Line data Source code
1 : /* Copyright (C) 2000 The PARI group.
2 :
3 : This file is part of the PARI/GP package.
4 :
5 : PARI/GP is free software; you can redistribute it and/or modify it under the
6 : terms of the GNU General Public License as published by the Free Software
7 : Foundation; either version 2 of the License, or (at your option) any later
8 : version. It is distributed in the hope that it will be useful, but WITHOUT
9 : ANY WARRANTY WHATSOEVER.
10 :
11 : Check the License for details. You should have received a copy of it, along
12 : with the package; see the file 'COPYING'. If not, write to the Free Software
13 : Foundation, Inc., 51 Franklin Street, Fifth Floor, Boston, MA 02110-1301 USA. */
14 :
15 : /********************************************************************/
16 : /** **/
17 : /** TRANSCENDENTAL FUNCTIONS **/
18 : /** **/
19 : /********************************************************************/
20 : #include "pari.h"
21 : #include "paripriv.h"
22 :
23 : #define DEBUGLEVEL DEBUGLEVEL_trans
24 :
25 : #ifdef LONG_IS_64BIT
26 : static const long SQRTVERYBIGINT = 3037000500L; /* ceil(sqrt(LONG_MAX)) */
27 : #else
28 : static const long SQRTVERYBIGINT = 46341L;
29 : #endif
30 :
31 : static THREAD GEN gcatalan, geuler, glog2, gpi;
32 : void
33 306270 : pari_init_floats(void)
34 : {
35 306270 : gcatalan = geuler = gpi = zetazone = bernzone = glog2 = eulerzone = NULL;
36 306270 : }
37 :
38 : void
39 304674 : pari_close_floats(void)
40 : {
41 304674 : guncloneNULL(gcatalan);
42 303773 : guncloneNULL(geuler);
43 302728 : guncloneNULL(gpi);
44 302628 : guncloneNULL(glog2);
45 302505 : guncloneNULL(zetazone);
46 302387 : guncloneNULL_deep(bernzone);
47 302492 : guncloneNULL_deep(eulerzone);
48 302353 : }
49 :
50 : /********************************************************************/
51 : /** GENERIC BINARY SPLITTING **/
52 : /** (Haible, Papanikolaou) **/
53 : /********************************************************************/
54 : void
55 273494 : abpq_init(struct abpq *A, long n)
56 : {
57 273494 : A->a = (GEN*)new_chunk(n+1);
58 273622 : A->b = (GEN*)new_chunk(n+1);
59 273754 : A->p = (GEN*)new_chunk(n+1);
60 273939 : A->q = (GEN*)new_chunk(n+1);
61 273952 : }
62 : static GEN
63 19994233 : mulii3(GEN a, GEN b, GEN c) { return mulii(mulii(a,b),c); }
64 :
65 : /* T_{n1,n1+1} */
66 : static GEN
67 4272209 : T2(struct abpq *A, long n1)
68 : {
69 4272209 : GEN u = mulii3(A->a[n1], A->b[n1+1], A->q[n1+1]);
70 4271779 : GEN v = mulii3(A->b[n1], A->a[n1+1], A->p[n1+1]);
71 4271784 : return mulii(A->p[n1], addii(u, v));
72 : }
73 :
74 : /* assume n2 > n1. Compute sum_{n1 <= n < n2} a/b(n) p/q(n1)... p/q(n) */
75 : void
76 8319987 : abpq_sum(struct abpq_res *r, long n1, long n2, struct abpq *A)
77 : {
78 : struct abpq_res L, R;
79 : GEN u1, u2;
80 : pari_sp av;
81 : long n;
82 8319987 : switch(n2 - n1)
83 : {
84 : GEN b, q;
85 56 : case 1:
86 56 : r->P = A->p[n1];
87 56 : r->Q = A->q[n1];
88 56 : r->B = A->b[n1];
89 56 : r->T = mulii(A->a[n1], A->p[n1]);
90 4285909 : return;
91 2406227 : case 2:
92 2406227 : r->P = mulii(A->p[n1], A->p[n1+1]);
93 2396505 : r->Q = mulii(A->q[n1], A->q[n1+1]);
94 2395475 : r->B = mulii(A->b[n1], A->b[n1+1]);
95 2395652 : av = avma;
96 2395652 : r->T = gerepileuptoint(av, T2(A, n1));
97 2401046 : return;
98 :
99 1895210 : case 3:
100 1895210 : q = mulii(A->q[n1+1], A->q[n1+2]);
101 1891644 : b = mulii(A->b[n1+1], A->b[n1+2]);
102 1891352 : r->P = mulii3(A->p[n1], A->p[n1+1], A->p[n1+2]);
103 1891195 : r->Q = mulii(A->q[n1], q);
104 1891380 : r->B = mulii(A->b[n1], b);
105 1891385 : av = avma;
106 1891385 : u1 = mulii3(b, q, A->a[n1]);
107 1891065 : u2 = mulii(A->b[n1], T2(A, n1+1));
108 1891240 : r->T = gerepileuptoint(av, mulii(A->p[n1], addii(u1, u2)));
109 1884807 : return;
110 : }
111 :
112 4018494 : av = avma;
113 4018494 : n = (n1 + n2) >> 1;
114 4018494 : abpq_sum(&L, n1, n, A);
115 4022322 : abpq_sum(&R, n, n2, A);
116 :
117 4023441 : r->P = mulii(L.P, R.P);
118 4007695 : r->Q = mulii(L.Q, R.Q);
119 4009156 : r->B = mulii(L.B, R.B);
120 4007292 : u1 = mulii3(R.B, R.Q, L.T);
121 4007197 : u2 = mulii3(L.B, L.P, R.T);
122 4005271 : r->T = addii(u1,u2);
123 4006945 : set_avma(av);
124 4008634 : r->P = icopy(r->P);
125 4022298 : r->Q = icopy(r->Q);
126 4026178 : r->B = icopy(r->B);
127 4026428 : r->T = icopy(r->T);
128 : }
129 :
130 : /********************************************************************/
131 : /** **/
132 : /** PI **/
133 : /** **/
134 : /********************************************************************/
135 : /* replace *old clone by c. Protect against SIGINT */
136 : static void
137 77853 : swap_clone(GEN *old, GEN c)
138 77853 : { GEN tmp = *old; *old = c; guncloneNULL(tmp); }
139 :
140 : /* ----
141 : * 53360 (640320)^(1/2) \ (6n)! (545140134 n + 13591409)
142 : * -------------------- = / ------------------------------
143 : * Pi ---- (n!)^3 (3n)! (-640320)^(3n)
144 : * n>=0
145 : *
146 : * Ramanujan's formula + binary splitting */
147 : static GEN
148 38363 : pi_ramanujan(long prec)
149 : {
150 38363 : const ulong B = 545140134, A = 13591409, C = 640320;
151 38363 : const double alpha2 = 47.11041314; /* 3log(C/12) / log(2) */
152 : long n, nmax, prec2;
153 : struct abpq_res R;
154 : struct abpq S;
155 : GEN D, u;
156 :
157 38363 : nmax = (long)(1 + prec2nbits(prec)/alpha2);
158 : #ifdef LONG_IS_64BIT
159 37878 : D = utoipos(10939058860032000UL); /* C^3/24 */
160 : #else
161 482 : D = uutoi(2546948UL,495419392UL);
162 : #endif
163 38362 : abpq_init(&S, nmax);
164 38371 : S.a[0] = utoipos(A);
165 38363 : S.b[0] = S.p[0] = S.q[0] = gen_1;
166 313448 : for (n = 1; n <= nmax; n++)
167 : {
168 275129 : S.a[n] = addiu(muluu(B, n), A);
169 275033 : S.b[n] = gen_1;
170 275033 : S.p[n] = mulis(muluu(6*n-5, 2*n-1), 1-6*n);
171 275038 : S.q[n] = mulii(sqru(n), muliu(D,n));
172 : }
173 38319 : abpq_sum(&R, 0, nmax, &S); prec2 = prec+EXTRAPRECWORD;
174 38367 : u = itor(muliu(R.Q,C/12), prec2);
175 38351 : return rtor(mulrr(divri(u, R.T), sqrtr_abs(utor(C,prec2))), prec);
176 : }
177 :
178 : #if 0 /* Much slower than binary splitting at least up to prec = 10^8 */
179 : /* Gauss - Brent-Salamin AGM iteration */
180 : static GEN
181 : pi_brent_salamin(long prec)
182 : {
183 : GEN A, B, C;
184 : pari_sp av2;
185 : long i, G;
186 :
187 : G = - prec2nbits(prec);
188 : incrprec(prec);
189 :
190 : A = real2n(-1, prec);
191 : B = sqrtr_abs(A); /* = 1/sqrt(2) */
192 : setexpo(A, 0);
193 : C = real2n(-2, prec); av2 = avma;
194 : for (i = 0;; i++)
195 : {
196 : GEN y, a, b, B_A = subrr(B, A);
197 : pari_sp av3 = avma;
198 : if (expo(B_A) < G) break;
199 : a = addrr(A,B); shiftr_inplace(a, -1);
200 : b = mulrr(A,B);
201 : affrr(a, A);
202 : affrr(sqrtr_abs(b), B); set_avma(av3);
203 : y = sqrr(B_A); shiftr_inplace(y, i - 2);
204 : affrr(subrr(C, y), C); set_avma(av2);
205 : }
206 : shiftr_inplace(C, 2);
207 : return divrr(sqrr(addrr(A,B)), C);
208 : }
209 : #endif
210 :
211 : GEN
212 35188735 : constpi(long prec)
213 : {
214 : pari_sp av;
215 : GEN tmp;
216 35188735 : if (gpi && realprec(gpi) >= prec) return gpi;
217 :
218 38199 : av = avma;
219 38199 : tmp = gclone(pi_ramanujan(prec));
220 38377 : swap_clone(&gpi,tmp);
221 38376 : return gc_const(av, gpi);
222 : }
223 :
224 : GEN
225 35188707 : mppi(long prec) { return rtor(constpi(prec), prec); }
226 :
227 : /* Pi * 2^n */
228 : GEN
229 22023291 : Pi2n(long n, long prec)
230 : {
231 22023291 : GEN x = mppi(prec); shiftr_inplace(x, n);
232 22023414 : return x;
233 : }
234 :
235 : /* I * Pi * 2^n */
236 : GEN
237 262235 : PiI2n(long n, long prec) { retmkcomplex(gen_0, Pi2n(n, prec)); }
238 :
239 : /* 2I * Pi */
240 : GEN
241 261346 : PiI2(long prec) { return PiI2n(1, prec); }
242 :
243 : /********************************************************************/
244 : /** **/
245 : /** EULER CONSTANT **/
246 : /** **/
247 : /********************************************************************/
248 :
249 : GEN
250 58020 : consteuler(long prec)
251 : {
252 : GEN u,v,a,b,tmpeuler;
253 : long l, n1, n, k, x;
254 : pari_sp av1, av2;
255 :
256 58020 : if (geuler && realprec(geuler) >= prec) return geuler;
257 :
258 519 : av1 = avma; tmpeuler = cgetr_block(prec);
259 :
260 519 : incrprec(prec);
261 :
262 519 : l = prec+EXTRAPRECWORD; x = (long) (1 + prec2nbits_mul(l, M_LN2/4));
263 519 : a = utor(x,l); u=logr_abs(a); setsigne(u,-1); affrr(u,a);
264 519 : b = real_1(l);
265 519 : v = real_1(l);
266 519 : n = (long)(1+3.591*x); /* z=3.591: z*[ ln(z)-1 ]=1 */
267 519 : n1 = minss(n, SQRTVERYBIGINT);
268 519 : if (x < SQRTVERYBIGINT)
269 : {
270 519 : ulong xx = x*x;
271 519 : av2 = avma;
272 166767 : for (k=1; k<n1; k++)
273 : {
274 166248 : affrr(divru(mulur(xx,b),k*k), b);
275 166237 : affrr(divru(addrr(divru(mulur(xx,a),k),b),k), a);
276 166239 : affrr(addrr(u,a), u);
277 166143 : affrr(addrr(v,b), v); set_avma(av2);
278 : }
279 1038 : for ( ; k<=n; k++)
280 : {
281 519 : affrr(divru(divru(mulur(xx,b),k),k), b);
282 519 : affrr(divru(addrr(divru(mulur(xx,a),k),b),k), a);
283 519 : affrr(addrr(u,a), u);
284 519 : affrr(addrr(v,b), v); set_avma(av2);
285 : }
286 : }
287 : else
288 : {
289 0 : GEN xx = sqru(x);
290 0 : av2 = avma;
291 0 : for (k=1; k<n1; k++)
292 : {
293 0 : affrr(divru(mulir(xx,b),k*k), b);
294 0 : affrr(divru(addrr(divru(mulir(xx,a),k),b),k), a);
295 0 : affrr(addrr(u,a), u);
296 0 : affrr(addrr(v,b), v); set_avma(av2);
297 : }
298 0 : for ( ; k<=n; k++)
299 : {
300 0 : affrr(divru(divru(mulir(xx,b),k),k), b);
301 0 : affrr(divru(addrr(divru(mulir(xx,a),k),b),k), a);
302 0 : affrr(addrr(u,a), u);
303 0 : affrr(addrr(v,b), v); set_avma(av2);
304 : }
305 : }
306 519 : divrrz(u,v,tmpeuler);
307 519 : swap_clone(&geuler,tmpeuler);
308 519 : return gc_const(av1, geuler);
309 : }
310 :
311 : GEN
312 58020 : mpeuler(long prec) { return rtor(consteuler(prec), prec); }
313 :
314 : /********************************************************************/
315 : /** **/
316 : /** CATALAN CONSTANT **/
317 : /** **/
318 : /********************************************************************/
319 : /* inf 256^i (580i^2 - 184i + 15) (2i)!^3 (3i)!^2
320 : * 64 G = SUM ------------------------------------------
321 : * i=1 i^3 (2i-1) (6i)!^2 */
322 : static GEN
323 14 : catalan(long prec)
324 : {
325 14 : long i, nmax = 1 + prec2nbits(prec) / 7.509; /* / log2(729/4) */
326 : struct abpq_res R;
327 : struct abpq A;
328 : GEN u;
329 14 : abpq_init(&A, nmax);
330 14 : A.a[0] = gen_0; A.b[0] = A.p[0] = A.q[0] = gen_1;
331 1750 : for (i = 1; i <= nmax; i++)
332 : {
333 1736 : A.a[i] = addiu(muluu(580*i - 184, i), 15);
334 1736 : A.b[i] = muliu(powuu(i, 3), 2*i - 1);
335 1736 : A.p[i] = mului(64*i-32, powuu(i,3));
336 1736 : A.q[i] = sqri(muluu(6*i - 1, 18*i - 15));
337 : }
338 14 : abpq_sum(&R, 0, nmax, &A);
339 14 : u = rdivii(R.T, mulii(R.B,R.Q),prec);
340 14 : shiftr_inplace(u, -6); return u;
341 : }
342 :
343 : GEN
344 14 : constcatalan(long prec)
345 : {
346 14 : pari_sp av = avma;
347 : GEN tmp;
348 14 : if (gcatalan && realprec(gcatalan) >= prec) return gcatalan;
349 14 : tmp = gclone(catalan(prec));
350 14 : swap_clone(&gcatalan,tmp);
351 14 : return gc_const(av, gcatalan);
352 : }
353 :
354 : GEN
355 14 : mpcatalan(long prec) { return rtor(constcatalan(prec), prec); }
356 :
357 : /********************************************************************/
358 : /** **/
359 : /** TYPE CONVERSION FOR TRANSCENDENTAL FUNCTIONS **/
360 : /** **/
361 : /********************************************************************/
362 : static GEN
363 2011759 : transvec(GEN (*f)(GEN,long), GEN x, long prec)
364 6568314 : { pari_APPLY_same(f(gel(x,i), prec)); }
365 : static GEN
366 329 : transvecgen(void *E, GEN (*f)(void *,GEN,long), GEN x, long prec)
367 735 : { pari_APPLY_same(f(E, gel(x,i), prec)); }
368 :
369 : GEN
370 3736853 : trans_eval(const char *fun, GEN (*f)(GEN,long), GEN x, long prec)
371 : {
372 3736853 : pari_sp av = avma;
373 3736853 : if (prec < 3) pari_err_BUG("trans_eval [prec < 3]");
374 3736868 : switch(typ(x))
375 : {
376 1477888 : case t_INT: x = f(itor(x,prec),prec); break;
377 247165 : case t_FRAC: x = f(fractor(x, prec),prec); break;
378 7 : case t_QUAD: x = f(quadtofp(x,prec),prec); break;
379 14 : case t_POLMOD: x = transvec(f, polmod_to_embed(x,prec), prec); break;
380 2011745 : case t_VEC:
381 : case t_COL:
382 2011745 : case t_MAT: return transvec(f, x, prec);
383 49 : default: pari_err_TYPE(fun,x);
384 : return NULL;/*LCOV_EXCL_LINE*/
385 : }
386 1725039 : return gerepileupto(av, x);
387 : }
388 :
389 : GEN
390 1883 : trans_evalgen(const char *fun, void *E, GEN (*f)(void*,GEN,long),
391 : GEN x, long prec)
392 : {
393 1883 : pari_sp av = avma;
394 1883 : if (prec < 3) pari_err_BUG("trans_eval [prec < 3]");
395 1883 : switch(typ(x))
396 : {
397 273 : case t_INT: x = f(E, itor(x,prec),prec); break;
398 1246 : case t_FRAC: x = f(E, fractor(x, prec),prec); break;
399 0 : case t_QUAD: x = f(E, quadtofp(x,prec),prec); break;
400 70 : case t_POLMOD: x = transvecgen(E, f, polmod_to_embed(x,prec), prec); break;
401 259 : case t_VEC:
402 : case t_COL:
403 259 : case t_MAT: return transvecgen(E, f, x, prec);
404 35 : default: pari_err_TYPE(fun,x);
405 : return NULL;/*LCOV_EXCL_LINE*/
406 : }
407 1589 : return gerepileupto(av, x);
408 : }
409 :
410 : /*******************************************************************/
411 : /* */
412 : /* POWERING */
413 : /* */
414 : /*******************************************************************/
415 : /* x a t_REAL 0, return exp(x) */
416 : static GEN
417 69634 : mpexp0(GEN x)
418 : {
419 69634 : long e = expo(x);
420 69634 : return e >= 0? real_0_bit(e): real_1_bit(-e);
421 : }
422 : static GEN
423 21007 : powr0(GEN x)
424 21007 : { return signe(x)? real_1(realprec(x)): mpexp0(x); }
425 :
426 : /* assume typ(x) = t_VEC */
427 : static int
428 63 : is_ext_qfr(GEN x)
429 42 : { return lg(x) == 3 && typ(gel(x,1)) == t_QFB && !qfb_is_qfi(gel(x,1))
430 105 : && typ(gel(x,2)) == t_REAL; }
431 :
432 : /* x t_POL or t_SER, return scalarpol(Rg_get_1(x)) */
433 : static GEN
434 367439 : scalarpol_get_1(GEN x)
435 : {
436 367439 : GEN y = cgetg(3,t_POL);
437 367439 : y[1] = evalvarn(varn(x)) | evalsigne(1);
438 367439 : gel(y,2) = Rg_get_1(x); return y;
439 : }
440 : /* to be called by the generic function gpowgs(x,s) when s = 0 */
441 : static GEN
442 1603091 : gpowg0(GEN x)
443 : {
444 : long lx, i;
445 : GEN y;
446 :
447 1603091 : switch(typ(x))
448 : {
449 1191756 : case t_INT: case t_REAL: case t_FRAC: case t_PADIC:
450 1191756 : return gen_1;
451 :
452 7 : case t_QUAD: x++; /*fall through*/
453 37839 : case t_COMPLEX: {
454 37839 : pari_sp av = avma;
455 37839 : GEN a = gpowg0(gel(x,1));
456 37839 : GEN b = gpowg0(gel(x,2));
457 37839 : if (a == gen_1) return b;
458 14 : if (b == gen_1) return a;
459 7 : return gerepileupto(av, gmul(a,b));
460 : }
461 133 : case t_INTMOD:
462 133 : y = cgetg(3,t_INTMOD);
463 133 : gel(y,1) = icopy(gel(x,1));
464 133 : gel(y,2) = is_pm1(gel(x,1))? gen_0: gen_1;
465 133 : return y;
466 :
467 5754 : case t_FFELT: return FF_1(x);
468 :
469 973 : case t_POLMOD:
470 973 : retmkpolmod(scalarpol_get_1(gel(x,1)), gcopy(gel(x,1)));
471 :
472 7 : case t_RFRAC:
473 7 : return scalarpol_get_1(gel(x,2));
474 366459 : case t_POL: case t_SER:
475 366459 : return scalarpol_get_1(x);
476 :
477 84 : case t_MAT:
478 84 : lx=lg(x); if (lx==1) return cgetg(1,t_MAT);
479 77 : if (lx != lgcols(x)) pari_err_DIM("gpow");
480 77 : y = matid(lx-1);
481 252 : for (i=1; i<lx; i++) gcoeff(y,i,i) = gpowg0(gcoeff(x,i,i));
482 77 : return y;
483 21 : case t_VEC: if (!is_ext_qfr(x)) break;
484 : /* fall through handle extended t_QFB */
485 28 : case t_QFB: return qfbpow(x, gen_0);
486 49 : case t_VECSMALL: return identity_perm(lg(x) - 1);
487 : }
488 12 : pari_err_TYPE("gpow",x);
489 : return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
490 : }
491 :
492 : static GEN
493 6047451 : _sqr(void *data /* ignored */, GEN x) { (void)data; return gsqr(x); }
494 : static GEN
495 3524365 : _mul(void *data /* ignored */, GEN x, GEN y) { (void)data; return gmul(x,y); }
496 : static GEN
497 324680 : _one(void *x) { return gpowg0((GEN) x); }
498 : static GEN
499 84252670 : _sqri(void *data /* ignored */, GEN x) { (void)data; return sqri(x); }
500 : static GEN
501 32368668 : _muli(void *data /* ignored */, GEN x, GEN y) { (void)data; return mulii(x,y); }
502 : static GEN
503 19618206 : _sqrr(void *data /* ignored */, GEN x) { (void)data; return sqrr(x); }
504 : static GEN
505 6372332 : _mulr(void *data /* ignored */, GEN x, GEN y) { (void)data; return mulrr(x,y); }
506 : static GEN
507 13797 : _oner(void *data /* prec */) { return real_1( *(long*) data); }
508 :
509 : /* INTEGER POWERING (a^n for integer a != 0 and integer n > 0)
510 : *
511 : * Use left shift binary algorithm (RS is wasteful: multiplies big numbers,
512 : * with LS one of them is the base, hence small). Sign of result is set
513 : * to s (= 1,-1). Makes life easier for caller, which otherwise might do a
514 : * setsigne(gen_1 / gen_m1) */
515 : static GEN
516 103263779 : powiu_sign(GEN a, ulong N, long s)
517 : {
518 : pari_sp av;
519 : GEN y;
520 :
521 103263779 : if (lgefint(a) == 3)
522 : { /* easy if |a| < 3 */
523 99313442 : ulong q = a[2];
524 99313442 : if (q == 1) return (s>0)? gen_1: gen_m1;
525 90106372 : if (q == 2) { a = int2u(N); setsigne(a,s); return a; }
526 65700818 : q = upowuu(q, N);
527 65703203 : if (q) return s>0? utoipos(q): utoineg(q);
528 : }
529 35594653 : if (N <= 2) {
530 4345125 : if (N == 2) return sqri(a);
531 19244 : a = icopy(a); setsigne(a,s); return a;
532 : }
533 31249528 : av = avma;
534 31249528 : y = gen_powu_i(a, N, NULL, &_sqri, &_muli);
535 31249936 : setsigne(y,s); return gerepileuptoint(av, y);
536 : }
537 : /* a^n */
538 : GEN
539 103415071 : powiu(GEN a, ulong n)
540 : {
541 : long s;
542 103415071 : if (!n) return gen_1;
543 102163202 : s = signe(a);
544 102163202 : if (!s) return gen_0;
545 102088564 : return powiu_sign(a, n, (s < 0 && odd(n))? -1: 1);
546 : }
547 : GEN
548 60914185 : powis(GEN a, long n)
549 : {
550 : long s;
551 : GEN t, y;
552 60914185 : if (n >= 0) return powiu(a, n);
553 578172 : s = signe(a);
554 578172 : if (!s) pari_err_INV("powis",gen_0);
555 578176 : t = (s < 0 && odd(n))? gen_m1: gen_1;
556 578176 : if (is_pm1(a)) return t;
557 : /* n < 0, |a| > 1 */
558 575775 : y = cgetg(3,t_FRAC);
559 575777 : gel(y,1) = t;
560 575777 : gel(y,2) = powiu_sign(a, -n, 1); /* force denominator > 0 */
561 575772 : return y;
562 : }
563 : GEN
564 48297867 : powuu(ulong p, ulong N)
565 : {
566 : pari_sp av;
567 : ulong pN;
568 : GEN y;
569 48297867 : if (!p) return gen_0;
570 48297790 : if (N <= 2)
571 : {
572 42233736 : if (N == 2) return sqru(p);
573 38149518 : if (N == 1) return utoipos(p);
574 5191144 : return gen_1;
575 : }
576 6064054 : pN = upowuu(p, N);
577 6064212 : if (pN) return utoipos(pN);
578 1134554 : if (p == 2) return int2u(N);
579 1121104 : av = avma;
580 1121104 : y = gen_powu_i(utoipos(p), N, NULL, &_sqri, &_muli);
581 1121101 : return gerepileuptoint(av, y);
582 : }
583 :
584 : /* return 0 if overflow */
585 : static ulong
586 19512789 : usqru(ulong p) { return p & HIGHMASK? 0: p*p; }
587 : ulong
588 102297818 : upowuu(ulong p, ulong k)
589 : {
590 : #ifdef LONG_IS_64BIT
591 87823396 : const ulong CUTOFF3 = 2642245;
592 87823396 : const ulong CUTOFF4 = 65535;
593 87823396 : const ulong CUTOFF5 = 7131;
594 87823396 : const ulong CUTOFF6 = 1625;
595 87823396 : const ulong CUTOFF7 = 565;
596 87823396 : const ulong CUTOFF8 = 255;
597 87823396 : const ulong CUTOFF9 = 138;
598 87823396 : const ulong CUTOFF10 = 84;
599 87823396 : const ulong CUTOFF11 = 56;
600 87823396 : const ulong CUTOFF12 = 40;
601 87823396 : const ulong CUTOFF13 = 30;
602 87823396 : const ulong CUTOFF14 = 23;
603 87823396 : const ulong CUTOFF15 = 19;
604 87823396 : const ulong CUTOFF16 = 15;
605 87823396 : const ulong CUTOFF17 = 13;
606 87823396 : const ulong CUTOFF18 = 11;
607 87823396 : const ulong CUTOFF19 = 10;
608 87823396 : const ulong CUTOFF20 = 9;
609 : #else
610 14474422 : const ulong CUTOFF3 = 1625;
611 14474422 : const ulong CUTOFF4 = 255;
612 14474422 : const ulong CUTOFF5 = 84;
613 14474422 : const ulong CUTOFF6 = 40;
614 14474422 : const ulong CUTOFF7 = 23;
615 14474422 : const ulong CUTOFF8 = 15;
616 14474422 : const ulong CUTOFF9 = 11;
617 14474422 : const ulong CUTOFF10 = 9;
618 14474422 : const ulong CUTOFF11 = 7;
619 14474422 : const ulong CUTOFF12 = 6;
620 14474422 : const ulong CUTOFF13 = 5;
621 14474422 : const ulong CUTOFF14 = 4;
622 14474422 : const ulong CUTOFF15 = 4;
623 14474422 : const ulong CUTOFF16 = 3;
624 14474422 : const ulong CUTOFF17 = 3;
625 14474422 : const ulong CUTOFF18 = 3;
626 14474422 : const ulong CUTOFF19 = 3;
627 14474422 : const ulong CUTOFF20 = 3;
628 : #endif
629 :
630 102297818 : if (p <= 2)
631 : {
632 9625656 : if (p < 2) return p;
633 9098597 : return k < BITS_IN_LONG? 1UL<<k: 0;
634 : }
635 92672162 : switch(k)
636 : {
637 : ulong p2, p3, p4, p5, p8;
638 8217553 : case 0: return 1;
639 20971805 : case 1: return p;
640 19512783 : case 2: return usqru(p);
641 3644178 : case 3: if (p > CUTOFF3) return 0; return p*p*p;
642 11652744 : case 4: if (p > CUTOFF4) return 0; p2=p*p; return p2*p2;
643 2190352 : case 5: if (p > CUTOFF5) return 0; p2=p*p; return p2*p2*p;
644 7102000 : case 6: if (p > CUTOFF6) return 0; p2=p*p; return p2*p2*p2;
645 333796 : case 7: if (p > CUTOFF7) return 0; p2=p*p; return p2*p2*p2*p;
646 353382 : case 8: if (p > CUTOFF8) return 0; p2=p*p; p4=p2*p2; return p4*p4;
647 395542 : case 9: if (p > CUTOFF9) return 0; p2=p*p; p4=p2*p2; return p4*p4*p;
648 4912527 : case 10: if (p > CUTOFF10)return 0; p2=p*p; p4=p2*p2; return p4*p4*p2;
649 168799 : case 11: if (p > CUTOFF11)return 0; p2=p*p; p4=p2*p2; return p4*p4*p2*p;
650 4796694 : case 12: if (p > CUTOFF12)return 0; p2=p*p; p4=p2*p2; return p4*p4*p4;
651 136157 : case 13: if (p > CUTOFF13)return 0; p2=p*p; p4=p2*p2; return p4*p4*p4*p;
652 4782691 : case 14: if (p > CUTOFF14)return 0; p2=p*p; p4=p2*p2; return p4*p4*p4*p2;
653 164773 : case 15: if (p > CUTOFF15)return 0;
654 87977 : p2=p*p; p3=p2*p; p5=p3*p2; return p5*p5*p5;
655 112246 : case 16: if (p > CUTOFF16)return 0;
656 50917 : p2=p*p; p4=p2*p2; p8=p4*p4; return p8*p8;
657 82559 : case 17: if (p > CUTOFF17)return 0;
658 41492 : p2=p*p; p4=p2*p2; p8=p4*p4; return p*p8*p8;
659 72407 : case 18: if (p > CUTOFF18)return 0;
660 39129 : p2=p*p; p4=p2*p2; p8=p4*p4; return p2*p8*p8;
661 790527 : case 19: if (p > CUTOFF19)return 0;
662 763354 : p2=p*p; p4=p2*p2; p8=p4*p4; return p*p2*p8*p8;
663 46366 : case 20: if (p > CUTOFF20)return 0;
664 21829 : p2=p*p; p4=p2*p2; p8=p4*p4; return p4*p8*p8;
665 : }
666 : #ifdef LONG_IS_64BIT
667 1921212 : switch(p)
668 : {
669 227791 : case 3: if (k > 40) return 0;
670 145047 : break;
671 17028 : case 4: if (k > 31) return 0;
672 774 : return 1UL<<(2*k);
673 1036321 : case 5: if (k > 27) return 0;
674 20093 : break;
675 49686 : case 6: if (k > 24) return 0;
676 9216 : break;
677 56204 : case 7: if (k > 22) return 0;
678 2649 : break;
679 534182 : default: return 0;
680 : }
681 : /* no overflow */
682 : {
683 177005 : ulong q = upowuu(p, k >> 1);
684 177005 : q *= q ;
685 177005 : return odd(k)? q*p: q;
686 : }
687 : #else
688 311069 : return 0;
689 : #endif
690 : }
691 :
692 : GEN
693 12017 : upowers(ulong x, long n)
694 : {
695 : long i;
696 12017 : GEN p = cgetg(n + 2, t_VECSMALL);
697 12017 : uel(p,1) = 1; if (n == 0) return p;
698 12017 : uel(p,2) = x;
699 91465 : for (i = 3; i <= n; i++)
700 79448 : uel(p,i) = uel(p,i-1)*x;
701 12017 : return p;
702 : }
703 :
704 : typedef struct {
705 : long prec, a;
706 : GEN (*sqr)(GEN);
707 : GEN (*mulug)(ulong,GEN);
708 : } sr_muldata;
709 :
710 : static GEN
711 1597710 : _rpowuu_sqr(void *data, GEN x)
712 : {
713 1597710 : sr_muldata *D = (sr_muldata *)data;
714 1597710 : if (typ(x) == t_INT && lgefint(x) >= D->prec)
715 : { /* switch to t_REAL */
716 157685 : D->sqr = &sqrr;
717 157685 : D->mulug = &mulur; x = itor(x, D->prec);
718 : }
719 1597710 : return D->sqr(x);
720 : }
721 :
722 : static GEN
723 624772 : _rpowuu_msqr(void *data, GEN x)
724 : {
725 624772 : GEN x2 = _rpowuu_sqr(data, x);
726 624772 : sr_muldata *D = (sr_muldata *)data;
727 624772 : return D->mulug(D->a, x2);
728 : }
729 :
730 : /* return a^n as a t_REAL of precision prec. Assume a > 0, n > 0 */
731 : GEN
732 428935 : rpowuu(ulong a, ulong n, long prec)
733 : {
734 : pari_sp av;
735 : GEN y, z;
736 : sr_muldata D;
737 :
738 428935 : if (a == 1) return real_1(prec);
739 428935 : if (a == 2) return real2n(n, prec);
740 428935 : if (n == 1) return utor(a, prec);
741 424032 : z = cgetr(prec);
742 424032 : av = avma;
743 424032 : D.sqr = &sqri;
744 424032 : D.mulug = &mului;
745 424032 : D.prec = prec;
746 424032 : D.a = (long)a;
747 424032 : y = gen_powu_fold_i(utoipos(a), n, (void*)&D, &_rpowuu_sqr, &_rpowuu_msqr);
748 424032 : mpaff(y, z); return gc_const(av,z);
749 : }
750 :
751 : GEN
752 9441020 : powrs(GEN x, long n)
753 : {
754 9441020 : pari_sp av = avma;
755 : GEN y;
756 9441020 : if (!n) return powr0(x);
757 9441020 : y = gen_powu_i(x, (ulong)labs(n), NULL, &_sqrr, &_mulr);
758 9441322 : if (n < 0) y = invr(y);
759 9441121 : return gerepileuptoleaf(av,y);
760 : }
761 : GEN
762 4816153 : powru(GEN x, ulong n)
763 : {
764 4816153 : pari_sp av = avma;
765 : GEN y;
766 4816153 : if (!n) return powr0(x);
767 4795657 : y = gen_powu_i(x, n, NULL, &_sqrr, &_mulr);
768 4795576 : return gerepileuptoleaf(av,y);
769 : }
770 :
771 : GEN
772 13797 : powersr(GEN x, long n)
773 : {
774 13797 : long prec = realprec(x);
775 13797 : return gen_powers(x, n, 1, &prec, &_sqrr, &_mulr, &_oner);
776 : }
777 :
778 : /* x^(s/2), assume x t_REAL */
779 : GEN
780 0 : powrshalf(GEN x, long s)
781 : {
782 0 : if (s & 1) return sqrtr(powrs(x, s));
783 0 : return powrs(x, s>>1);
784 : }
785 : /* x^(s/2), assume x t_REAL */
786 : GEN
787 115987 : powruhalf(GEN x, ulong s)
788 : {
789 115987 : if (s & 1) return sqrtr(powru(x, s));
790 7071 : return powru(x, s>>1);
791 : }
792 : /* x^(n/d), assume x t_REAL, return t_REAL */
793 : GEN
794 511 : powrfrac(GEN x, long n, long d)
795 : {
796 : long z;
797 511 : if (!n) return powr0(x);
798 0 : z = cgcd(n, d); if (z > 1) { n /= z; d /= z; }
799 0 : if (d == 1) return powrs(x, n);
800 0 : x = powrs(x, n);
801 0 : if (d == 2) return sqrtr(x);
802 0 : return sqrtnr(x, d);
803 : }
804 :
805 : /* assume x != 0 */
806 : static GEN
807 673552 : pow_monome(GEN x, long n)
808 : {
809 673552 : long i, d, dx = degpol(x);
810 : GEN A, b, y;
811 :
812 673552 : if (n < 0) { n = -n; y = cgetg(3, t_RFRAC); } else y = NULL;
813 :
814 673552 : if (HIGHWORD(dx) || HIGHWORD(n))
815 8 : {
816 : LOCAL_HIREMAINDER;
817 9 : d = (long)mulll((ulong)dx, (ulong)n);
818 9 : if (hiremainder || (d &~ LGBITS)) d = LGBITS; /* overflow */
819 9 : d += 2;
820 : }
821 : else
822 673543 : d = dx*n + 2;
823 673552 : if ((d + 1) & ~LGBITS) pari_err(e_OVERFLOW,"pow_monome [degree]");
824 673545 : A = cgetg(d+1, t_POL); A[1] = x[1];
825 6198319 : for (i=2; i < d; i++) gel(A,i) = gen_0;
826 673545 : b = gpowgs(gel(x,dx+2), n); /* not memory clean if (n < 0) */
827 673545 : if (!y) y = A;
828 : else {
829 20482 : GEN c = denom_i(b);
830 20482 : gel(y,1) = c; if (c != gen_1) b = gmul(b,c);
831 20482 : gel(y,2) = A;
832 : }
833 673545 : gel(A,d) = b; return y;
834 : }
835 :
836 : /* x t_PADIC */
837 : static GEN
838 1310259 : powps(GEN x, long n)
839 : {
840 1310259 : long e = n*valp(x), v;
841 1310259 : GEN t, y, mod, p = gel(x,2);
842 : pari_sp av;
843 :
844 1310259 : if (!signe(gel(x,4))) {
845 84 : if (n < 0) pari_err_INV("powps",x);
846 77 : return zeropadic(p, e);
847 : }
848 1310175 : v = z_pval(n, p);
849 :
850 1310175 : y = cgetg(5,t_PADIC);
851 1310171 : mod = gel(x,3);
852 1310171 : if (v == 0) mod = icopy(mod);
853 : else
854 : {
855 91389 : if (precp(x) == 1 && absequaliu(p, 2)) v++;
856 91389 : mod = mulii(mod, powiu(p,v));
857 91389 : mod = gerepileuptoint((pari_sp)y, mod);
858 : }
859 1310170 : y[1] = evalprecp(precp(x) + v) | evalvalp(e);
860 1310170 : gel(y,2) = icopy(p);
861 1310170 : gel(y,3) = mod;
862 :
863 1310170 : av = avma; t = gel(x,4);
864 1310170 : if (n < 0) { t = Fp_inv(t, mod); n = -n; }
865 1310170 : t = Fp_powu(t, n, mod);
866 1310177 : gel(y,4) = gerepileuptoint(av, t);
867 1310177 : return y;
868 : }
869 : /* x t_PADIC */
870 : static GEN
871 161 : powp(GEN x, GEN n)
872 : {
873 : long v;
874 161 : GEN y, mod, p = gel(x,2);
875 :
876 161 : if (valp(x)) pari_err_OVERFLOW("valp()");
877 :
878 161 : if (!signe(gel(x,4))) {
879 14 : if (signe(n) < 0) pari_err_INV("powp",x);
880 7 : return zeropadic(p, 0);
881 : }
882 147 : v = Z_pval(n, p);
883 :
884 147 : y = cgetg(5,t_PADIC);
885 147 : mod = gel(x,3);
886 147 : if (v == 0) mod = icopy(mod);
887 : else
888 : {
889 70 : mod = mulii(mod, powiu(p,v));
890 70 : mod = gerepileuptoint((pari_sp)y, mod);
891 : }
892 147 : y[1] = evalprecp(precp(x) + v) | _evalvalp(0);
893 147 : gel(y,2) = icopy(p);
894 147 : gel(y,3) = mod;
895 147 : gel(y,4) = Fp_pow(gel(x,4), n, mod);
896 147 : return y;
897 : }
898 : static GEN
899 31380 : pow_polmod(GEN x, GEN n)
900 : {
901 31380 : GEN z = cgetg(3, t_POLMOD), a = gel(x,2), T = gel(x,1);
902 31380 : gel(z,1) = gcopy(T);
903 31380 : if (typ(a) != t_POL || varn(a) != varn(T) || lg(a) <= 3)
904 1555 : a = powgi(a, n);
905 : else {
906 29825 : pari_sp av = avma;
907 29825 : GEN p = NULL;
908 29825 : if (RgX_is_FpX(T, &p) && RgX_is_FpX(a, &p) && p)
909 : {
910 7602 : T = RgX_to_FpX(T, p); a = RgX_to_FpX(a, p);
911 7602 : if (lgefint(p) == 3)
912 : {
913 7595 : ulong pp = p[2];
914 7595 : a = Flxq_pow(ZX_to_Flx(a, pp), n, ZX_to_Flx(T, pp), pp);
915 7595 : a = Flx_to_ZX(a);
916 : }
917 : else
918 7 : a = FpXQ_pow(a, n, T, p);
919 7602 : a = FpX_to_mod(a, p);
920 7602 : a = gerepileupto(av, a);
921 : }
922 : else
923 : {
924 22223 : set_avma(av);
925 22223 : a = RgXQ_pow(a, n, gel(z,1));
926 : }
927 : }
928 31380 : gel(z,2) = a; return z;
929 : }
930 :
931 : GEN
932 154449418 : gpowgs(GEN x, long n)
933 : {
934 : long m;
935 : pari_sp av;
936 : GEN y;
937 :
938 154449418 : if (n == 0) return gpowg0(x);
939 153246857 : if (n == 1)
940 : {
941 73325064 : long t = typ(x);
942 73325064 : if (is_scalar_t(t)) return gcopy(x);
943 715281 : switch(t)
944 : {
945 662347 : case t_POL: case t_SER: case t_RFRAC: case t_MAT: case t_VECSMALL:
946 662347 : return gcopy(x);
947 21 : case t_VEC: if (!is_ext_qfr(x)) break;
948 : /* fall through handle extended t_QFB */
949 52923 : case t_QFB: return qfbred(x);
950 : }
951 12 : pari_err_TYPE("gpow", x);
952 : }
953 79921920 : if (n ==-1) return ginv(x);
954 76774338 : switch(typ(x))
955 : {
956 60756015 : case t_INT: return powis(x,n);
957 9432599 : case t_REAL: return powrs(x,n);
958 29347 : case t_INTMOD:
959 29347 : y = cgetg(3,t_INTMOD); gel(y,1) = icopy(gel(x,1));
960 29347 : gel(y,2) = Fp_pows(gel(x,2), n, gel(x,1));
961 29347 : return y;
962 298941 : case t_FRAC:
963 : {
964 298941 : GEN a = gel(x,1), b = gel(x,2);
965 298941 : long s = (signe(a) < 0 && odd(n))? -1: 1;
966 298941 : if (n < 0) {
967 700 : n = -n;
968 700 : if (is_pm1(a)) return powiu_sign(b, n, s); /* +-1/x[2] inverts to t_INT */
969 490 : swap(a, b);
970 : }
971 298731 : y = cgetg(3, t_FRAC);
972 298731 : gel(y,1) = powiu_sign(a, n, s);
973 298731 : gel(y,2) = powiu_sign(b, n, 1);
974 298731 : return y;
975 : }
976 1310259 : case t_PADIC: return powps(x, n);
977 249165 : case t_RFRAC:
978 : {
979 249165 : av = avma; y = cgetg(3, t_RFRAC); m = labs(n);
980 249165 : gel(y,1) = gpowgs(gel(x,1),m);
981 249165 : gel(y,2) = gpowgs(gel(x,2),m);
982 249165 : if (n < 0) y = ginv(y);
983 249165 : return gerepileupto(av,y);
984 : }
985 31373 : case t_POLMOD: {
986 31373 : long N[] = {evaltyp(t_INT) | _evallg(3),0,0};
987 31373 : affsi(n,N); return pow_polmod(x, N);
988 : }
989 21 : case t_VEC: if (!is_ext_qfr(x)) pari_err_TYPE("gpow", x);
990 : /* fall through handle extended t_QFB */
991 1283430 : case t_QFB: return qfbpows(x, n);
992 1256165 : case t_POL:
993 1256165 : if (RgX_is_monomial(x)) return pow_monome(x, n);
994 : default: {
995 2709650 : pari_sp av = avma;
996 2709650 : y = gen_powu_i(x, (ulong)labs(n), NULL, &_sqr, &_mul);
997 2709658 : if (n < 0) y = ginv(y);
998 2709675 : return gerepileupto(av,y);
999 : }
1000 : }
1001 : }
1002 :
1003 : /* n a t_INT */
1004 : GEN
1005 135617754 : powgi(GEN x, GEN n)
1006 : {
1007 : GEN y;
1008 :
1009 135617754 : if (!is_bigint(n)) return gpowgs(x, itos(n));
1010 : /* probable overflow for nonmodular types (typical exception: (X^0)^N) */
1011 25632 : switch(typ(x))
1012 : {
1013 25306 : case t_INTMOD:
1014 25306 : y = cgetg(3,t_INTMOD); gel(y,1) = icopy(gel(x,1));
1015 25311 : gel(y,2) = Fp_pow(gel(x,2), n, gel(x,1));
1016 25314 : return y;
1017 101 : case t_FFELT: return FF_pow(x,n);
1018 161 : case t_PADIC: return powp(x, n);
1019 :
1020 35 : case t_INT:
1021 35 : if (is_pm1(x)) return (signe(x) < 0 && mpodd(n))? gen_m1: gen_1;
1022 14 : if (signe(x)) pari_err_OVERFLOW("lg()");
1023 7 : if (signe(n) < 0) pari_err_INV("powgi",gen_0);
1024 7 : return gen_0;
1025 7 : case t_FRAC:
1026 7 : pari_err_OVERFLOW("lg()");
1027 :
1028 0 : case t_VEC: if (!is_ext_qfr(x)) pari_err_TYPE("gpow",x);
1029 : /* fall through handle extended t_QFB */
1030 12 : case t_QFB: return qfbpow(x, n);
1031 7 : case t_POLMOD: return pow_polmod(x, n);
1032 7 : default: {
1033 7 : pari_sp av = avma;
1034 7 : y = gen_pow_i(x, n, NULL, &_sqr, &_mul);
1035 7 : if (signe(n) < 0) return gerepileupto(av, ginv(y));
1036 7 : return gerepilecopy(av,y);
1037 : }
1038 : }
1039 : }
1040 :
1041 : /* Assume x = 1 + O(t), n a scalar. Return x^n */
1042 : static GEN
1043 7847 : ser_pow_1(GEN x, GEN n)
1044 : {
1045 : long lx, mi, i, j, d;
1046 7847 : GEN y = cgetg_copy(x, &lx), X = x+2, Y = y + 2;
1047 7847 : y[1] = evalsigne(1) | _evalvalser(0) | evalvarn(varn(x));
1048 74172 : d = mi = lx-3; while (mi>=1 && isrationalzero(gel(X,mi))) mi--;
1049 7847 : gel(Y,0) = gen_1;
1050 110348 : for (i=1; i<=d; i++)
1051 : {
1052 102501 : pari_sp av = avma;
1053 102501 : GEN s = gen_0;
1054 487606 : for (j=1; j<=minss(i,mi); j++)
1055 : {
1056 385105 : GEN t = gsubgs(gmulgu(n,j),i-j);
1057 385105 : s = gadd(s, gmul(gmul(t, gel(X,j)), gel(Y,i-j)));
1058 : }
1059 102501 : gel(Y,i) = gerepileupto(av, gdivgu(s,i));
1060 : }
1061 7847 : return y;
1062 : }
1063 :
1064 : /* we suppose n != 0, valser(x) = 0 and leading-term(x) != 0. Not stack clean */
1065 : static GEN
1066 7952 : ser_pow(GEN x, GEN n, long prec)
1067 : {
1068 : GEN y, c, lead;
1069 7952 : if (varncmp(gvar(n), varn(x)) <= 0) return gexp(gmul(n, glog(x,prec)), prec);
1070 7847 : lead = gel(x,2);
1071 7847 : if (gequal1(lead)) return ser_pow_1(x, n);
1072 7462 : x = ser_normalize(x);
1073 7462 : if (typ(n) == t_FRAC && !isinexact(lead) && ispower(lead, gel(n,2), &c))
1074 105 : c = powgi(c, gel(n,1));
1075 : else
1076 7357 : c = gpow(lead,n, prec);
1077 7462 : y = gmul(c, ser_pow_1(x, n));
1078 : /* gpow(t_POLMOD,n) can be a t_COL [conjvec] */
1079 7462 : if (typ(y) != t_SER) pari_err_TYPE("gpow", y);
1080 7462 : return y;
1081 : }
1082 :
1083 : static long
1084 7861 : val_from_i(GEN E)
1085 : {
1086 7861 : if (is_bigint(E)) pari_err_OVERFLOW("sqrtn [valuation]");
1087 7854 : return itos(E);
1088 : }
1089 :
1090 : /* return x^q, assume typ(x) = t_SER, typ(q) = t_INT/t_FRAC and q != 0 */
1091 : static GEN
1092 7868 : ser_powfrac(GEN x, GEN q, long prec)
1093 : {
1094 7868 : GEN y, E = gmulsg(valser(x), q);
1095 : long e;
1096 :
1097 7868 : if (!signe(x))
1098 : {
1099 21 : if (gsigne(q) < 0) pari_err_INV("gpow", x);
1100 21 : return zeroser(varn(x), val_from_i(gfloor(E)));
1101 : }
1102 7847 : if (typ(E) != t_INT)
1103 7 : pari_err_DOMAIN("sqrtn", "valuation", "!=", mkintmod(gen_0, gel(q,2)), x);
1104 7840 : e = val_from_i(E);
1105 7840 : y = leafcopy(x); setvalser(y, 0);
1106 7840 : y = ser_pow(y, q, prec);
1107 7840 : setvalser(y, e); return y;
1108 : }
1109 :
1110 : static GEN
1111 126 : gpow0(GEN x, GEN n, long prec)
1112 : {
1113 126 : pari_sp av = avma;
1114 : long i, lx;
1115 : GEN y;
1116 126 : switch(typ(n))
1117 : {
1118 84 : case t_INT: case t_REAL: case t_FRAC: case t_COMPLEX: case t_QUAD:
1119 84 : break;
1120 35 : case t_VEC: case t_COL: case t_MAT:
1121 35 : y = cgetg_copy(n, &lx);
1122 105 : for (i=1; i<lx; i++) gel(y,i) = gpow0(x,gel(n,i),prec);
1123 35 : return y;
1124 7 : default: pari_err_TYPE("gpow(0,n)", n);
1125 : }
1126 84 : n = real_i(n);
1127 84 : if (gsigne(n) <= 0) pari_err_DOMAIN("gpow(0,n)", "n", "<=", gen_0, n);
1128 77 : if (!precision(x)) return gcopy(x);
1129 :
1130 14 : x = ground(gmulsg(gexpo(x),n));
1131 14 : if (is_bigint(x) || uel(x,2) >= HIGHEXPOBIT)
1132 7 : pari_err_OVERFLOW("gpow");
1133 7 : set_avma(av); return real_0_bit(itos(x));
1134 : }
1135 :
1136 : /* centermod(x, log(2)), set *sh to the quotient */
1137 : static GEN
1138 15341715 : modlog2(GEN x, long *sh)
1139 : {
1140 15341715 : double d = rtodbl(x), qd = (fabs(d) + M_LN2/2)/M_LN2;
1141 : long q;
1142 15342084 : if (dblexpo(qd) >= BITS_IN_LONG-1) pari_err_OVERFLOW("expo()");
1143 15342093 : q = d < 0 ? - (long) qd: (long) qd;
1144 15342093 : *sh = q;
1145 15342093 : if (q) {
1146 12546007 : long l = realprec(x) + 1;
1147 12546007 : x = subrr(rtor(x,l), mulsr(q, mplog2(l)));
1148 12544700 : if (!signe(x)) return NULL;
1149 : }
1150 15340786 : return x;
1151 : }
1152 :
1153 : /* x^n, n a t_FRAC */
1154 : static GEN
1155 5113022 : powfrac(GEN x, GEN n, long prec)
1156 : {
1157 5113022 : GEN a = gel(n,1), d = gel(n,2);
1158 5113022 : long D = itos_or_0(d);
1159 5112991 : if (D == 2)
1160 : {
1161 3534971 : GEN y = gsqrt(x,prec);
1162 3535414 : if (!equali1(a)) y = gmul(y, powgi(x, shifti(subiu(a,1), -1)));
1163 3534826 : return y;
1164 : }
1165 1578020 : if (D && (is_real_t(typ(x)) && gsigne(x) > 0))
1166 : {
1167 : GEN z;
1168 1576218 : prec += nbits2extraprec(expi(a));
1169 1576219 : if (typ(x) != t_REAL) x = gtofp(x, prec);
1170 1576219 : z = sqrtnr(x, D);
1171 1576219 : if (!equali1(a)) z = powgi(z, a);
1172 1576219 : return z;
1173 : }
1174 1802 : return NULL;
1175 : }
1176 :
1177 : /* n = a+ib, x > 0 real, ex ~ |log2(x)|; return precision at which
1178 : * log(x) must be computed to evaluate x^n */
1179 : long
1180 182141 : powcx_prec(long ex, GEN n, long prec)
1181 : {
1182 182141 : GEN a = gel(n,1), b = gel(n,2);
1183 182141 : long e = (ex < 2)? 0: expu(ex);
1184 182141 : e += gexpo_safe(is_rational_t(typ(a))? b: n);
1185 182141 : return e > 2? prec + nbits2extraprec(e): prec;
1186 : }
1187 : GEN
1188 266668 : powcx(GEN x, GEN logx, GEN n, long prec)
1189 : {
1190 266668 : GEN sxb, cxb, xa, a = gel(n,1), xb = gmul(gel(n,2), logx);
1191 266668 : long sh, p = realprec(logx);
1192 266668 : switch(typ(a))
1193 : {
1194 49498 : case t_INT: xa = powgi(x, a); break;
1195 127974 : case t_FRAC: xa = powfrac(x, a, prec);
1196 127974 : if (xa) break;
1197 : default:
1198 89203 : xa = modlog2(gmul(gel(n,1), logx), &sh);
1199 89203 : if (!xa) xa = real2n(sh, prec);
1200 : else
1201 : {
1202 89203 : if (signe(xa) && realprec(xa) > prec) setlg(xa, prec);
1203 89203 : xa = mpexp(xa); shiftr_inplace(xa, sh);
1204 : }
1205 : }
1206 266668 : if (typ(xb) != t_REAL) return xa;
1207 266668 : if (gexpo(xb) > 30)
1208 : {
1209 0 : GEN q, P = Pi2n(-2, p), z = addrr(xb,P); /* = x + Pi/4 */
1210 0 : shiftr_inplace(P, 1);
1211 0 : q = floorr(divrr(z, P)); /* round ( x / (Pi/2) ) */
1212 0 : xb = subrr(xb, mulir(q, P)); /* x mod Pi/2 */
1213 0 : sh = Mod4(q);
1214 : }
1215 : else
1216 : {
1217 266668 : long q = floor(rtodbl(xb) / (M_PI/2) + 0.5);
1218 266668 : if (q) xb = subrr(xb, mulsr(q, Pi2n(-1,p))); /* x mod Pi/2 */
1219 266668 : sh = q & 3;
1220 : }
1221 266668 : if (signe(xb) && realprec(xb) > prec) setlg(xb, prec);
1222 266668 : mpsincos(xb, &sxb, &cxb);
1223 266668 : return gmul(xa, mulcxpowIs(mkcomplex(cxb, sxb), sh));
1224 : }
1225 :
1226 : GEN
1227 57627590 : gpow(GEN x, GEN n, long prec)
1228 : {
1229 57627590 : long prec0, i, lx, tx, tn = typ(n);
1230 : pari_sp av;
1231 : GEN y;
1232 :
1233 57627590 : if (tn == t_INT) return powgi(x,n);
1234 5325817 : tx = typ(x);
1235 5325817 : if (is_matvec_t(tx))
1236 : {
1237 49 : y = cgetg_copy(x, &lx);
1238 133 : for (i=1; i<lx; i++) gel(y,i) = gpow(gel(x,i),n,prec);
1239 49 : return y;
1240 : }
1241 5325815 : av = avma;
1242 5325815 : switch (tx)
1243 : {
1244 28 : case t_POL: case t_RFRAC: x = toser_i(x); /* fall through */
1245 7560 : case t_SER:
1246 7560 : if (tn == t_FRAC) return gerepileupto(av, ser_powfrac(x, n, prec));
1247 140 : if (valser(x))
1248 21 : pari_err_DOMAIN("gpow [irrational exponent]",
1249 : "valuation", "!=", gen_0, x);
1250 119 : if (lg(x) == 2) return gerepilecopy(av, x); /* O(1) */
1251 112 : return gerepileupto(av, ser_pow(x, n, prec));
1252 : }
1253 5318262 : if (gequal0(x)) return gpow0(x, n, prec);
1254 5318220 : if (tn == t_FRAC)
1255 : {
1256 4988075 : GEN p, z, a = gel(n,1), d = gel(n,2);
1257 4988075 : switch (tx)
1258 : {
1259 1473990 : case t_INT:
1260 1473990 : if (signe(x) < 0)
1261 : {
1262 42 : if (equaliu(d, 2) && Z_issquareall(negi(x), &z))
1263 : {
1264 21 : z = powgi(z, a);
1265 21 : if (Mod4(a) == 3) z = gneg(z);
1266 4985841 : return gerepilecopy(av, mkcomplex(gen_0, z));
1267 : }
1268 21 : break;
1269 : }
1270 1473948 : if (ispower(x, d, &z)) return powgi(z, a);
1271 1472384 : break;
1272 69820 : case t_FRAC:
1273 69820 : if (signe(gel(x,1)) < 0)
1274 : {
1275 28 : if (equaliu(d, 2) && ispower(absfrac(x), d, &z))
1276 7 : return gerepilecopy(av, mkcomplex(gen_0, powgi(z, a)));
1277 21 : break;
1278 : }
1279 69792 : if (ispower(x, d, &z)) return powgi(z, a);
1280 68420 : break;
1281 :
1282 21 : case t_INTMOD:
1283 21 : p = gel(x,1);
1284 21 : if (!BPSW_psp(p)) pari_err_PRIME("gpow",p);
1285 14 : y = cgetg(3,t_INTMOD); gel(y,1) = icopy(p);
1286 14 : av = avma;
1287 14 : z = Fp_sqrtn(gel(x,2), d, p, NULL);
1288 14 : if (!z) pari_err_SQRTN("gpow",x);
1289 7 : gel(y,2) = gerepileuptoint(av, Fp_pow(z, a, p));
1290 7 : return y;
1291 :
1292 14 : case t_PADIC:
1293 14 : z = Qp_sqrtn(x, d, NULL); if (!z) pari_err_SQRTN("gpow",x);
1294 7 : return gerepileupto(av, powgi(z, a));
1295 :
1296 21 : case t_FFELT:
1297 21 : return gerepileupto(av,FF_pow(FF_sqrtn(x,d,NULL),a));
1298 : }
1299 4985055 : z = powfrac(x, n, prec);
1300 4984861 : if (z) return gerepileupto(av, z);
1301 : }
1302 331940 : if (tn == t_COMPLEX && is_real_t(typ(x)) && gsigne(x) > 0)
1303 : {
1304 171403 : long p = powcx_prec(fabs(dbllog2(x)), n, prec);
1305 171403 : return gerepileupto(av, powcx(x, glog(x, p), n, prec));
1306 : }
1307 160537 : if (tn == t_PADIC) x = gcvtop(x, gel(n,2), precp(n));
1308 160537 : i = precision(n);
1309 160537 : if (i) prec = i;
1310 160537 : prec0 = prec;
1311 160537 : if (!gprecision(x))
1312 : {
1313 38647 : long e = gexpo_safe(n); /* avoided if n = 0 or gexpo not defined */
1314 38647 : if (e > 2) prec += nbits2extraprec(e);
1315 : }
1316 160537 : y = gmul(n, glog(x,prec));
1317 160509 : y = gexp(y,prec);
1318 160509 : if (prec0 == prec) return gerepileupto(av, y);
1319 29246 : return gerepilecopy(av, gprec_wtrunc(y,prec0));
1320 : }
1321 : GEN
1322 10220 : powPis(GEN s, long prec)
1323 : {
1324 10220 : pari_sp av = avma;
1325 : GEN x;
1326 10220 : if (typ(s) != t_COMPLEX) return gpow(mppi(prec), s, prec);
1327 441 : x = mppi(powcx_prec(1, s, prec));
1328 441 : return gerepileupto(av, powcx(x, logr_abs(x), s, prec));
1329 : }
1330 : GEN
1331 7868 : pow2Pis(GEN s, long prec)
1332 : {
1333 7868 : pari_sp av = avma;
1334 : GEN x;
1335 7868 : if (typ(s) != t_COMPLEX) return gpow(Pi2n(1,prec), s, prec);
1336 1876 : x = Pi2n(1, powcx_prec(2, s, prec));
1337 1876 : return gerepileupto(av, powcx(x, logr_abs(x), s, prec));
1338 : }
1339 :
1340 : GEN
1341 200083 : gpowers0(GEN x, long n, GEN x0)
1342 : {
1343 : long i, l;
1344 : GEN V;
1345 200083 : if (!x0) return gpowers(x,n);
1346 185595 : if (n < 0) return cgetg(1,t_VEC);
1347 185595 : l = n+2; V = cgetg(l, t_VEC); gel(V,1) = gcopy(x0);
1348 7610726 : for (i = 2; i < l; i++) gel(V,i) = gmul(gel(V,i-1),x);
1349 185596 : return V;
1350 : }
1351 :
1352 : GEN
1353 324686 : gpowers(GEN x, long n)
1354 : {
1355 324686 : if (n < 0) return cgetg(1,t_VEC);
1356 324679 : return gen_powers(x, n, 0, (void*)x, &_sqr, &_mul, &_one);
1357 : }
1358 :
1359 : /* return [q^1,q^4,...,q^{n^2}] */
1360 : GEN
1361 37434 : gsqrpowers(GEN q, long n)
1362 : {
1363 37434 : pari_sp av = avma;
1364 37434 : GEN L = gpowers0(gsqr(q), n, q); /* L[i] = q^(2i - 1), i <= n+1 */
1365 37434 : GEN v = cgetg(n+1, t_VEC);
1366 : long i;
1367 37434 : gel(v, 1) = gcopy(q);
1368 6945196 : for (i = 2; i <= n ; ++i) gel(v, i) = q = gmul(q, gel(L,i)); /* q^(i^2) */
1369 37434 : return gerepileupto(av, v);
1370 : }
1371 :
1372 : /* 4 | N. returns a vector RU which contains exp(2*i*k*Pi/N), k=0..N-1 */
1373 : static GEN
1374 574216 : grootsof1_4(long N, long prec)
1375 : {
1376 574216 : GEN z, RU = cgetg(N+1,t_COL), *v = ((GEN*)RU) + 1;
1377 574215 : long i, N2 = (N>>1), N4 = (N>>2), N8 = (N>>3);
1378 : /* z^N2 = -1, z^N4 = I; if z^k = a+I*b, then z^(N4-k) = I*conj(z) = b+a*I */
1379 :
1380 574215 : v[0] = gen_1; v[1] = z = rootsof1u_cx(N, prec);
1381 574222 : if (odd(N4)) N8++;
1382 684887 : for (i=1; i<N8; i++)
1383 : {
1384 110667 : GEN t = v[i];
1385 110667 : v[i+1] = gmul(z, t);
1386 110667 : v[N4-i] = mkcomplex(gel(t,2), gel(t,1));
1387 : }
1388 1684261 : for (i=0; i<N4; i++) v[i+N4] = mulcxI(v[i]);
1389 2794295 : for (i=0; i<N2; i++) v[i+N2] = gneg(v[i]);
1390 574211 : return RU;
1391 : }
1392 :
1393 : /* as above, N arbitrary */
1394 : GEN
1395 707347 : grootsof1(long N, long prec)
1396 : {
1397 : GEN z, RU, *v;
1398 : long i, k;
1399 :
1400 707347 : if (N <= 0) pari_err_DOMAIN("rootsof1", "N", "<=", gen_0, stoi(N));
1401 707334 : if ((N & 3) == 0) return grootsof1_4(N, prec);
1402 133117 : if (N <= 2) return N == 1? mkcol(gen_1): mkcol2(gen_1, gen_m1);
1403 14234 : k = (N+1)>>1;
1404 14234 : RU = cgetg(N+1,t_COL);
1405 14234 : v = ((GEN*)RU) + 1;
1406 14234 : v[0] = gen_1; v[1] = z = rootsof1u_cx(N, prec);
1407 74293 : for (i=2; i<k; i++) v[i] = gmul(z, v[i-1]);
1408 14234 : if (!odd(N)) v[i++] = gen_m1; /*avoid loss of accuracy*/
1409 88527 : for ( ; i<N; i++) v[i] = gconj(v[N-i]);
1410 14234 : return RU;
1411 : }
1412 :
1413 : /********************************************************************/
1414 : /** **/
1415 : /** RACINE CARREE **/
1416 : /** **/
1417 : /********************************************************************/
1418 : /* assume x unit, e = precp(x) */
1419 : GEN
1420 144690 : Z2_sqrt(GEN x, long e)
1421 : {
1422 144690 : ulong r = signe(x)>=0?mod16(x):16-mod16(x);
1423 : GEN z;
1424 : long ez;
1425 : pari_sp av;
1426 :
1427 144690 : switch(e)
1428 : {
1429 7 : case 1: return gen_1;
1430 161 : case 2: return (r & 3UL) == 1? gen_1: NULL;
1431 28 : case 3: return (r & 7UL) == 1? gen_1: NULL;
1432 71064 : case 4: if (r == 1) return gen_1;
1433 35133 : else return (r == 9)? utoipos(3): NULL;
1434 73430 : default: if ((r&7UL) != 1) return NULL;
1435 : }
1436 73430 : av = avma; z = (r==1)? gen_1: utoipos(3);
1437 73430 : ez = 3; /* number of correct bits in z (compared to sqrt(x)) */
1438 : for(;;)
1439 47978 : {
1440 : GEN mod;
1441 121408 : ez = (ez<<1) - 1;
1442 121408 : if (ez > e) ez = e;
1443 121408 : mod = int2n(ez);
1444 121408 : z = addii(z, remi2n(mulii(x, Fp_inv(z,mod)), ez));
1445 121408 : z = shifti(z, -1); /* (z + x/z) / 2 */
1446 121408 : if (e == ez) return gerepileuptoint(av, z);
1447 47978 : if (ez < e) ez--;
1448 47978 : if (gc_needed(av,2))
1449 : {
1450 0 : if (DEBUGMEM > 1) pari_warn(warnmem,"Qp_sqrt");
1451 0 : z = gerepileuptoint(av,z);
1452 : }
1453 : }
1454 : }
1455 :
1456 : /* x unit defined modulo p^e, e > 0 */
1457 : GEN
1458 1897 : Qp_sqrt(GEN x)
1459 : {
1460 1897 : long pp, e = valp(x);
1461 1897 : GEN z,y,mod, p = gel(x,2);
1462 :
1463 1897 : if (gequal0(x)) return zeropadic(p, (e+1) >> 1);
1464 1883 : if (e & 1) return NULL;
1465 :
1466 1869 : y = cgetg(5,t_PADIC);
1467 1869 : pp = precp(x);
1468 1869 : mod = gel(x,3);
1469 1869 : z = gel(x,4); /* lift to t_INT */
1470 1869 : e >>= 1;
1471 1869 : z = Zp_sqrt(z, p, pp);
1472 1869 : if (!z) return NULL;
1473 1806 : if (absequaliu(p,2))
1474 : {
1475 805 : pp = (pp <= 3) ? 1 : pp-1;
1476 805 : mod = int2n(pp);
1477 : }
1478 1001 : else mod = icopy(mod);
1479 1806 : y[1] = evalprecp(pp) | evalvalp(e);
1480 1806 : gel(y,2) = icopy(p);
1481 1806 : gel(y,3) = mod;
1482 1806 : gel(y,4) = z; return y;
1483 : }
1484 :
1485 : GEN
1486 420 : Zn_sqrt(GEN d, GEN fn)
1487 : {
1488 420 : pari_sp ltop = avma, btop;
1489 420 : GEN b = gen_0, m = gen_1;
1490 : long j, np;
1491 420 : if (typ(d) != t_INT) pari_err_TYPE("Zn_sqrt",d);
1492 420 : if (typ(fn) == t_INT)
1493 0 : fn = absZ_factor(fn);
1494 420 : else if (!is_Z_factorpos(fn))
1495 0 : pari_err_TYPE("Zn_sqrt",fn);
1496 420 : np = nbrows(fn);
1497 420 : btop = avma;
1498 1680 : for (j = 1; j <= np; ++j)
1499 : {
1500 : GEN bp, mp, pr, r;
1501 1260 : GEN p = gcoeff(fn, j, 1);
1502 1260 : long e = itos(gcoeff(fn, j, 2));
1503 1260 : long v = Z_pvalrem(d,p,&r);
1504 1260 : if (v >= e) bp =gen_0;
1505 : else
1506 : {
1507 1134 : if (odd(v)) return NULL;
1508 1134 : bp = Zp_sqrt(r, p, e-v);
1509 1134 : if (!bp) return NULL;
1510 1134 : if (v) bp = mulii(bp, powiu(p, v>>1L));
1511 : }
1512 1260 : mp = powiu(p, e);
1513 1260 : pr = mulii(m, mp);
1514 1260 : b = Z_chinese_coprime(b, bp, m, mp, pr);
1515 1260 : m = pr;
1516 1260 : if (gc_needed(btop, 1))
1517 0 : gerepileall(btop, 2, &b, &m);
1518 : }
1519 420 : return gerepileupto(ltop, b);
1520 : }
1521 :
1522 : static GEN
1523 18690 : sqrt_ser(GEN b, long prec)
1524 : {
1525 18690 : long e = valser(b), vx = varn(b), lx, lold, j;
1526 : ulong mask;
1527 : GEN a, x, lta, ltx;
1528 :
1529 18690 : if (!signe(b)) return zeroser(vx, e>>1);
1530 18690 : a = leafcopy(b);
1531 18690 : x = cgetg_copy(b, &lx);
1532 18690 : if (e & 1)
1533 14 : pari_err_DOMAIN("sqrtn", "valuation", "!=", mkintmod(gen_0, gen_2), b);
1534 18676 : a[1] = x[1] = evalsigne(1) | evalvarn(0) | _evalvalser(0);
1535 18676 : lta = gel(a,2);
1536 18676 : if (gequal1(lta)) ltx = lta;
1537 14833 : else if (!issquareall(lta,<x)) ltx = gsqrt(lta,prec);
1538 18669 : gel(x,2) = ltx;
1539 315819 : for (j = 3; j < lx; j++) gel(x,j) = gen_0;
1540 18669 : setlg(x,3);
1541 18669 : mask = quadratic_prec_mask(lx - 2);
1542 18669 : lold = 1;
1543 96421 : while (mask > 1)
1544 : {
1545 77752 : GEN y, x2 = gmul2n(x,1);
1546 77752 : long l = lold << 1, lx;
1547 :
1548 77752 : if (mask & 1) l--;
1549 77752 : mask >>= 1;
1550 77752 : setlg(a, l + 2);
1551 77752 : setlg(x, l + 2);
1552 77752 : y = sqr_ser_part(x, lold, l-1) - lold;
1553 374902 : for (j = lold+2; j < l+2; j++) gel(y,j) = gsub(gel(y,j), gel(a,j));
1554 77752 : y += lold; setvalser(y, lold);
1555 77752 : y = normalizeser(y);
1556 77752 : y = gsub(x, gdiv(y, x2)); /* = gmul2n(gsub(x, gdiv(a,x)), -1); */
1557 77752 : lx = minss(l+2, lg(y));
1558 374895 : for (j = lold+2; j < lx; j++) gel(x,j) = gel(y,j);
1559 77752 : lold = l;
1560 : }
1561 18669 : x[1] = evalsigne(1) | evalvarn(vx) | _evalvalser(e >> 1);
1562 18669 : return x;
1563 : }
1564 :
1565 : GEN
1566 42806949 : gsqrt(GEN x, long prec)
1567 : {
1568 : pari_sp av;
1569 : GEN y;
1570 :
1571 42806949 : switch(typ(x))
1572 : {
1573 387257 : case t_INT:
1574 387257 : if (!signe(x)) return real_0(prec); /* no loss of accuracy */
1575 387187 : x = itor(x,prec); /* fall through */
1576 33410995 : case t_REAL: return sqrtr(x);
1577 :
1578 35 : case t_INTMOD:
1579 : {
1580 35 : GEN p = gel(x,1), a;
1581 35 : y = cgetg(3,t_INTMOD); gel(y,1) = icopy(p);
1582 35 : a = Fp_sqrt(gel(x,2),p);
1583 21 : if (!a)
1584 : {
1585 7 : if (!BPSW_psp(p)) pari_err_PRIME("sqrt [modulus]",p);
1586 7 : pari_err_SQRTN("gsqrt",x);
1587 : }
1588 14 : gel(y,2) = a; return y;
1589 : }
1590 :
1591 9131477 : case t_COMPLEX:
1592 : { /* (u+iv)^2 = a+ib <=> u^2+v^2 = sqrt(a^2+b^2), u^2-v^2=a, 2uv=b */
1593 9131477 : GEN a = gel(x,1), b = gel(x,2), r, u, v;
1594 9131477 : if (isrationalzero(b)) return gsqrt(a, prec);
1595 9131478 : y = cgetg(3,t_COMPLEX); av = avma;
1596 :
1597 9131480 : r = cxnorm(x);
1598 9131468 : if (typ(r) == t_INTMOD || typ(r) == t_PADIC)
1599 0 : pari_err_IMPL("sqrt(complex of t_INTMODs)");
1600 9131468 : r = gsqrt(r, prec); /* t_REAL, |a+Ib| */
1601 9131475 : if (!signe(r))
1602 67 : u = v = gerepileuptoleaf(av, sqrtr(r));
1603 9131408 : else if (gsigne(a) < 0)
1604 : {
1605 : /* v > 0 since r > 0, a < 0, rounding errors can't make the sum of two
1606 : * positive numbers = 0 */
1607 134149 : v = sqrtr( gmul2n(gsub(r,a), -1) );
1608 134150 : if (gsigne(b) < 0) togglesign(v);
1609 134150 : v = gerepileuptoleaf(av, v); av = avma;
1610 : /* v = 0 is impossible */
1611 134151 : u = gerepileuptoleaf(av, gdiv(b, shiftr(v,1)));
1612 : } else {
1613 8997257 : u = sqrtr( gmul2n(gadd(r,a), -1) );
1614 8997260 : u = gerepileuptoleaf(av, u); av = avma;
1615 8997260 : if (!signe(u)) /* possible if a = 0.0, e.g. sqrt(0.e-10+1e-10*I) */
1616 7 : v = u;
1617 : else
1618 8997253 : v = gerepileuptoleaf(av, gdiv(b, shiftr(u,1)));
1619 : }
1620 9131480 : gel(y,1) = u;
1621 9131480 : gel(y,2) = v; return y;
1622 : }
1623 :
1624 63 : case t_PADIC:
1625 63 : y = Qp_sqrt(x);
1626 63 : if (!y) pari_err_SQRTN("Qp_sqrt",x);
1627 42 : return y;
1628 :
1629 161 : case t_FFELT: return FF_sqrt(x);
1630 :
1631 264140 : default:
1632 264140 : av = avma; if (!(y = toser_i(x))) break;
1633 18690 : return gerepilecopy(av, sqrt_ser(y, prec));
1634 : }
1635 245450 : return trans_eval("sqrt",gsqrt,x,prec);
1636 : }
1637 : /********************************************************************/
1638 : /** **/
1639 : /** N-th ROOT **/
1640 : /** **/
1641 : /********************************************************************/
1642 :
1643 : static GEN
1644 426301 : Z_to_padic(GEN a, GEN p, long e)
1645 : {
1646 426301 : if (signe(a)==0)
1647 1077 : return zeropadic(p, e);
1648 : else
1649 : {
1650 425224 : GEN z = cgetg(5, t_PADIC);
1651 425224 : long v = Z_pvalrem(a, p, &a), d = e - v;
1652 425223 : z[1] = evalprecp(d) | evalvalp(v);
1653 425223 : gel(z,2) = icopy(p);
1654 425223 : gel(z,3) = powiu(p, d);
1655 425225 : gel(z,4) = a;
1656 425225 : return z;
1657 : }
1658 : }
1659 :
1660 : GEN
1661 319073 : Qp_log(GEN x)
1662 : {
1663 319073 : pari_sp av = avma;
1664 319073 : GEN y, p = gel(x,2), a = gel(x,4);
1665 319073 : long e = precp(x);
1666 :
1667 319073 : if (!signe(a)) pari_err_DOMAIN("Qp_log", "argument", "=", gen_0, x);
1668 319052 : if (absequaliu(p,2) || equali1(modii(a, p)))
1669 109565 : y = Zp_log(a, p, e);
1670 : else
1671 : { /* compute log(x^(p-1)) / (p-1) */
1672 209487 : GEN q = gel(x,3), t = subiu(p, 1);
1673 209487 : a = Fp_pow(a, t, q);
1674 209487 : y = Fp_mul(Zp_log(a, p, e), diviiexact(subsi(1, q), t), q);
1675 : }
1676 319052 : return gerepileupto(av, Z_to_padic(y, p, e));
1677 : }
1678 :
1679 : static GEN Qp_exp_safe(GEN x);
1680 :
1681 : /*compute the p^e th root of x p-adic, assume x != 0 */
1682 : static GEN
1683 854 : Qp_sqrtn_ram(GEN x, long e)
1684 : {
1685 854 : pari_sp ltop=avma;
1686 854 : GEN a, p = gel(x,2), n = powiu(p,e);
1687 854 : long v = valp(x), va;
1688 854 : if (v)
1689 : {
1690 : long z;
1691 161 : v = sdivsi_rem(v, n, &z);
1692 161 : if (z) return NULL;
1693 91 : x = leafcopy(x);
1694 91 : setvalp(x,0);
1695 : }
1696 : /*If p = 2, -1 is a root of 1 in U1: need extra check*/
1697 784 : if (absequaliu(p, 2) && mod8(gel(x,4)) != 1) return NULL;
1698 749 : a = Qp_log(x);
1699 749 : va = valp(a) - e;
1700 749 : if (va <= 0)
1701 : {
1702 287 : if (signe(gel(a,4))) return NULL;
1703 : /* all accuracy lost */
1704 119 : a = cvtop(remii(gel(x,4),p), p, 1);
1705 : }
1706 : else
1707 : {
1708 462 : setvalp(a, va); /* divide by p^e */
1709 462 : a = Qp_exp_safe(a);
1710 462 : if (!a) return NULL;
1711 : /* n=p^e and a^n=z*x where z is a (p-1)th-root of 1.
1712 : * Since z^n=z, we have (a/z)^n = x. */
1713 462 : a = gdiv(x, powgi(a,subiu(n,1))); /* = a/z = x/a^(n-1)*/
1714 462 : if (v) setvalp(a,v);
1715 : }
1716 581 : return gerepileupto(ltop,a);
1717 : }
1718 :
1719 : /*compute the nth root of x p-adic p prime with n*/
1720 : static GEN
1721 2037 : Qp_sqrtn_unram(GEN x, GEN n, GEN *zetan)
1722 : {
1723 : pari_sp av;
1724 2037 : GEN Z, a, r, p = gel(x,2);
1725 2037 : long v = valp(x);
1726 2037 : if (v)
1727 : {
1728 : long z;
1729 84 : v = sdivsi_rem(v,n,&z);
1730 84 : if (z) return NULL;
1731 : }
1732 2030 : r = cgetp(x); setvalp(r,v);
1733 2030 : Z = NULL; /* -Wall */
1734 2030 : if (zetan) Z = cgetp(x);
1735 2030 : av = avma; a = Fp_sqrtn(gel(x,4), n, p, zetan);
1736 2030 : if (!a) return NULL;
1737 2016 : affii(Zp_sqrtnlift(gel(x,4), n, a, p, precp(x)), gel(r,4));
1738 2016 : if (zetan)
1739 : {
1740 14 : affii(Zp_sqrtnlift(gen_1, n, *zetan, p, precp(x)), gel(Z,4));
1741 14 : *zetan = Z;
1742 : }
1743 2016 : return gc_const(av,r);
1744 : }
1745 :
1746 : GEN
1747 2604 : Qp_sqrtn(GEN x, GEN n, GEN *zetan)
1748 : {
1749 : pari_sp av, tetpil;
1750 : GEN q, p;
1751 : long e;
1752 2604 : if (absequaliu(n, 2))
1753 : {
1754 70 : if (zetan) *zetan = gen_m1;
1755 70 : if (signe(n) < 0) x = ginv(x);
1756 63 : return Qp_sqrt(x);
1757 : }
1758 2534 : av = avma; p = gel(x,2);
1759 2534 : if (!signe(gel(x,4)))
1760 : {
1761 203 : if (signe(n) < 0) pari_err_INV("Qp_sqrtn", x);
1762 203 : q = divii(addis(n, valp(x)-1), n);
1763 203 : if (zetan) *zetan = gen_1;
1764 203 : set_avma(av); return zeropadic(p, itos(q));
1765 : }
1766 : /* treat the ramified part using logarithms */
1767 2331 : e = Z_pvalrem(n, p, &q);
1768 2331 : if (e) { x = Qp_sqrtn_ram(x,e); if (!x) return NULL; }
1769 2058 : if (is_pm1(q))
1770 : { /* finished */
1771 21 : if (signe(q) < 0) x = ginv(x);
1772 21 : x = gerepileupto(av, x);
1773 21 : if (zetan)
1774 28 : *zetan = (e && absequaliu(p, 2))? gen_m1 /*-1 in Q_2*/
1775 28 : : gen_1;
1776 21 : return x;
1777 : }
1778 2037 : tetpil = avma;
1779 : /* use hensel lift for unramified case */
1780 2037 : x = Qp_sqrtn_unram(x, q, zetan);
1781 2037 : if (!x) return NULL;
1782 2016 : if (zetan)
1783 : {
1784 : GEN *gptr[2];
1785 14 : if (e && absequaliu(p, 2))/*-1 in Q_2*/
1786 : {
1787 7 : tetpil = avma; x = gcopy(x); *zetan = gneg(*zetan);
1788 : }
1789 14 : gptr[0] = &x; gptr[1] = zetan;
1790 14 : gerepilemanysp(av,tetpil,gptr,2);
1791 14 : return x;
1792 : }
1793 2002 : return gerepile(av,tetpil,x);
1794 : }
1795 :
1796 : GEN
1797 23626 : sqrtnint(GEN a, long n)
1798 : {
1799 23626 : pari_sp av = avma;
1800 : GEN x, b, q;
1801 : long s, k, e;
1802 23626 : const ulong nm1 = n - 1;
1803 23626 : if (n == 2) return sqrtint(a);
1804 19643 : if (typ(a) != t_INT)
1805 : {
1806 35 : if (typ(a) == t_REAL)
1807 : {
1808 : long e;
1809 14 : switch(signe(a))
1810 : {
1811 0 : case 0: return gen_0;
1812 7 : case -1: pari_err_DOMAIN("sqrtnint", "argument", "<", gen_0,a);
1813 : }
1814 7 : e = expo(a); if (e < 0) return gen_0;
1815 7 : if (nbits2lg(e+1) > lg(a))
1816 0 : a = floorr(sqrtnr(a,n)); /* try to avoid precision loss in truncation */
1817 : else
1818 7 : a = sqrtnint(truncr(a),n);
1819 : }
1820 : else
1821 : {
1822 21 : GEN b = gfloor(a);
1823 21 : if (typ(b) != t_INT) pari_err_TYPE("sqrtint",a);
1824 14 : if (signe(b) < 0) pari_err_DOMAIN("sqrtnint", "argument", "<", gen_0,b);
1825 7 : a = sqrtnint(b, n);
1826 : }
1827 14 : return gerepileuptoint(av, a);
1828 : }
1829 19608 : if (n <= 0) pari_err_DOMAIN("sqrtnint", "n", "<=", gen_0, stoi(n));
1830 19601 : if (n == 1) return icopy(a);
1831 17459 : s = signe(a);
1832 17459 : if (s < 0) pari_err_DOMAIN("sqrtnint", "x", "<", gen_0, a);
1833 17459 : if (!s) return gen_0;
1834 17382 : if (lgefint(a) == 3) return utoi(usqrtn(itou(a), n));
1835 11606 : e = expi(a); k = e/(2*n);
1836 11606 : if (k == 0)
1837 : {
1838 : long flag;
1839 291 : if (n > e) return gc_const(av, gen_1);
1840 291 : flag = cmpii(a, powuu(3, n)); set_avma(av);
1841 291 : return (flag < 0) ? gen_2: stoi(3);
1842 : }
1843 11315 : if (e < n*BITS_IN_LONG - 1)
1844 : {
1845 : ulong xs, qs;
1846 4181 : b = itor(a, (2*e < n*BITS_IN_LONG)? DEFAULTPREC: MEDDEFAULTPREC);
1847 4181 : x = mpexp(divru(logr_abs(b), n));
1848 4181 : xs = itou(floorr(x)) + 1; /* >= a^(1/n) */
1849 : for(;;) {
1850 8184 : q = divii(a, powuu(xs, nm1));
1851 8184 : if (lgefint(q) > 3) break;
1852 8177 : qs = itou(q); if (qs >= xs) break;
1853 4003 : xs -= (xs - qs + nm1)/n;
1854 : }
1855 4181 : return utoi(xs);
1856 : }
1857 7134 : b = addui(1, shifti(a, -n*k));
1858 7134 : x = shifti(addui(1, sqrtnint(b, n)), k);
1859 7134 : q = divii(a, powiu(x, nm1));
1860 15994 : while (cmpii(q, x) < 0) /* a priori one iteration, no GC necessary */
1861 : {
1862 8860 : x = subii(x, divis(addui(nm1, subii(x, q)), n));
1863 8860 : q = divii(a, powiu(x, nm1));
1864 : }
1865 7134 : return gerepileuptoleaf(av, x);
1866 : }
1867 :
1868 : ulong
1869 7659 : usqrtn(ulong a, ulong n)
1870 : {
1871 : ulong x, s, q;
1872 7659 : const ulong nm1 = n - 1;
1873 7659 : if (!n) pari_err_DOMAIN("sqrtnint", "n", "=", gen_0, utoi(n));
1874 7659 : if (n == 1 || a == 0) return a;
1875 7659 : s = 1 + expu(a)/n; x = 1UL << s;
1876 7659 : q = (nm1*s >= BITS_IN_LONG)? 0: a >> (nm1*s);
1877 19624 : while (q < x) {
1878 : ulong X;
1879 11965 : x -= (x - q + nm1)/n;
1880 11965 : X = upowuu(x, nm1);
1881 11965 : q = X? a/X: 0;
1882 : }
1883 7659 : return x;
1884 : }
1885 :
1886 : static ulong
1887 1643713 : cubic_prec_mask(long n)
1888 : {
1889 1643713 : long a = n, i;
1890 1643713 : ulong mask = 0;
1891 1643713 : for(i = 1;; i++, mask *= 3)
1892 7807695 : {
1893 9451408 : long c = a%3;
1894 9451408 : if (c) mask += 3 - c;
1895 9451408 : a = (a+2)/3;
1896 9451408 : if (a==1) return mask + upowuu(3, i);
1897 : }
1898 : }
1899 :
1900 : /* cubic Newton iteration, |a|^(1/n), assuming a != 0 */
1901 : GEN
1902 1898954 : sqrtnr_abs(GEN a, long n)
1903 : {
1904 : pari_sp av;
1905 : GEN x, b;
1906 : long eextra, eold, n1, n2, prec, B, v;
1907 : ulong mask;
1908 :
1909 1898954 : if (n == 1) return mpabs(a);
1910 1898207 : if (n == 2) return sqrtr_abs(a);
1911 :
1912 1811193 : prec = realprec(a); v = expo(a) / n; av = avma;
1913 1811193 : if (v) a = shiftr(a, -n*v);
1914 1811198 : b = rtor(a, DEFAULTPREC);
1915 1811198 : x = mpexp(divru(logr_abs(b), n));
1916 1811203 : if (prec == DEFAULTPREC)
1917 : {
1918 206391 : if (v) shiftr_inplace(x, v);
1919 206391 : return gerepileuptoleaf(av, x);
1920 : }
1921 1604812 : n1 = n+1;
1922 1604812 : n2 = 2*n;
1923 1604812 : B = prec2nbits(prec);
1924 1604812 : eextra = expu(n)-1;
1925 1604812 : mask = cubic_prec_mask(B + 63);
1926 1604812 : eold = 1;
1927 : for(;;)
1928 6397211 : { /* reach 64 */
1929 8002023 : long enew = eold * 3;
1930 8002023 : enew -= mask % 3;
1931 8002023 : if (enew > 64) break; /* back up one step */
1932 6397211 : mask /= 3;
1933 6397211 : eold = enew;
1934 : }
1935 : for(;;)
1936 1241482 : {
1937 2846294 : long pr, enew = eold * 3;
1938 : GEN y, z;
1939 2846294 : enew -= mask % 3;
1940 2846294 : mask /= 3;
1941 2846294 : pr = nbits2prec(enew + eextra);
1942 2846294 : b = rtor(a, pr); setsigne(b,1);
1943 2846294 : x = rtor(x, pr);
1944 2846294 : y = subrr(powru(x, n), b);
1945 2846294 : z = divrr(y, addrr(mulur(n1, y), mulur(n2, b)));
1946 2846294 : shiftr_inplace(z,1);
1947 2846294 : x = mulrr(x, subsr(1,z));
1948 2846294 : if (mask == 1)
1949 : {
1950 1604812 : if (v) shiftr_inplace(x, v);
1951 1604812 : return gerepileuptoleaf(av, gprec_wtrunc(x,prec));
1952 : }
1953 1241482 : eold = enew;
1954 : }
1955 : }
1956 :
1957 : static void
1958 55905 : shiftc_inplace(GEN z, long d)
1959 : {
1960 55905 : shiftr_inplace(gel(z,1), d);
1961 55905 : shiftr_inplace(gel(z,2), d);
1962 55905 : }
1963 :
1964 : /* exp(2*Pi*I/n), same iteration as sqrtnr_abs, different initial point */
1965 : static GEN
1966 523327 : sqrtnof1(ulong n, long prec)
1967 : {
1968 : pari_sp av;
1969 : GEN x;
1970 : long eold, n1, n2, B;
1971 : ulong mask;
1972 :
1973 523327 : B = prec2nbits(prec);
1974 523327 : n1 = n+1;
1975 523327 : n2 = 2*n; av = avma;
1976 :
1977 523327 : x = expIr(divru(Pi2n(1, LOWDEFAULTPREC), n));
1978 523329 : if (prec == LOWDEFAULTPREC) return gerepileupto(av, x);
1979 38901 : mask = cubic_prec_mask(B + BITS_IN_LONG-1);
1980 38901 : eold = 1;
1981 : for(;;)
1982 151998 : { /* reach BITS_IN_LONG */
1983 190899 : long enew = eold * 3;
1984 190899 : enew -= mask % 3;
1985 190899 : if (enew > BITS_IN_LONG) break; /* back up one step */
1986 151998 : mask /= 3;
1987 151998 : eold = enew;
1988 : }
1989 : for(;;)
1990 17004 : {
1991 55905 : long pr, enew = eold * 3;
1992 : GEN y, z;
1993 55905 : enew -= mask % 3;
1994 55905 : mask /= 3;
1995 55905 : pr = nbits2prec(enew);
1996 55905 : x = cxtofp(x, pr);
1997 55905 : y = gsub(gpowgs(x, n), gen_1);
1998 55905 : z = gdiv(y, gaddgs(gmulsg(n1, y), n2));
1999 55905 : shiftc_inplace(z,1);
2000 55905 : x = gmul(x, gsubsg(1, z));
2001 55905 : if (mask == 1) return gerepilecopy(av, gprec_w(x,prec));
2002 17004 : eold = enew;
2003 : }
2004 : }
2005 :
2006 : /* exp(2iPi/d) */
2007 : GEN
2008 1263712 : rootsof1u_cx(ulong n, long prec)
2009 : {
2010 1263712 : switch(n)
2011 : {
2012 13006 : case 1: return gen_1;
2013 2954 : case 2: return gen_m1;
2014 260873 : case 4: return gen_I();
2015 10574 : case 3: case 6: case 12:
2016 : {
2017 10574 : pari_sp av = avma;
2018 10574 : GEN a = (n == 3)? mkfrac(gen_m1,gen_2): ghalf;
2019 10574 : GEN sq3 = sqrtr_abs(utor(3, prec));
2020 10574 : shiftr_inplace(sq3, -1);
2021 10574 : a = (n == 12)? mkcomplex(sq3, a): mkcomplex(a, sq3);
2022 10574 : return gerepilecopy(av, a);
2023 : }
2024 452982 : case 8:
2025 : {
2026 452982 : pari_sp av = avma;
2027 452982 : GEN sq2 = sqrtr_abs(utor(2, prec));
2028 452969 : shiftr_inplace(sq2,-1);
2029 452967 : return gerepilecopy(av, mkcomplex(sq2, sq2));
2030 : }
2031 : }
2032 523323 : return sqrtnof1(n, prec);
2033 : }
2034 : /* e(a/b) */
2035 : GEN
2036 14154 : rootsof1q_cx(long a, long b, long prec)
2037 : {
2038 14154 : long g = cgcd(a,b);
2039 : GEN z;
2040 14154 : if (g != 1) { a /= g; b /= g; }
2041 14154 : if (b < 0) { b = -b; a = -a; }
2042 14154 : z = rootsof1u_cx(b, prec);
2043 14154 : if (a < 0) { z = conj_i(z); a = -a; }
2044 14154 : return gpowgs(z, a);
2045 : }
2046 :
2047 : /* initializes powers of e(a/b) */
2048 : GEN
2049 14987 : rootsof1powinit(long a, long b, long prec)
2050 : {
2051 14987 : long g = cgcd(a,b);
2052 14987 : if (g != 1) { a /= g; b /= g; }
2053 14987 : if (b < 0) { b = -b; a = -a; }
2054 14987 : a %= b; if (a < 0) a += b;
2055 14987 : return mkvec2(grootsof1(b,prec), mkvecsmall2(a,b));
2056 : }
2057 : /* T = rootsof1powinit(a,b); return e(a/b)^c */
2058 : GEN
2059 12516441 : rootsof1pow(GEN T, long c)
2060 : {
2061 12516441 : GEN vz = gel(T,1), ab = gel(T,2);
2062 12516441 : long a = ab[1], b = ab[2]; /* a >= 0, b > 0 */
2063 12516441 : c %= b; if (c < 0) c += b;
2064 12516441 : a = Fl_mul(a, c, b);
2065 12516441 : return gel(vz, a + 1);
2066 : }
2067 :
2068 : /* exp(2iPi/d), assume d a t_INT */
2069 : GEN
2070 4788 : rootsof1_cx(GEN d, long prec)
2071 : {
2072 4788 : if (lgefint(d) == 3) return rootsof1u_cx((ulong)d[2], prec);
2073 0 : return expIr(divri(Pi2n(1,prec), d));
2074 : }
2075 :
2076 : GEN
2077 12654 : gsqrtn(GEN x, GEN n, GEN *zetan, long prec)
2078 : {
2079 : long i, lx, tx;
2080 : pari_sp av;
2081 : GEN y, z;
2082 12654 : if (typ(n)!=t_INT) pari_err_TYPE("sqrtn",n);
2083 12654 : if (!signe(n)) pari_err_DOMAIN("sqrtn", "n", "=", gen_0, n);
2084 12654 : if (is_pm1(n))
2085 : {
2086 70 : if (zetan) *zetan = gen_1;
2087 70 : return (signe(n) > 0)? gcopy(x): ginv(x);
2088 : }
2089 12584 : if (zetan) *zetan = gen_0;
2090 12584 : tx = typ(x);
2091 12584 : if (is_matvec_t(tx))
2092 : {
2093 7 : y = cgetg_copy(x, &lx);
2094 21 : for (i=1; i<lx; i++) gel(y,i) = gsqrtn(gel(x,i),n,NULL,prec);
2095 7 : return y;
2096 : }
2097 12577 : av = avma;
2098 12577 : switch(tx)
2099 : {
2100 182 : case t_INTMOD:
2101 : {
2102 182 : GEN p = gel(x,1), s;
2103 182 : z = gen_0;
2104 182 : y = cgetg(3,t_INTMOD); gel(y,1) = icopy(p);
2105 182 : if (zetan) { z = cgetg(3,t_INTMOD); gel(z,1) = gel(y,1); }
2106 182 : s = Fp_sqrtn(gel(x,2),n,p,zetan);
2107 161 : if (!s) {
2108 35 : if (zetan) return gc_const(av,gen_0);
2109 28 : if (!BPSW_psp(p)) pari_err_PRIME("sqrtn [modulus]",p);
2110 14 : pari_err_SQRTN("gsqrtn",x);
2111 : }
2112 126 : gel(y,2) = s;
2113 126 : if (zetan) { gel(z,2) = *zetan; *zetan = z; }
2114 126 : return y;
2115 : }
2116 :
2117 56 : case t_PADIC:
2118 56 : y = Qp_sqrtn(x,n,zetan);
2119 49 : if (!y) {
2120 7 : if (zetan) return gen_0;
2121 7 : pari_err_SQRTN("gsqrtn",x);
2122 : }
2123 42 : return y;
2124 :
2125 196 : case t_FFELT: return FF_sqrtn(x,n,zetan);
2126 :
2127 11688 : case t_INT: case t_FRAC: case t_REAL: case t_COMPLEX:
2128 11688 : i = precision(x); if (i) prec = i;
2129 11688 : if (isint1(x))
2130 7 : y = real_1(prec);
2131 11681 : else if (gequal0(x))
2132 : {
2133 : long b;
2134 21 : if (signe(n) < 0) pari_err_INV("gsqrtn",x);
2135 21 : if (isinexactreal(x))
2136 14 : b = sdivsi(gexpo(x), n);
2137 : else
2138 7 : b = -prec2nbits(prec);
2139 21 : if (typ(x) == t_COMPLEX)
2140 : {
2141 7 : y = cgetg(3,t_COMPLEX);
2142 7 : gel(y,1) = gel(y,2) = real_0_bit(b);
2143 : }
2144 : else
2145 14 : y = real_0_bit(b);
2146 : }
2147 : else
2148 : {
2149 11660 : long nn = itos_or_0(n);
2150 11660 : if (tx == t_INT) { x = itor(x,prec); tx = t_REAL; }
2151 11660 : if (nn > 0 && tx == t_REAL && signe(x) > 0)
2152 2081 : y = sqrtnr(x, nn);
2153 : else
2154 9579 : y = gexp(gdiv(glog(x,prec), n), prec);
2155 11660 : y = gerepileupto(av, y);
2156 : }
2157 11688 : if (zetan) *zetan = rootsof1_cx(n, prec);
2158 11688 : return y;
2159 :
2160 7 : case t_QUAD:
2161 7 : return gsqrtn(quadtofp(x, prec), n, zetan, prec);
2162 :
2163 448 : default:
2164 448 : av = avma; if (!(y = toser_i(x))) break;
2165 448 : return gerepileupto(av, ser_powfrac(y, ginv(n), prec));
2166 : }
2167 0 : pari_err_TYPE("sqrtn",x);
2168 : return NULL;/* LCOV_EXCL_LINE */
2169 : }
2170 :
2171 : /********************************************************************/
2172 : /** **/
2173 : /** EXP(X) - 1 **/
2174 : /** **/
2175 : /********************************************************************/
2176 : /* exp(|x|) - 1, assume x != 0.
2177 : * For efficiency, x should be reduced mod log(2): if so, we have a < 0 */
2178 : GEN
2179 15314266 : exp1r_abs(GEN x)
2180 : {
2181 15314266 : long l = realprec(x), a = expo(x), b = prec2nbits(l), L, i, n, m, B;
2182 : GEN y, p2, X;
2183 : pari_sp av;
2184 : double d;
2185 :
2186 15314122 : if (b + a <= 0) return mpabs(x);
2187 :
2188 15300902 : y = cgetr(l); av = avma;
2189 15301381 : B = b/3 + BITS_IN_LONG + (BITS_IN_LONG*BITS_IN_LONG)/ b;
2190 15301381 : d = a/2.; m = (long)(d + sqrt(d*d + B)); /* >= 0 */
2191 15301381 : if (m < (-a) * 0.1) m = 0; /* not worth it */
2192 15301381 : L = l + nbits2extraprec(m);
2193 : /* Multiplication is quadratic in this range (l is small, otherwise we
2194 : * use logAGM + Newton). Set Y = 2^(-e-a) x, compute truncated series
2195 : * sum_{k <= n} Y^k/k!: this costs roughly
2196 : * m b^2 + sum_{k <= n} (k e + BITS_IN_LONG)^2
2197 : * bit operations with n ~ b/e, |x| < 2^(1+a), |Y| < 2^(1-e) , m = e+a and
2198 : * b bits of accuracy needed, so
2199 : * B := (b / 3 + BITS_IN_LONG + BITS_IN_LONG^2 / b) ~ m(m-a)
2200 : * we want b ~ 3 m (m-a) or m~b+a hence
2201 : * m = min( a/2 + sqrt(a^2/4 + B), b + a )
2202 : * NB: e ~ (b/3)^(1/2) as b -> oo
2203 : *
2204 : * Truncate the sum at k = n (>= 1), the remainder is
2205 : * sum_{k >= n+1} Y^k / k! < Y^(n+1) / (n+1)! (1-Y) < Y^(n+1) / n!
2206 : * We want Y^(n+1) / n! <= Y 2^-b, hence -n log_2 |Y| + log_2 n! >= b
2207 : * log n! ~ (n + 1/2) log(n+1) - (n+1) + log(2Pi)/2,
2208 : * error bounded by 1/6(n+1) <= 1/12. Finally, we want
2209 : * n (-1/log(2) -log_2 |Y| + log_2(n+1)) >= b */
2210 15301863 : b += m;
2211 15301863 : d = m-dbllog2(x)-1/M_LN2; /* ~ -log_2 Y - 1/log(2) */
2212 15302715 : n = (long)(b / d);
2213 15302715 : if (n > 1)
2214 14561603 : n = (long)(b / (d + log2((double)n+1))); /* log~constant in small ranges */
2215 34697374 : while (n*(d+log2((double)n+1)) < b) n++; /* expect few corrections */
2216 :
2217 15302715 : X = rtor(x,L); shiftr_inplace(X, -m); setsigne(X, 1);
2218 15303216 : if (n == 1) p2 = X;
2219 : else
2220 : {
2221 15303216 : long s = 0, l1 = nbits2prec((long)(d + n + 16));
2222 15303019 : GEN unr = real_1(L);
2223 : pari_sp av2;
2224 :
2225 15302978 : p2 = cgetr(L); av2 = avma;
2226 198422384 : for (i=n; i>=2; i--, set_avma(av2))
2227 : { /* compute X^(n-1)/n! + ... + X/2 + 1 */
2228 : GEN p1, p3;
2229 183208449 : setprec(X,l1); p3 = divru(X,i);
2230 183333616 : l1 += dvmdsBIL(s - expo(p3), &s); if (l1>L) l1=L;
2231 183350572 : setprec(unr,l1); p1 = addrr_sign(unr,1, i == n? p3: mulrr(p3,p2),1);
2232 182961849 : setprec(p2,l1); affrr(p1,p2); /* p2 <- 1 + (X/i)*p2 */
2233 : }
2234 15300633 : setprec(X,L); p2 = mulrr(X,p2);
2235 : }
2236 :
2237 154166653 : for (i=1; i<=m; i++)
2238 : {
2239 138864089 : if (realprec(p2) > L) setprec(p2,L);
2240 138864089 : p2 = mulrr(p2, addsr(2,p2));
2241 : }
2242 15302564 : affrr_fixlg(p2,y); return gc_const(av,y);
2243 : }
2244 :
2245 : GEN
2246 10773 : mpexpm1(GEN x)
2247 : {
2248 10773 : const long s = 6;
2249 10773 : long l, sx = signe(x);
2250 : GEN y, z;
2251 : pari_sp av;
2252 10773 : if (!sx) return real_0_bit(expo(x));
2253 10766 : l = realprec(x);
2254 10766 : if (l > maxss(EXPNEWTON_LIMIT, (1L<<s) + 2))
2255 : {
2256 6 : long e = expo(x);
2257 6 : if (e < 0) x = rtor(x, l + nbits2extraprec(-e));
2258 6 : return subrs(mpexp(x), 1);
2259 : }
2260 10760 : if (sx > 0) return exp1r_abs(x);
2261 : /* compute exp(x) * (1 - exp(-x)) */
2262 4886 : av = avma; y = exp1r_abs(x);
2263 4886 : z = addsr(1, y); setsigne(z, -1);
2264 4886 : return gerepileupto(av, divrr(y, z));
2265 : }
2266 :
2267 : static GEN serexp(GEN x, long prec);
2268 : GEN
2269 12582 : gexpm1(GEN x, long prec)
2270 : {
2271 12582 : switch(typ(x))
2272 : {
2273 4550 : case t_REAL: return mpexpm1(x);
2274 5932 : case t_COMPLEX: return cxexpm1(x,prec);
2275 14 : case t_PADIC: return gsubgs(Qp_exp(x), 1);
2276 2086 : default:
2277 : {
2278 2086 : pari_sp av = avma;
2279 : long ey;
2280 : GEN y;
2281 2086 : if (!(y = toser_i(x))) break;
2282 2065 : ey = valser(y);
2283 2065 : if (ey < 0) pari_err_DOMAIN("expm1","valuation", "<", gen_0, x);
2284 2065 : if (gequal0(y)) return gcopy(y);
2285 2058 : if (ey)
2286 504 : return gerepileupto(av, gsubgs(serexp(y,prec), 1));
2287 : else
2288 : {
2289 1554 : GEN e1 = gexpm1(gel(y,2), prec), e = gaddgs(e1,1);
2290 1554 : y = gmul(e, serexp(serchop0(y),prec));
2291 1554 : gel(y,2) = e1;
2292 1554 : return gerepilecopy(av, y);
2293 : }
2294 : }
2295 : }
2296 21 : return trans_eval("expm1",gexpm1,x,prec);
2297 : }
2298 : /********************************************************************/
2299 : /** **/
2300 : /** EXP(X) **/
2301 : /** **/
2302 : /********************************************************************/
2303 : static GEN
2304 15252263 : mpexp_basecase(GEN x)
2305 : {
2306 15252263 : pari_sp av = avma;
2307 15252263 : long sh, l = realprec(x);
2308 : GEN y, z;
2309 :
2310 15252263 : y = modlog2(x, &sh);
2311 15251450 : if (!y) { set_avma(av); return real2n(sh, l); }
2312 15251450 : z = addsr(1, exp1r_abs(y));
2313 15250913 : if (signe(y) < 0) z = invr(z);
2314 15251316 : if (sh) {
2315 12456449 : shiftr_inplace(z, sh);
2316 12456278 : if (realprec(z) > l) z = rtor(z, l); /* spurious precision increase */
2317 : }
2318 : #ifdef DEBUG
2319 : {
2320 : GEN t = mplog(z), u = divrr(subrr(x, t),x);
2321 : if (signe(u) && expo(u) > 5-prec2nbits(minss(l,realprec(t))))
2322 : pari_err_BUG("exp");
2323 : }
2324 : #endif
2325 15252033 : return gerepileuptoleaf(av, z); /* NOT affrr, precision often increases */
2326 : }
2327 :
2328 : GEN
2329 15321759 : mpexp(GEN x)
2330 : {
2331 15321759 : const long s = 6; /*Initial steps using basecase*/
2332 15321759 : long i, p, l = realprec(x), sh;
2333 : GEN a, t, z;
2334 : ulong mask;
2335 :
2336 15321759 : if (l <= maxss(EXPNEWTON_LIMIT, (1L<<s) + 2))
2337 : {
2338 15321833 : if (!signe(x)) return mpexp0(x);
2339 15252199 : return mpexp_basecase(x);
2340 : }
2341 11 : z = cgetr(l); /* room for result */
2342 13 : x = modlog2(x, &sh);
2343 13 : if (!x) { set_avma((pari_sp)(z+lg(z))); return real2n(sh, l); }
2344 13 : constpi(l); /* precompute for later logr_abs() */
2345 13 : mask = quadratic_prec_mask(prec2nbits(l)+BITS_IN_LONG);
2346 168 : for(i=0, p=1; i<s+TWOPOTBITS_IN_LONG; i++) { p <<= 1; if (mask & 1) p-=1; mask >>= 1; }
2347 13 : a = mpexp_basecase(rtor(x, nbits2prec(p)));
2348 13 : x = addrs(x,1);
2349 13 : if (realprec(x) < l+EXTRAPRECWORD) x = rtor(x, l+EXTRAPRECWORD);
2350 13 : a = rtor(a, l+EXTRAPRECWORD); /*append 0s */
2351 13 : t = NULL;
2352 : for(;;)
2353 : {
2354 14 : p <<= 1; if (mask & 1) p--;
2355 14 : mask >>= 1;
2356 14 : setprec(x, nbits2prec(p));
2357 14 : setprec(a, nbits2prec(p));
2358 14 : t = mulrr(a, subrr(x, logr_abs(a))); /* a (x - log(a)) */
2359 14 : if (mask == 1) break;
2360 1 : affrr(t, a); set_avma((pari_sp)a);
2361 : }
2362 13 : affrr(t,z);
2363 13 : if (sh) shiftr_inplace(z, sh);
2364 13 : return gc_const((pari_sp)z, z);
2365 : }
2366 :
2367 : /* x != 0; k = ceil(tn / (te-1)), t = p-1 */
2368 : long
2369 84 : Qp_exp_prec(GEN x)
2370 : {
2371 84 : long e = valp(x), n = precp(x);
2372 : ulong a, b, q, r, p, t;
2373 :
2374 84 : if (e < 1) return -1;
2375 63 : if (e > n) return 1;
2376 63 : p = itos_or_0(gel(x,2));
2377 63 : if (!p) return n / e + 1;
2378 63 : if (p == 2) return e < 2? -1: ceildivuu(n, e - 1);
2379 : /* n >= e > 0, n = qe + r */
2380 : /* tn = q (te-1) + rt + q = (q+1)(te-1) - t(e-r) + q + 1 */
2381 63 : t = p - 1;
2382 63 : if (e == 1) return n + ceildivuu(n, t - 1);
2383 0 : q = n / e;
2384 0 : r = n % e; /* k = q + 1 if rt + q < te */
2385 0 : a = umuluu_or_0(e - r, t); if (!a || a > q) return q + 1;
2386 0 : b = umuluu_or_0(e, t); if (!b) return q + 2;
2387 0 : return q + 1 + ceildivuu(q + 1 - a, b - 1);
2388 : }
2389 :
2390 : static GEN
2391 108760 : Qp_exp_safe(GEN x)
2392 : {
2393 108760 : pari_sp av = avma;
2394 108760 : GEN p = gel(x,2), a = gel(x,4), z;
2395 108760 : long d = precp(x), v = valp(x), e = d+v;
2396 108760 : if (gequal0(x)) return gaddgs(x,1);
2397 107255 : if (v < (equaliu(p,2)? 2:1)) return NULL;
2398 107248 : z = Zp_exp(mulii(a,powiu(p,v)), p, e);
2399 107249 : return gerepileupto(av, Z_to_padic(z, p, e));
2400 : }
2401 :
2402 : GEN
2403 108298 : Qp_exp(GEN x)
2404 : {
2405 108298 : GEN y = Qp_exp_safe(x);
2406 108300 : if (!y) pari_err_DOMAIN("gexp(t_PADIC)","argument","",gen_0,x);
2407 108293 : return y;
2408 : }
2409 :
2410 : static GEN
2411 49 : cos_p(GEN x)
2412 : {
2413 : long k;
2414 : pari_sp av;
2415 : GEN x2, y;
2416 :
2417 49 : if (gequal0(x)) return gaddgs(x,1);
2418 28 : k = Qp_exp_prec(x);
2419 28 : if (k < 0) return NULL;
2420 21 : av = avma; x2 = gsqr(x);
2421 21 : if (k & 1) k--;
2422 105 : for (y=gen_1; k; k-=2)
2423 : {
2424 84 : GEN t = gdiv(gmul(y,x2), muluu(k, k-1));
2425 84 : y = gsubsg(1, t);
2426 : }
2427 21 : return gerepileupto(av, y);
2428 : }
2429 : static GEN
2430 63 : sin_p(GEN x)
2431 : {
2432 : long k;
2433 : pari_sp av;
2434 : GEN x2, y;
2435 :
2436 63 : if (gequal0(x)) return gcopy(x);
2437 42 : k = Qp_exp_prec(x);
2438 42 : if (k < 0) return NULL;
2439 28 : av = avma; x2 = gsqr(x);
2440 28 : if (k & 1) k--;
2441 133 : for (y=gen_1; k; k-=2)
2442 : {
2443 105 : GEN t = gdiv(gmul(y,x2), muluu(k, k+1));
2444 105 : y = gsubsg(1, t);
2445 : }
2446 28 : return gerepileupto(av, gmul(y, x));
2447 : }
2448 :
2449 : static GEN
2450 3289934 : cxexp(GEN x, long prec)
2451 : {
2452 3289934 : GEN r, p1, p2, y = cgetg(3,t_COMPLEX);
2453 3290057 : pari_sp av = avma, tetpil;
2454 : long l;
2455 3290057 : l = precision(x); if (l > prec) prec = l;
2456 3290114 : if (gequal0(gel(x,1)))
2457 : {
2458 346030 : gsincos(gel(x,2),&gel(y,2),&gel(y,1),prec);
2459 346048 : return y;
2460 : }
2461 2944170 : r = gexp(gel(x,1),prec);
2462 2944390 : gsincos(gel(x,2),&p2,&p1,prec);
2463 2944574 : tetpil = avma;
2464 2944574 : gel(y,1) = gmul(r,p1);
2465 2944167 : gel(y,2) = gmul(r,p2);
2466 2944164 : gerepilecoeffssp(av,tetpil,y+1,2);
2467 2944743 : return y;
2468 : }
2469 :
2470 : /* given a t_SER x^v s(x), with s(0) != 0, return x^v(s - s(0)), shallow */
2471 : GEN
2472 36540 : serchop0(GEN s)
2473 : {
2474 36540 : long i, l = lg(s);
2475 : GEN y;
2476 36540 : if (l == 2) return s;
2477 36540 : if (l == 3 && isexactzero(gel(s,2))) return s;
2478 36540 : y = cgetg(l, t_SER); y[1] = s[1];
2479 163758 : gel(y,2) = gen_0; for (i=3; i <l; i++) gel(y,i) = gel(s,i);
2480 36540 : return normalizeser(y);
2481 : }
2482 :
2483 : GEN
2484 42 : serchop_i(GEN s, long n)
2485 : {
2486 42 : long i, m, l = lg(s);
2487 : GEN y;
2488 42 : if (l == 2 || (l == 3 && isexactzero(gel(s,2))))
2489 : {
2490 14 : if (valser(s) < n) { s = shallowcopy(s); setvalser(s,n); }
2491 14 : return s;
2492 : }
2493 28 : m = n - valser(s); if (m < 0) return s;
2494 21 : if (l-m <= 2) return zeroser(varn(s), n);
2495 14 : y = cgetg(l-m, t_SER); y[1] = s[1]; setvalser(y, valser(y)+m);
2496 42 : for (i=m+2; i < l; i++) gel(y,i-m) = gel(s,i);
2497 14 : return normalizeser(y);
2498 : }
2499 : GEN
2500 42 : serchop(GEN s, long n)
2501 : {
2502 42 : pari_sp av = avma;
2503 42 : if (typ(s) != t_SER) pari_err_TYPE("serchop",s);
2504 42 : return gerepilecopy(av, serchop_i(s,n));
2505 : }
2506 :
2507 : static GEN
2508 77217 : serexp(GEN x, long prec)
2509 : {
2510 77217 : long i, j, lx, ly, mi, e = valser(x);
2511 : GEN y, xd, yd;
2512 : pari_sp av;
2513 :
2514 77217 : if (e < 0) pari_err_DOMAIN("exp","valuation", "<", gen_0, x);
2515 77210 : if (gequal0(x)) return gaddsg(1,x);
2516 66591 : lx = lg(x);
2517 66591 : if (e)
2518 : {
2519 : GEN X;
2520 52612 : ly = lx+e; y = cgetg(ly,t_SER);
2521 558054 : mi = lx-1; while (mi>=3 && isrationalzero(gel(x,mi))) mi--;
2522 52612 : mi += e-2;
2523 52612 : y[1] = evalsigne(1) | _evalvalser(0) | evalvarn(varn(x));
2524 : /* zd[i] = coefficient of X^i in z */
2525 52612 : xd = x+2-e; yd = y+2; ly -= 2;
2526 52612 : X = gel(xd,e); if (e != 1) X = gmulgu(X, e); /* left on stack */
2527 52612 : X = isint1(X)? NULL: X;
2528 52612 : gel(yd,0) = gen_1;
2529 52983 : for (i = 1; i < e; i++) gel(yd,i) = gen_0;
2530 652505 : for ( ; i < ly; i++)
2531 : {
2532 599893 : GEN t = gel(yd,i-e);
2533 599893 : long J = minss(i, mi);
2534 599893 : av = avma; if (X) t = gmul(t, X);
2535 2569686 : for (j = e + 1; j <= J; j++)
2536 1969793 : t = gadd(t, gmulgu(gmul(gel(xd,j),gel(yd,i-j)), j));
2537 599893 : gel(yd,i) = gerepileupto(av, gdivgu(t, i));
2538 : }
2539 52612 : return y;
2540 : }
2541 13979 : av = avma;
2542 13979 : return gerepileupto(av, gmul(gexp(gel(x,2),prec), serexp(serchop0(x),prec)));
2543 : }
2544 :
2545 : static GEN
2546 1468506 : expQ(GEN x, long prec)
2547 : {
2548 1468506 : GEN p, q, z, z0 = NULL;
2549 : pari_sp av;
2550 1468506 : long n, nmax, s, e, b = prec2nbits(prec);
2551 : double ex;
2552 : struct abpq_res R;
2553 : struct abpq S;
2554 :
2555 1468505 : if (typ(x) == t_INT)
2556 : {
2557 24615 : if (!signe(x)) return real_1(prec);
2558 24593 : p = x; q = gen_1;
2559 24593 : e = expi(p);
2560 24592 : if (e > b) return mpexp(itor(x, prec));
2561 : }
2562 : else
2563 : {
2564 1443890 : long ep, eq, B = usqrt(b) / 2;
2565 1443890 : p = gel(x,1); ep = expi(p);
2566 1443890 : q = gel(x,2); eq = expi(q);
2567 1443890 : if (ep > B || eq > B) return mpexp(fractor(x, prec));
2568 14637 : e = ep - eq;
2569 14637 : if (e < -3) prec += nbits2extraprec(-e); /* see addrr 'extend' rule */
2570 : }
2571 39229 : if (e > 2) { z0 = cgetr(prec); prec += EXTRAPRECWORD; b += BITS_IN_LONG; }
2572 39229 : z = cgetr(prec); av = avma;
2573 39234 : if (e > 0)
2574 : { /* simplify x/2^e = p / (q * 2^e) */
2575 2478 : long v = minss(e, vali(p));
2576 2478 : if (v) p = shifti(p, -v);
2577 2478 : if (e - v) q = shifti(q, e - v);
2578 : }
2579 39234 : s = signe(p);
2580 39234 : if (s < 0) p = negi(p);
2581 39242 : ex = exp2(dbllog2(x) - e) * 2.718281828; /* exp(1) * x / 2^e, x / 2^e < 2 */
2582 39234 : nmax = (long)(1 + exp(dbllambertW0(M_LN2 * b / ex)) * ex);
2583 39236 : abpq_init(&S, nmax);
2584 39271 : S.a[0] = S.b[0] = S.p[0] = S.q[0] = gen_1;
2585 3369926 : for (n = 1; n <= nmax; n++)
2586 : {
2587 3330698 : S.a[n] = gen_1;
2588 3330698 : S.b[n] = gen_1;
2589 3330698 : S.p[n] = p;
2590 3330698 : S.q[n] = muliu(q, n);
2591 : }
2592 39228 : abpq_sum(&R, 0, nmax, &S);
2593 39252 : if (s > 0) rdiviiz(R.T, R.Q, z); else rdiviiz(R.Q, R.T, z);
2594 39252 : if (e > 0)
2595 : {
2596 17136 : q = z; while (e--) q = sqrr(q);
2597 2478 : if (z0) { affrr(q, z0); z = z0; } else affrr(q,z);
2598 : }
2599 39252 : return gc_const(av,z);
2600 : }
2601 :
2602 : GEN
2603 14786954 : gexp(GEN x, long prec)
2604 : {
2605 14786954 : switch(typ(x))
2606 : {
2607 1468506 : case t_INT: case t_FRAC: return expQ(x, prec);
2608 8685479 : case t_REAL: return mpexp(x);
2609 3289942 : case t_COMPLEX: return cxexp(x,prec);
2610 70 : case t_PADIC: return Qp_exp(x);
2611 1342957 : default:
2612 : {
2613 1342957 : pari_sp av = avma;
2614 : GEN y;
2615 1342957 : if (!(y = toser_i(x))) break;
2616 61180 : return gerepileupto(av, serexp(y,prec));
2617 : }
2618 : }
2619 1282504 : return trans_eval("exp",gexp,x,prec);
2620 : }
2621 :
2622 : /********************************************************************/
2623 : /** **/
2624 : /** AGM(X, Y) **/
2625 : /** **/
2626 : /********************************************************************/
2627 : static int
2628 20520955 : agmr_gap(GEN a, GEN b, long L)
2629 : {
2630 20520955 : GEN d = subrr(b, a);
2631 20520614 : return (signe(d) && expo(d) - expo(b) >= L);
2632 : }
2633 : /* assume x > 0 */
2634 : static GEN
2635 1407926 : agm1r_abs(GEN x)
2636 : {
2637 1407926 : long l = realprec(x), L = 5-prec2nbits(l);
2638 1407926 : GEN a1, b1, y = cgetr(l);
2639 1407926 : pari_sp av = avma;
2640 :
2641 1407926 : a1 = addrr(real_1(l), x); shiftr_inplace(a1, -1);
2642 1407926 : b1 = sqrtr_abs(x);
2643 20520975 : while (agmr_gap(a1,b1,L))
2644 : {
2645 19112755 : GEN a = a1;
2646 19112755 : a1 = addrr(a,b1); shiftr_inplace(a1, -1);
2647 19112835 : b1 = sqrtr_abs(mulrr(a,b1));
2648 : }
2649 1407862 : affrr_fixlg(a1,y); return gc_const(av,y);
2650 : }
2651 :
2652 : struct agmcx_gap_t { long L, ex, cnt; };
2653 :
2654 : static void
2655 485340 : agmcx_init(GEN x, long *prec, struct agmcx_gap_t *S)
2656 : {
2657 485340 : long l = precision(x);
2658 485340 : if (l) *prec = l;
2659 485340 : S->L = 1-prec2nbits(*prec);
2660 485340 : S->cnt = 0;
2661 485340 : S->ex = LONG_MAX;
2662 485340 : }
2663 :
2664 : static long
2665 485340 : agmcx_a_b(GEN x, GEN *a1, GEN *b1, long prec)
2666 : {
2667 485340 : long rotate = 0;
2668 485340 : if (gsigne(real_i(x))<0)
2669 : { /* Rotate by +/-Pi/2, so that the choice of the principal square
2670 : * root gives the optimal AGM. So a1 = +/-I*a1, b1=sqrt(-x). */
2671 1561 : if (gsigne(imag_i(x))<0) { *a1=mulcxI(*a1); rotate=-1; }
2672 1043 : else { *a1=mulcxmI(*a1); rotate=1; }
2673 1561 : x = gneg(x);
2674 : }
2675 485340 : *b1 = gsqrt(x, prec);
2676 485340 : return rotate;
2677 : }
2678 : /* return 0 if we must stop the AGM loop (a=b or a ~ b), 1 otherwise */
2679 : static int
2680 8347667 : agmcx_gap(GEN a, GEN b, struct agmcx_gap_t *S)
2681 : {
2682 8347667 : GEN d = gsub(b, a);
2683 8347667 : long ex = S->ex;
2684 8347667 : S->ex = gexpo(d);
2685 8347667 : if (gequal0(d) || S->ex - gexpo(b) < S->L) return 0;
2686 : /* if (S->ex >= ex) we're no longer making progress; twice in a row */
2687 8010966 : if (S->ex < ex) S->cnt = 0;
2688 : else
2689 297336 : if (S->cnt++) return 0;
2690 7862327 : return 1;
2691 : }
2692 : static GEN
2693 485291 : agm1cx(GEN x, long prec)
2694 : {
2695 : struct agmcx_gap_t S;
2696 : GEN a1, b1;
2697 485291 : pari_sp av = avma;
2698 : long rotate;
2699 485291 : agmcx_init(x, &prec, &S);
2700 485291 : a1 = gtofp(gmul2n(gadd(real_1(prec), x), -1), prec);
2701 485291 : rotate = agmcx_a_b(x, &a1, &b1, prec);
2702 8347345 : while (agmcx_gap(a1,b1,&S))
2703 : {
2704 7862054 : GEN a = a1;
2705 7862054 : a1 = gmul2n(gadd(a,b1),-1);
2706 7862054 : b1 = gsqrt(gmul(a,b1), prec);
2707 : }
2708 485291 : if (rotate) a1 = rotate>0 ? mulcxI(a1):mulcxmI(a1);
2709 485291 : return gerepilecopy(av,a1);
2710 : }
2711 :
2712 : GEN
2713 49 : zellagmcx(GEN a0, GEN b0, GEN r, GEN t, long prec)
2714 : {
2715 : struct agmcx_gap_t S;
2716 49 : pari_sp av = avma;
2717 49 : GEN x = gdiv(a0, b0), a1, b1;
2718 : long rotate;
2719 49 : agmcx_init(x, &prec, &S);
2720 49 : a1 = gtofp(gmul2n(gadd(real_1(prec), x), -1), prec);
2721 49 : r = gsqrt(gdiv(gmul(a1,gaddgs(r, 1)),gadd(r, x)), prec);
2722 49 : t = gmul(r, t);
2723 49 : rotate = agmcx_a_b(x, &a1, &b1, prec);
2724 322 : while (agmcx_gap(a1,b1,&S))
2725 : {
2726 273 : GEN a = a1, b = b1;
2727 273 : a1 = gmul2n(gadd(a,b),-1);
2728 273 : b1 = gsqrt(gmul(a,b), prec);
2729 273 : r = gsqrt(gdiv(gmul(a1,gaddgs(r, 1)),gadd(gmul(b, r), a )), prec);
2730 273 : t = gmul(r, t);
2731 : }
2732 49 : if (rotate) a1 = rotate>0 ? mulcxI(a1):mulcxmI(a1);
2733 49 : a1 = gmul(a1, b0);
2734 49 : t = gatan(gdiv(a1,t), prec);
2735 : /* send t to the fundamental domain if necessary */
2736 49 : if (gsigne(real_i(t))<0) t = gadd(t, mppi(prec));
2737 49 : return gerepileupto(av,gdiv(t,a1));
2738 : }
2739 :
2740 : static long
2741 49 : ser_cmp_expo(GEN A, GEN B)
2742 : {
2743 49 : long e = -(long)HIGHEXPOBIT, d = valser(B) - valser(A);
2744 49 : long i, la = lg(A), v = varn(B);
2745 9849 : for (i = 2; i < la; i++)
2746 : {
2747 9800 : GEN a = gel(A,i), b;
2748 : long ei;
2749 9800 : if (isexactzero(a)) continue;
2750 9800 : b = polcoef_i(B, i-2 + d, v);
2751 9800 : ei = gexpo(a);
2752 9800 : if (!isexactzero(b)) ei -= gexpo(b);
2753 9800 : e = maxss(e, ei);
2754 : }
2755 49 : return e;
2756 : }
2757 :
2758 : static GEN
2759 21 : ser_agm1(GEN y, long prec)
2760 : {
2761 21 : GEN a1 = y, b1 = gen_1;
2762 21 : long l = lg(y)-2, l2 = 6-prec2nbits(prec), eold = LONG_MAX;
2763 : for(;;)
2764 84 : {
2765 105 : GEN a = a1, p1;
2766 105 : a1 = gmul2n(gadd(a,b1),-1);
2767 105 : b1 = gsqrt(gmul(a,b1), prec);
2768 105 : p1 = gsub(b1,a1);
2769 105 : if (isinexactreal(p1))
2770 : {
2771 49 : long e = ser_cmp_expo(p1, b1);
2772 49 : if (e < l2 || e >= eold) break;
2773 42 : eold = e;
2774 : }
2775 56 : else if (valser(p1)-valser(b1) >= l || gequal0(p1)) break;
2776 : }
2777 21 : return a1;
2778 : }
2779 :
2780 : /* agm(1,x) */
2781 : static GEN
2782 17616 : agm1(GEN x, long prec)
2783 : {
2784 : GEN y;
2785 : pari_sp av;
2786 :
2787 17616 : if (gequal0(x)) return gcopy(x);
2788 17616 : switch(typ(x))
2789 : {
2790 28 : case t_INT:
2791 28 : if (!is_pm1(x)) break;
2792 21 : return (signe(x) > 0)? real_1(prec): real_0(prec);
2793 :
2794 11904 : case t_REAL: return signe(x) > 0? agm1r_abs(x): agm1cx(x, prec);
2795 :
2796 5544 : case t_COMPLEX:
2797 5544 : if (gequal0(gel(x,2))) return agm1(gel(x,1), prec);
2798 5537 : return agm1cx(x, prec);
2799 :
2800 14 : case t_PADIC:
2801 : {
2802 14 : GEN a1 = x, b1 = gen_1;
2803 14 : long l = precp(x);
2804 14 : av = avma;
2805 : for(;;)
2806 14 : {
2807 28 : GEN a = a1, p1;
2808 : long ep;
2809 28 : a1 = gmul2n(gadd(a,b1),-1);
2810 28 : a = gmul(a,b1);
2811 28 : b1 = Qp_sqrt(a); if (!b1) pari_err_SQRTN("Qp_sqrt",a);
2812 21 : p1 = gsub(b1,a1); ep = valp(p1)-valp(b1);
2813 21 : if (ep<=0) { b1 = gneg_i(b1); p1 = gsub(b1,a1); ep=valp(p1)-valp(b1); }
2814 21 : if (ep >= l || gequal0(p1)) return gerepilecopy(av,a1);
2815 : }
2816 : }
2817 :
2818 126 : default:
2819 126 : av = avma; if (!(y = toser_i(x))) break;
2820 21 : return gerepilecopy(av, ser_agm1(y, prec));
2821 : }
2822 112 : return trans_eval("agm",agm1,x,prec);
2823 : }
2824 :
2825 : GEN
2826 17462 : agm(GEN x, GEN y, long prec)
2827 : {
2828 : pari_sp av;
2829 17462 : if (is_matvec_t(typ(y)))
2830 : {
2831 14 : if (is_matvec_t(typ(x))) pari_err_TYPE2("agm",x,y);
2832 7 : swap(x, y);
2833 : }
2834 17455 : if (gequal0(y)) return gcopy(y);
2835 17455 : av = avma;
2836 17455 : return gerepileupto(av, gmul(y, agm1(gdiv(x,y), prec)));
2837 : }
2838 :
2839 : /* b2 != 0 */
2840 : static GEN
2841 35 : ellK_i(GEN b2, long prec)
2842 35 : { return gdiv(Pi2n(-1, prec), agm1(gsqrt(b2, prec), prec)); }
2843 : GEN
2844 28 : ellK(GEN k, long prec)
2845 : {
2846 28 : pari_sp av = avma;
2847 28 : GEN k2 = gsqr(k), b2 = gsubsg(1, k2);
2848 28 : if (gequal0(b2)) pari_err_DOMAIN("ellK", "k^2", "=", gen_1, k2);
2849 21 : return gerepileupto(av, ellK_i(b2, prec));
2850 : }
2851 :
2852 : static int
2853 84 : magm_gap(GEN a, GEN b, long L)
2854 : {
2855 84 : GEN d = gsub(b, a);
2856 84 : return !gequal0(d) && gexpo(d) - gexpo(b) >= L;
2857 : }
2858 :
2859 : /* http://www.ams.org/notices/201208/rtx120801094p.pdf
2860 : * An Eloquent Formula for the Perimeter of an Ellipse
2861 : * Semjon Adlaj, Notices of the AMS */
2862 : static GEN
2863 14 : magm(GEN a, GEN b, long prec)
2864 : {
2865 14 : long L = -prec2nbits(prec) + 16;
2866 14 : GEN c = gen_0;
2867 84 : while (magm_gap(a, b, L))
2868 : {
2869 70 : GEN u = gsqrt(gmul(gsub(a, c), gsub(b, c)), prec);
2870 70 : a = gmul2n(gadd(a, b), -1);
2871 70 : b = gadd(c, u); c = gsub(c, u);
2872 : }
2873 14 : return gmul2n(gadd(a, b), -1);
2874 : }
2875 :
2876 : GEN
2877 21 : ellE(GEN k, long prec)
2878 : {
2879 21 : pari_sp av = avma;
2880 21 : GEN b2 = gsubsg(1, gsqr(k));
2881 21 : if (gequal0(b2)) { set_avma(av); return real_1(prec); }
2882 14 : return gerepileupto(av, gmul(ellK_i(b2, prec), magm(gen_1, b2, prec)));
2883 : }
2884 :
2885 : /********************************************************************/
2886 : /** **/
2887 : /** LOG(X) **/
2888 : /** **/
2889 : /********************************************************************/
2890 : /* log(2) = 18*atanh(1/26)-2*atanh(1/4801)+8*atanh(1/8749)
2891 : * faster than 10*atanh(1/17)+4*atanh(13/499) for all precisions,
2892 : * and than Pi/2M(1,4/2^n) ~ n log(2) for bitprec at least up to 10^8 */
2893 : static GEN
2894 38961 : log2_split(long prec)
2895 : {
2896 38961 : GEN u = atanhuu(1, 26, prec);
2897 38957 : GEN v = atanhuu(1, 4801, prec);
2898 38966 : GEN w = atanhuu(1, 8749, prec);
2899 38966 : shiftr_inplace(v, 1); setsigne(v, -1);
2900 38963 : shiftr_inplace(w, 3);
2901 38966 : return addrr(mulur(18, u), addrr(v, w));
2902 : }
2903 : GEN
2904 24331076 : constlog2(long prec)
2905 : {
2906 : pari_sp av;
2907 : GEN tmp;
2908 24331076 : if (glog2 && realprec(glog2) >= prec) return glog2;
2909 :
2910 38400 : tmp = cgetr_block(prec);
2911 38961 : av = avma;
2912 38961 : affrr(log2_split(prec+EXTRAPRECWORD), tmp);
2913 38951 : swap_clone(&glog2,tmp);
2914 38966 : return gc_const(av,glog2);
2915 : }
2916 :
2917 : GEN
2918 24330672 : mplog2(long prec) { return rtor(constlog2(prec), prec); }
2919 :
2920 : /* dont check that q != 2^expo(q), done in logr_abs */
2921 : static GEN
2922 1396066 : logagmr_abs(GEN q)
2923 : {
2924 1396066 : long prec = realprec(q), e = expo(q), lim;
2925 1396066 : GEN z = cgetr(prec), y, Q, _4ovQ;
2926 1396065 : pari_sp av = avma;
2927 :
2928 1396065 : incrprec(prec);
2929 1396065 : lim = prec2nbits(prec) >> 1;
2930 1396065 : Q = rtor(q,prec);
2931 1396065 : shiftr_inplace(Q,lim-e); setsigne(Q,1);
2932 :
2933 1396065 : _4ovQ = invr(Q); shiftr_inplace(_4ovQ, 2); /* 4/Q */
2934 : /* Pi / 2agm(1, 4/Q) ~ log(Q), q = Q * 2^(e-lim) */
2935 1396064 : y = divrr(Pi2n(-1, prec), agm1r_abs(_4ovQ));
2936 1396065 : y = addrr(y, mulsr(e - lim, mplog2(prec)));
2937 1396065 : affrr_fixlg(y, z); return gc_const(av,z);
2938 : }
2939 :
2940 : /* sum_{k >= 0} y^(2k+1) / (2k+1), y close to 0 */
2941 : static GEN
2942 10111291 : logr_aux(GEN y)
2943 : {
2944 10111291 : long k, L = realprec(y); /* should be ~ l+1 - (k-2) */
2945 : /* log(x) = log(1+y) - log(1-y) = 2 sum_{k odd} y^k / k
2946 : * Truncate the sum at k = 2n+1, the remainder is
2947 : * 2 sum_{k >= 2n+3} y^k / k < 2y^(2n+3) / (2n+3)(1-y) < y^(2n+3)
2948 : * We want y^(2n+3) < y 2^(-prec2nbits(L)), hence
2949 : * n+1 > -prec2nbits(L) /-log_2(y^2) */
2950 10111291 : double d = -2*dbllog2r(y); /* ~ -log_2(y^2) */
2951 10111257 : k = (long)(2*(prec2nbits(L) / d));
2952 10111416 : k |= 1;
2953 10111416 : if (k >= 3)
2954 : {
2955 10092780 : GEN T, S = cgetr(L), y2 = sqrr(y), unr = real_1(L);
2956 10092816 : pari_sp av = avma;
2957 10092816 : long s = 0, incs = (long)d, l1 = nbits2prec((long)d);
2958 10092856 : setprec(S, l1);
2959 10092829 : setprec(unr,l1); affrr(divru(unr,k), S);
2960 176792934 : for (k -= 2;; k -= 2) /* k = 2n+1, ..., 1 */
2961 : { /* S = y^(2n+1-k)/(2n+1) + ... + 1 / k */
2962 176792934 : setprec(y2, l1); T = mulrr(S,y2);
2963 176776078 : if (k == 1) break;
2964 :
2965 166683681 : l1 += dvmdsBIL(s + incs, &s); if (l1>L) l1=L;
2966 166638021 : setprec(S, l1);
2967 166690702 : setprec(unr,l1);
2968 166706824 : affrr(addrr(divru(unr, k), T), S); set_avma(av);
2969 : }
2970 : /* k = 1 special-cased for eficiency */
2971 10092397 : y = mulrr(y, addsr(1,T)); /* = log(X)/2 */
2972 : }
2973 10111268 : return y;
2974 : }
2975 : /*return log(|x|), assuming x != 0 */
2976 : GEN
2977 11969746 : logr_abs(GEN X)
2978 : {
2979 11969746 : long EX, L, m, k, a, b, l = realprec(X);
2980 : GEN z, x, y;
2981 : ulong u;
2982 : double d;
2983 :
2984 : /* Assuming 1 < x < 2, we want delta = x-1, 1-x/2, 1-1/x, or 2/x-1 small.
2985 : * We have 2/x-1 > 1-x/2, 1-1/x < x-1. So one should be choosing between
2986 : * 1-1/x and 1-x/2 ( crossover sqrt(2), worse ~ 0.29 ). To avoid an inverse,
2987 : * we choose between x-1 and 1-x/2 ( crossover 4/3, worse ~ 0.33 ) */
2988 11969746 : EX = expo(X);
2989 11969746 : u = uel(X,2);
2990 11969746 : k = 2;
2991 11969746 : if (u > (~0UL / 3) * 2) { /* choose 1-x/2 */
2992 6792163 : EX++; u = ~u;
2993 6851226 : while (!u && ++k < l) { u = uel(X,k); u = ~u; }
2994 : } else { /* choose x - 1 */
2995 5177583 : u &= ~HIGHBIT; /* u - HIGHBIT, assuming HIGHBIT set */
2996 6334705 : while (!u && ++k < l) u = uel(X,k);
2997 : }
2998 11969746 : if (k == l) return EX? mulsr(EX, mplog2(l)): real_0(l);
2999 11507640 : a = prec2nbits(k) + bfffo(u); /* ~ -log2 |1-x| */
3000 11507751 : L = l+1;
3001 11507751 : b = prec2nbits(L - (k-2)); /* take loss of accuracy into account */
3002 20349895 : if (b > 24*a*log2(L) &&
3003 10238068 : prec2nbits(l) > prec2nbits(LOGAGM_LIMIT)) return logagmr_abs(X);
3004 :
3005 10111827 : z = cgetr(EX? l: l - (k-2));
3006 :
3007 : /* Multiplication is quadratic in this range (l is small, otherwise we
3008 : * use AGM). Set Y = x^(1/2^m), y = (Y - 1) / (Y + 1) and compute truncated
3009 : * series sum y^(2k+1)/(2k+1): the costs is less than
3010 : * m b^2 + sum_{k <= n} ((2k+1) e + BITS_IN_LONG)^2
3011 : * bit operations with |x-1| < 2^(1-a), |Y| < 2^(1-e) , m = e-a and b bits of
3012 : * accuracy needed (+ BITS_IN_LONG since bit accuracies increase by
3013 : * increments of BITS_IN_LONG), so
3014 : * 4n^3/3 e^2 + n^2 2e BITS_IN_LONG+ n BITS_IN_LONG ~ m b^2, with n ~ b/2e
3015 : * or b/6e + BITS_IN_LONG/2e + BITS_IN_LONG/2be ~ m
3016 : * B := (b / 6 + BITS_IN_LONG/2 + BITS_IN_LONG^2 / 2b) ~ m(m+a)
3017 : * m = min( -a/2 + sqrt(a^2/4 + B), b - a )
3018 : * NB: e ~ (b/6)^(1/2) as b -> oo
3019 : * Instead of the above pessimistic estimate for the cost of the sum, use
3020 : * optimistic estimate (BITS_IN_LONG -> 0) */
3021 10111731 : d = -a/2.; m = (long)(d + sqrt(d*d + b/6)); /* >= 0 */
3022 :
3023 10111731 : if (m > b-a) m = b-a;
3024 10111731 : if (m < 0.2*a) m = 0; else L += nbits2extraprec(m);
3025 10111744 : x = rtor(X,L);
3026 10111933 : setsigne(x,1); shiftr_inplace(x,-EX);
3027 : /* 2/3 < x < 4/3 */
3028 57782109 : for (k=1; k<=m; k++) x = sqrtr_abs(x);
3029 :
3030 10111758 : y = divrr(subrs(x,1), addrs(x,1)); /* = (x-1) / (x+1), close to 0 */
3031 10111274 : y = logr_aux(y); /* log(1+y) - log(1-y) = log(x) */
3032 10111186 : shiftr_inplace(y, m + 1);
3033 10110997 : if (EX) y = addrr(y, mulsr(EX, mplog2(l+1)));
3034 10111021 : affrr_fixlg(y, z); return gc_const((pari_sp)z, z);
3035 : }
3036 :
3037 : /* assume Im(q) != 0 and precision(q) >= prec. Compute log(q) with accuracy
3038 : * prec [disregard input accuracy] */
3039 : GEN
3040 479712 : logagmcx(GEN q, long prec)
3041 : {
3042 479712 : GEN z = cgetc(prec), y, Q, a, b;
3043 : long lim, e, ea, eb;
3044 479712 : pari_sp av = avma;
3045 479712 : int neg = 0;
3046 :
3047 479712 : incrprec(prec);
3048 479712 : if (gsigne(gel(q,1)) < 0) { q = gneg(q); neg = 1; }
3049 479712 : lim = prec2nbits(prec) >> 1;
3050 479712 : Q = gtofp(q, prec);
3051 479712 : a = gel(Q,1);
3052 479712 : b = gel(Q,2);
3053 479712 : if (gequal0(a)) {
3054 0 : affrr_fixlg(logr_abs(b), gel(z,1));
3055 0 : y = Pi2n(-1, prec);
3056 0 : if (signe(b) < 0) setsigne(y, -1);
3057 0 : affrr_fixlg(y, gel(z,2)); return gc_const(av,z);
3058 : }
3059 479712 : ea = expo(a);
3060 479712 : eb = expo(b);
3061 479712 : e = ea <= eb ? lim - eb : lim - ea;
3062 479712 : shiftr_inplace(a, e);
3063 479712 : shiftr_inplace(b, e);
3064 :
3065 : /* Pi / 2agm(1, 4/Q) ~ log(Q), q = Q * 2^e */
3066 479712 : y = gdiv(Pi2n(-1, prec), agm1cx( gdivsg(4, Q), prec ));
3067 479712 : a = gel(y,1);
3068 479712 : b = gel(y,2);
3069 479712 : a = addrr(a, mulsr(-e, mplog2(prec)));
3070 479712 : if (realprec(a) <= LOWDEFAULTPREC) a = real_0_bit(expo(a));
3071 717246 : if (neg) b = gsigne(b) <= 0? gadd(b, mppi(prec))
3072 237534 : : gsub(b, mppi(prec));
3073 479712 : affrr_fixlg(a, gel(z,1));
3074 479712 : affrr_fixlg(b, gel(z,2)); return gc_const(av,z);
3075 : }
3076 :
3077 : GEN
3078 144060 : mplog(GEN x)
3079 : {
3080 144060 : if (signe(x)<=0) pari_err_DOMAIN("mplog", "argument", "<=", gen_0, x);
3081 144060 : return logr_abs(x);
3082 : }
3083 :
3084 : /* pe = p^e, p prime, 0 < x < pe a t_INT coprime to p. Return the (p-1)-th
3085 : * root of 1 in (Z/pe)^* congruent to x mod p, resp x mod 4 if p = 2.
3086 : * Simplified form of Zp_sqrtnlift: 1/(p-1) is trivial to compute */
3087 : GEN
3088 9933 : Zp_teichmuller(GEN x, GEN p, long e, GEN pe)
3089 : {
3090 : GEN q, z, p1;
3091 : pari_sp av;
3092 : ulong mask;
3093 9933 : if (absequaliu(p,2)) return (mod4(x) & 2)? subiu(pe,1): gen_1;
3094 9394 : if (e == 1) return icopy(x);
3095 9394 : av = avma;
3096 9394 : p1 = subiu(p, 1);
3097 9394 : mask = quadratic_prec_mask(e);
3098 9394 : q = p; z = remii(x, p);
3099 31192 : while (mask > 1)
3100 : { /* Newton iteration solving z^{1 - p} = 1, z = x (mod p) */
3101 21798 : GEN w, t, qold = q;
3102 21798 : if (mask <= 3) /* last iteration */
3103 9394 : q = pe;
3104 : else
3105 : {
3106 12404 : q = sqri(q);
3107 12404 : if (mask & 1) q = diviiexact(q, p);
3108 : }
3109 21798 : mask >>= 1;
3110 : /* q <= qold^2 */
3111 21798 : if (lgefint(q) == 3)
3112 : {
3113 21650 : ulong Z = uel(z,2), Q = uel(q,2), P1 = uel(p1,2);
3114 21650 : ulong W = (Q-1) / P1; /* -1/(p-1) + O(qold) */
3115 21650 : ulong T = Fl_mul(W, Fl_powu(Z,P1,Q) - 1, Q);
3116 21650 : Z = Fl_mul(Z, 1 + T, Q);
3117 21650 : z = utoi(Z);
3118 : }
3119 : else
3120 : {
3121 148 : w = diviiexact(subiu(qold,1),p1); /* -1/(p-1) + O(qold) */
3122 148 : t = Fp_mul(w, subiu(Fp_pow(z,p1,q), 1), q);
3123 148 : z = Fp_mul(z, addui(1,t), q);
3124 : }
3125 : }
3126 9394 : return gerepileuptoint(av, z);
3127 : }
3128 :
3129 : GEN
3130 1225 : teichmullerinit(long p, long n)
3131 : {
3132 : GEN t, pn, g, v;
3133 : ulong gp, tp;
3134 : long a, m;
3135 :
3136 1225 : if (p == 2) return mkvec(gen_1);
3137 1225 : if (!uisprime(p)) pari_err_PRIME("teichmullerinit",utoipos(p));
3138 :
3139 1225 : m = p >> 1; /* (p-1)/2 */
3140 1225 : tp= gp= pgener_Fl(p); /* order (p-1), gp^m = -1 */
3141 1225 : pn = powuu(p, n);
3142 1225 : v = cgetg(p, t_VEC);
3143 1225 : t = g = Zp_teichmuller(utoipos(gp), utoipos(p), n, pn);
3144 1225 : gel(v, 1) = gen_1;
3145 1225 : gel(v, p-1) = subiu(pn,1);
3146 3031 : for (a = 1; a < m; a++)
3147 : {
3148 1806 : gel(v, tp) = t;
3149 1806 : gel(v, p - tp) = Fp_neg(t, pn); /* g^(m+a) = -g^a */
3150 1806 : if (a < m-1)
3151 : {
3152 1029 : t = Fp_mul(t, g, pn); /* g^(a+1) */
3153 1029 : tp = Fl_mul(tp, gp, p); /* t mod p */
3154 : }
3155 : }
3156 1225 : return v;
3157 : }
3158 :
3159 : /* tab from teichmullerinit or NULL */
3160 : GEN
3161 4977 : teichmuller(GEN x, GEN tab)
3162 : {
3163 : GEN p, q, y, z;
3164 4977 : long n, tx = typ(x);
3165 :
3166 4977 : if (!tab)
3167 : {
3168 4865 : if (tx == t_VEC && lg(x) == 3)
3169 : {
3170 7 : p = gel(x,1);
3171 7 : q = gel(x,2);
3172 7 : if (typ(p) == t_INT && typ(q) == t_INT)
3173 7 : return teichmullerinit(itos(p), itos(q));
3174 : }
3175 : }
3176 112 : else if (typ(tab) != t_VEC) pari_err_TYPE("teichmuller",tab);
3177 4970 : if (tx!=t_PADIC) pari_err_TYPE("teichmuller",x);
3178 4970 : z = gel(x,4);
3179 4970 : if (!signe(z)) return gcopy(x);
3180 4970 : p = gel(x,2);
3181 4970 : q = gel(x,3);
3182 4970 : n = precp(x);
3183 4970 : y = cgetg(5,t_PADIC);
3184 4970 : y[1] = evalprecp(n) | _evalvalp(0);
3185 4970 : gel(y,2) = icopy(p);
3186 4970 : gel(y,3) = icopy(q);
3187 4970 : if (tab)
3188 : {
3189 112 : ulong pp = itou_or_0(p);
3190 112 : if (lg(tab) != (long)pp) pari_err_TYPE("teichmuller",tab);
3191 112 : z = gel(tab, umodiu(z, pp));
3192 112 : if (typ(z) != t_INT) pari_err_TYPE("teichmuller",tab);
3193 112 : z = remii(z, q);
3194 : }
3195 : else
3196 4858 : z = Zp_teichmuller(z, p, n, q);
3197 4970 : gel(y,4) = z;
3198 4970 : return y;
3199 : }
3200 : GEN
3201 4739 : teich(GEN x) { return teichmuller(x, NULL); }
3202 :
3203 : GEN
3204 16166707 : glog(GEN x, long prec)
3205 : {
3206 : pari_sp av, tetpil;
3207 : GEN y, p1;
3208 : long l;
3209 :
3210 16166707 : switch(typ(x))
3211 : {
3212 9348694 : case t_REAL:
3213 9348694 : if (signe(x) >= 0)
3214 : {
3215 7712683 : if (!signe(x)) pari_err_DOMAIN("log", "argument", "=", gen_0, x);
3216 7712669 : return logr_abs(x);
3217 : }
3218 1636011 : retmkcomplex(logr_abs(x), mppi(realprec(x)));
3219 :
3220 519216 : case t_FRAC:
3221 : {
3222 : GEN a, b;
3223 : long e1, e2;
3224 519216 : av = avma;
3225 519216 : a = gel(x,1);
3226 519216 : b = gel(x,2);
3227 519216 : e1 = expi(subii(a,b)); e2 = expi(b);
3228 519216 : if (e2 > e1) prec += nbits2nlong(e2 - e1);
3229 519216 : x = fractor(x, prec);
3230 519216 : return gerepileupto(av, glog(x, prec));
3231 : }
3232 4092923 : case t_COMPLEX:
3233 4092923 : if (ismpzero(gel(x,2))) return glog(gel(x,1), prec);
3234 4082647 : l = precision(x); if (l > prec) prec = l;
3235 4082659 : if (ismpzero(gel(x,1)))
3236 : {
3237 71717 : GEN a = gel(x,2), b;
3238 71717 : av = avma; b = Pi2n(-1,prec);
3239 71715 : if (gsigne(a) < 0) { setsigne(b, -1); a = gabs(a,prec); }
3240 71715 : a = isint1(a) ? gen_0: glog(a,prec);
3241 71715 : return gerepilecopy(av, mkcomplex(a, b));
3242 : }
3243 4010942 : if (prec >= LOGAGMCX_LIMIT) return logagmcx(x, prec);
3244 3531426 : y = cgetg(3,t_COMPLEX);
3245 3531435 : gel(y,2) = garg(x,prec);
3246 3531462 : av = avma; p1 = glog(cxnorm(x),prec); tetpil = avma;
3247 3531478 : gel(y,1) = gerepile(av,tetpil,gmul2n(p1,-1)); return y;
3248 :
3249 322 : case t_PADIC: return Qp_log(x);
3250 2205552 : default:
3251 2205552 : av = avma; if (!(y = toser_i(x))) break;
3252 140 : if (!signe(y)) pari_err_DOMAIN("log", "argument", "=", gen_0, x);
3253 140 : if (valser(y)) pari_err_DOMAIN("log", "series valuation", "!=", gen_0, x);
3254 133 : p1 = integser(gdiv(derivser(y), y)); /* log(y)' = y'/y */
3255 133 : if (!gequal1(gel(y,2))) p1 = gadd(p1, glog(gel(y,2),prec));
3256 133 : return gerepileupto(av, p1);
3257 : }
3258 2205831 : return trans_eval("log",glog,x,prec);
3259 : }
3260 :
3261 : static GEN
3262 63 : mplog1p(GEN x)
3263 : {
3264 : long ex, a, b, l, L;
3265 63 : if (!signe(x)) return rcopy(x);
3266 63 : ex = expo(x); if (ex >= -3) return glog(addrs(x,1), 0);
3267 42 : a = -ex;
3268 42 : b = realprec(x); L = b+1;
3269 42 : if (b > a*log2(L) && prec2nbits(b) > prec2nbits(LOGAGM_LIMIT))
3270 : {
3271 0 : x = addrs(x,1); l = b + nbits2extraprec(a);
3272 0 : if (realprec(x) < l) x = rtor(x,l);
3273 0 : return logagmr_abs(x);
3274 : }
3275 42 : x = rtor(x, L);
3276 42 : x = logr_aux(divrr(x, addrs(x,2)));
3277 42 : if (realprec(x) > b) fixlg(x, b);
3278 42 : shiftr_inplace(x,1); return x;
3279 : }
3280 :
3281 : static GEN log1p_i(GEN x, long prec);
3282 : static GEN
3283 14 : cxlog1p(GEN x, long prec)
3284 : {
3285 : pari_sp av;
3286 14 : GEN z, a, b = gel(x,2);
3287 : long l;
3288 14 : if (ismpzero(b)) return log1p_i(gel(x,1), prec);
3289 14 : l = precision(x); if (l > prec) prec = l;
3290 14 : if (prec >= LOGAGMCX_LIMIT) return logagmcx(gaddgs(x,1), prec);
3291 14 : a = gel(x,1);
3292 14 : z = cgetg(3,t_COMPLEX); av = avma;
3293 14 : a = gadd(gadd(gmul2n(a,1), gsqr(a)), gsqr(b));
3294 14 : a = log1p_i(a, prec); shiftr_inplace(a,-1);
3295 14 : gel(z,1) = gerepileupto(av, a);
3296 14 : gel(z,2) = garg(gaddgs(x,1),prec); return z;
3297 : }
3298 : static GEN
3299 133 : log1p_i(GEN x, long prec)
3300 : {
3301 133 : switch(typ(x))
3302 : {
3303 63 : case t_REAL: return mplog1p(x);
3304 14 : case t_COMPLEX: return cxlog1p(x, prec);
3305 7 : case t_PADIC: return Qp_log(gaddgs(x,1));
3306 49 : default:
3307 : {
3308 : long ey;
3309 : GEN y;
3310 49 : if (!(y = toser_i(x))) break;
3311 21 : ey = valser(y);
3312 21 : if (ey < 0) pari_err_DOMAIN("log1p","valuation", "<", gen_0, x);
3313 21 : if (gequal0(y)) return gcopy(y);
3314 14 : if (ey)
3315 7 : return glog(gaddgs(y,1),prec);
3316 : else
3317 : {
3318 7 : GEN a = gel(y,2), a1 = gaddgs(a,1);
3319 7 : y = gdiv(y, a1); gel(y,2) = gen_1;
3320 7 : return gadd(glog1p(a,prec), glog(y, prec));
3321 : }
3322 : }
3323 : }
3324 28 : return trans_eval("log1p",glog1p,x,prec);
3325 : }
3326 : GEN
3327 119 : glog1p(GEN x, long prec)
3328 : {
3329 119 : pari_sp av = avma;
3330 119 : return gerepileupto(av, log1p_i(x, prec));
3331 : }
3332 : /********************************************************************/
3333 : /** **/
3334 : /** SINE, COSINE **/
3335 : /** **/
3336 : /********************************************************************/
3337 :
3338 : /* Reduce x0 mod Pi/2 to x in [-Pi/4, Pi/4]. Return cos(x)-1 */
3339 : static GEN
3340 10371150 : mpcosm1(GEN x, long *ptmod8)
3341 : {
3342 10371150 : long a = expo(x), l = realprec(x), b, L, i, n, m, B;
3343 : GEN y, u, x2;
3344 : double d;
3345 :
3346 10371150 : n = 0;
3347 10371150 : if (a >= 0)
3348 : {
3349 : long p;
3350 : GEN q;
3351 8492056 : if (a > 30)
3352 : {
3353 7 : GEN z, P = Pi2n(-2, nbits2prec(a + 32));
3354 7 : z = addrr(x,P); /* = x + Pi/4 */
3355 7 : if (expo(z) >= bit_prec(z) + 3) pari_err_PREC("mpcosm1");
3356 7 : shiftr_inplace(P, 1);
3357 7 : q = floorr(divrr(z, P)); /* round ( x / (Pi/2) ) */
3358 7 : p = l+EXTRAPRECWORD; x = rtor(x,p);
3359 : } else {
3360 8492049 : q = stoi((long)floor(rtodbl(x) / (M_PI/2) + 0.5));
3361 8492038 : p = l;
3362 : }
3363 8492250 : if (signe(q))
3364 : {
3365 8492051 : GEN y = subrr(x, mulir(q, Pi2n(-1,p))); /* x mod Pi/2 */
3366 8491730 : long b = expo(y);
3367 8491730 : if (a - b < 7) x = y;
3368 : else
3369 : {
3370 4486078 : p += nbits2extraprec(a-b); x = rtor(x, p);
3371 4486104 : x = subrr(x, mulir(q, Pi2n(-1,p)));
3372 : }
3373 8491654 : a = b;
3374 8491654 : if (!signe(x) && a >= 0) pari_err_PREC("mpcosm1");
3375 8491654 : n = Mod4(q);
3376 : }
3377 : }
3378 : /* a < 0 */
3379 10371076 : b = signe(x); *ptmod8 = (b < 0)? 4 + n: n;
3380 10371076 : if (!b) return real_0_bit(expo(x)*2 - 1);
3381 :
3382 10371076 : b = prec2nbits(l);
3383 10371038 : if (b + 2*a <= 0) {
3384 1371505 : y = sqrr(x); shiftr_inplace(y, -1); setsigne(y, -1);
3385 1371502 : return y;
3386 : }
3387 :
3388 8999533 : y = cgetr(l);
3389 8999572 : B = b/6 + BITS_IN_LONG/2 + (BITS_IN_LONG*BITS_IN_LONG/2)/ b;
3390 8999572 : d = a/2.; m = (long)(d + sqrt(d*d + B)); /* >= 0 ,*/
3391 8999572 : if (m < (-a) * 0.1) m = 0; /* not worth it */
3392 8999572 : L = l + nbits2extraprec(m);
3393 :
3394 8999568 : b += m;
3395 8999568 : d = 2.0 * (m-dbllog2r(x)-1/M_LN2); /* ~ 2( - log_2 Y - 1/log(2) ) */
3396 8999749 : n = (long)(b / d);
3397 8999749 : if (n > 1)
3398 8941812 : n = (long)(b / (d + log2((double)n+1))); /* log~constant in small ranges */
3399 19082755 : while (n*(d+log2((double)n+1)) < b) n++; /* expect few corrections */
3400 :
3401 : /* Multiplication is quadratic in this range (l is small, otherwise we
3402 : * use logAGM + Newton). Set Y = 2^(-e-a) x, compute truncated series
3403 : * sum Y^2k/(2k)!: this costs roughly
3404 : * m b^2 + sum_{k <= n} (2k e + BITS_IN_LONG)^2
3405 : * ~ (b/2e) b^2 / 3 + m b^2
3406 : * bit operations with n ~ b/2e, |x| < 2^(1+a), |Y| < 2^(1-e) , m = e+a and
3407 : * b bits of accuracy needed, so
3408 : * B := (b / 6 + BITS_IN_LONG/2 + BITS_IN_LONG^2 / 2b) ~ m(m-a)
3409 : * we want b ~ 6 m (m-a) or m~b+a hence
3410 : * m = min( a/2 + sqrt(a^2/4 + b/6), b/2 + a )
3411 : * NB: e ~ (b/6)^(1/2) or b/2.
3412 : *
3413 : * Truncate the sum at k = n (>= 1), the remainder is
3414 : * < sum_{k >= n+1} Y^2k / 2k! < Y^(2n+2) / (2n+2)!(1-Y^2) < Y^(2n+2)/(2n+1)!
3415 : * We want ... <= Y^2 2^-b, hence -2n log_2 |Y| + log_2 (2n+1)! >= b
3416 : * log n! ~ (n + 1/2) log(n+1) - (n+1) + log(2Pi)/2,
3417 : * error bounded by 1/6(n+1) <= 1/12. Finally, we want
3418 : * 2n (-1/log(2) - log_2 |Y| + log_2(2n+2)) >= b */
3419 8999749 : x = rtor(x, L); shiftr_inplace(x, -m); setsigne(x, 1);
3420 8999682 : x2 = sqrr(x);
3421 8999270 : if (n == 1) { u = x2; shiftr_inplace(u, -1); setsigne(u, -1); } /*-Y^2/2*/
3422 : else
3423 : {
3424 8999270 : GEN un = real_1(L);
3425 : pari_sp av;
3426 8999479 : long s = 0, l1 = nbits2prec((long)(d + n + 16));
3427 :
3428 8999416 : u = cgetr(L); av = avma;
3429 115376902 : for (i = n; i >= 2; i--)
3430 : {
3431 : GEN t;
3432 106377372 : setprec(x2,l1); t = divrunextu(x2, 2*i-1);
3433 106376364 : l1 += dvmdsBIL(s - expo(t), &s); if (l1 > L) l1 = L;
3434 106375409 : if (i != n) t = mulrr(t,u);
3435 106372918 : setprec(un,l1); t = addrr_sign(un,1, t,-signe(t));
3436 106358270 : setprec(u,l1); affrr(t,u); set_avma(av);
3437 : }
3438 8999530 : shiftr_inplace(u, -1); togglesign(u); /* u := -u/2 */
3439 8999481 : setprec(x2,L); u = mulrr(x2,u);
3440 : }
3441 : /* Now u = sum {1<= i <=n} (-1)^i x^(2i) / (2i)! ~ cos(x) - 1 */
3442 77230730 : for (i = 1; i <= m; i++)
3443 : { /* u = cos(x)-1 <- cos(2x)-1 = 2cos(x)^2 - 2 = 4u + 2u^2*/
3444 68234648 : GEN q = sqrr(u);
3445 68242579 : shiftr_inplace(u, 1); u = addrr(u, q);
3446 68232895 : shiftr_inplace(u, 1);
3447 68230910 : if ((i & 31) == 0) u = gerepileuptoleaf((pari_sp)y, u);
3448 : }
3449 8996082 : affrr_fixlg(u, y); return y;
3450 : }
3451 :
3452 : /* sqrt (|1 - (1+x)^2|) = sqrt(|x*(x+2)|). Sends cos(x)-1 to |sin(x)| */
3453 : static GEN
3454 8665063 : mpaut(GEN x)
3455 : {
3456 8665063 : GEN t = mulrr(x, addsr(2,x)); /* != 0 */
3457 8665070 : if (!signe(t)) return real_0_bit(expo(t) >> 1);
3458 8665070 : return sqrtr_abs(t);
3459 : }
3460 :
3461 : /********************************************************************/
3462 : /** COSINE **/
3463 : /********************************************************************/
3464 :
3465 : GEN
3466 2745065 : mpcos(GEN x)
3467 : {
3468 : long mod8;
3469 : pari_sp av;
3470 : GEN y, z;
3471 :
3472 2745065 : if (!signe(x)) {
3473 75 : long l = nbits2prec(-expo(x));
3474 75 : if (l < LOWDEFAULTPREC) l = LOWDEFAULTPREC;
3475 75 : return real_1(l);
3476 : }
3477 2744990 : av = avma; z = mpcosm1(x,&mod8);
3478 2744986 : switch(mod8)
3479 : {
3480 760060 : case 0: case 4: y = addsr(1,z); break;
3481 688609 : case 1: case 7: y = mpaut(z); togglesign(y); break;
3482 682289 : case 2: case 6: y = subsr(-1,z); break;
3483 614028 : default: y = mpaut(z); break; /* case 3: case 5: */
3484 : }
3485 2745012 : return gerepileuptoleaf(av, y);
3486 : }
3487 :
3488 : /* convert INT or FRAC to REAL, which is later reduced mod 2Pi : avoid
3489 : * cancellation */
3490 : static GEN
3491 13254 : tofp_safe(GEN x, long prec)
3492 : {
3493 13254 : return (typ(x) == t_INT || gexpo(x) > 0)? gadd(x, real_0(prec))
3494 26495 : : fractor(x, prec);
3495 : }
3496 :
3497 : GEN
3498 154844 : gcos(GEN x, long prec)
3499 : {
3500 : pari_sp av;
3501 : GEN a, b, u, v, y, u1, v1;
3502 : long i;
3503 :
3504 154844 : switch(typ(x))
3505 : {
3506 153577 : case t_REAL: return mpcos(x);
3507 28 : case t_COMPLEX:
3508 28 : a = gel(x,1);
3509 28 : b = gel(x,2);
3510 28 : if (isintzero(a)) return gcosh(b, prec);
3511 14 : i = precision(x); if (i) prec = i;
3512 14 : y = cgetc(prec); av = avma;
3513 14 : if (typ(b) != t_REAL) b = gtofp(b, prec);
3514 14 : mpsinhcosh(b, &u1, &v1); u1 = mpneg(u1);
3515 14 : if (typ(a) != t_REAL) a = gtofp(a, prec);
3516 14 : mpsincos(a, &u, &v);
3517 14 : affrr_fixlg(gmul(v1,v), gel(y,1));
3518 14 : affrr_fixlg(gmul(u1,u), gel(y,2)); return gc_const(av,y);
3519 :
3520 1156 : case t_INT: case t_FRAC:
3521 1156 : y = cgetr(prec); av = avma;
3522 1156 : affrr_fixlg(mpcos(tofp_safe(x,prec)), y); return gc_const(av,y);
3523 :
3524 49 : case t_PADIC: y = cos_p(x);
3525 49 : if (!y) pari_err_DOMAIN("gcos(t_PADIC)","argument","",gen_0,x);
3526 42 : return y;
3527 :
3528 34 : default:
3529 34 : av = avma; if (!(y = toser_i(x))) break;
3530 28 : if (gequal0(y)) return gerepileupto(av, gaddsg(1,y));
3531 28 : if (valser(y) < 0)
3532 7 : pari_err_DOMAIN("cos","valuation", "<", gen_0, x);
3533 21 : gsincos(y,&u,&v,prec);
3534 21 : return gerepilecopy(av,v);
3535 : }
3536 7 : return trans_eval("cos",gcos,x,prec);
3537 : }
3538 : /********************************************************************/
3539 : /** SINE **/
3540 : /********************************************************************/
3541 :
3542 : GEN
3543 849549 : mpsin(GEN x)
3544 : {
3545 : long mod8;
3546 : pari_sp av;
3547 : GEN y, z;
3548 :
3549 849549 : if (!signe(x)) return real_0_bit(expo(x));
3550 849340 : av = avma; z = mpcosm1(x,&mod8);
3551 849324 : switch(mod8)
3552 : {
3553 316706 : case 0: case 6: y = mpaut(z); break;
3554 134031 : case 1: case 5: y = addsr(1,z); break;
3555 269122 : case 2: case 4: y = mpaut(z); togglesign(y); break;
3556 129465 : default: y = subsr(-1,z); break; /* case 3: case 7: */
3557 : }
3558 849347 : return gerepileuptoleaf(av, y);
3559 : }
3560 :
3561 : GEN
3562 882480 : gsin(GEN x, long prec)
3563 : {
3564 : pari_sp av;
3565 : GEN a, b, u, v, y, v1, u1;
3566 : long i;
3567 :
3568 882480 : switch(typ(x))
3569 : {
3570 844375 : case t_REAL: return mpsin(x);
3571 32711 : case t_COMPLEX:
3572 32711 : a = gel(x,1);
3573 32711 : b = gel(x,2);
3574 32711 : if (isintzero(a)) retmkcomplex(gen_0,gsinh(b,prec));
3575 17402 : i = precision(x); if (i) prec = i;
3576 17402 : y = cgetc(prec); av = avma;
3577 17402 : if (typ(b) != t_REAL) b = gtofp(b, prec);
3578 17402 : mpsinhcosh(b, &u1, &v1);
3579 17402 : if (typ(a) != t_REAL) a = gtofp(a, prec);
3580 17402 : mpsincos(a, &u, &v);
3581 17402 : affrr_fixlg(gmul(v1,u), gel(y,1));
3582 17402 : affrr_fixlg(gmul(u1,v), gel(y,2)); return gc_const(av,y);
3583 :
3584 5118 : case t_INT: case t_FRAC:
3585 5118 : y = cgetr(prec); av = avma;
3586 5118 : affrr_fixlg(mpsin(tofp_safe(x,prec)), y); return gc_const(av,y);
3587 :
3588 49 : case t_PADIC: y = sin_p(x);
3589 49 : if (!y) pari_err_DOMAIN("gsin(t_PADIC)","argument","",gen_0,x);
3590 42 : return y;
3591 :
3592 227 : default:
3593 227 : av = avma; if (!(y = toser_i(x))) break;
3594 224 : if (gequal0(y)) return gerepilecopy(av, y);
3595 224 : if (valser(y) < 0)
3596 7 : pari_err_DOMAIN("sin","valuation", "<", gen_0, x);
3597 217 : gsincos(y,&u,&v,prec);
3598 217 : return gerepilecopy(av,u);
3599 : }
3600 7 : return trans_eval("sin",gsin,x,prec);
3601 : }
3602 : /********************************************************************/
3603 : /** SINE, COSINE together **/
3604 : /********************************************************************/
3605 :
3606 : void
3607 6774435 : mpsincos(GEN x, GEN *s, GEN *c)
3608 : {
3609 : long mod8;
3610 : pari_sp av, tetpil;
3611 : GEN z, *gptr[2];
3612 :
3613 6774435 : if (!signe(x))
3614 : {
3615 3419 : long e = expo(x);
3616 3419 : *s = real_0_bit(e);
3617 3419 : *c = e >= 0? real_0_bit(e): real_1_bit(-e);
3618 3419 : return;
3619 : }
3620 :
3621 6771016 : av = avma; z = mpcosm1(x, &mod8); tetpil = avma;
3622 6771107 : switch(mod8)
3623 : {
3624 1572827 : case 0: *c = addsr( 1,z); *s = mpaut(z); break;
3625 451516 : case 1: *s = addsr( 1,z); *c = mpaut(z); togglesign(*c); break;
3626 835941 : case 2: *c = subsr(-1,z); *s = mpaut(z); togglesign(*s); break;
3627 435491 : case 3: *s = subsr(-1,z); *c = mpaut(z); break;
3628 929859 : case 4: *c = addsr( 1,z); *s = mpaut(z); togglesign(*s); break;
3629 426017 : case 5: *s = addsr( 1,z); *c = mpaut(z); break;
3630 1653563 : case 6: *c = subsr(-1,z); *s = mpaut(z); break;
3631 465949 : case 7: *s = subsr(-1,z); *c = mpaut(z); togglesign(*c); break;
3632 : }
3633 6771160 : gptr[0] = s; gptr[1] = c; gerepilemanysp(av,tetpil,gptr,2);
3634 : }
3635 :
3636 : /* SINE and COSINE - 1 */
3637 : void
3638 5890 : mpsincosm1(GEN x, GEN *s, GEN *c)
3639 : {
3640 : long mod8;
3641 : pari_sp av, tetpil;
3642 : GEN z, *gptr[2];
3643 :
3644 5890 : if (!signe(x))
3645 : {
3646 0 : long e = expo(x);
3647 0 : *s = real_0_bit(e);
3648 0 : *c = real_0_bit(2*e-1);
3649 0 : return;
3650 : }
3651 5890 : av = avma; z = mpcosm1(x,&mod8); tetpil = avma;
3652 5890 : switch(mod8)
3653 : {
3654 4924 : case 0: *c = rcopy(z); *s = mpaut(z); break;
3655 42 : case 1: *s = addsr(1,z); *c = addrs(mpaut(z),1); togglesign(*c); break;
3656 0 : case 2: *c = subsr(-2,z); *s = mpaut(z); togglesign(*s); break;
3657 0 : case 3: *s = subsr(-1,z); *c = subrs(mpaut(z),1); break;
3658 819 : case 4: *c = rcopy(z); *s = mpaut(z); togglesign(*s); break;
3659 91 : case 5: *s = addsr( 1,z); *c = subrs(mpaut(z),1); break;
3660 7 : case 6: *c = subsr(-2,z); *s = mpaut(z); break;
3661 7 : case 7: *s = subsr(-1,z); *c = subsr(-1,mpaut(z)); break;
3662 : }
3663 5890 : gptr[0] = s; gptr[1] = c;
3664 5890 : gerepilemanysp(av,tetpil,gptr,2);
3665 : }
3666 :
3667 : /* return exp(ix), x a t_REAL */
3668 : GEN
3669 761198 : expIr(GEN x)
3670 : {
3671 761198 : pari_sp av = avma;
3672 761198 : GEN v = cgetg(3,t_COMPLEX);
3673 761204 : mpsincos(x, (GEN*)(v+2), (GEN*)(v+1));
3674 761208 : if (!signe(gel(v,2))) return gerepilecopy(av, gel(v,1));
3675 759035 : return v;
3676 : }
3677 :
3678 : /* return exp(ix)-1, x a t_REAL */
3679 : static GEN
3680 5890 : expm1_Ir(GEN x)
3681 : {
3682 5890 : pari_sp av = avma;
3683 5890 : GEN v = cgetg(3,t_COMPLEX);
3684 5890 : mpsincosm1(x, (GEN*)(v+2), (GEN*)(v+1));
3685 5890 : if (!signe(gel(v,2))) return gerepilecopy(av, gel(v,1));
3686 5890 : return v;
3687 : }
3688 :
3689 : /* return exp(z)-1, z complex */
3690 : GEN
3691 5946 : cxexpm1(GEN z, long prec)
3692 : {
3693 5946 : pari_sp av = avma;
3694 5946 : GEN X, Y, x = real_i(z), y = imag_i(z);
3695 5946 : long l = precision(z);
3696 5946 : if (l) prec = l;
3697 5946 : if (typ(x) != t_REAL) x = gtofp(x, prec);
3698 5946 : if (typ(y) != t_REAL) y = gtofp(y, prec);
3699 5946 : if (gequal0(y)) return mpexpm1(x);
3700 5890 : if (gequal0(x)) return expm1_Ir(y);
3701 5757 : X = mpexpm1(x); /* t_REAL */
3702 5757 : Y = expm1_Ir(y);
3703 : /* exp(x+iy) - 1 = (exp(x)-1)(exp(iy)-1) + exp(x)-1 + exp(iy)-1 */
3704 5757 : return gerepileupto(av, gadd(gadd(X,Y), gmul(X,Y)));
3705 : }
3706 :
3707 : void
3708 3299604 : gsincos(GEN x, GEN *s, GEN *c, long prec)
3709 : {
3710 : long i, j, ex, ex2, lx, ly, mi;
3711 : pari_sp av, tetpil;
3712 : GEN y, r, u, v, u1, v1, p1, p2, p3, p4, ps, pc;
3713 : GEN *gptr[4];
3714 :
3715 3299604 : switch(typ(x))
3716 : {
3717 6950 : case t_INT: case t_FRAC:
3718 6950 : *s = cgetr(prec);
3719 6947 : *c = cgetr(prec); av = avma;
3720 6947 : mpsincos(tofp_safe(x, prec), &ps, &pc);
3721 6946 : affrr_fixlg(ps,*s);
3722 3299808 : affrr_fixlg(pc,*c); set_avma(av); return;
3723 :
3724 3288089 : case t_REAL:
3725 3288089 : mpsincos(x,s,c); return;
3726 :
3727 4130 : case t_COMPLEX:
3728 4130 : i = precision(x); if (i) prec = i;
3729 4130 : ps = cgetc(prec); *s = ps;
3730 4130 : pc = cgetc(prec); *c = pc; av = avma;
3731 4130 : r = gexp(gel(x,2),prec);
3732 4130 : v1 = gmul2n(addrr(invr(r),r), -1); /* = cos(I*Im(x)) */
3733 4130 : u1 = subrr(r, v1); /* = I*sin(I*Im(x)) */
3734 4130 : gsincos(gel(x,1), &u,&v, prec);
3735 4130 : affrr_fixlg(mulrr(v1,u), gel(ps,1));
3736 4130 : affrr_fixlg(mulrr(u1,v), gel(ps,2));
3737 4130 : affrr_fixlg(mulrr(v1,v), gel(pc,1));
3738 4130 : affrr_fixlg(mulrr(u1,u), gel(pc,2)); togglesign(gel(pc,2));
3739 4130 : set_avma(av); return;
3740 :
3741 0 : case t_QUAD:
3742 0 : av = avma; gsincos(quadtofp(x, prec), s, c, prec);
3743 0 : gerepileall(av, 2, s, c); return;
3744 :
3745 435 : default:
3746 435 : av = avma; if (!(y = toser_i(x))) break;
3747 504 : if (gequal0(y)) { *s = gerepilecopy(av,y); *c = gaddsg(1,*s); return; }
3748 :
3749 504 : ex = valser(y); lx = lg(y); ex2 = 2*ex+2;
3750 504 : if (ex < 0) pari_err_DOMAIN("gsincos","valuation", "<", gen_0, x);
3751 504 : if (ex2 > lx)
3752 : {
3753 98 : *s = x == y? gcopy(y): gerepilecopy(av, y); av = avma;
3754 98 : *c = gerepileupto(av, gsubsg(1, gdivgu(gsqr(y),2)));
3755 98 : return;
3756 : }
3757 406 : if (!ex)
3758 : {
3759 105 : gsincos(serchop0(y),&u,&v,prec);
3760 105 : gsincos(gel(y,2),&u1,&v1,prec);
3761 105 : p1 = gmul(v1,v);
3762 105 : p2 = gmul(u1,u);
3763 105 : p3 = gmul(v1,u);
3764 105 : p4 = gmul(u1,v); tetpil = avma;
3765 105 : *c = gsub(p1,p2);
3766 105 : *s = gadd(p3,p4);
3767 105 : gptr[0]=s; gptr[1]=c;
3768 105 : gerepilemanysp(av,tetpil,gptr,2);
3769 105 : return;
3770 : }
3771 :
3772 301 : ly = lx+2*ex;
3773 2842 : mi = lx-1; while (mi>=3 && isrationalzero(gel(y,mi))) mi--;
3774 301 : mi += ex-2;
3775 301 : pc = cgetg(ly,t_SER); *c = pc;
3776 301 : ps = cgetg(lx,t_SER); *s = ps;
3777 301 : pc[1] = evalsigne(1) | _evalvalser(0) | evalvarn(varn(y));
3778 301 : gel(pc,2) = gen_1; ps[1] = y[1];
3779 609 : for (i=2; i<ex+2; i++) gel(ps,i) = gcopy(gel(y,i));
3780 616 : for (i=3; i< ex2; i++) gel(pc,i) = gen_0;
3781 3339 : for (i=ex2; i<ly; i++)
3782 : {
3783 3038 : long ii = i-ex;
3784 3038 : av = avma; p1 = gen_0;
3785 7028 : for (j=ex; j<=minss(ii-2,mi); j++)
3786 3990 : p1 = gadd(p1, gmulgu(gmul(gel(y,j-ex+2),gel(ps,ii-j)),j));
3787 3038 : gel(pc,i) = gerepileupto(av, gdivgs(p1,2-i));
3788 3038 : if (ii < lx)
3789 : {
3790 2730 : av = avma; p1 = gen_0;
3791 5796 : for (j=ex; j<=minss(i-ex2,mi); j++)
3792 3066 : p1 = gadd(p1,gmulgu(gmul(gel(y,j-ex+2),gel(pc,i-j)),j));
3793 2730 : p1 = gdivgu(p1,i-2);
3794 2730 : gel(ps,ii) = gerepileupto(av, gadd(p1,gel(y,ii)));
3795 : }
3796 : }
3797 301 : return;
3798 : }
3799 0 : pari_err_TYPE("gsincos",x);
3800 : }
3801 :
3802 : /********************************************************************/
3803 : /** **/
3804 : /** SINC **/
3805 : /** **/
3806 : /********************************************************************/
3807 : static GEN
3808 2428754 : mpsinc(GEN x)
3809 : {
3810 2428754 : pari_sp av = avma;
3811 : GEN s, c;
3812 :
3813 2428754 : if (!signe(x)) {
3814 0 : long l = nbits2prec(-expo(x));
3815 0 : if (l < LOWDEFAULTPREC) l = LOWDEFAULTPREC;
3816 0 : return real_1(l);
3817 : }
3818 :
3819 2428754 : mpsincos(x,&s,&c);
3820 2428754 : return gerepileuptoleaf(av, divrr(s,x));
3821 : }
3822 :
3823 : GEN
3824 2428866 : gsinc(GEN x, long prec)
3825 : {
3826 : pari_sp av;
3827 : GEN r, u, v, y, u1, v1;
3828 : long i;
3829 :
3830 2428866 : switch(typ(x))
3831 : {
3832 2428733 : case t_REAL: return mpsinc(x);
3833 49 : case t_COMPLEX:
3834 49 : if (isintzero(gel(x,1)))
3835 : {
3836 28 : av = avma; x = gel(x,2);
3837 28 : if (gequal0(x)) return gcosh(x,prec);
3838 14 : return gerepileuptoleaf(av,gdiv(gsinh(x,prec),x));
3839 : }
3840 21 : i = precision(x); if (i) prec = i;
3841 21 : y = cgetc(prec); av = avma;
3842 21 : r = gexp(gel(x,2),prec);
3843 21 : v1 = gmul2n(addrr(invr(r),r), -1); /* = cos(I*Im(x)) */
3844 21 : u1 = subrr(r, v1); /* = I*sin(I*Im(x)) */
3845 21 : gsincos(gel(x,1),&u,&v,prec);
3846 21 : affc_fixlg(gdiv(mkcomplex(gmul(v1,u), gmul(u1,v)), x), y);
3847 21 : return gc_const(av,y);
3848 :
3849 14 : case t_INT:
3850 14 : if (!signe(x)) return real_1(prec); /*fall through*/
3851 : case t_FRAC:
3852 21 : y = cgetr(prec); av = avma;
3853 21 : affrr_fixlg(mpsinc(tofp_safe(x,prec)), y); return gc_const(av,y);
3854 :
3855 21 : case t_PADIC:
3856 21 : if (gequal0(x)) return cvtop(gen_1, gel(x,2), valp(x));
3857 14 : av = avma; y = sin_p(x);
3858 14 : if (!y) pari_err_DOMAIN("gsinc(t_PADIC)","argument","",gen_0,x);
3859 7 : return gerepileupto(av,gdiv(y,x));
3860 :
3861 35 : default:
3862 : {
3863 : long ex;
3864 35 : av = avma; if (!(y = toser_i(x))) break;
3865 35 : if (gequal0(y)) return gerepileupto(av, gaddsg(1,y));
3866 35 : ex = valser(y);
3867 35 : if (ex < 0) pari_err_DOMAIN("sinc","valuation", "<", gen_0, x);
3868 28 : if (ex)
3869 : {
3870 28 : gsincos(y,&u,&v,prec);
3871 28 : y = gerepileupto(av, gdiv(u,y));
3872 28 : if (lg(y) > 2) gel(y,2) = gen_1;
3873 28 : return y;
3874 : }
3875 : else
3876 : {
3877 0 : GEN z0, y0 = gel(y,2), y1 = serchop0(y), y10 = y1;
3878 0 : if (!gequal1(y0)) y10 = gdiv(y10, y0);
3879 0 : gsincos(y1,&u,&v,prec);
3880 0 : z0 = gdiv(gcos(y0,prec), y0);
3881 0 : y = gaddsg(1, y10);
3882 0 : u = gadd(gmul(gsinc(y0, prec),v), gmul(z0, u));
3883 0 : return gerepileupto(av,gdiv(u,y));
3884 : }
3885 : }
3886 : }
3887 0 : return trans_eval("sinc",gsinc,x,prec);
3888 : }
3889 :
3890 : /********************************************************************/
3891 : /** **/
3892 : /** TANGENT and COTANGENT **/
3893 : /** **/
3894 : /********************************************************************/
3895 : static GEN
3896 133 : mptan(GEN x)
3897 : {
3898 133 : pari_sp av = avma;
3899 : GEN s, c;
3900 :
3901 133 : mpsincos(x,&s,&c);
3902 133 : if (!signe(c))
3903 0 : pari_err_DOMAIN("tan", "argument", "=", strtoGENstr("Pi/2 + kPi"),x);
3904 133 : return gerepileuptoleaf(av, divrr(s,c));
3905 : }
3906 :
3907 : /* If exp(-|im(x)|) << 1, avoid overflow in sincos(x) */
3908 : static int
3909 4018 : tan_huge_im(GEN ix, long prec)
3910 : {
3911 4018 : long b, p = precision(ix);
3912 4018 : if (!p) p = prec;
3913 4018 : b = bit_accuracy(p);
3914 4018 : return (gexpo(ix) > b || fabs(gtodouble(ix)) > (M_LN2 / 2) * b);
3915 : }
3916 : /* \pm I */
3917 : static GEN
3918 35 : real_I(long s, long prec)
3919 : {
3920 35 : GEN z = cgetg(3, t_COMPLEX);
3921 35 : gel(z,1) = real_0(prec);
3922 35 : gel(z,2) = s > 0? real_1(prec): real_m1(prec); return z;
3923 : }
3924 :
3925 : GEN
3926 217 : gtan(GEN x, long prec)
3927 : {
3928 : pari_sp av;
3929 : GEN y, s, c;
3930 :
3931 217 : switch(typ(x))
3932 : {
3933 126 : case t_REAL: return mptan(x);
3934 :
3935 42 : case t_COMPLEX: {
3936 42 : if (isintzero(gel(x,1))) retmkcomplex(gen_0,gtanh(gel(x,2),prec));
3937 28 : if (tan_huge_im(gel(x,2), prec)) return real_I(gsigne(gel(x,2)), prec);
3938 14 : av = avma; y = mulcxmI(gtanh(mulcxI(x), prec)); /* tan x = -I th(I x) */
3939 14 : gel(y,1) = gcopy(gel(y,1)); return gerepileupto(av, y);
3940 : }
3941 7 : case t_INT: case t_FRAC:
3942 7 : y = cgetr(prec); av = avma;
3943 7 : affrr_fixlg(mptan(tofp_safe(x,prec)), y); return gc_const(av,y);
3944 :
3945 14 : case t_PADIC:
3946 14 : av = avma;
3947 14 : return gerepileupto(av, gdiv(gsin(x,prec), gcos(x,prec)));
3948 :
3949 28 : default:
3950 28 : av = avma; if (!(y = toser_i(x))) break;
3951 21 : if (gequal0(y)) return gerepilecopy(av, y);
3952 21 : if (valser(y) < 0)
3953 7 : pari_err_DOMAIN("tan","valuation", "<", gen_0, x);
3954 14 : gsincos(y,&s,&c,prec);
3955 14 : return gerepileupto(av, gdiv(s,c));
3956 : }
3957 7 : return trans_eval("tan",gtan,x,prec);
3958 : }
3959 :
3960 : static GEN
3961 63 : mpcotan(GEN x)
3962 : {
3963 63 : pari_sp av=avma, tetpil;
3964 : GEN s,c;
3965 :
3966 63 : mpsincos(x,&s,&c); tetpil=avma;
3967 63 : return gerepile(av,tetpil,divrr(c,s));
3968 : }
3969 :
3970 : GEN
3971 4200 : gcotan(GEN x, long prec)
3972 : {
3973 : pari_sp av;
3974 : GEN y, s, c;
3975 :
3976 4200 : switch(typ(x))
3977 : {
3978 56 : case t_REAL:
3979 56 : return mpcotan(x);
3980 :
3981 4011 : case t_COMPLEX:
3982 4011 : if (isintzero(gel(x,1))) {
3983 21 : GEN z = cgetg(3, t_COMPLEX);
3984 21 : gel(z,1) = gen_0; av = avma;
3985 21 : gel(z,2) = gerepileupto(av, gneg(ginv(gtanh(gel(x,2),prec))));
3986 21 : return z;
3987 : }
3988 3990 : if (tan_huge_im(gel(x,2), prec)) return real_I(-gsigne(gel(x,2)), prec);
3989 3969 : av = avma; gsincos(x,&s,&c,prec);
3990 3969 : return gerepileupto(av, gdiv(c,s));
3991 :
3992 7 : case t_INT: case t_FRAC:
3993 7 : y = cgetr(prec); av = avma;
3994 7 : affrr_fixlg(mpcotan(tofp_safe(x,prec)), y); return gc_const(av,y);
3995 :
3996 14 : case t_PADIC:
3997 14 : av = avma;
3998 14 : return gerepileupto(av, gdiv(gcos(x,prec), gsin(x,prec)));
3999 :
4000 112 : default:
4001 112 : av = avma; if (!(y = toser_i(x))) break;
4002 105 : if (gequal0(y)) pari_err_DOMAIN("cotan", "argument", "=", gen_0, y);
4003 105 : if (valser(y) < 0) pari_err_DOMAIN("cotan","valuation", "<", gen_0, x);
4004 98 : gsincos(y,&s,&c,prec);
4005 98 : return gerepileupto(av, gdiv(c,s));
4006 : }
4007 7 : return trans_eval("cotan",gcotan,x,prec);
4008 : }
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