Line data Source code
1 : /* Copyright (C) 2000 The PARI group.
2 :
3 : This file is part of the PARI/GP package.
4 :
5 : PARI/GP is free software; you can redistribute it and/or modify it under the
6 : terms of the GNU General Public License as published by the Free Software
7 : Foundation; either version 2 of the License, or (at your option) any later
8 : version. It is distributed in the hope that it will be useful, but WITHOUT
9 : ANY WARRANTY WHATSOEVER.
10 :
11 : Check the License for details. You should have received a copy of it, along
12 : with the package; see the file 'COPYING'. If not, write to the Free Software
13 : Foundation, Inc., 51 Franklin Street, Fifth Floor, Boston, MA 02110-1301 USA. */
14 :
15 : /********************************************************************/
16 : /** **/
17 : /** ELLIPTIC CURVES **/
18 : /** **/
19 : /********************************************************************/
20 : #include "pari.h"
21 : #include "paripriv.h"
22 :
23 : #define DEBUGLEVEL DEBUGLEVEL_ell
24 :
25 : #undef coordch
26 :
27 : /* Transforms a curve E into short Weierstrass form E' modulo p.
28 : Returns a vector, the first two entries of which are a4' and a6'.
29 : The third entry is a vector describing the isomorphism E' \to E.
30 : */
31 :
32 : static ulong
33 1529353 : Fl_c4_to_a4(ulong c4, ulong p)
34 1529353 : { return Fl_neg(Fl_mul(c4, 27, p), p); }
35 : static ulong
36 1450033 : Fl_c6_to_a6(ulong c6, ulong p)
37 1450033 : { return Fl_neg(Fl_mul(c6, 54, p), p); }
38 : static void
39 1449385 : Fl_c4c6_to_a4a6(ulong c4, ulong c6, ulong p, ulong *a4, ulong *a6)
40 : {
41 1449385 : *a4 = Fl_c4_to_a4(c4, p);
42 1449385 : *a6 = Fl_c6_to_a6(c6, p);
43 1449385 : }
44 : static GEN
45 2592195 : c4_to_a4(GEN c4, GEN p)
46 2592195 : { return Fp_neg(Fp_mulu(c4, 27, p), p); }
47 : static void
48 2592192 : c4c6_to_a4a6(GEN c4, GEN c6, GEN p, GEN *a4, GEN *a6)
49 : {
50 2592192 : *a4 = c4_to_a4(c4, p);
51 2592216 : *a6 = Fp_neg(Fp_mulu(c6, 54, p), p);
52 2591981 : }
53 : static GEN
54 93463 : Fq_c4_to_a4(GEN c4, GEN T, GEN p)
55 93463 : { return Fq_neg(Fq_mulu(c4, 27, T,p), T,p); }
56 : static void
57 93463 : Fq_c4c6_to_a4a6(GEN c4, GEN c6, GEN T, GEN p, GEN *a4, GEN *a6)
58 : {
59 93463 : *a4 = Fq_c4_to_a4(c4, T,p);
60 93439 : *a6 = Fq_neg(Fq_mulu(c6, 54, T,p), T,p);
61 93441 : }
62 : static void
63 2592040 : ell_to_a4a6(GEN E, GEN p, GEN *a4, GEN *a6)
64 : {
65 2592040 : GEN c4 = Rg_to_Fp(ell_get_c4(E),p);
66 2592044 : GEN c6 = Rg_to_Fp(ell_get_c6(E),p);
67 2592043 : c4c6_to_a4a6(c4, c6, p, a4, a6);
68 2591823 : }
69 : static void
70 1449385 : Fl_ell_to_a4a6(GEN E, ulong p, ulong *a4, ulong *a6)
71 : {
72 1449385 : ulong c4 = Rg_to_Fl(ell_get_c4(E),p);
73 1449385 : ulong c6 = Rg_to_Fl(ell_get_c6(E),p);
74 1449385 : Fl_c4c6_to_a4a6(c4, c6, p, a4, a6);
75 1449385 : }
76 :
77 : /* [6,3b2,3a1,108a3] */
78 : static GEN
79 150704 : a4a6_ch(GEN E, GEN p)
80 : {
81 150704 : GEN a1 = Rg_to_Fp(ell_get_a1(E),p);
82 150704 : GEN a3 = Rg_to_Fp(ell_get_a3(E),p);
83 150704 : GEN b2 = Rg_to_Fp(ell_get_b2(E),p);
84 150704 : retmkvec4(modsi(6,p),Fp_mulu(b2,3,p),Fp_mulu(a1,3,p),Fp_mulu(a3,108,p));
85 : }
86 : static GEN
87 91290 : a4a6_ch_Fl(GEN E, ulong p)
88 : {
89 91290 : ulong a1 = Rg_to_Fl(ell_get_a1(E),p);
90 91290 : ulong a3 = Rg_to_Fl(ell_get_a3(E),p);
91 91290 : ulong b2 = Rg_to_Fl(ell_get_b2(E),p);
92 91290 : return mkvecsmall4(6 % p,Fl_mul(b2,3,p),Fl_mul(a1,3,p),Fl_mul(a3,108,p));
93 : }
94 :
95 : static GEN
96 150704 : ell_to_a4a6_bc(GEN E, GEN p)
97 : {
98 : GEN A4, A6;
99 150704 : ell_to_a4a6(E, p, &A4, &A6);
100 150704 : retmkvec3(A4, A6, a4a6_ch(E,p));
101 : }
102 : GEN
103 0 : point_to_a4a6(GEN E, GEN P, GEN p, GEN *pa4)
104 : {
105 0 : GEN c4 = Rg_to_Fp(ell_get_c4(E),p);
106 0 : *pa4 = c4_to_a4(c4, p);
107 0 : return FpE_changepointinv(RgV_to_FpV(P,p), a4a6_ch(E,p), p);
108 : }
109 : GEN
110 64236 : point_to_a4a6_Fl(GEN E, GEN P, ulong p, ulong *pa4)
111 : {
112 64236 : ulong c4 = Rg_to_Fl(ell_get_c4(E),p);
113 64236 : *pa4 = Fl_c4_to_a4(c4, p);
114 64236 : return Fle_changepointinv(RgV_to_Flv(P,p), a4a6_ch_Fl(E,p), p);
115 : }
116 :
117 : /* shallow basistoalg; true nf */
118 : static GEN
119 2133355 : nftoalg(GEN nf, GEN x)
120 : {
121 2133355 : switch(typ(x))
122 : {
123 1930460 : case t_INT: case t_FRAC: case t_POLMOD: return x;
124 1652 : case t_POL: if (varn(x) != nf_get_varn(nf)) return x; /*hope for the best*/
125 : }
126 202853 : return basistoalg(nf, x);
127 : }
128 : static GEN
129 1356404 : nfVtoalg(GEN nf, GEN x) { pari_APPLY_same(nftoalg(nf,gel(x,i))); }
130 : static GEN
131 157703 : ellchangetoalg(GEN nf, GEN w)
132 : {
133 157703 : if (isint1(w)) return gen_1;
134 157703 : return nfVtoalg(nf, w);
135 : }
136 :
137 : static int
138 1586961 : isptcoord(GEN x)
139 : {
140 1586961 : switch(typ(x))
141 : {
142 1586772 : case t_INT:
143 : case t_REAL:
144 : case t_INTMOD:
145 : case t_FRAC:
146 : case t_FFELT:
147 : case t_COMPLEX:
148 : case t_PADIC:
149 : case t_QUAD:
150 : case t_POLMOD:
151 : case t_POL:
152 : case t_SER:
153 : case t_RFRAC:
154 1586772 : case t_COL: return 1; /* t_COL: nf elt */
155 : }
156 189 : return 0;
157 : }
158 :
159 : /* typ(z) == t_VEC. Is it (probably) a point ? */
160 : static int
161 801289 : vecispt(GEN z)
162 : {
163 801289 : switch(lg(z))
164 : {
165 6916 : case 2: return isintzero(gel(z,1));
166 793568 : case 3: return isptcoord(gel(z,1)) && isptcoord(gel(z,2));
167 805 : default: return 0;
168 : }
169 : }
170 : int
171 608361 : checkellpt_i(GEN z)
172 608361 : { return typ(z) == t_VEC && vecispt(z); }
173 : void
174 0 : checkellpt(GEN z)
175 0 : { if (!checkellpt_i(z)) pari_err_TYPE("checkellpt", z); }
176 : void
177 229565 : checkell5(GEN E)
178 : {
179 229565 : long l = lg(E);
180 229565 : if (typ(E)!=t_VEC || (l != 17 && l != 6)) pari_err_TYPE("checkell5",E);
181 229565 : }
182 : void
183 4412053 : checkell(GEN E)
184 4412053 : { if (!checkell_i(E)) pari_err_TYPE("checkell",E); }
185 : void
186 3528 : checkellisog(GEN v)
187 3528 : { if (typ(v)!=t_VEC || lg(v) != 4) pari_err_TYPE("checkellisog",v); }
188 :
189 : void
190 8239 : checkell_Q(GEN E)
191 : {
192 8239 : if (!checkell_i(E) || ell_get_type(E)!=t_ELL_Q)
193 7 : pari_err_TYPE("checkell over Q",E);
194 8232 : }
195 :
196 : void
197 0 : checkell_Qp(GEN E)
198 : {
199 0 : if (!checkell_i(E) || ell_get_type(E)!=t_ELL_Qp)
200 0 : pari_err_TYPE("checkell over Qp",E);
201 0 : }
202 :
203 : static int
204 505086 : ell_over_Fq(GEN E)
205 : {
206 505086 : long t = ell_get_type(E);
207 505086 : return t==t_ELL_Fp || t==t_ELL_Fq;
208 : }
209 :
210 : void
211 253918 : checkell_Fq(GEN E)
212 : {
213 253918 : if (!checkell_i(E) || !ell_over_Fq(E)) pari_err_TYPE("checkell over Fq", E);
214 253911 : }
215 :
216 : GEN
217 385651 : ellff_get_p(GEN E)
218 : {
219 385651 : GEN fg = ellff_get_field(E);
220 385651 : return typ(fg)==t_INT? fg: FF_p_i(fg);
221 : }
222 :
223 : int
224 52753 : ell_is_integral(GEN E)
225 : {
226 52753 : return typ(ell_get_a1(E)) == t_INT
227 52711 : && typ(ell_get_a2(E)) == t_INT
228 52690 : && typ(ell_get_a3(E)) == t_INT
229 52690 : && typ(ell_get_a4(E)) == t_INT
230 105464 : && typ(ell_get_a6(E)) == t_INT;
231 : }
232 :
233 : /* 4 X^3 + b2 X^2 + 2b4 X + b6 */
234 : GEN
235 247495 : ec_bmodel(GEN e, long v)
236 : {
237 247495 : GEN b2 = ell_get_b2(e), b6 = ell_get_b6(e), b42 = gmul2n(ell_get_b4(e),1);
238 247495 : GEN P = mkpoln(4, utoipos(4), b2, b42, b6);
239 247495 : setvarn(P, v); return P;
240 : }
241 :
242 : /* X^4 - b4*X^2 - 2b6*X - b8 */
243 : GEN
244 105 : ec_phi2(GEN e, long v)
245 : {
246 105 : GEN b4 = ell_get_b4(e), b6 = ell_get_b6(e), b8 = ell_get_b8(e);
247 105 : GEN P = mkpoln(5, gen_1, gen_0, gneg(b4), gmul2n(gneg(b6),1), gneg(b8));
248 105 : setvarn(P, v); return P;
249 : }
250 :
251 : static int
252 236475 : invcmp(void *E, GEN x, GEN y) { (void)E; return -gcmp(x,y); }
253 :
254 : /* prec = working precision, prec0 = target precision */
255 : static GEN
256 231360 : doellR_roots_i(GEN e, long prec, long prec0)
257 : {
258 231360 : GEN d1, d2, d3, e1, e2, e3, R = cleanroots(ec_bmodel(e,0), prec);
259 231360 : long s = ellR_get_sign(e);
260 231360 : if (s > 0)
261 : { /* sort 3 real roots in decreasing order */
262 78825 : R = real_i(R);
263 78825 : gen_sort_inplace(R, NULL, &invcmp, NULL);
264 78825 : e1 = gel(R,1); e2 = gel(R,2); e3 = gel(R,3);
265 78825 : d3 = subrr(e1,e2);
266 78825 : d1 = subrr(e2,e3);
267 78825 : d2 = subrr(e1,e3);
268 78825 : if (realprec(d3) < prec0 || realprec(d1) < prec0) return NULL;
269 : } else {
270 152535 : e1 = gel(R,1); e2 = gel(R,2); e3 = gel(R,3);
271 152535 : if (s < 0)
272 : { /* make sure e1 is real, imag(e2) > 0 and imag(e3) < 0 */
273 90213 : e1 = real_i(e1);
274 90213 : if (signe(gel(e2,2)) < 0) swap(e2, e3);
275 90213 : d1 = mkcomplex(gen_0, gsub(gel(e2,2),gel(e3,2)));
276 : }
277 : else
278 62322 : d1 = gsub(e2,e3);
279 152535 : d3 = gsub(e1,e2);
280 152535 : d2 = gsub(e1,e3);
281 152535 : if (precision(d1) < prec0
282 152522 : || precision(d2) < prec0
283 152535 : || precision(d3) < prec0) return NULL;
284 : }
285 231322 : return mkcol6(e1,e2,e3,d1,d2,d3);
286 : }
287 : static GEN
288 169953 : doellR_roots(GEN e, long prec0)
289 : {
290 : long p;
291 169991 : for (p = prec0;; p = precdbl(p))
292 38 : {
293 169991 : GEN v = doellR_roots_i(e, p, prec0);
294 169991 : if (v) return v;
295 38 : if (DEBUGLEVEL) pari_warn(warnprec,"doellR_roots", p);
296 : }
297 : }
298 : static GEN
299 83056 : ellR_root(GEN e, long prec) { return gel(ellR_roots(e,prec),1); }
300 :
301 : /* Given E and the x-coordinate of a point Q = [xQ, yQ], return
302 : * f(xQ) = xQ^3 + E.a2 * xQ^2 + E.a4 * xQ + E.a6
303 : * where E is given by y^2 + h(x)y = f(x). */
304 : GEN
305 783824 : ec_f_evalx(GEN E, GEN x)
306 : {
307 783824 : pari_sp av = avma;
308 : GEN z;
309 783824 : z = gadd(ell_get_a2(E),x);
310 783824 : z = gadd(ell_get_a4(E), gmul(x,z));
311 783824 : z = gadd(ell_get_a6(E), gmul(x,z));
312 783824 : return gerepileupto(av, z); /* ((x + E.a2) * x + E.a4) * x + E.a6 */
313 : }
314 :
315 : /* a1 x + a3 */
316 : GEN
317 1177313 : ec_h_evalx(GEN e, GEN x)
318 : {
319 1177313 : GEN a1 = ell_get_a1(e);
320 1177313 : GEN a3 = ell_get_a3(e);
321 1177313 : return gadd(a3, gmul(x,a1));
322 : }
323 : static GEN
324 565817 : Zec_h_evalx(GEN e, GEN x)
325 : {
326 565817 : GEN a1 = ell_get_a1(e);
327 565817 : GEN a3 = ell_get_a3(e);
328 565817 : return signe(a1)? addii(a3, mulii(x, a1)): a3;
329 : }
330 : /* y^2 + a1 xy + a3 y = y^2 + h(x)y */
331 : static GEN
332 129821 : ec_LHS_evalQ(GEN e, GEN Q)
333 : {
334 129821 : GEN x = gel(Q,1), y = gel(Q,2);
335 129821 : return gmul(y, gadd(y, ec_h_evalx(e,x)));
336 : }
337 :
338 : /* Given E and a point Q = [xQ, yQ], return
339 : * 3 * xQ^2 + 2 * E.a2 * xQ + E.a4 - E.a1 * yQ.
340 : * which is the derivative of the curve equation
341 : * f(x) - (y^2 + h(x)y) = 0
342 : * wrt x evaluated at Q */
343 : GEN
344 136151 : ec_dFdx_evalQ(GEN E, GEN Q)
345 : {
346 136151 : pari_sp av = avma;
347 136151 : GEN x = gel(Q,1), y = gel(Q,2);
348 136151 : GEN a1 = ell_get_a1(E);
349 136151 : GEN a2 = ell_get_a2(E);
350 136151 : GEN a4 = ell_get_a4(E);
351 136151 : GEN tmp = gmul(gadd(gmulsg(3L,x), gmul2n(a2,1)), x);
352 136151 : return gerepileupto(av, gadd(tmp, gsub(a4, gmul(a1, y))));
353 : }
354 :
355 : /* 2y + a1 x + a3 = -ec_dFdy_evalQ */
356 : GEN
357 256049 : ec_dmFdy_evalQ(GEN e, GEN Q)
358 : {
359 256049 : GEN x = gel(Q,1), y = gel(Q,2);
360 256049 : return gadd(ec_h_evalx(e,x), gmul2n(y,1));
361 : }
362 : /* Given E and a point Q = [xQ, yQ], return
363 : * -(2 * yQ + E.a1 * xQ + E.a3)
364 : * which is the derivative of the curve equation
365 : * f(x) - (y^2 + h(x)y) = 0
366 : * wrt y evaluated at Q */
367 : GEN
368 532 : ec_dFdy_evalQ(GEN E, GEN Q)
369 : {
370 532 : pari_sp av = avma;
371 532 : return gerepileupto(av, gneg(ec_dmFdy_evalQ(E,Q)));
372 : }
373 :
374 : /* Given E and a point Q = [xQ, yQ], return
375 : * 4 xQ^3 + E.b2 xQ^2 + 2 E.b4 xQ + E.b6
376 : * which is the 2-division polynomial of E evaluated at Q */
377 : GEN
378 29715 : ec_2divpol_evalx(GEN E, GEN x)
379 : {
380 29715 : pari_sp av = avma;
381 29715 : GEN b2 = ell_get_b2(E), x4 = gmul2n(x,2), t1, t2;
382 29715 : GEN b42 = gmul2n(ell_get_b4(E), 1);
383 29715 : GEN b6 = ell_get_b6(E);
384 29715 : if (ell_get_type(E) == t_ELL_NF && typ(x)==t_COL)
385 0 : {
386 0 : GEN nf = ellnf_get_nf(E);
387 0 : t1 = nfmul(nf, nfadd(nf, x4, b2), x);
388 0 : t2 = nfadd(nf, t1, b42);
389 0 : t2 = nfadd(nf, nfmul(nf, t2, x), b6);
390 0 : t2 = nftoalg(nf, t2);
391 : }
392 : else
393 : {
394 29715 : t1 = gmul(gadd(x4, b2), x);
395 29715 : t2 = gadd(t1, b42);
396 29715 : t2 = gadd(gmul(t2, x), b6);
397 : }
398 29715 : return gerepileupto(av, t2);
399 : }
400 :
401 : /* Given E and a point Q = [xQ, yQ], return
402 : * 3 xQ^4 + E.b2 xQ^3 + 3 E.b4 xQ^2 + 3*E.b6 xQ + E.b8
403 : * which is the 3-division polynomial of E evaluated at Q */
404 : GEN
405 65276 : ec_3divpol_evalx(GEN E, GEN x)
406 : {
407 65276 : pari_sp av = avma;
408 65276 : GEN b2 = ell_get_b2(E);
409 65276 : GEN b4 = ell_get_b4(E);
410 65276 : GEN b6 = ell_get_b6(E);
411 65276 : GEN b8 = ell_get_b8(E);
412 65276 : GEN x2 = gsqr(x);
413 65276 : GEN t1 = gadd(gadd(gmulsg(3L, x2), gmul(b2, x)), gmulsg(3L, b4));
414 65276 : GEN t2 = gadd(gmul(gmulsg(3L, b6), x), b8);
415 65276 : return gerepileupto(av, gadd(gmul(t1, x2), t2));
416 : }
417 :
418 : /* Given E and a point Q = [xQ, yQ], return
419 : * 6 xQ^2 + E.b2 xQ + E.b4
420 : * which, if f is the curve equation, is 2 dfdx - E.a1 dfdy evaluated at Q */
421 : GEN
422 812 : ec_half_deriv_2divpol(GEN E, long v)
423 812 : { return deg2pol_shallow(utoi(6), ell_get_b2(E), ell_get_b4(E), v); }
424 :
425 : GEN
426 707 : ec_half_deriv_2divpol_evalx(GEN E, GEN x)
427 : {
428 707 : pari_sp av = avma;
429 707 : GEN b2 = ell_get_b2(E);
430 707 : GEN b4 = ell_get_b4(E);
431 707 : GEN res = gadd(gmul(gadd(gmulsg(6L, x), b2), x), b4);
432 707 : return gerepileupto(av, res);
433 : }
434 :
435 : /* Return the characteristic of the ring over which E is defined. */
436 : GEN
437 9149 : ellbasechar(GEN E)
438 : {
439 9149 : pari_sp av = avma;
440 9149 : GEN D = ell_get_disc(E);
441 9149 : return gerepileuptoint(av, characteristic(D));
442 : }
443 :
444 : /* Initialize basic elliptic struct y[1..12] for initsmall
445 : * (do not include j to allow for singular Weistrass model)
446 : * Also allocate room for n dynamic members. */
447 : static GEN
448 194495 : initsmall46(GEN a4, GEN a6, long n)
449 : {
450 194495 : GEN y = obj_init(15, n);
451 194495 : gel(y,1) = gen_0;
452 194495 : gel(y,2) = gen_0;
453 194495 : gel(y,3) = gen_0;
454 194495 : gel(y,4) = a4;
455 194495 : gel(y,5) = a6;
456 194495 : gel(y,6) = gen_0;
457 194495 : gel(y,7) = gmul2n(a4,1);
458 194496 : gel(y,8) = gmul2n(a6,2);
459 194496 : gel(y,9) = gneg(gsqr(a4));
460 194496 : gel(y,10)= gmulgs(a4,-48);
461 194496 : gel(y,11)= gmulgs(a6,-864);
462 194496 : gel(y,12)= gadd(gmul(gmulgs(a4,-64), gsqr(a4)), gmulsg(-432,gsqr(a6)));
463 194496 : gel(y,16) = zerovec(n); return y;
464 : }
465 : /* [a1,a2,a3,a4,a6] */
466 : static GEN
467 944909 : initsmall5(GEN x, long n)
468 : {
469 944909 : GEN a1 = gel(x,1), a2 = gel(x,2), a3 = gel(x,3);
470 944909 : GEN a4 = gel(x,4), a6 = gel(x,5);
471 : GEN y, b2, b4, b6, b8, c4, c6, D, a11, a13, a33, b22;
472 944909 : if (gequal0(a1) && gequal0(a2) && gequal0(a3)) return initsmall46(a4, a6, n);
473 795641 : a11= gsqr(a1);
474 795641 : b2 = gadd(a11, gmul2n(a2,2));
475 795641 : a13= gmul(a1, a3);
476 795641 : b4 = gadd(a13, gmul2n(a4,1));
477 795641 : a33= gsqr(a3);
478 795641 : b6 = gadd(a33, gmul2n(a6,2));
479 795641 : b8 = gsub(gadd(gmul(a11,a6), gmul(b6, a2)), gmul(a4, gadd(a4,a13)));
480 795641 : b22= gsqr(b2);
481 795641 : c4 = gadd(b22, gmulsg(-24,b4));
482 795641 : c6 = gadd(gmul(b2,gsub(gmulsg(36,b4),b22)), gmulsg(-216,b6));
483 795641 : D = gsub(gmul(b4, gadd(gmulsg(9,gmul(b2,b6)),gmulsg(-8,gsqr(b4)))),
484 : gadd(gmul(b22,b8),gmulsg(27,gsqr(b6))));
485 795641 : y = obj_init(15, n);
486 795641 : gel(y,1) = a1;
487 795641 : gel(y,2) = a2;
488 795641 : gel(y,3) = a3;
489 795641 : gel(y,4) = a4;
490 795641 : gel(y,5) = a6;
491 795641 : gel(y,6) = b2; /* a1^2 + 4a2 */
492 795641 : gel(y,7) = b4; /* a1 a3 + 2a4 */
493 795641 : gel(y,8) = b6; /* a3^2 + 4 a6 */
494 795641 : gel(y,9) = b8; /* a1^2 a6 + 4a6 a2 + a2 a3^2 - a4(a4 + a1 a3) */
495 795641 : gel(y,10)= c4; /* b2^2 - 24 b4 */
496 795641 : gel(y,11)= c6; /* 36 b2 b4 - b2^3 - 216 b6 */
497 795641 : gel(y,12)= D;
498 795641 : gel(y,16) = zerovec(n); return y;
499 : }
500 :
501 : static GEN
502 982073 : get_j(GEN c4, GEN D)
503 : {
504 : GEN g, d, c;
505 982073 : if (typ(D) != t_POL || typ(c4) != t_POL || varn(D) != varn(c4))
506 981737 : return gdiv(gmul(gsqr(c4),c4), D);
507 : /* c4^3 / D, simplifying incrementally */
508 336 : g = RgX_gcd(D, c4);
509 336 : if (degpol(g) == 0) return gred_rfrac_simple(gmul(gsqr(c4),c4), D);
510 42 : c = RgX_div(c4, g);
511 42 : D = RgX_div(D, g);
512 42 : g = RgX_gcd(D,c4);
513 42 : if (degpol(g) == 0) return gred_rfrac_simple(gmul(gsqr(c4),c), D);
514 35 : D = RgX_div(D, g); d = RgX_div(c4, g);
515 35 : g = RgX_gcd(D,c4);
516 35 : if (degpol(g)) { D = RgX_div(D, g); c4 = RgX_div(c4, g); }
517 35 : return gred_rfrac_simple(gmul(gmul(c4, d),c), D);
518 : }
519 :
520 : /* return basic elliptic struct y[1..13], y[14] (domain type) and y[15]
521 : * (domain-specific data) are left uninitialized, from x[1], ..., x[5].
522 : * Also allocate room for n dynamic members (actually stored in the last
523 : * component y[16])*/
524 : static GEN
525 990115 : initsmall(GEN x, long n)
526 : {
527 : GEN y, D;
528 :
529 990115 : switch(lg(x))
530 : {
531 490 : case 2: y = initsmall5(ellfromj(gel(x,1)), n); break;
532 45227 : case 3: y = initsmall46(gel(x,1), gel(x,2), n); break;
533 944398 : case 6:
534 944398 : case 17: y = initsmall5(x, n); break;
535 0 : default:
536 0 : pari_err_TYPE("ellxxx [not an elliptic curve (ell5)]",x);
537 : return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
538 : }
539 990116 : D = ell_get_disc(y); if (gequal0(D)) return NULL;
540 982073 : gel(y,13) = get_j(ell_get_c4(y), D); return y;
541 : }
542 : void
543 0 : ellprint(GEN e)
544 : {
545 0 : pari_sp av = avma;
546 : long vx, vy;
547 : GEN z;
548 0 : checkell5(e);
549 0 : vx = fetch_var(); name_var(vx, "X");
550 0 : vy = fetch_var(); name_var(vy, "Y"); z = mkvec2(pol_x(vx), pol_x(vy));
551 0 : err_printf("%Ps - (%Ps)\n", ec_LHS_evalQ(e, z), ec_f_evalx(e, pol_x(vx)));
552 0 : (void)delete_var();
553 0 : (void)delete_var(); set_avma(av);
554 0 : }
555 :
556 : /* compute a,b such that E1: y^2 = x(x-a)(x-b) ~ E */
557 : static GEN
558 58842 : doellR_ab(GEN E, long prec)
559 : {
560 58842 : GEN b2 = ell_get_b2(E), R = ellR_roots(E, prec);
561 58842 : GEN e1 = gel(R,1), d2 = gel(R,5), d3 = gel(R,6), a, b, t;
562 :
563 58842 : t = gmul2n(gadd(mulur(12,e1), b2), -4); /* = (12 e1 + b2) / 16 */
564 58842 : if (ellR_get_sign(E) > 0)
565 26733 : b = mulrr(d3,d2);
566 : else
567 32109 : b = cxnorm(d3);
568 58842 : b = sqrtr(b); /* = sqrt( (e1 - e2)(e1 - e3) ) */
569 58842 : if (gsigne(t) > 0) togglesign(b);
570 58842 : a = gsub(gmul2n(b,-1),t);
571 58842 : return mkvec2(a, b);
572 : }
573 : GEN
574 83056 : ellR_ab(GEN E, long prec)
575 83056 : { return obj_checkbuild_realprec(E, R_AB, &doellR_ab, prec); }
576 :
577 : /* q a t_REAL*/
578 : static long
579 84 : real_prec(GEN q)
580 84 : { return signe(q)? realprec(q): LONG_MAX; }
581 : /* q a t_PADIC */
582 : static long
583 238 : padic_prec(GEN q)
584 238 : { return signe(gel(q,4))? precp(q)+valp(q): valp(q); }
585 :
586 : /* check whether moduli are consistent */
587 : static void
588 99638 : chk_p(GEN p, GEN p2)
589 99638 : { if (!equalii(p, p2)) pari_err_MODULUS("ellinit", p,p2); }
590 :
591 : static int
592 213437 : fix_nftype(GEN *pp)
593 : {
594 213437 : switch(nftyp(*pp))
595 : {
596 213437 : case typ_NF: case typ_BNF: break;
597 0 : case typ_BNR:*pp = bnr_get_bnf(*pp); break;
598 0 : default: return 0;
599 : }
600 213437 : return 1;
601 : }
602 : static long
603 994609 : base_ring(GEN x, GEN *pp, long *prec)
604 : {
605 994609 : long i, e = *prec, ep = LONG_MAX, imax = minss(lg(x), 6);
606 994609 : GEN p = NULL, pol = NULL;
607 994609 : long t = t_FRAC;
608 994609 : if (*pp) switch(t = typ(*pp))
609 : {
610 509495 : case t_INT:
611 509495 : if (cmpis(*pp,2) < 0) { t = t_FRAC; p = NULL; break; }
612 2016 : p = *pp;
613 2016 : t = t_INTMOD;
614 2016 : break;
615 665 : case t_INTMOD:
616 665 : p = gel(*pp, 1);
617 665 : break;
618 28 : case t_REAL:
619 28 : e = real_prec(*pp);
620 28 : p = NULL;
621 28 : break;
622 217 : case t_PADIC:
623 217 : ep = padic_prec(*pp);
624 217 : p = gel(*pp, 2);
625 217 : break;
626 1820 : case t_FFELT:
627 1820 : p = *pp;
628 1820 : break;
629 213437 : case t_VEC:
630 213437 : t = t_VEC; p = *pp;
631 213437 : if (fix_nftype(&p)) break;
632 : default:
633 7 : pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", *pp);
634 0 : return 0;
635 : }
636 994602 : if (t==t_VEC) pol = nf_get_pol(checknf(p));
637 : /* Possible cases:
638 : * t = t_VEC (p an nf or bnf)
639 : * t = t_FFELT (p t_FFELT)
640 : * t = t_INTMOD (p a prime)
641 : * t = t_PADIC (p a prime, ep = padic prec)
642 : * t = t_REAL (p = NULL, e = real prec)
643 : * t = t_FRAC (p = NULL) */
644 5683251 : for (i = 1; i < imax; i++)
645 : {
646 4694830 : GEN p2, q = gel(x,i);
647 4694830 : switch(typ(q)) {
648 42 : case t_PADIC:
649 42 : p2 = gel(q,2);
650 : switch(t)
651 : {
652 21 : case t_FRAC: t = t_PADIC; p = p2; break;
653 7 : case t_PADIC: chk_p(p,p2); break;
654 14 : default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
655 : }
656 21 : ep = minss(ep, padic_prec(q));
657 21 : break;
658 124586 : case t_INTMOD:
659 124586 : p2 = gel(q,1);
660 : switch(t)
661 : {
662 24969 : case t_FRAC: t = t_INTMOD; p = p2; break;
663 49 : case t_FFELT: chk_p(FF_p_i(p),p2); break;
664 99554 : case t_INTMOD:chk_p(p,p2); break;
665 14 : default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
666 : }
667 124572 : break;
668 168567 : case t_FFELT:
669 : switch(t)
670 : {
671 14 : case t_INTMOD: chk_p(p, FF_p_i(q)); /* fall through */
672 85372 : case t_FRAC: t = t_FFELT; p = q; break;
673 83188 : case t_FFELT:
674 83188 : if (!FF_samefield(p,q) && FF_f(q)>1) pari_err_MODULUS("ellinit", p,q);
675 83188 : break;
676 0 : default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
677 : }
678 168560 : break;
679 :
680 4073937 : case t_INT: case t_FRAC: break;
681 56 : case t_REAL:
682 : switch(t)
683 : {
684 35 : case t_REAL: e = minss(e, real_prec(q)); break;
685 21 : case t_FRAC: e = real_prec(q); t = t_REAL; break;
686 0 : default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
687 : }
688 56 : break;
689 326368 : case t_POLMOD:
690 326368 : if (pol && !RgX_equal(pol, gel(q,1)))
691 7 : pari_err_MODULUS("ellinit",gel(q,1), pol);
692 : case t_COL:
693 : case t_POL:
694 327621 : if (t == t_VEC) break;
695 : default: /* base ring too general */
696 6132 : return t_COMPLEX;
697 : }
698 : }
699 988421 : *pp = p; *prec = (t == t_PADIC)? ep: e; return t;
700 : }
701 :
702 : /* s = 0 complex, else real;
703 : * if (s = 2) set s = sign(D), else accept s as is */
704 : static GEN
705 67529 : ellinit_Rg(GEN x, long s, long prec)
706 : {
707 : GEN y;
708 67529 : if (lg(x) > 6) switch(ell_get_type(x))
709 : {
710 7 : case t_ELL_Rg:
711 7 : case t_ELL_Q: break;
712 7 : default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
713 : }
714 67522 : if (!(y = initsmall(x, 4))) return NULL;
715 67522 : if (s == 2) s = gsigne(ell_get_disc(y));
716 67522 : gel(y,14) = mkvecsmall(t_ELL_Rg);
717 67522 : gel(y,15) = mkvec(mkvecsmall2(prec, s));
718 67522 : return y;
719 : }
720 :
721 : static GEN
722 203 : ellinit_Qp(GEN x, GEN p, long prec)
723 : {
724 : GEN y;
725 203 : if (lg(x) > 6)
726 : {
727 28 : switch(ell_get_type(x))
728 : { /* sanity checks */
729 21 : case t_ELL_Q: break;
730 7 : case t_ELL_Qp: chk_p(ellQp_get_p(x), p); break;
731 0 : default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
732 : }
733 21 : x = vecslice(x,1,5);
734 : }
735 196 : x = QpV_to_QV(x); /* make entries rational */
736 196 : if (!(y = initsmall(x, 2))) return NULL;
737 196 : gel(y,14) = mkvecsmall(t_ELL_Qp);
738 196 : gel(y,15) = mkvec(zeropadic_shallow(p, prec));
739 196 : return y;
740 : }
741 :
742 : static GEN
743 569366 : ellinit_Q(GEN x, long prec)
744 : {
745 : GEN y;
746 : long s;
747 569366 : if (!(y = initsmall(x, 8))) return NULL;
748 569233 : s = gsigne( ell_get_disc(y) );
749 569233 : gel(y,14) = mkvecsmall(t_ELL_Q);
750 569233 : gel(y,15) = mkvec(mkvecsmall2(prec, s));
751 569233 : return y;
752 : }
753 :
754 : static GEN
755 73437 : ellinit_nf(GEN x, GEN p)
756 : {
757 : GEN y, nf;
758 73437 : if (lg(x) > 6) x = vecslice(x,1,5);
759 73437 : nf = checknf(p);
760 73437 : x = nfVtoalg(nf, x);
761 73437 : if (!(y = initsmall(x, 5))) return NULL;
762 73437 : gel(y,14) = mkvecsmall(t_ELL_NF);
763 73437 : gel(y,15) = mkvec(p);
764 73437 : return y;
765 : }
766 :
767 : /* FF_ellinit allows singular cubic, return NULL in that case */
768 : static GEN
769 120981 : FF_ellinit_ns(GEN x, GEN fg)
770 : {
771 120981 : x = FF_ellinit(x,fg);
772 120981 : return FF_equal0(ell_get_disc(x))? NULL: x;
773 : }
774 :
775 : static GEN
776 1959159 : to_mod(GEN x, GEN p) { return mkintmod(Rg_to_Fp(x,p), p); }
777 : static GEN
778 165123 : ellinit_Fp(GEN x, GEN p)
779 : {
780 : long i;
781 : GEN y, disc;
782 165123 : if (lg(x) > 6) switch(ell_get_type(x))
783 : {
784 2429 : case t_ELL_Q: break;
785 0 : case t_ELL_Fp: chk_p(ellff_get_p(x),p); break;
786 7 : case t_ELL_Qp: chk_p(ellQp_get_p(x),p); break;
787 0 : default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
788 : }
789 165116 : if (lg(x) == 2) x = ellfromj(to_mod(gel(x,1), p));
790 165116 : if (!(y = initsmall(x, 4))) return NULL;
791 : /* ell_to_a4a6_bc does not handle p<=3 */
792 160175 : if (abscmpiu(p, 3) <= 0) return FF_ellinit_ns(y,p_to_FF(p,0));
793 150704 : disc = Rg_to_Fp(ell_get_disc(y),p);
794 150704 : if (!signe(disc)) return NULL;
795 2109758 : for(i = 1; i <= 13; i++) gel(y,i) = to_mod(gel(y,i),p);
796 150697 : gel(y,14) = mkvecsmall(t_ELL_Fp);
797 150697 : gel(y,15) = mkvec2(p, ell_to_a4a6_bc(y, p));
798 150697 : return y;
799 : }
800 :
801 : static GEN
802 114478 : ellinit_Fq(GEN x, GEN fg)
803 : {
804 : GEN y;
805 114478 : if (lg(x) == 2)
806 : {
807 33418 : GEN j = gel(x,1);
808 33418 : if (typ(j) != t_FFELT) j = Fq_to_FF(j, fg);
809 33418 : x = ellfromj(j);
810 : }
811 114478 : if (!(y = initsmall(x, 4))) return NULL;
812 111510 : return FF_ellinit_ns(y,fg);
813 : }
814 :
815 : static GEN
816 137746 : ellnf_to_Fq(GEN nf, GEN x, GEN P, GEN *pp, GEN *pT)
817 : {
818 137746 : GEN e = vecslice(x,1,5);
819 : GEN p, modP;
820 137746 : if (get_modpr(P))
821 : { /* modpr accept */
822 108724 : modP = P;
823 108724 : p = modpr_get_p(modP);
824 : }
825 : else
826 : { /* pr, initialize modpr */
827 29022 : GEN d = Q_denom(e);
828 29022 : p = pr_get_p(P);
829 29022 : modP = dvdii(d,p)? nfmodprinit(nf,P): zkmodprinit(nf,P);
830 : }
831 137746 : *pp = p;
832 137746 : *pT = modpr_get_T(modP);
833 137746 : return nfV_to_FqV(e, nf, modP);
834 : }
835 : static GEN
836 137725 : ellinit_nf_to_Fq(GEN nf, GEN E, GEN P)
837 : {
838 : GEN T,p;
839 137725 : E = ellnf_to_Fq(nf, E, P, &p, &T);
840 137725 : return T? ellinit_Fq(E,Tp_to_FF(T,p)): ellinit_Fp(E,p);
841 : }
842 :
843 : static GEN
844 900515 : ellinit_i(GEN x, GEN D, long prec)
845 : {
846 : GEN y;
847 :
848 900515 : switch(typ(x))
849 : {
850 7 : case t_STR: x = gel(ellsearchcurve(x),2); break;
851 900508 : case t_VEC:
852 900508 : switch(lg(x))
853 : {
854 900501 : case 2: case 3: case 6: case 17: break;
855 7 : default: pari_err_TYPE("ellinit",x);
856 : }
857 900501 : break;
858 0 : default: pari_err_TYPE("ellinit",x);
859 : }
860 900508 : if (D && get_prid(D))
861 : {
862 137249 : if (lg(x) == 6 || ell_get_type(x) != t_ELL_NF) pari_err_TYPE("ellinit",x);
863 137249 : return ellinit_nf_to_Fq(ellnf_get_nf(x), x, D);
864 : }
865 763259 : switch (base_ring(x, &D, &prec))
866 : {
867 203 : case t_PADIC:
868 203 : y = ellinit_Qp(x, D, prec);
869 196 : break;
870 27622 : case t_INTMOD:
871 27622 : y = ellinit_Fp(x, D);
872 27616 : break;
873 87066 : case t_FFELT:
874 87066 : y = ellinit_Fq(x, D);
875 87066 : break;
876 569366 : case t_FRAC:
877 569366 : y = ellinit_Q(x, prec);
878 569366 : break;
879 28 : case t_REAL:
880 28 : y = ellinit_Rg(x, 2, prec);
881 21 : break;
882 72786 : case t_VEC:
883 72786 : y = ellinit_nf(x, D);
884 72786 : break;
885 6132 : default:
886 6132 : y = ellinit_Rg(x, 0, prec);
887 : }
888 763183 : return y;
889 : }
890 : GEN
891 899486 : ellinit(GEN x, GEN D, long prec)
892 : {
893 899486 : pari_sp av = avma;
894 899486 : GEN y = ellinit_i(x, D, prec);
895 899403 : if (!y) { set_avma(av); return cgetg(1,t_VEC); }
896 891346 : return gerepilecopy(av,y);
897 : }
898 :
899 : /********************************************************************/
900 : /** **/
901 : /** COORDINATE CHANGE **/
902 : /** Apply [u,r,s,t]. All coordch_* functions update E[1..14] only **/
903 : /** and copy E[15] (type-specific data), E[16] (dynamic data) **/
904 : /** verbatim **/
905 : /** **/
906 : /********************************************************************/
907 : /* [1,0,0,0] */
908 : static GEN
909 2694776 : init_ch(void) { return mkvec4(gen_1,gen_0,gen_0,gen_0); }
910 : /* if fun != NULL, check whether w is a valid change of variables
911 : * (raise type exception in 'fun' if not). Otherwise assume valid.
912 : * Return 1 if trivial change, 0 otherwise */
913 : static int
914 903582 : is_trivial_change(GEN w, const char *fun)
915 : {
916 903582 : if (fun)
917 : {
918 378092 : if (isint1(w)) return 1;
919 378085 : if (typ(w) != t_VEC || lg(w) != 5) pari_err_TYPE(fun, w);
920 : }
921 : else
922 525490 : if (typ(w) == t_INT) return 1;
923 1453957 : return isint1(gel(w,1)) && isintzero(gel(w,2))
924 1453957 : && isintzero(gel(w,3)) && isintzero(gel(w,4));
925 : }
926 :
927 : /* Accumulate the effects of variable changes w o v, where
928 : * w = [u,r,s,t], *vtotal = v = [U,R,S,T]. No assumption on types */
929 : static void
930 15743 : gcomposev(GEN *vtotal, GEN w)
931 : {
932 15743 : GEN v = *vtotal;
933 : GEN U2, U, R, S, T, u, r, s, t;
934 :
935 15743 : if (!v || typ(v) == t_INT) { *vtotal = w; return; }
936 15715 : U = gel(v,1); R = gel(v,2); S = gel(v,3); T = gel(v,4);
937 15715 : u = gel(w,1); r = gel(w,2); s = gel(w,3); t = gel(w,4);
938 15715 : U2 = NULL;
939 15715 : if (!gequal0(r))
940 : {
941 : GEN rU2;
942 14441 : U2 = gsqr(U); rU2 = gmul(U2, r);
943 14441 : R = gadd(R, rU2);
944 14441 : T = gadd(T, gmul(S, rU2));
945 : }
946 15715 : if (!gequal0(s)) S = gadd(S, gmul(U, s));
947 15715 : if (!gequal0(t))
948 : {
949 8939 : if (!U2) U2 = gsqr(U);
950 8939 : T = gadd(T, gmul(gmul(U,U2), t));
951 : }
952 15715 : gel(v,1) = gmul(U, u);
953 15715 : gel(v,2) = R;
954 15715 : gel(v,3) = S;
955 15715 : gel(v,4) = T;
956 : }
957 :
958 : /* [u,r,s,t]^-1 = [ 1/u,-r/u^2,-s/u, (rs-t)/u^3 ] */
959 : static GEN
960 49 : ellchangeinvert_i(GEN w)
961 : {
962 49 : GEN u = gel(w,1), r = gel(w,2), s = gel(w,3), t = gel(w,4);
963 49 : GEN u2 = gsqr(u), u3 = gmul(u2,u);
964 49 : GEN R = gneg(r), S = gneg(s);
965 49 : GEN T = gsub(gmul(r,s), t);
966 49 : retmkvec4(ginv(u),gdiv(R, u2), gdiv(S, u), gdiv(T, u3));
967 : }
968 :
969 : GEN
970 14 : ellchangeinvert(GEN E, GEN v)
971 : {
972 14 : pari_sp av = avma;
973 14 : checkell(E);
974 14 : if (ell_get_type(E) == t_ELL_NF) v = ellchangetoalg(ellnf_get_nf(E), v);
975 14 : if (is_trivial_change(v, "ellchangeinvert")) return gc_const(av, gen_1);
976 14 : return gerepileupto(av, ellchangeinvert_i(v));
977 : }
978 :
979 : static GEN
980 14 : ellchangecompose_i(GEN v, GEN w)
981 : {
982 14 : GEN u = gel(v,1), r = gel(v,2), s = gel(v,3), t = gel(v,4);
983 14 : GEN uu = gel(w,1), rr = gel(w,2), ss = gel(w,3), tt = gel(w,4);
984 14 : GEN u2 = gsqr(u), u3 = gmul(u, u2);
985 14 : GEN R = gmul(rr,u2), S = gmul(ss,u);
986 14 : GEN T = gadd(gmul(tt,u3), gmul(s,R));
987 14 : retmkvec4(gmul(u,uu),gadd(r,R),gadd(s,S),gadd(t,T));
988 : }
989 :
990 : GEN
991 14 : ellchangecompose(GEN E, GEN v, GEN w)
992 : {
993 14 : pari_sp av = avma;
994 14 : GEN nf = NULL;
995 14 : checkell(E);
996 14 : if (ell_get_type(E) == t_ELL_NF)
997 : {
998 7 : nf = ellnf_get_nf(E);
999 7 : v = ellchangetoalg(nf, v);
1000 7 : w = ellchangetoalg(nf, w);
1001 : }
1002 14 : if (is_trivial_change(v, "ellchangecompose"))
1003 : {
1004 0 : if (is_trivial_change(w, "ellchangecompose")) return gc_const(av, gen_1);
1005 0 : return nf? gerepilecopy(av, w): gcopy(w);
1006 : }
1007 14 : if (is_trivial_change(w, "ellchajgecompose"))
1008 0 : return nf? gerepilecopy(av, v): gcopy(v);
1009 14 : return gerepileupto(av, ellchangecompose_i(v, w));
1010 : }
1011 :
1012 : static GEN
1013 182035 : ell_to_nfell10(GEN e)
1014 : {
1015 : long i;
1016 182035 : GEN nf = ellnf_get_nf(e);
1017 182035 : GEN y = cgetg(11,t_VEC);
1018 2002385 : for(i=1; i<=10; i++)
1019 1820350 : gel(y, i) = nf_to_scalar_or_basis(nf, gel(e, i));
1020 182035 : return y;
1021 : }
1022 :
1023 : /* apply [u^(-1),0,0,0] */
1024 : static GEN
1025 444178 : nf_coordch_uinv(GEN nf, GEN e, GEN u)
1026 : {
1027 : GEN y, u2, u3, u4, u6, u8;
1028 : long lx;
1029 444178 : if (gequal1(u)) return e;
1030 443709 : y = cgetg_copy(e, &lx);
1031 443709 : u2 = nfsqr(nf,u); u3 = nfmul(nf,u,u2); u4 = nfsqr(nf,u2);
1032 443709 : u6 = nfsqr(nf,u3); u8 = nfsqr(nf,u4);
1033 443709 : gel(y,1) = nfmul(nf,ell_get_a1(e), u);
1034 443709 : gel(y,2) = nfmul(nf,ell_get_a2(e), u2);
1035 443709 : gel(y,3) = nfmul(nf,ell_get_a3(e), u3);
1036 443709 : gel(y,4) = nfmul(nf,ell_get_a4(e), u4);
1037 443709 : gel(y,5) = nfmul(nf,ell_get_a6(e), u6);
1038 443709 : if (lx == 6) return y;
1039 443702 : gel(y,6) = nfmul(nf,ell_get_b2(e), u2);
1040 443702 : gel(y,7) = nfmul(nf,ell_get_b4(e), u4);
1041 443702 : gel(y,8) = nfmul(nf,ell_get_b6(e), u6);
1042 443702 : gel(y,9) = nfmul(nf,ell_get_b8(e), u8);
1043 443702 : return y;
1044 : }
1045 : /* apply [1,r,0,0] */
1046 : static GEN
1047 500082 : nf_coordch_r(GEN nf, GEN e, GEN r)
1048 : {
1049 : GEN a2, a4, b4, b6, y, p1, r2, b2r, rx3;
1050 : long lx;
1051 500082 : if (gequal0(r)) return e;
1052 420735 : y = cgetg_copy(e, &lx);
1053 420735 : a2 = ell_get_a2(e); a4 = ell_get_a4(e);
1054 420735 : rx3 = gmulsg(3,r);
1055 :
1056 420735 : gel(y,1) = ell_get_a1(e);
1057 : /* A2 = a2 + 3r */
1058 420735 : gel(y,2) = nfadd(nf,a2,rx3);
1059 : /* A3 = a1 r + a3 */
1060 420735 : gel(y,3) = nfadd(nf,ell_get_a3(e), nfmul(nf,ell_get_a1(e),r));
1061 : /* A4 = 3r^2 + 2a2 r + a4 */
1062 420735 : gel(y,4) = nfadd(nf,a4, nfmul(nf,r,nfadd(nf,gmul2n(a2,1),rx3)));
1063 : /* A6 = r^3 + a2 r^2 + a4 r + a6 */
1064 420735 : gel(y,5) = nfadd(nf,ell_get_a6(e),nfmul(nf,r,nfadd(nf, a4, nfmul(nf,r,nfadd(nf,a2, r)))));
1065 420735 : if (lx == 6) return y;
1066 :
1067 420728 : b4 = ell_get_b4(e);
1068 420728 : b6 = ell_get_b6(e);
1069 : /* B2 = 12r + b2 */
1070 420728 : gel(y,6) = nfadd(nf,ell_get_b2(e),gmul2n(rx3,2));
1071 420728 : b2r = nfmul(nf,r, ell_get_b2(e));
1072 420728 : r2 = nfsqr(nf,r);
1073 : /* B4 = 6r^2 + b2 r + b4 */
1074 420728 : gel(y,7) = nfadd(nf,b4,nfadd(nf,b2r, gmulsg(6,r2)));
1075 : /* B6 = 4r^3 + 2b2 r^2 + 2b4 r + b6 */
1076 420728 : gel(y,8) = nfadd(nf,b6,nfmul(nf,r,nfadd(nf,gmul2n(b4,1), nfadd(nf,b2r,gmul2n(r2,2)))));
1077 : /* B8 = 3r^4 + b2 r^3 + 3b4 r^2 + 3b6 r + b8 */
1078 420728 : p1 = nfadd(nf,gmulsg(3,b4),nfadd(nf,b2r, gmulsg(3,r2)));
1079 420728 : gel(y,9) = nfadd(nf,ell_get_b8(e), nfmul(nf,r,nfadd(nf,gmulsg(3,b6), nfmul(nf,r,p1))));
1080 420728 : return y;
1081 : }
1082 :
1083 : static GEN
1084 184651 : nf_coordch_s(GEN nf, GEN e, GEN s)
1085 : {
1086 : GEN a1, y;
1087 184651 : if (gequal0(s)) return e;
1088 184651 : a1 = ell_get_a1(e);
1089 184651 : y = leafcopy(e);
1090 :
1091 : /* A1 = a1 + 2s */
1092 184651 : gel(y,1) = nfadd(nf,a1,gmul2n(s,1));
1093 : /* A2 = a2 - (a1 s + s^2) */
1094 184651 : gel(y,2) = nfsub(nf,ell_get_a2(e),nfmul(nf,s,nfadd(nf,a1,s)));
1095 : /* A4 = a4 - s a3 */
1096 184651 : gel(y,4) = nfsub(nf,ell_get_a4(e),nfmul(nf,s,ell_get_a3(e)));
1097 184651 : return y;
1098 : }
1099 : /* apply [1,0,0,t] */
1100 : static GEN
1101 407583 : nf_coordch_t(GEN nf, GEN e, GEN t)
1102 : {
1103 : GEN a1, a3, y;
1104 407583 : if (gequal0(t)) return e;
1105 407107 : a1 = ell_get_a1(e); a3 = ell_get_a3(e);
1106 407107 : y = leafcopy(e);
1107 : /* A3 = 2t + a3 */
1108 407107 : gel(y,3) = nfadd(nf,a3, gmul2n(t,1));
1109 : /* A4 = a4 - a1 t */
1110 407107 : gel(y,4) = nfsub(nf,ell_get_a4(e), nfmul(nf,t,a1));
1111 : /* A6 = a6 - t(t + a3) */
1112 407107 : gel(y,5) = nfsub(nf,ell_get_a6(e), nfmul(nf,t,nfadd(nf,t, a3)));
1113 407107 : return y;
1114 : }
1115 :
1116 : /* apply [1,0,s,t] */
1117 : static GEN
1118 19392 : nf_coordch_st(GEN nf, GEN e, GEN s, GEN t)
1119 : {
1120 : GEN y, a1, a3;
1121 19392 : if (gequal0(s)) return nf_coordch_t(nf, e, t);
1122 18916 : if (gequal0(t)) return nf_coordch_s(nf, e, s);
1123 18916 : a1 = ell_get_a1(e); a3 = ell_get_a3(e);
1124 18916 : y = leafcopy(e);
1125 : /* A1 = a1 + 2s */
1126 18916 : gel(y,1) = nfadd(nf,a1,gmul2n(s,1));
1127 : /* A2 = a2 - (a1 s + s^2) */
1128 18916 : gel(y,2) = nfsub(nf,ell_get_a2(e),nfmul(nf,s,nfadd(nf,a1,s)));
1129 : /* A3 = 2t + a3 */
1130 18916 : gel(y,3) = nfadd(nf,a3,gmul2n(t,1));
1131 : /* A4 = a4 - (a1 t + s (2t + a3)) */
1132 18916 : gel(y,4) = nfsub(nf,ell_get_a4(e),nfadd(nf,nfmul(nf,t,a1),nfmul(nf,s,gel(y,3))));
1133 : /* A6 = a6 - t(t + a3) */
1134 18916 : gel(y,5) = nfsub(nf,ell_get_a6(e), nfmul(nf,t,nfadd(nf,t, a3)));
1135 18916 : return y;
1136 : }
1137 :
1138 : static GEN
1139 301578 : nf_coordch_rt(GEN nf, GEN e, GEN r, GEN t)
1140 : {
1141 301578 : e = nf_coordch_r(nf, e, r);
1142 301578 : return nf_coordch_t(nf, e, t);
1143 : }
1144 :
1145 : /* apply [1,r,s,t] */
1146 : static GEN
1147 476 : nf_coordch_rst(GEN nf, GEN e, GEN r, GEN s, GEN t)
1148 : {
1149 476 : e = nf_coordch_r(nf, e, r);
1150 476 : return nf_coordch_st(nf, e, s, t);
1151 : }
1152 : /* apply w = [u,r,s,t] */
1153 : static GEN
1154 476 : nf_coordch(GEN nf, GEN e, GEN w)
1155 : {
1156 476 : if (typ(w) == t_INT) return e;
1157 476 : e = nf_coordch_rst(nf, e, gel(w,2), gel(w,3), gel(w,4));
1158 476 : return nf_coordch_uinv(nf, e, nfinv(nf, gel(w,1)));
1159 : }
1160 :
1161 : /* apply [u^(-1),0,0,0] */
1162 : static GEN
1163 229705 : coordch_uinv(GEN e, GEN u)
1164 : {
1165 : GEN y, u2, u3, u4, u6, u12, D, c4, c6;
1166 : long lx;
1167 229705 : if (gequal1(u)) return e;
1168 224427 : y = cgetg_copy(e, &lx);
1169 224427 : u2 = gsqr(u); u3 = gmul(u,u2); u4 = gsqr(u2); u6 = gsqr(u3);
1170 224427 : gel(y,1) = gmul(ell_get_a1(e), u);
1171 224427 : gel(y,2) = gmul(ell_get_a2(e), u2);
1172 224427 : gel(y,3) = gmul(ell_get_a3(e), u3);
1173 224427 : gel(y,4) = gmul(ell_get_a4(e), u4);
1174 224427 : gel(y,5) = gmul(ell_get_a6(e), u6);
1175 224427 : if (lx == 6) return y;
1176 224427 : gel(y,6) = gmul(ell_get_b2(e), u2);
1177 224427 : gel(y,7) = gmul(ell_get_b4(e), u4);
1178 224427 : gel(y,8) = gmul(ell_get_b6(e), u6);
1179 224427 : gel(y,9) = gmul(ell_get_b8(e), gsqr(u4));
1180 224427 : u12 = gsqr(u6);
1181 224427 : D = ell_get_disc(e);
1182 224427 : c4 = ell_get_c4(e);
1183 224427 : c6 = ell_get_c6(e);
1184 224427 : c4 = gmul(c4, u4);
1185 224427 : c6 = gmul(c6, u6);
1186 224427 : D = gmul(D, u12);
1187 224427 : gel(y,10)= c4;
1188 224427 : gel(y,11)= c6;
1189 224427 : gel(y,12)= D;
1190 224427 : gel(y,13)= ell_get_j(e);
1191 224427 : gel(y,14)= gel(e,14);
1192 224427 : gel(y,15)= gel(e,15);
1193 224427 : gel(y,16)= gel(e,16);
1194 224427 : return y;
1195 : }
1196 : /* apply [1,r,0,0] */
1197 : static GEN
1198 753942 : coordch_r(GEN e, GEN r)
1199 : {
1200 : GEN a2, b4, b6, y, p1, r2, b2r, rx3;
1201 753942 : if (gequal0(r)) return e;
1202 650951 : y = leafcopy(e);
1203 650951 : a2 = ell_get_a2(e);
1204 650951 : rx3 = gmulsg(3,r);
1205 :
1206 : /* A2 = a2 + 3r */
1207 650951 : gel(y,2) = gadd(a2,rx3);
1208 : /* A3 = a1 r + a3 */
1209 650951 : gel(y,3) = ec_h_evalx(e,r);
1210 : /* A4 = 3r^2 + 2a2 r + a4 */
1211 650951 : gel(y,4) = gadd(ell_get_a4(e), gmul(r,gadd(gmul2n(a2,1),rx3)));
1212 : /* A6 = r^3 + a2 r^2 + a4 r + a6 */
1213 650951 : gel(y,5) = ec_f_evalx(e,r);
1214 650951 : if (lg(y) == 6) return y;
1215 :
1216 650944 : b4 = ell_get_b4(e);
1217 650944 : b6 = ell_get_b6(e);
1218 : /* B2 = 12r + b2 */
1219 650944 : gel(y,6) = gadd(ell_get_b2(e),gmul2n(rx3,2));
1220 650944 : b2r = gmul(r, ell_get_b2(e));
1221 650944 : r2 = gsqr(r);
1222 : /* B4 = 6r^2 + b2 r + b4 */
1223 650944 : gel(y,7) = gadd(b4,gadd(b2r, gmulsg(6,r2)));
1224 : /* B6 = 4r^3 + 2b2 r^2 + 2b4 r + b6 */
1225 650944 : gel(y,8) = gadd(b6,gmul(r,gadd(gmul2n(b4,1), gadd(b2r,gmul2n(r2,2)))));
1226 : /* B8 = 3r^4 + b2 r^3 + 3b4 r^2 + 3b6 r + b8 */
1227 650944 : p1 = gadd(gmulsg(3,b4),gadd(b2r, gmulsg(3,r2)));
1228 650944 : gel(y,9) = gadd(ell_get_b8(e), gmul(r,gadd(gmulsg(3,b6), gmul(r,p1))));
1229 650944 : return y;
1230 : }
1231 : /* apply [1,0,s,0] */
1232 : static GEN
1233 119378 : coordch_s(GEN e, GEN s)
1234 : {
1235 : GEN a1, y;
1236 119378 : if (gequal0(s)) return e;
1237 119378 : a1 = ell_get_a1(e);
1238 119378 : y = leafcopy(e);
1239 :
1240 : /* A1 = a1 + 2s */
1241 119378 : gel(y,1) = gadd(a1,gmul2n(s,1));
1242 : /* A2 = a2 - (a1 s + s^2) */
1243 119378 : gel(y,2) = gsub(ell_get_a2(e),gmul(s,gadd(a1,s)));
1244 : /* A4 = a4 - s a3 */
1245 119378 : gel(y,4) = gsub(ell_get_a4(e),gmul(s,ell_get_a3(e)));
1246 119378 : return y;
1247 : }
1248 : /* apply [1,0,0,t] */
1249 : static GEN
1250 353563 : coordch_t(GEN e, GEN t)
1251 : {
1252 : GEN a1, a3, y;
1253 353563 : if (gequal0(t)) return e;
1254 281022 : a1 = ell_get_a1(e); a3 = ell_get_a3(e);
1255 281022 : y = leafcopy(e);
1256 : /* A3 = 2t + a3 */
1257 281022 : gel(y,3) = gadd(a3, gmul2n(t,1));
1258 : /* A4 = a4 - a1 t */
1259 281022 : gel(y,4) = gsub(ell_get_a4(e), gmul(t,a1));
1260 : /* A6 = a6 - t(t + a3) */
1261 281022 : gel(y,5) = gsub(ell_get_a6(e), gmul(t,gadd(t, a3)));
1262 281022 : return y;
1263 : }
1264 : /* apply [1,0,s,t] */
1265 : static GEN
1266 489517 : coordch_st(GEN e, GEN s, GEN t)
1267 : {
1268 : GEN y, a1, a3;
1269 489517 : if (gequal0(s)) return coordch_t(e, t);
1270 380331 : if (gequal0(t)) return coordch_s(e, s);
1271 260953 : a1 = ell_get_a1(e); a3 = ell_get_a3(e);
1272 260953 : y = leafcopy(e);
1273 : /* A1 = a1 + 2s */
1274 260953 : gel(y,1) = gadd(a1,gmul2n(s,1));
1275 : /* A2 = a2 - (a1 s + s^2) */
1276 260953 : gel(y,2) = gsub(ell_get_a2(e),gmul(s,gadd(a1,s)));
1277 : /* A3 = 2t + a3 */
1278 260953 : gel(y,3) = gadd(a3,gmul2n(t,1));
1279 : /* A4 = a4 - (a1 t + s (2t + a3)) */
1280 260953 : gel(y,4) = gsub(ell_get_a4(e),gadd(gmul(t,a1),gmul(s,gel(y,3))));
1281 : /* A6 = a6 - t(t + a3) */
1282 260953 : gel(y,5) = gsub(ell_get_a6(e), gmul(t,gadd(t, a3)));
1283 260953 : return y;
1284 : }
1285 : /* apply [1,r,s,t] */
1286 : static GEN
1287 489517 : coordch_rst(GEN e, GEN r, GEN s, GEN t)
1288 : {
1289 489517 : e = coordch_r(e, r);
1290 489517 : return coordch_st(e, s, t);
1291 : }
1292 : /* apply valid change of variable w */
1293 : static GEN
1294 213227 : coordch(GEN e, GEN w)
1295 : {
1296 213227 : if (typ(w) == t_INT) return e;
1297 213227 : e = coordch_rst(e, gel(w,2), gel(w,3), gel(w,4));
1298 213227 : return coordch_uinv(e, ginv(gel(w,1)));
1299 : }
1300 :
1301 : /* the ch_* routines update E[14] (type), E[15] (type specific data), E[16]
1302 : * (dynamic data) */
1303 : static GEN
1304 21 : ch_Qp(GEN E, GEN e, GEN w)
1305 : {
1306 21 : GEN S, p = ellQp_get_zero(E), u2 = NULL, u = gel(w,1), r = gel(w,2);
1307 21 : long prec = valp(p);
1308 21 : if (base_ring(E, &p, &prec) != t_PADIC) return ellinit(E, p, prec);
1309 21 : if ((S = obj_check(e, Qp_ROOT)))
1310 : {
1311 7 : if (!u2) u2 = gsqr(u);
1312 7 : obj_insert_shallow(E, Qp_ROOT, gdiv(gsub(S, r), u2));
1313 : }
1314 21 : if ((S = obj_check(e, Qp_TATE)))
1315 : {
1316 7 : GEN U2 = gel(S,1), U = gel(S,2), Q = gel(S,3), AB = gel(S,4), L = gel(S,5);
1317 7 : if (!u2) u2 = gsqr(u);
1318 7 : U2 = gmul(U2, u2);
1319 7 : U = gmul(U, u);
1320 7 : AB = gdiv(AB, u2);
1321 7 : obj_insert_shallow(E, Qp_TATE, mkvec5(U2,U,Q,AB,L));
1322 : }
1323 21 : return E;
1324 : }
1325 :
1326 : /* common to Q and Rg */
1327 : static GEN
1328 90552 : ch_R(GEN E, GEN e, GEN w)
1329 : {
1330 90552 : GEN S, u = gel(w,1), r = gel(w,2);
1331 90552 : if ((S = obj_check(e, R_PERIODS)))
1332 28 : obj_insert_shallow(E, R_PERIODS, gmul(S, u));
1333 90552 : if ((S = obj_check(e, R_ETA)))
1334 21 : obj_insert_shallow(E, R_ETA, gmul(S, u));
1335 90552 : if ((S = obj_check(e, R_ROOTS)))
1336 : {
1337 28 : GEN ro = cgetg(4, t_VEC), u2 = gsqr(u);
1338 : long i;
1339 112 : for (i = 1; i <= 3; i++) gel(ro,i) = gdiv(gsub(gel(S,i), r), u2);
1340 28 : obj_insert_shallow(E, R_ROOTS, ro);
1341 : }
1342 90552 : return E;
1343 : }
1344 :
1345 : static GEN
1346 7 : ch_Rg(GEN E, GEN e, GEN w)
1347 : {
1348 7 : GEN p = NULL;
1349 7 : long prec = ellR_get_prec(E);
1350 7 : if (base_ring(E, &p, &prec) != t_REAL) return ellinit(E, p, prec);
1351 7 : ch_R(E, e, w); return E;
1352 : }
1353 :
1354 : /* w valid change of variables in alg form */
1355 : static GEN
1356 140644 : ch_NF(GEN E, GEN e, GEN w)
1357 : {
1358 140644 : long prec = ellR_get_prec(E);
1359 140644 : GEN S, p = ellnf_get_nf(E);
1360 140644 : if (base_ring(E, &p, &prec) != t_VEC) return ellinit(E, p, prec);
1361 140644 : if ((S = obj_check(e, NF_MINIMALMODEL)))
1362 : {
1363 14 : if (lg(S) == 1)
1364 : { /* model was minimal */
1365 0 : if (!is_trivial_change(w, NULL)) /* no longer minimal */
1366 0 : S = mkvec2(ellchangeinvert_i(w), e);
1367 : }
1368 14 : else if (lg(S)==3)
1369 : {
1370 14 : GEN v = gel(S,1);
1371 28 : if (gequal(v, w) ||
1372 14 : (is_trivial_change(v, NULL) && is_trivial_change(w, NULL)))
1373 0 : S = cgetg(1,t_VEC); /* now minimal */
1374 : else
1375 : {
1376 14 : w = ellchangeinvert_i(w);
1377 14 : gcomposev(&w, v);
1378 14 : S = mkvec2(w, gel(S,2));
1379 : }
1380 : }
1381 14 : (void)obj_insert_shallow(E, NF_MINIMALMODEL, S);
1382 : }
1383 140644 : if ((S = obj_check(e, NF_GLOBALRED)))
1384 14 : S = obj_insert_shallow(E, NF_GLOBALRED, S);
1385 140644 : if ((S = obj_check(e, NF_ROOTNO)))
1386 14 : S = obj_insert_shallow(E, NF_ROOTNO, S);
1387 140644 : if ((S = obj_check(e, NF_NF)))
1388 69027 : S = obj_insert_shallow(E, NF_NF, S);
1389 140644 : return E;
1390 : }
1391 :
1392 : /* w valid change of variable */
1393 : static GEN
1394 90552 : ch_Q(GEN E, GEN e, GEN w)
1395 : {
1396 90552 : long prec = ellR_get_prec(E);
1397 90552 : GEN S, p = NULL;
1398 90552 : if (base_ring(E, &p, &prec) != t_FRAC) return ellinit(E, p, prec);
1399 90545 : ch_R(E, e, w);
1400 90545 : if ((S = obj_check(e, Q_GROUPGEN)))
1401 0 : S = obj_insert_shallow(E, Q_GROUPGEN, ellchangepoint(S, w));
1402 90545 : if ((S = obj_check(e, Q_MINIMALMODEL)))
1403 : {
1404 18865 : if (lg(S) == 2)
1405 : { /* model was minimal */
1406 7 : if (!is_trivial_change(w, NULL)) /* no longer minimal */
1407 7 : S = mkvec3(gel(S,1), ellchangeinvert_i(w), e);
1408 : }
1409 : else
1410 : {
1411 18858 : GEN v = gel(S,2);
1412 18858 : if (gequal(v, w)
1413 7 : || (is_trivial_change(v, NULL) && is_trivial_change(w, NULL)))
1414 18851 : S = mkvec(gel(S,1)); /* now minimal */
1415 : else
1416 : {
1417 7 : w = ellchangeinvert_i(w);
1418 7 : gcomposev(&w, v);
1419 7 : S = leafcopy(S); /* don't modify S in place: would corrupt e */
1420 7 : gel(S,2) = w;
1421 : }
1422 : }
1423 18865 : (void)obj_insert_shallow(E, Q_MINIMALMODEL, S);
1424 : }
1425 90545 : if ((S = obj_check(e, Q_GLOBALRED)))
1426 14 : S = obj_insert_shallow(E, Q_GLOBALRED, S);
1427 90545 : if ((S = obj_check(e, Q_ROOTNO)))
1428 0 : S = obj_insert_shallow(E, Q_ROOTNO, S);
1429 90545 : return E;
1430 : }
1431 :
1432 : static void
1433 126 : ch_FF(GEN E, GEN e, GEN w)
1434 : {
1435 : GEN S;
1436 126 : if ((S = obj_check(e, FF_CARD)))
1437 21 : S = obj_insert_shallow(E, FF_CARD, S);
1438 126 : if ((S = obj_check(e, FF_GROUP)))
1439 21 : S = obj_insert_shallow(E, FF_GROUP, S);
1440 126 : if ((S = obj_check(e, FF_GROUPGEN)))
1441 21 : S = obj_insert_shallow(E, FF_GROUPGEN, ellchangepoint(S, w));
1442 126 : if ((S = obj_check(e, FF_O)))
1443 21 : S = obj_insert_shallow(E, FF_O, S);
1444 126 : }
1445 :
1446 : /* FF_CARD, FF_GROUP, FF_O are invariant */
1447 : static GEN
1448 7 : ch_Fp(GEN E, GEN e, GEN w)
1449 : {
1450 7 : long prec = 0;
1451 7 : GEN p = ellff_get_field(E);
1452 7 : if (base_ring(E, &p, &prec) != t_INTMOD) return ellinit(E, p, prec);
1453 7 : gel(E,15) = mkvec2(p, ell_to_a4a6_bc(E, p));
1454 7 : ch_FF(E, e, w); return E;
1455 : }
1456 : static GEN
1457 119 : ch_Fq(GEN E, GEN e, GEN w)
1458 : {
1459 119 : long prec = 0;
1460 119 : GEN p = ellff_get_field(E);
1461 119 : if (base_ring(E, &p, &prec) != t_FFELT) return ellinit(E, p, prec);
1462 119 : gel(E,15) = FF_elldata(E, p);
1463 119 : ch_FF(E, e, w); return E;
1464 : }
1465 :
1466 : static void
1467 213472 : ell_reset(GEN E)
1468 213472 : { gel(E,16) = zerovec(lg(gel(E,16))-1); }
1469 :
1470 : GEN
1471 229565 : ellchangecurve(GEN e, GEN w)
1472 : {
1473 229565 : pari_sp av = avma;
1474 229565 : GEN E, nf = NULL;
1475 229565 : checkell5(e);
1476 229565 : if (lg(e) != 6 && ell_get_type(e) == t_ELL_NF)
1477 : {
1478 157654 : nf = ellnf_get_nf(e);
1479 157654 : w = ellchangetoalg(nf, w);
1480 : }
1481 229565 : if (is_trivial_change(w, "ellchangecurve"))
1482 : {
1483 17045 : set_avma(av);
1484 17045 : return gcopy(e);
1485 : }
1486 212513 : E = coordch(leafcopy(e), w);
1487 212513 : if (lg(E) != 6)
1488 : {
1489 212506 : ell_reset(E);
1490 212506 : switch(ell_get_type(E))
1491 : {
1492 21 : case t_ELL_Qp: E = ch_Qp(E,e,w); break;
1493 7 : case t_ELL_Fp: E = ch_Fp(E,e,w); break;
1494 119 : case t_ELL_Fq: E = ch_Fq(E,e,w); break;
1495 71708 : case t_ELL_Q: E = ch_Q(E,e,w); break;
1496 7 : case t_ELL_Rg: E = ch_Rg(E,e,w); break;
1497 140644 : case t_ELL_NF: E = ch_NF(E,e,w); break;
1498 : }
1499 : }
1500 212513 : return gerepilecopy(av, E);
1501 : }
1502 :
1503 : static GEN
1504 7 : ellQ_isisom(GEN E, GEN F)
1505 : {
1506 7 : pari_sp av = avma;
1507 : GEN j, u, r, s, t, u2, u3;
1508 : GEN Ea1, Ea2, Ea3, Ec4, Ec6, Fa1, Fa2, Fa3, Fc4, Fc6;
1509 7 : j = ell_get_j(E);
1510 7 : if (!gequal(j, ell_get_j(F))) return gen_0;
1511 7 : Ec4 = ell_get_c4(E); Ec6 = ell_get_c6(E);
1512 7 : Fc4 = ell_get_c4(F); Fc6 = ell_get_c6(F);
1513 7 : if (gequal0(j))
1514 : {
1515 0 : if (!ispower(gdiv(Ec6, Fc6), utoi(6), &u))
1516 0 : return gc_const(av, gen_0);
1517 7 : } else if(gequalgs(j, 1728))
1518 : {
1519 0 : if (!ispower(gdiv(Ec4, Fc4), utoi(4), &u))
1520 0 : return gc_const(av, gen_0);
1521 : } else
1522 : {
1523 7 : if (!issquareall(gdiv(gmul(Fc4, Ec6),gmul(Fc6,Ec4)),&u))
1524 0 : return gc_const(av, gen_0);
1525 : }
1526 7 : Ea1 = ell_get_a1(E); Ea2 = ell_get_a2(E); Ea3 = ell_get_a3(E);
1527 7 : Fa1 = ell_get_a1(F); Fa2 = ell_get_a2(F); Fa3 = ell_get_a3(F);
1528 7 : u2 = gsqr(u); u3 = gmul(u,u2);
1529 7 : s = gdivgs(gsub(gmul(u, Fa1), Ea1), 2);
1530 7 : r = gdivgs(gadd(gsub(gadd(gmul(u2, Fa2), gmul(s, Ea1)), Ea2), gsqr(s)), 3);
1531 7 : t = gdivgs(gsub(gsub(gmul(u3, Fa3), gmul(r, Ea1)), Ea3), 2);
1532 7 : return gerepilecopy(av, mkvec4(u,r,s,t));
1533 : }
1534 :
1535 : static GEN
1536 7 : ellnf_isisom(GEN nf, GEN E, GEN F)
1537 : {
1538 7 : pari_sp av = avma;
1539 : GEN j, u, r, s, t, u2, u3;
1540 : GEN Ea1, Ea2, Ea3, Ec4, Ec6, Fa1, Fa2, Fa3, Fc4, Fc6;
1541 7 : j = basistoalg(nf, ell_get_j(E));
1542 7 : if (!gequal(j, basistoalg(nf, ell_get_j(F))))
1543 0 : return gc_const(av, gen_0);
1544 7 : Ec4 = ell_get_c4(E); Ec6 = ell_get_c6(E);
1545 7 : Fc4 = ell_get_c4(F); Fc6 = ell_get_c6(F);
1546 7 : if (gequal0(j))
1547 : {
1548 0 : if (!nfispower(nf, nfdiv(nf, Ec6, Fc6), 6, &u))
1549 0 : return gc_const(av, gen_0);
1550 7 : } else if(gequalgs(j, 1728))
1551 : {
1552 0 : if (!nfispower(nf, nfdiv(nf, Ec4, Fc4), 4, &u))
1553 0 : return gc_const(av, gen_0);
1554 : } else
1555 : {
1556 7 : if (!nfissquare(nf, nfdiv(nf, nfmul(nf, Fc4, Ec6), nfmul(nf, Fc6,Ec4)), &u))
1557 0 : return gc_const(av, gen_0);
1558 : }
1559 7 : Ea1 = ell_get_a1(E); Ea2 = ell_get_a2(E); Ea3 = ell_get_a3(E);
1560 7 : Fa1 = ell_get_a1(F); Fa2 = ell_get_a2(F); Fa3 = ell_get_a3(F);
1561 7 : u2 = nfsqr(nf,u); u3 = nfmul(nf,u,u2);
1562 7 : s = gdivgs(nfsub(nf, nfmul(nf, u, Fa1), Ea1),2);
1563 7 : r = gdivgs(nfadd(nf, nfsub(nf, nfadd(nf, nfmul(nf, u2, Fa2), nfmul(nf, s, Ea1)), Ea2), nfsqr(nf, s)), 3);
1564 7 : t = gdivgs(nfsub(nf, nfsub(nf, nfmul(nf, u3, Fa3), nfmul(nf, r, Ea1)), Ea3), 2);
1565 7 : u = basistoalg(nf, u); r = basistoalg(nf, r);
1566 7 : s = basistoalg(nf, s); t = basistoalg(nf, t);
1567 7 : return gerepilecopy(av, mkvec4(u,r,s,t));
1568 : }
1569 :
1570 : GEN
1571 14 : ellisisom(GEN E, GEN F)
1572 : {
1573 14 : checkell(E); checkell(F);
1574 14 : if (ell_get_type(E)!=ell_get_type(F))
1575 0 : pari_err_TYPE("ellisisom", mkvec2(E,F));
1576 14 : switch(ell_get_type(E))
1577 : {
1578 7 : case t_ELL_Q:
1579 7 : return ellQ_isisom(E, F);
1580 7 : case t_ELL_NF:
1581 7 : if (gequal(ellnf_get_nf(E), ellnf_get_nf(F)))
1582 7 : return ellnf_isisom(ellnf_get_nf(E), E, F);
1583 : default: /*FALL THROUGH*/
1584 0 : pari_err_TYPE("ellisisom", mkvec2(E,F));
1585 : return NULL;/*LCOV_EXCL_LINE*/
1586 : }
1587 : }
1588 :
1589 : /* v o= [1,r,0,0] */
1590 : static void
1591 479441 : nf_compose_r(GEN nf, GEN *vtotal, GEN *e, GEN r)
1592 : {
1593 479441 : GEN v = *vtotal;
1594 : GEN U2, R, S, T;
1595 479441 : if (gequal0(r)) return;
1596 198028 : *e = nf_coordch_r(nf, *e,r);
1597 198028 : U2 = nfsqr(nf,gel(v,1)); R = gel(v,2); S = gel(v, 3); T = gel(v, 4);
1598 198028 : gel(v,2) = nfadd(nf,R, nfmul(nf,U2, r));
1599 198028 : gel(v,4) = nfadd(nf,T, nfmul(nf,U2, nfmul(nf,S, r)));
1600 : }
1601 : /* v o= [1,0,s,0]; never used for s = 0 */
1602 : static void
1603 184651 : nf_compose_s(GEN nf, GEN *vtotal, GEN *e, GEN s)
1604 : {
1605 184651 : GEN v = *vtotal;
1606 : GEN U, S;
1607 184651 : *e = nf_coordch_s(nf,*e,s);
1608 184651 : U = gel(v,1); S = gel(v,3);
1609 184651 : gel(v,3) = nfadd(nf, S, nfmul(nf, U, s));
1610 184651 : }
1611 : /* v o= [1,0,0,t] */
1612 : static void
1613 843262 : nf_compose_t(GEN nf ,GEN *vtotal, GEN *e, GEN t)
1614 : {
1615 843262 : GEN v = *vtotal;
1616 : GEN U3, U, T;
1617 843262 : if (gequal0(t)) return;
1618 105529 : *e = nf_coordch_t(nf,*e,t);
1619 105529 : U = gel(v,1); U3 = nfmul(nf,U, nfsqr(nf,U)); T = gel(v,4);
1620 105529 : gel(v,4) = nfadd(nf,T, nfmul(nf,U3, t));
1621 : }
1622 : /* v o= [1,r,0,t] */
1623 : static void
1624 594244 : nf_compose_rt(GEN nf, GEN *vtotal, GEN *e, GEN r, GEN t)
1625 : {
1626 594244 : GEN v = *vtotal;
1627 : GEN U2, U, R, S, T;
1628 594244 : if (gequal0(t)) { nf_compose_r(nf, vtotal, e, r); return; }
1629 301578 : *e = nf_coordch_rt(nf,*e,r,t);
1630 301578 : U = gel(v,1); R = gel(v,2); S = gel(v,3); T = gel(v,4);
1631 301578 : U2 = nfsqr(nf,U);
1632 301578 : gel(v,2) = nfadd(nf,R, nfmul(nf,U2, r));
1633 301578 : gel(v,4) = nfadd(nf,T, nfmul(nf,U2, nfadd(nf,nfmul(nf,U, t), nfmul(nf,S, r))));
1634 : }
1635 : /* v o= [1,0,s,t] */
1636 : static void
1637 496356 : nf_compose_st(GEN nf, GEN *vtotal, GEN *e, GEN s, GEN t)
1638 : {
1639 496356 : GEN v = *vtotal;
1640 : GEN U3, U, S, T;
1641 496356 : if (gequal0(s)) { nf_compose_t(nf, vtotal, e, t); return; }
1642 203567 : if (gequal0(t)) { nf_compose_s(nf, vtotal, e, s); return; }
1643 18916 : *e = nf_coordch_st(nf, *e,s,t);
1644 18916 : U = gel(v,1); U3 = nfmul(nf,U,nfsqr(nf,U)); S = gel(v,3); T = gel(v,4);
1645 18916 : gel(v,3) = nfadd(nf, S, nfmul(nf,U, s));
1646 18916 : gel(v,4) = nfadd(nf, T, nfmul(nf,U3, t));
1647 : }
1648 :
1649 : /* v o= [u,0,0,0] */
1650 : static void
1651 443702 : nf_compose_u(GEN nf, GEN *vtotal, GEN *e, GEN u, GEN uinv)
1652 : {
1653 443702 : GEN v = *vtotal;
1654 443702 : *e = nf_coordch_uinv(nf, *e,uinv); gel(v,1) = nfmul(nf,gel(v,1), u);
1655 443702 : }
1656 :
1657 : /* raise a type exception in fun unless x is a point (return 0) or a
1658 : * t_VEC/t_COL of points (return 1) */
1659 : static int
1660 193012 : checkellpts(GEN x, const char *fun)
1661 : {
1662 : long i, lx;
1663 193012 : switch(typ(x))
1664 : {
1665 192977 : case t_VEC:
1666 192977 : if (vecispt(x)) return 0;
1667 2681 : break;
1668 0 : case t_COL:
1669 0 : break;
1670 35 : default: pari_err_TYPE(fun, x);
1671 : }
1672 2681 : lx = lg(x);
1673 8526 : for (i = 1; i < lx; i++)
1674 5887 : if (!checkellpt_i(gel(x,i))) pari_err_TYPE(fun, x);
1675 2639 : return 1;
1676 : }
1677 :
1678 : /* X = (x-r)/u^2
1679 : * Y = (y - s(x-r) - t) / u^3; P a point */
1680 : static GEN
1681 116278 : ellchangept(GEN nf, GEN P, GEN v2, GEN v3, GEN r, GEN s, GEN t)
1682 : {
1683 : GEN a, x, y;
1684 116278 : if (ell_is_inf(P)) return P;
1685 116264 : if (nf) P = nfVtoalg(nf, P);
1686 116264 : x = gel(P,1); y = gel(P,2); a = gsub(x,r);
1687 116264 : retmkvec2(gmul(v2, a), gmul(v3, gsub(y, gadd(gmul(s,a),t))));
1688 : }
1689 : static GEN
1690 56 : ellchangevecpt(GEN nf, GEN x, GEN v2, GEN v3, GEN r, GEN s, GEN t)
1691 126 : { pari_APPLY_same(ellchangept(nf, gel(x,i), v2,v3,r,s,t)); }
1692 : GEN
1693 147799 : ellchangepoint0(GEN E, GEN x, GEN ch)
1694 : {
1695 147799 : GEN y, v, v2, v3, r, s, t, u, nf = NULL;
1696 147799 : pari_sp av = avma;
1697 : int vec;
1698 :
1699 : /* backward compatibility */
1700 147799 : if (ch) checkell(E); else { ch = x; x = E; E = NULL; }
1701 147799 : vec = checkellpts(x, "ellchangepoint");
1702 147750 : if (lg(x) == 1) return cgetg(1, t_VEC);
1703 147701 : if (E && ell_get_type(E) == t_ELL_NF)
1704 : {
1705 14 : nf = ellnf_get_nf(E);
1706 14 : ch = ellchangetoalg(nf, ch);
1707 : }
1708 147701 : if (is_trivial_change(ch, "ellchangepoint"))
1709 : {
1710 31430 : set_avma(av);
1711 31430 : return gcopy(x);
1712 : }
1713 116264 : u = gel(ch,1); r = gel(ch,2); s = gel(ch,3); t = gel(ch,4);
1714 116264 : v = ginv(u); v2 = gsqr(v); v3 = gmul(v,v2);
1715 56 : y = vec? ellchangevecpt(nf, x,v2,v3,r,s,t)
1716 116264 : : ellchangept(nf, x,v2,v3,r,s,t);
1717 116264 : return gerepilecopy(av,y);
1718 : }
1719 : GEN
1720 133162 : ellchangepoint(GEN x, GEN ch) { return ellchangepoint0(x, ch, NULL); }
1721 :
1722 : /* x = u^2*X + r
1723 : * y = u^3*Y + s*u^2*X + t; P a point */
1724 : static GEN
1725 3360 : ellchangeptinv(GEN nf, GEN P, GEN u2, GEN u3, GEN r, GEN s, GEN t)
1726 : {
1727 : GEN a, X, Y;
1728 3360 : if (ell_is_inf(P)) return P;
1729 3360 : if (nf) P = nfVtoalg(nf, P);
1730 3360 : X = gel(P,1); Y = gel(P,2); a = gmul(u2,X);
1731 3360 : return mkvec2(gadd(a, r), gadd(gmul(u3, Y), gadd(gmul(s, a), t)));
1732 : }
1733 : static GEN
1734 504 : ellchangevecptinv(GEN nf, GEN x, GEN v2, GEN v3, GEN r, GEN s, GEN t)
1735 3787 : { pari_APPLY_same(ellchangeptinv(nf, gel(x,i), v2,v3,r,s,t));}
1736 : GEN
1737 1043 : ellchangepointinv0(GEN E, GEN x, GEN ch)
1738 : {
1739 1043 : GEN y, u, r, s, t, u2, u3, nf = NULL;
1740 1043 : pari_sp av = avma;
1741 : int vec;
1742 :
1743 : /* backward compatibility */
1744 1043 : if (ch) checkell(E); else { ch = x; x = E; E = NULL; }
1745 1043 : vec = checkellpts(x, "ellchangepointinv");
1746 1015 : if (lg(x) == 1) return cgetg(1, t_VEC);
1747 784 : if (E && ell_get_type(E) == t_ELL_NF)
1748 : {
1749 14 : nf = ellnf_get_nf(E);
1750 14 : ch = ellchangetoalg(nf, ch);
1751 : }
1752 784 : if (is_trivial_change(ch, "ellchangepointinv"))
1753 : {
1754 196 : set_avma(av);
1755 196 : return gcopy(x);
1756 : }
1757 581 : u = gel(ch,1); r = gel(ch,2); s = gel(ch,3); t = gel(ch,4);
1758 581 : u2 = gsqr(u); u3 = gmul(u,u2);
1759 504 : y = vec? ellchangevecptinv(nf,x,u2,u3,r,s,t)
1760 581 : : ellchangeptinv(nf,x,u2,u3,r,s,t);
1761 581 : return gerepilecopy(av,y);
1762 : }
1763 : GEN
1764 980 : ellchangepointinv(GEN x, GEN ch) { return ellchangepointinv0(x, ch, NULL); }
1765 :
1766 : static GEN
1767 0 : elltwist_card(GEN h, GEN q) { return subii(shifti(addiu(q, 1), 1), h); }
1768 : GEN
1769 28574 : elltwist(GEN E, GEN P)
1770 : {
1771 28574 : pari_sp av = avma;
1772 28574 : GEN a1, a2, a3, a4, a6, a, b, c, ac, D, D2, V, DOM = NULL;
1773 28574 : long prec = DEFAULTPREC, isell = (lg(E) == 17);
1774 :
1775 28574 : if (typ(E) != t_VEC) pari_err_TYPE("elltwist",E);
1776 28574 : if (isell) switch(ell_get_type(E))
1777 : {
1778 1323 : case t_ELL_Q:
1779 1323 : case t_ELL_Rg: prec = ellR_get_prec(E); break;
1780 : }
1781 28574 : if (!P)
1782 : {
1783 : GEN Et, S, a4, a6, e, fg, q;
1784 27195 : if (!isell)
1785 : { /* Could avoid this ellinit. Don't bother. */
1786 7 : e = E; E = ellinit_i(E, NULL, prec);
1787 7 : if (!E) pari_err_TYPE("elltwist", e);
1788 : }
1789 27188 : switch (ell_get_type(E))
1790 : {
1791 0 : case t_ELL_Fp:
1792 0 : q = ellff_get_field(E);
1793 0 : e = ellff_get_a4a6(E);
1794 0 : Fp_elltwist(gel(e,1), gel(e,2), q, &a4, &a6);
1795 0 : Et = ellinit_Fp(mkvec2(a4,a6), q); break;
1796 27188 : case t_ELL_Fq:
1797 27188 : fg = ellff_get_field(E); q = FF_q(fg);
1798 27188 : Et = ellinit_Fq(FF_elltwist(E), fg); break;
1799 0 : default: pari_err_TYPE("elltwist [missing P]", E);
1800 : return NULL;/*LCOV_EXCL_LINE*/
1801 : }
1802 27188 : if ((S = obj_check(E, FF_CARD)))
1803 0 : obj_insert_shallow(Et, FF_CARD, elltwist_card(S, q));
1804 27188 : return gerepilecopy(av, Et);
1805 : }
1806 1379 : if (isell && ell_get_type(E) == t_ELL_NF)
1807 14 : if (!(DOM = ellnf_get_bnf(E))) DOM = ellnf_get_nf(E);
1808 1379 : if (typ(P) == t_INT)
1809 : {
1810 1365 : if (equali1(P)) return ellinit(E, DOM, prec);
1811 1008 : P = quadpoly(P);
1812 : }
1813 : else
1814 : {
1815 14 : if (typ(P) != t_POL) pari_err_TYPE("elltwist",P);
1816 14 : if (degpol(P) != 2 )
1817 0 : pari_err_DOMAIN("elltwist", "degree(P)", "!=", gen_2, P);
1818 : }
1819 1022 : switch(lg(E))
1820 : {
1821 7 : case 3:
1822 7 : a1 = a2 = a3 = gen_0;
1823 7 : a4 = gel(E,1);
1824 7 : a6 = gel(E,2); break;
1825 1015 : case 6: case 17:
1826 1015 : a1 = ell_get_a1(E);
1827 1015 : a2 = ell_get_a2(E);
1828 1015 : a3 = ell_get_a3(E);
1829 1015 : a4 = ell_get_a4(E);
1830 1015 : a6 = ell_get_a6(E); break;
1831 0 : default:
1832 0 : pari_err_TYPE("ellxxx [not an elliptic curve (ell5)]",E);
1833 : return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
1834 : }
1835 1022 : a = gel(P,4); b = gel(P,3); c = gel(P,2); ac = gmul(a, c);
1836 1022 : D = gsub(gsqr(b), gmulsg(4, ac)); D2 = gsqr(D);
1837 1022 : if (gequal0(a1) && gequal0(a2) && gequal0(a3))
1838 763 : V = mkvec2(gmul(a4, D2), gmul(gmul(a6, D), D2));
1839 : else
1840 : {
1841 259 : GEN a3D = gmul(a3, D);
1842 259 : V = cgetg(6, t_VEC);
1843 259 : gel(V,1) = gmul(a1, b);
1844 259 : gel(V,2) = gsub(gmul(a2, D), gmul(gsqr(a1), ac));
1845 259 : gel(V,3) = gmul(a3D, b);
1846 259 : gel(V,4) = gsub(gmul(a4, D2), gmul(gmul(gmulsg(2, a3D), a1), ac));
1847 259 : gel(V,5) = gmul(gsub(gmul(a6, D), gmul(gsqr(a3), ac)), D2);
1848 : }
1849 1022 : E = ellinit_i(V, DOM, prec);
1850 1022 : if (!E) pari_err_TYPE("elltwist", V);
1851 1022 : return gerepilecopy(av, E);
1852 : }
1853 :
1854 : /********************************************************************/
1855 : /** E/Q: MINIMAL TWIST **/
1856 : /** Cf Ian Connell, Elliptic Curve Handbook, chap. 5 **/
1857 : /** http://www.math.mcgill.ca/connell/ **/
1858 : /********************************************************************/
1859 :
1860 : static long
1861 29386 : safe_Z_lval(GEN n, ulong p)
1862 29386 : { return signe(n)==0? -1: Z_lval(n, p); }
1863 :
1864 : /* Twist by d2 = 1,-4,-8,8, to get minimal discriminant at 2 after
1865 : * ellminimalmodel / ellQ_minimalu; assume vg = min(3*v4,2*v6,vD) >= 6.
1866 : * If nontrivial, v(d2) = 2 or 3 and let t = [(vg+6v(d2))/12].
1867 : * Good case if reduction in ellQ_minimalu i.e. t = 2 (v4 < 6 or v6 < 9 or
1868 : * vD < 18) or 3 and "d--" does not occur. Minimal model => t = 3 iff
1869 : * v4 = 6, v6 = 9 and vD >= 18. Total net effect is
1870 : * v4 += 2v(d2) - 4t, v6 += 3v(d2) - 6t, vD += 6 v(d2) - 12t
1871 : * After rescaling in ellQ_minimalu (c4 >>= 4t, c6 >>= 6t) we need
1872 : * c6 % 4 = 3 OR (v4 >= 4 AND (v6 >= 5 or c6 % 32 = 8)) */
1873 : static long
1874 392 : twist2(GEN c4, GEN c6, GEN disc, long vg)
1875 : { /* v4 >= 4, v6 >= 3 (and c6 = 0,8 mod 32). After twist + minimization,
1876 : * either same condition OR v(C4) = 0, C6 = 0,3 mod 4 */
1877 : long v4, v6, vD;
1878 :
1879 392 : if (vg == 18) /* v4=6, v6=9, vD>=18; only case with t = 3 */
1880 56 : return (umodi2n(c6, 11)>>9) == 1 ? -8: 8; /* need C6 % 4 = 3 */
1881 :
1882 : /* 100 = oo, any number >= 8 would do */
1883 336 : v4 = signe(c4)? vali(c4): 100; if (v4 == 5) return 1;
1884 : /* 100 = oo, any number > 9 would do */
1885 329 : v6 = signe(c6)? vali(c6): 100; if (v6 == 7) return 1;
1886 :
1887 : /* handle case v(DISC) = 0 or v(C4) = 0 after twist, only case with d2 = -4 */
1888 329 : if (vg == 12 && ((v4==4 && v6==6) || (v4>=8 && v6==9))) return -4;
1889 :
1890 : /* Now, d2 = 1 OR v(d2) = 3, t = 2 => v4 -= 2, v6 -= 3, vD -= 6 */
1891 266 : if (v4 < 6 || v6 < 6) return 1; /* v(C4) >= 4, v(C6) >= 3 */
1892 175 : vD = vali(disc);
1893 175 : if (v6==6 && vD==6 && (umodi2n(c6,8)>>6) == 1) return 8; /* C6 % 32 = 8 */
1894 168 : return -8;
1895 : }
1896 :
1897 : /* Return D such that E_D has minimal discriminant. It also has minimal
1898 : * conductor in Z[1/2] */
1899 : GEN
1900 665 : ellminimaltwist(GEN e)
1901 : {
1902 665 : pari_sp av = avma;
1903 665 : GEN c4, c6, disc, g, N, M, F, E, D = gen_1;
1904 : long i, lF;
1905 665 : checkell_Q(e);
1906 665 : E = ellminimalmodel(e, NULL);
1907 665 : c4 = ell_get_c4(E);
1908 665 : c6 = ell_get_c6(E);
1909 665 : disc = ell_get_disc(E);
1910 665 : g = gcdii(disc, sqri(c6));
1911 665 : ellQ_get_Nfa(E, &N, &M);
1912 665 : F = gel(M, 1); lF = lg(F);
1913 : /* on twist by d, (c4,c6,D,g) -> (d^2 c4, d^3 c6, d^6 D, d^6 g),
1914 : * then apply ellQ_minimalu(). Since model is minimal, v(g) < 12 unless p=3
1915 : * and v(g) < 14 or p = 2 and v(g) <= 18 */
1916 2436 : for(i = 1; i < lF; i++)
1917 : {
1918 1771 : GEN p = gel(F, i);
1919 1771 : long vg = Z_pval(g,p), d2;
1920 1771 : if (vg < 6) continue;
1921 : /* twist by fund. discriminant d2; in ellQ_minimalu,
1922 : * we have v(g) = vg + 6*v(d2) */
1923 1197 : switch(itou_or_0(p))
1924 : {
1925 441 : default: /* p > 3, 6 <= v(g) < 12 => v(D) -= 6 */
1926 441 : D = mulii(D, (mod4(p)==1)? p: negi(p));
1927 441 : break;
1928 364 : case 3: /* bad case: v(final_c6) = 2 => no reduction; else v(D) -= 6 */
1929 364 : if (safe_Z_lval(c6,3) != 5) D = mulis(D, -3);
1930 364 : break;
1931 392 : case 2:
1932 392 : d2 = twist2(c4,c6,disc,vg);
1933 392 : if (d2 != 1) D = mulis(D,d2);
1934 392 : break;
1935 : }
1936 : }
1937 665 : obj_free(E);
1938 665 : return gerepileuptoleaf(av, D);
1939 : }
1940 :
1941 : /* Reference: William A. Stein and Mark Watkins
1942 : * A Database of Elliptic Curves-First Report, ANTS 5
1943 : * http://modular.math.washington.edu/papers/stein-watkins/ants.pdf */
1944 : static GEN localred_23(GEN e, long p);
1945 : GEN
1946 399 : ellminimaltwistcond(GEN e)
1947 : {
1948 399 : pari_sp av = avma;
1949 399 : GEN D = ellminimaltwist(e), eD = elltwist(e, D);
1950 399 : GEN R = localred_23(ellintegralmodel_i(eD,NULL), 2);
1951 399 : long f = itos(gel(R,1)), v = vali(D);
1952 399 : if (f==4) D = negi(v==3 ? D: shifti(D, v==0? 2: -2));
1953 385 : else if (f==6)
1954 : {
1955 : long s, t;
1956 21 : if (v < 3) s = v==0? 3: 1;
1957 : else
1958 : {
1959 14 : t = (v==3 && mod32(D) == 8)? 1: -1;
1960 14 : s = signe(D)==t ? -3: -1;
1961 : }
1962 21 : D = shifti(D, s);
1963 : }
1964 399 : return gerepileuptoleaf(av, D);
1965 : }
1966 :
1967 : GEN
1968 448 : ellminimaltwist0(GEN e, long flag)
1969 : {
1970 448 : switch(flag)
1971 : {
1972 266 : case 0: return ellminimaltwist(e);
1973 182 : case 1: return ellminimaltwistcond(e);
1974 : }
1975 0 : pari_err_FLAG("ellminimaltwist");
1976 : return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
1977 : }
1978 :
1979 : static long
1980 7 : ellexpo(GEN E)
1981 : {
1982 7 : long i, f, e = -(long)HIGHEXPOBIT;
1983 42 : for (i=1; i<=5; i++)
1984 : {
1985 35 : f = gexpo(gel(E,i));
1986 35 : if (f > e) e = f;
1987 : }
1988 7 : return e;
1989 : }
1990 :
1991 :
1992 : static int
1993 3855 : oncurve_exact(GEN e, GEN z)
1994 : {
1995 3855 : pari_sp av = avma;
1996 3855 : GEN A = ec_LHS_evalQ(e,z), B = ec_f_evalx(e,gel(z,1));
1997 3855 : return gc_bool(av, gequal(A, B));
1998 : }
1999 : /* Assume e is an ell and z is an ellpt.
2000 : * Exactness of lhs and rhs in the following depends in nonobvious ways
2001 : * on the coeffs of the curve as well as on the components of the point z.
2002 : * Thus if e is exact, with a1==0, and z has exact y coordinate only, the
2003 : * lhs will be exact but the rhs won't. */
2004 : int
2005 126043 : ellisoncurve_i(GEN e, GEN z)
2006 : {
2007 : GEN LHS, RHS, x;
2008 : long pl, pr, ex, expx;
2009 : pari_sp av;
2010 :
2011 126043 : if (ell_is_inf(z)) return 1; /* oo */
2012 125966 : if (ell_get_type(e) == t_ELL_NF) z = nfVtoalg(ellnf_get_nf(e), z);
2013 125966 : av = avma;
2014 125966 : LHS = ec_LHS_evalQ(e,z);
2015 125966 : RHS = ec_f_evalx(e,gel(z,1)); x = gsub(LHS,RHS);
2016 125966 : if (gequal0(x)) return gc_bool(av,1);
2017 21 : pl = precision(LHS);
2018 21 : pr = precision(RHS);
2019 21 : if (!pl && !pr) return gc_bool(av,0); /* both of LHS, RHS are exact */
2020 : /* at least one of LHS,RHS is inexact */
2021 7 : ex = pr? gexpo(RHS): gexpo(LHS); /* don't take exponent of exact 0 */
2022 7 : if (!pr || (pl && pl < pr)) pr = pl; /* min among nonzero elts of {pl,pr} */
2023 7 : expx = gexpo(x);
2024 14 : pr = (expx < ex - pr + 15
2025 7 : || expx < ellexpo(e) - pr + 5);
2026 7 : return gc_bool(av,pr);
2027 : }
2028 : /* assume e is an ell and x an ellpt */
2029 : static GEN
2030 44310 : gellisoncurve_i(GEN e, GEN x) { return ellisoncurve_i(e, x)? gen_1: gen_0; }
2031 : GEN
2032 44170 : ellisoncurve(GEN e, GEN x)
2033 : {
2034 : int vec;
2035 44170 : checkell(e); vec = checkellpts(x, "ellisoncurve");
2036 44170 : if (lg(x) == 1) return leafcopy(x);
2037 45997 : if (vec) pari_APPLY_same(gellisoncurve_i(e,gel(x,i)));
2038 42483 : return gellisoncurve_i(e, x);
2039 : }
2040 :
2041 : /* y1 = y2 or -LHS0-y2 */
2042 : static GEN
2043 29184 : slope_samex(GEN e, GEN x, GEN y1, GEN y2)
2044 : {
2045 : GEN dy,dx;
2046 29184 : if (y1 != y2)
2047 : {
2048 : int eq;
2049 273 : if (precision(y1) || precision(y2))
2050 7 : eq = (gexpo(gadd(ec_h_evalx(e,x),gadd(y1,y2))) >= gexpo(y1));
2051 : else
2052 266 : eq = gequal(y1,y2);
2053 273 : if (!eq) return NULL;
2054 : }
2055 29177 : dx = ec_dmFdy_evalQ(e,mkvec2(x,y1));
2056 29177 : if (gequal0(dx)) return NULL;
2057 29135 : dy = gadd(gsub(ell_get_a4(e),gmul(ell_get_a1(e),y1)),
2058 : gmul(x,gadd(gmul2n(ell_get_a2(e),1),gmulsg(3,x))));
2059 29135 : return gdiv(dy,dx);
2060 : }
2061 :
2062 : GEN
2063 57457 : elladd(GEN e, GEN z1, GEN z2)
2064 : {
2065 : GEN s, z, x, y, x1, x2, y1, y2;
2066 57457 : pari_sp av = avma;
2067 :
2068 57457 : checkell(e);
2069 57457 : if (!checkellpt_i(z1)) pari_err_TYPE("elladd", z1);
2070 57457 : if (!checkellpt_i(z2)) pari_err_TYPE("elladd", z2);
2071 57457 : if (ell_is_inf(z1)) return gcopy(z2);
2072 55049 : if (ell_is_inf(z2)) return gcopy(z1);
2073 :
2074 53397 : x1 = gel(z1,1); y1 = gel(z1,2);
2075 53397 : x2 = gel(z2,1); y2 = gel(z2,2);
2076 53397 : if (ell_get_type(e) == t_ELL_NF)
2077 : {
2078 560 : GEN nf = ellnf_get_nf(e);
2079 560 : x1 = nftoalg(nf, x1);
2080 560 : x2 = nftoalg(nf, x2);
2081 560 : y1 = nftoalg(nf, y1);
2082 560 : y2 = nftoalg(nf, y2);
2083 : }
2084 53397 : if (cx_approx_equal(x1,x2))
2085 : {
2086 29184 : s = slope_samex(e, x1, y1, y2);
2087 29184 : if (!s) { set_avma(av); return ellinf(); }
2088 : }
2089 : else
2090 24213 : s = gdiv(gsub(y2,y1), gsub(x2,x1));
2091 53348 : x = gsub(gmul(s,gadd(s,ell_get_a1(e))), gadd(gadd(x1,x2),ell_get_a2(e)));
2092 53348 : y = gadd(gadd(y1, ec_h_evalx(e,x)), gmul(s,gsub(x,x1)));
2093 53348 : z = cgetg(3,t_VEC);
2094 53348 : gel(z,1) = gcopy(x);
2095 53348 : gel(z,2) = gneg(y); return gerepileupto(av, z);
2096 : }
2097 :
2098 : static GEN
2099 70 : ellneg_i(GEN e, GEN z)
2100 : {
2101 : GEN x, y;
2102 70 : if (ell_is_inf(z)) return z;
2103 70 : x = gel(z,1);
2104 70 : y = gel(z,2);
2105 70 : if (ell_get_type(e) == t_ELL_NF)
2106 : {
2107 0 : GEN nf = ellnf_get_nf(e);
2108 0 : x = nftoalg(nf,x);
2109 0 : y = nftoalg(nf,y);
2110 : }
2111 70 : retmkvec2(x, gneg_i(gadd(y, ec_h_evalx(e,x))));
2112 : }
2113 :
2114 : GEN
2115 82034 : ellneg(GEN e, GEN z)
2116 : {
2117 : pari_sp av;
2118 : GEN t, y;
2119 82034 : checkell(e);
2120 82034 : if (!checkellpt_i(z)) pari_err_TYPE("ellneg", z);
2121 82034 : if (ell_is_inf(z)) return z;
2122 82034 : t = cgetg(3,t_VEC);
2123 82034 : gel(t,1) = gcopy(gel(z,1));
2124 82034 : av = avma;
2125 82034 : y = gneg(gadd(gel(z,2), ec_h_evalx(e,gel(z,1))));
2126 82034 : gel(t,2) = gerepileupto(av, y);
2127 82034 : return t;
2128 : }
2129 :
2130 : GEN
2131 49 : ellsub(GEN e, GEN z1, GEN z2)
2132 : {
2133 49 : pari_sp av = avma;
2134 49 : checkell(e);
2135 49 : if (!checkellpt_i(z1)) pari_err_TYPE("ellsub", z1);
2136 49 : if (!checkellpt_i(z2)) pari_err_TYPE("ellsub", z2);
2137 49 : return gerepileupto(av, elladd(e, z1, ellneg_i(e,z2)));
2138 : }
2139 :
2140 : /* E an ell, x a scalar */
2141 : static GEN
2142 3010 : ellordinate_i(GEN E, GEN x, long prec)
2143 : {
2144 3010 : pari_sp av = avma;
2145 3010 : GEN a, b, D, d, y, p, nf = NULL;
2146 :
2147 3010 : if (ell_get_type(E) == t_ELL_NF)
2148 : {
2149 532 : nf = ellnf_get_nf(E);
2150 532 : x = nftoalg(nf,x);
2151 : }
2152 3010 : a = ec_f_evalx(E,x);
2153 3010 : b = ec_h_evalx(E,x);
2154 3010 : D = gadd(gsqr(b), gmul2n(a,2));
2155 : /* solve y*(y+b) = a */
2156 3010 : if (gequal0(D)) {
2157 1246 : if (ell_get_type(E) == t_ELL_Fq && absequaliu(ellff_get_p(E),2))
2158 0 : retmkvec( FF_sqrt(a) );
2159 1246 : b = gneg_i(b); y = cgetg(2,t_VEC);
2160 1246 : gel(y,1) = gmul2n(b,-1);
2161 1246 : return gerepileupto(av,y);
2162 : }
2163 : /* D != 0 */
2164 1764 : switch(ell_get_type(E))
2165 : {
2166 28 : case t_ELL_Fp: /* imply p!=2 */
2167 28 : p = ellff_get_p(E);
2168 28 : D = gel(D,2);
2169 28 : if (kronecker(D, p) < 0) { set_avma(av); return cgetg(1,t_VEC); }
2170 7 : d = Fp_sqrt(D, p);
2171 7 : break;
2172 217 : case t_ELL_Fq:
2173 217 : if (absequaliu(ellff_get_p(E),2))
2174 : {
2175 77 : GEN F = FFX_roots(mkpoln(3, gen_1, b, a), D);
2176 77 : if (lg(F) == 1) { set_avma(av); return cgetg(1,t_VEC); }
2177 42 : return gerepileupto(av, F);
2178 : }
2179 140 : if (!FF_issquareall(D,&d)) { set_avma(av); return cgetg(1,t_VEC); }
2180 91 : break;
2181 973 : case t_ELL_Q:
2182 973 : if (typ(x) == t_COMPLEX) { d = gsqrt(D, prec); break; }
2183 966 : if (!issquareall(D,&d)) { set_avma(av); return cgetg(1,t_VEC); }
2184 630 : break;
2185 :
2186 525 : case t_ELL_NF:
2187 525 : if (!nfissquare(nf, D, &d)) { set_avma(av); return cgetg(1,t_VEC); }
2188 511 : d = nftoalg(nf, d);
2189 511 : break;
2190 :
2191 14 : case t_ELL_Qp:
2192 14 : p = ellQp_get_p(E);
2193 14 : D = cvtop(D, p, ellQp_get_prec(E));
2194 14 : if (!issquare(D)) { set_avma(av); return cgetg(1,t_VEC); }
2195 14 : d = Qp_sqrt(D);
2196 14 : break;
2197 :
2198 7 : default:
2199 7 : d = gsqrt(D,prec);
2200 : }
2201 1267 : a = gsub(d,b); y = cgetg(3,t_VEC);
2202 1267 : gel(y,1) = gmul2n(a, -1);
2203 1267 : gel(y,2) = gsub(gel(y,1),d);
2204 1267 : return gerepileupto(av,y);
2205 : }
2206 :
2207 : GEN
2208 3010 : ellordinate(GEN e, GEN x, long prec)
2209 : {
2210 3010 : checkell(e);
2211 3010 : if (!is_matvec_t(typ(x))) return ellordinate_i(e, x, prec);
2212 0 : pari_APPLY_same(ellordinate_i(e,gel(x,i),prec));
2213 : }
2214 :
2215 : GEN
2216 245679 : ellrandom(GEN E)
2217 : {
2218 : GEN fg;
2219 245679 : checkell_Fq(E);
2220 245679 : fg = ellff_get_field(E);
2221 245679 : if (typ(fg)==t_FFELT)
2222 245651 : return FF_ellrandom(E);
2223 : else
2224 : {
2225 28 : pari_sp av = avma;
2226 28 : GEN p = fg, e = ellff_get_a4a6(E);
2227 28 : GEN P = random_FpE(gel(e,1),gel(e,2),p);
2228 28 : P = FpE_to_mod(FpE_changepoint(P,gel(e,3),p),p);
2229 28 : return gerepileupto(av, P);
2230 : }
2231 : }
2232 :
2233 : /* n t_QUAD or t_COMPLEX, P != [0] */
2234 : static GEN
2235 14 : ellmul_CM(GEN e, GEN P, GEN n)
2236 : {
2237 14 : GEN p1p, q1p, x, y, p0, p1, q0, q1, z1, z2, grdx, b2ov12, N = gnorm(n);
2238 : long ln, vn;
2239 :
2240 14 : if (typ(N) != t_INT)
2241 0 : pari_err_TYPE("ellmul (non integral CM exponent)",N);
2242 14 : ln = itos_or_0(shifti(addiu(N, 1UL), 3));
2243 14 : if (!ln) pari_err_OVERFLOW("ellmul_CM [norm too large]");
2244 14 : vn = ((ln>>1)-4)>>2;
2245 14 : z1 = ellwpseries(e, 0, ln);
2246 14 : z2 = ser_unscale(z1, n);
2247 14 : p0 = gen_0; p1 = gen_1;
2248 14 : q0 = gen_1; q1 = gen_0;
2249 : do
2250 : {
2251 21 : GEN p2,q2, ss = gen_0;
2252 : do
2253 : {
2254 28 : long ep = (-valser(z2)) >> 1;
2255 28 : ss = gadd(ss, gmul(gel(z2,2), pol_xnall(ep, 0)));
2256 28 : z2 = gsub(z2, gmul(gel(z2,2), gpowgs(z1, ep)));
2257 : }
2258 28 : while (valser(z2) <= 0);
2259 21 : p2 = gadd(p0, gmul(ss,p1)); p0 = p1; p1 = p2;
2260 21 : q2 = gadd(q0, gmul(ss,q1)); q0 = q1; q1 = q2;
2261 21 : if (!signe(z2)) break;
2262 7 : z2 = ginv(z2);
2263 : }
2264 7 : while (degpol(p1) < vn);
2265 14 : if (degpol(p1) > vn || signe(z2))
2266 0 : pari_err_TYPE("ellmul [not a complex multiplication]", n);
2267 14 : q1p = RgX_deriv(q1);
2268 14 : b2ov12 = gdivgu(ell_get_b2(e), 12);
2269 14 : grdx = gadd(gel(P,1), b2ov12); /* x(P) + b2/12 */
2270 14 : q1 = poleval(q1, grdx);
2271 14 : if (gequal0(q1)) return ellinf();
2272 :
2273 14 : p1p = RgX_deriv(p1);
2274 14 : p1 = poleval(p1, grdx);
2275 14 : p1p = poleval(p1p, grdx);
2276 14 : q1p = poleval(q1p, grdx);
2277 :
2278 14 : x = gdiv(p1,q1);
2279 14 : y = gdiv(gsub(gmul(p1p,q1), gmul(p1,q1p)), gmul(n,gsqr(q1)));
2280 14 : x = gsub(x, b2ov12);
2281 14 : y = gsub( gmul(ec_dmFdy_evalQ(e,P), y), ec_h_evalx(e,x));
2282 14 : return mkvec2(x, gmul2n(y,-1));
2283 : }
2284 :
2285 : static GEN
2286 1190 : _sqr(void *e, GEN x) { return elladd((GEN)e, x, x); }
2287 : static GEN
2288 385 : _mul(void *e, GEN x, GEN y) { return elladd((GEN)e, x, y); }
2289 :
2290 : static GEN
2291 250160 : ellffmul(GEN E, GEN P, GEN n)
2292 : {
2293 250160 : GEN fg = ellff_get_field(E);
2294 250160 : if (typ(fg)==t_FFELT)
2295 249074 : return FF_ellmul(E, P, n);
2296 : else
2297 : {
2298 1086 : pari_sp av = avma;
2299 1086 : GEN p = fg, e = ellff_get_a4a6(E), Q;
2300 1086 : GEN Pp = FpE_changepointinv(RgE_to_FpE(P, p), gel(e,3), p);
2301 1086 : GEN Qp = FpE_mul(Pp, n, gel(e,1), p);
2302 1030 : Q = FpE_to_mod(FpE_changepoint(Qp, gel(e,3), p), p);
2303 1030 : return gerepileupto(av, Q);
2304 : }
2305 : }
2306 : /* [n] z, n integral */
2307 : static GEN
2308 251168 : ellmul_Z(GEN e, GEN z, GEN n)
2309 : {
2310 : long s;
2311 251168 : if (ell_is_inf(z)) return ellinf();
2312 251168 : if (ell_over_Fq(e)) return ellffmul(e,z,n);
2313 1008 : s = signe(n);
2314 1008 : if (!s) return ellinf();
2315 959 : if (s < 0) z = ellneg_i(e,z);
2316 959 : if (is_pm1(n)) return z;
2317 721 : return gen_pow(z, n, (void*)e, &_sqr, &_mul);
2318 : }
2319 :
2320 : /* x a t_REAL, try to round it to an integer */
2321 : enum { OK, LOW_PREC, NO };
2322 : static long
2323 42 : myroundr(GEN *px)
2324 : {
2325 42 : GEN x = *px;
2326 : long e;
2327 42 : if (bit_prec(x) - expo(x) < 5) return LOW_PREC;
2328 42 : *px = grndtoi(x, &e);
2329 42 : if (e >= -5) return NO;
2330 42 : return OK;
2331 : }
2332 :
2333 : /* E has CM by Q, t_COMPLEX or t_QUAD. Return q such that E has CM by Q/q
2334 : * or gen_1 (couldn't find q > 1)
2335 : * or NULL (doesn't have CM by Q) */
2336 : static GEN
2337 14 : CM_factor(GEN E, GEN Q)
2338 : {
2339 : GEN w, tau, D, v, x, y, F, dF, q, r, fk, fkb, fkc;
2340 : long prec;
2341 :
2342 14 : if (ell_get_type(E) != t_ELL_Q) return gen_1;
2343 14 : switch(typ(Q))
2344 : {
2345 0 : case t_COMPLEX:
2346 0 : D = utoineg(4);
2347 0 : v = gel(Q,2);
2348 0 : break;
2349 14 : case t_QUAD:
2350 14 : D = quad_disc(Q);
2351 14 : v = gel(Q,3);
2352 14 : break;
2353 0 : default:
2354 0 : return NULL; /*-Wall*/
2355 : }
2356 : /* disc Q = v^2 D, D < 0 fundamental */
2357 14 : w = ellR_omega(E, DEFAULTPREC + nbits2extraprec(expi(D)));
2358 14 : tau = gdiv(gel(w,2), gel(w,1));
2359 14 : prec = precision(tau);
2360 : /* disc tau = -4 k^2 (Im tau)^2 for some integral k
2361 : * Assuming that E has CM by Q, then disc Q / disc tau = f^2 is a square.
2362 : * Compute f*k */
2363 14 : x = gel(tau,1);
2364 14 : y = gel(tau,2); /* tau = x + Iy */
2365 14 : fk = gmul(gdiv(v, gmul2n(y, 1)), sqrtr_abs(itor(D, prec)));
2366 14 : switch(myroundr(&fk))
2367 : {
2368 0 : case NO: return NULL;
2369 0 : case LOW_PREC: return gen_1;
2370 : }
2371 14 : fk = absi_shallow(fk);
2372 :
2373 14 : fkb = gmul(fk, gmul2n(x,1));
2374 14 : switch(myroundr(&fkb))
2375 : {
2376 0 : case NO: return NULL;
2377 0 : case LOW_PREC: return gen_1;
2378 : }
2379 :
2380 14 : fkc = gmul(fk, cxnorm(tau));
2381 14 : switch(myroundr(&fkc))
2382 : {
2383 0 : case NO: return NULL;
2384 0 : case LOW_PREC: return gen_1;
2385 : }
2386 :
2387 : /* tau is a root of fk (X^2 - b X + c) \in Z[X], */
2388 14 : F = Q_primpart(mkvec3(fk, fkb, fkc));
2389 14 : dF = qfb_disc3(gel(F,1), gel(F,2), gel(F,3));
2390 : /* = disc tau, E has CM by orders of disc dF q^2, all q */
2391 14 : q = dvmdii(dF, D, &r);
2392 14 : if (r != gen_0 || !Z_issquareall(q, &q)) return NULL;
2393 : /* disc(Q) = disc(tau) (v / q)^2 */
2394 14 : v = dvmdii(absi_shallow(v), q, &r);
2395 14 : if (r != gen_0) return NULL;
2396 14 : return is_pm1(v)? gen_1: v; /* E has CM by Q/q: [Q] = [q] o [Q/q] */
2397 : }
2398 :
2399 : /* [a + w] z, a integral, w pure imaginary */
2400 : static GEN
2401 14 : ellmul_CM_aux(GEN e, GEN z, GEN a, GEN w)
2402 : {
2403 : GEN A, B, q;
2404 14 : if (typ(a) != t_INT) pari_err_TYPE("ellmul_Z",a);
2405 14 : q = CM_factor(e, w);
2406 14 : if (!q) pari_err_TYPE("ellmul [not a complex multiplication]",w);
2407 14 : if (q != gen_1) w = gdiv(w, q);
2408 : /* compute [a + q w] z, z has CM by w */
2409 14 : if (typ(w) == t_QUAD && is_pm1(gel(gel(w,1), 3)))
2410 : { /* replace w by w - u, u in Z, so that N(w-u) is minimal
2411 : * N(w - u) = N w - Tr w u + u^2, minimal for u = Tr w / 2 */
2412 7 : GEN u = gtrace(w);
2413 7 : if (typ(u) != t_INT) pari_err_TYPE("ellmul_CM",w);
2414 7 : u = shifti(u, -1);
2415 7 : if (signe(u))
2416 : {
2417 0 : w = gsub(w, u);
2418 0 : a = addii(a, mulii(q,u));
2419 : }
2420 : /* [a + w]z = [(a + qu)] z + [q] [(w - u)] z */
2421 : }
2422 14 : A = ellmul_Z(e,z,a);
2423 14 : B = ellmul_CM(e,z,w);
2424 14 : if (q != gen_1) B = ellmul_Z(e, B, q);
2425 14 : return elladd(e, A, B);
2426 : }
2427 : GEN
2428 251231 : ellmul(GEN e, GEN z, GEN n)
2429 : {
2430 251231 : pari_sp av = avma;
2431 :
2432 251231 : checkell(e);
2433 251224 : if (!checkellpt_i(z)) pari_err_TYPE("ellmul", z);
2434 251224 : if (ell_is_inf(z)) return ellinf();
2435 251168 : switch(typ(n))
2436 : {
2437 251154 : case t_INT: return gerepilecopy(av, ellmul_Z(e,z,n));
2438 14 : case t_QUAD: {
2439 14 : GEN pol = gel(n,1), a = gel(n,2), b = gel(n,3);
2440 14 : if (signe(gel(pol,2)) < 0) pari_err_TYPE("ellmul_CM",n); /* disc > 0 ? */
2441 14 : return gerepileupto(av, ellmul_CM_aux(e,z,a,mkquad(pol, gen_0,b)));
2442 : }
2443 0 : case t_COMPLEX: {
2444 0 : GEN a = gel(n,1), b = gel(n,2);
2445 0 : return gerepileupto(av, ellmul_CM_aux(e,z,a,mkcomplex(gen_0,b)));
2446 : }
2447 : }
2448 0 : pari_err_TYPE("ellmul (non integral, non CM exponent)",n);
2449 : return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
2450 : }
2451 :
2452 : /********************************************************************/
2453 : /** **/
2454 : /** Periods **/
2455 : /** **/
2456 : /********************************************************************/
2457 :
2458 : /* References:
2459 : The complex AGM, periods of elliptic curves over C and complex elliptic logarithms
2460 : John E. Cremona, Thotsaphon Thongjunthug, arXiv:1011.0914
2461 : */
2462 :
2463 : static GEN
2464 52360 : ellomega_agm(GEN a, GEN b, GEN c, long prec)
2465 : {
2466 52360 : GEN pi = mppi(prec), mIpi = mkcomplex(gen_0, negr(pi));
2467 52360 : GEN Mac = agm(a,c,prec), Mbc = agm(b,c,prec);
2468 52360 : retmkvec2(gdiv(pi, Mac), gdiv(mIpi, Mbc));
2469 : }
2470 :
2471 : static GEN
2472 42759 : ellomega_cx(GEN E, long prec)
2473 : {
2474 42759 : pari_sp av = avma;
2475 42759 : GEN roots = ellR_roots(E, prec + EXTRAPREC64);
2476 42759 : GEN d1=gel(roots,4), d2=gel(roots,5), d3=gel(roots,6);
2477 42759 : GEN a = gsqrt(d3,prec), b = gsqrt(d1,prec), c = gsqrt(d2,prec);
2478 42759 : return gerepileupto(av, ellomega_agm(a,b,c,prec));
2479 : }
2480 :
2481 : /* return [w1,w2] for E / R; w1 > 0 is real.
2482 : * If e.disc > 0, w2 = -I r; else w2 = w1/2 - I r, for some real r > 0.
2483 : * => tau = w1/w2 is in upper half plane */
2484 : static GEN
2485 52360 : doellR_omega(GEN E, long prec)
2486 : {
2487 52360 : pari_sp av = avma;
2488 : GEN roots, d2, z, a, b, c;
2489 52360 : if (ellR_get_sign(E) >= 0) return ellomega_cx(E,prec);
2490 9601 : roots = ellR_roots(E,prec + EXTRAPREC64);
2491 9601 : d2 = gel(roots,5);
2492 9601 : z = gsqrt(d2,prec); /* imag(e1-e3) > 0, so that b > 0*/
2493 9601 : a = gel(z,1); /* >= 0 */
2494 9601 : b = gel(z,2);
2495 9601 : c = gabs(z, prec);
2496 9601 : z = ellomega_agm(a,b,c,prec);
2497 9601 : return gerepilecopy(av, mkvec2(gel(z,1),gmul2n(gadd(gel(z,1),gel(z,2)),-1)));
2498 : }
2499 : static GEN
2500 70 : doellR_eta(GEN E, long prec)
2501 70 : { GEN w = ellR_omega(E, prec + EXTRAPREC64); return elleta(w, prec); }
2502 :
2503 : GEN
2504 92652 : ellR_omega(GEN E, long prec)
2505 92652 : { return obj_checkbuild_realprec(E, R_PERIODS, &doellR_omega, prec); }
2506 : GEN
2507 84 : ellR_eta(GEN E, long prec)
2508 84 : { return obj_checkbuild_realprec(E, R_ETA, &doellR_eta, prec); }
2509 : GEN
2510 223042 : ellR_roots(GEN E, long prec)
2511 223042 : { return obj_checkbuild_realprec(E, R_ROOTS, &doellR_roots, prec); }
2512 :
2513 : GEN
2514 11942 : ellR_area(GEN E, long prec)
2515 : {
2516 11942 : pari_sp av = avma;
2517 : GEN w, w1, w2, a,b,c,d;
2518 11942 : w = ellR_omega(E, prec);
2519 11942 : w1 = gel(w,1); a = real_i(w1); b = imag_i(w1);
2520 11942 : w2 = gel(w,2); c = real_i(w2); d = imag_i(w2);
2521 11942 : return gerepileupto(av, gabs(gsub(gmul(a,d),gmul(b,c)), prec));
2522 : }
2523 :
2524 : /********************************************************************/
2525 : /** **/
2526 : /** ELLIPTIC FUNCTIONS **/
2527 : /** **/
2528 : /********************************************************************/
2529 : /* P = [x,0] is 2-torsion on y^2 = g(x). Return w1/2, (w1+w2)/2, or w2/2
2530 : * depending on whether x is closest to e1,e2, or e3, the 3 complex root of g */
2531 : static GEN
2532 14 : zell_closest_0(GEN om, GEN x, GEN ro)
2533 : {
2534 14 : GEN e1 = gel(ro,1), e2 = gel(ro,2), e3 = gel(ro,3);
2535 14 : GEN d1 = gnorm(gsub(x,e1));
2536 14 : GEN d2 = gnorm(gsub(x,e2));
2537 14 : GEN d3 = gnorm(gsub(x,e3));
2538 14 : GEN z = gel(om,2);
2539 14 : if (gcmp(d1, d2) <= 0)
2540 0 : { if (gcmp(d1, d3) <= 0) z = gel(om,1); }
2541 : else
2542 14 : { if (gcmp(d2, d3)<=0) z = gadd(gel(om,1),gel(om,2)); }
2543 14 : return gmul2n(z, -1);
2544 : }
2545 :
2546 : static GEN
2547 28735 : zellcx(GEN E, GEN P, long prec)
2548 : {
2549 28735 : GEN R = ellR_roots(E, prec+EXTRAPREC64);
2550 28735 : GEN x0 = gel(P,1), y0 = ec_dmFdy_evalQ(E,P);
2551 28735 : if (gequal0(y0))
2552 0 : return zell_closest_0(ellomega_cx(E,prec),x0,R);
2553 : else
2554 : {
2555 28735 : GEN e2 = gel(R,2), e3 = gel(R,3), d2 = gel(R,5), d3 = gel(R,6);
2556 28735 : GEN a = gsqrt(d2,prec), b = gsqrt(d3,prec);
2557 28735 : GEN r = gsqrt(gdiv(gsub(x0,e3), gsub(x0,e2)),prec);
2558 28735 : GEN t = gdiv(gneg(y0), gmul2n(gmul(r,gsub(x0,e2)),1));
2559 28735 : GEN ar = real_i(a), br = real_i(b), ai = imag_i(a), bi = imag_i(b);
2560 : /* |a+b| < |a-b| */
2561 28735 : if (gcmp(gmul(ar,br), gneg(gmul(ai,bi))) < 0) b = gneg(b);
2562 28735 : return zellagmcx(a,b,r,t,prec);
2563 : }
2564 : }
2565 :
2566 : /* Assume E/R, disc E < 0, and P \in E(R) ==> z \in R */
2567 : static GEN
2568 0 : zellrealneg(GEN E, GEN P, long prec)
2569 : {
2570 0 : GEN x0 = gel(P,1), y0 = ec_dmFdy_evalQ(E,P);
2571 0 : if (gequal0(y0)) return gmul2n(gel(ellR_omega(E,prec),1),-1);
2572 : else
2573 : {
2574 0 : GEN R = ellR_roots(E, prec+EXTRAPREC64);
2575 0 : GEN d2 = gel(R,5), e3 = gel(R,3);
2576 0 : GEN a = gsqrt(d2,prec);
2577 0 : GEN z = gsqrt(gsub(x0,e3), prec);
2578 0 : GEN ar = real_i(a), zr = real_i(z), ai = imag_i(a), zi = imag_i(z);
2579 0 : GEN t = gdiv(gneg(y0), gmul2n(gnorm(z),1));
2580 0 : GEN r2 = ginv(gsqrt(gaddsg(1,gdiv(gmul(ai,zi),gmul(ar,zr))),prec));
2581 0 : return zellagmcx(ar,gabs(a,prec),r2,gmul(t,r2),prec);
2582 : }
2583 : }
2584 :
2585 : /* Assume E/R, disc E > 0, and P \in E(R) */
2586 : static GEN
2587 28 : zellrealpos(GEN E, GEN P, long prec)
2588 : {
2589 28 : GEN R = ellR_roots(E, prec+EXTRAPREC64);
2590 28 : GEN d2,d3,e1,e2,e3, a,b, x0 = gel(P,1), y0 = ec_dmFdy_evalQ(E,P);
2591 28 : if (gequal0(y0)) return zell_closest_0(ellR_omega(E,prec), x0,R);
2592 14 : e1 = gel(R,1);
2593 14 : e2 = gel(R,2);
2594 14 : e3 = gel(R,3);
2595 14 : d2 = gel(R,5);
2596 14 : d3 = gel(R,6);
2597 14 : a = gsqrt(d2,prec);
2598 14 : b = gsqrt(d3,prec);
2599 14 : if (gcmp(x0,e1)>0) {
2600 7 : GEN r = gsqrt(gdiv(gsub(x0,e3), gsub(x0,e2)),prec);
2601 7 : GEN t = gdiv(gneg(y0), gmul2n(gmul(r,gsub(x0,e2)),1));
2602 7 : return zellagmcx(a,b,r,t,prec);
2603 : } else {
2604 7 : GEN om = ellR_omega(E,prec);
2605 7 : GEN r = gdiv(a,gsqrt(gsub(e1,x0),prec));
2606 7 : GEN t = gdiv(gmul(r,y0),gmul2n(gsub(x0,e3),1));
2607 7 : return gsub(zellagmcx(a,b,r,t,prec),gmul2n(gel(om,2),-1));
2608 : }
2609 : }
2610 :
2611 : static void
2612 21 : ellQp_P2t_err(GEN E, GEN z)
2613 : {
2614 21 : if (typ(ellQp_u(E,1)) == t_POLMOD)
2615 21 : pari_err_IMPL("ellpointtoz when u not in Qp");
2616 0 : pari_err_DOMAIN("ellpointtoz", "point", "not on", strtoGENstr("E"),z);
2617 0 : }
2618 : static GEN
2619 182 : get_r0(GEN E, long prec)
2620 : {
2621 182 : GEN b2 = ell_get_b2(E), e1 = ellQp_root(E, prec);
2622 182 : return gadd(e1,gmul2n(b2,-2));
2623 : }
2624 : static GEN
2625 133 : ellQp_P2t(GEN E, GEN P, long prec)
2626 : {
2627 133 : pari_sp av = avma;
2628 : GEN a, b, ab, c0, r0, ar, r, x, delta, x1, y1, t, u, q;
2629 : long vq, vt, Q, R;
2630 133 : if (ell_is_inf(P)) return gen_1;
2631 126 : ab = ellQp_ab(E, prec); a = gel(ab,1); b = gel(ab,2);
2632 126 : u = ellQp_u(E, prec);
2633 126 : q = ellQp_q(E, prec);
2634 126 : x = gel(P,1);
2635 126 : r0 = get_r0(E, prec);
2636 126 : c0 = gadd(x, gmul2n(r0,-1));
2637 126 : if (typ(c0) != t_PADIC || !is_scalar_t(typ(gel(P,2))))
2638 7 : pari_err_TYPE("ellpointtoz",P);
2639 119 : r = gsub(a,b);
2640 119 : ar = gmul(a, r);
2641 119 : if (gequal0(c0))
2642 : {
2643 7 : x1 = Qp_sqrt(gneg(ar));
2644 7 : if (!x1) ellQp_P2t_err(E,P);
2645 : }
2646 : else
2647 : {
2648 112 : delta = gdiv(ar, gsqr(c0));
2649 112 : t = Qp_sqrt(gsubsg(1,gmul2n(delta,2)));
2650 112 : if (!t) ellQp_P2t_err(E,P);
2651 105 : x1 = gmul(gmul2n(c0,-1), gaddsg(1,t));
2652 : }
2653 112 : y1 = gsubsg(1, gdiv(ar, gsqr(x1)));
2654 112 : if (gequal0(y1))
2655 : {
2656 14 : y1 = Qp_sqrt(gmul(x1, gmul(gadd(x1, a), gadd(x1, r))));
2657 14 : if (!y1) ellQp_P2t_err(E,P);
2658 : }
2659 : else
2660 98 : y1 = gdiv(gmul2n(ec_dmFdy_evalQ(E,P), -1), y1);
2661 98 : Qp_descending_Landen(ellQp_AGM(E,prec), &x1,&y1);
2662 :
2663 98 : t = gmul(u, gmul2n(y1,1)); /* 2u y_oo */
2664 98 : t = gdiv(gsub(t, x1), gadd(t, x1));
2665 : /* Reduce mod q^Z: we want 0 <= v(t) < v(q) */
2666 98 : if (typ(t) == t_PADIC)
2667 56 : vt = valp(t);
2668 : else
2669 42 : vt = valp(gnorm(t)) / 2; /* v(t) = v(Nt) / (e*f) */
2670 98 : vq = valp(q); /* > 0 */
2671 98 : Q = vt / vq; R = vt % vq; if (R < 0) Q--;
2672 98 : if (Q) t = gdiv(t, gpowgs(q,Q));
2673 98 : if (padicprec_relative(t) > prec) t = gprec(t, prec);
2674 98 : return gerepileupto(av, t);
2675 : }
2676 :
2677 : static GEN
2678 56 : ellQp_t2P(GEN E, GEN t, long prec)
2679 : {
2680 56 : pari_sp av = avma;
2681 : GEN AB, A, R, x0,x1, y0,y1, u, u2, r0, s0, ar;
2682 : long v;
2683 56 : if (gequal1(t)) return ellinf();
2684 :
2685 56 : AB = ellQp_AGM(E,prec); A = gel(AB,1); R = gel(AB,3); v = itos(gel(AB,4));
2686 56 : u = ellQp_u(E,prec);
2687 56 : u2= ellQp_u2(E,prec);
2688 56 : x1 = gdiv(t, gmul(u2, gsqr(gsubsg(1,t))));
2689 56 : y1 = gdiv(gmul(x1,gaddsg(1,t)), gmul(gmul2n(u,1),gsubsg(1,t)));
2690 56 : Qp_ascending_Landen(AB, &x1,&y1);
2691 56 : r0 = get_r0(E, prec);
2692 :
2693 56 : ar = gmul(gel(A,1), gel(R,1)); setvalp(ar, valp(ar)+v);
2694 56 : x0 = gsub(gadd(x1, gdiv(ar, x1)), gmul2n(r0,-1));
2695 56 : s0 = gmul2n(ec_h_evalx(E, x0), -1);
2696 56 : y0 = gsub(gmul(y1, gsubsg(1, gdiv(ar,gsqr(x1)))), s0);
2697 56 : return gerepilecopy(av, mkvec2(x0,y0));
2698 : }
2699 :
2700 : static GEN
2701 28763 : zell_i(GEN e, GEN z, long prec)
2702 : {
2703 : GEN t;
2704 : long s;
2705 28763 : (void)ellR_omega(e, prec); /* type checking */
2706 28763 : if (ell_is_inf(z)) return gen_0;
2707 28763 : s = ellR_get_sign(e);
2708 28763 : if (s && typ(gel(z,1))!=t_COMPLEX && typ(gel(z,2))!=t_COMPLEX)
2709 28 : t = (s < 0)? zellrealneg(e,z,prec): zellrealpos(e,z,prec);
2710 : else
2711 28735 : t = zellcx(e,z,prec);
2712 28763 : return t;
2713 : }
2714 : static GEN ellnfembed(GEN E, long prec);
2715 : static GEN ellpointnfembed(GEN E, GEN P, long prec);
2716 : static void ellnfembed_free(GEN L);
2717 : GEN
2718 28903 : zell(GEN E, GEN P, long prec)
2719 : {
2720 28903 : pari_sp av = avma;
2721 28903 : checkell(E);
2722 28903 : if (!checkellpt_i(P)) pari_err_TYPE("ellpointtoz", P);
2723 28889 : switch(ell_get_type(E))
2724 : {
2725 133 : case t_ELL_Qp:
2726 133 : prec = minss(ellQp_get_prec(E), padicprec_relative(P));
2727 133 : return ellQp_P2t(E, P, prec);
2728 7 : case t_ELL_NF:
2729 : {
2730 7 : GEN Ee = ellnfembed(E, prec), Pe = ellpointnfembed(E, P, prec);
2731 7 : long i, l = lg(Pe);
2732 21 : for (i = 1; i < l; i++) gel(Pe,i) = zell_i(gel(Ee,i), gel(Pe,i), prec);
2733 7 : ellnfembed_free(Ee); return gerepilecopy(av, Pe);
2734 : }
2735 14 : case t_ELL_Q: break;
2736 28735 : case t_ELL_Rg: break;
2737 0 : default: pari_err_TYPE("ellpointtoz", E);
2738 : }
2739 28749 : return gerepileupto(av, zell_i(E, P, prec));
2740 : }
2741 :
2742 : enum period_type { t_PER_W, t_PER_WETA, t_PER_ELL };
2743 : /* normalization / argument reduction for ellptic functions */
2744 : typedef struct {
2745 : enum period_type type;
2746 : GEN in; /* original input */
2747 : GEN w1,w2,tau; /* original basis for L = <w1,w2> = w2 <1,tau> */
2748 : GEN W1,W2,Tau; /* new basis for L = <W1,W2> = W2 <1,tau> */
2749 : GEN a,b,c,d; /* t_INT; tau in F = h/Sl2, tau = g.t, g=[a,b;c,d] in SL(2,Z) */
2750 : GEN z,Z; /* z/w2 defined mod <1,tau>, Z = z/w2 + x*tau+y reduced mod <1,tau>*/
2751 : GEN x,y; /* t_INT */
2752 : int swap; /* 1 if we swapped w1 and w2 */
2753 : int some_q_is_real; /* exp(2iPi g.tau) for some g \in SL(2,Z) */
2754 : int some_z_is_real; /* z + xw1 + yw2 is real for some x,y \in Z */
2755 : int some_z_is_pure_imag; /* z + xw1 + yw2 in i*R */
2756 : int q_is_real; /* exp(2iPi tau) \in R */
2757 : int abs_u_is_1; /* |exp(2iPi Z)| = 1 */
2758 : long prec; /* precision(Z) */
2759 : long prec0; /* required precision for result */
2760 : } ellred_t;
2761 :
2762 : /* compute g in SL_2(Z), g.t is in the usual
2763 : fundamental domain. Internal function no check, no garbage. */
2764 : static void
2765 110796 : set_gamma(GEN *pt, GEN *pa, GEN *pb, GEN *pc, GEN *pd)
2766 : {
2767 110796 : GEN a, b, c, d, t, t0 = *pt, run = dbltor(1. - 1e-8);
2768 110796 : long e = gexpo(gel(t0,2));
2769 110796 : if (e < 0) t0 = gprec_wensure(t0, precision(t0)+nbits2extraprec(-e));
2770 110796 : t = t0;
2771 110796 : a = d = gen_1;
2772 110796 : b = c = gen_0;
2773 : for(;;)
2774 37338 : {
2775 148134 : GEN m, n = ground(gel(t,1));
2776 148134 : if (signe(n))
2777 : { /* apply T^n */
2778 47565 : t = gsub(t,n);
2779 47565 : a = subii(a, mulii(n,c));
2780 47565 : b = subii(b, mulii(n,d));
2781 : }
2782 148134 : m = cxnorm(t); if (gcmp(m,run) > 0) break;
2783 37338 : t = gneg_i(gdiv(conj_i(t), m)); /* apply S */
2784 37338 : togglesign_safe(&c); swap(a,c);
2785 37338 : togglesign_safe(&d); swap(b,d);
2786 : }
2787 110796 : if (e < 0 && (signe(b) || signe(c))) *pt = t0;
2788 110796 : *pa = a; *pb = b; *pc = c; *pd = d;
2789 110796 : }
2790 : /* Im z > 0. Return U.z in PSl2(Z)'s standard fundamental domain.
2791 : * Set *pU to U. */
2792 : GEN
2793 37863 : cxredsl2_i(GEN z, GEN *pU, GEN *czd)
2794 : {
2795 : GEN a,b,c,d;
2796 37863 : set_gamma(&z, &a, &b, &c, &d);
2797 37863 : *pU = mkmat2(mkcol2(a,c), mkcol2(b,d));
2798 37863 : *czd = gadd(gmul(c,z), d);
2799 37863 : return gdiv(gadd(gmul(a,z), b), *czd);
2800 : }
2801 : GEN
2802 37828 : cxredsl2(GEN t, GEN *pU)
2803 : {
2804 37828 : pari_sp av = avma;
2805 : GEN czd;
2806 37828 : t = cxredsl2_i(t, pU, &czd);
2807 37828 : return gc_all(av, 2, &t, pU);
2808 : }
2809 :
2810 : /* swap w1, w2 so that Im(t := w1/w2) > 0. Set tau = representative of t in
2811 : * the standard fundamental domain, and g in Sl_2, such that tau = g.t */
2812 : static void
2813 72933 : red_modSL2(ellred_t *T, long prec)
2814 : {
2815 : long s, p;
2816 72933 : T->tau = gdiv(T->w1,T->w2);
2817 72933 : if (isintzero(real_i(T->tau))) T->some_q_is_real = 1;
2818 72933 : s = gsigne(imag_i(T->tau));
2819 72933 : if (!s) pari_err_DOMAIN("elliptic function", "det(w1,w2)", "=", gen_0,
2820 : mkvec2(T->w1,T->w2));
2821 72933 : T->swap = (s < 0);
2822 72933 : if (T->swap) { swap(T->w1, T->w2); T->tau = ginv(T->tau); }
2823 72933 : p = precision(T->tau); T->prec0 = p? p: prec;
2824 72933 : set_gamma(&T->tau, &T->a, &T->b, &T->c, &T->d);
2825 : /* update lattice */
2826 72933 : p = precision(T->tau);
2827 72933 : if (p)
2828 : {
2829 72555 : T->w1 = gprec_wensure(T->w1, p);
2830 72555 : T->w2 = gprec_wensure(T->w2, p);
2831 : }
2832 72933 : T->W1 = gadd(gmul(T->a,T->w1), gmul(T->b,T->w2));
2833 72933 : T->W2 = gadd(gmul(T->c,T->w1), gmul(T->d,T->w2));
2834 72933 : T->Tau = gdiv(T->W1, T->W2);
2835 72933 : if (isintzero(real_i(T->Tau))) T->some_q_is_real = T->q_is_real = 1;
2836 72933 : p = precision(T->Tau); T->prec = p? p: prec;
2837 72933 : }
2838 : /* is z real or pure imaginary ? */
2839 : static void
2840 82432 : check_complex(GEN z, int *real, int *imag)
2841 : {
2842 82432 : if (typ(z) != t_COMPLEX) { *real = 1; *imag = 0; }
2843 69573 : else if (isintzero(gel(z,1))) { *real = 0; *imag = 1; }
2844 62706 : else *real = *imag = 0;
2845 82432 : }
2846 : static void
2847 39557 : reduce_z(GEN z, ellred_t *T)
2848 : {
2849 : GEN x, Z;
2850 : long p, e;
2851 39557 : switch(typ(z))
2852 : {
2853 39557 : case t_INT: case t_REAL: case t_FRAC: case t_COMPLEX: break;
2854 0 : case t_QUAD:
2855 0 : z = isexactzero(gel(z,2))? gel(z,1): quadtofp(z, T->prec);
2856 0 : break;
2857 0 : default: pari_err_TYPE("reduction mod 2-dim lattice (reduce_z)", z);
2858 : }
2859 39557 : Z = gdiv(z, T->W2);
2860 39557 : T->z = z;
2861 39557 : x = gdiv(imag_i(Z), imag_i(T->Tau));
2862 39557 : T->x = grndtoi(x, &e); /* |Im(Z - x*Tau)| <= Im(Tau)/2 */
2863 : /* Avoid Im(Z) << 0; take 0 <= Im(Z - x*Tau) < Im(Tau) instead.
2864 : * Leave round when Im(Z - x*Tau) ~ 0 to allow detecting Z in <1,Tau>
2865 : * at the end */
2866 39557 : if (e > -10) T->x = gfloor(x);
2867 39557 : if (signe(T->x)) Z = gsub(Z, gmul(T->x,T->Tau));
2868 39557 : T->y = ground(real_i(Z));/* |Re(Z - y)| <= 1/2 */
2869 39557 : if (signe(T->y)) Z = gsub(Z, T->y);
2870 39557 : T->abs_u_is_1 = (typ(Z) != t_COMPLEX);
2871 : /* Z = - y - x tau + z/W2, x,y integers */
2872 39557 : check_complex(z, &(T->some_z_is_real), &(T->some_z_is_pure_imag));
2873 39557 : if (!T->some_z_is_real && !T->some_z_is_pure_imag)
2874 : {
2875 : int W2real, W2imag;
2876 31346 : check_complex(T->W2,&W2real,&W2imag);
2877 31346 : if (W2real)
2878 4711 : check_complex(Z, &(T->some_z_is_real), &(T->some_z_is_pure_imag));
2879 26635 : else if (W2imag)
2880 6748 : check_complex(Z, &(T->some_z_is_pure_imag), &(T->some_z_is_real));
2881 : }
2882 39557 : p = precision(Z);
2883 39557 : if (gequal0(Z) || (p && gexpo(Z) < 5 - p)) Z = NULL; /*z in L*/
2884 39557 : if (p && p < T->prec) T->prec = p;
2885 39557 : T->Z = Z;
2886 39557 : }
2887 : /* return x.eta1 + y.eta2 */
2888 : static GEN
2889 37618 : eta_correction(ellred_t *T, GEN eta)
2890 : {
2891 37618 : GEN y1 = NULL, y2 = NULL;
2892 37618 : if (signe(T->x)) y1 = gmul(T->x, gel(eta,1));
2893 37618 : if (signe(T->y)) y2 = gmul(T->y, gel(eta,2));
2894 37618 : if (!y1) return y2? y2: gen_0;
2895 14108 : return y2? gadd(y1, y2): y1;
2896 : }
2897 : /* e is either
2898 : * - [w1,w2]
2899 : * - [[w1,w2],[eta1,eta2]]
2900 : * - an ellinit structure */
2901 : static void
2902 72933 : compute_periods(ellred_t *T, GEN z, long prec)
2903 : {
2904 : GEN w, e;
2905 72933 : T->q_is_real = 0;
2906 72933 : T->some_q_is_real = 0;
2907 72933 : switch(T->type)
2908 : {
2909 30688 : case t_PER_ELL:
2910 : {
2911 30688 : long pr, p = prec;
2912 30688 : if (z && (pr = precision(z))) p = pr;
2913 30688 : e = T->in;
2914 30688 : w = ellR_omega(e, p);
2915 30688 : T->some_q_is_real = T->q_is_real = 1;
2916 30688 : break;
2917 : }
2918 13363 : case t_PER_W:
2919 13363 : w = T->in; break;
2920 28882 : default: /*t_PER_WETA*/
2921 28882 : w = gel(T->in,1); break;
2922 : }
2923 72933 : T->w1 = gel(w,1);
2924 72933 : T->w2 = gel(w,2);
2925 72933 : red_modSL2(T, prec);
2926 72933 : if (z) reduce_z(z, T);
2927 72933 : }
2928 : static int
2929 72940 : check_periods(GEN e, ellred_t *T)
2930 : {
2931 : GEN w1;
2932 72940 : if (typ(e) != t_VEC) return 0;
2933 72940 : T->in = e;
2934 72940 : switch(lg(e))
2935 : {
2936 30695 : case 17:
2937 30695 : T->type = t_PER_ELL;
2938 30695 : break;
2939 42245 : case 3:
2940 42245 : w1 = gel(e,1);
2941 42245 : if (typ(w1) != t_VEC)
2942 13363 : T->type = t_PER_W;
2943 : else
2944 : {
2945 28882 : if (lg(w1) != 3) return 0;
2946 28882 : T->type = t_PER_WETA;
2947 : }
2948 42245 : break;
2949 0 : default: return 0;
2950 : }
2951 72940 : return 1;
2952 : }
2953 : static int
2954 72856 : get_periods(GEN e, GEN z, ellred_t *T, long prec)
2955 : {
2956 72856 : if (!check_periods(e, T)) return 0;
2957 72856 : compute_periods(T, z, prec); return 1;
2958 : }
2959 :
2960 : /* 2iPi/x, more efficient when x pure imaginary */
2961 : static GEN
2962 139314 : PiI2div(GEN x, long prec) { return gdiv(Pi2n(1, prec), mulcxmI(x)); }
2963 : /* (2iPi/W2)^k E_k(W1/W2) */
2964 : static GEN
2965 70994 : _elleisnum(ellred_t *T, long k)
2966 : {
2967 70994 : GEN z = gmul(cxEk(T->Tau, k, T->prec), gpowgs(PiI2div(T->W2, T->prec), k));
2968 70994 : return cxtoreal(z);
2969 : }
2970 :
2971 : /* Return (2iPi)^k E_k(L) = (2iPi/w2)^k E_k(tau), with L = <w1,w2>, k > 0 even
2972 : * E_k(tau) = 1 + 2/zeta(1-k) * sum(n>=1, n^(k-1) q^n/(1-q^n))
2973 : * If flag is != 0 and k=4 or 6, compute g2 = E4/12 or g3 = -E6/216 resp. */
2974 : GEN
2975 4459 : elleisnum(GEN om, long k, long flag, long prec)
2976 : {
2977 4459 : pari_sp av = avma;
2978 : GEN y;
2979 : ellred_t T;
2980 :
2981 4459 : if (k<=0) pari_err_DOMAIN("elleisnum", "k", "<=", gen_0, stoi(k));
2982 4459 : if (k&1) pari_err_DOMAIN("elleisnum", "k % 2", "!=", gen_0, stoi(k));
2983 4459 : if (!get_periods(om, NULL, &T, prec)) pari_err_TYPE("elleisnum",om);
2984 4459 : y = _elleisnum(&T, k);
2985 4459 : if (k==2 && signe(T.c))
2986 4025 : {
2987 4025 : GEN a = gmul(Pi2n(1,T.prec), mului(12, T.c));
2988 4025 : y = gsub(y, mulcxI(gdiv(a, gmul(T.w2, T.W2))));
2989 : }
2990 434 : else if (k==4 && flag) y = gdivgu(y, 12);
2991 406 : else if (k==6 && flag) y = gdivgs(y,-216);
2992 4459 : return gerepilecopy(av, gprec_wtrunc(y, T.prec0));
2993 : }
2994 :
2995 : /* return quasi-periods attached to [T->W1,T->W2] */
2996 : static GEN
2997 66353 : _elleta(ellred_t *T)
2998 : {
2999 66353 : GEN y1, y2, e2 = gdivgs(_elleisnum(T,2), -12);
3000 66353 : y2 = gmul(T->W2, e2);
3001 66353 : y1 = gsub(gmul(T->W1,e2), PiI2div(T->W2, T->prec));
3002 66353 : retmkvec2(y1, y2);
3003 : }
3004 :
3005 : /* compute eta1, eta2 */
3006 : GEN
3007 84 : elleta(GEN om, long prec)
3008 : {
3009 84 : pari_sp av = avma;
3010 : GEN y1, y2, E2, pi;
3011 : ellred_t T;
3012 :
3013 84 : if (!check_periods(om, &T))
3014 : {
3015 0 : pari_err_TYPE("elleta",om);
3016 : return NULL;/*LCOV_EXCL_LINE*/
3017 : }
3018 84 : if (T.type == t_PER_ELL) return ellR_eta(om, prec);
3019 :
3020 77 : compute_periods(&T, NULL, prec);
3021 77 : prec = T.prec;
3022 77 : pi = mppi(prec);
3023 77 : E2 = cxEk(T.Tau, 2, prec); /* E_2(Tau) */
3024 77 : if (signe(T.c))
3025 : {
3026 21 : GEN u = gdiv(T.w2, T.W2);
3027 : /* E2 := u^2 E2 + 6iuc/pi = E_2(tau) */
3028 21 : E2 = gadd(gmul(gsqr(u), E2), mulcxI(gdiv(gmul(mului(6,T.c), u), pi)));
3029 : }
3030 77 : y2 = gdiv(gmul(E2, sqrr(pi)), gmulsg(3, T.w2));
3031 77 : if (T.swap)
3032 : {
3033 7 : y1 = y2;
3034 7 : y2 = gadd(gmul(T.tau,y1), PiI2div(T.w2, prec));
3035 : }
3036 : else
3037 70 : y1 = gsub(gmul(T.tau,y2), PiI2div(T.w2, prec));
3038 77 : switch(typ(T.w1))
3039 : {
3040 49 : case t_INT: case t_FRAC: case t_REAL:
3041 49 : y1 = real_i(y1);
3042 : }
3043 77 : return gerepilecopy(av, mkvec2(y1,y2));
3044 : }
3045 : GEN
3046 28749 : ellperiods(GEN w, long flag, long prec)
3047 : {
3048 28749 : pari_sp av = avma;
3049 : ellred_t T;
3050 28749 : if (!get_periods(w, NULL, &T, prec)) pari_err_TYPE("ellperiods",w);
3051 28749 : switch(flag)
3052 : {
3053 14 : case 0: return gerepilecopy(av, mkvec2(T.W1, T.W2));
3054 28735 : case 1: return gerepilecopy(av, mkvec2(mkvec2(T.W1, T.W2), _elleta(&T)));
3055 0 : default: pari_err_FLAG("ellperiods");
3056 : return NULL;/*LCOV_EXCL_LINE*/
3057 : }
3058 : }
3059 :
3060 : /* 2Pi Im(z)/log(2) */
3061 : static double
3062 39431 : get_toadd(GEN z) { return (2*M_PI/M_LN2)*gtodouble(imag_i(z)); }
3063 :
3064 : /* computes the numerical value of wp(z | L), L = om1 Z + om2 Z
3065 : * return NULL if z in L. If flall=1, compute also wp' */
3066 : static GEN
3067 1911 : ellwpnum_all(GEN e, GEN z, long flall, long prec)
3068 : {
3069 : long toadd;
3070 1911 : pari_sp av = avma, av1;
3071 : GEN q, u, y, yp, u1, u2, qn;
3072 : ellred_t T;
3073 : int simple_case;
3074 :
3075 1911 : if (!get_periods(e, z, &T, prec)) pari_err_TYPE("ellwp",e);
3076 1911 : if (!T.Z) return NULL;
3077 1890 : prec = T.prec;
3078 :
3079 : /* Now L,Z normalized to <1,tau>. Z in fund. domain of <1, tau> */
3080 1890 : q = expIPiC(gmul2n(T.Tau,1), prec);
3081 1890 : u = expIPiC(gmul2n(T.Z,1), prec);
3082 1890 : u1 = gsubsg(1,u);
3083 1890 : u2 = gsqr(u1); /* (1-u)^2 = -4u sin^2(Pi Z) */
3084 1890 : if (gequal0(gnorm(u2))) return NULL; /* possible if loss of accuracy */
3085 1890 : y = gdiv(u,u2); /* -1/4(sin^2(Pi Z)) */
3086 1890 : if (T.abs_u_is_1) y = real_i(y);
3087 1890 : simple_case = T.abs_u_is_1 && T.q_is_real;
3088 1890 : y = gadd(mkfrac(gen_1, utoipos(12)), y);
3089 1890 : yp = flall? gen_0: NULL;
3090 1890 : toadd = (long)ceil(get_toadd(T.Z));
3091 :
3092 1890 : av1 = avma; qn = q;
3093 : for(;;)
3094 24448 : { /* y += u q^n [ 1/(1-q^n u)^2 + 1/(q^n-u)^2 ] - 2q^n /(1-q^n)^2 */
3095 : /* analogous formula for yp */
3096 26338 : GEN yadd, ypadd = NULL;
3097 26338 : GEN qnu = gmul(qn,u); /* q^n u */
3098 26338 : GEN a = gsubsg(1,qnu);/* 1 - q^n u */
3099 26338 : GEN a2 = gsqr(a); /* (1 - q^n u)^2 */
3100 26338 : if (yp) ypadd = gdiv(gaddsg(1,qnu),gmul(a,a2));
3101 26338 : if (simple_case) /* conj(u) = 1/u: formula simplifies */
3102 415 : yadd = gmul2n(real_i(gdiv(u,a2)), 1);
3103 : else
3104 : {
3105 25923 : GEN b = gsub(qn,u);/* q^n - u */
3106 25923 : GEN b2 = gsqr(b); /* (q^n - u)^2 */
3107 25923 : yadd = gmul(u, gadd(ginv(a2),ginv(b2)));
3108 25923 : if (yp) ypadd = gadd(ypadd, gdiv(gadd(qn,u),gmul(b,b2)));
3109 : }
3110 26338 : yadd = gsub(yadd, gmul2n(ginv(gsqr(gsubsg(1,qn))), 1));
3111 26338 : y = gadd(y, gmul(qn,yadd));
3112 26338 : if (yp) yp = gadd(yp, gmul(qn,ypadd));
3113 :
3114 26338 : qn = gmul(q,qn);
3115 26338 : if (gexpo(qn) <= - prec - 5 - toadd) break;
3116 24448 : if (gc_needed(av1,1))
3117 : {
3118 0 : if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"ellwp");
3119 0 : gerepileall(av1, flall? 3: 2, &y, &qn, &yp);
3120 : }
3121 : }
3122 1890 : if (yp)
3123 : {
3124 1827 : if (simple_case) yp = gsub(yp, conj_i(gmul(yp,gsqr(u))));
3125 1827 : yp = gadd(yp, gdiv(gaddsg(1,u), gmul(u1,u2)));
3126 : }
3127 :
3128 1890 : u1 = PiI2div(T.W2, prec);
3129 1890 : u2 = gsqr(u1);
3130 1890 : y = gmul(u2,y); /* y *= (2i pi / w2)^2 */
3131 1890 : if (T.some_q_is_real && (T.some_z_is_real || T.some_z_is_pure_imag))
3132 1029 : y = real_i(y);
3133 1890 : if (yp)
3134 : {
3135 1827 : yp = gmul(u, gmul(gmul(u1,u2),yp));/* yp *= u (2i pi / w2)^3 */
3136 1827 : if (T.some_q_is_real)
3137 : {
3138 1827 : if (T.some_z_is_real) yp = real_i(yp);
3139 847 : else if (T.some_z_is_pure_imag) yp = mkcomplex(gen_0, imag_i(yp));
3140 : }
3141 1827 : y = mkvec2(y, yp);
3142 : }
3143 1890 : return gerepilecopy(av, gprec_wtrunc(y, T.prec0));
3144 : }
3145 : static GEN
3146 301 : ellwpseries_aux(GEN c4, GEN c6, long v, long PRECDL)
3147 : {
3148 : long i, k, l;
3149 : pari_sp av;
3150 301 : GEN _1, t, res = cgetg(PRECDL+2,t_SER), *P = (GEN*)(res + 2);
3151 :
3152 301 : res[1] = evalsigne(1) | _evalvalser(-2) | evalvarn(v);
3153 301 : if (!PRECDL) { setsigne(res,0); return res; }
3154 :
3155 2520 : for (i=1; i<PRECDL; i+=2) P[i]= gen_0;
3156 301 : _1 = Rg_get_1(c4);
3157 301 : switch(PRECDL)
3158 : {
3159 301 : default:P[6] = gdivgu(c6,6048);
3160 301 : case 6:
3161 301 : case 5: P[4] = gdivgu(c4, 240);
3162 301 : case 4:
3163 301 : case 3: P[2] = gmul(_1,gen_0);
3164 301 : case 2:
3165 301 : case 1: P[0] = _1;
3166 : }
3167 301 : if (PRECDL <= 8) return res;
3168 301 : av = avma;
3169 301 : P[8] = gerepileupto(av, gdivgu(gsqr(P[4]), 3));
3170 1085 : for (k=5; (k<<1) < PRECDL; k++)
3171 : {
3172 784 : av = avma;
3173 784 : t = gmul(P[4], P[(k-2)<<1]);
3174 1239 : for (l=3; (l<<1) < k; l++) t = gadd(t, gmul(P[l<<1], P[(k-l)<<1]));
3175 784 : t = gmul2n(t, 1);
3176 784 : if ((k & 1) == 0) t = gadd(gsqr(P[k]), t);
3177 784 : if (k % 3 == 2)
3178 273 : t = gdivgu(gmulsg(3, t), (k-3)*(2*k+1));
3179 : else /* same value, more efficient */
3180 511 : t = gdivgu(t, ((k-3)*(2*k+1)) / 3);
3181 784 : P[k<<1] = gerepileupto(av, t);
3182 : }
3183 301 : return res;
3184 : }
3185 :
3186 : static int
3187 294 : get_c4c6(GEN w, GEN *c4, GEN *c6, long prec)
3188 : {
3189 294 : if (typ(w) == t_VEC) switch(lg(w))
3190 : {
3191 203 : case 17:
3192 203 : *c4 = ell_get_c4(w);
3193 203 : *c6 = ell_get_c6(w);
3194 203 : return 1;
3195 91 : case 3:
3196 : {
3197 : ellred_t T;
3198 91 : if (!get_periods(w,NULL,&T, prec)) break;
3199 91 : *c4 = _elleisnum(&T, 4);
3200 91 : *c6 = gneg(_elleisnum(&T, 6));
3201 91 : return 1;
3202 : }
3203 : }
3204 0 : *c4 = *c6 = NULL;
3205 0 : return 0;
3206 : }
3207 :
3208 : GEN
3209 14 : ellwpseries(GEN e, long v, long PRECDL)
3210 : {
3211 : GEN c4, c6;
3212 14 : checkell(e);
3213 14 : c4 = ell_get_c4(e);
3214 14 : c6 = ell_get_c6(e); return ellwpseries_aux(c4,c6,v,PRECDL);
3215 : }
3216 :
3217 : GEN
3218 0 : ellwp(GEN w, GEN z, long prec)
3219 0 : { return ellwp0(w,z,0,prec); }
3220 :
3221 : GEN
3222 182 : ellwp0(GEN w, GEN z, long flag, long prec)
3223 : {
3224 182 : pari_sp av = avma;
3225 : GEN y;
3226 :
3227 182 : if (flag && flag != 1) pari_err_FLAG("ellwp");
3228 182 : if (!z) z = pol_x(0);
3229 182 : y = toser_i(z);
3230 182 : if (y)
3231 : {
3232 105 : long vy = varn(y), v = valser(y);
3233 : GEN P, Q, c4,c6;
3234 105 : if (!get_c4c6(w,&c4,&c6,prec)) pari_err_TYPE("ellwp",w);
3235 105 : if (v <= 0) pari_err(e_IMPL,"ellwp(t_SER) away from 0");
3236 105 : if (gequal0(y)) {
3237 0 : set_avma(av);
3238 0 : if (!flag) return zeroser(vy, -2*v);
3239 0 : retmkvec2(zeroser(vy, -2*v), zeroser(vy, -3*v));
3240 : }
3241 105 : P = ellwpseries_aux(c4,c6, vy, lg(y)-2);
3242 105 : Q = gsubst(P, varn(P), y);
3243 105 : if (!flag)
3244 105 : return gerepileupto(av, Q);
3245 : else
3246 : {
3247 0 : GEN R = mkvec2(Q, gdiv(derivser(Q), derivser(y)));
3248 0 : return gerepilecopy(av, R);
3249 : }
3250 : }
3251 77 : y = ellwpnum_all(w,z,flag,prec);
3252 77 : if (!y) pari_err_DOMAIN("ellwp", "argument","=", gen_0,z);
3253 70 : return gerepileupto(av, y);
3254 : }
3255 :
3256 : GEN
3257 161 : ellzeta(GEN w, GEN z, long prec0)
3258 : {
3259 : long prec;
3260 161 : pari_sp av = avma;
3261 161 : GEN pi2, q, y, et = NULL;
3262 : ellred_t T;
3263 :
3264 161 : if (!z) z = pol_x(0);
3265 161 : y = toser_i(z);
3266 161 : if (y)
3267 : {
3268 91 : long vy = varn(y), v = valser(y);
3269 : GEN P, Q, c4,c6;
3270 91 : if (!get_c4c6(w,&c4,&c6,prec0)) pari_err_TYPE("ellzeta",w);
3271 91 : if (v <= 0) pari_err(e_IMPL,"ellzeta(t_SER) away from 0");
3272 91 : if (gequal0(y)) { set_avma(av); return zeroser(vy, -v); }
3273 91 : P = ellwpseries_aux(c4,c6, vy, lg(y)-2);
3274 91 : P = integser(gneg(P)); /* \zeta' = - \wp*/
3275 91 : Q = gsubst(P, varn(P), y);
3276 91 : return gerepileupto(av, Q);
3277 : }
3278 70 : if (!get_periods(w, z, &T, prec0)) pari_err_TYPE("ellzeta", w);
3279 70 : if (!T.Z) pari_err_DOMAIN("ellzeta", "z", "=", gen_0, z);
3280 70 : prec = T.prec;
3281 70 : if (signe(T.x) || signe(T.y)) et = eta_correction(&T, _elleta(&T));
3282 :
3283 70 : pi2 = Pi2n(1, prec);
3284 70 : q = expIPiC(gmul2n(T.Tau,1), prec);
3285 70 : y = mulcxI(gmul(cxEk(T.Tau,2,prec), gmul(T.Z,divrs(pi2,-12))));
3286 70 : if (!T.abs_u_is_1 || (!gequal(T.Z,ghalf) && !gequal(T.Z,gneg(ghalf))))
3287 : { /* else u = -1 and this vanishes */
3288 70 : long toadd = (long)ceil(get_toadd(T.Z));
3289 70 : GEN qn, u, v, S = gen_0;
3290 : pari_sp av1;
3291 70 : u = expIPiC(gmul2n(T.Z,1), prec);
3292 70 : v = gadd(ghalf, ginv(gsubgs(u, 1)));
3293 70 : if (T.abs_u_is_1) gel(v,1) = gen_0; /*v = (u+1)/2(u-1), pure imaginary*/
3294 70 : y = gadd(y, v);
3295 : /* add sum_n q^n ( u/(u*q^n - 1) + 1/(u - q^n) )
3296 : * = (u^2 - 1) sum_n q^n / (uq^n - 1)(u - q^n) */
3297 70 : av1 = avma;
3298 70 : for (qn = q;;)
3299 : {
3300 863 : S = gadd(S, gdiv(qn, gmul(gsubgs(gmul(qn,u),1), gsub(u,qn))));
3301 863 : qn = gmul(q,qn);
3302 863 : if (gexpo(qn) <= - prec - 5 - toadd) break;
3303 793 : if (gc_needed(av1,1))
3304 : {
3305 0 : if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"ellzeta");
3306 0 : gerepileall(av1,2, &S,&qn);
3307 : }
3308 : }
3309 70 : y = gadd(y, gmul(gsubgs(gsqr(u),1), S));
3310 : }
3311 70 : y = mulcxI(gmul(gdiv(pi2,T.W2), y));
3312 70 : if (T.some_q_is_real)
3313 : {
3314 70 : if (T.some_z_is_real)
3315 : {
3316 28 : if (!et || typ(et) != t_COMPLEX) y = real_i(y);
3317 : }
3318 42 : else if (T.some_z_is_pure_imag)
3319 : {
3320 21 : if (!et || (typ(et) == t_COMPLEX && isintzero(gel(et,1))))
3321 21 : gel(y,1) = gen_0;
3322 : }
3323 : }
3324 70 : if (et) y = gadd(y, et);
3325 70 : return gerepilecopy(av, gprec_wtrunc(y, T.prec0));
3326 : }
3327 :
3328 : /* if flag=0, return ellsigma, otherwise return log(ellsigma) */
3329 : GEN
3330 37674 : ellsigma(GEN w, GEN z, long flag, long prec0)
3331 : {
3332 : long toadd, prec, n;
3333 37674 : pari_sp av = avma, av1;
3334 : GEN u, urn, urninv, z0, pi, pi2, q, q8, qn2, qn, y, y1, uinv, et, etnew;
3335 : ellred_t T;
3336 :
3337 37674 : if (flag < 0 || flag > 1) pari_err_FLAG("ellsigma");
3338 :
3339 37674 : if (!z) z = pol_x(0);
3340 37674 : y = toser_i(z);
3341 37674 : if (y)
3342 : {
3343 98 : long vy = varn(y), v = valser(y);
3344 : GEN P, Q, c4,c6;
3345 98 : if (!get_c4c6(w,&c4,&c6,prec0)) pari_err_TYPE("ellsigma",w);
3346 98 : if (v <= 0) pari_err_IMPL("ellsigma(t_SER) away from 0");
3347 98 : if (flag) pari_err_TYPE("log(ellsigma)",y);
3348 91 : if (gequal0(y)) { set_avma(av); return zeroser(vy, -v); }
3349 91 : P = ellwpseries_aux(c4,c6, vy, lg(y)-2);
3350 91 : P = integser(gneg(P)); /* \zeta' = - \wp*/
3351 : /* (log \sigma)' = \zeta; remove log-singularity first */
3352 91 : P = integser(serchop0(P));
3353 91 : P = gexp(P, prec0);
3354 91 : setvalser(P, valser(P)+1);
3355 91 : Q = gsubst(P, varn(P), y);
3356 91 : return gerepileupto(av, Q);
3357 : }
3358 37576 : if (!get_periods(w, z, &T, prec0)) pari_err_TYPE("ellsigma",w);
3359 37576 : if (!T.Z)
3360 : {
3361 7 : if (!flag) return gen_0;
3362 7 : pari_err_DOMAIN("log(ellsigma)", "argument","=",gen_0,z);
3363 : }
3364 37569 : prec = T.prec;
3365 37569 : pi2 = Pi2n(1,prec);
3366 37569 : pi = mppi(prec);
3367 :
3368 37569 : urninv = uinv = NULL;
3369 37569 : if (typ(T.Z) == t_FRAC && equaliu(gel(T.Z,2), 2) && equalim1(gel(T.Z,1)))
3370 : {
3371 98 : toadd = 0;
3372 98 : urn = mkcomplex(gen_0, gen_m1); /* Z = -1/2 => urn = -I */
3373 98 : u = gen_1;
3374 : }
3375 : else
3376 : {
3377 37471 : toadd = (long)ceil(fabs( get_toadd(T.Z) ));
3378 37471 : urn = expIPiC(T.Z, prec); /* exp(i Pi Z) */
3379 37471 : u = gneg_i(gsqr(urn));
3380 37471 : if (!T.abs_u_is_1) { urninv = ginv(urn); uinv = gneg_i(gsqr(urninv)); }
3381 : }
3382 37569 : q8 = expIPiC(gmul2n(T.Tau, -2), prec);
3383 37569 : q = gpowgs(q8,8); av1 = avma;
3384 37569 : y = gen_0; qn = q; qn2 = gen_1;
3385 239006 : for(n=0;;n++)
3386 : { /* qn = q^(n+1), qn2 = q^(n(n+1)/2), urn = u^((n+1)/2)
3387 : * if |u| = 1, will multiply by 2*I at the end ! */
3388 239006 : y = gadd(y, gmul(qn2, uinv? gsub(urn,urninv): imag_i(urn)));
3389 239006 : qn2 = gmul(qn,qn2);
3390 239006 : if (gexpo(qn2) + n*toadd <= - prec - 5) break;
3391 201437 : qn = gmul(q,qn);
3392 201437 : urn = gmul(urn,u);
3393 201437 : if (uinv) urninv = gmul(urninv,uinv);
3394 201437 : if (gc_needed(av1,1))
3395 : {
3396 0 : if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"ellsigma");
3397 0 : gerepileall(av1,urninv? 5: 4, &y,&qn,&qn2,&urn,&urninv);
3398 : }
3399 : }
3400 37569 : y = gmul(y, gdiv(q8, gmul(pi2, gpowgs(trueeta(T.Tau,prec),3))));
3401 37569 : y = gmul(y, T.abs_u_is_1? gmul2n(T.W2,1): mulcxmI(T.W2));
3402 :
3403 37569 : et = _elleta(&T);
3404 37569 : z0 = gmul(T.Z,T.W2);
3405 37569 : y1 = gadd(z0, gmul2n(gadd(gmul(T.x,T.W1), gmul(T.y,T.W2)),-1));
3406 37569 : etnew = gmul(eta_correction(&T, et), y1);
3407 37569 : y1 = gadd(etnew, gmul2n(gmul(gmul(T.Z,z0),gel(et,2)),-1));
3408 37569 : if (flag)
3409 : {
3410 37499 : y = gadd(y1, glog(y,prec));
3411 37499 : if (mpodd(T.x) || mpodd(T.y)) y = gadd(y, mulcxI(pi));
3412 : /* log(real number): im(y) = 0 or Pi */
3413 37499 : if (T.some_q_is_real && isintzero(imag_i(z)) && gexpo(imag_i(y)) < 1)
3414 273 : y = real_i(y);
3415 : }
3416 : else
3417 : {
3418 70 : y = gmul(y, gexp(y1,prec));
3419 70 : if (mpodd(T.x) || mpodd(T.y)) y = gneg_i(y);
3420 70 : if (T.some_q_is_real)
3421 : {
3422 : int re, cx;
3423 70 : check_complex(z,&re,&cx);
3424 70 : if (re) y = real_i(y);
3425 49 : else if (cx && typ(y) == t_COMPLEX) gel(y,1) = gen_0;
3426 : }
3427 : }
3428 37569 : return gerepilecopy(av, gprec_wtrunc(y, T.prec0));
3429 : }
3430 :
3431 : GEN
3432 1890 : pointell(GEN e, GEN z, long prec)
3433 : {
3434 1890 : pari_sp av = avma;
3435 : GEN v;
3436 :
3437 1890 : checkell(e);
3438 1890 : if (ell_get_type(e) == t_ELL_Qp)
3439 : {
3440 56 : prec = minss(ellQp_get_prec(e), padicprec_relative(z));
3441 56 : return ellQp_t2P(e, z, prec);
3442 : }
3443 1834 : v = ellwpnum_all(e,z,1,prec);
3444 1834 : if (!v) { set_avma(av); return ellinf(); }
3445 1820 : gel(v,1) = gsub(gel(v,1), gdivgu(ell_get_b2(e),12));
3446 1820 : gel(v,2) = gmul2n(gsub(gel(v,2), ec_h_evalx(e,gel(v,1))),-1);
3447 1820 : return gerepilecopy(av, v);
3448 : }
3449 :
3450 : /********************************************************************/
3451 : /** **/
3452 : /** Tate's algorithm e (cf Anvers IV) **/
3453 : /** Kodaira types, global minimal model **/
3454 : /** **/
3455 : /********************************************************************/
3456 : /* structure to hold incremental computation of standard minimal model/Q */
3457 : typedef struct {
3458 : long a1; /*{0,1}*/
3459 : long a2; /*{-1,0,1}*/
3460 : long a3; /*{0,1}*/
3461 : long b2; /* centermod(-c6, 12), in [-5,6] */
3462 : GEN u, u2, u3, u4, u6;
3463 : GEN a4, a6, b4, b6, b8, c4, c6, D;
3464 : } ellmin_t;
3465 :
3466 : /* u from [u,r,s,t] */
3467 : static void
3468 566139 : min_set_u(ellmin_t *M, GEN u)
3469 : {
3470 566139 : M->u = u;
3471 566139 : if (is_pm1(u))
3472 470533 : M->u2 = M->u3 = M->u4 = M->u6 = gen_1;
3473 : else
3474 : {
3475 95606 : M->u2 = sqri(u);
3476 95606 : M->u3 = mulii(M->u2, u);
3477 95606 : M->u4 = sqri(M->u2);
3478 95606 : M->u6 = sqri(M->u3);
3479 : }
3480 566139 : }
3481 : /* E = original curve */
3482 : static void
3483 566139 : min_set_c(ellmin_t *M, GEN E)
3484 : {
3485 566139 : GEN c4 = ell_get_c4(E), c6 = ell_get_c6(E);
3486 566139 : if (!is_pm1(M->u4)) {
3487 95606 : c4 = diviiexact(c4, M->u4);
3488 95606 : c6 = diviiexact(c6, M->u6);
3489 : }
3490 566139 : M->c4 = c4;
3491 566139 : M->c6 = c6;
3492 566139 : }
3493 : static void
3494 565831 : min_set_D(ellmin_t *M, GEN E)
3495 : {
3496 565831 : GEN D = ell_get_disc(E);
3497 565831 : if (!is_pm1(M->u6)) D = diviiexact(D, sqri(M->u6));
3498 565831 : M->D = D;
3499 565831 : }
3500 : static void
3501 565992 : min_set_b(ellmin_t *M)
3502 : {
3503 : long b22, b2;
3504 565992 : M->b2 = b2 = Fl_center(12 - umodiu(M->c6,12), 12, 6);
3505 565992 : b22 = b2 * b2; /* in [0,36] */
3506 565992 : M->b4 = diviuexact(subui(b22, M->c4), 24);
3507 565992 : M->b6 = diviuexact(subii(mulsi(b2, subiu(mului(36,M->b4),b22)), M->c6), 216);
3508 565992 : }
3509 : static void
3510 565852 : min_set_a(ellmin_t *M)
3511 : {
3512 565852 : long a1, a2, a3, a13, b2 = M->b2;
3513 565852 : GEN b4 = M->b4, b6 = M->b6;
3514 565852 : if (odd(b2))
3515 : {
3516 286503 : a1 = 1;
3517 286503 : a2 = (b2 - 1) >> 2;
3518 : }
3519 : else
3520 : {
3521 279349 : a1 = 0;
3522 279349 : a2 = b2 >> 2;
3523 : }
3524 565852 : M->a1 = a1;
3525 565852 : M->a2 = a2;
3526 565852 : M->a3 = a3 = Mod2(b6)? 1: 0;
3527 565852 : a13 = a1 & a3; /* a1 * a3 */
3528 565852 : M->a4 = shifti(subiu(b4, a13), -1);
3529 565852 : M->a6 = shifti(subiu(b6, a3), -2);
3530 565852 : }
3531 : static void
3532 565817 : min_set_all(ellmin_t *M, GEN E, GEN u)
3533 : {
3534 565817 : min_set_u(M, u);
3535 565817 : min_set_c(M, E);
3536 565817 : min_set_D(M, E);
3537 565817 : min_set_b(M);
3538 565817 : min_set_a(M);
3539 565817 : }
3540 : static GEN
3541 552734 : min_to_ell(ellmin_t *M, GEN E)
3542 : {
3543 552734 : GEN b8, y = obj_init(15, 8);
3544 : long a11, a13;
3545 552734 : gel(y,1) = M->a1? gen_1: gen_0;
3546 552734 : gel(y,2) = stoi(M->a2);
3547 552734 : gel(y,3) = M->a3? gen_1: gen_0;
3548 552734 : gel(y,4) = M->a4;
3549 552734 : gel(y,5) = M->a6;
3550 552734 : gel(y,6) = stoi(M->b2);
3551 552734 : gel(y,7) = M->b4;
3552 552734 : gel(y,8) = M->b6;
3553 552734 : a11 = M->a1;
3554 552734 : a13 = M->a1 & M->a3;
3555 552734 : b8 = subii(addii(mului(a11,M->a6), mulis(M->b6, M->a2)),
3556 : mulii(M->a4, addiu(M->a4,a13)));
3557 552734 : gel(y,9) = b8; /* a1^2 a6 + 4a6 a2 + a2 a3^2 - a4(a4 + a1 a3) */
3558 552734 : gel(y,10)= M->c4;
3559 552734 : gel(y,11)= M->c6;
3560 552734 : gel(y,12)= M->D;
3561 552734 : gel(y,13)= gel(E,13);
3562 552734 : gel(y,14)= gel(E,14);
3563 552734 : gel(y,15)= gel(E,15);
3564 552734 : return y;
3565 : }
3566 : static GEN
3567 565817 : min_get_v(ellmin_t *M, GEN E)
3568 : {
3569 : GEN r, s, t;
3570 565817 : r = diviuexact(subii(mulis(M->u2,M->b2), ell_get_b2(E)), 12);
3571 565817 : s = shifti(subii(M->a1? M->u: gen_0, ell_get_a1(E)), -1);
3572 565817 : t = shifti(subii(M->a3? M->u3: gen_0, Zec_h_evalx(E,r)), -1);
3573 565817 : return mkvec4(M->u,r,s,t);
3574 : }
3575 :
3576 : /* return v_p(u), where [u,r,s,t] is the variable change to minimal model */
3577 : static long
3578 1702543 : get_vp_u_small(GEN E, ulong p, long *pv6, long *pvD)
3579 : {
3580 1702543 : GEN c6 = ell_get_c6(E);
3581 1702543 : long d, v6, vD = Z_lval(ell_get_disc(E), p);
3582 1702543 : if (!signe(c6))
3583 : {
3584 3045 : d = vD / 12;
3585 3045 : if (d)
3586 : {
3587 1127 : if (p == 2)
3588 : {
3589 875 : GEN c4 = ell_get_c4(E);
3590 875 : long a = Mod16( shifti(c4, -4*d) );
3591 875 : if (a) d--;
3592 : }
3593 1127 : if (d) vD -= 12*d; /* non minimal model */
3594 : }
3595 3045 : v6 = 12; /* +oo */
3596 : }
3597 : else
3598 : {
3599 1699498 : v6 = Z_lval(c6,p);
3600 1699498 : d = minss(2*v6, vD) / 12;
3601 1699498 : if (d) {
3602 181286 : if (p == 2) {
3603 109858 : GEN c4 = ell_get_c4(E);
3604 109858 : long a = Mod16( shifti(c4, -4*d) );
3605 109858 : long b = Mod32( shifti(c6, -6*d) );
3606 109858 : if ((b & 3) != 3 && (a || (b && b!=8))) d--;
3607 71428 : } else if (p == 3) {
3608 45199 : if (v6 == 6*d+2) d--;
3609 : }
3610 181286 : if (d) { v6 -= 6*d; vD -= 12*d; } /* non minimal model */
3611 : }
3612 : }
3613 1702543 : *pv6 = v6; *pvD = vD; return d;
3614 : }
3615 : static long
3616 881468 : get_vp_u(GEN E, GEN p, long *pv6, long *pvD)
3617 : {
3618 : GEN c6;
3619 : long d, v6, vD;
3620 881468 : if (lgefint(p) == 3) return get_vp_u_small(E, p[2], pv6, pvD);
3621 39 : c6 = ell_get_c6(E);
3622 39 : vD = Z_pval(ell_get_disc(E), p);
3623 39 : if (!signe(c6))
3624 : {
3625 0 : d = vD / 12;
3626 0 : if (d) vD -= 12*d; /* non minimal model */
3627 0 : v6 = 12; /* +oo */
3628 : }
3629 : else
3630 : {
3631 39 : v6 = Z_pval(c6,p);
3632 39 : d = minss(2*v6, vD) / 12;
3633 39 : if (d) { v6 -= 6*d; vD -= 12*d; } /* non minimal model */
3634 : }
3635 39 : *pv6 = v6; *pvD = vD; return d;
3636 : }
3637 :
3638 : /* Given an integral elliptic curve in ellinit form, and a prime p, returns the
3639 : type of the fiber at p of the Neron model, as well as the change of variables
3640 : in the form [f, kod, v, c].
3641 :
3642 : * The integer f is the conductor's exponent.
3643 :
3644 : * The integer kod is the Kodaira type using the following notation:
3645 : II , III , IV --> 2, 3, 4
3646 : I0 --> 1
3647 : Inu --> 4+nu for nu > 0
3648 : A '*' negates the code (e.g I* --> -2)
3649 :
3650 : * v is a quadruple [u, r, s, t] yielding a minimal model
3651 :
3652 : * c is the Tamagawa number.
3653 :
3654 : Uses Tate's algorithm (Anvers IV). Given the remarks at the bottom of
3655 : page 46, the "long" algorithm is used for p = 2,3 only. */
3656 : static GEN
3657 1899478 : localred_result(long f, long kod, long c, GEN v)
3658 : {
3659 1899478 : GEN z = cgetg(5, t_VEC);
3660 1899478 : gel(z,1) = stoi(f);
3661 1899478 : gel(z,2) = stoi(kod);
3662 1899478 : gel(z,3) = gcopy(v);
3663 1899478 : gel(z,4) = stoi(c); return z;
3664 : }
3665 : static GEN
3666 0 : localredbug(GEN p, const char *s)
3667 : {
3668 0 : if (BPSW_psp(p)) pari_err_BUG(s);
3669 0 : pari_err_PRIME("localred",p);
3670 : return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
3671 : }
3672 :
3673 : /* v_p( denom(j(E)) ) >= 0 */
3674 : static long
3675 884842 : j_pval(GEN E, GEN p) { return Z_pval(Q_denom(ell_get_j(E)), p); }
3676 :
3677 : /* p > 3, e integral */
3678 : static GEN
3679 881468 : localred_p(GEN e, GEN p)
3680 : {
3681 : long k, f, kod, c, nuj, nuD, nu6;
3682 881468 : GEN p2, v, tri, c4, c6, D = ell_get_disc(e);
3683 :
3684 881468 : c4 = ell_get_c4(e);
3685 881468 : c6 = ell_get_c6(e);
3686 881468 : nuj = j_pval(e, p);
3687 881468 : nuD = Z_pval(D, p);
3688 881468 : k = get_vp_u(e, p, &nu6, &nuD);
3689 881468 : if (!k) v = init_ch();
3690 : else
3691 : { /* model not minimal */
3692 : ellmin_t M;
3693 13097 : min_set_all(&M, e, powiu(p,k));
3694 13097 : v = min_get_v(&M, e);
3695 13097 : c4 = M.c4; c6 = M.c6; D = M.D;
3696 : }
3697 :
3698 881468 : if (nuj > 0) switch(nuD - nuj)
3699 : {
3700 763021 : case 0: f = 1; kod = 4+nuj; /* Inu */
3701 763021 : switch(kronecker(negi(c6),p))
3702 : {
3703 393218 : case 1: c = nuD; break;
3704 369803 : case -1: c = odd(nuD)? 1: 2; break;
3705 0 : default: return localredbug(p,"localred (p | c6)");
3706 : }
3707 763021 : break;
3708 45829 : case 6:
3709 : {
3710 45829 : GEN d = Fp_red(diviiexact(D, powiu(p, 6+nuj)), p);
3711 45829 : if (nuj & 1) d = Fp_mul(d, diviiexact(c6, powiu(p,3)), p);
3712 45829 : f = 2; kod = -4-nuj; c = 3 + kronecker(d, p); /* Inu* */
3713 45829 : break;
3714 : }
3715 0 : default: return localredbug(p,"localred (nu_D - nu_j != 0,6)");
3716 : }
3717 72618 : else switch(nuD)
3718 : {
3719 539 : case 0: f = 0; kod = 1; c = 1; break; /* I0, regular */
3720 11718 : case 2: f = 2; kod = 2; c = 1; break; /* II */
3721 10346 : case 3: f = 2; kod = 3; c = 2; break; /* III */
3722 5663 : case 4: f = 2; kod = 4; /* IV */
3723 5663 : c = 2 + krosi(-6,p) * kronecker(diviiexact(c6,sqri(p)), p);
3724 5663 : break;
3725 16856 : case 6: f = 2; kod = -1; /* I0* */
3726 16856 : p2 = sqri(p);
3727 : /* x^3 - 3c4/p^2 x - 2c6/p^3 */
3728 16856 : tri = mkpoln(4, gen_1, gen_0,
3729 : negi(mului(3, diviiexact(c4, p2))),
3730 : negi(shifti(diviiexact(c6, mulii(p2,p)), 1)));
3731 16856 : c = 1 + FpX_nbroots(tri, p);
3732 16856 : break;
3733 11641 : case 8: f = 2; kod = -4; /* IV* */
3734 11641 : c = 2 + krosi(-6,p) * kronecker(diviiexact(c6, sqri(sqri(p))), p);
3735 11641 : break;
3736 10241 : case 9: f = 2; kod = -3; c = 2; break; /* III* */
3737 5614 : case 10: f = 2; kod = -2; c = 1; break; /* II* */
3738 0 : default: return localredbug(p,"localred");
3739 : }
3740 881468 : return localred_result(f, kod, c, v);
3741 : }
3742 :
3743 : /* return a_{ k,l } in Tate's notation, pl = p^l */
3744 : static ulong
3745 891702 : aux(GEN ak, ulong q, ulong pl)
3746 891702 : { return umodiu(ak, q) / pl; }
3747 :
3748 : static ulong
3749 1424346 : aux2(GEN ak, ulong p, GEN pl)
3750 1424346 : { pari_sp av = avma; return gc_ulong(av, umodiu(diviiexact(ak, pl), p)); }
3751 :
3752 : /* number of distinct roots of X^3 + aX^2 + bX + c modulo p = 2 or 3
3753 : * assume a,b,c in {0, 1} [ p = 2 ] or {0, 1, 2} [ p = 3 ]
3754 : * if there's a multiple root, put it in *mult */
3755 : static long
3756 245056 : numroots3(long a, long b, long c, long p, long *mult)
3757 : {
3758 245056 : if (p == 2)
3759 : {
3760 141554 : if (odd(c + a * b)) return 3;
3761 122766 : *mult = b; return odd(a + b)? 2: 1;
3762 : }
3763 : /* p = 3 */
3764 103502 : if (!a) { *mult = -c; return b? 3: 1; }
3765 69286 : *mult = a * b;
3766 69286 : if (b == 2)
3767 23065 : return (a + c) == 3 ? 2 : 3;
3768 : else
3769 46221 : return c ? 3 : 2;
3770 : }
3771 :
3772 : /* same for aX^2 +bX + c */
3773 : static long
3774 790440 : numroots2(long a, long b, long c, long p, long *mult)
3775 : {
3776 790440 : if (p == 2) { *mult = c; return odd(b)? 2: 1; }
3777 : /* p = 3 */
3778 302113 : *mult = a * b; return (b * b - a * c) % 3 ? 2 : 1;
3779 : }
3780 :
3781 : /* p = 2 or 3 */
3782 : static GEN
3783 706853 : localred_23(GEN e, long p)
3784 : {
3785 : long c, nu, nu6, nuD, r, s, t;
3786 : long k, theroot, p2, p3, p4, p5, a21, a42, a63, a32, a64;
3787 : GEN v;
3788 :
3789 706853 : k = get_vp_u_small(e, p, &nu6, &nuD);
3790 706853 : if (!k) v = init_ch();
3791 : else
3792 : {
3793 : ellmin_t M;
3794 48776 : min_set_all(&M, e, powuu(p, k));
3795 48776 : v = min_get_v(&M, e);
3796 48776 : e = min_to_ell(&M, e);
3797 : }
3798 : /* model is minimal */
3799 706853 : nuD = Z_lval(ell_get_disc(e), (ulong)p);
3800 706853 : if (!nuD) return localred_result(0, 1, 1, v); /* I0 */
3801 705362 : if (p == 2) { p2 = 4; p3 = 8; p4 = 16; p5 = 32; }
3802 322833 : else { p2 = 9; p3 = 27; p4 = 81; p5 =243; }
3803 :
3804 705362 : if (umodiu(ell_get_b2(e), p)) /* p \nmid b2 */
3805 : {
3806 387590 : if (umodiu(negi(ell_get_c6(e)), p == 2 ? 8 : 3) == 1)
3807 196819 : c = nuD;
3808 : else
3809 190771 : c = odd(nuD)? 1: 2;
3810 387590 : return localred_result(1, 4 + nuD, c, v); /* Inu */
3811 : }
3812 317772 : if (p == 2)
3813 : {
3814 186494 : r = umodiu(ell_get_a4(e), 2);
3815 186494 : s = umodiu(ell_get_a2(e), 2);
3816 186494 : t = umodiu(ell_get_a6(e), 2);
3817 186494 : if (r) { t = (s + t) & 1; s = (s + 1) & 1; }
3818 : }
3819 : else /* p == 3 */
3820 : {
3821 131278 : r = - umodiu(ell_get_b6(e), 3);
3822 131278 : s = umodiu(ell_get_a1(e), 3);
3823 131278 : t = umodiu(ell_get_a3(e), 3);
3824 131278 : if (s) { t = (t + r*s) % 3; if (t < 0) t += 3; }
3825 : }
3826 : /* p | (a1, a2, a3, a4, a6) */
3827 317772 : if (r || s || t) e = coordch_rst(e, stoi(r), stoi(s), stoi(t));
3828 317772 : if (umodiu(ell_get_a6(e), p2))
3829 22351 : return localred_result(nuD, 2, 1, v); /* II */
3830 295421 : if (umodiu(ell_get_b8(e), p3))
3831 27748 : return localred_result(nuD - 1, 3, 2, v); /* III */
3832 267673 : if (umodiu(ell_get_b6(e), p3))
3833 : {
3834 22617 : if (umodiu(ell_get_b6(e), (p==2)? 32: 27) == (ulong)p2)
3835 11578 : c = 3;
3836 : else
3837 11039 : c = 1;
3838 22617 : return localred_result(nuD - 2, 4, c, v); /* IV */
3839 : }
3840 :
3841 245056 : if (umodiu(ell_get_a6(e), p3))
3842 91511 : e = coordch_t(e, p == 2? gen_2: modis(ell_get_a3(e), 9));
3843 : /* p | a1, a2; p^2 | a3, a4; p^3 | a6 */
3844 245056 : a21 = aux(ell_get_a2(e), p2, p);
3845 245056 : a42 = aux(ell_get_a4(e), p3, p2);
3846 245056 : a63 = aux(ell_get_a6(e), p4, p3);
3847 245056 : switch (numroots3(a21, a42, a63, p, &theroot))
3848 : {
3849 36078 : case 3:
3850 36078 : c = a63 ? 1: 2;
3851 36078 : if (p == 2)
3852 18788 : c += ((a21 + a42 + a63) & 1);
3853 : else {
3854 17290 : if (((1 + a21 + a42 + a63) % 3) == 0) c++;
3855 17290 : if (((1 - a21 + a42 - a63) % 3) == 0) c++;
3856 : }
3857 36078 : return localred_result(nuD - 4, -1, c, v); /* I0* */
3858 130711 : case 2:
3859 : { /* compute nu */
3860 : GEN pk, pk1, p2k;
3861 : long al, be, ga;
3862 130711 : if (theroot) e = coordch_r(e, stoi(theroot * p));
3863 : /* p | a1; p^2 | a2, a3; p^3 | a4; p^4 | a6 */
3864 130711 : nu = 1;
3865 130711 : pk = utoipos(p2);
3866 130711 : p2k = utoipos(p4);
3867 : for(;;)
3868 : {
3869 388402 : be = aux2(ell_get_a3(e), p, pk);
3870 388402 : ga = -aux2(ell_get_a6(e), p, p2k);
3871 388402 : al = 1;
3872 388402 : if (numroots2(al, be, ga, p, &theroot) == 2) break;
3873 323771 : if (theroot) e = coordch_t(e, mulsi(theroot,pk));
3874 323771 : pk1 = pk;
3875 323771 : pk = mului(p, pk);
3876 323771 : p2k = mului(p, p2k); nu++;
3877 :
3878 323771 : al = a21;
3879 323771 : be = aux2(ell_get_a4(e), p, pk);
3880 323771 : ga = aux2(ell_get_a6(e), p, p2k);
3881 323771 : if (numroots2(al, be, ga, p, &theroot) == 2) break;
3882 257691 : if (theroot) e = coordch_r(e, mulsi(theroot, pk1));
3883 257691 : p2k = mului(p, p2k); nu++;
3884 : }
3885 130711 : if (p == 2)
3886 72387 : c = odd(ga)? 2: 4;
3887 : else
3888 58324 : c = 3 + kross(be * be - al * ga, 3);
3889 130711 : return localred_result(nuD - 4 - nu, -4 - nu, c, v); /* Inu* */
3890 : }
3891 78267 : case 1:
3892 78267 : if (theroot) e = coordch_r(e, stoi(theroot*p));
3893 : /* p | a1; p^2 | a2, a3; p^3 | a4; p^4 | a6 */
3894 78267 : a32 = aux(ell_get_a3(e), p3, p2);
3895 78267 : a64 = aux(ell_get_a6(e), p5, p4);
3896 78267 : if (numroots2(1, a32, -a64, p, &theroot) == 2)
3897 : {
3898 29925 : if (p == 2)
3899 20447 : c = 3 - 2 * a64;
3900 : else
3901 9478 : c = 2 + kross(a32 * a32 + a64, 3);
3902 29925 : return localred_result(nuD - 6, -4, c, v); /* IV* */
3903 : }
3904 48342 : if (theroot) e = coordch_t(e, stoi(theroot*p2));
3905 : /* p | a1; p^2 | a2; p^3 | a3, a4; p^5 | a6 */
3906 48342 : if (umodiu(ell_get_a4(e), p4))
3907 29078 : return localred_result(nuD - 7, -3, 2, v); /* III* */
3908 :
3909 : /* p^6 \nmid a6, otherwise wouldn't be minimal */
3910 19264 : return localred_result(nuD - 8, -2, 1, v); /* II* */
3911 : }
3912 : return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
3913 : }
3914 :
3915 : /* e is integral */
3916 : static GEN
3917 1587901 : localred(GEN e, GEN p)
3918 : {
3919 1587901 : if (abscmpiu(p, 3) > 0) /* p != 2,3 */
3920 881468 : return localred_p(e,p);
3921 : else
3922 : {
3923 706433 : long l = itos(p);
3924 706433 : if (l < 2) pari_err_PRIME("localred",p);
3925 706433 : return localred_23(e, l);
3926 : }
3927 : }
3928 :
3929 : /* Given J an ideal in HNF coprime to 2 and z algebraic integer,
3930 : * return b algebraic integer such that z + 2b in J */
3931 : static GEN
3932 140616 : approx_mod2(GEN J, GEN z)
3933 : {
3934 140616 : GEN b = z;
3935 : long i;
3936 140616 : if (typ(b) == t_INT)
3937 : {
3938 140525 : if (mpodd(b)) b = addii(b, gcoeff(J,1,1));
3939 140525 : return shifti(negi(b),-1);
3940 : }
3941 273 : for (i = lg(J)-1; i >= 1; i--)
3942 : {
3943 182 : if (mpodd(gel(b,i))) b = ZC_add(b, gel(J,i));
3944 : }
3945 91 : return gshift(ZC_neg(b), -1);
3946 : }
3947 :
3948 : /* Given J an ideal in HNF coprime to 3 and z algebraic integer,
3949 : * return b algebraic integer such that z + 3b in J */
3950 : static GEN
3951 70308 : approx_mod3(GEN J, GEN z)
3952 : {
3953 70308 : GEN b = z;
3954 : long i;
3955 70308 : if (typ(b) == t_INT)
3956 : {
3957 70259 : long s = smodis(b,3);
3958 70259 : if (s)
3959 : {
3960 0 : GEN Jz = gcoeff(J,1,1);
3961 0 : if (smodis(Jz, 3) == s)
3962 0 : b = subii(b, Jz);
3963 : else
3964 0 : b = addii(b, Jz);
3965 : }
3966 70259 : return diviiexact(b, stoi(-3));
3967 : }
3968 147 : for (i = lg(J)-1; i >= 1; i--)
3969 : {
3970 98 : long s = smodis(gel(b,i), 3);
3971 98 : if (!s) continue;
3972 49 : if (smodis(gcoeff(J,i,i), 3) == s)
3973 21 : b = ZC_sub(b, gel(J,i));
3974 : else
3975 28 : b = ZC_add(b, gel(J,i));
3976 : }
3977 49 : return ZC_Z_divexact(b, stoi(-3));
3978 : }
3979 :
3980 : /* return a such that v_P(a) = -1, integral elsewhere */
3981 : static GEN
3982 158165 : get_piinv(GEN P)
3983 : {
3984 158165 : GEN z = pr_get_tau(P);
3985 158165 : if (typ(z) == t_MAT) z = gel(z,1);
3986 158165 : return gdiv(z, pr_get_p(P));
3987 : }
3988 : /* pi = local uniformizer, pv = 1/pi */
3989 : static void
3990 311157 : get_uniformizers(GEN nf, GEN P, GEN *pi, GEN *pv)
3991 : {
3992 311157 : if (pr_is_inert(P))
3993 : {
3994 153034 : *pi = pr_get_p(P);
3995 153034 : *pv = mkfrac(gen_1, *pi);
3996 : }
3997 : else
3998 : {
3999 158123 : *pv = get_piinv(P);
4000 158123 : *pi = nfinv(nf, *pv);
4001 : }
4002 311157 : }
4003 : /* x^2+E.a1*x-E.a2 */
4004 : static GEN
4005 579817 : pola1a2(GEN e, GEN nf, GEN modP)
4006 : {
4007 579817 : GEN a1 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a1(e), modP);
4008 579817 : GEN a2 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a2(e), modP);
4009 579817 : return mkpoln(3, gen_1, a1, gneg(a2));
4010 : }
4011 :
4012 : /* x^2+E.a3*pv3*x-E.a6*pv6 */
4013 : static GEN
4014 1070139 : pola3a6(GEN e, GEN nf, GEN modP, GEN pv3, GEN pv6)
4015 : {
4016 1070139 : GEN a3 = nf_to_Fq(nf, nfmul(nf, ell_get_a3(e), pv3), modP);
4017 1070139 : GEN a6 = nf_to_Fq(nf, nfmul(nf, ell_get_a6(e), pv6), modP);
4018 1070139 : return mkpoln(3, gen_1, a3, gneg(a6));
4019 : }
4020 :
4021 : /* E.a2*pv2*x^2 + E.a4*pv4*x + E.a6*pv6 */
4022 :
4023 : static GEN
4024 592914 : pola2a4a6(GEN e, GEN nf, GEN modP, GEN pv2, GEN pv4, GEN pv6)
4025 : {
4026 592914 : GEN a2 = nf_to_Fq(nf, nfmul(nf, ell_get_a2(e), pv2), modP);
4027 592914 : GEN a4 = nf_to_Fq(nf, nfmul(nf, ell_get_a4(e), pv4), modP);
4028 592914 : GEN a6 = nf_to_Fq(nf, nfmul(nf, ell_get_a6(e), pv6), modP);
4029 592914 : return mkpoln(3, a2, a4, a6);
4030 : }
4031 :
4032 : static GEN
4033 1627066 : pol2sqrt_23(GEN modP, GEN Q)
4034 : {
4035 1627066 : GEN p = modpr_get_p(modP), T = modpr_get_T(modP);
4036 1627066 : GEN r = absequaliu(p,2) ? gel(Q,2): gel(Q,3);
4037 1627066 : if (!gequal1(gel(Q,4))) r = Fq_div(r, gel(Q,4), T, p);
4038 1627066 : if (absequaliu(p,2)) r = Fq_sqrt(r,T,p);
4039 1627066 : return Fq_to_nf(r, modP);
4040 : }
4041 :
4042 : static GEN
4043 27524 : nflocalred_section7(GEN e, GEN nf, GEN modP, GEN pi, GEN pv, long vD, GEN ch)
4044 : {
4045 27524 : GEN p = modpr_get_p(modP), T = modpr_get_T(modP);
4046 27524 : GEN pi3 = nfsqr(nf,pi);
4047 27524 : GEN pv3 = nfsqr(nf,pv), pv4 = nfmul(nf,pv,pv3), pv6 = nfsqr(nf,pv3);
4048 27524 : long n = 1;
4049 : while(1)
4050 83881 : {
4051 111405 : GEN Q = pola3a6(e, nf, modP, pv3, pv6);
4052 : GEN gama;
4053 111405 : if (FqX_is_squarefree(Q, T, p))
4054 : {
4055 14847 : long nr = FqX_nbroots(Q,T,p);
4056 14847 : return localred_result(vD-n-4,-4-n,nr+2,ch);
4057 : }
4058 96558 : gama = pol2sqrt_23(modP, Q);
4059 96558 : nf_compose_t(nf, &ch, &e, nfmul(nf, gama,pi3));
4060 96558 : pv6 = nfmul(nf,pv,pv6); n++;
4061 96558 : Q = pola2a4a6(e, nf, modP, pv, pv4, pv6);
4062 96558 : if (FqX_is_squarefree(Q, T, p))
4063 : {
4064 12677 : long nr = FqX_nbroots(Q,T,p);
4065 12677 : return localred_result(vD-n-4,-4-n,nr+2,ch);
4066 : }
4067 83881 : gama = pol2sqrt_23(modP, Q);
4068 83881 : nf_compose_r(nf, &ch, &e, nfmul(nf, gama, pi3));
4069 83881 : pi3 = nfmul(nf,pi, pi3);
4070 83881 : pv3 = pv4; pv4 = nfmul(nf,pv,pv4); pv6 = nfmul(nf,pv,pv6); n++;
4071 : }
4072 : }
4073 :
4074 : /* Tate algorithm, following J.H. Silverman GTM 151, chapt. IV, algo 9.4 */
4075 : /* Dedicated to John Tate for his kind words */
4076 :
4077 : static GEN
4078 182035 : nflocalred_23(GEN nf, GEN e, GEN D, GEN P, long *ap)
4079 : {
4080 : GEN T, p, modP;
4081 : long vD;
4082 : GEN ch, pv, pv2, pv4, pi, pol;
4083 182035 : modP = nf_to_Fq_init(nf,&P,&T,&p);
4084 182035 : get_uniformizers(nf,P, &pi, &pv);
4085 182035 : ch = init_ch();
4086 182035 : vD = nfval(nf,D,P);
4087 182035 : *ap = 0;
4088 : while(1)
4089 : {
4090 625737 : if (vD==0)
4091 31493 : return localred_result(0,1,1,ch);
4092 : else
4093 : {
4094 594244 : GEN a1 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a1(e), modP);
4095 594244 : GEN a2 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a2(e), modP);
4096 594244 : GEN a3 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a3(e), modP);
4097 594244 : GEN a4 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a4(e), modP);
4098 594244 : GEN a6 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a6(e), modP);
4099 : GEN x0, y0;
4100 594244 : if (absequaliu(p,2))
4101 : {
4102 : GEN x02, y02;
4103 385469 : if (signe(a1))
4104 : {
4105 43757 : x0 = Fq_div(a3, a1, T, p);
4106 43757 : x02 = Fq_sqr(x0,T,p);
4107 43757 : y02 = Fq_add(Fq_mul(x02,Fq_add(x0,a2,T,p),T,p),Fq_add(Fq_mul(a4,x0,T,p),a6,T,p),T,p);
4108 : }
4109 : else
4110 : {
4111 341712 : x0 = Fq_sqrt(a4, T, p);
4112 341712 : y02 = Fq_add(Fq_mul(a4,a2,T,p),a6,T,p);
4113 : }
4114 385469 : y0 = Fq_sqrt(y02,T,p);
4115 : }
4116 : else
4117 : {
4118 208775 : GEN a12 = Fq_add(Fq_sqr(a1,T,p),a2,T,p);
4119 208775 : if (signe(a12))
4120 39704 : x0 = Fq_div(Fq_sub(a4,Fq_mul(a3,a1,T,p),T,p),a12,T,p);
4121 : else
4122 169071 : x0 = Fq_sqrtn(Fq_neg(Fq_add(Fq_sqr(a3,T,p),a6,T,p),T,p),p,T,p,NULL);
4123 208775 : y0 = Fq_add(Fq_mul(a1, x0, T, p), a3, T, p);
4124 : }
4125 594244 : x0 = Fq_to_nf(x0, modP);
4126 594244 : y0 = Fq_to_nf(y0, modP);
4127 594244 : nf_compose_rt(nf, &ch, &e, x0, y0);
4128 : }
4129 : /* 2 */
4130 : {
4131 594244 : GEN b2 = nf_to_Fq(nf, ell_get_b2(e), modP);
4132 594244 : if (signe(b2) != 0)
4133 : {
4134 83461 : GEN Q = pola1a2(e, nf, modP);
4135 83461 : long nr = FqX_nbroots(Q, T, p);
4136 83461 : if (nr==2) { *ap = 1; return localred_result(1,vD+4,vD,ch); /* Inu */ }
4137 41825 : else { *ap = -1; return localred_result(1,vD+4,odd(vD)?1:2,ch); }
4138 : }
4139 : }
4140 : /* 3 */
4141 : {
4142 510783 : long va6 = nfval(nf,ell_get_a6(e),P);
4143 510783 : if (va6 <= 1) return localred_result(vD,2,1,ch); /* II */
4144 : }
4145 : /* 4 */
4146 : {
4147 506884 : long vb8 = nfval(nf,ell_get_b8(e),P);
4148 506884 : if (vb8 <= 2) return localred_result(vD-1,3,2,ch);/* III */
4149 : }
4150 : /* 5 */
4151 499751 : pv2 = nfsqr(nf,pv);
4152 : {
4153 499751 : long vb6 = nfval(nf,ell_get_b6(e),P);
4154 499751 : if (vb6<=2)
4155 : {
4156 3395 : GEN Q = pola3a6(e, nf, modP, pv, pv2);
4157 3395 : long nr = FqX_nbroots(Q,T,p);
4158 3395 : return localred_result(vD-2,4,1+nr,ch);/* IV */
4159 : }
4160 : }
4161 : /* 6 */
4162 : {
4163 496356 : GEN pv3 = nfmul(nf,pv, pv2);
4164 496356 : GEN alpha = pol2sqrt_23(modP, pola1a2(e, nf, modP));
4165 496356 : GEN beta = pol2sqrt_23(modP, pola3a6(e, nf, modP, pv, pv2));
4166 : GEN po2, E, F, mr;
4167 : long i, lE;
4168 496356 : nf_compose_st(nf, &ch, &e, alpha, nfmul(nf, beta, pi));
4169 496356 : po2 = pola2a4a6(e, nf, modP, pv, pv2, pv3);
4170 496356 : if (signe(po2)) /* po2 = 0 is frequent when nonminimal */
4171 : {
4172 124020 : pol = RgX_add(pol_xn(3,0), po2);
4173 124020 : F = FqX_factor(pol, T, p); E = gel(F,2);
4174 124020 : lE = lg(E);
4175 124020 : if (E[1] == 1 && (lE == 2 || E[2] == 1))
4176 : { /* T squarefree, degree pattern is (3), (12) or (111) */
4177 : long c; /* 1 + number of roots */
4178 9849 : switch(lE)
4179 : {
4180 2534 : case 2: c = 1; break;
4181 6643 : case 3: c = 2; break;
4182 672 : default: c = 4; break;
4183 : }
4184 9849 : return localred_result(vD-4,-1,c,ch);/* I0* */
4185 : }
4186 : /* 7 */
4187 114171 : i = (lE == 2 || E[1] == 2)? 1: 2; /* index of multiple root */
4188 114171 : mr = constant_coeff(gmael(F,1,i)); /* - multiple root */
4189 114171 : if (!gequal0(mr))
4190 : { /* not so frequent */
4191 102894 : GEN gama = Fq_to_nf(Fq_neg(mr, T, p), modP);
4192 102894 : nf_compose_r(nf, &ch, &e, nfmul(nf, gama,pi));
4193 : }
4194 114171 : if (lE == 3)
4195 27524 : return nflocalred_section7(e, nf, modP, pi, pv, vD, ch); /* Inu* */
4196 : }
4197 : }
4198 458983 : pv4 = nfsqr(nf,pv2);
4199 458983 : pol = pola3a6(e, nf, modP, pv2, pv4);
4200 : /* 8 */
4201 458983 : if (FqX_is_squarefree(pol,T,p))
4202 : {
4203 5068 : long nr = FqX_nbroots(pol, T, p);
4204 5068 : return localred_result(vD-6,-4,1+nr,ch); /* IV* */
4205 : }
4206 : /* 9 */
4207 : {
4208 453915 : GEN alpha = pol2sqrt_23(modP, pol);
4209 453915 : nf_compose_t(nf, &ch, &e, nfmul(nf, alpha, nfsqr(nf,pi)));
4210 453915 : if (nfval(nf, ell_get_a4(e), P) == 3)
4211 7658 : return localred_result(vD-7,-3,2,ch); /* III* */
4212 : }
4213 : /* 10 */
4214 446257 : if (nfval(nf, ell_get_a6(e), P) == 5)
4215 2555 : return localred_result(vD-8,-2,1,ch); /* II* */
4216 : /* 11 */
4217 443702 : nf_compose_u(nf, &ch, &e, pi, pv);
4218 443702 : vD -= 12;
4219 : }
4220 : }
4221 :
4222 : /* Local reduction, residual characteristic >= 5. E/nf, P prid
4223 : * Output: f, kod, [u,r,s,t], c */
4224 : static GEN
4225 129122 : nflocalred_p(GEN e, GEN P)
4226 : {
4227 129122 : GEN nf = ellnf_get_nf(e), T,p, modP = nf_to_Fq_init(nf,&P,&T,&p);
4228 : long c, f, vD, nuj, kod, m;
4229 : GEN ch, c4, c6, D, z, pi, piinv;
4230 :
4231 129122 : c4 = ell_get_c4(e);
4232 129122 : c6 = ell_get_c6(e);
4233 129122 : D = ell_get_disc(e);
4234 129122 : vD = nfval(nf,D,P);
4235 129122 : nuj = nfval(nf,ell_get_j(e),P);
4236 129122 : nuj = nuj >= 0? 0: -nuj; /* v_P(denom(j)) */
4237 129122 : m = (vD - nuj)/12;
4238 129122 : get_uniformizers(nf,P, &pi, &piinv);
4239 :
4240 129122 : if(m <= 0) ch = init_ch();
4241 : else
4242 : { /* model not minimal */
4243 : GEN r,s,t, a1,a2,a3, u,ui,ui2,ui4,ui6,ui12;
4244 70308 : u = nfpow_u(nf,pi,m);
4245 70308 : ui = nfpow_u(nf,piinv,m);
4246 70308 : ui2 = nfsqr(nf,ui);
4247 70308 : ui4 = nfsqr(nf,ui2);
4248 70308 : ui6 = nfmul(nf,ui2,ui4);
4249 70308 : ui12 = nfsqr(nf,ui6);
4250 70308 : c4 = nfmul(nf,c4,ui4);
4251 70308 : c6 = nfmul(nf,c6,ui6);
4252 70308 : D = nfmul(nf,D,ui12); vD -= 12*m;
4253 70308 : a1 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a1(e));
4254 70308 : a2 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a2(e));
4255 70308 : a3 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a3(e));
4256 70308 : s = approx_mod2(idealpow(nf,P,stoi(m)), a1);
4257 70308 : r = gsub(a2, nfmul(nf,s,gadd(a1,s)));
4258 70308 : r = approx_mod3(idealpow(nf,P,stoi(2*m)), r);
4259 70308 : t = gadd(a3, nfmul(nf,r,a1));
4260 70308 : t = approx_mod2(idealpow(nf,P,stoi(3*m)), t);
4261 70308 : ch = mkvec4(u,r,s,t);
4262 : }
4263 :
4264 129122 : kod = 1; c = 1;
4265 : /* minimal at P */
4266 129122 : if (nuj > 0)
4267 : { /* v(j) < 0 */
4268 80423 : if (vD == nuj)
4269 : { /* v(c4) = v(c6) = 0, multiplicative reduction */
4270 73150 : f = 1; kod = 4+vD;
4271 73150 : z = Fq_neg(nf_to_Fq(nf,c6,modP), T,p);
4272 73150 : if (Fq_issquare(z,T,p))
4273 45367 : c = vD;/* split */
4274 : else
4275 27783 : c = odd(vD)?1 : 2; /* nonsplit */
4276 : }
4277 : else
4278 : { /* v(c4) = 2, v(c6) = 3, potentially multiplicative */
4279 : GEN Du;
4280 7273 : f = 2; kod = 2-vD;
4281 7273 : (void)nfvalrem(nf, D, P, &Du);
4282 7273 : z = nf_to_Fq(nf, Du, modP);
4283 7273 : if(odd(vD))
4284 : {
4285 : GEN c6u;
4286 4172 : (void)nfvalrem(nf, c6, P, &c6u);
4287 4172 : c6u = nf_to_Fq(nf, c6u, modP);
4288 4172 : z = Fq_mul(z, c6u, T,p);
4289 : }
4290 7273 : c = Fq_issquare(z,T,p)? 4: 2;
4291 : }
4292 : }
4293 : else
4294 : { /* v(j) >= 0 */
4295 48699 : f = vD? 2: 0;
4296 48699 : switch(vD)
4297 : {
4298 : GEN piinv2, piinv3, piinv4, w;
4299 37541 : case 0: kod = 1; c = 1; break;
4300 1932 : case 2: kod = 2; c = 1; break;
4301 2345 : case 3: kod = 3; c = 2; break;
4302 1141 : case 4: kod = 4;
4303 1141 : z = nfmul(nf,c6,nfsqr(nf,piinv));
4304 1141 : z = nf_to_Fq(nf, z, modP);
4305 1141 : z = Fq_Fp_mul(z,stoi(-6),T,p);
4306 1141 : c = Fq_issquare(z,T,p)? 3: 1;
4307 1141 : break;
4308 2632 : case 6: kod = -1;
4309 2632 : piinv2 = nfsqr(nf,piinv);
4310 2632 : piinv3 = nfmul(nf,piinv,piinv2);
4311 2632 : z = nfmul(nf,c4,piinv2); z = nf_to_Fq(nf, z, modP);
4312 2632 : z = Fq_Fp_mul(z,stoi(-3), T,p);
4313 2632 : w = nfmul(nf,c6,piinv3); w = nf_to_Fq(nf, w, modP);
4314 2632 : w = Fq_Fp_mul(w,gen_m2, T,p);
4315 2632 : c = 1 + FqX_nbroots(mkpoln(4, gen_1,gen_0,z,w), T,p);
4316 2632 : break;
4317 1526 : case 8: kod = -4;
4318 1526 : piinv4 = nfpow_u(nf,piinv,4);
4319 1526 : z = nfmul(nf,c6,piinv4); z = nf_to_Fq(nf, z, modP);
4320 1526 : z = Fq_Fp_mul(z,stoi(-6),T,p);
4321 1526 : c = Fq_issquare(z,T,p)? 3: 1;
4322 1526 : break;
4323 1281 : case 9: kod = -3; c = 2; break;
4324 301 : case 10: kod = -2; c = 1; break;
4325 : }
4326 : }
4327 129122 : return localred_result(f,kod,c,ch);
4328 : }
4329 : /* E is integral */
4330 : static GEN
4331 262010 : nflocalred(GEN E, GEN pr)
4332 : {
4333 262010 : GEN p = pr_get_p(pr), q, v, nf = ellnf_get_nf(E);
4334 : long i;
4335 262010 : if (abscmpiu(p, 3) <= 0)
4336 : {
4337 : long ap, vu;
4338 132888 : GEN e = ell_to_nfell10(E), D = ell_get_disc(E), u;
4339 132888 : q = nflocalred_23(nf,e,D,pr,&ap); v = gel(q,3); u = gel(v,1);
4340 : /* do nothing if already minimal or equation was not pr-integral */
4341 132888 : vu = nfval(nf, u, pr);
4342 132888 : if (vu > 0)
4343 : { /* remove denominators in r,s,t on nf.zk */
4344 119441 : GEN D, r = gel(v,2), s = gel(v,3), t = gel(v,4);
4345 119441 : D = Q_denom(mkvec3(r, s, t));
4346 119441 : if (!equali1(D))
4347 : { /* Beware: D may not be coprime to pr */
4348 : GEN a;
4349 637 : (void)nfvalrem(nf, D, pr, &D);
4350 : /* a in D/p^oo, = 1 mod (u^6) locally */
4351 637 : a = idealaddtoone_i(nf, D, idealpows(nf, pr, 6*vu));
4352 637 : gel(v,2) = nfmul(nf, r, a);
4353 637 : gel(v,3) = nfmul(nf, s, a);
4354 637 : gel(v,4) = nfmul(nf, t, a);
4355 : }
4356 : }
4357 : } else
4358 129122 : q = nflocalred_p(E,pr);
4359 262010 : v = gel(q,3);
4360 1310050 : for(i=1; i <= 4; i++) gel(v,i) = nftoalg(nf, gel(v,i));
4361 262010 : return q;
4362 : }
4363 :
4364 : static GEN
4365 3112982 : checkellp(GEN *pE, GEN p, GEN *pv, const char *s)
4366 : {
4367 3112982 : GEN q, E = *pE;
4368 : long tE;
4369 3112982 : checkell(E); tE = ell_get_type(E);
4370 3112964 : if (pv) *pv = NULL;
4371 3112964 : if (p) switch(typ(p))
4372 : {
4373 2642216 : case t_INT:
4374 2642216 : if (cmpis(p, 2) < 0) pari_err_DOMAIN(s,"p", "<", gen_2, p);
4375 2642208 : break;
4376 205772 : case t_VEC:
4377 205772 : q = get_prid(p);
4378 205772 : if (q && tE == t_ELL_NF)
4379 : {
4380 205772 : *pE = ellintegralmodel_i(E, pv);
4381 205772 : return q;
4382 : }
4383 6 : default: pari_err_TYPE(s,p);
4384 : }
4385 2907178 : switch(tE)
4386 : {
4387 385280 : case t_ELL_Fp:
4388 385280 : case t_ELL_Fq: q = ellff_get_p(E); break;
4389 273 : case t_ELL_Qp: q = ellQp_get_p(E); break;
4390 2521626 : case t_ELL_Q: if (p) { q = p; p = NULL; break; }
4391 : default:
4392 13 : pari_err_TYPE(stack_strcat(s," [can't determine p]"), E);
4393 : return NULL;/*LCOV_EXCL_LINE*/
4394 : }
4395 2907165 : if (p && !equalii(p, q)) pari_err_MODULUS(s, p,q);
4396 2907130 : if (tE == t_ELL_Q || tE == t_ELL_Qp || tE == t_ELL_NF)
4397 2521850 : *pE = ellintegralmodel_i(E, pv);
4398 2907170 : return q;
4399 : }
4400 :
4401 : GEN
4402 197085 : elllocalred(GEN E, GEN p)
4403 : {
4404 197085 : pari_sp av = avma;
4405 : GEN v, q;
4406 197085 : checkell(E);
4407 197085 : p = checkellp(&E, p, &v, "elllocalred");
4408 197071 : switch(ell_get_type(E))
4409 : {
4410 99477 : case t_ELL_Qp:
4411 99477 : case t_ELL_Q: q = localred(E, p); break;
4412 97594 : case t_ELL_NF: q = nflocalred(E, p); break;
4413 0 : default: pari_err_TYPE("elllocalred", E);
4414 : return NULL;/*LCOV_EXCL_LINE*/
4415 : }
4416 197071 : if (v)
4417 : { /* compose local change of variables with v */
4418 28 : GEN u = gel(v,1), w = gel(q,3);
4419 28 : if (is_trivial_change(w, NULL))
4420 21 : gel(q,3) = mkvec4(u,gen_0,gen_0,gen_0);
4421 : else
4422 7 : gel(w,1) = gmul(u, gel(w,1));
4423 : }
4424 197071 : return gerepilecopy(av, q);
4425 : }
4426 :
4427 : /* typ(c) = t_INT or t_FRAC */
4428 : static GEN
4429 41580 : handle_Q(GEN c, GEN *pd)
4430 : {
4431 41580 : *pd = (typ(c) == t_INT)? NULL: gel(c,2);
4432 41580 : return c;
4433 : }
4434 : static GEN
4435 16516083 : handle_coeff(GEN nf, GEN c, GEN *pd)
4436 : {
4437 16516083 : *pd = NULL;
4438 16516083 : switch(typ(c))
4439 : {
4440 16443192 : case t_INT: *pd = NULL; return c;
4441 31311 : case t_FRAC: *pd = gel(c,2); return c;
4442 41580 : case t_POL: case t_POLMOD: case t_COL:
4443 41580 : if (nf)
4444 : {
4445 41580 : c = nf_to_scalar_or_basis(nf,c);
4446 41580 : return handle_Q(Q_content(c), pd);
4447 : }
4448 0 : default: pari_err_TYPE("ellintegralmodel",c);
4449 : return NULL;/*LCOV_EXCL_LINE*/
4450 : }
4451 : }
4452 : /* Return an integral model for e / nf, Q. Set v = NULL (already integral)
4453 : * or the variable change [u,0,0,0], u = 1/t, t > 1 integer making e integral */
4454 : GEN
4455 3303236 : ellintegralmodel_i(GEN e, GEN *pv)
4456 : {
4457 : GEN a, t, u, L, nf;
4458 : long i, l, k;
4459 :
4460 3303236 : if (pv) *pv = NULL;
4461 : /* t_ELL_Qp is also possible */
4462 3303236 : nf = (ell_get_type(e) == t_ELL_NF)?ellnf_get_nf(e): NULL;
4463 3303231 : L = cgetg(1, t_VEC); a = cgetg(6, t_VEC);
4464 19819344 : for (i = 1; i < 6; i++)
4465 : {
4466 : GEN d;
4467 16516073 : gel(a,i) = handle_coeff(nf, gel(e,i), &d);
4468 16516083 : if (d) /* partial factorization of denominator */
4469 32389 : L = shallowconcat(L, gel(Z_factor_limit(d, 0),1));
4470 : }
4471 : /* a = [a1, a2, a3, a4, a6] */
4472 3303271 : l = lg(L); if (l == 1) return e;
4473 16474 : L = ZV_sort_uniq_shallow(L);
4474 16478 : l = lg(L);
4475 :
4476 16478 : t = gen_1;
4477 39697 : for (k = 1; k < l; k++)
4478 : {
4479 23219 : GEN p = gel(L,k);
4480 23219 : long n = 0, m;
4481 139314 : for (i = 1; i < 6; i++)
4482 116095 : if (!gequal0(gel(a,i)))
4483 : {
4484 47607 : long r = (i == 5)? 6: i; /* a5 is missing */
4485 47607 : m = r * n + Q_pval(gel(a,i), p);
4486 71372 : while (m < 0) { n++; m += r; }
4487 : }
4488 23219 : t = mulii(t, powiu(p, n));
4489 : }
4490 16478 : u = ginv(t);
4491 16478 : if (pv) *pv = mkvec4(u,gen_0,gen_0,gen_0);
4492 16478 : return coordch_uinv(e, t);
4493 : }
4494 : GEN
4495 2478 : ellintegralmodel(GEN e, GEN *pv)
4496 : {
4497 2478 : pari_sp av = avma;
4498 2478 : checkell(e);
4499 2478 : switch(ell_get_type(e))
4500 : {
4501 2478 : case t_ELL_Q:
4502 : case t_ELL_Qp:
4503 2478 : case t_ELL_NF: break;
4504 0 : default: pari_err_TYPE("ellintegralmodel",e);
4505 : }
4506 2478 : e = ellintegralmodel_i(e, pv);
4507 2478 : if (pv && *pv) return gc_all(av, 2, &e, pv);
4508 2457 : e = gerepilecopy(av, e);
4509 2457 : if (pv) *pv = init_ch();
4510 2457 : return e;
4511 : }
4512 :
4513 : /* return an integral model with a1 = a3 = 0 */
4514 : GEN
4515 0 : ellintegralbmodel(GEN e, GEN *pv)
4516 : {
4517 0 : pari_sp av = avma;
4518 : GEN f, a1, a3;
4519 :
4520 0 : checkell(e); f = ellintegralmodel_i(e, pv);
4521 0 : a1 = ell_get_a1(f);
4522 0 : a3 = ell_get_a3(f);
4523 0 : if (!signe(a1) && !signe(a3))
4524 0 : { if (!*pv) *pv = init_ch(); }
4525 : else
4526 : {
4527 0 : GEN v = mkvec4(mpodd(a1) || mpodd(a3) ? ghalf : gen_1,
4528 : gen_0, gdivgs(a1,-2), gdivgs(a3,-2));
4529 0 : gcomposev(pv, v); f = coordch(f, v);
4530 : }
4531 0 : if (f != e) ell_reset(f);
4532 0 : return gc_all(av, 2, &f, pv);
4533 : }
4534 :
4535 : static long
4536 5159 : F2_card(ulong a1, ulong a2, ulong a3, ulong a4, ulong a6)
4537 : {
4538 5159 : long N = 1; /* oo */
4539 5159 : if (!a3) N ++; /* x = 0, y=0 or 1 */
4540 3990 : else if (!a6) N += 2; /* x = 0, y arbitrary */
4541 5159 : if ((a3 ^ a1) == 0) N++; /* x = 1, y = 0 or 1 */
4542 3969 : else if (a2 ^ a4 ^ a6) N += 2; /* x = 1, y arbitrary */
4543 5159 : return N;
4544 : }
4545 : static long
4546 6335 : F3_card(ulong b2, ulong b4, ulong b6)
4547 : {
4548 6335 : ulong Po = 1+2*b4, Pe = b2+b6;
4549 : /* kro(x,3)+1 = (x+1)%3, N = 4 + sum(kro) = 1+ sum(1+kro) */
4550 6335 : return 1+(b6+1)%3+(Po+Pe+1)%3+(2*Po+Pe+1)%3;
4551 : }
4552 : static long
4553 5138 : cardmod2(GEN e)
4554 : { /* solve y(1 + a1x + a3) = x (1 + a2 + a4) + a6 */
4555 5138 : ulong a1 = Rg_to_F2(ell_get_a1(e));
4556 5138 : ulong a2 = Rg_to_F2(ell_get_a2(e));
4557 5138 : ulong a3 = Rg_to_F2(ell_get_a3(e));
4558 5138 : ulong a4 = Rg_to_F2(ell_get_a4(e));
4559 5138 : ulong a6 = Rg_to_F2(ell_get_a6(e));
4560 5138 : return F2_card(a1,a2,a3,a4,a6);
4561 : }
4562 : static long
4563 6195 : cardmod3(GEN e)
4564 : {
4565 6195 : ulong b2 = Rg_to_Fl(ell_get_b2(e), 3);
4566 6195 : ulong b4 = Rg_to_Fl(ell_get_b4(e), 3);
4567 6195 : ulong b6 = Rg_to_Fl(ell_get_b6(e), 3);
4568 6195 : return F3_card(b2,b4,b6);
4569 : }
4570 :
4571 : static ulong
4572 1820 : ZtoF2(GEN x) { return (ulong)mpodd(x); }
4573 :
4574 : /* complete local reduction at 2, u = 2^d */
4575 : static void
4576 35 : min_set_2(ellmin_t *M, GEN E, long d)
4577 : {
4578 35 : min_set_u(M, int2n(d));
4579 35 : min_set_c(M, E);
4580 35 : min_set_b(M);
4581 35 : min_set_a(M);
4582 35 : }
4583 : /* local reduction at 3, u = 3^d, don't compute the a_i */
4584 : static void
4585 140 : min_set_3(ellmin_t *M, GEN E, long d)
4586 : {
4587 140 : min_set_u(M, powuu(3, d));
4588 140 : min_set_c(M, E);
4589 140 : min_set_b(M);
4590 140 : }
4591 :
4592 : static long
4593 111167 : ellQap_u(GEN E, ulong p, int *good_red)
4594 : {
4595 111167 : long vc6, vD, d = get_vp_u_small(E, p, &vc6, &vD);
4596 111167 : if (vD) /* bad reduction */
4597 : {
4598 : GEN c6;
4599 : long s;
4600 110859 : *good_red = 0;
4601 110859 : if (vc6) return 0;
4602 81473 : c6 = ell_get_c6(E);
4603 81473 : if (d) c6 = diviiexact(c6, powuu(p, 6*d));
4604 81473 : s = kroiu(c6,p);
4605 81473 : if ((p & 3) == 3) s = -s;
4606 81473 : return s;
4607 : }
4608 308 : *good_red = 1;
4609 308 : if (p == 2)
4610 : {
4611 : ellmin_t M;
4612 21 : if (!d) return 3 - cardmod2(E);
4613 21 : min_set_2(&M, E, d);
4614 21 : return 3 - F2_card(M.a1, M.a2 & 1, M.a3, ZtoF2(M.a4), ZtoF2(M.a6));
4615 : }
4616 287 : else if (p == 3)
4617 : {
4618 : ellmin_t M;
4619 140 : if (!d) return 4 - cardmod3(E);
4620 140 : min_set_3(&M, E, d);
4621 140 : return 4 - F3_card(M.b2, umodiu(M.b4,3), umodiu(M.b6,3));
4622 : }
4623 : else
4624 : {
4625 : ellmin_t M;
4626 147 : GEN a4, a6, pp = utoipos(p);
4627 147 : min_set_u(&M, powuu(p,d));
4628 147 : min_set_c(&M, E);
4629 147 : c4c6_to_a4a6(M.c4, M.c6, pp, &a4,&a6);
4630 147 : return itos( subui(p+1, Fp_ellcard(a4, a6, pp)) );
4631 : }
4632 : }
4633 :
4634 : static GEN
4635 98567 : ellQap(GEN E, GEN p, int *good_red)
4636 : {
4637 : GEN a4,a6, c4, c6, D;
4638 : long vc6, vD, d;
4639 98567 : if (lgefint(p) == 3) return stoi( ellQap_u(E, p[2], good_red) );
4640 0 : c6 = ell_get_c6(E);
4641 0 : D = ell_get_disc(E);
4642 0 : vc6 = Z_pval(c6,p); vD = Z_pval(D,p);
4643 0 : d = minss(2*vc6, vD) / 12;
4644 0 : if (d) { vc6 -= 6*d; vD -= 12*d; } /* non minimal model */
4645 0 : if (vD) /* bad reduction */
4646 : {
4647 : long s;
4648 0 : *good_red = 0;
4649 0 : if (vc6) return gen_0;
4650 0 : if (d) c6 = diviiexact(c6, powiu(p, 6*d));
4651 0 : s = kronecker(c6,p);
4652 0 : if (mod4(p) == 3) s = -s;
4653 0 : return s < 0? gen_m1: gen_1;
4654 : }
4655 0 : *good_red = 1;
4656 0 : c4 = ell_get_c4(E);
4657 0 : if (d)
4658 : {
4659 0 : GEN u2 = powiu(p, 2*d), u4 = sqri(u2), u6 = mulii(u2,u4);
4660 0 : c4 = diviiexact(c4, u4);
4661 0 : c6 = diviiexact(c6, u6);
4662 : }
4663 0 : c4c6_to_a4a6(c4, c6, p, &a4,&a6);
4664 0 : return subii(addiu(p,1), Fp_ellcard(a4, a6, p));
4665 : }
4666 :
4667 : static GEN
4668 223377 : doellcard(GEN E)
4669 : {
4670 223377 : GEN fg = ellff_get_field(E);
4671 223377 : if (typ(fg)==t_FFELT)
4672 102872 : return FF_ellcard(E);
4673 : else
4674 : {
4675 120505 : GEN e = ellff_get_a4a6(E);
4676 120505 : return Fp_ellcard(gel(e,1),gel(e,2),fg);
4677 : }
4678 : }
4679 :
4680 : static GEN
4681 191761 : ellnfap(GEN E, GEN P, int *good_red)
4682 : {
4683 191761 : GEN a4,a6, card, nf = ellnf_get_nf(E);
4684 191758 : GEN T,p, modP = nf_to_Fq_init(nf,&P,&T,&p);
4685 191765 : if (abscmpiu(p, 3) <= 0)
4686 : {
4687 : long ap;
4688 49147 : GEN nf = ellnf_get_nf(E), e = ell_to_nfell10(E), D = ell_get_disc(E);
4689 49147 : GEN L = nflocalred_23(nf, e,D,P,&ap), kod = gel(L,2);
4690 49147 : if (!equali1(kod)) { *good_red = 0; return stoi(ap); }
4691 476 : *good_red = 1;
4692 476 : E = nf_coordch(nf, vecslice(e,1,5), gel(L,3));
4693 476 : E = ellinit_nf_to_Fq(nf, E, modP);
4694 476 : card = FF_ellcard(E);
4695 : }
4696 : else
4697 : {
4698 142618 : GEN c6 = ell_get_c6(E), c4 = ell_get_c4(E);
4699 142616 : long vD = nfval(nf, ell_get_disc(E), P);
4700 142589 : if (vD)
4701 : {
4702 : GEN c6new;
4703 49175 : long d, vc6 = nfvalrem(nf,c6,P, &c6new);
4704 49175 : d = ((vc6 == LONG_MAX)? vD: minss(vD,2*vc6)) / 12;
4705 49175 : if (vD > 12*d)
4706 : { /* bad reduction */
4707 49133 : *good_red = 0;
4708 92911 : if (vc6 != 6*d) return gen_0;
4709 43778 : c6 = nf_to_Fq(nf, c6new, modP);
4710 43778 : return Fq_issquare(gneg(c6),T,p)? gen_1: gen_m1;
4711 : }
4712 42 : if (d)
4713 : { /* model not minimal at P */
4714 42 : GEN piinv = get_piinv(P);
4715 42 : GEN ui2 = nfpow(nf, piinv, stoi(2*d));
4716 42 : GEN ui4 = nfsqr(nf, ui2);
4717 42 : GEN ui6 = nfmul(nf, ui2, ui4);
4718 42 : c4 = nfmul(nf, c4, ui4);
4719 42 : c6 = nfmul(nf, c6, ui6);
4720 : }
4721 : }
4722 93456 : *good_red = 1;
4723 93456 : c4 = nf_to_Fq(nf, c4, modP);
4724 93464 : c6 = nf_to_Fq(nf, c6, modP);
4725 93461 : Fq_c4c6_to_a4a6(c4, c6, T,p, &a4,&a6);
4726 93449 : card = T? FpXQ_ellcard(Fq_to_FpXQ(a4,T,p),Fq_to_FpXQ(a6,T,p),T,p)
4727 93440 : : Fp_ellcard(a4,a6,p);
4728 : }
4729 93925 : return subii(addiu(pr_norm(P),1), card);
4730 : }
4731 :
4732 : /* a, b not both 0; sorted list of primes dividing gcd(a,b), using coprime
4733 : * basis */
4734 : static GEN
4735 533729 : Z_gcd_primes(GEN a, GEN b)
4736 : {
4737 : GEN P;
4738 533729 : if (!signe(a))
4739 2569 : P = gel(absZ_factor(b), 1);
4740 531160 : else if (!signe(b))
4741 1526 : P = gel(absZ_factor(a), 1);
4742 : else
4743 : {
4744 529634 : GEN A, B, v = Z_ppio(a,b), d = gel(v,1); /* = gcd(a,b) */
4745 : long k, l;
4746 529634 : if (is_pm1(d)) return cgetg(1, t_COL);
4747 412804 : A = gel(v,2); /* gcd(a, b^oo) */
4748 412804 : B = diviiexact(b, Z_ppo(b, d)); /* gcd(b, a^oo) */
4749 : /* d = gcd(A,B) */
4750 412804 : P = Z_cba(A, B); /* use coprime basis to help as much as possible */
4751 412804 : l = lg(P);
4752 979678 : for (k = 1; k < l; k++) gel(P,k) = gel(Z_factor(gel(P,k)), 1);
4753 412804 : P = shallowconcat1(P);
4754 412804 : ZV_sort_inplace(P);
4755 : }
4756 416899 : settyp(P, t_VEC); return P;
4757 : }
4758 : /* E/Q, integral model, Laska-Kraus-Connell algorithm. Set *pDP to a list
4759 : * of known prime divisors of minimal discriminant */
4760 : static GEN
4761 503958 : ellQ_minimalu(GEN E, GEN *pDP)
4762 : {
4763 : pari_sp av;
4764 503958 : GEN D = ell_get_disc(E);
4765 503958 : GEN c4 = ell_get_c4(E);
4766 503958 : GEN c6 = ell_get_c6(E), g, u, P, DP;
4767 : long l, k;
4768 :
4769 503958 : P = Z_gcd_primes(c4, c6);
4770 503958 : l = lg(P); if (l == 1) { if(pDP) *pDP = P; return gen_1; }
4771 391363 : DP = coltrunc_init(l);
4772 391363 : av = avma;
4773 391363 : g = gcdii(sqri(c6), D);
4774 391363 : u = gen_1;
4775 998221 : for (k = 1; k < l; k++)
4776 : {
4777 606858 : GEN p = gel(P, k);
4778 606858 : long vg = Z_pval(g, p), d = vg / 12, r = vg % 12;
4779 606858 : if (d) switch(itou_or_0(p))
4780 : {
4781 89397 : case 2:
4782 : {
4783 : long a, b;
4784 89397 : a = Mod16( shifti(c4, -4*d) );
4785 89397 : b = Mod32( shifti(c6, -6*d) );
4786 89397 : if ((b & 3) != 3 && (a || (b && b!=8))) { d--; r += 12; }
4787 89397 : break;
4788 : }
4789 29022 : case 3:
4790 29022 : if (safe_Z_lval(c6,3) == 6*d+2) { d--; r += 12; }
4791 29022 : break;
4792 : }
4793 606858 : if (r) vectrunc_append(DP, p);
4794 606858 : if (d) u = mulii(u, powiu(p, d));
4795 : }
4796 391363 : if (pDP) *pDP = DP;
4797 391363 : return gerepileuptoint(av, u);
4798 : }
4799 :
4800 : /* Ensure a1 and a3 are 2-restricted and a2 is 3-restricted */
4801 : static GEN
4802 42 : nfrestrict23(GEN nf, GEN E)
4803 : {
4804 42 : GEN a1 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a1(E)), A1, A2, A3, r, s, t;
4805 42 : GEN a2 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a2(E));
4806 42 : GEN a3 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a3(E));
4807 :
4808 42 : A1 = gmodgs(a1,2);
4809 42 : s = gshift(gsub(A1,a1), -1);
4810 42 : s = lift_if_rational(basistoalg(nf, s));
4811 42 : A2 = nfsub(nf, a2, nfmul(nf,s, nfadd(nf,a1,s)));
4812 42 : r = gdivgu(gsub(gmodgs(A2,3), A2), 3);
4813 42 : r = lift_if_rational(basistoalg(nf, r));
4814 42 : A3 = nfadd(nf, a3, nfmul(nf,r,A1));
4815 42 : t = nfadd(nf, nfmul(nf, r,s), gshift(gsub(gmodgs(A3,2), A3), -1));
4816 42 : t = lift_if_rational(basistoalg(nf, t));
4817 42 : return mkvec4(gen_1, r, s, t);
4818 : }
4819 :
4820 : static GEN
4821 60648 : zk_capZ(GEN nf, GEN x)
4822 : {
4823 60648 : GEN mx = zk_scalar_or_multable(nf, x);
4824 60648 : return (typ(mx) == t_INT)? mx: zkmultable_capZ(mx);
4825 : }
4826 : static GEN
4827 29771 : ellnf_c4c6_primes(GEN E)
4828 : {
4829 29771 : GEN nf = ellnf_get_nf(E);
4830 29771 : GEN c4Z = zk_capZ(nf, ell_get_c4(E));
4831 29771 : GEN c6Z = zk_capZ(nf, ell_get_c6(E));
4832 29771 : return Z_gcd_primes(c4Z, c6Z); /* primes dividing (c4,c6) \cap Z */
4833 : }
4834 : static GEN
4835 1106 : ellnf_D_primes(GEN E)
4836 : {
4837 1106 : GEN nf = ellnf_get_nf(E);
4838 1106 : GEN P = ellnf_c4c6_primes(E);
4839 1106 : GEN DZ = zk_capZ(nf, ell_get_disc(E));
4840 1106 : long k, l = lg(P);
4841 2870 : for (k = 1; k < l; k++) (void)Z_pvalrem(DZ, gel(P,k), &DZ);
4842 1106 : if (!is_pm1(DZ))
4843 : {
4844 910 : GEN Q = gel(absZ_factor(DZ),1);
4845 910 : settyp(Q, t_VEC); P = shallowconcat(P, Q); ZV_sort_inplace(P);
4846 : }
4847 1106 : return P;
4848 : }
4849 :
4850 : /* convert vector of localreds to NF_MINIMALPRIMES */
4851 : static GEN
4852 29554 : Q_to_minimalprimes(GEN nf, GEN P, GEN Q)
4853 : {
4854 : GEN L, Lr, Ls, Lt, U;
4855 29554 : long k, l = lg(P);
4856 29554 : Lr = vectrunc_init(l);
4857 29554 : Ls = vectrunc_init(l);
4858 29554 : Lt = vectrunc_init(l);
4859 29554 : L = vectrunc_init(l); settyp(L,t_COL);
4860 29554 : U = vectrunc_init(l); settyp(U,t_COL);
4861 107723 : for (k = 1; k < l; k++)
4862 : {
4863 78169 : GEN pr = gel(P, k), q = gel(Q, k), v, u;
4864 : long vu;
4865 78169 : v = gel(q,3);
4866 78169 : u = gel(v,1);
4867 78169 : vu = nfval(nf, u, pr);
4868 78169 : if (!vu) continue;
4869 64295 : vectrunc_append(Lr, gel(v,2));
4870 64295 : vectrunc_append(Ls, gel(v,3));
4871 64295 : vectrunc_append(Lt, gel(v,4));
4872 64295 : vectrunc_append(L, pr);
4873 64295 : vectrunc_append(U, stoi(vu));
4874 : }
4875 29554 : return mkvec5(L, U, Lr, Ls, Lt);
4876 : }
4877 : /* E integral */
4878 : static GEN
4879 58660 : ellminimalprimes(GEN E)
4880 : {
4881 : GEN S, nf, c4, c6, P, Q;
4882 : long j, k, l;
4883 :
4884 58660 : if ((S = obj_check(E, NF_MINIMALPRIMES))) return S;
4885 28665 : nf = ellnf_get_nf(E);
4886 28665 : c4 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_c4(E));
4887 28665 : c6 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_c6(E));
4888 28665 : if (typ(c4) == t_INT) c4 = NULL;
4889 28665 : if (typ(c6) == t_INT) c6 = NULL;
4890 28665 : P = nf_pV_to_prV(nf, ellnf_c4c6_primes(E));
4891 28665 : Q = cgetg_copy(P, &l);
4892 103068 : for (k = j = 1; k < l; k++)
4893 : {
4894 74403 : GEN pr = gel(P, k);
4895 74403 : if (c4 && !ZC_prdvd(c4,pr)) continue;
4896 74333 : if (c6 && !ZC_prdvd(c6,pr)) continue;
4897 74319 : gel(Q,j) = nflocalred(E, pr); /* pr | (c4,c6) */
4898 74319 : gel(P,j++) = pr;
4899 : }
4900 28665 : setlg(P,j); setlg(Q,j);
4901 28665 : return obj_insert(E, NF_MINIMALPRIMES, Q_to_minimalprimes(nf,P,Q));
4902 : }
4903 : static GEN
4904 29722 : ellnf_minimalnormu(GEN E0)
4905 : {
4906 29722 : GEN E, S, L, U, P, v, Nu = NULL, nf = ellnf_get_nf(E0);
4907 : long i, l;
4908 29722 : E = ellintegralmodel_i(E0, &v);
4909 29722 : S = ellminimalprimes(E);
4910 29722 : L = gel(S,1);
4911 29722 : U = gel(S,2);
4912 29722 : if (v) Nu = idealnorm(nf, gel(v,1));
4913 29722 : P = cgetg_copy(L, &l);
4914 94339 : for (i = 1; i < l; i++) gel(P,i) = pr_norm(gel(L,i));
4915 29722 : P = factorback2(P, U);
4916 29722 : if (Nu) P = gmul(Nu, P);
4917 29722 : return P;
4918 : }
4919 : /* E integral model; return change of variable to minimal model (t_VEC)
4920 : * or (nontrivial) Weierstrass class (t_COL) */
4921 : static GEN
4922 63 : bnf_get_v(GEN E)
4923 : {
4924 63 : GEN bnf = ellnf_get_bnf(E);
4925 : GEN nf, L, Lr, Ls, Lt, F, C, U, R, S, T;
4926 :
4927 63 : if (!bnf) pari_err_TYPE("ellminimalmodel (need a bnf)", ellnf_get_nf(E));
4928 63 : S = ellminimalprimes(E);
4929 63 : L = gel(S,1);
4930 63 : U = gel(S,2);
4931 63 : Lr = gel(S,3);
4932 63 : Ls = gel(S,4);
4933 63 : Lt = gel(S,5);
4934 63 : F = isprincipalfact(bnf, NULL, L, U, nf_GEN);
4935 63 : if (!gequal0(gel(F,1))) return gel(F,1);
4936 42 : nf = bnf_get_nf(bnf);
4937 42 : C = idealchinese(nf, mkmat2(L, ZC_z_mul(U,6)), NULL);
4938 42 : U = basistoalg(nf, gel(F,2));
4939 42 : R = basistoalg(nf, idealchinese(nf, C, Lr));
4940 42 : S = basistoalg(nf, idealchinese(nf, C, Ls));
4941 42 : T = basistoalg(nf, idealchinese(nf, C, Lt));
4942 42 : return lift_if_rational(mkvec4(U,R,S,T));
4943 : }
4944 :
4945 : GEN
4946 70 : ellminimaldisc(GEN E)
4947 : {
4948 70 : pari_sp av = avma;
4949 70 : checkell(E);
4950 70 : switch(ell_get_type(E))
4951 : {
4952 7 : case t_ELL_Q:
4953 7 : E = ellminimalmodel(E,NULL);
4954 7 : return gerepileuptoint(av, absi_shallow(ell_get_disc(E)));
4955 63 : case t_ELL_NF:
4956 : {
4957 63 : GEN nf = ellnf_get_nf(E), S, L, U, D;
4958 63 : E = ellintegralmodel_i(E,NULL);
4959 63 : S = ellminimalprimes(E);
4960 63 : L = gel(S,1);
4961 63 : U = ZC_z_mul(gel(S,2), 12);
4962 63 : D = idealfactorback(nf, L, U, 0);
4963 63 : return gerepileupto(av, idealdiv(nf, ell_get_disc(E), D));
4964 : }
4965 0 : default: pari_err_TYPE("ellminimaldisc (E / number field)", E);
4966 : return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
4967 : }
4968 : }
4969 :
4970 : /* update Q_MINIMALMODEL entry in E, but don't update type-specific data on
4971 : * ellminimalmodel(E) */
4972 : static GEN
4973 507570 : ellminimalmodel_i(GEN E, GEN *ptv, GEN *pS)
4974 : {
4975 : GEN S, y, e, v, v0, u, DP;
4976 : ellmin_t M;
4977 507570 : if ((S = obj_check(E, Q_MINIMALMODEL)))
4978 : {
4979 3626 : if (lg(S) != 2)
4980 : {
4981 70 : E = gel(S,3);
4982 70 : v = gel(S,2);
4983 : }
4984 : else
4985 3556 : v = init_ch();
4986 3626 : if (ptv) *ptv = v;
4987 3626 : if (pS) *pS = S;
4988 3626 : return gcopy(E);
4989 : }
4990 503944 : e = ellintegralmodel_i(E, &v0);
4991 503944 : u = ellQ_minimalu(e, &DP);
4992 503944 : min_set_all(&M, e, u);
4993 503944 : v = min_get_v(&M, e);
4994 503944 : y = min_to_ell(&M, e);
4995 503944 : if (v0) { gcomposev(&v0, v); v = v0; }
4996 503944 : if (is_trivial_change(v, NULL))
4997 : {
4998 470281 : v = init_ch();
4999 470281 : S = mkvec(DP);
5000 : }
5001 : else
5002 33663 : S = mkvec3(DP, v, y);
5003 503944 : obj_insert(E, Q_MINIMALMODEL, S);
5004 503944 : if (pS) *pS = S;
5005 503944 : if (ptv) *ptv = v; return y;
5006 : }
5007 :
5008 : static GEN
5009 21399 : ellQminimalmodel(GEN E, GEN *ptv)
5010 : {
5011 21399 : pari_sp av = avma;
5012 21399 : GEN S, DP, v, y = ellminimalmodel_i(E, &v, &S);
5013 21399 : if (!is_trivial_change(v, NULL)) ch_Q(y, E, v);
5014 21399 : DP = gel(S,1);
5015 21399 : obj_insert_shallow(y, Q_MINIMALMODEL, mkvec(DP));
5016 21399 : if (!ptv) return gerepilecopy(av, y);
5017 1050 : *ptv = v; return gc_all(av, 2, &y, ptv);
5018 : }
5019 :
5020 : static GEN
5021 63 : ellnfminimalmodel_i(GEN E, GEN *ptv)
5022 : {
5023 : GEN S, y, v, v2;
5024 63 : if ((S = obj_check(E, NF_MINIMALMODEL)))
5025 : {
5026 0 : switch(lg(S))
5027 : {
5028 0 : case 1: v = init_ch(); break;
5029 0 : case 2: v = NULL; E = gel(S,1); break;
5030 0 : default: E = gel(S,2); v = gel(S,1); break;
5031 : }
5032 0 : *ptv = v;
5033 0 : return gcopy(E);
5034 : }
5035 63 : *ptv = NULL;
5036 63 : y = ellintegralmodel_i(E, &v);
5037 63 : v2 = bnf_get_v(y);
5038 63 : if (typ(v2) == t_COL)
5039 : {
5040 21 : obj_insert(E, NF_MINIMALMODEL, mkvec(v2));
5041 21 : return v2; /* nontrivial Weierstrass class */
5042 : }
5043 42 : y = coordch(y, v2);
5044 42 : gcomposev(&v, v2);
5045 42 : v2 = nfrestrict23(ellnf_get_nf(E), y);
5046 42 : y = coordch(y, v2);
5047 : /* copy to avoid inserting twice in y = E */
5048 42 : y = obj_reinit(y);
5049 42 : gcomposev(&v, v2);
5050 42 : if (is_trivial_change(v, NULL))
5051 : {
5052 7 : v = init_ch();
5053 7 : S = cgetg(1,t_VEC);
5054 : }
5055 : else
5056 : {
5057 35 : v = lift_if_rational(v);
5058 35 : S = mkvec2(v, y);
5059 : }
5060 42 : obj_insert(E, NF_MINIMALMODEL, S);
5061 42 : *ptv = v; return y;
5062 : }
5063 : static GEN
5064 63 : ellnfminimalmodel(GEN E, GEN *ptv)
5065 : {
5066 63 : pari_sp av = avma;
5067 63 : GEN v, y = ellnfminimalmodel_i(E, &v);
5068 63 : if (v) obj_insert_shallow(y, NF_MINIMALMODEL, cgetg(1,t_VEC));
5069 63 : if (!v || !ptv) return gerepilecopy(av, y);
5070 35 : *ptv = v; return gc_all(av, 2, &y, ptv);
5071 : }
5072 : GEN
5073 21469 : ellminimalmodel(GEN E, GEN *ptv)
5074 : {
5075 21469 : checkell(E);
5076 21469 : switch(ell_get_type(E))
5077 : {
5078 21399 : case t_ELL_Q: return ellQminimalmodel(E, ptv);
5079 63 : case t_ELL_NF: return ellnfminimalmodel(E, ptv);
5080 7 : default: pari_err_TYPE("ellminimalmodel (E / number field)", E);
5081 : return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
5082 : }
5083 : }
5084 :
5085 : /* return a model minimal among b models */
5086 : GEN
5087 966 : ellminimalbmodel(GEN e, GEN *pv)
5088 : {
5089 966 : pari_sp av = avma;
5090 : GEN f, a1, a3;
5091 :
5092 966 : checkell(e); f = ellminimalmodel(e, pv);
5093 966 : a1 = ell_get_a1(f);
5094 966 : a3 = ell_get_a3(f);
5095 966 : if (!signe(a1) && !signe(a3))
5096 336 : { if (!*pv) *pv = init_ch(); }
5097 : else
5098 : {
5099 630 : GEN v = mkvec4(mpodd(a1) || mpodd(a3) ? ghalf : gen_1,
5100 : gen_0, gdivgs(a1,-2), gdivgs(a3,-2));
5101 630 : gcomposev(pv, v); f = coordch(f, v);
5102 : }
5103 966 : if (f != e) ell_reset(f);
5104 966 : return gc_all(av, 2, &f, pv);
5105 : }
5106 :
5107 : /* Reduction of a rational curve E to its standard minimal model, don't
5108 : * update type-dependant components.
5109 : * Set v = [u, r, s, t] = change of variable E -> minimal model, with u > 0
5110 : * Set gr = [N, [u,r,s,t], c, fa, L], where
5111 : * N = arithmetic conductor of E
5112 : * c = product of the local Tamagawa numbers cp
5113 : * fa = factorization of N
5114 : * L = list of localred(E,p) for p | N. */
5115 : static GEN
5116 456708 : ellQ_globalred(GEN e)
5117 : {
5118 : long k, l, iN;
5119 : GEN S, c, E, L, P, NP, NE, D;
5120 :
5121 456708 : E = ellminimalmodel_i(e, NULL, &S);
5122 456708 : P = gel(S,1); l = lg(P); /* some known prime divisors of D */
5123 456708 : D = ell_get_disc(E);
5124 866733 : for (k = 1; k < l; k++) (void)Z_pvalrem(D, gel(P,k), &D);
5125 456708 : if (!is_pm1(D))
5126 : {
5127 438774 : P = shallowconcat(P, gel(absZ_factor(D),1));
5128 438774 : ZV_sort_inplace(P);
5129 : }
5130 456708 : l = lg(P); c = gen_1;
5131 456708 : iN = 1;
5132 456708 : NP = cgetg(l, t_COL);
5133 456708 : NE = cgetg(l, t_COL);
5134 456708 : L = cgetg(l, t_VEC);
5135 1945118 : for (k = 1; k < l; k++)
5136 : {
5137 1488410 : GEN p = gel(P,k), q = localred(E, p), ex = gel(q,1);
5138 1488410 : if (!signe(ex)) continue;
5139 1488410 : gel(NP, iN) = p;
5140 1488410 : gel(NE, iN) = ex;
5141 1488410 : gel(L, iN) = q; iN++;
5142 1488410 : gel(q,3) = gen_0; /*delete variable change*/
5143 1488410 : c = mulii(c, gel(q,4));
5144 : }
5145 456708 : setlg(L, iN);
5146 456708 : setlg(NP, iN);
5147 456708 : setlg(NE, iN);
5148 456708 : return mkvec4(factorback2(NP,NE), c, mkmat2(NP,NE), L);
5149 : }
5150 : static GEN
5151 469728 : ellglobalred_i(GEN E)
5152 469728 : { return obj_checkbuild(E, Q_GLOBALRED, &ellQ_globalred); }
5153 :
5154 : static GEN
5155 980 : Q_to_globalred(GEN nf, GEN P, GEN Q, GEN v)
5156 : {
5157 : GEN c, L, NP, NE;
5158 980 : long j, k, l = lg(P);
5159 980 : c = gen_1;
5160 980 : NP = cgetg(l, t_COL);
5161 980 : NE = cgetg(l, t_COL);
5162 980 : L = cgetg(l, t_VEC);
5163 5068 : for (k = j = 1; k < l; k++)
5164 : {
5165 4088 : GEN p = gel(P,k), q = gel(Q,k), ex;
5166 4088 : ex = gel(q,1);
5167 4088 : if (!signe(ex)) continue;
5168 3857 : gel(NP, j) = p;
5169 3857 : gel(NE, j) = ex;
5170 3857 : gel(L, j) = q; j++;
5171 3857 : c = mulii(c, gel(q,4));
5172 : }
5173 980 : setlg(L, j); setlg(NP, j); setlg(NE, j);
5174 980 : return mkvec5(idealfactorback(nf,NP,NE,0), v, c, mkmat2(NP,NE), L);
5175 : }
5176 :
5177 : static GEN
5178 980 : ellnfglobalred(GEN E0)
5179 : {
5180 : GEN E, P, Q, D, nf, v;
5181 : long j, k, l;
5182 :
5183 980 : E = ellintegralmodel_i(E0, &v);
5184 980 : if (!v) v = init_ch();
5185 980 : nf = ellnf_get_nf(E);
5186 980 : P = nf_pV_to_prV(nf, ellnf_D_primes(E));
5187 980 : D = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_disc(E));
5188 980 : if (typ(D) == t_INT) D = NULL;
5189 980 : Q = cgetg_copy(P, &l);
5190 7700 : for (k = j = 1; k < l; k++)
5191 : {
5192 6720 : GEN p = gel(P,k);
5193 6720 : if (D && !ZC_prdvd(D, p)) continue;
5194 4088 : gel(Q,j) = nflocalred(E, p);
5195 4088 : gel(P,j++) = p;
5196 : }
5197 980 : setlg(P,j); setlg(Q,j);
5198 980 : if (!obj_check(E0, NF_MINIMALPRIMES))
5199 889 : (void)obj_insert(E0, NF_MINIMALPRIMES, Q_to_minimalprimes(nf,P,Q));
5200 980 : return Q_to_globalred(nf,P,Q,v);
5201 : }
5202 :
5203 : GEN
5204 454223 : ellglobalred(GEN E)
5205 : {
5206 454223 : pari_sp av = avma;
5207 : GEN S, gr, v;
5208 454223 : checkell(E);
5209 454223 : switch(ell_get_type(E))
5210 : {
5211 0 : default: pari_err_TYPE("ellglobalred",E);
5212 452949 : case t_ELL_Q:
5213 452949 : gr = ellglobalred_i(E);
5214 452949 : S = obj_check(E, Q_MINIMALMODEL);
5215 452949 : v = (lg(S) == 2)? init_ch(): gel(S,2);
5216 452949 : v = mkvec5(gel(gr,1), v, gel(gr,2),gel(gr,3),gel(gr,4));
5217 452949 : break;
5218 1274 : case t_ELL_NF:
5219 1274 : v = obj_checkbuild(E, NF_GLOBALRED, &ellnfglobalred);
5220 1274 : break;
5221 : }
5222 454223 : return gerepilecopy(av, v);
5223 : }
5224 :
5225 : static GEN doellrootno(GEN e);
5226 : /* Return E = ellminimalmodel(e), but only update E[1..14].
5227 : * insert MINIMALMODEL, GLOBALRED, ROOTNO in both e (regular insertion)
5228 : * and E (shallow insert) */
5229 : GEN
5230 4543 : ellanal_globalred(GEN e, GEN *ch)
5231 : {
5232 4543 : GEN E, S, v = NULL;
5233 4543 : checkell_Q(e);
5234 4543 : if (!(S = obj_check(e, Q_MINIMALMODEL)))
5235 : {
5236 406 : E = ellminimalmodel_i(e, &v, &S);
5237 406 : obj_insert_shallow(E, Q_MINIMALMODEL, mkvec(gel(S,1)));
5238 : }
5239 4137 : else if (lg(S) == 2) /* trivial change */
5240 4123 : E = e;
5241 : else
5242 : {
5243 14 : v = gel(S,2);
5244 14 : E = gcopy(gel(S,3));
5245 14 : obj_insert_shallow(E, Q_MINIMALMODEL, mkvec(gel(S,1)));
5246 : }
5247 4543 : if (ch) *ch = v;
5248 4543 : S = ellglobalred_i(e);
5249 4543 : if (E != e) obj_insert_shallow(E, Q_GLOBALRED, S);
5250 4543 : S = obj_check(e, Q_ROOTNO);
5251 4543 : if (!S)
5252 : {
5253 3248 : S = doellrootno(E);
5254 3248 : obj_insert(e, Q_ROOTNO, S); /* insert in e */
5255 : }
5256 4543 : if (E != e) obj_insert_shallow(E, Q_ROOTNO, S); /* ... and in E */
5257 4543 : return E;
5258 : }
5259 :
5260 : static long
5261 9632 : nb_real_components(GEN E) { return gsigne(ell_get_disc(E)) > 0? 2: 1; }
5262 : /* E minimal, \Omega_E^s in "La constante de Manin et le degre modulaire
5263 : * d'une courbe elliptique" */
5264 : GEN
5265 19747 : ellQtwist_bsdperiod(GEN E, long s)
5266 : {
5267 19747 : GEN w = ellR_omega(E,DEFAULTPREC);
5268 19747 : if (s == 1)
5269 10164 : w = gel(w,1);
5270 9583 : else if (nb_real_components(E) == 2)
5271 5334 : w = gneg(gel(w,2));
5272 : else
5273 4249 : w = mkcomplex(gen_0, gneg(gmul2n(imag_i(gel(w,2)), 1)));
5274 19747 : return w;
5275 : }
5276 :
5277 : static GEN
5278 49 : ellQ_tamagawa(GEN e)
5279 : {
5280 49 : GEN red = ellglobalred(e), tam = gel(red,3);
5281 49 : return muliu(tam, nb_real_components(e));
5282 : }
5283 :
5284 : static GEN
5285 882 : ellnf_tamagawa(GEN e)
5286 : {
5287 882 : GEN red = ellglobalred(e), tam = gel(red,3);
5288 882 : GEN nf = ellnf_get_nf(e), s = nfsign(nf, ell_get_disc(e));
5289 : long r1, r2;
5290 882 : nf_get_sign(nf, &r1, &r2);
5291 882 : return shifti(tam, r2 + r1 - hammingweight(s));
5292 : }
5293 :
5294 : GEN
5295 49 : elltamagawa(GEN E)
5296 : {
5297 49 : pari_sp av = avma;
5298 : GEN v;
5299 49 : checkell(E);
5300 49 : switch(ell_get_type(E))
5301 : {
5302 0 : default: pari_err_TYPE("elltamagawa",E);
5303 21 : case t_ELL_Q: v = ellQ_tamagawa(E); break;
5304 28 : case t_ELL_NF: v = ellnf_tamagawa(E); break;
5305 : }
5306 49 : return gerepileuptoint(av, v);
5307 : }
5308 :
5309 : static GEN
5310 58660 : ellnf_get_nf_prec(GEN E, long prec)
5311 : {
5312 58660 : GEN S, nf = ellnf_get_nf(E);
5313 58660 : if (nf_get_prec(nf) >= prec) return nf;
5314 46277 : if ((S = obj_check(E, NF_NF)) && nf_get_prec(S) >= prec) return S;
5315 29351 : return obj_insert(E, NF_NF, nfnewprec_shallow(nf, prec));
5316 : }
5317 : /* true nf, use nf prec */
5318 : static GEN
5319 206843 : nfembedall(GEN nf, GEN x)
5320 : {
5321 : long r1, r2;
5322 : GEN cx;
5323 206843 : nf_get_sign(nf,&r1,&r2);
5324 206843 : x = nf_to_scalar_or_basis(nf,x);
5325 206843 : if (typ(x) != t_COL) return const_vec(r1+r2, x);
5326 3276 : x = Q_primitive_part(x, &cx);
5327 3276 : x = RgM_RgC_mul(nf_get_M(nf), x);
5328 3276 : if (cx) x = RgC_Rg_mul(x,cx);
5329 3276 : return x;
5330 : }
5331 : static long
5332 58660 : nfembed_extraprec(GEN x)
5333 58660 : { long e = gexpo(x); return (e < 8)? 0: nbits2extraprec(e); }
5334 : static GEN
5335 29841 : ellnfembed(GEN E, long prec)
5336 : {
5337 29841 : GEN E0, nf = ellnf_get_nf(E), Eb = cgetg(6,t_VEC), e = cgetg(6,t_VEC), L, sD;
5338 : long prec0, r1, r2, n, i;
5339 :
5340 29841 : nf_get_sign(nf, &r1, &r2); n = r1+r2;
5341 29841 : E0 = RgC_to_nfC(nf, vecslice(E,1,5));
5342 29841 : prec0 = prec + EXTRAPREC64;
5343 : /* need accuracy 3b for bmodel to ensure roots are correct to b bits */
5344 29841 : prec += 3*prec0 + nfembed_extraprec(E0);
5345 29841 : L = cgetg(n+1, t_VEC);
5346 29841 : sD = nfeltsign(nf, ell_get_disc(E), identity_perm(r1));
5347 : for(;;)
5348 : {
5349 29841 : nf = ellnf_get_nf_prec(E, prec);
5350 179046 : for (i=1; i<=5; i++) gel(Eb,i) = nfembedall(nf,gel(E0,i));
5351 91210 : for (i=1; i<=n; i++)
5352 : {
5353 : GEN Ei, r;
5354 : long j;
5355 368214 : for (j=1; j<=5; j++) gel(e,j) = gmael(Eb,j,i);
5356 61369 : gel(L,i) = Ei = ellinit_Rg(e, i<=r1? signe(gel(sD,i)): 0, prec);
5357 61369 : if (!Ei) break;
5358 61369 : r = doellR_roots_i(Ei, prec, prec0);
5359 61369 : if (!r) break;
5360 : }
5361 29841 : if (i > n) return L;
5362 0 : prec = precdbl(prec);
5363 0 : if (DEBUGLEVEL>1) pari_warn(warnprec,"ellnfembed", prec);
5364 : }
5365 : }
5366 :
5367 : static GEN
5368 28819 : ellpointnfembed(GEN E, GEN P, long prec)
5369 : {
5370 28819 : GEN nf = ellnf_get_nf(E), Px, Py, L;
5371 : long i, l;
5372 28819 : P = RgC_to_nfC(nf, P);
5373 28819 : prec += nfembed_extraprec(P);
5374 28819 : nf = ellnf_get_nf_prec(E, prec);
5375 28819 : Px = nfembedall(nf, gel(P,1));
5376 28819 : Py = nfembedall(nf, gel(P,2));
5377 28819 : l = lg(Px); L = cgetg(l, t_VEC);
5378 86436 : for(i = 1; i < l; i++) gel(L,i) = mkvec2(gel(Px,i), gel(Py,i));
5379 28819 : return L;
5380 : }
5381 :
5382 : static void
5383 1029 : ellnfembed_free(GEN L)
5384 : {
5385 1029 : long i, l = lg(L);
5386 4795 : for(i = 1; i < l; i++) obj_free(gel(L,i));
5387 1029 : }
5388 :
5389 : static GEN
5390 168 : ellnf_vec_wrap(GEN (*fun)(GEN, long), GEN E, long prec)
5391 : {
5392 168 : pari_sp av = avma;
5393 168 : GEN V = ellnfembed(E, prec);
5394 168 : long i, l = lg(V);
5395 168 : GEN P = cgetg(l, t_VEC);
5396 448 : for(i=1; i<l; i++) gel(P,i) = fun(gel(V,i), prec);
5397 168 : ellnfembed_free(V);
5398 168 : return gerepilecopy(av, P);
5399 : }
5400 :
5401 : GEN
5402 91 : ellnf_vecarea(GEN E, long prec)
5403 91 : { return ellnf_vec_wrap(&ellR_area, E, prec); }
5404 :
5405 : GEN
5406 28 : ellnf_veceta(GEN E, long prec)
5407 28 : { return ellnf_vec_wrap(&ellR_eta, E, prec); }
5408 :
5409 : GEN
5410 49 : ellnf_vecomega(GEN E, long prec)
5411 49 : { return ellnf_vec_wrap(&ellR_omega, E, prec); }
5412 :
5413 : static GEN
5414 854 : ellnf_bsdperiod(GEN E, long prec)
5415 : {
5416 854 : pari_sp av = avma;
5417 854 : GEN Eb = ellnfembed(E, prec), per = gtofp(ellnf_minimalnormu(E), prec);
5418 854 : long i, l = lg(Eb), r1 = nf_get_r1(ellnf_get_nf(E));
5419 4326 : for(i = 1; i < l; i++)
5420 : {
5421 3472 : GEN e = gel(Eb, i);
5422 3472 : GEN pi = (i <= r1)? gel(ellR_omega(e, prec),1): ellR_area(e, prec);
5423 3472 : per = mulrr(per, pi);
5424 : }
5425 854 : ellnfembed_free(Eb);
5426 854 : return gerepileuptoleaf(av, per);
5427 : }
5428 : static GEN
5429 854 : ellnf_adelicvolume(GEN E, long prec)
5430 : {
5431 854 : GEN t = ellnf_tamagawa(E);
5432 854 : return gmul(t, ellnf_bsdperiod(E, prec));
5433 : }
5434 :
5435 : static GEN
5436 42 : ellnf_bsd(GEN E, long prec)
5437 : {
5438 42 : GEN v = ellnf_adelicvolume(E, prec);
5439 42 : GEN tor = gel(elltors(E),1);
5440 42 : GEN D = itor(nf_get_disc(ellnf_get_nf(E)), prec);
5441 42 : return divrr(divri(v, sqri(tor)), sqrtr_abs(D));
5442 : }
5443 :
5444 : static GEN
5445 28 : ellQ_bsd(GEN E, long prec)
5446 : {
5447 28 : GEN per = gel(ellR_omega(E, prec),1);
5448 28 : GEN tam = ellQ_tamagawa(E);
5449 28 : GEN tor = gel(elltors(E),1);
5450 28 : GEN S = obj_check(E, Q_MINIMALMODEL);
5451 28 : if (lg(S) != 2)
5452 : { /* switch to minimal model if needed */
5453 21 : GEN v = gel(S,2), u = gel(v,1);
5454 21 : per = gmul(per,u);
5455 : }
5456 28 : return divri(mulri(per,tam), sqri(tor));
5457 : }
5458 :
5459 : GEN
5460 70 : ellbsd(GEN E, long prec)
5461 : {
5462 70 : pari_sp av = avma;
5463 : GEN v;
5464 70 : checkell(E);
5465 70 : switch(ell_get_type(E))
5466 : {
5467 0 : default: pari_err_TYPE("ellbsd",E);
5468 28 : case t_ELL_Q: v = ellQ_bsd(E, prec); break;
5469 42 : case t_ELL_NF: v = ellnf_bsd(E, prec); break;
5470 : }
5471 70 : return gerepileupto(av, v);
5472 : }
5473 :
5474 : static GEN
5475 33680 : QE_to_ZJ(GEN P)
5476 : {
5477 33680 : if (ell_is_inf(P))
5478 0 : return mkvec3(gen_1, gen_1, gen_0);
5479 : else
5480 : {
5481 33680 : pari_sp av = avma;
5482 33680 : GEN D1 = denom(gel(P,1)), D2 = denom(gel(P,2));
5483 33680 : GEN R = diviiexact(D2, gcdii(D1,D2));
5484 33680 : GEN R2 = sqri(R), R3 = mulii(R2, R);
5485 33680 : GEN Q1 = gmul(gel(P,1),R2);
5486 33680 : GEN Q2 = gmul(gel(P,2),R3);
5487 33680 : GEN Z = denom(mkvec2(Q1, Q2));
5488 33680 : GEN Z2 = sqri(Z), Z3 = mulii(Z, Z2);
5489 33680 : return gerepilecopy(av, mkvec3(gmul(Q1, Z2), gmul(Q2, Z3), mulii(Z, R)));
5490 : }
5491 : }
5492 :
5493 : static GEN
5494 4460 : QEV_to_ZJV(GEN x)
5495 38098 : { pari_APPLY_same(QE_to_ZJ(gel(x,i))) }
5496 :
5497 : static GEN
5498 15322 : FljV_changepointinv_pre(GEN x, GEN a4a6, ulong p, ulong pi)
5499 : {
5500 168280 : pari_APPLY_same(Flj_changepointinv_pre(gel(x,i), a4a6, p, pi))
5501 : }
5502 :
5503 : static GEN
5504 10789 : ellQ_factorback_filter(GEN A, GEN P, GEN *pQ)
5505 : {
5506 10789 : long i, j, k, l = lg(A);
5507 : GEN B, Q;
5508 34026 : for (i = k = 1; i < l; i++)
5509 23237 : if (!ell_is_inf(gel(A,i))) k++;
5510 10789 : if (k == 1 || k == l) { *pQ = P; return A; }
5511 155 : B = cgetg(k, t_VEC);
5512 155 : Q = cgetg(k, typ(P));
5513 735 : for (i = j = 1; i < l; i++)
5514 580 : if (!ell_is_inf(gel(A,i))) { gel(B,j) = gel(A,i); Q[j] = P[i]; j++; }
5515 155 : *pQ = Q; return B;
5516 : }
5517 :
5518 : static GEN
5519 5332 : ellQ_factorback_chinese(GEN A, GEN P, GEN *mod)
5520 : {
5521 5332 : GEN Q, B = ellQ_factorback_filter(A, P, &Q);
5522 5332 : return ncV_chinese_center(B, Q, mod);
5523 : }
5524 :
5525 : static GEN
5526 15732 : ellQ_factorback1(GEN A, GEN L, ulong l, GEN E, long CM, ulong p)
5527 : {
5528 15732 : pari_sp av = avma;
5529 15732 : ulong pi = get_Fl_red(p);
5530 15732 : GEN c4 = ell_get_c4(E);
5531 15732 : ulong a4 = Fl_c4_to_a4(Rg_to_Fl(c4, p), p);
5532 : GEN a4a6, a, Hp;
5533 15732 : ulong d = 1;
5534 15732 : if (l != 1)
5535 : {
5536 648 : GEN c6 = ell_get_c6(E);
5537 648 : ulong a6 = Fl_c6_to_a6(Rg_to_Fl(c6, p), p);
5538 648 : ulong c = p + 1 - Fl_elltrace_CM(CM, a4, a6, p);
5539 648 : d = Fl_invsafe(l % c, c);
5540 648 : if (!d) return NULL;
5541 : }
5542 15322 : a4a6 = a4a6_ch_Fl(E,p);
5543 15322 : a = FljV_changepointinv_pre(A, a4a6, p, pi);
5544 15322 : Hp = FljV_factorback_pre(a, L, a4, p, pi);
5545 15322 : if (d != 1)
5546 238 : Hp = Flj_mulu_pre(Hp, d, a4, p, pi);
5547 15322 : Hp = Flj_to_Fle_pre(Hp, p, pi);
5548 15322 : Hp = Fle_changepoint(Hp, a4a6, p);
5549 15322 : return gerepileuptoleaf(av, Hp);
5550 : }
5551 :
5552 : static GEN
5553 8741 : ellQ_factorback_slice(GEN A, GEN L, ulong l, GEN E, GEN P, GEN *mod)
5554 : {
5555 8741 : pari_sp av = avma;
5556 8741 : long i, n = lg(P)-1;
5557 8741 : long CM = ellQ_get_CM(E);
5558 : GEN H, T, B, Q;
5559 8741 : if (n == 1)
5560 : {
5561 3284 : ulong p = uel(P,1);
5562 3284 : GEN Hp = ellQ_factorback1(ZVV_to_FlvV(A, p), L, l, E, CM, p);
5563 3284 : if (!Hp) { *mod = gen_1; return ellinf(); }
5564 3260 : *mod = utoi(p);
5565 3260 : return Flv_to_ZV(Hp);
5566 : }
5567 5457 : T = ZV_producttree(P);
5568 5457 : A = ZVV_nv_mod_tree(A, P, T);
5569 5457 : H = cgetg(n+1, t_VEC);
5570 17905 : for(i=1; i <= n; i++)
5571 : {
5572 12448 : gel(H,i) = ellQ_factorback1(gel(A,i), L, l, E, CM, uel(P,i));
5573 12448 : if (gel(H,i)==NULL) { gel(H,i) = ellinf(); uel(P,i) = 1; }
5574 : }
5575 5457 : B = ellQ_factorback_filter(H, P, &Q);
5576 5457 : if (lg(Q) != lg(P)) T = ZV_producttree(Q);
5577 5457 : H = ncV_chinese_center_tree(B, Q, T, ZV_chinesetree(Q,T));
5578 5457 : *mod = gmael(T, lg(T)-1, 1); return gc_all(av, 2, &H, mod);
5579 : }
5580 :
5581 : GEN
5582 8741 : ellQ_factorback_worker(GEN P, GEN E, GEN A, GEN L, ulong l)
5583 : {
5584 8741 : GEN V = cgetg(3, t_VEC);
5585 8741 : gel(V,1) = ellQ_factorback_slice(A, L, l, E, P, &gel(V,2));
5586 8741 : return V;
5587 : }
5588 :
5589 : /* If a single non-zero entry, equal to 1, return its index. Else 0 */
5590 : static long
5591 4214 : ZV_is_ei(GEN v)
5592 : {
5593 4214 : long i, ei = 0;
5594 15081 : for (i = lg(v)-1; i; i--)
5595 14109 : if (signe(gel(v,i)))
5596 : {
5597 5825 : if (ei || !equali1(gel(v,i))) return 0;
5598 2583 : ei = i;
5599 : }
5600 972 : return ei;
5601 : }
5602 :
5603 : /* A vector of points, L a ZV, return (sum L[i]*A[i]) / l;
5604 : * h is the canonical height of result. Assume the result is NOT
5605 : * torsion */
5606 : static GEN
5607 4228 : ellQ_factorback(GEN E, GEN A, GEN L, ulong l, GEN h, long prec)
5608 : {
5609 4228 : pari_sp av = avma;
5610 4228 : GEN hn, D, worker, mod = gen_1, H = NULL;
5611 : forprime_t S;
5612 4228 : ulong bound = 1;
5613 :
5614 4228 : if (l == 1)
5615 : {
5616 4214 : long i = ZV_is_ei(L);
5617 4214 : if (i) return gel(A,i);
5618 : }
5619 3256 : hn = l==1 ? NULL: hnaive_max(E, h);
5620 3256 : D = ell_get_disc(E);
5621 3256 : worker = snm_closure(is_entry("_ellQ_factorback_worker"),
5622 : mkvec4(E, QEV_to_ZJV(A), L, utoi(l)));
5623 3256 : if (l==1)
5624 3242 : init_modular_big(&S);
5625 : else
5626 14 : init_modular_small(&S);
5627 3256 : for (bound = 1;; bound <<= 1)
5628 3564 : {
5629 : GEN amax, r;
5630 6820 : gen_inccrt("ellQ_factorback", worker, D, bound, 0,
5631 : &S, &H, &mod, ellQ_factorback_chinese, NULL);
5632 6820 : amax = sqrti(shifti(mod,-2));
5633 6820 : if (!ell_is_inf(H) && (r = FpC_ratlift(H, mod, amax, amax, NULL))
5634 3826 : && oncurve_exact(E,r))
5635 : {
5636 : GEN g;
5637 3256 : settyp(r,t_VEC); g = ellheight(E,r,prec);
5638 3256 : if (signe(g) && expo(subrs(divrr(g,h),1))<-prec/2)
5639 3256 : return gerepileupto(av, r);
5640 : }
5641 3564 : if (hn && gcmpsg(expi(mod)>>2,hn) > 0) return gc_NULL(av);
5642 : }
5643 : }
5644 :
5645 : GEN
5646 833 : ellQ_genreduce(GEN E, GEN G, GEN M, long prec)
5647 : {
5648 833 : pari_sp av = avma;
5649 833 : long i, j, l = lg(G);
5650 833 : GEN L, V = cgetg(l, t_VEC);
5651 :
5652 833 : if (!M) M = ellheightmatrix(E, G, prec);
5653 : while(1)
5654 : {
5655 833 : L = lllgram(M);
5656 833 : if (L) break;
5657 0 : prec = precdbl(prec);
5658 0 : M = ellheightmatrix(E, G, prec);
5659 : }
5660 833 : l = lg(L); /* can decrease */
5661 4914 : for (i = j = 1; i < l; i++)
5662 : {
5663 4081 : GEN Li = gel(L, i), h = qfeval(M, Li);
5664 4081 : if (expo(h) > -prec/2)
5665 4081 : gel(V,j++) = ellQ_factorback(E, G, Li, 1, h, prec);
5666 : }
5667 833 : setlg(V, j); return gerepilecopy(av, V);
5668 : }
5669 :
5670 : static long
5671 42 : ellQ_isdivisible_test(forprime_t *S, GEN E, long CM, GEN P, ulong l, long nb)
5672 : {
5673 42 : GEN D = ell_get_disc(E);
5674 42 : pari_sp av = avma;
5675 : long m;
5676 2247 : for (m = 1; m <= nb; set_avma(av))
5677 : {
5678 2219 : ulong o, a4, a6, p = u_forprime_next(S);
5679 2219 : if (dvdiu(D, p)) continue;
5680 2219 : Fl_ell_to_a4a6(E, p, &a4, &a6);
5681 2219 : o = p+1 - Fl_elltrace_CM(CM, a4, a6, p);
5682 2219 : if (o % l == 0)
5683 : {
5684 294 : ulong pi = get_Fl_red(p);
5685 294 : GEN a4a6 = a4a6_ch_Fl(E,p);
5686 294 : GEN Q = Flj_changepointinv_pre(ZV_to_Flv(P, p), a4a6, p, pi);
5687 294 : GEN R = Flj_mulu_pre(Q, o/l, a4, p, pi);
5688 294 : if (uel(R, 3) != 0) return 0;
5689 280 : m++;
5690 : }
5691 : }
5692 28 : return 1;
5693 : }
5694 :
5695 : /* Assume l prime to 210 */
5696 : GEN
5697 42 : ellQ_isdivisible(GEN E, GEN P, ulong l)
5698 : {
5699 42 : pari_sp av = avma;
5700 42 : GEN worker, mod = gen_1, H = NULL, D = ell_get_disc(E), PJ = QE_to_ZJ(P);
5701 : forprime_t S, U;
5702 42 : long CM = ellQ_get_CM(E);
5703 : ulong bound;
5704 :
5705 42 : u_forprime_init(&U, l+1, ULONG_MAX);
5706 42 : if (!ellQ_isdivisible_test(&U, E, CM, PJ, l, 10)) return gc_NULL(av);
5707 28 : worker = snm_closure(is_entry("_ellQ_factorback_worker"),
5708 : mkvec4(E, mkvec(PJ), mkvecs(1), utoi(l)));
5709 28 : init_modular_small(&S);
5710 28 : for (bound = 1;; bound <<= 1)
5711 62 : {
5712 : GEN amax, r;
5713 90 : gen_inccrt("ellQ_factorback", worker, D, bound, 0,
5714 : &S, &H, &mod, ellQ_factorback_chinese, NULL);
5715 90 : amax = sqrti(shifti(mod,-2));
5716 90 : if (!ell_is_inf(H) && (r = FpC_ratlift(H, mod, amax, amax, NULL))
5717 29 : && oncurve_exact(E,r))
5718 : {
5719 28 : settyp(r,t_VEC);
5720 28 : if (gequal(ellmul(E,r,utoi(l)), P)) return gerepileupto(av, r);
5721 0 : if (!ellQ_isdivisible_test(&U, E, CM, PJ, l, 10)) return gc_NULL(av);
5722 : }
5723 : }
5724 : }
5725 :
5726 : /********************************************************************/
5727 : /** **/
5728 : /** ROOT NUMBER (after Halberstadt at p = 2,3) **/
5729 : /** **/
5730 : /********************************************************************/
5731 : /* x a t_INT */
5732 : static long
5733 9282 : val_aux(GEN x, long p, long pk, long *u)
5734 : {
5735 : long v;
5736 : GEN z;
5737 9282 : if (!signe(x)) { *u = 0; return 12; }
5738 9058 : v = Z_lvalrem(x,p,&z);
5739 9058 : *u = umodiu(z,pk); return v;
5740 : }
5741 : static void
5742 3094 : val_init(GEN e, long p, long pk,
5743 : long *v4, long *u, long *v6, long *v, long *vD, long *d1)
5744 : {
5745 3094 : GEN c4 = ell_get_c4(e), c6 = ell_get_c6(e), D = ell_get_disc(e);
5746 3094 : pari_sp av = avma;
5747 3094 : *v4 = val_aux(c4, p,pk, u);
5748 3094 : *v6 = val_aux(c6, p,pk, v);
5749 3094 : *vD = val_aux(D , p,pk, d1); set_avma(av);
5750 3094 : }
5751 :
5752 : static long
5753 3094 : kod_23(GEN e, long p)
5754 : {
5755 : GEN S, nv;
5756 3094 : if ((S = obj_check(e, Q_GLOBALRED)))
5757 : {
5758 3073 : GEN NP = gmael(S,3,1), L = gel(S,4);
5759 3073 : nv = absequaliu(gel(NP,1), p)? gel(L,1): gel(L,2); /* localred(p) */
5760 : }
5761 : else
5762 21 : nv = localred_23(e, p);
5763 3094 : return itos(gel(nv,2));
5764 : }
5765 :
5766 : /* v(c4), v(c6), v(D) for minimal model, +oo is coded by 12 */
5767 : static long
5768 1673 : neron_2(long v4, long v6, long vD, long kod)
5769 : {
5770 1673 : if (kod > 4) return 1;
5771 784 : switch(kod)
5772 : {
5773 0 : case 1: return (v6>0) ? 2 : 1;
5774 49 : case 2:
5775 49 : if (vD==4) return 1;
5776 : else
5777 : {
5778 7 : if (vD==7) return 3;
5779 7 : else return v4==4 ? 2 : 4;
5780 : }
5781 112 : case 3:
5782 112 : switch(vD)
5783 : {
5784 70 : case 6: return 3;
5785 0 : case 8: return 4;
5786 14 : case 9: return 5;
5787 28 : default: return v4==5 ? 2 : 1;
5788 : }
5789 133 : case 4: return v4>4 ? 2 : 1;
5790 84 : case -1:
5791 84 : switch(vD)
5792 : {
5793 42 : case 9: return 2;
5794 0 : case 10: return 4;
5795 42 : default: return v4>4 ? 3 : 1;
5796 : }
5797 56 : case -2:
5798 56 : switch(vD)
5799 : {
5800 7 : case 12: return 2;
5801 0 : case 14: return 3;
5802 49 : default: return 1;
5803 : }
5804 56 : case -3:
5805 56 : switch(vD)
5806 : {
5807 0 : case 12: return 2;
5808 0 : case 14: return 3;
5809 0 : case 15: return 4;
5810 56 : default: return 1;
5811 : }
5812 140 : case -4: return v6==7 ? 2 : 1;
5813 56 : case -5: return (v6==7 || v4==6) ? 2 : 1;
5814 42 : case -6:
5815 42 : switch(vD)
5816 : {
5817 14 : case 12: return 2;
5818 0 : case 13: return 3;
5819 28 : default: return v4==6 ? 2 : 1;
5820 : }
5821 35 : case -7: return (vD==12 || v4==6) ? 2 : 1;
5822 21 : default: return v4==6 ? 2 : 1;
5823 : }
5824 : }
5825 : /* p = 3; v(c4), v(c6), v(D) for minimal model, +oo is coded by 12 */
5826 : static long
5827 595 : neron_3(long v4, long v6, long vD, long kod)
5828 : {
5829 595 : if (labs(kod) > 4) return 1;
5830 322 : switch(kod)
5831 : {
5832 49 : case -1: case 1: return odd(v4)? 2: 1;
5833 140 : case -3: case 3: return (2*v6>vD+3)? 2: 1;
5834 91 : case -4: case 2:
5835 91 : switch (vD%6)
5836 : {
5837 0 : case 4: return 3;
5838 0 : case 5: return 4;
5839 91 : default: return v6%3==1 ? 2 : 1;
5840 : }
5841 42 : default: /* kod = -2 et 4 */
5842 42 : switch (vD%6)
5843 : {
5844 0 : case 0: return 2;
5845 0 : case 1: return 3;
5846 42 : default: return 1;
5847 : }
5848 : }
5849 : }
5850 :
5851 : static long
5852 1673 : ellrootno_2(GEN e)
5853 : {
5854 : long n2, kod, u, v, x1, y1, D1, vD, v4, v6;
5855 1673 : long d = get_vp_u_small(e, 2, &v6, &vD);
5856 :
5857 1673 : if (!vD) return 1;
5858 1673 : if (d) { /* not minimal */
5859 : ellmin_t M;
5860 14 : min_set_2(&M, e, d);
5861 14 : min_set_D(&M, e);
5862 14 : e = min_to_ell(&M, e);
5863 : }
5864 1673 : val_init(e, 2,64,&v4,&u, &v6,&v, &vD,&D1);
5865 1673 : kod = kod_23(e,2);
5866 1673 : n2 = neron_2(v4,v6,vD, kod);
5867 1673 : if (kod>=5)
5868 : {
5869 : long a2, a3;
5870 889 : a2 = ZtoF2(ell_get_a2(e));
5871 889 : a3 = ZtoF2(ell_get_a3(e));
5872 889 : return odd(a2 + a3) ? 1 : -1;
5873 : }
5874 784 : if (kod<-9) return (n2==2) ? -kross(-1,v) : -1;
5875 777 : x1 = u+v+v;
5876 777 : switch(kod)
5877 : {
5878 0 : case 1: return 1;
5879 49 : case 2:
5880 : switch(n2)
5881 : {
5882 42 : case 1:
5883 42 : switch(v4)
5884 : {
5885 14 : case 4: return kross(-1,u);
5886 14 : case 5: return 1;
5887 14 : default: return -1;
5888 : }
5889 7 : case 2: return (v6==7) ? 1 : -1;
5890 0 : case 3: return (v%8==5 || (u*v)%8==5) ? 1 : -1;
5891 0 : case 4: if (v4>5) return kross(-1,v);
5892 0 : return (v4==5) ? -kross(-1,u) : -1;
5893 : }
5894 : case 3:
5895 : switch(n2)
5896 : {
5897 7 : case 1: return -kross(2,u*v);
5898 21 : case 2: return -kross(2,v);
5899 70 : case 3: y1 = (u - (v << (v6-5))) & 15;
5900 70 : return (y1==7 || y1==11) ? 1 : -1;
5901 0 : case 4: return (v%8==3 || (2*u+v)%8==7) ? 1 : -1;
5902 14 : case 5: return v6==8 ? kross(2,x1) : kross(-2,u);
5903 : }
5904 : case -1:
5905 : switch(n2)
5906 : {
5907 42 : case 1: return -kross(2,x1);
5908 42 : case 2: return (v%8==7) || (x1%32==11) ? 1 : -1;
5909 0 : case 3: return v4==6 ? 1 : -1;
5910 0 : case 4: if (v4>6) return kross(-1,v);
5911 0 : return v4==6 ? -kross(-1,u*v) : -1;
5912 : }
5913 56 : case -2: return n2==1 ? kross(-2,v) : kross(-1,v);
5914 56 : case -3:
5915 : switch(n2)
5916 : {
5917 56 : case 1: y1=(u-2*v)%64; if (y1<0) y1+=64;
5918 56 : return (y1==3) || (y1==19) ? 1 : -1;
5919 0 : case 2: return kross(2*kross(-1,u),v);
5920 0 : case 3: return -kross(-1,u)*kross(-2*kross(-1,u),u*v);
5921 0 : case 4: return v6==11 ? kross(-2,x1) : -kross(-2,u);
5922 : }
5923 : case -5:
5924 56 : if (n2==1) return x1%32==23 ? 1 : -1;
5925 7 : else return -kross(2,2*u+v);
5926 42 : case -6:
5927 : switch(n2)
5928 : {
5929 28 : case 1: return 1;
5930 14 : case 2: return v6==10 ? 1 : -1;
5931 0 : case 3: return (u%16==11) || ((u+4*v)%16==3) ? 1 : -1;
5932 : }
5933 : case -7:
5934 35 : if (n2==1) return 1;
5935 : else
5936 : {
5937 21 : y1 = (u + (v << (v6-8))) & 15;
5938 21 : if (v6==10) return (y1==9 || y1==13) ? 1 : -1;
5939 7 : else return (y1==9 || y1==5) ? 1 : -1;
5940 : }
5941 0 : case -8: return n2==2 ? kross(-1,v*D1) : -1;
5942 14 : case -9: return n2==2 ? -kross(-1,D1) : -1;
5943 273 : default: return -1;
5944 : }
5945 : }
5946 :
5947 : static long
5948 1421 : ellrootno_3(GEN e)
5949 : {
5950 : long n2, kod, u, v, D1, r6, K4, K6, vD, v4, v6;
5951 1421 : long d = get_vp_u_small(e, 3, &v6, &vD);
5952 :
5953 1421 : if (!vD) return 1;
5954 1421 : if (d) { /* not minimal */
5955 : ellmin_t M;
5956 0 : min_set_3(&M, e, d);
5957 0 : min_set_a(&M);
5958 0 : min_set_D(&M, e);
5959 0 : e = min_to_ell(&M, e);
5960 : }
5961 1421 : val_init(e, 3,81, &v4,&u, &v6,&v, &vD,&D1);
5962 1421 : kod = kod_23(e,3);
5963 1421 : K6 = kross(v,3); if (kod>4) return K6;
5964 595 : n2 = neron_3(v4,v6,vD,kod);
5965 595 : r6 = v%9; K4 = kross(u,3);
5966 595 : switch(kod)
5967 : {
5968 140 : case 1: case 3: case -3: return 1;
5969 21 : case 2:
5970 : switch(n2)
5971 : {
5972 21 : case 1: return (r6==4 || r6>6) ? 1 : -1;
5973 0 : case 2: return -K4*K6;
5974 0 : case 3: return 1;
5975 0 : case 4: return -K6;
5976 : }
5977 : case 4:
5978 : switch(n2)
5979 : {
5980 21 : case 1: return K6*kross(D1,3);
5981 0 : case 2: return -K4;
5982 0 : case 3: return -K6;
5983 : }
5984 21 : case -2: return n2==2 ? 1 : K6;
5985 70 : case -4:
5986 : switch(n2)
5987 : {
5988 63 : case 1:
5989 63 : if (v4==4) return (r6==4 || r6==8) ? 1 : -1;
5990 49 : else return (r6==1 || r6==2) ? 1 : -1;
5991 7 : case 2: return -K6;
5992 0 : case 3: return (r6==2 || r6==7) ? 1 : -1;
5993 0 : case 4: return K6;
5994 : }
5995 322 : default: return -1;
5996 : }
5997 : }
5998 :
5999 : /* p > 3. Don't assume that e is minimal or even integral at p */
6000 : static long
6001 3374 : ellrootno_p(GEN e, GEN p)
6002 : {
6003 : long nuj, nuD, nu;
6004 3374 : GEN D = ell_get_disc(e);
6005 : long ep, z;
6006 :
6007 3374 : nuD = Q_pval(D, p);
6008 3374 : if (!nuD) return 1;
6009 3374 : nuj = j_pval(e, p);
6010 3374 : nu = (nuD - nuj) % 12;
6011 3374 : if (nu == 0)
6012 : {
6013 : GEN c6;
6014 : long d, vg;
6015 2919 : if (!nuj) return 1; /* good reduction */
6016 : /* p || N */
6017 2919 : c6 = ell_get_c6(e); /* != 0 */
6018 2919 : vg = minss(2*Q_pval(c6, p), nuD);
6019 2919 : d = vg / 12;
6020 2919 : if (d)
6021 : {
6022 7 : GEN q = powiu(p,6*d);
6023 7 : c6 = (typ(c6) == t_INT)? diviiexact(c6, q): gdiv(c6, q);
6024 : }
6025 2919 : if (typ(c6) != t_INT) c6 = Rg_to_Fp(c6,p);
6026 : /* c6 in minimal model */
6027 2919 : return -kronecker(negi(c6), p);
6028 : }
6029 455 : if (nuj) return krosi(-1,p);
6030 301 : ep = 12 / ugcd(12, nu);
6031 301 : if (ep==4) z = 2; else z = odd(ep)? 3: 1;
6032 301 : return krosi(-z, p);
6033 : }
6034 :
6035 : static GEN
6036 3262 : doellrootno(GEN e)
6037 : {
6038 3262 : GEN V, P, S = ellglobalred_i(e);
6039 3262 : long i, l, s = -1;
6040 :
6041 3262 : V = obj_check(e, Q_MINIMALMODEL);
6042 3262 : if (lg(V) != 2) e = gel(V,3);
6043 3262 : P = gmael(S,3,1); l = lg(P);
6044 3262 : V = cgetg(l, t_VECSMALL);
6045 9702 : for (i = 1; i < l; i++)
6046 : {
6047 6440 : GEN p = gel(P,i);
6048 : long t;
6049 6440 : switch(itou_or_0(p))
6050 : {
6051 1652 : case 2: t = ellrootno_2(e); break;
6052 1421 : case 3: t = ellrootno_3(e); break;
6053 3367 : default:t = ellrootno_p(e, p);
6054 : }
6055 6440 : V[i] = t; if (t < 0) s = -s;
6056 : }
6057 3262 : return mkvec2(stoi(s), V);
6058 : }
6059 :
6060 : /* local epsilon factor at p (over Q), including p=0 for the infinite place.
6061 : * Global if p==1 or NULL. */
6062 : static long
6063 91 : ellQ_rootno(GEN e, GEN p)
6064 : {
6065 91 : pari_sp av = avma;
6066 : GEN S;
6067 : long s;
6068 91 : if (!p || isint1(p)) return ellrootno_global(e);
6069 77 : if (!signe(p)) return -1; /* local factor at infinity */
6070 77 : if ( (S = obj_check(e, Q_ROOTNO)) )
6071 : {
6072 49 : GEN T = obj_check(e, Q_GLOBALRED), NP = gmael(T,3,1);
6073 49 : long i = ZV_search(NP, p);
6074 49 : if (i) { GEN V = gel(S,2); return V[i]; }
6075 0 : return 1;
6076 : }
6077 28 : switch(itou_or_0(p))
6078 : {
6079 21 : case 2:
6080 21 : e = ellintegralmodel_i(e, NULL);
6081 21 : s = ellrootno_2(e); break;
6082 0 : case 3:
6083 0 : e = ellintegralmodel_i(e, NULL);
6084 0 : s = ellrootno_3(e); break;
6085 7 : default:
6086 7 : s = ellrootno_p(e,p); break;
6087 : }
6088 28 : return gc_long(av, s);
6089 : }
6090 :
6091 : /* global root number over number field
6092 : * Root numbers and parity of ranks of elliptic curves, Tim and Vladimir Dokchitser
6093 : * https://arxiv.org/abs/0906.1815
6094 : */
6095 :
6096 : static GEN
6097 364 : ellrnfup(GEN rnf, GEN E, long prec)
6098 : {
6099 : long i;
6100 364 : GEN Eb = cgetg(6, t_VEC);
6101 2184 : for(i=1; i<=5; i++)
6102 1820 : gel(Eb, i) = rnfeltup(rnf,gel(E, i));
6103 364 : return ellinit_nf(Eb, rnf_build_nfabs(rnf, prec));
6104 : }
6105 :
6106 : static GEN
6107 287 : ellnf2isog(GEN E, GEN z)
6108 : {
6109 287 : long v = fetch_var_higher();
6110 287 : GEN S = deg1pol(gen_1, gneg(z), v);
6111 287 : GEN E2 = ellisogeny(E, S, 1, -1, -1);
6112 287 : delete_var();
6113 287 : return ellinit_nf(E2, ellnf_get_nf(E));
6114 : }
6115 :
6116 : static GEN
6117 245 : ellnf_reladelicvolume(GEN E, GEN P, GEN C, GEN z, long prec)
6118 : {
6119 245 : pari_sp av = avma;
6120 245 : GEN nf = ellnf_get_nf(E);
6121 245 : GEN rnf = rnfinit0(nf, mkvec2(P, C), 1);
6122 245 : GEN Et = ellrnfup(rnf, E, prec);
6123 245 : GEN E2 = ellnf2isog(Et, rnfeltreltoabs(rnf, z));
6124 245 : GEN c1 = ellnf_adelicvolume(Et, prec), c2 = ellnf_adelicvolume(E2, prec);
6125 245 : obj_free(rnf); obj_free(Et); obj_free(E2);
6126 245 : return gerepilecopy(av, mkvec2(c1,c2));
6127 : }
6128 :
6129 : static long
6130 287 : rootnovalp(GEN z, ulong p, long prec)
6131 287 : { return mpodd(ground(gdiv(glog(z, prec), glog(utoi(p),prec)))); }
6132 :
6133 : static long
6134 168 : ellnf_rootno_global(GEN E)
6135 : {
6136 168 : pari_sp av = avma;
6137 168 : GEN nf = ellnf_get_nf(E);
6138 168 : long prec = nf_get_prec(nf);
6139 168 : long v, var = fetch_var_higher();
6140 : GEN F;
6141 168 : E = ellintegralmodel_i(E, NULL);
6142 168 : F = nfroots(nf, ec_bmodel(E, var));
6143 168 : if (lg(F)>1)
6144 : {
6145 42 : GEN Et = ellnf2isog(E, gel(F,1));
6146 42 : GEN cK = ellnf_adelicvolume(E, prec), cKt = ellnf_adelicvolume(Et, prec);
6147 42 : obj_free(Et);
6148 42 : v = rootnovalp(divrr(cK,cKt), 2, prec);
6149 : } else
6150 : {
6151 126 : GEN C = ellnf_D_primes(E);
6152 126 : GEN D = deg2pol_shallow(gen_1, gen_0, gneg(ell_get_disc(E)), var);
6153 126 : GEN P = RgX_divs(RgX_rescale(ec_bmodel(E, var), utoi(4)), 4);
6154 126 : GEN c = ellnf_reladelicvolume(E, P, C, gmul2n(pol_x(var),-2), prec);
6155 126 : GEN cL = gel(c,1), cLt = gel(c,2);
6156 126 : GEN F = nfroots(nf, D);
6157 126 : if (lg(F)>1)
6158 7 : v = rootnovalp(divrr(cL,cLt), 2, prec);
6159 : else
6160 : {
6161 119 : GEN cK = ellnf_adelicvolume(E, prec);
6162 119 : GEN cp = nfcompositum(nf, P, D, 3);
6163 119 : GEN cc = ellnf_reladelicvolume(E, gel(cp,1), C, gmul2n(gel(cp,2),-2), prec);
6164 119 : GEN cF = gel(cc,1), cFt = gel(cc,2);
6165 119 : GEN rnf = rnfinit0(nf,mkvec2(D,C),1);
6166 119 : GEN Et = ellrnfup(rnf, E, prec);
6167 119 : GEN cKv = ellnf_adelicvolume(Et, prec);
6168 119 : long v2 = rootnovalp(divrr(gmul(cL,cF),gmul(cLt,cFt)), 2, prec);
6169 119 : long v3 = rootnovalp(divrr(gmul(cF,gsqr(cK)),gmul(cKv,gsqr(cL))), 3, prec);
6170 119 : obj_free(rnf); obj_free(Et);
6171 119 : v = odd(v2+v3);
6172 : }
6173 : }
6174 168 : delete_var();
6175 168 : return gc_long(av, v? -1: 1);
6176 : }
6177 :
6178 : static GEN
6179 168 : doellnfrootno(GEN e)
6180 168 : { return stoi(ellnf_rootno_global(e)); }
6181 :
6182 : long
6183 4592 : ellrootno_global(GEN e)
6184 : {
6185 4592 : pari_sp av = avma;
6186 : GEN S;
6187 4592 : switch(ell_get_type(e))
6188 : {
6189 4270 : case t_ELL_Q:
6190 4270 : S = gel(obj_checkbuild(e, Q_ROOTNO, &doellrootno),1);
6191 4270 : break;
6192 322 : case t_ELL_NF:
6193 322 : S = obj_checkbuild(e, NF_ROOTNO, &doellnfrootno);
6194 322 : break;
6195 0 : default:
6196 : pari_err_TYPE("ellrootno", e); return 0; /*LCOV_EXCL_LINE*/
6197 : }
6198 4592 : return gc_long(av, itos(S));
6199 : }
6200 :
6201 : long
6202 210 : ellrootno(GEN e, GEN p)
6203 : {
6204 210 : checkell(e);
6205 210 : if (p && typ(p) != t_INT) pari_err_TYPE("ellrootno", p);
6206 210 : if (p && signe(p) < 0) pari_err_PRIME("ellrootno",p);
6207 210 : switch(ell_get_type(e))
6208 : {
6209 91 : case t_ELL_Q:
6210 91 : return ellQ_rootno(e, p);
6211 0 : default: pari_err_TYPE("ellrootno", e);
6212 119 : case t_ELL_NF:
6213 119 : if (p) pari_err_IMPL("local root number for number fields");
6214 119 : return ellrootno_global(e);
6215 : }
6216 : }
6217 :
6218 : /********************************************************************/
6219 : /** **/
6220 : /** TRACE OF FROBENIUS **/
6221 : /** **/
6222 : /********************************************************************/
6223 :
6224 : /* assume p does not divide disc E */
6225 : long
6226 1135064 : ellap_CM_fast(GEN E, ulong p, long CM)
6227 : {
6228 : ulong a4, a6;
6229 1135064 : if (p == 2) return 3 - cardmod2(E);
6230 1131669 : if (p == 3) return 4 - cardmod3(E);
6231 1127091 : Fl_ell_to_a4a6(E, p, &a4, &a6);
6232 1127091 : return Fl_elltrace_CM(CM, a4, a6, p);
6233 : }
6234 :
6235 : static void
6236 693 : checkell_int(GEN e)
6237 : {
6238 693 : checkell_Q(e);
6239 693 : if (typ(ell_get_a1(e)) != t_INT ||
6240 693 : typ(ell_get_a2(e)) != t_INT ||
6241 693 : typ(ell_get_a3(e)) != t_INT ||
6242 693 : typ(ell_get_a4(e)) != t_INT ||
6243 693 : typ(ell_get_a6(e)) != t_INT) pari_err_TYPE("ellanQ [not an integral model]",e);
6244 693 : }
6245 :
6246 : long
6247 20382 : ellQ_get_CM(GEN e)
6248 : {
6249 20382 : GEN j = ell_get_j(e);
6250 20382 : if (typ(j) != t_INT) return 0;
6251 1226 : if (is_bigint(j))
6252 : {
6253 : #ifndef LONG_IS_64BIT
6254 4 : if (signe(j) < 0)
6255 : {
6256 4 : pari_sp av = avma;
6257 4 : if (absequalii(j, uu32toi(0x22UL,0x45ae8000UL))) return gc_long(av,-67);
6258 2 : if (absequalii(j, uu32toi(0x03a4b862,0xc4b40000UL))) return gc_long(av,-163);
6259 : }
6260 : #endif
6261 0 : return 0;
6262 : }
6263 1222 : switch(signe(j))
6264 : {
6265 372 : default: return -3; /* j = 0 */
6266 567 : case 1:
6267 567 : switch(j[2])
6268 : {
6269 266 : case 1728: return -4;
6270 28 : case 8000: return -8;
6271 70 : case 54000: return -12;
6272 112 : case 287496: return -16;
6273 70 : case 16581375: return -28;
6274 21 : default: return 0;
6275 : }
6276 283 : case -1:
6277 283 : switch(j[2]) {
6278 84 : case 3375: return -7;
6279 28 : case 32768: return -11;
6280 14 : case 884736: return -19;
6281 77 : case 12288000: return -27;
6282 14 : case 884736000: return -43;
6283 : #ifdef LONG_IS_64BIT
6284 12 : case 147197952000L: return -67;
6285 12 : case 262537412640768000L: return -163;
6286 : #endif
6287 42 : default: return 0;
6288 : }
6289 : }
6290 : }
6291 :
6292 : static long
6293 56 : ellnf_get_CM(GEN E)
6294 : {
6295 56 : long av = avma;
6296 56 : GEN j = ell_get_j(E), nf = ellnf_get_nf(E);
6297 56 : GEN P = minpoly(basistoalg(nf, j), 0);
6298 56 : return gc_long(av, polisclass(P));
6299 : }
6300 :
6301 : long
6302 154 : elliscm(GEN E)
6303 : {
6304 154 : checkell(E);
6305 154 : switch(ell_get_type(E))
6306 : {
6307 98 : case t_ELL_Q: return ellQ_get_CM(E);
6308 56 : case t_ELL_NF: return ellnf_get_CM(E);
6309 0 : default: pari_err_TYPE("elliscm", E);
6310 : return 0; /*LCOV_EXCL_LINE*/
6311 : }
6312 : }
6313 :
6314 : /* E/Q or Qp, return cardinality including the (possible) ramified point */
6315 : static GEN
6316 2422016 : ellcard_ram(GEN E, GEN p, int *good_red)
6317 : {
6318 2422016 : GEN a4, a6, D = Rg_to_Fp(ell_get_disc(E), p);
6319 2421984 : if (!signe(D))
6320 : {
6321 97986 : pari_sp av = avma;
6322 97986 : GEN ap = ellQap(E, p, good_red);
6323 97986 : return gerepileuptoint(av, subii(addiu(p,1), ap));
6324 : }
6325 2323998 : *good_red = 1;
6326 2323998 : if (absequaliu(p,2)) return utoi(cardmod2(E));
6327 2322256 : if (absequaliu(p,3)) return utoi(cardmod3(E));
6328 2320622 : ell_to_a4a6(E,p,&a4,&a6);
6329 2320403 : return Fp_ellcard(a4, a6, p);
6330 : }
6331 :
6332 :
6333 : /* bad reduction at p */
6334 : static void
6335 12544 : sievep_bad(ulong p, GEN an, ulong n)
6336 : {
6337 : ulong m, N;
6338 12544 : switch (an[p]) /* (-c6/p) */
6339 : {
6340 4424 : case -1: /* nonsplit */
6341 4424 : N = n/p;
6342 661801 : for (m=2; m<=N; m++)
6343 657377 : if (an[m] != LONG_MAX) an[m*p] = -an[m];
6344 4424 : break;
6345 3794 : case 0: /* additive */
6346 7819392 : for (m=2*p; m<=n; m+=p) an[m] = 0;
6347 3794 : break;
6348 4326 : case 1: /* split */
6349 4326 : N = n/p;
6350 386358 : for (m=2; m<=N; m++)
6351 382032 : if (an[m] != LONG_MAX) an[m*p] = an[m];
6352 4326 : break;
6353 : }
6354 12544 : }
6355 : /* good reduction at p */
6356 : static void
6357 1069698 : sievep_good(ulong p, GEN an, ulong n, ulong SQRTn)
6358 : {
6359 1069698 : const long ap = an[p];
6360 : ulong m;
6361 1069698 : if (p <= SQRTn) {
6362 32830 : ulong pk, oldpk = 1;
6363 128912 : for (pk=p; pk <= n; oldpk=pk, pk *= p)
6364 : {
6365 96082 : if (pk != p) an[pk] = ap * an[oldpk] - p * an[oldpk/p];
6366 12318425 : for (m = n/pk; m > 1; m--)
6367 12222343 : if (an[m] != LONG_MAX && m%p) an[m*pk] = an[m] * an[pk];
6368 : }
6369 : } else {
6370 6170052 : for (m = n/p; m > 1; m--)
6371 5133184 : if (an[m] != LONG_MAX) an[m*p] = ap * an[m];
6372 : }
6373 1069698 : }
6374 : static void
6375 1082242 : sievep(ulong p, GEN an, ulong n, ulong SQRTn, int good_red)
6376 : {
6377 1082242 : if (good_red)
6378 1069698 : sievep_good(p, an, n, SQRTn);
6379 : else
6380 12544 : sievep_bad(p, an, n);
6381 1082242 : }
6382 :
6383 : static long
6384 1082242 : ellan_get_ap(ulong p, int *good_red, int CM, GEN e)
6385 : {
6386 1082242 : if (!umodiu(ell_get_disc(e),p)) /* p|D, bad reduction or nonminimal model */
6387 12600 : return ellQap_u(e, p, good_red);
6388 : else /* good reduction */
6389 : {
6390 1069642 : *good_red = 1;
6391 1069642 : return ellap_CM_fast(e, p, CM);
6392 : }
6393 : }
6394 : GEN
6395 6699 : ellanQ_zv(GEN e, long n0)
6396 : {
6397 : pari_sp av;
6398 6699 : ulong p, SQRTn, n = (ulong)n0;
6399 : GEN an;
6400 : int CM;
6401 :
6402 6699 : if (n0 <= 0) return cgetg(1,t_VEC);
6403 6699 : if (n >= LGBITS)
6404 0 : pari_err_IMPL( stack_sprintf("ellan for n >= %lu", LGBITS) );
6405 6699 : e = ellintegralmodel_i(e,NULL);
6406 6699 : SQRTn = usqrt(n);
6407 6699 : CM = ellQ_get_CM(e);
6408 :
6409 6699 : an = const_vecsmall(n, LONG_MAX);
6410 6699 : an[1] = 1; av = avma;
6411 9823688 : for (p=2; p<=n; p++)
6412 : {
6413 : int good_red;
6414 9816989 : if (an[p] != LONG_MAX) continue; /* p not prime */
6415 1082242 : an[p] = ellan_get_ap(p, &good_red, CM, e);
6416 1082242 : sievep(p, an, n, SQRTn, good_red);
6417 : }
6418 6699 : set_avma(av); return an;
6419 : }
6420 :
6421 : static GEN
6422 56 : ellQ_eulerf(GEN e, GEN p)
6423 : {
6424 : int good_red;
6425 56 : GEN card = ellcard_ram(e, p, &good_red);
6426 56 : GEN ap = subii(addiu(p, 1), card);
6427 56 : if (good_red)
6428 56 : return mkrfrac(gen_1,deg2pol_shallow(p, gneg(ap), gen_1, 0));
6429 0 : if (!signe(ap)) return pol_1(0);
6430 0 : return mkrfrac(gen_1,deg1pol_shallow(negi(ap), gen_1,0));
6431 : }
6432 :
6433 : static GEN
6434 329 : ellanQ(GEN e, long N)
6435 329 : { return vecsmall_to_vec_inplace(ellanQ_zv(e,N)); }
6436 :
6437 : static GEN
6438 83781 : ellnflocal(GEN E, GEN p, long n)
6439 : {
6440 83781 : pari_sp av = avma;
6441 83781 : GEN nf = ellnf_get_nf(E);
6442 83780 : GEN LP = idealprimedec_limit_f(nf, p, n ? n-1: nf_get_degree(nf)), T = NULL;
6443 83789 : long l = lg(LP), i;
6444 167557 : for (i = 1; i < l; i++)
6445 : {
6446 : int goodred;
6447 83765 : GEN P = gel(LP,i), T2;
6448 83765 : GEN ap = ellnfap(E, P, &goodred);
6449 83741 : long f = pr_get_f(P);
6450 83735 : if (goodred)
6451 83553 : T2 = mkpoln(3, pr_norm(P), negi(ap), gen_1);
6452 : else
6453 : {
6454 182 : if (!signe(ap)) continue;
6455 168 : T2 = deg1pol_shallow(negi(ap), gen_1, 0);
6456 : }
6457 83745 : if (f > 1) T2 = RgX_inflate(T2, f);
6458 83756 : T = T? ZX_mul(T, T2): T2;
6459 : }
6460 83792 : if (!T) { set_avma(av); return pol_1(0); }
6461 46364 : if (n==0) return gerepilecopy(av, mkrfrac(gen_1,T));
6462 46350 : return gerepileupto(av, RgXn_inv_i(T, n));
6463 : }
6464 :
6465 : GEN
6466 4962 : direllnf_worker(GEN P, ulong X, GEN E)
6467 : {
6468 4962 : pari_sp av = avma;
6469 4962 : long i, l = lg(P);
6470 4962 : GEN W = cgetg(l, t_VEC);
6471 88727 : for(i = 1; i < l; i++)
6472 : {
6473 83764 : ulong p = uel(P,i);
6474 83764 : long d = ulogint(X, p) + 1; /* minimal d such that p^d > X */
6475 83764 : gel(W,i) = ellnflocal(E, utoi(uel(P,i)), d);
6476 : }
6477 4963 : return gerepilecopy(av, mkvec2(P,W));
6478 : }
6479 :
6480 : static GEN
6481 203 : ellnfan(GEN E, long N)
6482 : {
6483 203 : GEN worker = snm_closure(is_entry("_direllnf_worker"), mkvec(E));
6484 203 : return pardireuler(worker, gen_2, stoi(N), NULL, NULL);
6485 : }
6486 :
6487 : GEN
6488 70 : elleulerf(GEN E, GEN p)
6489 : {
6490 70 : checkell(E);
6491 70 : switch(ell_get_type(E))
6492 : {
6493 56 : case t_ELL_Q: return ellQ_eulerf(E, p);
6494 14 : case t_ELL_NF: return ellnflocal(E, p, 0);
6495 0 : default:
6496 0 : pari_err_TYPE("elleulerf",E);
6497 : return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
6498 : }
6499 : }
6500 :
6501 : GEN
6502 525 : ellan(GEN E, long N)
6503 : {
6504 525 : checkell(E);
6505 525 : switch(ell_get_type(E))
6506 : {
6507 322 : case t_ELL_Q: return ellanQ(E, N);
6508 203 : case t_ELL_NF: return ellnfan(E, N);
6509 0 : default:
6510 0 : pari_err_TYPE("ellan",E);
6511 : return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
6512 : }
6513 : }
6514 :
6515 : static GEN
6516 735 : apk_good(GEN ap, GEN p, long e)
6517 : {
6518 : GEN u, v, w;
6519 : long j;
6520 735 : if (e == 1) return ap;
6521 112 : u = ap;
6522 112 : w = subii(sqri(ap), p);
6523 126 : for (j=3; j<=e; j++)
6524 : {
6525 14 : v = u; u = w;
6526 14 : w = subii(mulii(ap,u), mulii(p,v));
6527 : }
6528 112 : return w;
6529 : }
6530 :
6531 : GEN
6532 693 : akell(GEN e, GEN n)
6533 : {
6534 : long i, j, s;
6535 693 : pari_sp av = avma;
6536 : GEN fa, P, E, D, u, y;
6537 :
6538 693 : checkell_int(e);
6539 693 : if (typ(n) != t_INT) pari_err_TYPE("akell",n);
6540 693 : if (signe(n)<= 0) return gen_0;
6541 693 : if (gequal1(n)) return gen_1;
6542 693 : D = ell_get_disc(e);
6543 693 : u = Z_ppo(n, D);
6544 693 : y = gen_1;
6545 693 : s = 1;
6546 693 : if (!equalii(u, n))
6547 : { /* bad reduction at primes dividing n/u */
6548 441 : fa = Z_factor(diviiexact(n, u));
6549 441 : P = gel(fa,1);
6550 441 : E = gel(fa,2);
6551 1022 : for (i=1; i<lg(P); i++)
6552 : {
6553 581 : GEN p = gel(P,i);
6554 581 : long ex = itos(gel(E,i));
6555 : int good_red;
6556 581 : GEN ap = ellQap(e,p,&good_red);
6557 581 : if (good_red) { y = mulii(y, apk_good(ap, p, ex)); continue; }
6558 350 : j = signe(ap);
6559 350 : if (!j) { set_avma(av); return gen_0; }
6560 350 : if (odd(ex) && j < 0) s = -s;
6561 : }
6562 : }
6563 693 : if (s < 0) y = negi(y);
6564 693 : fa = Z_factor(u);
6565 693 : P = gel(fa,1);
6566 693 : E = gel(fa,2);
6567 1197 : for (i=1; i<lg(P); i++)
6568 : { /* good reduction */
6569 504 : GEN p = gel(P,i);
6570 504 : GEN ap = ellap(e,p);
6571 504 : y = mulii(y, apk_good(ap, p, itos(gel(E,i))));
6572 : }
6573 693 : return gerepileuptoint(av,y);
6574 : }
6575 :
6576 : GEN
6577 8057 : ellQ_get_N(GEN e)
6578 8057 : { GEN v = ellglobalred_i(e); return gel(v,1); }
6579 : void
6580 917 : ellQ_get_Nfa(GEN e, GEN *N, GEN *faN)
6581 917 : { GEN v = ellglobalred_i(e); *N = gel(v,1); *faN = gel(v,3); }
6582 :
6583 : GEN
6584 14 : elllseries(GEN e, GEN s, GEN A, long prec)
6585 : {
6586 14 : pari_sp av = avma, av1;
6587 : ulong l, n;
6588 : long eps, flun;
6589 : GEN z, cg, v, cga, cgb, s2, K, gs, N;
6590 :
6591 14 : if (!A) A = gen_1;
6592 : else
6593 : {
6594 7 : if (gsigne(A)<=0)
6595 0 : pari_err_DOMAIN("elllseries", "cut-off point", "<=", gen_0,A);
6596 7 : if (gcmpgs(A,1) < 0) A = ginv(A);
6597 : }
6598 14 : if (isint(s, &s) && signe(s) <= 0) { set_avma(av); return gen_0; }
6599 14 : flun = gequal1(A) && gequal1(s);
6600 14 : checkell_Q(e);
6601 14 : e = ellanal_globalred(e, NULL);
6602 14 : N = ellQ_get_N(e);
6603 14 : eps = ellrootno_global(e);
6604 14 : if (flun && eps < 0) { set_avma(av); return real_0(prec); }
6605 :
6606 14 : gs = ggamma(s, prec);
6607 14 : cg = divrr(Pi2n(1, prec), gsqrt(N,prec));
6608 14 : cga = gmul(cg, A);
6609 14 : cgb = gdiv(cg, A);
6610 14 : l = (ulong)((prec2nbits_mul(prec, M_LN2) +
6611 14 : fabs(gtodouble(real_i(s))-1.) * log(rtodbl(cga)))
6612 14 : / rtodbl(cgb) + 1);
6613 14 : if ((long)l < 1) l = 1;
6614 14 : v = ellanQ_zv(e, minss(l,LGBITS-1));
6615 14 : s2 = K = NULL; /* gcc -Wall */
6616 14 : if (!flun) { s2 = gsubsg(2,s); K = gpow(cg, gsubgs(gmul2n(s,1),2),prec); }
6617 14 : z = gen_0;
6618 14 : av1 = avma;
6619 1344 : for (n = 1; n <= l; n++)
6620 : {
6621 1330 : GEN p1, an, gn = utoipos(n), ns;
6622 1330 : an = ((ulong)n<LGBITS)? stoi(v[n]): akell(e,gn);
6623 1330 : if (!signe(an)) continue;
6624 :
6625 1106 : ns = gpow(gn,s,prec);
6626 1106 : p1 = gdiv(incgam0(s,mulur(n,cga),gs,prec), ns);
6627 1106 : if (flun)
6628 0 : p1 = gmul2n(p1, 1);
6629 : else
6630 : {
6631 1106 : GEN p2 = gdiv(gmul(gmul(K,ns), incgam(s2,mulur(n,cgb),prec)), sqru(n));
6632 1106 : if (eps < 0) p2 = gneg_i(p2);
6633 1106 : p1 = gadd(p1, p2);
6634 : }
6635 1106 : z = gadd(z, gmul(p1, an));
6636 1106 : if (gc_needed(av1,1))
6637 : {
6638 0 : if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"lseriesell");
6639 0 : z = gerepilecopy(av1,z);
6640 : }
6641 : }
6642 14 : return gerepileupto(av, gdiv(z,gs));
6643 : }
6644 :
6645 : /********************************************************************/
6646 : /** **/
6647 : /** CANONICAL HEIGHT **/
6648 : /** **/
6649 : /********************************************************************/
6650 :
6651 : static GEN
6652 56 : ellnf_volume(GEN e, long prec)
6653 : {
6654 56 : GEN V = ellnf_vecarea(e,prec);
6655 56 : long i, r1 = nf_get_r1(ellnf_get_nf(e)), l = lg(V);
6656 56 : GEN r = gen_1;
6657 133 : for(i=1; i <= r1; i++) r = gmul(r, gel(V,i));
6658 63 : for( ; i < l ; i++) r = gmul(r, gsqr(gel(V,i)));
6659 56 : return r;
6660 : }
6661 :
6662 : /* The function follows
6663 : <https://publications.ias.edu/sites/default/files/Number52.pdf>
6664 : <https://resnumtheor.springeropen.com/track/pdf/10.1007/s40993-017-0077-7>
6665 : */
6666 :
6667 : static GEN
6668 70 : ellheightfaltings(GEN e, long prec)
6669 : {
6670 : GEN h;
6671 : long d;
6672 70 : pari_sp av = avma;
6673 70 : checkell(e);
6674 70 : switch(ell_get_type(e))
6675 : {
6676 14 : case t_ELL_Q:
6677 14 : d = 1; e = ellintegralmodel_i(e,NULL);
6678 14 : h = gmul(gsqr(ellQ_minimalu(e,NULL)), ellR_area(e, prec));
6679 14 : break;
6680 56 : case t_ELL_NF:
6681 56 : d = nf_get_degree(ellnf_get_nf(e));
6682 56 : h = gmul(gsqr(ellnf_minimalnormu(e)), ellnf_volume(e, prec));
6683 56 : break;
6684 0 : default:
6685 0 : pari_err_TYPE("ellheight", e);
6686 : return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
6687 : }
6688 70 : return gerepileupto(av, gdivgs(logr_abs(h), -2*d));
6689 : }
6690 :
6691 : static GEN
6692 157580 : Q_numer(GEN x) { return typ(x) == t_INT? x: gel(x,1); }
6693 :
6694 : /* one root of X^2 - t X + c */
6695 : static GEN
6696 83056 : quad_root(GEN t, GEN c, long prec)
6697 : {
6698 83056 : return gmul2n(gadd(t, gsqrt(gsub(gsqr(t), gmul2n(c,2)),prec)), -1);
6699 : }
6700 :
6701 : /* exp( h_oo(z) ), assume z on neutral component.
6702 : * If flag, return exp(4 h_oo(z)) instead */
6703 : static GEN
6704 83056 : exphellagm(GEN e, GEN z, int flag, long prec)
6705 : {
6706 83056 : GEN x_a, ab, a, b, e1, r, V = cgetg(1, t_VEC), x = gel(z,1);
6707 83056 : long n, ex = 5-prec, p = prec+EXTRAPREC64;
6708 :
6709 83056 : if (typ(x) == t_REAL && realprec(x) < p) x = gprec_w(x, p);
6710 83056 : ab = ellR_ab(e, p);
6711 83056 : a = gel(ab, 1);
6712 83056 : b = gel(ab, 2);
6713 83056 : e1= gel(obj_check(e,R_ROOTS), 1); /* use maximal accuracy, don't truncate */
6714 83056 : x = gsub(x, e1);
6715 83056 : x = quad_root(gadd(x,b), gmul(a,x), prec);
6716 :
6717 83056 : x_a = gsub(x, a);
6718 83056 : if (gsigne(a) > 0) { GEN a0=a; x = gsub(x, b); a = gneg(b); b = gsub(a0, b); }
6719 83056 : a = gsqrt(gneg(a), prec);
6720 83056 : b = gsqrt(gneg(b), prec);
6721 : /* compute height on isogenous curve E1 ~ E0 */
6722 83056 : for(n=0;; n++)
6723 442740 : {
6724 525796 : GEN p1, p2, ab, a0 = a;
6725 525796 : a = gmul2n(gadd(a0,b), -1);
6726 525796 : r = gsub(a, a0);
6727 525796 : if (gequal0(r) || gexpo(r) < ex) break;
6728 442740 : ab = gmul(a0, b);
6729 442740 : b = gsqrt(ab, prec);
6730 :
6731 442740 : p1 = gmul2n(gsub(x, ab), -1);
6732 442740 : p2 = gsqr(a);
6733 442740 : x = gadd(p1, gsqrt(gadd(gsqr(p1), gmul(x, p2)), prec));
6734 442740 : V = shallowconcat(V, gadd(x, p2));
6735 : }
6736 83056 : if (n) {
6737 83056 : x = gel(V,n);
6738 442740 : while (--n > 0) x = gdiv(gsqr(x), gel(V,n));
6739 : } else
6740 0 : x = gadd(x, gsqr(a));
6741 : /* height on E1 is log(x)/2. Go back to E0 */
6742 83056 : return flag? gsqr(gdiv(gsqr(x), x_a)): gdiv(x, sqrtr(mpabs_shallow(x_a)));
6743 : }
6744 : /* is P \in E(R)^0, the neutral component ? */
6745 : static int
6746 83056 : ellR_on_neutral(GEN E, GEN P, long prec)
6747 : {
6748 83056 : GEN x = gel(P,1), e1 = ellR_root(E, prec);
6749 83056 : return gcmp(x, e1) >= 0;
6750 : }
6751 :
6752 : /* hoo + 1/2 log(den(x)) */
6753 : static GEN
6754 83056 : hoo_aux(GEN E, GEN z, GEN d, long prec)
6755 : {
6756 83056 : pari_sp av = avma;
6757 : GEN h;
6758 83056 : if (!ellR_on_neutral(E, z, prec))
6759 : {
6760 27210 : GEN eh = exphellagm(E, elladd(E, z,z), 0, prec);
6761 : /* h_oo(2P) = 4h_oo(P) - log |2y + a1x + a3| */
6762 27210 : h = gmul(eh, gabs(ec_dmFdy_evalQ(E, z), prec));
6763 : }
6764 : else
6765 55846 : h = exphellagm(E, z, 1, prec);
6766 83056 : if (!is_pm1(d)) h = gmul(h, sqri(d));
6767 83056 : return gerepileuptoleaf(av, gmul2n(mplog(h), -2));
6768 : }
6769 : GEN
6770 30660 : ellheightoo(GEN E, GEN z, long prec) { return hoo_aux(E, z, gen_1, prec); }
6771 :
6772 : /* Formula from Silverman GTM 151 Theorem 3.2 page 466 */
6773 : static GEN
6774 28728 : ellheight_C(GEN E, GEN P, long prec)
6775 : {
6776 28728 : pari_sp av = avma;
6777 28728 : GEN z = zell(E, P, prec);
6778 28728 : GEN per = ellperiods(E, 1, prec);
6779 28728 : GEN w = gel(per,1), w1 = gel(w,1), w2 = gel(w, 2), w1c = conj_i(w1);
6780 28728 : GEN e = gel(per,2), e1 = gel(e,1), e2 = gel(e, 2);
6781 28728 : GEN D = gsub(gmul(w1, conj_i(w2)),gmul(w1c, w2));
6782 28728 : GEN b = gdiv(gsub(gmul(w1, conj_i(z)),gmul(w1c, z)), D);
6783 28728 : GEN a = gdiv(gsub(z, gmul(b, w2)), w1);
6784 28728 : GEN eta = gadd(gmul(a, e1), gmul(b, e2));
6785 28728 : GEN r = gmul2n(real_i(gmul(z, eta)), -1);
6786 28728 : GEN l = real_i(ellsigma(per, z, 1, prec));
6787 28728 : return gerepileupto(av, gsub(r, l));
6788 : }
6789 :
6790 : static GEN
6791 20468 : _hell(GEN E, GEN p, long n, GEN P)
6792 20468 : { return p? ellpadicheight(E,p,n, P): ellheight(E,P,n); }
6793 : static GEN
6794 35 : ellheightpairing(GEN E, GEN p, long n, GEN P, GEN Q)
6795 : {
6796 35 : pari_sp av = avma;
6797 35 : GEN a = _hell(E,p,n, elladd(E,P,Q));
6798 35 : GEN b = _hell(E,p,n, ellsub(E,P,Q));
6799 35 : return gerepileupto(av, gmul2n(gsub(a,b), -2));
6800 : }
6801 : GEN
6802 57659 : ellheight0(GEN e, GEN a, GEN b, long n)
6803 : {
6804 57659 : if (!a)
6805 : {
6806 77 : if (b) pari_err(e_MISC, "cannot omit P and set Q");
6807 70 : return ellheightfaltings(e,n);
6808 : }
6809 57582 : return b? ellheightpairing(e,NULL,n, a,b): ellheight(e,a,n);
6810 : }
6811 : GEN
6812 70 : ellpadicheight0(GEN e, GEN p, long n, GEN P, GEN Q)
6813 70 : { return Q? ellheightpairing(e,p,n, P,Q): ellpadicheight(e,p,n, P); }
6814 :
6815 : /* Based on J.H. Silverman, Advanced Topics in the Arithmetic of Elliptic
6816 : * Curves, GTM 151, chap VI, p 478, exercise 6.7
6817 : * Note that we use BSD normalization not Silverman's. */
6818 : /* P an affine point on e */
6819 : static GEN
6820 85988 : ellnf_localheight(GEN e, GEN P, GEN pr)
6821 : {
6822 : long v2, vD, vu, vP, vQ;
6823 85988 : GEN lr = nflocalred(e,pr), k = gel(lr, 2), urst = gel(lr, 3);
6824 85988 : GEN E = ellchangecurve(e, urst);
6825 85988 : GEN Q = ellchangepoint(P, urst), nf = ellnf_get_nf(e), v;
6826 :
6827 85988 : vP = minss(0, nfval(nf, gel(P,1), pr)); /* v_p(den(x_P)) */
6828 85988 : vQ = minss(0, nfval(nf, gel(Q,1), pr)); /* v_p(den(x_Q)) */
6829 85988 : v2 = nfval(nf, ec_dmFdy_evalQ(E, Q), pr);
6830 85988 : vD = nfval(nf, ell_get_disc(E), pr); /* >= 0 */
6831 85988 : vu = (vQ-vP) >> 1;
6832 85988 : if (v2 <= 0 || nfval(nf, ec_dFdx_evalQ(E, Q), pr) <= 0)
6833 45605 : v = gen_0;
6834 40383 : else if (cmpis(k,5) >= 0)
6835 : {
6836 27503 : GEN a = uutoQ(minss(2*v2,vD), 2*vD);
6837 27503 : v = gmul(gsub(gsqr(a),a), uutoQ(vD,2));
6838 : }
6839 : else
6840 : {
6841 12880 : long v3 = nfval(nf, ec_3divpol_evalx(E, gel(Q,1)), pr);
6842 12880 : v = (v2 < LONG_MAX && v3 >= 3*v2)? sstoQ(-v2,3): sstoQ(-v3,8);
6843 : }
6844 85988 : return gsubgs(v,vu);
6845 : }
6846 :
6847 : /* L list of prime ideals, merge with prime ideals dividing integral ideal A
6848 : * in HNF (use elements of L as hints, which may or may not divide A).
6849 : * Return sorted list, without duplicates */
6850 : static GEN
6851 28812 : prV_merge_factors(GEN nf, GEN L, GEN A)
6852 : {
6853 28812 : if (lg(L) > 1)
6854 : {
6855 20104 : GEN LQ = prV_primes(L); /* rational primes */
6856 20104 : GEN p, e, N = Z_smoothen(gcoeff(A,1,1), LQ, &p, &e);
6857 20104 : L = shallowconcat(L, gel(idealfactor_partial(nf, A, LQ), 1));
6858 : /* L = primes in original L or dividing (A, vecprod(LQ)) */
6859 20104 : A = N? ZM_hnfmodid(A, N): NULL;
6860 : }
6861 : /* A made coprime to vecprod(LQ), add remaining primes if not trivial */
6862 28812 : if (A) L = shallowconcat(L, gel(idealfactor(nf, A), 1));
6863 28812 : return gen_sort_uniq(L, (void*)cmp_prime_ideal, &cmp_nodata);
6864 : }
6865 : /* assume E is an ell and P an ellpt */
6866 : static GEN
6867 28833 : ellnf_height(GEN E, GEN P, long prec)
6868 : {
6869 28833 : pari_sp av = avma;
6870 : GEN logp, oldp, x, nf, d, F, Ee, Pe, s, v, phi2, psi2;
6871 : long i, l, r1;
6872 28833 : E = ellintegralmodel_i(E, &v); if (v) P = ellchangepoint(P, v);
6873 28833 : if (!ellisoncurve_i(E,P))
6874 0 : pari_err_DOMAIN("ellheight", "point", "not on", strtoGENstr("E"), P);
6875 28833 : if (signe(ellorder(E, P, NULL))) return gc_const(av, gen_0);
6876 28812 : x = gel(P,1);
6877 28812 : if (gequal0(ec_2divpol_evalx(E, x))) return gc_const(av, gen_0);
6878 28812 : nf = ellnf_get_nf(E);
6879 28812 : phi2 = gel(idealnumden(nf, ec_dFdx_evalQ(E, P)), 1);
6880 28812 : psi2 = gel(idealnumden(nf, ec_dmFdy_evalQ(E, P)),1);
6881 28812 : d = idealnorm(nf, gel(idealnumden(nf, x), 2));
6882 28812 : F = gel(ellminimalprimes(E), 1); /* prime ideals dividing (c4,c6) */
6883 28812 : F = prV_merge_factors(nf, F, idealadd(nf, phi2, psi2));
6884 28812 : Ee = ellnfembed(E, prec); Pe = ellpointnfembed(E, P, prec);
6885 28812 : l = lg(Ee); r1 = nf_get_r1(nf);
6886 28812 : s = gsub(gmul2n(glog(d, prec), -1), glog(ellnf_minimalnormu(E), prec));
6887 57687 : for (i=1; i <= r1; i++)
6888 28875 : s = gadd(s, ellheightoo(gel(Ee, i), gel(Pe, i), prec));
6889 57540 : for ( ; i < l; i++)
6890 28728 : s = gadd(s, gmul2n(ellheight_C(gel(Ee, i), gel(Pe, i), prec), 1));
6891 28812 : l = lg(F); oldp = logp = NULL;
6892 114800 : for (i = 1; i < l; i++)
6893 : { /* F = primes dividing (c4,c6) or (phi2,psi2) */
6894 85988 : GEN pr = gel(F,i), p = pr_get_p(pr), lam = ellnf_localheight(E, P, pr);
6895 85988 : if (!oldp || !equalii(p, oldp)) { oldp = p; logp = glog(p, prec); }
6896 85988 : s = gadd(s, gmul(lam, mulru(logp, pr_get_f(pr))));
6897 : }
6898 28812 : return gerepileupto(av, gmul2n(s, 1));
6899 : }
6900 :
6901 : /* assume e is an ell and a an ellpt */
6902 : static GEN
6903 52410 : ellQ_height(GEN e, GEN a, long prec)
6904 : {
6905 52410 : long i, lx, newell = 0;
6906 : pari_sp av;
6907 : GEN Lp, x, z, phi2, psi2, psi3;
6908 : GEN v, S, c4, D;
6909 :
6910 52410 : if (!RgV_is_QV(a)) pari_err_TYPE("ellheight [not a rational point]",a);
6911 52403 : if (!ellisoncurve_i(e,a))
6912 7 : pari_err_DOMAIN("ellheight", "point", "not on", strtoGENstr("E"),a);
6913 52396 : if (ellorder_Q(e, a)) return gen_0;
6914 52396 : av = avma;
6915 52396 : if ((S = obj_check(e, Q_MINIMALMODEL)))
6916 : { /* switch to minimal model if needed */
6917 23339 : if (lg(S) != 2)
6918 : {
6919 17872 : v = gel(S,2);
6920 17872 : e = gel(S,3);
6921 17872 : a = ellchangepoint(a, v);
6922 : }
6923 : }
6924 : else
6925 : {
6926 29057 : newell = 1;
6927 29057 : e = ellminimalmodel_i(e, &v, NULL);
6928 29057 : a = ellchangepoint(a, v);
6929 : }
6930 52396 : psi2 = Q_numer(ec_dmFdy_evalQ(e,a));
6931 52396 : if (!signe(psi2)) { set_avma(av); return gen_0; }
6932 52396 : x = gel(a,1);
6933 52396 : psi3 = Q_numer( ec_3divpol_evalx(e, x) );
6934 52396 : if (!signe(psi3)) { set_avma(av); return gen_0; }
6935 52396 : phi2 = Q_numer(ec_dFdx_evalQ(e, a));
6936 52396 : c4 = ell_get_c4(e);
6937 52396 : D = ell_get_disc(e);
6938 52396 : z = hoo_aux(e,a,Q_denom(x),prec); /* hoo(a) + log(den(x))/2 */
6939 52396 : Lp = gel(Z_factor(gcdii(psi2,phi2)),1);
6940 52396 : lx = lg(Lp);
6941 223870 : for (i=1; i<lx; i++)
6942 : {
6943 171474 : GEN p = gel(Lp,i);
6944 : long u, v, n, n2;
6945 171474 : if (!dvdii(c4,p))
6946 : { /* p \nmid c4 */
6947 147264 : long N = Z_pval(D,p);
6948 147264 : if (!N) continue;
6949 147264 : n2 = Z_pval(psi2,p); n = n2<<1;
6950 147264 : if (n > N) n = N;
6951 147264 : u = n * ((N<<1) - n);
6952 147264 : v = N << 3;
6953 : }
6954 : else
6955 : {
6956 24210 : n2 = Z_pval(psi2, p);
6957 24210 : n = Z_pval(psi3, p);
6958 24210 : if (n >= 3*n2) { u = n2; v = 3; } else { u = n; v = 8; }
6959 : }
6960 : /* z -= u log(p) / v */
6961 171474 : z = gsub(z, divru(mulur(u, logr_abs(itor(p,prec))), v));
6962 : }
6963 52396 : if (newell) obj_free(e);
6964 52396 : return gerepileupto(av, gmul2n(z, 1));
6965 : }
6966 :
6967 : GEN
6968 81243 : ellheight(GEN e, GEN a, long prec)
6969 : {
6970 81243 : checkell(e);
6971 81243 : if (!checkellpt_i(a)) pari_err_TYPE("ellheight", a);
6972 81243 : switch(ell_get_type(e))
6973 : {
6974 52410 : case t_ELL_Q:
6975 52410 : return ellQ_height(e, a, prec);
6976 0 : default: pari_err_TYPE("ellheight", e);
6977 28833 : case t_ELL_NF:
6978 28833 : return ellnf_height(e, a, prec);
6979 : }
6980 : }
6981 :
6982 : GEN
6983 875 : ellpadicheightmatrix(GEN e, GEN p, long n, GEN x)
6984 : {
6985 : GEN D, A, B;
6986 875 : long lx = lg(x), i, j;
6987 875 : pari_sp av = avma;
6988 :
6989 875 : if (!is_vec_t(typ(x))) pari_err_TYPE("ellheightmatrix",x);
6990 875 : D = cgetg(lx,t_VEC);
6991 875 : A = cgetg(lx,t_MAT);
6992 875 : B = cgetg(lx,t_MAT);
6993 5124 : for (i=1; i<lx; i++)
6994 : {
6995 4249 : gel(D,i) = _hell(e,p,n, gel(x,i));
6996 4249 : gel(A,i) = cgetg(lx,t_COL);
6997 4249 : gel(B,i) = cgetg(lx,t_COL); /*unused if p = NULL */
6998 : }
6999 5124 : for (i=1; i<lx; i++)
7000 : {
7001 4249 : GEN h = gel(D,i);
7002 4249 : if (p)
7003 : {
7004 28 : gcoeff(A,i,i) = gel(h,1);
7005 28 : gcoeff(B,i,i) = gel(h,2);
7006 : }
7007 : else
7008 4221 : gcoeff(A,i,i) = h;
7009 20398 : for (j=i+1; j<lx; j++)
7010 : {
7011 16149 : h = _hell(e,p,n, elladd(e,gel(x,i),gel(x,j)));
7012 16149 : h = gmul2n(gsub(h, gadd(gel(D,i),gel(D,j))), -1);
7013 16149 : if (p)
7014 : {
7015 21 : gcoeff(A,j,i) = gcoeff(A,i,j) = gel(h,1);
7016 21 : gcoeff(B,j,i) = gcoeff(B,i,j) = gel(h,2);
7017 : }
7018 : else
7019 16128 : gcoeff(A,j,i) = gcoeff(A,i,j) = h;
7020 : }
7021 : }
7022 875 : return gerepilecopy(av, p? mkvec2(A,B): A);
7023 : }
7024 : GEN
7025 861 : ellheightmatrix(GEN E, GEN x, long n)
7026 861 : { return ellpadicheightmatrix(E,NULL,n, x); }
7027 :
7028 : /* Q an actual point, P a point or vector/matrix of points */
7029 : static GEN
7030 21 : bilhell_i(GEN E, GEN P, GEN Q, long n)
7031 : {
7032 : GEN y;
7033 21 : long i, l = lg(P);
7034 21 : if (l==1) return cgetg(1,typ(P));
7035 21 : if (!is_matvec_t( typ(gel(P,1)) )) return ellheight0(E,P,Q,n);
7036 7 : y = cgetg(l, typ(P));
7037 21 : for (i=1; i<l; i++) gel(y,i) = bilhell_i(E,gel(P,i),Q,n);
7038 7 : return y;
7039 : }
7040 : GEN
7041 7 : bilhell(GEN E, GEN P, GEN Q, long n)
7042 : {
7043 7 : long t1 = typ(P), t2 = typ(Q);
7044 7 : if (!is_matvec_t(t1)) pari_err_TYPE("ellbil",P);
7045 7 : if (!is_matvec_t(t2)) pari_err_TYPE("ellbil",Q);
7046 7 : if (lg(P)==1) return cgetg(1,t1);
7047 7 : if (lg(Q)==1) return cgetg(1,t2);
7048 7 : t2 = typ(gel(Q,1));
7049 7 : if (is_matvec_t(t2))
7050 : {
7051 0 : t1 = typ(gel(P,1));
7052 0 : if (is_matvec_t(t1)) pari_err_TYPE("bilhell",P);
7053 0 : return bilhell_i(E,Q,P,n);
7054 : }
7055 7 : return bilhell_i(E,P,Q,n);
7056 : }
7057 : /********************************************************************/
7058 : /** **/
7059 : /** Modular Parametrization **/
7060 : /** **/
7061 : /********************************************************************/
7062 : /* t*x^v (1 + O(x)), t != 0 */
7063 : static GEN
7064 0 : triv_ser(GEN t, long v)
7065 : {
7066 0 : GEN s = cgetg(3,t_SER);
7067 0 : s[1] = evalsigne(1) | _evalvalser(v) | evalvarn(0);
7068 0 : gel(s,2) = t; return s;
7069 : }
7070 :
7071 : GEN
7072 14 : elltaniyama(GEN e, long prec)
7073 : {
7074 : GEN x, w, c, d, X, C, b2, b4;
7075 : long n, m;
7076 14 : pari_sp av = avma;
7077 :
7078 14 : checkell_Q(e);
7079 14 : if (prec < 0) pari_err_DOMAIN("elltaniyama","precision","<",gen_0,stoi(prec));
7080 7 : if (!prec) retmkvec2(triv_ser(gen_1,-2), triv_ser(gen_m1,-3));
7081 :
7082 7 : x = cgetg(prec+3,t_SER);
7083 7 : x[1] = evalsigne(1) | _evalvalser(-2) | evalvarn(0);
7084 7 : d = ginv(RgV_to_ser(ellanQ(e,prec+1), 0, prec+3)); setvalser(d,-1);
7085 : /* 2y(q) + a1x + a3 = d qx'(q). Solve for x(q),y(q):
7086 : * 4y^2 = 4x^3 + b2 x^2 + 2b4 x + b6 */
7087 7 : c = gsqr(d);
7088 : /* solve 4x^3 + b2 x^2 + 2b4 x + b6 = c (q x'(q))^2; c = 1/q^2 + O(1/q)
7089 : * Take derivative then divide by 2x':
7090 : * b2 x + b4 = (1/2) (q c')(q x') + c q (q x')' - 6x^2.
7091 : * Write X[i] = coeff(x, q^i), C[i] = coeff(c, q^i), we obtain for all n
7092 : * ((n+1)(n+2)-12) X[n+2] = b2 X[n] + b4 delta_{n = 0}
7093 : * + 6 \sum_{m = -1}^{n+1} X[m] X[n-m]
7094 : * - (1/2)\sum_{m = -2}^{n+1} (n+m) m C[n-m]X[m].
7095 : * */
7096 7 : C = c+4;
7097 7 : X = x+4;
7098 7 : gel(X,-2) = gen_1;
7099 7 : gel(X,-1) = gmul2n(gel(C,-1), -1); /* n = -3, X[-1] = C[-1] / 2 */
7100 7 : b2 = ell_get_b2(e);
7101 7 : b4 = ell_get_b4(e);
7102 112 : for (n=-2; n <= prec-4; n++)
7103 : {
7104 105 : pari_sp av2 = avma;
7105 : GEN s1, s2, s3;
7106 105 : if (n != 2)
7107 : {
7108 98 : s3 = gmul(b2, gel(X,n));
7109 98 : if (!n) s3 = gadd(s3, b4);
7110 98 : s2 = gen_0;
7111 1001 : for (m=-2; m<=n+1; m++)
7112 903 : if (m) s2 = gadd(s2, gmulsg(m*(n+m), gmul(gel(X,m),gel(C,n-m))));
7113 98 : s2 = gmul2n(s2,-1);
7114 98 : s1 = gen_0;
7115 476 : for (m=-1; m+m < n; m++) s1 = gadd(s1, gmul(gel(X,m),gel(X,n-m)));
7116 98 : s1 = gmul2n(s1, 1);
7117 98 : if (m+m==n) s1 = gadd(s1, gsqr(gel(X,m)));
7118 : /* ( (n+1)(n+2) - 12 ) X[n+2] = (6 s1 + s3 - s2) */
7119 98 : s1 = gdivgs(gsub(gadd(gmulsg(6,s1),s3),s2), (n+2)*(n+1)-12);
7120 : }
7121 : else
7122 : {
7123 7 : GEN b6 = ell_get_b6(e);
7124 7 : GEN U = cgetg(9, t_SER);
7125 7 : U[1] = evalsigne(1) | _evalvalser(-2) | evalvarn(0);
7126 7 : gel(U,2) = gel(x,2);
7127 7 : gel(U,3) = gel(x,3);
7128 7 : gel(U,4) = gel(x,4);
7129 7 : gel(U,5) = gel(x,5);
7130 7 : gel(U,6) = gel(x,6);
7131 7 : gel(U,7) = gel(x,7);
7132 7 : gel(U,8) = gen_0; /* defined mod q^5 */
7133 : /* write x = U + x_4 q^4 + O(q^5) and expand original equation */
7134 7 : w = derivser(U); setvalser(w,-2); /* q X' */
7135 : /* 4X^3 + b2 U^2 + 2b4 U + b6 */
7136 7 : s1 = gadd(b6, gmul(U, gadd(gmul2n(b4,1), gmul(U,gadd(b2,gmul2n(U,2))))));
7137 : /* s2 = (qX')^2 - (4X^3 + b2 U^2 + 2b4 U + b6) = 28 x_4 + O(q) */
7138 7 : s2 = gsub(gmul(c,gsqr(w)), s1);
7139 7 : s1 = signe(s2)? gdivgu(gel(s2,2), 28): gen_0; /* = x_4 */
7140 : }
7141 105 : gel(X,n+2) = gerepileupto(av2, s1);
7142 : }
7143 7 : w = gmul(d,derivser(x)); setvalser(w, valser(w)+1);
7144 7 : w = gsub(w, ec_h_evalx(e,x));
7145 7 : c = cgetg(3,t_VEC);
7146 7 : gel(c,1) = gcopy(x);
7147 7 : gel(c,2) = gmul2n(w,-1); return gerepileupto(av, c);
7148 : }
7149 :
7150 : /********************************************************************/
7151 : /** **/
7152 : /** TORSION POINTS (over Q) **/
7153 : /** **/
7154 : /********************************************************************/
7155 : static GEN
7156 19292 : doellff_get_o(GEN E)
7157 : {
7158 19292 : GEN G = ellff_get_group(E), d = (lg(G) == 1)? gen_1: gel(G,1);
7159 19292 : return mkvec2(d, Z_factor(d));
7160 : }
7161 : GEN
7162 19845 : ellff_get_o(GEN E)
7163 19845 : { return obj_checkbuild(E, FF_O, &doellff_get_o); }
7164 :
7165 : static void
7166 497 : RgE2_Fp_init(GEN E, GEN *pP, GEN *pQ, GEN *a4, GEN p)
7167 : {
7168 497 : GEN e = ellff_get_a4a6(E);
7169 497 : *a4 = gel(e, 1);
7170 497 : *pP = FpE_changepointinv(RgE_to_FpE(*pP,p), gel(e,3), p);
7171 497 : *pQ = FpE_changepointinv(RgE_to_FpE(*pQ,p), gel(e,3), p);
7172 497 : }
7173 : GEN
7174 140 : elllog(GEN E, GEN a, GEN g, GEN o)
7175 : {
7176 140 : pari_sp av = avma;
7177 : GEN p;
7178 140 : checkell_Fq(E);
7179 140 : if (!checkellpt_i(a)) pari_err_TYPE("elllog", a);
7180 140 : if (!checkellpt_i(g)) pari_err_TYPE("elllog", g);
7181 140 : p = ellff_get_field(E);
7182 140 : if (!o) o = ellff_get_o(E);
7183 140 : if (typ(p)==t_FFELT) return FF_elllog(E, a, g, o);
7184 : else
7185 : {
7186 : GEN a4;
7187 49 : RgE2_Fp_init(E, &a, &g, &a4, p);
7188 49 : return gerepileuptoint(av, FpE_log(a, g, o, a4, p));
7189 : }
7190 : }
7191 :
7192 : GEN
7193 5250 : ellweilpairing(GEN E, GEN P, GEN Q, GEN m)
7194 : {
7195 : GEN p;
7196 5250 : checkell_Fq(E);
7197 5243 : if (!checkellpt_i(P)) pari_err_TYPE("ellweilpairing", P);
7198 5243 : if (!checkellpt_i(Q)) pari_err_TYPE("ellweilpairing", Q);
7199 5243 : p = ellff_get_field(E);
7200 5243 : if (typ(p)==t_FFELT) return FF_ellweilpairing(E, P, Q, m);
7201 : else
7202 : {
7203 245 : pari_sp av = avma;
7204 : GEN w, a4;
7205 245 : RgE2_Fp_init(E, &P, &Q, &a4, p);
7206 245 : w = FpE_weilpairing(P, Q, m, a4, p);
7207 245 : return gerepileupto(av, Fp_to_mod(w, p));
7208 : }
7209 : }
7210 :
7211 : GEN
7212 301 : elltatepairing(GEN E, GEN P, GEN Q, GEN m)
7213 : {
7214 : GEN p;
7215 301 : checkell_Fq(E);
7216 301 : if (!checkellpt_i(P)) pari_err_TYPE("elltatepairing", P);
7217 301 : if (!checkellpt_i(Q)) pari_err_TYPE("elltatepairing", Q);
7218 301 : if (typ(m)!=t_INT) pari_err_TYPE("elltatepairing",m);
7219 301 : p = ellff_get_field(E);
7220 301 : if (typ(p)==t_FFELT) return FF_elltatepairing(E, P, Q, m);
7221 : else
7222 : {
7223 203 : pari_sp av = avma;
7224 : GEN t, a4;
7225 203 : RgE2_Fp_init(E, &P, &Q, &a4, p);
7226 203 : t = FpE_tatepairing(P, Q, m, a4, p);
7227 203 : return gerepileupto(av, Fp_to_mod(t, p));
7228 : }
7229 : }
7230 :
7231 : GEN
7232 2584082 : ellap(GEN E, GEN p)
7233 : {
7234 2584082 : pari_sp av = avma;
7235 : GEN q, card;
7236 : int goodred;
7237 2584082 : p = checkellp(&E, p, NULL, "ellap");
7238 2584097 : switch(ell_get_type(E))
7239 : {
7240 112 : case t_ELL_Fp:
7241 112 : q = p; card = ellff_get_card(E);
7242 112 : break;
7243 54474 : case t_ELL_Fq:
7244 54474 : q = FF_q(ellff_get_field(E)); card = ellff_get_card(E);
7245 54474 : break;
7246 2421545 : case t_ELL_Qp:
7247 : case t_ELL_Q:
7248 2421545 : q = p; card = ellcard_ram(E, p, &goodred);
7249 2421398 : break;
7250 107961 : case t_ELL_NF:
7251 107961 : return ellnfap(E, p, &goodred);
7252 0 : default:
7253 0 : pari_err_TYPE("ellap",E);
7254 : return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
7255 : }
7256 2475984 : return gerepileuptoint(av, subii(addiu(q,1), card));
7257 : }
7258 :
7259 : /* N.B. q > minq, then the list of potential orders in ellsea will not contain
7260 : * an ambiguity => oo-loop. E.g. ellsea(ellinit([1,519],523)) */
7261 : GEN
7262 126 : ellsea(GEN E, long smallfact)
7263 : {
7264 126 : const ulong minq = 523;
7265 126 : checkell_Fq(E);
7266 126 : switch(ell_get_type(E))
7267 : {
7268 112 : case t_ELL_Fp:
7269 : {
7270 112 : GEN p = ellff_get_field(E), e = ellff_get_a4a6(E);
7271 112 : if (abscmpiu(p, minq) <= 0) return Fp_ellcard(gel(e,1), gel(e,2), p);
7272 105 : return Fp_ellcard_SEA(gel(e,1), gel(e,2), p, smallfact);
7273 : }
7274 14 : case t_ELL_Fq:
7275 : {
7276 14 : GEN fg = ellff_get_field(E);
7277 14 : if (abscmpiu(FF_p_i(fg), 7) <= 0 || abscmpiu(FF_q(fg), minq) <= 0)
7278 0 : return FF_ellcard(E);
7279 14 : return FF_ellcard_SEA(E, smallfact);
7280 : }
7281 : }
7282 : return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
7283 : }
7284 :
7285 : GEN
7286 269157 : ellff_get_card(GEN E)
7287 269157 : { return obj_checkbuild(E, FF_CARD, &doellcard); }
7288 :
7289 : GEN
7290 186984 : ellcard(GEN E, GEN p)
7291 : {
7292 186984 : p = checkellp(&E, p, NULL, "ellcard");
7293 186977 : switch(ell_get_type(E))
7294 : {
7295 186522 : case t_ELL_Fp: case t_ELL_Fq:
7296 186522 : return icopy(ellff_get_card(E));
7297 420 : case t_ELL_Qp:
7298 : case t_ELL_Q:
7299 : {
7300 420 : pari_sp av = avma;
7301 : int goodred;
7302 420 : GEN N = ellcard_ram(E, p, &goodred);
7303 420 : if (!goodred) N = subiu(N, 1); /* remove singular point */
7304 420 : return gerepileuptoint(av, N);
7305 : }
7306 35 : case t_ELL_NF:
7307 : {
7308 35 : pari_sp av = avma;
7309 : int goodred;
7310 35 : GEN N = subii(pr_norm(p), ellnfap(E, p, &goodred));
7311 35 : if (goodred) N = addiu(N, 1);
7312 35 : return gerepileuptoint(av, N);
7313 : }
7314 0 : default:
7315 0 : pari_err_TYPE("ellcard",E);
7316 : return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
7317 : }
7318 : }
7319 :
7320 : /* assume model is p-minimal */
7321 : static GEN
7322 120715 : ellgroup_m(GEN E, GEN p, GEN *pm)
7323 : {
7324 120715 : GEN a4, a6, N = ellcard(E, p); /* #E^ns(Fp) */
7325 120715 : *pm = gen_1;
7326 120715 : if (equali1(N)) return cgetg(1,t_VEC);
7327 120715 : if (absequaliu(p, 2)) return mkvec(N);
7328 120715 : if (absequaliu(p, 3))
7329 : { /* The only possible noncyclic group is [2,2] which happens 9 times */
7330 : ulong b2, b4, b6;
7331 0 : if (!absequaliu(N, 4)) return mkvec(N);
7332 : /* If the group is not cyclic, T = 4x^3 + b2 x^2 + 2b4 x + b6
7333 : * must have 3 roots else 1 root. Test T(0) = T(1) = 0 mod 3 */
7334 0 : b6 = Rg_to_Fl(ell_get_b6(E), 3);
7335 0 : if (b6) return mkvec(N);
7336 : /* b6 = T(0) = 0 mod 3. Test T(1) */
7337 0 : b2 = Rg_to_Fl(ell_get_b2(E), 3);
7338 0 : b4 = Rg_to_Fl(ell_get_b4(E), 3);
7339 0 : if ((1 + b2 + (b4<<1)) % 3) return mkvec(N);
7340 0 : return mkvec2s(2, 2);
7341 : } /* Now assume p > 3 */
7342 120715 : ell_to_a4a6(E, p, &a4,&a6);
7343 120715 : return Fp_ellgroup(a4,a6,N,p, pm);
7344 : }
7345 :
7346 : static GEN
7347 146454 : doellGm(GEN E)
7348 : {
7349 146454 : GEN fg = ellff_get_field(E);
7350 146454 : GEN m, G = (typ(fg) == t_FFELT)? FF_ellgroup(E, &m): ellgroup_m(E, fg, &m);
7351 146454 : return mkvec2(G, m);
7352 : }
7353 : static GEN
7354 185997 : ellff_Gm(GEN E)
7355 185997 : { return obj_checkbuild(E, FF_GROUP, &doellGm); }
7356 : GEN
7357 167307 : ellff_get_group(GEN E) { return gel(ellff_Gm(E), 1); }
7358 : GEN
7359 18690 : ellff_get_m(GEN E) { return gel(ellff_Gm(E), 2); }
7360 : GEN
7361 18690 : ellff_get_D(GEN E)
7362 : {
7363 18690 : GEN G = ellff_get_group(E), o = ellff_get_o(E);
7364 18690 : switch(lg(G))
7365 : {
7366 91 : case 1: return G;
7367 15883 : case 2: return mkvec(o);
7368 2716 : default: return mkvec2(o, gel(G,2));
7369 : }
7370 : }
7371 :
7372 : /* E / Fp */
7373 : static GEN
7374 18690 : doellgens(GEN E)
7375 : {
7376 18690 : GEN fg = ellff_get_field(E);
7377 18690 : if (typ(fg)==t_FFELT)
7378 18116 : return FF_ellgens(E);
7379 : else
7380 : {
7381 574 : GEN F, p = fg, e = ellff_get_a4a6(E);
7382 574 : F = Fp_ellgens(gel(e,1),gel(e,2),gel(e,3), ellff_get_D(E),ellff_get_m(E),p);
7383 574 : return FpVV_to_mod(F,p);
7384 : }
7385 : }
7386 :
7387 : GEN
7388 18767 : ellff_get_gens(GEN E)
7389 18767 : { return obj_checkbuild(E, FF_GROUPGEN, &doellgens); }
7390 :
7391 : GEN
7392 127806 : ellgroup(GEN E, GEN p)
7393 : {
7394 127806 : pari_sp av = avma;
7395 : GEN m, G;
7396 127806 : p = checkellp(&E,p, NULL, "ellgroup");
7397 127799 : switch(ell_get_type(E))
7398 : {
7399 127365 : case t_ELL_Fp:
7400 127365 : case t_ELL_Fq: G = ellff_get_group(E); break;
7401 392 : case t_ELL_Qp:
7402 : case t_ELL_Q:
7403 392 : if (Z_pval(Q_numer(ell_get_disc(E)), p))
7404 : {
7405 14 : GEN Q = localred(E,p), kod = gel(Q,2);
7406 14 : E = ellchangecurve(E, gel(Q,3));
7407 14 : if (!equali1(kod)) { G = mkvec(ellcard(E,p)); break; }
7408 : }
7409 378 : G = ellgroup_m(E,p,&m); break;
7410 42 : case t_ELL_NF:
7411 42 : if (nfval(ellnf_get_nf(E), ell_get_disc(E), p))
7412 : {
7413 21 : GEN Q = nflocalred(E,p), kod = gel(Q,2);
7414 21 : E = ellchangecurve(E, gel(Q,3));
7415 21 : if (!equali1(kod)) { G = mkvec(ellcard(E,p)); break; }
7416 : }
7417 28 : E = ellinit(E, p, 0);
7418 28 : G = ellff_get_group(E);
7419 28 : G = gcopy(G); obj_free(E); break;
7420 0 : default:
7421 0 : pari_err_TYPE("ellgroup", E);
7422 : return NULL;/*LCOV_EXCL_LINE*/
7423 : }
7424 127799 : return gerepilecopy(av, G);
7425 : }
7426 :
7427 : GEN
7428 21490 : ellgroup0(GEN E, GEN p, long flag)
7429 : {
7430 21490 : pari_sp av = avma;
7431 21490 : long tE, freeE = 0;
7432 : GEN G;
7433 21490 : if (flag==0) return ellgroup(E, p);
7434 1946 : if (flag!=1) pari_err_FLAG("ellgroup");
7435 1946 : checkell(E); tE = ell_get_type(E);
7436 1946 : if (tE != t_ELL_Fp && tE != t_ELL_Fq)
7437 : {
7438 1869 : GEN Q = elllocalred(E, p), v = gel(Q,3), u = gel(v,1), kod = gel(Q,2);
7439 : long vu;
7440 1862 : switch(tE)
7441 : {
7442 70 : case t_ELL_Qp: p = ellQp_get_p(E);/*fall through*/
7443 1841 : case t_ELL_Q: vu = Q_pval(u, p); break;
7444 21 : case t_ELL_NF: vu = nfval(ellnf_get_nf(E), u, p); break;
7445 0 : default: pari_err_TYPE("ellgroup", E); vu = 0;
7446 : }
7447 1862 : if (vu) pari_err_TYPE("ellgroup [not a p-minimal curve]",E);
7448 1855 : if (!equali1(kod)) /* bad reduction */
7449 : {
7450 91 : GEN Ep, T = NULL, q = p, ap = ellap(E,p);
7451 91 : if (typ(p) == t_INT)
7452 : {
7453 : long i;
7454 70 : Ep = obj_init(15, 4);
7455 910 : for (i = 1; i <= 12; i++) gel(Ep,i) = gel(E,i);
7456 : }
7457 : else
7458 : {
7459 21 : q = pr_norm(p);
7460 21 : Ep = initsmall5(ellnf_to_Fq(ellnf_get_nf(E), E, p, &p, &T), 4);
7461 : }
7462 91 : E = FF_ellinit(Ep, Tp_to_FF(T, p)); /* singular curve */
7463 91 : gel(E,14) = mkvecsmall(t_ELL_Fq);
7464 91 : obj_insert(E, FF_CARD, subii(q, ap));
7465 : }
7466 : else
7467 1764 : E = ellinit(E, p, 0);
7468 1855 : freeE = 1;
7469 : }
7470 1932 : G = mkvec3(ellff_get_card(E), ellff_get_group(E), ellff_get_gens(E));
7471 1932 : if (!freeE) return gerepilecopy(av, G);
7472 1855 : G = gcopy(G); obj_free(E); return gerepileupto(av, G);
7473 : }
7474 :
7475 : GEN
7476 16849 : ellgenerators(GEN E)
7477 : {
7478 16849 : checkell(E);
7479 16849 : switch(ell_get_type(E))
7480 : {
7481 7 : case t_ELL_Q:
7482 7 : return obj_checkbuild(E, Q_GROUPGEN, &elldatagenerators);
7483 16835 : case t_ELL_Fp: case t_ELL_Fq:
7484 16835 : return gcopy(ellff_get_gens(E));
7485 7 : default:
7486 7 : pari_err_TYPE("ellgenerators",E);
7487 : return NULL;/*LCOV_EXCL_LINE*/
7488 : }
7489 : }
7490 :
7491 : /* char != 2,3, j != 0, 1728 */
7492 : static GEN
7493 22715 : ellfromj_simple(GEN j)
7494 : {
7495 22715 : pari_sp av = avma;
7496 22715 : GEN k = gsubsg(1728,j), kj = gmul(k, j), k2j = gmul(kj, k);
7497 22715 : GEN E = zerovec(5);
7498 22715 : gel(E,4) = gmulsg(3,kj);
7499 22715 : gel(E,5) = gmulsg(2,k2j); return gerepileupto(av, E);
7500 : }
7501 : GEN
7502 34020 : ellfromj(GEN j)
7503 : {
7504 34020 : GEN T = NULL, p = typ(j)==t_FFELT? FF_p_i(j): NULL;
7505 : /* trick: use j^0 to get 1 in the proper base field */
7506 34020 : if ((p || (Rg_is_FpXQ(j,&T,&p) && p)) && lgefint(p) == 3) switch(p[2])
7507 : {
7508 3549 : case 2:
7509 3549 : if (gequal0(j))
7510 7 : retmkvec5(gen_0,gen_0, gpowgs(j,0), gen_0,gen_0);
7511 : else
7512 3542 : retmkvec5(gpowgs(j,0),gen_0,gen_0, gen_0,ginv(j));
7513 7651 : case 3:
7514 7651 : if (gequal0(j))
7515 21 : retmkvec5(gen_0,gen_0,gen_0, gpowgs(j,0), gen_0);
7516 : else
7517 : {
7518 7630 : GEN E = zerovec(5);
7519 7630 : pari_sp av = avma;
7520 7630 : gel(E,5) = gerepileupto(av, gneg(gsqr(j)));
7521 7630 : gel(E,2) = gcopy(j);
7522 7630 : return E;
7523 : }
7524 : }
7525 22820 : if (gequal0(j)) retmkvec5(gen_0,gen_0,gen_0,gen_0, gpowgs(j,0));
7526 22785 : if (gequalgs(j,1728)) retmkvec5(gen_0,gen_0,gen_0, gpowgs(j,0), gen_0);
7527 22715 : return ellfromj_simple(j);
7528 : }
7529 :
7530 : /********************************************************************/
7531 : /** **/
7532 : /** IS SUPERSINGULAR **/
7533 : /** **/
7534 : /********************************************************************/
7535 :
7536 : int
7537 165907 : elljissupersingular(GEN x)
7538 : {
7539 165907 : pari_sp av = avma;
7540 : int res;
7541 :
7542 165907 : if (typ(x) == t_INTMOD) {
7543 504 : GEN p = gel(x, 1);
7544 504 : GEN j = gel(x, 2);
7545 504 : res = Fp_elljissupersingular(j, p);
7546 165403 : } else if (typ(x) == t_FFELT) {
7547 165396 : GEN j = FF_to_FpXQ_i(x);
7548 165396 : GEN p = FF_p_i(x);
7549 165396 : GEN T = FF_mod(x);
7550 165396 : res = FpXQ_elljissupersingular(j, T, p);
7551 : } else {
7552 7 : pari_err_TYPE("elljissupersingular", x);
7553 : return 0; /*LCOV_EXCL_LINE*/
7554 : }
7555 165900 : set_avma(av);
7556 165900 : return res;
7557 : }
7558 :
7559 : int
7560 166117 : ellissupersingular(GEN E, GEN p)
7561 : {
7562 : pari_sp av;
7563 : GEN j;
7564 166117 : if (typ(E)!=t_VEC && !p) return elljissupersingular(E);
7565 17017 : p = checkellp(&E, p, NULL, "ellissupersingular");
7566 17003 : j = ell_get_j(E);
7567 17003 : switch(ell_get_type(E))
7568 : {
7569 16807 : case t_ELL_Fp:
7570 : case t_ELL_Fq:
7571 16807 : return elljissupersingular(j);
7572 56 : case t_ELL_Qp:
7573 : case t_ELL_Q:
7574 56 : if (typ(j)==t_FRAC && dvdii(gel(j,2), p)) return 0;
7575 21 : av = avma;
7576 21 : return gc_bool(av, Fp_elljissupersingular(Rg_to_Fp(j,p), p));
7577 140 : case t_ELL_NF:
7578 : {
7579 140 : GEN modP, T, nf = ellnf_get_nf(E), pr = p;
7580 : int res;
7581 140 : av = avma;
7582 140 : j = nf_to_scalar_or_basis(nf, j);
7583 140 : if (dvdii(Q_denom(j), pr_get_p(pr)))
7584 : {
7585 14 : if (typ(j) == t_FRAC || nfval(nf, j, pr) < 0) return 0;
7586 0 : modP = nf_to_Fq_init(nf,&pr,&T,&p);
7587 : }
7588 : else
7589 126 : modP = zk_to_Fq_init(nf,&pr,&T,&p);
7590 126 : j = nf_to_Fq(nf, j, modP);
7591 126 : if (typ(j) == t_INT)
7592 98 : res = Fp_elljissupersingular(j, p);
7593 : else
7594 28 : res = FpXQ_elljissupersingular(j, T, p);
7595 126 : return gc_bool(av, res);
7596 : }
7597 0 : default:
7598 0 : pari_err_TYPE("ellissupersingular",E);
7599 : }
7600 : return 0; /*LCOV_EXCL_LINE*/
7601 : }
7602 :
7603 : GEN
7604 1204 : ellsupersingularj(GEN a)
7605 : {
7606 1204 : pari_sp av = avma;
7607 : GEN r, T, p;
7608 : long d;
7609 1204 : switch(typ(a))
7610 : {
7611 1190 : case t_INT:
7612 1190 : p = a;
7613 1190 : if (Z_issquare(p)) pari_err_PRIME("ellsupersingularj", p);
7614 1190 : T = init_Fq(p, 2, fetch_user_var("w"));
7615 1190 : d = 2;
7616 1190 : break;
7617 14 : case t_FFELT:
7618 14 : p = FF_p_i(a); T = FF_mod(a); d = degpol(T);
7619 14 : if (!odd(d))
7620 : {
7621 14 : if (d != 2)
7622 7 : T = init_Fq(p, 2, varn(T));
7623 14 : break;
7624 : }
7625 : default: /* FALL THROUGH */
7626 0 : pari_err_TYPE("ellsupersingular", a);
7627 : return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
7628 : }
7629 1204 : r = Fq_to_FF(ellsupersingularj_FpXQ(T, p), Tp_to_FF(T, p));
7630 1204 : if (d != 2)
7631 7 : r = ffmap(ffembed(r, a), r);
7632 1204 : return gerepilecopy(av, r);
7633 : }
7634 :
7635 : /* n <= 4, N is the characteristic of the base ring or NULL (char 0) */
7636 : static GEN
7637 15064 : elldivpol4(GEN e, GEN N, long n, long v)
7638 : {
7639 : GEN b2,b4,b6,b8, res;
7640 15064 : if (n==0) return pol_0(v);
7641 15064 : if (n<=2) return N? scalarpol_shallow(mkintmod(gen_1,N),v): pol_1(v);
7642 1799 : b2 = ell_get_b2(e); b4 = ell_get_b4(e);
7643 1799 : b6 = ell_get_b6(e); b8 = ell_get_b8(e);
7644 1799 : if (n==3)
7645 833 : res = mkpoln(5, N? modsi(3,N): utoi(3),b2,gmulsg(3,b4),gmulsg(3,b6),b8);
7646 : else
7647 : {
7648 966 : GEN b10 = gsub(gmul(b2, b8), gmul(b4, b6));
7649 966 : GEN b12 = gsub(gmul(b8, b4), gsqr(b6));
7650 966 : res = mkpoln(7, N? modsi(2,N): gen_2,b2,gmulsg(5,b4),gmulsg(10,b6),gmulsg(10,b8),b10,b12);
7651 : }
7652 1799 : setvarn(res, v); return res;
7653 : }
7654 :
7655 : /* T = (2y + a1x + a3)^4 modulo the curve equation. Store elldivpol(e,n,v)
7656 : * in t[n]. N is the caracteristic of the base ring or NULL (char 0) */
7657 : static GEN
7658 5075 : elldivpol0(GEN e, GEN t, GEN N, GEN T, long n, long v)
7659 : {
7660 : GEN ret;
7661 5075 : long m = n/2;
7662 5075 : if (gel(t,n)) return gel(t,n);
7663 3150 : if (n<=4) ret = elldivpol4(e, N, n, v);
7664 882 : else if (odd(n))
7665 : {
7666 525 : GEN t1 = RgX_mul(elldivpol0(e,t,N,T,m+2,v),
7667 : gpowgs(elldivpol0(e,t,N,T,m,v),3));
7668 525 : GEN t2 = RgX_mul(elldivpol0(e,t,N,T,m-1,v),
7669 : gpowgs(elldivpol0(e,t,N,T,m+1,v),3));
7670 525 : if (odd(m))/*f_{4l+3} = f_{2l+3}f_{2l+1}^3 - T f_{2l}f_{2l+2}^3, m=2l+1*/
7671 91 : ret = RgX_sub(t1, RgX_mul(T,t2));
7672 : else /*f_{4l+1} = T f_{2l+2}f_{2l}^3 - f_{2l-1}f_{2l+1}^3, m=2l*/
7673 434 : ret = RgX_sub(RgX_mul(T,t1), t2);
7674 : }
7675 : else
7676 : { /* f_2m = f_m(f_{m+2}f_{m-1}^2 - f_{m-2}f_{m+1}^2) */
7677 357 : GEN t1 = RgX_mul(elldivpol0(e,t,N,T,m+2,v),
7678 : RgX_sqr(elldivpol0(e,t,N,T,m-1,v)));
7679 357 : GEN t2 = RgX_mul(elldivpol0(e,t,N,T,m-2,v),
7680 : RgX_sqr(elldivpol0(e,t,N,T,m+1,v)));
7681 357 : ret = RgX_mul(elldivpol0(e,t,N,T,m,v), RgX_sub(t1,t2));
7682 : }
7683 3150 : gel(t,n) = ret;
7684 3150 : return ret;
7685 : }
7686 :
7687 : GEN
7688 13125 : elldivpol(GEN e, long n0, long v)
7689 : {
7690 13125 : pari_sp av = avma;
7691 : GEN f, D, N;
7692 13125 : long n = labs(n0);
7693 :
7694 13125 : checkell(e); D = ell_get_disc(e);
7695 13125 : if (v < 0) v = 0;
7696 13125 : if (varncmp(gvar(D), v) <= 0) pari_err_PRIORITY("elldivpol", e, "<=", v);
7697 13125 : N = characteristic(D); if (!signe(N)) N = NULL;
7698 13125 : if (n==1 || n==3)
7699 231 : f = elldivpol4(e, N, n, v);
7700 : else
7701 : {
7702 12894 : GEN d2 = ec_bmodel(e,v); /* (2y + a1x + a3)^2 mod E */
7703 12894 : if (N && !mod2(N)) { gel(d2,5) = modsi(4,N); d2 = normalizepol(d2); }
7704 12894 : if (n <= 4)
7705 12565 : f = elldivpol4(e, N, n, v);
7706 : else
7707 329 : f = elldivpol0(e, const_vec(n,NULL), N,RgX_sqr(d2), n, v);
7708 12894 : if (n%2==0) f = RgX_mul(f, d2);
7709 : }
7710 13125 : if (n0 < 0) return gerepileupto(av, RgX_neg(f));
7711 13104 : return gerepilecopy(av, f);
7712 : }
7713 :
7714 : /* return [phi_n, (psi_n)^2] such that x[nP] = phi_n / (psi_n)^2 */
7715 : GEN
7716 406 : ellxn(GEN e, long n, long v)
7717 : {
7718 406 : pari_sp av = avma;
7719 : GEN d2, D, N, A, B;
7720 406 : checkell(e); D = ell_get_disc(e);
7721 406 : if (v==-1) v = 0;
7722 406 : if (varncmp(gvar(D), v) <= 0) pari_err_PRIORITY("elldivpol", e, "<=", v);
7723 406 : N = characteristic(D);
7724 406 : if (!signe(N)) N = NULL;
7725 406 : if (n < 0) n = -n;
7726 406 : d2 = ec_bmodel(e,v); /* (2y + a1x + 3)^2 mod E */
7727 406 : if (N && !mod2(N)) { gel(d2,5) = modsi(4,N); d2 = normalizepol(d2); }
7728 406 : if (n == 0)
7729 : {
7730 7 : A = pol_0(v);
7731 7 : B = pol_0(v);
7732 : }
7733 399 : else if (n == 1)
7734 : {
7735 7 : A = pol_1(v);
7736 7 : B = pol_x(v);
7737 : }
7738 392 : else if (n == 2)
7739 : {
7740 105 : A = d2;
7741 105 : B = ec_phi2(e, v);
7742 : }
7743 : else
7744 : {
7745 287 : GEN t = const_vec(n+1,NULL), T = RgX_sqr(d2);
7746 287 : GEN f = elldivpol0(e, t, N, T, n, v); /* f_n / d2^(n odd)*/
7747 287 : GEN g = elldivpol0(e, t, N, T, n-1, v); /* f_{n-1} / d2^(n even) */
7748 287 : GEN h = elldivpol0(e, t, N, T, n+1, v); /* f_{n+1} / d2^(n even) */
7749 287 : GEN f2 = RgX_sqr(f), u = RgX_mul(g,h);
7750 287 : if (!odd(n))
7751 14 : A = RgX_mul(f2, d2);
7752 : else
7753 273 : { A = f2; u = RgX_mul(u,d2); }
7754 : /* A = psi_n^2, u = psi_{n-1} psi_{n+1} */
7755 287 : B = RgX_sub(RgX_shift(A,1), u);
7756 : }
7757 406 : return gerepilecopy(av, mkvec2(B,A));
7758 : }
7759 :
7760 : /* l and p primes; p = 1 mod l; return an element of order l in (Z/pZ)^* */
7761 : static ulong
7762 2807 : ltors_Fl(ulong l, ulong p)
7763 : {
7764 2807 : ulong x, y, r = (p-1)/l;
7765 4389 : for (x = 2;; x++) { y = Fl_powu(x, r, p); if (y != 1) return y; }
7766 : }
7767 :
7768 : /* Assume that l|o but p!=1 [l] so r_l E(F_p) = 1 */
7769 : static void
7770 8631 : FljV_vecsat_Siksek(GEN E, GEN P, ulong o, ulong l, ulong a4, ulong a6, ulong p,
7771 : GEN S, long *m)
7772 : {
7773 8631 : long i, n = lg(P)-1;
7774 8631 : GEN a4a6, g, F, v = zero_zv(n);
7775 8631 : pari_sp av = avma;
7776 8631 : ulong q = o / l;
7777 :
7778 8631 : F = mkmat2(mkcols(l), mkcols(1));
7779 8631 : a4a6 = a4a6_ch_Fl(E, p);
7780 8631 : g = gel(Fl_ellptors(l, o, a4, a6, p), 1);
7781 63238 : for (i=1; i <= n; i++)
7782 : {
7783 54607 : GEN Q = Fle_changepointinv(Flj_to_Fle(gel(P,i), p), a4a6, p);
7784 54607 : if (!ell_is_inf(Q))
7785 54278 : v[i] = itou(Fle_log(Fle_mulu(Q, q, a4, p), g, F, a4, p));
7786 : }
7787 8631 : gel(S,(*m)++) = v;
7788 8631 : set_avma(av);
7789 8631 : }
7790 :
7791 : /* Assume that l|o and p=1 [l] so r_l E(F_p) = 1 or 2 */
7792 : static void
7793 2807 : FljV_vecsat_Prickett(GEN E, GEN P, ulong o, ulong l, ulong a4, ulong a6,
7794 : ulong p, GEN S, long *m)
7795 : {
7796 2807 : long i, n = lg(P)-1;
7797 2807 : GEN a4a6, G, G1, G2, v = zero_zv(n), w = zero_zv(n);
7798 2807 : ulong g = ltors_Fl(l, p), q = (p-1)/l;
7799 2807 : pari_sp av = avma;
7800 :
7801 2807 : a4a6 = a4a6_ch_Fl(E, p);
7802 2807 : G = Fl_ellptors(l, o, a4, a6, p);
7803 2807 : G1 = gel(G,1);
7804 2807 : G2 = lg(G)==3 ? gel(G, 2): NULL;
7805 16457 : for (i = 1; i <= n; i++)
7806 : {
7807 13650 : GEN Q = Fle_changepointinv(Flj_to_Fle(gel(P,i), p), a4a6, p);
7808 13650 : if (!ell_is_inf(Q))
7809 : {
7810 13279 : ulong u = Fl_powu(Fle_tatepairing(G1, Q, l, a4, p), q, p);
7811 13279 : v[i] = Fl_log(u, g, l, p);
7812 13279 : if (G2)
7813 : {
7814 3395 : ulong u = Fl_powu(Fle_tatepairing(G2, Q, l, a4, p), q, p);
7815 3395 : w[i] = Fl_log(u, g, l, p);
7816 : }
7817 : }
7818 : }
7819 2807 : gel(S,(*m)++) = v;
7820 2807 : if (G2 && *m < lg(S)) gel(S,(*m)++) = w;
7821 2807 : set_avma(av);
7822 2807 : }
7823 :
7824 : static void
7825 11438 : FljV_vecsat(GEN E, GEN P, ulong o, ulong l, ulong a4, ulong a6, ulong p,
7826 : GEN S, long *m)
7827 : {
7828 11438 : P = ZVV_to_FlvV(P, p);
7829 11438 : if (p % l == 1)
7830 2807 : FljV_vecsat_Prickett(E, P, o, l, a4, a6, p, S, m);
7831 : else
7832 8631 : FljV_vecsat_Siksek(E, P, o, l, a4, a6, p, S, m);
7833 11438 : }
7834 :
7835 : /* P a vector of points in E(Q), return a linear map M from the abelian group
7836 : * they generate to Z/lZ; sum x[i] P[i] is l-divisible => x M = 0 */
7837 : static GEN
7838 1204 : ellsatp_mat(hashtable *h, GEN E, long CM, GEN P, ulong l, long nb)
7839 : {
7840 1204 : long m = 1;
7841 1204 : GEN D = ell_get_disc(E), M = cgetg(nb+1, t_MAT);
7842 : forprime_t S;
7843 :
7844 1204 : P = QEV_to_ZJV(P);
7845 1204 : (void)u_forprime_init(&S, 5, ULONG_MAX);
7846 326459 : while (m <= nb)
7847 : {
7848 325255 : ulong a4, a6, p = u_forprime_next(&S);
7849 : long o;
7850 325255 : if (dvdiu(D, p)) continue;
7851 320075 : Fl_ell_to_a4a6(E, p, &a4, &a6);
7852 320075 : if (!hash_haskey_long(h, (void*)p, &o))
7853 : {
7854 34979 : o = p+1 - Fl_elltrace_CM(CM, a4, a6, p);
7855 34979 : hash_insert_long(h,(void*)p, o);
7856 : }
7857 320075 : if (o % l == 0) FljV_vecsat(E, P, o, l, a4, a6, p, M, &m);
7858 : }
7859 1204 : return M;
7860 : }
7861 :
7862 : INLINE long
7863 147 : Flv_firstnonzero(GEN v)
7864 : {
7865 147 : long i, l = lg(v);
7866 154 : for (i = 1; i < l; i++)
7867 154 : if (v[i]) break;
7868 147 : return i;
7869 : }
7870 :
7871 : /* update M in place */
7872 : static GEN
7873 1204 : ellsatp(hashtable *hh, GEN E, long CM, GEN T, GEN H, GEN M, ulong l, GEN *xl,
7874 : long vxl, long nb, long prec)
7875 : {
7876 1204 : GEN P = T ? shallowconcat(H, T): H;
7877 1204 : GEN S = ellsatp_mat(hh, E, CM, P, l, nb); /* fill hh */
7878 1204 : pari_sp av = avma;
7879 1204 : GEN K = Flm_ker(Flm_transpose(S), l);
7880 1204 : long i, lK = lg(K), nH = lg(H)-1;
7881 :
7882 1204 : if (lK==1) return gc_NULL(av);
7883 147 : if (DEBUGLEVEL >= 3)
7884 0 : err_printf("ellsat: potential factor %lu, dim Ker = %ld\n",l,lK-1);
7885 : /* Mazur bound for torsion of isogenous curves */
7886 147 : if (!*xl && l <= 7) *xl = ellxn(E, l, vxl);
7887 147 : for (i = 1; i < lK; i++)
7888 : {
7889 147 : GEN ki = gel(K,i), Ki, h, R;
7890 147 : long f = Flv_firstnonzero(ki);
7891 :
7892 : /* for T != NULL: avoid solving for [p]Q = R when R is p-torsion */
7893 147 : if (f > nH) continue;
7894 147 : if (ki[f] != 1) ki = Flv_Fl_div(ki, ki[f], l);
7895 147 : Ki = zv_to_ZV(Flv_center(ki, l, l >> 1));
7896 147 : h = qfeval(M, T? vecslice(Ki, 1, nH): Ki);
7897 147 : if (*xl)
7898 : {
7899 133 : GEN Q = ellQ_factorback(E, P, Ki, 1, h, prec);
7900 133 : if (ellisdivisible(E, Q, *xl, &R)) h = gdiv(h, sqru(l)); else R = NULL;
7901 : }
7902 : else
7903 : {
7904 14 : h = gdiv(h, sqru(l));
7905 14 : R = ellQ_factorback(E, P, Ki, l, h, prec);
7906 : }
7907 147 : if (DEBUGLEVEL >= 2)
7908 0 : err_printf("ellsat: %s divisible by %lu\n", R? "": "not", l);
7909 147 : if (!R)
7910 : {
7911 28 : if (lK == 2) break;
7912 140 : return l > 7? gc_const(av,H): H; /* fail: return and retry */
7913 : }
7914 119 : gcoeff(M, f, f) = h;
7915 490 : for (i = 1; i <= nH; i++)
7916 371 : if (i != f) gcoeff(M, f, i) = gdivgu(RgV_dotproduct(gel(M,i), Ki), l);
7917 490 : for (i = 1; i <= nH; i++) gcoeff(M, i, f) = gcoeff(M, f, i);
7918 119 : gel(H,f) = R; return H; /* found l-divisible point: return new lattice */
7919 : }
7920 7 : return gc_NULL(av); /* l-saturated */
7921 : }
7922 :
7923 : static GEN
7924 49 : ellQ_saturation(GEN E, GEN P, long B, long prec)
7925 : {
7926 : forprime_t S;
7927 49 : GEN M = ellheightmatrix(E, P, prec);
7928 49 : long CM = ellQ_get_CM(E), w = fetch_var_higher();
7929 : hashtable h;
7930 : ulong p;
7931 :
7932 49 : hash_init_ulong(&h, 16, 1);
7933 49 : (void)u_forprime_init(&S, 2, B);
7934 49 : P = leafcopy(P); /* modified in place by ellsatp */
7935 1113 : while((p = u_forprime_next(&S)))
7936 : {
7937 1064 : long nb = lg(P)-1 + 25 / log2(p) - 1; /* error ~ 2^{-25} */
7938 1064 : GEN xp = NULL, T = gel(elltors_psylow(E, p), 3);
7939 1064 : if (lg(T)==1) T = NULL;
7940 : while (1)
7941 140 : {
7942 1204 : GEN Q = ellsatp(&h, E, CM, T, P, M, p, &xp, w, nb, prec);
7943 1204 : if (!Q) break;
7944 140 : nb += lg(P)-1;
7945 140 : P = Q;
7946 : }
7947 : }
7948 49 : (void)delete_var(); return ellQ_genreduce(E, P, M, prec);
7949 : }
7950 :
7951 : GEN
7952 49 : ellsaturation(GEN E, GEN P, long B, long prec)
7953 : {
7954 49 : pari_sp av = avma;
7955 : GEN urst;
7956 :
7957 49 : if (lg(P) == 1) return cgetg(1, t_VEC);
7958 49 : E = ellminimalmodel(E, &urst);
7959 49 : if (is_trivial_change(urst, NULL)) urst = NULL;
7960 7 : else P = ellchangepoint(P, urst);
7961 49 : P = ellQ_saturation(E, P, B, prec);
7962 49 : if (urst) P = ellchangepoint(P, ellchangeinvert_i(urst));
7963 49 : obj_free(E); return gerepilecopy(av, P);
7964 : }
7965 :
7966 : static GEN
7967 126 : to_RgX(GEN P, long vx)
7968 126 : { return typ(P)==t_POL && varn(P) == vx ? P: scalarpol_shallow(P, vx); }
7969 : GEN
7970 70 : elltrace(GEN E, GEN P)
7971 : {
7972 70 : pari_sp av = avma;
7973 70 : GEN xP, yP, T = NULL, Q, LP, M, K, U,V,R, xQ,yQ;
7974 : long v, n, i, j, d;
7975 :
7976 70 : checkell(E);
7977 70 : if (!checkellpt_i(P)) pari_err_TYPE("elltrace", P);
7978 70 : if (ell_is_inf(P)) return gcopy(P); /* P == oo */
7979 63 : if (!ellisoncurve_i(E,P))
7980 0 : pari_err_DOMAIN("elltrace", "point", "not on", strtoGENstr("E"), P);
7981 : /* More checks */
7982 :
7983 63 : xP = gel(P,1); yP = gel(P,2);
7984 63 : if (typ(xP)==t_POLMOD) { T = gel(xP,1); xP = gel(xP,2); }
7985 63 : if (typ(yP)==t_POLMOD)
7986 : {
7987 63 : if (T)
7988 : {
7989 56 : if (!gequal(gel(yP,1),T)) pari_err_MODULUS("elltrace",xP,yP);
7990 : }
7991 : else
7992 7 : T = gel(yP,1);
7993 63 : yP = gel(yP,2);
7994 : }
7995 63 : if (!T) pari_err_TYPE("elltrace",yP);
7996 63 : v = varn(T); n = degpol(T);
7997 : /* Trivial cases */
7998 63 : if (n == 1) { return gerepilecopy(av, mkvec2(xP,yP)); }
7999 63 : xP = to_RgX(xP, v);
8000 63 : yP = to_RgX(yP, v);
8001 63 : if (degpol(xP) <= 0)
8002 : {
8003 28 : if (degpol(yP) > 0) { set_avma(av); retmkvec(gen_0); }
8004 14 : P = mkvec2(constant_coeff(xP), constant_coeff(yP));
8005 14 : return gerepileupto(av, ellmul(E, P, utoipos(n)));
8006 : }
8007 : /* Strategy: look for a function with divisor equal to
8008 : * [P_1] + ... + [P_n] + [-Tr(P)] - (n+1)[0]. */
8009 35 : LP = cgetg(n+2,t_VEC); /* basis of the Riemann-Roch space evaluated at P */
8010 35 : gel(LP,1) = pol_1(v);
8011 35 : gel(LP,2) = xP;
8012 35 : gel(LP,3) = yP;
8013 84 : for (i = 4; i <= n+1; i++) gel(LP,i) = RgXQ_mul(gel(LP,i-2), xP, T);
8014 35 : M = cgetg(n+2,t_MAT); /* functions defined over K vanishing at P */
8015 189 : for (j = 1; j <= n+1; j++)
8016 714 : for (i = 1; i <= n; i++) gel(M,j) = RgX_to_RgC(gel(LP,j), n);
8017 35 : K = gel(ker(M),1);
8018 : /* Coords on 1,x,y,x^2,xy,.. of function f of smallest degree vanishing at P
8019 : * div f = [P_1] + ... + [P_d] + [-Tr(P)] - (d+1)[0]
8020 : * with deg(K(P)) = d+1 if Tr(P) != 0; = d otherwise; f = U(x) + y*V(x) */
8021 35 : U = cgetg((n+1)/2+3,t_POL);
8022 35 : V = cgetg((n-2)/2+3,t_POL); U[1] = V[1] = evalvarn(0);
8023 35 : gel(U,2) = gel(K,1); /* Coef of 1 */
8024 105 : for(i = 1; 2*i <= n+1; i++) gel(U,i+2) = gel(K,2*i); /* Coef of x^i */
8025 84 : for(i = 0; 2*i+3 <= n+1; i++) gel(V,i+2) = gel(K,2*i+3); /* Coef of x^i*y */
8026 35 : U = normalizepol(U); V = normalizepol(V);
8027 : /* f does not depend on y, so trace = oo */
8028 35 : if (signe(V)==0) { set_avma(av); retmkvec(gen_0); }
8029 : /* Plug y = -U(x)/V(x) into Weierstrass equation:
8030 : * 0 = ((x^3+a2x^2+a4x+a6)*V + (a1x+a3)*U)*V - U^2 */
8031 35 : R = mkpoln(4, gen_1, ell_get_a2(E), ell_get_a4(E), ell_get_a6(E));
8032 35 : R = gmul(R, V);
8033 35 : R = gadd(R, gmul(U, mkpoln(2,ell_get_a1(E),ell_get_a3(E))));
8034 35 : R = gmul(R, V);
8035 35 : R = gsub(R, gsqr(U));
8036 : /* Discard Galois orbit of P */
8037 35 : R = RgX_div(R, RgXQ_minpoly(xP,T, 0));
8038 : /* What is left is either constant -> return 0, or deg 1 -> nontrivial trace. */
8039 35 : if(degpol(R)<=0) { set_avma(av); retmkvec(gen_0); }
8040 : /* Recover the trace */
8041 28 : xQ = gneg(gdiv(gel(R,2), gel(R,3)));
8042 28 : yQ = gneg(gdiv(poleval(U, xQ), poleval(V, xQ)));
8043 28 : Q = mkvec2(xQ, yQ);
8044 : /* So far, we have computed -Tr(P) over the extension K(P)/K
8045 : * we still need to compute [L:K(P)] */
8046 28 : d = 0;
8047 42 : for (i = n+1; i > 0; i--) if (!gequal0(gel(K,i))) { d = i; break; }
8048 28 : return gerepileupto(av, ellmul(E, Q, stoi(-n / (d-1))));
8049 : }
|
