Code coverage tests

This page documents the degree to which the PARI/GP source code is tested by our public test suite, distributed with the source distribution in directory src/test/. This is measured by the gcov utility; we then process gcov output using the lcov frond-end.

We test a few variants depending on Configure flags on the pari.math.u-bordeaux.fr machine (x86_64 architecture), and agregate them in the final report:

The target is 90% coverage for all mathematical modules (given that branches depending on DEBUGLEVEL or DEBUGMEM are not covered). This script is run to produce the results below.

LCOV - code coverage report
Current view: top level - basemath - arith1.c (source / functions) Hit Total Coverage
Test: PARI/GP v2.10.0 lcov report (development 20916-a74d914) Lines: 2779 3008 92.4 %
Date: 2017-08-18 06:23:59 Functions: 246 262 93.9 %
Legend: Lines: hit not hit

          Line data    Source code
       1             : /* Copyright (C) 2000  The PARI group.
       2             : 
       3             : This file is part of the PARI/GP package.
       4             : 
       5             : PARI/GP is free software; you can redistribute it and/or modify it under the
       6             : terms of the GNU General Public License as published by the Free Software
       7             : Foundation. It is distributed in the hope that it will be useful, but WITHOUT
       8             : ANY WARRANTY WHATSOEVER.
       9             : 
      10             : Check the License for details. You should have received a copy of it, along
      11             : with the package; see the file 'COPYING'. If not, write to the Free Software
      12             : Foundation, Inc., 51 Franklin Street, Fifth Floor, Boston, MA 02110-1301 USA. */
      13             : 
      14             : /*********************************************************************/
      15             : /**                                                                 **/
      16             : /**                     ARITHMETIC FUNCTIONS                        **/
      17             : /**                         (first part)                            **/
      18             : /**                                                                 **/
      19             : /*********************************************************************/
      20             : #include "pari.h"
      21             : #include "paripriv.h"
      22             : 
      23             : /******************************************************************/
      24             : /*                                                                */
      25             : /*                 GENERATOR of (Z/mZ)*                           */
      26             : /*                                                                */
      27             : /******************************************************************/
      28             : static GEN
      29          43 : remove2(GEN q) { long v = vali(q); return v? shifti(q, -v): q; }
      30             : static ulong
      31       41467 : u_remove2(ulong q) { return q >> vals(q); }
      32             : GEN
      33          43 : odd_prime_divisors(GEN q) { return gel(Z_factor(remove2(q)), 1); }
      34             : static GEN
      35       41466 : u_odd_prime_divisors(ulong q) { return gel(factoru(u_remove2(q)), 1); }
      36             : /* p odd prime, q=(p-1)/2; L0 list of (some) divisors of q = (p-1)/2 or NULL
      37             :  * (all prime divisors of q); return the q/l, l in L0 */
      38             : static GEN
      39          34 : is_gener_expo(GEN p, GEN L0)
      40             : {
      41          34 :   GEN L, q = shifti(p,-1);
      42             :   long i, l;
      43          34 :   if (L0) {
      44          14 :     l = lg(L0);
      45          14 :     L = cgetg(l, t_VEC);
      46             :   } else {
      47          20 :     L0 = L = odd_prime_divisors(q);
      48          20 :     l = lg(L);
      49             :   }
      50          34 :   for (i=1; i<l; i++) gel(L,i) = diviiexact(q, gel(L0,i));
      51          34 :   return L;
      52             : }
      53             : static GEN
      54       41549 : u_is_gener_expo(ulong p, GEN L0)
      55             : {
      56       41549 :   const ulong q = p >> 1;
      57             :   long i, l;
      58             :   GEN L;
      59       41549 :   if (L0) {
      60        2525 :     l = lg(L0);
      61        2525 :     L = cgetg(l, t_VECSMALL);
      62             :   } else {
      63       39024 :     L0 = L = u_odd_prime_divisors(q);
      64       39017 :     l = lg(L);
      65             :   }
      66       41548 :   for (i=1; i<l; i++) L[i] = q / uel(L0,i);
      67       41548 :   return L;
      68             : }
      69             : 
      70             : int
      71      110184 : is_gener_Fl(ulong x, ulong p, ulong p_1, GEN L)
      72             : {
      73             :   long i;
      74      110184 :   if (krouu(x, p) >= 0) return 0;
      75      121688 :   for (i=lg(L)-1; i; i--)
      76             :   {
      77       77488 :     ulong t = Fl_powu(x, uel(L,i), p);
      78       77505 :     if (t == p_1 || t == 1) return 0;
      79             :   }
      80       44200 :   return 1;
      81             : }
      82             : /* assume p prime */
      83             : ulong
      84      135358 : pgener_Fl_local(ulong p, GEN L0)
      85             : {
      86      135358 :   const pari_sp av = avma;
      87      135358 :   const ulong p_1 = p-1;
      88             :   long x;
      89             :   GEN L;
      90      135358 :   if (p <= 19) switch(p)
      91             :   { /* quick trivial cases */
      92          21 :     case 2:  return 1;
      93             :     case 7:
      94       17170 :     case 17: return 3;
      95       76652 :     default: return 2;
      96             :   }
      97       41515 :   L = u_is_gener_expo(p,L0);
      98       41518 :   for (x=2;;x++) { if (is_gener_Fl(x,p,p_1,L)) break; }
      99       41520 :   avma = av; return x;
     100             : }
     101             : ulong
     102      112918 : pgener_Fl(ulong p) { return pgener_Fl_local(p, NULL); }
     103             : 
     104             : /* L[i] = set of (p-1)/2l, l ODD prime divisor of p-1 (l=2 can be included,
     105             :  * but wasteful) */
     106             : int
     107         142 : is_gener_Fp(GEN x, GEN p, GEN p_1, GEN L)
     108             : {
     109         142 :   long i, t = lgefint(x)==3? kroui(x[2], p): kronecker(x, p);
     110         142 :   if (t >= 0) return 0;
     111         373 :   for (i = lg(L)-1; i; i--)
     112             :   {
     113         258 :     GEN t = Fp_pow(x, gel(L,i), p);
     114         258 :     if (equalii(t, p_1) || equali1(t)) return 0;
     115             :   }
     116         115 :   return 1;
     117             : }
     118             : 
     119             : /* assume p prime, return a generator of all L[i]-Sylows in F_p^*. */
     120             : GEN
     121       23975 : pgener_Fp_local(GEN p, GEN L0)
     122             : {
     123       23975 :   pari_sp av0 = avma;
     124             :   GEN x, p_1, L;
     125       23975 :   if (lgefint(p) == 3)
     126             :   {
     127             :     ulong z;
     128       23946 :     if (p[2] == 2) return gen_1;
     129       18017 :     if (L0) L0 = ZV_to_nv(L0);
     130       18017 :     z = pgener_Fl_local(uel(p,2), L0);
     131       18017 :     avma = av0; return utoipos(z);
     132             :   }
     133          29 :   p_1 = subiu(p,1); L = is_gener_expo(p, L0);
     134          29 :   x = utoipos(2);
     135          32 :   for (;; x[2]++) { if (is_gener_Fp(x, p, p_1, L)) break; }
     136          29 :   avma = av0; return utoipos(uel(x,2));
     137             : }
     138             : 
     139             : GEN
     140       23422 : pgener_Fp(GEN p) { return pgener_Fp_local(p, NULL); }
     141             : 
     142             : ulong
     143       70541 : pgener_Zl(ulong p)
     144             : {
     145       70541 :   if (p == 2) pari_err_DOMAIN("pgener_Zl","p","=",gen_2,gen_2);
     146             :   /* only p < 2^32 such that znprimroot(p) != znprimroot(p^2) */
     147       70541 :   if (p == 40487) return 10;
     148             : #ifndef LONG_IS_64BIT
     149       10073 :   return pgener_Fl(p);
     150             : #else
     151       60468 :   if (p < (1UL<<32)) return pgener_Fl(p);
     152             :   else
     153             :   {
     154          30 :     const pari_sp av = avma;
     155          30 :     const ulong p_1 = p-1;
     156             :     long x ;
     157          30 :     GEN p2 = sqru(p), L = u_is_gener_expo(p, NULL);
     158         102 :     for (x=2;;x++)
     159         102 :       if (is_gener_Fl(x,p,p_1,L) && !is_pm1(Fp_powu(utoipos(x),p_1,p2))) break;
     160          72 :     avma = av; return x;
     161             :   }
     162             : #endif
     163             : }
     164             : 
     165             : /* p prime. Return a primitive root modulo p^e, e > 1 */
     166             : GEN
     167       70546 : pgener_Zp(GEN p)
     168             : {
     169       70546 :   if (lgefint(p) == 3) return utoipos(pgener_Zl(p[2]));
     170             :   else
     171             :   {
     172           5 :     const pari_sp av = avma;
     173           5 :     GEN p_1 = subiu(p,1), p2 = sqri(p), L = is_gener_expo(p,NULL);
     174           5 :     GEN x = utoipos(2);
     175          12 :     for (;; x[2]++)
     176          17 :       if (is_gener_Fp(x,p,p_1,L) && !equali1(Fp_pow(x,p_1,p2))) break;
     177          12 :     avma = av; return utoipos(uel(x,2));
     178             :   }
     179             : }
     180             : 
     181             : static GEN
     182         231 : gener_Zp(GEN q, GEN F)
     183             : {
     184         231 :   GEN p = NULL;
     185         231 :   long e = 0;
     186         231 :   if (F)
     187             :   {
     188          14 :     GEN P = gel(F,1), E = gel(F,2);
     189          14 :     long i, l = lg(P);
     190          42 :     for (i = 1; i < l; i++)
     191             :     {
     192          28 :       p = gel(P,i);
     193          28 :       if (absequaliu(p, 2)) continue;
     194          14 :       if (i < l-1) pari_err_DOMAIN("znprimroot", "argument","=",F,F);
     195          14 :       e = itos(gel(E,i));
     196             :     }
     197          14 :     if (!p) pari_err_DOMAIN("znprimroot", "argument","=",F,F);
     198             :   }
     199             :   else
     200         217 :     e = Z_isanypower(q, &p);
     201         231 :   return e > 1? pgener_Zp(p): pgener_Fp(q);
     202             : }
     203             : 
     204             : GEN
     205         301 : znprimroot(GEN N)
     206             : {
     207         301 :   pari_sp av = avma;
     208             :   GEN x, n, F;
     209             : 
     210         301 :   if ((F = check_arith_non0(N,"znprimroot")))
     211             :   {
     212          14 :     F = clean_Z_factor(F);
     213          14 :     N = typ(N) == t_VEC? gel(N,1): factorback(F);
     214             :   }
     215         294 :   if (signe(N) < 0) N = absi(N);
     216         294 :   if (abscmpiu(N, 4) <= 0) { avma = av; return mkintmodu(N[2]-1,N[2]); }
     217         245 :   switch(mod4(N))
     218             :   {
     219             :     case 0: /* N = 0 mod 4 */
     220          14 :       pari_err_DOMAIN("znprimroot", "argument","=",N,N);
     221           0 :       x = NULL; break;
     222             :     case 2: /* N = 2 mod 4 */
     223          21 :       n = shifti(N,-1); /* becomes odd */
     224          21 :       x = gener_Zp(n,F); if (!mod2(x)) x = addii(x,n);
     225          21 :       break;
     226             :     default: /* N odd */
     227         210 :       x = gener_Zp(N,F);
     228         210 :       break;
     229             :   }
     230         231 :   return gerepilecopy(av, mkintmod(x, N));
     231             : }
     232             : 
     233             : /* n | (p-1), returns a primitive n-th root of 1 in F_p^* */
     234             : GEN
     235           0 : rootsof1_Fp(GEN n, GEN p)
     236             : {
     237           0 :   pari_sp av = avma;
     238           0 :   GEN L = odd_prime_divisors(n); /* 2 implicit in pgener_Fp_local */
     239           0 :   GEN z = pgener_Fp_local(p, L);
     240           0 :   z = Fp_pow(z, diviiexact(subiu(p,1), n), p); /* prim. n-th root of 1 */
     241           0 :   return gerepileuptoint(av, z);
     242             : }
     243             : 
     244             : GEN
     245           7 : rootsof1u_Fp(ulong n, GEN p)
     246             : {
     247           7 :   pari_sp av = avma;
     248           7 :   GEN z, L = u_odd_prime_divisors(n); /* 2 implicit in pgener_Fp_local */
     249           7 :   z = pgener_Fp_local(p, Flv_to_ZV(L));
     250           7 :   z = Fp_pow(z, diviuexact(subiu(p,1), n), p); /* prim. n-th root of 1 */
     251           7 :   return gerepileuptoint(av, z);
     252             : }
     253             : 
     254             : ulong
     255        2436 : rootsof1_Fl(ulong n, ulong p)
     256             : {
     257        2436 :   pari_sp av = avma;
     258        2436 :   GEN L = u_odd_prime_divisors(n); /* 2 implicit in pgener_Fl_local */
     259        2436 :   ulong z = pgener_Fl_local(p, L);
     260        2436 :   z = Fl_powu(z, (p-1) / n, p); /* prim. n-th root of 1 */
     261        2436 :   avma = av; return z;
     262             : }
     263             : 
     264             : /*********************************************************************/
     265             : /**                                                                 **/
     266             : /**                     INVERSE TOTIENT FUNCTION                    **/
     267             : /**                                                                 **/
     268             : /*********************************************************************/
     269             : /* N t_INT, L a ZV containing all prime divisors of N, and possibly other
     270             :  * primes. Return factor(N) */
     271             : GEN
     272      350651 : Z_factor_listP(GEN N, GEN L)
     273             : {
     274      350651 :   long i, k, l = lg(L);
     275      350651 :   GEN P = cgetg(l, t_COL), E = cgetg(l, t_COL);
     276     1346688 :   for (i = k = 1; i < l; i++)
     277             :   {
     278      996037 :     GEN p = gel(L,i);
     279      996037 :     long v = Z_pvalrem(N, p, &N);
     280      996037 :     if (v)
     281             :     {
     282      792176 :       gel(P,k) = p;
     283      792176 :       gel(E,k) = utoipos(v);
     284      792176 :       k++;
     285             :     }
     286             :   }
     287      350651 :   setlg(P, k);
     288      350651 :   setlg(E, k); return mkmat2(P,E);
     289             : }
     290             : 
     291             : /* look for x such that phi(x) = n, p | x => p > m (if m = NULL: no condition).
     292             :  * L is a list of primes containing all prime divisors of n. */
     293             : static long
     294      621565 : istotient_i(GEN n, GEN m, GEN L, GEN *px)
     295             : {
     296      621565 :   pari_sp av = avma, av2;
     297             :   GEN k, D;
     298             :   long i, v;
     299      621565 :   if (m && mod2(n))
     300             :   {
     301      270914 :     if (!equali1(n)) return 0;
     302       69986 :     if (px) *px = gen_1;
     303       69986 :     return 1;
     304             :   }
     305      350651 :   D = divisors(Z_factor_listP(shifti(n, -1), L));
     306             :   /* loop through primes p > m, d = p-1 | n */
     307      350651 :   av2 = avma;
     308      350651 :   if (!m)
     309             :   { /* special case p = 2, d = 1 */
     310       69986 :     k = n;
     311       69986 :     for (v = 1;; v++) {
     312       69986 :       if (istotient_i(k, gen_2, L, px)) {
     313       69986 :         if (px) *px = shifti(*px, v);
     314       69986 :         return 1;
     315             :       }
     316           0 :       if (mod2(k)) break;
     317           0 :       k = shifti(k,-1);
     318           0 :     }
     319           0 :     avma = av2;
     320             :   }
     321     1099462 :   for (i = 1; i < lg(D); ++i)
     322             :   {
     323     1001588 :     GEN p, d = shifti(gel(D, i), 1); /* even divisors of n */
     324     1001588 :     if (m && cmpii(d, m) < 0) continue;
     325      677782 :     p = addiu(d, 1);
     326      677782 :     if (!isprime(p)) continue;
     327      442064 :     k = diviiexact(n, d);
     328      481593 :     for (v = 1;; v++) {
     329             :       GEN r;
     330      481593 :       if (istotient_i(k, p, L, px)) {
     331      182791 :         if (px) *px = mulii(*px, powiu(p, v));
     332      182791 :         return 1;
     333             :       }
     334      298802 :       k = dvmdii(k, p, &r);
     335      298802 :       if (r != gen_0) break;
     336       39529 :     }
     337      259273 :     avma = av2;
     338             :   }
     339       97874 :   avma = av; return 0;
     340             : }
     341             : 
     342             : /* find x such that phi(x) = n */
     343             : long
     344       70000 : istotient(GEN n, GEN *px)
     345             : {
     346       70000 :   pari_sp av = avma;
     347       70000 :   if (typ(n) != t_INT) pari_err_TYPE("istotient", n);
     348       70000 :   if (signe(n) < 1) return 0;
     349       70000 :   if (mod2(n))
     350             :   {
     351          14 :     if (!equali1(n)) return 0;
     352          14 :     if (px) *px = gen_1;
     353          14 :     return 1;
     354             :   }
     355       69986 :   if (istotient_i(n, NULL, gel(Z_factor(n), 1), px))
     356             :   {
     357       69986 :     if (!px) avma = av;
     358             :     else
     359       69986 :       *px = gerepileuptoint(av, *px);
     360       69986 :     return 1;
     361             :   }
     362           0 :   avma = av; return 0;
     363             : }
     364             : 
     365             : /*********************************************************************/
     366             : /**                                                                 **/
     367             : /**                     INTEGRAL LOGARITHM                          **/
     368             : /**                                                                 **/
     369             : /*********************************************************************/
     370             : 
     371             : /* y > 1 and B > 0 integers. Return e such that y^e <= B < y^(e+1), i.e
     372             :  * e = floor(log_y B). Set *ptq = y^e if non-NULL */
     373             : long
     374      251937 : ulogintall(ulong B, ulong y, ulong *ptq)
     375             : {
     376             :   ulong r, r2;
     377             :   long e;
     378             : 
     379      251937 :   if (y == 2)
     380             :   {
     381        4810 :     long eB = expu(B); /* 2^eB <= B < 2^(eB + 1) */
     382        4810 :     if (ptq) *ptq = 1UL << eB;
     383        4810 :     return eB;
     384             :   }
     385      247127 :   r = y, r2 = 1UL;
     386      898696 :   for (e=1;; e++)
     387             :   { /* here, r = y^e, r2 = y^(e-1) */
     388      898696 :     if (r >= B)
     389             :     {
     390      247012 :       if (r != B) { e--; r = r2; }
     391      247012 :       if (ptq) *ptq = r;
     392      247012 :       return e;
     393             :     }
     394      651684 :     r2 = r;
     395      651684 :     r = umuluu_or_0(y, r);
     396      651684 :     if (!r)
     397             :     {
     398         115 :       if (ptq) *ptq = r2;
     399         115 :       return e;
     400             :     }
     401      651569 :   }
     402             : }
     403             : 
     404             : /* y > 1 and B > 0 integers. Return e such that y^e <= B < y^(e+1), i.e
     405             :  * e = floor(log_y B). Set *ptq = y^e if non-NULL */
     406             : long
     407      259505 : logintall(GEN B, GEN y, GEN *ptq)
     408             : {
     409             :   pari_sp av;
     410      259505 :   long ey, e, emax, i, eB = expi(B); /* 2^eB <= B < 2^(eB + 1) */
     411             :   GEN q, pow2;
     412             : 
     413      259505 :   if (lgefint(B) == 3)
     414             :   {
     415             :     ulong q;
     416      251937 :     if (lgefint(y) > 3)
     417             :     {
     418           0 :       if (ptq) *ptq = gen_1;
     419           0 :       return 0;
     420             :     }
     421      251937 :     if (!ptq) return ulogintall(B[2], y[2], NULL);
     422       46569 :     e = ulogintall(B[2], y[2], &q);
     423       46569 :     *ptq = utoi(q); return e;
     424             :   }
     425        7568 :   if (equaliu(y,2))
     426             :   {
     427         146 :     if (ptq) *ptq = int2n(eB);
     428         146 :     return eB;
     429             :   }
     430        7422 :   av = avma;
     431        7422 :   ey = expi(y);
     432             :   /* eB/(ey+1) - 1 < e <= eB/ey */
     433        7422 :   emax = eB/ey;
     434        7422 :   if (emax <= 13) /* e small, be naive */
     435             :   {
     436        1507 :     GEN r = y, r2 = gen_1;
     437       16022 :     for (e=1;; e++)
     438             :     { /* here, r = y^e, r2 = y^(e-1) */
     439       16022 :       long fl = cmpii(r, B);
     440       16022 :       if (fl >= 0)
     441             :       {
     442        1507 :         if (fl) { e--; cgiv(r); r = r2; }
     443        1507 :         if (ptq) *ptq = gerepileuptoint(av, r); else avma = av;
     444        1507 :         return e;
     445             :       }
     446       14515 :       r2 = r; r = mulii(r,y);
     447       14515 :     }
     448             :   }
     449             :   /* e >= 13 ey / (ey+1) >= 6.5 */
     450             : 
     451             :   /* binary splitting: compute bits of e one by one */
     452             :   /* compute pow2[i] = y^(2^i) [i < crude upper bound for log_2 log_y(B)] */
     453        5915 :   pow2 = new_chunk((long)log2(eB)+2);
     454        5915 :   gel(pow2,0) = y;
     455        5915 :   for (i=0, q=y;; )
     456             :   {
     457       34225 :     GEN r = gel(pow2,i); /* r = y^2^i */
     458       34225 :     long fl = cmpii(r,B);
     459       34225 :     if (!fl)
     460             :     {
     461           0 :       e = 1L<<i;
     462           0 :       if (ptq) *ptq = gerepileuptoint(av, r); else avma = av;
     463           0 :       return e;
     464             :     }
     465       34225 :     if (fl > 0) { i--; break; }
     466       32323 :     q = r;
     467       32323 :     if (1L<<(i+1) > emax) break;
     468       28310 :     gel(pow2,++i) = sqri(q);
     469       28310 :   }
     470             : 
     471        5915 :   for (e = 1L<<i;;)
     472             :   { /* y^e = q < B < r = q * y^(2^i) */
     473       32302 :     pari_sp av2 = avma;
     474             :     long fl;
     475             :     GEN r;
     476       32302 :     if (--i < 0) break;
     477       26394 :     r = mulii(q, gel(pow2,i));
     478       26394 :     fl = cmpii(r, B);
     479       26394 :     if (fl > 0) avma = av2;
     480             :     else
     481             :     {
     482       12704 :       e += (1L<<i);
     483       12704 :       q = r;
     484       12704 :       if (!fl) break; /* B = r */
     485             :     }
     486       26387 :   }
     487        5915 :   if (ptq) *ptq = gerepileuptoint(av, q); else avma = av;
     488        5915 :   return e;
     489             : }
     490             : 
     491             : long
     492          56 : logint0(GEN B, GEN y, GEN *ptq)
     493             : {
     494          56 :   if (typ(B) != t_INT) pari_err_TYPE("logint",B);
     495          56 :   if (signe(B) <= 0) pari_err_DOMAIN("logint", "x" ,"<=", gen_0, B);
     496          56 :   if (typ(y) != t_INT) pari_err_TYPE("logint",y);
     497          56 :   if (cmpis(y, 2) < 0) pari_err_DOMAIN("logint", "b" ,"<=", gen_1, y);
     498          56 :   return logintall(B,y,ptq);
     499             : }
     500             : 
     501             : /*********************************************************************/
     502             : /**                                                                 **/
     503             : /**                     INTEGRAL SQUARE ROOT                        **/
     504             : /**                                                                 **/
     505             : /*********************************************************************/
     506             : GEN
     507       39439 : sqrtint(GEN a)
     508             : {
     509       39439 :   if (typ(a) != t_INT) pari_err_TYPE("sqrtint",a);
     510       39439 :   switch (signe(a))
     511             :   {
     512       39425 :     case 1: return sqrti(a);
     513           7 :     case 0: return gen_0;
     514           7 :     default: pari_err_DOMAIN("sqrtint", "argument", "<", gen_0,a);
     515             :   }
     516             :   return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
     517             : }
     518             : 
     519             : /*********************************************************************/
     520             : /**                                                                 **/
     521             : /**                      PERFECT SQUARE                             **/
     522             : /**                                                                 **/
     523             : /*********************************************************************/
     524             : static int
     525    13525781 : carremod(ulong A)
     526             : {
     527    13525781 :   const int carresmod64[]={
     528             :     1,1,0,0,1,0,0,0,0,1, 0,0,0,0,0,0,1,1,0,0, 0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,
     529             :     0,0,0,1,0,0,1,0,0,0, 0,1,0,0,0,0,0,0,0,1, 0,0,0,0,0,0,0,1,0,0, 0,0,0,0};
     530    13525781 :   const int carresmod63[]={
     531             :     1,1,0,0,1,0,0,1,0,1, 0,0,0,0,0,0,1,0,1,0, 0,0,1,0,0,1,0,0,1,0,
     532             :     0,0,0,0,0,0,1,1,0,0, 0,0,0,1,0,0,1,0,0,1, 0,0,0,0,0,0,0,0,1,0, 0,0,0};
     533    13525781 :   const int carresmod65[]={
     534             :     1,1,0,0,1,0,0,0,0,1, 1,0,0,0,1,0,1,0,0,0, 0,0,0,0,0,1,1,0,0,1,
     535             :     1,0,0,0,0,1,1,0,0,1, 1,0,0,0,0,0,0,0,0,1, 0,1,0,0,0,1,1,0,0,0, 0,1,0,0,1};
     536    13525781 :   const int carresmod11[]={1,1,0,1,1,1,0,0,0,1, 0};
     537    27051562 :   return (carresmod64[A & 0x3fUL]
     538     5364125 :     && carresmod63[A % 63UL]
     539     3192422 :     && carresmod65[A % 65UL]
     540    16171710 :     && carresmod11[A % 11UL]);
     541             : }
     542             : 
     543             : /* emulate Z_issquareall on single-word integers */
     544             : long
     545    12036236 : uissquareall(ulong A, ulong *sqrtA)
     546             : {
     547    12036236 :   if (!A) { *sqrtA = 0; return 1; }
     548    12036236 :   if (carremod(A))
     549             :   {
     550     1796632 :     ulong a = usqrt(A);
     551     1796577 :     if (a * a == A) { *sqrtA = a; return 1; }
     552             :   }
     553    10330448 :   return 0;
     554             : }
     555             : long
     556      120651 : uissquare(ulong A)
     557             : {
     558      120651 :   if (!A) return 1;
     559      120651 :   if (carremod(A))
     560             :   {
     561        3469 :     ulong a = usqrt(A);
     562        3469 :     if (a * a == A) return 1;
     563             :   }
     564      117206 :   return 0;
     565             : }
     566             : 
     567             : long
     568     6180825 : Z_issquareall(GEN x, GEN *pt)
     569             : {
     570             :   pari_sp av;
     571             :   GEN y, r;
     572             : 
     573     6180825 :   switch(signe(x))
     574             :   {
     575     2101314 :     case -1: return 0;
     576        1064 :     case 0: if (pt) *pt=gen_0; return 1;
     577             :   }
     578     4078447 :   if (lgefint(x) == 3)
     579             :   {
     580     2709576 :     ulong u = uel(x,2), a;
     581     2709576 :     if (!pt) return uissquare(u);
     582     2588925 :     if (!uissquareall(u, &a)) return 0;
     583     1377119 :     *pt = utoipos(a); return 1;
     584             :   }
     585     1368871 :   if (!carremod(umodiu(x, 64*63*65*11))) return 0;
     586      607918 :   av = avma; y = sqrtremi(x, &r);
     587      607918 :   if (r != gen_0) { avma = av; return 0; }
     588       17119 :   if (pt) { *pt = y; avma = (pari_sp)y; } else avma = av;
     589       17119 :   return 1;
     590             : }
     591             : 
     592             : /* a t_INT, p prime */
     593             : long
     594           0 : Zp_issquare(GEN a, GEN p)
     595             : {
     596             :   long v;
     597             :   GEN ap;
     598             : 
     599           0 :   if (!signe(a) || gequal1(a)) return 1;
     600           0 :   v = Z_pvalrem(a, p, &ap);
     601           0 :   if (v&1) return 0;
     602           0 :   return absequaliu(p, 2)? umodiu(ap, 8) == 1
     603           0 :                       : kronecker(ap,p) == 1;
     604             : }
     605             : 
     606             : static long
     607        2275 : polissquareall(GEN x, GEN *pt)
     608             : {
     609             :   pari_sp av;
     610             :   long v;
     611             :   GEN y, a, b, p;
     612             : 
     613        2275 :   if (!signe(x))
     614             :   {
     615           7 :     if (pt) *pt = gcopy(x);
     616           7 :     return 1;
     617             :   }
     618        2268 :   if (odd(degpol(x))) return 0; /* odd degree */
     619        1477 :   av = avma;
     620        1477 :   v = RgX_valrem(x, &x);
     621        1477 :   if (v & 1) { avma = av; return 0; }
     622        1470 :   a = gel(x,2); /* test constant coeff */
     623        1470 :   if (!pt)
     624          70 :   { if (!issquare(a)) { avma = av; return 0; } }
     625             :   else
     626        1400 :   { if (!issquareall(a,&b)) { avma = av; return 0; } }
     627        1470 :   if (!degpol(x)) { /* constant polynomial */
     628          77 :     if (!pt) { avma = av; return 1; }
     629          35 :     y = scalarpol(b, varn(x)); goto END;
     630             :   }
     631        1393 :   p = characteristic(x);
     632        1393 :   if (signe(p) && !mod2(p))
     633             :   {
     634             :     long i, lx;
     635          35 :     if (!absequaliu(p,2)) pari_err_IMPL("issquare for even characteristic != 2");
     636          28 :     x = gmul(x, mkintmod(gen_1, gen_2));
     637          28 :     lx = lg(x);
     638          28 :     if ((lx-3) & 1) { avma = av; return 0; }
     639          49 :     for (i = 3; i < lx; i+=2)
     640          28 :       if (!gequal0(gel(x,i))) { avma = av; return 0; }
     641          21 :     if (pt) {
     642          14 :       y = cgetg((lx+3) / 2, t_POL);
     643          49 :       for (i = 2; i < lx; i+=2)
     644          35 :         if (!issquareall(gel(x,i), &gel(y, (i+2)>>1))) { avma = av; return 0; }
     645          14 :       y[1] = evalsigne(1) | evalvarn(varn(x));
     646          14 :       goto END;
     647             :     } else {
     648          21 :       for (i = 2; i < lx; i+=2)
     649          14 :         if (!issquare(gel(x,i))) { avma = av; return 0; }
     650           7 :       avma = av; return 1;
     651             :     }
     652             :   }
     653             :   else
     654             :   {
     655        1358 :     long m = 1;
     656        1358 :     x = RgX_Rg_div(x,a);
     657             :     /* a(x^m) = B^2 => B = b(x^m) provided a(0) != 0 */
     658        1358 :     if (!signe(p)) x = RgX_deflate_max(x,&m);
     659        1358 :     y = ser2rfrac_i(gsqrt(RgX_to_ser(x,lg(x)-1),0));
     660        1939 :     if (!RgX_equal(RgX_sqr(y), x)) { avma = av; return 0; }
     661         784 :     if (!pt) { avma = av; return 1; }
     662         777 :     if (!gequal1(a)) y = gmul(b, y);
     663         777 :     if (m != 1) y = RgX_inflate(y,m);
     664             :   }
     665             : END:
     666         826 :   if (v) y = RgX_shift_shallow(y, v>>1);
     667         826 :   *pt = gerepilecopy(av, y); return 1;
     668             : }
     669             : 
     670             : /* b unit mod p */
     671             : static int
     672         350 : Up_ispower(GEN b, GEN K, GEN p, long d, GEN *pt)
     673             : {
     674         350 :   if (d == 1)
     675             :   { /* mod p: faster */
     676         266 :     if (!Fp_ispower(b, K, p)) return 0;
     677         266 :     if (pt) *pt = Fp_sqrtn(b, K, p, NULL);
     678             :   }
     679             :   else
     680             :   { /* mod p^{2 +} */
     681          84 :     if (!ispower(cvtop(b, p, d), K, pt)) return 0;
     682          63 :     if (pt) *pt = gtrunc(*pt);
     683             :   }
     684         329 :   return 1;
     685             : }
     686             : 
     687             : /* We're studying whether a mod (q*p^e) is a K-th power, (q,p) = 1.
     688             :  * Decide mod p^e, then reduce a mod q unless q = NULL. */
     689             : static int
     690         490 : handle_pe(GEN *pa, GEN q, GEN L, GEN K, GEN p, long e)
     691             : {
     692             :   GEN t, A;
     693         490 :   long v = Z_pvalrem(*pa, p, &A), d = e - v;
     694         490 :   if (d <= 0) t = gen_0;
     695             :   else
     696             :   {
     697             :     ulong r;
     698         434 :     v = udivui_rem(v, K, &r);
     699         434 :     if (r || !Up_ispower(A, K, p, d, L? &t: NULL)) return 0;
     700         329 :     if (L && v) t = mulii(t, powiu(p, v));
     701             :   }
     702         385 :   if (q) *pa = modii(*pa, q);
     703         385 :   if (L) vectrunc_append(L, mkintmod(t, powiu(p, e)));
     704         385 :   return 1;
     705             : }
     706             : long
     707         385 : Zn_ispower(GEN a, GEN q, GEN K, GEN *pt)
     708             : {
     709             :   GEN L, N;
     710             :   pari_sp av;
     711             :   long e, i, l;
     712             :   ulong pp;
     713             :   forprime_t S;
     714             : 
     715         385 :   if (!signe(a))
     716             :   {
     717          14 :     if (pt) {
     718          14 :       GEN t = cgetg(3, t_INTMOD);
     719          14 :       gel(t,1) = icopy(q); gel(t,2) = gen_0; *pt = t;
     720             :     }
     721          14 :     return 1;
     722             :   }
     723             :   /* a != 0 */
     724         371 :   av = avma;
     725             : 
     726         371 :   if (typ(q) != t_INT) /* integer factorization */
     727             :   {
     728           0 :     GEN P = gel(q,1), E = gel(q,2);
     729           0 :     l = lg(P);
     730           0 :     L = pt? vectrunc_init(l): NULL;
     731           0 :     for (i = 1; i < l; i++)
     732             :     {
     733           0 :       GEN p = gel(P,i);
     734           0 :       long e = itos(gel(E,i));
     735           0 :       if (!handle_pe(&a, NULL, L, K, p, e)) { avma = av; return 0; }
     736             :     }
     737           0 :     goto END;
     738             :   }
     739         371 :   if (!mod2(K)
     740         203 :       && kronecker(a, shifti(q,-vali(q))) == -1) { avma = av; return 0; }
     741         364 :   L = pt? vectrunc_init(expi(q)+1): NULL;
     742         364 :   u_forprime_init(&S, 2, tridiv_bound(q));
     743         364 :   while ((pp = u_forprime_next(&S)))
     744             :   {
     745             :     int stop;
     746      883428 :     e = Z_lvalrem_stop(&q, pp, &stop);
     747      883428 :     if (!e) continue;
     748         266 :     if (!handle_pe(&a, q, L, K, utoipos(pp), e)) { avma = av; return 0; }
     749         224 :     if (stop)
     750             :     {
     751         189 :       if (!is_pm1(q) && !handle_pe(&a, q, L, K, q, 1)) { avma = av; return 0; }
     752         189 :       goto END;
     753             :     }
     754             :   }
     755         154 :   l = lg(primetab);
     756         154 :   for (i = 1; i < l; i++)
     757             :   {
     758           0 :     GEN p = gel(primetab,i);
     759           0 :     e = Z_pvalrem(q, p, &q);
     760           0 :     if (!e) continue;
     761           0 :     if (!handle_pe(&a, q, L, K, p, e)) { avma = av; return 0; }
     762           0 :     if (is_pm1(q)) goto END;
     763             :   }
     764         154 :   N = gcdii(a,q);
     765         154 :   if (!is_pm1(N))
     766             :   {
     767         112 :     if (ifac_isprime(N))
     768             :     {
     769          70 :       e = Z_pvalrem(q, N, &q);
     770          70 :       if (!handle_pe(&a, q, L, K, N, e)) { avma = av; return 0; }
     771             :     }
     772             :     else
     773             :     {
     774          42 :       GEN part = ifac_start(N, 0);
     775             :       for(;;)
     776             :       {
     777             :         long e;
     778             :         GEN p;
     779          84 :         if (!ifac_next(&part, &p, &e)) break;
     780          42 :         e = Z_pvalrem(q, p, &q);
     781          42 :         if (!handle_pe(&a, q, L, K, p, e)) { avma = av; return 0; }
     782          42 :       }
     783             :     }
     784             :   }
     785          84 :   if (!is_pm1(q))
     786             :   {
     787          84 :     if (ifac_isprime(q))
     788             :     {
     789          28 :       if (!handle_pe(&a, q, L, K, q, 1)) { avma = av; return 0; }
     790             :     }
     791             :     else
     792             :     {
     793          56 :       GEN part = ifac_start(q, 0);
     794             :       for(;;)
     795             :       {
     796             :         long e;
     797             :         GEN p;
     798         140 :         if (!ifac_next(&part, &p, &e)) break;
     799          98 :         if (!handle_pe(&a, q, L, K, p, e)) { avma = av; return 0; }
     800          84 :       }
     801             :     }
     802             :   }
     803             : END:
     804         259 :   if (pt) *pt = gerepileupto(av, chinese1_coprime_Z(L));
     805         259 :   return 1;
     806             : }
     807             : 
     808             : static long
     809         126 : polmodispower(GEN x, GEN K, GEN *pt)
     810             : {
     811         126 :   pari_sp av = avma;
     812         126 :   GEN p = NULL, T = NULL;
     813         126 :   if (Rg_is_FpXQ(x, &T,&p) && p)
     814             :   {
     815         112 :     x = liftall_shallow(x);
     816         112 :     if (!Fq_ispower(x, K, T, p)) { avma = av; return 0; }
     817         105 :     if (!pt) { avma = av; return 1; }
     818          98 :     x = Fq_sqrtn(x, K, T,p, NULL);
     819          98 :     if (typ(x) == t_INT)
     820           7 :       x = Fp_to_mod(x,p);
     821             :     else
     822          91 :       x = mkpolmod(FpX_to_mod(x,p), FpX_to_mod(T,p));
     823          98 :     *pt = gerepilecopy(av, x); return 1;
     824             :   }
     825          14 :   pari_err_IMPL("ispower for general t_POLMOD");
     826           0 :   return 0;
     827             : }
     828             : 
     829             : long
     830      147406 : issquareall(GEN x, GEN *pt)
     831             : {
     832      147406 :   long tx = typ(x);
     833             :   GEN F;
     834             :   pari_sp av;
     835             : 
     836      147406 :   if (!pt) return issquare(x);
     837        4564 :   switch(tx)
     838             :   {
     839        1925 :     case t_INT: return Z_issquareall(x, pt);
     840         259 :     case t_FRAC: av = avma;
     841         259 :       F = cgetg(3, t_FRAC);
     842         259 :       if (   !Z_issquareall(gel(x,1), &gel(F,1))
     843         105 :           || !Z_issquareall(gel(x,2), &gel(F,2))) { avma = av; return 0; }
     844         105 :       *pt = F; return 1;
     845             : 
     846             :     case t_POLMOD:
     847          21 :       return polmodispower(x, gen_2, pt);
     848        2191 :     case t_POL: return polissquareall(x,pt);
     849           7 :     case t_RFRAC: av = avma;
     850           7 :       F = cgetg(3, t_RFRAC);
     851           7 :       if (   !issquareall(gel(x,1), &gel(F,1))
     852           7 :           || !polissquareall(gel(x,2), &gel(F,2))) { avma = av; return 0; }
     853           7 :       *pt = F; return 1;
     854             : 
     855             :     case t_REAL: case t_COMPLEX: case t_PADIC: case t_SER:
     856          63 :       if (!issquare(x)) return 0;
     857          63 :       *pt = gsqrt(x, DEFAULTPREC); return 1;
     858             : 
     859             :     case t_INTMOD:
     860          63 :       return Zn_ispower(gel(x,2), gel(x,1), gen_2, pt);
     861             : 
     862          35 :     case t_FFELT: return FF_issquareall(x, pt);
     863             : 
     864             :   }
     865           0 :   pari_err_TYPE("issquareall",x);
     866             :   return 0; /* LCOV_EXCL_LINE */
     867             : }
     868             : 
     869             : long
     870      143122 : issquare(GEN x)
     871             : {
     872             :   pari_sp av;
     873             :   GEN a, p;
     874             :   long i, v;
     875             : 
     876      143122 :   switch(typ(x))
     877             :   {
     878             :     case t_INT:
     879      142716 :       return Z_issquare(x);
     880             : 
     881             :     case t_REAL:
     882          14 :       return (signe(x)>=0);
     883             : 
     884             :     case t_INTMOD:
     885          77 :       return Zn_ispower(gel(x,2), gel(x,1), gen_2, NULL);
     886             : 
     887             :     case t_FRAC:
     888          21 :       return Z_issquare(gel(x,1)) && Z_issquare(gel(x,2));
     889             : 
     890           7 :     case t_FFELT: return FF_issquareall(x, NULL);
     891             : 
     892             :     case t_COMPLEX:
     893          63 :       return 1;
     894             : 
     895             :     case t_PADIC:
     896         105 :       a = gel(x,4); if (!signe(a)) return 1;
     897         105 :       if (valp(x)&1) return 0;
     898          91 :       p = gel(x,2);
     899          91 :       if (!absequaliu(p, 2)) return (kronecker(a,p) != -1);
     900             : 
     901          42 :       v = precp(x); /* here p=2, a is odd */
     902          42 :       if ((v>=3 && mod8(a) != 1 ) ||
     903           0 :           (v==2 && mod4(a) != 1)) return 0;
     904          21 :       return 1;
     905             : 
     906             :     case t_POLMOD:
     907          14 :       return polmodispower(x, gen_2, NULL);
     908             : 
     909             :     case t_POL:
     910          77 :       return polissquareall(x,NULL);
     911             : 
     912             :     case t_SER:
     913          21 :       if (!signe(x)) return 1;
     914          14 :       if (valp(x)&1) return 0;
     915           7 :       return issquare(gel(x,2));
     916             : 
     917             :     case t_RFRAC:
     918           7 :       av = avma; i = issquare(gmul(gel(x,1),gel(x,2)));
     919           7 :       avma = av; return i;
     920             :   }
     921           0 :   pari_err_TYPE("issquare",x);
     922             :   return 0; /* LCOV_EXCL_LINE */
     923             : }
     924           0 : GEN gissquare(GEN x) { return issquare(x)? gen_1: gen_0; }
     925           0 : GEN gissquareall(GEN x, GEN *pt) { return issquareall(x,pt)? gen_1: gen_0; }
     926             : 
     927             : long
     928        1386 : ispolygonal(GEN x, GEN S, GEN *N)
     929             : {
     930        1386 :   pari_sp av = avma;
     931             :   GEN D, d, n;
     932        1386 :   if (typ(x) != t_INT) pari_err_TYPE("ispolygonal", x);
     933        1386 :   if (typ(S) != t_INT) pari_err_TYPE("ispolygonal", S);
     934        1386 :   if (abscmpiu(S,3) < 0) pari_err_DOMAIN("ispolygonal","s","<", utoipos(3),S);
     935        1386 :   if (signe(x) < 0) return 0;
     936        1386 :   if (signe(x) == 0) { if (N) *N = gen_0; return 1; }
     937        1260 :   if (is_pm1(x)) { if (N) *N = gen_1; return 1; }
     938             :   /* n = (sqrt( (8s - 16) x + (s-4)^2 ) + s - 4) / 2(s - 2) */
     939        1134 :   if (abscmpiu(S, 1<<16) < 0) /* common case ! */
     940             :   {
     941         441 :     ulong s = S[2], r;
     942         504 :     if (s == 4) return Z_issquareall(x, N);
     943         378 :     if (s == 3)
     944           0 :       D = addiu(shifti(x, 3), 1);
     945             :     else
     946         378 :       D = addiu(mului(8*s - 16, x), (s-4)*(s-4));
     947         378 :     if (!Z_issquareall(D, &d)) { avma = av; return 0; }
     948         378 :     if (s == 3)
     949           0 :       d = subiu(d, 1);
     950             :     else
     951         378 :       d = addiu(d, s - 4);
     952         378 :     n = diviu_rem(d, 2*s - 4, &r);
     953         378 :     if (r) { avma = av; return 0; }
     954             :   }
     955             :   else
     956             :   {
     957         693 :     GEN r, S_2 = subiu(S,2), S_4 = subiu(S,4);
     958         693 :     D = addii(mulii(shifti(S_2,3), x), sqri(S_4));
     959         693 :     if (!Z_issquareall(D, &d)) { avma = av; return 0; }
     960         693 :     d = addii(d, S_4);
     961         693 :     n = dvmdii(shifti(d,-1), S_2, &r);
     962         693 :     if (r != gen_0) { avma = av; return 0; }
     963             :   }
     964        1071 :   if (N) *N = gerepileuptoint(av, n); else avma = av;
     965        1071 :   return 1;
     966             : }
     967             : 
     968             : /*********************************************************************/
     969             : /**                                                                 **/
     970             : /**                        PERFECT POWER                            **/
     971             : /**                                                                 **/
     972             : /*********************************************************************/
     973             : static long
     974         497 : polispower(GEN x, GEN K, GEN *pt)
     975             : {
     976             :   pari_sp av;
     977         497 :   long v, d, k = itos(K);
     978             :   GEN y, a, b;
     979             : 
     980         497 :   if (!signe(x))
     981             :   {
     982           7 :     if (pt) *pt = gcopy(x);
     983           7 :     return 1;
     984             :   }
     985         490 :   if (degpol(x) % k) return 0; /* degree not multiple of k */
     986         483 :   av = avma;
     987         483 :   y = NULL; /*-Wall*/
     988         483 :   v = RgX_valrem(x, &x);
     989         483 :   if (v % k) return 0;
     990         476 :   v /= k;
     991         476 :   a = gel(x,2); b = NULL;
     992         476 :   if (!ispower(a, K, &b)) { avma = av; return 0; }
     993         462 :   d = degpol(x);
     994         462 :   if (d)
     995             :   {
     996         329 :     GEN p = characteristic(x);
     997         329 :     a = leading_coeff(x);
     998         357 :     if (!ispower(a, K, &b)) { avma = av; return 0; }
     999         329 :     x = RgX_normalize(x);
    1000         329 :     if (signe(p))
    1001             :     {
    1002         168 :       GEN T0, T = NULL;
    1003         168 :       if (!BPSW_isprime(p))
    1004           0 :         pari_err_IMPL("ispower in non-prime characteristic");
    1005         168 :       if (RgX_is_FpXQX(x,&T,&p))
    1006             :       { /* over Fq */
    1007         168 :         T0 = T;
    1008         168 :         if (T && typ(T) == t_FFELT) T = FF_mod(T);
    1009         168 :         x = RgX_to_FqX(x,T,p);
    1010         168 :         if (!FqX_ispower(x, k, T,p, pt)) { avma = av; return 0; }
    1011         140 :         if (pt)
    1012             :         {
    1013         140 :           y = *pt;
    1014         140 :           if (!T) y = FpX_to_mod(y, p);
    1015         105 :           else if (typ(T0) == t_FFELT)
    1016          70 :             y = FqX_to_FFX(y, T0);
    1017             :           else
    1018             :           {
    1019          35 :             T = FpX_to_mod(T, p);
    1020          35 :             y = gmul(y, gmodulsg(1,T));
    1021             :           }
    1022             :         }
    1023         140 :         goto END;
    1024             :       }
    1025           0 :       if (cmpii(p,K) <= 0)
    1026           0 :         pari_err_IMPL("ispower(general t_POL) in small characteristic");
    1027             :     }
    1028         161 :     y = gtrunc(gsqrtn(RgX_to_ser(x,lg(x)), K, NULL, 0));
    1029         161 :     if (!RgX_equal(powgi(y, K), x)) { avma = av; return 0; }
    1030             :   }
    1031             :   else
    1032         133 :     y = pol_1(varn(x));
    1033             : END:
    1034         434 :   if (pt)
    1035             :   {
    1036         434 :     if (!gequal1(a))
    1037             :     {
    1038          14 :       if (!b) b = gsqrtn(a, K, NULL, DEFAULTPREC);
    1039          14 :       y = gmul(b,y);
    1040             :     }
    1041         434 :     if (v) y = RgX_shift_shallow(y, v);
    1042         434 :     *pt = gerepilecopy(av, y);
    1043             :   }
    1044           0 :   else avma = av;
    1045         434 :   return 1;
    1046             : }
    1047             : 
    1048             : long
    1049        1400 : Z_ispowerall(GEN x, ulong k, GEN *pt)
    1050             : {
    1051        1400 :   long s = signe(x);
    1052             :   ulong mask;
    1053        1400 :   if (!s) { if (pt) *pt = gen_0; return 1; }
    1054        1400 :   if (s > 0) {
    1055        1246 :     if (k == 2) return Z_issquareall(x, pt);
    1056         875 :     if (k == 3) { mask = 1; return !!is_357_power(x, pt, &mask); }
    1057         161 :     if (k == 5) { mask = 2; return !!is_357_power(x, pt, &mask); }
    1058         147 :     if (k == 7) { mask = 4; return !!is_357_power(x, pt, &mask); }
    1059         140 :     return is_kth_power(x, k, pt);
    1060             :   }
    1061         154 :   if (!odd(k)) return 0;
    1062         140 :   if (Z_ispowerall(absi(x), k, pt))
    1063             :   {
    1064         140 :     if (pt) *pt = negi(*pt);
    1065         140 :     return 1;
    1066             :   };
    1067           0 :   return 0;
    1068             : }
    1069             : 
    1070             : /* is x a K-th power mod p ? Assume p prime. */
    1071             : int
    1072         287 : Fp_ispower(GEN x, GEN K, GEN p)
    1073             : {
    1074         287 :   pari_sp av = avma;
    1075             :   GEN p_1;
    1076             :   long r;
    1077         287 :   x = modii(x, p);
    1078         287 :   if (!signe(x) || equali1(x)) { avma = av; return 1; }
    1079             :   /* implies p > 2 */
    1080         119 :   p_1 = subiu(p,1);
    1081         119 :   K = gcdii(K, p_1);
    1082         119 :   if (absequaliu(K, 2)) { r = kronecker(x,p); avma = av; return (r > 0); }
    1083          42 :   x = Fp_pow(x, diviiexact(p_1,K), p);
    1084          42 :   avma = av; return equali1(x);
    1085             : }
    1086             : 
    1087             : /* x unit defined modulo 2^e, e > 0, p prime */
    1088             : static int
    1089        2373 : U2_issquare(GEN x, long e)
    1090             : {
    1091        2373 :   long r = signe(x)>=0?mod8(x):8-mod8(x);
    1092        2373 :   if (e==1) return 1;
    1093        2373 :   if (e==2) return (r&3L) == 1;
    1094        2009 :   return r == 1;
    1095             : }
    1096             : /* x unit defined modulo p^e, e > 0, p prime */
    1097             : static int
    1098        4690 : Up_issquare(GEN x, GEN p, long e)
    1099        4690 : { return (absequaliu(p,2))? U2_issquare(x, e): kronecker(x,p)==1; }
    1100             : 
    1101             : long
    1102        2548 : Zn_issquare(GEN d, GEN fn)
    1103             : {
    1104             :   long j, np;
    1105        2548 :   if (typ(d) != t_INT) pari_err_TYPE("Zn_issquare",d);
    1106        2548 :   if (typ(fn) == t_INT) return Zn_ispower(d, fn, gen_2, NULL);
    1107             :   /* integer factorization */
    1108        2548 :   np = nbrows(fn);
    1109        5320 :   for (j = 1; j <= np; ++j)
    1110             :   {
    1111        4970 :     GEN  r, p = gcoeff(fn, j, 1);
    1112        4970 :     long e = itos(gcoeff(fn, j, 2));
    1113        4970 :     long v = Z_pvalrem(d,p,&r);
    1114        4970 :     if (v < e && (odd(v) || !Up_issquare(r, p, e-v))) return 0;
    1115             :   }
    1116         350 :   return 1;
    1117             : }
    1118             : 
    1119             : static long
    1120        1113 : Qp_ispower(GEN x, GEN K, GEN *pt)
    1121             : {
    1122        1113 :   pari_sp av = avma;
    1123        1113 :   GEN z = Qp_sqrtn(x, K, NULL);
    1124        1113 :   if (!z) { avma = av; return 0; }
    1125         819 :   if (pt) *pt = z;
    1126         819 :   return 1;
    1127             : }
    1128             : 
    1129             : long
    1130     7003003 : ispower(GEN x, GEN K, GEN *pt)
    1131             : {
    1132             :   GEN z;
    1133             : 
    1134     7003003 :   if (!K) return gisanypower(x, pt);
    1135        2821 :   if (typ(K) != t_INT) pari_err_TYPE("ispower",K);
    1136        2821 :   if (signe(K) <= 0) pari_err_DOMAIN("ispower","exponent","<=",gen_0,K);
    1137        2821 :   if (equali1(K)) { if (pt) *pt = gcopy(x); return 1; }
    1138        2786 :   switch(typ(x)) {
    1139             :     case t_INT:
    1140         616 :       return Z_ispowerall(x, itou(K), pt);
    1141             :     case t_FRAC:
    1142             :     {
    1143          21 :       GEN a = gel(x,1), b = gel(x,2);
    1144          21 :       ulong k = itou(K);
    1145          21 :       if (pt) {
    1146          14 :         z = cgetg(3, t_FRAC);
    1147          14 :         if (Z_ispowerall(a, k, &a) && Z_ispowerall(b, k, &b)) {
    1148          14 :           *pt = z; gel(z,1) = a; gel(z,2) = b; return 1;
    1149             :         }
    1150           0 :         avma = (pari_sp)(z + 3); return 0;
    1151             :       }
    1152           7 :       return Z_ispower(a, k) && Z_ispower(b, k);
    1153             :     }
    1154             :     case t_INTMOD:
    1155         245 :       return Zn_ispower(gel(x,2), gel(x,1), K, pt);
    1156             :     case t_FFELT:
    1157         182 :       return FF_ispower(x, K, pt);
    1158             : 
    1159             :     case t_PADIC:
    1160        1113 :       return Qp_ispower(x, K, pt);
    1161             :     case t_POLMOD:
    1162          91 :       return polmodispower(x, K, pt);
    1163             :     case t_POL:
    1164         490 :       return polispower(x, K, pt);
    1165             :     case t_RFRAC: {
    1166           7 :       GEN a = gel(x,1), b = gel(x,2);
    1167           7 :       if (pt) {
    1168           7 :         z = cgetg(3, t_RFRAC);
    1169           7 :         if (ispower(a, K, &a) && polispower(b, K, &b)) {
    1170           7 :           *pt = z; gel(z,1) = a; gel(z,2) = b; return 1;
    1171             :         }
    1172           0 :         avma = (pari_sp)(z + 3); return 0;
    1173             :       }
    1174           0 :       return (ispower(a, K, NULL) && polispower(b, K, NULL));
    1175             :     }
    1176             :     case t_REAL:
    1177           7 :       if (signe(x) < 0 && !mpodd(K)) return 0;
    1178             :     case t_COMPLEX:
    1179          14 :       if (pt) *pt = gsqrtn(x, K, NULL, DEFAULTPREC);
    1180          14 :       return 1;
    1181             : 
    1182             :     case t_SER:
    1183           7 :       if (signe(x) && (!dvdsi(valp(x), K) || !ispower(gel(x,2), K, NULL)))
    1184           0 :         return 0;
    1185           7 :       if (pt) *pt = gsqrtn(x, K, NULL, DEFAULTPREC);
    1186           7 :       return 1;
    1187             :   }
    1188           0 :   pari_err_TYPE("ispower",x);
    1189             :   return 0; /* LCOV_EXCL_LINE */
    1190             : }
    1191             : 
    1192             : long
    1193     7000182 : gisanypower(GEN x, GEN *pty)
    1194             : {
    1195     7000182 :   long tx = typ(x);
    1196             :   ulong k, h;
    1197     7000182 :   if (tx == t_INT) return Z_isanypower(x, pty);
    1198          14 :   if (tx == t_FRAC)
    1199             :   {
    1200          14 :     pari_sp av = avma;
    1201          14 :     GEN fa, P, E, a = gel(x,1), b = gel(x,2);
    1202             :     long i, j, p, e;
    1203          14 :     int sw = (abscmpii(a, b) > 0);
    1204             : 
    1205          14 :     if (sw) swap(a, b);
    1206          14 :     k = Z_isanypower(a, pty? &a: NULL);
    1207          14 :     if (!k)
    1208             :     { /* a = -1,1 or not a pure power */
    1209           7 :       if (!is_pm1(a)) { avma = av; return 0; }
    1210           7 :       if (signe(a) < 0) b = negi(b);
    1211           7 :       k = Z_isanypower(b, pty? &b: NULL);
    1212           7 :       if (!k || !pty) { avma = av; return k; }
    1213           7 :       *pty = gerepileupto(av, ginv(b));
    1214           7 :       return k;
    1215             :     }
    1216           7 :     fa = factoru(k);
    1217           7 :     P = gel(fa,1);
    1218           7 :     E = gel(fa,2); h = k;
    1219          14 :     for (i = lg(P) - 1; i > 0; i--)
    1220             :     {
    1221           7 :       p = P[i];
    1222           7 :       e = E[i];
    1223          21 :       for (j = 0; j < e; j++)
    1224          14 :         if (!is_kth_power(b, p, &b)) break;
    1225           7 :       if (j < e) k /= upowuu(p, e - j);
    1226             :     }
    1227           7 :     if (k == 1) { avma = av; return 0; }
    1228           7 :     if (!pty) { avma = av; return k; }
    1229           0 :     if (k != h) a = powiu(a, h/k);
    1230           0 :     *pty = gerepilecopy(av, mkfrac(a, b));
    1231           0 :     return k;
    1232             :   }
    1233           0 :   pari_err_TYPE("gisanypower", x);
    1234             :   return 0; /* LCOV_EXCL_LINE */
    1235             : }
    1236             : 
    1237             : /* v_p(x) = e != 0 for some p; return ispower(x,,&x), updating x.
    1238             :  * No need to optimize for 2,3,5,7 powers (done before) */
    1239             : static long
    1240      505729 : split_exponent(ulong e, GEN *x)
    1241             : {
    1242             :   GEN fa, P, E;
    1243      505729 :   long i, j, l, k = 1;
    1244      505729 :   if (e == 1) return 1;
    1245          14 :   fa = factoru(e);
    1246          14 :   P = gel(fa,1);
    1247          14 :   E = gel(fa,2); l = lg(P);
    1248          28 :   for (i = 1; i < l; i++)
    1249             :   {
    1250          14 :     ulong p = P[i];
    1251          28 :     for (j = 0; j < E[i]; j++)
    1252             :     {
    1253             :       GEN y;
    1254          14 :       if (!is_kth_power(*x, p, &y)) break;
    1255          14 :       k *= p; *x = y;
    1256             :     }
    1257             :   }
    1258          14 :   return k;
    1259             : }
    1260             : 
    1261             : static long
    1262      864570 : Z_isanypower_nosmalldiv(GEN *px)
    1263             : { /* any prime divisor of x is > 102 */
    1264      864570 :   const double LOG2_103 = 6.6865; /* lower bound for log_2(103) */
    1265      864570 :   const double LOG103 = 4.6347; /* lower bound for log(103) */
    1266             :   forprime_t T;
    1267      864570 :   ulong mask = 7, e2;
    1268             :   long k, ex;
    1269      864570 :   GEN y, x = *px;
    1270             : 
    1271      864570 :   k = 1;
    1272      864570 :   while (Z_issquareall(x, &y)) { k <<= 1; x = y; }
    1273      864570 :   while ( (ex = is_357_power(x, &y, &mask)) ) { k *= ex; x = y; }
    1274      864570 :   e2 = (ulong)((expi(x) + 1) / LOG2_103); /* >= log_103 (x) */
    1275      864570 :   if (u_forprime_init(&T, 11, e2))
    1276             :   {
    1277       16905 :     GEN logx = NULL;
    1278       16905 :     const ulong Q = 30011; /* prime */
    1279             :     ulong p, xmodQ;
    1280       16905 :     double dlogx = 0;
    1281             :     /* cut off at x^(1/p) ~ 2^30 bits which seems to be about optimum;
    1282             :      * for large p the modular checks are no longer competitively fast */
    1283       33852 :     while ( (ex = is_pth_power(x, &y, &T, 30)) )
    1284             :     {
    1285          42 :       k *= ex; x = y;
    1286          42 :       e2 = (ulong)((expi(x) + 1) / LOG2_103);
    1287          42 :       u_forprime_restrict(&T, e2);
    1288             :     }
    1289       16905 :     if (DEBUGLEVEL>4) err_printf("Z_isanypower: now k=%ld, x=%ld-bit\n", k, expi(x));
    1290       16905 :     xmodQ = umodiu(x, Q);
    1291             :     /* test Q | x, just in case */
    1292       16905 :     if (!xmodQ) { *px = x; return k * split_exponent(Z_lval(x,Q), px); }
    1293             :     /* x^(1/p) < 2^31 */
    1294       16891 :     p = T.p;
    1295       16891 :     if (p <= e2)
    1296             :     {
    1297       16877 :       logx = logr_abs( itor(x, DEFAULTPREC) );
    1298       16877 :       dlogx = rtodbl(logx);
    1299       16877 :       e2 = (ulong)(dlogx / LOG103); /* >= log_103(x) */
    1300             :     }
    1301      152621 :     while (p && p <= e2)
    1302             :     { /* is x a p-th power ? By computing y = round(x^(1/p)).
    1303             :        * Check whether y^p = x, first mod Q, then exactly. */
    1304      118839 :       pari_sp av = avma;
    1305             :       long e;
    1306      118839 :       GEN logy = divru(logx, p), y = grndtoi(mpexp(logy), &e);
    1307      118839 :       ulong ymodQ = umodiu(y,Q);
    1308      118839 :       if (e >= -10 || Fl_powu(ymodQ, p % (Q-1), Q) != xmodQ
    1309          21 :                    || !equalii(powiu(y, p), x)) avma = av;
    1310             :       else
    1311             :       {
    1312          21 :         k *= p; x = y; xmodQ = ymodQ; logx = logy; dlogx /= p;
    1313          21 :         e2 = (ulong)(dlogx / LOG103); /* >= log_103(x) */
    1314          21 :         u_forprime_restrict(&T, e2);
    1315          21 :         continue; /* if success, retry same p */
    1316             :       }
    1317      118818 :       p = u_forprime_next(&T);
    1318             :     }
    1319             :   }
    1320      864556 :   *px = x; return k;
    1321             : }
    1322             : 
    1323             : static ulong tinyprimes[] = {
    1324             :   2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71,
    1325             :   73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151,
    1326             :   157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199
    1327             : };
    1328             : 
    1329             : /* disregard the sign of x, caller will take care of x < 0 */
    1330             : static long
    1331     7000819 : Z_isanypower_aux(GEN x, GEN *pty)
    1332             : {
    1333             :   long ex, v, i, l, k;
    1334             :   GEN y, P, E;
    1335     7000819 :   ulong mask, e = 0;
    1336             : 
    1337     7000819 :   if (abscmpii(x, gen_2) < 0) return 0; /* -1,0,1 */
    1338             : 
    1339     7000805 :   if (signe(x) < 0) x = negi(x);
    1340     7000805 :   k = l = 1;
    1341     7000805 :   P = cgetg(26 + 1, t_VECSMALL);
    1342     7000805 :   E = cgetg(26 + 1, t_VECSMALL);
    1343             :   /* trial division */
    1344   122938942 :   for(i = 0; i < 26; i++)
    1345             :   {
    1346    60135033 :     ulong p = tinyprimes[i];
    1347             :     int stop;
    1348    60135033 :     v = Z_lvalrem_stop(&x, p, &stop);
    1349    60135033 :     if (v)
    1350             :     {
    1351     7922439 :       P[l] = p;
    1352     7922439 :       E[l] = v; l++;
    1353    13588806 :       e = ugcd(e, v); if (e == 1) goto END;
    1354             :     }
    1355    54716718 :     if (stop) {
    1356      248052 :       if (is_pm1(x)) k = e;
    1357      248052 :       goto END;
    1358             :     }
    1359             :   }
    1360             : 
    1361     1334438 :   if (e)
    1362             :   { /* Bingo. Result divides e */
    1363             :     long v3, v5, v7;
    1364      505715 :     ulong e2 = e;
    1365      505715 :     v = u_lvalrem(e2, 2, &e2);
    1366      505715 :     if (v)
    1367             :     {
    1368      375277 :       for (i = 0; i < v; i++)
    1369             :       {
    1370      374185 :         if (!Z_issquareall(x, &y)) break;
    1371        1302 :         k <<= 1; x = y;
    1372             :       }
    1373             :     }
    1374      505715 :     mask = 0;
    1375      505715 :     v3 = u_lvalrem(e2, 3, &e2); if (v3) mask = 1;
    1376      505715 :     v5 = u_lvalrem(e2, 5, &e2); if (v5) mask |= 2;
    1377      505715 :     v7 = u_lvalrem(e2, 7, &e2); if (v7) mask |= 4;
    1378     1011507 :     while ( (ex = is_357_power(x, &y, &mask)) ) {
    1379          77 :       x = y;
    1380          77 :       switch(ex)
    1381             :       {
    1382          28 :         case 3: k *= 3; if (--v3 == 0) mask &= ~1; break;
    1383          28 :         case 5: k *= 5; if (--v5 == 0) mask &= ~2; break;
    1384          21 :         case 7: k *= 7; if (--v7 == 0) mask &= ~4; break;
    1385             :       }
    1386             :     }
    1387      505715 :     k *= split_exponent(e2, &x);
    1388             :   }
    1389             :   else
    1390      828723 :     k = Z_isanypower_nosmalldiv(&x);
    1391             : END:
    1392     7000805 :   if (pty && k != 1)
    1393             :   {
    1394        8001 :     if (e)
    1395             :     { /* add missing small factors */
    1396        6881 :       y = powuu(P[1], E[1] / k);
    1397        6881 :       for (i = 2; i < l; i++) y = mulii(y, powuu(P[i], E[i] / k));
    1398        6881 :       x = equali1(x)? y: mulii(x,y);
    1399             :     }
    1400        8001 :     *pty = x;
    1401             :   }
    1402     7000805 :   return k == 1? 0: k;
    1403             : }
    1404             : 
    1405             : long
    1406     7000819 : Z_isanypower(GEN x, GEN *pty)
    1407             : {
    1408     7000819 :   pari_sp av = avma;
    1409     7000819 :   long k = Z_isanypower_aux(x, pty);
    1410     7000819 :   if (!k) { avma = av; return 0; }
    1411        8064 :   if (signe(x) < 0)
    1412             :   {
    1413          42 :     long v = vals(k);
    1414          42 :     if (v)
    1415             :     {
    1416             :       GEN y;
    1417          28 :       k >>= v;
    1418          28 :       if (k == 1) { avma = av; return 0; }
    1419          21 :       if (!pty) { avma = av; return k; }
    1420          14 :       y = *pty;
    1421          14 :       y = powiu(y, 1<<v);
    1422          14 :       togglesign(y);
    1423          14 :       *pty = gerepileuptoint(av, y);
    1424          14 :       return k;
    1425             :     }
    1426          14 :     if (pty) togglesign_safe(pty);
    1427             :   }
    1428        8036 :   if (pty) *pty = gerepilecopy(av, *pty); else avma = av;
    1429        8036 :   return k;
    1430             : }
    1431             : 
    1432             : /* Faster than */
    1433             : /*   !cmpii(n, int2n(vali(n))) */
    1434             : /*   !cmpis(shifti(n, -vali(n)), 1) */
    1435             : /*   expi(n) == vali(n) */
    1436             : /*   hamming(n) == 1 */
    1437             : /* even for single-word values, and much faster for multiword values. */
    1438             : /* If all you have is a word, you can just use n & !(n & (n-1)). */
    1439             : long
    1440       32933 : Z_ispow2(GEN n)
    1441             : {
    1442             :   GEN xp;
    1443             :   long i, lx;
    1444             :   ulong u;
    1445       32933 :   if (signe(n) != 1) return 0;
    1446       32926 :   xp = int_LSW(n);
    1447       32926 :   lx = lgefint(n);
    1448       32926 :   u = *xp;
    1449       32958 :   for (i = 3; i < lx; ++i)
    1450             :   {
    1451       30349 :     if (u) return 0;
    1452          32 :     xp = int_nextW(xp);
    1453          32 :     u = *xp;
    1454             :   }
    1455        2609 :   return !(u & (u-1));
    1456             : }
    1457             : 
    1458             : static long
    1459      842006 : isprimepower_i(GEN n, GEN *pt, long flag)
    1460             : {
    1461      842006 :   pari_sp av = avma;
    1462             :   long i, v;
    1463             : 
    1464      842006 :   if (typ(n) != t_INT) pari_err_TYPE("isprimepower", n);
    1465      842006 :   if (signe(n) <= 0) return 0;
    1466             : 
    1467      842006 :   if (lgefint(n) == 3)
    1468             :   {
    1469             :     ulong p;
    1470      541114 :     v = uisprimepower(n[2], &p);
    1471      541114 :     if (v)
    1472             :     {
    1473       54902 :       if (pt) *pt = utoipos(p);
    1474       54902 :       return v;
    1475             :     }
    1476      486212 :     return 0;
    1477             :   }
    1478     1662590 :   for (i = 0; i < 26; i++)
    1479             :   {
    1480     1626743 :     ulong p = tinyprimes[i];
    1481     1626743 :     v = Z_lvalrem(n, p, &n);
    1482     1626744 :     if (v)
    1483             :     {
    1484      265046 :       avma = av;
    1485      265046 :       if (!is_pm1(n)) return 0;
    1486         650 :       if (pt) *pt = utoipos(p);
    1487         647 :       return v;
    1488             :     }
    1489             :   }
    1490             :   /* p | n => p >= 103 */
    1491       35847 :   v = Z_isanypower_nosmalldiv(&n); /* expensive */
    1492       35847 :   if (!(flag? isprime(n): BPSW_psp(n))) { avma = av; return 0; }
    1493        5535 :   if (pt) *pt = gerepilecopy(av, n); else avma = av;
    1494        5535 :   return v;
    1495             : }
    1496             : long
    1497      840098 : isprimepower(GEN n, GEN *pt) { return isprimepower_i(n,pt,1); }
    1498             : long
    1499        1908 : ispseudoprimepower(GEN n, GEN *pt) { return isprimepower_i(n,pt,0); }
    1500             : 
    1501             : long
    1502      541751 : uisprimepower(ulong n, ulong *pp)
    1503             : { /* We must have CUTOFF^11 >= ULONG_MAX and CUTOFF^3 < ULONG_MAX.
    1504             :    * Tests suggest that 200-300 is the best range for 64-bit platforms. */
    1505      541751 :   const ulong CUTOFF = 200UL;
    1506      541751 :   const long TINYCUTOFF = 46;  /* tinyprimes[45] = 199 */
    1507      541751 :   const ulong CUTOFF3 = CUTOFF*CUTOFF*CUTOFF;
    1508             : #ifdef LONG_IS_64BIT
    1509             :   /* primes preceeding the appropriate root of ULONG_MAX. */
    1510      481512 :   const ulong ROOT9 = 137;
    1511      481512 :   const ulong ROOT8 = 251;
    1512      481512 :   const ulong ROOT7 = 563;
    1513      481512 :   const ulong ROOT5 = 7129;
    1514      481512 :   const ulong ROOT4 = 65521;
    1515             : #else
    1516       60239 :   const ulong ROOT9 = 11;
    1517       60239 :   const ulong ROOT8 = 13;
    1518       60239 :   const ulong ROOT7 = 23;
    1519       60239 :   const ulong ROOT5 = 83;
    1520       60239 :   const ulong ROOT4 = 251;
    1521             : #endif
    1522             :   ulong mask;
    1523             :   long v, i;
    1524             :   int e;
    1525      541751 :   if (n < 2) return 0;
    1526      541737 :   if (!odd(n)) {
    1527      270718 :     if (n & (n-1)) return 0;
    1528         914 :     *pp = 2; return vals(n);
    1529             :   }
    1530      271019 :   if (n < 8) { *pp = n; return 1; } /* 3,5,7 */
    1531     3654186 :   for (i = 1/*skip p=2*/; i < TINYCUTOFF; i++)
    1532             :   {
    1533     3595105 :     ulong p = tinyprimes[i];
    1534     3595105 :     if (n % p == 0)
    1535             :     {
    1536      211532 :       v = u_lvalrem(n, p, &n);
    1537      211532 :       if (n == 1) { *pp = p; return v; }
    1538      209438 :       return 0;
    1539             :     }
    1540             :   }
    1541             :   /* p | n => p >= CUTOFF */
    1542             : 
    1543       59081 :   if (n < CUTOFF3)
    1544             :   {
    1545       46354 :     if (n < CUTOFF*CUTOFF || uisprime_101(n)) { *pp = n; return 1; }
    1546           0 :     if (uissquareall(n, &n)) { *pp = n; return 2; }
    1547           0 :     return 0;
    1548             :   }
    1549             : 
    1550             :   /* Check for squares, fourth powers, and eighth powers as appropriate. */
    1551       12727 :   v = 1;
    1552       12727 :   if (uissquareall(n, &n)) {
    1553           0 :     v <<= 1;
    1554           0 :     if (CUTOFF <= ROOT4 && uissquareall(n, &n)) {
    1555           0 :       v <<= 1;
    1556           0 :       if (CUTOFF <= ROOT8 && uissquareall(n, &n)) v <<= 1;
    1557             :     }
    1558             :   }
    1559             : 
    1560       12727 :   if (CUTOFF > ROOT5) mask = 1;
    1561             :   else
    1562             :   {
    1563       12726 :     const ulong CUTOFF5 = CUTOFF3*CUTOFF*CUTOFF;
    1564       12726 :     if (n < CUTOFF5) mask = 1; else mask = 3;
    1565       12726 :     if (CUTOFF <= ROOT7)
    1566             :     {
    1567       12726 :       const ulong CUTOFF7 = CUTOFF5*CUTOFF*CUTOFF;
    1568       12726 :       if (n >= CUTOFF7) mask = 7;
    1569             :     }
    1570             :   }
    1571             : 
    1572       12727 :   if (CUTOFF <= ROOT9 && (e = uis_357_power(n, &n, &mask))) { v *= e; mask=1; }
    1573       12727 :   if ((e = uis_357_power(n, &n, &mask))) v *= e;
    1574             : 
    1575       12727 :   if (uisprime_101(n)) { *pp = n; return v; }
    1576        6984 :   return 0;
    1577             : }
    1578             : 
    1579             : /*********************************************************************/
    1580             : /**                                                                 **/
    1581             : /**                        KRONECKER SYMBOL                         **/
    1582             : /**                                                                 **/
    1583             : /*********************************************************************/
    1584             : /* t = 3,5 mod 8 ?  (= 2 not a square mod t) */
    1585             : static int
    1586   650459712 : ome(long t)
    1587             : {
    1588   650459712 :   switch(t & 7)
    1589             :   {
    1590             :     case 3:
    1591   373775996 :     case 5: return 1;
    1592   276683716 :     default: return 0;
    1593             :   }
    1594             : }
    1595             : /* t a t_INT, is t = 3,5 mod 8 ? */
    1596             : static int
    1597     5056202 : gome(GEN t)
    1598     5056202 : { return signe(t)? ome( mod2BIL(t) ): 0; }
    1599             : 
    1600             : /* assume y odd, return kronecker(x,y) * s */
    1601             : static long
    1602   509073688 : krouu_s(ulong x, ulong y, long s)
    1603             : {
    1604   509073688 :   ulong x1 = x, y1 = y, z;
    1605  2661791045 :   while (x1)
    1606             :   {
    1607  1643721552 :     long r = vals(x1);
    1608  1643827999 :     if (r)
    1609             :     {
    1610   892808629 :       if (odd(r) && ome(y1)) s = -s;
    1611   892624299 :       x1 >>= r;
    1612             :     }
    1613  1643643669 :     if (x1 & y1 & 2) s = -s;
    1614  1643643669 :     z = y1 % x1; y1 = x1; x1 = z;
    1615             :   }
    1616   508995805 :   return (y1 == 1)? s: 0;
    1617             : }
    1618             : 
    1619             : long
    1620     5052006 : kronecker(GEN x, GEN y)
    1621             : {
    1622     5052006 :   pari_sp av = avma;
    1623     5052006 :   long s = 1, r;
    1624             :   ulong xu, yu;
    1625             : 
    1626     5052006 :   if (typ(x) != t_INT) pari_err_TYPE("kronecker",x);
    1627     5052006 :   if (typ(y) != t_INT) pari_err_TYPE("kronecker",y);
    1628     5052006 :   switch (signe(y))
    1629             :   {
    1630           0 :     case -1: y = negi(y); if (signe(x) < 0) s = -1; break;
    1631           0 :     case 0: return is_pm1(x);
    1632             :   }
    1633     5052006 :   r = vali(y);
    1634     5052006 :   if (r)
    1635             :   {
    1636       12111 :     if (!mpodd(x)) { avma = av; return 0; }
    1637       10396 :     if (odd(r) && gome(x)) s = -s;
    1638       10396 :     y = shifti(y,-r);
    1639             :   }
    1640     5050291 :   x = modii(x,y);
    1641    10946723 :   while (lgefint(x) > 3) /* x < y */
    1642             :   {
    1643             :     GEN z;
    1644      846141 :     r = vali(x);
    1645      846141 :     if (r)
    1646             :     {
    1647      461687 :       if (odd(r) && gome(y)) s = -s;
    1648      461687 :       x = shifti(x,-r);
    1649             :     }
    1650             :     /* x=3 mod 4 && y=3 mod 4 ? (both are odd here) */
    1651      846141 :     if (mod2BIL(x) & mod2BIL(y) & 2) s = -s;
    1652      846141 :     z = remii(y,x); y = x; x = z;
    1653      846141 :     if (gc_needed(av,2))
    1654             :     {
    1655           0 :       if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"kronecker");
    1656           0 :       gerepileall(av, 2, &x, &y);
    1657             :     }
    1658             :   }
    1659     5050291 :   xu = itou(x);
    1660     5050291 :   if (!xu) return is_pm1(y)? s: 0;
    1661     5029273 :   r = vals(xu);
    1662     5029273 :   if (r)
    1663             :   {
    1664     3496280 :     if (odd(r) && gome(y)) s = -s;
    1665     3496280 :     xu >>= r;
    1666             :   }
    1667             :   /* x=3 mod 4 && y=3 mod 4 ? (both are odd here) */
    1668     5029273 :   if (xu & mod2BIL(y) & 2) s = -s;
    1669     5029273 :   yu = umodiu(y, xu);
    1670     5029273 :   avma = av; return krouu_s(yu, xu, s);
    1671             : }
    1672             : 
    1673             : long
    1674       29246 : krois(GEN x, long y)
    1675             : {
    1676             :   ulong yu;
    1677       29246 :   long s = 1;
    1678             : 
    1679       29246 :   if (y <= 0)
    1680             :   {
    1681          14 :     if (y == 0) return is_pm1(x);
    1682           0 :     yu = (ulong)-y; if (signe(x) < 0) s = -1;
    1683             :   }
    1684             :   else
    1685       29232 :     yu = (ulong)y;
    1686       29232 :   if (!odd(yu))
    1687             :   {
    1688             :     long r;
    1689       13461 :     if (!mpodd(x)) return 0;
    1690       10073 :     r = vals(yu); yu >>= r;
    1691       10073 :     if (odd(r) && gome(x)) s = -s;
    1692             :   }
    1693       25844 :   return krouu_s(umodiu(x, yu), yu, s);
    1694             : }
    1695             : /* assume y != 0 */
    1696             : long
    1697   325884784 : kroiu(GEN x, ulong y)
    1698             : {
    1699             :   long r;
    1700   325884784 :   if (odd(y)) return krouu_s(umodiu(x,y), y, 1);
    1701     2026493 :   if (!mpodd(x)) return 0;
    1702     2004443 :   r = vals(y); y >>= r;
    1703     2004443 :   return krouu_s(umodiu(x,y), y, (odd(r) && gome(x))? -1: 1);
    1704             : }
    1705             : 
    1706             : /* assume y > 0, odd, return s * kronecker(x,y) */
    1707             : static long
    1708      632471 : krouodd(ulong x, GEN y, long s)
    1709             : {
    1710             :   long r;
    1711      632471 :   if (lgefint(y) == 3) return krouu_s(x, y[2], s);
    1712      553882 :   if (!x) return 0; /* y != 1 */
    1713      553882 :   r = vals(x);
    1714      553882 :   if (r)
    1715             :   {
    1716      218652 :     if (odd(r) && gome(y)) s = -s;
    1717      218652 :     x >>= r;
    1718             :   }
    1719             :   /* x=3 mod 4 && y=3 mod 4 ? (both are odd here) */
    1720      553882 :   if (x & mod2BIL(y) & 2) s = -s;
    1721      553882 :   return krouu_s(umodiu(y,x), x, s);
    1722             : }
    1723             : 
    1724             : long
    1725      632347 : krosi(long x, GEN y)
    1726             : {
    1727      632347 :   const pari_sp av = avma;
    1728      632347 :   long s = 1, r;
    1729      632347 :   switch (signe(y))
    1730             :   {
    1731           0 :     case -1: y = negi(y); if (x < 0) s = -1; break;
    1732           0 :     case 0: return (x==1 || x==-1);
    1733             :   }
    1734      632347 :   r = vali(y);
    1735      632347 :   if (r)
    1736             :   {
    1737        8421 :     if (!odd(x)) { avma = av; return 0; }
    1738        8421 :     if (odd(r) && ome(x)) s = -s;
    1739        8421 :     y = shifti(y,-r);
    1740             :   }
    1741      632347 :   if (x < 0) { x = -x; if (mod4(y) == 3) s = -s; }
    1742      632347 :   s = krouodd((ulong)x, y, s);
    1743      632347 :   avma = av; return s;
    1744             : }
    1745             : 
    1746             : long
    1747         124 : kroui(ulong x, GEN y)
    1748             : {
    1749         124 :   const pari_sp av = avma;
    1750         124 :   long s = 1, r;
    1751         124 :   switch (signe(y))
    1752             :   {
    1753           0 :     case -1: y = negi(y); break;
    1754           0 :     case 0: return x==1UL;
    1755             :   }
    1756         124 :   r = vali(y);
    1757         124 :   if (r)
    1758             :   {
    1759           0 :     if (!odd(x)) { avma = av; return 0; }
    1760           0 :     if (odd(r) && ome(x)) s = -s;
    1761           0 :     y = shifti(y,-r);
    1762             :   }
    1763         124 :   s = krouodd(x, y, s);
    1764         124 :   avma = av; return s;
    1765             : }
    1766             : 
    1767             : long
    1768    80030012 : kross(long x, long y)
    1769             : {
    1770             :   ulong yu;
    1771    80030012 :   long s = 1;
    1772             : 
    1773    80030012 :   if (y <= 0)
    1774             :   {
    1775         385 :     if (y == 0) return (labs(x)==1);
    1776         385 :     yu = (ulong)-y; if (x < 0) s = -1;
    1777             :   }
    1778             :   else
    1779    80029627 :     yu = (ulong)y;
    1780    80030012 :   if (!odd(yu))
    1781             :   {
    1782             :     long r;
    1783    24080029 :     if (!odd(x)) return 0;
    1784    15645204 :     r = vals(yu); yu >>= r;
    1785    15645204 :     if (odd(r) && ome(x)) s = -s;
    1786             :   }
    1787    71595187 :   x %= (long)yu; if (x < 0) x += yu;
    1788    71595187 :   return krouu_s((ulong)x, yu, s);
    1789             : }
    1790             : 
    1791             : long
    1792   105819567 : krouu(ulong x, ulong y)
    1793             : {
    1794             :   long r;
    1795   105819567 :   if (odd(y)) return krouu_s(x, y, 1);
    1796        2040 :   if (!odd(x)) return 0;
    1797        2040 :   r = vals(y); y >>= r;
    1798        2040 :   return krouu_s(x, y, (odd(r) && ome(x))? -1: 1);
    1799             : }
    1800             : 
    1801             : /*********************************************************************/
    1802             : /**                                                                 **/
    1803             : /**                          HILBERT SYMBOL                         **/
    1804             : /**                                                                 **/
    1805             : /*********************************************************************/
    1806             : /* x,y are t_INT or t_REAL */
    1807             : static long
    1808        9982 : mphilbertoo(GEN x, GEN y)
    1809             : {
    1810        9982 :   long sx = signe(x), sy = signe(y);
    1811        9982 :   if (!sx || !sy) return 0;
    1812        9982 :   return (sx < 0 && sy < 0)? -1: 1;
    1813             : }
    1814             : 
    1815             : long
    1816       53144 : hilbertii(GEN x, GEN y, GEN p)
    1817             : {
    1818             :   pari_sp av;
    1819             :   long oddvx, oddvy, z;
    1820             : 
    1821       53144 :   if (!p) return mphilbertoo(x,y);
    1822       43183 :   if (is_pm1(p) || signe(p) < 0) pari_err_PRIME("hilbertii",p);
    1823       43183 :   if (!signe(x) || !signe(y)) return 0;
    1824       43162 :   av = avma;
    1825       43162 :   oddvx = odd(Z_pvalrem(x,p,&x));
    1826       43162 :   oddvy = odd(Z_pvalrem(y,p,&y));
    1827             :   /* x, y are p-units, compute hilbert(x * p^oddvx, y * p^oddvy, p) */
    1828       43162 :   if (absequaliu(p, 2))
    1829             :   {
    1830       10689 :     z = (Mod4(x) == 3 && Mod4(y) == 3)? -1: 1;
    1831       10689 :     if (oddvx && gome(y)) z = -z;
    1832       10689 :     if (oddvy && gome(x)) z = -z;
    1833             :   }
    1834             :   else
    1835             :   {
    1836       32473 :     z = (oddvx && oddvy && mod4(p) == 3)? -1: 1;
    1837       32473 :     if (oddvx && kronecker(y,p) < 0) z = -z;
    1838       32473 :     if (oddvy && kronecker(x,p) < 0) z = -z;
    1839             :   }
    1840       43162 :   avma = av; return z;
    1841             : }
    1842             : 
    1843             : static void
    1844         196 : err_prec(void) { pari_err_PREC("hilbert"); }
    1845             : static void
    1846         161 : err_p(GEN p, GEN q) { pari_err_MODULUS("hilbert", p,q); }
    1847             : static void
    1848          56 : err_oo(GEN p) { pari_err_MODULUS("hilbert", p, strtoGENstr("oo")); }
    1849             : 
    1850             : /* x t_INTMOD, *pp = prime or NULL [ unset, set it to x.mod ].
    1851             :  * Return lift(x) provided it's p-adic accuracy is large enough to decide
    1852             :  * hilbert()'s value [ problem at p = 2 ] */
    1853             : static GEN
    1854         420 : lift_intmod(GEN x, GEN *pp)
    1855             : {
    1856         420 :   GEN p = *pp, N = gel(x,1);
    1857         420 :   x = gel(x,2);
    1858         420 :   if (!p)
    1859             :   {
    1860         266 :     *pp = p = N;
    1861         266 :     switch(itos_or_0(p))
    1862             :     {
    1863             :       case 2:
    1864         126 :       case 4: err_prec();
    1865             :     }
    1866         140 :     return x;
    1867             :   }
    1868         154 :   if (!signe(p)) err_oo(N);
    1869         112 :   if (absequaliu(p,2))
    1870          42 :   { if (vali(N) <= 2) err_prec(); }
    1871             :   else
    1872          70 :   { if (!dvdii(N,p)) err_p(N,p); }
    1873          28 :   if (!signe(x)) err_prec();
    1874          21 :   return x;
    1875             : }
    1876             : /* x t_PADIC, *pp = prime or NULL [ unset, set it to x.p ].
    1877             :  * Return lift(x)*p^(v(x) mod 2) provided it's p-adic accuracy is large enough
    1878             :  * to decide hilbert()'s value [ problem at p = 2 ]*/
    1879             : static GEN
    1880         210 : lift_padic(GEN x, GEN *pp)
    1881             : {
    1882         210 :   GEN p = *pp, q = gel(x,2), y = gel(x,4);
    1883         210 :   if (!p) *pp = p = q;
    1884         147 :   else if (!equalii(p,q)) err_p(p, q);
    1885         105 :   if (absequaliu(p,2) && precp(x) <= 2) err_prec();
    1886          70 :   if (!signe(y)) err_prec();
    1887          70 :   return odd(valp(x))? mulii(p,y): y;
    1888             : }
    1889             : 
    1890             : long
    1891         658 : hilbert(GEN x, GEN y, GEN p)
    1892             : {
    1893         658 :   pari_sp av = avma;
    1894         658 :   long tx = typ(x), ty = typ(y), z;
    1895             : 
    1896         658 :   if (p && typ(p) != t_INT) pari_err_TYPE("hilbert",p);
    1897         658 :   if (tx == t_REAL)
    1898             :   {
    1899          77 :     if (p && signe(p)) err_oo(p);
    1900          63 :     switch (ty)
    1901             :     {
    1902             :       case t_INT:
    1903           7 :       case t_REAL: return mphilbertoo(x,y);
    1904           0 :       case t_FRAC: return mphilbertoo(x,gel(y,1));
    1905          56 :       default: pari_err_TYPE2("hilbert",x,y);
    1906             :     }
    1907             :   }
    1908         581 :   if (ty == t_REAL)
    1909             :   {
    1910          14 :     if (p && signe(p)) err_oo(p);
    1911          14 :     switch (tx)
    1912             :     {
    1913             :       case t_INT:
    1914          14 :       case t_REAL: return mphilbertoo(x,y);
    1915           0 :       case t_FRAC: return mphilbertoo(gel(x,1),y);
    1916           0 :       default: pari_err_TYPE2("hilbert",x,y);
    1917             :     }
    1918             :   }
    1919         567 :   if (tx == t_INTMOD) { x = lift_intmod(x, &p); tx = t_INT; }
    1920         364 :   if (ty == t_INTMOD) { y = lift_intmod(y, &p); ty = t_INT; }
    1921             : 
    1922         308 :   if (tx == t_PADIC) { x = lift_padic(x, &p); tx = t_INT; }
    1923         245 :   if (ty == t_PADIC) { y = lift_padic(y, &p); ty = t_INT; }
    1924             : 
    1925         168 :   if (tx == t_FRAC) { tx = t_INT; x = p? mulii(gel(x,1),gel(x,2)): gel(x,1); }
    1926         168 :   if (ty == t_FRAC) { ty = t_INT; y = p? mulii(gel(y,1),gel(y,2)): gel(y,1); }
    1927             : 
    1928         168 :   if (tx != t_INT || ty != t_INT) pari_err_TYPE2("hilbert",x,y);
    1929         168 :   if (p && !signe(p)) p = NULL;
    1930         168 :   z = hilbertii(x,y,p); avma = av; return z;
    1931             : }
    1932             : 
    1933             : /*******************************************************************/
    1934             : /*                                                                 */
    1935             : /*                       SQUARE ROOT MODULO p                      */
    1936             : /*                                                                 */
    1937             : /*******************************************************************/
    1938             : 
    1939             : static ulong
    1940    26125149 : Fl_2gener_pre_all(long e, ulong p, ulong pi)
    1941             : {
    1942             :   ulong y, m;
    1943             :   long k, i;
    1944    26125149 :   ulong q = (p-1) >> e; /* q = (p-1)/2^oo is odd */
    1945    45706887 :   for (k=2; ; k++)
    1946             :   { /* loop terminates for k < p (even if p composite) */
    1947    45706887 :     i = krouu(k, p);
    1948    45706931 :     if (i >= 0)
    1949             :     {
    1950    19581739 :       if (i) continue;
    1951           7 :       pari_err_PRIME("Fl_sqrt [modulus]",utoi(p));
    1952             :     }
    1953    26125192 :     y = m = Fl_powu_pre(k, q, p, pi);
    1954    70544895 :     for (i=1; i<e; i++)
    1955    44419558 :       if ((m = Fl_sqr_pre(m, p, pi)) == 1) break;
    1956    26125337 :     if (i == e) break; /* success */
    1957    19581738 :   }
    1958    26125331 :   return y;
    1959             : }
    1960             : 
    1961             : ulong
    1962      145045 : Fl_2gener_pre(ulong p, ulong pi)
    1963      145045 : { return Fl_2gener_pre_all(vals(p-1), p, pi); }
    1964             : 
    1965             : /* Tonelli-Shanks. Assume p is prime and (a,p) != -1. */
    1966             : ulong
    1967    62756392 : Fl_sqrt_pre_i(ulong a, ulong y, ulong p, ulong pi)
    1968             : {
    1969             :   long i, e, k;
    1970             :   ulong p1, q, v, w;
    1971             : 
    1972    62756392 :   if (!a) return 0;
    1973    61349097 :   p1 = p - 1; e = vals(p1);
    1974    61354445 :   if (e == 0) /* p = 2 */
    1975             :   {
    1976      418831 :     if (p != 2) pari_err_PRIME("Fl_sqrt [modulus]",utoi(p));
    1977      418824 :     return ((a & 1) == 0)? 0: 1;
    1978             :   }
    1979    60935614 :   q = p1 >> e; /* q = (p-1)/2^oo is odd */
    1980    60935614 :   if (e == 1)    y = p1;
    1981    25983533 :   else if (y==0) y = Fl_2gener_pre_all(e, p, pi);
    1982    60935607 :   p1 = Fl_powu_pre(a, q >> 1, p, pi); /* a ^ [(q-1)/2] */
    1983    60910861 :   if (!p1) return 0;
    1984    60910861 :   v = Fl_mul_pre(a, p1, p, pi);
    1985    60917216 :   w = Fl_mul_pre(v, p1, p, pi);
    1986   143366034 :   while (w != 1)
    1987             :   { /* a*w = v^2, y primitive 2^e-th root of 1
    1988             :        a square --> w even power of y, hence w^(2^(e-1)) = 1 */
    1989    21642346 :     p1 = Fl_sqr_pre(w,p,pi);
    1990    21642346 :     for (k=1; p1 != 1 && k < e; k++) p1 = Fl_sqr_pre(p1,p,pi);
    1991    21642346 :     if (k == e) return ~0UL;
    1992             :     /* w ^ (2^k) = 1 --> w = y ^ (u * 2^(e-k)), u odd */
    1993    21534608 :     p1 = y;
    1994    21534608 :     for (i=1; i < e-k; i++) p1 = Fl_sqr_pre(p1, p, pi);
    1995    21534608 :     y = Fl_sqr_pre(p1, p, pi); e = k;
    1996    21534608 :     w = Fl_mul_pre(y, w, p, pi);
    1997    21534608 :     v = Fl_mul_pre(v, p1, p, pi);
    1998             :   }
    1999    60807673 :   p1 = p - v; if (v > p1) v = p1;
    2000    60807673 :   return v;
    2001             : }
    2002             : 
    2003             : ulong
    2004    58268667 : Fl_sqrt(ulong a, ulong p)
    2005             : {
    2006    58268667 :   ulong pi = get_Fl_red(p);
    2007    58266122 :   return Fl_sqrt_pre_i(a, 0, p, pi);
    2008             : }
    2009             : 
    2010             : ulong
    2011     4461997 : Fl_sqrt_pre(ulong a, ulong p, ulong pi)
    2012             : {
    2013     4461997 :   return Fl_sqrt_pre_i(a, 0, p, pi);
    2014             : }
    2015             : 
    2016             : static ulong
    2017       69774 : Fl_lgener_pre_all(ulong l, long e, ulong r, ulong p, ulong pi, ulong *pt_m)
    2018             : {
    2019             :   ulong x, y, m;
    2020       69774 :   ulong le1 = upowuu(l, e-1);
    2021      111569 :   for (x = 2; ; x++)
    2022             :   {
    2023      111569 :     y = Fl_powu_pre(x, r, p, pi);
    2024      111569 :     if (y==1) continue;
    2025       86371 :     m = Fl_powu_pre(y, le1, p, pi);
    2026       86371 :     if (m != 1) break;
    2027       41795 :   }
    2028       69774 :   *pt_m = m;
    2029       69774 :   return y;
    2030             : }
    2031             : 
    2032             : /* solve x^l = a , l prime in G of order q.
    2033             :  *
    2034             :  * q =  (l^e)*r, e >= 1, (r,l) = 1
    2035             :  * y generates the l-Sylow of G
    2036             :  * m = y^(l^(e-1)) != 1 */
    2037             : static ulong
    2038      132501 : Fl_sqrtl_i(ulong a, ulong l, ulong p, ulong pi, ulong y, ulong m)
    2039             : {
    2040             :   ulong p1, v, w, z, dl, zm;
    2041             :   ulong r, e, u2;
    2042      132501 :   if (a==0) return a;
    2043      132495 :   e = u_lvalrem(p-1, l, &r);
    2044      132495 :   u2 = Fl_inv(l%r, r);
    2045      132495 :   v = Fl_powu_pre(a, u2, p,pi);
    2046      132495 :   w = Fl_powu_pre(v, l, p,pi);
    2047      132494 :   w = Fl_mul_pre(w, Fl_inv(a, p),p,pi);
    2048      132496 :   if (w==1) return v;
    2049       69774 :   if (y==0) y = Fl_lgener_pre_all(l, e, r, p, pi, &m);
    2050      160319 :   while (w!=1)
    2051             :   {
    2052       74605 :     ulong k = 0;
    2053       74605 :     p1 = w;
    2054             :     do
    2055             :     {
    2056      111001 :       z = p1; p1 = Fl_powu_pre(p1, l, p, pi);
    2057      111001 :       k++;
    2058      111001 :     } while (p1!=1);
    2059       74605 :     if (k==e) return ~0UL;
    2060       20771 :     dl = 0; zm = 1;
    2061       73187 :     while (z!=zm)
    2062             :     {
    2063       31645 :       zm = Fl_mul_pre(zm, m, p, pi); dl++;
    2064             :     }
    2065       20771 :     dl = Fl_neg(dl, l);
    2066       20771 :     p1 = Fl_powu_pre(y,dl*upowuu(l,e-k-1),p,pi);
    2067       20771 :     m = Fl_powu_pre(m, dl, p, pi);
    2068       20771 :     e = k;
    2069       20771 :     v = Fl_mul_pre(p1,v,p,pi);
    2070       20771 :     y = Fl_powu_pre(p1,l,p,pi);
    2071       20771 :     w = Fl_mul_pre(y,w,p,pi);
    2072             :   }
    2073       15940 :   return v;
    2074             : }
    2075             : 
    2076             : ulong
    2077      132502 : Fl_sqrtl_pre(ulong a, ulong l, ulong p, ulong pi)
    2078             : {
    2079      132502 :   return Fl_sqrtl_i(a, l, p, pi, 0, 0);
    2080             : }
    2081             : 
    2082             : ulong
    2083           0 : Fl_sqrtl(ulong a, ulong l, ulong p)
    2084             : {
    2085           0 :   ulong pi = get_Fl_red(p);
    2086           0 :   return Fl_sqrtl_i(a, l, p, pi, 0, 0);
    2087             : }
    2088             : 
    2089             : /* Cipolla is better than Tonelli-Shanks when e = v_2(p-1) is "too big".
    2090             :  * Otherwise, is a constant times worse; for p = 3 (mod 4), is about 3 times worse,
    2091             :  * and in average is about 2 or 2.5 times worse. But try both algorithms for
    2092             :  * S(n) = (2^n+3)^2-8 with n = 750, 771, 779, 790, 874, 1176, 1728, 2604, etc.
    2093             :  *
    2094             :  * If X^2 := t^2 - a  is not a square in F_p (so X is in F_p^2), then
    2095             :  *   (t+X)^(p+1) = (t-X)(t+X) = a,   hence  sqrt(a) = (t+X)^((p+1)/2)  in F_p^2.
    2096             :  * If (a|p)=1, then sqrt(a) is in F_p.
    2097             :  * cf: LNCS 2286, pp 430-434 (2002)  [Gonzalo Tornaria] */
    2098             : 
    2099             : /* compute y^2, y = y[1] + y[2] X */
    2100             : static GEN
    2101         449 : sqrt_Cipolla_sqr(void *data, GEN y)
    2102             : {
    2103         449 :   GEN u = gel(y,1), v = gel(y,2), p = gel(data,2), n = gel(data,3);
    2104         449 :   GEN u2 = sqri(u), v2 = sqri(v);
    2105         449 :   v = subii(sqri(addii(v,u)), addii(u2,v2));
    2106         449 :   u = addii(u2, mulii(v2,n));
    2107             :   /* NOT mkvec2: must be gerepileupto-able */
    2108         449 :   retmkvec2(modii(u,p), modii(v,p));
    2109             : }
    2110             : /* compute (t+X) y^2 */
    2111             : static GEN
    2112          23 : sqrt_Cipolla_msqr(void *data, GEN y)
    2113             : {
    2114          23 :   GEN u = gel(y,1), v = gel(y,2), a = gel(data,1), p = gel(data,2), gt = gel(data,4);
    2115          23 :   ulong t = gt[2];
    2116          23 :   GEN d = addii(u, mului(t,v)), d2= sqri(d);
    2117          23 :   GEN b = remii(mulii(a,v), p);
    2118          23 :   u = subii(mului(t,d2), mulii(b,addii(u,d)));
    2119          23 :   v = subii(d2, mulii(b,v));
    2120             :   /* NOT mkvec2: must be gerepileupto-able */
    2121          23 :   retmkvec2(modii(u,p), modii(v,p));
    2122             : }
    2123             : /* assume a reduced mod p [ otherwise correct but inefficient ] */
    2124             : static GEN
    2125           8 : sqrt_Cipolla(GEN a, GEN p)
    2126             : {
    2127             :   pari_sp av1;
    2128             :   GEN u, v, n, y, pov2;
    2129             :   ulong t;
    2130             : 
    2131           8 :   if (kronecker(a, p) < 0) return NULL;
    2132           8 :   pov2 = shifti(p,-1);
    2133           8 :   if (cmpii(a,pov2) > 0) a = subii(a,p); /* center: avoid multiplying by huge base*/
    2134             : 
    2135           8 :   av1 = avma;
    2136          41 :   for(t=1; ; t++)
    2137             :   {
    2138          41 :     n = subsi((long)(t*t), a);
    2139          41 :     if (kronecker(n, p) < 0) break;
    2140          33 :     avma = av1;
    2141          33 :   }
    2142             : 
    2143             :   /* compute (t+X)^((p-1)/2) =: u+vX */
    2144           8 :   u = utoipos(t);
    2145           8 :   y = gen_pow_fold(mkvec2(u, gen_1), pov2, mkvec4(a,p,n,u),
    2146             :                          sqrt_Cipolla_sqr, sqrt_Cipolla_msqr);
    2147             :   /* Now u+vX = (t+X)^((p-1)/2); thus
    2148             :    *   (u+vX)(t+X) = sqrt(a) + 0 X
    2149             :    * Whence,
    2150             :    *   sqrt(a) = (u+vt)t - v*a
    2151             :    *   0       = (u+vt)
    2152             :    * Thus a square root is v*a */
    2153             : 
    2154           8 :   v = Fp_mul(gel(y, 2), a, p);
    2155           8 :   if (cmpii(v,pov2) > 0) v = subii(p,v);
    2156           8 :   return v;
    2157             : }
    2158             : 
    2159             : /* Return NULL if p is found to be composite */
    2160             : static GEN
    2161        6627 : Fp_2gener_all(long e, GEN p)
    2162             : {
    2163             :   GEN y, m;
    2164             :   long k;
    2165        6627 :   GEN q = shifti(subiu(p,1), -e); /* q = (p-1)/2^oo is odd */
    2166        6627 :   if (e==0 && !equaliu(p,2)) return NULL;
    2167       11561 :   for (k=2; ; k++)
    2168             :   {
    2169       11561 :     long i = krosi(k, p);
    2170       11561 :     if (i >= 0)
    2171             :     {
    2172        4934 :       if (i) continue;
    2173           0 :       return NULL;
    2174             :     }
    2175        6627 :     y = m = Fp_pow(utoi(k), q, p);
    2176       16632 :     for (i=1; i<e; i++)
    2177       10005 :       if (equali1(m = Fp_sqr(m, p))) break;
    2178        6627 :     if (i == e) break; /* success */
    2179        4934 :   }
    2180        6627 :   return y;
    2181             : }
    2182             : 
    2183             : /* Return NULL if p is found to be composite */
    2184             : GEN
    2185         686 : Fp_2gener(GEN p)
    2186         686 : { return Fp_2gener_all(vali(subis(p,1)),p); }
    2187             : 
    2188             : /* Tonelli-Shanks. Assume p is prime and return NULL if (a,p) = -1. */
    2189             : GEN
    2190     2349422 : Fp_sqrt_i(GEN a, GEN y, GEN p)
    2191             : {
    2192     2349422 :   pari_sp av = avma, av1;
    2193             :   long i, k, e;
    2194             :   GEN p1, q, v, w;
    2195             : 
    2196     2349422 :   if (typ(a) != t_INT) pari_err_TYPE("Fp_sqrt",a);
    2197     2349422 :   if (typ(p) != t_INT) pari_err_TYPE("Fp_sqrt",p);
    2198     2349422 :   if (signe(p) <= 0 || equali1(p)) pari_err_PRIME("Fp_sqrt",p);
    2199     2349422 :   if (lgefint(p) == 3)
    2200             :   {
    2201     2321698 :     ulong pp = uel(p,2), u = Fl_sqrt(umodiu(a, pp), pp);
    2202     2321684 :     if (u == ~0UL) return NULL;
    2203     2321635 :     return utoi(u);
    2204             :   }
    2205             : 
    2206       27724 :   p1 = subiu(p,1); e = vali(p1);
    2207       27724 :   a = modii(a, p);
    2208             : 
    2209             :   /* On average, the algorithm of Cipolla is better than the algorithm of
    2210             :    * Tonelli and Shanks if and only if e(e-1)>8*log2(n)+20
    2211             :    * see LNCS 2286 pp 430 [GTL] */
    2212       27724 :   if (e*(e-1) > 20 + 8 * expi(p))
    2213             :   {
    2214           8 :     v = sqrt_Cipolla(a,p);
    2215           8 :     if (!v) { avma = av; return NULL; }
    2216           8 :     return gerepileuptoint(av,v);
    2217             :   }
    2218             : 
    2219       27716 :   if (e == 0) /* p = 2 */
    2220             :   {
    2221           0 :     avma = av;
    2222           0 :     if (!absequaliu(p,2)) pari_err_PRIME("Fp_sqrt [modulus]",p);
    2223           0 :     if (!signe(a) || !mod2(a)) return gen_0;
    2224           0 :     return gen_1;
    2225             :   }
    2226       27716 :   q = shifti(p1,-e); /* q = (p-1)/2^oo is odd */
    2227       27716 :   if (e == 1) y = p1;
    2228       12409 :   else if (!y) y = Fp_2gener_all(e, p);
    2229       27716 :   if (!y) pari_err_PRIME("Fp_sqrt [modulus]",p);
    2230       27716 :   p1 = Fp_pow(a, shifti(q,-1), p); /* a ^ [(q-1)/2] */
    2231       27716 :   if (!signe(p1)) { avma=av; return gen_0; }
    2232       27709 :   v = Fp_mul(a, p1, p);
    2233       27709 :   w = Fp_mul(v, p1, p);
    2234       66682 :   while (!equali1(w))
    2235             :   { /* a*w = v^2, y primitive 2^e-th root of 1
    2236             :        a square --> w even power of y, hence w^(2^(e-1)) = 1 */
    2237       11274 :     p1 = Fp_sqr(w,p);
    2238       11274 :     for (k=1; !equali1(p1) && k < e; k++) p1 = Fp_sqr(p1,p);
    2239       11274 :     if (k == e) { avma=av; return NULL; } /* p composite or (a/p) != 1 */
    2240             :     /* w ^ (2^k) = 1 --> w = y ^ (u * 2^(e-k)), u odd */
    2241       11264 :     p1 = y;
    2242       11264 :     for (i=1; i < e-k; i++) p1 = Fp_sqr(p1,p);
    2243       11264 :     y = Fp_sqr(p1, p); e = k;
    2244       11264 :     w = Fp_mul(y, w, p);
    2245       11264 :     v = Fp_mul(v, p1, p);
    2246       11264 :     if (gc_needed(av,1))
    2247             :     {
    2248           0 :       if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"Fp_sqrt");
    2249           0 :       gerepileall(av,3, &y,&w,&v);
    2250             :     }
    2251             :   }
    2252       27699 :   av1 = avma;
    2253       27699 :   p1 = subii(p,v); if (cmpii(v,p1) > 0) v = p1; else avma = av1;
    2254       27699 :   return gerepileuptoint(av, v);
    2255             : }
    2256             : 
    2257             : GEN
    2258     2333413 : Fp_sqrt(GEN a, GEN p)
    2259             : {
    2260     2333413 :   return Fp_sqrt_i(a, NULL, p);
    2261             : }
    2262             : 
    2263             : /*********************************************************************/
    2264             : /**                                                                 **/
    2265             : /**                        GCD & BEZOUT                             **/
    2266             : /**                                                                 **/
    2267             : /*********************************************************************/
    2268             : 
    2269             : GEN
    2270    14185488 : lcmii(GEN x, GEN y)
    2271             : {
    2272             :   pari_sp av;
    2273             :   GEN a, b;
    2274    14185488 :   if (!signe(x) || !signe(y)) return gen_0;
    2275    14185488 :   av = avma;
    2276    14185488 :   a = gcdii(x,y); if (!equali1(a)) y = diviiexact(y,a);
    2277    14185488 :   b = mulii(x,y); setabssign(b); return gerepileuptoint(av, b);
    2278             : }
    2279             : 
    2280             : /*********************************************************************/
    2281             : /**                                                                 **/
    2282             : /**                      CHINESE REMAINDERS                         **/
    2283             : /**                                                                 **/
    2284             : /*********************************************************************/
    2285             : 
    2286             : /* Chinese Remainder Theorem.  x and y must have the same type (integermod,
    2287             :  * polymod, or polynomial/vector/matrix recursively constructed with these
    2288             :  * as coefficients). Creates (with the same type) a z in the same residue
    2289             :  * class as x and the same residue class as y, if it is possible.
    2290             :  *
    2291             :  * We also allow (during recursion) two identical objects even if they are
    2292             :  * not integermod or polymod. For example:
    2293             :  *
    2294             :  * ? x = [1, Mod(5, 11), Mod(X + Mod(2, 7), X^2 + 1)];
    2295             :  * ? y = [1, Mod(7, 17), Mod(X + Mod(0, 3), X^2 + 1)];
    2296             :  * ? chinese(x, y)
    2297             :  * %3 = [1, Mod(16, 187), Mod(X + mod(9, 21), X^2 + 1)] */
    2298             : 
    2299             : static GEN
    2300      708665 : gen_chinese(GEN x, GEN(*f)(GEN,GEN))
    2301             : {
    2302      708665 :   GEN z = gassoc_proto(f,x,NULL);
    2303      708658 :   if (z == gen_1) retmkintmod(gen_0,gen_1);
    2304      708630 :   return z;
    2305             : }
    2306             : 
    2307             : /* x t_INTMOD, y t_POLMOD; promote x to t_POLMOD mod Pol(x.mod) then
    2308             :  * call chinese: makes Mod(0,1) a better "neutral" element */
    2309             : static GEN
    2310          21 : chinese_intpol(GEN x,GEN y)
    2311             : {
    2312          21 :   pari_sp av = avma;
    2313          21 :   GEN z = mkpolmod(gel(x,2), scalarpol_shallow(gel(x,1), varn(gel(y,1))));
    2314          21 :   return gerepileupto(av, chinese(z, y));
    2315             : }
    2316             : 
    2317             : GEN
    2318         203 : chinese1(GEN x) { return gen_chinese(x,chinese); }
    2319             : 
    2320             : GEN
    2321       16520 : chinese(GEN x, GEN y)
    2322             : {
    2323             :   pari_sp av;
    2324       16520 :   long tx = typ(x), ty;
    2325             :   GEN z,p1,p2,d,u,v;
    2326             : 
    2327       16520 :   if (!y) return chinese1(x);
    2328       16471 :   if (gidentical(x,y)) return gcopy(x);
    2329       16464 :   ty = typ(y);
    2330       16464 :   if (tx == ty) switch(tx)
    2331             :   {
    2332             :     case t_POLMOD:
    2333             :     {
    2334          28 :       GEN A = gel(x,1), B = gel(y,1);
    2335          28 :       GEN a = gel(x,2), b = gel(y,2);
    2336          28 :       if (varn(A)!=varn(B)) pari_err_VAR("chinese",A,B);
    2337          28 :       if (RgX_equal(A,B)) retmkpolmod(chinese(a,b), gcopy(A)); /*same modulus*/
    2338          28 :       av = avma;
    2339          28 :       d = RgX_extgcd(A,B,&u,&v);
    2340          28 :       p2 = gsub(b, a);
    2341          28 :       if (!gequal0(gmod(p2, d))) break;
    2342          28 :       p1 = gdiv(A,d);
    2343          28 :       p2 = gadd(a, gmul(gmul(u,p1), p2));
    2344             : 
    2345          28 :       z = cgetg(3, t_POLMOD);
    2346          28 :       gel(z,1) = gmul(p1,B);
    2347          28 :       gel(z,2) = gmod(p2,gel(z,1));
    2348          28 :       return gerepileupto(av, z);
    2349             :     }
    2350             :     case t_INTMOD:
    2351             :     {
    2352       16401 :       GEN A = gel(x,1), B = gel(y,1);
    2353       16401 :       GEN a = gel(x,2), b = gel(y,2), c, d, C, U;
    2354       16401 :       z = cgetg(3,t_INTMOD);
    2355       16401 :       Z_chinese_pre(A, B, &C, &U, &d);
    2356       16401 :       c = Z_chinese_post(a, b, C, U, d);
    2357       16401 :       if (!c) pari_err_OP("chinese", x,y);
    2358       16401 :       gel(z,1) = icopy_avma(C, (pari_sp)z);
    2359       16401 :       gel(z,2) = icopy_avma(c, (pari_sp)gel(z,1));
    2360       16401 :       avma = (pari_sp)gel(z,2); return z;
    2361             :     }
    2362             :     case t_POL:
    2363             :     {
    2364           7 :       long i, lx = lg(x), ly = lg(y);
    2365           7 :       if (varn(x) != varn(y)) break;
    2366           7 :       if (lx < ly) { swap(x,y); lswap(lx,ly); }
    2367           7 :       z = cgetg(lx, t_POL); z[1] = x[1];
    2368           7 :       for (i=2; i<ly; i++) gel(z,i) = chinese(gel(x,i),gel(y,i));
    2369           7 :       for (   ; i<lx; i++) gel(z,i) = gcopy(gel(x,i));
    2370           7 :       return z;
    2371             :     }
    2372             : 
    2373             :     case t_VEC: case t_COL: case t_MAT:
    2374             :     {
    2375             :       long i, lx;
    2376           7 :       z = cgetg_copy(x, &lx); if (lx!=lg(y)) break;
    2377           7 :       for (i=1; i<lx; i++) gel(z,i) = chinese(gel(x,i),gel(y,i));
    2378           7 :       return z;
    2379             :     }
    2380             :   }
    2381          21 :   if (tx == t_POLMOD && ty == t_INTMOD) return chinese_intpol(y,x);
    2382           7 :   if (ty == t_POLMOD && tx == t_INTMOD) return chinese_intpol(x,y);
    2383           0 :   pari_err_OP("chinese",x,y);
    2384             :   return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
    2385             : }
    2386             : 
    2387             : /* init chinese(Mod(.,A), Mod(.,B)) */
    2388             : void
    2389      218589 : Z_chinese_pre(GEN A, GEN B, GEN *pC, GEN *pU, GEN *pd)
    2390             : {
    2391      218589 :   GEN u, d = bezout(A,B,&u,NULL); /* U = u(A/d), u(A/d) + v(B/d) = 1 */
    2392      218589 :   GEN t = diviiexact(A,d);
    2393      218589 :   *pU = mulii(u, t);
    2394      218589 :   *pC = mulii(t, B);
    2395      218589 :   if (pd) *pd = d;
    2396      218589 : }
    2397             : /* Assume C = lcm(A, B), U = 0 mod (A/d), U = 1 mod (B/d), a = b mod d,
    2398             :  * where d = gcd(A,B) or NULL, return x = a (mod A), b (mod B).
    2399             :  * If d not NULL, check wether a = b mod d. */
    2400             : GEN
    2401      798319 : Z_chinese_post(GEN a, GEN b, GEN C, GEN U, GEN d)
    2402             : {
    2403             :   GEN b_a;
    2404      798319 :   if (!signe(a))
    2405             :   {
    2406      430564 :     if (d && remii(b, d) != gen_0) return NULL;
    2407      430564 :     return Fp_mul(b, U, C);
    2408             :   }
    2409      367755 :   b_a = subii(b,a);
    2410      367755 :   if (d && remii(b_a, d) != gen_0) return NULL;
    2411      367755 :   return modii(addii(a, mulii(U, b_a)), C);
    2412             : }
    2413             : static ulong
    2414       79289 : u_chinese_post(ulong a, ulong b, ulong C, ulong U)
    2415             : {
    2416       79289 :   if (!a) return Fl_mul(b, U, C);
    2417       79289 :   return Fl_add(a, Fl_mul(U, Fl_sub(b,a,C), C), C);
    2418             : }
    2419             : 
    2420             : GEN
    2421        2142 : Z_chinese(GEN a, GEN b, GEN A, GEN B)
    2422             : {
    2423        2142 :   pari_sp av = avma;
    2424        2142 :   GEN C, U; Z_chinese_pre(A, B, &C, &U, NULL);
    2425        2142 :   return gerepileuptoint(av, Z_chinese_post(a,b, C, U, NULL));
    2426             : }
    2427             : GEN
    2428      199990 : Z_chinese_all(GEN a, GEN b, GEN A, GEN B, GEN *pC)
    2429             : {
    2430      199990 :   GEN U; Z_chinese_pre(A, B, pC, &U, NULL);
    2431      199990 :   return Z_chinese_post(a,b, *pC, U, NULL);
    2432             : }
    2433             : 
    2434             : /* return lift(chinese(a mod A, b mod B))
    2435             :  * assume(A,B)=1, a,b,A,B integers and C = A*B */
    2436             : GEN
    2437        1050 : Z_chinese_coprime(GEN a, GEN b, GEN A, GEN B, GEN C)
    2438             : {
    2439        1050 :   pari_sp av = avma;
    2440        1050 :   GEN U = mulii(Fp_inv(A,B), A);
    2441        1050 :   return gerepileuptoint(av, Z_chinese_post(a,b,C,U, NULL));
    2442             : }
    2443             : ulong
    2444       79289 : u_chinese_coprime(ulong a, ulong b, ulong A, ulong B, ulong C)
    2445       79289 : { return u_chinese_post(a,b,C, A * Fl_inv(A % B,B)); }
    2446             : 
    2447             : /* chinese1 for coprime moduli in Z */
    2448             : static GEN
    2449      578414 : chinese1_coprime_Z_aux(GEN x, GEN y)
    2450             : {
    2451      578414 :   GEN z = cgetg(3, t_INTMOD);
    2452      578414 :   GEN A = gel(x,1), a = gel(x, 2);
    2453      578414 :   GEN B = gel(y,1), b = gel(y, 2), C = mulii(A,B);
    2454      578414 :   pari_sp av = avma;
    2455      578414 :   GEN U = mulii(Fp_inv(A,B), A);
    2456      578414 :   gel(z,2) = gerepileuptoint(av, Z_chinese_post(a,b,C,U, NULL));
    2457      578414 :   gel(z,1) = C; return z;
    2458             : }
    2459             : GEN
    2460      708462 : chinese1_coprime_Z(GEN x) {return gen_chinese(x,chinese1_coprime_Z_aux);}
    2461             : 
    2462             : /*********************************************************************/
    2463             : /**                                                                 **/
    2464             : /**                    MODULAR EXPONENTIATION                       **/
    2465             : /**                                                                 **/
    2466             : /*********************************************************************/
    2467             : 
    2468             : /* xa, ya = t_VECSMALL */
    2469             : GEN
    2470       75395 : ZV_producttree(GEN xa)
    2471             : {
    2472       75395 :   long n = lg(xa)-1;
    2473       75395 :   long m = n==1 ? 1: expu(n-1)+1;
    2474       75396 :   GEN T = cgetg(m+1, t_VEC), t;
    2475             :   long i, j, k;
    2476       75395 :   t = cgetg(((n+1)>>1)+1, t_VEC);
    2477       75394 :   if (typ(xa)==t_VECSMALL)
    2478             :   {
    2479     7250090 :     for (j=1, k=1; k<n; j++, k+=2)
    2480     7200146 :       gel(t, j) = muluu(xa[k], xa[k+1]);
    2481       49944 :     if (k==n) gel(t, j) = utoi(xa[k]);
    2482             :   } else {
    2483      123388 :     for (j=1, k=1; k<n; j++, k+=2)
    2484       97937 :       gel(t, j) = mulii(gel(xa,k), gel(xa,k+1));
    2485       25451 :     if (k==n) gel(t, j) = icopy(gel(xa,k));
    2486             :   }
    2487       75395 :   gel(T,1) = t;
    2488      176807 :   for (i=2; i<=m; i++)
    2489             :   {
    2490      101412 :     GEN u = gel(T, i-1);
    2491      101412 :     long n = lg(u)-1;
    2492      101412 :     t = cgetg(((n+1)>>1)+1, t_VEC);
    2493     7354433 :     for (j=1, k=1; k<n; j++, k+=2)
    2494     7253021 :       gel(t, j) = mulii(gel(u, k), gel(u, k+1));
    2495      101412 :     if (k==n) gel(t, j) = gel(u, k);
    2496      101412 :     gel(T, i) = t;
    2497             :   }
    2498       75395 :   return T;
    2499             : }
    2500             : 
    2501             : /* return [A mod P[i], i=1..#P], T = ZV_producttree(P) */
    2502             : GEN
    2503      842576 : Z_ZV_mod_tree(GEN A, GEN P, GEN T)
    2504             : {
    2505             :   long i,j,k;
    2506      842576 :   long m = lg(T)-1, n = lg(P)-1;
    2507             :   GEN t;
    2508      842576 :   GEN Tp = cgetg(m+1, t_VEC);
    2509      842574 :   gel(Tp, m) = mkvec(A);
    2510     1560153 :   for (i=m-1; i>=1; i--)
    2511             :   {
    2512      717581 :     GEN u = gel(T, i);
    2513      717581 :     GEN v = gel(Tp, i+1);
    2514      717581 :     long n = lg(u)-1;
    2515      717581 :     t = cgetg(n+1, t_VEC);
    2516     1781403 :     for (j=1, k=1; k<n; j++, k+=2)
    2517             :     {
    2518     1063805 :       gel(t, k)   = modii(gel(v, j), gel(u, k));
    2519     1063804 :       gel(t, k+1) = modii(gel(v, j), gel(u, k+1));
    2520             :     }
    2521      717598 :     if (k==n) gel(t, k) = gel(v, j);
    2522      717598 :     gel(Tp, i) = t;
    2523             :   }
    2524             :   {
    2525      842572 :     GEN u = gel(T, i+1);
    2526      842572 :     GEN v = gel(Tp, i+1);
    2527      842572 :     long l = lg(u)-1;
    2528      842572 :     if (typ(P)==t_VECSMALL)
    2529             :     {
    2530      767214 :       GEN R = cgetg(n+1, t_VECSMALL);
    2531     2401780 :       for (j=1, k=1; j<=l; j++, k+=2)
    2532             :       {
    2533     1634553 :         uel(R,k) = umodiu(gel(v, j), P[k]);
    2534     1634567 :         if (k < n)
    2535     1343292 :           uel(R,k+1) = umodiu(gel(v, j), P[k+1]);
    2536             :       }
    2537      767227 :       return R;
    2538             :     }
    2539             :     else
    2540             :     {
    2541       75358 :       GEN R = cgetg(n+1, t_VEC);
    2542      347175 :       for (j=1, k=1; j<=l; j++, k+=2)
    2543             :       {
    2544      271812 :         gel(R,k) = modii(gel(v, j), gel(P,k));
    2545      271815 :         if (k < n)
    2546      241516 :           gel(R,k+1) = modii(gel(v, j), gel(P,k+1));
    2547             :       }
    2548       75363 :       return R;
    2549             :     }
    2550             :   }
    2551             : }
    2552             : 
    2553             : /* T = ZV_producttree(P), R = ZV_chinesetree(P,T) */
    2554             : GEN
    2555     2354116 : ZV_chinese_tree(GEN A, GEN P, GEN T, GEN R)
    2556             : {
    2557     2354116 :   long m = lg(T)-1, n = lg(A)-1;
    2558             :   long i,j,k;
    2559     2354116 :   GEN Tp = cgetg(m+1, t_VEC);
    2560     2345933 :   GEN M = gel(T, 1);
    2561     2345933 :   GEN t = cgetg(lg(M), t_VEC);
    2562     2390965 :   if (typ(P)==t_VECSMALL)
    2563             :   {
    2564    18823222 :     for (j=1, k=1; k<n; j++, k+=2)
    2565             :     {
    2566    16509184 :       pari_sp av = avma;
    2567    16509184 :       GEN a = mului(A[k], gel(R,k)), b = mului(A[k+1], gel(R,k+1));
    2568    16354760 :       GEN tj = modii(addii(mului(P[k],b), mului(P[k+1],a)), gel(M,j));
    2569    16386810 :       gel(t, j) = gerepileuptoint(av, tj);
    2570             :     }
    2571     2314038 :     if (k==n) gel(t, j) = modii(mului(A[k], gel(R,k)), gel(M, j));
    2572             :   } else
    2573             :   {
    2574      111110 :     for (j=1, k=1; k<n; j++, k+=2)
    2575             :     {
    2576       87010 :       pari_sp av = avma;
    2577       87010 :       GEN a = mulii(gel(A,k), gel(R,k)), b = mulii(gel(A,k+1), gel(R,k+1));
    2578       87010 :       GEN tj = modii(addii(mulii(gel(P,k),b), mulii(gel(P,k+1),a)), gel(M,j));
    2579       87010 :       gel(t, j) = gerepileuptoint(av, tj);
    2580             :     }
    2581       24100 :     if (k==n) gel(t, j) = modii(mulii(gel(A,k), gel(R,k)), gel(M, j));
    2582             :   }
    2583     2338389 :   gel(Tp, 1) = t;
    2584     8803337 :   for (i=2; i<=m; i++)
    2585             :   {
    2586     6469547 :     GEN u = gel(T, i-1), M = gel(T, i);
    2587     6469547 :     GEN t = cgetg(lg(M), t_VEC);
    2588     6562579 :     GEN v = gel(Tp, i-1);
    2589     6562579 :     long n = lg(v)-1;
    2590    21465609 :     for (j=1, k=1; k<n; j++, k+=2)
    2591             :     {
    2592    15000661 :       pari_sp av = avma;
    2593    60002644 :       gel(t, j) = gerepileuptoint(av, modii(addii(mulii(gel(u, k), gel(v, k+1)),
    2594    45001983 :             mulii(gel(u, k+1), gel(v, k))), gel(M, j)));
    2595             :     }
    2596     6464948 :     if (k==n) gel(t, j) = gel(v, k);
    2597     6464948 :     gel(Tp, i) = t;
    2598             :   }
    2599     2333790 :   return gmael(Tp,m,1);
    2600             : }
    2601             : 
    2602             : static GEN
    2603       46922 : ncV_polint_center_tree(GEN vA, GEN P, GEN T, GEN R, GEN m2)
    2604             : {
    2605       46922 :   long i, l = lg(gel(vA,1)), n = lg(P);
    2606       46922 :   GEN mod = gmael(T, lg(T)-1, 1), V = cgetg(l, t_COL);
    2607     2275984 :   for (i=1; i < l; i++)
    2608             :   {
    2609     2228674 :     pari_sp av = avma;
    2610     2228674 :     GEN c, A = cgetg(n, t_VECSMALL);
    2611             :     long j;
    2612     2247475 :     for (j=1; j < n; j++) A[j] = mael(vA,j,i);
    2613     2247475 :     c = Fp_center(ZV_chinese_tree(A, P, T, R), mod, m2);
    2614     2229482 :     gel(V,i) = gerepileuptoint(av, c);
    2615             :   }
    2616       47310 :   return V;
    2617             : }
    2618             : 
    2619             : static GEN
    2620        4200 : nxV_polint_center_tree(GEN vA, GEN P, GEN T, GEN R, GEN m2)
    2621             : {
    2622        4200 :   long i, l = lg(gel(vA,1)), n = lg(P);
    2623        4200 :   GEN mod = gmael(T, lg(T)-1, 1), V = cgetg(l, t_POL);
    2624        4200 :   V[1] = evalsigne(1) | evalvarn(0);
    2625       58163 :   for (i=2; i < l; i++)
    2626             :   {
    2627       53963 :     pari_sp av = avma;
    2628       53963 :     GEN c, A = cgetg(n, t_VECSMALL);
    2629             :     long j;
    2630       53963 :     for (j=1; j < n; j++) A[j] = mael(vA,j,i);
    2631       53963 :     c = Fp_center(ZV_chinese_tree(A, P, T, R), mod, m2);
    2632       53963 :     gel(V,i) = gerepileuptoint(av, c);
    2633             :   }
    2634        4200 :   return V;
    2635             : }
    2636             : 
    2637             : GEN
    2638       43393 : nmV_polint_center_tree_worker(GEN vA, GEN T, GEN R, GEN P, GEN m2)
    2639             : {
    2640       43393 :   return ncV_polint_center_tree(vA, P, T, R, m2);
    2641             : }
    2642             : 
    2643             : static GEN
    2644        2433 : nmV_polint_center_tree(GEN mA, GEN P, GEN T, GEN R, GEN m2)
    2645             : {
    2646        2433 :   long i, j, l = lg(gel(mA,1)), n = lg(P);
    2647        2433 :   long pending = 0, workid, cnt = 0;
    2648             :   struct pari_mt pt;
    2649             :   GEN worker, done, va, M;
    2650        2433 :   GEN A = cgetg(n, t_VEC);
    2651        2433 :   worker = snm_closure(is_entry("_polint_worker"), mkvec4(T, R, P, m2));
    2652        2433 :   va = mkvec(gen_0);
    2653        2433 :   M = cgetg(l, t_MAT);
    2654        2433 :   if (DEBUGLEVEL>2) err_printf("Start parallel Chinese remainder: ");
    2655        2433 :   mt_queue_start_lim(&pt, worker, l-1);
    2656       50078 :   for (i=1; i<l || pending; i++)
    2657             :   {
    2658       47645 :     for(j=1; j < n; j++) gel(A,j) = gmael(mA,j,i);
    2659       47645 :     gel(va, 1) = A;
    2660       47645 :     mt_queue_submit(&pt, i, i<l? va: NULL);
    2661       47645 :     done = mt_queue_get(&pt, &workid, &pending);
    2662       47645 :     if (done)
    2663             :     {
    2664       43835 :       gel(M,workid) = done;
    2665       43835 :       if (DEBUGLEVEL>2) err_printf("%ld%% ",(++cnt)*100/(l-1));
    2666             :     }
    2667             :   }
    2668        2433 :   if (DEBUGLEVEL>2) err_printf("\n");
    2669        2433 :   mt_queue_end(&pt);
    2670        2433 :   return M;
    2671             : }
    2672             : 
    2673             : /* return [A mod P[i], i=1..#P] */
    2674             : GEN
    2675           0 : Z_ZV_mod(GEN A, GEN P)
    2676             : {
    2677           0 :   pari_sp av = avma;
    2678           0 :   return gerepilecopy(av, Z_ZV_mod_tree(A, P, ZV_producttree(P)));
    2679             : }
    2680             : /* P a t_VECSMALL */
    2681             : GEN
    2682           0 : Z_nv_mod(GEN A, GEN P)
    2683             : {
    2684           0 :   pari_sp av = avma;
    2685           0 :   return gerepileuptoleaf(av, Z_ZV_mod_tree(A, P, ZV_producttree(P)));
    2686             : }
    2687             : /* B a ZX, T = ZV_producttree(P) */
    2688             : GEN
    2689       78038 : ZX_nv_mod_tree(GEN B, GEN A, GEN T)
    2690             : {
    2691       78038 :   long i, j, l = lg(B), n = lg(A)-1;
    2692       78038 :   GEN V = cgetg(n+1, t_VEC);
    2693      335557 :   for (j=1; j <= n; j++)
    2694             :   {
    2695      257517 :     gel(V, j) = cgetg(l, t_VECSMALL);
    2696      257515 :     mael(V, j, 1) = B[1]&VARNBITS;
    2697             :   }
    2698      845273 :   for (i=2; i < l; i++)
    2699             :   {
    2700      767235 :     GEN v = Z_ZV_mod_tree(gel(B, i), A, T);
    2701     3745079 :     for (j=1; j <= n; j++)
    2702     2977846 :       mael(V, j, i) = v[j];
    2703             :   }
    2704      335557 :   for (j=1; j <= n; j++)
    2705      257520 :     (void) Flx_renormalize(gel(V, j), l);
    2706       78037 :   return V;
    2707             : }
    2708             : 
    2709             : static GEN
    2710       29582 : to_ZX(GEN a, long v) { return typ(a)==t_INT? scalarpol(a,v): a; }
    2711             : 
    2712             : GEN
    2713        4200 : ZXX_nv_mod_tree(GEN P, GEN xa, GEN T, long w)
    2714             : {
    2715        4200 :   pari_sp av = avma;
    2716        4200 :   long i, j, l = lg(P), n = lg(xa)-1, vP = varn(P);
    2717        4200 :   GEN V = cgetg(n+1, t_VEC);
    2718       13834 :   for (j=1; j <= n; j++)
    2719             :   {
    2720        9634 :     gel(V, j) = cgetg(l, t_POL);
    2721        9634 :     mael(V, j, 1) = vP;
    2722             :   }
    2723       33782 :   for (i=2; i < l; i++)
    2724             :   {
    2725       29582 :     GEN v = ZX_nv_mod_tree(to_ZX(gel(P, i), w), xa, T);
    2726      102139 :     for (j=1; j <= n; j++)
    2727       72557 :       gmael(V, j, i) = gel(v,j);
    2728             :   }
    2729       13834 :   for (j=1; j <= n; j++)
    2730        9634 :     (void) FlxX_renormalize(gel(V, j), l);
    2731        4200 :   return gerepilecopy(av, V);
    2732             : }
    2733             : 
    2734             : static GEN
    2735       74011 : ZV_sqr(GEN z)
    2736             : {
    2737       74011 :   long i,l = lg(z);
    2738       74011 :   GEN x = cgetg(l, t_VEC);
    2739       74011 :   if (typ(z)==t_VECSMALL)
    2740       49911 :     for (i=1; i<l; i++) gel(x,i) = sqru(z[i]);
    2741             :   else
    2742       24100 :     for (i=1; i<l; i++) gel(x,i) = sqri(gel(z,i));
    2743       74009 :   return x;
    2744             : }
    2745             : 
    2746             : static GEN
    2747      723732 : ZT_sqr(GEN z)
    2748             : {
    2749      723732 :   if (typ(z) == t_INT)
    2750      479166 :     return sqri(z);
    2751             :   else
    2752             :   {
    2753      244566 :     long i,l = lg(z);
    2754      244566 :     GEN x = cgetg(l, t_VEC);
    2755      244568 :     for (i=1; i<l; i++) gel(x,i) = ZT_sqr(gel(z,i));
    2756      244570 :     return x;
    2757             :   }
    2758             : }
    2759             : 
    2760             : static GEN
    2761       74010 : ZV_invdivexact(GEN y, GEN x)
    2762             : {
    2763       74010 :   long i, l = lg(y);
    2764       74010 :   GEN z = cgetg(l,t_VEC);
    2765       74012 :   if (typ(x)==t_VECSMALL)
    2766      357791 :     for (i=1; i<l; i++)
    2767             :     {
    2768      307881 :       pari_sp av = avma;
    2769      307881 :       ulong a = Fl_inv(umodiu(diviuexact(gel(y,i),x[i]), x[i]), x[i]);
    2770      307881 :       avma = av;
    2771      307881 :       gel(z,i) = utoipos(a);
    2772             :     }
    2773             :   else
    2774      207693 :     for (i=1; i<l; i++)
    2775      183593 :       gel(z,i) = Fp_inv(diviiexact(gel(y,i), gel(x,i)), gel(x,i));
    2776       74010 :   return z;
    2777             : }
    2778             : 
    2779             : /* P t_VECSMALL or t_VEC of t_INT  */
    2780             : GEN
    2781       74009 : ZV_chinesetree(GEN P, GEN T)
    2782             : {
    2783       74009 :   GEN T2 = ZT_sqr(T), P2 = ZV_sqr(P);
    2784       74009 :   GEN mod = gmael(T,lg(T)-1,1);
    2785       74009 :   return ZV_invdivexact(Z_ZV_mod_tree(mod, P2, T2), P);
    2786             : }
    2787             : 
    2788             : static GEN
    2789       30083 : gc_chinese(pari_sp av, GEN T, GEN a, GEN *pt_mod)
    2790             : {
    2791       30083 :   if (!pt_mod)
    2792        2433 :     return gerepileupto(av, a);
    2793             :   else
    2794             :   {
    2795       27650 :     GEN mod = gmael(T, lg(T)-1, 1);
    2796       27650 :     gerepileall(av, 2, &a, &mod);
    2797       27650 :     *pt_mod = mod;
    2798       27650 :     return a;
    2799             :   }
    2800             : }
    2801             : 
    2802             : GEN
    2803       24100 : ZV_chinese(GEN A, GEN P, GEN *pt_mod)
    2804             : {
    2805       24100 :   pari_sp av = avma;
    2806       24100 :   GEN T = ZV_producttree(P);
    2807       24100 :   GEN R = ZV_chinesetree(P, T);
    2808       24100 :   GEN a = ZV_chinese_tree(A, P, T, R);
    2809       24100 :   return gc_chinese(av, T, a, pt_mod);
    2810             : }
    2811             : 
    2812             : GEN
    2813        4200 : nxV_chinese_center_tree(GEN A, GEN P, GEN T, GEN R)
    2814             : {
    2815        4200 :   pari_sp av = avma;
    2816        4200 :   GEN m2 = shifti(gmael(T, lg(T)-1, 1), -1);
    2817        4200 :   GEN a = nxV_polint_center_tree(A, P, T, R, m2);
    2818        4200 :   return gerepileupto(av, a);
    2819             : }
    2820             : 
    2821             : GEN
    2822           0 : nxV_chinese_center(GEN A, GEN P, GEN *pt_mod)
    2823             : {
    2824           0 :   pari_sp av = avma;
    2825           0 :   GEN T = ZV_producttree(P);
    2826           0 :   GEN R = ZV_chinesetree(P, T);
    2827           0 :   GEN m2 = shifti(gmael(T, lg(T)-1, 1), -1);
    2828           0 :   GEN a = nxV_polint_center_tree(A, P, T, R, m2);
    2829           0 :   return gc_chinese(av, T, a, pt_mod);
    2830             : }
    2831             : 
    2832             : GEN
    2833        3550 : ncV_chinese_center(GEN A, GEN P, GEN *pt_mod)
    2834             : {
    2835        3550 :   pari_sp av = avma;
    2836        3550 :   GEN T = ZV_producttree(P);
    2837        3550 :   GEN R = ZV_chinesetree(P, T);
    2838        3550 :   GEN m2 = shifti(gmael(T, lg(T)-1, 1), -1);
    2839        3550 :   GEN a = ncV_polint_center_tree(A, P, T, R, m2);
    2840        3550 :   return gc_chinese(av, T, a, pt_mod);
    2841             : }
    2842             : 
    2843             : GEN
    2844        2433 : nmV_chinese_center(GEN A, GEN P, GEN *pt_mod)
    2845             : {
    2846        2433 :   pari_sp av = avma;
    2847        2433 :   GEN T = ZV_producttree(P);
    2848        2433 :   GEN R = ZV_chinesetree(P, T);
    2849        2433 :   GEN m2 = shifti(gmael(T, lg(T)-1, 1), -1);
    2850        2433 :   GEN a = nmV_polint_center_tree(A, P, T, R, m2);
    2851        2433 :   return gc_chinese(av, T, a, pt_mod);
    2852             : }
    2853             : 
    2854             : /**********************************************************************
    2855             :  **                                                                  **
    2856             :  **                    Powering  over (Z/NZ)^*, small N              **
    2857             :  **                                                                  **
    2858             :  **********************************************************************/
    2859             : 
    2860             : /* 2^n mod p; assume n > 1 */
    2861             : static ulong
    2862    15695522 : Fl_2powu_pre(ulong n, ulong p, ulong pi)
    2863             : {
    2864    15695522 :   ulong y = 2;
    2865    15695522 :   int j = 1+bfffo(n);
    2866             :   /* normalize, i.e set highest bit to 1 (we know n != 0) */
    2867    15695522 :   n<<=j; j = BITS_IN_LONG-j; /* first bit is now implicit */
    2868   184104207 :   for (; j; n<<=1,j--)
    2869             :   {
    2870   168408723 :     y = Fl_sqr_pre(y,p,pi);
    2871   168408966 :     if (n & HIGHBIT) y = Fl_double(y, p);
    2872             :   }
    2873    15695484 :   return y;
    2874             : }
    2875             : 
    2876             : /* 2^n mod p; assume n > 1 and !(p & HIGHMASK) */
    2877             : static ulong
    2878     4853151 : Fl_2powu(ulong n, ulong p)
    2879             : {
    2880     4853151 :   ulong y = 2;
    2881     4853151 :   int j = 1+bfffo(n);
    2882             :   /* normalize, i.e set highest bit to 1 (we know n != 0) */
    2883     4853151 :   n<<=j; j = BITS_IN_LONG-j; /* first bit is now implicit */
    2884    59799448 :   for (; j; n<<=1,j--)
    2885             :   {
    2886    54961841 :     y = (y*y) % p;
    2887    54961841 :     if (n & HIGHBIT) y = Fl_double(y, p);
    2888             :   }
    2889     4837607 :   return y;
    2890             : }
    2891             : 
    2892             : ulong
    2893    90459524 : Fl_powu_pre(ulong x, ulong n0, ulong p, ulong pi)
    2894             : {
    2895             :   ulong y, z, n;
    2896    90459524 :   if (n0 <= 1)
    2897             :   { /* frequent special cases */
    2898    12604741 :     if (n0 == 1) return x;
    2899     4749786 :     if (n0 == 0) return 1;
    2900             :   }
    2901    77854783 :   if (x <= 2)
    2902             :   {
    2903    16861235 :     if (x == 2) return Fl_2powu_pre(n0, p, pi);
    2904     1165824 :     return x; /* 0 or 1 */
    2905             :   }
    2906    60993548 :   y = 1; z = x; n = n0;
    2907             :   for(;;)
    2908             :   {
    2909   552332877 :     if (n&1) y = Fl_mul_pre(y,z,p,pi);
    2910   552921269 :     n>>=1; if (!n) return y;
    2911   491941090 :     z = Fl_sqr_pre(z,p,pi);
    2912   491339329 :   }
    2913             : }
    2914             : 
    2915             : ulong
    2916    24005530 : Fl_powu(ulong x, ulong n0, ulong p)
    2917             : {
    2918             :   ulong y, z, n;
    2919    24005530 :   if (n0 <= 2)
    2920             :   { /* frequent special cases */
    2921    12948853 :     if (n0 == 2) return Fl_sqr(x,p);
    2922     4463593 :     if (n0 == 1) return x;
    2923        2617 :     if (n0 == 0) return 1;
    2924             :   }
    2925    11056677 :   if (x <= 1) return x; /* 0 or 1 */
    2926    11021370 :   if (p & HIGHMASK)
    2927     2109460 :     return Fl_powu_pre(x, n0, p, get_Fl_red(p));
    2928     8911910 :   if (x == 2) return Fl_2powu(n0, p);
    2929     4079894 :   y = 1; z = x; n = n0;
    2930             :   for(;;)
    2931             :   {
    2932    29856947 :     if (n&1) y = (y*z) % p;
    2933    29856947 :     n>>=1; if (!n) return y;
    2934    25777053 :     z = (z*z) % p;
    2935    25777053 :   }
    2936             : }
    2937             : 
    2938             : /* Reduce data dependency to maximize internal parallelism */
    2939             : GEN
    2940     8682403 : Fl_powers_pre(ulong x, long n, ulong p, ulong pi)
    2941             : {
    2942             :   long i, k;
    2943     8682403 :   GEN powers = cgetg(n + 2, t_VECSMALL);
    2944     8682763 :   powers[1] = 1; if (n == 0) return powers;
    2945     8682763 :   powers[2] = x;
    2946    45571542 :   for (i = 3, k=2; i <= n; i+=2, k++)
    2947             :   {
    2948    36893548 :     powers[i] = Fl_mul_pre(powers[k], powers[k], p, pi);
    2949    36893066 :     powers[i+1] = Fl_mul_pre(powers[k], powers[k+1], p, pi);
    2950             :   }
    2951     8677994 :   if (i==n+1)
    2952     7633773 :     powers[i] = Fl_mul_pre(powers[k], powers[k], p, pi);
    2953     8678271 :   return powers;
    2954             : }
    2955             : 
    2956             : GEN
    2957        1520 : Fl_powers(ulong x, long n, ulong p)
    2958             : {
    2959        1520 :   return Fl_powers_pre(x, n, p, get_Fl_red(p));
    2960             : }
    2961             : 
    2962             : /**********************************************************************
    2963             :  **                                                                  **
    2964             :  **                    Powering  over (Z/NZ)^*, large N              **
    2965             :  **                                                                  **
    2966             :  **********************************************************************/
    2967             : 
    2968             : static GEN
    2969     4525948 : Fp_dblsqr(GEN x, GEN N)
    2970             : {
    2971     4525948 :   GEN z = shifti(Fp_sqr(x, N), 1);
    2972     4525948 :   return cmpii(z, N) >= 0? subii(z, N): z;
    2973             : }
    2974             : 
    2975             : typedef struct muldata {
    2976             :   GEN (*sqr)(void * E, GEN x);
    2977             :   GEN (*mul)(void * E, GEN x, GEN y);
    2978             :   GEN (*mul2)(void * E, GEN x);
    2979             : } muldata;
    2980             : 
    2981             : /* modified Barrett reduction with one fold */
    2982             : /* See Fast Modular Reduction, W. Hasenplaugh, G. Gaubatz, V. Gopal, ARITH 18 */
    2983             : 
    2984             : static GEN
    2985        9957 : Fp_invmBarrett(GEN p, long s)
    2986             : {
    2987        9957 :   GEN R, Q = dvmdii(int2n(3*s),p,&R);
    2988        9957 :   return mkvec2(Q,R);
    2989             : }
    2990             : 
    2991             : /* a <= (N-1)^2, 2^(2s-2) <= N < 2^(2s). Return 0 <= r < N such that
    2992             :  * a = r (mod N) */
    2993             : static GEN
    2994     4744824 : Fp_rem_mBarrett(GEN a, GEN B, long s, GEN N)
    2995             : {
    2996     4744824 :   pari_sp av = avma;
    2997     4744824 :   GEN P = gel(B, 1), Q = gel(B, 2); /* 2^(3s) = P N + Q, 0 <= Q < N */
    2998     4744824 :   long t = expi(P)+1; /* 2^(t-1) <= P < 2^t */
    2999     4744824 :   GEN u = shifti(a, -3*s), v = remi2n(a, 3*s); /* a = 2^(3s)u + v */
    3000     4744824 :   GEN A = addii(v, mulii(Q,u)); /* 0 <= A < 2^(3s+1) */
    3001     4744824 :   GEN q = shifti(mulii(shifti(A, t-3*s), P), -t); /* A/N - 4 < q <= A/N */
    3002     4744824 :   GEN r = subii(A, mulii(q, N));
    3003     4744824 :   GEN sr= subii(r,N);     /* 0 <= r < 4*N */
    3004     4744824 :   if (signe(sr)<0) return gerepileuptoint(av, r);
    3005     2842388 :   r=sr; sr = subii(r,N);  /* 0 <= r < 3*N */
    3006     2842388 :   if (signe(sr)<0) return gerepileuptoint(av, r);
    3007      123474 :   r=sr; sr = subii(r,N);  /* 0 <= r < 2*N */
    3008      123474 :   return gerepileuptoint(av, signe(sr)>=0 ? sr:r);
    3009             : }
    3010             : 
    3011             : /* Montgomery reduction */
    3012             : 
    3013             : INLINE ulong
    3014      325438 : init_montdata(GEN N) { return (ulong) -invmod2BIL(mod2BIL(N)); }
    3015             : 
    3016             : struct montred
    3017             : {
    3018             :   GEN N;
    3019             :   ulong inv;
    3020             : };
    3021             : 
    3022             : /* Montgomery reduction */
    3023             : static GEN
    3024    32761189 : _sqr_montred(void * E, GEN x)
    3025             : {
    3026    32761189 :   struct montred * D = (struct montred *) E;
    3027    32761189 :   return red_montgomery(sqri(x), D->N, D->inv);
    3028             : }
    3029             : 
    3030             : /* Montgomery reduction */
    3031             : static GEN
    3032     3133385 : _mul_montred(void * E, GEN x, GEN y)
    3033             : {
    3034     3133385 :   struct montred * D = (struct montred *) E;
    3035     3133385 :   return red_montgomery(mulii(x, y), D->N, D->inv);
    3036             : }
    3037             : 
    3038             : static GEN
    3039     5586926 : _mul2_montred(void * E, GEN x)
    3040             : {
    3041     5586926 :   struct montred * D = (struct montred *) E;
    3042     5586926 :   GEN z = shifti(_sqr_montred(E, x), 1);
    3043     5586923 :   long l = lgefint(D->N);
    3044     5586923 :   while (lgefint(z) > l) z = subii(z, D->N);
    3045     5586924 :   return z;
    3046             : }
    3047             : 
    3048             : static GEN
    3049    12964288 : _sqr_remii(void* N, GEN x)
    3050    12964288 : { return remii(sqri(x), (GEN) N); }
    3051             : 
    3052             : static GEN
    3053     1347469 : _mul_remii(void* N, GEN x, GEN y)
    3054     1347469 : { return remii(mulii(x, y), (GEN) N); }
    3055             : 
    3056             : static GEN
    3057     3299485 : _mul2_remii(void* N, GEN x)
    3058     3299485 : { return Fp_dblsqr(x, (GEN) N); }
    3059             : 
    3060             : struct redbarrett
    3061             : {
    3062             :   GEN iM, N;
    3063             :   long s;
    3064             : };
    3065             : 
    3066             : static GEN
    3067     4258621 : _sqr_remiibar(void *E, GEN x)
    3068             : {
    3069     4258621 :   struct redbarrett * D = (struct redbarrett *) E;
    3070     4258621 :   return Fp_rem_mBarrett(sqri(x), D->iM, D->s, D->N);
    3071             : }
    3072             : 
    3073             : static GEN
    3074      486203 : _mul_remiibar(void *E, GEN x, GEN y)
    3075             : {
    3076      486203 :   struct redbarrett * D = (struct redbarrett *) E;
    3077      486203 :   return Fp_rem_mBarrett(mulii(x, y), D->iM, D->s, D->N);
    3078             : }
    3079             : 
    3080             : static GEN
    3081     1226463 : _mul2_remiibar(void *E, GEN x)
    3082             : {
    3083     1226463 :   struct redbarrett * D = (struct redbarrett *) E;
    3084     1226463 :   return Fp_dblsqr(x, D->N);
    3085             : }
    3086             : 
    3087             : static long
    3088      423257 : Fp_select_red(GEN *y, ulong k, GEN N, long lN, muldata *D, void **pt_E)
    3089             : {
    3090      423257 :   if (lN >= Fp_POW_BARRETT_LIMIT && (k==0 || ((double)k)*expi(*y) > 2 + expi(N)))
    3091             :   {
    3092        9957 :     struct redbarrett * E = (struct redbarrett *) stack_malloc(sizeof(struct redbarrett));
    3093        9957 :     D->sqr = &_sqr_remiibar;
    3094        9957 :     D->mul = &_mul_remiibar;
    3095        9957 :     D->mul2 = &_mul2_remiibar;
    3096        9957 :     E->N = N;
    3097        9957 :     E->s = 1+(expi(N)>>1);
    3098        9957 :     E->iM = Fp_invmBarrett(N, E->s);
    3099        9957 :     *pt_E = (void*) E;
    3100        9957 :     return 0;
    3101             :   }
    3102      413300 :   else if (mod2(N) && lN < Fp_POW_REDC_LIMIT)
    3103             :   {
    3104      325440 :     struct montred * E = (struct montred *) stack_malloc(sizeof(struct montred));
    3105      325444 :     *y = remii(shifti(*y, bit_accuracy(lN)), N);
    3106      325440 :     D->sqr = &_sqr_montred;
    3107      325440 :     D->mul = &_mul_montred;
    3108      325440 :     D->mul2 = &_mul2_montred;
    3109      325440 :     E->N = N;
    3110      325440 :     E->inv = init_montdata(N);
    3111      325434 :     *pt_E = (void*) E;
    3112      325434 :     return 1;
    3113             :   }
    3114             :   else
    3115             :   {
    3116       87860 :     D->sqr = &_sqr_remii;
    3117       87860 :     D->mul = &_mul_remii;
    3118       87860 :     D->mul2 = &_mul2_remii;
    3119       87860 :     *pt_E = (void*) N;
    3120       87860 :     return 0;
    3121             :   }
    3122             : }
    3123             : 
    3124             : GEN
    3125      983152 : Fp_powu(GEN A, ulong k, GEN N)
    3126             : {
    3127      983152 :   long lN = lgefint(N), sA;
    3128             :   int base_is_2, use_montgomery;
    3129             :   muldata D;
    3130             :   void *E;
    3131             :   pari_sp av;
    3132             : 
    3133      983152 :   if (lN == 3) {
    3134       76530 :     ulong n = uel(N,2);
    3135       76530 :     return utoi( Fl_powu(umodiu(A, n), k, n) );
    3136             :   }
    3137      906622 :   if (k <= 2)
    3138             :   { /* frequent special cases */
    3139      621620 :     if (k == 2) return Fp_sqr(A,N);
    3140      170354 :     if (k == 1) return A;
    3141           0 :     if (k == 0) return gen_1;
    3142             :   }
    3143      285002 :   sA = signe(A)==-1 && odd(k);
    3144      285002 :   base_is_2 = 0;
    3145      285002 :   if (lgefint(A) == 3) switch(A[2])
    3146             :   {
    3147         495 :     case 1: return sA ? gen_m1 : gen_1;
    3148       37408 :     case 2:  base_is_2 = 1; break;
    3149             :   }
    3150             : 
    3151             :   /* TODO: Move this out of here and use for general modular computations */
    3152      284507 :   av = avma;
    3153      284507 :   use_montgomery = Fp_select_red(&A, k, N, lN, &D, &E);
    3154      284507 :   if (base_is_2)
    3155       37408 :     A = gen_powu_fold_i(A, k, E, D.sqr, D.mul2);
    3156             :   else
    3157      247099 :     A = gen_powu_i(A, k, E, D.sqr, D.mul);
    3158      284508 :   if (use_montgomery)
    3159             :   {
    3160      253364 :     A = red_montgomery(A, N, ((struct montred *) E)->inv);
    3161      253363 :     if (cmpii(A, N) >= 0) A = subii(A,N);
    3162      253363 :     if (sA) A = subii(N, A);
    3163             :   }
    3164      284507 :   return gerepileuptoint(av, A);
    3165             : }
    3166             : 
    3167             : GEN
    3168       21070 : Fp_pows(GEN A, long k, GEN N)
    3169             : {
    3170       21070 :   if (lgefint(N) == 3) {
    3171        7043 :     ulong n = N[2];
    3172        7043 :     ulong a = umodiu(A, n);
    3173        7043 :     if (k < 0) {
    3174          14 :       a = Fl_inv(a, n);
    3175          14 :       k = -k;
    3176             :     }
    3177        7043 :     return utoi( Fl_powu(a, (ulong)k, n) );
    3178             :   }
    3179       14027 :   if (k < 0) { A = Fp_inv(A, N); k = -k; };
    3180       14027 :   return Fp_powu(A, (ulong)k, N);
    3181             : }
    3182             : 
    3183             : /* A^K mod N */
    3184             : GEN
    3185    10935350 : Fp_pow(GEN A, GEN K, GEN N)
    3186             : {
    3187    10935350 :   pari_sp av = avma;
    3188    10935350 :   long t,s, lN = lgefint(N), sA;
    3189             :   int base_is_2, use_montgomery;
    3190             :   GEN y;
    3191             :   muldata D;
    3192             :   void *E;
    3193             : 
    3194    10935350 :   s = signe(K);
    3195    10935350 :   if (!s)
    3196             :   {
    3197      138426 :     t = signe(remii(A,N)); avma = av;
    3198      138426 :     return t? gen_1: gen_0;
    3199             :   }
    3200    10796924 :   if (lN == 3)
    3201             :   {
    3202    10500336 :     ulong k, n = N[2], a = umodiu(A, n);
    3203    10500336 :     if (s < 0) a = Fl_inv(a, n);
    3204    10500322 :     if (a <= 1) return utoi(a); /* 0 or 1 */
    3205     9730342 :     if (lgefint(K) > 3)
    3206             :     { /* silly case : huge exponent, small modulus */
    3207          21 :       pari_warn(warner, "Mod(a,b)^n with n >> b : wasteful");
    3208          21 :       if (s > 0)
    3209             :       {
    3210          14 :         ulong d = ugcd(a, n);
    3211          14 :         if (d != 1)
    3212             :         { /* write n = n1 n2, with n2 maximal such that (n1,a) = 1 */
    3213           7 :           ulong n1 = u_ppo(n, d), n2 = n/n1;
    3214             : 
    3215           7 :           k = umodiu(K, eulerphiu(n1));
    3216             :           /* CRT: = a^K (mod n1), = 0 (mod n2)*/
    3217           7 :           return utoi( Fl_mul(Fl_powu(a, k, n1), n2 * Fl_inv(n2,n1), n) );
    3218             :         }
    3219             :         /* gcd(a,n) = 1 */
    3220           7 :         k = umodiu(K, eulerphiu(n));
    3221             :       }
    3222             :       else
    3223           7 :         k = umodiu(negi(K), eulerphiu(n));
    3224             :     }
    3225             :     else
    3226     9730321 :       k = uel(K,2);
    3227     9730335 :     return utoi(Fl_powu(a, k, n));
    3228             :   }
    3229             : 
    3230      296588 :   if (s < 0) y = Fp_inv(A,N);
    3231             :   else
    3232             :   {
    3233      296209 :     y = modii(A,N);
    3234      296204 :     if (!signe(y)) { avma = av; return gen_0; }
    3235             :   }
    3236      296576 :   if (lgefint(K) == 3) return gerepileuptoint(av, Fp_powu(y, K[2], N));
    3237             : 
    3238      138811 :   base_is_2 = 0;
    3239      138811 :   sA = signe(y)==-1 && mod2(K);
    3240      138811 :   if (lgefint(y) == 3) switch(y[2])
    3241             :   {
    3242          61 :     case 1: return sA ? gen_m1 : gen_1;
    3243       90246 :     case 2:  base_is_2 = 1; break;
    3244             :   }
    3245             : 
    3246             :   /* TODO: Move this out of here and use for general modular computations */
    3247      138750 :   use_montgomery = Fp_select_red(&y, 0UL, N, lN, &D, &E);
    3248      138744 :   if (base_is_2)
    3249       90246 :     y = gen_pow_fold_i(y, K, E, D.sqr, D.mul2);
    3250             :   else
    3251       48498 :     y = gen_pow_i(y, K, E, D.sqr, D.mul);
    3252      138751 :   if (use_montgomery)
    3253             :   {
    3254       72078 :     y = red_montgomery(y, N, ((struct montred *) E)->inv);
    3255       72077 :     if (cmpii(y,N) >= 0) y = subii(y,N);
    3256       72079 :     if (sA) y = subii(N, y);
    3257             :   }
    3258      138752 :   return gerepileuptoint(av,y);
    3259             : }
    3260             : 
    3261             : static GEN
    3262     1301976 : _Fp_mul(void *E, GEN x, GEN y) { return Fp_mul(x,y,(GEN)E); }
    3263             : 
    3264             : static GEN
    3265         948 : _Fp_sqr(void *E, GEN x) { return Fp_sqr(x,(GEN)E); }
    3266             : 
    3267             : static GEN
    3268         104 : _Fp_one(void *E) { (void) E; return gen_1; }
    3269             : 
    3270             : GEN
    3271        1624 : Fp_powers(GEN x, long n, GEN p)
    3272             : {
    3273        1624 :   if (lgefint(p) == 3)
    3274        1520 :     return Flv_to_ZV(Fl_powers(umodiu(x, uel(p, 2)), n, uel(p, 2)));
    3275         104 :   return gen_powers(x, n, 1, (void*)p, _Fp_sqr, _Fp_mul, _Fp_one);
    3276             : }
    3277             : 
    3278             : static GEN
    3279     8196880 : _Fp_pow(void *E, GEN x, GEN n) { return Fp_pow(x,n,(GEN)E); }
    3280             : 
    3281             : static GEN
    3282         946 : _Fp_rand(void *E) { return addiu(randomi(subiu((GEN)E,1)),1); }
    3283             : 
    3284             : static GEN Fp_easylog(void *E, GEN a, GEN g, GEN ord);
    3285             : 
    3286             : static const struct bb_group Fp_star={_Fp_mul,_Fp_pow,_Fp_rand,hash_GEN,
    3287             :                                       equalii,equali1,Fp_easylog};
    3288             : 
    3289             : static GEN
    3290      971871 : _Fp_red(void *E, GEN x) { return Fp_red(x, (GEN)E); }
    3291             : 
    3292             : static GEN
    3293      997162 : _Fp_add(void *E, GEN x, GEN y) { (void) E; return addii(x,y); }
    3294             : 
    3295             : static GEN
    3296      107441 : _Fp_neg(void *E, GEN x) { (void) E; return negi(x); }
    3297             : 
    3298             : static GEN
    3299     1236143 : _Fp_rmul(void *E, GEN x, GEN y) { (void) E; return mulii(x,y); }
    3300             : 
    3301             : static GEN
    3302       18501 : _Fp_inv(void *E, GEN x) { return Fp_inv(x,(GEN)E); }
    3303             : 
    3304             : static int
    3305      521974 : _Fp_equal0(GEN x) { return signe(x)==0; }
    3306             : 
    3307             : static GEN
    3308       82036 : _Fp_s(void *E, long x) { (void) E; return stoi(x); }
    3309             : 
    3310             : static const struct bb_field Fp_field={_Fp_red,_Fp_add,_Fp_rmul,_Fp_neg,
    3311             :                                         _Fp_inv,_Fp_equal0,_Fp_s};
    3312             : 
    3313        4578 : const struct bb_field *get_Fp_field(void **E, GEN p)
    3314             : {
    3315        4578 :   *E = (void*)p; return &Fp_field;
    3316             : }
    3317             : 
    3318             : /*********************************************************************/
    3319             : /**                                                                 **/
    3320             : /**               ORDER of INTEGERMOD x  in  (Z/nZ)*                **/
    3321             : /**                                                                 **/
    3322             : /*********************************************************************/
    3323             : ulong
    3324        5341 : Fl_order(ulong a, ulong o, ulong p)
    3325             : {
    3326        5341 :   pari_sp av = avma;
    3327             :   GEN m, P, E;
    3328             :   long i;
    3329        5341 :   if (!o) o = p-1;
    3330        5341 :   m = factoru(o);
    3331        5341 :   P = gel(m,1);
    3332        5341 :   E = gel(m,2);
    3333       13412 :   for (i = lg(P)-1; i; i--)
    3334             :   {
    3335        8071 :     ulong j, l = P[i], e = E[i], t = o / upowuu(l,e), y = Fl_powu(a, t, p);
    3336        8071 :     if (y == 1) o = t;
    3337        7504 :     else for (j = 1; j < e; j++)
    3338             :     {
    3339        2303 :       y = Fl_powu(y, l, p);
    3340        2303 :       if (y == 1) { o = t *  upowuu(l, j); break; }
    3341             :     }
    3342             :   }
    3343        5341 :   avma = av; return o;
    3344             : }
    3345             : 
    3346             : /*Find the exact order of a assuming a^o==1*/
    3347             : GEN
    3348       10739 : Fp_order(GEN a, GEN o, GEN p) {
    3349       10739 :   if (lgefint(p) == 3 && (!o || typ(o) == t_INT))
    3350             :   {
    3351          21 :     ulong pp = p[2], oo = (o && lgefint(o)==3)? o[2]: pp-1;
    3352          21 :     return utoi( Fl_order(umodiu(a, pp), oo, pp) );
    3353             :   }
    3354       10718 :   return gen_order(a, o, (void*)p, &Fp_star);
    3355             : }
    3356             : GEN
    3357          56 : Fp_factored_order(GEN a, GEN o, GEN p)
    3358          56 : { return gen_factored_order(a, o, (void*)p, &Fp_star); }
    3359             : 
    3360             : /* return order of a mod p^e, e > 0, pe = p^e */
    3361             : static GEN
    3362          70 : Zp_order(GEN a, GEN p, long e, GEN pe)
    3363             : {
    3364             :   GEN ap, op;
    3365          70 :   if (absequaliu(p, 2))
    3366             :   {
    3367          56 :     if (e == 1) return gen_1;
    3368          56 :     if (e == 2) return mod4(a) == 1? gen_1: gen_2;
    3369          49 :     if (mod4(a) == 1)
    3370          14 :       op = gen_1;
    3371             :     else {
    3372          35 :       op = gen_2;
    3373          35 :       a = Fp_sqr(a, pe);
    3374             :     }
    3375             :   } else {
    3376          14 :     ap = (e == 1)? a: remii(a,p);
    3377          14 :     op = Fp_order(ap, subiu(p,1), p);
    3378          14 :     if (e == 1) return op;
    3379           0 :     a = Fp_pow(a, op, pe); /* 1 mod p */
    3380             :   }
    3381          49 :   if (equali1(a)) return op;
    3382           7 :   return mulii(op, powiu(p, e - Z_pval(subiu(a,1), p)));
    3383             : }
    3384             : 
    3385             : GEN
    3386          63 : znorder(GEN x, GEN o)
    3387             : {
    3388          63 :   pari_sp av = avma;
    3389             :   GEN b, a;
    3390             : 
    3391          63 :   if (typ(x) != t_INTMOD) pari_err_TYPE("znorder [t_INTMOD expected]",x);
    3392          56 :   b = gel(x,1); a = gel(x,2);
    3393          56 :   if (!equali1(gcdii(a,b))) pari_err_COPRIME("znorder", a,b);
    3394          49 :   if (!o)
    3395             :   {
    3396          35 :     GEN fa = Z_factor(b), P = gel(fa,1), E = gel(fa,2);
    3397          35 :     long i, l = lg(P);
    3398          35 :     o = gen_1;
    3399          70 :     for (i = 1; i < l; i++)
    3400             :     {
    3401          35 :       GEN p = gel(P,i);
    3402          35 :       long e = itos(gel(E,i));
    3403             : 
    3404          35 :       if (l == 2)
    3405          35 :         o = Zp_order(a, p, e, b);
    3406             :       else {
    3407           0 :         GEN pe = powiu(p,e);
    3408           0 :         o = lcmii(o, Zp_order(remii(a,pe), p, e, pe));
    3409             :       }
    3410             :     }
    3411          35 :     return gerepileuptoint(av, o);
    3412             :   }
    3413          14 :   return Fp_order(a, o, b);
    3414             : }
    3415             : GEN
    3416           0 : order(GEN x) { return znorder(x, NULL); }
    3417             : 
    3418             : /*********************************************************************/
    3419             : /**                                                                 **/
    3420             : /**               DISCRETE LOGARITHM  in  (Z/nZ)*                   **/
    3421             : /**                                                                 **/
    3422             : /*********************************************************************/
    3423             : static GEN
    3424       67189 : Fp_log_halfgcd(ulong bnd, GEN C, GEN g, GEN p)
    3425             : {
    3426       67189 :   pari_sp av = avma;
    3427             :   GEN h1, h2, F, G;
    3428       67189 :   if (!Fp_ratlift(g,p,C,shifti(C,-1),&h1,&h2)) return NULL;
    3429       40421 :   if ((F = Z_issmooth_fact(h1, bnd)) && (G = Z_issmooth_fact(h2, bnd)))
    3430             :   {
    3431         256 :     GEN M = cgetg(3, t_MAT);
    3432         256 :     gel(M,1) = vecsmall_concat(gel(F, 1),gel(G, 1));
    3433         256 :     gel(M,2) = vecsmall_concat(gel(F, 2),zv_neg_inplace(gel(G, 2)));
    3434         256 :     return gerepileupto(av, M);
    3435             :   }
    3436       40165 :   avma = av; return NULL;
    3437             : }
    3438             : 
    3439             : static GEN
    3440       67189 : Fp_log_find_rel(GEN b, ulong bnd, GEN C, GEN p, GEN *g, long *e)
    3441             : {
    3442             :   GEN rel;
    3443             :   do
    3444             :   {
    3445       67189 :     (*e)++; *g = Fp_mul(*g, b, p);
    3446       67189 :     rel = Fp_log_halfgcd(bnd, C, *g, p);
    3447       67189 :   } while (!rel);
    3448         256 :   return rel;
    3449             : }
    3450             : 
    3451             : struct Fp_log_rel
    3452             : {
    3453             :   GEN rel;
    3454             :   ulong prmax;
    3455             :   long nbrel, nbmax, nbgen;
    3456             : };
    3457             : 
    3458             : /* add u^e */
    3459             : static void
    3460        2583 : addifsmooth1(struct Fp_log_rel *r, GEN z, long u, long e)
    3461             : {
    3462        2583 :   pari_sp av = avma;
    3463        2583 :   long off = r->prmax+1;
    3464        2583 :   GEN F = cgetg(3, t_MAT);
    3465        2583 :   gel(F,1) = vecsmall_append(gel(z,1), off+u);
    3466        2583 :   gel(F,2) = vecsmall_append(gel(z,2), e);
    3467        2583 :   gel(r->rel,++r->nbrel) = gerepileupto(av, F);
    3468        2583 : }
    3469             : 
    3470             : /* add u^-1 v^-1 */
    3471             : static void
    3472       99869 : addifsmooth2(struct Fp_log_rel *r, GEN z, long u, long v)
    3473             : {
    3474       99869 :   pari_sp av = avma;
    3475       99869 :   long off = r->prmax+1;
    3476       99869 :   GEN P = mkvecsmall2(off+u,off+v), E = mkvecsmall2(-1,-1);
    3477       99869 :   GEN F = cgetg(3, t_MAT);
    3478       99869 :   gel(F,1) = vecsmall_concat(gel(z,1), P);
    3479       99869 :   gel(F,2) = vecsmall_concat(gel(z,2), E);
    3480       99869 :   gel(r->rel,++r->nbrel) = gerepileupto(av, F);
    3481       99869 : }
    3482             : 
    3483             : /*
    3484             : Let p=C^2+c
    3485             : Solve h = (C+x)*(C+a)-p = 0 [mod l]
    3486             : h= -c+x*(C+a)+C*a = 0  [mod l]
    3487             : x = (c-C*a)/(C+a) [mod l]
    3488             : h = -c+C*(x+a)+a*x
    3489             : */
    3490             : 
    3491             : GEN
    3492       39020 : Fp_log_sieve_worker(long a, long prmax, GEN C, GEN c, GEN Ci, GEN ci, GEN pi, GEN sz)
    3493             : {
    3494       39020 :   pari_sp ltop = avma;
    3495       39020 :   long th = expi(mulis(C,a)), n = lg(pi)-1;
    3496             :   long i, j;
    3497       39032 :   GEN sieve = zero_zv(a+2)+1;
    3498       39037 :   GEN L = cgetg(1+a+2, t_VEC);
    3499       39032 :   pari_sp av = avma;
    3500       39032 :   long rel = 1;
    3501             :   GEN z, h;
    3502       39032 :   h = addis(C,a);
    3503       39008 :   if ((z = Z_issmooth_fact(h, prmax)))
    3504             :   {
    3505        2415 :     gel(L, rel++) = mkvec2(z, mkvecsmall3(1, a, -1));
    3506        2414 :     av = avma;
    3507             :   }
    3508    17502744 :   for(i=1; i<=n; i++)
    3509             :   {
    3510    17463728 :     ulong li = pi[i], s = sz[i], al = a % li;
    3511    17463728 :     ulong u, iv = Fl_invsafe(Fl_add(Ci[i],al,li),li);
    3512    18053486 :     if (!iv) continue;
    3513    17445955 :     u = Fl_mul(Fl_sub(ci[i],Fl_mul(Ci[i],al,li),li), iv ,li);
    3514    79432853 :     for(j = u; j<=a; j+=li)
    3515    62480370 :       sieve[j] += s;
    3516             :   }
    3517       39016 :   th = th - expu(th)-1;
    3518    27910680 :   for(j=0; j<a; j++)
    3519    27871642 :     if (sieve[j]>=th)
    3520             :     {
    3521      114617 :       GEN h = addiu(subii(muliu(C,a+j),c), a*j);
    3522      111607 :       if ((z = Z_issmooth_fact(h, prmax)))
    3523             :       {
    3524      104953 :         gel(L, rel++) = mkvec2(z, mkvecsmall3(2, a, j));
    3525      104973 :         av = avma;
    3526        6660 :       } else avma = av;
    3527             :     }
    3528             :   /* j = a */
    3529       39038 :   if (sieve[a]>=th)
    3530             :   {
    3531         420 :     GEN h = addiu(subii(muliu(C,2*a),c), a*a);
    3532         420 :     if ((z = Z_issmooth_fact(h, prmax)))
    3533             :     {
    3534         343 :       gel(L, rel++) = mkvec2(z, mkvecsmall3(1, a, -2));
    3535         343 :       av = avma;
    3536             :     }
    3537             :   }
    3538       39038 :   setlg(L, rel);
    3539       39039 :   return gerepilecopy(ltop, L);
    3540             : }
    3541             : 
    3542             : static long
    3543          49 : Fp_log_sieve(struct Fp_log_rel *r, GEN C, GEN c, GEN Ci, GEN ci, GEN pi, GEN sz)
    3544             : {
    3545             :   struct pari_mt pt;
    3546          49 :   long i, j, nb = 0;
    3547          49 :   GEN worker = snm_closure(is_entry("_Fp_log_sieve_worker"),
    3548             :                mkvecn(7, utoi(r->prmax), C, c, Ci, ci, pi, sz));
    3549          49 :   long running, pending = 0;
    3550          49 :   GEN W = zerovec(r->nbgen);
    3551          49 :   mt_queue_start_lim(&pt, worker, r->nbgen);
    3552       39193 :   for (i = 0; (running = (i < r->nbgen)) || pending; i++)
    3553             :   {
    3554             :     GEN done;
    3555             :     long idx;
    3556       39144 :     mt_queue_submit(&pt, i, running ? mkvec(stoi(i)): NULL);
    3557       39144 :     done = mt_queue_get(&pt, &idx, &pending);
    3558       39144 :     if (!done || lg(done)==1) continue;
    3559       34146 :     gel(W, idx+1) = done;
    3560       34146 :     nb += lg(done)-1;
    3561       34146 :     if (DEBUGLEVEL && (i&127)==0)
    3562           0 :       err_printf("%ld%% ",100*nb/r->nbmax);
    3563             :   }
    3564          49 :   mt_queue_end(&pt);
    3565       37870 :   for(j = 1; j <= r->nbgen && r->nbrel < r->nbmax; j++)
    3566             :   {
    3567             :     long ll, m;
    3568       37821 :     GEN L = gel(W,j);
    3569       37821 :     if (isintzero(L)) continue;
    3570       32942 :     ll = lg(L);
    3571      135394 :     for (m=1; m<ll && r->nbrel < r->nbmax ; m++)
    3572             :     {
    3573      102452 :       GEN Lm = gel(L,m), h = gel(Lm, 1), v = gel(Lm, 2);
    3574      102452 :       if (v[1] == 1)
    3575        2583 :         addifsmooth1(r, h, v[2], v[3]);
    3576             :       else
    3577       99869 :         addifsmooth2(r, h, v[2], v[3]);
    3578             :     }
    3579             :   }
    3580          49 :   return j;
    3581             : }
    3582             : 
    3583             : static GEN
    3584         525 : ECP_psi(GEN x, GEN y)
    3585             : {
    3586         525 :   long prec = realprec(x);
    3587         525 :   GEN lx = glog(x, prec), ly = glog(y, prec);
    3588         525 :   GEN u = gdiv(lx, ly);
    3589         525 :   return gpow(u, gneg(u),prec);
    3590             : }
    3591             : 
    3592             : struct computeG
    3593             : {
    3594             :   GEN C;
    3595             :   long bnd, nbi;
    3596             : };
    3597             : 
    3598             : static GEN
    3599         525 : _computeG(void *E, GEN gen)
    3600             : {
    3601         525 :   struct computeG * d = (struct computeG *) E;
    3602         525 :   GEN ps = ECP_psi(gmul(gen,d->C), stoi(d->bnd));
    3603         525 :   return gsub(gmul(gsqr(gen),ps),gmul2n(gaddgs(gen,d->nbi),2));
    3604             : }
    3605             : 
    3606             : static long
    3607          49 : compute_nbgen(GEN C, long bnd, long nbi)
    3608             : {
    3609             :   struct computeG d;
    3610          49 :   d.C = shifti(C, 1);
    3611          49 :   d.bnd = bnd;
    3612          49 :   d.nbi = nbi;
    3613          49 :   return itos(ground(zbrent((void*)&d, _computeG, gen_2, stoi(bnd), DEFAULTPREC)));
    3614             : }
    3615             : 
    3616             : static GEN
    3617        1367 : _psi(void*E, GEN y)
    3618             : {
    3619        1367 :   GEN lx = (GEN) E;
    3620        1367 :   long prec = realprec(lx);
    3621        1367 :   GEN ly = glog(y, prec);
    3622        1367 :   GEN u = gdiv(lx, ly);
    3623        1367 :   return gsub(gdiv(y ,ly), gpow(u, u, prec));
    3624             : }
    3625             : 
    3626             : static GEN
    3627          49 : opt_param(GEN x, long prec)
    3628             : {
    3629          49 :   return zbrent((void*)glog(x,prec), _psi, gen_2, x, prec);
    3630             : }
    3631             : 
    3632             : static GEN
    3633          49 : check_kernel(long nbg, long N, long prmax, GEN C, GEN M, GEN p, GEN m)
    3634             : {
    3635          49 :   pari_sp av = avma;
    3636          49 :   long lM = lg(M)-1, nbcol = lM;
    3637             :   for (;;)
    3638             :   {
    3639          84 :     GEN K = FpMs_leftkernel_elt_col(M, nbcol, N, m);
    3640          84 :     long i, f=0;
    3641          84 :     long l = lg(K), lm = lgefint(m);
    3642          84 :     GEN idx = diviiexact(subiu(p,1),m), g;
    3643             :     pari_timer ti;
    3644          84 :     if (DEBUGLEVEL) timer_start(&ti);
    3645         140 :     for(i=1; i<l; i++)
    3646         140 :       if (signe(gel(K,i)))
    3647          84 :         break;
    3648          84 :     g = Fp_pow(utoi(i), idx, p);
    3649          84 :     K = FpC_Fp_mul(K, Fp_inv(gel(K,i), m), m);
    3650      130438 :     for(i=1; i<l; i++)
    3651             :     {
    3652      130354 :       GEN k = gel(K,i);
    3653      130354 :       GEN j = i<=prmax ? utoi(i): addis(C,i-(prmax+1));
    3654      130354 :       if (signe(k)==0 || !equalii(Fp_pow(g, k, p),
    3655             :             Fp_pow(j, idx, p)))
    3656       80542 :         gel(K,i) = cgetineg(lm);
    3657             :       else
    3658       49812 :         f++;
    3659             :     }
    3660          84 :     if (DEBUGLEVEL) timer_printf(&ti,"found %ld logs", f);
    3661         133 :     if(f > (nbg>>1)) return gerepileupto(av, K);
    3662        9877 :     for(i=1; i<=nbcol; i++)
    3663             :     {
    3664        9842 :       long a = 1+random_Fl(lM);
    3665        9842 :       swap(gel(M,a),gel(M,i));
    3666             :     }
    3667          35 :     if (4*nbcol>5*nbg) nbcol = nbcol*9/10;
    3668          35 :   }
    3669             : }
    3670             : 
    3671             : static GEN
    3672          98 : Fp_log_find_ind(GEN a, GEN K, long prmax, GEN C, GEN p, GEN m)
    3673             : {
    3674          98 :   pari_sp av=avma;
    3675          98 :   GEN aa = gen_1;
    3676          98 :   long AV = 0;
    3677             :   for(;;)
    3678             :   {
    3679         256 :     GEN A = Fp_log_find_rel(a, prmax, C, p, &aa, &AV);
    3680         256 :     GEN F = gel(A,1), E = gel(A,2);
    3681         256 :     GEN Ao = gen_0;
    3682         256 :     long i, l = lg(F);
    3683        1304 :     for(i=1; i<l; i++)
    3684             :     {
    3685        1206 :       GEN Ki = gel(K,F[i]);
    3686        1206 :       if (signe(Ki)<0) break;
    3687        1048 :       Ao = addii(Ao, mulis(Ki, E[i]));
    3688             :     }
    3689         354 :     if (i==l) return Fp_div(Ao, utoi(AV), m);
    3690         158 :     aa = gerepileuptoint(av, aa);
    3691         158 :   }
    3692             : }
    3693             : 
    3694             : static GEN
    3695          49 : Fp_log_index(GEN a, GEN b, GEN m, GEN p)
    3696             : {
    3697          49 :   pari_sp av = avma, av2;
    3698          49 :   long i, j, nbi, nbr = 0, nbrow, nbg;
    3699             :   GEN C, c, Ci, ci, pi, pr, sz, l, Ao, Bo, K, d, p_1;
    3700             :   pari_timer ti;
    3701             :   struct Fp_log_rel r;
    3702          49 :   ulong bnds = itou(roundr_safe(opt_param(sqrti(p),DEFAULTPREC)));
    3703          49 :   ulong bnd = 4*bnds;
    3704          49 :   if (!bnds || cmpii(sqru(bnds),m)>=0) return NULL;
    3705             : 
    3706          49 :   p_1 = subiu(p,1);
    3707          49 :   if (!is_pm1(gcdii(m,diviiexact(p_1,m))))
    3708           0 :     m = diviiexact(p_1, Z_ppo(p_1, m));
    3709          49 :   pr = primes_upto_zv(bnd);
    3710          49 :   nbi = lg(pr)-1;
    3711          49 :   C = sqrtremi(p, &c);
    3712          49 :   av2 = avma;
    3713       12236 :   for (i = 1; i <= nbi; ++i)
    3714             :   {
    3715       12187 :     ulong lp = pr[i];
    3716       37793 :     while (lp <= bnd)
    3717             :     {
    3718       13419 :       nbr++;
    3719       13419 :       lp *= pr[i];
    3720             :     }
    3721             :   }
    3722          49 :   pi = cgetg(nbr+1,t_VECSMALL);
    3723          49 :   Ci = cgetg(nbr+1,t_VECSMALL);
    3724          49 :   ci = cgetg(nbr+1,t_VECSMALL);
    3725          49 :   sz = cgetg(nbr+1,t_VECSMALL);
    3726       12236 :   for (i = 1, j = 1; i <= nbi; ++i)
    3727             :   {
    3728       12187 :     ulong lp = pr[i], sp = expu(2*lp-1);
    3729       37793 :     while (lp <= bnd)
    3730             :     {
    3731       13419 :       pi[j] = lp;
    3732       13419 :       Ci[j] = umodiu(C, lp);
    3733       13419 :       ci[j] = umodiu(c, lp);
    3734       13419 :       sz[j] = sp;
    3735       13419 :       lp *= pr[i];
    3736       13419 :       j++;
    3737             :     }
    3738             :   }
    3739          49 :   r.nbrel = 0;
    3740          49 :   r.nbgen = compute_nbgen(C, bnd, nbi);
    3741          49 :   r.nbmax = 2*(nbi+r.nbgen);
    3742          49 :   r.rel = cgetg(r.nbmax+1,t_VEC);
    3743          49 :   r.prmax = pr[nbi];
    3744          49 :   if (DEBUGLEVEL)
    3745             :   {
    3746           0 :     err_printf("bnd=%lu Size FB=%ld extra gen=%ld \n", bnd, nbi, r.nbgen);
    3747           0 :     timer_start(&ti);
    3748             :   }
    3749          49 :   nbg = Fp_log_sieve(&r, C, c, Ci, ci, pi, sz);
    3750          49 :   nbrow = r.prmax + nbg;
    3751          49 :   if (DEBUGLEVEL)
    3752             :   {
    3753           0 :     err_printf("\n");
    3754           0 :     timer_printf(&ti," %ld relations, %ld generators", r.nbrel, nbi+nbg);
    3755             :   }
    3756          49 :   setlg(r.rel,r.nbrel+1);
    3757          49 :   r.rel = gerepilecopy(av2, r.rel);
    3758          49 :   K = check_kernel(nbi+nbrow-r.prmax, nbrow, r.prmax, C, r.rel, p, m);
    3759          49 :   if (DEBUGLEVEL) timer_start(&ti);
    3760          49 :   Ao = Fp_log_find_ind(a, K, r.prmax, C, p, m);
    3761          49 :   if (DEBUGLEVEL) timer_printf(&ti," log element");
    3762          49 :   Bo = Fp_log_find_ind(b, K, r.prmax, C, p, m);
    3763          49 :   if (DEBUGLEVEL) timer_printf(&ti," log generator");
    3764          49 :   d = gcdii(Ao,Bo);
    3765          49 :   l = Fp_div(diviiexact(Ao, d) ,diviiexact(Bo, d), m);
    3766          49 :   if (!equalii(a,Fp_pow(b,l,p))) pari_err_BUG("Fp_log_index");
    3767          49 :   return gerepileuptoint(av, l);
    3768             : }
    3769             : 
    3770             : static int
    3771     1807805 : Fp_log_use_index(long e, long p)
    3772             : {
    3773     1807805 :   return (e >= 27 && 20*(p+6)<=e*e);
    3774             : }
    3775             : 
    3776             : /* Trivial cases a = 1, -1. Return x s.t. g^x = a or [] if no such x exist */
    3777             : static GEN
    3778     2885731 : Fp_easylog(void *E, GEN a, GEN g, GEN ord)
    3779             : {
    3780     2885731 :   pari_sp av = avma;
    3781     2885731 :   GEN p = (GEN)E;
    3782             :   /* assume a reduced mod p, p not necessarily prime */
    3783     2885731 :   if (equali1(a)) return gen_0;
    3784             :   /* p > 2 */
    3785     1798288 :   if (equalii(subiu(p,1), a))  /* -1 */
    3786             :   {
    3787             :     pari_sp av2;
    3788             :     GEN t;
    3789      571828 :     ord = get_arith_Z(ord);
    3790      571828 :     if (mpodd(ord)) { avma = av; return cgetg(1, t_VEC); } /* no solution */
    3791      571814 :     t = shifti(ord,-1); /* only possible solution */
    3792      571814 :     av2 = avma;
    3793      571814 :     if (!equalii(Fp_pow(g, t, p), a)) { avma = av; return cgetg(1, t_VEC); }
    3794      571632 :     avma = av2; return gerepileuptoint(av, t);
    3795             :   }
    3796     1226460 :   if (typ(ord)==t_INT && BPSW_psp(p) && Fp_log_use_index(expi(ord),expi(p)))
    3797          49 :     return Fp_log_index(a, g, ord, p);
    3798     1226411 :   avma = av; return NULL; /* not easy */
    3799             : }
    3800             : 
    3801             : GEN
    3802     1707967 : Fp_log(GEN a, GEN g, GEN ord, GEN p)
    3803             : {
    3804     1707967 :   GEN v = get_arith_ZZM(ord);
    3805     1707939 :   GEN F = gmael(v,2,1);
    3806     1707939 :   long lF = lg(F)-1, lmax;
    3807     1707939 :   if (lF == 0) return equali1(a)? gen_0: cgetg(1, t_VEC);
    3808     1591748 :   lmax = expi(gel(F,lF));
    3809     1591748 :   if (BPSW_psp(p) && Fp_log_use_index(lmax,expi(p)))
    3810          49 :     v = mkvec2(gel(v,1),ZM_famat_limit(gel(v,2),int2n(27)));
    3811     1591748 :   return gen_PH_log(a,g,v,(void*)p,&Fp_star);
    3812             : }
    3813             : 
    3814             : /* find x such that h = g^x mod N > 1, N = prod_{i <= l} P[i]^E[i], P[i] prime.
    3815             :  * PHI[l] = eulerphi(N / P[l]^E[l]).   Destroys P/E */
    3816             : static GEN
    3817         112 : znlog_rec(GEN h, GEN g, GEN N, GEN P, GEN E, GEN PHI)
    3818             : {
    3819         112 :   long l = lg(P) - 1, e = E[l];
    3820         112 :   GEN p = gel(P, l), phi = gel(PHI,l), pe = e == 1? p: powiu(p, e);
    3821             :   GEN a,b, hp,gp, hpe,gpe, ogpe; /* = order(g mod p^e) | p^(e-1)(p-1) */
    3822             : 
    3823         112 :   if (l == 1) {
    3824          84 :     hpe = h;
    3825          84 :     gpe = g;
    3826             :   } else {
    3827          28 :     hpe = modii(h, pe);
    3828          28 :     gpe = modii(g, pe);
    3829             :   }
    3830         112 :   if (e == 1) {
    3831          28 :     hp = hpe;
    3832          28 :     gp = gpe;
    3833             :   } else {
    3834          84 :     hp = remii(hpe, p);
    3835          84 :     gp = remii(gpe, p);
    3836             :   }
    3837         112 :   if (hp == gen_0 || gp == gen_0) return NULL;
    3838          91 :   if (absequaliu(p, 2))
    3839             :   {
    3840          35 :     GEN n = int2n(e);
    3841          35 :     ogpe = Zp_order(gpe, gen_2, e, n);
    3842          35 :     a = Fp_log(hpe, gpe, ogpe, n);
    3843          35 :     if (typ(a) != t_INT) return NULL;
    3844             :   }
    3845             :   else
    3846             :   { /* Avoid black box groups: (Z/p^2)^* / (Z/p)^* ~ (Z/pZ, +), where DL
    3847             :        is trivial */
    3848             :     /* [order(gp), factor(order(gp))] */
    3849          56 :     GEN v = Fp_factored_order(gp, subiu(p,1), p);
    3850          56 :     GEN ogp = gel(v,1);
    3851          56 :     if (!equali1(Fp_pow(hp, ogp, p))) return NULL;
    3852          56 :     a = Fp_log(hp, gp, v, p);
    3853          56 :     if (typ(a) != t_INT) return NULL;
    3854          56 :     if (e == 1) ogpe = ogp;
    3855             :     else
    3856             :     { /* find a s.t. g^a = h (mod p^e), p odd prime, e > 0, (h,p) = 1 */
    3857             :       /* use p-adic log: O(log p + e) mul*/
    3858             :       long vpogpe, vpohpe;
    3859             : 
    3860          28 :       hpe = Fp_mul(hpe, Fp_pow(gpe, negi(a), pe), pe);
    3861          28 :       gpe = Fp_pow(gpe, ogp, pe);
    3862             :       /* g,h = 1 mod p; compute b s.t. h = g^b */
    3863             : 
    3864             :       /* v_p(order g mod pe) */
    3865          28 :       vpogpe = equali1(gpe)? 0: e - Z_pval(subiu(gpe,1), p);
    3866             :       /* v_p(order h mod pe) */
    3867          28 :       vpohpe = equali1(hpe)? 0: e - Z_pval(subiu(hpe,1), p);
    3868          28 :       if (vpohpe > vpogpe) return NULL;
    3869             : 
    3870          28 :       ogpe = mulii(ogp, powiu(p, vpogpe)); /* order g mod p^e */
    3871          28 :       if (is_pm1(gpe)) return is_pm1(hpe)? a: NULL;
    3872          28 :       b = gdiv(Qp_log(cvtop(hpe, p, e)), Qp_log(cvtop(gpe, p, e)));
    3873          28 :       a = addii(a, mulii(ogp, padic_to_Q(b)));
    3874             :     }
    3875             :   }
    3876             :   /* gp^a = hp => x = a mod ogpe => generalized Pohlig-Hellman strategy */
    3877          77 :   if (l == 1) return a;
    3878             : 
    3879          28 :   N = diviiexact(N, pe); /* make N coprime to p */
    3880          28 :   h = Fp_mul(h, Fp_pow(g, modii(negi(a), phi), N), N);
    3881          28 :   g = Fp_pow(g, modii(ogpe, phi), N);
    3882          28 :   setlg(P, l); /* remove last element */
    3883          28 :   setlg(E, l);
    3884          28 :   b = znlog_rec(h, g, N, P, E, PHI);
    3885          28 :   if (!b) return NULL;
    3886          28 :   return addmulii(a, b, ogpe);
    3887             : }
    3888             : 
    3889             : static GEN
    3890          84 : get_PHI(GEN P, GEN E)
    3891             : {
    3892          84 :   long i, l = lg(P);
    3893          84 :   GEN PHI = cgetg(l, t_VEC);
    3894          84 :   gel(PHI,1) = gen_1;
    3895         112 :   for (i=1; i<l-1; i++)
    3896             :   {
    3897          28 :     GEN t, p = gel(P,i);
    3898          28 :     long e = E[i];
    3899          28 :     t = mulii(powiu(p, e-1), subiu(p,1));
    3900          28 :     if (i > 1) t = mulii(t, gel(PHI,i));
    3901          28 :     gel(PHI,i+1) = t;
    3902             :   }
    3903          84 :   return PHI;
    3904             : }
    3905             : 
    3906             : GEN
    3907         224 : znlog(GEN h, GEN g, GEN o)
    3908             : {
    3909         224 :   pari_sp av = avma;
    3910             :   GEN N, fa, P, E, x;
    3911         224 :   switch (typ(g))
    3912             :   {
    3913             :     case t_PADIC:
    3914             :     {
    3915          28 :       GEN p = gel(g,2);
    3916          28 :       long v = valp(g);
    3917          28 :       if (v < 0) pari_err_DIM("znlog");
    3918          28 :       if (v > 0) {
    3919           0 :         long k = gvaluation(h, p);
    3920           0 :         if (k % v) return cgetg(1,t_VEC);
    3921           0 :         k /= v;
    3922           0 :         if (!gequal(h, gpowgs(g,k))) { avma = av; return cgetg(1,t_VEC); }
    3923           0 :         avma = av; return stoi(k);
    3924             :       }
    3925          28 :       N = gel(g,3);
    3926          28 :       g = Rg_to_Fp(g, N);
    3927          28 :       break;
    3928             :     }
    3929             :     case t_INTMOD:
    3930         189 :       N = gel(g,1);
    3931         189 :       g = gel(g,2); break;
    3932           7 :     default: pari_err_TYPE("znlog", g);
    3933             :       return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
    3934             :   }
    3935         217 :   if (equali1(N)) { avma = av; return gen_0; }
    3936         217 :   h = Rg_to_Fp(h, N);
    3937         210 :   if (o) return gerepileupto(av, Fp_log(h, g, o, N));
    3938          84 :   fa = Z_factor(N);
    3939          84 :   P = gel(fa,1);
    3940          84 :   E = vec_to_vecsmall(gel(fa,2));
    3941          84 :   x = znlog_rec(h, g, N, P, E, get_PHI(P,E));
    3942          84 :   if (!x) { avma = av; return cgetg(1,t_VEC); }
    3943          49 :   return gerepileuptoint(av, x);
    3944             : }
    3945             : 
    3946             : GEN
    3947       63491 : Fp_sqrtn(GEN a, GEN n, GEN p, GEN *zeta)
    3948             : {
    3949       63491 :   a = modii(a,p);
    3950       63491 :   if (!signe(a))
    3951             :   {
    3952       48118 :     if (zeta) *zeta = gen_1;
    3953       48118 :     if (signe(n) < 0) pari_err_INV("Fp_sqrtn", mkintmod(gen_0,p));
    3954       48111 :     return gen_0;
    3955             :   }
    3956       15373 :   if (absequaliu(n,2))
    3957             :   {
    3958        2282 :     if (zeta) *zeta = subiu(p,1);
    3959        2282 :     return Fp_sqrt(a,p);
    3960             :   }
    3961       13091 :   return gen_Shanks_sqrtn(a,n,subiu(p,1),zeta,(void*)p,&Fp_star);
    3962             : }
    3963             : 
    3964             : /*********************************************************************/
    3965             : /**                                                                 **/
    3966             : /**                    FUNDAMENTAL DISCRIMINANTS                    **/
    3967             : /**                                                                 **/
    3968             : /*********************************************************************/
    3969             : static int
    3970        1407 : fa_isfundamental(GEN F)
    3971             : {
    3972        1407 :   GEN P = gel(F,1), E = gel(F,2);
    3973        1407 :   long i, s, l = lg(P);
    3974             : 
    3975        1407 :   if (l == 1) return 1;
    3976        1400 :   s = signe(gel(P,1)); /* = signe(x) */
    3977        1400 :   if (!s) return 0;
    3978        1393 :   if (s < 0) { l--; P = vecslice(P,2,l); E = vecslice(E,2,l); }
    3979        1393 :   if (l == 1) return 0;
    3980        1386 :   if (!absequaliu(gel(P,1), 2))
    3981         686 :     i = 1; /* need x = 1 mod 4 */
    3982             :   else
    3983             :   {
    3984         700 :     i = 2;
    3985         700 :     switch(itou(gel(E,1)))
    3986             :     {
    3987         182 :       case 2: s = -s; break; /* need x/4 = 3 mod 4 */
    3988          84 :       case 3: s = 0; break; /* no condition mod 4 */
    3989         434 :       default: return 0;
    3990             :     }
    3991             :   }
    3992        1974 :   for(; i < l; i++)
    3993             :   {
    3994        1190 :     if (!equali1(gel(E,i))) return 0;
    3995        1022 :     if (s && Mod4(gel(P,i)) == 3) s = -s;
    3996             :   }
    3997         784 :   return s >= 0;
    3998             : }
    3999             : long
    4000       17185 : isfundamental(GEN x)
    4001             : {
    4002       17185 :   if (typ(x) != t_INT)
    4003             :   {
    4004        1407 :     pari_sp av = avma;
    4005        1407 :     int v = fa_isfundamental(check_arith_all(x,"isfundamental"));
    4006        1407 :     avma = av; return v;
    4007             :   }
    4008       15778 :   return Z_isfundamental(x);
    4009             : }
    4010             : 
    4011             : /* x fundamental ? */
    4012             : long
    4013       10240 : uposisfundamental(ulong x)
    4014             : {
    4015       10240 :   ulong r = x & 15; /* x mod 16 */
    4016       10240 :   if (!r) return 0;
    4017        9666 :   switch(r & 3)
    4018             :   { /* x mod 4 */
    4019        1870 :     case 0: return (r == 4)? 0: uissquarefree(x >> 2);
    4020        3018 :     case 1: return uissquarefree(x);
    4021        4778 :     default: return 0;
    4022             :   }
    4023             : }
    4024             : /* -x fundamental ? */
    4025             : long
    4026       21043 : unegisfundamental(ulong x)
    4027             : {
    4028       21043 :   ulong r = x & 15; /* x mod 16 */
    4029       21043 :   if (!r) return 0;
    4030       20042 :   switch(r & 3)
    4031             :   { /* x mod 4 */
    4032        3578 :     case 0: return (r == 12)? 0: uissquarefree(x >> 2);
    4033        9460 :     case 3: return uissquarefree(x);
    4034        7004 :     default: return 0;
    4035             :   }
    4036             : }
    4037             : long
    4038       10451 : sisfundamental(long x)
    4039       10451 : { return x < 0? unegisfundamental((ulong)(-x)): uposisfundamental(x); }
    4040             : 
    4041             : long
    4042       16338 : Z_isfundamental(GEN x)
    4043             : {
    4044             :   long r;
    4045       16338 :   switch(lgefint(x))
    4046             :   {
    4047           7 :     case 2: return 0;
    4048       35908 :     case 3: return signe(x) < 0? unegisfundamental(x[2])
    4049       21587 :                                : uposisfundamental(x[2]);
    4050             :   }
    4051        2010 :   r = mod16(x);
    4052        2010 :   if (!r) return 0;
    4053        1884 :   if ((r & 3) == 0)
    4054             :   {
    4055             :     pari_sp av;
    4056         376 :     r >>= 2; /* |x|/4 mod 4 */
    4057         376 :     if (signe(x) < 0) r = 4-r;
    4058         376 :     if (r == 1) return 0;
    4059         250 :     av = avma;
    4060         250 :     r = Z_issquarefree( shifti(x,-2) );
    4061         250 :     avma = av; return r;
    4062             :   }
    4063        1508 :   r &= 3; /* |x| mod 4 */
    4064        1508 :   if (signe(x) < 0) r = 4-r;
    4065        1508 :   return (r==1) ? Z_issquarefree(x) : 0;
    4066             : }
    4067             : 
    4068             : GEN
    4069           7 : quaddisc(GEN x)
    4070             : {
    4071           7 :   const pari_sp av = avma;
    4072           7 :   long i,r,tx=typ(x);
    4073             :   GEN P,E,f,s;
    4074             : 
    4075           7 :   if (!is_rational_t(tx)) pari_err_TYPE("quaddisc",x);
    4076           7 :   f = factor(x);
    4077           7 :   P = gel(f,1);
    4078           7 :   E = gel(f,2); s = gen_1;
    4079          35 :   for (i=1; i<lg(P); i++)
    4080          28 :     if (odd(mael(E,i,2))) s = mulii(s,gel(P,i));
    4081           7 :   r = mod4(s); if (gsigne(x) < 0) r = 4-r;
    4082           7 :   if (r>1) s = shifti(s,2);
    4083           7 :   return gerepileuptoint(av, s);
    4084             : }
    4085             : 
    4086             : /*********************************************************************/
    4087             : /**                                                                 **/
    4088             : /**                              FACTORIAL                          **/
    4089             : /**                                                                 **/
    4090             : /*********************************************************************/
    4091             : /* return a * (a+1) * ... * b. Assume a <= b  [ note: factoring out powers of 2
    4092             :  * first is slower ... ] */
    4093             : GEN
    4094      983921 : mulu_interval(ulong a, ulong b)
    4095             : {
    4096      983921 :   pari_sp av = avma;
    4097             :   ulong k, l, N, n;
    4098             :   long lx;
    4099             :   GEN x;
    4100             : 
    4101      983921 :   if (!a) return gen_0;
    4102      983921 :   n = b - a + 1;
    4103      983921 :   if (n < 61)
    4104             :   {
    4105      975153 :     x = utoi(a);
    4106      975158 :     for (k=a+1; k<=b; k++) x = mului(k,x);
    4107      975158 :     return gerepileuptoint(av, x);
    4108             :   }
    4109        8768 :   lx = 1; x = cgetg(2 + n/2, t_VEC);
    4110        8768 :   N = b + a;
    4111     1007781 :   for (k = a;; k++)
    4112             :   {
    4113     1007781 :     l = N - k; if (l <= k) break;
    4114      999013 :     gel(x,lx++) = muluu(k,l);
    4115      999013 :   }
    4116        8768 :   if (l == k) gel(x,lx++) = utoipos(k);
    4117        8768 :   setlg(x, lx);
    4118        8768 :   return gerepileuptoint(av, ZV_prod(x));
    4119             : }
    4120             : GEN
    4121         448 : muls_interval(long a, long b)
    4122             : {
    4123         448 :   pari_sp av = avma;
    4124         448 :   long lx, k, l, N, n = b - a + 1;
    4125             :   GEN x;
    4126             : 
    4127         448 :   if (a <= 0 && b >= 0) return gen_0;
    4128         287 :   if (n < 61)
    4129             :   {
    4130         287 :     x = stoi(a);
    4131         287 :     for (k=a+1; k<=b; k++) x = mulsi(k,x);
    4132         287 :     return gerepileuptoint(av, x);
    4133             :   }
    4134           0 :   lx = 1; x = cgetg(2 + n/2, t_VEC);
    4135           0 :   N = b + a;
    4136           0 :   for (k = a;; k++)
    4137             :   {
    4138           0 :     l = N - k; if (l <= k) break;
    4139           0 :     gel(x,lx++) = mulss(k,l);
    4140           0 :   }
    4141           0 :   if (l == k) gel(x,lx++) = stoi(k);
    4142           0 :   setlg(x, lx);
    4143           0 :   return gerepileuptoint(av, ZV_prod(x));
    4144             : }
    4145             : 
    4146             : GEN
    4147     2333859 : mpfact(long n)
    4148             : {
    4149     2333859 :   if (n < 2)
    4150             :   {
    4151     1470338 :     if (n < 0) pari_err_DOMAIN("factorial", "argument","<",gen_0,stoi(n));
    4152     1470338 :     return gen_1;
    4153             :   }
    4154      863521 :   return mulu_interval(2UL, (ulong)n);
    4155             : }
    4156             : 
    4157             : /*******************************************************************/
    4158             : /**                                                               **/
    4159             : /**                      LUCAS & FIBONACCI                        **/
    4160             : /**                                                               **/
    4161             : /*******************************************************************/
    4162             : static void
    4163          56 : lucas(ulong n, GEN *a, GEN *b)
    4164             : {
    4165             :   GEN z, t, zt;
    4166         112 :   if (!n) { *a = gen_2; *b = gen_1; return; }
    4167          49 :   lucas(n >> 1, &z, &t); zt = mulii(z, t);
    4168          49 :   switch(n & 3) {
    4169          14 :     case  0: *a = subiu(sqri(z),2); *b = subiu(zt,1); break;
    4170          14 :     case  1: *a = subiu(zt,1);      *b = addiu(sqri(t),2); break;
    4171           7 :     case  2: *a = addiu(sqri(z),2); *b = addiu(zt,1); break;
    4172          14 :     case  3: *a = addiu(zt,1);      *b = subiu(sqri(t),2);
    4173             :   }
    4174             : }
    4175             : 
    4176             : GEN
    4177           7 : fibo(long n)
    4178             : {
    4179           7 :   pari_sp av = avma;
    4180             :   GEN a, b;
    4181           7 :   if (!n) return gen_0;
    4182           7 :   lucas((ulong)(labs(n)-1), &a, &b);
    4183           7 :   a = diviuexact(addii(shifti(a,1),b), 5);
    4184           7 :   if (n < 0 && !odd(n)) setsigne(a, -1);
    4185           7 :   return gerepileuptoint(av, a);
    4186             : }
    4187             : 
    4188             : /*******************************************************************/
    4189             : /*                                                                 */
    4190             : /*                      CONTINUED FRACTIONS                        */
    4191             : /*                                                                 */
    4192             : /*******************************************************************/
    4193             : static GEN
    4194      359403 : icopy_lg(GEN x, long l)
    4195             : {
    4196      359403 :   long lx = lgefint(x);
    4197             :   GEN y;
    4198             : 
    4199      359403 :   if (lx >= l) return icopy(x);
    4200          35 :   y = cgeti(l); affii(x, y); return y;
    4201             : }
    4202             : 
    4203             : /* continued fraction of a/b. If y != NULL, stop when partial quotients
    4204             :  * differ from y */
    4205             : static GEN
    4206      359692 : Qsfcont(GEN a, GEN b, GEN y, ulong k)
    4207             : {
    4208             :   GEN  z, c;
    4209      359692 :   ulong i, l, ly = lgefint(b);
    4210             : 
    4211             :   /* times 1 / log2( (1+sqrt(5)) / 2 )  */
    4212      359692 :   l = (ulong)(3 + bit_accuracy_mul(ly, 1.44042009041256));
    4213      359692 :   if (k > 0 && k+1 > 0 && l > k+1) l = k+1; /* beware overflow */
    4214      359692 :   if (l > LGBITS) l = LGBITS;
    4215             : 
    4216      359692 :   z = cgetg(l,t_VEC);
    4217      359692 :   l--;
    4218      359692 :   if (y) {
    4219         289 :     pari_sp av = avma;
    4220         289 :     if (l >= (ulong)lg(y)) l = lg(y)-1;
    4221       19467 :     for (i = 1; i <= l; i++)
    4222             :     {
    4223       19289 :       GEN q = gel(y,i);
    4224       19289 :       gel(z,i) = q;
    4225       19289 :       c = b; if (!gequal1(q)) c = mulii(q, b);
    4226       19289 :       c = subii(a, c);
    4227       19289 :       if (signe(c) < 0)
    4228             :       { /* partial quotient too large */
    4229         110 :         c = addii(c, b);
    4230         110 :         if (signe(c) >= 0) i++; /* by 1 */
    4231         110 :         break;
    4232             :       }
    4233       19179 :       if (cmpii(c, b) >= 0)
    4234             :       { /* partial quotient too small */
    4235           1 :         c = subii(c, b);
    4236           1 :         if (cmpii(c, b) < 0) {
    4237             :           /* by 1. If next quotient is 1 in y, add 1 */
    4238           0 :           if (i < l && equali1(gel(y,i+1))) gel(z,i) = addiu(q,1);
    4239           0 :           i++;
    4240             :         }
    4241           1 :         break;
    4242             :       }
    4243       19178 :       if ((i & 0xff) == 0) gerepileall(av, 2, &b, &c);
    4244       19178 :       a = b; b = c;
    4245             :     }
    4246             :   } else {
    4247      359403 :     a = icopy_lg(a, ly);
    4248      359403 :     b = icopy(b);
    4249     1255197 :     for (i = 1; i <= l; i++)
    4250             :     {
    4251     1254933 :       gel(z,i) = truedvmdii(a,b,&c);
    4252     1254933 :       if (c == gen_0) { i++; break; }
    4253      895794 :       affii(c, a); cgiv(c); c = a;
    4254      895794 :       a = b; b = c;
    4255             :     }
    4256             :   }
    4257      359692 :   i--;
    4258      359692 :   if (i > 1 && gequal1(gel(z,i)))
    4259             :   {
    4260          85 :     cgiv(gel(z,i)); --i;
    4261          85 :     gel(z,i) = addui(1, gel(z,i)); /* unclean: leave old z[i] on stack */
    4262             :   }
    4263      359692 :   setlg(z,i+1); return z;
    4264             : }
    4265             : 
    4266             : static GEN
    4267           0 : sersfcont(GEN a, GEN b, long k)
    4268             : {
    4269           0 :   long i, l = typ(a) == t_POL? lg(a): 3;
    4270             :   GEN y, c;
    4271           0 :   if (lg(b) > l) l = lg(b);
    4272           0 :   if (k > 0 && l > k+1) l = k+1;
    4273           0 :   y = cgetg(l,t_VEC);
    4274           0 :   for (i=1; i<l; i++)
    4275             :   {
    4276           0 :     gel(y,i) = poldivrem(a,b,&c);
    4277           0 :     if (gequal0(c)) { i++; break; }
    4278           0 :     a = b; b = c;
    4279             :   }
    4280           0 :   setlg(y, i); return y;
    4281             : }
    4282             : 
    4283             : GEN
    4284      359718 : gboundcf(GEN x, long k)
    4285             : {
    4286             :   pari_sp av;
    4287      359718 :   long tx = typ(x), e;
    4288             :   GEN y, a, b, c;
    4289             : 
    4290      359718 :   if (k < 0) pari_err_DOMAIN("gboundcf","nmax","<",gen_0,stoi(k));
    4291      359711 :   if (is_scalar_t(tx))
    4292             :   {
    4293      359711 :     if (gequal0(x)) return mkvec(gen_0);
    4294      359410 :     switch(tx)
    4295             :     {
    4296           0 :       case t_INT: return mkveccopy(x);
    4297             :       case t_REAL:
    4298         296 :         av = avma;
    4299         296 :         c = mantissa_real(x,&e);
    4300         296 :         if (e < 0) pari_err_PREC("gboundcf");
    4301         289 :         y = int2n(e);
    4302         289 :         a = Qsfcont(c,y, NULL, k);
    4303         289 :         b = addsi(signe(x), c);
    4304         289 :         return gerepilecopy(av, Qsfcont(b,y, a, k));
    4305             : 
    4306             :       case t_FRAC:
    4307      359114 :         av = avma;
    4308      359114 :         return gerepileupto(av, Qsfcont(gel(x,1),gel(x,2), NULL, k));
    4309             :     }
    4310           0 :     pari_err_TYPE("gboundcf",x);
    4311             :   }
    4312             : 
    4313           0 :   switch(tx)
    4314             :   {
    4315           0 :     case t_POL: return mkveccopy(x);
    4316             :     case t_SER:
    4317           0 :       av = avma;
    4318           0 :       return gerepileupto(av, gboundcf(ser2rfrac_i(x), k));
    4319             :     case t_RFRAC:
    4320           0 :       av = avma;
    4321           0 :       return gerepilecopy(av, sersfcont(gel(x,1), gel(x,2), k));
    4322             :   }
    4323           0 :   pari_err_TYPE("gboundcf",x);
    4324             :   return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
    4325             : }
    4326             : 
    4327             : static GEN
    4328          14 : sfcont2(GEN b, GEN x, long k)
    4329             : {
    4330          14 :   pari_sp av = avma;
    4331          14 :   long lb = lg(b), tx = typ(x), i;
    4332             :   GEN y,p1;
    4333             : 
    4334          14 :   if (k)
    4335             :   {
    4336           7 :     if (k >= lb) pari_err_DIM("contfrac [too few denominators]");
    4337           0 :     lb = k+1;
    4338             :   }
    4339           7 :   y = cgetg(lb,t_VEC);
    4340           7 :   if (lb==1) return y;
    4341           7 :   if (is_scalar_t(tx))
    4342             :   {
    4343           7 :     if (!is_intreal_t(tx) && tx != t_FRAC) pari_err_TYPE("sfcont2",x);
    4344             :   }
    4345           0 :   else if (tx == t_SER) x = ser2rfrac_i(x);
    4346             : 
    4347           7 :   if (!gequal1(gel(b,1))) x = gmul(gel(b,1),x);
    4348           7 :   for (i = 1;;)
    4349             :   {
    4350          35 :     if (tx == t_REAL)
    4351             :     {
    4352          35 :       long e = expo(x);
    4353          35 :       if (e > 0 && nbits2prec(e+1) > realprec(x)) break;
    4354          35 :       gel(y,i) = floorr(x);
    4355          35 :       p1 = subri(x, gel(y,i));
    4356             :     }
    4357             :     else
    4358             :     {
    4359           0 :       gel(y,i) = gfloor(x);
    4360           0 :       p1 = gsub(x, gel(y,i));
    4361             :     }
    4362          35 :     if (++i >= lb) break;
    4363          28 :     if (gequal0(p1)) break;
    4364          28 :     x = gdiv(gel(b,i),p1);
    4365          28 :   }
    4366           7 :   setlg(y,i);
    4367           7 :   return gerepilecopy(av,y);
    4368             : }
    4369             : 
    4370             : 
    4371             : GEN
    4372           0 : gcf(GEN x) { return gboundcf(x,0); }
    4373             : GEN
    4374           0 : gcf2(GEN b, GEN x) { return contfrac0(x,b,0); }
    4375             : GEN
    4376          49 : contfrac0(GEN x, GEN b, long nmax)
    4377             : {
    4378             :   long tb;
    4379             : 
    4380          49 :   if (!b) return gboundcf(x,nmax);
    4381          28 :   tb = typ(b);
    4382          28 :   if (tb == t_INT) return gboundcf(x,itos(b));
    4383          21 :   if (! is_vec_t(tb)) pari_err_TYPE("contfrac0",b);
    4384          21 :   if (nmax < 0) pari_err_DOMAIN("contfrac","nmax","<",gen_0,stoi(nmax));
    4385          14 :   return sfcont2(b,x,nmax);
    4386             : }
    4387             : 
    4388             : GEN
    4389         126 : contfracpnqn(GEN x, long n)
    4390             : {
    4391         126 :   pari_sp av = avma;
    4392         126 :   long i, lx = lg(x);
    4393             :   GEN M,A,B, p0,p1, q0,q1;
    4394             : 
    4395         126 :   if (lx == 1)
    4396             :   {
    4397          28 :     if (! is_matvec_t(typ(x))) pari_err_TYPE("pnqn",x);
    4398          21 :     if (n >= 0) return cgetg(1,t_MAT);
    4399           7 :     return matid(2);
    4400             :   }
    4401          98 :   switch(typ(x))
    4402             :   {
    4403          56 :     case t_VEC: case t_COL: A = x; B = NULL; break;
    4404             :     case t_MAT:
    4405          42 :       switch(lgcols(x))
    4406             :       {
    4407           0 :         case 2: A = row(x,1); B = NULL; break;
    4408          35 :         case 3: A = row(x,2); B = row(x,1); break;
    4409           7 :         default: pari_err_DIM("pnqn [ nbrows != 1,2 ]");
    4410             :                  return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
    4411             :       }
    4412          35 :       break;
    4413           0 :     default: pari_err_TYPE("pnqn",x);
    4414             :       return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
    4415             :   }
    4416          91 :   p1 = gel(A,1);
    4417          91 :   q1 = B? gel(B,1): gen_1; /* p[0], q[0] */
    4418          91 :   if (n >= 0)
    4419             :   {
    4420          56 :     lx = minss(lx, n+2);
    4421          56 :     if (lx == 2) return gerepilecopy(av, mkmat(mkcol2(p1,q1)));
    4422             :   }
    4423          35 :   else if (lx == 2)
    4424           7 :     return gerepilecopy(av, mkmat2(mkcol2(p1,q1), mkcol2(gen_1,gen_0)));
    4425             :   /* lx >= 3 */
    4426          56 :   p0 = gen_1;
    4427          56 :   q0 = gen_0; /* p[-1], q[-1] */
    4428          56 :   M = cgetg(lx, t_MAT);
    4429          56 :   gel(M,1) = mkcol2(p1,q1);
    4430         217 :   for (i=2; i<lx; i++)
    4431             :   {
    4432         161 :     GEN a = gel(A,i), p2,q2;
    4433         161 :     if (B) {
    4434          84 :       GEN b = gel(B,i);
    4435          84 :       p0 = gmul(b,p0);
    4436          84 :       q0 = gmul(b,q0);
    4437             :     }
    4438         161 :     p2 = gadd(gmul(a,p1),p0); p0=p1; p1=p2;
    4439         161 :     q2 = gadd(gmul(a,q1),q0); q0=q1; q1=q2;
    4440         161 :     gel(M,i) = mkcol2(p1,q1);
    4441             :   }
    4442          56 :   if (n < 0) M = mkmat2(gel(M,lx-1), gel(M,lx-2));
    4443          56 :   return gerepilecopy(av, M);
    4444             : }
    4445             : GEN
    4446           0 : pnqn(GEN x) { return contfracpnqn(x,-1); }
    4447             : /* x = [a0, ..., an] from gboundcf, n >= 0;
    4448             :  * return [[p0, ..., pn], [q0,...,qn]] */
    4449             : GEN
    4450      352863 : ZV_allpnqn(GEN x)
    4451             : {
    4452      352863 :   long i, lx = lg(x);
    4453      352863 :   GEN p0, p1, q0, q1, p2, q2, P,Q, v = cgetg(3,t_VEC);
    4454             : 
    4455      352863 :   gel(v,1) = P = cgetg(lx, t_VEC);
    4456      352863 :   gel(v,2) = Q = cgetg(lx, t_VEC);
    4457      352863 :   p0 = gen_1; q0 = gen_0;
    4458      352863 :   gel(P, 1) = p1 = gel(x,1); gel(Q, 1) = q1 = gen_1;
    4459     1205029 :   for (i=2; i<lx; i++)
    4460             :   {
    4461      852166 :     GEN a = gel(x,i);
    4462      852166 :     gel(P, i) = p2 = addmulii(p0, a, p1); p0 = p1; p1 = p2;
    4463      852166 :     gel(Q, i) = q2 = addmulii(q0, a, q1); q0 = q1; q1 = q2;
    4464             :   }
    4465      352863 :   return v;
    4466             : }
    4467             : 
    4468             : /* write Mod(x,N) as a/b, gcd(a,b) = 1, b <= B (no condition if B = NULL) */
    4469             : static GEN
    4470          35 : mod_to_frac(GEN x, GEN N, GEN B)
    4471             : {
    4472             :   GEN a, b, A;
    4473          35 :   if (B)
    4474             :   {
    4475          21 :     A = divii(shifti(N, -1), B);
    4476             :     /* denominator bound useless, don't use it */
    4477          21 :     if (cmpii(A, B) < 0) B = NULL;
    4478             :   }
    4479          35 :   if (!B)
    4480             :   {
    4481          14 :     A = sqrti(shifti(N, -1));
    4482          14 :     B = A;
    4483             :   }
    4484          35 :   if (!Fp_ratlift(x, N, A,B,&a,&b) || !equali1( gcdii(a,b) )) return NULL;
    4485          21 :   return equali1(b)? a: mkfrac(a,b);
    4486             : }
    4487             : 
    4488             : static GEN
    4489          63 : mod_to_rfrac(GEN x, GEN N, long B)
    4490             : {
    4491             :   GEN a, b;
    4492          63 :   long A, d = degpol(N);
    4493          63 :   if (B >= 0)
    4494             :   {
    4495          21 :     A = d-1 - B;
    4496             :     /* denominator bound useless, don't use it */
    4497          21 :     if (A < B) B = -1;
    4498             :   }
    4499          63 :   if (B < 0)
    4500             :   {
    4501          56 :     B = d >> 1;
    4502          56 :     A = odd(d)? B : B-1;
    4503             :   }
    4504          63 :   if (varn(N) != varn(x)) x = scalarpol(x, varn(N));
    4505          63 :   if (!RgXQ_ratlift(x, N, A, B, &a,&b) || degpol(RgX_gcd(a,b)) > 0) return NULL;
    4506          56 :   return gdiv(a,b);
    4507             : }
    4508             : 
    4509             : /* k > 0 t_INT, x a t_FRAC, returns the convergent a/b
    4510             :  * of the continued fraction of x with b <= k maximal */
    4511             : static GEN
    4512           0 : bestappr_frac(GEN x, GEN k)
    4513             : {
    4514             :   pari_sp av;
    4515             :   GEN p0, p1, p, q0, q1, q, a, y;
    4516             : 
    4517           0 :   if (cmpii(gel(x,2),k) <= 0) return gcopy(x);
    4518           0 :   av = avma; y = x;
    4519           0 :   p1 = gen_1; p0 = truedvmdii(gel(x,1), gel(x,2), &a); /* = floor(x) */
    4520           0 :   q1 = gen_0; q0 = gen_1;
    4521           0 :   x = mkfrac(a, gel(x,2)); /* = frac(x); now 0<= x < 1 */
    4522             :   for(;;)
    4523             :   {
    4524           0 :     x = ginv(x); /* > 1 */
    4525           0 :     a = typ(x)==t_INT? x: divii(gel(x,1), gel(x,2));
    4526           0 :     if (cmpii(a,k) > 0)
    4527             :     { /* next partial quotient will overflow limits */
    4528             :       GEN n, d;
    4529           0 :       a = divii(subii(k, q1), q0);
    4530           0 :       p = addii(mulii(a,p0), p1); p1=p0; p0=p;
    4531           0 :       q = addii(mulii(a,q0), q1); q1=q0; q0=q;
    4532             :       /* compare |y-p0/q0|, |y-p1/q1| */
    4533           0 :       n = gel(y,1);
    4534           0 :       d = gel(y,2);
    4535           0 :       if (abscmpii(mulii(q1, subii(mulii(q0,n), mulii(d,p0))),
    4536             :                    mulii(q0, subii(mulii(q1,n), mulii(d,p1)))) < 0)
    4537           0 :                    { p1 = p0; q1 = q0; }
    4538           0 :       break;
    4539             :     }
    4540           0 :     p = addii(mulii(a,p0), p1); p1=p0; p0=p;
    4541           0 :     q = addii(mulii(a,q0), q1); q1=q0; q0=q;
    4542             : 
    4543           0 :     if (cmpii(q0,k) > 0) break;
    4544           0 :     x = gsub(x,a); /* 0 <= x < 1 */
    4545           0 :     if (typ(x) == t_INT) { p1 = p0; q1 = q0; break; } /* x = 0 */
    4546             : 
    4547           0 :   }
    4548           0 :   return gerepileupto(av, gdiv(p1,q1));
    4549             : }
    4550             : /* bestappr(t_REAL != 0), to maximal accuracy */
    4551             : static GEN
    4552         287 : bestappr_real_max(GEN x)
    4553             : {
    4554         287 :   pari_sp av = avma;
    4555             :   GEN p0, p1, p, q0, q1, q, a;
    4556             :   long e;
    4557         287 :   p1 = gen_1; a = p0 = floorr(x); q1 = gen_0; q0 = gen_1;
    4558         287 :   x = subri(x,a); /* 0 <= x < 1 */
    4559         287 :   e = bit_prec(x) - expo(x);
    4560             :   for(;;)
    4561             :   {
    4562             :     long d;
    4563        1092 :     if (!signe(x) || expi(q0) > e) { p1 = p0; q1 = q0; break; }
    4564         974 :     x = invr(x); /* > 1 */
    4565         974 :     d = nbits2prec(expo(x) + 1);
    4566         974 :     if (d > lg(x)) { p1 = p0; q1 = q0; break; } /* original x was ~ 0 */
    4567             : 
    4568         805 :     a = truncr(x); /* truncr(x) will NOT raise e_PREC */
    4569         805 :     p = addii(mulii(a,p0), p1); p1=p0; p0=p;
    4570         805 :     q = addii(mulii(a,q0), q1); q1=q0; q0=q;
    4571         805 :     x = subri(x,a); /* 0 <= x < 1 */
    4572         805 :   }
    4573         287 :   return gerepileupto(av, gdiv(p1,q1));
    4574             : }
    4575             : /* k > 0 t_INT, x != 0 a t_REAL, returns the convergent a/b
    4576             :  * of the continued fraction of x with b <= k maximal */
    4577             : static GEN
    4578      259704 : bestappr_real(GEN x, GEN k)
    4579             : {
    4580      259704 :   pari_sp av = avma;
    4581             :   GEN kr, p0, p1, p, q0, q1, q, a, y;
    4582             : 
    4583      259704 :   y = x;
    4584      259704 :   p1 = gen_1; a = p0 = floorr(x);
    4585      259703 :   q1 = gen_0; q0 = gen_1;
    4586      259703 :   x = subri(x,a); /* 0 <= x < 1 */
    4587      259703 :   if (!signe(x)) { cgiv(x); return a; }
    4588      253614 :   kr = itor(k, realprec(x));
    4589             :   for(;;)
    4590             :   {
    4591             :     long d;
    4592      684028 :     x = invr(x); /* > 1 */
    4593      684028 :     if (cmprr(x,kr) > 0)
    4594             :     { /* next partial quotient will overflow limits */
    4595      249124 :       a = divii(subii(k, q1), q0);
    4596      249124 :       p = addii(mulii(a,p0), p1); p1=p0; p0=p;
    4597      249124 :       q = addii(mulii(a,q0), q1); q1=q0; q0=q;
    4598             :       /* compare |y-p0/q0|, |y-p1/q1| */
    4599      249124 :       if (abscmprr(mulir(q1, subri(mulir(q0,y), p0)),
    4600             :                    mulir(q0, subri(mulir(q1,y), p1))) < 0)
    4601        4978 :                    { p1 = p0; q1 = q0; }
    4602      249124 :       break;
    4603             :     }
    4604      434904 :     d = nbits2prec(expo(x) + 1);
    4605      434904 :     if (d > lg(x)) { p1 = p0; q1 = q0; break; } /* original x was ~ 0 */
    4606             : 
    4607      434898 :     a = truncr(x); /* truncr(x) will NOT raise e_PREC */
    4608      434898 :     p = addii(mulii(a,p0), p1); p1=p0; p0=p;
    4609      434898 :     q = addii(mulii(a,q0), q1); q1=q0; q0=q;
    4610             : 
    4611      434898 :     if (cmpii(q0,k) > 0) break;
    4612      430731 :     x = subri(x,a); /* 0 <= x < 1 */
    4613      430731 :     if (!signe(x)) { p1 = p0; q1 = q0; break; }
    4614      430414 :   }
    4615      253614 :   return gerepileupto(av, gdiv(p1,q1));
    4616             : }
    4617             : 
    4618             : /* k t_INT or NULL */
    4619             : static GEN
    4620      413636 : bestappr_Q(GEN x, GEN k)
    4621             : {
    4622      413636 :   long lx, tx = typ(x), i;
    4623             :   GEN a, y;
    4624             : 
    4625      413636 :   switch(tx)
    4626             :   {
    4627          77 :     case t_INT: return icopy(x);
    4628           0 :     case t_FRAC: return k? bestappr_frac(x, k): gcopy(x);
    4629             :     case t_REAL:
    4630      292389 :       if (!signe(x)) return gen_0;
    4631      259991 :       return k? bestappr_real(x, k): bestappr_real_max(x);
    4632             : 
    4633             :     case t_INTMOD: {
    4634          21 :       pari_sp av = avma;
    4635          21 :       a = mod_to_frac(gel(x,2), gel(x,1), k); if (!a) return NULL;
    4636          14 :       return gerepilecopy(av, a);
    4637             :     }
    4638             :     case t_PADIC: {
    4639          14 :       pari_sp av = avma;
    4640          14 :       long v = valp(x);
    4641          14 :       a = mod_to_frac(gel(x,4), gel(x,3), k); if (!a) return NULL;
    4642           7 :       if (v) a = gmul(a, powis(gel(x,2), v));
    4643           7 :       return gerepilecopy(av, a);
    4644             :     }
    4645             : 
    4646             :     case t_COMPLEX: {
    4647           7 :       pari_sp av = avma;
    4648           7 :       y = cgetg(3, t_COMPLEX);
    4649           7 :       gel(y,2) = bestappr(gel(x,2), k);
    4650           7 :       gel(y,1) = bestappr(gel(x,1), k);
    4651           7 :       if (gequal0(gel(y,2))) return gerepileupto(av, gel(y,1));
    4652           0 :       return y;
    4653             :     }
    4654             :     case t_SER:
    4655           0 :       if (ser_isexactzero(x)) return gcopy(x);
    4656             :       /* fall through */
    4657             :     case t_POLMOD: case t_POL: case t_RFRAC:
    4658             :     case t_VEC: case t_COL: case t_MAT:
    4659      121128 :       y = cgetg_copy(x, &lx);
    4660      121128 :       if (lontyp[tx] == 1) i = 1; else { y[1] = x[1]; i = 2; }
    4661      519717 :       for (; i<lx; i++)
    4662             :       {
    4663      398591 :         a = bestappr_Q(gel(x,i),k); if (!a) return NULL;
    4664      398589 :         gel(y,i) = a;
    4665             :       }
    4666      121126 :       if (tx == t_POL) return normalizepol(y);
    4667      121112 :       if (tx == t_SER) return normalize(y);
    4668      121112 :       return y;
    4669             :   }
    4670           0 :   pari_err_TYPE("bestappr_Q",x);
    4671             :   return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
    4672             : }
    4673             : 
    4674             : static GEN
    4675          56 : bestappr_ser(GEN x, long B)
    4676             : {
    4677          56 :   long dN, v = valp(x), lx = lg(x);
    4678             :   GEN t;
    4679          56 :   x = normalizepol(ser2pol_i(x, lx));
    4680          56 :   dN = lx-2;
    4681          56 :   if (v > 0)
    4682             :   {
    4683          14 :     x = RgX_shift_shallow(x, v);
    4684          14 :     dN += v;
    4685             :   }
    4686          42 :   else if (v < 0)
    4687             :   {
    4688           7 :     if (B >= 0) B = maxss(B+v, 0);
    4689             :   }
    4690          56 :   t = mod_to_rfrac(x, pol_xn(dN, varn(x)), B);
    4691          56 :   if (!t) return NULL;
    4692          49 :   if (v < 0)
    4693             :   {
    4694             :     GEN a, b;
    4695             :     long vx;
    4696           7 :     if (typ(t) == t_POL) return RgX_mulXn(t, v);
    4697             :     /* t_RFRAC */
    4698           7 :     vx = varn(x);
    4699           7 :     a = gel(t,1);
    4700           7 :     b = gel(t,2);
    4701           7 :     v -= RgX_valrem(b, &b);
    4702           7 :     if (typ(a) == t_POL && varn(a) == vx) v += RgX_valrem(a, &a);
    4703           7 :     if (v < 0) b = RgX_shift(b, -v);
    4704           0 :     else if (v > 0) {
    4705           0 :       if (typ(a) != t_POL || varn(a) != vx) a = scalarpol_shallow(a, vx);
    4706           0 :       a = RgX_shift(a, v);
    4707             :     }
    4708           7 :     t = mkrfraccopy(a, b);
    4709             :   }
    4710          49 :   return t;
    4711             : }
    4712             : static GEN bestappr_RgX(GEN x, long B);
    4713             : /* x t_POLMOD, B >= 0 or < 0 [omit condition on B].
    4714             :  * Look for coprime t_POL a,b, deg(b)<=B, such that a/b = x */
    4715             : static GEN
    4716          70 : bestappr_RgX(GEN x, long B)
    4717             : {
    4718          70 :   long i, lx, tx = typ(x);
    4719             :   GEN y, t;
    4720          70 :   switch(tx)
    4721             :   {
    4722             :     case t_INT: case t_REAL: case t_INTMOD: case t_FRAC:
    4723             :     case t_COMPLEX: case t_PADIC: case t_QUAD: case t_POL:
    4724           0 :       return gcopy(x);
    4725             : 
    4726             :     case t_RFRAC: {
    4727          14 :       pari_sp av = avma;
    4728          14 :       if (B < 0 || degpol(gel(x,2)) <= B) return gcopy(x);
    4729           7 :       x = rfrac_to_ser(x, 2*B+1);
    4730           7 :       t = bestappr_ser(x, B); if (!t) return NULL;
    4731           7 :       return gerepileupto(av, t);
    4732             :     }
    4733             :     case t_POLMOD: {
    4734           7 :       pari_sp av = avma;
    4735           7 :       t = mod_to_rfrac(gel(x,2), gel(x,1), B); if (!t) return NULL;
    4736           7 :       return gerepileupto(av, t);
    4737             :     }
    4738             :     case t_SER: {
    4739          49 :       pari_sp av = avma;
    4740          49 :       t = bestappr_ser(x, B); if (!t) return NULL;
    4741          42 :       return gerepileupto(av, t);
    4742             :     }
    4743             : 
    4744             :     case t_VEC: case t_COL: case t_MAT:
    4745           0 :       y = cgetg_copy(x, &lx);
    4746           0 :       if (lontyp[tx] == 1) i = 1; else { y[1] = x[1]; i = 2; }
    4747           0 :       for (; i<lx; i++)
    4748             :       {
    4749           0 :         t = bestappr_RgX(gel(x,i),B); if (!t) return NULL;
    4750           0 :         gel(y,i) = t;
    4751             :       }
    4752           0 :       return y;
    4753             :   }
    4754           0 :   pari_err_TYPE("bestappr_RgX",x);
    4755             :   return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
    4756             : }
    4757             : 
    4758             : /* allow k = NULL: maximal accuracy */
    4759             : GEN
    4760       15045 : bestappr(GEN x, GEN k)
    4761             : {
    4762       15045 :   pari_sp av = avma;
    4763       15045 :   if (k) { /* replace by floor(k) */
    4764       14779 :     switch(typ(k))
    4765             :     {
    4766             :       case t_INT:
    4767         168 :         break;
    4768             :       case t_REAL: case t_FRAC:
    4769       14611 :         k = floor_safe(k); /* left on stack for efficiency */
    4770       14611 :         if (!signe(k)) k = gen_1;
    4771       14611 :         break;
    4772             :       default:
    4773           0 :         pari_err_TYPE("bestappr [bound type]", k);
    4774           0 :         break;
    4775             :     }
    4776             :   }
    4777       15045 :   x = bestappr_Q(x, k);
    4778       15044 :   if (!x) { avma = av; return cgetg(1,t_VEC); }
    4779       15030 :   return x;
    4780             : }
    4781             : GEN
    4782          70 : bestapprPade(GEN x, long B)
    4783             : {
    4784          70 :   pari_sp av = avma;
    4785          70 :   GEN t = bestappr_RgX(x, B);
    4786          70 :   if (!t) { avma = av; return cgetg(1,t_VEC); }
    4787          63 :   return t;
    4788             : }
    4789             : 
    4790             : /***********************************************************************/
    4791             : /**                                                                   **/
    4792             : /**         FUNDAMENTAL UNIT AND REGULATOR (QUADRATIC FIELDS)         **/
    4793             : /**                                                                   **/
    4794             : /***********************************************************************/
    4795             : 
    4796             : static GEN
    4797          14 : get_quad(GEN f, GEN pol, long r)
    4798             : {
    4799          14 :   GEN p1 = gcoeff(f,1,2), q1 = gcoeff(f,2,2);
    4800          14 :   return mkquad(pol, r? subii(p1,q1): p1, q1);
    4801             : }
    4802             : 
    4803             : /* replace f by f * [a,1; 1,0] */
    4804             : static void
    4805          14 : update_f(GEN f, GEN a)
    4806             : {
    4807             :   GEN p1;
    4808          14 :   p1 = gcoeff(f,1,1);
    4809          14 :   gcoeff(f,1,1) = addii(mulii(a,p1), gcoeff(f,1,2));
    4810          14 :   gcoeff(f,1,2) = p1;
    4811             : 
    4812          14 :   p1 = gcoeff(f,2,1);
    4813          14 :   gcoeff(f,2,1) = addii(mulii(a,p1), gcoeff(f,2,2));
    4814          14 :   gcoeff(f,2,2) = p1;
    4815          14 : }
    4816             : 
    4817             : GEN
    4818           7 : quadunit(GEN x)
    4819             : {
    4820           7 :   pari_sp av = avma, av2;
    4821             :   GEN pol, y, a, u, v, sqd, f;
    4822             :   long r;
    4823             : 
    4824           7 :   check_quaddisc_real(x, &r, "quadunit");
    4825           7 :   pol = quadpoly(x);
    4826           7 :   sqd = sqrti(x); av2 = avma;
    4827           7 :   a = shifti(addui(r,sqd),-1);
    4828           7 :   f = mkmat2(mkcol2(a, gen_1), mkcol2(gen_1, gen_0)); /* [a,0; 1,0] */
    4829           7 :   u = stoi(r); v = gen_2;
    4830             :   for(;;)
    4831             :   {
    4832             :     GEN u1, v1;
    4833          14 :     u1 = subii(mulii(a,v),u);
    4834          14 :     v1 = divii(subii(x,sqri(u1)),v);
    4835          14 :     if ( equalii(v,v1) ) {
    4836           7 :       y = get_quad(f,pol,r);
    4837           7 :       update_f(f,a);
    4838           7 :       y = gdiv(get_quad(f,pol,r), gconj(y));
    4839           7 :       break;
    4840             :     }
    4841           7 :     a = divii(addii(sqd,u1), v1);
    4842           7 :     if ( equalii(u,u1) ) {
    4843           0 :       y = get_quad(f,pol,r);
    4844           0 :       y = gdiv(y, gconj(y));
    4845           0 :       break;
    4846             :     }
    4847           7 :     update_f(f,a);
    4848           7 :     u = u1; v = v1;
    4849           7 :     if (gc_needed(av2,2))
    4850             :     {
    4851           0 :       if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"quadunit");
    4852           0 :       gerepileall(av2,4, &a,&f,&u,&v);
    4853             :     }
    4854           7 :   }
    4855           7 :   if (signe(gel(y,3)) < 0) y = gneg(y);
    4856           7 :   return gerepileupto(av, y);
    4857             : }
    4858             : 
    4859             : GEN
    4860           7 : quadunit0(GEN x, long v)
    4861             : {
    4862           7 :   GEN y = quadunit(x);
    4863           7 :   if (v==-1) v = fetch_user_var("w");
    4864           7 :   setvarn(gel(y,1), v);
    4865           7 :   return y;
    4866             : }
    4867             : 
    4868             : GEN
    4869          21 : quadregulator(GEN x, long prec)
    4870             : {
    4871          21 :   pari_sp av = avma, av2;
    4872             :   GEN R, rsqd, u, v, sqd;
    4873             :   long r, Rexpo;
    4874             : 
    4875          21 :   check_quaddisc_real(x, &r, "quadregulator");
    4876          21 :   sqd = sqrti(x);
    4877          21 :   rsqd = gsqrt(x,prec);
    4878          21 :   Rexpo = 0; R = real2n(1, prec); /* = 2 */
    4879          21 :   av2 = avma;
    4880          21 :   u = stoi(r); v = gen_2;
    4881             :   for(;;)
    4882             :   {
    4883          70 :     GEN u1 = subii(mulii(divii(addii(u,sqd),v), v), u);
    4884          70 :     GEN v1 = divii(subii(x,sqri(u1)),v);
    4885          70 :     if (equalii(v,v1))
    4886             :     {
    4887           7 :       R = sqrr(R); shiftr_inplace(R, -1);
    4888           7 :       R = mulrr(R, divri(addir(u1,rsqd),v));
    4889           7 :       break;
    4890             :     }
    4891          63 :     if (equalii(u,u1))
    4892             :     {
    4893          14 :       R = sqrr(R); shiftr_inplace(R, -1);
    4894          14 :       break;
    4895             :     }
    4896          49 :     R = mulrr(R, divri(addir(u1,rsqd),v));
    4897          49 :     Rexpo += expo(R); setexpo(R,0);
    4898          49 :     u = u1; v = v1;
    4899          49 :     if (Rexpo & ~EXPOBITS) pari_err_OVERFLOW("quadregulator [exponent]");
    4900          49 :     if (gc_needed(av2,2))
    4901             :     {
    4902           0 :       if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"quadregulator");
    4903           0 :       gerepileall(av2,3, &R,&u,&v);
    4904             :     }
    4905          49 :   }
    4906          21 :   R = logr_abs(divri(R,v));
    4907          21 :   if (Rexpo)
    4908             :   {
    4909          21 :     GEN t = mulsr(Rexpo, mplog2(prec));
    4910          21 :     shiftr_inplace(t, 1);
    4911          21 :     R = addrr(R,t);
    4912             :   }
    4913          21 :   return gerepileuptoleaf(av, R);
    4914             : }
    4915             : 
    4916             : /*************************************************************************/
    4917             : /**                                                                     **/
    4918             : /**                            CLASS NUMBER                             **/
    4919             : /**                                                                     **/
    4920             : /*************************************************************************/
    4921             : 
    4922             : int
    4923    12264017 : qfb_equal1(GEN f) { return equali1(gel(f,1)); }
    4924             : 
    4925    17358976 : static GEN qfi_pow(void *E, GEN f, GEN n)
    4926    17358976 : { return E? nupow(f,n,(GEN)E): powgi(f,n); }
    4927    21814307 : static GEN qfi_comp(void *E, GEN f, GEN g)
    4928    21814307 : { return E? nucomp(f,g,(GEN)E): qficomp(f,g); }
    4929             : static const struct bb_group qfi_group={ qfi_comp,qfi_pow,NULL,hash_GEN,
    4930             :                                          gidentical,qfb_equal1,NULL};
    4931             : 
    4932             : GEN
    4933     2789255 : qfi_order(GEN q, GEN o)
    4934     2789255 : { return gen_order(q, o, NULL, &qfi_group); }
    4935             : 
    4936             : GEN
    4937           0 : qfi_log(GEN a, GEN g, GEN o)
    4938           0 : { return gen_PH_log(a, g, o, NULL, &qfi_group); }
    4939             : 
    4940             : GEN
    4941      596537 : qfi_Shanks(GEN a, GEN g, long n)
    4942             : {
    4943      596537 :   pari_sp av = avma;
    4944             :   GEN T, X;
    4945             :   long rt_n, c;
    4946             : 
    4947      596537 :   a = redimag(a);
    4948      596537 :   g = redimag(g);
    4949             : 
    4950      596537 :   rt_n = sqrt((double)n);
    4951      596537 :   c = n / rt_n;
    4952      596537 :   c = (c * rt_n < n + 1) ? c + 1 : c;
    4953             : 
    4954      596537 :   T = gen_Shanks_init(g, rt_n, NULL, &qfi_group);
    4955      596537 :   X = gen_Shanks(T, a, c, NULL, &qfi_group);
    4956             : 
    4957      596537 :   if (!X) { avma = av; return X; }
    4958      316928 :   return gerepileuptoint(av, X);
    4959             : }
    4960             : 
    4961             : GEN
    4962         140 : qfbclassno0(GEN x,long flag)
    4963             : {
    4964         140 :   switch(flag)
    4965             :   {
    4966         126 :     case 0: return map_proto_G(classno,x);
    4967          14 :     case 1: return map_proto_G(classno2,x);
    4968           0 :     default: pari_err_FLAG("qfbclassno");
    4969             :   }
    4970             :   return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
    4971             : }
    4972             : 
    4973             : /* f^h = 1, return order(f). Set *pfao to its factorization */
    4974             : static GEN
    4975     2635497 : find_order(void *E, GEN f, GEN h, GEN *pfao)
    4976             : {
    4977     2635497 :   GEN v = gen_factored_order(f, h, E, &qfi_group);
    4978     2635497 :   *pfao = gel(v,2); return gel(v,1);
    4979             : }
    4980             : 
    4981             : static int
    4982        6327 : ok_q(GEN q, GEN h, GEN d2, long r2)
    4983             : {
    4984        6327 :   if (d2)
    4985             :   {
    4986           7 :     if (r2 <= 2 && !mpodd(q)) return 0;
    4987           7 :     return is_pm1(Z_ppo(q,d2));
    4988             :   }
    4989             :   else
    4990             :   {
    4991        6320 :     if (r2 <= 1 && !mpodd(q)) return 0;
    4992        6320 :     return is_pm1(Z_ppo(q,h));
    4993             :   }
    4994             : }
    4995             : 
    4996             : /* a,b given by their factorizations. Return factorization of lcm(a,b).
    4997             :  * Set A,B such that A*B = lcm(a, b), (A,B)=1, A|a, B|b */
    4998             : static GEN
    4999      344004 : split_lcm(GEN a, GEN Fa, GEN b, GEN Fb, GEN *pA, GEN *pB)
    5000             : {
    5001      344004 :   GEN P = ZV_union_shallow(gel(Fa,1), gel(Fb,1));
    5002      344004 :   GEN A = gen_1, B = gen_1;
    5003      344004 :   long i, l = lg(P);
    5004      344004 :   GEN E = cgetg(l, t_COL);
    5005     1015957 :   for (i=1; i<l; i++)
    5006             :   {
    5007      671953 :     GEN p = gel(P,i);
    5008      671953 :     long va = Z_pval(a,p);
    5009      671953 :     long vb = Z_pval(b,p);
    5010      671953 :     if (va < vb)
    5011             :     {
    5012      345970 :       B = mulii(B,powiu(p,vb));
    5013      345970 :       gel(E,i) = utoi(vb);
    5014             :     }
    5015             :     else
    5016             :     {
    5017      325983 :       A = mulii(A,powiu(p,va));
    5018      325983 :       gel(E,i) = utoi(va);
    5019             :     }
    5020             :   }
    5021      344004 :   *pA = A;
    5022      344004 :   *pB = B; return mkmat2(P,E);
    5023             : }
    5024             : 
    5025             : /* g1 has order d1, f has order o, replace g1 by an element of order lcm(d1,o)*/
    5026             : static void
    5027      344004 : update_g1(GEN *pg1, GEN *pd1, GEN *pfad1, GEN f, GEN o, GEN fao)
    5028             : {
    5029      344004 :   GEN A,B, g1 = *pg1, d1 = *pd1;
    5030      344004 :   *pfad1 = split_lcm(d1,*pfad1, o,fao, &A,&B);
    5031      344004 :   *pg1 = gmul(powgi(g1, diviiexact(d1,A)),  powgi(f, diviiexact(o,B)));
    5032      344004 :   *pd1 = mulii(A,B); /* g1 has order d1 <- lcm(d1,o) */
    5033      344004 : }
    5034             : 
    5035             : /* Write x = Df^2, where D = fundamental discriminant,
    5036             :  * P^E = factorisation of conductor f, with E[i] >= 0 */
    5037             : static void
    5038     1955208 : corediscfact(GEN x, long xmod4, GEN *ptD, GEN *ptP, GEN *ptE)
    5039             : {
    5040     1955208 :   long s = signe(x), l, i;
    5041     1955208 :   GEN fa = absZ_factor(x);
    5042     1955208 :   GEN d, P = gel(fa,1), E = gtovecsmall(gel(fa,2));
    5043             : 
    5044     1955208 :   l = lg(P); d = gen_1;
    5045     5088425 :   for (i=1; i<l; i++)
    5046             :   {
    5047     3133217 :     if (E[i] & 1) d = mulii(d, gel(P,i));
    5048     3133217 :     E[i] >>= 1;
    5049             :   }
    5050     1955208 :   if (!xmod4 && mod4(d) != ((s < 0)? 3: 1)) { d = shifti(d,2); E[1]--; }
    5051     1955208 :   *ptD = (s < 0)? negi(d): d;
    5052     1955208 :   *ptP = P;
    5053     1955208 :   *ptE = E;
    5054     1955208 : }
    5055             : 
    5056             : static GEN
    5057     1947335 : conductor_part(GEN x, long xmod4, GEN *ptD, GEN *ptreg)
    5058             : {
    5059     1947335 :   long l, i, s = signe(x);
    5060             :   GEN E, H, D, P, reg;
    5061             : 
    5062     1947335 :   corediscfact(x, xmod4, &D, &P, &E);
    5063     1947335 :   H = gen_1; l = lg(P);
    5064             :   /* f \prod_{p|f}  [ 1 - (D/p) p^-1 ] = \prod_{p^e||f} p^(e-1) [ p - (D/p) ] */
    5065     5054526 :   for (i=1; i<l; i++)
    5066             :   {
    5067     3107191 :     long e = E[i];
    5068     3107191 :     if (e)
    5069             :     {
    5070           7 :       GEN p = gel(P,i);
    5071           7 :       H = mulii(H, subis(p, kronecker(D,p)));
    5072           7 :       if (e >= 2) H = mulii(H, powiu(p,e-1));
    5073             :     }
    5074             :   }
    5075             : 
    5076             :   /* divide by [ O_K^* : O^* ] */
    5077     1947335 :   if (s < 0)
    5078             :   {
    5079     1947321 :     reg = NULL;
    5080     1947321 :     switch(itou_or_0(D))
    5081             :     {
    5082           0 :       case 4: H = shifti(H,-1); break;
    5083           0 :       case 3: H = divis(H,3); break;
    5084             :     }
    5085             :   } else {
    5086          14 :     reg = quadregulator(D,DEFAULTPREC);
    5087          14 :     if (!equalii(x,D))
    5088           0 :       H = divii(H, roundr(divrr(quadregulator(x,DEFAULTPREC), reg)));
    5089             :   }
    5090     1947335 :   if (ptreg) *ptreg = reg;
    5091     1947335 :   *ptD = D; return H;
    5092             : }
    5093             : 
    5094             : static long
    5095     1947314 : two_rank(GEN x)
    5096             : {
    5097     1947314 :   GEN p = gel(absZ_factor(x),1);
    5098     1947314 :   long l = lg(p)-1;
    5099             : #if 0 /* positive disc not needed */
    5100             :   if (signe(x) > 0)
    5101             :   {
    5102             :     long i;
    5103             :     for (i=1; i<=l; i++)
    5104             :       if (mod4(gel(p,i)) == 3) { l--; break; }
    5105             :   }
    5106             : #endif
    5107     1947314 :   return l-1;
    5108             : }
    5109             : 
    5110             : static GEN
    5111    36996962 : sqr_primeform(GEN x, ulong p) { return redimag(qfisqr(primeform_u(x, p))); }
    5112             : /* return a set of forms hopefully generating Cl(K)^2; set L ~ L(chi_D,1) */
    5113             : static GEN
    5114     1947314 : get_forms(GEN D, GEN *pL)
    5115             : {
    5116     1947314 :   const long MAXFORM = 20;
    5117     1947314 :   GEN L, sqrtD = gsqrt(absi(D),DEFAULTPREC), forms = vectrunc_init(MAXFORM+1);
    5118     1947314 :   long s, nforms = 0;
    5119             :   ulong p;
    5120             :   forprime_t S;
    5121     1947314 :   L = mulrr(divrr(sqrtD,mppi(DEFAULTPREC)), dbltor(1.005));/*overshoot by 0.5%*/
    5122     1947314 :   s = itos_or_0( truncr(shiftr(sqrtr(sqrtD), 1)) );
    5123     1947314 :   if (!s) pari_err_OVERFLOW("classno [discriminant too large]");
    5124     1947314 :   if      (s < 10)   s = 200;
    5125     1804118 :   else if (s < 20)   s = 1000;
    5126        1477 :   else if (s < 5000) s = 5000;
    5127     1947314 :   u_forprime_init(&S, 2, s);
    5128   327318752 :   while ( (p = u_forprime_next(&S)) )
    5129             :   {
    5130   323424124 :     long d, k = kroiu(D,p);
    5131             :     pari_sp av2;
    5132   323424124 :     if (!k) continue;
    5133   321311195 :     if (k > 0)
    5134             :     {
    5135   161155757 :       if (++nforms < MAXFORM) vectrunc_append(forms, sqr_primeform(D,p));
    5136   161155757 :       d = p-1;
    5137             :     }
    5138             :     else
    5139   160155438 :       d = p+1;
    5140   321311195 :     av2 = avma; affrr(divru(mulur(p,L),d), L); avma = av2;
    5141             :   }
    5142     1947314 :   *pL = L; return forms;
    5143             : }
    5144             : 
    5145             : /* h ~ #G, return o = order of f, set fao = its factorization */
    5146             : static  GEN
    5147     1947363 : Shanks_order(void *E, GEN f, GEN h, GEN *pfao)
    5148             : {
    5149     1947363 :   long s = minss(itos(sqrti(h)), 10000);
    5150     1947363 :   GEN T = gen_Shanks_init(f, s, E, &qfi_group);
    5151     1947363 :   GEN v = gen_Shanks(T, ginv(f), ULONG_MAX, E, &qfi_group);
    5152     1947363 :   return find_order(E, f, addiu(v,1), pfao);
    5153             : }
    5154             : 
    5155             : /* if g = 1 in  G/<f> ? */
    5156             : static int
    5157         518 : equal1(void *E, GEN T, ulong N, GEN g)
    5158         518 : { return !!gen_Shanks(T, g, N, E, &qfi_group); }
    5159             : 
    5160             : /* Order of 'a' in G/<f>, T = gen_Shanks_init(f,n), order(f) < n*N
    5161             :  * FIXME: should be gen_order, but equal1 has the wrong prototype */
    5162             : static GEN
    5163         112 : relative_order(void *E, GEN a, GEN o, ulong N,  GEN T)
    5164             : {
    5165         112 :   pari_sp av = avma;
    5166             :   long i, l;
    5167             :   GEN m;
    5168             : 
    5169         112 :   m = get_arith_ZZM(o);
    5170         112 :   if (!m) pari_err_TYPE("gen_order [missing order]",a);
    5171         112 :   o = gel(m,1);
    5172         112 :   m = gel(m,2); l = lgcols(m);
    5173         322 :   for (i = l-1; i; i--)
    5174             :   {
    5175         210 :     GEN t, y, p = gcoeff(m,i,1);
    5176         210 :     long j, e = itos(gcoeff(m,i,2));
    5177         210 :     if (l == 2) {
    5178          35 :       t = gen_1;
    5179          35 :       y = a;
    5180             :     } else {
    5181         175 :       t = diviiexact(o, powiu(p,e));
    5182         175 :       y = powgi(a, t);
    5183             :     }
    5184         210 :     if (equal1(E, T,N,y)) o = t;
    5185             :     else {
    5186         126 :       for (j = 1; j < e; j++)
    5187             :       {
    5188          28 :         y = powgi(y, p);
    5189          28 :         if (equal1(E, T,N,y)) break;
    5190             :       }
    5191         119 :       if (j < e) {
    5192          21 :         if (j > 1) p = powiu(p, j);
    5193          21 :         o = mulii(t, p);
    5194             :       }
    5195             :     }
    5196             :   }
    5197         112 :   return gerepilecopy(av, o);
    5198             : }
    5199             : 
    5200             : /* h(x) for x<0 using Baby Step/Giant Step.
    5201             :  * Assumes G is not too far from being cyclic.
    5202             :  *
    5203             :  * Compute G^2 instead of G so as to kill most of the non-cyclicity */
    5204             : GEN
    5205     1949557 : classno(GEN x)
    5206             : {
    5207     1949557 :   pari_sp av = avma;
    5208             :   long r2, k, s, i, l;
    5209             :   GEN forms, hin, Hf, D, g1, d1, d2, q, L, fad1, order_bound;
    5210             :   void *E;
    5211             : 
    5212     1949557 :   if (signe(x) >= 0) return classno2(x);
    5213             : 
    5214     1949550 :   check_quaddisc(x, &s, &k, "classno");
    5215     1949550 :   if (abscmpiu(x,12) <= 0) return gen_1;
    5216             : 
    5217     1947314 :   Hf = conductor_part(x, k, &D, NULL);
    5218     1947314 :   if (abscmpiu(D,12) <= 0) return gerepilecopy(av, Hf);
    5219     1947314 :   forms =  get_forms(D, &L);
    5220     1947314 :   r2 = two_rank(D);
    5221     1947314 :   hin = roundr(shiftr(L, -r2)); /* rough approximation for #G, G = Cl(K)^2 */
    5222             : 
    5223     1947314 :   l = lg(forms);
    5224     1947314 :   order_bound = const_vec(l-1, NULL);
    5225     1947314 :   E = expi(D) > 60? (void*)sqrtnint(shifti(absi(D),-2),4): NULL;
    5226     1947314 :   g1 = gel(forms,1);
    5227     1947314 :   gel(order_bound,1) = d1 = Shanks_order(E, g1, hin, &fad1);
    5228     1947314 :   q = diviiround(hin, d1); /* approximate order of G/<g1> */
    5229     1947314 :   d2 = NULL; /* not computed yet */
    5230     1947314 :   if (is_pm1(q)) goto END;
    5231      482765 :   for (i=2; i < l; i++)
    5232             :   {
    5233      476375 :     GEN o, fao, a, F, fd, f = gel(forms,i);
    5234      476375 :     fd = powgi(f, d1); if (is_pm1(gel(fd,1))) continue;
    5235      344004 :     F = powgi(fd, q);
    5236      344004 :     a = gel(F,1);
    5237      344004 :     o = is_pm1(a)? find_order(E, fd, q, &fao): Shanks_order(E, fd, q, &fao);
    5238             :     /* f^(d1 q) = 1 */
    5239      344004 :     fao = merge_factor(fad1,fao, (void*)&cmpii, &cmp_nodata);
    5240      344004 :     o = find_order(E, f, fao, &fao);
    5241      344004 :     gel(order_bound,i) = o;
    5242             :     /* o = order of f, fao = factor(o) */
    5243      344004 :     update_g1(&g1,&d1,&fad1, f,o,fao);
    5244      344004 :     q = diviiround(hin, d1);
    5245      344004 :     if (is_pm1(q)) goto END;
    5246             :   }
    5247             :   /* very probably d1 = expo(Cl^2(K)), q ~ #Cl^2(K) / d1 */
    5248        6390 :   if (expi(q) > 3)
    5249             :   { /* q large: compute d2, 2nd elt divisor */
    5250          70 :     ulong N, n = 2*itou(sqrti(d1));
    5251          70 :     GEN D = d1, T = gen_Shanks_init(g1, n, E, &qfi_group);
    5252          70 :     d2 = gen_1;
    5253          70 :     N = itou( gceil(gdivgs(d1,n)) ); /* order(g1) <= n*N */
    5254         287 :     for (i = 1; i < l; i++)
    5255             :     {
    5256         280 :       GEN d, f = gel(forms,i), B = gel(order_bound,i);
    5257         280 :       if (!B) B = find_order(E, f, fad1, /*junk*/&d);
    5258         280 :       f = powgi(f,d2);
    5259         280 :       if (equal1(E, T,N,f)) continue;
    5260         112 :       B = gdiv(B,d2); if (typ(B) == t_FRAC) B = gel(B,1);
    5261             :       /* f^B = 1 */
    5262         112 :       d = relative_order(E, f, B, N,T);
    5263         112 :       d2= mulii(d,d2);
    5264         112 :       D = mulii(d1,d2);
    5265         112 :       q = diviiround(hin,D);
    5266         112 :       if (is_pm1(q)) { d1 = D; goto END; }
    5267             :     }
    5268             :     /* very probably, d2 is the 2nd elementary divisor */
    5269           7 :     d1 = D; /* product of first two elt divisors */
    5270             :   }
    5271             :   /* impose q | d2^oo (d1^oo if d2 not computed), and compatible with known
    5272             :    * 2-rank */
    5273        6327 :   if (!ok_q(q,d1,d2,r2))
    5274             :   {
    5275           0 :     GEN q0 = q;
    5276             :     long d;
    5277           0 :     if (cmpii(mulii(q,d1), hin) < 0)
    5278             :     { /* try q = q0+1,-1,+2,-2 */
    5279           0 :       d = 1;
    5280           0 :       do { q = addis(q0,d); d = d>0? -d: 1-d; } while(!ok_q(q,d1,d2,r2));
    5281             :     }
    5282             :     else
    5283             :     { /* q0-1,+1,-2,+2  */
    5284           0 :       d = -1;
    5285           0 :       do { q = addis(q0,d); d = d<0? -d: -1-d; } while(!ok_q(q,d1,d2,r2));
    5286             :     }
    5287             :   }
    5288        6327 :   d1 = mulii(d1,q);
    5289             : 
    5290             : END:
    5291     1947314 :   return gerepileuptoint(av, shifti(mulii(d1,Hf), r2));
    5292             : }
    5293             : 
    5294             : GEN
    5295           0 : quadclassno(GEN x)
    5296             : {
    5297           0 :   pari_sp av = avma;
    5298             :   GEN Hf, D;
    5299             :   long s, r;
    5300           0 :   check_quaddisc(x, &s, &r, "quadclassno");
    5301           0 :   if (s < 0 && cmpiu(x,12) <= 0) return gen_1;
    5302           0 :   Hf = conductor_part(x, r, &D, NULL);
    5303           0 :   return gerepileuptoint(av, mulii(Hf, gel(quadclassunit0(D,0,NULL,0),1)));
    5304             : }
    5305             : 
    5306             : /* use Euler products */
    5307             : GEN
    5308          21 : classno2(GEN x)
    5309             : {
    5310          21 :   pari_sp av = avma;
    5311          21 :   const long prec = DEFAULTPREC;
    5312             :   long n, i, r, s;
    5313             :   GEN p1, p2, S, p4, p5, p7, Hf, Pi, reg, logd, d, dr, D, half;
    5314             : 
    5315          21 :   check_quaddisc(x, &s, &r, "classno2");
    5316          21 :   if (s < 0 && abscmpiu(x,12) <= 0) return gen_1;
    5317             : 
    5318          21 :   Hf = conductor_part(x, r, &D, &reg);
    5319          21 :   if (s < 0 && abscmpiu(D,12) <= 0) return gerepilecopy(av, Hf); /* |D| < 12*/
    5320             : 
    5321          21 :   Pi = mppi(prec);
    5322          21 :   d = absi(D); dr = itor(d, prec);
    5323          21 :   logd = logr_abs(dr);
    5324          21 :   p1 = sqrtr(divrr(mulir(d,logd), gmul2n(Pi,1)));
    5325          21 :   if (s > 0)
    5326             :   {
    5327          14 :     GEN invlogd = invr(logd);
    5328          14 :     p2 = subsr(1, shiftr(mulrr(logr_abs(reg),invlogd),1));
    5329          14 :     if (cmprr(sqrr(p2), shiftr(invlogd,1)) >= 0) p1 = mulrr(p2,p1);
    5330             :   }
    5331          21 :   n = itos_or_0( mptrunc(p1) );
    5332          21 :   if (!n) pari_err_OVERFLOW("classno [discriminant too large]");
    5333             : 
    5334          21 :   p4 = divri(Pi,d);
    5335          21 :   p7 = invr(sqrtr_abs(Pi));
    5336          21 :   half = real2n(-1, prec);
    5337          21 :   if (s > 0)
    5338             :   { /* i = 1, shortcut */
    5339          14 :     p1 = sqrtr_abs(dr);
    5340          14 :     p5 = subsr(1, mulrr(p7,incgamc(half,p4,prec)));
    5341          14 :     S = addrr(mulrr(p1,p5), eint1(p4,prec));
    5342         546 :     for (i=2; i<=n; i++)
    5343             :     {
    5344         532 :       long k = kroiu(D,i); if (!k) continue;
    5345         434 :       p2 = mulir(sqru(i), p4);
    5346         434 :       p5 = subsr(1, mulrr(p7,incgamc(half,p2,prec)));
    5347         434 :       p5 = addrr(divru(mulrr(p1,p5),i), eint1(p2,prec));
    5348         434 :       S = (k>0)? addrr(S,p5): subrr(S,p5);
    5349             :     }
    5350          14 :     S = shiftr(divrr(S,reg),-1);
    5351             :   }
    5352             :   else
    5353             :   { /* i = 1, shortcut */
    5354           7 :     p1 = gdiv(sqrtr_abs(dr), Pi);
    5355           7 :     p5 = subsr(1, mulrr(p7,incgamc(half,p4,prec)));
    5356           7 :     S = addrr(p5, divrr(p1, mpexp(p4)));
    5357         952 :     for (i=2; i<=n; i++)
    5358             :     {
    5359         945 :       long k = kroiu(D,i); if (!k) continue;
    5360         945 :       p2 = mulir(sqru(i), p4);
    5361         945 :       p5 = subsr(1, mulrr(p7,incgamc(half,p2,prec)));
    5362         945 :       p5 = addrr(p5, divrr(p1, mulur(i, mpexp(p2))));
    5363         945 :       S = (k>0)? addrr(S,p5): subrr(S,p5);
    5364             :     }
    5365             :   }
    5366          21 :   return gerepileuptoint(av, mulii(Hf, roundr(S)));
    5367             : }
    5368             : 
    5369             : /* 1 + q + ... + q^v, v > 0 */
    5370             : static GEN
    5371         120 : geomsumu(ulong q, long v)
    5372             : {
    5373         120 :   GEN u = utoipos(1+q);
    5374         120 :   for (; v > 1; v--) u = addui(1, mului(q, u));
    5375         120 :   return u;
    5376             : }
    5377             : static GEN
    5378         120 : geomsum(GEN q, long v)
    5379             : {
    5380             :   GEN u;
    5381         120 :   if (lgefint(q) == 3) return geomsumu(q[2], v);
    5382           0 :   u = addiu(q,1);
    5383           0 :   for (; v > 1; v--) u = addui(1, mulii(q, u));
    5384           0 :   return u;
    5385             : }
    5386             : 
    5387             : static GEN
    5388        7873 : hclassno6_large(GEN x)
    5389             : {
    5390             :   long i, l, s, xmod4;
    5391             :   GEN Q, H, D, P, E;
    5392             : 
    5393        7873 :   x = negi(x);
    5394        7873 :   check_quaddisc(x, &s, &xmod4, "hclassno");
    5395        7873 :   corediscfact(x, xmod4, &D, &P, &E);
    5396             : 
    5397        7873 :   Q = quadclassunit0(D, 0, NULL, 0);
    5398        7873 :   H = gel(Q,1); l = lg(P);
    5399             : 
    5400             :   /* H \prod_{p^e||f}  (1 + (p^e-1)/(p-1))[ p - (D/p) ] */
    5401       33899 :   for (i=1; i<l; i++)
    5402             :   {
    5403       26026 :     long e = E[i], s;
    5404             :     GEN p, t;
    5405       26026 :     if (!e) continue;
    5406        5108 :     p = gel(P,i); s = kronecker(D,p);
    5407        5108 :     if (e == 1) t = addiu(p, 1-s);
    5408        1028 :     else if (s == 1) t = powiu(p,e);
    5409         120 :     else t = addui(1, mulii(subis(p, s), geomsum(p,e-1)));
    5410        5108 :     H = mulii(H,t);
    5411             :   }
    5412        7873 :   switch( itou_or_0(D) )
    5413             :   {
    5414           0 :     case 3: H = shifti(H,1);break;
    5415           0 :     case 4: H = muliu(H,3); break;
    5416        7873 :     default:H = muliu(H,6); break;
    5417             :   }
    5418        7873 :   return H;
    5419             : }
    5420             : 
    5421             : /* x > 0, x = 0,3 (mod 4). Return 6*hclassno(x), an integer */
    5422             : GEN
    5423      120505 : hclassno6(GEN x)
    5424             : {
    5425      120505 :   ulong d = itou_or_0(x);
    5426      120505 :   if (!d || d > 500000) return hclassno6_large(x);
    5427      112632 :   return utoipos(hclassno6u(d));
    5428             : }
    5429             : 
    5430             : GEN
    5431       44576 : hclassno(GEN x)
    5432             : {
    5433             :   long a, s;
    5434       44576 :   if (typ(x) != t_INT) pari_err_TYPE("hclassno",x);
    5435       44576 :   s = signe(x);
    5436       44576 :   if (s < 0) return gen_0;
    5437       44576 :   if (!s) return gdivgs(gen_1, -12);
    5438       44576 :   a = mod4(x); if (a == 1 || a == 2) return gen_0;
    5439       44576 :   return gdivgs(hclassno6(x), 6);
    5440             : }
    5441             : /******************************************************************/
    5442             : /*                                                                */
    5443             : /*                 RAMANUJAN's TAU FUNCTION                       */
    5444             : /*                                                                */
    5445             : /******************************************************************/
    5446             : /* 4|N > 0, not fundamental at 2; 6 * Hurwitz class number in level 2,
    5447             :  * equal to 6*(H(N)+2H(N/4)), H=qfbhclassno */
    5448             : static GEN
    5449       36806 : Hspec(GEN N)
    5450             : {
    5451       36806 :   long v2 = Z_lvalrem(N, 2, &N), v2f = v2 >> 1;
    5452             :   GEN t;
    5453       36806 :   if (odd(v2)) { v2f--; N = shifti(N,3); }
    5454       32613 :   else if (mod4(N)!=3) { v2f--; N = shifti(N,2); }
    5455             :   /* N fundamental at 2, v2f = v2(f) s.t. N = f^2 D, D fundamental */
    5456       36806 :   t = addui(3, muliu(subiu(int2n(v2f+1), 3), 2 - kroiu(N,2)));
    5457       36806 :   return mulii(t, hclassno6(N));
    5458             : }
    5459             : 
    5460             : /* Ramanujan tau function for p prime */
    5461             : static GEN
    5462       15043 : tauprime(GEN p)
    5463             : {
    5464       15043 :   pari_sp av = avma, av2;
    5465             :   GEN s, p2, p2_7, p_9, T;
    5466             :   ulong lim, t, tin;
    5467             : 
    5468       15043 :   if (absequaliu(p, 2)) return utoineg(24);
    5469             :   /* p > 2 */
    5470       11480 :   p2 = sqri(p);
    5471       11480 :   p2_7 = mului(7, p2);
    5472       11480 :   p_9 = mului(9, p);
    5473       11480 :   av2 = avma;
    5474       11480 :   lim = itou(sqrtint(p));
    5475       11480 :   tin = mod4(p) == 3? 1: 0;
    5476       11480 :   s = gen_0;
    5477       87409 :   for (t = 1; t <= lim; ++t)
    5478             :   {
    5479       75929 :     GEN h, a, t2 = sqru(t), D = shifti(subii(p, t2), 2); /* 4(p-t^2) */
    5480             :     /* t mod 2 != tin <=> D not fundamental at 2 */
    5481       75929 :     h = ((t&1UL) == tin)? hclassno6(D): Hspec(D);
    5482       75929 :     a = mulii(powiu(t2,3), addii(p2_7, mulii(t2, subii(shifti(t2,2), p_9))));
    5483       75929 :     s = addii(s, mulii(a,h));
    5484       75929 :     if (!(t & 255)) s = gerepileuptoint(av2, s);
    5485             :   }
    5486             :   /* 28p^3 - 28p^2 - 90p - 35 */
    5487       11480 :   T = subii(shifti(mulii(p2_7, subiu(p,1)), 2), addiu(mului(90,p), 35));
    5488       11480 :   s = shifti(diviuexact(s, 3), 6);
    5489       11480 :   return gerepileuptoint(av, subii(mulii(mulii(p2,p),T), addui(1, s)));
    5490             : }
    5491             : 
    5492             : /* Ramanujan tau function, return 0 for <= 0 */
    5493             : GEN
    5494        7168 : ramanujantau(GEN n)
    5495             : {
    5496        7168 :   pari_sp ltop = avma;
    5497             :   GEN T, F, P, E;
    5498             :   long j, lP;
    5499             : 
    5500        7168 :   if (!(F = check_arith_all(n,"ramanujantau")))
    5501             :   {
    5502        7147 :     if (signe(n) <= 0) return gen_0;
    5503        7126 :     F = Z_factor(n);
    5504             :   }
    5505             :   else
    5506             :   {
    5507          21 :     P = gel(F,1);
    5508          21 :     if (lg(P) == 1 || signe(gel(P,1)) <= 0) return gen_0;
    5509             :   }
    5510             : 
    5511        7133 :   P = gel(F,1);
    5512        7133 :   E = gel(F,2); lP = lg(P);
    5513        7133 :   T = gen_1;
    5514       22176 :   for (j = 1; j < lP; j++)
    5515             :   {
    5516       15043 :     GEN p = gel(P,j), tp = tauprime(p), t1 = tp, t0 = gen_1;
    5517       15043 :     long k, e = itou(gel(E,j));
    5518       20335 :     for (k = 1; k < e; k++)
    5519             :     {
    5520        5292 :       GEN t2 = subii(mulii(tp, t1), mulii(powiu(p, 11), t0));
    5521        5292 :       t0 = t1; t1 = t2;
    5522             :     }
    5523       15043 :     T = mulii(T, t1);
    5524             :   }
    5525        7133 :   return gerepileuptoint(ltop, T);
    5526             : }

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