Code coverage tests

This page documents the degree to which the PARI/GP source code is tested by our public test suite, distributed with the source distribution in directory src/test/. This is measured by the gcov utility; we then process gcov output using the lcov frond-end.

We test a few variants depending on Configure flags on the pari.math.u-bordeaux.fr machine (x86_64 architecture), and agregate them in the final report:

The target is to exceed 90% coverage for all mathematical modules (given that branches depending on DEBUGLEVEL or DEBUGMEM are not covered). This script is run to produce the results below.

LCOV - code coverage report
Current view: top level - basemath - elliptic.c (source / functions) Hit Total Coverage
Test: PARI/GP v2.14.0 lcov report (development 27775-aca467eab2) Lines: 4226 4515 93.6 %
Date: 2022-07-03 07:33:15 Functions: 380 387 98.2 %
Legend: Lines: hit not hit

          Line data    Source code
       1             : /* Copyright (C) 2000  The PARI group.
       2             : 
       3             : This file is part of the PARI/GP package.
       4             : 
       5             : PARI/GP is free software; you can redistribute it and/or modify it under the
       6             : terms of the GNU General Public License as published by the Free Software
       7             : Foundation; either version 2 of the License, or (at your option) any later
       8             : version. It is distributed in the hope that it will be useful, but WITHOUT
       9             : ANY WARRANTY WHATSOEVER.
      10             : 
      11             : Check the License for details. You should have received a copy of it, along
      12             : with the package; see the file 'COPYING'. If not, write to the Free Software
      13             : Foundation, Inc., 51 Franklin Street, Fifth Floor, Boston, MA 02110-1301 USA. */
      14             : 
      15             : /********************************************************************/
      16             : /**                                                                **/
      17             : /**                       ELLIPTIC CURVES                          **/
      18             : /**                                                                **/
      19             : /********************************************************************/
      20             : #include "pari.h"
      21             : #include "paripriv.h"
      22             : 
      23             : #define DEBUGLEVEL DEBUGLEVEL_ell
      24             : 
      25             : #undef coordch
      26             : 
      27             : /* Transforms a curve E into short Weierstrass form E' modulo p.
      28             :    Returns a vector, the first two entries of which are a4' and a6'.
      29             :    The third entry is a vector describing the isomorphism E' \to E.
      30             : */
      31             : 
      32             : static ulong
      33      713851 : Fl_c4_to_a4(ulong c4, ulong p)
      34      713851 : { return Fl_neg(Fl_mul(c4, 27, p), p); }
      35             : static ulong
      36      691470 : Fl_c6_to_a6(ulong c6, ulong p)
      37      691470 : { return Fl_neg(Fl_mul(c6, 54, p), p); }
      38             : static void
      39      691414 : Fl_c4c6_to_a4a6(ulong c4, ulong c6, ulong p, ulong *a4, ulong *a6)
      40             : {
      41      691414 :   *a4 = Fl_c4_to_a4(c4, p);
      42      691414 :   *a6 = Fl_c6_to_a6(c6, p);
      43      691414 : }
      44             : static GEN
      45     2276310 : c4_to_a4(GEN c4, GEN p)
      46     2276310 : { return Fp_neg(Fp_mulu(c4, 27, p), p); }
      47             : static void
      48     2276311 : c4c6_to_a4a6(GEN c4, GEN c6, GEN p, GEN *a4, GEN *a6)
      49             : {
      50     2276311 :   *a4 = c4_to_a4(c4, p);
      51     2276282 :   *a6 = Fp_neg(Fp_mulu(c6, 54, p), p);
      52     2275851 : }
      53             : static GEN
      54       86457 : Fq_c4_to_a4(GEN c4, GEN T, GEN p)
      55       86457 : { return Fq_neg(Fq_mulu(c4, 27, T,p), T,p); }
      56             : static void
      57       86458 : Fq_c4c6_to_a4a6(GEN c4, GEN c6, GEN T, GEN p, GEN *a4, GEN *a6)
      58             : {
      59       86458 :   *a4 = Fq_c4_to_a4(c4, T,p);
      60       86432 :   *a6 = Fq_neg(Fq_mulu(c6, 54, T,p), T,p);
      61       86437 : }
      62             : static void
      63     2276147 : ell_to_a4a6(GEN E, GEN p, GEN *a4, GEN *a6)
      64             : {
      65     2276147 :   GEN c4 = Rg_to_Fp(ell_get_c4(E),p);
      66     2276154 :   GEN c6 = Rg_to_Fp(ell_get_c6(E),p);
      67     2276174 :   c4c6_to_a4a6(c4, c6, p, a4, a6);
      68     2275709 : }
      69             : static void
      70      691414 : Fl_ell_to_a4a6(GEN E, ulong p, ulong *a4, ulong *a6)
      71             : {
      72      691414 :   ulong c4 = Rg_to_Fl(ell_get_c4(E),p);
      73      691414 :   ulong c6 = Rg_to_Fl(ell_get_c6(E),p);
      74      691414 :   Fl_c4c6_to_a4a6(c4, c6, p, a4, a6);
      75      691414 : }
      76             : 
      77             : /* [6,3b2,3a1,108a3] */
      78             : static GEN
      79       23232 : a4a6_ch(GEN E, GEN p)
      80             : {
      81       23232 :   GEN a1 = Rg_to_Fp(ell_get_a1(E),p);
      82       23232 :   GEN a3 = Rg_to_Fp(ell_get_a3(E),p);
      83       23232 :   GEN b2 = Rg_to_Fp(ell_get_b2(E),p);
      84       23232 :   retmkvec4(modsi(6,p),Fp_mulu(b2,3,p),Fp_mulu(a1,3,p),Fp_mulu(a3,108,p));
      85             : }
      86             : static GEN
      87       32623 : a4a6_ch_Fl(GEN E, ulong p)
      88             : {
      89       32623 :   ulong a1 = Rg_to_Fl(ell_get_a1(E),p);
      90       32623 :   ulong a3 = Rg_to_Fl(ell_get_a3(E),p);
      91       32623 :   ulong b2 = Rg_to_Fl(ell_get_b2(E),p);
      92       32623 :   return mkvecsmall4(6 % p,Fl_mul(b2,3,p),Fl_mul(a1,3,p),Fl_mul(a3,108,p));
      93             : }
      94             : 
      95             : static GEN
      96       23233 : ell_to_a4a6_bc(GEN E, GEN p)
      97             : {
      98             :   GEN A4, A6;
      99       23233 :   ell_to_a4a6(E, p, &A4, &A6);
     100       23232 :   retmkvec3(A4, A6, a4a6_ch(E,p));
     101             : }
     102             : GEN
     103           0 : point_to_a4a6(GEN E, GEN P, GEN p, GEN *pa4)
     104             : {
     105           0 :   GEN c4 = Rg_to_Fp(ell_get_c4(E),p);
     106           0 :   *pa4 = c4_to_a4(c4, p);
     107           0 :   return FpE_changepointinv(RgV_to_FpV(P,p), a4a6_ch(E,p), p);
     108             : }
     109             : GEN
     110        7343 : point_to_a4a6_Fl(GEN E, GEN P, ulong p, ulong *pa4)
     111             : {
     112        7343 :   ulong c4 = Rg_to_Fl(ell_get_c4(E),p);
     113        7343 :   *pa4 = Fl_c4_to_a4(c4, p);
     114        7343 :   return Fle_changepointinv(RgV_to_Flv(P,p), a4a6_ch_Fl(E,p), p);
     115             : }
     116             : 
     117             : /* shallow basistoalg */
     118             : static GEN
     119      388528 : nftoalg(GEN nf, GEN x)
     120             : {
     121      388528 :   switch(typ(x))
     122             :   {
     123      384762 :     case t_INT: case t_FRAC: case t_POLMOD: return x;
     124        3766 :     default: return basistoalg(nf, x);
     125             :   }
     126             : }
     127             : 
     128             : void
     129      425782 : checkellpt(GEN z)
     130             : {
     131      425782 :   if (typ(z)!=t_VEC) pari_err_TYPE("checkellpt", z);
     132      425775 :   switch(lg(z))
     133             :   {
     134      420539 :     case 3: break;
     135        5236 :     case 2: if (isintzero(gel(z,1))) break;
     136             :     /* fall through */
     137           0 :     default: pari_err_TYPE("checkellpt", z);
     138             :   }
     139      425775 : }
     140             : void
     141       72212 : checkell5(GEN E)
     142             : {
     143       72212 :   long l = lg(E);
     144       72212 :   if (typ(E)!=t_VEC || (l != 17 && l != 6)) pari_err_TYPE("checkell5",E);
     145       72212 : }
     146             : void
     147     3854805 : checkell(GEN E)
     148     3854805 : { if (!checkell_i(E)) pari_err_TYPE("checkell",E); }
     149             : void
     150        3472 : checkellisog(GEN v)
     151        3472 : { if (typ(v)!=t_VEC || lg(v) != 4) pari_err_TYPE("checkellisog",v); }
     152             : 
     153             : void
     154        5929 : checkell_Q(GEN E)
     155             : {
     156        5929 :   if (!checkell_i(E) || ell_get_type(E)!=t_ELL_Q)
     157           7 :     pari_err_TYPE("checkell over Q",E);
     158        5922 : }
     159             : 
     160             : void
     161           0 : checkell_Qp(GEN E)
     162             : {
     163           0 :   if (!checkell_i(E) || ell_get_type(E)!=t_ELL_Qp)
     164           0 :     pari_err_TYPE("checkell over Qp",E);
     165           0 : }
     166             : 
     167             : static int
     168      501634 : ell_over_Fq(GEN E)
     169             : {
     170      501634 :   long t = ell_get_type(E);
     171      501634 :   return t==t_ELL_Fp || t==t_ELL_Fq;
     172             : }
     173             : 
     174             : void
     175      252203 : checkell_Fq(GEN E)
     176             : {
     177      252203 :   if (!checkell_i(E) || !ell_over_Fq(E)) pari_err_TYPE("checkell over Fq", E);
     178      252196 : }
     179             : 
     180             : GEN
     181      180540 : ellff_get_p(GEN E)
     182             : {
     183      180540 :   GEN fg = ellff_get_field(E);
     184      180540 :   return typ(fg)==t_INT? fg: FF_p_i(fg);
     185             : }
     186             : 
     187             : int
     188       23877 : ell_is_integral(GEN E)
     189             : {
     190       23877 :   return typ(ell_get_a1(E)) == t_INT
     191       23835 :       && typ(ell_get_a2(E)) == t_INT
     192       23814 :       && typ(ell_get_a3(E)) == t_INT
     193       23814 :       && typ(ell_get_a4(E)) == t_INT
     194       47712 :       && typ(ell_get_a6(E)) == t_INT;
     195             : }
     196             : 
     197             : static void
     198       92162 : checkcoordch(GEN z)
     199       92162 : { if (typ(z)!=t_VEC || lg(z) != 5) pari_err_TYPE("checkcoordch",z); }
     200             : 
     201             : /* 4 X^3 + b2 X^2 + 2b4 X + b6 */
     202             : GEN
     203       17783 : ec_bmodel(GEN e)
     204             : {
     205       17783 :   GEN b2 = ell_get_b2(e), b6 = ell_get_b6(e), b42 = gmul2n(ell_get_b4(e),1);
     206       17783 :   return mkpoln(4, utoipos(4), b2, b42, b6);
     207             : }
     208             : 
     209             : /* X^4 - b4*X^2 - 2b6*X - b8 */
     210             : GEN
     211         119 : ec_phi2(GEN e)
     212             : {
     213         119 :   GEN b4 = ell_get_b4(e), b6 = ell_get_b6(e), b8 = ell_get_b8(e);
     214         119 :   return mkpoln(5, gen_1, gen_0, gneg(b4), gmul2n(gneg(b6),1), gneg(b8));
     215             : }
     216             : 
     217             : static int
     218       11094 : invcmp(void *E, GEN x, GEN y) { (void)E; return -gcmp(x,y); }
     219             : 
     220             : /* prec = working precision, prec0 = target precision */
     221             : static GEN
     222       10972 : doellR_roots_i(GEN e, long prec, long prec0)
     223             : {
     224       10972 :   GEN d1, d2, d3, e1, e2, e3, R = cleanroots(ec_bmodel(e), prec);
     225       10972 :   long s = ellR_get_sign(e);
     226       10972 :   if (s > 0)
     227             :   { /* sort 3 real roots in decreasing order */
     228        3698 :     R = real_i(R);
     229        3698 :     gen_sort_inplace(R, NULL, &invcmp, NULL);
     230        3698 :     e1 = gel(R,1); e2 = gel(R,2); e3 = gel(R,3);
     231        3698 :     d3 = subrr(e1,e2);
     232        3698 :     d1 = subrr(e2,e3);
     233        3698 :     d2 = subrr(e1,e3);
     234        3698 :     if (realprec(d3) < prec0 || realprec(d1) < prec0) return NULL;
     235             :   } else {
     236        7274 :     e1 = gel(R,1); e2 = gel(R,2); e3 = gel(R,3);
     237        7274 :     if (s < 0)
     238             :     { /* make sure e1 is real, imag(e2) > 0 and imag(e3) < 0 */
     239        2983 :       e1 = real_i(e1);
     240        2983 :       if (signe(gel(e2,2)) < 0) swap(e2, e3);
     241        2983 :       d1 = mkcomplex(gen_0, gsub(gel(e2,2),gel(e3,2)));
     242             :     }
     243             :     else
     244        4291 :       d1 = gsub(e2,e3);
     245        7274 :     d3 = gsub(e1,e2);
     246        7274 :     d2 = gsub(e1,e3);
     247        7274 :     if (precision(d1) < prec0
     248        7261 :         || precision(d2) < prec0
     249        7274 :         || precision(d3) < prec0) return NULL;
     250             :   }
     251       10936 :   return mkcol6(e1,e2,e3,d1,d2,d3);
     252             : }
     253             : static GEN
     254        7485 : doellR_roots(GEN e, long prec0)
     255             : {
     256             :   long p;
     257        7521 :   for (p = prec0;; p = precdbl(p))
     258          36 :   {
     259        7521 :     GEN v = doellR_roots_i(e, p, prec0);
     260        7521 :     if (v) return v;
     261          36 :     if (DEBUGLEVEL) pari_warn(warnprec,"doellR_roots", p);
     262             :   }
     263             : }
     264             : static GEN
     265       25459 : ellR_root(GEN e, long prec) { return gel(ellR_roots(e,prec),1); }
     266             : 
     267             : /* Given E and the x-coordinate of a point Q = [xQ, yQ], return
     268             :  *   f(xQ) = xQ^3 + E.a2 * xQ^2 + E.a4 * xQ + E.a6
     269             :  * where E is given by y^2 + h(x)y = f(x). */
     270             : GEN
     271      558063 : ec_f_evalx(GEN E, GEN x)
     272             : {
     273      558063 :   pari_sp av = avma;
     274             :   GEN z;
     275      558063 :   z = gadd(ell_get_a2(E),x);
     276      558063 :   z = gadd(ell_get_a4(E), gmul(x,z));
     277      558063 :   z = gadd(ell_get_a6(E), gmul(x,z));
     278      558063 :   return gerepileupto(av, z); /* ((x + E.a2) * x + E.a4) * x + E.a6 */
     279             : }
     280             : 
     281             : /* a1 x + a3 */
     282             : GEN
     283      659542 : ec_h_evalx(GEN e, GEN x)
     284             : {
     285      659542 :   GEN a1 = ell_get_a1(e);
     286      659542 :   GEN a3 = ell_get_a3(e);
     287      659542 :   return gadd(a3, gmul(x,a1));
     288             : }
     289             : static GEN
     290      518980 : Zec_h_evalx(GEN e, GEN x)
     291             : {
     292      518980 :   GEN a1 = ell_get_a1(e);
     293      518980 :   GEN a3 = ell_get_a3(e);
     294      518980 :   return signe(a1)? addii(a3, mulii(x, a1)): a3;
     295             : }
     296             : /* y^2 + a1 xy + a3 y = y^2 + h(x)y */
     297             : static GEN
     298       43262 : ec_LHS_evalQ(GEN e, GEN Q)
     299             : {
     300       43262 :   GEN x = gel(Q,1), y = gel(Q,2);
     301       43262 :   return gmul(y, gadd(y, ec_h_evalx(e,x)));
     302             : }
     303             : 
     304             : /* Given E and a point Q = [xQ, yQ], return
     305             :  *   3 * xQ^2 + 2 * E.a2 * xQ + E.a4 - E.a1 * yQ.
     306             :  * which is the derivative of the curve equation
     307             :  *   f(x) - (y^2 + h(x)y) = 0
     308             :  * wrt x evaluated at Q */
     309             : GEN
     310        2765 : ec_dFdx_evalQ(GEN E, GEN Q)
     311             : {
     312        2765 :   pari_sp av = avma;
     313        2765 :   GEN x = gel(Q,1), y = gel(Q,2);
     314        2765 :   GEN a1 = ell_get_a1(E);
     315        2765 :   GEN a2 = ell_get_a2(E);
     316        2765 :   GEN a4 = ell_get_a4(E);
     317        2765 :   GEN tmp = gmul(gadd(gmulsg(3L,x), gmul2n(a2,1)), x);
     318        2765 :   return gerepileupto(av, gadd(tmp, gsub(a4, gmul(a1, y))));
     319             : }
     320             : 
     321             : /* 2y + a1 x + a3 = -ec_dFdy_evalQ */
     322             : GEN
     323       42504 : ec_dmFdy_evalQ(GEN e, GEN Q)
     324             : {
     325       42504 :   GEN x = gel(Q,1), y = gel(Q,2);
     326       42504 :   return gadd(ec_h_evalx(e,x), gmul2n(y,1));
     327             : }
     328             : /* Given E and a point Q = [xQ, yQ], return
     329             :  *  -(2 * yQ + E.a1 * xQ + E.a3)
     330             :  * which is the derivative of the curve equation
     331             :  *  f(x) - (y^2 + h(x)y) = 0
     332             :  * wrt y evaluated at Q */
     333             : GEN
     334         532 : ec_dFdy_evalQ(GEN E, GEN Q)
     335             : {
     336         532 :   pari_sp av = avma;
     337         532 :   return gerepileupto(av, gneg(ec_dmFdy_evalQ(E,Q)));
     338             : }
     339             : 
     340             : /* Given E and a point Q = [xQ, yQ], return
     341             :  *   4 xQ^3 + E.b2 xQ^2 + 2 E.b4 xQ + E.b6
     342             :  * which is the 2-division polynomial of E evaluated at Q */
     343             : GEN
     344        1806 : ec_2divpol_evalx(GEN E, GEN x)
     345             : {
     346        1806 :   pari_sp av = avma;
     347        1806 :   GEN b2 = ell_get_b2(E), x4 = gmul2n(x,2), t1, t2;
     348        1806 :   GEN b42 = gmul2n(ell_get_b4(E), 1);
     349        1806 :   GEN b6 = ell_get_b6(E);
     350        1806 :   if (ell_get_type(E) == t_ELL_NF)
     351             :   {
     352          91 :     GEN nf = ellnf_get_nf(E);
     353          91 :     t1 = nfmul(nf, nfadd(nf, x4, b2), x);
     354          91 :     t2 = nfadd(nf, t1, b42);
     355          91 :     t2 = nfadd(nf, nfmul(nf, t2, x), b6);
     356          91 :     t2 = nftoalg(nf, t2);
     357             :   }
     358             :   else
     359             :   {
     360        1715 :     t1 = gmul(gadd(x4, b2), x);
     361        1715 :     t2 = gadd(t1, b42);
     362        1715 :     t2 = gadd(gmul(t2, x), b6);
     363             :   }
     364        1806 :   return gerepileupto(av, t2);
     365             : }
     366             : 
     367             : /* Given E and a point Q = [xQ, yQ], return
     368             :  *   3 xQ^4 + E.b2 xQ^3 + 3 E.b4 xQ^2 + 3*E.b6 xQ + E.b8
     369             :  * which is the 3-division polynomial of E evaluated at Q */
     370             : GEN
     371          14 : ec_3divpol_evalx(GEN E, GEN x)
     372             : {
     373          14 :   pari_sp av = avma;
     374          14 :   GEN b2 = ell_get_b2(E);
     375          14 :   GEN b4 = ell_get_b4(E);
     376          14 :   GEN b6 = ell_get_b6(E);
     377          14 :   GEN b8 = ell_get_b8(E);
     378          14 :   GEN x2 = gsqr(x);
     379          14 :   GEN t1 = gadd(gadd(gmulsg(3L, x2), gmul(b2, x)), gmulsg(3L, b4));
     380          14 :   GEN t2 = gadd(gmul(gmulsg(3L, b6), x), b8);
     381          14 :   return gerepileupto(av, gadd(gmul(t1, x2), t2));
     382             : }
     383             : 
     384             : /* Given E and a point Q = [xQ, yQ], return
     385             :  *   6 xQ^2 + E.b2 xQ + E.b4
     386             :  * which, if f is the curve equation, is 2 dfdx - E.a1 dfdy evaluated at Q */
     387             : GEN
     388        1519 : ec_half_deriv_2divpol_evalx(GEN E, GEN x)
     389             : {
     390        1519 :   pari_sp av = avma;
     391        1519 :   GEN b2 = ell_get_b2(E);
     392        1519 :   GEN b4 = ell_get_b4(E);
     393        1519 :   GEN res = gadd(gmul(gadd(gmulsg(6L, x), b2), x), b4);
     394        1519 :   return gerepileupto(av, res);
     395             : }
     396             : 
     397             : /* Return the characteristic of the ring over which E is defined. */
     398             : GEN
     399        3094 : ellbasechar(GEN E)
     400             : {
     401        3094 :   pari_sp av = avma;
     402        3094 :   GEN D = ell_get_disc(E);
     403        3094 :   return gerepileuptoint(av, characteristic(D));
     404             : }
     405             : 
     406             : /* Initialize basic elliptic struct y[1..12] for initsmall
     407             :  * (do not include j to allow for singular Weistrass model)
     408             :  * Also allocate room for n dynamic members. */
     409             : static GEN
     410      139628 : initsmall46(GEN a4, GEN a6, long n)
     411             : {
     412      139628 :   GEN y = obj_init(15, n);
     413      139629 :   gel(y,1) = gen_0;
     414      139629 :   gel(y,2) = gen_0;
     415      139629 :   gel(y,3) = gen_0;
     416      139629 :   gel(y,4) = a4;
     417      139629 :   gel(y,5) = a6;
     418      139629 :   gel(y,6) = gen_0;
     419      139629 :   gel(y,7) = gmul2n(a4,1);
     420      139628 :   gel(y,8) = gmul2n(a6,2);
     421      139629 :   gel(y,9) = gneg(gsqr(a4));
     422      139625 :   gel(y,10)= gmulgs(a4,-48);
     423      139628 :   gel(y,11)= gmulgs(a6,-864);
     424      139628 :   gel(y,12)= gadd(gmul(gmulgs(a4,-64), gsqr(a4)), gmulsg(-432,gsqr(a6)));
     425      139628 :   gel(y,16) = zerovec(n); return y;
     426             : }
     427             : /* [a1,a2,a3,a4,a6] */
     428             : static GEN
     429      670511 : initsmall5(GEN x, long n)
     430             : {
     431      670511 :   GEN a1 = gel(x,1), a2 = gel(x,2), a3 = gel(x,3);
     432      670511 :   GEN a4 = gel(x,4), a6 = gel(x,5);
     433             :   GEN y, b2, b4, b6, b8, c4, c6, D, a11, a13, a33, b22;
     434      670511 :   if (gequal0(a1) && gequal0(a2) && gequal0(a3)) return initsmall46(a4, a6, n);
     435      548886 :   a11= gsqr(a1);
     436      548887 :   b2 = gadd(a11, gmul2n(a2,2));
     437      548887 :   a13= gmul(a1, a3);
     438      548887 :   b4 = gadd(a13, gmul2n(a4,1));
     439      548887 :   a33= gsqr(a3);
     440      548887 :   b6 = gadd(a33, gmul2n(a6,2));
     441      548887 :   b8 = gsub(gadd(gmul(a11,a6), gmul(b6, a2)), gmul(a4, gadd(a4,a13)));
     442      548887 :   b22= gsqr(b2);
     443      548887 :   c4 = gadd(b22, gmulsg(-24,b4));
     444      548887 :   c6 = gadd(gmul(b2,gsub(gmulsg(36,b4),b22)), gmulsg(-216,b6));
     445      548887 :   D  = gsub(gmul(b4, gadd(gmulsg(9,gmul(b2,b6)),gmulsg(-8,gsqr(b4)))),
     446             :             gadd(gmul(b22,b8),gmulsg(27,gsqr(b6))));
     447      548887 :   y = obj_init(15, n);
     448      548887 :   gel(y,1) = a1;
     449      548887 :   gel(y,2) = a2;
     450      548887 :   gel(y,3) = a3;
     451      548887 :   gel(y,4) = a4;
     452      548887 :   gel(y,5) = a6;
     453      548887 :   gel(y,6) = b2; /* a1^2 + 4a2 */
     454      548887 :   gel(y,7) = b4; /* a1 a3 + 2a4 */
     455      548887 :   gel(y,8) = b6; /* a3^2 + 4 a6 */
     456      548887 :   gel(y,9) = b8; /* a1^2 a6 + 4a6 a2 + a2 a3^2 - a4(a4 + a1 a3) */
     457      548887 :   gel(y,10)= c4; /* b2^2 - 24 b4 */
     458      548887 :   gel(y,11)= c6; /* 36 b2 b4 - b2^3 - 216 b6 */
     459      548887 :   gel(y,12)= D;
     460      548887 :   gel(y,16) = zerovec(n); return y;
     461             : }
     462             : 
     463             : static GEN
     464      680507 : get_j(GEN c4, GEN D)
     465             : {
     466             :   GEN g, d, c;
     467      680507 :   if (typ(D) != t_POL || typ(c4) != t_POL || varn(D) != varn(c4))
     468      680171 :     return gdiv(gmul(gsqr(c4),c4), D);
     469             :   /* c4^3 / D, simplifying incrementally */
     470         336 :   g = RgX_gcd(D, c4);
     471         336 :   if (degpol(g) == 0) return gred_rfrac_simple(gmul(gsqr(c4),c4), D);
     472          42 :   c = RgX_div(c4, g);
     473          42 :   D = RgX_div(D, g);
     474          42 :   g = RgX_gcd(D,c4);
     475          42 :   if (degpol(g) == 0) return gred_rfrac_simple(gmul(gsqr(c4),c), D);
     476          35 :   D = RgX_div(D, g); d = RgX_div(c4, g);
     477          35 :   g = RgX_gcd(D,c4);
     478          35 :   if (degpol(g)) { D = RgX_div(D, g); c4 = RgX_div(c4, g); }
     479          35 :   return gred_rfrac_simple(gmul(gmul(c4, d),c), D);
     480             : }
     481             : 
     482             : /* return basic elliptic struct y[1..13], y[14] (domain type) and y[15]
     483             :  * (domain-specific data) are left uninitialized, from x[1], ..., x[5].
     484             :  * Also allocate room for n dynamic members (actually stored in the last
     485             :  * component y[16])*/
     486             : static GEN
     487      688494 : initsmall(GEN x, long n)
     488             : {
     489             :   GEN y, D;
     490             : 
     491      688494 :   switch(lg(x))
     492             :   {
     493         378 :     case 2: y = initsmall5(ellfromj(gel(x,1)), n); break;
     494       18004 :     case 3: y = initsmall46(gel(x,1), gel(x,2), n); break;
     495      670112 :     case 6:
     496      670112 :     case 17: y = initsmall5(x, n); break;
     497           0 :     default:
     498           0 :       pari_err_TYPE("ellxxx [not an elliptic curve (ell5)]",x);
     499             :       return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
     500             :   }
     501      688494 :   D = ell_get_disc(y); if (gequal0(D)) return NULL;
     502      680507 :   gel(y,13) = get_j(ell_get_c4(y), D); return y;
     503             : }
     504             : void
     505           0 : ellprint(GEN e)
     506             : {
     507           0 :   pari_sp av = avma;
     508             :   long vx, vy;
     509             :   GEN z;
     510           0 :   checkell5(e);
     511           0 :   vx = fetch_var(); name_var(vx, "X");
     512           0 :   vy = fetch_var(); name_var(vy, "Y"); z = mkvec2(pol_x(vx), pol_x(vy));
     513           0 :   err_printf("%Ps - (%Ps)\n", ec_LHS_evalQ(e, z), ec_f_evalx(e, pol_x(vx)));
     514           0 :   (void)delete_var();
     515           0 :   (void)delete_var(); set_avma(av);
     516           0 : }
     517             : 
     518             : /* compute a,b such that E1: y^2 = x(x-a)(x-b) ~ E */
     519             : static GEN
     520        1372 : doellR_ab(GEN E, long prec)
     521             : {
     522        1372 :   GEN b2 = ell_get_b2(E), R = ellR_roots(E, prec);
     523        1372 :   GEN e1 = gel(R,1), d2 = gel(R,5), d3 =  gel(R,6), a, b, t;
     524             : 
     525        1372 :   t = gmul2n(gadd(mulur(12,e1), b2), -4); /* = (12 e1 + b2) / 16 */
     526        1372 :   if (ellR_get_sign(E) > 0)
     527         875 :     b = mulrr(d3,d2);
     528             :   else
     529         497 :     b = cxnorm(d3);
     530        1372 :   b = sqrtr(b); /* = sqrt( (e1 - e2)(e1 - e3) ) */
     531        1372 :   if (gsigne(t) > 0) togglesign(b);
     532        1372 :   a = gsub(gmul2n(b,-1),t);
     533        1372 :   return mkvec2(a, b);
     534             : }
     535             : GEN
     536       25459 : ellR_ab(GEN E, long prec)
     537       25459 : { return obj_checkbuild_realprec(E, R_AB, &doellR_ab, prec); }
     538             : 
     539             : /* q a t_REAL*/
     540             : static long
     541          84 : real_prec(GEN q)
     542          84 : { return signe(q)? realprec(q): LONG_MAX; }
     543             : /* q a t_PADIC */
     544             : static long
     545         252 : padic_prec(GEN q)
     546         252 : { return signe(gel(q,4))? precp(q)+valp(q): valp(q); }
     547             : 
     548             : /* check whether moduli are consistent */
     549             : static void
     550       99857 : chk_p(GEN p, GEN p2)
     551       99857 : { if (!equalii(p, p2)) pari_err_MODULUS("ellinit", p,p2); }
     552             : 
     553             : static int
     554       36617 : fix_nftype(GEN *pp)
     555             : {
     556       36617 :   switch(nftyp(*pp))
     557             :   {
     558       36617 :     case typ_NF: case typ_BNF: break;
     559           0 :     case typ_BNR:*pp = bnr_get_bnf(*pp); break;
     560           0 :     default: return 0;
     561             :   }
     562       36617 :   return 1;
     563             : }
     564             : static long
     565      718629 : base_ring(GEN x, GEN *pp, long *prec)
     566             : {
     567      718629 :   long i, e = *prec, ep = LONG_MAX, imax = minss(lg(x), 6);
     568      718629 :   GEN p = NULL, pol = NULL;
     569      718629 :   long t = t_FRAC;
     570      718629 :   if (*pp) switch(t = typ(*pp))
     571             :   {
     572      491148 :     case t_INT:
     573      491148 :       if (cmpis(*pp,2) < 0) { t = t_FRAC; p = NULL; break; }
     574        2009 :       p = *pp;
     575        2009 :       t = t_INTMOD;
     576        2009 :       break;
     577         665 :     case t_INTMOD:
     578         665 :       p = gel(*pp, 1);
     579         665 :       break;
     580          28 :     case t_REAL:
     581          28 :       e = real_prec(*pp);
     582          28 :       p = NULL;
     583          28 :       break;
     584         231 :     case t_PADIC:
     585         231 :       ep = padic_prec(*pp);
     586         231 :       p = gel(*pp, 2);
     587         231 :       break;
     588        1610 :     case t_FFELT:
     589        1610 :       p = *pp;
     590        1610 :       break;
     591       36617 :     case t_VEC:
     592       36617 :       t = t_VEC; p = *pp;
     593       36617 :       if (fix_nftype(&p)) break;
     594             :     default:
     595           7 :       pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", *pp);
     596           0 :       return 0;
     597             :   }
     598      718622 :   if (t==t_VEC) pol = nf_get_pol(checknf(p));
     599             :   /* Possible cases:
     600             :    * t = t_VEC (p an nf or bnf)
     601             :    * t = t_FFELT (p t_FFELT)
     602             :    * t = t_INTMOD (p a prime)
     603             :    * t = t_PADIC (p a prime, ep = padic prec)
     604             :    * t = t_REAL (p = NULL, e = real prec)
     605             :    * t = t_FRAC (p = NULL) */
     606     4116261 :   for (i = 1; i < imax; i++)
     607             :   {
     608     3400461 :     GEN p2, q = gel(x,i);
     609     3400461 :     switch(typ(q)) {
     610          42 :       case t_PADIC:
     611          42 :         p2 = gel(q,2);
     612             :         switch(t)
     613             :         {
     614          21 :           case t_FRAC:  t = t_PADIC; p = p2; break;
     615           7 :           case t_PADIC: chk_p(p,p2); break;
     616          14 :           default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
     617             :         }
     618          21 :         ep = minss(ep, padic_prec(q));
     619          21 :         break;
     620      124859 :       case t_INTMOD:
     621      124859 :         p2 = gel(q,1);
     622             :         switch(t)
     623             :         {
     624       25024 :           case t_FRAC:  t = t_INTMOD; p = p2; break;
     625          49 :           case t_FFELT: chk_p(FF_p_i(p),p2); break;
     626       99773 :           case t_INTMOD:chk_p(p,p2); break;
     627          13 :           default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
     628             :         }
     629      124844 :         break;
     630      222729 :       case t_FFELT:
     631             :         switch(t)
     632             :         {
     633          14 :           case t_INTMOD: chk_p(p, FF_p_i(q)); /* fall through */
     634      112577 :           case t_FRAC:   t = t_FFELT; p = q; break;
     635      110145 :           case t_FFELT:
     636      110145 :             if (!FF_samefield(p,q) && FF_f(q)>1) pari_err_MODULUS("ellinit", p,q);
     637      110145 :             break;
     638           0 :           default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
     639             :         }
     640      222722 :         break;
     641             : 
     642     3048645 :       case t_INT: case t_FRAC: break;
     643          56 :       case t_REAL:
     644             :         switch(t)
     645             :         {
     646          35 :           case t_REAL: e = minss(e, real_prec(q)); break;
     647          21 :           case t_FRAC: e = real_prec(q); t = t_REAL; break;
     648           0 :           default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
     649             :         }
     650          56 :         break;
     651        3143 :       case t_POLMOD:
     652        3143 :         if (pol && !RgX_equal(pol, gel(q,1)))
     653           7 :           pari_err_MODULUS("ellinit",gel(q,1), pol);
     654             :       case t_COL:
     655             :       case t_POL:
     656        4109 :         if (t == t_VEC) break;
     657             :       default: /* base ring too general */
     658        2772 :         return t_COMPLEX;
     659             :     }
     660             :   }
     661      715800 :   *pp = p; *prec = (t == t_PADIC)? ep: e; return t;
     662             : }
     663             : 
     664             : /* s = 0 complex, else real;
     665             :  * if (s = 2) set s = sign(D), else accept s as is */
     666             : static GEN
     667        6251 : ellinit_Rg(GEN x, long s, long prec)
     668             : {
     669             :   GEN y;
     670        6251 :   if (lg(x) > 6) switch(ell_get_type(x))
     671             :   {
     672           7 :     case t_ELL_Rg:
     673           7 :     case t_ELL_Q: break;
     674           7 :     default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
     675             :   }
     676        6244 :   if (!(y = initsmall(x, 4))) return NULL;
     677        6244 :   if (s == 2) s = gsigne(ell_get_disc(y));
     678        6244 :   gel(y,14) = mkvecsmall(t_ELL_Rg);
     679        6244 :   gel(y,15) = mkvec(mkvecsmall2(prec2nbits(prec), s));
     680        6244 :   return y;
     681             : }
     682             : 
     683             : static GEN
     684         203 : ellinit_Qp(GEN x, GEN p, long prec)
     685             : {
     686             :   GEN y;
     687         203 :   if (lg(x) > 6)
     688             :   {
     689          28 :     switch(ell_get_type(x))
     690             :     { /* sanity checks */
     691          21 :       case t_ELL_Q: break;
     692           7 :       case t_ELL_Qp: chk_p(ellQp_get_p(x), p); break;
     693           0 :       default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
     694             :     }
     695          21 :     x = vecslice(x,1,5);
     696             :   }
     697         196 :   x = QpV_to_QV(x); /* make entries rational */
     698         196 :   if (!(y = initsmall(x, 2))) return NULL;
     699         196 :   gel(y,14) = mkvecsmall(t_ELL_Qp);
     700         196 :   gel(y,15) = mkvec(zeropadic(p, prec));
     701         196 :   return y;
     702             : }
     703             : 
     704             : static GEN
     705      499618 : ellinit_Q(GEN x, long prec)
     706             : {
     707             :   GEN y;
     708             :   long s;
     709      499618 :   if (!(y = initsmall(x, 8))) return NULL;
     710      499485 :   s = gsigne( ell_get_disc(y) );
     711      499485 :   gel(y,14) = mkvecsmall(t_ELL_Q);
     712      499485 :   gel(y,15) = mkvec(mkvecsmall2(prec2nbits(prec), s));
     713      499485 :   return y;
     714             : }
     715             : 
     716             : static GEN
     717       37198 : nfVtoalg(GEN nf, GEN x)
     718             : {
     719             :   long i, l;
     720       37198 :   GEN y = cgetg_copy(x,&l);
     721      221739 :   for (i=1; i<l; i++) gel(y,i) = nftoalg(nf,gel(x,i));
     722       37198 :   return y;
     723             : }
     724             : 
     725             : static GEN
     726       37184 : ellinit_nf(GEN x, GEN p)
     727             : {
     728             :   GEN y, nf;
     729       37184 :   if (lg(x) > 6) x = vecslice(x,1,5);
     730       37184 :   nf = checknf(p);
     731       37184 :   x = nfVtoalg(nf, x);
     732       37184 :   if (!(y = initsmall(x, 5))) return NULL;
     733       37184 :   gel(y,14) = mkvecsmall(t_ELL_NF);
     734       37184 :   gel(y,15) = mkvec(p);
     735       37184 :   return y;
     736             : }
     737             : 
     738             : /* FF_ellinit allows singular cubic, return NULL in that case */
     739             : static GEN
     740      114166 : FF_ellinit_ns(GEN x, GEN fg)
     741             : {
     742      114166 :   x = FF_ellinit(x,fg);
     743      114166 :   return FF_equal0(ell_get_disc(x))? NULL: x;
     744             : }
     745             : 
     746             : static GEN
     747      302019 : to_mod(GEN x, GEN p) { return mkintmod(Rg_to_Fp(x,p), p); }
     748             : static GEN
     749       30974 : ellinit_Fp(GEN x, GEN p)
     750             : {
     751             :   long i;
     752             :   GEN y, disc;
     753       30974 :   if (lg(x) > 6) switch(ell_get_type(x))
     754             :   {
     755        2429 :     case t_ELL_Q: break;
     756           0 :     case t_ELL_Fp: chk_p(ellff_get_p(x),p); break;
     757           7 :     case t_ELL_Qp: chk_p(ellQp_get_p(x),p); break;
     758           0 :     default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
     759             :   }
     760       30967 :   if (lg(x) == 2) x = ellfromj(to_mod(gel(x,1), p));
     761       30967 :   if (!(y = initsmall(x, 4))) return NULL;
     762             :   /* ell_to_a4a6_bc does not handle p<=3 */
     763       26026 :   if (abscmpiu(p, 3) <= 0) return FF_ellinit_ns(y,p_to_FF(p,0));
     764       23233 :   disc = Rg_to_Fp(ell_get_disc(y),p);
     765       23233 :   if (!signe(disc)) return NULL;
     766      325148 :   for(i = 1; i <= 13; i++) gel(y,i) = to_mod(gel(y,i),p);
     767       23228 :   gel(y,14) = mkvecsmall(t_ELL_Fp);
     768       23226 :   gel(y,15) = mkvec2(p, ell_to_a4a6_bc(y, p));
     769       23225 :   return y;
     770             : }
     771             : 
     772             : static GEN
     773      114285 : ellinit_Fq(GEN x, GEN fg)
     774             : {
     775             :   GEN y;
     776      114285 :   if (lg(x) == 2)
     777             :   {
     778       33404 :     GEN j = gel(x,1);
     779       33404 :     if (typ(j) != t_FFELT) j = Fq_to_FF(j, fg);
     780       33404 :     x = ellfromj(j);
     781             :   }
     782      114285 :   if (!(y = initsmall(x, 4))) return NULL;
     783      111373 :   return FF_ellinit_ns(y,fg);
     784             : }
     785             : 
     786             : static GEN
     787        3549 : ellnf_to_Fq(GEN nf, GEN x, GEN P, GEN *pp, GEN *pT)
     788             : {
     789        3549 :   GEN e = vecslice(x,1,5);
     790             :   GEN p, modP;
     791        3549 :   if (get_modpr(P))
     792             :   { /* modpr accept */
     793        3248 :     modP = P;
     794        3248 :     p = modpr_get_p(modP);
     795             :   }
     796             :   else
     797             :   { /* pr, initialize modpr */
     798         301 :     GEN d = Q_denom(e);
     799         301 :     p = pr_get_p(P);
     800         301 :     modP = dvdii(d,p)? nfmodprinit(nf,P): zkmodprinit(nf,P);
     801             :   }
     802        3549 :   *pp = p;
     803        3549 :   *pT = modpr_get_T(modP);
     804        3549 :   return nfV_to_FqV(e, nf, modP);
     805             : }
     806             : static GEN
     807        3528 : ellinit_nf_to_Fq(GEN nf, GEN E, GEN P)
     808             : {
     809             :   GEN T,p;
     810        3528 :   E = ellnf_to_Fq(nf, E, P, &p, &T);
     811        3528 :   return T? ellinit_Fq(E,Tp_to_FF(T,p)): ellinit_Fp(E,p);
     812             : }
     813             : 
     814             : static GEN
     815      684077 : ellinit_i(GEN x, GEN D, long prec)
     816             : {
     817             :   GEN y;
     818             : 
     819      684077 :   switch(typ(x))
     820             :   {
     821           7 :     case t_STR: x = gel(ellsearchcurve(x),2); break;
     822      684070 :     case t_VEC:
     823      684070 :       switch(lg(x))
     824             :       {
     825      684063 :         case 2: case 3: case 6: case 17: break;
     826           7 :         default: pari_err_TYPE("ellinit",x);
     827             :       }
     828      684063 :       break;
     829           0 :     default: pari_err_TYPE("ellinit",x);
     830             :   }
     831      684070 :   if (D && get_prid(D))
     832             :   {
     833        3052 :     if (lg(x) == 6 || ell_get_type(x) != t_ELL_NF) pari_err_TYPE("ellinit",x);
     834        3052 :     return ellinit_nf_to_Fq(ellnf_get_nf(x), x, D);
     835             :   }
     836      681018 :   switch (base_ring(x, &D, &prec))
     837             :   {
     838         203 :   case t_PADIC:
     839         203 :     y = ellinit_Qp(x, D, prec);
     840         196 :     break;
     841       27670 :   case t_INTMOD:
     842       27670 :     y = ellinit_Fp(x, D);
     843       27663 :     break;
     844      114061 :   case t_FFELT:
     845      114061 :     y = ellinit_Fq(x, D);
     846      114061 :     break;
     847      499618 :   case t_FRAC:
     848      499618 :     y = ellinit_Q(x, prec);
     849      499618 :     break;
     850          28 :   case t_REAL:
     851          28 :     y = ellinit_Rg(x, 2, prec);
     852          21 :     break;
     853       36610 :   case t_VEC:
     854       36610 :     y = ellinit_nf(x, D);
     855       36610 :     break;
     856        2772 :   default:
     857        2772 :     y = ellinit_Rg(x, 0, prec);
     858             :   }
     859      680941 :   return y;
     860             : }
     861             : GEN
     862      655867 : ellinit(GEN x, GEN D, long prec)
     863             : {
     864      655867 :   pari_sp av = avma;
     865      655867 :   GEN y = ellinit_i(x, D, prec);
     866      655783 :   if (!y) { set_avma(av); return cgetg(1,t_VEC); }
     867      647782 :   return gerepilecopy(av,y);
     868             : }
     869             : 
     870             : /********************************************************************/
     871             : /**                                                                **/
     872             : /**                     COORDINATE CHANGE                          **/
     873             : /**  Apply [u,r,s,t]. All coordch_* functions update E[1..14] only **/
     874             : /**  and copy E[15] (type-specific data), E[16] (dynamic data)     **/
     875             : /**  verbatim                                                      **/
     876             : /**                                                                **/
     877             : /********************************************************************/
     878             : /* [1,0,0,0] */
     879             : static GEN
     880     2569266 : init_ch(void) { return mkvec4(gen_1,gen_0,gen_0,gen_0); }
     881             : static int
     882      460250 : is_trivial_change(GEN v)
     883             : {
     884             :   GEN u, r, s, t;
     885      460250 :   if (typ(v) == t_INT) return 1;
     886      460250 :   u = gel(v,1); r = gel(v,2); s = gel(v,3); t = gel(v,4);
     887      460250 :   return isint1(u) && isintzero(r) && isintzero(s) && isintzero(t);
     888             : }
     889             : 
     890             : /* Accumulate the effects of variable changes w o v, where
     891             :  * w = [u,r,s,t], *vtotal = v = [U,R,S,T]. No assumption on types */
     892             : static void
     893        1631 : gcomposev(GEN *vtotal, GEN w)
     894             : {
     895        1631 :   GEN v = *vtotal;
     896             :   GEN U2, U, R, S, T, u, r, s, t;
     897             : 
     898        1631 :   if (!v || typ(v) == t_INT) { *vtotal = w; return; }
     899        1603 :   U = gel(v,1); R = gel(v,2); S = gel(v,3); T = gel(v,4);
     900        1603 :   u = gel(w,1); r = gel(w,2); s = gel(w,3); t = gel(w,4);
     901        1603 :   U2 = NULL;
     902        1603 :   if (!gequal0(r))
     903             :   {
     904             :     GEN rU2;
     905         784 :     U2 = gsqr(U); rU2 = gmul(U2, r);
     906         784 :     R = gadd(R, rU2);
     907         784 :     T = gadd(T, gmul(S, rU2));
     908             :   }
     909        1603 :   if (!gequal0(s)) S = gadd(S, gmul(U, s));
     910        1603 :   if (!gequal0(t))
     911             :   {
     912         882 :     if (!U2) U2 = gsqr(U);
     913         882 :     T = gadd(T, gmul(gmul(U,U2), t));
     914             :   }
     915        1603 :   gel(v,1) = gmul(U, u);
     916        1603 :   gel(v,2) = R;
     917        1603 :   gel(v,3) = S;
     918        1603 :   gel(v,4) = T;
     919             : }
     920             : 
     921             : /* [u,r,s,t]^-1 = [ 1/u,-r/u^2,-s/u, (rs-t)/u^3 ] */
     922             : GEN
     923          28 : ellchangeinvert(GEN w)
     924             : {
     925             :   GEN u,r,s,t, u2,u3, U,R,S,T;
     926          28 :   if (typ(w) == t_INT) return w;
     927          28 :   u = gel(w,1);
     928          28 :   r = gel(w,2);
     929          28 :   s = gel(w,3);
     930          28 :   t = gel(w,4);
     931          28 :   u2 = gsqr(u); u3 = gmul(u2,u);
     932          28 :   U = ginv(u);
     933          28 :   R = gdiv(gneg(r), u2);
     934          28 :   S = gdiv(gneg(s), u);
     935          28 :   T = gdiv(gsub(gmul(r,s), t), u3);
     936          28 :   return mkvec4(U,R,S,T);
     937             : }
     938             : 
     939             : static GEN
     940       99449 : ell_to_nfell10(GEN e)
     941             : {
     942             :   long i;
     943       99449 :   GEN nf = ellnf_get_nf(e);
     944       99449 :   GEN y = cgetg(11,t_VEC);
     945     1093939 :   for(i=1; i<=10; i++)
     946      994490 :     gel(y, i) = nf_to_scalar_or_basis(nf, gel(e, i));
     947       99449 :   return y;
     948             : }
     949             : 
     950             : /* apply [u^(-1),0,0,0] */
     951             : static GEN
     952      153608 : nf_coordch_uinv(GEN nf, GEN e, GEN u)
     953             : {
     954             :   GEN y, u2, u3, u4, u6, u8;
     955             :   long lx;
     956      153608 :   if (gequal1(u)) return e;
     957      153139 :   y = cgetg_copy(e, &lx);
     958      153139 :   u2 = nfsqr(nf,u); u3 = nfmul(nf,u,u2); u4 = nfsqr(nf,u2);
     959      153139 :   u6 = nfsqr(nf,u3); u8 = nfsqr(nf,u4);
     960      153139 :   gel(y,1) = nfmul(nf,ell_get_a1(e),  u);
     961      153139 :   gel(y,2) = nfmul(nf,ell_get_a2(e), u2);
     962      153139 :   gel(y,3) = nfmul(nf,ell_get_a3(e), u3);
     963      153139 :   gel(y,4) = nfmul(nf,ell_get_a4(e), u4);
     964      153139 :   gel(y,5) = nfmul(nf,ell_get_a6(e), u6);
     965      153139 :   if (lx == 6) return y;
     966      153132 :   gel(y,6) = nfmul(nf,ell_get_b2(e), u2);
     967      153132 :   gel(y,7) = nfmul(nf,ell_get_b4(e), u4);
     968      153132 :   gel(y,8) = nfmul(nf,ell_get_b6(e), u6);
     969      153132 :   gel(y,9) = nfmul(nf,ell_get_b8(e), u8);
     970      153132 :   return y;
     971             : }
     972             : /* apply [1,r,0,0] */
     973             : static GEN
     974      267386 : nf_coordch_r(GEN nf, GEN e, GEN r)
     975             : {
     976             :   GEN a2, a4, b4, b6, y, p1, r2, b2r, rx3;
     977             :   long lx;
     978      267386 :   if (gequal0(r)) return e;
     979      239057 :   y = cgetg_copy(e, &lx);
     980      239057 :   a2 = ell_get_a2(e); a4 = ell_get_a4(e);
     981      239057 :   rx3 = gmulsg(3,r);
     982             : 
     983      239057 :   gel(y,1) = ell_get_a1(e);
     984             :   /* A2 = a2 + 3r */
     985      239057 :   gel(y,2) = nfadd(nf,a2,rx3);
     986             :   /* A3 = a1 r + a3 */
     987      239057 :   gel(y,3) = nfadd(nf,ell_get_a3(e), nfmul(nf,ell_get_a1(e),r));
     988             :   /* A4 = 3r^2 + 2a2 r + a4 */
     989      239057 :   gel(y,4) = nfadd(nf,a4, nfmul(nf,r,nfadd(nf,gmul2n(a2,1),rx3)));
     990             :   /* A6 = r^3 + a2 r^2 + a4 r + a6 */
     991      239057 :   gel(y,5) = nfadd(nf,ell_get_a6(e),nfmul(nf,r,nfadd(nf, a4, nfmul(nf,r,nfadd(nf,a2, r)))));
     992      239057 :   if (lx == 6) return y;
     993             : 
     994      239050 :   b4 = ell_get_b4(e);
     995      239050 :   b6 = ell_get_b6(e);
     996             :   /* B2 = 12r + b2 */
     997      239050 :   gel(y,6) = nfadd(nf,ell_get_b2(e),gmul2n(rx3,2));
     998      239050 :   b2r = nfmul(nf,r, ell_get_b2(e));
     999      239050 :   r2 = nfsqr(nf,r);
    1000             :   /* B4 = 6r^2 + b2 r + b4 */
    1001      239050 :   gel(y,7) = nfadd(nf,b4,nfadd(nf,b2r, gmulsg(6,r2)));
    1002             :   /* B6 = 4r^3 + 2b2 r^2 + 2b4 r + b6 */
    1003      239050 :   gel(y,8) = nfadd(nf,b6,nfmul(nf,r,nfadd(nf,gmul2n(b4,1), nfadd(nf,b2r,gmul2n(r2,2)))));
    1004             :   /* B8 = 3r^4 + b2 r^3 + 3b4 r^2 + 3b6 r + b8 */
    1005      239050 :   p1 = nfadd(nf,gmulsg(3,b4),nfadd(nf,b2r, gmulsg(3,r2)));
    1006      239050 :   gel(y,9) = nfadd(nf,ell_get_b8(e), nfmul(nf,r,nfadd(nf,gmulsg(3,b6), nfmul(nf,r,p1))));
    1007      239050 :   return y;
    1008             : }
    1009             : 
    1010             : static GEN
    1011      109564 : nf_coordch_s(GEN nf, GEN e, GEN s)
    1012             : {
    1013             :   GEN a1, y;
    1014      109564 :   if (gequal0(s)) return e;
    1015      109564 :   a1 = ell_get_a1(e);
    1016      109564 :   y = leafcopy(e);
    1017             : 
    1018             :   /* A1 = a1 + 2s */
    1019      109564 :   gel(y,1) = nfadd(nf,a1,gmul2n(s,1));
    1020             :   /* A2 = a2 - (a1 s + s^2) */
    1021      109564 :   gel(y,2) = nfsub(nf,ell_get_a2(e),nfmul(nf,s,nfadd(nf,a1,s)));
    1022             :   /* A4 = a4 - s a3 */
    1023      109564 :   gel(y,4) = nfsub(nf,ell_get_a4(e),nfmul(nf,s,ell_get_a3(e)));
    1024      109564 :   return y;
    1025             : }
    1026             : /* apply [1,0,0,t] */
    1027             : static GEN
    1028      251832 : nf_coordch_t(GEN nf, GEN e, GEN t)
    1029             : {
    1030             :   GEN a1, a3, y;
    1031      251832 :   if (gequal0(t)) return e;
    1032      251356 :   a1 = ell_get_a1(e); a3 = ell_get_a3(e);
    1033      251356 :   y = leafcopy(e);
    1034             :   /* A3 = 2t + a3 */
    1035      251356 :   gel(y,3) = nfadd(nf,a3, gmul2n(t,1));
    1036             :   /* A4 = a4 - a1 t */
    1037      251356 :   gel(y,4) = nfsub(nf,ell_get_a4(e), nfmul(nf,t,a1));
    1038             :   /* A6 = a6 - t(t + a3) */
    1039      251356 :   gel(y,5) = nfsub(nf,ell_get_a6(e), nfmul(nf,t,nfadd(nf,t, a3)));
    1040      251356 :   return y;
    1041             : }
    1042             : 
    1043             : /* apply [1,0,s,t] */
    1044             : static GEN
    1045       12999 : nf_coordch_st(GEN nf, GEN e, GEN s, GEN t)
    1046             : {
    1047             :   GEN y, a1, a3;
    1048       12999 :   if (gequal0(s)) return nf_coordch_t(nf, e, t);
    1049       12523 :   if (gequal0(t)) return nf_coordch_s(nf, e, s);
    1050       12523 :   a1 = ell_get_a1(e); a3 = ell_get_a3(e);
    1051       12523 :   y = leafcopy(e);
    1052             :   /* A1 = a1 + 2s */
    1053       12523 :   gel(y,1) = nfadd(nf,a1,gmul2n(s,1));
    1054             :   /* A2 = a2 - (a1 s + s^2) */
    1055       12523 :   gel(y,2) = nfsub(nf,ell_get_a2(e),nfmul(nf,s,nfadd(nf,a1,s)));
    1056             :   /* A3 = 2t + a3 */
    1057       12523 :   gel(y,3) = nfadd(nf,a3,gmul2n(t,1));
    1058             :   /* A4 = a4 - (a1 t + s (2t + a3)) */
    1059       12523 :   gel(y,4) = nfsub(nf,ell_get_a4(e),nfadd(nf,nfmul(nf,t,a1),nfmul(nf,s,gel(y,3))));
    1060             :   /* A6 = a6 - t(t + a3) */
    1061       12523 :   gel(y,5) = nfsub(nf,ell_get_a6(e), nfmul(nf,t,nfadd(nf,t, a3)));
    1062       12523 :   return y;
    1063             : }
    1064             : 
    1065             : static GEN
    1066      171066 : nf_coordch_rt(GEN nf, GEN e, GEN r, GEN t)
    1067             : {
    1068      171066 :   e = nf_coordch_r(nf, e, r);
    1069      171066 :   return nf_coordch_t(nf, e, t);
    1070             : }
    1071             : 
    1072             : /* apply [1,r,s,t] */
    1073             : static GEN
    1074         476 : nf_coordch_rst(GEN nf, GEN e, GEN r, GEN s, GEN t)
    1075             : {
    1076         476 :   e = nf_coordch_r(nf, e, r);
    1077         476 :   return nf_coordch_st(nf, e, s, t);
    1078             : }
    1079             : /* apply w = [u,r,s,t] */
    1080             : static GEN
    1081         476 : nf_coordch(GEN nf, GEN e, GEN w)
    1082             : {
    1083         476 :   if (typ(w) == t_INT) return e;
    1084         476 :   e = nf_coordch_rst(nf, e, gel(w,2), gel(w,3), gel(w,4));
    1085         476 :   return nf_coordch_uinv(nf, e, nfinv(nf, gel(w,1)));
    1086             : }
    1087             : 
    1088             : /* apply [u^(-1),0,0,0] */
    1089             : static GEN
    1090       75222 : coordch_uinv(GEN e, GEN u)
    1091             : {
    1092             :   GEN y, u2, u3, u4, u6, u12, D, c4, c6;
    1093             :   long lx;
    1094       75222 :   if (gequal1(u)) return e;
    1095       74893 :   y = cgetg_copy(e, &lx);
    1096       74893 :   u2 = gsqr(u); u3 = gmul(u,u2); u4 = gsqr(u2); u6 = gsqr(u3);
    1097       74893 :   gel(y,1) = gmul(ell_get_a1(e),  u);
    1098       74893 :   gel(y,2) = gmul(ell_get_a2(e), u2);
    1099       74893 :   gel(y,3) = gmul(ell_get_a3(e), u3);
    1100       74893 :   gel(y,4) = gmul(ell_get_a4(e), u4);
    1101       74893 :   gel(y,5) = gmul(ell_get_a6(e), u6);
    1102       74893 :   if (lx == 6) return y;
    1103       74893 :   gel(y,6) = gmul(ell_get_b2(e), u2);
    1104       74893 :   gel(y,7) = gmul(ell_get_b4(e), u4);
    1105       74893 :   gel(y,8) = gmul(ell_get_b6(e), u6);
    1106       74893 :   gel(y,9) = gmul(ell_get_b8(e), gsqr(u4));
    1107       74893 :   u12 = gsqr(u6);
    1108       74893 :   D = ell_get_disc(e);
    1109       74893 :   c4 = ell_get_c4(e);
    1110       74893 :   c6 = ell_get_c6(e);
    1111       74893 :   c4 = gmul(c4, u4);
    1112       74893 :   c6 = gmul(c6, u6);
    1113       74893 :   D = gmul(D, u12);
    1114       74893 :   gel(y,10)= c4;
    1115       74893 :   gel(y,11)= c6;
    1116       74893 :   gel(y,12)= D;
    1117       74893 :   gel(y,13)= ell_get_j(e);
    1118       74893 :   gel(y,14)= gel(e,14);
    1119       74893 :   gel(y,15)= gel(e,15);
    1120       74893 :   gel(y,16)= gel(e,16);
    1121       74893 :   return y;
    1122             : }
    1123             : /* apply [1,r,0,0] */
    1124             : static GEN
    1125      611926 : coordch_r(GEN e, GEN r)
    1126             : {
    1127             :   GEN a2, b4, b6, y, p1, r2, b2r, rx3;
    1128      611926 :   if (gequal0(r)) return e;
    1129      511861 :   y = leafcopy(e);
    1130      511861 :   a2 = ell_get_a2(e);
    1131      511861 :   rx3 = gmulsg(3,r);
    1132             : 
    1133             :   /* A2 = a2 + 3r */
    1134      511861 :   gel(y,2) = gadd(a2,rx3);
    1135             :   /* A3 = a1 r + a3 */
    1136      511861 :   gel(y,3) = ec_h_evalx(e,r);
    1137             :   /* A4 = 3r^2 + 2a2 r + a4 */
    1138      511861 :   gel(y,4) = gadd(ell_get_a4(e), gmul(r,gadd(gmul2n(a2,1),rx3)));
    1139             :   /* A6 = r^3 + a2 r^2 + a4 r + a6 */
    1140      511861 :   gel(y,5) = ec_f_evalx(e,r);
    1141      511861 :   if (lg(y) == 6) return y;
    1142             : 
    1143      511854 :   b4 = ell_get_b4(e);
    1144      511854 :   b6 = ell_get_b6(e);
    1145             :   /* B2 = 12r + b2 */
    1146      511854 :   gel(y,6) = gadd(ell_get_b2(e),gmul2n(rx3,2));
    1147      511854 :   b2r = gmul(r, ell_get_b2(e));
    1148      511854 :   r2 = gsqr(r);
    1149             :   /* B4 = 6r^2 + b2 r + b4 */
    1150      511854 :   gel(y,7) = gadd(b4,gadd(b2r, gmulsg(6,r2)));
    1151             :   /* B6 = 4r^3 + 2b2 r^2 + 2b4 r + b6 */
    1152      511854 :   gel(y,8) = gadd(b6,gmul(r,gadd(gmul2n(b4,1), gadd(b2r,gmul2n(r2,2)))));
    1153             :   /* B8 = 3r^4 + b2 r^3 + 3b4 r^2 + 3b6 r + b8 */
    1154      511854 :   p1 = gadd(gmulsg(3,b4),gadd(b2r, gmulsg(3,r2)));
    1155      511854 :   gel(y,9) = gadd(ell_get_b8(e), gmul(r,gadd(gmulsg(3,b6), gmul(r,p1))));
    1156      511854 :   return y;
    1157             : }
    1158             : /* apply [1,0,s,0] */
    1159             : static GEN
    1160      118426 : coordch_s(GEN e, GEN s)
    1161             : {
    1162             :   GEN a1, y;
    1163      118426 :   if (gequal0(s)) return e;
    1164      118426 :   a1 = ell_get_a1(e);
    1165      118426 :   y = leafcopy(e);
    1166             : 
    1167             :   /* A1 = a1 + 2s */
    1168      118426 :   gel(y,1) = gadd(a1,gmul2n(s,1));
    1169             :   /* A2 = a2 - (a1 s + s^2) */
    1170      118426 :   gel(y,2) = gsub(ell_get_a2(e),gmul(s,gadd(a1,s)));
    1171             :   /* A4 = a4 - s a3 */
    1172      118426 :   gel(y,4) = gsub(ell_get_a4(e),gmul(s,ell_get_a3(e)));
    1173      118426 :   return y;
    1174             : }
    1175             : /* apply [1,0,0,t] */
    1176             : static GEN
    1177      345198 : coordch_t(GEN e, GEN t)
    1178             : {
    1179             :   GEN a1, a3, y;
    1180      345198 :   if (gequal0(t)) return e;
    1181      275226 :   a1 = ell_get_a1(e); a3 = ell_get_a3(e);
    1182      275226 :   y = leafcopy(e);
    1183             :   /* A3 = 2t + a3 */
    1184      275226 :   gel(y,3) = gadd(a3, gmul2n(t,1));
    1185             :   /* A4 = a4 - a1 t */
    1186      275226 :   gel(y,4) = gsub(ell_get_a4(e), gmul(t,a1));
    1187             :   /* A6 = a6 - t(t + a3) */
    1188      275226 :   gel(y,5) = gsub(ell_get_a6(e), gmul(t,gadd(t, a3)));
    1189      275226 :   return y;
    1190             : }
    1191             : /* apply [1,0,s,t] */
    1192             : static GEN
    1193      348222 : coordch_st(GEN e, GEN s, GEN t)
    1194             : {
    1195             :   GEN y, a1, a3;
    1196      348222 :   if (gequal0(s)) return coordch_t(e, t);
    1197      246540 :   if (gequal0(t)) return coordch_s(e, s);
    1198      128114 :   a1 = ell_get_a1(e); a3 = ell_get_a3(e);
    1199      128114 :   y = leafcopy(e);
    1200             :   /* A1 = a1 + 2s */
    1201      128114 :   gel(y,1) = gadd(a1,gmul2n(s,1));
    1202             :   /* A2 = a2 - (a1 s + s^2) */
    1203      128114 :   gel(y,2) = gsub(ell_get_a2(e),gmul(s,gadd(a1,s)));
    1204             :   /* A3 = 2t + a3 */
    1205      128114 :   gel(y,3) = gadd(a3,gmul2n(t,1));
    1206             :   /* A4 = a4 - (a1 t + s (2t + a3)) */
    1207      128114 :   gel(y,4) = gsub(ell_get_a4(e),gadd(gmul(t,a1),gmul(s,gel(y,3))));
    1208             :   /* A6 = a6 - t(t + a3) */
    1209      128114 :   gel(y,5) = gsub(ell_get_a6(e), gmul(t,gadd(t, a3)));
    1210      128114 :   return y;
    1211             : }
    1212             : /* apply [1,r,s,t] */
    1213             : static GEN
    1214      348222 : coordch_rst(GEN e, GEN r, GEN s, GEN t)
    1215             : {
    1216      348222 :   e = coordch_r(e, r);
    1217      348222 :   return coordch_st(e, s, t);
    1218             : }
    1219             : /* apply w = [u,r,s,t] */
    1220             : static GEN
    1221       72870 : coordch(GEN e, GEN w)
    1222             : {
    1223       72870 :   if (typ(w) == t_INT) return e;
    1224       72870 :   e = coordch_rst(e, gel(w,2), gel(w,3), gel(w,4));
    1225       72870 :   return coordch_uinv(e, ginv(gel(w,1)));
    1226             : }
    1227             : 
    1228             : /* the ch_* routines update E[14] (type), E[15] (type specific data), E[16]
    1229             :  * (dynamic data) */
    1230             : static GEN
    1231          35 : ch_Qp(GEN E, GEN e, GEN w)
    1232             : {
    1233          35 :   GEN S, p = ellQp_get_zero(E), u2 = NULL, u = gel(w,1), r = gel(w,2);
    1234          35 :   long prec = valp(p);
    1235          35 :   if (base_ring(E, &p, &prec) != t_PADIC) return ellinit(E, p, prec);
    1236          35 :   if ((S = obj_check(e, Qp_ROOT)))
    1237             :   {
    1238           7 :     if (!u2) u2 = gsqr(u);
    1239           7 :     obj_insert_shallow(E, Qp_ROOT, gdiv(gsub(S, r), u2));
    1240             :   }
    1241          35 :   if ((S = obj_check(e, Qp_TATE)))
    1242             :   {
    1243           7 :     GEN U2 = gel(S,1), U = gel(S,2), Q = gel(S,3), AB = gel(S,4), L = gel(S,5);
    1244           7 :     if (!u2) u2 = gsqr(u);
    1245           7 :     U2 = gmul(U2, u2);
    1246           7 :     U = gmul(U, u);
    1247           7 :     AB = gdiv(AB, u2);
    1248           7 :     obj_insert_shallow(E, Qp_TATE, mkvec5(U2,U,Q,AB,L));
    1249             :   }
    1250          35 :   return E;
    1251             : }
    1252             : 
    1253             : /* common to Q and Rg */
    1254             : static GEN
    1255       37443 : ch_R(GEN E, GEN e, GEN w)
    1256             : {
    1257       37443 :   GEN S, u = gel(w,1), r = gel(w,2);
    1258       37443 :   if ((S = obj_check(e, R_PERIODS)))
    1259          28 :     obj_insert_shallow(E, R_PERIODS, gmul(S, u));
    1260       37443 :   if ((S = obj_check(e, R_ETA)))
    1261          28 :     obj_insert_shallow(E, R_ETA, gmul(S, u));
    1262       37443 :   if ((S = obj_check(e, R_ROOTS)))
    1263             :   {
    1264          28 :     GEN ro = cgetg(4, t_VEC), u2 = gsqr(u);
    1265             :     long i;
    1266         112 :     for (i = 1; i <= 3; i++) gel(ro,i) = gdiv(gsub(gel(S,i), r), u2);
    1267          28 :     obj_insert_shallow(E, R_ROOTS, ro);
    1268             :   }
    1269       37443 :   return E;
    1270             : }
    1271             : 
    1272             : static GEN
    1273           7 : ch_Rg(GEN E, GEN e, GEN w)
    1274             : {
    1275           7 :   GEN p = NULL;
    1276           7 :   long prec = ellR_get_prec(E);
    1277           7 :   if (base_ring(E, &p, &prec) != t_REAL) return ellinit(E, p, prec);
    1278           7 :   ch_R(E, e, w); return E;
    1279             : }
    1280             : 
    1281             : static GEN
    1282       37443 : ch_Q(GEN E, GEN e, GEN w)
    1283             : {
    1284       37443 :   long prec = ellR_get_prec(E);
    1285       37443 :   GEN S, v = NULL, p = NULL;
    1286       37443 :   if (base_ring(E, &p, &prec) != t_FRAC) return ellinit(E, p, prec);
    1287       37436 :   ch_R(E, e, w);
    1288       37436 :   if ((S = obj_check(e, Q_GROUPGEN)))
    1289           0 :     S = obj_insert_shallow(E, Q_GROUPGEN, ellchangepoint(S, w));
    1290       37436 :   if ((S = obj_check(e, Q_MINIMALMODEL)))
    1291             :   {
    1292        1554 :     if (lg(S) == 2)
    1293             :     { /* model was minimal */
    1294           7 :       if (!is_trivial_change(w)) /* no longer minimal */
    1295           7 :         S = mkvec3(gel(S,1), ellchangeinvert(w), e);
    1296           7 :       (void)obj_insert_shallow(E, Q_MINIMALMODEL, S);
    1297             :     }
    1298             :     else
    1299             :     {
    1300        1547 :       v = gel(S,2);
    1301        1547 :       if (gequal(v, w) || (is_trivial_change(v) && is_trivial_change(w)))
    1302        1533 :         S = mkvec(gel(S,1)); /* now minimal */
    1303             :       else
    1304             :       {
    1305          14 :         w = ellchangeinvert(w);
    1306          14 :         gcomposev(&w, v); v = w;
    1307          14 :         S = leafcopy(S); /* don't modify S in place: would corrupt e */
    1308          14 :         gel(S,2) = v;
    1309             :       }
    1310        1547 :       (void)obj_insert_shallow(E, Q_MINIMALMODEL, S);
    1311             :     }
    1312             :   }
    1313       37436 :   if ((S = obj_check(e, Q_GLOBALRED)))
    1314          21 :     S = obj_insert_shallow(E, Q_GLOBALRED, S);
    1315       37436 :   if ((S = obj_check(e, Q_ROOTNO)))
    1316           0 :     S = obj_insert_shallow(E, Q_ROOTNO, S);
    1317       37436 :   return E;
    1318             : }
    1319             : 
    1320             : static void
    1321         126 : ch_FF(GEN E, GEN e, GEN w)
    1322             : {
    1323             :   GEN S;
    1324         126 :   if ((S = obj_check(e, FF_CARD)))
    1325          21 :     S = obj_insert_shallow(E, FF_CARD, S);
    1326         126 :   if ((S = obj_check(e, FF_GROUP)))
    1327          21 :     S = obj_insert_shallow(E, FF_GROUP, S);
    1328         126 :   if ((S = obj_check(e, FF_GROUPGEN)))
    1329          21 :     S = obj_insert_shallow(E, FF_GROUPGEN, ellchangepoint(S, w));
    1330         126 :   if ((S = obj_check(e, FF_O)))
    1331          21 :     S = obj_insert_shallow(E, FF_O, S);
    1332         126 : }
    1333             : 
    1334             : /* FF_CARD, FF_GROUP, FF_O are invariant */
    1335             : static GEN
    1336           7 : ch_Fp(GEN E, GEN e, GEN w)
    1337             : {
    1338           7 :   long prec = 0;
    1339           7 :   GEN p = ellff_get_field(E);
    1340           7 :   if (base_ring(E, &p, &prec) != t_INTMOD) return ellinit(E, p, prec);
    1341           7 :   gel(E,15) = mkvec2(p, ell_to_a4a6_bc(E, p));
    1342           7 :   ch_FF(E, e, w); return E;
    1343             : }
    1344             : static GEN
    1345         119 : ch_Fq(GEN E, GEN e, GEN w)
    1346             : {
    1347         119 :   long prec = 0;
    1348         119 :   GEN p = ellff_get_field(E);
    1349         119 :   if (base_ring(E, &p, &prec) != t_FFELT) return ellinit(E, p, prec);
    1350         119 :   gel(E,15) = FF_elldata(E, p);
    1351         119 :   ch_FF(E, e, w); return E;
    1352             : }
    1353             : 
    1354             : static void
    1355       73122 : ell_reset(GEN E)
    1356       73122 : { gel(E,16) = zerovec(lg(gel(E,16))-1); }
    1357             : 
    1358             : GEN
    1359       72212 : ellchangecurve(GEN e, GEN w)
    1360             : {
    1361       72212 :   pari_sp av = avma;
    1362             :   GEN E;
    1363       72212 :   checkell5(e);
    1364       72212 :   if (equali1(w)) return gcopy(e);
    1365       72205 :   checkcoordch(w);
    1366       72205 :   E = coordch(leafcopy(e), w);
    1367       72205 :   if (lg(E) != 6)
    1368             :   {
    1369       72191 :     ell_reset(E);
    1370       72191 :     switch(ell_get_type(E))
    1371             :     {
    1372          35 :       case t_ELL_Qp: E = ch_Qp(E,e,w); break;
    1373           7 :       case t_ELL_Fp: E = ch_Fp(E,e,w); break;
    1374         119 :       case t_ELL_Fq: E = ch_Fq(E,e,w); break;
    1375       35917 :       case t_ELL_Q:  E = ch_Q(E,e,w);  break;
    1376           7 :       case t_ELL_Rg: E = ch_Rg(E,e,w); break;
    1377             :     }
    1378          14 :   }
    1379       72205 :   return gerepilecopy(av, E);
    1380             : }
    1381             : 
    1382             : /* v o= [1,r,0,0] */
    1383             : static void
    1384      164451 : nf_compose_r(GEN nf, GEN *vtotal, GEN *e, GEN r)
    1385             : {
    1386      164451 :   GEN v = *vtotal;
    1387             :   GEN U2, R, S, T;
    1388      164451 :   if (gequal0(r)) return;
    1389       95844 :   *e = nf_coordch_r(nf, *e,r);
    1390       95844 :   U2 = nfsqr(nf,gel(v,1)); R = gel(v,2); S = gel(v, 3); T = gel(v, 4);
    1391       95844 :   gel(v,2) = nfadd(nf,R, nfmul(nf,U2, r));
    1392       95844 :   gel(v,4) = nfadd(nf,T, nfmul(nf,U2, nfmul(nf,S, r)));
    1393             : }
    1394             : /* v o= [1,0,s,0]; never used for s = 0 */
    1395             : static void
    1396      109564 : nf_compose_s(GEN nf, GEN *vtotal, GEN *e, GEN s)
    1397             : {
    1398      109564 :   GEN v = *vtotal;
    1399             :   GEN U, S;
    1400      109564 :   *e = nf_coordch_s(nf,*e,s);
    1401      109564 :   U = gel(v,1); S = gel(v,3);
    1402      109564 :   gel(v,3) = nfadd(nf, S, nfmul(nf, U, s));
    1403      109564 : }
    1404             : /* v o= [1,0,0,t] */
    1405             : static void
    1406      254016 : nf_compose_t(GEN nf ,GEN *vtotal, GEN *e, GEN t)
    1407             : {
    1408      254016 :   GEN v = *vtotal;
    1409             :   GEN U3, U, T;
    1410      254016 :   if (gequal0(t)) return;
    1411       80290 :   *e = nf_coordch_t(nf,*e,t);
    1412       80290 :   U = gel(v,1); U3 = nfmul(nf,U, nfsqr(nf,U)); T = gel(v,4);
    1413       80290 :   gel(v,4) = nfadd(nf,T, nfmul(nf,U3, t));
    1414             : }
    1415             : /* v o= [1,r,0,t] */
    1416             : static void
    1417      251846 : nf_compose_rt(GEN nf, GEN *vtotal, GEN *e, GEN r, GEN t)
    1418             : {
    1419      251846 :   GEN v = *vtotal;
    1420             :   GEN U2, U, R, S, T;
    1421      251846 :   if (gequal0(t)) { nf_compose_r(nf, vtotal, e, r); return; }
    1422      171066 :   *e = nf_coordch_rt(nf,*e,r,t);
    1423      171066 :   U = gel(v,1); R = gel(v,2); S = gel(v,3); T = gel(v,4);
    1424      171066 :   U2 = nfsqr(nf,U);
    1425      171066 :   gel(v,2) = nfadd(nf,R, nfmul(nf,U2, r));
    1426      171066 :   gel(v,4) = nfadd(nf,T, nfmul(nf,U2, nfadd(nf,nfmul(nf,U, t), nfmul(nf,S, r))));
    1427             : }
    1428             : /* v o= [1,0,s,t] */
    1429             : static void
    1430      184345 : nf_compose_st(GEN nf, GEN *vtotal, GEN *e, GEN s, GEN t)
    1431             : {
    1432      184345 :   GEN v = *vtotal;
    1433             :   GEN U3, U, S, T;
    1434      184345 :   if (gequal0(s)) { nf_compose_t(nf, vtotal, e, t); return; }
    1435      122087 :   if (gequal0(t)) { nf_compose_s(nf, vtotal, e, s); return; }
    1436       12523 :   *e = nf_coordch_st(nf, *e,s,t);
    1437       12523 :   U = gel(v,1); U3 = nfmul(nf,U,nfsqr(nf,U)); S = gel(v,3); T = gel(v,4);
    1438       12523 :   gel(v,3) = nfadd(nf, S, nfmul(nf,U, s));
    1439       12523 :   gel(v,4) = nfadd(nf, T, nfmul(nf,U3, t));
    1440             : }
    1441             : 
    1442             : /* v o= [u,0,0,0] */
    1443             : static void
    1444      153132 : nf_compose_u(GEN nf, GEN *vtotal, GEN *e, GEN u, GEN uinv)
    1445             : {
    1446      153132 :   GEN v = *vtotal;
    1447      153132 :   *e = nf_coordch_uinv(nf, *e,uinv); gel(v,1) = nfmul(nf,gel(v,1), u);
    1448      153132 : }
    1449             : 
    1450             : /* X = (x-r)/u^2
    1451             :  * Y = (y - s(x-r) - t) / u^3 */
    1452             : static GEN
    1453       18977 : ellchangepoint0(GEN P, GEN v2, GEN v3, GEN r, GEN s, GEN t)
    1454             : {
    1455             :   GEN a, x, y;
    1456       18977 :   long l = lg(P);
    1457       18977 :   if (typ(P) != t_VEC || l == 1 || l > 4) pari_err_TYPE("ellchangepoint", P);
    1458       18970 :   if (ell_is_inf(P)) return P;
    1459       18956 :   x = gel(P,1); y = gel(P,2); a = gsub(x,r);
    1460       18956 :   retmkvec2(gmul(v2, a), gmul(v3, gsub(y, gadd(gmul(s,a),t))));
    1461             : }
    1462             : 
    1463             : GEN
    1464       19005 : ellchangepoint(GEN x, GEN ch)
    1465             : {
    1466             :   GEN y, v, v2, v3, r, s, t, u;
    1467       19005 :   long tx, i, lx = lg(x);
    1468       19005 :   pari_sp av = avma;
    1469             : 
    1470       19005 :   if (typ(x) != t_VEC) pari_err_TYPE("ellchangepoint",x);
    1471       19005 :   if (equali1(ch)) return gcopy(x);
    1472       19005 :   checkcoordch(ch);
    1473       19005 :   if (lx == 1) return cgetg(1, t_VEC);
    1474       18956 :   u = gel(ch,1); r = gel(ch,2); s = gel(ch,3); t = gel(ch,4);
    1475       18956 :   v = ginv(u); v2 = gsqr(v); v3 = gmul(v,v2);
    1476       18956 :   tx = typ(gel(x,1));
    1477       18956 :   if (is_matvec_t(tx))
    1478             :   {
    1479          77 :     y = cgetg(lx,tx);
    1480         168 :     for (i=1; i<lx; i++)
    1481          98 :       gel(y,i) = ellchangepoint0(gel(x,i),v2,v3,r,s,t);
    1482             :   }
    1483             :   else
    1484       18879 :     y = ellchangepoint0(x,v2,v3,r,s,t);
    1485       18949 :   return gerepilecopy(av,y);
    1486             : }
    1487             : 
    1488             : /* x = u^2*X + r
    1489             :  * y = u^3*Y + s*u^2*X + t */
    1490             : static GEN
    1491        4067 : ellchangepointinv0(GEN P, GEN u2, GEN u3, GEN r, GEN s, GEN t)
    1492             : {
    1493             :   GEN a, X, Y;
    1494        4067 :   if (ell_is_inf(P)) return P;
    1495        4067 :   X = gel(P,1); Y = gel(P,2); a = gmul(u2,X);
    1496        4067 :   return mkvec2(gadd(a, r), gadd(gmul(u3, Y), gadd(gmul(s, a), t)));
    1497             : }
    1498             : GEN
    1499         952 : ellchangepointinv(GEN x, GEN ch)
    1500             : {
    1501             :   GEN y, u, r, s, t, u2, u3;
    1502         952 :   long tx, i, lx = lg(x);
    1503         952 :   pari_sp av = avma;
    1504             : 
    1505         952 :   if (typ(x) != t_VEC) pari_err_TYPE("ellchangepointinv",x);
    1506         952 :   if (equali1(ch)) return gcopy(x);
    1507         952 :   checkcoordch(ch);
    1508         952 :   if (lx == 1) return cgetg(1, t_VEC);
    1509         749 :   u = gel(ch,1); r = gel(ch,2); s = gel(ch,3); t = gel(ch,4);
    1510         749 :   u2 = gsqr(u); u3 = gmul(u,u2);
    1511         749 :   tx = typ(gel(x,1));
    1512         749 :   if (is_matvec_t(tx))
    1513             :   {
    1514         595 :     y = cgetg(lx,tx);
    1515        4508 :     for (i=1; i<lx; i++)
    1516        3913 :       gel(y,i) = ellchangepointinv0(gel(x,i),u2,u3,r,s,t);
    1517             :   }
    1518             :   else
    1519         154 :     y = ellchangepointinv0(x,u2,u3,r,s,t);
    1520         749 :   return gerepilecopy(av,y);
    1521             : }
    1522             : 
    1523             : GEN
    1524       28567 : elltwist(GEN E, GEN P)
    1525             : {
    1526       28567 :   pari_sp av = avma;
    1527       28567 :   GEN a1, a2, a3, a4, a6, a, b, c, ac, D, D2, V, DOM = NULL;
    1528             :   long lE;
    1529             : 
    1530       28567 :   if (!P)
    1531             :   {
    1532             :     GEN a4, a6, e, p;
    1533             :     /* Could avoid this ellinit. Don't bother. */
    1534       27195 :     if (!checkell_i(E))
    1535             :     {
    1536           7 :       e = E; E = ellinit_i(E, NULL, DEFAULTPREC);
    1537           7 :       if (!E) pari_err_TYPE("elltwist", e);
    1538             :     }
    1539       27188 :     switch (ell_get_type(E))
    1540             :     {
    1541           0 :       case t_ELL_Fp:
    1542           0 :         p = ellff_get_field(E);
    1543           0 :         e = ellff_get_a4a6(E);
    1544           0 :         Fp_elltwist(gel(e,1), gel(e, 2), p, &a4, &a6);
    1545       27188 :         return gerepilecopy(av, ellinit_i(mkvec2(a4,a6), p, 0));
    1546       27188 :       case t_ELL_Fq:
    1547       27188 :         return gerepilecopy(av, ellinit_i(FF_elltwist(E), NULL, 0));
    1548           0 :       default: pari_err_TYPE("elltwist [missing P]", E);
    1549             :     }
    1550             :   }
    1551        1372 :   if (typ(E) != t_VEC) pari_err_TYPE("elltwist",E);
    1552        1372 :   lE = lg(E);
    1553        1372 :   if (lE == 17 && ell_get_type(E) == t_ELL_NF)
    1554          14 :     if (!(DOM = ellnf_get_bnf(E))) DOM = ellnf_get_nf(E);
    1555        1372 :   if (typ(P) == t_INT)
    1556             :   {
    1557        1358 :     if (equali1(P)) return ellinit(E, DOM, DEFAULTPREC);
    1558        1001 :     P = quadpoly(P);
    1559             :   }
    1560             :   else
    1561             :   {
    1562          14 :     if (typ(P) != t_POL) pari_err_TYPE("elltwist",P);
    1563          14 :     if (degpol(P) != 2 )
    1564           0 :       pari_err_DOMAIN("elltwist", "degree(P)", "!=", gen_2, P);
    1565             :   }
    1566        1015 :   switch(lE)
    1567             :   {
    1568           7 :     case 3:
    1569           7 :       a1 = a2 = a3 = gen_0;
    1570           7 :       a4 = gel(E,1);
    1571           7 :       a6 = gel(E,2); break;
    1572        1008 :     case 6: case 17:
    1573        1008 :       a1 = ell_get_a1(E);
    1574        1008 :       a2 = ell_get_a2(E);
    1575        1008 :       a3 = ell_get_a3(E);
    1576        1008 :       a4 = ell_get_a4(E);
    1577        1008 :       a6 = ell_get_a6(E); break;
    1578           0 :     default:
    1579           0 :       pari_err_TYPE("ellxxx [not an elliptic curve (ell5)]",E);
    1580             :       return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
    1581             :   }
    1582        1015 :   a = gel(P,4); b = gel(P,3); c = gel(P,2); ac = gmul(a, c);
    1583        1015 :   D = gsub(gsqr(b), gmulsg(4, ac)); D2 = gsqr(D);
    1584        1015 :   if (gequal0(a1) && gequal0(a2) && gequal0(a3))
    1585         763 :     V = mkvec2(gmul(a4, D2), gmul(gmul(a6, D), D2));
    1586             :   else
    1587             :   {
    1588         252 :     GEN a3D = gmul(a3, D);
    1589         252 :     V = cgetg(6, t_VEC);
    1590         252 :     gel(V,1) = gmul(a1, b);
    1591         252 :     gel(V,2) = gsub(gmul(a2, D), gmul(gsqr(a1), ac));
    1592         252 :     gel(V,3) = gmul(a3D, b);
    1593         252 :     gel(V,4) = gsub(gmul(a4, D2), gmul(gmul(gmulsg(2, a3D), a1), ac));
    1594         252 :     gel(V,5) = gmul(gsub(gmul(a6, D), gmul(gsqr(a3), ac)), D2);
    1595             :   }
    1596        1015 :   E = ellinit_i(V, DOM, DEFAULTPREC);
    1597        1015 :   if (!E) pari_err_TYPE("elltwist", V);
    1598        1015 :   return gerepilecopy(av, E);
    1599             : }
    1600             : 
    1601             : /********************************************************************/
    1602             : /**                      E/Q: MINIMAL TWIST                        **/
    1603             : /**      Cf Ian Connell, Elliptic Curve Handbook, chap. 5          **/
    1604             : /**                http://www.math.mcgill.ca/connell/              **/
    1605             : /********************************************************************/
    1606             : 
    1607             : static long
    1608        3227 : safe_Z_lval(GEN n, ulong p)
    1609        3227 : { return signe(n)==0? -1: Z_lval(n, p); }
    1610             : 
    1611             : /* Twist by d2 = 1,-4,-8,8, to get minimal discriminant at 2 after
    1612             :  * ellminimalmodel / ellQ_minimalu; assume vg = min(3*v4,2*v6,vD) >= 6.
    1613             :  * If nontrivial, v(d2) = 2 or 3 and let t = [(vg+6v(d2))/12].
    1614             :  * Good case if reduction in ellQ_minimalu i.e. t = 2 (v4 < 6 or v6 < 9 or
    1615             :  * vD < 18) or 3 and "d--" does not occur. Minimal model => t = 3 iff
    1616             :  * v4 = 6, v6 = 9 and vD >= 18. Total net effect is
    1617             :  *   v4 += 2v(d2) - 4t, v6 += 3v(d2) - 6t, vD += 6 v(d2) - 12t
    1618             :  * After rescaling in ellQ_minimalu (c4 >>= 4t, c6 >>= 6t) we need
    1619             :  *   c6 % 4 = 3 OR  (v4 >= 4 AND (v6 >= 5 or c6 % 32 = 8)) */
    1620             : static long
    1621         392 : twist2(GEN c4, GEN c6, GEN disc, long vg)
    1622             : { /* v4 >= 4, v6 >= 3 (and c6 = 0,8 mod 32). After twist + minimization,
    1623             :    * either same condition OR v(C4) = 0, C6 = 0,3 mod 4 */
    1624             :   long v4, v6, vD;
    1625             : 
    1626         392 :   if (vg == 18) /* v4=6, v6=9, vD>=18; only case with t = 3 */
    1627          56 :     return (umodi2n(c6, 11)>>9) == 1 ? -8: 8; /* need C6 % 4 = 3 */
    1628             : 
    1629             :   /* 100 = oo, any number >= 8 would do */
    1630         336 :   v4 = signe(c4)? vali(c4): 100; if (v4 == 5) return 1;
    1631             :   /* 100 = oo, any number > 9 would do */
    1632         329 :   v6 = signe(c6)? vali(c6): 100; if (v6 == 7) return 1;
    1633             : 
    1634             :   /* handle case v(DISC) = 0 or v(C4) = 0 after twist, only case with d2 = -4 */
    1635         329 :   if (vg == 12 && ((v4==4 && v6==6) || (v4>=8 && v6==9))) return -4;
    1636             : 
    1637             :   /* Now, d2 = 1 OR v(d2) = 3, t = 2 => v4 -= 2, v6 -= 3, vD -= 6 */
    1638         266 :   if (v4 < 6 || v6 < 6) return 1; /* v(C4) >= 4, v(C6) >= 3 */
    1639         175 :   vD = vali(disc);
    1640         175 :   if (v6==6 && vD==6 && (umodi2n(c6,8)>>6) == 1) return 8; /* C6 % 32 = 8 */
    1641         168 :   return -8;
    1642             : }
    1643             : 
    1644             : /* Return D such that E_D has minimal discriminant.
    1645             :    It also has minimal conductor in Z[1/2]
    1646             : */
    1647             : GEN
    1648         665 : ellminimaltwist(GEN e)
    1649             : {
    1650         665 :   pari_sp av = avma;
    1651         665 :   GEN c4, c6, disc, g, N, M, F, E, D = gen_1;
    1652             :   long i, lF;
    1653         665 :   checkell_Q(e);
    1654         665 :   E = ellminimalmodel(e, NULL);
    1655         665 :   c4 = ell_get_c4(E);
    1656         665 :   c6 = ell_get_c6(E);
    1657         665 :   disc = ell_get_disc(E);
    1658         665 :   g = gcdii(disc, sqri(c6));
    1659         665 :   ellQ_get_Nfa(E, &N, &M);
    1660         665 :   F = gel(M, 1); lF = lg(F);
    1661             :   /* on twist by d, (c4,c6,D,g) -> (d^2 c4, d^3 c6, d^6 D, d^6 g),
    1662             :    * then apply ellQ_minimalu(). Since model is minimal, v(g) < 12 unless p=3
    1663             :    * and v(g) < 14 or p = 2 and v(g) <= 18 */
    1664        2436 :   for(i = 1; i < lF; i++)
    1665             :   {
    1666        1771 :     GEN p = gel(F, i);
    1667        1771 :     long vg = Z_pval(g,p), d2;
    1668        1771 :     if (vg < 6) continue;
    1669             :     /* twist by fund. discriminant d2; in ellQ_minimalu,
    1670             :      * we have v(g) = vg + 6*v(d2) */
    1671        1197 :     switch(itou_or_0(p))
    1672             :     {
    1673         441 :       default: /* p > 3, 6 <= v(g) < 12 => v(D) -= 6 */
    1674         441 :         D = mulii(D, (mod4(p)==1)? p: negi(p));
    1675         441 :         break;
    1676         364 :       case 3: /* bad case: v(final_c6) = 2 => no reduction; else v(D) -= 6 */
    1677         364 :         if (safe_Z_lval(c6,3) != 5) D = mulis(D, -3);
    1678         364 :         break;
    1679         392 :       case 2:
    1680         392 :         d2 = twist2(c4,c6,disc,vg);
    1681         392 :         if (d2 != 1) D = mulis(D,d2);
    1682         392 :         break;
    1683             :     }
    1684             :   }
    1685         665 :   obj_free(E);
    1686         665 :   return gerepileuptoleaf(av, D);
    1687             : }
    1688             : 
    1689             : /*
    1690             : Reference:
    1691             : William A. Stein and Mark Watkins
    1692             : A Database of Elliptic Curves-First Report
    1693             : ANTS 5
    1694             : <http://modular.math.washington.edu/papers/stein-watkins/ants.pdf>
    1695             : */
    1696             : static GEN localred_23(GEN e, long p);
    1697             : GEN
    1698         399 : ellminimaltwistcond(GEN e)
    1699             : {
    1700         399 :   pari_sp av = avma;
    1701         399 :   GEN D = ellminimaltwist(e), eD = elltwist(e, D);
    1702         399 :   GEN R = localred_23(ellintegralmodel_i(eD,NULL), 2);
    1703         399 :   long f = itos(gel(R,1)), v = vali(D);
    1704         399 :   if (f==4) D = negi(v==3 ? D: shifti(D, v==0? 2: -2));
    1705         385 :   else if (f==6)
    1706             :   {
    1707             :     long s, t;
    1708          21 :     if (v < 3) s = v==0? 3: 1;
    1709             :     else
    1710             :     {
    1711          14 :       t = (v==3 && mod32(D) == 8)? 1: -1;
    1712          14 :       s = signe(D)==t ? -3: -1;
    1713             :     }
    1714          21 :     D = shifti(D, s);
    1715             :   }
    1716         399 :   return gerepileuptoleaf(av, D);
    1717             : }
    1718             : 
    1719             : GEN
    1720         448 : ellminimaltwist0(GEN e, long flag)
    1721             : {
    1722         448 :   switch(flag)
    1723             :   {
    1724         266 :     case 0: return ellminimaltwist(e);
    1725         182 :     case 1: return ellminimaltwistcond(e);
    1726             :   }
    1727           0 :   pari_err_FLAG("ellminimaltwist");
    1728             :   return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
    1729             : }
    1730             : 
    1731             : static long
    1732           7 : ellexpo(GEN E)
    1733             : {
    1734           7 :   long i, f, e = -(long)HIGHEXPOBIT;
    1735          42 :   for (i=1; i<=5; i++)
    1736             :   {
    1737          35 :     f = gexpo(gel(E,i));
    1738          35 :     if (f > e) e = f;
    1739             :   }
    1740           7 :   return e;
    1741             : }
    1742             : 
    1743             : 
    1744             : static int
    1745        3754 : oncurve_exact(GEN e, GEN z)
    1746             : {
    1747        3754 :   pari_sp av = avma;
    1748        3754 :   GEN A = ec_LHS_evalQ(e,z), B = ec_f_evalx(e,gel(z,1));
    1749        3754 :   return gc_bool(av, gequal(A, B));
    1750             : }
    1751             : /* Exactness of lhs and rhs in the following depends in nonobvious ways
    1752             :  * on the coeffs of the curve as well as on the components of the point z.
    1753             :  * Thus if e is exact, with a1==0, and z has exact y coordinate only, the
    1754             :  * lhs will be exact but the rhs won't. */
    1755             : int
    1756       39585 : oncurve(GEN e, GEN z)
    1757             : {
    1758             :   GEN LHS, RHS, x;
    1759             :   long pl, pr, ex, expx;
    1760             :   pari_sp av;
    1761             : 
    1762       39585 :   checkellpt(z); if (ell_is_inf(z)) return 1; /* oo */
    1763       39508 :   if (ell_get_type(e) == t_ELL_NF) z = nfVtoalg(ellnf_get_nf(e), z);
    1764       39508 :   av = avma;
    1765       39508 :   LHS = ec_LHS_evalQ(e,z);
    1766       39508 :   RHS = ec_f_evalx(e,gel(z,1)); x = gsub(LHS,RHS);
    1767       39508 :   if (gequal0(x)) return gc_bool(av,1);
    1768          21 :   pl = precision(LHS);
    1769          21 :   pr = precision(RHS);
    1770          21 :   if (!pl && !pr) return gc_bool(av,0); /* both of LHS, RHS are exact */
    1771             :   /* at least one of LHS,RHS is inexact */
    1772           7 :   ex = pr? gexpo(RHS): gexpo(LHS); /* don't take exponent of exact 0 */
    1773           7 :   if (!pr || (pl && pl < pr)) pr = pl; /* min among nonzero elts of {pl,pr} */
    1774           7 :   expx = gexpo(x);
    1775           7 :   pr = (expx < ex - prec2nbits(pr) + 15
    1776           7 :      || expx < ellexpo(e) - prec2nbits(pr) + 5);
    1777           7 :   return gc_bool(av,pr);
    1778             : }
    1779             : 
    1780             : GEN
    1781       17290 : ellisoncurve(GEN e, GEN x)
    1782             : {
    1783       17290 :   long i, tx = typ(x), lx;
    1784             : 
    1785       17290 :   checkell(e);
    1786       17290 :   if (!is_vec_t(tx)) pari_err_TYPE("ellisoncurve [point]", x);
    1787       17290 :   lx = lg(x); if (lx==1) return cgetg(1,tx);
    1788       17290 :   tx = typ(gel(x,1));
    1789       17290 :   if (is_vec_t(tx))
    1790             :   {
    1791        1687 :     GEN z = cgetg(lx,tx);
    1792        3514 :     for (i=1; i<lx; i++) gel(z,i) = ellisoncurve(e,gel(x,i));
    1793        1687 :     return z;
    1794             :   }
    1795       15603 :   return oncurve(e, x)? gen_1: gen_0;
    1796             : }
    1797             : 
    1798             : /* y1 = y2 or -LHS0-y2 */
    1799             : static GEN
    1800        8456 : slope_samex(GEN e, GEN x, GEN y1, GEN y2)
    1801             : {
    1802             :   GEN dy,dx;
    1803        8456 :   if (y1 != y2)
    1804             :   {
    1805             :     int eq;
    1806         259 :     if (precision(y1) || precision(y2))
    1807           7 :       eq = (gexpo(gadd(ec_h_evalx(e,x),gadd(y1,y2))) >= gexpo(y1));
    1808             :     else
    1809         252 :       eq = gequal(y1,y2);
    1810         259 :     if (!eq) return NULL;
    1811             :   }
    1812        8449 :   dx = ec_dmFdy_evalQ(e,mkvec2(x,y1));
    1813        8449 :   if (gequal0(dx)) return NULL;
    1814        8414 :   dy = gadd(gsub(ell_get_a4(e),gmul(ell_get_a1(e),y1)),
    1815             :             gmul(x,gadd(gmul2n(ell_get_a2(e),1),gmulsg(3,x))));
    1816        8414 :   return gdiv(dy,dx);
    1817             : }
    1818             : 
    1819             : GEN
    1820       36547 : elladd(GEN e, GEN z1, GEN z2)
    1821             : {
    1822             :   GEN s, z, x, y, x1, x2, y1, y2;
    1823       36547 :   pari_sp av = avma;
    1824             : 
    1825       36547 :   checkell(e); checkellpt(z1); checkellpt(z2);
    1826       36547 :   if (ell_is_inf(z1)) return gcopy(z2);
    1827       34146 :   if (ell_is_inf(z2)) return gcopy(z1);
    1828             : 
    1829       32494 :   x1 = gel(z1,1); y1 = gel(z1,2);
    1830       32494 :   x2 = gel(z2,1); y2 = gel(z2,2);
    1831       32494 :   if (ell_get_type(e) == t_ELL_NF)
    1832             :   {
    1833         539 :     GEN nf = ellnf_get_nf(e);
    1834         539 :     x1 = nftoalg(nf, x1);
    1835         539 :     x2 = nftoalg(nf, x2);
    1836         539 :     y1 = nftoalg(nf, y1);
    1837         539 :     y2 = nftoalg(nf, y2);
    1838             :   }
    1839       32494 :   if (cx_approx_equal(x1,x2))
    1840             :   {
    1841        8456 :     s = slope_samex(e, x1, y1, y2);
    1842        8456 :     if (!s) { set_avma(av); return ellinf(); }
    1843             :   }
    1844             :   else
    1845       24038 :     s = gdiv(gsub(y2,y1), gsub(x2,x1));
    1846       32452 :   x = gsub(gmul(s,gadd(s,ell_get_a1(e))), gadd(gadd(x1,x2),ell_get_a2(e)));
    1847       32452 :   y = gadd(gadd(y1, ec_h_evalx(e,x)), gmul(s,gsub(x,x1)));
    1848       32452 :   z = cgetg(3,t_VEC);
    1849       32452 :   gel(z,1) = gcopy(x);
    1850       32452 :   gel(z,2) = gneg(y); return gerepileupto(av, z);
    1851             : }
    1852             : 
    1853             : static GEN
    1854          70 : ellneg_i(GEN e, GEN z)
    1855             : {
    1856             :   GEN t, x, y;
    1857          70 :   if (ell_is_inf(z)) return z;
    1858          70 :   x = gel(z,1);
    1859          70 :   y = gel(z,2);
    1860          70 :   if (ell_get_type(e) == t_ELL_NF)
    1861             :   {
    1862           0 :     GEN nf = ellnf_get_nf(e);
    1863           0 :     x = nftoalg(nf,x);
    1864           0 :     y = nftoalg(nf,y);
    1865             :   }
    1866          70 :   t = cgetg(3,t_VEC);
    1867          70 :   gel(t,1) = x;
    1868          70 :   gel(t,2) = gneg_i(gadd(y, ec_h_evalx(e,x)));
    1869          70 :   return t;
    1870             : }
    1871             : 
    1872             : GEN
    1873       24465 : ellneg(GEN e, GEN z)
    1874             : {
    1875             :   pari_sp av;
    1876             :   GEN t, y;
    1877       24465 :   checkell(e); checkellpt(z);
    1878       24465 :   if (ell_is_inf(z)) return z;
    1879       24465 :   t = cgetg(3,t_VEC);
    1880       24465 :   gel(t,1) = gcopy(gel(z,1));
    1881       24465 :   av = avma;
    1882       24465 :   y = gneg(gadd(gel(z,2), ec_h_evalx(e,gel(z,1))));
    1883       24465 :   gel(t,2) = gerepileupto(av, y);
    1884       24465 :   return t;
    1885             : }
    1886             : 
    1887             : GEN
    1888          49 : ellsub(GEN e, GEN z1, GEN z2)
    1889             : {
    1890          49 :   pari_sp av = avma;
    1891          49 :   checkell(e); checkellpt(z2);
    1892          49 :   return gerepileupto(av, elladd(e, z1, ellneg_i(e,z2)));
    1893             : }
    1894             : 
    1895             : /* E an ell, x a scalar */
    1896             : static GEN
    1897        2898 : ellordinate_i(GEN E, GEN x, long prec)
    1898             : {
    1899        2898 :   pari_sp av = avma;
    1900        2898 :   GEN a, b, D, d, y, p, nf = NULL;
    1901             : 
    1902        2898 :   if (ell_get_type(E) == t_ELL_NF)
    1903             :   {
    1904         532 :     nf = ellnf_get_nf(E);
    1905         532 :     x = nftoalg(nf,x);
    1906             :   }
    1907        2898 :   a = ec_f_evalx(E,x);
    1908        2898 :   b = ec_h_evalx(E,x);
    1909        2898 :   D = gadd(gsqr(b), gmul2n(a,2));
    1910             :   /* solve y*(y+b) = a */
    1911        2898 :   if (gequal0(D)) {
    1912        1141 :     if (ell_get_type(E) == t_ELL_Fq && absequaliu(ellff_get_p(E),2))
    1913           0 :       retmkvec( FF_sqrt(a) );
    1914        1141 :     b = gneg_i(b); y = cgetg(2,t_VEC);
    1915        1141 :     gel(y,1) = gmul2n(b,-1);
    1916        1141 :     return gerepileupto(av,y);
    1917             :   }
    1918             :   /* D != 0 */
    1919        1757 :   switch(ell_get_type(E))
    1920             :   {
    1921          28 :     case t_ELL_Fp: /* imply p!=2 */
    1922          28 :       p = ellff_get_p(E);
    1923          28 :       D = gel(D,2);
    1924          28 :       if (kronecker(D, p) < 0) { set_avma(av); return cgetg(1,t_VEC); }
    1925           7 :       d = Fp_sqrt(D, p);
    1926           7 :       break;
    1927         217 :     case t_ELL_Fq:
    1928         217 :       if (absequaliu(ellff_get_p(E),2))
    1929             :       {
    1930          77 :         GEN F = FFX_roots(mkpoln(3, gen_1, b, a), D);
    1931          77 :         if (lg(F) == 1) { set_avma(av); return cgetg(1,t_VEC); }
    1932          28 :         return gerepileupto(av, F);
    1933             :       }
    1934         140 :       if (!FF_issquareall(D,&d)) { set_avma(av); return cgetg(1,t_VEC); }
    1935         105 :       break;
    1936         966 :     case t_ELL_Q:
    1937         966 :       if (typ(x) == t_COMPLEX) { d = gsqrt(D, prec); break; }
    1938         959 :       if (!issquareall(D,&d)) { set_avma(av); return cgetg(1,t_VEC); }
    1939         644 :       break;
    1940             : 
    1941         525 :     case t_ELL_NF:
    1942             :     {
    1943         525 :       GEN T = mkpoln(3, gen_1, gen_0, gneg(D));
    1944         525 :       setvarn(T, fetch_var_higher());
    1945         525 :       d = nfroots(nf, T);
    1946         525 :       delete_var();
    1947         525 :       if (lg(d) == 1) { set_avma(av); return cgetg(1, t_VEC); }
    1948         511 :       d = gel(d,1);
    1949         511 :       break;
    1950             :     }
    1951             : 
    1952          14 :     case t_ELL_Qp:
    1953          14 :       p = ellQp_get_p(E);
    1954          14 :       D = cvtop(D, p, ellQp_get_prec(E));
    1955          14 :       if (!issquare(D)) { set_avma(av); return cgetg(1,t_VEC); }
    1956          14 :       d = Qp_sqrt(D);
    1957          14 :       break;
    1958             : 
    1959           7 :     default:
    1960           7 :       d = gsqrt(D,prec);
    1961             :   }
    1962        1295 :   a = gsub(d,b); y = cgetg(3,t_VEC);
    1963        1295 :   gel(y,1) = gmul2n(a, -1);
    1964        1295 :   gel(y,2) = gsub(gel(y,1),d);
    1965        1295 :   return gerepileupto(av,y);
    1966             : }
    1967             : 
    1968             : GEN
    1969        2898 : ellordinate(GEN e, GEN x, long prec)
    1970             : {
    1971        2898 :   checkell(e);
    1972        2898 :   if (is_matvec_t(typ(x)))
    1973             :   {
    1974             :     long i, lx;
    1975           0 :     GEN v = cgetg_copy(x, &lx);
    1976           0 :     for (i=1; i<lx; i++) gel(v,i) = ellordinate(e,gel(x,i),prec);
    1977           0 :     return v;
    1978             :   }
    1979        2898 :   return ellordinate_i(e, x, prec);
    1980             : }
    1981             : 
    1982             : GEN
    1983      243978 : ellrandom(GEN E)
    1984             : {
    1985             :   GEN fg;
    1986      243978 :   checkell_Fq(E);
    1987      243978 :   fg = ellff_get_field(E);
    1988      243978 :   if (typ(fg)==t_FFELT)
    1989      243950 :     return FF_ellrandom(E);
    1990             :   else
    1991             :   {
    1992          28 :     pari_sp av = avma;
    1993          28 :     GEN p = fg, e = ellff_get_a4a6(E);
    1994          28 :     GEN P = random_FpE(gel(e,1),gel(e,2),p);
    1995          28 :     P = FpE_to_mod(FpE_changepoint(P,gel(e,3),p),p);
    1996          28 :     return gerepileupto(av, P);
    1997             :   }
    1998             : }
    1999             : 
    2000             : /* n t_QUAD or t_COMPLEX, P != [0] */
    2001             : static GEN
    2002          14 : ellmul_CM(GEN e, GEN P, GEN n)
    2003             : {
    2004          14 :   GEN p1p, q1p, x, y, p0, p1, q0, q1, z1, z2, grdx, b2ov12, N = gnorm(n);
    2005             :   long ln, vn;
    2006             : 
    2007          14 :   if (typ(N) != t_INT)
    2008           0 :     pari_err_TYPE("ellmul (non integral CM exponent)",N);
    2009          14 :   ln = itos_or_0(shifti(addiu(N, 1UL), 3));
    2010          14 :   if (!ln) pari_err_OVERFLOW("ellmul_CM [norm too large]");
    2011          14 :   vn = ((ln>>1)-4)>>2;
    2012          14 :   z1 = ellwpseries(e, 0, ln);
    2013          14 :   z2 = ser_unscale(z1, n);
    2014          14 :   p0 = gen_0; p1 = gen_1;
    2015          14 :   q0 = gen_1; q1 = gen_0;
    2016             :   do
    2017             :   {
    2018          21 :     GEN p2,q2, ss = gen_0;
    2019             :     do
    2020             :     {
    2021          28 :       long ep = (-valp(z2)) >> 1;
    2022          28 :       ss = gadd(ss, gmul(gel(z2,2), pol_xnall(ep, 0)));
    2023          28 :       z2 = gsub(z2, gmul(gel(z2,2), gpowgs(z1, ep)));
    2024             :     }
    2025          28 :     while (valp(z2) <= 0);
    2026          21 :     p2 = gadd(p0, gmul(ss,p1)); p0 = p1; p1 = p2;
    2027          21 :     q2 = gadd(q0, gmul(ss,q1)); q0 = q1; q1 = q2;
    2028          21 :     if (!signe(z2)) break;
    2029           7 :     z2 = ginv(z2);
    2030             :   }
    2031           7 :   while (degpol(p1) < vn);
    2032          14 :   if (degpol(p1) > vn || signe(z2))
    2033           0 :     pari_err_TYPE("ellmul [not a complex multiplication]", n);
    2034          14 :   q1p = RgX_deriv(q1);
    2035          14 :   b2ov12 = gdivgu(ell_get_b2(e), 12);
    2036          14 :   grdx = gadd(gel(P,1), b2ov12); /* x(P) + b2/12 */
    2037          14 :   q1 = poleval(q1, grdx);
    2038          14 :   if (gequal0(q1)) return ellinf();
    2039             : 
    2040          14 :   p1p = RgX_deriv(p1);
    2041          14 :   p1 = poleval(p1, grdx);
    2042          14 :   p1p = poleval(p1p, grdx);
    2043          14 :   q1p = poleval(q1p, grdx);
    2044             : 
    2045          14 :   x = gdiv(p1,q1);
    2046          14 :   y = gdiv(gsub(gmul(p1p,q1), gmul(p1,q1p)), gmul(n,gsqr(q1)));
    2047          14 :   x = gsub(x, b2ov12);
    2048          14 :   y = gsub( gmul(ec_dmFdy_evalQ(e,P), y), ec_h_evalx(e,x));
    2049          14 :   return mkvec2(x, gmul2n(y,-1));
    2050             : }
    2051             : 
    2052             : static GEN
    2053        1120 : _sqr(void *e, GEN x) { return elladd((GEN)e, x, x); }
    2054             : static GEN
    2055         357 : _mul(void *e, GEN x, GEN y) { return elladd((GEN)e, x, y); }
    2056             : 
    2057             : static GEN
    2058      248507 : ellffmul(GEN E, GEN P, GEN n)
    2059             : {
    2060      248507 :   GEN fg = ellff_get_field(E);
    2061      248507 :   if (typ(fg)==t_FFELT)
    2062      247366 :     return FF_ellmul(E, P, n);
    2063             :   else
    2064             :   {
    2065        1141 :     pari_sp av = avma;
    2066        1141 :     GEN p = fg, e = ellff_get_a4a6(E), Q;
    2067        1141 :     GEN Pp = FpE_changepointinv(RgE_to_FpE(P, p), gel(e,3), p);
    2068        1140 :     GEN Qp = FpE_mul(Pp, n, gel(e,1), p);
    2069        1054 :     Q = FpE_to_mod(FpE_changepoint(Qp, gel(e,3), p), p);
    2070        1053 :     return gerepileupto(av, Q);
    2071             :   }
    2072             : }
    2073             : /* [n] z, n integral */
    2074             : static GEN
    2075      249431 : ellmul_Z(GEN e, GEN z, GEN n)
    2076             : {
    2077             :   long s;
    2078      249431 :   if (ell_is_inf(z)) return ellinf();
    2079      249431 :   if (ell_over_Fq(e)) return ellffmul(e,z,n);
    2080         924 :   s = signe(n);
    2081         924 :   if (!s) return ellinf();
    2082         875 :   if (s < 0) z = ellneg_i(e,z);
    2083         875 :   if (is_pm1(n)) return z;
    2084         686 :   return gen_pow(z, n, (void*)e, &_sqr, &_mul);
    2085             : }
    2086             : 
    2087             : /* x a t_REAL, try to round it to an integer */
    2088             : enum { OK, LOW_PREC, NO };
    2089             : static long
    2090          42 : myroundr(GEN *px)
    2091             : {
    2092          42 :   GEN x = *px;
    2093             :   long e;
    2094          42 :   if (bit_prec(x) - expo(x) < 5) return LOW_PREC;
    2095          42 :   *px = grndtoi(x, &e);
    2096          42 :   if (e >= -5) return NO;
    2097          42 :   return OK;
    2098             : }
    2099             : 
    2100             : /* E has CM by Q, t_COMPLEX or t_QUAD. Return q such that E has CM by Q/q
    2101             :  * or gen_1 (couldn't find q > 1)
    2102             :  * or NULL (doesn't have CM by Q) */
    2103             : static GEN
    2104          14 : CM_factor(GEN E, GEN Q)
    2105             : {
    2106             :   GEN w, tau, D, v, x, y, F, dF, q, r, fk, fkb, fkc;
    2107             :   long prec;
    2108             : 
    2109          14 :   if (ell_get_type(E) != t_ELL_Q) return gen_1;
    2110          14 :   switch(typ(Q))
    2111             :   {
    2112           0 :     case t_COMPLEX:
    2113           0 :       D = utoineg(4);
    2114           0 :       v = gel(Q,2);
    2115           0 :       break;
    2116          14 :     case t_QUAD:
    2117          14 :       D = quad_disc(Q);
    2118          14 :       v = gel(Q,3);
    2119          14 :       break;
    2120           0 :     default:
    2121           0 :       return NULL; /*-Wall*/
    2122             :   }
    2123             :   /* disc Q = v^2 D, D < 0 fundamental */
    2124          14 :   w = ellR_omega(E, DEFAULTPREC + nbits2nlong(expi(D)));
    2125          14 :   tau = gdiv(gel(w,2), gel(w,1));
    2126          14 :   prec = precision(tau);
    2127             :   /* disc tau = -4 k^2 (Im tau)^2 for some integral k
    2128             :    * Assuming that E has CM by Q, then disc Q / disc tau = f^2 is a square.
    2129             :    * Compute f*k */
    2130          14 :   x = gel(tau,1);
    2131          14 :   y = gel(tau,2); /* tau = x + Iy */
    2132          14 :   fk = gmul(gdiv(v, gmul2n(y, 1)), sqrtr_abs(itor(D, prec)));
    2133          14 :   switch(myroundr(&fk))
    2134             :   {
    2135           0 :     case NO: return NULL;
    2136           0 :     case LOW_PREC: return gen_1;
    2137             :   }
    2138          14 :   fk = absi_shallow(fk);
    2139             : 
    2140          14 :   fkb = gmul(fk, gmul2n(x,1));
    2141          14 :   switch(myroundr(&fkb))
    2142             :   {
    2143           0 :     case NO: return NULL;
    2144           0 :     case LOW_PREC: return gen_1;
    2145             :   }
    2146             : 
    2147          14 :   fkc = gmul(fk, cxnorm(tau));
    2148          14 :   switch(myroundr(&fkc))
    2149             :   {
    2150           0 :     case NO: return NULL;
    2151           0 :     case LOW_PREC: return gen_1;
    2152             :   }
    2153             : 
    2154             :   /* tau is a root of fk (X^2 - b X + c) \in Z[X],  */
    2155          14 :   F = Q_primpart(mkvec3(fk, fkb, fkc));
    2156          14 :   dF = qfb_disc3(gel(F,1), gel(F,2), gel(F,3));
    2157             :   /* = disc tau, E has CM by orders of disc dF q^2, all q */
    2158          14 :   q = dvmdii(dF, D, &r);
    2159          14 :   if (r != gen_0 || !Z_issquareall(q, &q)) return NULL;
    2160             :   /* disc(Q) = disc(tau) (v / q)^2 */
    2161          14 :   v = dvmdii(absi_shallow(v), q, &r);
    2162          14 :   if (r != gen_0) return NULL;
    2163          14 :   return is_pm1(v)? gen_1: v; /* E has CM by Q/q: [Q] = [q] o [Q/q] */
    2164             : }
    2165             : 
    2166             : /* [a + w] z, a integral, w pure imaginary */
    2167             : static GEN
    2168          14 : ellmul_CM_aux(GEN e, GEN z, GEN a, GEN w)
    2169             : {
    2170             :   GEN A, B, q;
    2171          14 :   if (typ(a) != t_INT) pari_err_TYPE("ellmul_Z",a);
    2172          14 :   q = CM_factor(e, w);
    2173          14 :   if (!q) pari_err_TYPE("ellmul [not a complex multiplication]",w);
    2174          14 :   if (q != gen_1) w = gdiv(w, q);
    2175             :   /* compute [a + q w] z, z has CM by w */
    2176          14 :   if (typ(w) == t_QUAD && is_pm1(gel(gel(w,1), 3)))
    2177             :   { /* replace w by w - u, u in Z, so that N(w-u) is minimal
    2178             :      * N(w - u) = N w - Tr w u + u^2, minimal for u = Tr w / 2 */
    2179           7 :     GEN u = gtrace(w);
    2180           7 :     if (typ(u) != t_INT) pari_err_TYPE("ellmul_CM",w);
    2181           7 :     u = shifti(u, -1);
    2182           7 :     if (signe(u))
    2183             :     {
    2184           0 :       w = gsub(w, u);
    2185           0 :       a = addii(a, mulii(q,u));
    2186             :     }
    2187             :     /* [a + w]z = [(a + qu)] z + [q] [(w - u)] z */
    2188             :   }
    2189          14 :   A = ellmul_Z(e,z,a);
    2190          14 :   B = ellmul_CM(e,z,w);
    2191          14 :   if (q != gen_1) B = ellmul_Z(e, B, q);
    2192          14 :   return elladd(e, A, B);
    2193             : }
    2194             : GEN
    2195      249494 : ellmul(GEN e, GEN z, GEN n)
    2196             : {
    2197      249494 :   pari_sp av = avma;
    2198             : 
    2199      249494 :   checkell(e); checkellpt(z);
    2200      249487 :   if (ell_is_inf(z)) return ellinf();
    2201      249431 :   switch(typ(n))
    2202             :   {
    2203      249417 :     case t_INT: return gerepilecopy(av, ellmul_Z(e,z,n));
    2204          14 :     case t_QUAD: {
    2205          14 :       GEN pol = gel(n,1), a = gel(n,2), b = gel(n,3);
    2206          14 :       if (signe(gel(pol,2)) < 0) pari_err_TYPE("ellmul_CM",n); /* disc > 0 ? */
    2207          14 :       return gerepileupto(av, ellmul_CM_aux(e,z,a,mkquad(pol, gen_0,b)));
    2208             :     }
    2209           0 :     case t_COMPLEX: {
    2210           0 :       GEN a = gel(n,1), b = gel(n,2);
    2211           0 :       return gerepileupto(av, ellmul_CM_aux(e,z,a,mkcomplex(gen_0,b)));
    2212             :     }
    2213             :   }
    2214           0 :   pari_err_TYPE("ellmul (non integral, non CM exponent)",n);
    2215             :   return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
    2216             : }
    2217             : 
    2218             : /********************************************************************/
    2219             : /**                                                                **/
    2220             : /**                       Periods                                  **/
    2221             : /**                                                                **/
    2222             : /********************************************************************/
    2223             : 
    2224             : /* References:
    2225             :   The complex AGM, periods of elliptic curves over C and complex elliptic logarithms
    2226             :   John E. Cremona, Thotsaphon Thongjunthug, arXiv:1011.0914
    2227             : */
    2228             : 
    2229             : static GEN
    2230        4832 : ellomega_agm(GEN a, GEN b, GEN c, long prec)
    2231             : {
    2232        4832 :   GEN pi = mppi(prec), mIpi = mkcomplex(gen_0, negr(pi));
    2233        4832 :   GEN Mac = agm(a,c,prec), Mbc = agm(b,c,prec);
    2234        4832 :   retmkvec2(gdiv(pi, Mac), gdiv(mIpi, Mbc));
    2235             : }
    2236             : 
    2237             : static GEN
    2238        3319 : ellomega_cx(GEN E, long prec)
    2239             : {
    2240        3319 :   pari_sp av = avma;
    2241        3319 :   GEN roots = ellR_roots(E, prec + EXTRAPRECWORD);
    2242        3319 :   GEN d1=gel(roots,4), d2=gel(roots,5), d3=gel(roots,6);
    2243        3319 :   GEN a = gsqrt(d3,prec), b = gsqrt(d1,prec), c = gsqrt(d2,prec);
    2244        3319 :   return gerepileupto(av, ellomega_agm(a,b,c,prec));
    2245             : }
    2246             : 
    2247             : /* return [w1,w2] for E / R; w1 > 0 is real.
    2248             :  * If e.disc > 0, w2 = -I r; else w2 = w1/2 - I r, for some real r > 0.
    2249             :  * => tau = w1/w2 is in upper half plane */
    2250             : static GEN
    2251        4832 : doellR_omega(GEN E, long prec)
    2252             : {
    2253        4832 :   pari_sp av = avma;
    2254             :   GEN roots, d2, z, a, b, c;
    2255        4832 :   if (ellR_get_sign(E) >= 0) return ellomega_cx(E,prec);
    2256        1513 :   roots = ellR_roots(E,prec + EXTRAPRECWORD);
    2257        1513 :   d2 = gel(roots,5);
    2258        1513 :   z = gsqrt(d2,prec); /* imag(e1-e3) > 0, so that b > 0*/
    2259        1513 :   a = gel(z,1); /* >= 0 */
    2260        1513 :   b = gel(z,2);
    2261        1513 :   c = gabs(z, prec);
    2262        1513 :   z = ellomega_agm(a,b,c,prec);
    2263        1513 :   return gerepilecopy(av, mkvec2(gel(z,1),gmul2n(gadd(gel(z,1),gel(z,2)),-1)));
    2264             : }
    2265             : static GEN
    2266          70 : doellR_eta(GEN E, long prec)
    2267          70 : { GEN w = ellR_omega(E, prec + EXTRAPRECWORD); return elleta(w, prec); }
    2268             : 
    2269             : GEN
    2270        7252 : ellR_omega(GEN E, long prec)
    2271        7252 : { return obj_checkbuild_realprec(E, R_PERIODS, &doellR_omega, prec); }
    2272             : GEN
    2273          84 : ellR_eta(GEN E, long prec)
    2274          84 : { return obj_checkbuild_realprec(E, R_ETA, &doellR_eta, prec); }
    2275             : GEN
    2276       31747 : ellR_roots(GEN E, long prec)
    2277       31747 : { return obj_checkbuild_realprec(E, R_ROOTS, &doellR_roots, prec); }
    2278             : 
    2279             : GEN
    2280        2450 : ellR_area(GEN E, long prec)
    2281             : {
    2282        2450 :   pari_sp av = avma;
    2283             :   GEN w, w1, w2, a,b,c,d;
    2284        2450 :   w = ellR_omega(E, prec);
    2285        2450 :   w1 = gel(w,1); a = real_i(w1); b = imag_i(w1);
    2286        2450 :   w2 = gel(w,2); c = real_i(w2); d = imag_i(w2);
    2287        2450 :   return gerepileupto(av, gabs(gsub(gmul(a,d),gmul(b,c)), prec));
    2288             : }
    2289             : 
    2290             : /********************************************************************/
    2291             : /**                                                                **/
    2292             : /**                       ELLIPTIC FUNCTIONS                       **/
    2293             : /**                                                                **/
    2294             : /********************************************************************/
    2295             : /* P = [x,0] is 2-torsion on y^2 = g(x). Return w1/2, (w1+w2)/2, or w2/2
    2296             :  * depending on whether x is closest to e1,e2, or e3, the 3 complex root of g */
    2297             : static GEN
    2298          14 : zell_closest_0(GEN om, GEN x, GEN ro)
    2299             : {
    2300          14 :   GEN e1 = gel(ro,1), e2 = gel(ro,2), e3 = gel(ro,3);
    2301          14 :   GEN d1 = gnorm(gsub(x,e1));
    2302          14 :   GEN d2 = gnorm(gsub(x,e2));
    2303          14 :   GEN d3 = gnorm(gsub(x,e3));
    2304          14 :   GEN z = gel(om,2);
    2305          14 :   if (gcmp(d1, d2) <= 0)
    2306           0 :   { if (gcmp(d1, d3) <= 0) z = gel(om,1); }
    2307             :   else
    2308          14 :   { if (gcmp(d2, d3)<=0) z = gadd(gel(om,1),gel(om,2)); }
    2309          14 :   return gmul2n(z, -1);
    2310             : }
    2311             : 
    2312             : static GEN
    2313          35 : zellcx(GEN E, GEN P, long prec)
    2314             : {
    2315          35 :   GEN R = ellR_roots(E, prec+EXTRAPRECWORD);
    2316          35 :   GEN x0 = gel(P,1), y0 = ec_dmFdy_evalQ(E,P);
    2317          35 :   if (gequal0(y0))
    2318           0 :     return zell_closest_0(ellomega_cx(E,prec),x0,R);
    2319             :   else
    2320             :   {
    2321          35 :     GEN e2 = gel(R,2), e3 = gel(R,3), d2 = gel(R,5), d3 = gel(R,6);
    2322          35 :     GEN a = gsqrt(d2,prec), b = gsqrt(d3,prec);
    2323          35 :     GEN r = gsqrt(gdiv(gsub(x0,e3), gsub(x0,e2)),prec);
    2324          35 :     GEN t = gdiv(gneg(y0), gmul2n(gmul(r,gsub(x0,e2)),1));
    2325          35 :     GEN ar = real_i(a), br = real_i(b), ai = imag_i(a), bi = imag_i(b);
    2326             :     /* |a+b| < |a-b| */
    2327          35 :     if (gcmp(gmul(ar,br), gneg(gmul(ai,bi))) < 0) b = gneg(b);
    2328          35 :     return zellagmcx(a,b,r,t,prec);
    2329             :   }
    2330             : }
    2331             : 
    2332             : /* Assume E/R, disc E < 0, and P \in E(R) ==> z \in R */
    2333             : static GEN
    2334           7 : zellrealneg(GEN E, GEN P, long prec)
    2335             : {
    2336           7 :   GEN x0 = gel(P,1), y0 = ec_dmFdy_evalQ(E,P);
    2337           0 :   if (gequal0(y0)) return gmul2n(gel(ellR_omega(E,prec),1),-1);
    2338             :   else
    2339             :   {
    2340           0 :     GEN R = ellR_roots(E, prec+EXTRAPRECWORD);
    2341           0 :     GEN d2 = gel(R,5), e3 = gel(R,3);
    2342           0 :     GEN a = gsqrt(d2,prec);
    2343           0 :     GEN z = gsqrt(gsub(x0,e3), prec);
    2344           0 :     GEN ar = real_i(a), zr = real_i(z), ai = imag_i(a), zi = imag_i(z);
    2345           0 :     GEN t = gdiv(gneg(y0), gmul2n(gnorm(z),1));
    2346           0 :     GEN r2 = ginv(gsqrt(gaddsg(1,gdiv(gmul(ai,zi),gmul(ar,zr))),prec));
    2347           0 :     return zellagmcx(ar,gabs(a,prec),r2,gmul(t,r2),prec);
    2348             :   }
    2349             : }
    2350             : 
    2351             : /* Assume E/R, disc E > 0, and P \in E(R) */
    2352             : static GEN
    2353          28 : zellrealpos(GEN E, GEN P, long prec)
    2354             : {
    2355          28 :   GEN R = ellR_roots(E, prec+EXTRAPRECWORD);
    2356          28 :   GEN d2,d3,e1,e2,e3, a,b, x0 = gel(P,1), y0 = ec_dmFdy_evalQ(E,P);
    2357          28 :   if (gequal0(y0)) return zell_closest_0(ellR_omega(E,prec), x0,R);
    2358          14 :   e1 = gel(R,1);
    2359          14 :   e2 = gel(R,2);
    2360          14 :   e3 = gel(R,3);
    2361          14 :   d2 = gel(R,5);
    2362          14 :   d3 = gel(R,6);
    2363          14 :   a = gsqrt(d2,prec);
    2364          14 :   b = gsqrt(d3,prec);
    2365          14 :   if (gcmp(x0,e1)>0) {
    2366           7 :     GEN r = gsqrt(gdiv(gsub(x0,e3), gsub(x0,e2)),prec);
    2367           7 :     GEN t = gdiv(gneg(y0), gmul2n(gmul(r,gsub(x0,e2)),1));
    2368           7 :     return zellagmcx(a,b,r,t,prec);
    2369             :   } else {
    2370           7 :     GEN om = ellR_omega(E,prec);
    2371           7 :     GEN r = gdiv(a,gsqrt(gsub(e1,x0),prec));
    2372           7 :     GEN t = gdiv(gmul(r,y0),gmul2n(gsub(x0,e3),1));
    2373           7 :     return gsub(zellagmcx(a,b,r,t,prec),gmul2n(gel(om,2),-1));
    2374             :   }
    2375             : }
    2376             : 
    2377             : static void
    2378          21 : ellQp_P2t_err(GEN E, GEN z)
    2379             : {
    2380          21 :   if (typ(ellQp_u(E,1)) == t_POLMOD)
    2381          21 :     pari_err_IMPL("ellpointtoz when u not in Qp");
    2382           0 :   pari_err_DOMAIN("ellpointtoz", "point", "not on", strtoGENstr("E"),z);
    2383           0 : }
    2384             : static GEN
    2385         189 : get_r0(GEN E, long prec)
    2386             : {
    2387         189 :   GEN b2 = ell_get_b2(E), e1 = ellQp_root(E, prec);
    2388         189 :   return gadd(e1,gmul2n(b2,-2));
    2389             : }
    2390             : static GEN
    2391         140 : ellQp_P2t(GEN E, GEN P, long prec)
    2392             : {
    2393         140 :   pari_sp av = avma;
    2394             :   GEN a, b, ab, c0, r0, ar, r, x, delta, x1, y1, t, u, q;
    2395             :   long vq, vt, Q, R;
    2396         140 :   if (ell_is_inf(P)) return gen_1;
    2397         133 :   ab = ellQp_ab(E, prec); a = gel(ab,1); b = gel(ab,2);
    2398         133 :   u = ellQp_u(E, prec);
    2399         133 :   q = ellQp_q(E, prec);
    2400         133 :   x = gel(P,1);
    2401         133 :   r0 = get_r0(E, prec);
    2402         133 :   c0 = gadd(x, gmul2n(r0,-1));
    2403         133 :   if (typ(c0) != t_PADIC || !is_scalar_t(typ(gel(P,2))))
    2404          14 :     pari_err_TYPE("ellpointtoz",P);
    2405         119 :   r = gsub(a,b);
    2406         119 :   ar = gmul(a, r);
    2407         119 :   if (gequal0(c0))
    2408             :   {
    2409           7 :     x1 = Qp_sqrt(gneg(ar));
    2410           7 :     if (!x1) ellQp_P2t_err(E,P);
    2411             :   }
    2412             :   else
    2413             :   {
    2414         112 :     delta = gdiv(ar, gsqr(c0));
    2415         112 :     t = Qp_sqrt(gsubsg(1,gmul2n(delta,2)));
    2416         112 :     if (!t) ellQp_P2t_err(E,P);
    2417         105 :     x1 = gmul(gmul2n(c0,-1), gaddsg(1,t));
    2418             :   }
    2419         112 :   y1 = gsubsg(1, gdiv(ar, gsqr(x1)));
    2420         112 :   if (gequal0(y1))
    2421             :   {
    2422          14 :     y1 = Qp_sqrt(gmul(x1, gmul(gadd(x1, a), gadd(x1, r))));
    2423          14 :     if (!y1) ellQp_P2t_err(E,P);
    2424             :   }
    2425             :   else
    2426          98 :     y1 = gdiv(gmul2n(ec_dmFdy_evalQ(E,P), -1), y1);
    2427          98 :   Qp_descending_Landen(ellQp_AGM(E,prec), &x1,&y1);
    2428             : 
    2429          98 :   t = gmul(u, gmul2n(y1,1)); /* 2u y_oo */
    2430          98 :   t = gdiv(gsub(t, x1), gadd(t, x1));
    2431             :   /* Reduce mod q^Z: we want 0 <= v(t) < v(q) */
    2432          98 :   if (typ(t) == t_PADIC)
    2433          56 :     vt = valp(t);
    2434             :   else
    2435          42 :     vt = valp(gnorm(t)) / 2; /* v(t) = v(Nt) / (e*f) */
    2436          98 :   vq = valp(q); /* > 0 */
    2437          98 :   Q = vt / vq; R = vt % vq; if (R < 0) Q--;
    2438          98 :   if (Q) t = gdiv(t, gpowgs(q,Q));
    2439          98 :   if (padicprec_relative(t) > prec) t = gprec(t, prec);
    2440          98 :   return gerepileupto(av, t);
    2441             : }
    2442             : 
    2443             : static GEN
    2444          56 : ellQp_t2P(GEN E, GEN t, long prec)
    2445             : {
    2446          56 :   pari_sp av = avma;
    2447             :   GEN AB, A, R, x0,x1, y0,y1, u, u2, r0, s0, ar;
    2448             :   long v;
    2449          56 :   if (gequal1(t)) return ellinf();
    2450             : 
    2451          56 :   AB = ellQp_AGM(E,prec); A = gel(AB,1); R = gel(AB,3); v = itos(gel(AB,4));
    2452          56 :   u = ellQp_u(E,prec);
    2453          56 :   u2= ellQp_u2(E,prec);
    2454          56 :   x1 = gdiv(t, gmul(u2, gsqr(gsubsg(1,t))));
    2455          56 :   y1 = gdiv(gmul(x1,gaddsg(1,t)), gmul(gmul2n(u,1),gsubsg(1,t)));
    2456          56 :   Qp_ascending_Landen(AB, &x1,&y1);
    2457          56 :   r0 = get_r0(E, prec);
    2458             : 
    2459          56 :   ar = gmul(gel(A,1), gel(R,1)); setvalp(ar, valp(ar)+v);
    2460          56 :   x0 = gsub(gadd(x1, gdiv(ar, x1)), gmul2n(r0,-1));
    2461          56 :   s0 = gmul2n(ec_h_evalx(E, x0), -1);
    2462          56 :   y0 = gsub(gmul(y1, gsubsg(1, gdiv(ar,gsqr(x1)))), s0);
    2463          56 :   return gerepilecopy(av, mkvec2(x0,y0));
    2464             : }
    2465             : 
    2466             : static GEN
    2467          70 : zell_i(GEN e, GEN z, long prec)
    2468             : {
    2469             :   GEN t;
    2470             :   long s;
    2471          70 :   (void)ellR_omega(e, prec); /* type checking */
    2472          70 :   if (ell_is_inf(z)) return gen_0;
    2473          70 :   s = ellR_get_sign(e);
    2474          70 :   if (s && typ(gel(z,1))!=t_COMPLEX && typ(gel(z,2))!=t_COMPLEX)
    2475          35 :     t = (s < 0)? zellrealneg(e,z,prec): zellrealpos(e,z,prec);
    2476             :   else
    2477          35 :     t = zellcx(e,z,prec);
    2478          63 :   return t;
    2479             : }
    2480             : static GEN ellnfembed(GEN E, long prec);
    2481             : static GEN ellpointnfembed(GEN E, GEN P, long prec);
    2482             : static void ellnfembed_free(GEN L);
    2483             : GEN
    2484         203 : zell(GEN E, GEN P, long prec)
    2485             : {
    2486         203 :   pari_sp av = avma;
    2487         203 :   checkell(E); checkellpt(P);
    2488         203 :   switch(ell_get_type(E))
    2489             :   {
    2490         140 :     case t_ELL_Qp:
    2491         140 :       prec = minss(ellQp_get_prec(E), padicprec_relative(P));
    2492         140 :       return ellQp_P2t(E, P, prec);
    2493           7 :     case t_ELL_NF:
    2494             :     {
    2495           7 :       GEN Ee = ellnfembed(E, prec), Pe = ellpointnfembed(E, P, prec);
    2496           7 :       long i, l = lg(Pe);
    2497          21 :       for (i = 1; i < l; i++) gel(Pe,i) = zell_i(gel(Ee,i), gel(Pe,i), prec);
    2498           7 :       ellnfembed_free(Ee); return gerepilecopy(av, Pe);
    2499             :     }
    2500          21 :     case t_ELL_Q: break;
    2501          35 :     case t_ELL_Rg: break;
    2502           0 :     default: pari_err_TYPE("ellpointtoz", E);
    2503             :   }
    2504          56 :   return gerepileupto(av, zell_i(E, P, prec));
    2505             : }
    2506             : 
    2507             : enum period_type { t_PER_W, t_PER_WETA, t_PER_ELL };
    2508             : /* normalization / argument reduction for ellptic functions */
    2509             : typedef struct {
    2510             :   enum period_type type;
    2511             :   GEN in; /* original input */
    2512             :   GEN w1,w2,tau; /* original basis for L = <w1,w2> = w2 <1,tau> */
    2513             :   GEN W1,W2,Tau; /* new basis for L = <W1,W2> = W2 <1,tau> */
    2514             :   GEN a,b,c,d; /* t_INT; tau in F = h/Sl2, tau = g.t, g=[a,b;c,d] in SL(2,Z) */
    2515             :   GEN z,Z; /* z/w2 defined mod <1,tau>, Z = z/w2 + x*tau+y reduced mod <1,tau>*/
    2516             :   GEN x,y; /* t_INT */
    2517             :   int swap; /* 1 if we swapped w1 and w2 */
    2518             :   int some_q_is_real; /* exp(2iPi g.tau) for some g \in SL(2,Z) */
    2519             :   int some_z_is_real; /* z + xw1 + yw2 is real for some x,y \in Z */
    2520             :   int some_z_is_pure_imag; /* z + xw1 + yw2 in i*R */
    2521             :   int q_is_real; /* exp(2iPi tau) \in R */
    2522             :   int abs_u_is_1; /* |exp(2iPi Z)| = 1 */
    2523             :   long prec; /* precision(Z) */
    2524             :   long prec0; /* required precision for result */
    2525             : } ellred_t;
    2526             : 
    2527             : /* compute g in SL_2(Z), g.t is in the usual
    2528             :    fundamental domain. Internal function no check, no garbage. */
    2529             : static void
    2530       24682 : set_gamma(GEN *pt, GEN *pa, GEN *pb, GEN *pc, GEN *pd)
    2531             : {
    2532       24682 :   GEN a, b, c, d, t, t0 = *pt, run = dbltor(1. - 1e-8);
    2533       24682 :   long e = gexpo(gel(t0,2));
    2534       24682 :   if (e < 0) t0 = gprec_wensure(t0, precision(t0)+nbits2extraprec(-e));
    2535       24682 :   t = t0;
    2536       24682 :   a = d = gen_1;
    2537       24682 :   b = c = gen_0;
    2538             :   for(;;)
    2539       22015 :   {
    2540       46697 :     GEN m, n = ground(gel(t,1));
    2541       46697 :     if (signe(n))
    2542             :     { /* apply T^n */
    2543       27647 :       t = gsub(t,n);
    2544       27647 :       a = subii(a, mulii(n,c));
    2545       27647 :       b = subii(b, mulii(n,d));
    2546             :     }
    2547       46697 :     m = cxnorm(t); if (gcmp(m,run) > 0) break;
    2548       22015 :     t = gneg_i(gdiv(conj_i(t), m)); /* apply S */
    2549       22015 :     togglesign_safe(&c); swap(a,c);
    2550       22015 :     togglesign_safe(&d); swap(b,d);
    2551             :   }
    2552       24682 :   if (e < 0 && (signe(b) || signe(c))) *pt = t0;
    2553       24682 :   *pa = a; *pb = b; *pc = c; *pd = d;
    2554       24682 : }
    2555             : /* Im z > 0. Return U.z in PSl2(Z)'s standard fundamental domain.
    2556             :  * Set *pU to U. */
    2557             : GEN
    2558        9149 : cxredsl2_i(GEN z, GEN *pU, GEN *czd)
    2559             : {
    2560             :   GEN a,b,c,d;
    2561        9149 :   set_gamma(&z, &a, &b, &c, &d);
    2562        9149 :   *pU = mkmat2(mkcol2(a,c), mkcol2(b,d));
    2563        9149 :   *czd = gadd(gmul(c,z), d);
    2564        9149 :   return gdiv(gadd(gmul(a,z), b), *czd);
    2565             : }
    2566             : GEN
    2567        9114 : cxredsl2(GEN t, GEN *pU)
    2568             : {
    2569        9114 :   pari_sp av = avma;
    2570             :   GEN czd;
    2571        9114 :   t = cxredsl2_i(t, pU, &czd);
    2572        9114 :   return gc_all(av, 2, &t, pU);
    2573             : }
    2574             : 
    2575             : /* swap w1, w2 so that Im(t := w1/w2) > 0. Set tau = representative of t in
    2576             :  * the standard fundamental domain, and g in Sl_2, such that tau = g.t */
    2577             : static void
    2578       15533 : red_modSL2(ellred_t *T, long prec)
    2579             : {
    2580             :   long s, p;
    2581       15533 :   T->tau = gdiv(T->w1,T->w2);
    2582       15533 :   if (isintzero(real_i(T->tau))) T->some_q_is_real = 1;
    2583       15533 :   s = gsigne(imag_i(T->tau));
    2584       15533 :   if (!s) pari_err_DOMAIN("elliptic function", "det(w1,w2)", "=", gen_0,
    2585             :                           mkvec2(T->w1,T->w2));
    2586       15533 :   T->swap = (s < 0);
    2587       15533 :   if (T->swap) { swap(T->w1, T->w2); T->tau = ginv(T->tau); }
    2588       15533 :   p = precision(T->tau); T->prec0 = p? p: prec;
    2589       15533 :   set_gamma(&T->tau, &T->a, &T->b, &T->c, &T->d);
    2590             :   /* update lattice */
    2591       15533 :   p = precision(T->tau);
    2592       15533 :   if (p)
    2593             :   {
    2594       15155 :     T->w1 = gprec_wensure(T->w1, p);
    2595       15155 :     T->w2 = gprec_wensure(T->w2, p);
    2596             :   }
    2597       15533 :   T->W1 = gadd(gmul(T->a,T->w1), gmul(T->b,T->w2));
    2598       15533 :   T->W2 = gadd(gmul(T->c,T->w1), gmul(T->d,T->w2));
    2599       15533 :   T->Tau = gdiv(T->W1, T->W2);
    2600       15533 :   if (isintzero(real_i(T->Tau))) T->some_q_is_real = T->q_is_real = 1;
    2601       15533 :   p = precision(T->Tau); T->prec = p? p: prec;
    2602       15533 : }
    2603             : /* is z real or pure imaginary ? */
    2604             : static void
    2605       17514 : check_complex(GEN z, int *real, int *imag)
    2606             : {
    2607       17514 :   if (typ(z) != t_COMPLEX)      { *real = 1; *imag = 0; }
    2608       11655 :   else if (isintzero(gel(z,1))) { *real = 0; *imag = 1; }
    2609       10682 :   else *real = *imag = 0;
    2610       17514 : }
    2611             : static void
    2612       10857 : reduce_z(GEN z, ellred_t *T)
    2613             : {
    2614             :   GEN x, Z;
    2615             :   long p, e;
    2616       10857 :   switch(typ(z))
    2617             :   {
    2618       10857 :     case t_INT: case t_REAL: case t_FRAC: case t_COMPLEX: break;
    2619           0 :     case t_QUAD:
    2620           0 :       z = isexactzero(gel(z,2))? gel(z,1): quadtofp(z, T->prec);
    2621           0 :       break;
    2622           0 :     default: pari_err_TYPE("reduction mod 2-dim lattice (reduce_z)", z);
    2623             :   }
    2624       10857 :   Z = gdiv(z, T->W2);
    2625       10857 :   T->z = z;
    2626       10857 :   x = gdiv(imag_i(Z), imag_i(T->Tau));
    2627       10857 :   T->x = grndtoi(x, &e); /* |Im(Z - x*Tau)| <= Im(Tau)/2 */
    2628             :   /* Avoid Im(Z) << 0; take 0 <= Im(Z - x*Tau) < Im(Tau) instead.
    2629             :    * Leave round when Im(Z - x*Tau) ~ 0 to allow detecting Z in <1,Tau>
    2630             :    * at the end */
    2631       10857 :   if (e > -10) T->x = gfloor(x);
    2632       10857 :   if (signe(T->x)) Z = gsub(Z, gmul(T->x,T->Tau));
    2633       10857 :   T->y = ground(real_i(Z));/* |Re(Z - y)| <= 1/2 */
    2634       10857 :   if (signe(T->y)) Z = gsub(Z, T->y);
    2635       10857 :   T->abs_u_is_1 = (typ(Z) != t_COMPLEX);
    2636             :   /* Z = - y - x tau + z/W2, x,y integers */
    2637       10857 :   check_complex(z, &(T->some_z_is_real), &(T->some_z_is_pure_imag));
    2638       10857 :   if (!T->some_z_is_real && !T->some_z_is_pure_imag)
    2639             :   {
    2640             :     int W2real, W2imag;
    2641        5334 :     check_complex(T->W2,&W2real,&W2imag);
    2642        5334 :     if (W2real)
    2643         399 :       check_complex(Z, &(T->some_z_is_real), &(T->some_z_is_pure_imag));
    2644        4935 :     else if (W2imag)
    2645         854 :       check_complex(Z, &(T->some_z_is_pure_imag), &(T->some_z_is_real));
    2646             :   }
    2647       10857 :   p = precision(Z);
    2648       10857 :   if (gequal0(Z) || (p && gexpo(Z) < 5 - prec2nbits(p))) Z = NULL; /*z in L*/
    2649       10857 :   if (p && p < T->prec) T->prec = p;
    2650       10857 :   T->Z = Z;
    2651       10857 : }
    2652             : /* return x.eta1 + y.eta2 */
    2653             : static GEN
    2654        8918 : eta_correction(ellred_t *T, GEN eta)
    2655             : {
    2656        8918 :   GEN y1 = NULL, y2 = NULL;
    2657        8918 :   if (signe(T->x)) y1 = gmul(T->x, gel(eta,1));
    2658        8918 :   if (signe(T->y)) y2 = gmul(T->y, gel(eta,2));
    2659        8918 :   if (!y1) return y2? y2: gen_0;
    2660        6685 :   return y2? gadd(y1, y2): y1;
    2661             : }
    2662             : /* e is either
    2663             :  * - [w1,w2]
    2664             :  * - [[w1,w2],[eta1,eta2]]
    2665             :  * - an ellinit structure */
    2666             : static void
    2667       15533 : compute_periods(ellred_t *T, GEN z, long prec)
    2668             : {
    2669             :   GEN w, e;
    2670       15533 :   T->q_is_real = 0;
    2671       15533 :   T->some_q_is_real = 0;
    2672       15533 :   switch(T->type)
    2673             :   {
    2674        1988 :     case t_PER_ELL:
    2675             :     {
    2676        1988 :       long pr, p = prec;
    2677        1988 :       if (z && (pr = precision(z))) p = pr;
    2678        1988 :       e = T->in;
    2679        1988 :       w = ellR_omega(e, p);
    2680        1988 :       T->some_q_is_real = T->q_is_real = 1;
    2681        1988 :       break;
    2682             :     }
    2683       13363 :     case t_PER_W:
    2684       13363 :       w = T->in; break;
    2685         182 :     default: /*t_PER_WETA*/
    2686         182 :       w = gel(T->in,1); break;
    2687             :   }
    2688       15533 :   T->w1 = gel(w,1);
    2689       15533 :   T->w2 = gel(w,2);
    2690       15533 :   red_modSL2(T, prec);
    2691       15533 :   if (z) reduce_z(z, T);
    2692       15533 : }
    2693             : static int
    2694       15540 : check_periods(GEN e, ellred_t *T)
    2695             : {
    2696             :   GEN w1;
    2697       15540 :   if (typ(e) != t_VEC) return 0;
    2698       15540 :   T->in = e;
    2699       15540 :   switch(lg(e))
    2700             :   {
    2701        1995 :     case 17:
    2702        1995 :       T->type = t_PER_ELL;
    2703        1995 :       break;
    2704       13545 :     case 3:
    2705       13545 :       w1 = gel(e,1);
    2706       13545 :       if (typ(w1) != t_VEC)
    2707       13363 :         T->type = t_PER_W;
    2708             :       else
    2709             :       {
    2710         182 :         if (lg(w1) != 3) return 0;
    2711         182 :         T->type = t_PER_WETA;
    2712             :       }
    2713       13545 :       break;
    2714           0 :     default: return 0;
    2715             :   }
    2716       15540 :   return 1;
    2717             : }
    2718             : static int
    2719       15456 : get_periods(GEN e, GEN z, ellred_t *T, long prec)
    2720             : {
    2721       15456 :   if (!check_periods(e, T)) return 0;
    2722       15456 :   compute_periods(T, z, prec); return 1;
    2723             : }
    2724             : 
    2725             : /* 2iPi/x, more efficient when x pure imaginary */
    2726             : static GEN
    2727       24514 : PiI2div(GEN x, long prec) { return gdiv(Pi2n(1, prec), mulcxmI(x)); }
    2728             : /* (2iPi/W2)^k E_k(W1/W2) */
    2729             : static GEN
    2730       13594 : _elleisnum(ellred_t *T, long k)
    2731             : {
    2732       13594 :   GEN z = gmul(cxEk(T->Tau, k, T->prec), gpowgs(PiI2div(T->W2, T->prec), k));
    2733       13594 :   return cxtoreal(z);
    2734             : }
    2735             : 
    2736             : /* Return (2iPi)^k E_k(L) = (2iPi/w2)^k E_k(tau), with L = <w1,w2>, k > 0 even
    2737             :  * E_k(tau) = 1 + 2/zeta(1-k) * sum(n>=1, n^(k-1) q^n/(1-q^n))
    2738             :  * If flag is != 0 and k=4 or 6, compute g2 = E4/12 or g3 = -E6/216 resp. */
    2739             : GEN
    2740        4459 : elleisnum(GEN om, long k, long flag, long prec)
    2741             : {
    2742        4459 :   pari_sp av = avma;
    2743             :   GEN y;
    2744             :   ellred_t T;
    2745             : 
    2746        4459 :   if (k<=0) pari_err_DOMAIN("elleisnum", "k", "<=", gen_0, stoi(k));
    2747        4459 :   if (k&1) pari_err_DOMAIN("elleisnum", "k % 2", "!=", gen_0, stoi(k));
    2748        4459 :   if (!get_periods(om, NULL, &T, prec)) pari_err_TYPE("elleisnum",om);
    2749        4459 :   y = _elleisnum(&T, k);
    2750        4459 :   if (k==2 && signe(T.c))
    2751        4025 :   {
    2752        4025 :     GEN a = gmul(Pi2n(1,T.prec), mului(12, T.c));
    2753        4025 :     y = gsub(y, mulcxI(gdiv(a, gmul(T.w2, T.W2))));
    2754             :   }
    2755         434 :   else if (k==4 && flag) y = gdivgu(y,  12);
    2756         406 :   else if (k==6 && flag) y = gdivgs(y,-216);
    2757        4459 :   return gerepilecopy(av, gprec_wtrunc(y, T.prec0));
    2758             : }
    2759             : 
    2760             : /* return quasi-periods attached to [T->W1,T->W2] */
    2761             : static GEN
    2762        8953 : _elleta(ellred_t *T)
    2763             : {
    2764        8953 :   GEN y1, y2, e2 = gdivgs(_elleisnum(T,2), -12);
    2765        8953 :   y2 = gmul(T->W2, e2);
    2766        8953 :   y1 = gsub(gmul(T->W1,e2), PiI2div(T->W2, T->prec));
    2767        8953 :   retmkvec2(y1, y2);
    2768             : }
    2769             : 
    2770             : /* compute eta1, eta2 */
    2771             : GEN
    2772          84 : elleta(GEN om, long prec)
    2773             : {
    2774          84 :   pari_sp av = avma;
    2775             :   GEN y1, y2, E2, pi;
    2776             :   ellred_t T;
    2777             : 
    2778          84 :   if (!check_periods(om, &T))
    2779             :   {
    2780           0 :     pari_err_TYPE("elleta",om);
    2781             :     return NULL;/*LCOV_EXCL_LINE*/
    2782             :   }
    2783          84 :   if (T.type == t_PER_ELL) return ellR_eta(om, prec);
    2784             : 
    2785          77 :   compute_periods(&T, NULL, prec);
    2786          77 :   prec = T.prec;
    2787          77 :   pi = mppi(prec);
    2788          77 :   E2 = cxEk(T.Tau, 2, prec); /* E_2(Tau) */
    2789          77 :   if (signe(T.c))
    2790             :   {
    2791          21 :     GEN u = gdiv(T.w2, T.W2);
    2792             :     /* E2 := u^2 E2 + 6iuc/pi = E_2(tau) */
    2793          21 :     E2 = gadd(gmul(gsqr(u), E2), mulcxI(gdiv(gmul(mului(6,T.c), u), pi)));
    2794             :   }
    2795          77 :   y2 = gdiv(gmul(E2, sqrr(pi)), gmulsg(3, T.w2));
    2796          77 :   if (T.swap)
    2797             :   {
    2798           7 :     y1 = y2;
    2799           7 :     y2 = gadd(gmul(T.tau,y1), PiI2div(T.w2, prec));
    2800             :   }
    2801             :   else
    2802          70 :     y1 = gsub(gmul(T.tau,y2), PiI2div(T.w2, prec));
    2803          77 :   switch(typ(T.w1))
    2804             :   {
    2805          49 :     case t_INT: case t_FRAC: case t_REAL:
    2806          49 :       y1 = real_i(y1);
    2807             :   }
    2808          77 :   return gerepilecopy(av, mkvec2(y1,y2));
    2809             : }
    2810             : GEN
    2811          49 : ellperiods(GEN w, long flag, long prec)
    2812             : {
    2813          49 :   pari_sp av = avma;
    2814             :   ellred_t T;
    2815          49 :   if (!get_periods(w, NULL, &T, prec)) pari_err_TYPE("ellperiods",w);
    2816          49 :   switch(flag)
    2817             :   {
    2818          14 :     case 0: return gerepilecopy(av, mkvec2(T.W1, T.W2));
    2819          35 :     case 1: return gerepilecopy(av, mkvec2(mkvec2(T.W1, T.W2), _elleta(&T)));
    2820           0 :     default: pari_err_FLAG("ellperiods");
    2821             :              return NULL;/*LCOV_EXCL_LINE*/
    2822             :   }
    2823             : }
    2824             : 
    2825             : /* 2Pi Im(z)/log(2) */
    2826             : static double
    2827       10731 : get_toadd(GEN z) { return (2*M_PI/M_LN2)*gtodouble(imag_i(z)); }
    2828             : 
    2829             : /* computes the numerical value of wp(z | L), L = om1 Z + om2 Z
    2830             :  * return NULL if z in L.  If flall=1, compute also wp' */
    2831             : static GEN
    2832        1911 : ellwpnum_all(GEN e, GEN z, long flall, long prec)
    2833             : {
    2834             :   long toadd;
    2835        1911 :   pari_sp av = avma, av1;
    2836             :   GEN q, u, y, yp, u1, u2, qn;
    2837             :   ellred_t T;
    2838             :   int simple_case;
    2839             : 
    2840        1911 :   if (!get_periods(e, z, &T, prec)) pari_err_TYPE("ellwp",e);
    2841        1911 :   if (!T.Z) return NULL;
    2842        1890 :   prec = T.prec;
    2843             : 
    2844             :   /* Now L,Z normalized to <1,tau>. Z in fund. domain of <1, tau> */
    2845        1890 :   q = expIPiC(gmul2n(T.Tau,1), prec);
    2846        1890 :   u = expIPiC(gmul2n(T.Z,1), prec);
    2847        1890 :   u1 = gsubsg(1,u);
    2848        1890 :   u2 = gsqr(u1); /* (1-u)^2 = -4u sin^2(Pi Z) */
    2849        1890 :   if (gequal0(gnorm(u2))) return NULL; /* possible if loss of accuracy */
    2850        1890 :   y = gdiv(u,u2); /* -1/4(sin^2(Pi Z)) */
    2851        1890 :   if (T.abs_u_is_1) y = real_i(y);
    2852        1890 :   simple_case = T.abs_u_is_1 && T.q_is_real;
    2853        1890 :   y = gadd(mkfrac(gen_1, utoipos(12)), y);
    2854        1890 :   yp = flall? gen_0: NULL;
    2855        1890 :   toadd = (long)ceil(get_toadd(T.Z));
    2856             : 
    2857        1890 :   av1 = avma; qn = q;
    2858             :   for(;;)
    2859       23625 :   { /* y += u q^n [ 1/(1-q^n u)^2 + 1/(q^n-u)^2 ] - 2q^n /(1-q^n)^2 */
    2860             :     /* analogous formula for yp */
    2861       25515 :     GEN yadd, ypadd = NULL;
    2862       25515 :     GEN qnu = gmul(qn,u); /* q^n u */
    2863       25515 :     GEN a = gsubsg(1,qnu);/* 1 - q^n u */
    2864       25515 :     GEN a2 = gsqr(a);     /* (1 - q^n u)^2 */
    2865       25515 :     if (yp) ypadd = gdiv(gaddsg(1,qnu),gmul(a,a2));
    2866       25515 :     if (simple_case) /* conj(u) = 1/u: formula simplifies */
    2867         410 :       yadd = gmul2n(real_i(gdiv(u,a2)), 1);
    2868             :     else
    2869             :     {
    2870       25105 :       GEN b = gsub(qn,u);/* q^n - u */
    2871       25105 :       GEN b2 = gsqr(b);  /* (q^n - u)^2 */
    2872       25105 :       yadd = gmul(u, gadd(ginv(a2),ginv(b2)));
    2873       25105 :       if (yp) ypadd = gadd(ypadd, gdiv(gadd(qn,u),gmul(b,b2)));
    2874             :     }
    2875       25515 :     yadd = gsub(yadd, gmul2n(ginv(gsqr(gsubsg(1,qn))), 1));
    2876       25515 :     y = gadd(y, gmul(qn,yadd));
    2877       25515 :     if (yp) yp = gadd(yp, gmul(qn,ypadd));
    2878             : 
    2879       25515 :     qn = gmul(q,qn);
    2880       25515 :     if (gexpo(qn) <= - prec2nbits(prec) - 5 - toadd) break;
    2881       23625 :     if (gc_needed(av1,1))
    2882             :     {
    2883           0 :       if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"ellwp");
    2884           0 :       gerepileall(av1, flall? 3: 2, &y, &qn, &yp);
    2885             :     }
    2886             :   }
    2887        1890 :   if (yp)
    2888             :   {
    2889        1827 :     if (simple_case) yp = gsub(yp, conj_i(gmul(yp,gsqr(u))));
    2890        1827 :     yp = gadd(yp, gdiv(gaddsg(1,u), gmul(u1,u2)));
    2891             :   }
    2892             : 
    2893        1890 :   u1 = PiI2div(T.W2, prec);
    2894        1890 :   u2 = gsqr(u1);
    2895        1890 :   y = gmul(u2,y); /* y *= (2i pi / w2)^2 */
    2896        1890 :   if (T.some_q_is_real && (T.some_z_is_real || T.some_z_is_pure_imag))
    2897        1029 :     y = real_i(y);
    2898        1890 :   if (yp)
    2899             :   {
    2900        1827 :     yp = gmul(u, gmul(gmul(u1,u2),yp));/* yp *= u (2i pi / w2)^3 */
    2901        1827 :     if (T.some_q_is_real)
    2902             :     {
    2903        1827 :       if (T.some_z_is_real) yp = real_i(yp);
    2904         847 :       else if (T.some_z_is_pure_imag) yp = mkcomplex(gen_0, imag_i(yp));
    2905             :     }
    2906        1827 :     y = mkvec2(y, yp);
    2907             :   }
    2908        1890 :   return gerepilecopy(av, gprec_wtrunc(y, T.prec0));
    2909             : }
    2910             : static GEN
    2911         301 : ellwpseries_aux(GEN c4, GEN c6, long v, long PRECDL)
    2912             : {
    2913             :   long i, k, l;
    2914             :   pari_sp av;
    2915         301 :   GEN _1, t, res = cgetg(PRECDL+2,t_SER), *P = (GEN*)(res + 2);
    2916             : 
    2917         301 :   res[1] = evalsigne(1) | _evalvalp(-2) | evalvarn(v);
    2918         301 :   if (!PRECDL) { setsigne(res,0); return res; }
    2919             : 
    2920        2520 :   for (i=1; i<PRECDL; i+=2) P[i]= gen_0;
    2921         301 :   _1 = Rg_get_1(c4);
    2922         301 :   switch(PRECDL)
    2923             :   {
    2924         301 :     default:P[6] = gdivgu(c6,6048);
    2925         301 :     case 6:
    2926         301 :     case 5: P[4] = gdivgu(c4, 240);
    2927         301 :     case 4:
    2928         301 :     case 3: P[2] = gmul(_1,gen_0);
    2929         301 :     case 2:
    2930         301 :     case 1: P[0] = _1;
    2931             :   }
    2932         301 :   if (PRECDL <= 8) return res;
    2933         301 :   av = avma;
    2934         301 :   P[8] = gerepileupto(av, gdivgu(gsqr(P[4]), 3));
    2935        1085 :   for (k=5; (k<<1) < PRECDL; k++)
    2936             :   {
    2937         784 :     av = avma;
    2938         784 :     t = gmul(P[4], P[(k-2)<<1]);
    2939        1239 :     for (l=3; (l<<1) < k; l++) t = gadd(t, gmul(P[l<<1], P[(k-l)<<1]));
    2940         784 :     t = gmul2n(t, 1);
    2941         784 :     if ((k & 1) == 0) t = gadd(gsqr(P[k]), t);
    2942         784 :     if (k % 3 == 2)
    2943         273 :       t = gdivgu(gmulsg(3, t), (k-3)*(2*k+1));
    2944             :     else /* same value, more efficient */
    2945         511 :       t = gdivgu(t, ((k-3)*(2*k+1)) / 3);
    2946         784 :     P[k<<1] = gerepileupto(av, t);
    2947             :   }
    2948         301 :   return res;
    2949             : }
    2950             : 
    2951             : static int
    2952         294 : get_c4c6(GEN w, GEN *c4, GEN *c6, long prec)
    2953             : {
    2954         294 :   if (typ(w) == t_VEC) switch(lg(w))
    2955             :   {
    2956         203 :     case 17:
    2957         203 :       *c4 = ell_get_c4(w);
    2958         203 :       *c6 = ell_get_c6(w);
    2959         203 :       return 1;
    2960          91 :     case 3:
    2961             :     {
    2962             :       ellred_t T;
    2963          91 :       if (!get_periods(w,NULL,&T, prec)) break;
    2964          91 :       *c4 = _elleisnum(&T, 4);
    2965          91 :       *c6 = gneg(_elleisnum(&T, 6));
    2966          91 :       return 1;
    2967             :     }
    2968             :   }
    2969           0 :   *c4 = *c6 = NULL;
    2970           0 :   return 0;
    2971             : }
    2972             : 
    2973             : GEN
    2974          14 : ellwpseries(GEN e, long v, long PRECDL)
    2975             : {
    2976             :   GEN c4, c6;
    2977          14 :   checkell(e);
    2978          14 :   c4 = ell_get_c4(e);
    2979          14 :   c6 = ell_get_c6(e); return ellwpseries_aux(c4,c6,v,PRECDL);
    2980             : }
    2981             : 
    2982             : GEN
    2983           0 : ellwp(GEN w, GEN z, long prec)
    2984           0 : { return ellwp0(w,z,0,prec); }
    2985             : 
    2986             : GEN
    2987         182 : ellwp0(GEN w, GEN z, long flag, long prec)
    2988             : {
    2989         182 :   pari_sp av = avma;
    2990             :   GEN y;
    2991             : 
    2992         182 :   if (flag && flag != 1) pari_err_FLAG("ellwp");
    2993         182 :   if (!z) z = pol_x(0);
    2994         182 :   y = toser_i(z);
    2995         182 :   if (y)
    2996             :   {
    2997         105 :     long vy = varn(y), v = valp(y);
    2998             :     GEN P, Q, c4,c6;
    2999         105 :     if (!get_c4c6(w,&c4,&c6,prec)) pari_err_TYPE("ellwp",w);
    3000         105 :     if (v <= 0) pari_err(e_IMPL,"ellwp(t_SER) away from 0");
    3001         105 :     if (gequal0(y)) {
    3002           0 :       set_avma(av);
    3003           0 :       if (!flag) return zeroser(vy, -2*v);
    3004           0 :       retmkvec2(zeroser(vy, -2*v), zeroser(vy, -3*v));
    3005             :     }
    3006         105 :     P = ellwpseries_aux(c4,c6, vy, lg(y)-2);
    3007         105 :     Q = gsubst(P, varn(P), y);
    3008         105 :     if (!flag)
    3009         105 :       return gerepileupto(av, Q);
    3010             :     else
    3011             :     {
    3012           0 :       GEN R = mkvec2(Q, gdiv(derivser(Q), derivser(y)));
    3013           0 :       return gerepilecopy(av, R);
    3014             :     }
    3015             :   }
    3016          77 :   y = ellwpnum_all(w,z,flag,prec);
    3017          77 :   if (!y) pari_err_DOMAIN("ellwp", "argument","=", gen_0,z);
    3018          70 :   return gerepileupto(av, y);
    3019             : }
    3020             : 
    3021             : GEN
    3022         161 : ellzeta(GEN w, GEN z, long prec0)
    3023             : {
    3024             :   long prec;
    3025         161 :   pari_sp av = avma;
    3026         161 :   GEN pi2, q, y, et = NULL;
    3027             :   ellred_t T;
    3028             : 
    3029         161 :   if (!z) z = pol_x(0);
    3030         161 :   y = toser_i(z);
    3031         161 :   if (y)
    3032             :   {
    3033          91 :     long vy = varn(y), v = valp(y);
    3034             :     GEN P, Q, c4,c6;
    3035          91 :     if (!get_c4c6(w,&c4,&c6,prec0)) pari_err_TYPE("ellzeta",w);
    3036          91 :     if (v <= 0) pari_err(e_IMPL,"ellzeta(t_SER) away from 0");
    3037          91 :     if (gequal0(y)) { set_avma(av); return zeroser(vy, -v); }
    3038          91 :     P = ellwpseries_aux(c4,c6, vy, lg(y)-2);
    3039          91 :     P = integser(gneg(P)); /* \zeta' = - \wp*/
    3040          91 :     Q = gsubst(P, varn(P), y);
    3041          91 :     return gerepileupto(av, Q);
    3042             :   }
    3043          70 :   if (!get_periods(w, z, &T, prec0)) pari_err_TYPE("ellzeta", w);
    3044          70 :   if (!T.Z) pari_err_DOMAIN("ellzeta", "z", "=", gen_0, z);
    3045          70 :   prec = T.prec;
    3046          70 :   if (signe(T.x) || signe(T.y)) et = eta_correction(&T, _elleta(&T));
    3047             : 
    3048          70 :   pi2 = Pi2n(1, prec);
    3049          70 :   q = expIPiC(gmul2n(T.Tau,1), prec);
    3050          70 :   y = mulcxI(gmul(cxEk(T.Tau,2,prec), gmul(T.Z,divrs(pi2,-12))));
    3051          70 :   if (!T.abs_u_is_1 || (!gequal(T.Z,ghalf) && !gequal(T.Z,gneg(ghalf))))
    3052             :   { /* else u = -1 and this vanishes */
    3053          70 :     long toadd = (long)ceil(get_toadd(T.Z));
    3054          70 :     GEN qn, u, v, S = gen_0;
    3055             :     pari_sp av1;
    3056          70 :     u = expIPiC(gmul2n(T.Z,1), prec);
    3057          70 :     v = gadd(ghalf, ginv(gsubgs(u, 1)));
    3058          70 :     if (T.abs_u_is_1) gel(v,1) = gen_0; /*v = (u+1)/2(u-1), pure imaginary*/
    3059          70 :     y = gadd(y, v);
    3060             :     /* add sum_n q^n ( u/(u*q^n - 1) + 1/(u - q^n) )
    3061             :      *     = (u^2 - 1) sum_n q^n / (uq^n - 1)(u - q^n) */
    3062          70 :     av1 = avma;
    3063          70 :     for (qn = q;;)
    3064             :     {
    3065         863 :       S = gadd(S, gdiv(qn, gmul(gsubgs(gmul(qn,u),1), gsub(u,qn))));
    3066         863 :       qn = gmul(q,qn);
    3067         863 :       if (gexpo(qn) <= - prec2nbits(prec) - 5 - toadd) break;
    3068         793 :       if (gc_needed(av1,1))
    3069             :       {
    3070           0 :         if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"ellzeta");
    3071           0 :         gerepileall(av1,2, &S,&qn);
    3072             :       }
    3073             :     }
    3074          70 :     y = gadd(y, gmul(gsubgs(gsqr(u),1), S));
    3075             :   }
    3076          70 :   y = mulcxI(gmul(gdiv(pi2,T.W2), y));
    3077          70 :   if (T.some_q_is_real)
    3078             :   {
    3079          70 :     if (T.some_z_is_real)
    3080             :     {
    3081          28 :       if (!et || typ(et) != t_COMPLEX) y = real_i(y);
    3082             :     }
    3083          42 :     else if (T.some_z_is_pure_imag)
    3084             :     {
    3085          21 :       if (!et || (typ(et) == t_COMPLEX && isintzero(gel(et,1))))
    3086          21 :         gel(y,1) = gen_0;
    3087             :     }
    3088             :   }
    3089          70 :   if (et) y = gadd(y, et);
    3090          70 :   return gerepilecopy(av, gprec_wtrunc(y, T.prec0));
    3091             : }
    3092             : 
    3093             : /* if flag=0, return ellsigma, otherwise return log(ellsigma) */
    3094             : GEN
    3095        8974 : ellsigma(GEN w, GEN z, long flag, long prec0)
    3096             : {
    3097             :   long toadd, prec, n;
    3098        8974 :   pari_sp av = avma, av1;
    3099             :   GEN u, urn, urninv, z0, pi, pi2, q, q8, qn2, qn, y, y1, uinv, et, etnew;
    3100             :   ellred_t T;
    3101             : 
    3102        8974 :   if (flag < 0 || flag > 1) pari_err_FLAG("ellsigma");
    3103             : 
    3104        8974 :   if (!z) z = pol_x(0);
    3105        8974 :   y = toser_i(z);
    3106        8974 :   if (y)
    3107             :   {
    3108          98 :     long vy = varn(y), v = valp(y);
    3109             :     GEN P, Q, c4,c6;
    3110          98 :     if (!get_c4c6(w,&c4,&c6,prec0)) pari_err_TYPE("ellsigma",w);
    3111          98 :     if (v <= 0) pari_err_IMPL("ellsigma(t_SER) away from 0");
    3112          98 :     if (flag) pari_err_TYPE("log(ellsigma)",y);
    3113          91 :     if (gequal0(y)) { set_avma(av); return zeroser(vy, -v); }
    3114          91 :     P = ellwpseries_aux(c4,c6, vy, lg(y)-2);
    3115          91 :     P = integser(gneg(P)); /* \zeta' = - \wp*/
    3116             :     /* (log \sigma)' = \zeta; remove log-singularity first */
    3117          91 :     P = integser(serchop0(P));
    3118          91 :     P = gexp(P, prec0);
    3119          91 :     setvalp(P, valp(P)+1);
    3120          91 :     Q = gsubst(P, varn(P), y);
    3121          91 :     return gerepileupto(av, Q);
    3122             :   }
    3123        8876 :   if (!get_periods(w, z, &T, prec0)) pari_err_TYPE("ellsigma",w);
    3124        8876 :   if (!T.Z)
    3125             :   {
    3126           7 :     if (!flag) return gen_0;
    3127           7 :     pari_err_DOMAIN("log(ellsigma)", "argument","=",gen_0,z);
    3128             :   }
    3129        8869 :   prec = T.prec;
    3130        8869 :   pi2 = Pi2n(1,prec);
    3131        8869 :   pi  = mppi(prec);
    3132             : 
    3133        8869 :   urninv = uinv = NULL;
    3134        8869 :   if (typ(T.Z) == t_FRAC && equaliu(gel(T.Z,2), 2) && equalim1(gel(T.Z,1)))
    3135             :   {
    3136          98 :     toadd = 0;
    3137          98 :     urn = mkcomplex(gen_0, gen_m1); /* Z = -1/2 => urn = -I */
    3138          98 :     u = gen_1;
    3139             :   }
    3140             :   else
    3141             :   {
    3142        8771 :     toadd = (long)ceil(fabs( get_toadd(T.Z) ));
    3143        8771 :     urn = expIPiC(T.Z, prec); /* exp(i Pi Z) */
    3144        8771 :     u = gneg_i(gsqr(urn));
    3145        8771 :     if (!T.abs_u_is_1) { urninv = ginv(urn); uinv = gneg_i(gsqr(urninv)); }
    3146             :   }
    3147        8869 :   q8 = expIPiC(gmul2n(T.Tau, -2), prec);
    3148        8869 :   q = gpowgs(q8,8); av1 = avma;
    3149        8869 :   y = gen_0; qn = q; qn2 = gen_1;
    3150        8869 :   for(n=0;;n++)
    3151             :   { /* qn = q^(n+1), qn2 = q^(n(n+1)/2), urn = u^((n+1)/2)
    3152             :      * if |u| = 1, will multiply by 2*I at the end ! */
    3153       66328 :     y = gadd(y, gmul(qn2, uinv? gsub(urn,urninv): imag_i(urn)));
    3154       66328 :     qn2 = gmul(qn,qn2);
    3155       66328 :     if (gexpo(qn2) + n*toadd <= - prec2nbits(prec) - 5) break;
    3156       57459 :     qn  = gmul(q,qn);
    3157       57459 :     urn = gmul(urn,u);
    3158       57459 :     if (uinv) urninv = gmul(urninv,uinv);
    3159       57459 :     if (gc_needed(av1,1))
    3160             :     {
    3161           0 :       if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"ellsigma");
    3162           0 :       gerepileall(av1,urninv? 5: 4, &y,&qn,&qn2,&urn,&urninv);
    3163             :     }
    3164             :   }
    3165        8869 :   y = gmul(y, gdiv(q8, gmul(pi2, gpowgs(trueeta(T.Tau,prec),3))));
    3166        8869 :   y = gmul(y, T.abs_u_is_1? gmul2n(T.W2,1): mulcxmI(T.W2));
    3167             : 
    3168        8869 :   et = _elleta(&T);
    3169        8869 :   z0 = gmul(T.Z,T.W2);
    3170        8869 :   y1 = gadd(z0, gmul2n(gadd(gmul(T.x,T.W1), gmul(T.y,T.W2)),-1));
    3171        8869 :   etnew = gmul(eta_correction(&T, et), y1);
    3172        8869 :   y1 = gadd(etnew, gmul2n(gmul(gmul(T.Z,z0),gel(et,2)),-1));
    3173        8869 :   if (flag)
    3174             :   {
    3175        8799 :     y = gadd(y1, glog(y,prec));
    3176        8799 :     if (mpodd(T.x) || mpodd(T.y)) y = gadd(y, mulcxI(pi));
    3177             :     /* log(real number): im(y) = 0 or Pi */
    3178        8799 :     if (T.some_q_is_real && isintzero(imag_i(z)) && gexpo(imag_i(y)) < 1)
    3179           7 :       y = real_i(y);
    3180             :   }
    3181             :   else
    3182             :   {
    3183          70 :     y = gmul(y, gexp(y1,prec));
    3184          70 :     if (mpodd(T.x) || mpodd(T.y)) y = gneg_i(y);
    3185          70 :     if (T.some_q_is_real)
    3186             :     {
    3187             :       int re, cx;
    3188          70 :       check_complex(z,&re,&cx);
    3189          70 :       if (re) y = real_i(y);
    3190          49 :       else if (cx && typ(y) == t_COMPLEX) gel(y,1) = gen_0;
    3191             :     }
    3192             :   }
    3193        8869 :   return gerepilecopy(av, gprec_wtrunc(y, T.prec0));
    3194             : }
    3195             : 
    3196             : GEN
    3197        1890 : pointell(GEN e, GEN z, long prec)
    3198             : {
    3199        1890 :   pari_sp av = avma;
    3200             :   GEN v;
    3201             : 
    3202        1890 :   checkell(e);
    3203        1890 :   if (ell_get_type(e) == t_ELL_Qp)
    3204             :   {
    3205          56 :     prec = minss(ellQp_get_prec(e), padicprec_relative(z));
    3206          56 :     return ellQp_t2P(e, z, prec);
    3207             :   }
    3208        1834 :   v = ellwpnum_all(e,z,1,prec);
    3209        1834 :   if (!v) { set_avma(av); return ellinf(); }
    3210        1820 :   gel(v,1) = gsub(gel(v,1), gdivgu(ell_get_b2(e),12));
    3211        1820 :   gel(v,2) = gmul2n(gsub(gel(v,2), ec_h_evalx(e,gel(v,1))),-1);
    3212        1820 :   return gerepilecopy(av, v);
    3213             : }
    3214             : 
    3215             : /********************************************************************/
    3216             : /**                                                                **/
    3217             : /**                 Tate's algorithm e (cf Anvers IV)              **/
    3218             : /**               Kodaira types, global minimal model              **/
    3219             : /**                                                                **/
    3220             : /********************************************************************/
    3221             : /* structure to hold incremental computation of standard minimal model/Q */
    3222             : typedef struct {
    3223             :   long a1; /*{0,1}*/
    3224             :   long a2; /*{-1,0,1}*/
    3225             :   long a3; /*{0,1}*/
    3226             :   long b2; /* centermod(-c6, 12), in [-5,6] */
    3227             :   GEN u, u2, u3, u4, u6;
    3228             :   GEN a4, a6, b4, b6, b8, c4, c6, D;
    3229             : } ellmin_t;
    3230             : 
    3231             : /* u from [u,r,s,t] */
    3232             : static void
    3233      519302 : min_set_u(ellmin_t *M, GEN u)
    3234             : {
    3235      519302 :   M->u = u;
    3236      519302 :   if (is_pm1(u))
    3237      455245 :     M->u2 = M->u3 = M->u4 = M->u6 = gen_1;
    3238             :   else
    3239             :   {
    3240       64057 :     M->u2 = sqri(u);
    3241       64057 :     M->u3 = mulii(M->u2, u);
    3242       64057 :     M->u4 = sqri(M->u2);
    3243       64057 :     M->u6 = sqri(M->u3);
    3244             :   }
    3245      519302 : }
    3246             : /* E = original curve */
    3247             : static void
    3248      519302 : min_set_c(ellmin_t *M, GEN E)
    3249             : {
    3250      519302 :   GEN c4 = ell_get_c4(E), c6 = ell_get_c6(E);
    3251      519302 :   if (!is_pm1(M->u4)) {
    3252       64057 :     c4 = diviiexact(c4, M->u4);
    3253       64057 :     c6 = diviiexact(c6, M->u6);
    3254             :   }
    3255      519302 :   M->c4 = c4;
    3256      519302 :   M->c6 = c6;
    3257      519302 : }
    3258             : static void
    3259      518994 : min_set_D(ellmin_t *M, GEN E)
    3260             : {
    3261      518994 :   GEN D = ell_get_disc(E);
    3262      518994 :   if (!is_pm1(M->u6)) D = diviiexact(D, sqri(M->u6));
    3263      518994 :   M->D = D;
    3264      518994 : }
    3265             : static void
    3266      519155 : min_set_b(ellmin_t *M)
    3267             : {
    3268             :   long b22, b2;
    3269      519155 :   M->b2 = b2 = Fl_center(12 - umodiu(M->c6,12), 12, 6);
    3270      519155 :   b22 = b2 * b2; /* in [0,36] */
    3271      519155 :   M->b4 = diviuexact(subui(b22, M->c4), 24);
    3272      519155 :   M->b6 = diviuexact(subii(mulsi(b2, subiu(mului(36,M->b4),b22)), M->c6), 216);
    3273      519155 : }
    3274             : static void
    3275      519015 : min_set_a(ellmin_t *M)
    3276             : {
    3277      519015 :   long a1, a2, a3, a13, b2 = M->b2;
    3278      519015 :   GEN b4 = M->b4, b6 = M->b6;
    3279      519015 :   if (odd(b2))
    3280             :   {
    3281      258146 :     a1 = 1;
    3282      258146 :     a2 = (b2 - 1) >> 2;
    3283             :   }
    3284             :   else
    3285             :   {
    3286      260869 :     a1 = 0;
    3287      260869 :     a2 = b2 >> 2;
    3288             :   }
    3289      519015 :   M->a1 = a1;
    3290      519015 :   M->a2 = a2;
    3291      519015 :   M->a3 = a3 = Mod2(b6)? 1: 0;
    3292      519015 :   a13 = a1 & a3; /* a1 * a3 */
    3293      519015 :   M->a4 = shifti(subiu(b4, a13), -1);
    3294      519015 :   M->a6 = shifti(subiu(b6, a3), -2);
    3295      519015 : }
    3296             : static void
    3297      518980 : min_set_all(ellmin_t *M, GEN E, GEN u)
    3298             : {
    3299      518980 :   min_set_u(M, u);
    3300      518980 :   min_set_c(M, E);
    3301      518980 :   min_set_D(M, E);
    3302      518980 :   min_set_b(M);
    3303      518980 :   min_set_a(M);
    3304      518980 : }
    3305             : static GEN
    3306      505897 : min_to_ell(ellmin_t *M, GEN E)
    3307             : {
    3308      505897 :   GEN b8, y = obj_init(15, 8);
    3309             :   long a11, a13;
    3310      505897 :   gel(y,1) = M->a1? gen_1: gen_0;
    3311      505897 :   gel(y,2) = stoi(M->a2);
    3312      505897 :   gel(y,3) = M->a3? gen_1: gen_0;
    3313      505897 :   gel(y,4) = M->a4;
    3314      505897 :   gel(y,5) = M->a6;
    3315      505897 :   gel(y,6) = stoi(M->b2);
    3316      505897 :   gel(y,7) = M->b4;
    3317      505897 :   gel(y,8) = M->b6;
    3318      505897 :   a11 = M->a1;
    3319      505897 :   a13 = M->a1 & M->a3;
    3320      505897 :   b8 = subii(addii(mului(a11,M->a6), mulis(M->b6, M->a2)),
    3321             :              mulii(M->a4, addiu(M->a4,a13)));
    3322      505897 :   gel(y,9) = b8; /* a1^2 a6 + 4a6 a2 + a2 a3^2 - a4(a4 + a1 a3) */
    3323      505897 :   gel(y,10)= M->c4;
    3324      505897 :   gel(y,11)= M->c6;
    3325      505897 :   gel(y,12)= M->D;
    3326      505897 :   gel(y,13)= gel(E,13);
    3327      505897 :   gel(y,14)= gel(E,14);
    3328      505897 :   gel(y,15)= gel(E,15);
    3329      505897 :   return y;
    3330             : }
    3331             : static GEN
    3332      518980 : min_get_v(ellmin_t *M, GEN E)
    3333             : {
    3334             :   GEN r, s, t;
    3335      518980 :   r = diviuexact(subii(mulis(M->u2,M->b2), ell_get_b2(E)), 12);
    3336      518980 :   s = shifti(subii(M->a1? M->u: gen_0, ell_get_a1(E)), -1);
    3337      518980 :   t = shifti(subii(M->a3? M->u3: gen_0, Zec_h_evalx(E,r)), -1);
    3338      518980 :   return mkvec4(M->u,r,s,t);
    3339             : }
    3340             : 
    3341             : /* return v_p(u), where [u,r,s,t] is the variable change to minimal model */
    3342             : static long
    3343     1686975 : get_vp_u_small(GEN E, ulong p, long *pv6, long *pvD)
    3344             : {
    3345     1686975 :   GEN c6 = ell_get_c6(E);
    3346     1686975 :   long d, v6, vD = Z_lval(ell_get_disc(E), p);
    3347     1686975 :   if (!signe(c6))
    3348             :   {
    3349        2933 :     d = vD / 12;
    3350        2933 :     if (d)
    3351             :     {
    3352        1071 :       if (p == 2)
    3353             :       {
    3354         819 :         GEN c4 = ell_get_c4(E);
    3355         819 :         long a = Mod16( shifti(c4, -4*d) );
    3356         819 :         if (a) d--;
    3357             :       }
    3358        1071 :       if (d) vD -= 12*d; /* non minimal model */
    3359             :     }
    3360        2933 :     v6 = 12; /* +oo */
    3361             :   }
    3362             :   else
    3363             :   {
    3364     1684042 :     v6 = Z_lval(c6,p);
    3365     1684042 :     d = minss(2*v6, vD) / 12;
    3366     1684042 :     if (d) {
    3367      181174 :       if (p == 2) {
    3368      109746 :         GEN c4 = ell_get_c4(E);
    3369      109746 :         long a = Mod16( shifti(c4, -4*d) );
    3370      109746 :         long b = Mod32( shifti(c6, -6*d) );
    3371      109746 :         if ((b & 3) != 3 && (a || (b && b!=8))) d--;
    3372       71428 :       } else if (p == 3) {
    3373       45199 :         if (v6 == 6*d+2) d--;
    3374             :       }
    3375      181174 :       if (d) { v6 -= 6*d; vD -= 12*d; } /* non minimal model */
    3376             :     }
    3377             :   }
    3378     1686975 :   *pv6 = v6; *pvD = vD; return d;
    3379             : }
    3380             : static long
    3381      879487 : get_vp_u(GEN E, GEN p, long *pv6, long *pvD)
    3382             : {
    3383             :   GEN c6;
    3384             :   long d, v6, vD;
    3385      879487 :   if (lgefint(p) == 3) return get_vp_u_small(E, p[2], pv6, pvD);
    3386          39 :   c6 = ell_get_c6(E);
    3387          39 :   vD = Z_pval(ell_get_disc(E), p);
    3388          39 :   if (!signe(c6))
    3389             :   {
    3390           0 :     d = vD / 12;
    3391           0 :     if (d) vD -= 12*d; /* non minimal model */
    3392           0 :     v6 = 12; /* +oo */
    3393             :   }
    3394             :   else
    3395             :   {
    3396          39 :     v6 = Z_pval(c6,p);
    3397          39 :     d = minss(2*v6, vD) / 12;
    3398          39 :     if (d) { v6 -= 6*d; vD -= 12*d; } /* non minimal model */
    3399             :   }
    3400          39 :   *pv6 = v6; *pvD = vD; return d;
    3401             : }
    3402             : 
    3403             : /* Given an integral elliptic curve in ellinit form, and a prime p, returns the
    3404             :   type of the fiber at p of the Neron model, as well as the change of variables
    3405             :   in the form [f, kod, v, c].
    3406             : 
    3407             :   * The integer f is the conductor's exponent.
    3408             : 
    3409             :   * The integer kod is the Kodaira type using the following notation:
    3410             :     II , III , IV  -->  2, 3, 4
    3411             :     I0  -->  1
    3412             :     Inu --> 4+nu for nu > 0
    3413             :   A '*' negates the code (e.g I* --> -2)
    3414             : 
    3415             :   * v is a quadruple [u, r, s, t] yielding a minimal model
    3416             : 
    3417             :   * c is the Tamagawa number.
    3418             : 
    3419             :   Uses Tate's algorithm (Anvers IV). Given the remarks at the bottom of
    3420             :   page 46, the "long" algorithm is used for p = 2,3 only. */
    3421             : static GEN
    3422     1734425 : localred_result(long f, long kod, long c, GEN v)
    3423             : {
    3424     1734425 :   GEN z = cgetg(5, t_VEC);
    3425     1734425 :   gel(z,1) = stoi(f);
    3426     1734425 :   gel(z,2) = stoi(kod);
    3427     1734425 :   gel(z,3) = gcopy(v);
    3428     1734425 :   gel(z,4) = stoi(c); return z;
    3429             : }
    3430             : static GEN
    3431           0 : localredbug(GEN p, const char *s)
    3432             : {
    3433           0 :   if (BPSW_psp(p)) pari_err_BUG(s);
    3434           0 :   pari_err_PRIME("localred",p);
    3435             :   return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
    3436             : }
    3437             : 
    3438             : /* v_p( denom(j(E)) ) >= 0 */
    3439             : static long
    3440      880880 : j_pval(GEN E, GEN p) { return Z_pval(Q_denom(ell_get_j(E)), p); }
    3441             : 
    3442             : /* p > 3, e integral */
    3443             : static GEN
    3444      879487 : localred_p(GEN e, GEN p)
    3445             : {
    3446             :   long k, f, kod, c, nuj, nuD, nu6;
    3447      879487 :   GEN p2, v, tri, c4, c6, D = ell_get_disc(e);
    3448             : 
    3449      879487 :   c4 = ell_get_c4(e);
    3450      879487 :   c6 = ell_get_c6(e);
    3451      879487 :   nuj = j_pval(e, p);
    3452      879487 :   nuD = Z_pval(D, p);
    3453      879487 :   k = get_vp_u(e, p, &nu6, &nuD);
    3454      879487 :   if (!k) v = init_ch();
    3455             :   else
    3456             :   { /* model not minimal */
    3457             :     ellmin_t M;
    3458       13097 :     min_set_all(&M, e, powiu(p,k));
    3459       13097 :     v = min_get_v(&M, e);
    3460       13097 :     c4 = M.c4; c6 = M.c6; D = M.D;
    3461             :   }
    3462             : 
    3463      879487 :   if (nuj > 0) switch(nuD - nuj)
    3464             :   {
    3465      761278 :     case 0: f = 1; kod = 4+nuj; /* Inu */
    3466      761278 :       switch(kronecker(negi(c6),p))
    3467             :       {
    3468      392483 :         case  1: c = nuD; break;
    3469      368795 :         case -1: c = odd(nuD)? 1: 2; break;
    3470           0 :         default: return localredbug(p,"localred (p | c6)");
    3471             :       }
    3472      761278 :       break;
    3473       45703 :     case 6:
    3474             :     {
    3475       45703 :       GEN d = Fp_red(diviiexact(D, powiu(p, 6+nuj)), p);
    3476       45703 :       if (nuj & 1) d = Fp_mul(d, diviiexact(c6, powiu(p,3)), p);
    3477       45703 :       f = 2; kod = -4-nuj; c = 3 + kronecker(d, p); /* Inu* */
    3478       45703 :       break;
    3479             :     }
    3480           0 :     default: return localredbug(p,"localred (nu_D - nu_j != 0,6)");
    3481             :   }
    3482       72506 :   else switch(nuD)
    3483             :   {
    3484         539 :     case  0: f = 0; kod = 1; c = 1; break; /* I0, regular */
    3485       11697 :     case  2: f = 2; kod = 2; c = 1; break; /* II   */
    3486       10332 :     case  3: f = 2; kod = 3; c = 2; break; /* III  */
    3487        5642 :     case  4: f = 2; kod = 4; /* IV   */
    3488        5642 :       c = 2 + krosi(-6,p) * kronecker(diviiexact(c6,sqri(p)), p);
    3489        5642 :       break;
    3490       16856 :     case  6: f = 2; kod = -1; /* I0*  */
    3491       16856 :       p2 = sqri(p);
    3492             :       /* x^3 - 3c4/p^2 x - 2c6/p^3 */
    3493       16856 :       tri = mkpoln(4, gen_1, gen_0,
    3494             :                             negi(mului(3, diviiexact(c4, p2))),
    3495             :                             negi(shifti(diviiexact(c6, mulii(p2,p)), 1)));
    3496       16856 :       c = 1 + FpX_nbroots(tri, p);
    3497       16856 :       break;
    3498       11620 :     case  8: f = 2; kod = -4; /* IV*  */
    3499       11620 :       c = 2 + krosi(-6,p) * kronecker(diviiexact(c6, sqri(sqri(p))), p);
    3500       11620 :       break;
    3501       10227 :     case  9: f = 2; kod = -3; c = 2; break; /* III* */
    3502        5593 :     case 10: f = 2; kod = -2; c = 1; break; /* II*  */
    3503           0 :     default: return localredbug(p,"localred");
    3504             :   }
    3505      879487 :   return localred_result(f, kod, c, v);
    3506             : }
    3507             : 
    3508             : /* return a_{ k,l } in Tate's notation, pl = p^l */
    3509             : static ulong
    3510      888930 : aux(GEN ak, ulong q, ulong pl)
    3511      888930 : { return umodiu(ak, q) / pl; }
    3512             : 
    3513             : static ulong
    3514     1421966 : aux2(GEN ak, ulong p, GEN pl)
    3515     1421966 : { pari_sp av = avma; return gc_ulong(av, umodiu(diviiexact(ak, pl), p)); }
    3516             : 
    3517             : /* number of distinct roots of X^3 + aX^2 + bX + c modulo p = 2 or 3
    3518             :  * assume a,b,c in {0, 1} [ p = 2 ] or {0, 1, 2} [ p = 3 ]
    3519             :  * if there's a multiple root, put it in *mult */
    3520             : static long
    3521      244328 : numroots3(long a, long b, long c, long p, long *mult)
    3522             : {
    3523      244328 :   if (p == 2)
    3524             :   {
    3525      141169 :     if (odd(c + a * b)) return 3;
    3526      122451 :     *mult = b; return odd(a + b)? 2: 1;
    3527             :   }
    3528             :   /* p = 3 */
    3529      103159 :   if (!a) { *mult = -c; return b? 3: 1; }
    3530       69041 :   *mult = a * b;
    3531       69041 :   if (b == 2)
    3532       22974 :     return (a + c) == 3 ? 2 : 3;
    3533             :   else
    3534       46067 :     return c ? 3 : 2;
    3535             : }
    3536             : 
    3537             : /* same for aX^2 +bX + c */
    3538             : static long
    3539      788956 : numroots2(long a, long b, long c, long p, long *mult)
    3540             : {
    3541      788956 :   if (p == 2) { *mult = c; return odd(b)? 2: 1; }
    3542             :   /* p = 3 */
    3543      301105 :   *mult = a * b; return (b * b - a * c) % 3 ? 2 : 1;
    3544             : }
    3545             : 
    3546             : /* p = 2 or 3 */
    3547             : static GEN
    3548      704438 : localred_23(GEN e, long p)
    3549             : {
    3550             :   long c, nu, nu6, nuD, r, s, t;
    3551             :   long k, theroot, p2, p3, p4, p5, a21, a42, a63, a32, a64;
    3552             :   GEN v;
    3553             : 
    3554      704438 :   k = get_vp_u_small(e, p, &nu6, &nuD);
    3555      704438 :   if (!k) v = init_ch();
    3556             :   else
    3557             :   {
    3558             :     ellmin_t M;
    3559       48776 :     min_set_all(&M, e, powuu(p, k));
    3560       48776 :     v = min_get_v(&M, e);
    3561       48776 :     e = min_to_ell(&M, e);
    3562             :   }
    3563             :   /* model is minimal */
    3564      704438 :   nuD = Z_lval(ell_get_disc(e), (ulong)p);
    3565      704438 :   if (!nuD) return localred_result(0, 1, 1, v); /* I0 */
    3566      702947 :   if (p == 2) { p2 = 4; p3 = 8;  p4 = 16; p5 = 32; }
    3567      321692 :   else        { p2 = 9; p3 = 27; p4 = 81; p5 =243; }
    3568             : 
    3569      702947 :   if (umodiu(ell_get_b2(e), p)) /* p \nmid b2 */
    3570             :   {
    3571      386162 :     if (umodiu(negi(ell_get_c6(e)), p == 2 ? 8 : 3) == 1)
    3572      196056 :       c = nuD;
    3573             :     else
    3574      190106 :       c = odd(nuD)? 1: 2;
    3575      386162 :     return localred_result(1, 4 + nuD, c, v); /* Inu */
    3576             :   }
    3577      316785 :   if (p == 2)
    3578             :   {
    3579      185941 :     r = umodiu(ell_get_a4(e), 2);
    3580      185941 :     s = umodiu(ell_get_a2(e), 2);
    3581      185941 :     t = umodiu(ell_get_a6(e), 2);
    3582      185941 :     if (r) { t = (s + t) & 1; s = (s + 1) & 1; }
    3583             :   }
    3584             :   else /* p == 3 */
    3585             :   {
    3586      130844 :     r = - umodiu(ell_get_b6(e), 3);
    3587      130844 :     s = umodiu(ell_get_a1(e), 3);
    3588      130844 :     t = umodiu(ell_get_a3(e), 3);
    3589      130844 :     if (s) { t  = (t + r*s) % 3; if (t < 0) t += 3; }
    3590             :   }
    3591             :   /* p | (a1, a2, a3, a4, a6) */
    3592      316785 :   if (r || s || t) e = coordch_rst(e, stoi(r), stoi(s), stoi(t));
    3593      316785 :   if (umodiu(ell_get_a6(e), p2))
    3594       22295 :     return localred_result(nuD, 2, 1, v); /* II */
    3595      294490 :   if (umodiu(ell_get_b8(e), p3))
    3596       27650 :     return localred_result(nuD - 1, 3, 2, v); /* III */
    3597      266840 :   if (umodiu(ell_get_b6(e), p3))
    3598             :   {
    3599       22512 :     if (umodiu(ell_get_b6(e), (p==2)? 32: 27) == (ulong)p2)
    3600       11529 :       c = 3;
    3601             :     else
    3602       10983 :       c = 1;
    3603       22512 :     return localred_result(nuD - 2, 4, c, v); /* IV */
    3604             :   }
    3605             : 
    3606      244328 :   if (umodiu(ell_get_a6(e), p3))
    3607       91077 :     e = coordch_t(e, p == 2? gen_2: modis(ell_get_a3(e), 9));
    3608             :       /* p | a1, a2; p^2  | a3, a4; p^3 | a6 */
    3609      244328 :   a21 = aux(ell_get_a2(e), p2, p);
    3610      244328 :   a42 = aux(ell_get_a4(e), p3, p2);
    3611      244328 :   a63 = aux(ell_get_a6(e), p4, p3);
    3612      244328 :   switch (numroots3(a21, a42, a63, p, &theroot))
    3613             :   {
    3614       35987 :     case 3:
    3615       35987 :       c = a63 ? 1: 2;
    3616       35987 :       if (p == 2)
    3617       18718 :         c += ((a21 + a42 + a63) & 1);
    3618             :       else {
    3619       17269 :         if (((1 + a21 + a42 + a63) % 3) == 0) c++;
    3620       17269 :         if (((1 - a21 + a42 - a63) % 3) == 0) c++;
    3621             :       }
    3622       35987 :       return localred_result(nuD - 4, -1, c, v); /* I0* */
    3623      130368 :     case 2:
    3624             :     { /* compute nu */
    3625             :       GEN pk, pk1, p2k;
    3626             :       long al, be, ga;
    3627      130368 :       if (theroot) e = coordch_r(e, stoi(theroot * p));
    3628             :           /* p | a1; p^2  | a2, a3; p^3 | a4; p^4 | a6 */
    3629      130368 :       nu = 1;
    3630      130368 :       pk  = utoipos(p2);
    3631      130368 :       p2k = utoipos(p4);
    3632             :       for(;;)
    3633             :       {
    3634      387723 :         be =  aux2(ell_get_a3(e), p, pk);
    3635      387723 :         ga = -aux2(ell_get_a6(e), p, p2k);
    3636      387723 :         al = 1;
    3637      387723 :         if (numroots2(al, be, ga, p, &theroot) == 2) break;
    3638      323260 :         if (theroot) e = coordch_t(e, mulsi(theroot,pk));
    3639      323260 :         pk1 = pk;
    3640      323260 :         pk  = mului(p, pk);
    3641      323260 :         p2k = mului(p, p2k); nu++;
    3642             : 
    3643      323260 :         al = a21;
    3644      323260 :         be = aux2(ell_get_a4(e), p, pk);
    3645      323260 :         ga = aux2(ell_get_a6(e), p, p2k);
    3646      323260 :         if (numroots2(al, be, ga, p, &theroot) == 2) break;
    3647      257355 :         if (theroot) e = coordch_r(e, mulsi(theroot, pk1));
    3648      257355 :         p2k = mului(p, p2k); nu++;
    3649             :       }
    3650      130368 :       if (p == 2)
    3651       72268 :         c = odd(ga)? 2: 4;
    3652             :       else
    3653       58100 :         c = 3 + kross(be * be - al * ga, 3);
    3654      130368 :       return localred_result(nuD - 4 - nu, -4 - nu, c, v); /* Inu* */
    3655             :     }
    3656       77973 :     case 1:
    3657       77973 :       if (theroot) e = coordch_r(e, stoi(theroot*p));
    3658             :           /* p | a1; p^2  | a2, a3; p^3 | a4; p^4 | a6 */
    3659       77973 :       a32 = aux(ell_get_a3(e), p3, p2);
    3660       77973 :       a64 = aux(ell_get_a6(e), p5, p4);
    3661       77973 :       if (numroots2(1, a32, -a64, p, &theroot) == 2)
    3662             :       {
    3663       29813 :         if (p == 2)
    3664       20356 :           c = 3 - 2 * a64;
    3665             :         else
    3666        9457 :           c = 2 + kross(a32 * a32 + a64, 3);
    3667       29813 :         return localred_result(nuD - 6, -4, c, v); /* IV* */
    3668             :       }
    3669       48160 :       if (theroot) e = coordch_t(e, stoi(theroot*p2));
    3670             :           /* p | a1; p^2 | a2; p^3 | a3, a4; p^5 | a6 */
    3671       48160 :       if (umodiu(ell_get_a4(e), p4))
    3672       28966 :         return localred_result(nuD - 7, -3, 2, v); /* III* */
    3673             : 
    3674             :       /* p^6 \nmid a6, otherwise wouldn't be minimal */
    3675       19194 :       return localred_result(nuD - 8, -2, 1, v); /* II* */
    3676             :   }
    3677             :   return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
    3678             : }
    3679             : 
    3680             : /* e is integral */
    3681             : static GEN
    3682     1583505 : localred(GEN e, GEN p)
    3683             : {
    3684     1583505 :   if (abscmpiu(p, 3) > 0) /* p != 2,3 */
    3685      879487 :     return localred_p(e,p);
    3686             :   else
    3687             :   {
    3688      704018 :     long l = itos(p);
    3689      704018 :     if (l < 2) pari_err_PRIME("localred",p);
    3690      704018 :     return localred_23(e, l);
    3691             :   }
    3692             : }
    3693             : 
    3694             : /* Given J an ideal in HNF coprime to 2 and z algebraic integer,
    3695             :  * return b algebraic integer such that z + 2b in  J */
    3696             : static GEN
    3697       26306 : approx_mod2(GEN J, GEN z)
    3698             : {
    3699       26306 :   GEN b = z;
    3700             :   long i;
    3701       26306 :   if (typ(b) == t_INT)
    3702             :   {
    3703       26215 :     if (mpodd(b)) b = addii(b, gcoeff(J,1,1));
    3704       26215 :     return shifti(negi(b),-1);
    3705             :   }
    3706         273 :   for (i = lg(J)-1; i >= 1; i--)
    3707             :   {
    3708         182 :     if (mpodd(gel(b,i))) b = ZC_add(b, gel(J,i));
    3709             :   }
    3710          91 :   return gshift(ZC_neg(b), -1);
    3711             : }
    3712             : 
    3713             : /* Given J an ideal in HNF coprime to 3 and z algebraic integer,
    3714             :  * return b algebraic integer such that z + 3b in  J */
    3715             : static GEN
    3716       13153 : approx_mod3(GEN J, GEN z)
    3717             : {
    3718       13153 :   GEN b = z;
    3719             :   long i;
    3720       13153 :   if (typ(b) == t_INT)
    3721             :   {
    3722       13104 :     long s = smodis(b,3);
    3723       13104 :     if (s)
    3724             :     {
    3725           0 :       GEN Jz = gcoeff(J,1,1);
    3726           0 :       if (smodis(Jz, 3) == s)
    3727           0 :         b = subii(b, Jz);
    3728             :       else
    3729           0 :         b = addii(b, Jz);
    3730             :     }
    3731       13104 :     return diviiexact(b, stoi(-3));
    3732             :   }
    3733         147 :   for (i = lg(J)-1; i >= 1; i--)
    3734             :   {
    3735          98 :     long s = smodis(gel(b,i), 3);
    3736          98 :     if (!s) continue;
    3737          49 :     if (smodis(gcoeff(J,i,i), 3) == s)
    3738          21 :       b = ZC_sub(b, gel(J,i));
    3739             :     else
    3740          28 :       b = ZC_add(b, gel(J,i));
    3741             :   }
    3742          49 :   return ZC_Z_divexact(b, stoi(-3));
    3743             : }
    3744             : 
    3745             : /* return a such that v_P(a) = -1, integral elsewhere */
    3746             : static GEN
    3747        3766 : get_piinv(GEN P)
    3748             : {
    3749        3766 :   GEN z = pr_get_tau(P);
    3750        3766 :   if (typ(z) == t_MAT) z = gel(z,1);
    3751        3766 :   return gdiv(z, pr_get_p(P));
    3752             : }
    3753             : /* pi = local uniformizer, pv = 1/pi */
    3754             : static void
    3755      150500 : get_uniformizers(GEN nf, GEN P, GEN *pi, GEN *pv)
    3756             : {
    3757      150500 :   if (pr_is_inert(P))
    3758             :   {
    3759      146769 :     *pi = pr_get_p(P);
    3760      146769 :     *pv = mkfrac(gen_1, *pi);
    3761             :   }
    3762             :   else
    3763             :   {
    3764        3731 :     *pv = get_piinv(P);
    3765        3731 :     *pi = nfinv(nf, *pv);
    3766             :   }
    3767      150500 : }
    3768             : /* x^2+E.a1*x-E.a2 */
    3769             : static GEN
    3770      242060 : pola1a2(GEN e, GEN nf, GEN modP)
    3771             : {
    3772      242060 :   GEN a1 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a1(e), modP);
    3773      242060 :   GEN a2 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a2(e), modP);
    3774      242060 :   return mkpoln(3, gen_1, a1, gneg(a2));
    3775             : }
    3776             : 
    3777             : /* x^2+E.a3*pv3*x-E.a6*pv6 */
    3778             : static GEN
    3779      392007 : pola3a6(GEN e, GEN nf, GEN modP, GEN pv3, GEN pv6)
    3780             : {
    3781      392007 :   GEN a3 = nf_to_Fq(nf, nfmul(nf, ell_get_a3(e), pv3), modP);
    3782      392007 :   GEN a6 = nf_to_Fq(nf, nfmul(nf, ell_get_a6(e), pv6), modP);
    3783      392007 :   return mkpoln(3, gen_1, a3, gneg(a6));
    3784             : }
    3785             : 
    3786             : /* E.a2*pv2*x^2 + E.a4*pv4*x + E.a6*pv6 */
    3787             : 
    3788             : static GEN
    3789      216468 : pola2a4a6(GEN e, GEN nf, GEN modP, GEN pv2, GEN pv4, GEN pv6)
    3790             : {
    3791      216468 :   GEN a2 = nf_to_Fq(nf, nfmul(nf, ell_get_a2(e), pv2), modP);
    3792      216468 :   GEN a4 = nf_to_Fq(nf, nfmul(nf, ell_get_a4(e), pv4), modP);
    3793      216468 :   GEN a6 = nf_to_Fq(nf, nfmul(nf, ell_get_a6(e), pv6), modP);
    3794      216468 :   return mkpoln(3, a2, a4, a6);
    3795             : }
    3796             : 
    3797             : static GEN
    3798      585130 : pol2sqrt_23(GEN modP, GEN Q)
    3799             : {
    3800      585130 :   GEN p = modpr_get_p(modP), T = modpr_get_T(modP);
    3801      585130 :   GEN r = absequaliu(p,2) ? gel(Q,2): gel(Q,3);
    3802      585130 :   if (!gequal1(gel(Q,4))) r = Fq_div(r, gel(Q,4), T, p);
    3803      585130 :   if (absequaliu(p,2)) r = Fq_sqrt(r,T,p);
    3804      585130 :   return Fq_to_nf(r, modP);
    3805             : }
    3806             : 
    3807             : static GEN
    3808       15512 : nflocalred_section7(GEN e, GEN nf, GEN modP, GEN pi, GEN pv, long vD, GEN ch)
    3809             : {
    3810       15512 :   GEN p = modpr_get_p(modP), T = modpr_get_T(modP);
    3811       15512 :   GEN pi3 = nfsqr(nf,pi);
    3812       15512 :   GEN pv3 = nfsqr(nf,pv), pv4 = nfmul(nf,pv,pv3), pv6 = nfsqr(nf,pv3);
    3813       15512 :   long n = 1;
    3814             :   while(1)
    3815       24682 :   {
    3816       40194 :     GEN Q = pola3a6(e, nf, modP, pv3, pv6);
    3817             :     GEN gama;
    3818       40194 :     if (FqX_is_squarefree(Q, T, p))
    3819             :     {
    3820        8071 :       long nr = FqX_nbroots(Q,T,p);
    3821        8071 :       return localred_result(vD-n-4,-4-n,nr+2,ch);
    3822             :     }
    3823       32123 :     gama = pol2sqrt_23(modP, Q);
    3824       32123 :     nf_compose_t(nf, &ch, &e, nfmul(nf, gama,pi3));
    3825       32123 :     pv6 = nfmul(nf,pv,pv6); n++;
    3826       32123 :     Q = pola2a4a6(e, nf, modP, pv, pv4, pv6);
    3827       32123 :     if (FqX_is_squarefree(Q, T, p))
    3828             :     {
    3829        7441 :       long nr = FqX_nbroots(Q,T,p);
    3830        7441 :       return localred_result(vD-n-4,-4-n,nr+2,ch);
    3831             :     }
    3832       24682 :     gama = pol2sqrt_23(modP, Q);
    3833       24682 :     nf_compose_r(nf, &ch, &e, nfmul(nf, gama, pi3));
    3834       24682 :     pi3 = nfmul(nf,pi, pi3);
    3835       24682 :     pv3 = pv4; pv4 = nfmul(nf,pv,pv4); pv6 = nfmul(nf,pv,pv6); n++;
    3836             :   }
    3837             : }
    3838             : 
    3839             : /* Tate algorithm, following J.H. Silverman GTM 151, chapt. IV, algo 9.4 */
    3840             : /* Dedicated to John Tate for his kind words */
    3841             : 
    3842             : static GEN
    3843       99449 : nflocalred_23(GEN nf, GEN e, GEN D, GEN P, long *ap)
    3844             : {
    3845             :   GEN T, p, modP;
    3846             :   long vD;
    3847             :   GEN ch, pv, pv2, pv4, pi, pol;
    3848       99449 :   modP = nf_to_Fq_init(nf,&P,&T,&p);
    3849       99449 :   get_uniformizers(nf,P, &pi, &pv);
    3850       99449 :   ch = init_ch();
    3851       99449 :   vD = nfval(nf,D,P);
    3852       99449 :   *ap = 0;
    3853             :   while(1)
    3854             :   {
    3855      252581 :     if (vD==0)
    3856         735 :       return localred_result(0,1,1,ch);
    3857             :     else
    3858             :     {
    3859      251846 :       GEN a1 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a1(e), modP);
    3860      251846 :       GEN a2 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a2(e), modP);
    3861      251846 :       GEN a3 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a3(e), modP);
    3862      251846 :       GEN a4 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a4(e), modP);
    3863      251846 :       GEN a6 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a6(e), modP);
    3864             :       GEN x0, y0;
    3865      251846 :       if (absequaliu(p,2))
    3866             :       {
    3867             :         GEN x02, y02;
    3868      164444 :         if (signe(a1))
    3869             :         {
    3870       30191 :           x0 = Fq_div(a3, a1, T, p);
    3871       30191 :           x02 = Fq_sqr(x0,T,p);
    3872       30191 :           y02 = Fq_add(Fq_mul(x02,Fq_add(x0,a2,T,p),T,p),Fq_add(Fq_mul(a4,x0,T,p),a6,T,p),T,p);
    3873             :         }
    3874             :         else
    3875             :         {
    3876      134253 :           x0 = Fq_sqrt(a4, T, p);
    3877      134253 :           y02 = Fq_add(Fq_mul(a4,a2,T,p),a6,T,p);
    3878             :         }
    3879      164444 :         y0 = Fq_sqrt(y02,T,p);
    3880             :       }
    3881             :       else
    3882             :       {
    3883       87402 :         GEN a12 = Fq_add(Fq_sqr(a1,T,p),a2,T,p);
    3884       87402 :         if (signe(a12))
    3885       27524 :           x0 = Fq_div(Fq_sub(a4,Fq_mul(a3,a1,T,p),T,p),a12,T,p);
    3886             :         else
    3887       59878 :           x0 = Fq_sqrtn(Fq_neg(Fq_add(Fq_sqr(a3,T,p),a6,T,p),T,p),p,T,p,NULL);
    3888       87402 :         y0 = Fq_add(Fq_mul(a1, x0, T, p), a3, T, p);
    3889             :       }
    3890      251846 :       x0 = Fq_to_nf(x0, modP);
    3891      251846 :       y0 = Fq_to_nf(y0, modP);
    3892      251846 :       nf_compose_rt(nf, &ch, &e, x0, y0);
    3893             :     }
    3894             :     /* 2 */
    3895             :     {
    3896      251846 :       GEN b2 = nf_to_Fq(nf, ell_get_b2(e), modP);
    3897      251846 :       if (signe(b2) != 0)
    3898             :       {
    3899       57715 :         GEN Q = pola1a2(e, nf, modP);
    3900       57715 :         long nr = FqX_nbroots(Q, T, p);
    3901       57715 :         if (nr==2) { *ap =  1; return localred_result(1,vD+4,vD,ch); /* Inu */ }
    3902       27895 :         else       { *ap = -1; return localred_result(1,vD+4,odd(vD)?1:2,ch);  }
    3903             :       }
    3904             :     }
    3905             :     /* 3 */
    3906             :     {
    3907      194131 :       long va6 = nfval(nf,ell_get_a6(e),P);
    3908      194131 :       if (va6 <= 1) return localred_result(vD,2,1,ch); /* II */
    3909             :     }
    3910             :     /* 4 */
    3911             :     {
    3912      191429 :       long vb8 = nfval(nf,ell_get_b8(e),P);
    3913      191429 :       if (vb8 <= 2) return localred_result(vD-1,3,2,ch);/* III */
    3914             :     }
    3915             :     /* 5 */
    3916      187719 :     pv2 = nfsqr(nf,pv);
    3917             :     {
    3918      187719 :       long vb6 = nfval(nf,ell_get_b6(e),P);
    3919      187719 :       if (vb6<=2)
    3920             :       {
    3921        3374 :         GEN Q = pola3a6(e, nf, modP, pv, pv2);
    3922        3374 :         long nr = FqX_nbroots(Q,T,p);
    3923        3374 :         return localred_result(vD-2,4,1+nr,ch);/* IV */
    3924             :       }
    3925             :     }
    3926             :     /* 6 */
    3927             :     {
    3928      184345 :       GEN pv3 = nfmul(nf,pv, pv2);
    3929      184345 :       GEN alpha = pol2sqrt_23(modP, pola1a2(e, nf, modP));
    3930      184345 :       GEN beta  = pol2sqrt_23(modP, pola3a6(e, nf, modP, pv, pv2));
    3931             :       GEN po2, E, F, mr;
    3932             :       long i, lE;
    3933      184345 :       nf_compose_st(nf, &ch, &e, alpha, nfmul(nf, beta, pi));
    3934      184345 :       po2 = pola2a4a6(e, nf, modP, pv, pv2, pv3);
    3935      184345 :       if (signe(po2)) /* po2 = 0 is frequent when nonminimal */
    3936             :       {
    3937       69776 :         pol = RgX_add(pol_xn(3,0), po2);
    3938       69776 :         F = FqX_factor(pol, T, p); E = gel(F,2);
    3939       69776 :         lE = lg(E);
    3940       69776 :         if (E[1] == 1 && (lE == 2 || E[2] == 1))
    3941             :         { /* T squarefree, degree pattern is (3), (12) or (111) */
    3942             :           long c; /* 1 + number of roots */
    3943        4739 :           switch(lE)
    3944             :           {
    3945        1764 :             case 2: c = 1; break;
    3946        2625 :             case 3: c = 2; break;
    3947         350 :             default: c = 4; break;
    3948             :           }
    3949        4739 :           return localred_result(vD-4,-1,c,ch);/* I0* */
    3950             :         }
    3951             :       /* 7 */
    3952       65037 :         i = (lE == 2 || E[1] == 2)? 1: 2; /* index of multiple root */
    3953       65037 :         mr = constant_coeff(gmael(F,1,i)); /* - multiple root */
    3954       65037 :         if (!gequal0(mr))
    3955             :         { /* not so frequent */
    3956       58989 :           GEN gama = Fq_to_nf(Fq_neg(mr, T, p), modP);
    3957       58989 :           nf_compose_r(nf, &ch, &e, nfmul(nf, gama,pi));
    3958             :         }
    3959       65037 :         if (lE == 3)
    3960       15512 :           return nflocalred_section7(e, nf, modP, pi, pv, vD, ch); /* Inu* */
    3961             :       }
    3962             :     }
    3963      164094 :     pv4 = nfsqr(nf,pv2);
    3964      164094 :     pol = pola3a6(e, nf, modP, pv2, pv4);
    3965             :     /*  8 */
    3966      164094 :     if (FqX_is_squarefree(pol,T,p))
    3967             :     {
    3968        4459 :       long nr = FqX_nbroots(pol, T, p);
    3969        4459 :       return localred_result(vD-6,-4,1+nr,ch); /* IV* */
    3970             :     }
    3971             :     /*  9 */
    3972             :     {
    3973      159635 :       GEN alpha = pol2sqrt_23(modP, pol);
    3974      159635 :       nf_compose_t(nf, &ch, &e, nfmul(nf, alpha, nfsqr(nf,pi)));
    3975      159635 :       if (nfval(nf, ell_get_a4(e), P) == 3)
    3976        3962 :         return localred_result(vD-7,-3,2,ch); /* III* */
    3977             :     }
    3978             :     /* 10 */
    3979      155673 :     if (nfval(nf, ell_get_a6(e), P) == 5)
    3980        2541 :       return localred_result(vD-8,-2,1,ch); /* II* */
    3981             :     /* 11 */
    3982      153132 :     nf_compose_u(nf, &ch, &e, pi, pv);
    3983      153132 :     vD -= 12;
    3984             :   }
    3985             : }
    3986             : 
    3987             : /* Local reduction, residual characteristic >= 5. E/nf, P prid
    3988             : * Output: f, kod, [u,r,s,t], c */
    3989             : static GEN
    3990       51051 : nflocalred_p(GEN e, GEN P)
    3991             : {
    3992       51051 :   GEN nf = ellnf_get_nf(e), T,p, modP = nf_to_Fq_init(nf,&P,&T,&p);
    3993             :   long c, f, vD, nuj, kod, m;
    3994             :   GEN ch, c4, c6, D, z, pi, piinv;
    3995             : 
    3996       51051 :   c4 = ell_get_c4(e);
    3997       51051 :   c6 = ell_get_c6(e);
    3998       51051 :   D = ell_get_disc(e);
    3999       51051 :   vD = nfval(nf,D,P);
    4000       51051 :   nuj = nfval(nf,ell_get_j(e),P);
    4001       51051 :   nuj = nuj >= 0? 0: -nuj; /* v_P(denom(j)) */
    4002       51051 :   m = (vD - nuj)/12;
    4003       51051 :   get_uniformizers(nf,P, &pi, &piinv);
    4004             : 
    4005       51051 :   if(m <= 0) ch = init_ch();
    4006             :   else
    4007             :   { /* model not minimal */
    4008             :     GEN r,s,t, a1,a2,a3, u,ui,ui2,ui4,ui6,ui12;
    4009       13153 :     u = nfpow_u(nf,pi,m);
    4010       13153 :     ui = nfpow_u(nf,piinv,m);
    4011       13153 :     ui2 = nfsqr(nf,ui);
    4012       13153 :     ui4 = nfsqr(nf,ui2);
    4013       13153 :     ui6 = nfmul(nf,ui2,ui4);
    4014       13153 :     ui12 = nfsqr(nf,ui6);
    4015       13153 :     c4 = nfmul(nf,c4,ui4);
    4016       13153 :     c6 = nfmul(nf,c6,ui6);
    4017       13153 :     D = nfmul(nf,D,ui12);  vD -= 12*m;
    4018       13153 :     a1 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a1(e));
    4019       13153 :     a2 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a2(e));
    4020       13153 :     a3 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a3(e));
    4021       13153 :     s = approx_mod2(idealpow(nf,P,stoi(m)),   a1);
    4022       13153 :     r = gsub(a2, nfmul(nf,s,gadd(a1,s)));
    4023       13153 :     r = approx_mod3(idealpow(nf,P,stoi(2*m)), r);
    4024       13153 :     t = gadd(a3, nfmul(nf,r,a1));
    4025       13153 :     t = approx_mod2(idealpow(nf,P,stoi(3*m)), t);
    4026       13153 :     ch = mkvec4(u,r,s,t);
    4027             :   }
    4028             : 
    4029       51051 :   kod = 1; c = 1;
    4030             :   /* minimal at P */
    4031       51051 :   if (nuj > 0)
    4032             :   { /* v(j) < 0 */
    4033       47320 :     if (vD == nuj)
    4034             :     { /* v(c4) = v(c6) = 0, multiplicative reduction */
    4035       45227 :       f = 1; kod = 4+vD;
    4036       45227 :       z = Fq_neg(nf_to_Fq(nf,c6,modP), T,p);
    4037       45227 :       if (Fq_issquare(z,T,p))
    4038       24066 :         c = vD;/* split */
    4039             :       else
    4040       21161 :         c = odd(vD)?1 : 2; /* nonsplit */
    4041             :     }
    4042             :     else
    4043             :     { /* v(c4) = 2, v(c6) = 3, potentially multiplicative */
    4044             :       GEN Du;
    4045        2093 :       f = 2; kod = 2-vD;
    4046        2093 :       (void)nfvalrem(nf, D, P, &Du);
    4047        2093 :       z = nf_to_Fq(nf, Du, modP);
    4048        2093 :       if(odd(vD))
    4049             :       {
    4050             :         GEN c6u;
    4051        1120 :         (void)nfvalrem(nf, c6, P, &c6u);
    4052        1120 :         c6u = nf_to_Fq(nf, c6u, modP);
    4053        1120 :         z = Fq_mul(z, c6u, T,p);
    4054             :       }
    4055        2093 :       c = Fq_issquare(z,T,p)? 4: 2;
    4056             :     }
    4057             :   }
    4058             :   else
    4059             :   { /* v(j) >= 0 */
    4060        3731 :     f = vD? 2: 0;
    4061        3731 :     switch(vD)
    4062             :     {
    4063             :       GEN piinv2, piinv3, piinv4, w;
    4064          84 :       case 0: kod = 1; c = 1; break;
    4065         616 :       case 2: kod = 2; c = 1; break;
    4066         497 :       case 3: kod = 3; c = 2; break;
    4067         273 :       case 4: kod = 4;
    4068         273 :         z = nfmul(nf,c6,nfsqr(nf,piinv));
    4069         273 :         z = nf_to_Fq(nf, z, modP);
    4070         273 :         z = Fq_Fp_mul(z,stoi(-6),T,p);
    4071         273 :         c = Fq_issquare(z,T,p)? 3: 1;
    4072         273 :         break;
    4073         903 :       case 6: kod = -1;
    4074         903 :         piinv2 = nfsqr(nf,piinv);
    4075         903 :         piinv3 = nfmul(nf,piinv,piinv2);
    4076         903 :         z = nfmul(nf,c4,piinv2); z = nf_to_Fq(nf, z, modP);
    4077         903 :         z = Fq_Fp_mul(z,stoi(-3), T,p);
    4078         903 :         w = nfmul(nf,c6,piinv3); w = nf_to_Fq(nf, w, modP);
    4079         903 :         w = Fq_Fp_mul(w,gen_m2, T,p);
    4080         903 :         c = 1 + FqX_nbroots(mkpoln(4, gen_1,gen_0,z,w), T,p);
    4081         903 :         break;
    4082         609 :       case 8: kod = -4;
    4083         609 :         piinv4 = nfpow_u(nf,piinv,4);
    4084         609 :         z = nfmul(nf,c6,piinv4); z = nf_to_Fq(nf, z, modP);
    4085         609 :         z = Fq_Fp_mul(z,stoi(-6),T,p);
    4086         609 :         c = Fq_issquare(z,T,p)? 3: 1;
    4087         609 :         break;
    4088         476 :       case 9: kod = -3; c = 2; break;
    4089         273 :       case 10: kod = -2; c = 1; break;
    4090             :     }
    4091       51051 :   }
    4092       51051 :   return localred_result(f,kod,c,ch);
    4093             : }
    4094             : /* E is integral */
    4095             : static GEN
    4096      101353 : nflocalred(GEN E, GEN pr)
    4097             : {
    4098      101353 :   GEN p = pr_get_p(pr);
    4099      101353 :   if (abscmpiu(p, 3) <= 0)
    4100             :   {
    4101             :     long i, ap, vu;
    4102       50302 :     GEN nf = ellnf_get_nf(E), e = ell_to_nfell10(E), D = ell_get_disc(E);
    4103       50302 :     GEN q = nflocalred_23(nf,e,D,pr,&ap), v = gel(q,3), u = gel(v,1);
    4104       50302 :     gel(q,3) = v;
    4105             :     /* do nothing if already minimal or equation was not pr-integral */
    4106       50302 :     vu = nfval(nf, u, pr);
    4107       50302 :     if (vu > 0)
    4108             :     { /* remove denominators in r,s,t on nf.zk */
    4109       49315 :       GEN D, r = gel(v,2), s = gel(v,3), t = gel(v,4);
    4110       49315 :       D = Q_denom(mkvec3(r, s, t));
    4111       49315 :       if (!equali1(D))
    4112             :       { /* Beware: D may not be coprime to pr */
    4113             :         GEN a;
    4114         427 :         (void)nfvalrem(nf, D, pr, &D);
    4115             :         /* a in D/p^oo, = 1 mod (u^6) locally */
    4116         427 :         a = idealaddtoone_i(nf, D, idealpows(nf, pr, 6*vu));
    4117         427 :         gel(v,2) = nfmul(nf, r, a);
    4118         427 :         gel(v,3) = nfmul(nf, s, a);
    4119         427 :         gel(v,4) = nfmul(nf, t, a);
    4120             :       }
    4121             :     }
    4122      251510 :     for(i=1; i <= 4; i++) gel(v,i) = nftoalg(nf, gel(v,i));
    4123       50302 :     return q;
    4124             :   }
    4125       51051 :   return nflocalred_p(E,pr);
    4126             : }
    4127             : 
    4128             : static GEN
    4129     2809800 : checkellp(GEN *pE, GEN p, GEN *pv, const char *s)
    4130             : {
    4131     2809800 :   GEN q, E = *pE;
    4132             :   long tE;
    4133     2809800 :   checkell(E); tE = ell_get_type(E);
    4134     2809783 :   if (pv) *pv = NULL;
    4135     2809783 :   if (p) switch(typ(p))
    4136             :   {
    4137     2452305 :     case t_INT:
    4138     2452305 :       if (cmpis(p, 2) < 0) pari_err_DOMAIN(s,"p", "<", gen_2, p);
    4139     2452301 :       break;
    4140      198814 :     case t_VEC:
    4141      198814 :       q = get_prid(p);
    4142      198814 :       if (q && tE == t_ELL_NF)
    4143             :       {
    4144      198814 :         *pE = ellintegralmodel_i(E, pv);
    4145      198814 :         return q;
    4146             :       }
    4147           6 :     default: pari_err_TYPE(s,p);
    4148             :   }
    4149     2610959 :   switch(tE)
    4150             :   {
    4151      180169 :     case t_ELL_Fp:
    4152      180169 :     case t_ELL_Fq: q = ellff_get_p(E); break;
    4153         273 :     case t_ELL_Qp: q = ellQp_get_p(E); break;
    4154     2430520 :     case t_ELL_Q: if (p) { q = p; p = NULL; break; }
    4155             :     default:
    4156          18 :       pari_err_TYPE(stack_strcat(s," [can't determine p]"), E);
    4157             :       return NULL;/*LCOV_EXCL_LINE*/
    4158             :   }
    4159     2610941 :   if (p && !equalii(p, q)) pari_err_MODULUS(s, p,q);
    4160     2610906 :   if (tE == t_ELL_Q || tE == t_ELL_Qp || tE == t_ELL_NF)
    4161     2430737 :     *pE = ellintegralmodel_i(E, pv);
    4162     2610897 :   return q;
    4163             : }
    4164             : 
    4165             : GEN
    4166      197085 : elllocalred(GEN E, GEN p)
    4167             : {
    4168      197085 :   pari_sp av = avma;
    4169             :   GEN v, q;
    4170      197085 :   checkell(E);
    4171      197085 :   p = checkellp(&E, p, &v, "elllocalred");
    4172      197071 :   switch(ell_get_type(E))
    4173             :   {
    4174       99477 :     case t_ELL_Qp:
    4175       99477 :     case t_ELL_Q:  q = localred(E, p); break;
    4176       97594 :     case t_ELL_NF: q = nflocalred(E, p); break;
    4177           0 :     default: pari_err_TYPE("elllocalred", E);
    4178             :       return NULL;/*LCOV_EXCL_LINE*/
    4179             :   }
    4180      197071 :   if (v)
    4181             :   { /* compose local change of variables with v */
    4182          28 :     GEN u = gel(v,1), w = gel(q,3);
    4183          28 :     if (is_trivial_change(w))
    4184          21 :       gel(q,3) = mkvec4(u,gen_0,gen_0,gen_0);
    4185             :     else
    4186           7 :       gel(w,1) = gmul(u, gel(w,1));
    4187             :   }
    4188      197071 :   return gerepilecopy(av, q);
    4189             : }
    4190             : 
    4191             : /* typ(c) = t_INT or t_FRAC */
    4192             : static GEN
    4193       10899 : handle_Q(GEN c, GEN *pd)
    4194             : {
    4195       10899 :   *pd = (typ(c) == t_INT)? NULL: gel(c,2);
    4196       10899 :   return c;
    4197             : }
    4198             : static GEN
    4199    15468851 : handle_coeff(GEN nf, GEN c, GEN *pd)
    4200             : {
    4201    15468851 :   *pd = NULL;
    4202    15468851 :   switch(typ(c))
    4203             :   {
    4204    15454229 :     case t_INT: *pd = NULL; return c;
    4205        3752 :     case t_FRAC: *pd = gel(c,2); return c;
    4206       10899 :     case t_POL: case t_POLMOD: case t_COL:
    4207       10899 :       if (nf)
    4208             :       {
    4209       10899 :         c = nf_to_scalar_or_basis(nf,c);
    4210       10899 :         return handle_Q(Q_content(c), pd);
    4211             :       }
    4212           0 :     default: pari_err_TYPE("ellintegralmodel",c);
    4213             :       return NULL;/*LCOV_EXCL_LINE*/
    4214             :   }
    4215             : }
    4216             : /* Return an integral model for e / nf, Q. Set v = NULL (already integral)
    4217             :  * or the variable change [u,0,0,0], u = 1/t, t > 1 integer making e integral */
    4218             : GEN
    4219     3093829 : ellintegralmodel_i(GEN e, GEN *pv)
    4220             : {
    4221             :   GEN a, t, u, L, nf;
    4222             :   long i, l, k;
    4223             : 
    4224     3093829 :   if (pv) *pv = NULL;
    4225             :   /* t_ELL_Qp is also possible */
    4226     3093829 :   nf = (ell_get_type(e) == t_ELL_NF)?ellnf_get_nf(e): NULL;
    4227     3093826 :   L = cgetg(1, t_VEC); a = cgetg(6, t_VEC);
    4228    18562701 :   for (i = 1; i < 6; i++)
    4229             :   {
    4230             :     GEN d;
    4231    15468876 :     gel(a,i) = handle_coeff(nf, gel(e,i), &d);
    4232    15468885 :     if (d) /* partial factorization of denominator */
    4233        4725 :       L = shallowconcat(L, gel(Z_factor_limit(d, 0),1));
    4234             :   }
    4235             :   /* a = [a1, a2, a3, a4, a6] */
    4236     3093825 :   l = lg(L); if (l == 1) return e;
    4237        2351 :   L = ZV_sort_uniq(L);
    4238        2352 :   l = lg(L);
    4239             : 
    4240        2352 :   t = gen_1;
    4241        6125 :   for (k = 1; k < l; k++)
    4242             :   {
    4243        3773 :     GEN p = gel(L,k);
    4244        3773 :     long n = 0, m;
    4245       22638 :     for (i = 1; i < 6; i++)
    4246       18865 :       if (!gequal0(gel(a,i)))
    4247             :       {
    4248        8764 :         long r = (i == 5)? 6: i; /* a5 is missing */
    4249        8764 :         m = r * n + Q_pval(gel(a,i), p);
    4250       13055 :         while (m < 0) { n++; m += r; }
    4251             :       }
    4252        3773 :     t = mulii(t, powiu(p, n));
    4253             :   }
    4254        2352 :   u = ginv(t);
    4255        2352 :   if (pv) *pv = mkvec4(u,gen_0,gen_0,gen_0);
    4256        2352 :   return coordch_uinv(e, t);
    4257             : }
    4258             : GEN
    4259         336 : ellintegralmodel(GEN e, GEN *pv)
    4260             : {
    4261         336 :   pari_sp av = avma;
    4262         336 :   checkell(e);
    4263         336 :   switch(ell_get_type(e))
    4264             :   {
    4265         336 :     case t_ELL_Q:
    4266             :     case t_ELL_Qp:
    4267         336 :     case t_ELL_NF: break;
    4268           0 :     default: pari_err_TYPE("ellintegralmodel",e);
    4269             :   }
    4270         336 :   e = ellintegralmodel_i(e, pv);
    4271         336 :   if (pv && *pv) return gc_all(av, 2, &e, pv);
    4272         315 :   e = gerepilecopy(av, e);
    4273         315 :   if (pv) *pv = init_ch();
    4274         315 :   return e;
    4275             : }
    4276             : 
    4277             : /* return an integral model with a1 = a3 = 0 */
    4278             : GEN
    4279           0 : ellintegralbmodel(GEN e, GEN *pv)
    4280             : {
    4281           0 :   pari_sp av = avma;
    4282             :   GEN f, a1, a3;
    4283             : 
    4284           0 :   checkell(e); f = ellintegralmodel_i(e, pv);
    4285           0 :   a1 = ell_get_a1(f);
    4286           0 :   a3 = ell_get_a3(f);
    4287           0 :   if (!signe(a1) && !signe(a3))
    4288           0 :   { if (!*pv) *pv = init_ch(); }
    4289             :   else
    4290             :   {
    4291           0 :     GEN v = mkvec4(mpodd(a1) || mpodd(a3) ? ghalf : gen_1,
    4292             :                    gen_0, gdivgs(a1,-2), gdivgs(a3,-2));
    4293           0 :     gcomposev(pv, v); f = coordch(f, v);
    4294             :   }
    4295           0 :   if (f != e) ell_reset(f);
    4296           0 :   return gc_all(av, 2, &f, pv);
    4297             : }
    4298             : 
    4299             : static long
    4300        2548 : F2_card(ulong a1, ulong a2, ulong a3, ulong a4, ulong a6)
    4301             : {
    4302        2548 :   long N = 1; /* oo */
    4303        2548 :   if (!a3) N ++; /* x = 0, y=0 or 1 */
    4304        2408 :   else if (!a6) N += 2; /* x = 0, y arbitrary */
    4305        2548 :   if ((a3 ^ a1) == 0) N++; /* x = 1, y = 0 or 1 */
    4306        2114 :   else if (a2 ^ a4 ^ a6) N += 2; /* x = 1, y arbitrary */
    4307        2548 :   return N;
    4308             : }
    4309             : static long
    4310        3556 : F3_card(ulong b2, ulong b4, ulong b6)
    4311             : {
    4312        3556 :   ulong Po = 1+2*b4, Pe = b2+b6;
    4313             :   /* kro(x,3)+1 = (x+1)%3, N = 4 + sum(kro) = 1+ sum(1+kro) */
    4314        3556 :   return 1+(b6+1)%3+(Po+Pe+1)%3+(2*Po+Pe+1)%3;
    4315             : }
    4316             : static long
    4317        2527 : cardmod2(GEN e)
    4318             : { /* solve y(1 + a1x + a3) = x (1 + a2 + a4) + a6 */
    4319        2527 :   ulong a1 = Rg_to_F2(ell_get_a1(e));
    4320        2527 :   ulong a2 = Rg_to_F2(ell_get_a2(e));
    4321        2527 :   ulong a3 = Rg_to_F2(ell_get_a3(e));
    4322        2527 :   ulong a4 = Rg_to_F2(ell_get_a4(e));
    4323        2527 :   ulong a6 = Rg_to_F2(ell_get_a6(e));
    4324        2527 :   return F2_card(a1,a2,a3,a4,a6);
    4325             : }
    4326             : static long
    4327        3416 : cardmod3(GEN e)
    4328             : {
    4329        3416 :   ulong b2 = Rg_to_Fl(ell_get_b2(e), 3);
    4330        3416 :   ulong b4 = Rg_to_Fl(ell_get_b4(e), 3);
    4331        3416 :   ulong b6 = Rg_to_Fl(ell_get_b6(e), 3);
    4332        3416 :   return F3_card(b2,b4,b6);
    4333             : }
    4334             : 
    4335             : static ulong
    4336         378 : ZtoF2(GEN x) { return (ulong)mpodd(x); }
    4337             : 
    4338             : /* complete local reduction at 2, u = 2^d */
    4339             : static void
    4340          35 : min_set_2(ellmin_t *M, GEN E, long d)
    4341             : {
    4342          35 :   min_set_u(M, int2n(d));
    4343          35 :   min_set_c(M, E);
    4344          35 :   min_set_b(M);
    4345          35 :   min_set_a(M);
    4346          35 : }
    4347             : /* local reduction at 3, u = 3^d, don't compute the a_i */
    4348             : static void
    4349         140 : min_set_3(ellmin_t *M, GEN E, long d)
    4350             : {
    4351         140 :   min_set_u(M, powuu(3, d));
    4352         140 :   min_set_c(M, E);
    4353         140 :   min_set_b(M);
    4354         140 : }
    4355             : 
    4356             : static long
    4357      102410 : ellQap_u(GEN E, ulong p, int *good_red)
    4358             : {
    4359      102410 :   long vc6, vD, d = get_vp_u_small(E, p, &vc6, &vD);
    4360      102410 :   if (vD) /* bad reduction */
    4361             :   {
    4362             :     GEN c6;
    4363             :     long s;
    4364      102102 :     *good_red = 0;
    4365      102102 :     if (vc6) return 0;
    4366       75159 :     c6 = ell_get_c6(E);
    4367       75159 :     if (d) c6 = diviiexact(c6, powuu(p, 6*d));
    4368       75159 :     s = kroiu(c6,p);
    4369       75159 :     if ((p & 3) == 3) s = -s;
    4370       75159 :     return s;
    4371             :   }
    4372         308 :   *good_red = 1;
    4373         308 :   if (p == 2)
    4374             :   {
    4375             :     ellmin_t M;
    4376          21 :     if (!d) return 3 - cardmod2(E);
    4377          21 :     min_set_2(&M, E, d);
    4378          21 :     return 3 - F2_card(M.a1, M.a2 & 1, M.a3, ZtoF2(M.a4), ZtoF2(M.a6));
    4379             :   }
    4380         287 :   else if (p == 3)
    4381             :   {
    4382             :     ellmin_t M;
    4383         140 :     if (!d) return 4 - cardmod3(E);
    4384         140 :     min_set_3(&M, E, d);
    4385         140 :     return 4 - F3_card(M.b2, umodiu(M.b4,3), umodiu(M.b6,3));
    4386             :   }
    4387             :   else
    4388             :   {
    4389             :     ellmin_t M;
    4390         147 :     GEN a4, a6, pp = utoipos(p);
    4391         147 :     min_set_u(&M, powuu(p,d));
    4392         147 :     min_set_c(&M, E);
    4393         147 :     c4c6_to_a4a6(M.c4, M.c6, pp, &a4,&a6);
    4394         147 :     return itos( subui(p+1, Fp_ellcard(a4, a6, pp)) );
    4395             :   }
    4396             : }
    4397             : 
    4398             : static GEN
    4399       98574 : ellQap(GEN E, GEN p, int *good_red)
    4400             : {
    4401             :   GEN a4,a6, c4, c6, D;
    4402             :   long vc6, vD, d;
    4403       98574 :   if (lgefint(p) == 3) return stoi( ellQap_u(E, p[2], good_red) );
    4404           0 :   c6 = ell_get_c6(E);
    4405           0 :   D = ell_get_disc(E);
    4406           0 :   vc6 = Z_pval(c6,p); vD = Z_pval(D,p);
    4407           0 :   d = minss(2*vc6, vD) / 12;
    4408           0 :   if (d) { vc6 -= 6*d; vD -= 12*d; } /* non minimal model */
    4409           0 :   if (vD) /* bad reduction */
    4410             :   {
    4411             :     long s;
    4412           0 :     *good_red = 0;
    4413           0 :     if (vc6) return gen_0;
    4414           0 :     if (d) c6 = diviiexact(c6, powiu(p, 6*d));
    4415           0 :     s = kronecker(c6,p);
    4416           0 :     if (mod4(p) == 3) s = -s;
    4417           0 :     return s < 0? gen_m1: gen_1;
    4418             :   }
    4419           0 :   *good_red = 1;
    4420           0 :   c4 = ell_get_c4(E);
    4421           0 :   if (d)
    4422             :   {
    4423           0 :     GEN u2 = powiu(p, 2*d), u4 = sqri(u2), u6 = mulii(u2,u4);
    4424           0 :     c4 = diviiexact(c4, u4);
    4425           0 :     c6 = diviiexact(c6, u6);
    4426             :   }
    4427           0 :   c4c6_to_a4a6(c4, c6, p, &a4,&a6);
    4428           0 :   return subii(addiu(p,1), Fp_ellcard(a4, a6, p));
    4429             : }
    4430             : 
    4431             : static GEN
    4432      117071 : doellcard(GEN E)
    4433             : {
    4434      117071 :   GEN fg = ellff_get_field(E);
    4435      117071 :   if (typ(fg)==t_FFELT)
    4436       95364 :     return FF_ellcard(E);
    4437             :   else
    4438             :   {
    4439       21707 :     GEN e = ellff_get_a4a6(E);
    4440       21707 :     return Fp_ellcard(gel(e,1),gel(e,2),fg);
    4441             :   }
    4442             : }
    4443             : 
    4444             : static GEN
    4445      184785 : ellnfap(GEN E, GEN P, int *good_red)
    4446             : {
    4447      184785 :   GEN a4,a6, card, nf = ellnf_get_nf(E);
    4448      184782 :   GEN T,p, modP = nf_to_Fq_init(nf,&P,&T,&p);
    4449      184782 :   if (abscmpiu(p, 3) <= 0)
    4450             :   {
    4451             :     long ap;
    4452       49147 :     GEN nf = ellnf_get_nf(E), e = ell_to_nfell10(E), D = ell_get_disc(E);
    4453       49147 :     GEN L = nflocalred_23(nf, e,D,P,&ap), kod = gel(L,2);
    4454       49147 :     if (!equali1(kod)) { *good_red = 0; return stoi(ap); }
    4455         476 :     *good_red = 1;
    4456         476 :     E = nf_coordch(nf, vecslice(e,1,5), gel(L,3));
    4457         476 :     E = ellinit_nf_to_Fq(nf, E, modP);
    4458         476 :     card = FF_ellcard(E);
    4459             :   }
    4460             :   else
    4461             :   {
    4462      135636 :     GEN c6 = ell_get_c6(E), c4 = ell_get_c4(E);
    4463      135630 :     long vD = nfval(nf, ell_get_disc(E), P);
    4464      135593 :     if (vD)
    4465             :     {
    4466             :       GEN c6new;
    4467       49168 :       long d, vc6 = nfvalrem(nf,c6,P, &c6new);
    4468       49168 :       d = ((vc6 == LONG_MAX)? vD: minss(vD,2*vc6)) / 12;
    4469       49168 :       if (vD > 12*d)
    4470             :       { /* bad reduction */
    4471       49133 :         *good_red = 0;
    4472       92911 :         if (vc6 != 6*d) return gen_0;
    4473       43778 :         c6 = nf_to_Fq(nf, c6new, modP);
    4474       43778 :         return Fq_issquare(gneg(c6),T,p)? gen_1: gen_m1;
    4475             :       }
    4476          35 :       if (d)
    4477             :       { /* model not minimal at P */
    4478          35 :         GEN piinv = get_piinv(P);
    4479          35 :         GEN ui2 = nfpow(nf, piinv, stoi(2*d));
    4480          35 :         GEN ui4 = nfsqr(nf, ui2);
    4481          35 :         GEN ui6 = nfmul(nf, ui2, ui4);
    4482          35 :         c4 = nfmul(nf, c4, ui4);
    4483          35 :         c6 = nfmul(nf, c6, ui6);
    4484             :       }
    4485             :     }
    4486       86460 :     *good_red = 1;
    4487       86460 :     c4 = nf_to_Fq(nf, c4, modP);
    4488       86475 :     c6 = nf_to_Fq(nf, c6, modP);
    4489       86472 :     Fq_c4c6_to_a4a6(c4, c6, T,p, &a4,&a6);
    4490       86504 :     card = T? FpXQ_ellcard(Fq_to_FpXQ(a4,T,p),Fq_to_FpXQ(a6,T,p),T,p)
    4491       86436 :             : Fp_ellcard(a4,a6,p);
    4492             :   }
    4493       86979 :   return subii(addiu(pr_norm(P),1), card);
    4494             : }
    4495             : 
    4496             : /* a, b not both 0; sorted list of primes dividing gcd(a,b), using coprime
    4497             :  * basis */
    4498             : static GEN
    4499      458024 : Z_gcd_primes(GEN a, GEN b)
    4500             : {
    4501             :   GEN P;
    4502      458024 :   if (!signe(a))
    4503        1834 :     P = gel(absZ_factor(b), 1);
    4504      456190 :   else if (!signe(b))
    4505        1008 :     P = gel(absZ_factor(a), 1);
    4506             :   else
    4507             :   {
    4508      455182 :     GEN A, B, v = Z_ppio(a,b), d = gel(v,1); /* = gcd(a,b) */
    4509             :     long k, l;
    4510      455182 :     if (is_pm1(d)) return cgetg(1, t_COL);
    4511      346507 :     A = gel(v,2); /* gcd(a, b^oo) */
    4512      346507 :     B = diviiexact(b, Z_ppo(b, d)); /* gcd(b, a^oo) */
    4513             :     /* d = gcd(A,B) */
    4514      346507 :     P = Z_cba(A, B); /* use coprime basis to help as much as possible */
    4515      346507 :     l = lg(P);
    4516      810607 :     for (k = 1; k < l; k++) gel(P,k) = gel(Z_factor(gel(P,k)), 1);
    4517      346507 :     P = shallowconcat1(P);
    4518      346507 :     ZV_sort_inplace(P);
    4519             :   }
    4520      349349 :   settyp(P, t_VEC); return P;
    4521             : }
    4522             : /* E/Q, integral model, Laska-Kraus-Connell algorithm. Set *pDP to a list
    4523             :  * of known prime divisors of minimal discriminant */
    4524             : static GEN
    4525      457114 : ellQ_minimalu(GEN E, GEN *pDP)
    4526             : {
    4527             :   pari_sp av;
    4528      457114 :   GEN D = ell_get_disc(E);
    4529      457114 :   GEN c4 = ell_get_c4(E);
    4530      457114 :   GEN c6 = ell_get_c6(E), g, u, P, DP;
    4531             :   long l, k;
    4532             : 
    4533      457114 :   P = Z_gcd_primes(c4, c6);
    4534      457114 :   l = lg(P); if (l == 1) { if(pDP) *pDP = P; return gen_1; }
    4535      348579 :   DP = coltrunc_init(l);
    4536      348579 :   av = avma;
    4537      348579 :   g = gcdii(sqri(c6), D);
    4538      348579 :   u = gen_1;
    4539      858221 :   for (k = 1; k < l; k++)
    4540             :   {
    4541      509642 :     GEN p = gel(P, k);
    4542      509642 :     long vg = Z_pval(g, p), d = vg / 12, r = vg % 12;
    4543      509642 :     if (d) switch(itou_or_0(p))
    4544             :     {
    4545       57897 :       case 2:
    4546             :       {
    4547             :         long a, b;
    4548       57897 :         a = Mod16( shifti(c4, -4*d) );
    4549       57897 :         b = Mod32( shifti(c6, -6*d) );
    4550       57897 :         if ((b & 3) != 3 && (a || (b && b!=8))) { d--; r += 12; }
    4551       57897 :         break;
    4552             :       }
    4553        2863 :       case 3:
    4554        2863 :         if (safe_Z_lval(c6,3) == 6*d+2) { d--; r += 12; }
    4555        2863 :         break;
    4556             :     }
    4557      509642 :     if (r) vectrunc_append(DP, p);
    4558      509642 :     if (d) u = mulii(u, powiu(p, d));
    4559             :   }
    4560      348579 :   if (pDP) *pDP = DP;
    4561      348579 :   return gerepileuptoint(av, u);
    4562             : }
    4563             : 
    4564             : /* Ensure a1 and a3 are 2-restricted and a2 is 3-restricted */
    4565             : static GEN
    4566          35 : nfrestrict23(GEN nf, GEN E)
    4567             : {
    4568          35 :   GEN a1 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a1(E)), A1, A2, A3, r, s, t;
    4569          35 :   GEN a2 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a2(E));
    4570          35 :   GEN a3 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a3(E));
    4571             : 
    4572          35 :   A1 = gmodgs(a1,2);
    4573          35 :   s = gshift(gsub(A1,a1), -1);
    4574          35 :   s = lift_if_rational(basistoalg(nf, s));
    4575          35 :   A2 = nfsub(nf, a2, nfmul(nf,s, nfadd(nf,a1,s)));
    4576          35 :   r = gdivgu(gsub(gmodgs(A2,3), A2), 3);
    4577          35 :   r = lift_if_rational(basistoalg(nf, r));
    4578          35 :   A3 = nfadd(nf, a3, nfmul(nf,r,A1));
    4579          35 :   t = nfadd(nf, nfmul(nf, r,s), gshift(gsub(gmodgs(A3,2), A3), -1));
    4580          35 :   t = lift_if_rational(basistoalg(nf, t));
    4581          35 :   return mkvec4(gen_1, r, s, t);
    4582             : }
    4583             : 
    4584             : static GEN
    4585        2604 : zk_capZ(GEN nf, GEN x)
    4586             : {
    4587        2604 :   GEN mx = zk_scalar_or_multable(nf, x);
    4588        2604 :   return (typ(mx) == t_INT)? mx: zkmultable_capZ(mx);
    4589             : }
    4590             : static GEN
    4591         910 : ellnf_c4c6_primes(GEN E)
    4592             : {
    4593         910 :   GEN nf = ellnf_get_nf(E);
    4594         910 :   GEN c4Z = zk_capZ(nf, ell_get_c4(E));
    4595         910 :   GEN c6Z = zk_capZ(nf, ell_get_c6(E));
    4596         910 :   return Z_gcd_primes(c4Z, c6Z); /* primes dividing (c4,c6) \cap Z */
    4597             : }
    4598             : static GEN
    4599         784 : ellnf_D_primes(GEN E)
    4600             : {
    4601         784 :   GEN nf = ellnf_get_nf(E);
    4602         784 :   GEN P = ellnf_c4c6_primes(E);
    4603         784 :   GEN DZ = zk_capZ(nf, ell_get_disc(E));
    4604         784 :   long k, l = lg(P);
    4605        1890 :   for (k = 1; k < l; k++) (void)Z_pvalrem(DZ, gel(P,k), &DZ);
    4606         784 :   if (!is_pm1(DZ))
    4607             :   {
    4608         693 :     GEN Q = gel(absZ_factor(DZ),1);
    4609         693 :     settyp(Q, t_VEC); P = shallowconcat(P, Q); ZV_sort_inplace(P);
    4610             :   }
    4611         784 :   return P;
    4612             : }
    4613             : 
    4614             : /* convert vector of localreds to NF_MINIMALPRIMES */
    4615             : static GEN
    4616         889 : Q_to_minimalprimes(GEN nf, GEN P, GEN Q)
    4617             : {
    4618             :   GEN L, Lr, Ls, Lt, U;
    4619         889 :   long k, l = lg(P);
    4620         889 :   Lr = vectrunc_init(l);
    4621         889 :   Ls = vectrunc_init(l);
    4622         889 :   Lt = vectrunc_init(l);
    4623         889 :   L = vectrunc_init(l); settyp(L,t_COL);
    4624         889 :   U = vectrunc_init(l); settyp(U,t_COL);
    4625        4326 :   for (k = 1; k < l; k++)
    4626             :   {
    4627        3437 :     GEN pr = gel(P, k), q = gel(Q, k), v, u;
    4628             :     long vu;
    4629        3437 :     v = gel(q,3);
    4630        3437 :     u = gel(v,1);
    4631        3437 :     vu = nfval(nf, u, pr);
    4632        3437 :     if (!vu) continue;
    4633         784 :     vectrunc_append(Lr, gel(v,2));
    4634         784 :     vectrunc_append(Ls, gel(v,3));
    4635         784 :     vectrunc_append(Lt, gel(v,4));
    4636         784 :     vectrunc_append(L, pr);
    4637         784 :     vectrunc_append(U, stoi(vu));
    4638             :   }
    4639         889 :   return mkvec5(L, U, Lr, Ls, Lt);
    4640             : }
    4641             : /* E integral */
    4642             : static GEN
    4643         931 : ellminimalprimes(GEN E)
    4644             : {
    4645             :   GEN S, nf, c4, c6, P, Q;
    4646             :   long j, k, l;
    4647             : 
    4648         931 :   if ((S = obj_check(E, NF_MINIMALPRIMES))) return S;
    4649         126 :   nf = ellnf_get_nf(E);
    4650         126 :   c4 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_c4(E));
    4651         126 :   c6 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_c6(E));
    4652         126 :   if (typ(c4) == t_INT) c4 = NULL;
    4653         126 :   if (typ(c6) == t_INT) c6 = NULL;
    4654         126 :   P = nf_pV_to_prV(nf, ellnf_c4c6_primes(E));
    4655         126 :   Q = cgetg_copy(P, &l);
    4656         574 :   for (k = j = 1; k < l; k++)
    4657             :   {
    4658         448 :     GEN pr = gel(P, k);
    4659         448 :     if (c4 && !ZC_prdvd(c4,pr)) continue;
    4660         406 :     if (c6 && !ZC_prdvd(c6,pr)) continue;
    4661         399 :     gel(Q,j) = nflocalred(E, pr); /* pr | (c4,c6) */
    4662         399 :     gel(P,j++) = pr;
    4663             :   }
    4664         126 :   setlg(P,j); setlg(Q,j);
    4665         126 :   return obj_insert(E, NF_MINIMALPRIMES, Q_to_minimalprimes(nf,P,Q));
    4666             : }
    4667             : static GEN
    4668         812 : ellnf_minimalnormu(GEN E0)
    4669             : {
    4670         812 :   GEN E, S, L, U, P, v, Nu = NULL, nf = ellnf_get_nf(E0);
    4671             :   long i, l;
    4672         812 :   E = ellintegralmodel_i(E0, &v);
    4673         812 :   S = ellminimalprimes(E);
    4674         812 :   L = gel(S,1);
    4675         812 :   U = gel(S,2);
    4676         812 :   if (v) Nu = idealnorm(nf, gel(v,1));
    4677         812 :   P = cgetg_copy(L, &l);
    4678        1484 :   for (i = 1; i < l; i++) gel(P,i) = pr_norm(gel(L,i));
    4679         812 :   P = factorback2(P, U);
    4680         812 :   if (Nu) P = gmul(Nu, P);
    4681         812 :   return P;
    4682             : }
    4683             : /* E integral model; return change of variable to minimal model (t_VEC)
    4684             :  * or (nontrivial) Weierstrass class (t_COL) */
    4685             : static GEN
    4686          56 : bnf_get_v(GEN E)
    4687             : {
    4688          56 :   GEN bnf = ellnf_get_bnf(E);
    4689             :   GEN nf, L, Lr, Ls, Lt, F, C, U, R, S, T;
    4690             : 
    4691          56 :   if (!bnf) pari_err_TYPE("ellminimalmodel (need a bnf)", ellnf_get_nf(E));
    4692          56 :   S = ellminimalprimes(E);
    4693          56 :   L = gel(S,1);
    4694          56 :   U = gel(S,2);
    4695          56 :   Lr = gel(S,3);
    4696          56 :   Ls = gel(S,4);
    4697          56 :   Lt = gel(S,5);
    4698          56 :   F = isprincipalfact(bnf, NULL, L, U, nf_GEN);
    4699          56 :   if (!gequal0(gel(F,1))) return gel(F,1);
    4700          35 :   nf = bnf_get_nf(bnf);
    4701          35 :   C = idealchinese(nf, mkmat2(L, ZC_z_mul(U,6)), NULL);
    4702          35 :   U = basistoalg(nf, gel(F,2));
    4703          35 :   R = basistoalg(nf, idealchinese(nf, C, Lr));
    4704          35 :   S = basistoalg(nf, idealchinese(nf, C, Ls));
    4705          35 :   T = basistoalg(nf, idealchinese(nf, C, Lt));
    4706          35 :   return lift_if_rational(mkvec4(U,R,S,T));
    4707             : }
    4708             : 
    4709             : GEN
    4710          70 : ellminimaldisc(GEN E)
    4711             : {
    4712          70 :   pari_sp av = avma;
    4713          70 :   checkell(E);
    4714          70 :   switch(ell_get_type(E))
    4715             :   {
    4716           7 :     case t_ELL_Q:
    4717           7 :       E = ellminimalmodel(E,NULL);
    4718           7 :       return gerepileuptoint(av, absi_shallow(ell_get_disc(E)));
    4719          63 :     case t_ELL_NF:
    4720             :     {
    4721          63 :       GEN nf = ellnf_get_nf(E), S, L, U, D;
    4722          63 :       E = ellintegralmodel_i(E,NULL);
    4723          63 :       S = ellminimalprimes(E);
    4724          63 :       L = gel(S,1);
    4725          63 :       U = ZC_z_mul(gel(S,2), 12);
    4726          63 :       D = idealfactorback(nf, L, U, 0);
    4727          63 :       return gerepileupto(av, idealdiv(nf, ell_get_disc(E), D));
    4728             :     }
    4729           0 :     default: pari_err_TYPE("ellminimaldisc (E / number field)", E);
    4730             :              return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
    4731             :   }
    4732             : }
    4733             : 
    4734             : /* update Q_MINIMALMODEL entry in E, but don't update type-specific data on
    4735             :  * ellminimalmodel(E) */
    4736             : static GEN
    4737      458584 : ellminimalmodel_i(GEN E, GEN *ptv, GEN *pS)
    4738             : {
    4739             :   GEN S, y, e, v, v0, u, DP;
    4740             :   ellmin_t M;
    4741      458584 :   if ((S = obj_check(E, Q_MINIMALMODEL)))
    4742             :   {
    4743        1477 :     if (lg(S) != 2)
    4744             :     {
    4745          70 :       E = gel(S,3);
    4746          70 :       v = gel(S,2);
    4747             :     }
    4748             :     else
    4749        1407 :       v = init_ch();
    4750        1477 :     if (ptv) *ptv = v;
    4751        1477 :     if (pS) *pS = S;
    4752        1477 :     return gcopy(E);
    4753             :   }
    4754      457107 :   e = ellintegralmodel_i(E, &v0);
    4755      457107 :   u = ellQ_minimalu(e, &DP);
    4756      457107 :   min_set_all(&M, e, u);
    4757      457107 :   v = min_get_v(&M, e);
    4758      457107 :   y = min_to_ell(&M, e);
    4759      457107 :   if (v0) { gcomposev(&v0, v); v = v0; }
    4760      457107 :   if (is_trivial_change(v))
    4761             :   {
    4762      454993 :     v = init_ch();
    4763      454993 :     S = mkvec(DP);
    4764             :   }
    4765             :   else
    4766        2114 :     S = mkvec3(DP, v, y);
    4767      457107 :   obj_insert(E, Q_MINIMALMODEL, S);
    4768      457107 :   if (pS) *pS = S;
    4769      457107 :   if (ptv) *ptv = v; return y;
    4770             : }
    4771             : 
    4772             : static GEN
    4773        3017 : ellQminimalmodel(GEN E, GEN *ptv)
    4774             : {
    4775        3017 :   pari_sp av = avma;
    4776        3017 :   GEN S, DP, v, y = ellminimalmodel_i(E, &v, &S);
    4777        3017 :   if (!is_trivial_change(v)) ch_Q(y, E, v);
    4778        3017 :   DP = gel(S,1);
    4779        3017 :   obj_insert_shallow(y, Q_MINIMALMODEL, mkvec(DP));
    4780        3017 :   if (!ptv) return gerepilecopy(av, y);
    4781        1008 :   *ptv = v; return gc_all(av, 2, &y, ptv);
    4782             : }
    4783             : 
    4784             : static GEN
    4785          56 : ellnfminimalmodel_i(GEN E, GEN *ptv)
    4786             : {
    4787             :   GEN S, y, v, v2;
    4788          56 :   if ((S = obj_check(E, NF_MINIMALMODEL)))
    4789             :   {
    4790           0 :     switch(lg(S))
    4791             :     {
    4792           0 :       case 1: v = init_ch(); break;
    4793           0 :       case 2: v = NULL; E = gel(S,1); break;
    4794           0 :       default: E = gel(S,2); v = gel(S,1); break;
    4795             :     }
    4796           0 :     *ptv = v;
    4797           0 :     return gcopy(E);
    4798             :   }
    4799          56 :   *ptv = NULL;
    4800          56 :   y = ellintegralmodel_i(E, &v);
    4801          56 :   v2 = bnf_get_v(y);
    4802          56 :   if (typ(v2) == t_COL)
    4803             :   {
    4804          21 :     obj_insert(E, NF_MINIMALMODEL, mkvec(v2));
    4805          21 :     return v2; /* nontrivial Weierstrass class */
    4806             :   }
    4807          35 :   y = coordch(y, v2);
    4808          35 :   gcomposev(&v, v2);
    4809          35 :   v2 = nfrestrict23(ellnf_get_nf(E), y);
    4810          35 :   y = coordch(y, v2);
    4811             :   /* copy to avoid inserting twice in y = E */
    4812          35 :   y = obj_reinit(y);
    4813          35 :   gcomposev(&v, v2);
    4814          35 :   if (is_trivial_change(v))
    4815             :   {
    4816           7 :     v = init_ch();
    4817           7 :     S = cgetg(1,t_VEC);
    4818             :   }
    4819             :   else
    4820             :   {
    4821          28 :     v = lift_if_rational(v);
    4822          28 :     S = mkvec2(v, y);
    4823             :   }
    4824          35 :   obj_insert(E, NF_MINIMALMODEL, S);
    4825          35 :   *ptv = v; return y;
    4826             : }
    4827             : static GEN
    4828          56 : ellnfminimalmodel(GEN E, GEN *ptv)
    4829             : {
    4830          56 :   pari_sp av = avma;
    4831          56 :   GEN v, y = ellnfminimalmodel_i(E, &v);
    4832          56 :   if (v) obj_insert_shallow(y, NF_MINIMALMODEL, cgetg(1,t_VEC));
    4833          56 :   if (!v || !ptv) return gerepilecopy(av, y);
    4834          28 :   *ptv = v; return gc_all(av, 2, &y, ptv);
    4835             : }
    4836             : GEN
    4837        3080 : ellminimalmodel(GEN E, GEN *ptv)
    4838             : {
    4839        3080 :   checkell(E);
    4840        3080 :   switch(ell_get_type(E))
    4841             :   {
    4842        3017 :     case t_ELL_Q: return ellQminimalmodel(E, ptv);
    4843          56 :     case t_ELL_NF: return ellnfminimalmodel(E, ptv);
    4844           7 :     default: pari_err_TYPE("ellminimalmodel (E / number field)", E);
    4845             :              return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
    4846             :   }
    4847             : }
    4848             : 
    4849             : /* return a model minimal among b models */
    4850             : GEN
    4851         931 : ellminimalbmodel(GEN e, GEN *pv)
    4852             : {
    4853         931 :   pari_sp av = avma;
    4854             :   GEN f, a1, a3;
    4855             : 
    4856         931 :   checkell(e); f = ellminimalmodel(e, pv);
    4857         931 :   a1 = ell_get_a1(f);
    4858         931 :   a3 = ell_get_a3(f);
    4859         931 :   if (!signe(a1) && !signe(a3))
    4860         336 :   { if (!*pv) *pv = init_ch(); }
    4861             :   else
    4862             :   {
    4863         595 :     GEN v = mkvec4(mpodd(a1) || mpodd(a3) ? ghalf : gen_1,
    4864             :                    gen_0, gdivgs(a1,-2), gdivgs(a3,-2));
    4865         595 :     gcomposev(pv, v); f = coordch(f, v);
    4866             :   }
    4867         931 :   if (f != e) ell_reset(f);
    4868         931 :   return gc_all(av, 2, &f, pv);
    4869             : }
    4870             : 
    4871             : /* Reduction of a rational curve E to its standard minimal model, don't
    4872             :  * update type-dependant components.
    4873             :  * Set v = [u, r, s, t] = change of variable E -> minimal model, with u > 0
    4874             :  * Set gr = [N, [u,r,s,t], c, fa, L], where
    4875             :  *   N = arithmetic conductor of E
    4876             :  *   c = product of the local Tamagawa numbers cp
    4877             :  *   fa = factorization of N
    4878             :  *   L = list of localred(E,p) for p | N. */
    4879             : static GEN
    4880      454559 : ellQ_globalred(GEN e)
    4881             : {
    4882             :   long k, l, iN;
    4883             :   GEN S, c, E, L, P, NP, NE, D;
    4884             : 
    4885      454559 :   E = ellminimalmodel_i(e, NULL, &S);
    4886      454559 :   P = gel(S,1); l = lg(P); /* some known prime divisors of D */
    4887      454559 :   D  = ell_get_disc(E);
    4888      863359 :   for (k = 1; k < l; k++) (void)Z_pvalrem(D, gel(P,k), &D);
    4889      454559 :   if (!is_pm1(D))
    4890             :   {
    4891      436842 :     P = shallowconcat(P, gel(absZ_factor(D),1));
    4892      436842 :     ZV_sort_inplace(P);
    4893             :   }
    4894      454559 :   l = lg(P); c = gen_1;
    4895      454559 :   iN = 1;
    4896      454559 :   NP = cgetg(l, t_COL);
    4897      454559 :   NE = cgetg(l, t_COL);
    4898      454559 :   L = cgetg(l, t_VEC);
    4899     1938573 :   for (k = 1; k < l; k++)
    4900             :   {
    4901     1484014 :     GEN p = gel(P,k), q = localred(E, p), ex = gel(q,1);
    4902     1484014 :     if (!signe(ex)) continue;
    4903     1484014 :     gel(NP, iN) = p;
    4904     1484014 :     gel(NE, iN) = ex;
    4905     1484014 :     gel(L, iN) = q; iN++;
    4906     1484014 :     gel(q,3) = gen_0; /*delete variable change*/
    4907     1484014 :     c = mulii(c, gel(q,4));
    4908             :   }
    4909      454559 :   setlg(L, iN);
    4910      454559 :   setlg(NP, iN);
    4911      454559 :   setlg(NE, iN);
    4912      454559 :   return mkvec4(factorback2(NP,NE), c, mkmat2(NP,NE), L);
    4913             : }
    4914             : static GEN
    4915      460957 : ellglobalred_i(GEN E)
    4916      460957 : { return obj_checkbuild(E, Q_GLOBALRED, &ellQ_globalred); }
    4917             : 
    4918             : static GEN
    4919         784 : Q_to_globalred(GEN nf, GEN P, GEN Q, GEN v)
    4920             : {
    4921             :   GEN c, L, NP, NE;
    4922         784 :   long j, k, l = lg(P);
    4923         784 :   c = gen_1;
    4924         784 :   NP = cgetg(l, t_COL);
    4925         784 :   NE = cgetg(l, t_COL);
    4926         784 :   L = cgetg(l, t_VEC);
    4927        3878 :   for (k = j = 1; k < l; k++)
    4928             :   {
    4929        3094 :     GEN p = gel(P,k), q = gel(Q,k), ex;
    4930        3094 :     ex = gel(q,1);
    4931        3094 :     if (!signe(ex)) continue;
    4932        2891 :     gel(NP, j) = p;
    4933        2891 :     gel(NE, j) = ex;
    4934        2891 :     gel(L, j) = q; j++;
    4935        2891 :     c = mulii(c, gel(q,4));
    4936             :   }
    4937         784 :   setlg(L, j); setlg(NP, j); setlg(NE, j);
    4938         784 :   return mkvec5(idealfactorback(nf,NP,NE,0), v, c, mkmat2(NP,NE), L);
    4939             : }
    4940             : 
    4941             : static GEN
    4942         784 : ellnfglobalred(GEN E0)
    4943             : {
    4944             :   GEN E, P, Q, D, nf, v;
    4945             :   long j, k, l;
    4946             : 
    4947         784 :   E = ellintegralmodel_i(E0, &v);
    4948         784 :   if (!v) v = init_ch();
    4949         784 :   nf = ellnf_get_nf(E);
    4950         784 :   P = nf_pV_to_prV(nf, ellnf_D_primes(E));
    4951         784 :   D = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_disc(E));
    4952         784 :   if (typ(D) == t_INT) D = NULL;
    4953         784 :   Q = cgetg_copy(P, &l);
    4954        6083 :   for (k = j = 1; k < l; k++)
    4955             :   {
    4956        5299 :     GEN p = gel(P,k);
    4957        5299 :     if (D && !ZC_prdvd(D, p)) continue;
    4958        3094 :     gel(Q,j) = nflocalred(E, p);
    4959        3094 :     gel(P,j++) = p;
    4960             :   }
    4961         784 :   setlg(P,j); setlg(Q,j);
    4962         784 :   if (!obj_check(E0, NF_MINIMALPRIMES))
    4963         763 :     (void)obj_insert(E0, NF_MINIMALPRIMES, Q_to_minimalprimes(nf,P,Q));
    4964         784 :   return Q_to_globalred(nf,P,Q,v);
    4965             : }
    4966             : 
    4967             : GEN
    4968      453999 : ellglobalred(GEN E)
    4969             : {
    4970      453999 :   pari_sp av = avma;
    4971             :   GEN S, gr, v;
    4972      453999 :   checkell(E);
    4973      453999 :   switch(ell_get_type(E))
    4974             :   {
    4975           0 :     default: pari_err_TYPE("ellglobalred",E);
    4976      452949 :     case t_ELL_Q:
    4977      452949 :       gr = ellglobalred_i(E);
    4978      452949 :       S = obj_check(E, Q_MINIMALMODEL);
    4979      452949 :       v = (lg(S) == 2)? init_ch(): gel(S,2);
    4980      452949 :       v = mkvec5(gel(gr,1), v, gel(gr,2),gel(gr,3),gel(gr,4));
    4981      452949 :       break;
    4982        1050 :     case t_ELL_NF:
    4983        1050 :       v = obj_checkbuild(E, NF_GLOBALRED, &ellnfglobalred);
    4984        1050 :       break;
    4985             :   }
    4986      453999 :   return gerepilecopy(av, v);
    4987             : }
    4988             : 
    4989             : static GEN doellrootno(GEN e);
    4990             : /* Return E = ellminimalmodel(e), but only update E[1..14].
    4991             :  * insert MINIMALMODEL, GLOBALRED, ROOTNO in both e (regular insertion)
    4992             :  * and E (shallow insert) */
    4993             : GEN
    4994        2303 : ellanal_globalred(GEN e, GEN *ch)
    4995             : {
    4996        2303 :   GEN E, S, v = NULL;
    4997        2303 :   checkell_Q(e);
    4998        2303 :   if (!(S = obj_check(e, Q_MINIMALMODEL)))
    4999             :   {
    5000         399 :     E = ellminimalmodel_i(e, &v, &S);
    5001         399 :     obj_insert_shallow(E, Q_MINIMALMODEL, mkvec(gel(S,1)));
    5002             :   }
    5003        1904 :   else if (lg(S) == 2) /* trivial change */
    5004        1890 :     E = e;
    5005             :   else
    5006             :   {
    5007          14 :     v = gel(S,2);
    5008          14 :     E = gcopy(gel(S,3));
    5009          14 :     obj_insert_shallow(E, Q_MINIMALMODEL, mkvec(gel(S,1)));
    5010             :   }
    5011        2303 :   if (ch) *ch = v;
    5012        2303 :   S = ellglobalred_i(e);
    5013        2303 :   if (E != e) obj_insert_shallow(E, Q_GLOBALRED, S);
    5014        2303 :   S = obj_check(e, Q_ROOTNO);
    5015        2303 :   if (!S)
    5016             :   {
    5017        1099 :     S = doellrootno(E);
    5018        1099 :     obj_insert(e, Q_ROOTNO, S); /* insert in e */
    5019             :   }
    5020        2303 :   if (E != e) obj_insert_shallow(E, Q_ROOTNO, S); /* ... and in E */
    5021        2303 :   return E;
    5022             : }
    5023             : 
    5024             : static long
    5025         462 : nb_real_components(GEN E) { return gsigne(ell_get_disc(E)) > 0? 2: 1; }
    5026             : /* E minimal, \Omega_E^s in "La constante de Manin et le degre modulaire
    5027             :  * d'une courbe elliptique" */
    5028             : GEN
    5029        1407 : ellQtwist_bsdperiod(GEN E, long s)
    5030             : {
    5031        1407 :   GEN w = ellR_omega(E,DEFAULTPREC);
    5032        1407 :   if (s == 1)
    5033         994 :     w = gel(w,1);
    5034         413 :   else if (nb_real_components(E) == 2)
    5035         147 :     w = gneg(gel(w,2));
    5036             :   else
    5037         266 :     w = mkcomplex(gen_0, gneg(gmul2n(imag_i(gel(w,2)), 1)));
    5038        1407 :   return w;
    5039             : }
    5040             : 
    5041             : static GEN
    5042          49 : ellQ_tamagawa(GEN e)
    5043             : {
    5044          49 :   GEN red = ellglobalred(e), tam = gel(red,3);
    5045          49 :   return muliu(tam, nb_real_components(e));
    5046             : }
    5047             : 
    5048             : static GEN
    5049         784 : ellnf_tamagawa(GEN e)
    5050             : {
    5051         784 :   GEN red = ellglobalred(e), tam = gel(red,3);
    5052         784 :   GEN nf  = ellnf_get_nf(e), s = nfsign(nf, ell_get_disc(e));
    5053             :   long r1, r2;
    5054         784 :   nf_get_sign(nf, &r1, &r2);
    5055         784 :   return shifti(tam, r2 + r1 - hammingweight(s));
    5056             : }
    5057             : 
    5058             : GEN
    5059          49 : elltamagawa(GEN E)
    5060             : {
    5061          49 :   pari_sp av = avma;
    5062             :   GEN v;
    5063          49 :   checkell(E);
    5064          49 :   switch(ell_get_type(E))
    5065             :   {
    5066           0 :     default: pari_err_TYPE("elltamagawa",E);
    5067          21 :     case t_ELL_Q:  v = ellQ_tamagawa(E);  break;
    5068          28 :     case t_ELL_NF: v = ellnf_tamagawa(E); break;
    5069             :   }
    5070          49 :   return gerepileuptoint(av, v);
    5071             : }
    5072             : 
    5073             : static GEN
    5074        1106 : ellnf_get_nf_prec(GEN E, long prec)
    5075             : {
    5076        1106 :   GEN S, nf = ellnf_get_nf(E);
    5077        1106 :   if (nf_get_prec(nf) >= prec) return nf;
    5078        1008 :   if ((S = obj_check(E, NF_NF)) && nf_get_prec(S) >= prec) return S;
    5079         805 :   return obj_insert(E, NF_NF, nfnewprec_shallow(nf, prec));
    5080             : }
    5081             : /* true nf, use nf prec */
    5082             : static GEN
    5083        5236 : nfembedall(GEN nf, GEN x)
    5084             : {
    5085             :   long r1, r2;
    5086             :   GEN cx;
    5087        5236 :   nf_get_sign(nf,&r1,&r2);
    5088        5236 :   x = nf_to_scalar_or_basis(nf,x);
    5089        5236 :   if (typ(x) != t_COL) return const_vec(r1+r2, x);
    5090        2905 :   x = Q_primitive_part(x, &cx);
    5091        2905 :   x = RgM_RgC_mul(nf_get_M(nf), x);
    5092        2905 :   if (cx) x = RgC_Rg_mul(x,cx);
    5093        2905 :   return x;
    5094             : }
    5095             : static long
    5096        1106 : nfembed_extraprec(GEN x)
    5097        1106 : { long e = gexpo(x); return (e < 8)? 0: nbits2extraprec(e); }
    5098             : static GEN
    5099        1008 : ellnfembed(GEN E, long prec)
    5100             : {
    5101        1008 :   GEN E0, nf = ellnf_get_nf(E), Eb = cgetg(6,t_VEC), e = cgetg(6,t_VEC), L, sD;
    5102             :   long prec0, r1, r2, n, i;
    5103             : 
    5104        1008 :   nf_get_sign(nf, &r1, &r2); n = r1+r2;
    5105        1008 :   E0 = RgC_to_nfC(nf, vecslice(E,1,5));
    5106        1008 :   prec0 = prec + EXTRAPRECWORD;
    5107             :   /* need accuracy 3b for bmodel to ensure roots are correct to b bits */
    5108        1008 :   prec += (prec0-2)*3 + nfembed_extraprec(E0);
    5109        1008 :   L =  cgetg(n+1, t_VEC);
    5110        1008 :   sD = nfeltsign(nf, ell_get_disc(E), identity_perm(r1));
    5111             :   for(;;)
    5112             :   {
    5113        1008 :     nf = ellnf_get_nf_prec(E, prec);
    5114        6048 :     for (i=1; i<=5; i++) gel(Eb,i) = nfembedall(nf,gel(E0,i));
    5115        4459 :     for (i=1; i<=n; i++)
    5116             :     {
    5117             :       GEN Ei, r;
    5118             :       long j;
    5119       20706 :       for (j=1; j<=5; j++) gel(e,j) = gmael(Eb,j,i);
    5120        3451 :       gel(L,i) = Ei = ellinit_Rg(e, i<=r1? signe(gel(sD,i)): 0, prec);
    5121        3451 :       if (!Ei) break;
    5122        3451 :       r = doellR_roots_i(Ei, prec, prec0);
    5123        3451 :       if (!r) break;
    5124             :     }
    5125        1008 :     if (i > n) return L;
    5126           0 :     prec = precdbl(prec);
    5127           0 :     if (DEBUGLEVEL>1) pari_warn(warnprec,"ellnfembed", prec);
    5128             :   }
    5129             : }
    5130             : 
    5131             : static GEN
    5132          98 : ellpointnfembed(GEN E, GEN P, long prec)
    5133             : {
    5134          98 :   GEN nf = ellnf_get_nf(E), Px, Py, L;
    5135             :   long i, l;
    5136          98 :   P = RgC_to_nfC(nf, P);
    5137          98 :   prec += nfembed_extraprec(P);
    5138          98 :   nf = ellnf_get_nf_prec(E, prec);
    5139          98 :   Px = nfembedall(nf, gel(P,1));
    5140          98 :   Py = nfembedall(nf, gel(P,2));
    5141          98 :   l = lg(Px); L =  cgetg(l, t_VEC);
    5142         273 :   for(i = 1; i < l; i++) gel(L,i) = mkvec2(gel(Px,i), gel(Py,i));
    5143          98 :   return L;
    5144             : }
    5145             : 
    5146             : static void
    5147         917 : ellnfembed_free(GEN L)
    5148             : {
    5149         917 :   long i, l = lg(L);
    5150        4207 :   for(i = 1; i < l; i++) obj_free(gel(L,i));
    5151         917 : }
    5152             : 
    5153             : static GEN
    5154         154 : ellnf_vec_wrap(GEN (*fun)(GEN, long), GEN E, long prec)
    5155             : {
    5156         154 :   pari_sp av = avma;
    5157         154 :   GEN V = ellnfembed(E, prec);
    5158         154 :   long i, l = lg(V);
    5159         154 :   GEN P = cgetg(l, t_VEC);
    5160         406 :   for(i=1; i<l; i++) gel(P,i) = fun(gel(V,i), prec);
    5161         154 :   ellnfembed_free(V);
    5162         154 :   return gerepilecopy(av, P);
    5163             : }
    5164             : 
    5165             : GEN
    5166          91 : ellnf_vecarea(GEN E, long prec)
    5167          91 : { return ellnf_vec_wrap(&ellR_area, E, prec); }
    5168             : 
    5169             : GEN
    5170          28 : ellnf_veceta(GEN E, long prec)
    5171          28 : { return ellnf_vec_wrap(&ellR_eta, E, prec); }
    5172             : 
    5173             : GEN
    5174          35 : ellnf_vecomega(GEN E, long prec)
    5175          35 : { return ellnf_vec_wrap(&ellR_omega, E, prec); }
    5176             : 
    5177             : static GEN
    5178         756 : ellnf_bsdperiod(GEN E, long prec)
    5179             : {
    5180         756 :   pari_sp av = avma;
    5181         756 :   GEN Eb = ellnfembed(E, prec), per = gtofp(ellnf_minimalnormu(E), prec);
    5182         756 :   long i, l = lg(Eb), r1 = nf_get_r1(ellnf_get_nf(E));
    5183        3780 :   for(i = 1; i < l; i++)
    5184             :   {
    5185        3024 :     GEN e = gel(Eb, i);
    5186        3024 :     GEN pi = (i <= r1)? gel(ellR_omega(e, prec),1): ellR_area(e, prec);
    5187        3024 :     per = mulrr(per, pi);
    5188             :   }
    5189         756 :   ellnfembed_free(Eb);
    5190         756 :   return gerepileuptoleaf(av, per);
    5191             : }
    5192             : static GEN
    5193         756 : ellnf_adelicvolume(GEN E, long prec)
    5194             : {
    5195         756 :   GEN t = ellnf_tamagawa(E);
    5196         756 :   return gmul(t, ellnf_bsdperiod(E, prec));
    5197             : }
    5198             : 
    5199             : static GEN
    5200          42 : ellnf_bsd(GEN E, long prec)
    5201             : {
    5202          42 :   GEN v = ellnf_adelicvolume(E, prec);
    5203          42 :   GEN tor = gel(elltors(E),1);
    5204          42 :   GEN D = itor(nf_get_disc(ellnf_get_nf(E)), prec);
    5205          42 :   return divrr(divri(v, sqri(tor)), sqrtr_abs(D));
    5206             : }
    5207             : 
    5208             : static GEN
    5209          28 : ellQ_bsd(GEN E, long prec)
    5210             : {
    5211          28 :   GEN per = gel(ellR_omega(E, prec),1);
    5212          28 :   GEN tam = ellQ_tamagawa(E);
    5213          28 :   GEN tor = gel(elltors(E),1);
    5214          28 :   GEN S = obj_check(E, Q_MINIMALMODEL);
    5215          28 :   if (lg(S) != 2)
    5216             :   { /* switch to minimal model if needed */
    5217          21 :     GEN v = gel(S,2), u = gel(v,1);
    5218          21 :     per = gmul(per,u);
    5219             :   }
    5220          28 :   return divri(mulri(per,tam), sqri(tor));
    5221             : }
    5222             : 
    5223             : GEN
    5224          70 : ellbsd(GEN E, long prec)
    5225             : {
    5226          70 :   pari_sp av = avma;
    5227             :   GEN v;
    5228          70 :   checkell(E);
    5229          70 :   switch(ell_get_type(E))
    5230             :   {
    5231           0 :     default: pari_err_TYPE("ellbsd",E);
    5232          28 :     case t_ELL_Q:  v = ellQ_bsd(E, prec);  break;
    5233          42 :     case t_ELL_NF: v = ellnf_bsd(E, prec); break;
    5234             :   }
    5235          70 :   return gerepileupto(av, v);
    5236             : }
    5237             : 
    5238             : static GEN
    5239       33411 : QE_to_ZJ(GEN P)
    5240             : {
    5241       33411 :   if (ell_is_inf(P))
    5242           0 :     return mkvec3(gen_1, gen_1, gen_0);
    5243             :   else
    5244             :   {
    5245       33411 :     pari_sp av = avma;
    5246       33411 :     GEN D1 = denom(gel(P,1)), D2 = denom(gel(P,2));
    5247       33411 :     GEN R  = diviiexact(D2, gcdii(D1,D2));
    5248       33411 :     GEN R2 = sqri(R), R3 = mulii(R2, R);
    5249       33411 :     GEN Q1 = gmul(gel(P,1),R2);
    5250       33411 :     GEN Q2 = gmul(gel(P,2),R3);
    5251       33411 :     GEN Z  = denom(mkvec2(Q1, Q2));
    5252       33411 :     GEN Z2 = sqri(Z), Z3 = mulii(Z, Z2);
    5253       33411 :     return gerepilecopy(av, mkvec3(gmul(Q1, Z2), gmul(Q2, Z3), mulii(Z, R)));
    5254             :   }
    5255             : }
    5256             : 
    5257             : static GEN
    5258        4368 : QEV_to_ZJV(GEN x)
    5259       37765 : { pari_APPLY_same(QE_to_ZJ(gel(x,i))) }
    5260             : 
    5261             : static GEN
    5262       15088 : FljV_changepointinv_pre(GEN x, GEN a4a6, ulong p, ulong pi)
    5263             : {
    5264      171289 :   pari_APPLY_same(Flj_changepointinv_pre(gel(x,i), a4a6, p, pi))
    5265             : }
    5266             : 
    5267             : static GEN
    5268       10434 : ellQ_factorback_filter(GEN A, GEN P, GEN *pQ)
    5269             : {
    5270       10434 :   long i, j, k, l = lg(A);
    5271             :   GEN B, Q;
    5272       32756 :   for (i = k = 1; i < l; i++)
    5273       22322 :     if (!ell_is_inf(gel(A,i))) k++;
    5274       10434 :   if (k == 1 || k == l) { *pQ = P; return A; }
    5275           6 :   B = cgetg(k, t_VEC);
    5276           6 :   Q = cgetg(k, typ(P));
    5277          18 :   for (i = j = 1; i < l; i++)
    5278          12 :     if (!ell_is_inf(gel(A,i))) { gel(B,j) = gel(A,i); Q[j] = P[i]; j++; }
    5279           6 :   *pQ = Q; return B;
    5280             : }
    5281             : 
    5282             : static GEN
    5283        5172 : ellQ_factorback_chinese(GEN A, GEN P, GEN *mod)
    5284             : {
    5285        5172 :   GEN Q, B = ellQ_factorback_filter(A, P, &Q);
    5286        5172 :   return ncV_chinese_center(B, Q, mod);
    5287             : }
    5288             : 
    5289             : static GEN
    5290       15094 : ellQ_factorback1(GEN A, GEN L, ulong l, GEN E, long CM, ulong p)
    5291             : {
    5292       15094 :   pari_sp av = avma;
    5293       15094 :   ulong pi = get_Fl_red(p);
    5294       15094 :   GEN c4 = ell_get_c4(E);
    5295       15094 :   ulong a4 = Fl_c4_to_a4(Rg_to_Fl(c4, p), p);
    5296             :   GEN a4a6, a, Hp;
    5297       15094 :   ulong d = 1;
    5298       15094 :   if (l != 1)
    5299             :   {
    5300          56 :     GEN c6 = ell_get_c6(E);
    5301          56 :     ulong a6 = Fl_c6_to_a6(Rg_to_Fl(c6, p), p);
    5302          56 :     ulong c = p + 1 - Fl_elltrace_CM(CM, a4, a6, p);
    5303          56 :     d = Fl_invsafe(l % c, c);
    5304          56 :     if (!d) return NULL;
    5305             :   }
    5306       15088 :   a4a6 = a4a6_ch_Fl(E,p);
    5307       15088 :   a = FljV_changepointinv_pre(A, a4a6, p, pi);
    5308       15087 :   Hp = FljV_factorback_pre(a, L, a4, p, pi);
    5309       15088 :   if (d != 1)
    5310          50 :     Hp = Flj_mulu_pre(Hp, d, a4, p, pi);
    5311       15088 :   Hp = Flj_to_Fle_pre(Hp, p, pi);
    5312       15088 :   Hp = Fle_changepoint(Hp, a4a6, p);
    5313       15088 :   return gerepileuptoleaf(av, Hp);
    5314             : }
    5315             : 
    5316             : static GEN
    5317        8468 : ellQ_factorback_slice(GEN A, GEN L, ulong l, GEN E, GEN P, GEN *mod)
    5318             : {
    5319        8468 :   pari_sp av = avma;
    5320        8468 :   long i, n = lg(P)-1;
    5321        8468 :   long CM = ellQ_get_CM(E);
    5322             :   GEN H, T, B, Q;
    5323        8468 :   if (n == 1)
    5324             :   {
    5325        3206 :     ulong p = uel(P,1);
    5326        3206 :     GEN Hp = ellQ_factorback1(ZM_to_Flm(A, p), L, l, E, CM, p);
    5327        3206 :     if (!Hp) { *mod = gen_1; return ellinf(); }
    5328        3206 :     *mod = utoi(p);
    5329        3206 :     return Flv_to_ZV(Hp);
    5330             :   }
    5331        5262 :   T = ZV_producttree(P);
    5332        5262 :   A = ZM_nv_mod_tree(A, P, T);
    5333        5262 :   H = cgetg(n+1, t_VEC);
    5334       17150 :   for(i=1; i <= n; i++)
    5335             :   {
    5336       11888 :     gel(H,i) = ellQ_factorback1(gel(A,i), L, l, E, CM, uel(P,i));
    5337       11888 :     if (gel(H,i)==NULL) { gel(H,i) = ellinf(); uel(P,i) = 1; }
    5338             :   }
    5339        5262 :   B = ellQ_factorback_filter(H, P, &Q);
    5340        5262 :   if (lg(Q) != lg(P)) T = ZV_producttree(Q);
    5341        5262 :   H = ncV_chinese_center_tree(B, Q, T, ZV_chinesetree(Q,T));
    5342        5262 :   *mod = gmael(T, lg(T)-1, 1); return gc_all(av, 2, &H, mod);
    5343             : }
    5344             : 
    5345             : GEN
    5346        8468 : ellQ_factorback_worker(GEN P, GEN E, GEN A, GEN L, ulong l)
    5347             : {
    5348        8468 :   GEN V = cgetg(3, t_VEC);
    5349        8468 :   gel(V,1) = ellQ_factorback_slice(A, L, l, E, P, &gel(V,2));
    5350        8468 :   return V;
    5351             : }
    5352             : 
    5353             : /* If a single non-zero entry, equal to 1, return its index. Else 0 */
    5354             : static long
    5355        4144 : ZV_is_ei(GEN v)
    5356             : {
    5357        4144 :   long i, ei = 0;
    5358       15330 :   for (i = lg(v)-1; i; i--)
    5359       14378 :     if (signe(gel(v,i)))
    5360             :     {
    5361        5796 :       if (ei || !equali1(gel(v,i))) return 0;
    5362        2604 :       ei = i;
    5363             :     }
    5364         952 :   return ei;
    5365             : }
    5366             : 
    5367             : /* A vector of points, L a ZV, return (sum L[i]*A[i]) / l;
    5368             :  * h is the canonical height of result. Assume the result is NOT
    5369             :  * torsion */
    5370             : static GEN
    5371        4158 : ellQ_factorback(GEN E, GEN A, GEN L, ulong l, GEN h, long prec)
    5372             : {
    5373        4158 :   pari_sp av = avma;
    5374        4158 :   GEN hn, D, worker, mod = gen_1, H = NULL;
    5375             :   forprime_t S;
    5376        4158 :   ulong bound = 1;
    5377             : 
    5378        4158 :   if (l == 1)
    5379             :   {
    5380        4144 :     long i = ZV_is_ei(L);
    5381        4144 :     if (i) return gel(A,i);
    5382             :   }
    5383        3206 :   hn = l==1 ? NULL: hnaive_max(E, h);
    5384        3206 :   D = ell_get_disc(E);
    5385        3206 :   worker = snm_closure(is_entry("_ellQ_factorback_worker"),
    5386             :                        mkvec4(E, QEV_to_ZJV(A), L, utoi(l)));
    5387        3206 :   if (l==1)
    5388        3192 :     init_modular_big(&S);
    5389             :   else
    5390          14 :     init_modular_small(&S);
    5391        3206 :   for (bound = 1;; bound <<= 1)
    5392        3508 :   {
    5393             :     GEN amax, r;
    5394        6714 :     gen_inccrt("ellQ_factorback", worker, D, bound, 0,
    5395             :                &S, &H, &mod, ellQ_factorback_chinese, NULL);
    5396        6714 :     amax = sqrti(shifti(mod,-2));
    5397        6714 :     if (!ell_is_inf(H) && (r = FpC_ratlift(H, mod, amax, amax, NULL))
    5398        3754 :                        && oncurve_exact(E,r))
    5399             :     {
    5400             :       GEN g;
    5401        3206 :       settyp(r,t_VEC); g = ellheight(E,r,prec);
    5402        3206 :       if (signe(g) && expo(subrs(divrr(g,h),1))<-prec2nbits(prec)/2)
    5403        3206 :         return gerepileupto(av, r);
    5404             :     }
    5405        3508 :     if (hn && gcmpsg(expi(mod)>>2,hn) > 0) return gc_NULL(av);
    5406             :   }
    5407             : }
    5408             : 
    5409             : GEN
    5410         791 : ellQ_genreduce(GEN E, GEN G, GEN M, long prec)
    5411             : {
    5412         791 :   pari_sp av = avma;
    5413         791 :   long i, j, l = lg(G);
    5414         791 :   GEN L, V = cgetg(l, t_VEC);
    5415             : 
    5416         791 :   if (!M) M = ellheightmatrix(E, G, prec);
    5417         791 :   L = lllgram(M); l = lg(L); /* can decrease */
    5418        4837 :   for (i = j = 1; i < l; i++)
    5419             :   {
    5420        4046 :     GEN Li = gel(L, i), h = qfeval(M, Li);
    5421        4046 :     if (expo(h) > -prec2nbits(prec)/2)
    5422        4046 :       gel(V,j++) = ellQ_factorback(E, G, Li, 1, h, prec);
    5423             :   }
    5424         791 :   setlg(V, j); return gerepilecopy(av, V);
    5425             : }
    5426             : 
    5427             : static long
    5428          14 : ellQ_isdivisible_test(forprime_t *S, GEN E, long CM, GEN P, ulong l, long nb)
    5429             : {
    5430          14 :   GEN D = ell_get_disc(E);
    5431          14 :   pari_sp av = avma;
    5432             :   long m;
    5433          28 :   for (m = 1; m <= nb; set_avma(av))
    5434             :   {
    5435          28 :     ulong o, a4, a6, p = u_forprime_next(S);
    5436          28 :     if (dvdiu(D, p)) continue;
    5437          28 :     Fl_ell_to_a4a6(E, p, &a4, &a6);
    5438          28 :     o = p+1 - Fl_elltrace_CM(CM, a4, a6, p);
    5439          28 :     if (o % l == 0)
    5440             :     {
    5441          14 :       ulong pi = get_Fl_red(p);
    5442          14 :       GEN a4a6 = a4a6_ch_Fl(E,p);
    5443          14 :       GEN Q = Flj_changepointinv_pre(ZV_to_Flv(P, p), a4a6, p, pi);
    5444          14 :       GEN R = Flj_mulu_pre(Q, o/l, a4, p, pi);
    5445          14 :       if (uel(R, 3) != 0) return 0;
    5446           0 :       m++;
    5447             :     }
    5448             :   }
    5449           0 :   return 1;
    5450             : }
    5451             : 
    5452             : /* Assume l prime to 210 */
    5453             : GEN
    5454          14 : ellQ_isdivisible(GEN E, GEN P, ulong l)
    5455             : {
    5456          14 :   pari_sp av = avma;
    5457          14 :   GEN worker, mod = gen_1, H = NULL, D = ell_get_disc(E), PJ = QE_to_ZJ(P);
    5458             :   forprime_t S, U;
    5459          14 :   long CM = ellQ_get_CM(E);
    5460             :   ulong bound;
    5461             : 
    5462          14 :   u_forprime_init(&U, l+1, ULONG_MAX);
    5463          14 :   if (!ellQ_isdivisible_test(&U, E, CM, PJ, l, 10)) return gc_NULL(av);
    5464           0 :   worker = snm_closure(is_entry("_ellQ_factorback_worker"),
    5465             :                        mkvec4(E, mkvec(PJ), mkvecs(1), utoi(l)));
    5466           0 :   init_modular_small(&S);
    5467           0 :   for (bound = 1;; bound <<= 1)
    5468           0 :   {
    5469             :     GEN amax, r;
    5470           0 :     gen_inccrt("ellQ_factorback", worker, D, bound, 0,
    5471             :                &S, &H, &mod, ellQ_factorback_chinese, NULL);
    5472           0 :     amax = sqrti(shifti(mod,-2));
    5473           0 :     if (!ell_is_inf(H) && (r = FpC_ratlift(H, mod, amax, amax, NULL))
    5474           0 :                        && oncurve_exact(E,r))
    5475             :     {
    5476           0 :       settyp(r,t_VEC);
    5477           0 :       if (gequal(ellmul(E,r,utoi(l)), P)) return gerepileupto(av, r);
    5478           0 :       if (!ellQ_isdivisible_test(&U, E, CM, PJ, l, 10)) return gc_NULL(av);
    5479             :     }
    5480             :   }
    5481             : }
    5482             : 
    5483             : /********************************************************************/
    5484             : /**                                                                **/
    5485             : /**           ROOT NUMBER (after Halberstadt at p = 2,3)           **/
    5486             : /**                                                                **/
    5487             : /********************************************************************/
    5488             : /* x a t_INT */
    5489             : static long
    5490        2037 : val_aux(GEN x, long p, long pk, long *u)
    5491             : {
    5492             :   long v;
    5493             :   GEN z;
    5494        2037 :   if (!signe(x)) { *u = 0; return 12; }
    5495        1883 :   v = Z_lvalrem(x,p,&z);
    5496        1883 :   *u = umodiu(z,pk); return v;
    5497             : }
    5498             : static void
    5499         679 : val_init(GEN e, long p, long pk,
    5500             :          long *v4, long *u, long *v6, long *v, long *vD, long *d1)
    5501             : {
    5502         679 :   GEN c4 = ell_get_c4(e), c6 = ell_get_c6(e), D = ell_get_disc(e);
    5503         679 :   pari_sp av = avma;
    5504         679 :   *v4 = val_aux(c4, p,pk, u);
    5505         679 :   *v6 = val_aux(c6, p,pk, v);
    5506         679 :   *vD = val_aux(D , p,pk, d1); set_avma(av);
    5507         679 : }
    5508             : 
    5509             : static long
    5510         679 : kod_23(GEN e, long p)
    5511             : {
    5512             :   GEN S, nv;
    5513         679 :   if ((S = obj_check(e, Q_GLOBALRED)))
    5514             :   {
    5515         658 :     GEN NP = gmael(S,3,1), L = gel(S,4);
    5516         658 :     nv = absequaliu(gel(NP,1), p)? gel(L,1): gel(L,2); /* localred(p) */
    5517             :   }
    5518             :   else
    5519          21 :     nv = localred_23(e, p);
    5520         679 :   return itos(gel(nv,2));
    5521             : }
    5522             : 
    5523             : /* v(c4), v(c6), v(D) for minimal model, +oo is coded by 12 */
    5524             : static long
    5525         399 : neron_2(long v4, long v6, long vD, long kod)
    5526             : {
    5527         399 :   if (kod > 4) return 1;
    5528         231 :   switch(kod)
    5529             :   {
    5530           0 :     case 1: return (v6>0) ? 2 : 1;
    5531          14 :     case 2:
    5532          14 :       if (vD==4) return 1;
    5533             :       else
    5534             :       {
    5535           0 :         if (vD==7) return 3;
    5536           0 :         else return v4==4 ? 2 : 4;
    5537             :       }
    5538          70 :     case 3:
    5539          70 :       switch(vD)
    5540             :       {
    5541          49 :         case 6: return 3;
    5542           0 :         case 8: return 4;
    5543          14 :         case 9: return 5;
    5544           7 :         default: return v4==5 ? 2 : 1;
    5545             :       }
    5546          42 :     case 4: return v4>4 ? 2 : 1;
    5547          14 :     case -1:
    5548          14 :       switch(vD)
    5549             :       {
    5550           0 :         case 9: return 2;
    5551           0 :         case 10: return 4;
    5552          14 :         default: return v4>4 ? 3 : 1;
    5553             :       }
    5554           7 :     case -2:
    5555           7 :       switch(vD)
    5556             :       {
    5557           7 :         case 12: return 2;
    5558           0 :         case 14: return 3;
    5559           0 :         default: return 1;
    5560             :       }
    5561           0 :     case -3:
    5562           0 :       switch(vD)
    5563             :       {
    5564           0 :         case 12: return 2;
    5565           0 :         case 14: return 3;
    5566           0 :         case 15: return 4;
    5567           0 :         default: return 1;
    5568             :       }
    5569          49 :     case -4: return v6==7 ? 2 : 1;
    5570          21 :     case -5: return (v6==7 || v4==6) ? 2 : 1;
    5571           7 :     case -6:
    5572           7 :       switch(vD)
    5573             :       {
    5574           7 :         case 12: return 2;
    5575           0 :         case 13: return 3;
    5576           0 :         default: return v4==6 ? 2 : 1;
    5577             :       }
    5578           0 :     case -7: return (vD==12 || v4==6) ? 2 : 1;
    5579           7 :     default: return v4==6 ? 2 : 1;
    5580             :   }
    5581             : }
    5582             : /* p = 3; v(c4), v(c6), v(D) for minimal model, +oo is coded by 12 */
    5583             : static long
    5584         161 : neron_3(long v4, long v6, long vD, long kod)
    5585             : {
    5586         161 :   if (labs(kod) > 4) return 1;
    5587         112 :   switch(kod)
    5588             :   {
    5589          28 :     case -1: case 1: return odd(v4)? 2: 1;
    5590          28 :     case -3: case 3: return (2*v6>vD+3)? 2: 1;
    5591          49 :     case -4: case 2:
    5592          49 :       switch (vD%6)
    5593             :       {
    5594           0 :         case 4: return 3;
    5595           0 :         case 5: return 4;
    5596          49 :         default: return v6%3==1 ? 2 : 1;
    5597             :       }
    5598           7 :     default: /* kod = -2 et 4 */
    5599           7 :       switch (vD%6)
    5600             :       {
    5601           0 :         case 0: return 2;
    5602           0 :         case 1: return 3;
    5603           7 :         default: return 1;
    5604             :       }
    5605             :   }
    5606             : }
    5607             : 
    5608             : static long
    5609         399 : ellrootno_2(GEN e)
    5610             : {
    5611             :   long n2, kod, u, v, x1, y1, D1, vD, v4, v6;
    5612         399 :   long d = get_vp_u_small(e, 2, &v6, &vD);
    5613             : 
    5614         399 :   if (!vD) return 1;
    5615         399 :   if (d) { /* not minimal */
    5616             :     ellmin_t M;
    5617          14 :     min_set_2(&M, e, d);
    5618          14 :     min_set_D(&M, e);
    5619          14 :     e = min_to_ell(&M, e);
    5620             :   }
    5621         399 :   val_init(e, 2,64,&v4,&u, &v6,&v, &vD,&D1);
    5622         399 :   kod = kod_23(e,2);
    5623         399 :   n2 = neron_2(v4,v6,vD, kod);
    5624         399 :   if (kod>=5)
    5625             :   {
    5626             :     long a2, a3;
    5627         168 :     a2 = ZtoF2(ell_get_a2(e));
    5628         168 :     a3 = ZtoF2(ell_get_a3(e));
    5629         168 :     return odd(a2 + a3) ? 1 : -1;
    5630             :   }
    5631         231 :   if (kod<-9) return (n2==2) ? -kross(-1,v) : -1;
    5632         224 :   x1 = u+v+v;
    5633         224 :   switch(kod)
    5634             :   {
    5635           0 :     case 1: return 1;
    5636          14 :     case 2:
    5637             :       switch(n2)
    5638             :       {
    5639          14 :         case 1:
    5640          14 :           switch(v4)
    5641             :           {
    5642          14 :             case 4: return kross(-1,u);
    5643           0 :             case 5: return 1;
    5644           0 :             default: return -1;
    5645             :           }
    5646           0 :         case 2: return (v6==7) ? 1 : -1;
    5647           0 :         case 3: return (v%8==5 || (u*v)%8==5) ? 1 : -1;
    5648           0 :         case 4: if (v4>5) return kross(-1,v);
    5649           0 :           return (v4==5) ? -kross(-1,u) : -1;
    5650             :       }
    5651             :     case 3:
    5652             :       switch(n2)
    5653             :       {
    5654           7 :         case 1: return -kross(2,u*v);
    5655           0 :         case 2: return -kross(2,v);
    5656          49 :         case 3: y1 = (u - (v << (v6-5))) & 15;
    5657          49 :           return (y1==7 || y1==11) ? 1 : -1;
    5658           0 :         case 4: return (v%8==3 || (2*u+v)%8==7) ? 1 : -1;
    5659          14 :         case 5: return v6==8 ? kross(2,x1) : kross(-2,u);
    5660             :       }
    5661             :     case -1:
    5662             :       switch(n2)
    5663             :       {
    5664          14 :         case 1: return -kross(2,x1);
    5665           0 :         case 2: return (v%8==7) || (x1%32==11) ? 1 : -1;
    5666           0 :         case 3: return v4==6 ? 1 : -1;
    5667           0 :         case 4: if (v4>6) return kross(-1,v);
    5668           0 :           return v4==6 ? -kross(-1,u*v) : -1;
    5669             :       }
    5670           7 :     case -2: return n2==1 ? kross(-2,v) : kross(-1,v);
    5671           0 :     case -3:
    5672             :       switch(n2)
    5673             :       {
    5674           0 :         case 1: y1=(u-2*v)%64; if (y1<0) y1+=64;
    5675           0 :           return (y1==3) || (y1==19) ? 1 : -1;
    5676           0 :         case 2: return kross(2*kross(-1,u),v);
    5677           0 :         case 3: return -kross(-1,u)*kross(-2*kross(-1,u),u*v);
    5678           0 :         case 4: return v6==11 ? kross(-2,x1) : -kross(-2,u);
    5679             :       }
    5680             :     case -5:
    5681          21 :       if (n2==1) return x1%32==23 ? 1 : -1;
    5682           0 :       else return -kross(2,2*u+v);
    5683           7 :     case -6:
    5684             :       switch(n2)
    5685             :       {
    5686           0 :         case 1: return 1;
    5687           7 :         case 2: return v6==10 ? 1 : -1;
    5688           0 :         case 3: return (u%16==11) || ((u+4*v)%16==3) ? 1 : -1;
    5689             :       }
    5690             :     case -7:
    5691           0 :       if (n2==1) return 1;
    5692             :       else
    5693             :       {
    5694           0 :         y1 = (u + (v << (v6-8))) & 15;
    5695           0 :         if (v6==10) return (y1==9 || y1==13) ? 1 : -1;
    5696           0 :         else return (y1==9 || y1==5) ? 1 : -1;
    5697             :       }
    5698           0 :     case -8: return n2==2 ? kross(-1,v*D1) : -1;
    5699           0 :     case -9: return n2==2 ? -kross(-1,D1) : -1;
    5700          91 :     default: return -1;
    5701             :   }
    5702             : }
    5703             : 
    5704             : static long
    5705         280 : ellrootno_3(GEN e)
    5706             : {
    5707             :   long n2, kod, u, v, D1, r6, K4, K6, vD, v4, v6;
    5708         280 :   long d = get_vp_u_small(e, 3, &v6, &vD);
    5709             : 
    5710         280 :   if (!vD) return 1;
    5711         280 :   if (d) { /* not minimal */
    5712             :     ellmin_t M;
    5713           0 :     min_set_3(&M, e, d);
    5714           0 :     min_set_a(&M);
    5715           0 :     min_set_D(&M, e);
    5716           0 :     e = min_to_ell(&M, e);
    5717             :   }
    5718         280 :   val_init(e, 3,81, &v4,&u, &v6,&v, &vD,&D1);
    5719         280 :   kod = kod_23(e,3);
    5720         280 :   K6 = kross(v,3); if (kod>4) return K6;
    5721         161 :   n2 = neron_3(v4,v6,vD,kod);
    5722         161 :   r6 = v%9; K4 = kross(u,3);
    5723         161 :   switch(kod)
    5724             :   {
    5725          28 :     case 1: case 3: case -3: return 1;
    5726           0 :     case 2:
    5727             :       switch(n2)
    5728             :       {
    5729           0 :         case 1: return (r6==4 || r6>6) ? 1 : -1;
    5730           0 :         case 2: return -K4*K6;
    5731           0 :         case 3: return 1;
    5732           0 :         case 4: return -K6;
    5733             :       }
    5734             :     case 4:
    5735             :       switch(n2)
    5736             :       {
    5737           7 :         case 1: return K6*kross(D1,3);
    5738           0 :         case 2: return -K4;
    5739           0 :         case 3: return -K6;
    5740             :       }
    5741           0 :     case -2: return n2==2 ? 1 : K6;
    5742          49 :     case -4:
    5743             :       switch(n2)
    5744             :       {
    5745          42 :         case 1:
    5746          42 :           if (v4==4) return (r6==4 || r6==8) ? 1 : -1;
    5747          42 :           else return (r6==1 || r6==2) ? 1 : -1;
    5748           7 :         case 2: return -K6;
    5749           0 :         case 3: return (r6==2 || r6==7) ? 1 : -1;
    5750           0 :         case 4: return K6;
    5751             :       }
    5752          77 :     default: return -1;
    5753             :   }
    5754             : }
    5755             : 
    5756             : /* p > 3. Don't assume that e is minimal or even integral at p */
    5757             : static long
    5758        1393 : ellrootno_p(GEN e, GEN p)
    5759             : {
    5760             :   long nuj, nuD, nu;
    5761        1393 :   GEN D = ell_get_disc(e);
    5762             :   long ep, z;
    5763             : 
    5764        1393 :   nuD = Q_pval(D, p);
    5765        1393 :   if (!nuD) return 1;
    5766        1393 :   nuj = j_pval(e, p);
    5767        1393 :   nu = (nuD - nuj) % 12;
    5768        1393 :   if (nu == 0)
    5769             :   {
    5770             :     GEN c6;
    5771             :     long d, vg;
    5772        1176 :     if (!nuj) return 1; /* good reduction */
    5773             :    /* p || N */
    5774        1176 :     c6 = ell_get_c6(e); /* != 0 */
    5775        1176 :     vg = minss(2*Q_pval(c6, p), nuD);
    5776        1176 :     d = vg / 12;
    5777        1176 :     if (d)
    5778             :     {
    5779           7 :       GEN q = powiu(p,6*d);
    5780           7 :       c6 = (typ(c6) == t_INT)? diviiexact(c6, q): gdiv(c6, q);
    5781             :     }
    5782        1176 :     if (typ(c6) != t_INT) c6 = Rg_to_Fp(c6,p);
    5783             :     /* c6 in minimal model */
    5784        1176 :     return -kronecker(negi(c6), p);
    5785             :   }
    5786         217 :   if (nuj) return krosi(-1,p);
    5787         189 :   ep = 12 / ugcd(12, nu);
    5788         189 :   if (ep==4) z = 2; else z = odd(ep)? 3: 1;
    5789         189 :   return krosi(-z, p);
    5790             : }
    5791             : 
    5792             : static GEN
    5793        1113 : doellrootno(GEN e)
    5794             : {
    5795        1113 :   GEN V, P, S = ellglobalred_i(e);
    5796        1113 :   long i, l, s = -1;
    5797             : 
    5798        1113 :   V = obj_check(e, Q_MINIMALMODEL);
    5799        1113 :   if (lg(V) != 2) e = gel(V,3);
    5800        1113 :   P = gmael(S,3,1); l = lg(P);
    5801        1113 :   V = cgetg(l, t_VECSMALL);
    5802        3157 :   for (i = 1; i < l; i++)
    5803             :   {
    5804        2044 :     GEN p = gel(P,i);
    5805             :     long t;
    5806        2044 :     switch(itou_or_0(p))
    5807             :     {
    5808         378 :       case 2: t = ellrootno_2(e); break;
    5809         280 :       case 3: t = ellrootno_3(e); break;
    5810        1386 :       default:t = ellrootno_p(e, p);
    5811             :     }
    5812        2044 :     V[i] = t; if (t < 0) s = -s;
    5813             :   }
    5814        1113 :   return mkvec2(stoi(s), V);
    5815             : }
    5816             : 
    5817             : /* local epsilon factor at p (over Q), including p=0 for the infinite place.
    5818             :  * Global if p==1 or NULL. */
    5819             : static long
    5820          91 : ellQ_rootno(GEN e, GEN p)
    5821             : {
    5822          91 :   pari_sp av = avma;
    5823             :   GEN S;
    5824             :   long s;
    5825          91 :   if (!p || isint1(p)) return ellrootno_global(e);
    5826          77 :   if (!signe(p)) return -1; /* local factor at infinity */
    5827          77 :   if ( (S = obj_check(e, Q_ROOTNO)) )
    5828             :   {
    5829          49 :     GEN T = obj_check(e, Q_GLOBALRED), NP = gmael(T,3,1);
    5830          49 :     long i = ZV_search(NP, p);
    5831          49 :     if (i) { GEN V = gel(S,2); return V[i]; }
    5832           0 :     return 1;
    5833             :   }
    5834          28 :   switch(itou_or_0(p))
    5835             :   {
    5836          21 :     case 2:
    5837          21 :       e = ellintegralmodel_i(e, NULL);
    5838          21 :       s = ellrootno_2(e); break;
    5839           0 :     case 3:
    5840           0 :       e = ellintegralmodel_i(e, NULL);
    5841           0 :       s = ellrootno_3(e); break;
    5842           7 :     default:
    5843           7 :       s = ellrootno_p(e,p); break;
    5844             :   }
    5845          28 :   return gc_long(av, s);
    5846             : }
    5847             : 
    5848             : /* global root number over number field
    5849             :  * Root numbers and parity of ranks of elliptic curves, Tim and Vladimir Dokchitser
    5850             :  * https://arxiv.org/abs/0906.1815
    5851             :  */
    5852             : 
    5853             : static GEN
    5854         322 : ellrnfup(GEN rnf, GEN E, long prec)
    5855             : {
    5856             :   long i;
    5857         322 :   GEN Eb = cgetg(6, t_VEC);
    5858        1932 :   for(i=1; i<=5; i++)
    5859        1610 :     gel(Eb, i) = rnfeltup(rnf,gel(E, i));
    5860         322 :   return ellinit_nf(Eb, rnf_build_nfabs(rnf, prec));
    5861             : }
    5862             : 
    5863             : static GEN
    5864         252 : ellnf2isog(GEN E, GEN z)
    5865             : {
    5866         252 :   long v = fetch_var_higher();
    5867         252 :   GEN S = deg1pol(gen_1, gneg(z), v);
    5868         252 :   GEN E2 = ellisogeny(E, S, 1, -1, -1);
    5869         252 :   delete_var();
    5870         252 :   return ellinit_nf(E2, ellnf_get_nf(E));
    5871             : }
    5872             : 
    5873             : static GEN
    5874         217 : ellnf_reladelicvolume(GEN E, GEN P, GEN z, long prec)
    5875             : {
    5876         217 :   pari_sp av = avma;
    5877         217 :   GEN nf = ellnf_get_nf(E);
    5878         217 :   GEN rnf = rnfinit0(nf, P, 1);
    5879         217 :   GEN Et = ellrnfup(rnf, E, prec);
    5880         217 :   GEN E2 = ellnf2isog(Et, rnfeltreltoabs(rnf, z));
    5881         217 :   GEN c1 = ellnf_adelicvolume(Et, prec), c2 = ellnf_adelicvolume(E2, prec);
    5882         217 :   obj_free(rnf); obj_free(Et); obj_free(E2);
    5883         217 :   return gerepilecopy(av, mkvec2(c1,c2));
    5884             : }
    5885             : 
    5886             : static long
    5887         252 : rootnovalp(GEN z, ulong p, long prec)
    5888         252 : { return mpodd(ground(gdiv(glog(z, prec), glog(utoi(p),prec)))); }
    5889             : 
    5890             : static GEN
    5891         259 : ec_bmodel_var(GEN E, long v)
    5892             : {
    5893         259 :   GEN P = ec_bmodel(E);
    5894         259 :   setvarn(P,v); return P;
    5895             : }
    5896             : 
    5897             : static long
    5898         147 : ellnf_rootno_global(GEN E)
    5899             : {
    5900         147 :   pari_sp av = avma;
    5901         147 :   GEN nf = ellnf_get_nf(E);
    5902         147 :   long prec = nf_get_prec(nf);
    5903         147 :   long v, var = fetch_var_higher();
    5904             :   GEN F;
    5905         147 :   E = ellintegralmodel_i(E, NULL);
    5906         147 :   F = nfroots(nf, ec_bmodel_var(E, var));
    5907         147 :   if (lg(F)>1)
    5908             :   {
    5909          35 :     GEN Et = ellnf2isog(E, gel(F,1));
    5910          35 :     GEN cK = ellnf_adelicvolume(E, prec), cKt = ellnf_adelicvolume(Et, prec);
    5911          35 :     obj_free(Et);
    5912          35 :     v = rootnovalp(divrr(cK,cKt), 2, prec);
    5913             :   } else
    5914             :   {
    5915         112 :     GEN D = deg2pol_shallow(gen_1, gen_0, gneg(ell_get_disc(E)), var);
    5916         112 :     GEN P = RgX_divs(RgX_rescale(ec_bmodel_var(E, var), utoi(4)), 4);
    5917         112 :     GEN c = ellnf_reladelicvolume(E, P, gmul2n(pol_x(var),-2), prec);
    5918         112 :     GEN cL = gel(c,1), cLt = gel(c,2);
    5919         112 :     GEN F = nfroots(nf, D);
    5920         112 :     if (lg(F)>1)
    5921           7 :       v = rootnovalp(divrr(cL,cLt), 2, prec);
    5922             :     else
    5923             :     {
    5924         105 :       GEN cK = ellnf_adelicvolume(E, prec);
    5925         105 :       GEN cp = nfcompositum(nf, P, D, 3);
    5926         105 :       GEN cc = ellnf_reladelicvolume(E, gel(cp,1), gmul2n(gel(cp,2),-2), prec);
    5927         105 :       GEN cF = gel(cc,1), cFt = gel(cc,2);
    5928         105 :       GEN rnf = rnfinit0(nf,D,1);
    5929         105 :       GEN Et = ellrnfup(rnf, E, prec);
    5930         105 :       GEN cKv = ellnf_adelicvolume(Et, prec);
    5931         105 :       long v2 = rootnovalp(divrr(gmul(cL,cF),gmul(cLt,cFt)), 2, prec);
    5932         105 :       long v3 = rootnovalp(divrr(gmul(cF,gsqr(cK)),gmul(cKv,gsqr(cL))), 3, prec);
    5933         105 :       obj_free(rnf); obj_free(Et);
    5934         105 :       v = odd(v2+v3);
    5935             :     }
    5936             :   }
    5937         147 :   delete_var();
    5938         147 :   return gc_long(av, v? -1: 1);
    5939             : }
    5940             : 
    5941             : static GEN
    5942         147 : doellnfrootno(GEN e)
    5943         147 : { return stoi(ellnf_rootno_global(e)); }
    5944             : 
    5945             : long
    5946        2317 : ellrootno_global(GEN e)
    5947             : {
    5948        2317 :   pari_sp av = avma;
    5949             :   GEN S;
    5950        2317 :   switch(ell_get_type(e))
    5951             :   {
    5952        2030 :     case t_ELL_Q:
    5953        2030 :       S = gel(obj_checkbuild(e, Q_ROOTNO, &doellrootno),1);
    5954        2030 :       break;
    5955         287 :     case t_ELL_NF:
    5956         287 :       S = obj_checkbuild(e, NF_ROOTNO, &doellnfrootno);
    5957         287 :       break;
    5958           0 :     default:
    5959             :       pari_err_TYPE("ellrootno", e); return 0; /*LCOV_EXCL_LINE*/
    5960             :   }
    5961        2317 :   return gc_long(av, itos(S));
    5962             : }
    5963             : 
    5964             : long
    5965         189 : ellrootno(GEN e, GEN p)
    5966             : {
    5967         189 :   checkell(e);
    5968         189 :   if (p && typ(p) != t_INT) pari_err_TYPE("ellrootno", p);
    5969         189 :   if (p && signe(p) < 0) pari_err_PRIME("ellrootno",p);
    5970         189 :   switch(ell_get_type(e))
    5971             :   {
    5972          91 :     case t_ELL_Q:
    5973          91 :       return ellQ_rootno(e, p);
    5974           0 :     default: pari_err_TYPE("ellrootno", e);
    5975          98 :     case t_ELL_NF:
    5976          98 :       if (p) pari_err_IMPL("local root number for number fields");
    5977          98 :       return ellrootno_global(e);
    5978             :   }
    5979             : }
    5980             : 
    5981             : /********************************************************************/
    5982             : /**                                                                **/
    5983             : /**                       TRACE OF FROBENIUS                       **/
    5984             : /**                                                                **/
    5985             : /********************************************************************/
    5986             : 
    5987             : /* assume p does not divide disc E */
    5988             : long
    5989      377492 : ellap_CM_fast(GEN E, ulong p, long CM)
    5990             : {
    5991             :   ulong a4, a6;
    5992      377492 :   if (p == 2) return 3 - cardmod2(E);
    5993      375840 :   if (p == 3) return 4 - cardmod3(E);
    5994      373355 :   Fl_ell_to_a4a6(E, p, &a4, &a6);
    5995      373355 :   return Fl_elltrace_CM(CM, a4, a6, p);
    5996             : }
    5997             : 
    5998             : static void
    5999         693 : checkell_int(GEN e)
    6000             : {
    6001         693 :   checkell_Q(e);
    6002         693 :   if (typ(ell_get_a1(e)) != t_INT ||
    6003         693 :       typ(ell_get_a2(e)) != t_INT ||
    6004         693 :       typ(ell_get_a3(e)) != t_INT ||
    6005         693 :       typ(ell_get_a4(e)) != t_INT ||
    6006         693 :       typ(ell_get_a6(e)) != t_INT) pari_err_TYPE("ellanQ [not an integral model]",e);
    6007         693 : }
    6008             : 
    6009             : long
    6010       13396 : ellQ_get_CM(GEN e)
    6011             : {
    6012       13396 :   GEN j = ell_get_j(e);
    6013       13396 :   long CM = 0;
    6014       13396 :   if (typ(j) == t_INT) switch(itos_or_0(j))
    6015             :   {
    6016         276 :     case 0:
    6017         276 :       if (!signe(j)) CM = -3;
    6018         276 :       break;
    6019         161 :     case 1728: CM = -4; break;
    6020          21 :     case -3375: CM = -7; break;
    6021          21 :     case  8000: CM = -8; break;
    6022          21 :     case 54000: CM = -12; break;
    6023          21 :     case -32768: CM = -11; break;
    6024          21 :     case 287496: CM = -16; break;
    6025           7 :     case -884736: CM = -19; break;
    6026          21 :     case -12288000: CM = -27; break;
    6027          21 :     case  16581375: CM = -28; break;
    6028           7 :     case -884736000: CM = -43; break;
    6029             : #ifdef LONG_IS_64BIT
    6030           6 :     case -147197952000L: CM = -67; break;
    6031           6 :     case -262537412640768000L: CM = -163; break;
    6032             : #endif
    6033             :   }
    6034       13396 :   return CM;
    6035             : }
    6036             : 
    6037             : /* E/Q or Qp, return cardinality including the (possible) ramified point */
    6038             : static GEN
    6039     2330817 : ellcard_ram(GEN E, GEN p, int *good_red)
    6040             : {
    6041     2330817 :   GEN a4, a6, D = Rg_to_Fp(ell_get_disc(E), p);
    6042     2330833 :   if (!signe(D))
    6043             :   {
    6044       97993 :     pari_sp av = avma;
    6045       97993 :     GEN ap = ellQap(E, p, good_red);
    6046       97993 :     return gerepileuptoint(av, subii(addiu(p,1), ap));
    6047             :   }
    6048     2232840 :   *good_red = 1;
    6049     2232840 :   if (absequaliu(p,2)) return utoi(cardmod2(E));
    6050     2231933 :   if (absequaliu(p,3)) return utoi(cardmod3(E));
    6051     2231007 :   ell_to_a4a6(E,p,&a4,&a6);
    6052     2230588 :   return Fp_ellcard(a4, a6, p);
    6053             : }
    6054             : 
    6055             : 
    6056             : /* bad reduction at p */
    6057             : static void
    6058        3780 : sievep_bad(ulong p, GEN an, ulong n)
    6059             : {
    6060             :   ulong m, N;
    6061        3780 :   switch (an[p]) /* (-c6/p) */
    6062             :   {
    6063        1071 :     case -1: /* nonsplit */
    6064        1071 :       N = n/p;
    6065      461047 :       for (m=2; m<=N; m++)
    6066      459976 :         if (an[m] != LONG_MAX) an[m*p] = -an[m];
    6067        1071 :       break;
    6068        1344 :     case 0: /* additive */
    6069      886102 :       for (m=2*p; m<=n; m+=p) an[m] = 0;
    6070        1344 :       break;
    6071        1365 :     case 1: /* split */
    6072        1365 :       N = n/p;
    6073      161507 :       for (m=2; m<=N; m++)
    6074      160142 :         if (an[m] != LONG_MAX) an[m*p] = an[m];
    6075        1365 :       break;
    6076             :   }
    6077        3780 : }
    6078             : /* good reduction at p */
    6079             : static void
    6080      355015 : sievep_good(ulong p, GEN an, ulong n, ulong SQRTn)
    6081             : {
    6082      355015 :   const long ap = an[p];
    6083             :   ulong m;
    6084      355015 :   if (p <= SQRTn) {
    6085       13382 :     ulong pk, oldpk = 1;
    6086       54531 :     for (pk=p; pk <= n; oldpk=pk, pk *= p)
    6087             :     {
    6088       41149 :       if (pk != p) an[pk] = ap * an[oldpk] - p * an[oldpk/p];
    6089     5240691 :       for (m = n/pk; m > 1; m--)
    6090     5199542 :         if (an[m] != LONG_MAX && m%p) an[m*pk] = an[m] * an[pk];
    6091             :     }
    6092             :   } else {
    6093     1826025 :     for (m = n/p; m > 1; m--)
    6094     1484392 :       if (an[m] != LONG_MAX) an[m*p] = ap * an[m];
    6095             :   }
    6096      355015 : }
    6097             : static void
    6098      358795 : sievep(ulong p, GEN an, ulong n, ulong SQRTn, int good_red)
    6099             : {
    6100      358795 :   if (good_red)
    6101      355015 :     sievep_good(p, an, n, SQRTn);
    6102             :   else
    6103        3780 :     sievep_bad(p, an, n);
    6104      358795 : }
    6105             : 
    6106             : static long
    6107      358795 : ellan_get_ap(ulong p, int *good_red, int CM, GEN e)
    6108             : {
    6109      358795 :   if (!umodiu(ell_get_disc(e),p)) /* p|D, bad reduction or nonminimal model */
    6110        3836 :     return ellQap_u(e, p, good_red);
    6111             :   else /* good reduction */
    6112             :   {
    6113      354959 :     *good_red = 1;
    6114      354959 :     return ellap_CM_fast(e, p, CM);
    6115             :   }
    6116             : }
    6117             : GEN
    6118        2408 : ellanQ_zv(GEN e, long n0)
    6119             : {
    6120             :   pari_sp av;
    6121        2408 :   ulong p, SQRTn, n = (ulong)n0;
    6122             :   GEN an;
    6123             :   int CM;
    6124             : 
    6125        2408 :   if (n0 <= 0) return cgetg(1,t_VEC);
    6126        2408 :   if (n >= LGBITS)
    6127           0 :     pari_err_IMPL( stack_sprintf("ellan for n >= %lu", LGBITS) );
    6128        2408 :   e = ellintegralmodel_i(e,NULL);
    6129        2408 :   SQRTn = usqrt(n);
    6130        2408 :   CM = ellQ_get_CM(e);
    6131             : 
    6132        2408 :   an = const_vecsmall(n, LONG_MAX);
    6133        2408 :   an[1] = 1; av = avma;
    6134     2946210 :   for (p=2; p<=n; p++)
    6135             :   {
    6136             :     int good_red;
    6137     2943802 :     if (an[p] != LONG_MAX) continue; /* p not prime */
    6138      358795 :     an[p] = ellan_get_ap(p, &good_red, CM, e);
    6139      358795 :     sievep(p, an, n, SQRTn, good_red);
    6140             :   }
    6141        2408 :   set_avma(av); return an;
    6142             : }
    6143             : 
    6144             : static GEN
    6145          56 : ellQ_eulerf(GEN e, GEN p)
    6146             : {
    6147             :   int good_red;
    6148          56 :   GEN card = ellcard_ram(e, p, &good_red);
    6149          56 :   GEN ap = subii(addiu(p, 1), card);
    6150          56 :   if (good_red)
    6151          56 :     return mkrfrac(gen_1,deg2pol_shallow(p, gneg(ap), gen_1, 0));
    6152           0 :   if (!signe(ap)) return pol_1(0);
    6153           0 :   return mkrfrac(gen_1,deg1pol_shallow(negi(ap), gen_1,0));
    6154             : }
    6155             : 
    6156             : static GEN
    6157         329 : ellanQ(GEN e, long N)
    6158         329 : { return vecsmall_to_vec_inplace(ellanQ_zv(e,N)); }
    6159             : 
    6160             : static GEN
    6161       83780 : ellnflocal(GEN E, GEN p, long n)
    6162             : {
    6163       83780 :   pari_sp av = avma;
    6164       83780 :   GEN nf = ellnf_get_nf(E);
    6165       83778 :   GEN LP = idealprimedec_limit_f(nf, p, n ? n-1: nf_get_degree(nf)), T = NULL;
    6166       83777 :   long l = lg(LP), i;
    6167      167529 :   for (i = 1; i < l; i++)
    6168             :   {
    6169             :     int goodred;
    6170       83753 :     GEN P = gel(LP,i), T2;
    6171       83753 :     GEN ap = ellnfap(E, P, &goodred);
    6172       83710 :     long f = pr_get_f(P);
    6173       83713 :     if (goodred)
    6174       83531 :       T2 = mkpoln(3, pr_norm(P), negi(ap), gen_1);
    6175             :     else
    6176             :     {
    6177         182 :       if (!signe(ap)) continue;
    6178         168 :       T2 = deg1pol_shallow(negi(ap), gen_1, 0);
    6179             :     }
    6180       83727 :     if (f > 1) T2 = RgX_inflate(T2, f);
    6181       83744 :     T = T? ZX_mul(T, T2): T2;
    6182             :   }
    6183       83776 :   if (!T) { set_avma(av); return pol_1(0); }
    6184       46352 :   if (n==0) return gerepilecopy(av, mkrfrac(gen_1,T));
    6185       46338 :   return gerepileupto(av, RgXn_inv_i(T, n));
    6186             : }
    6187             : 
    6188             : GEN
    6189        4963 : direllnf_worker(GEN P, ulong X, GEN E)
    6190             : {
    6191        4963 :   pari_sp av = avma;
    6192        4963 :   long i, l = lg(P);
    6193        4963 :   GEN W = cgetg(l, t_VEC);
    6194       88728 :   for(i = 1; i < l; i++)
    6195             :   {
    6196       83765 :     ulong p = uel(P,i);
    6197       83765 :     long d = ulogint(X, p) + 1; /* minimal d such that p^d > X */
    6198       83768 :     gel(W,i) = ellnflocal(E, utoi(uel(P,i)), d);
    6199             :   }
    6200        4963 :   return gerepilecopy(av, mkvec2(P,W));
    6201             : }
    6202             : 
    6203             : static GEN
    6204         203 : ellnfan(GEN E, long N)
    6205             : {
    6206         203 :   GEN worker = snm_closure(is_entry("_direllnf_worker"), mkvec(E));
    6207         203 :   return pardireuler(worker, gen_2, stoi(N), NULL, NULL);
    6208             : }
    6209             : 
    6210             : GEN
    6211          70 : elleulerf(GEN E, GEN p)
    6212             : {
    6213          70 :   checkell(E);
    6214          70 :   switch(ell_get_type(E))
    6215             :   {
    6216          56 :     case t_ELL_Q: return ellQ_eulerf(E, p);
    6217          14 :     case t_ELL_NF: return ellnflocal(E, p, 0);
    6218           0 :     default:
    6219           0 :       pari_err_TYPE("elleulerf",E);
    6220             :       return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
    6221             :   }
    6222             : }
    6223             : 
    6224             : GEN
    6225         525 : ellan(GEN E, long N)
    6226             : {
    6227         525 :   checkell(E);
    6228         525 :   switch(ell_get_type(E))
    6229             :   {
    6230         322 :     case t_ELL_Q: return ellanQ(E, N);
    6231         203 :     case t_ELL_NF: return ellnfan(E, N);
    6232           0 :     default:
    6233           0 :       pari_err_TYPE("ellan",E);
    6234             :       return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
    6235             :   }
    6236             : }
    6237             : 
    6238             : static GEN
    6239         735 : apk_good(GEN ap, GEN p, long e)
    6240             : {
    6241             :   GEN u, v, w;
    6242             :   long j;
    6243         735 :   if (e == 1) return ap;
    6244         112 :   u = ap;
    6245         112 :   w = subii(sqri(ap), p);
    6246         126 :   for (j=3; j<=e; j++)
    6247             :   {
    6248          14 :     v = u; u = w;
    6249          14 :     w = subii(mulii(ap,u), mulii(p,v));
    6250             :   }
    6251         112 :   return w;
    6252             : }
    6253             : 
    6254             : GEN
    6255         693 : akell(GEN e, GEN n)
    6256             : {
    6257             :   long i, j, s;
    6258         693 :   pari_sp av = avma;
    6259             :   GEN fa, P, E, D, u, y;
    6260             : 
    6261         693 :   checkell_int(e);
    6262         693 :   if (typ(n) != t_INT) pari_err_TYPE("akell",n);
    6263         693 :   if (signe(n)<= 0) return gen_0;
    6264         693 :   if (gequal1(n)) return gen_1;
    6265         693 :   D = ell_get_disc(e);
    6266         693 :   u = Z_ppo(n, D);
    6267         693 :   y = gen_1;
    6268         693 :   s = 1;
    6269         693 :   if (!equalii(u, n))
    6270             :   { /* bad reduction at primes dividing n/u */
    6271         441 :     fa = Z_factor(diviiexact(n, u));
    6272         441 :     P = gel(fa,1);
    6273         441 :     E = gel(fa,2);
    6274        1022 :     for (i=1; i<lg(P); i++)
    6275             :     {
    6276         581 :       GEN p = gel(P,i);
    6277         581 :       long ex = itos(gel(E,i));
    6278             :       int good_red;
    6279         581 :       GEN ap = ellQap(e,p,&good_red);
    6280         581 :       if (good_red) { y = mulii(y, apk_good(ap, p, ex)); continue; }
    6281         350 :       j = signe(ap);
    6282         350 :       if (!j) { set_avma(av); return gen_0; }
    6283         350 :       if (odd(ex) && j < 0) s = -s;
    6284             :     }
    6285             :   }
    6286         693 :   if (s < 0) y = negi(y);
    6287         693 :   fa = Z_factor(u);
    6288         693 :   P = gel(fa,1);
    6289         693 :   E = gel(fa,2);
    6290        1197 :   for (i=1; i<lg(P); i++)
    6291             :   { /* good reduction */
    6292         504 :     GEN p = gel(P,i);
    6293         504 :     GEN ap = ellap(e,p);
    6294         504 :     y = mulii(y, apk_good(ap, p, itos(gel(E,i))));
    6295             :   }
    6296         693 :   return gerepileuptoint(av,y);
    6297             : }
    6298             : 
    6299             : GEN
    6300        3675 : ellQ_get_N(GEN e)
    6301        3675 : { GEN v = ellglobalred_i(e); return gel(v,1); }
    6302             : void
    6303         917 : ellQ_get_Nfa(GEN e, GEN *N, GEN *faN)
    6304         917 : { GEN v = ellglobalred_i(e); *N = gel(v,1); *faN = gel(v,3); }
    6305             : 
    6306             : GEN
    6307          14 : elllseries(GEN e, GEN s, GEN A, long prec)
    6308             : {
    6309          14 :   pari_sp av = avma, av1;
    6310             :   ulong l, n;
    6311             :   long eps, flun;
    6312             :   GEN z, cg, v, cga, cgb, s2, K, gs, N;
    6313             : 
    6314          14 :   if (!A) A = gen_1;
    6315             :   else
    6316             :   {
    6317           7 :     if (gsigne(A)<=0)
    6318           0 :       pari_err_DOMAIN("elllseries", "cut-off point", "<=", gen_0,A);
    6319           7 :     if (gcmpgs(A,1) < 0) A = ginv(A);
    6320             :   }
    6321          14 :   if (isint(s, &s) && signe(s) <= 0) { set_avma(av); return gen_0; }
    6322          14 :   flun = gequal1(A) && gequal1(s);
    6323          14 :   checkell_Q(e);
    6324          14 :   e = ellanal_globalred(e, NULL);
    6325          14 :   N = ellQ_get_N(e);
    6326          14 :   eps = ellrootno_global(e);
    6327          14 :   if (flun && eps < 0) { set_avma(av); return real_0(prec); }
    6328             : 
    6329          14 :   gs = ggamma(s, prec);
    6330          14 :   cg = divrr(Pi2n(1, prec), gsqrt(N,prec));
    6331          14 :   cga = gmul(cg, A);
    6332          14 :   cgb = gdiv(cg, A);
    6333          14 :   l = (ulong)((prec2nbits_mul(prec, M_LN2) +
    6334          14 :               fabs(gtodouble(real_i(s))-1.) * log(rtodbl(cga)))
    6335          14 :             / rtodbl(cgb) + 1);
    6336          14 :   if ((long)l < 1) l = 1;
    6337          14 :   v = ellanQ_zv(e, minss(l,LGBITS-1));
    6338          14 :   s2 = K = NULL; /* gcc -Wall */
    6339          14 :   if (!flun) { s2 = gsubsg(2,s); K = gpow(cg, gsubgs(gmul2n(s,1),2),prec); }
    6340          14 :   z = gen_0;
    6341          14 :   av1 = avma;
    6342        1344 :   for (n = 1; n <= l; n++)
    6343             :   {
    6344        1330 :     GEN p1, an, gn = utoipos(n), ns;
    6345        1330 :     an = ((ulong)n<LGBITS)? stoi(v[n]): akell(e,gn);
    6346        1330 :     if (!signe(an)) continue;
    6347             : 
    6348        1106 :     ns = gpow(gn,s,prec);
    6349        1106 :     p1 = gdiv(incgam0(s,mulur(n,cga),gs,prec), ns);
    6350        1106 :     if (flun)
    6351           0 :       p1 = gmul2n(p1, 1);
    6352             :     else
    6353             :     {
    6354        1106 :       GEN p2 = gdiv(gmul(gmul(K,ns), incgam(s2,mulur(n,cgb),prec)), sqru(n));
    6355        1106 :       if (eps < 0) p2 = gneg_i(p2);
    6356        1106 :       p1 = gadd(p1, p2);
    6357             :     }
    6358        1106 :     z = gadd(z, gmul(p1, an));
    6359        1106 :     if (gc_needed(av1,1))
    6360             :     {
    6361           0 :       if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"lseriesell");
    6362           0 :       z = gerepilecopy(av1,z);
    6363             :     }
    6364             :   }
    6365          14 :   return gerepileupto(av, gdiv(z,gs));
    6366             : }
    6367             : 
    6368             : /********************************************************************/
    6369             : /**                                                                **/
    6370             : /**                       CANONICAL HEIGHT                         **/
    6371             : /**                                                                **/
    6372             : /********************************************************************/
    6373             : 
    6374             : static GEN
    6375          56 : ellnf_volume(GEN e, long prec)
    6376             : {
    6377          56 :   GEN V = ellnf_vecarea(e,prec);
    6378          56 :   long i, r1 = nf_get_r1(ellnf_get_nf(e)), l = lg(V);
    6379          56 :   GEN r = gen_1;
    6380         133 :   for(i=1; i <= r1; i++) r = gmul(r, gel(V,i));
    6381          63 :   for(   ; i < l  ; i++) r = gmul(r, gsqr(gel(V,i)));
    6382          56 :   return r;
    6383             : }
    6384             : 
    6385             : /* The function follows
    6386             : <https://publications.ias.edu/sites/default/files/Number52.pdf>
    6387             : <https://resnumtheor.springeropen.com/track/pdf/10.1007/s40993-017-0077-7>
    6388             : */
    6389             : 
    6390             : static GEN
    6391          63 : ellheightfaltings(GEN e, long prec)
    6392             : {
    6393             :   GEN h;
    6394             :   long d;
    6395          63 :   pari_sp av = avma;
    6396          63 :   checkell(e);
    6397          63 :   switch(ell_get_type(e))
    6398             :   {
    6399           7 :     case t_ELL_Q:
    6400           7 :       d = 1;
    6401           7 :       h = gmul(gsqr(ellQ_minimalu(e,NULL)), ellR_area(e, prec));
    6402           7 :       break;
    6403          56 :     case t_ELL_NF:
    6404          56 :       d = nf_get_degree(ellnf_get_nf(e));
    6405          56 :       h = gmul(gsqr(ellnf_minimalnormu(e)), ellnf_volume(e, prec));
    6406          56 :       break;
    6407           0 :     default:
    6408           0 :       pari_err_TYPE("ellheight", e);
    6409             :       return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
    6410             :   }
    6411          63 :   return gerepileupto(av, gdivgs(logr_abs(h), -2*d));
    6412             : }
    6413             : 
    6414             : static GEN
    6415       71015 : Q_numer(GEN x) { return typ(x) == t_INT? x: gel(x,1); }
    6416             : 
    6417             : /* one root of X^2 - t X + c */
    6418             : static GEN
    6419       25459 : quad_root(GEN t, GEN c, long prec)
    6420             : {
    6421       25459 :   return gmul2n(gadd(t, gsqrt(gsub(gsqr(t), gmul2n(c,2)),prec)), -1);
    6422             : }
    6423             : 
    6424             : /* exp( h_oo(z) ), assume z on neutral component.
    6425             :  * If flag, return exp(4 h_oo(z)) instead */
    6426             : static GEN
    6427       25459 : exphellagm(GEN e, GEN z, int flag, long prec)
    6428             : {
    6429       25459 :   GEN x_a, ab, a, b, e1, r, V = cgetg(1, t_VEC), x = gel(z,1);
    6430       25459 :   long n, ex = 5-prec2nbits(prec), p = prec+EXTRAPRECWORD;
    6431             : 
    6432       25459 :   if (typ(x) == t_REAL && realprec(x) < p) x = gprec_w(x, p);
    6433       25459 :   ab = ellR_ab(e, p);
    6434       25459 :   a = gel(ab, 1);
    6435       25459 :   b = gel(ab, 2);
    6436       25459 :   e1= gel(obj_check(e,R_ROOTS), 1); /* use maximal accuracy, don't truncate */
    6437       25459 :   x = gsub(x, e1);
    6438       25459 :   x = quad_root(gadd(x,b), gmul(a,x), prec);
    6439             : 
    6440       25459 :   x_a = gsub(x, a);
    6441       25459 :   if (gsigne(a) > 0) { GEN a0=a; x = gsub(x, b); a = gneg(b); b = gsub(a0, b); }
    6442       25459 :   a = gsqrt(gneg(a), prec);
    6443       25459 :   b = gsqrt(gneg(b), prec);
    6444             :   /* compute height on isogenous curve E1 ~ E0 */
    6445       25459 :   for(n=0;; n++)
    6446      145091 :   {
    6447      170550 :     GEN p1, p2, ab, a0 = a;
    6448      170550 :     a = gmul2n(gadd(a0,b), -1);
    6449      170550 :     r = gsub(a, a0);
    6450      170550 :     if (gequal0(r) || gexpo(r) < ex) break;
    6451      145091 :     ab = gmul(a0, b);
    6452      145091 :     b = gsqrt(ab, prec);
    6453             : 
    6454      145091 :     p1 = gmul2n(gsub(x, ab), -1);
    6455      145091 :     p2 = gsqr(a);
    6456      145091 :     x = gadd(p1, gsqrt(gadd(gsqr(p1), gmul(x, p2)), prec));
    6457      145091 :     V = shallowconcat(V, gadd(x, p2));
    6458             :   }
    6459       25459 :   if (n) {
    6460       25459 :     x = gel(V,n);
    6461      145091 :     while (--n > 0) x = gdiv(gsqr(x), gel(V,n));
    6462             :   } else
    6463           0 :     x = gadd(x, gsqr(a));
    6464             :   /* height on E1 is log(x)/2. Go back to E0 */
    6465       25459 :   return flag? gsqr(gdiv(gsqr(x), x_a)): gdiv(x, sqrtr(mpabs_shallow(x_a)));
    6466             : }
    6467             : /* is P \in E(R)^0, the neutral component ? */
    6468             : static int
    6469       25459 : ellR_on_neutral(GEN E, GEN P, long prec)
    6470             : {
    6471       25459 :   GEN x = gel(P,1), e1 = ellR_root(E, prec);
    6472       25459 :   return gcmp(x, e1) >= 0;
    6473             : }
    6474             : 
    6475             : /* hoo + 1/2 log(den(x)) */
    6476             : static GEN
    6477       25459 : hoo_aux(GEN E, GEN z, GEN d, long prec)
    6478             : {
    6479       25459 :   pari_sp av = avma;
    6480             :   GEN h;
    6481       25459 :   if (!ellR_on_neutral(E, z, prec))
    6482             :   {
    6483        6573 :     GEN eh = exphellagm(E, elladd(E, z,z), 0, prec);
    6484             :     /* h_oo(2P) = 4h_oo(P) - log |2y + a1x + a3| */
    6485        6573 :     h = gmul(eh, gabs(ec_dmFdy_evalQ(E, z), prec));
    6486             :   }
    6487             :   else
    6488       18886 :     h = exphellagm(E, z, 1, prec);
    6489       25459 :   if (!is_pm1(d)) h = gmul(h, sqri(d));
    6490       25459 :   return gerepileuptoleaf(av, gmul2n(mplog(h), -2));
    6491             : }
    6492             : GEN
    6493        1918 : ellheightoo(GEN E, GEN z, long prec) { return hoo_aux(E, z, gen_1, prec); }
    6494             : 
    6495             : /* Formula from Silverman GTM 151 Theorem 3.2 page 466 */
    6496             : static GEN
    6497          28 : ellheight_C(GEN E, GEN P, long prec)
    6498             : {
    6499          28 :   pari_sp av = avma;
    6500          28 :   GEN z = zell(E, P, prec);
    6501          28 :   GEN per = ellperiods(E, 1, prec);
    6502          28 :   GEN w = gel(per,1), w1 = gel(w,1), w2 = gel(w, 2), w1c = conj_i(w1);
    6503          28 :   GEN e = gel(per,2), e1 = gel(e,1), e2 = gel(e, 2);
    6504          28 :   GEN D = gsub(gmul(w1, conj_i(w2)),gmul(w1c, w2));
    6505          28 :   GEN b = gdiv(gsub(gmul(w1, conj_i(z)),gmul(w1c, z)), D);
    6506          28 :   GEN a = gdiv(gsub(z, gmul(b, w2)), w1);
    6507          28 :   GEN eta = gadd(gmul(a, e1), gmul(b, e2));
    6508          28 :   GEN r = gmul2n(real_i(gmul(z, eta)), -1);
    6509          28 :   GEN l = real_i(ellsigma(per, z, 1, prec));
    6510          28 :   return gerepileupto(av, gsub(r, l));
    6511             : }
    6512             : 
    6513             : static GEN
    6514       20363 : _hell(GEN E, GEN p, long n, GEN P)
    6515       20363 : { return p? ellpadicheight(E,p,n, P): ellheight(E,P,n); }
    6516             : static GEN
    6517          35 : ellheightpairing(GEN E, GEN p, long n, GEN P, GEN Q)
    6518             : {
    6519          35 :   pari_sp av = avma;
    6520          35 :   GEN a = _hell(E,p,n, elladd(E,P,Q));
    6521          35 :   GEN b = _hell(E,p,n, ellsub(E,P,Q));
    6522          35 :   return gerepileupto(av, gmul2n(gsub(a,b), -2));
    6523             : }
    6524             : GEN
    6525         231 : ellheight0(GEN e, GEN a, GEN b, long n)
    6526             : {
    6527         231 :   if (!a)
    6528             :   {
    6529          70 :     if (b) pari_err(e_MISC, "cannot omit P and set Q");
    6530          63 :     return ellheightfaltings(e,n);
    6531             :   }
    6532         161 :   return b? ellheightpairing(e,NULL,n, a,b): ellheight(e,a,n);
    6533             : }
    6534             : GEN
    6535          70 : ellpadicheight0(GEN e, GEN p, long n, GEN P, GEN Q)
    6536          70 : { return Q? ellheightpairing(e,p,n, P,Q): ellpadicheight(e,p,n, P); }
    6537             : 
    6538             : static GEN
    6539         245 : ellnf_localheight(GEN e, GEN P, GEN pr)
    6540             : {
    6541             :   long v1, v2, vD, vu;
    6542         245 :   GEN nf = ellnf_get_nf(e);
    6543         245 :   GEN lr = nflocalred(e,pr);
    6544         245 :   GEN k = gel(lr, 2), urst = gel(lr, 3), u = gel(urst, 1);
    6545         245 :   GEN E = ellchangecurve(e, urst);
    6546         245 :   GEN Q = ellchangepoint(P, urst);
    6547             :   GEN v;
    6548         245 :   vu = nfval(nf, u, pr);
    6549         245 :   v1 = nfval(nf, ec_dFdx_evalQ(E, Q), pr);
    6550         245 :   v2 = nfval(nf, ec_dmFdy_evalQ(E, Q), pr);
    6551         245 :   vD = nfval(nf, ell_get_disc(E), pr); /* >= 0 */
    6552         245 :   if (v1<0)
    6553           7 :     vu = 0;
    6554         245 :   if (v1<=0 || v2<=0)
    6555         210 :     v = gen_0;
    6556          35 :   else if (cmpis(k,5) >= 0)
    6557             :   {
    6558          21 :     GEN a = uutoQ(minss(2*v2,vD), 2*vD);
    6559          21 :     v = gmul(gsub(gsqr(a),a), uutoQ(vD,2));
    6560             :   }
    6561             :   else
    6562             :   {
    6563          14 :     long v3 = nfval(nf, ec_3divpol_evalx(E, gel(Q,1)), pr);
    6564          28 :     v = (v2<LONG_MAX && v3>=3*v2) ? sstoQ(-v2,3):
    6565          14 :                                     sstoQ(-v3,8);
    6566             :   }
    6567         245 :   return gsubgs(v,vu);
    6568             : }
    6569             : 
    6570             : static GEN
    6571         112 : ellnf_height(GEN E, GEN P, long prec)
    6572             : {
    6573         112 :   pari_sp av = avma;
    6574             :   GEN x, nf, disc, d, F, Ee, Pe, s;
    6575             :   long i, n, l, r1;
    6576         112 :   if (signe(ellorder(E, P, NULL))) return gen_0;
    6577          91 :   x = gel(P,1);
    6578          91 :   if (gequal0(ec_2divpol_evalx(E, x))) { set_avma(av); return gen_0; }
    6579          91 :   nf = ellnf_get_nf(E); r1 = nf_get_r1(nf);
    6580          91 :   disc = ell_get_disc(E);
    6581          91 :   d = idealnorm(nf, gel(idealnumden(nf, x), 2));
    6582          91 :   F = gel(idealfactor(nf, disc), 1);
    6583          91 :   Ee = ellnfembed(E, prec);
    6584          91 :   Pe = ellpointnfembed(E, P, prec);
    6585          91 :   n = lg(Ee); l = lg(F);
    6586          91 :   s = gmul2n(glog(d, prec), -1);
    6587         224 :   for (i=1; i<=r1; i++)
    6588         133 :     s = gadd(s, ellheightoo(gel(Ee, i), gel(Pe, i), prec));
    6589         119 :   for (   ; i<n; i++)
    6590          28 :     s = gadd(s, gmul2n(ellheight_C(gel(Ee, i), gel(Pe, i), prec), 1));
    6591         336 :   for (i=1; i<l; i++)
    6592             :   {
    6593         245 :     GEN pr = gel(F,i), p = pr_get_p(pr);
    6594         245 :     long f = pr_get_f(pr);
    6595         245 :     GEN lam = ellnf_localheight(E, P, pr);
    6596         245 :     s = gadd(s, gmul(lam, mulrs(glog(p, prec), f)));
    6597             :   }
    6598          91 :   return gerepileupto(av, gmul2n(s, 1));
    6599             : }
    6600             : 
    6601             : static GEN
    6602       23555 : ellQ_height(GEN e, GEN a, long prec)
    6603             : {
    6604       23555 :   long i, lx, newell = 0;
    6605             :   pari_sp av;
    6606             :   GEN Lp, x, y, z, phi2, psi2, psi3;
    6607             :   GEN v, S, b2, b4, b6, b8, a1, a2, a4, c4, D;
    6608             : 
    6609       23555 :   if (!RgV_is_QV(a)) pari_err_TYPE("ellheight [not a rational point]",a);
    6610       23548 :   if (ellorder_Q(e, a)) return gen_0;
    6611       23548 :   av = avma;
    6612       23548 :   if ((S = obj_check(e, Q_MINIMALMODEL)))
    6613             :   { /* switch to minimal model if needed */
    6614       22939 :     if (lg(S) != 2)
    6615             :     {
    6616       17738 :       v = gel(S,2);
    6617       17738 :       e = gel(S,3);
    6618       17738 :       a = ellchangepoint(a, v);
    6619             :     }
    6620             :   }
    6621             :   else
    6622             :   {
    6623         609 :     newell = 1;
    6624         609 :     e = ellminimalmodel_i(e, &v, NULL);
    6625         609 :     a = ellchangepoint(a, v);
    6626             :   }
    6627       23548 :   if (!oncurve(e,a))
    6628           7 :     pari_err_DOMAIN("ellheight", "point", "not on", strtoGENstr("E"),a);
    6629       23541 :   psi2 = Q_numer(ec_dmFdy_evalQ(e,a));
    6630       23541 :   if (!signe(psi2)) { set_avma(av); return gen_0; }
    6631       23541 :   x = gel(a,1);
    6632       23541 :   y = gel(a,2);
    6633       23541 :   b2 = ell_get_b2(e);
    6634       23541 :   b4 = ell_get_b4(e);
    6635       23541 :   b6 = ell_get_b6(e);
    6636       23541 :   b8 = ell_get_b8(e);
    6637       23541 :   psi3 = Q_numer( /* b8 + 3x b6 + 3x^2 b4 + x^3 b2 + 3 x^4 */
    6638             :     poleval(mkvec5(b8, mului(3,b6), mului(3,b4), b2, utoipos(3)), x)
    6639             :   );
    6640       23541 :   if (!signe(psi3)) { set_avma(av); return gen_0; }
    6641       23541 :   a1 = ell_get_a1(e);
    6642       23541 :   a2 = ell_get_a2(e);
    6643       23541 :   a4 = ell_get_a4(e);
    6644       23541 :   phi2 = Q_numer( /* a4 + 2a2 x + 3x^2 - y a1*/
    6645             :     poleval(mkvec3(gsub(a4,gmul(a1,y)), shifti(a2,1), utoipos(3)), x)
    6646             :   );
    6647       23541 :   c4 = ell_get_c4(e);
    6648       23541 :   D = ell_get_disc(e);
    6649       23541 :   z = hoo_aux(e,a,Q_denom(x),prec);  /* hoo(a) + log(den(x))/2 */
    6650       23541 :   Lp = gel(Z_factor(gcdii(psi2,phi2)),1);
    6651       23541 :   lx = lg(Lp);
    6652      160090 :   for (i=1; i<lx; i++)
    6653             :   {
    6654      136549 :     GEN p = gel(Lp,i);
    6655             :     long u, v, n, n2;
    6656      136549 :     if (!dvdii(c4,p))
    6657             :     { /* p \nmid c4 */
    6658      125622 :       long N = Z_pval(D,p);
    6659      125622 :       if (!N) continue;
    6660      125622 :       n2 = Z_pval(psi2,p); n = n2<<1;
    6661      125622 :       if (n > N) n = N;
    6662      125622 :       u = n * ((N<<1) - n);
    6663      125622 :       v = N << 3;
    6664             :     }
    6665             :     else
    6666             :     {
    6667       10927 :       n2 = Z_pval(psi2, p);
    6668       10927 :       n  = Z_pval(psi3, p);
    6669       10927 :       if (n >= 3*n2) { u = n2; v = 3; } else { u = n; v = 8; }
    6670             :     }
    6671             :     /* z -= u log(p) / v */
    6672      136549 :     z = gsub(z, divru(mulur(u, logr_abs(itor(p,prec))), v));
    6673             :   }
    6674       23541 :   if (newell) obj_free(e);
    6675       23541 :   return gerepileupto(av, gmul2n(z, 1));
    6676             : }
    6677             : 
    6678             : GEN
    6679       23667 : ellheight(GEN e, GEN a, long prec)
    6680             : {
    6681       23667 :   checkell(e); checkellpt(a);
    6682       23667 :   switch(ell_get_type(e))
    6683             :   {
    6684       23555 :     case t_ELL_Q:
    6685       23555 :       return ellQ_height(e, a, prec);
    6686           0 :     default: pari_err_TYPE("ellheight", e);
    6687         112 :     case t_ELL_NF:
    6688         112 :       return ellnf_height(e, a, prec);
    6689             :   }
    6690             : }
    6691             : 
    6692             : GEN
    6693         826 : ellpadicheightmatrix(GEN e, GEN p, long n, GEN x)
    6694             : {
    6695             :   GEN D, A, B;
    6696         826 :   long lx = lg(x), i, j;
    6697         826 :   pari_sp av = avma;
    6698             : 
    6699         826 :   if (!is_vec_t(typ(x))) pari_err_TYPE("ellheightmatrix",x);
    6700         826 :   D = cgetg(lx,t_VEC);
    6701         826 :   A = cgetg(lx,t_MAT);
    6702         826 :   B = cgetg(lx,t_MAT);
    6703        5019 :   for (i=1; i<lx; i++)
    6704             :   {
    6705        4193 :     gel(D,i) = _hell(e,p,n, gel(x,i));
    6706        4193 :     gel(A,i) = cgetg(lx,t_COL);
    6707        4193 :     gel(B,i) = cgetg(lx,t_COL); /*unused if p = NULL */
    6708             :   }
    6709        5019 :   for (i=1; i<lx; i++)
    6710             :   {
    6711        4193 :     GEN h = gel(D,i);
    6712        4193 :     if (p)
    6713             :     {
    6714          28 :       gcoeff(A,i,i) = gel(h,1);
    6715          28 :       gcoeff(B,i,i) = gel(h,2);
    6716             :     }
    6717             :     else
    6718        4165 :       gcoeff(A,i,i) = h;
    6719       20293 :     for (j=i+1; j<lx; j++)
    6720             :     {
    6721       16100 :       h = _hell(e,p,n, elladd(e,gel(x,i),gel(x,j)));
    6722       16100 :       h = gmul2n(gsub(h, gadd(gel(D,i),gel(D,j))), -1);
    6723       16100 :       if (p)
    6724             :       {
    6725          21 :         gcoeff(A,j,i) = gcoeff(A,i,j) = gel(h,1);
    6726          21 :         gcoeff(B,j,i) = gcoeff(B,i,j) = gel(h,2);
    6727             :       }
    6728             :       else
    6729       16079 :         gcoeff(A,j,i) = gcoeff(A,i,j) = h;
    6730             :     }
    6731             :   }
    6732         826 :   return gerepilecopy(av, p? mkvec2(A,B): A);
    6733             : }
    6734             : GEN
    6735         812 : ellheightmatrix(GEN E, GEN x, long n)
    6736         812 : { return ellpadicheightmatrix(E,NULL,n, x); }
    6737             : 
    6738             : /* Q an actual point, P a point or vector/matrix of points */
    6739             : static GEN
    6740          21 : bilhell_i(GEN E, GEN P, GEN Q, long n)
    6741             : {
    6742             :   GEN y;
    6743          21 :   long i, l = lg(P);
    6744          21 :   if (l==1) return cgetg(1,typ(P));
    6745          21 :   if (!is_matvec_t( typ(gel(P,1)) )) return ellheight0(E,P,Q,n);
    6746           7 :   y = cgetg(l, typ(P));
    6747          21 :   for (i=1; i<l; i++) gel(y,i) = bilhell_i(E,gel(P,i),Q,n);
    6748           7 :   return y;
    6749             : }
    6750             : GEN
    6751           7 : bilhell(GEN E, GEN P, GEN Q, long n)
    6752             : {
    6753           7 :   long t1 = typ(P), t2 = typ(Q);
    6754           7 :   if (!is_matvec_t(t1)) pari_err_TYPE("ellbil",P);
    6755           7 :   if (!is_matvec_t(t2)) pari_err_TYPE("ellbil",Q);
    6756           7 :   if (lg(P)==1) return cgetg(1,t1);
    6757           7 :   if (lg(Q)==1) return cgetg(1,t2);
    6758           7 :   t2 = typ(gel(Q,1));
    6759           7 :   if (is_matvec_t(t2))
    6760             :   {
    6761           0 :     t1 = typ(gel(P,1));
    6762           0 :     if (is_matvec_t(t1)) pari_err_TYPE("bilhell",P);
    6763           0 :     return bilhell_i(E,Q,P,n);
    6764             :   }
    6765           7 :   return bilhell_i(E,P,Q,n);
    6766             : }
    6767             : /********************************************************************/
    6768             : /**                                                                **/
    6769             : /**                    Modular Parametrization                     **/
    6770             : /**                                                                **/
    6771             : /********************************************************************/
    6772             : /* t*x^v (1 + O(x)), t != 0 */
    6773             : static GEN
    6774           0 : triv_ser(GEN t, long v)
    6775             : {
    6776           0 :   GEN s = cgetg(3,t_SER);
    6777           0 :   s[1] = evalsigne(1) | _evalvalp(v) | evalvarn(0);
    6778           0 :   gel(s,2) = t; return s;
    6779             : }
    6780             : 
    6781             : GEN
    6782          14 : elltaniyama(GEN e, long prec)
    6783             : {
    6784             :   GEN x, w, c, d, X, C, b2, b4;
    6785             :   long n, m;
    6786          14 :   pari_sp av = avma;
    6787             : 
    6788          14 :   checkell_Q(e);
    6789          14 :   if (prec < 0) pari_err_DOMAIN("elltaniyama","precision","<",gen_0,stoi(prec));
    6790           7 :   if (!prec) retmkvec2(triv_ser(gen_1,-2), triv_ser(gen_m1,-3));
    6791             : 
    6792           7 :   x = cgetg(prec+3,t_SER);
    6793           7 :   x[1] = evalsigne(1) | _evalvalp(-2) | evalvarn(0);
    6794           7 :   d = ginv(RgV_to_ser(ellanQ(e,prec+1), 0, prec+3)); setvalp(d,-1);
    6795             :   /* 2y(q) + a1x + a3 = d qx'(q). Solve for x(q),y(q):
    6796             :    * 4y^2 = 4x^3 + b2 x^2 + 2b4 x + b6 */
    6797           7 :   c = gsqr(d);
    6798             :   /* solve 4x^3 + b2 x^2 + 2b4 x + b6 = c (q x'(q))^2; c = 1/q^2 + O(1/q)
    6799             :    * Take derivative then divide by 2x':
    6800             :    *  b2 x + b4 = (1/2) (q c')(q x') + c q (q x')' - 6x^2.
    6801             :    * Write X[i] = coeff(x, q^i), C[i] = coeff(c, q^i), we obtain for all n
    6802             :    *  ((n+1)(n+2)-12) X[n+2] =  b2 X[n] + b4 delta_{n = 0}
    6803             :    *   + 6    \sum_{m = -1}^{n+1} X[m] X[n-m]
    6804             :    *   - (1/2)\sum_{m = -2}^{n+1} (n+m) m C[n-m]X[m].
    6805             :    * */
    6806           7 :   C = c+4;
    6807           7 :   X = x+4;
    6808           7 :   gel(X,-2) = gen_1;
    6809           7 :   gel(X,-1) = gmul2n(gel(C,-1), -1); /* n = -3, X[-1] = C[-1] / 2 */
    6810           7 :   b2 = ell_get_b2(e);
    6811           7 :   b4 = ell_get_b4(e);
    6812         112 :   for (n=-2; n <= prec-4; n++)
    6813             :   {
    6814         105 :     pari_sp av2 = avma;
    6815             :     GEN s1, s2, s3;
    6816         105 :     if (n != 2)
    6817             :     {
    6818          98 :       s3 = gmul(b2, gel(X,n));
    6819          98 :       if (!n) s3 = gadd(s3, b4);
    6820          98 :       s2 = gen_0;
    6821        1001 :       for (m=-2; m<=n+1; m++)
    6822         903 :         if (m) s2 = gadd(s2, gmulsg(m*(n+m), gmul(gel(X,m),gel(C,n-m))));
    6823          98 :       s2 = gmul2n(s2,-1);
    6824          98 :       s1 = gen_0;
    6825         476 :       for (m=-1; m+m < n; m++) s1 = gadd(s1, gmul(gel(X,m),gel(X,n-m)));
    6826          98 :       s1 = gmul2n(s1, 1);
    6827          98 :       if (m+m==n) s1 = gadd(s1, gsqr(gel(X,m)));
    6828             :       /* ( (n+1)(n+2) - 12 ) X[n+2] = (6 s1 + s3 - s2) */
    6829          98 :       s1 = gdivgs(gsub(gadd(gmulsg(6,s1),s3),s2), (n+2)*(n+1)-12);
    6830             :     }
    6831             :     else
    6832             :     {
    6833           7 :       GEN b6 = ell_get_b6(e);
    6834           7 :       GEN U = cgetg(9, t_SER);
    6835           7 :       U[1] = evalsigne(1) | _evalvalp(-2) | evalvarn(0);
    6836           7 :       gel(U,2) = gel(x,2);
    6837           7 :       gel(U,3) = gel(x,3);
    6838           7 :       gel(U,4) = gel(x,4);
    6839           7 :       gel(U,5) = gel(x,5);
    6840           7 :       gel(U,6) = gel(x,6);
    6841           7 :       gel(U,7) = gel(x,7);
    6842           7 :       gel(U,8) = gen_0; /* defined mod q^5 */
    6843             :       /* write x = U + x_4 q^4 + O(q^5) and expand original equation */
    6844           7 :       w = derivser(U); setvalp(w,-2); /* q X' */
    6845             :       /* 4X^3 + b2 U^2 + 2b4 U + b6 */
    6846           7 :       s1 = gadd(b6, gmul(U, gadd(gmul2n(b4,1), gmul(U,gadd(b2,gmul2n(U,2))))));
    6847             :       /* s2 = (qX')^2 - (4X^3 + b2 U^2 + 2b4 U + b6) = 28 x_4 + O(q) */
    6848           7 :       s2 = gsub(gmul(c,gsqr(w)), s1);
    6849           7 :       s1 = signe(s2)? gdivgu(gel(s2,2), 28): gen_0; /* = x_4 */
    6850             :     }
    6851         105 :     gel(X,n+2) = gerepileupto(av2, s1);
    6852             :   }
    6853           7 :   w = gmul(d,derivser(x)); setvalp(w, valp(w)+1);
    6854           7 :   w = gsub(w, ec_h_evalx(e,x));
    6855           7 :   c = cgetg(3,t_VEC);
    6856           7 :   gel(c,1) = gcopy(x);
    6857           7 :   gel(c,2) = gmul2n(w,-1); return gerepileupto(av, c);
    6858             : }
    6859             : 
    6860             : /********************************************************************/
    6861             : /**                                                                **/
    6862             : /**                       TORSION POINTS (over Q)                  **/
    6863             : /**                                                                **/
    6864             : /********************************************************************/
    6865             : static GEN
    6866       19285 : doellff_get_o(GEN E)
    6867             : {
    6868       19285 :   GEN G = ellff_get_group(E), d = (lg(G) == 1)? gen_1: gel(G,1);
    6869       19285 :   return mkvec2(d, Z_factor(d));
    6870             : }
    6871             : GEN
    6872       19824 : ellff_get_o(GEN E)
    6873       19824 : { return obj_checkbuild(E, FF_O, &doellff_get_o); }
    6874             : 
    6875             : static void
    6876         497 : RgE2_Fp_init(GEN E, GEN *pP, GEN *pQ, GEN *a4, GEN p)
    6877             : {
    6878         497 :   GEN e = ellff_get_a4a6(E);
    6879         497 :   *a4 = gel(e, 1);
    6880         497 :   *pP = FpE_changepointinv(RgE_to_FpE(*pP,p), gel(e,3), p);
    6881         497 :   *pQ = FpE_changepointinv(RgE_to_FpE(*pQ,p), gel(e,3), p);
    6882         497 : }
    6883             : GEN
    6884         140 : elllog(GEN E, GEN a, GEN g, GEN o)
    6885             : {
    6886         140 :   pari_sp av = avma;
    6887             :   GEN p;
    6888         140 :   checkell_Fq(E); checkellpt(a); checkellpt(g);
    6889         140 :   p = ellff_get_field(E);
    6890         140 :   if (!o) o = ellff_get_o(E);
    6891         140 :   if (typ(p)==t_FFELT) return FF_elllog(E, a, g, o);
    6892             :   else
    6893             :   {
    6894             :     GEN a4;
    6895          49 :     RgE2_Fp_init(E, &a, &g, &a4, p);
    6896          49 :     return gerepileuptoint(av, FpE_log(a, g, o, a4, p));
    6897             :   }
    6898             : }
    6899             : 
    6900             : GEN
    6901        5250 : ellweilpairing(GEN E, GEN P, GEN Q, GEN m)
    6902             : {
    6903             :   GEN p;
    6904        5250 :   checkell_Fq(E); checkellpt(P); checkellpt(Q);
    6905        5243 :   if (typ(m)!=t_INT) pari_err_TYPE("ellweilpairing",m);
    6906        5243 :   p = ellff_get_field(E);
    6907        5243 :   if (typ(p)==t_FFELT) return FF_ellweilpairing(E, P, Q, m);
    6908             :   else
    6909             :   {
    6910         245 :     pari_sp av = avma;
    6911             :     GEN w, a4;
    6912         245 :     RgE2_Fp_init(E, &P, &Q, &a4, p);
    6913         245 :     w = FpE_weilpairing(P, Q, m, a4, p);
    6914         245 :     return gerepileupto(av, Fp_to_mod(w, p));
    6915             :   }
    6916             : }
    6917             : 
    6918             : GEN
    6919         301 : elltatepairing(GEN E, GEN P, GEN Q, GEN m)
    6920             : {
    6921             :   GEN p;
    6922         301 :   checkell_Fq(E); checkellpt(P); checkellpt(Q);
    6923         301 :   if (typ(m)!=t_INT) pari_err_TYPE("elltatepairing",m);
    6924         301 :   p = ellff_get_field(E);
    6925         301 :   if (typ(p)==t_FFELT) return FF_elltatepairing(E, P, Q, m);
    6926             :   else
    6927             :   {
    6928         203 :     pari_sp av = avma;
    6929             :     GEN t, a4;
    6930         203 :     RgE2_Fp_init(E, &P, &Q, &a4, p);
    6931         203 :     t = FpE_tatepairing(P, Q, m, a4, p);
    6932         203 :     return gerepileupto(av, Fp_to_mod(t, p));
    6933             :   }
    6934             : }
    6935             : 
    6936             : GEN
    6937     2486010 : ellap(GEN E, GEN p)
    6938             : {
    6939     2486010 :   pari_sp av = avma;
    6940             :   GEN q, card;
    6941             :   int goodred;
    6942     2486010 :   p = checkellp(&E, p, NULL, "ellap");
    6943     2485958 :   switch(ell_get_type(E))
    6944             :   {
    6945         112 :   case t_ELL_Fp:
    6946         112 :     q = p; card = ellff_get_card(E);
    6947         112 :     break;
    6948       54467 :   case t_ELL_Fq:
    6949       54467 :     q = FF_q(ellff_get_field(E)); card = ellff_get_card(E);
    6950       54467 :     break;
    6951     2330365 :   case t_ELL_Qp:
    6952             :   case t_ELL_Q:
    6953     2330365 :     q = p; card = ellcard_ram(E, p, &goodred);
    6954     2330431 :     break;
    6955      101003 :   case t_ELL_NF:
    6956      101003 :     return ellnfap(E, p, &goodred);
    6957           0 :   default:
    6958           0 :     pari_err_TYPE("ellap",E);
    6959             :     return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
    6960             :   }
    6961     2385010 :   return gerepileuptoint(av, subii(addiu(q,1), card));
    6962             : }
    6963             : 
    6964             : /* N.B. q > minq, then the list of potential orders in ellsea will not contain
    6965             :  * an ambiguity => oo-loop. E.g. ellsea(ellinit([1,519],523)) */
    6966             : GEN
    6967         126 : ellsea(GEN E, long smallfact)
    6968             : {
    6969         126 :   const ulong minq = 523;
    6970         126 :   checkell_Fq(E);
    6971         126 :   switch(ell_get_type(E))
    6972             :   {
    6973         112 :   case t_ELL_Fp:
    6974             :     {
    6975         112 :       GEN p = ellff_get_field(E), e = ellff_get_a4a6(E);
    6976         112 :       if (abscmpiu(p, minq) <= 0) return Fp_ellcard(gel(e,1), gel(e,2), p);
    6977         105 :       return Fp_ellcard_SEA(gel(e,1), gel(e,2), p, smallfact);
    6978             :     }
    6979          14 :   case t_ELL_Fq:
    6980             :     {
    6981          14 :       GEN fg = ellff_get_field(E);
    6982          14 :       if (abscmpiu(FF_p_i(fg), 7) <= 0 || abscmpiu(FF_q(fg), minq) <= 0)
    6983           0 :         return FF_ellcard(E);
    6984          14 :       return FF_ellcard_SEA(E, smallfact);
    6985             :     }
    6986             :   }
    6987             :   return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
    6988             : }
    6989             : 
    6990             : GEN
    6991      162851 : ellff_get_card(GEN E)
    6992      162851 : { return obj_checkbuild(E, FF_CARD, &doellcard); }
    6993             : 
    6994             : GEN
    6995       87370 : ellcard(GEN E, GEN p)
    6996             : {
    6997       87370 :   p = checkellp(&E, p, NULL, "ellcard");
    6998       87363 :   switch(ell_get_type(E))
    6999             :   {
    7000       86908 :   case t_ELL_Fp: case t_ELL_Fq:
    7001       86908 :     return icopy(ellff_get_card(E));
    7002         420 :   case t_ELL_Qp:
    7003             :   case t_ELL_Q:
    7004             :     {
    7005         420 :       pari_sp av = avma;
    7006             :       int goodred;
    7007         420 :       GEN N = ellcard_ram(E, p, &goodred);
    7008         420 :       if (!goodred) N = subiu(N, 1); /* remove singular point */
    7009         420 :       return gerepileuptoint(av, N);
    7010             :     }
    7011          35 :   case t_ELL_NF:
    7012             :     {
    7013          35 :       pari_sp av = avma;
    7014             :       int goodred;
    7015          35 :       GEN N = subii(pr_norm(p), ellnfap(E, p, &goodred));
    7016          35 :       if (goodred) N = addiu(N, 1);
    7017          35 :       return gerepileuptoint(av, N);
    7018             :     }
    7019           0 :   default:
    7020           0 :     pari_err_TYPE("ellcard",E);
    7021             :     return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
    7022             :   }
    7023             : }
    7024             : 
    7025             : /* assume model is p-minimal */
    7026             : static GEN
    7027       21917 : ellgroup_m(GEN E, GEN p, GEN *pm)
    7028             : {
    7029       21917 :   GEN a4, a6, N = ellcard(E, p); /* #E^ns(Fp) */
    7030       21917 :   *pm = gen_1;
    7031       21917 :   if (equali1(N)) return cgetg(1,t_VEC);
    7032       21917 :   if (absequaliu(p, 2)) return mkvec(N);
    7033       21917 :   if (absequaliu(p, 3))
    7034             :   { /* The only possible noncyclic group is [2,2] which happens 9 times */
    7035             :     ulong b2, b4, b6;
    7036           0 :     if (!absequaliu(N, 4)) return mkvec(N);
    7037             :     /* If the group is not cyclic, T = 4x^3 + b2 x^2 + 2b4 x + b6
    7038             :      * must have 3 roots else 1 root. Test T(0) = T(1) = 0 mod 3 */
    7039           0 :     b6 = Rg_to_Fl(ell_get_b6(E), 3);
    7040           0 :     if (b6) return mkvec(N);
    7041             :     /* b6 = T(0) = 0 mod 3. Test T(1) */
    7042           0 :     b2 = Rg_to_Fl(ell_get_b2(E), 3);
    7043           0 :     b4 = Rg_to_Fl(ell_get_b4(E), 3);
    7044           0 :     if ((1 + b2 + (b4<<1)) % 3) return mkvec(N);
    7045           0 :     return mkvec2s(2, 2);
    7046             :   } /* Now assume p > 3 */
    7047       21917 :   ell_to_a4a6(E, p, &a4,&a6);
    7048       21917 :   return Fp_ellgroup(a4,a6,N,p, pm);
    7049             : }
    7050             : 
    7051             : static GEN
    7052       40971 : doellGm(GEN E)
    7053             : {
    7054       40971 :   GEN fg = ellff_get_field(E);
    7055       40971 :   GEN m, G = (typ(fg) == t_FFELT)? FF_ellgroup(E, &m): ellgroup_m(E, fg, &m);
    7056       40971 :   return mkvec2(G, m);
    7057             : }
    7058             : static GEN
    7059       80493 : ellff_Gm(GEN E)
    7060       80493 : { return obj_checkbuild(E, FF_GROUP, &doellGm); }
    7061             : GEN
    7062       61810 : ellff_get_group(GEN E) { return gel(ellff_Gm(E), 1); }
    7063             : GEN
    7064       18683 : ellff_get_m(GEN E) { return gel(ellff_Gm(E), 2); }
    7065             : GEN
    7066       18683 : ellff_get_D(GEN E)
    7067             : {
    7068       18683 :   GEN G = ellff_get_group(E), o = ellff_get_o(E);
    7069       18683 :   switch(lg(G))
    7070             :   {
    7071          91 :     case 1: return G;
    7072       15876 :     case 2: return mkvec(o);
    7073        2716 :     default: return mkvec2(o, gel(G,2));
    7074             :   }
    7075             : }
    7076             : 
    7077             : /* E / Fp */
    7078             : static GEN
    7079       18683 : doellgens(GEN E)
    7080             : {
    7081       18683 :   GEN fg = ellff_get_field(E);
    7082       18683 :   if (typ(fg)==t_FFELT)
    7083       18109 :     return FF_ellgens(E);
    7084             :   else
    7085             :   {
    7086         574 :     GEN F, p = fg, e = ellff_get_a4a6(E);
    7087         574 :     F = Fp_ellgens(gel(e,1),gel(e,2),gel(e,3), ellff_get_D(E),ellff_get_m(E),p);
    7088         574 :     return FpVV_to_mod(F,p);
    7089             :   }
    7090             : }
    7091             : 
    7092             : GEN
    7093       18760 : ellff_get_gens(GEN E)
    7094       18760 : { return obj_checkbuild(E, FF_GROUPGEN, &doellgens); }
    7095             : 
    7096             : GEN
    7097       22323 : ellgroup(GEN E, GEN p)
    7098             : {
    7099       22323 :   pari_sp av = avma;
    7100             :   GEN m, G;
    7101       22323 :   p = checkellp(&E,p, NULL, "ellgroup");
    7102       22316 :   switch(ell_get_type(E))
    7103             :   {
    7104       21882 :     case t_ELL_Fp:
    7105       21882 :     case t_ELL_Fq: G = ellff_get_group(E); break;
    7106         392 :     case t_ELL_Qp:
    7107             :     case t_ELL_Q:
    7108         392 :       if (Z_pval(Q_numer(ell_get_disc(E)), p))
    7109             :       {
    7110          14 :         GEN Q = localred(E,p), kod = gel(Q,2);
    7111          14 :         E = ellchangecurve(E, gel(Q,3));
    7112          14 :         if (!equali1(kod)) { G = mkvec(ellcard(E,p)); break; }
    7113             :       }
    7114         378 :       G = ellgroup_m(E,p,&m); break;
    7115          42 :     case t_ELL_NF:
    7116          42 :       if (nfval(ellnf_get_nf(E), ell_get_disc(E), p))
    7117             :       {
    7118          21 :         GEN Q = nflocalred(E,p), kod = gel(Q,2);
    7119          21 :         E = ellchangecurve(E, gel(Q,3));
    7120          21 :         if (!equali1(kod)) { G = mkvec(ellcard(E,p)); break; }
    7121             :       }
    7122          28 :       E = ellinit(E, p, 0);
    7123          28 :       G = ellff_get_group(E);
    7124          28 :       G = gcopy(G); obj_free(E); break;
    7125           0 :     default:
    7126           0 :       pari_err_TYPE("ellgroup", E);
    7127             :       return NULL;/*LCOV_EXCL_LINE*/
    7128             :   }
    7129       22316 :   return gerepilecopy(av, G);
    7130             : }
    7131             : 
    7132             : GEN
    7133       21483 : ellgroup0(GEN E, GEN p, long flag)
    7134             : {
    7135       21483 :   pari_sp av = avma;
    7136       21483 :   long tE, freeE = 0;
    7137             :   GEN G;
    7138       21483 :   if (flag==0) return ellgroup(E, p);
    7139        1946 :   if (flag!=1) pari_err_FLAG("ellgroup");
    7140        1946 :   checkell(E); tE = ell_get_type(E);
    7141        1946 :   if (tE != t_ELL_Fp && tE != t_ELL_Fq)
    7142             :   {
    7143        1869 :     GEN Q = elllocalred(E, p), v = gel(Q,3), u = gel(v,1), kod = gel(Q,2);
    7144             :     long vu;
    7145        1862 :     switch(tE)
    7146             :     {
    7147          70 :       case t_ELL_Qp: p = ellQp_get_p(E);/*fall through*/
    7148        1841 :       case t_ELL_Q:  vu = Q_pval(u, p); break;
    7149          21 :       case t_ELL_NF: vu = nfval(ellnf_get_nf(E), u, p); break;
    7150           0 :       default: pari_err_TYPE("ellgroup", E); vu = 0;
    7151             :     }
    7152        1862 :     if (vu) pari_err_TYPE("ellgroup [not a p-minimal curve]",E);
    7153        1855 :     if (!equali1(kod)) /* bad reduction */
    7154             :     {
    7155          91 :       GEN Ep, T = NULL, q = p, ap = ellap(E,p);
    7156          91 :       if (typ(p) == t_INT)
    7157             :       {
    7158             :         long i;
    7159          70 :         Ep = obj_init(15, 4);
    7160         910 :         for (i = 1; i <= 12; i++) gel(Ep,i) = gel(E,i);
    7161             :       }
    7162             :       else
    7163             :       {
    7164          21 :         q = pr_norm(p);
    7165          21 :         Ep = initsmall5(ellnf_to_Fq(ellnf_get_nf(E), E, p, &p, &T), 4);
    7166             :       }
    7167          91 :       E = FF_ellinit(Ep, Tp_to_FF(T, p)); /* singular curve */
    7168          91 :       gel(E,14) = mkvecsmall(t_ELL_Fq);
    7169          91 :       obj_insert(E, FF_CARD, subii(q, ap));
    7170             :     }
    7171             :     else
    7172        1764 :       E = ellinit(E, p, 0);
    7173        1855 :     freeE = 1;
    7174             :   }
    7175        1932 :   G = mkvec3(ellff_get_card(E), ellff_get_group(E), ellff_get_gens(E));
    7176        1932 :   if (!freeE) return gerepilecopy(av, G);
    7177        1855 :   G = gcopy(G); obj_free(E); return gerepileupto(av, G);
    7178             : }
    7179             : 
    7180             : GEN
    7181       16842 : ellgenerators(GEN E)
    7182             : {
    7183       16842 :   checkell(E);
    7184       16842 :   switch(ell_get_type(E))
    7185             :   {
    7186           7 :     case t_ELL_Q:
    7187           7 :       return obj_checkbuild(E, Q_GROUPGEN, &elldatagenerators);
    7188       16828 :     case t_ELL_Fp: case t_ELL_Fq:
    7189       16828 :       return gcopy(ellff_get_gens(E));
    7190           7 :     default:
    7191           7 :       pari_err_TYPE("ellgenerators",E);
    7192             :       return NULL;/*LCOV_EXCL_LINE*/
    7193             :   }
    7194             : }
    7195             : 
    7196             : /* char != 2,3, j != 0, 1728 */
    7197             : static GEN
    7198       22603 : ellfromj_simple(GEN j)
    7199             : {
    7200       22603 :   pari_sp av = avma;
    7201       22603 :   GEN k = gsubsg(1728,j), kj = gmul(k, j), k2j = gmul(kj, k);
    7202       22603 :   GEN E = zerovec(5);
    7203       22603 :   gel(E,4) = gmulsg(3,kj);
    7204       22603 :   gel(E,5) = gmulsg(2,k2j); return gerepileupto(av, E);
    7205             : }
    7206             : GEN
    7207       33894 : ellfromj(GEN j)
    7208             : {
    7209       33894 :   GEN T = NULL, p = typ(j)==t_FFELT? FF_p_i(j): NULL;
    7210             :   /* trick: use j^0 to get 1 in the proper base field */
    7211       33894 :   if ((p || (Rg_is_FpXQ(j,&T,&p) && p)) && lgefint(p) == 3) switch(p[2])
    7212             :   {
    7213        3549 :     case 2:
    7214        3549 :       if (gequal0(j))
    7215           7 :         retmkvec5(gen_0,gen_0, gpowgs(j,0), gen_0,gen_0);
    7216             :       else
    7217        3542 :         retmkvec5(gpowgs(j,0),gen_0,gen_0, gen_0,ginv(j));
    7218        7651 :     case 3:
    7219        7651 :       if (gequal0(j))
    7220          21 :         retmkvec5(gen_0,gen_0,gen_0, gpowgs(j,0), gen_0);
    7221             :       else
    7222             :       {
    7223        7630 :         GEN E = zerovec(5);
    7224        7630 :         pari_sp av = avma;
    7225        7630 :         gel(E,5) = gerepileupto(av, gneg(gsqr(j)));
    7226        7630 :         gel(E,2) = gcopy(j);
    7227        7630 :         return E;
    7228             :       }
    7229             :   }
    7230       22694 :   if (gequal0(j)) retmkvec5(gen_0,gen_0,gen_0,gen_0, gpowgs(j,0));
    7231       22666 :   if (gequalgs(j,1728)) retmkvec5(gen_0,gen_0,gen_0, gpowgs(j,0), gen_0);
    7232       22603 :   return ellfromj_simple(j);
    7233             : }
    7234             : 
    7235             : /********************************************************************/
    7236             : /**                                                                **/
    7237             : /**                       IS SUPERSINGULAR                         **/
    7238             : /**                                                                **/
    7239             : /********************************************************************/
    7240             : 
    7241             : int
    7242      164703 : elljissupersingular(GEN x)
    7243             : {
    7244      164703 :   pari_sp av = avma;
    7245             :   int res;
    7246             : 
    7247      164703 :   if (typ(x) == t_INTMOD) {
    7248         497 :     GEN p = gel(x, 1);
    7249         497 :     GEN j = gel(x, 2);
    7250         497 :     res = Fp_elljissupersingular(j, p);
    7251      164206 :   } else if (typ(x) == t_FFELT) {
    7252      164199 :     GEN j = FF_to_FpXQ_i(x);
    7253      164199 :     GEN p = FF_p_i(x);
    7254      164199 :     GEN T = FF_mod(x);
    7255      164199 :     res = FpXQ_elljissupersingular(j, T, p);
    7256             :   } else {
    7257           7 :     pari_err_TYPE("elljissupersingular", x);
    7258             :     return 0; /*LCOV_EXCL_LINE*/
    7259             :   }
    7260      164696 :   set_avma(av);
    7261      164696 :   return res;
    7262             : }
    7263             : 
    7264             : int
    7265      164913 : ellissupersingular(GEN E, GEN p)
    7266             : {
    7267             :   pari_sp av;
    7268             :   GEN j;
    7269      164913 :   if (typ(E)!=t_VEC && !p) return elljissupersingular(E);
    7270       17010 :   p = checkellp(&E, p, NULL, "ellissupersingular");
    7271       16996 :   j = ell_get_j(E);
    7272       16996 :   switch(ell_get_type(E))
    7273             :   {
    7274       16800 :   case t_ELL_Fp:
    7275             :   case t_ELL_Fq:
    7276       16800 :     return elljissupersingular(j);
    7277          56 :   case t_ELL_Qp:
    7278             :   case t_ELL_Q:
    7279          56 :     if (typ(j)==t_FRAC && dvdii(gel(j,2), p)) return 0;
    7280          21 :     av = avma;
    7281          21 :     return gc_bool(av, Fp_elljissupersingular(Rg_to_Fp(j,p), p));
    7282         140 :   case t_ELL_NF:
    7283             :     {
    7284         140 :       GEN modP, T, nf = ellnf_get_nf(E), pr = p;
    7285             :       int res;
    7286         140 :       av = avma;
    7287         140 :       j = nf_to_scalar_or_basis(nf, j);
    7288         140 :       if (dvdii(Q_denom(j), pr_get_p(pr)))
    7289             :       {
    7290          14 :         if (typ(j) == t_FRAC || nfval(nf, j, pr) < 0) return 0;
    7291           0 :         modP = nf_to_Fq_init(nf,&pr,&T,&p);
    7292             :       }
    7293             :       else
    7294         126 :         modP = zk_to_Fq_init(nf,&pr,&T,&p);
    7295         126 :       j = nf_to_Fq(nf, j, modP);
    7296         126 :       if (typ(j) == t_INT)
    7297          98 :         res = Fp_elljissupersingular(j, p);
    7298             :       else
    7299          28 :         res = FpXQ_elljissupersingular(j, T, p);
    7300         126 :       return gc_bool(av, res);
    7301             :     }
    7302           0 :   default:
    7303           0 :     pari_err_TYPE("ellissupersingular",E);
    7304             :   }
    7305             :   return 0; /*LCOV_EXCL_LINE*/
    7306             : }
    7307             : 
    7308             : /* n <= 4, N is the characteristic of the base ring or NULL (char 0) */
    7309             : static GEN
    7310        6629 : elldivpol4(GEN e, GEN N, long n, long v)
    7311             : {
    7312             :   GEN b2,b4,b6,b8, res;
    7313        6629 :   if (n==0) return pol_0(v);
    7314        6629 :   if (n<=2) return N? scalarpol_shallow(mkintmod(gen_1,N),v): pol_1(v);
    7315        1757 :   b2 = ell_get_b2(e); b4 = ell_get_b4(e);
    7316        1757 :   b6 = ell_get_b6(e); b8 = ell_get_b8(e);
    7317        1757 :   if (n==3)
    7318         812 :     res = mkpoln(5, N? modsi(3,N): utoi(3),b2,gmulsg(3,b4),gmulsg(3,b6),b8);
    7319             :   else
    7320             :   {
    7321         945 :     GEN b10 = gsub(gmul(b2, b8), gmul(b4, b6));
    7322         945 :     GEN b12 = gsub(gmul(b8, b4), gsqr(b6));
    7323         945 :     res = mkpoln(7, N? modsi(2,N): gen_2,b2,gmulsg(5,b4),gmulsg(10,b6),gmulsg(10,b8),b10,b12);
    7324             :   }
    7325        1757 :   setvarn(res, v); return res;
    7326             : }
    7327             : 
    7328             : /* T = (2y + a1x + a3)^4 modulo the curve equation. Store elldivpol(e,n,v)
    7329             :  * in t[n]. N is the caracteristic of the base ring or NULL (char 0) */
    7330             : static GEN
    7331        5152 : elldivpol0(GEN e, GEN t, GEN N, GEN T, long n, long v)
    7332             : {
    7333             :   GEN ret;
    7334        5152 :   long m = n/2;
    7335        5152 :   if (gel(t,n)) return gel(t,n);
    7336        3115 :   if (n<=4) ret = elldivpol4(e, N, n, v);
    7337         896 :   else if (odd(n))
    7338             :   {
    7339         518 :     GEN t1 = RgX_mul(elldivpol0(e,t,N,T,m+2,v),
    7340             :                      gpowgs(elldivpol0(e,t,N,T,m,v),3));
    7341         518 :     GEN t2 = RgX_mul(elldivpol0(e,t,N,T,m-1,v),
    7342             :                      gpowgs(elldivpol0(e,t,N,T,m+1,v),3));
    7343         518 :     if (odd(m))/*f_{4l+3} = f_{2l+3}f_{2l+1}^3 - T f_{2l}f_{2l+2}^3, m=2l+1*/
    7344          91 :       ret = RgX_sub(t1, RgX_mul(T,t2));
    7345             :     else       /*f_{4l+1} = T f_{2l+2}f_{2l}^3 - f_{2l-1}f_{2l+1}^3, m=2l*/
    7346         427 :       ret = RgX_sub(RgX_mul(T,t1), t2);
    7347             :   }
    7348             :   else
    7349             :   { /* f_2m = f_m(f_{m+2}f_{m-1}^2 - f_{m-2}f_{m+1}^2) */
    7350         378 :     GEN t1 = RgX_mul(elldivpol0(e,t,N,T,m+2,v),
    7351             :                      RgX_sqr(elldivpol0(e,t,N,T,m-1,v)));
    7352         378 :     GEN t2 = RgX_mul(elldivpol0(e,t,N,T,m-2,v),
    7353             :                      RgX_sqr(elldivpol0(e,t,N,T,m+1,v)));
    7354         378 :     ret = RgX_mul(elldivpol0(e,t,N,T,m,v), RgX_sub(t1,t2));
    7355             :   }
    7356        3115 :   gel(t,n) = ret;
    7357        3115 :   return ret;
    7358             : }
    7359             : 
    7360             : GEN
    7361        4718 : elldivpol(GEN e, long n0, long v)
    7362             : {
    7363        4718 :   pari_sp av = avma;
    7364             :   GEN f, D, N;
    7365        4718 :   long n = labs(n0);
    7366             : 
    7367        4718 :   checkell(e); D = ell_get_disc(e);
    7368        4718 :   if (v < 0) v = 0;
    7369        4718 :   if (varncmp(gvar(D), v) <= 0) pari_err_PRIORITY("elldivpol", e, "<=", v);
    7370        4718 :   N = characteristic(D); if (!signe(N)) N = NULL;
    7371        4718 :   if (n==1 || n==3)
    7372         224 :     f = elldivpol4(e, N, n, v);
    7373             :   else
    7374             :   {
    7375        4494 :     GEN d2 = ec_bmodel(e); /* (2y + a1x + a3)^2 mod E */
    7376        4494 :     setvarn(d2,v);
    7377        4494 :     if (N && !mod2(N)) { gel(d2,5) = modsi(4,N); d2 = normalizepol(d2); }
    7378        4494 :     if (n <= 4)
    7379        4186 :       f = elldivpol4(e, N, n, v);
    7380             :     else
    7381         308 :       f = elldivpol0(e, const_vec(n,NULL), N,RgX_sqr(d2), n, v);
    7382        4494 :     if (n%2==0) f = RgX_mul(f, d2);
    7383             :   }
    7384        4718 :   if (n0 < 0) return gerepileupto(av, RgX_neg(f));
    7385        4697 :   return gerepilecopy(av, f);
    7386             : }
    7387             : 
    7388             : /* return [phi_n, (psi_n)^2] such that x[nP] = phi_n / (psi_n)^2 */
    7389             : GEN
    7390         427 : ellxn(GEN e, long n, long v)
    7391             : {
    7392         427 :   pari_sp av = avma;
    7393             :   GEN d2, D, N, A, B;
    7394         427 :   checkell(e); D = ell_get_disc(e);
    7395         427 :   if (v==-1) v = 0;
    7396         427 :   if (varncmp(gvar(D), v) <= 0) pari_err_PRIORITY("elldivpol", e, "<=", v);
    7397         427 :   N = characteristic(D);
    7398         427 :   if (!signe(N)) N = NULL;
    7399         427 :   if (n < 0) n = -n;
    7400         427 :   d2 = ec_bmodel(e); /* (2y + a1x + 3)^2 mod E */
    7401         427 :   setvarn(d2,v);
    7402         427 :   if (N && !mod2(N)) { gel(d2,5) = modsi(4,N); d2 = normalizepol(d2); }
    7403         427 :   if (n == 0)
    7404             :   {
    7405           7 :     A = pol_0(v);
    7406           7 :     B = pol_0(v);
    7407             :   }
    7408         420 :   else if (n == 1)
    7409             :   {
    7410           7 :     A = pol_1(v);
    7411           7 :     B = pol_x(v);
    7412             :   }
    7413         413 :   else if (n == 2)
    7414             :   {
    7415         119 :     A = d2;
    7416         119 :     B = ec_phi2(e);
    7417         119 :     setvarn(B,v);
    7418             :   }
    7419             :   else
    7420             :   {
    7421         294 :     GEN t = const_vec(n+1,NULL), T = RgX_sqr(d2);
    7422         294 :     GEN f = elldivpol0(e, t, N, T, n, v); /* f_n / d2^(n odd)*/
    7423         294 :     GEN g = elldivpol0(e, t, N, T, n-1, v); /* f_{n-1} / d2^(n even) */
    7424         294 :     GEN h = elldivpol0(e, t, N, T, n+1, v); /* f_{n+1} / d2^(n even) */
    7425         294 :     GEN f2 = RgX_sqr(f), u = RgX_mul(g,h);
    7426         294 :     if (!odd(n))
    7427           7 :       A = RgX_mul(f2, d2);
    7428             :     else
    7429         287 :     { A = f2; u = RgX_mul(u,d2); }
    7430             :     /* A = psi_n^2, u = psi_{n-1} psi_{n+1} */
    7431         294 :     B = RgX_sub(RgX_shift(A,1), u);
    7432             :   }
    7433         427 :   return gerepilecopy(av, mkvec2(B,A));
    7434             : }
    7435             : 
    7436             : /* l and p primes; p = 1 mod l; return an element of order l in (Z/pZ)^* */
    7437             : static ulong
    7438        2198 : ltors_Fl(ulong l, ulong p)
    7439             : {
    7440        2198 :   ulong x, y, r = (p-1)/l;
    7441        3374 :   for (x = 2;; x++) { y = Fl_powu(x, r, p); if (y != 1) return y; }
    7442             : }
    7443             : 
    7444             : /* Assume that l|o but p!=1 [l] so r_l E(F_p) = 1 */
    7445             : static void
    7446        7980 : FljV_vecsat_Siksek(GEN E, GEN P, ulong o, ulong l, ulong a4, ulong a6, ulong p,
    7447             :                    GEN S, long *m)
    7448             : {
    7449        7980 :   long i, n = lg(P)-1;
    7450        7980 :   GEN a4a6, g, F, v = zero_zv(n);
    7451        7980 :   pari_sp av = avma;
    7452        7980 :   ulong q = o / l;
    7453             : 
    7454        7980 :   F = mkmat2(mkcols(l), mkcols(1));
    7455        7980 :   a4a6 = a4a6_ch_Fl(E, p);
    7456        7980 :   g = gel(Fl_ellptors(l, o, a4, a6, p), 1);
    7457       58737 :   for (i=1; i <= n; i++)
    7458             :   {
    7459       50757 :     GEN Q = Fle_changepointinv(Flj_to_Fle(gel(P,i), p), a4a6, p);
    7460       50757 :     if (!ell_is_inf(Q))
    7461       50428 :       v[i] = itou(Fle_log(Fle_mulu(Q, q, a4, p), g, F, a4, p));
    7462             :   }
    7463        7980 :   gel(S,(*m)++) = v;
    7464        7980 :   set_avma(av);
    7465        7980 : }
    7466             : 
    7467             : /* Assume that l|o and p=1 [l] so r_l E(F_p) = 1 or 2 */
    7468             : static void
    7469        2198 : FljV_vecsat_Prickett(GEN E, GEN P, ulong o, ulong l, ulong a4, ulong a6,
    7470             :                      ulong p, GEN S, long *m)
    7471             : {
    7472        2198 :   long i, n = lg(P)-1;
    7473        2198 :   GEN a4a6, G, G1, G2, v = zero_zv(n), w = zero_zv(n);
    7474        2198 :   ulong g = ltors_Fl(l, p), q = (p-1)/l;
    7475        2198 :   pari_sp av = avma;
    7476             : 
    7477        2198 :   a4a6 = a4a6_ch_Fl(E, p);
    7478        2198 :   G = Fl_ellptors(l, o, a4, a6, p);
    7479        2198 :   G1 = gel(G,1);
    7480        2198 :   G2 = lg(G)==3 ? gel(G, 2): NULL;
    7481       13041 :   for (i = 1; i <= n; i++)
    7482             :   {
    7483       10843 :     GEN Q = Fle_changepointinv(Flj_to_Fle(gel(P,i), p), a4a6, p);
    7484       10843 :     if (!ell_is_inf(Q))
    7485             :     {
    7486       10514 :       ulong u = Fl_powu(Fle_tatepairing(G1, Q, l, a4, p), q, p);
    7487       10514 :       v[i] = Fl_log(u, g, l, p);
    7488       10514 :       if (G2)
    7489             :       {
    7490        2352 :         ulong u = Fl_powu(Fle_tatepairing(G2, Q, l, a4, p), q, p);
    7491        2352 :         w[i] = Fl_log(u, g, l, p);
    7492             :       }
    7493             :     }
    7494             :   }
    7495        2198 :   gel(S,(*m)++) = v;
    7496        2198 :   if (G2 && *m < lg(S)) gel(S,(*m)++) = w;
    7497        2198 :   set_avma(av);
    7498        2198 : }
    7499             : 
    7500             : static void
    7501       10178 : FljV_vecsat(GEN E, GEN P, ulong o, ulong l, ulong a4, ulong a6, ulong p,
    7502             :             GEN S, long *m)
    7503             : {
    7504       10178 :   P = ZM_to_Flm(P, p);
    7505       10178 :   if (p % l == 1)
    7506        2198 :     FljV_vecsat_Prickett(E, P, o, l, a4, a6, p, S, m);
    7507             :   else
    7508        7980 :     FljV_vecsat_Siksek(E, P, o, l, a4, a6, p, S, m);
    7509       10178 : }
    7510             : 
    7511             : /* P a vector of points in E(Q), return a linear map M from the abelian group
    7512             :  * they generate to Z/lZ; sum x[i] P[i] is l-divisible => x M = 0 */
    7513             : static GEN
    7514        1162 : ellsatp_mat(hashtable *h, GEN E, long CM, GEN P, ulong l)
    7515             : {
    7516        1162 :   long m = 1, nb = lg(P)-1 + 25 / log2(l) - 1; /* error ~ 2^{-25} */
    7517        1162 :   GEN D = ell_get_disc(E), M = cgetg(nb+1, t_MAT);
    7518             :   forprime_t S;
    7519             : 
    7520        1162 :   P = QEV_to_ZJV(P);
    7521        1162 :   (void)u_forprime_init(&S, 5, ULONG_MAX);
    7522      323932 :   while (m <= nb)
    7523             :   {
    7524      322770 :     ulong a4, a6, p = u_forprime_next(&S);
    7525             :     long o;
    7526      322770 :     if (dvdiu(D, p)) continue;
    7527      318031 :     Fl_ell_to_a4a6(E, p, &a4, &a6);
    7528      318031 :     if (!hash_haskey_long(h, (void*)p, &o))
    7529             :     {
    7530       34797 :       o = p+1 - Fl_elltrace_CM(CM, a4, a6, p);
    7531       34797 :       hash_insert_long(h,(void*)p, o);
    7532             :     }
    7533      318031 :     if (o % l == 0) FljV_vecsat(E, P, o, l, a4, a6, p, M, &m);
    7534             :   }
    7535        1162 :   return M;
    7536             : }
    7537             : 
    7538             : INLINE long
    7539         112 : Flv_firstnonzero(GEN v)
    7540             : {
    7541         112 :   long i, l = lg(v);
    7542         112 :   for (i = 1; i < l; i++)
    7543         112 :     if (v[i]) break;
    7544         112 :   return i;
    7545             : }
    7546             : 
    7547             : /* update M in place */
    7548             : static GEN
    7549        1162 : ellsatp(hashtable *hh, GEN E, long CM, GEN T, GEN H, GEN M, ulong l, GEN *xl,
    7550             :         long vxl, long prec)
    7551             : {
    7552        1162 :   GEN P = T ? shallowconcat(H, T): H;
    7553        1162 :   GEN S = ellsatp_mat(hh, E, CM, P, l); /* fill hh */
    7554        1162 :   pari_sp av = avma;
    7555        1162 :   GEN K = Flm_ker(Flm_transpose(S), l);
    7556        1162 :   long i, lK = lg(K), nH = lg(H)-1;
    7557             : 
    7558        1162 :   if (lK==1) return gc_NULL(av);
    7559         112 :   if (DEBUGLEVEL >= 3)
    7560           0 :     err_printf("ellsat: potential factor %lu, dim Ker = %ld\n",l,lK-1);
    7561             :   /* Mazur bound for torsion of isogenous curves */
    7562         112 :   if (!*xl && l <= 7) *xl = ellxn(E, l, vxl);
    7563         112 :   for (i = 1; i < lK; i++)
    7564             :   {
    7565         112 :     GEN ki = gel(K,i), Ki, h, R;
    7566         112 :     long f = Flv_firstnonzero(ki);
    7567             : 
    7568             :     /* for T != NULL: avoid solving for [p]Q = R when R is p-torsion */
    7569         112 :     if (f > nH) continue;
    7570         112 :     if (ki[f] != 1) ki = Flv_Fl_div(ki, ki[f], l);
    7571         112 :     Ki = zv_to_ZV(Flv_center(ki, l, l >> 1));
    7572         112 :     h = qfeval(M, T? vecslice(Ki, 1, nH): Ki);
    7573         112 :     if (*xl)
    7574             :     {
    7575          98 :       GEN Q = ellQ_factorback(E, P, Ki, 1, h, prec);
    7576          98 :       if (ellisdivisible(E, Q, *xl, &R)) h = gdiv(h, sqru(l)); else R = NULL;
    7577             :     }
    7578             :     else
    7579             :     {
    7580          14 :       h = gdiv(h, sqru(l));
    7581          14 :       R = ellQ_factorback(E, P, Ki, l, h, prec);
    7582             :     }
    7583         112 :     if (DEBUGLEVEL >= 2)
    7584           0 :       err_printf("ellsat: %s divisible by %lu\n", R? "": "not", l);
    7585         112 :     if (!R)
    7586             :     {
    7587           0 :       if (lK == 2) break;
    7588         112 :       return l > 7? gc_const(av,H): H; /* fail: return and retry */
    7589             :     }
    7590         112 :     gcoeff(M, f, f) = h;
    7591         462 :     for (i = 1; i <= nH; i++)
    7592         350 :       if (i != f) gcoeff(M, f, i) = gdivgu(RgV_dotproduct(gel(M,i), Ki), l);
    7593         462 :     for (i = 1; i <= nH; i++) gcoeff(M, i, f) = gcoeff(M, f, i);
    7594         112 :     gel(H,f) = R; return H; /* found l-divisible point: return new lattice */
    7595             :   }
    7596           0 :   return gc_NULL(av); /* l-saturated */
    7597             : }
    7598             : 
    7599             : static GEN
    7600          42 : ellQ_saturation(GEN E, GEN P, long B, long prec)
    7601             : {
    7602             :   forprime_t S;
    7603          42 :   GEN M = ellheightmatrix(E, P, prec);
    7604          42 :   long CM = ellQ_get_CM(E), w = fetch_var_higher();
    7605             :   hashtable h;
    7606             :   ulong p;
    7607             : 
    7608          42 :   hash_init_ulong(&h, 16, 1);
    7609          42 :   (void)u_forprime_init(&S, 2, B);
    7610          42 :   P = leafcopy(P); /* modified in place by ellsatp */
    7611        1092 :   while((p = u_forprime_next(&S)))
    7612             :   {
    7613        1050 :     GEN xp = NULL, T = gel(elltors_psylow(E, p), 3);
    7614        1050 :     if (lg(T)==1) T = NULL;
    7615             :     while (1)
    7616         112 :     {
    7617        1162 :       GEN Q = ellsatp(&h, E, CM, T, P, M, p, &xp, w, prec);
    7618        1162 :       if (!Q) break;
    7619         112 :       P = Q;
    7620             :     }
    7621             :   }
    7622          42 :   return ellQ_genreduce(E, P, M, prec);
    7623             : }
    7624             : 
    7625             : GEN
    7626          42 : ellsaturation(GEN E, GEN P, long B, long prec)
    7627             : {
    7628          42 :   pari_sp av = avma;
    7629             :   GEN urst;
    7630             : 
    7631          42 :   if (lg(P) == 1) return cgetg(1, t_VEC);
    7632          42 :   E = ellminimalmodel(E, &urst);
    7633          42 :   if (is_trivial_change(urst)) urst = NULL;
    7634          42 :   if (urst) P = ellchangepoint(P, urst);
    7635          42 :   P = ellQ_saturation(E, P, B, prec);
    7636          42 :   if (urst) P = ellchangepoint(P, ellchangeinvert(urst));
    7637          42 :   obj_free(E); return gerepilecopy(av, P);
    7638             : }
    7639             : 
    7640             : static GEN
    7641         231 : to_RgX(GEN P, long vx)
    7642         231 : { return typ(P)==t_POL && varn(P) == vx ? P: scalarpol_shallow(P, vx); }
    7643             : GEN
    7644          56 : elltrace(GEN E, GEN P)
    7645             : {
    7646          56 :   pari_sp av = avma;
    7647             :   GEN xP,yP, T, lxP, Q, LP, M, K, U,V,R, xQ,yQ;
    7648             :   long v, n, i, j, d;
    7649             : 
    7650          56 :   checkell(E);
    7651          56 :   checkellpt(P);
    7652          56 :   if (ell_is_inf(P)) return gcopy(P); /* P == oo */
    7653             :   /* More checks */
    7654          49 :   xP = gel(P,1); if (typ(xP)!=t_POLMOD) pari_err_TYPE("elltrace",xP);
    7655          49 :   yP = gel(P,2); if (typ(yP)!=t_POLMOD) pari_err_TYPE("elltrace",yP);
    7656          49 :   T = gel(xP,1); v = varn(T); n = degpol(T);
    7657          49 :   if (!gequal(gel(yP,1),T)) pari_err_MODULUS("elltrace",xP,yP);
    7658             :   /* Trivial cases */
    7659          49 :   if (n == 1) { set_avma(av); return gcopy(P); }
    7660          49 :   lxP = to_RgX(gel(xP,2), v);
    7661          49 :   if (!degpol(lxP))
    7662             :   {
    7663           7 :     GEN lyP = to_RgX(gel(yP,2), v);
    7664           7 :     if (degpol(lyP)){ set_avma(av); retmkvec(gen_0); }
    7665           7 :     P = mkvec2(gel(lxP,2), gel(lyP,2));
    7666           7 :     return gerepileupto(av, ellmul(E, P, utoipos(n)));
    7667             :   }
    7668             :   /* Strategy: look for a function with divisor equal to
    7669             :    *   [P_1] + ... + [P_n] + [-Tr(P)] - (n+1)[0]. */
    7670          42 :   LP = cgetg(n+2,t_VEC); /* basis of the Riemann-Roch space evaluated at P */
    7671          42 :   gel(LP,1) = gen_1;
    7672          42 :   gel(LP,2) = xP;
    7673          42 :   gel(LP,3) = yP;
    7674          91 :   for (i = 4; i <= n+1; i++) gel(LP,i) = gmul(gel(LP,i-2), xP);
    7675          42 :   M = cgetg(n+2,t_MAT); /* functions defined over K vanishing at P */
    7676         217 :   for (j = 1; j <= n+1; j++)
    7677             :   {
    7678         175 :     GEN t = to_RgX(liftpol_shallow(gel(LP,j)), v);
    7679         777 :     for (i = 1; i <= n; i++) gel(M,j) = RgX_to_RgC(t, n);
    7680             :   }
    7681          42 :   K = gel(ker(M),1);
    7682             :   /* Coords on 1,x,y,x^2,xy,.. of function f of smallest degree vanishing at P
    7683             :    * div f = [P_1] + ... + [P_d] + [-Tr(P)] - (d+1)[0]
    7684             :    * with deg(K(P)) = d+1 if Tr(P) != 0; = d otherwise; f = U(x) + y*V(x) */
    7685          42 :   U = cgetg((n+1)/2+3,t_POL);
    7686          42 :   V = cgetg((n-2)/2+3,t_POL); U[1] = V[1] = evalvarn(0);
    7687          42 :   gel(U,2) = gel(K,1); /* Coef of 1 */
    7688         119 :   for(i = 1; 2*i <= n+1; i++) gel(U,i+2) = gel(K,2*i); /* Coef of x^i */
    7689          98 :   for(i = 0; 2*i+3 <= n+1; i++) gel(V,i+2) = gel(K,2*i+3); /* Coef of x^i*y */
    7690          42 :   U = normalizepol(U); V = normalizepol(V);
    7691             :   /* f does not depend on y, so trace = oo */
    7692          42 :   if (signe(V)==0) { set_avma(av); retmkvec(gen_0); }
    7693             :   /* Plug y = -U(x)/V(x) into Weierstrass equation:
    7694             :    * 0 = ((x^3+a2x^2+a4x+a6)*V + (a1x+a3)*U)*V - U^2 */
    7695          35 :   R = mkpoln(4, gen_1, ell_get_a2(E), ell_get_a4(E), ell_get_a6(E));
    7696          35 :   R = gmul(R, V);
    7697          35 :   R = gadd(R, gmul(U, mkpoln(2,ell_get_a1(E),ell_get_a3(E))));
    7698          35 :   R = gmul(R, V);
    7699          35 :   R = gsub(R, gsqr(U));
    7700             :   /* Discard Galois orbit of P */
    7701          35 :   R = RgX_div(R, minpoly(xP,0));
    7702             :   /* What is left is either constant -> return oo, or deg 1 -> nontrivial trace. */
    7703          35 :   if(degpol(R)==0) { set_avma(av); retmkvec(gen_0); }
    7704             :   /* Recover the trace */
    7705          28 :   xQ = gneg(gdiv(gel(R,2), gel(R,3)));
    7706          28 :   yQ = gneg(gdiv(poleval(U, xQ), poleval(V, xQ)));
    7707          28 :   Q = mkvec2(xQ, yQ);
    7708             :   /* So far, we have computed -Tr(P) over the extension K(P)/K
    7709             :    * we still need to compute [L:K(P)] */
    7710          28 :   d = 0;
    7711          42 :   for (i = n+1; i > 0; i--) if (!gequal0(gel(K,i))) { d = i; break; }
    7712          28 :   return gerepileupto(av, ellmul(E, Q, stoi(-n / (d-1))));
    7713             : }

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