Code coverage tests

This page documents the degree to which the PARI/GP source code is tested by our public test suite, distributed with the source distribution in directory src/test/. This is measured by the gcov utility; we then process gcov output using the lcov frond-end.

We test a few variants depending on Configure flags on the pari.math.u-bordeaux.fr machine (x86_64 architecture), and agregate them in the final report:

The target is to exceed 90% coverage for all mathematical modules (given that branches depending on DEBUGLEVEL or DEBUGMEM are not covered). This script is run to produce the results below.

LCOV - code coverage report
Current view: top level - basemath - elliptic.c (source / functions) Hit Total Coverage
Test: PARI/GP v2.14.0 lcov report (development 26712-590d837a1c) Lines: 4152 4428 93.8 %
Date: 2021-06-22 07:13:04 Functions: 375 382 98.2 %
Legend: Lines: hit not hit

          Line data    Source code
       1             : /* Copyright (C) 2000  The PARI group.
       2             : 
       3             : This file is part of the PARI/GP package.
       4             : 
       5             : PARI/GP is free software; you can redistribute it and/or modify it under the
       6             : terms of the GNU General Public License as published by the Free Software
       7             : Foundation; either version 2 of the License, or (at your option) any later
       8             : version. It is distributed in the hope that it will be useful, but WITHOUT
       9             : ANY WARRANTY WHATSOEVER.
      10             : 
      11             : Check the License for details. You should have received a copy of it, along
      12             : with the package; see the file 'COPYING'. If not, write to the Free Software
      13             : Foundation, Inc., 51 Franklin Street, Fifth Floor, Boston, MA 02110-1301 USA. */
      14             : 
      15             : /********************************************************************/
      16             : /**                                                                **/
      17             : /**                       ELLIPTIC CURVES                          **/
      18             : /**                                                                **/
      19             : /********************************************************************/
      20             : #include "pari.h"
      21             : #include "paripriv.h"
      22             : 
      23             : #define DEBUGLEVEL DEBUGLEVEL_ell
      24             : 
      25             : #undef coordch
      26             : 
      27             : /* Transforms a curve E into short Weierstrass form E' modulo p.
      28             :    Returns a vector, the first two entries of which are a4' and a6'.
      29             :    The third entry is a vector describing the isomorphism E' \to E.
      30             : */
      31             : 
      32             : static ulong
      33      701160 : Fl_c4_to_a4(ulong c4, ulong p)
      34      701160 : { return Fl_neg(Fl_mul(c4, 27, p), p); }
      35             : static ulong
      36      680298 : Fl_c6_to_a6(ulong c6, ulong p)
      37      680298 : { return Fl_neg(Fl_mul(c6, 54, p), p); }
      38             : static void
      39      680242 : Fl_c4c6_to_a4a6(ulong c4, ulong c6, ulong p, ulong *a4, ulong *a6)
      40             : {
      41      680242 :   *a4 = Fl_c4_to_a4(c4, p);
      42      680242 :   *a6 = Fl_c6_to_a6(c6, p);
      43      680242 : }
      44             : static GEN
      45     2267381 : c4_to_a4(GEN c4, GEN p)
      46     2267381 : { return Fp_neg(Fp_mulu(c4, 27, p), p); }
      47             : static void
      48     2267385 : c4c6_to_a4a6(GEN c4, GEN c6, GEN p, GEN *a4, GEN *a6)
      49             : {
      50     2267385 :   *a4 = c4_to_a4(c4, p);
      51     2267385 :   *a6 = Fp_neg(Fp_mulu(c6, 54, p), p);
      52     2267079 : }
      53             : static GEN
      54       75981 : Fq_c4_to_a4(GEN c4, GEN T, GEN p)
      55       75981 : { return Fq_neg(Fq_mulu(c4, 27, T,p), T,p); }
      56             : static void
      57       75981 : Fq_c4c6_to_a4a6(GEN c4, GEN c6, GEN T, GEN p, GEN *a4, GEN *a6)
      58             : {
      59       75981 :   *a4 = Fq_c4_to_a4(c4, T,p);
      60       75960 :   *a6 = Fq_neg(Fq_mulu(c6, 54, T,p), T,p);
      61       75958 : }
      62             : static void
      63     2267263 : ell_to_a4a6(GEN E, GEN p, GEN *a4, GEN *a6)
      64             : {
      65     2267263 :   GEN c4 = Rg_to_Fp(ell_get_c4(E),p);
      66     2267249 :   GEN c6 = Rg_to_Fp(ell_get_c6(E),p);
      67     2267240 :   c4c6_to_a4a6(c4, c6, p, a4, a6);
      68     2266929 : }
      69             : static void
      70      680242 : Fl_ell_to_a4a6(GEN E, ulong p, ulong *a4, ulong *a6)
      71             : {
      72      680242 :   ulong c4 = Rg_to_Fl(ell_get_c4(E),p);
      73      680242 :   ulong c6 = Rg_to_Fl(ell_get_c6(E),p);
      74      680242 :   Fl_c4c6_to_a4a6(c4, c6, p, a4, a6);
      75      680242 : }
      76             : 
      77             : /* [6,3b2,3a1,108a3] */
      78             : static GEN
      79       22632 : a4a6_ch(GEN E, GEN p)
      80             : {
      81       22632 :   GEN a1 = Rg_to_Fp(ell_get_a1(E),p);
      82       22632 :   GEN a3 = Rg_to_Fp(ell_get_a3(E),p);
      83       22632 :   GEN b2 = Rg_to_Fp(ell_get_b2(E),p);
      84       22632 :   retmkvec4(modsi(6,p),Fp_mulu(b2,3,p),Fp_mulu(a1,3,p),Fp_mulu(a3,108,p));
      85             : }
      86             : static GEN
      87       31105 : a4a6_ch_Fl(GEN E, ulong p)
      88             : {
      89       31105 :   ulong a1 = Rg_to_Fl(ell_get_a1(E),p);
      90       31105 :   ulong a3 = Rg_to_Fl(ell_get_a3(E),p);
      91       31105 :   ulong b2 = Rg_to_Fl(ell_get_b2(E),p);
      92       31105 :   return mkvecsmall4(6 % p,Fl_mul(b2,3,p),Fl_mul(a1,3,p),Fl_mul(a3,108,p));
      93             : }
      94             : 
      95             : static GEN
      96       22632 : ell_to_a4a6_bc(GEN E, GEN p)
      97             : {
      98             :   GEN A4, A6;
      99       22632 :   ell_to_a4a6(E, p, &A4, &A6);
     100       22632 :   retmkvec3(A4, A6, a4a6_ch(E,p));
     101             : }
     102             : GEN
     103           0 : point_to_a4a6(GEN E, GEN P, GEN p, GEN *pa4)
     104             : {
     105           0 :   GEN c4 = Rg_to_Fp(ell_get_c4(E),p);
     106           0 :   *pa4 = c4_to_a4(c4, p);
     107           0 :   return FpE_changepointinv(RgV_to_FpV(P,p), a4a6_ch(E,p), p);
     108             : }
     109             : GEN
     110        7231 : point_to_a4a6_Fl(GEN E, GEN P, ulong p, ulong *pa4)
     111             : {
     112        7231 :   ulong c4 = Rg_to_Fl(ell_get_c4(E),p);
     113        7231 :   *pa4 = Fl_c4_to_a4(c4, p);
     114        7231 :   return Fle_changepointinv(RgV_to_Flv(P,p), a4a6_ch_Fl(E,p), p);
     115             : }
     116             : 
     117             : /* shallow basistoalg */
     118             : static GEN
     119      388346 : nftoalg(GEN nf, GEN x)
     120             : {
     121      388346 :   switch(typ(x))
     122             :   {
     123      384580 :     case t_INT: case t_FRAC: case t_POLMOD: return x;
     124        3766 :     default: return basistoalg(nf, x);
     125             :   }
     126             : }
     127             : 
     128             : void
     129      419657 : checkellpt(GEN z)
     130             : {
     131      419657 :   if (typ(z)!=t_VEC) pari_err_TYPE("checkellpt", z);
     132      419650 :   switch(lg(z))
     133             :   {
     134      414421 :     case 3: break;
     135        5229 :     case 2: if (isintzero(gel(z,1))) break;
     136             :     /* fall through */
     137           0 :     default: pari_err_TYPE("checkellpt", z);
     138             :   }
     139      419650 : }
     140             : void
     141       72212 : checkell5(GEN E)
     142             : {
     143       72212 :   long l = lg(E);
     144       72212 :   if (typ(E)!=t_VEC || (l != 17 && l != 6)) pari_err_TYPE("checkell5",E);
     145       72212 : }
     146             : void
     147     3839608 : checkell(GEN E)
     148     3839608 : { if (!checkell_i(E)) pari_err_TYPE("checkell",E); }
     149             : void
     150        3472 : checkellisog(GEN v)
     151        3472 : { if (typ(v)!=t_VEC || lg(v) != 4) pari_err_TYPE("checkellisog",v); }
     152             : 
     153             : void
     154        5537 : checkell_Q(GEN E)
     155             : {
     156        5537 :   if (!checkell_i(E) || ell_get_type(E)!=t_ELL_Q)
     157           7 :     pari_err_TYPE("checkell over Q",E);
     158        5530 : }
     159             : 
     160             : void
     161           0 : checkell_Qp(GEN E)
     162             : {
     163           0 :   if (!checkell_i(E) || ell_get_type(E)!=t_ELL_Qp)
     164           0 :     pari_err_TYPE("checkell over Qp",E);
     165           0 : }
     166             : 
     167             : static int
     168      501004 : ell_over_Fq(GEN E)
     169             : {
     170      501004 :   long t = ell_get_type(E);
     171      501004 :   return t==t_ELL_Fp || t==t_ELL_Fq;
     172             : }
     173             : 
     174             : void
     175      252203 : checkell_Fq(GEN E)
     176             : {
     177      252203 :   if (!checkell_i(E) || !ell_over_Fq(E)) pari_err_TYPE("checkell over Fq", E);
     178      252196 : }
     179             : 
     180             : GEN
     181      180242 : ellff_get_p(GEN E)
     182             : {
     183      180242 :   GEN fg = ellff_get_field(E);
     184      180242 :   return typ(fg)==t_INT? fg: FF_p_i(fg);
     185             : }
     186             : 
     187             : int
     188       22813 : ell_is_integral(GEN E)
     189             : {
     190       22813 :   return typ(ell_get_a1(E)) == t_INT
     191       22771 :       && typ(ell_get_a2(E)) == t_INT
     192       22750 :       && typ(ell_get_a3(E)) == t_INT
     193       22750 :       && typ(ell_get_a4(E)) == t_INT
     194       45584 :       && typ(ell_get_a6(E)) == t_INT;
     195             : }
     196             : 
     197             : static void
     198       90930 : checkcoordch(GEN z)
     199       90930 : { if (typ(z)!=t_VEC || lg(z) != 5) pari_err_TYPE("checkcoordch",z); }
     200             : 
     201             : /* 4 X^3 + b2 X^2 + 2b4 X + b6 */
     202             : GEN
     203       17202 : ec_bmodel(GEN e)
     204             : {
     205       17202 :   GEN b2 = ell_get_b2(e), b6 = ell_get_b6(e), b42 = gmul2n(ell_get_b4(e),1);
     206       17202 :   return mkpoln(4, utoipos(4), b2, b42, b6);
     207             : }
     208             : 
     209             : /* X^4 - b4*X^2 - 2b6*X - b8 */
     210             : GEN
     211         119 : ec_phi2(GEN e)
     212             : {
     213         119 :   GEN b4 = ell_get_b4(e), b6 = ell_get_b6(e), b8 = ell_get_b8(e);
     214         119 :   return mkpoln(5, gen_1, gen_0, gneg(b4), gmul2n(gneg(b6),1), gneg(b8));
     215             : }
     216             : 
     217             : static int
     218       10926 : invcmp(void *E, GEN x, GEN y) { (void)E; return -gcmp(x,y); }
     219             : 
     220             : /* prec = working precision, prec0 = target precision */
     221             : static GEN
     222       10881 : doellR_roots_i(GEN e, long prec, long prec0)
     223             : {
     224       10881 :   GEN d1, d2, d3, e1, e2, e3, R = cleanroots(ec_bmodel(e), prec);
     225       10881 :   long s = ellR_get_sign(e);
     226       10881 :   if (s > 0)
     227             :   { /* sort 3 real roots in decreasing order */
     228        3642 :     R = real_i(R);
     229        3642 :     gen_sort_inplace(R, NULL, &invcmp, NULL);
     230        3642 :     e1 = gel(R,1); e2 = gel(R,2); e3 = gel(R,3);
     231        3642 :     d3 = subrr(e1,e2);
     232        3642 :     d1 = subrr(e2,e3);
     233        3642 :     d2 = subrr(e1,e3);
     234        3642 :     if (realprec(d3) < prec0 || realprec(d1) < prec0) return NULL;
     235             :   } else {
     236        7239 :     e1 = gel(R,1); e2 = gel(R,2); e3 = gel(R,3);
     237        7239 :     if (s < 0)
     238             :     { /* make sure e1 is real, imag(e2) > 0 and imag(e3) < 0 */
     239        2948 :       e1 = real_i(e1);
     240        2948 :       if (signe(gel(e2,2)) < 0) swap(e2, e3);
     241        2948 :       d1 = mkcomplex(gen_0, gsub(gel(e2,2),gel(e3,2)));
     242             :     }
     243             :     else
     244        4291 :       d1 = gsub(e2,e3);
     245        7239 :     d3 = gsub(e1,e2);
     246        7239 :     d2 = gsub(e1,e3);
     247        7239 :     if (precision(d1) < prec0
     248        7226 :         || precision(d2) < prec0
     249        7239 :         || precision(d3) < prec0) return NULL;
     250             :   }
     251       10845 :   return mkcol6(e1,e2,e3,d1,d2,d3);
     252             : }
     253             : static GEN
     254        7394 : doellR_roots(GEN e, long prec0)
     255             : {
     256             :   long p;
     257        7430 :   for (p = prec0;; p = precdbl(p))
     258          36 :   {
     259        7430 :     GEN v = doellR_roots_i(e, p, prec0);
     260        7430 :     if (v) return v;
     261          36 :     if (DEBUGLEVEL) pari_warn(warnprec,"doellR_roots", p);
     262             :   }
     263             : }
     264             : static GEN
     265       24409 : ellR_root(GEN e, long prec) { return gel(ellR_roots(e,prec),1); }
     266             : 
     267             : /* Given E and the x-coordinate of a point Q = [xQ, yQ], return
     268             :  *   f(xQ) = xQ^3 + E.a2 * xQ^2 + E.a4 * xQ + E.a6
     269             :  * where E is given by y^2 + h(x)y = f(x). */
     270             : GEN
     271      556566 : ec_f_evalx(GEN E, GEN x)
     272             : {
     273      556566 :   pari_sp av = avma;
     274             :   GEN z;
     275      556566 :   z = gadd(ell_get_a2(E),x);
     276      556566 :   z = gadd(ell_get_a4(E), gmul(x,z));
     277      556566 :   z = gadd(ell_get_a6(E), gmul(x,z));
     278      556566 :   return gerepileupto(av, z); /* ((x + E.a2) * x + E.a4) * x + E.a6 */
     279             : }
     280             : 
     281             : /* a1 x + a3 */
     282             : GEN
     283      653936 : ec_h_evalx(GEN e, GEN x)
     284             : {
     285      653936 :   GEN a1 = ell_get_a1(e);
     286      653936 :   GEN a3 = ell_get_a3(e);
     287      653936 :   return gadd(a3, gmul(x,a1));
     288             : }
     289             : static GEN
     290      518077 : Zec_h_evalx(GEN e, GEN x)
     291             : {
     292      518077 :   GEN a1 = ell_get_a1(e);
     293      518077 :   GEN a3 = ell_get_a3(e);
     294      518077 :   return signe(a1)? addii(a3, mulii(x, a1)): a3;
     295             : }
     296             : /* y^2 + a1 xy + a3 y = y^2 + h(x)y */
     297             : static GEN
     298       41982 : ec_LHS_evalQ(GEN e, GEN Q)
     299             : {
     300       41982 :   GEN x = gel(Q,1), y = gel(Q,2);
     301       41982 :   return gmul(y, gadd(y, ec_h_evalx(e,x)));
     302             : }
     303             : 
     304             : /* Given E and a point Q = [xQ, yQ], return
     305             :  *   3 * xQ^2 + 2 * E.a2 * xQ + E.a4 - E.a1 * yQ.
     306             :  * which is the derivative of the curve equation
     307             :  *   f(x) - (y^2 + h(x)y) = 0
     308             :  * wrt x evaluated at Q */
     309             : GEN
     310        2590 : ec_dFdx_evalQ(GEN E, GEN Q)
     311             : {
     312        2590 :   pari_sp av = avma;
     313        2590 :   GEN x = gel(Q,1), y = gel(Q,2);
     314        2590 :   GEN a1 = ell_get_a1(E);
     315        2590 :   GEN a2 = ell_get_a2(E);
     316        2590 :   GEN a4 = ell_get_a4(E);
     317        2590 :   GEN tmp = gmul(gadd(gmulsg(3L,x), gmul2n(a2,1)), x);
     318        2590 :   return gerepileupto(av, gadd(tmp, gsub(a4, gmul(a1, y))));
     319             : }
     320             : 
     321             : /* 2y + a1 x + a3 = -ec_dFdy_evalQ */
     322             : GEN
     323       40607 : ec_dmFdy_evalQ(GEN e, GEN Q)
     324             : {
     325       40607 :   GEN x = gel(Q,1), y = gel(Q,2);
     326       40607 :   return gadd(ec_h_evalx(e,x), gmul2n(y,1));
     327             : }
     328             : /* Given E and a point Q = [xQ, yQ], return
     329             :  *  -(2 * yQ + E.a1 * xQ + E.a3)
     330             :  * which is the derivative of the curve equation
     331             :  *  f(x) - (y^2 + h(x)y) = 0
     332             :  * wrt y evaluated at Q */
     333             : GEN
     334         532 : ec_dFdy_evalQ(GEN E, GEN Q)
     335             : {
     336         532 :   pari_sp av = avma;
     337         532 :   return gerepileupto(av, gneg(ec_dmFdy_evalQ(E,Q)));
     338             : }
     339             : 
     340             : /* Given E and a point Q = [xQ, yQ], return
     341             :  *   4 xQ^3 + E.b2 xQ^2 + 2 E.b4 xQ + E.b6
     342             :  * which is the 2-division polynomial of E evaluated at Q */
     343             : GEN
     344        1806 : ec_2divpol_evalx(GEN E, GEN x)
     345             : {
     346        1806 :   pari_sp av = avma;
     347        1806 :   GEN b2 = ell_get_b2(E), x4 = gmul2n(x,2), t1, t2;
     348        1806 :   GEN b42 = gmul2n(ell_get_b4(E), 1);
     349        1806 :   GEN b6 = ell_get_b6(E);
     350        1806 :   if (ell_get_type(E) == t_ELL_NF)
     351             :   {
     352          91 :     GEN nf = ellnf_get_nf(E);
     353          91 :     t1 = nfmul(nf, nfadd(nf, x4, b2), x);
     354          91 :     t2 = nfadd(nf, t1, b42);
     355          91 :     t2 = nfadd(nf, nfmul(nf, t2, x), b6);
     356          91 :     t2 = nftoalg(nf, t2);
     357             :   }
     358             :   else
     359             :   {
     360        1715 :     t1 = gmul(gadd(x4, b2), x);
     361        1715 :     t2 = gadd(t1, b42);
     362        1715 :     t2 = gadd(gmul(t2, x), b6);
     363             :   }
     364        1806 :   return gerepileupto(av, t2);
     365             : }
     366             : 
     367             : /* Given E and a point Q = [xQ, yQ], return
     368             :  *   3 xQ^4 + E.b2 xQ^3 + 3 E.b4 xQ^2 + 3*E.b6 xQ + E.b8
     369             :  * which is the 3-division polynomial of E evaluated at Q */
     370             : GEN
     371          14 : ec_3divpol_evalx(GEN E, GEN x)
     372             : {
     373          14 :   pari_sp av = avma;
     374          14 :   GEN b2 = ell_get_b2(E);
     375          14 :   GEN b4 = ell_get_b4(E);
     376          14 :   GEN b6 = ell_get_b6(E);
     377          14 :   GEN b8 = ell_get_b8(E);
     378          14 :   GEN x2 = gsqr(x);
     379          14 :   GEN t1 = gadd(gadd(gmulsg(3L, x2), gmul(b2, x)), gmulsg(3L, b4));
     380          14 :   GEN t2 = gadd(gmul(gmulsg(3L, b6), x), b8);
     381          14 :   return gerepileupto(av, gadd(gmul(t1, x2), t2));
     382             : }
     383             : 
     384             : /* Given E and a point Q = [xQ, yQ], return
     385             :  *   6 xQ^2 + E.b2 xQ + E.b4
     386             :  * which, if f is the curve equation, is 2 dfdx - E.a1 dfdy evaluated at Q */
     387             : GEN
     388        1519 : ec_half_deriv_2divpol_evalx(GEN E, GEN x)
     389             : {
     390        1519 :   pari_sp av = avma;
     391        1519 :   GEN b2 = ell_get_b2(E);
     392        1519 :   GEN b4 = ell_get_b4(E);
     393        1519 :   GEN res = gadd(gmul(gadd(gmulsg(6L, x), b2), x), b4);
     394        1519 :   return gerepileupto(av, res);
     395             : }
     396             : 
     397             : /* Return the characteristic of the ring over which E is defined. */
     398             : GEN
     399        2919 : ellbasechar(GEN E)
     400             : {
     401        2919 :   pari_sp av = avma;
     402        2919 :   GEN D = ell_get_disc(E);
     403        2919 :   return gerepileuptoint(av, characteristic(D));
     404             : }
     405             : 
     406             : /* Initialize basic elliptic struct y[1..12] for initsmall
     407             :  * (do not include j to allow for singular Weistrass model)
     408             :  * Also allocate room for n dynamic members. */
     409             : static GEN
     410      138496 : initsmall46(GEN a4, GEN a6, long n)
     411             : {
     412      138496 :   GEN y = obj_init(15, n);
     413      138496 :   gel(y,1) = gen_0;
     414      138496 :   gel(y,2) = gen_0;
     415      138496 :   gel(y,3) = gen_0;
     416      138496 :   gel(y,4) = a4;
     417      138496 :   gel(y,5) = a6;
     418      138496 :   gel(y,6) = gen_0;
     419      138496 :   gel(y,7) = gmul2n(a4,1);
     420      138496 :   gel(y,8) = gmul2n(a6,2);
     421      138496 :   gel(y,9) = gneg(gsqr(a4));
     422      138493 :   gel(y,10)= gmulgs(a4,-48);
     423      138496 :   gel(y,11)= gmulgs(a6,-864);
     424      138496 :   gel(y,12)= gadd(gmul(gmulgs(a4,-64), gsqr(a4)), gmulsg(-432,gsqr(a6)));
     425      138496 :   gel(y,16) = zerovec(n); return y;
     426             : }
     427             : /* [a1,a2,a3,a4,a6] */
     428             : static GEN
     429      669227 : initsmall5(GEN x, long n)
     430             : {
     431      669227 :   GEN a1 = gel(x,1), a2 = gel(x,2), a3 = gel(x,3);
     432      669227 :   GEN a4 = gel(x,4), a6 = gel(x,5);
     433             :   GEN y, b2, b4, b6, b8, c4, c6, D, a11, a13, a33, b22;
     434      669227 :   if (gequal0(a1) && gequal0(a2) && gequal0(a3)) return initsmall46(a4, a6, n);
     435      548456 :   a11= gsqr(a1);
     436      548456 :   b2 = gadd(a11, gmul2n(a2,2));
     437      548456 :   a13= gmul(a1, a3);
     438      548456 :   b4 = gadd(a13, gmul2n(a4,1));
     439      548456 :   a33= gsqr(a3);
     440      548456 :   b6 = gadd(a33, gmul2n(a6,2));
     441      548456 :   b8 = gsub(gadd(gmul(a11,a6), gmul(b6, a2)), gmul(a4, gadd(a4,a13)));
     442      548456 :   b22= gsqr(b2);
     443      548456 :   c4 = gadd(b22, gmulsg(-24,b4));
     444      548456 :   c6 = gadd(gmul(b2,gsub(gmulsg(36,b4),b22)), gmulsg(-216,b6));
     445      548456 :   D  = gsub(gmul(b4, gadd(gmulsg(9,gmul(b2,b6)),gmulsg(-8,gsqr(b4)))),
     446             :             gadd(gmul(b22,b8),gmulsg(27,gsqr(b6))));
     447      548456 :   y = obj_init(15, n);
     448      548456 :   gel(y,1) = a1;
     449      548456 :   gel(y,2) = a2;
     450      548456 :   gel(y,3) = a3;
     451      548456 :   gel(y,4) = a4;
     452      548456 :   gel(y,5) = a6;
     453      548456 :   gel(y,6) = b2; /* a1^2 + 4a2 */
     454      548456 :   gel(y,7) = b4; /* a1 a3 + 2a4 */
     455      548456 :   gel(y,8) = b6; /* a3^2 + 4 a6 */
     456      548456 :   gel(y,9) = b8; /* a1^2 a6 + 4a6 a2 + a2 a3^2 - a4(a4 + a1 a3) */
     457      548456 :   gel(y,10)= c4; /* b2^2 - 24 b4 */
     458      548456 :   gel(y,11)= c6; /* 36 b2 b4 - b2^3 - 216 b6 */
     459      548456 :   gel(y,12)= D;
     460      548456 :   gel(y,16) = zerovec(n); return y;
     461             : }
     462             : 
     463             : static GEN
     464      678943 : get_j(GEN c4, GEN D)
     465             : {
     466             :   GEN g, d, c;
     467      678943 :   if (typ(D) != t_POL || typ(c4) != t_POL || varn(D) != varn(c4))
     468      678607 :     return gdiv(gmul(gsqr(c4),c4), D);
     469             :   /* c4^3 / D, simplifying incrementally */
     470         336 :   g = RgX_gcd(D, c4);
     471         336 :   if (degpol(g) == 0) return gred_rfrac_simple(gmul(gsqr(c4),c4), D);
     472          42 :   c = RgX_div(c4, g);
     473          42 :   D = RgX_div(D, g);
     474          42 :   g = RgX_gcd(D,c4);
     475          42 :   if (degpol(g) == 0) return gred_rfrac_simple(gmul(gsqr(c4),c), D);
     476          35 :   D = RgX_div(D, g); d = RgX_div(c4, g);
     477          35 :   g = RgX_gcd(D,c4);
     478          35 :   if (degpol(g)) { D = RgX_div(D, g); c4 = RgX_div(c4, g); }
     479          35 :   return gred_rfrac_simple(gmul(gmul(c4, d),c), D);
     480             : }
     481             : 
     482             : /* return basic elliptic struct y[1..13], y[14] (domain type) and y[15]
     483             :  * (domain-specific data) are left uninitialized, from x[1], ..., x[5].
     484             :  * Also allocate room for n dynamic members (actually stored in the last
     485             :  * component y[16])*/
     486             : static GEN
     487      686930 : initsmall(GEN x, long n)
     488             : {
     489             :   GEN y, D;
     490             : 
     491      686930 :   switch(lg(x))
     492             :   {
     493         378 :     case 2: y = initsmall5(ellfromj(gel(x,1)), n); break;
     494       17724 :     case 3: y = initsmall46(gel(x,1), gel(x,2), n); break;
     495      668828 :     case 6:
     496      668828 :     case 17: y = initsmall5(x, n); break;
     497           0 :     default:
     498           0 :       pari_err_TYPE("ellxxx [not an elliptic curve (ell5)]",x);
     499             :       return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
     500             :   }
     501      686930 :   D = ell_get_disc(y); if (gequal0(D)) return NULL;
     502      678943 :   gel(y,13) = get_j(ell_get_c4(y), D); return y;
     503             : }
     504             : void
     505           0 : ellprint(GEN e)
     506             : {
     507           0 :   pari_sp av = avma;
     508             :   long vx, vy;
     509             :   GEN z;
     510           0 :   checkell5(e);
     511           0 :   vx = fetch_var(); name_var(vx, "X");
     512           0 :   vy = fetch_var(); name_var(vy, "Y"); z = mkvec2(pol_x(vx), pol_x(vy));
     513           0 :   err_printf("%Ps - (%Ps)\n", ec_LHS_evalQ(e, z), ec_f_evalx(e, pol_x(vx)));
     514           0 :   (void)delete_var();
     515           0 :   (void)delete_var(); set_avma(av);
     516           0 : }
     517             : 
     518             : /* compute a,b such that E1: y^2 = x(x-a)(x-b) ~ E */
     519             : static GEN
     520        1330 : doellR_ab(GEN E, long prec)
     521             : {
     522        1330 :   GEN b2 = ell_get_b2(E), R = ellR_roots(E, prec);
     523        1330 :   GEN e1 = gel(R,1), d2 = gel(R,5), d3 =  gel(R,6), a, b, t;
     524             : 
     525        1330 :   t = gmul2n(gadd(mulur(12,e1), b2), -4); /* = (12 e1 + b2) / 16 */
     526        1330 :   if (ellR_get_sign(E) > 0)
     527         847 :     b = mulrr(d3,d2);
     528             :   else
     529         483 :     b = cxnorm(d3);
     530        1330 :   b = sqrtr(b); /* = sqrt( (e1 - e2)(e1 - e3) ) */
     531        1330 :   if (gsigne(t) > 0) togglesign(b);
     532        1330 :   a = gsub(gmul2n(b,-1),t);
     533        1330 :   return mkvec2(a, b);
     534             : }
     535             : GEN
     536       24409 : ellR_ab(GEN E, long prec)
     537       24409 : { return obj_checkbuild_realprec(E, R_AB, &doellR_ab, prec); }
     538             : 
     539             : /* q a t_REAL*/
     540             : static long
     541          84 : real_prec(GEN q)
     542          84 : { return signe(q)? realprec(q): LONG_MAX; }
     543             : /* q a t_PADIC */
     544             : static long
     545         245 : padic_prec(GEN q)
     546         245 : { return signe(gel(q,4))? precp(q)+valp(q): valp(q); }
     547             : 
     548             : /* check whether moduli are consistent */
     549             : static void
     550       97480 : chk_p(GEN p, GEN p2)
     551       97480 : { if (!equalii(p, p2)) pari_err_MODULUS("ellinit", p,p2); }
     552             : 
     553             : static int
     554       36540 : fix_nftype(GEN *pp)
     555             : {
     556       36540 :   switch(nftyp(*pp))
     557             :   {
     558       36540 :     case typ_NF: case typ_BNF: break;
     559           0 :     case typ_BNR:*pp = bnr_get_bnf(*pp); break;
     560           0 :     default: return 0;
     561             :   }
     562       36540 :   return 1;
     563             : }
     564             : static long
     565      716989 : base_ring(GEN x, GEN *pp, long *prec)
     566             : {
     567      716989 :   long i, e = *prec, ep = LONG_MAX, imax = minss(lg(x), 6);
     568      716989 :   GEN p = NULL;
     569      716989 :   long t = t_FRAC;
     570      716989 :   if (*pp) switch(t = typ(*pp))
     571             :   {
     572      491141 :     case t_INT:
     573      491141 :       if (cmpis(*pp,2) < 0) { t = t_FRAC; p = NULL; break; }
     574        2002 :       p = *pp;
     575        2002 :       t = t_INTMOD;
     576        2002 :       break;
     577         665 :     case t_INTMOD:
     578         665 :       p = gel(*pp, 1);
     579         665 :       break;
     580          28 :     case t_REAL:
     581          28 :       e = real_prec(*pp);
     582          28 :       p = NULL;
     583          28 :       break;
     584         224 :     case t_PADIC:
     585         224 :       ep = padic_prec(*pp);
     586         224 :       p = gel(*pp, 2);
     587         224 :       break;
     588        1610 :     case t_FFELT:
     589        1610 :       p = *pp;
     590        1610 :       break;
     591       36540 :     case t_VEC:
     592       36540 :       t = t_VEC; p = *pp;
     593       36540 :       if (fix_nftype(&p)) break;
     594             :     default:
     595           7 :       pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", *pp);
     596           0 :       return 0;
     597             :   }
     598             :   /* Possible cases:
     599             :    * t = t_VEC (p an nf or bnf)
     600             :    * t = t_FFELT (p t_FFELT)
     601             :    * t = t_INTMOD (p a prime)
     602             :    * t = t_PADIC (p a prime, ep = padic prec)
     603             :    * t = t_REAL (p = NULL, e = real prec)
     604             :    * t = t_FRAC (p = NULL) */
     605     4107739 :   for (i = 1; i < imax; i++)
     606             :   {
     607     3393349 :     GEN p2, q = gel(x,i);
     608     3393349 :     switch(typ(q)) {
     609          42 :       case t_PADIC:
     610          42 :         p2 = gel(q,2);
     611             :         switch(t)
     612             :         {
     613          21 :           case t_FRAC:  t = t_PADIC; p = p2; break;
     614           7 :           case t_PADIC: chk_p(p,p2); break;
     615          14 :           default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
     616             :         }
     617          21 :         ep = minss(ep, padic_prec(q));
     618          21 :         break;
     619      121890 :       case t_INTMOD:
     620      121890 :         p2 = gel(q,1);
     621             :         switch(t)
     622             :         {
     623       24431 :           case t_FRAC:  t = t_INTMOD; p = p2; break;
     624          49 :           case t_FFELT: chk_p(FF_p_i(p),p2); break;
     625       97396 :           case t_INTMOD:chk_p(p,p2); break;
     626          14 :           default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
     627             :         }
     628      121874 :         break;
     629      222431 :       case t_FFELT:
     630             :         switch(t)
     631             :         {
     632          14 :           case t_INTMOD: chk_p(p, FF_p_i(q)); /* fall through */
     633      112279 :           case t_FRAC:   t = t_FFELT; p = q; break;
     634      110145 :           case t_FFELT:
     635      110145 :             if (!FF_samefield(p,q) && FF_f(q)>1) pari_err_MODULUS("ellinit", p,q);
     636      110145 :             break;
     637           0 :           default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
     638             :         }
     639      222424 :         break;
     640             : 
     641     3045101 :       case t_INT: case t_FRAC: break;
     642          56 :       case t_REAL:
     643             :         switch(t)
     644             :         {
     645          35 :           case t_REAL: e = minss(e, real_prec(q)); break;
     646          21 :           case t_FRAC: e = real_prec(q); t = t_REAL; break;
     647           0 :           default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
     648             :         }
     649          56 :         break;
     650        3815 :       case t_COL:
     651             :       case t_POL:
     652             :       case t_POLMOD:
     653        3815 :         if (t == t_VEC) break;
     654             :       default: /* base ring too general */
     655        2548 :         return t_COMPLEX;
     656             :     }
     657             :   }
     658      714390 :   *pp = p; *prec = (t == t_PADIC)? ep: e; return t;
     659             : }
     660             : 
     661             : /* s = 0 complex, else real;
     662             :  * if (s = 2) set s = sign(D), else accept s as is */
     663             : static GEN
     664        6027 : ellinit_Rg(GEN x, long s, long prec)
     665             : {
     666             :   GEN y;
     667        6027 :   if (lg(x) > 6) switch(ell_get_type(x))
     668             :   {
     669           7 :     case t_ELL_Rg:
     670           7 :     case t_ELL_Q: break;
     671           7 :     default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
     672             :   }
     673        6020 :   if (!(y = initsmall(x, 4))) return NULL;
     674        6020 :   if (s == 2) s = gsigne(ell_get_disc(y));
     675        6020 :   gel(y,14) = mkvecsmall(t_ELL_Rg);
     676        6020 :   gel(y,15) = mkvec(mkvecsmall2(prec2nbits(prec), s));
     677        6020 :   return y;
     678             : }
     679             : 
     680             : static GEN
     681         196 : ellinit_Qp(GEN x, GEN p, long prec)
     682             : {
     683             :   GEN y;
     684         196 :   if (lg(x) > 6)
     685             :   {
     686          28 :     switch(ell_get_type(x))
     687             :     { /* sanity checks */
     688          21 :       case t_ELL_Q: break;
     689           7 :       case t_ELL_Qp: chk_p(ellQp_get_p(x), p); break;
     690           0 :       default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
     691             :     }
     692          21 :     x = vecslice(x,1,5);
     693             :   }
     694         189 :   x = QpV_to_QV(x); /* make entries rational */
     695         189 :   if (!(y = initsmall(x, 2))) return NULL;
     696         189 :   gel(y,14) = mkvecsmall(t_ELL_Qp);
     697         189 :   gel(y,15) = mkvec(zeropadic(p, prec));
     698         189 :   return y;
     699             : }
     700             : 
     701             : static GEN
     702      499268 : ellinit_Q(GEN x, long prec)
     703             : {
     704             :   GEN y;
     705             :   long s;
     706      499268 :   if (!(y = initsmall(x, 8))) return NULL;
     707      499135 :   s = gsigne( ell_get_disc(y) );
     708      499135 :   gel(y,14) = mkvecsmall(t_ELL_Q);
     709      499135 :   gel(y,15) = mkvec(mkvecsmall2(prec2nbits(prec), s));
     710      499135 :   return y;
     711             : }
     712             : 
     713             : static GEN
     714       37128 : nfVtoalg(GEN nf, GEN x)
     715             : {
     716             :   long i, l;
     717       37128 :   GEN y = cgetg_copy(x,&l);
     718      221487 :   for (i=1; i<l; i++) gel(y,i) = nftoalg(nf,gel(x,i));
     719       37128 :   return y;
     720             : }
     721             : 
     722             : static GEN
     723       37114 : ellinit_nf(GEN x, GEN p)
     724             : {
     725             :   GEN y, nf;
     726       37114 :   if (lg(x) > 6) x = vecslice(x,1,5);
     727       37114 :   nf = checknf(p);
     728       37114 :   x = nfVtoalg(nf, x);
     729       37114 :   if (!(y = initsmall(x, 5))) return NULL;
     730       37114 :   gel(y,14) = mkvecsmall(t_ELL_NF);
     731       37114 :   gel(y,15) = mkvec(p);
     732       37114 :   return y;
     733             : }
     734             : 
     735             : /* FF_ellinit allows singular cubic, return NULL in that case */
     736             : static GEN
     737      113854 : FF_ellinit_ns(GEN x, GEN fg)
     738             : {
     739      113854 :   x = FF_ellinit(x,fg);
     740      113854 :   return FF_equal0(ell_get_disc(x))? NULL: x;
     741             : }
     742             : 
     743             : static GEN
     744      294206 : to_mod(GEN x, GEN p) { return mkintmod(Rg_to_Fp(x,p), p); }
     745             : static GEN
     746       30359 : ellinit_Fp(GEN x, GEN p)
     747             : {
     748             :   long i;
     749             :   GEN y, disc;
     750       30359 :   if (lg(x) > 6) switch(ell_get_type(x))
     751             :   {
     752        2429 :     case t_ELL_Q: break;
     753           0 :     case t_ELL_Fp: chk_p(ellff_get_p(x),p); break;
     754           7 :     case t_ELL_Qp: chk_p(ellQp_get_p(x),p); break;
     755           0 :     default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
     756             :   }
     757       30352 :   if (lg(x) == 2) x = ellfromj(to_mod(gel(x,1), p));
     758       30352 :   if (!(y = initsmall(x, 4))) return NULL;
     759             :   /* ell_to_a4a6_bc does not handle p<=3 */
     760       25410 :   if (abscmpiu(p, 3) <= 0) return FF_ellinit_ns(y,p_to_FF(p,0));
     761       22631 :   disc = Rg_to_Fp(ell_get_disc(y),p);
     762       22631 :   if (!signe(disc)) return NULL;
     763      316733 :   for(i = 1; i <= 13; i++) gel(y,i) = to_mod(gel(y,i),p);
     764       22625 :   gel(y,14) = mkvecsmall(t_ELL_Fp);
     765       22625 :   gel(y,15) = mkvec2(p, ell_to_a4a6_bc(y, p));
     766       22624 :   return y;
     767             : }
     768             : 
     769             : static GEN
     770      113987 : ellinit_Fq(GEN x, GEN fg)
     771             : {
     772             :   GEN y;
     773      113987 :   if (lg(x) == 2)
     774             :   {
     775       33404 :     GEN j = gel(x,1);
     776       33404 :     if (typ(j) != t_FFELT) j = Fq_to_FF(j, fg);
     777       33404 :     x = ellfromj(j);
     778             :   }
     779      113987 :   if (!(y = initsmall(x, 4))) return NULL;
     780      111075 :   return FF_ellinit_ns(y,fg);
     781             : }
     782             : 
     783             : static GEN
     784        3535 : ellnf_to_Fq(GEN nf, GEN x, GEN P, GEN *pp, GEN *pT)
     785             : {
     786        3535 :   GEN e = vecslice(x,1,5);
     787             :   GEN p, modP;
     788        3535 :   if (get_modpr(P))
     789             :   { /* modpr accept */
     790        3234 :     modP = P;
     791        3234 :     p = modpr_get_p(modP);
     792             :   }
     793             :   else
     794             :   { /* pr, initialize modpr */
     795         301 :     GEN d = Q_denom(e);
     796         301 :     p = pr_get_p(P);
     797         301 :     modP = dvdii(d,p)? nfmodprinit(nf,P): zkmodprinit(nf,P);
     798             :   }
     799        3535 :   *pp = p;
     800        3535 :   *pT = modpr_get_T(modP);
     801        3535 :   return nfV_to_FqV(e, nf, modP);
     802             : }
     803             : static GEN
     804        3514 : ellinit_nf_to_Fq(GEN nf, GEN E, GEN P)
     805             : {
     806             :   GEN T,p;
     807        3514 :   E = ellnf_to_Fq(nf, E, P, &p, &T);
     808        3514 :   return T? ellinit_Fq(E,Tp_to_FF(T,p)): ellinit_Fp(E,p);
     809             : }
     810             : 
     811             : static GEN
     812      682521 : ellinit_i(GEN x, GEN D, long prec)
     813             : {
     814             :   GEN y;
     815             : 
     816      682521 :   switch(typ(x))
     817             :   {
     818           7 :     case t_STR: x = gel(ellsearchcurve(x),2); break;
     819      682514 :     case t_VEC:
     820      682514 :       switch(lg(x))
     821             :       {
     822      682507 :         case 2: case 3: case 6: case 17: break;
     823           7 :         default: pari_err_TYPE("ellinit",x);
     824             :       }
     825      682507 :       break;
     826           0 :     default: pari_err_TYPE("ellinit",x);
     827             :   }
     828      682514 :   if (D && get_prid(D))
     829             :   {
     830        3052 :     if (lg(x) == 6 || ell_get_type(x) != t_ELL_NF) pari_err_TYPE("ellinit",x);
     831        3052 :     return ellinit_nf_to_Fq(ellnf_get_nf(x), x, D);
     832             :   }
     833      679462 :   switch (base_ring(x, &D, &prec))
     834             :   {
     835         196 :   case t_PADIC:
     836         196 :     y = ellinit_Qp(x, D, prec);
     837         189 :     break;
     838       27069 :   case t_INTMOD:
     839       27069 :     y = ellinit_Fp(x, D);
     840       27062 :     break;
     841      113763 :   case t_FFELT:
     842      113763 :     y = ellinit_Fq(x, D);
     843      113763 :     break;
     844      499268 :   case t_FRAC:
     845      499268 :     y = ellinit_Q(x, prec);
     846      499268 :     break;
     847          28 :   case t_REAL:
     848          28 :     y = ellinit_Rg(x, 2, prec);
     849          21 :     break;
     850       36540 :   case t_VEC:
     851       36540 :     y = ellinit_nf(x, D);
     852       36540 :     break;
     853        2548 :   default:
     854        2548 :     y = ellinit_Rg(x, 0, prec);
     855             :   }
     856      679391 :   return y;
     857             : }
     858             : GEN
     859      654318 : ellinit(GEN x, GEN D, long prec)
     860             : {
     861      654318 :   pari_sp av = avma;
     862      654318 :   GEN y = ellinit_i(x, D, prec);
     863      654240 :   if (!y) { set_avma(av); return cgetg(1,t_VEC); }
     864      646239 :   return gerepilecopy(av,y);
     865             : }
     866             : 
     867             : /********************************************************************/
     868             : /**                                                                **/
     869             : /**                     COORDINATE CHANGE                          **/
     870             : /**  Apply [u,r,s,t]. All coordch_* functions update E[1..14] only **/
     871             : /**  and copy E[15] (type-specific data), E[16] (dynamic data)     **/
     872             : /**  verbatim                                                      **/
     873             : /**                                                                **/
     874             : /********************************************************************/
     875             : /* [1,0,0,0] */
     876             : static GEN
     877     2568489 : init_ch(void) { return mkvec4(gen_1,gen_0,gen_0,gen_0); }
     878             : static int
     879      458388 : is_trivial_change(GEN v)
     880             : {
     881             :   GEN u, r, s, t;
     882      458388 :   if (typ(v) == t_INT) return 1;
     883      458388 :   u = gel(v,1); r = gel(v,2); s = gel(v,3); t = gel(v,4);
     884      458388 :   return isint1(u) && isintzero(r) && isintzero(s) && isintzero(t);
     885             : }
     886             : 
     887             : /* Accumulate the effects of variable changes w o v, where
     888             :  * w = [u,r,s,t], *vtotal = v = [U,R,S,T]. No assumption on types */
     889             : static void
     890        1575 : gcomposev(GEN *vtotal, GEN w)
     891             : {
     892        1575 :   GEN v = *vtotal;
     893             :   GEN U2, U, R, S, T, u, r, s, t;
     894             : 
     895        1575 :   if (!v || typ(v) == t_INT) { *vtotal = w; return; }
     896        1001 :   U = gel(v,1); R = gel(v,2); S = gel(v,3); T = gel(v,4);
     897        1001 :   u = gel(w,1); r = gel(w,2); s = gel(w,3); t = gel(w,4);
     898        1001 :   U2 = NULL;
     899        1001 :   if (!gequal0(r))
     900             :   {
     901             :     GEN rU2;
     902         777 :     U2 = gsqr(U); rU2 = gmul(U2, r);
     903         777 :     R = gadd(R, rU2);
     904         777 :     T = gadd(T, gmul(S, rU2));
     905             :   }
     906        1001 :   if (!gequal0(s)) S = gadd(S, gmul(U, s));
     907        1001 :   if (!gequal0(t))
     908             :   {
     909         623 :     if (!U2) U2 = gsqr(U);
     910         623 :     T = gadd(T, gmul(gmul(U,U2), t));
     911             :   }
     912        1001 :   gel(v,1) = gmul(U, u);
     913        1001 :   gel(v,2) = R;
     914        1001 :   gel(v,3) = S;
     915        1001 :   gel(v,4) = T;
     916             : }
     917             : 
     918             : /* [u,r,s,t]^-1 = [ 1/u,-r/u^2,-s/u, (rs-t)/u^3 ] */
     919             : GEN
     920          28 : ellchangeinvert(GEN w)
     921             : {
     922             :   GEN u,r,s,t, u2,u3, U,R,S,T;
     923          28 :   if (typ(w) == t_INT) return w;
     924          28 :   u = gel(w,1);
     925          28 :   r = gel(w,2);
     926          28 :   s = gel(w,3);
     927          28 :   t = gel(w,4);
     928          28 :   u2 = gsqr(u); u3 = gmul(u2,u);
     929          28 :   U = ginv(u);
     930          28 :   R = gdiv(gneg(r), u2);
     931          28 :   S = gdiv(gneg(s), u);
     932          28 :   T = gdiv(gsub(gmul(r,s), t), u3);
     933          28 :   return mkvec4(U,R,S,T);
     934             : }
     935             : 
     936             : static GEN
     937       99435 : ell_to_nfell10(GEN e)
     938             : {
     939             :   long i;
     940       99435 :   GEN nf = ellnf_get_nf(e);
     941       99435 :   GEN y = cgetg(11,t_VEC);
     942     1093785 :   for(i=1; i<=10; i++)
     943      994350 :     gel(y, i) = nf_to_scalar_or_basis(nf, gel(e, i));
     944       99435 :   return y;
     945             : }
     946             : 
     947             : /* apply [u^(-1),0,0,0] */
     948             : static GEN
     949      153594 : nf_coordch_uinv(GEN nf, GEN e, GEN u)
     950             : {
     951             :   GEN y, u2, u3, u4, u6, u8;
     952             :   long lx;
     953      153594 :   if (gequal1(u)) return e;
     954      153139 :   y = cgetg_copy(e, &lx);
     955      153139 :   u2 = nfsqr(nf,u); u3 = nfmul(nf,u,u2); u4 = nfsqr(nf,u2);
     956      153139 :   u6 = nfsqr(nf,u3); u8 = nfsqr(nf,u4);
     957      153139 :   gel(y,1) = nfmul(nf,ell_get_a1(e),  u);
     958      153139 :   gel(y,2) = nfmul(nf,ell_get_a2(e), u2);
     959      153139 :   gel(y,3) = nfmul(nf,ell_get_a3(e), u3);
     960      153139 :   gel(y,4) = nfmul(nf,ell_get_a4(e), u4);
     961      153139 :   gel(y,5) = nfmul(nf,ell_get_a6(e), u6);
     962      153139 :   if (lx == 6) return y;
     963      153132 :   gel(y,6) = nfmul(nf,ell_get_b2(e), u2);
     964      153132 :   gel(y,7) = nfmul(nf,ell_get_b4(e), u4);
     965      153132 :   gel(y,8) = nfmul(nf,ell_get_b6(e), u6);
     966      153132 :   gel(y,9) = nfmul(nf,ell_get_b8(e), u8);
     967      153132 :   return y;
     968             : }
     969             : /* apply [1,r,0,0] */
     970             : static GEN
     971      267372 : nf_coordch_r(GEN nf, GEN e, GEN r)
     972             : {
     973             :   GEN a2, a4, b4, b6, y, p1, r2, b2r, rx3;
     974             :   long lx;
     975      267372 :   if (gequal0(r)) return e;
     976      239057 :   y = cgetg_copy(e, &lx);
     977      239057 :   a2 = ell_get_a2(e); a4 = ell_get_a4(e);
     978      239057 :   rx3 = gmulsg(3,r);
     979             : 
     980      239057 :   gel(y,1) = ell_get_a1(e);
     981             :   /* A2 = a2 + 3r */
     982      239057 :   gel(y,2) = nfadd(nf,a2,rx3);
     983             :   /* A3 = a1 r + a3 */
     984      239057 :   gel(y,3) = nfadd(nf,ell_get_a3(e), nfmul(nf,ell_get_a1(e),r));
     985             :   /* A4 = 3r^2 + 2a2 r + a4 */
     986      239057 :   gel(y,4) = nfadd(nf,a4, nfmul(nf,r,nfadd(nf,gmul2n(a2,1),rx3)));
     987             :   /* A6 = r^3 + a2 r^2 + a4 r + a6 */
     988      239057 :   gel(y,5) = nfadd(nf,ell_get_a6(e),nfmul(nf,r,nfadd(nf, a4, nfmul(nf,r,nfadd(nf,a2, r)))));
     989      239057 :   if (lx == 6) return y;
     990             : 
     991      239050 :   b4 = ell_get_b4(e);
     992      239050 :   b6 = ell_get_b6(e);
     993             :   /* B2 = 12r + b2 */
     994      239050 :   gel(y,6) = nfadd(nf,ell_get_b2(e),gmul2n(rx3,2));
     995      239050 :   b2r = nfmul(nf,r, ell_get_b2(e));
     996      239050 :   r2 = nfsqr(nf,r);
     997             :   /* B4 = 6r^2 + b2 r + b4 */
     998      239050 :   gel(y,7) = nfadd(nf,b4,nfadd(nf,b2r, gmulsg(6,r2)));
     999             :   /* B6 = 4r^3 + 2b2 r^2 + 2b4 r + b6 */
    1000      239050 :   gel(y,8) = nfadd(nf,b6,nfmul(nf,r,nfadd(nf,gmul2n(b4,1), nfadd(nf,b2r,gmul2n(r2,2)))));
    1001             :   /* B8 = 3r^4 + b2 r^3 + 3b4 r^2 + 3b6 r + b8 */
    1002      239050 :   p1 = nfadd(nf,gmulsg(3,b4),nfadd(nf,b2r, gmulsg(3,r2)));
    1003      239050 :   gel(y,9) = nfadd(nf,ell_get_b8(e), nfmul(nf,r,nfadd(nf,gmulsg(3,b6), nfmul(nf,r,p1))));
    1004      239050 :   return y;
    1005             : }
    1006             : 
    1007             : static GEN
    1008      109564 : nf_coordch_s(GEN nf, GEN e, GEN s)
    1009             : {
    1010             :   GEN a1, y;
    1011      109564 :   if (gequal0(s)) return e;
    1012      109564 :   a1 = ell_get_a1(e);
    1013      109564 :   y = leafcopy(e);
    1014             : 
    1015             :   /* A1 = a1 + 2s */
    1016      109564 :   gel(y,1) = nfadd(nf,a1,gmul2n(s,1));
    1017             :   /* A2 = a2 - (a1 s + s^2) */
    1018      109564 :   gel(y,2) = nfsub(nf,ell_get_a2(e),nfmul(nf,s,nfadd(nf,a1,s)));
    1019             :   /* A4 = a4 - s a3 */
    1020      109564 :   gel(y,4) = nfsub(nf,ell_get_a4(e),nfmul(nf,s,ell_get_a3(e)));
    1021      109564 :   return y;
    1022             : }
    1023             : /* apply [1,0,0,t] */
    1024             : static GEN
    1025      251818 : nf_coordch_t(GEN nf, GEN e, GEN t)
    1026             : {
    1027             :   GEN a1, a3, y;
    1028      251818 :   if (gequal0(t)) return e;
    1029      251356 :   a1 = ell_get_a1(e); a3 = ell_get_a3(e);
    1030      251356 :   y = leafcopy(e);
    1031             :   /* A3 = 2t + a3 */
    1032      251356 :   gel(y,3) = nfadd(nf,a3, gmul2n(t,1));
    1033             :   /* A4 = a4 - a1 t */
    1034      251356 :   gel(y,4) = nfsub(nf,ell_get_a4(e), nfmul(nf,t,a1));
    1035             :   /* A6 = a6 - t(t + a3) */
    1036      251356 :   gel(y,5) = nfsub(nf,ell_get_a6(e), nfmul(nf,t,nfadd(nf,t, a3)));
    1037      251356 :   return y;
    1038             : }
    1039             : 
    1040             : /* apply [1,0,s,t] */
    1041             : static GEN
    1042       12985 : nf_coordch_st(GEN nf, GEN e, GEN s, GEN t)
    1043             : {
    1044             :   GEN y, a1, a3;
    1045       12985 :   if (gequal0(s)) return nf_coordch_t(nf, e, t);
    1046       12523 :   if (gequal0(t)) return nf_coordch_s(nf, e, s);
    1047       12523 :   a1 = ell_get_a1(e); a3 = ell_get_a3(e);
    1048       12523 :   y = leafcopy(e);
    1049             :   /* A1 = a1 + 2s */
    1050       12523 :   gel(y,1) = nfadd(nf,a1,gmul2n(s,1));
    1051             :   /* A2 = a2 - (a1 s + s^2) */
    1052       12523 :   gel(y,2) = nfsub(nf,ell_get_a2(e),nfmul(nf,s,nfadd(nf,a1,s)));
    1053             :   /* A3 = 2t + a3 */
    1054       12523 :   gel(y,3) = nfadd(nf,a3,gmul2n(t,1));
    1055             :   /* A4 = a4 - (a1 t + s (2t + a3)) */
    1056       12523 :   gel(y,4) = nfsub(nf,ell_get_a4(e),nfadd(nf,nfmul(nf,t,a1),nfmul(nf,s,gel(y,3))));
    1057             :   /* A6 = a6 - t(t + a3) */
    1058       12523 :   gel(y,5) = nfsub(nf,ell_get_a6(e), nfmul(nf,t,nfadd(nf,t, a3)));
    1059       12523 :   return y;
    1060             : }
    1061             : 
    1062             : static GEN
    1063      171066 : nf_coordch_rt(GEN nf, GEN e, GEN r, GEN t)
    1064             : {
    1065      171066 :   e = nf_coordch_r(nf, e, r);
    1066      171066 :   return nf_coordch_t(nf, e, t);
    1067             : }
    1068             : 
    1069             : /* apply [1,r,s,t] */
    1070             : static GEN
    1071         462 : nf_coordch_rst(GEN nf, GEN e, GEN r, GEN s, GEN t)
    1072             : {
    1073         462 :   e = nf_coordch_r(nf, e, r);
    1074         462 :   return nf_coordch_st(nf, e, s, t);
    1075             : }
    1076             : /* apply w = [u,r,s,t] */
    1077             : static GEN
    1078         462 : nf_coordch(GEN nf, GEN e, GEN w)
    1079             : {
    1080         462 :   if (typ(w) == t_INT) return e;
    1081         462 :   e = nf_coordch_rst(nf, e, gel(w,2), gel(w,3), gel(w,4));
    1082         462 :   return nf_coordch_uinv(nf, e, nfinv(nf, gel(w,1)));
    1083             : }
    1084             : 
    1085             : /* apply [u^(-1),0,0,0] */
    1086             : static GEN
    1087       74347 : coordch_uinv(GEN e, GEN u)
    1088             : {
    1089             :   GEN y, u2, u3, u4, u6, u12, D, c4, c6;
    1090             :   long lx;
    1091       74347 :   if (gequal1(u)) return e;
    1092       73955 :   y = cgetg_copy(e, &lx);
    1093       73955 :   u2 = gsqr(u); u3 = gmul(u,u2); u4 = gsqr(u2); u6 = gsqr(u3);
    1094       73955 :   gel(y,1) = gmul(ell_get_a1(e),  u);
    1095       73955 :   gel(y,2) = gmul(ell_get_a2(e), u2);
    1096       73955 :   gel(y,3) = gmul(ell_get_a3(e), u3);
    1097       73955 :   gel(y,4) = gmul(ell_get_a4(e), u4);
    1098       73955 :   gel(y,5) = gmul(ell_get_a6(e), u6);
    1099       73955 :   if (lx == 6) return y;
    1100       73955 :   gel(y,6) = gmul(ell_get_b2(e), u2);
    1101       73955 :   gel(y,7) = gmul(ell_get_b4(e), u4);
    1102       73955 :   gel(y,8) = gmul(ell_get_b6(e), u6);
    1103       73955 :   gel(y,9) = gmul(ell_get_b8(e), gsqr(u4));
    1104       73955 :   u12 = gsqr(u6);
    1105       73955 :   D = ell_get_disc(e);
    1106       73955 :   c4 = ell_get_c4(e);
    1107       73955 :   c6 = ell_get_c6(e);
    1108       73955 :   c4 = gmul(c4, u4);
    1109       73955 :   c6 = gmul(c6, u6);
    1110       73955 :   D = gmul(D, u12);
    1111       73955 :   gel(y,10)= c4;
    1112       73955 :   gel(y,11)= c6;
    1113       73955 :   gel(y,12)= D;
    1114       73955 :   gel(y,13)= ell_get_j(e);
    1115       73955 :   gel(y,14)= gel(e,14);
    1116       73955 :   gel(y,15)= gel(e,15);
    1117       73955 :   gel(y,16)= gel(e,16);
    1118       73955 :   return y;
    1119             : }
    1120             : /* apply [1,r,0,0] */
    1121             : static GEN
    1122      611877 : coordch_r(GEN e, GEN r)
    1123             : {
    1124             :   GEN a2, b4, b6, y, p1, r2, b2r, rx3;
    1125      611877 :   if (gequal0(r)) return e;
    1126      511861 :   y = leafcopy(e);
    1127      511861 :   a2 = ell_get_a2(e);
    1128      511861 :   rx3 = gmulsg(3,r);
    1129             : 
    1130             :   /* A2 = a2 + 3r */
    1131      511861 :   gel(y,2) = gadd(a2,rx3);
    1132             :   /* A3 = a1 r + a3 */
    1133      511861 :   gel(y,3) = ec_h_evalx(e,r);
    1134             :   /* A4 = 3r^2 + 2a2 r + a4 */
    1135      511861 :   gel(y,4) = gadd(ell_get_a4(e), gmul(r,gadd(gmul2n(a2,1),rx3)));
    1136             :   /* A6 = r^3 + a2 r^2 + a4 r + a6 */
    1137      511861 :   gel(y,5) = ec_f_evalx(e,r);
    1138      511861 :   if (lg(y) == 6) return y;
    1139             : 
    1140      511854 :   b4 = ell_get_b4(e);
    1141      511854 :   b6 = ell_get_b6(e);
    1142             :   /* B2 = 12r + b2 */
    1143      511854 :   gel(y,6) = gadd(ell_get_b2(e),gmul2n(rx3,2));
    1144      511854 :   b2r = gmul(r, ell_get_b2(e));
    1145      511854 :   r2 = gsqr(r);
    1146             :   /* B4 = 6r^2 + b2 r + b4 */
    1147      511854 :   gel(y,7) = gadd(b4,gadd(b2r, gmulsg(6,r2)));
    1148             :   /* B6 = 4r^3 + 2b2 r^2 + 2b4 r + b6 */
    1149      511854 :   gel(y,8) = gadd(b6,gmul(r,gadd(gmul2n(b4,1), gadd(b2r,gmul2n(r2,2)))));
    1150             :   /* B8 = 3r^4 + b2 r^3 + 3b4 r^2 + 3b6 r + b8 */
    1151      511854 :   p1 = gadd(gmulsg(3,b4),gadd(b2r, gmulsg(3,r2)));
    1152      511854 :   gel(y,9) = gadd(ell_get_b8(e), gmul(r,gadd(gmulsg(3,b6), gmul(r,p1))));
    1153      511854 :   return y;
    1154             : }
    1155             : /* apply [1,0,s,0] */
    1156             : static GEN
    1157      118370 : coordch_s(GEN e, GEN s)
    1158             : {
    1159             :   GEN a1, y;
    1160      118370 :   if (gequal0(s)) return e;
    1161      118370 :   a1 = ell_get_a1(e);
    1162      118370 :   y = leafcopy(e);
    1163             : 
    1164             :   /* A1 = a1 + 2s */
    1165      118370 :   gel(y,1) = gadd(a1,gmul2n(s,1));
    1166             :   /* A2 = a2 - (a1 s + s^2) */
    1167      118370 :   gel(y,2) = gsub(ell_get_a2(e),gmul(s,gadd(a1,s)));
    1168             :   /* A4 = a4 - s a3 */
    1169      118370 :   gel(y,4) = gsub(ell_get_a4(e),gmul(s,ell_get_a3(e)));
    1170      118370 :   return y;
    1171             : }
    1172             : /* apply [1,0,0,t] */
    1173             : static GEN
    1174      345156 : coordch_t(GEN e, GEN t)
    1175             : {
    1176             :   GEN a1, a3, y;
    1177      345156 :   if (gequal0(t)) return e;
    1178      275184 :   a1 = ell_get_a1(e); a3 = ell_get_a3(e);
    1179      275184 :   y = leafcopy(e);
    1180             :   /* A3 = 2t + a3 */
    1181      275184 :   gel(y,3) = gadd(a3, gmul2n(t,1));
    1182             :   /* A4 = a4 - a1 t */
    1183      275184 :   gel(y,4) = gsub(ell_get_a4(e), gmul(t,a1));
    1184             :   /* A6 = a6 - t(t + a3) */
    1185      275184 :   gel(y,5) = gsub(ell_get_a6(e), gmul(t,gadd(t, a3)));
    1186      275184 :   return y;
    1187             : }
    1188             : /* apply [1,0,s,t] */
    1189             : static GEN
    1190      348173 : coordch_st(GEN e, GEN s, GEN t)
    1191             : {
    1192             :   GEN y, a1, a3;
    1193      348173 :   if (gequal0(s)) return coordch_t(e, t);
    1194      246533 :   if (gequal0(t)) return coordch_s(e, s);
    1195      128163 :   a1 = ell_get_a1(e); a3 = ell_get_a3(e);
    1196      128163 :   y = leafcopy(e);
    1197             :   /* A1 = a1 + 2s */
    1198      128163 :   gel(y,1) = gadd(a1,gmul2n(s,1));
    1199             :   /* A2 = a2 - (a1 s + s^2) */
    1200      128163 :   gel(y,2) = gsub(ell_get_a2(e),gmul(s,gadd(a1,s)));
    1201             :   /* A3 = 2t + a3 */
    1202      128163 :   gel(y,3) = gadd(a3,gmul2n(t,1));
    1203             :   /* A4 = a4 - (a1 t + s (2t + a3)) */
    1204      128163 :   gel(y,4) = gsub(ell_get_a4(e),gadd(gmul(t,a1),gmul(s,gel(y,3))));
    1205             :   /* A6 = a6 - t(t + a3) */
    1206      128163 :   gel(y,5) = gsub(ell_get_a6(e), gmul(t,gadd(t, a3)));
    1207      128163 :   return y;
    1208             : }
    1209             : /* apply [1,r,s,t] */
    1210             : static GEN
    1211      348173 : coordch_rst(GEN e, GEN r, GEN s, GEN t)
    1212             : {
    1213      348173 :   e = coordch_r(e, r);
    1214      348173 :   return coordch_st(e, s, t);
    1215             : }
    1216             : /* apply w = [u,r,s,t] */
    1217             : static GEN
    1218       72821 : coordch(GEN e, GEN w)
    1219             : {
    1220       72821 :   if (typ(w) == t_INT) return e;
    1221       72821 :   e = coordch_rst(e, gel(w,2), gel(w,3), gel(w,4));
    1222       72821 :   return coordch_uinv(e, ginv(gel(w,1)));
    1223             : }
    1224             : 
    1225             : /* the ch_* routines update E[14] (type), E[15] (type specific data), E[16]
    1226             :  * (dynamic data) */
    1227             : static GEN
    1228          35 : ch_Qp(GEN E, GEN e, GEN w)
    1229             : {
    1230          35 :   GEN S, p = ellQp_get_zero(E), u2 = NULL, u = gel(w,1), r = gel(w,2);
    1231          35 :   long prec = valp(p);
    1232          35 :   if (base_ring(E, &p, &prec) != t_PADIC) return ellinit(E, p, prec);
    1233          35 :   if ((S = obj_check(e, Qp_ROOT)))
    1234             :   {
    1235           7 :     if (!u2) u2 = gsqr(u);
    1236           7 :     obj_insert_shallow(E, Qp_ROOT, gdiv(gsub(S, r), u2));
    1237             :   }
    1238          35 :   if ((S = obj_check(e, Qp_TATE)))
    1239             :   {
    1240           7 :     GEN U2 = gel(S,1), U = gel(S,2), Q = gel(S,3), AB = gel(S,4), L = gel(S,5);
    1241           7 :     if (!u2) u2 = gsqr(u);
    1242           7 :     U2 = gmul(U2, u2);
    1243           7 :     U = gmul(U, u);
    1244           7 :     AB = gdiv(AB, u2);
    1245           7 :     obj_insert_shallow(E, Qp_TATE, mkvec5(U2,U,Q,AB,L));
    1246             :   }
    1247          35 :   return E;
    1248             : }
    1249             : 
    1250             : /* common to Q and Rg */
    1251             : static GEN
    1252       37359 : ch_R(GEN E, GEN e, GEN w)
    1253             : {
    1254       37359 :   GEN S, u = gel(w,1), r = gel(w,2);
    1255       37359 :   if ((S = obj_check(e, R_PERIODS)))
    1256          28 :     obj_insert_shallow(E, R_PERIODS, gmul(S, u));
    1257       37359 :   if ((S = obj_check(e, R_ETA)))
    1258          28 :     obj_insert_shallow(E, R_ETA, gmul(S, u));
    1259       37359 :   if ((S = obj_check(e, R_ROOTS)))
    1260             :   {
    1261          28 :     GEN ro = cgetg(4, t_VEC), u2 = gsqr(u);
    1262             :     long i;
    1263         112 :     for (i = 1; i <= 3; i++) gel(ro,i) = gdiv(gsub(gel(S,i), r), u2);
    1264          28 :     obj_insert_shallow(E, R_ROOTS, ro);
    1265             :   }
    1266       37359 :   return E;
    1267             : }
    1268             : 
    1269             : static GEN
    1270           7 : ch_Rg(GEN E, GEN e, GEN w)
    1271             : {
    1272           7 :   GEN p = NULL;
    1273           7 :   long prec = ellR_get_prec(E);
    1274           7 :   if (base_ring(E, &p, &prec) != t_REAL) return ellinit(E, p, prec);
    1275           7 :   ch_R(E, e, w); return E;
    1276             : }
    1277             : 
    1278             : static GEN
    1279       37359 : ch_Q(GEN E, GEN e, GEN w)
    1280             : {
    1281       37359 :   long prec = ellR_get_prec(E);
    1282       37359 :   GEN S, v = NULL, p = NULL;
    1283       37359 :   if (base_ring(E, &p, &prec) != t_FRAC) return ellinit(E, p, prec);
    1284       37352 :   ch_R(E, e, w);
    1285       37352 :   if ((S = obj_check(e, Q_GROUPGEN)))
    1286           0 :     S = obj_insert_shallow(E, Q_GROUPGEN, ellchangepoint(S, w));
    1287       37352 :   if ((S = obj_check(e, Q_MINIMALMODEL)))
    1288             :   {
    1289        1470 :     if (lg(S) == 2)
    1290             :     { /* model was minimal */
    1291           7 :       if (!is_trivial_change(w)) /* no longer minimal */
    1292           7 :         S = mkvec3(gel(S,1), ellchangeinvert(w), e);
    1293           7 :       (void)obj_insert_shallow(E, Q_MINIMALMODEL, S);
    1294             :     }
    1295             :     else
    1296             :     {
    1297        1463 :       v = gel(S,2);
    1298        1463 :       if (gequal(v, w) || (is_trivial_change(v) && is_trivial_change(w)))
    1299        1449 :         S = mkvec(gel(S,1)); /* now minimal */
    1300             :       else
    1301             :       {
    1302          14 :         w = ellchangeinvert(w);
    1303          14 :         gcomposev(&w, v); v = w;
    1304          14 :         S = leafcopy(S); /* don't modify S in place: would corrupt e */
    1305          14 :         gel(S,2) = v;
    1306             :       }
    1307        1463 :       (void)obj_insert_shallow(E, Q_MINIMALMODEL, S);
    1308             :     }
    1309             :   }
    1310       37352 :   if ((S = obj_check(e, Q_GLOBALRED)))
    1311          14 :     S = obj_insert_shallow(E, Q_GLOBALRED, S);
    1312       37352 :   if ((S = obj_check(e, Q_ROOTNO)))
    1313           0 :     S = obj_insert_shallow(E, Q_ROOTNO, S);
    1314       37352 :   return E;
    1315             : }
    1316             : 
    1317             : static void
    1318         126 : ch_FF(GEN E, GEN e, GEN w)
    1319             : {
    1320             :   GEN S;
    1321         126 :   if ((S = obj_check(e, FF_CARD)))
    1322          21 :     S = obj_insert_shallow(E, FF_CARD, S);
    1323         126 :   if ((S = obj_check(e, FF_GROUP)))
    1324          21 :     S = obj_insert_shallow(E, FF_GROUP, S);
    1325         126 :   if ((S = obj_check(e, FF_GROUPGEN)))
    1326          21 :     S = obj_insert_shallow(E, FF_GROUPGEN, ellchangepoint(S, w));
    1327         126 :   if ((S = obj_check(e, FF_O)))
    1328          21 :     S = obj_insert_shallow(E, FF_O, S);
    1329         126 : }
    1330             : 
    1331             : /* FF_CARD, FF_GROUP, FF_O are invariant */
    1332             : static GEN
    1333           7 : ch_Fp(GEN E, GEN e, GEN w)
    1334             : {
    1335           7 :   long prec = 0;
    1336           7 :   GEN p = ellff_get_field(E);
    1337           7 :   if (base_ring(E, &p, &prec) != t_INTMOD) return ellinit(E, p, prec);
    1338           7 :   gel(E,15) = mkvec2(p, ell_to_a4a6_bc(E, p));
    1339           7 :   ch_FF(E, e, w); return E;
    1340             : }
    1341             : static GEN
    1342         119 : ch_Fq(GEN E, GEN e, GEN w)
    1343             : {
    1344         119 :   long prec = 0;
    1345         119 :   GEN p = ellff_get_field(E);
    1346         119 :   if (base_ring(E, &p, &prec) != t_FFELT) return ellinit(E, p, prec);
    1347         119 :   gel(E,15) = FF_elldata(E, p);
    1348         119 :   ch_FF(E, e, w); return E;
    1349             : }
    1350             : 
    1351             : static void
    1352       72751 : ell_reset(GEN E)
    1353       72751 : { gel(E,16) = zerovec(lg(gel(E,16))-1); }
    1354             : 
    1355             : GEN
    1356       72212 : ellchangecurve(GEN e, GEN w)
    1357             : {
    1358       72212 :   pari_sp av = avma;
    1359             :   GEN E;
    1360       72212 :   checkell5(e);
    1361       72212 :   if (equali1(w)) return gcopy(e);
    1362       72205 :   checkcoordch(w);
    1363       72205 :   E = coordch(leafcopy(e), w);
    1364       72205 :   if (lg(E) != 6)
    1365             :   {
    1366       72191 :     ell_reset(E);
    1367       72191 :     switch(ell_get_type(E))
    1368             :     {
    1369          35 :       case t_ELL_Qp: E = ch_Qp(E,e,w); break;
    1370           7 :       case t_ELL_Fp: E = ch_Fp(E,e,w); break;
    1371         119 :       case t_ELL_Fq: E = ch_Fq(E,e,w); break;
    1372       35917 :       case t_ELL_Q:  E = ch_Q(E,e,w);  break;
    1373           7 :       case t_ELL_Rg: E = ch_Rg(E,e,w); break;
    1374             :     }
    1375          14 :   }
    1376       72205 :   return gerepilecopy(av, E);
    1377             : }
    1378             : 
    1379             : /* v o= [1,r,0,0] */
    1380             : static void
    1381      164451 : nf_compose_r(GEN nf, GEN *vtotal, GEN *e, GEN r)
    1382             : {
    1383      164451 :   GEN v = *vtotal;
    1384             :   GEN U2, R, S, T;
    1385      164451 :   if (gequal0(r)) return;
    1386       95844 :   *e = nf_coordch_r(nf, *e,r);
    1387       95844 :   U2 = nfsqr(nf,gel(v,1)); R = gel(v,2); S = gel(v, 3); T = gel(v, 4);
    1388       95844 :   gel(v,2) = nfadd(nf,R, nfmul(nf,U2, r));
    1389       95844 :   gel(v,4) = nfadd(nf,T, nfmul(nf,U2, nfmul(nf,S, r)));
    1390             : }
    1391             : /* v o= [1,0,s,0]; never used for s = 0 */
    1392             : static void
    1393      109564 : nf_compose_s(GEN nf, GEN *vtotal, GEN *e, GEN s)
    1394             : {
    1395      109564 :   GEN v = *vtotal;
    1396             :   GEN U, S;
    1397      109564 :   *e = nf_coordch_s(nf,*e,s);
    1398      109564 :   U = gel(v,1); S = gel(v,3);
    1399      109564 :   gel(v,3) = nfadd(nf, S, nfmul(nf, U, s));
    1400      109564 : }
    1401             : /* v o= [1,0,0,t] */
    1402             : static void
    1403      254016 : nf_compose_t(GEN nf ,GEN *vtotal, GEN *e, GEN t)
    1404             : {
    1405      254016 :   GEN v = *vtotal;
    1406             :   GEN U3, U, T;
    1407      254016 :   if (gequal0(t)) return;
    1408       80290 :   *e = nf_coordch_t(nf,*e,t);
    1409       80290 :   U = gel(v,1); U3 = nfmul(nf,U, nfsqr(nf,U)); T = gel(v,4);
    1410       80290 :   gel(v,4) = nfadd(nf,T, nfmul(nf,U3, t));
    1411             : }
    1412             : /* v o= [1,r,0,t] */
    1413             : static void
    1414      251846 : nf_compose_rt(GEN nf, GEN *vtotal, GEN *e, GEN r, GEN t)
    1415             : {
    1416      251846 :   GEN v = *vtotal;
    1417             :   GEN U2, U, R, S, T;
    1418      251846 :   if (gequal0(t)) { nf_compose_r(nf, vtotal, e, r); return; }
    1419      171066 :   *e = nf_coordch_rt(nf,*e,r,t);
    1420      171066 :   U = gel(v,1); R = gel(v,2); S = gel(v,3); T = gel(v,4);
    1421      171066 :   U2 = nfsqr(nf,U);
    1422      171066 :   gel(v,2) = nfadd(nf,R, nfmul(nf,U2, r));
    1423      171066 :   gel(v,4) = nfadd(nf,T, nfmul(nf,U2, nfadd(nf,nfmul(nf,U, t), nfmul(nf,S, r))));
    1424             : }
    1425             : /* v o= [1,0,s,t] */
    1426             : static void
    1427      184345 : nf_compose_st(GEN nf, GEN *vtotal, GEN *e, GEN s, GEN t)
    1428             : {
    1429      184345 :   GEN v = *vtotal;
    1430             :   GEN U3, U, S, T;
    1431      184345 :   if (gequal0(s)) { nf_compose_t(nf, vtotal, e, t); return; }
    1432      122087 :   if (gequal0(t)) { nf_compose_s(nf, vtotal, e, s); return; }
    1433       12523 :   *e = nf_coordch_st(nf, *e,s,t);
    1434       12523 :   U = gel(v,1); U3 = nfmul(nf,U,nfsqr(nf,U)); S = gel(v,3); T = gel(v,4);
    1435       12523 :   gel(v,3) = nfadd(nf, S, nfmul(nf,U, s));
    1436       12523 :   gel(v,4) = nfadd(nf, T, nfmul(nf,U3, t));
    1437             : }
    1438             : 
    1439             : /* v o= [u,0,0,0] */
    1440             : static void
    1441      153132 : nf_compose_u(GEN nf, GEN *vtotal, GEN *e, GEN u, GEN uinv)
    1442             : {
    1443      153132 :   GEN v = *vtotal;
    1444      153132 :   *e = nf_coordch_uinv(nf, *e,uinv); gel(v,1) = nfmul(nf,gel(v,1), u);
    1445      153132 : }
    1446             : 
    1447             : /* X = (x-r)/u^2
    1448             :  * Y = (y - s(x-r) - t) / u^3 */
    1449             : static GEN
    1450       17920 : ellchangepoint0(GEN P, GEN v2, GEN v3, GEN r, GEN s, GEN t)
    1451             : {
    1452             :   GEN a, x, y;
    1453       17920 :   if (ell_is_inf(P)) return P;
    1454       17906 :   x = gel(P,1); y = gel(P,2); a = gsub(x,r);
    1455       17906 :   retmkvec2(gmul(v2, a), gmul(v3, gsub(y, gadd(gmul(s,a),t))));
    1456             : }
    1457             : 
    1458             : GEN
    1459       17941 : ellchangepoint(GEN x, GEN ch)
    1460             : {
    1461             :   GEN y, v, v2, v3, r, s, t, u;
    1462       17941 :   long tx, i, lx = lg(x);
    1463       17941 :   pari_sp av = avma;
    1464             : 
    1465       17941 :   if (typ(x) != t_VEC) pari_err_TYPE("ellchangepoint",x);
    1466       17941 :   if (equali1(ch)) return gcopy(x);
    1467       17941 :   checkcoordch(ch);
    1468       17941 :   if (lx == 1) return cgetg(1, t_VEC);
    1469       17906 :   u = gel(ch,1); r = gel(ch,2); s = gel(ch,3); t = gel(ch,4);
    1470       17906 :   v = ginv(u); v2 = gsqr(v); v3 = gmul(v,v2);
    1471       17906 :   tx = typ(gel(x,1));
    1472       17906 :   if (is_matvec_t(tx))
    1473             :   {
    1474          70 :     y = cgetg(lx,tx);
    1475         154 :     for (i=1; i<lx; i++)
    1476          84 :       gel(y,i) = ellchangepoint0(gel(x,i),v2,v3,r,s,t);
    1477             :   }
    1478             :   else
    1479       17836 :     y = ellchangepoint0(x,v2,v3,r,s,t);
    1480       17906 :   return gerepilecopy(av,y);
    1481             : }
    1482             : 
    1483             : /* x = u^2*X + r
    1484             :  * y = u^3*Y + s*u^2*X + t */
    1485             : static GEN
    1486        3913 : ellchangepointinv0(GEN P, GEN u2, GEN u3, GEN r, GEN s, GEN t)
    1487             : {
    1488             :   GEN a, X, Y;
    1489        3913 :   if (ell_is_inf(P)) return P;
    1490        3913 :   X = gel(P,1); Y = gel(P,2); a = gmul(u2,X);
    1491        3913 :   return mkvec2(gadd(a, r), gadd(gmul(u3, Y), gadd(gmul(s, a), t)));
    1492             : }
    1493             : GEN
    1494         784 : ellchangepointinv(GEN x, GEN ch)
    1495             : {
    1496             :   GEN y, u, r, s, t, u2, u3;
    1497         784 :   long tx, i, lx = lg(x);
    1498         784 :   pari_sp av = avma;
    1499             : 
    1500         784 :   if (typ(x) != t_VEC) pari_err_TYPE("ellchangepointinv",x);
    1501         784 :   if (equali1(ch)) return gcopy(x);
    1502         784 :   checkcoordch(ch);
    1503         784 :   if (lx == 1) return cgetg(1, t_VEC);
    1504         707 :   u = gel(ch,1); r = gel(ch,2); s = gel(ch,3); t = gel(ch,4);
    1505         707 :   u2 = gsqr(u); u3 = gmul(u,u2);
    1506         707 :   tx = typ(gel(x,1));
    1507         707 :   if (is_matvec_t(tx))
    1508             :   {
    1509         567 :     y = cgetg(lx,tx);
    1510        4340 :     for (i=1; i<lx; i++)
    1511        3773 :       gel(y,i) = ellchangepointinv0(gel(x,i),u2,u3,r,s,t);
    1512             :   }
    1513             :   else
    1514         140 :     y = ellchangepointinv0(x,u2,u3,r,s,t);
    1515         707 :   return gerepilecopy(av,y);
    1516             : }
    1517             : 
    1518             : GEN
    1519       28525 : elltwist(GEN E, GEN P)
    1520             : {
    1521       28525 :   pari_sp av = avma;
    1522             :   GEN a1, a2, a3, a4, a6, a, b, c, ac, D, D2, V;
    1523             : 
    1524       28525 :   if (!P)
    1525             :   {
    1526             :     GEN a4, a6, e, p;
    1527             :     /* Could avoid this ellinit. Don't bother. */
    1528       27195 :     if (!checkell_i(E))
    1529             :     {
    1530           7 :       e = E; E = ellinit_i(E, NULL, DEFAULTPREC);
    1531           7 :       if (!E) pari_err_TYPE("elltwist", e);
    1532             :     }
    1533       27188 :     switch (ell_get_type(E))
    1534             :     {
    1535           0 :       case t_ELL_Fp:
    1536           0 :         p = ellff_get_field(E);
    1537           0 :         e = ellff_get_a4a6(E);
    1538           0 :         Fp_elltwist(gel(e,1), gel(e, 2), p, &a4, &a6);
    1539       27188 :         return gerepilecopy(av, ellinit_i(mkvec2(a4,a6), p, 0));
    1540       27188 :       case t_ELL_Fq:
    1541       27188 :         return gerepilecopy(av, ellinit_i(FF_elltwist(E), NULL, 0));
    1542           0 :       default: pari_err_TYPE("elltwist [missing P]", E);
    1543             :     }
    1544             :   }
    1545        1330 :   if (typ(E) != t_VEC) pari_err_TYPE("elltwist",E);
    1546        1330 :   if (typ(P) == t_INT)
    1547             :   {
    1548        1316 :     if (equali1(P)) return ellinit(E, NULL, DEFAULTPREC);
    1549         994 :     P = quadpoly(P);
    1550             :   }
    1551             :   else
    1552             :   {
    1553          14 :     if (typ(P) != t_POL) pari_err_TYPE("elltwist",P);
    1554          14 :     if (degpol(P) != 2 )
    1555           0 :       pari_err_DOMAIN("elltwist", "degree(P)", "!=", gen_2, P);
    1556             :   }
    1557        1008 :   switch(lg(E))
    1558             :   {
    1559           7 :     case 3:
    1560           7 :       a1 = a2 = a3 = gen_0;
    1561           7 :       a4 = gel(E,1);
    1562           7 :       a6 = gel(E,2); break;
    1563        1001 :     case 6: case 17:
    1564        1001 :       a1 = ell_get_a1(E);
    1565        1001 :       a2 = ell_get_a2(E);
    1566        1001 :       a3 = ell_get_a3(E);
    1567        1001 :       a4 = ell_get_a4(E);
    1568        1001 :       a6 = ell_get_a6(E); break;
    1569           0 :     default:
    1570           0 :       pari_err_TYPE("ellxxx [not an elliptic curve (ell5)]",E);
    1571             :       return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
    1572             :   }
    1573        1008 :   a = gel(P,4); b = gel(P,3); c = gel(P,2); ac = gmul(a, c);
    1574        1008 :   D = gsub(gsqr(b), gmulsg(4, ac)); D2 = gsqr(D);
    1575        1008 :   if (gequal0(a1) && gequal0(a2) && gequal0(a3))
    1576         756 :     V = mkvec2(gmul(a4, D2), gmul(gmul(a6, D), D2));
    1577             :   else
    1578             :   {
    1579         252 :     GEN a3D = gmul(a3, D);
    1580         252 :     V = cgetg(6, t_VEC);
    1581         252 :     gel(V,1) = gmul(a1, b);
    1582         252 :     gel(V,2) = gsub(gmul(a2, D), gmul(gsqr(a1), ac));
    1583         252 :     gel(V,3) = gmul(a3D, b);
    1584         252 :     gel(V,4) = gsub(gmul(a4, D2), gmul(gmul(gmulsg(2, a3D), a1), ac));
    1585         252 :     gel(V,5) = gmul(gsub(gmul(a6, D), gmul(gsqr(a3), ac)), D2);
    1586             :   }
    1587        1008 :   return gerepilecopy(av, ellinit_i(V, NULL, DEFAULTPREC));
    1588             : }
    1589             : 
    1590             : /********************************************************************/
    1591             : /**                      E/Q: MINIMAL TWIST                        **/
    1592             : /**      Cf Ian Connell, Elliptic Curve Handbook, chap. 5          **/
    1593             : /**                http://www.math.mcgill.ca/connell/              **/
    1594             : /********************************************************************/
    1595             : 
    1596             : static long
    1597        3213 : safe_Z_lval(GEN n, ulong p)
    1598        3213 : { return signe(n)==0? -1: Z_lval(n, p); }
    1599             : 
    1600             : /* Twist by d2 = 1,-4,-8,8, to get minimal discriminant at 2 after
    1601             :  * ellminimalmodel / ellQ_minimalu; assume vg = min(3*v4,2*v6,vD) >= 6.
    1602             :  * If nontrivial, v(d2) = 2 or 3 and let t = [(vg+6v(d2))/12].
    1603             :  * Good case if reduction in ellQ_minimalu i.e. t = 2 (v4 < 6 or v6 < 9 or
    1604             :  * vD < 18) or 3 and "d--" does not occur. Minimal model => t = 3 iff
    1605             :  * v4 = 6, v6 = 9 and vD >= 18. Total net effect is
    1606             :  *   v4 += 2v(d2) - 4t, v6 += 3v(d2) - 6t, vD += 6 v(d2) - 12t
    1607             :  * After rescaling in ellQ_minimalu (c4 >>= 4t, c6 >>= 6t) we need
    1608             :  *   c6 % 4 = 3 OR  (v4 >= 4 AND (v6 >= 5 or c6 % 32 = 8)) */
    1609             : static long
    1610         392 : twist2(GEN c4, GEN c6, GEN disc, long vg)
    1611             : { /* v4 >= 4, v6 >= 3 (and c6 = 0,8 mod 32). After twist + minimization,
    1612             :    * either same condition OR v(C4) = 0, C6 = 0,3 mod 4 */
    1613             :   long v4, v6, vD;
    1614             : 
    1615         392 :   if (vg == 18) /* v4=6, v6=9, vD>=18; only case with t = 3 */
    1616          56 :     return (umodi2n(c6, 11)>>9) == 1 ? -8: 8; /* need C6 % 4 = 3 */
    1617             : 
    1618             :   /* 100 = oo, any number >= 8 would do */
    1619         336 :   v4 = signe(c4)? vali(c4): 100; if (v4 == 5) return 1;
    1620             :   /* 100 = oo, any number > 9 would do */
    1621         329 :   v6 = signe(c6)? vali(c6): 100; if (v6 == 7) return 1;
    1622             : 
    1623             :   /* handle case v(DISC) = 0 or v(C4) = 0 after twist, only case with d2 = -4 */
    1624         329 :   if (vg == 12 && ((v4==4 && v6==6) || (v4>=8 && v6==9))) return -4;
    1625             : 
    1626             :   /* Now, d2 = 1 OR v(d2) = 3, t = 2 => v4 -= 2, v6 -= 3, vD -= 6 */
    1627         266 :   if (v4 < 6 || v6 < 6) return 1; /* v(C4) >= 4, v(C6) >= 3 */
    1628         175 :   vD = vali(disc);
    1629         175 :   if (v6==6 && vD==6 && (umodi2n(c6,8)>>6) == 1) return 8; /* C6 % 32 = 8 */
    1630         168 :   return -8;
    1631             : }
    1632             : 
    1633             : /* Return D such that E_D has minimal discriminant.
    1634             :    It also has minimal conductor in Z[1/2]
    1635             : */
    1636             : GEN
    1637         637 : ellminimaltwist(GEN e)
    1638             : {
    1639         637 :   pari_sp av = avma;
    1640         637 :   GEN c4, c6, disc, g, N, M, F, E, D = gen_1;
    1641             :   long i, lF;
    1642         637 :   checkell_Q(e);
    1643         637 :   E = ellminimalmodel(e, NULL);
    1644         637 :   c4 = ell_get_c4(E);
    1645         637 :   c6 = ell_get_c6(E);
    1646         637 :   disc = ell_get_disc(E);
    1647         637 :   g = gcdii(disc, sqri(c6));
    1648         637 :   ellQ_get_Nfa(E, &N, &M);
    1649         637 :   F = gel(M, 1); lF = lg(F);
    1650             :   /* on twist by d, (c4,c6,D,g) -> (d^2 c4, d^3 c6, d^6 D, d^6 g),
    1651             :    * then apply ellQ_minimalu(). Since model is minimal, v(g) < 12 unless p=3
    1652             :    * and v(g) < 14 or p = 2 and v(g) <= 18 */
    1653        2366 :   for(i = 1; i < lF; i++)
    1654             :   {
    1655        1729 :     GEN p = gel(F, i);
    1656        1729 :     long vg = Z_pval(g,p), d2;
    1657        1729 :     if (vg < 6) continue;
    1658             :     /* twist by fund. discriminant d2; in ellQ_minimalu,
    1659             :      * we have v(g) = vg + 6*v(d2) */
    1660        1197 :     switch(itou_or_0(p))
    1661             :     {
    1662         441 :       default: /* p > 3, 6 <= v(g) < 12 => v(D) -= 6 */
    1663         441 :         D = mulii(D, (mod4(p)==1)? p: negi(p));
    1664         441 :         break;
    1665         364 :       case 3: /* bad case: v(final_c6) = 2 => no reduction; else v(D) -= 6 */
    1666         364 :         if (safe_Z_lval(c6,3) != 5) D = mulis(D, -3);
    1667         364 :         break;
    1668         392 :       case 2:
    1669         392 :         d2 = twist2(c4,c6,disc,vg);
    1670         392 :         if (d2 != 1) D = mulis(D,d2);
    1671         392 :         break;
    1672             :     }
    1673             :   }
    1674         637 :   obj_free(E);
    1675         637 :   return gerepileuptoleaf(av, D);
    1676             : }
    1677             : 
    1678             : /*
    1679             : Reference:
    1680             : William A. Stein and Mark Watkins
    1681             : A Database of Elliptic Curves-First Report
    1682             : ANTS 5
    1683             : <http://modular.math.washington.edu/papers/stein-watkins/ants.pdf>
    1684             : */
    1685             : static GEN localred_23(GEN e, long p);
    1686             : GEN
    1687         371 : ellminimaltwistcond(GEN e)
    1688             : {
    1689         371 :   pari_sp av = avma;
    1690         371 :   GEN D = ellminimaltwist(e), eD = elltwist(e, D);
    1691         371 :   GEN R = localred_23(ellintegralmodel_i(eD,NULL), 2);
    1692         371 :   long f = itos(gel(R,1)), v = vali(D);
    1693         371 :   if (f==4) D = negi(v==3 ? D: shifti(D, v==0? 2: -2));
    1694         357 :   else if (f==6)
    1695             :   {
    1696             :     long s, t;
    1697          21 :     if (v < 3) s = v==0? 3: 1;
    1698             :     else
    1699             :     {
    1700          14 :       t = (v==3 && mod32(D) == 8)? 1: -1;
    1701          14 :       s = signe(D)==t ? -3: -1;
    1702             :     }
    1703          21 :     D = shifti(D, s);
    1704             :   }
    1705         371 :   return gerepileuptoleaf(av, D);
    1706             : }
    1707             : 
    1708             : GEN
    1709         448 : ellminimaltwist0(GEN e, long flag)
    1710             : {
    1711         448 :   switch(flag)
    1712             :   {
    1713         266 :     case 0: return ellminimaltwist(e);
    1714         182 :     case 1: return ellminimaltwistcond(e);
    1715             :   }
    1716           0 :   pari_err_FLAG("ellminimaltwist");
    1717             :   return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
    1718             : }
    1719             : 
    1720             : static long
    1721           7 : ellexpo(GEN E)
    1722             : {
    1723           7 :   long i, f, e = -(long)HIGHEXPOBIT;
    1724          42 :   for (i=1; i<=5; i++)
    1725             :   {
    1726          35 :     f = gexpo(gel(E,i));
    1727          35 :     if (f > e) e = f;
    1728             :   }
    1729           7 :   return e;
    1730             : }
    1731             : 
    1732             : 
    1733             : static int
    1734        3496 : oncurve_exact(GEN e, GEN z)
    1735             : {
    1736        3496 :   pari_sp av = avma;
    1737        3496 :   GEN A = ec_LHS_evalQ(e,z), B = ec_f_evalx(e,gel(z,1));
    1738        3496 :   return gc_bool(av, gequal(A, B));
    1739             : }
    1740             : /* Exactness of lhs and rhs in the following depends in nonobvious ways
    1741             :  * on the coeffs of the curve as well as on the components of the point z.
    1742             :  * Thus if e is exact, with a1==0, and z has exact y coordinate only, the
    1743             :  * lhs will be exact but the rhs won't. */
    1744             : int
    1745       38563 : oncurve(GEN e, GEN z)
    1746             : {
    1747             :   GEN LHS, RHS, x;
    1748             :   long pl, pr, ex, expx;
    1749             :   pari_sp av;
    1750             : 
    1751       38563 :   checkellpt(z); if (ell_is_inf(z)) return 1; /* oo */
    1752       38486 :   if (ell_get_type(e) == t_ELL_NF) z = nfVtoalg(ellnf_get_nf(e), z);
    1753       38486 :   av = avma;
    1754       38486 :   LHS = ec_LHS_evalQ(e,z);
    1755       38486 :   RHS = ec_f_evalx(e,gel(z,1)); x = gsub(LHS,RHS);
    1756       38486 :   if (gequal0(x)) return gc_bool(av,1);
    1757          21 :   pl = precision(LHS);
    1758          21 :   pr = precision(RHS);
    1759          21 :   if (!pl && !pr) return gc_bool(av,0); /* both of LHS, RHS are exact */
    1760             :   /* at least one of LHS,RHS is inexact */
    1761           7 :   ex = pr? gexpo(RHS): gexpo(LHS); /* don't take exponent of exact 0 */
    1762           7 :   if (!pr || (pl && pl < pr)) pr = pl; /* min among nonzero elts of {pl,pr} */
    1763           7 :   expx = gexpo(x);
    1764           7 :   pr = (expx < ex - prec2nbits(pr) + 15
    1765           7 :      || expx < ellexpo(e) - prec2nbits(pr) + 5);
    1766           7 :   return gc_bool(av,pr);
    1767             : }
    1768             : 
    1769             : GEN
    1770       17346 : ellisoncurve(GEN e, GEN x)
    1771             : {
    1772       17346 :   long i, tx = typ(x), lx;
    1773             : 
    1774       17346 :   checkell(e);
    1775       17346 :   if (!is_vec_t(tx)) pari_err_TYPE("ellisoncurve [point]", x);
    1776       17346 :   lx = lg(x); if (lx==1) return cgetg(1,tx);
    1777       17346 :   tx = typ(gel(x,1));
    1778       17346 :   if (is_vec_t(tx))
    1779             :   {
    1780        1715 :     GEN z = cgetg(lx,tx);
    1781        3584 :     for (i=1; i<lx; i++) gel(z,i) = ellisoncurve(e,gel(x,i));
    1782        1715 :     return z;
    1783             :   }
    1784       15631 :   return oncurve(e, x)? gen_1: gen_0;
    1785             : }
    1786             : 
    1787             : /* y1 = y2 or -LHS0-y2 */
    1788             : static GEN
    1789        8078 : slope_samex(GEN e, GEN x, GEN y1, GEN y2)
    1790             : {
    1791             :   GEN dy,dx;
    1792        8078 :   if (y1 != y2)
    1793             :   {
    1794             :     int eq;
    1795         259 :     if (precision(y1) || precision(y2))
    1796           7 :       eq = (gexpo(gadd(ec_h_evalx(e,x),gadd(y1,y2))) >= gexpo(y1));
    1797             :     else
    1798         252 :       eq = gequal(y1,y2);
    1799         259 :     if (!eq) return NULL;
    1800             :   }
    1801        8071 :   dx = ec_dmFdy_evalQ(e,mkvec2(x,y1));
    1802        8071 :   if (gequal0(dx)) return NULL;
    1803        8036 :   dy = gadd(gsub(ell_get_a4(e),gmul(ell_get_a1(e),y1)),
    1804             :             gmul(x,gadd(gmul2n(ell_get_a2(e),1),gmulsg(3,x))));
    1805        8036 :   return gdiv(dy,dx);
    1806             : }
    1807             : 
    1808             : GEN
    1809       35406 : elladd(GEN e, GEN z1, GEN z2)
    1810             : {
    1811             :   GEN s, z, x, y, x1, x2, y1, y2;
    1812       35406 :   pari_sp av = avma;
    1813             : 
    1814       35406 :   checkell(e); checkellpt(z1); checkellpt(z2);
    1815       35406 :   if (ell_is_inf(z1)) return gcopy(z2);
    1816       33005 :   if (ell_is_inf(z2)) return gcopy(z1);
    1817             : 
    1818       31353 :   x1 = gel(z1,1); y1 = gel(z1,2);
    1819       31353 :   x2 = gel(z2,1); y2 = gel(z2,2);
    1820       31353 :   if (ell_get_type(e) == t_ELL_NF)
    1821             :   {
    1822         539 :     GEN nf = ellnf_get_nf(e);
    1823         539 :     x1 = nftoalg(nf, x1);
    1824         539 :     x2 = nftoalg(nf, x2);
    1825         539 :     y1 = nftoalg(nf, y1);
    1826         539 :     y2 = nftoalg(nf, y2);
    1827             :   }
    1828       31353 :   if (cx_approx_equal(x1,x2))
    1829             :   {
    1830        8078 :     s = slope_samex(e, x1, y1, y2);
    1831        8078 :     if (!s) { set_avma(av); return ellinf(); }
    1832             :   }
    1833             :   else
    1834       23275 :     s = gdiv(gsub(y2,y1), gsub(x2,x1));
    1835       31311 :   x = gsub(gmul(s,gadd(s,ell_get_a1(e))), gadd(gadd(x1,x2),ell_get_a2(e)));
    1836       31311 :   y = gadd(gadd(y1, ec_h_evalx(e,x)), gmul(s,gsub(x,x1)));
    1837       31311 :   z = cgetg(3,t_VEC);
    1838       31311 :   gel(z,1) = gcopy(x);
    1839       31311 :   gel(z,2) = gneg(y); return gerepileupto(av, z);
    1840             : }
    1841             : 
    1842             : static GEN
    1843          49 : ellneg_i(GEN e, GEN z)
    1844             : {
    1845             :   GEN t, x, y;
    1846          49 :   if (ell_is_inf(z)) return z;
    1847          49 :   x = gel(z,1);
    1848          49 :   y = gel(z,2);
    1849          49 :   if (ell_get_type(e) == t_ELL_NF)
    1850             :   {
    1851           0 :     GEN nf = ellnf_get_nf(e);
    1852           0 :     x = nftoalg(nf,x);
    1853           0 :     y = nftoalg(nf,y);
    1854             :   }
    1855          49 :   t = cgetg(3,t_VEC);
    1856          49 :   gel(t,1) = x;
    1857          49 :   gel(t,2) = gneg_i(gadd(y, ec_h_evalx(e,x)));
    1858          49 :   return t;
    1859             : }
    1860             : 
    1861             : GEN
    1862       23415 : ellneg(GEN e, GEN z)
    1863             : {
    1864             :   pari_sp av;
    1865             :   GEN t, y;
    1866       23415 :   checkell(e); checkellpt(z);
    1867       23415 :   if (ell_is_inf(z)) return z;
    1868       23415 :   t = cgetg(3,t_VEC);
    1869       23415 :   gel(t,1) = gcopy(gel(z,1));
    1870       23415 :   av = avma;
    1871       23415 :   y = gneg(gadd(gel(z,2), ec_h_evalx(e,gel(z,1))));
    1872       23415 :   gel(t,2) = gerepileupto(av, y);
    1873       23415 :   return t;
    1874             : }
    1875             : 
    1876             : GEN
    1877          49 : ellsub(GEN e, GEN z1, GEN z2)
    1878             : {
    1879          49 :   pari_sp av = avma;
    1880          49 :   checkell(e); checkellpt(z2);
    1881          49 :   return gerepileupto(av, elladd(e, z1, ellneg_i(e,z2)));
    1882             : }
    1883             : 
    1884             : /* E an ell, x a scalar */
    1885             : static GEN
    1886        2681 : ellordinate_i(GEN E, GEN x, long prec)
    1887             : {
    1888        2681 :   pari_sp av = avma;
    1889        2681 :   GEN a, b, D, d, y, p, nf = NULL;
    1890             : 
    1891        2681 :   if (ell_get_type(E) == t_ELL_NF)
    1892             :   {
    1893         532 :     nf = ellnf_get_nf(E);
    1894         532 :     x = nftoalg(nf,x);
    1895             :   }
    1896        2681 :   a = ec_f_evalx(E,x);
    1897        2681 :   b = ec_h_evalx(E,x);
    1898        2681 :   D = gadd(gsqr(b), gmul2n(a,2));
    1899             :   /* solve y*(y+b) = a */
    1900        2681 :   if (gequal0(D)) {
    1901        1050 :     if (ell_get_type(E) == t_ELL_Fq && absequaliu(ellff_get_p(E),2))
    1902           0 :       retmkvec( FF_sqrt(a) );
    1903        1050 :     b = gneg_i(b); y = cgetg(2,t_VEC);
    1904        1050 :     gel(y,1) = gmul2n(b,-1);
    1905        1050 :     return gerepileupto(av,y);
    1906             :   }
    1907             :   /* D != 0 */
    1908        1631 :   switch(ell_get_type(E))
    1909             :   {
    1910          28 :     case t_ELL_Fp: /* imply p!=2 */
    1911          28 :       p = ellff_get_p(E);
    1912          28 :       D = gel(D,2);
    1913          28 :       if (kronecker(D, p) < 0) { set_avma(av); return cgetg(1,t_VEC); }
    1914           7 :       d = Fp_sqrt(D, p);
    1915           7 :       break;
    1916         217 :     case t_ELL_Fq:
    1917         217 :       if (absequaliu(ellff_get_p(E),2))
    1918             :       {
    1919          77 :         GEN F = FFX_roots(mkpoln(3, gen_1, b, a), D);
    1920          77 :         if (lg(F) == 1) { set_avma(av); return cgetg(1,t_VEC); }
    1921          28 :         return gerepileupto(av, F);
    1922             :       }
    1923         140 :       if (!FF_issquareall(D,&d)) { set_avma(av); return cgetg(1,t_VEC); }
    1924         105 :       break;
    1925         840 :     case t_ELL_Q:
    1926         840 :       if (typ(x) == t_COMPLEX) { d = gsqrt(D, prec); break; }
    1927         833 :       if (!issquareall(D,&d)) { set_avma(av); return cgetg(1,t_VEC); }
    1928         644 :       break;
    1929             : 
    1930         525 :     case t_ELL_NF:
    1931             :     {
    1932         525 :       GEN T = mkpoln(3, gen_1, gen_0, gneg(D));
    1933         525 :       setvarn(T, fetch_var_higher());
    1934         525 :       d = nfroots(nf, T);
    1935         525 :       delete_var();
    1936         525 :       if (lg(d) == 1) { set_avma(av); return cgetg(1, t_VEC); }
    1937         511 :       d = gel(d,1);
    1938         511 :       break;
    1939             :     }
    1940             : 
    1941          14 :     case t_ELL_Qp:
    1942          14 :       p = ellQp_get_p(E);
    1943          14 :       D = cvtop(D, p, ellQp_get_prec(E));
    1944          14 :       if (!issquare(D)) { set_avma(av); return cgetg(1,t_VEC); }
    1945          14 :       d = Qp_sqrt(D);
    1946          14 :       break;
    1947             : 
    1948           7 :     default:
    1949           7 :       d = gsqrt(D,prec);
    1950             :   }
    1951        1295 :   a = gsub(d,b); y = cgetg(3,t_VEC);
    1952        1295 :   gel(y,1) = gmul2n(a, -1);
    1953        1295 :   gel(y,2) = gsub(gel(y,1),d);
    1954        1295 :   return gerepileupto(av,y);
    1955             : }
    1956             : 
    1957             : GEN
    1958        2681 : ellordinate(GEN e, GEN x, long prec)
    1959             : {
    1960        2681 :   checkell(e);
    1961        2681 :   if (is_matvec_t(typ(x)))
    1962             :   {
    1963             :     long i, lx;
    1964           0 :     GEN v = cgetg_copy(x, &lx);
    1965           0 :     for (i=1; i<lx; i++) gel(v,i) = ellordinate(e,gel(x,i),prec);
    1966           0 :     return v;
    1967             :   }
    1968        2681 :   return ellordinate_i(e, x, prec);
    1969             : }
    1970             : 
    1971             : GEN
    1972      243978 : ellrandom(GEN E)
    1973             : {
    1974             :   GEN fg;
    1975      243978 :   checkell_Fq(E);
    1976      243978 :   fg = ellff_get_field(E);
    1977      243978 :   if (typ(fg)==t_FFELT)
    1978      243950 :     return FF_ellrandom(E);
    1979             :   else
    1980             :   {
    1981          28 :     pari_sp av = avma;
    1982          28 :     GEN p = fg, e = ellff_get_a4a6(E);
    1983          28 :     GEN P = random_FpE(gel(e,1),gel(e,2),p);
    1984          28 :     P = FpE_to_mod(FpE_changepoint(P,gel(e,3),p),p);
    1985          28 :     return gerepileupto(av, P);
    1986             :   }
    1987             : }
    1988             : 
    1989             : /* n t_QUAD or t_COMPLEX, P != [0] */
    1990             : static GEN
    1991          14 : ellmul_CM(GEN e, GEN P, GEN n)
    1992             : {
    1993          14 :   GEN p1p, q1p, x, y, p0, p1, q0, q1, z1, z2, grdx, b2ov12, N = gnorm(n);
    1994             :   long ln, vn;
    1995             : 
    1996          14 :   if (typ(N) != t_INT)
    1997           0 :     pari_err_TYPE("ellmul (non integral CM exponent)",N);
    1998          14 :   ln = itos_or_0(shifti(addiu(N, 1UL), 3));
    1999          14 :   if (!ln) pari_err_OVERFLOW("ellmul_CM [norm too large]");
    2000          14 :   vn = ((ln>>1)-4)>>2;
    2001          14 :   z1 = ellwpseries(e, 0, ln);
    2002          14 :   z2 = ser_unscale(z1, n);
    2003          14 :   p0 = gen_0; p1 = gen_1;
    2004          14 :   q0 = gen_1; q1 = gen_0;
    2005             :   do
    2006             :   {
    2007          21 :     GEN p2,q2, ss = gen_0;
    2008             :     do
    2009             :     {
    2010          28 :       long ep = (-valp(z2)) >> 1;
    2011          28 :       ss = gadd(ss, gmul(gel(z2,2), pol_xnall(ep, 0)));
    2012          28 :       z2 = gsub(z2, gmul(gel(z2,2), gpowgs(z1, ep)));
    2013             :     }
    2014          28 :     while (valp(z2) <= 0);
    2015          21 :     p2 = gadd(p0, gmul(ss,p1)); p0 = p1; p1 = p2;
    2016          21 :     q2 = gadd(q0, gmul(ss,q1)); q0 = q1; q1 = q2;
    2017          21 :     if (!signe(z2)) break;
    2018           7 :     z2 = ginv(z2);
    2019             :   }
    2020           7 :   while (degpol(p1) < vn);
    2021          14 :   if (degpol(p1) > vn || signe(z2))
    2022           0 :     pari_err_TYPE("ellmul [not a complex multiplication]", n);
    2023          14 :   q1p = RgX_deriv(q1);
    2024          14 :   b2ov12 = gdivgs(ell_get_b2(e), 12);
    2025          14 :   grdx = gadd(gel(P,1), b2ov12); /* x(P) + b2/12 */
    2026          14 :   q1 = poleval(q1, grdx);
    2027          14 :   if (gequal0(q1)) return ellinf();
    2028             : 
    2029          14 :   p1p = RgX_deriv(p1);
    2030          14 :   p1 = poleval(p1, grdx);
    2031          14 :   p1p = poleval(p1p, grdx);
    2032          14 :   q1p = poleval(q1p, grdx);
    2033             : 
    2034          14 :   x = gdiv(p1,q1);
    2035          14 :   y = gdiv(gsub(gmul(p1p,q1), gmul(p1,q1p)), gmul(n,gsqr(q1)));
    2036          14 :   x = gsub(x, b2ov12);
    2037          14 :   y = gsub( gmul(ec_dmFdy_evalQ(e,P), y), ec_h_evalx(e,x));
    2038          14 :   return mkvec2(x, gmul2n(y,-1));
    2039             : }
    2040             : 
    2041             : static GEN
    2042        1106 : _sqr(void *e, GEN x) { return elladd((GEN)e, x, x); }
    2043             : static GEN
    2044         350 : _mul(void *e, GEN x, GEN y) { return elladd((GEN)e, x, y); }
    2045             : 
    2046             : static GEN
    2047      247906 : ellffmul(GEN E, GEN P, GEN n)
    2048             : {
    2049      247906 :   GEN fg = ellff_get_field(E);
    2050      247905 :   if (typ(fg)==t_FFELT)
    2051      247366 :     return FF_ellmul(E, P, n);
    2052             :   else
    2053             :   {
    2054         539 :     pari_sp av = avma;
    2055         539 :     GEN p = fg, e = ellff_get_a4a6(E), Q;
    2056         539 :     GEN Pp = FpE_changepointinv(RgE_to_FpE(P, p), gel(e,3), p);
    2057         538 :     GEN Qp = FpE_mul(Pp, n, gel(e,1), p);
    2058         460 :     Q = FpE_to_mod(FpE_changepoint(Qp, gel(e,3), p), p);
    2059         460 :     return gerepileupto(av, Q);
    2060             :   }
    2061             : }
    2062             : /* [n] z, n integral */
    2063             : static GEN
    2064      248801 : ellmul_Z(GEN e, GEN z, GEN n)
    2065             : {
    2066             :   long s;
    2067      248801 :   if (ell_is_inf(z)) return ellinf();
    2068      248801 :   if (ell_over_Fq(e)) return ellffmul(e,z,n);
    2069         896 :   s = signe(n);
    2070         896 :   if (!s) return ellinf();
    2071         847 :   if (s < 0) z = ellneg_i(e,z);
    2072         847 :   if (is_pm1(n)) return z;
    2073         672 :   return gen_pow(z, n, (void*)e, &_sqr, &_mul);
    2074             : }
    2075             : 
    2076             : /* x a t_REAL, try to round it to an integer */
    2077             : enum { OK, LOW_PREC, NO };
    2078             : static long
    2079          42 : myroundr(GEN *px)
    2080             : {
    2081          42 :   GEN x = *px;
    2082             :   long e;
    2083          42 :   if (bit_prec(x) - expo(x) < 5) return LOW_PREC;
    2084          42 :   *px = grndtoi(x, &e);
    2085          42 :   if (e >= -5) return NO;
    2086          42 :   return OK;
    2087             : }
    2088             : 
    2089             : /* E has CM by Q, t_COMPLEX or t_QUAD. Return q such that E has CM by Q/q
    2090             :  * or gen_1 (couldn't find q > 1)
    2091             :  * or NULL (doesn't have CM by Q) */
    2092             : static GEN
    2093          14 : CM_factor(GEN E, GEN Q)
    2094             : {
    2095             :   GEN w, tau, D, v, x, y, F, dF, q, r, fk, fkb, fkc;
    2096             :   long prec;
    2097             : 
    2098          14 :   if (ell_get_type(E) != t_ELL_Q) return gen_1;
    2099          14 :   switch(typ(Q))
    2100             :   {
    2101           0 :     case t_COMPLEX:
    2102           0 :       D = utoineg(4);
    2103           0 :       v = gel(Q,2);
    2104           0 :       break;
    2105          14 :     case t_QUAD:
    2106          14 :       D = quad_disc(Q);
    2107          14 :       v = gel(Q,3);
    2108          14 :       break;
    2109           0 :     default:
    2110           0 :       return NULL; /*-Wall*/
    2111             :   }
    2112             :   /* disc Q = v^2 D, D < 0 fundamental */
    2113          14 :   w = ellR_omega(E, DEFAULTPREC + nbits2nlong(expi(D)));
    2114          14 :   tau = gdiv(gel(w,2), gel(w,1));
    2115          14 :   prec = precision(tau);
    2116             :   /* disc tau = -4 k^2 (Im tau)^2 for some integral k
    2117             :    * Assuming that E has CM by Q, then disc Q / disc tau = f^2 is a square.
    2118             :    * Compute f*k */
    2119          14 :   x = gel(tau,1);
    2120          14 :   y = gel(tau,2); /* tau = x + Iy */
    2121          14 :   fk = gmul(gdiv(v, gmul2n(y, 1)), sqrtr_abs(itor(D, prec)));
    2122          14 :   switch(myroundr(&fk))
    2123             :   {
    2124           0 :     case NO: return NULL;
    2125           0 :     case LOW_PREC: return gen_1;
    2126             :   }
    2127          14 :   fk = absi_shallow(fk);
    2128             : 
    2129          14 :   fkb = gmul(fk, gmul2n(x,1));
    2130          14 :   switch(myroundr(&fkb))
    2131             :   {
    2132           0 :     case NO: return NULL;
    2133           0 :     case LOW_PREC: return gen_1;
    2134             :   }
    2135             : 
    2136          14 :   fkc = gmul(fk, cxnorm(tau));
    2137          14 :   switch(myroundr(&fkc))
    2138             :   {
    2139           0 :     case NO: return NULL;
    2140           0 :     case LOW_PREC: return gen_1;
    2141             :   }
    2142             : 
    2143             :   /* tau is a root of fk (X^2 - b X + c) \in Z[X],  */
    2144          14 :   F = Q_primpart(mkvec3(fk, fkb, fkc));
    2145          14 :   dF = qfb_disc3(gel(F,1), gel(F,2), gel(F,3));
    2146             :   /* = disc tau, E has CM by orders of disc dF q^2, all q */
    2147          14 :   q = dvmdii(dF, D, &r);
    2148          14 :   if (r != gen_0 || !Z_issquareall(q, &q)) return NULL;
    2149             :   /* disc(Q) = disc(tau) (v / q)^2 */
    2150          14 :   v = dvmdii(absi_shallow(v), q, &r);
    2151          14 :   if (r != gen_0) return NULL;
    2152          14 :   return is_pm1(v)? gen_1: v; /* E has CM by Q/q: [Q] = [q] o [Q/q] */
    2153             : }
    2154             : 
    2155             : /* [a + w] z, a integral, w pure imaginary */
    2156             : static GEN
    2157          14 : ellmul_CM_aux(GEN e, GEN z, GEN a, GEN w)
    2158             : {
    2159             :   GEN A, B, q;
    2160          14 :   if (typ(a) != t_INT) pari_err_TYPE("ellmul_Z",a);
    2161          14 :   q = CM_factor(e, w);
    2162          14 :   if (!q) pari_err_TYPE("ellmul [not a complex multiplication]",w);
    2163          14 :   if (q != gen_1) w = gdiv(w, q);
    2164             :   /* compute [a + q w] z, z has CM by w */
    2165          14 :   if (typ(w) == t_QUAD && is_pm1(gel(gel(w,1), 3)))
    2166             :   { /* replace w by w - u, u in Z, so that N(w-u) is minimal
    2167             :      * N(w - u) = N w - Tr w u + u^2, minimal for u = Tr w / 2 */
    2168           7 :     GEN u = gtrace(w);
    2169           7 :     if (typ(u) != t_INT) pari_err_TYPE("ellmul_CM",w);
    2170           7 :     u = shifti(u, -1);
    2171           7 :     if (signe(u))
    2172             :     {
    2173           0 :       w = gsub(w, u);
    2174           0 :       a = addii(a, mulii(q,u));
    2175             :     }
    2176             :     /* [a + w]z = [(a + qu)] z + [q] [(w - u)] z */
    2177             :   }
    2178          14 :   A = ellmul_Z(e,z,a);
    2179          14 :   B = ellmul_CM(e,z,w);
    2180          14 :   if (q != gen_1) B = ellmul_Z(e, B, q);
    2181          14 :   return elladd(e, A, B);
    2182             : }
    2183             : GEN
    2184      248865 : ellmul(GEN e, GEN z, GEN n)
    2185             : {
    2186      248865 :   pari_sp av = avma;
    2187             : 
    2188      248865 :   checkell(e); checkellpt(z);
    2189      248857 :   if (ell_is_inf(z)) return ellinf();
    2190      248801 :   switch(typ(n))
    2191             :   {
    2192      248787 :     case t_INT: return gerepilecopy(av, ellmul_Z(e,z,n));
    2193          14 :     case t_QUAD: {
    2194          14 :       GEN pol = gel(n,1), a = gel(n,2), b = gel(n,3);
    2195          14 :       if (signe(gel(pol,2)) < 0) pari_err_TYPE("ellmul_CM",n); /* disc > 0 ? */
    2196          14 :       return gerepileupto(av, ellmul_CM_aux(e,z,a,mkquad(pol, gen_0,b)));
    2197             :     }
    2198           0 :     case t_COMPLEX: {
    2199           0 :       GEN a = gel(n,1), b = gel(n,2);
    2200           0 :       return gerepileupto(av, ellmul_CM_aux(e,z,a,mkcomplex(gen_0,b)));
    2201             :     }
    2202             :   }
    2203           0 :   pari_err_TYPE("ellmul (non integral, non CM exponent)",n);
    2204             :   return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
    2205             : }
    2206             : 
    2207             : /********************************************************************/
    2208             : /**                                                                **/
    2209             : /**                       Periods                                  **/
    2210             : /**                                                                **/
    2211             : /********************************************************************/
    2212             : 
    2213             : /* References:
    2214             :   The complex AGM, periods of elliptic curves over C and complex elliptic logarithms
    2215             :   John E. Cremona, Thotsaphon Thongjunthug, arXiv:1011.0914
    2216             : */
    2217             : 
    2218             : static GEN
    2219        4825 : ellomega_agm(GEN a, GEN b, GEN c, long prec)
    2220             : {
    2221        4825 :   GEN pi = mppi(prec), mIpi = mkcomplex(gen_0, negr(pi));
    2222        4825 :   GEN Mac = agm(a,c,prec), Mbc = agm(b,c,prec);
    2223        4825 :   retmkvec2(gdiv(pi, Mac), gdiv(mIpi, Mbc));
    2224             : }
    2225             : 
    2226             : static GEN
    2227        3319 : ellomega_cx(GEN E, long prec)
    2228             : {
    2229        3319 :   pari_sp av = avma;
    2230        3319 :   GEN roots = ellR_roots(E, prec + EXTRAPRECWORD);
    2231        3319 :   GEN d1=gel(roots,4), d2=gel(roots,5), d3=gel(roots,6);
    2232        3319 :   GEN a = gsqrt(d3,prec), b = gsqrt(d1,prec), c = gsqrt(d2,prec);
    2233        3319 :   return gerepileupto(av, ellomega_agm(a,b,c,prec));
    2234             : }
    2235             : 
    2236             : /* return [w1,w2] for E / R; w1 > 0 is real.
    2237             :  * If e.disc > 0, w2 = -I r; else w2 = w1/2 - I r, for some real r > 0.
    2238             :  * => tau = w1/w2 is in upper half plane */
    2239             : static GEN
    2240        4825 : doellR_omega(GEN E, long prec)
    2241             : {
    2242        4825 :   pari_sp av = avma;
    2243             :   GEN roots, d2, z, a, b, c;
    2244        4825 :   if (ellR_get_sign(E) >= 0) return ellomega_cx(E,prec);
    2245        1506 :   roots = ellR_roots(E,prec + EXTRAPRECWORD);
    2246        1506 :   d2 = gel(roots,5);
    2247        1506 :   z = gsqrt(d2,prec); /* imag(e1-e3) > 0, so that b > 0*/
    2248        1506 :   a = gel(z,1); /* >= 0 */
    2249        1506 :   b = gel(z,2);
    2250        1506 :   c = gabs(z, prec);
    2251        1506 :   z = ellomega_agm(a,b,c,prec);
    2252        1506 :   return gerepilecopy(av, mkvec2(gel(z,1),gmul2n(gadd(gel(z,1),gel(z,2)),-1)));
    2253             : }
    2254             : static GEN
    2255          70 : doellR_eta(GEN E, long prec)
    2256          70 : { GEN w = ellR_omega(E, prec + EXTRAPRECWORD); return elleta(w, prec); }
    2257             : 
    2258             : GEN
    2259        7245 : ellR_omega(GEN E, long prec)
    2260        7245 : { return obj_checkbuild_realprec(E, R_PERIODS, &doellR_omega, prec); }
    2261             : GEN
    2262          84 : ellR_eta(GEN E, long prec)
    2263          84 : { return obj_checkbuild_realprec(E, R_ETA, &doellR_eta, prec); }
    2264             : GEN
    2265       30648 : ellR_roots(GEN E, long prec)
    2266       30648 : { return obj_checkbuild_realprec(E, R_ROOTS, &doellR_roots, prec); }
    2267             : 
    2268             : GEN
    2269        2450 : ellR_area(GEN E, long prec)
    2270             : {
    2271        2450 :   pari_sp av = avma;
    2272             :   GEN w, w1, w2, a,b,c,d;
    2273        2450 :   w = ellR_omega(E, prec);
    2274        2450 :   w1 = gel(w,1); a = real_i(w1); b = imag_i(w1);
    2275        2450 :   w2 = gel(w,2); c = real_i(w2); d = imag_i(w2);
    2276        2450 :   return gerepileupto(av, gabs(gsub(gmul(a,d),gmul(b,c)), prec));
    2277             : }
    2278             : 
    2279             : /********************************************************************/
    2280             : /**                                                                **/
    2281             : /**                       ELLIPTIC FUNCTIONS                       **/
    2282             : /**                                                                **/
    2283             : /********************************************************************/
    2284             : /* P = [x,0] is 2-torsion on y^2 = g(x). Return w1/2, (w1+w2)/2, or w2/2
    2285             :  * depending on whether x is closest to e1,e2, or e3, the 3 complex root of g */
    2286             : static GEN
    2287          14 : zell_closest_0(GEN om, GEN x, GEN ro)
    2288             : {
    2289          14 :   GEN e1 = gel(ro,1), e2 = gel(ro,2), e3 = gel(ro,3);
    2290          14 :   GEN d1 = gnorm(gsub(x,e1));
    2291          14 :   GEN d2 = gnorm(gsub(x,e2));
    2292          14 :   GEN d3 = gnorm(gsub(x,e3));
    2293          14 :   GEN z = gel(om,2);
    2294          14 :   if (gcmp(d1, d2) <= 0)
    2295           0 :   { if (gcmp(d1, d3) <= 0) z = gel(om,1); }
    2296             :   else
    2297          14 :   { if (gcmp(d2, d3)<=0) z = gadd(gel(om,1),gel(om,2)); }
    2298          14 :   return gmul2n(z, -1);
    2299             : }
    2300             : 
    2301             : static GEN
    2302          35 : zellcx(GEN E, GEN P, long prec)
    2303             : {
    2304          35 :   GEN R = ellR_roots(E, prec+EXTRAPRECWORD);
    2305          35 :   GEN x0 = gel(P,1), y0 = ec_dmFdy_evalQ(E,P);
    2306          35 :   if (gequal0(y0))
    2307           0 :     return zell_closest_0(ellomega_cx(E,prec),x0,R);
    2308             :   else
    2309             :   {
    2310          35 :     GEN e2 = gel(R,2), e3 = gel(R,3), d2 = gel(R,5), d3 = gel(R,6);
    2311          35 :     GEN a = gsqrt(d2,prec), b = gsqrt(d3,prec);
    2312          35 :     GEN r = gsqrt(gdiv(gsub(x0,e3), gsub(x0,e2)),prec);
    2313          35 :     GEN t = gdiv(gneg(y0), gmul2n(gmul(r,gsub(x0,e2)),1));
    2314          35 :     GEN ar = real_i(a), br = real_i(b), ai = imag_i(a), bi = imag_i(b);
    2315             :     /* |a+b| < |a-b| */
    2316          35 :     if (gcmp(gmul(ar,br), gneg(gmul(ai,bi))) < 0) b = gneg(b);
    2317          35 :     return zellagmcx(a,b,r,t,prec);
    2318             :   }
    2319             : }
    2320             : 
    2321             : /* Assume E/R, disc E < 0, and P \in E(R) ==> z \in R */
    2322             : static GEN
    2323           0 : zellrealneg(GEN E, GEN P, long prec)
    2324             : {
    2325           0 :   GEN x0 = gel(P,1), y0 = ec_dmFdy_evalQ(E,P);
    2326           0 :   if (gequal0(y0)) return gmul2n(gel(ellR_omega(E,prec),1),-1);
    2327             :   else
    2328             :   {
    2329           0 :     GEN R = ellR_roots(E, prec+EXTRAPRECWORD);
    2330           0 :     GEN d2 = gel(R,5), e3 = gel(R,3);
    2331           0 :     GEN a = gsqrt(d2,prec);
    2332           0 :     GEN z = gsqrt(gsub(x0,e3), prec);
    2333           0 :     GEN ar = real_i(a), zr = real_i(z), ai = imag_i(a), zi = imag_i(z);
    2334           0 :     GEN t = gdiv(gneg(y0), gmul2n(gnorm(z),1));
    2335           0 :     GEN r2 = ginv(gsqrt(gaddsg(1,gdiv(gmul(ai,zi),gmul(ar,zr))),prec));
    2336           0 :     return zellagmcx(ar,gabs(a,prec),r2,gmul(t,r2),prec);
    2337             :   }
    2338             : }
    2339             : 
    2340             : /* Assume E/R, disc E > 0, and P \in E(R) */
    2341             : static GEN
    2342          28 : zellrealpos(GEN E, GEN P, long prec)
    2343             : {
    2344          28 :   GEN R = ellR_roots(E, prec+EXTRAPRECWORD);
    2345          28 :   GEN d2,d3,e1,e2,e3, a,b, x0 = gel(P,1), y0 = ec_dmFdy_evalQ(E,P);
    2346          28 :   if (gequal0(y0)) return zell_closest_0(ellR_omega(E,prec), x0,R);
    2347          14 :   e1 = gel(R,1);
    2348          14 :   e2 = gel(R,2);
    2349          14 :   e3 = gel(R,3);
    2350          14 :   d2 = gel(R,5);
    2351          14 :   d3 = gel(R,6);
    2352          14 :   a = gsqrt(d2,prec);
    2353          14 :   b = gsqrt(d3,prec);
    2354          14 :   if (gcmp(x0,e1)>0) {
    2355           7 :     GEN r = gsqrt(gdiv(gsub(x0,e3), gsub(x0,e2)),prec);
    2356           7 :     GEN t = gdiv(gneg(y0), gmul2n(gmul(r,gsub(x0,e2)),1));
    2357           7 :     return zellagmcx(a,b,r,t,prec);
    2358             :   } else {
    2359           7 :     GEN om = ellR_omega(E,prec);
    2360           7 :     GEN r = gdiv(a,gsqrt(gsub(e1,x0),prec));
    2361           7 :     GEN t = gdiv(gmul(r,y0),gmul2n(gsub(x0,e3),1));
    2362           7 :     return gsub(zellagmcx(a,b,r,t,prec),gmul2n(gel(om,2),-1));
    2363             :   }
    2364             : }
    2365             : 
    2366             : static void
    2367           7 : ellQp_P2t_err(GEN E, GEN z)
    2368             : {
    2369           7 :   if (typ(ellQp_u(E,1)) == t_POLMOD)
    2370           7 :     pari_err_IMPL("ellpointtoz when u not in Qp");
    2371           0 :   pari_err_DOMAIN("ellpointtoz", "point", "not on", strtoGENstr("E"),z);
    2372           0 : }
    2373             : static GEN
    2374         161 : get_r0(GEN E, long prec)
    2375             : {
    2376         161 :   GEN b2 = ell_get_b2(E), e1 = ellQp_root(E, prec);
    2377         161 :   return gadd(e1,gmul2n(b2,-2));
    2378             : }
    2379             : static GEN
    2380         112 : ellQp_P2t(GEN E, GEN P, long prec)
    2381             : {
    2382         112 :   pari_sp av = avma;
    2383             :   GEN a, b, ab, c0, r0, ar, r, x, delta, x1, y1, t, u, q;
    2384             :   long vq, vt, Q, R;
    2385         112 :   if (ell_is_inf(P)) return gen_1;
    2386         105 :   ab = ellQp_ab(E, prec); a = gel(ab,1); b = gel(ab,2);
    2387         105 :   u = ellQp_u(E, prec);
    2388         105 :   q = ellQp_q(E, prec);
    2389         105 :   x = gel(P,1);
    2390         105 :   r0 = get_r0(E, prec);
    2391         105 :   c0 = gadd(x, gmul2n(r0,-1));
    2392         105 :   if (typ(c0) != t_PADIC) pari_err_TYPE("ellpointtoz",P);
    2393          98 :   r = gsub(a,b);
    2394          98 :   ar = gmul(a, r);
    2395          98 :   if (gequal0(c0))
    2396             :   {
    2397           7 :     x1 = Qp_sqrt(gneg(ar));
    2398           7 :     if (!x1) ellQp_P2t_err(E,P);
    2399             :   }
    2400             :   else
    2401             :   {
    2402          91 :     delta = gdiv(ar, gsqr(c0));
    2403          91 :     t = Qp_sqrt(gsubsg(1,gmul2n(delta,2)));
    2404          91 :     if (!t) ellQp_P2t_err(E,P);
    2405          84 :     x1 = gmul(gmul2n(c0,-1), gaddsg(1,t));
    2406             :   }
    2407          91 :   y1 = gdiv(gmul2n(ec_dmFdy_evalQ(E,P), -1), gsubsg(1, gdiv(ar, gsqr(x1))));
    2408          91 :   Qp_descending_Landen(ellQp_AGM(E,prec), &x1,&y1);
    2409             : 
    2410          91 :   t = gmul(u, gmul2n(y1,1)); /* 2u y_oo */
    2411          91 :   t = gdiv(gsub(t, x1), gadd(t, x1));
    2412             :   /* Reduce mod q^Z: we want 0 <= v(t) < v(q) */
    2413          91 :   if (typ(t) == t_PADIC)
    2414          56 :     vt = valp(t);
    2415             :   else
    2416          35 :     vt = valp(gnorm(t)) / 2; /* v(t) = v(Nt) / (e*f) */
    2417          91 :   vq = valp(q); /* > 0 */
    2418          91 :   Q = vt / vq; R = vt % vq; if (R < 0) Q--;
    2419          91 :   if (Q) t = gdiv(t, gpowgs(q,Q));
    2420          91 :   if (padicprec_relative(t) > prec) t = gprec(t, prec);
    2421          91 :   return gerepileupto(av, t);
    2422             : }
    2423             : 
    2424             : static GEN
    2425          56 : ellQp_t2P(GEN E, GEN t, long prec)
    2426             : {
    2427          56 :   pari_sp av = avma;
    2428             :   GEN AB, A, R, x0,x1, y0,y1, u, u2, r0, s0, ar;
    2429             :   long v;
    2430          56 :   if (gequal1(t)) return ellinf();
    2431             : 
    2432          56 :   AB = ellQp_AGM(E,prec); A = gel(AB,1); R = gel(AB,3); v = itos(gel(AB,4));
    2433          56 :   u = ellQp_u(E,prec);
    2434          56 :   u2= ellQp_u2(E,prec);
    2435          56 :   x1 = gdiv(t, gmul(u2, gsqr(gsubsg(1,t))));
    2436          56 :   y1 = gdiv(gmul(x1,gaddsg(1,t)), gmul(gmul2n(u,1),gsubsg(1,t)));
    2437          56 :   Qp_ascending_Landen(AB, &x1,&y1);
    2438          56 :   r0 = get_r0(E, prec);
    2439             : 
    2440          56 :   ar = gmul(gel(A,1), gel(R,1)); setvalp(ar, valp(ar)+v);
    2441          56 :   x0 = gsub(gadd(x1, gdiv(ar, x1)), gmul2n(r0,-1));
    2442          56 :   s0 = gmul2n(ec_h_evalx(E, x0), -1);
    2443          56 :   y0 = gsub(gmul(y1, gsubsg(1, gdiv(ar,gsqr(x1)))), s0);
    2444          56 :   return gerepilecopy(av, mkvec2(x0,y0));
    2445             : }
    2446             : 
    2447             : static GEN
    2448          63 : zell_i(GEN e, GEN z, long prec)
    2449             : {
    2450             :   GEN t;
    2451             :   long s;
    2452          63 :   (void)ellR_omega(e, prec); /* type checking */
    2453          63 :   if (ell_is_inf(z)) return gen_0;
    2454          63 :   s = ellR_get_sign(e);
    2455          63 :   if (s && typ(gel(z,1))!=t_COMPLEX && typ(gel(z,2))!=t_COMPLEX)
    2456          28 :     t = (s < 0)? zellrealneg(e,z,prec): zellrealpos(e,z,prec);
    2457             :   else
    2458          35 :     t = zellcx(e,z,prec);
    2459          63 :   return t;
    2460             : }
    2461             : static GEN ellnfembed(GEN E, long prec);
    2462             : static GEN ellpointnfembed(GEN E, GEN P, long prec);
    2463             : static void ellnfembed_free(GEN L);
    2464             : GEN
    2465         168 : zell(GEN E, GEN P, long prec)
    2466             : {
    2467         168 :   pari_sp av = avma;
    2468         168 :   checkell(E); checkellpt(P);
    2469         168 :   switch(ell_get_type(E))
    2470             :   {
    2471         112 :     case t_ELL_Qp:
    2472         112 :       prec = minss(ellQp_get_prec(E), padicprec_relative(P));
    2473         112 :       return ellQp_P2t(E, P, prec);
    2474           7 :     case t_ELL_NF:
    2475             :     {
    2476           7 :       GEN Ee = ellnfembed(E, prec), Pe = ellpointnfembed(E, P, prec);
    2477           7 :       long i, l = lg(Pe);
    2478          21 :       for (i = 1; i < l; i++) gel(Pe,i) = zell_i(gel(Ee,i), gel(Pe,i), prec);
    2479           7 :       ellnfembed_free(Ee); return gerepilecopy(av, Pe);
    2480             :     }
    2481          14 :     case t_ELL_Q: break;
    2482          35 :     case t_ELL_Rg: break;
    2483           0 :     default: pari_err_TYPE("ellpointtoz", E);
    2484             :   }
    2485          49 :   return gerepileupto(av, zell_i(E, P, prec));
    2486             : }
    2487             : 
    2488             : enum period_type { t_PER_W, t_PER_WETA, t_PER_ELL };
    2489             : /* normalization / argument reduction for ellptic functions */
    2490             : typedef struct {
    2491             :   enum period_type type;
    2492             :   GEN in; /* original input */
    2493             :   GEN w1,w2,tau; /* original basis for L = <w1,w2> = w2 <1,tau> */
    2494             :   GEN W1,W2,Tau; /* new basis for L = <W1,W2> = W2 <1,tau> */
    2495             :   GEN a,b,c,d; /* t_INT; tau in F = h/Sl2, tau = g.t, g=[a,b;c,d] in SL(2,Z) */
    2496             :   GEN z,Z; /* z/w2 defined mod <1,tau>, Z = z/w2 + x*tau+y reduced mod <1,tau>*/
    2497             :   GEN x,y; /* t_INT */
    2498             :   int swap; /* 1 if we swapped w1 and w2 */
    2499             :   int some_q_is_real; /* exp(2iPi g.tau) for some g \in SL(2,Z) */
    2500             :   int some_z_is_real; /* z + xw1 + yw2 is real for some x,y \in Z */
    2501             :   int some_z_is_pure_imag; /* z + xw1 + yw2 in i*R */
    2502             :   int q_is_real; /* exp(2iPi tau) \in R */
    2503             :   int abs_u_is_1; /* |exp(2iPi Z)| = 1 */
    2504             :   long prec; /* precision(Z) */
    2505             :   long prec0; /* required precision for result */
    2506             : } ellred_t;
    2507             : 
    2508             : /* compute g in SL_2(Z), g.t is in the usual
    2509             :    fundamental domain. Internal function no check, no garbage. */
    2510             : static void
    2511       24668 : set_gamma(GEN *pt, GEN *pa, GEN *pb, GEN *pc, GEN *pd)
    2512             : {
    2513       24668 :   GEN a, b, c, d, t, t0 = *pt, run = dbltor(1. - 1e-8);
    2514       24668 :   long e = gexpo(gel(t0,2));
    2515       24668 :   if (e < 0) t0 = gprec_wensure(t0, precision(t0)+nbits2extraprec(-e));
    2516       24668 :   t = t0;
    2517       24668 :   a = d = gen_1;
    2518       24668 :   b = c = gen_0;
    2519             :   for(;;)
    2520       22071 :   {
    2521       46739 :     GEN m, n = ground(gel(t,1));
    2522       46739 :     if (signe(n))
    2523             :     { /* apply T^n */
    2524       27696 :       t = gsub(t,n);
    2525       27696 :       a = subii(a, mulii(n,c));
    2526       27696 :       b = subii(b, mulii(n,d));
    2527             :     }
    2528       46739 :     m = cxnorm(t); if (gcmp(m,run) > 0) break;
    2529       22071 :     t = gneg_i(gdiv(conj_i(t), m)); /* apply S */
    2530       22071 :     togglesign_safe(&c); swap(a,c);
    2531       22071 :     togglesign_safe(&d); swap(b,d);
    2532             :   }
    2533       24668 :   if (e < 0 && (signe(b) || signe(c))) *pt = t0;
    2534       24668 :   *pa = a; *pb = b; *pc = c; *pd = d;
    2535       24668 : }
    2536             : /* Im z > 0. Return U.z in PSl2(Z)'s standard fundamental domain.
    2537             :  * Set *pU to U. */
    2538             : GEN
    2539        9135 : cxredsl2_i(GEN z, GEN *pU, GEN *czd)
    2540             : {
    2541             :   GEN a,b,c,d;
    2542        9135 :   set_gamma(&z, &a, &b, &c, &d);
    2543        9135 :   *pU = mkmat2(mkcol2(a,c), mkcol2(b,d));
    2544        9135 :   *czd = gadd(gmul(c,z), d);
    2545        9135 :   return gdiv(gadd(gmul(a,z), b), *czd);
    2546             : }
    2547             : GEN
    2548        9100 : cxredsl2(GEN t, GEN *pU)
    2549             : {
    2550        9100 :   pari_sp av = avma;
    2551             :   GEN czd;
    2552        9100 :   t = cxredsl2_i(t, pU, &czd);
    2553        9100 :   gerepileall(av, 2, &t, pU); return t;
    2554             : }
    2555             : 
    2556             : /* swap w1, w2 so that Im(t := w1/w2) > 0. Set tau = representative of t in
    2557             :  * the standard fundamental domain, and g in Sl_2, such that tau = g.t */
    2558             : static void
    2559       15533 : red_modSL2(ellred_t *T, long prec)
    2560             : {
    2561             :   long s, p;
    2562       15533 :   T->tau = gdiv(T->w1,T->w2);
    2563       15533 :   if (isintzero(real_i(T->tau))) T->some_q_is_real = 1;
    2564       15533 :   s = gsigne(imag_i(T->tau));
    2565       15533 :   if (!s) pari_err_DOMAIN("elliptic function", "det(w1,w2)", "=", gen_0,
    2566             :                           mkvec2(T->w1,T->w2));
    2567       15533 :   T->swap = (s < 0);
    2568       15533 :   if (T->swap) { swap(T->w1, T->w2); T->tau = ginv(T->tau); }
    2569       15533 :   p = precision(T->tau); T->prec0 = p? p: prec;
    2570       15533 :   set_gamma(&T->tau, &T->a, &T->b, &T->c, &T->d);
    2571             :   /* update lattice */
    2572       15533 :   p = precision(T->tau);
    2573       15533 :   if (p)
    2574             :   {
    2575       15155 :     T->w1 = gprec_wensure(T->w1, p);
    2576       15155 :     T->w2 = gprec_wensure(T->w2, p);
    2577             :   }
    2578       15533 :   T->W1 = gadd(gmul(T->a,T->w1), gmul(T->b,T->w2));
    2579       15533 :   T->W2 = gadd(gmul(T->c,T->w1), gmul(T->d,T->w2));
    2580       15533 :   T->Tau = gdiv(T->W1, T->W2);
    2581       15533 :   if (isintzero(real_i(T->Tau))) T->some_q_is_real = T->q_is_real = 1;
    2582       15533 :   p = precision(T->Tau); T->prec = p? p: prec;
    2583       15533 : }
    2584             : /* is z real or pure imaginary ? */
    2585             : static void
    2586       17514 : check_complex(GEN z, int *real, int *imag)
    2587             : {
    2588       17514 :   if (typ(z) != t_COMPLEX)      { *real = 1; *imag = 0; }
    2589       11655 :   else if (isintzero(gel(z,1))) { *real = 0; *imag = 1; }
    2590       10682 :   else *real = *imag = 0;
    2591       17514 : }
    2592             : static void
    2593       10857 : reduce_z(GEN z, ellred_t *T)
    2594             : {
    2595             :   GEN x, Z;
    2596             :   long p, e;
    2597       10857 :   switch(typ(z))
    2598             :   {
    2599       10857 :     case t_INT: case t_REAL: case t_FRAC: case t_COMPLEX: break;
    2600           0 :     case t_QUAD:
    2601           0 :       z = isexactzero(gel(z,2))? gel(z,1): quadtofp(z, T->prec);
    2602           0 :       break;
    2603           0 :     default: pari_err_TYPE("reduction mod 2-dim lattice (reduce_z)", z);
    2604             :   }
    2605       10857 :   Z = gdiv(z, T->W2);
    2606       10857 :   T->z = z;
    2607       10857 :   x = gdiv(imag_i(Z), imag_i(T->Tau));
    2608       10857 :   T->x = grndtoi(x, &e); /* |Im(Z - x*Tau)| <= Im(Tau)/2 */
    2609             :   /* Avoid Im(Z) << 0; take 0 <= Im(Z - x*Tau) < Im(Tau) instead.
    2610             :    * Leave round when Im(Z - x*Tau) ~ 0 to allow detecting Z in <1,Tau>
    2611             :    * at the end */
    2612       10857 :   if (e > -10) T->x = gfloor(x);
    2613       10857 :   if (signe(T->x)) Z = gsub(Z, gmul(T->x,T->Tau));
    2614       10857 :   T->y = ground(real_i(Z));/* |Re(Z - y)| <= 1/2 */
    2615       10857 :   if (signe(T->y)) Z = gsub(Z, T->y);
    2616       10857 :   T->abs_u_is_1 = (typ(Z) != t_COMPLEX);
    2617             :   /* Z = - y - x tau + z/W2, x,y integers */
    2618       10857 :   check_complex(z, &(T->some_z_is_real), &(T->some_z_is_pure_imag));
    2619       10857 :   if (!T->some_z_is_real && !T->some_z_is_pure_imag)
    2620             :   {
    2621             :     int W2real, W2imag;
    2622        5334 :     check_complex(T->W2,&W2real,&W2imag);
    2623        5334 :     if (W2real)
    2624         399 :       check_complex(Z, &(T->some_z_is_real), &(T->some_z_is_pure_imag));
    2625        4935 :     else if (W2imag)
    2626         854 :       check_complex(Z, &(T->some_z_is_pure_imag), &(T->some_z_is_real));
    2627             :   }
    2628       10857 :   p = precision(Z);
    2629       10857 :   if (gequal0(Z) || (p && gexpo(Z) < 5 - prec2nbits(p))) Z = NULL; /*z in L*/
    2630       10857 :   if (p && p < T->prec) T->prec = p;
    2631       10857 :   T->Z = Z;
    2632       10857 : }
    2633             : /* return x.eta1 + y.eta2 */
    2634             : static GEN
    2635        8904 : eta_correction(ellred_t *T, GEN eta)
    2636             : {
    2637        8904 :   GEN y1 = NULL, y2 = NULL;
    2638        8904 :   if (signe(T->x)) y1 = gmul(T->x, gel(eta,1));
    2639        8904 :   if (signe(T->y)) y2 = gmul(T->y, gel(eta,2));
    2640        8904 :   if (!y1) return y2? y2: gen_0;
    2641        6650 :   return y2? gadd(y1, y2): y1;
    2642             : }
    2643             : /* e is either
    2644             :  * - [w1,w2]
    2645             :  * - [[w1,w2],[eta1,eta2]]
    2646             :  * - an ellinit structure */
    2647             : static void
    2648       15533 : compute_periods(ellred_t *T, GEN z, long prec)
    2649             : {
    2650             :   GEN w, e;
    2651       15533 :   T->q_is_real = 0;
    2652       15533 :   T->some_q_is_real = 0;
    2653       15533 :   switch(T->type)
    2654             :   {
    2655        1988 :     case t_PER_ELL:
    2656             :     {
    2657        1988 :       long pr, p = prec;
    2658        1988 :       if (z && (pr = precision(z))) p = pr;
    2659        1988 :       e = T->in;
    2660        1988 :       w = ellR_omega(e, p);
    2661        1988 :       T->some_q_is_real = T->q_is_real = 1;
    2662        1988 :       break;
    2663             :     }
    2664       13363 :     case t_PER_W:
    2665       13363 :       w = T->in; break;
    2666         182 :     default: /*t_PER_WETA*/
    2667         182 :       w = gel(T->in,1); break;
    2668             :   }
    2669       15533 :   T->w1 = gel(w,1);
    2670       15533 :   T->w2 = gel(w,2);
    2671       15533 :   red_modSL2(T, prec);
    2672       15533 :   if (z) reduce_z(z, T);
    2673       15533 : }
    2674             : static int
    2675       15540 : check_periods(GEN e, ellred_t *T)
    2676             : {
    2677             :   GEN w1;
    2678       15540 :   if (typ(e) != t_VEC) return 0;
    2679       15540 :   T->in = e;
    2680       15540 :   switch(lg(e))
    2681             :   {
    2682        1995 :     case 17:
    2683        1995 :       T->type = t_PER_ELL;
    2684        1995 :       break;
    2685       13545 :     case 3:
    2686       13545 :       w1 = gel(e,1);
    2687       13545 :       if (typ(w1) != t_VEC)
    2688       13363 :         T->type = t_PER_W;
    2689             :       else
    2690             :       {
    2691         182 :         if (lg(w1) != 3) return 0;
    2692         182 :         T->type = t_PER_WETA;
    2693             :       }
    2694       13545 :       break;
    2695           0 :     default: return 0;
    2696             :   }
    2697       15540 :   return 1;
    2698             : }
    2699             : static int
    2700       15456 : get_periods(GEN e, GEN z, ellred_t *T, long prec)
    2701             : {
    2702       15456 :   if (!check_periods(e, T)) return 0;
    2703       15456 :   compute_periods(T, z, prec); return 1;
    2704             : }
    2705             : 
    2706             : /* 2iPi/x, more efficient when x pure imaginary */
    2707             : static GEN
    2708       24486 : PiI2div(GEN x, long prec) { return gdiv(Pi2n(1, prec), mulcxmI(x)); }
    2709             : /* (2iPi/W2)^k E_k(W1/W2) */
    2710             : static GEN
    2711       13580 : _elleisnum(ellred_t *T, long k)
    2712             : {
    2713       13580 :   GEN z = gmul(cxEk(T->Tau, k, T->prec), gpowgs(PiI2div(T->W2, T->prec), k));
    2714       13580 :   return cxtoreal(z);
    2715             : }
    2716             : 
    2717             : /* Return (2iPi)^k E_k(L) = (2iPi/w2)^k E_k(tau), with L = <w1,w2>, k > 0 even
    2718             :  * E_k(tau) = 1 + 2/zeta(1-k) * sum(n>=1, n^(k-1) q^n/(1-q^n))
    2719             :  * If flag is != 0 and k=4 or 6, compute g2 = E4/12 or g3 = -E6/216 resp. */
    2720             : GEN
    2721        4459 : elleisnum(GEN om, long k, long flag, long prec)
    2722             : {
    2723        4459 :   pari_sp av = avma;
    2724             :   GEN y;
    2725             :   ellred_t T;
    2726             : 
    2727        4459 :   if (k<=0) pari_err_DOMAIN("elleisnum", "k", "<=", gen_0, stoi(k));
    2728        4459 :   if (k&1) pari_err_DOMAIN("elleisnum", "k % 2", "!=", gen_0, stoi(k));
    2729        4459 :   if (!get_periods(om, NULL, &T, prec)) pari_err_TYPE("elleisnum",om);
    2730        4459 :   y = _elleisnum(&T, k);
    2731        4459 :   if (k==2 && signe(T.c))
    2732        4025 :   {
    2733        4025 :     GEN a = gmul(Pi2n(1,T.prec), mului(12, T.c));
    2734        4025 :     y = gsub(y, mulcxI(gdiv(a, gmul(T.w2, T.W2))));
    2735             :   }
    2736         434 :   else if (k==4 && flag) y = gdivgs(y,  12);
    2737         406 :   else if (k==6 && flag) y = gdivgs(y,-216);
    2738        4459 :   return gerepilecopy(av, gprec_wtrunc(y, T.prec0));
    2739             : }
    2740             : 
    2741             : /* return quasi-periods attached to [T->W1,T->W2] */
    2742             : static GEN
    2743        8939 : _elleta(ellred_t *T)
    2744             : {
    2745        8939 :   GEN y1, y2, e2 = gdivgs(_elleisnum(T,2), -12);
    2746        8939 :   y2 = gmul(T->W2, e2);
    2747        8939 :   y1 = gsub(gmul(T->W1,e2), PiI2div(T->W2, T->prec));
    2748        8939 :   retmkvec2(y1, y2);
    2749             : }
    2750             : 
    2751             : /* compute eta1, eta2 */
    2752             : GEN
    2753          84 : elleta(GEN om, long prec)
    2754             : {
    2755          84 :   pari_sp av = avma;
    2756             :   GEN y1, y2, E2, pi;
    2757             :   ellred_t T;
    2758             : 
    2759          84 :   if (!check_periods(om, &T))
    2760             :   {
    2761           0 :     pari_err_TYPE("elleta",om);
    2762             :     return NULL;/*LCOV_EXCL_LINE*/
    2763             :   }
    2764          84 :   if (T.type == t_PER_ELL) return ellR_eta(om, prec);
    2765             : 
    2766          77 :   compute_periods(&T, NULL, prec);
    2767          77 :   prec = T.prec;
    2768          77 :   pi = mppi(prec);
    2769          77 :   E2 = cxEk(T.Tau, 2, prec); /* E_2(Tau) */
    2770          77 :   if (signe(T.c))
    2771             :   {
    2772          21 :     GEN u = gdiv(T.w2, T.W2);
    2773             :     /* E2 := u^2 E2 + 6iuc/pi = E_2(tau) */
    2774          21 :     E2 = gadd(gmul(gsqr(u), E2), mulcxI(gdiv(gmul(mului(6,T.c), u), pi)));
    2775             :   }
    2776          77 :   y2 = gdiv(gmul(E2, sqrr(pi)), gmulsg(3, T.w2));
    2777          77 :   if (T.swap)
    2778             :   {
    2779           7 :     y1 = y2;
    2780           7 :     y2 = gadd(gmul(T.tau,y1), PiI2div(T.w2, prec));
    2781             :   }
    2782             :   else
    2783          70 :     y1 = gsub(gmul(T.tau,y2), PiI2div(T.w2, prec));
    2784          77 :   switch(typ(T.w1))
    2785             :   {
    2786          49 :     case t_INT: case t_FRAC: case t_REAL:
    2787          49 :       y1 = real_i(y1);
    2788             :   }
    2789          77 :   return gerepilecopy(av, mkvec2(y1,y2));
    2790             : }
    2791             : GEN
    2792          49 : ellperiods(GEN w, long flag, long prec)
    2793             : {
    2794          49 :   pari_sp av = avma;
    2795             :   ellred_t T;
    2796          49 :   if (!get_periods(w, NULL, &T, prec)) pari_err_TYPE("ellperiods",w);
    2797          49 :   switch(flag)
    2798             :   {
    2799          14 :     case 0: return gerepilecopy(av, mkvec2(T.W1, T.W2));
    2800          35 :     case 1: return gerepilecopy(av, mkvec2(mkvec2(T.W1, T.W2), _elleta(&T)));
    2801           0 :     default: pari_err_FLAG("ellperiods");
    2802             :              return NULL;/*LCOV_EXCL_LINE*/
    2803             :   }
    2804             : }
    2805             : 
    2806             : /* 2Pi Im(z)/log(2) */
    2807             : static double
    2808       10731 : get_toadd(GEN z) { return (2*M_PI/M_LN2)*gtodouble(imag_i(z)); }
    2809             : 
    2810             : /* computes the numerical value of wp(z | L), L = om1 Z + om2 Z
    2811             :  * return NULL if z in L.  If flall=1, compute also wp' */
    2812             : static GEN
    2813        1911 : ellwpnum_all(GEN e, GEN z, long flall, long prec)
    2814             : {
    2815             :   long toadd;
    2816        1911 :   pari_sp av = avma, av1;
    2817             :   GEN q, u, y, yp, u1, u2, qn;
    2818             :   ellred_t T;
    2819             :   int simple_case;
    2820             : 
    2821        1911 :   if (!get_periods(e, z, &T, prec)) pari_err_TYPE("ellwp",e);
    2822        1911 :   if (!T.Z) return NULL;
    2823        1890 :   prec = T.prec;
    2824             : 
    2825             :   /* Now L,Z normalized to <1,tau>. Z in fund. domain of <1, tau> */
    2826        1890 :   q = expIPiC(gmul2n(T.Tau,1), prec);
    2827        1890 :   u = expIPiC(gmul2n(T.Z,1), prec);
    2828        1890 :   u1 = gsubsg(1,u);
    2829        1890 :   u2 = gsqr(u1); /* (1-u)^2 = -4u sin^2(Pi Z) */
    2830        1890 :   if (gequal0(gnorm(u2))) return NULL; /* possible if loss of accuracy */
    2831        1890 :   y = gdiv(u,u2); /* -1/4(sin^2(Pi Z)) */
    2832        1890 :   if (T.abs_u_is_1) y = real_i(y);
    2833        1890 :   simple_case = T.abs_u_is_1 && T.q_is_real;
    2834        1890 :   y = gadd(mkfrac(gen_1, utoipos(12)), y);
    2835        1890 :   yp = flall? gen_0: NULL;
    2836        1890 :   toadd = (long)ceil(get_toadd(T.Z));
    2837             : 
    2838        1890 :   av1 = avma; qn = q;
    2839             :   for(;;)
    2840       23597 :   { /* y += u q^n [ 1/(1-q^n u)^2 + 1/(q^n-u)^2 ] - 2q^n /(1-q^n)^2 */
    2841             :     /* analogous formula for yp */
    2842       25487 :     GEN yadd, ypadd = NULL;
    2843       25487 :     GEN qnu = gmul(qn,u); /* q^n u */
    2844       25487 :     GEN a = gsubsg(1,qnu);/* 1 - q^n u */
    2845       25487 :     GEN a2 = gsqr(a);     /* (1 - q^n u)^2 */
    2846       25487 :     if (yp) ypadd = gdiv(gaddsg(1,qnu),gmul(a,a2));
    2847       25487 :     if (simple_case) /* conj(u) = 1/u: formula simplifies */
    2848         410 :       yadd = gmul2n(real_i(gdiv(u,a2)), 1);
    2849             :     else
    2850             :     {
    2851       25077 :       GEN b = gsub(qn,u);/* q^n - u */
    2852       25077 :       GEN b2 = gsqr(b);  /* (q^n - u)^2 */
    2853       25077 :       yadd = gmul(u, gadd(ginv(a2),ginv(b2)));
    2854       25077 :       if (yp) ypadd = gadd(ypadd, gdiv(gadd(qn,u),gmul(b,b2)));
    2855             :     }
    2856       25487 :     yadd = gsub(yadd, gmul2n(ginv(gsqr(gsubsg(1,qn))), 1));
    2857       25487 :     y = gadd(y, gmul(qn,yadd));
    2858       25487 :     if (yp) yp = gadd(yp, gmul(qn,ypadd));
    2859             : 
    2860       25487 :     qn = gmul(q,qn);
    2861       25487 :     if (gexpo(qn) <= - prec2nbits(prec) - 5 - toadd) break;
    2862       23597 :     if (gc_needed(av1,1))
    2863             :     {
    2864           0 :       if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"ellwp");
    2865           0 :       gerepileall(av1, flall? 3: 2, &y, &qn, &yp);
    2866             :     }
    2867             :   }
    2868        1890 :   if (yp)
    2869             :   {
    2870        1827 :     if (simple_case) yp = gsub(yp, conj_i(gmul(yp,gsqr(u))));
    2871        1827 :     yp = gadd(yp, gdiv(gaddsg(1,u), gmul(u1,u2)));
    2872             :   }
    2873             : 
    2874        1890 :   u1 = PiI2div(T.W2, prec);
    2875        1890 :   u2 = gsqr(u1);
    2876        1890 :   y = gmul(u2,y); /* y *= (2i pi / w2)^2 */
    2877        1890 :   if (T.some_q_is_real && (T.some_z_is_real || T.some_z_is_pure_imag))
    2878        1029 :     y = real_i(y);
    2879        1890 :   if (yp)
    2880             :   {
    2881        1827 :     yp = gmul(u, gmul(gmul(u1,u2),yp));/* yp *= u (2i pi / w2)^3 */
    2882        1827 :     if (T.some_q_is_real)
    2883             :     {
    2884        1827 :       if (T.some_z_is_real) yp = real_i(yp);
    2885         847 :       else if (T.some_z_is_pure_imag) yp = mkcomplex(gen_0, imag_i(yp));
    2886             :     }
    2887        1827 :     y = mkvec2(y, yp);
    2888             :   }
    2889        1890 :   return gerepilecopy(av, gprec_wtrunc(y, T.prec0));
    2890             : }
    2891             : static GEN
    2892         301 : ellwpseries_aux(GEN c4, GEN c6, long v, long PRECDL)
    2893             : {
    2894             :   long i, k, l;
    2895             :   pari_sp av;
    2896         301 :   GEN _1, t, res = cgetg(PRECDL+2,t_SER), *P = (GEN*)(res + 2);
    2897             : 
    2898         301 :   res[1] = evalsigne(1) | _evalvalp(-2) | evalvarn(v);
    2899         301 :   if (!PRECDL) { setsigne(res,0); return res; }
    2900             : 
    2901        2520 :   for (i=1; i<PRECDL; i+=2) P[i]= gen_0;
    2902         301 :   _1 = Rg_get_1(c4);
    2903         301 :   switch(PRECDL)
    2904             :   {
    2905         301 :     default:P[6] = gdivgs(c6,6048);
    2906         301 :     case 6:
    2907         301 :     case 5: P[4] = gdivgs(c4, 240);
    2908         301 :     case 4:
    2909         301 :     case 3: P[2] = gmul(_1,gen_0);
    2910         301 :     case 2:
    2911         301 :     case 1: P[0] = _1;
    2912             :   }
    2913         301 :   if (PRECDL <= 8) return res;
    2914         301 :   av = avma;
    2915         301 :   P[8] = gerepileupto(av, gdivgs(gsqr(P[4]), 3));
    2916        1085 :   for (k=5; (k<<1) < PRECDL; k++)
    2917             :   {
    2918         784 :     av = avma;
    2919         784 :     t = gmul(P[4], P[(k-2)<<1]);
    2920        1239 :     for (l=3; (l<<1) < k; l++) t = gadd(t, gmul(P[l<<1], P[(k-l)<<1]));
    2921         784 :     t = gmul2n(t, 1);
    2922         784 :     if ((k & 1) == 0) t = gadd(gsqr(P[k]), t);
    2923         784 :     if (k % 3 == 2)
    2924         273 :       t = gdivgs(gmulsg(3, t), (k-3)*(2*k+1));
    2925             :     else /* same value, more efficient */
    2926         511 :       t = gdivgs(t, ((k-3)*(2*k+1)) / 3);
    2927         784 :     P[k<<1] = gerepileupto(av, t);
    2928             :   }
    2929         301 :   return res;
    2930             : }
    2931             : 
    2932             : static int
    2933         294 : get_c4c6(GEN w, GEN *c4, GEN *c6, long prec)
    2934             : {
    2935         294 :   if (typ(w) == t_VEC) switch(lg(w))
    2936             :   {
    2937         203 :     case 17:
    2938         203 :       *c4 = ell_get_c4(w);
    2939         203 :       *c6 = ell_get_c6(w);
    2940         203 :       return 1;
    2941          91 :     case 3:
    2942             :     {
    2943             :       ellred_t T;
    2944          91 :       if (!get_periods(w,NULL,&T, prec)) break;
    2945          91 :       *c4 = _elleisnum(&T, 4);
    2946          91 :       *c6 = gneg(_elleisnum(&T, 6));
    2947          91 :       return 1;
    2948             :     }
    2949             :   }
    2950           0 :   *c4 = *c6 = NULL;
    2951           0 :   return 0;
    2952             : }
    2953             : 
    2954             : GEN
    2955          14 : ellwpseries(GEN e, long v, long PRECDL)
    2956             : {
    2957             :   GEN c4, c6;
    2958          14 :   checkell(e);
    2959          14 :   c4 = ell_get_c4(e);
    2960          14 :   c6 = ell_get_c6(e); return ellwpseries_aux(c4,c6,v,PRECDL);
    2961             : }
    2962             : 
    2963             : GEN
    2964           0 : ellwp(GEN w, GEN z, long prec)
    2965           0 : { return ellwp0(w,z,0,prec); }
    2966             : 
    2967             : GEN
    2968         182 : ellwp0(GEN w, GEN z, long flag, long prec)
    2969             : {
    2970         182 :   pari_sp av = avma;
    2971             :   GEN y;
    2972             : 
    2973         182 :   if (flag && flag != 1) pari_err_FLAG("ellwp");
    2974         182 :   if (!z) z = pol_x(0);
    2975         182 :   y = toser_i(z);
    2976         182 :   if (y)
    2977             :   {
    2978         105 :     long vy = varn(y), v = valp(y);
    2979             :     GEN P, Q, c4,c6;
    2980         105 :     if (!get_c4c6(w,&c4,&c6,prec)) pari_err_TYPE("ellwp",w);
    2981         105 :     if (v <= 0) pari_err(e_IMPL,"ellwp(t_SER) away from 0");
    2982         105 :     if (gequal0(y)) {
    2983           0 :       set_avma(av);
    2984           0 :       if (!flag) return zeroser(vy, -2*v);
    2985           0 :       retmkvec2(zeroser(vy, -2*v), zeroser(vy, -3*v));
    2986             :     }
    2987         105 :     P = ellwpseries_aux(c4,c6, vy, lg(y)-2);
    2988         105 :     Q = gsubst(P, varn(P), y);
    2989         105 :     if (!flag)
    2990         105 :       return gerepileupto(av, Q);
    2991             :     else
    2992             :     {
    2993           0 :       GEN R = mkvec2(Q, gdiv(derivser(Q), derivser(y)));
    2994           0 :       return gerepilecopy(av, R);
    2995             :     }
    2996             :   }
    2997          77 :   y = ellwpnum_all(w,z,flag,prec);
    2998          77 :   if (!y) pari_err_DOMAIN("ellwp", "argument","=", gen_0,z);
    2999          70 :   return gerepileupto(av, y);
    3000             : }
    3001             : 
    3002             : GEN
    3003         161 : ellzeta(GEN w, GEN z, long prec0)
    3004             : {
    3005             :   long prec;
    3006         161 :   pari_sp av = avma;
    3007         161 :   GEN pi2, q, y, et = NULL;
    3008             :   ellred_t T;
    3009             : 
    3010         161 :   if (!z) z = pol_x(0);
    3011         161 :   y = toser_i(z);
    3012         161 :   if (y)
    3013             :   {
    3014          91 :     long vy = varn(y), v = valp(y);
    3015             :     GEN P, Q, c4,c6;
    3016          91 :     if (!get_c4c6(w,&c4,&c6,prec0)) pari_err_TYPE("ellzeta",w);
    3017          91 :     if (v <= 0) pari_err(e_IMPL,"ellzeta(t_SER) away from 0");
    3018          91 :     if (gequal0(y)) { set_avma(av); return zeroser(vy, -v); }
    3019          91 :     P = ellwpseries_aux(c4,c6, vy, lg(y)-2);
    3020          91 :     P = integser(gneg(P)); /* \zeta' = - \wp*/
    3021          91 :     Q = gsubst(P, varn(P), y);
    3022          91 :     return gerepileupto(av, Q);
    3023             :   }
    3024          70 :   if (!get_periods(w, z, &T, prec0)) pari_err_TYPE("ellzeta", w);
    3025          70 :   if (!T.Z) pari_err_DOMAIN("ellzeta", "z", "=", gen_0, z);
    3026          70 :   prec = T.prec;
    3027          70 :   if (signe(T.x) || signe(T.y)) et = eta_correction(&T, _elleta(&T));
    3028             : 
    3029          70 :   pi2 = Pi2n(1, prec);
    3030          70 :   q = expIPiC(gmul2n(T.Tau,1), prec);
    3031          70 :   y = mulcxI(gmul(cxEk(T.Tau,2,prec), gmul(T.Z,divrs(pi2,-12))));
    3032          70 :   if (!T.abs_u_is_1 || (!gequal(T.Z,ghalf) && !gequal(T.Z,gneg(ghalf))))
    3033             :   { /* else u = -1 and this vanishes */
    3034          70 :     long toadd = (long)ceil(get_toadd(T.Z));
    3035          70 :     GEN qn, u, v, S = gen_0;
    3036             :     pari_sp av1;
    3037          70 :     u = expIPiC(gmul2n(T.Z,1), prec);
    3038          70 :     v = gadd(ghalf, ginv(gsubgs(u, 1)));
    3039          70 :     if (T.abs_u_is_1) gel(v,1) = gen_0; /*v = (u+1)/2(u-1), pure imaginary*/
    3040          70 :     y = gadd(y, v);
    3041             :     /* add sum_n q^n ( u/(u*q^n - 1) + 1/(u - q^n) )
    3042             :      *     = (u^2 - 1) sum_n q^n / (uq^n - 1)(u - q^n) */
    3043          70 :     av1 = avma;
    3044          70 :     for (qn = q;;)
    3045             :     {
    3046         835 :       S = gadd(S, gdiv(qn, gmul(gsubgs(gmul(qn,u),1), gsub(u,qn))));
    3047         835 :       qn = gmul(q,qn);
    3048         835 :       if (gexpo(qn) <= - prec2nbits(prec) - 5 - toadd) break;
    3049         765 :       if (gc_needed(av1,1))
    3050             :       {
    3051           0 :         if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"ellzeta");
    3052           0 :         gerepileall(av1,2, &S,&qn);
    3053             :       }
    3054             :     }
    3055          70 :     y = gadd(y, gmul(gsubgs(gsqr(u),1), S));
    3056             :   }
    3057          70 :   y = mulcxI(gmul(gdiv(pi2,T.W2), y));
    3058          70 :   if (T.some_q_is_real)
    3059             :   {
    3060          70 :     if (T.some_z_is_real)
    3061             :     {
    3062          28 :       if (!et || typ(et) != t_COMPLEX) y = real_i(y);
    3063             :     }
    3064          42 :     else if (T.some_z_is_pure_imag)
    3065             :     {
    3066          21 :       if (!et || (typ(et) == t_COMPLEX && isintzero(gel(et,1))))
    3067          21 :         gel(y,1) = gen_0;
    3068             :     }
    3069             :   }
    3070          70 :   if (et) y = gadd(y, et);
    3071          70 :   return gerepilecopy(av, gprec_wtrunc(y, T.prec0));
    3072             : }
    3073             : 
    3074             : /* if flag=0, return ellsigma, otherwise return log(ellsigma) */
    3075             : GEN
    3076        8974 : ellsigma(GEN w, GEN z, long flag, long prec0)
    3077             : {
    3078             :   long toadd, prec, n;
    3079        8974 :   pari_sp av = avma, av1;
    3080             :   GEN u, urn, urninv, z0, pi, pi2, q, q8, qn2, qn, y, y1, uinv, et, etnew;
    3081             :   ellred_t T;
    3082             : 
    3083        8974 :   if (flag < 0 || flag > 1) pari_err_FLAG("ellsigma");
    3084             : 
    3085        8974 :   if (!z) z = pol_x(0);
    3086        8974 :   y = toser_i(z);
    3087        8974 :   if (y)
    3088             :   {
    3089          98 :     long vy = varn(y), v = valp(y);
    3090             :     GEN P, Q, c4,c6;
    3091          98 :     if (!get_c4c6(w,&c4,&c6,prec0)) pari_err_TYPE("ellsigma",w);
    3092          98 :     if (v <= 0) pari_err_IMPL("ellsigma(t_SER) away from 0");
    3093          98 :     if (flag) pari_err_TYPE("log(ellsigma)",y);
    3094          91 :     if (gequal0(y)) { set_avma(av); return zeroser(vy, -v); }
    3095          91 :     P = ellwpseries_aux(c4,c6, vy, lg(y)-2);
    3096          91 :     P = integser(gneg(P)); /* \zeta' = - \wp*/
    3097             :     /* (log \sigma)' = \zeta; remove log-singularity first */
    3098          91 :     P = integser(serchop0(P));
    3099          91 :     P = gexp(P, prec0);
    3100          91 :     setvalp(P, valp(P)+1);
    3101          91 :     Q = gsubst(P, varn(P), y);
    3102          91 :     return gerepileupto(av, Q);
    3103             :   }
    3104        8876 :   if (!get_periods(w, z, &T, prec0)) pari_err_TYPE("ellsigma",w);
    3105        8876 :   if (!T.Z)
    3106             :   {
    3107           7 :     if (!flag) return gen_0;
    3108           7 :     pari_err_DOMAIN("log(ellsigma)", "argument","=",gen_0,z);
    3109             :   }
    3110        8869 :   prec = T.prec;
    3111        8869 :   pi2 = Pi2n(1,prec);
    3112        8869 :   pi  = mppi(prec);
    3113             : 
    3114        8869 :   urninv = uinv = NULL;
    3115        8869 :   if (typ(T.Z) == t_FRAC && equaliu(gel(T.Z,2), 2) && equalim1(gel(T.Z,1)))
    3116             :   {
    3117          98 :     toadd = 0;
    3118          98 :     urn = mkcomplex(gen_0, gen_m1); /* Z = -1/2 => urn = -I */
    3119          98 :     u = gen_1;
    3120             :   }
    3121             :   else
    3122             :   {
    3123        8771 :     toadd = (long)ceil(fabs( get_toadd(T.Z) ));
    3124        8771 :     urn = expIPiC(T.Z, prec); /* exp(i Pi Z) */
    3125        8771 :     u = gneg_i(gsqr(urn));
    3126        8771 :     if (!T.abs_u_is_1) { urninv = ginv(urn); uinv = gneg_i(gsqr(urninv)); }
    3127             :   }
    3128        8869 :   q8 = expIPiC(gmul2n(T.Tau, -2), prec);
    3129        8869 :   q = gpowgs(q8,8); av1 = avma;
    3130        8869 :   y = gen_0; qn = q; qn2 = gen_1;
    3131        8869 :   for(n=0;;n++)
    3132             :   { /* qn = q^(n+1), qn2 = q^(n(n+1)/2), urn = u^((n+1)/2)
    3133             :      * if |u| = 1, will multiply by 2*I at the end ! */
    3134       66310 :     y = gadd(y, gmul(qn2, uinv? gsub(urn,urninv): imag_i(urn)));
    3135       66310 :     qn2 = gmul(qn,qn2);
    3136       66310 :     if (gexpo(qn2) + n*toadd <= - prec2nbits(prec) - 5) break;
    3137       57441 :     qn  = gmul(q,qn);
    3138       57441 :     urn = gmul(urn,u);
    3139       57441 :     if (uinv) urninv = gmul(urninv,uinv);
    3140       57441 :     if (gc_needed(av1,1))
    3141             :     {
    3142           0 :       if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"ellsigma");
    3143           0 :       gerepileall(av1,urninv? 5: 4, &y,&qn,&qn2,&urn,&urninv);
    3144             :     }
    3145             :   }
    3146        8869 :   y = gmul(y, gdiv(q8, gmul(pi2, gpowgs(trueeta(T.Tau,prec),3))));
    3147        8869 :   y = gmul(y, T.abs_u_is_1? gmul2n(T.W2,1): mulcxmI(T.W2));
    3148             : 
    3149        8869 :   et = _elleta(&T);
    3150        8869 :   z0 = gmul(T.Z,T.W2);
    3151        8869 :   y1 = gadd(z0, gmul2n(gadd(gmul(T.x,T.W1), gmul(T.y,T.W2)),-1));
    3152        8869 :   etnew = gmul(eta_correction(&T, et), y1);
    3153        8869 :   y1 = gadd(etnew, gmul2n(gmul(gmul(T.Z,z0),gel(et,2)),-1));
    3154        8869 :   if (flag)
    3155             :   {
    3156        8799 :     y = gadd(y1, glog(y,prec));
    3157        8799 :     if (mpodd(T.x) || mpodd(T.y)) y = gadd(y, mulcxI(pi));
    3158             :     /* log(real number): im(y) = 0 or Pi */
    3159        8799 :     if (T.some_q_is_real && isintzero(imag_i(z)) && gexpo(imag_i(y)) < 1)
    3160          21 :       y = real_i(y);
    3161             :   }
    3162             :   else
    3163             :   {
    3164          70 :     y = gmul(y, gexp(y1,prec));
    3165          70 :     if (mpodd(T.x) || mpodd(T.y)) y = gneg_i(y);
    3166          70 :     if (T.some_q_is_real)
    3167             :     {
    3168             :       int re, cx;
    3169          70 :       check_complex(z,&re,&cx);
    3170          70 :       if (re) y = real_i(y);
    3171          49 :       else if (cx && typ(y) == t_COMPLEX) gel(y,1) = gen_0;
    3172             :     }
    3173             :   }
    3174        8869 :   return gerepilecopy(av, gprec_wtrunc(y, T.prec0));
    3175             : }
    3176             : 
    3177             : GEN
    3178        1890 : pointell(GEN e, GEN z, long prec)
    3179             : {
    3180        1890 :   pari_sp av = avma;
    3181             :   GEN v;
    3182             : 
    3183        1890 :   checkell(e);
    3184        1890 :   if (ell_get_type(e) == t_ELL_Qp)
    3185             :   {
    3186          56 :     prec = minss(ellQp_get_prec(e), padicprec_relative(z));
    3187          56 :     return ellQp_t2P(e, z, prec);
    3188             :   }
    3189        1834 :   v = ellwpnum_all(e,z,1,prec);
    3190        1834 :   if (!v) { set_avma(av); return ellinf(); }
    3191        1820 :   gel(v,1) = gsub(gel(v,1), gdivgs(ell_get_b2(e),12));
    3192        1820 :   gel(v,2) = gmul2n(gsub(gel(v,2), ec_h_evalx(e,gel(v,1))),-1);
    3193        1820 :   return gerepilecopy(av, v);
    3194             : }
    3195             : 
    3196             : /********************************************************************/
    3197             : /**                                                                **/
    3198             : /**                 Tate's algorithm e (cf Anvers IV)              **/
    3199             : /**               Kodaira types, global minimal model              **/
    3200             : /**                                                                **/
    3201             : /********************************************************************/
    3202             : /* structure to hold incremental computation of standard minimal model/Q */
    3203             : typedef struct {
    3204             :   long a1; /*{0,1}*/
    3205             :   long a2; /*{-1,0,1}*/
    3206             :   long a3; /*{0,1}*/
    3207             :   long b2; /* centermod(-c6, 12), in [-5,6] */
    3208             :   GEN u, u2, u3, u4, u6;
    3209             :   GEN a4, a6, b4, b6, b8, c4, c6, D;
    3210             : } ellmin_t;
    3211             : 
    3212             : /* u from [u,r,s,t] */
    3213             : static void
    3214      518399 : min_set_u(ellmin_t *M, GEN u)
    3215             : {
    3216      518399 :   M->u = u;
    3217      518399 :   if (is_pm1(u))
    3218      454412 :     M->u2 = M->u3 = M->u4 = M->u6 = gen_1;
    3219             :   else
    3220             :   {
    3221       63987 :     M->u2 = sqri(u);
    3222       63987 :     M->u3 = mulii(M->u2, u);
    3223       63987 :     M->u4 = sqri(M->u2);
    3224       63987 :     M->u6 = sqri(M->u3);
    3225             :   }
    3226      518399 : }
    3227             : /* E = original curve */
    3228             : static void
    3229      518399 : min_set_c(ellmin_t *M, GEN E)
    3230             : {
    3231      518399 :   GEN c4 = ell_get_c4(E), c6 = ell_get_c6(E);
    3232      518399 :   if (!is_pm1(M->u4)) {
    3233       63987 :     c4 = diviiexact(c4, M->u4);
    3234       63987 :     c6 = diviiexact(c6, M->u6);
    3235             :   }
    3236      518399 :   M->c4 = c4;
    3237      518399 :   M->c6 = c6;
    3238      518399 : }
    3239             : static void
    3240      518091 : min_set_D(ellmin_t *M, GEN E)
    3241             : {
    3242      518091 :   GEN D = ell_get_disc(E);
    3243      518091 :   if (!is_pm1(M->u6)) D = diviiexact(D, sqri(M->u6));
    3244      518091 :   M->D = D;
    3245      518091 : }
    3246             : static void
    3247      518252 : min_set_b(ellmin_t *M)
    3248             : {
    3249             :   long b22, b2;
    3250      518252 :   M->b2 = b2 = Fl_center(12 - umodiu(M->c6,12), 12, 6);
    3251      518252 :   b22 = b2 * b2; /* in [0,36] */
    3252      518252 :   M->b4 = diviuexact(subui(b22, M->c4), 24);
    3253      518252 :   M->b6 = diviuexact(subii(mulsi(b2, subiu(mului(36,M->b4),b22)), M->c6), 216);
    3254      518252 : }
    3255             : static void
    3256      518112 : min_set_a(ellmin_t *M)
    3257             : {
    3258      518112 :   long a1, a2, a3, a13, b2 = M->b2;
    3259      518112 :   GEN b4 = M->b4, b6 = M->b6;
    3260      518112 :   if (odd(b2))
    3261             :   {
    3262      257691 :     a1 = 1;
    3263      257691 :     a2 = (b2 - 1) >> 2;
    3264             :   }
    3265             :   else
    3266             :   {
    3267      260421 :     a1 = 0;
    3268      260421 :     a2 = b2 >> 2;
    3269             :   }
    3270      518112 :   M->a1 = a1;
    3271      518112 :   M->a2 = a2;
    3272      518112 :   M->a3 = a3 = Mod2(b6)? 1: 0;
    3273      518112 :   a13 = a1 & a3; /* a1 * a3 */
    3274      518112 :   M->a4 = shifti(subiu(b4, a13), -1);
    3275      518112 :   M->a6 = shifti(subiu(b6, a3), -2);
    3276      518112 : }
    3277             : static void
    3278      518077 : min_set_all(ellmin_t *M, GEN E, GEN u)
    3279             : {
    3280      518077 :   min_set_u(M, u);
    3281      518077 :   min_set_c(M, E);
    3282      518077 :   min_set_D(M, E);
    3283      518077 :   min_set_b(M);
    3284      518077 :   min_set_a(M);
    3285      518077 : }
    3286             : static GEN
    3287      504994 : min_to_ell(ellmin_t *M, GEN E)
    3288             : {
    3289      504994 :   GEN b8, y = obj_init(15, 8);
    3290             :   long a11, a13;
    3291      504994 :   gel(y,1) = M->a1? gen_1: gen_0;
    3292      504994 :   gel(y,2) = stoi(M->a2);
    3293      504994 :   gel(y,3) = M->a3? gen_1: gen_0;
    3294      504994 :   gel(y,4) = M->a4;
    3295      504994 :   gel(y,5) = M->a6;
    3296      504994 :   gel(y,6) = stoi(M->b2);
    3297      504994 :   gel(y,7) = M->b4;
    3298      504994 :   gel(y,8) = M->b6;
    3299      504994 :   a11 = M->a1;
    3300      504994 :   a13 = M->a1 & M->a3;
    3301      504994 :   b8 = subii(addii(mului(a11,M->a6), mulis(M->b6, M->a2)),
    3302             :              mulii(M->a4, addiu(M->a4,a13)));
    3303      504994 :   gel(y,9) = b8; /* a1^2 a6 + 4a6 a2 + a2 a3^2 - a4(a4 + a1 a3) */
    3304      504994 :   gel(y,10)= M->c4;
    3305      504994 :   gel(y,11)= M->c6;
    3306      504994 :   gel(y,12)= M->D;
    3307      504994 :   gel(y,13)= gel(E,13);
    3308      504994 :   gel(y,14)= gel(E,14);
    3309      504994 :   gel(y,15)= gel(E,15);
    3310      504994 :   return y;
    3311             : }
    3312             : static GEN
    3313      518077 : min_get_v(ellmin_t *M, GEN E)
    3314             : {
    3315             :   GEN r, s, t;
    3316      518077 :   r = diviuexact(subii(mulis(M->u2,M->b2), ell_get_b2(E)), 12);
    3317      518077 :   s = shifti(subii(M->a1? M->u: gen_0, ell_get_a1(E)), -1);
    3318      518077 :   t = shifti(subii(M->a3? M->u3: gen_0, Zec_h_evalx(E,r)), -1);
    3319      518077 :   return mkvec4(M->u,r,s,t);
    3320             : }
    3321             : 
    3322             : /* return v_p(u), where [u,r,s,t] is the variable change to minimal model */
    3323             : static long
    3324     1686926 : get_vp_u_small(GEN E, ulong p, long *pv6, long *pvD)
    3325             : {
    3326     1686926 :   GEN c6 = ell_get_c6(E);
    3327     1686926 :   long d, v6, vD = Z_lval(ell_get_disc(E), p);
    3328     1686926 :   if (!signe(c6))
    3329             :   {
    3330        2933 :     d = vD / 12;
    3331        2933 :     if (d)
    3332             :     {
    3333        1071 :       if (p == 2)
    3334             :       {
    3335         819 :         GEN c4 = ell_get_c4(E);
    3336         819 :         long a = Mod16( shifti(c4, -4*d) );
    3337         819 :         if (a) d--;
    3338             :       }
    3339        1071 :       if (d) vD -= 12*d; /* non minimal model */
    3340             :     }
    3341        2933 :     v6 = 12; /* +oo */
    3342             :   }
    3343             :   else
    3344             :   {
    3345     1683993 :     v6 = Z_lval(c6,p);
    3346     1683993 :     d = minss(2*v6, vD) / 12;
    3347     1683993 :     if (d) {
    3348      181174 :       if (p == 2) {
    3349      109746 :         GEN c4 = ell_get_c4(E);
    3350      109746 :         long a = Mod16( shifti(c4, -4*d) );
    3351      109746 :         long b = Mod32( shifti(c6, -6*d) );
    3352      109746 :         if ((b & 3) != 3 && (a || (b && b!=8))) d--;
    3353       71428 :       } else if (p == 3) {
    3354       45199 :         if (v6 == 6*d+2) d--;
    3355             :       }
    3356      181174 :       if (d) { v6 -= 6*d; vD -= 12*d; } /* non minimal model */
    3357             :     }
    3358             :   }
    3359     1686926 :   *pv6 = v6; *pvD = vD; return d;
    3360             : }
    3361             : static long
    3362      879466 : get_vp_u(GEN E, GEN p, long *pv6, long *pvD)
    3363             : {
    3364             :   GEN c6;
    3365             :   long d, v6, vD;
    3366      879466 :   if (lgefint(p) == 3) return get_vp_u_small(E, p[2], pv6, pvD);
    3367          39 :   c6 = ell_get_c6(E);
    3368          39 :   vD = Z_pval(ell_get_disc(E), p);
    3369          39 :   if (!signe(c6))
    3370             :   {
    3371           0 :     d = vD / 12;
    3372           0 :     if (d) vD -= 12*d; /* non minimal model */
    3373           0 :     v6 = 12; /* +oo */
    3374             :   }
    3375             :   else
    3376             :   {
    3377          39 :     v6 = Z_pval(c6,p);
    3378          39 :     d = minss(2*v6, vD) / 12;
    3379          39 :     if (d) { v6 -= 6*d; vD -= 12*d; } /* non minimal model */
    3380             :   }
    3381          39 :   *pv6 = v6; *pvD = vD; return d;
    3382             : }
    3383             : 
    3384             : /* Given an integral elliptic curve in ellinit form, and a prime p, returns the
    3385             :   type of the fiber at p of the Neron model, as well as the change of variables
    3386             :   in the form [f, kod, v, c].
    3387             : 
    3388             :   * The integer f is the conductor's exponent.
    3389             : 
    3390             :   * The integer kod is the Kodaira type using the following notation:
    3391             :     II , III , IV  -->  2, 3, 4
    3392             :     I0  -->  1
    3393             :     Inu --> 4+nu for nu > 0
    3394             :   A '*' negates the code (e.g I* --> -2)
    3395             : 
    3396             :   * v is a quadruple [u, r, s, t] yielding a minimal model
    3397             : 
    3398             :   * c is the Tamagawa number.
    3399             : 
    3400             :   Uses Tate's algorithm (Anvers IV). Given the remarks at the bottom of
    3401             :   page 46, the "long" algorithm is used for p = 2,3 only. */
    3402             : static GEN
    3403     1734362 : localred_result(long f, long kod, long c, GEN v)
    3404             : {
    3405     1734362 :   GEN z = cgetg(5, t_VEC);
    3406     1734362 :   gel(z,1) = stoi(f);
    3407     1734362 :   gel(z,2) = stoi(kod);
    3408     1734362 :   gel(z,3) = gcopy(v);
    3409     1734362 :   gel(z,4) = stoi(c); return z;
    3410             : }
    3411             : static GEN
    3412           0 : localredbug(GEN p, const char *s)
    3413             : {
    3414           0 :   if (BPSW_psp(p)) pari_err_BUG(s);
    3415           0 :   pari_err_PRIME("localred",p);
    3416             :   return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
    3417             : }
    3418             : 
    3419             : /* v_p( denom(j(E)) ) >= 0 */
    3420             : static long
    3421      880859 : j_pval(GEN E, GEN p) { return Z_pval(Q_denom(ell_get_j(E)), p); }
    3422             : 
    3423             : /* p > 3, e integral */
    3424             : static GEN
    3425      879466 : localred_p(GEN e, GEN p)
    3426             : {
    3427             :   long k, f, kod, c, nuj, nuD, nu6;
    3428      879466 :   GEN p2, v, tri, c4, c6, D = ell_get_disc(e);
    3429             : 
    3430      879466 :   c4 = ell_get_c4(e);
    3431      879466 :   c6 = ell_get_c6(e);
    3432      879466 :   nuj = j_pval(e, p);
    3433      879466 :   nuD = Z_pval(D, p);
    3434      879466 :   k = get_vp_u(e, p, &nu6, &nuD);
    3435      879466 :   if (!k) v = init_ch();
    3436             :   else
    3437             :   { /* model not minimal */
    3438             :     ellmin_t M;
    3439       13097 :     min_set_all(&M, e, powiu(p,k));
    3440       13097 :     v = min_get_v(&M, e);
    3441       13097 :     c4 = M.c4; c6 = M.c6; D = M.D;
    3442             :   }
    3443             : 
    3444      879466 :   if (nuj > 0) switch(nuD - nuj)
    3445             :   {
    3446      761257 :     case 0: f = 1; kod = 4+nuj; /* Inu */
    3447      761257 :       switch(kronecker(negi(c6),p))
    3448             :       {
    3449      392469 :         case  1: c = nuD; break;
    3450      368788 :         case -1: c = odd(nuD)? 1: 2; break;
    3451           0 :         default: return localredbug(p,"localred (p | c6)");
    3452             :       }
    3453      761257 :       break;
    3454       45703 :     case 6:
    3455             :     {
    3456       45703 :       GEN d = Fp_red(diviiexact(D, powiu(p, 6+nuj)), p);
    3457       45703 :       if (nuj & 1) d = Fp_mul(d, diviiexact(c6, powiu(p,3)), p);
    3458       45703 :       f = 2; kod = -4-nuj; c = 3 + kronecker(d, p); /* Inu* */
    3459       45703 :       break;
    3460             :     }
    3461           0 :     default: return localredbug(p,"localred (nu_D - nu_j != 0,6)");
    3462             :   }
    3463       72506 :   else switch(nuD)
    3464             :   {
    3465         539 :     case  0: f = 0; kod = 1; c = 1; break; /* I0, regular */
    3466       11697 :     case  2: f = 2; kod = 2; c = 1; break; /* II   */
    3467       10332 :     case  3: f = 2; kod = 3; c = 2; break; /* III  */
    3468        5642 :     case  4: f = 2; kod = 4; /* IV   */
    3469        5642 :       c = 2 + krosi(-6,p) * kronecker(diviiexact(c6,sqri(p)), p);
    3470        5642 :       break;
    3471       16856 :     case  6: f = 2; kod = -1; /* I0*  */
    3472       16856 :       p2 = sqri(p);
    3473             :       /* x^3 - 3c4/p^2 x - 2c6/p^3 */
    3474       16856 :       tri = mkpoln(4, gen_1, gen_0,
    3475             :                             negi(mului(3, diviiexact(c4, p2))),
    3476             :                             negi(shifti(diviiexact(c6, mulii(p2,p)), 1)));
    3477       16856 :       c = 1 + FpX_nbroots(tri, p);
    3478       16856 :       break;
    3479       11620 :     case  8: f = 2; kod = -4; /* IV*  */
    3480       11620 :       c = 2 + krosi(-6,p) * kronecker(diviiexact(c6, sqri(sqri(p))), p);
    3481       11620 :       break;
    3482       10227 :     case  9: f = 2; kod = -3; c = 2; break; /* III* */
    3483        5593 :     case 10: f = 2; kod = -2; c = 1; break; /* II*  */
    3484           0 :     default: return localredbug(p,"localred");
    3485             :   }
    3486      879466 :   return localred_result(f, kod, c, v);
    3487             : }
    3488             : 
    3489             : /* return a_{ k,l } in Tate's notation, pl = p^l */
    3490             : static ulong
    3491      888930 : aux(GEN ak, ulong q, ulong pl)
    3492      888930 : { return umodiu(ak, q) / pl; }
    3493             : 
    3494             : static ulong
    3495     1421966 : aux2(GEN ak, ulong p, GEN pl)
    3496     1421966 : { pari_sp av = avma; return gc_ulong(av, umodiu(diviiexact(ak, pl), p)); }
    3497             : 
    3498             : /* number of distinct roots of X^3 + aX^2 + bX + c modulo p = 2 or 3
    3499             :  * assume a,b,c in {0, 1} [ p = 2 ] or {0, 1, 2} [ p = 3 ]
    3500             :  * if there's a multiple root, put it in *mult */
    3501             : static long
    3502      244328 : numroots3(long a, long b, long c, long p, long *mult)
    3503             : {
    3504      244328 :   if (p == 2)
    3505             :   {
    3506      141169 :     if ((c + a * b) & 1) return 3;
    3507      122451 :     *mult = b; return (a + b) & 1 ? 2 : 1;
    3508             :   }
    3509             :   /* p = 3 */
    3510      103159 :   if (!a) { *mult = -c; return b ? 3 : 1; }
    3511       69041 :   *mult = a * b;
    3512       69041 :   if (b == 2)
    3513       22974 :     return (a + c) == 3 ? 2 : 3;
    3514             :   else
    3515       46067 :     return c ? 3 : 2;
    3516             : }
    3517             : 
    3518             : /* same for aX^2 +bX + c */
    3519             : static long
    3520      788956 : numroots2(long a, long b, long c, long p, long *mult)
    3521             : {
    3522      788956 :   if (p == 2) { *mult = c; return b & 1 ? 2 : 1; }
    3523             :   /* p = 3 */
    3524      301105 :   *mult = a * b; return (b * b - a * c) % 3 ? 2 : 1;
    3525             : }
    3526             : 
    3527             : /* p = 2 or 3 */
    3528             : static GEN
    3529      704410 : localred_23(GEN e, long p)
    3530             : {
    3531             :   long c, nu, nu6, nuD, r, s, t;
    3532             :   long k, theroot, p2, p3, p4, p5, a21, a42, a63, a32, a64;
    3533             :   GEN v;
    3534             : 
    3535      704410 :   k = get_vp_u_small(e, p, &nu6, &nuD);
    3536      704410 :   if (!k) v = init_ch();
    3537             :   else
    3538             :   {
    3539             :     ellmin_t M;
    3540       48776 :     min_set_all(&M, e, powuu(p, k));
    3541       48776 :     v = min_get_v(&M, e);
    3542       48776 :     e = min_to_ell(&M, e);
    3543             :   }
    3544             :   /* model is minimal */
    3545      704410 :   nuD = Z_lval(ell_get_disc(e), (ulong)p);
    3546      704410 :   if (p == 2) { p2 = 4; p3 = 8;  p4 = 16; p5 = 32; }
    3547      322847 :   else        { p2 = 9; p3 = 27; p4 = 81; p5 =243; }
    3548             : 
    3549      704410 :   if (!nuD) return localred_result(0, 1, 1, v); /* I0 */
    3550      702947 :   if (umodiu(ell_get_b2(e), p)) /* p \nmid b2 */
    3551             :   {
    3552      386162 :     if (umodiu(negi(ell_get_c6(e)), p == 2 ? 8 : 3) == 1)
    3553      196056 :       c = nuD;
    3554             :     else
    3555      190106 :       c = 2 - (nuD & 1);
    3556      386162 :     return localred_result(1, 4 + nuD, c, v); /* Inu */
    3557             :   }
    3558      316785 :   if (p == 2)
    3559             :   {
    3560      185941 :     r = umodiu(ell_get_a4(e), 2);
    3561      185941 :     s = umodiu(ell_get_a2(e), 2);
    3562      185941 :     t = umodiu(ell_get_a6(e), 2);
    3563      185941 :     if (r) { t = (s + t) & 1; s = (s + 1) & 1; }
    3564             :   }
    3565             :   else /* p == 3 */
    3566             :   {
    3567      130844 :     r = - umodiu(ell_get_b6(e), 3);
    3568      130844 :     s = umodiu(ell_get_a1(e), 3);
    3569      130844 :     t = umodiu(ell_get_a3(e), 3);
    3570      130844 :     if (s) { t  = (t + r*s) % 3; if (t < 0) t += 3; }
    3571             :   }
    3572             :   /* p | (a1, a2, a3, a4, a6) */
    3573      316785 :   if (r || s || t) e = coordch_rst(e, stoi(r), stoi(s), stoi(t));
    3574      316785 :   if (umodiu(ell_get_a6(e), p2))
    3575       22295 :     return localred_result(nuD, 2, 1, v); /* II */
    3576      294490 :   if (umodiu(ell_get_b8(e), p3))
    3577       27650 :     return localred_result(nuD - 1, 3, 2, v); /* III */
    3578      266840 :   if (umodiu(ell_get_b6(e), p3))
    3579             :   {
    3580       22512 :     if (umodiu(ell_get_b6(e), (p==2)? 32: 27) == (ulong)p2)
    3581       11529 :       c = 3;
    3582             :     else
    3583       10983 :       c = 1;
    3584       22512 :     return localred_result(nuD - 2, 4, c, v); /* IV */
    3585             :   }
    3586             : 
    3587      244328 :   if (umodiu(ell_get_a6(e), p3))
    3588       91077 :     e = coordch_t(e, p == 2? gen_2: modis(ell_get_a3(e), 9));
    3589             :       /* p | a1, a2; p^2  | a3, a4; p^3 | a6 */
    3590      244328 :   a21 = aux(ell_get_a2(e), p2, p);
    3591      244328 :   a42 = aux(ell_get_a4(e), p3, p2);
    3592      244328 :   a63 = aux(ell_get_a6(e), p4, p3);
    3593      244328 :   switch (numroots3(a21, a42, a63, p, &theroot))
    3594             :   {
    3595       35987 :     case 3:
    3596       35987 :       c = a63 ? 1: 2;
    3597       35987 :       if (p == 2)
    3598       18718 :         c += ((a21 + a42 + a63) & 1);
    3599             :       else {
    3600       17269 :         if (((1 + a21 + a42 + a63) % 3) == 0) c++;
    3601       17269 :         if (((1 - a21 + a42 - a63) % 3) == 0) c++;
    3602             :       }
    3603       35987 :       return localred_result(nuD - 4, -1, c, v); /* I0* */
    3604      130368 :     case 2:
    3605             :     { /* compute nu */
    3606             :       GEN pk, pk1, p2k;
    3607             :       long al, be, ga;
    3608      130368 :       if (theroot) e = coordch_r(e, stoi(theroot * p));
    3609             :           /* p | a1; p^2  | a2, a3; p^3 | a4; p^4 | a6 */
    3610      130368 :       nu = 1;
    3611      130368 :       pk  = utoipos(p2);
    3612      130368 :       p2k = utoipos(p4);
    3613             :       for(;;)
    3614             :       {
    3615      387723 :         be =  aux2(ell_get_a3(e), p, pk);
    3616      387723 :         ga = -aux2(ell_get_a6(e), p, p2k);
    3617      387723 :         al = 1;
    3618      387723 :         if (numroots2(al, be, ga, p, &theroot) == 2) break;
    3619      323260 :         if (theroot) e = coordch_t(e, mulsi(theroot,pk));
    3620      323260 :         pk1 = pk;
    3621      323260 :         pk  = mului(p, pk);
    3622      323260 :         p2k = mului(p, p2k); nu++;
    3623             : 
    3624      323260 :         al = a21;
    3625      323260 :         be = aux2(ell_get_a4(e), p, pk);
    3626      323260 :         ga = aux2(ell_get_a6(e), p, p2k);
    3627      323260 :         if (numroots2(al, be, ga, p, &theroot) == 2) break;
    3628      257355 :         if (theroot) e = coordch_r(e, mulsi(theroot, pk1));
    3629      257355 :         p2k = mului(p, p2k); nu++;
    3630             :       }
    3631      130368 :       if (p == 2)
    3632       72268 :         c = 4 - 2 * (ga & 1);
    3633             :       else
    3634       58100 :         c = 3 + kross(be * be - al * ga, 3);
    3635      130368 :       return localred_result(nuD - 4 - nu, -4 - nu, c, v); /* Inu* */
    3636             :     }
    3637       77973 :     case 1:
    3638       77973 :       if (theroot) e = coordch_r(e, stoi(theroot*p));
    3639             :           /* p | a1; p^2  | a2, a3; p^3 | a4; p^4 | a6 */
    3640       77973 :       a32 = aux(ell_get_a3(e), p3, p2);
    3641       77973 :       a64 = aux(ell_get_a6(e), p5, p4);
    3642       77973 :       if (numroots2(1, a32, -a64, p, &theroot) == 2)
    3643             :       {
    3644       29813 :         if (p == 2)
    3645       20356 :           c = 3 - 2 * a64;
    3646             :         else
    3647        9457 :           c = 2 + kross(a32 * a32 + a64, 3);
    3648       29813 :         return localred_result(nuD - 6, -4, c, v); /* IV* */
    3649             :       }
    3650       48160 :       if (theroot) e = coordch_t(e, stoi(theroot*p2));
    3651             :           /* p | a1; p^2 | a2; p^3 | a3, a4; p^5 | a6 */
    3652       48160 :       if (umodiu(ell_get_a4(e), p4))
    3653       28966 :         return localred_result(nuD - 7, -3, 2, v); /* III* */
    3654             : 
    3655             :       /* p^6 \nmid a6, otherwise wouldn't be minimal */
    3656       19194 :       return localred_result(nuD - 8, -2, 1, v); /* II* */
    3657             :   }
    3658             :   return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
    3659             : }
    3660             : 
    3661             : /* e is integral */
    3662             : static GEN
    3663     1583484 : localred(GEN e, GEN p)
    3664             : {
    3665     1583484 :   if (abscmpiu(p, 3) > 0) /* p != 2,3 */
    3666      879466 :     return localred_p(e,p);
    3667             :   else
    3668             :   {
    3669      704018 :     long l = itos(p);
    3670      704018 :     if (l < 2) pari_err_PRIME("localred",p);
    3671      704018 :     return localred_23(e, l);
    3672             :   }
    3673             : }
    3674             : 
    3675             : /* Given J an ideal in HNF coprime to 2 and z algebraic integer,
    3676             :  * return b algebraic integer such that z + 2b in  J */
    3677             : static GEN
    3678       26306 : approx_mod2(GEN J, GEN z)
    3679             : {
    3680       26306 :   GEN b = z;
    3681             :   long i;
    3682       26306 :   if (typ(b) == t_INT)
    3683             :   {
    3684       26215 :     if (mpodd(b)) b = addii(b, gcoeff(J,1,1));
    3685       26215 :     return shifti(negi(b),-1);
    3686             :   }
    3687         273 :   for (i = lg(J)-1; i >= 1; i--)
    3688             :   {
    3689         182 :     if (mpodd(gel(b,i))) b = ZC_add(b, gel(J,i));
    3690             :   }
    3691          91 :   return gshift(ZC_neg(b), -1);
    3692             : }
    3693             : 
    3694             : /* Given J an ideal in HNF coprime to 3 and z algebraic integer,
    3695             :  * return b algebraic integer such that z + 3b in  J */
    3696             : static GEN
    3697       13153 : approx_mod3(GEN J, GEN z)
    3698             : {
    3699       13153 :   GEN b = z;
    3700             :   long i;
    3701       13153 :   if (typ(b) == t_INT)
    3702             :   {
    3703       13104 :     long s = smodis(b,3);
    3704       13104 :     if (s)
    3705             :     {
    3706           0 :       GEN Jz = gcoeff(J,1,1);
    3707           0 :       if (smodis(Jz, 3) == s)
    3708           0 :         b = subii(b, Jz);
    3709             :       else
    3710           0 :         b = addii(b, Jz);
    3711             :     }
    3712       13104 :     return diviiexact(b, stoi(-3));
    3713             :   }
    3714         147 :   for (i = lg(J)-1; i >= 1; i--)
    3715             :   {
    3716          98 :     long s = smodis(gel(b,i), 3);
    3717          98 :     if (!s) continue;
    3718          49 :     if (smodis(gcoeff(J,i,i), 3) == s)
    3719          21 :       b = ZC_sub(b, gel(J,i));
    3720             :     else
    3721          28 :       b = ZC_add(b, gel(J,i));
    3722             :   }
    3723          49 :   return ZC_Z_divexact(b, stoi(-3));
    3724             : }
    3725             : 
    3726             : /* return a such that v_P(a) = -1, integral elsewhere */
    3727             : static GEN
    3728        3752 : get_piinv(GEN P)
    3729             : {
    3730        3752 :   GEN z = pr_get_tau(P);
    3731        3752 :   if (typ(z) == t_MAT) z = gel(z,1);
    3732        3752 :   return gdiv(z, pr_get_p(P));
    3733             : }
    3734             : /* pi = local uniformizer, pv = 1/pi */
    3735             : static void
    3736      150486 : get_uniformizers(GEN nf, GEN P, GEN *pi, GEN *pv)
    3737             : {
    3738      150486 :   if (pr_is_inert(P))
    3739             :   {
    3740      146769 :     *pi = pr_get_p(P);
    3741      146769 :     *pv = mkfrac(gen_1, *pi);
    3742             :   }
    3743             :   else
    3744             :   {
    3745        3717 :     *pv = get_piinv(P);
    3746        3717 :     *pi = nfinv(nf, *pv);
    3747             :   }
    3748      150486 : }
    3749             : /* x^2+E.a1*x-E.a2 */
    3750             : static GEN
    3751      242060 : pola1a2(GEN e, GEN nf, GEN modP)
    3752             : {
    3753      242060 :   GEN a1 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a1(e), modP);
    3754      242060 :   GEN a2 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a2(e), modP);
    3755      242060 :   return mkpoln(3, gen_1, a1, gneg(a2));
    3756             : }
    3757             : 
    3758             : /* x^2+E.a3*pv3*x-E.a6*pv6 */
    3759             : static GEN
    3760      392007 : pola3a6(GEN e, GEN nf, GEN modP, GEN pv3, GEN pv6)
    3761             : {
    3762      392007 :   GEN a3 = nf_to_Fq(nf, nfmul(nf, ell_get_a3(e), pv3), modP);
    3763      392007 :   GEN a6 = nf_to_Fq(nf, nfmul(nf, ell_get_a6(e), pv6), modP);
    3764      392007 :   return mkpoln(3, gen_1, a3, gneg(a6));
    3765             : }
    3766             : 
    3767             : /* E.a2*pv2*x^2 + E.a4*pv4*x + E.a6*pv6 */
    3768             : 
    3769             : static GEN
    3770      216468 : pola2a4a6(GEN e, GEN nf, GEN modP, GEN pv2, GEN pv4, GEN pv6)
    3771             : {
    3772      216468 :   GEN a2 = nf_to_Fq(nf, nfmul(nf, ell_get_a2(e), pv2), modP);
    3773      216468 :   GEN a4 = nf_to_Fq(nf, nfmul(nf, ell_get_a4(e), pv4), modP);
    3774      216468 :   GEN a6 = nf_to_Fq(nf, nfmul(nf, ell_get_a6(e), pv6), modP);
    3775      216468 :   return mkpoln(3, a2, a4, a6);
    3776             : }
    3777             : 
    3778             : static GEN
    3779      585130 : pol2sqrt_23(GEN modP, GEN Q)
    3780             : {
    3781      585130 :   GEN p = modpr_get_p(modP), T = modpr_get_T(modP);
    3782      585130 :   GEN r = absequaliu(p,2) ? gel(Q,2): gel(Q,3);
    3783      585130 :   if (!gequal1(gel(Q,4))) r = Fq_div(r, gel(Q,4), T, p);
    3784      585130 :   if (absequaliu(p,2)) r = Fq_sqrt(r,T,p);
    3785      585130 :   return Fq_to_nf(r, modP);
    3786             : }
    3787             : 
    3788             : static GEN
    3789       15512 : nflocalred_section7(GEN e, GEN nf, GEN modP, GEN pi, GEN pv, long vD, GEN ch)
    3790             : {
    3791       15512 :   GEN p = modpr_get_p(modP), T = modpr_get_T(modP);
    3792       15512 :   GEN pi3 = nfsqr(nf,pi);
    3793       15512 :   GEN pv3 = nfsqr(nf,pv), pv4 = nfmul(nf,pv,pv3), pv6 = nfsqr(nf,pv3);
    3794       15512 :   long n = 1;
    3795             :   while(1)
    3796       24682 :   {
    3797       40194 :     GEN Q = pola3a6(e, nf, modP, pv3, pv6);
    3798             :     GEN gama;
    3799       40194 :     if (FqX_is_squarefree(Q, T, p))
    3800             :     {
    3801        8071 :       long nr = FqX_nbroots(Q,T,p);
    3802        8071 :       return localred_result(vD-n-4,-4-n,nr+2,ch);
    3803             :     }
    3804       32123 :     gama = pol2sqrt_23(modP, Q);
    3805       32123 :     nf_compose_t(nf, &ch, &e, nfmul(nf, gama,pi3));
    3806       32123 :     pv6 = nfmul(nf,pv,pv6); n++;
    3807       32123 :     Q = pola2a4a6(e, nf, modP, pv, pv4, pv6);
    3808       32123 :     if (FqX_is_squarefree(Q, T, p))
    3809             :     {
    3810        7441 :       long nr = FqX_nbroots(Q,T,p);
    3811        7441 :       return localred_result(vD-n-4,-4-n,nr+2,ch);
    3812             :     }
    3813       24682 :     gama = pol2sqrt_23(modP, Q);
    3814       24682 :     nf_compose_r(nf, &ch, &e, nfmul(nf, gama, pi3));
    3815       24682 :     pi3 = nfmul(nf,pi, pi3);
    3816       24682 :     pv3 = pv4; pv4 = nfmul(nf,pv,pv4); pv6 = nfmul(nf,pv,pv6); n++;
    3817             :   }
    3818             : }
    3819             : 
    3820             : /* Tate algorithm, following J.H. Silverman GTM 151, chapt. IV, algo 9.4 */
    3821             : /* Dedicated to John Tate for his kind words */
    3822             : 
    3823             : static GEN
    3824       99435 : nflocalred_23(GEN nf, GEN e, GEN D, GEN P, long *ap)
    3825             : {
    3826             :   GEN T, p, modP;
    3827             :   long vD;
    3828             :   GEN ch, pv, pv2, pv4, pi, pol;
    3829       99435 :   modP = nf_to_Fq_init(nf,&P,&T,&p);
    3830       99435 :   get_uniformizers(nf,P, &pi, &pv);
    3831       99435 :   ch = init_ch();
    3832       99435 :   vD = nfval(nf,D,P);
    3833       99435 :   *ap = 0;
    3834             :   while(1)
    3835             :   {
    3836      252567 :     if (vD==0)
    3837         721 :       return localred_result(0,1,1,ch);
    3838             :     else
    3839             :     {
    3840      251846 :       GEN a1 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a1(e), modP);
    3841      251846 :       GEN a2 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a2(e), modP);
    3842      251846 :       GEN a3 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a3(e), modP);
    3843      251846 :       GEN a4 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a4(e), modP);
    3844      251846 :       GEN a6 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a6(e), modP);
    3845             :       GEN x0, y0;
    3846      251846 :       if (absequaliu(p,2))
    3847             :       {
    3848             :         GEN x02, y02;
    3849      164444 :         if (signe(a1))
    3850             :         {
    3851       30191 :           x0 = Fq_div(a3, a1, T, p);
    3852       30191 :           x02 = Fq_sqr(x0,T,p);
    3853       30191 :           y02 = Fq_add(Fq_mul(x02,Fq_add(x0,a2,T,p),T,p),Fq_add(Fq_mul(a4,x0,T,p),a6,T,p),T,p);
    3854             :         }
    3855             :         else
    3856             :         {
    3857      134253 :           x0 = Fq_sqrt(a4, T, p);
    3858      134253 :           y02 = Fq_add(Fq_mul(a4,a2,T,p),a6,T,p);
    3859             :         }
    3860      164444 :         y0 = Fq_sqrt(y02,T,p);
    3861             :       }
    3862             :       else
    3863             :       {
    3864       87402 :         GEN a12 = Fq_add(Fq_sqr(a1,T,p),a2,T,p);
    3865       87402 :         if (signe(a12))
    3866       27524 :           x0 = Fq_div(Fq_sub(a4,Fq_mul(a3,a1,T,p),T,p),a12,T,p);
    3867             :         else
    3868       59878 :           x0 = Fq_sqrtn(Fq_neg(Fq_add(Fq_sqr(a3,T,p),a6,T,p),T,p),p,T,p,NULL);
    3869       87402 :         y0 = Fq_add(Fq_mul(a1, x0, T, p), a3, T, p);
    3870             :       }
    3871      251846 :       x0 = Fq_to_nf(x0, modP);
    3872      251846 :       y0 = Fq_to_nf(y0, modP);
    3873      251846 :       nf_compose_rt(nf, &ch, &e, x0, y0);
    3874             :     }
    3875             :     /* 2 */
    3876             :     {
    3877      251846 :       GEN b2 = nf_to_Fq(nf, ell_get_b2(e), modP);
    3878      251846 :       if (signe(b2) != 0)
    3879             :       {
    3880       57715 :         GEN Q = pola1a2(e, nf, modP);
    3881       57715 :         long nr = FqX_nbroots(Q, T, p);
    3882       57715 :         if (nr==2) { *ap =  1; return localred_result(1,vD+4,vD,ch); /* Inu */ }
    3883       27895 :         else       { *ap = -1; return localred_result(1,vD+4,odd(vD)?1:2,ch);  }
    3884             :       }
    3885             :     }
    3886             :     /* 3 */
    3887             :     {
    3888      194131 :       long va6 = nfval(nf,ell_get_a6(e),P);
    3889      194131 :       if (va6 <= 1) return localred_result(vD,2,1,ch); /* II */
    3890             :     }
    3891             :     /* 4 */
    3892             :     {
    3893      191429 :       long vb8 = nfval(nf,ell_get_b8(e),P);
    3894      191429 :       if (vb8 <= 2) return localred_result(vD-1,3,2,ch);/* III */
    3895             :     }
    3896             :     /* 5 */
    3897      187719 :     pv2 = nfsqr(nf,pv);
    3898             :     {
    3899      187719 :       long vb6 = nfval(nf,ell_get_b6(e),P);
    3900      187719 :       if (vb6<=2)
    3901             :       {
    3902        3374 :         GEN Q = pola3a6(e, nf, modP, pv, pv2);
    3903        3374 :         long nr = FqX_nbroots(Q,T,p);
    3904        3374 :         return localred_result(vD-2,4,1+nr,ch);/* IV */
    3905             :       }
    3906             :     }
    3907             :     /* 6 */
    3908             :     {
    3909      184345 :       GEN pv3 = nfmul(nf,pv, pv2);
    3910      184345 :       GEN alpha = pol2sqrt_23(modP, pola1a2(e, nf, modP));
    3911      184345 :       GEN beta  = pol2sqrt_23(modP, pola3a6(e, nf, modP, pv, pv2));
    3912             :       GEN po2, E, F, mr;
    3913             :       long i, lE;
    3914      184345 :       nf_compose_st(nf, &ch, &e, alpha, nfmul(nf, beta, pi));
    3915      184345 :       po2 = pola2a4a6(e, nf, modP, pv, pv2, pv3);
    3916      184345 :       if (signe(po2)) /* po2 = 0 is frequent when nonminimal */
    3917             :       {
    3918       69776 :         pol = RgX_add(pol_xn(3,0), po2);
    3919       69776 :         F = FqX_factor(pol, T, p); E = gel(F,2);
    3920       69776 :         lE = lg(E);
    3921       69776 :         if (E[1] == 1 && (lE == 2 || E[2] == 1))
    3922             :         { /* T squarefree, degree pattern is (3), (12) or (111) */
    3923             :           long c; /* 1 + number of roots */
    3924        4739 :           switch(lE)
    3925             :           {
    3926        1764 :             case 2: c = 1; break;
    3927        2625 :             case 3: c = 2; break;
    3928         350 :             default: c = 4; break;
    3929             :           }
    3930        4739 :           return localred_result(vD-4,-1,c,ch);/* I0* */
    3931             :         }
    3932             :       /* 7 */
    3933       65037 :         i = (lE == 2 || E[1] == 2)? 1: 2; /* index of multiple root */
    3934       65037 :         mr = constant_coeff(gmael(F,1,i)); /* - multiple root */
    3935       65037 :         if (!gequal0(mr))
    3936             :         { /* not so frequent */
    3937       58989 :           GEN gama = Fq_to_nf(Fq_neg(mr, T, p), modP);
    3938       58989 :           nf_compose_r(nf, &ch, &e, nfmul(nf, gama,pi));
    3939             :         }
    3940       65037 :         if (lE == 3)
    3941       15512 :           return nflocalred_section7(e, nf, modP, pi, pv, vD, ch); /* Inu* */
    3942             :       }
    3943             :     }
    3944      164094 :     pv4 = nfsqr(nf,pv2);
    3945      164094 :     pol = pola3a6(e, nf, modP, pv2, pv4);
    3946             :     /*  8 */
    3947      164094 :     if (FqX_is_squarefree(pol,T,p))
    3948             :     {
    3949        4459 :       long nr = FqX_nbroots(pol, T, p);
    3950        4459 :       return localred_result(vD-6,-4,1+nr,ch); /* IV* */
    3951             :     }
    3952             :     /*  9 */
    3953             :     {
    3954      159635 :       GEN alpha = pol2sqrt_23(modP, pol);
    3955      159635 :       nf_compose_t(nf, &ch, &e, nfmul(nf, alpha, nfsqr(nf,pi)));
    3956      159635 :       if (nfval(nf, ell_get_a4(e), P) == 3)
    3957        3962 :         return localred_result(vD-7,-3,2,ch); /* III* */
    3958             :     }
    3959             :     /* 10 */
    3960      155673 :     if (nfval(nf, ell_get_a6(e), P) == 5)
    3961        2541 :       return localred_result(vD-8,-2,1,ch); /* II* */
    3962             :     /* 11 */
    3963      153132 :     nf_compose_u(nf, &ch, &e, pi, pv);
    3964      153132 :     vD -= 12;
    3965             :   }
    3966             : }
    3967             : 
    3968             : /* Local reduction, residual characteristic >= 5. E/nf, P prid
    3969             : * Output: f, kod, [u,r,s,t], c */
    3970             : static GEN
    3971       51051 : nflocalred_p(GEN e, GEN P)
    3972             : {
    3973       51051 :   GEN nf = ellnf_get_nf(e), T,p, modP = nf_to_Fq_init(nf,&P,&T,&p);
    3974             :   long c, f, vD, nuj, kod, m;
    3975             :   GEN ch, c4, c6, D, z, pi, piinv;
    3976             : 
    3977       51051 :   c4 = ell_get_c4(e);
    3978       51051 :   c6 = ell_get_c6(e);
    3979       51051 :   D = ell_get_disc(e);
    3980       51051 :   vD = nfval(nf,D,P);
    3981       51051 :   nuj = nfval(nf,ell_get_j(e),P);
    3982       51051 :   nuj = nuj >= 0? 0: -nuj; /* v_P(denom(j)) */
    3983       51051 :   m = (vD - nuj)/12;
    3984       51051 :   get_uniformizers(nf,P, &pi, &piinv);
    3985             : 
    3986       51051 :   if(m <= 0) ch = init_ch();
    3987             :   else
    3988             :   { /* model not minimal */
    3989             :     GEN r,s,t, a1,a2,a3, u,ui,ui2,ui4,ui6,ui12;
    3990       13153 :     u = nfpow_u(nf,pi,m);
    3991       13153 :     ui = nfpow_u(nf,piinv,m);
    3992       13153 :     ui2 = nfsqr(nf,ui);
    3993       13153 :     ui4 = nfsqr(nf,ui2);
    3994       13153 :     ui6 = nfmul(nf,ui2,ui4);
    3995       13153 :     ui12 = nfsqr(nf,ui6);
    3996       13153 :     c4 = nfmul(nf,c4,ui4);
    3997       13153 :     c6 = nfmul(nf,c6,ui6);
    3998       13153 :     D = nfmul(nf,D,ui12);  vD -= 12*m;
    3999       13153 :     a1 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a1(e));
    4000       13153 :     a2 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a2(e));
    4001       13153 :     a3 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a3(e));
    4002       13153 :     s = approx_mod2(idealpow(nf,P,stoi(m)),   a1);
    4003       13153 :     r = gsub(a2, nfmul(nf,s,gadd(a1,s)));
    4004       13153 :     r = approx_mod3(idealpow(nf,P,stoi(2*m)), r);
    4005       13153 :     t = gadd(a3, nfmul(nf,r,a1));
    4006       13153 :     t = approx_mod2(idealpow(nf,P,stoi(3*m)), t);
    4007       13153 :     ch = mkvec4(u,r,s,t);
    4008             :   }
    4009             : 
    4010       51051 :   kod = 1; c = 1;
    4011             :   /* minimal at P */
    4012       51051 :   if (nuj > 0)
    4013             :   { /* v(j) < 0 */
    4014       47320 :     if (vD == nuj)
    4015             :     { /* v(c4) = v(c6) = 0, multiplicative reduction */
    4016       45227 :       f = 1; kod = 4+vD;
    4017       45227 :       z = Fq_neg(nf_to_Fq(nf,c6,modP), T,p);
    4018       45227 :       if (Fq_issquare(z,T,p))
    4019       24066 :         c = vD;/* split */
    4020             :       else
    4021       21161 :         c = odd(vD)?1 : 2; /* nonsplit */
    4022             :     }
    4023             :     else
    4024             :     { /* v(c4) = 2, v(c6) = 3, potentially multiplicative */
    4025             :       GEN Du;
    4026        2093 :       f = 2; kod = 2-vD;
    4027        2093 :       (void)nfvalrem(nf, D, P, &Du);
    4028        2093 :       z = nf_to_Fq(nf, Du, modP);
    4029        2093 :       if(odd(vD))
    4030             :       {
    4031             :         GEN c6u;
    4032        1120 :         (void)nfvalrem(nf, c6, P, &c6u);
    4033        1120 :         c6u = nf_to_Fq(nf, c6u, modP);
    4034        1120 :         z = Fq_mul(z, c6u, T,p);
    4035             :       }
    4036        2093 :       c = Fq_issquare(z,T,p)? 4: 2;
    4037             :     }
    4038             :   }
    4039             :   else
    4040             :   { /* v(j) >= 0 */
    4041        3731 :     f = vD? 2: 0;
    4042        3731 :     switch(vD)
    4043             :     {
    4044             :       GEN piinv2, piinv3, piinv4, w;
    4045          84 :       case 0: kod = 1; c = 1; break;
    4046         616 :       case 2: kod = 2; c = 1; break;
    4047         497 :       case 3: kod = 3; c = 2; break;
    4048         273 :       case 4: kod = 4;
    4049         273 :         z = nfmul(nf,c6,nfsqr(nf,piinv));
    4050         273 :         z = nf_to_Fq(nf, z, modP);
    4051         273 :         z = Fq_Fp_mul(z,stoi(-6),T,p);
    4052         273 :         c = Fq_issquare(z,T,p)? 3: 1;
    4053         273 :         break;
    4054         903 :       case 6: kod = -1;
    4055         903 :         piinv2 = nfsqr(nf,piinv);
    4056         903 :         piinv3 = nfmul(nf,piinv,piinv2);
    4057         903 :         z = nfmul(nf,c4,piinv2); z = nf_to_Fq(nf, z, modP);
    4058         903 :         z = Fq_Fp_mul(z,stoi(-3), T,p);
    4059         903 :         w = nfmul(nf,c6,piinv3); w = nf_to_Fq(nf, w, modP);
    4060         903 :         w = Fq_Fp_mul(w,gen_m2, T,p);
    4061         903 :         c = 1 + FqX_nbroots(mkpoln(4, gen_1,gen_0,z,w), T,p);
    4062         903 :         break;
    4063         609 :       case 8: kod = -4;
    4064         609 :         piinv4 = nfpow_u(nf,piinv,4);
    4065         609 :         z = nfmul(nf,c6,piinv4); z = nf_to_Fq(nf, z, modP);
    4066         609 :         z = Fq_Fp_mul(z,stoi(-6),T,p);
    4067         609 :         c = Fq_issquare(z,T,p)? 3: 1;
    4068         609 :         break;
    4069         476 :       case 9: kod = -3; c = 2; break;
    4070         273 :       case 10: kod = -2; c = 1; break;
    4071             :     }
    4072       51051 :   }
    4073       51051 :   return localred_result(f,kod,c,ch);
    4074             : }
    4075             : /* E is integral */
    4076             : static GEN
    4077      101353 : nflocalred(GEN E, GEN pr)
    4078             : {
    4079      101353 :   GEN p = pr_get_p(pr);
    4080      101353 :   if (abscmpiu(p, 3) <= 0)
    4081             :   {
    4082             :     long i, ap, vu;
    4083       50302 :     GEN nf = ellnf_get_nf(E), e = ell_to_nfell10(E), D = ell_get_disc(E);
    4084       50302 :     GEN q = nflocalred_23(nf,e,D,pr,&ap), v = gel(q,3), u = gel(v,1);
    4085       50302 :     gel(q,3) = v;
    4086             :     /* do nothing if already minimal or equation was not pr-integral */
    4087       50302 :     vu = nfval(nf, u, pr);
    4088       50302 :     if (vu > 0)
    4089             :     { /* remove denominators in r,s,t on nf.zk */
    4090       49315 :       GEN D, r = gel(v,2), s = gel(v,3), t = gel(v,4);
    4091       49315 :       D = Q_denom(mkvec3(r, s, t));
    4092       49315 :       if (!equali1(D))
    4093             :       { /* Beware: D may not be coprime to pr */
    4094             :         GEN a;
    4095         427 :         (void)nfvalrem(nf, D, pr, &D);
    4096             :         /* a in D/p^oo, = 1 mod (u^6) locally */
    4097         427 :         a = idealaddtoone_i(nf, D, idealpows(nf, pr, 6*vu));
    4098         427 :         gel(v,2) = nfmul(nf, r, a);
    4099         427 :         gel(v,3) = nfmul(nf, s, a);
    4100         427 :         gel(v,4) = nfmul(nf, t, a);
    4101             :       }
    4102             :     }
    4103      251510 :     for(i=1; i <= 4; i++) gel(v,i) = nftoalg(nf, gel(v,i));
    4104       50302 :     return q;
    4105             :   }
    4106       51051 :   return nflocalred_p(E,pr);
    4107             : }
    4108             : 
    4109             : static GEN
    4110     2800368 : checkellp(GEN *pE, GEN p, GEN *pv, const char *s)
    4111             : {
    4112     2800368 :   GEN q, E = *pE;
    4113             :   long tE;
    4114     2800368 :   checkell(E); tE = ell_get_type(E);
    4115     2800356 :   if (pv) *pv = NULL;
    4116     2800356 :   if (p) switch(typ(p))
    4117             :   {
    4118     2444002 :     case t_INT:
    4119     2444002 :       if (cmpis(p, 2) < 0) pari_err_DOMAIN(s,"p", "<", gen_2, p);
    4120     2443991 :       break;
    4121      197988 :     case t_VEC:
    4122      197988 :       q = get_prid(p);
    4123      197988 :       if (q && tE == t_ELL_NF)
    4124             :       {
    4125      197988 :         *pE = ellintegralmodel_i(E, pv);
    4126      197988 :         return q;
    4127             :       }
    4128           6 :     default: pari_err_TYPE(s,p);
    4129             :   }
    4130     2602351 :   switch(tE)
    4131             :   {
    4132      179871 :     case t_ELL_Fp:
    4133      179871 :     case t_ELL_Fq: q = ellff_get_p(E); break;
    4134         273 :     case t_ELL_Qp: q = ellQp_get_p(E); break;
    4135     2422208 :     case t_ELL_Q: if (p) { q = p; p = NULL; break; }
    4136             :     default:
    4137          14 :       pari_err_TYPE(stack_strcat(s," [can't determine p]"), E);
    4138             :       return NULL;/*LCOV_EXCL_LINE*/
    4139             :   }
    4140     2602337 :   if (p && !equalii(p, q)) pari_err_MODULUS(s, p,q);
    4141     2602302 :   if (tE == t_ELL_Q || tE == t_ELL_Qp || tE == t_ELL_NF)
    4142     2422431 :     *pE = ellintegralmodel_i(E, pv);
    4143     2602289 :   return q;
    4144             : }
    4145             : 
    4146             : GEN
    4147      197085 : elllocalred(GEN E, GEN p)
    4148             : {
    4149      197085 :   pari_sp av = avma;
    4150             :   GEN v, q;
    4151      197085 :   checkell(E);
    4152      197085 :   p = checkellp(&E, p, &v, "elllocalred");
    4153      197071 :   switch(ell_get_type(E))
    4154             :   {
    4155       99477 :     case t_ELL_Qp:
    4156       99477 :     case t_ELL_Q:  q = localred(E, p); break;
    4157       97594 :     case t_ELL_NF: q = nflocalred(E, p); break;
    4158           0 :     default: pari_err_TYPE("elllocalred", E);
    4159             :       return NULL;/*LCOV_EXCL_LINE*/
    4160             :   }
    4161      197071 :   if (v)
    4162             :   { /* compose local change of variables with v */
    4163          28 :     GEN u = gel(v,1), w = gel(q,3);
    4164          28 :     if (is_trivial_change(w))
    4165          21 :       gel(q,3) = mkvec4(u,gen_0,gen_0,gen_0);
    4166             :     else
    4167           7 :       gel(w,1) = gmul(u, gel(w,1));
    4168             :   }
    4169      197071 :   return gerepilecopy(av, q);
    4170             : }
    4171             : 
    4172             : /* typ(c) = t_INT or t_FRAC */
    4173             : static GEN
    4174       10899 : handle_Q(GEN c, GEN *pd)
    4175             : {
    4176       10899 :   *pd = (typ(c) == t_INT)? NULL: gel(c,2);
    4177       10899 :   return c;
    4178             : }
    4179             : static GEN
    4180    15421658 : handle_coeff(GEN nf, GEN c, GEN *pd)
    4181             : {
    4182    15421658 :   *pd = NULL;
    4183    15421658 :   switch(typ(c))
    4184             :   {
    4185    15408681 :     case t_INT: *pd = NULL; return c;
    4186        2093 :     case t_FRAC: *pd = gel(c,2); return c;
    4187       10899 :     case t_POL: case t_POLMOD: case t_COL:
    4188       10899 :       if (nf)
    4189             :       {
    4190       10899 :         c = nf_to_scalar_or_basis(nf,c);
    4191       10899 :         return handle_Q(Q_content(c), pd);
    4192             :       }
    4193           0 :     default: pari_err_TYPE("ellintegralmodel",c);
    4194             :       return NULL;/*LCOV_EXCL_LINE*/
    4195             :   }
    4196             : }
    4197             : /* Return an integral model for e / nf, Q. Set v = NULL (already integral)
    4198             :  * or the variable change [u,0,0,0], u = 1/t, t > 1 integer making e integral */
    4199             : GEN
    4200     3084374 : ellintegralmodel_i(GEN e, GEN *pv)
    4201             : {
    4202             :   GEN a, t, u, L, nf;
    4203             :   long i, l, k;
    4204             : 
    4205     3084374 :   if (pv) *pv = NULL;
    4206             :   /* t_ELL_Qp is also possible */
    4207     3084374 :   nf = (ell_get_type(e) == t_ELL_NF)?ellnf_get_nf(e): NULL;
    4208     3084368 :   L = cgetg(1, t_VEC); a = cgetg(6, t_VEC);
    4209    18506026 :   for (i = 1; i < 6; i++)
    4210             :   {
    4211             :     GEN d;
    4212    15421661 :     gel(a,i) = handle_coeff(nf, gel(e,i), &d);
    4213    15421669 :     if (d) /* partial factorization of denominator */
    4214        3066 :       L = shallowconcat(L, gel(Z_factor_limit(d, 0),1));
    4215             :   }
    4216             :   /* a = [a1, a2, a3, a4, a6] */
    4217     3084365 :   l = lg(L); if (l == 1) return e;
    4218        1520 :   L = ZV_sort_uniq(L);
    4219        1526 :   l = lg(L);
    4220             : 
    4221        1526 :   t = gen_1;
    4222        3640 :   for (k = 1; k < l; k++)
    4223             :   {
    4224        2114 :     GEN p = gel(L,k);
    4225        2114 :     long n = 0, m;
    4226       12684 :     for (i = 1; i < 6; i++)
    4227       10570 :       if (!gequal0(gel(a,i)))
    4228             :       {
    4229        5439 :         long r = (i == 5)? 6: i; /* a5 is missing */
    4230        5439 :         m = r * n + Q_pval(gel(a,i), p);
    4231        8071 :         while (m < 0) { n++; m += r; }
    4232             :       }
    4233        2114 :     t = mulii(t, powiu(p, n));
    4234             :   }
    4235        1526 :   u = ginv(t);
    4236        1526 :   if (pv) *pv = mkvec4(u,gen_0,gen_0,gen_0);
    4237        1526 :   return coordch_uinv(e, t);
    4238             : }
    4239             : GEN
    4240         329 : ellintegralmodel(GEN e, GEN *pv)
    4241             : {
    4242         329 :   pari_sp av = avma;
    4243         329 :   checkell(e);
    4244         329 :   switch(ell_get_type(e))
    4245             :   {
    4246         329 :     case t_ELL_Q:
    4247             :     case t_ELL_Qp:
    4248         329 :     case t_ELL_NF: break;
    4249           0 :     default: pari_err_TYPE("ellintegralmodel",e);
    4250             :   }
    4251         329 :   e = ellintegralmodel_i(e, pv);
    4252         329 :   if (!pv || !*pv)
    4253             :   {
    4254         308 :     e = gerepilecopy(av, e);
    4255         308 :     if (pv) *pv = init_ch();
    4256             :   }
    4257             :   else
    4258          21 :     gerepileall(av, 2, &e, pv);
    4259         329 :   return e;
    4260             : }
    4261             : 
    4262             : /* return an integral model with a1 = a3 = 0 */
    4263             : GEN
    4264         770 : ellintegralbmodel(GEN e, GEN *pv)
    4265             : {
    4266         770 :   pari_sp av = avma;
    4267             :   GEN f, a1, a3;
    4268             : 
    4269         770 :   checkell(e); f = ellintegralmodel_i(e, pv);
    4270         770 :   a1 = ell_get_a1(f);
    4271         770 :   a3 = ell_get_a3(f);
    4272         770 :   if (!signe(a1) && !signe(a3))
    4273         224 :   { if (!*pv) *pv = init_ch(); }
    4274             :   else
    4275             :   {
    4276         546 :     GEN v = mkvec4(mpodd(a1) || mpodd(a3) ? ghalf : gen_1,
    4277             :                    gen_0, gdivgs(a1,-2), gdivgs(a3,-2));
    4278         546 :     gcomposev(pv, v); f = coordch(f, v);
    4279             :   }
    4280         770 :   if (f != e) ell_reset(f);
    4281         770 :   gerepileall(av, 2, &f, pv); return f;
    4282             : }
    4283             : 
    4284             : static long
    4285        2548 : F2_card(ulong a1, ulong a2, ulong a3, ulong a4, ulong a6)
    4286             : {
    4287        2548 :   long N = 1; /* oo */
    4288        2548 :   if (!a3) N ++; /* x = 0, y=0 or 1 */
    4289        2408 :   else if (!a6) N += 2; /* x = 0, y arbitrary */
    4290        2548 :   if ((a3 ^ a1) == 0) N++; /* x = 1, y = 0 or 1 */
    4291        2114 :   else if (a2 ^ a4 ^ a6) N += 2; /* x = 1, y arbitrary */
    4292        2548 :   return N;
    4293             : }
    4294             : static long
    4295        3444 : F3_card(ulong b2, ulong b4, ulong b6)
    4296             : {
    4297        3444 :   ulong Po = 1+2*b4, Pe = b2+b6;
    4298             :   /* kro(x,3)+1 = (x+1)%3, N = 4 + sum(kro) = 1+ sum(1+kro) */
    4299        3444 :   return 1+(b6+1)%3+(Po+Pe+1)%3+(2*Po+Pe+1)%3;
    4300             : }
    4301             : static long
    4302        2527 : cardmod2(GEN e)
    4303             : { /* solve y(1 + a1x + a3) = x (1 + a2 + a4) + a6 */
    4304        2527 :   ulong a1 = Rg_to_F2(ell_get_a1(e));
    4305        2527 :   ulong a2 = Rg_to_F2(ell_get_a2(e));
    4306        2527 :   ulong a3 = Rg_to_F2(ell_get_a3(e));
    4307        2527 :   ulong a4 = Rg_to_F2(ell_get_a4(e));
    4308        2527 :   ulong a6 = Rg_to_F2(ell_get_a6(e));
    4309        2527 :   return F2_card(a1,a2,a3,a4,a6);
    4310             : }
    4311             : static long
    4312        3304 : cardmod3(GEN e)
    4313             : {
    4314        3304 :   ulong b2 = Rg_to_Fl(ell_get_b2(e), 3);
    4315        3304 :   ulong b4 = Rg_to_Fl(ell_get_b4(e), 3);
    4316        3304 :   ulong b6 = Rg_to_Fl(ell_get_b6(e), 3);
    4317        3304 :   return F3_card(b2,b4,b6);
    4318             : }
    4319             : 
    4320             : static ulong
    4321         378 : ZtoF2(GEN x) { return (ulong)mpodd(x); }
    4322             : 
    4323             : /* complete local reduction at 2, u = 2^d */
    4324             : static void
    4325          35 : min_set_2(ellmin_t *M, GEN E, long d)
    4326             : {
    4327          35 :   min_set_u(M, int2n(d));
    4328          35 :   min_set_c(M, E);
    4329          35 :   min_set_b(M);
    4330          35 :   min_set_a(M);
    4331          35 : }
    4332             : /* local reduction at 3, u = 3^d, don't compute the a_i */
    4333             : static void
    4334         140 : min_set_3(ellmin_t *M, GEN E, long d)
    4335             : {
    4336         140 :   min_set_u(M, powuu(3, d));
    4337         140 :   min_set_c(M, E);
    4338         140 :   min_set_b(M);
    4339         140 : }
    4340             : 
    4341             : static long
    4342      102410 : ellQap_u(GEN E, ulong p, int *good_red)
    4343             : {
    4344      102410 :   long vc6, vD, d = get_vp_u_small(E, p, &vc6, &vD);
    4345      102410 :   if (vD) /* bad reduction */
    4346             :   {
    4347             :     GEN c6;
    4348             :     long s;
    4349      102102 :     *good_red = 0;
    4350      102102 :     if (vc6) return 0;
    4351       75159 :     c6 = ell_get_c6(E);
    4352       75159 :     if (d) c6 = diviiexact(c6, powuu(p, 6*d));
    4353       75159 :     s = kroiu(c6,p);
    4354       75159 :     if ((p & 3) == 3) s = -s;
    4355       75159 :     return s;
    4356             :   }
    4357         308 :   *good_red = 1;
    4358         308 :   if (p == 2)
    4359             :   {
    4360             :     ellmin_t M;
    4361          21 :     if (!d) return 3 - cardmod2(E);
    4362          21 :     min_set_2(&M, E, d);
    4363          21 :     return 3 - F2_card(M.a1, M.a2 & 1, M.a3, ZtoF2(M.a4), ZtoF2(M.a6));
    4364             :   }
    4365         287 :   else if (p == 3)
    4366             :   {
    4367             :     ellmin_t M;
    4368         140 :     if (!d) return 4 - cardmod3(E);
    4369         140 :     min_set_3(&M, E, d);
    4370         140 :     return 4 - F3_card(M.b2, umodiu(M.b4,3), umodiu(M.b6,3));
    4371             :   }
    4372             :   else
    4373             :   {
    4374             :     ellmin_t M;
    4375         147 :     GEN a4, a6, pp = utoipos(p);
    4376         147 :     min_set_u(&M, powuu(p,d));
    4377         147 :     min_set_c(&M, E);
    4378         147 :     c4c6_to_a4a6(M.c4, M.c6, pp, &a4,&a6);
    4379         147 :     return itos( subui(p+1, Fp_ellcard(a4, a6, pp)) );
    4380             :   }
    4381             : }
    4382             : 
    4383             : static GEN
    4384       98574 : ellQap(GEN E, GEN p, int *good_red)
    4385             : {
    4386             :   GEN a4,a6, c4, c6, D;
    4387             :   long vc6, vD, d;
    4388       98574 :   if (lgefint(p) == 3) return stoi( ellQap_u(E, p[2], good_red) );
    4389           0 :   c6 = ell_get_c6(E);
    4390           0 :   D = ell_get_disc(E);
    4391           0 :   vc6 = Z_pval(c6,p); vD = Z_pval(D,p);
    4392           0 :   d = minss(2*vc6, vD) / 12;
    4393           0 :   if (d) { vc6 -= 6*d; vD -= 12*d; } /* non minimal model */
    4394           0 :   if (vD) /* bad reduction */
    4395             :   {
    4396             :     long s;
    4397           0 :     *good_red = 0;
    4398           0 :     if (vc6) return gen_0;
    4399           0 :     if (d) c6 = diviiexact(c6, powiu(p, 6*d));
    4400           0 :     s = kronecker(c6,p);
    4401           0 :     if (mod4(p) == 3) s = -s;
    4402           0 :     return s < 0? gen_m1: gen_1;
    4403             :   }
    4404           0 :   *good_red = 1;
    4405           0 :   c4 = ell_get_c4(E);
    4406           0 :   if (d)
    4407             :   {
    4408           0 :     GEN u2 = powiu(p, 2*d), u4 = sqri(u2), u6 = mulii(u2,u4);
    4409           0 :     c4 = diviiexact(c4, u4);
    4410           0 :     c6 = diviiexact(c6, u6);
    4411             :   }
    4412           0 :   c4c6_to_a4a6(c4, c6, p, &a4,&a6);
    4413           0 :   return subii(addiu(p,1), Fp_ellcard(a4, a6, p));
    4414             : }
    4415             : 
    4416             : static GEN
    4417      116773 : doellcard(GEN E)
    4418             : {
    4419      116773 :   GEN fg = ellff_get_field(E);
    4420      116773 :   if (typ(fg)==t_FFELT)
    4421       95066 :     return FF_ellcard(E);
    4422             :   else
    4423             :   {
    4424       21707 :     GEN e = ellff_get_a4a6(E);
    4425       21707 :     return Fp_ellcard(gel(e,1),gel(e,2),fg);
    4426             :   }
    4427             : }
    4428             : 
    4429             : static GEN
    4430      174294 : ellnfap(GEN E, GEN P, int *good_red)
    4431             : {
    4432      174294 :   GEN a4,a6, card, nf = ellnf_get_nf(E);
    4433      174293 :   GEN T,p, modP = nf_to_Fq_init(nf,&P,&T,&p);
    4434      174297 :   if (abscmpiu(p, 3) <= 0)
    4435             :   {
    4436             :     long ap;
    4437       49133 :     GEN nf = ellnf_get_nf(E), e = ell_to_nfell10(E), D = ell_get_disc(E);
    4438       49133 :     GEN L = nflocalred_23(nf, e,D,P,&ap), kod = gel(L,2);
    4439       49133 :     if (!equali1(kod)) { *good_red = 0; return stoi(ap); }
    4440         462 :     *good_red = 1;
    4441         462 :     E = nf_coordch(nf, vecslice(e,1,5), gel(L,3));
    4442         462 :     E = ellinit_nf_to_Fq(nf, E, modP);
    4443         462 :     card = FF_ellcard(E);
    4444             :   }
    4445             :   else
    4446             :   {
    4447      125158 :     GEN c6 = ell_get_c6(E), c4 = ell_get_c4(E);
    4448      125159 :     long vD = nfval(nf, ell_get_disc(E), P);
    4449      125125 :     if (vD)
    4450             :     {
    4451             :       GEN c6new;
    4452       49168 :       long d, vc6 = nfvalrem(nf,c6,P, &c6new);
    4453       49168 :       d = ((vc6 == LONG_MAX)? vD: minss(vD,2*vc6)) / 12;
    4454       49168 :       if (vD > 12*d)
    4455             :       { /* bad reduction */
    4456       49133 :         *good_red = 0;
    4457       92911 :         if (vc6 != 6*d) return gen_0;
    4458       43778 :         c6 = nf_to_Fq(nf, c6new, modP);
    4459       43778 :         return Fq_issquare(gneg(c6),T,p)? gen_1: gen_m1;
    4460             :       }
    4461          35 :       if (d)
    4462             :       { /* model not minimal at P */
    4463          35 :         GEN piinv = get_piinv(P);
    4464          35 :         GEN ui2 = nfpow(nf, piinv, stoi(2*d));
    4465          35 :         GEN ui4 = nfsqr(nf, ui2);
    4466          35 :         GEN ui6 = nfmul(nf, ui2, ui4);
    4467          35 :         c4 = nfmul(nf, c4, ui4);
    4468          35 :         c6 = nfmul(nf, c6, ui6);
    4469             :       }
    4470             :     }
    4471       75992 :     *good_red = 1;
    4472       75992 :     c4 = nf_to_Fq(nf, c4, modP);
    4473       75977 :     c6 = nf_to_Fq(nf, c6, modP);
    4474       75999 :     Fq_c4c6_to_a4a6(c4, c6, T,p, &a4,&a6);
    4475       76017 :     card = T? FpXQ_ellcard(Fq_to_FpXQ(a4,T,p),Fq_to_FpXQ(a6,T,p),T,p)
    4476       75954 :             : Fp_ellcard(a4,a6,p);
    4477             :   }
    4478       76479 :   return subii(addiu(pr_norm(P),1), card);
    4479             : }
    4480             : 
    4481             : /* a, b not both 0; sorted list of primes dividing gcd(a,b), using coprime
    4482             :  * basis */
    4483             : static GEN
    4484      457121 : Z_gcd_primes(GEN a, GEN b)
    4485             : {
    4486             :   GEN P;
    4487      457121 :   if (!signe(a))
    4488        1764 :     P = gel(absZ_factor(b), 1);
    4489      455357 :   else if (!signe(b))
    4490         966 :     P = gel(absZ_factor(a), 1);
    4491             :   else
    4492             :   {
    4493      454391 :     GEN A, B, v = Z_ppio(a,b), d = gel(v,1); /* = gcd(a,b) */
    4494             :     long k, l;
    4495      454391 :     if (is_pm1(d)) return cgetg(1, t_COL);
    4496      345989 :     A = gel(v,2); /* gcd(a, b^oo) */
    4497      345989 :     B = diviiexact(b, Z_ppo(b, d)); /* gcd(b, a^oo) */
    4498             :     /* d = gcd(A,B) */
    4499      345989 :     P = Z_cba(A, B); /* use coprime basis to help as much as possible */
    4500      345989 :     l = lg(P);
    4501      809249 :     for (k = 1; k < l; k++) gel(P,k) = gel(Z_factor(gel(P,k)), 1);
    4502      345989 :     P = shallowconcat1(P);
    4503      345989 :     ZV_sort_inplace(P);
    4504             :   }
    4505      348719 :   settyp(P, t_VEC); return P;
    4506             : }
    4507             : /* E/Q, integral model, Laska-Kraus-Connell algorithm. Set *pDP to a list
    4508             :  * of known prime divisors of minimal discriminant */
    4509             : static GEN
    4510      456211 : ellQ_minimalu(GEN E, GEN *pDP)
    4511             : {
    4512             :   pari_sp av;
    4513      456211 :   GEN D = ell_get_disc(E);
    4514      456211 :   GEN c4 = ell_get_c4(E);
    4515      456211 :   GEN c6 = ell_get_c6(E), g, u, P, DP;
    4516             :   long l, k;
    4517             : 
    4518      456211 :   P = Z_gcd_primes(c4, c6);
    4519      456211 :   l = lg(P); if (l == 1) { if(pDP) *pDP = P; return gen_1; }
    4520      347949 :   DP = coltrunc_init(l);
    4521      347949 :   av = avma;
    4522      347949 :   g = gcdii(sqri(c6), D);
    4523      347949 :   u = gen_1;
    4524      856373 :   for (k = 1; k < l; k++)
    4525             :   {
    4526      508424 :     GEN p = gel(P, k);
    4527      508424 :     long vg = Z_pval(g, p), d = vg / 12, r = vg % 12;
    4528      508424 :     if (d) switch(itou_or_0(p))
    4529             :     {
    4530       57813 :       case 2:
    4531             :       {
    4532             :         long a, b;
    4533       57813 :         a = Mod16( shifti(c4, -4*d) );
    4534       57813 :         b = Mod32( shifti(c6, -6*d) );
    4535       57813 :         if ((b & 3) != 3 && (a || (b && b!=8))) { d--; r += 12; }
    4536       57813 :         break;
    4537             :       }
    4538        2849 :       case 3:
    4539        2849 :         if (safe_Z_lval(c6,3) == 6*d+2) { d--; r += 12; }
    4540        2849 :         break;
    4541             :     }
    4542      508424 :     if (r) vectrunc_append(DP, p);
    4543      508424 :     if (d) u = mulii(u, powiu(p, d));
    4544             :   }
    4545      347949 :   if (pDP) *pDP = DP;
    4546      347949 :   return gerepileuptoint(av, u);
    4547             : }
    4548             : 
    4549             : /* Ensure a1 and a3 are 2-restricted and a2 is 3-restricted */
    4550             : static GEN
    4551          35 : nfrestrict23(GEN nf, GEN E)
    4552             : {
    4553          35 :   GEN a1 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a1(E)), A1, A2, A3, r, s, t;
    4554          35 :   GEN a2 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a2(E));
    4555          35 :   GEN a3 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a3(E));
    4556             : 
    4557          35 :   A1 = gmodgs(a1,2);
    4558          35 :   s = gshift(gsub(A1,a1), -1);
    4559          35 :   s = lift_if_rational(basistoalg(nf, s));
    4560          35 :   A2 = nfsub(nf, a2, nfmul(nf,s, nfadd(nf,a1,s)));
    4561          35 :   r = gdivgs(gsub(gmodgs(A2,3), A2), 3);
    4562          35 :   r = lift_if_rational(basistoalg(nf, r));
    4563          35 :   A3 = nfadd(nf, a3, nfmul(nf,r,A1));
    4564          35 :   t = nfadd(nf, nfmul(nf, r,s), gshift(gsub(gmodgs(A3,2), A3), -1));
    4565          35 :   t = lift_if_rational(basistoalg(nf, t));
    4566          35 :   return mkvec4(gen_1, r, s, t);
    4567             : }
    4568             : 
    4569             : static GEN
    4570        2604 : zk_capZ(GEN nf, GEN x)
    4571             : {
    4572        2604 :   GEN mx = zk_scalar_or_multable(nf, x);
    4573        2604 :   return (typ(mx) == t_INT)? mx: zkmultable_capZ(mx);
    4574             : }
    4575             : static GEN
    4576         910 : ellnf_c4c6_primes(GEN E)
    4577             : {
    4578         910 :   GEN nf = ellnf_get_nf(E);
    4579         910 :   GEN c4Z = zk_capZ(nf, ell_get_c4(E));
    4580         910 :   GEN c6Z = zk_capZ(nf, ell_get_c6(E));
    4581         910 :   return Z_gcd_primes(c4Z, c6Z); /* primes dividing (c4,c6) \cap Z */
    4582             : }
    4583             : static GEN
    4584         784 : ellnf_D_primes(GEN E)
    4585             : {
    4586         784 :   GEN nf = ellnf_get_nf(E);
    4587         784 :   GEN P = ellnf_c4c6_primes(E);
    4588         784 :   GEN DZ = zk_capZ(nf, ell_get_disc(E));
    4589         784 :   long k, l = lg(P);
    4590        1890 :   for (k = 1; k < l; k++) (void)Z_pvalrem(DZ, gel(P,k), &DZ);
    4591         784 :   if (!is_pm1(DZ))
    4592             :   {
    4593         693 :     GEN Q = gel(absZ_factor(DZ),1);
    4594         693 :     settyp(Q, t_VEC); P = shallowconcat(P, Q); ZV_sort_inplace(P);
    4595             :   }
    4596         784 :   return P;
    4597             : }
    4598             : 
    4599             : /* convert vector of localreds to NF_MINIMALPRIMES */
    4600             : static GEN
    4601         889 : Q_to_minimalprimes(GEN nf, GEN P, GEN Q)
    4602             : {
    4603             :   GEN L, Lr, Ls, Lt, U;
    4604         889 :   long k, l = lg(P);
    4605         889 :   Lr = vectrunc_init(l);
    4606         889 :   Ls = vectrunc_init(l);
    4607         889 :   Lt = vectrunc_init(l);
    4608         889 :   L = vectrunc_init(l); settyp(L,t_COL);
    4609         889 :   U = vectrunc_init(l); settyp(U,t_COL);
    4610        4326 :   for (k = 1; k < l; k++)
    4611             :   {
    4612        3437 :     GEN pr = gel(P, k), q = gel(Q, k), v, u;
    4613             :     long vu;
    4614        3437 :     v = gel(q,3);
    4615        3437 :     u = gel(v,1);
    4616        3437 :     vu = nfval(nf, u, pr);
    4617        3437 :     if (!vu) continue;
    4618         784 :     vectrunc_append(Lr, gel(v,2));
    4619         784 :     vectrunc_append(Ls, gel(v,3));
    4620         784 :     vectrunc_append(Lt, gel(v,4));
    4621         784 :     vectrunc_append(L, pr);
    4622         784 :     vectrunc_append(U, stoi(vu));
    4623             :   }
    4624         889 :   return mkvec5(L, U, Lr, Ls, Lt);
    4625             : }
    4626             : /* E integral */
    4627             : static GEN
    4628         931 : ellminimalprimes(GEN E)
    4629             : {
    4630             :   GEN S, nf, c4, c6, P, Q;
    4631             :   long j, k, l;
    4632             : 
    4633         931 :   if ((S = obj_check(E, NF_MINIMALPRIMES))) return S;
    4634         126 :   nf = ellnf_get_nf(E);
    4635         126 :   c4 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_c4(E));
    4636         126 :   c6 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_c6(E));
    4637         126 :   if (typ(c4) == t_INT) c4 = NULL;
    4638         126 :   if (typ(c6) == t_INT) c6 = NULL;
    4639         126 :   P = nf_pV_to_prV(nf, ellnf_c4c6_primes(E));
    4640         126 :   Q = cgetg_copy(P, &l);
    4641         574 :   for (k = j = 1; k < l; k++)
    4642             :   {
    4643         448 :     GEN pr = gel(P, k);
    4644         448 :     if (c4 && !ZC_prdvd(c4,pr)) continue;
    4645         406 :     if (c6 && !ZC_prdvd(c6,pr)) continue;
    4646         399 :     gel(Q,j) = nflocalred(E, pr); /* pr | (c4,c6) */
    4647         399 :     gel(P,j++) = pr;
    4648             :   }
    4649         126 :   setlg(P,j); setlg(Q,j);
    4650         126 :   return obj_insert(E, NF_MINIMALPRIMES, Q_to_minimalprimes(nf,P,Q));
    4651             : }
    4652             : static GEN
    4653         812 : ellnf_minimalnormu(GEN E0)
    4654             : {
    4655         812 :   GEN E, S, L, U, P, v, Nu = NULL, nf = ellnf_get_nf(E0);
    4656             :   long i, l;
    4657         812 :   E = ellintegralmodel_i(E0, &v);
    4658         812 :   S = ellminimalprimes(E);
    4659         812 :   L = gel(S,1);
    4660         812 :   U = gel(S,2);
    4661         812 :   if (v) Nu = idealnorm(nf, gel(v,1));
    4662         812 :   P = cgetg_copy(L, &l);
    4663        1484 :   for (i = 1; i < l; i++) gel(P,i) = pr_norm(gel(L,i));
    4664         812 :   P = factorback2(P, U);
    4665         812 :   if (Nu) P = gmul(Nu, P);
    4666         812 :   return P;
    4667             : }
    4668             : /* E integral model; return change of variable to miminal model (t_VEC)
    4669             :  * or (nontrivial) Weierstrass class (t_COL) */
    4670             : static GEN
    4671          56 : bnf_get_v(GEN E)
    4672             : {
    4673          56 :   GEN bnf = ellnf_get_bnf(E);
    4674             :   GEN nf, L, Lr, Ls, Lt, F, C, U, R, S, T;
    4675             : 
    4676          56 :   if (!bnf) pari_err_TYPE("ellminimalmodel (need a bnf)", ellnf_get_nf(E));
    4677          56 :   S = ellminimalprimes(E);
    4678          56 :   L = gel(S,1);
    4679          56 :   U = gel(S,2);
    4680          56 :   Lr = gel(S,3);
    4681          56 :   Ls = gel(S,4);
    4682          56 :   Lt = gel(S,5);
    4683          56 :   F = isprincipalfact(bnf, NULL, L, U, nf_GEN);
    4684          56 :   if (!gequal0(gel(F,1))) return gel(F,1);
    4685          35 :   nf = bnf_get_nf(bnf);
    4686          35 :   C = idealchinese(nf, mkmat2(L, ZC_z_mul(U,6)), NULL);
    4687          35 :   U = basistoalg(nf, gel(F,2));
    4688          35 :   R = basistoalg(nf, idealchinese(nf, C, Lr));
    4689          35 :   S = basistoalg(nf, idealchinese(nf, C, Ls));
    4690          35 :   T = basistoalg(nf, idealchinese(nf, C, Lt));
    4691          35 :   return lift_if_rational(mkvec4(U,R,S,T));
    4692             : }
    4693             : 
    4694             : GEN
    4695          70 : ellminimaldisc(GEN E)
    4696             : {
    4697          70 :   pari_sp av = avma;
    4698          70 :   checkell(E);
    4699          70 :   switch(ell_get_type(E))
    4700             :   {
    4701           7 :     case t_ELL_Q:
    4702           7 :       E = ellminimalmodel(E,NULL);
    4703           7 :       return gerepileuptoint(av, absi_shallow(ell_get_disc(E)));
    4704          63 :     case t_ELL_NF:
    4705             :     {
    4706          63 :       GEN nf = ellnf_get_nf(E), S, L, U, D;
    4707          63 :       E = ellintegralmodel_i(E,NULL);
    4708          63 :       S = ellminimalprimes(E);
    4709          63 :       L = gel(S,1);
    4710          63 :       U = ZC_z_mul(gel(S,2), 12);
    4711          63 :       D = idealfactorback(nf, L, U, 0);
    4712          63 :       return gerepileupto(av, idealdiv(nf, ell_get_disc(E), D));
    4713             :     }
    4714           0 :     default: pari_err_TYPE("ellminimaldisc (E / number field)", E);
    4715             :              return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
    4716             :   }
    4717             : }
    4718             : 
    4719             : /* update Q_MINIMALMODEL entry in E, but don't update type-specific data on
    4720             :  * ellminimalmodel(E) */
    4721             : static GEN
    4722      457583 : ellminimalmodel_i(GEN E, GEN *ptv, GEN *pS)
    4723             : {
    4724             :   GEN S, y, e, v, v0, u, DP;
    4725             :   ellmin_t M;
    4726      457583 :   if ((S = obj_check(E, Q_MINIMALMODEL)))
    4727             :   {
    4728        1379 :     if (lg(S) != 2)
    4729             :     {
    4730          63 :       E = gel(S,3);
    4731          63 :       v = gel(S,2);
    4732             :     }
    4733             :     else
    4734        1316 :       v = init_ch();
    4735        1379 :     if (ptv) *ptv = v;
    4736        1379 :     if (pS) *pS = S;
    4737        1379 :     return gcopy(E);
    4738             :   }
    4739      456204 :   e = ellintegralmodel_i(E, &v0);
    4740      456204 :   u = ellQ_minimalu(e, &DP);
    4741      456204 :   min_set_all(&M, e, u);
    4742      456204 :   v = min_get_v(&M, e);
    4743      456204 :   y = min_to_ell(&M, e);
    4744      456204 :   if (v0) { gcomposev(&v0, v); v = v0; }
    4745      456204 :   if (is_trivial_change(v))
    4746             :   {
    4747      454160 :     v = init_ch();
    4748      454160 :     S = mkvec(DP);
    4749             :   }
    4750             :   else
    4751        2044 :     S = mkvec3(DP, v, y);
    4752      456204 :   obj_insert(E, Q_MINIMALMODEL, S);
    4753      456204 :   if (pS) *pS = S;
    4754      456204 :   if (ptv) *ptv = v; return y;
    4755             : }
    4756             : 
    4757             : static GEN
    4758        2058 : ellQminimalmodel(GEN E, GEN *ptv)
    4759             : {
    4760        2058 :   pari_sp av = avma;
    4761        2058 :   GEN S, DP, v, y = ellminimalmodel_i(E, &v, &S);
    4762        2058 :   if (!is_trivial_change(v)) ch_Q(y, E, v);
    4763        2058 :   DP = gel(S,1);
    4764        2058 :   obj_insert_shallow(y, Q_MINIMALMODEL, mkvec(DP));
    4765        2058 :   if (!ptv)
    4766        1981 :     y = gerepilecopy(av, y);
    4767             :   else
    4768          77 :   { *ptv = v; gerepileall(av, 2, &y, ptv); }
    4769        2058 :   return y;
    4770             : }
    4771             : 
    4772             : static GEN
    4773          56 : ellnfminimalmodel_i(GEN E, GEN *ptv)
    4774             : {
    4775             :   GEN S, y, v, v2;
    4776          56 :   if ((S = obj_check(E, NF_MINIMALMODEL)))
    4777             :   {
    4778           0 :     switch(lg(S))
    4779             :     {
    4780           0 :       case 1: v = init_ch(); break;
    4781           0 :       case 2: v = NULL; E = gel(S,1); break;
    4782           0 :       default: E = gel(S,2); v = gel(S,1); break;
    4783             :     }
    4784           0 :     *ptv = v;
    4785           0 :     return gcopy(E);
    4786             :   }
    4787          56 :   *ptv = NULL;
    4788          56 :   y = ellintegralmodel_i(E, &v);
    4789          56 :   v2 = bnf_get_v(y);
    4790          56 :   if (typ(v2) == t_COL)
    4791             :   {
    4792          21 :     obj_insert(E, NF_MINIMALMODEL, mkvec(v2));
    4793          21 :     return v2; /* nontrivial Weierstrass class */
    4794             :   }
    4795          35 :   y = coordch(y, v2);
    4796          35 :   gcomposev(&v, v2);
    4797          35 :   v2 = nfrestrict23(ellnf_get_nf(E), y);
    4798          35 :   y = coordch(y, v2);
    4799             :   /* copy to avoid inserting twice in y = E */
    4800          35 :   y = obj_reinit(y);
    4801          35 :   gcomposev(&v, v2);
    4802          35 :   if (is_trivial_change(v))
    4803             :   {
    4804           7 :     v = init_ch();
    4805           7 :     S = cgetg(1,t_VEC);
    4806             :   }
    4807             :   else
    4808             :   {
    4809          28 :     v = lift_if_rational(v);
    4810          28 :     S = mkvec2(v, y);
    4811             :   }
    4812          35 :   obj_insert(E, NF_MINIMALMODEL, S);
    4813          35 :   *ptv = v; return y;
    4814             : }
    4815             : static GEN
    4816          56 : ellnfminimalmodel(GEN E, GEN *ptv)
    4817             : {
    4818          56 :   pari_sp av = avma;
    4819          56 :   GEN v, y = ellnfminimalmodel_i(E, &v);
    4820          56 :   if (v) obj_insert_shallow(y, NF_MINIMALMODEL, cgetg(1,t_VEC));
    4821          56 :   if (!v || !ptv)
    4822          28 :     y = gerepilecopy(av, y);
    4823             :   else
    4824          28 :   { *ptv = v; gerepileall(av, 2, &y, ptv); }
    4825          56 :   return y;
    4826             : }
    4827             : GEN
    4828        2121 : ellminimalmodel(GEN E, GEN *ptv)
    4829             : {
    4830        2121 :   checkell(E);
    4831        2121 :   switch(ell_get_type(E))
    4832             :   {
    4833        2058 :     case t_ELL_Q: return ellQminimalmodel(E, ptv);
    4834          56 :     case t_ELL_NF: return ellnfminimalmodel(E, ptv);
    4835           7 :     default: pari_err_TYPE("ellminimalmodel (E / number field)", E);
    4836             :              return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
    4837             :   }
    4838             : }
    4839             : 
    4840             : /* Reduction of a rational curve E to its standard minimal model, don't
    4841             :  * update type-dependant components.
    4842             :  * Set v = [u, r, s, t] = change of variable E -> minimal model, with u > 0
    4843             :  * Set gr = [N, [u,r,s,t], c, fa, L], where
    4844             :  *   N = arithmetic conductor of E
    4845             :  *   c = product of the local Tamagawa numbers cp
    4846             :  *   fa = factorization of N
    4847             :  *   L = list of localred(E,p) for p | N. */
    4848             : static GEN
    4849      454545 : ellQ_globalred(GEN e)
    4850             : {
    4851             :   long k, l, iN;
    4852             :   GEN S, c, E, L, P, NP, NE, D;
    4853             : 
    4854      454545 :   E = ellminimalmodel_i(e, NULL, &S);
    4855      454545 :   P = gel(S,1); l = lg(P); /* some known prime divisors of D */
    4856      454545 :   D  = ell_get_disc(E);
    4857      863345 :   for (k = 1; k < l; k++) (void)Z_pvalrem(D, gel(P,k), &D);
    4858      454545 :   if (!is_pm1(D))
    4859             :   {
    4860      436828 :     P = shallowconcat(P, gel(absZ_factor(D),1));
    4861      436828 :     ZV_sort_inplace(P);
    4862             :   }
    4863      454545 :   l = lg(P); c = gen_1;
    4864      454545 :   iN = 1;
    4865      454545 :   NP = cgetg(l, t_COL);
    4866      454545 :   NE = cgetg(l, t_COL);
    4867      454545 :   L = cgetg(l, t_VEC);
    4868     1938538 :   for (k = 1; k < l; k++)
    4869             :   {
    4870     1483993 :     GEN p = gel(P,k), q = localred(E, p), ex = gel(q,1);
    4871     1483993 :     if (!signe(ex)) continue;
    4872     1483993 :     gel(NP, iN) = p;
    4873     1483993 :     gel(NE, iN) = ex;
    4874     1483993 :     gel(L, iN) = q; iN++;
    4875     1483993 :     gel(q,3) = gen_0; /*delete variable change*/
    4876     1483993 :     c = mulii(c, gel(q,4));
    4877             :   }
    4878      454545 :   setlg(L, iN);
    4879      454545 :   setlg(NP, iN);
    4880      454545 :   setlg(NE, iN);
    4881      454545 :   return mkvec4(factorback2(NP,NE), c, mkmat2(NP,NE), L);
    4882             : }
    4883             : static GEN
    4884      460845 : ellglobalred_i(GEN E)
    4885      460845 : { return obj_checkbuild(E, Q_GLOBALRED, &ellQ_globalred); }
    4886             : 
    4887             : static GEN
    4888         784 : Q_to_globalred(GEN nf, GEN P, GEN Q, GEN v)
    4889             : {
    4890             :   GEN c, L, NP, NE;
    4891         784 :   long j, k, l = lg(P);
    4892         784 :   c = gen_1;
    4893         784 :   NP = cgetg(l, t_COL);
    4894         784 :   NE = cgetg(l, t_COL);
    4895         784 :   L = cgetg(l, t_VEC);
    4896        3878 :   for (k = j = 1; k < l; k++)
    4897             :   {
    4898        3094 :     GEN p = gel(P,k), q = gel(Q,k), ex;
    4899        3094 :     ex = gel(q,1);
    4900        3094 :     if (!signe(ex)) continue;
    4901        2891 :     gel(NP, j) = p;
    4902        2891 :     gel(NE, j) = ex;
    4903        2891 :     gel(L, j) = q; j++;
    4904        2891 :     c = mulii(c, gel(q,4));
    4905             :   }
    4906         784 :   setlg(L, j); setlg(NP, j); setlg(NE, j);
    4907         784 :   return mkvec5(idealfactorback(nf,NP,NE,0), v, c, mkmat2(NP,NE), L);
    4908             : }
    4909             : 
    4910             : static GEN
    4911         784 : ellnfglobalred(GEN E0)
    4912             : {
    4913             :   GEN E, P, Q, D, nf, v;
    4914             :   long j, k, l;
    4915             : 
    4916         784 :   E = ellintegralmodel_i(E0, &v);
    4917         784 :   if (!v) v = init_ch();
    4918         784 :   nf = ellnf_get_nf(E);
    4919         784 :   P = nf_pV_to_prV(nf, ellnf_D_primes(E));
    4920         784 :   D = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_disc(E));
    4921         784 :   if (typ(D) == t_INT) D = NULL;
    4922         784 :   Q = cgetg_copy(P, &l);
    4923        6083 :   for (k = j = 1; k < l; k++)
    4924             :   {
    4925        5299 :     GEN p = gel(P,k);
    4926        5299 :     if (D && !ZC_prdvd(D, p)) continue;
    4927        3094 :     gel(Q,j) = nflocalred(E, p);
    4928        3094 :     gel(P,j++) = p;
    4929             :   }
    4930         784 :   setlg(P,j); setlg(Q,j);
    4931         784 :   if (!obj_check(E0, NF_MINIMALPRIMES))
    4932         763 :     (void)obj_insert(E0, NF_MINIMALPRIMES, Q_to_minimalprimes(nf,P,Q));
    4933         784 :   return Q_to_globalred(nf,P,Q,v);
    4934             : }
    4935             : 
    4936             : GEN
    4937      453985 : ellglobalred(GEN E)
    4938             : {
    4939      453985 :   pari_sp av = avma;
    4940             :   GEN S, gr, v;
    4941      453985 :   checkell(E);
    4942      453985 :   switch(ell_get_type(E))
    4943             :   {
    4944           0 :     default: pari_err_TYPE("ellglobalred",E);
    4945      452949 :     case t_ELL_Q:
    4946      452949 :       gr = ellglobalred_i(E);
    4947      452949 :       S = obj_check(E, Q_MINIMALMODEL);
    4948      452949 :       v = (lg(S) == 2)? init_ch(): gel(S,2);
    4949      452949 :       v = mkvec5(gel(gr,1), v, gel(gr,2),gel(gr,3),gel(gr,4));
    4950      452949 :       break;
    4951        1036 :     case t_ELL_NF:
    4952        1036 :       v = obj_checkbuild(E, NF_GLOBALRED, &ellnfglobalred);
    4953        1036 :       break;
    4954             :   }
    4955      453985 :   return gerepilecopy(av, v);
    4956             : }
    4957             : 
    4958             : static GEN doellrootno(GEN e);
    4959             : /* Return E = ellminimalmodel(e), but only update E[1..14].
    4960             :  * insert MINIMALMODEL, GLOBALRED, ROOTNO in both e (regular insertion)
    4961             :  * and E (shallow insert) */
    4962             : GEN
    4963        2261 : ellanal_globalred(GEN e, GEN *ch)
    4964             : {
    4965        2261 :   GEN E, S, v = NULL;
    4966        2261 :   checkell_Q(e);
    4967        2261 :   if (!(S = obj_check(e, Q_MINIMALMODEL)))
    4968             :   {
    4969         399 :     E = ellminimalmodel_i(e, &v, &S);
    4970         399 :     obj_insert_shallow(E, Q_MINIMALMODEL, mkvec(gel(S,1)));
    4971             :   }
    4972        1862 :   else if (lg(S) == 2) /* trivial change */
    4973        1848 :     E = e;
    4974             :   else
    4975             :   {
    4976          14 :     v = gel(S,2);
    4977          14 :     E = gcopy(gel(S,3));
    4978          14 :     obj_insert_shallow(E, Q_MINIMALMODEL, mkvec(gel(S,1)));
    4979             :   }
    4980        2261 :   if (ch) *ch = v;
    4981        2261 :   S = ellglobalred_i(e);
    4982        2261 :   if (E != e) obj_insert_shallow(E, Q_GLOBALRED, S);
    4983        2261 :   S = obj_check(e, Q_ROOTNO);
    4984        2261 :   if (!S)
    4985             :   {
    4986        1099 :     S = doellrootno(E);
    4987        1099 :     obj_insert(e, Q_ROOTNO, S); /* insert in e */
    4988             :   }
    4989        2261 :   if (E != e) obj_insert_shallow(E, Q_ROOTNO, S); /* ... and in E */
    4990        2261 :   return E;
    4991             : }
    4992             : 
    4993             : static long
    4994         462 : nb_real_components(GEN E) { return gsigne(ell_get_disc(E)) > 0? 2: 1; }
    4995             : /* E minimal, \Omega_E^s in "La constante de Manin et le degre modulaire
    4996             :  * d'une courbe elliptique" */
    4997             : GEN
    4998        1407 : ellQtwist_bsdperiod(GEN E, long s)
    4999             : {
    5000        1407 :   GEN w = ellR_omega(E,DEFAULTPREC);
    5001        1407 :   if (s == 1)
    5002         994 :     w = gel(w,1);
    5003         413 :   else if (nb_real_components(E) == 2)
    5004         147 :     w = gneg(gel(w,2));
    5005             :   else
    5006         266 :     w = mkcomplex(gen_0, gneg(gmul2n(imag_i(gel(w,2)), 1)));
    5007        1407 :   return w;
    5008             : }
    5009             : 
    5010             : static GEN
    5011          49 : ellQ_tamagawa(GEN e)
    5012             : {
    5013          49 :   GEN red = ellglobalred(e), tam = gel(red,3);
    5014          49 :   return muliu(tam, nb_real_components(e));
    5015             : }
    5016             : 
    5017             : static GEN
    5018         784 : ellnf_tamagawa(GEN e)
    5019             : {
    5020         784 :   GEN red = ellglobalred(e), tam = gel(red,3);
    5021         784 :   GEN nf  = ellnf_get_nf(e), s = nfsign(nf, ell_get_disc(e));
    5022             :   long r1, r2;
    5023         784 :   nf_get_sign(nf, &r1, &r2);
    5024         784 :   return shifti(tam, r2 + r1 - hammingweight(s));
    5025             : }
    5026             : 
    5027             : GEN
    5028          49 : elltamagawa(GEN E)
    5029             : {
    5030          49 :   pari_sp av = avma;
    5031             :   GEN v;
    5032          49 :   checkell(E);
    5033          49 :   switch(ell_get_type(E))
    5034             :   {
    5035           0 :     default: pari_err_TYPE("elltamagawa",E);
    5036          21 :     case t_ELL_Q:  v = ellQ_tamagawa(E);  break;
    5037          28 :     case t_ELL_NF: v = ellnf_tamagawa(E); break;
    5038             :   }
    5039          49 :   return gerepileuptoint(av, v);
    5040             : }
    5041             : 
    5042             : static GEN
    5043        1106 : ellnf_get_nf_prec(GEN E, long prec)
    5044             : {
    5045        1106 :   GEN S, nf = ellnf_get_nf(E);
    5046        1106 :   if (nf_get_prec(nf) >= prec) return nf;
    5047        1008 :   if ((S = obj_check(E, NF_NF)) && nf_get_prec(S) >= prec) return S;
    5048         805 :   return obj_insert(E, NF_NF, nfnewprec_shallow(nf, prec));
    5049             : }
    5050             : /* true nf, use nf prec */
    5051             : static GEN
    5052        5236 : nfembedall(GEN nf, GEN x)
    5053             : {
    5054             :   long r1, r2;
    5055             :   GEN cx;
    5056        5236 :   nf_get_sign(nf,&r1,&r2);
    5057        5236 :   x = nf_to_scalar_or_basis(nf,x);
    5058        5236 :   if (typ(x) != t_COL) return const_vec(r1+r2, x);
    5059        2905 :   x = Q_primitive_part(x, &cx);
    5060        2905 :   x = RgM_RgC_mul(nf_get_M(nf), x);
    5061        2905 :   if (cx) x = RgC_Rg_mul(x,cx);
    5062        2905 :   return x;
    5063             : }
    5064             : static long
    5065        1106 : nfembed_extraprec(GEN x)
    5066        1106 : { long e = gexpo(x); return (e < 8)? 0: nbits2extraprec(e); }
    5067             : static GEN
    5068        1008 : ellnfembed(GEN E, long prec)
    5069             : {
    5070        1008 :   GEN E0, nf = ellnf_get_nf(E), Eb = cgetg(6,t_VEC), e = cgetg(6,t_VEC), L, sD;
    5071             :   long prec0, r1, r2, n, i;
    5072             : 
    5073        1008 :   nf_get_sign(nf, &r1, &r2); n = r1+r2;
    5074        1008 :   E0 = RgC_to_nfC(nf, vecslice(E,1,5));
    5075        1008 :   prec0 = prec + EXTRAPRECWORD;
    5076             :   /* need accuracy 3b for bmodel to ensure roots are correct to b bits */
    5077        1008 :   prec += (prec0-2)*3 + nfembed_extraprec(E0);
    5078        1008 :   L =  cgetg(n+1, t_VEC);
    5079        1008 :   sD = nfeltsign(nf, ell_get_disc(E), identity_perm(r1));
    5080             :   for(;;)
    5081             :   {
    5082        1008 :     nf = ellnf_get_nf_prec(E, prec);
    5083        6048 :     for (i=1; i<=5; i++) gel(Eb,i) = nfembedall(nf,gel(E0,i));
    5084        4459 :     for (i=1; i<=n; i++)
    5085             :     {
    5086             :       GEN Ei, r;
    5087             :       long j;
    5088       20706 :       for (j=1; j<=5; j++) gel(e,j) = gmael(Eb,j,i);
    5089        3451 :       gel(L,i) = Ei = ellinit_Rg(e, i<=r1? signe(gel(sD,i)): 0, prec);
    5090        3451 :       if (!Ei) break;
    5091        3451 :       r = doellR_roots_i(Ei, prec, prec0);
    5092        3451 :       if (!r) break;
    5093             :     }
    5094        1008 :     if (i > n) return L;
    5095           0 :     prec = precdbl(prec);
    5096           0 :     if (DEBUGLEVEL>1) pari_warn(warnprec,"ellnfembed", prec);
    5097             :   }
    5098             : }
    5099             : 
    5100             : static GEN
    5101          98 : ellpointnfembed(GEN E, GEN P, long prec)
    5102             : {
    5103          98 :   GEN nf = ellnf_get_nf(E), Px, Py, L;
    5104             :   long i, l;
    5105          98 :   P = RgC_to_nfC(nf, P);
    5106          98 :   prec += nfembed_extraprec(P);
    5107          98 :   nf = ellnf_get_nf_prec(E, prec);
    5108          98 :   Px = nfembedall(nf, gel(P,1));
    5109          98 :   Py = nfembedall(nf, gel(P,2));
    5110          98 :   l = lg(Px); L =  cgetg(l, t_VEC);
    5111         273 :   for(i = 1; i < l; i++) gel(L,i) = mkvec2(gel(Px,i), gel(Py,i));
    5112          98 :   return L;
    5113             : }
    5114             : 
    5115             : static void
    5116         917 : ellnfembed_free(GEN L)
    5117             : {
    5118         917 :   long i, l = lg(L);
    5119        4207 :   for(i = 1; i < l; i++) obj_free(gel(L,i));
    5120         917 : }
    5121             : 
    5122             : static GEN
    5123         154 : ellnf_vec_wrap(GEN (*fun)(GEN, long), GEN E, long prec)
    5124             : {
    5125         154 :   pari_sp av = avma;
    5126         154 :   GEN V = ellnfembed(E, prec);
    5127         154 :   long i, l = lg(V);
    5128         154 :   GEN P = cgetg(l, t_VEC);
    5129         406 :   for(i=1; i<l; i++) gel(P,i) = fun(gel(V,i), prec);
    5130         154 :   ellnfembed_free(V);
    5131         154 :   return gerepilecopy(av, P);
    5132             : }
    5133             : 
    5134             : GEN
    5135          91 : ellnf_vecarea(GEN E, long prec)
    5136          91 : { return ellnf_vec_wrap(&ellR_area, E, prec); }
    5137             : 
    5138             : GEN
    5139          28 : ellnf_veceta(GEN E, long prec)
    5140          28 : { return ellnf_vec_wrap(&ellR_eta, E, prec); }
    5141             : 
    5142             : GEN
    5143          35 : ellnf_vecomega(GEN E, long prec)
    5144          35 : { return ellnf_vec_wrap(&ellR_omega, E, prec); }
    5145             : 
    5146             : static GEN
    5147         756 : ellnf_bsdperiod(GEN E, long prec)
    5148             : {
    5149         756 :   pari_sp av = avma;
    5150         756 :   GEN Eb = ellnfembed(E, prec), per = gtofp(ellnf_minimalnormu(E), prec);
    5151         756 :   long i, l = lg(Eb), r1 = nf_get_r1(ellnf_get_nf(E));
    5152        3780 :   for(i = 1; i < l; i++)
    5153             :   {
    5154        3024 :     GEN e = gel(Eb, i);
    5155        3024 :     GEN pi = (i <= r1)? gel(ellR_omega(e, prec),1): ellR_area(e, prec);
    5156        3024 :     per = mulrr(per, pi);
    5157             :   }
    5158         756 :   ellnfembed_free(Eb);
    5159         756 :   return gerepileuptoleaf(av, per);
    5160             : }
    5161             : static GEN
    5162         756 : ellnf_adelicvolume(GEN E, long prec)
    5163             : {
    5164         756 :   GEN t = ellnf_tamagawa(E);
    5165         756 :   return gmul(t, ellnf_bsdperiod(E, prec));
    5166             : }
    5167             : 
    5168             : static GEN
    5169          42 : ellnf_bsd(GEN E, long prec)
    5170             : {
    5171          42 :   GEN v = ellnf_adelicvolume(E, prec);
    5172          42 :   GEN tor = gel(elltors(E),1);
    5173          42 :   GEN D = itor(nf_get_disc(ellnf_get_nf(E)), prec);
    5174          42 :   return divrr(divri(v, sqri(tor)), sqrtr_abs(D));
    5175             : }
    5176             : 
    5177             : static GEN
    5178          28 : ellQ_bsd(GEN E, long prec)
    5179             : {
    5180          28 :   GEN per = gel(ellR_omega(E, prec),1);
    5181          28 :   GEN tam = ellQ_tamagawa(E);
    5182          28 :   GEN tor = gel(elltors(E),1);
    5183          28 :   GEN S = obj_check(E, Q_MINIMALMODEL);
    5184          28 :   if (lg(S) != 2)
    5185             :   { /* switch to minimal model if needed */
    5186          21 :     GEN v = gel(S,2), u = gel(v,1);
    5187          21 :     per = gmul(per,u);
    5188             :   }
    5189          28 :   return divri(mulri(per,tam), sqri(tor));
    5190             : }
    5191             : 
    5192             : GEN
    5193          70 : ellbsd(GEN E, long prec)
    5194             : {
    5195          70 :   pari_sp av = avma;
    5196             :   GEN v;
    5197          70 :   checkell(E);
    5198          70 :   switch(ell_get_type(E))
    5199             :   {
    5200           0 :     default: pari_err_TYPE("ellbsd",E);
    5201          28 :     case t_ELL_Q:  v = ellQ_bsd(E, prec);  break;
    5202          42 :     case t_ELL_NF: v = ellnf_bsd(E, prec); break;
    5203             :   }
    5204          70 :   return gerepileupto(av, v);
    5205             : }
    5206             : 
    5207             : static GEN
    5208       31549 : QE_to_ZJ(GEN P)
    5209             : {
    5210       31549 :   if (ell_is_inf(P))
    5211           0 :     return mkvec3(gen_1, gen_1, gen_0);
    5212             :   else
    5213             :   {
    5214       31549 :     pari_sp av = avma;
    5215       31549 :     GEN D1 = denom(gel(P,1)), D2 = denom(gel(P,2));
    5216       31549 :     GEN R  = diviiexact(D2, gcdii(D1,D2));
    5217       31549 :     GEN R2 = sqri(R), R3 = mulii(R2, R);
    5218       31549 :     GEN Q1 = gmul(gel(P,1),R2);
    5219       31549 :     GEN Q2 = gmul(gel(P,2),R3);
    5220       31549 :     GEN Z  = denom(mkvec2(Q1, Q2));
    5221       31549 :     GEN Z2 = sqri(Z), Z3 = mulii(Z, Z2);
    5222       31549 :     return gerepilecopy(av, mkvec3(gmul(Q1, Z2), gmul(Q2, Z3), mulii(Z, R)));
    5223             :   }
    5224             : }
    5225             : 
    5226             : static GEN
    5227        4214 : QEV_to_ZJV(GEN x)
    5228       35749 : { pari_APPLY_same(QE_to_ZJ(gel(x,i))) }
    5229             : 
    5230             : static GEN
    5231       13682 : FljV_changepointinv_pre(GEN x, GEN a4a6, ulong p, ulong pi)
    5232             : {
    5233      151289 :   pari_APPLY_same(Flj_changepointinv_pre(gel(x,i), a4a6, p, pi))
    5234             : }
    5235             : 
    5236             : static GEN
    5237        9382 : ellQ_factorback_filter(GEN A, GEN P, GEN *pQ)
    5238             : {
    5239        9382 :   long i, j, k, l = lg(A);
    5240             :   GEN B, Q;
    5241       29400 :   for (i = k = 1; i < l; i++)
    5242       20018 :     if (!ell_is_inf(gel(A,i))) k++;
    5243        9382 :   if (k == 1 || k == l) { *pQ = P; return A; }
    5244           6 :   B = cgetg(k, t_VEC);
    5245           6 :   Q = cgetg(k, typ(P));
    5246          18 :   for (i = j = 1; i < l; i++)
    5247          12 :     if (!ell_is_inf(gel(A,i))) { gel(B,j) = gel(A,i); Q[j] = P[i]; j++; }
    5248           6 :   *pQ = Q; return B;
    5249             : }
    5250             : 
    5251             : static GEN
    5252        4648 : ellQ_factorback_chinese(GEN A, GEN P, GEN *mod)
    5253             : {
    5254        4648 :   GEN Q, B = ellQ_factorback_filter(A, P, &Q);
    5255        4648 :   return ncV_chinese_center(B, Q, mod);
    5256             : }
    5257             : 
    5258             : static GEN
    5259       13687 : ellQ_factorback1(GEN A, GEN L, ulong l, GEN E, long CM, ulong p)
    5260             : {
    5261       13687 :   pari_sp av = avma;
    5262       13687 :   ulong pi = get_Fl_red(p);
    5263       13687 :   GEN c4 = ell_get_c4(E);
    5264       13687 :   ulong a4 = Fl_c4_to_a4(Rg_to_Fl(c4, p), p);
    5265             :   GEN a4a6, a, Hp;
    5266       13688 :   ulong d = 1;
    5267       13688 :   if (l != 1)
    5268             :   {
    5269          56 :     GEN c6 = ell_get_c6(E);
    5270          56 :     ulong a6 = Fl_c6_to_a6(Rg_to_Fl(c6, p), p);
    5271          56 :     ulong c = p + 1 - Fl_elltrace_CM(CM, a4, a6, p);
    5272          56 :     d = Fl_invsafe(l % c, c);
    5273          56 :     if (!d) return NULL;
    5274             :   }
    5275       13682 :   a4a6 = a4a6_ch_Fl(E,p);
    5276       13682 :   a = FljV_changepointinv_pre(A, a4a6, p, pi);
    5277       13682 :   Hp = FljV_factorback_pre(a, L, a4, p, pi);
    5278       13682 :   if (d != 1)
    5279          50 :     Hp = Flj_mulu_pre(Hp, d, a4, p, pi);
    5280       13682 :   Hp = Flj_to_Fle_pre(Hp, p, pi);
    5281       13682 :   Hp = Fle_changepoint(Hp, a4a6, p);
    5282       13682 :   return gerepileuptoleaf(av, Hp);
    5283             : }
    5284             : 
    5285             : static GEN
    5286        7786 : ellQ_factorback_slice(GEN A, GEN L, ulong l, GEN E, GEN P, GEN *mod)
    5287             : {
    5288        7786 :   pari_sp av = avma;
    5289        7786 :   long i, n = lg(P)-1;
    5290        7786 :   long CM = ellQ_get_CM(E);
    5291             :   GEN H, T, B, Q;
    5292        7786 :   if (n == 1)
    5293             :   {
    5294        3052 :     ulong p = uel(P,1);
    5295        3052 :     GEN Hp = ellQ_factorback1(ZM_to_Flm(A, p), L, l, E, CM, p);
    5296        3052 :     if (!Hp) { *mod = gen_1; return ellinf(); }
    5297        3052 :     *mod = utoi(p);
    5298        3052 :     return Flv_to_ZV(Hp);
    5299             :   }
    5300        4734 :   T = ZV_producttree(P);
    5301        4734 :   A = ZM_nv_mod_tree(A, P, T);
    5302        4734 :   H = cgetg(n+1, t_VEC);
    5303       15369 :   for(i=1; i <= n; i++)
    5304             :   {
    5305       10635 :     gel(H,i) = ellQ_factorback1(gel(A,i), L, l, E, CM, uel(P,i));
    5306       10636 :     if (gel(H,i)==NULL) { gel(H,i) = ellinf(); uel(P,i) = 1; }
    5307             :   }
    5308        4734 :   B = ellQ_factorback_filter(H, P, &Q);
    5309        4734 :   if (lg(Q) != lg(P)) T = ZV_producttree(Q);
    5310        4734 :   H = ncV_chinese_center_tree(B, Q, T, ZV_chinesetree(Q,T));
    5311        4734 :   *mod = gmael(T, lg(T)-1, 1);
    5312        4734 :   gerepileall(av, 2, &H, mod);
    5313        4734 :   return H;
    5314             : }
    5315             : 
    5316             : GEN
    5317        7786 : ellQ_factorback_worker(GEN P, GEN E, GEN A, GEN L, ulong l)
    5318             : {
    5319        7786 :   GEN V = cgetg(3, t_VEC);
    5320        7786 :   gel(V,1) = ellQ_factorback_slice(A, L, l, E, P, &gel(V,2));
    5321        7786 :   return V;
    5322             : }
    5323             : 
    5324             : /* If a single non-zero entry, equal to 1, return its index. Else 0 */
    5325             : static long
    5326        4004 : ZV_is_ei(GEN v)
    5327             : {
    5328        4004 :   long i, ei = 0;
    5329       15253 :   for (i = lg(v)-1; i; i--)
    5330       14287 :     if (signe(gel(v,i)))
    5331             :     {
    5332        5593 :       if (ei || !equali1(gel(v,i))) return 0;
    5333        2555 :       ei = i;
    5334             :     }
    5335         966 :   return ei;
    5336             : }
    5337             : 
    5338             : /* A vector of points, L a ZV, return (sum L[i]*A[i]) / l;
    5339             :  * h is the canonical height of result. Assume the result is NOT
    5340             :  * torsion */
    5341             : static GEN
    5342        4018 : ellQ_factorback(GEN E, GEN A, GEN L, ulong l, GEN h, long prec)
    5343             : {
    5344        4018 :   pari_sp av = avma;
    5345        4018 :   GEN hn, D, worker, mod = gen_1, H = NULL;
    5346             :   forprime_t S;
    5347        4018 :   ulong bound = 1;
    5348             : 
    5349        4018 :   if (l == 1)
    5350             :   {
    5351        4004 :     long i = ZV_is_ei(L);
    5352        4004 :     if (i) return gel(A,i);
    5353             :   }
    5354        3052 :   hn = l==1 ? NULL: hnaive_max(E, h);
    5355        3052 :   D = ell_get_disc(E);
    5356        3052 :   worker = snm_closure(is_entry("_ellQ_factorback_worker"),
    5357             :                        mkvec4(E, QEV_to_ZJV(A), L, utoi(l)));
    5358        3052 :   if (l==1)
    5359        3038 :     init_modular_big(&S);
    5360             :   else
    5361          14 :     init_modular_small(&S);
    5362        3052 :   for (bound = 1;; bound <<= 1)
    5363        3172 :   {
    5364             :     GEN amax, r;
    5365        6224 :     gen_inccrt("ellQ_factorback", worker, D, bound, 0,
    5366             :                &S, &H, &mod, ellQ_factorback_chinese, NULL);
    5367        6224 :     amax = sqrti(shifti(mod,-2));
    5368        6224 :     if (!ell_is_inf(H) && (r = FpC_ratlift(H, mod, amax, amax, NULL))
    5369        3496 :                        && oncurve_exact(E,r))
    5370             :     {
    5371             :       GEN g;
    5372        3052 :       settyp(r,t_VEC); g = ellheight(E,r,prec);
    5373        3052 :       if (signe(g) && expo(subrs(divrr(g,h),1))<-prec2nbits(prec)/2)
    5374        3052 :         return gerepileupto(av, r);
    5375             :     }
    5376        3172 :     if (hn && gcmpsg(expi(mod)>>2,hn) > 0) return gc_NULL(av);
    5377             :   }
    5378             : }
    5379             : 
    5380             : GEN
    5381         644 : ellQ_genreduce(GEN E, GEN G, GEN M, long prec)
    5382             : {
    5383         644 :   pari_sp av = avma;
    5384         644 :   long i, j, l = lg(G);
    5385         644 :   GEN L, V = cgetg(l, t_VEC);
    5386             : 
    5387         644 :   if (!M) M = ellheightmatrix(E, G, prec);
    5388         644 :   L = lllgram(M); l = lg(L); /* can decrease */
    5389        4550 :   for (i = j = 1; i < l; i++)
    5390             :   {
    5391        3906 :     GEN Li = gel(L, i), h = qfeval(M, Li);
    5392        3906 :     if (expo(h) > -prec2nbits(prec)/2)
    5393        3906 :       gel(V,j++) = ellQ_factorback(E, G, Li, 1, h, prec);
    5394             :   }
    5395         644 :   setlg(V, j); return gerepilecopy(av, V);
    5396             : }
    5397             : 
    5398             : static long
    5399          14 : ellQ_isdivisible_test(forprime_t *S, GEN E, long CM, GEN P, ulong l, long nb)
    5400             : {
    5401          14 :   GEN D = ell_get_disc(E);
    5402          14 :   pari_sp av = avma;
    5403             :   long m;
    5404          28 :   for (m = 1; m <= nb; set_avma(av))
    5405             :   {
    5406          28 :     ulong o, a4, a6, p = u_forprime_next(S);
    5407          28 :     if (dvdiu(D, p)) continue;
    5408          28 :     Fl_ell_to_a4a6(E, p, &a4, &a6);
    5409          28 :     o = p+1 - Fl_elltrace_CM(CM, a4, a6, p);
    5410          28 :     if (o % l == 0)
    5411             :     {
    5412          14 :       ulong pi = get_Fl_red(p);
    5413          14 :       GEN a4a6 = a4a6_ch_Fl(E,p);
    5414          14 :       GEN Q = Flj_changepointinv_pre(ZV_to_Flv(P, p), a4a6, p, pi);
    5415          14 :       GEN R = Flj_mulu_pre(Q, o/l, a4, p, pi);
    5416          14 :       if (uel(R, 3) != 0) return 0;
    5417           0 :       m++;
    5418             :     }
    5419             :   }
    5420           0 :   return 1;
    5421             : }
    5422             : 
    5423             : /* Assume l prime to 210 */
    5424             : GEN
    5425          14 : ellQ_isdivisible(GEN E, GEN P, ulong l)
    5426             : {
    5427          14 :   pari_sp av = avma;
    5428          14 :   GEN worker, mod = gen_1, H = NULL, D = ell_get_disc(E), PJ = QE_to_ZJ(P);
    5429             :   forprime_t S, U;
    5430          14 :   long CM = ellQ_get_CM(E);
    5431             :   ulong bound;
    5432             : 
    5433          14 :   u_forprime_init(&U, l+1, ULONG_MAX);
    5434          14 :   if (!ellQ_isdivisible_test(&U, E, CM, PJ, l, 10)) return gc_NULL(av);
    5435           0 :   worker = snm_closure(is_entry("_ellQ_factorback_worker"),
    5436             :                        mkvec4(E, mkvec(PJ), mkvecs(1), utoi(l)));
    5437           0 :   init_modular_small(&S);
    5438           0 :   for (bound = 1;; bound <<= 1)
    5439           0 :   {
    5440             :     GEN amax, r;
    5441           0 :     gen_inccrt("ellQ_factorback", worker, D, bound, 0,
    5442             :                &S, &H, &mod, ellQ_factorback_chinese, NULL);
    5443           0 :     amax = sqrti(shifti(mod,-2));
    5444           0 :     if (!ell_is_inf(H) && (r = FpC_ratlift(H, mod, amax, amax, NULL))
    5445           0 :                        && oncurve_exact(E,r))
    5446             :     {
    5447           0 :       settyp(r,t_VEC);
    5448           0 :       if (gequal(ellmul(E,r,utoi(l)), P)) return gerepileupto(av, r);
    5449           0 :       if (!ellQ_isdivisible_test(&U, E, CM, PJ, l, 10)) return gc_NULL(av);
    5450             :     }
    5451             :   }
    5452             : }
    5453             : 
    5454             : /********************************************************************/
    5455             : /**                                                                **/
    5456             : /**           ROOT NUMBER (after Halberstadt at p = 2,3)           **/
    5457             : /**                                                                **/
    5458             : /********************************************************************/
    5459             : /* x a t_INT */
    5460             : static long
    5461        2037 : val_aux(GEN x, long p, long pk, long *u)
    5462             : {
    5463             :   long v;
    5464             :   GEN z;
    5465        2037 :   if (!signe(x)) { *u = 0; return 12; }
    5466        1883 :   v = Z_lvalrem(x,p,&z);
    5467        1883 :   *u = umodiu(z,pk); return v;
    5468             : }
    5469             : static void
    5470         679 : val_init(GEN e, long p, long pk,
    5471             :          long *v4, long *u, long *v6, long *v, long *vD, long *d1)
    5472             : {
    5473         679 :   GEN c4 = ell_get_c4(e), c6 = ell_get_c6(e), D = ell_get_disc(e);
    5474         679 :   pari_sp av = avma;
    5475         679 :   *v4 = val_aux(c4, p,pk, u);
    5476         679 :   *v6 = val_aux(c6, p,pk, v);
    5477         679 :   *vD = val_aux(D , p,pk, d1); set_avma(av);
    5478         679 : }
    5479             : 
    5480             : static long
    5481         679 : kod_23(GEN e, long p)
    5482             : {
    5483             :   GEN S, nv;
    5484         679 :   if ((S = obj_check(e, Q_GLOBALRED)))
    5485             :   {
    5486         658 :     GEN NP = gmael(S,3,1), L = gel(S,4);
    5487         658 :     nv = absequaliu(gel(NP,1), p)? gel(L,1): gel(L,2); /* localred(p) */
    5488             :   }
    5489             :   else
    5490          21 :     nv = localred_23(e, p);
    5491         679 :   return itos(gel(nv,2));
    5492             : }
    5493             : 
    5494             : /* v(c4), v(c6), v(D) for minimal model, +oo is coded by 12 */
    5495             : static long
    5496         399 : neron_2(long v4, long v6, long vD, long kod)
    5497             : {
    5498         399 :   if (kod > 4) return 1;
    5499         231 :   switch(kod)
    5500             :   {
    5501           0 :     case 1: return (v6>0) ? 2 : 1;
    5502          14 :     case 2:
    5503          14 :       if (vD==4) return 1;
    5504             :       else
    5505             :       {
    5506           0 :         if (vD==7) return 3;
    5507           0 :         else return v4==4 ? 2 : 4;
    5508             :       }
    5509          70 :     case 3:
    5510          70 :       switch(vD)
    5511             :       {
    5512          49 :         case 6: return 3;
    5513           0 :         case 8: return 4;
    5514          14 :         case 9: return 5;
    5515           7 :         default: return v4==5 ? 2 : 1;
    5516             :       }
    5517          42 :     case 4: return v4>4 ? 2 : 1;
    5518          14 :     case -1:
    5519          14 :       switch(vD)
    5520             :       {
    5521           0 :         case 9: return 2;
    5522           0 :         case 10: return 4;
    5523          14 :         default: return v4>4 ? 3 : 1;
    5524             :       }
    5525           7 :     case -2:
    5526           7 :       switch(vD)
    5527             :       {
    5528           7 :         case 12: return 2;
    5529           0 :         case 14: return 3;
    5530           0 :         default: return 1;
    5531             :       }
    5532           0 :     case -3:
    5533           0 :       switch(vD)
    5534             :       {
    5535           0 :         case 12: return 2;
    5536           0 :         case 14: return 3;
    5537           0 :         case 15: return 4;
    5538           0 :         default: return 1;
    5539             :       }
    5540          49 :     case -4: return v6==7 ? 2 : 1;
    5541          21 :     case -5: return (v6==7 || v4==6) ? 2 : 1;
    5542           7 :     case -6:
    5543           7 :       switch(vD)
    5544             :       {
    5545           7 :         case 12: return 2;
    5546           0 :         case 13: return 3;
    5547           0 :         default: return v4==6 ? 2 : 1;
    5548             :       }
    5549           0 :     case -7: return (vD==12 || v4==6) ? 2 : 1;
    5550           7 :     default: return v4==6 ? 2 : 1;
    5551             :   }
    5552             : }
    5553             : /* p = 3; v(c4), v(c6), v(D) for minimal model, +oo is coded by 12 */
    5554             : static long
    5555         161 : neron_3(long v4, long v6, long vD, long kod)
    5556             : {
    5557         161 :   if (labs(kod) > 4) return 1;
    5558         112 :   switch(kod)
    5559             :   {
    5560          28 :     case -1: case 1: return v4&1 ? 2 : 1;
    5561          28 :     case -3: case 3: return (2*v6>vD+3) ? 2 : 1;
    5562          49 :     case -4: case 2:
    5563          49 :       switch (vD%6)
    5564             :       {
    5565           0 :         case 4: return 3;
    5566           0 :         case 5: return 4;
    5567          49 :         default: return v6%3==1 ? 2 : 1;
    5568             :       }
    5569           7 :     default: /* kod = -2 et 4 */
    5570           7 :       switch (vD%6)
    5571             :       {
    5572           0 :         case 0: return 2;
    5573           0 :         case 1: return 3;
    5574           7 :         default: return 1;
    5575             :       }
    5576             :   }
    5577             : }
    5578             : 
    5579             : static long
    5580         399 : ellrootno_2(GEN e)
    5581             : {
    5582             :   long n2, kod, u, v, x1, y1, D1, vD, v4, v6;
    5583         399 :   long d = get_vp_u_small(e, 2, &v6, &vD);
    5584             : 
    5585         399 :   if (!vD) return 1;
    5586         399 :   if (d) { /* not minimal */
    5587             :     ellmin_t M;
    5588          14 :     min_set_2(&M, e, d);
    5589          14 :     min_set_D(&M, e);
    5590          14 :     e = min_to_ell(&M, e);
    5591             :   }
    5592         399 :   val_init(e, 2,64,&v4,&u, &v6,&v, &vD,&D1);
    5593         399 :   kod = kod_23(e,2);
    5594         399 :   n2 = neron_2(v4,v6,vD, kod);
    5595         399 :   if (kod>=5)
    5596             :   {
    5597             :     long a2, a3;
    5598         168 :     a2 = ZtoF2(ell_get_a2(e));
    5599         168 :     a3 = ZtoF2(ell_get_a3(e));
    5600         168 :     return odd(a2 + a3) ? 1 : -1;
    5601             :   }
    5602         231 :   if (kod<-9) return (n2==2) ? -kross(-1,v) : -1;
    5603         224 :   x1 = u+v+v;
    5604         224 :   switch(kod)
    5605             :   {
    5606           0 :     case 1: return 1;
    5607          14 :     case 2:
    5608             :       switch(n2)
    5609             :       {
    5610          14 :         case 1:
    5611          14 :           switch(v4)
    5612             :           {
    5613          14 :             case 4: return kross(-1,u);
    5614           0 :             case 5: return 1;
    5615           0 :             default: return -1;
    5616             :           }
    5617           0 :         case 2: return (v6==7) ? 1 : -1;
    5618           0 :         case 3: return (v%8==5 || (u*v)%8==5) ? 1 : -1;
    5619           0 :         case 4: if (v4>5) return kross(-1,v);
    5620           0 :           return (v4==5) ? -kross(-1,u) : -1;
    5621             :       }
    5622             :     case 3:
    5623             :       switch(n2)
    5624             :       {
    5625           7 :         case 1: return -kross(2,u*v);
    5626           0 :         case 2: return -kross(2,v);
    5627          49 :         case 3: y1 = (u - (v << (v6-5))) & 15;
    5628          49 :           return (y1==7 || y1==11) ? 1 : -1;
    5629           0 :         case 4: return (v%8==3 || (2*u+v)%8==7) ? 1 : -1;
    5630          14 :         case 5: return v6==8 ? kross(2,x1) : kross(-2,u);
    5631             :       }
    5632             :     case -1:
    5633             :       switch(n2)
    5634             :       {
    5635          14 :         case 1: return -kross(2,x1);
    5636           0 :         case 2: return (v%8==7) || (x1%32==11) ? 1 : -1;
    5637           0 :         case 3: return v4==6 ? 1 : -1;
    5638           0 :         case 4: if (v4>6) return kross(-1,v);
    5639           0 :           return v4==6 ? -kross(-1,u*v) : -1;
    5640             :       }
    5641           7 :     case -2: return n2==1 ? kross(-2,v) : kross(-1,v);
    5642           0 :     case -3:
    5643             :       switch(n2)
    5644             :       {
    5645           0 :         case 1: y1=(u-2*v)%64; if (y1<0) y1+=64;
    5646           0 :           return (y1==3) || (y1==19) ? 1 : -1;
    5647           0 :         case 2: return kross(2*kross(-1,u),v);
    5648           0 :         case 3: return -kross(-1,u)*kross(-2*kross(-1,u),u*v);
    5649           0 :         case 4: return v6==11 ? kross(-2,x1) : -kross(-2,u);
    5650             :       }
    5651             :     case -5:
    5652          21 :       if (n2==1) return x1%32==23 ? 1 : -1;
    5653           0 :       else return -kross(2,2*u+v);
    5654           7 :     case -6:
    5655             :       switch(n2)
    5656             :       {
    5657           0 :         case 1: return 1;
    5658           7 :         case 2: return v6==10 ? 1 : -1;
    5659           0 :         case 3: return (u%16==11) || ((u+4*v)%16==3) ? 1 : -1;
    5660             :       }
    5661             :     case -7:
    5662           0 :       if (n2==1) return 1;
    5663             :       else
    5664             :       {
    5665           0 :         y1 = (u + (v << (v6-8))) & 15;
    5666           0 :         if (v6==10) return (y1==9 || y1==13) ? 1 : -1;
    5667           0 :         else return (y1==9 || y1==5) ? 1 : -1;
    5668             :       }
    5669           0 :     case -8: return n2==2 ? kross(-1,v*D1) : -1;
    5670           0 :     case -9: return n2==2 ? -kross(-1,D1) : -1;
    5671          91 :     default: return -1;
    5672             :   }
    5673             : }
    5674             : 
    5675             : static long
    5676         280 : ellrootno_3(GEN e)
    5677             : {
    5678             :   long n2, kod, u, v, D1, r6, K4, K6, vD, v4, v6;
    5679         280 :   long d = get_vp_u_small(e, 3, &v6, &vD);
    5680             : 
    5681         280 :   if (!vD) return 1;
    5682         280 :   if (d) { /* not minimal */
    5683             :     ellmin_t M;
    5684           0 :     min_set_3(&M, e, d);
    5685           0 :     min_set_a(&M);
    5686           0 :     min_set_D(&M, e);
    5687           0 :     e = min_to_ell(&M, e);
    5688             :   }
    5689         280 :   val_init(e, 3,81, &v4,&u, &v6,&v, &vD,&D1);
    5690         280 :   kod = kod_23(e,3);
    5691         280 :   K6 = kross(v,3); if (kod>4) return K6;
    5692         161 :   n2 = neron_3(v4,v6,vD,kod);
    5693         161 :   r6 = v%9; K4 = kross(u,3);
    5694         161 :   switch(kod)
    5695             :   {
    5696          28 :     case 1: case 3: case -3: return 1;
    5697           0 :     case 2:
    5698             :       switch(n2)
    5699             :       {
    5700           0 :         case 1: return (r6==4 || r6>6) ? 1 : -1;
    5701           0 :         case 2: return -K4*K6;
    5702           0 :         case 3: return 1;
    5703           0 :         case 4: return -K6;
    5704             :       }
    5705             :     case 4:
    5706             :       switch(n2)
    5707             :       {
    5708           7 :         case 1: return K6*kross(D1,3);
    5709           0 :         case 2: return -K4;
    5710           0 :         case 3: return -K6;
    5711             :       }
    5712           0 :     case -2: return n2==2 ? 1 : K6;
    5713          49 :     case -4:
    5714             :       switch(n2)
    5715             :       {
    5716          42 :         case 1:
    5717          42 :           if (v4==4) return (r6==4 || r6==8) ? 1 : -1;
    5718          42 :           else return (r6==1 || r6==2) ? 1 : -1;
    5719           7 :         case 2: return -K6;
    5720           0 :         case 3: return (r6==2 || r6==7) ? 1 : -1;
    5721           0 :         case 4: return K6;
    5722             :       }
    5723          77 :     default: return -1;
    5724             :   }
    5725             : }
    5726             : 
    5727             : /* p > 3. Don't assume that e is minimal or even integral at p */
    5728             : static long
    5729        1393 : ellrootno_p(GEN e, GEN p)
    5730             : {
    5731             :   long nuj, nuD, nu;
    5732        1393 :   GEN D = ell_get_disc(e);
    5733             :   long ep, z;
    5734             : 
    5735        1393 :   nuD = Q_pval(D, p);
    5736        1393 :   if (!nuD) return 1;
    5737        1393 :   nuj = j_pval(e, p);
    5738        1393 :   nu = (nuD - nuj) % 12;
    5739        1393 :   if (nu == 0)
    5740             :   {
    5741             :     GEN c6;
    5742             :     long d, vg;
    5743        1176 :     if (!nuj) return 1; /* good reduction */
    5744             :    /* p || N */
    5745        1176 :     c6 = ell_get_c6(e); /* != 0 */
    5746        1176 :     vg = minss(2*Q_pval(c6, p), nuD);
    5747        1176 :     d = vg / 12;
    5748        1176 :     if (d)
    5749             :     {
    5750           7 :       GEN q = powiu(p,6*d);
    5751           7 :       c6 = (typ(c6) == t_INT)? diviiexact(c6, q): gdiv(c6, q);
    5752             :     }
    5753        1176 :     if (typ(c6) != t_INT) c6 = Rg_to_Fp(c6,p);
    5754             :     /* c6 in minimal model */
    5755        1176 :     return -kronecker(negi(c6), p);
    5756             :   }
    5757         217 :   if (nuj) return krosi(-1,p);
    5758         189 :   ep = 12 / ugcd(12, nu);
    5759         189 :   if (ep==4) z = 2; else z = (ep&1) ? 3 : 1;
    5760         189 :   return krosi(-z, p);
    5761             : }
    5762             : 
    5763             : static GEN
    5764        1113 : doellrootno(GEN e)
    5765             : {
    5766        1113 :   GEN V, P, S = ellglobalred_i(e);
    5767        1113 :   long i, l, s = -1;
    5768             : 
    5769        1113 :   V = obj_check(e, Q_MINIMALMODEL);
    5770        1113 :   if (lg(V) != 2) e = gel(V,3);
    5771        1113 :   P = gmael(S,3,1); l = lg(P);
    5772        1113 :   V = cgetg(l, t_VECSMALL);
    5773        3157 :   for (i = 1; i < l; i++)
    5774             :   {
    5775        2044 :     GEN p = gel(P,i);
    5776             :     long t;
    5777        2044 :     switch(itou_or_0(p))
    5778             :     {
    5779         378 :       case 2: t = ellrootno_2(e); break;
    5780         280 :       case 3: t = ellrootno_3(e); break;
    5781        1386 :       default:t = ellrootno_p(e, p);
    5782             :     }
    5783        2044 :     V[i] = t; if (t < 0) s = -s;
    5784             :   }
    5785        1113 :   return mkvec2(stoi(s), V);
    5786             : }
    5787             : 
    5788             : /* local epsilon factor at p (over Q), including p=0 for the infinite place.
    5789             :  * Global if p==1 or NULL. */
    5790             : static long
    5791          91 : ellQ_rootno(GEN e, GEN p)
    5792             : {
    5793          91 :   pari_sp av = avma;
    5794             :   GEN S;
    5795             :   long s;
    5796          91 :   if (!p || isint1(p)) return ellrootno_global(e);
    5797          77 :   if (!signe(p)) return -1; /* local factor at infinity */
    5798          77 :   if ( (S = obj_check(e, Q_ROOTNO)) )
    5799             :   {
    5800          49 :     GEN T = obj_check(e, Q_GLOBALRED), NP = gmael(T,3,1);
    5801          49 :     long i = ZV_search(NP, p);
    5802          49 :     if (i) { GEN V = gel(S,2); return V[i]; }
    5803           0 :     return 1;
    5804             :   }
    5805          28 :   switch(itou_or_0(p))
    5806             :   {
    5807          21 :     case 2:
    5808          21 :       e = ellintegralmodel_i(e, NULL);
    5809          21 :       s = ellrootno_2(e); break;
    5810           0 :     case 3:
    5811           0 :       e = ellintegralmodel_i(e, NULL);
    5812           0 :       s = ellrootno_3(e); break;
    5813           7 :     default:
    5814           7 :       s = ellrootno_p(e,p); break;
    5815             :   }
    5816          28 :   return gc_long(av, s);
    5817             : }
    5818             : 
    5819             : /* global root number over number field
    5820             :  * Root numbers and parity of ranks of elliptic curves, Tim and Vladimir Dokchitser
    5821             :  * https://arxiv.org/abs/0906.1815
    5822             :  */
    5823             : 
    5824             : static GEN
    5825         322 : ellrnfup(GEN rnf, GEN E, long prec)
    5826             : {
    5827             :   long i;
    5828         322 :   GEN Eb = cgetg(6, t_VEC);
    5829        1932 :   for(i=1; i<=5; i++)
    5830        1610 :     gel(Eb, i) = rnfeltup(rnf,gel(E, i));
    5831         322 :   return ellinit_nf(Eb, rnf_build_nfabs(rnf, prec));
    5832             : }
    5833             : 
    5834             : static GEN
    5835         252 : ellnf2isog(GEN E, GEN z)
    5836             : {
    5837         252 :   long v = fetch_var_higher();
    5838         252 :   GEN S = deg1pol(gen_1, gneg(z), v);
    5839         252 :   GEN E2 = ellisogeny(E, S, 1, -1, -1);
    5840         252 :   delete_var();
    5841         252 :   return ellinit_nf(E2, ellnf_get_nf(E));
    5842             : }
    5843             : 
    5844             : static GEN
    5845         217 : ellnf_reladelicvolume(GEN E, GEN P, GEN z, long prec)
    5846             : {
    5847         217 :   pari_sp av = avma;
    5848         217 :   GEN nf = ellnf_get_nf(E);
    5849         217 :   GEN rnf = rnfinit0(nf, P, 1);
    5850         217 :   GEN Et = ellrnfup(rnf, E, prec);
    5851         217 :   GEN E2 = ellnf2isog(Et, rnfeltreltoabs(rnf, z));
    5852         217 :   GEN c1 = ellnf_adelicvolume(Et, prec), c2 = ellnf_adelicvolume(E2, prec);
    5853         217 :   obj_free(rnf); obj_free(Et); obj_free(E2);
    5854         217 :   return gerepilecopy(av, mkvec2(c1,c2));
    5855             : }
    5856             : 
    5857             : static long
    5858         252 : rootnovalp(GEN z, ulong p, long prec)
    5859         252 : { return mpodd(ground(gdiv(glog(z, prec), glog(utoi(p),prec)))); }
    5860             : 
    5861             : static GEN
    5862         259 : ec_bmodel_var(GEN E, long v)
    5863             : {
    5864         259 :   GEN P = ec_bmodel(E);
    5865         259 :   setvarn(P,v); return P;
    5866             : }
    5867             : 
    5868             : static long
    5869         147 : ellnf_rootno_global(GEN E)
    5870             : {
    5871         147 :   pari_sp av = avma;
    5872         147 :   GEN nf = ellnf_get_nf(E);
    5873         147 :   long prec = nf_get_prec(nf);
    5874         147 :   long v, var = fetch_var_higher();
    5875             :   GEN F;
    5876         147 :   E = ellintegralmodel_i(E, NULL);
    5877         147 :   F = nfroots(nf, ec_bmodel_var(E, var));
    5878         147 :   if (lg(F)>1)
    5879             :   {
    5880          35 :     GEN Et = ellnf2isog(E, gel(F,1));
    5881          35 :     GEN cK = ellnf_adelicvolume(E, prec), cKt = ellnf_adelicvolume(Et, prec);
    5882          35 :     obj_free(Et);
    5883          35 :     v = rootnovalp(divrr(cK,cKt), 2, prec);
    5884             :   } else
    5885             :   {
    5886         112 :     GEN D = deg2pol_shallow(gen_1, gen_0, gneg(ell_get_disc(E)), var);
    5887         112 :     GEN P = RgX_divs(RgX_rescale(ec_bmodel_var(E, var), utoi(4)), 4);
    5888         112 :     GEN c = ellnf_reladelicvolume(E, P, gmul2n(pol_x(var),-2), prec);
    5889         112 :     GEN cL = gel(c,1), cLt = gel(c,2);
    5890         112 :     GEN F = nfroots(nf, D);
    5891         112 :     if (lg(F)>1)
    5892           7 :       v = rootnovalp(divrr(cL,cLt), 2, prec);
    5893             :     else
    5894             :     {
    5895         105 :       GEN cK = ellnf_adelicvolume(E, prec);
    5896         105 :       GEN cp = nfcompositum(nf, P, D, 3);
    5897         105 :       GEN cc = ellnf_reladelicvolume(E, gel(cp,1), gmul2n(gel(cp,2),-2), prec);
    5898         105 :       GEN cF = gel(cc,1), cFt = gel(cc,2);
    5899         105 :       GEN rnf = rnfinit0(nf,D,1);
    5900         105 :       GEN Et = ellrnfup(rnf, E, prec);
    5901         105 :       GEN cKv = ellnf_adelicvolume(Et, prec);
    5902         105 :       long v2 = rootnovalp(divrr(gmul(cL,cF),gmul(cLt,cFt)), 2, prec);
    5903         105 :       long v3 = rootnovalp(divrr(gmul(cF,gsqr(cK)),gmul(cKv,gsqr(cL))), 3, prec);
    5904         105 :       obj_free(rnf); obj_free(Et);
    5905         105 :       v = odd(v2+v3);
    5906             :     }
    5907             :   }
    5908         147 :   delete_var();
    5909         147 :   return gc_long(av, v? -1: 1);
    5910             : }
    5911             : 
    5912             : static GEN
    5913         147 : doellnfrootno(GEN e)
    5914         147 : { return stoi(ellnf_rootno_global(e)); }
    5915             : 
    5916             : long
    5917        2261 : ellrootno_global(GEN e)
    5918             : {
    5919        2261 :   pari_sp av = avma;
    5920             :   GEN S;
    5921        2261 :   switch(ell_get_type(e))
    5922             :   {
    5923        1988 :     case t_ELL_Q:
    5924        1988 :       S = gel(obj_checkbuild(e, Q_ROOTNO, &doellrootno),1);
    5925        1988 :       break;
    5926         273 :     case t_ELL_NF:
    5927         273 :       S = obj_checkbuild(e, NF_ROOTNO, &doellnfrootno);
    5928         273 :       break;
    5929           0 :     default:
    5930             :       pari_err_TYPE("ellrootno", e); return 0; /*LCOV_EXCL_LINE*/
    5931             :   }
    5932        2261 :   return gc_long(av, itos(S));
    5933             : }
    5934             : 
    5935             : long
    5936         189 : ellrootno(GEN e, GEN p)
    5937             : {
    5938         189 :   checkell(e);
    5939         189 :   if (p && typ(p) != t_INT) pari_err_TYPE("ellrootno", p);
    5940         189 :   if (p && signe(p) < 0) pari_err_PRIME("ellrootno",p);
    5941         189 :   switch(ell_get_type(e))
    5942             :   {
    5943          91 :     case t_ELL_Q:
    5944          91 :       return ellQ_rootno(e, p);
    5945           0 :     default: pari_err_TYPE("ellrootno", e);
    5946          98 :     case t_ELL_NF:
    5947          98 :       if (p) pari_err_IMPL("local root number for number fields");
    5948          98 :       return ellrootno_global(e);
    5949             :   }
    5950             : }
    5951             : 
    5952             : /********************************************************************/
    5953             : /**                                                                **/
    5954             : /**                       TRACE OF FROBENIUS                       **/
    5955             : /**                                                                **/
    5956             : /********************************************************************/
    5957             : 
    5958             : /* assume p does not divide disc E */
    5959             : long
    5960      366250 : ellap_CM_fast(GEN E, ulong p, long CM)
    5961             : {
    5962             :   ulong a4, a6;
    5963      366250 :   if (p == 2) return 3 - cardmod2(E);
    5964      364598 :   if (p == 3) return 4 - cardmod3(E);
    5965      362183 :   Fl_ell_to_a4a6(E, p, &a4, &a6);
    5966      362183 :   return Fl_elltrace_CM(CM, a4, a6, p);
    5967             : }
    5968             : 
    5969             : static void
    5970         693 : checkell_int(GEN e)
    5971             : {
    5972         693 :   checkell_Q(e);
    5973         693 :   if (typ(ell_get_a1(e)) != t_INT ||
    5974         693 :       typ(ell_get_a2(e)) != t_INT ||
    5975         693 :       typ(ell_get_a3(e)) != t_INT ||
    5976         693 :       typ(ell_get_a4(e)) != t_INT ||
    5977         693 :       typ(ell_get_a6(e)) != t_INT) pari_err_TYPE("ellanQ [not an integral model]",e);
    5978         693 : }
    5979             : 
    5980             : long
    5981       12553 : ellQ_get_CM(GEN e)
    5982             : {
    5983       12553 :   GEN j = ell_get_j(e);
    5984       12553 :   long CM = 0;
    5985       12553 :   if (typ(j) == t_INT) switch(itos_or_0(j))
    5986             :   {
    5987         269 :     case 0:
    5988         269 :       if (!signe(j)) CM = -3;
    5989         269 :       break;
    5990         161 :     case 1728: CM = -4; break;
    5991          21 :     case -3375: CM = -7; break;
    5992          21 :     case  8000: CM = -8; break;
    5993          21 :     case 54000: CM = -12; break;
    5994          21 :     case -32768: CM = -11; break;
    5995          21 :     case 287496: CM = -16; break;
    5996           7 :     case -884736: CM = -19; break;
    5997          21 :     case -12288000: CM = -27; break;
    5998          21 :     case  16581375: CM = -28; break;
    5999           7 :     case -884736000: CM = -43; break;
    6000             : #ifdef LONG_IS_64BIT
    6001           6 :     case -147197952000L: CM = -67; break;
    6002           6 :     case -262537412640768000L: CM = -163; break;
    6003             : #endif
    6004             :   }
    6005       12553 :   return CM;
    6006             : }
    6007             : 
    6008             : /* bad reduction at p */
    6009             : static void
    6010        3780 : sievep_bad(ulong p, GEN an, ulong n)
    6011             : {
    6012             :   ulong m, N;
    6013        3780 :   switch (an[p]) /* (-c6/p) */
    6014             :   {
    6015        1071 :     case -1: /* nonsplit */
    6016        1071 :       N = n/p;
    6017      457554 :       for (m=2; m<=N; m++)
    6018      456483 :         if (an[m] != LONG_MAX) an[m*p] = -an[m];
    6019        1071 :       break;
    6020        1344 :     case 0: /* additive */
    6021      857612 :       for (m=2*p; m<=n; m+=p) an[m] = 0;
    6022        1344 :       break;
    6023        1365 :     case 1: /* split */
    6024        1365 :       N = n/p;
    6025      150958 :       for (m=2; m<=N; m++)
    6026      149593 :         if (an[m] != LONG_MAX) an[m*p] = an[m];
    6027        1365 :       break;
    6028             :   }
    6029        3780 : }
    6030             : /* good reduction at p */
    6031             : static void
    6032      344711 : sievep_good(ulong p, GEN an, ulong n, ulong SQRTn)
    6033             : {
    6034      344711 :   const long ap = an[p];
    6035             :   ulong m;
    6036      344711 :   if (p <= SQRTn) {
    6037       13207 :     ulong pk, oldpk = 1;
    6038       53936 :     for (pk=p; pk <= n; oldpk=pk, pk *= p)
    6039             :     {
    6040       40729 :       if (pk != p) an[pk] = ap * an[oldpk] - p * an[oldpk/p];
    6041     5021143 :       for (m = n/pk; m > 1; m--)
    6042     4980414 :         if (an[m] != LONG_MAX && m%p) an[m*pk] = an[m] * an[pk];
    6043             :     }
    6044             :   } else {
    6045     1760484 :     for (m = n/p; m > 1; m--)
    6046     1428980 :       if (an[m] != LONG_MAX) an[m*p] = ap * an[m];
    6047             :   }
    6048      344711 : }
    6049             : static void
    6050      348491 : sievep(ulong p, GEN an, ulong n, ulong SQRTn, int good_red)
    6051             : {
    6052      348491 :   if (good_red)
    6053      344711 :     sievep_good(p, an, n, SQRTn);
    6054             :   else
    6055        3780 :     sievep_bad(p, an, n);
    6056      348491 : }
    6057             : 
    6058             : static long
    6059      348491 : ellan_get_ap(ulong p, int *good_red, int CM, GEN e)
    6060             : {
    6061      348491 :   if (!umodiu(ell_get_disc(e),p)) /* p|D, bad reduction or nonminimal model */
    6062        3836 :     return ellQap_u(e, p, good_red);
    6063             :   else /* good reduction */
    6064             :   {
    6065      344655 :     *good_red = 1;
    6066      344655 :     return ellap_CM_fast(e, p, CM);
    6067             :   }
    6068             : }
    6069             : GEN
    6070        2408 : ellanQ_zv(GEN e, long n0)
    6071             : {
    6072             :   pari_sp av;
    6073        2408 :   ulong p, SQRTn, n = (ulong)n0;
    6074             :   GEN an;
    6075             :   int CM;
    6076             : 
    6077        2408 :   if (n0 <= 0) return cgetg(1,t_VEC);
    6078        2408 :   if (n >= LGBITS)
    6079           0 :     pari_err_IMPL( stack_sprintf("ellan for n >= %lu", LGBITS) );
    6080        2408 :   e = ellintegralmodel_i(e,NULL);
    6081        2408 :   SQRTn = usqrt(n);
    6082        2408 :   CM = ellQ_get_CM(e);
    6083             : 
    6084        2408 :   an = const_vecsmall(n, LONG_MAX);
    6085        2408 :   an[1] = 1; av = avma;
    6086     2844535 :   for (p=2; p<=n; p++)
    6087             :   {
    6088             :     int good_red;
    6089     2842127 :     if (an[p] != LONG_MAX) continue; /* p not prime */
    6090      348491 :     an[p] = ellan_get_ap(p, &good_red, CM, e);
    6091      348491 :     sievep(p, an, n, SQRTn, good_red);
    6092             :   }
    6093        2408 :   set_avma(av); return an;
    6094             : }
    6095             : 
    6096             : static GEN
    6097         329 : ellanQ(GEN e, long N)
    6098         329 : { return vecsmall_to_vec_inplace(ellanQ_zv(e,N)); }
    6099             : 
    6100             : static GEN
    6101       74081 : ellnflocal(GEN E, GEN p, long n)
    6102             : {
    6103       74081 :   pari_sp av = avma;
    6104       74081 :   GEN LP = idealprimedec_limit_f(ellnf_get_nf(E), p, n-1), T = NULL;
    6105       74076 :   long l = lg(LP), i;
    6106      148168 :   for (i = 1; i < l; i++)
    6107             :   {
    6108             :     int goodred;
    6109       74086 :     GEN P = gel(LP,i), T2;
    6110       74086 :     GEN ap = ellnfap(E, P, &goodred);
    6111       74066 :     long f = pr_get_f(P);
    6112       74065 :     if (goodred)
    6113       73883 :       T2 = mkpoln(3, pr_norm(P), negi(ap), gen_1);
    6114             :     else
    6115             :     {
    6116         182 :       if (!signe(ap)) continue;
    6117         168 :       T2 = deg1pol_shallow(negi(ap), gen_1, 0);
    6118             :     }
    6119       74059 :     if (f > 1) T2 = RgX_inflate(T2, f);
    6120       74073 :     T = T? ZX_mul(T, T2): T2;
    6121             :   }
    6122       74082 :   if (!T) { set_avma(av); return pol_1(0); }
    6123       40313 :   return gerepileupto(av, RgXn_inv_i(T, n));
    6124             : }
    6125             : 
    6126             : GEN
    6127        4704 : direllnf_worker(GEN P, ulong X, GEN E)
    6128             : {
    6129        4704 :   pari_sp av = avma;
    6130        4704 :   long i, l = lg(P);
    6131        4704 :   GEN W = cgetg(l, t_VEC);
    6132       78785 :   for(i = 1; i < l; i++)
    6133             :   {
    6134       74081 :     ulong p = uel(P,i);
    6135       74081 :     long d = ulogint(X, p) + 1; /* minimal d such that p^d > X */
    6136       74077 :     gel(W,i) = ellnflocal(E, utoi(uel(P,i)), d);
    6137             :   }
    6138        4704 :   return gerepilecopy(av, mkvec2(P,W));
    6139             : }
    6140             : 
    6141             : static GEN
    6142         203 : ellnfan(GEN E, long N)
    6143             : {
    6144         203 :   GEN worker = snm_closure(is_entry("_direllnf_worker"), mkvec(E));
    6145         203 :   return pardireuler(worker, gen_2, stoi(N), NULL, NULL);
    6146             : }
    6147             : 
    6148             : GEN
    6149         525 : ellan(GEN E, long N)
    6150             : {
    6151         525 :   checkell(E);
    6152         525 :   switch(ell_get_type(E))
    6153             :   {
    6154         322 :     case t_ELL_Q: return ellanQ(E, N);
    6155         203 :     case t_ELL_NF: return ellnfan(E, N);
    6156           0 :     default:
    6157           0 :       pari_err_TYPE("ellan",E);
    6158             :       return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
    6159             :   }
    6160             : }
    6161             : 
    6162             : static GEN
    6163         735 : apk_good(GEN ap, GEN p, long e)
    6164             : {
    6165             :   GEN u, v, w;
    6166             :   long j;
    6167         735 :   if (e == 1) return ap;
    6168         112 :   u = ap;
    6169         112 :   w = subii(sqri(ap), p);
    6170         126 :   for (j=3; j<=e; j++)
    6171             :   {
    6172          14 :     v = u; u = w;
    6173          14 :     w = subii(mulii(ap,u), mulii(p,v));
    6174             :   }
    6175         112 :   return w;
    6176             : }
    6177             : 
    6178             : GEN
    6179         693 : akell(GEN e, GEN n)
    6180             : {
    6181             :   long i, j, s;
    6182         693 :   pari_sp av = avma;
    6183             :   GEN fa, P, E, D, u, y;
    6184             : 
    6185         693 :   checkell_int(e);
    6186         693 :   if (typ(n) != t_INT) pari_err_TYPE("akell",n);
    6187         693 :   if (signe(n)<= 0) return gen_0;
    6188         693 :   if (gequal1(n)) return gen_1;
    6189         693 :   D = ell_get_disc(e);
    6190         693 :   u = Z_ppo(n, D);
    6191         693 :   y = gen_1;
    6192         693 :   s = 1;
    6193         693 :   if (!equalii(u, n))
    6194             :   { /* bad reduction at primes dividing n/u */
    6195         441 :     fa = Z_factor(diviiexact(n, u));
    6196         441 :     P = gel(fa,1);
    6197         441 :     E = gel(fa,2);
    6198        1022 :     for (i=1; i<lg(P); i++)
    6199             :     {
    6200         581 :       GEN p = gel(P,i);
    6201         581 :       long ex = itos(gel(E,i));
    6202             :       int good_red;
    6203         581 :       GEN ap = ellQap(e,p,&good_red);
    6204         581 :       if (good_red) { y = mulii(y, apk_good(ap, p, ex)); continue; }
    6205         350 :       j = signe(ap);
    6206         350 :       if (!j) { set_avma(av); return gen_0; }
    6207         350 :       if (odd(ex) && j < 0) s = -s;
    6208             :     }
    6209             :   }
    6210         693 :   if (s < 0) y = negi(y);
    6211         693 :   fa = Z_factor(u);
    6212         693 :   P = gel(fa,1);
    6213         693 :   E = gel(fa,2);
    6214        1197 :   for (i=1; i<lg(P); i++)
    6215             :   { /* good reduction */
    6216         504 :     GEN p = gel(P,i);
    6217         504 :     GEN ap = ellap(e,p);
    6218         504 :     y = mulii(y, apk_good(ap, p, itos(gel(E,i))));
    6219             :   }
    6220         693 :   return gerepileuptoint(av,y);
    6221             : }
    6222             : 
    6223             : GEN
    6224        3633 : ellQ_get_N(GEN e)
    6225        3633 : { GEN v = ellglobalred_i(e); return gel(v,1); }
    6226             : void
    6227         889 : ellQ_get_Nfa(GEN e, GEN *N, GEN *faN)
    6228         889 : { GEN v = ellglobalred_i(e); *N = gel(v,1); *faN = gel(v,3); }
    6229             : 
    6230             : GEN
    6231          14 : elllseries(GEN e, GEN s, GEN A, long prec)
    6232             : {
    6233          14 :   pari_sp av = avma, av1;
    6234             :   ulong l, n;
    6235             :   long eps, flun;
    6236             :   GEN z, cg, v, cga, cgb, s2, K, gs, N;
    6237             : 
    6238          14 :   if (!A) A = gen_1;
    6239             :   else
    6240             :   {
    6241           7 :     if (gsigne(A)<=0)
    6242           0 :       pari_err_DOMAIN("elllseries", "cut-off point", "<=", gen_0,A);
    6243           7 :     if (gcmpgs(A,1) < 0) A = ginv(A);
    6244             :   }
    6245          14 :   if (isint(s, &s) && signe(s) <= 0) { set_avma(av); return gen_0; }
    6246          14 :   flun = gequal1(A) && gequal1(s);
    6247          14 :   checkell_Q(e);
    6248          14 :   e = ellanal_globalred(e, NULL);
    6249          14 :   N = ellQ_get_N(e);
    6250          14 :   eps = ellrootno_global(e);
    6251          14 :   if (flun && eps < 0) { set_avma(av); return real_0(prec); }
    6252             : 
    6253          14 :   gs = ggamma(s, prec);
    6254          14 :   cg = divrr(Pi2n(1, prec), gsqrt(N,prec));
    6255          14 :   cga = gmul(cg, A);
    6256          14 :   cgb = gdiv(cg, A);
    6257          14 :   l = (ulong)((prec2nbits_mul(prec, M_LN2) +
    6258          14 :               fabs(gtodouble(real_i(s))-1.) * log(rtodbl(cga)))
    6259          14 :             / rtodbl(cgb) + 1);
    6260          14 :   if ((long)l < 1) l = 1;
    6261          14 :   v = ellanQ_zv(e, minss(l,LGBITS-1));
    6262          14 :   s2 = K = NULL; /* gcc -Wall */
    6263          14 :   if (!flun) { s2 = gsubsg(2,s); K = gpow(cg, gsubgs(gmul2n(s,1),2),prec); }
    6264          14 :   z = gen_0;
    6265          14 :   av1 = avma;
    6266        1344 :   for (n = 1; n <= l; n++)
    6267             :   {
    6268        1330 :     GEN p1, an, gn = utoipos(n), ns;
    6269        1330 :     an = ((ulong)n<LGBITS)? stoi(v[n]): akell(e,gn);
    6270        1330 :     if (!signe(an)) continue;
    6271             : 
    6272        1106 :     ns = gpow(gn,s,prec);
    6273        1106 :     p1 = gdiv(incgam0(s,mulur(n,cga),gs,prec), ns);
    6274        1106 :     if (flun)
    6275           0 :       p1 = gmul2n(p1, 1);
    6276             :     else
    6277             :     {
    6278        1106 :       GEN p2 = gdiv(gmul(gmul(K,ns), incgam(s2,mulur(n,cgb),prec)), sqru(n));
    6279        1106 :       if (eps < 0) p2 = gneg_i(p2);
    6280        1106 :       p1 = gadd(p1, p2);
    6281             :     }
    6282        1106 :     z = gadd(z, gmul(p1, an));
    6283        1106 :     if (gc_needed(av1,1))
    6284             :     {
    6285           0 :       if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"lseriesell");
    6286           0 :       z = gerepilecopy(av1,z);
    6287             :     }
    6288             :   }
    6289          14 :   return gerepileupto(av, gdiv(z,gs));
    6290             : }
    6291             : 
    6292             : /********************************************************************/
    6293             : /**                                                                **/
    6294             : /**                       CANONICAL HEIGHT                         **/
    6295             : /**                                                                **/
    6296             : /********************************************************************/
    6297             : 
    6298             : static GEN
    6299          56 : ellnf_volume(GEN e, long prec)
    6300             : {
    6301          56 :   GEN V = ellnf_vecarea(e,prec);
    6302          56 :   long i, r1 = nf_get_r1(ellnf_get_nf(e)), l = lg(V);
    6303          56 :   GEN r = gen_1;
    6304         133 :   for(i=1; i <= r1; i++) r = gmul(r, gel(V,i));
    6305          63 :   for(   ; i < l  ; i++) r = gmul(r, gsqr(gel(V,i)));
    6306          56 :   return r;
    6307             : }
    6308             : 
    6309             : /* The function follows
    6310             : <https://publications.ias.edu/sites/default/files/Number52.pdf>
    6311             : <https://resnumtheor.springeropen.com/track/pdf/10.1007/s40993-017-0077-7>
    6312             : */
    6313             : 
    6314             : static GEN
    6315          63 : ellheightfaltings(GEN e, long prec)
    6316             : {
    6317             :   GEN h;
    6318             :   long d;
    6319          63 :   pari_sp av = avma;
    6320          63 :   checkell(e);
    6321          63 :   switch(ell_get_type(e))
    6322             :   {
    6323           7 :     case t_ELL_Q:
    6324           7 :       d = 1;
    6325           7 :       h = gmul(gsqr(ellQ_minimalu(e,NULL)), ellR_area(e, prec));
    6326           7 :       break;
    6327          56 :     case t_ELL_NF:
    6328          56 :       d = nf_get_degree(ellnf_get_nf(e));
    6329          56 :       h = gmul(gsqr(ellnf_minimalnormu(e)), ellnf_volume(e, prec));
    6330          56 :       break;
    6331           0 :     default:
    6332           0 :       pari_err_TYPE("ellheight", e);
    6333             :       return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
    6334             :   }
    6335          63 :   return gerepileupto(av, gdivgs(logr_abs(h), -2*d));
    6336             : }
    6337             : 
    6338             : static GEN
    6339       67865 : Q_numer(GEN x) { return typ(x) == t_INT? x: gel(x,1); }
    6340             : 
    6341             : /* one root of X^2 - t X + c */
    6342             : static GEN
    6343       24409 : quad_root(GEN t, GEN c, long prec)
    6344             : {
    6345       24409 :   return gmul2n(gadd(t, gsqrt(gsub(gsqr(t), gmul2n(c,2)),prec)), -1);
    6346             : }
    6347             : 
    6348             : /* exp( h_oo(z) ), assume z on neutral component.
    6349             :  * If flag, return exp(4 h_oo(z)) instead */
    6350             : static GEN
    6351       24409 : exphellagm(GEN e, GEN z, int flag, long prec)
    6352             : {
    6353       24409 :   GEN x_a, ab, a, b, e1, r, V = cgetg(1, t_VEC), x = gel(z,1);
    6354       24409 :   long n, ex = 5-prec2nbits(prec), p = prec+EXTRAPRECWORD;
    6355             : 
    6356       24409 :   if (typ(x) == t_REAL && realprec(x) < p) x = gprec_w(x, p);
    6357       24409 :   ab = ellR_ab(e, p);
    6358       24409 :   a = gel(ab, 1);
    6359       24409 :   b = gel(ab, 2);
    6360       24409 :   e1= gel(obj_check(e,R_ROOTS), 1); /* use maximal accuracy, don't truncate */
    6361       24409 :   x = gsub(x, e1);
    6362       24409 :   x = quad_root(gadd(x,b), gmul(a,x), prec);
    6363             : 
    6364       24409 :   x_a = gsub(x, a);
    6365       24409 :   if (gsigne(a) > 0) { GEN a0=a; x = gsub(x, b); a = gneg(b); b = gsub(a0, b); }
    6366       24409 :   a = gsqrt(gneg(a), prec);
    6367       24409 :   b = gsqrt(gneg(b), prec);
    6368             :   /* compute height on isogenous curve E1 ~ E0 */
    6369       24409 :   for(n=0;; n++)
    6370      138968 :   {
    6371      163377 :     GEN p1, p2, ab, a0 = a;
    6372      163377 :     a = gmul2n(gadd(a0,b), -1);
    6373      163377 :     r = gsub(a, a0);
    6374      163377 :     if (gequal0(r) || gexpo(r) < ex) break;
    6375      138968 :     ab = gmul(a0, b);
    6376      138968 :     b = gsqrt(ab, prec);
    6377             : 
    6378      138968 :     p1 = gmul2n(gsub(x, ab), -1);
    6379      138968 :     p2 = gsqr(a);
    6380      138968 :     x = gadd(p1, gsqrt(gadd(gsqr(p1), gmul(x, p2)), prec));
    6381      138968 :     V = shallowconcat(V, gadd(x, p2));
    6382             :   }
    6383       24409 :   if (n) {
    6384       24409 :     x = gel(V,n);
    6385      138968 :     while (--n > 0) x = gdiv(gsqr(x), gel(V,n));
    6386             :   } else
    6387           0 :     x = gadd(x, gsqr(a));
    6388             :   /* height on E1 is log(x)/2. Go back to E0 */
    6389       24409 :   return flag? gsqr(gdiv(gsqr(x), x_a)): gdiv(x, sqrtr(mpabs_shallow(x_a)));
    6390             : }
    6391             : /* is P \in E(R)^0, the neutral component ? */
    6392             : static int
    6393       24409 : ellR_on_neutral(GEN E, GEN P, long prec)
    6394             : {
    6395       24409 :   GEN x = gel(P,1), e1 = ellR_root(E, prec);
    6396       24409 :   return gcmp(x, e1) >= 0;
    6397             : }
    6398             : 
    6399             : /* hoo + 1/2 log(den(x)) */
    6400             : static GEN
    6401       24409 : hoo_aux(GEN E, GEN z, GEN d, long prec)
    6402             : {
    6403       24409 :   pari_sp av = avma;
    6404             :   GEN h;
    6405       24409 :   if (!ellR_on_neutral(E, z, prec))
    6406             :   {
    6407        6209 :     GEN eh = exphellagm(E, elladd(E, z,z), 0, prec);
    6408             :     /* h_oo(2P) = 4h_oo(P) - log |2y + a1x + a3| */
    6409        6209 :     h = gmul(eh, gabs(ec_dmFdy_evalQ(E, z), prec));
    6410             :   }
    6411             :   else
    6412       18200 :     h = exphellagm(E, z, 1, prec);
    6413       24409 :   if (!is_pm1(d)) h = gmul(h, sqri(d));
    6414       24409 :   return gerepileuptoleaf(av, gmul2n(mplog(h), -2));
    6415             : }
    6416             : GEN
    6417        1918 : ellheightoo(GEN E, GEN z, long prec) { return hoo_aux(E, z, gen_1, prec); }
    6418             : 
    6419             : /* Formula from Silverman GTM 151 Theorem 3.2 page 466 */
    6420             : static GEN
    6421          28 : ellheight_C(GEN E, GEN P, long prec)
    6422             : {
    6423          28 :   pari_sp av = avma;
    6424          28 :   GEN z = zell(E, P, prec);
    6425          28 :   GEN per = ellperiods(E, 1, prec);
    6426          28 :   GEN w = gel(per,1), w1 = gel(w,1), w2 = gel(w, 2), w1c = conj_i(w1);
    6427          28 :   GEN e = gel(per,2), e1 = gel(e,1), e2 = gel(e, 2);
    6428          28 :   GEN D = gsub(gmul(w1, conj_i(w2)),gmul(w1c, w2));
    6429          28 :   GEN b = gdiv(gsub(gmul(w1, conj_i(z)),gmul(w1c, z)), D);
    6430          28 :   GEN a = gdiv(gsub(z, gmul(b, w2)), w1);
    6431          28 :   GEN eta = gadd(gmul(a, e1), gmul(b, e2));
    6432          28 :   GEN r = gmul2n(real_i(gmul(z, eta)), -1);
    6433          28 :   GEN l = real_i(ellsigma(per, z, 1, prec));
    6434          28 :   return gerepileupto(av, gsub(r, l));
    6435             : }
    6436             : 
    6437             : static GEN
    6438       19467 : _hell(GEN E, GEN p, long n, GEN P)
    6439       19467 : { return p? ellpadicheight(E,p,n, P): ellheight(E,P,n); }
    6440             : static GEN
    6441          35 : ellheightpairing(GEN E, GEN p, long n, GEN P, GEN Q)
    6442             : {
    6443          35 :   pari_sp av = avma;
    6444          35 :   GEN a = _hell(E,p,n, elladd(E,P,Q));
    6445          35 :   GEN b = _hell(E,p,n, ellsub(E,P,Q));
    6446          35 :   return gerepileupto(av, gmul2n(gsub(a,b), -2));
    6447             : }
    6448             : GEN
    6449         224 : ellheight0(GEN e, GEN a, GEN b, long n)
    6450         224 : { return b? ellheightpairing(e,NULL,n, a,b): a? ellheight(e,a,n): ellheightfaltings(e,n); }
    6451             : GEN
    6452          70 : ellpadicheight0(GEN e, GEN p, long n, GEN P, GEN Q)
    6453          70 : { return Q? ellheightpairing(e,p,n, P,Q): ellpadicheight(e,p,n, P); }
    6454             : 
    6455             : static GEN
    6456         245 : ellnf_localheight(GEN e, GEN P, GEN pr)
    6457             : {
    6458             :   long v1, v2, vD, vu;
    6459         245 :   GEN nf = ellnf_get_nf(e);
    6460         245 :   GEN lr = nflocalred(e,pr);
    6461         245 :   GEN k = gel(lr, 2), urst = gel(lr, 3), u = gel(urst, 1);
    6462         245 :   GEN E = ellchangecurve(e, urst);
    6463         245 :   GEN Q = ellchangepoint(P, urst);
    6464             :   GEN v;
    6465         245 :   vu = nfval(nf, u, pr);
    6466         245 :   v1 = nfval(nf, ec_dFdx_evalQ(E, Q), pr);
    6467         245 :   v2 = nfval(nf, ec_dmFdy_evalQ(E, Q), pr);
    6468         245 :   vD = nfval(nf, ell_get_disc(E), pr);
    6469         245 :   if (v1<0)
    6470           7 :     vu = 0;
    6471         245 :   if (v1<=0 || v2<=0)
    6472         210 :     v = gen_0;
    6473          35 :   else if (cmpis(k,5) >= 0)
    6474             :   {
    6475          21 :     GEN a = sstoQ(minss(2*v2,vD), 2*vD);
    6476          21 :     v = gmul(gsub(gsqr(a),a), sstoQ(vD,2));
    6477             :   }
    6478             :   else
    6479             :   {
    6480          14 :     long v3 = nfval(nf, ec_3divpol_evalx(E, gel(Q,1)), pr);
    6481          28 :     v = (v2<LONG_MAX && v3>=3*v2) ? sstoQ(-v2,3):
    6482          14 :                                     sstoQ(-v3,8);
    6483             :   }
    6484         245 :   return gsubgs(v,vu);
    6485             : }
    6486             : 
    6487             : static GEN
    6488         112 : ellnf_height(GEN E, GEN P, long prec)
    6489             : {
    6490         112 :   pari_sp av = avma;
    6491             :   GEN x, nf, disc, d, F, Ee, Pe, s;
    6492             :   long i, n, l, r1;
    6493         112 :   if (signe(ellorder(E, P, NULL))) return gen_0;
    6494          91 :   x = gel(P,1);
    6495          91 :   if (gequal0(ec_2divpol_evalx(E, x))) { set_avma(av); return gen_0; }
    6496          91 :   nf = ellnf_get_nf(E); r1 = nf_get_r1(nf);
    6497          91 :   disc = ell_get_disc(E);
    6498          91 :   d = idealnorm(nf, gel(idealnumden(nf, x), 2));
    6499          91 :   F = gel(idealfactor(nf, disc), 1);
    6500          91 :   Ee = ellnfembed(E, prec);
    6501          91 :   Pe = ellpointnfembed(E, P, prec);
    6502          91 :   n = lg(Ee); l = lg(F);
    6503          91 :   s = gmul2n(glog(d, prec), -1);
    6504         224 :   for (i=1; i<=r1; i++)
    6505         133 :     s = gadd(s, ellheightoo(gel(Ee, i), gel(Pe, i), prec));
    6506         119 :   for (   ; i<n; i++)
    6507          28 :     s = gadd(s, gmul2n(ellheight_C(gel(Ee, i), gel(Pe, i), prec), 1));
    6508         336 :   for (i=1; i<l; i++)
    6509             :   {
    6510         245 :     GEN pr = gel(F,i), p = pr_get_p(pr);
    6511         245 :     long f = pr_get_f(pr);
    6512         245 :     GEN lam = ellnf_localheight(E, P, pr);
    6513         245 :     s = gadd(s, gmul(lam, mulrs(glog(p, prec), f)));
    6514             :   }
    6515          91 :   return gerepileupto(av, gmul2n(s, 1));
    6516             : }
    6517             : 
    6518             : static GEN
    6519       22505 : ellQ_height(GEN e, GEN a, long prec)
    6520             : {
    6521       22505 :   long i, lx, newell = 0;
    6522             :   pari_sp av;
    6523             :   GEN Lp, x, y, z, phi2, psi2, psi3;
    6524             :   GEN v, S, b2, b4, b6, b8, a1, a2, a4, c4, D;
    6525             : 
    6526       22505 :   if (!RgV_is_QV(a)) pari_err_TYPE("ellheight [not a rational point]",a);
    6527       22498 :   if (ellorder_Q(e, a)) return gen_0;
    6528       22498 :   av = avma;
    6529       22498 :   if ((S = obj_check(e, Q_MINIMALMODEL)))
    6530             :   { /* switch to minimal model if needed */
    6531       21917 :     if (lg(S) != 2)
    6532             :     {
    6533       16737 :       v = gel(S,2);
    6534       16737 :       e = gel(S,3);
    6535       16737 :       a = ellchangepoint(a, v);
    6536             :     }
    6537             :   }
    6538             :   else
    6539             :   {
    6540         581 :     newell = 1;
    6541         581 :     e = ellminimalmodel_i(e, &v, NULL);
    6542         581 :     a = ellchangepoint(a, v);
    6543             :   }
    6544       22498 :   if (!oncurve(e,a))
    6545           7 :     pari_err_DOMAIN("ellheight", "point", "not on", strtoGENstr("E"),a);
    6546       22491 :   psi2 = Q_numer(ec_dmFdy_evalQ(e,a));
    6547       22491 :   if (!signe(psi2)) { set_avma(av); return gen_0; }
    6548       22491 :   x = gel(a,1);
    6549       22491 :   y = gel(a,2);
    6550       22491 :   b2 = ell_get_b2(e);
    6551       22491 :   b4 = ell_get_b4(e);
    6552       22491 :   b6 = ell_get_b6(e);
    6553       22491 :   b8 = ell_get_b8(e);
    6554       22491 :   psi3 = Q_numer( /* b8 + 3x b6 + 3x^2 b4 + x^3 b2 + 3 x^4 */
    6555             :     poleval(mkvec5(b8, mului(3,b6), mului(3,b4), b2, utoipos(3)), x)
    6556             :   );
    6557       22491 :   if (!signe(psi3)) { set_avma(av); return gen_0; }
    6558       22491 :   a1 = ell_get_a1(e);
    6559       22491 :   a2 = ell_get_a2(e);
    6560       22491 :   a4 = ell_get_a4(e);
    6561       22491 :   phi2 = Q_numer( /* a4 + 2a2 x + 3x^2 - y a1*/
    6562             :     poleval(mkvec3(gsub(a4,gmul(a1,y)), shifti(a2,1), utoipos(3)), x)
    6563             :   );
    6564       22491 :   c4 = ell_get_c4(e);
    6565       22491 :   D = ell_get_disc(e);
    6566       22491 :   z = hoo_aux(e,a,Q_denom(x),prec);  /* hoo(a) + log(den(x))/2 */
    6567       22491 :   Lp = gel(Z_factor(gcdii(psi2,phi2)),1);
    6568       22491 :   lx = lg(Lp);
    6569      141512 :   for (i=1; i<lx; i++)
    6570             :   {
    6571      119021 :     GEN p = gel(Lp,i);
    6572             :     long u, v, n, n2;
    6573      119021 :     if (!dvdii(c4,p))
    6574             :     { /* p \nmid c4 */
    6575      108990 :       long N = Z_pval(D,p);
    6576      108990 :       if (!N) continue;
    6577      108990 :       n2 = Z_pval(psi2,p); n = n2<<1;
    6578      108990 :       if (n > N) n = N;
    6579      108990 :       u = n * ((N<<1) - n);
    6580      108990 :       v = N << 3;
    6581             :     }
    6582             :     else
    6583             :     {
    6584       10031 :       n2 = Z_pval(psi2, p);
    6585       10031 :       n  = Z_pval(psi3, p);
    6586       10031 :       if (n >= 3*n2) { u = n2; v = 3; } else { u = n; v = 8; }
    6587             :     }
    6588             :     /* z -= u log(p) / v */
    6589      119021 :     z = gsub(z, divru(mulur(u, logr_abs(itor(p,prec))), v));
    6590             :   }
    6591       22491 :   if (newell) obj_free(e);
    6592       22491 :   return gerepileupto(av, gmul2n(z, 1));
    6593             : }
    6594             : 
    6595             : GEN
    6596       22617 : ellheight(GEN e, GEN a, long prec)
    6597             : {
    6598       22617 :   checkell(e); checkellpt(a);
    6599       22617 :   switch(ell_get_type(e))
    6600             :   {
    6601       22505 :     case t_ELL_Q:
    6602       22505 :       return ellQ_height(e, a, prec);
    6603           0 :     default: pari_err_TYPE("ellheight", e);
    6604         112 :     case t_ELL_NF:
    6605         112 :       return ellnf_height(e, a, prec);
    6606             :   }
    6607             : }
    6608             : 
    6609             : GEN
    6610         679 : ellpadicheightmatrix(GEN e, GEN p, long n, GEN x)
    6611             : {
    6612             :   GEN D, A, B;
    6613         679 :   long lx = lg(x), i, j;
    6614         679 :   pari_sp av = avma;
    6615             : 
    6616         679 :   if (!is_vec_t(typ(x))) pari_err_TYPE("ellheightmatrix",x);
    6617         679 :   D = cgetg(lx,t_VEC);
    6618         679 :   A = cgetg(lx,t_MAT);
    6619         679 :   B = cgetg(lx,t_MAT);
    6620        4732 :   for (i=1; i<lx; i++)
    6621             :   {
    6622        4053 :     gel(D,i) = _hell(e,p,n, gel(x,i));
    6623        4053 :     gel(A,i) = cgetg(lx,t_COL);
    6624        4053 :     gel(B,i) = cgetg(lx,t_COL); /*unused if p = NULL */
    6625             :   }
    6626        4732 :   for (i=1; i<lx; i++)
    6627             :   {
    6628        4053 :     GEN h = gel(D,i);
    6629        4053 :     if (p)
    6630             :     {
    6631          28 :       gcoeff(A,i,i) = gel(h,1);
    6632          28 :       gcoeff(B,i,i) = gel(h,2);
    6633             :     }
    6634             :     else
    6635        4025 :       gcoeff(A,i,i) = h;
    6636       19397 :     for (j=i+1; j<lx; j++)
    6637             :     {
    6638       15344 :       h = _hell(e,p,n, elladd(e,gel(x,i),gel(x,j)));
    6639       15344 :       h = gmul2n(gsub(h, gadd(gel(D,i),gel(D,j))), -1);
    6640       15344 :       if (p)
    6641             :       {
    6642          21 :         gcoeff(A,j,i) = gcoeff(A,i,j) = gel(h,1);
    6643          21 :         gcoeff(B,j,i) = gcoeff(B,i,j) = gel(h,2);
    6644             :       }
    6645             :       else
    6646       15323 :         gcoeff(A,j,i) = gcoeff(A,i,j) = h;
    6647             :     }
    6648             :   }
    6649         679 :   return gerepilecopy(av, p? mkvec2(A,B): A);
    6650             : }
    6651             : GEN
    6652         665 : ellheightmatrix(GEN E, GEN x, long n)
    6653         665 : { return ellpadicheightmatrix(E,NULL,n, x); }
    6654             : 
    6655             : /* Q an actual point, P a point or vector/matrix of points */
    6656             : static GEN
    6657          21 : bilhell_i(GEN E, GEN P, GEN Q, long n)
    6658             : {
    6659             :   GEN y;
    6660          21 :   long i, l = lg(P);
    6661          21 :   if (l==1) return cgetg(1,typ(P));
    6662          21 :   if (!is_matvec_t( typ(gel(P,1)) )) return ellheight0(E,P,Q,n);
    6663           7 :   y = cgetg(l, typ(P));
    6664          21 :   for (i=1; i<l; i++) gel(y,i) = bilhell_i(E,gel(P,i),Q,n);
    6665           7 :   return y;
    6666             : }
    6667             : GEN
    6668           7 : bilhell(GEN E, GEN P, GEN Q, long n)
    6669             : {
    6670           7 :   long t1 = typ(P), t2 = typ(Q);
    6671           7 :   if (!is_matvec_t(t1)) pari_err_TYPE("ellbil",P);
    6672           7 :   if (!is_matvec_t(t2)) pari_err_TYPE("ellbil",Q);
    6673           7 :   if (lg(P)==1) return cgetg(1,t1);
    6674           7 :   if (lg(Q)==1) return cgetg(1,t2);
    6675           7 :   t2 = typ(gel(Q,1));
    6676           7 :   if (is_matvec_t(t2))
    6677             :   {
    6678           0 :     t1 = typ(gel(P,1));
    6679           0 :     if (is_matvec_t(t1)) pari_err_TYPE("bilhell",P);
    6680           0 :     return bilhell_i(E,Q,P,n);
    6681             :   }
    6682           7 :   return bilhell_i(E,P,Q,n);
    6683             : }
    6684             : /********************************************************************/
    6685             : /**                                                                **/
    6686             : /**                    Modular Parametrization                     **/
    6687             : /**                                                                **/
    6688             : /********************************************************************/
    6689             : /* t*x^v (1 + O(x)), t != 0 */
    6690             : static GEN
    6691           0 : triv_ser(GEN t, long v)
    6692             : {
    6693           0 :   GEN s = cgetg(3,t_SER);
    6694           0 :   s[1] = evalsigne(1) | _evalvalp(v) | evalvarn(0);
    6695           0 :   gel(s,2) = t; return s;
    6696             : }
    6697             : 
    6698             : GEN
    6699          14 : elltaniyama(GEN e, long prec)
    6700             : {
    6701             :   GEN x, w, c, d, X, C, b2, b4;
    6702             :   long n, m;
    6703          14 :   pari_sp av = avma;
    6704             : 
    6705          14 :   checkell_Q(e);
    6706          14 :   if (prec < 0) pari_err_DOMAIN("elltaniyama","precision","<",gen_0,stoi(prec));
    6707           7 :   if (!prec) retmkvec2(triv_ser(gen_1,-2), triv_ser(gen_m1,-3));
    6708             : 
    6709           7 :   x = cgetg(prec+3,t_SER);
    6710           7 :   x[1] = evalsigne(1) | _evalvalp(-2) | evalvarn(0);
    6711           7 :   d = ginv(RgV_to_ser(ellanQ(e,prec+1), 0, prec+3)); setvalp(d,-1);
    6712             :   /* 2y(q) + a1x + a3 = d qx'(q). Solve for x(q),y(q):
    6713             :    * 4y^2 = 4x^3 + b2 x^2 + 2b4 x + b6 */
    6714           7 :   c = gsqr(d);
    6715             :   /* solve 4x^3 + b2 x^2 + 2b4 x + b6 = c (q x'(q))^2; c = 1/q^2 + O(1/q)
    6716             :    * Take derivative then divide by 2x':
    6717             :    *  b2 x + b4 = (1/2) (q c')(q x') + c q (q x')' - 6x^2.
    6718             :    * Write X[i] = coeff(x, q^i), C[i] = coeff(c, q^i), we obtain for all n
    6719             :    *  ((n+1)(n+2)-12) X[n+2] =  b2 X[n] + b4 delta_{n = 0}
    6720             :    *   + 6    \sum_{m = -1}^{n+1} X[m] X[n-m]
    6721             :    *   - (1/2)\sum_{m = -2}^{n+1} (n+m) m C[n-m]X[m].
    6722             :    * */
    6723           7 :   C = c+4;
    6724           7 :   X = x+4;
    6725           7 :   gel(X,-2) = gen_1;
    6726           7 :   gel(X,-1) = gmul2n(gel(C,-1), -1); /* n = -3, X[-1] = C[-1] / 2 */
    6727           7 :   b2 = ell_get_b2(e);
    6728           7 :   b4 = ell_get_b4(e);
    6729         112 :   for (n=-2; n <= prec-4; n++)
    6730             :   {
    6731         105 :     pari_sp av2 = avma;
    6732             :     GEN s1, s2, s3;
    6733         105 :     if (n != 2)
    6734             :     {
    6735          98 :       s3 = gmul(b2, gel(X,n));
    6736          98 :       if (!n) s3 = gadd(s3, b4);
    6737          98 :       s2 = gen_0;
    6738        1001 :       for (m=-2; m<=n+1; m++)
    6739         903 :         if (m) s2 = gadd(s2, gmulsg(m*(n+m), gmul(gel(X,m),gel(C,n-m))));
    6740          98 :       s2 = gmul2n(s2,-1);
    6741          98 :       s1 = gen_0;
    6742         476 :       for (m=-1; m+m < n; m++) s1 = gadd(s1, gmul(gel(X,m),gel(X,n-m)));
    6743          98 :       s1 = gmul2n(s1, 1);
    6744          98 :       if (m+m==n) s1 = gadd(s1, gsqr(gel(X,m)));
    6745             :       /* ( (n+1)(n+2) - 12 ) X[n+2] = (6 s1 + s3 - s2) */
    6746          98 :       s1 = gdivgs(gsub(gadd(gmulsg(6,s1),s3),s2), (n+2)*(n+1)-12);
    6747             :     }
    6748             :     else
    6749             :     {
    6750           7 :       GEN b6 = ell_get_b6(e);
    6751           7 :       GEN U = cgetg(9, t_SER);
    6752           7 :       U[1] = evalsigne(1) | _evalvalp(-2) | evalvarn(0);
    6753           7 :       gel(U,2) = gel(x,2);
    6754           7 :       gel(U,3) = gel(x,3);
    6755           7 :       gel(U,4) = gel(x,4);
    6756           7 :       gel(U,5) = gel(x,5);
    6757           7 :       gel(U,6) = gel(x,6);
    6758           7 :       gel(U,7) = gel(x,7);
    6759           7 :       gel(U,8) = gen_0; /* defined mod q^5 */
    6760             :       /* write x = U + x_4 q^4 + O(q^5) and expand original equation */
    6761           7 :       w = derivser(U); setvalp(w,-2); /* q X' */
    6762             :       /* 4X^3 + b2 U^2 + 2b4 U + b6 */
    6763           7 :       s1 = gadd(b6, gmul(U, gadd(gmul2n(b4,1), gmul(U,gadd(b2,gmul2n(U,2))))));
    6764             :       /* s2 = (qX')^2 - (4X^3 + b2 U^2 + 2b4 U + b6) = 28 x_4 + O(q) */
    6765           7 :       s2 = gsub(gmul(c,gsqr(w)), s1);
    6766           7 :       s1 = signe(s2)? gdivgs(gel(s2,2), 28): gen_0; /* = x_4 */
    6767             :     }
    6768         105 :     gel(X,n+2) = gerepileupto(av2, s1);
    6769             :   }
    6770           7 :   w = gmul(d,derivser(x)); setvalp(w, valp(w)+1);
    6771           7 :   w = gsub(w, ec_h_evalx(e,x));
    6772           7 :   c = cgetg(3,t_VEC);
    6773           7 :   gel(c,1) = gcopy(x);
    6774           7 :   gel(c,2) = gmul2n(w,-1); return gerepileupto(av, c);
    6775             : }
    6776             : 
    6777             : /********************************************************************/
    6778             : /**                                                                **/
    6779             : /**                       TORSION POINTS (over Q)                  **/
    6780             : /**                                                                **/
    6781             : /********************************************************************/
    6782             : static GEN
    6783       19285 : doellff_get_o(GEN E)
    6784             : {
    6785       19285 :   GEN G = ellff_get_group(E), d = (lg(G) == 1)? gen_1: gel(G,1);
    6786       19285 :   return mkvec2(d, Z_factor(d));
    6787             : }
    6788             : GEN
    6789       19824 : ellff_get_o(GEN E)
    6790       19824 : { return obj_checkbuild(E, FF_O, &doellff_get_o); }
    6791             : 
    6792             : static void
    6793         497 : RgE2_Fp_init(GEN E, GEN *pP, GEN *pQ, GEN *a4, GEN p)
    6794             : {
    6795         497 :   GEN e = ellff_get_a4a6(E);
    6796         497 :   *a4 = gel(e, 1);
    6797         497 :   *pP = FpE_changepointinv(RgE_to_FpE(*pP,p), gel(e,3), p);
    6798         497 :   *pQ = FpE_changepointinv(RgE_to_FpE(*pQ,p), gel(e,3), p);
    6799         497 : }
    6800             : GEN
    6801         140 : elllog(GEN E, GEN a, GEN g, GEN o)
    6802             : {
    6803         140 :   pari_sp av = avma;
    6804             :   GEN p;
    6805         140 :   checkell_Fq(E); checkellpt(a); checkellpt(g);
    6806         140 :   p = ellff_get_field(E);
    6807         140 :   if (!o) o = ellff_get_o(E);
    6808         140 :   if (typ(p)==t_FFELT) return FF_elllog(E, a, g, o);
    6809             :   else
    6810             :   {
    6811             :     GEN a4;
    6812          49 :     RgE2_Fp_init(E, &a, &g, &a4, p);
    6813          49 :     return gerepileuptoint(av, FpE_log(a, g, o, a4, p));
    6814             :   }
    6815             : }
    6816             : 
    6817             : GEN
    6818        5250 : ellweilpairing(GEN E, GEN P, GEN Q, GEN m)
    6819             : {
    6820             :   GEN p;
    6821        5250 :   checkell_Fq(E); checkellpt(P); checkellpt(Q);
    6822        5243 :   if (typ(m)!=t_INT) pari_err_TYPE("ellweilpairing",m);
    6823        5243 :   p = ellff_get_field(E);
    6824        5243 :   if (typ(p)==t_FFELT) return FF_ellweilpairing(E, P, Q, m);
    6825             :   else
    6826             :   {
    6827         245 :     pari_sp av = avma;
    6828             :     GEN w, a4;
    6829         245 :     RgE2_Fp_init(E, &P, &Q, &a4, p);
    6830         245 :     w = FpE_weilpairing(P, Q, m, a4, p);
    6831         245 :     return gerepileupto(av, Fp_to_mod(w, p));
    6832             :   }
    6833             : }
    6834             : 
    6835             : GEN
    6836         301 : elltatepairing(GEN E, GEN P, GEN Q, GEN m)
    6837             : {
    6838             :   GEN p;
    6839         301 :   checkell_Fq(E); checkellpt(P); checkellpt(Q);
    6840         301 :   if (typ(m)!=t_INT) pari_err_TYPE("elltatepairing",m);
    6841         301 :   p = ellff_get_field(E);
    6842         301 :   if (typ(p)==t_FFELT) return FF_elltatepairing(E, P, Q, m);
    6843             :   else
    6844             :   {
    6845         203 :     pari_sp av = avma;
    6846             :     GEN t, a4;
    6847         203 :     RgE2_Fp_init(E, &P, &Q, &a4, p);
    6848         203 :     t = FpE_tatepairing(P, Q, m, a4, p);
    6849         203 :     return gerepileupto(av, Fp_to_mod(t, p));
    6850             :   }
    6851             : }
    6852             : 
    6853             : /* E/Q or Qp, return cardinality including the (possible) ramified point */
    6854             : static GEN
    6855     2322469 : ellcard_ram(GEN E, GEN p, int *good_red)
    6856             : {
    6857     2322469 :   GEN a4, a6, D = Rg_to_Fp(ell_get_disc(E), p);
    6858     2322459 :   if (!signe(D))
    6859             :   {
    6860       97993 :     pari_sp av = avma;
    6861       97993 :     GEN ap = ellQap(E, p, good_red);
    6862       97993 :     return gerepileuptoint(av, subii(addiu(p,1), ap));
    6863             :   }
    6864     2224466 :   *good_red = 1;
    6865     2224466 :   if (absequaliu(p,2)) return utoi(cardmod2(E));
    6866     2223597 :   if (absequaliu(p,3)) return utoi(cardmod3(E));
    6867     2222716 :   ell_to_a4a6(E,p,&a4,&a6);
    6868     2222393 :   return Fp_ellcard(a4, a6, p);
    6869             : }
    6870             : 
    6871             : GEN
    6872     2476880 : ellap(GEN E, GEN p)
    6873             : {
    6874     2476880 :   pari_sp av = avma;
    6875             :   GEN q, card;
    6876             :   int goodred;
    6877     2476880 :   p = checkellp(&E, p, NULL, "ellap");
    6878     2476827 :   switch(ell_get_type(E))
    6879             :   {
    6880         112 :   case t_ELL_Fp:
    6881         112 :     q = p; card = ellff_get_card(E);
    6882         112 :     break;
    6883       54467 :   case t_ELL_Fq:
    6884       54467 :     q = FF_q(ellff_get_field(E)); card = ellff_get_card(E);
    6885       54467 :     break;
    6886     2322065 :   case t_ELL_Qp:
    6887             :   case t_ELL_Q:
    6888     2322065 :     q = p; card = ellcard_ram(E, p, &goodred);
    6889     2322129 :     break;
    6890      100177 :   case t_ELL_NF:
    6891      100177 :     return ellnfap(E, p, &goodred);
    6892           0 :   default:
    6893           0 :     pari_err_TYPE("ellap",E);
    6894             :     return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
    6895             :   }
    6896     2376708 :   return gerepileuptoint(av, subii(addiu(q,1), card));
    6897             : }
    6898             : 
    6899             : /* N.B. q > minq, then the list of potential orders in ellsea will not contain
    6900             :  * an ambiguity => oo-loop. E.g. ellsea(ellinit([1,519],523)) */
    6901             : GEN
    6902         126 : ellsea(GEN E, long smallfact)
    6903             : {
    6904         126 :   const ulong minq = 523;
    6905         126 :   checkell_Fq(E);
    6906         126 :   switch(ell_get_type(E))
    6907             :   {
    6908         112 :   case t_ELL_Fp:
    6909             :     {
    6910         112 :       GEN p = ellff_get_field(E), e = ellff_get_a4a6(E);
    6911         112 :       if (abscmpiu(p, minq) <= 0) return Fp_ellcard(gel(e,1), gel(e,2), p);
    6912         105 :       return Fp_ellcard_SEA(gel(e,1), gel(e,2), p, smallfact);
    6913             :     }
    6914          14 :   case t_ELL_Fq:
    6915             :     {
    6916          14 :       GEN fg = ellff_get_field(E);
    6917          14 :       if (abscmpiu(FF_p_i(fg), 7) <= 0 || abscmpiu(FF_q(fg), minq) <= 0)
    6918           0 :         return FF_ellcard(E);
    6919          14 :       return FF_ellcard_SEA(E, smallfact);
    6920             :     }
    6921             :   }
    6922             :   return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
    6923             : }
    6924             : 
    6925             : GEN
    6926      162553 : ellff_get_card(GEN E)
    6927      162553 : { return obj_checkbuild(E, FF_CARD, &doellcard); }
    6928             : 
    6929             : GEN
    6930       87072 : ellcard(GEN E, GEN p)
    6931             : {
    6932       87072 :   p = checkellp(&E, p, NULL, "ellcard");
    6933       87065 :   switch(ell_get_type(E))
    6934             :   {
    6935       86610 :   case t_ELL_Fp: case t_ELL_Fq:
    6936       86610 :     return icopy(ellff_get_card(E));
    6937         420 :   case t_ELL_Qp:
    6938             :   case t_ELL_Q:
    6939             :     {
    6940         420 :       pari_sp av = avma;
    6941             :       int goodred;
    6942         420 :       GEN N = ellcard_ram(E, p, &goodred);
    6943         420 :       if (!goodred) N = subiu(N, 1); /* remove singular point */
    6944         420 :       return gerepileuptoint(av, N);
    6945             :     }
    6946          35 :   case t_ELL_NF:
    6947             :     {
    6948          35 :       pari_sp av = avma;
    6949             :       int goodred;
    6950          35 :       GEN N = subii(pr_norm(p), ellnfap(E, p, &goodred));
    6951          35 :       if (goodred) N = addiu(N, 1);
    6952          35 :       return gerepileuptoint(av, N);
    6953             :     }
    6954           0 :   default:
    6955           0 :     pari_err_TYPE("ellcard",E);
    6956             :     return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
    6957             :   }
    6958             : }
    6959             : 
    6960             : /* assume model is p-minimal */
    6961             : static GEN
    6962       21917 : ellgroup_m(GEN E, GEN p, GEN *pm)
    6963             : {
    6964       21917 :   GEN a4, a6, N = ellcard(E, p); /* #E^ns(Fp) */
    6965       21917 :   *pm = gen_1;
    6966       21917 :   if (equali1(N)) return cgetg(1,t_VEC);
    6967       21917 :   if (absequaliu(p, 2)) return mkvec(N);
    6968       21917 :   if (absequaliu(p, 3))
    6969             :   { /* The only possible noncyclic group is [2,2] which happens 9 times */
    6970             :     ulong b2, b4, b6;
    6971           0 :     if (!absequaliu(N, 4)) return mkvec(N);
    6972             :     /* If the group is not cyclic, T = 4x^3 + b2 x^2 + 2b4 x + b6
    6973             :      * must have 3 roots else 1 root. Test T(0) = T(1) = 0 mod 3 */
    6974           0 :     b6 = Rg_to_Fl(ell_get_b6(E), 3);
    6975           0 :     if (b6) return mkvec(N);
    6976             :     /* b6 = T(0) = 0 mod 3. Test T(1) */
    6977           0 :     b2 = Rg_to_Fl(ell_get_b2(E), 3);
    6978           0 :     b4 = Rg_to_Fl(ell_get_b4(E), 3);
    6979           0 :     if ((1 + b2 + (b4<<1)) % 3) return mkvec(N);
    6980           0 :     return mkvec2s(2, 2);
    6981             :   } /* Now assume p > 3 */
    6982       21917 :   ell_to_a4a6(E, p, &a4,&a6);
    6983       21917 :   return Fp_ellgroup(a4,a6,N,p, pm);
    6984             : }
    6985             : 
    6986             : static GEN
    6987       40971 : doellGm(GEN E)
    6988             : {
    6989       40971 :   GEN fg = ellff_get_field(E);
    6990       40971 :   GEN m, G = (typ(fg) == t_FFELT)? FF_ellgroup(E, &m): ellgroup_m(E, fg, &m);
    6991       40971 :   return mkvec2(G, m);
    6992             : }
    6993             : static GEN
    6994       80493 : ellff_Gm(GEN E)
    6995       80493 : { return obj_checkbuild(E, FF_GROUP, &doellGm); }
    6996             : GEN
    6997       61810 : ellff_get_group(GEN E) { return gel(ellff_Gm(E), 1); }
    6998             : GEN
    6999       18683 : ellff_get_m(GEN E) { return gel(ellff_Gm(E), 2); }
    7000             : GEN
    7001       18683 : ellff_get_D(GEN E)
    7002             : {
    7003       18683 :   GEN G = ellff_get_group(E), o = ellff_get_o(E);
    7004       18683 :   switch(lg(G))
    7005             :   {
    7006          91 :     case 1: return G;
    7007       15876 :     case 2: return mkvec(o);
    7008        2716 :     default: return mkvec2(o, gel(G,2));
    7009             :   }
    7010             : }
    7011             : 
    7012             : /* E / Fp */
    7013             : static GEN
    7014       18683 : doellgens(GEN E)
    7015             : {
    7016       18683 :   GEN fg = ellff_get_field(E);
    7017       18683 :   if (typ(fg)==t_FFELT)
    7018       18109 :     return FF_ellgens(E);
    7019             :   else
    7020             :   {
    7021         574 :     GEN F, p = fg, e = ellff_get_a4a6(E);
    7022         574 :     F = Fp_ellgens(gel(e,1),gel(e,2),gel(e,3), ellff_get_D(E),ellff_get_m(E),p);
    7023         574 :     return FpVV_to_mod(F,p);
    7024             :   }
    7025             : }
    7026             : 
    7027             : GEN
    7028       18760 : ellff_get_gens(GEN E)
    7029       18760 : { return obj_checkbuild(E, FF_GROUPGEN, &doellgens); }
    7030             : 
    7031             : GEN
    7032       22323 : ellgroup(GEN E, GEN p)
    7033             : {
    7034       22323 :   pari_sp av = avma;
    7035             :   GEN m, G;
    7036       22323 :   p = checkellp(&E,p, NULL, "ellgroup");
    7037       22316 :   switch(ell_get_type(E))
    7038             :   {
    7039       21882 :     case t_ELL_Fp:
    7040       21882 :     case t_ELL_Fq: G = ellff_get_group(E); break;
    7041         392 :     case t_ELL_Qp:
    7042             :     case t_ELL_Q:
    7043         392 :       if (Z_pval(Q_numer(ell_get_disc(E)), p))
    7044             :       {
    7045          14 :         GEN Q = localred(E,p), kod = gel(Q,2);
    7046          14 :         E = ellchangecurve(E, gel(Q,3));
    7047          14 :         if (!equali1(kod)) { G = mkvec(ellcard(E,p)); break; }
    7048             :       }
    7049         378 :       G = ellgroup_m(E,p,&m); break;
    7050          42 :     case t_ELL_NF:
    7051          42 :       if (nfval(ellnf_get_nf(E), ell_get_disc(E), p))
    7052             :       {
    7053          21 :         GEN Q = nflocalred(E,p), kod = gel(Q,2);
    7054          21 :         E = ellchangecurve(E, gel(Q,3));
    7055          21 :         if (!equali1(kod)) { G = mkvec(ellcard(E,p)); break; }
    7056             :       }
    7057          28 :       E = ellinit(E, p, 0);
    7058          28 :       G = ellff_get_group(E);
    7059          28 :       G = gcopy(G); obj_free(E); break;
    7060           0 :     default:
    7061           0 :       pari_err_TYPE("ellgroup", E);
    7062             :       return NULL;/*LCOV_EXCL_LINE*/
    7063             :   }
    7064       22316 :   return gerepilecopy(av, G);
    7065             : }
    7066             : 
    7067             : GEN
    7068       21483 : ellgroup0(GEN E, GEN p, long flag)
    7069             : {
    7070       21483 :   pari_sp av = avma;
    7071       21483 :   long tE, freeE = 0;
    7072             :   GEN G;
    7073       21483 :   if (flag==0) return ellgroup(E, p);
    7074        1946 :   if (flag!=1) pari_err_FLAG("ellgroup");
    7075        1946 :   checkell(E); tE = ell_get_type(E);
    7076        1946 :   if (tE != t_ELL_Fp && tE != t_ELL_Fq)
    7077             :   {
    7078        1869 :     GEN Q = elllocalred(E, p), v = gel(Q,3), u = gel(v,1), kod = gel(Q,2);
    7079             :     long vu;
    7080        1862 :     switch(tE)
    7081             :     {
    7082          70 :       case t_ELL_Qp: p = ellQp_get_p(E);/*fall through*/
    7083        1841 :       case t_ELL_Q:  vu = Q_pval(u, p); break;
    7084          21 :       case t_ELL_NF: vu = nfval(ellnf_get_nf(E), u, p); break;
    7085           0 :       default: pari_err_TYPE("ellgroup", E); vu = 0;
    7086             :     }
    7087        1862 :     if (vu) pari_err_TYPE("ellgroup [not a p-minimal curve]",E);
    7088        1855 :     if (!equali1(kod)) /* bad reduction */
    7089             :     {
    7090          91 :       GEN Ep, T = NULL, q = p, ap = ellap(E,p);
    7091          91 :       if (typ(p) == t_INT)
    7092             :       {
    7093             :         long i;
    7094          70 :         Ep = obj_init(15, 4);
    7095         910 :         for (i = 1; i <= 12; i++) gel(Ep,i) = gel(E,i);
    7096             :       }
    7097             :       else
    7098             :       {
    7099          21 :         q = pr_norm(p);
    7100          21 :         Ep = initsmall5(ellnf_to_Fq(ellnf_get_nf(E), E, p, &p, &T), 4);
    7101             :       }
    7102          91 :       E = FF_ellinit(Ep, Tp_to_FF(T, p)); /* singular curve */
    7103          91 :       gel(E,14) = mkvecsmall(t_ELL_Fq);
    7104          91 :       obj_insert(E, FF_CARD, subii(q, ap));
    7105             :     }
    7106             :     else
    7107        1764 :       E = ellinit(E, p, 0);
    7108        1855 :     freeE = 1;
    7109             :   }
    7110        1932 :   G = mkvec3(ellff_get_card(E), ellff_get_group(E), ellff_get_gens(E));
    7111        1932 :   if (!freeE) return gerepilecopy(av, G);
    7112        1855 :   G = gcopy(G); obj_free(E); return gerepileupto(av, G);
    7113             : }
    7114             : 
    7115             : GEN
    7116       16842 : ellgenerators(GEN E)
    7117             : {
    7118       16842 :   checkell(E);
    7119       16842 :   switch(ell_get_type(E))
    7120             :   {
    7121           7 :     case t_ELL_Q:
    7122           7 :       return obj_checkbuild(E, Q_GROUPGEN, &elldatagenerators);
    7123       16828 :     case t_ELL_Fp: case t_ELL_Fq:
    7124       16828 :       return gcopy(ellff_get_gens(E));
    7125           7 :     default:
    7126           7 :       pari_err_TYPE("ellgenerators",E);
    7127             :       return NULL;/*LCOV_EXCL_LINE*/
    7128             :   }
    7129             : }
    7130             : 
    7131             : /* char != 2,3, j != 0, 1728 */
    7132             : static GEN
    7133       22596 : ellfromj_simple(GEN j)
    7134             : {
    7135       22596 :   pari_sp av = avma;
    7136       22596 :   GEN k = gsubsg(1728,j), kj = gmul(k, j), k2j = gmul(kj, k);
    7137       22596 :   GEN E = zerovec(5);
    7138       22596 :   gel(E,4) = gmulsg(3,kj);
    7139       22596 :   gel(E,5) = gmulsg(2,k2j); return gerepileupto(av, E);
    7140             : }
    7141             : GEN
    7142       33887 : ellfromj(GEN j)
    7143             : {
    7144       33887 :   GEN T = NULL, p = typ(j)==t_FFELT? FF_p_i(j): NULL;
    7145             :   /* trick: use j^0 to get 1 in the proper base field */
    7146       33887 :   if ((p || (Rg_is_FpXQ(j,&T,&p) && p)) && lgefint(p) == 3) switch(p[2])
    7147             :   {
    7148        3549 :     case 2:
    7149        3549 :       if (gequal0(j))
    7150           7 :         retmkvec5(gen_0,gen_0, gpowgs(j,0), gen_0,gen_0);
    7151             :       else
    7152        3542 :         retmkvec5(gpowgs(j,0),gen_0,gen_0, gen_0,ginv(j));
    7153        7651 :     case 3:
    7154        7651 :       if (gequal0(j))
    7155          21 :         retmkvec5(gen_0,gen_0,gen_0, gpowgs(j,0), gen_0);
    7156             :       else
    7157             :       {
    7158        7630 :         GEN E = zerovec(5);
    7159        7630 :         pari_sp av = avma;
    7160        7630 :         gel(E,5) = gerepileupto(av, gneg(gsqr(j)));
    7161        7630 :         gel(E,2) = gcopy(j);
    7162        7630 :         return E;
    7163             :       }
    7164             :   }
    7165       22687 :   if (gequal0(j)) retmkvec5(gen_0,gen_0,gen_0,gen_0, gpowgs(j,0));
    7166       22659 :   if (gequalgs(j,1728)) retmkvec5(gen_0,gen_0,gen_0, gpowgs(j,0), gen_0);
    7167       22596 :   return ellfromj_simple(j);
    7168             : }
    7169             : 
    7170             : /********************************************************************/
    7171             : /**                                                                **/
    7172             : /**                       IS SUPERSINGULAR                         **/
    7173             : /**                                                                **/
    7174             : /********************************************************************/
    7175             : 
    7176             : int
    7177      164703 : elljissupersingular(GEN x)
    7178             : {
    7179      164703 :   pari_sp av = avma;
    7180             :   int res;
    7181             : 
    7182      164703 :   if (typ(x) == t_INTMOD) {
    7183         497 :     GEN p = gel(x, 1);
    7184         497 :     GEN j = gel(x, 2);
    7185         497 :     res = Fp_elljissupersingular(j, p);
    7186      164206 :   } else if (typ(x) == t_FFELT) {
    7187      164199 :     GEN j = FF_to_FpXQ_i(x);
    7188      164199 :     GEN p = FF_p_i(x);
    7189      164199 :     GEN T = FF_mod(x);
    7190      164199 :     res = FpXQ_elljissupersingular(j, T, p);
    7191             :   } else {
    7192           7 :     pari_err_TYPE("elljissupersingular", x);
    7193             :     return 0; /*LCOV_EXCL_LINE*/
    7194             :   }
    7195      164696 :   set_avma(av);
    7196      164696 :   return res;
    7197             : }
    7198             : 
    7199             : int
    7200      164913 : ellissupersingular(GEN E, GEN p)
    7201             : {
    7202             :   pari_sp av;
    7203             :   GEN j;
    7204      164913 :   if (typ(E)!=t_VEC && !p) return elljissupersingular(E);
    7205       17010 :   p = checkellp(&E, p, NULL, "ellissupersingular");
    7206       16996 :   j = ell_get_j(E);
    7207       16996 :   switch(ell_get_type(E))
    7208             :   {
    7209       16800 :   case t_ELL_Fp:
    7210             :   case t_ELL_Fq:
    7211       16800 :     return elljissupersingular(j);
    7212          56 :   case t_ELL_Qp:
    7213             :   case t_ELL_Q:
    7214          56 :     if (typ(j)==t_FRAC && dvdii(gel(j,2), p)) return 0;
    7215          21 :     av = avma;
    7216          21 :     return gc_bool(av, Fp_elljissupersingular(Rg_to_Fp(j,p), p));
    7217         140 :   case t_ELL_NF:
    7218             :     {
    7219         140 :       GEN modP, T, nf = ellnf_get_nf(E), pr = p;
    7220             :       int res;
    7221         140 :       av = avma;
    7222         140 :       j = nf_to_scalar_or_basis(nf, j);
    7223         140 :       if (dvdii(Q_denom(j), pr_get_p(pr)))
    7224             :       {
    7225          14 :         if (typ(j) == t_FRAC || nfval(nf, j, pr) < 0) return 0;
    7226           0 :         modP = nf_to_Fq_init(nf,&pr,&T,&p);
    7227             :       }
    7228             :       else
    7229         126 :         modP = zk_to_Fq_init(nf,&pr,&T,&p);
    7230         126 :       j = nf_to_Fq(nf, j, modP);
    7231         126 :       if (typ(j) == t_INT)
    7232          98 :         res = Fp_elljissupersingular(j, p);
    7233             :       else
    7234          28 :         res = FpXQ_elljissupersingular(j, T, p);
    7235         126 :       return gc_bool(av, res);
    7236             :     }
    7237           0 :   default:
    7238           0 :     pari_err_TYPE("ellissupersingular",E);
    7239             :   }
    7240             :   return 0; /*LCOV_EXCL_LINE*/
    7241             : }
    7242             : 
    7243             : /* n <= 4, N is the characteristic of the base ring or NULL (char 0) */
    7244             : static GEN
    7245        6377 : elldivpol4(GEN e, GEN N, long n, long v)
    7246             : {
    7247             :   GEN b2,b4,b6,b8, res;
    7248        6377 :   if (n==0) return pol_0(v);
    7249        6377 :   if (n<=2) return N? scalarpol_shallow(mkintmod(gen_1,N),v): pol_1(v);
    7250        1680 :   b2 = ell_get_b2(e); b4 = ell_get_b4(e);
    7251        1680 :   b6 = ell_get_b6(e); b8 = ell_get_b8(e);
    7252        1680 :   if (n==3)
    7253         812 :     res = mkpoln(5, N? modsi(3,N): utoi(3),b2,gmulsg(3,b4),gmulsg(3,b6),b8);
    7254             :   else
    7255             :   {
    7256         868 :     GEN b10 = gsub(gmul(b2, b8), gmul(b4, b6));
    7257         868 :     GEN b12 = gsub(gmul(b8, b4), gsqr(b6));
    7258         868 :     res = mkpoln(7, N? modsi(2,N): gen_2,b2,gmulsg(5,b4),gmulsg(10,b6),gmulsg(10,b8),b10,b12);
    7259             :   }
    7260        1680 :   setvarn(res, v); return res;
    7261             : }
    7262             : 
    7263             : /* T = (2y + a1x + a3)^4 modulo the curve equation. Store elldivpol(e,n,v)
    7264             :  * in t[n]. N is the caracteristic of the base ring or NULL (char 0) */
    7265             : static GEN
    7266        5152 : elldivpol0(GEN e, GEN t, GEN N, GEN T, long n, long v)
    7267             : {
    7268             :   GEN ret;
    7269        5152 :   long m = n/2;
    7270        5152 :   if (gel(t,n)) return gel(t,n);
    7271        3115 :   if (n<=4) ret = elldivpol4(e, N, n, v);
    7272         896 :   else if (odd(n))
    7273             :   {
    7274         518 :     GEN t1 = RgX_mul(elldivpol0(e,t,N,T,m+2,v),
    7275             :                      gpowgs(elldivpol0(e,t,N,T,m,v),3));
    7276         518 :     GEN t2 = RgX_mul(elldivpol0(e,t,N,T,m-1,v),
    7277             :                      gpowgs(elldivpol0(e,t,N,T,m+1,v),3));
    7278         518 :     if (odd(m))/*f_{4l+3} = f_{2l+3}f_{2l+1}^3 - T f_{2l}f_{2l+2}^3, m=2l+1*/
    7279          91 :       ret = RgX_sub(t1, RgX_mul(T,t2));
    7280             :     else       /*f_{4l+1} = T f_{2l+2}f_{2l}^3 - f_{2l-1}f_{2l+1}^3, m=2l*/
    7281         427 :       ret = RgX_sub(RgX_mul(T,t1), t2);
    7282             :   }
    7283             :   else
    7284             :   { /* f_2m = f_m(f_{m+2}f_{m-1}^2 - f_{m-2}f_{m+1}^2) */
    7285         378 :     GEN t1 = RgX_mul(elldivpol0(e,t,N,T,m+2,v),
    7286             :                      RgX_sqr(elldivpol0(e,t,N,T,m-1,v)));
    7287         378 :     GEN t2 = RgX_mul(elldivpol0(e,t,N,T,m-2,v),
    7288             :                      RgX_sqr(elldivpol0(e,t,N,T,m+1,v)));
    7289         378 :     ret = RgX_mul(elldivpol0(e,t,N,T,m,v), RgX_sub(t1,t2));
    7290             :   }
    7291        3115 :   gel(t,n) = ret;
    7292        3115 :   return ret;
    7293             : }
    7294             : 
    7295             : GEN
    7296        4466 : elldivpol(GEN e, long n0, long v)
    7297             : {
    7298        4466 :   pari_sp av = avma;
    7299             :   GEN f, D, N;
    7300        4466 :   long n = labs(n0);
    7301             : 
    7302        4466 :   checkell(e); D = ell_get_disc(e);
    7303        4466 :   if (v < 0) v = 0;
    7304        4466 :   if (varncmp(gvar(D), v) <= 0) pari_err_PRIORITY("elldivpol", e, "<=", v);
    7305        4466 :   N = characteristic(D); if (!signe(N)) N = NULL;
    7306        4466 :   if (n==1 || n==3)
    7307         224 :     f = elldivpol4(e, N, n, v);
    7308             :   else
    7309             :   {
    7310        4242 :     GEN d2 = ec_bmodel(e); /* (2y + a1x + a3)^2 mod E */
    7311        4242 :     setvarn(d2,v);
    7312        4242 :     if (N && !mod2(N)) { gel(d2,5) = modsi(4,N); d2 = normalizepol(d2); }
    7313        4242 :     if (n <= 4)
    7314        3934 :       f = elldivpol4(e, N, n, v);
    7315             :     else
    7316         308 :       f = elldivpol0(e, const_vec(n,NULL), N,RgX_sqr(d2), n, v);
    7317        4242 :     if (n%2==0) f = RgX_mul(f, d2);
    7318             :   }
    7319        4466 :   if (n0 < 0) return gerepileupto(av, RgX_neg(f));
    7320        4445 :   return gerepilecopy(av, f);
    7321             : }
    7322             : 
    7323             : /* return [phi_n, (psi_n)^2] such that x[nP] = phi_n / (psi_n)^2 */
    7324             : GEN
    7325         427 : ellxn(GEN e, long n, long v)
    7326             : {
    7327         427 :   pari_sp av = avma;
    7328             :   GEN d2, D, N, A, B;
    7329         427 :   checkell(e); D = ell_get_disc(e);
    7330         427 :   if (v==-1) v = 0;
    7331         427 :   if (varncmp(gvar(D), v) <= 0) pari_err_PRIORITY("elldivpol", e, "<=", v);
    7332         427 :   N = characteristic(D);
    7333         427 :   if (!signe(N)) N = NULL;
    7334         427 :   if (n < 0) n = -n;
    7335         427 :   d2 = ec_bmodel(e); /* (2y + a1x + 3)^2 mod E */
    7336         427 :   setvarn(d2,v);
    7337         427 :   if (N && !mod2(N)) { gel(d2,5) = modsi(4,N); d2 = normalizepol(d2); }
    7338         427 :   if (n == 0)
    7339             :   {
    7340           7 :     A = pol_0(v);
    7341           7 :     B = pol_0(v);
    7342             :   }
    7343         420 :   else if (n == 1)
    7344             :   {
    7345           7 :     A = pol_1(v);
    7346           7 :     B = pol_x(v);
    7347             :   }
    7348         413 :   else if (n == 2)
    7349             :   {
    7350         119 :     A = d2;
    7351         119 :     B = ec_phi2(e);
    7352         119 :     setvarn(B,v);
    7353             :   }
    7354             :   else
    7355             :   {
    7356         294 :     GEN t = const_vec(n+1,NULL), T = RgX_sqr(d2);
    7357         294 :     GEN f = elldivpol0(e, t, N, T, n, v); /* f_n / d2^(n odd)*/
    7358         294 :     GEN g = elldivpol0(e, t, N, T, n-1, v); /* f_{n-1} / d2^(n even) */
    7359         294 :     GEN h = elldivpol0(e, t, N, T, n+1, v); /* f_{n+1} / d2^(n even) */
    7360         294 :     GEN f2 = RgX_sqr(f), u = RgX_mul(g,h);
    7361         294 :     if (!odd(n))
    7362           7 :       A = RgX_mul(f2, d2);
    7363             :     else
    7364         287 :     { A = f2; u = RgX_mul(u,d2); }
    7365             :     /* A = psi_n^2, u = psi_{n-1} psi_{n+1} */
    7366         294 :     B = RgX_sub(RgX_shift(A,1), u);
    7367             :   }
    7368         427 :   return gerepilecopy(av, mkvec2(B,A));
    7369             : }
    7370             : 
    7371             : /* l and p primes; p = 1 mod l; return an element of order l in (Z/pZ)^* */
    7372             : static ulong
    7373        2198 : ltors_Fl(ulong l, ulong p)
    7374             : {
    7375        2198 :   ulong x, y, r = (p-1)/l;
    7376        3374 :   for (x = 2;; x++) { y = Fl_powu(x, r, p); if (y != 1) return y; }
    7377             : }
    7378             : 
    7379             : /* Assume that l|o but p!=1 [l] so r_l E(F_p) = 1 */
    7380             : static void
    7381        7980 : FljV_vecsat_Siksek(GEN E, GEN P, ulong o, ulong l, ulong a4, ulong a6, ulong p,
    7382             :                    GEN S, long *m)
    7383             : {
    7384        7980 :   long i, n = lg(P)-1;
    7385        7980 :   GEN a4a6, g, F, v = zero_zv(n);
    7386        7980 :   pari_sp av = avma;
    7387        7980 :   ulong q = o / l;
    7388             : 
    7389        7980 :   F = mkmat2(mkcols(l), mkcols(1));
    7390        7980 :   a4a6 = a4a6_ch_Fl(E, p);
    7391        7980 :   g = gel(Fl_ellptors(l, o, a4, a6, p), 1);
    7392       58737 :   for (i=1; i <= n; i++)
    7393             :   {
    7394       50757 :     GEN Q = Fle_changepointinv(Flj_to_Fle(gel(P,i), p), a4a6, p);
    7395       50757 :     if (!ell_is_inf(Q))
    7396       50428 :       v[i] = itou(Fle_log(Fle_mulu(Q, q, a4, p), g, F, a4, p));
    7397             :   }
    7398        7980 :   gel(S,(*m)++) = v;
    7399        7980 :   set_avma(av);
    7400        7980 : }
    7401             : 
    7402             : /* Assume that l|o and p=1 [l] so r_l E(F_p) = 1 or 2 */
    7403             : static void
    7404        2198 : FljV_vecsat_Prickett(GEN E, GEN P, ulong o, ulong l, ulong a4, ulong a6,
    7405             :                      ulong p, GEN S, long *m)
    7406             : {
    7407        2198 :   long i, n = lg(P)-1;
    7408        2198 :   GEN a4a6, G, G1, G2, v = zero_zv(n), w = zero_zv(n);
    7409        2198 :   ulong g = ltors_Fl(l, p), q = (p-1)/l;
    7410        2198 :   pari_sp av = avma;
    7411             : 
    7412        2198 :   a4a6 = a4a6_ch_Fl(E, p);
    7413        2198 :   G = Fl_ellptors(l, o, a4, a6, p);
    7414        2198 :   G1 = gel(G,1);
    7415        2198 :   G2 = lg(G)==3 ? gel(G, 2): NULL;
    7416       13041 :   for (i = 1; i <= n; i++)
    7417             :   {
    7418       10843 :     GEN Q = Fle_changepointinv(Flj_to_Fle(gel(P,i), p), a4a6, p);
    7419       10843 :     if (!ell_is_inf(Q))
    7420             :     {
    7421       10514 :       ulong u = Fl_powu(Fle_tatepairing(G1, Q, l, a4, p), q, p);
    7422       10514 :       v[i] = Fl_log(u, g, l, p);
    7423       10514 :       if (G2)
    7424             :       {
    7425        2352 :         ulong u = Fl_powu(Fle_tatepairing(G2, Q, l, a4, p), q, p);
    7426        2352 :         w[i] = Fl_log(u, g, l, p);
    7427             :       }
    7428             :     }
    7429             :   }
    7430        2198 :   gel(S,(*m)++) = v;
    7431        2198 :   if (G2 && *m < lg(S)) gel(S,(*m)++) = w;
    7432        2198 :   set_avma(av);
    7433        2198 : }
    7434             : 
    7435             : static void
    7436       10178 : FljV_vecsat(GEN E, GEN P, ulong o, ulong l, ulong a4, ulong a6, ulong p,
    7437             :             GEN S, long *m)
    7438             : {
    7439       10178 :   P = ZM_to_Flm(P, p);
    7440       10178 :   if (p % l == 1)
    7441        2198 :     FljV_vecsat_Prickett(E, P, o, l, a4, a6, p, S, m);
    7442             :   else
    7443        7980 :     FljV_vecsat_Siksek(E, P, o, l, a4, a6, p, S, m);
    7444       10178 : }
    7445             : 
    7446             : /* P a vector of points in E(Q), return a linear map M from the abelian group
    7447             :  * they generate to Z/lZ; sum x[i] P[i] is l-divisible => x M = 0 */
    7448             : static GEN
    7449        1162 : ellsatp_mat(hashtable *h, GEN E, long CM, GEN P, ulong l)
    7450             : {
    7451        1162 :   long m = 1, nb = lg(P)-1 + 25 / log2(l) - 1; /* error ~ 2^{-25} */
    7452        1162 :   GEN D = ell_get_disc(E), M = cgetg(nb+1, t_MAT);
    7453             :   forprime_t S;
    7454             : 
    7455        1162 :   P = QEV_to_ZJV(P);
    7456        1162 :   (void)u_forprime_init(&S, 5, ULONG_MAX);
    7457      323932 :   while (m <= nb)
    7458             :   {
    7459      322770 :     ulong a4, a6, p = u_forprime_next(&S);
    7460             :     long o;
    7461      322770 :     if (dvdiu(D, p)) continue;
    7462      318031 :     Fl_ell_to_a4a6(E, p, &a4, &a6);
    7463      318031 :     if (!hash_haskey_long(h, (void*)p, &o))
    7464             :     {
    7465       34797 :       o = p+1 - Fl_elltrace_CM(CM, a4, a6, p);
    7466       34797 :       hash_insert_long(h,(void*)p, o);
    7467             :     }
    7468      318031 :     if (o % l == 0) FljV_vecsat(E, P, o, l, a4, a6, p, M, &m);
    7469             :   }
    7470        1162 :   return M;
    7471             : }
    7472             : 
    7473             : INLINE long
    7474         112 : Flv_firstnonzero(GEN v)
    7475             : {
    7476         112 :   long i, l = lg(v);
    7477         112 :   for (i = 1; i < l; i++)
    7478         112 :     if (v[i]) break;
    7479         112 :   return i;
    7480             : }
    7481             : 
    7482             : /* update M in place */
    7483             : static GEN
    7484        1162 : ellsatp(hashtable *hh, GEN E, long CM, GEN T, GEN H, GEN M, ulong l, GEN *xl,
    7485             :         long vxl, long prec)
    7486             : {
    7487        1162 :   GEN P = T ? shallowconcat(H, T): H;
    7488        1162 :   GEN S = ellsatp_mat(hh, E, CM, P, l); /* fill hh */
    7489        1162 :   pari_sp av = avma;
    7490        1162 :   GEN K = Flm_ker(Flm_transpose(S), l);
    7491        1162 :   long i, lK = lg(K), nH = lg(H)-1;
    7492             : 
    7493        1162 :   if (lK==1) return gc_NULL(av);
    7494         112 :   if (DEBUGLEVEL >= 3)
    7495           0 :     err_printf("ellsat: potential factor %lu, dim Ker = %ld\n",l,lK-1);
    7496             :   /* Mazur bound for torsion of isogenous curves */
    7497         112 :   if (!*xl && l <= 7) *xl = ellxn(E, l, vxl);
    7498         112 :   for (i = 1; i < lK; i++)
    7499             :   {
    7500         112 :     GEN ki = gel(K,i), Ki, h, R;
    7501         112 :     long f = Flv_firstnonzero(ki);
    7502             : 
    7503             :     /* for T != NULL: avoid solving for [p]Q = R when R is p-torsion */
    7504         112 :     if (f > nH) continue;
    7505         112 :     if (ki[f] != 1) ki = Flv_Fl_div(ki, ki[f], l);
    7506         112 :     Ki = zv_to_ZV(Flv_center(ki, l, l >> 1));
    7507         112 :     h = qfeval(M, T? vecslice(Ki, 1, nH): Ki);
    7508         112 :     if (*xl)
    7509             :     {
    7510          98 :       GEN Q = ellQ_factorback(E, P, Ki, 1, h, prec);
    7511          98 :       if (ellisdivisible(E, Q, *xl, &R)) h = gdiv(h, sqru(l)); else R = NULL;
    7512             :     }
    7513             :     else
    7514             :     {
    7515          14 :       h = gdiv(h, sqru(l));
    7516          14 :       R = ellQ_factorback(E, P, Ki, l, h, prec);
    7517             :     }
    7518         112 :     if (DEBUGLEVEL >= 2)
    7519           0 :       err_printf("ellsat: %s divisible by %lu\n", R? "": "not", l);
    7520         112 :     if (!R)
    7521             :     {
    7522           0 :       if (lK == 2) break;
    7523         112 :       return l > 7? gc_const(av,H): H; /* fail: return and retry */
    7524             :     }
    7525         112 :     gcoeff(M, f, f) = h;
    7526         462 :     for (i = 1; i <= nH; i++)
    7527         350 :       if (i != f) gcoeff(M, f, i) = gdivgs(RgV_dotproduct(gel(M,i), Ki), l);
    7528         462 :     for (i = 1; i <= nH; i++) gcoeff(M, i, f) = gcoeff(M, f, i);
    7529         112 :     gel(H,f) = R; return H; /* found l-divisible point: return new lattice */
    7530             :   }
    7531           0 :   return gc_NULL(av); /* l-saturated */
    7532             : }
    7533             : 
    7534             : static GEN
    7535          42 : ellQ_saturation(GEN E, GEN P, long B, long prec)
    7536             : {
    7537             :   forprime_t S;
    7538          42 :   GEN M = ellheightmatrix(E, P, prec);
    7539          42 :   long CM = ellQ_get_CM(E), w = fetch_var_higher();
    7540             :   hashtable h;
    7541             :   ulong p;
    7542             : 
    7543          42 :   hash_init_ulong(&h, 16, 1);
    7544          42 :   (void)u_forprime_init(&S, 2, B);
    7545          42 :   P = leafcopy(P); /* modified in place by ellsatp */
    7546        1092 :   while((p = u_forprime_next(&S)))
    7547             :   {
    7548        1050 :     GEN xp = NULL, T = gel(elltors_psylow(E, p), 3);
    7549        1050 :     if (lg(T)==1) T = NULL;
    7550             :     while (1)
    7551         112 :     {
    7552        1162 :       GEN Q = ellsatp(&h, E, CM, T, P, M, p, &xp, w, prec);
    7553        1162 :       if (!Q) break;
    7554         112 :       P = Q;
    7555             :     }
    7556             :   }
    7557          42 :   return ellQ_genreduce(E, P, M, prec);
    7558             : }
    7559             : 
    7560             : GEN
    7561          42 : ellsaturation(GEN E, GEN P, long B, long prec)
    7562             : {
    7563          42 :   pari_sp av = avma;
    7564             :   GEN urst;
    7565             : 
    7566          42 :   if (lg(P) == 1) return cgetg(1, t_VEC);
    7567          42 :   E = ellminimalmodel(E, &urst);
    7568          42 :   if (is_trivial_change(urst)) urst = NULL;
    7569          42 :   if (urst) P = ellchangepoint(P, urst);
    7570          42 :   P = ellQ_saturation(E, P, B, prec);
    7571          42 :   if (urst) P = ellchangepoint(P, ellchangeinvert(urst));
    7572          42 :   obj_free(E); return gerepilecopy(av, P);
    7573             : }
    7574             : 

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