Line data Source code
1 : /* Copyright (C) 2000 The PARI group.
2 :
3 : This file is part of the PARI/GP package.
4 :
5 : PARI/GP is free software; you can redistribute it and/or modify it under the
6 : terms of the GNU General Public License as published by the Free Software
7 : Foundation; either version 2 of the License, or (at your option) any later
8 : version. It is distributed in the hope that it will be useful, but WITHOUT
9 : ANY WARRANTY WHATSOEVER.
10 :
11 : Check the License for details. You should have received a copy of it, along
12 : with the package; see the file 'COPYING'. If not, write to the Free Software
13 : Foundation, Inc., 51 Franklin Street, Fifth Floor, Boston, MA 02110-1301 USA. */
14 :
15 : /********************************************************************/
16 : /** **/
17 : /** TRANSCENDENTAL FUNCTIONS **/
18 : /** **/
19 : /********************************************************************/
20 : #include "pari.h"
21 : #include "paripriv.h"
22 :
23 : #define DEBUGLEVEL DEBUGLEVEL_trans
24 :
25 : #ifdef LONG_IS_64BIT
26 : static const long SQRTVERYBIGINT = 3037000500L; /* ceil(sqrt(LONG_MAX)) */
27 : #else
28 : static const long SQRTVERYBIGINT = 46341L;
29 : #endif
30 :
31 : static THREAD GEN gcatalan, geuler, glog2, gpi;
32 : void
33 349732 : pari_init_floats(void)
34 : {
35 349732 : gcatalan = geuler = gpi = zetazone = bernzone = glog2 = eulerzone = NULL;
36 349732 : }
37 :
38 : void
39 347903 : pari_close_floats(void)
40 : {
41 347903 : guncloneNULL(gcatalan);
42 346965 : guncloneNULL(geuler);
43 345903 : guncloneNULL(gpi);
44 345763 : guncloneNULL(glog2);
45 345613 : guncloneNULL(zetazone);
46 345487 : guncloneNULL_deep(bernzone);
47 345488 : guncloneNULL_deep(eulerzone);
48 345336 : }
49 :
50 : /********************************************************************/
51 : /** GENERIC BINARY SPLITTING **/
52 : /** (Haible, Papanikolaou) **/
53 : /********************************************************************/
54 : void
55 274287 : abpq_init(struct abpq *A, long n)
56 : {
57 274287 : A->a = (GEN*)new_chunk(n+1);
58 274403 : A->b = (GEN*)new_chunk(n+1);
59 274515 : A->p = (GEN*)new_chunk(n+1);
60 274537 : A->q = (GEN*)new_chunk(n+1);
61 274557 : }
62 : static GEN
63 20162954 : mulii3(GEN a, GEN b, GEN c) { return mulii(mulii(a,b),c); }
64 :
65 : /* T_{n1,n1+1} */
66 : static GEN
67 4302119 : T2(struct abpq *A, long n1)
68 : {
69 4302119 : GEN u = mulii3(A->a[n1], A->b[n1+1], A->q[n1+1]);
70 4302048 : GEN v = mulii3(A->b[n1], A->a[n1+1], A->p[n1+1]);
71 4301644 : return mulii(A->p[n1], addii(u, v));
72 : }
73 :
74 : /* assume n2 > n1. Compute sum_{n1 <= n < n2} a/b(n) p/q(n1)... p/q(n) */
75 : void
76 8371963 : abpq_sum(struct abpq_res *r, long n1, long n2, struct abpq *A)
77 : {
78 : struct abpq_res L, R;
79 : GEN u1, u2;
80 : pari_sp av;
81 : long n;
82 8371963 : switch(n2 - n1)
83 : {
84 : GEN b, q;
85 59 : case 1:
86 59 : r->P = A->p[n1];
87 59 : r->Q = A->q[n1];
88 59 : r->B = A->b[n1];
89 59 : r->T = mulii(A->a[n1], A->p[n1]);
90 4313143 : return;
91 2424564 : case 2:
92 2424564 : r->P = mulii(A->p[n1], A->p[n1+1]);
93 2416096 : r->Q = mulii(A->q[n1], A->q[n1+1]);
94 2415538 : r->B = mulii(A->b[n1], A->b[n1+1]);
95 2415393 : av = avma;
96 2415393 : r->T = gerepileuptoint(av, T2(A, n1));
97 2419716 : return;
98 :
99 1903055 : case 3:
100 1903055 : q = mulii(A->q[n1+1], A->q[n1+2]);
101 1900019 : b = mulii(A->b[n1+1], A->b[n1+2]);
102 1899840 : r->P = mulii3(A->p[n1], A->p[n1+1], A->p[n1+2]);
103 1899667 : r->Q = mulii(A->q[n1], q);
104 1899861 : r->B = mulii(A->b[n1], b);
105 1899875 : av = avma;
106 1899875 : u1 = mulii3(b, q, A->a[n1]);
107 1899615 : u2 = mulii(A->b[n1], T2(A, n1+1));
108 1899777 : r->T = gerepileuptoint(av, mulii(A->p[n1], addii(u1, u2)));
109 1893368 : return;
110 : }
111 :
112 4044285 : av = avma;
113 4044285 : n = (n1 + n2) >> 1;
114 4044285 : abpq_sum(&L, n1, n, A);
115 4048250 : abpq_sum(&R, n, n2, A);
116 :
117 4049332 : r->P = mulii(L.P, R.P);
118 4035842 : r->Q = mulii(L.Q, R.Q);
119 4037320 : r->B = mulii(L.B, R.B);
120 4035142 : u1 = mulii3(R.B, R.Q, L.T);
121 4035643 : u2 = mulii3(L.B, L.P, R.T);
122 4034238 : r->T = addii(u1,u2);
123 4035874 : set_avma(av);
124 4037257 : r->P = icopy(r->P);
125 4048217 : r->Q = icopy(r->Q);
126 4051532 : r->B = icopy(r->B);
127 4051835 : r->T = icopy(r->T);
128 : }
129 :
130 : /********************************************************************/
131 : /** **/
132 : /** PI **/
133 : /** **/
134 : /********************************************************************/
135 : /* replace *old clone by c. Protect against SIGINT */
136 : static void
137 78030 : swap_clone(GEN *old, GEN c)
138 78030 : { GEN tmp = *old; *old = c; guncloneNULL(tmp); }
139 :
140 : /* ----
141 : * 53360 (640320)^(1/2) \ (6n)! (545140134 n + 13591409)
142 : * -------------------- = / ------------------------------
143 : * Pi ---- (n!)^3 (3n)! (-640320)^(3n)
144 : * n>=0
145 : *
146 : * Ramanujan's formula + binary splitting */
147 : static GEN
148 38322 : pi_ramanujan(long prec)
149 : {
150 38322 : const ulong B = 545140134, A = 13591409, C = 640320;
151 38322 : const double alpha2 = 47.11041314; /* 3log(C/12) / log(2) */
152 : long n, nmax, prec2;
153 : struct abpq_res R;
154 : struct abpq S;
155 : GEN D, u;
156 :
157 38322 : nmax = (long)(1 + prec2nbits(prec)/alpha2);
158 : #ifdef LONG_IS_64BIT
159 37806 : D = utoipos(10939058860032000UL); /* C^3/24 */
160 : #else
161 514 : D = uutoi(2546948UL,495419392UL);
162 : #endif
163 38321 : abpq_init(&S, nmax);
164 38327 : S.a[0] = utoipos(A);
165 38325 : S.b[0] = S.p[0] = S.q[0] = gen_1;
166 311498 : for (n = 1; n <= nmax; n++)
167 : {
168 273209 : S.a[n] = addiu(muluu(B, n), A);
169 273092 : S.b[n] = gen_1;
170 273092 : S.p[n] = mulis(muluu(6*n-5, 2*n-1), 1-6*n);
171 273130 : S.q[n] = mulii(sqru(n), muliu(D,n));
172 : }
173 38289 : abpq_sum(&R, 0, nmax, &S); prec2 = prec+EXTRAPREC64;
174 38316 : u = itor(muliu(R.Q,C/12), prec2);
175 38312 : return rtor(mulrr(divri(u, R.T), sqrtr_abs(utor(C,prec2))), prec);
176 : }
177 :
178 : #if 0 /* Much slower than binary splitting at least up to prec = 10^8 */
179 : /* Gauss - Brent-Salamin AGM iteration */
180 : static GEN
181 : pi_brent_salamin(long prec)
182 : {
183 : GEN A, B, C;
184 : pari_sp av2;
185 : long i, G;
186 :
187 : G = - prec2nbits(prec);
188 : incrprec(prec);
189 :
190 : A = real2n(-1, prec);
191 : B = sqrtr_abs(A); /* = 1/sqrt(2) */
192 : setexpo(A, 0);
193 : C = real2n(-2, prec); av2 = avma;
194 : for (i = 0;; i++)
195 : {
196 : GEN y, a, b, B_A = subrr(B, A);
197 : pari_sp av3 = avma;
198 : if (expo(B_A) < G) break;
199 : a = addrr(A,B); shiftr_inplace(a, -1);
200 : b = mulrr(A,B);
201 : affrr(a, A);
202 : affrr(sqrtr_abs(b), B); set_avma(av3);
203 : y = sqrr(B_A); shiftr_inplace(y, i - 2);
204 : affrr(subrr(C, y), C); set_avma(av2);
205 : }
206 : shiftr_inplace(C, 2);
207 : return divrr(sqrr(addrr(A,B)), C);
208 : }
209 : #endif
210 :
211 : GEN
212 34581406 : constpi(long prec)
213 : {
214 : pari_sp av;
215 : GEN tmp;
216 34581406 : if (gpi && realprec(gpi) >= prec) return gpi;
217 :
218 38181 : av = avma;
219 38181 : tmp = gclone(pi_ramanujan(prec));
220 38325 : swap_clone(&gpi,tmp);
221 38331 : return gc_const(av, gpi);
222 : }
223 :
224 : GEN
225 34581380 : mppi(long prec) { return rtor(constpi(prec), prec); }
226 :
227 : /* Pi * 2^n */
228 : GEN
229 21201367 : Pi2n(long n, long prec)
230 : {
231 21201367 : GEN x = mppi(prec); shiftr_inplace(x, n);
232 21201389 : return x;
233 : }
234 :
235 : /* I * Pi * 2^n */
236 : GEN
237 262235 : PiI2n(long n, long prec) { retmkcomplex(gen_0, Pi2n(n, prec)); }
238 :
239 : /* 2I * Pi */
240 : GEN
241 261346 : PiI2(long prec) { return PiI2n(1, prec); }
242 :
243 : /********************************************************************/
244 : /** **/
245 : /** EULER CONSTANT **/
246 : /** **/
247 : /********************************************************************/
248 :
249 : GEN
250 57530 : consteuler(long prec)
251 : {
252 : GEN u,v,a,b,tmpeuler;
253 : long l, n1, n, k, x;
254 : pari_sp av1, av2;
255 :
256 57530 : if (geuler && realprec(geuler) >= prec) return geuler;
257 :
258 511 : av1 = avma; tmpeuler = cgetr_block(prec);
259 :
260 511 : incrprec(prec);
261 :
262 511 : l = prec+EXTRAPREC64; x = (long) (1 + prec2nbits_mul(l, M_LN2/4));
263 511 : a = utor(x,l); u=logr_abs(a); setsigne(u,-1); affrr(u,a);
264 511 : b = real_1(l);
265 511 : v = real_1(l);
266 511 : n = (long)(1+3.591*x); /* z=3.591: z*[ ln(z)-1 ]=1 */
267 511 : n1 = minss(n, SQRTVERYBIGINT);
268 511 : if (x < SQRTVERYBIGINT)
269 : {
270 511 : ulong xx = x*x;
271 511 : av2 = avma;
272 166237 : for (k=1; k<n1; k++)
273 : {
274 165726 : affrr(divru(mulur(xx,b),k*k), b);
275 165735 : affrr(divru(addrr(divru(mulur(xx,a),k),b),k), a);
276 165757 : affrr(addrr(u,a), u);
277 165686 : affrr(addrr(v,b), v); set_avma(av2);
278 : }
279 1022 : for ( ; k<=n; k++)
280 : {
281 511 : affrr(divru(divru(mulur(xx,b),k),k), b);
282 511 : affrr(divru(addrr(divru(mulur(xx,a),k),b),k), a);
283 511 : affrr(addrr(u,a), u);
284 511 : affrr(addrr(v,b), v); set_avma(av2);
285 : }
286 : }
287 : else
288 : {
289 0 : GEN xx = sqru(x);
290 0 : av2 = avma;
291 0 : for (k=1; k<n1; k++)
292 : {
293 0 : affrr(divru(mulir(xx,b),k*k), b);
294 0 : affrr(divru(addrr(divru(mulir(xx,a),k),b),k), a);
295 0 : affrr(addrr(u,a), u);
296 0 : affrr(addrr(v,b), v); set_avma(av2);
297 : }
298 0 : for ( ; k<=n; k++)
299 : {
300 0 : affrr(divru(divru(mulir(xx,b),k),k), b);
301 0 : affrr(divru(addrr(divru(mulir(xx,a),k),b),k), a);
302 0 : affrr(addrr(u,a), u);
303 0 : affrr(addrr(v,b), v); set_avma(av2);
304 : }
305 : }
306 511 : divrrz(u,v,tmpeuler);
307 511 : swap_clone(&geuler,tmpeuler);
308 511 : return gc_const(av1, geuler);
309 : }
310 :
311 : GEN
312 57530 : mpeuler(long prec) { return rtor(consteuler(prec), prec); }
313 :
314 : /********************************************************************/
315 : /** **/
316 : /** CATALAN CONSTANT **/
317 : /** **/
318 : /********************************************************************/
319 : /* inf 256^i (580i^2 - 184i + 15) (2i)!^3 (3i)!^2
320 : * 64 G = SUM ------------------------------------------
321 : * i=1 i^3 (2i-1) (6i)!^2 */
322 : static GEN
323 14 : catalan(long prec)
324 : {
325 14 : long i, nmax = 1 + prec2nbits(prec) / 7.509; /* / log2(729/4) */
326 : struct abpq_res R;
327 : struct abpq A;
328 : GEN u;
329 14 : abpq_init(&A, nmax);
330 14 : A.a[0] = gen_0; A.b[0] = A.p[0] = A.q[0] = gen_1;
331 1750 : for (i = 1; i <= nmax; i++)
332 : {
333 1736 : A.a[i] = addiu(muluu(580*i - 184, i), 15);
334 1736 : A.b[i] = muliu(powuu(i, 3), 2*i - 1);
335 1736 : A.p[i] = mului(64*i-32, powuu(i,3));
336 1736 : A.q[i] = sqri(muluu(6*i - 1, 18*i - 15));
337 : }
338 14 : abpq_sum(&R, 0, nmax, &A);
339 14 : u = rdivii(R.T, mulii(R.B,R.Q),prec);
340 14 : shiftr_inplace(u, -6); return u;
341 : }
342 :
343 : GEN
344 14 : constcatalan(long prec)
345 : {
346 14 : pari_sp av = avma;
347 : GEN tmp;
348 14 : if (gcatalan && realprec(gcatalan) >= prec) return gcatalan;
349 14 : tmp = gclone(catalan(prec));
350 14 : swap_clone(&gcatalan,tmp);
351 14 : return gc_const(av, gcatalan);
352 : }
353 :
354 : GEN
355 14 : mpcatalan(long prec) { return rtor(constcatalan(prec), prec); }
356 :
357 : /********************************************************************/
358 : /** **/
359 : /** TYPE CONVERSION FOR TRANSCENDENTAL FUNCTIONS **/
360 : /** **/
361 : /********************************************************************/
362 : static GEN
363 2012908 : transvec(GEN (*f)(GEN,long), GEN x, long prec)
364 6549903 : { pari_APPLY_same(f(gel(x,i), prec)); }
365 : static GEN
366 329 : transvecgen(void *E, GEN (*f)(void *,GEN,long), GEN x, long prec)
367 735 : { pari_APPLY_same(f(E, gel(x,i), prec)); }
368 :
369 : GEN
370 3901630 : trans_eval(const char *fun, GEN (*f)(GEN,long), GEN x, long prec)
371 : {
372 3901630 : pari_sp av = avma;
373 3901630 : if (prec < LOWDEFAULTPREC) pari_err_BUG("trans_eval [prec < 3]");
374 3901644 : switch(typ(x))
375 : {
376 1641494 : case t_INT: x = f(itor(x,prec),prec); break;
377 247186 : case t_FRAC: x = f(fractor(x, prec),prec); break;
378 7 : case t_QUAD: x = f(quadtofp(x,prec),prec); break;
379 14 : case t_POLMOD: x = transvec(f, polmod_to_embed(x,prec), prec); break;
380 2012894 : case t_VEC:
381 : case t_COL:
382 2012894 : case t_MAT: return transvec(f, x, prec);
383 49 : default: pari_err_TYPE(fun,x);
384 : return NULL;/*LCOV_EXCL_LINE*/
385 : }
386 1888677 : return gerepileupto(av, x);
387 : }
388 :
389 : GEN
390 1883 : trans_evalgen(const char *fun, void *E, GEN (*f)(void*,GEN,long),
391 : GEN x, long prec)
392 : {
393 1883 : pari_sp av = avma;
394 1883 : if (prec < LOWDEFAULTPREC) pari_err_BUG("trans_eval [prec < 3]");
395 1883 : switch(typ(x))
396 : {
397 273 : case t_INT: x = f(E, itor(x,prec),prec); break;
398 1246 : case t_FRAC: x = f(E, fractor(x, prec),prec); break;
399 0 : case t_QUAD: x = f(E, quadtofp(x,prec),prec); break;
400 70 : case t_POLMOD: x = transvecgen(E, f, polmod_to_embed(x,prec), prec); break;
401 259 : case t_VEC:
402 : case t_COL:
403 259 : case t_MAT: return transvecgen(E, f, x, prec);
404 35 : default: pari_err_TYPE(fun,x);
405 : return NULL;/*LCOV_EXCL_LINE*/
406 : }
407 1589 : return gerepileupto(av, x);
408 : }
409 :
410 : /*******************************************************************/
411 : /* */
412 : /* POWERING */
413 : /* */
414 : /*******************************************************************/
415 : /* x a t_REAL 0, return exp(x) */
416 : static GEN
417 140092 : mpexp0(GEN x)
418 : {
419 140092 : long e = expo(x);
420 140092 : return e >= 0? real_0_bit(e): real_1_bit(-e);
421 : }
422 : static GEN
423 21056 : powr0(GEN x)
424 21056 : { return signe(x)? real_1(realprec(x)): mpexp0(x); }
425 :
426 : /* assume typ(x) = t_VEC */
427 : static int
428 49 : is_ext_qfr(GEN x)
429 35 : { return lg(x) == 3 && typ(gel(x,1)) == t_QFB && !qfb_is_qfi(gel(x,1))
430 84 : && typ(gel(x,2)) == t_REAL; }
431 :
432 : /* x t_POL or t_SER, return scalarpol(Rg_get_1(x)) */
433 : static GEN
434 370292 : scalarpol_get_1(GEN x)
435 : {
436 370292 : GEN y = cgetg(3,t_POL);
437 370292 : y[1] = evalvarn(varn(x)) | evalsigne(1);
438 370292 : gel(y,2) = Rg_get_1(x); return y;
439 : }
440 : /* to be called by the generic function gpowgs(x,s) when s = 0 */
441 : static GEN
442 1586877 : gpowg0(GEN x)
443 : {
444 : long lx, i;
445 : GEN y;
446 :
447 1586877 : switch(typ(x))
448 : {
449 1172624 : case t_INT: case t_REAL: case t_FRAC: case t_PADIC:
450 1172624 : return gen_1;
451 :
452 7 : case t_QUAD: x++; /*fall through*/
453 37902 : case t_COMPLEX: {
454 37902 : pari_sp av = avma;
455 37902 : GEN a = gpowg0(gel(x,1));
456 37902 : GEN b = gpowg0(gel(x,2));
457 37902 : if (a == gen_1) return b;
458 14 : if (b == gen_1) return a;
459 7 : return gerepileupto(av, gmul(a,b));
460 : }
461 133 : case t_INTMOD:
462 133 : y = cgetg(3,t_INTMOD);
463 133 : gel(y,1) = icopy(gel(x,1));
464 133 : gel(y,2) = is_pm1(gel(x,1))? gen_0: gen_1;
465 133 : return y;
466 :
467 5754 : case t_FFELT: return FF_1(x);
468 :
469 973 : case t_POLMOD:
470 973 : retmkpolmod(scalarpol_get_1(gel(x,1)), gcopy(gel(x,1)));
471 :
472 7 : case t_RFRAC:
473 7 : return scalarpol_get_1(gel(x,2));
474 369312 : case t_POL: case t_SER:
475 369312 : return scalarpol_get_1(x);
476 :
477 84 : case t_MAT:
478 84 : lx=lg(x); if (lx==1) return cgetg(1,t_MAT);
479 77 : if (lx != lgcols(x)) pari_err_DIM("gpow");
480 77 : y = matid(lx-1);
481 252 : for (i=1; i<lx; i++) gcoeff(y,i,i) = gpowg0(gcoeff(x,i,i));
482 77 : return y;
483 21 : case t_VEC: if (!is_ext_qfr(x)) break;
484 : /* fall through handle extended t_QFB */
485 28 : case t_QFB: return qfbpow(x, gen_0);
486 49 : case t_VECSMALL: return identity_perm(lg(x) - 1);
487 : }
488 12 : pari_err_TYPE("gpow",x);
489 : return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
490 : }
491 :
492 : static GEN
493 5709086 : _sqr(void *data /* ignored */, GEN x) { (void)data; return gsqr(x); }
494 : static GEN
495 3506856 : _mul(void *data /* ignored */, GEN x, GEN y) { (void)data; return gmul(x,y); }
496 : static GEN
497 331931 : _one(void *x) { return gpowg0((GEN) x); }
498 : static GEN
499 81914030 : _sqri(void *data /* ignored */, GEN x) { (void)data; return sqri(x); }
500 : static GEN
501 30005440 : _muli(void *data /* ignored */, GEN x, GEN y) { (void)data; return mulii(x,y); }
502 : static GEN
503 16054375 : _sqrr(void *data /* ignored */, GEN x) { (void)data; return sqrr(x); }
504 : static GEN
505 7085736 : _mulr(void *data /* ignored */, GEN x, GEN y) { (void)data; return mulrr(x,y); }
506 : static GEN
507 13755 : _oner(void *data /* prec */) { return real_1( *(long*) data); }
508 :
509 : /* INTEGER POWERING (a^n for integer a != 0 and integer n > 0)
510 : *
511 : * Use left shift binary algorithm (RS is wasteful: multiplies big numbers,
512 : * with LS one of them is the base, hence small). Sign of result is set
513 : * to s (= 1,-1). Makes life easier for caller, which otherwise might do a
514 : * setsigne(gen_1 / gen_m1) */
515 : static GEN
516 96815273 : powiu_sign(GEN a, ulong N, long s)
517 : {
518 : pari_sp av;
519 : GEN y;
520 :
521 96815273 : if (lgefint(a) == 3)
522 : { /* easy if |a| < 3 */
523 95282770 : ulong q = a[2];
524 95282770 : if (q == 1) return (s>0)? gen_1: gen_m1;
525 86107712 : if (q == 2) { a = int2u(N); setsigne(a,s); return a; }
526 63547436 : q = upowuu(q, N);
527 63549558 : if (q) return s>0? utoipos(q): utoineg(q);
528 : }
529 32661267 : if (N <= 2) {
530 1821635 : if (N == 2) return sqri(a);
531 20505 : a = icopy(a); setsigne(a,s); return a;
532 : }
533 30839632 : av = avma;
534 30839632 : y = gen_powu_i(a, N, NULL, &_sqri, &_muli);
535 30840023 : setsigne(y,s); return gerepileuptoint(av, y);
536 : }
537 : /* a^n */
538 : GEN
539 96969637 : powiu(GEN a, ulong n)
540 : {
541 : long s;
542 96969637 : if (!n) return gen_1;
543 95709899 : s = signe(a);
544 95709899 : if (!s) return gen_0;
545 95634997 : return powiu_sign(a, n, (s < 0 && odd(n))? -1: 1);
546 : }
547 : GEN
548 21081967 : powis(GEN a, long n)
549 : {
550 : long s;
551 : GEN t, y;
552 21081967 : if (n >= 0) return powiu(a, n);
553 606934 : s = signe(a);
554 606934 : if (!s) pari_err_INV("powis",gen_0);
555 606939 : t = (s < 0 && odd(n))? gen_m1: gen_1;
556 606939 : if (is_pm1(a)) return t;
557 : /* n < 0, |a| > 1 */
558 604538 : y = cgetg(3,t_FRAC);
559 604537 : gel(y,1) = t;
560 604537 : gel(y,2) = powiu_sign(a, -n, 1); /* force denominator > 0 */
561 604529 : return y;
562 : }
563 : GEN
564 46241958 : powuu(ulong p, ulong N)
565 : {
566 : pari_sp av;
567 : ulong pN;
568 : GEN y;
569 46241958 : if (!p) return gen_0;
570 46241881 : if (N <= 2)
571 : {
572 40265777 : if (N == 2) return sqru(p);
573 37981723 : if (N == 1) return utoipos(p);
574 5087101 : return gen_1;
575 : }
576 5976104 : pN = upowuu(p, N);
577 5976241 : if (pN) return utoipos(pN);
578 993636 : if (p == 2) return int2u(N);
579 980189 : av = avma;
580 980189 : y = gen_powu_i(utoipos(p), N, NULL, &_sqri, &_muli);
581 980188 : return gerepileuptoint(av, y);
582 : }
583 :
584 : /* return 0 if overflow */
585 : static ulong
586 19145258 : usqru(ulong p) { return p & HIGHMASK? 0: p*p; }
587 : ulong
588 101099080 : upowuu(ulong p, ulong k)
589 : {
590 : #ifdef LONG_IS_64BIT
591 86789063 : const ulong CUTOFF3 = 2642245;
592 86789063 : const ulong CUTOFF4 = 65535;
593 86789063 : const ulong CUTOFF5 = 7131;
594 86789063 : const ulong CUTOFF6 = 1625;
595 86789063 : const ulong CUTOFF7 = 565;
596 86789063 : const ulong CUTOFF8 = 255;
597 86789063 : const ulong CUTOFF9 = 138;
598 86789063 : const ulong CUTOFF10 = 84;
599 86789063 : const ulong CUTOFF11 = 56;
600 86789063 : const ulong CUTOFF12 = 40;
601 86789063 : const ulong CUTOFF13 = 30;
602 86789063 : const ulong CUTOFF14 = 23;
603 86789063 : const ulong CUTOFF15 = 19;
604 86789063 : const ulong CUTOFF16 = 15;
605 86789063 : const ulong CUTOFF17 = 13;
606 86789063 : const ulong CUTOFF18 = 11;
607 86789063 : const ulong CUTOFF19 = 10;
608 86789063 : const ulong CUTOFF20 = 9;
609 : #else
610 14310017 : const ulong CUTOFF3 = 1625;
611 14310017 : const ulong CUTOFF4 = 255;
612 14310017 : const ulong CUTOFF5 = 84;
613 14310017 : const ulong CUTOFF6 = 40;
614 14310017 : const ulong CUTOFF7 = 23;
615 14310017 : const ulong CUTOFF8 = 15;
616 14310017 : const ulong CUTOFF9 = 11;
617 14310017 : const ulong CUTOFF10 = 9;
618 14310017 : const ulong CUTOFF11 = 7;
619 14310017 : const ulong CUTOFF12 = 6;
620 14310017 : const ulong CUTOFF13 = 5;
621 14310017 : const ulong CUTOFF14 = 4;
622 14310017 : const ulong CUTOFF15 = 4;
623 14310017 : const ulong CUTOFF16 = 3;
624 14310017 : const ulong CUTOFF17 = 3;
625 14310017 : const ulong CUTOFF18 = 3;
626 14310017 : const ulong CUTOFF19 = 3;
627 14310017 : const ulong CUTOFF20 = 3;
628 : #endif
629 :
630 101099080 : if (p <= 2)
631 : {
632 9624311 : if (p < 2) return p;
633 9077561 : return k < BITS_IN_LONG? 1UL<<k: 0;
634 : }
635 91474769 : switch(k)
636 : {
637 : ulong p2, p3, p4, p5, p8;
638 8696259 : case 0: return 1;
639 20394811 : case 1: return p;
640 19145264 : case 2: return usqru(p);
641 3735023 : case 3: if (p > CUTOFF3) return 0; return p*p*p;
642 11365473 : case 4: if (p > CUTOFF4) return 0; p2=p*p; return p2*p2;
643 2208998 : case 5: if (p > CUTOFF5) return 0; p2=p*p; return p2*p2*p;
644 6977813 : case 6: if (p > CUTOFF6) return 0; p2=p*p; return p2*p2*p2;
645 375358 : case 7: if (p > CUTOFF7) return 0; p2=p*p; return p2*p2*p2*p;
646 455529 : case 8: if (p > CUTOFF8) return 0; p2=p*p; p4=p2*p2; return p4*p4;
647 396097 : case 9: if (p > CUTOFF9) return 0; p2=p*p; p4=p2*p2; return p4*p4*p;
648 4914761 : case 10: if (p > CUTOFF10)return 0; p2=p*p; p4=p2*p2; return p4*p4*p2;
649 170348 : case 11: if (p > CUTOFF11)return 0; p2=p*p; p4=p2*p2; return p4*p4*p2*p;
650 4792743 : case 12: if (p > CUTOFF12)return 0; p2=p*p; p4=p2*p2; return p4*p4*p4;
651 97042 : case 13: if (p > CUTOFF13)return 0; p2=p*p; p4=p2*p2; return p4*p4*p4*p;
652 4746575 : case 14: if (p > CUTOFF14)return 0; p2=p*p; p4=p2*p2; return p4*p4*p4*p2;
653 159777 : case 15: if (p > CUTOFF15)return 0;
654 100027 : p2=p*p; p3=p2*p; p5=p3*p2; return p5*p5*p5;
655 104304 : case 16: if (p > CUTOFF16)return 0;
656 52246 : p2=p*p; p4=p2*p2; p8=p4*p4; return p8*p8;
657 79522 : case 17: if (p > CUTOFF17)return 0;
658 41861 : p2=p*p; p4=p2*p2; p8=p4*p4; return p*p8*p8;
659 69146 : case 18: if (p > CUTOFF18)return 0;
660 38784 : p2=p*p; p4=p2*p2; p8=p4*p4; return p2*p8*p8;
661 818908 : case 19: if (p > CUTOFF19)return 0;
662 765055 : p2=p*p; p4=p2*p2; p8=p4*p4; return p*p2*p8*p8;
663 63741 : case 20: if (p > CUTOFF20)return 0;
664 21657 : p2=p*p; p4=p2*p2; p8=p4*p4; return p4*p8*p8;
665 : }
666 : #ifdef LONG_IS_64BIT
667 1487341 : switch(p)
668 : {
669 221636 : case 3: if (k > 40) return 0;
670 135627 : break;
671 17028 : case 4: if (k > 31) return 0;
672 774 : return 1UL<<(2*k);
673 637553 : case 5: if (k > 27) return 0;
674 20036 : break;
675 49650 : case 6: if (k > 24) return 0;
676 9180 : break;
677 56096 : case 7: if (k > 22) return 0;
678 2733 : break;
679 505378 : default: return 0;
680 : }
681 : /* no overflow */
682 : {
683 167576 : ulong q = upowuu(p, k >> 1);
684 167578 : q *= q ;
685 167578 : return odd(k)? q*p: q;
686 : }
687 : #else
688 219936 : return 0;
689 : #endif
690 : }
691 :
692 : GEN
693 12017 : upowers(ulong x, long n)
694 : {
695 : long i;
696 12017 : GEN p = cgetg(n + 2, t_VECSMALL);
697 12017 : uel(p,1) = 1; if (n == 0) return p;
698 12017 : uel(p,2) = x;
699 91465 : for (i = 3; i <= n; i++)
700 79448 : uel(p,i) = uel(p,i-1)*x;
701 12017 : return p;
702 : }
703 :
704 : typedef struct {
705 : long prec, a;
706 : GEN (*sqr)(GEN);
707 : GEN (*mulug)(ulong,GEN);
708 : } sr_muldata;
709 :
710 : static GEN
711 1595710 : _rpowuu_sqr(void *data, GEN x)
712 : {
713 1595710 : sr_muldata *D = (sr_muldata *)data;
714 1595710 : if (typ(x) == t_INT && lgefint(x) >= D->prec)
715 : { /* switch to t_REAL */
716 187 : D->sqr = &sqrr;
717 187 : D->mulug = &mulur; x = itor(x, D->prec);
718 : }
719 1595710 : return D->sqr(x);
720 : }
721 :
722 : static GEN
723 624222 : _rpowuu_msqr(void *data, GEN x)
724 : {
725 624222 : GEN x2 = _rpowuu_sqr(data, x);
726 624222 : sr_muldata *D = (sr_muldata *)data;
727 624222 : return D->mulug(D->a, x2);
728 : }
729 :
730 : /* return a^n as a t_REAL of precision prec. Assume a > 0, n > 0 */
731 : GEN
732 428560 : rpowuu(ulong a, ulong n, long prec)
733 : {
734 : pari_sp av;
735 : GEN y, z;
736 : sr_muldata D;
737 :
738 428560 : if (a == 1) return real_1(prec);
739 428560 : if (a == 2) return real2n(n, prec);
740 428560 : if (n == 1) return utor(a, prec);
741 423629 : z = cgetr(prec);
742 423629 : av = avma;
743 423629 : D.sqr = &sqri;
744 423629 : D.mulug = &mului;
745 423629 : D.prec = prec;
746 423629 : D.a = (long)a;
747 423629 : y = gen_powu_fold_i(utoipos(a), n, (void*)&D, &_rpowuu_sqr, &_rpowuu_msqr);
748 423629 : mpaff(y, z); return gc_const(av,z);
749 : }
750 :
751 : GEN
752 5001537 : powrs(GEN x, long n)
753 : {
754 5001537 : pari_sp av = avma;
755 : GEN y;
756 5001537 : if (!n) return powr0(x);
757 5001537 : y = gen_powu_i(x, (ulong)labs(n), NULL, &_sqrr, &_mulr);
758 5001872 : if (n < 0) y = invr(y);
759 5001858 : return gerepileuptoleaf(av,y);
760 : }
761 : GEN
762 6005256 : powru(GEN x, ulong n)
763 : {
764 6005256 : pari_sp av = avma;
765 : GEN y;
766 6005256 : if (!n) return powr0(x);
767 5984711 : y = gen_powu_i(x, n, NULL, &_sqrr, &_mulr);
768 5984668 : return gerepileuptoleaf(av,y);
769 : }
770 :
771 : GEN
772 13755 : powersr(GEN x, long n)
773 : {
774 13755 : long prec = realprec(x);
775 13755 : return gen_powers(x, n, 1, &prec, &_sqrr, &_mulr, &_oner);
776 : }
777 :
778 : /* x^(s/2), assume x t_REAL */
779 : GEN
780 0 : powrshalf(GEN x, long s)
781 : {
782 0 : if (s & 1) return sqrtr(powrs(x, s));
783 0 : return powrs(x, s>>1);
784 : }
785 : /* x^(s/2), assume x t_REAL */
786 : GEN
787 117812 : powruhalf(GEN x, ulong s)
788 : {
789 117812 : if (s & 1) return sqrtr(powru(x, s));
790 7085 : return powru(x, s>>1);
791 : }
792 : /* x^(n/d), assume x t_REAL, return t_REAL */
793 : GEN
794 511 : powrfrac(GEN x, long n, long d)
795 : {
796 : long z;
797 511 : if (!n) return powr0(x);
798 0 : z = cgcd(n, d); if (z > 1) { n /= z; d /= z; }
799 0 : if (d == 1) return powrs(x, n);
800 0 : x = powrs(x, n);
801 0 : if (d == 2) return sqrtr(x);
802 0 : return sqrtnr(x, d);
803 : }
804 :
805 : /* assume x != 0 */
806 : static GEN
807 624614 : pow_monome(GEN x, long n)
808 : {
809 624614 : long i, d, dx = degpol(x);
810 : GEN A, b, y;
811 :
812 624614 : if (n < 0) { n = -n; y = cgetg(3, t_RFRAC); } else y = NULL;
813 :
814 624614 : if (HIGHWORD(dx) || HIGHWORD(n))
815 8 : {
816 : LOCAL_HIREMAINDER;
817 9 : d = (long)mulll((ulong)dx, (ulong)n);
818 9 : if (hiremainder || (d &~ LGBITS)) d = LGBITS; /* overflow */
819 9 : d += 2;
820 : }
821 : else
822 624605 : d = dx*n + 2;
823 624614 : if ((d + 1) & ~LGBITS) pari_err(e_OVERFLOW,"pow_monome [degree]");
824 624607 : A = cgetg(d+1, t_POL); A[1] = x[1];
825 6051047 : for (i=2; i < d; i++) gel(A,i) = gen_0;
826 624608 : b = gpowgs(gel(x,dx+2), n); /* not memory clean if (n < 0) */
827 624608 : if (!y) y = A;
828 : else {
829 20482 : GEN c = denom_i(b);
830 20482 : gel(y,1) = c; if (c != gen_1) b = gmul(b,c);
831 20482 : gel(y,2) = A;
832 : }
833 624608 : gel(A,d) = b; return y;
834 : }
835 :
836 : /* x t_PADIC */
837 : static GEN
838 1305483 : powps(GEN x, long n)
839 : {
840 1305483 : long e = n*valp(x), v;
841 1305483 : GEN t, y, mod, p = gel(x,2);
842 : pari_sp av;
843 :
844 1305483 : if (!signe(gel(x,4))) {
845 84 : if (n < 0) pari_err_INV("powps",x);
846 77 : return zeropadic(p, e);
847 : }
848 1305399 : v = z_pval(n, p);
849 :
850 1305398 : y = cgetg(5,t_PADIC);
851 1305397 : mod = gel(x,3);
852 1305397 : if (v == 0) mod = icopy(mod);
853 : else
854 : {
855 86632 : if (precp(x) == 1 && absequaliu(p, 2)) v++;
856 86632 : mod = mulii(mod, powiu(p,v));
857 86632 : mod = gerepileuptoint((pari_sp)y, mod);
858 : }
859 1305399 : y[1] = evalprecp(precp(x) + v) | evalvalp(e);
860 1305398 : gel(y,2) = icopy(p);
861 1305399 : gel(y,3) = mod;
862 :
863 1305399 : av = avma; t = gel(x,4);
864 1305399 : if (n < 0) { t = Fp_inv(t, mod); n = -n; }
865 1305399 : t = Fp_powu(t, n, mod);
866 1305402 : gel(y,4) = gerepileuptoint(av, t);
867 1305402 : return y;
868 : }
869 : /* x t_PADIC */
870 : static GEN
871 161 : powp(GEN x, GEN n)
872 : {
873 : long v;
874 161 : GEN y, mod, p = gel(x,2);
875 :
876 161 : if (valp(x)) pari_err_OVERFLOW("valp()");
877 :
878 161 : if (!signe(gel(x,4))) {
879 14 : if (signe(n) < 0) pari_err_INV("powp",x);
880 7 : return zeropadic(p, 0);
881 : }
882 147 : v = Z_pval(n, p);
883 :
884 147 : y = cgetg(5,t_PADIC);
885 147 : mod = gel(x,3);
886 147 : if (v == 0) mod = icopy(mod);
887 : else
888 : {
889 70 : mod = mulii(mod, powiu(p,v));
890 70 : mod = gerepileuptoint((pari_sp)y, mod);
891 : }
892 147 : y[1] = evalprecp(precp(x) + v) | _evalvalp(0);
893 147 : gel(y,2) = icopy(p);
894 147 : gel(y,3) = mod;
895 147 : gel(y,4) = Fp_pow(gel(x,4), n, mod);
896 147 : return y;
897 : }
898 : static GEN
899 23753 : pow_polmod(GEN x, GEN n)
900 : {
901 23753 : GEN z = cgetg(3, t_POLMOD), a = gel(x,2), T = gel(x,1);
902 23753 : gel(z,1) = gcopy(T);
903 23753 : if (typ(a) != t_POL || varn(a) != varn(T) || lg(a) <= 3)
904 1269 : a = powgi(a, n);
905 : else {
906 22484 : pari_sp av = avma;
907 22484 : GEN p = NULL;
908 22484 : if (RgX_is_FpX(T, &p) && RgX_is_FpX(a, &p) && p)
909 : {
910 8771 : T = RgX_to_FpX(T, p); a = RgX_to_FpX(a, p);
911 8771 : if (lgefint(p) == 3)
912 : {
913 8764 : ulong pp = p[2];
914 8764 : a = Flxq_pow(ZX_to_Flx(a, pp), n, ZX_to_Flx(T, pp), pp);
915 8764 : a = Flx_to_ZX(a);
916 : }
917 : else
918 7 : a = FpXQ_pow(a, n, T, p);
919 8771 : a = FpX_to_mod(a, p);
920 8771 : a = gerepileupto(av, a);
921 : }
922 : else
923 : {
924 13713 : set_avma(av);
925 13713 : a = RgXQ_pow(a, n, gel(z,1));
926 : }
927 : }
928 23753 : gel(z,2) = a; return z;
929 : }
930 :
931 : GEN
932 109762296 : gpowgs(GEN x, long n)
933 : {
934 : long m;
935 : pari_sp av;
936 : GEN y;
937 :
938 109762296 : if (n == 0) return gpowg0(x);
939 108583329 : if (n == 1)
940 : {
941 73274396 : long t = typ(x);
942 73274396 : if (is_scalar_t(t)) return gcopy(x);
943 718486 : switch(t)
944 : {
945 665506 : case t_POL: case t_SER: case t_RFRAC: case t_MAT: case t_VECSMALL:
946 665506 : return gcopy(x);
947 21 : case t_VEC: if (!is_ext_qfr(x)) break;
948 : /* fall through handle extended t_QFB */
949 52967 : case t_QFB: return qfbred(x);
950 : }
951 13 : pari_err_TYPE("gpow", x);
952 : }
953 35309064 : if (n ==-1) return ginv(x);
954 32156547 : switch(typ(x))
955 : {
956 20923790 : case t_INT: return powis(x,n);
957 4993156 : case t_REAL: return powrs(x,n);
958 29271 : case t_INTMOD:
959 29271 : y = cgetg(3,t_INTMOD); gel(y,1) = icopy(gel(x,1));
960 29271 : gel(y,2) = Fp_pows(gel(x,2), n, gel(x,1));
961 29271 : return y;
962 287200 : case t_FRAC:
963 : {
964 287200 : GEN a = gel(x,1), b = gel(x,2);
965 287200 : long s = (signe(a) < 0 && odd(n))? -1: 1;
966 287200 : if (n < 0) {
967 700 : n = -n;
968 700 : if (is_pm1(a)) return powiu_sign(b, n, s); /* +-1/x[2] inverts to t_INT */
969 490 : swap(a, b);
970 : }
971 286990 : y = cgetg(3, t_FRAC);
972 286990 : gel(y,1) = powiu_sign(a, n, s);
973 286990 : gel(y,2) = powiu_sign(b, n, 1);
974 286990 : return y;
975 : }
976 1305483 : case t_PADIC: return powps(x, n);
977 249144 : case t_RFRAC:
978 : {
979 249144 : av = avma; y = cgetg(3, t_RFRAC); m = labs(n);
980 249144 : gel(y,1) = gpowgs(gel(x,1),m);
981 249144 : gel(y,2) = gpowgs(gel(x,2),m);
982 249144 : if (n < 0) y = ginv(y);
983 249144 : return gerepileupto(av,y);
984 : }
985 23746 : case t_POLMOD: {
986 23746 : long N[] = {evaltyp(t_INT) | _evallg(3),0,0};
987 23746 : affsi(n,N); return pow_polmod(x, N);
988 : }
989 7 : case t_VEC: if (!is_ext_qfr(x)) pari_err_TYPE("gpow", x);
990 : /* fall through handle extended t_QFB */
991 1293895 : case t_QFB: return qfbpows(x, n);
992 1183142 : case t_POL:
993 1183142 : if (RgX_is_monomial(x)) return pow_monome(x, n);
994 : default: {
995 2426247 : pari_sp av = avma;
996 2426247 : y = gen_powu_i(x, (ulong)labs(n), NULL, &_sqr, &_mul);
997 2426257 : if (n < 0) y = ginv(y);
998 2426262 : return gerepileupto(av,y);
999 : }
1000 : }
1001 : }
1002 :
1003 : /* n a t_INT */
1004 : GEN
1005 98259617 : powgi(GEN x, GEN n)
1006 : {
1007 : GEN y;
1008 :
1009 98259617 : if (!is_bigint(n)) return gpowgs(x, itos(n));
1010 : /* probable overflow for nonmodular types (typical exception: (X^0)^N) */
1011 25654 : switch(typ(x))
1012 : {
1013 25327 : case t_INTMOD:
1014 25327 : y = cgetg(3,t_INTMOD); gel(y,1) = icopy(gel(x,1));
1015 25334 : gel(y,2) = Fp_pow(gel(x,2), n, gel(x,1));
1016 25334 : return y;
1017 101 : case t_FFELT: return FF_pow(x,n);
1018 161 : case t_PADIC: return powp(x, n);
1019 :
1020 35 : case t_INT:
1021 35 : if (is_pm1(x)) return (signe(x) < 0 && mpodd(n))? gen_m1: gen_1;
1022 14 : if (signe(x)) pari_err_OVERFLOW("lg()");
1023 7 : if (signe(n) < 0) pari_err_INV("powgi",gen_0);
1024 7 : return gen_0;
1025 7 : case t_FRAC:
1026 7 : pari_err_OVERFLOW("lg()");
1027 :
1028 0 : case t_VEC: if (!is_ext_qfr(x)) pari_err_TYPE("gpow",x);
1029 : /* fall through handle extended t_QFB */
1030 12 : case t_QFB: return qfbpow(x, n);
1031 7 : case t_POLMOD: return pow_polmod(x, n);
1032 7 : default: {
1033 7 : pari_sp av = avma;
1034 7 : y = gen_pow_i(x, n, NULL, &_sqr, &_mul);
1035 7 : if (signe(n) < 0) return gerepileupto(av, ginv(y));
1036 7 : return gerepilecopy(av,y);
1037 : }
1038 : }
1039 : }
1040 :
1041 : /* Assume x = 1 + O(t), n a scalar. Return x^n */
1042 : static GEN
1043 7854 : ser_pow_1(GEN x, GEN n)
1044 : {
1045 : long lx, mi, i, j, d;
1046 7854 : GEN y = cgetg_copy(x, &lx), X = x+2, Y = y + 2;
1047 7854 : y[1] = evalsigne(1) | _evalvalser(0) | evalvarn(varn(x));
1048 74179 : d = mi = lx-3; while (mi>=1 && isrationalzero(gel(X,mi))) mi--;
1049 7854 : gel(Y,0) = gen_1;
1050 110383 : for (i=1; i<=d; i++)
1051 : {
1052 102529 : pari_sp av = avma;
1053 102529 : GEN s = gen_0;
1054 487704 : for (j=1; j<=minss(i,mi); j++)
1055 : {
1056 385175 : GEN t = gsubgs(gmulgu(n,j),i-j);
1057 385175 : s = gadd(s, gmul(gmul(t, gel(X,j)), gel(Y,i-j)));
1058 : }
1059 102529 : gel(Y,i) = gerepileupto(av, gdivgu(s,i));
1060 : }
1061 7854 : return y;
1062 : }
1063 :
1064 : /* we suppose n != 0, valser(x) = 0 and leading-term(x) != 0. Not stack clean */
1065 : static GEN
1066 7959 : ser_pow(GEN x, GEN n, long prec)
1067 : {
1068 : GEN y, c, lead;
1069 7959 : if (varncmp(gvar(n), varn(x)) <= 0) return gexp(gmul(n, glog(x,prec)), prec);
1070 7854 : lead = gel(x,2);
1071 7854 : if (gequal1(lead)) return ser_pow_1(x, n);
1072 7469 : x = ser_normalize(x);
1073 7469 : if (typ(n) == t_FRAC && !isinexact(lead) && ispower(lead, gel(n,2), &c))
1074 112 : c = powgi(c, gel(n,1));
1075 : else
1076 7357 : c = gpow(lead,n, prec);
1077 7469 : y = gmul(c, ser_pow_1(x, n));
1078 : /* gpow(t_POLMOD,n) can be a t_COL [conjvec] */
1079 7469 : if (typ(y) != t_SER) pari_err_TYPE("gpow", y);
1080 7469 : return y;
1081 : }
1082 :
1083 : static long
1084 7868 : val_from_i(GEN E)
1085 : {
1086 7868 : if (is_bigint(E)) pari_err_OVERFLOW("sqrtn [valuation]");
1087 7861 : return itos(E);
1088 : }
1089 :
1090 : /* return x^q, assume typ(x) = t_SER, typ(q) = t_INT/t_FRAC and q != 0 */
1091 : static GEN
1092 7875 : ser_powfrac(GEN x, GEN q, long prec)
1093 : {
1094 7875 : GEN y, E = gmulsg(valser(x), q);
1095 : long e;
1096 :
1097 7875 : if (!signe(x))
1098 : {
1099 21 : if (gsigne(q) < 0) pari_err_INV("gpow", x);
1100 21 : return zeroser(varn(x), val_from_i(gfloor(E)));
1101 : }
1102 7854 : if (typ(E) != t_INT)
1103 7 : pari_err_DOMAIN("sqrtn", "valuation", "!=", mkintmod(gen_0, gel(q,2)), x);
1104 7847 : e = val_from_i(E);
1105 7847 : y = leafcopy(x); setvalser(y, 0);
1106 7847 : y = ser_pow(y, q, prec);
1107 7847 : setvalser(y, e); return y;
1108 : }
1109 :
1110 : static GEN
1111 126 : gpow0(GEN x, GEN n, long prec)
1112 : {
1113 126 : pari_sp av = avma;
1114 : long i, lx;
1115 : GEN y;
1116 126 : switch(typ(n))
1117 : {
1118 84 : case t_INT: case t_REAL: case t_FRAC: case t_COMPLEX: case t_QUAD:
1119 84 : break;
1120 35 : case t_VEC: case t_COL: case t_MAT:
1121 35 : y = cgetg_copy(n, &lx);
1122 105 : for (i=1; i<lx; i++) gel(y,i) = gpow0(x,gel(n,i),prec);
1123 35 : return y;
1124 7 : default: pari_err_TYPE("gpow(0,n)", n);
1125 : }
1126 84 : n = real_i(n);
1127 84 : if (gsigne(n) <= 0) pari_err_DOMAIN("gpow(0,n)", "n", "<=", gen_0, n);
1128 77 : if (!precision(x)) return gcopy(x);
1129 :
1130 14 : x = ground(gmulsg(gexpo(x),n));
1131 14 : if (is_bigint(x) || uel(x,2) >= HIGHEXPOBIT)
1132 7 : pari_err_OVERFLOW("gpow");
1133 7 : set_avma(av); return real_0_bit(itos(x));
1134 : }
1135 :
1136 : /* centermod(x, log(2)), set *sh to the quotient */
1137 : static GEN
1138 16066831 : modlog2(GEN x, long *sh)
1139 : {
1140 16066831 : double d = rtodbl(x), qd = (fabs(d) + M_LN2/2)/M_LN2;
1141 : long q;
1142 16067045 : if (dblexpo(qd) >= BITS_IN_LONG-1) pari_err_OVERFLOW("expo()");
1143 16066920 : q = d < 0 ? - (long) qd: (long) qd;
1144 16066920 : *sh = q;
1145 16066920 : if (q) {
1146 12959664 : long l = realprec(x) + EXTRAPRECWORD;
1147 12959664 : x = subrr(rtor(x,l), mulsr(q, mplog2(l)));
1148 12959118 : if (!signe(x)) return NULL;
1149 : }
1150 16066374 : return x;
1151 : }
1152 :
1153 : /* x^n, n a t_FRAC */
1154 : static GEN
1155 5130404 : powfrac(GEN x, GEN n, long prec)
1156 : {
1157 5130404 : GEN a = gel(n,1), d = gel(n,2);
1158 5130404 : long D = itos_or_0(d);
1159 5130391 : if (D == 2)
1160 : {
1161 3536836 : GEN y = gsqrt(x,prec);
1162 3537687 : if (!equali1(a)) y = gmul(y, powgi(x, shifti(subiu(a,1), -1)));
1163 3537037 : return y;
1164 : }
1165 1593555 : if (D && (is_real_t(typ(x)) && gsigne(x) > 0))
1166 : {
1167 : GEN z;
1168 1589534 : prec += nbits2extraprec(expi(a));
1169 1589540 : if (typ(x) != t_REAL) x = gtofp(x, prec);
1170 1589540 : z = sqrtnr(x, D);
1171 1589540 : if (!equali1(a)) z = powgi(z, a);
1172 1589540 : return z;
1173 : }
1174 4021 : return NULL;
1175 : }
1176 :
1177 : /* n = a+ib, x > 0 real, ex ~ |log2(x)|; return precision at which
1178 : * log(x) must be computed to evaluate x^n */
1179 : long
1180 182141 : powcx_prec(long ex, GEN n, long prec)
1181 : {
1182 182141 : GEN a = gel(n,1), b = gel(n,2);
1183 182141 : long e = (ex < 2)? 0: expu(ex);
1184 182141 : e += gexpo_safe(is_rational_t(typ(a))? b: n);
1185 182141 : return e > 2? prec + nbits2extraprec(e): prec;
1186 : }
1187 : GEN
1188 266668 : powcx(GEN x, GEN logx, GEN n, long prec)
1189 : {
1190 266668 : GEN sxb, cxb, xa, a = gel(n,1), xb = gmul(gel(n,2), logx);
1191 266668 : long sh, p = realprec(logx);
1192 266668 : switch(typ(a))
1193 : {
1194 49498 : case t_INT: xa = powgi(x, a); break;
1195 127974 : case t_FRAC: xa = powfrac(x, a, prec);
1196 127974 : if (xa) break;
1197 : default:
1198 89203 : xa = modlog2(gmul(gel(n,1), logx), &sh);
1199 89203 : if (!xa) xa = real2n(sh, prec);
1200 : else
1201 : {
1202 89203 : if (signe(xa) && realprec(xa) > prec) setprec(xa, prec);
1203 89203 : xa = mpexp(xa); shiftr_inplace(xa, sh);
1204 : }
1205 : }
1206 266668 : if (typ(xb) != t_REAL) return xa;
1207 266668 : if (gexpo(xb) > 30)
1208 : {
1209 0 : GEN q, P = Pi2n(-2, p), z = addrr(xb,P); /* = x + Pi/4 */
1210 0 : shiftr_inplace(P, 1);
1211 0 : q = floorr(divrr(z, P)); /* round ( x / (Pi/2) ) */
1212 0 : xb = subrr(xb, mulir(q, P)); /* x mod Pi/2 */
1213 0 : sh = Mod4(q);
1214 : }
1215 : else
1216 : {
1217 266668 : long q = floor(rtodbl(xb) / (M_PI/2) + 0.5);
1218 266668 : if (q) xb = subrr(xb, mulsr(q, Pi2n(-1,p))); /* x mod Pi/2 */
1219 266668 : sh = q & 3;
1220 : }
1221 266668 : if (signe(xb) && realprec(xb) > prec) setprec(xb, prec);
1222 266668 : mpsincos(xb, &sxb, &cxb);
1223 266668 : return gmul(xa, mulcxpowIs(mkcomplex(cxb, sxb), sh));
1224 : }
1225 :
1226 : GEN
1227 20162067 : gpow(GEN x, GEN n, long prec)
1228 : {
1229 20162067 : long prec0, i, lx, tx, tn = typ(n);
1230 : pari_sp av;
1231 : GEN y;
1232 :
1233 20162067 : if (tn == t_INT) return powgi(x,n);
1234 5342905 : tx = typ(x);
1235 5342905 : if (is_matvec_t(tx))
1236 : {
1237 49 : y = cgetg_copy(x, &lx);
1238 133 : for (i=1; i<lx; i++) gel(y,i) = gpow(gel(x,i),n,prec);
1239 49 : return y;
1240 : }
1241 5342934 : av = avma;
1242 5342934 : switch (tx)
1243 : {
1244 28 : case t_POL: case t_RFRAC: x = toser_i(x); /* fall through */
1245 7560 : case t_SER:
1246 7560 : if (tn == t_FRAC) return gerepileupto(av, ser_powfrac(x, n, prec));
1247 140 : if (valser(x))
1248 21 : pari_err_DOMAIN("gpow [irrational exponent]",
1249 : "valuation", "!=", gen_0, x);
1250 119 : if (lg(x) == 2) return gerepilecopy(av, x); /* O(1) */
1251 112 : return gerepileupto(av, ser_pow(x, n, prec));
1252 : }
1253 5335380 : if (gequal0(x)) return gpow0(x, n, prec);
1254 5335326 : if (tn == t_FRAC)
1255 : {
1256 5005447 : GEN p, z, a = gel(n,1), d = gel(n,2);
1257 5005447 : switch (tx)
1258 : {
1259 1474004 : case t_INT:
1260 1474004 : if (signe(x) < 0)
1261 : {
1262 42 : if (equaliu(d, 2) && Z_issquareall(negi(x), &z))
1263 : {
1264 21 : z = powgi(z, a);
1265 21 : if (Mod4(a) == 3) z = gneg(z);
1266 5001342 : return gerepilecopy(av, mkcomplex(gen_0, z));
1267 : }
1268 21 : break;
1269 : }
1270 1473962 : if (ispower(x, d, &z)) return powgi(z, a);
1271 1472398 : break;
1272 69827 : case t_FRAC:
1273 69827 : if (signe(gel(x,1)) < 0)
1274 : {
1275 28 : if (equaliu(d, 2) && ispower(absfrac(x), d, &z))
1276 7 : return gerepilecopy(av, mkcomplex(gen_0, powgi(z, a)));
1277 21 : break;
1278 : }
1279 69799 : if (ispower(x, d, &z)) return powgi(z, a);
1280 68427 : break;
1281 :
1282 21 : case t_INTMOD:
1283 21 : p = gel(x,1);
1284 21 : if (!BPSW_psp(p)) pari_err_PRIME("gpow",p);
1285 14 : y = cgetg(3,t_INTMOD); gel(y,1) = icopy(p);
1286 14 : av = avma;
1287 14 : z = Fp_sqrtn(gel(x,2), d, p, NULL);
1288 14 : if (!z) pari_err_SQRTN("gpow",x);
1289 7 : gel(y,2) = gerepileuptoint(av, Fp_pow(z, a, p));
1290 7 : return y;
1291 :
1292 14 : case t_PADIC:
1293 14 : z = Qp_sqrtn(x, d, NULL); if (!z) pari_err_SQRTN("gpow",x);
1294 7 : return gerepileupto(av, powgi(z, a));
1295 :
1296 21 : case t_FFELT:
1297 21 : return gerepileupto(av,FF_pow(FF_sqrtn(x,d,NULL),a));
1298 : }
1299 5002427 : z = powfrac(x, n, prec);
1300 5002603 : if (z) return gerepileupto(av, z);
1301 : }
1302 333893 : if (tn == t_COMPLEX && is_real_t(typ(x)) && gsigne(x) > 0)
1303 : {
1304 171403 : long p = powcx_prec(fabs(dbllog2(x)), n, prec);
1305 171403 : return gerepileupto(av, powcx(x, glog(x, p), n, prec));
1306 : }
1307 162490 : if (tn == t_PADIC) x = gcvtop(x, gel(n,2), precp(n));
1308 162490 : i = precision(n);
1309 162491 : if (i) prec = i;
1310 162491 : prec0 = prec;
1311 162491 : if (!gprecision(x))
1312 : {
1313 38647 : long e = gexpo_safe(n); /* avoided if n = 0 or gexpo not defined */
1314 38647 : if (e > 2) prec += nbits2extraprec(e);
1315 : }
1316 162491 : y = gmul(n, glog(x,prec));
1317 162463 : y = gexp(y,prec);
1318 162463 : if (prec0 == prec) return gerepileupto(av, y);
1319 29246 : return gerepilecopy(av, gprec_wtrunc(y,prec0));
1320 : }
1321 : GEN
1322 10227 : powPis(GEN s, long prec)
1323 : {
1324 10227 : pari_sp av = avma;
1325 : GEN x;
1326 10227 : if (typ(s) != t_COMPLEX) return gpow(mppi(prec), s, prec);
1327 441 : x = mppi(powcx_prec(1, s, prec));
1328 441 : return gerepileupto(av, powcx(x, logr_abs(x), s, prec));
1329 : }
1330 : GEN
1331 7868 : pow2Pis(GEN s, long prec)
1332 : {
1333 7868 : pari_sp av = avma;
1334 : GEN x;
1335 7868 : if (typ(s) != t_COMPLEX) return gpow(Pi2n(1,prec), s, prec);
1336 1876 : x = Pi2n(1, powcx_prec(2, s, prec));
1337 1876 : return gerepileupto(av, powcx(x, logr_abs(x), s, prec));
1338 : }
1339 :
1340 : GEN
1341 199856 : gpowers0(GEN x, long n, GEN x0)
1342 : {
1343 : long i, l;
1344 : GEN V;
1345 199856 : if (!x0) return gpowers(x,n);
1346 185367 : if (n < 0) return cgetg(1,t_VEC);
1347 185367 : l = n+2; V = cgetg(l, t_VEC); gel(V,1) = gcopy(x0);
1348 7376767 : for (i = 2; i < l; i++) gel(V,i) = gmul(gel(V,i-1),x);
1349 185341 : return V;
1350 : }
1351 :
1352 : GEN
1353 331937 : gpowers(GEN x, long n)
1354 : {
1355 331937 : if (n < 0) return cgetg(1,t_VEC);
1356 331930 : return gen_powers(x, n, 0, (void*)x, &_sqr, &_mul, &_one);
1357 : }
1358 :
1359 : /* return [q^1,q^4,...,q^{n^2}] */
1360 : GEN
1361 37170 : gsqrpowers(GEN q, long n)
1362 : {
1363 37170 : pari_sp av = avma;
1364 37170 : GEN L = gpowers0(gsqr(q), n, q); /* L[i] = q^(2i - 1), i <= n+1 */
1365 37170 : GEN v = cgetg(n+1, t_VEC);
1366 : long i;
1367 37170 : gel(v, 1) = gcopy(q);
1368 6711304 : for (i = 2; i <= n ; ++i) gel(v, i) = q = gmul(q, gel(L,i)); /* q^(i^2) */
1369 37170 : return gerepileupto(av, v);
1370 : }
1371 :
1372 : /* 4 | N. returns a vector RU which contains exp(2*i*k*Pi/N), k=0..N-1 */
1373 : static GEN
1374 957583 : grootsof1_4(long N, long prec)
1375 : {
1376 957583 : GEN z, RU = cgetg(N+1,t_COL), *v = ((GEN*)RU) + 1;
1377 957577 : long i, N2 = (N>>1), N4 = (N>>2), N8 = (N>>3);
1378 : /* z^N2 = -1, z^N4 = I; if z^k = a+I*b, then z^(N4-k) = I*conj(z) = b+a*I */
1379 :
1380 957577 : v[0] = gen_1; v[1] = z = rootsof1u_cx(N, prec);
1381 957580 : if (odd(N4)) N8++;
1382 1064327 : for (i=1; i<N8; i++)
1383 : {
1384 106750 : GEN t = v[i];
1385 106750 : v[i+1] = gmul(z, t);
1386 106750 : v[N4-i] = mkcomplex(gel(t,2), gel(t,1));
1387 : }
1388 2434807 : for (i=0; i<N4; i++) v[i+N4] = mulcxI(v[i]);
1389 3912023 : for (i=0; i<N2; i++) v[i+N2] = gneg(v[i]);
1390 957567 : return RU;
1391 : }
1392 :
1393 : /* as above, N arbitrary */
1394 : GEN
1395 1118971 : grootsof1(long N, long prec)
1396 : {
1397 : GEN z, RU, *v;
1398 : long i, k;
1399 :
1400 1118971 : if (N <= 0) pari_err_DOMAIN("rootsof1", "N", "<=", gen_0, stoi(N));
1401 1118959 : if ((N & 3) == 0) return grootsof1_4(N, prec);
1402 161376 : if (N <= 2) return N == 1? mkcol(gen_1): mkcol2(gen_1, gen_m1);
1403 43652 : k = (N+1)>>1;
1404 43652 : RU = cgetg(N+1,t_COL);
1405 43652 : v = ((GEN*)RU) + 1;
1406 43652 : v[0] = gen_1; v[1] = z = rootsof1u_cx(N, prec);
1407 103638 : for (i=2; i<k; i++) v[i] = gmul(z, v[i-1]);
1408 43652 : if (!odd(N)) v[i++] = gen_m1; /*avoid loss of accuracy*/
1409 147290 : for ( ; i<N; i++) v[i] = gconj(v[N-i]);
1410 43652 : return RU;
1411 : }
1412 :
1413 : /********************************************************************/
1414 : /** **/
1415 : /** RACINE CARREE **/
1416 : /** **/
1417 : /********************************************************************/
1418 : /* assume x unit, e = precp(x) */
1419 : GEN
1420 144690 : Z2_sqrt(GEN x, long e)
1421 : {
1422 144690 : ulong r = signe(x)>=0?mod16(x):16-mod16(x);
1423 : GEN z;
1424 : long ez;
1425 : pari_sp av;
1426 :
1427 144690 : switch(e)
1428 : {
1429 7 : case 1: return gen_1;
1430 161 : case 2: return (r & 3UL) == 1? gen_1: NULL;
1431 28 : case 3: return (r & 7UL) == 1? gen_1: NULL;
1432 71064 : case 4: if (r == 1) return gen_1;
1433 35133 : else return (r == 9)? utoipos(3): NULL;
1434 73430 : default: if ((r&7UL) != 1) return NULL;
1435 : }
1436 73430 : av = avma; z = (r==1)? gen_1: utoipos(3);
1437 73430 : ez = 3; /* number of correct bits in z (compared to sqrt(x)) */
1438 : for(;;)
1439 47978 : {
1440 : GEN mod;
1441 121408 : ez = (ez<<1) - 1;
1442 121408 : if (ez > e) ez = e;
1443 121408 : mod = int2n(ez);
1444 121408 : z = addii(z, remi2n(mulii(x, Fp_inv(z,mod)), ez));
1445 121408 : z = shifti(z, -1); /* (z + x/z) / 2 */
1446 121408 : if (e == ez) return gerepileuptoint(av, z);
1447 47978 : if (ez < e) ez--;
1448 47978 : if (gc_needed(av,2))
1449 : {
1450 0 : if (DEBUGMEM > 1) pari_warn(warnmem,"Qp_sqrt");
1451 0 : z = gerepileuptoint(av,z);
1452 : }
1453 : }
1454 : }
1455 :
1456 : /* x unit defined modulo p^e, e > 0 */
1457 : GEN
1458 1897 : Qp_sqrt(GEN x)
1459 : {
1460 1897 : long pp, e = valp(x);
1461 1897 : GEN z,y,mod, p = gel(x,2);
1462 :
1463 1897 : if (gequal0(x)) return zeropadic(p, (e+1) >> 1);
1464 1883 : if (e & 1) return NULL;
1465 :
1466 1869 : y = cgetg(5,t_PADIC);
1467 1869 : pp = precp(x);
1468 1869 : mod = gel(x,3);
1469 1869 : z = gel(x,4); /* lift to t_INT */
1470 1869 : e >>= 1;
1471 1869 : z = Zp_sqrt(z, p, pp);
1472 1869 : if (!z) return NULL;
1473 1806 : if (absequaliu(p,2))
1474 : {
1475 805 : pp = (pp <= 3) ? 1 : pp-1;
1476 805 : mod = int2n(pp);
1477 : }
1478 1001 : else mod = icopy(mod);
1479 1806 : y[1] = evalprecp(pp) | evalvalp(e);
1480 1806 : gel(y,2) = icopy(p);
1481 1806 : gel(y,3) = mod;
1482 1806 : gel(y,4) = z; return y;
1483 : }
1484 :
1485 : GEN
1486 420 : Zn_sqrt(GEN d, GEN fn)
1487 : {
1488 420 : pari_sp ltop = avma, btop;
1489 420 : GEN b = gen_0, m = gen_1;
1490 : long j, np;
1491 420 : if (typ(d) != t_INT) pari_err_TYPE("Zn_sqrt",d);
1492 420 : if (typ(fn) == t_INT)
1493 0 : fn = absZ_factor(fn);
1494 420 : else if (!is_Z_factorpos(fn))
1495 0 : pari_err_TYPE("Zn_sqrt",fn);
1496 420 : np = nbrows(fn);
1497 420 : btop = avma;
1498 1680 : for (j = 1; j <= np; ++j)
1499 : {
1500 : GEN bp, mp, pr, r;
1501 1260 : GEN p = gcoeff(fn, j, 1);
1502 1260 : long e = itos(gcoeff(fn, j, 2));
1503 1260 : long v = Z_pvalrem(d,p,&r);
1504 1260 : if (v >= e) bp =gen_0;
1505 : else
1506 : {
1507 1134 : if (odd(v)) return NULL;
1508 1134 : bp = Zp_sqrt(r, p, e-v);
1509 1134 : if (!bp) return NULL;
1510 1134 : if (v) bp = mulii(bp, powiu(p, v>>1L));
1511 : }
1512 1260 : mp = powiu(p, e);
1513 1260 : pr = mulii(m, mp);
1514 1260 : b = Z_chinese_coprime(b, bp, m, mp, pr);
1515 1260 : m = pr;
1516 1260 : if (gc_needed(btop, 1))
1517 0 : gerepileall(btop, 2, &b, &m);
1518 : }
1519 420 : return gerepileupto(ltop, b);
1520 : }
1521 :
1522 : static GEN
1523 18669 : sqrt_ser(GEN b, long prec)
1524 : {
1525 18669 : long e = valser(b), vx = varn(b), lx, lold, j;
1526 : ulong mask;
1527 : GEN a, x, lta, ltx;
1528 :
1529 18669 : if (!signe(b)) return zeroser(vx, e>>1);
1530 18669 : a = leafcopy(b);
1531 18669 : x = cgetg_copy(b, &lx);
1532 18669 : if (e & 1)
1533 14 : pari_err_DOMAIN("sqrtn", "valuation", "!=", mkintmod(gen_0, gen_2), b);
1534 18655 : a[1] = x[1] = evalsigne(1) | evalvarn(0) | _evalvalser(0);
1535 18655 : lta = gel(a,2);
1536 18655 : if (gequal1(lta)) ltx = lta;
1537 14833 : else if (!issquareall(lta,<x)) ltx = gsqrt(lta,prec);
1538 18648 : gel(x,2) = ltx;
1539 315399 : for (j = 3; j < lx; j++) gel(x,j) = gen_0;
1540 18648 : setlg(x,3);
1541 18648 : mask = quadratic_prec_mask(lx - 2);
1542 18648 : lold = 1;
1543 96295 : while (mask > 1)
1544 : {
1545 77647 : GEN y, x2 = gmul2n(x,1);
1546 77647 : long l = lold << 1, lx;
1547 :
1548 77647 : if (mask & 1) l--;
1549 77647 : mask >>= 1;
1550 77647 : setlg(a, l + 2);
1551 77647 : setlg(x, l + 2);
1552 77647 : y = sqr_ser_part(x, lold, l-1) - lold;
1553 374398 : for (j = lold+2; j < l+2; j++) gel(y,j) = gsub(gel(y,j), gel(a,j));
1554 77647 : y += lold; setvalser(y, lold);
1555 77647 : y = normalizeser(y);
1556 77647 : y = gsub(x, gdiv(y, x2)); /* = gmul2n(gsub(x, gdiv(a,x)), -1); */
1557 77647 : lx = minss(l+2, lg(y));
1558 374391 : for (j = lold+2; j < lx; j++) gel(x,j) = gel(y,j);
1559 77647 : lold = l;
1560 : }
1561 18648 : x[1] = evalsigne(1) | evalvarn(vx) | _evalvalser(e >> 1);
1562 18648 : return x;
1563 : }
1564 :
1565 : GEN
1566 53129344 : gsqrt(GEN x, long prec)
1567 : {
1568 : pari_sp av;
1569 : GEN y;
1570 :
1571 53129344 : switch(typ(x))
1572 : {
1573 298237 : case t_INT:
1574 298237 : if (!signe(x)) return real_0(prec); /* no loss of accuracy */
1575 298167 : x = itor(x,prec); /* fall through */
1576 47110597 : case t_REAL: return sqrtr(x);
1577 :
1578 35 : case t_INTMOD:
1579 : {
1580 35 : GEN p = gel(x,1), a;
1581 35 : y = cgetg(3,t_INTMOD); gel(y,1) = icopy(p);
1582 35 : a = Fp_sqrt(gel(x,2),p);
1583 21 : if (!a)
1584 : {
1585 7 : if (!BPSW_psp(p)) pari_err_PRIME("sqrt [modulus]",p);
1586 7 : pari_err_SQRTN("gsqrt",x);
1587 : }
1588 14 : gel(y,2) = a; return y;
1589 : }
1590 :
1591 5754291 : case t_COMPLEX:
1592 : { /* (u+iv)^2 = a+ib <=> u^2+v^2 = sqrt(a^2+b^2), u^2-v^2=a, 2uv=b */
1593 5754291 : GEN a = gel(x,1), b = gel(x,2), r, u, v;
1594 5754291 : if (isrationalzero(b)) return gsqrt(a, prec);
1595 5754290 : y = cgetg(3,t_COMPLEX); av = avma;
1596 :
1597 5754290 : r = cxnorm(x);
1598 5754287 : if (typ(r) == t_INTMOD || typ(r) == t_PADIC)
1599 0 : pari_err_IMPL("sqrt(complex of t_INTMODs)");
1600 5754287 : r = gsqrt(r, prec); /* t_REAL, |a+Ib| */
1601 5754287 : if (!signe(r))
1602 67 : u = v = gerepileuptoleaf(av, sqrtr(r));
1603 5754220 : else if (gsigne(a) < 0)
1604 : {
1605 : /* v > 0 since r > 0, a < 0, rounding errors can't make the sum of two
1606 : * positive numbers = 0 */
1607 182780 : v = sqrtr( gmul2n(gsub(r,a), -1) );
1608 182781 : if (gsigne(b) < 0) togglesign(v);
1609 182781 : v = gerepileuptoleaf(av, v); av = avma;
1610 : /* v = 0 is impossible */
1611 182781 : u = gerepileuptoleaf(av, gdiv(b, shiftr(v,1)));
1612 : } else {
1613 5571440 : u = sqrtr( gmul2n(gadd(r,a), -1) );
1614 5571442 : u = gerepileuptoleaf(av, u); av = avma;
1615 5571443 : if (!signe(u)) /* possible if a = 0.0, e.g. sqrt(0.e-10+1e-10*I) */
1616 7 : v = u;
1617 : else
1618 5571436 : v = gerepileuptoleaf(av, gdiv(b, shiftr(u,1)));
1619 : }
1620 5754290 : gel(y,1) = u;
1621 5754290 : gel(y,2) = v; return y;
1622 : }
1623 :
1624 63 : case t_PADIC:
1625 63 : y = Qp_sqrt(x);
1626 63 : if (!y) pari_err_SQRTN("Qp_sqrt",x);
1627 42 : return y;
1628 :
1629 161 : case t_FFELT: return FF_sqrt(x);
1630 :
1631 264126 : default:
1632 264126 : av = avma; if (!(y = toser_i(x))) break;
1633 18669 : return gerepilecopy(av, sqrt_ser(y, prec));
1634 : }
1635 245457 : return trans_eval("sqrt",gsqrt,x,prec);
1636 : }
1637 : /********************************************************************/
1638 : /** **/
1639 : /** N-th ROOT **/
1640 : /** **/
1641 : /********************************************************************/
1642 :
1643 : static GEN
1644 303708 : Z_to_padic(GEN a, GEN p, long e)
1645 : {
1646 303708 : if (signe(a)==0)
1647 1036 : return zeropadic(p, e);
1648 : else
1649 : {
1650 302672 : GEN z = cgetg(5, t_PADIC);
1651 302673 : long v = Z_pvalrem(a, p, &a), d = e - v;
1652 302673 : z[1] = evalprecp(d) | evalvalp(v);
1653 302673 : gel(z,2) = icopy(p);
1654 302673 : gel(z,3) = powiu(p, d);
1655 302675 : gel(z,4) = a;
1656 302675 : return z;
1657 : }
1658 : }
1659 :
1660 : GEN
1661 196485 : Qp_log(GEN x)
1662 : {
1663 196485 : pari_sp av = avma;
1664 196485 : GEN y, p = gel(x,2), a = gel(x,4);
1665 196485 : long e = precp(x);
1666 :
1667 196485 : if (!signe(a)) pari_err_DOMAIN("Qp_log", "argument", "=", gen_0, x);
1668 196464 : if (absequaliu(p,2) || equali1(modii(a, p)))
1669 76986 : y = Zp_log(a, p, e);
1670 : else
1671 : { /* compute log(x^(p-1)) / (p-1) */
1672 119478 : GEN q = gel(x,3), t = subiu(p, 1);
1673 119478 : a = Fp_pow(a, t, q);
1674 119478 : y = Fp_mul(Zp_log(a, p, e), diviiexact(subsi(1, q), t), q);
1675 : }
1676 196464 : return gerepileupto(av, Z_to_padic(y, p, e));
1677 : }
1678 :
1679 : static GEN Qp_exp_safe(GEN x);
1680 :
1681 : /*compute the p^e th root of x p-adic, assume x != 0 */
1682 : static GEN
1683 854 : Qp_sqrtn_ram(GEN x, long e)
1684 : {
1685 854 : pari_sp ltop=avma;
1686 854 : GEN a, p = gel(x,2), n = powiu(p,e);
1687 854 : long v = valp(x), va;
1688 854 : if (v)
1689 : {
1690 : long z;
1691 161 : v = sdivsi_rem(v, n, &z);
1692 161 : if (z) return NULL;
1693 91 : x = leafcopy(x);
1694 91 : setvalp(x,0);
1695 : }
1696 : /*If p = 2, -1 is a root of 1 in U1: need extra check*/
1697 784 : if (absequaliu(p, 2) && mod8(gel(x,4)) != 1) return NULL;
1698 749 : a = Qp_log(x);
1699 749 : va = valp(a) - e;
1700 749 : if (va <= 0)
1701 : {
1702 287 : if (signe(gel(a,4))) return NULL;
1703 : /* all accuracy lost */
1704 119 : a = cvtop(remii(gel(x,4),p), p, 1);
1705 : }
1706 : else
1707 : {
1708 462 : setvalp(a, va); /* divide by p^e */
1709 462 : a = Qp_exp_safe(a);
1710 462 : if (!a) return NULL;
1711 : /* n=p^e and a^n=z*x where z is a (p-1)th-root of 1.
1712 : * Since z^n=z, we have (a/z)^n = x. */
1713 462 : a = gdiv(x, powgi(a,subiu(n,1))); /* = a/z = x/a^(n-1)*/
1714 462 : if (v) setvalp(a,v);
1715 : }
1716 581 : return gerepileupto(ltop,a);
1717 : }
1718 :
1719 : /*compute the nth root of x p-adic p prime with n*/
1720 : static GEN
1721 2037 : Qp_sqrtn_unram(GEN x, GEN n, GEN *zetan)
1722 : {
1723 : pari_sp av;
1724 2037 : GEN Z, a, r, p = gel(x,2);
1725 2037 : long v = valp(x);
1726 2037 : if (v)
1727 : {
1728 : long z;
1729 84 : v = sdivsi_rem(v,n,&z);
1730 84 : if (z) return NULL;
1731 : }
1732 2030 : r = cgetp(x); setvalp(r,v);
1733 2030 : Z = NULL; /* -Wall */
1734 2030 : if (zetan) Z = cgetp(x);
1735 2030 : av = avma; a = Fp_sqrtn(gel(x,4), n, p, zetan);
1736 2030 : if (!a) return NULL;
1737 2016 : affii(Zp_sqrtnlift(gel(x,4), n, a, p, precp(x)), gel(r,4));
1738 2016 : if (zetan)
1739 : {
1740 14 : affii(Zp_sqrtnlift(gen_1, n, *zetan, p, precp(x)), gel(Z,4));
1741 14 : *zetan = Z;
1742 : }
1743 2016 : return gc_const(av,r);
1744 : }
1745 :
1746 : GEN
1747 2604 : Qp_sqrtn(GEN x, GEN n, GEN *zetan)
1748 : {
1749 : pari_sp av, tetpil;
1750 : GEN q, p;
1751 : long e;
1752 2604 : if (absequaliu(n, 2))
1753 : {
1754 70 : if (zetan) *zetan = gen_m1;
1755 70 : if (signe(n) < 0) x = ginv(x);
1756 63 : return Qp_sqrt(x);
1757 : }
1758 2534 : av = avma; p = gel(x,2);
1759 2534 : if (!signe(gel(x,4)))
1760 : {
1761 203 : if (signe(n) < 0) pari_err_INV("Qp_sqrtn", x);
1762 203 : q = divii(addis(n, valp(x)-1), n);
1763 203 : if (zetan) *zetan = gen_1;
1764 203 : set_avma(av); return zeropadic(p, itos(q));
1765 : }
1766 : /* treat the ramified part using logarithms */
1767 2331 : e = Z_pvalrem(n, p, &q);
1768 2331 : if (e) { x = Qp_sqrtn_ram(x,e); if (!x) return NULL; }
1769 2058 : if (is_pm1(q))
1770 : { /* finished */
1771 21 : if (signe(q) < 0) x = ginv(x);
1772 21 : x = gerepileupto(av, x);
1773 21 : if (zetan)
1774 28 : *zetan = (e && absequaliu(p, 2))? gen_m1 /*-1 in Q_2*/
1775 28 : : gen_1;
1776 21 : return x;
1777 : }
1778 2037 : tetpil = avma;
1779 : /* use hensel lift for unramified case */
1780 2037 : x = Qp_sqrtn_unram(x, q, zetan);
1781 2037 : if (!x) return NULL;
1782 2016 : if (zetan)
1783 : {
1784 : GEN *gptr[2];
1785 14 : if (e && absequaliu(p, 2))/*-1 in Q_2*/
1786 : {
1787 7 : tetpil = avma; x = gcopy(x); *zetan = gneg(*zetan);
1788 : }
1789 14 : gptr[0] = &x; gptr[1] = zetan;
1790 14 : gerepilemanysp(av,tetpil,gptr,2);
1791 14 : return x;
1792 : }
1793 2002 : return gerepile(av,tetpil,x);
1794 : }
1795 :
1796 : GEN
1797 23626 : sqrtnint(GEN a, long n)
1798 : {
1799 23626 : pari_sp av = avma;
1800 : GEN x, b, q;
1801 : long s, k, e;
1802 23626 : const ulong nm1 = n - 1;
1803 23626 : if (n == 2) return sqrtint(a);
1804 19643 : if (typ(a) != t_INT)
1805 : {
1806 35 : if (typ(a) == t_REAL)
1807 : {
1808 : long e;
1809 14 : switch(signe(a))
1810 : {
1811 0 : case 0: return gen_0;
1812 7 : case -1: pari_err_DOMAIN("sqrtnint", "argument", "<", gen_0,a);
1813 : }
1814 7 : e = expo(a); if (e < 0) return gen_0;
1815 7 : if (nbits2lg(e+1) > lg(a))
1816 0 : a = floorr(sqrtnr(a,n)); /* try to avoid precision loss in truncation */
1817 : else
1818 7 : a = sqrtnint(truncr(a),n);
1819 : }
1820 : else
1821 : {
1822 21 : GEN b = gfloor(a);
1823 21 : if (typ(b) != t_INT) pari_err_TYPE("sqrtint",a);
1824 14 : if (signe(b) < 0) pari_err_DOMAIN("sqrtnint", "argument", "<", gen_0,b);
1825 7 : a = sqrtnint(b, n);
1826 : }
1827 14 : return gerepileuptoint(av, a);
1828 : }
1829 19608 : if (n <= 0) pari_err_DOMAIN("sqrtnint", "n", "<=", gen_0, stoi(n));
1830 19601 : if (n == 1) return icopy(a);
1831 17459 : s = signe(a);
1832 17459 : if (s < 0) pari_err_DOMAIN("sqrtnint", "x", "<", gen_0, a);
1833 17459 : if (!s) return gen_0;
1834 17382 : if (lgefint(a) == 3) return utoi(usqrtn(itou(a), n));
1835 11606 : e = expi(a); k = e/(2*n);
1836 11606 : if (k == 0)
1837 : {
1838 : long flag;
1839 291 : if (n > e) return gc_const(av, gen_1);
1840 291 : flag = cmpii(a, powuu(3, n)); set_avma(av);
1841 291 : return (flag < 0) ? gen_2: stoi(3);
1842 : }
1843 11315 : if (e < n*BITS_IN_LONG - 1)
1844 : {
1845 : ulong xs, qs;
1846 4181 : b = itor(a, (2*e < n*BITS_IN_LONG)? DEFAULTPREC: MEDDEFAULTPREC);
1847 4181 : x = mpexp(divru(logr_abs(b), n));
1848 4181 : xs = itou(floorr(x)) + 1; /* >= a^(1/n) */
1849 : for(;;) {
1850 8184 : q = divii(a, powuu(xs, nm1));
1851 8184 : if (lgefint(q) > 3) break;
1852 8177 : qs = itou(q); if (qs >= xs) break;
1853 4003 : xs -= (xs - qs + nm1)/n;
1854 : }
1855 4181 : return utoi(xs);
1856 : }
1857 7134 : b = addui(1, shifti(a, -n*k));
1858 7134 : x = shifti(addui(1, sqrtnint(b, n)), k);
1859 7134 : q = divii(a, powiu(x, nm1));
1860 15994 : while (cmpii(q, x) < 0) /* a priori one iteration, no GC necessary */
1861 : {
1862 8860 : x = subii(x, divis(addui(nm1, subii(x, q)), n));
1863 8860 : q = divii(a, powiu(x, nm1));
1864 : }
1865 7134 : return gerepileuptoleaf(av, x);
1866 : }
1867 :
1868 : ulong
1869 7659 : usqrtn(ulong a, ulong n)
1870 : {
1871 : ulong x, s, q;
1872 7659 : const ulong nm1 = n - 1;
1873 7659 : if (!n) pari_err_DOMAIN("sqrtnint", "n", "=", gen_0, utoi(n));
1874 7659 : if (n == 1 || a == 0) return a;
1875 7659 : s = 1 + expu(a)/n; x = 1UL << s;
1876 7659 : q = (nm1*s >= BITS_IN_LONG)? 0: a >> (nm1*s);
1877 19624 : while (q < x) {
1878 : ulong X;
1879 11965 : x -= (x - q + nm1)/n;
1880 11965 : X = upowuu(x, nm1);
1881 11965 : q = X? a/X: 0;
1882 : }
1883 7659 : return x;
1884 : }
1885 :
1886 : static ulong
1887 1722793 : cubic_prec_mask(long n)
1888 : {
1889 1722793 : long a = n, i;
1890 1722793 : ulong mask = 0;
1891 1722793 : for(i = 1;; i++, mask *= 3)
1892 8194662 : {
1893 9917455 : long c = a%3;
1894 9917455 : if (c) mask += 3 - c;
1895 9917455 : a = (a+2)/3;
1896 9917455 : if (a==1) return mask + upowuu(3, i);
1897 : }
1898 : }
1899 :
1900 : /* cubic Newton iteration, |a|^(1/n), assuming a != 0 */
1901 : GEN
1902 2741267 : sqrtnr_abs(GEN a, long n)
1903 : {
1904 : pari_sp av;
1905 : GEN x, b;
1906 : long eextra, eold, n1, n2, prec, B, v;
1907 : ulong mask;
1908 :
1909 2741267 : if (n == 1) return mpabs(a);
1910 2740623 : if (n == 2) return sqrtr_abs(a);
1911 :
1912 2443695 : prec = realprec(a); v = expo(a) / n; av = avma;
1913 2443695 : if (v) a = shiftr(a, -n*v);
1914 2443718 : b = rtor(a, DEFAULTPREC);
1915 2443736 : x = mpexp(divru(logr_abs(b), n));
1916 2443743 : if (prec == DEFAULTPREC)
1917 : {
1918 758351 : if (v) shiftr_inplace(x, v);
1919 758352 : return gerepileuptoleaf(av, x);
1920 : }
1921 1685392 : n1 = n+1;
1922 1685392 : n2 = 2*n;
1923 1685392 : B = prec2nbits(prec);
1924 1685392 : eextra = expu(n)-1;
1925 1685392 : mask = cubic_prec_mask(B + 63);
1926 1685392 : eold = 1;
1927 : for(;;)
1928 6718836 : { /* reach 64 */
1929 8404228 : long enew = eold * 3;
1930 8404228 : enew -= mask % 3;
1931 8404228 : if (enew > 64) break; /* back up one step */
1932 6718836 : mask /= 3;
1933 6718836 : eold = enew;
1934 : }
1935 : for(;;)
1936 1313275 : {
1937 2998667 : long pr, enew = eold * 3;
1938 : GEN y, z;
1939 2998667 : enew -= mask % 3;
1940 2998667 : mask /= 3;
1941 2998667 : pr = nbits2prec(enew + eextra);
1942 2998667 : b = rtor(a, pr); setsigne(b,1);
1943 2998667 : x = rtor(x, pr);
1944 2998667 : y = subrr(powru(x, n), b);
1945 2998667 : z = divrr(y, addrr(mulur(n1, y), mulur(n2, b)));
1946 2998667 : shiftr_inplace(z,1);
1947 2998667 : x = mulrr(x, subsr(1,z));
1948 2998667 : if (mask == 1)
1949 : {
1950 1685392 : if (v) shiftr_inplace(x, v);
1951 1685392 : return gerepileuptoleaf(av, gprec_wtrunc(x,prec));
1952 : }
1953 1313275 : eold = enew;
1954 : }
1955 : }
1956 :
1957 : static void
1958 53872 : shiftc_inplace(GEN z, long d)
1959 : {
1960 53872 : shiftr_inplace(gel(z,1), d);
1961 53872 : shiftr_inplace(gel(z,2), d);
1962 53872 : }
1963 :
1964 : /* exp(2*Pi*I/n), same iteration as sqrtnr_abs, different initial point */
1965 : static GEN
1966 543205 : sqrtnof1(ulong n, long prec)
1967 : {
1968 : pari_sp av;
1969 : GEN x;
1970 : long eold, n1, n2, B;
1971 : ulong mask;
1972 :
1973 543205 : B = prec2nbits(prec);
1974 543205 : n1 = n+1;
1975 543205 : n2 = 2*n; av = avma;
1976 :
1977 543205 : x = expIr(divru(Pi2n(1, LOWDEFAULTPREC), n));
1978 543204 : if (prec == LOWDEFAULTPREC) return gerepileupto(av, x);
1979 37401 : mask = cubic_prec_mask(B + BITS_IN_LONG-1);
1980 37401 : eold = 1;
1981 : for(;;)
1982 146080 : { /* reach BITS_IN_LONG */
1983 183481 : long enew = eold * 3;
1984 183481 : enew -= mask % 3;
1985 183481 : if (enew > BITS_IN_LONG) break; /* back up one step */
1986 146080 : mask /= 3;
1987 146080 : eold = enew;
1988 : }
1989 : for(;;)
1990 16471 : {
1991 53872 : long pr, enew = eold * 3;
1992 : GEN y, z;
1993 53872 : enew -= mask % 3;
1994 53872 : mask /= 3;
1995 53872 : pr = nbits2prec(enew);
1996 53872 : x = cxtofp(x, pr);
1997 53872 : y = gsub(gpowgs(x, n), gen_1);
1998 53872 : z = gdiv(y, gaddgs(gmulsg(n1, y), n2));
1999 53872 : shiftc_inplace(z,1);
2000 53872 : x = gmul(x, gsubsg(1, z));
2001 53872 : if (mask == 1) return gerepilecopy(av, gprec_w(x,prec));
2002 16471 : eold = enew;
2003 : }
2004 : }
2005 :
2006 : /* exp(2iPi/d) */
2007 : GEN
2008 2059524 : rootsof1u_cx(ulong n, long prec)
2009 : {
2010 2059524 : switch(n)
2011 : {
2012 13006 : case 1: return gen_1;
2013 2884 : case 2: return gen_m1;
2014 652544 : case 4: return gen_I();
2015 39998 : case 3: case 6: case 12:
2016 : {
2017 39998 : pari_sp av = avma;
2018 39998 : GEN a = (n == 3)? mkfrac(gen_m1,gen_2): ghalf;
2019 39998 : GEN sq3 = sqrtr_abs(utor(3, prec));
2020 39998 : shiftr_inplace(sq3, -1);
2021 39998 : a = (n == 12)? mkcomplex(sq3, a): mkcomplex(a, sq3);
2022 39998 : return gerepilecopy(av, a);
2023 : }
2024 807894 : case 8:
2025 : {
2026 807894 : pari_sp av = avma;
2027 807894 : GEN sq2 = sqrtr_abs(utor(2, prec));
2028 807889 : shiftr_inplace(sq2,-1);
2029 807887 : return gerepilecopy(av, mkcomplex(sq2, sq2));
2030 : }
2031 : }
2032 543198 : return sqrtnof1(n, prec);
2033 : }
2034 : /* e(a/b) */
2035 : GEN
2036 14154 : rootsof1q_cx(long a, long b, long prec)
2037 : {
2038 14154 : long g = cgcd(a,b);
2039 : GEN z;
2040 14154 : if (g != 1) { a /= g; b /= g; }
2041 14154 : if (b < 0) { b = -b; a = -a; }
2042 14154 : z = rootsof1u_cx(b, prec);
2043 14154 : if (a < 0) { z = conj_i(z); a = -a; }
2044 14154 : return gpowgs(z, a);
2045 : }
2046 :
2047 : /* initializes powers of e(a/b) */
2048 : GEN
2049 14987 : rootsof1powinit(long a, long b, long prec)
2050 : {
2051 14987 : long g = cgcd(a,b);
2052 14987 : if (g != 1) { a /= g; b /= g; }
2053 14987 : if (b < 0) { b = -b; a = -a; }
2054 14987 : a %= b; if (a < 0) a += b;
2055 14987 : return mkvec2(grootsof1(b,prec), mkvecsmall2(a,b));
2056 : }
2057 : /* T = rootsof1powinit(a,b); return e(a/b)^c */
2058 : GEN
2059 12516441 : rootsof1pow(GEN T, long c)
2060 : {
2061 12516441 : GEN vz = gel(T,1), ab = gel(T,2);
2062 12516441 : long a = ab[1], b = ab[2]; /* a >= 0, b > 0 */
2063 12516441 : c %= b; if (c < 0) c += b;
2064 12516441 : a = Fl_mul(a, c, b);
2065 12516441 : return gel(vz, a + 1);
2066 : }
2067 :
2068 : /* exp(2iPi/d), assume d a t_INT */
2069 : GEN
2070 4480 : rootsof1_cx(GEN d, long prec)
2071 : {
2072 4480 : if (lgefint(d) == 3) return rootsof1u_cx((ulong)d[2], prec);
2073 0 : return expIr(divri(Pi2n(1,prec), d));
2074 : }
2075 :
2076 : GEN
2077 41953 : gsqrtn(GEN x, GEN n, GEN *zetan, long prec)
2078 : {
2079 : long i, lx, tx;
2080 : pari_sp av;
2081 : GEN y, z;
2082 41953 : if (typ(n)!=t_INT) pari_err_TYPE("sqrtn",n);
2083 41953 : if (!signe(n)) pari_err_DOMAIN("sqrtn", "n", "=", gen_0, n);
2084 41953 : if (is_pm1(n))
2085 : {
2086 70 : if (zetan) *zetan = gen_1;
2087 70 : return (signe(n) > 0)? gcopy(x): ginv(x);
2088 : }
2089 41883 : if (zetan) *zetan = gen_0;
2090 41883 : tx = typ(x);
2091 41883 : if (is_matvec_t(tx))
2092 : {
2093 7 : y = cgetg_copy(x, &lx);
2094 21 : for (i=1; i<lx; i++) gel(y,i) = gsqrtn(gel(x,i),n,NULL,prec);
2095 7 : return y;
2096 : }
2097 41876 : av = avma;
2098 41876 : switch(tx)
2099 : {
2100 182 : case t_INTMOD:
2101 : {
2102 182 : GEN p = gel(x,1), s;
2103 182 : z = gen_0;
2104 182 : y = cgetg(3,t_INTMOD); gel(y,1) = icopy(p);
2105 182 : if (zetan) { z = cgetg(3,t_INTMOD); gel(z,1) = gel(y,1); }
2106 182 : s = Fp_sqrtn(gel(x,2),n,p,zetan);
2107 161 : if (!s) {
2108 35 : if (zetan) return gc_const(av,gen_0);
2109 28 : if (!BPSW_psp(p)) pari_err_PRIME("sqrtn [modulus]",p);
2110 14 : pari_err_SQRTN("gsqrtn",x);
2111 : }
2112 126 : gel(y,2) = s;
2113 126 : if (zetan) { gel(z,2) = *zetan; *zetan = z; }
2114 126 : return y;
2115 : }
2116 :
2117 56 : case t_PADIC:
2118 56 : y = Qp_sqrtn(x,n,zetan);
2119 49 : if (!y) {
2120 7 : if (zetan) return gen_0;
2121 7 : pari_err_SQRTN("gsqrtn",x);
2122 : }
2123 42 : return y;
2124 :
2125 196 : case t_FFELT: return FF_sqrtn(x,n,zetan);
2126 :
2127 40980 : case t_INT: case t_FRAC: case t_REAL: case t_COMPLEX:
2128 40980 : i = precision(x); if (i) prec = i;
2129 40980 : if (isint1(x))
2130 7 : y = real_1(prec);
2131 40973 : else if (gequal0(x))
2132 : {
2133 : long b;
2134 21 : if (signe(n) < 0) pari_err_INV("gsqrtn",x);
2135 21 : if (isinexactreal(x))
2136 14 : b = sdivsi(gexpo(x), n);
2137 : else
2138 7 : b = -prec2nbits(prec);
2139 21 : if (typ(x) == t_COMPLEX)
2140 : {
2141 7 : y = cgetg(3,t_COMPLEX);
2142 7 : gel(y,1) = gel(y,2) = real_0_bit(b);
2143 : }
2144 : else
2145 14 : y = real_0_bit(b);
2146 : }
2147 : else
2148 : {
2149 40952 : long nn = itos_or_0(n);
2150 40952 : if (tx == t_INT) { x = itor(x,prec); tx = t_REAL; }
2151 40952 : if (nn > 0 && tx == t_REAL && signe(x) > 0)
2152 31009 : y = sqrtnr(x, nn);
2153 : else
2154 9943 : y = gexp(gdiv(glog(x,prec), n), prec);
2155 40952 : y = gerepileupto(av, y);
2156 : }
2157 40980 : if (zetan) *zetan = rootsof1_cx(n, prec);
2158 40980 : return y;
2159 :
2160 7 : case t_QUAD:
2161 7 : return gsqrtn(quadtofp(x, prec), n, zetan, prec);
2162 :
2163 455 : default:
2164 455 : av = avma; if (!(y = toser_i(x))) break;
2165 455 : return gerepileupto(av, ser_powfrac(y, ginv(n), prec));
2166 : }
2167 0 : pari_err_TYPE("sqrtn",x);
2168 : return NULL;/* LCOV_EXCL_LINE */
2169 : }
2170 :
2171 : /********************************************************************/
2172 : /** **/
2173 : /** EXP(X) - 1 **/
2174 : /** **/
2175 : /********************************************************************/
2176 : /* exp(|x|) - 1, assume x != 0.
2177 : * For efficiency, x should be reduced mod log(2): if so, we have a < 0 */
2178 : GEN
2179 16039986 : exp1r_abs(GEN x)
2180 : {
2181 16039986 : long l = realprec(x), a = expo(x), b = prec2nbits(l), L, i, n, m, B;
2182 : GEN y, p2, X;
2183 : pari_sp av;
2184 : double d;
2185 :
2186 16039814 : if (b + a <= 0) return mpabs(x);
2187 :
2188 16024466 : y = cgetr(l); av = avma;
2189 16024472 : B = b/3 + BITS_IN_LONG + (BITS_IN_LONG*BITS_IN_LONG)/ b;
2190 16024472 : d = a/2.; m = (long)(d + sqrt(d*d + B)); /* >= 0 */
2191 16024472 : if (m < (-a) * 0.1) m = 0; /* not worth it */
2192 : /* Multiplication is quadratic in this range (l is small, otherwise we
2193 : * use logAGM + Newton). Set Y = 2^(-e-a) x, compute truncated series
2194 : * sum_{k <= n} Y^k/k!: this costs roughly
2195 : * m b^2 + sum_{k <= n} (k e + BITS_IN_LONG)^2
2196 : * bit operations with n ~ b/e, |x| < 2^(1+a), |Y| < 2^(1-e) , m = e+a and
2197 : * b bits of accuracy needed, so
2198 : * B := (b / 3 + BITS_IN_LONG + BITS_IN_LONG^2 / b) ~ m(m-a)
2199 : * we want b ~ 3 m (m-a) or m~b+a hence
2200 : * m = min( a/2 + sqrt(a^2/4 + B), b + a )
2201 : * NB: e ~ (b/3)^(1/2) as b -> oo
2202 : *
2203 : * Truncate the sum at k = n (>= 1), the remainder is
2204 : * sum_{k >= n+1} Y^k / k! < Y^(n+1) / (n+1)! (1-Y) < Y^(n+1) / n!
2205 : * We want Y^(n+1) / n! <= Y 2^-b, hence -n log_2 |Y| + log_2 n! >= b
2206 : * log n! ~ (n + 1/2) log(n+1) - (n+1) + log(2Pi)/2,
2207 : * error bounded by 1/6(n+1) <= 1/12. Finally, we want
2208 : * n (-1/log(2) -log_2 |Y| + log_2(n+1)) >= b */
2209 16024472 : d = m-dbllog2(x)-1/M_LN2; /* ~ -log_2 Y - 1/log(2) */
2210 16025309 : while (d <= 0) { d++; m++; } /* d < 0 can occur from expm1 */
2211 16025303 : L = l + nbits2extraprec(m);
2212 16025245 : b += m;
2213 16025245 : n = (long)(b / d); /* > 0 */
2214 16025245 : if (n == 1)
2215 743248 : n = (long)(b / (d + log2((double)n+1))); /* log ~ const in small ranges */
2216 17384173 : while (n*(d+log2((double)n+1)) < b) n++; /* expect few corrections */
2217 :
2218 16025245 : X = rtor(x,L); shiftr_inplace(X, -m); setsigne(X, 1);
2219 16025940 : if (n == 1) p2 = X;
2220 : else
2221 : {
2222 16025940 : long s = 0, l1 = nbits2prec((long)(d + n + 16));
2223 16025723 : GEN unr = real_1(L);
2224 : pari_sp av2;
2225 :
2226 16025349 : p2 = cgetr(L); av2 = avma;
2227 253962397 : for (i=n; i>=2; i--, set_avma(av2))
2228 : { /* compute X^(n-1)/n! + ... + X/2 + 1 */
2229 : GEN p1, p3;
2230 238027063 : setprec(X,l1); p3 = divru(X,i);
2231 238288254 : l1 += nbits2extraprec(dvmdsBIL(s - expo(p3), &s)<<TWOPOTBITS_IN_LONG);
2232 238246525 : if (l1>L) l1=L;
2233 238246525 : setprec(unr,l1); p1 = addrr_sign(unr,1, i == n? p3: mulrr(p3,p2),1);
2234 237819894 : setprec(p2,l1); affrr(p1,p2); /* p2 <- 1 + (X/i)*p2 */
2235 : }
2236 16024215 : setprec(X,L); p2 = mulrr(X,p2);
2237 : }
2238 :
2239 16025789 : B = prec2nbits(L);
2240 161595169 : for (i = 1; i <= m; i++)
2241 : {
2242 145568534 : if (realprec(p2) > L) setprec(p2,L);
2243 145568534 : if (expo(p2) < -B)
2244 0 : shiftr_inplace(p2, 1); /* 2 + p2 ~ 2 and may blow up accuracy */
2245 : else
2246 145568534 : p2 = mulrr(p2, addsr(2,p2));
2247 : }
2248 16026635 : affrr_fixlg(p2,y); return gc_const(av,y);
2249 : }
2250 :
2251 : GEN
2252 10800 : mpexpm1(GEN x)
2253 : {
2254 10800 : const long s = 6;
2255 10800 : long B, l, sx = signe(x);
2256 : GEN y, z;
2257 : pari_sp av;
2258 10800 : if (!sx) return real_0_bit(expo(x));
2259 10793 : l = realprec(x);
2260 10793 : if (l > maxss(EXPNEWTON_LIMIT, BITS_IN_LONG<<s))
2261 : {
2262 6 : long e = expo(x);
2263 6 : if (e < 0) x = rtor(x, l + nbits2extraprec(-e));
2264 6 : return subrs(mpexp(x), 1);
2265 : }
2266 10787 : if (sx > 0) return exp1r_abs(x);
2267 4900 : B = prec2nbits(l);
2268 4900 : if (cmpsr(-B, x) > 0) return real_m1(l);
2269 : /* compute exp(x) * (1 - exp(-x)) */
2270 4893 : av = avma; y = exp1r_abs(x); /* > 0 */
2271 4893 : if (expo(y) >= -B) { z = addsr(1, y); y = divrr(y, z); }
2272 4893 : setsigne(y, -1);
2273 4893 : return gerepileuptoleaf(av, y);
2274 : }
2275 :
2276 : static GEN serexp(GEN x, long prec);
2277 : GEN
2278 12609 : gexpm1(GEN x, long prec)
2279 : {
2280 12609 : switch(typ(x))
2281 : {
2282 4577 : case t_REAL: return mpexpm1(x);
2283 5932 : case t_COMPLEX: return cxexpm1(x,prec);
2284 14 : case t_PADIC: return gsubgs(Qp_exp(x), 1);
2285 2086 : default:
2286 : {
2287 2086 : pari_sp av = avma;
2288 : long ey;
2289 : GEN y;
2290 2086 : if (!(y = toser_i(x))) break;
2291 2065 : ey = valser(y);
2292 2065 : if (ey < 0) pari_err_DOMAIN("expm1","valuation", "<", gen_0, x);
2293 2065 : if (gequal0(y)) return gcopy(y);
2294 2058 : if (ey)
2295 504 : return gerepileupto(av, gsubgs(serexp(y,prec), 1));
2296 : else
2297 : {
2298 1554 : GEN e1 = gexpm1(gel(y,2), prec), e = gaddgs(e1,1);
2299 1554 : y = gmul(e, serexp(serchop0(y),prec));
2300 1554 : gel(y,2) = e1;
2301 1554 : return gerepilecopy(av, y);
2302 : }
2303 : }
2304 : }
2305 21 : return trans_eval("expm1",gexpm1,x,prec);
2306 : }
2307 : /********************************************************************/
2308 : /** **/
2309 : /** EXP(X) **/
2310 : /** **/
2311 : /********************************************************************/
2312 : static GEN
2313 15977446 : mpexp_basecase(GEN x)
2314 : {
2315 15977446 : pari_sp av = avma;
2316 15977446 : long sh, l = realprec(x);
2317 : GEN y, z;
2318 :
2319 15977446 : y = modlog2(x, &sh);
2320 15977064 : if (!y) { set_avma(av); return real2n(sh, l); }
2321 15977064 : z = addsr(1, exp1r_abs(y));
2322 15976771 : if (signe(y) < 0) z = invr(z);
2323 15977323 : if (sh) {
2324 12871223 : shiftr_inplace(z, sh);
2325 12871079 : if (realprec(z) > l) z = rtor(z, l); /* spurious precision increase */
2326 : }
2327 : #ifdef DEBUG
2328 : {
2329 : GEN t = mplog(z), u = divrr(subrr(x, t),x);
2330 : if (signe(u) && expo(u) > 5-prec2nbits(minss(l,realprec(t))))
2331 : pari_err_BUG("exp");
2332 : }
2333 : #endif
2334 15977410 : return gerepileuptoleaf(av, z); /* NOT affrr, precision often increases */
2335 : }
2336 :
2337 : GEN
2338 16117552 : mpexp(GEN x)
2339 : {
2340 16117552 : const long s = 6; /*Initial steps using basecase*/
2341 16117552 : long i, p, l = realprec(x), sh;
2342 : GEN a, t, z;
2343 : ulong mask;
2344 :
2345 16117552 : if (l <= maxss(EXPNEWTON_LIMIT, (BITS_IN_LONG<<s) + 2))
2346 : {
2347 16117485 : if (!signe(x)) return mpexp0(x);
2348 15977394 : return mpexp_basecase(x);
2349 : }
2350 11 : z = cgetr(l); /* room for result */
2351 13 : x = modlog2(x, &sh);
2352 13 : if (!x) { set_avma((pari_sp)(z+lg(z))); return real2n(sh, l); }
2353 13 : constpi(l); /* precompute for later logr_abs() */
2354 13 : mask = quadratic_prec_mask(prec2nbits(l)+BITS_IN_LONG);
2355 168 : for(i=0, p=1; i<s+TWOPOTBITS_IN_LONG; i++) { p <<= 1; if (mask & 1) p-=1; mask >>= 1; }
2356 13 : a = mpexp_basecase(rtor(x, nbits2prec(p)));
2357 13 : x = addrs(x,1);
2358 13 : if (realprec(x) < l+EXTRAPREC64) x = rtor(x, l+EXTRAPREC64);
2359 13 : a = rtor(a, l+EXTRAPREC64); /*append 0s */
2360 13 : t = NULL;
2361 : for(;;)
2362 : {
2363 14 : p <<= 1; if (mask & 1) p--;
2364 14 : mask >>= 1;
2365 14 : setprec(x, nbits2prec(p));
2366 14 : setprec(a, nbits2prec(p));
2367 14 : t = mulrr(a, subrr(x, logr_abs(a))); /* a (x - log(a)) */
2368 14 : if (mask == 1) break;
2369 1 : affrr(t, a); set_avma((pari_sp)a);
2370 : }
2371 13 : affrr(t,z);
2372 13 : if (sh) shiftr_inplace(z, sh);
2373 13 : return gc_const((pari_sp)z, z);
2374 : }
2375 :
2376 : /* x != 0; k = ceil(tn / (te-1)), t = p-1 */
2377 : long
2378 98 : Qp_exp_prec(GEN x)
2379 : {
2380 98 : long e = valp(x), n = precp(x);
2381 : ulong a, b, q, r, p, t;
2382 :
2383 98 : if (e < 1) return -1;
2384 77 : if (e > n) return 1;
2385 77 : p = itos_or_0(gel(x,2));
2386 77 : if (!p) return n / e + 1;
2387 77 : if (p == 2) return e < 2? -1: ceildivuu(n, e - 1);
2388 : /* n >= e > 0, n = qe + r */
2389 : /* tn = q (te-1) + rt + q = (q+1)(te-1) - t(e-r) + q + 1 */
2390 63 : t = p - 1;
2391 63 : if (e == 1) return n + ceildivuu(n, t - 1);
2392 0 : q = n / e;
2393 0 : r = n % e; /* k = q + 1 if rt + q < te */
2394 0 : a = umuluu_or_0(e - r, t); if (!a || a > q) return q + 1;
2395 0 : b = umuluu_or_0(e, t); if (!b) return q + 2;
2396 0 : return q + 1 + ceildivuu(q + 1 - a, b - 1);
2397 : }
2398 :
2399 : static GEN
2400 108759 : Qp_exp_safe(GEN x)
2401 : {
2402 108759 : pari_sp av = avma;
2403 108759 : GEN p = gel(x,2), a = gel(x,4), z;
2404 108759 : long d = precp(x), v = valp(x), e = d+v;
2405 108759 : if (gequal0(x)) return gaddgs(x,1);
2406 107254 : if (v < (equaliu(p,2)? 2:1)) return NULL;
2407 107247 : z = Zp_exp(mulii(a,powiu(p,v)), p, e);
2408 107244 : return gerepileupto(av, Z_to_padic(z, p, e));
2409 : }
2410 :
2411 : GEN
2412 108297 : Qp_exp(GEN x)
2413 : {
2414 108297 : GEN y = Qp_exp_safe(x);
2415 108295 : if (!y) pari_err_DOMAIN("gexp(t_PADIC)","argument","",gen_0,x);
2416 108288 : return y;
2417 : }
2418 :
2419 : static GEN
2420 49 : cos_p(GEN x)
2421 : {
2422 : long k;
2423 : pari_sp av;
2424 : GEN x2, y;
2425 :
2426 49 : if (gequal0(x)) return gaddgs(x,1);
2427 28 : k = Qp_exp_prec(x);
2428 28 : if (k < 0) return NULL;
2429 21 : av = avma; x2 = gsqr(x);
2430 21 : if (k & 1) k--;
2431 105 : for (y=gen_1; k; k-=2)
2432 : {
2433 84 : GEN t = gdiv(gmul(y,x2), muluu(k, k-1));
2434 84 : y = gsubsg(1, t);
2435 : }
2436 21 : return gerepileupto(av, y);
2437 : }
2438 : static GEN
2439 63 : sin_p(GEN x)
2440 : {
2441 : long k;
2442 : pari_sp av;
2443 : GEN x2, y;
2444 :
2445 63 : if (gequal0(x)) return gcopy(x);
2446 42 : k = Qp_exp_prec(x);
2447 42 : if (k < 0) return NULL;
2448 28 : av = avma; x2 = gsqr(x);
2449 28 : if (k & 1) k--;
2450 133 : for (y=gen_1; k; k-=2)
2451 : {
2452 105 : GEN t = gdiv(gmul(y,x2), muluu(k, k+1));
2453 105 : y = gsubsg(1, t);
2454 : }
2455 28 : return gerepileupto(av, gmul(y, x));
2456 : }
2457 :
2458 : static GEN
2459 3276342 : cxexp(GEN x, long prec)
2460 : {
2461 3276342 : GEN r, p1, p2, y = cgetg(3,t_COMPLEX);
2462 3276352 : pari_sp av = avma, tetpil;
2463 : long l;
2464 3276352 : l = precision(x); if (l > prec) prec = l;
2465 3276360 : if (gequal0(gel(x,1)))
2466 : {
2467 344510 : gsincos(gel(x,2),&gel(y,2),&gel(y,1),prec);
2468 344534 : return y;
2469 : }
2470 2931875 : r = gexp(gel(x,1),prec);
2471 2932234 : gsincos(gel(x,2),&p2,&p1,prec);
2472 2932384 : tetpil = avma;
2473 2932384 : gel(y,1) = gmul(r,p1);
2474 2932163 : gel(y,2) = gmul(r,p2);
2475 2932192 : gerepilecoeffssp(av,tetpil,y+1,2);
2476 2932442 : return y;
2477 : }
2478 :
2479 : /* given a t_SER x^v s(x), with s(0) != 0, return x^v(s - s(0)), shallow */
2480 : GEN
2481 36645 : serchop0(GEN s)
2482 : {
2483 36645 : long i, l = lg(s);
2484 : GEN y;
2485 36645 : if (l == 2) return s;
2486 36645 : if (l == 3 && isexactzero(gel(s,2))) return s;
2487 36645 : y = cgetg(l, t_SER); y[1] = s[1];
2488 164220 : gel(y,2) = gen_0; for (i=3; i <l; i++) gel(y,i) = gel(s,i);
2489 36645 : return normalizeser(y);
2490 : }
2491 :
2492 : GEN
2493 42 : serchop_i(GEN s, long n)
2494 : {
2495 42 : long i, m, l = lg(s);
2496 : GEN y;
2497 42 : if (l == 2 || (l == 3 && isexactzero(gel(s,2))))
2498 : {
2499 14 : if (valser(s) < n) { s = shallowcopy(s); setvalser(s,n); }
2500 14 : return s;
2501 : }
2502 28 : m = n - valser(s); if (m < 0) return s;
2503 21 : if (l-m <= 2) return zeroser(varn(s), n);
2504 14 : y = cgetg(l-m, t_SER); y[1] = s[1]; setvalser(y, valser(y)+m);
2505 42 : for (i=m+2; i < l; i++) gel(y,i-m) = gel(s,i);
2506 14 : return normalizeser(y);
2507 : }
2508 : GEN
2509 42 : serchop(GEN s, long n)
2510 : {
2511 42 : pari_sp av = avma;
2512 42 : if (typ(s) != t_SER) pari_err_TYPE("serchop",s);
2513 42 : return gerepilecopy(av, serchop_i(s,n));
2514 : }
2515 :
2516 : static GEN
2517 80108 : serexp(GEN x, long prec)
2518 : {
2519 80108 : long i, j, lx, ly, mi, e = valser(x);
2520 : GEN y, xd, yd;
2521 : pari_sp av;
2522 :
2523 80108 : if (e < 0) pari_err_DOMAIN("exp","valuation", "<", gen_0, x);
2524 80101 : if (gequal0(x)) return gaddsg(1,x);
2525 69482 : lx = lg(x);
2526 69482 : if (e)
2527 : {
2528 : GEN X;
2529 55496 : ly = lx+e; y = cgetg(ly,t_SER);
2530 566986 : mi = lx-1; while (mi>=3 && isrationalzero(gel(x,mi))) mi--;
2531 55496 : mi += e-2;
2532 55496 : y[1] = evalsigne(1) | _evalvalser(0) | evalvarn(varn(x));
2533 : /* zd[i] = coefficient of X^i in z */
2534 55496 : xd = x+2-e; yd = y+2; ly -= 2;
2535 55496 : X = gel(xd,e); if (e != 1) X = gmulgu(X, e); /* left on stack */
2536 55496 : X = isint1(X)? NULL: X;
2537 55496 : gel(yd,0) = gen_1;
2538 55867 : for (i = 1; i < e; i++) gel(yd,i) = gen_0;
2539 664573 : for ( ; i < ly; i++)
2540 : {
2541 609077 : GEN t = gel(yd,i-e);
2542 609077 : long J = minss(i, mi);
2543 609077 : av = avma; if (X) t = gmul(t, X);
2544 2579318 : for (j = e + 1; j <= J; j++)
2545 1970241 : t = gadd(t, gmulgu(gmul(gel(xd,j),gel(yd,i-j)), j));
2546 609077 : gel(yd,i) = gerepileupto(av, gdivgu(t, i));
2547 : }
2548 55496 : return y;
2549 : }
2550 13986 : av = avma;
2551 13986 : return gerepileupto(av, gmul(gexp(gel(x,2),prec), serexp(serchop0(x),prec)));
2552 : }
2553 :
2554 : static GEN
2555 1468511 : expQ(GEN x, long prec)
2556 : {
2557 1468511 : GEN p, q, z, z0 = NULL;
2558 : pari_sp av;
2559 1468511 : long n, nmax, s, e, b = prec2nbits(prec);
2560 : double ex;
2561 : struct abpq_res R;
2562 : struct abpq S;
2563 :
2564 1468512 : if (typ(x) == t_INT)
2565 : {
2566 24622 : if (!signe(x)) return real_1(prec);
2567 24600 : p = x; q = gen_1;
2568 24600 : e = expi(p);
2569 24596 : if (e > b) return mpexp(itor(x, prec));
2570 : }
2571 : else
2572 : {
2573 1443890 : long ep, eq, B = usqrt(b) / 2;
2574 1443890 : p = gel(x,1); ep = expi(p);
2575 1443890 : q = gel(x,2); eq = expi(q);
2576 1443890 : if (ep > B || eq > B) return mpexp(fractor(x, prec));
2577 14637 : e = ep - eq;
2578 14637 : if (e < -3) prec += nbits2extraprec(-e); /* see addrr 'extend' rule */
2579 : }
2580 39233 : if (e > 2) { z0 = cgetr(prec); prec += EXTRAPREC64; b += BITS_IN_LONG; }
2581 39233 : z = cgetr(prec); av = avma;
2582 39231 : if (e > 0)
2583 : { /* simplify x/2^e = p / (q * 2^e) */
2584 2478 : long v = minss(e, vali(p));
2585 2478 : if (v) p = shifti(p, -v);
2586 2478 : if (e - v) q = shifti(q, e - v);
2587 : }
2588 39231 : s = signe(p);
2589 39231 : if (s < 0) p = negi(p);
2590 39239 : ex = exp2(dbllog2(x) - e) * 2.718281828; /* exp(1) * x / 2^e, x / 2^e < 2 */
2591 39232 : nmax = (long)(1 + exp(dbllambertW0(M_LN2 * b / ex)) * ex);
2592 39232 : abpq_init(&S, nmax);
2593 39253 : S.a[0] = S.b[0] = S.p[0] = S.q[0] = gen_1;
2594 3370367 : for (n = 1; n <= nmax; n++)
2595 : {
2596 3331124 : S.a[n] = gen_1;
2597 3331124 : S.b[n] = gen_1;
2598 3331124 : S.p[n] = p;
2599 3331124 : S.q[n] = muliu(q, n);
2600 : }
2601 39243 : abpq_sum(&R, 0, nmax, &S);
2602 39258 : if (s > 0) rdiviiz(R.T, R.Q, z); else rdiviiz(R.Q, R.T, z);
2603 39254 : if (e > 0)
2604 : {
2605 17136 : q = z; while (e--) q = sqrr(q);
2606 2478 : if (z0) { affrr(q, z0); z = z0; } else affrr(q,z);
2607 : }
2608 39254 : return gc_const(av,z);
2609 : }
2610 :
2611 : GEN
2612 14788567 : gexp(GEN x, long prec)
2613 : {
2614 14788567 : switch(typ(x))
2615 : {
2616 1468513 : case t_INT: case t_FRAC: return expQ(x, prec);
2617 8697220 : case t_REAL: return mpexp(x);
2618 3276383 : case t_COMPLEX: return cxexp(x,prec);
2619 70 : case t_PADIC: return Qp_exp(x);
2620 1346381 : default:
2621 : {
2622 1346381 : pari_sp av = avma;
2623 : GEN y;
2624 1346381 : if (!(y = toser_i(x))) break;
2625 64064 : return gerepileupto(av, serexp(y,prec));
2626 : }
2627 : }
2628 1282934 : return trans_eval("exp",gexp,x,prec);
2629 : }
2630 :
2631 : /********************************************************************/
2632 : /** **/
2633 : /** AGM(X, Y) **/
2634 : /** **/
2635 : /********************************************************************/
2636 : static int
2637 12338653 : agmr_gap(GEN a, GEN b, long L)
2638 : {
2639 12338653 : GEN d = subrr(b, a);
2640 12338653 : return (signe(d) && expo(d) - expo(b) >= L);
2641 : }
2642 : /* assume x > 0 */
2643 : static GEN
2644 849905 : agm1r_abs(GEN x)
2645 : {
2646 849905 : long l = realprec(x), L = 5-prec2nbits(l);
2647 849905 : GEN a1, b1, y = cgetr(l);
2648 849905 : pari_sp av = avma;
2649 :
2650 849905 : a1 = addrr(real_1(l), x); shiftr_inplace(a1, -1);
2651 849905 : b1 = sqrtr_abs(x);
2652 12338653 : while (agmr_gap(a1,b1,L))
2653 : {
2654 11488748 : GEN a = a1;
2655 11488748 : a1 = addrr(a,b1); shiftr_inplace(a1, -1);
2656 11488748 : b1 = sqrtr_abs(mulrr(a,b1));
2657 : }
2658 849905 : affrr_fixlg(a1,y); return gc_const(av,y);
2659 : }
2660 :
2661 : struct agmcx_gap_t { long L, ex, cnt; };
2662 :
2663 : static void
2664 324211 : agmcx_init(GEN x, long *prec, struct agmcx_gap_t *S)
2665 : {
2666 324211 : long l = precision(x);
2667 324211 : if (l) *prec = l;
2668 324211 : S->L = 1-prec2nbits(*prec);
2669 324211 : S->cnt = 0;
2670 324211 : S->ex = LONG_MAX;
2671 324211 : }
2672 :
2673 : static long
2674 324211 : agmcx_a_b(GEN x, GEN *a1, GEN *b1, long prec)
2675 : {
2676 324211 : long rotate = 0;
2677 324211 : if (gsigne(real_i(x))<0)
2678 : { /* Rotate by +/-Pi/2, so that the choice of the principal square
2679 : * root gives the optimal AGM. So a1 = +/-I*a1, b1=sqrt(-x). */
2680 11655 : if (gsigne(imag_i(x))<0) { *a1=mulcxI(*a1); rotate=-1; }
2681 11137 : else { *a1=mulcxmI(*a1); rotate=1; }
2682 11655 : x = gneg(x);
2683 : }
2684 324211 : *b1 = gsqrt(x, prec);
2685 324211 : return rotate;
2686 : }
2687 : /* return 0 if we must stop the AGM loop (a=b or a ~ b), 1 otherwise */
2688 : static int
2689 4850746 : agmcx_gap(GEN a, GEN b, struct agmcx_gap_t *S)
2690 : {
2691 4850746 : GEN d = gsub(b, a);
2692 4850746 : long ex = S->ex;
2693 4850746 : S->ex = gexpo(d);
2694 4850746 : if (gequal0(d) || S->ex - gexpo(b) < S->L) return 0;
2695 : /* if (S->ex >= ex) we're no longer making progress; twice in a row */
2696 4617695 : if (S->ex < ex) S->cnt = 0;
2697 : else
2698 182849 : if (S->cnt++) return 0;
2699 4526535 : return 1;
2700 : }
2701 : static GEN
2702 295462 : agm1cx(GEN x, long prec)
2703 : {
2704 : struct agmcx_gap_t S;
2705 : GEN a1, b1;
2706 295462 : pari_sp av = avma;
2707 : long rotate;
2708 295462 : agmcx_init(x, &prec, &S);
2709 295462 : a1 = gtofp(gmul2n(gadd(real_1(prec), x), -1), prec);
2710 295462 : rotate = agmcx_a_b(x, &a1, &b1, prec);
2711 4668731 : while (agmcx_gap(a1,b1,&S))
2712 : {
2713 4373269 : GEN a = a1;
2714 4373269 : a1 = gmul2n(gadd(a,b1),-1);
2715 4373269 : b1 = gsqrt(gmul(a,b1), prec);
2716 : }
2717 295462 : if (rotate) a1 = rotate>0 ? mulcxI(a1):mulcxmI(a1);
2718 295462 : return gerepilecopy(av,a1);
2719 : }
2720 :
2721 : GEN
2722 28749 : zellagmcx(GEN a0, GEN b0, GEN r, GEN t, long prec)
2723 : {
2724 : struct agmcx_gap_t S;
2725 28749 : pari_sp av = avma;
2726 28749 : GEN x = gdiv(a0, b0), a1, b1;
2727 : long rotate;
2728 28749 : agmcx_init(x, &prec, &S);
2729 28749 : a1 = gtofp(gmul2n(gadd(real_1(prec), x), -1), prec);
2730 28749 : r = gsqrt(gdiv(gmul(a1,gaddgs(r, 1)),gadd(r, x)), prec);
2731 28749 : t = gmul(r, t);
2732 28749 : rotate = agmcx_a_b(x, &a1, &b1, prec);
2733 182015 : while (agmcx_gap(a1,b1,&S))
2734 : {
2735 153266 : GEN a = a1, b = b1;
2736 153266 : a1 = gmul2n(gadd(a,b),-1);
2737 153266 : b1 = gsqrt(gmul(a,b), prec);
2738 153266 : r = gsqrt(gdiv(gmul(a1,gaddgs(r, 1)),gadd(gmul(b, r), a )), prec);
2739 153266 : t = gmul(r, t);
2740 : }
2741 28749 : if (rotate) a1 = rotate>0 ? mulcxI(a1):mulcxmI(a1);
2742 28749 : a1 = gmul(a1, b0);
2743 28749 : t = gatan(gdiv(a1,t), prec);
2744 : /* send t to the fundamental domain if necessary */
2745 28749 : if (gsigne(real_i(t))<0) t = gadd(t, mppi(prec));
2746 28749 : return gerepileupto(av,gdiv(t,a1));
2747 : }
2748 :
2749 : static long
2750 49 : ser_cmp_expo(GEN A, GEN B)
2751 : {
2752 49 : long e = -(long)HIGHEXPOBIT, d = valser(B) - valser(A);
2753 49 : long i, la = lg(A), v = varn(B);
2754 9849 : for (i = 2; i < la; i++)
2755 : {
2756 9800 : GEN a = gel(A,i), b;
2757 : long ei;
2758 9800 : if (isexactzero(a)) continue;
2759 9800 : b = polcoef_i(B, i-2 + d, v);
2760 9800 : ei = gexpo(a);
2761 9800 : if (!isexactzero(b)) ei -= gexpo(b);
2762 9800 : e = maxss(e, ei);
2763 : }
2764 49 : return e;
2765 : }
2766 :
2767 : static GEN
2768 21 : ser_agm1(GEN y, long prec)
2769 : {
2770 21 : GEN a1 = y, b1 = gen_1;
2771 21 : long l = lg(y)-2, l2 = 6-prec2nbits(prec), eold = LONG_MAX;
2772 : for(;;)
2773 84 : {
2774 105 : GEN a = a1, p1;
2775 105 : a1 = gmul2n(gadd(a,b1),-1);
2776 105 : b1 = gsqrt(gmul(a,b1), prec);
2777 105 : p1 = gsub(b1,a1);
2778 105 : if (isinexactreal(p1))
2779 : {
2780 49 : long e = ser_cmp_expo(p1, b1);
2781 49 : if (e < l2 || e >= eold) break;
2782 42 : eold = e;
2783 : }
2784 56 : else if (valser(p1)-valser(b1) >= l || gequal0(p1)) break;
2785 : }
2786 21 : return a1;
2787 : }
2788 :
2789 : /* agm(1,x) */
2790 : static GEN
2791 75135 : agm1(GEN x, long prec)
2792 : {
2793 : GEN y;
2794 : pari_sp av;
2795 :
2796 75135 : if (gequal0(x)) return gcopy(x);
2797 75135 : switch(typ(x))
2798 : {
2799 28 : case t_INT:
2800 28 : if (!is_pm1(x)) break;
2801 21 : return (signe(x) > 0)? real_1(prec): real_0(prec);
2802 :
2803 37811 : case t_REAL: return signe(x) > 0? agm1r_abs(x): agm1cx(x, prec);
2804 :
2805 37156 : case t_COMPLEX:
2806 37156 : if (gequal0(gel(x,2))) return agm1(gel(x,1), prec);
2807 37121 : return agm1cx(x, prec);
2808 :
2809 14 : case t_PADIC:
2810 : {
2811 14 : GEN a1 = x, b1 = gen_1;
2812 14 : long l = precp(x);
2813 14 : av = avma;
2814 : for(;;)
2815 14 : {
2816 28 : GEN a = a1, p1;
2817 : long ep;
2818 28 : a1 = gmul2n(gadd(a,b1),-1);
2819 28 : a = gmul(a,b1);
2820 28 : b1 = Qp_sqrt(a); if (!b1) pari_err_SQRTN("Qp_sqrt",a);
2821 21 : p1 = gsub(b1,a1); ep = valp(p1)-valp(b1);
2822 21 : if (ep<=0) { b1 = gneg_i(b1); p1 = gsub(b1,a1); ep=valp(p1)-valp(b1); }
2823 21 : if (ep >= l || gequal0(p1)) return gerepilecopy(av,a1);
2824 : }
2825 : }
2826 :
2827 126 : default:
2828 126 : av = avma; if (!(y = toser_i(x))) break;
2829 21 : return gerepilecopy(av, ser_agm1(y, prec));
2830 : }
2831 112 : return trans_eval("agm",agm1,x,prec);
2832 : }
2833 :
2834 : GEN
2835 74953 : agm(GEN x, GEN y, long prec)
2836 : {
2837 : pari_sp av;
2838 74953 : if (is_matvec_t(typ(y)))
2839 : {
2840 14 : if (is_matvec_t(typ(x))) pari_err_TYPE2("agm",x,y);
2841 7 : swap(x, y);
2842 : }
2843 74946 : if (gequal0(y)) return gcopy(y);
2844 74946 : av = avma;
2845 74946 : return gerepileupto(av, gmul(y, agm1(gdiv(x,y), prec)));
2846 : }
2847 :
2848 : /* b2 != 0 */
2849 : static GEN
2850 35 : ellK_i(GEN b2, long prec)
2851 35 : { return gdiv(Pi2n(-1, prec), agm1(gsqrt(b2, prec), prec)); }
2852 : GEN
2853 28 : ellK(GEN k, long prec)
2854 : {
2855 28 : pari_sp av = avma;
2856 28 : GEN k2 = gsqr(k), b2 = gsubsg(1, k2);
2857 28 : if (gequal0(b2)) pari_err_DOMAIN("ellK", "k^2", "=", gen_1, k2);
2858 21 : return gerepileupto(av, ellK_i(b2, prec));
2859 : }
2860 :
2861 : static int
2862 84 : magm_gap(GEN a, GEN b, long L)
2863 : {
2864 84 : GEN d = gsub(b, a);
2865 84 : return !gequal0(d) && gexpo(d) - gexpo(b) >= L;
2866 : }
2867 :
2868 : /* http://www.ams.org/notices/201208/rtx120801094p.pdf
2869 : * An Eloquent Formula for the Perimeter of an Ellipse
2870 : * Semjon Adlaj, Notices of the AMS */
2871 : static GEN
2872 14 : magm(GEN a, GEN b, long prec)
2873 : {
2874 14 : long L = -prec2nbits(prec) + 16;
2875 14 : GEN c = gen_0;
2876 84 : while (magm_gap(a, b, L))
2877 : {
2878 70 : GEN u = gsqrt(gmul(gsub(a, c), gsub(b, c)), prec);
2879 70 : a = gmul2n(gadd(a, b), -1);
2880 70 : b = gadd(c, u); c = gsub(c, u);
2881 : }
2882 14 : return gmul2n(gadd(a, b), -1);
2883 : }
2884 :
2885 : GEN
2886 21 : ellE(GEN k, long prec)
2887 : {
2888 21 : pari_sp av = avma;
2889 21 : GEN b2 = gsubsg(1, gsqr(k));
2890 21 : if (gequal0(b2)) { set_avma(av); return real_1(prec); }
2891 14 : return gerepileupto(av, gmul(ellK_i(b2, prec), magm(gen_1, b2, prec)));
2892 : }
2893 :
2894 : /********************************************************************/
2895 : /** **/
2896 : /** LOG(X) **/
2897 : /** **/
2898 : /********************************************************************/
2899 : /* log(2) = 18*atanh(1/26)-2*atanh(1/4801)+8*atanh(1/8749)
2900 : * faster than 10*atanh(1/17)+4*atanh(13/499) for all precisions,
2901 : * and than Pi/2M(1,4/2^n) ~ n log(2) for bitprec at least up to 10^8 */
2902 : static GEN
2903 39192 : log2_split(long prec)
2904 : {
2905 39192 : GEN u = atanhuu(1, 26, prec);
2906 39194 : GEN v = atanhuu(1, 4801, prec);
2907 39182 : GEN w = atanhuu(1, 8749, prec);
2908 39198 : shiftr_inplace(v, 1); setsigne(v, -1);
2909 39195 : shiftr_inplace(w, 3);
2910 39198 : return addrr(mulur(18, u), addrr(v, w));
2911 : }
2912 : GEN
2913 25377108 : constlog2(long prec)
2914 : {
2915 : pari_sp av;
2916 : GEN tmp;
2917 25377108 : if (glog2 && realprec(glog2) >= prec) return glog2;
2918 :
2919 38838 : tmp = cgetr_block(prec);
2920 39192 : av = avma;
2921 39192 : affrr(log2_split(prec+EXTRAPREC64), tmp);
2922 39188 : swap_clone(&glog2,tmp);
2923 39196 : return gc_const(av,glog2);
2924 : }
2925 :
2926 : GEN
2927 25377105 : mplog2(long prec) { return rtor(constlog2(prec), prec); }
2928 :
2929 : /* dont check that q != 2^expo(q), done in logr_abs */
2930 : static GEN
2931 812136 : logagmr_abs(GEN q)
2932 : {
2933 812136 : long prec = realprec(q), e = expo(q), lim;
2934 812136 : GEN z = cgetr(prec), y, Q, _4ovQ;
2935 812136 : pari_sp av = avma;
2936 :
2937 812136 : incrprec(prec);
2938 812136 : lim = prec2nbits(prec) >> 1;
2939 812136 : Q = rtor(q,prec);
2940 812136 : shiftr_inplace(Q,lim-e); setsigne(Q,1);
2941 :
2942 812136 : _4ovQ = invr(Q); shiftr_inplace(_4ovQ, 2); /* 4/Q */
2943 : /* Pi / 2agm(1, 4/Q) ~ log(Q), q = Q * 2^(e-lim) */
2944 812136 : y = divrr(Pi2n(-1, prec), agm1r_abs(_4ovQ));
2945 812136 : y = addrr(y, mulsr(e - lim, mplog2(prec)));
2946 812136 : affrr_fixlg(y, z); return gc_const(av,z);
2947 : }
2948 :
2949 : /* sum_{k >= 0} y^(2k+1) / (2k+1), y close to 0 */
2950 : static GEN
2951 11384213 : logr_aux(GEN y)
2952 : {
2953 11384213 : long k, L = realprec(y); /* should be ~ l+1 - (k-2) */
2954 : /* log(x) = log(1+y) - log(1-y) = 2 sum_{k odd} y^k / k
2955 : * Truncate the sum at k = 2n+1, the remainder is
2956 : * 2 sum_{k >= 2n+3} y^k / k < 2y^(2n+3) / (2n+3)(1-y) < y^(2n+3)
2957 : * We want y^(2n+3) < y 2^(-prec2nbits(L)), hence
2958 : * n+1 > -prec2nbits(L) /-log_2(y^2) */
2959 11384213 : double d = -2*dbllog2r(y); /* ~ -log_2(y^2) */
2960 11384287 : k = (long)(2*(prec2nbits(L) / d));
2961 11384255 : k |= 1;
2962 11384255 : if (k >= 3)
2963 : {
2964 11362549 : GEN T, S = cgetr(L), y2 = sqrr(y), unr = real_1(L);
2965 11362592 : pari_sp av = avma;
2966 11362592 : long s = 0, incs = (long)d, l1 = nbits2prec((long)d);
2967 11362666 : setprec(S, l1);
2968 11362596 : setprec(unr,l1); affrr(divru(unr,k), S);
2969 200322443 : for (k -= 2;; k -= 2) /* k = 2n+1, ..., 1 */
2970 : { /* S = y^(2n+1-k)/(2n+1) + ... + 1 / k */
2971 200322443 : setprec(y2, l1); T = mulrr(S,y2);
2972 200327545 : if (k == 1) break;
2973 :
2974 188965200 : l1 += nbits2extraprec(dvmdsBIL(s + incs, &s)<<TWOPOTBITS_IN_LONG);
2975 188945446 : if (l1>L) l1=L;
2976 188945446 : setprec(S, l1);
2977 188954004 : setprec(unr,l1);
2978 188936150 : affrr(addrr(divru(unr, k), T), S); set_avma(av);
2979 : }
2980 : /* k = 1 special-cased for eficiency */
2981 11362345 : y = mulrr(y, addsr(1,T)); /* = log(X)/2 */
2982 : }
2983 11384230 : return y;
2984 : }
2985 : /*return log(|x|), assuming x != 0 */
2986 : GEN
2987 12980195 : logr_abs(GEN X)
2988 : {
2989 12980195 : long EX, L, m, k, a, b, l = lg(X), p = realprec(X);
2990 : GEN z, x, y;
2991 : ulong u;
2992 : double d;
2993 :
2994 : /* Assuming 1 < x < 2, we want delta = x-1, 1-x/2, 1-1/x, or 2/x-1 small.
2995 : * We have 2/x-1 > 1-x/2, 1-1/x < x-1. So one should be choosing between
2996 : * 1-1/x and 1-x/2 ( crossover sqrt(2), worse ~ 0.29 ). To avoid an inverse,
2997 : * we choose between x-1 and 1-x/2 ( crossover 4/3, worse ~ 0.33 ) */
2998 12980195 : EX = expo(X);
2999 12980195 : u = uel(X,2);
3000 12980195 : k = 2;
3001 12980195 : if (u > (~0UL / 3) * 2) { /* choose 1-x/2 */
3002 7208849 : EX++; u = ~u;
3003 7278213 : while (!u && ++k < l) { u = uel(X,k); u = ~u; }
3004 : } else { /* choose x - 1 */
3005 5771346 : u &= ~HIGHBIT; /* u - HIGHBIT, assuming HIGHBIT set */
3006 7060510 : while (!u && ++k < l) u = uel(X,k);
3007 : }
3008 12980195 : if (k == l) return EX? mulsr(EX, mplog2(p)): real_0(p);
3009 12196596 : a = bit_accuracy(k) + bfffo(u); /* ~ -log2 |1-x| */
3010 12196672 : L = p+EXTRAPRECWORD;
3011 12196672 : b = prec2nbits(L - (bit_accuracy(k))); /* take loss of accuracy into account */
3012 12196663 : if (b > 24*a*log2(prec2lg(L)) && p > LOGAGM_LIMIT) return logagmr_abs(X);
3013 :
3014 11384584 : z = cgetr(EX? p: p - bit_accuracy(k));
3015 :
3016 : /* Multiplication is quadratic in this range (l is small, otherwise we
3017 : * use AGM). Set Y = x^(1/2^m), y = (Y - 1) / (Y + 1) and compute truncated
3018 : * series sum y^(2k+1)/(2k+1): the costs is less than
3019 : * m b^2 + sum_{k <= n} ((2k+1) e + BITS_IN_LONG)^2
3020 : * bit operations with |x-1| < 2^(1-a), |Y| < 2^(1-e) , m = e-a and b bits of
3021 : * accuracy needed (+ BITS_IN_LONG since bit accuracies increase by
3022 : * increments of BITS_IN_LONG), so
3023 : * 4n^3/3 e^2 + n^2 2e BITS_IN_LONG+ n BITS_IN_LONG ~ m b^2, with n ~ b/2e
3024 : * or b/6e + BITS_IN_LONG/2e + BITS_IN_LONG/2be ~ m
3025 : * B := (b / 6 + BITS_IN_LONG/2 + BITS_IN_LONG^2 / 2b) ~ m(m+a)
3026 : * m = min( -a/2 + sqrt(a^2/4 + B), b - a )
3027 : * NB: e ~ (b/6)^(1/2) as b -> oo
3028 : * Instead of the above pessimistic estimate for the cost of the sum, use
3029 : * optimistic estimate (BITS_IN_LONG -> 0) */
3030 11384464 : d = -a/2.; m = (long)(d + sqrt(d*d + b/6)); /* >= 0 */
3031 :
3032 11384464 : if (m > b-a) m = b-a;
3033 11384464 : if (m < 0.2*a) m = 0; else L += nbits2extraprec(m);
3034 11384486 : x = rtor(X,L);
3035 11384617 : setsigne(x,1); shiftr_inplace(x,-EX);
3036 : /* 2/3 < x < 4/3 */
3037 65437553 : for (k=1; k<=m; k++) x = sqrtr_abs(x);
3038 :
3039 11384476 : y = divrr(subrs(x,1), addrs(x,1)); /* = (x-1) / (x+1), close to 0 */
3040 11384201 : y = logr_aux(y); /* log(1+y) - log(1-y) = log(x) */
3041 11384155 : shiftr_inplace(y, m + 1);
3042 11384047 : if (EX) y = addrr(y, mulsr(EX, mplog2(p+EXTRAPRECWORD)));
3043 11383908 : affrr_fixlg(y, z); return gc_const((pari_sp)z, z);
3044 : }
3045 :
3046 : /* assume Im(q) != 0 and precision(q) >= prec. Compute log(q) with accuracy
3047 : * prec [disregard input accuracy] */
3048 : GEN
3049 258299 : logagmcx(GEN q, long prec)
3050 : {
3051 258299 : GEN z = cgetc(prec), y, Q, a, b;
3052 : long lim, e, ea, eb;
3053 258299 : pari_sp av = avma;
3054 258299 : int neg = 0;
3055 :
3056 258299 : incrprec(prec);
3057 258299 : if (gsigne(gel(q,1)) < 0) { q = gneg(q); neg = 1; }
3058 258299 : lim = prec2nbits(prec) >> 1;
3059 258299 : Q = gtofp(q, prec);
3060 258299 : a = gel(Q,1);
3061 258299 : b = gel(Q,2);
3062 258299 : if (gequal0(a)) {
3063 0 : affrr_fixlg(logr_abs(b), gel(z,1));
3064 0 : y = Pi2n(-1, prec);
3065 0 : if (signe(b) < 0) setsigne(y, -1);
3066 0 : affrr_fixlg(y, gel(z,2)); return gc_const(av,z);
3067 : }
3068 258299 : ea = expo(a);
3069 258299 : eb = expo(b);
3070 258299 : e = ea <= eb ? lim - eb : lim - ea;
3071 258299 : shiftr_inplace(a, e);
3072 258299 : shiftr_inplace(b, e);
3073 :
3074 : /* Pi / 2agm(1, 4/Q) ~ log(Q), q = Q * 2^e */
3075 258299 : y = gdiv(Pi2n(-1, prec), agm1cx( gdivsg(4, Q), prec ));
3076 258299 : a = gel(y,1);
3077 258299 : b = gel(y,2);
3078 258299 : a = addrr(a, mulsr(-e, mplog2(prec)));
3079 258299 : if (realprec(a) <= LOWDEFAULTPREC) a = real_0_bit(expo(a));
3080 389307 : if (neg) b = gsigne(b) <= 0? gadd(b, mppi(prec))
3081 131008 : : gsub(b, mppi(prec));
3082 258299 : affrr_fixlg(a, gel(z,1));
3083 258299 : affrr_fixlg(b, gel(z,2)); return gc_const(av,z);
3084 : }
3085 :
3086 : GEN
3087 203444 : mplog(GEN x)
3088 : {
3089 203444 : if (signe(x)<=0) pari_err_DOMAIN("mplog", "argument", "<=", gen_0, x);
3090 203444 : return logr_abs(x);
3091 : }
3092 :
3093 : /* pe = p^e, p prime, 0 < x < pe a t_INT coprime to p. Return the (p-1)-th
3094 : * root of 1 in (Z/pe)^* congruent to x mod p, resp x mod 4 if p = 2.
3095 : * Simplified form of Zp_sqrtnlift: 1/(p-1) is trivial to compute */
3096 : GEN
3097 9933 : Zp_teichmuller(GEN x, GEN p, long e, GEN pe)
3098 : {
3099 : GEN q, z, p1;
3100 : pari_sp av;
3101 : ulong mask;
3102 9933 : if (absequaliu(p,2)) return (mod4(x) & 2)? subiu(pe,1): gen_1;
3103 9394 : if (e == 1) return icopy(x);
3104 9394 : av = avma;
3105 9394 : p1 = subiu(p, 1);
3106 9394 : mask = quadratic_prec_mask(e);
3107 9394 : q = p; z = remii(x, p);
3108 31192 : while (mask > 1)
3109 : { /* Newton iteration solving z^{1 - p} = 1, z = x (mod p) */
3110 21798 : GEN w, t, qold = q;
3111 21798 : if (mask <= 3) /* last iteration */
3112 9394 : q = pe;
3113 : else
3114 : {
3115 12404 : q = sqri(q);
3116 12404 : if (mask & 1) q = diviiexact(q, p);
3117 : }
3118 21798 : mask >>= 1;
3119 : /* q <= qold^2 */
3120 21798 : if (lgefint(q) == 3)
3121 : {
3122 21650 : ulong Z = uel(z,2), Q = uel(q,2), P1 = uel(p1,2);
3123 21650 : ulong W = (Q-1) / P1; /* -1/(p-1) + O(qold) */
3124 21650 : ulong T = Fl_mul(W, Fl_powu(Z,P1,Q) - 1, Q);
3125 21650 : Z = Fl_mul(Z, 1 + T, Q);
3126 21650 : z = utoi(Z);
3127 : }
3128 : else
3129 : {
3130 148 : w = diviiexact(subiu(qold,1),p1); /* -1/(p-1) + O(qold) */
3131 148 : t = Fp_mul(w, subiu(Fp_pow(z,p1,q), 1), q);
3132 148 : z = Fp_mul(z, addui(1,t), q);
3133 : }
3134 : }
3135 9394 : return gerepileuptoint(av, z);
3136 : }
3137 :
3138 : GEN
3139 1225 : teichmullerinit(long p, long n)
3140 : {
3141 : GEN t, pn, g, v;
3142 : ulong gp, tp;
3143 : long a, m;
3144 :
3145 1225 : if (p == 2) return mkvec(gen_1);
3146 1225 : if (!uisprime(p)) pari_err_PRIME("teichmullerinit",utoipos(p));
3147 :
3148 1225 : m = p >> 1; /* (p-1)/2 */
3149 1225 : tp= gp= pgener_Fl(p); /* order (p-1), gp^m = -1 */
3150 1225 : pn = powuu(p, n);
3151 1225 : v = cgetg(p, t_VEC);
3152 1225 : t = g = Zp_teichmuller(utoipos(gp), utoipos(p), n, pn);
3153 1225 : gel(v, 1) = gen_1;
3154 1225 : gel(v, p-1) = subiu(pn,1);
3155 3031 : for (a = 1; a < m; a++)
3156 : {
3157 1806 : gel(v, tp) = t;
3158 1806 : gel(v, p - tp) = Fp_neg(t, pn); /* g^(m+a) = -g^a */
3159 1806 : if (a < m-1)
3160 : {
3161 1029 : t = Fp_mul(t, g, pn); /* g^(a+1) */
3162 1029 : tp = Fl_mul(tp, gp, p); /* t mod p */
3163 : }
3164 : }
3165 1225 : return v;
3166 : }
3167 :
3168 : /* tab from teichmullerinit or NULL */
3169 : GEN
3170 4977 : teichmuller(GEN x, GEN tab)
3171 : {
3172 : GEN p, q, y, z;
3173 4977 : long n, tx = typ(x);
3174 :
3175 4977 : if (!tab)
3176 : {
3177 4865 : if (tx == t_VEC && lg(x) == 3)
3178 : {
3179 7 : p = gel(x,1);
3180 7 : q = gel(x,2);
3181 7 : if (typ(p) == t_INT && typ(q) == t_INT)
3182 7 : return teichmullerinit(itos(p), itos(q));
3183 : }
3184 : }
3185 112 : else if (typ(tab) != t_VEC) pari_err_TYPE("teichmuller",tab);
3186 4970 : if (tx!=t_PADIC) pari_err_TYPE("teichmuller",x);
3187 4970 : z = gel(x,4);
3188 4970 : if (!signe(z)) return gcopy(x);
3189 4970 : p = gel(x,2);
3190 4970 : q = gel(x,3);
3191 4970 : n = precp(x);
3192 4970 : y = cgetg(5,t_PADIC);
3193 4970 : y[1] = evalprecp(n) | _evalvalp(0);
3194 4970 : gel(y,2) = icopy(p);
3195 4970 : gel(y,3) = icopy(q);
3196 4970 : if (tab)
3197 : {
3198 112 : ulong pp = itou_or_0(p);
3199 112 : if (lg(tab) != (long)pp) pari_err_TYPE("teichmuller",tab);
3200 112 : z = gel(tab, umodiu(z, pp));
3201 112 : if (typ(z) != t_INT) pari_err_TYPE("teichmuller",tab);
3202 112 : z = remii(z, q);
3203 : }
3204 : else
3205 4858 : z = Zp_teichmuller(z, p, n, q);
3206 4970 : gel(y,4) = z;
3207 4970 : return y;
3208 : }
3209 : GEN
3210 4739 : teich(GEN x) { return teichmuller(x, NULL); }
3211 :
3212 : GEN
3213 16451444 : glog(GEN x, long prec)
3214 : {
3215 : pari_sp av, tetpil;
3216 : GEN y, p1;
3217 : long l;
3218 :
3219 16451444 : switch(typ(x))
3220 : {
3221 9614200 : case t_REAL:
3222 9614200 : if (signe(x) >= 0)
3223 : {
3224 7928896 : if (!signe(x)) pari_err_DOMAIN("log", "argument", "=", gen_0, x);
3225 7928882 : return logr_abs(x);
3226 : }
3227 1685304 : retmkcomplex(logr_abs(x), mppi(realprec(x)));
3228 :
3229 514377 : case t_FRAC:
3230 : {
3231 : GEN a, b;
3232 : long e1, e2;
3233 514377 : av = avma;
3234 514377 : a = gel(x,1);
3235 514377 : b = gel(x,2);
3236 514377 : e1 = expi(subii(a,b)); e2 = expi(b);
3237 514377 : if (e2 > e1) prec += nbits2extraprec(e2 - e1);
3238 514377 : x = fractor(x, prec);
3239 514377 : return gerepileupto(av, glog(x, prec));
3240 : }
3241 3952537 : case t_COMPLEX:
3242 3952537 : if (ismpzero(gel(x,2))) return glog(gel(x,1), prec);
3243 3941587 : l = precision(x); if (l > prec) prec = l;
3244 3941586 : if (ismpzero(gel(x,1)))
3245 : {
3246 72874 : GEN a = gel(x,2), b;
3247 72874 : av = avma; b = Pi2n(-1,prec);
3248 72876 : if (gsigne(a) < 0) { setsigne(b, -1); a = gabs(a,prec); }
3249 72876 : a = isint1(a) ? gen_0: glog(a,prec);
3250 72876 : return gerepilecopy(av, mkcomplex(a, b));
3251 : }
3252 3868709 : if (prec >= LOGAGMCX_LIMIT) return logagmcx(x, prec);
3253 3610594 : y = cgetg(3,t_COMPLEX);
3254 3610593 : gel(y,2) = garg(x,prec);
3255 3610602 : av = avma; p1 = glog(cxnorm(x),prec); tetpil = avma;
3256 3610612 : gel(y,1) = gerepile(av,tetpil,gmul2n(p1,-1)); return y;
3257 :
3258 322 : case t_PADIC: return Qp_log(x);
3259 2370008 : default:
3260 2370008 : av = avma; if (!(y = toser_i(x))) break;
3261 139 : if (!signe(y)) pari_err_DOMAIN("log", "argument", "=", gen_0, x);
3262 139 : if (valser(y)) pari_err_DOMAIN("log", "series valuation", "!=", gen_0, x);
3263 132 : p1 = integser(gdiv(derivser(y), y)); /* log(y)' = y'/y */
3264 133 : if (!gequal1(gel(y,2))) p1 = gadd(p1, glog(gel(y,2),prec));
3265 133 : return gerepileupto(av, p1);
3266 : }
3267 2370166 : return trans_eval("log",glog,x,prec);
3268 : }
3269 :
3270 : static GEN
3271 63 : mplog1p(GEN x)
3272 : {
3273 : long ex, a, b, l, L;
3274 63 : if (!signe(x)) return rcopy(x);
3275 63 : ex = expo(x); if (ex >= -3) return glog(addrs(x,1), 0);
3276 42 : a = -ex;
3277 42 : b = realprec(x); L = b+1;
3278 42 : if (b > a*log2(L) && b > LOGAGM_LIMIT)
3279 : {
3280 0 : x = addrs(x,1); l = b + nbits2extraprec(a);
3281 0 : if (realprec(x) < l) x = rtor(x,l);
3282 0 : return logagmr_abs(x);
3283 : }
3284 42 : x = rtor(x, L);
3285 42 : x = logr_aux(divrr(x, addrs(x,2)));
3286 42 : if (realprec(x) > b) fixlg(x, b);
3287 42 : shiftr_inplace(x,1); return x;
3288 : }
3289 :
3290 : static GEN log1p_i(GEN x, long prec);
3291 : static GEN
3292 14 : cxlog1p(GEN x, long prec)
3293 : {
3294 : pari_sp av;
3295 14 : GEN z, a, b = gel(x,2);
3296 : long l;
3297 14 : if (ismpzero(b)) return log1p_i(gel(x,1), prec);
3298 14 : l = precision(x); if (l > prec) prec = l;
3299 14 : if (prec >= LOGAGMCX_LIMIT) return logagmcx(gaddgs(x,1), prec);
3300 14 : a = gel(x,1);
3301 14 : z = cgetg(3,t_COMPLEX); av = avma;
3302 14 : a = gadd(gadd(gmul2n(a,1), gsqr(a)), gsqr(b));
3303 14 : a = log1p_i(a, prec); shiftr_inplace(a,-1);
3304 14 : gel(z,1) = gerepileupto(av, a);
3305 14 : gel(z,2) = garg(gaddgs(x,1),prec); return z;
3306 : }
3307 : static GEN
3308 133 : log1p_i(GEN x, long prec)
3309 : {
3310 133 : switch(typ(x))
3311 : {
3312 63 : case t_REAL: return mplog1p(x);
3313 14 : case t_COMPLEX: return cxlog1p(x, prec);
3314 7 : case t_PADIC: return Qp_log(gaddgs(x,1));
3315 49 : default:
3316 : {
3317 : long ey;
3318 : GEN y;
3319 49 : if (!(y = toser_i(x))) break;
3320 21 : ey = valser(y);
3321 21 : if (ey < 0) pari_err_DOMAIN("log1p","valuation", "<", gen_0, x);
3322 21 : if (gequal0(y)) return gcopy(y);
3323 14 : if (ey)
3324 7 : return glog(gaddgs(y,1),prec);
3325 : else
3326 : {
3327 7 : GEN a = gel(y,2), a1 = gaddgs(a,1);
3328 7 : y = gdiv(y, a1); gel(y,2) = gen_1;
3329 7 : return gadd(glog1p(a,prec), glog(y, prec));
3330 : }
3331 : }
3332 : }
3333 28 : return trans_eval("log1p",glog1p,x,prec);
3334 : }
3335 : GEN
3336 119 : glog1p(GEN x, long prec)
3337 : {
3338 119 : pari_sp av = avma;
3339 119 : return gerepileupto(av, log1p_i(x, prec));
3340 : }
3341 : /********************************************************************/
3342 : /** **/
3343 : /** SINE, COSINE **/
3344 : /** **/
3345 : /********************************************************************/
3346 :
3347 : /* Reduce x0 mod Pi/2 to x in [-Pi/4, Pi/4]. Return cos(x)-1 */
3348 : static GEN
3349 10329698 : mpcosm1(GEN x, long *ptmod8)
3350 : {
3351 10329698 : long a = expo(x), l = realprec(x), b, L, i, n, m, B;
3352 : GEN y, u, x2;
3353 : double d;
3354 :
3355 10329698 : n = 0;
3356 10329698 : if (a >= 0)
3357 : {
3358 : long p;
3359 : GEN q;
3360 8382066 : if (a > 30)
3361 : {
3362 7 : GEN z, P = Pi2n(-2, nbits2prec(a + 32));
3363 7 : z = addrr(x,P); /* = x + Pi/4 */
3364 7 : if (expo(z) >= bit_prec(z) + 3) pari_err_PREC("mpcosm1");
3365 7 : shiftr_inplace(P, 1);
3366 7 : q = floorr(divrr(z, P)); /* round ( x / (Pi/2) ) */
3367 7 : p = l+EXTRAPREC64; x = rtor(x,p);
3368 : } else {
3369 8382059 : q = stoi((long)floor(rtodbl(x) / (M_PI/2) + 0.5));
3370 8382056 : p = l;
3371 : }
3372 8382226 : if (signe(q))
3373 : {
3374 8382067 : GEN y = subrr(x, mulir(q, Pi2n(-1,p))); /* x mod Pi/2 */
3375 8381879 : long b = expo(y);
3376 8381879 : if (a - b < 7) x = y;
3377 : else
3378 : {
3379 4361763 : p += nbits2extraprec(a-b); x = rtor(x, p);
3380 4361770 : x = subrr(x, mulir(q, Pi2n(-1,p)));
3381 : }
3382 8381828 : a = b;
3383 8381828 : if (!signe(x) && a >= 0) pari_err_PREC("mpcosm1");
3384 8381828 : n = Mod4(q);
3385 : }
3386 : }
3387 : /* a < 0 */
3388 10329649 : b = signe(x); *ptmod8 = (b < 0)? 4 + n: n;
3389 10329649 : if (!b) return real_0_bit(expo(x)*2 - 1);
3390 :
3391 10329649 : b = prec2nbits(l);
3392 10329600 : if (b + 2*a <= 0) {
3393 1380860 : y = sqrr(x); shiftr_inplace(y, -1); setsigne(y, -1);
3394 1380856 : return y;
3395 : }
3396 :
3397 8948740 : y = cgetr(l);
3398 8948778 : B = b/6 + BITS_IN_LONG/2 + (BITS_IN_LONG*BITS_IN_LONG/2)/ b;
3399 8948778 : d = a/2.; m = (long)(d + sqrt(d*d + B)); /* >= 0 ,*/
3400 8948778 : if (m < (-a) * 0.1) m = 0; /* not worth it */
3401 8948778 : L = l + nbits2extraprec(m);
3402 :
3403 8948812 : b += m;
3404 8948812 : d = 2.0 * (m-dbllog2r(x)-1/M_LN2); /* ~ 2( - log_2 Y - 1/log(2) ) */
3405 8948881 : n = (long)(b / d);
3406 8948881 : if (n > 1)
3407 8890948 : n = (long)(b / (d + log2((double)n+1))); /* log~constant in small ranges */
3408 18932072 : while (n*(d+log2((double)n+1)) < b) n++; /* expect few corrections */
3409 :
3410 : /* Multiplication is quadratic in this range (l is small, otherwise we
3411 : * use logAGM + Newton). Set Y = 2^(-e-a) x, compute truncated series
3412 : * sum Y^2k/(2k)!: this costs roughly
3413 : * m b^2 + sum_{k <= n} (2k e + BITS_IN_LONG)^2
3414 : * ~ (b/2e) b^2 / 3 + m b^2
3415 : * bit operations with n ~ b/2e, |x| < 2^(1+a), |Y| < 2^(1-e) , m = e+a and
3416 : * b bits of accuracy needed, so
3417 : * B := (b / 6 + BITS_IN_LONG/2 + BITS_IN_LONG^2 / 2b) ~ m(m-a)
3418 : * we want b ~ 6 m (m-a) or m~b+a hence
3419 : * m = min( a/2 + sqrt(a^2/4 + b/6), b/2 + a )
3420 : * NB: e ~ (b/6)^(1/2) or b/2.
3421 : *
3422 : * Truncate the sum at k = n (>= 1), the remainder is
3423 : * < sum_{k >= n+1} Y^2k / 2k! < Y^(2n+2) / (2n+2)!(1-Y^2) < Y^(2n+2)/(2n+1)!
3424 : * We want ... <= Y^2 2^-b, hence -2n log_2 |Y| + log_2 (2n+1)! >= b
3425 : * log n! ~ (n + 1/2) log(n+1) - (n+1) + log(2Pi)/2,
3426 : * error bounded by 1/6(n+1) <= 1/12. Finally, we want
3427 : * 2n (-1/log(2) - log_2 |Y| + log_2(2n+2)) >= b */
3428 8948881 : x = rtor(x, L); shiftr_inplace(x, -m); setsigne(x, 1);
3429 8948826 : x2 = sqrr(x);
3430 8948733 : if (n == 1) { u = x2; shiftr_inplace(u, -1); setsigne(u, -1); } /*-Y^2/2*/
3431 : else
3432 : {
3433 8948733 : GEN un = real_1(L);
3434 : pari_sp av;
3435 8948743 : long s = 0, l1 = nbits2prec((long)(d + n + 16));
3436 :
3437 8948715 : u = cgetr(L); av = avma;
3438 112593027 : for (i = n; i >= 2; i--)
3439 : {
3440 : GEN t;
3441 103644300 : setprec(x2,l1); t = divrunextu(x2, 2*i-1);
3442 103645031 : l1 += nbits2extraprec(dvmdsBIL(s - expo(t), &s)<<TWOPOTBITS_IN_LONG);
3443 103642673 : if (l1 > L) l1 = L;
3444 103642673 : if (i != n) t = mulrr(t,u);
3445 103643086 : setprec(un,l1); t = addrr_sign(un,1, t,-signe(t));
3446 103630809 : setprec(u,l1); affrr(t,u); set_avma(av);
3447 : }
3448 8948727 : shiftr_inplace(u, -1); togglesign(u); /* u := -u/2 */
3449 8948680 : setprec(x2,L); u = mulrr(x2,u);
3450 : }
3451 : /* Now u = sum {1<= i <=n} (-1)^i x^(2i) / (2i)! ~ cos(x) - 1 */
3452 76274333 : for (i = 1; i <= m; i++)
3453 : { /* u = cos(x)-1 <- cos(2x)-1 = 2cos(x)^2 - 2 = 4u + 2u^2*/
3454 67328023 : GEN q = sqrr(u);
3455 67336323 : shiftr_inplace(u, 1); u = addrr(u, q);
3456 67327653 : shiftr_inplace(u, 1);
3457 67325300 : if ((i & 31) == 0) u = gerepileuptoleaf((pari_sp)y, u);
3458 : }
3459 8946310 : affrr_fixlg(u, y); return y;
3460 : }
3461 :
3462 : /* sqrt (|1 - (1+x)^2|) = sqrt(|x*(x+2)|). Sends cos(x)-1 to |sin(x)| */
3463 : static GEN
3464 8633735 : mpaut(GEN x)
3465 : {
3466 8633735 : GEN t = mulrr(x, addsr(2,x)); /* != 0 */
3467 8633820 : if (!signe(t)) return real_0_bit(expo(t) >> 1);
3468 8633820 : return sqrtr_abs(t);
3469 : }
3470 :
3471 : /********************************************************************/
3472 : /** COSINE **/
3473 : /********************************************************************/
3474 :
3475 : GEN
3476 2745071 : mpcos(GEN x)
3477 : {
3478 : long mod8;
3479 : pari_sp av;
3480 : GEN y, z;
3481 :
3482 2745071 : if (!signe(x)) {
3483 75 : long l = nbits2prec(-expo(x));
3484 75 : if (l < LOWDEFAULTPREC) l = LOWDEFAULTPREC;
3485 75 : return real_1(l);
3486 : }
3487 2744996 : av = avma; z = mpcosm1(x,&mod8);
3488 2744975 : switch(mod8)
3489 : {
3490 760057 : case 0: case 4: y = addsr(1,z); break;
3491 688609 : case 1: case 7: y = mpaut(z); togglesign(y); break;
3492 682286 : case 2: case 6: y = subsr(-1,z); break;
3493 614023 : default: y = mpaut(z); break; /* case 3: case 5: */
3494 : }
3495 2745012 : return gerepileuptoleaf(av, y);
3496 : }
3497 :
3498 : /* convert INT or FRAC to REAL, which is later reduced mod 2Pi : avoid
3499 : * cancellation */
3500 : static GEN
3501 13260 : tofp_safe(GEN x, long prec)
3502 : {
3503 13260 : return (typ(x) == t_INT || gexpo(x) > 0)? gadd(x, real_0(prec))
3504 26515 : : fractor(x, prec);
3505 : }
3506 :
3507 : GEN
3508 154850 : gcos(GEN x, long prec)
3509 : {
3510 : pari_sp av;
3511 : GEN a, b, u, v, y, u1, v1;
3512 : long i;
3513 :
3514 154850 : switch(typ(x))
3515 : {
3516 153583 : case t_REAL: return mpcos(x);
3517 28 : case t_COMPLEX:
3518 28 : a = gel(x,1);
3519 28 : b = gel(x,2);
3520 28 : if (isintzero(a)) return gcosh(b, prec);
3521 14 : i = precision(x); if (i) prec = i;
3522 14 : y = cgetc(prec); av = avma;
3523 14 : if (typ(b) != t_REAL) b = gtofp(b, prec);
3524 14 : mpsinhcosh(b, &u1, &v1); u1 = mpneg(u1);
3525 14 : if (typ(a) != t_REAL) a = gtofp(a, prec);
3526 14 : mpsincos(a, &u, &v);
3527 14 : affrr_fixlg(gmul(v1,v), gel(y,1));
3528 14 : affrr_fixlg(gmul(u1,u), gel(y,2)); return gc_const(av,y);
3529 :
3530 1156 : case t_INT: case t_FRAC:
3531 1156 : y = cgetr(prec); av = avma;
3532 1156 : affrr_fixlg(mpcos(tofp_safe(x,prec)), y); return gc_const(av,y);
3533 :
3534 49 : case t_PADIC: y = cos_p(x);
3535 49 : if (!y) pari_err_DOMAIN("gcos(t_PADIC)","argument","",gen_0,x);
3536 42 : return y;
3537 :
3538 34 : default:
3539 34 : av = avma; if (!(y = toser_i(x))) break;
3540 28 : if (gequal0(y)) return gerepileupto(av, gaddsg(1,y));
3541 28 : if (valser(y) < 0)
3542 7 : pari_err_DOMAIN("cos","valuation", "<", gen_0, x);
3543 21 : gsincos(y,&u,&v,prec);
3544 21 : return gerepilecopy(av,v);
3545 : }
3546 7 : return trans_eval("cos",gcos,x,prec);
3547 : }
3548 : /********************************************************************/
3549 : /** SINE **/
3550 : /********************************************************************/
3551 :
3552 : GEN
3553 826137 : mpsin(GEN x)
3554 : {
3555 : long mod8;
3556 : pari_sp av;
3557 : GEN y, z;
3558 :
3559 826137 : if (!signe(x)) return real_0_bit(expo(x));
3560 825928 : av = avma; z = mpcosm1(x,&mod8);
3561 825908 : switch(mod8)
3562 : {
3563 309971 : case 0: case 6: y = mpaut(z); break;
3564 129042 : case 1: case 5: y = addsr(1,z); break;
3565 262404 : case 2: case 4: y = mpaut(z); togglesign(y); break;
3566 124491 : default: y = subsr(-1,z); break; /* case 3: case 7: */
3567 : }
3568 825953 : return gerepileuptoleaf(av, y);
3569 : }
3570 :
3571 : GEN
3572 859071 : gsin(GEN x, long prec)
3573 : {
3574 : pari_sp av;
3575 : GEN a, b, u, v, y, v1, u1;
3576 : long i;
3577 :
3578 859071 : switch(typ(x))
3579 : {
3580 820963 : case t_REAL: return mpsin(x);
3581 32711 : case t_COMPLEX:
3582 32711 : a = gel(x,1);
3583 32711 : b = gel(x,2);
3584 32711 : if (isintzero(a)) retmkcomplex(gen_0,gsinh(b,prec));
3585 17402 : i = precision(x); if (i) prec = i;
3586 17402 : y = cgetc(prec); av = avma;
3587 17402 : if (typ(b) != t_REAL) b = gtofp(b, prec);
3588 17402 : mpsinhcosh(b, &u1, &v1);
3589 17402 : if (typ(a) != t_REAL) a = gtofp(a, prec);
3590 17402 : mpsincos(a, &u, &v);
3591 17402 : affrr_fixlg(gmul(v1,u), gel(y,1));
3592 17402 : affrr_fixlg(gmul(u1,v), gel(y,2)); return gc_const(av,y);
3593 :
3594 5118 : case t_INT: case t_FRAC:
3595 5118 : y = cgetr(prec); av = avma;
3596 5118 : affrr_fixlg(mpsin(tofp_safe(x,prec)), y); return gc_const(av,y);
3597 :
3598 49 : case t_PADIC: y = sin_p(x);
3599 49 : if (!y) pari_err_DOMAIN("gsin(t_PADIC)","argument","",gen_0,x);
3600 42 : return y;
3601 :
3602 230 : default:
3603 230 : av = avma; if (!(y = toser_i(x))) break;
3604 224 : if (gequal0(y)) return gerepilecopy(av, y);
3605 224 : if (valser(y) < 0)
3606 7 : pari_err_DOMAIN("sin","valuation", "<", gen_0, x);
3607 217 : gsincos(y,&u,&v,prec);
3608 217 : return gerepilecopy(av,u);
3609 : }
3610 7 : return trans_eval("sin",gsin,x,prec);
3611 : }
3612 : /********************************************************************/
3613 : /** SINE, COSINE together **/
3614 : /********************************************************************/
3615 :
3616 : void
3617 6756867 : mpsincos(GEN x, GEN *s, GEN *c)
3618 : {
3619 : long mod8;
3620 : pari_sp av, tetpil;
3621 : GEN z, *gptr[2];
3622 :
3623 6756867 : if (!signe(x))
3624 : {
3625 3924 : long e = expo(x);
3626 3924 : *s = real_0_bit(e);
3627 3924 : *c = e >= 0? real_0_bit(e): real_1_bit(-e);
3628 3924 : return;
3629 : }
3630 :
3631 6752943 : av = avma; z = mpcosm1(x, &mod8); tetpil = avma;
3632 6753035 : switch(mod8)
3633 : {
3634 1590495 : case 0: *c = addsr( 1,z); *s = mpaut(z); break;
3635 446669 : case 1: *s = addsr( 1,z); *c = mpaut(z); togglesign(*c); break;
3636 839725 : case 2: *c = subsr(-1,z); *s = mpaut(z); togglesign(*s); break;
3637 428594 : case 3: *s = subsr(-1,z); *c = mpaut(z); break;
3638 885625 : case 4: *c = addsr( 1,z); *s = mpaut(z); togglesign(*s); break;
3639 431932 : case 5: *s = addsr( 1,z); *c = mpaut(z); break;
3640 1664412 : case 6: *c = subsr(-1,z); *s = mpaut(z); break;
3641 465619 : case 7: *s = subsr(-1,z); *c = mpaut(z); togglesign(*c); break;
3642 : }
3643 6753020 : gptr[0] = s; gptr[1] = c; gerepilemanysp(av,tetpil,gptr,2);
3644 : }
3645 :
3646 : /* SINE and COSINE - 1 */
3647 : void
3648 5890 : mpsincosm1(GEN x, GEN *s, GEN *c)
3649 : {
3650 : long mod8;
3651 : pari_sp av, tetpil;
3652 : GEN z, *gptr[2];
3653 :
3654 5890 : if (!signe(x))
3655 : {
3656 0 : long e = expo(x);
3657 0 : *s = real_0_bit(e);
3658 0 : *c = real_0_bit(2*e-1);
3659 0 : return;
3660 : }
3661 5890 : av = avma; z = mpcosm1(x,&mod8); tetpil = avma;
3662 5890 : switch(mod8)
3663 : {
3664 4924 : case 0: *c = rcopy(z); *s = mpaut(z); break;
3665 42 : case 1: *s = addsr(1,z); *c = addrs(mpaut(z),1); togglesign(*c); break;
3666 0 : case 2: *c = subsr(-2,z); *s = mpaut(z); togglesign(*s); break;
3667 0 : case 3: *s = subsr(-1,z); *c = subrs(mpaut(z),1); break;
3668 819 : case 4: *c = rcopy(z); *s = mpaut(z); togglesign(*s); break;
3669 91 : case 5: *s = addsr( 1,z); *c = subrs(mpaut(z),1); break;
3670 7 : case 6: *c = subsr(-2,z); *s = mpaut(z); break;
3671 7 : case 7: *s = subsr(-1,z); *c = subsr(-1,mpaut(z)); break;
3672 : }
3673 5890 : gptr[0] = s; gptr[1] = c;
3674 5890 : gerepilemanysp(av,tetpil,gptr,2);
3675 : }
3676 :
3677 : /* return exp(ix), x a t_REAL */
3678 : GEN
3679 866610 : expIr(GEN x)
3680 : {
3681 866610 : pari_sp av = avma;
3682 866610 : GEN v = cgetg(3,t_COMPLEX);
3683 866613 : mpsincos(x, (GEN*)(v+2), (GEN*)(v+1));
3684 866616 : if (!signe(gel(v,2))) return gerepilecopy(av, gel(v,1));
3685 863931 : return v;
3686 : }
3687 :
3688 : /* return exp(ix)-1, x a t_REAL */
3689 : static GEN
3690 5890 : expm1_Ir(GEN x)
3691 : {
3692 5890 : pari_sp av = avma;
3693 5890 : GEN v = cgetg(3,t_COMPLEX);
3694 5890 : mpsincosm1(x, (GEN*)(v+2), (GEN*)(v+1));
3695 5890 : if (!signe(gel(v,2))) return gerepilecopy(av, gel(v,1));
3696 5890 : return v;
3697 : }
3698 :
3699 : /* return exp(z)-1, z complex */
3700 : GEN
3701 5946 : cxexpm1(GEN z, long prec)
3702 : {
3703 5946 : pari_sp av = avma;
3704 5946 : GEN X, Y, x = real_i(z), y = imag_i(z);
3705 5946 : long l = precision(z);
3706 5946 : if (l) prec = l;
3707 5946 : if (typ(x) != t_REAL) x = gtofp(x, prec);
3708 5946 : if (typ(y) != t_REAL) y = gtofp(y, prec);
3709 5946 : if (gequal0(y)) return mpexpm1(x);
3710 5890 : if (gequal0(x)) return expm1_Ir(y);
3711 5757 : X = mpexpm1(x); /* t_REAL */
3712 5757 : Y = expm1_Ir(y);
3713 : /* exp(x+iy) - 1 = (exp(x)-1)(exp(iy)-1) + exp(x)-1 + exp(iy)-1 */
3714 5757 : return gerepileupto(av, gadd(gadd(X,Y), gmul(X,Y)));
3715 : }
3716 :
3717 : void
3718 3285935 : gsincos(GEN x, GEN *s, GEN *c, long prec)
3719 : {
3720 : long i, j, ex, ex2, lx, ly, mi;
3721 : pari_sp av, tetpil;
3722 : GEN y, r, u, v, u1, v1, p1, p2, p3, p4, ps, pc;
3723 : GEN *gptr[4];
3724 :
3725 3285935 : switch(typ(x))
3726 : {
3727 6954 : case t_INT: case t_FRAC:
3728 6954 : *s = cgetr(prec);
3729 6953 : *c = cgetr(prec); av = avma;
3730 6952 : mpsincos(tofp_safe(x, prec), &ps, &pc);
3731 6956 : affrr_fixlg(ps,*s);
3732 3286103 : affrr_fixlg(pc,*c); set_avma(av); return;
3733 :
3734 3274375 : case t_REAL:
3735 3274375 : mpsincos(x,s,c); return;
3736 :
3737 4130 : case t_COMPLEX:
3738 4130 : i = precision(x); if (i) prec = i;
3739 4130 : ps = cgetc(prec); *s = ps;
3740 4130 : pc = cgetc(prec); *c = pc; av = avma;
3741 4130 : r = gexp(gel(x,2),prec);
3742 4130 : v1 = gmul2n(addrr(invr(r),r), -1); /* = cos(I*Im(x)) */
3743 4130 : u1 = subrr(r, v1); /* = I*sin(I*Im(x)) */
3744 4130 : gsincos(gel(x,1), &u,&v, prec);
3745 4130 : affrr_fixlg(mulrr(v1,u), gel(ps,1));
3746 4130 : affrr_fixlg(mulrr(u1,v), gel(ps,2));
3747 4130 : affrr_fixlg(mulrr(v1,v), gel(pc,1));
3748 4130 : affrr_fixlg(mulrr(u1,u), gel(pc,2)); togglesign(gel(pc,2));
3749 4130 : set_avma(av); return;
3750 :
3751 0 : case t_QUAD:
3752 0 : av = avma; gsincos(quadtofp(x, prec), s, c, prec);
3753 0 : gerepileall(av, 2, s, c); return;
3754 :
3755 476 : default:
3756 476 : av = avma; if (!(y = toser_i(x))) break;
3757 504 : if (gequal0(y)) { *s = gerepilecopy(av,y); *c = gaddsg(1,*s); return; }
3758 :
3759 504 : ex = valser(y); lx = lg(y); ex2 = 2*ex+2;
3760 504 : if (ex < 0) pari_err_DOMAIN("gsincos","valuation", "<", gen_0, x);
3761 504 : if (ex2 > lx)
3762 : {
3763 98 : *s = x == y? gcopy(y): gerepilecopy(av, y); av = avma;
3764 98 : *c = gerepileupto(av, gsubsg(1, gdivgu(gsqr(y),2)));
3765 98 : return;
3766 : }
3767 406 : if (!ex)
3768 : {
3769 105 : gsincos(serchop0(y),&u,&v,prec);
3770 105 : gsincos(gel(y,2),&u1,&v1,prec);
3771 105 : p1 = gmul(v1,v);
3772 105 : p2 = gmul(u1,u);
3773 105 : p3 = gmul(v1,u);
3774 105 : p4 = gmul(u1,v); tetpil = avma;
3775 105 : *c = gsub(p1,p2);
3776 105 : *s = gadd(p3,p4);
3777 105 : gptr[0]=s; gptr[1]=c;
3778 105 : gerepilemanysp(av,tetpil,gptr,2);
3779 105 : return;
3780 : }
3781 :
3782 301 : ly = lx+2*ex;
3783 2842 : mi = lx-1; while (mi>=3 && isrationalzero(gel(y,mi))) mi--;
3784 301 : mi += ex-2;
3785 301 : pc = cgetg(ly,t_SER); *c = pc;
3786 301 : ps = cgetg(lx,t_SER); *s = ps;
3787 301 : pc[1] = evalsigne(1) | _evalvalser(0) | evalvarn(varn(y));
3788 301 : gel(pc,2) = gen_1; ps[1] = y[1];
3789 609 : for (i=2; i<ex+2; i++) gel(ps,i) = gcopy(gel(y,i));
3790 616 : for (i=3; i< ex2; i++) gel(pc,i) = gen_0;
3791 3339 : for (i=ex2; i<ly; i++)
3792 : {
3793 3038 : long ii = i-ex;
3794 3038 : av = avma; p1 = gen_0;
3795 7028 : for (j=ex; j<=minss(ii-2,mi); j++)
3796 3990 : p1 = gadd(p1, gmulgu(gmul(gel(y,j-ex+2),gel(ps,ii-j)),j));
3797 3038 : gel(pc,i) = gerepileupto(av, gdivgs(p1,2-i));
3798 3038 : if (ii < lx)
3799 : {
3800 2730 : av = avma; p1 = gen_0;
3801 5796 : for (j=ex; j<=minss(i-ex2,mi); j++)
3802 3066 : p1 = gadd(p1,gmulgu(gmul(gel(y,j-ex+2),gel(pc,i-j)),j));
3803 2730 : p1 = gdivgu(p1,i-2);
3804 2730 : gel(ps,ii) = gerepileupto(av, gadd(p1,gel(y,ii)));
3805 : }
3806 : }
3807 301 : return;
3808 : }
3809 0 : pari_err_TYPE("gsincos",x);
3810 : }
3811 :
3812 : /********************************************************************/
3813 : /** **/
3814 : /** SINC **/
3815 : /** **/
3816 : /********************************************************************/
3817 : static GEN
3818 2319450 : mpsinc(GEN x)
3819 : {
3820 2319450 : pari_sp av = avma;
3821 : GEN s, c;
3822 :
3823 2319450 : if (!signe(x)) {
3824 0 : long l = nbits2prec(-expo(x));
3825 0 : if (l < LOWDEFAULTPREC) l = LOWDEFAULTPREC;
3826 0 : return real_1(l);
3827 : }
3828 :
3829 2319450 : mpsincos(x,&s,&c);
3830 2319450 : return gerepileuptoleaf(av, divrr(s,x));
3831 : }
3832 :
3833 : GEN
3834 2319562 : gsinc(GEN x, long prec)
3835 : {
3836 : pari_sp av;
3837 : GEN r, u, v, y, u1, v1;
3838 : long i;
3839 :
3840 2319562 : switch(typ(x))
3841 : {
3842 2319429 : case t_REAL: return mpsinc(x);
3843 49 : case t_COMPLEX:
3844 49 : if (isintzero(gel(x,1)))
3845 : {
3846 28 : av = avma; x = gel(x,2);
3847 28 : if (gequal0(x)) return gcosh(x,prec);
3848 14 : return gerepileuptoleaf(av,gdiv(gsinh(x,prec),x));
3849 : }
3850 21 : i = precision(x); if (i) prec = i;
3851 21 : y = cgetc(prec); av = avma;
3852 21 : r = gexp(gel(x,2),prec);
3853 21 : v1 = gmul2n(addrr(invr(r),r), -1); /* = cos(I*Im(x)) */
3854 21 : u1 = subrr(r, v1); /* = I*sin(I*Im(x)) */
3855 21 : gsincos(gel(x,1),&u,&v,prec);
3856 21 : affc_fixlg(gdiv(mkcomplex(gmul(v1,u), gmul(u1,v)), x), y);
3857 21 : return gc_const(av,y);
3858 :
3859 14 : case t_INT:
3860 14 : if (!signe(x)) return real_1(prec); /*fall through*/
3861 : case t_FRAC:
3862 21 : y = cgetr(prec); av = avma;
3863 21 : affrr_fixlg(mpsinc(tofp_safe(x,prec)), y); return gc_const(av,y);
3864 :
3865 21 : case t_PADIC:
3866 21 : if (gequal0(x)) return cvtop(gen_1, gel(x,2), valp(x));
3867 14 : av = avma; y = sin_p(x);
3868 14 : if (!y) pari_err_DOMAIN("gsinc(t_PADIC)","argument","",gen_0,x);
3869 7 : return gerepileupto(av,gdiv(y,x));
3870 :
3871 35 : default:
3872 : {
3873 : long ex;
3874 35 : av = avma; if (!(y = toser_i(x))) break;
3875 35 : if (gequal0(y)) return gerepileupto(av, gaddsg(1,y));
3876 35 : ex = valser(y);
3877 35 : if (ex < 0) pari_err_DOMAIN("sinc","valuation", "<", gen_0, x);
3878 28 : if (ex)
3879 : {
3880 28 : gsincos(y,&u,&v,prec);
3881 28 : y = gerepileupto(av, gdiv(u,y));
3882 28 : if (lg(y) > 2) gel(y,2) = gen_1;
3883 28 : return y;
3884 : }
3885 : else
3886 : {
3887 0 : GEN z0, y0 = gel(y,2), y1 = serchop0(y), y10 = y1;
3888 0 : if (!gequal1(y0)) y10 = gdiv(y10, y0);
3889 0 : gsincos(y1,&u,&v,prec);
3890 0 : z0 = gdiv(gcos(y0,prec), y0);
3891 0 : y = gaddsg(1, y10);
3892 0 : u = gadd(gmul(gsinc(y0, prec),v), gmul(z0, u));
3893 0 : return gerepileupto(av,gdiv(u,y));
3894 : }
3895 : }
3896 : }
3897 0 : return trans_eval("sinc",gsinc,x,prec);
3898 : }
3899 :
3900 : /********************************************************************/
3901 : /** **/
3902 : /** TANGENT and COTANGENT **/
3903 : /** **/
3904 : /********************************************************************/
3905 : static GEN
3906 133 : mptan(GEN x)
3907 : {
3908 133 : pari_sp av = avma;
3909 : GEN s, c;
3910 :
3911 133 : mpsincos(x,&s,&c);
3912 133 : if (!signe(c))
3913 0 : pari_err_DOMAIN("tan", "argument", "=", strtoGENstr("Pi/2 + kPi"),x);
3914 133 : return gerepileuptoleaf(av, divrr(s,c));
3915 : }
3916 :
3917 : /* If exp(-|im(x)|) << 1, avoid overflow in sincos(x) */
3918 : static int
3919 4018 : tan_huge_im(GEN ix, long prec)
3920 : {
3921 4018 : long b, p = precision(ix);
3922 4018 : if (!p) p = prec;
3923 4018 : b = prec2nbits(p);
3924 4018 : return (gexpo(ix) > b || fabs(gtodouble(ix)) > (M_LN2 / 2) * b);
3925 : }
3926 : /* \pm I */
3927 : static GEN
3928 35 : real_I(long s, long prec)
3929 : {
3930 35 : GEN z = cgetg(3, t_COMPLEX);
3931 35 : gel(z,1) = real_0(prec);
3932 35 : gel(z,2) = s > 0? real_1(prec): real_m1(prec); return z;
3933 : }
3934 :
3935 : GEN
3936 217 : gtan(GEN x, long prec)
3937 : {
3938 : pari_sp av;
3939 : GEN y, s, c;
3940 :
3941 217 : switch(typ(x))
3942 : {
3943 126 : case t_REAL: return mptan(x);
3944 :
3945 42 : case t_COMPLEX: {
3946 42 : if (isintzero(gel(x,1))) retmkcomplex(gen_0,gtanh(gel(x,2),prec));
3947 28 : if (tan_huge_im(gel(x,2), prec)) return real_I(gsigne(gel(x,2)), prec);
3948 14 : av = avma; y = mulcxmI(gtanh(mulcxI(x), prec)); /* tan x = -I th(I x) */
3949 14 : gel(y,1) = gcopy(gel(y,1)); return gerepileupto(av, y);
3950 : }
3951 7 : case t_INT: case t_FRAC:
3952 7 : y = cgetr(prec); av = avma;
3953 7 : affrr_fixlg(mptan(tofp_safe(x,prec)), y); return gc_const(av,y);
3954 :
3955 14 : case t_PADIC:
3956 14 : av = avma;
3957 14 : return gerepileupto(av, gdiv(gsin(x,prec), gcos(x,prec)));
3958 :
3959 28 : default:
3960 28 : av = avma; if (!(y = toser_i(x))) break;
3961 21 : if (gequal0(y)) return gerepilecopy(av, y);
3962 21 : if (valser(y) < 0)
3963 7 : pari_err_DOMAIN("tan","valuation", "<", gen_0, x);
3964 14 : gsincos(y,&s,&c,prec);
3965 14 : return gerepileupto(av, gdiv(s,c));
3966 : }
3967 7 : return trans_eval("tan",gtan,x,prec);
3968 : }
3969 :
3970 : static GEN
3971 70 : mpcotan(GEN x)
3972 : {
3973 70 : pari_sp av=avma, tetpil;
3974 : GEN s,c;
3975 :
3976 70 : mpsincos(x,&s,&c); tetpil=avma;
3977 70 : return gerepile(av,tetpil,divrr(c,s));
3978 : }
3979 :
3980 : GEN
3981 4207 : gcotan(GEN x, long prec)
3982 : {
3983 : pari_sp av;
3984 : GEN y, s, c;
3985 :
3986 4207 : switch(typ(x))
3987 : {
3988 63 : case t_REAL:
3989 63 : return mpcotan(x);
3990 :
3991 4011 : case t_COMPLEX:
3992 4011 : if (isintzero(gel(x,1))) {
3993 21 : GEN z = cgetg(3, t_COMPLEX);
3994 21 : gel(z,1) = gen_0; av = avma;
3995 21 : gel(z,2) = gerepileupto(av, gneg(ginv(gtanh(gel(x,2),prec))));
3996 21 : return z;
3997 : }
3998 3990 : if (tan_huge_im(gel(x,2), prec)) return real_I(-gsigne(gel(x,2)), prec);
3999 3969 : av = avma; gsincos(x,&s,&c,prec);
4000 3969 : return gerepileupto(av, gdiv(c,s));
4001 :
4002 7 : case t_INT: case t_FRAC:
4003 7 : y = cgetr(prec); av = avma;
4004 7 : affrr_fixlg(mpcotan(tofp_safe(x,prec)), y); return gc_const(av,y);
4005 :
4006 14 : case t_PADIC:
4007 14 : av = avma;
4008 14 : return gerepileupto(av, gdiv(gcos(x,prec), gsin(x,prec)));
4009 :
4010 112 : default:
4011 112 : av = avma; if (!(y = toser_i(x))) break;
4012 105 : if (gequal0(y)) pari_err_DOMAIN("cotan", "argument", "=", gen_0, y);
4013 105 : if (valser(y) < 0) pari_err_DOMAIN("cotan","valuation", "<", gen_0, x);
4014 98 : gsincos(y,&s,&c,prec);
4015 98 : return gerepileupto(av, gdiv(c,s));
4016 : }
4017 7 : return trans_eval("cotan",gcotan,x,prec);
4018 : }
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