Line data Source code
1 : /* Copyright (C) 2022 The PARI group.
2 :
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5 : PARI/GP is free software; you can redistribute it and/or modify it under the
6 : terms of the GNU General Public License as published by the Free Software
7 : Foundation; either version 2 of the License, or (at your option) any later
8 : version. It is distributed in the hope that it will be useful, but WITHOUT
9 : ANY WARRANTY WHATSOEVER.
10 :
11 : Check the License for details. You should have received a copy of it, along
12 : with the package; see the file 'COPYING'. If not, write to the Free Software
13 : Foundation, Inc., 51 Franklin Street, Fifth Floor, Boston, MA 02110-1301 USA. */
14 :
15 : #include "pari.h"
16 : #include "paripriv.h"
17 :
18 : #define DEBUGLEVEL DEBUGLEVEL_trans
19 :
20 : /********************************************************/
21 : /* Hurwitz zeta function */
22 : /********************************************************/
23 : struct hurwitzp_t { GEN B, _1, s1; };
24 : static void
25 49 : hurwitzp_init(struct hurwitzp_t *S, long prec, GEN s)
26 : {
27 49 : GEN B, C = gen_1, s1 = gsubgs(s, 1), p = gel(s, 2);
28 49 : long j, J = ((equaliu(p,2)? (prec >> 1): prec) + 2) >> 1;
29 49 : if (gequal0(s1)) s1 = NULL;
30 49 : B = bernvec(J);
31 203 : for (j = 1; j <= J; j++)
32 : {
33 154 : GEN t = (j == 1 && !s1)? s: gmul(gaddgs(s, 2*j-3), gaddgs(s, 2*j-2));
34 154 : C = gdivgunextu(gmul(C, t), 2*j-1);
35 154 : gel(B, j+1) = gmul(gel(B, j+1), C); /* B_{2j} * binomial(1-s, 2j) */
36 : }
37 49 : S->_1 = cvtop(gen_1, p, prec);
38 49 : S->s1 = s1;
39 49 : S->B = B;
40 49 : }
41 :
42 : /* s1 = s-1 or NULL (if s=1) */
43 : static GEN
44 168 : hurwitzp_i(struct hurwitzp_t *S, GEN x)
45 : {
46 168 : GEN z, x2, x2j, s1 = S->s1;
47 168 : long j, J = lg(S->B) - 2;
48 :
49 168 : x = cvtop2(ginv(x), S->_1); z = gmul2n(x, -1);
50 168 : z = s1? gmul(s1, z): gadd(Qp_log(x), z);
51 168 : x2j = x2 = gsqr(x); z = gaddgs(z, 1);
52 168 : for (j = 1;; j++)
53 : {
54 511 : z = gadd(z, gmul(gel(S->B, j + 1), x2j));
55 511 : if (j == J) break;
56 343 : x2j = gmul(x2, x2j);
57 : }
58 168 : if (s1) z = gmul(gdiv(z, s1), Qp_exp(gmul(s1, Qp_log(x))));
59 168 : return z;
60 : }
61 : /* private (absolute) padicprec */
62 : static long
63 56 : pprec(GEN x) { return maxss(valp(x) + precp(x), 1); }
64 :
65 : /* L_p(s, (D, .)); assume s != 1 if D = 1 */
66 : static GEN
67 14 : zetap_i(GEN s, long D)
68 : {
69 14 : pari_sp av = avma;
70 14 : GEN z, va, gp = gel(s,2);
71 14 : ulong a, p = itou(gp), m;
72 14 : long prec = pprec(s);
73 : struct hurwitzp_t S;
74 :
75 14 : if (D <= 0) pari_err_DOMAIN("p-adic L-function", "D", "<=", gen_0, stoi(D));
76 14 : if (!uposisfundamental(D))
77 0 : pari_err_TYPE("p-adic L-function [D not fundamental]", stoi(D));
78 14 : hurwitzp_init(&S, prec, s);
79 14 : m = ulcm(D, p == 2? 4: p); va = coprimes_zv(m);
80 42 : for (a = 1, z = gen_0; a <= (m >> 1); a++)
81 28 : if (va[a])
82 : {
83 21 : GEN h = hurwitzp_i(&S, uutoQ(a, m));
84 21 : if (D != 1 && kross(D, a) < 0) h = gneg(h);
85 21 : z = gadd(z, h);
86 : }
87 14 : z = gdivgs(gmul2n(z, 1), m);
88 14 : if (D != 1) z = gmul(z, Qp_exp(gmul(gsubsg(1, s), Qp_log(cvstop2(m, s)))));
89 14 : return gerepileupto(av, z);
90 : }
91 : GEN
92 14 : Qp_zeta(GEN s) { return zetap_i(s, 1); }
93 :
94 : /* s a t_PADIC; gerepileupto-safe */
95 : static GEN
96 35 : hurwitzp(GEN s, GEN x)
97 : {
98 35 : GEN gp = gel(s,2);
99 35 : long p = itou(gp), prec = pprec(s);
100 : struct hurwitzp_t S;
101 35 : hurwitzp_init(&S, prec, s);
102 35 : if (typ(x) != t_PADIC) x = gadd(x, zeropadic_shallow(gp, prec));
103 35 : if (valp(x) >= ((p==2)? -1: 0))
104 : {
105 28 : GEN z = gen_0;
106 28 : long j, M = (p==2)? 4: p;
107 189 : for (j = 0; j < M; j++)
108 : {
109 161 : GEN y = gaddsg(j, x);
110 161 : if (valp(y) <= 0) z = gadd(z, hurwitzp_i(&S, gdivgu(y, M)));
111 : }
112 28 : return gdivgu(z, M);
113 : }
114 7 : if (valp(s) < 0) pari_err_DOMAIN("hurwitzp", "v(s)", "<", gen_0, s);
115 7 : return hurwitzp_i(&S, x);
116 : }
117 :
118 : static void
119 8596 : binsplit(GEN *pP, GEN *pR, GEN aN2, GEN isqaN, GEN s, long j, long k, long prec)
120 : {
121 8596 : if (j + 1 == k)
122 : {
123 4347 : long j2 = j << 1;
124 : GEN P;
125 4347 : if (!j) P = gdiv(s, aN2);
126 : else
127 : {
128 4249 : P = gmul(gaddgs(s, j2-1), gaddgs(s, j2));
129 4249 : P = gdivgunextu(gmul(P, isqaN), j2+1);
130 : }
131 4347 : if (pP) *pP = P;
132 4347 : if (pR) *pR = gmul(bernreal(j2+2, prec), P);
133 : }
134 : else
135 : {
136 : GEN P1, R1, P2, R2;
137 4249 : binsplit(&P1,pR? &R1: NULL, aN2, isqaN, s, j, (j+k) >> 1, prec);
138 4249 : binsplit(pP? &P2: NULL, pR? &R2: NULL, aN2, isqaN, s, (j+k) >> 1, k, prec);
139 4249 : if (pP) *pP = gmul(P1,P2);
140 4249 : if (pR) *pR = gadd(R1, gmul(P1, R2));
141 : }
142 8596 : }
143 :
144 : /* a0 + a1 x + O(x^e), e >= 0 */
145 : static GEN
146 77 : deg1ser_shallow(GEN a1, GEN a0, long v, long e)
147 77 : { return RgX_to_ser(deg1pol_shallow(a1, a0, v), e+2); }
148 :
149 : /* New zetahurwitz, from Fredrik Johansson. */
150 : GEN
151 287 : zetahurwitz(GEN s, GEN x, long der, long bitprec)
152 : {
153 287 : pari_sp av = avma, av2;
154 287 : GEN a, ra, ra0, Nx, S1, S2, S3, N2, rx, sch = NULL, s0 = s, x0 = x, y;
155 287 : long j, k, m, N, prec0 = nbits2prec(bitprec), prec = prec0, fli = 0;
156 : pari_timer T;
157 :
158 287 : if (der < 0) pari_err_DOMAIN("zetahurwitz", "der", "<", gen_0, stoi(der));
159 287 : if (der)
160 : {
161 : GEN z;
162 21 : if (!is_scalar_t(typ(s)))
163 : {
164 7 : z = deriv(zetahurwitz(s, x, der - 1, bitprec), -1);
165 7 : z = gdiv(z, deriv(s, -1));
166 : }
167 : else
168 : {
169 14 : if (gequal1(s)) pari_err_DOMAIN("zetahurwitz", "s", "=", gen_1, s0);
170 14 : s = deg1ser_shallow(gen_1, s, 0, der+2);
171 14 : z = zetahurwitz(s, x, 0, bitprec + der * log2(der));
172 14 : z = gmul(mpfact(der), polcoef_i(z, der, -1));
173 : }
174 21 : return gerepileupto(av,z);
175 : }
176 266 : if (typ(s) == t_PADIC) return gerepileupto(av, hurwitzp(s, x));
177 238 : if (typ(x) == t_PADIC)
178 : {
179 7 : s = gadd(s, zeropadic_shallow(gel(x,2), pprec(x)));
180 7 : return gerepileupto(av, hurwitzp(s, x));
181 : }
182 231 : switch(typ(x))
183 : {
184 217 : case t_INT: case t_REAL: case t_FRAC: case t_COMPLEX: break;
185 14 : default:
186 14 : if (!(y = toser_i(x))) pari_err_TYPE("zetahurwitz", x);
187 7 : x = y; x0 = polcoef_i(x, 0, -1); break;
188 : }
189 224 : rx = grndtoi(real_i(x0), NULL);
190 224 : if (typ(rx) != t_INT) pari_err_TYPE("zetahurwitz", x);
191 224 : if (x0 == x && signe(rx) <= 0 && gexpo(gsub(x, rx)) < 17 - bitprec)
192 0 : pari_err_DOMAIN("zetahurwitz", "x", "<=", gen_0, x);
193 224 : switch (typ(s))
194 : {
195 : long v, pr;
196 154 : case t_INT: case t_REAL: case t_FRAC: case t_COMPLEX: break;
197 70 : default:
198 70 : if (!(y = toser_i(s))) pari_err_TYPE("zetahurwitz", s);
199 70 : if (valp(y) < 0) pari_err_DOMAIN("zetahurwitz", "val(s)", "<", gen_0, s);
200 70 : s0 = polcoef_i(y, 0, -1);
201 70 : switch(typ(s0))
202 : {
203 63 : case t_INT: case t_REAL: case t_FRAC: case t_COMPLEX: break;
204 0 : case t_PADIC: pari_err_IMPL("zetahurwitz(t_SER of t_PADIC)");
205 7 : default: pari_err_TYPE("zetahurwitz", s0);
206 : }
207 63 : sch = gequal0(s0)? y: serchop0(y);
208 63 : v = valp(sch);
209 63 : pr = (lg(y) + v + 1) / v;
210 63 : if (gequal1(s0)) pr += v;
211 63 : s = deg1ser_shallow(gen_1, s0, 0, pr);
212 : }
213 217 : a = gneg(s0); ra = real_i(a); ra0 = ground(ra);
214 217 : if (gequal1(s0) && (!sch || gequal0(sch)))
215 14 : pari_err_DOMAIN("zetahurwitz", "s", "=", gen_1, s0);
216 203 : fli = (gsigne(ra0) >= 0 && gexpo(gsub(a, ra0)) < 17 - bitprec);
217 203 : if (!sch && fli)
218 : { /* a ~ non negative integer */
219 14 : k = itos(gceil(ra)) + 1;
220 14 : if (odd(k)) k++;
221 14 : N = 1;
222 : }
223 : else
224 : {
225 189 : GEN C, ix = imag_i(x0);
226 189 : double c = (typ(s) == t_INT)? 1: 20 * log((double)bitprec);
227 189 : double rs = gtodouble(ra) + 1;
228 : long k0;
229 189 : if (fli) a = gadd(a, ghalf); /* hack */
230 189 : if (rs > 0)
231 : {
232 49 : bitprec += (long)ceil(rs * expu(bitprec));
233 49 : prec = nbits2prec(bitprec);
234 49 : x = gprec_w(x, prec);
235 49 : s = gprec_w(s, prec);
236 49 : if (sch) sch = gprec_w(sch, prec);
237 : }
238 189 : k = bitprec * M_LN2 / (1 + dbllambertW0(M_PI / c));
239 189 : k0 = itos(gceil(gadd(ra, ghalf))) + 1;
240 189 : k = maxss(k0, k);
241 189 : if (odd(k)) k++;
242 : /* R_k < 2 |binom(a,k+1) B_{k+2}/(k+2)| */
243 189 : C = binomial(a, k+1); C = polcoef_i(C, 0, -1);
244 189 : C = gmul(C, gdivgu(bernfrac(k+2), k+2));
245 189 : C = gmul2n(gabs(C,LOWDEFAULTPREC), bitprec + 1);
246 189 : C = gpow(C, ginv(gsubsg(k+1, ra)), LOWDEFAULTPREC);
247 : /* need |N + x - 1|^2 > C^2 */
248 189 : if (!gequal0(ix)) C = gsqrt(gsub(gsqr(C), gsqr(ix)), LOWDEFAULTPREC);
249 : /* need |N + re(x) - 1| > C */
250 189 : C = gceil(gadd(C, gsubsg(1, rx)));
251 189 : if (typ(C) != t_INT) pari_err_TYPE("zetahurwitz",s);
252 189 : N = signe(C) > 0? itos(C) : 1;
253 189 : if (N == 1 && signe(a) > 0)
254 : { /* May reduce k if 2Pix > a */
255 : /* Need 2 |x^(-K) (B_K/K) binom(a, K-1)| < 2^-bit |x|^-rs |zeta(s,x)|
256 : * with K = k+2; N = 1; |zeta(s,x)| ~ |x|^(rs-1);
257 : * if a > 0, (B_K/K) binom(a, K-1) < 2 |a / 2Pi|^K */
258 0 : double dx = dbllog2(x0), d = 1 + dx + log2(M_PI) - dbllog2(s0);
259 0 : if (d > 0)
260 : { /* d ~ log2 |2Pi x / a| */
261 0 : long K = (long)ceil((bitprec + 1 + dx) / d);
262 0 : K = maxss(k0, K);
263 0 : if (odd(K)) K++;
264 0 : if (K < k) k = K;
265 : }
266 : }
267 : }
268 203 : if (gsigne(rx) < 0) N = maxss(N, 1 - itos(rx));
269 203 : a = gneg(s);
270 203 : if (DEBUGLEVEL>2) timer_start(&T);
271 203 : incrprec(prec);
272 203 : Nx = gmul(real_1(prec), gaddsg(N - 1, x));
273 203 : S1 = S3 = gpow(Nx, a, prec);
274 203 : av2 = avma;
275 203 : if (gequal1(x)) S1 = dirpowerssum(N, a, prec);
276 : else
277 1638 : for (m = N - 2; m >= 0; m--)
278 : {
279 1491 : S1 = gadd(S1, gpow(gaddsg(m,x), a, prec));
280 1491 : if ((m & 0xff) == 0) S1 = gerepileupto(av2, S1);
281 : }
282 203 : if (DEBUGLEVEL>2) timer_printf(&T,"sum from 0 to N - 1");
283 203 : constbern(k >> 1);
284 203 : N2 = ginv(gsqr(Nx));
285 203 : if (typ(s0) == t_INT)
286 : {
287 105 : S2 = divru(bernreal(k, prec), k);
288 3276 : for (j = k - 2; j >= 2; j -= 2)
289 : {
290 3171 : GEN t = gsubgs(a, j), u = gmul(t, gaddgs(t, 1));
291 3171 : u = gmul(gdivgunextu(u, j), gmul(S2, N2));
292 3171 : S2 = gadd(divru(bernreal(j, prec), j), u);
293 : }
294 105 : S2 = gmul(S2, gdiv(a, Nx));
295 : }
296 : else
297 : {
298 98 : binsplit(NULL,&S2, gmul2n(Nx,1), N2, s, 0, k >> 1, prec);
299 98 : S2 = gneg(S2);
300 : }
301 203 : S2 = gadd(ghalf, S2);
302 203 : if (DEBUGLEVEL>2) timer_printf(&T,"Bernoulli sum");
303 203 : S2 = gmul(S3, gadd(gdiv(Nx, gaddsg(1, a)), S2));
304 203 : S1 = gprec_wtrunc(gsub(S1, S2), prec0);
305 203 : if (sch) return gerepileupto(av, gsubst(S1, 0, sch));
306 147 : return gerepilecopy(av, S1);
307 : }
308 :
309 : /* New Lerch, inspired by Fredrik Johansson. */
310 :
311 : GEN
312 153305 : lerch_worker(GEN t, GEN E)
313 : {
314 153305 : GEN n, d, T, s = gel(E,1), a = gmul(gel(E,2), t), z = gel(E,3);
315 152840 : long p = itos(gel(E,4)), prec = labs(p);
316 153067 : d = gadd(gexp(t, prec), z);
317 153367 : T = p > 0? t: gneg(t);
318 153390 : if (typ(s) == t_INT)
319 58344 : n = gmul(gpow(T, s, prec), gexp(a, prec));
320 : else /* save one exp */
321 95046 : n = gexp(gadd(gmul(s, glog(T, prec)), a), prec);
322 153480 : return gdiv(n, d);
323 : }
324 :
325 : /* tab already computed with N = #tab[1] even */
326 : static GEN
327 441 : parintnumgauss(GEN f, GEN a, GEN b, GEN tab, long prec)
328 : {
329 441 : GEN R = gel(tab, 1), W = gel(tab, 2), bma, bpa, S = gen_0, VP, VM, V;
330 441 : long n = lg(R) - 1, i, prec2 = prec + EXTRAPREC64;
331 441 : a = gprec_wensure(a, prec2);
332 441 : b = gprec_wensure(b, prec2);
333 441 : VP = cgetg(n + 1, t_VEC); bma = gmul2n(gsub(b, a), -1);
334 441 : VM = cgetg(n + 1, t_VEC); bpa = gadd(bma, a);
335 28203 : for (i = 1; i <= n; i++)
336 : {
337 27762 : GEN h = gmul(bma, gel(R, i));
338 27762 : gel(VP, i) = gadd(bpa, h);
339 27762 : gel(VM, i) = gsub(bpa, h);
340 : }
341 441 : V = gadd(parapply(f, VP), parapply(f, VM));
342 28203 : for (i = 1; i <= n; i++)
343 : {
344 27762 : S = gadd(S, gmul(gel(W, i), gel(V, i)));
345 27762 : S = gprec_wensure(S, prec2);
346 : }
347 441 : return gprec_wtrunc(gmul(bma, S), prec);
348 : }
349 :
350 : /* Assume tab computed and a >= 0 */
351 : static GEN
352 119 : parintnum(GEN f, GEN a, GEN tab)
353 : {
354 : pari_sp av;
355 119 : GEN tabx0 = gel(tab, 2), tabw0 = gel(tab, 3), tabxm = gel(tab, 6);
356 119 : GEN tabxp = gel(tab, 4), tabwp = gel(tab, 5), tabwm = gel(tab, 7);
357 119 : GEN VP = tabxp, VM = tabxm, x0 = tabx0, S;
358 119 : long prec = gprecision(tabw0), L = lg(tabxp), i, fla = 0;
359 119 : if (!gequal0(a))
360 : {
361 91 : if (gexpo(a) <= 0)
362 : {
363 63 : x0 = gadd(a, x0);
364 30357 : for (i = 1; i < L; i++)
365 : {
366 30294 : gel(VP, i) = gadd(a, gel(VP, i));
367 30294 : gel(VM, i) = gadd(a, gel(VM, i));
368 : }
369 : }
370 : else
371 : {
372 28 : x0 = gmul(a, gaddsg(1, x0)); fla = 1;
373 5404 : for (i = 1; i < L; i++)
374 : {
375 5376 : gel(VP, i) = gmul(a, gaddsg(1, gel(VP, i)));
376 5376 : gel(VM, i) = gmul(a, gaddsg(1, gel(VM, i)));
377 : }
378 : }
379 : }
380 119 : VP = parapply(f, VP);
381 119 : VM = parapply(f, VM); av = avma;
382 119 : S = gmul(tabw0, closure_callgen1(f, x0));
383 49257 : for (i = 1; i < L; i++)
384 : {
385 49138 : S = gadd(S, gadd(gmul(gel(tabwp, i), gel(VP, i)),
386 49138 : gmul(gel(tabwm, i), gel(VM, i))));
387 49138 : if ((i & 0x7f) == 1) S = gerepileupto(av, S);
388 49138 : S = gprec_wensure(S, prec);
389 : }
390 119 : if (fla) S = gmul(S, a);
391 119 : return gmul(S, gel(tab, 1));
392 : }
393 :
394 : static GEN
395 84 : refine(GEN A)
396 : {
397 84 : long n = lg(A) - 1, i;
398 84 : GEN B = cgetg(2 * n, t_VEC);
399 231 : for (i = 1; i < n; i++)
400 : {
401 147 : gel(B, 2 * i - 1) = gel(A, i);
402 147 : gel(B, 2 * i) = gmul2n(gadd(gel(A, i), gel(A, i + 1)), -1);
403 : }
404 84 : gel(B, 2 * n - 1) = gel(A, n); return B;
405 : }
406 :
407 : /* Here L = [a1, a2, a3,...] integration vertices. Refine by splitting
408 : * intervals. */
409 : static GEN
410 84 : parintnumgaussadapt(GEN f, GEN L, GEN tab, long bit)
411 : {
412 84 : GEN Rold = gen_0, Rnew;
413 84 : long i, ct = 0, prec = nbits2prec(bit);
414 168 : while (ct <= 5)
415 : {
416 168 : Rnew = gen_0;
417 609 : for (i = 1; i < lg(L) - 1; i++)
418 441 : Rnew = gadd(Rnew, parintnumgauss(f, gel(L, i), gel(L, i + 1), tab, prec));
419 168 : if (ct && gexpo(gsub(Rnew, Rold)) - gexpo(Rnew) < 10 - bit) return Rnew;
420 84 : ct++; Rold = Rnew; L = refine(L);
421 : }
422 0 : if (DEBUGLEVEL) err_printf("intnumgaussadapt: possible accuracy loss");
423 0 : return Rnew; /* Possible accuracy loss */
424 : }
425 :
426 : /* Here b = [oo, r], so refine by increasing integration step m */
427 : static GEN
428 42 : parintnumadapt(GEN f, GEN a, GEN b, GEN tab, long bit)
429 : {
430 42 : GEN Rold = gen_0, Rnew;
431 42 : long m = 0, prec = nbits2prec(bit);
432 42 : if (!tab) tab = intnuminit(gen_0, b, 0, prec);
433 119 : while (m <= 5)
434 : {
435 119 : Rnew = parintnum(f, a, tab);
436 119 : if (m && gexpo(gsub(Rnew, Rold)) - gexpo(Rnew) < 10 - bit) return Rnew;
437 77 : m++; Rold = Rnew; tab = intnuminit(gen_0, b, m, prec);
438 : }
439 0 : if (DEBUGLEVEL) err_printf("intnumadapt: possible accuracy loss");
440 0 : return Rnew; /* Possible accuracy loss */
441 : }
442 :
443 : static int
444 189 : iscplx(GEN z) { long t = typ(z); return is_real_t(t) || t == t_COMPLEX; }
445 :
446 : static GEN
447 14 : lerch_easy(GEN z, GEN s, GEN a, long B)
448 : {
449 14 : long n, prec = nbits2prec(B + 32);
450 14 : GEN zn, ms = gneg(s), S = gpow(a, ms, prec);
451 14 : zn = z = gtofp(z, prec);
452 3808 : for (n = 1;; n++, zn = gmul(zn, z))
453 : {
454 3808 : S = gadd(S, gmul(zn, gpow(gaddgs(a, n), ms, prec)));
455 3808 : if (gexpo(zn) <= - B - 5) return S;
456 : }
457 : }
458 :
459 : static GEN
460 112 : _lerchphi(GEN z, GEN s, GEN a, long prec)
461 : {
462 112 : GEN res = NULL, L, LT, J, rs, mleft, left, right, top, w, Linf, tabg;
463 : GEN E, f, fm;
464 112 : long B = prec2nbits(prec), MB = 3 - B, NB, prec2;
465 : entree *ep;
466 :
467 112 : if (gexpo(z) < MB) return gpow(a, gneg(s), prec);
468 112 : if (gexpo(gsubgs(z, 1)) < MB) return zetahurwitz(s, a, 0, B); /* z ~ 1 */
469 112 : if (gexpo(gaddgs(z, 1)) < MB) /* z ~ -1 */
470 : {
471 7 : GEN tmp = gsub(zetahurwitz(s, gmul2n(a, -1), 0, B),
472 : zetahurwitz(s, gmul2n(gaddgs(a, 1), -1), 0, B));
473 7 : return gmul(gpow(gen_2, gneg(s), prec), tmp);
474 : }
475 105 : if (gcmpgs(gmulsg(10, gabs(z, prec)), 9) <= 0) /* |z| <= 9/10 */
476 14 : return lerch_easy(z, s, a, B);
477 91 : if (gcmpgs(real_i(a), 2) < 0)
478 49 : return gadd(gpow(a, gneg(s), prec),
479 : gmul(z, _lerchphi(z, s, gaddgs(a, 1), prec)));
480 42 : NB = (long)ceil(B + M_PI * fabs(gtodouble(imag_i(s))));
481 42 : prec2 = nbits2prec(NB);
482 42 : z = gprec_w(z, prec2); /* |z| > 9/10 */
483 42 : s = gprec_w(s, prec2);
484 42 : a = gprec_w(a, prec2); /* Re(a) >= 2 */
485 42 : rs = ground(real_i(s)); L = glog(z, prec2); /* Re(L) > -0.11 */
486 42 : ep = is_entry("_lerch_worker");
487 42 : E = mkvec4(gsubgs(s, 1), gsubsg(1, a), gneg(z), stoi(prec2));
488 42 : f = snm_closure(ep, mkvec(E));
489 42 : E = shallowcopy(E); gel(E,4) = stoi(-prec2);
490 42 : fm = snm_closure(ep, mkvec(E));
491 42 : Linf = mkvec2(mkoo(), real_i(a));
492 42 : if (gexpo(gsub(s, rs)) < MB && gcmpgs(rs, 1) >= 0)
493 : { /* s ~ positive integer */
494 14 : if (gcmp(gabs(imag_i(L), prec2), sstoQ(1, 4)) < 0 && gsigne(real_i(L)) >= 0)
495 7 : { /* Re(L) >= 0, |Im(L)| < 1/4 */
496 7 : GEN t = gsigne(imag_i(z)) > 0 ? gen_m1: gen_1;
497 7 : GEN LT1 = gaddgs(gabs(L, prec2), 1);
498 7 : LT = mkvec4(gen_0, mkcomplex(gen_0, t), mkcomplex(LT1, t), LT1);
499 7 : tabg = intnumgaussinit(2*(NB >> 2) + 60, prec2);
500 7 : J = parintnumgaussadapt(f, LT, tabg, NB);
501 7 : J = gadd(J, parintnumadapt(f, LT1, Linf, NULL, NB));
502 : }
503 7 : else J = parintnumadapt(f, gen_0, Linf, NULL, NB);
504 14 : return gdiv(J, ggamma(s, prec2));
505 : }
506 28 : tabg = intnumgaussinit(2*(NB >> 2) + 60, prec2);
507 28 : if (gcmp(gabs(imag_i(L), prec2), ghalf) > 0) /* |Im(L)| > 1/2 */
508 14 : left = right = top = gmin(gmul2n(gabs(imag_i(L), prec2), -1), gen_1);
509 : else
510 : {
511 14 : res = gdiv(gpow(gneg(L), s, prec2), gmul(L, gpow(z, a, prec2)));
512 14 : left = gaddgs(gmax(gen_0, gneg(real_i(L))), 1);
513 14 : top = gaddgs(gabs(imag_i(L), prec2), 1);
514 14 : right = gaddgs(gabs(L, prec2), 1);
515 : }
516 28 : w = expIPiC(gsubgs(s, 1), prec2);
517 28 : mleft = gneg(left);
518 28 : if (gexpo(imag_i(z)) < MB && gexpo(imag_i(a)) < MB && gexpo(imag_i(s)) < MB
519 7 : && gcmpgs(real_i(z), 1) < 0)
520 : { /* (z, s, a) real, z < 1 */
521 7 : LT = mkvec3(right, mkcomplex(right, top), mkcomplex(mleft, top));
522 7 : J = imag_i(gdiv(parintnumgaussadapt(f, LT, tabg, NB), w));
523 7 : LT = mkvec2(mkcomplex(mleft, top), mleft);
524 7 : J = gmul2n(gadd(J, imag_i(parintnumgaussadapt(fm, LT, tabg, NB))), 1);
525 7 : J = mulcxI(J);
526 : }
527 : else
528 : {
529 21 : GEN mtop = gneg(top);
530 21 : LT = mkvec3(right, mkcomplex(right, top), mkcomplex(mleft, top));
531 21 : J = gdiv(parintnumgaussadapt(f, LT, tabg, NB), w);
532 21 : LT = mkvec2(mkcomplex(mleft, top), mkcomplex(mleft, mtop));
533 21 : J = gadd(J, parintnumgaussadapt(fm, LT, tabg, NB));
534 21 : LT = mkvec3(mkcomplex(mleft, mtop), mkcomplex(right, mtop), right);
535 21 : J = gadd(J, gmul(parintnumgaussadapt(f, LT, tabg, NB), w));
536 : }
537 28 : J = gadd(J, gmul(gsub(w, ginv(w)), parintnumadapt(f, right, Linf, NULL, NB)));
538 28 : J = gdiv(J, PiI2(prec2)); if (res) J = gadd(J, res);
539 28 : return gneg(gmul(ggamma(gsubsg(1, s), prec2), J));
540 : }
541 : /* lerchphi(z,-k,a)=
542 : * -1/(z-1)*sum(q=0,k,(z/(z-1))^q*sum(j=0,q,(-1)^j*(j+a)^k*binomial(q,j)))
543 : * zetahurwitz(-k,a)=-B(k+1,a)/(k+1) */
544 : GEN
545 56 : lerchphi(GEN z, GEN s, GEN a, long prec)
546 : {
547 56 : pari_sp av = avma;
548 56 : if (!iscplx(z)) pari_err_TYPE("lerchphi", z);
549 56 : if (!iscplx(s)) pari_err_TYPE("lerchphi", s);
550 56 : if (!iscplx(a)) pari_err_TYPE("lerchphi", a);
551 56 : return gerepileupto(av, _lerchphi(z, s, a, prec));
552 : }
553 :
554 : GEN
555 7 : lerchzeta(GEN s, GEN a, GEN lam, long prec)
556 : {
557 7 : pari_sp av = avma;
558 7 : GEN z = gexp(gmul(PiI2(prec), lam), prec);
559 7 : if (!iscplx(z)) pari_err_TYPE("lerchzeta", z);
560 7 : if (!iscplx(s)) pari_err_TYPE("lerchzeta", s);
561 7 : if (!iscplx(a)) pari_err_TYPE("lerchzeta", a);
562 7 : return gerepileupto(av, _lerchphi(z, s, a, prec));
563 : }
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