT4 = 251;
1521 : #endif
1522 : ulong mask;
1523 : long v, i;
1524 : int e;
1525 541751 : if (n < 2) return 0;
1526 541737 : if (!odd(n)) {
1527 270718 : if (n & (n-1)) return 0;
1528 914 : *pp = 2; return vals(n);
1529 : }
1530 271019 : if (n < 8) { *pp = n; return 1; } /* 3,5,7 */
1531 3654186 : for (i = 1/*skip p=2*/; i < TINYCUTOFF; i++)
1532 : {
1533 3595105 : ulong p = tinyprimes[i];
1534 3595105 : if (n % p == 0)
1535 : {
1536 211532 : v = u_lvalrem(n, p, &n);
1537 211532 : if (n == 1) { *pp = p; return v; }
1538 209438 : return 0;
1539 : }
1540 : }
1541 : /* p | n => p >= CUTOFF */
1542 :
1543 59081 : if (n < CUTOFF3)
1544 : {
1545 46354 : if (n < CUTOFF*CUTOFF || uisprime_101(n)) { *pp = n; return 1; }
1546 0 : if (uissquareall(n, &n)) { *pp = n; return 2; }
1547 0 : return 0;
1548 : }
1549 :
1550 : /* Check for squares, fourth powers, and eighth powers as appropriate. */
1551 12727 : v = 1;
1552 12727 : if (uissquareall(n, &n)) {
1553 0 : v <<= 1;
1554 0 : if (CUTOFF <= ROOT4 && uissquareall(n, &n)) {
1555 0 : v <<= 1;
1556 0 : if (CUTOFF <= ROOT8 && uissquareall(n, &n)) v <<= 1;
1557 : }
1558 : }
1559 :
1560 12727 : if (CUTOFF > ROOT5) mask = 1;
1561 : else
1562 : {
1563 12726 : const ulong CUTOFF5 = CUTOFF3*CUTOFF*CUTOFF;
1564 12726 : if (n < CUTOFF5) mask = 1; else mask = 3;
1565 12726 : if (CUTOFF <= ROOT7)
1566 : {
1567 12726 : const ulong CUTOFF7 = CUTOFF5*CUTOFF*CUTOFF;
1568 12726 : if (n >= CUTOFF7) mask = 7;
1569 : }
1570 : }
1571 :
1572 12727 : if (CUTOFF <= ROOT9 && (e = uis_357_power(n, &n, &mask))) { v *= e; mask=1; }
1573 12727 : if ((e = uis_357_power(n, &n, &mask))) v *= e;
1574 :
1575 12727 : if (uisprime_101(n)) { *pp = n; return v; }
1576 6984 : return 0;
1577 : }
1578 :
1579 : /*********************************************************************/
1580 : /** **/
1581 : /** KRONECKER SYMBOL **/
1582 : /** **/
1583 : /*********************************************************************/
1584 : /* t = 3,5 mod 8 ? (= 2 not a square mod t) */
1585 : static int
1586 580805700 : ome(long t)
1587 : {
1588 580805700 : switch(t & 7)
1589 : {
1590 : case 3:
1591 331566836 : case 5: return 1;
1592 249238864 : default: return 0;
1593 : }
1594 : }
1595 : /* t a t_INT, is t = 3,5 mod 8 ? */
1596 : static int
1597 4408125 : gome(GEN t)
1598 4408125 : { return signe(t)? ome( mod2BIL(t) ): 0; }
1599 :
1600 : /* assume y odd, return kronecker(x,y) * s */
1601 : static long
1602 448000482 : krouu_s(ulong x, ulong y, long s)
1603 : {
1604 448000482 : ulong x1 = x, y1 = y, z;
1605 2369746810 : while (x1)
1606 : {
1607 1473798616 : long r = vals(x1);
1608 1473899291 : if (r)
1609 : {
1610 799725602 : if (odd(r) && ome(y1)) s = -s;
1611 799572157 : x1 >>= r;
1612 : }
1613 1473745846 : if (x1 & y1 & 2) s = -s;
1614 1473745846 : z = y1 % x1; y1 = x1; x1 = z;
1615 : }
1616 447947712 : return (y1 == 1)? s: 0;
1617 : }
1618 :
1619 : long
1620 5048477 : kronecker(GEN x, GEN y)
1621 : {
1622 5048477 : pari_sp av = avma;
1623 5048477 : long s = 1, r;
1624 : ulong xu, yu;
1625 :
1626 5048477 : if (typ(x) != t_INT) pari_err_TYPE("kronecker",x);
1627 5048477 : if (typ(y) != t_INT) pari_err_TYPE("kronecker",y);
1628 5048477 : switch (signe(y))
1629 : {
1630 0 : case -1: y = negi(y); if (signe(x) < 0) s = -1; break;
1631 0 : case 0: return is_pm1(x);
1632 : }
1633 5048477 : r = vali(y);
1634 5048477 : if (r)
1635 : {
1636 12160 : if (!mpodd(x)) { avma = av; return 0; }
1637 10445 : if (odd(r) && gome(x)) s = -s;
1638 10445 : y = shifti(y,-r);
1639 : }
1640 5046762 : x = modii(x,y);
1641 10167341 : while (lgefint(x) > 3) /* x < y */
1642 : {
1643 : GEN z;
1644 73817 : r = vali(x);
1645 73817 : if (r)
1646 : {
1647 40401 : if (odd(r) && gome(y)) s = -s;
1648 40401 : x = shifti(x,-r);
1649 : }
1650 : /* x=3 mod 4 && y=3 mod 4 ? (both are odd here) */
1651 73817 : if (mod2BIL(x) & mod2BIL(y) & 2) s = -s;
1652 73817 : z = remii(y,x); y = x; x = z;
1653 73817 : if (gc_needed(av,2))
1654 : {
1655 0 : if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"kronecker");
1656 0 : gerepileall(av, 2, &x, &y);
1657 : }
1658 : }
1659 5046762 : xu = itou(x);
1660 5046762 : if (!xu) return is_pm1(y)? s: 0;
1661 5025786 : r = vals(xu);
1662 5025786 : if (r)
1663 : {
1664 3494355 : if (odd(r) && gome(y)) s = -s;
1665 3494355 : xu >>= r;
1666 : }
1667 : /* x=3 mod 4 && y=3 mod 4 ? (both are odd here) */
1668 5025786 : if (xu & mod2BIL(y) & 2) s = -s;
1669 5025786 : yu = umodiu(y, xu);
1670 5025786 : avma = av; return krouu_s(yu, xu, s);
1671 : }
1672 :
1673 : long
1674 28231 : krois(GEN x, long y)
1675 : {
1676 : ulong yu;
1677 28231 : long s = 1;
1678 :
1679 28231 : if (y <= 0)
1680 : {
1681 14 : if (y == 0) return is_pm1(x);
1682 0 : yu = (ulong)-y; if (signe(x) < 0) s = -1;
1683 : }
1684 : else
1685 28217 : yu = (ulong)y;
1686 28217 : if (!odd(yu))
1687 : {
1688 : long r;
1689 13461 : if (!mpodd(x)) return 0;
1690 10073 : r = vals(yu); yu >>= r;
1691 10073 : if (odd(r) && gome(x)) s = -s;
1692 : }
1693 24829 : return krouu_s(umodiu(x, yu), yu, s);
1694 : }
1695 : /* assume y != 0 */
1696 : long
1697 287070442 : kroiu(GEN x, ulong y)
1698 : {
1699 : long r;
1700 287070442 : if (odd(y)) return krouu_s(umodiu(x,y), y, 1);
1701 1781556 : if (!mpodd(x)) return 0;
1702 1759772 : r = vals(y); y >>= r;
1703 1759772 : return krouu_s(umodiu(x,y), y, (odd(r) && gome(x))? -1: 1);
1704 : }
1705 :
1706 : /* assume y > 0, odd, return s * kronecker(x,y) */
1707 : static long
1708 91678 : krouodd(ulong x, GEN y, long s)
1709 : {
1710 : long r;
1711 91678 : if (lgefint(y) == 3) return krouu_s(x, y[2], s);
1712 13089 : if (!x) return 0; /* y != 1 */
1713 13089 : r = vals(x);
1714 13089 : if (r)
1715 : {
1716 8441 : if (odd(r) && gome(y)) s = -s;
1717 8441 : x >>= r;
1718 : }
1719 : /* x=3 mod 4 && y=3 mod 4 ? (both are odd here) */
1720 13089 : if (x & mod2BIL(y) & 2) s = -s;
1721 13089 : return krouu_s(umodiu(y,x), x, s);
1722 : }
1723 :
1724 : long
1725 91595 : krosi(long x, GEN y)
1726 : {
1727 91595 : const pari_sp av = avma;
1728 91595 : long s = 1, r;
1729 91595 : switch (signe(y))
1730 : {
1731 0 : case -1: y = negi(y); if (x < 0) s = -1; break;
1732 0 : case 0: return (x==1 || x==-1);
1733 : }
1734 91595 : r = vali(y);
1735 91595 : if (r)
1736 : {
1737 8421 : if (!odd(x)) { avma = av; return 0; }
1738 8421 : if (odd(r) && ome(x)) s = -s;
1739 8421 : y = shifti(y,-r);
1740 : }
1741 91595 : if (x < 0) { x = -x; if (mod4(y) == 3) s = -s; }
1742 91595 : s = krouodd((ulong)x, y, s);
1743 91595 : avma = av; return s;
1744 : }
1745 :
1746 : long
1747 83 : kroui(ulong x, GEN y)
1748 : {
1749 83 : const pari_sp av = avma;
1750 83 : long s = 1, r;
1751 83 : switch (signe(y))
1752 : {
1753 0 : case -1: y = negi(y); break;
1754 0 : case 0: return x==1UL;
1755 : }
1756 83 : r = vali(y);
1757 83 : if (r)
1758 : {
1759 0 : if (!odd(x)) { avma = av; return 0; }
1760 0 : if (odd(r) && ome(x)) s = -s;
1761 0 : y = shifti(y,-r);
1762 : }
1763 83 : s = krouodd(x, y, s);
1764 83 : avma = av; return s;
1765 : }
1766 :
1767 : long
1768 64679441 : kross(long x, long y)
1769 : {
1770 : ulong yu;
1771 64679441 : long s = 1;
1772 :
1773 64679441 : if (y <= 0)
1774 : {
1775 385 : if (y == 0) return (labs(x)==1);
1776 385 : yu = (ulong)-y; if (x < 0) s = -1;
1777 : }
1778 : else
1779 64679056 : yu = (ulong)y;
1780 64679441 : if (!odd(yu))
1781 : {
1782 : long r;
1783 19564574 : if (!odd(x)) return 0;
1784 12839884 : r = vals(yu); yu >>= r;
1785 12839884 : if (odd(r) && ome(x)) s = -s;
1786 : }
1787 57954751 : x %= (long)yu; if (x < 0) x += yu;
1788 57954751 : return krouu_s((ulong)x, yu, s);
1789 : }
1790 :
1791 : long
1792 97776717 : krouu(ulong x, ulong y)
1793 : {
1794 : long r;
1795 97776717 : if (odd(y)) return krouu_s(x, y, 1);
1796 2040 : if (!odd(x)) return 0;
1797 2040 : r = vals(y); y >>= r;
1798 2040 : return krouu_s(x, y, (odd(r) && ome(x))? -1: 1);
1799 : }
1800 :
1801 : /*********************************************************************/
1802 : /** **/
1803 : /** HILBERT SYMBOL **/
1804 : /** **/
1805 : /*********************************************************************/
1806 : /* x,y are t_INT or t_REAL */
1807 : static long
1808 9982 : mphilbertoo(GEN x, GEN y)
1809 : {
1810 9982 : long sx = signe(x), sy = signe(y);
1811 9982 : if (!sx || !sy) return 0;
1812 9982 : return (sx < 0 && sy < 0)? -1: 1;
1813 : }
1814 :
1815 : long
1816 53144 : hilbertii(GEN x, GEN y, GEN p)
1817 : {
1818 : pari_sp av;
1819 : long oddvx, oddvy, z;
1820 :
1821 53144 : if (!p) return mphilbertoo(x,y);
1822 43183 : if (is_pm1(p) || signe(p) < 0) pari_err_PRIME("hilbertii",p);
1823 43183 : if (!signe(x) || !signe(y)) return 0;
1824 43162 : av = avma;
1825 43162 : oddvx = odd(Z_pvalrem(x,p,&x));
1826 43162 : oddvy = odd(Z_pvalrem(y,p,&y));
1827 : /* x, y are p-units, compute hilbert(x * p^oddvx, y * p^oddvy, p) */
1828 43162 : if (absequaliu(p, 2))
1829 : {
1830 10689 : z = (Mod4(x) == 3 && Mod4(y) == 3)? -1: 1;
1831 10689 : if (oddvx && gome(y)) z = -z;
1832 10689 : if (oddvy && gome(x)) z = -z;
1833 : }
1834 : else
1835 : {
1836 32473 : z = (oddvx && oddvy && mod4(p) == 3)? -1: 1;
1837 32473 : if (oddvx && kronecker(y,p) < 0) z = -z;
1838 32473 : if (oddvy && kronecker(x,p) < 0) z = -z;
1839 : }
1840 43162 : avma = av; return z;
1841 : }
1842 :
1843 : static void
1844 196 : err_prec(void) { pari_err_PREC("hilbert"); }
1845 : static void
1846 161 : err_p(GEN p, GEN q) { pari_err_MODULUS("hilbert", p,q); }
1847 : static void
1848 56 : err_oo(GEN p) { pari_err_MODULUS("hilbert", p, strtoGENstr("oo")); }
1849 :
1850 : /* x t_INTMOD, *pp = prime or NULL [ unset, set it to x.mod ].
1851 : * Return lift(x) provided it's p-adic accuracy is large enough to decide
1852 : * hilbert()'s value [ problem at p = 2 ] */
1853 : static GEN
1854 420 : lift_intmod(GEN x, GEN *pp)
1855 : {
1856 420 : GEN p = *pp, N = gel(x,1);
1857 420 : x = gel(x,2);
1858 420 : if (!p)
1859 : {
1860 266 : *pp = p = N;
1861 266 : switch(itos_or_0(p))
1862 : {
1863 : case 2:
1864 126 : case 4: err_prec();
1865 : }
1866 140 : return x;
1867 : }
1868 154 : if (!signe(p)) err_oo(N);
1869 112 : if (absequaliu(p,2))
1870 42 : { if (vali(N) <= 2) err_prec(); }
1871 : else
1872 70 : { if (!dvdii(N,p)) err_p(N,p); }
1873 28 : if (!signe(x)) err_prec();
1874 21 : return x;
1875 : }
1876 : /* x t_PADIC, *pp = prime or NULL [ unset, set it to x.p ].
1877 : * Return lift(x)*p^(v(x) mod 2) provided it's p-adic accuracy is large enough
1878 : * to decide hilbert()'s value [ problem at p = 2 ]*/
1879 : static GEN
1880 210 : lift_padic(GEN x, GEN *pp)
1881 : {
1882 210 : GEN p = *pp, q = gel(x,2), y = gel(x,4);
1883 210 : if (!p) *pp = p = q;
1884 147 : else if (!equalii(p,q)) err_p(p, q);
1885 105 : if (absequaliu(p,2) && precp(x) <= 2) err_prec();
1886 70 : if (!signe(y)) err_prec();
1887 70 : return odd(valp(x))? mulii(p,y): y;
1888 : }
1889 :
1890 : long
1891 658 : hilbert(GEN x, GEN y, GEN p)
1892 : {
1893 658 : pari_sp av = avma;
1894 658 : long tx = typ(x), ty = typ(y), z;
1895 :
1896 658 : if (p && typ(p) != t_INT) pari_err_TYPE("hilbert",p);
1897 658 : if (tx == t_REAL)
1898 : {
1899 77 : if (p && signe(p)) err_oo(p);
1900 63 : switch (ty)
1901 : {
1902 : case t_INT:
1903 7 : case t_REAL: return mphilbertoo(x,y);
1904 0 : case t_FRAC: return mphilbertoo(x,gel(y,1));
1905 56 : default: pari_err_TYPE2("hilbert",x,y);
1906 : }
1907 : }
1908 581 : if (ty == t_REAL)
1909 : {
1910 14 : if (p && signe(p)) err_oo(p);
1911 14 : switch (tx)
1912 : {
1913 : case t_INT:
1914 14 : case t_REAL: return mphilbertoo(x,y);
1915 0 : case t_FRAC: return mphilbertoo(gel(x,1),y);
1916 0 : default: pari_err_TYPE2("hilbert",x,y);
1917 : }
1918 : }
1919 567 : if (tx == t_INTMOD) { x = lift_intmod(x, &p); tx = t_INT; }
1920 364 : if (ty == t_INTMOD) { y = lift_intmod(y, &p); ty = t_INT; }
1921 :
1922 308 : if (tx == t_PADIC) { x = lift_padic(x, &p); tx = t_INT; }
1923 245 : if (ty == t_PADIC) { y = lift_padic(y, &p); ty = t_INT; }
1924 :
1925 168 : if (tx == t_FRAC) { tx = t_INT; x = p? mulii(gel(x,1),gel(x,2)): gel(x,1); }
1926 168 : if (ty == t_FRAC) { ty = t_INT; y = p? mulii(gel(y,1),gel(y,2)): gel(y,1); }
1927 :
1928 168 : if (tx != t_INT || ty != t_INT) pari_err_TYPE2("hilbert",x,y);
1929 168 : if (p && !signe(p)) p = NULL;
1930 168 : z = hilbertii(x,y,p); avma = av; return z;
1931 : }
1932 :
1933 : /*******************************************************************/
1934 : /* */
1935 : /* SQUARE ROOT MODULO p */
1936 : /* */
1937 : /*******************************************************************/
1938 :
1939 : static ulong
1940 22548283 : Fl_2gener_pre_all(long e, ulong p, ulong pi)
1941 : {
1942 : ulong y, m;
1943 : long k, i;
1944 22548283 : ulong q = (p-1) >> e; /* q = (p-1)/2^oo is odd */
1945 40269618 : for (k=2; ; k++)
1946 : { /* loop terminates for k < p (even if p composite) */
1947 40269618 : i = krouu(k, p);
1948 40269739 : if (i >= 0)
1949 : {
1950 17721331 : if (i) continue;
1951 7 : pari_err_PRIME("Fl_sqrt [modulus]",utoi(p));
1952 : }
1953 22548408 : y = m = Fl_powu_pre(k, q, p, pi);
1954 61462179 : for (i=1; i<e; i++)
1955 38913647 : if ((m = Fl_sqr_pre(m, p, pi)) == 1) break;
1956 22548532 : if (i == e) break; /* success */
1957 17721335 : }
1958 22548521 : return y;
1959 : }
1960 :
1961 : ulong
1962 126799 : Fl_2gener_pre(ulong p, ulong pi)
1963 126799 : { return Fl_2gener_pre_all(vals(p-1), p, pi); }
1964 :
1965 : /* Tonelli-Shanks. Assume p is prime and (a,p) != -1. */
1966 : ulong
1967 54427014 : Fl_sqrt_pre_i(ulong a, ulong y, ulong p, ulong pi)
1968 : {
1969 : long i, e, k;
1970 : ulong p1, q, v, w;
1971 :
1972 54427014 : if (!a) return 0;
1973 53602055 : p1 = p - 1; e = vals(p1);
1974 53612199 : if (e == 0) /* p = 2 */
1975 : {
1976 418831 : if (p != 2) pari_err_PRIME("Fl_sqrt [modulus]",utoi(p));
1977 418824 : return ((a & 1) == 0)? 0: 1;
1978 : }
1979 53193368 : q = p1 >> e; /* q = (p-1)/2^oo is odd */
1980 53193368 : if (e == 1) y = p1;
1981 22423124 : else if (y==0) y = Fl_2gener_pre_all(e, p, pi);
1982 53193361 : p1 = Fl_powu_pre(a, q >> 1, p, pi); /* a ^ [(q-1)/2] */
1983 53168499 : if (!p1) return 0;
1984 53168499 : v = Fl_mul_pre(a, p1, p, pi);
1985 53172711 : w = Fl_mul_pre(v, p1, p, pi);
1986 125124291 : while (w != 1)
1987 : { /* a*w = v^2, y primitive 2^e-th root of 1
1988 : a square --> w even power of y, hence w^(2^(e-1)) = 1 */
1989 18877323 : p1 = Fl_sqr_pre(w,p,pi);
1990 18877324 : for (k=1; p1 != 1 && k < e; k++) p1 = Fl_sqr_pre(p1,p,pi);
1991 18877324 : if (k == e) return ~0UL;
1992 : /* w ^ (2^k) = 1 --> w = y ^ (u * 2^(e-k)), u odd */
1993 18781591 : p1 = y;
1994 18781591 : for (i=1; i < e-k; i++) p1 = Fl_sqr_pre(p1, p, pi);
1995 18781591 : y = Fl_sqr_pre(p1, p, pi); e = k;
1996 18781591 : w = Fl_mul_pre(y, w, p, pi);
1997 18781591 : v = Fl_mul_pre(v, p1, p, pi);
1998 : }
1999 53075411 : p1 = p - v; if (v > p1) v = p1;
2000 53075411 : return v;
2001 : }
2002 :
2003 : ulong
2004 50904129 : Fl_sqrt(ulong a, ulong p)
2005 : {
2006 50904129 : ulong pi = get_Fl_red(p);
2007 50894617 : return Fl_sqrt_pre_i(a, 0, p, pi);
2008 : }
2009 :
2010 : ulong
2011 3511530 : Fl_sqrt_pre(ulong a, ulong p, ulong pi)
2012 : {
2013 3511530 : return Fl_sqrt_pre_i(a, 0, p, pi);
2014 : }
2015 :
2016 : static ulong
2017 63166 : Fl_lgener_pre_all(ulong l, long e, ulong r, ulong p, ulong pi, ulong *pt_m)
2018 : {
2019 : ulong x, y, m;
2020 63166 : ulong le1 = upowuu(l, e-1);
2021 99827 : for (x = 2; ; x++)
2022 : {
2023 99827 : y = Fl_powu_pre(x, r, p, pi);
2024 99827 : if (y==1) continue;
2025 77982 : m = Fl_powu_pre(y, le1, p, pi);
2026 77982 : if (m != 1) break;
2027 36661 : }
2028 63166 : *pt_m = m;
2029 63166 : return y;
2030 : }
2031 :
2032 : /* solve x^l = a , l prime in G of order q.
2033 : *
2034 : * q = (l^e)*r, e >= 1, (r,l) = 1
2035 : * y generates the l-Sylow of G
2036 : * m = y^(l^(e-1)) != 1 */
2037 : static ulong
2038 115656 : Fl_sqrtl_i(ulong a, ulong l, ulong p, ulong pi, ulong y, ulong m)
2039 : {
2040 : ulong p1, v, w, z, dl, zm;
2041 : ulong r, e, u2;
2042 115656 : if (a==0) return a;
2043 115650 : e = u_lvalrem(p-1, l, &r);
2044 115651 : u2 = Fl_inv(l%r, r);
2045 115651 : v = Fl_powu_pre(a, u2, p,pi);
2046 115650 : w = Fl_powu_pre(v, l, p,pi);
2047 115651 : w = Fl_mul_pre(w, Fl_inv(a, p),p,pi);
2048 115651 : if (w==1) return v;
2049 63166 : if (y==0) y = Fl_lgener_pre_all(l, e, r, p, pi, &m);
2050 145496 : while (w!=1)
2051 : {
2052 67638 : ulong k = 0;
2053 67638 : p1 = w;
2054 : do
2055 : {
2056 100917 : z = p1; p1 = Fl_powu_pre(p1, l, p, pi);
2057 100917 : k++;
2058 100917 : } while (p1!=1);
2059 67638 : if (k==e) return ~0UL;
2060 19164 : dl = 0; zm = 1;
2061 67628 : while (z!=zm)
2062 : {
2063 29300 : zm = Fl_mul_pre(zm, m, p, pi); dl++;
2064 : }
2065 19164 : dl = Fl_neg(dl, l);
2066 19164 : p1 = Fl_powu_pre(y,dl*upowuu(l,e-k-1),p,pi);
2067 19164 : m = Fl_powu_pre(m, dl, p, pi);
2068 19164 : e = k;
2069 19164 : v = Fl_mul_pre(p1,v,p,pi);
2070 19164 : y = Fl_powu_pre(p1,l,p,pi);
2071 19164 : w = Fl_mul_pre(y,w,p,pi);
2072 : }
2073 14692 : return v;
2074 : }
2075 :
2076 : ulong
2077 115656 : Fl_sqrtl_pre(ulong a, ulong l, ulong p, ulong pi)
2078 : {
2079 115656 : return Fl_sqrtl_i(a, l, p, pi, 0, 0);
2080 : }
2081 :
2082 : ulong
2083 0 : Fl_sqrtl(ulong a, ulong l, ulong p)
2084 : {
2085 0 : ulong pi = get_Fl_red(p);
2086 0 : return Fl_sqrtl_i(a, l, p, pi, 0, 0);
2087 : }
2088 :
2089 : /* Cipolla is better than Tonelli-Shanks when e = v_2(p-1) is "too big".
2090 : * Otherwise, is a constant times worse; for p = 3 (mod 4), is about 3 times worse,
2091 : * and in average is about 2 or 2.5 times worse. But try both algorithms for
2092 : * S(n) = (2^n+3)^2-8 with n = 750, 771, 779, 790, 874, 1176, 1728, 2604, etc.
2093 : *
2094 : * If X^2 := t^2 - a is not a square in F_p (so X is in F_p^2), then
2095 : * (t+X)^(p+1) = (t-X)(t+X) = a, hence sqrt(a) = (t+X)^((p+1)/2) in F_p^2.
2096 : * If (a|p)=1, then sqrt(a) is in F_p.
2097 : * cf: LNCS 2286, pp 430-434 (2002) [Gonzalo Tornaria] */
2098 :
2099 : /* compute y^2, y = y[1] + y[2] X */
2100 : static GEN
2101 449 : sqrt_Cipolla_sqr(void *data, GEN y)
2102 : {
2103 449 : GEN u = gel(y,1), v = gel(y,2), p = gel(data,2), n = gel(data,3);
2104 449 : GEN u2 = sqri(u), v2 = sqri(v);
2105 449 : v = subii(sqri(addii(v,u)), addii(u2,v2));
2106 449 : u = addii(u2, mulii(v2,n));
2107 : /* NOT mkvec2: must be gerepileupto-able */
2108 449 : retmkvec2(modii(u,p), modii(v,p));
2109 : }
2110 : /* compute (t+X) y^2 */
2111 : static GEN
2112 23 : sqrt_Cipolla_msqr(void *data, GEN y)
2113 : {
2114 23 : GEN u = gel(y,1), v = gel(y,2), a = gel(data,1), p = gel(data,2), gt = gel(data,4);
2115 23 : ulong t = gt[2];
2116 23 : GEN d = addii(u, mului(t,v)), d2= sqri(d);
2117 23 : GEN b = remii(mulii(a,v), p);
2118 23 : u = subii(mului(t,d2), mulii(b,addii(u,d)));
2119 23 : v = subii(d2, mulii(b,v));
2120 : /* NOT mkvec2: must be gerepileupto-able */
2121 23 : retmkvec2(modii(u,p), modii(v,p));
2122 : }
2123 : /* assume a reduced mod p [ otherwise correct but inefficient ] */
2124 : static GEN
2125 8 : sqrt_Cipolla(GEN a, GEN p)
2126 : {
2127 : pari_sp av1;
2128 : GEN u, v, n, y, pov2;
2129 : ulong t;
2130 :
2131 8 : if (kronecker(a, p) < 0) return NULL;
2132 8 : pov2 = shifti(p,-1);
2133 8 : if (cmpii(a,pov2) > 0) a = subii(a,p); /* center: avoid multiplying by huge base*/
2134 :
2135 8 : av1 = avma;
2136 41 : for(t=1; ; t++)
2137 : {
2138 41 : n = subsi((long)(t*t), a);
2139 41 : if (kronecker(n, p) < 0) break;
2140 33 : avma = av1;
2141 33 : }
2142 :
2143 : /* compute (t+X)^((p-1)/2) =: u+vX */
2144 8 : u = utoipos(t);
2145 8 : y = gen_pow_fold(mkvec2(u, gen_1), pov2, mkvec4(a,p,n,u),
2146 : sqrt_Cipolla_sqr, sqrt_Cipolla_msqr);
2147 : /* Now u+vX = (t+X)^((p-1)/2); thus
2148 : * (u+vX)(t+X) = sqrt(a) + 0 X
2149 : * Whence,
2150 : * sqrt(a) = (u+vt)t - v*a
2151 : * 0 = (u+vt)
2152 : * Thus a square root is v*a */
2153 :
2154 8 : v = Fp_mul(gel(y, 2), a, p);
2155 8 : if (cmpii(v,pov2) > 0) v = subii(p,v);
2156 8 : return v;
2157 : }
2158 :
2159 : /* Return NULL if p is found to be composite */
2160 : static GEN
2161 5190 : Fp_2gener_all(long e, GEN p)
2162 : {
2163 : GEN y, m;
2164 : long k;
2165 5190 : GEN q = shifti(subiu(p,1), -e); /* q = (p-1)/2^oo is odd */
2166 5190 : if (e==0 && !equaliu(p,2)) return NULL;
2167 8318 : for (k=2; ; k++)
2168 : {
2169 8318 : long i = krosi(k, p);
2170 8318 : if (i >= 0)
2171 : {
2172 3128 : if (i) continue;
2173 0 : return NULL;
2174 : }
2175 5190 : y = m = Fp_pow(utoi(k), q, p);
2176 12813 : for (i=1; i<e; i++)
2177 7623 : if (equali1(m = Fp_sqr(m, p))) break;
2178 5190 : if (i == e) break; /* success */
2179 3128 : }
2180 5190 : return y;
2181 : }
2182 :
2183 : /* Return NULL if p is found to be composite */
2184 : GEN
2185 0 : Fp_2gener(GEN p)
2186 0 : { return Fp_2gener_all(vali(subis(p,1)),p); }
2187 :
2188 : /* Tonelli-Shanks. Assume p is prime and return NULL if (a,p) = -1. */
2189 : GEN
2190 2331790 : Fp_sqrt_i(GEN a, GEN y, GEN p)
2191 : {
2192 2331790 : pari_sp av = avma, av1;
2193 : long i, k, e;
2194 : GEN p1, q, v, w;
2195 :
2196 2331790 : if (typ(a) != t_INT) pari_err_TYPE("Fp_sqrt",a);
2197 2331790 : if (typ(p) != t_INT) pari_err_TYPE("Fp_sqrt",p);
2198 2331790 : if (signe(p) <= 0 || equali1(p)) pari_err_PRIME("Fp_sqrt",p);
2199 2331790 : if (lgefint(p) == 3)
2200 : {
2201 2321684 : ulong pp = uel(p,2), u = Fl_sqrt(umodiu(a, pp), pp);
2202 2321670 : if (u == ~0UL) return NULL;
2203 2321621 : return utoi(u);
2204 : }
2205 :
2206 10106 : p1 = subiu(p,1); e = vali(p1);
2207 10106 : a = modii(a, p);
2208 :
2209 : /* On average, the algorithm of Cipolla is better than the algorithm of
2210 : * Tonelli and Shanks if and only if e(e-1)>8*log2(n)+20
2211 : * see LNCS 2286 pp 430 [GTL] */
2212 10106 : if (e*(e-1) > 20 + 8 * expi(p))
2213 : {
2214 8 : v = sqrt_Cipolla(a,p);
2215 8 : if (!v) { avma = av; return NULL; }
2216 8 : return gerepileuptoint(av,v);
2217 : }
2218 :
2219 10098 : if (e == 0) /* p = 2 */
2220 : {
2221 0 : avma = av;
2222 0 : if (!absequaliu(p,2)) pari_err_PRIME("Fp_sqrt [modulus]",p);
2223 0 : if (!signe(a) || !mod2(a)) return gen_0;
2224 0 : return gen_1;
2225 : }
2226 10098 : q = shifti(p1,-e); /* q = (p-1)/2^oo is odd */
2227 10098 : if (e == 1) y = p1;
2228 5190 : else if (!y) y = Fp_2gener_all(e, p);
2229 10098 : if (!y) pari_err_PRIME("Fp_sqrt [modulus]",p);
2230 10098 : p1 = Fp_pow(a, shifti(q,-1), p); /* a ^ [(q-1)/2] */
2231 10098 : if (!signe(p1)) { avma=av; return gen_0; }
2232 10091 : v = Fp_mul(a, p1, p);
2233 10091 : w = Fp_mul(v, p1, p);
2234 23986 : while (!equali1(w))
2235 : { /* a*w = v^2, y primitive 2^e-th root of 1
2236 : a square --> w even power of y, hence w^(2^(e-1)) = 1 */
2237 3814 : p1 = Fp_sqr(w,p);
2238 3814 : for (k=1; !equali1(p1) && k < e; k++) p1 = Fp_sqr(p1,p);
2239 3814 : if (k == e) { avma=av; return NULL; } /* p composite or (a/p) != 1 */
2240 : /* w ^ (2^k) = 1 --> w = y ^ (u * 2^(e-k)), u odd */
2241 3804 : p1 = y;
2242 3804 : for (i=1; i < e-k; i++) p1 = Fp_sqr(p1,p);
2243 3804 : y = Fp_sqr(p1, p); e = k;
2244 3804 : w = Fp_mul(y, w, p);
2245 3804 : v = Fp_mul(v, p1, p);
2246 3804 : if (gc_needed(av,1))
2247 : {
2248 0 : if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"Fp_sqrt");
2249 0 : gerepileall(av,3, &y,&w,&v);
2250 : }
2251 : }
2252 10081 : av1 = avma;
2253 10081 : p1 = subii(p,v); if (cmpii(v,p1) > 0) v = p1; else avma = av1;
2254 10081 : return gerepileuptoint(av, v);
2255 : }
2256 :
2257 : GEN
2258 2331790 : Fp_sqrt(GEN a, GEN p)
2259 : {
2260 2331790 : return Fp_sqrt_i(a, NULL, p);
2261 : }
2262 :
2263 : /*********************************************************************/
2264 : /** **/
2265 : /** GCD & BEZOUT **/
2266 : /** **/
2267 : /*********************************************************************/
2268 :
2269 : GEN
2270 7353108 : lcmii(GEN x, GEN y)
2271 : {
2272 : pari_sp av;
2273 : GEN a, b;
2274 7353108 : if (!signe(x) || !signe(y)) return gen_0;
2275 7353108 : av = avma;
2276 7353108 : a = gcdii(x,y); if (!equali1(a)) y = diviiexact(y,a);
2277 7353108 : b = mulii(x,y); setabssign(b); return gerepileuptoint(av, b);
2278 : }
2279 :
2280 : /*********************************************************************/
2281 : /** **/
2282 : /** CHINESE REMAINDERS **/
2283 : /** **/
2284 : /*********************************************************************/
2285 :
2286 : /* Chinese Remainder Theorem. x and y must have the same type (integermod,
2287 : * polymod, or polynomial/vector/matrix recursively constructed with these
2288 : * as coefficients). Creates (with the same type) a z in the same residue
2289 : * class as x and the same residue class as y, if it is possible.
2290 : *
2291 : * We also allow (during recursion) two identical objects even if they are
2292 : * not integermod or polymod. For example:
2293 : *
2294 : * ? x = [1, Mod(5, 11), Mod(X + Mod(2, 7), X^2 + 1)];
2295 : * ? y = [1, Mod(7, 17), Mod(X + Mod(0, 3), X^2 + 1)];
2296 : * ? chinese(x, y)
2297 : * %3 = [1, Mod(16, 187), Mod(X + mod(9, 21), X^2 + 1)] */
2298 :
2299 : static GEN
2300 706003 : gen_chinese(GEN x, GEN(*f)(GEN,GEN))
2301 : {
2302 706003 : GEN z = gassoc_proto(f,x,NULL);
2303 705996 : if (z == gen_1) retmkintmod(gen_0,gen_1);
2304 705968 : return z;
2305 : }
2306 :
2307 : /* x t_INTMOD, y t_POLMOD; promote x to t_POLMOD mod Pol(x.mod) then
2308 : * call chinese: makes Mod(0,1) a better "neutral" element */
2309 : static GEN
2310 21 : chinese_intpol(GEN x,GEN y)
2311 : {
2312 21 : pari_sp av = avma;
2313 21 : GEN z = mkpolmod(gel(x,2), scalarpol_shallow(gel(x,1), varn(gel(y,1))));
2314 21 : return gerepileupto(av, chinese(z, y));
2315 : }
2316 :
2317 : GEN
2318 175 : chinese1(GEN x) { return gen_chinese(x,chinese); }
2319 :
2320 : GEN
2321 16520 : chinese(GEN x, GEN y)
2322 : {
2323 : pari_sp av;
2324 16520 : long tx = typ(x), ty;
2325 : GEN z,p1,p2,d,u,v;
2326 :
2327 16520 : if (!y) return chinese1(x);
2328 16471 : if (gidentical(x,y)) return gcopy(x);
2329 16464 : ty = typ(y);
2330 16464 : if (tx == ty) switch(tx)
2331 : {
2332 : case t_POLMOD:
2333 : {
2334 28 : GEN A = gel(x,1), B = gel(y,1);
2335 28 : GEN a = gel(x,2), b = gel(y,2);
2336 28 : if (varn(A)!=varn(B)) pari_err_VAR("chinese",A,B);
2337 28 : if (RgX_equal(A,B)) retmkpolmod(chinese(a,b), gcopy(A)); /*same modulus*/
2338 28 : av = avma;
2339 28 : d = RgX_extgcd(A,B,&u,&v);
2340 28 : p2 = gsub(b, a);
2341 28 : if (!gequal0(gmod(p2, d))) break;
2342 28 : p1 = gdiv(A,d);
2343 28 : p2 = gadd(a, gmul(gmul(u,p1), p2));
2344 :
2345 28 : z = cgetg(3, t_POLMOD);
2346 28 : gel(z,1) = gmul(p1,B);
2347 28 : gel(z,2) = gmod(p2,gel(z,1));
2348 28 : return gerepileupto(av, z);
2349 : }
2350 : case t_INTMOD:
2351 : {
2352 16401 : GEN A = gel(x,1), B = gel(y,1);
2353 16401 : GEN a = gel(x,2), b = gel(y,2), c, d, C, U;
2354 16401 : z = cgetg(3,t_INTMOD);
2355 16401 : Z_chinese_pre(A, B, &C, &U, &d);
2356 16401 : c = Z_chinese_post(a, b, C, U, d);
2357 16401 : if (!c) pari_err_OP("chinese", x,y);
2358 16401 : gel(z,1) = icopy_avma(C, (pari_sp)z);
2359 16401 : gel(z,2) = icopy_avma(c, (pari_sp)gel(z,1));
2360 16401 : avma = (pari_sp)gel(z,2); return z;
2361 : }
2362 : case t_POL:
2363 : {
2364 7 : long i, lx = lg(x), ly = lg(y);
2365 7 : if (varn(x) != varn(y)) break;
2366 7 : if (lx < ly) { swap(x,y); lswap(lx,ly); }
2367 7 : z = cgetg(lx, t_POL); z[1] = x[1];
2368 7 : for (i=2; i<ly; i++) gel(z,i) = chinese(gel(x,i),gel(y,i));
2369 7 : for ( ; i<lx; i++) gel(z,i) = gcopy(gel(x,i));
2370 7 : return z;
2371 : }
2372 :
2373 : case t_VEC: case t_COL: case t_MAT:
2374 : {
2375 : long i, lx;
2376 7 : z = cgetg_copy(x, &lx); if (lx!=lg(y)) break;
2377 7 : for (i=1; i<lx; i++) gel(z,i) = chinese(gel(x,i),gel(y,i));
2378 7 : return z;
2379 : }
2380 : }
2381 21 : if (tx == t_POLMOD && ty == t_INTMOD) return chinese_intpol(y,x);
2382 7 : if (ty == t_POLMOD && tx == t_INTMOD) return chinese_intpol(x,y);
2383 0 : pari_err_OP("chinese",x,y);
2384 : return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
2385 : }
2386 :
2387 : /* init chinese(Mod(.,A), Mod(.,B)) */
2388 : void
2389 218455 : Z_chinese_pre(GEN A, GEN B, GEN *pC, GEN *pU, GEN *pd)
2390 : {
2391 218455 : GEN u, d = bezout(A,B,&u,NULL); /* U = u(A/d), u(A/d) + v(B/d) = 1 */
2392 218455 : GEN t = diviiexact(A,d);
2393 218455 : *pU = mulii(u, t);
2394 218455 : *pC = mulii(t, B);
2395 218455 : if (pd) *pd = d;
2396 218455 : }
2397 : /* Assume C = lcm(A, B), U = 0 mod (A/d), U = 1 mod (B/d), a = b mod d,
2398 : * where d = gcd(A,B) or NULL, return x = a (mod A), b (mod B).
2399 : * If d not NULL, check wether a = b mod d. */
2400 : GEN
2401 791080 : Z_chinese_post(GEN a, GEN b, GEN C, GEN U, GEN d)
2402 : {
2403 : GEN b_a;
2404 791080 : if (!signe(a))
2405 : {
2406 428308 : if (d && remii(b, d) != gen_0) return NULL;
2407 428308 : return Fp_mul(b, U, C);
2408 : }
2409 362772 : b_a = subii(b,a);
2410 362772 : if (d && remii(b_a, d) != gen_0) return NULL;
2411 362772 : return modii(addii(a, mulii(U, b_a)), C);
2412 : }
2413 : static ulong
2414 79276 : u_chinese_post(ulong a, ulong b, ulong C, ulong U)
2415 : {
2416 79276 : if (!a) return Fl_mul(b, U, C);
2417 79276 : return Fl_add(a, Fl_mul(U, Fl_sub(b,a,C), C), C);
2418 : }
2419 :
2420 : GEN
2421 2142 : Z_chinese(GEN a, GEN b, GEN A, GEN B)
2422 : {
2423 2142 : pari_sp av = avma;
2424 2142 : GEN C, U; Z_chinese_pre(A, B, &C, &U, NULL);
2425 2142 : return gerepileuptoint(av, Z_chinese_post(a,b, C, U, NULL));
2426 : }
2427 : GEN
2428 199856 : Z_chinese_all(GEN a, GEN b, GEN A, GEN B, GEN *pC)
2429 : {
2430 199856 : GEN U; Z_chinese_pre(A, B, pC, &U, NULL);
2431 199856 : return Z_chinese_post(a,b, *pC, U, NULL);
2432 : }
2433 :
2434 : /* return lift(chinese(a mod A, b mod B))
2435 : * assume(A,B)=1, a,b,A,B integers and C = A*B */
2436 : GEN
2437 1050 : Z_chinese_coprime(GEN a, GEN b, GEN A, GEN B, GEN C)
2438 : {
2439 1050 : pari_sp av = avma;
2440 1050 : GEN U = mulii(Fp_inv(A,B), A);
2441 1050 : return gerepileuptoint(av, Z_chinese_post(a,b,C,U, NULL));
2442 : }
2443 : ulong
2444 79276 : u_chinese_coprime(ulong a, ulong b, ulong A, ulong B, ulong C)
2445 79276 : { return u_chinese_post(a,b,C, A * Fl_inv(A % B,B)); }
2446 :
2447 : /* chinese1 for coprime moduli in Z */
2448 : static GEN
2449 571309 : chinese1_coprime_Z_aux(GEN x, GEN y)
2450 : {
2451 571309 : GEN z = cgetg(3, t_INTMOD);
2452 571309 : GEN A = gel(x,1), a = gel(x, 2);
2453 571309 : GEN B = gel(y,1), b = gel(y, 2), C = mulii(A,B);
2454 571309 : pari_sp av = avma;
2455 571309 : GEN U = mulii(Fp_inv(A,B), A);
2456 571309 : gel(z,2) = gerepileuptoint(av, Z_chinese_post(a,b,C,U, NULL));
2457 571309 : gel(z,1) = C; return z;
2458 : }
2459 : GEN
2460 705828 : chinese1_coprime_Z(GEN x) {return gen_chinese(x,chinese1_coprime_Z_aux);}
2461 :
2462 : /*********************************************************************/
2463 : /** **/
2464 : /** MODULAR EXPONENTIATION **/
2465 : /** **/
2466 : /*********************************************************************/
2467 :
2468 : /* xa, ya = t_VECSMALL */
2469 : GEN
2470 69017 : ZV_producttree(GEN xa)
2471 : {
2472 69017 : long n = lg(xa)-1;
2473 69017 : long m = n==1 ? 1: expu(n-1)+1;
2474 69017 : GEN T = cgetg(m+1, t_VEC), t;
2475 : long i, j, k;
2476 69011 : t = cgetg(((n+1)>>1)+1, t_VEC);
2477 69012 : if (typ(xa)==t_VECSMALL)
2478 : {
2479 176075 : for (j=1, k=1; k<n; j++, k+=2)
2480 131384 : gel(t, j) = muluu(xa[k], xa[k+1]);
2481 44691 : if (k==n) gel(t, j) = utoi(xa[k]);
2482 : } else {
2483 111904 : for (j=1, k=1; k<n; j++, k+=2)
2484 87579 : gel(t, j) = mulii(gel(xa,k), gel(xa,k+1));
2485 24325 : if (k==n) gel(t, j) = icopy(gel(xa,k));
2486 : }
2487 69016 : gel(T,1) = t;
2488 161216 : for (i=2; i<=m; i++)
2489 : {
2490 92200 : GEN u = gel(T, i-1);
2491 92200 : long n = lg(u)-1;
2492 92200 : t = cgetg(((n+1)>>1)+1, t_VEC);
2493 269140 : for (j=1, k=1; k<n; j++, k+=2)
2494 176940 : gel(t, j) = mulii(gel(u, k), gel(u, k+1));
2495 92200 : if (k==n) gel(t, j) = gel(u, k);
2496 92200 : gel(T, i) = t;
2497 : }
2498 69016 : return T;
2499 : }
2500 :
2501 : GEN
2502 772491 : Z_ZV_mod_tree(GEN P, GEN xa, GEN T)
2503 : {
2504 : long i,j,k;
2505 772491 : long m = lg(T)-1, n = lg(xa)-1;
2506 : GEN t;
2507 772491 : GEN Tp = cgetg(m+1, t_VEC);
2508 772436 : gel(Tp, m) = mkvec(P);
2509 1436624 : for (i=m-1; i>=1; i--)
2510 : {
2511 664239 : GEN u = gel(T, i);
2512 664239 : GEN v = gel(Tp, i+1);
2513 664239 : long n = lg(u)-1;
2514 664239 : t = cgetg(n+1, t_VEC);
2515 1646804 : for (j=1, k=1; k<n; j++, k+=2)
2516 : {
2517 982543 : gel(t, k) = modii(gel(v, j), gel(u, k));
2518 982553 : gel(t, k+1) = modii(gel(v, j), gel(u, k+1));
2519 : }
2520 664261 : if (k==n) gel(t, k) = gel(v, j);
2521 664261 : gel(Tp, i) = t;
2522 : }
2523 : {
2524 772385 : GEN u = gel(T, i+1);
2525 772385 : GEN v = gel(Tp, i+1);
2526 772385 : long l = lg(u)-1;
2527 772385 : if (typ(xa)==t_VECSMALL)
2528 : {
2529 703371 : GEN R = cgetg(n+1, t_VECSMALL);
2530 2212389 : for (j=1, k=1; j<=l; j++, k+=2)
2531 : {
2532 1508936 : uel(R,k) = umodiu(gel(v, j), xa[k]);
2533 1509018 : if (k < n)
2534 1253477 : uel(R,k+1) = umodiu(gel(v, j), xa[k+1]);
2535 : }
2536 703453 : return R;
2537 : }
2538 : else
2539 : {
2540 69014 : GEN R = cgetg(n+1, t_VEC);
2541 314975 : for (j=1, k=1; j<=l; j++, k+=2)
2542 : {
2543 245955 : gel(R,k) = modii(gel(v, j), gel(xa,k));
2544 245959 : if (k < n)
2545 218970 : gel(R,k+1) = modii(gel(v, j), gel(xa,k+1));
2546 : }
2547 69020 : return R;
2548 : }
2549 : }
2550 : }
2551 :
2552 : static GEN
2553 2190509 : ZV_polint_tree(GEN T, GEN R, GEN xa, GEN ya)
2554 : {
2555 2190509 : long m = lg(T)-1, n = lg(ya)-1;
2556 : long i,j,k;
2557 2190509 : GEN Tp = cgetg(m+1, t_VEC);
2558 2181323 : GEN M = gel(T, 1);
2559 2181323 : GEN t = cgetg(lg(M), t_VEC);
2560 2214339 : if (typ(xa)==t_VECSMALL)
2561 : {
2562 18005779 : for (j=1, k=1; k<n; j++, k+=2)
2563 : {
2564 15860265 : pari_sp av = avma;
2565 15860265 : GEN a = mului(ya[k], gel(R,k)), b = mului(ya[k+1], gel(R,k+1));
2566 15760911 : GEN tj = modii(addii(mului(xa[k],b), mului(xa[k+1],a)), gel(M,j));
2567 15755683 : gel(t, j) = gerepileuptoint(av, tj);
2568 : }
2569 2145514 : if (k==n) gel(t, j) = modii(mului(ya[k], gel(R,k)), gel(M, j));
2570 : } else
2571 : {
2572 111904 : for (j=1, k=1; k<n; j++, k+=2)
2573 : {
2574 87579 : pari_sp av = avma;
2575 87579 : GEN a = mulii(gel(ya,k), gel(R,k)), b = mulii(gel(ya,k+1), gel(R,k+1));
2576 87579 : GEN tj = modii(addii(mulii(gel(xa,k),b), mulii(gel(xa,k+1),a)), gel(M,j));
2577 87579 : gel(t, j) = gerepileuptoint(av, tj);
2578 : }
2579 24325 : if (k==n) gel(t, j) = modii(mulii(gel(ya,k), gel(R,k)), gel(M, j));
2580 : }
2581 2168922 : gel(Tp, 1) = t;
2582 8357782 : for (i=2; i<=m; i++)
2583 : {
2584 6183623 : GEN u = gel(T, i-1), M = gel(T, i);
2585 6183623 : GEN t = cgetg(lg(M), t_VEC);
2586 6287897 : GEN v = gel(Tp, i-1);
2587 6287897 : long n = lg(v)-1;
2588 20676976 : for (j=1, k=1; k<n; j++, k+=2)
2589 : {
2590 14488116 : pari_sp av = avma;
2591 57952464 : gel(t, j) = gerepileuptoint(av, modii(addii(mulii(gel(u, k), gel(v, k+1)),
2592 43464348 : mulii(gel(u, k+1), gel(v, k))), gel(M, j)));
2593 : }
2594 6188860 : if (k==n) gel(t, j) = gel(v, k);
2595 6188860 : gel(Tp, i) = t;
2596 : }
2597 2174159 : return gmael(Tp,m,1);
2598 : }
2599 :
2600 : static GEN
2601 2137283 : ZV_polint_center_tree(GEN T, GEN R, GEN xa, GEN ya, GEN m2)
2602 : {
2603 2137283 : GEN mod = gmael(T, lg(T)-1, 1);
2604 2137283 : GEN a = ZV_polint_tree(T, R, xa, ya);
2605 2110131 : return Fp_center(a, mod, m2);
2606 : }
2607 :
2608 : static GEN
2609 41126 : ncV_polint_center_tree(GEN T, GEN R, GEN xa, GEN Va, GEN m2)
2610 : {
2611 41126 : long i, j, l = lg(gel(Va,1)), n = lg(xa);
2612 41126 : GEN V = cgetg(l, t_COL);
2613 2173955 : for(i=1; i < l; i++)
2614 : {
2615 2132488 : pari_sp av = avma;
2616 2132488 : GEN ya = cgetg(n, t_VECSMALL);
2617 35059272 : for(j=1; j < n; j++)
2618 32918630 : ya[j] = mael(Va,j,i);
2619 2140642 : gel(V,i) = gerepilecopy(av, ZV_polint_center_tree(T, R, xa, ya, m2));
2620 : }
2621 41467 : return V;
2622 : }
2623 :
2624 : GEN
2625 38294 : nmV_polint_center_tree_worker(GEN Va, GEN T, GEN R, GEN xa, GEN m2)
2626 : {
2627 38294 : return ncV_polint_center_tree(T, R, xa, Va, m2);
2628 : }
2629 :
2630 : static GEN
2631 2118 : nmV_polint_center_tree(GEN T, GEN R, GEN xa, GEN Ma, GEN m2)
2632 : {
2633 2118 : long i, j, l = lg(gel(Ma,1)), n = lg(xa);
2634 2118 : long pending = 0, workid, cnt = 0;
2635 : struct pari_mt pt;
2636 : GEN worker, done, va, M;
2637 2118 : GEN ya = cgetg(n, t_VEC);
2638 2118 : worker = snm_closure(is_entry("_polint_worker"), mkvec4(T, R, xa, m2));
2639 2118 : va = mkvec(gen_0);
2640 2118 : M = cgetg(l, t_MAT);
2641 2118 : if (DEBUGLEVEL>2) err_printf("Start parallel Chinese remainder: ");
2642 2118 : mt_queue_start_lim(&pt, worker, l-1);
2643 44050 : for (i=1; i<l || pending; i++)
2644 : {
2645 615049 : for(j=1; j < n; j++)
2646 573117 : gel(ya,j) = gmael(Ma,j,i);
2647 41932 : gel(va, 1) = ya;
2648 41932 : mt_queue_submit(&pt, i, i<l? va: NULL);
2649 41932 : done = mt_queue_get(&pt, &workid, &pending);
2650 41932 : if (done)
2651 : {
2652 38676 : gel(M,workid) = done;
2653 38676 : if (DEBUGLEVEL>2) err_printf("%ld%% ",(++cnt)*100/(l-1));
2654 : }
2655 : }
2656 2118 : if (DEBUGLEVEL>2) err_printf("\n");
2657 2118 : mt_queue_end(&pt);
2658 2118 : return M;
2659 : }
2660 :
2661 : GEN
2662 0 : Z_ZV_mod(GEN P, GEN xa)
2663 : {
2664 0 : pari_sp av = avma;
2665 0 : GEN T = ZV_producttree(xa);
2666 0 : return gerepilecopy(av, Z_ZV_mod_tree(P, xa, T));
2667 : }
2668 :
2669 : GEN
2670 0 : Z_nv_mod(GEN P, GEN xa)
2671 : {
2672 0 : pari_sp av = avma;
2673 0 : GEN T = ZV_producttree(xa);
2674 0 : return gerepileuptoleaf(av, Z_ZV_mod_tree(P, xa, T));
2675 : }
2676 :
2677 : GEN
2678 44267 : ZX_nv_mod_tree(GEN P, GEN xa, GEN T)
2679 : {
2680 44267 : long i, j, l = lg(P), n = lg(xa)-1;
2681 44267 : GEN V = cgetg(n+1, t_VEC);
2682 219666 : for (j=1; j <= n; j++)
2683 : {
2684 175389 : gel(V, j) = cgetg(l, t_VECSMALL);
2685 175385 : mael(V, j, 1) = P[1]&VARNBITS;
2686 : }
2687 747709 : for (i=2; i < l; i++)
2688 : {
2689 703441 : GEN v = Z_ZV_mod_tree(gel(P, i), xa, T);
2690 3465971 : for (j=1; j <= n; j++)
2691 2762539 : mael(V, j, i) = v[j];
2692 : }
2693 219667 : for (j=1; j <= n; j++)
2694 175400 : (void) Flx_renormalize(gel(V, j), l);
2695 44267 : return V;
2696 : }
2697 :
2698 : static GEN
2699 69018 : ZV_sqr(GEN z)
2700 : {
2701 69018 : long i,l = lg(z);
2702 69018 : GEN x = cgetg(l, t_VEC);
2703 69016 : if (typ(z)==t_VECSMALL)
2704 44691 : for (i=1; i<l; i++) gel(x,i) = sqru(z[i]);
2705 : else
2706 24325 : for (i=1; i<l; i++) gel(x,i) = sqri(gel(z,i));
2707 69014 : return x;
2708 : }
2709 :
2710 : static GEN
2711 683136 : ZT_sqr(GEN z)
2712 : {
2713 683136 : if (typ(z) == t_INT)
2714 452905 : return sqri(z);
2715 : else
2716 : {
2717 230231 : long i,l = lg(z);
2718 230231 : GEN x = cgetg(l, t_VEC);
2719 230231 : for (i=1; i<l; i++) gel(x,i) = ZT_sqr(gel(z,i));
2720 230239 : return x;
2721 : }
2722 : }
2723 :
2724 : static GEN
2725 69017 : ZV_invdivexact(GEN y, GEN x)
2726 : {
2727 69017 : long i, l = lg(y);
2728 69017 : GEN z = cgetg(l,t_VEC);
2729 69017 : if (typ(x)==t_VECSMALL)
2730 324798 : for (i=1; i<l; i++)
2731 : {
2732 280107 : pari_sp av = avma;
2733 280107 : ulong a = Fl_inv(umodiu(diviuexact(gel(y,i),x[i]), x[i]), x[i]);
2734 280110 : avma = av;
2735 280110 : gel(z,i) = utoi(a);
2736 : }
2737 : else
2738 209142 : for (i=1; i<l; i++)
2739 184817 : gel(z,i) = Fp_inv(diviiexact(gel(y,i), gel(x,i)), gel(x,i));
2740 69016 : return z;
2741 : }
2742 :
2743 : static GEN
2744 69016 : ZV_chinesetree(GEN T, GEN xa)
2745 : {
2746 69016 : GEN T2 = ZT_sqr(T), xa2 = ZV_sqr(xa);
2747 69014 : GEN mod = gmael(T,lg(T)-1,1);
2748 69014 : return ZV_invdivexact(Z_ZV_mod_tree(mod, xa2, T2), xa);
2749 : }
2750 :
2751 : static GEN
2752 69014 : gc_chinese(pari_sp av, GEN T, GEN a, GEN *pt_mod)
2753 : {
2754 69014 : if (!pt_mod)
2755 2118 : return gerepileupto(av, a);
2756 : else
2757 : {
2758 66896 : GEN mod = gmael(T, lg(T)-1, 1);
2759 66896 : gerepileall(av, 2, &a, &mod);
2760 66898 : *pt_mod = mod;
2761 66898 : return a;
2762 : }
2763 : }
2764 :
2765 : GEN
2766 39739 : ZV_chinese_tree(GEN A, GEN P, GEN T, GEN *pt_mod)
2767 : {
2768 39739 : pari_sp av = avma;
2769 39739 : GEN R = ZV_chinesetree(T, P);
2770 39736 : GEN a = ZV_polint_tree(T, R, P, A);
2771 39734 : return gc_chinese(av, T, a, pt_mod);
2772 : }
2773 :
2774 : GEN
2775 24325 : ZV_chinese(GEN A, GEN P, GEN *pt_mod)
2776 : {
2777 24325 : pari_sp av = avma;
2778 24325 : GEN T = ZV_producttree(P);
2779 24325 : GEN R = ZV_chinesetree(T, P);
2780 24325 : GEN a = ZV_polint_tree(T, R, P, A);
2781 24325 : return gc_chinese(av, T, a, pt_mod);
2782 : }
2783 :
2784 : GEN
2785 2836 : ncV_chinese_center(GEN A, GEN P, GEN *pt_mod)
2786 : {
2787 2836 : pari_sp av = avma;
2788 2836 : GEN T = ZV_producttree(P);
2789 2836 : GEN R = ZV_chinesetree(T, P);
2790 2836 : GEN m2 = shifti(gmael(T, lg(T)-1, 1), -1);
2791 2836 : GEN a = ncV_polint_center_tree(T, R, P, A, m2);
2792 2836 : return gc_chinese(av, T, a, pt_mod);
2793 : }
2794 :
2795 : GEN
2796 2118 : nmV_chinese_center(GEN A, GEN P, GEN *pt_mod)
2797 : {
2798 2118 : pari_sp av = avma;
2799 2118 : GEN T = ZV_producttree(P);
2800 2118 : GEN R = ZV_chinesetree(T, P);
2801 2118 : GEN m2 = shifti(gmael(T, lg(T)-1, 1), -1);
2802 2118 : GEN a = nmV_polint_center_tree(T, R, P, A, m2);
2803 2118 : return gc_chinese(av, T, a, pt_mod);
2804 : }
2805 :
2806 : /**********************************************************************
2807 : ** **
2808 : ** Powering over (Z/NZ)^*, small N **
2809 : ** **
2810 : **********************************************************************/
2811 :
2812 : /* 2^n mod p; assume n > 1 */
2813 : static ulong
2814 13773453 : Fl_2powu_pre(ulong n, ulong p, ulong pi)
2815 : {
2816 13773453 : ulong y = 2;
2817 13773453 : int j = 1+bfffo(n);
2818 : /* normalize, i.e set highest bit to 1 (we know n != 0) */
2819 13773453 : n<<=j; j = BITS_IN_LONG-j; /* first bit is now implicit */
2820 173091759 : for (; j; n<<=1,j--)
2821 : {
2822 159318326 : y = Fl_sqr_pre(y,p,pi);
2823 159318296 : if (n & HIGHBIT) y = Fl_double(y, p);
2824 : }
2825 13773433 : return y;
2826 : }
2827 :
2828 : /* 2^n mod p; assume n > 1 and !(p & HIGHMASK) */
2829 : static ulong
2830 4822644 : Fl_2powu(ulong n, ulong p)
2831 : {
2832 4822644 : ulong y = 2;
2833 4822644 : int j = 1+bfffo(n);
2834 : /* normalize, i.e set highest bit to 1 (we know n != 0) */
2835 4822644 : n<<=j; j = BITS_IN_LONG-j; /* first bit is now implicit */
2836 59387110 : for (; j; n<<=1,j--)
2837 : {
2838 54577770 : y = (y*y) % p;
2839 54577770 : if (n & HIGHBIT) y = Fl_double(y, p);
2840 : }
2841 4809340 : return y;
2842 : }
2843 :
2844 : ulong
2845 78960080 : Fl_powu_pre(ulong x, ulong n0, ulong p, ulong pi)
2846 : {
2847 : ulong y, z, n;
2848 78960080 : if (n0 <= 1)
2849 : { /* frequent special cases */
2850 9269491 : if (n0 == 1) return x;
2851 3497208 : if (n0 == 0) return 1;
2852 : }
2853 69690589 : if (x <= 2)
2854 : {
2855 14796868 : if (x == 2) return Fl_2powu_pre(n0, p, pi);
2856 1023511 : return x; /* 0 or 1 */
2857 : }
2858 54893721 : y = 1; z = x; n = n0;
2859 : for(;;)
2860 : {
2861 515111141 : if (n&1) y = Fl_mul_pre(y,z,p,pi);
2862 515552739 : n>>=1; if (!n) return y;
2863 460676506 : z = Fl_sqr_pre(z,p,pi);
2864 460217420 : }
2865 : }
2866 :
2867 : ulong
2868 23448161 : Fl_powu(ulong x, ulong n0, ulong p)
2869 : {
2870 : ulong y, z, n;
2871 23448161 : if (n0 <= 2)
2872 : { /* frequent special cases */
2873 12636453 : if (n0 == 2) return Fl_sqr(x,p);
2874 4376181 : if (n0 == 1) return x;
2875 2617 : if (n0 == 0) return 1;
2876 : }
2877 10811708 : if (x <= 1) return x; /* 0 or 1 */
2878 10777169 : if (p & HIGHMASK)
2879 2087088 : return Fl_powu_pre(x, n0, p, get_Fl_red(p));
2880 8690081 : if (x == 2) return Fl_2powu(n0, p);
2881 3887081 : y = 1; z = x; n = n0;
2882 : for(;;)
2883 : {
2884 29198017 : if (n&1) y = (y*z) % p;
2885 29198017 : n>>=1; if (!n) return y;
2886 25310936 : z = (z*z) % p;
2887 25310936 : }
2888 : }
2889 :
2890 : /* Reduce data dependency to maximize internal parallelism */
2891 : GEN
2892 8312354 : Fl_powers_pre(ulong x, long n, ulong p, ulong pi)
2893 : {
2894 : long i, k;
2895 8312354 : GEN powers = cgetg(n + 2, t_VECSMALL);
2896 8323817 : powers[1] = 1; if (n == 0) return powers;
2897 8323817 : powers[2] = x;
2898 43914188 : for (i = 3, k=2; i <= n; i+=2, k++)
2899 : {
2900 35608226 : powers[i] = Fl_mul_pre(powers[k], powers[k], p, pi);
2901 35592656 : powers[i+1] = Fl_mul_pre(powers[k], powers[k+1], p, pi);
2902 : }
2903 8305962 : if (i==n+1)
2904 7353341 : powers[i] = Fl_mul_pre(powers[k], powers[k], p, pi);
2905 8306022 : return powers;
2906 : }
2907 :
2908 : GEN
2909 1520 : Fl_powers(ulong x, long n, ulong p)
2910 : {
2911 1520 : return Fl_powers_pre(x, n, p, get_Fl_red(p));
2912 : }
2913 :
2914 : /**********************************************************************
2915 : ** **
2916 : ** Powering over (Z/NZ)^*, large N **
2917 : ** **
2918 : **********************************************************************/
2919 :
2920 : static GEN
2921 474075 : Fp_dblsqr(GEN x, GEN N)
2922 : {
2923 474075 : GEN z = shifti(Fp_sqr(x, N), 1);
2924 474075 : return cmpii(z, N) >= 0? subii(z, N): z;
2925 : }
2926 :
2927 : typedef struct muldata {
2928 : GEN (*sqr)(void * E, GEN x);
2929 : GEN (*mul)(void * E, GEN x, GEN y);
2930 : GEN (*mul2)(void * E, GEN x);
2931 : } muldata;
2932 :
2933 : /* modified Barrett reduction with one fold */
2934 : /* See Fast Modular Reduction, W. Hasenplaugh, G. Gaubatz, V. Gopal, ARITH 18 */
2935 :
2936 : static GEN
2937 4970 : Fp_invmBarrett(GEN p, long s)
2938 : {
2939 4970 : GEN R, Q = dvmdii(int2n(3*s),p,&R);
2940 4970 : return mkvec2(Q,R);
2941 : }
2942 :
2943 : /* a <= (N-1)^2, 2^(2s-2) <= N < 2^(2s). Return 0 <= r < N such that
2944 : * a = r (mod N) */
2945 : static GEN
2946 330990 : Fp_rem_mBarrett(GEN a, GEN B, long s, GEN N)
2947 : {
2948 330990 : pari_sp av = avma;
2949 330990 : GEN P = gel(B, 1), Q = gel(B, 2); /* 2^(3s) = P N + Q, 0 <= Q < N */
2950 330990 : long t = expi(P)+1; /* 2^(t-1) <= P < 2^t */
2951 330990 : GEN u = shifti(a, -3*s), v = remi2n(a, 3*s); /* a = 2^(3s)u + v */
2952 330990 : GEN A = addii(v, mulii(Q,u)); /* 0 <= A < 2^(3s+1) */
2953 330990 : GEN q = shifti(mulii(shifti(A, t-3*s), P), -t); /* A/N - 4 < q <= A/N */
2954 330990 : GEN r = subii(A, mulii(q, N));
2955 330990 : GEN sr= subii(r,N); /* 0 <= r < 4*N */
2956 330990 : if (signe(sr)<0) return gerepileuptoint(av, r);
2957 308640 : r=sr; sr = subii(r,N); /* 0 <= r < 3*N */
2958 308640 : if (signe(sr)<0) return gerepileuptoint(av, r);
2959 11668 : r=sr; sr = subii(r,N); /* 0 <= r < 2*N */
2960 11668 : return gerepileuptoint(av, signe(sr)>=0 ? sr:r);
2961 : }
2962 :
2963 : /* Montgomery reduction */
2964 :
2965 : INLINE ulong
2966 301964 : init_montdata(GEN N) { return (ulong) -invmod2BIL(mod2BIL(N)); }
2967 :
2968 : struct montred
2969 : {
2970 : GEN N;
2971 : ulong inv;
2972 : };
2973 :
2974 : /* Montgomery reduction */
2975 : static GEN
2976 13654736 : _sqr_montred(void * E, GEN x)
2977 : {
2978 13654736 : struct montred * D = (struct montred *) E;
2979 13654736 : return red_montgomery(sqri(x), D->N, D->inv);
2980 : }
2981 :
2982 : /* Montgomery reduction */
2983 : static GEN
2984 1322156 : _mul_montred(void * E, GEN x, GEN y)
2985 : {
2986 1322156 : struct montred * D = (struct montred *) E;
2987 1322156 : return red_montgomery(mulii(x, y), D->N, D->inv);
2988 : }
2989 :
2990 : static GEN
2991 1109533 : _mul2_montred(void * E, GEN x)
2992 : {
2993 1109533 : struct montred * D = (struct montred *) E;
2994 1109533 : GEN z = shifti(_sqr_montred(E, x), 1);
2995 1109531 : long l = lgefint(D->N);
2996 1109531 : while (lgefint(z) > l) z = subii(z, D->N);
2997 1109533 : return z;
2998 : }
2999 :
3000 : static GEN
3001 3747858 : _sqr_remii(void* N, GEN x)
3002 3747858 : { return remii(sqri(x), (GEN) N); }
3003 :
3004 : static GEN
3005 252903 : _mul_remii(void* N, GEN x, GEN y)
3006 252903 : { return remii(mulii(x, y), (GEN) N); }
3007 :
3008 : static GEN
3009 456529 : _mul2_remii(void* N, GEN x)
3010 456529 : { return Fp_dblsqr(x, (GEN) N); }
3011 :
3012 : struct redbarrett
3013 : {
3014 : GEN iM, N;
3015 : long s;
3016 : };
3017 :
3018 : static GEN
3019 322423 : _sqr_remiibar(void *E, GEN x)
3020 : {
3021 322423 : struct redbarrett * D = (struct redbarrett *) E;
3022 322423 : return Fp_rem_mBarrett(sqri(x), D->iM, D->s, D->N);
3023 : }
3024 :
3025 : static GEN
3026 8567 : _mul_remiibar(void *E, GEN x, GEN y)
3027 : {
3028 8567 : struct redbarrett * D = (struct redbarrett *) E;
3029 8567 : return Fp_rem_mBarrett(mulii(x, y), D->iM, D->s, D->N);
3030 : }
3031 :
3032 : static GEN
3033 17546 : _mul2_remiibar(void *E, GEN x)
3034 : {
3035 17546 : struct redbarrett * D = (struct redbarrett *) E;
3036 17546 : return Fp_dblsqr(x, D->N);
3037 : }
3038 :
3039 : static long
3040 384661 : Fp_select_red(GEN *y, ulong k, GEN N, long lN, muldata *D, void **pt_E)
3041 : {
3042 384661 : if (lN >= Fp_POW_BARRETT_LIMIT && (k==0 || ((double)k)*expi(*y) > 2 + expi(N)))
3043 : {
3044 4970 : struct redbarrett * E = (struct redbarrett *) stack_malloc(sizeof(struct redbarrett));
3045 4970 : D->sqr = &_sqr_remiibar;
3046 4970 : D->mul = &_mul_remiibar;
3047 4970 : D->mul2 = &_mul2_remiibar;
3048 4970 : E->N = N;
3049 4970 : E->s = 1+(expi(N)>>1);
3050 4970 : E->iM = Fp_invmBarrett(N, E->s);
3051 4970 : *pt_E = (void*) E;
3052 4970 : return 0;
3053 : }
3054 379691 : else if (mod2(N) && lN < Fp_POW_REDC_LIMIT)
3055 : {
3056 301990 : struct montred * E = (struct montred *) stack_malloc(sizeof(struct montred));
3057 301989 : *y = remii(shifti(*y, bit_accuracy(lN)), N);
3058 301982 : D->sqr = &_sqr_montred;
3059 301982 : D->mul = &_mul_montred;
3060 301982 : D->mul2 = &_mul2_montred;
3061 301982 : E->N = N;
3062 301982 : E->inv = init_montdata(N);
3063 301961 : *pt_E = (void*) E;
3064 301961 : return 1;
3065 : }
3066 : else
3067 : {
3068 77705 : D->sqr = &_sqr_remii;
3069 77705 : D->mul = &_mul_remii;
3070 77705 : D->mul2 = &_mul2_remii;
3071 77705 : *pt_E = (void*) N;
3072 77705 : return 0;
3073 : }
3074 : }
3075 :
3076 : GEN
3077 993188 : Fp_powu(GEN A, ulong k, GEN N)
3078 : {
3079 993188 : long lN = lgefint(N), sA;
3080 : int base_is_2, use_montgomery;
3081 : muldata D;
3082 : void *E;
3083 : pari_sp av;
3084 :
3085 993188 : if (lN == 3) {
3086 89500 : ulong n = uel(N,2);
3087 89500 : return utoi( Fl_powu(umodiu(A, n), k, n) );
3088 : }
3089 903688 : if (k <= 2)
3090 : { /* frequent special cases */
3091 621119 : if (k == 2) return Fp_sqr(A,N);
3092 170262 : if (k == 1) return A;
3093 0 : if (k == 0) return gen_1;
3094 : }
3095 282569 : sA = signe(A)==-1 && odd(k);
3096 282569 : base_is_2 = 0;
3097 282569 : if (lgefint(A) == 3) switch(A[2])
3098 : {
3099 495 : case 1: return sA ? gen_m1 : gen_1;
3100 37280 : case 2: base_is_2 = 1; break;
3101 : }
3102 :
3103 : /* TODO: Move this out of here and use for general modular computations */
3104 282074 : av = avma;
3105 282074 : use_montgomery = Fp_select_red(&A, k, N, lN, &D, &E);
3106 282073 : if (base_is_2)
3107 37280 : A = gen_powu_fold_i(A, k, E, D.sqr, D.mul2);
3108 : else
3109 244793 : A = gen_powu_i(A, k, E, D.sqr, D.mul);
3110 282074 : if (use_montgomery)
3111 : {
3112 251284 : A = red_montgomery(A, N, ((struct montred *) E)->inv);
3113 251286 : if (cmpii(A, N) >= 0) A = subii(A,N);
3114 251286 : if (sA) A = subii(N, A);
3115 : }
3116 282076 : return gerepileuptoint(av, A);
3117 : }
3118 :
3119 : GEN
3120 21014 : Fp_pows(GEN A, long k, GEN N)
3121 : {
3122 21014 : if (lgefint(N) == 3) {
3123 6987 : ulong n = N[2];
3124 6987 : ulong a = umodiu(A, n);
3125 6987 : if (k < 0) {
3126 14 : a = Fl_inv(a, n);
3127 14 : k = -k;
3128 : }
3129 6987 : return utoi( Fl_powu(a, (ulong)k, n) );
3130 : }
3131 14027 : if (k < 0) { A = Fp_inv(A, N); k = -k; };
3132 14027 : return Fp_powu(A, (ulong)k, N);
3133 : }
3134 :
3135 : /* A^K mod N */
3136 : GEN
3137 10850808 : Fp_pow(GEN A, GEN K, GEN N)
3138 : {
3139 10850808 : pari_sp av = avma;
3140 10850808 : long t,s, lN = lgefint(N), sA;
3141 : int base_is_2, use_montgomery;
3142 : GEN y;
3143 : muldata D;
3144 : void *E;
3145 :
3146 10850808 : s = signe(K);
3147 10850808 : if (!s)
3148 : {
3149 139805 : t = signe(remii(A,N)); avma = av;
3150 139805 : return t? gen_1: gen_0;
3151 : }
3152 10711003 : if (lN == 3)
3153 : {
3154 10452685 : ulong k, n = N[2], a = umodiu(A, n);
3155 10452685 : if (s < 0) a = Fl_inv(a, n);
3156 10452671 : if (a <= 1) return utoi(a); /* 0 or 1 */
3157 9686599 : if (lgefint(K) > 3)
3158 : { /* silly case : huge exponent, small modulus */
3159 21 : pari_warn(warner, "Mod(a,b)^n with n >> b : wasteful");
3160 21 : if (s > 0)
3161 : {
3162 14 : ulong d = ugcd(a, n);
3163 14 : if (d != 1)
3164 : { /* write n = n1 n2, with n2 maximal such that (n1,a) = 1 */
3165 7 : ulong n1 = u_ppo(n, d), n2 = n/n1;
3166 :
3167 7 : k = umodiu(K, eulerphiu(n1));
3168 : /* CRT: = a^K (mod n1), = 0 (mod n2)*/
3169 7 : return utoi( Fl_mul(Fl_powu(a, k, n1), n2 * Fl_inv(n2,n1), n) );
3170 : }
3171 : /* gcd(a,n) = 1 */
3172 7 : k = umodiu(K, eulerphiu(n));
3173 : }
3174 : else
3175 7 : k = umodiu(negi(K), eulerphiu(n));
3176 : }
3177 : else
3178 9686578 : k = uel(K,2);
3179 9686592 : return utoi(Fl_powu(a, k, n));
3180 : }
3181 :
3182 258318 : if (s < 0) y = Fp_inv(A,N);
3183 : else
3184 : {
3185 257945 : y = modii(A,N);
3186 257939 : if (!signe(y)) { avma = av; return gen_0; }
3187 : }
3188 258306 : if (lgefint(K) == 3) return gerepileuptoint(av, Fp_powu(y, K[2], N));
3189 :
3190 102645 : base_is_2 = 0;
3191 102645 : sA = signe(y)==-1 && mod2(K);
3192 102645 : if (lgefint(y) == 3) switch(y[2])
3193 : {
3194 61 : case 1: return sA ? gen_m1 : gen_1;
3195 72805 : case 2: base_is_2 = 1; break;
3196 : }
3197 :
3198 : /* TODO: Move this out of here and use for general modular computations */
3199 102584 : use_montgomery = Fp_select_red(&y, 0UL, N, lN, &D, &E);
3200 102564 : if (base_is_2)
3201 72805 : y = gen_pow_fold_i(y, K, E, D.sqr, D.mul2);
3202 : else
3203 29759 : y = gen_pow_i(y, K, E, D.sqr, D.mul);
3204 102587 : if (use_montgomery)
3205 : {
3206 50702 : y = red_montgomery(y, N, ((struct montred *) E)->inv);
3207 50701 : if (cmpii(y,N) >= 0) y = subii(y,N);
3208 50702 : if (sA) y = subii(N, y);
3209 : }
3210 102587 : return gerepileuptoint(av,y);
3211 : }
3212 :
3213 : static GEN
3214 1302134 : _Fp_mul(void *E, GEN x, GEN y) { return Fp_mul(x,y,(GEN)E); }
3215 :
3216 : static GEN
3217 948 : _Fp_sqr(void *E, GEN x) { return Fp_sqr(x,(GEN)E); }
3218 :
3219 : static GEN
3220 104 : _Fp_one(void *E) { (void) E; return gen_1; }
3221 :
3222 : GEN
3223 1624 : Fp_powers(GEN x, long n, GEN p)
3224 : {
3225 1624 : if (lgefint(p) == 3)
3226 1520 : return Flv_to_ZV(Fl_powers(umodiu(x, uel(p, 2)), n, uel(p, 2)));
3227 104 : return gen_powers(x, n, 1, (void*)p, _Fp_sqr, _Fp_mul, _Fp_one);
3228 : }
3229 :
3230 : static GEN
3231 8150340 : _Fp_pow(void *E, GEN x, GEN n) { return Fp_pow(x,n,(GEN)E); }
3232 :
3233 : static GEN
3234 946 : _Fp_rand(void *E) { return addiu(randomi(subiu((GEN)E,1)),1); }
3235 :
3236 : static GEN Fp_easylog(void *E, GEN a, GEN g, GEN ord);
3237 :
3238 : static const struct bb_group Fp_star={_Fp_mul,_Fp_pow,_Fp_rand,hash_GEN,
3239 : equalii,equali1,Fp_easylog};
3240 :
3241 : static GEN
3242 971871 : _Fp_red(void *E, GEN x) { return Fp_red(x, (GEN)E); }
3243 :
3244 : static GEN
3245 997162 : _Fp_add(void *E, GEN x, GEN y) { (void) E; return addii(x,y); }
3246 :
3247 : static GEN
3248 107441 : _Fp_neg(void *E, GEN x) { (void) E; return negi(x); }
3249 :
3250 : static GEN
3251 1236143 : _Fp_rmul(void *E, GEN x, GEN y) { (void) E; return mulii(x,y); }
3252 :
3253 : static GEN
3254 18501 : _Fp_inv(void *E, GEN x) { return Fp_inv(x,(GEN)E); }
3255 :
3256 : static int
3257 521974 : _Fp_equal0(GEN x) { return signe(x)==0; }
3258 :
3259 : static GEN
3260 82036 : _Fp_s(void *E, long x) { (void) E; return stoi(x); }
3261 :
3262 : static const struct bb_field Fp_field={_Fp_red,_Fp_add,_Fp_rmul,_Fp_neg,
3263 : _Fp_inv,_Fp_equal0,_Fp_s};
3264 :
3265 4578 : const struct bb_field *get_Fp_field(void **E, GEN p)
3266 : {
3267 4578 : *E = (void*)p; return &Fp_field;
3268 : }
3269 :
3270 : /*********************************************************************/
3271 : /** **/
3272 : /** ORDER of INTEGERMOD x in (Z/nZ)* **/
3273 : /** **/
3274 : /*********************************************************************/
3275 : ulong
3276 5327 : Fl_order(ulong a, ulong o, ulong p)
3277 : {
3278 5327 : pari_sp av = avma;
3279 : GEN m, P, E;
3280 : long i;
3281 5327 : if (!o) o = p-1;
3282 5327 : m = factoru(o);
3283 5327 : P = gel(m,1);
3284 5327 : E = gel(m,2);
3285 13370 : for (i = lg(P)-1; i; i--)
3286 : {
3287 8043 : ulong j, l = P[i], e = E[i], t = o / upowuu(l,e), y = Fl_powu(a, t, p);
3288 8043 : if (y == 1) o = t;
3289 7483 : else for (j = 1; j < e; j++)
3290 : {
3291 2303 : y = Fl_powu(y, l, p);
3292 2303 : if (y == 1) { o = t * upowuu(l, j); break; }
3293 : }
3294 : }
3295 5327 : avma = av; return o;
3296 : }
3297 :
3298 : /*Find the exact order of a assuming a^o==1*/
3299 : GEN
3300 10347 : Fp_order(GEN a, GEN o, GEN p) {
3301 10347 : if (lgefint(p) == 3 && (!o || typ(o) == t_INT))
3302 : {
3303 21 : ulong pp = p[2], oo = (o && lgefint(o)==3)? o[2]: pp-1;
3304 21 : return utoi( Fl_order(umodiu(a, pp), oo, pp) );
3305 : }
3306 10326 : return gen_order(a, o, (void*)p, &Fp_star);
3307 : }
3308 : GEN
3309 56 : Fp_factored_order(GEN a, GEN o, GEN p)
3310 56 : { return gen_factored_order(a, o, (void*)p, &Fp_star); }
3311 :
3312 : /* return order of a mod p^e, e > 0, pe = p^e */
3313 : static GEN
3314 70 : Zp_order(GEN a, GEN p, long e, GEN pe)
3315 : {
3316 : GEN ap, op;
3317 70 : if (absequaliu(p, 2))
3318 : {
3319 56 : if (e == 1) return gen_1;
3320 56 : if (e == 2) return mod4(a) == 1? gen_1: gen_2;
3321 49 : if (mod4(a) == 1)
3322 14 : op = gen_1;
3323 : else {
3324 35 : op = gen_2;
3325 35 : a = Fp_sqr(a, pe);
3326 : }
3327 : } else {
3328 14 : ap = (e == 1)? a: remii(a,p);
3329 14 : op = Fp_order(ap, subiu(p,1), p);
3330 14 : if (e == 1) return op;
3331 0 : a = Fp_pow(a, op, pe); /* 1 mod p */
3332 : }
3333 49 : if (equali1(a)) return op;
3334 7 : return mulii(op, powiu(p, e - Z_pval(subiu(a,1), p)));
3335 : }
3336 :
3337 : GEN
3338 63 : znorder(GEN x, GEN o)
3339 : {
3340 63 : pari_sp av = avma;
3341 : GEN b, a;
3342 :
3343 63 : if (typ(x) != t_INTMOD) pari_err_TYPE("znorder [t_INTMOD expected]",x);
3344 56 : b = gel(x,1); a = gel(x,2);
3345 56 : if (!equali1(gcdii(a,b))) pari_err_COPRIME("znorder", a,b);
3346 49 : if (!o)
3347 : {
3348 35 : GEN fa = Z_factor(b), P = gel(fa,1), E = gel(fa,2);
3349 35 : long i, l = lg(P);
3350 35 : o = gen_1;
3351 70 : for (i = 1; i < l; i++)
3352 : {
3353 35 : GEN p = gel(P,i);
3354 35 : long e = itos(gel(E,i));
3355 :
3356 35 : if (l == 2)
3357 35 : o = Zp_order(a, p, e, b);
3358 : else {
3359 0 : GEN pe = powiu(p,e);
3360 0 : o = lcmii(o, Zp_order(remii(a,pe), p, e, pe));
3361 : }
3362 : }
3363 35 : return gerepileuptoint(av, o);
3364 : }
3365 14 : return Fp_order(a, o, b);
3366 : }
3367 : GEN
3368 0 : order(GEN x) { return znorder(x, NULL); }
3369 :
3370 : /*********************************************************************/
3371 : /** **/
3372 : /** DISCRETE LOGARITHM in (Z/nZ)* **/
3373 : /** **/
3374 : /*********************************************************************/
3375 : static GEN
3376 59644 : Fp_log_halfgcd(ulong bnd, GEN C, GEN g, GEN p)
3377 : {
3378 59644 : pari_sp av = avma;
3379 : GEN h1, h2, F, G;
3380 59644 : if (!Fp_ratlift(g,p,C,shifti(C,-1),&h1,&h2)) return NULL;
3381 35674 : if ((F = Z_issmooth_fact(h1, bnd)) && (G = Z_issmooth_fact(h2, bnd)))
3382 : {
3383 244 : GEN M = cgetg(3, t_MAT);
3384 244 : gel(M,1) = vecsmall_concat(gel(F, 1),gel(G, 1));
3385 244 : gel(M,2) = vecsmall_concat(gel(F, 2),zv_neg_inplace(gel(G, 2)));
3386 244 : return gerepileupto(av, M);
3387 : }
3388 35430 : avma = av; return NULL;
3389 : }
3390 :
3391 : static GEN
3392 59644 : Fp_log_find_rel(GEN b, ulong bnd, GEN C, GEN p, GEN *g, long *e)
3393 : {
3394 : GEN rel;
3395 : do
3396 : {
3397 59644 : (*e)++; *g = Fp_mul(*g, b, p);
3398 59644 : rel = Fp_log_halfgcd(bnd, C, *g, p);
3399 59644 : } while (!rel);
3400 244 : return rel;
3401 : }
3402 :
3403 : struct Fp_log_rel
3404 : {
3405 : GEN rel;
3406 : ulong prmax;
3407 : long nbrel, nbmax;
3408 : };
3409 :
3410 : /* add u^e */
3411 : static void
3412 2487 : addifsmooth1(struct Fp_log_rel *r, GEN z, long u, long e)
3413 : {
3414 2487 : pari_sp av = avma;
3415 2487 : long off = r->prmax+1;
3416 2487 : GEN F = cgetg(3, t_MAT);
3417 2487 : gel(F,1) = vecsmall_append(gel(z,1), off+u);
3418 2487 : gel(F,2) = vecsmall_append(gel(z,2), e);
3419 2487 : gel(r->rel,++r->nbrel) = gerepileupto(av, F);
3420 2487 : }
3421 :
3422 : /* add u^-1 v^-1 */
3423 : static void
3424 95009 : addifsmooth2(struct Fp_log_rel *r, GEN z, long u, long v)
3425 : {
3426 95009 : pari_sp av = avma;
3427 95009 : long off = r->prmax+1;
3428 95009 : GEN P = mkvecsmall2(off+u,off+v), E = mkvecsmall2(-1,-1);
3429 95009 : GEN F = cgetg(3, t_MAT);
3430 95009 : gel(F,1) = vecsmall_concat(gel(z,1), P);
3431 95009 : gel(F,2) = vecsmall_concat(gel(z,2), E);
3432 95009 : gel(r->rel,++r->nbrel) = gerepileupto(av, F);
3433 95009 : }
3434 :
3435 : /*
3436 : Let p=C^2+c
3437 : Solve h = (C+x)*(C+a)-p = 0 [mod l]
3438 : h= -c+x*(C+a)+C*a = 0 [mod l]
3439 : x = (c-C*a)/(C+a) [mod l]
3440 : h = -c+C*(x+a)+a*x
3441 : */
3442 :
3443 : GEN
3444 36937 : Fp_log_sieve_worker(long a, long prmax, GEN C, GEN c, GEN Ci, GEN ci, GEN pr, GEN sz)
3445 : {
3446 36937 : pari_sp ltop = avma;
3447 36937 : long th = expi(C), n = lg(pr)-1;
3448 : long i, j;
3449 36945 : GEN sieve = zero_zv(a+2)+1;
3450 36963 : GEN L = cgetg(1+a+2, t_VEC);
3451 36954 : pari_sp av = avma;
3452 36954 : long rel = 1;
3453 : GEN z, h;
3454 36954 : h = addis(C,a);
3455 36942 : if ((z = Z_issmooth_fact(h, prmax)))
3456 : {
3457 2195 : gel(L, rel++) = mkvec2(z, mkvecsmall3(1, a, -1));
3458 2195 : av = avma;
3459 : }
3460 16228510 : for(i=1; i<=n; i++)
3461 : {
3462 16191554 : ulong li = pr[i], s = sz[i], al = a % li;
3463 16191554 : ulong u, iv = Fl_invsafe(Fl_add(Ci[i],al,li),li);
3464 16327733 : if (!iv) continue;
3465 16169397 : u = Fl_mul(Fl_sub(ci[i],Fl_mul(Ci[i],al,li),li), iv ,li);
3466 64532053 : for(j = u; j<=a; j+=li)
3467 48523653 : sieve[j] += s;
3468 : }
3469 36956 : th = th - expu(th)-1;
3470 25546648 : for(j=0; j<a; j++)
3471 25509676 : if (sieve[j]>=th)
3472 : {
3473 255828 : GEN h = addiu(subii(muliu(C,a+j),c), a*j);
3474 254926 : if ((z = Z_issmooth_fact(h, prmax)))
3475 : {
3476 95448 : gel(L, rel++) = mkvec2(z, mkvecsmall3(2, a, j));
3477 95484 : av = avma;
3478 159480 : } else avma = av;
3479 : }
3480 : /* j = a */
3481 36972 : if (sieve[a]>=th)
3482 : {
3483 542 : GEN h = addiu(subii(muliu(C,2*a),c), a*a);
3484 542 : if ((z = Z_issmooth_fact(h, prmax)))
3485 : {
3486 302 : gel(L, rel++) = mkvec2(z, mkvecsmall3(1, a, -2));
3487 302 : av = avma;
3488 : }
3489 : }
3490 36972 : setlg(L, rel);
3491 36971 : return gerepilecopy(ltop, L);
3492 : }
3493 :
3494 : static long
3495 49 : Fp_log_sieve(struct Fp_log_rel *r, GEN C, GEN c, GEN Ci, GEN ci, GEN pr, GEN sz)
3496 : {
3497 : struct pari_mt pt;
3498 : long i;
3499 49 : GEN worker = snm_closure(is_entry("_Fp_log_sieve_worker"),
3500 : mkvecn(7, utoi(r->prmax), C, c, Ci, ci, pr, sz));
3501 49 : long running, pending = 0;
3502 49 : mt_queue_start(&pt, worker);
3503 37126 : for (i = 0; (running = (r->nbrel < r->nbmax)) || pending; i++)
3504 : {
3505 : GEN L, done;
3506 : long ll, m;
3507 37077 : mt_queue_submit(&pt, 0, running ? mkvec(stoi(i)): NULL);
3508 37077 : done = mt_queue_get(&pt, NULL, &pending);
3509 37077 : if (!done) continue;
3510 36972 : L = done; ll = lg(L);
3511 36972 : if (ll == 1) continue;
3512 129539 : for (m=1; m<ll; m++)
3513 : {
3514 97630 : GEN Lm = gel(L,m), h = gel(Lm, 1), v = gel(Lm, 2);
3515 97630 : if (r->nbrel == r->nbmax) break;
3516 97496 : if (v[1] == 1)
3517 2487 : addifsmooth1(r, h, v[2], v[3]);
3518 : else
3519 95009 : addifsmooth2(r, h, v[2], v[3]);
3520 : }
3521 32043 : if (DEBUGLEVEL && (i&127)==0)
3522 0 : err_printf("%ld%% ",100*r->nbrel/(r->nbmax));
3523 : }
3524 49 : mt_queue_end(&pt);
3525 49 : return i;
3526 : }
3527 :
3528 : static GEN
3529 1367 : _psi(void*E, GEN y)
3530 : {
3531 1367 : GEN lx = (GEN) E;
3532 1367 : long prec = realprec(lx);
3533 1367 : GEN ly = glog(y, prec);
3534 1367 : GEN u = gdiv(lx, ly);
3535 1367 : return gsub(gdiv(y ,ly), gpow(u, u, prec));
3536 : }
3537 :
3538 : static GEN
3539 49 : opt_param(GEN x, long prec)
3540 : {
3541 49 : return zbrent((void*)glog(x,prec), _psi, gen_2, x, prec);
3542 : }
3543 :
3544 : static GEN
3545 49 : check_kernel(long nbg, long N, long prmax, GEN C, GEN M, GEN p, GEN m)
3546 : {
3547 49 : pari_sp av = avma;
3548 49 : long lM = lg(M)-1, nbcol = lM;
3549 : for (;;)
3550 : {
3551 89 : GEN K = FpMs_leftkernel_elt_col(M, nbcol, N, m);
3552 89 : long i, f=0;
3553 89 : long l = lg(K), lm = lgefint(m);
3554 89 : GEN idx = diviiexact(subiu(p,1),m), g;
3555 : pari_timer ti;
3556 89 : if (DEBUGLEVEL) timer_start(&ti);
3557 140 : for(i=1; i<l; i++)
3558 140 : if (signe(gel(K,i)))
3559 89 : break;
3560 89 : g = Fp_pow(utoi(i), idx, p);
3561 89 : K = FpC_Fp_mul(K, Fp_inv(gel(K,i), m), m);
3562 131115 : for(i=1; i<l; i++)
3563 : {
3564 131026 : GEN k = gel(K,i);
3565 131026 : GEN j = i<=prmax ? utoi(i): addis(C,i-(prmax+1));
3566 131026 : if (signe(k)==0 || !equalii(Fp_pow(g, k, p),
3567 : Fp_pow(j, idx, p)))
3568 82146 : gel(K,i) = cgetineg(lm);
3569 : else
3570 48880 : f++;
3571 : }
3572 89 : if (DEBUGLEVEL) timer_printf(&ti,"found %ld logs", f);
3573 138 : if(f > (nbg>>1)) return gerepileupto(av, K);
3574 10248 : for(i=1; i<=nbcol; i++)
3575 : {
3576 10208 : long a = 1+random_Fl(lM);
3577 10208 : swap(gel(M,a),gel(M,i));
3578 : }
3579 40 : if (4*nbcol>5*nbg) nbcol = nbcol*9/10;
3580 40 : }
3581 : }
3582 :
3583 : static GEN
3584 98 : Fp_log_find_ind(GEN a, GEN K, long prmax, GEN C, GEN p, GEN m)
3585 : {
3586 98 : pari_sp av=avma;
3587 98 : GEN aa = gen_1;
3588 98 : long AV = 0;
3589 : for(;;)
3590 : {
3591 244 : GEN A = Fp_log_find_rel(a, prmax, C, p, &aa, &AV);
3592 244 : GEN F = gel(A,1), E = gel(A,2);
3593 244 : GEN Ao = gen_0;
3594 244 : long i, l = lg(F);
3595 1219 : for(i=1; i<l; i++)
3596 : {
3597 1121 : GEN Ki = gel(K,F[i]);
3598 1121 : if (signe(Ki)<0) break;
3599 975 : Ao = addii(Ao, mulis(Ki, E[i]));
3600 : }
3601 342 : if (i==l) return Fp_div(Ao, utoi(AV), m);
3602 146 : aa = gerepileuptoint(av, aa);
3603 146 : }
3604 : }
3605 :
3606 : static GEN
3607 49 : Fp_log_index(GEN a, GEN b, GEN m, GEN p)
3608 : {
3609 49 : pari_sp av = avma, av2;
3610 : long i, nbi, nbrow, nbg;
3611 : GEN C, c, Ci, ci, pr, sz, l, Ao, Bo, K, d, p_1;
3612 : pari_timer ti;
3613 : struct Fp_log_rel r;
3614 49 : ulong bnds = itou(roundr_safe(opt_param(sqrti(p),DEFAULTPREC)));
3615 49 : ulong bnd = 4*bnds;
3616 49 : if (!bnds || cmpii(sqru(bnds),m)>=0) return NULL;
3617 :
3618 49 : p_1 = subiu(p,1);
3619 49 : if (!is_pm1(gcdii(m,diviiexact(p_1,m))))
3620 0 : m = diviiexact(p_1, Z_ppo(p_1, m));
3621 49 : pr = primes_upto_zv(bnd);
3622 49 : nbi = lg(pr)-1;
3623 49 : if (DEBUGLEVEL)
3624 : {
3625 0 : err_printf("bnd=%lu Size FB=%ld\n", bnd, nbi);
3626 0 : timer_start(&ti);
3627 : }
3628 49 : C = sqrtremi(p, &c);
3629 49 : av2 = avma;
3630 49 : Ci = cgetg(nbi+1,t_VECSMALL);
3631 49 : ci = cgetg(nbi+1,t_VECSMALL);
3632 49 : sz = cgetg(nbi+1,t_VECSMALL);
3633 12236 : for (i = 1; i <= nbi; ++i)
3634 : {
3635 12187 : ulong lp = pr[i];
3636 12187 : Ci[i] = umodiu(C, lp);
3637 12187 : ci[i] = umodiu(c, lp);
3638 12187 : sz[i] = expu(lp);
3639 : }
3640 49 : r.nbrel = 0;
3641 49 : r.nbmax = 8*nbi;
3642 49 : r.rel = cgetg(r.nbmax+1,t_VEC);
3643 49 : r.prmax = pr[nbi];
3644 49 : nbg = Fp_log_sieve(&r, C, c, Ci, ci, pr, sz);
3645 49 : nbrow = r.prmax + nbg;
3646 49 : if (DEBUGLEVEL)
3647 : {
3648 0 : err_printf("\n");
3649 0 : timer_printf(&ti," %ld relations, %ld generators", r.nbrel, nbi+nbg);
3650 : }
3651 49 : setlg(r.rel,r.nbrel+1);
3652 49 : r.rel = gerepilecopy(av2, r.rel);
3653 49 : K = check_kernel(nbi+nbrow-r.prmax, nbrow, r.prmax, C, r.rel, p, m);
3654 49 : if (DEBUGLEVEL) timer_start(&ti);
3655 49 : Ao = Fp_log_find_ind(a, K, r.prmax, C, p, m);
3656 49 : if (DEBUGLEVEL) timer_printf(&ti," log element");
3657 49 : Bo = Fp_log_find_ind(b, K, r.prmax, C, p, m);
3658 49 : if (DEBUGLEVEL) timer_printf(&ti," log generator");
3659 49 : d = gcdii(Ao,Bo);
3660 49 : l = Fp_div(diviiexact(Ao, d) ,diviiexact(Bo, d), m);
3661 49 : if (!equalii(a,Fp_pow(b,l,p))) pari_err_BUG("Fp_log_index");
3662 49 : return gerepileuptoint(av, l);
3663 : }
3664 :
3665 : static int
3666 1800388 : Fp_log_use_index(long e, long p)
3667 : {
3668 1800388 : return (e >= 27 && 20*(p+6)<=e*e);
3669 : }
3670 :
3671 : /* Trivial cases a = 1, -1. Return x s.t. g^x = a or [] if no such x exist */
3672 : static GEN
3673 2875462 : Fp_easylog(void *E, GEN a, GEN g, GEN ord)
3674 : {
3675 2875462 : pari_sp av = avma;
3676 2875462 : GEN p = (GEN)E;
3677 : /* assume a reduced mod p, p not necessarily prime */
3678 2875462 : if (equali1(a)) return gen_0;
3679 : /* p > 2 */
3680 1791024 : if (equalii(subiu(p,1), a)) /* -1 */
3681 : {
3682 : pari_sp av2;
3683 : GEN t;
3684 570945 : ord = get_arith_Z(ord);
3685 570945 : if (mpodd(ord)) { avma = av; return cgetg(1, t_VEC); } /* no solution */
3686 570931 : t = shifti(ord,-1); /* only possible solution */
3687 570931 : av2 = avma;
3688 570931 : if (!equalii(Fp_pow(g, t, p), a)) { avma = av; return cgetg(1, t_VEC); }
3689 570749 : avma = av2; return gerepileuptoint(av, t);
3690 : }
3691 1220079 : if (typ(ord)==t_INT && BPSW_psp(p) && Fp_log_use_index(expi(ord),expi(p)))
3692 49 : return Fp_log_index(a, g, ord, p);
3693 1220030 : avma = av; return NULL; /* not easy */
3694 : }
3695 :
3696 : GEN
3697 1704977 : Fp_log(GEN a, GEN g, GEN ord, GEN p)
3698 : {
3699 1704977 : GEN v = get_arith_ZZM(ord);
3700 1704949 : GEN F = gmael(v,2,1);
3701 1704949 : long lF = lg(F)-1, lmax;
3702 1704949 : if (lF == 0) return equali1(a)? gen_0: cgetg(1, t_VEC);
3703 1588758 : lmax = expi(gel(F,lF));
3704 1588758 : if (BPSW_psp(p) && Fp_log_use_index(lmax,expi(p)))
3705 49 : v = mkvec2(gel(v,1),ZM_famat_limit(gel(v,2),int2n(27)));
3706 1588758 : return gen_PH_log(a,g,v,(void*)p,&Fp_star);
3707 : }
3708 :
3709 : /* find x such that h = g^x mod N > 1, N = prod_{i <= l} P[i]^E[i], P[i] prime.
3710 : * PHI[l] = eulerphi(N / P[l]^E[l]). Destroys P/E */
3711 : static GEN
3712 112 : znlog_rec(GEN h, GEN g, GEN N, GEN P, GEN E, GEN PHI)
3713 : {
3714 112 : long l = lg(P) - 1, e = E[l];
3715 112 : GEN p = gel(P, l), phi = gel(PHI,l), pe = e == 1? p: powiu(p, e);
3716 : GEN a,b, hp,gp, hpe,gpe, ogpe; /* = order(g mod p^e) | p^(e-1)(p-1) */
3717 :
3718 112 : if (l == 1) {
3719 84 : hpe = h;
3720 84 : gpe = g;
3721 : } else {
3722 28 : hpe = modii(h, pe);
3723 28 : gpe = modii(g, pe);
3724 : }
3725 112 : if (e == 1) {
3726 28 : hp = hpe;
3727 28 : gp = gpe;
3728 : } else {
3729 84 : hp = remii(hpe, p);
3730 84 : gp = remii(gpe, p);
3731 : }
3732 112 : if (hp == gen_0 || gp == gen_0) return NULL;
3733 91 : if (absequaliu(p, 2))
3734 : {
3735 35 : GEN n = int2n(e);
3736 35 : ogpe = Zp_order(gpe, gen_2, e, n);
3737 35 : a = Fp_log(hpe, gpe, ogpe, n);
3738 35 : if (typ(a) != t_INT) return NULL;
3739 : }
3740 : else
3741 : { /* Avoid black box groups: (Z/p^2)^* / (Z/p)^* ~ (Z/pZ, +), where DL
3742 : is trivial */
3743 : /* [order(gp), factor(order(gp))] */
3744 56 : GEN v = Fp_factored_order(gp, subiu(p,1), p);
3745 56 : GEN ogp = gel(v,1);
3746 56 : if (!equali1(Fp_pow(hp, ogp, p))) return NULL;
3747 56 : a = Fp_log(hp, gp, v, p);
3748 56 : if (typ(a) != t_INT) return NULL;
3749 56 : if (e == 1) ogpe = ogp;
3750 : else
3751 : { /* find a s.t. g^a = h (mod p^e), p odd prime, e > 0, (h,p) = 1 */
3752 : /* use p-adic log: O(log p + e) mul*/
3753 : long vpogpe, vpohpe;
3754 :
3755 28 : hpe = Fp_mul(hpe, Fp_pow(gpe, negi(a), pe), pe);
3756 28 : gpe = Fp_pow(gpe, ogp, pe);
3757 : /* g,h = 1 mod p; compute b s.t. h = g^b */
3758 :
3759 : /* v_p(order g mod pe) */
3760 28 : vpogpe = equali1(gpe)? 0: e - Z_pval(subiu(gpe,1), p);
3761 : /* v_p(order h mod pe) */
3762 28 : vpohpe = equali1(hpe)? 0: e - Z_pval(subiu(hpe,1), p);
3763 28 : if (vpohpe > vpogpe) return NULL;
3764 :
3765 28 : ogpe = mulii(ogp, powiu(p, vpogpe)); /* order g mod p^e */
3766 28 : if (is_pm1(gpe)) return is_pm1(hpe)? a: NULL;
3767 28 : b = gdiv(Qp_log(cvtop(hpe, p, e)), Qp_log(cvtop(gpe, p, e)));
3768 28 : a = addii(a, mulii(ogp, padic_to_Q(b)));
3769 : }
3770 : }
3771 : /* gp^a = hp => x = a mod ogpe => generalized Pohlig-Hellman strategy */
3772 77 : if (l == 1) return a;
3773 :
3774 28 : N = diviiexact(N, pe); /* make N coprime to p */
3775 28 : h = Fp_mul(h, Fp_pow(g, modii(negi(a), phi), N), N);
3776 28 : g = Fp_pow(g, modii(ogpe, phi), N);
3777 28 : setlg(P, l); /* remove last element */
3778 28 : setlg(E, l);
3779 28 : b = znlog_rec(h, g, N, P, E, PHI);
3780 28 : if (!b) return NULL;
3781 28 : return addmulii(a, b, ogpe);
3782 : }
3783 :
3784 : static GEN
3785 84 : get_PHI(GEN P, GEN E)
3786 : {
3787 84 : long i, l = lg(P);
3788 84 : GEN PHI = cgetg(l, t_VEC);
3789 84 : gel(PHI,1) = gen_1;
3790 112 : for (i=1; i<l-1; i++)
3791 : {
3792 28 : GEN t, p = gel(P,i);
3793 28 : long e = E[i];
3794 28 : t = mulii(powiu(p, e-1), subiu(p,1));
3795 28 : if (i > 1) t = mulii(t, gel(PHI,i));
3796 28 : gel(PHI,i+1) = t;
3797 : }
3798 84 : return PHI;
3799 : }
3800 :
3801 : GEN
3802 224 : znlog(GEN h, GEN g, GEN o)
3803 : {
3804 224 : pari_sp av = avma;
3805 : GEN N, fa, P, E, x;
3806 224 : switch (typ(g))
3807 : {
3808 : case t_PADIC:
3809 : {
3810 28 : GEN p = gel(g,2);
3811 28 : long v = valp(g);
3812 28 : if (v < 0) pari_err_DIM("znlog");
3813 28 : if (v > 0) {
3814 0 : long k = gvaluation(h, p);
3815 0 : if (k % v) return cgetg(1,t_VEC);
3816 0 : k /= v;
3817 0 : if (!gequal(h, gpowgs(g,k))) { avma = av; return cgetg(1,t_VEC); }
3818 0 : avma = av; return stoi(k);
3819 : }
3820 28 : N = gel(g,3);
3821 28 : g = Rg_to_Fp(g, N);
3822 28 : break;
3823 : }
3824 : case t_INTMOD:
3825 189 : N = gel(g,1);
3826 189 : g = gel(g,2); break;
3827 7 : default: pari_err_TYPE("znlog", g);
3828 : return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
3829 : }
3830 217 : if (equali1(N)) { avma = av; return gen_0; }
3831 217 : h = Rg_to_Fp(h, N);
3832 210 : if (o) return gerepileupto(av, Fp_log(h, g, o, N));
3833 84 : fa = Z_factor(N);
3834 84 : P = gel(fa,1);
3835 84 : E = vec_to_vecsmall(gel(fa,2));
3836 84 : x = znlog_rec(h, g, N, P, E, get_PHI(P,E));
3837 84 : if (!x) { avma = av; return cgetg(1,t_VEC); }
3838 49 : return gerepileuptoint(av, x);
3839 : }
3840 :
3841 : GEN
3842 63442 : Fp_sqrtn(GEN a, GEN n, GEN p, GEN *zeta)
3843 : {
3844 63442 : a = modii(a,p);
3845 63442 : if (!signe(a))
3846 : {
3847 48118 : if (zeta) *zeta = gen_1;
3848 48118 : if (signe(n) < 0) pari_err_INV("Fp_sqrtn", mkintmod(gen_0,p));
3849 48111 : return gen_0;
3850 : }
3851 15324 : if (absequaliu(n,2))
3852 : {
3853 2282 : if (zeta) *zeta = subiu(p,1);
3854 2282 : return Fp_sqrt(a,p);
3855 : }
3856 13042 : return gen_Shanks_sqrtn(a,n,subiu(p,1),zeta,(void*)p,&Fp_star);
3857 : }
3858 :
3859 : /*********************************************************************/
3860 : /** **/
3861 : /** FUNDAMENTAL DISCRIMINANTS **/
3862 : /** **/
3863 : /*********************************************************************/
3864 : static int
3865 1407 : fa_isfundamental(GEN F)
3866 : {
3867 1407 : GEN P = gel(F,1), E = gel(F,2);
3868 1407 : long i, s, l = lg(P);
3869 :
3870 1407 : if (l == 1) return 1;
3871 1400 : s = signe(gel(P,1)); /* = signe(x) */
3872 1400 : if (!s) return 0;
3873 1393 : if (s < 0) { l--; P = vecslice(P,2,l); E = vecslice(E,2,l); }
3874 1393 : if (l == 1) return 0;
3875 1386 : if (!absequaliu(gel(P,1), 2))
3876 686 : i = 1; /* need x = 1 mod 4 */
3877 : else
3878 : {
3879 700 : i = 2;
3880 700 : switch(itou(gel(E,1)))
3881 : {
3882 182 : case 2: s = -s; break; /* need x/4 = 3 mod 4 */
3883 84 : case 3: s = 0; break; /* no condition mod 4 */
3884 434 : default: return 0;
3885 : }
3886 : }
3887 1974 : for(; i < l; i++)
3888 : {
3889 1190 : if (!equali1(gel(E,i))) return 0;
3890 1022 : if (s && Mod4(gel(P,i)) == 3) s = -s;
3891 : }
3892 784 : return s >= 0;
3893 : }
3894 : long
3895 17185 : isfundamental(GEN x)
3896 : {
3897 17185 : if (typ(x) != t_INT)
3898 : {
3899 1407 : pari_sp av = avma;
3900 1407 : int v = fa_isfundamental(check_arith_all(x,"isfundamental"));
3901 1407 : avma = av; return v;
3902 : }
3903 15778 : return Z_isfundamental(x);
3904 : }
3905 :
3906 : /* x fundamental ? */
3907 : long
3908 10240 : uposisfundamental(ulong x)
3909 : {
3910 10240 : ulong r = x & 15; /* x mod 16 */
3911 10240 : if (!r) return 0;
3912 9666 : switch(r & 3)
3913 : { /* x mod 4 */
3914 1870 : case 0: return (r == 4)? 0: uissquarefree(x >> 2);
3915 3018 : case 1: return uissquarefree(x);
3916 4778 : default: return 0;
3917 : }
3918 : }
3919 : /* -x fundamental ? */
3920 : long
3921 20329 : unegisfundamental(ulong x)
3922 : {
3923 20329 : ulong r = x & 15; /* x mod 16 */
3924 20329 : if (!r) return 0;
3925 19328 : switch(r & 3)
3926 : { /* x mod 4 */
3927 3445 : case 0: return (r == 12)? 0: uissquarefree(x >> 2);
3928 8879 : case 3: return uissquarefree(x);
3929 7004 : default: return 0;
3930 : }
3931 : }
3932 : long
3933 10451 : sisfundamental(long x)
3934 10451 : { return x < 0? unegisfundamental((ulong)(-x)): uposisfundamental(x); }
3935 :
3936 : long
3937 16338 : Z_isfundamental(GEN x)
3938 : {
3939 : long r;
3940 16338 : switch(lgefint(x))
3941 : {
3942 7 : case 2: return 0;
3943 35908 : case 3: return signe(x) < 0? unegisfundamental(x[2])
3944 21587 : : uposisfundamental(x[2]);
3945 : }
3946 2010 : r = mod16(x);
3947 2010 : if (!r) return 0;
3948 1884 : if ((r & 3) == 0)
3949 : {
3950 : pari_sp av;
3951 376 : r >>= 2; /* |x|/4 mod 4 */
3952 376 : if (signe(x) < 0) r = 4-r;
3953 376 : if (r == 1) return 0;
3954 250 : av = avma;
3955 250 : r = Z_issquarefree( shifti(x,-2) );
3956 250 : avma = av; return r;
3957 : }
3958 1508 : r &= 3; /* |x| mod 4 */
3959 1508 : if (signe(x) < 0) r = 4-r;
3960 1508 : return (r==1) ? Z_issquarefree(x) : 0;
3961 : }
3962 :
3963 : GEN
3964 7 : quaddisc(GEN x)
3965 : {
3966 7 : const pari_sp av = avma;
3967 7 : long i,r,tx=typ(x);
3968 : GEN P,E,f,s;
3969 :
3970 7 : if (!is_rational_t(tx)) pari_err_TYPE("quaddisc",x);
3971 7 : f = factor(x);
3972 7 : P = gel(f,1);
3973 7 : E = gel(f,2); s = gen_1;
3974 35 : for (i=1; i<lg(P); i++)
3975 28 : if (odd(mael(E,i,2))) s = mulii(s,gel(P,i));
3976 7 : r = mod4(s); if (gsigne(x) < 0) r = 4-r;
3977 7 : if (r>1) s = shifti(s,2);
3978 7 : return gerepileuptoint(av, s);
3979 : }
3980 :
3981 : /*********************************************************************/
3982 : /** **/
3983 : /** FACTORIAL **/
3984 : /** **/
3985 : /*********************************************************************/
3986 : /* return a * (a+1) * ... * b. Assume a <= b [ note: factoring out powers of 2
3987 : * first is slower ... ] */
3988 : GEN
3989 983924 : mulu_interval(ulong a, ulong b)
3990 : {
3991 983924 : pari_sp av = avma;
3992 : ulong k, l, N, n;
3993 : long lx;
3994 : GEN x;
3995 :
3996 983924 : if (!a) return gen_0;
3997 983924 : n = b - a + 1;
3998 983924 : if (n < 61)
3999 : {
4000 975156 : x = utoi(a);
4001 975158 : for (k=a+1; k<=b; k++) x = mului(k,x);
4002 975158 : return gerepileuptoint(av, x);
4003 : }
4004 8768 : lx = 1; x = cgetg(2 + n/2, t_VEC);
4005 8768 : N = b + a;
4006 1007781 : for (k = a;; k++)
4007 : {
4008 1007781 : l = N - k; if (l <= k) break;
4009 999013 : gel(x,lx++) = muluu(k,l);
4010 999013 : }
4011 8768 : if (l == k) gel(x,lx++) = utoipos(k);
4012 8768 : setlg(x, lx);
4013 8768 : return gerepileuptoint(av, ZV_prod(x));
4014 : }
4015 : GEN
4016 448 : muls_interval(long a, long b)
4017 : {
4018 448 : pari_sp av = avma;
4019 448 : long lx, k, l, N, n = b - a + 1;
4020 : GEN x;
4021 :
4022 448 : if (a <= 0 && b >= 0) return gen_0;
4023 287 : if (n < 61)
4024 : {
4025 287 : x = stoi(a);
4026 287 : for (k=a+1; k<=b; k++) x = mulsi(k,x);
4027 287 : return gerepileuptoint(av, x);
4028 : }
4029 0 : lx = 1; x = cgetg(2 + n/2, t_VEC);
4030 0 : N = b + a;
4031 0 : for (k = a;; k++)
4032 : {
4033 0 : l = N - k; if (l <= k) break;
4034 0 : gel(x,lx++) = mulss(k,l);
4035 0 : }
4036 0 : if (l == k) gel(x,lx++) = stoi(k);
4037 0 : setlg(x, lx);
4038 0 : return gerepileuptoint(av, ZV_prod(x));
4039 : }
4040 :
4041 : GEN
4042 2333861 : mpfact(long n)
4043 : {
4044 2333861 : if (n < 2)
4045 : {
4046 1470338 : if (n < 0) pari_err_DOMAIN("factorial", "argument","<",gen_0,stoi(n));
4047 1470338 : return gen_1;
4048 : }
4049 863523 : return mulu_interval(2UL, (ulong)n);
4050 : }
4051 :
4052 : /*******************************************************************/
4053 : /** **/
4054 : /** LUCAS & FIBONACCI **/
4055 : /** **/
4056 : /*******************************************************************/
4057 : static void
4058 56 : lucas(ulong n, GEN *a, GEN *b)
4059 : {
4060 : GEN z, t, zt;
4061 112 : if (!n) { *a = gen_2; *b = gen_1; return; }
4062 49 : lucas(n >> 1, &z, &t); zt = mulii(z, t);
4063 49 : switch(n & 3) {
4064 14 : case 0: *a = subiu(sqri(z),2); *b = subiu(zt,1); break;
4065 14 : case 1: *a = subiu(zt,1); *b = addiu(sqri(t),2); break;
4066 7 : case 2: *a = addiu(sqri(z),2); *b = addiu(zt,1); break;
4067 14 : case 3: *a = addiu(zt,1); *b = subiu(sqri(t),2);
4068 : }
4069 : }
4070 :
4071 : GEN
4072 7 : fibo(long n)
4073 : {
4074 7 : pari_sp av = avma;
4075 : GEN a, b;
4076 7 : if (!n) return gen_0;
4077 7 : lucas((ulong)(labs(n)-1), &a, &b);
4078 7 : a = diviuexact(addii(shifti(a,1),b), 5);
4079 7 : if (n < 0 && !odd(n)) setsigne(a, -1);
4080 7 : return gerepileuptoint(av, a);
4081 : }
4082 :
4083 : /*******************************************************************/
4084 : /* */
4085 : /* CONTINUED FRACTIONS */
4086 : /* */
4087 : /*******************************************************************/
4088 : static GEN
4089 359403 : icopy_lg(GEN x, long l)
4090 : {
4091 359403 : long lx = lgefint(x);
4092 : GEN y;
4093 :
4094 359403 : if (lx >= l) return icopy(x);
4095 35 : y = cgeti(l); affii(x, y); return y;
4096 : }
4097 :
4098 : /* continued fraction of a/b. If y != NULL, stop when partial quotients
4099 : * differ from y */
4100 : static GEN
4101 359692 : Qsfcont(GEN a, GEN b, GEN y, ulong k)
4102 : {
4103 : GEN z, c;
4104 359692 : ulong i, l, ly = lgefint(b);
4105 :
4106 : /* times 1 / log2( (1+sqrt(5)) / 2 ) */
4107 359692 : l = (ulong)(3 + bit_accuracy_mul(ly, 1.44042009041256));
4108 359692 : if (k > 0 && k+1 > 0 && l > k+1) l = k+1; /* beware overflow */
4109 359692 : if (l > LGBITS) l = LGBITS;
4110 :
4111 359692 : z = cgetg(l,t_VEC);
4112 359692 : l--;
4113 359692 : if (y) {
4114 289 : pari_sp av = avma;
4115 289 : if (l >= (ulong)lg(y)) l = lg(y)-1;
4116 19467 : for (i = 1; i <= l; i++)
4117 : {
4118 19289 : GEN q = gel(y,i);
4119 19289 : gel(z,i) = q;
4120 19289 : c = b; if (!gequal1(q)) c = mulii(q, b);
4121 19289 : c = subii(a, c);
4122 19289 : if (signe(c) < 0)
4123 : { /* partial quotient too large */
4124 110 : c = addii(c, b);
4125 110 : if (signe(c) >= 0) i++; /* by 1 */
4126 110 : break;
4127 : }
4128 19179 : if (cmpii(c, b) >= 0)
4129 : { /* partial quotient too small */
4130 1 : c = subii(c, b);
4131 1 : if (cmpii(c, b) < 0) {
4132 : /* by 1. If next quotient is 1 in y, add 1 */
4133 0 : if (i < l && equali1(gel(y,i+1))) gel(z,i) = addiu(q,1);
4134 0 : i++;
4135 : }
4136 1 : break;
4137 : }
4138 19178 : if ((i & 0xff) == 0) gerepileall(av, 2, &b, &c);
4139 19178 : a = b; b = c;
4140 : }
4141 : } else {
4142 359403 : a = icopy_lg(a, ly);
4143 359403 : b = icopy(b);
4144 1255197 : for (i = 1; i <= l; i++)
4145 : {
4146 1254933 : gel(z,i) = truedvmdii(a,b,&c);
4147 1254933 : if (c == gen_0) { i++; break; }
4148 895794 : affii(c, a); cgiv(c); c = a;
4149 895794 : a = b; b = c;
4150 : }
4151 : }
4152 359692 : i--;
4153 359692 : if (i > 1 && gequal1(gel(z,i)))
4154 : {
4155 85 : cgiv(gel(z,i)); --i;
4156 85 : gel(z,i) = addui(1, gel(z,i)); /* unclean: leave old z[i] on stack */
4157 : }
4158 359692 : setlg(z,i+1); return z;
4159 : }
4160 :
4161 : static GEN
4162 0 : sersfcont(GEN a, GEN b, long k)
4163 : {
4164 0 : long i, l = typ(a) == t_POL? lg(a): 3;
4165 : GEN y, c;
4166 0 : if (lg(b) > l) l = lg(b);
4167 0 : if (k > 0 && l > k+1) l = k+1;
4168 0 : y = cgetg(l,t_VEC);
4169 0 : for (i=1; i<l; i++)
4170 : {
4171 0 : gel(y,i) = poldivrem(a,b,&c);
4172 0 : if (gequal0(c)) { i++; break; }
4173 0 : a = b; b = c;
4174 : }
4175 0 : setlg(y, i); return y;
4176 : }
4177 :
4178 : GEN
4179 359718 : gboundcf(GEN x, long k)
4180 : {
4181 : pari_sp av;
4182 359718 : long tx = typ(x), e;
4183 : GEN y, a, b, c;
4184 :
4185 359718 : if (k < 0) pari_err_DOMAIN("gboundcf","nmax","<",gen_0,stoi(k));
4186 359711 : if (is_scalar_t(tx))
4187 : {
4188 359711 : if (gequal0(x)) return mkvec(gen_0);
4189 359410 : switch(tx)
4190 : {
4191 0 : case t_INT: return mkveccopy(x);
4192 : case t_REAL:
4193 296 : av = avma;
4194 296 : c = mantissa_real(x,&e);
4195 296 : if (e < 0) pari_err_PREC("gboundcf");
4196 289 : y = int2n(e);
4197 289 : a = Qsfcont(c,y, NULL, k);
4198 289 : b = addsi(signe(x), c);
4199 289 : return gerepilecopy(av, Qsfcont(b,y, a, k));
4200 :
4201 : case t_FRAC:
4202 359114 : av = avma;
4203 359114 : return gerepileupto(av, Qsfcont(gel(x,1),gel(x,2), NULL, k));
4204 : }
4205 0 : pari_err_TYPE("gboundcf",x);
4206 : }
4207 :
4208 0 : switch(tx)
4209 : {
4210 0 : case t_POL: return mkveccopy(x);
4211 : case t_SER:
4212 0 : av = avma;
4213 0 : return gerepileupto(av, gboundcf(ser2rfrac_i(x), k));
4214 : case t_RFRAC:
4215 0 : av = avma;
4216 0 : return gerepilecopy(av, sersfcont(gel(x,1), gel(x,2), k));
4217 : }
4218 0 : pari_err_TYPE("gboundcf",x);
4219 : return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
4220 : }
4221 :
4222 : static GEN
4223 14 : sfcont2(GEN b, GEN x, long k)
4224 : {
4225 14 : pari_sp av = avma;
4226 14 : long lb = lg(b), tx = typ(x), i;
4227 : GEN y,p1;
4228 :
4229 14 : if (k)
4230 : {
4231 7 : if (k >= lb) pari_err_DIM("contfrac [too few denominators]");
4232 0 : lb = k+1;
4233 : }
4234 7 : y = cgetg(lb,t_VEC);
4235 7 : if (lb==1) return y;
4236 7 : if (is_scalar_t(tx))
4237 : {
4238 7 : if (!is_intreal_t(tx) && tx != t_FRAC) pari_err_TYPE("sfcont2",x);
4239 : }
4240 0 : else if (tx == t_SER) x = ser2rfrac_i(x);
4241 :
4242 7 : if (!gequal1(gel(b,1))) x = gmul(gel(b,1),x);
4243 7 : for (i = 1;;)
4244 : {
4245 35 : if (tx == t_REAL)
4246 : {
4247 35 : long e = expo(x);
4248 35 : if (e > 0 && nbits2prec(e+1) > realprec(x)) break;
4249 35 : gel(y,i) = floorr(x);
4250 35 : p1 = subri(x, gel(y,i));
4251 : }
4252 : else
4253 : {
4254 0 : gel(y,i) = gfloor(x);
4255 0 : p1 = gsub(x, gel(y,i));
4256 : }
4257 35 : if (++i >= lb) break;
4258 28 : if (gequal0(p1)) break;
4259 28 : x = gdiv(gel(b,i),p1);
4260 28 : }
4261 7 : setlg(y,i);
4262 7 : return gerepilecopy(av,y);
4263 : }
4264 :
4265 :
4266 : GEN
4267 0 : gcf(GEN x) { return gboundcf(x,0); }
4268 : GEN
4269 0 : gcf2(GEN b, GEN x) { return contfrac0(x,b,0); }
4270 : GEN
4271 49 : contfrac0(GEN x, GEN b, long nmax)
4272 : {
4273 : long tb;
4274 :
4275 49 : if (!b) return gboundcf(x,nmax);
4276 28 : tb = typ(b);
4277 28 : if (tb == t_INT) return gboundcf(x,itos(b));
4278 21 : if (! is_vec_t(tb)) pari_err_TYPE("contfrac0",b);
4279 21 : if (nmax < 0) pari_err_DOMAIN("contfrac","nmax","<",gen_0,stoi(nmax));
4280 14 : return sfcont2(b,x,nmax);
4281 : }
4282 :
4283 : GEN
4284 126 : contfracpnqn(GEN x, long n)
4285 : {
4286 126 : pari_sp av = avma;
4287 126 : long i, lx = lg(x);
4288 : GEN M,A,B, p0,p1, q0,q1;
4289 :
4290 126 : if (lx == 1)
4291 : {
4292 28 : if (! is_matvec_t(typ(x))) pari_err_TYPE("pnqn",x);
4293 21 : if (n >= 0) return cgetg(1,t_MAT);
4294 7 : return matid(2);
4295 : }
4296 98 : switch(typ(x))
4297 : {
4298 56 : case t_VEC: case t_COL: A = x; B = NULL; break;
4299 : case t_MAT:
4300 42 : switch(lgcols(x))
4301 : {
4302 0 : case 2: A = row(x,1); B = NULL; break;
4303 35 : case 3: A = row(x,2); B = row(x,1); break;
4304 7 : default: pari_err_DIM("pnqn [ nbrows != 1,2 ]");
4305 : return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
4306 : }
4307 35 : break;
4308 0 : default: pari_err_TYPE("pnqn",x);
4309 : return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
4310 : }
4311 91 : p1 = gel(A,1);
4312 91 : q1 = B? gel(B,1): gen_1; /* p[0], q[0] */
4313 91 : if (n >= 0)
4314 : {
4315 56 : lx = minss(lx, n+2);
4316 56 : if (lx == 2) return gerepilecopy(av, mkmat(mkcol2(p1,q1)));
4317 : }
4318 35 : else if (lx == 2)
4319 7 : return gerepilecopy(av, mkmat2(mkcol2(p1,q1), mkcol2(gen_1,gen_0)));
4320 : /* lx >= 3 */
4321 56 : p0 = gen_1;
4322 56 : q0 = gen_0; /* p[-1], q[-1] */
4323 56 : M = cgetg(lx, t_MAT);
4324 56 : gel(M,1) = mkcol2(p1,q1);
4325 217 : for (i=2; i<lx; i++)
4326 : {
4327 161 : GEN a = gel(A,i), p2,q2;
4328 161 : if (B) {
4329 84 : GEN b = gel(B,i);
4330 84 : p0 = gmul(b,p0);
4331 84 : q0 = gmul(b,q0);
4332 : }
4333 161 : p2 = gadd(gmul(a,p1),p0); p0=p1; p1=p2;
4334 161 : q2 = gadd(gmul(a,q1),q0); q0=q1; q1=q2;
4335 161 : gel(M,i) = mkcol2(p1,q1);
4336 : }
4337 56 : if (n < 0) M = mkmat2(gel(M,lx-1), gel(M,lx-2));
4338 56 : return gerepilecopy(av, M);
4339 : }
4340 : GEN
4341 0 : pnqn(GEN x) { return contfracpnqn(x,-1); }
4342 : /* x = [a0, ..., an] from gboundcf, n >= 0;
4343 : * return [[p0, ..., pn], [q0,...,qn]] */
4344 : GEN
4345 352863 : ZV_allpnqn(GEN x)
4346 : {
4347 352863 : long i, lx = lg(x);
4348 352863 : GEN p0, p1, q0, q1, p2, q2, P,Q, v = cgetg(3,t_VEC);
4349 :
4350 352863 : gel(v,1) = P = cgetg(lx, t_VEC);
4351 352863 : gel(v,2) = Q = cgetg(lx, t_VEC);
4352 352863 : p0 = gen_1; q0 = gen_0;
4353 352863 : gel(P, 1) = p1 = gel(x,1); gel(Q, 1) = q1 = gen_1;
4354 1205029 : for (i=2; i<lx; i++)
4355 : {
4356 852166 : GEN a = gel(x,i);
4357 852166 : gel(P, i) = p2 = addmulii(p0, a, p1); p0 = p1; p1 = p2;
4358 852166 : gel(Q, i) = q2 = addmulii(q0, a, q1); q0 = q1; q1 = q2;
4359 : }
4360 352863 : return v;
4361 : }
4362 :
4363 : /* write Mod(x,N) as a/b, gcd(a,b) = 1, b <= B (no condition if B = NULL) */
4364 : static GEN
4365 35 : mod_to_frac(GEN x, GEN N, GEN B)
4366 : {
4367 : GEN a, b, A;
4368 35 : if (B)
4369 : {
4370 21 : A = divii(shifti(N, -1), B);
4371 : /* denominator bound useless, don't use it */
4372 21 : if (cmpii(A, B) < 0) B = NULL;
4373 : }
4374 35 : if (!B)
4375 : {
4376 14 : A = sqrti(shifti(N, -1));
4377 14 : B = A;
4378 : }
4379 35 : if (!Fp_ratlift(x, N, A,B,&a,&b) || !equali1( gcdii(a,b) )) return NULL;
4380 21 : return equali1(b)? a: mkfrac(a,b);
4381 : }
4382 :
4383 : static GEN
4384 56 : mod_to_rfrac(GEN x, GEN N, long B)
4385 : {
4386 : GEN a, b;
4387 56 : long A, d = degpol(N);
4388 56 : if (B >= 0)
4389 : {
4390 21 : A = d-1 - B;
4391 : /* denominator bound useless, don't use it */
4392 21 : if (A < B) B = -1;
4393 : }
4394 56 : if (B < 0)
4395 : {
4396 49 : B = d >> 1;
4397 49 : A = odd(d)? B : B-1;
4398 : }
4399 56 : if (varn(N) != varn(x)) x = scalarpol(x, varn(N));
4400 56 : if (! RgXQ_ratlift(x, N, A, B, &a,&b)) return NULL;
4401 56 : if (degpol(RgX_gcd(a,b)) > 0) return NULL;
4402 49 : return gdiv(a,b);
4403 : }
4404 :
4405 : /* k > 0 t_INT, x a t_FRAC, returns the convergent a/b
4406 : * of the continued fraction of x with b <= k maximal */
4407 : static GEN
4408 0 : bestappr_frac(GEN x, GEN k)
4409 : {
4410 : pari_sp av;
4411 : GEN p0, p1, p, q0, q1, q, a, y;
4412 :
4413 0 : if (cmpii(gel(x,2),k) <= 0) return gcopy(x);
4414 0 : av = avma; y = x;
4415 0 : p1 = gen_1; p0 = truedvmdii(gel(x,1), gel(x,2), &a); /* = floor(x) */
4416 0 : q1 = gen_0; q0 = gen_1;
4417 0 : x = mkfrac(a, gel(x,2)); /* = frac(x); now 0<= x < 1 */
4418 : for(;;)
4419 : {
4420 0 : x = ginv(x); /* > 1 */
4421 0 : a = typ(x)==t_INT? x: divii(gel(x,1), gel(x,2));
4422 0 : if (cmpii(a,k) > 0)
4423 : { /* next partial quotient will overflow limits */
4424 : GEN n, d;
4425 0 : a = divii(subii(k, q1), q0);
4426 0 : p = addii(mulii(a,p0), p1); p1=p0; p0=p;
4427 0 : q = addii(mulii(a,q0), q1); q1=q0; q0=q;
4428 : /* compare |y-p0/q0|, |y-p1/q1| */
4429 0 : n = gel(y,1);
4430 0 : d = gel(y,2);
4431 0 : if (abscmpii(mulii(q1, subii(mulii(q0,n), mulii(d,p0))),
4432 : mulii(q0, subii(mulii(q1,n), mulii(d,p1)))) < 0)
4433 0 : { p1 = p0; q1 = q0; }
4434 0 : break;
4435 : }
4436 0 : p = addii(mulii(a,p0), p1); p1=p0; p0=p;
4437 0 : q = addii(mulii(a,q0), q1); q1=q0; q0=q;
4438 :
4439 0 : if (cmpii(q0,k) > 0) break;
4440 0 : x = gsub(x,a); /* 0 <= x < 1 */
4441 0 : if (typ(x) == t_INT) { p1 = p0; q1 = q0; break; } /* x = 0 */
4442 :
4443 0 : }
4444 0 : return gerepileupto(av, gdiv(p1,q1));
4445 : }
4446 : /* bestappr(t_REAL != 0), to maximal accuracy */
4447 : static GEN
4448 287 : bestappr_real_max(GEN x)
4449 : {
4450 287 : pari_sp av = avma;
4451 : GEN p0, p1, p, q0, q1, q, a;
4452 : long e;
4453 287 : p1 = gen_1; a = p0 = floorr(x); q1 = gen_0; q0 = gen_1;
4454 287 : x = subri(x,a); /* 0 <= x < 1 */
4455 287 : e = bit_prec(x) - expo(x);
4456 : for(;;)
4457 : {
4458 : long d;
4459 1092 : if (!signe(x) || expi(q0) > e) { p1 = p0; q1 = q0; break; }
4460 974 : x = invr(x); /* > 1 */
4461 974 : d = nbits2prec(expo(x) + 1);
4462 974 : if (d > lg(x)) { p1 = p0; q1 = q0; break; } /* original x was ~ 0 */
4463 :
4464 805 : a = truncr(x); /* truncr(x) will NOT raise e_PREC */
4465 805 : p = addii(mulii(a,p0), p1); p1=p0; p0=p;
4466 805 : q = addii(mulii(a,q0), q1); q1=q0; q0=q;
4467 805 : x = subri(x,a); /* 0 <= x < 1 */
4468 805 : }
4469 287 : return gerepileupto(av, gdiv(p1,q1));
4470 : }
4471 : /* k > 0 t_INT, x != 0 a t_REAL, returns the convergent a/b
4472 : * of the continued fraction of x with b <= k maximal */
4473 : static GEN
4474 259704 : bestappr_real(GEN x, GEN k)
4475 : {
4476 259704 : pari_sp av = avma;
4477 : GEN kr, p0, p1, p, q0, q1, q, a, y;
4478 :
4479 259704 : y = x;
4480 259704 : p1 = gen_1; a = p0 = floorr(x);
4481 259703 : q1 = gen_0; q0 = gen_1;
4482 259703 : x = subri(x,a); /* 0 <= x < 1 */
4483 259703 : if (!signe(x)) { cgiv(x); return a; }
4484 253614 : kr = itor(k, realprec(x));
4485 : for(;;)
4486 : {
4487 : long d;
4488 684028 : x = invr(x); /* > 1 */
4489 684028 : if (cmprr(x,kr) > 0)
4490 : { /* next partial quotient will overflow limits */
4491 249124 : a = divii(subii(k, q1), q0);
4492 249124 : p = addii(mulii(a,p0), p1); p1=p0; p0=p;
4493 249124 : q = addii(mulii(a,q0), q1); q1=q0; q0=q;
4494 : /* compare |y-p0/q0|, |y-p1/q1| */
4495 249124 : if (abscmprr(mulir(q1, subri(mulir(q0,y), p0)),
4496 : mulir(q0, subri(mulir(q1,y), p1))) < 0)
4497 4978 : { p1 = p0; q1 = q0; }
4498 249124 : break;
4499 : }
4500 434904 : d = nbits2prec(expo(x) + 1);
4501 434904 : if (d > lg(x)) { p1 = p0; q1 = q0; break; } /* original x was ~ 0 */
4502 :
4503 434898 : a = truncr(x); /* truncr(x) will NOT raise e_PREC */
4504 434898 : p = addii(mulii(a,p0), p1); p1=p0; p0=p;
4505 434898 : q = addii(mulii(a,q0), q1); q1=q0; q0=q;
4506 :
4507 434898 : if (cmpii(q0,k) > 0) break;
4508 430731 : x = subri(x,a); /* 0 <= x < 1 */
4509 430731 : if (!signe(x)) { p1 = p0; q1 = q0; break; }
4510 430414 : }
4511 253614 : return gerepileupto(av, gdiv(p1,q1));
4512 : }
4513 :
4514 : /* k t_INT or NULL */
4515 : static GEN
4516 413636 : bestappr_Q(GEN x, GEN k)
4517 : {
4518 413636 : long lx, tx = typ(x), i;
4519 : GEN a, y;
4520 :
4521 413636 : switch(tx)
4522 : {
4523 77 : case t_INT: return icopy(x);
4524 0 : case t_FRAC: return k? bestappr_frac(x, k): gcopy(x);
4525 : case t_REAL:
4526 292389 : if (!signe(x)) return gen_0;
4527 259991 : return k? bestappr_real(x, k): bestappr_real_max(x);
4528 :
4529 : case t_INTMOD: {
4530 21 : pari_sp av = avma;
4531 21 : a = mod_to_frac(gel(x,2), gel(x,1), k); if (!a) return NULL;
4532 14 : return gerepilecopy(av, a);
4533 : }
4534 : case t_PADIC: {
4535 14 : pari_sp av = avma;
4536 14 : long v = valp(x);
4537 14 : a = mod_to_frac(gel(x,4), gel(x,3), k); if (!a) return NULL;
4538 7 : if (v) a = gmul(a, powis(gel(x,2), v));
4539 7 : return gerepilecopy(av, a);
4540 : }
4541 :
4542 : case t_COMPLEX: {
4543 7 : pari_sp av = avma;
4544 7 : y = cgetg(3, t_COMPLEX);
4545 7 : gel(y,2) = bestappr(gel(x,2), k);
4546 7 : gel(y,1) = bestappr(gel(x,1), k);
4547 7 : if (gequal0(gel(y,2))) return gerepileupto(av, gel(y,1));
4548 0 : return y;
4549 : }
4550 : case t_SER:
4551 0 : if (ser_isexactzero(x)) return gcopy(x);
4552 : /* fall through */
4553 : case t_POLMOD: case t_POL: case t_RFRAC:
4554 : case t_VEC: case t_COL: case t_MAT:
4555 121128 : y = cgetg_copy(x, &lx);
4556 121128 : if (lontyp[tx] == 1) i = 1; else { y[1] = x[1]; i = 2; }
4557 519717 : for (; i<lx; i++)
4558 : {
4559 398591 : a = bestappr_Q(gel(x,i),k); if (!a) return NULL;
4560 398589 : gel(y,i) = a;
4561 : }
4562 121126 : if (tx == t_POL) return normalizepol(y);
4563 121112 : if (tx == t_SER) return normalize(y);
4564 121112 : return y;
4565 : }
4566 0 : pari_err_TYPE("bestappr_Q",x);
4567 : return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
4568 : }
4569 :
4570 : static GEN
4571 49 : bestappr_ser(GEN x, long B)
4572 : {
4573 49 : long v = valp(x), lx = lg(x);
4574 : GEN N, t;
4575 49 : x = normalizepol(ser2pol_i(x, lx));
4576 49 : N = pol_xn(lx-2, varn(x));
4577 49 : t = mod_to_rfrac(x, N, B); if (!t) return NULL;
4578 42 : if (v)
4579 : {
4580 : GEN a, b;
4581 : long vx;
4582 14 : if (typ(t) == t_POL) return RgX_mulXn(t, v);
4583 : /* t_RFRAC */
4584 14 : vx = varn(x);
4585 14 : a = gel(t,1);
4586 14 : b = gel(t,2);
4587 14 : v -= RgX_valrem(b, &b);
4588 14 : if (typ(a) == t_POL && varn(a) == vx) v += RgX_valrem(a, &a);
4589 14 : if (v < 0) b = RgX_shift(b, -v);
4590 7 : else if (v > 0) {
4591 7 : if (typ(a) != t_POL || varn(a) != vx) a = scalarpol_shallow(a, vx);
4592 7 : a = RgX_shift(a, v);
4593 : }
4594 14 : t = mkrfraccopy(a, b);
4595 : }
4596 42 : return t;
4597 : }
4598 : static GEN bestappr_RgX(GEN x, long B);
4599 : /* x t_POLMOD, B >= 0 or < 0 [omit condition on B].
4600 : * Look for coprime t_POL a,b, deg(b)<=B, such that a/b = x */
4601 : static GEN
4602 63 : bestappr_RgX(GEN x, long B)
4603 : {
4604 63 : long i, lx, tx = typ(x);
4605 : GEN y, t;
4606 63 : switch(tx)
4607 : {
4608 : case t_INT: case t_REAL: case t_INTMOD: case t_FRAC:
4609 : case t_COMPLEX: case t_PADIC: case t_QUAD: case t_POL:
4610 0 : return gcopy(x);
4611 :
4612 : case t_RFRAC: {
4613 14 : pari_sp av = avma;
4614 14 : if (B < 0 || degpol(gel(x,2)) <= B) return gcopy(x);
4615 7 : x = rfrac_to_ser(x, 2*B+1);
4616 7 : t = bestappr_ser(x, B); if (!t) return NULL;
4617 7 : return gerepileupto(av, t);
4618 : }
4619 : case t_POLMOD: {
4620 7 : pari_sp av = avma;
4621 7 : t = mod_to_rfrac(gel(x,2), gel(x,1), B); if (!t) return NULL;
4622 7 : return gerepileupto(av, t);
4623 : }
4624 : case t_SER: {
4625 42 : pari_sp av = avma;
4626 42 : t = bestappr_ser(x, B); if (!t) return NULL;
4627 35 : return gerepileupto(av, t);
4628 : }
4629 :
4630 : case t_VEC: case t_COL: case t_MAT:
4631 0 : y = cgetg_copy(x, &lx);
4632 0 : if (lontyp[tx] == 1) i = 1; else { y[1] = x[1]; i = 2; }
4633 0 : for (; i<lx; i++)
4634 : {
4635 0 : t = bestappr_RgX(gel(x,i),B); if (!t) return NULL;
4636 0 : gel(y,i) = t;
4637 : }
4638 0 : return y;
4639 : }
4640 0 : pari_err_TYPE("bestappr_RgX",x);
4641 : return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
4642 : }
4643 :
4644 : /* allow k = NULL: maximal accuracy */
4645 : GEN
4646 15045 : bestappr(GEN x, GEN k)
4647 : {
4648 15045 : pari_sp av = avma;
4649 15045 : if (k) { /* replace by floor(k) */
4650 14779 : switch(typ(k))
4651 : {
4652 : case t_INT:
4653 168 : break;
4654 : case t_REAL: case t_FRAC:
4655 14611 : k = floor_safe(k); /* left on stack for efficiency */
4656 14611 : if (!signe(k)) k = gen_1;
4657 14611 : break;
4658 : default:
4659 0 : pari_err_TYPE("bestappr [bound type]", k);
4660 0 : break;
4661 : }
4662 : }
4663 15045 : x = bestappr_Q(x, k);
4664 15044 : if (!x) { avma = av; return cgetg(1,t_VEC); }
4665 15030 : return x;
4666 : }
4667 : GEN
4668 63 : bestapprPade(GEN x, long B)
4669 : {
4670 63 : pari_sp av = avma;
4671 63 : GEN t = bestappr_RgX(x, B);
4672 63 : if (!t) { avma = av; return cgetg(1,t_VEC); }
4673 56 : return t;
4674 : }
4675 :
4676 : /***********************************************************************/
4677 : /** **/
4678 : /** FUNDAMENTAL UNIT AND REGULATOR (QUADRATIC FIELDS) **/
4679 : /** **/
4680 : /***********************************************************************/
4681 :
4682 : static GEN
4683 14 : get_quad(GEN f, GEN pol, long r)
4684 : {
4685 14 : GEN p1 = gcoeff(f,1,2), q1 = gcoeff(f,2,2);
4686 14 : return mkquad(pol, r? subii(p1,q1): p1, q1);
4687 : }
4688 :
4689 : /* replace f by f * [a,1; 1,0] */
4690 : static void
4691 14 : update_f(GEN f, GEN a)
4692 : {
4693 : GEN p1;
4694 14 : p1 = gcoeff(f,1,1);
4695 14 : gcoeff(f,1,1) = addii(mulii(a,p1), gcoeff(f,1,2));
4696 14 : gcoeff(f,1,2) = p1;
4697 :
4698 14 : p1 = gcoeff(f,2,1);
4699 14 : gcoeff(f,2,1) = addii(mulii(a,p1), gcoeff(f,2,2));
4700 14 : gcoeff(f,2,2) = p1;
4701 14 : }
4702 :
4703 : GEN
4704 7 : quadunit(GEN x)
4705 : {
4706 7 : pari_sp av = avma, av2;
4707 : GEN pol, y, a, u, v, sqd, f;
4708 : long r;
4709 :
4710 7 : check_quaddisc_real(x, &r, "quadunit");
4711 7 : pol = quadpoly(x);
4712 7 : sqd = sqrti(x); av2 = avma;
4713 7 : a = shifti(addui(r,sqd),-1);
4714 7 : f = mkmat2(mkcol2(a, gen_1), mkcol2(gen_1, gen_0)); /* [a,0; 1,0] */
4715 7 : u = stoi(r); v = gen_2;
4716 : for(;;)
4717 : {
4718 : GEN u1, v1;
4719 14 : u1 = subii(mulii(a,v),u);
4720 14 : v1 = divii(subii(x,sqri(u1)),v);
4721 14 : if ( equalii(v,v1) ) {
4722 7 : y = get_quad(f,pol,r);
4723 7 : update_f(f,a);
4724 7 : y = gdiv(get_quad(f,pol,r), gconj(y));
4725 7 : break;
4726 : }
4727 7 : a = divii(addii(sqd,u1), v1);
4728 7 : if ( equalii(u,u1) ) {
4729 0 : y = get_quad(f,pol,r);
4730 0 : y = gdiv(y, gconj(y));
4731 0 : break;
4732 : }
4733 7 : update_f(f,a);
4734 7 : u = u1; v = v1;
4735 7 : if (gc_needed(av2,2))
4736 : {
4737 0 : if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"quadunit");
4738 0 : gerepileall(av2,4, &a,&f,&u,&v);
4739 : }
4740 7 : }
4741 7 : if (signe(gel(y,3)) < 0) y = gneg(y);
4742 7 : return gerepileupto(av, y);
4743 : }
4744 :
4745 : GEN
4746 7 : quadunit0(GEN x, long v)
4747 : {
4748 7 : GEN y = quadunit(x);
4749 7 : if (v==-1) v = fetch_user_var("w");
4750 7 : setvarn(gel(y,1), v);
4751 7 : return y;
4752 : }
4753 :
4754 : GEN
4755 21 : quadregulator(GEN x, long prec)
4756 : {
4757 21 : pari_sp av = avma, av2;
4758 : GEN R, rsqd, u, v, sqd;
4759 : long r, Rexpo;
4760 :
4761 21 : check_quaddisc_real(x, &r, "quadregulator");
4762 21 : sqd = sqrti(x);
4763 21 : rsqd = gsqrt(x,prec);
4764 21 : Rexpo = 0; R = real2n(1, prec); /* = 2 */
4765 21 : av2 = avma;
4766 21 : u = stoi(r); v = gen_2;
4767 : for(;;)
4768 : {
4769 70 : GEN u1 = subii(mulii(divii(addii(u,sqd),v), v), u);
4770 70 : GEN v1 = divii(subii(x,sqri(u1)),v);
4771 70 : if (equalii(v,v1))
4772 : {
4773 7 : R = sqrr(R); shiftr_inplace(R, -1);
4774 7 : R = mulrr(R, divri(addir(u1,rsqd),v));
4775 7 : break;
4776 : }
4777 63 : if (equalii(u,u1))
4778 : {
4779 14 : R = sqrr(R); shiftr_inplace(R, -1);
4780 14 : break;
4781 : }
4782 49 : R = mulrr(R, divri(addir(u1,rsqd),v));
4783 49 : Rexpo += expo(R); setexpo(R,0);
4784 49 : u = u1; v = v1;
4785 49 : if (Rexpo & ~EXPOBITS) pari_err_OVERFLOW("quadregulator [exponent]");
4786 49 : if (gc_needed(av2,2))
4787 : {
4788 0 : if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"quadregulator");
4789 0 : gerepileall(av2,3, &R,&u,&v);
4790 : }
4791 49 : }
4792 21 : R = logr_abs(divri(R,v));
4793 21 : if (Rexpo)
4794 : {
4795 21 : GEN t = mulsr(Rexpo, mplog2(prec));
4796 21 : shiftr_inplace(t, 1);
4797 21 : R = addrr(R,t);
4798 : }
4799 21 : return gerepileuptoleaf(av, R);
4800 : }
4801 :
4802 : /*************************************************************************/
4803 : /** **/
4804 : /** CLASS NUMBER **/
4805 : /** **/
4806 : /*************************************************************************/
4807 :
4808 : int
4809 10795966 : qfb_equal1(GEN f) { return equali1(gel(f,1)); }
4810 :
4811 15279709 : static GEN qfi_pow(void *E, GEN f, GEN n)
4812 15279709 : { return E? nupow(f,n,(GEN)E): powgi(f,n); }
4813 19289173 : static GEN qfi_comp(void *E, GEN f, GEN g)
4814 19289173 : { return E? nucomp(f,g,(GEN)E): qficomp(f,g); }
4815 : static const struct bb_group qfi_group={ qfi_comp,qfi_pow,NULL,hash_GEN,
4816 : gidentical,qfb_equal1,NULL};
4817 :
4818 : GEN
4819 2457632 : qfi_order(GEN q, GEN o)
4820 2457632 : { return gen_order(q, o, NULL, &qfi_group); }
4821 :
4822 : GEN
4823 0 : qfi_log(GEN a, GEN g, GEN o)
4824 0 : { return gen_PH_log(a, g, o, NULL, &qfi_group); }
4825 :
4826 : GEN
4827 529466 : qfi_Shanks(GEN a, GEN g, long n)
4828 : {
4829 529466 : pari_sp av = avma;
4830 : GEN T, X;
4831 : long rt_n, c;
4832 :
4833 529466 : a = redimag(a);
4834 529466 : g = redimag(g);
4835 :
4836 529466 : rt_n = sqrt((double)n);
4837 529466 : c = n / rt_n;
4838 529466 : c = (c * rt_n < n + 1) ? c + 1 : c;
4839 :
4840 529466 : T = gen_Shanks_init(g, rt_n, NULL, &qfi_group);
4841 529466 : X = gen_Shanks(T, a, c, NULL, &qfi_group);
4842 :
4843 529466 : if (!X) { avma = av; return X; }
4844 283465 : return gerepileuptoint(av, X);
4845 : }
4846 :
4847 : GEN
4848 140 : qfbclassno0(GEN x,long flag)
4849 : {
4850 140 : switch(flag)
4851 : {
4852 126 : case 0: return map_proto_G(classno,x);
4853 14 : case 1: return map_proto_G(classno2,x);
4854 0 : default: pari_err_FLAG("qfbclassno");
4855 : }
4856 : return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
4857 : }
4858 :
4859 : /* f^h = 1, return order(f). Set *pfao to its factorization */
4860 : static GEN
4861 2304607 : find_order(void *E, GEN f, GEN h, GEN *pfao)
4862 : {
4863 2304607 : GEN v = gen_factored_order(f, h, E, &qfi_group);
4864 2304607 : *pfao = gel(v,2); return gel(v,1);
4865 : }
4866 :
4867 : static int
4868 5606 : ok_q(GEN q, GEN h, GEN d2, long r2)
4869 : {
4870 5606 : if (d2)
4871 : {
4872 7 : if (r2 <= 2 && !mpodd(q)) return 0;
4873 7 : return is_pm1(Z_ppo(q,d2));
4874 : }
4875 : else
4876 : {
4877 5599 : if (r2 <= 1 && !mpodd(q)) return 0;
4878 5599 : return is_pm1(Z_ppo(q,h));
4879 : }
4880 : }
4881 :
4882 : /* a,b given by their factorizations. Return factorization of lcm(a,b).
4883 : * Set A,B such that A*B = lcm(a, b), (A,B)=1, A|a, B|b */
4884 : static GEN
4885 300436 : split_lcm(GEN a, GEN Fa, GEN b, GEN Fb, GEN *pA, GEN *pB)
4886 : {
4887 300436 : GEN P = ZV_union_shallow(gel(Fa,1), gel(Fb,1));
4888 300436 : GEN A = gen_1, B = gen_1;
4889 300436 : long i, l = lg(P);
4890 300436 : GEN E = cgetg(l, t_COL);
4891 888263 : for (i=1; i<l; i++)
4892 : {
4893 587827 : GEN p = gel(P,i);
4894 587827 : long va = Z_pval(a,p);
4895 587827 : long vb = Z_pval(b,p);
4896 587827 : if (va < vb)
4897 : {
4898 302185 : B = mulii(B,powiu(p,vb));
4899 302185 : gel(E,i) = utoi(vb);
4900 : }
4901 : else
4902 : {
4903 285642 : A = mulii(A,powiu(p,va));
4904 285642 : gel(E,i) = utoi(va);
4905 : }
4906 : }
4907 300436 : *pA = A;
4908 300436 : *pB = B; return mkmat2(P,E);
4909 : }
4910 :
4911 : /* g1 has order d1, f has order o, replace g1 by an element of order lcm(d1,o)*/
4912 : static void
4913 300436 : update_g1(GEN *pg1, GEN *pd1, GEN *pfad1, GEN f, GEN o, GEN fao)
4914 : {
4915 300436 : GEN A,B, g1 = *pg1, d1 = *pd1;
4916 300436 : *pfad1 = split_lcm(d1,*pfad1, o,fao, &A,&B);
4917 300436 : *pg1 = gmul(powgi(g1, diviiexact(d1,A)), powgi(f, diviiexact(o,B)));
4918 300436 : *pd1 = mulii(A,B); /* g1 has order d1 <- lcm(d1,o) */
4919 300436 : }
4920 :
4921 : /* Write x = Df^2, where D = fundamental discriminant,
4922 : * P^E = factorisation of conductor f, with E[i] >= 0 */
4923 : static void
4924 1711384 : corediscfact(GEN x, long xmod4, GEN *ptD, GEN *ptP, GEN *ptE)
4925 : {
4926 1711384 : long s = signe(x), l, i;
4927 1711384 : GEN fa = absZ_factor(x);
4928 1711384 : GEN d, P = gel(fa,1), E = gtovecsmall(gel(fa,2));
4929 :
4930 1711384 : l = lg(P); d = gen_1;
4931 4457844 : for (i=1; i<l; i++)
4932 : {
4933 2746460 : if (E[i] & 1) d = mulii(d, gel(P,i));
4934 2746460 : E[i] >>= 1;
4935 : }
4936 1711384 : if (!xmod4 && mod4(d) != ((s < 0)? 3: 1)) { d = shifti(d,2); E[1]--; }
4937 1711384 : *ptD = (s < 0)? negi(d): d;
4938 1711384 : *ptP = P;
4939 1711384 : *ptE = E;
4940 1711384 : }
4941 :
4942 : static GEN
4943 1703581 : conductor_part(GEN x, long xmod4, GEN *ptD, GEN *ptreg)
4944 : {
4945 1703581 : long l, i, s = signe(x);
4946 : GEN E, H, D, P, reg;
4947 :
4948 1703581 : corediscfact(x, xmod4, &D, &P, &E);
4949 1703581 : H = gen_1; l = lg(P);
4950 : /* f \prod_{p|f} [ 1 - (D/p) p^-1 ] = \prod_{p^e||f} p^(e-1) [ p - (D/p) ] */
4951 4424197 : for (i=1; i<l; i++)
4952 : {
4953 2720616 : long e = E[i];
4954 2720616 : if (e)
4955 : {
4956 7 : GEN p = gel(P,i);
4957 7 : H = mulii(H, subis(p, kronecker(D,p)));
4958 7 : if (e >= 2) H = mulii(H, powiu(p,e-1));
4959 : }
4960 : }
4961 :
4962 : /* divide by [ O_K^* : O^* ] */
4963 1703581 : if (s < 0)
4964 : {
4965 1703567 : reg = NULL;
4966 1703567 : switch(itou_or_0(D))
4967 : {
4968 0 : case 4: H = shifti(H,-1); break;
4969 0 : case 3: H = divis(H,3); break;
4970 : }
4971 : } else {
4972 14 : reg = quadregulator(D,DEFAULTPREC);
4973 14 : if (!equalii(x,D))
4974 0 : H = divii(H, roundr(divrr(quadregulator(x,DEFAULTPREC), reg)));
4975 : }
4976 1703581 : if (ptreg) *ptreg = reg;
4977 1703581 : *ptD = D; return H;
4978 : }
4979 :
4980 : static long
4981 1703560 : two_rank(GEN x)
4982 : {
4983 1703560 : GEN p = gel(absZ_factor(x),1);
4984 1703560 : long l = lg(p)-1;
4985 : #if 0 /* positive disc not needed */
4986 : if (signe(x) > 0)
4987 : {
4988 : long i;
4989 : for (i=1; i<=l; i++)
4990 : if (mod4(gel(p,i)) == 3) { l--; break; }
4991 : }
4992 : #endif
4993 1703560 : return l-1;
4994 : }
4995 :
4996 : static GEN
4997 32365853 : sqr_primeform(GEN x, ulong p) { return redimag(qfisqr(primeform_u(x, p))); }
4998 : /* return a set of forms hopefully generating Cl(K)^2; set L ~ L(chi_D,1) */
4999 : static GEN
5000 1703560 : get_forms(GEN D, GEN *pL)
5001 : {
5002 1703560 : const long MAXFORM = 20;
5003 1703560 : GEN L, sqrtD = gsqrt(absi(D),DEFAULTPREC), forms = vectrunc_init(MAXFORM+1);
5004 1703560 : long s, nforms = 0;
5005 : ulong p;
5006 : forprime_t S;
5007 1703560 : L = mulrr(divrr(sqrtD,mppi(DEFAULTPREC)), dbltor(1.005));/*overshoot by 0.5%*/
5008 1703560 : s = itos_or_0( truncr(shiftr(sqrtr(sqrtD), 1)) );
5009 1703560 : if (!s) pari_err_OVERFLOW("classno [discriminant too large]");
5010 1703560 : if (s < 10) s = 200;
5011 1578060 : else if (s < 20) s = 1000;
5012 1477 : else if (s < 5000) s = 5000;
5013 1703560 : u_forprime_init(&S, 2, s);
5014 288039484 : while ( (p = u_forprime_next(&S)) )
5015 : {
5016 284632364 : long d, k = kroiu(D,p);
5017 : pari_sp av2;
5018 284632364 : if (!k) continue;
5019 282781130 : if (k > 0)
5020 : {
5021 141836030 : if (++nforms < MAXFORM) vectrunc_append(forms, sqr_primeform(D,p));
5022 141836030 : d = p-1;
5023 : }
5024 : else
5025 140945100 : d = p+1;
5026 282781130 : av2 = avma; affrr(divru(mulur(p,L),d), L); avma = av2;
5027 : }
5028 1703560 : *pL = L; return forms;
5029 : }
5030 :
5031 : /* h ~ #G, return o = order of f, set fao = its factorization */
5032 : static GEN
5033 1703609 : Shanks_order(void *E, GEN f, GEN h, GEN *pfao)
5034 : {
5035 1703609 : long s = minss(itos(sqrti(h)), 10000);
5036 1703609 : GEN T = gen_Shanks_init(f, s, E, &qfi_group);
5037 1703609 : GEN v = gen_Shanks(T, ginv(f), ULONG_MAX, E, &qfi_group);
5038 1703609 : return find_order(E, f, addiu(v,1), pfao);
5039 : }
5040 :
5041 : /* if g = 1 in G/<f> ? */
5042 : static int
5043 518 : equal1(void *E, GEN T, ulong N, GEN g)
5044 518 : { return !!gen_Shanks(T, g, N, E, &qfi_group); }
5045 :
5046 : /* Order of 'a' in G/<f>, T = gen_Shanks_init(f,n), order(f) < n*N
5047 : * FIXME: should be gen_order, but equal1 has the wrong prototype */
5048 : static GEN
5049 112 : relative_order(void *E, GEN a, GEN o, ulong N, GEN T)
5050 : {
5051 112 : pari_sp av = avma;
5052 : long i, l;
5053 : GEN m;
5054 :
5055 112 : m = get_arith_ZZM(o);
5056 112 : if (!m) pari_err_TYPE("gen_order [missing order]",a);
5057 112 : o = gel(m,1);
5058 112 : m = gel(m,2); l = lgcols(m);
5059 322 : for (i = l-1; i; i--)
5060 : {
5061 210 : GEN t, y, p = gcoeff(m,i,1);
5062 210 : long j, e = itos(gcoeff(m,i,2));
5063 210 : if (l == 2) {
5064 35 : t = gen_1;
5065 35 : y = a;
5066 : } else {
5067 175 : t = diviiexact(o, powiu(p,e));
5068 175 : y = powgi(a, t);
5069 : }
5070 210 : if (equal1(E, T,N,y)) o = t;
5071 : else {
5072 126 : for (j = 1; j < e; j++)
5073 : {
5074 28 : y = powgi(y, p);
5075 28 : if (equal1(E, T,N,y)) break;
5076 : }
5077 119 : if (j < e) {
5078 21 : if (j > 1) p = powiu(p, j);
5079 21 : o = mulii(t, p);
5080 : }
5081 : }
5082 : }
5083 112 : return gerepilecopy(av, o);
5084 : }
5085 :
5086 : /* h(x) for x<0 using Baby Step/Giant Step.
5087 : * Assumes G is not too far from being cyclic.
5088 : *
5089 : * Compute G^2 instead of G so as to kill most of the non-cyclicity */
5090 : GEN
5091 1705544 : classno(GEN x)
5092 : {
5093 1705544 : pari_sp av = avma;
5094 : long r2, k, s, i, l;
5095 : GEN forms, hin, Hf, D, g1, d1, d2, q, L, fad1, order_bound;
5096 : void *E;
5097 :
5098 1705544 : if (signe(x) >= 0) return classno2(x);
5099 :
5100 1705537 : check_quaddisc(x, &s, &k, "classno");
5101 1705537 : if (abscmpiu(x,12) <= 0) return gen_1;
5102 :
5103 1703560 : Hf = conductor_part(x, k, &D, NULL);
5104 1703560 : if (abscmpiu(D,12) <= 0) return gerepilecopy(av, Hf);
5105 1703560 : forms = get_forms(D, &L);
5106 1703560 : r2 = two_rank(D);
5107 1703560 : hin = roundr(shiftr(L, -r2)); /* rough approximation for #G, G = Cl(K)^2 */
5108 :
5109 1703560 : l = lg(forms);
5110 1703560 : order_bound = const_vec(l-1, NULL);
5111 1703560 : E = expi(D) > 60? (void*)sqrtnint(shifti(absi(D),-2),4): NULL;
5112 1703560 : g1 = gel(forms,1);
5113 1703560 : gel(order_bound,1) = d1 = Shanks_order(E, g1, hin, &fad1);
5114 1703560 : q = diviiround(hin, d1); /* approximate order of G/<g1> */
5115 1703560 : d2 = NULL; /* not computed yet */
5116 1703560 : if (is_pm1(q)) goto END;
5117 423370 : for (i=2; i < l; i++)
5118 : {
5119 417701 : GEN o, fao, a, F, fd, f = gel(forms,i);
5120 417701 : fd = powgi(f, d1); if (is_pm1(gel(fd,1))) continue;
5121 300436 : F = powgi(fd, q);
5122 300436 : a = gel(F,1);
5123 300436 : o = is_pm1(a)? find_order(E, fd, q, &fao): Shanks_order(E, fd, q, &fao);
5124 : /* f^(d1 q) = 1 */
5125 300436 : fao = merge_factor(fad1,fao, (void*)&cmpii, &cmp_nodata);
5126 300436 : o = find_order(E, f, fao, &fao);
5127 300436 : gel(order_bound,i) = o;
5128 : /* o = order of f, fao = factor(o) */
5129 300436 : update_g1(&g1,&d1,&fad1, f,o,fao);
5130 300436 : q = diviiround(hin, d1);
5131 300436 : if (is_pm1(q)) goto END;
5132 : }
5133 : /* very probably d1 = expo(Cl^2(K)), q ~ #Cl^2(K) / d1 */
5134 5669 : if (expi(q) > 3)
5135 : { /* q large: compute d2, 2nd elt divisor */
5136 70 : ulong N, n = 2*itou(sqrti(d1));
5137 70 : GEN D = d1, T = gen_Shanks_init(g1, n, E, &qfi_group);
5138 70 : d2 = gen_1;
5139 70 : N = itou( gceil(gdivgs(d1,n)) ); /* order(g1) <= n*N */
5140 287 : for (i = 1; i < l; i++)
5141 : {
5142 280 : GEN d, f = gel(forms,i), B = gel(order_bound,i);
5143 280 : if (!B) B = find_order(E, f, fad1, /*junk*/&d);
5144 280 : f = powgi(f,d2);
5145 280 : if (equal1(E, T,N,f)) continue;
5146 112 : B = gdiv(B,d2); if (typ(B) == t_FRAC) B = gel(B,1);
5147 : /* f^B = 1 */
5148 112 : d = relative_order(E, f, B, N,T);
5149 112 : d2= mulii(d,d2);
5150 112 : D = mulii(d1,d2);
5151 112 : q = diviiround(hin,D);
5152 112 : if (is_pm1(q)) { d1 = D; goto END; }
5153 : }
5154 : /* very probably, d2 is the 2nd elementary divisor */
5155 7 : d1 = D; /* product of first two elt divisors */
5156 : }
5157 : /* impose q | d2^oo (d1^oo if d2 not computed), and compatible with known
5158 : * 2-rank */
5159 5606 : if (!ok_q(q,d1,d2,r2))
5160 : {
5161 0 : GEN q0 = q;
5162 : long d;
5163 0 : if (cmpii(mulii(q,d1), hin) < 0)
5164 : { /* try q = q0+1,-1,+2,-2 */
5165 0 : d = 1;
5166 0 : do { q = addis(q0,d); d = d>0? -d: 1-d; } while(!ok_q(q,d1,d2,r2));
5167 : }
5168 : else
5169 : { /* q0-1,+1,-2,+2 */
5170 0 : d = -1;
5171 0 : do { q = addis(q0,d); d = d<0? -d: -1-d; } while(!ok_q(q,d1,d2,r2));
5172 : }
5173 : }
5174 5606 : d1 = mulii(d1,q);
5175 :
5176 : END:
5177 1703560 : return gerepileuptoint(av, shifti(mulii(d1,Hf), r2));
5178 : }
5179 :
5180 : GEN
5181 0 : quadclassno(GEN x)
5182 : {
5183 0 : pari_sp av = avma;
5184 : GEN Hf, D;
5185 : long s, r;
5186 0 : check_quaddisc(x, &s, &r, "quadclassno");
5187 0 : if (s < 0 && cmpiu(x,12) <= 0) return gen_1;
5188 0 : Hf = conductor_part(x, r, &D, NULL);
5189 0 : return gerepileuptoint(av, mulii(Hf, gel(quadclassunit0(D,0,NULL,0),1)));
5190 : }
5191 :
5192 : /* use Euler products */
5193 : GEN
5194 21 : classno2(GEN x)
5195 : {
5196 21 : pari_sp av = avma;
5197 21 : const long prec = DEFAULTPREC;
5198 : long n, i, r, s;
5199 : GEN p1, p2, S, p4, p5, p7, Hf, Pi, reg, logd, d, dr, D, half;
5200 :
5201 21 : check_quaddisc(x, &s, &r, "classno2");
5202 21 : if (s < 0 && abscmpiu(x,12) <= 0) return gen_1;
5203 :
5204 21 : Hf = conductor_part(x, r, &D, ®);
5205 21 : if (s < 0 && abscmpiu(D,12) <= 0) return gerepilecopy(av, Hf); /* |D| < 12*/
5206 :
5207 21 : Pi = mppi(prec);
5208 21 : d = absi(D); dr = itor(d, prec);
5209 21 : logd = logr_abs(dr);
5210 21 : p1 = sqrtr(divrr(mulir(d,logd), gmul2n(Pi,1)));
5211 21 : if (s > 0)
5212 : {
5213 14 : GEN invlogd = invr(logd);
5214 14 : p2 = subsr(1, shiftr(mulrr(logr_abs(reg),invlogd),1));
5215 14 : if (cmprr(sqrr(p2), shiftr(invlogd,1)) >= 0) p1 = mulrr(p2,p1);
5216 : }
5217 21 : n = itos_or_0( mptrunc(p1) );
5218 21 : if (!n) pari_err_OVERFLOW("classno [discriminant too large]");
5219 :
5220 21 : p4 = divri(Pi,d);
5221 21 : p7 = invr(sqrtr_abs(Pi));
5222 21 : half = real2n(-1, prec);
5223 21 : if (s > 0)
5224 : { /* i = 1, shortcut */
5225 14 : p1 = sqrtr_abs(dr);
5226 14 : p5 = subsr(1, mulrr(p7,incgamc(half,p4,prec)));
5227 14 : S = addrr(mulrr(p1,p5), eint1(p4,prec));
5228 546 : for (i=2; i<=n; i++)
5229 : {
5230 532 : long k = kroiu(D,i); if (!k) continue;
5231 434 : p2 = mulir(sqru(i), p4);
5232 434 : p5 = subsr(1, mulrr(p7,incgamc(half,p2,prec)));
5233 434 : p5 = addrr(divru(mulrr(p1,p5),i), eint1(p2,prec));
5234 434 : S = (k>0)? addrr(S,p5): subrr(S,p5);
5235 : }
5236 14 : S = shiftr(divrr(S,reg),-1);
5237 : }
5238 : else
5239 : { /* i = 1, shortcut */
5240 7 : p1 = gdiv(sqrtr_abs(dr), Pi);
5241 7 : p5 = subsr(1, mulrr(p7,incgamc(half,p4,prec)));
5242 7 : S = addrr(p5, divrr(p1, mpexp(p4)));
5243 952 : for (i=2; i<=n; i++)
5244 : {
5245 945 : long k = kroiu(D,i); if (!k) continue;
5246 945 : p2 = mulir(sqru(i), p4);
5247 945 : p5 = subsr(1, mulrr(p7,incgamc(half,p2,prec)));
5248 945 : p5 = addrr(p5, divrr(p1, mulur(i, mpexp(p2))));
5249 945 : S = (k>0)? addrr(S,p5): subrr(S,p5);
5250 : }
5251 : }
5252 21 : return gerepileuptoint(av, mulii(Hf, roundr(S)));
5253 : }
5254 :
5255 : /* 1 + q + ... + q^v, v > 0 */
5256 : static GEN
5257 120 : geomsumu(ulong q, long v)
5258 : {
5259 120 : GEN u = utoipos(1+q);
5260 120 : for (; v > 1; v--) u = addui(1, mului(q, u));
5261 120 : return u;
5262 : }
5263 : static GEN
5264 120 : geomsum(GEN q, long v)
5265 : {
5266 : GEN u;
5267 120 : if (lgefint(q) == 3) return geomsumu(q[2], v);
5268 0 : u = addiu(q,1);
5269 0 : for (; v > 1; v--) u = addui(1, mulii(q, u));
5270 0 : return u;
5271 : }
5272 :
5273 : static GEN
5274 7803 : hclassno6_large(GEN x)
5275 : {
5276 : long i, l, s, xmod4;
5277 : GEN Q, H, D, P, E;
5278 :
5279 7803 : x = negi(x);
5280 7803 : check_quaddisc(x, &s, &xmod4, "hclassno");
5281 7803 : corediscfact(x, xmod4, &D, &P, &E);
5282 :
5283 7803 : Q = quadclassunit0(D, 0, NULL, 0);
5284 7803 : H = gel(Q,1); l = lg(P);
5285 :
5286 : /* H \prod_{p^e||f} (1 + (p^e-1)/(p-1))[ p - (D/p) ] */
5287 33647 : for (i=1; i<l; i++)
5288 : {
5289 25844 : long e = E[i], s;
5290 : GEN p, t;
5291 25844 : if (!e) continue;
5292 4996 : p = gel(P,i); s = kronecker(D,p);
5293 4996 : if (e == 1) t = addiu(p, 1-s);
5294 1000 : else if (s == 1) t = powiu(p,e);
5295 120 : else t = addui(1, mulii(subis(p, s), geomsum(p,e-1)));
5296 4996 : H = mulii(H,t);
5297 : }
5298 7803 : switch( itou_or_0(D) )
5299 : {
5300 0 : case 3: H = shifti(H,1);break;
5301 0 : case 4: H = muliu(H,3); break;
5302 7803 : default:H = muliu(H,6); break;
5303 : }
5304 7803 : return H;
5305 : }
5306 :
5307 : /* x > 0, x = 0,3 (mod 4). Return 6*hclassno(x), an integer */
5308 : GEN
5309 113638 : hclassno6(GEN x)
5310 : {
5311 113638 : ulong d = itou_or_0(x);
5312 113638 : if (!d || d > 500000) return hclassno6_large(x);
5313 105835 : return utoipos(hclassno6u(d));
5314 : }
5315 :
5316 : GEN
5317 37709 : hclassno(GEN x)
5318 : {
5319 : long a, s;
5320 37709 : if (typ(x) != t_INT) pari_err_TYPE("hclassno",x);
5321 37709 : s = signe(x);
5322 37709 : if (s < 0) return gen_0;
5323 37709 : if (!s) return gdivgs(gen_1, -12);
5324 37709 : a = mod4(x); if (a == 1 || a == 2) return gen_0;
5325 37709 : return gdivgs(hclassno6(x), 6);
5326 : }
5327 : /******************************************************************/
5328 : /* */
5329 : /* RAMANUJAN's TAU FUNCTION */
5330 : /* */
5331 : /******************************************************************/
5332 : /* 4|N > 0, not fundamental at 2; 6 * Hurwitz class number in level 2,
5333 : * equal to 6*(H(N)+2H(N/4)), H=qfbhclassno */
5334 : static GEN
5335 36806 : Hspec(GEN N)
5336 : {
5337 36806 : long v2 = Z_lvalrem(N, 2, &N), v2f = v2 >> 1;
5338 : GEN t;
5339 36806 : if (odd(v2)) { v2f--; N = shifti(N,3); }
5340 32613 : else if (mod4(N)!=3) { v2f--; N = shifti(N,2); }
5341 : /* N fundamental at 2, v2f = v2(f) s.t. N = f^2 D, D fundamental */
5342 36806 : t = addui(3, muliu(subiu(int2n(v2f+1), 3), 2 - kroiu(N,2)));
5343 36806 : return mulii(t, hclassno6(N));
5344 : }
5345 :
5346 : /* Ramanujan tau function for p prime */
5347 : static GEN
5348 15036 : tauprime(GEN p)
5349 : {
5350 15036 : pari_sp av = avma, av2;
5351 : GEN s, p2, p2_7, p_9, T;
5352 : ulong lim, t, tin;
5353 :
5354 15036 : if (absequaliu(p, 2)) return utoineg(24);
5355 : /* p > 2 */
5356 11480 : p2 = sqri(p);
5357 11480 : p2_7 = mului(7, p2);
5358 11480 : p_9 = mului(9, p);
5359 11480 : av2 = avma;
5360 11480 : lim = itou(sqrtint(p));
5361 11480 : tin = mod4(p) == 3? 1: 0;
5362 11480 : s = gen_0;
5363 87409 : for (t = 1; t <= lim; ++t)
5364 : {
5365 75929 : GEN h, a, t2 = sqru(t), D = shifti(subii(p, t2), 2); /* 4(p-t^2) */
5366 : /* t mod 2 != tin <=> D not fundamental at 2 */
5367 75929 : h = ((t&1UL) == tin)? hclassno6(D): Hspec(D);
5368 75929 : a = mulii(powiu(t2,3), addii(p2_7, mulii(t2, subii(shifti(t2,2), p_9))));
5369 75929 : s = addii(s, mulii(a,h));
5370 75929 : if (!(t & 255)) s = gerepileuptoint(av2, s);
5371 : }
5372 : /* 28p^3 - 28p^2 - 90p - 35 */
5373 11480 : T = subii(shifti(mulii(p2_7, subiu(p,1)), 2), addiu(mului(90,p), 35));
5374 11480 : s = shifti(diviuexact(s, 3), 6);
5375 11480 : return gerepileuptoint(av, subii(mulii(mulii(p2,p),T), addui(1, s)));
5376 : }
5377 :
5378 : /* Ramanujan tau function, return 0 for <= 0 */
5379 : GEN
5380 7147 : ramanujantau(GEN n)
5381 : {
5382 7147 : pari_sp ltop = avma;
5383 : GEN T, F, P, E;
5384 : long j, lP;
5385 :
5386 7147 : if (!(F = check_arith_all(n,"ramanujantau")))
5387 : {
5388 7126 : if (signe(n) <= 0) return gen_0;
5389 7112 : F = Z_factor(n);
5390 : }
5391 : else
5392 : {
5393 21 : P = gel(F,1);
5394 21 : if (lg(P) == 1 || signe(gel(P,1)) <= 0) return gen_0;
5395 : }
5396 :
5397 7119 : P = gel(F,1);
5398 7119 : E = gel(F,2); lP = lg(P);
5399 7119 : T = gen_1;
5400 22155 : for (j = 1; j < lP; j++)
5401 : {
5402 15036 : GEN p = gel(P,j), tp = tauprime(p), t1 = tp, t0 = gen_1;
5403 15036 : long k, e = itou(gel(E,j));
5404 20328 : for (k = 1; k < e; k++)
5405 : {
5406 5292 : GEN t2 = subii(mulii(tp, t1), mulii(powiu(p, 11), t0));
5407 5292 : t0 = t1; t1 = t2;
5408 : }
5409 15036 : T = mulii(T, t1);
5410 : }
5411 7119 : return gerepileuptoint(ltop, T);
5412 : }
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