Code coverage tests

This page documents the degree to which the PARI/GP source code is tested by our public test suite, distributed with the source distribution in directory src/test/. This is measured by the gcov utility; we then process gcov output using the lcov frond-end.

We test a few variants depending on Configure flags on the pari.math.u-bordeaux.fr machine (x86_64 architecture), and agregate them in the final report:

The target is to exceed 90% coverage for all mathematical modules (given that branches depending on DEBUGLEVEL or DEBUGMEM are not covered). This script is run to produce the results below.

LCOV - code coverage report
Current view: top level - basemath - rootpol.c (source / functions) Hit Total Coverage
Test: PARI/GP v2.14.0 lcov report (development 27775-aca467eab2) Lines: 1477 1540 95.9 %
Date: 2022-07-03 07:33:15 Functions: 116 119 97.5 %
Legend: Lines: hit not hit

          Line data    Source code
       1             : /* Copyright (C) 2000  The PARI group.
       2             : 
       3             : This file is part of the PARI/GP package.
       4             : 
       5             : PARI/GP is free software; you can redistribute it and/or modify it under the
       6             : terms of the GNU General Public License as published by the Free Software
       7             : Foundation; either version 2 of the License, or (at your option) any later
       8             : version. It is distributed in the hope that it will be useful, but WITHOUT
       9             : ANY WARRANTY WHATSOEVER.
      10             : 
      11             : Check the License for details. You should have received a copy of it, along
      12             : with the package; see the file 'COPYING'. If not, write to the Free Software
      13             : Foundation, Inc., 51 Franklin Street, Fifth Floor, Boston, MA 02110-1301 USA. */
      14             : 
      15             : /*******************************************************************/
      16             : /*                                                                 */
      17             : /*                ROOTS OF COMPLEX POLYNOMIALS                     */
      18             : /*  (original code contributed by Xavier Gourdon, INRIA RR 1852)   */
      19             : /*                                                                 */
      20             : /*******************************************************************/
      21             : #include "pari.h"
      22             : #include "paripriv.h"
      23             : 
      24             : #define DEBUGLEVEL DEBUGLEVEL_polroots
      25             : 
      26             : static const double pariINFINITY = 1./0.;
      27             : 
      28             : static long
      29      288431 : isvalidcoeff(GEN x)
      30             : {
      31      288431 :   switch (typ(x))
      32             :   {
      33      269233 :     case t_INT: case t_REAL: case t_FRAC: return 1;
      34       19184 :     case t_COMPLEX: return isvalidcoeff(gel(x,1)) && isvalidcoeff(gel(x,2));
      35             :   }
      36          14 :   return 0;
      37             : }
      38             : 
      39             : static void
      40       37830 : checkvalidpol(GEN p, const char *f)
      41             : {
      42       37830 :   long i,n = lg(p);
      43      287872 :   for (i=2; i<n; i++)
      44      250049 :     if (!isvalidcoeff(gel(p,i))) pari_err_TYPE(f, gel(p,i));
      45       37823 : }
      46             : 
      47             : /********************************************************************/
      48             : /**                                                                **/
      49             : /**                   FAST ARITHMETIC over Z[i]                    **/
      50             : /**                                                                **/
      51             : /********************************************************************/
      52             : 
      53             : static GEN
      54    15424334 : ZX_to_ZiX(GEN Pr, GEN Pi)
      55             : {
      56    15424334 :   long i, lr = lg(Pr), li = lg(Pi), l = maxss(lr, li), m = minss(lr, li);
      57    15425056 :   GEN P = cgetg(l, t_POL);
      58    15428774 :   P[1] = Pr[1];
      59    63318048 :   for(i = 2; i < m; i++)
      60    47889147 :     gel(P,i) = signe(gel(Pi,i)) ? mkcomplex(gel(Pr,i), gel(Pi,i))
      61    47889147 :                                 : gel(Pr,i);
      62    20957029 :   for(     ; i < lr; i++)
      63     5528128 :     gel(P,i) = gel(Pr, i);
      64    15461559 :   for(     ; i < li; i++)
      65       32658 :     gel(P,i) = mkcomplex(gen_0, gel(Pi, i));
      66    15428901 :   return normalizepol_lg(P, l);
      67             : }
      68             : 
      69             : static GEN
      70    58181109 : ZiX_sqr(GEN P)
      71             : {
      72    58181109 :   pari_sp av = avma;
      73             :   GEN Pr2, Pi2, Qr, Qi;
      74    58181109 :   GEN Pr = real_i(P), Pi = imag_i(P);
      75    58173921 :   if (signe(Pi)==0) return gerepileupto(av, ZX_sqr(Pr));
      76    15477847 :   if (signe(Pr)==0) return gerepileupto(av, ZX_neg(ZX_sqr(Pi)));
      77    15429626 :   Pr2 = ZX_sqr(Pr); Pi2 = ZX_sqr(Pi);
      78    15419325 :   Qr = ZX_sub(Pr2, Pi2);
      79    15425590 :   if (degpol(Pr)==degpol(Pi))
      80    10048642 :     Qi = ZX_sub(ZX_sqr(ZX_add(Pr, Pi)), ZX_add(Pr2, Pi2));
      81             :   else
      82     5379254 :     Qi = ZX_shifti(ZX_mul(Pr, Pi), 1);
      83    15427103 :   return gerepilecopy(av, ZX_to_ZiX(Qr, Qi));
      84             : }
      85             : 
      86             : static GEN
      87    29099128 : graeffe(GEN p)
      88             : {
      89    29099128 :   pari_sp av = avma;
      90             :   GEN p0, p1, s0, s1;
      91    29099128 :   long n = degpol(p);
      92             : 
      93    29099040 :   if (!n) return RgX_copy(p);
      94    29099040 :   RgX_even_odd(p, &p0, &p1);
      95             :   /* p = p0(x^2) + x p1(x^2) */
      96    29095882 :   s0 = ZiX_sqr(p0);
      97    29103428 :   s1 = ZiX_sqr(p1);
      98    29102411 :   return gerepileupto(av, RgX_sub(s0, RgX_shift_shallow(s1,1)));
      99             : }
     100             : 
     101             : GEN
     102       15225 : ZX_graeffe(GEN p)
     103             : {
     104       15225 :   pari_sp av = avma;
     105             :   GEN p0, p1, s0, s1;
     106       15225 :   long n = degpol(p);
     107             : 
     108       15225 :   if (!n) return ZX_copy(p);
     109       15225 :   RgX_even_odd(p, &p0, &p1);
     110             :   /* p = p0(x^2) + x p1(x^2) */
     111       15225 :   s0 = ZX_sqr(p0);
     112       15224 :   s1 = ZX_sqr(p1);
     113       15225 :   return gerepileupto(av, ZX_sub(s0, RgX_shift_shallow(s1,1)));
     114             : }
     115             : GEN
     116          14 : polgraeffe(GEN p)
     117             : {
     118          14 :   pari_sp av = avma;
     119             :   GEN p0, p1, s0, s1;
     120          14 :   long n = degpol(p);
     121             : 
     122          14 :   if (typ(p) != t_POL) pari_err_TYPE("polgraeffe",p);
     123          14 :   n = degpol(p);
     124          14 :   if (!n) return gcopy(p);
     125          14 :   RgX_even_odd(p, &p0, &p1);
     126             :   /* p = p0(x^2) + x p1(x^2) */
     127          14 :   s0 = RgX_sqr(p0);
     128          14 :   s1 = RgX_sqr(p1);
     129          14 :   return gerepileupto(av, RgX_sub(s0, RgX_shift_shallow(s1,1)));
     130             : }
     131             : 
     132             : /********************************************************************/
     133             : /**                                                                **/
     134             : /**                       MODULUS OF ROOTS                         **/
     135             : /**                                                                **/
     136             : /********************************************************************/
     137             : 
     138             : /* Quick approximation to log2(|x|); first define y s.t. |y-x| < 2^-32 then
     139             :  * return y rounded to 2 ulp. In particular, if result < 2^21, absolute error
     140             :  * is bounded by 2^-31. If result > 2^21, it is correct to 2 ulp */
     141             : static double
     142   151992889 : mydbllog2i(GEN x)
     143             : {
     144             : #ifdef LONG_IS_64BIT
     145   131097143 :   const double W = 1/(4294967296. * 4294967296.); /* 2^-64 */
     146             : #else
     147    20895746 :   const double W = 1/4294967296.; /*2^-32*/
     148             : #endif
     149             :   GEN m;
     150   151992889 :   long lx = lgefint(x);
     151             :   double l;
     152   151992889 :   if (lx == 2) return -pariINFINITY;
     153   151413566 :   m = int_MSW(x);
     154   151413566 :   l = (double)(ulong)*m;
     155   151413566 :   if (lx == 3) return log2(l);
     156    59352264 :   l += ((double)(ulong)*int_precW(m)) * W;
     157             :   /* at least m = min(53,BIL) bits are correct in the mantissa, thus log2
     158             :    * is correct with error < log(1 + 2^-m) ~ 2^-m. Adding the correct
     159             :    * exponent BIL(lx-3) causes 1ulp further round-off error */
     160    59352264 :   return log2(l) + (double)(BITS_IN_LONG*(lx-3));
     161             : }
     162             : 
     163             : /* return log(|x|) or -pariINFINITY */
     164             : static double
     165     6964995 : mydbllogr(GEN x) {
     166     6964995 :   if (!signe(x)) return -pariINFINITY;
     167     6964995 :   return M_LN2*dbllog2r(x);
     168             : }
     169             : 
     170             : /* return log2(|x|) or -pariINFINITY */
     171             : static double
     172    37545246 : mydbllog2r(GEN x) {
     173    37545246 :   if (!signe(x)) return -pariINFINITY;
     174    37163801 :   return dbllog2r(x);
     175             : }
     176             : double
     177   211759416 : dbllog2(GEN z)
     178             : {
     179             :   double x, y;
     180   211759416 :   switch(typ(z))
     181             :   {
     182   151939193 :     case t_INT: return mydbllog2i(z);
     183       19544 :     case t_FRAC: return mydbllog2i(gel(z,1))-mydbllog2i(gel(z,2));
     184    34137342 :     case t_REAL: return mydbllog2r(z);
     185    25663337 :     default: /*t_COMPLEX*/
     186    25663337 :       x = dbllog2(gel(z,1));
     187    25717578 :       y = dbllog2(gel(z,2));
     188    25717476 :       if (x == -pariINFINITY) return y;
     189    25494722 :       if (y == -pariINFINITY) return x;
     190    25292989 :       if (fabs(x-y) > 10) return maxdd(x,y);
     191    24738432 :       return x + 0.5*log2(1 + exp2(2*(y-x)));
     192             :   }
     193             : }
     194             : static GEN /* beware overflow */
     195     3969769 : dblexp(double x) { return fabs(x) < 100.? dbltor(exp(x)): mpexp(dbltor(x)); }
     196             : 
     197             : /* find s such that  A_h <= 2^s <= 2 A_i  for one h and all i < n = deg(p),
     198             :  * with  A_i := (binom(n,i) lc(p) / p_i) ^ 1/(n-i), and  p = sum p_i X^i */
     199             : static long
     200    23448729 : findpower(GEN p)
     201             : {
     202    23448729 :   double x, L, mins = pariINFINITY;
     203    23448729 :   long n = degpol(p),i;
     204             : 
     205    23448101 :   L = dbllog2(gel(p,n+2)); /* log2(lc * binom(n,i)) */
     206   106673430 :   for (i=n-1; i>=0; i--)
     207             :   {
     208    83221486 :     L += log2((double)(i+1) / (double)(n-i));
     209    83221486 :     x = dbllog2(gel(p,i+2));
     210    83224360 :     if (x != -pariINFINITY)
     211             :     {
     212    82704696 :       double s = (L - x) / (double)(n-i);
     213    82704696 :       if (s < mins) mins = s;
     214             :     }
     215             :   }
     216    23451944 :   i = (long)ceil(mins);
     217    23451944 :   if (i - mins > 1 - 1e-12) i--;
     218    23451944 :   return i;
     219             : }
     220             : 
     221             : /* returns the exponent for logmodulus(), from the Newton diagram */
     222             : static long
     223     3567513 : newton_polygon(GEN p, long k)
     224             : {
     225     3567513 :   pari_sp av = avma;
     226             :   double *logcoef, slope;
     227     3567513 :   long n = degpol(p), i, j, h, l, *vertex;
     228             : 
     229     3567498 :   logcoef = (double*)stack_malloc_align((n+1)*sizeof(double), sizeof(double));
     230     3567469 :   vertex = (long*)new_chunk(n+1);
     231             : 
     232             :   /* vertex[i] = 1 if i a vertex of convex hull, 0 otherwise */
     233    18274398 :   for (i=0; i<=n; i++) { logcoef[i] = dbllog2(gel(p,2+i)); vertex[i] = 0; }
     234     3567511 :   vertex[0] = 1; /* sentinel */
     235    13673326 :   for (i=0; i < n; i=h)
     236             :   {
     237    10105815 :     slope = logcoef[i+1]-logcoef[i];
     238    41071315 :     for (j = h = i+1; j<=n; j++)
     239             :     {
     240    30965500 :       double pij = (logcoef[j]-logcoef[i])/(double)(j-i);
     241    30965500 :       if (slope < pij) { slope = pij; h = j; }
     242             :     }
     243    10105815 :     vertex[h] = 1;
     244             :   }
     245     3970860 :   h = k;   while (!vertex[h]) h++;
     246     3758927 :   l = k-1; while (!vertex[l]) l--;
     247     3567511 :   set_avma(av);
     248     3567556 :   return (long)floor((logcoef[h]-logcoef[l])/(double)(h-l) + 0.5);
     249             : }
     250             : 
     251             : /* change z into z*2^e, where z is real or complex of real */
     252             : static void
     253    23548917 : myshiftrc(GEN z, long e)
     254             : {
     255    23548917 :   if (typ(z)==t_COMPLEX)
     256             :   {
     257     6040010 :     if (signe(gel(z,1))) shiftr_inplace(gel(z,1), e);
     258     6040030 :     if (signe(gel(z,2))) shiftr_inplace(gel(z,2), e);
     259             :   }
     260             :   else
     261    17508907 :     if (signe(z)) shiftr_inplace(z, e);
     262    23549026 : }
     263             : 
     264             : /* return z*2^e, where z is integer or complex of integer (destroy z) */
     265             : static GEN
     266    89953073 : myshiftic(GEN z, long e)
     267             : {
     268    89953073 :   if (typ(z)==t_COMPLEX)
     269             :   {
     270    17028773 :     gel(z,1) = signe(gel(z,1))? mpshift(gel(z,1),e): gen_0;
     271    17022652 :     gel(z,2) = mpshift(gel(z,2),e);
     272    17021163 :     return z;
     273             :   }
     274    72924300 :   return signe(z)? mpshift(z,e): gen_0;
     275             : }
     276             : 
     277             : static GEN
     278     4578737 : RgX_gtofp_bit(GEN q, long bit) { return RgX_gtofp(q, nbits2prec(bit)); }
     279             : 
     280             : static GEN
     281   159933471 : mygprecrc(GEN x, long prec, long e)
     282             : {
     283             :   GEN y;
     284   159933471 :   switch(typ(x))
     285             :   {
     286   116235076 :     case t_REAL:
     287   116235076 :       if (!signe(x)) return real_0_bit(e);
     288   113507733 :       return realprec(x) == prec? x: rtor(x, prec);
     289    33545829 :     case t_COMPLEX:
     290    33545829 :       y = cgetg(3,t_COMPLEX);
     291    33545329 :       gel(y,1) = mygprecrc(gel(x,1),prec,e);
     292    33545254 :       gel(y,2) = mygprecrc(gel(x,2),prec,e);
     293    33545625 :       return y;
     294    10152566 :     default: return x;
     295             :   }
     296             : }
     297             : 
     298             : /* gprec behaves badly with the zero for polynomials.
     299             : The second parameter in mygprec is the precision in base 2 */
     300             : static GEN
     301    38336796 : mygprec(GEN x, long bit)
     302             : {
     303             :   long lx, i, e, prec;
     304             :   GEN y;
     305             : 
     306    38336796 :   if (bit < 0) bit = 0; /* should rarely happen */
     307    38336796 :   e = gexpo(x) - bit;
     308    38343670 :   prec = nbits2prec(bit);
     309    38346550 :   switch(typ(x))
     310             :   {
     311    26335804 :     case t_POL:
     312    26335804 :       y = cgetg_copy(x, &lx); y[1] = x[1];
     313   106044771 :       for (i=2; i<lx; i++) gel(y,i) = mygprecrc(gel(x,i),prec,e);
     314    26337822 :       break;
     315             : 
     316    12010746 :     default: y = mygprecrc(x,prec,e);
     317             :   }
     318    38345940 :   return y;
     319             : }
     320             : 
     321             : /* normalize a polynomial p, that is change it with coefficients in Z[i],
     322             : after making product by 2^shift */
     323             : static GEN
     324    10820520 : pol_to_gaussint(GEN p, long shift)
     325             : {
     326    10820520 :   long i, l = lg(p);
     327    10820520 :   GEN q = cgetg(l, t_POL); q[1] = p[1];
     328    68279560 :   for (i=2; i<l; i++) gel(q,i) = gtrunc2n(gel(p,i), shift);
     329    10798093 :   return q;
     330             : }
     331             : 
     332             : /* returns a polynomial q in Z[i][x] keeping bit bits of p */
     333             : static GEN
     334     8288036 : eval_rel_pol(GEN p, long bit)
     335             : {
     336             :   long i;
     337    51558121 :   for (i = 2; i < lg(p); i++)
     338    43269644 :     if (gequal0(gel(p,i))) gel(p,i) = gen_0; /* bad behavior of gexpo */
     339     8288477 :   return pol_to_gaussint(p, bit-gexpo(p)+1);
     340             : }
     341             : 
     342             : /* returns p(R*x)/R^n (in R or R[i]), R = exp(lrho), bit bits of precision */
     343             : static GEN
     344      958631 : homothetie(GEN p, double lrho, long bit)
     345             : {
     346             :   GEN q, r, t, iR;
     347      958631 :   long n = degpol(p), i;
     348             : 
     349      958630 :   iR = mygprec(dblexp(-lrho),bit);
     350      958613 :   q = mygprec(p, bit);
     351      958633 :   r = cgetg(n+3,t_POL); r[1] = p[1];
     352      958633 :   t = iR; r[n+2] = q[n+2];
     353     4838591 :   for (i=n-1; i>0; i--)
     354             :   {
     355     3880007 :     gel(r,i+2) = gmul(t, gel(q,i+2));
     356     3879896 :     t = mulrr(t, iR);
     357             :   }
     358      958584 :   gel(r,2) = gmul(t, gel(q,2)); return r;
     359             : }
     360             : 
     361             : /* change q in 2^(n*e) p(x*2^(-e)), n=deg(q)  [ ~as above with R = 2^-e ]*/
     362             : static void
     363     6099491 : homothetie2n(GEN p, long e)
     364             : {
     365     6099491 :   if (e)
     366             :   {
     367     4748895 :     long i,n = lg(p)-1;
     368    28297774 :     for (i=2; i<=n; i++) myshiftrc(gel(p,i), (n-i)*e);
     369             :   }
     370     6099658 : }
     371             : 
     372             : /* return 2^f * 2^(n*e) p(x*2^(-e)), n=deg(q) */
     373             : static void
     374    20914066 : homothetie_gauss(GEN p, long e, long f)
     375             : {
     376    20914066 :   if (e || f)
     377             :   {
     378    18931501 :     long i, n = lg(p)-1;
     379   108683290 :     for (i=2; i<=n; i++) gel(p,i) = myshiftic(gel(p,i), f+(n-i)*e);
     380             :   }
     381    20794140 : }
     382             : 
     383             : /* Lower bound on the modulus of the largest root z_0
     384             :  * k is set to an upper bound for #{z roots, |z-z_0| < eps} */
     385             : static double
     386    23450431 : lower_bound(GEN p, long *k, double eps)
     387             : {
     388    23450431 :   long n = degpol(p), i, j;
     389    23450817 :   pari_sp ltop = avma;
     390             :   GEN a, s, S, ilc;
     391             :   double r, R, rho;
     392             : 
     393    23450817 :   if (n < 4) { *k = n; return 0.; }
     394     8254692 :   S = cgetg(5,t_VEC);
     395     8255522 :   a = cgetg(5,t_VEC); ilc = gdiv(real_1(DEFAULTPREC), gel(p,n+2));
     396    41248202 :   for (i=1; i<=4; i++) gel(a,i) = gmul(ilc,gel(p,n+2-i));
     397             :   /* i = 1 split out from next loop for efficiency and initialization */
     398     8253952 :   s = gel(a,1);
     399     8253952 :   gel(S,1) = gneg(s); /* Newton sum S_i */
     400     8254923 :   rho = r = gtodouble(gabs(s,3));
     401     8255386 :   R = r / n;
     402    33015706 :   for (i=2; i<=4; i++)
     403             :   {
     404    24760651 :     s = gmulsg(i,gel(a,i));
     405    74188699 :     for (j=1; j<i; j++) s = gadd(s, gmul(gel(S,j),gel(a,i-j)));
     406    24741795 :     gel(S,i) = gneg(s); /* Newton sum S_i */
     407    24755360 :     r = gtodouble(gabs(s,3));
     408    24760320 :     if (r > 0.)
     409             :     {
     410    24717059 :       r = exp(log(r/n) / (double)i);
     411    24717059 :       if (r > R) R = r;
     412             :     }
     413             :   }
     414     8255055 :   if (R > 0. && eps < 1.2)
     415     8251637 :     *k = (long)floor((rho/R + n) / (1 + exp(-eps)*cos(eps)));
     416             :   else
     417        3418 :     *k = n;
     418     8255055 :   return gc_double(ltop, R);
     419             : }
     420             : 
     421             : /* return R such that exp(R - tau) <= rho_n(P) <= exp(R + tau)
     422             :  * P(0) != 0 and P non constant */
     423             : static double
     424     2532505 : logmax_modulus(GEN p, double tau)
     425             : {
     426             :   GEN r, q, aux, gunr;
     427     2532505 :   pari_sp av, ltop = avma;
     428     2532505 :   long i,k,n=degpol(p),nn,bit,M,e;
     429     2532489 :   double rho,eps, tau2 = (tau > 3.0)? 0.5: tau/6.;
     430             : 
     431     2532489 :   r = cgeti(BIGDEFAULTPREC);
     432     2532448 :   av = avma;
     433             : 
     434     2532448 :   eps = - 1/log(1.5*tau2); /* > 0 */
     435     2532448 :   bit = (long) ((double) n*log2(1./tau2)+3*log2((double) n))+1;
     436     2532448 :   gunr = real_1_bit(bit+2*n);
     437     2532421 :   aux = gdiv(gunr, gel(p,2+n));
     438     2532211 :   q = RgX_Rg_mul(p, aux); gel(q,2+n) = gunr;
     439     2532302 :   e = findpower(q);
     440     2532420 :   homothetie2n(q,e);
     441     2532477 :   affsi(e, r);
     442     2532453 :   q = pol_to_gaussint(q, bit);
     443     2532258 :   M = (long) (log2( log(4.*n) / (2*tau2) )) + 2;
     444     2532258 :   nn = n;
     445     2532258 :   for (i=0,e=0;;)
     446             :   { /* nn = deg(q) */
     447    23452719 :     rho = lower_bound(q, &k, eps);
     448    23449658 :     if (rho > exp2(-(double)e)) e = (long)-floor(log2(rho));
     449    23449658 :     affii(shifti(addis(r,e), 1), r);
     450    23436407 :     if (++i == M) break;
     451             : 
     452    62712582 :     bit = (long) ((double)k * log2(1./tau2) +
     453    41808388 :                      (double)(nn-k)*log2(1./eps) + 3*log2((double)nn)) + 1;
     454    20904194 :     homothetie_gauss(q, e, bit-(long)floor(dbllog2(gel(q,2+nn))+0.5));
     455    20879532 :     nn -= RgX_valrem(q, &q);
     456    20911336 :     q = gerepileupto(av, graeffe(q));
     457    20918653 :     tau2 *= 1.5; if (tau2 > 0.9) tau2 = 0.5;
     458    20918653 :     eps = -1/log(tau2); /* > 0 */
     459    20918653 :     e = findpower(q);
     460             :   }
     461     2532213 :   if (!signe(r)) return gc_double(ltop,0.);
     462     2404217 :   r = itor(r, DEFAULTPREC); shiftr_inplace(r, -M);
     463     2404285 :   return gc_double(ltop, -rtodbl(r) * M_LN2); /* -log(2) sum e_i 2^-i */
     464             : }
     465             : 
     466             : static GEN
     467       26319 : RgX_normalize1(GEN x)
     468             : {
     469       26319 :   long i, n = lg(x)-1;
     470             :   GEN y;
     471       26333 :   for (i = n; i > 1; i--)
     472       26326 :     if (!gequal0( gel(x,i) )) break;
     473       26319 :   if (i == n) return x;
     474          14 :   pari_warn(warner,"normalizing a polynomial with 0 leading term");
     475          14 :   if (i == 1) pari_err_ROOTS0("roots");
     476          14 :   y = cgetg(i+1, t_POL); y[1] = x[1];
     477          42 :   for (; i > 1; i--) gel(y,i) = gel(x,i);
     478          14 :   return y;
     479             : }
     480             : 
     481             : static GEN
     482       18808 : polrootsbound_i(GEN P, double TAU)
     483             : {
     484       18808 :   pari_sp av = avma;
     485             :   double d;
     486       18808 :   (void)RgX_valrem_inexact(P,&P);
     487       18808 :   P = RgX_normalize1(P);
     488       18808 :   switch(degpol(P))
     489             :   {
     490           7 :     case -1: pari_err_ROOTS0("roots");
     491          63 :     case 0:  set_avma(av); return gen_0;
     492             :   }
     493       18738 :   d = logmax_modulus(P, TAU) + TAU;
     494             :   /* not dblexp: result differs on ARM emulator */
     495       18738 :   return gerepileuptoleaf(av, mpexp(dbltor(d)));
     496             : }
     497             : GEN
     498       18815 : polrootsbound(GEN P, GEN tau)
     499             : {
     500       18815 :   if (typ(P) != t_POL) pari_err_TYPE("polrootsbound",P);
     501       18808 :   checkvalidpol(P, "polrootsbound");
     502       18808 :   return polrootsbound_i(P, tau? gtodouble(tau): 0.01);
     503             : }
     504             : 
     505             : /* log of modulus of the smallest root of p, with relative error tau */
     506             : static double
     507      914003 : logmin_modulus(GEN p, double tau)
     508             : {
     509      914003 :   pari_sp av = avma;
     510      914003 :   if (gequal0(gel(p,2))) return -pariINFINITY;
     511      913997 :   return gc_double(av, - logmax_modulus(RgX_recip_i(p),tau));
     512             : }
     513             : 
     514             : /* return the log of the k-th modulus (ascending order) of p, rel. error tau*/
     515             : static double
     516      389885 : logmodulus(GEN p, long k, double tau)
     517             : {
     518             :   GEN q;
     519      389885 :   long i, kk = k, imax, n = degpol(p), nn, bit, e;
     520      389884 :   pari_sp av, ltop=avma;
     521      389884 :   double r, tau2 = tau/6;
     522             : 
     523      389884 :   bit = (long)(n * (2. + log2(3.*n/tau2)));
     524      389884 :   av = avma;
     525      389884 :   q = gprec_w(p, nbits2prec(bit));
     526      389887 :   q = RgX_gtofp_bit(q, bit);
     527      389888 :   e = newton_polygon(q,k);
     528      389885 :   r = (double)e;
     529      389885 :   homothetie2n(q,e);
     530      389898 :   imax = (long)(log2(3./tau) + log2(log(4.*n)))+1;
     531     3567599 :   for (i=1; i<imax; i++)
     532             :   {
     533     3177712 :     q = eval_rel_pol(q,bit);
     534     3177420 :     kk -= RgX_valrem(q, &q);
     535     3177540 :     nn = degpol(q);
     536             : 
     537     3177524 :     q = gerepileupto(av, graeffe(q));
     538     3177675 :     e = newton_polygon(q,kk);
     539     3177673 :     r += e / exp2((double)i);
     540     3177673 :     q = RgX_gtofp_bit(q, bit);
     541     3177451 :     homothetie2n(q,e);
     542             : 
     543     3177701 :     tau2 *= 1.5; if (tau2 > 1.) tau2 = 1.;
     544     3177701 :     bit = 1 + (long)(nn*(2. + log2(3.*nn/tau2)));
     545             :   }
     546      389887 :   return gc_double(ltop, -r * M_LN2);
     547             : }
     548             : 
     549             : /* return the log of the k-th modulus r_k of p, rel. error tau, knowing that
     550             :  * rmin < r_k < rmax. This information helps because we may reduce precision
     551             :  * quicker */
     552             : static double
     553      389881 : logpre_modulus(GEN p, long k, double tau, double lrmin, double lrmax)
     554             : {
     555             :   GEN q;
     556      389881 :   long n = degpol(p), i, imax, imax2, bit;
     557      389881 :   pari_sp ltop = avma, av;
     558      389881 :   double lrho, aux, tau2 = tau/6.;
     559             : 
     560      389881 :   aux = (lrmax - lrmin) / 2. + 4*tau2;
     561      389881 :   imax = (long) log2(log((double)n)/ aux);
     562      389881 :   if (imax <= 0) return logmodulus(p,k,tau);
     563             : 
     564      382040 :   lrho  = (lrmin + lrmax) / 2;
     565      382040 :   av = avma;
     566      382040 :   bit = (long)(n*(2. + aux / M_LN2 - log2(tau2)));
     567      382040 :   q = homothetie(p, lrho, bit);
     568      382035 :   imax2 = (long)(log2(3./tau * log(4.*n))) + 1;
     569      382035 :   if (imax > imax2) imax = imax2;
     570             : 
     571     1109992 :   for (i=0; i<imax; i++)
     572             :   {
     573      727951 :     q = eval_rel_pol(q,bit);
     574      727947 :     q = gerepileupto(av, graeffe(q));
     575      727958 :     aux = 2*aux + 2*tau2;
     576      727958 :     tau2 *= 1.5;
     577      727958 :     bit = (long)(n*(2. + aux / M_LN2 - log2(1-exp(-tau2))));
     578      727958 :     q = RgX_gtofp_bit(q, bit);
     579             :   }
     580      382041 :   aux = exp2((double)imax);
     581      382041 :   return gc_double(ltop, lrho + logmodulus(q,k, aux*tau/3.) / aux);
     582             : }
     583             : 
     584             : static double
     585      483227 : ind_maxlog2(GEN q)
     586             : {
     587      483227 :   long i, k = -1;
     588      483227 :   double L = - pariINFINITY;
     589     1263853 :   for (i=0; i<=degpol(q); i++)
     590             :   {
     591      780621 :     double d = dbllog2(gel(q,2+i));
     592      780626 :     if (d > L) { L = d; k = i; }
     593             :   }
     594      483228 :   return k;
     595             : }
     596             : 
     597             : /* Returns k such that r_k e^(-tau) < R < r_{k+1} e^tau.
     598             :  * Assume that l <= k <= n-l */
     599             : static long
     600      576589 : dual_modulus(GEN p, double lrho, double tau, long l)
     601             : {
     602      576589 :   long i, imax, delta_k = 0, n = degpol(p), nn, v2, v, bit, ll = l;
     603      576590 :   double tau2 = tau * 7./8.;
     604      576590 :   pari_sp av = avma;
     605             :   GEN q;
     606             : 
     607      576590 :   bit = 6*n - 5*l + (long)(n*(-log2(tau2) + tau2 * 8./7.));
     608      576590 :   q = homothetie(p, lrho, bit);
     609      576574 :   imax = (long)(log(log(2.*n)/tau2)/log(7./4.)+1);
     610             : 
     611     4866042 :   for (i=0; i<imax; i++)
     612             :   {
     613     4382814 :     q = eval_rel_pol(q,bit); v2 = n - degpol(q);
     614     4381727 :     v = RgX_valrem(q, &q);
     615     4382561 :     ll -= maxss(v, v2); if (ll < 0) ll = 0;
     616             : 
     617     4382567 :     nn = degpol(q); delta_k += v;
     618     4382563 :     if (!nn) return delta_k;
     619             : 
     620     4289206 :     q = gerepileupto(av, graeffe(q));
     621     4289468 :     tau2 *= 7./4.;
     622     4289468 :     bit = 6*nn - 5*ll + (long)(nn*(-log2(tau2) + tau2 * 8./7.));
     623             :   }
     624      483228 :   return gc_long(av, delta_k + (long)ind_maxlog2(q));
     625             : }
     626             : 
     627             : /********************************************************************/
     628             : /**                                                                **/
     629             : /**              FACTORS THROUGH CIRCLE INTEGRATION                **/
     630             : /**                                                                **/
     631             : /********************************************************************/
     632             : /* l power of 2, W[step*j] = w_j; set f[j] = p(w_j)
     633             :  * if inv, w_j = exp(2IPi*j/l), else exp(-2IPi*j/l) */
     634             : 
     635             : static void
     636        7462 : fft2(GEN W, GEN p, GEN f, long step, long l)
     637             : {
     638             :   pari_sp av;
     639             :   long i, s1, l1, step2;
     640             : 
     641        7462 :   if (l == 2)
     642             :   {
     643        3766 :     gel(f,0) = gadd(gel(p,0), gel(p,step));
     644        3766 :     gel(f,1) = gsub(gel(p,0), gel(p,step)); return;
     645             :   }
     646        3696 :   av = avma;
     647        3696 :   l1 = l>>1; step2 = step<<1;
     648        3696 :   fft2(W,p,          f,   step2,l1);
     649        3696 :   fft2(W,p+step,     f+l1,step2,l1);
     650       32760 :   for (i = s1 = 0; i < l1; i++, s1 += step)
     651             :   {
     652       29064 :     GEN f0 = gel(f,i);
     653       29064 :     GEN f1 = gmul(gel(W,s1), gel(f,i+l1));
     654       29064 :     gel(f,i)    = gadd(f0, f1);
     655       29064 :     gel(f,i+l1) = gsub(f0, f1);
     656             :   }
     657        3696 :   gerepilecoeffs(av, f, l);
     658             : }
     659             : 
     660             : static void
     661    11885497 : fft(GEN W, GEN p, GEN f, long step, long l, long inv)
     662             : {
     663             :   pari_sp av;
     664             :   long i, s1, l1, l2, l3, step4;
     665             :   GEN f1, f2, f3, f02;
     666             : 
     667    11885497 :   if (l == 2)
     668             :   {
     669     6612151 :     gel(f,0) = gadd(gel(p,0), gel(p,step));
     670     6611813 :     gel(f,1) = gsub(gel(p,0), gel(p,step)); return;
     671             :   }
     672     5273346 :   av = avma;
     673     5273346 :   if (l == 4)
     674             :   {
     675             :     pari_sp av2;
     676     3081802 :     f1 = gadd(gel(p,0), gel(p,step<<1));
     677     3081239 :     f2 = gsub(gel(p,0), gel(p,step<<1));
     678     3081346 :     f3 = gadd(gel(p,step), gel(p,3*step));
     679     3081204 :     f02 = gsub(gel(p,step), gel(p,3*step));
     680     3081222 :     f02 = inv? mulcxI(f02): mulcxmI(f02);
     681     3081772 :     av2 = avma;
     682     3081772 :     gel(f,0) = gadd(f1, f3);
     683     3081104 :     gel(f,1) = gadd(f2, f02);
     684     3081336 :     gel(f,2) = gsub(f1, f3);
     685     3081096 :     gel(f,3) = gsub(f2, f02);
     686     3081355 :     gerepileallsp(av,av2,4,&gel(f,0),&gel(f,1),&gel(f,2),&gel(f,3));
     687     3081927 :     return;
     688             :   }
     689     2191544 :   l1 = l>>2; l2 = 2*l1; l3 = l1+l2; step4 = step<<2;
     690     2191544 :   fft(W,p,          f,   step4,l1,inv);
     691     2192042 :   fft(W,p+step,     f+l1,step4,l1,inv);
     692     2192024 :   fft(W,p+(step<<1),f+l2,step4,l1,inv);
     693     2192035 :   fft(W,p+3*step,   f+l3,step4,l1,inv);
     694     8161144 :   for (i = s1 = 0; i < l1; i++, s1 += step)
     695             :   {
     696     5969186 :     long s2 = s1 << 1, s3 = s1 + s2;
     697             :     GEN g02, g13, f13;
     698     5969186 :     f1 = gmul(gel(W,s1), gel(f,i+l1));
     699     5969423 :     f2 = gmul(gel(W,s2), gel(f,i+l2));
     700     5969291 :     f3 = gmul(gel(W,s3), gel(f,i+l3));
     701             : 
     702     5969400 :     f02 = gadd(gel(f,i),f2);
     703     5968824 :     g02 = gsub(gel(f,i),f2);
     704     5968784 :     f13 = gadd(f1,f3);
     705     5968776 :     g13 = gsub(f1,f3); g13 = inv? mulcxI(g13): mulcxmI(g13);
     706             : 
     707     5969346 :     gel(f,i)    = gadd(f02, f13);
     708     5968847 :     gel(f,i+l1) = gadd(g02, g13);
     709     5968865 :     gel(f,i+l2) = gsub(f02, f13);
     710     5968880 :     gel(f,i+l3) = gsub(g02, g13);
     711             :   }
     712     2191958 :   gerepilecoeffs(av, f, l);
     713             : }
     714             : 
     715             : #define code(t1,t2) ((t1 << 6) | t2)
     716             : 
     717             : static GEN
     718          84 : FFT_i(GEN W, GEN x)
     719             : {
     720          84 :   long i, l = lg(W), n = lg(x), tx = typ(x), tw, pa;
     721             :   GEN y, z, p, pol;
     722          84 :   if ((l-1) & (l-2)) pari_err_DIM("fft");
     723          70 :   tw = RgV_type(W, &p, &pol, &pa);
     724          70 :   if (tx == t_POL) { x++; n--; }
     725          35 :   else if (!is_vec_t(tx)) pari_err_TYPE("fft",x);
     726          70 :   if (n > l) pari_err_DIM("fft");
     727             : 
     728          70 :   if (n < l) {
     729           0 :     z = cgetg(l, t_VECSMALL); /* cf stackdummy */
     730           0 :     for (i = 1; i < n; i++) gel(z,i) = gel(x,i);
     731           0 :     for (     ; i < l; i++) gel(z,i) = gen_0;
     732             :   }
     733          70 :   else z = x;
     734          70 :   y = cgetg(l, t_VEC);
     735          70 :   if (tw==code(t_COMPLEX,t_INT) || tw==code(t_COMPLEX,t_REAL))
     736           0 :   {
     737           0 :     long inv = (l >= 5 && signe(imag_i(gel(W,1+(l>>2))))==1) ? 1 : 0;
     738           0 :     fft(W+1, z+1, y+1, 1, l-1, inv);
     739             :   } else
     740          70 :     fft2(W+1, z+1, y+1, 1, l-1);
     741          70 :   return y;
     742             : }
     743             : 
     744             : #undef code
     745             : 
     746             : GEN
     747          42 : FFT(GEN W, GEN x)
     748             : {
     749          42 :   if (!is_vec_t(typ(W))) pari_err_TYPE("fft",W);
     750          42 :   return FFT_i(W, x);
     751             : }
     752             : 
     753             : GEN
     754          42 : FFTinv(GEN W, GEN x)
     755             : {
     756          42 :   long l = lg(W), i;
     757             :   GEN w;
     758          42 :   if (!is_vec_t(typ(W))) pari_err_TYPE("fft",W);
     759          42 :   w = cgetg(l, t_VECSMALL); /* cf stackdummy */
     760          42 :   gel(w,1) = gel(W,1); /* w = gconj(W), faster */
     761        3787 :   for (i = 2; i < l; i++) gel(w, i) = gel(W, l-i+1);
     762          42 :   return FFT_i(w, x);
     763             : }
     764             : 
     765             : /* returns 1 if p has only real coefficients, 0 else */
     766             : static int
     767      532499 : isreal(GEN p)
     768             : {
     769             :   long i;
     770     2765157 :   for (i = lg(p)-1; i > 1; i--)
     771     2382334 :     if (typ(gel(p,i)) == t_COMPLEX) return 0;
     772      382823 :   return 1;
     773             : }
     774             : 
     775             : /* x non complex */
     776             : static GEN
     777      361684 : abs_update_r(GEN x, double *mu) {
     778      361684 :   GEN y = gtofp(x, DEFAULTPREC);
     779      361691 :   double ly = mydbllogr(y); if (ly < *mu) *mu = ly;
     780      361688 :   setabssign(y); return y;
     781             : }
     782             : /* return |x|, low accuracy. Set *mu = min(log(y), *mu) */
     783             : static GEN
     784     6058238 : abs_update(GEN x, double *mu) {
     785             :   GEN y, xr, yr;
     786             :   double ly;
     787     6058238 :   if (typ(x) != t_COMPLEX) return abs_update_r(x, mu);
     788     5707492 :   xr = gel(x,1);
     789     5707492 :   yr = gel(x,2);
     790     5707492 :   if (gequal0(xr)) return abs_update_r(yr,mu);
     791     5705860 :   if (gequal0(yr)) return abs_update_r(xr,mu);
     792             :   /* have to treat 0 specially: 0E-10 + 1e-20 = 0E-10 */
     793     5696807 :   xr = gtofp(xr, DEFAULTPREC);
     794     5697598 :   yr = gtofp(yr, DEFAULTPREC);
     795     5697616 :   y = sqrtr(addrr(sqrr(xr), sqrr(yr)));
     796     5697767 :   ly = mydbllogr(y); if (ly < *mu) *mu = ly;
     797     5697755 :   return y;
     798             : }
     799             : 
     800             : static void
     801      560288 : initdft(GEN *Omega, GEN *prim, long N, long Lmax, long bit)
     802             : {
     803      560288 :   long prec = nbits2prec(bit);
     804      560289 :   *Omega = grootsof1(Lmax, prec) + 1;
     805      560284 :   *prim = rootsof1u_cx(N, prec);
     806      560289 : }
     807             : 
     808             : static void
     809      276420 : parameters(GEN p, long *LMAX, double *mu, double *gamma,
     810             :            int polreal, double param, double param2)
     811             : {
     812             :   GEN q, pc, Omega, A, RU, prim, g, TWO;
     813      276420 :   long n = degpol(p), bit, NN, K, i, j, Lmax;
     814      276419 :   pari_sp av2, av = avma;
     815             : 
     816      276419 :   bit = gexpo(p) + (long)param2+8;
     817      467258 :   Lmax = 4; while (Lmax <= n) Lmax <<= 1;
     818      276422 :   NN = (long)(param*3.14)+1; if (NN < Lmax) NN = Lmax;
     819      276422 :   K = NN/Lmax; if (K & 1) K++;
     820      276422 :   NN = Lmax*K;
     821      276422 :   if (polreal) K = K/2+1;
     822             : 
     823      276422 :   initdft(&Omega, &prim, NN, Lmax, bit);
     824      276424 :   q = mygprec(p,bit) + 2;
     825      276425 :   A = cgetg(Lmax+1,t_VEC); A++;
     826      276425 :   pc= cgetg(Lmax+1,t_VEC); pc++;
     827     1869861 :   for (i=0; i <= n; i++) gel(pc,i)= gel(q,i);
     828      756402 :   for (   ; i<Lmax; i++) gel(pc,i) = gen_0;
     829             : 
     830      276424 :   *mu = pariINFINITY;
     831      276424 :   g = real_0_bit(-bit);
     832      276424 :   TWO = real2n(1, DEFAULTPREC);
     833      276421 :   av2 = avma;
     834      276421 :   RU = gen_1;
     835     1036604 :   for (i=0; i<K; i++)
     836             :   {
     837      760180 :     if (i) {
     838      483764 :       GEN z = RU;
     839     2627404 :       for (j=1; j<n; j++)
     840             :       {
     841     2143633 :         gel(pc,j) = gmul(gel(q,j),z);
     842     2143595 :         z = gmul(z,RU); /* RU = prim^i, z=prim^(ij) */
     843             :       }
     844      483771 :       gel(pc,n) = gmul(gel(q,n),z);
     845             :     }
     846             : 
     847      760184 :     fft(Omega,pc,A,1,Lmax,1);
     848      833676 :     if (polreal && i>0 && i<K-1)
     849      994832 :       for (j=0; j<Lmax; j++) g = addrr(g, divrr(TWO, abs_update(gel(A,j),mu)));
     850             :     else
     851     5823341 :       for (j=0; j<Lmax; j++) g = addrr(g, invr(abs_update(gel(A,j),mu)));
     852      759857 :     RU = gmul(RU, prim);
     853      760183 :     if (gc_needed(av,1))
     854             :     {
     855           0 :       if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"parameters");
     856           0 :       gerepileall(av2,2, &g,&RU);
     857             :     }
     858             :   }
     859      276424 :   *gamma = mydbllog2r(divru(g,NN));
     860      276417 :   *LMAX = Lmax; set_avma(av);
     861      276420 : }
     862             : 
     863             : /* NN is a multiple of Lmax */
     864             : static void
     865      283867 : dft(GEN p, long k, long NN, long Lmax, long bit, GEN F, GEN H, long polreal)
     866             : {
     867             :   GEN Omega, q, qd, pc, pd, A, B, C, RU, aux, U, W, prim, prim2;
     868      283867 :   long n = degpol(p), i, j, K;
     869             :   pari_sp ltop;
     870             : 
     871      283867 :   initdft(&Omega, &prim, NN, Lmax, bit);
     872      283868 :   RU = cgetg(n+2,t_VEC) + 1;
     873             : 
     874      283865 :   K = NN/Lmax; if (polreal) K = K/2+1;
     875      283865 :   q = mygprec(p,bit);
     876      283868 :   qd = RgX_deriv(q);
     877             : 
     878      283863 :   A = cgetg(Lmax+1,t_VEC); A++;
     879      283864 :   B = cgetg(Lmax+1,t_VEC); B++;
     880      283864 :   C = cgetg(Lmax+1,t_VEC); C++;
     881      283864 :   pc = cgetg(Lmax+1,t_VEC); pc++;
     882      283865 :   pd = cgetg(Lmax+1,t_VEC); pd++;
     883      803746 :   gel(pc,0) = gel(q,2);  for (i=n+1; i<Lmax; i++) gel(pc,i) = gen_0;
     884     1087618 :   gel(pd,0) = gel(qd,2); for (i=n;   i<Lmax; i++) gel(pd,i) = gen_0;
     885             : 
     886      283869 :   ltop = avma;
     887      283869 :   W = cgetg(k+1,t_VEC);
     888      283868 :   U = cgetg(k+1,t_VEC);
     889      763640 :   for (i=1; i<=k; i++) gel(W,i) = gel(U,i) = gen_0;
     890             : 
     891      283868 :   gel(RU,0) = gen_1;
     892      283868 :   prim2 = gen_1;
     893      873465 :   for (i=0; i<K; i++)
     894             :   {
     895      589598 :     gel(RU,1) = prim2;
     896     3116057 :     for (j=1; j<n; j++) gel(RU,j+1) = gmul(gel(RU,j),prim2);
     897             :     /* RU[j] = prim^(ij)= prim2^j */
     898             : 
     899     3116018 :     for (j=1; j<n; j++) gel(pd,j) = gmul(gel(qd,j+2),gel(RU,j));
     900      589526 :     fft(Omega,pd,A,1,Lmax,1);
     901     3705565 :     for (j=1; j<=n; j++) gel(pc,j) = gmul(gel(q,j+2),gel(RU,j));
     902      589527 :     fft(Omega,pc,B,1,Lmax,1);
     903     5462650 :     for (j=0; j<Lmax; j++) gel(C,j) = ginv(gel(B,j));
     904     5462583 :     for (j=0; j<Lmax; j++) gel(B,j) = gmul(gel(A,j),gel(C,j));
     905      589456 :     fft(Omega,B,A,1,Lmax,1);
     906      589596 :     fft(Omega,C,B,1,Lmax,1);
     907             : 
     908      589599 :     if (polreal) /* p has real coefficients */
     909             :     {
     910      395147 :       if (i>0 && i<K-1)
     911             :       {
     912       98937 :         for (j=1; j<=k; j++)
     913             :         {
     914       83297 :           gel(W,j) = gadd(gel(W,j), gshift(mulreal(gel(A,j+1),gel(RU,j+1)),1));
     915       83297 :           gel(U,j) = gadd(gel(U,j), gshift(mulreal(gel(B,j),gel(RU,j)),1));
     916             :         }
     917             :       }
     918             :       else
     919             :       {
     920      998991 :         for (j=1; j<=k; j++)
     921             :         {
     922      635138 :           gel(W,j) = gadd(gel(W,j), mulreal(gel(A,j+1),gel(RU,j+1)));
     923      635119 :           gel(U,j) = gadd(gel(U,j), mulreal(gel(B,j),gel(RU,j)));
     924             :         }
     925             :       }
     926             :     }
     927             :     else
     928             :     {
     929      557679 :       for (j=1; j<=k; j++)
     930             :       {
     931      347591 :         gel(W,j) = gadd(gel(W,j), gmul(gel(A,j+1),gel(RU,j+1)));
     932      347592 :         gel(U,j) = gadd(gel(U,j), gmul(gel(B,j),gel(RU,j)));
     933             :       }
     934             :     }
     935      589581 :     prim2 = gmul(prim2,prim);
     936      589585 :     gerepileall(ltop,3, &W,&U,&prim2);
     937             :   }
     938             : 
     939      763629 :   for (i=1; i<=k; i++)
     940             :   {
     941      479771 :     aux=gel(W,i);
     942      871904 :     for (j=1; j<i; j++) aux = gadd(aux, gmul(gel(W,i-j),gel(F,k+2-j)));
     943      479767 :     gel(F,k+2-i) = gdivgs(aux,-i*NN);
     944             :   }
     945      763620 :   for (i=0; i<k; i++)
     946             :   {
     947      479767 :     aux=gel(U,k-i);
     948      871902 :     for (j=1+i; j<k; j++) aux = gadd(aux,gmul(gel(F,2+j),gel(U,j-i)));
     949      479767 :     gel(H,i+2) = gdivgu(aux,NN);
     950             :   }
     951      283853 : }
     952             : 
     953             : #define NEWTON_MAX 10
     954             : static GEN
     955     1393883 : refine_H(GEN F, GEN G, GEN HH, long bit, long Sbit)
     956             : {
     957     1393883 :   GEN H = HH, D, aux;
     958     1393883 :   pari_sp ltop = avma;
     959             :   long error, i, bit1, bit2;
     960             : 
     961     1393883 :   D = Rg_RgX_sub(gen_1, RgX_rem(RgX_mul(H,G),F)); error = gexpo(D);
     962     1393836 :   bit2 = bit + Sbit;
     963     2572413 :   for (i=0; error>-bit && i<NEWTON_MAX && error<=0; i++)
     964             :   {
     965     1178573 :     if (gc_needed(ltop,1))
     966             :     {
     967           0 :       if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"refine_H");
     968           0 :       gerepileall(ltop,2, &D,&H);
     969             :     }
     970     1178573 :     bit1 = -error + Sbit;
     971     1178573 :     aux = RgX_mul(mygprec(H,bit1), mygprec(D,bit1));
     972     1178558 :     aux = RgX_rem(mygprec(aux,bit1), mygprec(F,bit1));
     973             : 
     974     1178573 :     bit1 = -error*2 + Sbit; if (bit1 > bit2) bit1 = bit2;
     975     1178573 :     H = RgX_add(mygprec(H,bit1), aux);
     976     1178559 :     D = Rg_RgX_sub(gen_1, RgX_rem(RgX_mul(H,G),F));
     977     1178572 :     error = gexpo(D); if (error < -bit1) error = -bit1;
     978             :   }
     979     1393840 :   if (error > -bit/2) return NULL; /* FAIL */
     980     1393522 :   return gerepilecopy(ltop,H);
     981             : }
     982             : 
     983             : /* return 0 if fails, 1 else */
     984             : static long
     985      283866 : refine_F(GEN p, GEN *F, GEN *G, GEN H, long bit, double gamma)
     986             : {
     987      283866 :   GEN f0, FF, GG, r, HH = H;
     988      283866 :   long error, i, bit1 = 0, bit2, Sbit, Sbit2,  enh, normF, normG, n = degpol(p);
     989      283866 :   pari_sp av = avma;
     990             : 
     991      283866 :   FF = *F; GG = RgX_divrem(p, FF, &r);
     992      283865 :   error = gexpo(r); if (error <= -bit) error = 1-bit;
     993      283865 :   normF = gexpo(FF);
     994      283868 :   normG = gexpo(GG);
     995      283867 :   enh = gexpo(H); if (enh < 0) enh = 0;
     996      283868 :   Sbit = normF + 2*normG + enh + (long)(4.*log2((double)n)+gamma) + 1;
     997      283868 :   Sbit2 = enh + 2*(normF+normG) + (long)(2.*gamma+5.*log2((double)n)) + 1;
     998      283868 :   bit2 = bit + Sbit;
     999     1677392 :   for (i=0; error>-bit && i<NEWTON_MAX && error<=0; i++)
    1000             :   {
    1001     1393860 :     if (bit1 == bit2 && i >= 2) { Sbit += n; Sbit2 += n; bit2 += n; }
    1002     1393860 :     if (gc_needed(av,1))
    1003             :     {
    1004           0 :       if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"refine_F");
    1005           0 :       gerepileall(av,4, &FF,&GG,&r,&HH);
    1006             :     }
    1007             : 
    1008     1393860 :     bit1 = -error + Sbit2;
    1009     1393860 :     HH = refine_H(mygprec(FF,bit1), mygprec(GG,bit1), mygprec(HH,bit1),
    1010             :                   1-error, Sbit2);
    1011     1393854 :     if (!HH) return 0; /* FAIL */
    1012             : 
    1013     1393536 :     bit1 = -error + Sbit;
    1014     1393536 :     r = RgX_mul(mygprec(HH,bit1), mygprec(r,bit1));
    1015     1393509 :     f0 = RgX_rem(mygprec(r,bit1), mygprec(FF,bit1));
    1016             : 
    1017     1393527 :     bit1 = -2*error + Sbit; if (bit1 > bit2) bit1 = bit2;
    1018     1393527 :     FF = gadd(mygprec(FF,bit1),f0);
    1019             : 
    1020     1393511 :     bit1 = -3*error + Sbit; if (bit1 > bit2) bit1 = bit2;
    1021     1393511 :     GG = RgX_divrem(mygprec(p,bit1), mygprec(FF,bit1), &r);
    1022     1393527 :     error = gexpo(r); if (error < -bit1) error = -bit1;
    1023             :   }
    1024      283532 :   if (error>-bit) return 0; /* FAIL */
    1025      276405 :   *F = FF; *G = GG; return 1;
    1026             : }
    1027             : 
    1028             : /* returns F and G from the unit circle U such that |p-FG|<2^(-bit) |cd|,
    1029             : where cd is the leading coefficient of p */
    1030             : static void
    1031      276424 : split_fromU(GEN p, long k, double delta, long bit,
    1032             :             GEN *F, GEN *G, double param, double param2)
    1033             : {
    1034             :   GEN pp, FF, GG, H;
    1035      276424 :   long n = degpol(p), NN, bit2, Lmax;
    1036      276424 :   int polreal = isreal(p);
    1037             :   pari_sp ltop;
    1038             :   double mu, gamma;
    1039             : 
    1040      276423 :   pp = gdiv(p, gel(p,2+n));
    1041      276422 :   parameters(pp, &Lmax,&mu,&gamma, polreal,param,param2);
    1042             : 
    1043      276421 :   H  = cgetg(k+2,t_POL); H[1] = p[1];
    1044      276420 :   FF = cgetg(k+3,t_POL); FF[1]= p[1];
    1045      276421 :   gel(FF,k+2) = gen_1;
    1046             : 
    1047      276421 :   NN = (long)(0.5/delta); NN |= 1; if (NN < 2) NN = 2;
    1048      276421 :   NN *= Lmax; ltop = avma;
    1049             :   for(;;)
    1050             :   {
    1051      283866 :     bit2 = (long)(((double)NN*delta-mu)/M_LN2) + gexpo(pp) + 8;
    1052      283867 :     dft(pp, k, NN, Lmax, bit2, FF, H, polreal);
    1053      283863 :     if (refine_F(pp,&FF,&GG,H,bit,gamma)) break;
    1054        7445 :     NN <<= 1; set_avma(ltop);
    1055             :   }
    1056      276418 :   *G = gmul(GG,gel(p,2+n)); *F = FF;
    1057      276419 : }
    1058             : 
    1059             : static void
    1060      276424 : optimize_split(GEN p, long k, double delta, long bit,
    1061             :             GEN *F, GEN *G, double param, double param2)
    1062             : {
    1063      276424 :   long n = degpol(p);
    1064             :   GEN FF, GG;
    1065             : 
    1066      276423 :   if (k <= n/2)
    1067      209745 :     split_fromU(p,k,delta,bit,F,G,param,param2);
    1068             :   else
    1069             :   {
    1070       66678 :     split_fromU(RgX_recip_i(p),n-k,delta,bit,&FF,&GG,param,param2);
    1071       66677 :     *F = RgX_recip_i(GG);
    1072       66677 :     *G = RgX_recip_i(FF);
    1073             :   }
    1074      276419 : }
    1075             : 
    1076             : /********************************************************************/
    1077             : /**                                                                **/
    1078             : /**               SEARCH FOR SEPARATING CIRCLE                     **/
    1079             : /**                                                                **/
    1080             : /********************************************************************/
    1081             : 
    1082             : /* return p(2^e*x) *2^(-n*e) */
    1083             : static void
    1084           0 : scalepol2n(GEN p, long e)
    1085             : {
    1086           0 :   long i,n=lg(p)-1;
    1087           0 :   for (i=2; i<=n; i++) gel(p,i) = gmul2n(gel(p,i),(i-n)*e);
    1088           0 : }
    1089             : 
    1090             : /* returns p(x/R)*R^n; assume R is at the correct accuracy */
    1091             : static GEN
    1092     2365614 : scalepol(GEN p, GEN R, long bit)
    1093     2365614 : { return RgX_rescale(mygprec(p, bit), R); }
    1094             : 
    1095             : /* return (conj(a)X-1)^n * p[ (X-a) / (conj(a)X-1) ] */
    1096             : static GEN
    1097      768340 : conformal_basecase(GEN p, GEN a)
    1098             : {
    1099             :   GEN z, r, ma, ca;
    1100      768340 :   long i, n = degpol(p);
    1101             :   pari_sp av;
    1102             : 
    1103      768340 :   if (n <= 0) return p;
    1104      768340 :   ma = gneg(a); ca = conj_i(a);
    1105      768341 :   av = avma;
    1106      768341 :   z = deg1pol_shallow(ca, gen_m1, 0);
    1107      768333 :   r = scalarpol_shallow(gel(p,2+n), 0);
    1108      768334 :   for (i=n-1; ; i--)
    1109             :   {
    1110     2372851 :     r = RgX_addmulXn_shallow(r, gmul(ma,r), 1); /* r *= (X - a) */
    1111     2372819 :     r = gadd(r, gmul(z, gel(p,2+i)));
    1112     2372839 :     if (i == 0) return gerepileupto(av, r);
    1113     1604506 :     z = RgX_addmulXn_shallow(gmul(z,ca), gneg(z), 1); /* z *= conj(a)X - 1 */
    1114     1604515 :     if (gc_needed(av,2))
    1115             :     {
    1116           0 :       if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"conformal_pol (%ld/%ld)",n-i, n);
    1117           0 :       gerepileall(av,2, &r,&z);
    1118             :     }
    1119             :   }
    1120             : }
    1121             : static GEN
    1122      768458 : conformal_pol(GEN p, GEN a)
    1123             : {
    1124      768458 :   pari_sp av = avma;
    1125      768458 :   long d, nR, n = degpol(p), v;
    1126             :   GEN Q, R, S, T;
    1127      768457 :   if (n < 35) return conformal_basecase(p, a);
    1128         118 :   d = (n+1) >> 1; v = varn(p);
    1129         118 :   Q = RgX_shift_shallow(p, -d);
    1130         118 :   R = RgXn_red_shallow(p, d);
    1131         118 :   Q = conformal_pol(Q, a);
    1132         118 :   R = conformal_pol(R, a);
    1133         118 :   S = gpowgs(deg1pol_shallow(gen_1, gneg(a), v), d);
    1134         118 :   T = RgX_recip_i(S);
    1135         118 :   if (typ(a) == t_COMPLEX) T = gconj(T);
    1136         118 :   if (odd(d)) T = RgX_neg(T);
    1137             :   /* S = (X - a)^d, T = (conj(a) X - 1)^d */
    1138         118 :   nR = n - degpol(R) - d; /* >= 0 */
    1139         118 :   if (nR) T = RgX_mul(T, gpowgs(deg1pol_shallow(gconj(a), gen_m1, v), nR));
    1140         118 :   return gerepileupto(av, RgX_add(RgX_mul(Q, S), RgX_mul(R, T)));
    1141             : }
    1142             : 
    1143             : static const double UNDEF = -100000.;
    1144             : 
    1145             : static double
    1146      276418 : logradius(double *radii, GEN p, long k, double aux, double *delta)
    1147             : {
    1148      276418 :   long i, n = degpol(p);
    1149             :   double lrho, lrmin, lrmax;
    1150      276419 :   if (k > 1)
    1151             :   {
    1152      238884 :     i = k-1; while (i>0 && radii[i] == UNDEF) i--;
    1153      163908 :     lrmin = logpre_modulus(p,k,aux, radii[i], radii[k]);
    1154             :   }
    1155             :   else /* k=1 */
    1156      112511 :     lrmin = logmin_modulus(p,aux);
    1157      276422 :   radii[k] = lrmin;
    1158             : 
    1159      276422 :   if (k+1<n)
    1160             :   {
    1161      419323 :     i = k+2; while (i<=n && radii[i] == UNDEF) i++;
    1162      225975 :     lrmax = logpre_modulus(p,k+1,aux, radii[k+1], radii[i]);
    1163             :   }
    1164             :   else /* k+1=n */
    1165       50447 :     lrmax = logmax_modulus(p,aux);
    1166      276423 :   radii[k+1] = lrmax;
    1167             : 
    1168      276423 :   lrho = radii[k];
    1169      563234 :   for (i=k-1; i>=1; i--)
    1170             :   {
    1171      286811 :     if (radii[i] == UNDEF || radii[i] > lrho)
    1172      206422 :       radii[i] = lrho;
    1173             :     else
    1174       80389 :       lrho = radii[i];
    1175             :   }
    1176      276423 :   lrho = radii[k+1];
    1177     1030196 :   for (i=k+1; i<=n; i++)
    1178             :   {
    1179      753773 :     if (radii[i] == UNDEF || radii[i] < lrho)
    1180      406743 :       radii[i] = lrho;
    1181             :     else
    1182      347030 :       lrho = radii[i];
    1183             :   }
    1184      276423 :   *delta = (lrmax - lrmin) / 2;
    1185      276423 :   if (*delta > 1.) *delta = 1.;
    1186      276423 :   return (lrmin + lrmax) / 2;
    1187             : }
    1188             : 
    1189             : static void
    1190      276423 : update_radius(long n, double *radii, double lrho, double *par, double *par2)
    1191             : {
    1192      276423 :   double t, param = 0., param2 = 0.;
    1193             :   long i;
    1194     1593362 :   for (i=1; i<=n; i++)
    1195             :   {
    1196     1316964 :     radii[i] -= lrho;
    1197     1316964 :     t = fabs(rtodbl( invr(subsr(1, dblexp(radii[i]))) ));
    1198     1316939 :     param += t; if (t > 1.) param2 += log2(t);
    1199             :   }
    1200      276398 :   *par = param; *par2 = param2;
    1201      276398 : }
    1202             : 
    1203             : /* apply the conformal mapping then split from U */
    1204             : static void
    1205      256071 : conformal_mapping(double *radii, GEN ctr, GEN p, long k, long bit,
    1206             :                   double aux, GEN *F,GEN *G)
    1207             : {
    1208      256071 :   long bit2, n = degpol(p), i;
    1209      256073 :   pari_sp ltop = avma, av;
    1210             :   GEN q, FF, GG, a, R;
    1211             :   double lrho, delta, param, param2;
    1212             :   /* n * (2.*log2(2.732)+log2(1.5)) + 1 */
    1213      256073 :   bit2 = bit + (long)(n*3.4848775) + 1;
    1214      256073 :   a = sqrtr_abs( utor(3, 2*MEDDEFAULTPREC - 2) );
    1215      256071 :   a = divrs(a, -6);
    1216      256074 :   a = gmul(mygprec(a,bit2), mygprec(ctr,bit2)); /* a = -ctr/2sqrt(3) */
    1217             : 
    1218      256070 :   av = avma;
    1219      256070 :   q = conformal_pol(mygprec(p,bit2), a);
    1220     1442517 :   for (i=1; i<=n; i++)
    1221     1186446 :     if (radii[i] != UNDEF) /* update array radii */
    1222             :     {
    1223      905765 :       pari_sp av2 = avma;
    1224      905765 :       GEN t, r = dblexp(radii[i]), r2 = sqrr(r);
    1225             :       /* 2(r^2 - 1) / (r^2 - 3(r-1)) */
    1226      905758 :       t = divrr(shiftr((subrs(r2,1)),1), subrr(r2, mulur(3,subrs(r,1))));
    1227      905744 :       radii[i] = mydbllogr(addsr(1,t)) / 2;
    1228      905755 :       set_avma(av2);
    1229             :     }
    1230      256071 :   lrho = logradius(radii, q,k,aux/10., &delta);
    1231      256078 :   update_radius(n, radii, lrho, &param, &param2);
    1232             : 
    1233      256074 :   bit2 += (long)(n * fabs(lrho)/M_LN2 + 1.);
    1234      256074 :   R = mygprec(dblexp(-lrho), bit2);
    1235      256080 :   q = scalepol(q,R,bit2);
    1236      256074 :   gerepileall(av,2, &q,&R);
    1237             : 
    1238      256079 :   optimize_split(q,k,delta,bit2,&FF,&GG,param,param2);
    1239      256075 :   bit2 += n; R = invr(R);
    1240      256079 :   FF = scalepol(FF,R,bit2);
    1241      256072 :   GG = scalepol(GG,R,bit2);
    1242             : 
    1243      256073 :   a = mygprec(a,bit2);
    1244      256077 :   FF = conformal_pol(FF,a);
    1245      256077 :   GG = conformal_pol(GG,a);
    1246             : 
    1247      256079 :   a = invr(subsr(1, gnorm(a)));
    1248      256074 :   FF = RgX_Rg_mul(FF, powru(a,k));
    1249      256073 :   GG = RgX_Rg_mul(GG, powru(a,n-k));
    1250             : 
    1251      256076 :   *F = mygprec(FF,bit+n);
    1252      256079 :   *G = mygprec(GG,bit+n); gerepileall(ltop,2, F,G);
    1253      256080 : }
    1254             : 
    1255             : /* split p, this time without scaling. returns in F and G two polynomials
    1256             :  * such that |p-FG|< 2^(-bit)|p| */
    1257             : static void
    1258      276423 : split_2(GEN p, long bit, GEN ctr, double thickness, GEN *F, GEN *G)
    1259             : {
    1260             :   GEN q, FF, GG, R;
    1261             :   double aux, delta, param, param2;
    1262      276423 :   long n = degpol(p), i, j, k, bit2;
    1263             :   double lrmin, lrmax, lrho, *radii;
    1264             : 
    1265      276423 :   radii = (double*) stack_malloc_align((n+1) * sizeof(double), sizeof(double));
    1266             : 
    1267     1040576 :   for (i=2; i<n; i++) radii[i] = UNDEF;
    1268      276422 :   aux = thickness/(double)(4 * n);
    1269      276422 :   lrmin = logmin_modulus(p, aux);
    1270      276420 :   lrmax = logmax_modulus(p, aux);
    1271      276421 :   radii[1] = lrmin;
    1272      276421 :   radii[n] = lrmax;
    1273      276421 :   i = 1; j = n;
    1274      276421 :   lrho = (lrmin + lrmax) / 2;
    1275      276421 :   k = dual_modulus(p, lrho, aux, 1);
    1276      276420 :   if (5*k < n || (n < 2*k && 5*k < 4*n))
    1277       44349 :     { lrmax = lrho; j=k+1; radii[j] = lrho; }
    1278             :   else
    1279      232071 :     { lrmin = lrho; i=k;   radii[i] = lrho; }
    1280      576588 :   while (j > i+1)
    1281             :   {
    1282      300168 :     if (i+j == n+1)
    1283      153868 :       lrho = (lrmin + lrmax) / 2;
    1284             :     else
    1285             :     {
    1286      146300 :       double kappa = 2. - log(1. + minss(i,n-j)) / log(1. + minss(j,n-i));
    1287      146300 :       if (i+j < n+1) lrho = lrmax * kappa + lrmin;
    1288      117292 :       else           lrho = lrmin * kappa + lrmax;
    1289      146300 :       lrho /= 1+kappa;
    1290             :     }
    1291      300168 :     aux = (lrmax - lrmin) / (4*(j-i));
    1292      300168 :     k = dual_modulus(p, lrho, aux, minss(i,n+1-j));
    1293      300168 :     if (k-i < j-k-1 || (k-i == j-k-1 && 2*k > n))
    1294      213493 :       { lrmax = lrho; j=k+1; radii[j] = lrho - aux; }
    1295             :     else
    1296       86675 :       { lrmin = lrho; i=k;   radii[i] = lrho + aux; }
    1297             :   }
    1298      276420 :   aux = lrmax - lrmin;
    1299             : 
    1300      276420 :   if (ctr)
    1301             :   {
    1302      256075 :     lrho = (lrmax + lrmin) / 2;
    1303     1442572 :     for (i=1; i<=n; i++)
    1304     1186497 :       if (radii[i] != UNDEF) radii[i] -= lrho;
    1305             : 
    1306      256075 :     bit2 = bit + (long)(n * fabs(lrho)/M_LN2 + 1.);
    1307      256075 :     R = mygprec(dblexp(-lrho), bit2);
    1308      256076 :     q = scalepol(p,R,bit2);
    1309      256071 :     conformal_mapping(radii, ctr, q, k, bit2, aux, &FF, &GG);
    1310             :   }
    1311             :   else
    1312             :   {
    1313       20345 :     lrho = logradius(radii, p, k, aux/10., &delta);
    1314       20345 :     update_radius(n, radii, lrho, &param, &param2);
    1315             : 
    1316       20345 :     bit2 = bit + (long)(n * fabs(lrho)/M_LN2 + 1.);
    1317       20345 :     R = mygprec(dblexp(-lrho), bit2);
    1318       20345 :     q = scalepol(p,R,bit2);
    1319       20345 :     optimize_split(q, k, delta, bit2, &FF, &GG, param, param2);
    1320             :   }
    1321      276421 :   bit  += n;
    1322      276421 :   bit2 += n; R = invr(mygprec(R,bit2));
    1323      276416 :   *F = mygprec(scalepol(FF,R,bit2), bit);
    1324      276422 :   *G = mygprec(scalepol(GG,R,bit2), bit);
    1325      276422 : }
    1326             : 
    1327             : /* procedure corresponding to steps 5,6,.. page 44 in RR n. 1852 */
    1328             : /* put in F and G two polynomial such that |p-FG|<2^(-bit)|p|
    1329             :  * where the maximum modulus of the roots of p is <=1.
    1330             :  * Assume sum of roots is 0. */
    1331             : static void
    1332      256078 : split_1(GEN p, long bit, GEN *F, GEN *G)
    1333             : {
    1334      256078 :   long i, imax, n = degpol(p), polreal = isreal(p), ep = gexpo(p), bit2 = bit+n;
    1335             :   GEN ctr, q, qq, FF, GG, v, gr, r, newq;
    1336             :   double lrmin, lrmax, lthick;
    1337      256077 :   const double LOG3 = 1.098613;
    1338             : 
    1339      256077 :   lrmax = logmax_modulus(p, 0.01);
    1340      256078 :   gr = mygprec(dblexp(-lrmax), bit2);
    1341      256075 :   q = scalepol(p,gr,bit2);
    1342             : 
    1343      256076 :   bit2 = bit + gexpo(q) - ep + (long)((double)n*2.*log2(3.)+1);
    1344      256078 :   v = cgetg(5,t_VEC);
    1345      256076 :   gel(v,1) = gen_2;
    1346      256076 :   gel(v,2) = gen_m2;
    1347      256076 :   gel(v,3) = mkcomplex(gen_0, gel(v,1));
    1348      256076 :   gel(v,4) = mkcomplex(gen_0, gel(v,2));
    1349      256078 :   q = mygprec(q,bit2); lthick = 0;
    1350      256078 :   newq = ctr = NULL; /* -Wall */
    1351      256078 :   imax = polreal? 3: 4;
    1352      531655 :   for (i=1; i<=imax; i++)
    1353             :   {
    1354      525071 :     qq = RgX_translate(q, gel(v,i));
    1355      525073 :     lrmin = logmin_modulus(qq,0.05);
    1356      525066 :     if (LOG3 > lrmin + lthick)
    1357             :     {
    1358      514178 :       double lquo = logmax_modulus(qq,0.05) - lrmin;
    1359      514184 :       if (lquo > lthick) { lthick = lquo; newq = qq; ctr = gel(v,i); }
    1360             :     }
    1361      525072 :     if (lthick > M_LN2) break;
    1362      319761 :     if (polreal && i==2 && lthick > LOG3 - M_LN2) break;
    1363             :   }
    1364      256079 :   bit2 = bit + gexpo(newq) - ep + (long)(n*LOG3/M_LN2 + 1);
    1365      256079 :   split_2(newq, bit2, ctr, lthick, &FF, &GG);
    1366      256075 :   r = gneg(mygprec(ctr,bit2));
    1367      256076 :   FF = RgX_translate(FF,r);
    1368      256076 :   GG = RgX_translate(GG,r);
    1369             : 
    1370      256079 :   gr = invr(gr); bit2 = bit - ep + gexpo(FF)+gexpo(GG);
    1371      256080 :   *F = scalepol(FF,gr,bit2);
    1372      256076 :   *G = scalepol(GG,gr,bit2);
    1373      256078 : }
    1374             : 
    1375             : /* put in F and G two polynomials such that |P-FG|<2^(-bit)|P|,
    1376             : where the maximum modulus of the roots of p is < 0.5 */
    1377             : static int
    1378      256214 : split_0_2(GEN p, long bit, GEN *F, GEN *G)
    1379             : {
    1380             :   GEN q, b;
    1381      256214 :   long n = degpol(p), k, bit2, eq;
    1382      256214 :   double aux0 = dbllog2(gel(p,n+2)); /* != -oo */
    1383      256214 :   double aux1 = dbllog2(gel(p,n+1)), aux;
    1384             : 
    1385      256214 :   if (aux1 == -pariINFINITY) /* p1 = 0 */
    1386        7912 :     aux = 0;
    1387             :   else
    1388             :   {
    1389      248302 :     aux = aux1 - aux0; /* log2(p1/p0) */
    1390             :     /* beware double overflow */
    1391      248302 :     if (aux >= 0 && (aux > 1e4 || exp2(aux) > 2.5*n)) return 0;
    1392      248302 :     aux = (aux < -300)? 0.: n*log2(1 + exp2(aux)/(double)n);
    1393             :   }
    1394      256214 :   bit2 = bit+1 + (long)(log2((double)n) + aux);
    1395      256214 :   q = mygprec(p,bit2);
    1396      256215 :   if (aux1 == -pariINFINITY) b = NULL;
    1397             :   else
    1398             :   {
    1399      248303 :     b = gdivgs(gdiv(gel(q,n+1),gel(q,n+2)),-n);
    1400      248297 :     q = RgX_translate(q,b);
    1401             :   }
    1402      256214 :   gel(q,n+1) = gen_0; eq = gexpo(q);
    1403      256213 :   k = 0;
    1404      256578 :   while (k <= n/2 && (- gexpo(gel(q,k+2)) > bit2 + 2*(n-k) + eq
    1405      256450 :                       || gequal0(gel(q,k+2)))) k++;
    1406      256213 :   if (k > 0)
    1407             :   {
    1408         135 :     if (k > n/2) k = n/2;
    1409         135 :     bit2 += k<<1;
    1410         135 :     *F = pol_xn(k, 0);
    1411         135 :     *G = RgX_shift_shallow(q, -k);
    1412             :   }
    1413             :   else
    1414             :   {
    1415      256078 :     split_1(q,bit2,F,G);
    1416      256078 :     bit2 = bit + gexpo(*F) + gexpo(*G) - gexpo(p) + (long)aux+1;
    1417      256079 :     *F = mygprec(*F,bit2);
    1418             :   }
    1419      256214 :   *G = mygprec(*G,bit2);
    1420      256214 :   if (b)
    1421             :   {
    1422      248302 :     GEN mb = mygprec(gneg(b), bit2);
    1423      248300 :     *F = RgX_translate(*F, mb);
    1424      248302 :     *G = RgX_translate(*G, mb);
    1425             :   }
    1426      256215 :   return 1;
    1427             : }
    1428             : 
    1429             : /* put in F and G two polynomials such that |P-FG|<2^(-bit)|P|.
    1430             :  * Assume max_modulus(p) < 2 */
    1431             : static void
    1432      256214 : split_0_1(GEN p, long bit, GEN *F, GEN *G)
    1433             : {
    1434             :   GEN FF, GG;
    1435             :   long n, bit2, normp;
    1436             : 
    1437      256214 :   if  (split_0_2(p,bit,F,G)) return;
    1438             : 
    1439           0 :   normp = gexpo(p);
    1440           0 :   scalepol2n(p,2); /* p := 4^(-n) p(4*x) */
    1441           0 :   n = degpol(p); bit2 = bit + 2*n + gexpo(p) - normp;
    1442           0 :   split_1(mygprec(p,bit2), bit2,&FF,&GG);
    1443           0 :   scalepol2n(FF,-2);
    1444           0 :   scalepol2n(GG,-2); bit2 = bit + gexpo(FF) + gexpo(GG) - normp;
    1445           0 :   *F = mygprec(FF,bit2);
    1446           0 :   *G = mygprec(GG,bit2);
    1447             : }
    1448             : 
    1449             : /* put in F and G two polynomials such that |P-FG|<2^(-bit)|P| */
    1450             : static void
    1451      276557 : split_0(GEN p, long bit, GEN *F, GEN *G)
    1452             : {
    1453      276557 :   const double LOG1_9 = 0.6418539;
    1454      276557 :   long n = degpol(p), k = 0;
    1455             :   GEN q;
    1456             : 
    1457      276557 :   while (gexpo(gel(p,k+2)) < -bit && k <= n/2) k++;
    1458      276557 :   if (k > 0)
    1459             :   {
    1460           0 :     if (k > n/2) k = n/2;
    1461           0 :     *F = pol_xn(k, 0);
    1462           0 :     *G = RgX_shift_shallow(p, -k);
    1463             :   }
    1464             :   else
    1465             :   {
    1466      276557 :     double lr = logmax_modulus(p, 0.05);
    1467      276556 :     if (lr < LOG1_9) split_0_1(p, bit, F, G);
    1468             :     else
    1469             :     {
    1470      226150 :       q = RgX_recip_i(p);
    1471      226151 :       lr = logmax_modulus(q,0.05);
    1472      226153 :       if (lr < LOG1_9)
    1473             :       {
    1474      205808 :         split_0_1(q, bit, F, G);
    1475      205809 :         *F = RgX_recip_i(*F);
    1476      205808 :         *G = RgX_recip_i(*G);
    1477             :       }
    1478             :       else
    1479       20345 :         split_2(p,bit,NULL, 1.2837,F,G);
    1480             :     }
    1481             :   }
    1482      276559 : }
    1483             : 
    1484             : /********************************************************************/
    1485             : /**                                                                **/
    1486             : /**                ERROR ESTIMATE FOR THE ROOTS                    **/
    1487             : /**                                                                **/
    1488             : /********************************************************************/
    1489             : 
    1490             : static GEN
    1491     1154252 : root_error(long n, long k, GEN roots_pol, long err, GEN shatzle)
    1492             : {
    1493     1154252 :   GEN rho, d, eps, epsbis, eps2, aux, rap = NULL;
    1494             :   long i, j;
    1495             : 
    1496     1154252 :   d = cgetg(n+1,t_VEC);
    1497     9150637 :   for (i=1; i<=n; i++)
    1498             :   {
    1499     7996541 :     if (i!=k)
    1500             :     {
    1501     6842362 :       aux = gsub(gel(roots_pol,i), gel(roots_pol,k));
    1502     6841241 :       gel(d,i) = gabs(mygprec(aux,31), DEFAULTPREC);
    1503             :     }
    1504             :   }
    1505     1154096 :   rho = gabs(mygprec(gel(roots_pol,k),31), DEFAULTPREC);
    1506     1154252 :   if (expo(rho) < 0) rho = real_1(DEFAULTPREC);
    1507     1154252 :   eps = mulrr(rho, shatzle);
    1508     1154161 :   aux = shiftr(powru(rho,n), err);
    1509             : 
    1510     3525554 :   for (j=1; j<=2 || (j<=5 && cmprr(rap, dbltor(1.2)) > 0); j++)
    1511             :   {
    1512     2371525 :     GEN prod = NULL; /* 1. */
    1513     2371525 :     long m = n;
    1514     2371525 :     epsbis = mulrr(eps, dbltor(1.25));
    1515    20477767 :     for (i=1; i<=n; i++)
    1516             :     {
    1517    18105925 :       if (i != k && cmprr(gel(d,i),epsbis) > 0)
    1518             :       {
    1519    15698328 :         GEN dif = subrr(gel(d,i),eps);
    1520    15694166 :         prod = prod? mulrr(prod, dif): dif;
    1521    15696330 :         m--;
    1522             :       }
    1523             :     }
    1524     2371842 :     eps2 = prod? divrr(aux, prod): aux;
    1525     2371290 :     if (m > 1) eps2 = sqrtnr(shiftr(eps2, 2*m-2), m);
    1526     2371290 :     rap = divrr(eps,eps2); eps = eps2;
    1527             :   }
    1528     1154152 :   return eps;
    1529             : }
    1530             : 
    1531             : /* round a complex or real number x to an absolute value of 2^(-bit) */
    1532             : static GEN
    1533     2945451 : mygprec_absolute(GEN x, long bit)
    1534             : {
    1535             :   long e;
    1536             :   GEN y;
    1537             : 
    1538     2945451 :   switch(typ(x))
    1539             :   {
    1540     1911201 :     case t_REAL:
    1541     1911201 :       e = expo(x) + bit;
    1542     1911201 :       return (e <= 0 || !signe(x))? real_0_bit(-bit): rtor(x, nbits2prec(e));
    1543      907561 :     case t_COMPLEX:
    1544      907561 :       if (gexpo(gel(x,2)) < -bit) return mygprec_absolute(gel(x,1),bit);
    1545      883689 :       y = cgetg(3,t_COMPLEX);
    1546      883693 :       gel(y,1) = mygprec_absolute(gel(x,1),bit);
    1547      883711 :       gel(y,2) = mygprec_absolute(gel(x,2),bit);
    1548      883722 :       return y;
    1549      126689 :     default: return x;
    1550             :   }
    1551             : }
    1552             : 
    1553             : static long
    1554      283253 : a_posteriori_errors(GEN p, GEN roots_pol, long err)
    1555             : {
    1556      283253 :   long i, n = degpol(p), e_max = -(long)EXPOBITS;
    1557             :   GEN sigma, shatzle;
    1558             : 
    1559      283252 :   err += (long)log2((double)n) + 1;
    1560      283252 :   if (err > -2) return 0;
    1561      283252 :   sigma = real2n(-err, LOWDEFAULTPREC);
    1562             :   /*  2 / ((s - 1)^(1/n) - 1) */
    1563      283256 :   shatzle = divur(2, subrs(sqrtnr(subrs(sigma,1),n), 1));
    1564     1437490 :   for (i=1; i<=n; i++)
    1565             :   {
    1566     1154233 :     pari_sp av = avma;
    1567     1154233 :     GEN x = root_error(n,i,roots_pol,err,shatzle);
    1568     1154188 :     long e = gexpo(x);
    1569     1154204 :     set_avma(av); if (e > e_max) e_max = e;
    1570     1154212 :     gel(roots_pol,i) = mygprec_absolute(gel(roots_pol,i), -e);
    1571             :   }
    1572      283257 :   return e_max;
    1573             : }
    1574             : 
    1575             : /********************************************************************/
    1576             : /**                                                                **/
    1577             : /**                           MAIN                                 **/
    1578             : /**                                                                **/
    1579             : /********************************************************************/
    1580             : static GEN
    1581      919434 : append_clone(GEN r, GEN a) { a = gclone(a); vectrunc_append(r, a); return a; }
    1582             : 
    1583             : /* put roots in placeholder roots_pol so that |P - L_1...L_n| < 2^(-bit)|P|
    1584             :  * returns prod (x-roots_pol[i]) */
    1585             : static GEN
    1586      836371 : split_complete(GEN p, long bit, GEN roots_pol)
    1587             : {
    1588      836371 :   long n = degpol(p);
    1589             :   pari_sp ltop;
    1590             :   GEN p1, F, G, a, b, m1, m2;
    1591             : 
    1592      836369 :   if (n == 1)
    1593             :   {
    1594      200162 :     a = gneg_i(gdiv(gel(p,2), gel(p,3)));
    1595      200164 :     (void)append_clone(roots_pol,a); return p;
    1596             :   }
    1597      636207 :   ltop = avma;
    1598      636207 :   if (n == 2)
    1599             :   {
    1600      359651 :     F = gsub(gsqr(gel(p,3)), gmul2n(gmul(gel(p,2),gel(p,4)), 2));
    1601      359633 :     F = gsqrt(F, nbits2prec(bit));
    1602      359646 :     p1 = ginv(gmul2n(gel(p,4),1));
    1603      359646 :     a = gneg_i(gmul(gadd(F,gel(p,3)), p1));
    1604      359651 :     b =        gmul(gsub(F,gel(p,3)), p1);
    1605      359639 :     a = append_clone(roots_pol,a);
    1606      359650 :     b = append_clone(roots_pol,b); set_avma(ltop);
    1607      359652 :     a = mygprec(a, 3*bit);
    1608      359651 :     b = mygprec(b, 3*bit);
    1609      359653 :     return gmul(gel(p,4), mkpoln(3, gen_1, gneg(gadd(a,b)), gmul(a,b)));
    1610             :   }
    1611      276556 :   split_0(p,bit,&F,&G);
    1612      276559 :   m1 = split_complete(F,bit,roots_pol);
    1613      276560 :   m2 = split_complete(G,bit,roots_pol);
    1614      276559 :   return gerepileupto(ltop, gmul(m1,m2));
    1615             : }
    1616             : 
    1617             : static GEN
    1618     3134079 : quicktofp(GEN x)
    1619             : {
    1620     3134079 :   const long prec = DEFAULTPREC;
    1621     3134079 :   switch(typ(x))
    1622             :   {
    1623     3114826 :     case t_INT: return itor(x, prec);
    1624        8169 :     case t_REAL: return rtor(x, prec);
    1625           0 :     case t_FRAC: return fractor(x, prec);
    1626       11090 :     case t_COMPLEX: {
    1627       11090 :       GEN a = gel(x,1), b = gel(x,2);
    1628             :       /* avoid problem with 0, e.g. x = 0 + I*1e-100. We don't want |x| = 0. */
    1629       11090 :       if (isintzero(a)) return cxcompotor(b, prec);
    1630       11048 :       if (isintzero(b)) return cxcompotor(a, prec);
    1631       11048 :       a = cxcompotor(a, prec);
    1632       11048 :       b = cxcompotor(b, prec); return sqrtr(addrr(sqrr(a), sqrr(b)));
    1633             :     }
    1634           0 :     default: pari_err_TYPE("quicktofp",x);
    1635             :       return NULL;/*LCOV_EXCL_LINE*/
    1636             :   }
    1637             : 
    1638             : }
    1639             : 
    1640             : /* bound log_2 |largest root of p| (Fujiwara's bound) */
    1641             : double
    1642      827590 : fujiwara_bound(GEN p)
    1643             : {
    1644      827590 :   pari_sp av = avma;
    1645      827590 :   long i, n = degpol(p);
    1646             :   GEN cc;
    1647             :   double loglc, Lmax;
    1648             : 
    1649      827590 :   if (n <= 0) pari_err_CONSTPOL("fujiwara_bound");
    1650      827590 :   loglc = mydbllog2r( quicktofp(gel(p,n+2)) ); /* log_2 |lc(p)| */
    1651      827538 :   cc = gel(p, 2);
    1652      827538 :   if (gequal0(cc))
    1653      143148 :     Lmax = -pariINFINITY-1;
    1654             :   else
    1655      684426 :     Lmax = (mydbllog2r(quicktofp(cc)) - loglc - 1) / n;
    1656     3146518 :   for (i = 1; i < n; i++)
    1657             :   {
    1658     2318959 :     GEN y = gel(p,i+2);
    1659             :     double L;
    1660     2318959 :     if (gequal0(y)) continue;
    1661     1622151 :     L = (mydbllog2r(quicktofp(y)) - loglc) / (n-i);
    1662     1622159 :     if (L > Lmax) Lmax = L;
    1663             :   }
    1664      827559 :   return gc_double(av, Lmax+1);
    1665             : }
    1666             : 
    1667             : /* Fujiwara's bound, real roots. Based on the following remark: if
    1668             :  *   p = x^n + sum a_i x^i and q = x^n + sum min(a_i,0)x^i
    1669             :  * then for all x >= 0, p(x) >= q(x). Thus any bound for the (positive) roots
    1670             :  * of q is a bound for the positive roots of p. */
    1671             : double
    1672      267331 : fujiwara_bound_real(GEN p, long sign)
    1673             : {
    1674      267331 :   pari_sp av = avma;
    1675             :   GEN x;
    1676      267331 :   long n = degpol(p), i, signodd, signeven;
    1677      267332 :   if (n <= 0) pari_err_CONSTPOL("fujiwara_bound");
    1678      267332 :   x = shallowcopy(p);
    1679      267331 :   if (gsigne(gel(x, n+2)) > 0)
    1680      267309 :   { signeven = 1; signodd = sign; }
    1681             :   else
    1682          21 :   { signeven = -1; signodd = -sign; }
    1683     1231323 :   for (i = 0; i < n; i++)
    1684             :   {
    1685      963994 :     if ((n - i) % 2)
    1686      532976 :     { if (gsigne(gel(x, i+2)) == signodd ) gel(x, i+2) = gen_0; }
    1687             :     else
    1688      431018 :     { if (gsigne(gel(x, i+2)) == signeven) gel(x, i+2) = gen_0; }
    1689             :   }
    1690      267329 :   return gc_double(av, fujiwara_bound(x));
    1691             : }
    1692             : 
    1693             : static GEN
    1694     1226409 : mygprecrc_special(GEN x, long prec, long e)
    1695             : {
    1696             :   GEN y;
    1697     1226409 :   switch(typ(x))
    1698             :   {
    1699       32477 :     case t_REAL:
    1700       32477 :       if (!signe(x)) return real_0_bit(minss(e, expo(x)));
    1701       31605 :       return (prec > realprec(x))? rtor(x, prec): x;
    1702       11848 :     case t_COMPLEX:
    1703       11848 :       y = cgetg(3,t_COMPLEX);
    1704       11848 :       gel(y,1) = mygprecrc_special(gel(x,1),prec,e);
    1705       11848 :       gel(y,2) = mygprecrc_special(gel(x,2),prec,e);
    1706       11848 :       return y;
    1707     1182084 :     default: return x;
    1708             :   }
    1709             : }
    1710             : 
    1711             : /* like mygprec but keep at least the same precision as before */
    1712             : static GEN
    1713      283253 : mygprec_special(GEN x, long bit)
    1714             : {
    1715             :   long lx, i, e, prec;
    1716             :   GEN y;
    1717             : 
    1718      283253 :   if (bit < 0) bit = 0; /* should not happen */
    1719      283253 :   e = gexpo(x) - bit;
    1720      283256 :   prec = nbits2prec(bit);
    1721      283252 :   switch(typ(x))
    1722             :   {
    1723      283252 :     case t_POL:
    1724      283252 :       y = cgetg_copy(x, &lx); y[1] = x[1];
    1725     1485964 :       for (i=2; i<lx; i++) gel(y,i) = mygprecrc_special(gel(x,i),prec,e);
    1726      283255 :       break;
    1727             : 
    1728           0 :     default: y = mygprecrc_special(x,prec,e);
    1729             :   }
    1730      283256 :   return y;
    1731             : }
    1732             : 
    1733             : static GEN
    1734      176855 : fix_roots1(GEN R)
    1735             : {
    1736      176855 :   long i, l = lg(R);
    1737      176855 :   GEN v = cgetg(l, t_VEC);
    1738      882373 :   for (i=1; i < l; i++) { GEN r = gel(R,i); gel(v,i) = gcopy(r); gunclone(r); }
    1739      176860 :   return v;
    1740             : }
    1741             : static GEN
    1742      283253 : fix_roots(GEN R, long h, long bit)
    1743             : {
    1744             :   long i, j, c, n, prec;
    1745             :   GEN v, Z, gh;
    1746             : 
    1747      283253 :   if (h == 1) return fix_roots1(R);
    1748      106398 :   prec = nbits2prec(bit); Z = grootsof1(h, prec); gh = utoipos(h);
    1749      106399 :   n = lg(R)-1; v = cgetg(h*n + 1, t_VEC);
    1750      320345 :   for (c = i = 1; i <= n; i++)
    1751             :   {
    1752      213944 :     GEN s, r = gel(R,i);
    1753      213944 :     s = (h == 2)? gsqrt(r, prec): gsqrtn(r, gh, NULL, prec);
    1754      662668 :     for (j = 1; j <= h; j++) gel(v, c++) = gmul(s, gel(Z,j));
    1755      213919 :     gunclone(r);
    1756             :   }
    1757      106401 :   return v;
    1758             : }
    1759             : 
    1760             : static GEN
    1761      282765 : all_roots(GEN p, long bit)
    1762             : {
    1763      282765 :   long bit2, i, e, h, n = degpol(p), elc = gexpo(leading_coeff(p));
    1764      282766 :   GEN q, R, m, pd = RgX_deflate_max(p, &h);
    1765      282766 :   double fb = fujiwara_bound(pd);
    1766             :   pari_sp av;
    1767             : 
    1768      282768 :   if (fb < 0) fb = 0;
    1769      282768 :   bit2 = bit + maxss(gexpo(p), 0) + (long)ceil(log2(n / h) + 2 * fb);
    1770      283259 :   for (av = avma, i = 1, e = 0;; i++, set_avma(av))
    1771             :   {
    1772      283260 :     R = vectrunc_init(n+1);
    1773      283260 :     bit2 += e + (n << i);
    1774      283260 :     q = RgX_gtofp_bit(mygprec(pd,bit2), bit2);
    1775      283255 :     q[1] = evalsigne(1)|evalvarn(0);
    1776      283255 :     m = split_complete(q, bit2, R);
    1777      283253 :     R = fix_roots(R, h, bit2);
    1778      283257 :     q = mygprec_special(pd,bit2);
    1779      283256 :     q[1] = evalsigne(1)|evalvarn(0);
    1780      283256 :     e = gexpo(RgX_sub(q, m)) - elc + (long)log2((double)n) + 1;
    1781      283255 :     if (e < 0)
    1782             :     {
    1783      283256 :       if (e < -2*bit2) e = -2*bit2; /* avoid e = -oo */
    1784      283256 :       e = bit + a_posteriori_errors(p, R, e);
    1785      283252 :       if (e < 0) return R;
    1786             :     }
    1787         490 :     if (DEBUGLEVEL)
    1788           0 :       err_printf("all_roots: restarting, i = %ld, e = %ld\n", i,e);
    1789             :   }
    1790             : }
    1791             : 
    1792             : INLINE int
    1793       56688 : isexactscalar(GEN x) { long tx = typ(x); return is_rational_t(tx); }
    1794             : 
    1795             : static int
    1796       19008 : isexactpol(GEN p)
    1797             : {
    1798       19008 :   long i,n = degpol(p);
    1799       68185 :   for (i=0; i<=n; i++)
    1800       56688 :     if (!isexactscalar(gel(p,i+2))) return 0;
    1801       11497 :   return 1;
    1802             : }
    1803             : 
    1804             : /* p(0) != 0 [for efficiency] */
    1805             : static GEN
    1806       11497 : solve_exact_pol(GEN p, long bit)
    1807             : {
    1808       11497 :   long i, j, k, m, n = degpol(p), iroots = 0;
    1809       11497 :   GEN ex, factors, v = zerovec(n);
    1810             : 
    1811       11497 :   factors = ZX_squff(Q_primpart(p), &ex);
    1812       22994 :   for (i=1; i<lg(factors); i++)
    1813             :   {
    1814       11497 :     GEN roots_fact = all_roots(gel(factors,i), bit);
    1815       11497 :     n = degpol(gel(factors,i));
    1816       11497 :     m = ex[i];
    1817       48533 :     for (j=1; j<=n; j++)
    1818       74072 :       for (k=1; k<=m; k++) v[++iroots] = roots_fact[j];
    1819             :   }
    1820       11497 :   return v;
    1821             : }
    1822             : 
    1823             : /* return the roots of p with absolute error bit */
    1824             : static GEN
    1825       19008 : roots_com(GEN q, long bit)
    1826             : {
    1827             :   GEN L, p;
    1828       19008 :   long v = RgX_valrem_inexact(q, &p);
    1829       19008 :   int ex = isexactpol(p);
    1830       19008 :   if (!ex) p = RgX_normalize1(p);
    1831       19008 :   if (lg(p) == 3)
    1832           0 :     L = cgetg(1,t_VEC); /* constant polynomial */
    1833             :   else
    1834       19008 :     L = ex? solve_exact_pol(p,bit): all_roots(p,bit);
    1835       19008 :   if (v)
    1836             :   {
    1837         210 :     GEN M, z, t = gel(q,2);
    1838             :     long i, x, y, l, n;
    1839             : 
    1840         210 :     if (isrationalzero(t)) x = -bit;
    1841             :     else
    1842             :     {
    1843           7 :       n = gexpo(t);
    1844           7 :       x = n / v; l = degpol(q);
    1845          35 :       for (i = v; i <= l; i++)
    1846             :       {
    1847          28 :         t  = gel(q,i+2);
    1848          28 :         if (isrationalzero(t)) continue;
    1849          28 :         y = (n - gexpo(t)) / i;
    1850          28 :         if (y < x) x = y;
    1851             :       }
    1852             :     }
    1853         210 :     z = real_0_bit(x); l = v + lg(L);
    1854         210 :     M = cgetg(l, t_VEC); L -= v;
    1855         483 :     for (i = 1; i <= v; i++) gel(M,i) = z;
    1856         651 :     for (     ; i <  l; i++) gel(M,i) = gel(L,i);
    1857         210 :     L = M;
    1858             :   }
    1859       19008 :   return L;
    1860             : }
    1861             : 
    1862             : static GEN
    1863      901252 : tocomplex(GEN x, long l, long bit)
    1864             : {
    1865             :   GEN y;
    1866      901252 :   if (typ(x) == t_COMPLEX)
    1867             :   {
    1868      882466 :     if (signe(gel(x,1))) return mygprecrc(x, l, -bit);
    1869      130606 :     x = gel(x,2);
    1870      130606 :     y = cgetg(3,t_COMPLEX);
    1871      130614 :     gel(y,1) = real_0_bit(-bit);
    1872      130614 :     gel(y,2) = mygprecrc(x, l, -bit);
    1873             :   }
    1874             :   else
    1875             :   {
    1876       18786 :     y = cgetg(3,t_COMPLEX);
    1877       18788 :     gel(y,1) = mygprecrc(x, l, -bit);
    1878       18788 :     gel(y,2) = real_0_bit(-bit);
    1879             :   }
    1880      149401 :   return y;
    1881             : }
    1882             : 
    1883             : /* x,y are t_COMPLEX of t_REALs or t_REAL, compare wrt |Im x| - |Im y|,
    1884             :  * then Re x - Re y, up to 2^-e absolute error */
    1885             : static int
    1886     1579314 : cmp_complex_appr(void *E, GEN x, GEN y)
    1887             : {
    1888     1579314 :   long e = (long)E;
    1889             :   GEN z, xi, yi, xr, yr;
    1890             :   long sz, sxi, syi;
    1891     1579314 :   if (typ(x) == t_COMPLEX) { xr = gel(x,1); xi = gel(x,2); sxi = signe(xi); }
    1892      346821 :   else { xr = x; xi = NULL; sxi = 0; }
    1893     1579314 :   if (typ(y) == t_COMPLEX) { yr = gel(y,1); yi = gel(y,2); syi = signe(yi); }
    1894      268640 :   else { yr = y; yi = NULL; syi = 0; }
    1895             :   /* Compare absolute values of imaginary parts */
    1896     1579314 :   if (!sxi)
    1897             :   {
    1898      365459 :     if (syi && expo(yi) >= e) return -1;
    1899             :     /* |Im x| ~ |Im y| ~ 0 */
    1900             :   }
    1901     1213855 :   else if (!syi)
    1902             :   {
    1903       41016 :     if (sxi && expo(xi) >= e) return 1;
    1904             :     /* |Im x| ~ |Im y| ~ 0 */
    1905             :   }
    1906             :   else
    1907             :   {
    1908     1172839 :     z = addrr_sign(xi, 1, yi, -1); sz = signe(z);
    1909     1172725 :     if (sz && expo(z) >= e) return (int)sz;
    1910             :   }
    1911             :   /* |Im x| ~ |Im y|, sort according to real parts */
    1912      898200 :   z = subrr(xr, yr); sz = signe(z);
    1913      898257 :   if (sz && expo(z) >= e) return (int)sz;
    1914             :   /* Re x ~ Re y. Place negative imaginary part before positive */
    1915      436480 :   return (int) (sxi - syi);
    1916             : }
    1917             : 
    1918             : static GEN
    1919      283645 : clean_roots(GEN L, long l, long bit, long clean)
    1920             : {
    1921      283645 :   long i, n = lg(L), ex = 5 - bit;
    1922      283645 :   GEN res = cgetg(n,t_COL);
    1923     1436715 :   for (i=1; i<n; i++)
    1924             :   {
    1925     1153073 :     GEN c = gel(L,i);
    1926     1153073 :     if (clean && isrealappr(c,ex))
    1927             :     {
    1928      251815 :       if (typ(c) == t_COMPLEX) c = gel(c,1);
    1929      251815 :       c = mygprecrc(c, l, -bit);
    1930             :     }
    1931             :     else
    1932      901253 :       c = tocomplex(c, l, bit);
    1933     1153067 :     gel(res,i) = c;
    1934             :   }
    1935      283642 :   gen_sort_inplace(res, (void*)ex, &cmp_complex_appr, NULL);
    1936      283642 :   return res;
    1937             : }
    1938             : 
    1939             : /* the vector of roots of p, with absolute error 2^(- prec2nbits(l)) */
    1940             : static GEN
    1941       19036 : roots_aux(GEN p, long l, long clean)
    1942             : {
    1943       19036 :   pari_sp av = avma;
    1944             :   long bit;
    1945             :   GEN L;
    1946             : 
    1947       19036 :   if (typ(p) != t_POL)
    1948             :   {
    1949          21 :     if (gequal0(p)) pari_err_ROOTS0("roots");
    1950          14 :     if (!isvalidcoeff(p)) pari_err_TYPE("roots",p);
    1951           7 :     return cgetg(1,t_COL); /* constant polynomial */
    1952             :   }
    1953       19015 :   if (!signe(p)) pari_err_ROOTS0("roots");
    1954       19015 :   checkvalidpol(p,"roots");
    1955       19008 :   if (lg(p) == 3) return cgetg(1,t_COL); /* constant polynomial */
    1956       19008 :   if (l < LOWDEFAULTPREC) l = LOWDEFAULTPREC;
    1957       19008 :   bit = prec2nbits(l);
    1958       19008 :   L = roots_com(p, bit);
    1959       19008 :   return gerepilecopy(av, clean_roots(L, l, bit, clean));
    1960             : }
    1961             : GEN
    1962        7820 : roots(GEN p, long l) { return roots_aux(p,l, 0); }
    1963             : /* clean up roots. If root is real replace it by its real part */
    1964             : GEN
    1965       11216 : cleanroots(GEN p, long l) { return roots_aux(p,l, 1); }
    1966             : 
    1967             : /* private variant of conjvec. Allow non rational coefficients, shallow
    1968             :  * function. */
    1969             : GEN
    1970          84 : polmod_to_embed(GEN x, long prec)
    1971             : {
    1972          84 :   GEN v, T = gel(x,1), A = gel(x,2);
    1973             :   long i, l;
    1974          84 :   if (typ(A) != t_POL || varn(A) != varn(T))
    1975             :   {
    1976           7 :     checkvalidpol(T,"polmod_to_embed");
    1977           7 :     return const_col(degpol(T), A);
    1978             :   }
    1979          77 :   v = cleanroots(T,prec); l = lg(v);
    1980         231 :   for (i=1; i<l; i++) gel(v,i) = poleval(A,gel(v,i));
    1981          77 :   return v;
    1982             : }
    1983             : 
    1984             : GEN
    1985      264646 : QX_complex_roots(GEN p, long l)
    1986             : {
    1987      264646 :   pari_sp av = avma;
    1988             :   long bit, v;
    1989             :   GEN L;
    1990             : 
    1991      264646 :   if (!signe(p)) pari_err_ROOTS0("QX_complex_roots");
    1992      264646 :   if (lg(p) == 3) return cgetg(1,t_COL); /* constant polynomial */
    1993      264646 :   if (l < LOWDEFAULTPREC) l = LOWDEFAULTPREC;
    1994      264646 :   bit = prec2nbits(l);
    1995      264645 :   v = RgX_valrem(p, &p);
    1996      264644 :   L = lg(p) > 3? all_roots(Q_primpart(p), bit): cgetg(1,t_COL);
    1997      264639 :   if (v) L = shallowconcat(const_vec(v, real_0_bit(-bit)), L);
    1998      264639 :   return gerepilecopy(av, clean_roots(L, l, bit, 1));
    1999             : }
    2000             : 
    2001             : /********************************************************************/
    2002             : /**                                                                **/
    2003             : /**                REAL ROOTS OF INTEGER POLYNOMIAL                **/
    2004             : /**                                                                **/
    2005             : /********************************************************************/
    2006             : 
    2007             : /* Count sign changes in the coefficients of (x+1)^deg(P)*P(1/(x+1)), P
    2008             :  * has no rational root. The inversion is implicit (we take coefficients
    2009             :  * backwards). */
    2010             : static long
    2011     1251146 : X2XP1(GEN P, GEN *Premapped)
    2012             : {
    2013     1251146 :   const pari_sp av = avma;
    2014     1251146 :   GEN v = shallowcopy(P);
    2015     1251149 :   long i, j, nb, s, dP = degpol(P), vlim = dP+2;
    2016             : 
    2017     8070352 :   for (j = 2; j < vlim; j++) gel(v, j+1) = addii(gel(v, j), gel(v, j+1));
    2018     1250949 :   s = -signe(gel(v, vlim));
    2019     1250949 :   vlim--; nb = 0;
    2020     3737096 :   for (i = 1; i < dP; i++)
    2021             :   {
    2022     3336479 :     long s2 = -signe(gel(v, 2));
    2023     3336479 :     int flag = (s2 == s);
    2024    27577875 :     for (j = 2; j < vlim; j++)
    2025             :     {
    2026    24241775 :       gel(v, j+1) = addii(gel(v, j), gel(v, j+1));
    2027    24241396 :       if (flag) flag = (s2 != signe(gel(v, j+1)));
    2028             :     }
    2029     3336100 :     if (s == signe(gel(v, vlim)))
    2030             :     {
    2031     1061611 :       if (++nb >= 2) return gc_long(av,2);
    2032      722375 :       s = -s;
    2033             :     }
    2034             :     /* if flag is set there will be no further sign changes */
    2035     2996864 :     if (flag && (!Premapped || !nb)) return gc_long(av, nb);
    2036     2485666 :     vlim--;
    2037     2485666 :     if (gc_needed(av, 3))
    2038             :     {
    2039           0 :       if (DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem, "X2XP1, i = %ld/%ld", i, dP-1);
    2040           0 :       if (!Premapped) setlg(v, vlim + 2);
    2041           0 :       v = gerepilecopy(av, v);
    2042             :     }
    2043             :   }
    2044      400617 :   if (vlim >= 2 && s == signe(gel(v, vlim))) nb++;
    2045      400617 :   if (Premapped && nb == 1) *Premapped = v; else set_avma(av);
    2046      400650 :   return nb;
    2047             : }
    2048             : 
    2049             : static long
    2050           0 : _intervalcmp(GEN x, GEN y)
    2051             : {
    2052           0 :   if (typ(x) == t_VEC) x = gel(x, 1);
    2053           0 :   if (typ(y) == t_VEC) y = gel(y, 1);
    2054           0 :   return gcmp(x, y);
    2055             : }
    2056             : 
    2057             : static GEN
    2058    10421106 : _gen_nored(void *E, GEN x) { (void)E; return x; }
    2059             : static GEN
    2060    23000006 : _mp_add(void *E, GEN x, GEN y) { (void)E; return mpadd(x, y); }
    2061             : static GEN
    2062           0 : _mp_sub(void *E, GEN x, GEN y) { (void)E; return mpsub(x, y); }
    2063             : static GEN
    2064     4127323 : _mp_mul(void *E, GEN x, GEN y) { (void)E; return mpmul(x, y); }
    2065             : static GEN
    2066     5965543 : _mp_sqr(void *E, GEN x) { (void)E; return mpsqr(x); }
    2067             : static GEN
    2068    13526788 : _gen_one(void *E) { (void)E; return gen_1; }
    2069             : static GEN
    2070      278896 : _gen_zero(void *E) { (void)E; return gen_0; }
    2071             : 
    2072             : static struct bb_algebra mp_algebra = { _gen_nored, _mp_add, _mp_sub,
    2073             :                          _mp_mul, _mp_sqr, _gen_one, _gen_zero };
    2074             : 
    2075             : static GEN
    2076    32399929 : _mp_cmul(void *E, GEN P, long a, GEN x) {(void)E; return mpmul(gel(P,a+2), x);}
    2077             : 
    2078             : /* Split the polynom P in two parts, whose coeffs have constant sign:
    2079             :  * P(X) = X^D*Pp + Pm. Also compute the two parts of the derivative of P,
    2080             :  * Pprimem = Pm', Pprimep = X*Pp'+ D*Pp => P' = X^(D-1)*Pprimep + Pprimem;
    2081             :  * Pprimep[i] = (i+D) Pp[i]. Return D */
    2082             : static long
    2083      163094 : split_pols(GEN P, GEN *pPp, GEN *pPm, GEN *pPprimep, GEN *pPprimem)
    2084             : {
    2085      163094 :   long i, D, dP = degpol(P), s0 = signe(gel(P,2));
    2086             :   GEN Pp, Pm, Pprimep, Pprimem;
    2087      503030 :   for(i=1; i <= dP; i++)
    2088      503032 :     if (signe(gel(P, i+2)) == -s0) break;
    2089      163094 :   D = i;
    2090      163094 :   Pm = cgetg(D + 2, t_POL);
    2091      163096 :   Pprimem = cgetg(D + 1, t_POL);
    2092      163098 :   Pp = cgetg(dP-D + 3, t_POL);
    2093      163099 :   Pprimep = cgetg(dP-D + 3, t_POL);
    2094      163100 :   Pm[1] = Pp[1] = Pprimem[1] = Pprimep[1] = P[1];
    2095      666098 :   for(i=0; i < D; i++)
    2096             :   {
    2097      503007 :     GEN c = gel(P, i+2);
    2098      503007 :     gel(Pm, i+2) = c;
    2099      503007 :     if (i) gel(Pprimem, i+1) = mului(i, c);
    2100             :   }
    2101      680686 :   for(; i <= dP; i++)
    2102             :   {
    2103      517603 :     GEN c = gel(P, i+2);
    2104      517603 :     gel(Pp, i+2-D) = c;
    2105      517603 :     gel(Pprimep, i+2-D) = mului(i, c);
    2106             :   }
    2107      163083 :   *pPm = normalizepol_lg(Pm, D+2);
    2108      163091 :   *pPprimem = normalizepol_lg(Pprimem, D+1);
    2109      163096 :   *pPp = normalizepol_lg(Pp, dP-D+3);
    2110      163099 :   *pPprimep = normalizepol_lg(Pprimep, dP-D+3);
    2111      163096 :   return dP - degpol(*pPp);
    2112             : }
    2113             : 
    2114             : static GEN
    2115     4860014 : bkeval_single_power(long d, GEN V)
    2116             : {
    2117     4860014 :   long mp = lg(V) - 2;
    2118     4860014 :   if (d > mp) return gmul(gpowgs(gel(V, mp+1), d/mp), gel(V, (d%mp)+1));
    2119     4860014 :   return gel(V, d+1);
    2120             : }
    2121             : 
    2122             : static GEN
    2123     4858498 : splitpoleval(GEN Pp, GEN Pm, GEN pows, long D, long bitprec)
    2124             : {
    2125     4858498 :   GEN vp = gen_bkeval_powers(Pp, degpol(Pp), pows, NULL, &mp_algebra, _mp_cmul);
    2126     4860062 :   GEN vm = gen_bkeval_powers(Pm, degpol(Pm), pows, NULL, &mp_algebra, _mp_cmul);
    2127     4860085 :   GEN xa = bkeval_single_power(D, pows);
    2128             :   GEN r;
    2129     4859909 :   if (!signe(vp)) return vm;
    2130     4859909 :   vp = gmul(vp, xa);
    2131     4856415 :   r = gadd(vp, vm);
    2132     4854336 :   if (gexpo(vp) - (signe(r)? gexpo(r): 0) > prec2nbits(realprec(vp)) - bitprec)
    2133      204953 :     return NULL;
    2134     4654409 :   return r;
    2135             : }
    2136             : 
    2137             : /* optimized Cauchy bound for P = X^D*Pp + Pm, D > deg(Pm) */
    2138             : static GEN
    2139      163094 : splitcauchy(GEN Pp, GEN Pm, long prec)
    2140             : {
    2141      163094 :   GEN S = gel(Pp,2), A = gel(Pm,2);
    2142      163094 :   long i, lPm = lg(Pm), lPp = lg(Pp);
    2143      500428 :   for (i=3; i < lPm; i++) { GEN c = gel(Pm,i); if (abscmpii(A, c) < 0) A = c; }
    2144      517639 :   for (i=3; i < lPp; i++) S = addii(S, gel(Pp, i));
    2145      163081 :   return subsr(1, rdivii(A, S, prec)); /* 1 + |Pm|_oo / |Pp|_1 */
    2146             : }
    2147             : 
    2148             : static GEN
    2149       13797 : ZX_deg1root(GEN P, long prec)
    2150             : {
    2151       13797 :   GEN a = gel(P,3), b = gel(P,2);
    2152       13797 :   if (is_pm1(a))
    2153             :   {
    2154       13797 :     b = itor(b, prec); if (signe(a) > 0) togglesign(b);
    2155       13797 :     return b;
    2156             :   }
    2157           0 :   return rdivii(negi(b), a, prec);
    2158             : }
    2159             : 
    2160             : /* Newton for polynom P, P(0)!=0, with unique sign change => one root in ]0,oo[
    2161             :  * P' has also at most one zero there */
    2162             : static GEN
    2163      163099 : polsolve(GEN P, long bitprec)
    2164             : {
    2165             :   pari_sp av;
    2166             :   GEN Pp, Pm, Pprimep, Pprimem, Pprime, Pprime2, ra, rb, rc, Pc;
    2167      163099 :   long dP = degpol(P), prec = nbits2prec(bitprec);
    2168             :   long expoold, iter, D, rt, s0, bitaddprec, cprec, PREC;
    2169             : 
    2170      163098 :   if (dP == 1) return ZX_deg1root(P, prec);
    2171      163098 :   Pprime = ZX_deriv(P);
    2172      163083 :   Pprime2 = ZX_deriv(Pprime);
    2173      163081 :   bitaddprec = 1 + 2*expu(dP); PREC = prec + nbits2prec(bitaddprec);
    2174      163092 :   D = split_pols(P, &Pp, &Pm, &Pprimep, &Pprimem); /* P = X^D*Pp + Pm */
    2175      163095 :   s0 = signe(gel(P, 2));
    2176      163095 :   rt = maxss(D, brent_kung_optpow(maxss(degpol(Pp), degpol(Pm)), 2, 1));
    2177      163094 :   rb = splitcauchy(Pp, Pm, DEFAULTPREC);
    2178      163088 :   for (cprec = DEFAULTPREC, expoold = LONG_MAX;;)
    2179           0 :   {
    2180      163088 :     GEN pows = gen_powers(rb, rt, 1, NULL, _mp_sqr, _mp_mul, _gen_one);
    2181      163098 :     Pc = splitpoleval(Pp, Pm, pows, D, bitaddprec);
    2182      163098 :     if (!Pc) { cprec += EXTRAPRECWORD; rb = rtor(rb, cprec); continue; }
    2183      163098 :     if (signe(Pc) != s0) break;
    2184           0 :     shiftr_inplace(rb,1);
    2185             :   }
    2186      163098 :   for (iter = 0, ra = NULL;;)
    2187     1791555 :   {
    2188             :     GEN wdth;
    2189     1954653 :     iter++;
    2190     1954653 :     if (ra)
    2191      886563 :       rc = shiftr(addrr(ra, rb), -1);
    2192             :     else
    2193     1068090 :       rc = shiftr(rb, -1);
    2194             :     for(;;)
    2195           0 :     {
    2196     1955024 :       GEN pows = gen_powers(rc, rt, 1, NULL, _mp_sqr, _mp_mul, _gen_one);
    2197     1954452 :       Pc = splitpoleval(Pp, Pm, pows, D, bitaddprec+2);
    2198     1954674 :       if (Pc) break;
    2199           0 :       cprec += EXTRAPRECWORD;
    2200           0 :       rc = rtor(rc, cprec);
    2201             :     }
    2202     1954674 :     if (signe(Pc) == s0)
    2203      583046 :       ra = rc;
    2204             :     else
    2205     1371628 :       rb = rc;
    2206     1954674 :     if (!ra) continue;
    2207     1049660 :     wdth = subrr(rb, ra);
    2208     1049485 :     if (!(iter % 8))
    2209             :     {
    2210      164245 :       GEN m1 = poleval(Pprime, ra), M2;
    2211      164249 :       if (signe(m1) == s0) continue;
    2212      163150 :       M2 = poleval(Pprime2, rb);
    2213      163144 :       if (abscmprr(gmul(M2, wdth), shiftr(m1, 1)) > 0) continue;
    2214      159959 :       break;
    2215             :     }
    2216      885240 :     else if (gexpo(wdth) <= -bitprec)
    2217        3169 :       break;
    2218             :   }
    2219      163128 :   rc = rb; av = avma;
    2220     1209755 :   for(;; rc = gerepileuptoleaf(av, rc))
    2221     1209797 :   {
    2222             :     long exponew;
    2223     1372925 :     GEN Ppc, dist, rcold = rc;
    2224     1372925 :     GEN pows = gen_powers(rc, rt, 1, NULL, _mp_sqr, _mp_mul, _gen_one);
    2225     1372280 :     Ppc = splitpoleval(Pprimep, Pprimem, pows, D-1, bitaddprec+4);
    2226     1372474 :     if (Ppc) Pc = splitpoleval(Pp, Pm, pows, D, bitaddprec+4);
    2227     1372619 :     if (!Ppc || !Pc)
    2228             :     {
    2229      204958 :       if (cprec >= PREC)
    2230       24715 :         cprec += EXTRAPRECWORD;
    2231             :       else
    2232      180243 :         cprec = minss(2*cprec, PREC);
    2233      204959 :       rc = rtor(rc, cprec); continue; /* backtrack one step */
    2234             :     }
    2235     1167661 :     dist = typ(Ppc) == t_REAL? divrr(Pc, Ppc): divri(Pc, Ppc);
    2236     1167378 :     rc = subrr(rc, dist);
    2237     1167157 :     if (cmprr(ra, rc) > 0 || cmprr(rb, rc) < 0)
    2238             :     {
    2239           0 :       if (cprec >= PREC) break;
    2240           0 :       cprec = minss(2*cprec, PREC);
    2241           0 :       rc = rtor(rcold, cprec); continue; /* backtrack one step */
    2242             :     }
    2243     1167893 :     if (expoold == LONG_MAX) { expoold = expo(dist); continue; }
    2244      975007 :     exponew = expo(dist);
    2245      975007 :     if (exponew < -bitprec - 1)
    2246             :     {
    2247      279008 :       if (cprec >= PREC) break;
    2248      115909 :       cprec = minss(2*cprec, PREC);
    2249      115910 :       rc = rtor(rc, cprec); continue;
    2250             :     }
    2251      695999 :     if (exponew > expoold - 2)
    2252             :     {
    2253       29785 :       if (cprec >= PREC) break;
    2254       29785 :       expoold = LONG_MAX;
    2255       29785 :       cprec = minss(2*cprec, PREC);
    2256       29785 :       rc = rtor(rc, cprec); continue;
    2257             :     }
    2258      666214 :     expoold = exponew;
    2259             :   }
    2260      163099 :   return rtor(rc, prec);
    2261             : }
    2262             : 
    2263             : /* Return primpart(P(x / 2)) */
    2264             : static GEN
    2265      406607 : ZX_rescale2prim(GEN P)
    2266             : {
    2267      406607 :   long i, l = lg(P), v, n;
    2268             :   GEN Q;
    2269      406607 :   if (l==2) return pol_0(varn(P));
    2270      406607 :   Q = cgetg(l,t_POL); v = vali(gel(P,l-1));
    2271     1362562 :   for (i = l-2, n = 1; v > n && i >= 2; i--, n++)
    2272      955940 :     v = minss(v, vali(gel(P,i)) + n);
    2273      406622 :   gel(Q,l-1) = v? shifti(gel(P,l-1), -v): gel(P,l-1);
    2274     2640858 :   for (i = l-2, n = 1-v; i >= 2; i--, n++)
    2275     2234266 :     gel(Q,i) = shifti(gel(P,i), n);
    2276      406592 :   Q[1] = P[1]; return Q;
    2277             : }
    2278             : 
    2279             : /* assume Q0 has no rational root */
    2280             : static GEN
    2281      228227 : usp(GEN Q0, long flag, long bitprec)
    2282             : {
    2283      228227 :   const pari_sp av = avma;
    2284             :   GEN Qremapped, Q, c, Lc, Lk, sol;
    2285      228227 :   GEN *pQremapped = flag == 1? &Qremapped: NULL;
    2286      228227 :   const long prec = nbits2prec(bitprec), deg = degpol(Q0);
    2287      228231 :   long listsize = 64, nbr = 0, nb_todo, ind, indf, i, k, nb;
    2288             : 
    2289      228231 :   sol = zerocol(deg);
    2290      228232 :   Lc = zerovec(listsize);
    2291      228237 :   Lk = cgetg(listsize+1, t_VECSMALL);
    2292      228237 :   k = Lk[1] = 0;
    2293      228237 :   ind = 1; indf = 2;
    2294      228237 :   Q = Q0;
    2295      228237 :   c = gen_0;
    2296      228237 :   nb_todo = 1;
    2297     1479288 :   while (nb_todo)
    2298             :   {
    2299     1251053 :     GEN nc = gel(Lc, ind);
    2300             :     pari_sp av2;
    2301     1251053 :     if (Lk[ind] == k + 1)
    2302             :     {
    2303      406605 :       Q = Q0 = ZX_rescale2prim(Q0);
    2304      406601 :       c = gen_0;
    2305             :     }
    2306     1251049 :     if (!equalii(nc, c)) Q = ZX_translate(Q, subii(nc, c));
    2307     1251111 :     av2 = avma;
    2308     1251111 :     k = Lk[ind];
    2309     1251111 :     ind++;
    2310     1251111 :     c = nc;
    2311     1251111 :     nb_todo--;
    2312     1251111 :     nb = X2XP1(Q, pQremapped);
    2313             : 
    2314     1251036 :     if (nb == 1)
    2315             :     { /* exactly one root */
    2316      277164 :       GEN s = gen_0;
    2317      277164 :       if (flag == 0)
    2318             :       {
    2319           0 :         s = mkvec2(gmul2n(c,-k), gmul2n(addiu(c,1),-k));
    2320           0 :         s = gerepilecopy(av2, s);
    2321             :       }
    2322      277164 :       else if (flag == 1) /* Caveat: Qremapped is the reciprocal polynomial */
    2323             :       {
    2324      163097 :         s = polsolve(*pQremapped, bitprec+1);
    2325      163100 :         s = addir(c, divrr(s, addsr(1, s)));
    2326      163094 :         shiftr_inplace(s, -k);
    2327      163096 :         if (realprec(s) != prec) s = rtor(s, prec);
    2328      163101 :         s = gerepileupto(av2, s);
    2329             :       }
    2330      114067 :       else set_avma(av2);
    2331      277171 :       gel(sol, ++nbr) = s;
    2332             :     }
    2333      973872 :     else if (nb)
    2334             :     { /* unknown, add two nodes to refine */
    2335      511460 :       if (indf + 2 > listsize)
    2336             :       {
    2337         760 :         if (ind>1)
    2338             :         {
    2339        3207 :           for (i = ind; i < indf; i++)
    2340             :           {
    2341        2447 :             gel(Lc, i-ind+1) = gel(Lc, i);
    2342        2447 :             Lk[i-ind+1] = Lk[i];
    2343             :           }
    2344         760 :           indf -= ind-1;
    2345         760 :           ind = 1;
    2346             :         }
    2347         760 :         if (indf + 2 > listsize)
    2348             :         {
    2349           0 :           listsize *= 2;
    2350           0 :           Lc = vec_lengthen(Lc, listsize);
    2351           0 :           Lk = vecsmall_lengthen(Lk, listsize);
    2352             :         }
    2353       46953 :         for (i = indf; i <= listsize; i++) gel(Lc, i) = gen_0;
    2354             :       }
    2355      511460 :       gel(Lc, indf) = nc = shifti(c, 1);
    2356      511458 :       gel(Lc, indf + 1) = addiu(nc, 1);
    2357      511446 :       Lk[indf] = Lk[indf + 1] = k + 1;
    2358      511446 :       indf += 2;
    2359      511446 :       nb_todo += 2;
    2360             :     }
    2361     1251029 :     if (gc_needed(av, 2))
    2362             :     {
    2363           0 :       gerepileall(av, 6, &Q0, &Q, &c, &Lc, &Lk, &sol);
    2364           0 :       if (DEBUGMEM > 1) pari_warn(warnmem, "ZX_Uspensky", avma);
    2365             :     }
    2366             :   }
    2367      228235 :   setlg(sol, nbr+1);
    2368      228236 :   return gerepilecopy(av, sol);
    2369             : }
    2370             : 
    2371             : static GEN
    2372          14 : ZX_Uspensky_equal_yes(GEN a, long flag, long bit)
    2373             : {
    2374          14 :   if (flag == 2) return gen_1;
    2375           7 :   if (flag == 1 && typ(a) != t_REAL)
    2376             :   {
    2377           7 :     if (typ(a) == t_INT && !signe(a))
    2378           0 :       a = real_0_bit(bit);
    2379             :     else
    2380           7 :       a = gtofp(a, nbits2prec(bit));
    2381             :   }
    2382           7 :   return mkcol(a);
    2383             : }
    2384             : static GEN
    2385          21 : ZX_Uspensky_no(long flag)
    2386          21 : { return flag <= 1 ? cgetg(1, t_COL) : gen_0; }
    2387             : /* ZX_Uspensky(P, [a,a], flag) */
    2388             : static GEN
    2389          28 : ZX_Uspensky_equal(GEN P, GEN a, long flag, long bit)
    2390             : {
    2391          28 :   if (typ(a) != t_INFINITY && gequal0(poleval(P, a)))
    2392          14 :     return ZX_Uspensky_equal_yes(a, flag, bit);
    2393             :   else
    2394          14 :     return ZX_Uspensky_no(flag);
    2395             : }
    2396             : static int
    2397        3357 : sol_ok(GEN r, GEN a, GEN b) { return gcmp(a, r) <= 0 && gcmp(r, b) <= 0; }
    2398             : 
    2399             : /* P a ZX without real double roots; better if primitive and squarefree but
    2400             :  * caller should ensure that. If flag & 4 assume that P has no rational root
    2401             :  * (modest speedup) */
    2402             : GEN
    2403      180693 : ZX_Uspensky(GEN P, GEN ab, long flag, long bitprec)
    2404             : {
    2405      180693 :   pari_sp av = avma;
    2406             :   GEN a, b, res, sol;
    2407             :   double fb;
    2408             :   long l, nbz, deg;
    2409             : 
    2410      180693 :   if (ab)
    2411             :   {
    2412       79772 :     if (typ(ab) == t_VEC)
    2413             :     {
    2414       52997 :       if (lg(ab) != 3) pari_err_DIM("ZX_Uspensky");
    2415       52997 :       a = gel(ab, 1);
    2416       52997 :       b = gel(ab, 2);
    2417             :     }
    2418             :     else
    2419             :     {
    2420       26775 :       a = ab;
    2421       26775 :       b = mkoo();
    2422             :     }
    2423             :   }
    2424             :   else
    2425             :   {
    2426      100921 :     a = mkmoo();
    2427      100921 :     b = mkoo();
    2428             :   }
    2429      180693 :   if (flag & 4)
    2430             :   {
    2431      126387 :     if (gcmp(a, b) >= 0) { set_avma(av); return ZX_Uspensky_no(flag); }
    2432      126386 :     flag &= ~4;
    2433      126386 :     sol = cgetg(1, t_COL);
    2434             :   }
    2435             :   else
    2436             :   {
    2437       54306 :     switch (gcmp(a, b))
    2438             :     {
    2439           7 :       case 1: set_avma(av); return ZX_Uspensky_no(flag);
    2440          28 :       case 0: return gerepilecopy(av, ZX_Uspensky_equal(P, a, flag, bitprec));
    2441             :     }
    2442       54271 :     sol = nfrootsQ(P);
    2443             :   }
    2444      180657 :   nbz = 0; l = lg(sol);
    2445      180657 :   if (l > 1)
    2446             :   {
    2447             :     long i, j;
    2448        2685 :     P = RgX_div(P, roots_to_pol(sol, varn(P)));
    2449        2685 :     if (!RgV_is_ZV(sol)) P = Q_primpart(P);
    2450        6042 :     for (i = j = 1; i < l; i++)
    2451        3357 :       if (sol_ok(gel(sol,i), a, b)) gel(sol,j++) = gel(sol,i);
    2452        2685 :     setlg(sol, j);
    2453        2685 :     if (flag == 2) { nbz = j-1; sol = utoi(nbz); }
    2454        2517 :     else if (flag == 1) sol = RgC_gtofp(sol, nbits2prec(bitprec));
    2455             :   }
    2456      177972 :   else if (flag == 2) sol = gen_0;
    2457      180657 :   deg = degpol(P);
    2458      180657 :   if (deg == 0) return gerepilecopy(av, sol);
    2459      178710 :   if (typ(a) == t_INFINITY && typ(b) != t_INFINITY && gsigne(b))
    2460             :   {
    2461          28 :     fb = fujiwara_bound_real(P, -1);
    2462          28 :     if (fb <= -pariINFINITY) a = gen_0;
    2463          21 :     else if (fb < 0) a = gen_m1;
    2464          21 :     else a = negi(int2n((long)ceil(fb)));
    2465             :   }
    2466      178710 :   if (typ(b) == t_INFINITY && typ(a) != t_INFINITY && gsigne(a))
    2467             :   {
    2468          21 :     fb = fujiwara_bound_real(P, 1);
    2469          21 :     if (fb <= -pariINFINITY) b = gen_0;
    2470          21 :     else if (fb < 0) b = gen_1;
    2471           7 :     else b = int2n((long)ceil(fb));
    2472             :   }
    2473      178710 :   if (typ(a) != t_INFINITY && typ(b) != t_INFINITY)
    2474             :   {
    2475             :     GEN d, ad, bd, diff;
    2476             :     long i;
    2477             :     /* can occur if one of a,b was initially a t_INFINITY */
    2478       12271 :     if (gequal(a,b)) return gerepilecopy(av, sol);
    2479       12257 :     d = lcmii(Q_denom(a), Q_denom(b));
    2480       12257 :     if (is_pm1(d)) { d = NULL; ad = a; bd = b; }
    2481             :     else
    2482          21 :     { P = ZX_rescale(P, d); ad = gmul(a, d); bd = gmul(b, d); }
    2483       12257 :     diff = subii(bd, ad);
    2484       12257 :     P = ZX_affine(P, diff, ad);
    2485       12257 :     res = usp(P, flag, bitprec);
    2486       12257 :     if (flag <= 1)
    2487             :     {
    2488       33635 :       for (i = 1; i < lg(res); i++)
    2489             :       {
    2490       21595 :         GEN z = gmul(diff, gel(res, i));
    2491       21595 :         if (typ(z) == t_VEC)
    2492             :         {
    2493           0 :           gel(z, 1) = gadd(ad, gel(z, 1));
    2494           0 :           gel(z, 2) = gadd(ad, gel(z, 2));
    2495             :         }
    2496             :         else
    2497       21595 :           z = gadd(ad, z);
    2498       21595 :         if (d) z = gdiv(z, d);
    2499       21595 :         gel(res, i) = z;
    2500             :       }
    2501       12040 :       sol = shallowconcat(sol, res);
    2502             :     }
    2503             :     else
    2504         217 :       nbz += lg(res) - 1;
    2505             :   }
    2506      178696 :   if (typ(b) == t_INFINITY && (fb=fujiwara_bound_real(P, 1)) > -pariINFINITY)
    2507             :   {
    2508      130931 :     long bp = maxss((long)ceil(fb), 0);
    2509      130930 :     res = usp(ZX_unscale2n(P, bp), flag, bitprec);
    2510      130931 :     if (flag <= 1)
    2511       70143 :       sol = shallowconcat(sol, gmul2n(res, bp));
    2512             :     else
    2513       60788 :       nbz += lg(res)-1;
    2514             :   }
    2515      178698 :   if (typ(a) == t_INFINITY && (fb=fujiwara_bound_real(P,-1)) > -pariINFINITY)
    2516             :   {
    2517       85050 :     long i, bm = maxss((long)ceil(fb), 0);
    2518       85050 :     res = usp(ZX_unscale2n(ZX_z_unscale(P, -1), bm), flag, bitprec);
    2519       85053 :     if (flag <= 1)
    2520             :     {
    2521       73622 :       for (i = 1; i < lg(res); i++)
    2522             :       {
    2523       46164 :         GEN z = gneg(gmul2n(gel(res, i), bm));
    2524       46164 :         if (typ(z) == t_VEC) swap(gel(z, 1), gel(z, 2));
    2525       46164 :         gel(res, i) = z;
    2526             :       }
    2527       27458 :       sol = shallowconcat(res, sol);
    2528             :     }
    2529             :     else
    2530       57595 :       nbz += lg(res)-1;
    2531             :   }
    2532      178699 :   if (flag >= 2) return utoi(nbz);
    2533       82268 :   if (flag)
    2534       82268 :     sol = sort(sol);
    2535             :   else
    2536           0 :     sol = gen_sort(sol, (void *)_intervalcmp, cmp_nodata);
    2537       82268 :   return gerepileupto(av, sol);
    2538             : }
    2539             : 
    2540             : /* x a scalar */
    2541             : static GEN
    2542          35 : rootsdeg0(GEN x)
    2543             : {
    2544          35 :   if (!is_real_t(typ(x))) pari_err_TYPE("realroots",x);
    2545          28 :   if (gequal0(x)) pari_err_ROOTS0("realroots");
    2546          14 :   return cgetg(1,t_COL); /* constant polynomial */
    2547             : }
    2548             : static void
    2549      104928 : checkbound(GEN a)
    2550             : {
    2551      104928 :   switch(typ(a))
    2552             :   {
    2553      104928 :     case t_INT: case t_FRAC: case t_INFINITY: break;
    2554           0 :     default: pari_err_TYPE("polrealroots", a);
    2555             :   }
    2556      104928 : }
    2557             : static GEN
    2558       53255 : check_ab(GEN ab)
    2559             : {
    2560             :   GEN a, b;
    2561       53255 :   if (!ab) return NULL;
    2562       52464 :   if (typ(ab) != t_VEC || lg(ab) != 3) pari_err_TYPE("polrootsreal",ab);
    2563       52464 :   a = gel(ab,1); checkbound(a);
    2564       52464 :   b = gel(ab,2); checkbound(b);
    2565       52464 :   if (typ(a) == t_INFINITY && inf_get_sign(a) < 0 &&
    2566        1071 :       typ(b) == t_INFINITY && inf_get_sign(b) > 0) ab = NULL;
    2567       52464 :   return ab;
    2568             : }
    2569             : /* e^(1/h) assuming the h-th root is real, beware that sqrtnr assumes e >= 0 */
    2570             : static GEN
    2571       21326 : _sqrtnr(GEN e, long h)
    2572             : {
    2573             :   long s;
    2574             :   GEN r;
    2575       21326 :   if (h == 2) return sqrtr(e);
    2576          14 :   s = signe(e); setsigne(e, 1); /* e < 0 is possible, implies h is odd */
    2577          14 :   r = sqrtnr(e, h); if (s < 0) setsigne(r, -1);
    2578          14 :   return r;
    2579             : }
    2580             : GEN
    2581       50281 : realroots(GEN P, GEN ab, long prec)
    2582             : {
    2583       50281 :   pari_sp av = avma;
    2584       50281 :   GEN sol = NULL, fa, ex;
    2585             :   long i, j, v, l;
    2586             : 
    2587       50281 :   ab = check_ab(ab);
    2588       50281 :   if (typ(P) != t_POL) return rootsdeg0(P);
    2589       50260 :   switch(degpol(P))
    2590             :   {
    2591           7 :     case -1: return rootsdeg0(gen_0);
    2592           7 :     case 0: return rootsdeg0(gel(P,2));
    2593             :   }
    2594       50246 :   if (!RgX_is_ZX(P)) P = RgX_rescale_to_int(P);
    2595       50246 :   v = ZX_valrem(Q_primpart(P), &P);
    2596       50246 :   fa = ZX_squff(P, &ex); l = lg(fa); sol = cgetg(l + 1, t_VEC);
    2597      102040 :   for (i = 1; i < l; i++)
    2598             :   {
    2599       51794 :     GEN Pi = gel(fa, i), soli, soli2;
    2600             :     long n, h;
    2601       51794 :     if (ab) h = 1; else Pi = ZX_deflate_max(Pi, &h);
    2602       51794 :     soli = ZX_Uspensky(Pi, odd(h)? ab: gen_0, 1, prec2nbits(prec));
    2603       51794 :     n = lg(soli); soli2 = odd(h)? NULL: cgetg(n, t_COL);
    2604      118322 :     for (j = 1; j < n; j++)
    2605             :     {
    2606       66528 :       GEN r = gel(soli, j); /* != 0 */
    2607       66528 :       if (typ(r) != t_REAL) gel(soli, j) = r = gtofp(r, prec);
    2608       66528 :       if (h > 1)
    2609             :       {
    2610          77 :         gel(soli, j) = r = _sqrtnr(r, h);
    2611          77 :         if (soli2) gel(soli2, j) = negr(r);
    2612             :       }
    2613             :     }
    2614       51794 :     if (soli2) soli = shallowconcat(soli, soli2);
    2615       51794 :     if (ex[i] > 1) soli = shallowconcat1( const_vec(ex[i], soli) );
    2616       51794 :     gel(sol, i) = soli;
    2617             :   }
    2618       50246 :   if (v && (!ab || (gsigne(gel(ab,1)) <= 0 && gsigne(gel(ab,2)) >= 0)))
    2619          63 :     gel(sol, i++) = const_col(v, real_0(prec));
    2620       50246 :   setlg(sol, i); if (i == 1) { set_avma(av); return cgetg(1,t_COL); }
    2621       50232 :   return gerepileupto(av, sort(shallowconcat1(sol)));
    2622             : }
    2623             : GEN
    2624       46140 : ZX_realroots_irred(GEN P, long prec)
    2625             : {
    2626       46140 :   long dP = degpol(P), j, n, h;
    2627             :   GEN sol, sol2;
    2628             :   pari_sp av;
    2629       46140 :   if (dP == 1) retmkvec(ZX_deg1root(P, prec));
    2630       43268 :   av = avma; P = ZX_deflate_max(P, &h);
    2631       43268 :   if (h == dP)
    2632             :   {
    2633       10925 :     GEN r = _sqrtnr(ZX_deg1root(P, prec), h);
    2634       10925 :     return gerepilecopy(av, odd(h)? mkvec(r): mkvec2(negr(r), r));
    2635             :   }
    2636       32343 :   sol = ZX_Uspensky(P, odd(h)? NULL: gen_0, 1 | 4, prec2nbits(prec));
    2637       32342 :   n = lg(sol); sol2 = odd(h)? NULL: cgetg(n, t_COL);
    2638      129616 :   for (j = 1; j < n; j++)
    2639             :   {
    2640       97273 :     GEN r = gel(sol, j);
    2641       97273 :     if (typ(r) != t_REAL) gel(sol, j) = r = gtofp(r, prec);
    2642       97273 :     if (h > 1)
    2643             :     {
    2644       10324 :       gel(sol, j) = r = _sqrtnr(r, h);
    2645       10325 :       if (sol2) gel(sol2, j) = negr(r);
    2646             :     }
    2647             :   }
    2648       32343 :   if (sol2) sol = shallowconcat(sol, sol2);
    2649       32343 :   return gerepileupto(av, sort(sol));
    2650             : }
    2651             : 
    2652             : static long
    2653      115216 : ZX_sturm_i(GEN P, long flag)
    2654             : {
    2655             :   pari_sp av;
    2656      115216 :   long h, r, dP = degpol(P);
    2657      115216 :   if (dP == 1) return 1;
    2658      112266 :   av = avma; P = ZX_deflate_max(P, &h);
    2659      112266 :   if (h == dP)
    2660             :   { /* now deg P = 1 */
    2661       17297 :     if (odd(h))
    2662         644 :       r = 1;
    2663             :     else
    2664       16653 :       r = (signe(gel(P,2)) != signe(gel(P,3)))? 2: 0;
    2665       17297 :     return gc_long(av, r);
    2666             :   }
    2667       94969 :   if (odd(h))
    2668       72905 :     r = itou(ZX_Uspensky(P, NULL, flag, 0));
    2669             :   else
    2670       22064 :     r = 2*itou(ZX_Uspensky(P, gen_0, flag, 0));
    2671       94968 :   return gc_long(av,r);
    2672             : }
    2673             : /* P nonconstant, squarefree ZX */
    2674             : long
    2675        2974 : ZX_sturmpart(GEN P, GEN ab)
    2676             : {
    2677        2974 :   pari_sp av = avma;
    2678        2974 :   if (!check_ab(ab)) return ZX_sturm(P);
    2679        1588 :   return gc_long(av, itou(ZX_Uspensky(P, ab, 2, 0)));
    2680             : }
    2681             : /* P nonconstant, squarefree ZX */
    2682             : long
    2683        1393 : ZX_sturm(GEN P) { return ZX_sturm_i(P, 2); }
    2684             : /* P irreducible ZX */
    2685             : long
    2686      113823 : ZX_sturm_irred(GEN P) { return ZX_sturm_i(P, 2 + 4); }

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