Line data Source code
1 : /* Copyright (C) 2000 The PARI group.
2 :
3 : This file is part of the PARI/GP package.
4 :
5 : PARI/GP is free software; you can redistribute it and/or modify it under the
6 : terms of the GNU General Public License as published by the Free Software
7 : Foundation; either version 2 of the License, or (at your option) any later
8 : version. It is distributed in the hope that it will be useful, but WITHOUT
9 : ANY WARRANTY WHATSOEVER.
10 :
11 : Check the License for details. You should have received a copy of it, along
12 : with the package; see the file 'COPYING'. If not, write to the Free Software
13 : Foundation, Inc., 51 Franklin Street, Fifth Floor, Boston, MA 02110-1301 USA. */
14 :
15 : /********************************************************************/
16 : /** **/
17 : /** ELLIPTIC CURVES **/
18 : /** **/
19 : /********************************************************************/
20 : #include "pari.h"
21 : #include "paripriv.h"
22 :
23 : #define DEBUGLEVEL DEBUGLEVEL_ell
24 :
25 : #undef coordch
26 :
27 : /* Transforms a curve E into short Weierstrass form E' modulo p.
28 : Returns a vector, the first two entries of which are a4' and a6'.
29 : The third entry is a vector describing the isomorphism E' \to E.
30 : */
31 :
32 : static ulong
33 1528520 : Fl_c4_to_a4(ulong c4, ulong p)
34 1528520 : { return Fl_neg(Fl_mul(c4, 27, p), p); }
35 : static ulong
36 1449199 : Fl_c6_to_a6(ulong c6, ulong p)
37 1449199 : { return Fl_neg(Fl_mul(c6, 54, p), p); }
38 : static void
39 1448552 : Fl_c4c6_to_a4a6(ulong c4, ulong c6, ulong p, ulong *a4, ulong *a6)
40 : {
41 1448552 : *a4 = Fl_c4_to_a4(c4, p);
42 1448552 : *a6 = Fl_c6_to_a6(c6, p);
43 1448552 : }
44 : static GEN
45 2592244 : c4_to_a4(GEN c4, GEN p)
46 2592244 : { return Fp_neg(Fp_mulu(c4, 27, p), p); }
47 : static void
48 2592250 : c4c6_to_a4a6(GEN c4, GEN c6, GEN p, GEN *a4, GEN *a6)
49 : {
50 2592250 : *a4 = c4_to_a4(c4, p);
51 2592235 : *a6 = Fp_neg(Fp_mulu(c6, 54, p), p);
52 2592092 : }
53 : static GEN
54 93455 : Fq_c4_to_a4(GEN c4, GEN T, GEN p)
55 93455 : { return Fq_neg(Fq_mulu(c4, 27, T,p), T,p); }
56 : static void
57 93457 : Fq_c4c6_to_a4a6(GEN c4, GEN c6, GEN T, GEN p, GEN *a4, GEN *a6)
58 : {
59 93457 : *a4 = Fq_c4_to_a4(c4, T,p);
60 93436 : *a6 = Fq_neg(Fq_mulu(c6, 54, T,p), T,p);
61 93433 : }
62 : static void
63 2592089 : ell_to_a4a6(GEN E, GEN p, GEN *a4, GEN *a6)
64 : {
65 2592089 : GEN c4 = Rg_to_Fp(ell_get_c4(E),p);
66 2592086 : GEN c6 = Rg_to_Fp(ell_get_c6(E),p);
67 2592103 : c4c6_to_a4a6(c4, c6, p, a4, a6);
68 2591940 : }
69 : static void
70 1448552 : Fl_ell_to_a4a6(GEN E, ulong p, ulong *a4, ulong *a6)
71 : {
72 1448552 : ulong c4 = Rg_to_Fl(ell_get_c4(E),p);
73 1448552 : ulong c6 = Rg_to_Fl(ell_get_c6(E),p);
74 1448552 : Fl_c4c6_to_a4a6(c4, c6, p, a4, a6);
75 1448552 : }
76 :
77 : /* [6,3b2,3a1,108a3] */
78 : static GEN
79 150703 : a4a6_ch(GEN E, GEN p)
80 : {
81 150703 : GEN a1 = Rg_to_Fp(ell_get_a1(E),p);
82 150703 : GEN a3 = Rg_to_Fp(ell_get_a3(E),p);
83 150702 : GEN b2 = Rg_to_Fp(ell_get_b2(E),p);
84 150702 : retmkvec4(modsi(6,p),Fp_mulu(b2,3,p),Fp_mulu(a1,3,p),Fp_mulu(a3,108,p));
85 : }
86 : static GEN
87 91290 : a4a6_ch_Fl(GEN E, ulong p)
88 : {
89 91290 : ulong a1 = Rg_to_Fl(ell_get_a1(E),p);
90 91290 : ulong a3 = Rg_to_Fl(ell_get_a3(E),p);
91 91290 : ulong b2 = Rg_to_Fl(ell_get_b2(E),p);
92 91290 : return mkvecsmall4(6 % p,Fl_mul(b2,3,p),Fl_mul(a1,3,p),Fl_mul(a3,108,p));
93 : }
94 :
95 : static GEN
96 150703 : ell_to_a4a6_bc(GEN E, GEN p)
97 : {
98 : GEN A4, A6;
99 150703 : ell_to_a4a6(E, p, &A4, &A6);
100 150702 : retmkvec3(A4, A6, a4a6_ch(E,p));
101 : }
102 : GEN
103 0 : point_to_a4a6(GEN E, GEN P, GEN p, GEN *pa4)
104 : {
105 0 : GEN c4 = Rg_to_Fp(ell_get_c4(E),p);
106 0 : *pa4 = c4_to_a4(c4, p);
107 0 : return FpE_changepointinv(RgV_to_FpV(P,p), a4a6_ch(E,p), p);
108 : }
109 : GEN
110 64236 : point_to_a4a6_Fl(GEN E, GEN P, ulong p, ulong *pa4)
111 : {
112 64236 : ulong c4 = Rg_to_Fl(ell_get_c4(E),p);
113 64236 : *pa4 = Fl_c4_to_a4(c4, p);
114 64236 : return Fle_changepointinv(RgV_to_Flv(P,p), a4a6_ch_Fl(E,p), p);
115 : }
116 :
117 : /* shallow basistoalg */
118 : static GEN
119 1501269 : nftoalg(GEN nf, GEN x)
120 : {
121 1501269 : switch(typ(x))
122 : {
123 1298892 : case t_INT: case t_FRAC: case t_POLMOD: return x;
124 202377 : default: return basistoalg(nf, x);
125 : }
126 : }
127 :
128 : void
129 728529 : checkellpt(GEN z)
130 : {
131 728529 : if (typ(z)!=t_VEC) pari_err_TYPE("checkellpt", z);
132 728522 : switch(lg(z))
133 : {
134 723223 : case 3: break;
135 5299 : case 2: if (isintzero(gel(z,1))) break;
136 : /* fall through */
137 0 : default: pari_err_TYPE("checkellpt", z);
138 : }
139 728522 : }
140 : void
141 229551 : checkell5(GEN E)
142 : {
143 229551 : long l = lg(E);
144 229551 : if (typ(E)!=t_VEC || (l != 17 && l != 6)) pari_err_TYPE("checkell5",E);
145 229551 : }
146 : void
147 4413859 : checkell(GEN E)
148 4413859 : { if (!checkell_i(E)) pari_err_TYPE("checkell",E); }
149 : void
150 3528 : checkellisog(GEN v)
151 3528 : { if (typ(v)!=t_VEC || lg(v) != 4) pari_err_TYPE("checkellisog",v); }
152 :
153 : void
154 8211 : checkell_Q(GEN E)
155 : {
156 8211 : if (!checkell_i(E) || ell_get_type(E)!=t_ELL_Q)
157 7 : pari_err_TYPE("checkell over Q",E);
158 8204 : }
159 :
160 : void
161 0 : checkell_Qp(GEN E)
162 : {
163 0 : if (!checkell_i(E) || ell_get_type(E)!=t_ELL_Qp)
164 0 : pari_err_TYPE("checkell over Qp",E);
165 0 : }
166 :
167 : static int
168 505364 : ell_over_Fq(GEN E)
169 : {
170 505364 : long t = ell_get_type(E);
171 505364 : return t==t_ELL_Fp || t==t_ELL_Fq;
172 : }
173 :
174 : void
175 254086 : checkell_Fq(GEN E)
176 : {
177 254086 : if (!checkell_i(E) || !ell_over_Fq(E)) pari_err_TYPE("checkell over Fq", E);
178 254079 : }
179 :
180 : GEN
181 385698 : ellff_get_p(GEN E)
182 : {
183 385698 : GEN fg = ellff_get_field(E);
184 385698 : return typ(fg)==t_INT? fg: FF_p_i(fg);
185 : }
186 :
187 : int
188 52753 : ell_is_integral(GEN E)
189 : {
190 52753 : return typ(ell_get_a1(E)) == t_INT
191 52711 : && typ(ell_get_a2(E)) == t_INT
192 52690 : && typ(ell_get_a3(E)) == t_INT
193 52690 : && typ(ell_get_a4(E)) == t_INT
194 105464 : && typ(ell_get_a6(E)) == t_INT;
195 : }
196 :
197 : static void
198 378225 : checkcoordch(GEN z)
199 378225 : { if (typ(z)!=t_VEC || lg(z) != 5) pari_err_TYPE("checkcoordch",z); }
200 :
201 : /* 4 X^3 + b2 X^2 + 2b4 X + b6 */
202 : GEN
203 247108 : ec_bmodel(GEN e, long v)
204 : {
205 247108 : GEN b2 = ell_get_b2(e), b6 = ell_get_b6(e), b42 = gmul2n(ell_get_b4(e),1);
206 247108 : GEN P = mkpoln(4, utoipos(4), b2, b42, b6);
207 247108 : setvarn(P, v); return P;
208 : }
209 :
210 : /* X^4 - b4*X^2 - 2b6*X - b8 */
211 : GEN
212 105 : ec_phi2(GEN e, long v)
213 : {
214 105 : GEN b4 = ell_get_b4(e), b6 = ell_get_b6(e), b8 = ell_get_b8(e);
215 105 : GEN P = mkpoln(5, gen_1, gen_0, gneg(b4), gmul2n(gneg(b6),1), gneg(b8));
216 105 : setvarn(P, v); return P;
217 : }
218 :
219 : static int
220 236388 : invcmp(void *E, GEN x, GEN y) { (void)E; return -gcmp(x,y); }
221 :
222 : /* prec = working precision, prec0 = target precision */
223 : static GEN
224 231029 : doellR_roots_i(GEN e, long prec, long prec0)
225 : {
226 231029 : GEN d1, d2, d3, e1, e2, e3, R = cleanroots(ec_bmodel(e,0), prec);
227 231029 : long s = ellR_get_sign(e);
228 231029 : if (s > 0)
229 : { /* sort 3 real roots in decreasing order */
230 78796 : R = real_i(R);
231 78796 : gen_sort_inplace(R, NULL, &invcmp, NULL);
232 78796 : e1 = gel(R,1); e2 = gel(R,2); e3 = gel(R,3);
233 78796 : d3 = subrr(e1,e2);
234 78796 : d1 = subrr(e2,e3);
235 78796 : d2 = subrr(e1,e3);
236 78796 : if (realprec(d3) < prec0 || realprec(d1) < prec0) return NULL;
237 : } else {
238 152233 : e1 = gel(R,1); e2 = gel(R,2); e3 = gel(R,3);
239 152233 : if (s < 0)
240 : { /* make sure e1 is real, imag(e2) > 0 and imag(e3) < 0 */
241 90164 : e1 = real_i(e1);
242 90164 : if (signe(gel(e2,2)) < 0) swap(e2, e3);
243 90164 : d1 = mkcomplex(gen_0, gsub(gel(e2,2),gel(e3,2)));
244 : }
245 : else
246 62069 : d1 = gsub(e2,e3);
247 152233 : d3 = gsub(e1,e2);
248 152233 : d2 = gsub(e1,e3);
249 152233 : if (precision(d1) < prec0
250 152220 : || precision(d2) < prec0
251 152233 : || precision(d3) < prec0) return NULL;
252 : }
253 230993 : return mkcol6(e1,e2,e3,d1,d2,d3);
254 : }
255 : static GEN
256 169792 : doellR_roots(GEN e, long prec0)
257 : {
258 : long p;
259 169828 : for (p = prec0;; p = precdbl(p))
260 36 : {
261 169828 : GEN v = doellR_roots_i(e, p, prec0);
262 169828 : if (v) return v;
263 36 : if (DEBUGLEVEL) pari_warn(warnprec,"doellR_roots", p);
264 : }
265 : }
266 : static GEN
267 83056 : ellR_root(GEN e, long prec) { return gel(ellR_roots(e,prec),1); }
268 :
269 : /* Given E and the x-coordinate of a point Q = [xQ, yQ], return
270 : * f(xQ) = xQ^3 + E.a2 * xQ^2 + E.a4 * xQ + E.a6
271 : * where E is given by y^2 + h(x)y = f(x). */
272 : GEN
273 783705 : ec_f_evalx(GEN E, GEN x)
274 : {
275 783705 : pari_sp av = avma;
276 : GEN z;
277 783705 : z = gadd(ell_get_a2(E),x);
278 783705 : z = gadd(ell_get_a4(E), gmul(x,z));
279 783705 : z = gadd(ell_get_a6(E), gmul(x,z));
280 783705 : return gerepileupto(av, z); /* ((x + E.a2) * x + E.a4) * x + E.a6 */
281 : }
282 :
283 : /* a1 x + a3 */
284 : GEN
285 1177187 : ec_h_evalx(GEN e, GEN x)
286 : {
287 1177187 : GEN a1 = ell_get_a1(e);
288 1177187 : GEN a3 = ell_get_a3(e);
289 1177187 : return gadd(a3, gmul(x,a1));
290 : }
291 : static GEN
292 565803 : Zec_h_evalx(GEN e, GEN x)
293 : {
294 565803 : GEN a1 = ell_get_a1(e);
295 565803 : GEN a3 = ell_get_a3(e);
296 565803 : return signe(a1)? addii(a3, mulii(x, a1)): a3;
297 : }
298 : /* y^2 + a1 xy + a3 y = y^2 + h(x)y */
299 : static GEN
300 129723 : ec_LHS_evalQ(GEN e, GEN Q)
301 : {
302 129723 : GEN x = gel(Q,1), y = gel(Q,2);
303 129723 : return gmul(y, gadd(y, ec_h_evalx(e,x)));
304 : }
305 :
306 : /* Given E and a point Q = [xQ, yQ], return
307 : * 3 * xQ^2 + 2 * E.a2 * xQ + E.a4 - E.a1 * yQ.
308 : * which is the derivative of the curve equation
309 : * f(x) - (y^2 + h(x)y) = 0
310 : * wrt x evaluated at Q */
311 : GEN
312 136137 : ec_dFdx_evalQ(GEN E, GEN Q)
313 : {
314 136137 : pari_sp av = avma;
315 136137 : GEN x = gel(Q,1), y = gel(Q,2);
316 136137 : GEN a1 = ell_get_a1(E);
317 136137 : GEN a2 = ell_get_a2(E);
318 136137 : GEN a4 = ell_get_a4(E);
319 136137 : GEN tmp = gmul(gadd(gmulsg(3L,x), gmul2n(a2,1)), x);
320 136137 : return gerepileupto(av, gadd(tmp, gsub(a4, gmul(a1, y))));
321 : }
322 :
323 : /* 2y + a1 x + a3 = -ec_dFdy_evalQ */
324 : GEN
325 256042 : ec_dmFdy_evalQ(GEN e, GEN Q)
326 : {
327 256042 : GEN x = gel(Q,1), y = gel(Q,2);
328 256042 : return gadd(ec_h_evalx(e,x), gmul2n(y,1));
329 : }
330 : /* Given E and a point Q = [xQ, yQ], return
331 : * -(2 * yQ + E.a1 * xQ + E.a3)
332 : * which is the derivative of the curve equation
333 : * f(x) - (y^2 + h(x)y) = 0
334 : * wrt y evaluated at Q */
335 : GEN
336 532 : ec_dFdy_evalQ(GEN E, GEN Q)
337 : {
338 532 : pari_sp av = avma;
339 532 : return gerepileupto(av, gneg(ec_dmFdy_evalQ(E,Q)));
340 : }
341 :
342 : /* Given E and a point Q = [xQ, yQ], return
343 : * 4 xQ^3 + E.b2 xQ^2 + 2 E.b4 xQ + E.b6
344 : * which is the 2-division polynomial of E evaluated at Q */
345 : GEN
346 29715 : ec_2divpol_evalx(GEN E, GEN x)
347 : {
348 29715 : pari_sp av = avma;
349 29715 : GEN b2 = ell_get_b2(E), x4 = gmul2n(x,2), t1, t2;
350 29715 : GEN b42 = gmul2n(ell_get_b4(E), 1);
351 29715 : GEN b6 = ell_get_b6(E);
352 29715 : if (ell_get_type(E) == t_ELL_NF && typ(x)==t_COL)
353 0 : {
354 0 : GEN nf = ellnf_get_nf(E);
355 0 : t1 = nfmul(nf, nfadd(nf, x4, b2), x);
356 0 : t2 = nfadd(nf, t1, b42);
357 0 : t2 = nfadd(nf, nfmul(nf, t2, x), b6);
358 0 : t2 = nftoalg(nf, t2);
359 : }
360 : else
361 : {
362 29715 : t1 = gmul(gadd(x4, b2), x);
363 29715 : t2 = gadd(t1, b42);
364 29715 : t2 = gadd(gmul(t2, x), b6);
365 : }
366 29715 : return gerepileupto(av, t2);
367 : }
368 :
369 : /* Given E and a point Q = [xQ, yQ], return
370 : * 3 xQ^4 + E.b2 xQ^3 + 3 E.b4 xQ^2 + 3*E.b6 xQ + E.b8
371 : * which is the 3-division polynomial of E evaluated at Q */
372 : GEN
373 65276 : ec_3divpol_evalx(GEN E, GEN x)
374 : {
375 65276 : pari_sp av = avma;
376 65276 : GEN b2 = ell_get_b2(E);
377 65276 : GEN b4 = ell_get_b4(E);
378 65276 : GEN b6 = ell_get_b6(E);
379 65276 : GEN b8 = ell_get_b8(E);
380 65276 : GEN x2 = gsqr(x);
381 65276 : GEN t1 = gadd(gadd(gmulsg(3L, x2), gmul(b2, x)), gmulsg(3L, b4));
382 65276 : GEN t2 = gadd(gmul(gmulsg(3L, b6), x), b8);
383 65276 : return gerepileupto(av, gadd(gmul(t1, x2), t2));
384 : }
385 :
386 : /* Given E and a point Q = [xQ, yQ], return
387 : * 6 xQ^2 + E.b2 xQ + E.b4
388 : * which, if f is the curve equation, is 2 dfdx - E.a1 dfdy evaluated at Q */
389 : GEN
390 812 : ec_half_deriv_2divpol(GEN E, long v)
391 812 : { return deg2pol_shallow(utoi(6), ell_get_b2(E), ell_get_b4(E), v); }
392 :
393 : GEN
394 707 : ec_half_deriv_2divpol_evalx(GEN E, GEN x)
395 : {
396 707 : pari_sp av = avma;
397 707 : GEN b2 = ell_get_b2(E);
398 707 : GEN b4 = ell_get_b4(E);
399 707 : GEN res = gadd(gmul(gadd(gmulsg(6L, x), b2), x), b4);
400 707 : return gerepileupto(av, res);
401 : }
402 :
403 : /* Return the characteristic of the ring over which E is defined. */
404 : GEN
405 9135 : ellbasechar(GEN E)
406 : {
407 9135 : pari_sp av = avma;
408 9135 : GEN D = ell_get_disc(E);
409 9135 : return gerepileuptoint(av, characteristic(D));
410 : }
411 :
412 : /* Initialize basic elliptic struct y[1..12] for initsmall
413 : * (do not include j to allow for singular Weistrass model)
414 : * Also allocate room for n dynamic members. */
415 : static GEN
416 194439 : initsmall46(GEN a4, GEN a6, long n)
417 : {
418 194439 : GEN y = obj_init(15, n);
419 194439 : gel(y,1) = gen_0;
420 194439 : gel(y,2) = gen_0;
421 194439 : gel(y,3) = gen_0;
422 194439 : gel(y,4) = a4;
423 194439 : gel(y,5) = a6;
424 194439 : gel(y,6) = gen_0;
425 194439 : gel(y,7) = gmul2n(a4,1);
426 194439 : gel(y,8) = gmul2n(a6,2);
427 194439 : gel(y,9) = gneg(gsqr(a4));
428 194439 : gel(y,10)= gmulgs(a4,-48);
429 194439 : gel(y,11)= gmulgs(a6,-864);
430 194438 : gel(y,12)= gadd(gmul(gmulgs(a4,-64), gsqr(a4)), gmulsg(-432,gsqr(a6)));
431 194439 : gel(y,16) = zerovec(n); return y;
432 : }
433 : /* [a1,a2,a3,a4,a6] */
434 : static GEN
435 944690 : initsmall5(GEN x, long n)
436 : {
437 944690 : GEN a1 = gel(x,1), a2 = gel(x,2), a3 = gel(x,3);
438 944690 : GEN a4 = gel(x,4), a6 = gel(x,5);
439 : GEN y, b2, b4, b6, b8, c4, c6, D, a11, a13, a33, b22;
440 944690 : if (gequal0(a1) && gequal0(a2) && gequal0(a3)) return initsmall46(a4, a6, n);
441 795464 : a11= gsqr(a1);
442 795464 : b2 = gadd(a11, gmul2n(a2,2));
443 795464 : a13= gmul(a1, a3);
444 795464 : b4 = gadd(a13, gmul2n(a4,1));
445 795464 : a33= gsqr(a3);
446 795464 : b6 = gadd(a33, gmul2n(a6,2));
447 795464 : b8 = gsub(gadd(gmul(a11,a6), gmul(b6, a2)), gmul(a4, gadd(a4,a13)));
448 795464 : b22= gsqr(b2);
449 795464 : c4 = gadd(b22, gmulsg(-24,b4));
450 795464 : c6 = gadd(gmul(b2,gsub(gmulsg(36,b4),b22)), gmulsg(-216,b6));
451 795464 : D = gsub(gmul(b4, gadd(gmulsg(9,gmul(b2,b6)),gmulsg(-8,gsqr(b4)))),
452 : gadd(gmul(b22,b8),gmulsg(27,gsqr(b6))));
453 795464 : y = obj_init(15, n);
454 795464 : gel(y,1) = a1;
455 795464 : gel(y,2) = a2;
456 795464 : gel(y,3) = a3;
457 795464 : gel(y,4) = a4;
458 795464 : gel(y,5) = a6;
459 795464 : gel(y,6) = b2; /* a1^2 + 4a2 */
460 795464 : gel(y,7) = b4; /* a1 a3 + 2a4 */
461 795464 : gel(y,8) = b6; /* a3^2 + 4 a6 */
462 795464 : gel(y,9) = b8; /* a1^2 a6 + 4a6 a2 + a2 a3^2 - a4(a4 + a1 a3) */
463 795464 : gel(y,10)= c4; /* b2^2 - 24 b4 */
464 795464 : gel(y,11)= c6; /* 36 b2 b4 - b2^3 - 216 b6 */
465 795464 : gel(y,12)= D;
466 795464 : gel(y,16) = zerovec(n); return y;
467 : }
468 :
469 : static GEN
470 981881 : get_j(GEN c4, GEN D)
471 : {
472 : GEN g, d, c;
473 981881 : if (typ(D) != t_POL || typ(c4) != t_POL || varn(D) != varn(c4))
474 981545 : return gdiv(gmul(gsqr(c4),c4), D);
475 : /* c4^3 / D, simplifying incrementally */
476 336 : g = RgX_gcd(D, c4);
477 336 : if (degpol(g) == 0) return gred_rfrac_simple(gmul(gsqr(c4),c4), D);
478 42 : c = RgX_div(c4, g);
479 42 : D = RgX_div(D, g);
480 42 : g = RgX_gcd(D,c4);
481 42 : if (degpol(g) == 0) return gred_rfrac_simple(gmul(gsqr(c4),c), D);
482 35 : D = RgX_div(D, g); d = RgX_div(c4, g);
483 35 : g = RgX_gcd(D,c4);
484 35 : if (degpol(g)) { D = RgX_div(D, g); c4 = RgX_div(c4, g); }
485 35 : return gred_rfrac_simple(gmul(gmul(c4, d),c), D);
486 : }
487 :
488 : /* return basic elliptic struct y[1..13], y[14] (domain type) and y[15]
489 : * (domain-specific data) are left uninitialized, from x[1], ..., x[5].
490 : * Also allocate room for n dynamic members (actually stored in the last
491 : * component y[16])*/
492 : static GEN
493 989882 : initsmall(GEN x, long n)
494 : {
495 : GEN y, D;
496 :
497 989882 : switch(lg(x))
498 : {
499 490 : case 2: y = initsmall5(ellfromj(gel(x,1)), n); break;
500 45213 : case 3: y = initsmall46(gel(x,1), gel(x,2), n); break;
501 944179 : case 6:
502 944179 : case 17: y = initsmall5(x, n); break;
503 0 : default:
504 0 : pari_err_TYPE("ellxxx [not an elliptic curve (ell5)]",x);
505 : return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
506 : }
507 989882 : D = ell_get_disc(y); if (gequal0(D)) return NULL;
508 981881 : gel(y,13) = get_j(ell_get_c4(y), D); return y;
509 : }
510 : void
511 0 : ellprint(GEN e)
512 : {
513 0 : pari_sp av = avma;
514 : long vx, vy;
515 : GEN z;
516 0 : checkell5(e);
517 0 : vx = fetch_var(); name_var(vx, "X");
518 0 : vy = fetch_var(); name_var(vy, "Y"); z = mkvec2(pol_x(vx), pol_x(vy));
519 0 : err_printf("%Ps - (%Ps)\n", ec_LHS_evalQ(e, z), ec_f_evalx(e, pol_x(vx)));
520 0 : (void)delete_var();
521 0 : (void)delete_var(); set_avma(av);
522 0 : }
523 :
524 : /* compute a,b such that E1: y^2 = x(x-a)(x-b) ~ E */
525 : static GEN
526 58842 : doellR_ab(GEN E, long prec)
527 : {
528 58842 : GEN b2 = ell_get_b2(E), R = ellR_roots(E, prec);
529 58842 : GEN e1 = gel(R,1), d2 = gel(R,5), d3 = gel(R,6), a, b, t;
530 :
531 58842 : t = gmul2n(gadd(mulur(12,e1), b2), -4); /* = (12 e1 + b2) / 16 */
532 58842 : if (ellR_get_sign(E) > 0)
533 26733 : b = mulrr(d3,d2);
534 : else
535 32109 : b = cxnorm(d3);
536 58842 : b = sqrtr(b); /* = sqrt( (e1 - e2)(e1 - e3) ) */
537 58842 : if (gsigne(t) > 0) togglesign(b);
538 58842 : a = gsub(gmul2n(b,-1),t);
539 58842 : return mkvec2(a, b);
540 : }
541 : GEN
542 83056 : ellR_ab(GEN E, long prec)
543 83056 : { return obj_checkbuild_realprec(E, R_AB, &doellR_ab, prec); }
544 :
545 : /* q a t_REAL*/
546 : static long
547 84 : real_prec(GEN q)
548 84 : { return signe(q)? realprec(q): LONG_MAX; }
549 : /* q a t_PADIC */
550 : static long
551 252 : padic_prec(GEN q)
552 252 : { return signe(gel(q,4))? precp(q)+valp(q): valp(q); }
553 :
554 : /* check whether moduli are consistent */
555 : static void
556 99638 : chk_p(GEN p, GEN p2)
557 99638 : { if (!equalii(p, p2)) pari_err_MODULUS("ellinit", p,p2); }
558 :
559 : static int
560 230433 : fix_nftype(GEN *pp)
561 : {
562 230433 : switch(nftyp(*pp))
563 : {
564 230433 : case typ_NF: case typ_BNF: break;
565 0 : case typ_BNR:*pp = bnr_get_bnf(*pp); break;
566 0 : default: return 0;
567 : }
568 230433 : return 1;
569 : }
570 : static long
571 1011589 : base_ring(GEN x, GEN *pp, long *prec)
572 : {
573 1011589 : long i, e = *prec, ep = LONG_MAX, imax = minss(lg(x), 6);
574 1011589 : GEN p = NULL, pol = NULL;
575 1011589 : long t = t_FRAC;
576 1011589 : if (*pp) switch(t = typ(*pp))
577 : {
578 509495 : case t_INT:
579 509495 : if (cmpis(*pp,2) < 0) { t = t_FRAC; p = NULL; break; }
580 2016 : p = *pp;
581 2016 : t = t_INTMOD;
582 2016 : break;
583 665 : case t_INTMOD:
584 665 : p = gel(*pp, 1);
585 665 : break;
586 28 : case t_REAL:
587 28 : e = real_prec(*pp);
588 28 : p = NULL;
589 28 : break;
590 231 : case t_PADIC:
591 231 : ep = padic_prec(*pp);
592 231 : p = gel(*pp, 2);
593 231 : break;
594 1820 : case t_FFELT:
595 1820 : p = *pp;
596 1820 : break;
597 230433 : case t_VEC:
598 230433 : t = t_VEC; p = *pp;
599 230433 : if (fix_nftype(&p)) break;
600 : default:
601 7 : pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", *pp);
602 0 : return 0;
603 : }
604 1011582 : if (t==t_VEC) pol = nf_get_pol(checknf(p));
605 : /* Possible cases:
606 : * t = t_VEC (p an nf or bnf)
607 : * t = t_FFELT (p t_FFELT)
608 : * t = t_INTMOD (p a prime)
609 : * t = t_PADIC (p a prime, ep = padic prec)
610 : * t = t_REAL (p = NULL, e = real prec)
611 : * t = t_FRAC (p = NULL) */
612 5785173 : for (i = 1; i < imax; i++)
613 : {
614 4779772 : GEN p2, q = gel(x,i);
615 4779772 : switch(typ(q)) {
616 42 : case t_PADIC:
617 42 : p2 = gel(q,2);
618 : switch(t)
619 : {
620 21 : case t_FRAC: t = t_PADIC; p = p2; break;
621 7 : case t_PADIC: chk_p(p,p2); break;
622 14 : default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
623 : }
624 21 : ep = minss(ep, padic_prec(q));
625 21 : break;
626 124586 : case t_INTMOD:
627 124586 : p2 = gel(q,1);
628 : switch(t)
629 : {
630 24969 : case t_FRAC: t = t_INTMOD; p = p2; break;
631 49 : case t_FFELT: chk_p(FF_p_i(p),p2); break;
632 99554 : case t_INTMOD:chk_p(p,p2); break;
633 14 : default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
634 : }
635 124572 : break;
636 168572 : case t_FFELT:
637 : switch(t)
638 : {
639 14 : case t_INTMOD: chk_p(p, FF_p_i(q)); /* fall through */
640 85377 : case t_FRAC: t = t_FFELT; p = q; break;
641 83188 : case t_FFELT:
642 83188 : if (!FF_samefield(p,q) && FF_f(q)>1) pari_err_MODULUS("ellinit", p,q);
643 83188 : break;
644 0 : default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
645 : }
646 168565 : break;
647 :
648 4158804 : case t_INT: case t_FRAC: break;
649 56 : case t_REAL:
650 : switch(t)
651 : {
652 35 : case t_REAL: e = minss(e, real_prec(q)); break;
653 21 : case t_FRAC: e = real_prec(q); t = t_REAL; break;
654 0 : default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
655 : }
656 56 : break;
657 326459 : case t_POLMOD:
658 326459 : if (pol && !RgX_equal(pol, gel(q,1)))
659 7 : pari_err_MODULUS("ellinit",gel(q,1), pol);
660 : case t_COL:
661 : case t_POL:
662 327691 : if (t == t_VEC) break;
663 : default: /* base ring too general */
664 6132 : return t_COMPLEX;
665 : }
666 : }
667 1005401 : *pp = p; *prec = (t == t_PADIC)? ep: e; return t;
668 : }
669 :
670 : /* s = 0 complex, else real;
671 : * if (s = 2) set s = sign(D), else accept s as is */
672 : static GEN
673 67361 : ellinit_Rg(GEN x, long s, long prec)
674 : {
675 : GEN y;
676 67361 : if (lg(x) > 6) switch(ell_get_type(x))
677 : {
678 7 : case t_ELL_Rg:
679 7 : case t_ELL_Q: break;
680 7 : default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
681 : }
682 67354 : if (!(y = initsmall(x, 4))) return NULL;
683 67354 : if (s == 2) s = gsigne(ell_get_disc(y));
684 67354 : gel(y,14) = mkvecsmall(t_ELL_Rg);
685 67354 : gel(y,15) = mkvec(mkvecsmall2(prec, s));
686 67354 : return y;
687 : }
688 :
689 : static GEN
690 203 : ellinit_Qp(GEN x, GEN p, long prec)
691 : {
692 : GEN y;
693 203 : if (lg(x) > 6)
694 : {
695 28 : switch(ell_get_type(x))
696 : { /* sanity checks */
697 21 : case t_ELL_Q: break;
698 7 : case t_ELL_Qp: chk_p(ellQp_get_p(x), p); break;
699 0 : default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
700 : }
701 21 : x = vecslice(x,1,5);
702 : }
703 196 : x = QpV_to_QV(x); /* make entries rational */
704 196 : if (!(y = initsmall(x, 2))) return NULL;
705 196 : gel(y,14) = mkvecsmall(t_ELL_Qp);
706 196 : gel(y,15) = mkvec(zeropadic_shallow(p, prec));
707 196 : return y;
708 : }
709 :
710 : static GEN
711 569338 : ellinit_Q(GEN x, long prec)
712 : {
713 : GEN y;
714 : long s;
715 569338 : if (!(y = initsmall(x, 8))) return NULL;
716 569205 : s = gsigne( ell_get_disc(y) );
717 569205 : gel(y,14) = mkvecsmall(t_ELL_Q);
718 569205 : gel(y,15) = mkvec(mkvecsmall2(prec, s));
719 569205 : return y;
720 : }
721 :
722 : static GEN
723 567553 : nfVtoalg(GEN nf, GEN x) { pari_APPLY_same(nftoalg(nf,gel(x,i))); }
724 :
725 : static GEN
726 73395 : ellinit_nf(GEN x, GEN p)
727 : {
728 : GEN y, nf;
729 73395 : if (lg(x) > 6) x = vecslice(x,1,5);
730 73395 : nf = checknf(p);
731 73395 : x = nfVtoalg(nf, x);
732 73395 : if (!(y = initsmall(x, 5))) return NULL;
733 73395 : gel(y,14) = mkvecsmall(t_ELL_NF);
734 73395 : gel(y,15) = mkvec(p);
735 73395 : return y;
736 : }
737 :
738 : /* FF_ellinit allows singular cubic, return NULL in that case */
739 : static GEN
740 121028 : FF_ellinit_ns(GEN x, GEN fg)
741 : {
742 121028 : x = FF_ellinit(x,fg);
743 121028 : return FF_equal0(ell_get_disc(x))? NULL: x;
744 : }
745 :
746 : static GEN
747 1959122 : to_mod(GEN x, GEN p) { return mkintmod(Rg_to_Fp(x,p), p); }
748 : static GEN
749 165123 : ellinit_Fp(GEN x, GEN p)
750 : {
751 : long i;
752 : GEN y, disc;
753 165123 : if (lg(x) > 6) switch(ell_get_type(x))
754 : {
755 2429 : case t_ELL_Q: break;
756 0 : case t_ELL_Fp: chk_p(ellff_get_p(x),p); break;
757 7 : case t_ELL_Qp: chk_p(ellQp_get_p(x),p); break;
758 0 : default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
759 : }
760 165116 : if (lg(x) == 2) x = ellfromj(to_mod(gel(x,1), p));
761 165116 : if (!(y = initsmall(x, 4))) return NULL;
762 : /* ell_to_a4a6_bc does not handle p<=3 */
763 160174 : if (abscmpiu(p, 3) <= 0) return FF_ellinit_ns(y,p_to_FF(p,0));
764 150703 : disc = Rg_to_Fp(ell_get_disc(y),p);
765 150703 : if (!signe(disc)) return NULL;
766 2109719 : for(i = 1; i <= 13; i++) gel(y,i) = to_mod(gel(y,i),p);
767 150695 : gel(y,14) = mkvecsmall(t_ELL_Fp);
768 150696 : gel(y,15) = mkvec2(p, ell_to_a4a6_bc(y, p));
769 150695 : return y;
770 : }
771 :
772 : static GEN
773 114483 : ellinit_Fq(GEN x, GEN fg)
774 : {
775 : GEN y;
776 114483 : if (lg(x) == 2)
777 : {
778 33418 : GEN j = gel(x,1);
779 33418 : if (typ(j) != t_FFELT) j = Fq_to_FF(j, fg);
780 33418 : x = ellfromj(j);
781 : }
782 114483 : if (!(y = initsmall(x, 4))) return NULL;
783 111557 : return FF_ellinit_ns(y,fg);
784 : }
785 :
786 : static GEN
787 137746 : ellnf_to_Fq(GEN nf, GEN x, GEN P, GEN *pp, GEN *pT)
788 : {
789 137746 : GEN e = vecslice(x,1,5);
790 : GEN p, modP;
791 137746 : if (get_modpr(P))
792 : { /* modpr accept */
793 108724 : modP = P;
794 108724 : p = modpr_get_p(modP);
795 : }
796 : else
797 : { /* pr, initialize modpr */
798 29022 : GEN d = Q_denom(e);
799 29022 : p = pr_get_p(P);
800 29022 : modP = dvdii(d,p)? nfmodprinit(nf,P): zkmodprinit(nf,P);
801 : }
802 137746 : *pp = p;
803 137746 : *pT = modpr_get_T(modP);
804 137746 : return nfV_to_FqV(e, nf, modP);
805 : }
806 : static GEN
807 137725 : ellinit_nf_to_Fq(GEN nf, GEN E, GEN P)
808 : {
809 : GEN T,p;
810 137725 : E = ellnf_to_Fq(nf, E, P, &p, &T);
811 137725 : return T? ellinit_Fq(E,Tp_to_FF(T,p)): ellinit_Fp(E,p);
812 : }
813 :
814 : static GEN
815 900485 : ellinit_i(GEN x, GEN D, long prec)
816 : {
817 : GEN y;
818 :
819 900485 : switch(typ(x))
820 : {
821 7 : case t_STR: x = gel(ellsearchcurve(x),2); break;
822 900478 : case t_VEC:
823 900478 : switch(lg(x))
824 : {
825 900471 : case 2: case 3: case 6: case 17: break;
826 7 : default: pari_err_TYPE("ellinit",x);
827 : }
828 900471 : break;
829 0 : default: pari_err_TYPE("ellinit",x);
830 : }
831 900478 : if (D && get_prid(D))
832 : {
833 137249 : if (lg(x) == 6 || ell_get_type(x) != t_ELL_NF) pari_err_TYPE("ellinit",x);
834 137249 : return ellinit_nf_to_Fq(ellnf_get_nf(x), x, D);
835 : }
836 763229 : switch (base_ring(x, &D, &prec))
837 : {
838 203 : case t_PADIC:
839 203 : y = ellinit_Qp(x, D, prec);
840 196 : break;
841 27622 : case t_INTMOD:
842 27622 : y = ellinit_Fp(x, D);
843 27614 : break;
844 87071 : case t_FFELT:
845 87071 : y = ellinit_Fq(x, D);
846 87071 : break;
847 569338 : case t_FRAC:
848 569338 : y = ellinit_Q(x, prec);
849 569338 : break;
850 28 : case t_REAL:
851 28 : y = ellinit_Rg(x, 2, prec);
852 21 : break;
853 72779 : case t_VEC:
854 72779 : y = ellinit_nf(x, D);
855 72779 : break;
856 6132 : default:
857 6132 : y = ellinit_Rg(x, 0, prec);
858 : }
859 763151 : return y;
860 : }
861 : GEN
862 899463 : ellinit(GEN x, GEN D, long prec)
863 : {
864 899463 : pari_sp av = avma;
865 899463 : GEN y = ellinit_i(x, D, prec);
866 899378 : if (!y) { set_avma(av); return cgetg(1,t_VEC); }
867 891363 : return gerepilecopy(av,y);
868 : }
869 :
870 : /********************************************************************/
871 : /** **/
872 : /** COORDINATE CHANGE **/
873 : /** Apply [u,r,s,t]. All coordch_* functions update E[1..14] only **/
874 : /** and copy E[15] (type-specific data), E[16] (dynamic data) **/
875 : /** verbatim **/
876 : /** **/
877 : /********************************************************************/
878 : /* [1,0,0,0] */
879 : static GEN
880 2694496 : init_ch(void) { return mkvec4(gen_1,gen_0,gen_0,gen_0); }
881 : static int
882 525497 : is_trivial_change(GEN v)
883 : {
884 : GEN u, r, s, t;
885 525497 : if (typ(v) == t_INT) return 1;
886 525497 : u = gel(v,1); r = gel(v,2); s = gel(v,3); t = gel(v,4);
887 525497 : return isint1(u) && isintzero(r) && isintzero(s) && isintzero(t);
888 : }
889 :
890 : /* Accumulate the effects of variable changes w o v, where
891 : * w = [u,r,s,t], *vtotal = v = [U,R,S,T]. No assumption on types */
892 : static void
893 15764 : gcomposev(GEN *vtotal, GEN w)
894 : {
895 15764 : GEN v = *vtotal;
896 : GEN U2, U, R, S, T, u, r, s, t;
897 :
898 15764 : if (!v || typ(v) == t_INT) { *vtotal = w; return; }
899 15736 : U = gel(v,1); R = gel(v,2); S = gel(v,3); T = gel(v,4);
900 15736 : u = gel(w,1); r = gel(w,2); s = gel(w,3); t = gel(w,4);
901 15736 : U2 = NULL;
902 15736 : if (!gequal0(r))
903 : {
904 : GEN rU2;
905 14448 : U2 = gsqr(U); rU2 = gmul(U2, r);
906 14448 : R = gadd(R, rU2);
907 14448 : T = gadd(T, gmul(S, rU2));
908 : }
909 15736 : if (!gequal0(s)) S = gadd(S, gmul(U, s));
910 15736 : if (!gequal0(t))
911 : {
912 8946 : if (!U2) U2 = gsqr(U);
913 8946 : T = gadd(T, gmul(gmul(U,U2), t));
914 : }
915 15736 : gel(v,1) = gmul(U, u);
916 15736 : gel(v,2) = R;
917 15736 : gel(v,3) = S;
918 15736 : gel(v,4) = T;
919 : }
920 :
921 : /* [u,r,s,t]^-1 = [ 1/u,-r/u^2,-s/u, (rs-t)/u^3 ] */
922 : GEN
923 70 : ellchangeinvert(GEN w)
924 : {
925 : GEN u,r,s,t, u2,u3, U,R,S,T;
926 70 : if (typ(w) == t_INT) return w;
927 70 : u = gel(w,1);
928 70 : r = gel(w,2);
929 70 : s = gel(w,3);
930 70 : t = gel(w,4);
931 70 : u2 = gsqr(u); u3 = gmul(u2,u);
932 70 : U = ginv(u);
933 70 : R = gdiv(gneg(r), u2);
934 70 : S = gdiv(gneg(s), u);
935 70 : T = gdiv(gsub(gmul(r,s), t), u3);
936 70 : return mkvec4(U,R,S,T);
937 : }
938 :
939 : static GEN
940 181783 : ell_to_nfell10(GEN e)
941 : {
942 : long i;
943 181783 : GEN nf = ellnf_get_nf(e);
944 181783 : GEN y = cgetg(11,t_VEC);
945 1999613 : for(i=1; i<=10; i++)
946 1817830 : gel(y, i) = nf_to_scalar_or_basis(nf, gel(e, i));
947 181783 : return y;
948 : }
949 :
950 : /* apply [u^(-1),0,0,0] */
951 : static GEN
952 444010 : nf_coordch_uinv(GEN nf, GEN e, GEN u)
953 : {
954 : GEN y, u2, u3, u4, u6, u8;
955 : long lx;
956 444010 : if (gequal1(u)) return e;
957 443541 : y = cgetg_copy(e, &lx);
958 443541 : u2 = nfsqr(nf,u); u3 = nfmul(nf,u,u2); u4 = nfsqr(nf,u2);
959 443541 : u6 = nfsqr(nf,u3); u8 = nfsqr(nf,u4);
960 443541 : gel(y,1) = nfmul(nf,ell_get_a1(e), u);
961 443541 : gel(y,2) = nfmul(nf,ell_get_a2(e), u2);
962 443541 : gel(y,3) = nfmul(nf,ell_get_a3(e), u3);
963 443541 : gel(y,4) = nfmul(nf,ell_get_a4(e), u4);
964 443541 : gel(y,5) = nfmul(nf,ell_get_a6(e), u6);
965 443541 : if (lx == 6) return y;
966 443534 : gel(y,6) = nfmul(nf,ell_get_b2(e), u2);
967 443534 : gel(y,7) = nfmul(nf,ell_get_b4(e), u4);
968 443534 : gel(y,8) = nfmul(nf,ell_get_b6(e), u6);
969 443534 : gel(y,9) = nfmul(nf,ell_get_b8(e), u8);
970 443534 : return y;
971 : }
972 : /* apply [1,r,0,0] */
973 : static GEN
974 499738 : nf_coordch_r(GEN nf, GEN e, GEN r)
975 : {
976 : GEN a2, a4, b4, b6, y, p1, r2, b2r, rx3;
977 : long lx;
978 499738 : if (gequal0(r)) return e;
979 420560 : y = cgetg_copy(e, &lx);
980 420560 : a2 = ell_get_a2(e); a4 = ell_get_a4(e);
981 420560 : rx3 = gmulsg(3,r);
982 :
983 420560 : gel(y,1) = ell_get_a1(e);
984 : /* A2 = a2 + 3r */
985 420560 : gel(y,2) = nfadd(nf,a2,rx3);
986 : /* A3 = a1 r + a3 */
987 420560 : gel(y,3) = nfadd(nf,ell_get_a3(e), nfmul(nf,ell_get_a1(e),r));
988 : /* A4 = 3r^2 + 2a2 r + a4 */
989 420560 : gel(y,4) = nfadd(nf,a4, nfmul(nf,r,nfadd(nf,gmul2n(a2,1),rx3)));
990 : /* A6 = r^3 + a2 r^2 + a4 r + a6 */
991 420560 : gel(y,5) = nfadd(nf,ell_get_a6(e),nfmul(nf,r,nfadd(nf, a4, nfmul(nf,r,nfadd(nf,a2, r)))));
992 420560 : if (lx == 6) return y;
993 :
994 420553 : b4 = ell_get_b4(e);
995 420553 : b6 = ell_get_b6(e);
996 : /* B2 = 12r + b2 */
997 420553 : gel(y,6) = nfadd(nf,ell_get_b2(e),gmul2n(rx3,2));
998 420553 : b2r = nfmul(nf,r, ell_get_b2(e));
999 420553 : r2 = nfsqr(nf,r);
1000 : /* B4 = 6r^2 + b2 r + b4 */
1001 420553 : gel(y,7) = nfadd(nf,b4,nfadd(nf,b2r, gmulsg(6,r2)));
1002 : /* B6 = 4r^3 + 2b2 r^2 + 2b4 r + b6 */
1003 420553 : gel(y,8) = nfadd(nf,b6,nfmul(nf,r,nfadd(nf,gmul2n(b4,1), nfadd(nf,b2r,gmul2n(r2,2)))));
1004 : /* B8 = 3r^4 + b2 r^3 + 3b4 r^2 + 3b6 r + b8 */
1005 420553 : p1 = nfadd(nf,gmulsg(3,b4),nfadd(nf,b2r, gmulsg(3,r2)));
1006 420553 : gel(y,9) = nfadd(nf,ell_get_b8(e), nfmul(nf,r,nfadd(nf,gmulsg(3,b6), nfmul(nf,r,p1))));
1007 420553 : return y;
1008 : }
1009 :
1010 : static GEN
1011 184637 : nf_coordch_s(GEN nf, GEN e, GEN s)
1012 : {
1013 : GEN a1, y;
1014 184637 : if (gequal0(s)) return e;
1015 184637 : a1 = ell_get_a1(e);
1016 184637 : y = leafcopy(e);
1017 :
1018 : /* A1 = a1 + 2s */
1019 184637 : gel(y,1) = nfadd(nf,a1,gmul2n(s,1));
1020 : /* A2 = a2 - (a1 s + s^2) */
1021 184637 : gel(y,2) = nfsub(nf,ell_get_a2(e),nfmul(nf,s,nfadd(nf,a1,s)));
1022 : /* A4 = a4 - s a3 */
1023 184637 : gel(y,4) = nfsub(nf,ell_get_a4(e),nfmul(nf,s,ell_get_a3(e)));
1024 184637 : return y;
1025 : }
1026 : /* apply [1,0,0,t] */
1027 : static GEN
1028 407287 : nf_coordch_t(GEN nf, GEN e, GEN t)
1029 : {
1030 : GEN a1, a3, y;
1031 407287 : if (gequal0(t)) return e;
1032 406811 : a1 = ell_get_a1(e); a3 = ell_get_a3(e);
1033 406811 : y = leafcopy(e);
1034 : /* A3 = 2t + a3 */
1035 406811 : gel(y,3) = nfadd(nf,a3, gmul2n(t,1));
1036 : /* A4 = a4 - a1 t */
1037 406811 : gel(y,4) = nfsub(nf,ell_get_a4(e), nfmul(nf,t,a1));
1038 : /* A6 = a6 - t(t + a3) */
1039 406811 : gel(y,5) = nfsub(nf,ell_get_a6(e), nfmul(nf,t,nfadd(nf,t, a3)));
1040 406811 : return y;
1041 : }
1042 :
1043 : /* apply [1,0,s,t] */
1044 : static GEN
1045 19378 : nf_coordch_st(GEN nf, GEN e, GEN s, GEN t)
1046 : {
1047 : GEN y, a1, a3;
1048 19378 : if (gequal0(s)) return nf_coordch_t(nf, e, t);
1049 18902 : if (gequal0(t)) return nf_coordch_s(nf, e, s);
1050 18902 : a1 = ell_get_a1(e); a3 = ell_get_a3(e);
1051 18902 : y = leafcopy(e);
1052 : /* A1 = a1 + 2s */
1053 18902 : gel(y,1) = nfadd(nf,a1,gmul2n(s,1));
1054 : /* A2 = a2 - (a1 s + s^2) */
1055 18902 : gel(y,2) = nfsub(nf,ell_get_a2(e),nfmul(nf,s,nfadd(nf,a1,s)));
1056 : /* A3 = 2t + a3 */
1057 18902 : gel(y,3) = nfadd(nf,a3,gmul2n(t,1));
1058 : /* A4 = a4 - (a1 t + s (2t + a3)) */
1059 18902 : gel(y,4) = nfsub(nf,ell_get_a4(e),nfadd(nf,nfmul(nf,t,a1),nfmul(nf,s,gel(y,3))));
1060 : /* A6 = a6 - t(t + a3) */
1061 18902 : gel(y,5) = nfsub(nf,ell_get_a6(e), nfmul(nf,t,nfadd(nf,t, a3)));
1062 18902 : return y;
1063 : }
1064 :
1065 : static GEN
1066 301348 : nf_coordch_rt(GEN nf, GEN e, GEN r, GEN t)
1067 : {
1068 301348 : e = nf_coordch_r(nf, e, r);
1069 301348 : return nf_coordch_t(nf, e, t);
1070 : }
1071 :
1072 : /* apply [1,r,s,t] */
1073 : static GEN
1074 476 : nf_coordch_rst(GEN nf, GEN e, GEN r, GEN s, GEN t)
1075 : {
1076 476 : e = nf_coordch_r(nf, e, r);
1077 476 : return nf_coordch_st(nf, e, s, t);
1078 : }
1079 : /* apply w = [u,r,s,t] */
1080 : static GEN
1081 476 : nf_coordch(GEN nf, GEN e, GEN w)
1082 : {
1083 476 : if (typ(w) == t_INT) return e;
1084 476 : e = nf_coordch_rst(nf, e, gel(w,2), gel(w,3), gel(w,4));
1085 476 : return nf_coordch_uinv(nf, e, nfinv(nf, gel(w,1)));
1086 : }
1087 :
1088 : /* apply [u^(-1),0,0,0] */
1089 : static GEN
1090 246694 : coordch_uinv(GEN e, GEN u)
1091 : {
1092 : GEN y, u2, u3, u4, u6, u12, D, c4, c6;
1093 : long lx;
1094 246694 : if (gequal1(u)) return e;
1095 224378 : y = cgetg_copy(e, &lx);
1096 224378 : u2 = gsqr(u); u3 = gmul(u,u2); u4 = gsqr(u2); u6 = gsqr(u3);
1097 224378 : gel(y,1) = gmul(ell_get_a1(e), u);
1098 224378 : gel(y,2) = gmul(ell_get_a2(e), u2);
1099 224378 : gel(y,3) = gmul(ell_get_a3(e), u3);
1100 224378 : gel(y,4) = gmul(ell_get_a4(e), u4);
1101 224378 : gel(y,5) = gmul(ell_get_a6(e), u6);
1102 224378 : if (lx == 6) return y;
1103 224378 : gel(y,6) = gmul(ell_get_b2(e), u2);
1104 224378 : gel(y,7) = gmul(ell_get_b4(e), u4);
1105 224378 : gel(y,8) = gmul(ell_get_b6(e), u6);
1106 224378 : gel(y,9) = gmul(ell_get_b8(e), gsqr(u4));
1107 224378 : u12 = gsqr(u6);
1108 224378 : D = ell_get_disc(e);
1109 224378 : c4 = ell_get_c4(e);
1110 224378 : c6 = ell_get_c6(e);
1111 224378 : c4 = gmul(c4, u4);
1112 224378 : c6 = gmul(c6, u6);
1113 224378 : D = gmul(D, u12);
1114 224378 : gel(y,10)= c4;
1115 224378 : gel(y,11)= c6;
1116 224378 : gel(y,12)= D;
1117 224378 : gel(y,13)= ell_get_j(e);
1118 224378 : gel(y,14)= gel(e,14);
1119 224378 : gel(y,15)= gel(e,15);
1120 224378 : gel(y,16)= gel(e,16);
1121 224378 : return y;
1122 : }
1123 : /* apply [1,r,0,0] */
1124 : static GEN
1125 770959 : coordch_r(GEN e, GEN r)
1126 : {
1127 : GEN a2, b4, b6, y, p1, r2, b2r, rx3;
1128 770959 : if (gequal0(r)) return e;
1129 650944 : y = leafcopy(e);
1130 650944 : a2 = ell_get_a2(e);
1131 650944 : rx3 = gmulsg(3,r);
1132 :
1133 : /* A2 = a2 + 3r */
1134 650944 : gel(y,2) = gadd(a2,rx3);
1135 : /* A3 = a1 r + a3 */
1136 650944 : gel(y,3) = ec_h_evalx(e,r);
1137 : /* A4 = 3r^2 + 2a2 r + a4 */
1138 650944 : gel(y,4) = gadd(ell_get_a4(e), gmul(r,gadd(gmul2n(a2,1),rx3)));
1139 : /* A6 = r^3 + a2 r^2 + a4 r + a6 */
1140 650944 : gel(y,5) = ec_f_evalx(e,r);
1141 650944 : if (lg(y) == 6) return y;
1142 :
1143 650937 : b4 = ell_get_b4(e);
1144 650937 : b6 = ell_get_b6(e);
1145 : /* B2 = 12r + b2 */
1146 650937 : gel(y,6) = gadd(ell_get_b2(e),gmul2n(rx3,2));
1147 650937 : b2r = gmul(r, ell_get_b2(e));
1148 650937 : r2 = gsqr(r);
1149 : /* B4 = 6r^2 + b2 r + b4 */
1150 650937 : gel(y,7) = gadd(b4,gadd(b2r, gmulsg(6,r2)));
1151 : /* B6 = 4r^3 + 2b2 r^2 + 2b4 r + b6 */
1152 650937 : gel(y,8) = gadd(b6,gmul(r,gadd(gmul2n(b4,1), gadd(b2r,gmul2n(r2,2)))));
1153 : /* B8 = 3r^4 + b2 r^3 + 3b4 r^2 + 3b6 r + b8 */
1154 650937 : p1 = gadd(gmulsg(3,b4),gadd(b2r, gmulsg(3,r2)));
1155 650937 : gel(y,9) = gadd(ell_get_b8(e), gmul(r,gadd(gmulsg(3,b6), gmul(r,p1))));
1156 650937 : return y;
1157 : }
1158 : /* apply [1,0,s,0] */
1159 : static GEN
1160 119357 : coordch_s(GEN e, GEN s)
1161 : {
1162 : GEN a1, y;
1163 119357 : if (gequal0(s)) return e;
1164 119357 : a1 = ell_get_a1(e);
1165 119357 : y = leafcopy(e);
1166 :
1167 : /* A1 = a1 + 2s */
1168 119357 : gel(y,1) = gadd(a1,gmul2n(s,1));
1169 : /* A2 = a2 - (a1 s + s^2) */
1170 119357 : gel(y,2) = gsub(ell_get_a2(e),gmul(s,gadd(a1,s)));
1171 : /* A4 = a4 - s a3 */
1172 119357 : gel(y,4) = gsub(ell_get_a4(e),gmul(s,ell_get_a3(e)));
1173 119357 : return y;
1174 : }
1175 : /* apply [1,0,0,t] */
1176 : static GEN
1177 370601 : coordch_t(GEN e, GEN t)
1178 : {
1179 : GEN a1, a3, y;
1180 370601 : if (gequal0(t)) return e;
1181 281022 : a1 = ell_get_a1(e); a3 = ell_get_a3(e);
1182 281022 : y = leafcopy(e);
1183 : /* A3 = 2t + a3 */
1184 281022 : gel(y,3) = gadd(a3, gmul2n(t,1));
1185 : /* A4 = a4 - a1 t */
1186 281022 : gel(y,4) = gsub(ell_get_a4(e), gmul(t,a1));
1187 : /* A6 = a6 - t(t + a3) */
1188 281022 : gel(y,5) = gsub(ell_get_a6(e), gmul(t,gadd(t, a3)));
1189 281022 : return y;
1190 : }
1191 : /* apply [1,0,s,t] */
1192 : static GEN
1193 506534 : coordch_st(GEN e, GEN s, GEN t)
1194 : {
1195 : GEN y, a1, a3;
1196 506534 : if (gequal0(s)) return coordch_t(e, t);
1197 380310 : if (gequal0(t)) return coordch_s(e, s);
1198 260953 : a1 = ell_get_a1(e); a3 = ell_get_a3(e);
1199 260953 : y = leafcopy(e);
1200 : /* A1 = a1 + 2s */
1201 260953 : gel(y,1) = gadd(a1,gmul2n(s,1));
1202 : /* A2 = a2 - (a1 s + s^2) */
1203 260953 : gel(y,2) = gsub(ell_get_a2(e),gmul(s,gadd(a1,s)));
1204 : /* A3 = 2t + a3 */
1205 260953 : gel(y,3) = gadd(a3,gmul2n(t,1));
1206 : /* A4 = a4 - (a1 t + s (2t + a3)) */
1207 260953 : gel(y,4) = gsub(ell_get_a4(e),gadd(gmul(t,a1),gmul(s,gel(y,3))));
1208 : /* A6 = a6 - t(t + a3) */
1209 260953 : gel(y,5) = gsub(ell_get_a6(e), gmul(t,gadd(t, a3)));
1210 260953 : return y;
1211 : }
1212 : /* apply [1,r,s,t] */
1213 : static GEN
1214 506534 : coordch_rst(GEN e, GEN r, GEN s, GEN t)
1215 : {
1216 506534 : e = coordch_r(e, r);
1217 506534 : return coordch_st(e, s, t);
1218 : }
1219 : /* apply w = [u,r,s,t] */
1220 : static GEN
1221 230244 : coordch(GEN e, GEN w)
1222 : {
1223 230244 : if (typ(w) == t_INT) return e;
1224 230244 : e = coordch_rst(e, gel(w,2), gel(w,3), gel(w,4));
1225 230244 : return coordch_uinv(e, ginv(gel(w,1)));
1226 : }
1227 :
1228 : /* the ch_* routines update E[14] (type), E[15] (type specific data), E[16]
1229 : * (dynamic data) */
1230 : static GEN
1231 35 : ch_Qp(GEN E, GEN e, GEN w)
1232 : {
1233 35 : GEN S, p = ellQp_get_zero(E), u2 = NULL, u = gel(w,1), r = gel(w,2);
1234 35 : long prec = valp(p);
1235 35 : if (base_ring(E, &p, &prec) != t_PADIC) return ellinit(E, p, prec);
1236 35 : if ((S = obj_check(e, Qp_ROOT)))
1237 : {
1238 7 : if (!u2) u2 = gsqr(u);
1239 7 : obj_insert_shallow(E, Qp_ROOT, gdiv(gsub(S, r), u2));
1240 : }
1241 35 : if ((S = obj_check(e, Qp_TATE)))
1242 : {
1243 7 : GEN U2 = gel(S,1), U = gel(S,2), Q = gel(S,3), AB = gel(S,4), L = gel(S,5);
1244 7 : if (!u2) u2 = gsqr(u);
1245 7 : U2 = gmul(U2, u2);
1246 7 : U = gmul(U, u);
1247 7 : AB = gdiv(AB, u2);
1248 7 : obj_insert_shallow(E, Qp_TATE, mkvec5(U2,U,Q,AB,L));
1249 : }
1250 35 : return E;
1251 : }
1252 :
1253 : /* common to Q and Rg */
1254 : static GEN
1255 90545 : ch_R(GEN E, GEN e, GEN w)
1256 : {
1257 90545 : GEN S, u = gel(w,1), r = gel(w,2);
1258 90545 : if ((S = obj_check(e, R_PERIODS)))
1259 35 : obj_insert_shallow(E, R_PERIODS, gmul(S, u));
1260 90545 : if ((S = obj_check(e, R_ETA)))
1261 28 : obj_insert_shallow(E, R_ETA, gmul(S, u));
1262 90545 : if ((S = obj_check(e, R_ROOTS)))
1263 : {
1264 35 : GEN ro = cgetg(4, t_VEC), u2 = gsqr(u);
1265 : long i;
1266 140 : for (i = 1; i <= 3; i++) gel(ro,i) = gdiv(gsub(gel(S,i), r), u2);
1267 35 : obj_insert_shallow(E, R_ROOTS, ro);
1268 : }
1269 90545 : return E;
1270 : }
1271 :
1272 : static GEN
1273 7 : ch_Rg(GEN E, GEN e, GEN w)
1274 : {
1275 7 : GEN p = NULL;
1276 7 : long prec = ellR_get_prec(E);
1277 7 : if (base_ring(E, &p, &prec) != t_REAL) return ellinit(E, p, prec);
1278 7 : ch_R(E, e, w); return E;
1279 : }
1280 :
1281 : static GEN
1282 157647 : ch_NF(GEN E, GEN e, GEN w)
1283 : {
1284 157647 : long prec = ellR_get_prec(E);
1285 157647 : GEN S, p = ellnf_get_nf(E);
1286 157647 : if (base_ring(E, &p, &prec) != t_VEC) return ellinit(E, p, prec);
1287 157647 : if ((S = obj_check(e, NF_MINIMALMODEL)))
1288 : {
1289 42 : if (lg(S) == 1)
1290 : { /* model was minimal */
1291 0 : if (!is_trivial_change(w)) /* no longer minimal */
1292 0 : S = mkvec2(ellchangeinvert(w), e);
1293 : }
1294 42 : else if (lg(S)==3)
1295 : {
1296 42 : GEN v = gel(S,1);
1297 42 : if (gequal(v, w) || (is_trivial_change(v) && is_trivial_change(w)))
1298 0 : S = cgetg(1,t_VEC); /* now minimal */
1299 : else
1300 : {
1301 42 : w = ellchangeinvert(w);
1302 42 : gcomposev(&w, v);
1303 42 : S = mkvec2(w, gel(S,2));
1304 : }
1305 : }
1306 42 : (void)obj_insert_shallow(E, NF_MINIMALMODEL, S);
1307 : }
1308 157647 : if ((S = obj_check(e, NF_GLOBALRED)))
1309 14 : S = obj_insert_shallow(E, NF_GLOBALRED, S);
1310 157647 : if ((S = obj_check(e, NF_ROOTNO)))
1311 14 : S = obj_insert_shallow(E, NF_ROOTNO, S);
1312 157647 : if ((S = obj_check(e, NF_NF)))
1313 86030 : S = obj_insert_shallow(E, NF_NF, S);
1314 157647 : return E;
1315 : }
1316 :
1317 :
1318 : static GEN
1319 90545 : ch_Q(GEN E, GEN e, GEN w)
1320 : {
1321 90545 : long prec = ellR_get_prec(E);
1322 90545 : GEN S, p = NULL;
1323 90545 : if (base_ring(E, &p, &prec) != t_FRAC) return ellinit(E, p, prec);
1324 90538 : ch_R(E, e, w);
1325 90538 : if ((S = obj_check(e, Q_GROUPGEN)))
1326 0 : S = obj_insert_shallow(E, Q_GROUPGEN, ellchangepoint(S, w));
1327 90538 : if ((S = obj_check(e, Q_MINIMALMODEL)))
1328 : {
1329 18858 : if (lg(S) == 2)
1330 : { /* model was minimal */
1331 7 : if (!is_trivial_change(w)) /* no longer minimal */
1332 7 : S = mkvec3(gel(S,1), ellchangeinvert(w), e);
1333 : }
1334 : else
1335 : {
1336 18851 : GEN v = gel(S,2);
1337 18851 : if (gequal(v, w) || (is_trivial_change(v) && is_trivial_change(w)))
1338 18837 : S = mkvec(gel(S,1)); /* now minimal */
1339 : else
1340 : {
1341 14 : w = ellchangeinvert(w);
1342 14 : gcomposev(&w, v);
1343 14 : S = leafcopy(S); /* don't modify S in place: would corrupt e */
1344 14 : gel(S,2) = w;
1345 : }
1346 : }
1347 18858 : (void)obj_insert_shallow(E, Q_MINIMALMODEL, S);
1348 : }
1349 90538 : if ((S = obj_check(e, Q_GLOBALRED)))
1350 21 : S = obj_insert_shallow(E, Q_GLOBALRED, S);
1351 90538 : if ((S = obj_check(e, Q_ROOTNO)))
1352 0 : S = obj_insert_shallow(E, Q_ROOTNO, S);
1353 90538 : return E;
1354 : }
1355 :
1356 : static void
1357 126 : ch_FF(GEN E, GEN e, GEN w)
1358 : {
1359 : GEN S;
1360 126 : if ((S = obj_check(e, FF_CARD)))
1361 21 : S = obj_insert_shallow(E, FF_CARD, S);
1362 126 : if ((S = obj_check(e, FF_GROUP)))
1363 21 : S = obj_insert_shallow(E, FF_GROUP, S);
1364 126 : if ((S = obj_check(e, FF_GROUPGEN)))
1365 21 : S = obj_insert_shallow(E, FF_GROUPGEN, ellchangepoint(S, w));
1366 126 : if ((S = obj_check(e, FF_O)))
1367 21 : S = obj_insert_shallow(E, FF_O, S);
1368 126 : }
1369 :
1370 : /* FF_CARD, FF_GROUP, FF_O are invariant */
1371 : static GEN
1372 7 : ch_Fp(GEN E, GEN e, GEN w)
1373 : {
1374 7 : long prec = 0;
1375 7 : GEN p = ellff_get_field(E);
1376 7 : if (base_ring(E, &p, &prec) != t_INTMOD) return ellinit(E, p, prec);
1377 7 : gel(E,15) = mkvec2(p, ell_to_a4a6_bc(E, p));
1378 7 : ch_FF(E, e, w); return E;
1379 : }
1380 : static GEN
1381 119 : ch_Fq(GEN E, GEN e, GEN w)
1382 : {
1383 119 : long prec = 0;
1384 119 : GEN p = ellff_get_field(E);
1385 119 : if (base_ring(E, &p, &prec) != t_FFELT) return ellinit(E, p, prec);
1386 119 : gel(E,15) = FF_elldata(E, p);
1387 119 : ch_FF(E, e, w); return E;
1388 : }
1389 :
1390 : static void
1391 230482 : ell_reset(GEN E)
1392 230482 : { gel(E,16) = zerovec(lg(gel(E,16))-1); }
1393 :
1394 : GEN
1395 229551 : ellchangecurve(GEN e, GEN w)
1396 : {
1397 229551 : pari_sp av = avma;
1398 : GEN E;
1399 229551 : checkell5(e);
1400 229551 : if (equali1(w)) return gcopy(e);
1401 229544 : checkcoordch(w);
1402 229544 : E = coordch(leafcopy(e), w);
1403 229544 : if (lg(E) != 6)
1404 : {
1405 229530 : ell_reset(E);
1406 229530 : switch(ell_get_type(E))
1407 : {
1408 35 : case t_ELL_Qp: E = ch_Qp(E,e,w); break;
1409 7 : case t_ELL_Fp: E = ch_Fp(E,e,w); break;
1410 119 : case t_ELL_Fq: E = ch_Fq(E,e,w); break;
1411 71715 : case t_ELL_Q: E = ch_Q(E,e,w); break;
1412 7 : case t_ELL_Rg: E = ch_Rg(E,e,w); break;
1413 157647 : case t_ELL_NF: E = ch_NF(E,e,w); break;
1414 : }
1415 : }
1416 229544 : return gerepilecopy(av, E);
1417 : }
1418 :
1419 : static GEN
1420 7 : ellQ_isisom(GEN E, GEN F)
1421 : {
1422 7 : pari_sp av = avma;
1423 : GEN j, u, r, s, t, u2, u3;
1424 : GEN Ea1, Ea2, Ea3, Ec4, Ec6, Fa1, Fa2, Fa3, Fc4, Fc6;
1425 7 : j = ell_get_j(E);
1426 7 : if (!gequal(j, ell_get_j(F))) return gen_0;
1427 7 : Ec4 = ell_get_c4(E); Ec6 = ell_get_c6(E);
1428 7 : Fc4 = ell_get_c4(F); Fc6 = ell_get_c6(F);
1429 7 : if (gequal0(j))
1430 : {
1431 0 : if (!ispower(gdiv(Ec6, Fc6), utoi(6), &u))
1432 0 : return gc_const(av, gen_0);
1433 7 : } else if(gequalgs(j, 1728))
1434 : {
1435 0 : if (!ispower(gdiv(Ec4, Fc4), utoi(4), &u))
1436 0 : return gc_const(av, gen_0);
1437 : } else
1438 : {
1439 7 : if (!issquareall(gdiv(gmul(Fc4, Ec6),gmul(Fc6,Ec4)),&u))
1440 0 : return gc_const(av, gen_0);
1441 : }
1442 7 : Ea1 = ell_get_a1(E); Ea2 = ell_get_a2(E); Ea3 = ell_get_a3(E);
1443 7 : Fa1 = ell_get_a1(F); Fa2 = ell_get_a2(F); Fa3 = ell_get_a3(F);
1444 7 : u2 = gsqr(u); u3 = gmul(u,u2);
1445 7 : s = gdivgs(gsub(gmul(u, Fa1), Ea1), 2);
1446 7 : r = gdivgs(gadd(gsub(gadd(gmul(u2, Fa2), gmul(s, Ea1)), Ea2), gsqr(s)), 3);
1447 7 : t = gdivgs(gsub(gsub(gmul(u3, Fa3), gmul(r, Ea1)), Ea3), 2);
1448 7 : return gerepilecopy(av, mkvec4(u,r,s,t));
1449 : }
1450 :
1451 : static GEN
1452 7 : ellnf_isisom(GEN nf, GEN E, GEN F)
1453 : {
1454 7 : pari_sp av = avma;
1455 : GEN j, u, r, s, t, u2, u3;
1456 : GEN Ea1, Ea2, Ea3, Ec4, Ec6, Fa1, Fa2, Fa3, Fc4, Fc6;
1457 7 : j = basistoalg(nf, ell_get_j(E));
1458 7 : if (!gequal(j, basistoalg(nf, ell_get_j(F))))
1459 0 : return gc_const(av, gen_0);
1460 7 : Ec4 = ell_get_c4(E); Ec6 = ell_get_c6(E);
1461 7 : Fc4 = ell_get_c4(F); Fc6 = ell_get_c6(F);
1462 7 : if (gequal0(j))
1463 : {
1464 0 : if (!nfispower(nf, nfdiv(nf, Ec6, Fc6), 6, &u))
1465 0 : return gc_const(av, gen_0);
1466 7 : } else if(gequalgs(j, 1728))
1467 : {
1468 0 : if (!nfispower(nf, nfdiv(nf, Ec4, Fc4), 4, &u))
1469 0 : return gc_const(av, gen_0);
1470 : } else
1471 : {
1472 7 : if (!nfissquare(nf, nfdiv(nf, nfmul(nf, Fc4, Ec6), nfmul(nf, Fc6,Ec4)), &u))
1473 0 : return gc_const(av, gen_0);
1474 : }
1475 7 : Ea1 = ell_get_a1(E); Ea2 = ell_get_a2(E); Ea3 = ell_get_a3(E);
1476 7 : Fa1 = ell_get_a1(F); Fa2 = ell_get_a2(F); Fa3 = ell_get_a3(F);
1477 7 : u2 = nfsqr(nf,u); u3 = nfmul(nf,u,u2);
1478 7 : s = gdivgs(nfsub(nf, nfmul(nf, u, Fa1), Ea1),2);
1479 7 : r = gdivgs(nfadd(nf, nfsub(nf, nfadd(nf, nfmul(nf, u2, Fa2), nfmul(nf, s, Ea1)), Ea2), nfsqr(nf, s)), 3);
1480 7 : t = gdivgs(nfsub(nf, nfsub(nf, nfmul(nf, u3, Fa3), nfmul(nf, r, Ea1)), Ea3), 2);
1481 7 : u = basistoalg(nf, u); r = basistoalg(nf, r);
1482 7 : s = basistoalg(nf, s); t = basistoalg(nf, t);
1483 7 : return gerepilecopy(av, mkvec4(u,r,s,t));
1484 : }
1485 :
1486 : GEN
1487 14 : ellisisom(GEN E, GEN F)
1488 : {
1489 14 : checkell(E); checkell(F);
1490 14 : if (ell_get_type(E)!=ell_get_type(F))
1491 0 : pari_err_TYPE("ellisisom", mkvec2(E,F));
1492 14 : switch(ell_get_type(E))
1493 : {
1494 7 : case t_ELL_Q:
1495 7 : return ellQ_isisom(E, F);
1496 7 : case t_ELL_NF:
1497 7 : if (gequal(ellnf_get_nf(E), ellnf_get_nf(F)))
1498 7 : return ellnf_isisom(ellnf_get_nf(E), E, F);
1499 : default: /*FALL THROUGH*/
1500 0 : pari_err_TYPE("ellisisom", mkvec2(E,F));
1501 : return NULL;/*LCOV_EXCL_LINE*/
1502 : }
1503 : }
1504 :
1505 : /* v o= [1,r,0,0] */
1506 : static void
1507 479230 : nf_compose_r(GEN nf, GEN *vtotal, GEN *e, GEN r)
1508 : {
1509 479230 : GEN v = *vtotal;
1510 : GEN U2, R, S, T;
1511 479230 : if (gequal0(r)) return;
1512 197914 : *e = nf_coordch_r(nf, *e,r);
1513 197914 : U2 = nfsqr(nf,gel(v,1)); R = gel(v,2); S = gel(v, 3); T = gel(v, 4);
1514 197914 : gel(v,2) = nfadd(nf,R, nfmul(nf,U2, r));
1515 197914 : gel(v,4) = nfadd(nf,T, nfmul(nf,U2, nfmul(nf,S, r)));
1516 : }
1517 : /* v o= [1,0,s,0]; never used for s = 0 */
1518 : static void
1519 184637 : nf_compose_s(GEN nf, GEN *vtotal, GEN *e, GEN s)
1520 : {
1521 184637 : GEN v = *vtotal;
1522 : GEN U, S;
1523 184637 : *e = nf_coordch_s(nf,*e,s);
1524 184637 : U = gel(v,1); S = gel(v,3);
1525 184637 : gel(v,3) = nfadd(nf, S, nfmul(nf, U, s));
1526 184637 : }
1527 : /* v o= [1,0,0,t] */
1528 : static void
1529 842954 : nf_compose_t(GEN nf ,GEN *vtotal, GEN *e, GEN t)
1530 : {
1531 842954 : GEN v = *vtotal;
1532 : GEN U3, U, T;
1533 842954 : if (gequal0(t)) return;
1534 105463 : *e = nf_coordch_t(nf,*e,t);
1535 105463 : U = gel(v,1); U3 = nfmul(nf,U, nfsqr(nf,U)); T = gel(v,4);
1536 105463 : gel(v,4) = nfadd(nf,T, nfmul(nf,U3, t));
1537 : }
1538 : /* v o= [1,r,0,t] */
1539 : static void
1540 593824 : nf_compose_rt(GEN nf, GEN *vtotal, GEN *e, GEN r, GEN t)
1541 : {
1542 593824 : GEN v = *vtotal;
1543 : GEN U2, U, R, S, T;
1544 593824 : if (gequal0(t)) { nf_compose_r(nf, vtotal, e, r); return; }
1545 301348 : *e = nf_coordch_rt(nf,*e,r,t);
1546 301348 : U = gel(v,1); R = gel(v,2); S = gel(v,3); T = gel(v,4);
1547 301348 : U2 = nfsqr(nf,U);
1548 301348 : gel(v,2) = nfadd(nf,R, nfmul(nf,U2, r));
1549 301348 : gel(v,4) = nfadd(nf,T, nfmul(nf,U2, nfadd(nf,nfmul(nf,U, t), nfmul(nf,S, r))));
1550 : }
1551 : /* v o= [1,0,s,t] */
1552 : static void
1553 496188 : nf_compose_st(GEN nf, GEN *vtotal, GEN *e, GEN s, GEN t)
1554 : {
1555 496188 : GEN v = *vtotal;
1556 : GEN U3, U, S, T;
1557 496188 : if (gequal0(s)) { nf_compose_t(nf, vtotal, e, t); return; }
1558 203539 : if (gequal0(t)) { nf_compose_s(nf, vtotal, e, s); return; }
1559 18902 : *e = nf_coordch_st(nf, *e,s,t);
1560 18902 : U = gel(v,1); U3 = nfmul(nf,U,nfsqr(nf,U)); S = gel(v,3); T = gel(v,4);
1561 18902 : gel(v,3) = nfadd(nf, S, nfmul(nf,U, s));
1562 18902 : gel(v,4) = nfadd(nf, T, nfmul(nf,U3, t));
1563 : }
1564 :
1565 : /* v o= [u,0,0,0] */
1566 : static void
1567 443534 : nf_compose_u(GEN nf, GEN *vtotal, GEN *e, GEN u, GEN uinv)
1568 : {
1569 443534 : GEN v = *vtotal;
1570 443534 : *e = nf_coordch_uinv(nf, *e,uinv); gel(v,1) = nfmul(nf,gel(v,1), u);
1571 443534 : }
1572 :
1573 : /* X = (x-r)/u^2
1574 : * Y = (y - s(x-r) - t) / u^3 */
1575 : static GEN
1576 147680 : ellchangepoint0(GEN P, GEN v2, GEN v3, GEN r, GEN s, GEN t)
1577 : {
1578 : GEN a, x, y;
1579 147680 : long l = lg(P);
1580 147680 : if (typ(P) != t_VEC || l == 1 || l > 4) pari_err_TYPE("ellchangepoint", P);
1581 147673 : if (ell_is_inf(P)) return P;
1582 147659 : x = gel(P,1); y = gel(P,2); a = gsub(x,r);
1583 147659 : retmkvec2(gmul(v2, a), gmul(v3, gsub(y, gadd(gmul(s,a),t))));
1584 : }
1585 :
1586 : GEN
1587 147708 : ellchangepoint(GEN x, GEN ch)
1588 : {
1589 : GEN y, v, v2, v3, r, s, t, u;
1590 147708 : long tx, i, lx = lg(x);
1591 147708 : pari_sp av = avma;
1592 :
1593 147708 : if (typ(x) != t_VEC) pari_err_TYPE("ellchangepoint",x);
1594 147708 : if (equali1(ch)) return gcopy(x);
1595 147708 : checkcoordch(ch);
1596 147708 : if (lx == 1) return cgetg(1, t_VEC);
1597 147659 : u = gel(ch,1); r = gel(ch,2); s = gel(ch,3); t = gel(ch,4);
1598 147659 : v = ginv(u); v2 = gsqr(v); v3 = gmul(v,v2);
1599 147659 : tx = typ(gel(x,1));
1600 147659 : if (is_matvec_t(tx))
1601 : {
1602 77 : y = cgetg(lx,tx);
1603 168 : for (i=1; i<lx; i++)
1604 98 : gel(y,i) = ellchangepoint0(gel(x,i),v2,v3,r,s,t);
1605 : }
1606 : else
1607 147582 : y = ellchangepoint0(x,v2,v3,r,s,t);
1608 147652 : return gerepilecopy(av,y);
1609 : }
1610 :
1611 : /* x = u^2*X + r
1612 : * y = u^3*Y + s*u^2*X + t */
1613 : static GEN
1614 4081 : ellchangepointinv0(GEN P, GEN u2, GEN u3, GEN r, GEN s, GEN t)
1615 : {
1616 : GEN a, X, Y;
1617 4081 : if (ell_is_inf(P)) return P;
1618 4081 : X = gel(P,1); Y = gel(P,2); a = gmul(u2,X);
1619 4081 : return mkvec2(gadd(a, r), gadd(gmul(u3, Y), gadd(gmul(s, a), t)));
1620 : }
1621 : GEN
1622 973 : ellchangepointinv(GEN x, GEN ch)
1623 : {
1624 : GEN y, u, r, s, t, u2, u3;
1625 973 : long tx, i, lx = lg(x);
1626 973 : pari_sp av = avma;
1627 :
1628 973 : if (typ(x) != t_VEC) pari_err_TYPE("ellchangepointinv",x);
1629 973 : if (equali1(ch)) return gcopy(x);
1630 973 : checkcoordch(ch);
1631 973 : if (lx == 1) return cgetg(1, t_VEC);
1632 756 : u = gel(ch,1); r = gel(ch,2); s = gel(ch,3); t = gel(ch,4);
1633 756 : u2 = gsqr(u); u3 = gmul(u,u2);
1634 756 : tx = typ(gel(x,1));
1635 756 : if (is_matvec_t(tx))
1636 : {
1637 602 : y = cgetg(lx,tx);
1638 4529 : for (i=1; i<lx; i++)
1639 3927 : gel(y,i) = ellchangepointinv0(gel(x,i),u2,u3,r,s,t);
1640 : }
1641 : else
1642 154 : y = ellchangepointinv0(x,u2,u3,r,s,t);
1643 756 : return gerepilecopy(av,y);
1644 : }
1645 :
1646 : static GEN
1647 0 : elltwist_card(GEN h, GEN q) { return subii(shifti(addiu(q, 1), 1), h); }
1648 : GEN
1649 28567 : elltwist(GEN E, GEN P)
1650 : {
1651 28567 : pari_sp av = avma;
1652 28567 : GEN a1, a2, a3, a4, a6, a, b, c, ac, D, D2, V, DOM = NULL;
1653 28567 : long prec = DEFAULTPREC, isell = (lg(E) == 17);
1654 :
1655 28567 : if (typ(E) != t_VEC) pari_err_TYPE("elltwist",E);
1656 28567 : if (isell) switch(ell_get_type(E))
1657 : {
1658 1316 : case t_ELL_Q:
1659 1316 : case t_ELL_Rg: prec = ellR_get_prec(E); break;
1660 : }
1661 28567 : if (!P)
1662 : {
1663 : GEN Et, S, a4, a6, e, fg, q;
1664 27195 : if (!isell)
1665 : { /* Could avoid this ellinit. Don't bother. */
1666 7 : e = E; E = ellinit_i(E, NULL, prec);
1667 7 : if (!E) pari_err_TYPE("elltwist", e);
1668 : }
1669 27188 : switch (ell_get_type(E))
1670 : {
1671 0 : case t_ELL_Fp:
1672 0 : q = ellff_get_field(E);
1673 0 : e = ellff_get_a4a6(E);
1674 0 : Fp_elltwist(gel(e,1), gel(e,2), q, &a4, &a6);
1675 0 : Et = ellinit_Fp(mkvec2(a4,a6), q); break;
1676 27188 : case t_ELL_Fq:
1677 27188 : fg = ellff_get_field(E); q = FF_q(fg);
1678 27188 : Et = ellinit_Fq(FF_elltwist(E), fg); break;
1679 0 : default: pari_err_TYPE("elltwist [missing P]", E);
1680 : return NULL;/*LCOV_EXCL_LINE*/
1681 : }
1682 27188 : if ((S = obj_check(E, FF_CARD)))
1683 0 : obj_insert_shallow(Et, FF_CARD, elltwist_card(S, q));
1684 27188 : return gerepilecopy(av, Et);
1685 : }
1686 1372 : if (isell && ell_get_type(E) == t_ELL_NF)
1687 14 : if (!(DOM = ellnf_get_bnf(E))) DOM = ellnf_get_nf(E);
1688 1372 : if (typ(P) == t_INT)
1689 : {
1690 1358 : if (equali1(P)) return ellinit(E, DOM, prec);
1691 1001 : P = quadpoly(P);
1692 : }
1693 : else
1694 : {
1695 14 : if (typ(P) != t_POL) pari_err_TYPE("elltwist",P);
1696 14 : if (degpol(P) != 2 )
1697 0 : pari_err_DOMAIN("elltwist", "degree(P)", "!=", gen_2, P);
1698 : }
1699 1015 : switch(lg(E))
1700 : {
1701 7 : case 3:
1702 7 : a1 = a2 = a3 = gen_0;
1703 7 : a4 = gel(E,1);
1704 7 : a6 = gel(E,2); break;
1705 1008 : case 6: case 17:
1706 1008 : a1 = ell_get_a1(E);
1707 1008 : a2 = ell_get_a2(E);
1708 1008 : a3 = ell_get_a3(E);
1709 1008 : a4 = ell_get_a4(E);
1710 1008 : a6 = ell_get_a6(E); break;
1711 0 : default:
1712 0 : pari_err_TYPE("ellxxx [not an elliptic curve (ell5)]",E);
1713 : return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
1714 : }
1715 1015 : a = gel(P,4); b = gel(P,3); c = gel(P,2); ac = gmul(a, c);
1716 1015 : D = gsub(gsqr(b), gmulsg(4, ac)); D2 = gsqr(D);
1717 1015 : if (gequal0(a1) && gequal0(a2) && gequal0(a3))
1718 763 : V = mkvec2(gmul(a4, D2), gmul(gmul(a6, D), D2));
1719 : else
1720 : {
1721 252 : GEN a3D = gmul(a3, D);
1722 252 : V = cgetg(6, t_VEC);
1723 252 : gel(V,1) = gmul(a1, b);
1724 252 : gel(V,2) = gsub(gmul(a2, D), gmul(gsqr(a1), ac));
1725 252 : gel(V,3) = gmul(a3D, b);
1726 252 : gel(V,4) = gsub(gmul(a4, D2), gmul(gmul(gmulsg(2, a3D), a1), ac));
1727 252 : gel(V,5) = gmul(gsub(gmul(a6, D), gmul(gsqr(a3), ac)), D2);
1728 : }
1729 1015 : E = ellinit_i(V, DOM, prec);
1730 1015 : if (!E) pari_err_TYPE("elltwist", V);
1731 1015 : return gerepilecopy(av, E);
1732 : }
1733 :
1734 : /********************************************************************/
1735 : /** E/Q: MINIMAL TWIST **/
1736 : /** Cf Ian Connell, Elliptic Curve Handbook, chap. 5 **/
1737 : /** http://www.math.mcgill.ca/connell/ **/
1738 : /********************************************************************/
1739 :
1740 : static long
1741 29386 : safe_Z_lval(GEN n, ulong p)
1742 29386 : { return signe(n)==0? -1: Z_lval(n, p); }
1743 :
1744 : /* Twist by d2 = 1,-4,-8,8, to get minimal discriminant at 2 after
1745 : * ellminimalmodel / ellQ_minimalu; assume vg = min(3*v4,2*v6,vD) >= 6.
1746 : * If nontrivial, v(d2) = 2 or 3 and let t = [(vg+6v(d2))/12].
1747 : * Good case if reduction in ellQ_minimalu i.e. t = 2 (v4 < 6 or v6 < 9 or
1748 : * vD < 18) or 3 and "d--" does not occur. Minimal model => t = 3 iff
1749 : * v4 = 6, v6 = 9 and vD >= 18. Total net effect is
1750 : * v4 += 2v(d2) - 4t, v6 += 3v(d2) - 6t, vD += 6 v(d2) - 12t
1751 : * After rescaling in ellQ_minimalu (c4 >>= 4t, c6 >>= 6t) we need
1752 : * c6 % 4 = 3 OR (v4 >= 4 AND (v6 >= 5 or c6 % 32 = 8)) */
1753 : static long
1754 392 : twist2(GEN c4, GEN c6, GEN disc, long vg)
1755 : { /* v4 >= 4, v6 >= 3 (and c6 = 0,8 mod 32). After twist + minimization,
1756 : * either same condition OR v(C4) = 0, C6 = 0,3 mod 4 */
1757 : long v4, v6, vD;
1758 :
1759 392 : if (vg == 18) /* v4=6, v6=9, vD>=18; only case with t = 3 */
1760 56 : return (umodi2n(c6, 11)>>9) == 1 ? -8: 8; /* need C6 % 4 = 3 */
1761 :
1762 : /* 100 = oo, any number >= 8 would do */
1763 336 : v4 = signe(c4)? vali(c4): 100; if (v4 == 5) return 1;
1764 : /* 100 = oo, any number > 9 would do */
1765 329 : v6 = signe(c6)? vali(c6): 100; if (v6 == 7) return 1;
1766 :
1767 : /* handle case v(DISC) = 0 or v(C4) = 0 after twist, only case with d2 = -4 */
1768 329 : if (vg == 12 && ((v4==4 && v6==6) || (v4>=8 && v6==9))) return -4;
1769 :
1770 : /* Now, d2 = 1 OR v(d2) = 3, t = 2 => v4 -= 2, v6 -= 3, vD -= 6 */
1771 266 : if (v4 < 6 || v6 < 6) return 1; /* v(C4) >= 4, v(C6) >= 3 */
1772 175 : vD = vali(disc);
1773 175 : if (v6==6 && vD==6 && (umodi2n(c6,8)>>6) == 1) return 8; /* C6 % 32 = 8 */
1774 168 : return -8;
1775 : }
1776 :
1777 : /* Return D such that E_D has minimal discriminant. It also has minimal
1778 : * conductor in Z[1/2] */
1779 : GEN
1780 665 : ellminimaltwist(GEN e)
1781 : {
1782 665 : pari_sp av = avma;
1783 665 : GEN c4, c6, disc, g, N, M, F, E, D = gen_1;
1784 : long i, lF;
1785 665 : checkell_Q(e);
1786 665 : E = ellminimalmodel(e, NULL);
1787 665 : c4 = ell_get_c4(E);
1788 665 : c6 = ell_get_c6(E);
1789 665 : disc = ell_get_disc(E);
1790 665 : g = gcdii(disc, sqri(c6));
1791 665 : ellQ_get_Nfa(E, &N, &M);
1792 665 : F = gel(M, 1); lF = lg(F);
1793 : /* on twist by d, (c4,c6,D,g) -> (d^2 c4, d^3 c6, d^6 D, d^6 g),
1794 : * then apply ellQ_minimalu(). Since model is minimal, v(g) < 12 unless p=3
1795 : * and v(g) < 14 or p = 2 and v(g) <= 18 */
1796 2436 : for(i = 1; i < lF; i++)
1797 : {
1798 1771 : GEN p = gel(F, i);
1799 1771 : long vg = Z_pval(g,p), d2;
1800 1771 : if (vg < 6) continue;
1801 : /* twist by fund. discriminant d2; in ellQ_minimalu,
1802 : * we have v(g) = vg + 6*v(d2) */
1803 1197 : switch(itou_or_0(p))
1804 : {
1805 441 : default: /* p > 3, 6 <= v(g) < 12 => v(D) -= 6 */
1806 441 : D = mulii(D, (mod4(p)==1)? p: negi(p));
1807 441 : break;
1808 364 : case 3: /* bad case: v(final_c6) = 2 => no reduction; else v(D) -= 6 */
1809 364 : if (safe_Z_lval(c6,3) != 5) D = mulis(D, -3);
1810 364 : break;
1811 392 : case 2:
1812 392 : d2 = twist2(c4,c6,disc,vg);
1813 392 : if (d2 != 1) D = mulis(D,d2);
1814 392 : break;
1815 : }
1816 : }
1817 665 : obj_free(E);
1818 665 : return gerepileuptoleaf(av, D);
1819 : }
1820 :
1821 : /*
1822 : Reference:
1823 : William A. Stein and Mark Watkins
1824 : A Database of Elliptic Curves-First Report
1825 : ANTS 5
1826 : <http://modular.math.washington.edu/papers/stein-watkins/ants.pdf>
1827 : */
1828 : static GEN localred_23(GEN e, long p);
1829 : GEN
1830 399 : ellminimaltwistcond(GEN e)
1831 : {
1832 399 : pari_sp av = avma;
1833 399 : GEN D = ellminimaltwist(e), eD = elltwist(e, D);
1834 399 : GEN R = localred_23(ellintegralmodel_i(eD,NULL), 2);
1835 399 : long f = itos(gel(R,1)), v = vali(D);
1836 399 : if (f==4) D = negi(v==3 ? D: shifti(D, v==0? 2: -2));
1837 385 : else if (f==6)
1838 : {
1839 : long s, t;
1840 21 : if (v < 3) s = v==0? 3: 1;
1841 : else
1842 : {
1843 14 : t = (v==3 && mod32(D) == 8)? 1: -1;
1844 14 : s = signe(D)==t ? -3: -1;
1845 : }
1846 21 : D = shifti(D, s);
1847 : }
1848 399 : return gerepileuptoleaf(av, D);
1849 : }
1850 :
1851 : GEN
1852 448 : ellminimaltwist0(GEN e, long flag)
1853 : {
1854 448 : switch(flag)
1855 : {
1856 266 : case 0: return ellminimaltwist(e);
1857 182 : case 1: return ellminimaltwistcond(e);
1858 : }
1859 0 : pari_err_FLAG("ellminimaltwist");
1860 : return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
1861 : }
1862 :
1863 : static long
1864 7 : ellexpo(GEN E)
1865 : {
1866 7 : long i, f, e = -(long)HIGHEXPOBIT;
1867 42 : for (i=1; i<=5; i++)
1868 : {
1869 35 : f = gexpo(gel(E,i));
1870 35 : if (f > e) e = f;
1871 : }
1872 7 : return e;
1873 : }
1874 :
1875 :
1876 : static int
1877 3855 : oncurve_exact(GEN e, GEN z)
1878 : {
1879 3855 : pari_sp av = avma;
1880 3855 : GEN A = ec_LHS_evalQ(e,z), B = ec_f_evalx(e,gel(z,1));
1881 3855 : return gc_bool(av, gequal(A, B));
1882 : }
1883 : /* Exactness of lhs and rhs in the following depends in nonobvious ways
1884 : * on the coeffs of the curve as well as on the components of the point z.
1885 : * Thus if e is exact, with a1==0, and z has exact y coordinate only, the
1886 : * lhs will be exact but the rhs won't. */
1887 : int
1888 125945 : oncurve(GEN e, GEN z)
1889 : {
1890 : GEN LHS, RHS, x;
1891 : long pl, pr, ex, expx;
1892 : pari_sp av;
1893 :
1894 125945 : checkellpt(z); if (ell_is_inf(z)) return 1; /* oo */
1895 125868 : if (ell_get_type(e) == t_ELL_NF) z = nfVtoalg(ellnf_get_nf(e), z);
1896 125868 : av = avma;
1897 125868 : LHS = ec_LHS_evalQ(e,z);
1898 125868 : RHS = ec_f_evalx(e,gel(z,1)); x = gsub(LHS,RHS);
1899 125868 : if (gequal0(x)) return gc_bool(av,1);
1900 21 : pl = precision(LHS);
1901 21 : pr = precision(RHS);
1902 21 : if (!pl && !pr) return gc_bool(av,0); /* both of LHS, RHS are exact */
1903 : /* at least one of LHS,RHS is inexact */
1904 7 : ex = pr? gexpo(RHS): gexpo(LHS); /* don't take exponent of exact 0 */
1905 7 : if (!pr || (pl && pl < pr)) pr = pl; /* min among nonzero elts of {pl,pr} */
1906 7 : expx = gexpo(x);
1907 14 : pr = (expx < ex - pr + 15
1908 7 : || expx < ellexpo(e) - pr + 5);
1909 7 : return gc_bool(av,pr);
1910 : }
1911 :
1912 : GEN
1913 45899 : ellisoncurve(GEN e, GEN x)
1914 : {
1915 45899 : long i, tx = typ(x), lx;
1916 :
1917 45899 : checkell(e);
1918 45899 : if (!is_vec_t(tx)) pari_err_TYPE("ellisoncurve [point]", x);
1919 45899 : lx = lg(x); if (lx==1) return cgetg(1,tx);
1920 45899 : tx = typ(gel(x,1));
1921 45899 : if (is_vec_t(tx))
1922 : {
1923 1687 : GEN z = cgetg(lx,tx);
1924 3514 : for (i=1; i<lx; i++) gel(z,i) = ellisoncurve(e,gel(x,i));
1925 1687 : return z;
1926 : }
1927 44212 : return oncurve(e, x)? gen_1: gen_0;
1928 : }
1929 :
1930 : /* y1 = y2 or -LHS0-y2 */
1931 : static GEN
1932 29184 : slope_samex(GEN e, GEN x, GEN y1, GEN y2)
1933 : {
1934 : GEN dy,dx;
1935 29184 : if (y1 != y2)
1936 : {
1937 : int eq;
1938 273 : if (precision(y1) || precision(y2))
1939 7 : eq = (gexpo(gadd(ec_h_evalx(e,x),gadd(y1,y2))) >= gexpo(y1));
1940 : else
1941 266 : eq = gequal(y1,y2);
1942 273 : if (!eq) return NULL;
1943 : }
1944 29177 : dx = ec_dmFdy_evalQ(e,mkvec2(x,y1));
1945 29177 : if (gequal0(dx)) return NULL;
1946 29135 : dy = gadd(gsub(ell_get_a4(e),gmul(ell_get_a1(e),y1)),
1947 : gmul(x,gadd(gmul2n(ell_get_a2(e),1),gmulsg(3,x))));
1948 29135 : return gdiv(dy,dx);
1949 : }
1950 :
1951 : GEN
1952 57457 : elladd(GEN e, GEN z1, GEN z2)
1953 : {
1954 : GEN s, z, x, y, x1, x2, y1, y2;
1955 57457 : pari_sp av = avma;
1956 :
1957 57457 : checkell(e); checkellpt(z1); checkellpt(z2);
1958 57457 : if (ell_is_inf(z1)) return gcopy(z2);
1959 55049 : if (ell_is_inf(z2)) return gcopy(z1);
1960 :
1961 53397 : x1 = gel(z1,1); y1 = gel(z1,2);
1962 53397 : x2 = gel(z2,1); y2 = gel(z2,2);
1963 53397 : if (ell_get_type(e) == t_ELL_NF)
1964 : {
1965 560 : GEN nf = ellnf_get_nf(e);
1966 560 : x1 = nftoalg(nf, x1);
1967 560 : x2 = nftoalg(nf, x2);
1968 560 : y1 = nftoalg(nf, y1);
1969 560 : y2 = nftoalg(nf, y2);
1970 : }
1971 53397 : if (cx_approx_equal(x1,x2))
1972 : {
1973 29184 : s = slope_samex(e, x1, y1, y2);
1974 29184 : if (!s) { set_avma(av); return ellinf(); }
1975 : }
1976 : else
1977 24213 : s = gdiv(gsub(y2,y1), gsub(x2,x1));
1978 53348 : x = gsub(gmul(s,gadd(s,ell_get_a1(e))), gadd(gadd(x1,x2),ell_get_a2(e)));
1979 53348 : y = gadd(gadd(y1, ec_h_evalx(e,x)), gmul(s,gsub(x,x1)));
1980 53348 : z = cgetg(3,t_VEC);
1981 53348 : gel(z,1) = gcopy(x);
1982 53348 : gel(z,2) = gneg(y); return gerepileupto(av, z);
1983 : }
1984 :
1985 : static GEN
1986 70 : ellneg_i(GEN e, GEN z)
1987 : {
1988 : GEN t, x, y;
1989 70 : if (ell_is_inf(z)) return z;
1990 70 : x = gel(z,1);
1991 70 : y = gel(z,2);
1992 70 : if (ell_get_type(e) == t_ELL_NF)
1993 : {
1994 0 : GEN nf = ellnf_get_nf(e);
1995 0 : x = nftoalg(nf,x);
1996 0 : y = nftoalg(nf,y);
1997 : }
1998 70 : t = cgetg(3,t_VEC);
1999 70 : gel(t,1) = x;
2000 70 : gel(t,2) = gneg_i(gadd(y, ec_h_evalx(e,x)));
2001 70 : return t;
2002 : }
2003 :
2004 : GEN
2005 82034 : ellneg(GEN e, GEN z)
2006 : {
2007 : pari_sp av;
2008 : GEN t, y;
2009 82034 : checkell(e); checkellpt(z);
2010 82034 : if (ell_is_inf(z)) return z;
2011 82034 : t = cgetg(3,t_VEC);
2012 82034 : gel(t,1) = gcopy(gel(z,1));
2013 82034 : av = avma;
2014 82034 : y = gneg(gadd(gel(z,2), ec_h_evalx(e,gel(z,1))));
2015 82034 : gel(t,2) = gerepileupto(av, y);
2016 82034 : return t;
2017 : }
2018 :
2019 : GEN
2020 49 : ellsub(GEN e, GEN z1, GEN z2)
2021 : {
2022 49 : pari_sp av = avma;
2023 49 : checkell(e); checkellpt(z2);
2024 49 : return gerepileupto(av, elladd(e, z1, ellneg_i(e,z2)));
2025 : }
2026 :
2027 : /* E an ell, x a scalar */
2028 : static GEN
2029 2996 : ellordinate_i(GEN E, GEN x, long prec)
2030 : {
2031 2996 : pari_sp av = avma;
2032 2996 : GEN a, b, D, d, y, p, nf = NULL;
2033 :
2034 2996 : if (ell_get_type(E) == t_ELL_NF)
2035 : {
2036 532 : nf = ellnf_get_nf(E);
2037 532 : x = nftoalg(nf,x);
2038 : }
2039 2996 : a = ec_f_evalx(E,x);
2040 2996 : b = ec_h_evalx(E,x);
2041 2996 : D = gadd(gsqr(b), gmul2n(a,2));
2042 : /* solve y*(y+b) = a */
2043 2996 : if (gequal0(D)) {
2044 1232 : if (ell_get_type(E) == t_ELL_Fq && absequaliu(ellff_get_p(E),2))
2045 0 : retmkvec( FF_sqrt(a) );
2046 1232 : b = gneg_i(b); y = cgetg(2,t_VEC);
2047 1232 : gel(y,1) = gmul2n(b,-1);
2048 1232 : return gerepileupto(av,y);
2049 : }
2050 : /* D != 0 */
2051 1764 : switch(ell_get_type(E))
2052 : {
2053 28 : case t_ELL_Fp: /* imply p!=2 */
2054 28 : p = ellff_get_p(E);
2055 28 : D = gel(D,2);
2056 28 : if (kronecker(D, p) < 0) { set_avma(av); return cgetg(1,t_VEC); }
2057 7 : d = Fp_sqrt(D, p);
2058 7 : break;
2059 217 : case t_ELL_Fq:
2060 217 : if (absequaliu(ellff_get_p(E),2))
2061 : {
2062 77 : GEN F = FFX_roots(mkpoln(3, gen_1, b, a), D);
2063 77 : if (lg(F) == 1) { set_avma(av); return cgetg(1,t_VEC); }
2064 28 : return gerepileupto(av, F);
2065 : }
2066 140 : if (!FF_issquareall(D,&d)) { set_avma(av); return cgetg(1,t_VEC); }
2067 56 : break;
2068 973 : case t_ELL_Q:
2069 973 : if (typ(x) == t_COMPLEX) { d = gsqrt(D, prec); break; }
2070 966 : if (!issquareall(D,&d)) { set_avma(av); return cgetg(1,t_VEC); }
2071 630 : break;
2072 :
2073 525 : case t_ELL_NF:
2074 525 : if (!nfissquare(nf, D, &d)) { set_avma(av); return cgetg(1,t_VEC); }
2075 511 : d = nftoalg(nf, d);
2076 511 : break;
2077 :
2078 14 : case t_ELL_Qp:
2079 14 : p = ellQp_get_p(E);
2080 14 : D = cvtop(D, p, ellQp_get_prec(E));
2081 14 : if (!issquare(D)) { set_avma(av); return cgetg(1,t_VEC); }
2082 14 : d = Qp_sqrt(D);
2083 14 : break;
2084 :
2085 7 : default:
2086 7 : d = gsqrt(D,prec);
2087 : }
2088 1232 : a = gsub(d,b); y = cgetg(3,t_VEC);
2089 1232 : gel(y,1) = gmul2n(a, -1);
2090 1232 : gel(y,2) = gsub(gel(y,1),d);
2091 1232 : return gerepileupto(av,y);
2092 : }
2093 :
2094 : GEN
2095 2996 : ellordinate(GEN e, GEN x, long prec)
2096 : {
2097 2996 : checkell(e);
2098 2996 : if (is_matvec_t(typ(x)))
2099 : {
2100 : long i, lx;
2101 0 : GEN v = cgetg_copy(x, &lx);
2102 0 : for (i=1; i<lx; i++) gel(v,i) = ellordinate(e,gel(x,i),prec);
2103 0 : return v;
2104 : }
2105 2996 : return ellordinate_i(e, x, prec);
2106 : }
2107 :
2108 : GEN
2109 245847 : ellrandom(GEN E)
2110 : {
2111 : GEN fg;
2112 245847 : checkell_Fq(E);
2113 245847 : fg = ellff_get_field(E);
2114 245847 : if (typ(fg)==t_FFELT)
2115 245819 : return FF_ellrandom(E);
2116 : else
2117 : {
2118 28 : pari_sp av = avma;
2119 28 : GEN p = fg, e = ellff_get_a4a6(E);
2120 28 : GEN P = random_FpE(gel(e,1),gel(e,2),p);
2121 28 : P = FpE_to_mod(FpE_changepoint(P,gel(e,3),p),p);
2122 28 : return gerepileupto(av, P);
2123 : }
2124 : }
2125 :
2126 : /* n t_QUAD or t_COMPLEX, P != [0] */
2127 : static GEN
2128 14 : ellmul_CM(GEN e, GEN P, GEN n)
2129 : {
2130 14 : GEN p1p, q1p, x, y, p0, p1, q0, q1, z1, z2, grdx, b2ov12, N = gnorm(n);
2131 : long ln, vn;
2132 :
2133 14 : if (typ(N) != t_INT)
2134 0 : pari_err_TYPE("ellmul (non integral CM exponent)",N);
2135 14 : ln = itos_or_0(shifti(addiu(N, 1UL), 3));
2136 14 : if (!ln) pari_err_OVERFLOW("ellmul_CM [norm too large]");
2137 14 : vn = ((ln>>1)-4)>>2;
2138 14 : z1 = ellwpseries(e, 0, ln);
2139 14 : z2 = ser_unscale(z1, n);
2140 14 : p0 = gen_0; p1 = gen_1;
2141 14 : q0 = gen_1; q1 = gen_0;
2142 : do
2143 : {
2144 21 : GEN p2,q2, ss = gen_0;
2145 : do
2146 : {
2147 28 : long ep = (-valser(z2)) >> 1;
2148 28 : ss = gadd(ss, gmul(gel(z2,2), pol_xnall(ep, 0)));
2149 28 : z2 = gsub(z2, gmul(gel(z2,2), gpowgs(z1, ep)));
2150 : }
2151 28 : while (valser(z2) <= 0);
2152 21 : p2 = gadd(p0, gmul(ss,p1)); p0 = p1; p1 = p2;
2153 21 : q2 = gadd(q0, gmul(ss,q1)); q0 = q1; q1 = q2;
2154 21 : if (!signe(z2)) break;
2155 7 : z2 = ginv(z2);
2156 : }
2157 7 : while (degpol(p1) < vn);
2158 14 : if (degpol(p1) > vn || signe(z2))
2159 0 : pari_err_TYPE("ellmul [not a complex multiplication]", n);
2160 14 : q1p = RgX_deriv(q1);
2161 14 : b2ov12 = gdivgu(ell_get_b2(e), 12);
2162 14 : grdx = gadd(gel(P,1), b2ov12); /* x(P) + b2/12 */
2163 14 : q1 = poleval(q1, grdx);
2164 14 : if (gequal0(q1)) return ellinf();
2165 :
2166 14 : p1p = RgX_deriv(p1);
2167 14 : p1 = poleval(p1, grdx);
2168 14 : p1p = poleval(p1p, grdx);
2169 14 : q1p = poleval(q1p, grdx);
2170 :
2171 14 : x = gdiv(p1,q1);
2172 14 : y = gdiv(gsub(gmul(p1p,q1), gmul(p1,q1p)), gmul(n,gsqr(q1)));
2173 14 : x = gsub(x, b2ov12);
2174 14 : y = gsub( gmul(ec_dmFdy_evalQ(e,P), y), ec_h_evalx(e,x));
2175 14 : return mkvec2(x, gmul2n(y,-1));
2176 : }
2177 :
2178 : static GEN
2179 1190 : _sqr(void *e, GEN x) { return elladd((GEN)e, x, x); }
2180 : static GEN
2181 385 : _mul(void *e, GEN x, GEN y) { return elladd((GEN)e, x, y); }
2182 :
2183 : static GEN
2184 250270 : ellffmul(GEN E, GEN P, GEN n)
2185 : {
2186 250270 : GEN fg = ellff_get_field(E);
2187 250270 : if (typ(fg)==t_FFELT)
2188 249186 : return FF_ellmul(E, P, n);
2189 : else
2190 : {
2191 1084 : pari_sp av = avma;
2192 1084 : GEN p = fg, e = ellff_get_a4a6(E), Q;
2193 1084 : GEN Pp = FpE_changepointinv(RgE_to_FpE(P, p), gel(e,3), p);
2194 1084 : GEN Qp = FpE_mul(Pp, n, gel(e,1), p);
2195 1029 : Q = FpE_to_mod(FpE_changepoint(Qp, gel(e,3), p), p);
2196 1029 : return gerepileupto(av, Q);
2197 : }
2198 : }
2199 : /* [n] z, n integral */
2200 : static GEN
2201 251278 : ellmul_Z(GEN e, GEN z, GEN n)
2202 : {
2203 : long s;
2204 251278 : if (ell_is_inf(z)) return ellinf();
2205 251278 : if (ell_over_Fq(e)) return ellffmul(e,z,n);
2206 1008 : s = signe(n);
2207 1008 : if (!s) return ellinf();
2208 959 : if (s < 0) z = ellneg_i(e,z);
2209 959 : if (is_pm1(n)) return z;
2210 721 : return gen_pow(z, n, (void*)e, &_sqr, &_mul);
2211 : }
2212 :
2213 : /* x a t_REAL, try to round it to an integer */
2214 : enum { OK, LOW_PREC, NO };
2215 : static long
2216 42 : myroundr(GEN *px)
2217 : {
2218 42 : GEN x = *px;
2219 : long e;
2220 42 : if (bit_prec(x) - expo(x) < 5) return LOW_PREC;
2221 42 : *px = grndtoi(x, &e);
2222 42 : if (e >= -5) return NO;
2223 42 : return OK;
2224 : }
2225 :
2226 : /* E has CM by Q, t_COMPLEX or t_QUAD. Return q such that E has CM by Q/q
2227 : * or gen_1 (couldn't find q > 1)
2228 : * or NULL (doesn't have CM by Q) */
2229 : static GEN
2230 14 : CM_factor(GEN E, GEN Q)
2231 : {
2232 : GEN w, tau, D, v, x, y, F, dF, q, r, fk, fkb, fkc;
2233 : long prec;
2234 :
2235 14 : if (ell_get_type(E) != t_ELL_Q) return gen_1;
2236 14 : switch(typ(Q))
2237 : {
2238 0 : case t_COMPLEX:
2239 0 : D = utoineg(4);
2240 0 : v = gel(Q,2);
2241 0 : break;
2242 14 : case t_QUAD:
2243 14 : D = quad_disc(Q);
2244 14 : v = gel(Q,3);
2245 14 : break;
2246 0 : default:
2247 0 : return NULL; /*-Wall*/
2248 : }
2249 : /* disc Q = v^2 D, D < 0 fundamental */
2250 14 : w = ellR_omega(E, DEFAULTPREC + nbits2extraprec(expi(D)));
2251 14 : tau = gdiv(gel(w,2), gel(w,1));
2252 14 : prec = precision(tau);
2253 : /* disc tau = -4 k^2 (Im tau)^2 for some integral k
2254 : * Assuming that E has CM by Q, then disc Q / disc tau = f^2 is a square.
2255 : * Compute f*k */
2256 14 : x = gel(tau,1);
2257 14 : y = gel(tau,2); /* tau = x + Iy */
2258 14 : fk = gmul(gdiv(v, gmul2n(y, 1)), sqrtr_abs(itor(D, prec)));
2259 14 : switch(myroundr(&fk))
2260 : {
2261 0 : case NO: return NULL;
2262 0 : case LOW_PREC: return gen_1;
2263 : }
2264 14 : fk = absi_shallow(fk);
2265 :
2266 14 : fkb = gmul(fk, gmul2n(x,1));
2267 14 : switch(myroundr(&fkb))
2268 : {
2269 0 : case NO: return NULL;
2270 0 : case LOW_PREC: return gen_1;
2271 : }
2272 :
2273 14 : fkc = gmul(fk, cxnorm(tau));
2274 14 : switch(myroundr(&fkc))
2275 : {
2276 0 : case NO: return NULL;
2277 0 : case LOW_PREC: return gen_1;
2278 : }
2279 :
2280 : /* tau is a root of fk (X^2 - b X + c) \in Z[X], */
2281 14 : F = Q_primpart(mkvec3(fk, fkb, fkc));
2282 14 : dF = qfb_disc3(gel(F,1), gel(F,2), gel(F,3));
2283 : /* = disc tau, E has CM by orders of disc dF q^2, all q */
2284 14 : q = dvmdii(dF, D, &r);
2285 14 : if (r != gen_0 || !Z_issquareall(q, &q)) return NULL;
2286 : /* disc(Q) = disc(tau) (v / q)^2 */
2287 14 : v = dvmdii(absi_shallow(v), q, &r);
2288 14 : if (r != gen_0) return NULL;
2289 14 : return is_pm1(v)? gen_1: v; /* E has CM by Q/q: [Q] = [q] o [Q/q] */
2290 : }
2291 :
2292 : /* [a + w] z, a integral, w pure imaginary */
2293 : static GEN
2294 14 : ellmul_CM_aux(GEN e, GEN z, GEN a, GEN w)
2295 : {
2296 : GEN A, B, q;
2297 14 : if (typ(a) != t_INT) pari_err_TYPE("ellmul_Z",a);
2298 14 : q = CM_factor(e, w);
2299 14 : if (!q) pari_err_TYPE("ellmul [not a complex multiplication]",w);
2300 14 : if (q != gen_1) w = gdiv(w, q);
2301 : /* compute [a + q w] z, z has CM by w */
2302 14 : if (typ(w) == t_QUAD && is_pm1(gel(gel(w,1), 3)))
2303 : { /* replace w by w - u, u in Z, so that N(w-u) is minimal
2304 : * N(w - u) = N w - Tr w u + u^2, minimal for u = Tr w / 2 */
2305 7 : GEN u = gtrace(w);
2306 7 : if (typ(u) != t_INT) pari_err_TYPE("ellmul_CM",w);
2307 7 : u = shifti(u, -1);
2308 7 : if (signe(u))
2309 : {
2310 0 : w = gsub(w, u);
2311 0 : a = addii(a, mulii(q,u));
2312 : }
2313 : /* [a + w]z = [(a + qu)] z + [q] [(w - u)] z */
2314 : }
2315 14 : A = ellmul_Z(e,z,a);
2316 14 : B = ellmul_CM(e,z,w);
2317 14 : if (q != gen_1) B = ellmul_Z(e, B, q);
2318 14 : return elladd(e, A, B);
2319 : }
2320 : GEN
2321 251397 : ellmul(GEN e, GEN z, GEN n)
2322 : {
2323 251397 : pari_sp av = avma;
2324 :
2325 251397 : checkell(e); checkellpt(z);
2326 251390 : if (ell_is_inf(z)) return ellinf();
2327 251278 : switch(typ(n))
2328 : {
2329 251264 : case t_INT: return gerepilecopy(av, ellmul_Z(e,z,n));
2330 14 : case t_QUAD: {
2331 14 : GEN pol = gel(n,1), a = gel(n,2), b = gel(n,3);
2332 14 : if (signe(gel(pol,2)) < 0) pari_err_TYPE("ellmul_CM",n); /* disc > 0 ? */
2333 14 : return gerepileupto(av, ellmul_CM_aux(e,z,a,mkquad(pol, gen_0,b)));
2334 : }
2335 0 : case t_COMPLEX: {
2336 0 : GEN a = gel(n,1), b = gel(n,2);
2337 0 : return gerepileupto(av, ellmul_CM_aux(e,z,a,mkcomplex(gen_0,b)));
2338 : }
2339 : }
2340 0 : pari_err_TYPE("ellmul (non integral, non CM exponent)",n);
2341 : return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
2342 : }
2343 :
2344 : /********************************************************************/
2345 : /** **/
2346 : /** Periods **/
2347 : /** **/
2348 : /********************************************************************/
2349 :
2350 : /* References:
2351 : The complex AGM, periods of elliptic curves over C and complex elliptic logarithms
2352 : John E. Cremona, Thotsaphon Thongjunthug, arXiv:1011.0914
2353 : */
2354 :
2355 : static GEN
2356 52199 : ellomega_agm(GEN a, GEN b, GEN c, long prec)
2357 : {
2358 52199 : GEN pi = mppi(prec), mIpi = mkcomplex(gen_0, negr(pi));
2359 52199 : GEN Mac = agm(a,c,prec), Mbc = agm(b,c,prec);
2360 52199 : retmkvec2(gdiv(pi, Mac), gdiv(mIpi, Mbc));
2361 : }
2362 :
2363 : static GEN
2364 42619 : ellomega_cx(GEN E, long prec)
2365 : {
2366 42619 : pari_sp av = avma;
2367 42619 : GEN roots = ellR_roots(E, prec + EXTRAPREC64);
2368 42619 : GEN d1=gel(roots,4), d2=gel(roots,5), d3=gel(roots,6);
2369 42619 : GEN a = gsqrt(d3,prec), b = gsqrt(d1,prec), c = gsqrt(d2,prec);
2370 42619 : return gerepileupto(av, ellomega_agm(a,b,c,prec));
2371 : }
2372 :
2373 : /* return [w1,w2] for E / R; w1 > 0 is real.
2374 : * If e.disc > 0, w2 = -I r; else w2 = w1/2 - I r, for some real r > 0.
2375 : * => tau = w1/w2 is in upper half plane */
2376 : static GEN
2377 52199 : doellR_omega(GEN E, long prec)
2378 : {
2379 52199 : pari_sp av = avma;
2380 : GEN roots, d2, z, a, b, c;
2381 52199 : if (ellR_get_sign(E) >= 0) return ellomega_cx(E,prec);
2382 9580 : roots = ellR_roots(E,prec + EXTRAPREC64);
2383 9580 : d2 = gel(roots,5);
2384 9580 : z = gsqrt(d2,prec); /* imag(e1-e3) > 0, so that b > 0*/
2385 9580 : a = gel(z,1); /* >= 0 */
2386 9580 : b = gel(z,2);
2387 9580 : c = gabs(z, prec);
2388 9580 : z = ellomega_agm(a,b,c,prec);
2389 9580 : return gerepilecopy(av, mkvec2(gel(z,1),gmul2n(gadd(gel(z,1),gel(z,2)),-1)));
2390 : }
2391 : static GEN
2392 70 : doellR_eta(GEN E, long prec)
2393 70 : { GEN w = ellR_omega(E, prec + EXTRAPREC64); return elleta(w, prec); }
2394 :
2395 : GEN
2396 92491 : ellR_omega(GEN E, long prec)
2397 92491 : { return obj_checkbuild_realprec(E, R_PERIODS, &doellR_omega, prec); }
2398 : GEN
2399 84 : ellR_eta(GEN E, long prec)
2400 84 : { return obj_checkbuild_realprec(E, R_ETA, &doellR_eta, prec); }
2401 : GEN
2402 222881 : ellR_roots(GEN E, long prec)
2403 222881 : { return obj_checkbuild_realprec(E, R_ROOTS, &doellR_roots, prec); }
2404 :
2405 : GEN
2406 11816 : ellR_area(GEN E, long prec)
2407 : {
2408 11816 : pari_sp av = avma;
2409 : GEN w, w1, w2, a,b,c,d;
2410 11816 : w = ellR_omega(E, prec);
2411 11816 : w1 = gel(w,1); a = real_i(w1); b = imag_i(w1);
2412 11816 : w2 = gel(w,2); c = real_i(w2); d = imag_i(w2);
2413 11816 : return gerepileupto(av, gabs(gsub(gmul(a,d),gmul(b,c)), prec));
2414 : }
2415 :
2416 : /********************************************************************/
2417 : /** **/
2418 : /** ELLIPTIC FUNCTIONS **/
2419 : /** **/
2420 : /********************************************************************/
2421 : /* P = [x,0] is 2-torsion on y^2 = g(x). Return w1/2, (w1+w2)/2, or w2/2
2422 : * depending on whether x is closest to e1,e2, or e3, the 3 complex root of g */
2423 : static GEN
2424 14 : zell_closest_0(GEN om, GEN x, GEN ro)
2425 : {
2426 14 : GEN e1 = gel(ro,1), e2 = gel(ro,2), e3 = gel(ro,3);
2427 14 : GEN d1 = gnorm(gsub(x,e1));
2428 14 : GEN d2 = gnorm(gsub(x,e2));
2429 14 : GEN d3 = gnorm(gsub(x,e3));
2430 14 : GEN z = gel(om,2);
2431 14 : if (gcmp(d1, d2) <= 0)
2432 0 : { if (gcmp(d1, d3) <= 0) z = gel(om,1); }
2433 : else
2434 14 : { if (gcmp(d2, d3)<=0) z = gadd(gel(om,1),gel(om,2)); }
2435 14 : return gmul2n(z, -1);
2436 : }
2437 :
2438 : static GEN
2439 28735 : zellcx(GEN E, GEN P, long prec)
2440 : {
2441 28735 : GEN R = ellR_roots(E, prec+EXTRAPREC64);
2442 28735 : GEN x0 = gel(P,1), y0 = ec_dmFdy_evalQ(E,P);
2443 28735 : if (gequal0(y0))
2444 0 : return zell_closest_0(ellomega_cx(E,prec),x0,R);
2445 : else
2446 : {
2447 28735 : GEN e2 = gel(R,2), e3 = gel(R,3), d2 = gel(R,5), d3 = gel(R,6);
2448 28735 : GEN a = gsqrt(d2,prec), b = gsqrt(d3,prec);
2449 28735 : GEN r = gsqrt(gdiv(gsub(x0,e3), gsub(x0,e2)),prec);
2450 28735 : GEN t = gdiv(gneg(y0), gmul2n(gmul(r,gsub(x0,e2)),1));
2451 28735 : GEN ar = real_i(a), br = real_i(b), ai = imag_i(a), bi = imag_i(b);
2452 : /* |a+b| < |a-b| */
2453 28735 : if (gcmp(gmul(ar,br), gneg(gmul(ai,bi))) < 0) b = gneg(b);
2454 28735 : return zellagmcx(a,b,r,t,prec);
2455 : }
2456 : }
2457 :
2458 : /* Assume E/R, disc E < 0, and P \in E(R) ==> z \in R */
2459 : static GEN
2460 7 : zellrealneg(GEN E, GEN P, long prec)
2461 : {
2462 7 : GEN x0 = gel(P,1), y0 = ec_dmFdy_evalQ(E,P);
2463 0 : if (gequal0(y0)) return gmul2n(gel(ellR_omega(E,prec),1),-1);
2464 : else
2465 : {
2466 0 : GEN R = ellR_roots(E, prec+EXTRAPREC64);
2467 0 : GEN d2 = gel(R,5), e3 = gel(R,3);
2468 0 : GEN a = gsqrt(d2,prec);
2469 0 : GEN z = gsqrt(gsub(x0,e3), prec);
2470 0 : GEN ar = real_i(a), zr = real_i(z), ai = imag_i(a), zi = imag_i(z);
2471 0 : GEN t = gdiv(gneg(y0), gmul2n(gnorm(z),1));
2472 0 : GEN r2 = ginv(gsqrt(gaddsg(1,gdiv(gmul(ai,zi),gmul(ar,zr))),prec));
2473 0 : return zellagmcx(ar,gabs(a,prec),r2,gmul(t,r2),prec);
2474 : }
2475 : }
2476 :
2477 : /* Assume E/R, disc E > 0, and P \in E(R) */
2478 : static GEN
2479 28 : zellrealpos(GEN E, GEN P, long prec)
2480 : {
2481 28 : GEN R = ellR_roots(E, prec+EXTRAPREC64);
2482 28 : GEN d2,d3,e1,e2,e3, a,b, x0 = gel(P,1), y0 = ec_dmFdy_evalQ(E,P);
2483 28 : if (gequal0(y0)) return zell_closest_0(ellR_omega(E,prec), x0,R);
2484 14 : e1 = gel(R,1);
2485 14 : e2 = gel(R,2);
2486 14 : e3 = gel(R,3);
2487 14 : d2 = gel(R,5);
2488 14 : d3 = gel(R,6);
2489 14 : a = gsqrt(d2,prec);
2490 14 : b = gsqrt(d3,prec);
2491 14 : if (gcmp(x0,e1)>0) {
2492 7 : GEN r = gsqrt(gdiv(gsub(x0,e3), gsub(x0,e2)),prec);
2493 7 : GEN t = gdiv(gneg(y0), gmul2n(gmul(r,gsub(x0,e2)),1));
2494 7 : return zellagmcx(a,b,r,t,prec);
2495 : } else {
2496 7 : GEN om = ellR_omega(E,prec);
2497 7 : GEN r = gdiv(a,gsqrt(gsub(e1,x0),prec));
2498 7 : GEN t = gdiv(gmul(r,y0),gmul2n(gsub(x0,e3),1));
2499 7 : return gsub(zellagmcx(a,b,r,t,prec),gmul2n(gel(om,2),-1));
2500 : }
2501 : }
2502 :
2503 : static void
2504 21 : ellQp_P2t_err(GEN E, GEN z)
2505 : {
2506 21 : if (typ(ellQp_u(E,1)) == t_POLMOD)
2507 21 : pari_err_IMPL("ellpointtoz when u not in Qp");
2508 0 : pari_err_DOMAIN("ellpointtoz", "point", "not on", strtoGENstr("E"),z);
2509 0 : }
2510 : static GEN
2511 189 : get_r0(GEN E, long prec)
2512 : {
2513 189 : GEN b2 = ell_get_b2(E), e1 = ellQp_root(E, prec);
2514 189 : return gadd(e1,gmul2n(b2,-2));
2515 : }
2516 : static GEN
2517 140 : ellQp_P2t(GEN E, GEN P, long prec)
2518 : {
2519 140 : pari_sp av = avma;
2520 : GEN a, b, ab, c0, r0, ar, r, x, delta, x1, y1, t, u, q;
2521 : long vq, vt, Q, R;
2522 140 : if (ell_is_inf(P)) return gen_1;
2523 133 : ab = ellQp_ab(E, prec); a = gel(ab,1); b = gel(ab,2);
2524 133 : u = ellQp_u(E, prec);
2525 133 : q = ellQp_q(E, prec);
2526 133 : x = gel(P,1);
2527 133 : r0 = get_r0(E, prec);
2528 133 : c0 = gadd(x, gmul2n(r0,-1));
2529 133 : if (typ(c0) != t_PADIC || !is_scalar_t(typ(gel(P,2))))
2530 14 : pari_err_TYPE("ellpointtoz",P);
2531 119 : r = gsub(a,b);
2532 119 : ar = gmul(a, r);
2533 119 : if (gequal0(c0))
2534 : {
2535 7 : x1 = Qp_sqrt(gneg(ar));
2536 7 : if (!x1) ellQp_P2t_err(E,P);
2537 : }
2538 : else
2539 : {
2540 112 : delta = gdiv(ar, gsqr(c0));
2541 112 : t = Qp_sqrt(gsubsg(1,gmul2n(delta,2)));
2542 112 : if (!t) ellQp_P2t_err(E,P);
2543 105 : x1 = gmul(gmul2n(c0,-1), gaddsg(1,t));
2544 : }
2545 112 : y1 = gsubsg(1, gdiv(ar, gsqr(x1)));
2546 112 : if (gequal0(y1))
2547 : {
2548 14 : y1 = Qp_sqrt(gmul(x1, gmul(gadd(x1, a), gadd(x1, r))));
2549 14 : if (!y1) ellQp_P2t_err(E,P);
2550 : }
2551 : else
2552 98 : y1 = gdiv(gmul2n(ec_dmFdy_evalQ(E,P), -1), y1);
2553 98 : Qp_descending_Landen(ellQp_AGM(E,prec), &x1,&y1);
2554 :
2555 98 : t = gmul(u, gmul2n(y1,1)); /* 2u y_oo */
2556 98 : t = gdiv(gsub(t, x1), gadd(t, x1));
2557 : /* Reduce mod q^Z: we want 0 <= v(t) < v(q) */
2558 98 : if (typ(t) == t_PADIC)
2559 56 : vt = valp(t);
2560 : else
2561 42 : vt = valp(gnorm(t)) / 2; /* v(t) = v(Nt) / (e*f) */
2562 98 : vq = valp(q); /* > 0 */
2563 98 : Q = vt / vq; R = vt % vq; if (R < 0) Q--;
2564 98 : if (Q) t = gdiv(t, gpowgs(q,Q));
2565 98 : if (padicprec_relative(t) > prec) t = gprec(t, prec);
2566 98 : return gerepileupto(av, t);
2567 : }
2568 :
2569 : static GEN
2570 56 : ellQp_t2P(GEN E, GEN t, long prec)
2571 : {
2572 56 : pari_sp av = avma;
2573 : GEN AB, A, R, x0,x1, y0,y1, u, u2, r0, s0, ar;
2574 : long v;
2575 56 : if (gequal1(t)) return ellinf();
2576 :
2577 56 : AB = ellQp_AGM(E,prec); A = gel(AB,1); R = gel(AB,3); v = itos(gel(AB,4));
2578 56 : u = ellQp_u(E,prec);
2579 56 : u2= ellQp_u2(E,prec);
2580 56 : x1 = gdiv(t, gmul(u2, gsqr(gsubsg(1,t))));
2581 56 : y1 = gdiv(gmul(x1,gaddsg(1,t)), gmul(gmul2n(u,1),gsubsg(1,t)));
2582 56 : Qp_ascending_Landen(AB, &x1,&y1);
2583 56 : r0 = get_r0(E, prec);
2584 :
2585 56 : ar = gmul(gel(A,1), gel(R,1)); setvalp(ar, valp(ar)+v);
2586 56 : x0 = gsub(gadd(x1, gdiv(ar, x1)), gmul2n(r0,-1));
2587 56 : s0 = gmul2n(ec_h_evalx(E, x0), -1);
2588 56 : y0 = gsub(gmul(y1, gsubsg(1, gdiv(ar,gsqr(x1)))), s0);
2589 56 : return gerepilecopy(av, mkvec2(x0,y0));
2590 : }
2591 :
2592 : static GEN
2593 28770 : zell_i(GEN e, GEN z, long prec)
2594 : {
2595 : GEN t;
2596 : long s;
2597 28770 : (void)ellR_omega(e, prec); /* type checking */
2598 28770 : if (ell_is_inf(z)) return gen_0;
2599 28770 : s = ellR_get_sign(e);
2600 28770 : if (s && typ(gel(z,1))!=t_COMPLEX && typ(gel(z,2))!=t_COMPLEX)
2601 35 : t = (s < 0)? zellrealneg(e,z,prec): zellrealpos(e,z,prec);
2602 : else
2603 28735 : t = zellcx(e,z,prec);
2604 28763 : return t;
2605 : }
2606 : static GEN ellnfembed(GEN E, long prec);
2607 : static GEN ellpointnfembed(GEN E, GEN P, long prec);
2608 : static void ellnfembed_free(GEN L);
2609 : GEN
2610 28903 : zell(GEN E, GEN P, long prec)
2611 : {
2612 28903 : pari_sp av = avma;
2613 28903 : checkell(E); checkellpt(P);
2614 28903 : switch(ell_get_type(E))
2615 : {
2616 140 : case t_ELL_Qp:
2617 140 : prec = minss(ellQp_get_prec(E), padicprec_relative(P));
2618 140 : return ellQp_P2t(E, P, prec);
2619 7 : case t_ELL_NF:
2620 : {
2621 7 : GEN Ee = ellnfembed(E, prec), Pe = ellpointnfembed(E, P, prec);
2622 7 : long i, l = lg(Pe);
2623 21 : for (i = 1; i < l; i++) gel(Pe,i) = zell_i(gel(Ee,i), gel(Pe,i), prec);
2624 7 : ellnfembed_free(Ee); return gerepilecopy(av, Pe);
2625 : }
2626 21 : case t_ELL_Q: break;
2627 28735 : case t_ELL_Rg: break;
2628 0 : default: pari_err_TYPE("ellpointtoz", E);
2629 : }
2630 28756 : return gerepileupto(av, zell_i(E, P, prec));
2631 : }
2632 :
2633 : enum period_type { t_PER_W, t_PER_WETA, t_PER_ELL };
2634 : /* normalization / argument reduction for ellptic functions */
2635 : typedef struct {
2636 : enum period_type type;
2637 : GEN in; /* original input */
2638 : GEN w1,w2,tau; /* original basis for L = <w1,w2> = w2 <1,tau> */
2639 : GEN W1,W2,Tau; /* new basis for L = <W1,W2> = W2 <1,tau> */
2640 : GEN a,b,c,d; /* t_INT; tau in F = h/Sl2, tau = g.t, g=[a,b;c,d] in SL(2,Z) */
2641 : GEN z,Z; /* z/w2 defined mod <1,tau>, Z = z/w2 + x*tau+y reduced mod <1,tau>*/
2642 : GEN x,y; /* t_INT */
2643 : int swap; /* 1 if we swapped w1 and w2 */
2644 : int some_q_is_real; /* exp(2iPi g.tau) for some g \in SL(2,Z) */
2645 : int some_z_is_real; /* z + xw1 + yw2 is real for some x,y \in Z */
2646 : int some_z_is_pure_imag; /* z + xw1 + yw2 in i*R */
2647 : int q_is_real; /* exp(2iPi tau) \in R */
2648 : int abs_u_is_1; /* |exp(2iPi Z)| = 1 */
2649 : long prec; /* precision(Z) */
2650 : long prec0; /* required precision for result */
2651 : } ellred_t;
2652 :
2653 : /* compute g in SL_2(Z), g.t is in the usual
2654 : fundamental domain. Internal function no check, no garbage. */
2655 : static void
2656 110796 : set_gamma(GEN *pt, GEN *pa, GEN *pb, GEN *pc, GEN *pd)
2657 : {
2658 110796 : GEN a, b, c, d, t, t0 = *pt, run = dbltor(1. - 1e-8);
2659 110796 : long e = gexpo(gel(t0,2));
2660 110796 : if (e < 0) t0 = gprec_wensure(t0, precision(t0)+nbits2extraprec(-e));
2661 110796 : t = t0;
2662 110796 : a = d = gen_1;
2663 110796 : b = c = gen_0;
2664 : for(;;)
2665 37212 : {
2666 148008 : GEN m, n = ground(gel(t,1));
2667 148008 : if (signe(n))
2668 : { /* apply T^n */
2669 47271 : t = gsub(t,n);
2670 47271 : a = subii(a, mulii(n,c));
2671 47271 : b = subii(b, mulii(n,d));
2672 : }
2673 148008 : m = cxnorm(t); if (gcmp(m,run) > 0) break;
2674 37212 : t = gneg_i(gdiv(conj_i(t), m)); /* apply S */
2675 37212 : togglesign_safe(&c); swap(a,c);
2676 37212 : togglesign_safe(&d); swap(b,d);
2677 : }
2678 110796 : if (e < 0 && (signe(b) || signe(c))) *pt = t0;
2679 110796 : *pa = a; *pb = b; *pc = c; *pd = d;
2680 110796 : }
2681 : /* Im z > 0. Return U.z in PSl2(Z)'s standard fundamental domain.
2682 : * Set *pU to U. */
2683 : GEN
2684 37863 : cxredsl2_i(GEN z, GEN *pU, GEN *czd)
2685 : {
2686 : GEN a,b,c,d;
2687 37863 : set_gamma(&z, &a, &b, &c, &d);
2688 37863 : *pU = mkmat2(mkcol2(a,c), mkcol2(b,d));
2689 37863 : *czd = gadd(gmul(c,z), d);
2690 37863 : return gdiv(gadd(gmul(a,z), b), *czd);
2691 : }
2692 : GEN
2693 37828 : cxredsl2(GEN t, GEN *pU)
2694 : {
2695 37828 : pari_sp av = avma;
2696 : GEN czd;
2697 37828 : t = cxredsl2_i(t, pU, &czd);
2698 37828 : return gc_all(av, 2, &t, pU);
2699 : }
2700 :
2701 : /* swap w1, w2 so that Im(t := w1/w2) > 0. Set tau = representative of t in
2702 : * the standard fundamental domain, and g in Sl_2, such that tau = g.t */
2703 : static void
2704 72933 : red_modSL2(ellred_t *T, long prec)
2705 : {
2706 : long s, p;
2707 72933 : T->tau = gdiv(T->w1,T->w2);
2708 72933 : if (isintzero(real_i(T->tau))) T->some_q_is_real = 1;
2709 72933 : s = gsigne(imag_i(T->tau));
2710 72933 : if (!s) pari_err_DOMAIN("elliptic function", "det(w1,w2)", "=", gen_0,
2711 : mkvec2(T->w1,T->w2));
2712 72933 : T->swap = (s < 0);
2713 72933 : if (T->swap) { swap(T->w1, T->w2); T->tau = ginv(T->tau); }
2714 72933 : p = precision(T->tau); T->prec0 = p? p: prec;
2715 72933 : set_gamma(&T->tau, &T->a, &T->b, &T->c, &T->d);
2716 : /* update lattice */
2717 72933 : p = precision(T->tau);
2718 72933 : if (p)
2719 : {
2720 72555 : T->w1 = gprec_wensure(T->w1, p);
2721 72555 : T->w2 = gprec_wensure(T->w2, p);
2722 : }
2723 72933 : T->W1 = gadd(gmul(T->a,T->w1), gmul(T->b,T->w2));
2724 72933 : T->W2 = gadd(gmul(T->c,T->w1), gmul(T->d,T->w2));
2725 72933 : T->Tau = gdiv(T->W1, T->W2);
2726 72933 : if (isintzero(real_i(T->Tau))) T->some_q_is_real = T->q_is_real = 1;
2727 72933 : p = precision(T->Tau); T->prec = p? p: prec;
2728 72933 : }
2729 : /* is z real or pure imaginary ? */
2730 : static void
2731 82446 : check_complex(GEN z, int *real, int *imag)
2732 : {
2733 82446 : if (typ(z) != t_COMPLEX) { *real = 1; *imag = 0; }
2734 69573 : else if (isintzero(gel(z,1))) { *real = 0; *imag = 1; }
2735 62706 : else *real = *imag = 0;
2736 82446 : }
2737 : static void
2738 39557 : reduce_z(GEN z, ellred_t *T)
2739 : {
2740 : GEN x, Z;
2741 : long p, e;
2742 39557 : switch(typ(z))
2743 : {
2744 39557 : case t_INT: case t_REAL: case t_FRAC: case t_COMPLEX: break;
2745 0 : case t_QUAD:
2746 0 : z = isexactzero(gel(z,2))? gel(z,1): quadtofp(z, T->prec);
2747 0 : break;
2748 0 : default: pari_err_TYPE("reduction mod 2-dim lattice (reduce_z)", z);
2749 : }
2750 39557 : Z = gdiv(z, T->W2);
2751 39557 : T->z = z;
2752 39557 : x = gdiv(imag_i(Z), imag_i(T->Tau));
2753 39557 : T->x = grndtoi(x, &e); /* |Im(Z - x*Tau)| <= Im(Tau)/2 */
2754 : /* Avoid Im(Z) << 0; take 0 <= Im(Z - x*Tau) < Im(Tau) instead.
2755 : * Leave round when Im(Z - x*Tau) ~ 0 to allow detecting Z in <1,Tau>
2756 : * at the end */
2757 39557 : if (e > -10) T->x = gfloor(x);
2758 39557 : if (signe(T->x)) Z = gsub(Z, gmul(T->x,T->Tau));
2759 39557 : T->y = ground(real_i(Z));/* |Re(Z - y)| <= 1/2 */
2760 39557 : if (signe(T->y)) Z = gsub(Z, T->y);
2761 39557 : T->abs_u_is_1 = (typ(Z) != t_COMPLEX);
2762 : /* Z = - y - x tau + z/W2, x,y integers */
2763 39557 : check_complex(z, &(T->some_z_is_real), &(T->some_z_is_pure_imag));
2764 39557 : if (!T->some_z_is_real && !T->some_z_is_pure_imag)
2765 : {
2766 : int W2real, W2imag;
2767 31346 : check_complex(T->W2,&W2real,&W2imag);
2768 31346 : if (W2real)
2769 4725 : check_complex(Z, &(T->some_z_is_real), &(T->some_z_is_pure_imag));
2770 26621 : else if (W2imag)
2771 6748 : check_complex(Z, &(T->some_z_is_pure_imag), &(T->some_z_is_real));
2772 : }
2773 39557 : p = precision(Z);
2774 39557 : if (gequal0(Z) || (p && gexpo(Z) < 5 - p)) Z = NULL; /*z in L*/
2775 39557 : if (p && p < T->prec) T->prec = p;
2776 39557 : T->Z = Z;
2777 39557 : }
2778 : /* return x.eta1 + y.eta2 */
2779 : static GEN
2780 37618 : eta_correction(ellred_t *T, GEN eta)
2781 : {
2782 37618 : GEN y1 = NULL, y2 = NULL;
2783 37618 : if (signe(T->x)) y1 = gmul(T->x, gel(eta,1));
2784 37618 : if (signe(T->y)) y2 = gmul(T->y, gel(eta,2));
2785 37618 : if (!y1) return y2? y2: gen_0;
2786 14080 : return y2? gadd(y1, y2): y1;
2787 : }
2788 : /* e is either
2789 : * - [w1,w2]
2790 : * - [[w1,w2],[eta1,eta2]]
2791 : * - an ellinit structure */
2792 : static void
2793 72933 : compute_periods(ellred_t *T, GEN z, long prec)
2794 : {
2795 : GEN w, e;
2796 72933 : T->q_is_real = 0;
2797 72933 : T->some_q_is_real = 0;
2798 72933 : switch(T->type)
2799 : {
2800 30688 : case t_PER_ELL:
2801 : {
2802 30688 : long pr, p = prec;
2803 30688 : if (z && (pr = precision(z))) p = pr;
2804 30688 : e = T->in;
2805 30688 : w = ellR_omega(e, p);
2806 30688 : T->some_q_is_real = T->q_is_real = 1;
2807 30688 : break;
2808 : }
2809 13363 : case t_PER_W:
2810 13363 : w = T->in; break;
2811 28882 : default: /*t_PER_WETA*/
2812 28882 : w = gel(T->in,1); break;
2813 : }
2814 72933 : T->w1 = gel(w,1);
2815 72933 : T->w2 = gel(w,2);
2816 72933 : red_modSL2(T, prec);
2817 72933 : if (z) reduce_z(z, T);
2818 72933 : }
2819 : static int
2820 72940 : check_periods(GEN e, ellred_t *T)
2821 : {
2822 : GEN w1;
2823 72940 : if (typ(e) != t_VEC) return 0;
2824 72940 : T->in = e;
2825 72940 : switch(lg(e))
2826 : {
2827 30695 : case 17:
2828 30695 : T->type = t_PER_ELL;
2829 30695 : break;
2830 42245 : case 3:
2831 42245 : w1 = gel(e,1);
2832 42245 : if (typ(w1) != t_VEC)
2833 13363 : T->type = t_PER_W;
2834 : else
2835 : {
2836 28882 : if (lg(w1) != 3) return 0;
2837 28882 : T->type = t_PER_WETA;
2838 : }
2839 42245 : break;
2840 0 : default: return 0;
2841 : }
2842 72940 : return 1;
2843 : }
2844 : static int
2845 72856 : get_periods(GEN e, GEN z, ellred_t *T, long prec)
2846 : {
2847 72856 : if (!check_periods(e, T)) return 0;
2848 72856 : compute_periods(T, z, prec); return 1;
2849 : }
2850 :
2851 : /* 2iPi/x, more efficient when x pure imaginary */
2852 : static GEN
2853 139314 : PiI2div(GEN x, long prec) { return gdiv(Pi2n(1, prec), mulcxmI(x)); }
2854 : /* (2iPi/W2)^k E_k(W1/W2) */
2855 : static GEN
2856 70994 : _elleisnum(ellred_t *T, long k)
2857 : {
2858 70994 : GEN z = gmul(cxEk(T->Tau, k, T->prec), gpowgs(PiI2div(T->W2, T->prec), k));
2859 70994 : return cxtoreal(z);
2860 : }
2861 :
2862 : /* Return (2iPi)^k E_k(L) = (2iPi/w2)^k E_k(tau), with L = <w1,w2>, k > 0 even
2863 : * E_k(tau) = 1 + 2/zeta(1-k) * sum(n>=1, n^(k-1) q^n/(1-q^n))
2864 : * If flag is != 0 and k=4 or 6, compute g2 = E4/12 or g3 = -E6/216 resp. */
2865 : GEN
2866 4459 : elleisnum(GEN om, long k, long flag, long prec)
2867 : {
2868 4459 : pari_sp av = avma;
2869 : GEN y;
2870 : ellred_t T;
2871 :
2872 4459 : if (k<=0) pari_err_DOMAIN("elleisnum", "k", "<=", gen_0, stoi(k));
2873 4459 : if (k&1) pari_err_DOMAIN("elleisnum", "k % 2", "!=", gen_0, stoi(k));
2874 4459 : if (!get_periods(om, NULL, &T, prec)) pari_err_TYPE("elleisnum",om);
2875 4459 : y = _elleisnum(&T, k);
2876 4459 : if (k==2 && signe(T.c))
2877 4011 : {
2878 4011 : GEN a = gmul(Pi2n(1,T.prec), mului(12, T.c));
2879 4011 : y = gsub(y, mulcxI(gdiv(a, gmul(T.w2, T.W2))));
2880 : }
2881 448 : else if (k==4 && flag) y = gdivgu(y, 12);
2882 420 : else if (k==6 && flag) y = gdivgs(y,-216);
2883 4459 : return gerepilecopy(av, gprec_wtrunc(y, T.prec0));
2884 : }
2885 :
2886 : /* return quasi-periods attached to [T->W1,T->W2] */
2887 : static GEN
2888 66353 : _elleta(ellred_t *T)
2889 : {
2890 66353 : GEN y1, y2, e2 = gdivgs(_elleisnum(T,2), -12);
2891 66353 : y2 = gmul(T->W2, e2);
2892 66353 : y1 = gsub(gmul(T->W1,e2), PiI2div(T->W2, T->prec));
2893 66353 : retmkvec2(y1, y2);
2894 : }
2895 :
2896 : /* compute eta1, eta2 */
2897 : GEN
2898 84 : elleta(GEN om, long prec)
2899 : {
2900 84 : pari_sp av = avma;
2901 : GEN y1, y2, E2, pi;
2902 : ellred_t T;
2903 :
2904 84 : if (!check_periods(om, &T))
2905 : {
2906 0 : pari_err_TYPE("elleta",om);
2907 : return NULL;/*LCOV_EXCL_LINE*/
2908 : }
2909 84 : if (T.type == t_PER_ELL) return ellR_eta(om, prec);
2910 :
2911 77 : compute_periods(&T, NULL, prec);
2912 77 : prec = T.prec;
2913 77 : pi = mppi(prec);
2914 77 : E2 = cxEk(T.Tau, 2, prec); /* E_2(Tau) */
2915 77 : if (signe(T.c))
2916 : {
2917 21 : GEN u = gdiv(T.w2, T.W2);
2918 : /* E2 := u^2 E2 + 6iuc/pi = E_2(tau) */
2919 21 : E2 = gadd(gmul(gsqr(u), E2), mulcxI(gdiv(gmul(mului(6,T.c), u), pi)));
2920 : }
2921 77 : y2 = gdiv(gmul(E2, sqrr(pi)), gmulsg(3, T.w2));
2922 77 : if (T.swap)
2923 : {
2924 7 : y1 = y2;
2925 7 : y2 = gadd(gmul(T.tau,y1), PiI2div(T.w2, prec));
2926 : }
2927 : else
2928 70 : y1 = gsub(gmul(T.tau,y2), PiI2div(T.w2, prec));
2929 77 : switch(typ(T.w1))
2930 : {
2931 49 : case t_INT: case t_FRAC: case t_REAL:
2932 49 : y1 = real_i(y1);
2933 : }
2934 77 : return gerepilecopy(av, mkvec2(y1,y2));
2935 : }
2936 : GEN
2937 28749 : ellperiods(GEN w, long flag, long prec)
2938 : {
2939 28749 : pari_sp av = avma;
2940 : ellred_t T;
2941 28749 : if (!get_periods(w, NULL, &T, prec)) pari_err_TYPE("ellperiods",w);
2942 28749 : switch(flag)
2943 : {
2944 14 : case 0: return gerepilecopy(av, mkvec2(T.W1, T.W2));
2945 28735 : case 1: return gerepilecopy(av, mkvec2(mkvec2(T.W1, T.W2), _elleta(&T)));
2946 0 : default: pari_err_FLAG("ellperiods");
2947 : return NULL;/*LCOV_EXCL_LINE*/
2948 : }
2949 : }
2950 :
2951 : /* 2Pi Im(z)/log(2) */
2952 : static double
2953 39417 : get_toadd(GEN z) { return (2*M_PI/M_LN2)*gtodouble(imag_i(z)); }
2954 :
2955 : /* computes the numerical value of wp(z | L), L = om1 Z + om2 Z
2956 : * return NULL if z in L. If flall=1, compute also wp' */
2957 : static GEN
2958 1911 : ellwpnum_all(GEN e, GEN z, long flall, long prec)
2959 : {
2960 : long toadd;
2961 1911 : pari_sp av = avma, av1;
2962 : GEN q, u, y, yp, u1, u2, qn;
2963 : ellred_t T;
2964 : int simple_case;
2965 :
2966 1911 : if (!get_periods(e, z, &T, prec)) pari_err_TYPE("ellwp",e);
2967 1911 : if (!T.Z) return NULL;
2968 1890 : prec = T.prec;
2969 :
2970 : /* Now L,Z normalized to <1,tau>. Z in fund. domain of <1, tau> */
2971 1890 : q = expIPiC(gmul2n(T.Tau,1), prec);
2972 1890 : u = expIPiC(gmul2n(T.Z,1), prec);
2973 1890 : u1 = gsubsg(1,u);
2974 1890 : u2 = gsqr(u1); /* (1-u)^2 = -4u sin^2(Pi Z) */
2975 1890 : if (gequal0(gnorm(u2))) return NULL; /* possible if loss of accuracy */
2976 1890 : y = gdiv(u,u2); /* -1/4(sin^2(Pi Z)) */
2977 1890 : if (T.abs_u_is_1) y = real_i(y);
2978 1890 : simple_case = T.abs_u_is_1 && T.q_is_real;
2979 1890 : y = gadd(mkfrac(gen_1, utoipos(12)), y);
2980 1890 : yp = flall? gen_0: NULL;
2981 1890 : toadd = (long)ceil(get_toadd(T.Z));
2982 :
2983 1890 : av1 = avma; qn = q;
2984 : for(;;)
2985 24448 : { /* y += u q^n [ 1/(1-q^n u)^2 + 1/(q^n-u)^2 ] - 2q^n /(1-q^n)^2 */
2986 : /* analogous formula for yp */
2987 26338 : GEN yadd, ypadd = NULL;
2988 26338 : GEN qnu = gmul(qn,u); /* q^n u */
2989 26338 : GEN a = gsubsg(1,qnu);/* 1 - q^n u */
2990 26338 : GEN a2 = gsqr(a); /* (1 - q^n u)^2 */
2991 26338 : if (yp) ypadd = gdiv(gaddsg(1,qnu),gmul(a,a2));
2992 26338 : if (simple_case) /* conj(u) = 1/u: formula simplifies */
2993 415 : yadd = gmul2n(real_i(gdiv(u,a2)), 1);
2994 : else
2995 : {
2996 25923 : GEN b = gsub(qn,u);/* q^n - u */
2997 25923 : GEN b2 = gsqr(b); /* (q^n - u)^2 */
2998 25923 : yadd = gmul(u, gadd(ginv(a2),ginv(b2)));
2999 25923 : if (yp) ypadd = gadd(ypadd, gdiv(gadd(qn,u),gmul(b,b2)));
3000 : }
3001 26338 : yadd = gsub(yadd, gmul2n(ginv(gsqr(gsubsg(1,qn))), 1));
3002 26338 : y = gadd(y, gmul(qn,yadd));
3003 26338 : if (yp) yp = gadd(yp, gmul(qn,ypadd));
3004 :
3005 26338 : qn = gmul(q,qn);
3006 26338 : if (gexpo(qn) <= - prec - 5 - toadd) break;
3007 24448 : if (gc_needed(av1,1))
3008 : {
3009 0 : if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"ellwp");
3010 0 : gerepileall(av1, flall? 3: 2, &y, &qn, &yp);
3011 : }
3012 : }
3013 1890 : if (yp)
3014 : {
3015 1827 : if (simple_case) yp = gsub(yp, conj_i(gmul(yp,gsqr(u))));
3016 1827 : yp = gadd(yp, gdiv(gaddsg(1,u), gmul(u1,u2)));
3017 : }
3018 :
3019 1890 : u1 = PiI2div(T.W2, prec);
3020 1890 : u2 = gsqr(u1);
3021 1890 : y = gmul(u2,y); /* y *= (2i pi / w2)^2 */
3022 1890 : if (T.some_q_is_real && (T.some_z_is_real || T.some_z_is_pure_imag))
3023 1029 : y = real_i(y);
3024 1890 : if (yp)
3025 : {
3026 1827 : yp = gmul(u, gmul(gmul(u1,u2),yp));/* yp *= u (2i pi / w2)^3 */
3027 1827 : if (T.some_q_is_real)
3028 : {
3029 1827 : if (T.some_z_is_real) yp = real_i(yp);
3030 847 : else if (T.some_z_is_pure_imag) yp = mkcomplex(gen_0, imag_i(yp));
3031 : }
3032 1827 : y = mkvec2(y, yp);
3033 : }
3034 1890 : return gerepilecopy(av, gprec_wtrunc(y, T.prec0));
3035 : }
3036 : static GEN
3037 301 : ellwpseries_aux(GEN c4, GEN c6, long v, long PRECDL)
3038 : {
3039 : long i, k, l;
3040 : pari_sp av;
3041 301 : GEN _1, t, res = cgetg(PRECDL+2,t_SER), *P = (GEN*)(res + 2);
3042 :
3043 301 : res[1] = evalsigne(1) | _evalvalser(-2) | evalvarn(v);
3044 301 : if (!PRECDL) { setsigne(res,0); return res; }
3045 :
3046 2520 : for (i=1; i<PRECDL; i+=2) P[i]= gen_0;
3047 301 : _1 = Rg_get_1(c4);
3048 301 : switch(PRECDL)
3049 : {
3050 301 : default:P[6] = gdivgu(c6,6048);
3051 301 : case 6:
3052 301 : case 5: P[4] = gdivgu(c4, 240);
3053 301 : case 4:
3054 301 : case 3: P[2] = gmul(_1,gen_0);
3055 301 : case 2:
3056 301 : case 1: P[0] = _1;
3057 : }
3058 301 : if (PRECDL <= 8) return res;
3059 301 : av = avma;
3060 301 : P[8] = gerepileupto(av, gdivgu(gsqr(P[4]), 3));
3061 1085 : for (k=5; (k<<1) < PRECDL; k++)
3062 : {
3063 784 : av = avma;
3064 784 : t = gmul(P[4], P[(k-2)<<1]);
3065 1239 : for (l=3; (l<<1) < k; l++) t = gadd(t, gmul(P[l<<1], P[(k-l)<<1]));
3066 784 : t = gmul2n(t, 1);
3067 784 : if ((k & 1) == 0) t = gadd(gsqr(P[k]), t);
3068 784 : if (k % 3 == 2)
3069 273 : t = gdivgu(gmulsg(3, t), (k-3)*(2*k+1));
3070 : else /* same value, more efficient */
3071 511 : t = gdivgu(t, ((k-3)*(2*k+1)) / 3);
3072 784 : P[k<<1] = gerepileupto(av, t);
3073 : }
3074 301 : return res;
3075 : }
3076 :
3077 : static int
3078 294 : get_c4c6(GEN w, GEN *c4, GEN *c6, long prec)
3079 : {
3080 294 : if (typ(w) == t_VEC) switch(lg(w))
3081 : {
3082 203 : case 17:
3083 203 : *c4 = ell_get_c4(w);
3084 203 : *c6 = ell_get_c6(w);
3085 203 : return 1;
3086 91 : case 3:
3087 : {
3088 : ellred_t T;
3089 91 : if (!get_periods(w,NULL,&T, prec)) break;
3090 91 : *c4 = _elleisnum(&T, 4);
3091 91 : *c6 = gneg(_elleisnum(&T, 6));
3092 91 : return 1;
3093 : }
3094 : }
3095 0 : *c4 = *c6 = NULL;
3096 0 : return 0;
3097 : }
3098 :
3099 : GEN
3100 14 : ellwpseries(GEN e, long v, long PRECDL)
3101 : {
3102 : GEN c4, c6;
3103 14 : checkell(e);
3104 14 : c4 = ell_get_c4(e);
3105 14 : c6 = ell_get_c6(e); return ellwpseries_aux(c4,c6,v,PRECDL);
3106 : }
3107 :
3108 : GEN
3109 0 : ellwp(GEN w, GEN z, long prec)
3110 0 : { return ellwp0(w,z,0,prec); }
3111 :
3112 : GEN
3113 182 : ellwp0(GEN w, GEN z, long flag, long prec)
3114 : {
3115 182 : pari_sp av = avma;
3116 : GEN y;
3117 :
3118 182 : if (flag && flag != 1) pari_err_FLAG("ellwp");
3119 182 : if (!z) z = pol_x(0);
3120 182 : y = toser_i(z);
3121 182 : if (y)
3122 : {
3123 105 : long vy = varn(y), v = valser(y);
3124 : GEN P, Q, c4,c6;
3125 105 : if (!get_c4c6(w,&c4,&c6,prec)) pari_err_TYPE("ellwp",w);
3126 105 : if (v <= 0) pari_err(e_IMPL,"ellwp(t_SER) away from 0");
3127 105 : if (gequal0(y)) {
3128 0 : set_avma(av);
3129 0 : if (!flag) return zeroser(vy, -2*v);
3130 0 : retmkvec2(zeroser(vy, -2*v), zeroser(vy, -3*v));
3131 : }
3132 105 : P = ellwpseries_aux(c4,c6, vy, lg(y)-2);
3133 105 : Q = gsubst(P, varn(P), y);
3134 105 : if (!flag)
3135 105 : return gerepileupto(av, Q);
3136 : else
3137 : {
3138 0 : GEN R = mkvec2(Q, gdiv(derivser(Q), derivser(y)));
3139 0 : return gerepilecopy(av, R);
3140 : }
3141 : }
3142 77 : y = ellwpnum_all(w,z,flag,prec);
3143 77 : if (!y) pari_err_DOMAIN("ellwp", "argument","=", gen_0,z);
3144 70 : return gerepileupto(av, y);
3145 : }
3146 :
3147 : GEN
3148 161 : ellzeta(GEN w, GEN z, long prec0)
3149 : {
3150 : long prec;
3151 161 : pari_sp av = avma;
3152 161 : GEN pi2, q, y, et = NULL;
3153 : ellred_t T;
3154 :
3155 161 : if (!z) z = pol_x(0);
3156 161 : y = toser_i(z);
3157 161 : if (y)
3158 : {
3159 91 : long vy = varn(y), v = valser(y);
3160 : GEN P, Q, c4,c6;
3161 91 : if (!get_c4c6(w,&c4,&c6,prec0)) pari_err_TYPE("ellzeta",w);
3162 91 : if (v <= 0) pari_err(e_IMPL,"ellzeta(t_SER) away from 0");
3163 91 : if (gequal0(y)) { set_avma(av); return zeroser(vy, -v); }
3164 91 : P = ellwpseries_aux(c4,c6, vy, lg(y)-2);
3165 91 : P = integser(gneg(P)); /* \zeta' = - \wp*/
3166 91 : Q = gsubst(P, varn(P), y);
3167 91 : return gerepileupto(av, Q);
3168 : }
3169 70 : if (!get_periods(w, z, &T, prec0)) pari_err_TYPE("ellzeta", w);
3170 70 : if (!T.Z) pari_err_DOMAIN("ellzeta", "z", "=", gen_0, z);
3171 70 : prec = T.prec;
3172 70 : if (signe(T.x) || signe(T.y)) et = eta_correction(&T, _elleta(&T));
3173 :
3174 70 : pi2 = Pi2n(1, prec);
3175 70 : q = expIPiC(gmul2n(T.Tau,1), prec);
3176 70 : y = mulcxI(gmul(cxEk(T.Tau,2,prec), gmul(T.Z,divrs(pi2,-12))));
3177 70 : if (!T.abs_u_is_1 || (!gequal(T.Z,ghalf) && !gequal(T.Z,gneg(ghalf))))
3178 : { /* else u = -1 and this vanishes */
3179 70 : long toadd = (long)ceil(get_toadd(T.Z));
3180 70 : GEN qn, u, v, S = gen_0;
3181 : pari_sp av1;
3182 70 : u = expIPiC(gmul2n(T.Z,1), prec);
3183 70 : v = gadd(ghalf, ginv(gsubgs(u, 1)));
3184 70 : if (T.abs_u_is_1) gel(v,1) = gen_0; /*v = (u+1)/2(u-1), pure imaginary*/
3185 70 : y = gadd(y, v);
3186 : /* add sum_n q^n ( u/(u*q^n - 1) + 1/(u - q^n) )
3187 : * = (u^2 - 1) sum_n q^n / (uq^n - 1)(u - q^n) */
3188 70 : av1 = avma;
3189 70 : for (qn = q;;)
3190 : {
3191 863 : S = gadd(S, gdiv(qn, gmul(gsubgs(gmul(qn,u),1), gsub(u,qn))));
3192 863 : qn = gmul(q,qn);
3193 863 : if (gexpo(qn) <= - prec - 5 - toadd) break;
3194 793 : if (gc_needed(av1,1))
3195 : {
3196 0 : if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"ellzeta");
3197 0 : gerepileall(av1,2, &S,&qn);
3198 : }
3199 : }
3200 70 : y = gadd(y, gmul(gsubgs(gsqr(u),1), S));
3201 : }
3202 70 : y = mulcxI(gmul(gdiv(pi2,T.W2), y));
3203 70 : if (T.some_q_is_real)
3204 : {
3205 70 : if (T.some_z_is_real)
3206 : {
3207 28 : if (!et || typ(et) != t_COMPLEX) y = real_i(y);
3208 : }
3209 42 : else if (T.some_z_is_pure_imag)
3210 : {
3211 21 : if (!et || (typ(et) == t_COMPLEX && isintzero(gel(et,1))))
3212 21 : gel(y,1) = gen_0;
3213 : }
3214 : }
3215 70 : if (et) y = gadd(y, et);
3216 70 : return gerepilecopy(av, gprec_wtrunc(y, T.prec0));
3217 : }
3218 :
3219 : /* if flag=0, return ellsigma, otherwise return log(ellsigma) */
3220 : GEN
3221 37674 : ellsigma(GEN w, GEN z, long flag, long prec0)
3222 : {
3223 : long toadd, prec, n;
3224 37674 : pari_sp av = avma, av1;
3225 : GEN u, urn, urninv, z0, pi, pi2, q, q8, qn2, qn, y, y1, uinv, et, etnew;
3226 : ellred_t T;
3227 :
3228 37674 : if (flag < 0 || flag > 1) pari_err_FLAG("ellsigma");
3229 :
3230 37674 : if (!z) z = pol_x(0);
3231 37674 : y = toser_i(z);
3232 37674 : if (y)
3233 : {
3234 98 : long vy = varn(y), v = valser(y);
3235 : GEN P, Q, c4,c6;
3236 98 : if (!get_c4c6(w,&c4,&c6,prec0)) pari_err_TYPE("ellsigma",w);
3237 98 : if (v <= 0) pari_err_IMPL("ellsigma(t_SER) away from 0");
3238 98 : if (flag) pari_err_TYPE("log(ellsigma)",y);
3239 91 : if (gequal0(y)) { set_avma(av); return zeroser(vy, -v); }
3240 91 : P = ellwpseries_aux(c4,c6, vy, lg(y)-2);
3241 91 : P = integser(gneg(P)); /* \zeta' = - \wp*/
3242 : /* (log \sigma)' = \zeta; remove log-singularity first */
3243 91 : P = integser(serchop0(P));
3244 91 : P = gexp(P, prec0);
3245 91 : setvalser(P, valser(P)+1);
3246 91 : Q = gsubst(P, varn(P), y);
3247 91 : return gerepileupto(av, Q);
3248 : }
3249 37576 : if (!get_periods(w, z, &T, prec0)) pari_err_TYPE("ellsigma",w);
3250 37576 : if (!T.Z)
3251 : {
3252 7 : if (!flag) return gen_0;
3253 7 : pari_err_DOMAIN("log(ellsigma)", "argument","=",gen_0,z);
3254 : }
3255 37569 : prec = T.prec;
3256 37569 : pi2 = Pi2n(1,prec);
3257 37569 : pi = mppi(prec);
3258 :
3259 37569 : urninv = uinv = NULL;
3260 37569 : if (typ(T.Z) == t_FRAC && equaliu(gel(T.Z,2), 2) && equalim1(gel(T.Z,1)))
3261 : {
3262 112 : toadd = 0;
3263 112 : urn = mkcomplex(gen_0, gen_m1); /* Z = -1/2 => urn = -I */
3264 112 : u = gen_1;
3265 : }
3266 : else
3267 : {
3268 37457 : toadd = (long)ceil(fabs( get_toadd(T.Z) ));
3269 37457 : urn = expIPiC(T.Z, prec); /* exp(i Pi Z) */
3270 37457 : u = gneg_i(gsqr(urn));
3271 37457 : if (!T.abs_u_is_1) { urninv = ginv(urn); uinv = gneg_i(gsqr(urninv)); }
3272 : }
3273 37569 : q8 = expIPiC(gmul2n(T.Tau, -2), prec);
3274 37569 : q = gpowgs(q8,8); av1 = avma;
3275 37569 : y = gen_0; qn = q; qn2 = gen_1;
3276 238974 : for(n=0;;n++)
3277 : { /* qn = q^(n+1), qn2 = q^(n(n+1)/2), urn = u^((n+1)/2)
3278 : * if |u| = 1, will multiply by 2*I at the end ! */
3279 238974 : y = gadd(y, gmul(qn2, uinv? gsub(urn,urninv): imag_i(urn)));
3280 238974 : qn2 = gmul(qn,qn2);
3281 238974 : if (gexpo(qn2) + n*toadd <= - prec - 5) break;
3282 201405 : qn = gmul(q,qn);
3283 201405 : urn = gmul(urn,u);
3284 201405 : if (uinv) urninv = gmul(urninv,uinv);
3285 201405 : if (gc_needed(av1,1))
3286 : {
3287 0 : if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"ellsigma");
3288 0 : gerepileall(av1,urninv? 5: 4, &y,&qn,&qn2,&urn,&urninv);
3289 : }
3290 : }
3291 37569 : y = gmul(y, gdiv(q8, gmul(pi2, gpowgs(trueeta(T.Tau,prec),3))));
3292 37569 : y = gmul(y, T.abs_u_is_1? gmul2n(T.W2,1): mulcxmI(T.W2));
3293 :
3294 37569 : et = _elleta(&T);
3295 37569 : z0 = gmul(T.Z,T.W2);
3296 37569 : y1 = gadd(z0, gmul2n(gadd(gmul(T.x,T.W1), gmul(T.y,T.W2)),-1));
3297 37569 : etnew = gmul(eta_correction(&T, et), y1);
3298 37569 : y1 = gadd(etnew, gmul2n(gmul(gmul(T.Z,z0),gel(et,2)),-1));
3299 37569 : if (flag)
3300 : {
3301 37499 : y = gadd(y1, glog(y,prec));
3302 37499 : if (mpodd(T.x) || mpodd(T.y)) y = gadd(y, mulcxI(pi));
3303 : /* log(real number): im(y) = 0 or Pi */
3304 37499 : if (T.some_q_is_real && isintzero(imag_i(z)) && gexpo(imag_i(y)) < 1)
3305 273 : y = real_i(y);
3306 : }
3307 : else
3308 : {
3309 70 : y = gmul(y, gexp(y1,prec));
3310 70 : if (mpodd(T.x) || mpodd(T.y)) y = gneg_i(y);
3311 70 : if (T.some_q_is_real)
3312 : {
3313 : int re, cx;
3314 70 : check_complex(z,&re,&cx);
3315 70 : if (re) y = real_i(y);
3316 49 : else if (cx && typ(y) == t_COMPLEX) gel(y,1) = gen_0;
3317 : }
3318 : }
3319 37569 : return gerepilecopy(av, gprec_wtrunc(y, T.prec0));
3320 : }
3321 :
3322 : GEN
3323 1890 : pointell(GEN e, GEN z, long prec)
3324 : {
3325 1890 : pari_sp av = avma;
3326 : GEN v;
3327 :
3328 1890 : checkell(e);
3329 1890 : if (ell_get_type(e) == t_ELL_Qp)
3330 : {
3331 56 : prec = minss(ellQp_get_prec(e), padicprec_relative(z));
3332 56 : return ellQp_t2P(e, z, prec);
3333 : }
3334 1834 : v = ellwpnum_all(e,z,1,prec);
3335 1834 : if (!v) { set_avma(av); return ellinf(); }
3336 1820 : gel(v,1) = gsub(gel(v,1), gdivgu(ell_get_b2(e),12));
3337 1820 : gel(v,2) = gmul2n(gsub(gel(v,2), ec_h_evalx(e,gel(v,1))),-1);
3338 1820 : return gerepilecopy(av, v);
3339 : }
3340 :
3341 : /********************************************************************/
3342 : /** **/
3343 : /** Tate's algorithm e (cf Anvers IV) **/
3344 : /** Kodaira types, global minimal model **/
3345 : /** **/
3346 : /********************************************************************/
3347 : /* structure to hold incremental computation of standard minimal model/Q */
3348 : typedef struct {
3349 : long a1; /*{0,1}*/
3350 : long a2; /*{-1,0,1}*/
3351 : long a3; /*{0,1}*/
3352 : long b2; /* centermod(-c6, 12), in [-5,6] */
3353 : GEN u, u2, u3, u4, u6;
3354 : GEN a4, a6, b4, b6, b8, c4, c6, D;
3355 : } ellmin_t;
3356 :
3357 : /* u from [u,r,s,t] */
3358 : static void
3359 566125 : min_set_u(ellmin_t *M, GEN u)
3360 : {
3361 566125 : M->u = u;
3362 566125 : if (is_pm1(u))
3363 470533 : M->u2 = M->u3 = M->u4 = M->u6 = gen_1;
3364 : else
3365 : {
3366 95592 : M->u2 = sqri(u);
3367 95592 : M->u3 = mulii(M->u2, u);
3368 95592 : M->u4 = sqri(M->u2);
3369 95592 : M->u6 = sqri(M->u3);
3370 : }
3371 566125 : }
3372 : /* E = original curve */
3373 : static void
3374 566125 : min_set_c(ellmin_t *M, GEN E)
3375 : {
3376 566125 : GEN c4 = ell_get_c4(E), c6 = ell_get_c6(E);
3377 566125 : if (!is_pm1(M->u4)) {
3378 95592 : c4 = diviiexact(c4, M->u4);
3379 95592 : c6 = diviiexact(c6, M->u6);
3380 : }
3381 566125 : M->c4 = c4;
3382 566125 : M->c6 = c6;
3383 566125 : }
3384 : static void
3385 565817 : min_set_D(ellmin_t *M, GEN E)
3386 : {
3387 565817 : GEN D = ell_get_disc(E);
3388 565817 : if (!is_pm1(M->u6)) D = diviiexact(D, sqri(M->u6));
3389 565817 : M->D = D;
3390 565817 : }
3391 : static void
3392 565978 : min_set_b(ellmin_t *M)
3393 : {
3394 : long b22, b2;
3395 565978 : M->b2 = b2 = Fl_center(12 - umodiu(M->c6,12), 12, 6);
3396 565978 : b22 = b2 * b2; /* in [0,36] */
3397 565978 : M->b4 = diviuexact(subui(b22, M->c4), 24);
3398 565978 : M->b6 = diviuexact(subii(mulsi(b2, subiu(mului(36,M->b4),b22)), M->c6), 216);
3399 565978 : }
3400 : static void
3401 565838 : min_set_a(ellmin_t *M)
3402 : {
3403 565838 : long a1, a2, a3, a13, b2 = M->b2;
3404 565838 : GEN b4 = M->b4, b6 = M->b6;
3405 565838 : if (odd(b2))
3406 : {
3407 286489 : a1 = 1;
3408 286489 : a2 = (b2 - 1) >> 2;
3409 : }
3410 : else
3411 : {
3412 279349 : a1 = 0;
3413 279349 : a2 = b2 >> 2;
3414 : }
3415 565838 : M->a1 = a1;
3416 565838 : M->a2 = a2;
3417 565838 : M->a3 = a3 = Mod2(b6)? 1: 0;
3418 565838 : a13 = a1 & a3; /* a1 * a3 */
3419 565838 : M->a4 = shifti(subiu(b4, a13), -1);
3420 565838 : M->a6 = shifti(subiu(b6, a3), -2);
3421 565838 : }
3422 : static void
3423 565803 : min_set_all(ellmin_t *M, GEN E, GEN u)
3424 : {
3425 565803 : min_set_u(M, u);
3426 565803 : min_set_c(M, E);
3427 565803 : min_set_D(M, E);
3428 565803 : min_set_b(M);
3429 565803 : min_set_a(M);
3430 565803 : }
3431 : static GEN
3432 552720 : min_to_ell(ellmin_t *M, GEN E)
3433 : {
3434 552720 : GEN b8, y = obj_init(15, 8);
3435 : long a11, a13;
3436 552720 : gel(y,1) = M->a1? gen_1: gen_0;
3437 552720 : gel(y,2) = stoi(M->a2);
3438 552720 : gel(y,3) = M->a3? gen_1: gen_0;
3439 552720 : gel(y,4) = M->a4;
3440 552720 : gel(y,5) = M->a6;
3441 552720 : gel(y,6) = stoi(M->b2);
3442 552720 : gel(y,7) = M->b4;
3443 552720 : gel(y,8) = M->b6;
3444 552720 : a11 = M->a1;
3445 552720 : a13 = M->a1 & M->a3;
3446 552720 : b8 = subii(addii(mului(a11,M->a6), mulis(M->b6, M->a2)),
3447 : mulii(M->a4, addiu(M->a4,a13)));
3448 552720 : gel(y,9) = b8; /* a1^2 a6 + 4a6 a2 + a2 a3^2 - a4(a4 + a1 a3) */
3449 552720 : gel(y,10)= M->c4;
3450 552720 : gel(y,11)= M->c6;
3451 552720 : gel(y,12)= M->D;
3452 552720 : gel(y,13)= gel(E,13);
3453 552720 : gel(y,14)= gel(E,14);
3454 552720 : gel(y,15)= gel(E,15);
3455 552720 : return y;
3456 : }
3457 : static GEN
3458 565803 : min_get_v(ellmin_t *M, GEN E)
3459 : {
3460 : GEN r, s, t;
3461 565803 : r = diviuexact(subii(mulis(M->u2,M->b2), ell_get_b2(E)), 12);
3462 565803 : s = shifti(subii(M->a1? M->u: gen_0, ell_get_a1(E)), -1);
3463 565803 : t = shifti(subii(M->a3? M->u3: gen_0, Zec_h_evalx(E,r)), -1);
3464 565803 : return mkvec4(M->u,r,s,t);
3465 : }
3466 :
3467 : /* return v_p(u), where [u,r,s,t] is the variable change to minimal model */
3468 : static long
3469 1702543 : get_vp_u_small(GEN E, ulong p, long *pv6, long *pvD)
3470 : {
3471 1702543 : GEN c6 = ell_get_c6(E);
3472 1702543 : long d, v6, vD = Z_lval(ell_get_disc(E), p);
3473 1702543 : if (!signe(c6))
3474 : {
3475 3045 : d = vD / 12;
3476 3045 : if (d)
3477 : {
3478 1127 : if (p == 2)
3479 : {
3480 875 : GEN c4 = ell_get_c4(E);
3481 875 : long a = Mod16( shifti(c4, -4*d) );
3482 875 : if (a) d--;
3483 : }
3484 1127 : if (d) vD -= 12*d; /* non minimal model */
3485 : }
3486 3045 : v6 = 12; /* +oo */
3487 : }
3488 : else
3489 : {
3490 1699498 : v6 = Z_lval(c6,p);
3491 1699498 : d = minss(2*v6, vD) / 12;
3492 1699498 : if (d) {
3493 181286 : if (p == 2) {
3494 109858 : GEN c4 = ell_get_c4(E);
3495 109858 : long a = Mod16( shifti(c4, -4*d) );
3496 109858 : long b = Mod32( shifti(c6, -6*d) );
3497 109858 : if ((b & 3) != 3 && (a || (b && b!=8))) d--;
3498 71428 : } else if (p == 3) {
3499 45199 : if (v6 == 6*d+2) d--;
3500 : }
3501 181286 : if (d) { v6 -= 6*d; vD -= 12*d; } /* non minimal model */
3502 : }
3503 : }
3504 1702543 : *pv6 = v6; *pvD = vD; return d;
3505 : }
3506 : static long
3507 881468 : get_vp_u(GEN E, GEN p, long *pv6, long *pvD)
3508 : {
3509 : GEN c6;
3510 : long d, v6, vD;
3511 881468 : if (lgefint(p) == 3) return get_vp_u_small(E, p[2], pv6, pvD);
3512 39 : c6 = ell_get_c6(E);
3513 39 : vD = Z_pval(ell_get_disc(E), p);
3514 39 : if (!signe(c6))
3515 : {
3516 0 : d = vD / 12;
3517 0 : if (d) vD -= 12*d; /* non minimal model */
3518 0 : v6 = 12; /* +oo */
3519 : }
3520 : else
3521 : {
3522 39 : v6 = Z_pval(c6,p);
3523 39 : d = minss(2*v6, vD) / 12;
3524 39 : if (d) { v6 -= 6*d; vD -= 12*d; } /* non minimal model */
3525 : }
3526 39 : *pv6 = v6; *pvD = vD; return d;
3527 : }
3528 :
3529 : /* Given an integral elliptic curve in ellinit form, and a prime p, returns the
3530 : type of the fiber at p of the Neron model, as well as the change of variables
3531 : in the form [f, kod, v, c].
3532 :
3533 : * The integer f is the conductor's exponent.
3534 :
3535 : * The integer kod is the Kodaira type using the following notation:
3536 : II , III , IV --> 2, 3, 4
3537 : I0 --> 1
3538 : Inu --> 4+nu for nu > 0
3539 : A '*' negates the code (e.g I* --> -2)
3540 :
3541 : * v is a quadruple [u, r, s, t] yielding a minimal model
3542 :
3543 : * c is the Tamagawa number.
3544 :
3545 : Uses Tate's algorithm (Anvers IV). Given the remarks at the bottom of
3546 : page 46, the "long" algorithm is used for p = 2,3 only. */
3547 : static GEN
3548 1899226 : localred_result(long f, long kod, long c, GEN v)
3549 : {
3550 1899226 : GEN z = cgetg(5, t_VEC);
3551 1899226 : gel(z,1) = stoi(f);
3552 1899226 : gel(z,2) = stoi(kod);
3553 1899226 : gel(z,3) = gcopy(v);
3554 1899226 : gel(z,4) = stoi(c); return z;
3555 : }
3556 : static GEN
3557 0 : localredbug(GEN p, const char *s)
3558 : {
3559 0 : if (BPSW_psp(p)) pari_err_BUG(s);
3560 0 : pari_err_PRIME("localred",p);
3561 : return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
3562 : }
3563 :
3564 : /* v_p( denom(j(E)) ) >= 0 */
3565 : static long
3566 884842 : j_pval(GEN E, GEN p) { return Z_pval(Q_denom(ell_get_j(E)), p); }
3567 :
3568 : /* p > 3, e integral */
3569 : static GEN
3570 881468 : localred_p(GEN e, GEN p)
3571 : {
3572 : long k, f, kod, c, nuj, nuD, nu6;
3573 881468 : GEN p2, v, tri, c4, c6, D = ell_get_disc(e);
3574 :
3575 881468 : c4 = ell_get_c4(e);
3576 881468 : c6 = ell_get_c6(e);
3577 881468 : nuj = j_pval(e, p);
3578 881468 : nuD = Z_pval(D, p);
3579 881468 : k = get_vp_u(e, p, &nu6, &nuD);
3580 881468 : if (!k) v = init_ch();
3581 : else
3582 : { /* model not minimal */
3583 : ellmin_t M;
3584 13097 : min_set_all(&M, e, powiu(p,k));
3585 13097 : v = min_get_v(&M, e);
3586 13097 : c4 = M.c4; c6 = M.c6; D = M.D;
3587 : }
3588 :
3589 881468 : if (nuj > 0) switch(nuD - nuj)
3590 : {
3591 763021 : case 0: f = 1; kod = 4+nuj; /* Inu */
3592 763021 : switch(kronecker(negi(c6),p))
3593 : {
3594 393218 : case 1: c = nuD; break;
3595 369803 : case -1: c = odd(nuD)? 1: 2; break;
3596 0 : default: return localredbug(p,"localred (p | c6)");
3597 : }
3598 763021 : break;
3599 45829 : case 6:
3600 : {
3601 45829 : GEN d = Fp_red(diviiexact(D, powiu(p, 6+nuj)), p);
3602 45829 : if (nuj & 1) d = Fp_mul(d, diviiexact(c6, powiu(p,3)), p);
3603 45829 : f = 2; kod = -4-nuj; c = 3 + kronecker(d, p); /* Inu* */
3604 45829 : break;
3605 : }
3606 0 : default: return localredbug(p,"localred (nu_D - nu_j != 0,6)");
3607 : }
3608 72618 : else switch(nuD)
3609 : {
3610 539 : case 0: f = 0; kod = 1; c = 1; break; /* I0, regular */
3611 11718 : case 2: f = 2; kod = 2; c = 1; break; /* II */
3612 10346 : case 3: f = 2; kod = 3; c = 2; break; /* III */
3613 5663 : case 4: f = 2; kod = 4; /* IV */
3614 5663 : c = 2 + krosi(-6,p) * kronecker(diviiexact(c6,sqri(p)), p);
3615 5663 : break;
3616 16856 : case 6: f = 2; kod = -1; /* I0* */
3617 16856 : p2 = sqri(p);
3618 : /* x^3 - 3c4/p^2 x - 2c6/p^3 */
3619 16856 : tri = mkpoln(4, gen_1, gen_0,
3620 : negi(mului(3, diviiexact(c4, p2))),
3621 : negi(shifti(diviiexact(c6, mulii(p2,p)), 1)));
3622 16856 : c = 1 + FpX_nbroots(tri, p);
3623 16856 : break;
3624 11641 : case 8: f = 2; kod = -4; /* IV* */
3625 11641 : c = 2 + krosi(-6,p) * kronecker(diviiexact(c6, sqri(sqri(p))), p);
3626 11641 : break;
3627 10241 : case 9: f = 2; kod = -3; c = 2; break; /* III* */
3628 5614 : case 10: f = 2; kod = -2; c = 1; break; /* II* */
3629 0 : default: return localredbug(p,"localred");
3630 : }
3631 881468 : return localred_result(f, kod, c, v);
3632 : }
3633 :
3634 : /* return a_{ k,l } in Tate's notation, pl = p^l */
3635 : static ulong
3636 891702 : aux(GEN ak, ulong q, ulong pl)
3637 891702 : { return umodiu(ak, q) / pl; }
3638 :
3639 : static ulong
3640 1424346 : aux2(GEN ak, ulong p, GEN pl)
3641 1424346 : { pari_sp av = avma; return gc_ulong(av, umodiu(diviiexact(ak, pl), p)); }
3642 :
3643 : /* number of distinct roots of X^3 + aX^2 + bX + c modulo p = 2 or 3
3644 : * assume a,b,c in {0, 1} [ p = 2 ] or {0, 1, 2} [ p = 3 ]
3645 : * if there's a multiple root, put it in *mult */
3646 : static long
3647 245056 : numroots3(long a, long b, long c, long p, long *mult)
3648 : {
3649 245056 : if (p == 2)
3650 : {
3651 141554 : if (odd(c + a * b)) return 3;
3652 122766 : *mult = b; return odd(a + b)? 2: 1;
3653 : }
3654 : /* p = 3 */
3655 103502 : if (!a) { *mult = -c; return b? 3: 1; }
3656 69286 : *mult = a * b;
3657 69286 : if (b == 2)
3658 23065 : return (a + c) == 3 ? 2 : 3;
3659 : else
3660 46221 : return c ? 3 : 2;
3661 : }
3662 :
3663 : /* same for aX^2 +bX + c */
3664 : static long
3665 790440 : numroots2(long a, long b, long c, long p, long *mult)
3666 : {
3667 790440 : if (p == 2) { *mult = c; return odd(b)? 2: 1; }
3668 : /* p = 3 */
3669 302113 : *mult = a * b; return (b * b - a * c) % 3 ? 2 : 1;
3670 : }
3671 :
3672 : /* p = 2 or 3 */
3673 : static GEN
3674 706853 : localred_23(GEN e, long p)
3675 : {
3676 : long c, nu, nu6, nuD, r, s, t;
3677 : long k, theroot, p2, p3, p4, p5, a21, a42, a63, a32, a64;
3678 : GEN v;
3679 :
3680 706853 : k = get_vp_u_small(e, p, &nu6, &nuD);
3681 706853 : if (!k) v = init_ch();
3682 : else
3683 : {
3684 : ellmin_t M;
3685 48776 : min_set_all(&M, e, powuu(p, k));
3686 48776 : v = min_get_v(&M, e);
3687 48776 : e = min_to_ell(&M, e);
3688 : }
3689 : /* model is minimal */
3690 706853 : nuD = Z_lval(ell_get_disc(e), (ulong)p);
3691 706853 : if (!nuD) return localred_result(0, 1, 1, v); /* I0 */
3692 705362 : if (p == 2) { p2 = 4; p3 = 8; p4 = 16; p5 = 32; }
3693 322833 : else { p2 = 9; p3 = 27; p4 = 81; p5 =243; }
3694 :
3695 705362 : if (umodiu(ell_get_b2(e), p)) /* p \nmid b2 */
3696 : {
3697 387590 : if (umodiu(negi(ell_get_c6(e)), p == 2 ? 8 : 3) == 1)
3698 196819 : c = nuD;
3699 : else
3700 190771 : c = odd(nuD)? 1: 2;
3701 387590 : return localred_result(1, 4 + nuD, c, v); /* Inu */
3702 : }
3703 317772 : if (p == 2)
3704 : {
3705 186494 : r = umodiu(ell_get_a4(e), 2);
3706 186494 : s = umodiu(ell_get_a2(e), 2);
3707 186494 : t = umodiu(ell_get_a6(e), 2);
3708 186494 : if (r) { t = (s + t) & 1; s = (s + 1) & 1; }
3709 : }
3710 : else /* p == 3 */
3711 : {
3712 131278 : r = - umodiu(ell_get_b6(e), 3);
3713 131278 : s = umodiu(ell_get_a1(e), 3);
3714 131278 : t = umodiu(ell_get_a3(e), 3);
3715 131278 : if (s) { t = (t + r*s) % 3; if (t < 0) t += 3; }
3716 : }
3717 : /* p | (a1, a2, a3, a4, a6) */
3718 317772 : if (r || s || t) e = coordch_rst(e, stoi(r), stoi(s), stoi(t));
3719 317772 : if (umodiu(ell_get_a6(e), p2))
3720 22351 : return localred_result(nuD, 2, 1, v); /* II */
3721 295421 : if (umodiu(ell_get_b8(e), p3))
3722 27748 : return localred_result(nuD - 1, 3, 2, v); /* III */
3723 267673 : if (umodiu(ell_get_b6(e), p3))
3724 : {
3725 22617 : if (umodiu(ell_get_b6(e), (p==2)? 32: 27) == (ulong)p2)
3726 11578 : c = 3;
3727 : else
3728 11039 : c = 1;
3729 22617 : return localred_result(nuD - 2, 4, c, v); /* IV */
3730 : }
3731 :
3732 245056 : if (umodiu(ell_get_a6(e), p3))
3733 91511 : e = coordch_t(e, p == 2? gen_2: modis(ell_get_a3(e), 9));
3734 : /* p | a1, a2; p^2 | a3, a4; p^3 | a6 */
3735 245056 : a21 = aux(ell_get_a2(e), p2, p);
3736 245056 : a42 = aux(ell_get_a4(e), p3, p2);
3737 245056 : a63 = aux(ell_get_a6(e), p4, p3);
3738 245056 : switch (numroots3(a21, a42, a63, p, &theroot))
3739 : {
3740 36078 : case 3:
3741 36078 : c = a63 ? 1: 2;
3742 36078 : if (p == 2)
3743 18788 : c += ((a21 + a42 + a63) & 1);
3744 : else {
3745 17290 : if (((1 + a21 + a42 + a63) % 3) == 0) c++;
3746 17290 : if (((1 - a21 + a42 - a63) % 3) == 0) c++;
3747 : }
3748 36078 : return localred_result(nuD - 4, -1, c, v); /* I0* */
3749 130711 : case 2:
3750 : { /* compute nu */
3751 : GEN pk, pk1, p2k;
3752 : long al, be, ga;
3753 130711 : if (theroot) e = coordch_r(e, stoi(theroot * p));
3754 : /* p | a1; p^2 | a2, a3; p^3 | a4; p^4 | a6 */
3755 130711 : nu = 1;
3756 130711 : pk = utoipos(p2);
3757 130711 : p2k = utoipos(p4);
3758 : for(;;)
3759 : {
3760 388402 : be = aux2(ell_get_a3(e), p, pk);
3761 388402 : ga = -aux2(ell_get_a6(e), p, p2k);
3762 388402 : al = 1;
3763 388402 : if (numroots2(al, be, ga, p, &theroot) == 2) break;
3764 323771 : if (theroot) e = coordch_t(e, mulsi(theroot,pk));
3765 323771 : pk1 = pk;
3766 323771 : pk = mului(p, pk);
3767 323771 : p2k = mului(p, p2k); nu++;
3768 :
3769 323771 : al = a21;
3770 323771 : be = aux2(ell_get_a4(e), p, pk);
3771 323771 : ga = aux2(ell_get_a6(e), p, p2k);
3772 323771 : if (numroots2(al, be, ga, p, &theroot) == 2) break;
3773 257691 : if (theroot) e = coordch_r(e, mulsi(theroot, pk1));
3774 257691 : p2k = mului(p, p2k); nu++;
3775 : }
3776 130711 : if (p == 2)
3777 72387 : c = odd(ga)? 2: 4;
3778 : else
3779 58324 : c = 3 + kross(be * be - al * ga, 3);
3780 130711 : return localred_result(nuD - 4 - nu, -4 - nu, c, v); /* Inu* */
3781 : }
3782 78267 : case 1:
3783 78267 : if (theroot) e = coordch_r(e, stoi(theroot*p));
3784 : /* p | a1; p^2 | a2, a3; p^3 | a4; p^4 | a6 */
3785 78267 : a32 = aux(ell_get_a3(e), p3, p2);
3786 78267 : a64 = aux(ell_get_a6(e), p5, p4);
3787 78267 : if (numroots2(1, a32, -a64, p, &theroot) == 2)
3788 : {
3789 29925 : if (p == 2)
3790 20447 : c = 3 - 2 * a64;
3791 : else
3792 9478 : c = 2 + kross(a32 * a32 + a64, 3);
3793 29925 : return localred_result(nuD - 6, -4, c, v); /* IV* */
3794 : }
3795 48342 : if (theroot) e = coordch_t(e, stoi(theroot*p2));
3796 : /* p | a1; p^2 | a2; p^3 | a3, a4; p^5 | a6 */
3797 48342 : if (umodiu(ell_get_a4(e), p4))
3798 29078 : return localred_result(nuD - 7, -3, 2, v); /* III* */
3799 :
3800 : /* p^6 \nmid a6, otherwise wouldn't be minimal */
3801 19264 : return localred_result(nuD - 8, -2, 1, v); /* II* */
3802 : }
3803 : return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
3804 : }
3805 :
3806 : /* e is integral */
3807 : static GEN
3808 1587901 : localred(GEN e, GEN p)
3809 : {
3810 1587901 : if (abscmpiu(p, 3) > 0) /* p != 2,3 */
3811 881468 : return localred_p(e,p);
3812 : else
3813 : {
3814 706433 : long l = itos(p);
3815 706433 : if (l < 2) pari_err_PRIME("localred",p);
3816 706433 : return localred_23(e, l);
3817 : }
3818 : }
3819 :
3820 : /* Given J an ideal in HNF coprime to 2 and z algebraic integer,
3821 : * return b algebraic integer such that z + 2b in J */
3822 : static GEN
3823 140616 : approx_mod2(GEN J, GEN z)
3824 : {
3825 140616 : GEN b = z;
3826 : long i;
3827 140616 : if (typ(b) == t_INT)
3828 : {
3829 140525 : if (mpodd(b)) b = addii(b, gcoeff(J,1,1));
3830 140525 : return shifti(negi(b),-1);
3831 : }
3832 273 : for (i = lg(J)-1; i >= 1; i--)
3833 : {
3834 182 : if (mpodd(gel(b,i))) b = ZC_add(b, gel(J,i));
3835 : }
3836 91 : return gshift(ZC_neg(b), -1);
3837 : }
3838 :
3839 : /* Given J an ideal in HNF coprime to 3 and z algebraic integer,
3840 : * return b algebraic integer such that z + 3b in J */
3841 : static GEN
3842 70308 : approx_mod3(GEN J, GEN z)
3843 : {
3844 70308 : GEN b = z;
3845 : long i;
3846 70308 : if (typ(b) == t_INT)
3847 : {
3848 70259 : long s = smodis(b,3);
3849 70259 : if (s)
3850 : {
3851 0 : GEN Jz = gcoeff(J,1,1);
3852 0 : if (smodis(Jz, 3) == s)
3853 0 : b = subii(b, Jz);
3854 : else
3855 0 : b = addii(b, Jz);
3856 : }
3857 70259 : return diviiexact(b, stoi(-3));
3858 : }
3859 147 : for (i = lg(J)-1; i >= 1; i--)
3860 : {
3861 98 : long s = smodis(gel(b,i), 3);
3862 98 : if (!s) continue;
3863 49 : if (smodis(gcoeff(J,i,i), 3) == s)
3864 21 : b = ZC_sub(b, gel(J,i));
3865 : else
3866 28 : b = ZC_add(b, gel(J,i));
3867 : }
3868 49 : return ZC_Z_divexact(b, stoi(-3));
3869 : }
3870 :
3871 : /* return a such that v_P(a) = -1, integral elsewhere */
3872 : static GEN
3873 157913 : get_piinv(GEN P)
3874 : {
3875 157913 : GEN z = pr_get_tau(P);
3876 157913 : if (typ(z) == t_MAT) z = gel(z,1);
3877 157913 : return gdiv(z, pr_get_p(P));
3878 : }
3879 : /* pi = local uniformizer, pv = 1/pi */
3880 : static void
3881 310905 : get_uniformizers(GEN nf, GEN P, GEN *pi, GEN *pv)
3882 : {
3883 310905 : if (pr_is_inert(P))
3884 : {
3885 153034 : *pi = pr_get_p(P);
3886 153034 : *pv = mkfrac(gen_1, *pi);
3887 : }
3888 : else
3889 : {
3890 157871 : *pv = get_piinv(P);
3891 157871 : *pi = nfinv(nf, *pv);
3892 : }
3893 310905 : }
3894 : /* x^2+E.a1*x-E.a2 */
3895 : static GEN
3896 579397 : pola1a2(GEN e, GEN nf, GEN modP)
3897 : {
3898 579397 : GEN a1 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a1(e), modP);
3899 579397 : GEN a2 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a2(e), modP);
3900 579397 : return mkpoln(3, gen_1, a1, gneg(a2));
3901 : }
3902 :
3903 : /* x^2+E.a3*pv3*x-E.a6*pv6 */
3904 : static GEN
3905 1069803 : pola3a6(GEN e, GEN nf, GEN modP, GEN pv3, GEN pv6)
3906 : {
3907 1069803 : GEN a3 = nf_to_Fq(nf, nfmul(nf, ell_get_a3(e), pv3), modP);
3908 1069803 : GEN a6 = nf_to_Fq(nf, nfmul(nf, ell_get_a6(e), pv6), modP);
3909 1069803 : return mkpoln(3, gen_1, a3, gneg(a6));
3910 : }
3911 :
3912 : /* E.a2*pv2*x^2 + E.a4*pv4*x + E.a6*pv6 */
3913 :
3914 : static GEN
3915 592746 : pola2a4a6(GEN e, GEN nf, GEN modP, GEN pv2, GEN pv4, GEN pv6)
3916 : {
3917 592746 : GEN a2 = nf_to_Fq(nf, nfmul(nf, ell_get_a2(e), pv2), modP);
3918 592746 : GEN a4 = nf_to_Fq(nf, nfmul(nf, ell_get_a4(e), pv4), modP);
3919 592746 : GEN a6 = nf_to_Fq(nf, nfmul(nf, ell_get_a6(e), pv6), modP);
3920 592746 : return mkpoln(3, a2, a4, a6);
3921 : }
3922 :
3923 : static GEN
3924 1626562 : pol2sqrt_23(GEN modP, GEN Q)
3925 : {
3926 1626562 : GEN p = modpr_get_p(modP), T = modpr_get_T(modP);
3927 1626562 : GEN r = absequaliu(p,2) ? gel(Q,2): gel(Q,3);
3928 1626562 : if (!gequal1(gel(Q,4))) r = Fq_div(r, gel(Q,4), T, p);
3929 1626562 : if (absequaliu(p,2)) r = Fq_sqrt(r,T,p);
3930 1626562 : return Fq_to_nf(r, modP);
3931 : }
3932 :
3933 : static GEN
3934 27524 : nflocalred_section7(GEN e, GEN nf, GEN modP, GEN pi, GEN pv, long vD, GEN ch)
3935 : {
3936 27524 : GEN p = modpr_get_p(modP), T = modpr_get_T(modP);
3937 27524 : GEN pi3 = nfsqr(nf,pi);
3938 27524 : GEN pv3 = nfsqr(nf,pv), pv4 = nfmul(nf,pv,pv3), pv6 = nfsqr(nf,pv3);
3939 27524 : long n = 1;
3940 : while(1)
3941 83881 : {
3942 111405 : GEN Q = pola3a6(e, nf, modP, pv3, pv6);
3943 : GEN gama;
3944 111405 : if (FqX_is_squarefree(Q, T, p))
3945 : {
3946 14847 : long nr = FqX_nbroots(Q,T,p);
3947 14847 : return localred_result(vD-n-4,-4-n,nr+2,ch);
3948 : }
3949 96558 : gama = pol2sqrt_23(modP, Q);
3950 96558 : nf_compose_t(nf, &ch, &e, nfmul(nf, gama,pi3));
3951 96558 : pv6 = nfmul(nf,pv,pv6); n++;
3952 96558 : Q = pola2a4a6(e, nf, modP, pv, pv4, pv6);
3953 96558 : if (FqX_is_squarefree(Q, T, p))
3954 : {
3955 12677 : long nr = FqX_nbroots(Q,T,p);
3956 12677 : return localred_result(vD-n-4,-4-n,nr+2,ch);
3957 : }
3958 83881 : gama = pol2sqrt_23(modP, Q);
3959 83881 : nf_compose_r(nf, &ch, &e, nfmul(nf, gama, pi3));
3960 83881 : pi3 = nfmul(nf,pi, pi3);
3961 83881 : pv3 = pv4; pv4 = nfmul(nf,pv,pv4); pv6 = nfmul(nf,pv,pv6); n++;
3962 : }
3963 : }
3964 :
3965 : /* Tate algorithm, following J.H. Silverman GTM 151, chapt. IV, algo 9.4 */
3966 : /* Dedicated to John Tate for his kind words */
3967 :
3968 : static GEN
3969 181783 : nflocalred_23(GEN nf, GEN e, GEN D, GEN P, long *ap)
3970 : {
3971 : GEN T, p, modP;
3972 : long vD;
3973 : GEN ch, pv, pv2, pv4, pi, pol;
3974 181783 : modP = nf_to_Fq_init(nf,&P,&T,&p);
3975 181783 : get_uniformizers(nf,P, &pi, &pv);
3976 181783 : ch = init_ch();
3977 181783 : vD = nfval(nf,D,P);
3978 181783 : *ap = 0;
3979 : while(1)
3980 : {
3981 625317 : if (vD==0)
3982 31493 : return localred_result(0,1,1,ch);
3983 : else
3984 : {
3985 593824 : GEN a1 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a1(e), modP);
3986 593824 : GEN a2 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a2(e), modP);
3987 593824 : GEN a3 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a3(e), modP);
3988 593824 : GEN a4 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a4(e), modP);
3989 593824 : GEN a6 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a6(e), modP);
3990 : GEN x0, y0;
3991 593824 : if (absequaliu(p,2))
3992 : {
3993 : GEN x02, y02;
3994 385133 : if (signe(a1))
3995 : {
3996 43589 : x0 = Fq_div(a3, a1, T, p);
3997 43589 : x02 = Fq_sqr(x0,T,p);
3998 43589 : y02 = Fq_add(Fq_mul(x02,Fq_add(x0,a2,T,p),T,p),Fq_add(Fq_mul(a4,x0,T,p),a6,T,p),T,p);
3999 : }
4000 : else
4001 : {
4002 341544 : x0 = Fq_sqrt(a4, T, p);
4003 341544 : y02 = Fq_add(Fq_mul(a4,a2,T,p),a6,T,p);
4004 : }
4005 385133 : y0 = Fq_sqrt(y02,T,p);
4006 : }
4007 : else
4008 : {
4009 208691 : GEN a12 = Fq_add(Fq_sqr(a1,T,p),a2,T,p);
4010 208691 : if (signe(a12))
4011 39620 : x0 = Fq_div(Fq_sub(a4,Fq_mul(a3,a1,T,p),T,p),a12,T,p);
4012 : else
4013 169071 : x0 = Fq_sqrtn(Fq_neg(Fq_add(Fq_sqr(a3,T,p),a6,T,p),T,p),p,T,p,NULL);
4014 208691 : y0 = Fq_add(Fq_mul(a1, x0, T, p), a3, T, p);
4015 : }
4016 593824 : x0 = Fq_to_nf(x0, modP);
4017 593824 : y0 = Fq_to_nf(y0, modP);
4018 593824 : nf_compose_rt(nf, &ch, &e, x0, y0);
4019 : }
4020 : /* 2 */
4021 : {
4022 593824 : GEN b2 = nf_to_Fq(nf, ell_get_b2(e), modP);
4023 593824 : if (signe(b2) != 0)
4024 : {
4025 83209 : GEN Q = pola1a2(e, nf, modP);
4026 83209 : long nr = FqX_nbroots(Q, T, p);
4027 83209 : if (nr==2) { *ap = 1; return localred_result(1,vD+4,vD,ch); /* Inu */ }
4028 41804 : else { *ap = -1; return localred_result(1,vD+4,odd(vD)?1:2,ch); }
4029 : }
4030 : }
4031 : /* 3 */
4032 : {
4033 510615 : long va6 = nfval(nf,ell_get_a6(e),P);
4034 510615 : if (va6 <= 1) return localred_result(vD,2,1,ch); /* II */
4035 : }
4036 : /* 4 */
4037 : {
4038 506716 : long vb8 = nfval(nf,ell_get_b8(e),P);
4039 506716 : if (vb8 <= 2) return localred_result(vD-1,3,2,ch);/* III */
4040 : }
4041 : /* 5 */
4042 499583 : pv2 = nfsqr(nf,pv);
4043 : {
4044 499583 : long vb6 = nfval(nf,ell_get_b6(e),P);
4045 499583 : if (vb6<=2)
4046 : {
4047 3395 : GEN Q = pola3a6(e, nf, modP, pv, pv2);
4048 3395 : long nr = FqX_nbroots(Q,T,p);
4049 3395 : return localred_result(vD-2,4,1+nr,ch);/* IV */
4050 : }
4051 : }
4052 : /* 6 */
4053 : {
4054 496188 : GEN pv3 = nfmul(nf,pv, pv2);
4055 496188 : GEN alpha = pol2sqrt_23(modP, pola1a2(e, nf, modP));
4056 496188 : GEN beta = pol2sqrt_23(modP, pola3a6(e, nf, modP, pv, pv2));
4057 : GEN po2, E, F, mr;
4058 : long i, lE;
4059 496188 : nf_compose_st(nf, &ch, &e, alpha, nfmul(nf, beta, pi));
4060 496188 : po2 = pola2a4a6(e, nf, modP, pv, pv2, pv3);
4061 496188 : if (signe(po2)) /* po2 = 0 is frequent when nonminimal */
4062 : {
4063 123999 : pol = RgX_add(pol_xn(3,0), po2);
4064 123999 : F = FqX_factor(pol, T, p); E = gel(F,2);
4065 123999 : lE = lg(E);
4066 123999 : if (E[1] == 1 && (lE == 2 || E[2] == 1))
4067 : { /* T squarefree, degree pattern is (3), (12) or (111) */
4068 : long c; /* 1 + number of roots */
4069 9849 : switch(lE)
4070 : {
4071 2534 : case 2: c = 1; break;
4072 6643 : case 3: c = 2; break;
4073 672 : default: c = 4; break;
4074 : }
4075 9849 : return localred_result(vD-4,-1,c,ch);/* I0* */
4076 : }
4077 : /* 7 */
4078 114150 : i = (lE == 2 || E[1] == 2)? 1: 2; /* index of multiple root */
4079 114150 : mr = constant_coeff(gmael(F,1,i)); /* - multiple root */
4080 114150 : if (!gequal0(mr))
4081 : { /* not so frequent */
4082 102873 : GEN gama = Fq_to_nf(Fq_neg(mr, T, p), modP);
4083 102873 : nf_compose_r(nf, &ch, &e, nfmul(nf, gama,pi));
4084 : }
4085 114150 : if (lE == 3)
4086 27524 : return nflocalred_section7(e, nf, modP, pi, pv, vD, ch); /* Inu* */
4087 : }
4088 : }
4089 458815 : pv4 = nfsqr(nf,pv2);
4090 458815 : pol = pola3a6(e, nf, modP, pv2, pv4);
4091 : /* 8 */
4092 458815 : if (FqX_is_squarefree(pol,T,p))
4093 : {
4094 5068 : long nr = FqX_nbroots(pol, T, p);
4095 5068 : return localred_result(vD-6,-4,1+nr,ch); /* IV* */
4096 : }
4097 : /* 9 */
4098 : {
4099 453747 : GEN alpha = pol2sqrt_23(modP, pol);
4100 453747 : nf_compose_t(nf, &ch, &e, nfmul(nf, alpha, nfsqr(nf,pi)));
4101 453747 : if (nfval(nf, ell_get_a4(e), P) == 3)
4102 7658 : return localred_result(vD-7,-3,2,ch); /* III* */
4103 : }
4104 : /* 10 */
4105 446089 : if (nfval(nf, ell_get_a6(e), P) == 5)
4106 2555 : return localred_result(vD-8,-2,1,ch); /* II* */
4107 : /* 11 */
4108 443534 : nf_compose_u(nf, &ch, &e, pi, pv);
4109 443534 : vD -= 12;
4110 : }
4111 : }
4112 :
4113 : /* Local reduction, residual characteristic >= 5. E/nf, P prid
4114 : * Output: f, kod, [u,r,s,t], c */
4115 : static GEN
4116 129122 : nflocalred_p(GEN e, GEN P)
4117 : {
4118 129122 : GEN nf = ellnf_get_nf(e), T,p, modP = nf_to_Fq_init(nf,&P,&T,&p);
4119 : long c, f, vD, nuj, kod, m;
4120 : GEN ch, c4, c6, D, z, pi, piinv;
4121 :
4122 129122 : c4 = ell_get_c4(e);
4123 129122 : c6 = ell_get_c6(e);
4124 129122 : D = ell_get_disc(e);
4125 129122 : vD = nfval(nf,D,P);
4126 129122 : nuj = nfval(nf,ell_get_j(e),P);
4127 129122 : nuj = nuj >= 0? 0: -nuj; /* v_P(denom(j)) */
4128 129122 : m = (vD - nuj)/12;
4129 129122 : get_uniformizers(nf,P, &pi, &piinv);
4130 :
4131 129122 : if(m <= 0) ch = init_ch();
4132 : else
4133 : { /* model not minimal */
4134 : GEN r,s,t, a1,a2,a3, u,ui,ui2,ui4,ui6,ui12;
4135 70308 : u = nfpow_u(nf,pi,m);
4136 70308 : ui = nfpow_u(nf,piinv,m);
4137 70308 : ui2 = nfsqr(nf,ui);
4138 70308 : ui4 = nfsqr(nf,ui2);
4139 70308 : ui6 = nfmul(nf,ui2,ui4);
4140 70308 : ui12 = nfsqr(nf,ui6);
4141 70308 : c4 = nfmul(nf,c4,ui4);
4142 70308 : c6 = nfmul(nf,c6,ui6);
4143 70308 : D = nfmul(nf,D,ui12); vD -= 12*m;
4144 70308 : a1 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a1(e));
4145 70308 : a2 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a2(e));
4146 70308 : a3 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a3(e));
4147 70308 : s = approx_mod2(idealpow(nf,P,stoi(m)), a1);
4148 70308 : r = gsub(a2, nfmul(nf,s,gadd(a1,s)));
4149 70308 : r = approx_mod3(idealpow(nf,P,stoi(2*m)), r);
4150 70308 : t = gadd(a3, nfmul(nf,r,a1));
4151 70308 : t = approx_mod2(idealpow(nf,P,stoi(3*m)), t);
4152 70308 : ch = mkvec4(u,r,s,t);
4153 : }
4154 :
4155 129122 : kod = 1; c = 1;
4156 : /* minimal at P */
4157 129122 : if (nuj > 0)
4158 : { /* v(j) < 0 */
4159 80423 : if (vD == nuj)
4160 : { /* v(c4) = v(c6) = 0, multiplicative reduction */
4161 73150 : f = 1; kod = 4+vD;
4162 73150 : z = Fq_neg(nf_to_Fq(nf,c6,modP), T,p);
4163 73150 : if (Fq_issquare(z,T,p))
4164 45367 : c = vD;/* split */
4165 : else
4166 27783 : c = odd(vD)?1 : 2; /* nonsplit */
4167 : }
4168 : else
4169 : { /* v(c4) = 2, v(c6) = 3, potentially multiplicative */
4170 : GEN Du;
4171 7273 : f = 2; kod = 2-vD;
4172 7273 : (void)nfvalrem(nf, D, P, &Du);
4173 7273 : z = nf_to_Fq(nf, Du, modP);
4174 7273 : if(odd(vD))
4175 : {
4176 : GEN c6u;
4177 4172 : (void)nfvalrem(nf, c6, P, &c6u);
4178 4172 : c6u = nf_to_Fq(nf, c6u, modP);
4179 4172 : z = Fq_mul(z, c6u, T,p);
4180 : }
4181 7273 : c = Fq_issquare(z,T,p)? 4: 2;
4182 : }
4183 : }
4184 : else
4185 : { /* v(j) >= 0 */
4186 48699 : f = vD? 2: 0;
4187 48699 : switch(vD)
4188 : {
4189 : GEN piinv2, piinv3, piinv4, w;
4190 37541 : case 0: kod = 1; c = 1; break;
4191 1932 : case 2: kod = 2; c = 1; break;
4192 2345 : case 3: kod = 3; c = 2; break;
4193 1141 : case 4: kod = 4;
4194 1141 : z = nfmul(nf,c6,nfsqr(nf,piinv));
4195 1141 : z = nf_to_Fq(nf, z, modP);
4196 1141 : z = Fq_Fp_mul(z,stoi(-6),T,p);
4197 1141 : c = Fq_issquare(z,T,p)? 3: 1;
4198 1141 : break;
4199 2632 : case 6: kod = -1;
4200 2632 : piinv2 = nfsqr(nf,piinv);
4201 2632 : piinv3 = nfmul(nf,piinv,piinv2);
4202 2632 : z = nfmul(nf,c4,piinv2); z = nf_to_Fq(nf, z, modP);
4203 2632 : z = Fq_Fp_mul(z,stoi(-3), T,p);
4204 2632 : w = nfmul(nf,c6,piinv3); w = nf_to_Fq(nf, w, modP);
4205 2632 : w = Fq_Fp_mul(w,gen_m2, T,p);
4206 2632 : c = 1 + FqX_nbroots(mkpoln(4, gen_1,gen_0,z,w), T,p);
4207 2632 : break;
4208 1526 : case 8: kod = -4;
4209 1526 : piinv4 = nfpow_u(nf,piinv,4);
4210 1526 : z = nfmul(nf,c6,piinv4); z = nf_to_Fq(nf, z, modP);
4211 1526 : z = Fq_Fp_mul(z,stoi(-6),T,p);
4212 1526 : c = Fq_issquare(z,T,p)? 3: 1;
4213 1526 : break;
4214 1281 : case 9: kod = -3; c = 2; break;
4215 301 : case 10: kod = -2; c = 1; break;
4216 : }
4217 : }
4218 129122 : return localred_result(f,kod,c,ch);
4219 : }
4220 : /* E is integral */
4221 : static GEN
4222 261758 : nflocalred(GEN E, GEN pr)
4223 : {
4224 261758 : GEN p = pr_get_p(pr), q, v, nf = ellnf_get_nf(E);
4225 : long i;
4226 261758 : if (abscmpiu(p, 3) <= 0)
4227 : {
4228 : long ap, vu;
4229 132636 : GEN e = ell_to_nfell10(E), D = ell_get_disc(E), u;
4230 132636 : q = nflocalred_23(nf,e,D,pr,&ap); v = gel(q,3); u = gel(v,1);
4231 : /* do nothing if already minimal or equation was not pr-integral */
4232 132636 : vu = nfval(nf, u, pr);
4233 132636 : if (vu > 0)
4234 : { /* remove denominators in r,s,t on nf.zk */
4235 119371 : GEN D, r = gel(v,2), s = gel(v,3), t = gel(v,4);
4236 119371 : D = Q_denom(mkvec3(r, s, t));
4237 119371 : if (!equali1(D))
4238 : { /* Beware: D may not be coprime to pr */
4239 : GEN a;
4240 567 : (void)nfvalrem(nf, D, pr, &D);
4241 : /* a in D/p^oo, = 1 mod (u^6) locally */
4242 567 : a = idealaddtoone_i(nf, D, idealpows(nf, pr, 6*vu));
4243 567 : gel(v,2) = nfmul(nf, r, a);
4244 567 : gel(v,3) = nfmul(nf, s, a);
4245 567 : gel(v,4) = nfmul(nf, t, a);
4246 : }
4247 : }
4248 : } else
4249 129122 : q = nflocalred_p(E,pr);
4250 261758 : v = gel(q,3);
4251 1308790 : for(i=1; i <= 4; i++) gel(v,i) = nftoalg(nf, gel(v,i));
4252 261758 : return q;
4253 : }
4254 :
4255 : static GEN
4256 3113082 : checkellp(GEN *pE, GEN p, GEN *pv, const char *s)
4257 : {
4258 3113082 : GEN q, E = *pE;
4259 : long tE;
4260 3113082 : checkell(E); tE = ell_get_type(E);
4261 3113070 : if (pv) *pv = NULL;
4262 3113070 : if (p) switch(typ(p))
4263 : {
4264 2642273 : case t_INT:
4265 2642273 : if (cmpis(p, 2) < 0) pari_err_DOMAIN(s,"p", "<", gen_2, p);
4266 2642277 : break;
4267 205772 : case t_VEC:
4268 205772 : q = get_prid(p);
4269 205772 : if (q && tE == t_ELL_NF)
4270 : {
4271 205772 : *pE = ellintegralmodel_i(E, pv);
4272 205772 : return q;
4273 : }
4274 7 : default: pari_err_TYPE(s,p);
4275 : }
4276 2907295 : switch(tE)
4277 : {
4278 385327 : case t_ELL_Fp:
4279 385327 : case t_ELL_Fq: q = ellff_get_p(E); break;
4280 273 : case t_ELL_Qp: q = ellQp_get_p(E); break;
4281 2521696 : case t_ELL_Q: if (p) { q = p; p = NULL; break; }
4282 : default:
4283 12 : pari_err_TYPE(stack_strcat(s," [can't determine p]"), E);
4284 : return NULL;/*LCOV_EXCL_LINE*/
4285 : }
4286 2907285 : if (p && !equalii(p, q)) pari_err_MODULUS(s, p,q);
4287 2907250 : if (tE == t_ELL_Q || tE == t_ELL_Qp || tE == t_ELL_NF)
4288 2521923 : *pE = ellintegralmodel_i(E, pv);
4289 2907229 : return q;
4290 : }
4291 :
4292 : GEN
4293 197085 : elllocalred(GEN E, GEN p)
4294 : {
4295 197085 : pari_sp av = avma;
4296 : GEN v, q;
4297 197085 : checkell(E);
4298 197085 : p = checkellp(&E, p, &v, "elllocalred");
4299 197071 : switch(ell_get_type(E))
4300 : {
4301 99477 : case t_ELL_Qp:
4302 99477 : case t_ELL_Q: q = localred(E, p); break;
4303 97594 : case t_ELL_NF: q = nflocalred(E, p); break;
4304 0 : default: pari_err_TYPE("elllocalred", E);
4305 : return NULL;/*LCOV_EXCL_LINE*/
4306 : }
4307 197071 : if (v)
4308 : { /* compose local change of variables with v */
4309 28 : GEN u = gel(v,1), w = gel(q,3);
4310 28 : if (is_trivial_change(w))
4311 21 : gel(q,3) = mkvec4(u,gen_0,gen_0,gen_0);
4312 : else
4313 7 : gel(w,1) = gmul(u, gel(w,1));
4314 : }
4315 197071 : return gerepilecopy(av, q);
4316 : }
4317 :
4318 : /* typ(c) = t_INT or t_FRAC */
4319 : static GEN
4320 41216 : handle_Q(GEN c, GEN *pd)
4321 : {
4322 41216 : *pd = (typ(c) == t_INT)? NULL: gel(c,2);
4323 41216 : return c;
4324 : }
4325 : static GEN
4326 16515700 : handle_coeff(GEN nf, GEN c, GEN *pd)
4327 : {
4328 16515700 : *pd = NULL;
4329 16515700 : switch(typ(c))
4330 : {
4331 16443173 : case t_INT: *pd = NULL; return c;
4332 31311 : case t_FRAC: *pd = gel(c,2); return c;
4333 41216 : case t_POL: case t_POLMOD: case t_COL:
4334 41216 : if (nf)
4335 : {
4336 41216 : c = nf_to_scalar_or_basis(nf,c);
4337 41216 : return handle_Q(Q_content(c), pd);
4338 : }
4339 0 : default: pari_err_TYPE("ellintegralmodel",c);
4340 : return NULL;/*LCOV_EXCL_LINE*/
4341 : }
4342 : }
4343 : /* Return an integral model for e / nf, Q. Set v = NULL (already integral)
4344 : * or the variable change [u,0,0,0], u = 1/t, t > 1 integer making e integral */
4345 : GEN
4346 3303188 : ellintegralmodel_i(GEN e, GEN *pv)
4347 : {
4348 : GEN a, t, u, L, nf;
4349 : long i, l, k;
4350 :
4351 3303188 : if (pv) *pv = NULL;
4352 : /* t_ELL_Qp is also possible */
4353 3303188 : nf = (ell_get_type(e) == t_ELL_NF)?ellnf_get_nf(e): NULL;
4354 3303176 : L = cgetg(1, t_VEC); a = cgetg(6, t_VEC);
4355 19818861 : for (i = 1; i < 6; i++)
4356 : {
4357 : GEN d;
4358 16515696 : gel(a,i) = handle_coeff(nf, gel(e,i), &d);
4359 16515692 : if (d) /* partial factorization of denominator */
4360 32333 : L = shallowconcat(L, gel(Z_factor_limit(d, 0),1));
4361 : }
4362 : /* a = [a1, a2, a3, a4, a6] */
4363 3303165 : l = lg(L); if (l == 1) return e;
4364 16451 : L = ZV_sort_uniq_shallow(L);
4365 16450 : l = lg(L);
4366 :
4367 16450 : t = gen_1;
4368 39641 : for (k = 1; k < l; k++)
4369 : {
4370 23191 : GEN p = gel(L,k);
4371 23191 : long n = 0, m;
4372 139146 : for (i = 1; i < 6; i++)
4373 115955 : if (!gequal0(gel(a,i)))
4374 : {
4375 47467 : long r = (i == 5)? 6: i; /* a5 is missing */
4376 47467 : m = r * n + Q_pval(gel(a,i), p);
4377 71204 : while (m < 0) { n++; m += r; }
4378 : }
4379 23191 : t = mulii(t, powiu(p, n));
4380 : }
4381 16450 : u = ginv(t);
4382 16450 : if (pv) *pv = mkvec4(u,gen_0,gen_0,gen_0);
4383 16450 : return coordch_uinv(e, t);
4384 : }
4385 : GEN
4386 2478 : ellintegralmodel(GEN e, GEN *pv)
4387 : {
4388 2478 : pari_sp av = avma;
4389 2478 : checkell(e);
4390 2478 : switch(ell_get_type(e))
4391 : {
4392 2478 : case t_ELL_Q:
4393 : case t_ELL_Qp:
4394 2478 : case t_ELL_NF: break;
4395 0 : default: pari_err_TYPE("ellintegralmodel",e);
4396 : }
4397 2478 : e = ellintegralmodel_i(e, pv);
4398 2478 : if (pv && *pv) return gc_all(av, 2, &e, pv);
4399 2457 : e = gerepilecopy(av, e);
4400 2457 : if (pv) *pv = init_ch();
4401 2457 : return e;
4402 : }
4403 :
4404 : /* return an integral model with a1 = a3 = 0 */
4405 : GEN
4406 0 : ellintegralbmodel(GEN e, GEN *pv)
4407 : {
4408 0 : pari_sp av = avma;
4409 : GEN f, a1, a3;
4410 :
4411 0 : checkell(e); f = ellintegralmodel_i(e, pv);
4412 0 : a1 = ell_get_a1(f);
4413 0 : a3 = ell_get_a3(f);
4414 0 : if (!signe(a1) && !signe(a3))
4415 0 : { if (!*pv) *pv = init_ch(); }
4416 : else
4417 : {
4418 0 : GEN v = mkvec4(mpodd(a1) || mpodd(a3) ? ghalf : gen_1,
4419 : gen_0, gdivgs(a1,-2), gdivgs(a3,-2));
4420 0 : gcomposev(pv, v); f = coordch(f, v);
4421 : }
4422 0 : if (f != e) ell_reset(f);
4423 0 : return gc_all(av, 2, &f, pv);
4424 : }
4425 :
4426 : static long
4427 5159 : F2_card(ulong a1, ulong a2, ulong a3, ulong a4, ulong a6)
4428 : {
4429 5159 : long N = 1; /* oo */
4430 5159 : if (!a3) N ++; /* x = 0, y=0 or 1 */
4431 3990 : else if (!a6) N += 2; /* x = 0, y arbitrary */
4432 5159 : if ((a3 ^ a1) == 0) N++; /* x = 1, y = 0 or 1 */
4433 3969 : else if (a2 ^ a4 ^ a6) N += 2; /* x = 1, y arbitrary */
4434 5159 : return N;
4435 : }
4436 : static long
4437 6321 : F3_card(ulong b2, ulong b4, ulong b6)
4438 : {
4439 6321 : ulong Po = 1+2*b4, Pe = b2+b6;
4440 : /* kro(x,3)+1 = (x+1)%3, N = 4 + sum(kro) = 1+ sum(1+kro) */
4441 6321 : return 1+(b6+1)%3+(Po+Pe+1)%3+(2*Po+Pe+1)%3;
4442 : }
4443 : static long
4444 5138 : cardmod2(GEN e)
4445 : { /* solve y(1 + a1x + a3) = x (1 + a2 + a4) + a6 */
4446 5138 : ulong a1 = Rg_to_F2(ell_get_a1(e));
4447 5138 : ulong a2 = Rg_to_F2(ell_get_a2(e));
4448 5138 : ulong a3 = Rg_to_F2(ell_get_a3(e));
4449 5138 : ulong a4 = Rg_to_F2(ell_get_a4(e));
4450 5138 : ulong a6 = Rg_to_F2(ell_get_a6(e));
4451 5138 : return F2_card(a1,a2,a3,a4,a6);
4452 : }
4453 : static long
4454 6181 : cardmod3(GEN e)
4455 : {
4456 6181 : ulong b2 = Rg_to_Fl(ell_get_b2(e), 3);
4457 6181 : ulong b4 = Rg_to_Fl(ell_get_b4(e), 3);
4458 6181 : ulong b6 = Rg_to_Fl(ell_get_b6(e), 3);
4459 6181 : return F3_card(b2,b4,b6);
4460 : }
4461 :
4462 : static ulong
4463 1820 : ZtoF2(GEN x) { return (ulong)mpodd(x); }
4464 :
4465 : /* complete local reduction at 2, u = 2^d */
4466 : static void
4467 35 : min_set_2(ellmin_t *M, GEN E, long d)
4468 : {
4469 35 : min_set_u(M, int2n(d));
4470 35 : min_set_c(M, E);
4471 35 : min_set_b(M);
4472 35 : min_set_a(M);
4473 35 : }
4474 : /* local reduction at 3, u = 3^d, don't compute the a_i */
4475 : static void
4476 140 : min_set_3(ellmin_t *M, GEN E, long d)
4477 : {
4478 140 : min_set_u(M, powuu(3, d));
4479 140 : min_set_c(M, E);
4480 140 : min_set_b(M);
4481 140 : }
4482 :
4483 : static long
4484 111167 : ellQap_u(GEN E, ulong p, int *good_red)
4485 : {
4486 111167 : long vc6, vD, d = get_vp_u_small(E, p, &vc6, &vD);
4487 111167 : if (vD) /* bad reduction */
4488 : {
4489 : GEN c6;
4490 : long s;
4491 110859 : *good_red = 0;
4492 110859 : if (vc6) return 0;
4493 81473 : c6 = ell_get_c6(E);
4494 81473 : if (d) c6 = diviiexact(c6, powuu(p, 6*d));
4495 81473 : s = kroiu(c6,p);
4496 81473 : if ((p & 3) == 3) s = -s;
4497 81473 : return s;
4498 : }
4499 308 : *good_red = 1;
4500 308 : if (p == 2)
4501 : {
4502 : ellmin_t M;
4503 21 : if (!d) return 3 - cardmod2(E);
4504 21 : min_set_2(&M, E, d);
4505 21 : return 3 - F2_card(M.a1, M.a2 & 1, M.a3, ZtoF2(M.a4), ZtoF2(M.a6));
4506 : }
4507 287 : else if (p == 3)
4508 : {
4509 : ellmin_t M;
4510 140 : if (!d) return 4 - cardmod3(E);
4511 140 : min_set_3(&M, E, d);
4512 140 : return 4 - F3_card(M.b2, umodiu(M.b4,3), umodiu(M.b6,3));
4513 : }
4514 : else
4515 : {
4516 : ellmin_t M;
4517 147 : GEN a4, a6, pp = utoipos(p);
4518 147 : min_set_u(&M, powuu(p,d));
4519 147 : min_set_c(&M, E);
4520 147 : c4c6_to_a4a6(M.c4, M.c6, pp, &a4,&a6);
4521 147 : return itos( subui(p+1, Fp_ellcard(a4, a6, pp)) );
4522 : }
4523 : }
4524 :
4525 : static GEN
4526 98567 : ellQap(GEN E, GEN p, int *good_red)
4527 : {
4528 : GEN a4,a6, c4, c6, D;
4529 : long vc6, vD, d;
4530 98567 : if (lgefint(p) == 3) return stoi( ellQap_u(E, p[2], good_red) );
4531 0 : c6 = ell_get_c6(E);
4532 0 : D = ell_get_disc(E);
4533 0 : vc6 = Z_pval(c6,p); vD = Z_pval(D,p);
4534 0 : d = minss(2*vc6, vD) / 12;
4535 0 : if (d) { vc6 -= 6*d; vD -= 12*d; } /* non minimal model */
4536 0 : if (vD) /* bad reduction */
4537 : {
4538 : long s;
4539 0 : *good_red = 0;
4540 0 : if (vc6) return gen_0;
4541 0 : if (d) c6 = diviiexact(c6, powiu(p, 6*d));
4542 0 : s = kronecker(c6,p);
4543 0 : if (mod4(p) == 3) s = -s;
4544 0 : return s < 0? gen_m1: gen_1;
4545 : }
4546 0 : *good_red = 1;
4547 0 : c4 = ell_get_c4(E);
4548 0 : if (d)
4549 : {
4550 0 : GEN u2 = powiu(p, 2*d), u4 = sqri(u2), u6 = mulii(u2,u4);
4551 0 : c4 = diviiexact(c4, u4);
4552 0 : c6 = diviiexact(c6, u6);
4553 : }
4554 0 : c4c6_to_a4a6(c4, c6, p, &a4,&a6);
4555 0 : return subii(addiu(p,1), Fp_ellcard(a4, a6, p));
4556 : }
4557 :
4558 : static GEN
4559 223424 : doellcard(GEN E)
4560 : {
4561 223424 : GEN fg = ellff_get_field(E);
4562 223424 : if (typ(fg)==t_FFELT)
4563 102919 : return FF_ellcard(E);
4564 : else
4565 : {
4566 120505 : GEN e = ellff_get_a4a6(E);
4567 120505 : return Fp_ellcard(gel(e,1),gel(e,2),fg);
4568 : }
4569 : }
4570 :
4571 : static GEN
4572 191760 : ellnfap(GEN E, GEN P, int *good_red)
4573 : {
4574 191760 : GEN a4,a6, card, nf = ellnf_get_nf(E);
4575 191754 : GEN T,p, modP = nf_to_Fq_init(nf,&P,&T,&p);
4576 191765 : if (abscmpiu(p, 3) <= 0)
4577 : {
4578 : long ap;
4579 49147 : GEN nf = ellnf_get_nf(E), e = ell_to_nfell10(E), D = ell_get_disc(E);
4580 49147 : GEN L = nflocalred_23(nf, e,D,P,&ap), kod = gel(L,2);
4581 49147 : if (!equali1(kod)) { *good_red = 0; return stoi(ap); }
4582 476 : *good_red = 1;
4583 476 : E = nf_coordch(nf, vecslice(e,1,5), gel(L,3));
4584 476 : E = ellinit_nf_to_Fq(nf, E, modP);
4585 476 : card = FF_ellcard(E);
4586 : }
4587 : else
4588 : {
4589 142615 : GEN c6 = ell_get_c6(E), c4 = ell_get_c4(E);
4590 142613 : long vD = nfval(nf, ell_get_disc(E), P);
4591 142571 : if (vD)
4592 : {
4593 : GEN c6new;
4594 49175 : long d, vc6 = nfvalrem(nf,c6,P, &c6new);
4595 49175 : d = ((vc6 == LONG_MAX)? vD: minss(vD,2*vc6)) / 12;
4596 49175 : if (vD > 12*d)
4597 : { /* bad reduction */
4598 49133 : *good_red = 0;
4599 92911 : if (vc6 != 6*d) return gen_0;
4600 43778 : c6 = nf_to_Fq(nf, c6new, modP);
4601 43778 : return Fq_issquare(gneg(c6),T,p)? gen_1: gen_m1;
4602 : }
4603 42 : if (d)
4604 : { /* model not minimal at P */
4605 42 : GEN piinv = get_piinv(P);
4606 42 : GEN ui2 = nfpow(nf, piinv, stoi(2*d));
4607 42 : GEN ui4 = nfsqr(nf, ui2);
4608 42 : GEN ui6 = nfmul(nf, ui2, ui4);
4609 42 : c4 = nfmul(nf, c4, ui4);
4610 42 : c6 = nfmul(nf, c6, ui6);
4611 : }
4612 : }
4613 93438 : *good_red = 1;
4614 93438 : c4 = nf_to_Fq(nf, c4, modP);
4615 93460 : c6 = nf_to_Fq(nf, c6, modP);
4616 93457 : Fq_c4c6_to_a4a6(c4, c6, T,p, &a4,&a6);
4617 93438 : card = T? FpXQ_ellcard(Fq_to_FpXQ(a4,T,p),Fq_to_FpXQ(a6,T,p),T,p)
4618 93431 : : Fp_ellcard(a4,a6,p);
4619 : }
4620 93915 : return subii(addiu(pr_norm(P),1), card);
4621 : }
4622 :
4623 : /* a, b not both 0; sorted list of primes dividing gcd(a,b), using coprime
4624 : * basis */
4625 : static GEN
4626 533547 : Z_gcd_primes(GEN a, GEN b)
4627 : {
4628 : GEN P;
4629 533547 : if (!signe(a))
4630 2569 : P = gel(absZ_factor(b), 1);
4631 530978 : else if (!signe(b))
4632 1526 : P = gel(absZ_factor(a), 1);
4633 : else
4634 : {
4635 529452 : GEN A, B, v = Z_ppio(a,b), d = gel(v,1); /* = gcd(a,b) */
4636 : long k, l;
4637 529452 : if (is_pm1(d)) return cgetg(1, t_COL);
4638 412650 : A = gel(v,2); /* gcd(a, b^oo) */
4639 412650 : B = diviiexact(b, Z_ppo(b, d)); /* gcd(b, a^oo) */
4640 : /* d = gcd(A,B) */
4641 412650 : P = Z_cba(A, B); /* use coprime basis to help as much as possible */
4642 412650 : l = lg(P);
4643 979272 : for (k = 1; k < l; k++) gel(P,k) = gel(Z_factor(gel(P,k)), 1);
4644 412650 : P = shallowconcat1(P);
4645 412650 : ZV_sort_inplace(P);
4646 : }
4647 416745 : settyp(P, t_VEC); return P;
4648 : }
4649 : /* E/Q, integral model, Laska-Kraus-Connell algorithm. Set *pDP to a list
4650 : * of known prime divisors of minimal discriminant */
4651 : static GEN
4652 503944 : ellQ_minimalu(GEN E, GEN *pDP)
4653 : {
4654 : pari_sp av;
4655 503944 : GEN D = ell_get_disc(E);
4656 503944 : GEN c4 = ell_get_c4(E);
4657 503944 : GEN c6 = ell_get_c6(E), g, u, P, DP;
4658 : long l, k;
4659 :
4660 503944 : P = Z_gcd_primes(c4, c6);
4661 503944 : l = lg(P); if (l == 1) { if(pDP) *pDP = P; return gen_1; }
4662 391349 : DP = coltrunc_init(l);
4663 391349 : av = avma;
4664 391349 : g = gcdii(sqri(c6), D);
4665 391349 : u = gen_1;
4666 998025 : for (k = 1; k < l; k++)
4667 : {
4668 606676 : GEN p = gel(P, k);
4669 606676 : long vg = Z_pval(g, p), d = vg / 12, r = vg % 12;
4670 606676 : if (d) switch(itou_or_0(p))
4671 : {
4672 89383 : case 2:
4673 : {
4674 : long a, b;
4675 89383 : a = Mod16( shifti(c4, -4*d) );
4676 89383 : b = Mod32( shifti(c6, -6*d) );
4677 89383 : if ((b & 3) != 3 && (a || (b && b!=8))) { d--; r += 12; }
4678 89383 : break;
4679 : }
4680 29022 : case 3:
4681 29022 : if (safe_Z_lval(c6,3) == 6*d+2) { d--; r += 12; }
4682 29022 : break;
4683 : }
4684 606676 : if (r) vectrunc_append(DP, p);
4685 606676 : if (d) u = mulii(u, powiu(p, d));
4686 : }
4687 391349 : if (pDP) *pDP = DP;
4688 391349 : return gerepileuptoint(av, u);
4689 : }
4690 :
4691 : /* Ensure a1 and a3 are 2-restricted and a2 is 3-restricted */
4692 : static GEN
4693 42 : nfrestrict23(GEN nf, GEN E)
4694 : {
4695 42 : GEN a1 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a1(E)), A1, A2, A3, r, s, t;
4696 42 : GEN a2 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a2(E));
4697 42 : GEN a3 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a3(E));
4698 :
4699 42 : A1 = gmodgs(a1,2);
4700 42 : s = gshift(gsub(A1,a1), -1);
4701 42 : s = lift_if_rational(basistoalg(nf, s));
4702 42 : A2 = nfsub(nf, a2, nfmul(nf,s, nfadd(nf,a1,s)));
4703 42 : r = gdivgu(gsub(gmodgs(A2,3), A2), 3);
4704 42 : r = lift_if_rational(basistoalg(nf, r));
4705 42 : A3 = nfadd(nf, a3, nfmul(nf,r,A1));
4706 42 : t = nfadd(nf, nfmul(nf, r,s), gshift(gsub(gmodgs(A3,2), A3), -1));
4707 42 : t = lift_if_rational(basistoalg(nf, t));
4708 42 : return mkvec4(gen_1, r, s, t);
4709 : }
4710 :
4711 : static GEN
4712 60144 : zk_capZ(GEN nf, GEN x)
4713 : {
4714 60144 : GEN mx = zk_scalar_or_multable(nf, x);
4715 60144 : return (typ(mx) == t_INT)? mx: zkmultable_capZ(mx);
4716 : }
4717 : static GEN
4718 29603 : ellnf_c4c6_primes(GEN E)
4719 : {
4720 29603 : GEN nf = ellnf_get_nf(E);
4721 29603 : GEN c4Z = zk_capZ(nf, ell_get_c4(E));
4722 29603 : GEN c6Z = zk_capZ(nf, ell_get_c6(E));
4723 29603 : return Z_gcd_primes(c4Z, c6Z); /* primes dividing (c4,c6) \cap Z */
4724 : }
4725 : static GEN
4726 938 : ellnf_D_primes(GEN E)
4727 : {
4728 938 : GEN nf = ellnf_get_nf(E);
4729 938 : GEN P = ellnf_c4c6_primes(E);
4730 938 : GEN DZ = zk_capZ(nf, ell_get_disc(E));
4731 938 : long k, l = lg(P);
4732 2478 : for (k = 1; k < l; k++) (void)Z_pvalrem(DZ, gel(P,k), &DZ);
4733 938 : if (!is_pm1(DZ))
4734 : {
4735 770 : GEN Q = gel(absZ_factor(DZ),1);
4736 770 : settyp(Q, t_VEC); P = shallowconcat(P, Q); ZV_sort_inplace(P);
4737 : }
4738 938 : return P;
4739 : }
4740 :
4741 : /* convert vector of localreds to NF_MINIMALPRIMES */
4742 : static GEN
4743 29512 : Q_to_minimalprimes(GEN nf, GEN P, GEN Q)
4744 : {
4745 : GEN L, Lr, Ls, Lt, U;
4746 29512 : long k, l = lg(P);
4747 29512 : Lr = vectrunc_init(l);
4748 29512 : Ls = vectrunc_init(l);
4749 29512 : Lt = vectrunc_init(l);
4750 29512 : L = vectrunc_init(l); settyp(L,t_COL);
4751 29512 : U = vectrunc_init(l); settyp(U,t_COL);
4752 107429 : for (k = 1; k < l; k++)
4753 : {
4754 77917 : GEN pr = gel(P, k), q = gel(Q, k), v, u;
4755 : long vu;
4756 77917 : v = gel(q,3);
4757 77917 : u = gel(v,1);
4758 77917 : vu = nfval(nf, u, pr);
4759 77917 : if (!vu) continue;
4760 64225 : vectrunc_append(Lr, gel(v,2));
4761 64225 : vectrunc_append(Ls, gel(v,3));
4762 64225 : vectrunc_append(Lt, gel(v,4));
4763 64225 : vectrunc_append(L, pr);
4764 64225 : vectrunc_append(U, stoi(vu));
4765 : }
4766 29512 : return mkvec5(L, U, Lr, Ls, Lt);
4767 : }
4768 : /* E integral */
4769 : static GEN
4770 58618 : ellminimalprimes(GEN E)
4771 : {
4772 : GEN S, nf, c4, c6, P, Q;
4773 : long j, k, l;
4774 :
4775 58618 : if ((S = obj_check(E, NF_MINIMALPRIMES))) return S;
4776 28665 : nf = ellnf_get_nf(E);
4777 28665 : c4 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_c4(E));
4778 28665 : c6 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_c6(E));
4779 28665 : if (typ(c4) == t_INT) c4 = NULL;
4780 28665 : if (typ(c6) == t_INT) c6 = NULL;
4781 28665 : P = nf_pV_to_prV(nf, ellnf_c4c6_primes(E));
4782 28665 : Q = cgetg_copy(P, &l);
4783 103068 : for (k = j = 1; k < l; k++)
4784 : {
4785 74403 : GEN pr = gel(P, k);
4786 74403 : if (c4 && !ZC_prdvd(c4,pr)) continue;
4787 74333 : if (c6 && !ZC_prdvd(c6,pr)) continue;
4788 74319 : gel(Q,j) = nflocalred(E, pr); /* pr | (c4,c6) */
4789 74319 : gel(P,j++) = pr;
4790 : }
4791 28665 : setlg(P,j); setlg(Q,j);
4792 28665 : return obj_insert(E, NF_MINIMALPRIMES, Q_to_minimalprimes(nf,P,Q));
4793 : }
4794 : static GEN
4795 29680 : ellnf_minimalnormu(GEN E0)
4796 : {
4797 29680 : GEN E, S, L, U, P, v, Nu = NULL, nf = ellnf_get_nf(E0);
4798 : long i, l;
4799 29680 : E = ellintegralmodel_i(E0, &v);
4800 29680 : S = ellminimalprimes(E);
4801 29680 : L = gel(S,1);
4802 29680 : U = gel(S,2);
4803 29680 : if (v) Nu = idealnorm(nf, gel(v,1));
4804 29680 : P = cgetg_copy(L, &l);
4805 94227 : for (i = 1; i < l; i++) gel(P,i) = pr_norm(gel(L,i));
4806 29680 : P = factorback2(P, U);
4807 29680 : if (Nu) P = gmul(Nu, P);
4808 29680 : return P;
4809 : }
4810 : /* E integral model; return change of variable to minimal model (t_VEC)
4811 : * or (nontrivial) Weierstrass class (t_COL) */
4812 : static GEN
4813 63 : bnf_get_v(GEN E)
4814 : {
4815 63 : GEN bnf = ellnf_get_bnf(E);
4816 : GEN nf, L, Lr, Ls, Lt, F, C, U, R, S, T;
4817 :
4818 63 : if (!bnf) pari_err_TYPE("ellminimalmodel (need a bnf)", ellnf_get_nf(E));
4819 63 : S = ellminimalprimes(E);
4820 63 : L = gel(S,1);
4821 63 : U = gel(S,2);
4822 63 : Lr = gel(S,3);
4823 63 : Ls = gel(S,4);
4824 63 : Lt = gel(S,5);
4825 63 : F = isprincipalfact(bnf, NULL, L, U, nf_GEN);
4826 63 : if (!gequal0(gel(F,1))) return gel(F,1);
4827 42 : nf = bnf_get_nf(bnf);
4828 42 : C = idealchinese(nf, mkmat2(L, ZC_z_mul(U,6)), NULL);
4829 42 : U = basistoalg(nf, gel(F,2));
4830 42 : R = basistoalg(nf, idealchinese(nf, C, Lr));
4831 42 : S = basistoalg(nf, idealchinese(nf, C, Ls));
4832 42 : T = basistoalg(nf, idealchinese(nf, C, Lt));
4833 42 : return lift_if_rational(mkvec4(U,R,S,T));
4834 : }
4835 :
4836 : GEN
4837 70 : ellminimaldisc(GEN E)
4838 : {
4839 70 : pari_sp av = avma;
4840 70 : checkell(E);
4841 70 : switch(ell_get_type(E))
4842 : {
4843 7 : case t_ELL_Q:
4844 7 : E = ellminimalmodel(E,NULL);
4845 7 : return gerepileuptoint(av, absi_shallow(ell_get_disc(E)));
4846 63 : case t_ELL_NF:
4847 : {
4848 63 : GEN nf = ellnf_get_nf(E), S, L, U, D;
4849 63 : E = ellintegralmodel_i(E,NULL);
4850 63 : S = ellminimalprimes(E);
4851 63 : L = gel(S,1);
4852 63 : U = ZC_z_mul(gel(S,2), 12);
4853 63 : D = idealfactorback(nf, L, U, 0);
4854 63 : return gerepileupto(av, idealdiv(nf, ell_get_disc(E), D));
4855 : }
4856 0 : default: pari_err_TYPE("ellminimaldisc (E / number field)", E);
4857 : return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
4858 : }
4859 : }
4860 :
4861 : /* update Q_MINIMALMODEL entry in E, but don't update type-specific data on
4862 : * ellminimalmodel(E) */
4863 : static GEN
4864 507556 : ellminimalmodel_i(GEN E, GEN *ptv, GEN *pS)
4865 : {
4866 : GEN S, y, e, v, v0, u, DP;
4867 : ellmin_t M;
4868 507556 : if ((S = obj_check(E, Q_MINIMALMODEL)))
4869 : {
4870 3626 : if (lg(S) != 2)
4871 : {
4872 70 : E = gel(S,3);
4873 70 : v = gel(S,2);
4874 : }
4875 : else
4876 3556 : v = init_ch();
4877 3626 : if (ptv) *ptv = v;
4878 3626 : if (pS) *pS = S;
4879 3626 : return gcopy(E);
4880 : }
4881 503930 : e = ellintegralmodel_i(E, &v0);
4882 503930 : u = ellQ_minimalu(e, &DP);
4883 503930 : min_set_all(&M, e, u);
4884 503930 : v = min_get_v(&M, e);
4885 503930 : y = min_to_ell(&M, e);
4886 503930 : if (v0) { gcomposev(&v0, v); v = v0; }
4887 503930 : if (is_trivial_change(v))
4888 : {
4889 470281 : v = init_ch();
4890 470281 : S = mkvec(DP);
4891 : }
4892 : else
4893 33649 : S = mkvec3(DP, v, y);
4894 503930 : obj_insert(E, Q_MINIMALMODEL, S);
4895 503930 : if (pS) *pS = S;
4896 503930 : if (ptv) *ptv = v; return y;
4897 : }
4898 :
4899 : static GEN
4900 21385 : ellQminimalmodel(GEN E, GEN *ptv)
4901 : {
4902 21385 : pari_sp av = avma;
4903 21385 : GEN S, DP, v, y = ellminimalmodel_i(E, &v, &S);
4904 21385 : if (!is_trivial_change(v)) ch_Q(y, E, v);
4905 21385 : DP = gel(S,1);
4906 21385 : obj_insert_shallow(y, Q_MINIMALMODEL, mkvec(DP));
4907 21385 : if (!ptv) return gerepilecopy(av, y);
4908 1036 : *ptv = v; return gc_all(av, 2, &y, ptv);
4909 : }
4910 :
4911 : static GEN
4912 63 : ellnfminimalmodel_i(GEN E, GEN *ptv)
4913 : {
4914 : GEN S, y, v, v2;
4915 63 : if ((S = obj_check(E, NF_MINIMALMODEL)))
4916 : {
4917 0 : switch(lg(S))
4918 : {
4919 0 : case 1: v = init_ch(); break;
4920 0 : case 2: v = NULL; E = gel(S,1); break;
4921 0 : default: E = gel(S,2); v = gel(S,1); break;
4922 : }
4923 0 : *ptv = v;
4924 0 : return gcopy(E);
4925 : }
4926 63 : *ptv = NULL;
4927 63 : y = ellintegralmodel_i(E, &v);
4928 63 : v2 = bnf_get_v(y);
4929 63 : if (typ(v2) == t_COL)
4930 : {
4931 21 : obj_insert(E, NF_MINIMALMODEL, mkvec(v2));
4932 21 : return v2; /* nontrivial Weierstrass class */
4933 : }
4934 42 : y = coordch(y, v2);
4935 42 : gcomposev(&v, v2);
4936 42 : v2 = nfrestrict23(ellnf_get_nf(E), y);
4937 42 : y = coordch(y, v2);
4938 : /* copy to avoid inserting twice in y = E */
4939 42 : y = obj_reinit(y);
4940 42 : gcomposev(&v, v2);
4941 42 : if (is_trivial_change(v))
4942 : {
4943 7 : v = init_ch();
4944 7 : S = cgetg(1,t_VEC);
4945 : }
4946 : else
4947 : {
4948 35 : v = lift_if_rational(v);
4949 35 : S = mkvec2(v, y);
4950 : }
4951 42 : obj_insert(E, NF_MINIMALMODEL, S);
4952 42 : *ptv = v; return y;
4953 : }
4954 : static GEN
4955 63 : ellnfminimalmodel(GEN E, GEN *ptv)
4956 : {
4957 63 : pari_sp av = avma;
4958 63 : GEN v, y = ellnfminimalmodel_i(E, &v);
4959 63 : if (v) obj_insert_shallow(y, NF_MINIMALMODEL, cgetg(1,t_VEC));
4960 63 : if (!v || !ptv) return gerepilecopy(av, y);
4961 35 : *ptv = v; return gc_all(av, 2, &y, ptv);
4962 : }
4963 : GEN
4964 21455 : ellminimalmodel(GEN E, GEN *ptv)
4965 : {
4966 21455 : checkell(E);
4967 21455 : switch(ell_get_type(E))
4968 : {
4969 21385 : case t_ELL_Q: return ellQminimalmodel(E, ptv);
4970 63 : case t_ELL_NF: return ellnfminimalmodel(E, ptv);
4971 7 : default: pari_err_TYPE("ellminimalmodel (E / number field)", E);
4972 : return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
4973 : }
4974 : }
4975 :
4976 : /* return a model minimal among b models */
4977 : GEN
4978 952 : ellminimalbmodel(GEN e, GEN *pv)
4979 : {
4980 952 : pari_sp av = avma;
4981 : GEN f, a1, a3;
4982 :
4983 952 : checkell(e); f = ellminimalmodel(e, pv);
4984 952 : a1 = ell_get_a1(f);
4985 952 : a3 = ell_get_a3(f);
4986 952 : if (!signe(a1) && !signe(a3))
4987 336 : { if (!*pv) *pv = init_ch(); }
4988 : else
4989 : {
4990 616 : GEN v = mkvec4(mpodd(a1) || mpodd(a3) ? ghalf : gen_1,
4991 : gen_0, gdivgs(a1,-2), gdivgs(a3,-2));
4992 616 : gcomposev(pv, v); f = coordch(f, v);
4993 : }
4994 952 : if (f != e) ell_reset(f);
4995 952 : return gc_all(av, 2, &f, pv);
4996 : }
4997 :
4998 : /* Reduction of a rational curve E to its standard minimal model, don't
4999 : * update type-dependant components.
5000 : * Set v = [u, r, s, t] = change of variable E -> minimal model, with u > 0
5001 : * Set gr = [N, [u,r,s,t], c, fa, L], where
5002 : * N = arithmetic conductor of E
5003 : * c = product of the local Tamagawa numbers cp
5004 : * fa = factorization of N
5005 : * L = list of localred(E,p) for p | N. */
5006 : static GEN
5007 456708 : ellQ_globalred(GEN e)
5008 : {
5009 : long k, l, iN;
5010 : GEN S, c, E, L, P, NP, NE, D;
5011 :
5012 456708 : E = ellminimalmodel_i(e, NULL, &S);
5013 456708 : P = gel(S,1); l = lg(P); /* some known prime divisors of D */
5014 456708 : D = ell_get_disc(E);
5015 866733 : for (k = 1; k < l; k++) (void)Z_pvalrem(D, gel(P,k), &D);
5016 456708 : if (!is_pm1(D))
5017 : {
5018 438774 : P = shallowconcat(P, gel(absZ_factor(D),1));
5019 438774 : ZV_sort_inplace(P);
5020 : }
5021 456708 : l = lg(P); c = gen_1;
5022 456708 : iN = 1;
5023 456708 : NP = cgetg(l, t_COL);
5024 456708 : NE = cgetg(l, t_COL);
5025 456708 : L = cgetg(l, t_VEC);
5026 1945118 : for (k = 1; k < l; k++)
5027 : {
5028 1488410 : GEN p = gel(P,k), q = localred(E, p), ex = gel(q,1);
5029 1488410 : if (!signe(ex)) continue;
5030 1488410 : gel(NP, iN) = p;
5031 1488410 : gel(NE, iN) = ex;
5032 1488410 : gel(L, iN) = q; iN++;
5033 1488410 : gel(q,3) = gen_0; /*delete variable change*/
5034 1488410 : c = mulii(c, gel(q,4));
5035 : }
5036 456708 : setlg(L, iN);
5037 456708 : setlg(NP, iN);
5038 456708 : setlg(NE, iN);
5039 456708 : return mkvec4(factorback2(NP,NE), c, mkmat2(NP,NE), L);
5040 : }
5041 : static GEN
5042 469728 : ellglobalred_i(GEN E)
5043 469728 : { return obj_checkbuild(E, Q_GLOBALRED, &ellQ_globalred); }
5044 :
5045 : static GEN
5046 938 : Q_to_globalred(GEN nf, GEN P, GEN Q, GEN v)
5047 : {
5048 : GEN c, L, NP, NE;
5049 938 : long j, k, l = lg(P);
5050 938 : c = gen_1;
5051 938 : NP = cgetg(l, t_COL);
5052 938 : NE = cgetg(l, t_COL);
5053 938 : L = cgetg(l, t_VEC);
5054 4774 : for (k = j = 1; k < l; k++)
5055 : {
5056 3836 : GEN p = gel(P,k), q = gel(Q,k), ex;
5057 3836 : ex = gel(q,1);
5058 3836 : if (!signe(ex)) continue;
5059 3605 : gel(NP, j) = p;
5060 3605 : gel(NE, j) = ex;
5061 3605 : gel(L, j) = q; j++;
5062 3605 : c = mulii(c, gel(q,4));
5063 : }
5064 938 : setlg(L, j); setlg(NP, j); setlg(NE, j);
5065 938 : return mkvec5(idealfactorback(nf,NP,NE,0), v, c, mkmat2(NP,NE), L);
5066 : }
5067 :
5068 : static GEN
5069 938 : ellnfglobalred(GEN E0)
5070 : {
5071 : GEN E, P, Q, D, nf, v;
5072 : long j, k, l;
5073 :
5074 938 : E = ellintegralmodel_i(E0, &v);
5075 938 : if (!v) v = init_ch();
5076 938 : nf = ellnf_get_nf(E);
5077 938 : P = nf_pV_to_prV(nf, ellnf_D_primes(E));
5078 938 : D = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_disc(E));
5079 938 : if (typ(D) == t_INT) D = NULL;
5080 938 : Q = cgetg_copy(P, &l);
5081 7322 : for (k = j = 1; k < l; k++)
5082 : {
5083 6384 : GEN p = gel(P,k);
5084 6384 : if (D && !ZC_prdvd(D, p)) continue;
5085 3836 : gel(Q,j) = nflocalred(E, p);
5086 3836 : gel(P,j++) = p;
5087 : }
5088 938 : setlg(P,j); setlg(Q,j);
5089 938 : if (!obj_check(E0, NF_MINIMALPRIMES))
5090 847 : (void)obj_insert(E0, NF_MINIMALPRIMES, Q_to_minimalprimes(nf,P,Q));
5091 938 : return Q_to_globalred(nf,P,Q,v);
5092 : }
5093 :
5094 : GEN
5095 454181 : ellglobalred(GEN E)
5096 : {
5097 454181 : pari_sp av = avma;
5098 : GEN S, gr, v;
5099 454181 : checkell(E);
5100 454181 : switch(ell_get_type(E))
5101 : {
5102 0 : default: pari_err_TYPE("ellglobalred",E);
5103 452949 : case t_ELL_Q:
5104 452949 : gr = ellglobalred_i(E);
5105 452949 : S = obj_check(E, Q_MINIMALMODEL);
5106 452949 : v = (lg(S) == 2)? init_ch(): gel(S,2);
5107 452949 : v = mkvec5(gel(gr,1), v, gel(gr,2),gel(gr,3),gel(gr,4));
5108 452949 : break;
5109 1232 : case t_ELL_NF:
5110 1232 : v = obj_checkbuild(E, NF_GLOBALRED, &ellnfglobalred);
5111 1232 : break;
5112 : }
5113 454181 : return gerepilecopy(av, v);
5114 : }
5115 :
5116 : static GEN doellrootno(GEN e);
5117 : /* Return E = ellminimalmodel(e), but only update E[1..14].
5118 : * insert MINIMALMODEL, GLOBALRED, ROOTNO in both e (regular insertion)
5119 : * and E (shallow insert) */
5120 : GEN
5121 4543 : ellanal_globalred(GEN e, GEN *ch)
5122 : {
5123 4543 : GEN E, S, v = NULL;
5124 4543 : checkell_Q(e);
5125 4543 : if (!(S = obj_check(e, Q_MINIMALMODEL)))
5126 : {
5127 406 : E = ellminimalmodel_i(e, &v, &S);
5128 406 : obj_insert_shallow(E, Q_MINIMALMODEL, mkvec(gel(S,1)));
5129 : }
5130 4137 : else if (lg(S) == 2) /* trivial change */
5131 4123 : E = e;
5132 : else
5133 : {
5134 14 : v = gel(S,2);
5135 14 : E = gcopy(gel(S,3));
5136 14 : obj_insert_shallow(E, Q_MINIMALMODEL, mkvec(gel(S,1)));
5137 : }
5138 4543 : if (ch) *ch = v;
5139 4543 : S = ellglobalred_i(e);
5140 4543 : if (E != e) obj_insert_shallow(E, Q_GLOBALRED, S);
5141 4543 : S = obj_check(e, Q_ROOTNO);
5142 4543 : if (!S)
5143 : {
5144 3248 : S = doellrootno(E);
5145 3248 : obj_insert(e, Q_ROOTNO, S); /* insert in e */
5146 : }
5147 4543 : if (E != e) obj_insert_shallow(E, Q_ROOTNO, S); /* ... and in E */
5148 4543 : return E;
5149 : }
5150 :
5151 : static long
5152 9632 : nb_real_components(GEN E) { return gsigne(ell_get_disc(E)) > 0? 2: 1; }
5153 : /* E minimal, \Omega_E^s in "La constante de Manin et le degre modulaire
5154 : * d'une courbe elliptique" */
5155 : GEN
5156 19747 : ellQtwist_bsdperiod(GEN E, long s)
5157 : {
5158 19747 : GEN w = ellR_omega(E,DEFAULTPREC);
5159 19747 : if (s == 1)
5160 10164 : w = gel(w,1);
5161 9583 : else if (nb_real_components(E) == 2)
5162 5334 : w = gneg(gel(w,2));
5163 : else
5164 4249 : w = mkcomplex(gen_0, gneg(gmul2n(imag_i(gel(w,2)), 1)));
5165 19747 : return w;
5166 : }
5167 :
5168 : static GEN
5169 49 : ellQ_tamagawa(GEN e)
5170 : {
5171 49 : GEN red = ellglobalred(e), tam = gel(red,3);
5172 49 : return muliu(tam, nb_real_components(e));
5173 : }
5174 :
5175 : static GEN
5176 840 : ellnf_tamagawa(GEN e)
5177 : {
5178 840 : GEN red = ellglobalred(e), tam = gel(red,3);
5179 840 : GEN nf = ellnf_get_nf(e), s = nfsign(nf, ell_get_disc(e));
5180 : long r1, r2;
5181 840 : nf_get_sign(nf, &r1, &r2);
5182 840 : return shifti(tam, r2 + r1 - hammingweight(s));
5183 : }
5184 :
5185 : GEN
5186 49 : elltamagawa(GEN E)
5187 : {
5188 49 : pari_sp av = avma;
5189 : GEN v;
5190 49 : checkell(E);
5191 49 : switch(ell_get_type(E))
5192 : {
5193 0 : default: pari_err_TYPE("elltamagawa",E);
5194 21 : case t_ELL_Q: v = ellQ_tamagawa(E); break;
5195 28 : case t_ELL_NF: v = ellnf_tamagawa(E); break;
5196 : }
5197 49 : return gerepileuptoint(av, v);
5198 : }
5199 :
5200 : static GEN
5201 58618 : ellnf_get_nf_prec(GEN E, long prec)
5202 : {
5203 58618 : GEN S, nf = ellnf_get_nf(E);
5204 58618 : if (nf_get_prec(nf) >= prec) return nf;
5205 46235 : if ((S = obj_check(E, NF_NF)) && nf_get_prec(S) >= prec) return S;
5206 29309 : return obj_insert(E, NF_NF, nfnewprec_shallow(nf, prec));
5207 : }
5208 : /* true nf, use nf prec */
5209 : static GEN
5210 206633 : nfembedall(GEN nf, GEN x)
5211 : {
5212 : long r1, r2;
5213 : GEN cx;
5214 206633 : nf_get_sign(nf,&r1,&r2);
5215 206633 : x = nf_to_scalar_or_basis(nf,x);
5216 206633 : if (typ(x) != t_COL) return const_vec(r1+r2, x);
5217 3108 : x = Q_primitive_part(x, &cx);
5218 3108 : x = RgM_RgC_mul(nf_get_M(nf), x);
5219 3108 : if (cx) x = RgC_Rg_mul(x,cx);
5220 3108 : return x;
5221 : }
5222 : static long
5223 58618 : nfembed_extraprec(GEN x)
5224 58618 : { long e = gexpo(x); return (e < 8)? 0: nbits2extraprec(e); }
5225 : static GEN
5226 29799 : ellnfembed(GEN E, long prec)
5227 : {
5228 29799 : GEN E0, nf = ellnf_get_nf(E), Eb = cgetg(6,t_VEC), e = cgetg(6,t_VEC), L, sD;
5229 : long prec0, r1, r2, n, i;
5230 :
5231 29799 : nf_get_sign(nf, &r1, &r2); n = r1+r2;
5232 29799 : E0 = RgC_to_nfC(nf, vecslice(E,1,5));
5233 29799 : prec0 = prec + EXTRAPREC64;
5234 : /* need accuracy 3b for bmodel to ensure roots are correct to b bits */
5235 29799 : prec += (prec0-2)*3 + nfembed_extraprec(E0);
5236 29799 : L = cgetg(n+1, t_VEC);
5237 29799 : sD = nfeltsign(nf, ell_get_disc(E), identity_perm(r1));
5238 : for(;;)
5239 : {
5240 29799 : nf = ellnf_get_nf_prec(E, prec);
5241 178794 : for (i=1; i<=5; i++) gel(Eb,i) = nfembedall(nf,gel(E0,i));
5242 91000 : for (i=1; i<=n; i++)
5243 : {
5244 : GEN Ei, r;
5245 : long j;
5246 367206 : for (j=1; j<=5; j++) gel(e,j) = gmael(Eb,j,i);
5247 61201 : gel(L,i) = Ei = ellinit_Rg(e, i<=r1? signe(gel(sD,i)): 0, prec);
5248 61201 : if (!Ei) break;
5249 61201 : r = doellR_roots_i(Ei, prec, prec0);
5250 61201 : if (!r) break;
5251 : }
5252 29799 : if (i > n) return L;
5253 0 : prec = precdbl(prec);
5254 0 : if (DEBUGLEVEL>1) pari_warn(warnprec,"ellnfembed", prec);
5255 : }
5256 : }
5257 :
5258 : static GEN
5259 28819 : ellpointnfembed(GEN E, GEN P, long prec)
5260 : {
5261 28819 : GEN nf = ellnf_get_nf(E), Px, Py, L;
5262 : long i, l;
5263 28819 : P = RgC_to_nfC(nf, P);
5264 28819 : prec += nfembed_extraprec(P);
5265 28819 : nf = ellnf_get_nf_prec(E, prec);
5266 28819 : Px = nfembedall(nf, gel(P,1));
5267 28819 : Py = nfembedall(nf, gel(P,2));
5268 28819 : l = lg(Px); L = cgetg(l, t_VEC);
5269 86436 : for(i = 1; i < l; i++) gel(L,i) = mkvec2(gel(Px,i), gel(Py,i));
5270 28819 : return L;
5271 : }
5272 :
5273 : static void
5274 987 : ellnfembed_free(GEN L)
5275 : {
5276 987 : long i, l = lg(L);
5277 4585 : for(i = 1; i < l; i++) obj_free(gel(L,i));
5278 987 : }
5279 :
5280 : static GEN
5281 168 : ellnf_vec_wrap(GEN (*fun)(GEN, long), GEN E, long prec)
5282 : {
5283 168 : pari_sp av = avma;
5284 168 : GEN V = ellnfembed(E, prec);
5285 168 : long i, l = lg(V);
5286 168 : GEN P = cgetg(l, t_VEC);
5287 448 : for(i=1; i<l; i++) gel(P,i) = fun(gel(V,i), prec);
5288 168 : ellnfembed_free(V);
5289 168 : return gerepilecopy(av, P);
5290 : }
5291 :
5292 : GEN
5293 91 : ellnf_vecarea(GEN E, long prec)
5294 91 : { return ellnf_vec_wrap(&ellR_area, E, prec); }
5295 :
5296 : GEN
5297 28 : ellnf_veceta(GEN E, long prec)
5298 28 : { return ellnf_vec_wrap(&ellR_eta, E, prec); }
5299 :
5300 : GEN
5301 49 : ellnf_vecomega(GEN E, long prec)
5302 49 : { return ellnf_vec_wrap(&ellR_omega, E, prec); }
5303 :
5304 : static GEN
5305 812 : ellnf_bsdperiod(GEN E, long prec)
5306 : {
5307 812 : pari_sp av = avma;
5308 812 : GEN Eb = ellnfembed(E, prec), per = gtofp(ellnf_minimalnormu(E), prec);
5309 812 : long i, l = lg(Eb), r1 = nf_get_r1(ellnf_get_nf(E));
5310 4116 : for(i = 1; i < l; i++)
5311 : {
5312 3304 : GEN e = gel(Eb, i);
5313 3304 : GEN pi = (i <= r1)? gel(ellR_omega(e, prec),1): ellR_area(e, prec);
5314 3304 : per = mulrr(per, pi);
5315 : }
5316 812 : ellnfembed_free(Eb);
5317 812 : return gerepileuptoleaf(av, per);
5318 : }
5319 : static GEN
5320 812 : ellnf_adelicvolume(GEN E, long prec)
5321 : {
5322 812 : GEN t = ellnf_tamagawa(E);
5323 812 : return gmul(t, ellnf_bsdperiod(E, prec));
5324 : }
5325 :
5326 : static GEN
5327 42 : ellnf_bsd(GEN E, long prec)
5328 : {
5329 42 : GEN v = ellnf_adelicvolume(E, prec);
5330 42 : GEN tor = gel(elltors(E),1);
5331 42 : GEN D = itor(nf_get_disc(ellnf_get_nf(E)), prec);
5332 42 : return divrr(divri(v, sqri(tor)), sqrtr_abs(D));
5333 : }
5334 :
5335 : static GEN
5336 28 : ellQ_bsd(GEN E, long prec)
5337 : {
5338 28 : GEN per = gel(ellR_omega(E, prec),1);
5339 28 : GEN tam = ellQ_tamagawa(E);
5340 28 : GEN tor = gel(elltors(E),1);
5341 28 : GEN S = obj_check(E, Q_MINIMALMODEL);
5342 28 : if (lg(S) != 2)
5343 : { /* switch to minimal model if needed */
5344 21 : GEN v = gel(S,2), u = gel(v,1);
5345 21 : per = gmul(per,u);
5346 : }
5347 28 : return divri(mulri(per,tam), sqri(tor));
5348 : }
5349 :
5350 : GEN
5351 70 : ellbsd(GEN E, long prec)
5352 : {
5353 70 : pari_sp av = avma;
5354 : GEN v;
5355 70 : checkell(E);
5356 70 : switch(ell_get_type(E))
5357 : {
5358 0 : default: pari_err_TYPE("ellbsd",E);
5359 28 : case t_ELL_Q: v = ellQ_bsd(E, prec); break;
5360 42 : case t_ELL_NF: v = ellnf_bsd(E, prec); break;
5361 : }
5362 70 : return gerepileupto(av, v);
5363 : }
5364 :
5365 : static GEN
5366 33680 : QE_to_ZJ(GEN P)
5367 : {
5368 33680 : if (ell_is_inf(P))
5369 0 : return mkvec3(gen_1, gen_1, gen_0);
5370 : else
5371 : {
5372 33680 : pari_sp av = avma;
5373 33680 : GEN D1 = denom(gel(P,1)), D2 = denom(gel(P,2));
5374 33680 : GEN R = diviiexact(D2, gcdii(D1,D2));
5375 33680 : GEN R2 = sqri(R), R3 = mulii(R2, R);
5376 33680 : GEN Q1 = gmul(gel(P,1),R2);
5377 33680 : GEN Q2 = gmul(gel(P,2),R3);
5378 33680 : GEN Z = denom(mkvec2(Q1, Q2));
5379 33680 : GEN Z2 = sqri(Z), Z3 = mulii(Z, Z2);
5380 33680 : return gerepilecopy(av, mkvec3(gmul(Q1, Z2), gmul(Q2, Z3), mulii(Z, R)));
5381 : }
5382 : }
5383 :
5384 : static GEN
5385 4460 : QEV_to_ZJV(GEN x)
5386 38098 : { pari_APPLY_same(QE_to_ZJ(gel(x,i))) }
5387 :
5388 : static GEN
5389 15322 : FljV_changepointinv_pre(GEN x, GEN a4a6, ulong p, ulong pi)
5390 : {
5391 168277 : pari_APPLY_same(Flj_changepointinv_pre(gel(x,i), a4a6, p, pi))
5392 : }
5393 :
5394 : static GEN
5395 10789 : ellQ_factorback_filter(GEN A, GEN P, GEN *pQ)
5396 : {
5397 10789 : long i, j, k, l = lg(A);
5398 : GEN B, Q;
5399 34026 : for (i = k = 1; i < l; i++)
5400 23237 : if (!ell_is_inf(gel(A,i))) k++;
5401 10789 : if (k == 1 || k == l) { *pQ = P; return A; }
5402 155 : B = cgetg(k, t_VEC);
5403 155 : Q = cgetg(k, typ(P));
5404 735 : for (i = j = 1; i < l; i++)
5405 580 : if (!ell_is_inf(gel(A,i))) { gel(B,j) = gel(A,i); Q[j] = P[i]; j++; }
5406 155 : *pQ = Q; return B;
5407 : }
5408 :
5409 : static GEN
5410 5332 : ellQ_factorback_chinese(GEN A, GEN P, GEN *mod)
5411 : {
5412 5332 : GEN Q, B = ellQ_factorback_filter(A, P, &Q);
5413 5332 : return ncV_chinese_center(B, Q, mod);
5414 : }
5415 :
5416 : static GEN
5417 15732 : ellQ_factorback1(GEN A, GEN L, ulong l, GEN E, long CM, ulong p)
5418 : {
5419 15732 : pari_sp av = avma;
5420 15732 : ulong pi = get_Fl_red(p);
5421 15732 : GEN c4 = ell_get_c4(E);
5422 15732 : ulong a4 = Fl_c4_to_a4(Rg_to_Fl(c4, p), p);
5423 : GEN a4a6, a, Hp;
5424 15732 : ulong d = 1;
5425 15732 : if (l != 1)
5426 : {
5427 648 : GEN c6 = ell_get_c6(E);
5428 648 : ulong a6 = Fl_c6_to_a6(Rg_to_Fl(c6, p), p);
5429 647 : ulong c = p + 1 - Fl_elltrace_CM(CM, a4, a6, p);
5430 648 : d = Fl_invsafe(l % c, c);
5431 648 : if (!d) return NULL;
5432 : }
5433 15322 : a4a6 = a4a6_ch_Fl(E,p);
5434 15322 : a = FljV_changepointinv_pre(A, a4a6, p, pi);
5435 15322 : Hp = FljV_factorback_pre(a, L, a4, p, pi);
5436 15322 : if (d != 1)
5437 238 : Hp = Flj_mulu_pre(Hp, d, a4, p, pi);
5438 15322 : Hp = Flj_to_Fle_pre(Hp, p, pi);
5439 15322 : Hp = Fle_changepoint(Hp, a4a6, p);
5440 15322 : return gerepileuptoleaf(av, Hp);
5441 : }
5442 :
5443 : static GEN
5444 8741 : ellQ_factorback_slice(GEN A, GEN L, ulong l, GEN E, GEN P, GEN *mod)
5445 : {
5446 8741 : pari_sp av = avma;
5447 8741 : long i, n = lg(P)-1;
5448 8741 : long CM = ellQ_get_CM(E);
5449 : GEN H, T, B, Q;
5450 8741 : if (n == 1)
5451 : {
5452 3284 : ulong p = uel(P,1);
5453 3284 : GEN Hp = ellQ_factorback1(ZM_to_Flm(A, p), L, l, E, CM, p);
5454 3284 : if (!Hp) { *mod = gen_1; return ellinf(); }
5455 3260 : *mod = utoi(p);
5456 3260 : return Flv_to_ZV(Hp);
5457 : }
5458 5457 : T = ZV_producttree(P);
5459 5457 : A = ZM_nv_mod_tree(A, P, T);
5460 5457 : H = cgetg(n+1, t_VEC);
5461 17905 : for(i=1; i <= n; i++)
5462 : {
5463 12448 : gel(H,i) = ellQ_factorback1(gel(A,i), L, l, E, CM, uel(P,i));
5464 12448 : if (gel(H,i)==NULL) { gel(H,i) = ellinf(); uel(P,i) = 1; }
5465 : }
5466 5457 : B = ellQ_factorback_filter(H, P, &Q);
5467 5457 : if (lg(Q) != lg(P)) T = ZV_producttree(Q);
5468 5457 : H = ncV_chinese_center_tree(B, Q, T, ZV_chinesetree(Q,T));
5469 5457 : *mod = gmael(T, lg(T)-1, 1); return gc_all(av, 2, &H, mod);
5470 : }
5471 :
5472 : GEN
5473 8741 : ellQ_factorback_worker(GEN P, GEN E, GEN A, GEN L, ulong l)
5474 : {
5475 8741 : GEN V = cgetg(3, t_VEC);
5476 8741 : gel(V,1) = ellQ_factorback_slice(A, L, l, E, P, &gel(V,2));
5477 8741 : return V;
5478 : }
5479 :
5480 : /* If a single non-zero entry, equal to 1, return its index. Else 0 */
5481 : static long
5482 4214 : ZV_is_ei(GEN v)
5483 : {
5484 4214 : long i, ei = 0;
5485 15081 : for (i = lg(v)-1; i; i--)
5486 14109 : if (signe(gel(v,i)))
5487 : {
5488 5825 : if (ei || !equali1(gel(v,i))) return 0;
5489 2583 : ei = i;
5490 : }
5491 972 : return ei;
5492 : }
5493 :
5494 : /* A vector of points, L a ZV, return (sum L[i]*A[i]) / l;
5495 : * h is the canonical height of result. Assume the result is NOT
5496 : * torsion */
5497 : static GEN
5498 4228 : ellQ_factorback(GEN E, GEN A, GEN L, ulong l, GEN h, long prec)
5499 : {
5500 4228 : pari_sp av = avma;
5501 4228 : GEN hn, D, worker, mod = gen_1, H = NULL;
5502 : forprime_t S;
5503 4228 : ulong bound = 1;
5504 :
5505 4228 : if (l == 1)
5506 : {
5507 4214 : long i = ZV_is_ei(L);
5508 4214 : if (i) return gel(A,i);
5509 : }
5510 3256 : hn = l==1 ? NULL: hnaive_max(E, h);
5511 3256 : D = ell_get_disc(E);
5512 3256 : worker = snm_closure(is_entry("_ellQ_factorback_worker"),
5513 : mkvec4(E, QEV_to_ZJV(A), L, utoi(l)));
5514 3256 : if (l==1)
5515 3242 : init_modular_big(&S);
5516 : else
5517 14 : init_modular_small(&S);
5518 3256 : for (bound = 1;; bound <<= 1)
5519 3564 : {
5520 : GEN amax, r;
5521 6820 : gen_inccrt("ellQ_factorback", worker, D, bound, 0,
5522 : &S, &H, &mod, ellQ_factorback_chinese, NULL);
5523 6820 : amax = sqrti(shifti(mod,-2));
5524 6820 : if (!ell_is_inf(H) && (r = FpC_ratlift(H, mod, amax, amax, NULL))
5525 3826 : && oncurve_exact(E,r))
5526 : {
5527 : GEN g;
5528 3256 : settyp(r,t_VEC); g = ellheight(E,r,prec);
5529 3256 : if (signe(g) && expo(subrs(divrr(g,h),1))<-prec/2)
5530 3256 : return gerepileupto(av, r);
5531 : }
5532 3564 : if (hn && gcmpsg(expi(mod)>>2,hn) > 0) return gc_NULL(av);
5533 : }
5534 : }
5535 :
5536 : GEN
5537 819 : ellQ_genreduce(GEN E, GEN G, GEN M, long prec)
5538 : {
5539 819 : pari_sp av = avma;
5540 819 : long i, j, l = lg(G);
5541 819 : GEN L, V = cgetg(l, t_VEC);
5542 :
5543 819 : if (!M) M = ellheightmatrix(E, G, prec);
5544 : while(1)
5545 : {
5546 819 : L = lllgram(M);
5547 819 : if (L) break;
5548 0 : prec = precdbl(prec);
5549 0 : M = ellheightmatrix(E, G, prec);
5550 : }
5551 819 : l = lg(L); /* can decrease */
5552 4900 : for (i = j = 1; i < l; i++)
5553 : {
5554 4081 : GEN Li = gel(L, i), h = qfeval(M, Li);
5555 4081 : if (expo(h) > -prec/2)
5556 4081 : gel(V,j++) = ellQ_factorback(E, G, Li, 1, h, prec);
5557 : }
5558 819 : setlg(V, j); return gerepilecopy(av, V);
5559 : }
5560 :
5561 : static long
5562 42 : ellQ_isdivisible_test(forprime_t *S, GEN E, long CM, GEN P, ulong l, long nb)
5563 : {
5564 42 : GEN D = ell_get_disc(E);
5565 42 : pari_sp av = avma;
5566 : long m;
5567 2247 : for (m = 1; m <= nb; set_avma(av))
5568 : {
5569 2219 : ulong o, a4, a6, p = u_forprime_next(S);
5570 2219 : if (dvdiu(D, p)) continue;
5571 2219 : Fl_ell_to_a4a6(E, p, &a4, &a6);
5572 2219 : o = p+1 - Fl_elltrace_CM(CM, a4, a6, p);
5573 2219 : if (o % l == 0)
5574 : {
5575 294 : ulong pi = get_Fl_red(p);
5576 294 : GEN a4a6 = a4a6_ch_Fl(E,p);
5577 294 : GEN Q = Flj_changepointinv_pre(ZV_to_Flv(P, p), a4a6, p, pi);
5578 294 : GEN R = Flj_mulu_pre(Q, o/l, a4, p, pi);
5579 294 : if (uel(R, 3) != 0) return 0;
5580 280 : m++;
5581 : }
5582 : }
5583 28 : return 1;
5584 : }
5585 :
5586 : /* Assume l prime to 210 */
5587 : GEN
5588 42 : ellQ_isdivisible(GEN E, GEN P, ulong l)
5589 : {
5590 42 : pari_sp av = avma;
5591 42 : GEN worker, mod = gen_1, H = NULL, D = ell_get_disc(E), PJ = QE_to_ZJ(P);
5592 : forprime_t S, U;
5593 42 : long CM = ellQ_get_CM(E);
5594 : ulong bound;
5595 :
5596 42 : u_forprime_init(&U, l+1, ULONG_MAX);
5597 42 : if (!ellQ_isdivisible_test(&U, E, CM, PJ, l, 10)) return gc_NULL(av);
5598 28 : worker = snm_closure(is_entry("_ellQ_factorback_worker"),
5599 : mkvec4(E, mkvec(PJ), mkvecs(1), utoi(l)));
5600 28 : init_modular_small(&S);
5601 28 : for (bound = 1;; bound <<= 1)
5602 62 : {
5603 : GEN amax, r;
5604 90 : gen_inccrt("ellQ_factorback", worker, D, bound, 0,
5605 : &S, &H, &mod, ellQ_factorback_chinese, NULL);
5606 90 : amax = sqrti(shifti(mod,-2));
5607 90 : if (!ell_is_inf(H) && (r = FpC_ratlift(H, mod, amax, amax, NULL))
5608 29 : && oncurve_exact(E,r))
5609 : {
5610 28 : settyp(r,t_VEC);
5611 28 : if (gequal(ellmul(E,r,utoi(l)), P)) return gerepileupto(av, r);
5612 0 : if (!ellQ_isdivisible_test(&U, E, CM, PJ, l, 10)) return gc_NULL(av);
5613 : }
5614 : }
5615 : }
5616 :
5617 : /********************************************************************/
5618 : /** **/
5619 : /** ROOT NUMBER (after Halberstadt at p = 2,3) **/
5620 : /** **/
5621 : /********************************************************************/
5622 : /* x a t_INT */
5623 : static long
5624 9282 : val_aux(GEN x, long p, long pk, long *u)
5625 : {
5626 : long v;
5627 : GEN z;
5628 9282 : if (!signe(x)) { *u = 0; return 12; }
5629 9058 : v = Z_lvalrem(x,p,&z);
5630 9058 : *u = umodiu(z,pk); return v;
5631 : }
5632 : static void
5633 3094 : val_init(GEN e, long p, long pk,
5634 : long *v4, long *u, long *v6, long *v, long *vD, long *d1)
5635 : {
5636 3094 : GEN c4 = ell_get_c4(e), c6 = ell_get_c6(e), D = ell_get_disc(e);
5637 3094 : pari_sp av = avma;
5638 3094 : *v4 = val_aux(c4, p,pk, u);
5639 3094 : *v6 = val_aux(c6, p,pk, v);
5640 3094 : *vD = val_aux(D , p,pk, d1); set_avma(av);
5641 3094 : }
5642 :
5643 : static long
5644 3094 : kod_23(GEN e, long p)
5645 : {
5646 : GEN S, nv;
5647 3094 : if ((S = obj_check(e, Q_GLOBALRED)))
5648 : {
5649 3073 : GEN NP = gmael(S,3,1), L = gel(S,4);
5650 3073 : nv = absequaliu(gel(NP,1), p)? gel(L,1): gel(L,2); /* localred(p) */
5651 : }
5652 : else
5653 21 : nv = localred_23(e, p);
5654 3094 : return itos(gel(nv,2));
5655 : }
5656 :
5657 : /* v(c4), v(c6), v(D) for minimal model, +oo is coded by 12 */
5658 : static long
5659 1673 : neron_2(long v4, long v6, long vD, long kod)
5660 : {
5661 1673 : if (kod > 4) return 1;
5662 784 : switch(kod)
5663 : {
5664 0 : case 1: return (v6>0) ? 2 : 1;
5665 49 : case 2:
5666 49 : if (vD==4) return 1;
5667 : else
5668 : {
5669 7 : if (vD==7) return 3;
5670 7 : else return v4==4 ? 2 : 4;
5671 : }
5672 112 : case 3:
5673 112 : switch(vD)
5674 : {
5675 70 : case 6: return 3;
5676 0 : case 8: return 4;
5677 14 : case 9: return 5;
5678 28 : default: return v4==5 ? 2 : 1;
5679 : }
5680 133 : case 4: return v4>4 ? 2 : 1;
5681 84 : case -1:
5682 84 : switch(vD)
5683 : {
5684 42 : case 9: return 2;
5685 0 : case 10: return 4;
5686 42 : default: return v4>4 ? 3 : 1;
5687 : }
5688 56 : case -2:
5689 56 : switch(vD)
5690 : {
5691 7 : case 12: return 2;
5692 0 : case 14: return 3;
5693 49 : default: return 1;
5694 : }
5695 56 : case -3:
5696 56 : switch(vD)
5697 : {
5698 0 : case 12: return 2;
5699 0 : case 14: return 3;
5700 0 : case 15: return 4;
5701 56 : default: return 1;
5702 : }
5703 140 : case -4: return v6==7 ? 2 : 1;
5704 56 : case -5: return (v6==7 || v4==6) ? 2 : 1;
5705 42 : case -6:
5706 42 : switch(vD)
5707 : {
5708 14 : case 12: return 2;
5709 0 : case 13: return 3;
5710 28 : default: return v4==6 ? 2 : 1;
5711 : }
5712 35 : case -7: return (vD==12 || v4==6) ? 2 : 1;
5713 21 : default: return v4==6 ? 2 : 1;
5714 : }
5715 : }
5716 : /* p = 3; v(c4), v(c6), v(D) for minimal model, +oo is coded by 12 */
5717 : static long
5718 595 : neron_3(long v4, long v6, long vD, long kod)
5719 : {
5720 595 : if (labs(kod) > 4) return 1;
5721 322 : switch(kod)
5722 : {
5723 49 : case -1: case 1: return odd(v4)? 2: 1;
5724 140 : case -3: case 3: return (2*v6>vD+3)? 2: 1;
5725 91 : case -4: case 2:
5726 91 : switch (vD%6)
5727 : {
5728 0 : case 4: return 3;
5729 0 : case 5: return 4;
5730 91 : default: return v6%3==1 ? 2 : 1;
5731 : }
5732 42 : default: /* kod = -2 et 4 */
5733 42 : switch (vD%6)
5734 : {
5735 0 : case 0: return 2;
5736 0 : case 1: return 3;
5737 42 : default: return 1;
5738 : }
5739 : }
5740 : }
5741 :
5742 : static long
5743 1673 : ellrootno_2(GEN e)
5744 : {
5745 : long n2, kod, u, v, x1, y1, D1, vD, v4, v6;
5746 1673 : long d = get_vp_u_small(e, 2, &v6, &vD);
5747 :
5748 1673 : if (!vD) return 1;
5749 1673 : if (d) { /* not minimal */
5750 : ellmin_t M;
5751 14 : min_set_2(&M, e, d);
5752 14 : min_set_D(&M, e);
5753 14 : e = min_to_ell(&M, e);
5754 : }
5755 1673 : val_init(e, 2,64,&v4,&u, &v6,&v, &vD,&D1);
5756 1673 : kod = kod_23(e,2);
5757 1673 : n2 = neron_2(v4,v6,vD, kod);
5758 1673 : if (kod>=5)
5759 : {
5760 : long a2, a3;
5761 889 : a2 = ZtoF2(ell_get_a2(e));
5762 889 : a3 = ZtoF2(ell_get_a3(e));
5763 889 : return odd(a2 + a3) ? 1 : -1;
5764 : }
5765 784 : if (kod<-9) return (n2==2) ? -kross(-1,v) : -1;
5766 777 : x1 = u+v+v;
5767 777 : switch(kod)
5768 : {
5769 0 : case 1: return 1;
5770 49 : case 2:
5771 : switch(n2)
5772 : {
5773 42 : case 1:
5774 42 : switch(v4)
5775 : {
5776 14 : case 4: return kross(-1,u);
5777 14 : case 5: return 1;
5778 14 : default: return -1;
5779 : }
5780 7 : case 2: return (v6==7) ? 1 : -1;
5781 0 : case 3: return (v%8==5 || (u*v)%8==5) ? 1 : -1;
5782 0 : case 4: if (v4>5) return kross(-1,v);
5783 0 : return (v4==5) ? -kross(-1,u) : -1;
5784 : }
5785 : case 3:
5786 : switch(n2)
5787 : {
5788 7 : case 1: return -kross(2,u*v);
5789 21 : case 2: return -kross(2,v);
5790 70 : case 3: y1 = (u - (v << (v6-5))) & 15;
5791 70 : return (y1==7 || y1==11) ? 1 : -1;
5792 0 : case 4: return (v%8==3 || (2*u+v)%8==7) ? 1 : -1;
5793 14 : case 5: return v6==8 ? kross(2,x1) : kross(-2,u);
5794 : }
5795 : case -1:
5796 : switch(n2)
5797 : {
5798 42 : case 1: return -kross(2,x1);
5799 42 : case 2: return (v%8==7) || (x1%32==11) ? 1 : -1;
5800 0 : case 3: return v4==6 ? 1 : -1;
5801 0 : case 4: if (v4>6) return kross(-1,v);
5802 0 : return v4==6 ? -kross(-1,u*v) : -1;
5803 : }
5804 56 : case -2: return n2==1 ? kross(-2,v) : kross(-1,v);
5805 56 : case -3:
5806 : switch(n2)
5807 : {
5808 56 : case 1: y1=(u-2*v)%64; if (y1<0) y1+=64;
5809 56 : return (y1==3) || (y1==19) ? 1 : -1;
5810 0 : case 2: return kross(2*kross(-1,u),v);
5811 0 : case 3: return -kross(-1,u)*kross(-2*kross(-1,u),u*v);
5812 0 : case 4: return v6==11 ? kross(-2,x1) : -kross(-2,u);
5813 : }
5814 : case -5:
5815 56 : if (n2==1) return x1%32==23 ? 1 : -1;
5816 7 : else return -kross(2,2*u+v);
5817 42 : case -6:
5818 : switch(n2)
5819 : {
5820 28 : case 1: return 1;
5821 14 : case 2: return v6==10 ? 1 : -1;
5822 0 : case 3: return (u%16==11) || ((u+4*v)%16==3) ? 1 : -1;
5823 : }
5824 : case -7:
5825 35 : if (n2==1) return 1;
5826 : else
5827 : {
5828 21 : y1 = (u + (v << (v6-8))) & 15;
5829 21 : if (v6==10) return (y1==9 || y1==13) ? 1 : -1;
5830 7 : else return (y1==9 || y1==5) ? 1 : -1;
5831 : }
5832 0 : case -8: return n2==2 ? kross(-1,v*D1) : -1;
5833 14 : case -9: return n2==2 ? -kross(-1,D1) : -1;
5834 273 : default: return -1;
5835 : }
5836 : }
5837 :
5838 : static long
5839 1421 : ellrootno_3(GEN e)
5840 : {
5841 : long n2, kod, u, v, D1, r6, K4, K6, vD, v4, v6;
5842 1421 : long d = get_vp_u_small(e, 3, &v6, &vD);
5843 :
5844 1421 : if (!vD) return 1;
5845 1421 : if (d) { /* not minimal */
5846 : ellmin_t M;
5847 0 : min_set_3(&M, e, d);
5848 0 : min_set_a(&M);
5849 0 : min_set_D(&M, e);
5850 0 : e = min_to_ell(&M, e);
5851 : }
5852 1421 : val_init(e, 3,81, &v4,&u, &v6,&v, &vD,&D1);
5853 1421 : kod = kod_23(e,3);
5854 1421 : K6 = kross(v,3); if (kod>4) return K6;
5855 595 : n2 = neron_3(v4,v6,vD,kod);
5856 595 : r6 = v%9; K4 = kross(u,3);
5857 595 : switch(kod)
5858 : {
5859 140 : case 1: case 3: case -3: return 1;
5860 21 : case 2:
5861 : switch(n2)
5862 : {
5863 21 : case 1: return (r6==4 || r6>6) ? 1 : -1;
5864 0 : case 2: return -K4*K6;
5865 0 : case 3: return 1;
5866 0 : case 4: return -K6;
5867 : }
5868 : case 4:
5869 : switch(n2)
5870 : {
5871 21 : case 1: return K6*kross(D1,3);
5872 0 : case 2: return -K4;
5873 0 : case 3: return -K6;
5874 : }
5875 21 : case -2: return n2==2 ? 1 : K6;
5876 70 : case -4:
5877 : switch(n2)
5878 : {
5879 63 : case 1:
5880 63 : if (v4==4) return (r6==4 || r6==8) ? 1 : -1;
5881 49 : else return (r6==1 || r6==2) ? 1 : -1;
5882 7 : case 2: return -K6;
5883 0 : case 3: return (r6==2 || r6==7) ? 1 : -1;
5884 0 : case 4: return K6;
5885 : }
5886 322 : default: return -1;
5887 : }
5888 : }
5889 :
5890 : /* p > 3. Don't assume that e is minimal or even integral at p */
5891 : static long
5892 3374 : ellrootno_p(GEN e, GEN p)
5893 : {
5894 : long nuj, nuD, nu;
5895 3374 : GEN D = ell_get_disc(e);
5896 : long ep, z;
5897 :
5898 3374 : nuD = Q_pval(D, p);
5899 3374 : if (!nuD) return 1;
5900 3374 : nuj = j_pval(e, p);
5901 3374 : nu = (nuD - nuj) % 12;
5902 3374 : if (nu == 0)
5903 : {
5904 : GEN c6;
5905 : long d, vg;
5906 2919 : if (!nuj) return 1; /* good reduction */
5907 : /* p || N */
5908 2919 : c6 = ell_get_c6(e); /* != 0 */
5909 2919 : vg = minss(2*Q_pval(c6, p), nuD);
5910 2919 : d = vg / 12;
5911 2919 : if (d)
5912 : {
5913 7 : GEN q = powiu(p,6*d);
5914 7 : c6 = (typ(c6) == t_INT)? diviiexact(c6, q): gdiv(c6, q);
5915 : }
5916 2919 : if (typ(c6) != t_INT) c6 = Rg_to_Fp(c6,p);
5917 : /* c6 in minimal model */
5918 2919 : return -kronecker(negi(c6), p);
5919 : }
5920 455 : if (nuj) return krosi(-1,p);
5921 301 : ep = 12 / ugcd(12, nu);
5922 301 : if (ep==4) z = 2; else z = odd(ep)? 3: 1;
5923 301 : return krosi(-z, p);
5924 : }
5925 :
5926 : static GEN
5927 3262 : doellrootno(GEN e)
5928 : {
5929 3262 : GEN V, P, S = ellglobalred_i(e);
5930 3262 : long i, l, s = -1;
5931 :
5932 3262 : V = obj_check(e, Q_MINIMALMODEL);
5933 3262 : if (lg(V) != 2) e = gel(V,3);
5934 3262 : P = gmael(S,3,1); l = lg(P);
5935 3262 : V = cgetg(l, t_VECSMALL);
5936 9702 : for (i = 1; i < l; i++)
5937 : {
5938 6440 : GEN p = gel(P,i);
5939 : long t;
5940 6440 : switch(itou_or_0(p))
5941 : {
5942 1652 : case 2: t = ellrootno_2(e); break;
5943 1421 : case 3: t = ellrootno_3(e); break;
5944 3367 : default:t = ellrootno_p(e, p);
5945 : }
5946 6440 : V[i] = t; if (t < 0) s = -s;
5947 : }
5948 3262 : return mkvec2(stoi(s), V);
5949 : }
5950 :
5951 : /* local epsilon factor at p (over Q), including p=0 for the infinite place.
5952 : * Global if p==1 or NULL. */
5953 : static long
5954 91 : ellQ_rootno(GEN e, GEN p)
5955 : {
5956 91 : pari_sp av = avma;
5957 : GEN S;
5958 : long s;
5959 91 : if (!p || isint1(p)) return ellrootno_global(e);
5960 77 : if (!signe(p)) return -1; /* local factor at infinity */
5961 77 : if ( (S = obj_check(e, Q_ROOTNO)) )
5962 : {
5963 49 : GEN T = obj_check(e, Q_GLOBALRED), NP = gmael(T,3,1);
5964 49 : long i = ZV_search(NP, p);
5965 49 : if (i) { GEN V = gel(S,2); return V[i]; }
5966 0 : return 1;
5967 : }
5968 28 : switch(itou_or_0(p))
5969 : {
5970 21 : case 2:
5971 21 : e = ellintegralmodel_i(e, NULL);
5972 21 : s = ellrootno_2(e); break;
5973 0 : case 3:
5974 0 : e = ellintegralmodel_i(e, NULL);
5975 0 : s = ellrootno_3(e); break;
5976 7 : default:
5977 7 : s = ellrootno_p(e,p); break;
5978 : }
5979 28 : return gc_long(av, s);
5980 : }
5981 :
5982 : /* global root number over number field
5983 : * Root numbers and parity of ranks of elliptic curves, Tim and Vladimir Dokchitser
5984 : * https://arxiv.org/abs/0906.1815
5985 : */
5986 :
5987 : static GEN
5988 343 : ellrnfup(GEN rnf, GEN E, long prec)
5989 : {
5990 : long i;
5991 343 : GEN Eb = cgetg(6, t_VEC);
5992 2058 : for(i=1; i<=5; i++)
5993 1715 : gel(Eb, i) = rnfeltup(rnf,gel(E, i));
5994 343 : return ellinit_nf(Eb, rnf_build_nfabs(rnf, prec));
5995 : }
5996 :
5997 : static GEN
5998 273 : ellnf2isog(GEN E, GEN z)
5999 : {
6000 273 : long v = fetch_var_higher();
6001 273 : GEN S = deg1pol(gen_1, gneg(z), v);
6002 273 : GEN E2 = ellisogeny(E, S, 1, -1, -1);
6003 273 : delete_var();
6004 273 : return ellinit_nf(E2, ellnf_get_nf(E));
6005 : }
6006 :
6007 : static GEN
6008 231 : ellnf_reladelicvolume(GEN E, GEN P, GEN z, long prec)
6009 : {
6010 231 : pari_sp av = avma;
6011 231 : GEN nf = ellnf_get_nf(E);
6012 231 : GEN rnf = rnfinit0(nf, P, 1);
6013 231 : GEN Et = ellrnfup(rnf, E, prec);
6014 231 : GEN E2 = ellnf2isog(Et, rnfeltreltoabs(rnf, z));
6015 231 : GEN c1 = ellnf_adelicvolume(Et, prec), c2 = ellnf_adelicvolume(E2, prec);
6016 231 : obj_free(rnf); obj_free(Et); obj_free(E2);
6017 231 : return gerepilecopy(av, mkvec2(c1,c2));
6018 : }
6019 :
6020 : static long
6021 273 : rootnovalp(GEN z, ulong p, long prec)
6022 273 : { return mpodd(ground(gdiv(glog(z, prec), glog(utoi(p),prec)))); }
6023 :
6024 : static long
6025 161 : ellnf_rootno_global(GEN E)
6026 : {
6027 161 : pari_sp av = avma;
6028 161 : GEN nf = ellnf_get_nf(E);
6029 161 : long prec = nf_get_prec(nf);
6030 161 : long v, var = fetch_var_higher();
6031 : GEN F;
6032 161 : E = ellintegralmodel_i(E, NULL);
6033 161 : F = nfroots(nf, ec_bmodel(E, var));
6034 161 : if (lg(F)>1)
6035 : {
6036 42 : GEN Et = ellnf2isog(E, gel(F,1));
6037 42 : GEN cK = ellnf_adelicvolume(E, prec), cKt = ellnf_adelicvolume(Et, prec);
6038 42 : obj_free(Et);
6039 42 : v = rootnovalp(divrr(cK,cKt), 2, prec);
6040 : } else
6041 : {
6042 119 : GEN D = deg2pol_shallow(gen_1, gen_0, gneg(ell_get_disc(E)), var);
6043 119 : GEN P = RgX_divs(RgX_rescale(ec_bmodel(E, var), utoi(4)), 4);
6044 119 : GEN c = ellnf_reladelicvolume(E, P, gmul2n(pol_x(var),-2), prec);
6045 119 : GEN cL = gel(c,1), cLt = gel(c,2);
6046 119 : GEN F = nfroots(nf, D);
6047 119 : if (lg(F)>1)
6048 7 : v = rootnovalp(divrr(cL,cLt), 2, prec);
6049 : else
6050 : {
6051 112 : GEN cK = ellnf_adelicvolume(E, prec);
6052 112 : GEN cp = nfcompositum(nf, P, D, 3);
6053 112 : GEN cc = ellnf_reladelicvolume(E, gel(cp,1), gmul2n(gel(cp,2),-2), prec);
6054 112 : GEN cF = gel(cc,1), cFt = gel(cc,2);
6055 112 : GEN rnf = rnfinit0(nf,D,1);
6056 112 : GEN Et = ellrnfup(rnf, E, prec);
6057 112 : GEN cKv = ellnf_adelicvolume(Et, prec);
6058 112 : long v2 = rootnovalp(divrr(gmul(cL,cF),gmul(cLt,cFt)), 2, prec);
6059 112 : long v3 = rootnovalp(divrr(gmul(cF,gsqr(cK)),gmul(cKv,gsqr(cL))), 3, prec);
6060 112 : obj_free(rnf); obj_free(Et);
6061 112 : v = odd(v2+v3);
6062 : }
6063 : }
6064 161 : delete_var();
6065 161 : return gc_long(av, v? -1: 1);
6066 : }
6067 :
6068 : static GEN
6069 161 : doellnfrootno(GEN e)
6070 161 : { return stoi(ellnf_rootno_global(e)); }
6071 :
6072 : long
6073 4585 : ellrootno_global(GEN e)
6074 : {
6075 4585 : pari_sp av = avma;
6076 : GEN S;
6077 4585 : switch(ell_get_type(e))
6078 : {
6079 4270 : case t_ELL_Q:
6080 4270 : S = gel(obj_checkbuild(e, Q_ROOTNO, &doellrootno),1);
6081 4270 : break;
6082 315 : case t_ELL_NF:
6083 315 : S = obj_checkbuild(e, NF_ROOTNO, &doellnfrootno);
6084 315 : break;
6085 0 : default:
6086 : pari_err_TYPE("ellrootno", e); return 0; /*LCOV_EXCL_LINE*/
6087 : }
6088 4585 : return gc_long(av, itos(S));
6089 : }
6090 :
6091 : long
6092 203 : ellrootno(GEN e, GEN p)
6093 : {
6094 203 : checkell(e);
6095 203 : if (p && typ(p) != t_INT) pari_err_TYPE("ellrootno", p);
6096 203 : if (p && signe(p) < 0) pari_err_PRIME("ellrootno",p);
6097 203 : switch(ell_get_type(e))
6098 : {
6099 91 : case t_ELL_Q:
6100 91 : return ellQ_rootno(e, p);
6101 0 : default: pari_err_TYPE("ellrootno", e);
6102 112 : case t_ELL_NF:
6103 112 : if (p) pari_err_IMPL("local root number for number fields");
6104 112 : return ellrootno_global(e);
6105 : }
6106 : }
6107 :
6108 : /********************************************************************/
6109 : /** **/
6110 : /** TRACE OF FROBENIUS **/
6111 : /** **/
6112 : /********************************************************************/
6113 :
6114 : /* assume p does not divide disc E */
6115 : long
6116 1134217 : ellap_CM_fast(GEN E, ulong p, long CM)
6117 : {
6118 : ulong a4, a6;
6119 1134217 : if (p == 2) return 3 - cardmod2(E);
6120 1130822 : if (p == 3) return 4 - cardmod3(E);
6121 1126258 : Fl_ell_to_a4a6(E, p, &a4, &a6);
6122 1126258 : return Fl_elltrace_CM(CM, a4, a6, p);
6123 : }
6124 :
6125 : static void
6126 693 : checkell_int(GEN e)
6127 : {
6128 693 : checkell_Q(e);
6129 693 : if (typ(ell_get_a1(e)) != t_INT ||
6130 693 : typ(ell_get_a2(e)) != t_INT ||
6131 693 : typ(ell_get_a3(e)) != t_INT ||
6132 693 : typ(ell_get_a4(e)) != t_INT ||
6133 693 : typ(ell_get_a6(e)) != t_INT) pari_err_TYPE("ellanQ [not an integral model]",e);
6134 693 : }
6135 :
6136 : long
6137 20368 : ellQ_get_CM(GEN e)
6138 : {
6139 20368 : GEN j = ell_get_j(e);
6140 20368 : if (typ(j) != t_INT) return 0;
6141 1212 : if (is_bigint(j))
6142 : {
6143 : #ifndef LONG_IS_64BIT
6144 4 : if (signe(j) < 0)
6145 : {
6146 4 : pari_sp av = avma;
6147 4 : if (absequalii(j, uu32toi(0x22UL,0x45ae8000UL))) return gc_long(av,-67);
6148 2 : if (absequalii(j, uu32toi(0x03a4b862,0xc4b40000UL))) return gc_long(av,-163);
6149 : }
6150 : #endif
6151 0 : return 0;
6152 : }
6153 1208 : switch(signe(j))
6154 : {
6155 372 : default: return -3; /* j = 0 */
6156 567 : case 1:
6157 567 : switch(j[2])
6158 : {
6159 266 : case 1728: return -4;
6160 28 : case 8000: return -8;
6161 70 : case 54000: return -12;
6162 112 : case 287496: return -16;
6163 70 : case 16581375: return -28;
6164 21 : default: return 0;
6165 : }
6166 269 : case -1:
6167 269 : switch(j[2]) {
6168 70 : case 3375: return -7;
6169 28 : case 32768: return -11;
6170 14 : case 884736: return -19;
6171 77 : case 12288000: return -27;
6172 14 : case 884736000: return -43;
6173 : #ifdef LONG_IS_64BIT
6174 12 : case 147197952000L: return -67;
6175 12 : case 262537412640768000L: return -163;
6176 : #endif
6177 42 : default: return 0;
6178 : }
6179 : }
6180 : }
6181 :
6182 : static long
6183 56 : ellnf_get_CM(GEN E)
6184 : {
6185 56 : long av = avma;
6186 56 : GEN j = ell_get_j(E), nf = ellnf_get_nf(E);
6187 56 : GEN P = minpoly(basistoalg(nf, j), 0);
6188 56 : return gc_long(av, polisclass(P));
6189 : }
6190 :
6191 : long
6192 154 : elliscm(GEN E)
6193 : {
6194 154 : checkell(E);
6195 154 : switch(ell_get_type(E))
6196 : {
6197 98 : case t_ELL_Q: return ellQ_get_CM(E);
6198 56 : case t_ELL_NF: return ellnf_get_CM(E);
6199 0 : default: pari_err_TYPE("elliscm", E);
6200 : return 0; /*LCOV_EXCL_LINE*/
6201 : }
6202 : }
6203 :
6204 : /* E/Q or Qp, return cardinality including the (possible) ramified point */
6205 : static GEN
6206 2422034 : ellcard_ram(GEN E, GEN p, int *good_red)
6207 : {
6208 2422034 : GEN a4, a6, D = Rg_to_Fp(ell_get_disc(E), p);
6209 2422029 : if (!signe(D))
6210 : {
6211 97986 : pari_sp av = avma;
6212 97986 : GEN ap = ellQap(E, p, good_red);
6213 97986 : return gerepileuptoint(av, subii(addiu(p,1), ap));
6214 : }
6215 2324043 : *good_red = 1;
6216 2324043 : if (absequaliu(p,2)) return utoi(cardmod2(E));
6217 2322297 : if (absequaliu(p,3)) return utoi(cardmod3(E));
6218 2320670 : ell_to_a4a6(E,p,&a4,&a6);
6219 2320521 : return Fp_ellcard(a4, a6, p);
6220 : }
6221 :
6222 :
6223 : /* bad reduction at p */
6224 : static void
6225 12544 : sievep_bad(ulong p, GEN an, ulong n)
6226 : {
6227 : ulong m, N;
6228 12544 : switch (an[p]) /* (-c6/p) */
6229 : {
6230 4424 : case -1: /* nonsplit */
6231 4424 : N = n/p;
6232 661801 : for (m=2; m<=N; m++)
6233 657377 : if (an[m] != LONG_MAX) an[m*p] = -an[m];
6234 4424 : break;
6235 3794 : case 0: /* additive */
6236 7819392 : for (m=2*p; m<=n; m+=p) an[m] = 0;
6237 3794 : break;
6238 4326 : case 1: /* split */
6239 4326 : N = n/p;
6240 386358 : for (m=2; m<=N; m++)
6241 382032 : if (an[m] != LONG_MAX) an[m*p] = an[m];
6242 4326 : break;
6243 : }
6244 12544 : }
6245 : /* good reduction at p */
6246 : static void
6247 1069698 : sievep_good(ulong p, GEN an, ulong n, ulong SQRTn)
6248 : {
6249 1069698 : const long ap = an[p];
6250 : ulong m;
6251 1069698 : if (p <= SQRTn) {
6252 32830 : ulong pk, oldpk = 1;
6253 128912 : for (pk=p; pk <= n; oldpk=pk, pk *= p)
6254 : {
6255 96082 : if (pk != p) an[pk] = ap * an[oldpk] - p * an[oldpk/p];
6256 12318425 : for (m = n/pk; m > 1; m--)
6257 12222343 : if (an[m] != LONG_MAX && m%p) an[m*pk] = an[m] * an[pk];
6258 : }
6259 : } else {
6260 6170052 : for (m = n/p; m > 1; m--)
6261 5133184 : if (an[m] != LONG_MAX) an[m*p] = ap * an[m];
6262 : }
6263 1069698 : }
6264 : static void
6265 1082242 : sievep(ulong p, GEN an, ulong n, ulong SQRTn, int good_red)
6266 : {
6267 1082242 : if (good_red)
6268 1069698 : sievep_good(p, an, n, SQRTn);
6269 : else
6270 12544 : sievep_bad(p, an, n);
6271 1082242 : }
6272 :
6273 : static long
6274 1082242 : ellan_get_ap(ulong p, int *good_red, int CM, GEN e)
6275 : {
6276 1082242 : if (!umodiu(ell_get_disc(e),p)) /* p|D, bad reduction or nonminimal model */
6277 12600 : return ellQap_u(e, p, good_red);
6278 : else /* good reduction */
6279 : {
6280 1069642 : *good_red = 1;
6281 1069642 : return ellap_CM_fast(e, p, CM);
6282 : }
6283 : }
6284 : GEN
6285 6699 : ellanQ_zv(GEN e, long n0)
6286 : {
6287 : pari_sp av;
6288 6699 : ulong p, SQRTn, n = (ulong)n0;
6289 : GEN an;
6290 : int CM;
6291 :
6292 6699 : if (n0 <= 0) return cgetg(1,t_VEC);
6293 6699 : if (n >= LGBITS)
6294 0 : pari_err_IMPL( stack_sprintf("ellan for n >= %lu", LGBITS) );
6295 6699 : e = ellintegralmodel_i(e,NULL);
6296 6699 : SQRTn = usqrt(n);
6297 6699 : CM = ellQ_get_CM(e);
6298 :
6299 6699 : an = const_vecsmall(n, LONG_MAX);
6300 6699 : an[1] = 1; av = avma;
6301 9823688 : for (p=2; p<=n; p++)
6302 : {
6303 : int good_red;
6304 9816989 : if (an[p] != LONG_MAX) continue; /* p not prime */
6305 1082242 : an[p] = ellan_get_ap(p, &good_red, CM, e);
6306 1082242 : sievep(p, an, n, SQRTn, good_red);
6307 : }
6308 6699 : set_avma(av); return an;
6309 : }
6310 :
6311 : static GEN
6312 56 : ellQ_eulerf(GEN e, GEN p)
6313 : {
6314 : int good_red;
6315 56 : GEN card = ellcard_ram(e, p, &good_red);
6316 56 : GEN ap = subii(addiu(p, 1), card);
6317 56 : if (good_red)
6318 56 : return mkrfrac(gen_1,deg2pol_shallow(p, gneg(ap), gen_1, 0));
6319 0 : if (!signe(ap)) return pol_1(0);
6320 0 : return mkrfrac(gen_1,deg1pol_shallow(negi(ap), gen_1,0));
6321 : }
6322 :
6323 : static GEN
6324 329 : ellanQ(GEN e, long N)
6325 329 : { return vecsmall_to_vec_inplace(ellanQ_zv(e,N)); }
6326 :
6327 : static GEN
6328 83770 : ellnflocal(GEN E, GEN p, long n)
6329 : {
6330 83770 : pari_sp av = avma;
6331 83770 : GEN nf = ellnf_get_nf(E);
6332 83765 : GEN LP = idealprimedec_limit_f(nf, p, n ? n-1: nf_get_degree(nf)), T = NULL;
6333 83787 : long l = lg(LP), i;
6334 167550 : for (i = 1; i < l; i++)
6335 : {
6336 : int goodred;
6337 83765 : GEN P = gel(LP,i), T2;
6338 83765 : GEN ap = ellnfap(E, P, &goodred);
6339 83718 : long f = pr_get_f(P);
6340 83717 : if (goodred)
6341 83535 : T2 = mkpoln(3, pr_norm(P), negi(ap), gen_1);
6342 : else
6343 : {
6344 182 : if (!signe(ap)) continue;
6345 168 : T2 = deg1pol_shallow(negi(ap), gen_1, 0);
6346 : }
6347 83741 : if (f > 1) T2 = RgX_inflate(T2, f);
6348 83749 : T = T? ZX_mul(T, T2): T2;
6349 : }
6350 83785 : if (!T) { set_avma(av); return pol_1(0); }
6351 46358 : if (n==0) return gerepilecopy(av, mkrfrac(gen_1,T));
6352 46344 : return gerepileupto(av, RgXn_inv_i(T, n));
6353 : }
6354 :
6355 : GEN
6356 4961 : direllnf_worker(GEN P, ulong X, GEN E)
6357 : {
6358 4961 : pari_sp av = avma;
6359 4961 : long i, l = lg(P);
6360 4961 : GEN W = cgetg(l, t_VEC);
6361 88720 : for(i = 1; i < l; i++)
6362 : {
6363 83758 : ulong p = uel(P,i);
6364 83758 : long d = ulogint(X, p) + 1; /* minimal d such that p^d > X */
6365 83756 : gel(W,i) = ellnflocal(E, utoi(uel(P,i)), d);
6366 : }
6367 4962 : return gerepilecopy(av, mkvec2(P,W));
6368 : }
6369 :
6370 : static GEN
6371 203 : ellnfan(GEN E, long N)
6372 : {
6373 203 : GEN worker = snm_closure(is_entry("_direllnf_worker"), mkvec(E));
6374 203 : return pardireuler(worker, gen_2, stoi(N), NULL, NULL);
6375 : }
6376 :
6377 : GEN
6378 70 : elleulerf(GEN E, GEN p)
6379 : {
6380 70 : checkell(E);
6381 70 : switch(ell_get_type(E))
6382 : {
6383 56 : case t_ELL_Q: return ellQ_eulerf(E, p);
6384 14 : case t_ELL_NF: return ellnflocal(E, p, 0);
6385 0 : default:
6386 0 : pari_err_TYPE("elleulerf",E);
6387 : return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
6388 : }
6389 : }
6390 :
6391 : GEN
6392 525 : ellan(GEN E, long N)
6393 : {
6394 525 : checkell(E);
6395 525 : switch(ell_get_type(E))
6396 : {
6397 322 : case t_ELL_Q: return ellanQ(E, N);
6398 203 : case t_ELL_NF: return ellnfan(E, N);
6399 0 : default:
6400 0 : pari_err_TYPE("ellan",E);
6401 : return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
6402 : }
6403 : }
6404 :
6405 : static GEN
6406 735 : apk_good(GEN ap, GEN p, long e)
6407 : {
6408 : GEN u, v, w;
6409 : long j;
6410 735 : if (e == 1) return ap;
6411 112 : u = ap;
6412 112 : w = subii(sqri(ap), p);
6413 126 : for (j=3; j<=e; j++)
6414 : {
6415 14 : v = u; u = w;
6416 14 : w = subii(mulii(ap,u), mulii(p,v));
6417 : }
6418 112 : return w;
6419 : }
6420 :
6421 : GEN
6422 693 : akell(GEN e, GEN n)
6423 : {
6424 : long i, j, s;
6425 693 : pari_sp av = avma;
6426 : GEN fa, P, E, D, u, y;
6427 :
6428 693 : checkell_int(e);
6429 693 : if (typ(n) != t_INT) pari_err_TYPE("akell",n);
6430 693 : if (signe(n)<= 0) return gen_0;
6431 693 : if (gequal1(n)) return gen_1;
6432 693 : D = ell_get_disc(e);
6433 693 : u = Z_ppo(n, D);
6434 693 : y = gen_1;
6435 693 : s = 1;
6436 693 : if (!equalii(u, n))
6437 : { /* bad reduction at primes dividing n/u */
6438 441 : fa = Z_factor(diviiexact(n, u));
6439 441 : P = gel(fa,1);
6440 441 : E = gel(fa,2);
6441 1022 : for (i=1; i<lg(P); i++)
6442 : {
6443 581 : GEN p = gel(P,i);
6444 581 : long ex = itos(gel(E,i));
6445 : int good_red;
6446 581 : GEN ap = ellQap(e,p,&good_red);
6447 581 : if (good_red) { y = mulii(y, apk_good(ap, p, ex)); continue; }
6448 350 : j = signe(ap);
6449 350 : if (!j) { set_avma(av); return gen_0; }
6450 350 : if (odd(ex) && j < 0) s = -s;
6451 : }
6452 : }
6453 693 : if (s < 0) y = negi(y);
6454 693 : fa = Z_factor(u);
6455 693 : P = gel(fa,1);
6456 693 : E = gel(fa,2);
6457 1197 : for (i=1; i<lg(P); i++)
6458 : { /* good reduction */
6459 504 : GEN p = gel(P,i);
6460 504 : GEN ap = ellap(e,p);
6461 504 : y = mulii(y, apk_good(ap, p, itos(gel(E,i))));
6462 : }
6463 693 : return gerepileuptoint(av,y);
6464 : }
6465 :
6466 : GEN
6467 8057 : ellQ_get_N(GEN e)
6468 8057 : { GEN v = ellglobalred_i(e); return gel(v,1); }
6469 : void
6470 917 : ellQ_get_Nfa(GEN e, GEN *N, GEN *faN)
6471 917 : { GEN v = ellglobalred_i(e); *N = gel(v,1); *faN = gel(v,3); }
6472 :
6473 : GEN
6474 14 : elllseries(GEN e, GEN s, GEN A, long prec)
6475 : {
6476 14 : pari_sp av = avma, av1;
6477 : ulong l, n;
6478 : long eps, flun;
6479 : GEN z, cg, v, cga, cgb, s2, K, gs, N;
6480 :
6481 14 : if (!A) A = gen_1;
6482 : else
6483 : {
6484 7 : if (gsigne(A)<=0)
6485 0 : pari_err_DOMAIN("elllseries", "cut-off point", "<=", gen_0,A);
6486 7 : if (gcmpgs(A,1) < 0) A = ginv(A);
6487 : }
6488 14 : if (isint(s, &s) && signe(s) <= 0) { set_avma(av); return gen_0; }
6489 14 : flun = gequal1(A) && gequal1(s);
6490 14 : checkell_Q(e);
6491 14 : e = ellanal_globalred(e, NULL);
6492 14 : N = ellQ_get_N(e);
6493 14 : eps = ellrootno_global(e);
6494 14 : if (flun && eps < 0) { set_avma(av); return real_0(prec); }
6495 :
6496 14 : gs = ggamma(s, prec);
6497 14 : cg = divrr(Pi2n(1, prec), gsqrt(N,prec));
6498 14 : cga = gmul(cg, A);
6499 14 : cgb = gdiv(cg, A);
6500 14 : l = (ulong)((prec2nbits_mul(prec, M_LN2) +
6501 14 : fabs(gtodouble(real_i(s))-1.) * log(rtodbl(cga)))
6502 14 : / rtodbl(cgb) + 1);
6503 14 : if ((long)l < 1) l = 1;
6504 14 : v = ellanQ_zv(e, minss(l,LGBITS-1));
6505 14 : s2 = K = NULL; /* gcc -Wall */
6506 14 : if (!flun) { s2 = gsubsg(2,s); K = gpow(cg, gsubgs(gmul2n(s,1),2),prec); }
6507 14 : z = gen_0;
6508 14 : av1 = avma;
6509 1344 : for (n = 1; n <= l; n++)
6510 : {
6511 1330 : GEN p1, an, gn = utoipos(n), ns;
6512 1330 : an = ((ulong)n<LGBITS)? stoi(v[n]): akell(e,gn);
6513 1330 : if (!signe(an)) continue;
6514 :
6515 1106 : ns = gpow(gn,s,prec);
6516 1106 : p1 = gdiv(incgam0(s,mulur(n,cga),gs,prec), ns);
6517 1106 : if (flun)
6518 0 : p1 = gmul2n(p1, 1);
6519 : else
6520 : {
6521 1106 : GEN p2 = gdiv(gmul(gmul(K,ns), incgam(s2,mulur(n,cgb),prec)), sqru(n));
6522 1106 : if (eps < 0) p2 = gneg_i(p2);
6523 1106 : p1 = gadd(p1, p2);
6524 : }
6525 1106 : z = gadd(z, gmul(p1, an));
6526 1106 : if (gc_needed(av1,1))
6527 : {
6528 0 : if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"lseriesell");
6529 0 : z = gerepilecopy(av1,z);
6530 : }
6531 : }
6532 14 : return gerepileupto(av, gdiv(z,gs));
6533 : }
6534 :
6535 : /********************************************************************/
6536 : /** **/
6537 : /** CANONICAL HEIGHT **/
6538 : /** **/
6539 : /********************************************************************/
6540 :
6541 : static GEN
6542 56 : ellnf_volume(GEN e, long prec)
6543 : {
6544 56 : GEN V = ellnf_vecarea(e,prec);
6545 56 : long i, r1 = nf_get_r1(ellnf_get_nf(e)), l = lg(V);
6546 56 : GEN r = gen_1;
6547 133 : for(i=1; i <= r1; i++) r = gmul(r, gel(V,i));
6548 63 : for( ; i < l ; i++) r = gmul(r, gsqr(gel(V,i)));
6549 56 : return r;
6550 : }
6551 :
6552 : /* The function follows
6553 : <https://publications.ias.edu/sites/default/files/Number52.pdf>
6554 : <https://resnumtheor.springeropen.com/track/pdf/10.1007/s40993-017-0077-7>
6555 : */
6556 :
6557 : static GEN
6558 70 : ellheightfaltings(GEN e, long prec)
6559 : {
6560 : GEN h;
6561 : long d;
6562 70 : pari_sp av = avma;
6563 70 : checkell(e);
6564 70 : switch(ell_get_type(e))
6565 : {
6566 14 : case t_ELL_Q:
6567 14 : d = 1; e = ellintegralmodel_i(e,NULL);
6568 14 : h = gmul(gsqr(ellQ_minimalu(e,NULL)), ellR_area(e, prec));
6569 14 : break;
6570 56 : case t_ELL_NF:
6571 56 : d = nf_get_degree(ellnf_get_nf(e));
6572 56 : h = gmul(gsqr(ellnf_minimalnormu(e)), ellnf_volume(e, prec));
6573 56 : break;
6574 0 : default:
6575 0 : pari_err_TYPE("ellheight", e);
6576 : return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
6577 : }
6578 70 : return gerepileupto(av, gdivgs(logr_abs(h), -2*d));
6579 : }
6580 :
6581 : static GEN
6582 157580 : Q_numer(GEN x) { return typ(x) == t_INT? x: gel(x,1); }
6583 :
6584 : /* one root of X^2 - t X + c */
6585 : static GEN
6586 83056 : quad_root(GEN t, GEN c, long prec)
6587 : {
6588 83056 : return gmul2n(gadd(t, gsqrt(gsub(gsqr(t), gmul2n(c,2)),prec)), -1);
6589 : }
6590 :
6591 : /* exp( h_oo(z) ), assume z on neutral component.
6592 : * If flag, return exp(4 h_oo(z)) instead */
6593 : static GEN
6594 83056 : exphellagm(GEN e, GEN z, int flag, long prec)
6595 : {
6596 83056 : GEN x_a, ab, a, b, e1, r, V = cgetg(1, t_VEC), x = gel(z,1);
6597 83056 : long n, ex = 5-prec, p = prec+EXTRAPREC64;
6598 :
6599 83056 : if (typ(x) == t_REAL && realprec(x) < p) x = gprec_w(x, p);
6600 83056 : ab = ellR_ab(e, p);
6601 83056 : a = gel(ab, 1);
6602 83056 : b = gel(ab, 2);
6603 83056 : e1= gel(obj_check(e,R_ROOTS), 1); /* use maximal accuracy, don't truncate */
6604 83056 : x = gsub(x, e1);
6605 83056 : x = quad_root(gadd(x,b), gmul(a,x), prec);
6606 :
6607 83056 : x_a = gsub(x, a);
6608 83056 : if (gsigne(a) > 0) { GEN a0=a; x = gsub(x, b); a = gneg(b); b = gsub(a0, b); }
6609 83056 : a = gsqrt(gneg(a), prec);
6610 83056 : b = gsqrt(gneg(b), prec);
6611 : /* compute height on isogenous curve E1 ~ E0 */
6612 83056 : for(n=0;; n++)
6613 442740 : {
6614 525796 : GEN p1, p2, ab, a0 = a;
6615 525796 : a = gmul2n(gadd(a0,b), -1);
6616 525796 : r = gsub(a, a0);
6617 525796 : if (gequal0(r) || gexpo(r) < ex) break;
6618 442740 : ab = gmul(a0, b);
6619 442740 : b = gsqrt(ab, prec);
6620 :
6621 442740 : p1 = gmul2n(gsub(x, ab), -1);
6622 442740 : p2 = gsqr(a);
6623 442740 : x = gadd(p1, gsqrt(gadd(gsqr(p1), gmul(x, p2)), prec));
6624 442740 : V = shallowconcat(V, gadd(x, p2));
6625 : }
6626 83056 : if (n) {
6627 83056 : x = gel(V,n);
6628 442740 : while (--n > 0) x = gdiv(gsqr(x), gel(V,n));
6629 : } else
6630 0 : x = gadd(x, gsqr(a));
6631 : /* height on E1 is log(x)/2. Go back to E0 */
6632 83056 : return flag? gsqr(gdiv(gsqr(x), x_a)): gdiv(x, sqrtr(mpabs_shallow(x_a)));
6633 : }
6634 : /* is P \in E(R)^0, the neutral component ? */
6635 : static int
6636 83056 : ellR_on_neutral(GEN E, GEN P, long prec)
6637 : {
6638 83056 : GEN x = gel(P,1), e1 = ellR_root(E, prec);
6639 83056 : return gcmp(x, e1) >= 0;
6640 : }
6641 :
6642 : /* hoo + 1/2 log(den(x)) */
6643 : static GEN
6644 83056 : hoo_aux(GEN E, GEN z, GEN d, long prec)
6645 : {
6646 83056 : pari_sp av = avma;
6647 : GEN h;
6648 83056 : if (!ellR_on_neutral(E, z, prec))
6649 : {
6650 27210 : GEN eh = exphellagm(E, elladd(E, z,z), 0, prec);
6651 : /* h_oo(2P) = 4h_oo(P) - log |2y + a1x + a3| */
6652 27210 : h = gmul(eh, gabs(ec_dmFdy_evalQ(E, z), prec));
6653 : }
6654 : else
6655 55846 : h = exphellagm(E, z, 1, prec);
6656 83056 : if (!is_pm1(d)) h = gmul(h, sqri(d));
6657 83056 : return gerepileuptoleaf(av, gmul2n(mplog(h), -2));
6658 : }
6659 : GEN
6660 30660 : ellheightoo(GEN E, GEN z, long prec) { return hoo_aux(E, z, gen_1, prec); }
6661 :
6662 : /* Formula from Silverman GTM 151 Theorem 3.2 page 466 */
6663 : static GEN
6664 28728 : ellheight_C(GEN E, GEN P, long prec)
6665 : {
6666 28728 : pari_sp av = avma;
6667 28728 : GEN z = zell(E, P, prec);
6668 28728 : GEN per = ellperiods(E, 1, prec);
6669 28728 : GEN w = gel(per,1), w1 = gel(w,1), w2 = gel(w, 2), w1c = conj_i(w1);
6670 28728 : GEN e = gel(per,2), e1 = gel(e,1), e2 = gel(e, 2);
6671 28728 : GEN D = gsub(gmul(w1, conj_i(w2)),gmul(w1c, w2));
6672 28728 : GEN b = gdiv(gsub(gmul(w1, conj_i(z)),gmul(w1c, z)), D);
6673 28728 : GEN a = gdiv(gsub(z, gmul(b, w2)), w1);
6674 28728 : GEN eta = gadd(gmul(a, e1), gmul(b, e2));
6675 28728 : GEN r = gmul2n(real_i(gmul(z, eta)), -1);
6676 28728 : GEN l = real_i(ellsigma(per, z, 1, prec));
6677 28728 : return gerepileupto(av, gsub(r, l));
6678 : }
6679 :
6680 : static GEN
6681 20468 : _hell(GEN E, GEN p, long n, GEN P)
6682 20468 : { return p? ellpadicheight(E,p,n, P): ellheight(E,P,n); }
6683 : static GEN
6684 35 : ellheightpairing(GEN E, GEN p, long n, GEN P, GEN Q)
6685 : {
6686 35 : pari_sp av = avma;
6687 35 : GEN a = _hell(E,p,n, elladd(E,P,Q));
6688 35 : GEN b = _hell(E,p,n, ellsub(E,P,Q));
6689 35 : return gerepileupto(av, gmul2n(gsub(a,b), -2));
6690 : }
6691 : GEN
6692 57659 : ellheight0(GEN e, GEN a, GEN b, long n)
6693 : {
6694 57659 : if (!a)
6695 : {
6696 77 : if (b) pari_err(e_MISC, "cannot omit P and set Q");
6697 70 : return ellheightfaltings(e,n);
6698 : }
6699 57582 : return b? ellheightpairing(e,NULL,n, a,b): ellheight(e,a,n);
6700 : }
6701 : GEN
6702 70 : ellpadicheight0(GEN e, GEN p, long n, GEN P, GEN Q)
6703 70 : { return Q? ellheightpairing(e,p,n, P,Q): ellpadicheight(e,p,n, P); }
6704 :
6705 : /* Based on J.H. Silverman, Advanced Topics in the Arithmetic of Elliptic
6706 : * Curves, GTM 151, chap VI, p 478, exercise 6.7
6707 : * Note that we use BSD normalization not Silverman's. */
6708 : /* P an affine point on e */
6709 : static GEN
6710 85988 : ellnf_localheight(GEN e, GEN P, GEN pr)
6711 : {
6712 : long v2, vD, vu, vP, vQ;
6713 85988 : GEN lr = nflocalred(e,pr), k = gel(lr, 2), urst = gel(lr, 3);
6714 85988 : GEN E = ellchangecurve(e, urst);
6715 85988 : GEN Q = ellchangepoint(P, urst), nf = ellnf_get_nf(e), v;
6716 :
6717 85988 : vP = minss(0, nfval(nf, gel(P,1), pr)); /* v_p(den(x_P)) */
6718 85988 : vQ = minss(0, nfval(nf, gel(Q,1), pr)); /* v_p(den(x_Q)) */
6719 85988 : v2 = nfval(nf, ec_dmFdy_evalQ(E, Q), pr);
6720 85988 : vD = nfval(nf, ell_get_disc(E), pr); /* >= 0 */
6721 85988 : vu = (vQ-vP) >> 1;
6722 85988 : if (v2 <= 0 || nfval(nf, ec_dFdx_evalQ(E, Q), pr) <= 0)
6723 45605 : v = gen_0;
6724 40383 : else if (cmpis(k,5) >= 0)
6725 : {
6726 27503 : GEN a = uutoQ(minss(2*v2,vD), 2*vD);
6727 27503 : v = gmul(gsub(gsqr(a),a), uutoQ(vD,2));
6728 : }
6729 : else
6730 : {
6731 12880 : long v3 = nfval(nf, ec_3divpol_evalx(E, gel(Q,1)), pr);
6732 12880 : v = (v2 < LONG_MAX && v3 >= 3*v2)? sstoQ(-v2,3): sstoQ(-v3,8);
6733 : }
6734 85988 : return gsubgs(v,vu);
6735 : }
6736 :
6737 : /* L list of prime ideals, merge with prime ideals dividing integral ideal A
6738 : * in HNF (use elements of L as hints, which may or may not divide A).
6739 : * Return sorted list, without duplicates */
6740 : static GEN
6741 28812 : prV_merge_factors(GEN nf, GEN L, GEN A)
6742 : {
6743 28812 : if (lg(L) > 1)
6744 : {
6745 20104 : GEN LQ = prV_primes(L); /* rational primes */
6746 20104 : GEN p, e, N = Z_smoothen(gcoeff(A,1,1), LQ, &p, &e);
6747 20104 : L = shallowconcat(L, gel(idealfactor_partial(nf, A, LQ), 1));
6748 : /* L = primes in original L or dividing (A, vecprod(LQ)) */
6749 20104 : A = N? ZM_hnfmodid(A, N): NULL;
6750 : }
6751 : /* A made coprime to vecprod(LQ), add remaining primes if not trivial */
6752 28812 : if (A) L = shallowconcat(L, gel(idealfactor(nf, A), 1));
6753 28812 : return gen_sort_uniq(L, (void*)cmp_prime_ideal, &cmp_nodata);
6754 : }
6755 : static GEN
6756 28833 : ellnf_height(GEN E, GEN P, long prec)
6757 : {
6758 28833 : pari_sp av = avma;
6759 : GEN logp, oldp, x, nf, d, F, Ee, Pe, s, v, phi2, psi2;
6760 : long i, l, r1;
6761 28833 : E = ellintegralmodel_i(E, &v); if (v) P = ellchangepoint(P, v);
6762 28833 : if (!oncurve(E,P))
6763 0 : pari_err_DOMAIN("ellheight", "point", "not on", strtoGENstr("E"), P);
6764 28833 : if (signe(ellorder(E, P, NULL))) return gc_const(av, gen_0);
6765 28812 : x = gel(P,1);
6766 28812 : if (gequal0(ec_2divpol_evalx(E, x))) return gc_const(av, gen_0);
6767 28812 : nf = ellnf_get_nf(E);
6768 28812 : phi2 = gel(idealnumden(nf, ec_dFdx_evalQ(E, P)), 1);
6769 28812 : psi2 = gel(idealnumden(nf, ec_dmFdy_evalQ(E, P)),1);
6770 28812 : d = idealnorm(nf, gel(idealnumden(nf, x), 2));
6771 28812 : F = gel(ellminimalprimes(E), 1); /* prime ideals dividing (c4,c6) */
6772 28812 : F = prV_merge_factors(nf, F, idealadd(nf, phi2, psi2));
6773 28812 : Ee = ellnfembed(E, prec); Pe = ellpointnfembed(E, P, prec);
6774 28812 : l = lg(Ee); r1 = nf_get_r1(nf);
6775 28812 : s = gsub(gmul2n(glog(d, prec), -1), glog(ellnf_minimalnormu(E), prec));
6776 57687 : for (i=1; i <= r1; i++)
6777 28875 : s = gadd(s, ellheightoo(gel(Ee, i), gel(Pe, i), prec));
6778 57540 : for ( ; i < l; i++)
6779 28728 : s = gadd(s, gmul2n(ellheight_C(gel(Ee, i), gel(Pe, i), prec), 1));
6780 28812 : l = lg(F); oldp = logp = NULL;
6781 114800 : for (i = 1; i < l; i++)
6782 : { /* F = primes dividing (c4,c6) or (phi2,psi2) */
6783 85988 : GEN pr = gel(F,i), p = pr_get_p(pr), lam = ellnf_localheight(E, P, pr);
6784 85988 : if (!oldp || !equalii(p, oldp)) { oldp = p; logp = glog(p, prec); }
6785 85988 : s = gadd(s, gmul(lam, mulru(logp, pr_get_f(pr))));
6786 : }
6787 28812 : return gerepileupto(av, gmul2n(s, 1));
6788 : }
6789 :
6790 : static GEN
6791 52410 : ellQ_height(GEN e, GEN a, long prec)
6792 : {
6793 52410 : long i, lx, newell = 0;
6794 : pari_sp av;
6795 : GEN Lp, x, z, phi2, psi2, psi3;
6796 : GEN v, S, c4, D;
6797 :
6798 52410 : if (!RgV_is_QV(a)) pari_err_TYPE("ellheight [not a rational point]",a);
6799 52403 : if (!oncurve(e,a))
6800 7 : pari_err_DOMAIN("ellheight", "point", "not on", strtoGENstr("E"),a);
6801 52396 : if (ellorder_Q(e, a)) return gen_0;
6802 52396 : av = avma;
6803 52396 : if ((S = obj_check(e, Q_MINIMALMODEL)))
6804 : { /* switch to minimal model if needed */
6805 23339 : if (lg(S) != 2)
6806 : {
6807 17872 : v = gel(S,2);
6808 17872 : e = gel(S,3);
6809 17872 : a = ellchangepoint(a, v);
6810 : }
6811 : }
6812 : else
6813 : {
6814 29057 : newell = 1;
6815 29057 : e = ellminimalmodel_i(e, &v, NULL);
6816 29057 : a = ellchangepoint(a, v);
6817 : }
6818 52396 : psi2 = Q_numer(ec_dmFdy_evalQ(e,a));
6819 52396 : if (!signe(psi2)) { set_avma(av); return gen_0; }
6820 52396 : x = gel(a,1);
6821 52396 : psi3 = Q_numer( ec_3divpol_evalx(e, x) );
6822 52396 : if (!signe(psi3)) { set_avma(av); return gen_0; }
6823 52396 : phi2 = Q_numer(ec_dFdx_evalQ(e, a));
6824 52396 : c4 = ell_get_c4(e);
6825 52396 : D = ell_get_disc(e);
6826 52396 : z = hoo_aux(e,a,Q_denom(x),prec); /* hoo(a) + log(den(x))/2 */
6827 52396 : Lp = gel(Z_factor(gcdii(psi2,phi2)),1);
6828 52396 : lx = lg(Lp);
6829 223870 : for (i=1; i<lx; i++)
6830 : {
6831 171474 : GEN p = gel(Lp,i);
6832 : long u, v, n, n2;
6833 171474 : if (!dvdii(c4,p))
6834 : { /* p \nmid c4 */
6835 147264 : long N = Z_pval(D,p);
6836 147264 : if (!N) continue;
6837 147264 : n2 = Z_pval(psi2,p); n = n2<<1;
6838 147264 : if (n > N) n = N;
6839 147264 : u = n * ((N<<1) - n);
6840 147264 : v = N << 3;
6841 : }
6842 : else
6843 : {
6844 24210 : n2 = Z_pval(psi2, p);
6845 24210 : n = Z_pval(psi3, p);
6846 24210 : if (n >= 3*n2) { u = n2; v = 3; } else { u = n; v = 8; }
6847 : }
6848 : /* z -= u log(p) / v */
6849 171474 : z = gsub(z, divru(mulur(u, logr_abs(itor(p,prec))), v));
6850 : }
6851 52396 : if (newell) obj_free(e);
6852 52396 : return gerepileupto(av, gmul2n(z, 1));
6853 : }
6854 :
6855 : GEN
6856 81243 : ellheight(GEN e, GEN a, long prec)
6857 : {
6858 81243 : checkell(e); checkellpt(a);
6859 81243 : switch(ell_get_type(e))
6860 : {
6861 52410 : case t_ELL_Q:
6862 52410 : return ellQ_height(e, a, prec);
6863 0 : default: pari_err_TYPE("ellheight", e);
6864 28833 : case t_ELL_NF:
6865 28833 : return ellnf_height(e, a, prec);
6866 : }
6867 : }
6868 :
6869 : GEN
6870 861 : ellpadicheightmatrix(GEN e, GEN p, long n, GEN x)
6871 : {
6872 : GEN D, A, B;
6873 861 : long lx = lg(x), i, j;
6874 861 : pari_sp av = avma;
6875 :
6876 861 : if (!is_vec_t(typ(x))) pari_err_TYPE("ellheightmatrix",x);
6877 861 : D = cgetg(lx,t_VEC);
6878 861 : A = cgetg(lx,t_MAT);
6879 861 : B = cgetg(lx,t_MAT);
6880 5110 : for (i=1; i<lx; i++)
6881 : {
6882 4249 : gel(D,i) = _hell(e,p,n, gel(x,i));
6883 4249 : gel(A,i) = cgetg(lx,t_COL);
6884 4249 : gel(B,i) = cgetg(lx,t_COL); /*unused if p = NULL */
6885 : }
6886 5110 : for (i=1; i<lx; i++)
6887 : {
6888 4249 : GEN h = gel(D,i);
6889 4249 : if (p)
6890 : {
6891 28 : gcoeff(A,i,i) = gel(h,1);
6892 28 : gcoeff(B,i,i) = gel(h,2);
6893 : }
6894 : else
6895 4221 : gcoeff(A,i,i) = h;
6896 20398 : for (j=i+1; j<lx; j++)
6897 : {
6898 16149 : h = _hell(e,p,n, elladd(e,gel(x,i),gel(x,j)));
6899 16149 : h = gmul2n(gsub(h, gadd(gel(D,i),gel(D,j))), -1);
6900 16149 : if (p)
6901 : {
6902 21 : gcoeff(A,j,i) = gcoeff(A,i,j) = gel(h,1);
6903 21 : gcoeff(B,j,i) = gcoeff(B,i,j) = gel(h,2);
6904 : }
6905 : else
6906 16128 : gcoeff(A,j,i) = gcoeff(A,i,j) = h;
6907 : }
6908 : }
6909 861 : return gerepilecopy(av, p? mkvec2(A,B): A);
6910 : }
6911 : GEN
6912 847 : ellheightmatrix(GEN E, GEN x, long n)
6913 847 : { return ellpadicheightmatrix(E,NULL,n, x); }
6914 :
6915 : /* Q an actual point, P a point or vector/matrix of points */
6916 : static GEN
6917 21 : bilhell_i(GEN E, GEN P, GEN Q, long n)
6918 : {
6919 : GEN y;
6920 21 : long i, l = lg(P);
6921 21 : if (l==1) return cgetg(1,typ(P));
6922 21 : if (!is_matvec_t( typ(gel(P,1)) )) return ellheight0(E,P,Q,n);
6923 7 : y = cgetg(l, typ(P));
6924 21 : for (i=1; i<l; i++) gel(y,i) = bilhell_i(E,gel(P,i),Q,n);
6925 7 : return y;
6926 : }
6927 : GEN
6928 7 : bilhell(GEN E, GEN P, GEN Q, long n)
6929 : {
6930 7 : long t1 = typ(P), t2 = typ(Q);
6931 7 : if (!is_matvec_t(t1)) pari_err_TYPE("ellbil",P);
6932 7 : if (!is_matvec_t(t2)) pari_err_TYPE("ellbil",Q);
6933 7 : if (lg(P)==1) return cgetg(1,t1);
6934 7 : if (lg(Q)==1) return cgetg(1,t2);
6935 7 : t2 = typ(gel(Q,1));
6936 7 : if (is_matvec_t(t2))
6937 : {
6938 0 : t1 = typ(gel(P,1));
6939 0 : if (is_matvec_t(t1)) pari_err_TYPE("bilhell",P);
6940 0 : return bilhell_i(E,Q,P,n);
6941 : }
6942 7 : return bilhell_i(E,P,Q,n);
6943 : }
6944 : /********************************************************************/
6945 : /** **/
6946 : /** Modular Parametrization **/
6947 : /** **/
6948 : /********************************************************************/
6949 : /* t*x^v (1 + O(x)), t != 0 */
6950 : static GEN
6951 0 : triv_ser(GEN t, long v)
6952 : {
6953 0 : GEN s = cgetg(3,t_SER);
6954 0 : s[1] = evalsigne(1) | _evalvalser(v) | evalvarn(0);
6955 0 : gel(s,2) = t; return s;
6956 : }
6957 :
6958 : GEN
6959 14 : elltaniyama(GEN e, long prec)
6960 : {
6961 : GEN x, w, c, d, X, C, b2, b4;
6962 : long n, m;
6963 14 : pari_sp av = avma;
6964 :
6965 14 : checkell_Q(e);
6966 14 : if (prec < 0) pari_err_DOMAIN("elltaniyama","precision","<",gen_0,stoi(prec));
6967 7 : if (!prec) retmkvec2(triv_ser(gen_1,-2), triv_ser(gen_m1,-3));
6968 :
6969 7 : x = cgetg(prec+3,t_SER);
6970 7 : x[1] = evalsigne(1) | _evalvalser(-2) | evalvarn(0);
6971 7 : d = ginv(RgV_to_ser(ellanQ(e,prec+1), 0, prec+3)); setvalser(d,-1);
6972 : /* 2y(q) + a1x + a3 = d qx'(q). Solve for x(q),y(q):
6973 : * 4y^2 = 4x^3 + b2 x^2 + 2b4 x + b6 */
6974 7 : c = gsqr(d);
6975 : /* solve 4x^3 + b2 x^2 + 2b4 x + b6 = c (q x'(q))^2; c = 1/q^2 + O(1/q)
6976 : * Take derivative then divide by 2x':
6977 : * b2 x + b4 = (1/2) (q c')(q x') + c q (q x')' - 6x^2.
6978 : * Write X[i] = coeff(x, q^i), C[i] = coeff(c, q^i), we obtain for all n
6979 : * ((n+1)(n+2)-12) X[n+2] = b2 X[n] + b4 delta_{n = 0}
6980 : * + 6 \sum_{m = -1}^{n+1} X[m] X[n-m]
6981 : * - (1/2)\sum_{m = -2}^{n+1} (n+m) m C[n-m]X[m].
6982 : * */
6983 7 : C = c+4;
6984 7 : X = x+4;
6985 7 : gel(X,-2) = gen_1;
6986 7 : gel(X,-1) = gmul2n(gel(C,-1), -1); /* n = -3, X[-1] = C[-1] / 2 */
6987 7 : b2 = ell_get_b2(e);
6988 7 : b4 = ell_get_b4(e);
6989 112 : for (n=-2; n <= prec-4; n++)
6990 : {
6991 105 : pari_sp av2 = avma;
6992 : GEN s1, s2, s3;
6993 105 : if (n != 2)
6994 : {
6995 98 : s3 = gmul(b2, gel(X,n));
6996 98 : if (!n) s3 = gadd(s3, b4);
6997 98 : s2 = gen_0;
6998 1001 : for (m=-2; m<=n+1; m++)
6999 903 : if (m) s2 = gadd(s2, gmulsg(m*(n+m), gmul(gel(X,m),gel(C,n-m))));
7000 98 : s2 = gmul2n(s2,-1);
7001 98 : s1 = gen_0;
7002 476 : for (m=-1; m+m < n; m++) s1 = gadd(s1, gmul(gel(X,m),gel(X,n-m)));
7003 98 : s1 = gmul2n(s1, 1);
7004 98 : if (m+m==n) s1 = gadd(s1, gsqr(gel(X,m)));
7005 : /* ( (n+1)(n+2) - 12 ) X[n+2] = (6 s1 + s3 - s2) */
7006 98 : s1 = gdivgs(gsub(gadd(gmulsg(6,s1),s3),s2), (n+2)*(n+1)-12);
7007 : }
7008 : else
7009 : {
7010 7 : GEN b6 = ell_get_b6(e);
7011 7 : GEN U = cgetg(9, t_SER);
7012 7 : U[1] = evalsigne(1) | _evalvalser(-2) | evalvarn(0);
7013 7 : gel(U,2) = gel(x,2);
7014 7 : gel(U,3) = gel(x,3);
7015 7 : gel(U,4) = gel(x,4);
7016 7 : gel(U,5) = gel(x,5);
7017 7 : gel(U,6) = gel(x,6);
7018 7 : gel(U,7) = gel(x,7);
7019 7 : gel(U,8) = gen_0; /* defined mod q^5 */
7020 : /* write x = U + x_4 q^4 + O(q^5) and expand original equation */
7021 7 : w = derivser(U); setvalser(w,-2); /* q X' */
7022 : /* 4X^3 + b2 U^2 + 2b4 U + b6 */
7023 7 : s1 = gadd(b6, gmul(U, gadd(gmul2n(b4,1), gmul(U,gadd(b2,gmul2n(U,2))))));
7024 : /* s2 = (qX')^2 - (4X^3 + b2 U^2 + 2b4 U + b6) = 28 x_4 + O(q) */
7025 7 : s2 = gsub(gmul(c,gsqr(w)), s1);
7026 7 : s1 = signe(s2)? gdivgu(gel(s2,2), 28): gen_0; /* = x_4 */
7027 : }
7028 105 : gel(X,n+2) = gerepileupto(av2, s1);
7029 : }
7030 7 : w = gmul(d,derivser(x)); setvalser(w, valser(w)+1);
7031 7 : w = gsub(w, ec_h_evalx(e,x));
7032 7 : c = cgetg(3,t_VEC);
7033 7 : gel(c,1) = gcopy(x);
7034 7 : gel(c,2) = gmul2n(w,-1); return gerepileupto(av, c);
7035 : }
7036 :
7037 : /********************************************************************/
7038 : /** **/
7039 : /** TORSION POINTS (over Q) **/
7040 : /** **/
7041 : /********************************************************************/
7042 : static GEN
7043 19292 : doellff_get_o(GEN E)
7044 : {
7045 19292 : GEN G = ellff_get_group(E), d = (lg(G) == 1)? gen_1: gel(G,1);
7046 19292 : return mkvec2(d, Z_factor(d));
7047 : }
7048 : GEN
7049 19845 : ellff_get_o(GEN E)
7050 19845 : { return obj_checkbuild(E, FF_O, &doellff_get_o); }
7051 :
7052 : static void
7053 497 : RgE2_Fp_init(GEN E, GEN *pP, GEN *pQ, GEN *a4, GEN p)
7054 : {
7055 497 : GEN e = ellff_get_a4a6(E);
7056 497 : *a4 = gel(e, 1);
7057 497 : *pP = FpE_changepointinv(RgE_to_FpE(*pP,p), gel(e,3), p);
7058 497 : *pQ = FpE_changepointinv(RgE_to_FpE(*pQ,p), gel(e,3), p);
7059 497 : }
7060 : GEN
7061 140 : elllog(GEN E, GEN a, GEN g, GEN o)
7062 : {
7063 140 : pari_sp av = avma;
7064 : GEN p;
7065 140 : checkell_Fq(E); checkellpt(a); checkellpt(g);
7066 140 : p = ellff_get_field(E);
7067 140 : if (!o) o = ellff_get_o(E);
7068 140 : if (typ(p)==t_FFELT) return FF_elllog(E, a, g, o);
7069 : else
7070 : {
7071 : GEN a4;
7072 49 : RgE2_Fp_init(E, &a, &g, &a4, p);
7073 49 : return gerepileuptoint(av, FpE_log(a, g, o, a4, p));
7074 : }
7075 : }
7076 :
7077 : GEN
7078 5250 : ellweilpairing(GEN E, GEN P, GEN Q, GEN m)
7079 : {
7080 : GEN p;
7081 5250 : checkell_Fq(E); checkellpt(P); checkellpt(Q);
7082 5243 : if (typ(m)!=t_INT) pari_err_TYPE("ellweilpairing",m);
7083 5243 : p = ellff_get_field(E);
7084 5243 : if (typ(p)==t_FFELT) return FF_ellweilpairing(E, P, Q, m);
7085 : else
7086 : {
7087 245 : pari_sp av = avma;
7088 : GEN w, a4;
7089 245 : RgE2_Fp_init(E, &P, &Q, &a4, p);
7090 245 : w = FpE_weilpairing(P, Q, m, a4, p);
7091 245 : return gerepileupto(av, Fp_to_mod(w, p));
7092 : }
7093 : }
7094 :
7095 : GEN
7096 301 : elltatepairing(GEN E, GEN P, GEN Q, GEN m)
7097 : {
7098 : GEN p;
7099 301 : checkell_Fq(E); checkellpt(P); checkellpt(Q);
7100 301 : if (typ(m)!=t_INT) pari_err_TYPE("elltatepairing",m);
7101 301 : p = ellff_get_field(E);
7102 301 : if (typ(p)==t_FFELT) return FF_elltatepairing(E, P, Q, m);
7103 : else
7104 : {
7105 203 : pari_sp av = avma;
7106 : GEN t, a4;
7107 203 : RgE2_Fp_init(E, &P, &Q, &a4, p);
7108 203 : t = FpE_tatepairing(P, Q, m, a4, p);
7109 203 : return gerepileupto(av, Fp_to_mod(t, p));
7110 : }
7111 : }
7112 :
7113 : GEN
7114 2584145 : ellap(GEN E, GEN p)
7115 : {
7116 2584145 : pari_sp av = avma;
7117 : GEN q, card;
7118 : int goodred;
7119 2584145 : p = checkellp(&E, p, NULL, "ellap");
7120 2584106 : switch(ell_get_type(E))
7121 : {
7122 112 : case t_ELL_Fp:
7123 112 : q = p; card = ellff_get_card(E);
7124 112 : break;
7125 54474 : case t_ELL_Fq:
7126 54474 : q = FF_q(ellff_get_field(E)); card = ellff_get_card(E);
7127 54474 : break;
7128 2421555 : case t_ELL_Qp:
7129 : case t_ELL_Q:
7130 2421555 : q = p; card = ellcard_ram(E, p, &goodred);
7131 2421503 : break;
7132 107961 : case t_ELL_NF:
7133 107961 : return ellnfap(E, p, &goodred);
7134 0 : default:
7135 0 : pari_err_TYPE("ellap",E);
7136 : return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
7137 : }
7138 2476089 : return gerepileuptoint(av, subii(addiu(q,1), card));
7139 : }
7140 :
7141 : /* N.B. q > minq, then the list of potential orders in ellsea will not contain
7142 : * an ambiguity => oo-loop. E.g. ellsea(ellinit([1,519],523)) */
7143 : GEN
7144 126 : ellsea(GEN E, long smallfact)
7145 : {
7146 126 : const ulong minq = 523;
7147 126 : checkell_Fq(E);
7148 126 : switch(ell_get_type(E))
7149 : {
7150 112 : case t_ELL_Fp:
7151 : {
7152 112 : GEN p = ellff_get_field(E), e = ellff_get_a4a6(E);
7153 112 : if (abscmpiu(p, minq) <= 0) return Fp_ellcard(gel(e,1), gel(e,2), p);
7154 105 : return Fp_ellcard_SEA(gel(e,1), gel(e,2), p, smallfact);
7155 : }
7156 14 : case t_ELL_Fq:
7157 : {
7158 14 : GEN fg = ellff_get_field(E);
7159 14 : if (abscmpiu(FF_p_i(fg), 7) <= 0 || abscmpiu(FF_q(fg), minq) <= 0)
7160 0 : return FF_ellcard(E);
7161 14 : return FF_ellcard_SEA(E, smallfact);
7162 : }
7163 : }
7164 : return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
7165 : }
7166 :
7167 : GEN
7168 269204 : ellff_get_card(GEN E)
7169 269204 : { return obj_checkbuild(E, FF_CARD, &doellcard); }
7170 :
7171 : GEN
7172 187031 : ellcard(GEN E, GEN p)
7173 : {
7174 187031 : p = checkellp(&E, p, NULL, "ellcard");
7175 187024 : switch(ell_get_type(E))
7176 : {
7177 186569 : case t_ELL_Fp: case t_ELL_Fq:
7178 186569 : return icopy(ellff_get_card(E));
7179 420 : case t_ELL_Qp:
7180 : case t_ELL_Q:
7181 : {
7182 420 : pari_sp av = avma;
7183 : int goodred;
7184 420 : GEN N = ellcard_ram(E, p, &goodred);
7185 420 : if (!goodred) N = subiu(N, 1); /* remove singular point */
7186 420 : return gerepileuptoint(av, N);
7187 : }
7188 35 : case t_ELL_NF:
7189 : {
7190 35 : pari_sp av = avma;
7191 : int goodred;
7192 35 : GEN N = subii(pr_norm(p), ellnfap(E, p, &goodred));
7193 35 : if (goodred) N = addiu(N, 1);
7194 35 : return gerepileuptoint(av, N);
7195 : }
7196 0 : default:
7197 0 : pari_err_TYPE("ellcard",E);
7198 : return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
7199 : }
7200 : }
7201 :
7202 : /* assume model is p-minimal */
7203 : static GEN
7204 120715 : ellgroup_m(GEN E, GEN p, GEN *pm)
7205 : {
7206 120715 : GEN a4, a6, N = ellcard(E, p); /* #E^ns(Fp) */
7207 120715 : *pm = gen_1;
7208 120715 : if (equali1(N)) return cgetg(1,t_VEC);
7209 120715 : if (absequaliu(p, 2)) return mkvec(N);
7210 120715 : if (absequaliu(p, 3))
7211 : { /* The only possible noncyclic group is [2,2] which happens 9 times */
7212 : ulong b2, b4, b6;
7213 0 : if (!absequaliu(N, 4)) return mkvec(N);
7214 : /* If the group is not cyclic, T = 4x^3 + b2 x^2 + 2b4 x + b6
7215 : * must have 3 roots else 1 root. Test T(0) = T(1) = 0 mod 3 */
7216 0 : b6 = Rg_to_Fl(ell_get_b6(E), 3);
7217 0 : if (b6) return mkvec(N);
7218 : /* b6 = T(0) = 0 mod 3. Test T(1) */
7219 0 : b2 = Rg_to_Fl(ell_get_b2(E), 3);
7220 0 : b4 = Rg_to_Fl(ell_get_b4(E), 3);
7221 0 : if ((1 + b2 + (b4<<1)) % 3) return mkvec(N);
7222 0 : return mkvec2s(2, 2);
7223 : } /* Now assume p > 3 */
7224 120715 : ell_to_a4a6(E, p, &a4,&a6);
7225 120715 : return Fp_ellgroup(a4,a6,N,p, pm);
7226 : }
7227 :
7228 : static GEN
7229 146454 : doellGm(GEN E)
7230 : {
7231 146454 : GEN fg = ellff_get_field(E);
7232 146454 : GEN m, G = (typ(fg) == t_FFELT)? FF_ellgroup(E, &m): ellgroup_m(E, fg, &m);
7233 146454 : return mkvec2(G, m);
7234 : }
7235 : static GEN
7236 185997 : ellff_Gm(GEN E)
7237 185997 : { return obj_checkbuild(E, FF_GROUP, &doellGm); }
7238 : GEN
7239 167307 : ellff_get_group(GEN E) { return gel(ellff_Gm(E), 1); }
7240 : GEN
7241 18690 : ellff_get_m(GEN E) { return gel(ellff_Gm(E), 2); }
7242 : GEN
7243 18690 : ellff_get_D(GEN E)
7244 : {
7245 18690 : GEN G = ellff_get_group(E), o = ellff_get_o(E);
7246 18690 : switch(lg(G))
7247 : {
7248 91 : case 1: return G;
7249 15883 : case 2: return mkvec(o);
7250 2716 : default: return mkvec2(o, gel(G,2));
7251 : }
7252 : }
7253 :
7254 : /* E / Fp */
7255 : static GEN
7256 18690 : doellgens(GEN E)
7257 : {
7258 18690 : GEN fg = ellff_get_field(E);
7259 18690 : if (typ(fg)==t_FFELT)
7260 18116 : return FF_ellgens(E);
7261 : else
7262 : {
7263 574 : GEN F, p = fg, e = ellff_get_a4a6(E);
7264 574 : F = Fp_ellgens(gel(e,1),gel(e,2),gel(e,3), ellff_get_D(E),ellff_get_m(E),p);
7265 574 : return FpVV_to_mod(F,p);
7266 : }
7267 : }
7268 :
7269 : GEN
7270 18767 : ellff_get_gens(GEN E)
7271 18767 : { return obj_checkbuild(E, FF_GROUPGEN, &doellgens); }
7272 :
7273 : GEN
7274 127806 : ellgroup(GEN E, GEN p)
7275 : {
7276 127806 : pari_sp av = avma;
7277 : GEN m, G;
7278 127806 : p = checkellp(&E,p, NULL, "ellgroup");
7279 127799 : switch(ell_get_type(E))
7280 : {
7281 127365 : case t_ELL_Fp:
7282 127365 : case t_ELL_Fq: G = ellff_get_group(E); break;
7283 392 : case t_ELL_Qp:
7284 : case t_ELL_Q:
7285 392 : if (Z_pval(Q_numer(ell_get_disc(E)), p))
7286 : {
7287 14 : GEN Q = localred(E,p), kod = gel(Q,2);
7288 14 : E = ellchangecurve(E, gel(Q,3));
7289 14 : if (!equali1(kod)) { G = mkvec(ellcard(E,p)); break; }
7290 : }
7291 378 : G = ellgroup_m(E,p,&m); break;
7292 42 : case t_ELL_NF:
7293 42 : if (nfval(ellnf_get_nf(E), ell_get_disc(E), p))
7294 : {
7295 21 : GEN Q = nflocalred(E,p), kod = gel(Q,2);
7296 21 : E = ellchangecurve(E, gel(Q,3));
7297 21 : if (!equali1(kod)) { G = mkvec(ellcard(E,p)); break; }
7298 : }
7299 28 : E = ellinit(E, p, 0);
7300 28 : G = ellff_get_group(E);
7301 28 : G = gcopy(G); obj_free(E); break;
7302 0 : default:
7303 0 : pari_err_TYPE("ellgroup", E);
7304 : return NULL;/*LCOV_EXCL_LINE*/
7305 : }
7306 127799 : return gerepilecopy(av, G);
7307 : }
7308 :
7309 : GEN
7310 21490 : ellgroup0(GEN E, GEN p, long flag)
7311 : {
7312 21490 : pari_sp av = avma;
7313 21490 : long tE, freeE = 0;
7314 : GEN G;
7315 21490 : if (flag==0) return ellgroup(E, p);
7316 1946 : if (flag!=1) pari_err_FLAG("ellgroup");
7317 1946 : checkell(E); tE = ell_get_type(E);
7318 1946 : if (tE != t_ELL_Fp && tE != t_ELL_Fq)
7319 : {
7320 1869 : GEN Q = elllocalred(E, p), v = gel(Q,3), u = gel(v,1), kod = gel(Q,2);
7321 : long vu;
7322 1862 : switch(tE)
7323 : {
7324 70 : case t_ELL_Qp: p = ellQp_get_p(E);/*fall through*/
7325 1841 : case t_ELL_Q: vu = Q_pval(u, p); break;
7326 21 : case t_ELL_NF: vu = nfval(ellnf_get_nf(E), u, p); break;
7327 0 : default: pari_err_TYPE("ellgroup", E); vu = 0;
7328 : }
7329 1862 : if (vu) pari_err_TYPE("ellgroup [not a p-minimal curve]",E);
7330 1855 : if (!equali1(kod)) /* bad reduction */
7331 : {
7332 91 : GEN Ep, T = NULL, q = p, ap = ellap(E,p);
7333 91 : if (typ(p) == t_INT)
7334 : {
7335 : long i;
7336 70 : Ep = obj_init(15, 4);
7337 910 : for (i = 1; i <= 12; i++) gel(Ep,i) = gel(E,i);
7338 : }
7339 : else
7340 : {
7341 21 : q = pr_norm(p);
7342 21 : Ep = initsmall5(ellnf_to_Fq(ellnf_get_nf(E), E, p, &p, &T), 4);
7343 : }
7344 91 : E = FF_ellinit(Ep, Tp_to_FF(T, p)); /* singular curve */
7345 91 : gel(E,14) = mkvecsmall(t_ELL_Fq);
7346 91 : obj_insert(E, FF_CARD, subii(q, ap));
7347 : }
7348 : else
7349 1764 : E = ellinit(E, p, 0);
7350 1855 : freeE = 1;
7351 : }
7352 1932 : G = mkvec3(ellff_get_card(E), ellff_get_group(E), ellff_get_gens(E));
7353 1932 : if (!freeE) return gerepilecopy(av, G);
7354 1855 : G = gcopy(G); obj_free(E); return gerepileupto(av, G);
7355 : }
7356 :
7357 : GEN
7358 16849 : ellgenerators(GEN E)
7359 : {
7360 16849 : checkell(E);
7361 16849 : switch(ell_get_type(E))
7362 : {
7363 7 : case t_ELL_Q:
7364 7 : return obj_checkbuild(E, Q_GROUPGEN, &elldatagenerators);
7365 16835 : case t_ELL_Fp: case t_ELL_Fq:
7366 16835 : return gcopy(ellff_get_gens(E));
7367 7 : default:
7368 7 : pari_err_TYPE("ellgenerators",E);
7369 : return NULL;/*LCOV_EXCL_LINE*/
7370 : }
7371 : }
7372 :
7373 : /* char != 2,3, j != 0, 1728 */
7374 : static GEN
7375 22715 : ellfromj_simple(GEN j)
7376 : {
7377 22715 : pari_sp av = avma;
7378 22715 : GEN k = gsubsg(1728,j), kj = gmul(k, j), k2j = gmul(kj, k);
7379 22715 : GEN E = zerovec(5);
7380 22715 : gel(E,4) = gmulsg(3,kj);
7381 22715 : gel(E,5) = gmulsg(2,k2j); return gerepileupto(av, E);
7382 : }
7383 : GEN
7384 34020 : ellfromj(GEN j)
7385 : {
7386 34020 : GEN T = NULL, p = typ(j)==t_FFELT? FF_p_i(j): NULL;
7387 : /* trick: use j^0 to get 1 in the proper base field */
7388 34020 : if ((p || (Rg_is_FpXQ(j,&T,&p) && p)) && lgefint(p) == 3) switch(p[2])
7389 : {
7390 3549 : case 2:
7391 3549 : if (gequal0(j))
7392 7 : retmkvec5(gen_0,gen_0, gpowgs(j,0), gen_0,gen_0);
7393 : else
7394 3542 : retmkvec5(gpowgs(j,0),gen_0,gen_0, gen_0,ginv(j));
7395 7651 : case 3:
7396 7651 : if (gequal0(j))
7397 21 : retmkvec5(gen_0,gen_0,gen_0, gpowgs(j,0), gen_0);
7398 : else
7399 : {
7400 7630 : GEN E = zerovec(5);
7401 7630 : pari_sp av = avma;
7402 7630 : gel(E,5) = gerepileupto(av, gneg(gsqr(j)));
7403 7630 : gel(E,2) = gcopy(j);
7404 7630 : return E;
7405 : }
7406 : }
7407 22820 : if (gequal0(j)) retmkvec5(gen_0,gen_0,gen_0,gen_0, gpowgs(j,0));
7408 22785 : if (gequalgs(j,1728)) retmkvec5(gen_0,gen_0,gen_0, gpowgs(j,0), gen_0);
7409 22715 : return ellfromj_simple(j);
7410 : }
7411 :
7412 : /********************************************************************/
7413 : /** **/
7414 : /** IS SUPERSINGULAR **/
7415 : /** **/
7416 : /********************************************************************/
7417 :
7418 : int
7419 165907 : elljissupersingular(GEN x)
7420 : {
7421 165907 : pari_sp av = avma;
7422 : int res;
7423 :
7424 165907 : if (typ(x) == t_INTMOD) {
7425 504 : GEN p = gel(x, 1);
7426 504 : GEN j = gel(x, 2);
7427 504 : res = Fp_elljissupersingular(j, p);
7428 165403 : } else if (typ(x) == t_FFELT) {
7429 165396 : GEN j = FF_to_FpXQ_i(x);
7430 165396 : GEN p = FF_p_i(x);
7431 165396 : GEN T = FF_mod(x);
7432 165396 : res = FpXQ_elljissupersingular(j, T, p);
7433 : } else {
7434 7 : pari_err_TYPE("elljissupersingular", x);
7435 : return 0; /*LCOV_EXCL_LINE*/
7436 : }
7437 165900 : set_avma(av);
7438 165900 : return res;
7439 : }
7440 :
7441 : int
7442 166117 : ellissupersingular(GEN E, GEN p)
7443 : {
7444 : pari_sp av;
7445 : GEN j;
7446 166117 : if (typ(E)!=t_VEC && !p) return elljissupersingular(E);
7447 17017 : p = checkellp(&E, p, NULL, "ellissupersingular");
7448 17003 : j = ell_get_j(E);
7449 17003 : switch(ell_get_type(E))
7450 : {
7451 16807 : case t_ELL_Fp:
7452 : case t_ELL_Fq:
7453 16807 : return elljissupersingular(j);
7454 56 : case t_ELL_Qp:
7455 : case t_ELL_Q:
7456 56 : if (typ(j)==t_FRAC && dvdii(gel(j,2), p)) return 0;
7457 21 : av = avma;
7458 21 : return gc_bool(av, Fp_elljissupersingular(Rg_to_Fp(j,p), p));
7459 140 : case t_ELL_NF:
7460 : {
7461 140 : GEN modP, T, nf = ellnf_get_nf(E), pr = p;
7462 : int res;
7463 140 : av = avma;
7464 140 : j = nf_to_scalar_or_basis(nf, j);
7465 140 : if (dvdii(Q_denom(j), pr_get_p(pr)))
7466 : {
7467 14 : if (typ(j) == t_FRAC || nfval(nf, j, pr) < 0) return 0;
7468 0 : modP = nf_to_Fq_init(nf,&pr,&T,&p);
7469 : }
7470 : else
7471 126 : modP = zk_to_Fq_init(nf,&pr,&T,&p);
7472 126 : j = nf_to_Fq(nf, j, modP);
7473 126 : if (typ(j) == t_INT)
7474 98 : res = Fp_elljissupersingular(j, p);
7475 : else
7476 28 : res = FpXQ_elljissupersingular(j, T, p);
7477 126 : return gc_bool(av, res);
7478 : }
7479 0 : default:
7480 0 : pari_err_TYPE("ellissupersingular",E);
7481 : }
7482 : return 0; /*LCOV_EXCL_LINE*/
7483 : }
7484 :
7485 : GEN
7486 1204 : ellsupersingularj(GEN a)
7487 : {
7488 1204 : pari_sp av = avma;
7489 : GEN r, T, p;
7490 : long d;
7491 1204 : switch(typ(a))
7492 : {
7493 1190 : case t_INT:
7494 1190 : p = a;
7495 1190 : if (Z_issquare(p)) pari_err_PRIME("ellsupersingularj", p);
7496 1190 : T = init_Fq(p, 2, fetch_user_var("w"));
7497 1190 : d = 2;
7498 1190 : break;
7499 14 : case t_FFELT:
7500 14 : p = FF_p_i(a); T = FF_mod(a); d = degpol(T);
7501 14 : if (!odd(d))
7502 : {
7503 14 : if (d != 2)
7504 7 : T = init_Fq(p, 2, varn(T));
7505 14 : break;
7506 : }
7507 : default: /* FALL THROUGH */
7508 0 : pari_err_TYPE("ellsupersingular", a);
7509 : return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
7510 : }
7511 1204 : r = Fq_to_FF(ellsupersingularj_FpXQ(T, p), Tp_to_FF(T, p));
7512 1204 : if (d != 2)
7513 7 : r = ffmap(ffembed(r, a), r);
7514 1204 : return gerepilecopy(av, r);
7515 : }
7516 :
7517 : /* n <= 4, N is the characteristic of the base ring or NULL (char 0) */
7518 : static GEN
7519 15050 : elldivpol4(GEN e, GEN N, long n, long v)
7520 : {
7521 : GEN b2,b4,b6,b8, res;
7522 15050 : if (n==0) return pol_0(v);
7523 15050 : if (n<=2) return N? scalarpol_shallow(mkintmod(gen_1,N),v): pol_1(v);
7524 1799 : b2 = ell_get_b2(e); b4 = ell_get_b4(e);
7525 1799 : b6 = ell_get_b6(e); b8 = ell_get_b8(e);
7526 1799 : if (n==3)
7527 833 : res = mkpoln(5, N? modsi(3,N): utoi(3),b2,gmulsg(3,b4),gmulsg(3,b6),b8);
7528 : else
7529 : {
7530 966 : GEN b10 = gsub(gmul(b2, b8), gmul(b4, b6));
7531 966 : GEN b12 = gsub(gmul(b8, b4), gsqr(b6));
7532 966 : res = mkpoln(7, N? modsi(2,N): gen_2,b2,gmulsg(5,b4),gmulsg(10,b6),gmulsg(10,b8),b10,b12);
7533 : }
7534 1799 : setvarn(res, v); return res;
7535 : }
7536 :
7537 : /* T = (2y + a1x + a3)^4 modulo the curve equation. Store elldivpol(e,n,v)
7538 : * in t[n]. N is the caracteristic of the base ring or NULL (char 0) */
7539 : static GEN
7540 5075 : elldivpol0(GEN e, GEN t, GEN N, GEN T, long n, long v)
7541 : {
7542 : GEN ret;
7543 5075 : long m = n/2;
7544 5075 : if (gel(t,n)) return gel(t,n);
7545 3150 : if (n<=4) ret = elldivpol4(e, N, n, v);
7546 882 : else if (odd(n))
7547 : {
7548 525 : GEN t1 = RgX_mul(elldivpol0(e,t,N,T,m+2,v),
7549 : gpowgs(elldivpol0(e,t,N,T,m,v),3));
7550 525 : GEN t2 = RgX_mul(elldivpol0(e,t,N,T,m-1,v),
7551 : gpowgs(elldivpol0(e,t,N,T,m+1,v),3));
7552 525 : if (odd(m))/*f_{4l+3} = f_{2l+3}f_{2l+1}^3 - T f_{2l}f_{2l+2}^3, m=2l+1*/
7553 91 : ret = RgX_sub(t1, RgX_mul(T,t2));
7554 : else /*f_{4l+1} = T f_{2l+2}f_{2l}^3 - f_{2l-1}f_{2l+1}^3, m=2l*/
7555 434 : ret = RgX_sub(RgX_mul(T,t1), t2);
7556 : }
7557 : else
7558 : { /* f_2m = f_m(f_{m+2}f_{m-1}^2 - f_{m-2}f_{m+1}^2) */
7559 357 : GEN t1 = RgX_mul(elldivpol0(e,t,N,T,m+2,v),
7560 : RgX_sqr(elldivpol0(e,t,N,T,m-1,v)));
7561 357 : GEN t2 = RgX_mul(elldivpol0(e,t,N,T,m-2,v),
7562 : RgX_sqr(elldivpol0(e,t,N,T,m+1,v)));
7563 357 : ret = RgX_mul(elldivpol0(e,t,N,T,m,v), RgX_sub(t1,t2));
7564 : }
7565 3150 : gel(t,n) = ret;
7566 3150 : return ret;
7567 : }
7568 :
7569 : GEN
7570 13111 : elldivpol(GEN e, long n0, long v)
7571 : {
7572 13111 : pari_sp av = avma;
7573 : GEN f, D, N;
7574 13111 : long n = labs(n0);
7575 :
7576 13111 : checkell(e); D = ell_get_disc(e);
7577 13111 : if (v < 0) v = 0;
7578 13111 : if (varncmp(gvar(D), v) <= 0) pari_err_PRIORITY("elldivpol", e, "<=", v);
7579 13111 : N = characteristic(D); if (!signe(N)) N = NULL;
7580 13111 : if (n==1 || n==3)
7581 231 : f = elldivpol4(e, N, n, v);
7582 : else
7583 : {
7584 12880 : GEN d2 = ec_bmodel(e,v); /* (2y + a1x + a3)^2 mod E */
7585 12880 : if (N && !mod2(N)) { gel(d2,5) = modsi(4,N); d2 = normalizepol(d2); }
7586 12880 : if (n <= 4)
7587 12551 : f = elldivpol4(e, N, n, v);
7588 : else
7589 329 : f = elldivpol0(e, const_vec(n,NULL), N,RgX_sqr(d2), n, v);
7590 12880 : if (n%2==0) f = RgX_mul(f, d2);
7591 : }
7592 13111 : if (n0 < 0) return gerepileupto(av, RgX_neg(f));
7593 13090 : return gerepilecopy(av, f);
7594 : }
7595 :
7596 : /* return [phi_n, (psi_n)^2] such that x[nP] = phi_n / (psi_n)^2 */
7597 : GEN
7598 406 : ellxn(GEN e, long n, long v)
7599 : {
7600 406 : pari_sp av = avma;
7601 : GEN d2, D, N, A, B;
7602 406 : checkell(e); D = ell_get_disc(e);
7603 406 : if (v==-1) v = 0;
7604 406 : if (varncmp(gvar(D), v) <= 0) pari_err_PRIORITY("elldivpol", e, "<=", v);
7605 406 : N = characteristic(D);
7606 406 : if (!signe(N)) N = NULL;
7607 406 : if (n < 0) n = -n;
7608 406 : d2 = ec_bmodel(e,v); /* (2y + a1x + 3)^2 mod E */
7609 406 : if (N && !mod2(N)) { gel(d2,5) = modsi(4,N); d2 = normalizepol(d2); }
7610 406 : if (n == 0)
7611 : {
7612 7 : A = pol_0(v);
7613 7 : B = pol_0(v);
7614 : }
7615 399 : else if (n == 1)
7616 : {
7617 7 : A = pol_1(v);
7618 7 : B = pol_x(v);
7619 : }
7620 392 : else if (n == 2)
7621 : {
7622 105 : A = d2;
7623 105 : B = ec_phi2(e, v);
7624 : }
7625 : else
7626 : {
7627 287 : GEN t = const_vec(n+1,NULL), T = RgX_sqr(d2);
7628 287 : GEN f = elldivpol0(e, t, N, T, n, v); /* f_n / d2^(n odd)*/
7629 287 : GEN g = elldivpol0(e, t, N, T, n-1, v); /* f_{n-1} / d2^(n even) */
7630 287 : GEN h = elldivpol0(e, t, N, T, n+1, v); /* f_{n+1} / d2^(n even) */
7631 287 : GEN f2 = RgX_sqr(f), u = RgX_mul(g,h);
7632 287 : if (!odd(n))
7633 14 : A = RgX_mul(f2, d2);
7634 : else
7635 273 : { A = f2; u = RgX_mul(u,d2); }
7636 : /* A = psi_n^2, u = psi_{n-1} psi_{n+1} */
7637 287 : B = RgX_sub(RgX_shift(A,1), u);
7638 : }
7639 406 : return gerepilecopy(av, mkvec2(B,A));
7640 : }
7641 :
7642 : /* l and p primes; p = 1 mod l; return an element of order l in (Z/pZ)^* */
7643 : static ulong
7644 2807 : ltors_Fl(ulong l, ulong p)
7645 : {
7646 2807 : ulong x, y, r = (p-1)/l;
7647 4389 : for (x = 2;; x++) { y = Fl_powu(x, r, p); if (y != 1) return y; }
7648 : }
7649 :
7650 : /* Assume that l|o but p!=1 [l] so r_l E(F_p) = 1 */
7651 : static void
7652 8631 : FljV_vecsat_Siksek(GEN E, GEN P, ulong o, ulong l, ulong a4, ulong a6, ulong p,
7653 : GEN S, long *m)
7654 : {
7655 8631 : long i, n = lg(P)-1;
7656 8631 : GEN a4a6, g, F, v = zero_zv(n);
7657 8631 : pari_sp av = avma;
7658 8631 : ulong q = o / l;
7659 :
7660 8631 : F = mkmat2(mkcols(l), mkcols(1));
7661 8631 : a4a6 = a4a6_ch_Fl(E, p);
7662 8631 : g = gel(Fl_ellptors(l, o, a4, a6, p), 1);
7663 63238 : for (i=1; i <= n; i++)
7664 : {
7665 54607 : GEN Q = Fle_changepointinv(Flj_to_Fle(gel(P,i), p), a4a6, p);
7666 54607 : if (!ell_is_inf(Q))
7667 54278 : v[i] = itou(Fle_log(Fle_mulu(Q, q, a4, p), g, F, a4, p));
7668 : }
7669 8631 : gel(S,(*m)++) = v;
7670 8631 : set_avma(av);
7671 8631 : }
7672 :
7673 : /* Assume that l|o and p=1 [l] so r_l E(F_p) = 1 or 2 */
7674 : static void
7675 2807 : FljV_vecsat_Prickett(GEN E, GEN P, ulong o, ulong l, ulong a4, ulong a6,
7676 : ulong p, GEN S, long *m)
7677 : {
7678 2807 : long i, n = lg(P)-1;
7679 2807 : GEN a4a6, G, G1, G2, v = zero_zv(n), w = zero_zv(n);
7680 2807 : ulong g = ltors_Fl(l, p), q = (p-1)/l;
7681 2807 : pari_sp av = avma;
7682 :
7683 2807 : a4a6 = a4a6_ch_Fl(E, p);
7684 2807 : G = Fl_ellptors(l, o, a4, a6, p);
7685 2807 : G1 = gel(G,1);
7686 2807 : G2 = lg(G)==3 ? gel(G, 2): NULL;
7687 16457 : for (i = 1; i <= n; i++)
7688 : {
7689 13650 : GEN Q = Fle_changepointinv(Flj_to_Fle(gel(P,i), p), a4a6, p);
7690 13650 : if (!ell_is_inf(Q))
7691 : {
7692 13279 : ulong u = Fl_powu(Fle_tatepairing(G1, Q, l, a4, p), q, p);
7693 13279 : v[i] = Fl_log(u, g, l, p);
7694 13279 : if (G2)
7695 : {
7696 3395 : ulong u = Fl_powu(Fle_tatepairing(G2, Q, l, a4, p), q, p);
7697 3395 : w[i] = Fl_log(u, g, l, p);
7698 : }
7699 : }
7700 : }
7701 2807 : gel(S,(*m)++) = v;
7702 2807 : if (G2 && *m < lg(S)) gel(S,(*m)++) = w;
7703 2807 : set_avma(av);
7704 2807 : }
7705 :
7706 : static void
7707 11438 : FljV_vecsat(GEN E, GEN P, ulong o, ulong l, ulong a4, ulong a6, ulong p,
7708 : GEN S, long *m)
7709 : {
7710 11438 : P = ZM_to_Flm(P, p);
7711 11438 : if (p % l == 1)
7712 2807 : FljV_vecsat_Prickett(E, P, o, l, a4, a6, p, S, m);
7713 : else
7714 8631 : FljV_vecsat_Siksek(E, P, o, l, a4, a6, p, S, m);
7715 11438 : }
7716 :
7717 : /* P a vector of points in E(Q), return a linear map M from the abelian group
7718 : * they generate to Z/lZ; sum x[i] P[i] is l-divisible => x M = 0 */
7719 : static GEN
7720 1204 : ellsatp_mat(hashtable *h, GEN E, long CM, GEN P, ulong l, long nb)
7721 : {
7722 1204 : long m = 1;
7723 1204 : GEN D = ell_get_disc(E), M = cgetg(nb+1, t_MAT);
7724 : forprime_t S;
7725 :
7726 1204 : P = QEV_to_ZJV(P);
7727 1204 : (void)u_forprime_init(&S, 5, ULONG_MAX);
7728 326459 : while (m <= nb)
7729 : {
7730 325255 : ulong a4, a6, p = u_forprime_next(&S);
7731 : long o;
7732 325255 : if (dvdiu(D, p)) continue;
7733 320075 : Fl_ell_to_a4a6(E, p, &a4, &a6);
7734 320075 : if (!hash_haskey_long(h, (void*)p, &o))
7735 : {
7736 34979 : o = p+1 - Fl_elltrace_CM(CM, a4, a6, p);
7737 34979 : hash_insert_long(h,(void*)p, o);
7738 : }
7739 320075 : if (o % l == 0) FljV_vecsat(E, P, o, l, a4, a6, p, M, &m);
7740 : }
7741 1204 : return M;
7742 : }
7743 :
7744 : INLINE long
7745 147 : Flv_firstnonzero(GEN v)
7746 : {
7747 147 : long i, l = lg(v);
7748 154 : for (i = 1; i < l; i++)
7749 154 : if (v[i]) break;
7750 147 : return i;
7751 : }
7752 :
7753 : /* update M in place */
7754 : static GEN
7755 1204 : ellsatp(hashtable *hh, GEN E, long CM, GEN T, GEN H, GEN M, ulong l, GEN *xl,
7756 : long vxl, long nb, long prec)
7757 : {
7758 1204 : GEN P = T ? shallowconcat(H, T): H;
7759 1204 : GEN S = ellsatp_mat(hh, E, CM, P, l, nb); /* fill hh */
7760 1204 : pari_sp av = avma;
7761 1204 : GEN K = Flm_ker(Flm_transpose(S), l);
7762 1204 : long i, lK = lg(K), nH = lg(H)-1;
7763 :
7764 1204 : if (lK==1) return gc_NULL(av);
7765 147 : if (DEBUGLEVEL >= 3)
7766 0 : err_printf("ellsat: potential factor %lu, dim Ker = %ld\n",l,lK-1);
7767 : /* Mazur bound for torsion of isogenous curves */
7768 147 : if (!*xl && l <= 7) *xl = ellxn(E, l, vxl);
7769 147 : for (i = 1; i < lK; i++)
7770 : {
7771 147 : GEN ki = gel(K,i), Ki, h, R;
7772 147 : long f = Flv_firstnonzero(ki);
7773 :
7774 : /* for T != NULL: avoid solving for [p]Q = R when R is p-torsion */
7775 147 : if (f > nH) continue;
7776 147 : if (ki[f] != 1) ki = Flv_Fl_div(ki, ki[f], l);
7777 147 : Ki = zv_to_ZV(Flv_center(ki, l, l >> 1));
7778 147 : h = qfeval(M, T? vecslice(Ki, 1, nH): Ki);
7779 147 : if (*xl)
7780 : {
7781 133 : GEN Q = ellQ_factorback(E, P, Ki, 1, h, prec);
7782 133 : if (ellisdivisible(E, Q, *xl, &R)) h = gdiv(h, sqru(l)); else R = NULL;
7783 : }
7784 : else
7785 : {
7786 14 : h = gdiv(h, sqru(l));
7787 14 : R = ellQ_factorback(E, P, Ki, l, h, prec);
7788 : }
7789 147 : if (DEBUGLEVEL >= 2)
7790 0 : err_printf("ellsat: %s divisible by %lu\n", R? "": "not", l);
7791 147 : if (!R)
7792 : {
7793 28 : if (lK == 2) break;
7794 140 : return l > 7? gc_const(av,H): H; /* fail: return and retry */
7795 : }
7796 119 : gcoeff(M, f, f) = h;
7797 490 : for (i = 1; i <= nH; i++)
7798 371 : if (i != f) gcoeff(M, f, i) = gdivgu(RgV_dotproduct(gel(M,i), Ki), l);
7799 490 : for (i = 1; i <= nH; i++) gcoeff(M, i, f) = gcoeff(M, f, i);
7800 119 : gel(H,f) = R; return H; /* found l-divisible point: return new lattice */
7801 : }
7802 7 : return gc_NULL(av); /* l-saturated */
7803 : }
7804 :
7805 : static GEN
7806 49 : ellQ_saturation(GEN E, GEN P, long B, long prec)
7807 : {
7808 : forprime_t S;
7809 49 : GEN M = ellheightmatrix(E, P, prec);
7810 49 : long CM = ellQ_get_CM(E), w = fetch_var_higher();
7811 : hashtable h;
7812 : ulong p;
7813 :
7814 49 : hash_init_ulong(&h, 16, 1);
7815 49 : (void)u_forprime_init(&S, 2, B);
7816 49 : P = leafcopy(P); /* modified in place by ellsatp */
7817 1113 : while((p = u_forprime_next(&S)))
7818 : {
7819 1064 : long nb = lg(P)-1 + 25 / log2(p) - 1; /* error ~ 2^{-25} */
7820 1064 : GEN xp = NULL, T = gel(elltors_psylow(E, p), 3);
7821 1064 : if (lg(T)==1) T = NULL;
7822 : while (1)
7823 140 : {
7824 1204 : GEN Q = ellsatp(&h, E, CM, T, P, M, p, &xp, w, nb, prec);
7825 1204 : if (!Q) break;
7826 140 : nb += lg(P)-1;
7827 140 : P = Q;
7828 : }
7829 : }
7830 49 : (void)delete_var(); return ellQ_genreduce(E, P, M, prec);
7831 : }
7832 :
7833 : GEN
7834 49 : ellsaturation(GEN E, GEN P, long B, long prec)
7835 : {
7836 49 : pari_sp av = avma;
7837 : GEN urst;
7838 :
7839 49 : if (lg(P) == 1) return cgetg(1, t_VEC);
7840 49 : E = ellminimalmodel(E, &urst);
7841 49 : if (is_trivial_change(urst)) urst = NULL;
7842 49 : if (urst) P = ellchangepoint(P, urst);
7843 49 : P = ellQ_saturation(E, P, B, prec);
7844 49 : if (urst) P = ellchangepoint(P, ellchangeinvert(urst));
7845 49 : obj_free(E); return gerepilecopy(av, P);
7846 : }
7847 :
7848 : static GEN
7849 126 : to_RgX(GEN P, long vx)
7850 126 : { return typ(P)==t_POL && varn(P) == vx ? P: scalarpol_shallow(P, vx); }
7851 : GEN
7852 70 : elltrace(GEN E, GEN P)
7853 : {
7854 70 : pari_sp av = avma;
7855 70 : GEN xP, yP, T = NULL, Q, LP, M, K, U,V,R, xQ,yQ;
7856 : long v, n, i, j, d;
7857 :
7858 70 : checkell(E);
7859 70 : checkellpt(P);
7860 70 : if (ell_is_inf(P)) return gcopy(P); /* P == oo */
7861 63 : if (!oncurve(E,P))
7862 0 : pari_err_DOMAIN("elltrace", "point", "not on", strtoGENstr("E"), P);
7863 : /* More checks */
7864 :
7865 63 : xP = gel(P,1); yP = gel(P,2);
7866 63 : if (typ(xP)==t_POLMOD) { T = gel(xP,1); xP = gel(xP,2); }
7867 63 : if (typ(yP)==t_POLMOD)
7868 : {
7869 63 : if (T)
7870 : {
7871 56 : if (!gequal(gel(yP,1),T)) pari_err_MODULUS("elltrace",xP,yP);
7872 : }
7873 : else
7874 7 : T = gel(yP,1);
7875 63 : yP = gel(yP,2);
7876 : }
7877 63 : if (!T) pari_err_TYPE("elltrace",yP);
7878 63 : v = varn(T); n = degpol(T);
7879 : /* Trivial cases */
7880 63 : if (n == 1) { return gerepilecopy(av, mkvec2(xP,yP)); }
7881 63 : xP = to_RgX(xP, v);
7882 63 : yP = to_RgX(yP, v);
7883 63 : if (degpol(xP) <= 0)
7884 : {
7885 28 : if (degpol(yP) > 0) { set_avma(av); retmkvec(gen_0); }
7886 14 : P = mkvec2(constant_coeff(xP), constant_coeff(yP));
7887 14 : return gerepileupto(av, ellmul(E, P, utoipos(n)));
7888 : }
7889 : /* Strategy: look for a function with divisor equal to
7890 : * [P_1] + ... + [P_n] + [-Tr(P)] - (n+1)[0]. */
7891 35 : LP = cgetg(n+2,t_VEC); /* basis of the Riemann-Roch space evaluated at P */
7892 35 : gel(LP,1) = pol_1(v);
7893 35 : gel(LP,2) = xP;
7894 35 : gel(LP,3) = yP;
7895 84 : for (i = 4; i <= n+1; i++) gel(LP,i) = RgXQ_mul(gel(LP,i-2), xP, T);
7896 35 : M = cgetg(n+2,t_MAT); /* functions defined over K vanishing at P */
7897 189 : for (j = 1; j <= n+1; j++)
7898 714 : for (i = 1; i <= n; i++) gel(M,j) = RgX_to_RgC(gel(LP,j), n);
7899 35 : K = gel(ker(M),1);
7900 : /* Coords on 1,x,y,x^2,xy,.. of function f of smallest degree vanishing at P
7901 : * div f = [P_1] + ... + [P_d] + [-Tr(P)] - (d+1)[0]
7902 : * with deg(K(P)) = d+1 if Tr(P) != 0; = d otherwise; f = U(x) + y*V(x) */
7903 35 : U = cgetg((n+1)/2+3,t_POL);
7904 35 : V = cgetg((n-2)/2+3,t_POL); U[1] = V[1] = evalvarn(0);
7905 35 : gel(U,2) = gel(K,1); /* Coef of 1 */
7906 105 : for(i = 1; 2*i <= n+1; i++) gel(U,i+2) = gel(K,2*i); /* Coef of x^i */
7907 84 : for(i = 0; 2*i+3 <= n+1; i++) gel(V,i+2) = gel(K,2*i+3); /* Coef of x^i*y */
7908 35 : U = normalizepol(U); V = normalizepol(V);
7909 : /* f does not depend on y, so trace = oo */
7910 35 : if (signe(V)==0) { set_avma(av); retmkvec(gen_0); }
7911 : /* Plug y = -U(x)/V(x) into Weierstrass equation:
7912 : * 0 = ((x^3+a2x^2+a4x+a6)*V + (a1x+a3)*U)*V - U^2 */
7913 35 : R = mkpoln(4, gen_1, ell_get_a2(E), ell_get_a4(E), ell_get_a6(E));
7914 35 : R = gmul(R, V);
7915 35 : R = gadd(R, gmul(U, mkpoln(2,ell_get_a1(E),ell_get_a3(E))));
7916 35 : R = gmul(R, V);
7917 35 : R = gsub(R, gsqr(U));
7918 : /* Discard Galois orbit of P */
7919 35 : R = RgX_div(R, RgXQ_minpoly(xP,T, 0));
7920 : /* What is left is either constant -> return 0, or deg 1 -> nontrivial trace. */
7921 35 : if(degpol(R)<=0) { set_avma(av); retmkvec(gen_0); }
7922 : /* Recover the trace */
7923 28 : xQ = gneg(gdiv(gel(R,2), gel(R,3)));
7924 28 : yQ = gneg(gdiv(poleval(U, xQ), poleval(V, xQ)));
7925 28 : Q = mkvec2(xQ, yQ);
7926 : /* So far, we have computed -Tr(P) over the extension K(P)/K
7927 : * we still need to compute [L:K(P)] */
7928 28 : d = 0;
7929 42 : for (i = n+1; i > 0; i--) if (!gequal0(gel(K,i))) { d = i; break; }
7930 28 : return gerepileupto(av, ellmul(E, Q, stoi(-n / (d-1))));
7931 : }
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