Code coverage tests

This page documents the degree to which the PARI/GP source code is tested by our public test suite, distributed with the source distribution in directory src/test/. This is measured by the gcov utility; we then process gcov output using the lcov frond-end.

We test a few variants depending on Configure flags on the pari.math.u-bordeaux.fr machine (x86_64 architecture), and agregate them in the final report:

The target is to exceed 90% coverage for all mathematical modules (given that branches depending on DEBUGLEVEL or DEBUGMEM are not covered). This script is run to produce the results below.

LCOV - code coverage report
Current view: top level - basemath - trans1.c (source / functions) Hit Total Coverage
Test: PARI/GP v2.14.0 lcov report (development 27775-aca467eab2) Lines: 2229 2299 97.0 %
Date: 2022-07-03 07:33:15 Functions: 165 166 99.4 %
Legend: Lines: hit not hit

          Line data    Source code
       1             : /* Copyright (C) 2000  The PARI group.
       2             : 
       3             : This file is part of the PARI/GP package.
       4             : 
       5             : PARI/GP is free software; you can redistribute it and/or modify it under the
       6             : terms of the GNU General Public License as published by the Free Software
       7             : Foundation; either version 2 of the License, or (at your option) any later
       8             : version. It is distributed in the hope that it will be useful, but WITHOUT
       9             : ANY WARRANTY WHATSOEVER.
      10             : 
      11             : Check the License for details. You should have received a copy of it, along
      12             : with the package; see the file 'COPYING'. If not, write to the Free Software
      13             : Foundation, Inc., 51 Franklin Street, Fifth Floor, Boston, MA 02110-1301 USA. */
      14             : 
      15             : /********************************************************************/
      16             : /**                                                                **/
      17             : /**                   TRANSCENDENTAL FUNCTIONS                     **/
      18             : /**                                                                **/
      19             : /********************************************************************/
      20             : #include "pari.h"
      21             : #include "paripriv.h"
      22             : 
      23             : #define DEBUGLEVEL DEBUGLEVEL_trans
      24             : 
      25             : #ifdef LONG_IS_64BIT
      26             : static const long SQRTVERYBIGINT = 3037000500L; /* ceil(sqrt(LONG_MAX)) */
      27             : #else
      28             : static const long SQRTVERYBIGINT = 46341L;
      29             : #endif
      30             : 
      31             : static THREAD GEN gcatalan, geuler, glog2, gpi;
      32             : void
      33      227702 : pari_init_floats(void)
      34             : {
      35      227702 :   gcatalan = geuler = gpi = zetazone = bernzone = glog2 = eulerzone = NULL;
      36      227702 : }
      37             : 
      38             : void
      39      228823 : pari_close_floats(void)
      40             : {
      41      228823 :   guncloneNULL(gcatalan);
      42      228177 :   guncloneNULL(geuler);
      43      227356 :   guncloneNULL(gpi);
      44      227176 :   guncloneNULL(glog2);
      45      226940 :   guncloneNULL(zetazone);
      46      226778 :   guncloneNULL_deep(bernzone);
      47      226548 :   guncloneNULL_deep(eulerzone);
      48      226369 : }
      49             : 
      50             : /********************************************************************/
      51             : /**                   GENERIC BINARY SPLITTING                     **/
      52             : /**                    (Haible, Papanikolaou)                      **/
      53             : /********************************************************************/
      54             : void
      55      265416 : abpq_init(struct abpq *A, long n)
      56             : {
      57      265416 :   A->a = (GEN*)new_chunk(n+1);
      58      265590 :   A->b = (GEN*)new_chunk(n+1);
      59      265782 :   A->p = (GEN*)new_chunk(n+1);
      60      266065 :   A->q = (GEN*)new_chunk(n+1);
      61      266064 : }
      62             : static GEN
      63    19441431 : mulii3(GEN a, GEN b, GEN c) { return mulii(mulii(a,b),c); }
      64             : 
      65             : /* T_{n1,n1+1} */
      66             : static GEN
      67     4193937 : T2(struct abpq *A, long n1)
      68             : {
      69     4193937 :   GEN u = mulii3(A->a[n1], A->b[n1+1], A->q[n1+1]);
      70     4193788 :   GEN v = mulii3(A->b[n1], A->a[n1+1], A->p[n1+1]);
      71     4194258 :   return mulii(A->p[n1], addii(u, v));
      72             : }
      73             : 
      74             : /* assume n2 > n1. Compute sum_{n1 <= n < n2} a/b(n) p/q(n1)... p/q(n) */
      75             : void
      76     8202049 : abpq_sum(struct abpq_res *r, long n1, long n2, struct abpq *A)
      77             : {
      78             :   struct abpq_res L, R;
      79             :   GEN u1, u2;
      80             :   pari_sp av;
      81             :   long n;
      82     8202049 :   switch(n2 - n1)
      83             :   {
      84             :     GEN b, q;
      85          56 :     case 1:
      86          56 :       r->P = A->p[n1];
      87          56 :       r->Q = A->q[n1];
      88          56 :       r->B = A->b[n1];
      89          56 :       r->T = mulii(A->a[n1], A->p[n1]);
      90     4214781 :       return;
      91     2370666 :     case 2:
      92     2370666 :       r->P = mulii(A->p[n1], A->p[n1+1]);
      93     2354011 :       r->Q = mulii(A->q[n1], A->q[n1+1]);
      94     2352903 :       r->B = mulii(A->b[n1], A->b[n1+1]);
      95     2353054 :       av = avma;
      96     2353054 :       r->T = gerepileuptoint(av, T2(A, n1));
      97     2361618 :       return;
      98             : 
      99     1871196 :     case 3:
     100     1871196 :       q = mulii(A->q[n1+1], A->q[n1+2]);
     101     1865297 :       b = mulii(A->b[n1+1], A->b[n1+2]);
     102     1864824 :       r->P = mulii3(A->p[n1], A->p[n1+1], A->p[n1+2]);
     103     1864797 :       r->Q = mulii(A->q[n1], q);
     104     1864907 :       r->B = mulii(A->b[n1], b);
     105     1865099 :       av = avma;
     106     1865099 :       u1 = mulii3(b, q, A->a[n1]);
     107     1864570 :       u2 = mulii(A->b[n1], T2(A, n1+1));
     108     1864847 :       r->T = gerepileuptoint(av, mulii(A->p[n1], addii(u1, u2)));
     109     1853107 :       return;
     110             :   }
     111             : 
     112     3960131 :   av = avma;
     113     3960131 :   n = (n1 + n2) >> 1;
     114     3960131 :   abpq_sum(&L, n1, n, A);
     115     3966387 :   abpq_sum(&R, n, n2, A);
     116             : 
     117     3967668 :   r->P = mulii(L.P, R.P);
     118     3941467 :   r->Q = mulii(L.Q, R.Q);
     119     3943612 :   r->B = mulii(L.B, R.B);
     120     3941281 :   u1 = mulii3(R.B, R.Q, L.T);
     121     3941146 :   u2 = mulii3(L.B, L.P, R.T);
     122     3938560 :   r->T = addii(u1,u2);
     123     3941073 :   set_avma(av);
     124     3943339 :   r->P = icopy(r->P);
     125     3965573 :   r->Q = icopy(r->Q);
     126     3970285 :   r->B = icopy(r->B);
     127     3970066 :   r->T = icopy(r->T);
     128             : }
     129             : 
     130             : /********************************************************************/
     131             : /**                                                                **/
     132             : /**                               PI                               **/
     133             : /**                                                                **/
     134             : /********************************************************************/
     135             : /* replace *old clone by c. Protect against SIGINT */
     136             : static void
     137       76833 : swap_clone(GEN *old, GEN c)
     138       76833 : { GEN tmp = *old; *old = c; guncloneNULL(tmp); }
     139             : 
     140             : /*                         ----
     141             :  *  53360 (640320)^(1/2)   \    (6n)! (545140134 n + 13591409)
     142             :  *  -------------------- = /    ------------------------------
     143             :  *        Pi               ----   (n!)^3 (3n)! (-640320)^(3n)
     144             :  *                         n>=0
     145             :  *
     146             :  * Ramanujan's formula + binary splitting */
     147             : static GEN
     148       37876 : pi_ramanujan(long prec)
     149             : {
     150       37876 :   const ulong B = 545140134, A = 13591409, C = 640320;
     151       37876 :   const double alpha2 = 47.11041314; /* 3log(C/12) / log(2) */
     152             :   long n, nmax, prec2;
     153             :   struct abpq_res R;
     154             :   struct abpq S;
     155             :   GEN D, u;
     156             : 
     157       37876 :   nmax = (long)(1 + prec2nbits(prec)/alpha2);
     158             : #ifdef LONG_IS_64BIT
     159       37401 :   D = utoipos(10939058860032000UL); /* C^3/24 */
     160             : #else
     161         478 :   D = uutoi(2546948UL,495419392UL);
     162             : #endif
     163       37882 :   abpq_init(&S, nmax);
     164       37883 :   S.a[0] = utoipos(A);
     165       37882 :   S.b[0] = S.p[0] = S.q[0] = gen_1;
     166      309150 :   for (n = 1; n <= nmax; n++)
     167             :   {
     168      271307 :     S.a[n] = addiu(muluu(B, n), A);
     169      271126 :     S.b[n] = gen_1;
     170      271126 :     S.p[n] = mulis(muluu(6*n-5, 2*n-1), 1-6*n);
     171      271134 :     S.q[n] = mulii(sqru(n), muliu(D,n));
     172             :   }
     173       37843 :   abpq_sum(&R, 0, nmax, &S); prec2 = prec+EXTRAPRECWORD;
     174       37900 :   u = itor(muliu(R.Q,C/12), prec2);
     175       37894 :   return rtor(mulrr(divri(u, R.T), sqrtr_abs(utor(C,prec2))), prec);
     176             : }
     177             : 
     178             : #if 0 /* Much slower than binary splitting at least up to prec = 10^8 */
     179             : /* Gauss - Brent-Salamin AGM iteration */
     180             : static GEN
     181             : pi_brent_salamin(long prec)
     182             : {
     183             :   GEN A, B, C;
     184             :   pari_sp av2;
     185             :   long i, G;
     186             : 
     187             :   G = - prec2nbits(prec);
     188             :   incrprec(prec);
     189             : 
     190             :   A = real2n(-1, prec);
     191             :   B = sqrtr_abs(A); /* = 1/sqrt(2) */
     192             :   setexpo(A, 0);
     193             :   C = real2n(-2, prec); av2 = avma;
     194             :   for (i = 0;; i++)
     195             :   {
     196             :     GEN y, a, b, B_A = subrr(B, A);
     197             :     pari_sp av3 = avma;
     198             :     if (expo(B_A) < G) break;
     199             :     a = addrr(A,B); shiftr_inplace(a, -1);
     200             :     b = mulrr(A,B);
     201             :     affrr(a, A);
     202             :     affrr(sqrtr_abs(b), B); set_avma(av3);
     203             :     y = sqrr(B_A); shiftr_inplace(y, i - 2);
     204             :     affrr(subrr(C, y), C); set_avma(av2);
     205             :   }
     206             :   shiftr_inplace(C, 2);
     207             :   return divrr(sqrr(addrr(A,B)), C);
     208             : }
     209             : #endif
     210             : 
     211             : GEN
     212    29434332 : constpi(long prec)
     213             : {
     214             :   pari_sp av;
     215             :   GEN tmp;
     216    29434332 :   if (gpi && realprec(gpi) >= prec) return gpi;
     217             : 
     218       37635 :   av = avma;
     219       37635 :   tmp = gclone(pi_ramanujan(prec));
     220       37902 :   swap_clone(&gpi,tmp);
     221       37903 :   return gc_const(av, gpi);
     222             : }
     223             : 
     224             : GEN
     225    29434358 : mppi(long prec) { return rtor(constpi(prec), prec); }
     226             : 
     227             : /* Pi * 2^n */
     228             : GEN
     229    19739794 : Pi2n(long n, long prec)
     230             : {
     231    19739794 :   GEN x = mppi(prec); shiftr_inplace(x, n);
     232    19739827 :   return x;
     233             : }
     234             : 
     235             : /* I * Pi * 2^n */
     236             : GEN
     237      262235 : PiI2n(long n, long prec) { retmkcomplex(gen_0, Pi2n(n, prec)); }
     238             : 
     239             : /* 2I * Pi */
     240             : GEN
     241      261346 : PiI2(long prec) { return PiI2n(1, prec); }
     242             : 
     243             : /********************************************************************/
     244             : /**                                                                **/
     245             : /**                       EULER CONSTANT                           **/
     246             : /**                                                                **/
     247             : /********************************************************************/
     248             : 
     249             : GEN
     250       49239 : consteuler(long prec)
     251             : {
     252             :   GEN u,v,a,b,tmpeuler;
     253             :   long l, n1, n, k, x;
     254             :   pari_sp av1, av2;
     255             : 
     256       49239 :   if (geuler && realprec(geuler) >= prec) return geuler;
     257             : 
     258         505 :   av1 = avma; tmpeuler = cgetr_block(prec);
     259             : 
     260         505 :   incrprec(prec);
     261             : 
     262         505 :   l = prec+EXTRAPRECWORD; x = (long) (1 + prec2nbits_mul(l, M_LN2/4));
     263         505 :   a = utor(x,l); u=logr_abs(a); setsigne(u,-1); affrr(u,a);
     264         505 :   b = real_1(l);
     265         505 :   v = real_1(l);
     266         505 :   n = (long)(1+3.591*x); /* z=3.591: z*[ ln(z)-1 ]=1 */
     267         505 :   n1 = minss(n, SQRTVERYBIGINT);
     268         505 :   if (x < SQRTVERYBIGINT)
     269             :   {
     270         505 :     ulong xx = x*x;
     271         505 :     av2 = avma;
     272      161013 :     for (k=1; k<n1; k++)
     273             :     {
     274      160508 :       affrr(divru(mulur(xx,b),k*k), b);
     275      160467 :       affrr(divru(addrr(divru(mulur(xx,a),k),b),k), a);
     276      160445 :       affrr(addrr(u,a), u);
     277      160331 :       affrr(addrr(v,b), v); set_avma(av2);
     278             :     }
     279        1010 :     for (   ; k<=n; k++)
     280             :     {
     281         505 :       affrr(divru(divru(mulur(xx,b),k),k), b);
     282         505 :       affrr(divru(addrr(divru(mulur(xx,a),k),b),k), a);
     283         505 :       affrr(addrr(u,a), u);
     284         505 :       affrr(addrr(v,b), v); set_avma(av2);
     285             :     }
     286             :   }
     287             :   else
     288             :   {
     289           0 :     GEN xx = sqru(x);
     290           0 :     av2 = avma;
     291           0 :     for (k=1; k<n1; k++)
     292             :     {
     293           0 :       affrr(divru(mulir(xx,b),k*k), b);
     294           0 :       affrr(divru(addrr(divru(mulir(xx,a),k),b),k), a);
     295           0 :       affrr(addrr(u,a), u);
     296           0 :       affrr(addrr(v,b), v); set_avma(av2);
     297             :     }
     298           0 :     for (   ; k<=n; k++)
     299             :     {
     300           0 :       affrr(divru(divru(mulir(xx,b),k),k), b);
     301           0 :       affrr(divru(addrr(divru(mulir(xx,a),k),b),k), a);
     302           0 :       affrr(addrr(u,a), u);
     303           0 :       affrr(addrr(v,b), v); set_avma(av2);
     304             :     }
     305             :   }
     306         505 :   divrrz(u,v,tmpeuler);
     307         505 :   swap_clone(&geuler,tmpeuler);
     308         505 :   return gc_const(av1, geuler);
     309             : }
     310             : 
     311             : GEN
     312       49239 : mpeuler(long prec) { return rtor(consteuler(prec), prec); }
     313             : 
     314             : /********************************************************************/
     315             : /**                                                                **/
     316             : /**                       CATALAN CONSTANT                         **/
     317             : /**                                                                **/
     318             : /********************************************************************/
     319             : /*        inf  256^i (580i^2 - 184i + 15) (2i)!^3 (3i)!^2
     320             :  * 64 G = SUM  ------------------------------------------
     321             :  *        i=1             i^3 (2i-1) (6i)!^2           */
     322             : static GEN
     323          14 : catalan(long prec)
     324             : {
     325          14 :   long i, nmax = 1 + prec2nbits(prec) / 7.509; /* / log2(729/4) */
     326             :   struct abpq_res R;
     327             :   struct abpq A;
     328             :   GEN u;
     329          14 :   abpq_init(&A, nmax);
     330          14 :   A.a[0] = gen_0; A.b[0] = A.p[0] = A.q[0] = gen_1;
     331        1750 :   for (i = 1; i <= nmax; i++)
     332             :   {
     333        1736 :     A.a[i] = addiu(muluu(580*i - 184, i), 15);
     334        1736 :     A.b[i] = muliu(powuu(i, 3), 2*i - 1);
     335        1736 :     A.p[i] = mului(64*i-32, powuu(i,3));
     336        1736 :     A.q[i] = sqri(muluu(6*i - 1, 18*i - 15));
     337             :   }
     338          14 :   abpq_sum(&R, 0, nmax, &A);
     339          14 :   u = rdivii(R.T, mulii(R.B,R.Q),prec);
     340          14 :   shiftr_inplace(u, -6); return u;
     341             : }
     342             : 
     343             : GEN
     344          14 : constcatalan(long prec)
     345             : {
     346          14 :   pari_sp av = avma;
     347             :   GEN tmp;
     348          14 :   if (gcatalan && realprec(gcatalan) >= prec) return gcatalan;
     349          14 :   tmp = gclone(catalan(prec));
     350          14 :   swap_clone(&gcatalan,tmp);
     351          14 :   return gc_const(av, gcatalan);
     352             : }
     353             : 
     354             : GEN
     355          14 : mpcatalan(long prec) { return rtor(constcatalan(prec), prec); }
     356             : 
     357             : /********************************************************************/
     358             : /**                                                                **/
     359             : /**          TYPE CONVERSION FOR TRANSCENDENTAL FUNCTIONS          **/
     360             : /**                                                                **/
     361             : /********************************************************************/
     362             : static GEN
     363     1394573 : transvec(GEN (*f)(GEN,long), GEN x, long prec)
     364     4693735 : { pari_APPLY_same(f(gel(x,i), prec)); }
     365             : static GEN
     366         329 : transvecgen(void *E, GEN (*f)(void *,GEN,long), GEN x, long prec)
     367         735 : { pari_APPLY_same(f(E, gel(x,i), prec)); }
     368             : 
     369             : GEN
     370     2504665 : trans_eval(const char *fun, GEN (*f)(GEN,long), GEN x, long prec)
     371             : {
     372     2504665 :   pari_sp av = avma;
     373     2504665 :   if (prec < 3) pari_err_BUG("trans_eval [prec < 3]");
     374     2504682 :   switch(typ(x))
     375             :   {
     376      862276 :     case t_INT:    x = f(itor(x,prec),prec); break;
     377      247773 :     case t_FRAC:   x = f(fractor(x, prec),prec); break;
     378           7 :     case t_QUAD:   x = f(quadtofp(x,prec),prec); break;
     379          14 :     case t_POLMOD: x = transvec(f, polmod_to_embed(x,prec), prec); break;
     380     1394563 :     case t_VEC:
     381             :     case t_COL:
     382     1394563 :     case t_MAT: return transvec(f, x, prec);
     383          49 :     default: pari_err_TYPE(fun,x);
     384             :       return NULL;/*LCOV_EXCL_LINE*/
     385             :   }
     386     1110026 :   return gerepileupto(av, x);
     387             : }
     388             : 
     389             : GEN
     390        1876 : trans_evalgen(const char *fun, void *E, GEN (*f)(void*,GEN,long),
     391             :               GEN x, long prec)
     392             : {
     393        1876 :   pari_sp av = avma;
     394        1876 :   if (prec < 3) pari_err_BUG("trans_eval [prec < 3]");
     395        1876 :   switch(typ(x))
     396             :   {
     397         266 :     case t_INT:    x = f(E, itor(x,prec),prec); break;
     398        1246 :     case t_FRAC:   x = f(E, fractor(x, prec),prec); break;
     399           0 :     case t_QUAD:   x = f(E, quadtofp(x,prec),prec); break;
     400          70 :     case t_POLMOD: x = transvecgen(E, f, polmod_to_embed(x,prec), prec); break;
     401         259 :     case t_VEC:
     402             :     case t_COL:
     403         259 :     case t_MAT: return transvecgen(E, f, x, prec);
     404          35 :     default: pari_err_TYPE(fun,x);
     405             :       return NULL;/*LCOV_EXCL_LINE*/
     406             :   }
     407        1582 :   return gerepileupto(av, x);
     408             : }
     409             : 
     410             : /*******************************************************************/
     411             : /*                                                                 */
     412             : /*                            POWERING                             */
     413             : /*                                                                 */
     414             : /*******************************************************************/
     415             : /* x a t_REAL 0, return exp(x) */
     416             : static GEN
     417       68841 : mpexp0(GEN x)
     418             : {
     419       68841 :   long e = expo(x);
     420       68841 :   return e >= 0? real_0_bit(e): real_1_bit(-e);
     421             : }
     422             : static GEN
     423       20972 : powr0(GEN x)
     424       20972 : { return signe(x)? real_1(realprec(x)): mpexp0(x); }
     425             : 
     426             : /* x t_POL or t_SER, return scalarpol(Rg_get_1(x)) */
     427             : static GEN
     428      366459 : scalarpol_get_1(GEN x)
     429             : {
     430      366459 :   GEN y = cgetg(3,t_POL);
     431      366459 :   y[1] = evalvarn(varn(x)) | evalsigne(1);
     432      366459 :   gel(y,2) = Rg_get_1(x); return y;
     433             : }
     434             : /* to be called by the generic function gpowgs(x,s) when s = 0 */
     435             : static GEN
     436     1572957 : gpowg0(GEN x)
     437             : {
     438             :   long lx, i;
     439             :   GEN y;
     440             : 
     441     1572957 :   switch(typ(x))
     442             :   {
     443     1163831 :     case t_INT: case t_REAL: case t_FRAC: case t_PADIC:
     444     1163831 :       return gen_1;
     445             : 
     446           7 :     case t_QUAD: x++; /*fall through*/
     447       36605 :     case t_COMPLEX: {
     448       36605 :       pari_sp av = avma;
     449       36605 :       GEN a = gpowg0(gel(x,1));
     450       36614 :       GEN b = gpowg0(gel(x,2));
     451       36614 :       if (a == gen_1) return b;
     452          14 :       if (b == gen_1) return a;
     453           7 :       return gerepileupto(av, gmul(a,b));
     454             :     }
     455         133 :     case t_INTMOD:
     456         133 :       y = cgetg(3,t_INTMOD);
     457         133 :       gel(y,1) = icopy(gel(x,1));
     458         133 :       gel(y,2) = is_pm1(gel(x,1))? gen_0: gen_1;
     459         133 :       return y;
     460             : 
     461        5768 :     case t_FFELT: return FF_1(x);
     462             : 
     463         973 :     case t_POLMOD:
     464         973 :       retmkpolmod(scalarpol_get_1(gel(x,1)), gcopy(gel(x,1)));
     465             : 
     466           7 :     case t_RFRAC:
     467           7 :       return scalarpol_get_1(gel(x,2));
     468      365479 :     case t_POL: case t_SER:
     469      365479 :       return scalarpol_get_1(x);
     470             : 
     471          84 :     case t_MAT:
     472          84 :       lx=lg(x); if (lx==1) return cgetg(1,t_MAT);
     473          77 :       if (lx != lgcols(x)) pari_err_DIM("gpow");
     474          77 :       y = matid(lx-1);
     475         252 :       for (i=1; i<lx; i++) gcoeff(y,i,i) = gpowg0(gcoeff(x,i,i));
     476          77 :       return y;
     477          21 :     case t_VEC: /* handle extended t_QFB */
     478          21 :     case t_QFB: return qfbpow(x, gen_0);
     479          49 :     case t_VECSMALL: return identity_perm(lg(x) - 1);
     480             :   }
     481           7 :   pari_err_TYPE("gpow",x);
     482             :   return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
     483             : }
     484             : 
     485             : static GEN
     486     5864178 : _sqr(void *data /* ignored */, GEN x) { (void)data; return gsqr(x); }
     487             : static GEN
     488     2292139 : _mul(void *data /* ignored */, GEN x, GEN y) { (void)data; return gmul(x,y); }
     489             : static GEN
     490      318490 : _one(void *x) { return gpowg0((GEN) x); }
     491             : static GEN
     492    14501121 : _sqri(void *data /* ignored */, GEN x) { (void)data; return sqri(x); }
     493             : static GEN
     494     9047276 : _muli(void *data /* ignored */, GEN x, GEN y) { (void)data; return mulii(x,y); }
     495             : static GEN
     496    18018884 : _sqrr(void *data /* ignored */, GEN x) { (void)data; return sqrr(x); }
     497             : static GEN
     498     4836514 : _mulr(void *data /* ignored */, GEN x, GEN y) { (void)data; return mulrr(x,y); }
     499             : static GEN
     500       13763 : _oner(void *data /* prec */) { return real_1( *(long*) data); }
     501             : 
     502             : /* INTEGER POWERING (a^n for integer a != 0 and integer n > 0)
     503             :  *
     504             :  * Use left shift binary algorithm (RS is wasteful: multiplies big numbers,
     505             :  * with LS one of them is the base, hence small). Sign of result is set
     506             :  * to s (= 1,-1). Makes life easier for caller, which otherwise might do a
     507             :  * setsigne(gen_1 / gen_m1) */
     508             : static GEN
     509    64142859 : powiu_sign(GEN a, ulong N, long s)
     510             : {
     511             :   pari_sp av;
     512             :   GEN y;
     513             : 
     514    64142859 :   if (lgefint(a) == 3)
     515             :   { /* easy if |a| < 3 */
     516    60205442 :     ulong q = a[2];
     517    60205442 :     if (q == 1) return (s>0)? gen_1: gen_m1;
     518    51002143 :     if (q == 2) { a = int2u(N); setsigne(a,s); return a; }
     519    27030685 :     q = upowuu(q, N);
     520    27033125 :     if (q) return s>0? utoipos(q): utoineg(q);
     521             :   }
     522     6357359 :   if (N <= 2) {
     523     2978466 :     if (N == 2) return sqri(a);
     524        9013 :     a = icopy(a); setsigne(a,s); return a;
     525             :   }
     526     3378893 :   av = avma;
     527     3378893 :   y = gen_powu_i(a, N, NULL, &_sqri, &_muli);
     528     3379462 :   setsigne(y,s); return gerepileuptoint(av, y);
     529             : }
     530             : /* a^n */
     531             : GEN
     532    64113092 : powiu(GEN a, ulong n)
     533             : {
     534             :   long s;
     535    64113092 :   if (!n) return gen_1;
     536    63040868 :   s = signe(a);
     537    63040868 :   if (!s) return gen_0;
     538    62967137 :   return powiu_sign(a, n, (s < 0 && odd(n))? -1: 1);
     539             : }
     540             : GEN
     541    23507471 : powis(GEN a, long n)
     542             : {
     543             :   long s;
     544             :   GEN t, y;
     545    23507471 :   if (n >= 0) return powiu(a, n);
     546      577820 :   s = signe(a);
     547      577820 :   if (!s) pari_err_INV("powis",gen_0);
     548      577820 :   t = (s < 0 && odd(n))? gen_m1: gen_1;
     549      577820 :   if (is_pm1(a)) return t;
     550             :   /* n < 0, |a| > 1 */
     551      575419 :   y = cgetg(3,t_FRAC);
     552      575418 :   gel(y,1) = t;
     553      575418 :   gel(y,2) = powiu_sign(a, -n, 1); /* force denominator > 0 */
     554      575421 :   return y;
     555             : }
     556             : GEN
     557    48406538 : powuu(ulong p, ulong N)
     558             : {
     559             :   pari_sp av;
     560             :   ulong pN;
     561             :   GEN y;
     562    48406538 :   if (!p) return gen_0;
     563    48406461 :   if (N <= 2)
     564             :   {
     565    41610201 :     if (N == 2) return sqru(p);
     566    38126994 :     if (N == 1) return utoipos(p);
     567     5184071 :     return gen_1;
     568             :   }
     569     6796260 :   pN = upowuu(p, N);
     570     6796402 :   if (pN) return utoipos(pN);
     571     1125780 :   if (p == 2) return int2u(N);
     572     1112335 :   av = avma;
     573     1112335 :   y = gen_powu_i(utoipos(p), N, NULL, &_sqri, &_muli);
     574     1112330 :   return gerepileuptoint(av, y);
     575             : }
     576             : 
     577             : /* return 0 if overflow */
     578             : static ulong
     579     9332127 : usqru(ulong p) { return p & HIGHMASK? 0: p*p; }
     580             : ulong
     581    59338049 : upowuu(ulong p, ulong k)
     582             : {
     583             : #ifdef LONG_IS_64BIT
     584    50252319 :   const ulong CUTOFF3 = 2642245;
     585    50252319 :   const ulong CUTOFF4 = 65535;
     586    50252319 :   const ulong CUTOFF5 = 7131;
     587    50252319 :   const ulong CUTOFF6 = 1625;
     588    50252319 :   const ulong CUTOFF7 = 565;
     589    50252319 :   const ulong CUTOFF8 = 255;
     590    50252319 :   const ulong CUTOFF9 = 138;
     591    50252319 :   const ulong CUTOFF10 = 84;
     592    50252319 :   const ulong CUTOFF11 = 56;
     593    50252319 :   const ulong CUTOFF12 = 40;
     594    50252319 :   const ulong CUTOFF13 = 30;
     595    50252319 :   const ulong CUTOFF14 = 23;
     596    50252319 :   const ulong CUTOFF15 = 19;
     597    50252319 :   const ulong CUTOFF16 = 15;
     598    50252319 :   const ulong CUTOFF17 = 13;
     599    50252319 :   const ulong CUTOFF18 = 11;
     600    50252319 :   const ulong CUTOFF19 = 10;
     601    50252319 :   const ulong CUTOFF20 =  9;
     602             : #else
     603     9085730 :   const ulong CUTOFF3 = 1625;
     604     9085730 :   const ulong CUTOFF4 =  255;
     605     9085730 :   const ulong CUTOFF5 =   84;
     606     9085730 :   const ulong CUTOFF6 =   40;
     607     9085730 :   const ulong CUTOFF7 =   23;
     608     9085730 :   const ulong CUTOFF8 =   15;
     609     9085730 :   const ulong CUTOFF9 =   11;
     610     9085730 :   const ulong CUTOFF10 =   9;
     611     9085730 :   const ulong CUTOFF11 =   7;
     612     9085730 :   const ulong CUTOFF12 =   6;
     613     9085730 :   const ulong CUTOFF13 =   5;
     614     9085730 :   const ulong CUTOFF14 =   4;
     615     9085730 :   const ulong CUTOFF15 =   4;
     616     9085730 :   const ulong CUTOFF16 =   3;
     617     9085730 :   const ulong CUTOFF17 =   3;
     618     9085730 :   const ulong CUTOFF18 =   3;
     619     9085730 :   const ulong CUTOFF19 =   3;
     620     9085730 :   const ulong CUTOFF20 =   3;
     621             : #endif
     622             : 
     623    59338049 :   if (p <= 2)
     624             :   {
     625     8384394 :     if (p < 2) return p;
     626     7857391 :     return k < BITS_IN_LONG? 1UL<<k: 0;
     627             :   }
     628    50953655 :   switch(k)
     629             :   {
     630             :     ulong p2, p3, p4, p5, p8;
     631     7863376 :     case 0:  return 1;
     632    17908003 :     case 1:  return p;
     633     9332126 :     case 2:  return usqru(p);
     634     3549800 :     case 3:  if (p > CUTOFF3) return 0; return p*p*p;
     635     2321394 :     case 4:  if (p > CUTOFF4) return 0; p2=p*p; return p2*p2;
     636     1950814 :     case 5:  if (p > CUTOFF5) return 0; p2=p*p; return p2*p2*p;
     637     1858810 :     case 6:  if (p > CUTOFF6) return 0; p2=p*p; return p2*p2*p2;
     638      332437 :     case 7:  if (p > CUTOFF7) return 0; p2=p*p; return p2*p2*p2*p;
     639      349820 :     case 8:  if (p > CUTOFF8) return 0; p2=p*p; p4=p2*p2; return p4*p4;
     640     1175133 :     case 9:  if (p > CUTOFF9) return 0; p2=p*p; p4=p2*p2; return p4*p4*p;
     641      257809 :     case 10: if (p > CUTOFF10)return 0; p2=p*p; p4=p2*p2; return p4*p4*p2;
     642      166046 :     case 11: if (p > CUTOFF11)return 0; p2=p*p; p4=p2*p2; return p4*p4*p2*p;
     643      136525 :     case 12: if (p > CUTOFF12)return 0; p2=p*p; p4=p2*p2; return p4*p4*p4;
     644      135163 :     case 13: if (p > CUTOFF13)return 0; p2=p*p; p4=p2*p2; return p4*p4*p4*p;
     645      129628 :     case 14: if (p > CUTOFF14)return 0; p2=p*p; p4=p2*p2; return p4*p4*p4*p2;
     646      163103 :     case 15: if (p > CUTOFF15)return 0;
     647       87587 :       p2=p*p; p3=p2*p; p5=p3*p2; return p5*p5*p5;
     648      111475 :     case 16: if (p > CUTOFF16)return 0;
     649       50774 :       p2=p*p; p4=p2*p2; p8=p4*p4; return p8*p8;
     650       82526 :     case 17: if (p > CUTOFF17)return 0;
     651       41542 :       p2=p*p; p4=p2*p2; p8=p4*p4; return p*p8*p8;
     652       71967 :     case 18: if (p > CUTOFF18)return 0;
     653       39237 :       p2=p*p; p4=p2*p2; p8=p4*p4; return p2*p8*p8;
     654      790042 :     case 19: if (p > CUTOFF19)return 0;
     655      762889 :       p2=p*p; p4=p2*p2; p8=p4*p4; return p*p2*p8*p8;
     656       45499 :     case 20: if (p > CUTOFF20)return 0;
     657       21800 :       p2=p*p; p4=p2*p2; p8=p4*p4; return p4*p8*p8;
     658             :   }
     659             : #ifdef LONG_IS_64BIT
     660     1912426 :   switch(p)
     661             :   {
     662      227190 :     case 3: if (k > 40) return 0;
     663      144539 :       break;
     664       17028 :     case 4: if (k > 31) return 0;
     665         774 :       return 1UL<<(2*k);
     666     1036341 :     case 5: if (k > 27) return 0;
     667       20260 :       break;
     668       49686 :     case 6: if (k > 24) return 0;
     669        9216 :       break;
     670       55807 :     case 7: if (k > 22) return 0;
     671        2682 :       break;
     672      526374 :     default: return 0;
     673             :   }
     674             :   /* no overflow */
     675             :   {
     676      176697 :     ulong q = upowuu(p, k >> 1);
     677      176697 :     q *= q ;
     678      176697 :     return odd(k)? q*p: q;
     679             :   }
     680             : #else
     681      309733 :   return 0;
     682             : #endif
     683             : }
     684             : 
     685             : GEN
     686       12017 : upowers(ulong x, long n)
     687             : {
     688             :   long i;
     689       12017 :   GEN p = cgetg(n + 2, t_VECSMALL);
     690       12017 :   uel(p,1) = 1; if (n == 0) return p;
     691       12017 :   uel(p,2) = x;
     692       91465 :   for (i = 3; i <= n; i++)
     693       79448 :     uel(p,i) = uel(p,i-1)*x;
     694       12017 :   return p;
     695             : }
     696             : 
     697             : typedef struct {
     698             :   long prec, a;
     699             :   GEN (*sqr)(GEN);
     700             :   GEN (*mulug)(ulong,GEN);
     701             : } sr_muldata;
     702             : 
     703             : static GEN
     704     1588551 : _rpowuu_sqr(void *data, GEN x)
     705             : {
     706     1588551 :   sr_muldata *D = (sr_muldata *)data;
     707     1588551 :   if (typ(x) == t_INT && lgefint(x) >= D->prec)
     708             :   { /* switch to t_REAL */
     709      157685 :     D->sqr   = &sqrr;
     710      157685 :     D->mulug = &mulur; x = itor(x, D->prec);
     711             :   }
     712     1588551 :   return D->sqr(x);
     713             : }
     714             : 
     715             : static GEN
     716      621085 : _rpowuu_msqr(void *data, GEN x)
     717             : {
     718      621085 :   GEN x2 = _rpowuu_sqr(data, x);
     719      621085 :   sr_muldata *D = (sr_muldata *)data;
     720      621085 :   return D->mulug(D->a, x2);
     721             : }
     722             : 
     723             : /* return a^n as a t_REAL of precision prec. Assume a > 0, n > 0 */
     724             : GEN
     725      426939 : rpowuu(ulong a, ulong n, long prec)
     726             : {
     727             :   pari_sp av;
     728             :   GEN y, z;
     729             :   sr_muldata D;
     730             : 
     731      426939 :   if (a == 1) return real_1(prec);
     732      426939 :   if (a == 2) return real2n(n, prec);
     733      426939 :   if (n == 1) return utor(a, prec);
     734      422260 :   z = cgetr(prec);
     735      422260 :   av = avma;
     736      422260 :   D.sqr   = &sqri;
     737      422260 :   D.mulug = &mului;
     738      422260 :   D.prec = prec;
     739      422260 :   D.a = (long)a;
     740      422260 :   y = gen_powu_fold_i(utoipos(a), n, (void*)&D, &_rpowuu_sqr, &_rpowuu_msqr);
     741      422260 :   mpaff(y, z); return gc_const(av,z);
     742             : }
     743             : 
     744             : GEN
     745     9278089 : powrs(GEN x, long n)
     746             : {
     747     9278089 :   pari_sp av = avma;
     748             :   GEN y;
     749     9278089 :   if (!n) return powr0(x);
     750     9278089 :   y = gen_powu_i(x, (ulong)labs(n), NULL, &_sqrr, &_mulr);
     751     9278787 :   if (n < 0) y = invr(y);
     752     9278405 :   return gerepileuptoleaf(av,y);
     753             : }
     754             : GEN
     755     3421214 : powru(GEN x, ulong n)
     756             : {
     757     3421214 :   pari_sp av = avma;
     758             :   GEN y;
     759     3421214 :   if (!n) return powr0(x);
     760     3400753 :   y = gen_powu_i(x, n, NULL, &_sqrr, &_mulr);
     761     3400671 :   return gerepileuptoleaf(av,y);
     762             : }
     763             : 
     764             : GEN
     765       13763 : powersr(GEN x, long n)
     766             : {
     767       13763 :   long prec = realprec(x);
     768       13763 :   return gen_powers(x, n, 1, &prec, &_sqrr, &_mulr, &_oner);
     769             : }
     770             : 
     771             : /* x^(s/2), assume x t_REAL */
     772             : GEN
     773           0 : powrshalf(GEN x, long s)
     774             : {
     775           0 :   if (s & 1) return sqrtr(powrs(x, s));
     776           0 :   return powrs(x, s>>1);
     777             : }
     778             : /* x^(s/2), assume x t_REAL */
     779             : GEN
     780      115139 : powruhalf(GEN x, ulong s)
     781             : {
     782      115139 :   if (s & 1) return sqrtr(powru(x, s));
     783        6759 :   return powru(x, s>>1);
     784             : }
     785             : /* x^(n/d), assume x t_REAL, return t_REAL */
     786             : GEN
     787         511 : powrfrac(GEN x, long n, long d)
     788             : {
     789             :   long z;
     790         511 :   if (!n) return powr0(x);
     791           0 :   z = cgcd(n, d); if (z > 1) { n /= z; d /= z; }
     792           0 :   if (d == 1) return powrs(x, n);
     793           0 :   x = powrs(x, n);
     794           0 :   if (d == 2) return sqrtr(x);
     795           0 :   return sqrtnr(x, d);
     796             : }
     797             : 
     798             : /* assume x != 0 */
     799             : static GEN
     800      669296 : pow_monome(GEN x, long n)
     801             : {
     802      669296 :   long i, d, dx = degpol(x);
     803             :   GEN A, b, y;
     804             : 
     805      669296 :   if (n < 0) { n = -n; y = cgetg(3, t_RFRAC); } else y = NULL;
     806             : 
     807      669296 :   if (HIGHWORD(dx) || HIGHWORD(n))
     808           8 :   {
     809             :     LOCAL_HIREMAINDER;
     810           9 :     d = (long)mulll((ulong)dx, (ulong)n);
     811           9 :     if (hiremainder || (d &~ LGBITS)) d = LGBITS; /* overflow */
     812           9 :     d += 2;
     813             :   }
     814             :   else
     815      669287 :     d = dx*n + 2;
     816      669296 :   if ((d + 1) & ~LGBITS) pari_err(e_OVERFLOW,"pow_monome [degree]");
     817      669289 :   A = cgetg(d+1, t_POL); A[1] = x[1];
     818     6089376 :   for (i=2; i < d; i++) gel(A,i) = gen_0;
     819      669289 :   b = gpowgs(gel(x,dx+2), n); /* not memory clean if (n < 0) */
     820      669290 :   if (!y) y = A;
     821             :   else {
     822       20468 :     GEN c = denom_i(b);
     823       20468 :     gel(y,1) = c; if (c != gen_1) b = gmul(b,c);
     824       20468 :     gel(y,2) = A;
     825             :   }
     826      669290 :   gel(A,d) = b; return y;
     827             : }
     828             : 
     829             : /* x t_PADIC */
     830             : static GEN
     831     1308829 : powps(GEN x, long n)
     832             : {
     833     1308829 :   long e = n*valp(x), v;
     834     1308829 :   GEN t, y, mod, p = gel(x,2);
     835             :   pari_sp av;
     836             : 
     837     1308829 :   if (!signe(gel(x,4))) {
     838          84 :     if (n < 0) pari_err_INV("powps",x);
     839          77 :     return zeropadic(p, e);
     840             :   }
     841     1308745 :   v = z_pval(n, p);
     842             : 
     843     1308744 :   y = cgetg(5,t_PADIC);
     844     1308742 :   mod = gel(x,3);
     845     1308742 :   if (v == 0) mod = icopy(mod);
     846             :   else
     847             :   {
     848       90293 :     if (precp(x) == 1 && absequaliu(p, 2)) v++;
     849       90293 :     mod = mulii(mod, powiu(p,v));
     850       90293 :     mod = gerepileuptoint((pari_sp)y, mod);
     851             :   }
     852     1308742 :   y[1] = evalprecp(precp(x) + v) | evalvalp(e);
     853     1308742 :   gel(y,2) = icopy(p);
     854     1308741 :   gel(y,3) = mod;
     855             : 
     856     1308741 :   av = avma; t = gel(x,4);
     857     1308741 :   if (n < 0) { t = Fp_inv(t, mod); n = -n; }
     858     1308741 :   t = Fp_powu(t, n, mod);
     859     1308745 :   gel(y,4) = gerepileuptoint(av, t);
     860     1308744 :   return y;
     861             : }
     862             : /* x t_PADIC */
     863             : static GEN
     864         161 : powp(GEN x, GEN n)
     865             : {
     866             :   long v;
     867         161 :   GEN y, mod, p = gel(x,2);
     868             : 
     869         161 :   if (valp(x)) pari_err_OVERFLOW("valp()");
     870             : 
     871         161 :   if (!signe(gel(x,4))) {
     872          14 :     if (signe(n) < 0) pari_err_INV("powp",x);
     873           7 :     return zeropadic(p, 0);
     874             :   }
     875         147 :   v = Z_pval(n, p);
     876             : 
     877         147 :   y = cgetg(5,t_PADIC);
     878         147 :   mod = gel(x,3);
     879         147 :   if (v == 0) mod = icopy(mod);
     880             :   else
     881             :   {
     882          70 :     mod = mulii(mod, powiu(p,v));
     883          70 :     mod = gerepileuptoint((pari_sp)y, mod);
     884             :   }
     885         147 :   y[1] = evalprecp(precp(x) + v) | _evalvalp(0);
     886         147 :   gel(y,2) = icopy(p);
     887         147 :   gel(y,3) = mod;
     888         147 :   gel(y,4) = Fp_pow(gel(x,4), n, mod);
     889         147 :   return y;
     890             : }
     891             : static GEN
     892       31192 : pow_polmod(GEN x, GEN n)
     893             : {
     894       31192 :   GEN z = cgetg(3, t_POLMOD), a = gel(x,2), T = gel(x,1);
     895       31192 :   gel(z,1) = gcopy(T);
     896       31192 :   if (typ(a) != t_POL || varn(a) != varn(T) || lg(a) <= 3)
     897        1554 :     a = powgi(a, n);
     898             :   else {
     899       29638 :     pari_sp av = avma;
     900       29638 :     GEN p = NULL;
     901       29638 :     if (RgX_is_FpX(T, &p) && RgX_is_FpX(a, &p) && p)
     902             :     {
     903        7602 :       T = RgX_to_FpX(T, p); a = RgX_to_FpX(a, p);
     904        7602 :       if (lgefint(p) == 3)
     905             :       {
     906        7595 :         ulong pp = p[2];
     907        7595 :         a = Flxq_pow(ZX_to_Flx(a, pp), n, ZX_to_Flx(T, pp), pp);
     908        7595 :         a = Flx_to_ZX(a);
     909             :       }
     910             :       else
     911           7 :         a = FpXQ_pow(a, n, T, p);
     912        7602 :       a = FpX_to_mod(a, p);
     913        7602 :       a = gerepileupto(av, a);
     914             :     }
     915             :     else
     916             :     {
     917       22036 :       set_avma(av);
     918       22036 :       a = RgXQ_pow(a, n, gel(z,1));
     919             :     }
     920             :   }
     921       31192 :   gel(z,2) = a; return z;
     922             : }
     923             : 
     924             : GEN
     925   115172568 : gpowgs(GEN x, long n)
     926             : {
     927             :   long m;
     928             :   pari_sp av;
     929             :   GEN y;
     930             : 
     931   115172568 :   if (n == 0) return gpowg0(x);
     932   113991497 :   if (n == 1)
     933    72498173 :     switch (typ(x)) {
     934       52180 :       case t_VEC: /* handle extended t_QFB */
     935       52180 :       case t_QFB: return qfbred(x);
     936    72445993 :       default: return gcopy(x);
     937             :     }
     938    41493324 :   if (n ==-1) return ginv(x);
     939    38381999 :   switch(typ(x))
     940             :   {
     941    23350414 :     case t_INT: return powis(x,n);
     942     9269718 :     case t_REAL: return powrs(x,n);
     943       22365 :     case t_INTMOD:
     944       22365 :       y = cgetg(3,t_INTMOD); gel(y,1) = icopy(gel(x,1));
     945       22365 :       gel(y,2) = Fp_pows(gel(x,2), n, gel(x,1));
     946       22365 :       return y;
     947      299274 :     case t_FRAC:
     948             :     {
     949      299274 :       GEN a = gel(x,1), b = gel(x,2);
     950      299274 :       long s = (signe(a) < 0 && odd(n))? -1: 1;
     951      299274 :       if (n < 0) {
     952         700 :         n = -n;
     953         700 :         if (is_pm1(a)) return powiu_sign(b, n, s); /* +-1/x[2] inverts to t_INT */
     954         490 :         swap(a, b);
     955             :       }
     956      299064 :       y = cgetg(3, t_FRAC);
     957      299064 :       gel(y,1) = powiu_sign(a, n, s);
     958      299064 :       gel(y,2) = powiu_sign(b, n, 1);
     959      299064 :       return y;
     960             :     }
     961     1308829 :     case t_PADIC: return powps(x, n);
     962      249165 :     case t_RFRAC:
     963             :     {
     964      249165 :       av = avma; y = cgetg(3, t_RFRAC); m = labs(n);
     965      249165 :       gel(y,1) = gpowgs(gel(x,1),m);
     966      249165 :       gel(y,2) = gpowgs(gel(x,2),m);
     967      249165 :       if (n < 0) y = ginv(y);
     968      249165 :       return gerepileupto(av,y);
     969             :     }
     970       31185 :     case t_POLMOD: {
     971       31185 :       long N[] = {evaltyp(t_INT) | _evallg(3),0,0};
     972       31185 :       affsi(n,N); return pow_polmod(x, N);
     973             :     }
     974     1151174 :     case t_VEC: /* handle extended t_QFB */
     975     1151174 :     case t_QFB: return qfbpows(x, n);
     976      732155 :     case t_POL:
     977      732155 :       if (RgX_is_monomial(x)) return pow_monome(x, n);
     978             :     default: {
     979     2030579 :       pari_sp av = avma;
     980     2030579 :       y = gen_powu_i(x, (ulong)labs(n), NULL, &_sqr, &_mul);
     981     2030726 :       if (n < 0) y = ginv(y);
     982     2030732 :       return gerepileupto(av,y);
     983             :     }
     984             :   }
     985             : }
     986             : 
     987             : /* n a t_INT */
     988             : GEN
     989    97509434 : powgi(GEN x, GEN n)
     990             : {
     991             :   GEN y;
     992             : 
     993    97509434 :   if (!is_bigint(n)) return gpowgs(x, itos(n));
     994             :   /* probable overflow for nonmodular types (typical exception: (X^0)^N) */
     995       25578 :   switch(typ(x))
     996             :   {
     997       25297 :     case t_INTMOD:
     998       25297 :       y = cgetg(3,t_INTMOD); gel(y,1) = icopy(gel(x,1));
     999       25298 :       gel(y,2) = Fp_pow(gel(x,2), n, gel(x,1));
    1000       25302 :       return y;
    1001          59 :     case t_FFELT: return FF_pow(x,n);
    1002         161 :     case t_PADIC: return powp(x, n);
    1003             : 
    1004          35 :     case t_INT:
    1005          35 :       if (is_pm1(x)) return (signe(x) < 0 && mpodd(n))? gen_m1: gen_1;
    1006          14 :       if (signe(x)) pari_err_OVERFLOW("lg()");
    1007           7 :       if (signe(n) < 0) pari_err_INV("powgi",gen_0);
    1008           7 :       return gen_0;
    1009           7 :     case t_FRAC:
    1010           7 :       pari_err_OVERFLOW("lg()");
    1011             : 
    1012          12 :     case t_VEC: /* handle extended t_QFB */
    1013          12 :     case t_QFB: return qfbpow(x, n);
    1014           7 :     case t_POLMOD: return pow_polmod(x, n);
    1015           7 :     default: {
    1016           7 :       pari_sp av = avma;
    1017           7 :       y = gen_pow_i(x, n, NULL, &_sqr, &_mul);
    1018           7 :       if (signe(n) < 0) return gerepileupto(av, ginv(y));
    1019           7 :       return gerepilecopy(av,y);
    1020             :     }
    1021             :   }
    1022             : }
    1023             : 
    1024             : /* Assume x = 1 + O(t), n a scalar. Return x^n */
    1025             : static GEN
    1026        7805 : ser_pow_1(GEN x, GEN n)
    1027             : {
    1028             :   long lx, mi, i, j, d;
    1029        7805 :   GEN y = cgetg_copy(x, &lx), X = x+2, Y = y + 2;
    1030        7805 :   y[1] = evalsigne(1) | _evalvalp(0) | evalvarn(varn(x));
    1031       74130 :   d = mi = lx-3; while (mi>=1 && isrationalzero(gel(X,mi))) mi--;
    1032        7805 :   gel(Y,0) = gen_1;
    1033      109970 :   for (i=1; i<=d; i++)
    1034             :   {
    1035      102165 :     pari_sp av = avma;
    1036      102165 :     GEN s = gen_0;
    1037      485758 :     for (j=1; j<=minss(i,mi); j++)
    1038             :     {
    1039      383593 :       GEN t = gsubgs(gmulgu(n,j),i-j);
    1040      383593 :       s = gadd(s, gmul(gmul(t, gel(X,j)), gel(Y,i-j)));
    1041             :     }
    1042      102165 :     gel(Y,i) = gerepileupto(av, gdivgu(s,i));
    1043             :   }
    1044        7805 :   return y;
    1045             : }
    1046             : 
    1047             : /* we suppose n != 0, valp(x) = 0 and leading-term(x) != 0. Not stack clean */
    1048             : static GEN
    1049        7910 : ser_pow(GEN x, GEN n, long prec)
    1050             : {
    1051             :   GEN y, c, lead;
    1052        7910 :   if (varncmp(gvar(n), varn(x)) <= 0) return gexp(gmul(n, glog(x,prec)), prec);
    1053        7805 :   lead = gel(x,2);
    1054        7805 :   if (gequal1(lead)) return ser_pow_1(x, n);
    1055        7462 :   x = ser_normalize(x);
    1056        7462 :   if (typ(n) == t_FRAC && !isinexact(lead) && ispower(lead, gel(n,2), &c))
    1057         105 :     c = powgi(c, gel(n,1));
    1058             :   else
    1059        7357 :     c = gpow(lead,n, prec);
    1060        7462 :   y = gmul(c, ser_pow_1(x, n));
    1061             :   /* gpow(t_POLMOD,n) can be a t_COL [conjvec] */
    1062        7462 :   if (typ(y) != t_SER) pari_err_TYPE("gpow", y);
    1063        7462 :   return y;
    1064             : }
    1065             : 
    1066             : static long
    1067        7819 : val_from_i(GEN E)
    1068             : {
    1069        7819 :   if (is_bigint(E)) pari_err_OVERFLOW("sqrtn [valuation]");
    1070        7812 :   return itos(E);
    1071             : }
    1072             : 
    1073             : /* return x^q, assume typ(x) = t_SER, typ(q) = t_INT/t_FRAC and q != 0 */
    1074             : static GEN
    1075        7826 : ser_powfrac(GEN x, GEN q, long prec)
    1076             : {
    1077        7826 :   GEN y, E = gmulsg(valp(x), q);
    1078             :   long e;
    1079             : 
    1080        7826 :   if (!signe(x))
    1081             :   {
    1082          21 :     if (gsigne(q) < 0) pari_err_INV("gpow", x);
    1083          21 :     return zeroser(varn(x), val_from_i(gfloor(E)));
    1084             :   }
    1085        7805 :   if (typ(E) != t_INT)
    1086           7 :     pari_err_DOMAIN("sqrtn", "valuation", "!=", mkintmod(gen_0, gel(q,2)), x);
    1087        7798 :   e = val_from_i(E);
    1088        7798 :   y = leafcopy(x); setvalp(y, 0);
    1089        7798 :   y = ser_pow(y, q, prec);
    1090        7798 :   setvalp(y, e); return y;
    1091             : }
    1092             : 
    1093             : static GEN
    1094         126 : gpow0(GEN x, GEN n, long prec)
    1095             : {
    1096         126 :   pari_sp av = avma;
    1097             :   long i, lx;
    1098             :   GEN y;
    1099         126 :   switch(typ(n))
    1100             :   {
    1101          84 :     case t_INT: case t_REAL: case t_FRAC: case t_COMPLEX: case t_QUAD:
    1102          84 :       break;
    1103          35 :     case t_VEC: case t_COL: case t_MAT:
    1104          35 :       y = cgetg_copy(n, &lx);
    1105         105 :       for (i=1; i<lx; i++) gel(y,i) = gpow0(x,gel(n,i),prec);
    1106          35 :       return y;
    1107           7 :     default: pari_err_TYPE("gpow(0,n)", n);
    1108             :   }
    1109          84 :   n = real_i(n);
    1110          84 :   if (gsigne(n) <= 0) pari_err_DOMAIN("gpow(0,n)", "n", "<=", gen_0, n);
    1111          77 :   if (!precision(x)) return gcopy(x);
    1112             : 
    1113          14 :   x = ground(gmulsg(gexpo(x),n));
    1114          14 :   if (is_bigint(x) || uel(x,2) >= HIGHEXPOBIT)
    1115           7 :     pari_err_OVERFLOW("gpow");
    1116           7 :   set_avma(av); return real_0_bit(itos(x));
    1117             : }
    1118             : 
    1119             : /* centermod(x, log(2)), set *sh to the quotient */
    1120             : static GEN
    1121    12998282 : modlog2(GEN x, long *sh)
    1122             : {
    1123    12998282 :   double d = rtodbl(x), qd = (fabs(d) + M_LN2/2)/M_LN2;
    1124    12998539 :   long q = (long)qd;
    1125    12998539 :   if (dblexpo(qd) >= BITS_IN_LONG-1) pari_err_OVERFLOW("expo()");
    1126    12998689 :   if (d < 0) q = -q;
    1127    12998689 :   *sh = q;
    1128    12998689 :   if (q) {
    1129    10615489 :     long l = realprec(x) + 1;
    1130    10615489 :     x = subrr(rtor(x,l), mulsr(q, mplog2(l)));
    1131    10614270 :     if (!signe(x)) return NULL;
    1132             :   }
    1133    12997470 :   return x;
    1134             : }
    1135             : 
    1136             : /* x^n, n a t_FRAC */
    1137             : static GEN
    1138     4001804 : powfrac(GEN x, GEN n, long prec)
    1139             : {
    1140     4001804 :   GEN a = gel(n,1), d = gel(n,2);
    1141     4001804 :   long D = itos_or_0(d);
    1142     4001775 :   if (D == 2)
    1143             :   {
    1144     3223333 :     GEN y = gsqrt(x,prec);
    1145     3224724 :     if (!equali1(a)) y = gmul(y, powgi(x, shifti(subiu(a,1), -1)));
    1146     3223527 :     return y;
    1147             :   }
    1148      778442 :   if (D && (is_real_t(typ(x)) && gsigne(x) > 0))
    1149             :   {
    1150             :     GEN z;
    1151      776682 :     prec += nbits2extraprec(expi(a));
    1152      776686 :     if (typ(x) != t_REAL) x = gtofp(x, prec);
    1153      776686 :     z = sqrtnr(x, D);
    1154      776686 :     if (!equali1(a)) z = powgi(z, a);
    1155      776686 :     return z;
    1156             :   }
    1157        1760 :   return NULL;
    1158             : }
    1159             : 
    1160             : /* n = a+ib, x > 0 real, ex ~ |log2(x)|; return precision at which
    1161             :  * log(x) must be computed to evaluate x^n */
    1162             : long
    1163      178676 : powcx_prec(long ex, GEN n, long prec)
    1164             : {
    1165      178676 :   GEN a = gel(n,1), b = gel(n,2);
    1166      178676 :   long e = (ex < 2)? 0: expu(ex);
    1167      178676 :   e += gexpo_safe(is_rational_t(typ(a))? b: n);
    1168      178676 :   return e > 2? prec + nbits2extraprec(e): prec;
    1169             : }
    1170             : GEN
    1171      257449 : powcx(GEN x, GEN logx, GEN n, long prec)
    1172             : {
    1173      257449 :   GEN sxb, cxb, xa, a = gel(n,1), xb = gmul(gel(n,2), logx);
    1174      257449 :   long sh, p = realprec(logx);
    1175      257449 :   switch(typ(a))
    1176             :   {
    1177       44563 :     case t_INT: xa = powgi(x, a); break;
    1178      123690 :     case t_FRAC: xa = powfrac(x, a, prec);
    1179      123690 :                  if (xa) break;
    1180             :     default:
    1181       89203 :       xa = modlog2(gmul(gel(n,1), logx), &sh);
    1182       89203 :       if (!xa) xa = real2n(sh, prec);
    1183             :       else
    1184             :       {
    1185       89203 :         if (signe(xa) && realprec(xa) > prec) setlg(xa, prec);
    1186       89203 :         xa = mpexp(xa); shiftr_inplace(xa, sh);
    1187             :       }
    1188             :   }
    1189      257449 :   if (typ(xb) != t_REAL) return xa;
    1190      257449 :   if (gexpo(xb) > 30)
    1191             :   {
    1192           0 :     GEN q, P = Pi2n(-2, p), z = addrr(xb,P); /* = x + Pi/4 */
    1193           0 :     shiftr_inplace(P, 1);
    1194           0 :     q = floorr(divrr(z, P)); /* round ( x / (Pi/2) ) */
    1195           0 :     xb = subrr(xb, mulir(q, P)); /* x mod Pi/2  */
    1196           0 :     sh = Mod4(q);
    1197             :   }
    1198             :   else
    1199             :   {
    1200      257449 :     long q = floor(rtodbl(xb) / (M_PI/2) + 0.5);
    1201      257449 :     if (q) xb = subrr(xb, mulsr(q, Pi2n(-1,p))); /* x mod Pi/2  */
    1202      257449 :     sh = q & 3;
    1203             :   }
    1204      257449 :   if (signe(xb) && realprec(xb) > prec) setlg(xb, prec);
    1205      257449 :   mpsincos(xb, &sxb, &cxb);
    1206      257449 :   return gmul(xa, mulcxpowIs(mkcomplex(cxb, sxb), sh));
    1207             : }
    1208             : 
    1209             : GEN
    1210    19254470 : gpow(GEN x, GEN n, long prec)
    1211             : {
    1212    19254470 :   long prec0, i, lx, tx, tn = typ(n);
    1213             :   pari_sp av;
    1214             :   GEN y;
    1215             : 
    1216    19254470 :   if (tn == t_INT) return powgi(x,n);
    1217     4214393 :   tx = typ(x);
    1218     4214393 :   if (is_matvec_t(tx))
    1219             :   {
    1220          49 :     y = cgetg_copy(x, &lx);
    1221         133 :     for (i=1; i<lx; i++) gel(y,i) = gpow(gel(x,i),n,prec);
    1222          49 :     return y;
    1223             :   }
    1224     4214407 :   av = avma;
    1225     4214407 :   switch (tx)
    1226             :   {
    1227          28 :     case t_POL: case t_RFRAC: x = toser_i(x); /* fall through */
    1228        7560 :     case t_SER:
    1229        7560 :       if (tn == t_FRAC) return gerepileupto(av, ser_powfrac(x, n, prec));
    1230         140 :       if (valp(x))
    1231          21 :         pari_err_DOMAIN("gpow [irrational exponent]",
    1232             :                         "valuation", "!=", gen_0, x);
    1233         119 :       if (lg(x) == 2) return gerepilecopy(av, x); /* O(1) */
    1234         112 :       return gerepileupto(av, ser_pow(x, n, prec));
    1235             :   }
    1236     4206841 :   if (gequal0(x)) return gpow0(x, n, prec);
    1237     4206778 :   if (tn == t_FRAC)
    1238             :   {
    1239     3881142 :     GEN p, z, a = gel(n,1), d = gel(n,2);
    1240     3881142 :     switch (tx)
    1241             :     {
    1242      674226 :     case t_INT:
    1243      674226 :       if (signe(x) < 0)
    1244             :       {
    1245          42 :         if (equaliu(d, 2) && Z_issquareall(negi(x), &z))
    1246             :         {
    1247          21 :           z = powgi(z, a);
    1248          21 :           if (Mod4(a) == 3) z = gneg(z);
    1249     3879269 :           return gerepilecopy(av, mkcomplex(gen_0, z));
    1250             :         }
    1251          21 :         break;
    1252             :       }
    1253      674184 :       if (ispower(x, d, &z)) return powgi(z, a);
    1254      672627 :       break;
    1255       69820 :     case t_FRAC:
    1256       69820 :       if (signe(gel(x,1)) < 0)
    1257             :       {
    1258          28 :         if (equaliu(d, 2) && ispower(absfrac(x), d, &z))
    1259           7 :           return gerepilecopy(av, mkcomplex(gen_0, powgi(z, a)));
    1260          21 :         break;
    1261             :       }
    1262       69792 :       if (ispower(x, d, &z)) return powgi(z, a);
    1263       68420 :       break;
    1264             : 
    1265          21 :     case t_INTMOD:
    1266          21 :       p = gel(x,1);
    1267          21 :       if (!BPSW_psp(p)) pari_err_PRIME("gpow",p);
    1268          14 :       y = cgetg(3,t_INTMOD); gel(y,1) = icopy(p);
    1269          14 :       av = avma;
    1270          14 :       z = Fp_sqrtn(gel(x,2), d, p, NULL);
    1271          14 :       if (!z) pari_err_SQRTN("gpow",x);
    1272           7 :       gel(y,2) = gerepileuptoint(av, Fp_pow(z, a, p));
    1273           7 :       return y;
    1274             : 
    1275          14 :     case t_PADIC:
    1276          14 :       z = Qp_sqrtn(x, d, NULL); if (!z) pari_err_SQRTN("gpow",x);
    1277           7 :       return gerepileupto(av, powgi(z, a));
    1278             : 
    1279          21 :     case t_FFELT:
    1280          21 :       return gerepileupto(av,FF_pow(FF_sqrtn(x,d,NULL),a));
    1281             :     }
    1282     3878129 :     z = powfrac(x, n, prec);
    1283     3878259 :     if (z) return gerepileupto(av, z);
    1284             :   }
    1285      327389 :   if (tn == t_COMPLEX && is_real_t(typ(x)) && gsigne(x) > 0)
    1286             :   {
    1287      168057 :     long p = powcx_prec(fabs(dbllog2(x)), n, prec);
    1288      168057 :     return gerepileupto(av, powcx(x, glog(x, p), n, prec));
    1289             :   }
    1290      159332 :   if (tn == t_PADIC) x = gcvtop(x, gel(n,2), precp(n));
    1291      159332 :   i = precision(n);
    1292      159333 :   if (i) prec = i;
    1293      159333 :   prec0 = prec;
    1294      159333 :   if (!gprecision(x))
    1295             :   {
    1296       38206 :     long e = gexpo_safe(n); /* avoided if n = 0 or gexpo not defined */
    1297       38206 :     if (e > 2) prec += nbits2extraprec(e);
    1298             :   }
    1299      159333 :   y = gmul(n, glog(x,prec));
    1300      159305 :   y = gexp(y,prec);
    1301      159305 :   if (prec0 == prec) return gerepileupto(av, y);
    1302       29246 :   return gerepilecopy(av, gprec_wtrunc(y,prec0));
    1303             : }
    1304             : GEN
    1305        9786 : powPis(GEN s, long prec)
    1306             : {
    1307        9786 :   pari_sp av = avma;
    1308             :   GEN x;
    1309        9786 :   if (typ(s) != t_COMPLEX) return gpow(mppi(prec), s, prec);
    1310         427 :   x = mppi(powcx_prec(1, s, prec));
    1311         427 :   return gerepileupto(av, powcx(x, logr_abs(x), s, prec));
    1312             : }
    1313             : GEN
    1314        7861 : pow2Pis(GEN s, long prec)
    1315             : {
    1316        7861 :   pari_sp av = avma;
    1317             :   GEN x;
    1318        7861 :   if (typ(s) != t_COMPLEX) return gpow(Pi2n(1,prec), s, prec);
    1319        1876 :   x = Pi2n(1, powcx_prec(2, s, prec));
    1320        1876 :   return gerepileupto(av, powcx(x, logr_abs(x), s, prec));
    1321             : }
    1322             : 
    1323             : GEN
    1324      199744 : gpowers0(GEN x, long n, GEN x0)
    1325             : {
    1326             :   long i, l;
    1327             :   GEN V;
    1328      199744 :   if (!x0) return gpowers(x,n);
    1329      185258 :   if (n < 0) return cgetg(1,t_VEC);
    1330      185258 :   l = n+2; V = cgetg(l, t_VEC); gel(V,1) = gcopy(x0);
    1331     7609238 :   for (i = 2; i < l; i++) gel(V,i) = gmul(gel(V,i-1),x);
    1332      185290 :   return V;
    1333             : }
    1334             : 
    1335             : GEN
    1336      318496 : gpowers(GEN x, long n)
    1337             : {
    1338      318496 :   if (n < 0) return cgetg(1,t_VEC);
    1339      318489 :   return gen_powers(x, n, 1, (void*)x, &_sqr, &_mul, &_one);
    1340             : }
    1341             : 
    1342             : /* return [q^1,q^4,...,q^{n^2}] */
    1343             : GEN
    1344       37429 : gsqrpowers(GEN q, long n)
    1345             : {
    1346       37429 :   pari_sp av = avma;
    1347       37429 :   GEN L = gpowers0(gsqr(q), n, q); /* L[i] = q^(2i - 1), i <= n+1 */
    1348       37429 :   GEN v = cgetg(n+1, t_VEC);
    1349             :   long i;
    1350       37429 :   gel(v, 1) = gcopy(q);
    1351     6951917 :   for (i = 2; i <= n ; ++i) gel(v, i) = q = gmul(q, gel(L,i)); /* q^(i^2) */
    1352       37429 :   return gerepileupto(av, v);
    1353             : }
    1354             : 
    1355             : /* 4 | N. returns a vector RU which contains exp(2*i*k*Pi/N), k=0..N-1 */
    1356             : static GEN
    1357      568434 : grootsof1_4(long N, long prec)
    1358             : {
    1359      568434 :   GEN z, RU = cgetg(N+1,t_COL), *v  = ((GEN*)RU) + 1;
    1360      568432 :   long i, N2 = (N>>1), N4 = (N>>2), N8 = (N>>3);
    1361             :   /* z^N2 = -1, z^N4 = I; if z^k = a+I*b, then z^(N4-k) = I*conj(z) = b+a*I */
    1362             : 
    1363      568432 :   v[0] = gen_1; v[1] = z = rootsof1u_cx(N, prec);
    1364      568434 :   if (odd(N4)) N8++;
    1365      678301 :   for (i=1; i<N8; i++)
    1366             :   {
    1367      109873 :     GEN t = v[i];
    1368      109873 :     v[i+1] = gmul(z, t);
    1369      109872 :     v[N4-i] = mkcomplex(gel(t,2), gel(t,1));
    1370             :   }
    1371     1669078 :   for (i=0; i<N4; i++) v[i+N4] = mulcxI(v[i]);
    1372     2769725 :   for (i=0; i<N2; i++) v[i+N2] = gneg(v[i]);
    1373      568431 :   return RU;
    1374             : }
    1375             : 
    1376             : /* as above, N arbitrary */
    1377             : GEN
    1378      700817 : grootsof1(long N, long prec)
    1379             : {
    1380             :   GEN z, RU, *v;
    1381             :   long i, k;
    1382             : 
    1383      700817 :   if (N <= 0) pari_err_DOMAIN("rootsof1", "N", "<=", gen_0, stoi(N));
    1384      700804 :   if ((N & 3) == 0) return grootsof1_4(N, prec);
    1385      132370 :   if (N <= 2) return N == 1? mkcol(gen_1): mkcol2(gen_1, gen_m1);
    1386       14211 :   k = (N+1)>>1;
    1387       14211 :   RU = cgetg(N+1,t_COL);
    1388       14211 :   v  = ((GEN*)RU) + 1;
    1389       14211 :   v[0] = gen_1; v[1] = z = rootsof1u_cx(N, prec);
    1390       74375 :   for (i=2; i<k; i++) v[i] = gmul(z, v[i-1]);
    1391       14211 :   if (!odd(N)) v[i++] = gen_m1; /*avoid loss of accuracy*/
    1392       88586 :   for (   ; i<N; i++) v[i] = gconj(v[N-i]);
    1393       14211 :   return RU;
    1394             : }
    1395             : 
    1396             : /********************************************************************/
    1397             : /**                                                                **/
    1398             : /**                        RACINE CARREE                           **/
    1399             : /**                                                                **/
    1400             : /********************************************************************/
    1401             : /* assume x unit, e = precp(x) */
    1402             : GEN
    1403      144690 : Z2_sqrt(GEN x, long e)
    1404             : {
    1405      144690 :   ulong r = signe(x)>=0?mod16(x):16-mod16(x);
    1406             :   GEN z;
    1407             :   long ez;
    1408             :   pari_sp av;
    1409             : 
    1410      144690 :   switch(e)
    1411             :   {
    1412           7 :     case 1: return gen_1;
    1413         161 :     case 2: return (r & 3UL) == 1? gen_1: NULL;
    1414          28 :     case 3: return (r & 7UL) == 1? gen_1: NULL;
    1415       71064 :     case 4: if (r == 1) return gen_1;
    1416       35133 :             else return (r == 9)? utoipos(3): NULL;
    1417       73430 :     default: if ((r&7UL) != 1) return NULL;
    1418             :   }
    1419       73430 :   av = avma; z = (r==1)? gen_1: utoipos(3);
    1420       73430 :   ez = 3; /* number of correct bits in z (compared to sqrt(x)) */
    1421             :   for(;;)
    1422       47978 :   {
    1423             :     GEN mod;
    1424      121408 :     ez = (ez<<1) - 1;
    1425      121408 :     if (ez > e) ez = e;
    1426      121408 :     mod = int2n(ez);
    1427      121408 :     z = addii(z, remi2n(mulii(x, Fp_inv(z,mod)), ez));
    1428      121408 :     z = shifti(z, -1); /* (z + x/z) / 2 */
    1429      121408 :     if (e == ez) return gerepileuptoint(av, z);
    1430       47978 :     if (ez < e) ez--;
    1431       47978 :     if (gc_needed(av,2))
    1432             :     {
    1433           0 :       if (DEBUGMEM > 1) pari_warn(warnmem,"Qp_sqrt");
    1434           0 :       z = gerepileuptoint(av,z);
    1435             :     }
    1436             :   }
    1437             : }
    1438             : 
    1439             : /* x unit defined modulo p^e, e > 0 */
    1440             : GEN
    1441        1897 : Qp_sqrt(GEN x)
    1442             : {
    1443        1897 :   long pp, e = valp(x);
    1444        1897 :   GEN z,y,mod, p = gel(x,2);
    1445             : 
    1446        1897 :   if (gequal0(x)) return zeropadic(p, (e+1) >> 1);
    1447        1883 :   if (e & 1) return NULL;
    1448             : 
    1449        1869 :   y = cgetg(5,t_PADIC);
    1450        1869 :   pp = precp(x);
    1451        1869 :   mod = gel(x,3);
    1452        1869 :   z   = gel(x,4); /* lift to t_INT */
    1453        1869 :   e >>= 1;
    1454        1869 :   z = Zp_sqrt(z, p, pp);
    1455        1869 :   if (!z) return NULL;
    1456        1806 :   if (absequaliu(p,2))
    1457             :   {
    1458         805 :     pp  = (pp <= 3) ? 1 : pp-1;
    1459         805 :     mod = int2n(pp);
    1460             :   }
    1461        1001 :   else mod = icopy(mod);
    1462        1806 :   y[1] = evalprecp(pp) | evalvalp(e);
    1463        1806 :   gel(y,2) = icopy(p);
    1464        1806 :   gel(y,3) = mod;
    1465        1806 :   gel(y,4) = z; return y;
    1466             : }
    1467             : 
    1468             : GEN
    1469         420 : Zn_sqrt(GEN d, GEN fn)
    1470             : {
    1471         420 :   pari_sp ltop = avma, btop;
    1472         420 :   GEN b = gen_0, m = gen_1;
    1473             :   long j, np;
    1474         420 :   if (typ(d) != t_INT) pari_err_TYPE("Zn_sqrt",d);
    1475         420 :   if (typ(fn) == t_INT)
    1476           0 :     fn = absZ_factor(fn);
    1477         420 :   else if (!is_Z_factorpos(fn))
    1478           0 :     pari_err_TYPE("Zn_sqrt",fn);
    1479         420 :   np = nbrows(fn);
    1480         420 :   btop = avma;
    1481        1680 :   for (j = 1; j <= np; ++j)
    1482             :   {
    1483             :     GEN  bp, mp, pr, r;
    1484        1260 :     GEN  p = gcoeff(fn, j, 1);
    1485        1260 :     long e = itos(gcoeff(fn, j, 2));
    1486        1260 :     long v = Z_pvalrem(d,p,&r);
    1487        1260 :     if (v >= e) bp =gen_0;
    1488             :     else
    1489             :     {
    1490        1134 :       if (odd(v)) return NULL;
    1491        1134 :       bp = Zp_sqrt(r, p, e-v);
    1492        1134 :       if (!bp)    return NULL;
    1493        1134 :       if (v) bp = mulii(bp, powiu(p, v>>1L));
    1494             :     }
    1495        1260 :     mp = powiu(p, e);
    1496        1260 :     pr = mulii(m, mp);
    1497        1260 :     b = Z_chinese_coprime(b, bp, m, mp, pr);
    1498        1260 :     m = pr;
    1499        1260 :     if (gc_needed(btop, 1))
    1500           0 :       gerepileall(btop, 2, &b, &m);
    1501             :   }
    1502         420 :   return gerepileupto(ltop, b);
    1503             : }
    1504             : 
    1505             : static GEN
    1506       22351 : sqrt_ser(GEN b, long prec)
    1507             : {
    1508       22351 :   long e = valp(b), vx = varn(b), lx, lold, j;
    1509             :   ulong mask;
    1510             :   GEN a, x, lta, ltx;
    1511             : 
    1512       22351 :   if (!signe(b)) return zeroser(vx, e>>1);
    1513       22351 :   a = leafcopy(b);
    1514       22351 :   x = cgetg_copy(b, &lx);
    1515       22351 :   if (e & 1)
    1516          14 :     pari_err_DOMAIN("sqrtn", "valuation", "!=", mkintmod(gen_0, gen_2), b);
    1517       22337 :   a[1] = x[1] = evalsigne(1) | evalvarn(0) | _evalvalp(0);
    1518       22337 :   lta = gel(a,2);
    1519       22337 :   if (gequal1(lta)) ltx = lta;
    1520       14833 :   else if (!issquareall(lta,&ltx)) ltx = gsqrt(lta,prec);
    1521       22330 :   gel(x,2) = ltx;
    1522      335993 :   for (j = 3; j < lx; j++) gel(x,j) = gen_0;
    1523       22330 :   setlg(x,3);
    1524       22330 :   mask = quadratic_prec_mask(lx - 2);
    1525       22330 :   lold = 1;
    1526      107887 :   while (mask > 1)
    1527             :   {
    1528       85557 :     GEN y, x2 = gmul2n(x,1);
    1529       85557 :     long l = lold << 1, lx;
    1530             : 
    1531       85557 :     if (mask & 1) l--;
    1532       85557 :     mask >>= 1;
    1533       85557 :     setlg(a, l + 2);
    1534       85557 :     setlg(x, l + 2);
    1535       85557 :     y = sqr_ser_part(x, lold, l-1) - lold;
    1536      399220 :     for (j = lold+2; j < l+2; j++) gel(y,j) = gsub(gel(y,j), gel(a,j));
    1537       85557 :     y += lold; setvalp(y, lold);
    1538       85557 :     y = normalizeser(y);
    1539       85557 :     y = gsub(x, gdiv(y, x2)); /* = gmul2n(gsub(x, gdiv(a,x)), -1); */
    1540       85557 :     lx = minss(l+2, lg(y));
    1541      399213 :     for (j = lold+2; j < lx; j++) gel(x,j) = gel(y,j);
    1542       85557 :     lold = l;
    1543             :   }
    1544       22330 :   x[1] = evalsigne(1) | evalvarn(vx) | _evalvalp(e >> 1);
    1545       22330 :   return x;
    1546             : }
    1547             : 
    1548             : GEN
    1549    42116731 : gsqrt(GEN x, long prec)
    1550             : {
    1551             :   pari_sp av;
    1552             :   GEN y;
    1553             : 
    1554    42116731 :   switch(typ(x))
    1555             :   {
    1556      380278 :     case t_INT:
    1557      380278 :       if (!signe(x)) return real_0(prec); /* no loss of accuracy */
    1558      380208 :       x = itor(x,prec); /* fall through */
    1559    32510445 :     case t_REAL: return sqrtr(x);
    1560             : 
    1561          35 :     case t_INTMOD:
    1562             :     {
    1563          35 :       GEN p = gel(x,1), a;
    1564          35 :       y = cgetg(3,t_INTMOD); gel(y,1) = icopy(p);
    1565          35 :       a = Fp_sqrt(gel(x,2),p);
    1566          21 :       if (!a)
    1567             :       {
    1568           7 :         if (!BPSW_psp(p)) pari_err_PRIME("sqrt [modulus]",p);
    1569           7 :         pari_err_SQRTN("gsqrt",x);
    1570             :       }
    1571          14 :       gel(y,2) = a; return y;
    1572             :     }
    1573             : 
    1574     9337621 :     case t_COMPLEX:
    1575             :     { /* (u+iv)^2 = a+ib <=> u^2+v^2 = sqrt(a^2+b^2), u^2-v^2=a, 2uv=b */
    1576     9337621 :       GEN a = gel(x,1), b = gel(x,2), r, u, v;
    1577     9337621 :       if (isrationalzero(b)) return gsqrt(a, prec);
    1578     9337623 :       y = cgetg(3,t_COMPLEX); av = avma;
    1579             : 
    1580     9337625 :       r = cxnorm(x);
    1581     9337617 :       if (typ(r) == t_INTMOD || typ(r) == t_PADIC)
    1582           0 :         pari_err_IMPL("sqrt(complex of t_INTMODs)");
    1583     9337617 :       r = gsqrt(r, prec); /* t_REAL, |a+Ib| */
    1584     9337621 :       if (!signe(r))
    1585          67 :         u = v = gerepileuptoleaf(av, sqrtr(r));
    1586     9337554 :       else if (gsigne(a) < 0)
    1587             :       {
    1588             :         /* v > 0 since r > 0, a < 0, rounding errors can't make the sum of two
    1589             :          * positive numbers = 0 */
    1590      133689 :         v = sqrtr( gmul2n(gsub(r,a), -1) );
    1591      133689 :         if (gsigne(b) < 0) togglesign(v);
    1592      133689 :         v = gerepileuptoleaf(av, v); av = avma;
    1593             :         /* v = 0 is impossible */
    1594      133689 :         u = gerepileuptoleaf(av, gdiv(b, shiftr(v,1)));
    1595             :       } else {
    1596     9203865 :         u = sqrtr( gmul2n(gadd(r,a), -1) );
    1597     9203868 :         u = gerepileuptoleaf(av, u); av = avma;
    1598     9203870 :         if (!signe(u)) /* possible if a = 0.0, e.g. sqrt(0.e-10+1e-10*I) */
    1599           7 :           v = u;
    1600             :         else
    1601     9203863 :           v = gerepileuptoleaf(av, gdiv(b, shiftr(u,1)));
    1602             :       }
    1603     9337626 :       gel(y,1) = u;
    1604     9337626 :       gel(y,2) = v; return y;
    1605             :     }
    1606             : 
    1607          63 :     case t_PADIC:
    1608          63 :       y = Qp_sqrt(x);
    1609          63 :       if (!y) pari_err_SQRTN("Qp_sqrt",x);
    1610          42 :       return y;
    1611             : 
    1612          70 :     case t_FFELT: return FF_sqrt(x);
    1613             : 
    1614      268423 :     default:
    1615      268423 :       av = avma; if (!(y = toser_i(x))) break;
    1616       22351 :       return gerepilecopy(av, sqrt_ser(y, prec));
    1617             :   }
    1618      246072 :   return trans_eval("sqrt",gsqrt,x,prec);
    1619             : }
    1620             : /********************************************************************/
    1621             : /**                                                                **/
    1622             : /**                          N-th ROOT                             **/
    1623             : /**                                                                **/
    1624             : /********************************************************************/
    1625             : 
    1626             : static GEN
    1627      424937 : Z_to_padic(GEN a, GEN p, long e)
    1628             : {
    1629      424937 :   if (signe(a)==0)
    1630        1029 :     return zeropadic(p, e);
    1631             :   else
    1632             :   {
    1633      423908 :     GEN z = cgetg(5, t_PADIC);
    1634      423908 :     long v = Z_pvalrem(a, p, &a), d = e - v;
    1635      423908 :     z[1] = evalprecp(d) | evalvalp(v);
    1636      423908 :     gel(z,2) = icopy(p);
    1637      423908 :     gel(z,3) = powiu(p, d);
    1638      423908 :     gel(z,4) = a;
    1639      423908 :     return z;
    1640             :   }
    1641             : }
    1642             : 
    1643             : GEN
    1644      317729 : Qp_log(GEN x)
    1645             : {
    1646      317729 :   pari_sp av = avma;
    1647      317729 :   GEN y, p = gel(x,2), a = gel(x,4);
    1648      317729 :   long e = precp(x);
    1649             : 
    1650      317729 :   if (!signe(a)) pari_err_DOMAIN("Qp_log", "argument", "=", gen_0, x);
    1651      317708 :   if (absequaliu(p,2) || equali1(modii(a, p)))
    1652      108703 :     y = Zp_log(a, p, e);
    1653             :   else
    1654             :   { /* compute log(x^(p-1)) / (p-1) */
    1655      209005 :     GEN q = gel(x,3), t = subiu(p, 1);
    1656      209005 :     a = Fp_pow(a, t, q);
    1657      209005 :     y = Fp_mul(Zp_log(a, p, e), diviiexact(subsi(1, q), t), q);
    1658             :   }
    1659      317708 :   return gerepileupto(av, Z_to_padic(y, p, e));
    1660             : }
    1661             : 
    1662             : static GEN Qp_exp_safe(GEN x);
    1663             : 
    1664             : /*compute the p^e th root of x p-adic, assume x != 0 */
    1665             : static GEN
    1666         854 : Qp_sqrtn_ram(GEN x, long e)
    1667             : {
    1668         854 :   pari_sp ltop=avma;
    1669         854 :   GEN a, p = gel(x,2), n = powiu(p,e);
    1670         854 :   long v = valp(x), va;
    1671         854 :   if (v)
    1672             :   {
    1673             :     long z;
    1674         161 :     v = sdivsi_rem(v, n, &z);
    1675         161 :     if (z) return NULL;
    1676          91 :     x = leafcopy(x);
    1677          91 :     setvalp(x,0);
    1678             :   }
    1679             :   /*If p = 2, -1 is a root of 1 in U1: need extra check*/
    1680         784 :   if (absequaliu(p, 2) && mod8(gel(x,4)) != 1) return NULL;
    1681         749 :   a = Qp_log(x);
    1682         749 :   va = valp(a) - e;
    1683         749 :   if (va <= 0)
    1684             :   {
    1685         287 :     if (signe(gel(a,4))) return NULL;
    1686             :     /* all accuracy lost */
    1687         119 :     a = cvtop(remii(gel(x,4),p), p, 1);
    1688             :   }
    1689             :   else
    1690             :   {
    1691         462 :     setvalp(a, va); /* divide by p^e */
    1692         462 :     a = Qp_exp_safe(a);
    1693         462 :     if (!a) return NULL;
    1694             :     /* n=p^e and a^n=z*x where z is a (p-1)th-root of 1.
    1695             :      * Since z^n=z, we have (a/z)^n = x. */
    1696         462 :     a = gdiv(x, powgi(a,subiu(n,1))); /* = a/z = x/a^(n-1)*/
    1697         462 :     if (v) setvalp(a,v);
    1698             :   }
    1699         581 :   return gerepileupto(ltop,a);
    1700             : }
    1701             : 
    1702             : /*compute the nth root of x p-adic p prime with n*/
    1703             : static GEN
    1704        2037 : Qp_sqrtn_unram(GEN x, GEN n, GEN *zetan)
    1705             : {
    1706             :   pari_sp av;
    1707        2037 :   GEN Z, a, r, p = gel(x,2);
    1708        2037 :   long v = valp(x);
    1709        2037 :   if (v)
    1710             :   {
    1711             :     long z;
    1712          84 :     v = sdivsi_rem(v,n,&z);
    1713          84 :     if (z) return NULL;
    1714             :   }
    1715        2030 :   r = cgetp(x); setvalp(r,v);
    1716        2030 :   Z = NULL; /* -Wall */
    1717        2030 :   if (zetan) Z = cgetp(x);
    1718        2030 :   av = avma; a = Fp_sqrtn(gel(x,4), n, p, zetan);
    1719        2030 :   if (!a) return NULL;
    1720        2016 :   affii(Zp_sqrtnlift(gel(x,4), n, a, p, precp(x)), gel(r,4));
    1721        2016 :   if (zetan)
    1722             :   {
    1723          14 :     affii(Zp_sqrtnlift(gen_1, n, *zetan, p, precp(x)), gel(Z,4));
    1724          14 :     *zetan = Z;
    1725             :   }
    1726        2016 :   return gc_const(av,r);
    1727             : }
    1728             : 
    1729             : GEN
    1730        2604 : Qp_sqrtn(GEN x, GEN n, GEN *zetan)
    1731             : {
    1732             :   pari_sp av, tetpil;
    1733             :   GEN q, p;
    1734             :   long e;
    1735        2604 :   if (absequaliu(n, 2))
    1736             :   {
    1737          70 :     if (zetan) *zetan = gen_m1;
    1738          70 :     if (signe(n) < 0) x = ginv(x);
    1739          63 :     return Qp_sqrt(x);
    1740             :   }
    1741        2534 :   av = avma; p = gel(x,2);
    1742        2534 :   if (!signe(gel(x,4)))
    1743             :   {
    1744         203 :     if (signe(n) < 0) pari_err_INV("Qp_sqrtn", x);
    1745         203 :     q = divii(addis(n, valp(x)-1), n);
    1746         203 :     if (zetan) *zetan = gen_1;
    1747         203 :     set_avma(av); return zeropadic(p, itos(q));
    1748             :   }
    1749             :   /* treat the ramified part using logarithms */
    1750        2331 :   e = Z_pvalrem(n, p, &q);
    1751        2331 :   if (e) { x = Qp_sqrtn_ram(x,e); if (!x) return NULL; }
    1752        2058 :   if (is_pm1(q))
    1753             :   { /* finished */
    1754          21 :     if (signe(q) < 0) x = ginv(x);
    1755          21 :     x = gerepileupto(av, x);
    1756          21 :     if (zetan)
    1757          28 :       *zetan = (e && absequaliu(p, 2))? gen_m1 /*-1 in Q_2*/
    1758          28 :                                    : gen_1;
    1759          21 :     return x;
    1760             :   }
    1761        2037 :   tetpil = avma;
    1762             :   /* use hensel lift for unramified case */
    1763        2037 :   x = Qp_sqrtn_unram(x, q, zetan);
    1764        2037 :   if (!x) return NULL;
    1765        2016 :   if (zetan)
    1766             :   {
    1767             :     GEN *gptr[2];
    1768          14 :     if (e && absequaliu(p, 2))/*-1 in Q_2*/
    1769             :     {
    1770           7 :       tetpil = avma; x = gcopy(x); *zetan = gneg(*zetan);
    1771             :     }
    1772          14 :     gptr[0] = &x; gptr[1] = zetan;
    1773          14 :     gerepilemanysp(av,tetpil,gptr,2);
    1774          14 :     return x;
    1775             :   }
    1776        2002 :   return gerepile(av,tetpil,x);
    1777             : }
    1778             : 
    1779             : GEN
    1780       23626 : sqrtnint(GEN a, long n)
    1781             : {
    1782       23626 :   pari_sp av = avma;
    1783             :   GEN x, b, q;
    1784             :   long s, k, e;
    1785       23626 :   const ulong nm1 = n - 1;
    1786       23626 :   if (n == 2) return sqrtint(a);
    1787       19643 :   if (typ(a) != t_INT)
    1788             :   {
    1789          35 :     if (typ(a) == t_REAL)
    1790             :     {
    1791             :       long e;
    1792          14 :       switch(signe(a))
    1793             :       {
    1794           0 :         case 0: return gen_0;
    1795           7 :         case -1: pari_err_DOMAIN("sqrtnint", "argument", "<", gen_0,a);
    1796             :       }
    1797           7 :       e = expo(a); if (e < 0) return gen_0;
    1798           7 :       if (nbits2lg(e+1) > lg(a))
    1799           0 :         a = floorr(sqrtnr(a,n)); /* try to avoid precision loss in truncation */
    1800             :       else
    1801           7 :         a = sqrtnint(truncr(a),n);
    1802             :     }
    1803             :     else
    1804             :     {
    1805          21 :       GEN b = gfloor(a);
    1806          21 :       if (typ(b) != t_INT) pari_err_TYPE("sqrtint",a);
    1807          14 :       if (signe(b) < 0) pari_err_DOMAIN("sqrtnint", "argument", "<", gen_0,b);
    1808           7 :       a = sqrtnint(b, n);
    1809             :     }
    1810          14 :     return gerepileuptoint(av, a);
    1811             :   }
    1812       19608 :   if (n <= 0) pari_err_DOMAIN("sqrtnint", "n", "<=", gen_0, stoi(n));
    1813       19601 :   if (n == 1) return icopy(a);
    1814       17459 :   s = signe(a);
    1815       17459 :   if (s < 0) pari_err_DOMAIN("sqrtnint", "x", "<", gen_0, a);
    1816       17459 :   if (!s) return gen_0;
    1817       17382 :   if (lgefint(a) == 3) return utoi(usqrtn(itou(a), n));
    1818       11606 :   e = expi(a); k = e/(2*n);
    1819       11606 :   if (k == 0)
    1820             :   {
    1821             :     long flag;
    1822         291 :     if (n > e) return gc_const(av, gen_1);
    1823         291 :     flag = cmpii(a, powuu(3, n)); set_avma(av);
    1824         291 :     return (flag < 0) ? gen_2: stoi(3);
    1825             :   }
    1826       11315 :   if (e < n*BITS_IN_LONG - 1)
    1827             :   {
    1828             :     ulong xs, qs;
    1829        4181 :     b = itor(a, (2*e < n*BITS_IN_LONG)? DEFAULTPREC: MEDDEFAULTPREC);
    1830        4181 :     x = mpexp(divru(logr_abs(b), n));
    1831        4181 :     xs = itou(floorr(x)) + 1; /* >= a^(1/n) */
    1832             :     for(;;) {
    1833        8184 :       q = divii(a, powuu(xs, nm1));
    1834        8184 :       if (lgefint(q) > 3) break;
    1835        8177 :       qs = itou(q); if (qs >= xs) break;
    1836        4003 :       xs -= (xs - qs + nm1)/n;
    1837             :     }
    1838        4181 :     return utoi(xs);
    1839             :   }
    1840        7134 :   b = addui(1, shifti(a, -n*k));
    1841        7134 :   x = shifti(addui(1, sqrtnint(b, n)), k);
    1842        7134 :   q = divii(a, powiu(x, nm1));
    1843       15994 :   while (cmpii(q, x) < 0) /* a priori one iteration, no GC necessary */
    1844             :   {
    1845        8860 :     x = subii(x, divis(addui(nm1, subii(x, q)), n));
    1846        8860 :     q = divii(a, powiu(x, nm1));
    1847             :   }
    1848        7134 :   return gerepileuptoleaf(av, x);
    1849             : }
    1850             : 
    1851             : ulong
    1852        7659 : usqrtn(ulong a, ulong n)
    1853             : {
    1854             :   ulong x, s, q;
    1855        7659 :   const ulong nm1 = n - 1;
    1856        7659 :   if (!n) pari_err_DOMAIN("sqrtnint", "n", "=", gen_0, utoi(n));
    1857        7659 :   if (n == 1 || a == 0) return a;
    1858        7659 :   s = 1 + expu(a)/n; x = 1UL << s;
    1859        7659 :   q = (nm1*s >= BITS_IN_LONG)? 0: a >> (nm1*s);
    1860       19624 :   while (q < x) {
    1861             :     ulong X;
    1862       11965 :     x -= (x - q + nm1)/n;
    1863       11965 :     X = upowuu(x, nm1);
    1864       11965 :     q = X? a/X: 0;
    1865             :   }
    1866        7659 :   return x;
    1867             : }
    1868             : 
    1869             : static ulong
    1870      843606 : cubic_prec_mask(long n)
    1871             : {
    1872      843606 :   long a = n, i;
    1873      843606 :   ulong mask = 0;
    1874      843606 :   for(i = 1;; i++, mask *= 3)
    1875     4032485 :   {
    1876     4876091 :     long c = a%3;
    1877     4876091 :     if (c) mask += 3 - c;
    1878     4876091 :     a = (a+2)/3;
    1879     4876091 :     if (a==1) return mask + upowuu(3, i);
    1880             :   }
    1881             : }
    1882             : 
    1883             : /* cubic Newton iteration, |a|^(1/n), assuming a != 0 */
    1884             : GEN
    1885     1094813 : sqrtnr_abs(GEN a, long n)
    1886             : {
    1887             :   pari_sp av;
    1888             :   GEN x, b;
    1889             :   long eextra, eold, n1, n2, prec, B, v;
    1890             :   ulong mask;
    1891             : 
    1892     1094813 :   if (n == 1) return mpabs(a);
    1893     1094069 :   if (n == 2) return sqrtr_abs(a);
    1894             : 
    1895     1009663 :   prec = realprec(a); v = expo(a) / n; av = avma;
    1896     1009663 :   if (v) a = shiftr(a, -n*v);
    1897     1009668 :   b = rtor(a, DEFAULTPREC);
    1898     1009672 :   x = mpexp(divru(logr_abs(b), n));
    1899     1009677 :   if (prec == DEFAULTPREC)
    1900             :   {
    1901      204756 :     if (v) shiftr_inplace(x, v);
    1902      204755 :     return gerepileuptoleaf(av, x);
    1903             :   }
    1904      804921 :   n1 = n+1;
    1905      804921 :   n2 = 2*n;
    1906      804921 :   B = prec2nbits(prec);
    1907      804921 :   eextra = expu(n)-1;
    1908      804921 :   mask = cubic_prec_mask(B + 63);
    1909      804921 :   eold = 1;
    1910             :   for(;;)
    1911     3197646 :   { /* reach 64 */
    1912     4002567 :     long enew = eold * 3;
    1913     4002567 :     enew -= mask % 3;
    1914     4002567 :     if (enew > 64) break; /* back up one step */
    1915     3197646 :     mask /= 3;
    1916     3197646 :     eold = enew;
    1917             :   }
    1918             :   for(;;)
    1919      666627 :   {
    1920     1471548 :     long pr, enew = eold * 3;
    1921             :     GEN y, z;
    1922     1471548 :     enew -= mask % 3;
    1923     1471548 :     mask /= 3;
    1924     1471548 :     pr = nbits2prec(enew + eextra);
    1925     1471548 :     b = rtor(a, pr); setsigne(b,1);
    1926     1471548 :     x = rtor(x, pr);
    1927     1471548 :     y = subrr(powru(x, n), b);
    1928     1471548 :     z = divrr(y, addrr(mulur(n1, y), mulur(n2, b)));
    1929     1471548 :     shiftr_inplace(z,1);
    1930     1471548 :     x = mulrr(x, subsr(1,z));
    1931     1471548 :     if (mask == 1)
    1932             :     {
    1933      804921 :       if (v) shiftr_inplace(x, v);
    1934      804921 :       return gerepileuptoleaf(av, gprec_wtrunc(x,prec));
    1935             :     }
    1936      666627 :     eold = enew;
    1937             :   }
    1938             : }
    1939             : 
    1940             : static void
    1941       55733 : shiftc_inplace(GEN z, long d)
    1942             : {
    1943       55733 :   shiftr_inplace(gel(z,1), d);
    1944       55733 :   shiftr_inplace(gel(z,2), d);
    1945       55733 : }
    1946             : 
    1947             : /* exp(2*Pi*I/n), same iteration as sqrtnr_abs, different initial point */
    1948             : static GEN
    1949      446256 : sqrtnof1(ulong n, long prec)
    1950             : {
    1951             :   pari_sp av;
    1952             :   GEN x;
    1953             :   long eold, n1, n2, B;
    1954             :   ulong mask;
    1955             : 
    1956      446256 :   B = prec2nbits(prec);
    1957      446256 :   n1 = n+1;
    1958      446256 :   n2 = 2*n; av = avma;
    1959             : 
    1960      446256 :   x = expIr(divru(Pi2n(1, LOWDEFAULTPREC), n));
    1961      446256 :   if (prec == LOWDEFAULTPREC) return gerepileupto(av, x);
    1962       38685 :   mask = cubic_prec_mask(B + BITS_IN_LONG-1);
    1963       38685 :   eold = 1;
    1964             :   for(;;)
    1965      151164 :   { /* reach BITS_IN_LONG */
    1966      189849 :     long enew = eold * 3;
    1967      189849 :     enew -= mask % 3;
    1968      189849 :     if (enew > BITS_IN_LONG) break; /* back up one step */
    1969      151164 :     mask /= 3;
    1970      151164 :     eold = enew;
    1971             :   }
    1972             :   for(;;)
    1973       17048 :   {
    1974       55733 :     long pr, enew = eold * 3;
    1975             :     GEN y, z;
    1976       55733 :     enew -= mask % 3;
    1977       55733 :     mask /= 3;
    1978       55733 :     pr = nbits2prec(enew);
    1979       55733 :     x = cxtofp(x, pr);
    1980       55733 :     y = gsub(gpowgs(x, n), gen_1);
    1981       55733 :     z = gdiv(y, gaddgs(gmulsg(n1, y), n2));
    1982       55733 :     shiftc_inplace(z,1);
    1983       55733 :     x = gmul(x, gsubsg(1, z));
    1984       55733 :     if (mask == 1) return gerepilecopy(av, gprec_w(x,prec));
    1985       17048 :     eold = enew;
    1986             :   }
    1987             : }
    1988             : 
    1989             : /* exp(2iPi/d) */
    1990             : GEN
    1991     1177199 : rootsof1u_cx(ulong n, long prec)
    1992             : {
    1993     1177199 :   switch(n)
    1994             :   {
    1995       13006 :     case 1: return gen_1;
    1996        2954 :     case 2: return gen_m1;
    1997      257107 :     case 4: return gen_I();
    1998        9727 :     case 3: case 6: case 12:
    1999             :     {
    2000        9727 :       pari_sp av = avma;
    2001        9727 :       GEN a = (n == 3)? mkfrac(gen_m1,gen_2): ghalf;
    2002        9727 :       GEN sq3 = sqrtr_abs(utor(3, prec));
    2003        9727 :       shiftr_inplace(sq3, -1);
    2004        9727 :       a = (n == 12)? mkcomplex(sq3, a): mkcomplex(a, sq3);
    2005        9727 :       return gerepilecopy(av, a);
    2006             :     }
    2007      448157 :     case 8:
    2008             :     {
    2009      448157 :       pari_sp av = avma;
    2010      448157 :       GEN sq2 = sqrtr_abs(utor(2, prec));
    2011      448156 :       shiftr_inplace(sq2,-1);
    2012      448157 :       return gerepilecopy(av, mkcomplex(sq2, sq2));
    2013             :     }
    2014             :   }
    2015      446248 :   return sqrtnof1(n, prec);
    2016             : }
    2017             : /* e(a/b) */
    2018             : GEN
    2019       14154 : rootsof1q_cx(long a, long b, long prec)
    2020             : {
    2021       14154 :   long g = cgcd(a,b);
    2022             :   GEN z;
    2023       14154 :   if (g != 1) { a /= g; b /= g; }
    2024       14154 :   if (b < 0) { b = -b; a = -a; }
    2025       14154 :   z = rootsof1u_cx(b, prec);
    2026       14154 :   if (a < 0) { z = conj_i(z); a = -a; }
    2027       14154 :   return gpowgs(z, a);
    2028             : }
    2029             : 
    2030             : /* initializes powers of e(a/b) */
    2031             : GEN
    2032       14987 : rootsof1powinit(long a, long b, long prec)
    2033             : {
    2034       14987 :   long g = cgcd(a,b);
    2035       14987 :   if (g != 1) { a /= g; b /= g; }
    2036       14987 :   if (b < 0) { b = -b; a = -a; }
    2037       14987 :   a %= b; if (a < 0) a += b;
    2038       14987 :   return mkvec2(grootsof1(b,prec), mkvecsmall2(a,b));
    2039             : }
    2040             : /* T = rootsof1powinit(a,b); return  e(a/b)^c */
    2041             : GEN
    2042    12516441 : rootsof1pow(GEN T, long c)
    2043             : {
    2044    12516441 :   GEN vz = gel(T,1), ab = gel(T,2);
    2045    12516441 :   long a = ab[1], b = ab[2]; /* a >= 0, b > 0 */
    2046    12516441 :   c %= b; if (c < 0) c += b;
    2047    12516441 :   a = Fl_mul(a, c, b);
    2048    12516441 :   return gel(vz, a + 1);
    2049             : }
    2050             : 
    2051             : /* exp(2iPi/d), assume d a t_INT */
    2052             : GEN
    2053        4788 : rootsof1_cx(GEN d, long prec)
    2054             : {
    2055        4788 :   if (lgefint(d) == 3) return rootsof1u_cx((ulong)d[2], prec);
    2056           0 :   return expIr(divri(Pi2n(1,prec), d));
    2057             : }
    2058             : 
    2059             : GEN
    2060       12469 : gsqrtn(GEN x, GEN n, GEN *zetan, long prec)
    2061             : {
    2062             :   long i, lx, tx;
    2063             :   pari_sp av;
    2064             :   GEN y, z;
    2065       12469 :   if (typ(n)!=t_INT) pari_err_TYPE("sqrtn",n);
    2066       12469 :   if (!signe(n)) pari_err_DOMAIN("sqrtn", "n", "=", gen_0, n);
    2067       12469 :   if (is_pm1(n))
    2068             :   {
    2069          70 :     if (zetan) *zetan = gen_1;
    2070          70 :     return (signe(n) > 0)? gcopy(x): ginv(x);
    2071             :   }
    2072       12399 :   if (zetan) *zetan = gen_0;
    2073       12399 :   tx = typ(x);
    2074       12399 :   if (is_matvec_t(tx))
    2075             :   {
    2076           7 :     y = cgetg_copy(x, &lx);
    2077          21 :     for (i=1; i<lx; i++) gel(y,i) = gsqrtn(gel(x,i),n,NULL,prec);
    2078           7 :     return y;
    2079             :   }
    2080       12392 :   av = avma;
    2081       12392 :   switch(tx)
    2082             :   {
    2083         182 :   case t_INTMOD:
    2084             :     {
    2085         182 :       GEN p = gel(x,1), s;
    2086         182 :       z = gen_0;
    2087         182 :       y = cgetg(3,t_INTMOD);  gel(y,1) = icopy(p);
    2088         182 :       if (zetan) { z = cgetg(3,t_INTMOD); gel(z,1) = gel(y,1); }
    2089         182 :       s = Fp_sqrtn(gel(x,2),n,p,zetan);
    2090         161 :       if (!s) {
    2091          35 :         if (zetan) return gc_const(av,gen_0);
    2092          28 :         if (!BPSW_psp(p)) pari_err_PRIME("sqrtn [modulus]",p);
    2093          14 :         pari_err_SQRTN("gsqrtn",x);
    2094             :       }
    2095         126 :       gel(y,2) = s;
    2096         126 :       if (zetan) { gel(z,2) = *zetan; *zetan = z; }
    2097         126 :       return y;
    2098             :     }
    2099             : 
    2100          56 :   case t_PADIC:
    2101          56 :     y = Qp_sqrtn(x,n,zetan);
    2102          49 :     if (!y) {
    2103           7 :       if (zetan) return gen_0;
    2104           7 :       pari_err_SQRTN("gsqrtn",x);
    2105             :     }
    2106          42 :     return y;
    2107             : 
    2108         196 :   case t_FFELT: return FF_sqrtn(x,n,zetan);
    2109             : 
    2110       11545 :   case t_INT: case t_FRAC: case t_REAL: case t_COMPLEX:
    2111       11545 :     i = precision(x); if (i) prec = i;
    2112       11545 :     if (isint1(x))
    2113           7 :       y = real_1(prec);
    2114       11538 :     else if (gequal0(x))
    2115             :     {
    2116             :       long b;
    2117          21 :       if (signe(n) < 0) pari_err_INV("gsqrtn",x);
    2118          21 :       if (isinexactreal(x))
    2119          14 :         b = sdivsi(gexpo(x), n);
    2120             :       else
    2121           7 :         b = -prec2nbits(prec);
    2122          21 :       if (typ(x) == t_COMPLEX)
    2123             :       {
    2124           7 :         y = cgetg(3,t_COMPLEX);
    2125           7 :         gel(y,1) = gel(y,2) = real_0_bit(b);
    2126             :       }
    2127             :       else
    2128          14 :         y = real_0_bit(b);
    2129             :     }
    2130             :     else
    2131             :     {
    2132       11517 :       long nn = itos_or_0(n);
    2133       11517 :       if (tx == t_INT) { x = itor(x,prec); tx = t_REAL; }
    2134       11517 :       if (nn > 0 && tx == t_REAL && signe(x) > 0)
    2135        2062 :         y = sqrtnr(x, nn);
    2136             :       else
    2137        9455 :         y = gexp(gdiv(glog(x,prec), n), prec);
    2138       11517 :       y = gerepileupto(av, y);
    2139             :     }
    2140       11545 :     if (zetan) *zetan = rootsof1_cx(n, prec);
    2141       11545 :     return y;
    2142             : 
    2143           7 :   case t_QUAD:
    2144           7 :     return gsqrtn(quadtofp(x, prec), n, zetan, prec);
    2145             : 
    2146         406 :   default:
    2147         406 :     av = avma; if (!(y = toser_i(x))) break;
    2148         406 :     return gerepileupto(av, ser_powfrac(y, ginv(n), prec));
    2149             :   }
    2150           0 :   pari_err_TYPE("sqrtn",x);
    2151             :   return NULL;/* LCOV_EXCL_LINE */
    2152             : }
    2153             : 
    2154             : /********************************************************************/
    2155             : /**                                                                **/
    2156             : /**                             EXP(X) - 1                         **/
    2157             : /**                                                                **/
    2158             : /********************************************************************/
    2159             : /* exp(|x|) - 1, assume x != 0.
    2160             :  * For efficiency, x should be reduced mod log(2): if so, we have a < 0 */
    2161             : GEN
    2162    12970734 : exp1r_abs(GEN x)
    2163             : {
    2164    12970734 :   long l = realprec(x), a = expo(x), b = prec2nbits(l), L, i, n, m, B;
    2165             :   GEN y, p2, X;
    2166             :   pari_sp av;
    2167             :   double d;
    2168             : 
    2169    12970612 :   if (b + a <= 0) return mpabs(x);
    2170             : 
    2171    12957468 :   y = cgetr(l); av = avma;
    2172    12957431 :   B = b/3 + BITS_IN_LONG + (BITS_IN_LONG*BITS_IN_LONG)/ b;
    2173    12957431 :   d = a/2.; m = (long)(d + sqrt(d*d + B)); /* >= 0 */
    2174    12957431 :   if (m < (-a) * 0.1) m = 0; /* not worth it */
    2175    12957431 :   L = l + nbits2extraprec(m);
    2176             :  /* Multiplication is quadratic in this range (l is small, otherwise we
    2177             :   * use logAGM + Newton). Set Y = 2^(-e-a) x, compute truncated series
    2178             :   * sum_{k <= n} Y^k/k!: this costs roughly
    2179             :   *    m b^2 + sum_{k <= n} (k e + BITS_IN_LONG)^2
    2180             :   * bit operations with n ~ b/e, |x| <  2^(1+a), |Y| < 2^(1-e) , m = e+a and
    2181             :   * b bits of accuracy needed, so
    2182             :   *    B := (b / 3 + BITS_IN_LONG + BITS_IN_LONG^2 / b) ~ m(m-a)
    2183             :   * we want b ~ 3 m (m-a) or m~b+a hence
    2184             :   *     m = min( a/2 + sqrt(a^2/4 + B),  b + a )
    2185             :   * NB: e ~ (b/3)^(1/2) as b -> oo
    2186             :   *
    2187             :   * Truncate the sum at k = n (>= 1), the remainder is
    2188             :   *   sum_{k >= n+1} Y^k / k! < Y^(n+1) / (n+1)! (1-Y) < Y^(n+1) / n!
    2189             :   * We want Y^(n+1) / n! <= Y 2^-b, hence -n log_2 |Y| + log_2 n! >= b
    2190             :   *   log n! ~ (n + 1/2) log(n+1) - (n+1) + log(2Pi)/2,
    2191             :   * error bounded by 1/6(n+1) <= 1/12. Finally, we want
    2192             :   * n (-1/log(2) -log_2 |Y| + log_2(n+1)) >= b  */
    2193    12957873 :   b += m;
    2194    12957873 :   d = m-dbllog2(x)-1/M_LN2; /* ~ -log_2 Y - 1/log(2) */
    2195    12958646 :   n = (long)(b / d);
    2196    12958646 :   if (n > 1)
    2197    12217473 :     n = (long)(b / (d + log2((double)n+1))); /* log~constant in small ranges */
    2198    29262827 :   while (n*(d+log2((double)n+1)) < b) n++; /* expect few corrections */
    2199             : 
    2200    12958646 :   X = rtor(x,L); shiftr_inplace(X, -m); setsigne(X, 1);
    2201    12958858 :   if (n == 1) p2 = X;
    2202             :   else
    2203             :   {
    2204    12958858 :     long s = 0, l1 = nbits2prec((long)(d + n + 16));
    2205    12958664 :     GEN unr = real_1(L);
    2206             :     pari_sp av2;
    2207             : 
    2208    12958423 :     p2 = cgetr(L); av2 = avma;
    2209   167262312 :     for (i=n; i>=2; i--, set_avma(av2))
    2210             :     { /* compute X^(n-1)/n! + ... + X/2 + 1 */
    2211             :       GEN p1, p3;
    2212   154412657 :       setprec(X,l1); p3 = divru(X,i);
    2213   154616378 :       l1 += dvmdsBIL(s - expo(p3), &s); if (l1>L) l1=L;
    2214   154647123 :       setprec(unr,l1); p1 = addrr_sign(unr,1, i == n? p3: mulrr(p3,p2),1);
    2215   154164976 :       setprec(p2,l1); affrr(p1,p2); /* p2 <- 1 + (X/i)*p2 */
    2216             :     }
    2217    12956247 :     setprec(X,L); p2 = mulrr(X,p2);
    2218             :   }
    2219             : 
    2220   128302900 :   for (i=1; i<=m; i++)
    2221             :   {
    2222   115343538 :     if (realprec(p2) > L) setprec(p2,L);
    2223   115343538 :     p2 = mulrr(p2, addsr(2,p2));
    2224             :   }
    2225    12959362 :   affrr_fixlg(p2,y); return gc_const(av,y);
    2226             : }
    2227             : 
    2228             : GEN
    2229       10581 : mpexpm1(GEN x)
    2230             : {
    2231       10581 :   const long s = 6;
    2232       10581 :   long l, sx = signe(x);
    2233             :   GEN y, z;
    2234             :   pari_sp av;
    2235       10581 :   if (!sx) return real_0_bit(expo(x));
    2236       10574 :   l = realprec(x);
    2237       10574 :   if (l > maxss(EXPNEWTON_LIMIT, (1L<<s) + 2))
    2238             :   {
    2239           6 :     long e = expo(x);
    2240           6 :     if (e < 0) x = rtor(x, l + nbits2extraprec(-e));
    2241           6 :     return subrs(mpexp(x), 1);
    2242             :   }
    2243       10568 :   if (sx > 0) return exp1r_abs(x);
    2244             :   /* compute exp(x) * (1 - exp(-x)) */
    2245        4867 :   av = avma; y = exp1r_abs(x);
    2246        4867 :   z = addsr(1, y); setsigne(z, -1);
    2247        4867 :   return gerepileupto(av, divrr(y, z));
    2248             : }
    2249             : 
    2250             : static GEN serexp(GEN x, long prec);
    2251             : GEN
    2252       12334 : gexpm1(GEN x, long prec)
    2253             : {
    2254       12334 :   switch(typ(x))
    2255             :   {
    2256        4410 :     case t_REAL: return mpexpm1(x);
    2257        5880 :     case t_COMPLEX: return cxexpm1(x,prec);
    2258          14 :     case t_PADIC: return gsubgs(Qp_exp(x), 1);
    2259        2030 :     default:
    2260             :     {
    2261        2030 :       pari_sp av = avma;
    2262             :       long ey;
    2263             :       GEN y;
    2264        2030 :       if (!(y = toser_i(x))) break;
    2265        2009 :       ey = valp(y);
    2266        2009 :       if (ey < 0) pari_err_DOMAIN("expm1","valuation", "<", gen_0, x);
    2267        2009 :       if (gequal0(y)) return gcopy(y);
    2268        2002 :       if (ey)
    2269         504 :         return gerepileupto(av, gsubgs(serexp(y,prec), 1));
    2270             :       else
    2271             :       {
    2272        1498 :         GEN e1 = gexpm1(gel(y,2), prec), e = gaddgs(e1,1);
    2273        1498 :         y = gmul(e, serexp(serchop0(y),prec));
    2274        1498 :         gel(y,2) = e1;
    2275        1498 :         return gerepilecopy(av, y);
    2276             :       }
    2277             :     }
    2278             :   }
    2279          21 :   return trans_eval("expm1",gexpm1,x,prec);
    2280             : }
    2281             : /********************************************************************/
    2282             : /**                                                                **/
    2283             : /**                             EXP(X)                             **/
    2284             : /**                                                                **/
    2285             : /********************************************************************/
    2286             : static GEN
    2287    12908786 : mpexp_basecase(GEN x)
    2288             : {
    2289    12908786 :   pari_sp av = avma;
    2290    12908786 :   long sh, l = realprec(x);
    2291             :   GEN y, z;
    2292             : 
    2293    12908786 :   y = modlog2(x, &sh);
    2294    12908085 :   if (!y) { set_avma(av); return real2n(sh, l); }
    2295    12908085 :   z = addsr(1, exp1r_abs(y));
    2296    12907002 :   if (signe(y) < 0) z = invr(z);
    2297    12907415 :   if (sh) {
    2298    10526127 :     shiftr_inplace(z, sh);
    2299    10526132 :     if (realprec(z) > l) z = rtor(z, l); /* spurious precision increase */
    2300             :   }
    2301             : #ifdef DEBUG
    2302             : {
    2303             :   GEN t = mplog(z), u = divrr(subrr(x, t),x);
    2304             :   if (signe(u) && expo(u) > 5-prec2nbits(minss(l,realprec(t))))
    2305             :     pari_err_BUG("exp");
    2306             : }
    2307             : #endif
    2308    12907846 :   return gerepileuptoleaf(av, z); /* NOT affrr, precision often increases */
    2309             : }
    2310             : 
    2311             : GEN
    2312    12977561 : mpexp(GEN x)
    2313             : {
    2314    12977561 :   const long s = 6; /*Initial steps using basecase*/
    2315    12977561 :   long i, p, l = realprec(x), sh;
    2316             :   GEN a, t, z;
    2317             :   ulong mask;
    2318             : 
    2319    12977561 :   if (l <= maxss(EXPNEWTON_LIMIT, (1L<<s) + 2))
    2320             :   {
    2321    12977663 :     if (!signe(x)) return mpexp0(x);
    2322    12908822 :     return mpexp_basecase(x);
    2323             :   }
    2324          11 :   z = cgetr(l); /* room for result */
    2325          13 :   x = modlog2(x, &sh);
    2326          13 :   if (!x) { set_avma((pari_sp)(z+lg(z))); return real2n(sh, l); }
    2327          13 :   constpi(l); /* precompute for later logr_abs() */
    2328          13 :   mask = quadratic_prec_mask(prec2nbits(l)+BITS_IN_LONG);
    2329         168 :   for(i=0, p=1; i<s+TWOPOTBITS_IN_LONG; i++) { p <<= 1; if (mask & 1) p-=1; mask >>= 1; }
    2330          13 :   a = mpexp_basecase(rtor(x, nbits2prec(p)));
    2331          13 :   x = addrs(x,1);
    2332          13 :   if (realprec(x) < l+EXTRAPRECWORD) x = rtor(x, l+EXTRAPRECWORD);
    2333          13 :   a = rtor(a, l+EXTRAPRECWORD); /*append 0s */
    2334          13 :   t = NULL;
    2335             :   for(;;)
    2336             :   {
    2337          14 :     p <<= 1; if (mask & 1) p--;
    2338          14 :     mask >>= 1;
    2339          14 :     setprec(x, nbits2prec(p));
    2340          14 :     setprec(a, nbits2prec(p));
    2341          14 :     t = mulrr(a, subrr(x, logr_abs(a))); /* a (x - log(a)) */
    2342          14 :     if (mask == 1) break;
    2343           1 :     affrr(t, a); set_avma((pari_sp)a);
    2344             :   }
    2345          13 :   affrr(t,z);
    2346          13 :   if (sh) shiftr_inplace(z, sh);
    2347          13 :   return gc_const((pari_sp)z, z);
    2348             : }
    2349             : 
    2350             : /* x != 0; k = ceil(tn / (te-1)), t = p-1 */
    2351             : long
    2352          84 : Qp_exp_prec(GEN x)
    2353             : {
    2354          84 :   long e = valp(x), n = precp(x);
    2355             :   ulong a, b, q, r, p, t;
    2356             : 
    2357          84 :   if (e < 1) return -1;
    2358          63 :   if (e > n) return 1;
    2359          63 :   p = itos_or_0(gel(x,2));
    2360          63 :   if (!p) return n / e + 1;
    2361          63 :   if (p == 2) return e < 2? -1: ceildivuu(n, e - 1);
    2362             :   /* n >= e > 0, n = qe + r */
    2363             :   /* tn = q (te-1) + rt + q = (q+1)(te-1) - t(e-r) + q + 1 */
    2364          63 :   t = p - 1;
    2365          63 :   if (e == 1) return n + ceildivuu(n, t - 1);
    2366           0 :   q = n / e;
    2367           0 :   r = n % e; /* k = q + 1 if rt + q < te */
    2368           0 :   a = umuluu_or_0(e - r, t); if (!a || a > q) return q + 1;
    2369           0 :   b = umuluu_or_0(e, t); if (!b) return q + 2;
    2370           0 :   return q + 1 + ceildivuu(q + 1 - a, b - 1);
    2371             : }
    2372             : 
    2373             : static GEN
    2374      108739 : Qp_exp_safe(GEN x)
    2375             : {
    2376      108739 :   pari_sp av = avma;
    2377      108739 :   GEN p = gel(x,2), a = gel(x,4), z;
    2378      108739 :   long d = precp(x), v = valp(x), e = d+v;
    2379      108739 :   if (gequal0(x)) return gaddgs(x,1);
    2380      107234 :   if (v < (equaliu(p,2)? 2:1)) return NULL;
    2381      107227 :   z = Zp_exp(mulii(a,powiu(p,v)), p, e);
    2382      107229 :   return gerepileupto(av, Z_to_padic(z, p, e));
    2383             : }
    2384             : 
    2385             : GEN
    2386      108277 : Qp_exp(GEN x)
    2387             : {
    2388      108277 :   GEN y = Qp_exp_safe(x);
    2389      108279 :   if (!y) pari_err_DOMAIN("gexp(t_PADIC)","argument","",gen_0,x);
    2390      108272 :   return y;
    2391             : }
    2392             : 
    2393             : static GEN
    2394          49 : cos_p(GEN x)
    2395             : {
    2396             :   long k;
    2397             :   pari_sp av;
    2398             :   GEN x2, y;
    2399             : 
    2400          49 :   if (gequal0(x)) return gaddgs(x,1);
    2401          28 :   k = Qp_exp_prec(x);
    2402          28 :   if (k < 0) return NULL;
    2403          21 :   av = avma; x2 = gsqr(x);
    2404          21 :   if (k & 1) k--;
    2405         105 :   for (y=gen_1; k; k-=2)
    2406             :   {
    2407          84 :     GEN t = gdiv(gmul(y,x2), muluu(k, k-1));
    2408          84 :     y = gsubsg(1, t);
    2409             :   }
    2410          21 :   return gerepileupto(av, y);
    2411             : }
    2412             : static GEN
    2413          63 : sin_p(GEN x)
    2414             : {
    2415             :   long k;
    2416             :   pari_sp av;
    2417             :   GEN x2, y;
    2418             : 
    2419          63 :   if (gequal0(x)) return gcopy(x);
    2420          42 :   k = Qp_exp_prec(x);
    2421          42 :   if (k < 0) return NULL;
    2422          28 :   av = avma; x2 = gsqr(x);
    2423          28 :   if (k & 1) k--;
    2424         133 :   for (y=gen_1; k; k-=2)
    2425             :   {
    2426         105 :     GEN t = gdiv(gmul(y,x2), muluu(k, k+1));
    2427         105 :     y = gsubsg(1, t);
    2428             :   }
    2429          28 :   return gerepileupto(av, gmul(y, x));
    2430             : }
    2431             : 
    2432             : static GEN
    2433     2500573 : cxexp(GEN x, long prec)
    2434             : {
    2435     2500573 :   GEN r, p1, p2, y = cgetg(3,t_COMPLEX);
    2436     2500657 :   pari_sp av = avma, tetpil;
    2437             :   long l;
    2438     2500657 :   l = precision(x); if (l > prec) prec = l;
    2439     2500752 :   if (gequal0(gel(x,1)))
    2440             :   {
    2441      346027 :     gsincos(gel(x,2),&gel(y,2),&gel(y,1),prec);
    2442      346043 :     return y;
    2443             :   }
    2444     2154708 :   r = gexp(gel(x,1),prec);
    2445     2154916 :   gsincos(gel(x,2),&p2,&p1,prec);
    2446     2155087 :   tetpil = avma;
    2447     2155087 :   gel(y,1) = gmul(r,p1);
    2448     2154761 :   gel(y,2) = gmul(r,p2);
    2449     2154799 :   gerepilecoeffssp(av,tetpil,y+1,2);
    2450     2155175 :   return y;
    2451             : }
    2452             : 
    2453             : /* given a t_SER x^v s(x), with s(0) != 0, return x^v(s - s(0)), shallow */
    2454             : GEN
    2455       35427 : serchop0(GEN s)
    2456             : {
    2457       35427 :   long i, l = lg(s);
    2458             :   GEN y;
    2459       35427 :   if (l == 2) return s;
    2460       35427 :   if (l == 3 && isexactzero(gel(s,2))) return s;
    2461       35427 :   y = cgetg(l, t_SER); y[1] = s[1];
    2462      158844 :   gel(y,2) = gen_0; for (i=3; i <l; i++) gel(y,i) = gel(s,i);
    2463       35427 :   return normalizeser(y);
    2464             : }
    2465             : 
    2466             : GEN
    2467          42 : serchop_i(GEN s, long n)
    2468             : {
    2469          42 :   long i, m, l = lg(s);
    2470             :   GEN y;
    2471          42 :   if (l == 2 || (l == 3 && isexactzero(gel(s,2))))
    2472             :   {
    2473          14 :     if (valp(s) < n) { s = shallowcopy(s); setvalp(s,n); }
    2474          14 :     return s;
    2475             :   }
    2476          28 :   m = n - valp(s); if (m < 0) return s;
    2477          21 :   if (l-m <= 2) return zeroser(varn(s), n);
    2478          14 :   y = cgetg(l-m, t_SER); y[1] = s[1]; setvalp(y, valp(y)+m);
    2479          42 :   for (i=m+2; i < l; i++) gel(y,i-m) = gel(s,i);
    2480          14 :   return normalizeser(y);
    2481             : }
    2482             : GEN
    2483          42 : serchop(GEN s, long n)
    2484             : {
    2485          42 :   pari_sp av = avma;
    2486          42 :   if (typ(s) != t_SER) pari_err_TYPE("serchop",s);
    2487          42 :   return gerepilecopy(av, serchop_i(s,n));
    2488             : }
    2489             : 
    2490             : static GEN
    2491       75278 : serexp(GEN x, long prec)
    2492             : {
    2493       75278 :   long i, j, lx, ly, mi, e = valp(x);
    2494             :   GEN y, xd, yd;
    2495             :   pari_sp av;
    2496             : 
    2497       75278 :   if (e < 0) pari_err_DOMAIN("exp","valuation", "<", gen_0, x);
    2498       75271 :   if (gequal0(x)) return gaddsg(1,x);
    2499       65177 :   lx = lg(x);
    2500       65177 :   if (e)
    2501             :   {
    2502             :     GEN X;
    2503       51485 :     ly = lx+e; y = cgetg(ly,t_SER);
    2504      556346 :     mi = lx-1; while (mi>=3 && isrationalzero(gel(x,mi))) mi--;
    2505       51485 :     mi += e-2;
    2506       51485 :     y[1] = evalsigne(1) | _evalvalp(0) | evalvarn(varn(x));
    2507             :     /* zd[i] = coefficient of X^i in z */
    2508       51485 :     xd = x+2-e; yd = y+2; ly -= 2;
    2509       51485 :     X = gel(xd,e); if (e != 1) X = gmulgu(X, e); /* left on stack */
    2510       51485 :     X = isint1(X)? NULL: X;
    2511       51485 :     gel(yd,0) = gen_1;
    2512       51856 :     for (i = 1; i < e; i++) gel(yd,i) = gen_0;
    2513      646912 :     for (     ; i < ly; i++)
    2514             :     {
    2515      595427 :       GEN t = gel(yd,i-e);
    2516      595427 :       long J = minss(i, mi);
    2517      595427 :       av = avma; if (X) t = gmul(t, X);
    2518     2556918 :       for (j = e + 1; j <= J; j++)
    2519     1961491 :         t = gadd(t, gmulgu(gmul(gel(xd,j),gel(yd,i-j)), j));
    2520      595427 :       gel(yd,i) = gerepileupto(av, gdivgu(t, i));
    2521             :     }
    2522       51485 :     return y;
    2523             :   }
    2524       13692 :   av = avma;
    2525       13692 :   return gerepileupto(av, gmul(gexp(gel(x,2),prec), serexp(serchop0(x),prec)));
    2526             : }
    2527             : 
    2528             : static GEN
    2529     1468553 : expQ(GEN x, long prec)
    2530             : {
    2531     1468553 :   GEN p, q, z, z0 = NULL;
    2532             :   pari_sp av;
    2533     1468553 :   long n, nmax, s, e, b = prec2nbits(prec);
    2534             :   double ex;
    2535             :   struct abpq_res R;
    2536             :   struct abpq S;
    2537             : 
    2538     1468552 :   if (typ(x) == t_INT)
    2539             :   {
    2540       24663 :     if (!signe(x)) return real_1(prec);
    2541       24606 :     p = x; q = gen_1;
    2542       24606 :     e = expi(p);
    2543       24606 :     if (e > b) return mpexp(itor(x, prec));
    2544             :   }
    2545             :   else
    2546             :   {
    2547     1443889 :     long ep, eq, B = usqrt(b) / 2;
    2548     1443890 :     p = gel(x,1); ep = expi(p);
    2549     1443890 :     q = gel(x,2); eq = expi(q);
    2550     1443890 :     if (ep > B || eq > B) return mpexp(fractor(x, prec));
    2551       14637 :     e = ep - eq;
    2552       14637 :     if (e < -3) prec += nbits2extraprec(-e); /* see addrr 'extend' rule */
    2553             :   }
    2554       39243 :   if (e > 2) { z0 = cgetr(prec); prec += EXTRAPRECWORD; b += BITS_IN_LONG; }
    2555       39243 :   z = cgetr(prec); av = avma;
    2556       39240 :   if (e > 0)
    2557             :   { /* simplify x/2^e = p / (q * 2^e) */
    2558        2478 :     long v = minss(e, vali(p));
    2559        2478 :     if (v) p = shifti(p, -v);
    2560        2478 :     if (e - v) q = shifti(q, e - v);
    2561             :   }
    2562       39240 :   s = signe(p);
    2563       39240 :   if (s < 0) p = negi(p);
    2564       39239 :   ex = exp2(dbllog2(x) - e) * 2.718281828; /* exp(1) * x / 2^e,  x / 2^e < 2 */
    2565       39238 :   nmax = (long)(1 + exp(dbllambertW0(M_LN2 * b / ex)) * ex);
    2566       39241 :   abpq_init(&S, nmax);
    2567       39266 :   S.a[0] = S.b[0] = S.p[0] = S.q[0] = gen_1;
    2568     3369920 :   for (n = 1; n <= nmax; n++)
    2569             :   {
    2570     3330689 :     S.a[n] = gen_1;
    2571     3330689 :     S.b[n] = gen_1;
    2572     3330689 :     S.p[n] = p;
    2573     3330689 :     S.q[n] = muliu(q, n);
    2574             :   }
    2575       39231 :   abpq_sum(&R, 0, nmax, &S);
    2576       39248 :   if (s > 0) rdiviiz(R.T, R.Q, z); else rdiviiz(R.Q, R.T, z);
    2577       39251 :   if (e > 0)
    2578             :   {
    2579       17136 :     q = z; while (e--) q = sqrr(q);
    2580        2478 :     if (z0) { affrr(q, z0); z = z0; } else affrr(q,z);
    2581             :   }
    2582       39251 :   return gc_const(av,z);
    2583             : }
    2584             : 
    2585             : GEN
    2586    11844416 : gexp(GEN x, long prec)
    2587             : {
    2588    11844416 :   switch(typ(x))
    2589             :   {
    2590     1468554 :     case t_INT: case t_FRAC: return expQ(x, prec);
    2591     7144183 :     case t_REAL: return mpexp(x);
    2592     2500581 :     case t_COMPLEX: return cxexp(x,prec);
    2593          70 :     case t_PADIC: return Qp_exp(x);
    2594      731028 :     default:
    2595             :     {
    2596      731028 :       pari_sp av = avma;
    2597             :       GEN y;
    2598      731028 :       if (!(y = toser_i(x))) break;
    2599       59584 :       return gerepileupto(av, serexp(y,prec));
    2600             :     }
    2601             :   }
    2602      672125 :   return trans_eval("exp",gexp,x,prec);
    2603             : }
    2604             : 
    2605             : /********************************************************************/
    2606             : /**                                                                **/
    2607             : /**                           AGM(X, Y)                            **/
    2608             : /**                                                                **/
    2609             : /********************************************************************/
    2610             : static int
    2611    20246005 : agmr_gap(GEN a, GEN b, long L)
    2612             : {
    2613    20246005 :   GEN d = subrr(b, a);
    2614    20245684 :   return (signe(d) && expo(d) - expo(b) >= L);
    2615             : }
    2616             : /* assume x > 0 */
    2617             : static GEN
    2618     1390878 : agm1r_abs(GEN x)
    2619             : {
    2620     1390878 :   long l = realprec(x), L = 5-prec2nbits(l);
    2621     1390878 :   GEN a1, b1, y = cgetr(l);
    2622     1390879 :   pari_sp av = avma;
    2623             : 
    2624     1390879 :   a1 = addrr(real_1(l), x); shiftr_inplace(a1, -1);
    2625     1390878 :   b1 = sqrtr_abs(x);
    2626    20246038 :   while (agmr_gap(a1,b1,L))
    2627             :   {
    2628    18854897 :     GEN a = a1;
    2629    18854897 :     a1 = addrr(a,b1); shiftr_inplace(a1, -1);
    2630    18854950 :     b1 = sqrtr_abs(mulrr(a,b1));
    2631             :   }
    2632     1390789 :   affrr_fixlg(a1,y); return gc_const(av,y);
    2633             : }
    2634             : 
    2635             : struct agmcx_gap_t { long L, ex, cnt; };
    2636             : 
    2637             : static void
    2638      508287 : agmcx_init(GEN x, long *prec, struct agmcx_gap_t *S)
    2639             : {
    2640      508287 :   long l = precision(x);
    2641      508287 :   if (l) *prec = l;
    2642      508287 :   S->L = 1-prec2nbits(*prec);
    2643      508287 :   S->cnt = 0;
    2644      508287 :   S->ex = LONG_MAX;
    2645      508287 : }
    2646             : 
    2647             : static long
    2648      508287 : agmcx_a_b(GEN x, GEN *a1, GEN *b1, long prec)
    2649             : {
    2650      508287 :   long rotate = 0;
    2651      508287 :   if (gsigne(real_i(x))<0)
    2652             :   { /* Rotate by +/-Pi/2, so that the choice of the principal square
    2653             :      * root gives the optimal AGM. So a1 = +/-I*a1, b1=sqrt(-x). */
    2654        1484 :     if (gsigne(imag_i(x))<0) { *a1=mulcxI(*a1);  rotate=-1; }
    2655         980 :     else                     { *a1=mulcxmI(*a1); rotate=1; }
    2656        1484 :     x = gneg(x);
    2657             :   }
    2658      508287 :   *b1 = gsqrt(x, prec);
    2659      508287 :   return rotate;
    2660             : }
    2661             : /* return 0 if we must stop the AGM loop (a=b or a ~ b), 1 otherwise */
    2662             : static int
    2663     8703619 : agmcx_gap(GEN a, GEN b, struct agmcx_gap_t *S)
    2664             : {
    2665     8703619 :   GEN d = gsub(b, a);
    2666     8703619 :   long ex = S->ex;
    2667     8703619 :   S->ex = gexpo(d);
    2668     8703619 :   if (gequal0(d) || S->ex - gexpo(b) < S->L) return 0;
    2669             :   /* if (S->ex >= ex) we're no longer making progress; twice in a row */
    2670     8348623 :   if (S->ex < ex) S->cnt = 0;
    2671             :   else
    2672      306737 :     if (S->cnt++) return 0;
    2673     8195332 :   return 1;
    2674             : }
    2675             : static GEN
    2676      508238 : agm1cx(GEN x, long prec)
    2677             : {
    2678             :   struct agmcx_gap_t S;
    2679             :   GEN a1, b1;
    2680      508238 :   pari_sp av = avma;
    2681             :   long rotate;
    2682      508238 :   agmcx_init(x, &prec, &S);
    2683      508238 :   a1 = gtofp(gmul2n(gadd(real_1(prec), x), -1), prec);
    2684      508238 :   rotate = agmcx_a_b(x, &a1, &b1, prec);
    2685     8703297 :   while (agmcx_gap(a1,b1,&S))
    2686             :   {
    2687     8195059 :     GEN a = a1;
    2688     8195059 :     a1 = gmul2n(gadd(a,b1),-1);
    2689     8195059 :     b1 = gsqrt(gmul(a,b1), prec);
    2690             :   }
    2691      508238 :   if (rotate) a1 = rotate>0 ? mulcxI(a1):mulcxmI(a1);
    2692      508238 :   return gerepilecopy(av,a1);
    2693             : }
    2694             : 
    2695             : GEN
    2696          49 : zellagmcx(GEN a0, GEN b0, GEN r, GEN t, long prec)
    2697             : {
    2698             :   struct agmcx_gap_t S;
    2699          49 :   pari_sp av = avma;
    2700          49 :   GEN x = gdiv(a0, b0), a1, b1;
    2701             :   long rotate;
    2702          49 :   agmcx_init(x, &prec, &S);
    2703          49 :   a1 = gtofp(gmul2n(gadd(real_1(prec), x), -1), prec);
    2704          49 :   r = gsqrt(gdiv(gmul(a1,gaddgs(r, 1)),gadd(r, x)), prec);
    2705          49 :   t = gmul(r, t);
    2706          49 :   rotate = agmcx_a_b(x, &a1, &b1, prec);
    2707         322 :   while (agmcx_gap(a1,b1,&S))
    2708             :   {
    2709         273 :     GEN a = a1, b = b1;
    2710         273 :     a1 = gmul2n(gadd(a,b),-1);
    2711         273 :     b1 = gsqrt(gmul(a,b), prec);
    2712         273 :     r = gsqrt(gdiv(gmul(a1,gaddgs(r, 1)),gadd(gmul(b, r), a )), prec);
    2713         273 :     t = gmul(r, t);
    2714             :   }
    2715          49 :   if (rotate) a1 = rotate>0 ? mulcxI(a1):mulcxmI(a1);
    2716          49 :   a1 = gmul(a1, b0);
    2717          49 :   t = gatan(gdiv(a1,t), prec);
    2718             :   /* send t to the fundamental domain if necessary */
    2719          49 :   if (gsigne(real_i(t))<0) t = gadd(t, mppi(prec));
    2720          49 :   return gerepileupto(av,gdiv(t,a1));
    2721             : }
    2722             : 
    2723             : static long
    2724          49 : ser_cmp_expo(GEN A, GEN B)
    2725             : {
    2726          49 :   long e = -(long)HIGHEXPOBIT, d = valp(B) - valp(A);
    2727          49 :   long i, la = lg(A), v = varn(B);
    2728        9849 :   for (i = 2; i < la; i++)
    2729             :   {
    2730        9800 :     GEN a = gel(A,i), b;
    2731             :     long ei;
    2732        9800 :     if (isexactzero(a)) continue;
    2733        9800 :     b = polcoef_i(B, i-2 + d, v);
    2734        9800 :     ei = gexpo(a);
    2735        9800 :     if (!isexactzero(b)) ei -= gexpo(b);
    2736        9800 :     e = maxss(e, ei);
    2737             :   }
    2738          49 :   return e;
    2739             : }
    2740             : 
    2741             : static GEN
    2742          21 : ser_agm1(GEN y, long prec)
    2743             : {
    2744          21 :   GEN a1 = y, b1 = gen_1;
    2745          21 :   long l = lg(y)-2, l2 = 6-prec2nbits(prec), eold = LONG_MAX;
    2746             :   for(;;)
    2747          84 :   {
    2748         105 :     GEN a = a1, p1;
    2749         105 :     a1 = gmul2n(gadd(a,b1),-1);
    2750         105 :     b1 = gsqrt(gmul(a,b1), prec);
    2751         105 :     p1 = gsub(b1,a1);
    2752         105 :     if (isinexactreal(p1))
    2753             :     {
    2754          49 :       long e = ser_cmp_expo(p1, b1);
    2755          49 :       if (e < l2 || e >= eold) break;
    2756          42 :       eold = e;
    2757             :     }
    2758          56 :     else if (valp(p1)-valp(b1) >= l || gequal0(p1)) break;
    2759             :   }
    2760          21 :   return a1;
    2761             : }
    2762             : 
    2763             : /* agm(1,x) */
    2764             : static GEN
    2765       17007 : agm1(GEN x, long prec)
    2766             : {
    2767             :   GEN y;
    2768             :   pari_sp av;
    2769             : 
    2770       17007 :   if (gequal0(x)) return gcopy(x);
    2771       17007 :   switch(typ(x))
    2772             :   {
    2773          28 :     case t_INT:
    2774          28 :       if (!is_pm1(x)) break;
    2775          21 :       return (signe(x) > 0)? real_1(prec): real_0(prec);
    2776             : 
    2777       11631 :     case t_REAL: return signe(x) > 0? agm1r_abs(x): agm1cx(x, prec);
    2778             : 
    2779        5208 :     case t_COMPLEX:
    2780        5208 :       if (gequal0(gel(x,2))) return agm1(gel(x,1), prec);
    2781        5201 :       return agm1cx(x, prec);
    2782             : 
    2783          14 :     case t_PADIC:
    2784             :     {
    2785          14 :       GEN a1 = x, b1 = gen_1;
    2786          14 :       long l = precp(x);
    2787          14 :       av = avma;
    2788             :       for(;;)
    2789          14 :       {
    2790          28 :         GEN a = a1, p1;
    2791             :         long ep;
    2792          28 :         a1 = gmul2n(gadd(a,b1),-1);
    2793          28 :         a = gmul(a,b1);
    2794          28 :         b1 = Qp_sqrt(a); if (!b1) pari_err_SQRTN("Qp_sqrt",a);
    2795          21 :         p1 = gsub(b1,a1); ep = valp(p1)-valp(b1);
    2796          21 :         if (ep<=0) { b1 = gneg_i(b1); p1 = gsub(b1,a1); ep=valp(p1)-valp(b1); }
    2797          21 :         if (ep >= l || gequal0(p1)) return gerepilecopy(av,a1);
    2798             :       }
    2799             :     }
    2800             : 
    2801         126 :     default:
    2802         126 :       av = avma; if (!(y = toser_i(x))) break;
    2803          21 :       return gerepilecopy(av, ser_agm1(y, prec));
    2804             :   }
    2805         112 :   return trans_eval("agm",agm1,x,prec);
    2806             : }
    2807             : 
    2808             : GEN
    2809       16853 : agm(GEN x, GEN y, long prec)
    2810             : {
    2811             :   pari_sp av;
    2812       16853 :   if (is_matvec_t(typ(y)))
    2813             :   {
    2814          14 :     if (is_matvec_t(typ(x))) pari_err_TYPE2("agm",x,y);
    2815           7 :     swap(x, y);
    2816             :   }
    2817       16846 :   if (gequal0(y)) return gcopy(y);
    2818       16846 :   av = avma;
    2819       16846 :   return gerepileupto(av, gmul(y, agm1(gdiv(x,y), prec)));
    2820             : }
    2821             : 
    2822             : /* b2 != 0 */
    2823             : static GEN
    2824          35 : ellK_i(GEN b2, long prec)
    2825          35 : { return gdiv(Pi2n(-1, prec), agm1(gsqrt(b2, prec), prec)); }
    2826             : GEN
    2827          28 : ellK(GEN k, long prec)
    2828             : {
    2829          28 :   pari_sp av = avma;
    2830          28 :   GEN k2 = gsqr(k), b2 = gsubsg(1, k2);
    2831          28 :   if (gequal0(b2)) pari_err_DOMAIN("ellK", "k^2", "=", gen_1, k2);
    2832          21 :   return gerepileupto(av, ellK_i(b2, prec));
    2833             : }
    2834             : 
    2835             : static int
    2836          84 : magm_gap(GEN a, GEN b, long L)
    2837             : {
    2838          84 :   GEN d = gsub(b, a);
    2839          84 :   return !gequal0(d) && gexpo(d) - gexpo(b) >= L;
    2840             : }
    2841             : 
    2842             : /* http://www.ams.org/notices/201208/rtx120801094p.pdf
    2843             :  * An Eloquent Formula for the Perimeter of an Ellipse
    2844             :  * Semjon Adlaj, Notices of the AMS */
    2845             : static GEN
    2846          14 : magm(GEN a, GEN b, long prec)
    2847             : {
    2848          14 :   long L = -prec2nbits(prec) + 16;
    2849          14 :   GEN c = gen_0;
    2850          84 :   while (magm_gap(a, b, L))
    2851             :   {
    2852          70 :     GEN u = gsqrt(gmul(gsub(a, c), gsub(b, c)), prec);
    2853          70 :     a = gmul2n(gadd(a, b), -1);
    2854          70 :     b = gadd(c, u); c = gsub(c, u);
    2855             :   }
    2856          14 :   return gmul2n(gadd(a, b), -1);
    2857             : }
    2858             : 
    2859             : GEN
    2860          21 : ellE(GEN k, long prec)
    2861             : {
    2862          21 :   pari_sp av = avma;
    2863          21 :   GEN b2 = gsubsg(1, gsqr(k));
    2864          21 :   if (gequal0(b2)) { set_avma(av); return real_1(prec); }
    2865          14 :   return gerepileupto(av, gmul(ellK_i(b2, prec), magm(gen_1, b2, prec)));
    2866             : }
    2867             : 
    2868             : /********************************************************************/
    2869             : /**                                                                **/
    2870             : /**                             LOG(X)                             **/
    2871             : /**                                                                **/
    2872             : /********************************************************************/
    2873             : /* log(2) = 18*atanh(1/26)-2*atanh(1/4801)+8*atanh(1/8749)
    2874             :  * faster than 10*atanh(1/17)+4*atanh(13/499) for all precisions,
    2875             :  * and than Pi/2M(1,4/2^n) ~ n log(2) for bitprec at least up to 10^8 */
    2876             : static GEN
    2877       38445 : log2_split(long prec)
    2878             : {
    2879       38445 :   GEN u = atanhuu(1, 26, prec);
    2880       38444 :   GEN v = atanhuu(1, 4801, prec);
    2881       38448 :   GEN w = atanhuu(1, 8749, prec);
    2882       38442 :   shiftr_inplace(v, 1); setsigne(v, -1);
    2883       38446 :   shiftr_inplace(w, 3);
    2884       38447 :   return addrr(mulur(18, u), addrr(v, w));
    2885             : }
    2886             : GEN
    2887    19811327 : constlog2(long prec)
    2888             : {
    2889             :   pari_sp av;
    2890             :   GEN tmp;
    2891    19811327 :   if (glog2 && realprec(glog2) >= prec) return glog2;
    2892             : 
    2893       37964 :   tmp = cgetr_block(prec);
    2894       38445 :   av = avma;
    2895       38445 :   affrr(log2_split(prec+EXTRAPRECWORD), tmp);
    2896       38431 :   swap_clone(&glog2,tmp);
    2897       38451 :   return gc_const(av,glog2);
    2898             : }
    2899             : 
    2900             : GEN
    2901    19811141 : mplog2(long prec) { return rtor(constlog2(prec), prec); }
    2902             : 
    2903             : /* dont check that q != 2^expo(q), done in logr_abs */
    2904             : static GEN
    2905     1379290 : logagmr_abs(GEN q)
    2906             : {
    2907     1379290 :   long prec = realprec(q), e = expo(q), lim;
    2908     1379290 :   GEN z = cgetr(prec), y, Q, _4ovQ;
    2909     1379292 :   pari_sp av = avma;
    2910             : 
    2911     1379292 :   incrprec(prec);
    2912     1379292 :   lim = prec2nbits(prec) >> 1;
    2913     1379292 :   Q = rtor(q,prec);
    2914     1379293 :   shiftr_inplace(Q,lim-e); setsigne(Q,1);
    2915             : 
    2916     1379292 :   _4ovQ = invr(Q); shiftr_inplace(_4ovQ, 2); /* 4/Q */
    2917             :   /* Pi / 2agm(1, 4/Q) ~ log(Q), q = Q * 2^(e-lim) */
    2918     1379290 :   y = divrr(Pi2n(-1, prec), agm1r_abs(_4ovQ));
    2919     1379290 :   y = addrr(y, mulsr(e - lim, mplog2(prec)));
    2920     1379291 :   affrr_fixlg(y, z); return gc_const(av,z);
    2921             : }
    2922             : 
    2923             : /* sum_{k >= 0} y^(2k+1) / (2k+1), y close to 0 */
    2924             : static GEN
    2925     7430071 : logr_aux(GEN y)
    2926             : {
    2927     7430071 :   long k, L = realprec(y); /* should be ~ l+1 - (k-2) */
    2928             :   /* log(x) = log(1+y) - log(1-y) = 2 sum_{k odd} y^k / k
    2929             :    * Truncate the sum at k = 2n+1, the remainder is
    2930             :    *   2 sum_{k >= 2n+3} y^k / k < 2y^(2n+3) / (2n+3)(1-y) < y^(2n+3)
    2931             :    * We want y^(2n+3) < y 2^(-prec2nbits(L)), hence
    2932             :    *   n+1 > -prec2nbits(L) /-log_2(y^2) */
    2933     7430071 :   double d = -2*dbllog2r(y); /* ~ -log_2(y^2) */
    2934     7430135 :   k = (long)(2*(prec2nbits(L) / d));
    2935     7430198 :   k |= 1;
    2936     7430198 :   if (k >= 3)
    2937             :   {
    2938     7411590 :     GEN T, S = cgetr(L), y2 = sqrr(y), unr = real_1(L);
    2939     7411575 :     pari_sp av = avma;
    2940     7411575 :     long s = 0, incs = (long)d, l1 = nbits2prec((long)d);
    2941     7411631 :     setprec(S,  l1);
    2942     7411586 :     setprec(unr,l1); affrr(divru(unr,k), S);
    2943     7411270 :     for (k -= 2;; k -= 2) /* k = 2n+1, ..., 1 */
    2944             :     { /* S = y^(2n+1-k)/(2n+1) + ... + 1 / k */
    2945   132922321 :       setprec(y2, l1); T = mulrr(S,y2);
    2946   132900866 :       if (k == 1) break;
    2947             : 
    2948   125489574 :       l1 += dvmdsBIL(s + incs, &s); if (l1>L) l1=L;
    2949   125446312 :       setprec(S, l1);
    2950   125508772 :       setprec(unr,l1);
    2951   125532005 :       affrr(addrr(divru(unr, k), T), S); set_avma(av);
    2952             :     }
    2953             :     /* k = 1 special-cased for eficiency */
    2954     7411292 :     y = mulrr(y, addsr(1,T)); /* = log(X)/2 */
    2955             :   }
    2956     7430079 :   return y;
    2957             : }
    2958             : /*return log(|x|), assuming x != 0 */
    2959             : GEN
    2960     9268728 : logr_abs(GEN X)
    2961             : {
    2962     9268728 :   long EX, L, m, k, a, b, l = realprec(X);
    2963             :   GEN z, x, y;
    2964             :   ulong u;
    2965             :   double d;
    2966             : 
    2967             :  /* Assuming 1 < x < 2, we want delta = x-1, 1-x/2, 1-1/x, or 2/x-1 small.
    2968             :   * We have 2/x-1 > 1-x/2, 1-1/x < x-1. So one should be choosing between
    2969             :   * 1-1/x and 1-x/2 ( crossover sqrt(2), worse ~ 0.29 ). To avoid an inverse,
    2970             :   * we choose between x-1 and 1-x/2 ( crossover 4/3, worse ~ 0.33 ) */
    2971     9268728 :   EX = expo(X);
    2972     9268728 :   u = uel(X,2);
    2973     9268728 :   k = 2;
    2974     9268728 :   if (u > (~0UL / 3) * 2) { /* choose 1-x/2 */
    2975     5206192 :     EX++; u = ~u;
    2976     5265928 :     while (!u && ++k < l) { u = uel(X,k); u = ~u; }
    2977             :   } else { /* choose x - 1 */
    2978     4062536 :     u &= ~HIGHBIT; /* u - HIGHBIT, assuming HIGHBIT set */
    2979     5212015 :     while (!u && ++k < l) u = uel(X,k);
    2980             :   }
    2981     9268728 :   if (k == l) return EX? mulsr(EX, mplog2(l)): real_0(l);
    2982     8809716 :   a = prec2nbits(k) + bfffo(u); /* ~ -log2 |1-x| */
    2983     8809854 :   L = l+1;
    2984     8809854 :   b = prec2nbits(L - (k-2)); /* take loss of accuracy into account */
    2985    15730722 :   if (b > 24*a*log2(L) &&
    2986     8300009 :       prec2nbits(l) > prec2nbits(LOGAGM_LIMIT)) return logagmr_abs(X);
    2987             : 
    2988     7430713 :   z = cgetr(EX? l: l - (k-2));
    2989             : 
    2990             :  /* Multiplication is quadratic in this range (l is small, otherwise we
    2991             :   * use AGM). Set Y = x^(1/2^m), y = (Y - 1) / (Y + 1) and compute truncated
    2992             :   * series sum y^(2k+1)/(2k+1): the costs is less than
    2993             :   *    m b^2 + sum_{k <= n} ((2k+1) e + BITS_IN_LONG)^2
    2994             :   * bit operations with |x-1| <  2^(1-a), |Y| < 2^(1-e) , m = e-a and b bits of
    2995             :   * accuracy needed (+ BITS_IN_LONG since bit accuracies increase by
    2996             :   * increments of BITS_IN_LONG), so
    2997             :   * 4n^3/3 e^2 + n^2 2e BITS_IN_LONG+ n BITS_IN_LONG ~ m b^2, with n ~ b/2e
    2998             :   * or b/6e + BITS_IN_LONG/2e + BITS_IN_LONG/2be ~ m
    2999             :   *    B := (b / 6 + BITS_IN_LONG/2 + BITS_IN_LONG^2 / 2b) ~ m(m+a)
    3000             :   *     m = min( -a/2 + sqrt(a^2/4 + B),  b - a )
    3001             :   * NB: e ~ (b/6)^(1/2) as b -> oo
    3002             :   * Instead of the above pessimistic estimate for the cost of the sum, use
    3003             :   * optimistic estimate (BITS_IN_LONG -> 0) */
    3004     7430602 :   d = -a/2.; m = (long)(d + sqrt(d*d + b/6)); /* >= 0 */
    3005             : 
    3006     7430602 :   if (m > b-a) m = b-a;
    3007     7430602 :   if (m < 0.2*a) m = 0; else L += nbits2extraprec(m);
    3008     7430616 :   x = rtor(X,L);
    3009     7430707 :   setsigne(x,1); shiftr_inplace(x,-EX);
    3010             :   /* 2/3 < x < 4/3 */
    3011    43480035 :   for (k=1; k<=m; k++) x = sqrtr_abs(x);
    3012             : 
    3013     7430539 :   y = divrr(subrs(x,1), addrs(x,1)); /* = (x-1) / (x+1), close to 0 */
    3014     7430072 :   y = logr_aux(y); /* log(1+y) - log(1-y) = log(x) */
    3015     7430001 :   shiftr_inplace(y, m + 1);
    3016     7429857 :   if (EX) y = addrr(y, mulsr(EX, mplog2(l+1)));
    3017     7429884 :   affrr_fixlg(y, z); return gc_const((pari_sp)z, z);
    3018             : }
    3019             : 
    3020             : /* assume Im(q) != 0 and precision(q) >= prec. Compute log(q) with accuracy
    3021             :  * prec [disregard input accuracy] */
    3022             : GEN
    3023      502995 : logagmcx(GEN q, long prec)
    3024             : {
    3025      502995 :   GEN z = cgetc(prec), y, Q, a, b;
    3026             :   long lim, e, ea, eb;
    3027      502995 :   pari_sp av = avma;
    3028      502995 :   int neg = 0;
    3029             : 
    3030      502995 :   incrprec(prec);
    3031      502995 :   if (gsigne(gel(q,1)) < 0) { q = gneg(q); neg = 1; }
    3032      502995 :   lim = prec2nbits(prec) >> 1;
    3033      502995 :   Q = gtofp(q, prec);
    3034      502995 :   a = gel(Q,1);
    3035      502995 :   b = gel(Q,2);
    3036      502995 :   if (gequal0(a)) {
    3037           0 :     affrr_fixlg(logr_abs(b), gel(z,1));
    3038           0 :     y = Pi2n(-1, prec);
    3039           0 :     if (signe(b) < 0) setsigne(y, -1);
    3040           0 :     affrr_fixlg(y, gel(z,2)); return gc_const(av,z);
    3041             :   }
    3042      502995 :   ea = expo(a);
    3043      502995 :   eb = expo(b);
    3044      502995 :   e = ea <= eb ? lim - eb : lim - ea;
    3045      502995 :   shiftr_inplace(a, e);
    3046      502995 :   shiftr_inplace(b, e);
    3047             : 
    3048             :   /* Pi / 2agm(1, 4/Q) ~ log(Q), q = Q * 2^e */
    3049      502995 :   y = gdiv(Pi2n(-1, prec), agm1cx( gdivsg(4, Q), prec ));
    3050      502995 :   a = gel(y,1);
    3051      502995 :   b = gel(y,2);
    3052      502995 :   a = addrr(a, mulsr(-e, mplog2(prec)));
    3053      502995 :   if (realprec(a) <= LOWDEFAULTPREC) a = real_0_bit(expo(a));
    3054      752194 :   if (neg) b = gsigne(b) <= 0? gadd(b, mppi(prec))
    3055      249199 :                              : gsub(b, mppi(prec));
    3056      502995 :   affrr_fixlg(a, gel(z,1));
    3057      502995 :   affrr_fixlg(b, gel(z,2)); return gc_const(av,z);
    3058             : }
    3059             : 
    3060             : GEN
    3061      142959 : mplog(GEN x)
    3062             : {
    3063      142959 :   if (signe(x)<=0) pari_err_DOMAIN("mplog", "argument", "<=", gen_0, x);
    3064      142959 :   return logr_abs(x);
    3065             : }
    3066             : 
    3067             : /* pe = p^e, p prime, 0 < x < pe a t_INT coprime to p. Return the (p-1)-th
    3068             :  * root of 1 in (Z/pe)^* congruent to x mod p, resp x mod 4 if p = 2.
    3069             :  * Simplified form of Zp_sqrtnlift: 1/(p-1) is trivial to compute */
    3070             : GEN
    3071        9932 : Zp_teichmuller(GEN x, GEN p, long e, GEN pe)
    3072             : {
    3073             :   GEN q, z, p1;
    3074             :   pari_sp av;
    3075             :   ulong mask;
    3076        9932 :   if (absequaliu(p,2)) return (mod4(x) & 2)? subiu(pe,1): gen_1;
    3077        9393 :   if (e == 1) return icopy(x);
    3078        9393 :   av = avma;
    3079        9393 :   p1 = subiu(p, 1);
    3080        9393 :   mask = quadratic_prec_mask(e);
    3081        9393 :   q = p; z = remii(x, p);
    3082       31189 :   while (mask > 1)
    3083             :   { /* Newton iteration solving z^{1 - p} = 1, z = x (mod p) */
    3084       21796 :     GEN w, t, qold = q;
    3085       21796 :     if (mask <= 3) /* last iteration */
    3086        9393 :       q = pe;
    3087             :     else
    3088             :     {
    3089       12403 :       q = sqri(q);
    3090       12403 :       if (mask & 1) q = diviiexact(q, p);
    3091             :     }
    3092       21796 :     mask >>= 1;
    3093             :     /* q <= qold^2 */
    3094       21796 :     if (lgefint(q) == 3)
    3095             :     {
    3096       21648 :       ulong Z = uel(z,2), Q = uel(q,2), P1 = uel(p1,2);
    3097       21648 :       ulong W = (Q-1) / P1; /* -1/(p-1) + O(qold) */
    3098       21648 :       ulong T = Fl_mul(W, Fl_powu(Z,P1,Q) - 1, Q);
    3099       21648 :       Z = Fl_mul(Z, 1 + T, Q);
    3100       21648 :       z = utoi(Z);
    3101             :     }
    3102             :     else
    3103             :     {
    3104         148 :       w = diviiexact(subiu(qold,1),p1); /* -1/(p-1) + O(qold) */
    3105         148 :       t = Fp_mul(w, subiu(Fp_pow(z,p1,q), 1), q);
    3106         148 :       z = Fp_mul(z, addui(1,t), q);
    3107             :     }
    3108             :   }
    3109        9393 :   return gerepileuptoint(av, z);
    3110             : }
    3111             : 
    3112             : GEN
    3113        1225 : teichmullerinit(long p, long n)
    3114             : {
    3115             :   GEN t, pn, g, v;
    3116             :   ulong gp, tp;
    3117             :   long a, m;
    3118             : 
    3119        1225 :   if (p == 2) return mkvec(gen_1);
    3120        1225 :   if (!uisprime(p)) pari_err_PRIME("teichmullerinit",utoipos(p));
    3121             : 
    3122        1225 :   m = p >> 1; /* (p-1)/2 */
    3123        1225 :   tp= gp= pgener_Fl(p); /* order (p-1), gp^m = -1 */
    3124        1225 :   pn = powuu(p, n);
    3125        1225 :   v = cgetg(p, t_VEC);
    3126        1225 :   t = g = Zp_teichmuller(utoipos(gp), utoipos(p), n, pn);
    3127        1225 :   gel(v, 1) = gen_1;
    3128        1225 :   gel(v, p-1) = subiu(pn,1);
    3129        3031 :   for (a = 1; a < m; a++)
    3130             :   {
    3131        1806 :     gel(v, tp) = t;
    3132        1806 :     gel(v, p - tp) = Fp_neg(t, pn); /* g^(m+a) = -g^a */
    3133        1806 :     if (a < m-1)
    3134             :     {
    3135        1029 :       t = Fp_mul(t, g, pn); /* g^(a+1) */
    3136        1029 :       tp = Fl_mul(tp, gp, p); /* t mod p  */
    3137             :     }
    3138             :   }
    3139        1225 :   return v;
    3140             : }
    3141             : 
    3142             : /* tab from teichmullerinit or NULL */
    3143             : GEN
    3144        4977 : teichmuller(GEN x, GEN tab)
    3145             : {
    3146             :   GEN p, q, y, z;
    3147        4977 :   long n, tx = typ(x);
    3148             : 
    3149        4977 :   if (!tab)
    3150             :   {
    3151        4865 :     if (tx == t_VEC && lg(x) == 3)
    3152             :     {
    3153           7 :       p = gel(x,1);
    3154           7 :       q = gel(x,2);
    3155           7 :       if (typ(p) == t_INT && typ(q) == t_INT)
    3156           7 :         return teichmullerinit(itos(p), itos(q));
    3157             :     }
    3158             :   }
    3159         112 :   else if (typ(tab) != t_VEC) pari_err_TYPE("teichmuller",tab);
    3160        4970 :   if (tx!=t_PADIC) pari_err_TYPE("teichmuller",x);
    3161        4970 :   z = gel(x,4);
    3162        4970 :   if (!signe(z)) return gcopy(x);
    3163        4970 :   p = gel(x,2);
    3164        4970 :   q = gel(x,3);
    3165        4970 :   n = precp(x);
    3166        4970 :   y = cgetg(5,t_PADIC);
    3167        4970 :   y[1] = evalprecp(n) | _evalvalp(0);
    3168        4970 :   gel(y,2) = icopy(p);
    3169        4970 :   gel(y,3) = icopy(q);
    3170        4970 :   if (tab)
    3171             :   {
    3172         112 :     ulong pp = itou_or_0(p);
    3173         112 :     if (lg(tab) != (long)pp) pari_err_TYPE("teichmuller",tab);
    3174         112 :     z = gel(tab, umodiu(z, pp));
    3175         112 :     if (typ(z) != t_INT) pari_err_TYPE("teichmuller",tab);
    3176         112 :     z = remii(z, q);
    3177             :   }
    3178             :   else
    3179        4858 :     z = Zp_teichmuller(z, p, n, q);
    3180        4970 :   gel(y,4) = z;
    3181        4970 :   return y;
    3182             : }
    3183             : GEN
    3184        4739 : teich(GEN x) { return teichmuller(x, NULL); }
    3185             : 
    3186             : GEN
    3187    13629399 : glog(GEN x, long prec)
    3188             : {
    3189             :   pari_sp av, tetpil;
    3190             :   GEN y, p1;
    3191             :   long l;
    3192             : 
    3193    13629399 :   switch(typ(x))
    3194             :   {
    3195     7451383 :     case t_REAL:
    3196     7451383 :       if (signe(x) >= 0)
    3197             :       {
    3198     6428780 :         if (!signe(x)) pari_err_DOMAIN("log", "argument", "=", gen_0, x);
    3199     6428766 :         return logr_abs(x);
    3200             :       }
    3201     1022603 :       retmkcomplex(logr_abs(x), mppi(realprec(x)));
    3202             : 
    3203      518918 :     case t_FRAC:
    3204             :     {
    3205             :       GEN a, b;
    3206             :       long e1, e2;
    3207      518918 :       av = avma;
    3208      518918 :       a = gel(x,1);
    3209      518918 :       b = gel(x,2);
    3210      518918 :       e1 = expi(subii(a,b)); e2 = expi(b);
    3211      518918 :       if (e2 > e1) prec += nbits2nlong(e2 - e1);
    3212      518918 :       x = fractor(x, prec);
    3213      518918 :       return gerepileupto(av, glog(x, prec));
    3214             :     }
    3215     4075596 :     case t_COMPLEX:
    3216     4075596 :       if (ismpzero(gel(x,2))) return glog(gel(x,1), prec);
    3217     4065371 :       l = precision(x); if (l > prec) prec = l;
    3218     4065388 :       if (ismpzero(gel(x,1)))
    3219             :       {
    3220       71830 :         GEN a = gel(x,2), b;
    3221       71830 :         av = avma; b = Pi2n(-1,prec);
    3222       71823 :         if (gsigne(a) < 0) { setsigne(b, -1); a = gabs(a,prec); }
    3223       71823 :         a = isint1(a) ? gen_0: glog(a,prec);
    3224       71823 :         return gerepilecopy(av, mkcomplex(a, b));
    3225             :       }
    3226     3993561 :       if (prec >= LOGAGMCX_LIMIT) return logagmcx(x, prec);
    3227     3490762 :       y = cgetg(3,t_COMPLEX);
    3228     3490755 :       gel(y,2) = garg(x,prec);
    3229     3490806 :       av = avma; p1 = glog(cxnorm(x),prec); tetpil = avma;
    3230     3490807 :       gel(y,1) = gerepile(av,tetpil,gmul2n(p1,-1)); return y;
    3231             : 
    3232         322 :     case t_PADIC: return Qp_log(x);
    3233     1583180 :     default:
    3234     1583180 :       av = avma; if (!(y = toser_i(x))) break;
    3235         139 :       if (!signe(y)) pari_err_DOMAIN("log", "argument", "=", gen_0, x);
    3236         139 :       if (valp(y)) pari_err_DOMAIN("log", "series valuation", "!=", gen_0, x);
    3237         132 :       p1 = integser(gdiv(derivser(y), y)); /* log(y)' = y'/y */
    3238         133 :       if (!gequal1(gel(y,2))) p1 = gadd(p1, glog(gel(y,2),prec));
    3239         133 :       return gerepileupto(av, p1);
    3240             :   }
    3241     1583433 :   return trans_eval("log",glog,x,prec);
    3242             : }
    3243             : 
    3244             : static GEN
    3245          63 : mplog1p(GEN x)
    3246             : {
    3247             :   long ex, a, b, l, L;
    3248          63 :   if (!signe(x)) return rcopy(x);
    3249          63 :   ex = expo(x); if (ex >= -3) return glog(addrs(x,1), 0);
    3250          42 :   a = -ex;
    3251          42 :   b = realprec(x); L = b+1;
    3252          42 :   if (b > a*log2(L) && prec2nbits(b) > prec2nbits(LOGAGM_LIMIT))
    3253             :   {
    3254           0 :     x = addrs(x,1); l = b + nbits2extraprec(a);
    3255           0 :     if (realprec(x) < l) x = rtor(x,l);
    3256           0 :     return logagmr_abs(x);
    3257             :   }
    3258          42 :   x = rtor(x, L);
    3259          42 :   x = logr_aux(divrr(x, addrs(x,2)));
    3260          42 :   if (realprec(x) > b) fixlg(x, b);
    3261          42 :   shiftr_inplace(x,1); return x;
    3262             : }
    3263             : 
    3264             : static GEN log1p_i(GEN x, long prec);
    3265             : static GEN
    3266          14 : cxlog1p(GEN x, long prec)
    3267             : {
    3268             :   pari_sp av;
    3269          14 :   GEN z, a, b = gel(x,2);
    3270             :   long l;
    3271          14 :   if (ismpzero(b)) return log1p_i(gel(x,1), prec);
    3272          14 :   l = precision(x); if (l > prec) prec = l;
    3273          14 :   if (prec >= LOGAGMCX_LIMIT) return logagmcx(gaddgs(x,1), prec);
    3274          14 :   a = gel(x,1);
    3275          14 :   z = cgetg(3,t_COMPLEX); av = avma;
    3276          14 :   a = gadd(gadd(gmul2n(a,1), gsqr(a)), gsqr(b));
    3277          14 :   a = log1p_i(a, prec); shiftr_inplace(a,-1);
    3278          14 :   gel(z,1) = gerepileupto(av, a);
    3279          14 :   gel(z,2) = garg(gaddgs(x,1),prec); return z;
    3280             : }
    3281             : static GEN
    3282         133 : log1p_i(GEN x, long prec)
    3283             : {
    3284         133 :   switch(typ(x))
    3285             :   {
    3286          63 :     case t_REAL: return mplog1p(x);
    3287          14 :     case t_COMPLEX: return cxlog1p(x, prec);
    3288           7 :     case t_PADIC: return Qp_log(gaddgs(x,1));
    3289          49 :     default:
    3290             :     {
    3291             :       long ey;
    3292             :       GEN y;
    3293          49 :       if (!(y = toser_i(x))) break;
    3294          21 :       ey = valp(y);
    3295          21 :       if (ey < 0) pari_err_DOMAIN("log1p","valuation", "<", gen_0, x);
    3296          21 :       if (gequal0(y)) return gcopy(y);
    3297          14 :       if (ey)
    3298           7 :         return glog(gaddgs(y,1),prec);
    3299             :       else
    3300             :       {
    3301           7 :         GEN a = gel(y,2), a1 = gaddgs(a,1);
    3302           7 :         y = gdiv(y, a1); gel(y,2) = gen_1;
    3303           7 :         return gadd(glog1p(a,prec), glog(y, prec));
    3304             :       }
    3305             :     }
    3306             :   }
    3307          28 :   return trans_eval("log1p",glog1p,x,prec);
    3308             : }
    3309             : GEN
    3310         119 : glog1p(GEN x, long prec)
    3311             : {
    3312         119 :   pari_sp av = avma;
    3313         119 :   return gerepileupto(av, log1p_i(x, prec));
    3314             : }
    3315             : /********************************************************************/
    3316             : /**                                                                **/
    3317             : /**                        SINE, COSINE                            **/
    3318             : /**                                                                **/
    3319             : /********************************************************************/
    3320             : 
    3321             : /* Reduce x0 mod Pi/2 to x in [-Pi/4, Pi/4]. Return cos(x)-1 */
    3322             : static GEN
    3323     9494781 : mpcosm1(GEN x, long *ptmod8)
    3324             : {
    3325     9494781 :   long a = expo(x), l = realprec(x), b, L, i, n, m, B;
    3326             :   GEN y, u, x2;
    3327             :   double d;
    3328             : 
    3329     9494781 :   n = 0;
    3330     9494781 :   if (a >= 0)
    3331             :   {
    3332             :     long p;
    3333             :     GEN q;
    3334     7698319 :     if (a > 30)
    3335             :     {
    3336           7 :       GEN z, P = Pi2n(-2, nbits2prec(a + 32));
    3337           7 :       z = addrr(x,P); /* = x + Pi/4 */
    3338           7 :       if (expo(z) >= bit_prec(z) + 3) pari_err_PREC("mpcosm1");
    3339           7 :       shiftr_inplace(P, 1);
    3340           7 :       q = floorr(divrr(z, P)); /* round ( x / (Pi/2) ) */
    3341           7 :       p = l+EXTRAPRECWORD; x = rtor(x,p);
    3342             :     } else {
    3343     7698312 :       q = stoi((long)floor(rtodbl(x) / (M_PI/2) + 0.5));
    3344     7698274 :       p = l;
    3345             :     }
    3346     7698498 :     if (signe(q))
    3347             :     {
    3348     7698285 :       GEN y = subrr(x, mulir(q, Pi2n(-1,p))); /* x mod Pi/2  */
    3349     7697949 :       long b = expo(y);
    3350     7697949 :       if (a - b < 7) x = y;
    3351             :       else
    3352             :       {
    3353     3841679 :         p += nbits2extraprec(a-b); x = rtor(x, p);
    3354     3841701 :         x = subrr(x, mulir(q, Pi2n(-1,p)));
    3355             :       }
    3356     7697891 :       a = b;
    3357     7697891 :       if (!signe(x) && a >= 0) pari_err_PREC("mpcosm1");
    3358     7697891 :       n = Mod4(q);
    3359             :     }
    3360             :   }
    3361             :   /* a < 0 */
    3362     9494682 :   b = signe(x); *ptmod8 = (b < 0)? 4 + n: n;
    3363     9494682 :   if (!b) return real_0_bit(expo(x)*2 - 1);
    3364             : 
    3365     9494682 :   b = prec2nbits(l);
    3366     9494650 :   if (b + 2*a <= 0) {
    3367      732342 :     y = sqrr(x); shiftr_inplace(y, -1); setsigne(y, -1);
    3368      732336 :     return y;
    3369             :   }
    3370             : 
    3371     8762308 :   y = cgetr(l);
    3372     8762285 :   B = b/6 + BITS_IN_LONG/2 + (BITS_IN_LONG*BITS_IN_LONG/2)/ b;
    3373     8762285 :   d = a/2.; m = (long)(d + sqrt(d*d + B)); /* >= 0 ,*/
    3374     8762285 :   if (m < (-a) * 0.1) m = 0; /* not worth it */
    3375     8762285 :   L = l + nbits2extraprec(m);
    3376             : 
    3377     8762344 :   b += m;
    3378     8762344 :   d = 2.0 * (m-dbllog2r(x)-1/M_LN2); /* ~ 2( - log_2 Y - 1/log(2) ) */
    3379     8762374 :   n = (long)(b / d);
    3380     8762374 :   if (n > 1)
    3381     8704560 :     n = (long)(b / (d + log2((double)n+1))); /* log~constant in small ranges */
    3382    18599099 :   while (n*(d+log2((double)n+1)) < b) n++; /* expect few corrections */
    3383             : 
    3384             :  /* Multiplication is quadratic in this range (l is small, otherwise we
    3385             :   * use logAGM + Newton). Set Y = 2^(-e-a) x, compute truncated series
    3386             :   * sum Y^2k/(2k)!: this costs roughly
    3387             :   *   m b^2 + sum_{k <= n} (2k e + BITS_IN_LONG)^2
    3388             :   *   ~ (b/2e) b^2 / 3  + m b^2
    3389             :   * bit operations with n ~ b/2e, |x| <  2^(1+a), |Y| < 2^(1-e) , m = e+a and
    3390             :   * b bits of accuracy needed, so
    3391             :   *    B := (b / 6 + BITS_IN_LONG/2 + BITS_IN_LONG^2 / 2b) ~ m(m-a)
    3392             :   * we want b ~ 6 m (m-a) or m~b+a hence
    3393             :   *     m = min( a/2 + sqrt(a^2/4 + b/6),  b/2 + a )
    3394             :   * NB: e ~ (b/6)^(1/2) or b/2.
    3395             :   *
    3396             :   * Truncate the sum at k = n (>= 1), the remainder is
    3397             :   * < sum_{k >= n+1} Y^2k / 2k! < Y^(2n+2) / (2n+2)!(1-Y^2) < Y^(2n+2)/(2n+1)!
    3398             :   * We want ... <= Y^2 2^-b, hence -2n log_2 |Y| + log_2 (2n+1)! >= b
    3399             :   *   log n! ~ (n + 1/2) log(n+1) - (n+1) + log(2Pi)/2,
    3400             :   * error bounded by 1/6(n+1) <= 1/12. Finally, we want
    3401             :   * 2n (-1/log(2) - log_2 |Y| + log_2(2n+2)) >= b  */
    3402     8762374 :   x = rtor(x, L); shiftr_inplace(x, -m); setsigne(x, 1);
    3403     8762344 :   x2 = sqrr(x);
    3404     8762036 :   if (n == 1) { u = x2; shiftr_inplace(u, -1); setsigne(u, -1); } /*-Y^2/2*/
    3405             :   else
    3406             :   {
    3407     8762036 :     GEN un = real_1(L);
    3408             :     pari_sp av;
    3409     8762151 :     long s = 0, l1 = nbits2prec((long)(d + n + 16));
    3410             : 
    3411     8762129 :     u = cgetr(L); av = avma;
    3412   113909032 :     for (i = n; i >= 2; i--)
    3413             :     {
    3414             :       GEN t;
    3415   105146765 :       setprec(x2,l1); t = divrunextu(x2, 2*i-1);
    3416   105143576 :       l1 += dvmdsBIL(s - expo(t), &s); if (l1 > L) l1 = L;
    3417   105144413 :       if (i != n) t = mulrr(t,u);
    3418   105143014 :       setprec(un,l1); t = addrr_sign(un,1, t,-signe(t));
    3419   105127834 :       setprec(u,l1); affrr(t,u); set_avma(av);
    3420             :     }
    3421     8762267 :     shiftr_inplace(u, -1); togglesign(u); /* u := -u/2 */
    3422     8762174 :     setprec(x2,L); u = mulrr(x2,u);
    3423             :   }
    3424             :   /* Now u = sum {1<= i <=n} (-1)^i x^(2i) / (2i)! ~ cos(x) - 1 */
    3425    75389066 :   for (i = 1; i <= m; i++)
    3426             :   { /* u = cos(x)-1 <- cos(2x)-1 = 2cos(x)^2 - 2 = 4u + 2u^2*/
    3427    66629544 :     GEN q = sqrr(u);
    3428    66637262 :     shiftr_inplace(u, 1); u = addrr(u, q);
    3429    66628593 :     shiftr_inplace(u, 1);
    3430    66626433 :     if ((i & 31) == 0) u = gerepileuptoleaf((pari_sp)y, u);
    3431             :   }
    3432     8759522 :   affrr_fixlg(u, y); return y;
    3433             : }
    3434             : 
    3435             : /* sqrt (|1 - (1+x)^2|) = sqrt(|x*(x+2)|). Sends cos(x)-1 to |sin(x)| */
    3436             : static GEN
    3437     7788842 : mpaut(GEN x)
    3438             : {
    3439     7788842 :   GEN t = mulrr(x, addsr(2,x)); /* != 0 */
    3440     7788858 :   if (!signe(t)) return real_0_bit(expo(t) >> 1);
    3441     7788858 :   return sqrtr_abs(t);
    3442             : }
    3443             : 
    3444             : /********************************************************************/
    3445             : /**                            COSINE                              **/
    3446             : /********************************************************************/
    3447             : 
    3448             : GEN
    3449     2744997 : mpcos(GEN x)
    3450             : {
    3451             :   long mod8;
    3452             :   pari_sp av;
    3453             :   GEN y, z;
    3454             : 
    3455     2744997 :   if (!signe(x)) {
    3456          75 :     long l = nbits2prec(-expo(x));
    3457          75 :     if (l < LOWDEFAULTPREC) l = LOWDEFAULTPREC;
    3458          75 :     return real_1(l);
    3459             :   }
    3460     2744922 :   av = avma; z = mpcosm1(x,&mod8);
    3461     2744914 :   switch(mod8)
    3462             :   {
    3463      759990 :     case 0: case 4: y = addsr(1,z); break;
    3464      688609 :     case 1: case 7: y = mpaut(z); togglesign(y); break;
    3465      682287 :     case 2: case 6: y = subsr(-1,z); break;
    3466      614028 :     default:        y = mpaut(z); break; /* case 3: case 5: */
    3467             :   }
    3468     2744941 :   return gerepileuptoleaf(av, y);
    3469             : }
    3470             : 
    3471             : /* convert INT or FRAC to REAL, which is later reduced mod 2Pi : avoid
    3472             :  * cancellation */
    3473             : static GEN
    3474       13253 : tofp_safe(GEN x, long prec)
    3475             : {
    3476       13253 :   return (typ(x) == t_INT || gexpo(x) > 0)? gadd(x, real_0(prec))
    3477       26501 :                                           : fractor(x, prec);
    3478             : }
    3479             : 
    3480             : GEN
    3481      154770 : gcos(GEN x, long prec)
    3482             : {
    3483             :   pari_sp av;
    3484             :   GEN a, b, u, v, y, u1, v1;
    3485             :   long i;
    3486             : 
    3487      154770 :   switch(typ(x))
    3488             :   {
    3489      153502 :     case t_REAL: return mpcos(x);
    3490          28 :     case t_COMPLEX:
    3491          28 :       a = gel(x,1);
    3492          28 :       b = gel(x,2);
    3493          28 :       if (isintzero(a)) return gcosh(b, prec);
    3494          14 :       i = precision(x); if (i) prec = i;
    3495          14 :       y = cgetc(prec); av = avma;
    3496          14 :       if (typ(b) != t_REAL) b = gtofp(b, prec);
    3497          14 :       mpsinhcosh(b, &u1, &v1); u1 = mpneg(u1);
    3498          14 :       if (typ(a) != t_REAL) a = gtofp(a, prec);
    3499          14 :       mpsincos(a, &u, &v);
    3500          14 :       affrr_fixlg(gmul(v1,v), gel(y,1));
    3501          14 :       affrr_fixlg(gmul(u1,u), gel(y,2)); return gc_const(av,y);
    3502             : 
    3503        1156 :     case t_INT: case t_FRAC:
    3504        1156 :       y = cgetr(prec); av = avma;
    3505        1156 :       affrr_fixlg(mpcos(tofp_safe(x,prec)), y); return gc_const(av,y);
    3506             : 
    3507          49 :     case t_PADIC: y = cos_p(x);
    3508          49 :       if (!y) pari_err_DOMAIN("gcos(t_PADIC)","argument","",gen_0,x);
    3509          42 :       return y;
    3510             : 
    3511          35 :     default:
    3512          35 :       av = avma; if (!(y = toser_i(x))) break;
    3513          28 :       if (gequal0(y)) return gerepileupto(av, gaddsg(1,y));
    3514          28 :       if (valp(y) < 0)
    3515           7 :         pari_err_DOMAIN("cos","valuation", "<", gen_0, x);
    3516          21 :       gsincos(y,&u,&v,prec);
    3517          21 :       return gerepilecopy(av,v);
    3518             :   }
    3519           7 :   return trans_eval("cos",gcos,x,prec);
    3520             : }
    3521             : /********************************************************************/
    3522             : /**                             SINE                               **/
    3523             : /********************************************************************/
    3524             : 
    3525             : GEN
    3526      849471 : mpsin(GEN x)
    3527             : {
    3528             :   long mod8;
    3529             :   pari_sp av;
    3530             :   GEN y, z;
    3531             : 
    3532      849471 :   if (!signe(x)) return real_0_bit(expo(x));
    3533      849262 :   av = avma; z = mpcosm1(x,&mod8);
    3534      849239 :   switch(mod8)
    3535             :   {
    3536      316662 :     case 0: case 6: y = mpaut(z); break;
    3537      134023 :     case 1: case 5: y = addsr(1,z); break;
    3538      269091 :     case 2: case 4: y = mpaut(z); togglesign(y); break;
    3539      129463 :     default:        y = subsr(-1,z); break; /* case 3: case 7: */
    3540             :   }
    3541      849276 :   return gerepileuptoleaf(av, y);
    3542             : }
    3543             : 
    3544             : GEN
    3545      882401 : gsin(GEN x, long prec)
    3546             : {
    3547             :   pari_sp av;
    3548             :   GEN a, b, u, v, y, v1, u1;
    3549             :   long i;
    3550             : 
    3551      882401 :   switch(typ(x))
    3552             :   {
    3553      844294 :     case t_REAL: return mpsin(x);
    3554       32711 :     case t_COMPLEX:
    3555       32711 :       a = gel(x,1);
    3556       32711 :       b = gel(x,2);
    3557       32711 :       if (isintzero(a)) retmkcomplex(gen_0,gsinh(b,prec));
    3558       17402 :       i = precision(x); if (i) prec = i;
    3559       17402 :       y = cgetc(prec); av = avma;
    3560       17402 :       if (typ(b) != t_REAL) b = gtofp(b, prec);
    3561       17402 :       mpsinhcosh(b, &u1, &v1);
    3562       17402 :       if (typ(a) != t_REAL) a = gtofp(a, prec);
    3563       17402 :       mpsincos(a, &u, &v);
    3564       17402 :       affrr_fixlg(gmul(v1,u), gel(y,1));
    3565       17402 :       affrr_fixlg(gmul(u1,v), gel(y,2)); return gc_const(av,y);
    3566             : 
    3567        5118 :     case t_INT: case t_FRAC:
    3568        5118 :       y = cgetr(prec); av = avma;
    3569        5118 :       affrr_fixlg(mpsin(tofp_safe(x,prec)), y); return gc_const(av,y);
    3570             : 
    3571          49 :     case t_PADIC: y = sin_p(x);
    3572          49 :       if (!y) pari_err_DOMAIN("gsin(t_PADIC)","argument","",gen_0,x);
    3573          42 :       return y;
    3574             : 
    3575         229 :     default:
    3576         229 :       av = avma; if (!(y = toser_i(x))) break;
    3577         224 :       if (gequal0(y)) return gerepilecopy(av, y);
    3578         224 :       if (valp(y) < 0)
    3579           7 :         pari_err_DOMAIN("sin","valuation", "<", gen_0, x);
    3580         217 :       gsincos(y,&u,&v,prec);
    3581         217 :       return gerepilecopy(av,u);
    3582             :   }
    3583           7 :   return trans_eval("sin",gsin,x,prec);
    3584             : }
    3585             : /********************************************************************/
    3586             : /**                       SINE, COSINE together                    **/
    3587             : /********************************************************************/
    3588             : 
    3589             : void
    3590     5898083 : mpsincos(GEN x, GEN *s, GEN *c)
    3591             : {
    3592             :   long mod8;
    3593             :   pari_sp av, tetpil;
    3594             :   GEN z, *gptr[2];
    3595             : 
    3596     5898083 :   if (!signe(x))
    3597             :   {
    3598        3276 :     long e = expo(x);
    3599        3276 :     *s = real_0_bit(e);
    3600        3276 :     *c = e >= 0? real_0_bit(e): real_1_bit(-e);
    3601        3276 :     return;
    3602             :   }
    3603             : 
    3604     5894807 :   av = avma; z = mpcosm1(x, &mod8); tetpil = avma;
    3605     5894800 :   switch(mod8)
    3606             :   {
    3607     1494454 :     case 0: *c = addsr( 1,z); *s = mpaut(z); break;
    3608      433453 :     case 1: *s = addsr( 1,z); *c = mpaut(z); togglesign(*c); break;
    3609      754183 :     case 2: *c = subsr(-1,z); *s = mpaut(z); togglesign(*s); break;
    3610      435340 :     case 3: *s = subsr(-1,z); *c = mpaut(z); break;
    3611      893790 :     case 4: *c = addsr( 1,z); *s = mpaut(z); togglesign(*s); break;
    3612      413779 :     case 5: *s = addsr( 1,z); *c = mpaut(z); break;
    3613     1043696 :     case 6: *c = subsr(-1,z); *s = mpaut(z); break;
    3614      426190 :     case 7: *s = subsr(-1,z); *c = mpaut(z); togglesign(*c); break;
    3615             :   }
    3616     5894845 :   gptr[0] = s; gptr[1] = c; gerepilemanysp(av,tetpil,gptr,2);
    3617             : }
    3618             : 
    3619             : /* SINE and COSINE - 1 */
    3620             : void
    3621        5838 : mpsincosm1(GEN x, GEN *s, GEN *c)
    3622             : {
    3623             :   long mod8;
    3624             :   pari_sp av, tetpil;
    3625             :   GEN z, *gptr[2];
    3626             : 
    3627        5838 :   if (!signe(x))
    3628             :   {
    3629           0 :     long e = expo(x);
    3630           0 :     *s = real_0_bit(e);
    3631           0 :     *c = real_0_bit(2*e-1);
    3632           0 :     return;
    3633             :   }
    3634        5838 :   av = avma; z = mpcosm1(x,&mod8); tetpil = avma;
    3635        5838 :   switch(mod8)
    3636             :   {
    3637        4872 :     case 0: *c = rcopy(z); *s = mpaut(z); break;
    3638          42 :     case 1: *s = addsr(1,z); *c = addrs(mpaut(z),1); togglesign(*c); break;
    3639           0 :     case 2: *c = subsr(-2,z); *s = mpaut(z); togglesign(*s); break;
    3640           0 :     case 3: *s = subsr(-1,z); *c = subrs(mpaut(z),1); break;
    3641         819 :     case 4: *c = rcopy(z); *s = mpaut(z); togglesign(*s); break;
    3642          91 :     case 5: *s = addsr( 1,z); *c = subrs(mpaut(z),1); break;
    3643           7 :     case 6: *c = subsr(-2,z); *s = mpaut(z); break;
    3644           7 :     case 7: *s = subsr(-1,z); *c = subsr(-1,mpaut(z)); break;
    3645             :   }
    3646        5838 :   gptr[0] = s; gptr[1] = c;
    3647        5838 :   gerepilemanysp(av,tetpil,gptr,2);
    3648             : }
    3649             : 
    3650             : /* return exp(ix), x a t_REAL */
    3651             : GEN
    3652      683518 : expIr(GEN x)
    3653             : {
    3654      683518 :   pari_sp av = avma;
    3655      683518 :   GEN v = cgetg(3,t_COMPLEX);
    3656      683523 :   mpsincos(x, (GEN*)(v+2), (GEN*)(v+1));
    3657      683528 :   if (!signe(gel(v,2))) return gerepilecopy(av, gel(v,1));
    3658      681393 :   return v;
    3659             : }
    3660             : 
    3661             : /* return exp(ix)-1, x a t_REAL */
    3662             : static GEN
    3663        5838 : expm1_Ir(GEN x)
    3664             : {
    3665        5838 :   pari_sp av = avma;
    3666        5838 :   GEN v = cgetg(3,t_COMPLEX);
    3667        5838 :   mpsincosm1(x, (GEN*)(v+2), (GEN*)(v+1));
    3668        5838 :   if (!signe(gel(v,2))) return gerepilecopy(av, gel(v,1));
    3669        5838 :   return v;
    3670             : }
    3671             : 
    3672             : /* return exp(z)-1, z complex */
    3673             : GEN
    3674        5894 : cxexpm1(GEN z, long prec)
    3675             : {
    3676        5894 :   pari_sp av = avma;
    3677        5894 :   GEN X, Y, x = real_i(z), y = imag_i(z);
    3678        5894 :   long l = precision(z);
    3679        5894 :   if (l) prec = l;
    3680        5894 :   if (typ(x) != t_REAL) x = gtofp(x, prec);
    3681        5894 :   if (typ(y) != t_REAL) y = gtofp(y, prec);
    3682        5894 :   if (gequal0(y)) return mpexpm1(x);
    3683        5838 :   if (gequal0(x)) return expm1_Ir(y);
    3684        5705 :   X = mpexpm1(x); /* t_REAL */
    3685        5705 :   Y = expm1_Ir(y);
    3686             :   /* exp(x+iy) - 1 = (exp(x)-1)(exp(iy)-1) + exp(x)-1 + exp(iy)-1 */
    3687        5705 :   return gerepileupto(av, gadd(gadd(X,Y), gmul(X,Y)));
    3688             : }
    3689             : 
    3690             : void
    3691     2510158 : gsincos(GEN x, GEN *s, GEN *c, long prec)
    3692             : {
    3693             :   long i, j, ex, ex2, lx, ly, mi;
    3694             :   pari_sp av, tetpil;
    3695             :   GEN y, r, u, v, u1, v1, p1, p2, p3, p4, ps, pc;
    3696             :   GEN *gptr[4];
    3697             : 
    3698     2510158 :   switch(typ(x))
    3699             :   {
    3700        6951 :     case t_INT: case t_FRAC:
    3701        6951 :       *s = cgetr(prec);
    3702        6950 :       *c = cgetr(prec); av = avma;
    3703        6945 :       mpsincos(tofp_safe(x, prec), &ps, &pc);
    3704        6951 :       affrr_fixlg(ps,*s);
    3705     2510317 :       affrr_fixlg(pc,*c); set_avma(av); return;
    3706             : 
    3707     2498612 :     case t_REAL:
    3708     2498612 :       mpsincos(x,s,c); return;
    3709             : 
    3710        4130 :     case t_COMPLEX:
    3711        4130 :       i = precision(x); if (i) prec = i;
    3712        4130 :       ps = cgetc(prec); *s = ps;
    3713        4130 :       pc = cgetc(prec); *c = pc; av = avma;
    3714        4130 :       r = gexp(gel(x,2),prec);
    3715        4130 :       v1 = gmul2n(addrr(invr(r),r), -1); /* = cos(I*Im(x)) */
    3716        4130 :       u1 = subrr(r, v1); /* = I*sin(I*Im(x)) */
    3717        4130 :       gsincos(gel(x,1), &u,&v, prec);
    3718        4130 :       affrr_fixlg(mulrr(v1,u), gel(ps,1));
    3719        4130 :       affrr_fixlg(mulrr(u1,v), gel(ps,2));
    3720        4130 :       affrr_fixlg(mulrr(v1,v), gel(pc,1));
    3721        4130 :       affrr_fixlg(mulrr(u1,u), gel(pc,2)); togglesign(gel(pc,2));
    3722        4130 :       set_avma(av); return;
    3723             : 
    3724           0 :     case t_QUAD:
    3725           0 :       av = avma; gsincos(quadtofp(x, prec), s, c, prec);
    3726           0 :       gerepileall(av, 2, s, c); return;
    3727             : 
    3728         465 :     default:
    3729         465 :       av = avma; if (!(y = toser_i(x))) break;
    3730         504 :       if (gequal0(y)) { *s = gerepilecopy(av,y); *c = gaddsg(1,*s); return; }
    3731             : 
    3732         504 :       ex = valp(y); lx = lg(y); ex2 = 2*ex+2;
    3733         504 :       if (ex < 0) pari_err_DOMAIN("gsincos","valuation", "<", gen_0, x);
    3734         504 :       if (ex2 > lx)
    3735             :       {
    3736          98 :         *s = x == y? gcopy(y): gerepilecopy(av, y); av = avma;
    3737          98 :         *c = gerepileupto(av, gsubsg(1, gdivgu(gsqr(y),2)));
    3738          98 :         return;
    3739             :       }
    3740         406 :       if (!ex)
    3741             :       {
    3742         105 :         gsincos(serchop0(y),&u,&v,prec);
    3743         105 :         gsincos(gel(y,2),&u1,&v1,prec);
    3744         105 :         p1 = gmul(v1,v);
    3745         105 :         p2 = gmul(u1,u);
    3746         105 :         p3 = gmul(v1,u);
    3747         105 :         p4 = gmul(u1,v); tetpil = avma;
    3748         105 :         *c = gsub(p1,p2);
    3749         105 :         *s = gadd(p3,p4);
    3750         105 :         gptr[0]=s; gptr[1]=c;
    3751         105 :         gerepilemanysp(av,tetpil,gptr,2);
    3752         105 :         return;
    3753             :       }
    3754             : 
    3755         301 :       ly = lx+2*ex;
    3756        2842 :       mi = lx-1; while (mi>=3 && isrationalzero(gel(y,mi))) mi--;
    3757         301 :       mi += ex-2;
    3758         301 :       pc = cgetg(ly,t_SER); *c = pc;
    3759         301 :       ps = cgetg(lx,t_SER); *s = ps;
    3760         301 :       pc[1] = evalsigne(1) | _evalvalp(0) | evalvarn(varn(y));
    3761         301 :       gel(pc,2) = gen_1; ps[1] = y[1];
    3762         609 :       for (i=2; i<ex+2; i++) gel(ps,i) = gcopy(gel(y,i));
    3763         616 :       for (i=3; i< ex2; i++) gel(pc,i) = gen_0;
    3764        3339 :       for (i=ex2; i<ly; i++)
    3765             :       {
    3766        3038 :         long ii = i-ex;
    3767        3038 :         av = avma; p1 = gen_0;
    3768        7028 :         for (j=ex; j<=minss(ii-2,mi); j++)
    3769        3990 :           p1 = gadd(p1, gmulgu(gmul(gel(y,j-ex+2),gel(ps,ii-j)),j));
    3770        3038 :         gel(pc,i) = gerepileupto(av, gdivgs(p1,2-i));
    3771        3038 :         if (ii < lx)
    3772             :         {
    3773        2730 :           av = avma; p1 = gen_0;
    3774        5796 :           for (j=ex; j<=minss(i-ex2,mi); j++)
    3775        3066 :             p1 = gadd(p1,gmulgu(gmul(gel(y,j-ex+2),gel(pc,i-j)),j));
    3776        2730 :           p1 = gdivgu(p1,i-2);
    3777        2730 :           gel(ps,ii) = gerepileupto(av, gadd(p1,gel(y,ii)));
    3778             :         }
    3779             :       }
    3780         301 :       return;
    3781             :   }
    3782           0 :   pari_err_TYPE("gsincos",x);
    3783             : }
    3784             : 
    3785             : /********************************************************************/
    3786             : /**                                                                **/
    3787             : /**                              SINC                              **/
    3788             : /**                                                                **/
    3789             : /********************************************************************/
    3790             : static GEN
    3791     2428754 : mpsinc(GEN x)
    3792             : {
    3793     2428754 :   pari_sp av = avma;
    3794             :   GEN s, c;
    3795             : 
    3796     2428754 :   if (!signe(x)) {
    3797           0 :     long l = nbits2prec(-expo(x));
    3798           0 :     if (l < LOWDEFAULTPREC) l = LOWDEFAULTPREC;
    3799           0 :     return real_1(l);
    3800             :   }
    3801             : 
    3802     2428754 :   mpsincos(x,&s,&c);
    3803     2428754 :   return gerepileuptoleaf(av, divrr(s,x));
    3804             : }
    3805             : 
    3806             : GEN
    3807     2428866 : gsinc(GEN x, long prec)
    3808             : {
    3809             :   pari_sp av;
    3810             :   GEN r, u, v, y, u1, v1;
    3811             :   long i;
    3812             : 
    3813     2428866 :   switch(typ(x))
    3814             :   {
    3815     2428733 :     case t_REAL: return mpsinc(x);
    3816          49 :     case t_COMPLEX:
    3817          49 :       if (isintzero(gel(x,1)))
    3818             :       {
    3819          28 :         av = avma; x = gel(x,2);
    3820          28 :         if (gequal0(x)) return gcosh(x,prec);
    3821          14 :         return gerepileuptoleaf(av,gdiv(gsinh(x,prec),x));
    3822             :       }
    3823          21 :       i = precision(x); if (i) prec = i;
    3824          21 :       y = cgetc(prec); av = avma;
    3825          21 :       r = gexp(gel(x,2),prec);
    3826          21 :       v1 = gmul2n(addrr(invr(r),r), -1); /* = cos(I*Im(x)) */
    3827          21 :       u1 = subrr(r, v1); /* = I*sin(I*Im(x)) */
    3828          21 :       gsincos(gel(x,1),&u,&v,prec);
    3829          21 :       affc_fixlg(gdiv(mkcomplex(gmul(v1,u), gmul(u1,v)), x), y);
    3830          21 :       return gc_const(av,y);
    3831             : 
    3832          14 :     case t_INT:
    3833          14 :       if (!signe(x)) return real_1(prec); /*fall through*/
    3834             :     case t_FRAC:
    3835          21 :       y = cgetr(prec); av = avma;
    3836          21 :       affrr_fixlg(mpsinc(tofp_safe(x,prec)), y); return gc_const(av,y);
    3837             : 
    3838          21 :     case t_PADIC:
    3839          21 :       if (gequal0(x)) return cvtop(gen_1, gel(x,2), valp(x));
    3840          14 :       av = avma; y = sin_p(x);
    3841          14 :       if (!y) pari_err_DOMAIN("gsinc(t_PADIC)","argument","",gen_0,x);
    3842           7 :       return gerepileupto(av,gdiv(y,x));
    3843             : 
    3844          35 :     default:
    3845             :     {
    3846             :       long ex;
    3847          35 :       av = avma; if (!(y = toser_i(x))) break;
    3848          35 :       if (gequal0(y)) return gerepileupto(av, gaddsg(1,y));
    3849          35 :       ex = valp(y);
    3850          35 :       if (ex < 0) pari_err_DOMAIN("sinc","valuation", "<", gen_0, x);
    3851          28 :       if (ex)
    3852             :       {
    3853          28 :         gsincos(y,&u,&v,prec);
    3854          28 :         y = gerepileupto(av, gdiv(u,y));
    3855          28 :         if (lg(y) > 2) gel(y,2) = gen_1;
    3856          28 :         return y;
    3857             :       }
    3858             :       else
    3859             :       {
    3860           0 :         GEN z0, y0 = gel(y,2), y1 = serchop0(y), y10 = y1;
    3861           0 :         if (!gequal1(y0)) y10 = gdiv(y10, y0);
    3862           0 :         gsincos(y1,&u,&v,prec);
    3863           0 :         z0 = gdiv(gcos(y0,prec), y0);
    3864           0 :         y = gaddsg(1, y10);
    3865           0 :         u = gadd(gmul(gsinc(y0, prec),v), gmul(z0, u));
    3866           0 :         return gerepileupto(av,gdiv(u,y));
    3867             :       }
    3868             :     }
    3869             :   }
    3870           0 :   return trans_eval("sinc",gsinc,x,prec);
    3871             : }
    3872             : 
    3873             : /********************************************************************/
    3874             : /**                                                                **/
    3875             : /**                     TANGENT and COTANGENT                      **/
    3876             : /**                                                                **/
    3877             : /********************************************************************/
    3878             : static GEN
    3879         133 : mptan(GEN x)
    3880             : {
    3881         133 :   pari_sp av = avma;
    3882             :   GEN s, c;
    3883             : 
    3884         133 :   mpsincos(x,&s,&c);
    3885         133 :   if (!signe(c))
    3886           0 :     pari_err_DOMAIN("tan", "argument", "=", strtoGENstr("Pi/2 + kPi"),x);
    3887         133 :   return gerepileuptoleaf(av, divrr(s,c));
    3888             : }
    3889             : 
    3890             : /* If exp(-|im(x)|) << 1, avoid overflow in sincos(x) */
    3891             : static int
    3892        4018 : tan_huge_im(GEN ix, long prec)
    3893             : {
    3894        4018 :   long b, p = precision(ix);
    3895        4018 :   if (!p) p = prec;
    3896        4018 :   b = bit_accuracy(p);
    3897        4018 :   return (gexpo(ix) > b || fabs(gtodouble(ix)) > (M_LN2 / 2) * b);
    3898             : }
    3899             : /* \pm I */
    3900             : static GEN
    3901          35 : real_I(long s, long prec)
    3902             : {
    3903          35 :   GEN z = cgetg(3, t_COMPLEX);
    3904          35 :   gel(z,1) = real_0(prec);
    3905          35 :   gel(z,2) = s > 0? real_1(prec): real_m1(prec); return z;
    3906             : }
    3907             : 
    3908             : GEN
    3909         217 : gtan(GEN x, long prec)
    3910             : {
    3911             :   pari_sp av;
    3912             :   GEN y, s, c;
    3913             : 
    3914         217 :   switch(typ(x))
    3915             :   {
    3916         126 :     case t_REAL: return mptan(x);
    3917             : 
    3918          42 :     case t_COMPLEX: {
    3919          42 :       if (isintzero(gel(x,1))) retmkcomplex(gen_0,gtanh(gel(x,2),prec));
    3920          28 :       if (tan_huge_im(gel(x,2), prec)) return real_I(gsigne(gel(x,2)), prec);
    3921          14 :       av = avma; y = mulcxmI(gtanh(mulcxI(x), prec)); /* tan x = -I th(I x) */
    3922          14 :       gel(y,1) = gcopy(gel(y,1)); return gerepileupto(av, y);
    3923             :     }
    3924           7 :     case t_INT: case t_FRAC:
    3925           7 :       y = cgetr(prec); av = avma;
    3926           7 :       affrr_fixlg(mptan(tofp_safe(x,prec)), y); return gc_const(av,y);
    3927             : 
    3928          14 :     case t_PADIC:
    3929          14 :       av = avma;
    3930          14 :       return gerepileupto(av, gdiv(gsin(x,prec), gcos(x,prec)));
    3931             : 
    3932          28 :     default:
    3933          28 :       av = avma; if (!(y = toser_i(x))) break;
    3934          21 :       if (gequal0(y)) return gerepilecopy(av, y);
    3935          21 :       if (valp(y) < 0)
    3936           7 :         pari_err_DOMAIN("tan","valuation", "<", gen_0, x);
    3937          14 :       gsincos(y,&s,&c,prec);
    3938          14 :       return gerepileupto(av, gdiv(s,c));
    3939             :   }
    3940           7 :   return trans_eval("tan",gtan,x,prec);
    3941             : }
    3942             : 
    3943             : static GEN
    3944          63 : mpcotan(GEN x)
    3945             : {
    3946          63 :   pari_sp av=avma, tetpil;
    3947             :   GEN s,c;
    3948             : 
    3949          63 :   mpsincos(x,&s,&c); tetpil=avma;
    3950          63 :   return gerepile(av,tetpil,divrr(c,s));
    3951             : }
    3952             : 
    3953             : GEN
    3954        4200 : gcotan(GEN x, long prec)
    3955             : {
    3956             :   pari_sp av;
    3957             :   GEN y, s, c;
    3958             : 
    3959        4200 :   switch(typ(x))
    3960             :   {
    3961          56 :     case t_REAL:
    3962          56 :       return mpcotan(x);
    3963             : 
    3964        4011 :     case t_COMPLEX:
    3965        4011 :       if (isintzero(gel(x,1))) {
    3966          21 :         GEN z = cgetg(3, t_COMPLEX);
    3967          21 :         gel(z,1) = gen_0; av = avma;
    3968          21 :         gel(z,2) = gerepileupto(av, gneg(ginv(gtanh(gel(x,2),prec))));
    3969          21 :         return z;
    3970             :       }
    3971        3990 :       if (tan_huge_im(gel(x,2), prec)) return real_I(-gsigne(gel(x,2)), prec);
    3972        3969 :       av = avma; gsincos(x,&s,&c,prec);
    3973        3969 :       return gerepileupto(av, gdiv(c,s));
    3974             : 
    3975           7 :     case t_INT: case t_FRAC:
    3976           7 :       y = cgetr(prec); av = avma;
    3977           7 :       affrr_fixlg(mpcotan(tofp_safe(x,prec)), y); return gc_const(av,y);
    3978             : 
    3979          14 :     case t_PADIC:
    3980          14 :       av = avma;
    3981          14 :       return gerepileupto(av, gdiv(gcos(x,prec), gsin(x,prec)));
    3982             : 
    3983         112 :     default:
    3984         112 :       av = avma; if (!(y = toser_i(x))) break;
    3985         105 :       if (gequal0(y)) pari_err_DOMAIN("cotan", "argument", "=", gen_0, y);
    3986         105 :       if (valp(y) < 0) pari_err_DOMAIN("cotan","valuation", "<", gen_0, x);
    3987          98 :       gsincos(y,&s,&c,prec);
    3988          98 :       return gerepileupto(av, gdiv(c,s));
    3989             :   }
    3990           7 :   return trans_eval("cotan",gcotan,x,prec);
    3991             : }

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