Line data Source code
1 : /* Copyright (C) 2000 The PARI group.
2 :
3 : This file is part of the PARI/GP package.
4 :
5 : PARI/GP is free software; you can redistribute it and/or modify it under the
6 : terms of the GNU General Public License as published by the Free Software
7 : Foundation; either version 2 of the License, or (at your option) any later
8 : version. It is distributed in the hope that it will be useful, but WITHOUT
9 : ANY WARRANTY WHATSOEVER.
10 :
11 : Check the License for details. You should have received a copy of it, along
12 : with the package; see the file 'COPYING'. If not, write to the Free Software
13 : Foundation, Inc., 51 Franklin Street, Fifth Floor, Boston, MA 02110-1301 USA. */
14 :
15 : /********************************************************************/
16 : /** **/
17 : /** TRANSCENDENTAL FONCTIONS **/
18 : /** (part 3) **/
19 : /** **/
20 : /********************************************************************/
21 : #include "pari.h"
22 : #include "paripriv.h"
23 :
24 : #define DEBUGLEVEL DEBUGLEVEL_trans
25 :
26 : #define HALF_E 1.3591409 /* exp(1) / 2 */
27 :
28 : /***********************************************************************/
29 : /** **/
30 : /** BESSEL FUNCTIONS **/
31 : /** **/
32 : /***********************************************************************/
33 :
34 : static GEN
35 900443 : _abs(GEN x)
36 900443 : { return gabs(gtofp(x,LOWDEFAULTPREC), LOWDEFAULTPREC); }
37 : /* can we use asymptotic expansion ? */
38 : static int
39 408964 : bessel_asymp(GEN n, GEN z, long bit)
40 : {
41 : GEN Z, N;
42 408964 : long t = typ(n);
43 408964 : if (!is_real_t(t) && t != t_COMPLEX) return 0;
44 408782 : Z = _abs(z); N = gaddgs(_abs(n), 1);
45 408782 : return gcmpgs(gdiv(Z, gsqr(N)), (bit+10)/2) >= 0; }
46 :
47 : /* Region I: 0 < Arg z <= Pi, II: -Pi < Arg z <= 0 */
48 : static int
49 518 : regI(GEN z)
50 : {
51 518 : long s = gsigne(imag_i(z));
52 518 : return (s > 0 || (s == 0 && gsigne(real_i(z)) < 0)) ? 1 : 2;
53 : }
54 : /* Region 1: Re(z) >= 0, 2: Re(z) < 0, Im(z) >= 0, 3: Re(z) < 0, Im(z) < 0 */
55 : static int
56 81899 : regJ(GEN z)
57 : {
58 81899 : if (gsigne(real_i(z)) >= 0) return 1;
59 336 : return gsigne(imag_i(z)) >= 0 ? 2 : 3;
60 : }
61 :
62 : /* Hankel's expansions:
63 : * a_k(n) = \prod_{0 <= j < k} (4n^2 - (2j+1)^2)
64 : * C(k)[n,z] = a_k(n) / (k! (8 z)^k)
65 : * A(z) = exp(-z) sum_{k >= 0} C(k)
66 : * A(-z) = exp(z) sum_{k >= 0} (-1)^k C(k)
67 : * J_n(z) ~ [1] (A(z/i) / r + A(-z/i) r) / sqrt(2Pi z)
68 : * [2] (A(z/i) r^3 + A(-z/i) r) / sqrt(2Pi z)
69 : * [3] (A(z/i) / r + A(-z/i) / r^3) / sqrt(2Pi z)
70 : * Y_n(z) ~ [1] i(A(z/i) / r + A(-z/i) r) / sqrt(2Pi z)
71 : * [2] i(A(z/i) (r^3-2/r) + A(-z/i) r) / sqrt(2Pi z)
72 : * [3] i(-A(z/i)/r + A(-z/i)(2r-1/r^3)) / sqrt(2Pi z)
73 : * K_n(z) ~ A(z) Pi / sqrt(2 Pi z)
74 : * I_n(z) ~ [I] (A(-z) + r^2 A(z)) / sqrt(2 Pi z)
75 : * [II](A(-z) + r^(-2) A(z)) / sqrt(2 Pi z) */
76 :
77 : /* set [A(z), A(-z), exp((2*nu+1)*I*Pi/4)] */
78 : static void
79 82879 : hankel_ABr(GEN *pA, GEN *pB, GEN *pr, GEN n, GEN z, long bit)
80 : {
81 82879 : GEN E, P, C, Q = gen_0, zi = ginv(gmul2n(z, 3));
82 82879 : GEN K = gaddgs(_abs(n), 1), n2 = gmul2n(gsqr(n),2);
83 82879 : long prec = nbits2prec(bit), B = bit + 4, m;
84 :
85 82879 : P = C = real_1_bit(bit);
86 82879 : for (m = 1;; m += 2)
87 : {
88 5475740 : C = gmul(C, gdivgu(gmul(gsub(n2, sqru(2*m - 1)), zi), m));
89 5475740 : Q = gadd(Q, C);
90 5475740 : C = gmul(C, gdivgu(gmul(gsub(n2, sqru(2*m + 1)), zi), m + 1));
91 5475740 : P = gadd(P, C);
92 5475740 : if (gexpo(C) < -B && gcmpgs(K, m) <= 0) break;
93 : }
94 82879 : E = gexp(z, prec);
95 82879 : *pA = gdiv(gadd(P, Q), E);
96 82879 : *pB = gmul(gsub(P, Q), E);
97 82879 : *pr = gexp(mulcxI(gmul(gaddgs(gmul2n(n,1), 1), Pi2n(-2, prec))), prec);
98 82879 : }
99 :
100 : /* sqrt(2*Pi*z) */
101 : static GEN
102 82879 : sqz(GEN z, long bit)
103 : {
104 82879 : long prec = nbits2prec(bit);
105 82879 : return gsqrt(gmul(Pi2n(1, prec), z), prec);
106 : }
107 :
108 : static GEN
109 462 : besskasymp(GEN nu, GEN z, long bit)
110 : {
111 : GEN A, B, r;
112 462 : long prec = nbits2prec(bit);
113 462 : hankel_ABr(&A,&B,&r, nu, z, bit);
114 462 : return gdiv(gmul(A, mppi(prec)), sqz(z, bit));
115 : }
116 :
117 : static GEN
118 518 : bessiasymp(GEN nu, GEN z, long bit)
119 : {
120 : GEN A, B, r, R, r2;
121 518 : hankel_ABr(&A,&B,&r, nu, z, bit);
122 518 : r2 = gsqr(r);
123 518 : R = regI(z) == 1 ? gmul(A, r2) : gdiv(A, r2);
124 518 : return gdiv(gadd(B, R), sqz(z, bit));
125 : }
126 :
127 : static GEN
128 81433 : bessjasymp(GEN nu, GEN z, long bit)
129 : {
130 : GEN A, B, r, R;
131 81433 : long reg = regJ(z);
132 81433 : hankel_ABr(&A,&B,&r, nu, mulcxmI(z), bit);
133 81433 : if (reg == 1) R = gadd(gdiv(A, r), gmul(B, r));
134 168 : else if (reg == 2) R = gadd(gmul(A, gpowgs(r, 3)), gmul(B, r));
135 56 : else R = gadd(gdiv(A, r), gdiv(B, gpowgs(r, 3)));
136 81433 : return gdiv(R, sqz(z, bit));
137 : }
138 :
139 : static GEN
140 466 : bessyasymp(GEN nu, GEN z, long bit)
141 : {
142 : GEN A, B, r, R;
143 466 : long reg = regJ(z);
144 466 : hankel_ABr(&A,&B,&r, nu, mulcxmI(z), bit);
145 466 : if (reg == 1) R = gsub(gmul(B, r), gdiv(A, r));
146 168 : else if (reg == 2)
147 112 : R = gadd(gmul(A, gsub(gpowgs(r, 3), gmul2n(ginv(r), 1))), gmul(B, r));
148 : else
149 56 : R = gsub(gmul(B, gsub(gmul2n(r, 1), ginv(gpowgs(r, 3)))), gdiv(A, r));
150 466 : return gdiv(mulcxI(R), sqz(z, bit));
151 : }
152 :
153 : /* n! sum_{0 <= k <= m} x^k / (k!*(k+n)!) */
154 : static GEN
155 314931 : _jbessel(GEN n, GEN x, long m)
156 : {
157 314931 : pari_sp av = avma;
158 314931 : GEN s = gen_1;
159 : long k;
160 :
161 109563028 : for (k = m; k >= 1; k--)
162 : {
163 109248097 : s = gaddsg(1, gdiv(gmul(x,s), gmulgu(gaddgs(n, k), k)));
164 109248097 : if (gc_needed(av,1))
165 : {
166 0 : if (DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"besselj");
167 0 : s = gerepileupto(av, s);
168 : }
169 : }
170 314931 : return s;
171 : }
172 :
173 : /* max(2, L * approximate solution to x log x = B) */
174 : static long
175 325504 : bessel_get_lim(double B, double L)
176 325504 : { return maxss(2, L * exp(dbllambertW0(B))); }
177 :
178 42 : static GEN vjbesselh(void* E, GEN z, long prec){return jbesselh((GEN)E,z,prec);}
179 126 : static GEN vjbessel(void* E, GEN z, long prec) {return jbessel((GEN)E,z,prec);}
180 42 : static GEN vibessel(void* E, GEN z, long prec) {return ibessel((GEN)E,z,prec);}
181 126 : static GEN vnbessel(void* E, GEN z, long prec) {return nbessel((GEN)E,z,prec);}
182 42 : static GEN vkbessel(void* E, GEN z, long prec) {return kbessel((GEN)E,z,prec);}
183 :
184 : /* if J != 0 BesselJ, else BesselI. */
185 : static GEN
186 397197 : jbesselintern(GEN n, GEN z, long J, long prec)
187 : {
188 397197 : const char *f = J? "besselj": "besseli";
189 : long i, ki;
190 397197 : pari_sp av = avma;
191 : GEN y;
192 :
193 397197 : switch(typ(z))
194 : {
195 396791 : case t_INT: case t_FRAC: case t_REAL: case t_COMPLEX:
196 : {
197 396791 : int flz0 = gequal0(z);
198 : long lim, k, precnew, bit;
199 : GEN p1, p2;
200 : double az, L;
201 :
202 396791 : i = precision(z); if (i) prec = i;
203 396791 : if (flz0 && gequal0(n)) return real_1(prec);
204 396791 : bit = prec2nbits(prec);
205 396791 : if (bessel_asymp(n, z, bit))
206 : {
207 81951 : GEN R = J? bessjasymp(n, z, bit): bessiasymp(n, z, bit);
208 81951 : if (typ(R) == t_COMPLEX && isexactzero(imag_i(n))
209 81265 : && gsigne(real_i(z)) > 0
210 81111 : && isexactzero(imag_i(z))) R = gcopy(gel(R,1));
211 81951 : return gerepileupto(av, R);
212 : }
213 314840 : p2 = gpow(gmul2n(z,-1),n,prec);
214 314812 : p2 = gdiv(p2, ggamma(gaddgs(n,1),prec));
215 314812 : if (flz0) return gerepileupto(av, p2);
216 314812 : az = dblmodulus(z); L = HALF_E * az;
217 314812 : precnew = prec;
218 314812 : if (az >= 1.0) precnew += 1 + nbits2extraprec((long)(az/M_LN2));
219 314812 : if (issmall(n,&ki)) {
220 313881 : k = labs(ki);
221 313881 : n = utoi(k);
222 : } else {
223 847 : i = precision(n);
224 847 : if (i && i < precnew) n = gtofp(n,precnew);
225 : }
226 314728 : z = gtofp(z,precnew);
227 314728 : lim = bessel_get_lim(prec2nbits_mul(prec,M_LN2/2) / L, L);
228 314728 : z = gmul2n(gsqr(z),-2); if (J) z = gneg(z);
229 314728 : p1 = gprec_wtrunc(_jbessel(n,z,lim), prec);
230 314728 : return gerepileupto(av, gmul(p2,p1));
231 : }
232 :
233 14 : case t_PADIC: pari_err_IMPL(stack_strcat("p-adic ",f));
234 392 : default:
235 : {
236 : long v, k, m;
237 392 : if (!(y = toser_i(z))) break;
238 238 : if (issmall(n,&ki)) n = utoi(labs(ki));
239 210 : y = gmul2n(gsqr(y),-2); if (J) y = gneg(y);
240 210 : v = valser(y);
241 210 : if (v < 0) pari_err_DOMAIN(f, "valuation", "<", gen_0, z);
242 203 : if (v == 0) pari_err_IMPL(stack_strcat(f, " around a!=0"));
243 203 : m = lg(y) - 2;
244 203 : k = m - (v >> 1);
245 203 : if (k <= 0) { set_avma(av); return scalarser(gen_1, varn(z), v); }
246 203 : setlg(y, k+2); return gerepileupto(av, _jbessel(n, y, m));
247 : }
248 : }
249 154 : return trans_evalgen(f, (void*)n, J? vjbessel: vibessel, z, prec);
250 : }
251 : GEN
252 384972 : jbessel(GEN n, GEN z, long prec) { return jbesselintern(n,z,1,prec); }
253 : GEN
254 896 : ibessel(GEN n, GEN z, long prec) { return jbesselintern(n,z,0,prec); }
255 :
256 : /* k > 0 */
257 : static GEN
258 119 : _jbesselh(long k, GEN z, long prec)
259 : {
260 119 : GEN s, c, p0, p1, zinv = ginv(z);
261 : long i;
262 :
263 119 : gsincos(z,&s,&c,prec);
264 119 : p1 = gmul(zinv,s);
265 119 : p0 = p1; p1 = gmul(zinv,gsub(p0,c));
266 1134 : for (i = 2; i <= k; i++)
267 : {
268 1015 : GEN p2 = gsub(gmul(gmulsg(2*i-1,zinv), p1), p0);
269 1015 : p0 = p1; p1 = p2;
270 : }
271 119 : return p1;
272 : }
273 :
274 : /* J_{n+1/2}(z) */
275 : GEN
276 315 : jbesselh(GEN n, GEN z, long prec)
277 : {
278 : long k, i;
279 : pari_sp av;
280 : GEN y;
281 :
282 315 : if (typ(n)!=t_INT) pari_err_TYPE("jbesselh",n);
283 203 : k = itos(n);
284 203 : if (k < 0) return jbessel(gadd(ghalf,n), z, prec);
285 :
286 203 : switch(typ(z))
287 : {
288 133 : case t_INT: case t_FRAC: case t_REAL: case t_COMPLEX:
289 : {
290 : long pr;
291 : GEN p1;
292 133 : if (gequal0(z))
293 : {
294 7 : av = avma;
295 7 : p1 = gmul(gsqrt(gdiv(z,mppi(prec)),prec),gpowgs(z,k));
296 7 : p1 = gdiv(p1, mulu_interval(k+1, 2*k+1)); /* x k! / (2k+1)! */
297 7 : return gerepileupto(av, gmul2n(p1,2*k));
298 : }
299 126 : if ( (pr = precision(z)) ) prec = pr;
300 126 : if (bessel_asymp(n, z, prec2nbits(prec)))
301 7 : return jbessel(gadd(ghalf,n), z, prec);
302 119 : y = cgetc(prec); av = avma;
303 119 : p1 = gsqrt(gdiv(z, Pi2n(-1,prec)), prec);
304 119 : if (!k)
305 21 : p1 = gmul(p1, gsinc(z, prec));
306 : else
307 : {
308 98 : long bits = BITS_IN_LONG + 2*k * (log2(k) - dbllog2(z));
309 98 : if (bits > 0)
310 : {
311 98 : prec += nbits2extraprec(bits);
312 98 : if (pr) z = gtofp(z, prec);
313 : }
314 98 : p1 = gmul(p1, _jbesselh(k,z,prec));
315 : }
316 119 : set_avma(av); return affc_fixlg(p1, y);
317 : }
318 0 : case t_PADIC: pari_err_IMPL("p-adic jbesselh function");
319 70 : default:
320 : {
321 : long t, v;
322 70 : av = avma; if (!(y = toser_i(z))) break;
323 35 : if (gequal0(y)) return gerepileupto(av, gpowgs(y,k));
324 35 : v = valser(y);
325 35 : if (v < 0) pari_err_DOMAIN("besseljh","valuation", "<", gen_0, z);
326 28 : t = lg(y)-2;
327 28 : if (v) y = sertoser(y, t + (2*k+1)*v);
328 28 : if (!k)
329 7 : y = gsinc(y,prec);
330 : else
331 : {
332 21 : GEN T, a = _jbesselh(k, y, prec);
333 21 : if (v) y = sertoser(y, t + k*v); /* lower precision */
334 21 : y = gdiv(a, gpowgs(y, k));
335 21 : T = cgetg(k+1, t_VECSMALL);
336 168 : for (i = 1; i <= k; i++) T[i] = 2*i+1;
337 21 : y = gmul(y, zv_prod_Z(T));
338 : }
339 28 : return gerepileupto(av, y);
340 : }
341 : }
342 35 : return trans_evalgen("besseljh",(void*)n, vjbesselh, z, prec);
343 : }
344 :
345 : static GEN
346 0 : kbessel2(GEN nu, GEN x, long prec)
347 : {
348 0 : pari_sp av = avma;
349 0 : GEN p1, a, x2 = gshift(x,1);
350 :
351 0 : a = gtofp(gaddgs(gshift(nu,1), 1), prec);
352 0 : p1 = hyperu(gshift(a,-1), a, x2, prec);
353 0 : p1 = gmul(gmul(p1, gpow(x2,nu,prec)), sqrtr(mppi(prec)));
354 0 : return gerepileupto(av, gmul(p1, gexp(gneg(x),prec)));
355 : }
356 :
357 : /* special case of hyperu */
358 : static GEN
359 14 : kbessel1(GEN nu, GEN gx, long prec)
360 : {
361 : GEN x, y, zf, r, u, pi, nu2;
362 14 : long bit, k, k2, n2, n, l = (typ(gx)==t_REAL)? realprec(gx): prec;
363 : pari_sp av;
364 :
365 14 : if (typ(nu)==t_COMPLEX) return kbessel2(nu, gx, l);
366 14 : y = cgetr(l); av = avma;
367 14 : x = gtofp(gx, l);
368 14 : nu = gtofp(nu,l); nu2 = sqrr(nu);
369 14 : shiftr_inplace(nu2,2); togglesign(nu2); /* nu2 = -4nu^2 */
370 14 : n = (long) (prec2nbits_mul(l,M_LN2) + M_PI*fabs(rtodbl(nu))) / 2;
371 14 : bit = prec2nbits(l) - 1;
372 14 : l += EXTRAPREC64;
373 14 : pi = mppi(l); n2 = n<<1; r = gmul2n(x,1);
374 14 : if (cmprs(x, n) < 0)
375 : {
376 14 : pari_sp av2 = avma;
377 14 : GEN q, v, c, s = real_1(l), t = real_0(l);
378 1246 : for (k = n2, k2 = 2*n2-1; k > 0; k--, k2 -= 2)
379 : {
380 1232 : GEN ak = divri(addri(nu2, sqru(k2)), mulss(n2<<2, -k));
381 1232 : s = addsr(1, mulrr(ak,s));
382 1232 : t = addsr(k2,mulrr(ak,t));
383 1232 : if (gc_needed(av2,3)) gerepileall(av2, 2, &s,&t);
384 : }
385 14 : shiftr_inplace(t, -1);
386 14 : q = utor(n2, l);
387 14 : zf = sqrtr(divru(pi,n2));
388 14 : u = gprec_wensure(mulrr(zf, s), l);
389 14 : v = gprec_wensure(divrs(addrr(mulrr(t,zf),mulrr(u,nu)),-n2), l);
390 : for(;;)
391 301 : {
392 315 : GEN p1, e, f, d = real_1(l);
393 : pari_sp av3;
394 315 : c = divur(5,q); if (expo(c) >= -1) c = real2n(-1,l);
395 315 : p1 = subsr(1, divrr(r,q)); if (cmprr(c,p1)>0) c = p1;
396 315 : togglesign(c); av3 = avma;
397 315 : e = u;
398 315 : f = v;
399 315 : for (k = 1;; k++)
400 35230 : {
401 35545 : GEN w = addrr(gmul2n(mulur(2*k-1,u), -1), mulrr(subrs(q,k),v));
402 35545 : w = addrr(w, mulrr(nu, subrr(u,gmul2n(v,1))));
403 35545 : u = divru(mulrr(q,v), k);
404 35545 : v = divru(w,k);
405 35545 : d = mulrr(d,c);
406 35545 : e = addrr(e, mulrr(d,u));
407 35545 : f = addrr(f, p1 = mulrr(d,v));
408 35545 : if (expo(p1) - expo(f) <= 1-prec2nbits(realprec(p1))) break;
409 35230 : if (gc_needed(av3,3)) gerepileall(av3,5,&u,&v,&d,&e,&f);
410 : }
411 315 : u = e;
412 315 : v = f;
413 315 : q = mulrr(q, addrs(c,1));
414 315 : if (expo(r) - expo(subrr(q,r)) >= bit) break;
415 301 : gerepileall(av2, 3, &u,&v,&q);
416 : }
417 14 : u = mulrr(u, gpow(divru(x,n),nu,prec));
418 : }
419 : else
420 : {
421 0 : GEN s, zz = ginv(gmul2n(r,2));
422 0 : pari_sp av2 = avma;
423 0 : s = real_1(l);
424 0 : for (k = n2, k2 = 2*n2-1; k > 0; k--, k2 -= 2)
425 : {
426 0 : GEN ak = divru(mulrr(addri(nu2, sqru(k2)), zz), k);
427 0 : s = subsr(1, mulrr(ak,s));
428 0 : if (gc_needed(av2,3)) s = gerepileuptoleaf(av2, s);
429 : }
430 0 : zf = sqrtr(divrr(pi,r));
431 0 : u = mulrr(s, zf);
432 : }
433 14 : affrr(mulrr(u, mpexp(negr(x))), y);
434 14 : set_avma(av); return y;
435 : }
436 :
437 : /* sum_{k=0}^m x^k (H(k)+H(k+n)) / (k! (k+n)!)
438 : * + sum_{k=0}^{n-1} (-x)^(k-n) (n-k-1)!/k! */
439 : static GEN
440 10860 : _kbessel(long n, GEN x, long m, long prec)
441 : {
442 : GEN p1, p2, s, H;
443 10860 : long k, M = m + n, exact = (M <= prec2nbits(prec));
444 : pari_sp av;
445 :
446 10860 : H = cgetg(M+2,t_VEC); gel(H,1) = gen_0;
447 10860 : if (exact)
448 : {
449 10853 : gel(H,2) = s = gen_1;
450 479307 : for (k=2; k<=M; k++) gel(H,k+1) = s = gdivgu(gaddsg(1,gmulsg(k,s)),k);
451 : }
452 : else
453 : {
454 7 : gel(H,2) = s = real_1(prec);
455 2877 : for (k=2; k<=M; k++) gel(H,k+1) = s = divru(addsr(1,mulur(k,s)),k);
456 : }
457 10860 : s = gadd(gel(H,m+1), gel(H,M+1)); av = avma;
458 430240 : for (k = m; k > 0; k--)
459 : {
460 419380 : s = gadd(gadd(gel(H,k),gel(H,k+n)), gdiv(gmul(x,s),mulss(k,k+n)));
461 419380 : if (gc_needed(av,1))
462 : {
463 0 : if (DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"_kbessel");
464 0 : s = gerepileupto(av, s);
465 : }
466 : }
467 10860 : p1 = exact? mpfact(n): mpfactr(n,prec);
468 10860 : s = gdiv(s,p1);
469 10860 : if (n)
470 : {
471 8330 : x = gneg(ginv(x));
472 8330 : p2 = gmulsg(n, gdiv(x,p1));
473 8330 : s = gadd(s,p2);
474 62804 : for (k=n-1; k>0; k--)
475 : {
476 54474 : p2 = gmul(p2, gmul(mulss(k,n-k),x));
477 54474 : s = gadd(s,p2);
478 : }
479 : }
480 10860 : return s;
481 : }
482 :
483 : /* N = 1: Bessel N, else Bessel K */
484 : static GEN
485 12432 : kbesselintern(GEN n, GEN z, long N, long prec)
486 : {
487 12432 : const char *f = N? "besseln": "besselk";
488 : long i, k, ki, lim, precnew, fl2, ex, bit;
489 12432 : pari_sp av = avma;
490 : GEN p1, p2, y, p3, pp, pm, s, c;
491 : double az;
492 :
493 12432 : switch(typ(z))
494 : {
495 12047 : case t_INT: case t_FRAC: case t_REAL: case t_COMPLEX:
496 12047 : if (gequal0(z)) pari_err_DOMAIN(f, "argument", "=", gen_0, z);
497 12047 : i = precision(z); if (i) prec = i;
498 12047 : i = precision(n); if (i && prec > i) prec = i;
499 12047 : bit = prec2nbits(prec);
500 12047 : if (bessel_asymp(n, z, bit))
501 : {
502 928 : GEN R = N? bessyasymp(n, z, bit): besskasymp(n, z, bit);
503 928 : if (typ(R) == t_COMPLEX && isexactzero(imag_i(n))
504 221 : && gsigne(real_i(z)) > 0
505 81 : && isexactzero(imag_i(z))) R = gcopy(gel(R,1));
506 928 : return gerepileupto(av, R);
507 : }
508 : /* heuristic threshold */
509 11119 : if (!N && !gequal0(n) && gexpo(z) > bit/16 + gexpo(n))
510 14 : return kbessel1(n,z,prec);
511 11098 : az = dblmodulus(z); precnew = prec;
512 11098 : if (az >= 1) precnew += 1 + nbits2extraprec((long)((N?az:2*az)/M_LN2));
513 11098 : z = gtofp(z, precnew);
514 11098 : if (issmall(n,&ki))
515 : {
516 10776 : GEN z2 = gmul2n(z, -1), Z;
517 10776 : double B, L = HALF_E * az;
518 10776 : k = labs(ki);
519 10776 : B = prec2nbits_mul(prec,M_LN2/2) / L;
520 10776 : if (!N) B += 0.367879; /* exp(-1) */
521 10776 : lim = bessel_get_lim(B, L);
522 10776 : Z = gsqr(z2); if (N) Z = gneg(Z);
523 10776 : p1 = gmul(gpowgs(z2,k), _kbessel(k, Z, lim, precnew));
524 10776 : p2 = gadd(mpeuler(precnew), glog(z2,precnew));
525 10776 : p3 = jbesselintern(stoi(k),z,N,precnew);
526 10776 : p2 = gsub(gmul2n(p1,-1),gmul(p2,p3));
527 10776 : p2 = gprec_wtrunc(p2, prec);
528 10776 : if (N)
529 : {
530 8361 : p2 = gdiv(p2, Pi2n(-1,prec));
531 8361 : if (ki >= 0 || !odd(k)) p2 = gneg(p2);
532 : } else
533 2415 : if (odd(k)) p2 = gneg(p2);
534 10776 : return gerepilecopy(av, p2);
535 : }
536 :
537 259 : n = gtofp(n, precnew);
538 259 : gsincos(gmul(n,mppi(precnew)), &s,&c,precnew);
539 259 : ex = gexpo(s);
540 259 : if (ex < 0) precnew += nbits2extraprec(N? -ex: -2*ex);
541 259 : if (i && i < precnew) {
542 84 : n = gtofp(n,precnew);
543 84 : z = gtofp(z,precnew);
544 84 : gsincos(gmul(n,mppi(precnew)), &s,&c,precnew);
545 : }
546 :
547 259 : pp = jbesselintern(n, z,N,precnew);
548 259 : pm = jbesselintern(gneg(n),z,N,precnew);
549 259 : if (N)
550 189 : p1 = gsub(gmul(c,pp),pm);
551 : else
552 70 : p1 = gmul(gsub(pm,pp), Pi2n(-1,precnew));
553 259 : p1 = gdiv(p1, s);
554 259 : return gerepilecopy(av, gprec_wtrunc(p1,prec));
555 :
556 14 : case t_PADIC: pari_err_IMPL(stack_strcat("p-adic ",f));
557 371 : default:
558 371 : if (!(y = toser_i(z))) break;
559 217 : if (issmall(n,&ki))
560 : {
561 105 : long v, mv, k = labs(ki), m = lg(y)-2;
562 105 : y = gmul2n(gsqr(y),-2); if (N) y = gneg(y);
563 105 : v = valser(y);
564 105 : if (v < 0) pari_err_DOMAIN(f, "valuation", "<", gen_0, z);
565 91 : if (v == 0) pari_err_IMPL(stack_strcat(f, " around a!=0"));
566 91 : mv = m - (v >> 1);
567 91 : if (mv <= 0) { set_avma(av); return scalarser(gen_1, varn(z), v); }
568 84 : setlg(y, mv+2); return gerepilecopy(av, _kbessel(k, y, m, prec));
569 : }
570 98 : if (!issmall(gmul2n(n,1),&ki))
571 70 : pari_err_DOMAIN(f, "2n mod Z", "!=", gen_0, n);
572 28 : k = labs(ki); n = gmul2n(stoi(k),-1);
573 28 : fl2 = (k&3)==1;
574 28 : pm = jbesselintern(gneg(n), y, N, prec);
575 28 : if (N) p1 = pm;
576 : else
577 : {
578 7 : pp = jbesselintern(n, y, N, prec);
579 7 : p2 = gpowgs(y,-k); if (fl2 == 0) p2 = gneg(p2);
580 7 : p3 = gmul2n(diviiexact(mpfact(k + 1),mpfact((k + 1) >> 1)),-(k + 1));
581 7 : p3 = gdivgu(gmul2n(gsqr(p3),1),k);
582 7 : p2 = gmul(p2,p3);
583 7 : p1 = gsub(pp,gmul(p2,pm));
584 : }
585 28 : return gerepileupto(av, fl2? gneg(p1): gcopy(p1));
586 : }
587 154 : return trans_evalgen(f, (void*)n, N? vnbessel: vkbessel, z, prec);
588 : }
589 :
590 : GEN
591 3115 : kbessel(GEN n, GEN z, long prec) { return kbesselintern(n,z,0,prec); }
592 : GEN
593 9317 : ybessel(GEN n, GEN z, long prec) { return kbesselintern(n,z,1,prec); }
594 : /* J + iN */
595 : GEN
596 224 : hbessel1(GEN n, GEN z, long prec)
597 : {
598 224 : pari_sp av = avma;
599 224 : GEN J = jbessel(n,z,prec);
600 196 : GEN Y = ybessel(n,z,prec);
601 182 : return gerepileupto(av, gadd(J, mulcxI(Y)));
602 : }
603 : /* J - iN */
604 : GEN
605 224 : hbessel2(GEN n, GEN z, long prec)
606 : {
607 224 : pari_sp av = avma;
608 224 : GEN J = jbessel(n,z,prec);
609 196 : GEN Y = ybessel(n,z,prec);
610 182 : return gerepileupto(av, gadd(J, mulcxmI(Y)));
611 : }
612 :
613 : static GEN
614 1008 : besselrefine(GEN z, GEN nu, GEN (*B)(GEN,GEN,long), long bit)
615 : {
616 1008 : GEN z0 = gprec_w(z, DEFAULTPREC), nu1 = gaddgs(nu, 1), t;
617 1008 : long e, n, c, j, prec = DEFAULTPREC;
618 :
619 1008 : t = gdiv(B(nu1, z0, prec), B(nu, z0, prec));
620 1008 : t = gadd(z0, gdiv(gsub(gsqr(z0), gsqr(nu)), gsub(gdiv(nu, z0), t)));
621 1008 : e = gexpo(t) - 2 * gexpo(z0) - 1; if (e < 0) e = 0;
622 1008 : n = expu(bit + 32 - e);
623 1008 : c = 1 + e + ((bit - e) >> n);
624 8064 : for (j = 1; j <= n; j++)
625 : {
626 7056 : c = 2 * c - e;
627 7056 : prec = nbits2prec(c); z = gprec_w(z, prec);
628 7056 : t = gdiv(B(nu1, z, prec), B(nu, z, prec));
629 7056 : z = gsub(z, ginv(gsub(gdiv(nu, z), t)));
630 : }
631 1008 : return gprec_w(z, nbits2prec(bit));
632 : }
633 :
634 : /* solve tan(fi) - fi = y, y >= 0; Temme's method */
635 : static double
636 700 : fi(double y)
637 : {
638 : double p, pp, r;
639 700 : if (y == 0) return 0;
640 700 : if (y > 100000) return M_PI/2;
641 700 : if (y < 1)
642 : {
643 455 : p = pow(3*y, 1.0/3); pp = p * p;
644 455 : p = p * (1 + pp * (-210 * pp + (27 - 2*pp)) / 1575);
645 : }
646 : else
647 : {
648 245 : p = 1 / (y + M_PI/2); pp = p * p;
649 245 : p = M_PI/2 - p*(1 + pp*(2310 + pp*(3003 + pp*(4818 + pp*(8591 + pp*16328)))) / 3465);
650 : }
651 700 : pp = (y + p) * (y + p); r = (p - atan(p + y)) / pp;
652 700 : return p - (1 + pp) * r * (1 + r / (p + y));
653 : }
654 :
655 : static GEN
656 1022 : besselzero(GEN nu, long n, GEN (*B)(GEN,GEN,long), long bit)
657 : {
658 1022 : pari_sp av = avma;
659 1022 : long prec = nbits2prec(bit);
660 1022 : int J = B == jbessel;
661 : GEN z;
662 1022 : if (n <= 0) pari_err_DOMAIN("besselzero", "n", "<=", gen_0, stoi(n));
663 1008 : if (n > LONG_MAX / 4) pari_err_OVERFLOW("besselzero");
664 1008 : if (is_real_t(typ(nu)) && gsigne(nu) >= 0)
665 1008 : { /* Temme */
666 1008 : double x, c, b, a = gtodouble(nu), t = J? 0.25: 0.75;
667 1008 : if (n >= 3*a - 8)
668 : {
669 308 : double aa = a*a, mu = 4*aa, mu2 = mu*mu, p, p0, p1, q1;
670 308 : p = 7 * mu - 31; p0 = mu-1;
671 308 : if (1 + p == p) /* p large */
672 0 : p1 = q1 = 0;
673 : else
674 : {
675 308 : p1 = 4 * (253 * mu2 - 3722 * mu + 17869) / (15 * p);
676 308 : q1 = 1.6 * (83 * mu2 - 982 * mu + 3779) / p;
677 : }
678 308 : b = (n + a/2 - t) * M_PI;
679 308 : c = 1 / (64 * b * b);
680 308 : x = b - p0 * (1 - p1 * c) / (8 * b * (1 - q1 * c));
681 : }
682 : else
683 : {
684 700 : double u, v, w, xx, bb = a >= 3? pow(a, -2./3): 1;
685 700 : if (n == 1)
686 336 : x = J? -2.33811: -1.17371;
687 : else
688 : {
689 364 : double pp1 = 5./48, qq1 = -5./36, y = 3./8 * M_PI;
690 364 : x = 4 * y * (n - t); v = 1 / (x*x);
691 364 : x = - pow(x, 2.0/3) * (1 + v * (pp1 + qq1 * v));
692 : }
693 700 : u = x * bb; v = fi(2.0/3 * pow(-u, 1.5));
694 700 : w = 1 / cos(v); xx = 1 - w*w; c = sqrt(u/xx);
695 700 : x = w * (a + c / (48*a*u) * (-5/u-c * (-10/xx + 6)));
696 : }
697 1008 : z = dbltor(x);
698 : }
699 : else
700 : { /* generic, hope for the best */
701 0 : long a = 4 * n - (J? 1: 3);
702 : GEN b, m;
703 0 : b = gmul(mppi(prec), gmul2n(gaddgs(gmul2n(nu,1), a), -2));
704 0 : m = gmul2n(gsqr(nu),2);
705 0 : z = gsub(b, gdiv(gsubgs(m, 1), gmul2n(b, 3)));
706 : }
707 1008 : return gerepilecopy(av, besselrefine(z, nu, B, bit));
708 : }
709 : GEN
710 511 : besseljzero(GEN nu, long k, long b) { return besselzero(nu, k, jbessel, b); }
711 : GEN
712 511 : besselyzero(GEN nu, long k, long b) { return besselzero(nu, k, ybessel, b); }
713 :
714 : /***********************************************************************/
715 : /** INCOMPLETE GAMMA FUNCTION **/
716 : /***********************************************************************/
717 : /* mx ~ |x|, b = bit accuracy */
718 : static int
719 16751 : gamma_use_asymp(GEN x, long b)
720 : {
721 : long e;
722 16751 : if (is_real_t(typ(x)))
723 : {
724 12719 : pari_sp av = avma;
725 12719 : return gc_int(av, gcmpgs(R_abs_shallow(x), 3*b / 4) >= 0);
726 : }
727 4032 : e = gexpo(x); return e >= b || dblmodulus(x) >= 3*b / 4;
728 : }
729 : /* x a t_REAL */
730 : static GEN
731 28 : eint1r_asymp(GEN x, GEN expx, long prec)
732 : {
733 28 : pari_sp av = avma, av2;
734 : GEN S, q, z, ix;
735 28 : long oldeq = LONG_MAX, esx = -prec2nbits(prec), j;
736 :
737 28 : if (realprec(x) < prec + EXTRAPREC64) x = rtor(x, prec+EXTRAPREC64);
738 28 : ix = invr(x); q = z = negr(ix);
739 28 : av2 = avma; S = addrs(q, 1);
740 28 : for (j = 2;; j++)
741 1211 : {
742 1239 : long eq = expo(q); if (eq < esx) break;
743 1211 : if ((j & 3) == 0)
744 : { /* guard against divergence */
745 294 : if (eq > oldeq) return gc_NULL(av); /* regressing, abort */
746 294 : oldeq = eq;
747 : }
748 1211 : q = mulrr(q, mulru(z, j)); S = addrr(S, q);
749 1211 : if (gc_needed(av2, 1)) gerepileall(av2, 2, &S, &q);
750 : }
751 28 : if (DEBUGLEVEL > 2) err_printf("eint1: using asymp\n");
752 28 : S = expx? divrr(S, expx): mulrr(S, mpexp(negr(x)));
753 28 : return gerepileuptoleaf(av, mulrr(S, ix));
754 : }
755 : /* cf incgam_asymp(0, x); z = -1/x
756 : * exp(-x)/x * (1 + z + 2! z^2 + ...) */
757 : static GEN
758 105 : eint1_asymp(GEN x, GEN expx, long prec)
759 : {
760 105 : pari_sp av = avma, av2;
761 : GEN S, q, z, ix;
762 105 : long oldeq = LONG_MAX, esx = -prec2nbits(prec), j;
763 :
764 105 : if (typ(x) != t_REAL) x = gtofp(x, prec+EXTRAPREC64);
765 105 : if (typ(x) == t_REAL) return eint1r_asymp(x, expx, prec);
766 105 : ix = ginv(x); q = z = gneg_i(ix);
767 105 : av2 = avma; S = gaddgs(q, 1);
768 105 : for (j = 2;; j++)
769 5824 : {
770 5929 : long eq = gexpo(q); if (eq < esx) break;
771 5824 : if ((j & 3) == 0)
772 : { /* guard against divergence */
773 1442 : if (eq > oldeq) return gc_NULL(av); /* regressing, abort */
774 1442 : oldeq = eq;
775 : }
776 5824 : q = gmul(q, gmulgu(z, j)); S = gadd(S, q);
777 5824 : if (gc_needed(av2, 1)) gerepileall(av2, 2, &S, &q);
778 : }
779 105 : if (DEBUGLEVEL > 2) err_printf("eint1: using asymp\n");
780 105 : S = expx? gdiv(S, expx): gmul(S, gexp(gneg_i(x), prec));
781 105 : return gerepileupto(av, gmul(S, ix));
782 : }
783 :
784 : /* eint1(x) = incgam(0, x); typ(x) = t_REAL, x > 0 */
785 : static GEN
786 6510 : eint1p(GEN x, GEN expx)
787 : {
788 : pari_sp av;
789 6510 : long l = realprec(x), bit = prec2nbits(l), prec, i;
790 : double mx;
791 : GEN z, S, t, H, run;
792 :
793 6510 : if (gamma_use_asymp(x, bit)
794 28 : && (z = eint1r_asymp(x, expx, l))) return z;
795 6482 : mx = rtodbl(x);
796 6482 : prec = l + nbits2extraprec((mx+log(mx))/M_LN2 + 10);
797 6482 : bit = prec2nbits(prec);
798 6482 : run = real_1(prec); x = rtor(x, prec);
799 6482 : av = avma; S = z = t = H = run;
800 615912 : for (i = 2; expo(S) - expo(t) <= bit; i++)
801 : {
802 609430 : H = addrr(H, divru(run,i)); /* H = sum_{k<=i} 1/k */
803 609430 : z = divru(mulrr(x,z), i); /* z = x^(i-1)/i! */
804 609430 : t = mulrr(z, H); S = addrr(S, t);
805 609430 : if ((i & 0x1ff) == 0) gerepileall(av, 4, &z,&t,&S,&H);
806 : }
807 6482 : return subrr(mulrr(x, divrr(S,expx? expx: mpexp(x))),
808 : addrr(mplog(x), mpeuler(prec)));
809 : }
810 : /* eint1(x) = incgam(0, x); typ(x) = t_REAL, x < 0
811 : * rewritten from code contributed by Manfred Radimersky */
812 : static GEN
813 140 : eint1m(GEN x, GEN expx)
814 : {
815 140 : GEN p1, q, S, y, z = cgetg(3, t_COMPLEX);
816 140 : long l = realprec(x), n = prec2nbits(l), j;
817 140 : pari_sp av = avma;
818 :
819 140 : y = rtor(x, l + EXTRAPREC64); setsigne(y,1); /* |x| */
820 140 : if (gamma_use_asymp(y, n))
821 : { /* ~eint1_asymp: asymptotic expansion */
822 14 : p1 = q = invr(y); S = addrs(q, 1);
823 560 : for (j = 2; expo(q) >= -n; j++) {
824 546 : q = mulrr(q, mulru(p1, j));
825 546 : S = addrr(S, q);
826 : }
827 14 : y = mulrr(p1, expx? divrr(S, expx): mulrr(S, mpexp(y)));
828 : }
829 : else
830 : {
831 126 : p1 = q = S = y;
832 24248 : for (j = 2; expo(q) - expo(S) >= -n; j++) {
833 24122 : p1 = mulrr(y, divru(p1, j)); /* (-x)^j/j! */
834 24122 : q = divru(p1, j);
835 24122 : S = addrr(S, q);
836 : }
837 126 : y = addrr(S, addrr(logr_abs(x), mpeuler(l)));
838 : }
839 140 : y = gerepileuptoleaf(av, y); togglesign(y);
840 140 : gel(z, 1) = y;
841 140 : y = mppi(l); setsigne(y, -1);
842 140 : gel(z, 2) = y; return z;
843 : }
844 :
845 : /* real(z*log(z)-z), z = x+iy */
846 : static double
847 8372 : mygamma(double x, double y)
848 : {
849 8372 : if (x == 0.) return -(M_PI/2)*fabs(y);
850 8372 : return (x/2)*log(x*x+y*y)-x-y*atan(y/x);
851 : }
852 :
853 : /* x^s exp(-x) */
854 : static GEN
855 10843 : expmx_xs(GEN s, GEN x, GEN logx, long prec)
856 : {
857 : GEN z;
858 10843 : long ts = typ(s);
859 10843 : if (ts == t_INT || (ts == t_FRAC && absequaliu(gel(s,2), 2)))
860 5264 : z = gmul(gexp(gneg(x), prec), gpow(x, s, prec));
861 : else
862 5579 : z = gexp(gsub(gmul(s, logx? logx: glog(x,prec+EXTRAPREC64)), x), prec);
863 10843 : return z;
864 : }
865 :
866 : /* Not yet: doesn't work at low accuracy
867 : #define INCGAM_CF
868 : */
869 :
870 : #ifdef INCGAM_CF
871 : /* Is s very close to a nonpositive integer ? */
872 : static int
873 : isgammapole(GEN s, long bitprec)
874 : {
875 : pari_sp av = avma;
876 : GEN t = imag_i(s);
877 : long e, b = bitprec - 10;
878 :
879 : if (gexpo(t) > - b) return 0;
880 : s = real_i(s);
881 : if (gsigne(s) > 0 && gexpo(s) > -b) return 0;
882 : (void)grndtoi(s, &e); return gc_bool(av, e < -b);
883 : }
884 :
885 : /* incgam using the continued fraction. x a t_REAL or t_COMPLEX, mx ~ |x|.
886 : * Assume precision(s), precision(x) >= prec */
887 : static GEN
888 : incgam_cf(GEN s, GEN x, double mx, long prec)
889 : {
890 : GEN ms, y, S;
891 : long n, i, j, LS, bitprec = prec2nbits(prec);
892 : double rs, is, m;
893 :
894 : if (typ(s) == t_COMPLEX)
895 : {
896 : rs = gtodouble(gel(s,1));
897 : is = gtodouble(gel(s,2));
898 : }
899 : else
900 : {
901 : rs = gtodouble(s);
902 : is = 0.;
903 : }
904 : if (isgammapole(s, bitprec)) LS = 0;
905 : else
906 : {
907 : double bit, LGS = mygamma(rs,is);
908 : LS = LGS <= 0 ? 0: ceil(LGS);
909 : bit = (LGS - (rs-1)*log(mx) + mx)/M_LN2;
910 : if (bit > 0)
911 : {
912 : prec += nbits2extraprec((long)bit);
913 : x = gtofp(x, prec);
914 : if (isinexactreal(s)) s = gtofp(s, prec);
915 : }
916 : }
917 : /* |ln(2*gamma(s)*sin(s*Pi))| <= ln(2) + |lngamma(s)| + |Im(s)*Pi|*/
918 : m = bitprec*M_LN2 + LS + M_LN2 + fabs(is)*M_PI + mx;
919 : if (rs < 1) m += (1 - rs)*log(mx);
920 : m /= 4;
921 : n = (long)(1 + m*m/mx);
922 : y = expmx_xs(gsubgs(s,1), x, NULL, prec);
923 : if (rs >= 0 && bitprec >= 512)
924 : {
925 : GEN A = cgetg(n+1, t_VEC), B = cgetg(n+1, t_VEC);
926 : ms = gsubsg(1, s);
927 : for (j = 1; j <= n; ++j)
928 : {
929 : gel(A,j) = ms;
930 : gel(B,j) = gmulsg(j, gsubgs(s,j));
931 : ms = gaddgs(ms, 2);
932 : }
933 : S = contfraceval_inv(mkvec2(A,B), x, -1);
934 : }
935 : else
936 : {
937 : GEN x_s = gsub(x, s);
938 : pari_sp av2 = avma;
939 : S = gdiv(gsubgs(s,n), gaddgs(x_s,n<<1));
940 : for (i=n-1; i >= 1; i--)
941 : {
942 : S = gdiv(gsubgs(s,i), gadd(gaddgs(x_s,i<<1),gmulsg(i,S)));
943 : if (gc_needed(av2,3))
944 : {
945 : if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"incgam_cf");
946 : S = gerepileupto(av2, S);
947 : }
948 : }
949 : S = gaddgs(S,1);
950 : }
951 : return gmul(y, S);
952 : }
953 : #endif
954 :
955 : static double
956 6419 : findextraincgam(GEN s, GEN x)
957 : {
958 6419 : double sig = gtodouble(real_i(s)), t = gtodouble(imag_i(s));
959 6419 : double xr = gtodouble(real_i(x)), xi = gtodouble(imag_i(x));
960 6419 : double exd = 0., Nx = xr*xr + xi*xi, D = Nx - t*t;
961 : long n;
962 :
963 6419 : if (xr < 0)
964 : {
965 833 : long ex = gexpo(x);
966 833 : if (ex > 0 && ex > gexpo(s)) exd = sqrt(Nx)*log(Nx)/2; /* |x| log |x| */
967 : }
968 6419 : if (D <= 0.) return exd;
969 4977 : n = (long)(sqrt(D)-sig);
970 4977 : if (n <= 0) return exd;
971 1841 : return maxdd(exd, (n*log(Nx)/2 - mygamma(sig+n, t) + mygamma(sig, t)) / M_LN2);
972 : }
973 :
974 : /* use exp(-x) * (x^s/s) * sum_{k >= 0} x^k / prod(i=1, k, s+i) */
975 : static GEN
976 6426 : incgamc_i(GEN s, GEN x, long *ptexd, long prec)
977 : {
978 : GEN S, t, y;
979 : long l, n, i, exd;
980 6426 : pari_sp av = avma, av2;
981 :
982 6426 : if (gequal0(x))
983 : {
984 7 : if (ptexd) *ptexd = 0.;
985 7 : return gtofp(x, prec);
986 : }
987 6419 : l = precision(x);
988 6419 : if (!l) l = prec;
989 6419 : n = -prec2nbits(l)-1;
990 6419 : exd = (long)findextraincgam(s, x);
991 6419 : if (ptexd) *ptexd = exd;
992 6419 : if (exd > 0)
993 : {
994 1666 : long p = l + nbits2extraprec(exd);
995 1666 : x = gtofp(x, p);
996 1666 : if (isinexactreal(s)) s = gtofp(s, p);
997 : }
998 4753 : else x = gtofp(x, l+EXTRAPREC64);
999 6419 : av2 = avma;
1000 6419 : S = gdiv(x, gaddsg(1,s));
1001 6419 : t = gaddsg(1, S);
1002 770875 : for (i=2; gexpo(S) >= n; i++)
1003 : {
1004 764456 : S = gdiv(gmul(x,S), gaddsg(i,s)); /* x^i / ((s+1)...(s+i)) */
1005 764456 : t = gadd(S,t);
1006 764456 : if (gc_needed(av2,3))
1007 : {
1008 0 : if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"incgamc");
1009 0 : gerepileall(av2, 2, &S, &t);
1010 : }
1011 : }
1012 6419 : y = expmx_xs(s, x, NULL, prec);
1013 6419 : return gerepileupto(av, gmul(gdiv(y,s), t));
1014 : }
1015 :
1016 : GEN
1017 2226 : incgamc(GEN s, GEN x, long prec)
1018 2226 : { return incgamc_i(s, x, NULL, prec); }
1019 :
1020 : /* incgamma using asymptotic expansion:
1021 : * exp(-x)x^(s-1)(1 + (s-1)/x + (s-1)(s-2)/x^2 + ...) */
1022 : static GEN
1023 2716 : incgam_asymp(GEN s, GEN x, long prec)
1024 : {
1025 2716 : pari_sp av = avma, av2;
1026 : GEN S, q, cox, invx;
1027 2716 : long oldeq = LONG_MAX, eq, esx, j;
1028 2716 : int flint = (typ(s) == t_INT && signe(s) > 0);
1029 :
1030 2716 : x = gtofp(x,prec+EXTRAPREC64);
1031 2716 : invx = ginv(x);
1032 2716 : esx = -prec2nbits(prec);
1033 2716 : av2 = avma;
1034 2716 : q = gmul(gsubgs(s,1), invx);
1035 2716 : S = gaddgs(q, 1);
1036 2716 : for (j = 2;; j++)
1037 : {
1038 123879 : eq = gexpo(q); if (eq < esx) break;
1039 121282 : if (!flint && (j & 3) == 0)
1040 : { /* guard against divergence */
1041 15778 : if (eq > oldeq) return gc_NULL(av); /* regressing, abort */
1042 15659 : oldeq = eq;
1043 : }
1044 121163 : q = gmul(q, gmul(gsubgs(s,j), invx));
1045 121163 : S = gadd(S, q);
1046 121163 : if (gc_needed(av2, 1)) gerepileall(av2, 2, &S, &q);
1047 : }
1048 2597 : if (DEBUGLEVEL > 2) err_printf("incgam: using asymp\n");
1049 2597 : cox = expmx_xs(gsubgs(s,1), x, NULL, prec);
1050 2597 : return gerepileupto(av, gmul(cox, S));
1051 : }
1052 :
1053 : /* gasx = incgam(s-n,x). Compute incgam(s,x)
1054 : * = (s-1)(s-2)...(s-n)gasx + exp(-x)x^(s-1) *
1055 : * (1 + (s-1)/x + ... + (s-1)(s-2)...(s-n+1)/x^(n-1)) */
1056 : static GEN
1057 546 : incgam_asymp_partial(GEN s, GEN x, GEN gasx, long n, long prec)
1058 : {
1059 : pari_sp av;
1060 546 : GEN S, q, cox, invx, s1 = gsubgs(s, 1), sprod;
1061 : long j;
1062 546 : cox = expmx_xs(s1, x, NULL, prec);
1063 546 : if (n == 1) return gadd(cox, gmul(s1, gasx));
1064 546 : invx = ginv(x);
1065 546 : av = avma;
1066 546 : q = gmul(s1, invx);
1067 546 : S = gaddgs(q, 1);
1068 52164 : for (j = 2; j < n; j++)
1069 : {
1070 51618 : q = gmul(q, gmul(gsubgs(s, j), invx));
1071 51618 : S = gadd(S, q);
1072 51618 : if (gc_needed(av, 2)) gerepileall(av, 2, &S, &q);
1073 : }
1074 546 : sprod = gmul(gmul(q, gpowgs(x, n-1)), gsubgs(s, n));
1075 546 : return gadd(gmul(cox, S), gmul(sprod, gasx));
1076 : }
1077 :
1078 : /* Assume s != 0; called when Re(s) <= 1/2 */
1079 : static GEN
1080 2401 : incgamspec(GEN s, GEN x, GEN g, long prec)
1081 : {
1082 2401 : GEN q, S, cox = gen_0, P, sk, S1, S2, S3, F3, logx, mx;
1083 2401 : long n, esk, E, k = itos(ground(gneg(real_i(s)))); /* >= 0 */
1084 :
1085 2401 : if (k && gexpo(x) > 0)
1086 : {
1087 245 : GEN xk = gdivgu(x, k);
1088 245 : long bitprec = prec2nbits(prec);
1089 245 : double d = (gexpo(xk) > bitprec)? bitprec*M_LN2: log(dblmodulus(xk));
1090 245 : d = k * (d + 1) / M_LN2;
1091 245 : if (d > 0) prec += nbits2extraprec((long)d);
1092 245 : if (isinexactreal(s)) s = gtofp(s, prec);
1093 : }
1094 2401 : x = gtofp(x, maxss(precision(x), prec) + EXTRAPREC64);
1095 2401 : sk = gaddgs(s, k); /* |Re(sk)| <= 1/2 */
1096 2401 : logx = glog(x, prec);
1097 2401 : mx = gneg(x);
1098 2401 : if (k == 0) { S = gen_0; P = gen_1; }
1099 : else
1100 : {
1101 : long j;
1102 854 : q = ginv(s); S = q; P = s;
1103 16926 : for (j = 1; j < k; j++)
1104 : {
1105 16072 : GEN sj = gaddgs(s, j);
1106 16072 : q = gmul(q, gdiv(x, sj));
1107 16072 : S = gadd(S, q);
1108 16072 : P = gmul(P, sj);
1109 : }
1110 854 : cox = expmx_xs(s, x, logx, prec); /* x^s exp(-x) */
1111 854 : S = gmul(S, gneg(cox));
1112 : }
1113 2401 : if (k && gequal0(sk))
1114 175 : return gadd(S, gdiv(eint1(x, prec), P));
1115 2226 : esk = gexpo(sk);
1116 2226 : if (esk > -7)
1117 : {
1118 1015 : GEN a, b, PG = gmul(sk, P);
1119 1015 : if (g) g = gmul(g, PG);
1120 1015 : a = incgam0(gaddgs(sk,1), x, g, prec);
1121 1015 : if (k == 0) cox = expmx_xs(s, x, logx, prec);
1122 1015 : b = gmul(gpowgs(x, k), cox);
1123 1015 : return gadd(S, gdiv(gsub(a, b), PG));
1124 : }
1125 1211 : E = prec2nbits(prec) + 1;
1126 1211 : if (gexpo(x) > 0)
1127 : {
1128 420 : long X = (long)(dblmodulus(x)/M_LN2);
1129 420 : prec += 2*nbits2extraprec(X);
1130 420 : x = gtofp(x, prec); mx = gneg(x);
1131 420 : logx = glog(x, prec); sk = gtofp(sk, prec);
1132 420 : E += X;
1133 : }
1134 1211 : if (isinexactreal(sk)) sk = gtofp(sk, prec+EXTRAPREC64);
1135 : /* |sk| < 2^-7 is small, guard against cancellation */
1136 1211 : F3 = gexpm1(gmul(sk, logx), prec);
1137 : /* ( gamma(1+sk) - exp(sk log(x))) ) / sk */
1138 1211 : S1 = gdiv(gsub(ggamma1m1(sk, prec+EXTRAPREC64), F3), sk);
1139 1211 : q = x; S3 = gdiv(x, gaddsg(1,sk));
1140 255523 : for (n = 2; gexpo(q) - gexpo(S3) > -E; n++)
1141 : {
1142 254312 : q = gmul(q, gdivgu(mx, n));
1143 254312 : S3 = gadd(S3, gdiv(q, gaddsg(n, sk)));
1144 : }
1145 1211 : S2 = gadd(gadd(S1, S3), gmul(F3, S3));
1146 1211 : return gadd(S, gdiv(S2, P));
1147 : }
1148 :
1149 : /* return |x| */
1150 : double
1151 11721123 : dblmodulus(GEN x)
1152 : {
1153 11721123 : if (typ(x) == t_COMPLEX)
1154 : {
1155 1803571 : double a = gtodouble(gel(x,1));
1156 1803571 : double b = gtodouble(gel(x,2));
1157 1803571 : return sqrt(a*a + b*b);
1158 : }
1159 : else
1160 9917552 : return fabs(gtodouble(x));
1161 : }
1162 :
1163 : /* Driver routine. If g != NULL, assume that g=gamma(s,prec). */
1164 : GEN
1165 11550 : incgam0(GEN s, GEN x, GEN g, long prec)
1166 : {
1167 : pari_sp av;
1168 : long E, l;
1169 : GEN z, rs, is;
1170 :
1171 11550 : if (gequal0(x)) return g? gcopy(g): ggamma(s,prec);
1172 11550 : if (gequal0(s)) return eint1(x, prec);
1173 9744 : l = precision(s); if (!l) l = prec;
1174 9744 : E = prec2nbits(l);
1175 9744 : if (gamma_use_asymp(x, E) ||
1176 8323 : (typ(s) == t_INT && signe(s) > 0 && gexpo(x) >= expi(s)))
1177 2716 : if ((z = incgam_asymp(s, x, l))) return z;
1178 7147 : av = avma; E++;
1179 7147 : rs = real_i(s);
1180 7147 : is = imag_i(s);
1181 : #ifdef INCGAM_CF
1182 : /* Can one use continued fraction ? */
1183 : if (gequal0(is) && gequal0(imag_i(x)) && gsigne(x) > 0)
1184 : {
1185 : double sd = gtodouble(rs), LB, UB;
1186 : double xd = gtodouble(real_i(x));
1187 : if (sd > 0) {
1188 : LB = 15 + 0.1205*E;
1189 : UB = 5 + 0.752*E;
1190 : } else {
1191 : LB = -6 + 0.1205*E;
1192 : UB = 5 + 0.752*E + fabs(sd)/54.;
1193 : }
1194 : if (xd >= LB && xd <= UB)
1195 : {
1196 : if (DEBUGLEVEL > 2) err_printf("incgam: using continued fraction\n");
1197 : return gerepileupto(av, incgam_cf(s, x, xd, prec));
1198 : }
1199 : }
1200 : #endif
1201 7147 : if (gsigne(rs) > 0 && gexpo(rs) >= -1)
1202 : { /* use complementary incomplete gamma */
1203 4746 : long n, egs, exd, precg, es = gexpo(s);
1204 4746 : if (es < 0) {
1205 602 : l += nbits2extraprec(-es) + 1;
1206 602 : x = gtofp(x, l);
1207 602 : if (isinexactreal(s)) s = gtofp(s, l);
1208 : }
1209 4746 : n = itos(gceil(rs));
1210 4746 : if (n > 100)
1211 : {
1212 : GEN gasx;
1213 546 : n -= 100;
1214 546 : if (es > 0)
1215 : {
1216 546 : es = mygamma(gtodouble(rs) - n, gtodouble(is)) / M_LN2;
1217 546 : if (es > 0)
1218 : {
1219 546 : l += nbits2extraprec(es);
1220 546 : x = gtofp(x, l);
1221 546 : if (isinexactreal(s)) s = gtofp(s, l);
1222 : }
1223 : }
1224 546 : gasx = incgam0(gsubgs(s, n), x, NULL, prec);
1225 546 : return gerepileupto(av, incgam_asymp_partial(s, x, gasx, n, prec));
1226 : }
1227 4200 : if (DEBUGLEVEL > 2) err_printf("incgam: using power series 1\n");
1228 : /* egs ~ expo(gamma(s)) */
1229 4200 : precg = g? precision(g): 0;
1230 4200 : egs = g? gexpo(g): (long)(mygamma(gtodouble(rs), gtodouble(is)) / M_LN2);
1231 4200 : if (egs > 0) {
1232 1946 : l += nbits2extraprec(egs) + 1;
1233 1946 : x = gtofp(x, l);
1234 1946 : if (isinexactreal(s)) s = gtofp(s, l);
1235 1946 : if (precg < l) g = NULL;
1236 : }
1237 4200 : z = incgamc_i(s, x, &exd, l);
1238 4200 : if (exd > 0)
1239 : {
1240 896 : l += nbits2extraprec(exd);
1241 896 : if (isinexactreal(s)) s = gtofp(s, l);
1242 896 : if (precg < l) g = NULL;
1243 : }
1244 : else
1245 : { /* gamma(s) negligible ? Compute to lower accuracy */
1246 3304 : long e = gexpo(z) - egs;
1247 3304 : if (e > 3)
1248 : {
1249 420 : E -= e;
1250 420 : if (E <= 0) g = gen_0; else if (!g) g = ggamma(s, nbits2prec(E));
1251 : }
1252 : }
1253 : /* worry about possible cancellation */
1254 4200 : if (!g) g = ggamma(s, maxss(l,precision(z)));
1255 4200 : return gerepileupto(av, gsub(g,z));
1256 : }
1257 2401 : if (DEBUGLEVEL > 2) err_printf("incgam: using power series 2\n");
1258 2401 : return gerepileupto(av, incgamspec(s, x, g, l));
1259 : }
1260 :
1261 : GEN
1262 1106 : incgam(GEN s, GEN x, long prec) { return incgam0(s, x, NULL, prec); }
1263 :
1264 : /* x a t_REAL */
1265 : GEN
1266 2926 : mpeint1(GEN x, GEN expx)
1267 : {
1268 2926 : long s = signe(x);
1269 : pari_sp av;
1270 : GEN z;
1271 2926 : if (!s) pari_err_DOMAIN("eint1", "x","=",gen_0, x);
1272 2919 : if (s < 0) return eint1m(x, expx);
1273 2779 : z = cgetr(realprec(x));
1274 2779 : av = avma; affrr(eint1p(x, expx), z);
1275 2779 : set_avma(av); return z;
1276 : }
1277 :
1278 : static GEN
1279 357 : cxeint1(GEN x, long prec)
1280 : {
1281 357 : pari_sp av = avma, av2;
1282 : GEN q, S, run, z, H;
1283 357 : long n, E = prec2nbits(prec);
1284 :
1285 357 : if (gamma_use_asymp(x, E) && (z = eint1_asymp(x, NULL, prec))) return z;
1286 252 : E++;
1287 252 : if (gexpo(x) > 0)
1288 : { /* take cancellation into account, log2(\sum |x|^n / n!) = |x| / log(2) */
1289 42 : double dbx = dblmodulus(x);
1290 42 : long X = (long)((dbx + log(dbx))/M_LN2 + 10);
1291 42 : prec += nbits2extraprec(X);
1292 42 : x = gtofp(x, prec); E += X;
1293 : }
1294 252 : if (DEBUGLEVEL > 2) err_printf("eint1: using power series\n");
1295 252 : run = real_1(prec);
1296 252 : av2 = avma;
1297 252 : S = z = q = H = run;
1298 48384 : for (n = 2; gexpo(q) - gexpo(S) >= -E; n++)
1299 : {
1300 48132 : H = addrr(H, divru(run, n)); /* H = sum_{k<=n} 1/k */
1301 48132 : z = gdivgu(gmul(x,z), n); /* z = x^(n-1)/n! */
1302 48132 : q = gmul(z, H); S = gadd(S, q);
1303 48132 : if ((n & 0x1ff) == 0) gerepileall(av2, 4, &z, &q, &S, &H);
1304 : }
1305 252 : S = gmul(gmul(x, S), gexp(gneg_i(x), prec));
1306 252 : return gerepileupto(av, gsub(S, gadd(glog(x, prec), mpeuler(prec))));
1307 : }
1308 :
1309 : GEN
1310 3283 : eint1(GEN x, long prec)
1311 : {
1312 3283 : switch(typ(x))
1313 : {
1314 357 : case t_COMPLEX: return cxeint1(x, prec);
1315 2541 : case t_REAL: break;
1316 385 : default: x = gtofp(x, prec);
1317 : }
1318 2926 : return mpeint1(x,NULL);
1319 : }
1320 :
1321 : GEN
1322 49 : veceint1(GEN C, GEN nmax, long prec)
1323 : {
1324 49 : if (!nmax) return eint1(C,prec);
1325 7 : if (typ(nmax) != t_INT) pari_err_TYPE("veceint1",nmax);
1326 7 : if (typ(C) != t_REAL) {
1327 7 : C = gtofp(C, prec);
1328 7 : if (typ(C) != t_REAL) pari_err_TYPE("veceint1",C);
1329 : }
1330 7 : if (signe(C) <= 0) pari_err_DOMAIN("veceint1", "argument", "<=", gen_0,C);
1331 7 : return mpveceint1(C, NULL, itos(nmax));
1332 : }
1333 :
1334 : /* j > 0, a t_REAL. Return sum_{m >= 0} a^m / j(j+1)...(j+m)).
1335 : * Stop when expo(summand) < E; note that s(j-1) = (a s(j) + 1) / (j-1). */
1336 : static GEN
1337 231 : mp_sum_j(GEN a, long j, long E, long prec)
1338 : {
1339 231 : pari_sp av = avma;
1340 231 : GEN q = divru(real_1(prec), j), s = q;
1341 : long m;
1342 4290 : for (m = 0;; m++)
1343 : {
1344 4290 : if (expo(q) < E) break;
1345 4059 : q = mulrr(q, divru(a, m+j));
1346 4059 : s = addrr(s, q);
1347 : }
1348 231 : return gerepileuptoleaf(av, s);
1349 : }
1350 : /* Return the s_a(j), j <= J */
1351 : static GEN
1352 231 : sum_jall(GEN a, long J, long prec)
1353 : {
1354 231 : GEN s = cgetg(J+1, t_VEC);
1355 231 : long j, E = -prec2nbits(prec) - 5;
1356 231 : gel(s, J) = mp_sum_j(a, J, E, prec);
1357 9624 : for (j = J-1; j; j--)
1358 9393 : gel(s,j) = divru(addrs(mulrr(a, gel(s,j+1)), 1), j);
1359 231 : return s;
1360 : }
1361 :
1362 : /* T a dense t_POL with t_REAL coeffs. Return T(n) [faster than poleval] */
1363 : static GEN
1364 364903 : rX_s_eval(GEN T, long n)
1365 : {
1366 364903 : long i = lg(T)-1;
1367 364903 : GEN c = gel(T,i);
1368 7536888 : for (i--; i>=2; i--) c = gadd(mulrs(c,n),gel(T,i));
1369 364903 : return c;
1370 : }
1371 :
1372 : /* C>0 t_REAL, eC = exp(C). Return eint1(n*C) for 1<=n<=N. Absolute accuracy */
1373 : GEN
1374 238 : mpveceint1(GEN C, GEN eC, long N)
1375 : {
1376 238 : const long prec = realprec(C);
1377 238 : long Nmin = 15; /* >= 1. E.g. between 10 and 30, but little effect */
1378 238 : GEN en, v, w = cgetg(N+1, t_VEC);
1379 : pari_sp av0;
1380 : double DL;
1381 : long n, j, jmax, jmin;
1382 238 : if (!N) return w;
1383 368641 : for (n = 1; n <= N; n++) gel(w,n) = cgetr(prec);
1384 238 : av0 = avma;
1385 238 : if (N < Nmin) Nmin = N;
1386 238 : if (!eC) eC = mpexp(C);
1387 238 : en = eC; affrr(eint1p(C, en), gel(w,1));
1388 3500 : for (n = 2; n <= Nmin; n++)
1389 : {
1390 : pari_sp av2;
1391 3262 : en = mulrr(en,eC); /* exp(n C) */
1392 3262 : av2 = avma;
1393 3262 : affrr(eint1p(mulru(C,n), en), gel(w,n));
1394 3262 : set_avma(av2);
1395 : }
1396 238 : if (Nmin == N) { set_avma(av0); return w; }
1397 :
1398 231 : DL = prec2nbits_mul(prec, M_LN2) + 5;
1399 231 : jmin = ceil(DL/log((double)N)) + 1;
1400 231 : jmax = ceil(DL/log((double)Nmin)) + 1;
1401 231 : v = sum_jall(C, jmax, prec);
1402 231 : en = powrs(eC, -N); /* exp(-N C) */
1403 231 : affrr(eint1p(mulru(C,N), invr(en)), gel(w,N));
1404 6041 : for (j = jmin, n = N-1; j <= jmax; j++)
1405 : {
1406 5810 : long limN = maxss((long)ceil(exp(DL/j)), Nmin);
1407 : GEN polsh;
1408 5810 : setlg(v, j+1);
1409 5810 : polsh = RgV_to_RgX_reverse(v, 0);
1410 370713 : for (; n >= limN; n--)
1411 : {
1412 364903 : pari_sp av2 = avma;
1413 364903 : GEN S = divri(mulrr(en, rX_s_eval(polsh, -n)), powuu(n,j));
1414 : /* w[n+1] - exp(-n C) * polsh(-n) / (-n)^j */
1415 364903 : GEN c = odd(j)? addrr(gel(w,n+1), S) : subrr(gel(w,n+1), S);
1416 364903 : affrr(c, gel(w,n)); set_avma(av2);
1417 364903 : en = mulrr(en,eC); /* exp(-n C) */
1418 : }
1419 : }
1420 231 : set_avma(av0); return w;
1421 : }
1422 :
1423 : /* erfc via numerical integration : assume real(x)>=1 */
1424 : static GEN
1425 14 : cxerfc_r1(GEN x, long prec)
1426 : {
1427 : GEN h, h2, eh2, denom, res, lambda;
1428 : long u, v;
1429 14 : const double D = prec2nbits_mul(prec, M_LN2);
1430 14 : const long npoints = (long)ceil(D/M_PI)+1;
1431 14 : pari_sp av = avma;
1432 : {
1433 14 : double t = exp(-2*M_PI*M_PI/D); /* ~exp(-2*h^2) */
1434 14 : v = 30; /* bits that fit in both long and double mantissa */
1435 14 : u = (long)floor(t*(1L<<v));
1436 : /* define exp(-2*h^2) to be u*2^(-v) */
1437 : }
1438 14 : incrprec(prec);
1439 14 : x = gtofp(x,prec);
1440 14 : eh2 = sqrtr_abs(rtor(shiftr(dbltor(u),-v),prec));
1441 14 : h2 = negr(logr_abs(eh2));
1442 14 : h = sqrtr_abs(h2);
1443 14 : lambda = gdiv(x,h);
1444 14 : denom = gsqr(lambda);
1445 : { /* res = h/x + 2*x*h*sum(k=1,npoints,exp(-(k*h)^2)/(lambda^2+k^2)); */
1446 : GEN Uk; /* = exp(-(kh)^2) */
1447 14 : GEN Vk = eh2;/* = exp(-(2k+1)h^2) */
1448 14 : pari_sp av2 = avma;
1449 : long k;
1450 : /* k = 0 moved out for efficiency */
1451 14 : denom = gaddsg(1,denom);
1452 14 : Uk = Vk;
1453 14 : Vk = mulur(u,Vk); shiftr_inplace(Vk, -v);
1454 14 : res = gdiv(Uk, denom);
1455 420 : for (k = 1; k < npoints; k++)
1456 : {
1457 406 : if ((k & 255) == 0) gerepileall(av2,4,&denom,&Uk,&Vk,&res);
1458 406 : denom = gaddsg(2*k+1,denom);
1459 406 : Uk = mpmul(Uk,Vk);
1460 406 : Vk = mulur(u,Vk); shiftr_inplace(Vk, -v);
1461 406 : res = gadd(res, gdiv(Uk, denom));
1462 : }
1463 : }
1464 14 : res = gmul(res, gshift(lambda,1));
1465 : /* 0 term : */
1466 14 : res = gadd(res, ginv(lambda));
1467 14 : res = gmul(res, gdiv(gexp(gneg(gsqr(x)), prec), mppi(prec)));
1468 14 : if (rtodbl(real_i(x)) < sqrt(D))
1469 : {
1470 14 : GEN t = gmul(divrr(Pi2n(1,prec),h), x);
1471 14 : res = gsub(res, gdivsg(2, cxexpm1(t, prec)));
1472 : }
1473 14 : return gerepileupto(av,res);
1474 : }
1475 :
1476 : static GEN
1477 7 : sererfc(GEN x, long prec)
1478 : {
1479 7 : GEN u, z = invr(sqrtr_abs(Pi2n(-2,prec)));
1480 7 : setsigne(z, -1); /* -2/sqrt(Pi) */
1481 7 : z = gmul(z, integser(gmul(derivser(x), gexp(gneg(gsqr(x)), prec))));
1482 7 : u = polcoef_i(x, 0, varn(x));
1483 7 : if (!gcmp0(u)) z = gadd(z, gerfc(u, prec));
1484 7 : return z;
1485 : }
1486 :
1487 : GEN
1488 70 : gerfc(GEN x, long prec)
1489 : {
1490 : GEN z, xr, xi, res;
1491 : long s;
1492 : pari_sp av;
1493 :
1494 70 : switch(typ(x))
1495 : {
1496 63 : case t_INT: case t_REAL: case t_FRAC: case t_COMPLEX:
1497 63 : break;
1498 7 : default:
1499 7 : av = avma;
1500 7 : if ((z = toser_i(x))) return gerepileupto(av, sererfc(z,prec));
1501 0 : return trans_eval("erfc",gerfc,x,prec);
1502 : }
1503 : /* x a complex scalar */
1504 63 : x = trans_fix_arg(&prec,&x,&xr,&xi, &av,&res);
1505 63 : s = signe(xr);
1506 63 : if (s > 0 || (s == 0 && signe(xi) >= 0)) {
1507 49 : if (cmprs(xr, 1) > 0) /* use numerical integration */
1508 14 : z = cxerfc_r1(x, prec);
1509 : else
1510 : { /* erfc(x) = incgam(1/2,x^2)/sqrt(Pi) */
1511 35 : GEN sqrtpi = sqrtr(mppi(prec));
1512 35 : z = incgam0(ghalf, gsqr(x), sqrtpi, prec);
1513 35 : z = gdiv(z, sqrtpi);
1514 : }
1515 : }
1516 : else
1517 : { /* erfc(-x)=2-erfc(x) */
1518 : /* FIXME could decrease prec
1519 : long size = nbits2extraprec((imag(x)^2-real(x)^2)/log(2));
1520 : prec = size > 0 ? prec : prec + size;
1521 : */
1522 : /* NOT gsubsg(2, ...) : would create a result of
1523 : * huge accuracy if re(x)>>1, rounded to 2 by subsequent affc_fixlg... */
1524 14 : z = gsub(real2n(1,prec+EXTRAPREC64), gerfc(gneg(x), prec));
1525 : }
1526 63 : set_avma(av); return affc_fixlg(z, res);
1527 : }
1528 :
1529 : /***********************************************************************/
1530 : /** **/
1531 : /** RIEMANN ZETA FUNCTION **/
1532 : /** **/
1533 : /***********************************************************************/
1534 : static const double log2PI = 1.83787706641;
1535 :
1536 : static double
1537 4578 : get_xinf(double beta)
1538 : {
1539 4578 : const double maxbeta = 0.06415003; /* 3^(-2.5) */
1540 : double x0, y0, x1;
1541 :
1542 4578 : if (beta < maxbeta) return beta + pow(3*beta, 1.0/3.0);
1543 4578 : x0 = beta + M_PI/2.0;
1544 : for(;;)
1545 : {
1546 7532 : y0 = x0*x0;
1547 7532 : x1 = (beta+atan(x0)) * (1+y0) / y0 - 1/x0;
1548 7532 : if (0.99*x0 < x1) return x1;
1549 2954 : x0 = x1;
1550 : }
1551 : }
1552 : /* optimize for zeta( s + it, prec ), assume |s-1| > 0.1
1553 : * (if gexpo(u = s-1) < -5, we use the functional equation s->1-s) */
1554 : static int
1555 8610 : optim_zeta(GEN S, long prec, long *pp, long *pn)
1556 : {
1557 : double s, t, alpha, beta, n, B;
1558 : long p;
1559 8610 : if (typ(S) == t_REAL) {
1560 266 : t = 0.;
1561 266 : s = rtodbl(S);
1562 : } else {
1563 8344 : t = fabs( rtodbl(gel(S,2)) );
1564 8344 : if (t > 2500) return 0; /* lfunlarge */
1565 8309 : s = rtodbl(gel(S,1));
1566 : }
1567 :
1568 8575 : B = prec2nbits_mul(prec, M_LN2);
1569 8575 : if (s > 0 && !t) /* positive real input */
1570 : {
1571 238 : beta = B + 0.61 + s*(log2PI - log(s));
1572 238 : if (beta > 0)
1573 : {
1574 231 : p = (long)ceil(beta / 2.0);
1575 231 : n = fabs(s + 2*p-1)/(2*M_PI);
1576 : }
1577 : else
1578 : {
1579 7 : p = 0;
1580 7 : n = exp((B - M_LN2) / s);
1581 : }
1582 : }
1583 8337 : else if (s <= 0 || t < 0.01) /* s < 0 may occur if s ~ 0 */
1584 3752 : { /* TODO: the crude bounds below are generally valid. Optimize ? */
1585 3752 : double l,l2, la = 1.; /* heuristic */
1586 3752 : double rlog, ilog; dcxlog(s-1,t, &rlog,&ilog);
1587 3752 : l2 = (s - 0.5)*rlog - t*ilog; /* = Re( (S - 1/2) log (S-1) ) */
1588 3752 : l = (B - l2 + s*log2PI) / (2. * (1.+ log((double)la)));
1589 3752 : l2 = dabs(s, t)/2;
1590 3752 : if (l < l2) l = l2;
1591 3752 : p = (long) ceil(l); if (p < 2) p = 2;
1592 3752 : n = 1 + dabs(p+s/2.-.25, t/2) * la / M_PI;
1593 : }
1594 : else
1595 : {
1596 4585 : double sn = dabs(s, t), L = log(sn/s);
1597 4585 : alpha = B - 0.39 + L + s*(log2PI - log(sn));
1598 4585 : beta = (alpha+s)/t - atan(s/t);
1599 4585 : p = 0;
1600 4585 : if (beta > 0)
1601 : {
1602 4578 : beta = 1.0 - s + t * get_xinf(beta);
1603 4578 : if (beta > 0) p = (long)ceil(beta / 2.0);
1604 : }
1605 : else
1606 7 : if (s < 1.0) p = 1;
1607 4585 : n = p? dabs(s + 2*p-1, t) / (2*M_PI) : exp((B-M_LN2+L) / s);
1608 : }
1609 8575 : *pp = p;
1610 8575 : *pn = (long)ceil(n);
1611 8575 : if (*pp < 0 || *pn < 0) pari_err_OVERFLOW("zeta");
1612 8575 : return 1;
1613 : }
1614 :
1615 : /* zeta(a*j+b), j=0..N-1, b>1, using sumalt. Johansonn's thesis, Algo 4.7.1 */
1616 : static GEN
1617 698 : veczetas(long a, long b, long N, long prec)
1618 : {
1619 698 : const long n = ceil(2 + prec2nbits_mul(prec, M_LN2/1.7627));
1620 698 : pari_sp av = avma;
1621 698 : GEN c, d, z = zerovec(N);
1622 : long j, k;
1623 698 : c = d = int2n(2*n-1);
1624 87072 : for (k = n; k > 1; k--)
1625 : {
1626 86374 : GEN u, t = divii(d, powuu(k,b));
1627 86383 : if (!odd(k)) t = negi(t);
1628 86420 : gel(z,1) = addii(gel(z,1), t);
1629 86433 : u = powuu(k,a);
1630 4098390 : for (j = 1; j < N; j++)
1631 : {
1632 4056114 : t = divii(t,u); if (!signe(t)) break;
1633 4008785 : gel(z,j+1) = addii(gel(z,j+1), t);
1634 : }
1635 87644 : c = muluui(k,2*k-1,c);
1636 86405 : c = diviuuexact(c, 2*(n-k+1),n+k-1);
1637 86390 : d = addii(d,c);
1638 86382 : if (gc_needed(av,3))
1639 : {
1640 7 : if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"zetaBorwein, k = %ld", k);
1641 7 : gerepileall(av, 3, &c,&d,&z);
1642 : }
1643 : }
1644 : /* k = 1 */
1645 53267 : for (j = 1; j <= N; j++) gel(z,j) = addii(gel(z,j), d);
1646 698 : d = addiu(d, 1);
1647 53335 : for (j = 0, k = b - 1; j < N; j++, k += a)
1648 52637 : gel(z,j+1) = rdivii(shifti(gel(z,j+1), k), subii(shifti(d,k), d), prec);
1649 698 : return z;
1650 : }
1651 : /* zeta(a*j+b), j=0..N-1, b>1, using sumalt */
1652 : GEN
1653 217 : veczeta(GEN a, GEN b, long N, long prec)
1654 : {
1655 217 : pari_sp av = avma;
1656 : long n, j, k;
1657 217 : GEN L, c, d, z = zerovec(N);
1658 217 : if (typ(a) == t_INT && typ(b) == t_INT)
1659 126 : return gerepilecopy(av, veczetas(itos(a), itos(b), N, prec));
1660 91 : n = ceil(2 + prec2nbits_mul(prec, M_LN2/1.7627));
1661 91 : c = d = int2n(2*n-1);
1662 13819 : for (k = n; k; k--)
1663 : {
1664 : GEN u, t;
1665 13728 : L = logr_abs(utor(k, prec)); /* log(k) */
1666 13728 : t = gdiv(d, gexp(gmul(b, L), prec)); /* d / k^b */
1667 13728 : if (!odd(k)) t = gneg(t);
1668 13728 : gel(z,1) = gadd(gel(z,1), t);
1669 13728 : u = gexp(gmul(a, L), prec);
1670 896888 : for (j = 1; j < N; j++)
1671 : {
1672 889583 : t = gdiv(t,u); if (gexpo(t) < 0) break;
1673 883160 : gel(z,j+1) = gadd(gel(z,j+1), t);
1674 : }
1675 13728 : c = muluui(k,2*k-1,c);
1676 13728 : c = diviuuexact(c, 2*(n-k+1),n+k-1);
1677 13728 : d = addii(d,c);
1678 13728 : if (gc_needed(av,3))
1679 : {
1680 0 : if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"veczeta, k = %ld", k);
1681 0 : gerepileall(av, 3, &c,&d,&z);
1682 : }
1683 : }
1684 91 : L = mplog2(prec);
1685 5796 : for (j = 0; j < N; j++)
1686 : {
1687 5705 : GEN u = gsubgs(gadd(b, gmulgu(a,j)), 1);
1688 5705 : GEN w = gexp(gmul(u, L), prec); /* 2^u */
1689 5705 : gel(z,j+1) = gdiv(gmul(gel(z,j+1), w), gmul(d,gsubgs(w,1)));
1690 : }
1691 91 : return gerepilecopy(av, z);
1692 : }
1693 :
1694 : GEN
1695 27422 : constzeta(long n, long prec)
1696 : {
1697 27422 : GEN o = zetazone, z;
1698 27422 : long l = o? lg(o): 0;
1699 : pari_sp av;
1700 27422 : if (l > n)
1701 : {
1702 27021 : long p = realprec(gel(o,1));
1703 27021 : if (p >= prec) return o;
1704 : }
1705 572 : n = maxss(n, l + 15);
1706 572 : av = avma; z = veczetas(1, 2, n-1, prec);
1707 572 : zetazone = gclone(vec_prepend(z, mpeuler(prec)));
1708 572 : set_avma(av); guncloneNULL(o); return zetazone;
1709 : }
1710 :
1711 : /* zeta(s) using sumalt, case h=0,N=1. Assume s > 1 */
1712 : static GEN
1713 598 : zetaBorwein(long s, long prec)
1714 : {
1715 598 : pari_sp av = avma;
1716 598 : const long n = ceil(2 + prec2nbits_mul(prec, M_LN2/1.7627));
1717 : long k;
1718 598 : GEN c, d, z = gen_0;
1719 598 : c = d = int2n(2*n-1);
1720 135672 : for (k = n; k; k--)
1721 : {
1722 135074 : GEN t = divii(d, powuu(k,s));
1723 135074 : z = odd(k)? addii(z,t): subii(z,t);
1724 135074 : c = muluui(k,2*k-1,c);
1725 135074 : c = diviuuexact(c, 2*(n-k+1),n+k-1);
1726 135074 : d = addii(d,c);
1727 135074 : if (gc_needed(av,3))
1728 : {
1729 0 : if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"zetaBorwein, k = %ld", k);
1730 0 : gerepileall(av, 3, &c,&d,&z);
1731 : }
1732 : }
1733 598 : return rdivii(shifti(z, s-1), subii(shifti(d,s-1), d), prec);
1734 : }
1735 :
1736 : /* assume k != 1 */
1737 : GEN
1738 4991 : szeta(long k, long prec)
1739 : {
1740 4991 : pari_sp av = avma;
1741 : GEN z;
1742 :
1743 4991 : if (!k) { z = real2n(-1, prec); setsigne(z,-1); return z; }
1744 4984 : if (k < 0)
1745 : {
1746 252 : if (!odd(k)) return gen_0;
1747 : /* the one value such that k < 0 and 1 - k < 0, due to overflow */
1748 252 : if ((ulong)k == (HIGHBIT | 1))
1749 0 : pari_err_OVERFLOW("zeta [large negative argument]");
1750 252 : k = 1-k;
1751 252 : z = bernreal(k, prec); togglesign(z);
1752 252 : return gerepileuptoleaf(av, divru(z, k));
1753 : }
1754 : /* k > 1 */
1755 4732 : if (k > prec2nbits(prec)+1) return real_1(prec);
1756 4725 : if (zetazone && realprec(gel(zetazone,1)) >= prec && lg(zetazone) > k)
1757 119 : return rtor(gel(zetazone, k), prec);
1758 4606 : if (!odd(k))
1759 : {
1760 : GEN B;
1761 2835 : if (!bernzone) constbern(0);
1762 2835 : if (k < lg(bernzone))
1763 2380 : B = gel(bernzone, k>>1);
1764 : else
1765 : {
1766 455 : if (bernbitprec(k) > prec2nbits(prec))
1767 0 : return gerepileupto(av, invr(inv_szeta_euler(k, prec)));
1768 455 : B = bernfrac(k);
1769 : }
1770 : /* B = B_k */
1771 2835 : z = gmul(powru(Pi2n(1, prec + EXTRAPREC64), k), B);
1772 2835 : z = divrr(z, mpfactr(k,prec));
1773 2835 : setsigne(z, 1); shiftr_inplace(z, -1);
1774 : }
1775 : else
1776 : {
1777 1771 : double p = prec2nbits_mul(prec,0.393); /* bit / log_2(3+sqrt(8)) */
1778 1771 : p = log2(p * log(p));
1779 3542 : z = (p * k > prec2nbits(prec))? invr(inv_szeta_euler(k, prec))
1780 1771 : : zetaBorwein(k, prec);
1781 : }
1782 4606 : return gerepileuptoleaf(av, z);
1783 : }
1784 :
1785 : /* Ensure |1-s| >= 1/32 and (|s| <= 1/32 or real(s) >= 1/2) */
1786 : static int
1787 8624 : zeta_funeq(GEN *ps)
1788 : {
1789 8624 : GEN s = *ps, u;
1790 8624 : if (typ(s) == t_REAL)
1791 : {
1792 273 : u = subsr(1, s);
1793 273 : if (expo(u) >= -5
1794 266 : && ((signe(s) > 0 && expo(s) >= -1) || expo(s) <= -5)) return 0;
1795 : }
1796 : else
1797 : {
1798 8351 : GEN sig = gel(s,1);
1799 8351 : if (fabs(rtodbl(gel(s,2))) > 2500) return 0; /* lfunlarge */
1800 8316 : u = gsubsg(1, s);
1801 8316 : if (gexpo(u) >= -5
1802 8309 : && ((signe(sig) > 0 && expo(sig) >= -1) || gexpo(s) <= -5)) return 0;
1803 : }
1804 1505 : *ps = u; return 1;
1805 : }
1806 : /* s0 a t_INT, t_REAL or t_COMPLEX.
1807 : * If a t_INT, assume it's not a trivial case (i.e we have s0 > 1, odd) */
1808 : static GEN
1809 8631 : czeta(GEN s0, long prec)
1810 : {
1811 8631 : GEN ms, s, u, y, res, tes, sig, tau, invn2, ns, Ns, funeq_factor = NULL;
1812 : long i, nn, lim, lim2;
1813 8631 : pari_sp av0 = avma, av, av2;
1814 : pari_timer T;
1815 :
1816 8631 : if (DEBUGLEVEL>2) timer_start(&T);
1817 8631 : s = trans_fix_arg(&prec,&s0,&sig,&tau,&av,&res);
1818 8631 : if (typ(s0) == t_INT) return gerepileupto(av0, gzeta(s0, prec));
1819 8624 : if (zeta_funeq(&s)) /* s -> 1-s */
1820 : { /* Gamma(s) (2Pi)^-s 2 cos(Pi s/2) [new s] */
1821 1505 : GEN t = gmul(ggamma(s,prec), pow2Pis(gsubgs(s0,1), prec));
1822 1505 : sig = real_i(s);
1823 1505 : funeq_factor = gmul2n(gmul(t, gsin(gmul(Pi2n(-1,prec),s0), prec)), 1);
1824 : }
1825 8624 : if (gcmpgs(sig, prec2nbits(prec) + 1) > 0) { /* zeta(s) = 1 */
1826 14 : if (!funeq_factor) { set_avma(av0); return real_1(prec); }
1827 7 : return gerepileupto(av0, funeq_factor);
1828 : }
1829 8610 : if (!optim_zeta(s, prec, &lim, &nn))
1830 : {
1831 35 : long bit = prec2nbits(prec);
1832 35 : y = lfun(lfuninit(gen_1, cgetg(1,t_VEC), 0, bit), s, bit);
1833 35 : if (funeq_factor) y = gmul(y, funeq_factor);
1834 35 : set_avma(av); return affc_fixlg(y,res);
1835 : }
1836 8575 : if (DEBUGLEVEL>2) err_printf("lim, nn: [%ld, %ld]\n", lim, nn);
1837 8575 : ms = gneg(s);
1838 8575 : if (umuluu_le(nn, prec, 10000000))
1839 : {
1840 8575 : incrprec(prec); /* one extra word of precision */
1841 8575 : Ns = vecpowug(nn, ms, prec);
1842 8575 : ns = gel(Ns,nn); setlg(Ns, nn);
1843 8575 : y = gadd(gmul2n(ns, -1), RgV_sum(Ns));
1844 : }
1845 : else
1846 : {
1847 0 : Ns = dirpowerssum(nn, ms, 0, prec);
1848 0 : incrprec(prec); /* one extra word of precision */
1849 0 : ns = gpow(utor(nn, prec), ms, prec);
1850 0 : y = gsub(Ns, gmul2n(ns, -1));
1851 : }
1852 8575 : if (DEBUGLEVEL>2) timer_printf(&T,"sum from 1 to N");
1853 8575 : constbern(lim);
1854 8575 : if (DEBUGLEVEL>2) timer_start(&T);
1855 8575 : invn2 = divri(real_1(prec), sqru(nn)); lim2 = lim<<1;
1856 8575 : tes = bernfrac(lim2);
1857 : {
1858 : GEN s1, s2, s3, s4, s5;
1859 8575 : s2 = gmul(s, gsubgs(s,1));
1860 8575 : s3 = gmul2n(invn2,3);
1861 8575 : av2 = avma;
1862 8575 : s1 = gsubgs(gmul2n(s,1), 1);
1863 8575 : s4 = gmul(invn2, gmul2n(gaddsg(4*lim-2,s1),1));
1864 8575 : s5 = gmul(invn2, gadd(s2, gmulsg(lim2, gaddgs(s1, lim2))));
1865 805263 : for (i = lim2-2; i>=2; i -= 2)
1866 : {
1867 796688 : s5 = gsub(s5, s4);
1868 796688 : s4 = gsub(s4, s3);
1869 796688 : tes = gadd(bernfrac(i), gdivgunextu(gmul(s5,tes), i+1));
1870 796688 : if (gc_needed(av2,3))
1871 : {
1872 0 : if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"czeta i = %ld", i);
1873 0 : gerepileall(av2,3, &tes,&s5,&s4);
1874 : }
1875 : }
1876 8575 : u = gmul(gmul(tes,invn2), gmul2n(s2, -1));
1877 8575 : tes = gmulsg(nn, gaddsg(1, u));
1878 : }
1879 8575 : if (DEBUGLEVEL>2) timer_printf(&T,"Bernoulli sum");
1880 : /* y += tes n^(-s) / (s-1) */
1881 8575 : y = gadd(y, gmul(tes, gdiv(ns, gsubgs(s,1))));
1882 8575 : if (funeq_factor) y = gmul(y, funeq_factor);
1883 8575 : set_avma(av); return affc_fixlg(y,res);
1884 : }
1885 : /* v a t_VEC/t_COL */
1886 : int
1887 14 : RgV_is_arithprog(GEN v, GEN *a, GEN *b)
1888 : {
1889 14 : pari_sp av = avma, av2;
1890 14 : long i, n = lg(v)-1;
1891 14 : if (n == 0) { *a = *b = gen_0; return 1; }
1892 14 : *a = gel(v,1);
1893 14 : if (n == 1) { * b = gen_0; return 1; }
1894 14 : *b = gsub(gel(v,2), *a); av2 = avma;
1895 28 : for (i = 2; i < n; i++)
1896 14 : if (!gequal(*b, gsub(gel(v,i+1), gel(v,i)))) return gc_int(av,0);
1897 14 : return gc_int(av2,1);
1898 : }
1899 :
1900 : GEN
1901 13636 : gzeta(GEN x, long prec)
1902 : {
1903 13636 : pari_sp av = avma;
1904 : GEN y;
1905 13636 : if (gequal1(x)) pari_err_DOMAIN("zeta", "argument", "=", gen_1, x);
1906 13615 : switch(typ(x))
1907 : {
1908 4753 : case t_INT:
1909 4753 : if (is_bigint(x))
1910 : {
1911 21 : if (signe(x) > 0) return real_1(prec);
1912 14 : if (mod2(x) == 0) return real_0(prec);
1913 7 : pari_err_OVERFLOW("zeta [large negative argument]");
1914 : }
1915 4732 : return szeta(itos(x),prec);
1916 8631 : case t_REAL: case t_COMPLEX: return czeta(x,prec);
1917 14 : case t_PADIC: return Qp_zeta(x);
1918 21 : case t_VEC: case t_COL:
1919 : {
1920 : GEN a, b;
1921 21 : long n = lg(x) - 1;
1922 21 : if (n > 1 && RgV_is_arithprog(x, &a, &b))
1923 : {
1924 14 : if (!is_real_t(typ(a)) || !is_real_t(typ(b)) || gcmpgs(a, 1) <= 0)
1925 0 : { set_avma(av); break; }
1926 14 : a = veczeta(b, a, n, prec);
1927 14 : settyp(a, typ(x)); return a;
1928 : }
1929 : }
1930 : default:
1931 203 : if (!(y = toser_i(x))) break;
1932 35 : if (gequal1(y))
1933 7 : pari_err_DOMAIN("zeta", "argument", "=", gen_1, y);
1934 28 : return gerepileupto(av, lfun(gen_1,y,prec2nbits(prec)));
1935 : }
1936 168 : return trans_eval("zeta",gzeta,x,prec);
1937 : }
1938 :
1939 : /***********************************************************************/
1940 : /** **/
1941 : /** FONCTIONS POLYLOGARITHME **/
1942 : /** **/
1943 : /***********************************************************************/
1944 :
1945 : /* smallish k such that bernbitprec(K) > bit + Kdz, K = 2k+4 */
1946 : static long
1947 21 : get_k(double dz, long bit)
1948 : {
1949 : long a, b;
1950 21 : for (b = 128;; b <<= 1)
1951 21 : if (bernbitprec(b) > bit + b*dz) break;
1952 21 : if (b == 128) return 128;
1953 0 : a = b >> 1;
1954 0 : while (b - a > 64)
1955 : {
1956 0 : long c = (a+b) >> 1;
1957 0 : if (bernbitprec(c) > bit + c*dz) b = c; else a = c;
1958 : }
1959 0 : return b >> 1;
1960 : }
1961 :
1962 : /* m >= 2. Validity domain |log x| < 2*Pi, contains log |x| < 5.44,
1963 : * Li_m(x = e^z) = sum_{n >= 0} zeta(m-n) z^n / n!
1964 : * with zeta(1) := H_{m-1} - log(-z) */
1965 : static GEN
1966 21 : cxpolylog(long m, GEN x, long prec)
1967 : {
1968 : long li, n, k, ksmall, real;
1969 : GEN vz, z, Z, h, q, s, S;
1970 : pari_sp av;
1971 : double dz;
1972 : pari_timer T;
1973 :
1974 21 : if (gequal1(x)) return szeta(m,prec);
1975 : /* x real <= 1 ==> Li_m(x) real */
1976 21 : real = (typ(x) == t_REAL && (expo(x) < 0 || signe(x) <= 0));
1977 :
1978 21 : vz = constzeta(m, prec);
1979 21 : z = glog(x,prec);
1980 : /* n = 0 */
1981 21 : q = gen_1; s = gel(vz, m);
1982 28 : for (n=1; n < m-1; n++)
1983 : {
1984 7 : q = gdivgu(gmul(q,z),n);
1985 7 : s = gadd(s, gmul(gel(vz,m-n), real? real_i(q): q));
1986 : }
1987 : /* n = m-1 */
1988 21 : q = gdivgu(gmul(q,z),n); /* multiply by "zeta(1)" */
1989 21 : h = gmul(q, gsub(harmonic(m-1), glog(gneg_i(z),prec)));
1990 21 : s = gadd(s, real? real_i(h): h);
1991 : /* n = m */
1992 21 : q = gdivgu(gmul(q,z),m);
1993 21 : s = gadd(s, gdivgs(real? real_i(q): q, -2)); /* zeta(0) = -1/2 */
1994 : /* n = m+1 */
1995 21 : q = gdivgu(gmul(q,z),m+1); /* = z^(m+1) / (m+1)! */
1996 21 : s = gadd(s, gdivgs(real? real_i(q): q, -12)); /* zeta(-1) = -1/12 */
1997 :
1998 21 : li = -(prec2nbits(prec)+1);
1999 21 : if (DEBUGLEVEL) timer_start(&T);
2000 21 : dz = dbllog2(z) - log2PI; /* ~ log2(|z|/2Pi) */
2001 : /* sum_{k >= 1} zeta(-1-2k) * z^(2k+m+1) / (2k+m+1)!
2002 : * = 2 z^(m-1) sum_{k >= 1} zeta(2k+2) * Z^(k+1) / (2k+2)..(2k+1+m)), where
2003 : * Z = -(z/2Pi)^2. Stop at 2k = (li - (m-1)*Lz - m) / dz, Lz = log2 |z| */
2004 : /* We cut the sum in two: small values of k first */
2005 21 : Z = gsqr(z); av = avma;
2006 21 : ksmall = get_k(dz, prec2nbits(prec));
2007 21 : constbern(ksmall);
2008 469 : for(k = 1; k < ksmall; k++)
2009 : {
2010 469 : GEN t = q = gdivgunextu(gmul(q,Z), 2*k+m); /* z^(2k+m+1)/(2k+m+1)! */
2011 469 : if (real) t = real_i(t);
2012 469 : t = gmul(t, gdivgu(bernfrac(2*k+2), 2*k+2)); /* - t * zeta(1-(2k+2)) */
2013 469 : s = gsub(s, t);
2014 469 : if (gexpo(t) < li) return s;
2015 : /* large values ? */
2016 448 : if ((k & 0x1ff) == 0) gerepileall(av, 2, &s, &q);
2017 : }
2018 0 : if (DEBUGLEVEL>2) timer_printf(&T, "polylog: small k <= %ld", k);
2019 0 : Z = gneg(gsqr(gdiv(z, Pi2n(1,prec))));
2020 0 : q = gmul(gpowgs(z, m-1), gpowgs(Z, k+1)); /* Z^(k+1) * z^(m-1) */
2021 0 : S = gen_0; av = avma;
2022 0 : for(;; k++)
2023 0 : {
2024 0 : GEN t = q;
2025 : long b;
2026 0 : if (real) t = real_i(t);
2027 0 : b = prec + gexpo(t) / BITS_IN_LONG; /* decrease accuracy */
2028 0 : if (b == 2) break;
2029 : /* t * zeta(2k+2) / (2k+2)..(2k+1+m) */
2030 0 : t = gdiv(t, mulri(inv_szeta_euler(2*k+2, b),
2031 0 : mulu_interval(2*k+2, 2*k+1+m)));
2032 0 : S = gadd(S, t); if (gexpo(t) < li) break;
2033 0 : q = gmul(q, Z);
2034 0 : if ((k & 0x1ff) == 0) gerepileall(av, 2, &S, &q);
2035 : }
2036 0 : if (DEBUGLEVEL>2) timer_printf(&T, "polylog: large k <= %ld", k);
2037 0 : return gadd(s, gmul2n(S,1));
2038 : }
2039 :
2040 : static GEN
2041 42 : Li1(GEN x, long prec) { return gneg(glog(gsubsg(1, x), prec)); }
2042 :
2043 : static GEN
2044 203 : polylog(long m, GEN x, long prec)
2045 : {
2046 : long l, e, i, G, sx;
2047 : pari_sp av, av1;
2048 : GEN X, Xn, z, p1, p2, y, res;
2049 :
2050 203 : if (m < 0) pari_err_DOMAIN("polylog", "index", "<", gen_0, stoi(m));
2051 203 : if (!m) return mkfrac(gen_m1,gen_2);
2052 203 : if (gequal0(x)) return gcopy(x);
2053 203 : if (m==1) { av = avma; return gerepileupto(av, Li1(x, prec)); }
2054 :
2055 168 : l = precision(x);
2056 168 : if (!l) l = prec; else prec = l;
2057 168 : res = cgetc(l); av = avma;
2058 168 : x = gtofp(x, l+EXTRAPREC64);
2059 168 : e = gexpo(gnorm(x));
2060 168 : if (!e || e == -1) {
2061 21 : y = cxpolylog(m,x,prec);
2062 21 : set_avma(av); return affc_fixlg(y, res);
2063 : }
2064 147 : X = (e > 0)? ginv(x): x;
2065 147 : G = -prec2nbits(l);
2066 147 : av1 = avma;
2067 147 : y = Xn = X;
2068 68159 : for (i=2; ; i++)
2069 : {
2070 68159 : Xn = gmul(X,Xn); p2 = gdiv(Xn,powuu(i,m));
2071 68159 : y = gadd(y,p2);
2072 68159 : if (gexpo(p2) <= G) break;
2073 :
2074 68012 : if (gc_needed(av1,1))
2075 : {
2076 0 : if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"polylog");
2077 0 : gerepileall(av1,2, &y, &Xn);
2078 : }
2079 : }
2080 147 : if (e < 0) { set_avma(av); return affc_fixlg(y, res); }
2081 :
2082 28 : sx = gsigne(imag_i(x));
2083 28 : if (!sx)
2084 : {
2085 28 : if (m&1) sx = gsigne(gsub(gen_1, real_i(x)));
2086 21 : else sx = - gsigne(real_i(x));
2087 : }
2088 28 : z = divri(mppi(l), mpfact(m-1)); setsigne(z, sx);
2089 28 : z = mkcomplex(gen_0, z);
2090 :
2091 28 : if (m == 2)
2092 : { /* same formula as below, written more efficiently */
2093 21 : y = gneg_i(y);
2094 21 : if (typ(x) == t_REAL && signe(x) < 0)
2095 7 : p1 = logr_abs(x);
2096 : else
2097 14 : p1 = gsub(glog(x,l), z);
2098 21 : p1 = gmul2n(gsqr(p1), -1); /* = (log(-x))^2 / 2 */
2099 :
2100 21 : p1 = gadd(p1, divru(sqrr(mppi(l)), 6));
2101 21 : p1 = gneg_i(p1);
2102 : }
2103 : else
2104 : {
2105 7 : GEN logx = glog(x,l), logx2 = gsqr(logx), vz = constzeta(m, l);
2106 7 : p1 = mkfrac(gen_m1,gen_2);
2107 14 : for (i = m-2; i >= 0; i -= 2)
2108 7 : p1 = gadd(gel(vz, m-i), gmul(p1, gdivgunextu(logx2, i+1)));
2109 7 : if (m&1) p1 = gmul(logx,p1); else y = gneg_i(y);
2110 7 : p1 = gadd(gmul2n(p1,1), gmul(z,gpowgs(logx,m-1)));
2111 7 : if (typ(x) == t_REAL && signe(x) < 0) p1 = real_i(p1);
2112 : }
2113 28 : y = gadd(y,p1);
2114 28 : set_avma(av); return affc_fixlg(y, res);
2115 : }
2116 : static GEN
2117 119 : RIpolylog(long m, GEN x, long real, long prec)
2118 : {
2119 119 : GEN y = polylog(m, x, prec);
2120 119 : return real? real_i(y): imag_i(y);
2121 : }
2122 : GEN
2123 21 : dilog(GEN x, long prec) { return gpolylog(2, x, prec); }
2124 :
2125 : /* x a floating point number, t_REAL or t_COMPLEX of t_REAL */
2126 : static GEN
2127 42 : logabs(GEN x)
2128 : {
2129 : GEN y;
2130 42 : if (typ(x) == t_COMPLEX)
2131 : {
2132 7 : y = logr_abs( cxnorm(x) );
2133 7 : shiftr_inplace(y, -1);
2134 : } else
2135 35 : y = logr_abs(x);
2136 42 : return y;
2137 : }
2138 :
2139 : static GEN
2140 21 : polylogD(long m, GEN x, long flag, long prec)
2141 : {
2142 21 : long fl = 0, k, l, m2;
2143 : pari_sp av;
2144 : GEN p1, p2, y;
2145 :
2146 21 : if (gequal0(x)) return gcopy(x);
2147 21 : m2 = m&1;
2148 21 : if (gequal1(x) && m>=2) return m2? szeta(m,prec): gen_0;
2149 21 : av = avma; l = precision(x);
2150 21 : if (!l) { l = prec; x = gtofp(x,l); }
2151 21 : p1 = logabs(x);
2152 21 : if (signe(p1) > 0) { x = ginv(x); fl = !m2; } else setabssign(p1);
2153 : /* |x| <= 1, p1 = - log|x| >= 0 */
2154 21 : p2 = gen_1;
2155 21 : y = RIpolylog(m, x, m2, l);
2156 84 : for (k = 1; k < m; k++)
2157 : {
2158 63 : GEN t = RIpolylog(m-k, x, m2, l);
2159 63 : p2 = gdivgu(gmul(p2,p1), k); /* (-log|x|)^k / k! */
2160 63 : y = gadd(y, gmul(p2, t));
2161 : }
2162 21 : if (m2)
2163 : {
2164 14 : p1 = flag? gdivgs(p1, -2*m): gdivgs(logabs(gsubsg(1,x)), m);
2165 14 : y = gadd(y, gmul(p2, p1));
2166 : }
2167 21 : if (fl) y = gneg(y);
2168 21 : return gerepileupto(av, y);
2169 : }
2170 :
2171 : static GEN
2172 14 : polylogP(long m, GEN x, long prec)
2173 : {
2174 14 : long fl = 0, k, l, m2;
2175 : pari_sp av;
2176 : GEN p1,y;
2177 :
2178 14 : if (gequal0(x)) return gcopy(x);
2179 14 : m2 = m&1;
2180 14 : if (gequal1(x) && m>=2) return m2? szeta(m,prec): gen_0;
2181 14 : av = avma; l = precision(x);
2182 14 : if (!l) { l = prec; x = gtofp(x,l); }
2183 14 : p1 = logabs(x);
2184 14 : if (signe(p1) > 0) { x = ginv(x); fl = !m2; setsigne(p1, -1); }
2185 : /* |x| <= 1 */
2186 14 : y = RIpolylog(m, x, m2, l);
2187 14 : if (m==1)
2188 : {
2189 7 : shiftr_inplace(p1, -1); /* log |x| / 2 */
2190 7 : y = gadd(y, p1);
2191 : }
2192 : else
2193 : { /* m >= 2, \sum_{0 <= k <= m} 2^k B_k/k! (log |x|)^k Li_{m-k}(x),
2194 : with Li_0(x) := -1/2 */
2195 7 : GEN u, t = RIpolylog(m-1, x, m2, l);
2196 7 : u = gneg_i(p1); /* u = 2 B1 log |x| */
2197 7 : y = gadd(y, gmul(u, t));
2198 7 : if (m > 2)
2199 : {
2200 : GEN p2;
2201 7 : shiftr_inplace(p1, 1); /* 2log|x| <= 0 */
2202 7 : constbern(m>>1);
2203 7 : p1 = sqrr(p1);
2204 7 : p2 = shiftr(p1,-1);
2205 21 : for (k = 2; k < m; k += 2)
2206 : {
2207 14 : if (k > 2) p2 = gdivgunextu(gmul(p2,p1),k-1); /* 2^k/k! log^k |x|*/
2208 14 : t = RIpolylog(m-k, x, m2, l);
2209 14 : u = gmul(p2, bernfrac(k));
2210 14 : y = gadd(y, gmul(u, t));
2211 : }
2212 : }
2213 : }
2214 14 : if (fl) y = gneg(y);
2215 14 : return gerepileupto(av, y);
2216 : }
2217 :
2218 : static GEN
2219 175 : gpolylog_i(void *E, GEN x, long prec)
2220 : {
2221 175 : pari_sp av = avma;
2222 175 : long i, n, v, m = (long)E;
2223 : GEN a, y;
2224 :
2225 175 : if (m <= 0)
2226 : {
2227 28 : a = gmul(x, poleval(eulerianpol(-m, 0), x));
2228 28 : return gerepileupto(av, gdiv(a, gpowgs(gsubsg(1, x), 1-m)));
2229 : }
2230 147 : switch(typ(x))
2231 : {
2232 84 : case t_REAL: case t_COMPLEX: return polylog(m,x,prec);
2233 7 : case t_INTMOD: case t_PADIC: pari_err_IMPL( "padic polylogarithm");
2234 56 : default:
2235 56 : av = avma; if (!(y = toser_i(x))) break;
2236 21 : if (!m) { set_avma(av); return mkfrac(gen_m1,gen_2); }
2237 21 : if (m==1) return gerepileupto(av, Li1(y, prec));
2238 21 : if (gequal0(y)) return gerepilecopy(av, y);
2239 21 : v = valser(y);
2240 21 : if (v < 0) pari_err_DOMAIN("polylog","valuation", "<", gen_0, x);
2241 14 : if (v > 0) {
2242 7 : n = (lg(y)-3 + v) / v;
2243 7 : a = zeroser(varn(y), lg(y)-2);
2244 35 : for (i=n; i>=1; i--)
2245 28 : a = gmul(y, gadd(a, powis(utoipos(i),-m)));
2246 : } else { /* v == 0 */
2247 7 : long vy = varn(y);
2248 7 : GEN a0 = polcoef_i(y, 0, -1), t = gdiv(derivser(y), y);
2249 7 : a = Li1(y, prec);
2250 14 : for (i=2; i<=m; i++)
2251 7 : a = gadd(gpolylog(i, a0, prec), integ(gmul(t, a), vy));
2252 : }
2253 14 : return gerepileupto(av, a);
2254 : }
2255 35 : return trans_evalgen("polylog", E, gpolylog_i, x, prec);
2256 : }
2257 : GEN
2258 133 : gpolylog(long m, GEN x, long prec) { return gpolylog_i((void*)m, x, prec); }
2259 :
2260 : GEN
2261 147 : polylog0(long m, GEN x, long flag, long prec)
2262 : {
2263 147 : switch(flag)
2264 : {
2265 105 : case 0: return gpolylog(m,x,prec);
2266 14 : case 1: return polylogD(m,x,0,prec);
2267 7 : case 2: return polylogD(m,x,1,prec);
2268 14 : case 3: return polylogP(m,x,prec);
2269 7 : default: pari_err_FLAG("polylog");
2270 : }
2271 : return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
2272 : }
2273 :
2274 : GEN
2275 108518 : upper_to_cx(GEN x, long *prec)
2276 : {
2277 108518 : long tx = typ(x), l;
2278 108518 : if (tx == t_QUAD) { x = quadtofp(x, *prec); tx = typ(x); }
2279 108518 : switch(tx)
2280 : {
2281 108497 : case t_COMPLEX:
2282 108497 : if (gsigne(gel(x,2)) > 0) break; /*fall through*/
2283 : case t_REAL: case t_INT: case t_FRAC:
2284 14 : pari_err_DOMAIN("modular function", "Im(argument)", "<=", gen_0, x);
2285 7 : default:
2286 7 : pari_err_TYPE("modular function", x);
2287 : }
2288 108497 : l = precision(x); if (l) *prec = l;
2289 108497 : return x;
2290 : }
2291 :
2292 : /* sqrt(3)/2 */
2293 : static GEN
2294 2240 : sqrt32(long prec) { GEN z = sqrtr_abs(utor(3,prec)); setexpo(z, -1); return z; }
2295 : /* exp(i x), x = k pi/12 */
2296 : static GEN
2297 3689 : e12(ulong k, long prec)
2298 : {
2299 : int s, sPi, sPiov2;
2300 : GEN z, t;
2301 3689 : k %= 24;
2302 3689 : if (!k) return gen_1;
2303 3689 : if (k == 12) return gen_m1;
2304 3689 : if (k >12) { s = 1; k = 24 - k; } else s = 0; /* x -> 2pi - x */
2305 3689 : if (k > 6) { sPi = 1; k = 12 - k; } else sPi = 0; /* x -> pi - x */
2306 3689 : if (k > 3) { sPiov2 = 1; k = 6 - k; } else sPiov2 = 0; /* x -> pi/2 - x */
2307 3689 : z = cgetg(3, t_COMPLEX);
2308 3689 : switch(k)
2309 : {
2310 736 : case 0: gel(z,1) = icopy(gen_1); gel(z,2) = gen_0; break;
2311 812 : case 1: t = gmul2n(addrs(sqrt32(prec), 1), -1);
2312 812 : gel(z,1) = sqrtr(t);
2313 812 : gel(z,2) = gmul2n(invr(gel(z,1)), -2); break;
2314 :
2315 1428 : case 2: gel(z,1) = sqrt32(prec);
2316 1428 : gel(z,2) = real2n(-1, prec); break;
2317 :
2318 713 : case 3: gel(z,1) = sqrtr_abs(real2n(-1,prec));
2319 713 : gel(z,2) = rcopy(gel(z,1)); break;
2320 : }
2321 3689 : if (sPiov2) swap(gel(z,1), gel(z,2));
2322 3689 : if (sPi) togglesign(gel(z,1));
2323 3689 : if (s) togglesign(gel(z,2));
2324 3689 : return z;
2325 : }
2326 : /* z a t_FRAC */
2327 : static GEN
2328 15098 : expIPifrac(GEN z, long prec)
2329 : {
2330 15098 : GEN n = gel(z,1), d = gel(z,2);
2331 15098 : ulong r, q = uabsdivui_rem(12, d, &r);
2332 15098 : if (!r) return e12(q * umodiu(n, 24), prec); /* 12 | d */
2333 11409 : n = centermodii(n, shifti(d,1), d);
2334 11409 : return expIr(divri(mulri(mppi(prec), n), d));
2335 : }
2336 : /* exp(i Pi z), z a t_INT or t_FRAC */
2337 : static GEN
2338 39704 : expIPiQ(GEN z, long prec)
2339 : {
2340 39704 : if (typ(z) == t_INT) return mpodd(z)? gen_m1: gen_1;
2341 1995 : return expIPifrac(z, prec);
2342 : }
2343 :
2344 : /* convert power of 2 t_REAL to rational */
2345 : static GEN
2346 9301 : real2nQ(GEN x)
2347 : {
2348 9301 : long e = expo(x);
2349 : GEN z;
2350 9301 : if (e < 0)
2351 2904 : z = mkfrac(signe(x) < 0? gen_m1: gen_1, int2n(-e));
2352 : else
2353 : {
2354 6397 : z = int2n(e);
2355 6397 : if (signe(x) < 0) togglesign_safe(&z);
2356 : }
2357 9301 : return z;
2358 : }
2359 : /* x a real number */
2360 : GEN
2361 183786 : expIPiR(GEN x, long prec)
2362 : {
2363 183786 : if (typ(x) == t_REAL && absrnz_equal2n(x)) x = real2nQ(x);
2364 183786 : switch(typ(x))
2365 : {
2366 3231 : case t_INT: return mpodd(x)? gen_m1: gen_1;
2367 1973 : case t_FRAC: return expIPifrac(x, prec);
2368 : }
2369 178582 : return expIr(mulrr(mppi(prec), x));
2370 : }
2371 : /* z a t_COMPLEX */
2372 : GEN
2373 377024 : expIPiC(GEN z, long prec)
2374 : {
2375 : GEN pi, r, x, y;
2376 377024 : if (typ(z) != t_COMPLEX) return expIPiR(z, prec);
2377 194296 : x = gel(z,1);
2378 194296 : y = gel(z,2); if (gequal0(y)) return expIPiR(x, prec);
2379 193238 : pi = mppi(prec);
2380 193238 : r = gmul(pi, y); togglesign(r); r = mpexp(r); /* exp(-pi y) */
2381 193238 : if (typ(x) == t_REAL && absrnz_equal2n(x)) x = real2nQ(x);
2382 193238 : switch(typ(x))
2383 : {
2384 62330 : case t_INT: if (mpodd(x)) togglesign(r);
2385 62330 : return r;
2386 11130 : case t_FRAC: return gmul(r, expIPifrac(x, prec));
2387 : }
2388 119778 : return gmul(r, expIr(mulrr(pi, x)));
2389 : }
2390 : /* exp(I x y), more efficient for x in R, y pure imaginary */
2391 : GEN
2392 572978 : expIxy(GEN x, GEN y, long prec) { return gexp(gmul(x, mulcxI(y)), prec); }
2393 :
2394 : static GEN
2395 70949 : qq(GEN x, long prec)
2396 : {
2397 70949 : long tx = typ(x);
2398 : GEN y;
2399 :
2400 70949 : if (is_scalar_t(tx))
2401 : {
2402 70907 : if (tx == t_PADIC) return x;
2403 70893 : x = upper_to_cx(x, &prec);
2404 70879 : return cxtoreal(expIPiC(gmul2n(x,1), prec)); /* e(x) */
2405 : }
2406 42 : if (! ( y = toser_i(x)) ) pari_err_TYPE("modular function", x);
2407 42 : return y;
2408 : }
2409 :
2410 : /* return (y * X^d) + x. Assume d > 0, x != 0, valser(x) = 0 */
2411 : static GEN
2412 21 : ser_addmulXn(GEN y, GEN x, long d)
2413 : {
2414 21 : long i, lx, ly, l = valser(y) + d; /* > 0 */
2415 : GEN z;
2416 :
2417 21 : lx = lg(x);
2418 21 : ly = lg(y) + l; if (lx < ly) ly = lx;
2419 21 : if (l > lx-2) return gcopy(x);
2420 21 : z = cgetg(ly,t_SER);
2421 77 : for (i=2; i<=l+1; i++) gel(z,i) = gel(x,i);
2422 70 : for ( ; i < ly; i++) gel(z,i) = gadd(gel(x,i),gel(y,i-l));
2423 21 : z[1] = x[1]; return z;
2424 : }
2425 :
2426 : /* q a t_POL s.t. q(0) != 0, v > 0, Q = x^v*q; return \prod_i (1-Q^i) */
2427 : static GEN
2428 28 : RgXn_eta(GEN q, long v, long lim)
2429 : {
2430 28 : pari_sp av = avma;
2431 : GEN qn, ps, y;
2432 : ulong vps, vqn, n;
2433 :
2434 28 : if (!degpol(q) && isint1(gel(q,2))) return eta_ZXn(v, lim+v);
2435 7 : y = qn = ps = pol_1(0);
2436 7 : vps = vqn = 0;
2437 7 : for(n = 0;; n++)
2438 7 : { /* qn = q^n, ps = (-1)^n q^(n(3n+1)/2),
2439 : * vps, vqn valuation of ps, qn HERE */
2440 14 : pari_sp av2 = avma;
2441 14 : ulong vt = vps + 2*vqn + v; /* valuation of t at END of loop body */
2442 : long k1, k2;
2443 : GEN t;
2444 14 : vqn += v; vps = vt + vqn; /* valuation of qn, ps at END of body */
2445 14 : k1 = lim + v - vt + 1;
2446 14 : k2 = k1 - vqn; /* = lim + v - vps + 1 */
2447 14 : if (k1 <= 0) break;
2448 14 : t = RgX_mul(q, RgX_sqr(qn));
2449 14 : t = RgXn_red_shallow(t, k1);
2450 14 : t = RgX_mul(ps,t);
2451 14 : t = RgXn_red_shallow(t, k1);
2452 14 : t = RgX_neg(t); /* t = (-1)^(n+1) q^(n(3n+1)/2 + 2n+1) */
2453 14 : t = gerepileupto(av2, t);
2454 14 : y = RgX_addmulXn_shallow(t, y, vt);
2455 14 : if (k2 <= 0) break;
2456 :
2457 7 : qn = RgX_mul(qn,q);
2458 7 : ps = RgX_mul(t,qn);
2459 7 : ps = RgXn_red_shallow(ps, k2);
2460 7 : y = RgX_addmulXn_shallow(ps, y, vps);
2461 :
2462 7 : if (gc_needed(av,1))
2463 : {
2464 0 : if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"eta, n = %ld", n);
2465 0 : gerepileall(av, 3, &y, &qn, &ps);
2466 : }
2467 : }
2468 7 : return y;
2469 : }
2470 :
2471 : static GEN
2472 45169 : inteta(GEN q)
2473 : {
2474 45169 : long tx = typ(q);
2475 : GEN ps, qn, y;
2476 :
2477 45169 : y = gen_1; qn = gen_1; ps = gen_1;
2478 45169 : if (tx==t_PADIC)
2479 : {
2480 28 : if (valp(q) <= 0) pari_err_DOMAIN("eta", "v_p(q)", "<=",gen_0,q);
2481 : for(;;)
2482 56 : {
2483 77 : GEN t = gneg_i(gmul(ps,gmul(q,gsqr(qn))));
2484 77 : y = gadd(y,t); qn = gmul(qn,q); ps = gmul(t,qn);
2485 77 : t = y;
2486 77 : y = gadd(y,ps); if (gequal(t,y)) return y;
2487 : }
2488 : }
2489 :
2490 45141 : if (tx == t_SER)
2491 : {
2492 : ulong vps, vqn;
2493 42 : long l = lg(q), v, n;
2494 : pari_sp av;
2495 :
2496 42 : v = valser(q); /* handle valuation separately to avoid overflow */
2497 42 : if (v <= 0) pari_err_DOMAIN("eta", "v_p(q)", "<=",gen_0,q);
2498 35 : y = ser2pol_i(q, l); /* t_SER inefficient when input has low degree */
2499 35 : n = degpol(y);
2500 35 : if (n <= (l>>2))
2501 : {
2502 28 : GEN z = RgXn_eta(y, v, l-2);
2503 28 : setvarn(z, varn(y)); return RgX_to_ser(z, l+v);
2504 : }
2505 7 : q = leafcopy(q); av = avma;
2506 7 : setvalser(q, 0);
2507 7 : y = scalarser(gen_1, varn(q), l+v);
2508 7 : vps = vqn = 0;
2509 7 : for(n = 0;; n++)
2510 7 : { /* qn = q^n, ps = (-1)^n q^(n(3n+1)/2) */
2511 14 : ulong vt = vps + 2*vqn + v;
2512 : long k;
2513 : GEN t;
2514 14 : t = gneg_i(gmul(ps,gmul(q,gsqr(qn))));
2515 : /* t = (-1)^(n+1) q^(n(3n+1)/2 + 2n+1) */
2516 14 : y = ser_addmulXn(t, y, vt);
2517 14 : vqn += v; vps = vt + vqn;
2518 14 : k = l+v - vps; if (k <= 2) return y;
2519 :
2520 7 : qn = gmul(qn,q); ps = gmul(t,qn);
2521 7 : y = ser_addmulXn(ps, y, vps);
2522 7 : setlg(q, k);
2523 7 : setlg(qn, k);
2524 7 : setlg(ps, k);
2525 7 : if (gc_needed(av,3))
2526 : {
2527 0 : if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"eta");
2528 0 : gerepileall(av, 3, &y, &qn, &ps);
2529 : }
2530 : }
2531 : }
2532 : {
2533 45099 : long l = -prec2nbits(precision(q));
2534 45099 : pari_sp av = avma;
2535 :
2536 : for(;;)
2537 128543 : {
2538 173642 : GEN t = gneg_i(gmul(ps,gmul(q,gsqr(qn))));
2539 : /* qn = q^n
2540 : * ps = (-1)^n q^(n(3n+1)/2)
2541 : * t = (-1)^(n+1) q^(n(3n+1)/2 + 2n+1) */
2542 173642 : y = gadd(y,t); qn = gmul(qn,q); ps = gmul(t,qn);
2543 173642 : y = gadd(y,ps);
2544 173642 : if (gexpo(ps)-gexpo(y) < l) return y;
2545 128543 : if (gc_needed(av,3))
2546 : {
2547 0 : if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"eta");
2548 0 : gerepileall(av, 3, &y, &qn, &ps);
2549 : }
2550 : }
2551 : }
2552 : }
2553 :
2554 : GEN
2555 77 : eta(GEN x, long prec)
2556 : {
2557 77 : pari_sp av = avma;
2558 77 : GEN z = inteta( qq(x,prec) );
2559 49 : if (typ(z) == t_SER) return gerepilecopy(av, z);
2560 14 : return gerepileupto(av, z);
2561 : }
2562 :
2563 : /* s(h,k) = sum(n = 1, k-1, (n/k)*(frac(h*n/k) - 1/2))
2564 : * Knuth's algorithm. h integer, k integer > 0, (h,k) = 1 */
2565 : GEN
2566 6265 : sumdedekind_coprime(GEN h, GEN k)
2567 : {
2568 6265 : pari_sp av = avma;
2569 : GEN s2, s1, p, pp;
2570 : long s;
2571 6265 : if (lgefint(k) == 3 && uel(k,2) <= (2*(ulong)LONG_MAX) / 3)
2572 : {
2573 6258 : ulong kk = k[2], hh = umodiu(h, kk);
2574 : long s1, s2;
2575 : GEN v;
2576 6258 : if (signe(k) < 0) { k = negi(k); hh = Fl_neg(hh, kk); }
2577 6258 : v = u_sumdedekind_coprime(hh, kk);
2578 6258 : s1 = v[1]; s2 = v[2];
2579 6258 : return gerepileupto(av, gdiv(addis(mulis(k,s1), s2), muluu(12, kk)));
2580 : }
2581 7 : s = 1;
2582 7 : s1 = gen_0; p = gen_1; pp = gen_0;
2583 7 : s2 = h = modii(h, k);
2584 35 : while (signe(h)) {
2585 28 : GEN r, nexth, a = dvmdii(k, h, &nexth);
2586 28 : if (is_pm1(h)) s2 = s == 1? addii(s2, p): subii(s2, p);
2587 28 : s1 = s == 1? addii(s1, a): subii(s1, a);
2588 28 : s = -s;
2589 28 : k = h; h = nexth;
2590 28 : r = addii(mulii(a,p), pp); pp = p; p = r;
2591 : }
2592 : /* at this point p = original k */
2593 7 : if (s == -1) s1 = subiu(s1, 3);
2594 7 : return gerepileupto(av, gdiv(addii(mulii(p,s1), s2), muliu(p,12)));
2595 : }
2596 : /* as above, for ulong arguments.
2597 : * k integer > 0, 0 <= h < k, (h,k) = 1. Returns [s1,s2] such that
2598 : * s(h,k) = (s2 + k s1) / (12k). Requires max(h + k/2, k) < LONG_MAX
2599 : * to avoid overflow, in particular k <= LONG_MAX * 2/3 is fine */
2600 : GEN
2601 6258 : u_sumdedekind_coprime(long h, long k)
2602 : {
2603 6258 : long s = 1, s1 = 0, s2 = h, p = 1, pp = 0;
2604 11431 : while (h) {
2605 5173 : long r, nexth = k % h, a = k / h; /* a >= 1, a >= 2 if h = 1 */
2606 5173 : if (h == 1) s2 += p * s; /* occurs exactly once, last step */
2607 5173 : s1 += a * s;
2608 5173 : s = -s;
2609 5173 : k = h; h = nexth;
2610 5173 : r = a*p + pp; pp = p; p = r; /* p >= pp >= 0 */
2611 : }
2612 : /* in the above computation, p increases from 1 to original k,
2613 : * -k/2 <= s2 <= h + k/2, and |s1| <= k */
2614 6258 : if (s < 0) s1 -= 3; /* |s1| <= k+3 ? */
2615 : /* But in fact, |s2 + p s1| <= k^2 + 1/2 - 3k; if (s < 0), we have
2616 : * |s2| <= k/2 and it follows that |s1| < k here as well */
2617 : /* p = k; s(h,k) = (s2 + p s1)/12p. */
2618 6258 : return mkvecsmall2(s1, s2);
2619 : }
2620 : GEN
2621 28 : sumdedekind(GEN h, GEN k)
2622 : {
2623 28 : pari_sp av = avma;
2624 : GEN d;
2625 28 : if (typ(h) != t_INT) pari_err_TYPE("sumdedekind",h);
2626 28 : if (typ(k) != t_INT) pari_err_TYPE("sumdedekind",k);
2627 28 : d = gcdii(h,k);
2628 28 : if (!is_pm1(d))
2629 : {
2630 7 : h = diviiexact(h, d);
2631 7 : k = diviiexact(k, d);
2632 : }
2633 28 : return gerepileupto(av, sumdedekind_coprime(h,k));
2634 : }
2635 :
2636 : /* eta(x); assume Im x >> 0 (e.g. x in SL2's standard fundamental domain) */
2637 : static GEN
2638 46011 : eta_reduced(GEN x, long prec)
2639 : {
2640 46011 : GEN z = expIPiC(gdivgu(x, 12), prec); /* e(x/24) */
2641 46011 : if (24 * gexpo(z) >= -prec2nbits(prec))
2642 45078 : z = gmul(z, inteta( gpowgs(z,24) ));
2643 46011 : return z;
2644 : }
2645 :
2646 : /* x = U.z (flag = 1), or x = U^(-1).z (flag = 0)
2647 : * Return [s,t] such that eta(z) = eta(x) * sqrt(s) * exp(I Pi t) */
2648 : static GEN
2649 46025 : eta_correction(GEN x, GEN U, long flag)
2650 : {
2651 : GEN a,b,c,d, s,t;
2652 : long sc;
2653 46025 : a = gcoeff(U,1,1);
2654 46025 : b = gcoeff(U,1,2);
2655 46025 : c = gcoeff(U,2,1);
2656 46025 : d = gcoeff(U,2,2);
2657 : /* replace U by U^(-1) */
2658 46025 : if (flag) {
2659 37653 : swap(a,d);
2660 37653 : togglesign_safe(&b);
2661 37653 : togglesign_safe(&c);
2662 : }
2663 46025 : sc = signe(c);
2664 46025 : if (!sc) {
2665 39788 : if (signe(d) < 0) togglesign_safe(&b);
2666 39788 : s = gen_1;
2667 39788 : t = uutoQ(umodiu(b, 24), 12);
2668 : } else {
2669 6237 : if (sc < 0) {
2670 1729 : togglesign_safe(&a);
2671 1729 : togglesign_safe(&b);
2672 1729 : togglesign_safe(&c);
2673 1729 : togglesign_safe(&d);
2674 : } /* now c > 0 */
2675 6237 : s = mulcxmI(gadd(gmul(c,x), d));
2676 6237 : t = gadd(gdiv(addii(a,d),muliu(c,12)), sumdedekind_coprime(negi(d),c));
2677 : /* correction : exp(I Pi (((a+d)/12c) + s(-d,c)) ) sqrt(-i(cx+d)) */
2678 : }
2679 46025 : return mkvec2(s, t);
2680 : }
2681 :
2682 : /* returns the true value of eta(x) for Im(x) > 0, using reduction to
2683 : * standard fundamental domain */
2684 : GEN
2685 37569 : trueeta(GEN x, long prec)
2686 : {
2687 37569 : pari_sp av = avma;
2688 : GEN U, st, s, t;
2689 :
2690 37569 : if (!is_scalar_t(typ(x))) pari_err_TYPE("trueeta",x);
2691 37569 : x = upper_to_cx(x, &prec);
2692 37569 : x = cxredsl2(x, &U);
2693 37569 : st = eta_correction(x, U, 1);
2694 37569 : x = eta_reduced(x, prec);
2695 37569 : s = gel(st, 1);
2696 37569 : t = gel(st, 2);
2697 37569 : x = gmul(x, expIPiQ(t, prec));
2698 37569 : if (s != gen_1) x = gmul(x, gsqrt(s, prec));
2699 37569 : return gerepileupto(av, x);
2700 : }
2701 :
2702 : GEN
2703 77 : eta0(GEN x, long flag,long prec)
2704 77 : { return flag? trueeta(x,prec): eta(x,prec); }
2705 :
2706 : /* eta(q) = 1 + \sum_{n>0} (-1)^n * (q^(n(3n-1)/2) + q^(n(3n+1)/2)) */
2707 : static GEN
2708 7 : ser_eta(long prec)
2709 : {
2710 7 : GEN e = cgetg(prec+2, t_SER), ed = e+2;
2711 : long n, j;
2712 7 : e[1] = evalsigne(1)|_evalvalser(0)|evalvarn(0);
2713 7 : gel(ed,0) = gen_1;
2714 483 : for (n = 1; n < prec; n++) gel(ed,n) = gen_0;
2715 49 : for (n = 1, j = 0; n < prec; n++)
2716 : {
2717 : GEN s;
2718 49 : j += 3*n-2; /* = n*(3*n-1) / 2 */;
2719 49 : if (j >= prec) break;
2720 42 : s = odd(n)? gen_m1: gen_1;
2721 42 : gel(ed, j) = s;
2722 42 : if (j+n >= prec) break;
2723 42 : gel(ed, j+n) = s;
2724 : }
2725 7 : return e;
2726 : }
2727 :
2728 : static GEN
2729 476 : coeffEu(GEN fa)
2730 : {
2731 476 : pari_sp av = avma;
2732 476 : return gerepileuptoint(av, mului(65520, usumdivk_fact(fa,11)));
2733 : }
2734 : /* E12 = 1 + q*E/691 */
2735 : static GEN
2736 7 : ser_E(long prec)
2737 : {
2738 7 : GEN e = cgetg(prec+2, t_SER), ed = e+2;
2739 7 : GEN F = vecfactoru_i(2, prec); /* F[n] = factoru(n+1) */
2740 : long n;
2741 7 : e[1] = evalsigne(1)|_evalvalser(0)|evalvarn(0);
2742 7 : gel(ed,0) = utoipos(65520);
2743 483 : for (n = 1; n < prec; n++) gel(ed,n) = coeffEu(gel(F,n));
2744 7 : return e;
2745 : }
2746 : /* j = E12/Delta + 432000/691, E12 = 1 + q*E/691 */
2747 : static GEN
2748 7 : ser_j2(long prec, long v)
2749 : {
2750 7 : pari_sp av = avma;
2751 7 : GEN iD = gpowgs(ginv(ser_eta(prec)), 24); /* q/Delta */
2752 7 : GEN J = gmul(ser_E(prec), iD);
2753 7 : setvalser(iD,-1); /* now 1/Delta */
2754 7 : J = gadd(gdivgu(J, 691), iD);
2755 7 : J = gerepileupto(av, J);
2756 7 : if (prec > 1) gel(J,3) = utoipos(744);
2757 7 : setvarn(J,v); return J;
2758 : }
2759 :
2760 : /* j(q) = \sum_{n >= -1} c(n)q^n,
2761 : * \sum_{n = -1}^{N-1} c(n) (-10n \sigma_3(N-n) + 21 \sigma_5(N-n))
2762 : * = c(N) (N+1)/24 */
2763 : static GEN
2764 14 : ser_j(long prec, long v)
2765 : {
2766 : GEN j, J, S3, S5, F;
2767 : long i, n;
2768 14 : if (prec > 64) return ser_j2(prec, v);
2769 7 : S3 = cgetg(prec+1, t_VEC);
2770 7 : S5 = cgetg(prec+1,t_VEC);
2771 7 : F = vecfactoru_i(1, prec);
2772 35 : for (n = 1; n <= prec; n++)
2773 : {
2774 28 : GEN fa = gel(F,n);
2775 28 : gel(S3,n) = mului(10, usumdivk_fact(fa,3));
2776 28 : gel(S5,n) = mului(21, usumdivk_fact(fa,5));
2777 : }
2778 7 : J = cgetg(prec+2, t_SER),
2779 7 : J[1] = evalvarn(v)|evalsigne(1)|evalvalser(-1);
2780 7 : j = J+3;
2781 7 : gel(j,-1) = gen_1;
2782 7 : gel(j,0) = utoipos(744);
2783 7 : gel(j,1) = utoipos(196884);
2784 21 : for (n = 2; n < prec; n++)
2785 : {
2786 14 : pari_sp av = avma;
2787 14 : GEN c, s3 = gel(S3,n+1), s5 = gel(S5,n+1);
2788 14 : c = addii(s3, s5);
2789 49 : for (i = 0; i < n; i++)
2790 : {
2791 35 : s3 = gel(S3,n-i); s5 = gel(S5,n-i);
2792 35 : c = addii(c, mulii(gel(j,i), subii(s5, mului(i,s3))));
2793 : }
2794 14 : gel(j,n) = gerepileuptoint(av, diviuexact(muliu(c,24), n+1));
2795 : }
2796 7 : return J;
2797 : }
2798 :
2799 : GEN
2800 42 : jell(GEN x, long prec)
2801 : {
2802 42 : long tx = typ(x);
2803 42 : pari_sp av = avma;
2804 : GEN q, h, U;
2805 :
2806 42 : if (!is_scalar_t(tx))
2807 : {
2808 : long v;
2809 21 : if (gequalX(x)) return ser_j(precdl, varn(x));
2810 21 : q = toser_i(x); if (!q) pari_err_TYPE("ellj",x);
2811 14 : v = fetch_var_higher();
2812 14 : h = ser_j(lg(q)-2, v);
2813 14 : h = gsubst(h, v, q);
2814 14 : delete_var(); return gerepileupto(av, h);
2815 : }
2816 21 : if (tx == t_PADIC)
2817 : {
2818 7 : GEN p2, p1 = gdiv(inteta(gsqr(x)), inteta(x));
2819 7 : p1 = gmul2n(gsqr(p1),1);
2820 7 : p1 = gmul(x,gpowgs(p1,12));
2821 7 : p2 = gaddsg(768,gadd(gsqr(p1),gdivsg(4096,p1)));
2822 7 : p1 = gmulsg(48,p1);
2823 7 : return gerepileupto(av, gadd(p2,p1));
2824 : }
2825 : /* Let h = Delta(2x) / Delta(x), then j(x) = (1 + 256h)^3 / h */
2826 14 : x = upper_to_cx(x, &prec);
2827 7 : x = cxredsl2(x, &U); /* forget about Ua : j has weight 0 */
2828 : { /* cf eta_reduced, raised to power 24
2829 : * Compute
2830 : * t = (inteta(q(2x)) / inteta(q(x))) ^ 24;
2831 : * then
2832 : * h = t * (q(2x) / q(x) = t * q(x);
2833 : * but inteta(q) costly and useless if expo(q) << 1 => inteta(q) = 1.
2834 : * log_2 ( exp(-2Pi Im tau) ) < -prec2nbits(prec)
2835 : * <=> Im tau > prec2nbits(prec) * log(2) / 2Pi */
2836 7 : long C = (long)prec2nbits_mul(prec, M_LN2/(2*M_PI));
2837 7 : q = expIPiC(gmul2n(x,1), prec); /* e(x) */
2838 7 : if (gcmpgs(gel(x,2), C) > 0) /* eta(q(x)) = 1 : no need to compute q(2x) */
2839 0 : h = q;
2840 : else
2841 : {
2842 7 : GEN t = gdiv(inteta(gsqr(q)), inteta(q));
2843 7 : h = gmul(q, gpowgs(t, 24));
2844 : }
2845 : }
2846 : /* real_1 important ! gaddgs(, 1) could increase the accuracy ! */
2847 7 : return gerepileupto(av, gdiv(gpowgs(gadd(gmul2n(h,8), real_1(prec)), 3), h));
2848 : }
2849 :
2850 : static GEN
2851 8372 : to_form(GEN a, GEN w, GEN C, GEN D)
2852 8372 : { return mkqfb(a, w, diviiexact(C, a), D); }
2853 : static GEN
2854 8372 : form_to_quad(GEN f, GEN sqrtD)
2855 : {
2856 8372 : long a = itos(gel(f,1)), a2 = a << 1;
2857 8372 : GEN b = gel(f,2);
2858 8372 : return mkcomplex(gdivgs(b, -a2), gdivgs(sqrtD, a2));
2859 : }
2860 : static GEN
2861 8372 : eta_form(GEN f, GEN sqrtD, GEN *s_t, long prec)
2862 : {
2863 8372 : GEN U, t = form_to_quad(redimagsl2(f, &U), sqrtD);
2864 8372 : *s_t = eta_correction(t, U, 0);
2865 8372 : return eta_reduced(t, prec);
2866 : }
2867 :
2868 : /* eta(t/p)eta(t/q) / (eta(t)eta(t/pq)), t = (-w + sqrt(D)) / 2a */
2869 : GEN
2870 2093 : double_eta_quotient(GEN a, GEN w, GEN D, long p, long q, GEN pq, GEN sqrtD)
2871 : {
2872 2093 : GEN C = shifti(subii(sqri(w), D), -2);
2873 : GEN d, t, z, zp, zq, zpq, s_t, s_tp, s_tpq, s, sp, spq;
2874 2093 : long prec = realprec(sqrtD);
2875 :
2876 2093 : z = eta_form(to_form(a, w, C, D), sqrtD, &s_t, prec);
2877 2093 : s = gel(s_t, 1);
2878 2093 : zp = eta_form(to_form(mului(p, a), w, C, D), sqrtD, &s_tp, prec);
2879 2093 : sp = gel(s_tp, 1);
2880 2093 : zpq = eta_form(to_form(mulii(pq, a), w, C, D), sqrtD, &s_tpq, prec);
2881 2093 : spq = gel(s_tpq, 1);
2882 2093 : if (p == q) {
2883 0 : z = gdiv(gsqr(zp), gmul(z, zpq));
2884 0 : t = gsub(gmul2n(gel(s_tp,2), 1),
2885 0 : gadd(gel(s_t,2), gel(s_tpq,2)));
2886 0 : if (sp != gen_1) z = gmul(z, sp);
2887 : } else {
2888 : GEN s_tq, sq;
2889 2093 : zq = eta_form(to_form(mului(q, a), w, C, D), sqrtD, &s_tq, prec);
2890 2093 : sq = gel(s_tq, 1);
2891 2093 : z = gdiv(gmul(zp, zq), gmul(z, zpq));
2892 2093 : t = gsub(gadd(gel(s_tp,2), gel(s_tq,2)),
2893 2093 : gadd(gel(s_t,2), gel(s_tpq,2)));
2894 2093 : if (sp != gen_1) z = gmul(z, gsqrt(sp, prec));
2895 2093 : if (sq != gen_1) z = gmul(z, gsqrt(sq, prec));
2896 : }
2897 2093 : d = NULL;
2898 2093 : if (s != gen_1) d = gsqrt(s, prec);
2899 2093 : if (spq != gen_1) {
2900 2065 : GEN x = gsqrt(spq, prec);
2901 2065 : d = d? gmul(d, x): x;
2902 : }
2903 2093 : if (d) z = gdiv(z, d);
2904 2093 : return gmul(z, expIPiQ(t, prec));
2905 : }
2906 :
2907 : typedef struct { GEN u; long v, t; } cxanalyze_t;
2908 :
2909 : /* Check whether a t_COMPLEX, t_REAL or t_INT z != 0 can be written as
2910 : * z = u * 2^(v/2) * exp(I Pi/4 t), u > 0, v = 0,1 and -3 <= t <= 4.
2911 : * Allow z t_INT/t_REAL to simplify handling of eta_correction() output */
2912 : static int
2913 84 : cxanalyze(cxanalyze_t *T, GEN z)
2914 : {
2915 : GEN a, b;
2916 : long ta, tb;
2917 :
2918 84 : T->u = z;
2919 84 : T->v = 0;
2920 84 : if (is_intreal_t(typ(z)))
2921 : {
2922 70 : T->u = mpabs_shallow(z);
2923 70 : T->t = signe(z) < 0? 4: 0;
2924 70 : return 1;
2925 : }
2926 14 : a = gel(z,1); ta = typ(a);
2927 14 : b = gel(z,2); tb = typ(b);
2928 :
2929 14 : T->t = 0;
2930 14 : if (ta == t_INT && !signe(a))
2931 : {
2932 0 : T->u = R_abs_shallow(b);
2933 0 : T->t = gsigne(b) < 0? -2: 2;
2934 0 : return 1;
2935 : }
2936 14 : if (tb == t_INT && !signe(b))
2937 : {
2938 0 : T->u = R_abs_shallow(a);
2939 0 : T->t = gsigne(a) < 0? 4: 0;
2940 0 : return 1;
2941 : }
2942 14 : if (ta != tb || ta == t_REAL) return 0;
2943 : /* a,b both non zero, both t_INT or t_FRAC */
2944 14 : if (ta == t_INT)
2945 : {
2946 7 : if (!absequalii(a, b)) return 0;
2947 7 : T->u = absi_shallow(a);
2948 7 : T->v = 1;
2949 7 : if (signe(a) == signe(b))
2950 0 : { T->t = signe(a) < 0? -3: 1; }
2951 : else
2952 7 : { T->t = signe(a) < 0? 3: -1; }
2953 : }
2954 : else
2955 : {
2956 7 : if (!absequalii(gel(a,2), gel(b,2)) || !absequalii(gel(a,1),gel(b,1)))
2957 7 : return 0;
2958 0 : T->u = absfrac_shallow(a);
2959 0 : T->v = 1;
2960 0 : a = gel(a,1);
2961 0 : b = gel(b,1);
2962 0 : if (signe(a) == signe(b))
2963 0 : { T->t = signe(a) < 0? -3: 1; }
2964 : else
2965 0 : { T->t = signe(a) < 0? 3: -1; }
2966 : }
2967 7 : return 1;
2968 : }
2969 :
2970 : /* z * sqrt(st_b) / sqrt(st_a) exp(I Pi (t + t0)). Assume that
2971 : * sqrt2 = gsqrt(gen_2, prec) or NULL */
2972 : static GEN
2973 42 : apply_eta_correction(GEN z, GEN st_a, GEN st_b, GEN t0, GEN sqrt2, long prec)
2974 : {
2975 42 : GEN t, s_a = gel(st_a, 1), s_b = gel(st_b, 1);
2976 : cxanalyze_t Ta, Tb;
2977 : int ca, cb;
2978 :
2979 42 : t = gsub(gel(st_b,2), gel(st_a,2));
2980 42 : if (t0 != gen_0) t = gadd(t, t0);
2981 42 : ca = cxanalyze(&Ta, s_a);
2982 42 : cb = cxanalyze(&Tb, s_b);
2983 42 : if (ca || cb)
2984 42 : { /* compute sqrt(s_b) / sqrt(s_a) in a more efficient way:
2985 : * sb = ub sqrt(2)^vb exp(i Pi/4 tb) */
2986 42 : GEN u = gdiv(Tb.u,Ta.u);
2987 42 : switch(Tb.v - Ta.v)
2988 : {
2989 0 : case -1: u = gmul2n(u,-1); /* fall through: write 1/sqrt2 = sqrt2/2 */
2990 7 : case 1: u = gmul(u, sqrt2? sqrt2: sqrtr_abs(real2n(1, prec)));
2991 : }
2992 42 : if (!isint1(u)) z = gmul(z, gsqrt(u, prec));
2993 42 : t = gadd(t, gmul2n(stoi(Tb.t - Ta.t), -3));
2994 : }
2995 : else
2996 : {
2997 0 : z = gmul(z, gsqrt(s_b, prec));
2998 0 : z = gdiv(z, gsqrt(s_a, prec));
2999 : }
3000 42 : return gmul(z, expIPiQ(t, prec));
3001 : }
3002 :
3003 : /* sqrt(2) eta(2x) / eta(x) */
3004 : GEN
3005 14 : weberf2(GEN x, long prec)
3006 : {
3007 14 : pari_sp av = avma;
3008 : GEN z, sqrt2, a,b, Ua,Ub, st_a,st_b;
3009 :
3010 14 : x = upper_to_cx(x, &prec);
3011 14 : a = cxredsl2(x, &Ua);
3012 14 : b = cxredsl2(gmul2n(x,1), &Ub);
3013 14 : if (gequal(a,b)) /* not infrequent */
3014 0 : z = gen_1;
3015 : else
3016 14 : z = gdiv(eta_reduced(b,prec), eta_reduced(a,prec));
3017 14 : st_a = eta_correction(a, Ua, 1);
3018 14 : st_b = eta_correction(b, Ub, 1);
3019 14 : sqrt2 = sqrtr_abs(real2n(1, prec));
3020 14 : z = apply_eta_correction(z, st_a, st_b, gen_0, sqrt2, prec);
3021 14 : return gerepileupto(av, gmul(z, sqrt2));
3022 : }
3023 :
3024 : /* eta(x/2) / eta(x) */
3025 : GEN
3026 14 : weberf1(GEN x, long prec)
3027 : {
3028 14 : pari_sp av = avma;
3029 : GEN z, a,b, Ua,Ub, st_a,st_b;
3030 :
3031 14 : x = upper_to_cx(x, &prec);
3032 14 : a = cxredsl2(x, &Ua);
3033 14 : b = cxredsl2(gmul2n(x,-1), &Ub);
3034 14 : if (gequal(a,b)) /* not infrequent */
3035 0 : z = gen_1;
3036 : else
3037 14 : z = gdiv(eta_reduced(b,prec), eta_reduced(a,prec));
3038 14 : st_a = eta_correction(a, Ua, 1);
3039 14 : st_b = eta_correction(b, Ub, 1);
3040 14 : z = apply_eta_correction(z, st_a, st_b, gen_0, NULL, prec);
3041 14 : return gerepileupto(av, z);
3042 : }
3043 : /* exp(-I*Pi/24) * eta((x+1)/2) / eta(x) */
3044 : GEN
3045 14 : weberf(GEN x, long prec)
3046 : {
3047 14 : pari_sp av = avma;
3048 : GEN z, t0, a,b, Ua,Ub, st_a,st_b;
3049 14 : x = upper_to_cx(x, &prec);
3050 14 : a = cxredsl2(x, &Ua);
3051 14 : b = cxredsl2(gmul2n(gaddgs(x,1),-1), &Ub);
3052 14 : if (gequal(a,b)) /* not infrequent */
3053 7 : z = gen_1;
3054 : else
3055 7 : z = gdiv(eta_reduced(b,prec), eta_reduced(a,prec));
3056 14 : st_a = eta_correction(a, Ua, 1);
3057 14 : st_b = eta_correction(b, Ub, 1);
3058 14 : t0 = mkfrac(gen_m1, utoipos(24));
3059 14 : z = apply_eta_correction(z, st_a, st_b, t0, NULL, prec);
3060 14 : if (typ(z) == t_COMPLEX && isexactzero(real_i(x)))
3061 0 : z = gerepilecopy(av, gel(z,1));
3062 : else
3063 14 : z = gerepileupto(av, z);
3064 14 : return z;
3065 : }
3066 : GEN
3067 42 : weber0(GEN x, long flag,long prec)
3068 : {
3069 42 : switch(flag)
3070 : {
3071 14 : case 0: return weberf(x,prec);
3072 14 : case 1: return weberf1(x,prec);
3073 14 : case 2: return weberf2(x,prec);
3074 0 : default: pari_err_FLAG("weber");
3075 : }
3076 : return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
3077 : }
3078 :
3079 : /* check |q| < 1 */
3080 : static GEN
3081 21 : check_unit_disc(const char *fun, GEN q, long prec)
3082 : {
3083 21 : GEN Q = gtofp(q, prec), Qlow;
3084 21 : Qlow = (prec > LOWDEFAULTPREC)? gtofp(Q,LOWDEFAULTPREC): Q;
3085 21 : if (gcmp(gnorm(Qlow), gen_1) >= 0)
3086 0 : pari_err_DOMAIN(fun, "abs(q)", ">=", gen_1, q);
3087 21 : return Q;
3088 : }
3089 :
3090 : GEN
3091 14 : theta(GEN q, GEN z, long prec)
3092 : {
3093 : long l, n;
3094 14 : pari_sp av = avma, av2;
3095 : GEN s, c, snz, cnz, s2z, c2z, ps, qn, y, zy, ps2, k, zold;
3096 :
3097 14 : l = precision(q);
3098 14 : n = precision(z); if (n && n < l) l = n;
3099 14 : if (l) prec = l;
3100 14 : z = gtofp(z, prec);
3101 14 : q = check_unit_disc("theta", q, prec);
3102 14 : zold = NULL; /* gcc -Wall */
3103 14 : zy = imag_i(z);
3104 14 : if (gequal0(zy)) k = gen_0;
3105 : else
3106 : {
3107 7 : GEN lq = glog(q,prec); k = roundr(divrr(zy, real_i(lq)));
3108 7 : if (signe(k)) { zold = z; z = gadd(z, mulcxmI(gmul(lq,k))); }
3109 : }
3110 14 : qn = gen_1;
3111 14 : ps2 = gsqr(q);
3112 14 : ps = gneg_i(ps2);
3113 14 : gsincos(z, &s, &c, prec);
3114 14 : s2z = gmul2n(gmul(s,c),1); /* sin 2z */
3115 14 : c2z = gsubgs(gmul2n(gsqr(c),1), 1); /* cos 2z */
3116 14 : snz = s;
3117 14 : cnz = c; y = s;
3118 14 : av2 = avma;
3119 14 : for (n = 3;; n += 2)
3120 259 : {
3121 : long e;
3122 273 : s = gadd(gmul(snz, c2z), gmul(cnz,s2z));
3123 273 : qn = gmul(qn,ps);
3124 273 : y = gadd(y, gmul(qn, s));
3125 273 : e = gexpo(s); if (e < 0) e = 0;
3126 273 : if (gexpo(qn) + e < -prec2nbits(prec)) break;
3127 :
3128 259 : ps = gmul(ps,ps2);
3129 259 : c = gsub(gmul(cnz, c2z), gmul(snz,s2z));
3130 259 : snz = s; /* sin nz */
3131 259 : cnz = c; /* cos nz */
3132 259 : if (gc_needed(av,2))
3133 : {
3134 0 : if (DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"theta (n = %ld)", n);
3135 0 : gerepileall(av2, 5, &snz, &cnz, &ps, &qn, &y);
3136 : }
3137 : }
3138 14 : if (signe(k))
3139 : {
3140 7 : y = gmul(y, gmul(powgi(q,sqri(k)),
3141 : gexp(gmul(mulcxI(zold),shifti(k,1)), prec)));
3142 7 : if (mod2(k)) y = gneg_i(y);
3143 : }
3144 14 : return gerepileupto(av, gmul(y, gmul2n(gsqrt(gsqrt(q,prec),prec),1)));
3145 : }
3146 :
3147 : GEN
3148 7 : thetanullk(GEN q, long k, long prec)
3149 : {
3150 : long l, n;
3151 7 : pari_sp av = avma;
3152 : GEN p1, ps, qn, y, ps2;
3153 :
3154 7 : if (k < 0)
3155 0 : pari_err_DOMAIN("thetanullk", "k", "<", gen_0, stoi(k));
3156 7 : l = precision(q);
3157 7 : if (l) prec = l;
3158 7 : q = check_unit_disc("thetanullk", q, prec);
3159 :
3160 7 : if (!odd(k)) { set_avma(av); return gen_0; }
3161 7 : qn = gen_1;
3162 7 : ps2 = gsqr(q);
3163 7 : ps = gneg_i(ps2);
3164 7 : y = gen_1;
3165 7 : for (n = 3;; n += 2)
3166 280 : {
3167 : GEN t;
3168 287 : qn = gmul(qn,ps);
3169 287 : ps = gmul(ps,ps2);
3170 287 : t = gmul(qn, powuu(n, k)); y = gadd(y, t);
3171 287 : if (gexpo(t) < -prec2nbits(prec)) break;
3172 : }
3173 7 : p1 = gmul2n(gsqrt(gsqrt(q,prec),prec),1);
3174 7 : if (k&2) y = gneg_i(y);
3175 7 : return gerepileupto(av, gmul(p1, y));
3176 : }
3177 :
3178 : /* q2 = q^2 */
3179 : static GEN
3180 70872 : vecthetanullk_loop(GEN q2, long k, long prec)
3181 : {
3182 70872 : GEN ps, qn = gen_1, y = const_vec(k, gen_1);
3183 70872 : pari_sp av = avma;
3184 70872 : const long bit = prec2nbits(prec);
3185 : long i, n;
3186 :
3187 70872 : if (gexpo(q2) < -2*bit) return y;
3188 70872 : ps = gneg_i(q2);
3189 70872 : for (n = 3;; n += 2)
3190 359800 : {
3191 430672 : GEN t = NULL/*-Wall*/, P = utoipos(n), N2 = sqru(n);
3192 430672 : qn = gmul(qn,ps);
3193 430672 : ps = gmul(ps,q2);
3194 1292016 : for (i = 1; i <= k; i++)
3195 : {
3196 861344 : t = gmul(qn, P); gel(y,i) = gadd(gel(y,i), t);
3197 861344 : P = mulii(P, N2);
3198 : }
3199 430672 : if (gexpo(t) < -bit) return y;
3200 359800 : if (gc_needed(av,2))
3201 : {
3202 0 : if (DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"vecthetanullk_loop, n = %ld",n);
3203 0 : gerepileall(av, 3, &qn, &ps, &y);
3204 : }
3205 : }
3206 : }
3207 : /* [d^i theta/dz^i(q, 0), i = 1, 3, .., 2*k - 1] */
3208 : GEN
3209 0 : vecthetanullk(GEN q, long k, long prec)
3210 : {
3211 0 : long i, l = precision(q);
3212 0 : pari_sp av = avma;
3213 : GEN p1, y;
3214 :
3215 0 : if (l) prec = l;
3216 0 : q = check_unit_disc("vecthetanullk", q, prec);
3217 0 : y = vecthetanullk_loop(gsqr(q), k, prec);
3218 0 : p1 = gmul2n(gsqrt(gsqrt(q,prec),prec),1);
3219 0 : for (i = 2; i <= k; i += 2) gel(y,i) = gneg_i(gel(y,i));
3220 0 : return gerepileupto(av, gmul(p1, y));
3221 : }
3222 :
3223 : /* [d^i theta/dz^i(q, 0), i = 1, 3, .., 2*k - 1], q = exp(2iPi tau) */
3224 : GEN
3225 0 : vecthetanullk_tau(GEN tau, long k, long prec)
3226 : {
3227 0 : long i, l = precision(tau);
3228 0 : pari_sp av = avma;
3229 : GEN q4, y;
3230 :
3231 0 : if (l) prec = l;
3232 0 : if (typ(tau) != t_COMPLEX || gsigne(gel(tau,2)) <= 0)
3233 0 : pari_err_DOMAIN("vecthetanullk_tau", "imag(tau)", "<=", gen_0, tau);
3234 0 : q4 = expIPiC(gmul2n(tau,-1), prec); /* q^(1/4) */
3235 0 : y = vecthetanullk_loop(gpowgs(q4,8), k, prec);
3236 0 : for (i = 2; i <= k; i += 2) gel(y,i) = gneg_i(gel(y,i));
3237 0 : return gerepileupto(av, gmul(gmul2n(q4,1), y));
3238 : }
3239 :
3240 : /* Return E_k(tau). Slow if tau is not in standard fundamental domain */
3241 : GEN
3242 71141 : cxEk(GEN tau, long k, long prec)
3243 : {
3244 : pari_sp av;
3245 : GEN q, y, qn;
3246 71141 : long n, b, l = precision(tau);
3247 :
3248 71141 : if (l) prec = l;
3249 71141 : b = prec2nbits(prec);
3250 : /* sum n^(k-1) x^n <= x(1 + (k!-1)x) / (1-x)^k (cf Eulerian polynomials)
3251 : * S = \sum_{n > 0} n^(k-1) |q^n/(1-q^n)| <= x(1+(k!-1)x) / (1-x)^(k+1),
3252 : * where x = |q| = exp(-2Pi Im(tau)) < 1. Neglegt 2/zeta(1-k) * S if
3253 : * (2Pi)^k/(k-1)! x < 2^(-b-1) and k! x < 1. Use log2((2Pi)^k/(k-1)!) < 10 */
3254 71141 : if (gcmpgs(imag_i(tau), (M_LN2 / (2*M_PI)) * (b+1+10)) > 0)
3255 17 : return real_1(prec);
3256 71124 : if (k == 2)
3257 : { /* -theta^(3)(tau/2) / theta^(1)(tau/2). Assume that Im tau > 0 */
3258 70872 : y = vecthetanullk_loop(qq(tau,prec), 2, prec);
3259 70872 : return gdiv(gel(y,2), gel(y,1));
3260 : }
3261 252 : q = cxtoreal(expIPiC(gneg(gmul2n(tau,1)), prec));
3262 252 : av = avma; y = gen_0; qn = q;
3263 252 : for(n = 1;; n++)
3264 2623 : { /* compute y := sum_{n>0} n^(k-1) / (q^n-1) */
3265 2875 : GEN t = gdiv(powuu(n,k-1), gsubgs(qn,1));
3266 2875 : if (gequal0(t) || gexpo(t) <= - prec2nbits(prec) - 5) break;
3267 2623 : y = gadd(y, t);
3268 2623 : qn = gmul(q,qn);
3269 2623 : if (gc_needed(av,2))
3270 : {
3271 0 : if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"elleisnum");
3272 0 : gerepileall(av, 2, &y,&qn);
3273 : }
3274 : }
3275 252 : return gadd(gen_1, gmul(y, gdiv(gen_2, szeta(1-k, prec))));
3276 : }
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