Code coverage tests

This page documents the degree to which the PARI/GP source code is tested by our public test suite, distributed with the source distribution in directory src/test/. This is measured by the gcov utility; we then process gcov output using the lcov frond-end.

We test a few variants depending on Configure flags on the pari.math.u-bordeaux.fr machine (x86_64 architecture), and agregate them in the final report:

The target is to exceed 90% coverage for all mathematical modules (given that branches depending on DEBUGLEVEL or DEBUGMEM are not covered). This script is run to produce the results below.

LCOV - code coverage report
Current view: top level - basemath - alglin2.c (source / functions) Hit Total Coverage
Test: PARI/GP v2.16.2 lcov report (development 29375-be3334fb81) Lines: 1061 1174 90.4 %
Date: 2024-05-27 08:09:39 Functions: 85 91 93.4 %
Legend: Lines: hit not hit

          Line data    Source code
       1             : /* Copyright (C) 2000  The PARI group.
       2             : 
       3             : This file is part of the PARI/GP package.
       4             : 
       5             : PARI/GP is free software; you can redistribute it and/or modify it under the
       6             : terms of the GNU General Public License as published by the Free Software
       7             : Foundation; either version 2 of the License, or (at your option) any later
       8             : version. It is distributed in the hope that it will be useful, but WITHOUT
       9             : ANY WARRANTY WHATSOEVER.
      10             : 
      11             : Check the License for details. You should have received a copy of it, along
      12             : with the package; see the file 'COPYING'. If not, write to the Free Software
      13             : Foundation, Inc., 51 Franklin Street, Fifth Floor, Boston, MA 02110-1301 USA. */
      14             : 
      15             : /********************************************************************/
      16             : /**                                                                **/
      17             : /**                         LINEAR ALGEBRA                         **/
      18             : /**                         (second part)                          **/
      19             : /**                                                                **/
      20             : /********************************************************************/
      21             : #include "pari.h"
      22             : #include "paripriv.h"
      23             : 
      24             : #define DEBUGLEVEL DEBUGLEVEL_mat
      25             : 
      26             : /*******************************************************************/
      27             : /*                                                                 */
      28             : /*                   CHARACTERISTIC POLYNOMIAL                     */
      29             : /*                                                                 */
      30             : /*******************************************************************/
      31             : 
      32             : static GEN
      33       23956 : Flm_charpoly_i(GEN x, ulong p)
      34             : {
      35       23956 :   long lx = lg(x), r, i;
      36       23956 :   GEN H, y = cgetg(lx+1, t_VEC);
      37       23956 :   gel(y,1) = pol1_Flx(0); H = Flm_hess(x, p);
      38      155542 :   for (r = 1; r < lx; r++)
      39             :   {
      40      131586 :     pari_sp av2 = avma;
      41      131586 :     ulong a = 1;
      42      131586 :     GEN z, b = zero_Flx(0);
      43      392043 :     for (i = r-1; i; i--)
      44             :     {
      45      313933 :       a = Fl_mul(a, ucoeff(H,i+1,i), p);
      46      313912 :       if (!a) break;
      47      260439 :       b = Flx_add(b, Flx_Fl_mul(gel(y,i), Fl_mul(a,ucoeff(H,i,r),p), p), p);
      48             :     }
      49      131588 :     z = Flx_sub(Flx_shift(gel(y,r), 1),
      50      131583 :                 Flx_Fl_mul(gel(y,r), ucoeff(H,r,r), p), p);
      51             :     /* (X - H[r,r])y[r] - b */
      52      131588 :     gel(y,r+1) = gerepileuptoleaf(av2, Flx_sub(z, b, p));
      53             :   }
      54       23956 :   return gel(y,lx);
      55             : }
      56             : 
      57             : GEN
      58        2005 : Flm_charpoly(GEN x, ulong p)
      59             : {
      60        2005 :   pari_sp av = avma;
      61        2005 :   return gerepileuptoleaf(av, Flm_charpoly_i(x,p));
      62             : }
      63             : 
      64             : GEN
      65       19292 : FpM_charpoly(GEN x, GEN p)
      66             : {
      67       19292 :   pari_sp av = avma;
      68             :   long lx, r, i;
      69             :   GEN y, H;
      70             : 
      71       19292 :   if (lgefint(p) == 3)
      72             :   {
      73       18507 :     ulong pp = p[2];
      74       18507 :     y = Flx_to_ZX(Flm_charpoly_i(ZM_to_Flm(x,pp), pp));
      75       18507 :     return gerepileupto(av, y);
      76             :   }
      77         785 :   lx = lg(x); y = cgetg(lx+1, t_VEC);
      78         785 :   gel(y,1) = pol_1(0); H = FpM_hess(x, p);
      79        4153 :   for (r = 1; r < lx; r++)
      80             :   {
      81        4153 :     pari_sp av2 = avma;
      82        4153 :     GEN z, a = gen_1, b = pol_0(0);
      83        9376 :     for (i = r-1; i; i--)
      84             :     {
      85        7064 :       a = Fp_mul(a, gcoeff(H,i+1,i), p);
      86        7064 :       if (!signe(a)) break;
      87        5223 :       b = ZX_add(b, ZX_Z_mul(gel(y,i), Fp_mul(a,gcoeff(H,i,r),p)));
      88             :     }
      89        4153 :     b = FpX_red(b, p);
      90        4153 :     z = FpX_sub(RgX_shift_shallow(gel(y,r), 1),
      91        4153 :                 FpX_Fp_mul(gel(y,r), gcoeff(H,r,r), p), p);
      92        4153 :     z = FpX_sub(z,b,p);
      93        4153 :     if (r+1 == lx) { gel(y,lx) = z; break; }
      94        3368 :     gel(y,r+1) = gerepileupto(av2, z); /* (X - H[r,r])y[r] - b */
      95             :   }
      96         785 :   return gerepileupto(av, gel(y,lx));
      97             : }
      98             : 
      99             : GEN
     100         539 : charpoly0(GEN x, long v, long flag)
     101             : {
     102         539 :   if (v<0) v = 0;
     103         539 :   switch(flag)
     104             :   {
     105          14 :     case 0: return caradj(x,v,NULL);
     106          14 :     case 1: return caract(x,v);
     107          14 :     case 2: return carhess(x,v);
     108          14 :     case 3: return carberkowitz(x,v);
     109           7 :     case 4:
     110           7 :       if (typ(x) != t_MAT) pari_err_TYPE("charpoly",x);
     111           7 :       RgM_check_ZM(x, "charpoly");
     112           7 :       x = ZM_charpoly(x); setvarn(x, v); return x;
     113         476 :     case 5:
     114         476 :       return charpoly(x, v);
     115             :   }
     116           0 :   pari_err_FLAG("charpoly");
     117             :   return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
     118             : }
     119             : 
     120             : /* (v - x)^d */
     121             : static GEN
     122          42 : caract_const(pari_sp av, GEN x, long v, long d)
     123          42 : { return gerepileupto(av, gpowgs(deg1pol_shallow(gen_1, gneg_i(x), v), d)); }
     124             : 
     125             : /* characteristic pol. Easy cases. Return NULL in case it's not so easy. */
     126             : static GEN
     127        5324 : easychar(GEN x, long v)
     128             : {
     129             :   pari_sp av;
     130             :   long lx;
     131             :   GEN p1;
     132             : 
     133        5324 :   switch(typ(x))
     134             :   {
     135          35 :     case t_INT: case t_REAL: case t_INTMOD:
     136             :     case t_FRAC: case t_PADIC:
     137          35 :       p1=cgetg(4,t_POL);
     138          35 :       p1[1]=evalsigne(1) | evalvarn(v);
     139          35 :       gel(p1,2) = gneg(x); gel(p1,3) = gen_1;
     140          35 :       return p1;
     141             : 
     142          14 :     case t_COMPLEX: case t_QUAD:
     143          14 :       p1 = cgetg(5,t_POL);
     144          14 :       p1[1] = evalsigne(1) | evalvarn(v);
     145          14 :       gel(p1,2) = gnorm(x); av = avma;
     146          14 :       gel(p1,3) = gerepileupto(av, gneg(gtrace(x)));
     147          14 :       gel(p1,4) = gen_1; return p1;
     148             : 
     149          28 :     case t_FFELT: {
     150          28 :       pari_sp ltop=avma;
     151          28 :       p1 = FpX_to_mod(FF_charpoly(x), FF_p_i(x));
     152          28 :       setvarn(p1,v); return gerepileupto(ltop,p1);
     153             :     }
     154             : 
     155         119 :     case t_POLMOD:
     156             :     {
     157         119 :       GEN A = gel(x,2), T = gel(x,1);
     158             :       long vx, vp;
     159         119 :       if (typ(A) != t_POL) return caract_const(avma, A, v, degpol(T));
     160          84 :       vx = varn(A);
     161          84 :       vp = varn(T);
     162          84 :       if (varncmp(vx, vp) > 0) return caract_const(avma, A, v, degpol(T));
     163          77 :       if (varncmp(vx, vp) < 0) pari_err_PRIORITY("charpoly", x, "<", vp);
     164          77 :       return RgXQ_charpoly(A, T, v);
     165             :     }
     166        5128 :     case t_MAT:
     167        5128 :       lx=lg(x);
     168        5128 :       if (lx==1) return pol_1(v);
     169        5072 :       if (lgcols(x) != lx) break;
     170        5065 :       return NULL;
     171             :   }
     172           7 :   pari_err_TYPE("easychar",x);
     173             :   return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
     174             : }
     175             : /* compute charpoly by mapping to Fp first, return lift to Z */
     176             : static GEN
     177          35 : RgM_Fp_charpoly(GEN x, GEN p, long v)
     178             : {
     179             :   GEN T;
     180          35 :   if (lgefint(p) == 3)
     181             :   {
     182          21 :     ulong pp = itou(p);
     183          21 :     T = Flm_charpoly_i(RgM_to_Flm(x, pp), pp);
     184          21 :     T = Flx_to_ZX(T);
     185             :   }
     186             :   else
     187          14 :     T = FpM_charpoly(RgM_to_FpM(x, p), p);
     188          35 :   setvarn(T, v); return T;
     189             : }
     190             : GEN
     191        3427 : charpoly(GEN x, long v)
     192             : {
     193        3427 :   GEN T, p = NULL;
     194             :   long prec;
     195        3427 :   if ((T = easychar(x,v))) return T;
     196        3210 :   switch(RgM_type(x, &p,&T,&prec))
     197             :   {
     198        2167 :     case t_INT:
     199        2167 :       T = ZM_charpoly(x); setvarn(T, v); break;
     200          35 :     case t_INTMOD:
     201          35 :       if (!BPSW_psp(p)) T = carberkowitz(x, v);
     202             :       else
     203             :       {
     204          35 :         pari_sp av = avma;
     205          35 :         T = RgM_Fp_charpoly(x,p,v);
     206          35 :         T = gerepileupto(av, FpX_to_mod(T,p));
     207             :       }
     208          35 :       break;
     209         147 :     case t_REAL:
     210             :     case t_COMPLEX:
     211             :     case t_PADIC:
     212         147 :       T = carhess(x, v);
     213         147 :       break;
     214         861 :     default:
     215         861 :       T = carberkowitz(x, v);
     216             :   }
     217        3203 :   return T;
     218             : }
     219             : 
     220             : /* We possibly worked with an "invalid" polynomial p, satisfying
     221             :  * varn(p) > gvar2(p). Fix this. */
     222             : static GEN
     223        1792 : fix_pol(pari_sp av, GEN p)
     224             : {
     225        1792 :   long w = gvar2(p), v = varn(p);
     226        1792 :   if (w == v) pari_err_PRIORITY("charpoly", p, "=", w);
     227        1785 :   if (varncmp(w,v) < 0) p = gerepileupto(av, poleval(p, pol_x(v)));
     228        1785 :   return p;
     229             : }
     230             : GEN
     231          14 : caract(GEN x, long v)
     232             : {
     233          14 :   pari_sp av = avma;
     234             :   GEN  T, C, x_k, Q;
     235             :   long k, n;
     236             : 
     237          14 :   if ((T = easychar(x,v))) return T;
     238             : 
     239          14 :   n = lg(x)-1;
     240          14 :   if (n == 1) return fix_pol(av, deg1pol(gen_1, gneg(gcoeff(x,1,1)), v));
     241             : 
     242          14 :   x_k = pol_x(v); /* to be modified in place */
     243          14 :   T = scalarpol(det(x), v); C = utoineg(n); Q = pol_x(v);
     244          28 :   for (k=1; k<=n; k++)
     245             :   {
     246          28 :     GEN mk = utoineg(k), d;
     247          28 :     gel(x_k,2) = mk;
     248          28 :     d = det(RgM_Rg_add_shallow(x, mk));
     249          28 :     T = RgX_add(RgX_mul(T, x_k), RgX_Rg_mul(Q, gmul(C, d)));
     250          28 :     if (k == n) break;
     251             : 
     252          14 :     Q = RgX_mul(Q, x_k);
     253          14 :     C = diviuexact(mulsi(k-n,C), k+1); /* (-1)^k binomial(n,k) */
     254             :   }
     255          14 :   return fix_pol(av, RgX_Rg_div(T, mpfact(n)));
     256             : }
     257             : 
     258             : /* C = charpoly(x, v) */
     259             : static GEN
     260          21 : RgM_adj_from_char(GEN x, long v, GEN C)
     261             : {
     262          21 :   if (varn(C) != v) /* problem with variable priorities */
     263             :   {
     264           7 :     C = gdiv(gsub(C, gsubst(C, v, gen_0)), pol_x(v));
     265           7 :     if (odd(lg(x))) C = RgX_neg(C); /* even dimension */
     266           7 :     return gsubst(C, v, x);
     267             :   }
     268             :   else
     269             :   {
     270          14 :     C = RgX_shift_shallow(C, -1);
     271          14 :     if (odd(lg(x))) C = RgX_neg(C); /* even dimension */
     272          14 :     return RgX_RgM_eval(C, x);
     273             :   }
     274             : }
     275             : /* assume x square matrice */
     276             : static GEN
     277        1939 : mattrace(GEN x)
     278             : {
     279        1939 :   long i, lx = lg(x);
     280             :   GEN t;
     281        1939 :   if (lx < 3) return lx == 1? gen_0: gcopy(gcoeff(x,1,1));
     282        1869 :   t = gcoeff(x,1,1);
     283        5131 :   for (i = 2; i < lx; i++) t = gadd(t, gcoeff(x,i,i));
     284        1869 :   return t;
     285             : }
     286             : static int
     287          56 : bad_char(GEN q, long n)
     288             : {
     289             :   forprime_t S;
     290             :   ulong p;
     291          56 :   if (!signe(q)) return 0;
     292          42 :   (void)u_forprime_init(&S, 2, n);
     293          98 :   while ((p = u_forprime_next(&S)))
     294          70 :     if (!umodiu(q, p)) return 1;
     295          28 :   return 0;
     296             : }
     297             : /* Using traces: return the characteristic polynomial of x (in variable v).
     298             :  * If py != NULL, the adjoint matrix is put there. */
     299             : GEN
     300         119 : caradj(GEN x, long v, GEN *py)
     301             : {
     302             :   pari_sp av, av0;
     303             :   long i, k, n;
     304             :   GEN T, y, t;
     305             : 
     306         119 :   if ((T = easychar(x, v)))
     307             :   {
     308          42 :     if (py)
     309             :     {
     310          42 :       if (typ(x) != t_MAT) pari_err_TYPE("matadjoint",x);
     311          42 :       *py = cgetg(1,t_MAT);
     312             :     }
     313          42 :     return T;
     314             :   }
     315             : 
     316          77 :   n = lg(x)-1; av0 = avma;
     317          77 :   T = cgetg(n+3,t_POL); T[1] = evalsigne(1) | evalvarn(v);
     318          77 :   gel(T,n+2) = gen_1;
     319          77 :   if (!n) { if (py) *py = cgetg(1,t_MAT); return T; }
     320          77 :   av = avma; t = gerepileupto(av, gneg(mattrace(x)));
     321          77 :   gel(T,n+1) = t;
     322          77 :   if (n == 1) {
     323           7 :     T = fix_pol(av0, T);
     324           7 :     if (py) *py = matid(1); return T;
     325             :   }
     326          70 :   if (n == 2) {
     327          14 :     GEN a = gcoeff(x,1,1), b = gcoeff(x,1,2);
     328          14 :     GEN c = gcoeff(x,2,1), d = gcoeff(x,2,2);
     329          14 :     av = avma;
     330          14 :     gel(T,2) = gerepileupto(av, gsub(gmul(a,d), gmul(b,c)));
     331          14 :     T = fix_pol(av0, T);
     332          14 :     if (py) {
     333           7 :       y = cgetg(3, t_MAT);
     334           7 :       gel(y,1) = mkcol2(gcopy(d), gneg(c));
     335           7 :       gel(y,2) = mkcol2(gneg(b), gcopy(a));
     336           7 :       *py = y;
     337             :     }
     338          14 :     return T;
     339             :   }
     340             :   /* l > 3 */
     341          56 :   if (bad_char(residual_characteristic(x), n))
     342             :   { /* n! not invertible in base ring */
     343          14 :     T = charpoly(x, v);
     344          14 :     if (!py) return gerepileupto(av, T);
     345          14 :     *py = RgM_adj_from_char(x, v, T); return gc_all(av, 2, &T,py);
     346             :   }
     347          42 :   av = avma; y = RgM_shallowcopy(x);
     348         175 :   for (i = 1; i <= n; i++) gcoeff(y,i,i) = gadd(gcoeff(y,i,i), t);
     349          91 :   for (k = 2; k < n; k++)
     350             :   {
     351          49 :     GEN y0 = y;
     352          49 :     y = RgM_mul(y, x);
     353          49 :     t = gdivgs(mattrace(y), -k);
     354         210 :     for (i = 1; i <= n; i++) gcoeff(y,i,i) = gadd(gcoeff(y,i,i), t);
     355          49 :     y = gclone(y);
     356          49 :     gel(T,n-k+2) = gerepilecopy(av, t); av = avma;
     357          49 :     if (k > 2) gunclone(y0);
     358             :   }
     359          42 :   t = gmul(gcoeff(x,1,1),gcoeff(y,1,1));
     360         133 :   for (i=2; i<=n; i++) t = gadd(t, gmul(gcoeff(x,1,i),gcoeff(y,i,1)));
     361          42 :   gel(T,2) = gerepileupto(av, gneg(t));
     362          42 :   T = fix_pol(av0, T);
     363          42 :   if (py) *py = odd(n)? gcopy(y): RgM_neg(y);
     364          42 :   gunclone(y); return T;
     365             : }
     366             : 
     367             : GEN
     368         105 : adj(GEN x)
     369             : {
     370             :   GEN y;
     371         105 :   (void)caradj(x, fetch_var(), &y);
     372         105 :   (void)delete_var(); return y;
     373             : }
     374             : 
     375             : GEN
     376           7 : adjsafe(GEN x)
     377             : {
     378           7 :   const long v = fetch_var();
     379           7 :   pari_sp av = avma;
     380             :   GEN C, A;
     381           7 :   if (typ(x) != t_MAT) pari_err_TYPE("matadjoint",x);
     382           7 :   if (lg(x) < 3) return gcopy(x);
     383           7 :   C = charpoly(x,v);
     384           7 :   A = RgM_adj_from_char(x, v, C);
     385           7 :   (void)delete_var(); return gerepileupto(av, A);
     386             : }
     387             : 
     388             : GEN
     389         112 : matadjoint0(GEN x, long flag)
     390             : {
     391         112 :   switch(flag)
     392             :   {
     393         105 :     case 0: return adj(x);
     394           7 :     case 1: return adjsafe(x);
     395             :   }
     396           0 :   pari_err_FLAG("matadjoint");
     397             :   return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
     398             : }
     399             : 
     400             : /*******************************************************************/
     401             : /*                                                                 */
     402             : /*                       Frobenius form                            */
     403             : /*                                                                 */
     404             : /*******************************************************************/
     405             : 
     406             : /* The following section implement a mix of Ozello and Storjohann algorithms
     407             : 
     408             : P. Ozello, doctoral thesis (in French):
     409             : Calcul exact des formes de Jordan et de Frobenius d'une matrice, Chapitre 2
     410             : http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00323705
     411             : 
     412             : A. Storjohann,  Diss. ETH No. 13922
     413             : Algorithms for Matrix Canonical Forms, Chapter 9
     414             : https://cs.uwaterloo.ca/~astorjoh/diss2up.pdf
     415             : 
     416             : We use Storjohann Lemma 9.14 (step1, step2, step3) Ozello theorem 4,
     417             : and Storjohann Lemma 9.18
     418             : */
     419             : 
     420             : /* Elementary transforms */
     421             : 
     422             : /* M <- U^(-1) M U, U = E_{i,j}(k) => U^(-1) = E{i,j}(-k)
     423             :  * P = U * P */
     424             : static void
     425       14259 : transL(GEN M, GEN P, GEN k, long i, long j)
     426             : {
     427       14259 :   long l, n = lg(M)-1;
     428      174321 :   for(l=1; l<=n; l++) /* M[,j]-=k*M[,i] */
     429      160062 :     gcoeff(M,l,j) = gsub(gcoeff(M,l,j), gmul(gcoeff(M,l,i), k));
     430      174321 :   for(l=1; l<=n; l++) /* M[i,]+=k*M[j,] */
     431      160062 :     gcoeff(M,i,l) = gadd(gcoeff(M,i,l), gmul(gcoeff(M,j,l), k));
     432       14259 :   if (P)
     433      164346 :     for(l=1; l<=n; l++)
     434      151186 :       gcoeff(P,i,l) = gadd(gcoeff(P,i,l), gmul(gcoeff(P,j,l), k));
     435       14259 : }
     436             : 
     437             : /* j = a or b */
     438             : static void
     439        2317 : transD(GEN M, GEN P, long a, long b, long j)
     440             : {
     441             :   long l, n;
     442        2317 :   GEN k = gcoeff(M,a,b), ki;
     443             : 
     444        2317 :   if (gequal1(k)) return;
     445        1155 :   ki = ginv(k); n = lg(M)-1;
     446       12026 :   for(l=1; l<=n; l++)
     447       10871 :     if (l!=j)
     448             :     {
     449        9716 :       gcoeff(M,l,j) = gmul(gcoeff(M,l,j), k);
     450        9716 :       gcoeff(M,j,l) = (j==a && l==b)? gen_1: gmul(gcoeff(M,j,l), ki);
     451             :     }
     452        1155 :   if (P)
     453        9681 :     for(l=1; l<=n; l++)
     454        8799 :       gcoeff(P,j,l) = gmul(gcoeff(P,j,l), ki);
     455             : }
     456             : 
     457             : static void
     458         413 : transS(GEN M, GEN P, long i, long j)
     459             : {
     460         413 :   long l, n = lg(M)-1;
     461         413 :   swap(gel(M,i), gel(M,j));
     462        5810 :   for (l=1; l<=n; l++)
     463        5397 :     swap(gcoeff(M,i,l), gcoeff(M,j,l));
     464         413 :   if (P)
     465        4375 :     for (l=1; l<=n; l++)
     466        4123 :       swap(gcoeff(P,i,l), gcoeff(P,j,l));
     467         413 : }
     468             : 
     469             : /* Convert companion matrix to polynomial*/
     470             : static GEN
     471         308 : minpoly_polslice(GEN M, long i, long j, long v)
     472             : {
     473         308 :   long k, d = j+1-i;
     474         308 :   GEN P = cgetg(d+3,t_POL);
     475         308 :   P[1] = evalsigne(1)|evalvarn(v);
     476        1491 :   for (k=0; k<d; k++)
     477        1183 :     gel(P,k+2) = gneg(gcoeff(M,i+k, j));
     478         308 :   gel(P,d+2) = gen_1;
     479         308 :   return P;
     480             : }
     481             : 
     482             : static GEN
     483          49 : minpoly_listpolslice(GEN M, GEN V, long v)
     484             : {
     485          49 :   long i, n = lg(M)-1, nb = lg(V)-1;
     486          49 :   GEN W = cgetg(nb+1, t_VEC);
     487         147 :   for (i=1; i<=nb; i++)
     488          98 :     gel(W,i) = minpoly_polslice(M, V[i], i < nb? V[i+1]-1: n, v);
     489          49 :   return W;
     490             : }
     491             : 
     492             : static int
     493         105 : minpoly_dvdslice(GEN M, long i, long j, long k)
     494             : {
     495         105 :   pari_sp av = avma;
     496         105 :   long r = signe(RgX_rem(minpoly_polslice(M, i, j-1, 0),
     497             :                         minpoly_polslice(M, j, k, 0)));
     498         105 :   return gc_bool(av, r == 0);
     499             : }
     500             : 
     501             : static void
     502           0 : RgM_replace(GEN M, GEN M2)
     503             : {
     504           0 :   long n = lg(M)-1, m = nbrows(M), i, j;
     505           0 :   for(i=1; i<=n; i++)
     506           0 :     for(j=1; j<=m; j++)
     507           0 :       gcoeff(M, i, j) = gcoeff(M2, i, j);
     508           0 : }
     509             : 
     510             : static void
     511           0 : gerepilemat2_inplace(pari_sp av, GEN M, GEN P)
     512             : {
     513           0 :   GEN M2 = M, P2 = P;
     514           0 :   gerepileall(av, P ? 2: 1, &M2, &P2);
     515           0 :   RgM_replace(M, M2);
     516           0 :   if (P) RgM_replace(P, P2);
     517           0 : }
     518             : 
     519             : /* Lemma 9.14 */
     520             : static long
     521         609 : weakfrobenius_step1(GEN M, GEN P, long j0)
     522             : {
     523         609 :   pari_sp av = avma;
     524         609 :   long n = lg(M)-1, k, j;
     525        2905 :   for (j = j0; j < n; ++j)
     526             :   {
     527        2471 :     if (gequal0(gcoeff(M, j+1, j)))
     528             :     {
     529        1610 :       for (k = j+2; k <= n; ++k)
     530        1435 :         if (!gequal0(gcoeff(M,k,j))) break;
     531         567 :       if (k > n) return j;
     532         392 :       transS(M, P, k, j+1);
     533             :     }
     534        2296 :     transD(M, P, j+1, j, j+1);
     535             :     /* Now M[j+1,j] = 1 */
     536       25900 :     for (k = 1; k <= n; ++k)
     537       23604 :       if (k != j+1 && !gequal0(gcoeff(M,k,j))) /* zero M[k,j] */
     538             :       {
     539       13594 :         transL(M, P, gneg(gcoeff(M,k,j)), k, j+1);
     540       13594 :         gcoeff(M,k,j) = gen_0; /* avoid approximate 0 */
     541             :       }
     542        2296 :     if (gc_needed(av,1))
     543             :     {
     544           0 :       if (DEBUGMEM > 1)
     545           0 :         pari_warn(warnmem,"RgM_minpoly stage 1: j0=%ld, j=%ld", j0, j);
     546           0 :       gerepilemat2_inplace(av, M, P);
     547             :     }
     548             :   }
     549         434 :   return n;
     550             : }
     551             : 
     552             : static void
     553         609 : weakfrobenius_step2(GEN M, GEN P, long j)
     554             : {
     555         609 :   pari_sp av = avma;
     556         609 :   long i, k, n = lg(M)-1;
     557        3563 :   for(i=j; i>=2; i--)
     558             :   {
     559        6433 :     for(k=j+1; k<=n; k++)
     560        3479 :       if (!gequal0(gcoeff(M,i,k)))
     561         665 :         transL(M, P, gcoeff(M,i,k), i-1, k);
     562        2954 :     if (gc_needed(av,1))
     563             :     {
     564           0 :       if (DEBUGMEM > 1)
     565           0 :         pari_warn(warnmem,"RgM_minpoly stage 2: j=%ld, i=%ld", j, i);
     566           0 :       gerepilemat2_inplace(av, M, P);
     567             :     }
     568             :   }
     569         609 : }
     570             : 
     571             : static long
     572         609 : weakfrobenius_step3(GEN M, GEN P, long j0, long j)
     573             : {
     574         609 :   long i, k, n = lg(M)-1;
     575         609 :   if (j == n) return 0;
     576         175 :   if (gequal0(gcoeff(M, j0, j+1)))
     577             :   {
     578         630 :     for (k=j+2; k<=n; k++)
     579         476 :       if (!gequal0(gcoeff(M, j0, k))) break;
     580         154 :     if (k > n) return 0;
     581           0 :     transS(M, P, k, j+1);
     582             :   }
     583          21 :   transD(M, P, j0, j+1, j+1);
     584          21 :   for (i=j+2; i<=n; i++)
     585           0 :     if (!gequal0(gcoeff(M, j0, i)))
     586           0 :       transL(M, P, gcoeff(M, j0, i),j+1, i);
     587          21 :   return 1;
     588             : }
     589             : 
     590             : /* flag: 0 -> full Frobenius from , 1 -> weak Frobenius form */
     591             : static GEN
     592         434 : RgM_Frobenius(GEN M, long flag, GEN *pt_P, GEN *pt_v)
     593             : {
     594         434 :   pari_sp av = avma, av2, ltop;
     595         434 :   long n = lg(M)-1, eps, j0 = 1, nb = 0;
     596             :   GEN v, P;
     597         434 :   v = cgetg(n+1, t_VECSMALL);
     598         434 :   ltop = avma;
     599         434 :   P = pt_P ? matid(n): NULL;
     600         434 :   M = RgM_shallowcopy(M);
     601         434 :   av2 = avma;
     602        1043 :   while (j0 <= n)
     603             :   {
     604         609 :     long j = weakfrobenius_step1(M, P, j0);
     605         609 :     weakfrobenius_step2(M, P, j);
     606         609 :     eps = weakfrobenius_step3(M, P, j0, j);
     607         609 :     if (eps == 0)
     608             :     {
     609         588 :       v[++nb] = j0;
     610         588 :       if (flag == 0 && nb > 1 && !minpoly_dvdslice(M, v[nb-1], j0, j))
     611             :       {
     612           0 :         j = j0; j0 = v[nb-1]; nb -= 2;
     613           0 :         transL(M, P, gen_1, j, j0); /*lemma 9.18*/
     614             :       } else
     615         588 :         j0 = j+1;
     616             :     }
     617             :     else
     618          21 :       transS(M, P, j0, j+1); /*theorem 4*/
     619         609 :     if (gc_needed(av,1))
     620             :     {
     621           0 :       if (DEBUGMEM > 1)
     622           0 :         pari_warn(warnmem,"weakfrobenius j0=%ld",j0);
     623           0 :       gerepilemat2_inplace(av2, M, P);
     624             :     }
     625             :   }
     626         434 :   fixlg(v, nb+1);
     627         434 :   if (pt_v) *pt_v = v;
     628         434 :   gerepileall(pt_v ? ltop: av, P? 2: 1, &M, &P);
     629         434 :   if (pt_P) *pt_P = P;
     630         434 :   return M;
     631             : }
     632             : 
     633             : static GEN
     634          49 : RgM_minpoly(GEN M, long v)
     635             : {
     636          49 :   pari_sp av = avma;
     637             :   GEN V, W;
     638          49 :   if (lg(M) == 1) return pol_1(v);
     639          49 :   M = RgM_Frobenius(M, 1, NULL, &V);
     640          49 :   W = minpoly_listpolslice(M, V, v);
     641          49 :   if (varncmp(v,gvar2(W)) >= 0)
     642           0 :     pari_err_PRIORITY("matfrobenius", M, "<=", v);
     643          49 :   return gerepileupto(av, RgX_normalize(glcm0(W, NULL)));
     644             : }
     645             : 
     646             : GEN
     647           0 : Frobeniusform(GEN V, long n)
     648             : {
     649             :   long i, j, k;
     650           0 :   GEN M = zeromatcopy(n,n);
     651           0 :   for (k=1,i=1;i<lg(V);i++,k++)
     652             :   {
     653           0 :     GEN  P = gel(V,i);
     654           0 :     long d = degpol(P);
     655           0 :     if (k+d-1 > n) pari_err_PREC("matfrobenius");
     656           0 :     for (j=0; j<d-1; j++, k++) gcoeff(M,k+1,k) = gen_1;
     657           0 :     for (j=0; j<d; j++) gcoeff(M,k-j,k) = gneg(gel(P, 1+d-j));
     658             :   }
     659           0 :   return M;
     660             : }
     661             : 
     662             : GEN
     663         385 : matfrobenius(GEN M, long flag, long v)
     664             : {
     665             :   long n;
     666         385 :   if (typ(M)!=t_MAT) pari_err_TYPE("matfrobenius",M);
     667         385 :   if (v < 0) v = 0;
     668         385 :   n = lg(M)-1;
     669         385 :   if (n && lgcols(M)!=n+1) pari_err_DIM("matfrobenius");
     670         385 :   if (flag > 2) pari_err_FLAG("matfrobenius");
     671         385 :   switch (flag)
     672             :   {
     673           7 :   case 0:
     674           7 :     return RgM_Frobenius(M, 0, NULL, NULL);
     675           0 :   case 1:
     676             :     {
     677           0 :       pari_sp av = avma;
     678             :       GEN V, W, F;
     679           0 :       F = RgM_Frobenius(M, 0, NULL, &V);
     680           0 :       W = minpoly_listpolslice(F, V, v);
     681           0 :       if (varncmp(v, gvar2(W)) >= 0)
     682           0 :         pari_err_PRIORITY("matfrobenius", M, "<=", v);
     683           0 :       return gerepileupto(av, W);
     684             :     }
     685         378 :   case 2:
     686             :     {
     687         378 :       GEN P, F, R = cgetg(3, t_VEC);
     688         378 :       F = RgM_Frobenius(M, 0, &P, NULL);
     689         378 :       gel(R,1) = F; gel(R,2) = P;
     690         378 :       return R;
     691             :     }
     692           0 :   default:
     693           0 :     pari_err_FLAG("matfrobenius");
     694             :   }
     695             :   return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
     696             : }
     697             : 
     698             : /*******************************************************************/
     699             : /*                                                                 */
     700             : /*                       MINIMAL POLYNOMIAL                        */
     701             : /*                                                                 */
     702             : /*******************************************************************/
     703             : 
     704             : static GEN
     705          63 : RgXQ_minpoly_naive(GEN y, GEN P)
     706             : {
     707          63 :   long n = lgpol(P);
     708          63 :   GEN M = ker(RgXQ_matrix_pow(y,n,n,P));
     709          63 :   return content(RgM_to_RgXV(M,varn(P)));
     710             : }
     711             : 
     712             : static GEN
     713           0 : RgXQ_minpoly_FpXQ(GEN x, GEN y, GEN p)
     714             : {
     715           0 :   pari_sp av = avma;
     716             :   GEN r;
     717           0 :   if (lgefint(p) == 3)
     718             :   {
     719           0 :     ulong pp = uel(p, 2);
     720           0 :     r = Flx_to_ZX_inplace(Flxq_minpoly(RgX_to_Flx(x, pp),
     721             :                                    RgX_to_Flx(y, pp), pp));
     722             :   }
     723             :   else
     724           0 :     r = FpXQ_minpoly(RgX_to_FpX(x, p), RgX_to_FpX(y, p), p);
     725           0 :   return gerepileupto(av, FpX_to_mod(r, p));
     726             : }
     727             : 
     728             : static GEN
     729          21 : RgXQ_minpoly_FpXQXQ(GEN x, GEN S, GEN pol, GEN p)
     730             : {
     731          21 :   pari_sp av = avma;
     732             :   GEN r;
     733          21 :   GEN T = RgX_to_FpX(pol, p);
     734          21 :   if (signe(T)==0) pari_err_OP("minpoly",x,S);
     735          21 :   if (lgefint(p) == 3)
     736             :   {
     737          13 :     ulong pp = uel(p, 2);
     738          13 :     GEN Tp = ZX_to_Flx(T, pp);
     739          13 :     r = FlxX_to_ZXX(FlxqXQ_minpoly(RgX_to_FlxqX(x, Tp, pp),
     740             :                                    RgX_to_FlxqX(S, Tp, pp), Tp, pp));
     741             :   }
     742             :   else
     743           8 :     r = FpXQXQ_minpoly(RgX_to_FpXQX(x, T, p), RgX_to_FpXQX(S, T, p), T, p);
     744          21 :   return gerepileupto(av, FpXQX_to_mod(r, T, p));
     745             : }
     746             : 
     747             : #define code(t1,t2) ((t1 << 6) | t2)
     748             : 
     749             : static GEN
     750        3199 : RgXQ_minpoly_fast(GEN x, GEN y)
     751             : {
     752             :   GEN p, pol;
     753             :   long pa;
     754        3199 :   long t = RgX_type2(x,y, &p,&pol,&pa);
     755        3199 :   switch(t)
     756             :   {
     757           0 :     case t_INTMOD: return RgXQ_minpoly_FpXQ(x, y, p);
     758          77 :     case t_FFELT:  return FFXQ_minpoly(x, y, pol);
     759          21 :     case code(t_POLMOD, t_INTMOD):
     760          21 :                    return RgXQ_minpoly_FpXQXQ(x, y, pol, p);
     761        3101 :     default:       return NULL;
     762             :   }
     763             : }
     764             : 
     765             : #undef code
     766             : 
     767             : /* return caract(Mod(x,T)) in variable v */
     768             : GEN
     769        3199 : RgXQ_minpoly(GEN x, GEN T, long v)
     770             : {
     771        3199 :   pari_sp av = avma;
     772        3199 :   GEN R = RgXQ_minpoly_fast(x,T);
     773        3199 :   if (R) { setvarn(R, v); return R; }
     774        3101 :   if (!issquarefree(T))
     775             :   {
     776          63 :     R = RgXQ_minpoly_naive(x, T);
     777          63 :     setvarn(R,v); return R;
     778             :   }
     779        3038 :   R = RgXQ_charpoly(x, T, v);
     780        3038 :   return gerepileupto(av, RgX_div(R,RgX_gcd(R, RgX_deriv(R))));
     781             : }
     782             : 
     783             : static GEN
     784        3577 : easymin(GEN x, long v)
     785             : {
     786             :   GEN G, R, dR;
     787        3577 :   long tx = typ(x);
     788        3577 :   if (tx == t_FFELT)
     789             :   {
     790         154 :     R = FpX_to_mod(FF_minpoly(x), FF_p_i(x));
     791         154 :     setvarn(R,v); return R;
     792             :   }
     793        3423 :   if (tx == t_POLMOD)
     794             :   {
     795        3374 :     GEN a = gel(x,2), b = gel(x,1);
     796        3374 :     if (degpol(b)==0) return pol_1(v);
     797        3346 :     if (typ(a) != t_POL || varn(a) != varn(b))
     798             :     {
     799         182 :       if (varncmp(gvar(a), v) <= 0) pari_err_PRIORITY("minpoly", x, "<", v);
     800         175 :       return deg1pol(gen_1, gneg_i(a), v);
     801             :     }
     802        3164 :     return RgXQ_minpoly(a, b, v);
     803             :   }
     804          49 :   R = easychar(x, v); if (!R) return NULL;
     805           0 :   dR = RgX_deriv(R);  if (!lgpol(dR)) return NULL;
     806           0 :   G = RgX_normalize(RgX_gcd(R,dR));
     807           0 :   return RgX_div(R,G);
     808             : }
     809             : GEN
     810        3577 : minpoly(GEN x, long v)
     811             : {
     812        3577 :   pari_sp av = avma;
     813             :   GEN P;
     814        3577 :   if (v < 0) v = 0;
     815        3577 :   P = easymin(x,v);
     816        3570 :   if (P) return gerepileupto(av,P);
     817             :   /* typ(x) = t_MAT */
     818          49 :   set_avma(av); return RgM_minpoly(x,v);
     819             : }
     820             : 
     821             : /*******************************************************************/
     822             : /*                                                                 */
     823             : /*                       HESSENBERG FORM                           */
     824             : /*                                                                 */
     825             : /*******************************************************************/
     826             : static int
     827         364 : relative0(GEN a, GEN a0, long bit)
     828             : {
     829         364 :   if (gequal0(a)) return 1;
     830         343 :   if (gequal0(a0)) return gexpo(a) < bit;
     831         203 :   return (gexpo(a)-gexpo(a0) < bit);
     832             : }
     833             : /* x0 a nonempty square t_MAT that can be written to */
     834             : static GEN
     835         168 : RgM_hess(GEN x0, long prec)
     836             : {
     837         168 :   pari_sp av = avma;
     838         168 :   long lx = lg(x0), bit = prec? 8 - prec2nbits(prec): 0, m, i, j;
     839         168 :   GEN x = bit? RgM_shallowcopy(x0): x0;
     840             : 
     841         665 :   for (m=2; m<lx-1; m++)
     842             :   {
     843         497 :     GEN t = NULL;
     844         497 :     if (!bit)
     845             :     { /* first non-zero pivot */
     846          84 :       for (i=m+1; i<lx; i++)
     847          77 :         if (!gequal0(t = gcoeff(x,i,m-1))) break;
     848             :     }
     849             :     else
     850             :     { /* maximal pivot */
     851         434 :       long E = -(long)HIGHEXPOBIT, k = lx;
     852        3906 :       for (i=m+1; i<lx; i++)
     853             :       {
     854        3472 :         long e = gexpo(gcoeff(x,i,m-1));
     855        3472 :         if (e > E) { E = e; k = i; t = gcoeff(x,i,m-1); }
     856             :       }
     857         434 :       if (k != lx && relative0(t, gcoeff(x0,k,m-1), bit)) k = lx;
     858         434 :       i = k;
     859             :     }
     860         497 :     if (i == lx) continue;
     861        4438 :     for (j=m-1; j<lx; j++) swap(gcoeff(x,i,j), gcoeff(x,m,j));
     862         385 :     swap(gel(x,i), gel(x,m));
     863         385 :     if (bit)
     864             :     {
     865        4102 :       for (j=m-1; j<lx; j++) swap(gcoeff(x0,i,j), gcoeff(x0,m,j));
     866         329 :       swap(gel(x0,i), gel(x0,m));
     867             :     }
     868         385 :     t = ginv(t);
     869             : 
     870        3668 :     for (i=m+1; i<lx; i++)
     871             :     {
     872        3283 :       GEN c = gcoeff(x,i,m-1);
     873        3283 :       if (gequal0(c)) continue;
     874             : 
     875        2520 :       c = gmul(c,t); gcoeff(x,i,m-1) = gen_0;
     876       41062 :       for (j=m; j<lx; j++)
     877       38542 :         gcoeff(x,i,j) = gsub(gcoeff(x,i,j), gmul(c,gcoeff(x,m,j)));
     878       67417 :       for (j=1; j<lx; j++)
     879       64897 :         gcoeff(x,j,m) = gadd(gcoeff(x,j,m), gmul(c,gcoeff(x,j,i)));
     880        2520 :       if (gc_needed(av,2))
     881             :       {
     882           0 :         if (DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"hess, m = %ld", m);
     883           0 :         gerepileall(av,2, &x, &t);
     884             :       }
     885             :     }
     886             :   }
     887         168 :   return x;
     888             : }
     889             : 
     890             : GEN
     891         168 : hess(GEN x)
     892             : {
     893         168 :   pari_sp av = avma;
     894         168 :   GEN p = NULL, T = NULL;
     895         168 :   long prec, lx = lg(x);
     896         168 :   if (typ(x) != t_MAT) pari_err_TYPE("hess",x);
     897         168 :   if (lx == 1) return cgetg(1,t_MAT);
     898         168 :   if (lgcols(x) != lx) pari_err_DIM("hess");
     899         168 :   switch(RgM_type(x, &p, &T, &prec))
     900             :   {
     901         140 :     case t_REAL:
     902         140 :     case t_COMPLEX: break;
     903          28 :     default: prec = 0;
     904             :   }
     905         168 :   return gerepilecopy(av, RgM_hess(RgM_shallowcopy(x),prec));
     906             : }
     907             : 
     908             : GEN
     909       23956 : Flm_hess(GEN x, ulong p)
     910             : {
     911       23956 :   long lx = lg(x), m, i, j;
     912       23956 :   if (lx == 1) return cgetg(1,t_MAT);
     913       23956 :   if (lgcols(x) != lx) pari_err_DIM("hess");
     914             : 
     915       23956 :   x = Flm_copy(x);
     916      107880 :   for (m=2; m<lx-1; m++)
     917             :   {
     918       84288 :     ulong t = 0;
     919      294868 :     for (i=m+1; i<lx; i++) { t = ucoeff(x,i,m-1); if (t) break; }
     920       84288 :     if (i == lx) continue;
     921      489456 :     for (j=m-1; j<lx; j++) lswap(ucoeff(x,i,j), ucoeff(x,m,j));
     922       53420 :     swap(gel(x,i), gel(x,m)); t = Fl_inv(t, p);
     923             : 
     924      381791 :     for (i=m+1; i<lx; i++)
     925             :     {
     926      328735 :       ulong c = ucoeff(x,i,m-1);
     927      328735 :       if (!c) continue;
     928             : 
     929      200391 :       c = Fl_mul(c,t,p); ucoeff(x,i,m-1) = 0;
     930     2619900 :       for (j=m; j<lx; j++)
     931     2419662 :         ucoeff(x,i,j) = Fl_sub(ucoeff(x,i,j), Fl_mul(c,ucoeff(x,m,j), p), p);
     932     4013185 :       for (j=1; j<lx; j++)
     933     3813187 :         ucoeff(x,j,m) = Fl_add(ucoeff(x,j,m), Fl_mul(c,ucoeff(x,j,i), p), p);
     934             :     }
     935             :   }
     936       23592 :   return x;
     937             : }
     938             : GEN
     939         785 : FpM_hess(GEN x, GEN p)
     940             : {
     941         785 :   pari_sp av = avma;
     942         785 :   long lx = lg(x), m, i, j;
     943         785 :   if (lx == 1) return cgetg(1,t_MAT);
     944         785 :   if (lgcols(x) != lx) pari_err_DIM("hess");
     945         785 :   if (lgefint(p) == 3)
     946             :   {
     947           0 :     ulong pp = p[2];
     948           0 :     x = Flm_hess(ZM_to_Flm(x, pp), pp);
     949           0 :     return gerepileupto(av, Flm_to_ZM(x));
     950             :   }
     951         785 :   x = RgM_shallowcopy(x);
     952        3368 :   for (m=2; m<lx-1; m++)
     953             :   {
     954        2583 :     GEN t = NULL;
     955        5488 :     for (i=m+1; i<lx; i++) { t = gcoeff(x,i,m-1); if (signe(t)) break; }
     956        2583 :     if (i == lx) continue;
     957       12047 :     for (j=m-1; j<lx; j++) swap(gcoeff(x,i,j), gcoeff(x,m,j));
     958        1897 :     swap(gel(x,i), gel(x,m)); t = Fp_inv(t, p);
     959             : 
     960        8253 :     for (i=m+1; i<lx; i++)
     961             :     {
     962        6356 :       GEN c = gcoeff(x,i,m-1);
     963        6356 :       if (!signe(c)) continue;
     964             : 
     965        5061 :       c = Fp_mul(c,t, p); gcoeff(x,i,m-1) = gen_0;
     966       29785 :       for (j=m; j<lx; j++)
     967       24724 :         gcoeff(x,i,j) = Fp_sub(gcoeff(x,i,j), Fp_mul(c,gcoeff(x,m,j),p), p);
     968       45465 :       for (j=1; j<lx; j++)
     969       40404 :         gcoeff(x,j,m) = Fp_add(gcoeff(x,j,m), Fp_mul(c,gcoeff(x,j,i),p), p);
     970        5061 :       if (gc_needed(av,2))
     971             :       {
     972           0 :         if (DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"hess, m = %ld", m);
     973           0 :         gerepileall(av,2, &x, &t);
     974             :       }
     975             :     }
     976             :   }
     977         785 :   return gerepilecopy(av,x);
     978             : }
     979             : /* H in Hessenberg form */
     980             : static GEN
     981         161 : RgM_hess_charpoly(GEN H, long v)
     982             : {
     983         161 :   long n = lg(H), r, i;
     984         161 :   GEN y = cgetg(n+1, t_VEC);
     985         161 :   gel(y,1) = pol_1(v);
     986         945 :   for (r = 1; r < n; r++)
     987             :   {
     988         784 :     pari_sp av2 = avma;
     989         784 :     GEN z, a = gen_1, b = pol_0(v);
     990        4690 :     for (i = r-1; i; i--)
     991             :     {
     992        3983 :       a = gmul(a, gcoeff(H,i+1,i));
     993        3983 :       if (gequal0(a)) break;
     994        3906 :       b = RgX_add(b, RgX_Rg_mul(gel(y,i), gmul(a,gcoeff(H,i,r))));
     995             :     }
     996         784 :     z = RgX_sub(RgX_shift_shallow(gel(y,r), 1),
     997         784 :                 RgX_Rg_mul(gel(y,r), gcoeff(H,r,r)));
     998         784 :     gel(y,r+1) = gerepileupto(av2, RgX_sub(z, b)); /* (X - H[r,r])y[r] - b */
     999             :   }
    1000         161 :   return gel(y,n);
    1001             : }
    1002             : GEN
    1003         161 : carhess(GEN x, long v)
    1004             : {
    1005             :   pari_sp av;
    1006             :   GEN y;
    1007         161 :   if ((y = easychar(x,v))) return y;
    1008         161 :   av = avma; y = RgM_hess_charpoly(hess(x), v);
    1009         161 :   return fix_pol(av, y);
    1010             : }
    1011             : 
    1012             : /* Bound for sup norm of charpoly(M/dM), M integral: let B = |M|oo / |dM|,
    1013             :  *   s = max_k binomial(n,k) (kB^2)^(k/2),
    1014             :  * return ceil(log2(s)) */
    1015             : static long
    1016        3686 : charpoly_bound(GEN M, GEN dM, GEN N)
    1017             : {
    1018        3686 :   pari_sp av = avma;
    1019        3686 :   GEN B = itor(N, LOWDEFAULTPREC);
    1020        3686 :   GEN s = real_0(LOWDEFAULTPREC), bin, B2;
    1021        3686 :   long n = lg(M)-1, k;
    1022        3686 :   bin = gen_1;
    1023        3686 :   if (dM) B = divri(B, dM);
    1024        3686 :   B2 = sqrr(B);
    1025       16578 :   for (k = n; k >= (n+1)>>1; k--)
    1026             :   {
    1027       12892 :     GEN t = mulri(powruhalf(mulur(k, B2), k), bin);
    1028       12892 :     if (abscmprr(t, s) > 0) s = t;
    1029       12892 :     bin = diviuexact(muliu(bin, k), n-k+1);
    1030             :   }
    1031        3686 :   return gc_long(av, ceil(dbllog2(s)));
    1032             : }
    1033             : 
    1034             : static GEN
    1035        4100 : QM_charpoly_ZX_slice(GEN A, GEN dM, GEN P, GEN *mod)
    1036             : {
    1037        4100 :   pari_sp av = avma;
    1038        4100 :   long i, n = lg(P)-1;
    1039             :   GEN H, T;
    1040        4100 :   if (n == 1)
    1041             :   {
    1042        3423 :     ulong p = uel(P,1), dp = dM ? umodiu(dM, p): 1;
    1043        3423 :     GEN Hp, a = ZM_to_Flm(A, p);
    1044        3423 :     Hp = Flm_charpoly_i(a, p);
    1045        3423 :     if (dp != 1) Hp = Flx_rescale(Hp, Fl_inv(dp, p), p);
    1046        3423 :     Hp = gerepileupto(av, Flx_to_ZX(Hp));
    1047        3423 :     *mod = utoipos(p); return Hp;
    1048             :   }
    1049         677 :   T = ZV_producttree(P);
    1050         677 :   A = ZM_nv_mod_tree(A, P, T);
    1051         677 :   H = cgetg(n+1, t_VEC);
    1052        2682 :   for(i=1; i <= n; i++)
    1053             :   {
    1054        2005 :     ulong p = uel(P,i), dp = dM ? umodiu(dM, p): 1;
    1055        2005 :     gel(H,i) = Flm_charpoly(gel(A, i), p);
    1056        2005 :     if (dp != 1) gel(H,i) = Flx_rescale(gel(H,i), Fl_inv(dp, p), p);
    1057             :   }
    1058         677 :   H = nxV_chinese_center_tree(H, P, T, ZV_chinesetree(P,T));
    1059         677 :   *mod = gmael(T, lg(T)-1, 1); return gc_all(av, 2, &H, mod);
    1060             : }
    1061             : 
    1062             : GEN
    1063        4100 : QM_charpoly_ZX_worker(GEN P, GEN M, GEN dM)
    1064             : {
    1065        4100 :   GEN V = cgetg(3, t_VEC);
    1066        4100 :   gel(V,1) = QM_charpoly_ZX_slice(M, equali1(dM) ? NULL:dM, P, &gel(V,2));
    1067        4100 :   return V;
    1068             : }
    1069             : 
    1070             : /* Assume M a square ZM, dM integer. Return charpoly(M / dM) in Z[X] */
    1071             : static GEN
    1072        4267 : QM_charpoly_ZX_i(GEN M, GEN dM, long bound)
    1073             : {
    1074        4267 :   long n = lg(M)-1;
    1075             :   forprime_t S;
    1076        4267 :   GEN worker = snm_closure(is_entry("_QM_charpoly_ZX_worker"),
    1077             :                            mkvec2(M, dM? dM: gen_1));
    1078        4267 :   if (!n) return pol_1(0);
    1079        4267 :   if (bound < 0)
    1080             :   {
    1081        4001 :     GEN N = ZM_supnorm(M);
    1082        4001 :     if (signe(N) == 0) return monomial(gen_1, n, 0);
    1083        3686 :     bound = charpoly_bound(M, dM, N) + 1;
    1084             :   }
    1085        3952 :   if (DEBUGLEVEL>5) err_printf("ZM_charpoly: bound 2^%ld\n", bound);
    1086        3952 :   init_modular_big(&S);
    1087        3952 :   return gen_crt("QM_charpoly_ZX", worker, &S, dM, bound, 0, NULL,
    1088             :                  nxV_chinese_center, FpX_center);
    1089             : }
    1090             : 
    1091             : GEN
    1092         266 : QM_charpoly_ZX_bound(GEN M, long bit)
    1093             : {
    1094         266 :   pari_sp av = avma;
    1095         266 :   GEN dM; M = Q_remove_denom(M, &dM);
    1096         266 :   return gerepilecopy(av, QM_charpoly_ZX_i(M, dM, bit));
    1097             : }
    1098             : GEN
    1099        1827 : QM_charpoly_ZX(GEN M)
    1100             : {
    1101        1827 :   pari_sp av = avma;
    1102        1827 :   GEN dM; M = Q_remove_denom(M, &dM);
    1103        1827 :   return gerepilecopy(av, QM_charpoly_ZX_i(M, dM, -1));
    1104             : }
    1105             : GEN
    1106        2174 : ZM_charpoly(GEN M)
    1107             : {
    1108        2174 :   pari_sp av = avma;
    1109        2174 :   return gerepilecopy(av, QM_charpoly_ZX_i(M, NULL, -1));
    1110             : }
    1111             : 
    1112             : /*******************************************************************/
    1113             : /*                                                                 */
    1114             : /*        CHARACTERISTIC POLYNOMIAL (BERKOWITZ'S ALGORITHM)        */
    1115             : /*                                                                 */
    1116             : /*******************************************************************/
    1117             : GEN
    1118        1554 : carberkowitz(GEN x, long v)
    1119             : {
    1120             :   long lx, i, j, k, r;
    1121             :   GEN V, S, C, Q;
    1122             :   pari_sp av0, av;
    1123        1554 :   if ((V = easychar(x,v))) return V;
    1124        1554 :   lx = lg(x); av0 = avma;
    1125        1554 :   V = cgetg(lx+1, t_VEC);
    1126        1554 :   S = cgetg(lx+1, t_VEC);
    1127        1554 :   C = cgetg(lx+1, t_VEC);
    1128        1554 :   Q = cgetg(lx+1, t_VEC);
    1129        1554 :   av = avma;
    1130        1554 :   gel(C,1) = gen_m1;
    1131        1554 :   gel(V,1) = gen_m1;
    1132       11809 :   for (i=2;i<=lx; i++) gel(C,i) = gel(Q,i) = gel(S,i) = gel(V,i) = gen_0;
    1133        1554 :   gel(V,2) = gcoeff(x,1,1);
    1134       10255 :   for (r = 2; r < lx; r++)
    1135             :   {
    1136             :     pari_sp av2;
    1137             :     GEN t;
    1138             : 
    1139       69384 :     for (i = 1; i < r; i++) gel(S,i) = gcoeff(x,i,r);
    1140        8701 :     gel(C,2) = gcoeff(x,r,r);
    1141       60683 :     for (i = 1; i < r-1; i++)
    1142             :     {
    1143       51982 :       av2 = avma; t = gmul(gcoeff(x,r,1), gel(S,1));
    1144      760648 :       for (j = 2; j < r; j++) t = gadd(t, gmul(gcoeff(x,r,j), gel(S,j)));
    1145       51982 :       gel(C,i+2) = gerepileupto(av2, t);
    1146      812630 :       for (j = 1; j < r; j++)
    1147             :       {
    1148      760648 :         av2 = avma; t = gmul(gcoeff(x,j,1), gel(S,1));
    1149    15034292 :         for (k = 2; k < r; k++) t = gadd(t, gmul(gcoeff(x,j,k), gel(S,k)));
    1150      760648 :         gel(Q,j) = gerepileupto(av2, t);
    1151             :       }
    1152      812630 :       for (j = 1; j < r; j++) gel(S,j) = gel(Q,j);
    1153             :     }
    1154        8701 :     av2 = avma; t = gmul(gcoeff(x,r,1), gel(S,1));
    1155       60683 :     for (j = 2; j < r; j++) t = gadd(t, gmul(gcoeff(x,r,j), gel(S,j)));
    1156        8701 :     gel(C,r+1) = gerepileupto(av2, t);
    1157        8701 :     if (gc_needed(av0,1))
    1158             :     {
    1159           0 :       if (DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"carberkowitz");
    1160           0 :       gerepileall(av, 2, &C, &V);
    1161             :     }
    1162       86786 :     for (i = 1; i <= r+1; i++)
    1163             :     {
    1164       78085 :       av2 = avma; t = gmul(gel(C,i), gel(V,1));
    1165      579775 :       for (j = 2; j <= minss(r,i); j++)
    1166      501690 :         t = gadd(t, gmul(gel(C,i+1-j), gel(V,j)));
    1167       78085 :       gel(Q,i) = gerepileupto(av2, t);
    1168             :     }
    1169       86786 :     for (i = 1; i <= r+1; i++) gel(V,i) = gel(Q,i);
    1170             :   }
    1171        1554 :   V = RgV_to_RgX_reverse(V, v); /* not gtopoly: fail if v > gvar(V) */
    1172        1554 :   V = odd(lx)? gcopy(V): RgX_neg(V);
    1173        1554 :   return fix_pol(av0, V);
    1174             : }
    1175             : 
    1176             : /*******************************************************************/
    1177             : /*                                                                 */
    1178             : /*                            NORMS                                */
    1179             : /*                                                                 */
    1180             : /*******************************************************************/
    1181             : GEN
    1182     3511884 : gnorm(GEN x)
    1183             : {
    1184             :   pari_sp av;
    1185             :   long lx, i;
    1186             :   GEN y;
    1187             : 
    1188     3511884 :   switch(typ(x))
    1189             :   {
    1190       45587 :     case t_INT:  return sqri(x);
    1191      519547 :     case t_REAL: return sqrr(x);
    1192        1358 :     case t_FRAC: return sqrfrac(x);
    1193     2872117 :     case t_COMPLEX: av = avma; return gerepileupto(av, cxnorm(x));
    1194       69055 :     case t_QUAD:    av = avma; return gerepileupto(av, quadnorm(x));
    1195             : 
    1196          14 :     case t_POL: case t_SER: case t_RFRAC: av = avma;
    1197          14 :       return gerepileupto(av, greal(gmul(conj_i(x),x)));
    1198             : 
    1199          28 :     case t_FFELT:
    1200          28 :       y = cgetg(3, t_INTMOD);
    1201          28 :       gel(y,1) = FF_p(x);
    1202          28 :       gel(y,2) = FF_norm(x); return y;
    1203             : 
    1204        4179 :     case t_POLMOD:
    1205             :     {
    1206        4179 :       GEN T = gel(x,1), a = gel(x,2);
    1207        4179 :       if (typ(a) != t_POL || varn(a) != varn(T)) return gpowgs(a, degpol(T));
    1208        3997 :       return RgXQ_norm(a, T);
    1209             :     }
    1210           0 :     case t_VEC: case t_COL: case t_MAT:
    1211           0 :       y = cgetg_copy(x, &lx);
    1212           0 :       for (i=1; i<lx; i++) gel(y,i) = gnorm(gel(x,i));
    1213           0 :       return y;
    1214             :   }
    1215           0 :   pari_err_TYPE("gnorm",x);
    1216             :   return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
    1217             : }
    1218             : 
    1219             : /* return |q|^2, complex modulus */
    1220             : static GEN
    1221          28 : cxquadnorm(GEN q, long prec)
    1222             : {
    1223          28 :   GEN X = gel(q,1), c = gel(X,2); /* (1-D)/4, -D/4 */
    1224          28 :   if (signe(c) > 0) return quadnorm(q); /* imaginary */
    1225          21 :   if (!prec) pari_err_TYPE("gnorml2", q);
    1226           7 :   return sqrr(quadtofp(q, prec));
    1227             : }
    1228             : 
    1229             : static GEN
    1230    35351032 : gnorml2_i(GEN x, long prec)
    1231             : {
    1232             :   pari_sp av;
    1233             :   long i, lx;
    1234             :   GEN s;
    1235             : 
    1236    35351032 :   switch(typ(x))
    1237             :   {
    1238     1092636 :     case t_INT:  return sqri(x);
    1239    25605307 :     case t_REAL: return sqrr(x);
    1240           7 :     case t_FRAC: return sqrfrac(x);
    1241     4128439 :     case t_COMPLEX: av = avma; return gerepileupto(av, cxnorm(x));
    1242          21 :     case t_QUAD:    av = avma; return gerepileupto(av, cxquadnorm(x,prec));
    1243             : 
    1244       60029 :     case t_POL: lx = lg(x)-1; x++; break;
    1245             : 
    1246     4467023 :     case t_VEC:
    1247             :     case t_COL:
    1248     4467023 :     case t_MAT: lx = lg(x); break;
    1249             : 
    1250           0 :     default: pari_err_TYPE("gnorml2",x);
    1251             :       return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
    1252             :   }
    1253     4527052 :   if (lx == 1) return gen_0;
    1254     4527052 :   av = avma;
    1255     4527052 :   s = gnorml2(gel(x,1));
    1256    30922379 :   for (i=2; i<lx; i++)
    1257             :   {
    1258    26396212 :     s = gadd(s, gnorml2(gel(x,i)));
    1259    26395449 :     if (gc_needed(av,1))
    1260             :     {
    1261           0 :       if (DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"gnorml2");
    1262           0 :       s = gerepileupto(av, s);
    1263             :     }
    1264             :   }
    1265     4526167 :   return gerepileupto(av,s);
    1266             : }
    1267             : GEN
    1268    35350276 : gnorml2(GEN x) { return gnorml2_i(x, 0); }
    1269             : 
    1270             : static GEN pnormlp(GEN,GEN,long);
    1271             : static GEN
    1272          63 : pnormlpvec(long i0, GEN x, GEN p, long prec)
    1273             : {
    1274          63 :   pari_sp av = avma;
    1275          63 :   long i, lx = lg(x);
    1276          63 :   GEN s = gen_0;
    1277         224 :   for (i=i0; i<lx; i++)
    1278             :   {
    1279         161 :     s = gadd(s, pnormlp(gel(x,i),p,prec));
    1280         161 :     if (gc_needed(av,1))
    1281             :     {
    1282           0 :       if (DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"gnormlp, i = %ld", i);
    1283           0 :       s = gerepileupto(av, s);
    1284             :     }
    1285             :   }
    1286          63 :   return s;
    1287             : }
    1288             : /* (||x||_p)^p */
    1289             : static GEN
    1290         196 : pnormlp(GEN x, GEN p, long prec)
    1291             : {
    1292         196 :   switch(typ(x))
    1293             :   {
    1294         119 :     case t_INT: case t_REAL: x = mpabs(x); break;
    1295           0 :     case t_FRAC: x = absfrac(x); break;
    1296          14 :     case t_COMPLEX: case t_QUAD: x = gabs(x,prec); break;
    1297           7 :     case t_POL: return pnormlpvec(2, x, p, prec);
    1298          56 :     case t_VEC: case t_COL: case t_MAT: return pnormlpvec(1, x, p, prec);
    1299           0 :     default: pari_err_TYPE("gnormlp",x);
    1300             :   }
    1301         133 :   return gpow(x, p, prec);
    1302             : }
    1303             : 
    1304             : GEN
    1305         357 : gnormlp(GEN x, GEN p, long prec)
    1306             : {
    1307         357 :   pari_sp av = avma;
    1308         357 :   if (!p || (typ(p) == t_INFINITY && inf_get_sign(p) > 0))
    1309         196 :     return gsupnorm(x, prec);
    1310         161 :   if (gsigne(p) <= 0) pari_err_DOMAIN("normlp", "p", "<=", gen_0, p);
    1311         154 :   if (is_scalar_t(typ(x))) return gabs(x, prec);
    1312          91 :   if (typ(p) == t_INT)
    1313             :   {
    1314          63 :     ulong pp = itou_or_0(p);
    1315          63 :     switch(pp)
    1316             :     {
    1317          28 :       case 1: return gnorml1(x, prec);
    1318          28 :       case 2: x = gnorml2_i(x, prec); break;
    1319           7 :       default: x = pnormlp(x, p, prec); break;
    1320             :     }
    1321          35 :     if (pp && typ(x) == t_INT && Z_ispowerall(x, pp, &x))
    1322           7 :       return gerepileuptoleaf(av, x);
    1323          28 :     if (pp == 2) return gerepileupto(av, gsqrt(x, prec));
    1324             :   }
    1325             :   else
    1326          28 :     x = pnormlp(x, p, prec);
    1327          28 :   x = gpow(x, ginv(p), prec);
    1328          28 :   return gerepileupto(av, x);
    1329             : }
    1330             : 
    1331             : GEN
    1332         168 : gnorml1(GEN x,long prec)
    1333             : {
    1334         168 :   pari_sp av = avma;
    1335             :   long lx,i;
    1336             :   GEN s;
    1337         168 :   switch(typ(x))
    1338             :   {
    1339          98 :     case t_INT: case t_REAL: return mpabs(x);
    1340           0 :     case t_FRAC: return absfrac(x);
    1341             : 
    1342          14 :     case t_COMPLEX: case t_QUAD:
    1343          14 :       return gabs(x,prec);
    1344             : 
    1345           7 :     case t_POL:
    1346           7 :       lx = lg(x); s = gen_0;
    1347          28 :       for (i=2; i<lx; i++) s = gadd(s, gnorml1(gel(x,i),prec));
    1348           7 :       break;
    1349             : 
    1350          49 :     case t_VEC: case t_COL: case t_MAT:
    1351          49 :       lx = lg(x); s = gen_0;
    1352         168 :       for (i=1; i<lx; i++) s = gadd(s, gnorml1(gel(x,i),prec));
    1353          49 :       break;
    1354             : 
    1355           0 :     default: pari_err_TYPE("gnorml1",x);
    1356             :       return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
    1357             :   }
    1358          56 :   return gerepileupto(av, s);
    1359             : }
    1360             : /* As gnorml1, except for t_QUAD and t_COMPLEX: |x + wy| := |x| + |y|
    1361             :  * Still a norm of R-vector spaces, and can be cheaply computed without
    1362             :  * square roots */
    1363             : GEN
    1364      142513 : gnorml1_fake(GEN x)
    1365             : {
    1366      142513 :   pari_sp av = avma;
    1367             :   long lx, i;
    1368             :   GEN s;
    1369      142513 :   switch(typ(x))
    1370             :   {
    1371      126742 :     case t_INT: case t_REAL: return mpabs(x);
    1372           0 :     case t_FRAC: return absfrac(x);
    1373             : 
    1374           0 :     case t_COMPLEX:
    1375           0 :       s = gadd(gnorml1_fake(gel(x,1)), gnorml1_fake(gel(x,2)));
    1376           0 :       break;
    1377           0 :     case t_QUAD:
    1378           0 :       s = gadd(gnorml1_fake(gel(x,2)), gnorml1_fake(gel(x,3)));
    1379           0 :       break;
    1380             : 
    1381       15771 :     case t_POL:
    1382       15771 :       lx = lg(x); s = gen_0;
    1383      102893 :       for (i=2; i<lx; i++) s = gadd(s, gnorml1_fake(gel(x,i)));
    1384       15771 :       break;
    1385             : 
    1386           0 :     case t_VEC: case t_COL: case t_MAT:
    1387           0 :       lx = lg(x); s = gen_0;
    1388           0 :       for (i=1; i<lx; i++) s = gadd(s, gnorml1_fake(gel(x,i)));
    1389           0 :       break;
    1390             : 
    1391           0 :     default: pari_err_TYPE("gnorml1_fake",x);
    1392             :       return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
    1393             :   }
    1394       15771 :   return gerepileupto(av, s);
    1395             : }
    1396             : 
    1397             : static void
    1398    28988672 : store(GEN z, GEN *m) { if (!*m || gcmp(z, *m) > 0) *m = z; }
    1399             : /* compare |x| to *m or |x|^2 to *msq, whichever is easiest, and update
    1400             :  * the pointed value if x is larger */
    1401             : void
    1402    34916517 : gsupnorm_aux(GEN x, GEN *m, GEN *msq, long prec)
    1403             : {
    1404             :   long i, lx;
    1405             :   GEN z;
    1406    34916517 :   switch(typ(x))
    1407             :   {
    1408       91971 :     case t_COMPLEX: z = cxnorm(x); store(z, msq); return;
    1409           7 :     case t_QUAD:  z = cxquadnorm(x,prec); store(z, msq); return;
    1410    28896682 :     case t_INT: case t_REAL: z = mpabs(x); store(z,m); return;
    1411          35 :     case t_FRAC: z = absfrac(x); store(z,m); return;
    1412             : 
    1413       80993 :     case t_POL: lx = lg(x)-1; x++; break;
    1414             : 
    1415     5846889 :     case t_VEC:
    1416             :     case t_COL:
    1417     5846889 :     case t_MAT: lx = lg(x); break;
    1418             : 
    1419           0 :     default: pari_err_TYPE("gsupnorm",x);
    1420             :       return; /* LCOV_EXCL_LINE */
    1421             :   }
    1422    39618135 :   for (i=1; i<lx; i++) gsupnorm_aux(gel(x,i), m, msq, prec);
    1423             : }
    1424             : GEN
    1425     1226200 : gsupnorm(GEN x, long prec)
    1426             : {
    1427     1226200 :   GEN m = NULL, msq = NULL;
    1428     1226200 :   pari_sp av = avma;
    1429     1226200 :   gsupnorm_aux(x, &m, &msq, prec);
    1430             :   /* now set m = max (m, sqrt(msq)) */
    1431     1226207 :   if (msq) {
    1432       15006 :     msq = gsqrt(msq, prec);
    1433       15007 :     if (!m || gcmp(m, msq) < 0) m = msq;
    1434     1211201 :   } else if (!m) m = gen_0;
    1435     1226208 :   return gerepilecopy(av, m);
    1436             : }
    1437             : 
    1438             : /*******************************************************************/
    1439             : /*                                                                 */
    1440             : /*                            TRACES                               */
    1441             : /*                                                                 */
    1442             : /*******************************************************************/
    1443             : GEN
    1444          35 : matcompanion(GEN x)
    1445             : {
    1446          35 :   long n = degpol(x), j;
    1447             :   GEN y, c;
    1448             : 
    1449          35 :   if (typ(x)!=t_POL) pari_err_TYPE("matcompanion",x);
    1450          35 :   if (!signe(x)) pari_err_DOMAIN("matcompanion","polynomial","=",gen_0,x);
    1451          28 :   if (n == 0) return cgetg(1, t_MAT);
    1452             : 
    1453          28 :   y = cgetg(n+1,t_MAT);
    1454         105 :   for (j=1; j < n; j++) gel(y,j) = col_ei(n, j+1);
    1455          28 :   c = cgetg(n+1,t_COL); gel(y,n) = c;
    1456          28 :   if (gequal1(gel(x, n+2)))
    1457         112 :     for (j=1; j<=n; j++) gel(c,j) = gneg(gel(x,j+1));
    1458             :   else
    1459             :   { /* not monic. Hardly ever used */
    1460           7 :     pari_sp av = avma;
    1461           7 :     GEN d = gclone(gneg(gel(x,n+2)));
    1462           7 :     set_avma(av);
    1463          21 :     for (j=1; j<=n; j++) gel(c,j) = gdiv(gel(x,j+1), d);
    1464           7 :     gunclone(d);
    1465             :   }
    1466          28 :   return y;
    1467             : }
    1468             : 
    1469             : GEN
    1470      757841 : gtrace(GEN x)
    1471             : {
    1472             :   pari_sp av;
    1473      757841 :   long i, lx, tx = typ(x);
    1474             :   GEN y, z;
    1475             : 
    1476      757841 :   switch(tx)
    1477             :   {
    1478       23500 :     case t_INT: case t_REAL: case t_FRAC:
    1479       23500 :       return gmul2n(x,1);
    1480             : 
    1481      731558 :     case t_COMPLEX:
    1482      731558 :       return gmul2n(gel(x,1),1);
    1483             : 
    1484         154 :     case t_QUAD:
    1485         154 :       y = gel(x,1);
    1486         154 :       if (!gequal0(gel(y,3)))
    1487             :       { /* assume quad. polynomial is either x^2 + d or x^2 - x + d */
    1488         154 :         av = avma;
    1489         154 :         return gerepileupto(av, gadd(gel(x,3), gmul2n(gel(x,2),1)));
    1490             :       }
    1491           0 :       return gmul2n(gel(x,2),1);
    1492             : 
    1493           7 :     case t_POL:
    1494           7 :       y = cgetg_copy(x, &lx); y[1] = x[1];
    1495          21 :       for (i=2; i<lx; i++) gel(y,i) = gtrace(gel(x,i));
    1496           7 :       return normalizepol_lg(y, lx);
    1497             : 
    1498          14 :     case t_SER:
    1499          14 :       if (ser_isexactzero(x)) return gcopy(x);
    1500           7 :       y = cgetg_copy(x, &lx); y[1] = x[1];
    1501          21 :       for (i=2; i<lx; i++) gel(y,i) = gtrace(gel(x,i));
    1502           7 :       return normalizeser(y);
    1503             : 
    1504         749 :     case t_POLMOD:
    1505         749 :       y = gel(x,1); z = gel(x,2);
    1506         749 :       if (typ(z) != t_POL || varn(y) != varn(z)) return gmulsg(degpol(y), z);
    1507         448 :       av = avma;
    1508         448 :       return gerepileupto(av, RgXQ_trace(z, y));
    1509             : 
    1510          28 :     case t_FFELT:
    1511          28 :       y=cgetg(3, t_INTMOD);
    1512          28 :       gel(y,1) = FF_p(x);
    1513          28 :       gel(y,2) = FF_trace(x);
    1514          28 :       return y;
    1515             : 
    1516           7 :     case t_RFRAC:
    1517           7 :       av = avma; return gerepileupto(av, gadd(x, conj_i(x)));
    1518             : 
    1519           0 :     case t_VEC: case t_COL:
    1520           0 :       y = cgetg_copy(x, &lx);
    1521           0 :       for (i=1; i<lx; i++) gel(y,i) = gtrace(gel(x,i));
    1522           0 :       return y;
    1523             : 
    1524        1827 :     case t_MAT:
    1525        1827 :       lx = lg(x); if (lx == 1) return gen_0;
    1526             :       /*now lx >= 2*/
    1527        1820 :       if (lx != lgcols(x)) pari_err_DIM("gtrace");
    1528        1813 :       av = avma; return gerepileupto(av, mattrace(x));
    1529             :   }
    1530           0 :   pari_err_TYPE("gtrace",x);
    1531             :   return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
    1532             : }
    1533             : 
    1534             : /* Cholesky decomposition for positive definite matrix a
    1535             :  * [GTM138, Algo 2.7.6, matrix Q]
    1536             :  * If a is not positive definite return NULL. */
    1537             : GEN
    1538       69243 : qfgaussred_positive(GEN a)
    1539             : {
    1540       69243 :   pari_sp av = avma;
    1541             :   GEN b;
    1542       69243 :   long i,j,k, n = lg(a);
    1543             : 
    1544       69243 :   if (typ(a)!=t_MAT) pari_err_TYPE("qfgaussred_positive",a);
    1545       69243 :   if (n == 1) return cgetg(1, t_MAT);
    1546       69236 :   if (lgcols(a)!=n) pari_err_DIM("qfgaussred_positive");
    1547       69236 :   b = cgetg(n,t_MAT);
    1548      367274 :   for (j=1; j<n; j++)
    1549             :   {
    1550      298038 :     GEN p1=cgetg(n,t_COL), p2=gel(a,j);
    1551             : 
    1552      298038 :     gel(b,j) = p1;
    1553     1507049 :     for (i=1; i<=j; i++) gel(p1,i) = gel(p2,i);
    1554     1209011 :     for (   ; i<n ; i++) gel(p1,i) = gen_0;
    1555             :   }
    1556      361466 :   for (k=1; k<n; k++)
    1557             :   {
    1558      294691 :     GEN bk, p = gcoeff(b,k,k), invp;
    1559      294691 :     if (gsigne(p)<=0) return gc_NULL(av); /* not positive definite */
    1560      292229 :     invp = ginv(p);
    1561      292220 :     bk = row(b, k);
    1562     1188751 :     for (i=k+1; i<n; i++) gcoeff(b,k,i) = gmul(gel(bk,i), invp);
    1563     1188748 :     for (i=k+1; i<n; i++)
    1564             :     {
    1565      896522 :       GEN c = gel(bk, i);
    1566     5543511 :       for (j=i; j<n; j++)
    1567     4646990 :         gcoeff(b,i,j) = gsub(gcoeff(b,i,j), gmul(c,gcoeff(b,k,j)));
    1568             :     }
    1569      292226 :     if (gc_needed(av,1))
    1570             :     {
    1571           0 :       if (DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"qfgaussred_positive");
    1572           0 :       b=gerepilecopy(av,b);
    1573             :     }
    1574             :   }
    1575       66775 :   return gerepilecopy(av,b);
    1576             : }
    1577             : 
    1578             : GEN
    1579       67945 : RgM_Cholesky(GEN M, long prec)
    1580             : {
    1581       67945 :   pari_sp av = avma;
    1582       67945 :   long i, j, lM = lg(M);
    1583       67945 :   GEN R, L = qfgaussred_positive(M);
    1584       67945 :   if (!L) return gc_NULL(av);
    1585      336505 :   R = cgetg(lM, t_MAT); for (j = 1; j < lM; j++) gel(R,j) = cgetg(lM, t_COL);
    1586      336484 :   for (i = 1; i < lM; i++)
    1587             :   {
    1588      271019 :     GEN r = gsqrt(gcoeff(L,i,i), prec);
    1589     2020480 :     for (j = 1; j < lM; j++)
    1590     1749479 :       gcoeff(R, i, j) = (i == j) ? r: gmul(r, gcoeff(L, i, j));
    1591             :   }
    1592       65465 :   return gerepileupto(av, R);
    1593             : }
    1594             : 
    1595             : /* Maximal pivot strategy: x is a suitable pivot if it is non zero and either
    1596             :  * - an exact type, or
    1597             :  * - it is maximal among remaining nonzero (t_REAL) pivots */
    1598             : static int
    1599       46820 : suitable(GEN x, long k, GEN *pp, long *pi)
    1600             : {
    1601       46820 :   long t = typ(x);
    1602       46820 :   switch(t)
    1603             :   {
    1604       24358 :     case t_INT: return signe(x) != 0;
    1605       22308 :     case t_FRAC: return 1;
    1606         154 :     case t_REAL: {
    1607         154 :       GEN p = *pp;
    1608         154 :       if (signe(x) && (!p || abscmprr(p, x) < 0)) { *pp = x; *pi = k; }
    1609         154 :       return 0;
    1610             :     }
    1611           0 :     default: return !gequal0(x);
    1612             :   }
    1613             : }
    1614             : 
    1615             : /* Gauss reduction (arbitrary symmetric matrix, only the part above the
    1616             :  * diagonal is considered). If signature is nonzero, return only the
    1617             :  * signature, in which case gsigne() should be defined for elements of a. */
    1618             : static GEN
    1619       11997 : gaussred(GEN a, long signature)
    1620             : {
    1621             :   GEN r, ak, al;
    1622       11997 :   pari_sp av = avma, av1;
    1623       11997 :   long n = lg(a), i, j, k, l, sp, sn, t;
    1624             : 
    1625       11997 :   if (typ(a) != t_MAT) pari_err_TYPE("gaussred",a);
    1626       11997 :   if (n == 1) return signature? mkvec2(gen_0, gen_0): cgetg(1, t_MAT);
    1627       11997 :   if (lgcols(a) != n) pari_err_DIM("gaussred");
    1628       11997 :   n--;
    1629       11997 :   r = const_vecsmall(n, 1); av1= avma;
    1630       11997 :   a = RgM_shallowcopy(a);
    1631       11997 :   t = n; sp = sn = 0;
    1632       58649 :   while (t)
    1633             :   {
    1634       46652 :     long pind = 0;
    1635       46652 :     GEN invp, p = NULL;
    1636      129361 :     k=1; while (k<=n && (!r[k] || !suitable(gcoeff(a,k,k), k, &p, &pind))) k++;
    1637       46652 :     if (k > n && p) k = pind;
    1638       46652 :     if (k <= n)
    1639             :     {
    1640       46638 :       p = gcoeff(a,k,k); invp = ginv(p); /* != 0 */
    1641       46638 :       if (signature) { /* skip if (!signature): gsigne may fail ! */
    1642       46575 :         if (gsigne(p) > 0) sp++; else sn++;
    1643             :       }
    1644       46638 :       r[k] = 0; t--;
    1645       46638 :       ak = row(a, k);
    1646      258218 :       for (i=1; i<=n; i++)
    1647      211580 :         gcoeff(a,k,i) = r[i]? gmul(gcoeff(a,k,i), invp): gen_0;
    1648             : 
    1649      258218 :       for (i=1; i<=n; i++) if (r[i])
    1650             :       {
    1651       82443 :         GEN c = gel(ak,i); /* - p * a[k,i] */
    1652       82443 :         if (gequal0(c)) continue;
    1653      461408 :         for (j=1; j<=n; j++) if (r[j])
    1654      244068 :           gcoeff(a,i,j) = gsub(gcoeff(a,i,j), gmul(c,gcoeff(a,k,j)));
    1655             :       }
    1656       46638 :       gcoeff(a,k,k) = p;
    1657       46638 :       if (gc_needed(av1,1))
    1658             :       {
    1659           0 :         if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"gaussred (t = %ld)", t);
    1660           0 :         a = gerepilecopy(av1, a);
    1661             :       }
    1662             :     }
    1663             :     else
    1664             :     { /* all remaining diagonal coeffs are currently 0 */
    1665          14 :       for (k=1; k<=n; k++) if (r[k])
    1666             :       {
    1667          14 :         l=k+1; while (l<=n && (!r[l] || !suitable(gcoeff(a,k,l), l, &p, &pind))) l++;
    1668          14 :         if (l > n && p) l = pind;
    1669          14 :         if (l > n) continue;
    1670             : 
    1671          14 :         p = gcoeff(a,k,l); invp = ginv(p);
    1672          14 :         sp++; sn++;
    1673          14 :         r[k] = r[l] = 0; t -= 2;
    1674          14 :         ak = row(a, k);
    1675          14 :         al = row(a, l);
    1676          70 :         for (i=1; i<=n; i++) if (r[i])
    1677             :         {
    1678          28 :           gcoeff(a,k,i) = gmul(gcoeff(a,k,i), invp);
    1679          28 :           gcoeff(a,l,i) = gmul(gcoeff(a,l,i), invp);
    1680             :         } else {
    1681          28 :           gcoeff(a,k,i) = gen_0;
    1682          28 :           gcoeff(a,l,i) = gen_0;
    1683             :         }
    1684             : 
    1685          70 :         for (i=1; i<=n; i++) if (r[i])
    1686             :         { /* c = a[k,i] * p, d = a[l,i] * p; */
    1687          28 :           GEN c = gel(ak,i), d = gel(al,i);
    1688         140 :           for (j=1; j<=n; j++) if (r[j])
    1689          56 :             gcoeff(a,i,j) = gsub(gcoeff(a,i,j),
    1690          56 :                                  gadd(gmul(gcoeff(a,l,j), c),
    1691          56 :                                       gmul(gcoeff(a,k,j), d)));
    1692             :         }
    1693          70 :         for (i=1; i<=n; i++) if (r[i])
    1694             :         {
    1695          28 :           GEN c = gcoeff(a,k,i), d = gcoeff(a,l,i);
    1696          28 :           gcoeff(a,k,i) = gadd(c, d);
    1697          28 :           gcoeff(a,l,i) = gsub(c, d);
    1698             :         }
    1699          14 :         gcoeff(a,k,l) = gen_1;
    1700          14 :         gcoeff(a,l,k) = gen_m1;
    1701          14 :         gcoeff(a,k,k) = gmul2n(p,-1);
    1702          14 :         gcoeff(a,l,l) = gneg(gcoeff(a,k,k));
    1703          14 :         if (gc_needed(av1,1))
    1704             :         {
    1705           0 :           if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"gaussred");
    1706           0 :           a = gerepilecopy(av1, a);
    1707             :         }
    1708          14 :         break;
    1709             :       }
    1710          14 :       if (k > n) break;
    1711             :     }
    1712             :   }
    1713       11997 :   if (!signature) return gerepilecopy(av, a);
    1714       11976 :   set_avma(av); return mkvec2s(sp, sn);
    1715             : }
    1716             : 
    1717             : GEN
    1718          21 : qfgaussred(GEN a) { return gaussred(a,0); }
    1719             : 
    1720             : GEN
    1721           7 : qfgaussred2(GEN a)
    1722             : {
    1723           7 :   pari_sp av = avma;
    1724           7 :   GEN M = qfgaussred(a);
    1725           7 :   long i, l = lg(M);
    1726           7 :   GEN D = cgetg(l, t_VEC);
    1727          35 :   for (i = 1; i < l; i++)
    1728             :   {
    1729          28 :     gel(D,i) = gcoeff(M,i,i);
    1730          28 :     gcoeff(M,i,i) = gen_1;
    1731             :   }
    1732           7 :   return gerepilecopy(av, mkvec2(M,D));
    1733             : }
    1734             : 
    1735             : GEN
    1736          21 : qfgaussred0(GEN a, long flag)
    1737             : {
    1738          21 :   switch (flag)
    1739             :   {
    1740          14 :     case 0: return qfgaussred(a);
    1741           7 :     case 1: return qfgaussred2(a);
    1742           0 :     default: pari_err_FLAG("qfgaussred");
    1743             :   }
    1744             :   return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
    1745             : }
    1746             : 
    1747             : GEN
    1748          14 : qfcholesky(GEN a, long prec)
    1749             : {
    1750             :   GEN M;
    1751          14 :   long n = lg(a);
    1752          14 :   if (typ(a) != t_MAT) pari_err_TYPE("qfcholesky",a);
    1753          14 :   if (n == 1) return cgetg(1, t_MAT);
    1754          14 :   if (lgcols(a) != lg(a)) pari_err_DIM("qfcholesky");
    1755          14 :   M =  RgM_Cholesky(a, prec);
    1756          14 :   if (!M) return cgetg(1, t_VEC);
    1757           7 :   return M;
    1758             : }
    1759             : 
    1760             : GEN
    1761       11976 : qfsign(GEN a) { return gaussred(a,1); }
    1762             : 
    1763             : /* x -= s(y+u*x) */
    1764             : /* y += s(x-u*y), simultaneously */
    1765             : static void
    1766       19180 : rot(GEN x, GEN y, GEN s, GEN u) {
    1767       19180 :   GEN x1 = subrr(x, mulrr(s,addrr(y,mulrr(u,x))));
    1768       19180 :   GEN y1 = addrr(y, mulrr(s,subrr(x,mulrr(u,y))));
    1769       19180 :   affrr(x1,x);
    1770       19180 :   affrr(y1,y);
    1771       19180 : }
    1772             : 
    1773             : /* Diagonalization of a REAL symmetric matrix. Return a vector [L, r]:
    1774             :  * L = vector of eigenvalues
    1775             :  * r = matrix of eigenvectors */
    1776             : GEN
    1777          28 : jacobi(GEN a, long prec)
    1778             : {
    1779             :   pari_sp av;
    1780          28 :   long de, e, e1, e2, i, j, p, q, l = lg(a);
    1781             :   GEN c, ja, L, r, L2, r2, unr;
    1782             : 
    1783          28 :   if (typ(a) != t_MAT) pari_err_TYPE("jacobi",a);
    1784          28 :   ja = cgetg(3,t_VEC);
    1785          28 :   L = cgetg(l,t_COL); gel(ja,1) = L;
    1786          28 :   r = cgetg(l,t_MAT); gel(ja,2) = r;
    1787          28 :   if (l == 1) return ja;
    1788          28 :   if (lgcols(a) != l) pari_err_DIM("jacobi");
    1789             : 
    1790          28 :   e1 = HIGHEXPOBIT-1;
    1791         224 :   for (j=1; j<l; j++)
    1792             :   {
    1793         196 :     GEN z = gtofp(gcoeff(a,j,j), prec);
    1794         196 :     gel(L,j) = z;
    1795         196 :     e = expo(z); if (e < e1) e1 = e;
    1796             :   }
    1797         224 :   for (j=1; j<l; j++)
    1798             :   {
    1799         196 :     gel(r,j) = cgetg(l,t_COL);
    1800        1582 :     for (i=1; i<l; i++) gcoeff(r,i,j) = utor(i==j? 1: 0, prec);
    1801             :   }
    1802          28 :   av = avma;
    1803             : 
    1804          28 :   e2 = -(long)HIGHEXPOBIT; p = q = 1;
    1805          28 :   c = cgetg(l,t_MAT);
    1806         224 :   for (j=1; j<l; j++)
    1807             :   {
    1808         196 :     gel(c,j) = cgetg(j,t_COL);
    1809         791 :     for (i=1; i<j; i++)
    1810             :     {
    1811         595 :       GEN z = gtofp(gcoeff(a,i,j), prec);
    1812         595 :       gcoeff(c,i,j) = z;
    1813         595 :       if (!signe(z)) continue;
    1814         308 :       e = expo(z); if (e > e2) { e2 = e; p = i; q = j; }
    1815             :     }
    1816             :   }
    1817          28 :   a = c; unr = real_1(prec);
    1818          28 :   de = prec2nbits(prec);
    1819             : 
    1820             :  /* e1 = min expo(a[i,i])
    1821             :   * e2 = max expo(a[i,j]), i != j */
    1822        1568 :   while (e1-e2 < de)
    1823             :   {
    1824        1540 :     pari_sp av2 = avma;
    1825             :     GEN x, y, t, c, s, u;
    1826             :     /* compute attached rotation in the plane formed by basis vectors number
    1827             :      * p and q */
    1828        1540 :     x = subrr(gel(L,q),gel(L,p));
    1829        1540 :     if (signe(x))
    1830             :     {
    1831        1512 :       x = divrr(x, shiftr(gcoeff(a,p,q),1));
    1832        1512 :       y = sqrtr(addrr(unr, sqrr(x)));
    1833        1512 :       t = invr((signe(x)>0)? addrr(x,y): subrr(x,y));
    1834             :     }
    1835             :     else
    1836          28 :       y = t = unr;
    1837        1540 :     c = sqrtr(addrr(unr,sqrr(t)));
    1838        1540 :     s = divrr(t,c);
    1839        1540 :     u = divrr(t,addrr(unr,c));
    1840             : 
    1841             :     /* compute successive transforms of a and the matrix of accumulated
    1842             :      * rotations (r) */
    1843        4144 :     for (i=1;   i<p; i++) rot(gcoeff(a,i,p), gcoeff(a,i,q), s,u);
    1844        4039 :     for (i=p+1; i<q; i++) rot(gcoeff(a,p,i), gcoeff(a,i,q), s,u);
    1845        4487 :     for (i=q+1; i<l; i++) rot(gcoeff(a,p,i), gcoeff(a,q,i), s,u);
    1846        1540 :     y = gcoeff(a,p,q);
    1847        1540 :     t = mulrr(t, y); shiftr_inplace(y, -de - 1);
    1848        1540 :     x = gel(L,p); subrrz(x,t, x);
    1849        1540 :     y = gel(L,q); addrrz(y,t, y);
    1850       12670 :     for (i=1; i<l; i++) rot(gcoeff(r,i,p), gcoeff(r,i,q), s,u);
    1851             : 
    1852        1540 :     e2 = -(long)HIGHEXPOBIT; p = q = 1;
    1853       12670 :     for (j=1; j<l; j++)
    1854             :     {
    1855       46396 :       for (i=1; i<j; i++)
    1856             :       {
    1857       35266 :         GEN z = gcoeff(a,i,j);
    1858       35266 :         if (!signe(z)) continue;
    1859       31080 :         e = expo(z); if (e > e2) { e2=e; p=i; q=j; }
    1860             :       }
    1861       46396 :       for (i=j+1; i<l; i++)
    1862             :       {
    1863       35266 :         GEN z = gcoeff(a,j,i);
    1864       35266 :         if (!signe(z)) continue;
    1865       31080 :         e = expo(z); if (e > e2) { e2=e; p=j; q=i; }
    1866             :       }
    1867             :     }
    1868        1540 :     set_avma(av2);
    1869             :   }
    1870             :   /* sort eigenvalues from smallest to largest */
    1871          28 :   c = indexsort(L);
    1872         224 :   r2 = vecpermute(r, c); for (i=1; i<l; i++) gel(r,i) = gel(r2,i);
    1873         224 :   L2 = vecpermute(L, c); for (i=1; i<l; i++) gel(L,i) = gel(L2,i);
    1874          28 :   set_avma(av); return ja;
    1875             : }
    1876             : 
    1877             : /*************************************************************************/
    1878             : /**                                                                     **/
    1879             : /**                   Q-vector space -> Z-modules                       **/
    1880             : /**                                                                     **/
    1881             : /*************************************************************************/
    1882             : 
    1883             : GEN
    1884         133 : matrixqz0(GEN x,GEN p)
    1885             : {
    1886         133 :   if (typ(x) != t_MAT) pari_err_TYPE("matrixqz",x);
    1887         133 :   if (!p) return QM_minors_coprime(x,NULL);
    1888          98 :   if (typ(p) != t_INT) pari_err_TYPE("matrixqz",p);
    1889          98 :   if (signe(p)>=0) return QM_minors_coprime(x,p);
    1890          91 :   if (!RgM_is_QM(x)) pari_err_TYPE("matrixqz", x);
    1891          91 :   if (absequaliu(p,1)) return QM_ImZ(x); /* p = -1 */
    1892          63 :   if (absequaliu(p,2)) return QM_ImQ(x); /* p = -2 */
    1893           7 :   pari_err_FLAG("QM_minors_coprime");
    1894             :   return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
    1895             : }
    1896             : 
    1897             : GEN
    1898          42 : QM_minors_coprime(GEN x, GEN D)
    1899             : {
    1900          42 :   pari_sp av = avma, av1;
    1901             :   long i, j, m, n, lP;
    1902             :   GEN P, y;
    1903             : 
    1904          42 :   n = lg(x)-1; if (!n) return gcopy(x);
    1905          42 :   m = nbrows(x);
    1906          42 :   if (n > m) pari_err_DOMAIN("QM_minors_coprime","n",">",strtoGENstr("m"),x);
    1907          35 :   y = x; x = cgetg(n+1,t_MAT);
    1908         112 :   for (j=1; j<=n; j++)
    1909             :   {
    1910          77 :     gel(x,j) = Q_primpart(gel(y,j));
    1911          77 :     RgV_check_ZV(gel(x,j), "QM_minors_coprime");
    1912             :   }
    1913             :   /* x now a ZM */
    1914          35 :   if (n==m)
    1915             :   {
    1916          21 :     if (gequal0(ZM_det(x)))
    1917          14 :       pari_err_DOMAIN("QM_minors_coprime", "rank(A)", "<",stoi(n),x);
    1918           7 :     set_avma(av); return matid(n);
    1919             :   }
    1920             :   /* m > n */
    1921          14 :   if (!D || gequal0(D))
    1922             :   {
    1923          14 :     pari_sp av2 = avma;
    1924          14 :     D = ZM_detmult(shallowtrans(x));
    1925          14 :     if (is_pm1(D)) { set_avma(av2); return ZM_copy(x); }
    1926             :   }
    1927          14 :   P = gel(Z_factor(D), 1); lP = lg(P);
    1928          14 :   av1 = avma;
    1929          56 :   for (i=1; i < lP; i++)
    1930             :   {
    1931          42 :     GEN p = gel(P,i), pov2 = shifti(p, -1);
    1932             :     for(;;)
    1933          42 :     {
    1934          84 :       GEN N, M = FpM_ker(x, p);
    1935          84 :       long lM = lg(M);
    1936          84 :       if (lM==1) break;
    1937             : 
    1938          42 :       FpM_center_inplace(M, p, pov2);
    1939          42 :       N = ZM_Z_divexact(ZM_mul(x,M), p);
    1940         126 :       for (j=1; j<lM; j++)
    1941             :       {
    1942         147 :         long k = n; while (!signe(gcoeff(M,k,j))) k--;
    1943          84 :         gel(x,k) = gel(N,j);
    1944             :       }
    1945          42 :       if (gc_needed(av1,1))
    1946             :       {
    1947           0 :         if (DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"QM_minors_coprime, p = %Ps", p);
    1948           0 :         x = gerepilecopy(av1, x); pov2 = shifti(p, -1);
    1949             :       }
    1950             :     }
    1951             :   }
    1952          14 :   return gerepilecopy(av, x);
    1953             : }
    1954             : 
    1955             : static GEN
    1956        1323 : QM_ImZ_all_i(GEN A, GEN *U, long remove, long hnf, long linindep)
    1957             : {
    1958        1323 :   GEN V = NULL, D;
    1959        1323 :   A = Q_remove_denom(A,&D);
    1960        1323 :   if (D)
    1961             :   {
    1962             :     long l, lA;
    1963         168 :     V = matkermod(A,D,NULL);
    1964         168 :     l = lg(V); lA = lg(A);
    1965         168 :     if (l == 1) V = scalarmat_shallow(D, lA-1);
    1966             :     else
    1967             :     {
    1968         126 :       if (l < lA) V = hnfmodid(V,D);
    1969         126 :       A = ZM_Z_divexact(ZM_mul(A, V), D);
    1970             :     }
    1971             :   }
    1972        1323 :   if (!linindep && ZM_rank(A)==lg(A)-1) linindep = 1;
    1973        1323 :   if (hnf || !linindep) A = ZM_hnflll(A, U, remove);
    1974        1323 :   if (U && V)
    1975             :   {
    1976          35 :     if (hnf)    *U = ZM_mul(V,*U);
    1977           0 :     else        *U = V;
    1978             :   }
    1979        1323 :   return A;
    1980             : }
    1981             : GEN
    1982          28 : QM_ImZ_all(GEN x, GEN *U, long remove, long hnf)
    1983             : {
    1984          28 :   pari_sp av = avma;
    1985          28 :   x = QM_ImZ_all_i(x, U, remove, hnf, 0);
    1986          28 :   return gc_all(av, U?2:1, &x, &U);
    1987             : }
    1988             : GEN
    1989           0 : QM_ImZ_hnfall(GEN x, GEN *U, long remove) { return QM_ImZ_all(x, U, remove, 1); }
    1990             : GEN
    1991           0 : QM_ImZ_hnf(GEN x) { return QM_ImZ_hnfall(x, NULL, 1); }
    1992             : GEN
    1993          28 : QM_ImZ(GEN x) { return QM_ImZ_all(x, NULL, 1, 0); }
    1994             : 
    1995             : GEN
    1996        1302 : QM_ImQ_all(GEN x, GEN *U, long remove, long hnf)
    1997             : {
    1998        1302 :   pari_sp av = avma;
    1999        1302 :   long i, n = lg(x), m;
    2000        1302 :   GEN ir, V, D, c, K = NULL;
    2001             : 
    2002        1302 :   if (U) *U = matid(n-1);
    2003        1302 :   if (n==1) return gcopy(x);
    2004        1295 :   m = lg(gel(x,1));
    2005             : 
    2006        1295 :   x = RgM_shallowcopy(x);
    2007        8540 :   for (i=1; i<n; i++)
    2008             :   {
    2009        7245 :     gel(x,i) = Q_primitive_part(gel(x,i), &c);
    2010        7245 :     if (U && c && signe(c)) gcoeff(*U,i,i) = ginv(c);
    2011             :   }
    2012             : 
    2013        1295 :   ir = ZM_indexrank(x);
    2014        1295 :   if (U)
    2015             :   {
    2016          77 :     *U = vecpermute(*U, gel(ir,2));
    2017          77 :     if (remove < 2) K = ZM_ker(x);
    2018             :   }
    2019        1295 :   x = vecpermute(x, gel(ir,2));
    2020             : 
    2021        1295 :   D = absi(ZM_det(rowpermute(x,gel(ir,1))));
    2022        1295 :   x = RgM_Rg_div(x, D);
    2023        1295 :   x = QM_ImZ_all_i(x, U? &V: NULL, remove, hnf, 1);
    2024             : 
    2025        1295 :   if (U)
    2026             :   {
    2027          77 :     *U = RgM_Rg_div(RgM_mul(*U,V),D);
    2028          77 :     if (remove < 2) *U = shallowconcat(K,*U);
    2029          77 :     if (!remove) x = shallowconcat(zeromatcopy(m-1,lg(K)-1), x);
    2030          77 :     gerepileall(av, 2, &x, U);
    2031             :   }
    2032        1218 :   else x = gerepilecopy(av,x);
    2033        1295 :   return x;
    2034             : }
    2035             : GEN
    2036        1246 : QM_ImQ_hnfall(GEN x, GEN *U, long remove) { return QM_ImQ_all(x, U, remove, 1); }
    2037             : GEN
    2038        1169 : QM_ImQ_hnf(GEN x) { return QM_ImQ_hnfall(x, NULL, 1); }
    2039             : GEN
    2040          56 : QM_ImQ(GEN x) { return QM_ImQ_all(x, NULL, 1, 0); }
    2041             : 
    2042             : GEN
    2043        3752 : intersect(GEN x, GEN y)
    2044             : {
    2045        3752 :   long j, lx = lg(x);
    2046             :   pari_sp av;
    2047             :   GEN z;
    2048             : 
    2049        3752 :   if (typ(x)!=t_MAT) pari_err_TYPE("intersect",x);
    2050        3752 :   if (typ(y)!=t_MAT) pari_err_TYPE("intersect",y);
    2051        3752 :   if (lx==1 || lg(y)==1) return cgetg(1,t_MAT);
    2052             : 
    2053        3752 :   av = avma; z = ker(shallowconcat(x,y));
    2054       16324 :   for (j=lg(z)-1; j; j--) setlg(z[j], lx);
    2055        3752 :   return gerepileupto(av, image(RgM_mul(x,z)));
    2056             : }

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