Line data Source code
1 : /* Copyright (C) 2000 The PARI group.
2 :
3 : This file is part of the PARI/GP package.
4 :
5 : PARI/GP is free software; you can redistribute it and/or modify it under the
6 : terms of the GNU General Public License as published by the Free Software
7 : Foundation; either version 2 of the License, or (at your option) any later
8 : version. It is distributed in the hope that it will be useful, but WITHOUT
9 : ANY WARRANTY WHATSOEVER.
10 :
11 : Check the License for details. You should have received a copy of it, along
12 : with the package; see the file 'COPYING'. If not, write to the Free Software
13 : Foundation, Inc., 51 Franklin Street, Fifth Floor, Boston, MA 02110-1301 USA. */
14 :
15 : /********************************************************************/
16 : /** **/
17 : /** TRANSCENDENTAL FONCTIONS **/
18 : /** (part 3) **/
19 : /** **/
20 : /********************************************************************/
21 : #include "pari.h"
22 : #include "paripriv.h"
23 :
24 : #define DEBUGLEVEL DEBUGLEVEL_trans
25 :
26 : #define HALF_E 1.3591409 /* exp(1) / 2 */
27 :
28 : /***********************************************************************/
29 : /** **/
30 : /** BESSEL FUNCTIONS **/
31 : /** **/
32 : /***********************************************************************/
33 :
34 : static GEN
35 900443 : _abs(GEN x)
36 900443 : { return gabs(gtofp(x,LOWDEFAULTPREC), LOWDEFAULTPREC); }
37 : /* can we use asymptotic expansion ? */
38 : static int
39 408964 : bessel_asymp(GEN n, GEN z, long bit)
40 : {
41 : GEN Z, N;
42 408964 : long t = typ(n);
43 408964 : if (!is_real_t(t) && t != t_COMPLEX) return 0;
44 408782 : Z = _abs(z); N = gaddgs(_abs(n), 1);
45 408782 : return gcmpgs(gdiv(Z, gsqr(N)), (bit+10)/2) >= 0; }
46 :
47 : /* Region I: 0 < Arg z <= Pi, II: -Pi < Arg z <= 0 */
48 : static int
49 518 : regI(GEN z)
50 : {
51 518 : long s = gsigne(imag_i(z));
52 518 : return (s > 0 || (s == 0 && gsigne(real_i(z)) < 0)) ? 1 : 2;
53 : }
54 : /* Region 1: Re(z) >= 0, 2: Re(z) < 0, Im(z) >= 0, 3: Re(z) < 0, Im(z) < 0 */
55 : static int
56 81899 : regJ(GEN z)
57 : {
58 81899 : if (gsigne(real_i(z)) >= 0) return 1;
59 336 : return gsigne(imag_i(z)) >= 0 ? 2 : 3;
60 : }
61 :
62 : /* Hankel's expansions:
63 : * a_k(n) = \prod_{0 <= j < k} (4n^2 - (2j+1)^2)
64 : * C(k)[n,z] = a_k(n) / (k! (8 z)^k)
65 : * A(z) = exp(-z) sum_{k >= 0} C(k)
66 : * A(-z) = exp(z) sum_{k >= 0} (-1)^k C(k)
67 : * J_n(z) ~ [1] (A(z/i) / r + A(-z/i) r) / sqrt(2Pi z)
68 : * [2] (A(z/i) r^3 + A(-z/i) r) / sqrt(2Pi z)
69 : * [3] (A(z/i) / r + A(-z/i) / r^3) / sqrt(2Pi z)
70 : * Y_n(z) ~ [1] i(A(z/i) / r + A(-z/i) r) / sqrt(2Pi z)
71 : * [2] i(A(z/i) (r^3-2/r) + A(-z/i) r) / sqrt(2Pi z)
72 : * [3] i(-A(z/i)/r + A(-z/i)(2r-1/r^3)) / sqrt(2Pi z)
73 : * K_n(z) ~ A(z) Pi / sqrt(2 Pi z)
74 : * I_n(z) ~ [I] (A(-z) + r^2 A(z)) / sqrt(2 Pi z)
75 : * [II](A(-z) + r^(-2) A(z)) / sqrt(2 Pi z) */
76 :
77 : /* set [A(z), A(-z), exp((2*nu+1)*I*Pi/4)] */
78 : static void
79 82879 : hankel_ABr(GEN *pA, GEN *pB, GEN *pr, GEN n, GEN z, long bit)
80 : {
81 82879 : GEN E, P, C, Q = gen_0, zi = ginv(gmul2n(z, 3));
82 82879 : GEN K = gaddgs(_abs(n), 1), n2 = gmul2n(gsqr(n),2);
83 82879 : long prec = nbits2prec(bit), B = bit + 4, m;
84 :
85 82879 : P = C = real_1_bit(bit);
86 82879 : for (m = 1;; m += 2)
87 : {
88 5475740 : C = gmul(C, gdivgu(gmul(gsub(n2, sqru(2*m - 1)), zi), m));
89 5475740 : Q = gadd(Q, C);
90 5475740 : C = gmul(C, gdivgu(gmul(gsub(n2, sqru(2*m + 1)), zi), m + 1));
91 5475740 : P = gadd(P, C);
92 5475740 : if (gexpo(C) < -B && gcmpgs(K, m) <= 0) break;
93 : }
94 82879 : E = gexp(z, prec);
95 82879 : *pA = gdiv(gadd(P, Q), E);
96 82879 : *pB = gmul(gsub(P, Q), E);
97 82879 : *pr = gexp(mulcxI(gmul(gaddgs(gmul2n(n,1), 1), Pi2n(-2, prec))), prec);
98 82879 : }
99 :
100 : /* sqrt(2*Pi*z) */
101 : static GEN
102 82879 : sqz(GEN z, long bit)
103 : {
104 82879 : long prec = nbits2prec(bit);
105 82879 : return gsqrt(gmul(Pi2n(1, prec), z), prec);
106 : }
107 :
108 : static GEN
109 462 : besskasymp(GEN nu, GEN z, long bit)
110 : {
111 : GEN A, B, r;
112 462 : long prec = nbits2prec(bit);
113 462 : hankel_ABr(&A,&B,&r, nu, z, bit);
114 462 : return gdiv(gmul(A, mppi(prec)), sqz(z, bit));
115 : }
116 :
117 : static GEN
118 518 : bessiasymp(GEN nu, GEN z, long bit)
119 : {
120 : GEN A, B, r, R, r2;
121 518 : hankel_ABr(&A,&B,&r, nu, z, bit);
122 518 : r2 = gsqr(r);
123 518 : R = regI(z) == 1 ? gmul(A, r2) : gdiv(A, r2);
124 518 : return gdiv(gadd(B, R), sqz(z, bit));
125 : }
126 :
127 : static GEN
128 81433 : bessjasymp(GEN nu, GEN z, long bit)
129 : {
130 : GEN A, B, r, R;
131 81433 : long reg = regJ(z);
132 81433 : hankel_ABr(&A,&B,&r, nu, mulcxmI(z), bit);
133 81433 : if (reg == 1) R = gadd(gdiv(A, r), gmul(B, r));
134 168 : else if (reg == 2) R = gadd(gmul(A, gpowgs(r, 3)), gmul(B, r));
135 56 : else R = gadd(gdiv(A, r), gdiv(B, gpowgs(r, 3)));
136 81433 : return gdiv(R, sqz(z, bit));
137 : }
138 :
139 : static GEN
140 466 : bessyasymp(GEN nu, GEN z, long bit)
141 : {
142 : GEN A, B, r, R;
143 466 : long reg = regJ(z);
144 466 : hankel_ABr(&A,&B,&r, nu, mulcxmI(z), bit);
145 466 : if (reg == 1) R = gsub(gmul(B, r), gdiv(A, r));
146 168 : else if (reg == 2)
147 112 : R = gadd(gmul(A, gsub(gpowgs(r, 3), gmul2n(ginv(r), 1))), gmul(B, r));
148 : else
149 56 : R = gsub(gmul(B, gsub(gmul2n(r, 1), ginv(gpowgs(r, 3)))), gdiv(A, r));
150 466 : return gdiv(mulcxI(R), sqz(z, bit));
151 : }
152 :
153 : /* n! sum_{0 <= k <= m} x^k / (k!*(k+n)!) */
154 : static GEN
155 314931 : _jbessel(GEN n, GEN x, long m)
156 : {
157 314931 : pari_sp av = avma;
158 314931 : GEN s = gen_1;
159 : long k;
160 :
161 109563028 : for (k = m; k >= 1; k--)
162 : {
163 109248097 : s = gaddsg(1, gdiv(gmul(x,s), gmulgu(gaddgs(n, k), k)));
164 109248097 : if (gc_needed(av,1))
165 : {
166 0 : if (DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"besselj");
167 0 : s = gerepileupto(av, s);
168 : }
169 : }
170 314931 : return s;
171 : }
172 :
173 : /* max(2, L * approximate solution to x log x = B) */
174 : static long
175 325504 : bessel_get_lim(double B, double L)
176 325504 : { return maxss(2, L * exp(dbllambertW0(B))); }
177 :
178 42 : static GEN vjbesselh(void* E, GEN z, long prec){return jbesselh((GEN)E,z,prec);}
179 126 : static GEN vjbessel(void* E, GEN z, long prec) {return jbessel((GEN)E,z,prec);}
180 42 : static GEN vibessel(void* E, GEN z, long prec) {return ibessel((GEN)E,z,prec);}
181 126 : static GEN vnbessel(void* E, GEN z, long prec) {return nbessel((GEN)E,z,prec);}
182 42 : static GEN vkbessel(void* E, GEN z, long prec) {return kbessel((GEN)E,z,prec);}
183 :
184 : /* if J != 0 BesselJ, else BesselI. */
185 : static GEN
186 397197 : jbesselintern(GEN n, GEN z, long J, long prec)
187 : {
188 397197 : const char *f = J? "besselj": "besseli";
189 : long i, ki;
190 397197 : pari_sp av = avma;
191 : GEN y;
192 :
193 397197 : switch(typ(z))
194 : {
195 396791 : case t_INT: case t_FRAC: case t_REAL: case t_COMPLEX:
196 : {
197 396791 : int flz0 = gequal0(z);
198 : long lim, k, precnew, bit;
199 : GEN p1, p2;
200 : double az, L;
201 :
202 396791 : i = precision(z); if (i) prec = i;
203 396791 : if (flz0 && gequal0(n)) return real_1(prec);
204 396791 : bit = prec2nbits(prec);
205 396791 : if (bessel_asymp(n, z, bit))
206 : {
207 81951 : GEN R = J? bessjasymp(n, z, bit): bessiasymp(n, z, bit);
208 81951 : if (typ(R) == t_COMPLEX && isexactzero(imag_i(n))
209 81265 : && gsigne(real_i(z)) > 0
210 81111 : && isexactzero(imag_i(z))) R = gcopy(gel(R,1));
211 81951 : return gerepileupto(av, R);
212 : }
213 314840 : p2 = gpow(gmul2n(z,-1),n,prec);
214 314812 : p2 = gdiv(p2, ggamma(gaddgs(n,1),prec));
215 314812 : if (flz0) return gerepileupto(av, p2);
216 314812 : az = dblmodulus(z); L = HALF_E * az;
217 314812 : precnew = prec;
218 314812 : if (az >= 1.0) precnew += 1 + nbits2extraprec((long)(az/M_LN2));
219 314812 : if (issmall(n,&ki)) {
220 313881 : k = labs(ki);
221 313881 : n = utoi(k);
222 : } else {
223 847 : i = precision(n);
224 847 : if (i && i < precnew) n = gtofp(n,precnew);
225 : }
226 314728 : z = gtofp(z,precnew);
227 314728 : lim = bessel_get_lim(prec2nbits_mul(prec,M_LN2/2) / L, L);
228 314728 : z = gmul2n(gsqr(z),-2); if (J) z = gneg(z);
229 314728 : p1 = gprec_wtrunc(_jbessel(n,z,lim), prec);
230 314728 : return gerepileupto(av, gmul(p2,p1));
231 : }
232 :
233 14 : case t_PADIC: pari_err_IMPL(stack_strcat("p-adic ",f));
234 392 : default:
235 : {
236 : long v, k, m;
237 392 : if (!(y = toser_i(z))) break;
238 238 : if (issmall(n,&ki)) n = utoi(labs(ki));
239 210 : y = gmul2n(gsqr(y),-2); if (J) y = gneg(y);
240 210 : v = valser(y);
241 210 : if (v < 0) pari_err_DOMAIN(f, "valuation", "<", gen_0, z);
242 203 : if (v == 0) pari_err_IMPL(stack_strcat(f, " around a!=0"));
243 203 : m = lg(y) - 2;
244 203 : k = m - (v >> 1);
245 203 : if (k <= 0) { set_avma(av); return scalarser(gen_1, varn(z), v); }
246 203 : setlg(y, k+2); return gerepileupto(av, _jbessel(n, y, m));
247 : }
248 : }
249 154 : return trans_evalgen(f, (void*)n, J? vjbessel: vibessel, z, prec);
250 : }
251 : GEN
252 384972 : jbessel(GEN n, GEN z, long prec) { return jbesselintern(n,z,1,prec); }
253 : GEN
254 896 : ibessel(GEN n, GEN z, long prec) { return jbesselintern(n,z,0,prec); }
255 :
256 : /* k > 0 */
257 : static GEN
258 119 : _jbesselh(long k, GEN z, long prec)
259 : {
260 119 : GEN s, c, p0, p1, zinv = ginv(z);
261 : long i;
262 :
263 119 : gsincos(z,&s,&c,prec);
264 119 : p1 = gmul(zinv,s);
265 119 : p0 = p1; p1 = gmul(zinv,gsub(p0,c));
266 1134 : for (i = 2; i <= k; i++)
267 : {
268 1015 : GEN p2 = gsub(gmul(gmulsg(2*i-1,zinv), p1), p0);
269 1015 : p0 = p1; p1 = p2;
270 : }
271 119 : return p1;
272 : }
273 :
274 : /* J_{n+1/2}(z) */
275 : GEN
276 315 : jbesselh(GEN n, GEN z, long prec)
277 : {
278 : long k, i;
279 : pari_sp av;
280 : GEN y;
281 :
282 315 : if (typ(n)!=t_INT) pari_err_TYPE("jbesselh",n);
283 203 : k = itos(n);
284 203 : if (k < 0) return jbessel(gadd(ghalf,n), z, prec);
285 :
286 203 : switch(typ(z))
287 : {
288 133 : case t_INT: case t_FRAC: case t_REAL: case t_COMPLEX:
289 : {
290 : long pr;
291 : GEN p1;
292 133 : if (gequal0(z))
293 : {
294 7 : av = avma;
295 7 : p1 = gmul(gsqrt(gdiv(z,mppi(prec)),prec),gpowgs(z,k));
296 7 : p1 = gdiv(p1, mulu_interval(k+1, 2*k+1)); /* x k! / (2k+1)! */
297 7 : return gerepileupto(av, gmul2n(p1,2*k));
298 : }
299 126 : if ( (pr = precision(z)) ) prec = pr;
300 126 : if (bessel_asymp(n, z, prec2nbits(prec)))
301 7 : return jbessel(gadd(ghalf,n), z, prec);
302 119 : y = cgetc(prec); av = avma;
303 119 : p1 = gsqrt(gdiv(z, Pi2n(-1,prec)), prec);
304 119 : if (!k)
305 21 : p1 = gmul(p1, gsinc(z, prec));
306 : else
307 : {
308 98 : long bits = BITS_IN_LONG + 2*k * (log2(k) - dbllog2(z));
309 98 : if (bits > 0)
310 : {
311 98 : prec += nbits2extraprec(bits);
312 98 : if (pr) z = gtofp(z, prec);
313 : }
314 98 : p1 = gmul(p1, _jbesselh(k,z,prec));
315 : }
316 119 : set_avma(av); return affc_fixlg(p1, y);
317 : }
318 0 : case t_PADIC: pari_err_IMPL("p-adic jbesselh function");
319 70 : default:
320 : {
321 : long t, v;
322 70 : av = avma; if (!(y = toser_i(z))) break;
323 35 : if (gequal0(y)) return gerepileupto(av, gpowgs(y,k));
324 35 : v = valser(y);
325 35 : if (v < 0) pari_err_DOMAIN("besseljh","valuation", "<", gen_0, z);
326 28 : t = lg(y)-2;
327 28 : if (v) y = sertoser(y, t + (2*k+1)*v);
328 28 : if (!k)
329 7 : y = gsinc(y,prec);
330 : else
331 : {
332 21 : GEN T, a = _jbesselh(k, y, prec);
333 21 : if (v) y = sertoser(y, t + k*v); /* lower precision */
334 21 : y = gdiv(a, gpowgs(y, k));
335 21 : T = cgetg(k+1, t_VECSMALL);
336 168 : for (i = 1; i <= k; i++) T[i] = 2*i+1;
337 21 : y = gmul(y, zv_prod_Z(T));
338 : }
339 28 : return gerepileupto(av, y);
340 : }
341 : }
342 35 : return trans_evalgen("besseljh",(void*)n, vjbesselh, z, prec);
343 : }
344 :
345 : static GEN
346 0 : kbessel2(GEN nu, GEN x, long prec)
347 : {
348 0 : pari_sp av = avma;
349 0 : GEN p1, a, x2 = gshift(x,1);
350 :
351 0 : a = gtofp(gaddgs(gshift(nu,1), 1), prec);
352 0 : p1 = hyperu(gshift(a,-1), a, x2, prec);
353 0 : p1 = gmul(gmul(p1, gpow(x2,nu,prec)), sqrtr(mppi(prec)));
354 0 : return gerepileupto(av, gmul(p1, gexp(gneg(x),prec)));
355 : }
356 :
357 : /* special case of hyperu */
358 : static GEN
359 14 : kbessel1(GEN nu, GEN gx, long prec)
360 : {
361 : GEN x, y, zf, r, u, pi, nu2;
362 14 : long bit, k, k2, n2, n, l = (typ(gx)==t_REAL)? realprec(gx): prec;
363 : pari_sp av;
364 :
365 14 : if (typ(nu)==t_COMPLEX) return kbessel2(nu, gx, l);
366 14 : y = cgetr(l); av = avma;
367 14 : x = gtofp(gx, l);
368 14 : nu = gtofp(nu,l); nu2 = sqrr(nu);
369 14 : shiftr_inplace(nu2,2); togglesign(nu2); /* nu2 = -4nu^2 */
370 14 : n = (long) (prec2nbits_mul(l,M_LN2) + M_PI*fabs(rtodbl(nu))) / 2;
371 14 : bit = prec2nbits(l) - 1;
372 14 : l += EXTRAPREC64;
373 14 : pi = mppi(l); n2 = n<<1; r = gmul2n(x,1);
374 14 : if (cmprs(x, n) < 0)
375 : {
376 14 : pari_sp av2 = avma;
377 14 : GEN q, v, c, s = real_1(l), t = real_0(l);
378 1246 : for (k = n2, k2 = 2*n2-1; k > 0; k--, k2 -= 2)
379 : {
380 1232 : GEN ak = divri(addri(nu2, sqru(k2)), mulss(n2<<2, -k));
381 1232 : s = addsr(1, mulrr(ak,s));
382 1232 : t = addsr(k2,mulrr(ak,t));
383 1232 : if (gc_needed(av2,3)) gerepileall(av2, 2, &s,&t);
384 : }
385 14 : shiftr_inplace(t, -1);
386 14 : q = utor(n2, l);
387 14 : zf = sqrtr(divru(pi,n2));
388 14 : u = gprec_wensure(mulrr(zf, s), l);
389 14 : v = gprec_wensure(divrs(addrr(mulrr(t,zf),mulrr(u,nu)),-n2), l);
390 : for(;;)
391 301 : {
392 315 : GEN p1, e, f, d = real_1(l);
393 : pari_sp av3;
394 315 : c = divur(5,q); if (expo(c) >= -1) c = real2n(-1,l);
395 315 : p1 = subsr(1, divrr(r,q)); if (cmprr(c,p1)>0) c = p1;
396 315 : togglesign(c); av3 = avma;
397 315 : e = u;
398 315 : f = v;
399 315 : for (k = 1;; k++)
400 35230 : {
401 35545 : GEN w = addrr(gmul2n(mulur(2*k-1,u), -1), mulrr(subrs(q,k),v));
402 35545 : w = addrr(w, mulrr(nu, subrr(u,gmul2n(v,1))));
403 35545 : u = divru(mulrr(q,v), k);
404 35545 : v = divru(w,k);
405 35545 : d = mulrr(d,c);
406 35545 : e = addrr(e, mulrr(d,u));
407 35545 : f = addrr(f, p1 = mulrr(d,v));
408 35545 : if (expo(p1) - expo(f) <= 1-prec2nbits(realprec(p1))) break;
409 35230 : if (gc_needed(av3,3)) gerepileall(av3,5,&u,&v,&d,&e,&f);
410 : }
411 315 : u = e;
412 315 : v = f;
413 315 : q = mulrr(q, addrs(c,1));
414 315 : if (expo(r) - expo(subrr(q,r)) >= bit) break;
415 301 : gerepileall(av2, 3, &u,&v,&q);
416 : }
417 14 : u = mulrr(u, gpow(divru(x,n),nu,prec));
418 : }
419 : else
420 : {
421 0 : GEN s, zz = ginv(gmul2n(r,2));
422 0 : pari_sp av2 = avma;
423 0 : s = real_1(l);
424 0 : for (k = n2, k2 = 2*n2-1; k > 0; k--, k2 -= 2)
425 : {
426 0 : GEN ak = divru(mulrr(addri(nu2, sqru(k2)), zz), k);
427 0 : s = subsr(1, mulrr(ak,s));
428 0 : if (gc_needed(av2,3)) s = gerepileuptoleaf(av2, s);
429 : }
430 0 : zf = sqrtr(divrr(pi,r));
431 0 : u = mulrr(s, zf);
432 : }
433 14 : affrr(mulrr(u, mpexp(negr(x))), y);
434 14 : set_avma(av); return y;
435 : }
436 :
437 : /* sum_{k=0}^m x^k (H(k)+H(k+n)) / (k! (k+n)!)
438 : * + sum_{k=0}^{n-1} (-x)^(k-n) (n-k-1)!/k! */
439 : static GEN
440 10860 : _kbessel(long n, GEN x, long m, long prec)
441 : {
442 : GEN p1, p2, s, H;
443 10860 : long k, M = m + n, exact = (M <= prec2nbits(prec));
444 : pari_sp av;
445 :
446 10860 : H = cgetg(M+2,t_VEC); gel(H,1) = gen_0;
447 10860 : if (exact)
448 : {
449 10853 : gel(H,2) = s = gen_1;
450 479307 : for (k=2; k<=M; k++) gel(H,k+1) = s = gdivgu(gaddsg(1,gmulsg(k,s)),k);
451 : }
452 : else
453 : {
454 7 : gel(H,2) = s = real_1(prec);
455 2877 : for (k=2; k<=M; k++) gel(H,k+1) = s = divru(addsr(1,mulur(k,s)),k);
456 : }
457 10860 : s = gadd(gel(H,m+1), gel(H,M+1)); av = avma;
458 430240 : for (k = m; k > 0; k--)
459 : {
460 419380 : s = gadd(gadd(gel(H,k),gel(H,k+n)), gdiv(gmul(x,s),mulss(k,k+n)));
461 419380 : if (gc_needed(av,1))
462 : {
463 0 : if (DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"_kbessel");
464 0 : s = gerepileupto(av, s);
465 : }
466 : }
467 10860 : p1 = exact? mpfact(n): mpfactr(n,prec);
468 10860 : s = gdiv(s,p1);
469 10860 : if (n)
470 : {
471 8330 : x = gneg(ginv(x));
472 8330 : p2 = gmulsg(n, gdiv(x,p1));
473 8330 : s = gadd(s,p2);
474 62804 : for (k=n-1; k>0; k--)
475 : {
476 54474 : p2 = gmul(p2, gmul(mulss(k,n-k),x));
477 54474 : s = gadd(s,p2);
478 : }
479 : }
480 10860 : return s;
481 : }
482 :
483 : /* N = 1: Bessel N, else Bessel K */
484 : static GEN
485 12432 : kbesselintern(GEN n, GEN z, long N, long prec)
486 : {
487 12432 : const char *f = N? "besseln": "besselk";
488 : long i, k, ki, lim, precnew, fl2, ex, bit;
489 12432 : pari_sp av = avma;
490 : GEN p1, p2, y, p3, pp, pm, s, c;
491 : double az;
492 :
493 12432 : switch(typ(z))
494 : {
495 12047 : case t_INT: case t_FRAC: case t_REAL: case t_COMPLEX:
496 12047 : if (gequal0(z)) pari_err_DOMAIN(f, "argument", "=", gen_0, z);
497 12047 : i = precision(z); if (i) prec = i;
498 12047 : i = precision(n); if (i && prec > i) prec = i;
499 12047 : bit = prec2nbits(prec);
500 12047 : if (bessel_asymp(n, z, bit))
501 : {
502 928 : GEN R = N? bessyasymp(n, z, bit): besskasymp(n, z, bit);
503 928 : if (typ(R) == t_COMPLEX && isexactzero(imag_i(n))
504 221 : && gsigne(real_i(z)) > 0
505 81 : && isexactzero(imag_i(z))) R = gcopy(gel(R,1));
506 928 : return gerepileupto(av, R);
507 : }
508 : /* heuristic threshold */
509 11119 : if (!N && !gequal0(n) && gexpo(z) > bit/16 + gexpo(n))
510 14 : return kbessel1(n,z,prec);
511 11098 : az = dblmodulus(z); precnew = prec;
512 11098 : if (az >= 1) precnew += 1 + nbits2extraprec((long)((N?az:2*az)/M_LN2));
513 11098 : z = gtofp(z, precnew);
514 11098 : if (issmall(n,&ki))
515 : {
516 10776 : GEN z2 = gmul2n(z, -1), Z;
517 10776 : double B, L = HALF_E * az;
518 10776 : k = labs(ki);
519 10776 : B = prec2nbits_mul(prec,M_LN2/2) / L;
520 10776 : if (!N) B += 0.367879; /* exp(-1) */
521 10776 : lim = bessel_get_lim(B, L);
522 10776 : Z = gsqr(z2); if (N) Z = gneg(Z);
523 10776 : p1 = gmul(gpowgs(z2,k), _kbessel(k, Z, lim, precnew));
524 10776 : p2 = gadd(mpeuler(precnew), glog(z2,precnew));
525 10776 : p3 = jbesselintern(stoi(k),z,N,precnew);
526 10776 : p2 = gsub(gmul2n(p1,-1),gmul(p2,p3));
527 10776 : p2 = gprec_wtrunc(p2, prec);
528 10776 : if (N)
529 : {
530 8361 : p2 = gdiv(p2, Pi2n(-1,prec));
531 8361 : if (ki >= 0 || !odd(k)) p2 = gneg(p2);
532 : } else
533 2415 : if (odd(k)) p2 = gneg(p2);
534 10776 : return gc_GEN(av, p2);
535 : }
536 :
537 259 : n = gtofp(n, precnew);
538 259 : gsincos(gmul(n,mppi(precnew)), &s,&c,precnew);
539 259 : ex = gexpo(s);
540 259 : if (ex < 0) precnew += nbits2extraprec(N? -ex: -2*ex);
541 259 : if (i && i < precnew) {
542 84 : n = gtofp(n,precnew);
543 84 : z = gtofp(z,precnew);
544 84 : gsincos(gmul(n,mppi(precnew)), &s,&c,precnew);
545 : }
546 :
547 259 : pp = jbesselintern(n, z,N,precnew);
548 259 : pm = jbesselintern(gneg(n),z,N,precnew);
549 259 : if (N)
550 189 : p1 = gsub(gmul(c,pp),pm);
551 : else
552 70 : p1 = gmul(gsub(pm,pp), Pi2n(-1,precnew));
553 259 : p1 = gdiv(p1, s);
554 259 : return gc_GEN(av, gprec_wtrunc(p1,prec));
555 :
556 14 : case t_PADIC: pari_err_IMPL(stack_strcat("p-adic ",f));
557 371 : default:
558 371 : if (!(y = toser_i(z))) break;
559 217 : if (issmall(n,&ki))
560 : {
561 105 : long v, mv, k = labs(ki), m = lg(y)-2;
562 105 : y = gmul2n(gsqr(y),-2); if (N) y = gneg(y);
563 105 : v = valser(y);
564 105 : if (v < 0) pari_err_DOMAIN(f, "valuation", "<", gen_0, z);
565 91 : if (v == 0) pari_err_IMPL(stack_strcat(f, " around a!=0"));
566 91 : mv = m - (v >> 1);
567 91 : if (mv <= 0) { set_avma(av); return scalarser(gen_1, varn(z), v); }
568 84 : setlg(y, mv+2); return gc_GEN(av, _kbessel(k, y, m, prec));
569 : }
570 98 : if (!issmall(gmul2n(n,1),&ki))
571 70 : pari_err_DOMAIN(f, "2n mod Z", "!=", gen_0, n);
572 28 : k = labs(ki); n = gmul2n(stoi(k),-1);
573 28 : fl2 = (k&3)==1;
574 28 : pm = jbesselintern(gneg(n), y, N, prec);
575 28 : if (N) p1 = pm;
576 : else
577 : {
578 7 : pp = jbesselintern(n, y, N, prec);
579 7 : p2 = gpowgs(y,-k); if (fl2 == 0) p2 = gneg(p2);
580 7 : p3 = gmul2n(diviiexact(mpfact(k + 1),mpfact((k + 1) >> 1)),-(k + 1));
581 7 : p3 = gdivgu(gmul2n(gsqr(p3),1),k);
582 7 : p2 = gmul(p2,p3);
583 7 : p1 = gsub(pp,gmul(p2,pm));
584 : }
585 28 : return gerepileupto(av, fl2? gneg(p1): gcopy(p1));
586 : }
587 154 : return trans_evalgen(f, (void*)n, N? vnbessel: vkbessel, z, prec);
588 : }
589 :
590 : GEN
591 3115 : kbessel(GEN n, GEN z, long prec) { return kbesselintern(n,z,0,prec); }
592 : GEN
593 9317 : ybessel(GEN n, GEN z, long prec) { return kbesselintern(n,z,1,prec); }
594 : /* J + iN */
595 : GEN
596 224 : hbessel1(GEN n, GEN z, long prec)
597 : {
598 224 : pari_sp av = avma;
599 224 : GEN J = jbessel(n,z,prec);
600 196 : GEN Y = ybessel(n,z,prec);
601 182 : return gerepileupto(av, gadd(J, mulcxI(Y)));
602 : }
603 : /* J - iN */
604 : GEN
605 224 : hbessel2(GEN n, GEN z, long prec)
606 : {
607 224 : pari_sp av = avma;
608 224 : GEN J = jbessel(n,z,prec);
609 196 : GEN Y = ybessel(n,z,prec);
610 182 : return gerepileupto(av, gadd(J, mulcxmI(Y)));
611 : }
612 :
613 : static GEN
614 1008 : besselrefine(GEN z, GEN nu, GEN (*B)(GEN,GEN,long), long bit)
615 : {
616 1008 : GEN z0 = gprec_w(z, DEFAULTPREC), nu1 = gaddgs(nu, 1), t;
617 1008 : long e, n, c, j, prec = DEFAULTPREC;
618 :
619 1008 : t = gdiv(B(nu1, z0, prec), B(nu, z0, prec));
620 1008 : t = gadd(z0, gdiv(gsub(gsqr(z0), gsqr(nu)), gsub(gdiv(nu, z0), t)));
621 1008 : e = gexpo(t) - 2 * gexpo(z0) - 1; if (e < 0) e = 0;
622 1008 : n = expu(bit + 32 - e);
623 1008 : c = 1 + e + ((bit - e) >> n);
624 8064 : for (j = 1; j <= n; j++)
625 : {
626 7056 : c = 2 * c - e;
627 7056 : prec = nbits2prec(c); z = gprec_w(z, prec);
628 7056 : t = gdiv(B(nu1, z, prec), B(nu, z, prec));
629 7056 : z = gsub(z, ginv(gsub(gdiv(nu, z), t)));
630 : }
631 1008 : return gprec_w(z, nbits2prec(bit));
632 : }
633 :
634 : /* solve tan(fi) - fi = y, y >= 0; Temme's method */
635 : static double
636 700 : fi(double y)
637 : {
638 : double p, pp, r;
639 700 : if (y == 0) return 0;
640 700 : if (y > 100000) return M_PI/2;
641 700 : if (y < 1)
642 : {
643 455 : p = pow(3*y, 1.0/3); pp = p * p;
644 455 : p = p * (1 + pp * (-210 * pp + (27 - 2*pp)) / 1575);
645 : }
646 : else
647 : {
648 245 : p = 1 / (y + M_PI/2); pp = p * p;
649 245 : p = M_PI/2 - p*(1 + pp*(2310 + pp*(3003 + pp*(4818 + pp*(8591 + pp*16328)))) / 3465);
650 : }
651 700 : pp = (y + p) * (y + p); r = (p - atan(p + y)) / pp;
652 700 : return p - (1 + pp) * r * (1 + r / (p + y));
653 : }
654 :
655 : static GEN
656 1022 : besselzero(GEN nu, long n, GEN (*B)(GEN,GEN,long), long bit)
657 : {
658 1022 : pari_sp av = avma;
659 1022 : long prec = nbits2prec(bit);
660 1022 : int J = B == jbessel;
661 : GEN z;
662 1022 : if (n <= 0) pari_err_DOMAIN("besselzero", "n", "<=", gen_0, stoi(n));
663 1008 : if (n > LONG_MAX / 4) pari_err_OVERFLOW("besselzero");
664 1008 : if (is_real_t(typ(nu)) && gsigne(nu) >= 0)
665 1008 : { /* Temme */
666 1008 : double x, c, b, a = gtodouble(nu), t = J? 0.25: 0.75;
667 1008 : if (n >= 3*a - 8)
668 : {
669 308 : double aa = a*a, mu = 4*aa, mu2 = mu*mu, p, p0, p1, q1;
670 308 : p = 7 * mu - 31; p0 = mu-1;
671 308 : if (1 + p == p) /* p large */
672 0 : p1 = q1 = 0;
673 : else
674 : {
675 308 : p1 = 4 * (253 * mu2 - 3722 * mu + 17869) / (15 * p);
676 308 : q1 = 1.6 * (83 * mu2 - 982 * mu + 3779) / p;
677 : }
678 308 : b = (n + a/2 - t) * M_PI;
679 308 : c = 1 / (64 * b * b);
680 308 : x = b - p0 * (1 - p1 * c) / (8 * b * (1 - q1 * c));
681 : }
682 : else
683 : {
684 700 : double u, v, w, xx, bb = a >= 3? pow(a, -2./3): 1;
685 700 : if (n == 1)
686 336 : x = J? -2.33811: -1.17371;
687 : else
688 : {
689 364 : double pp1 = 5./48, qq1 = -5./36, y = 3./8 * M_PI;
690 364 : x = 4 * y * (n - t); v = 1 / (x*x);
691 364 : x = - pow(x, 2.0/3) * (1 + v * (pp1 + qq1 * v));
692 : }
693 700 : u = x * bb; v = fi(2.0/3 * pow(-u, 1.5));
694 700 : w = 1 / cos(v); xx = 1 - w*w; c = sqrt(u/xx);
695 700 : x = w * (a + c / (48*a*u) * (-5/u-c * (-10/xx + 6)));
696 : }
697 1008 : z = dbltor(x);
698 : }
699 : else
700 : { /* generic, hope for the best */
701 0 : long a = 4 * n - (J? 1: 3);
702 : GEN b, m;
703 0 : b = gmul(mppi(prec), gmul2n(gaddgs(gmul2n(nu,1), a), -2));
704 0 : m = gmul2n(gsqr(nu),2);
705 0 : z = gsub(b, gdiv(gsubgs(m, 1), gmul2n(b, 3)));
706 : }
707 1008 : return gc_GEN(av, besselrefine(z, nu, B, bit));
708 : }
709 : GEN
710 511 : besseljzero(GEN nu, long k, long b) { return besselzero(nu, k, jbessel, b); }
711 : GEN
712 511 : besselyzero(GEN nu, long k, long b) { return besselzero(nu, k, ybessel, b); }
713 :
714 : /***********************************************************************/
715 : /** INCOMPLETE GAMMA FUNCTION **/
716 : /***********************************************************************/
717 : /* mx ~ |x|, b = bit accuracy */
718 : static int
719 16751 : gamma_use_asymp(GEN x, long b)
720 : {
721 : long e;
722 16751 : if (is_real_t(typ(x)))
723 : {
724 12719 : pari_sp av = avma;
725 12719 : return gc_int(av, gcmpgs(R_abs_shallow(x), 3*b / 4) >= 0);
726 : }
727 4032 : e = gexpo(x); return e >= b || dblmodulus(x) >= 3*b / 4;
728 : }
729 : /* x a t_REAL */
730 : static GEN
731 28 : eint1r_asymp(GEN x, GEN expx, long prec)
732 : {
733 28 : pari_sp av = avma, av2;
734 : GEN S, q, z, ix;
735 28 : long oldeq = LONG_MAX, esx = -prec2nbits(prec), j;
736 :
737 28 : if (realprec(x) < prec + EXTRAPREC64) x = rtor(x, prec+EXTRAPREC64);
738 28 : ix = invr(x); q = z = negr(ix);
739 28 : av2 = avma; S = addrs(q, 1);
740 28 : for (j = 2;; j++)
741 1211 : {
742 1239 : long eq = expo(q); if (eq < esx) break;
743 1211 : if ((j & 3) == 0)
744 : { /* guard against divergence */
745 294 : if (eq > oldeq) return gc_NULL(av); /* regressing, abort */
746 294 : oldeq = eq;
747 : }
748 1211 : q = mulrr(q, mulru(z, j)); S = addrr(S, q);
749 1211 : if (gc_needed(av2, 1)) gerepileall(av2, 2, &S, &q);
750 : }
751 28 : if (DEBUGLEVEL > 2) err_printf("eint1: using asymp\n");
752 28 : S = expx? divrr(S, expx): mulrr(S, mpexp(negr(x)));
753 28 : return gerepileuptoleaf(av, mulrr(S, ix));
754 : }
755 : /* cf incgam_asymp(0, x); z = -1/x
756 : * exp(-x)/x * (1 + z + 2! z^2 + ...) */
757 : static GEN
758 105 : eint1_asymp(GEN x, GEN expx, long prec)
759 : {
760 105 : pari_sp av = avma, av2;
761 : GEN S, q, z, ix;
762 105 : long oldeq = LONG_MAX, esx = -prec2nbits(prec), j;
763 :
764 105 : if (typ(x) != t_REAL) x = gtofp(x, prec+EXTRAPREC64);
765 105 : if (typ(x) == t_REAL) return eint1r_asymp(x, expx, prec);
766 105 : ix = ginv(x); q = z = gneg_i(ix);
767 105 : av2 = avma; S = gaddgs(q, 1);
768 105 : for (j = 2;; j++)
769 5824 : {
770 5929 : long eq = gexpo(q); if (eq < esx) break;
771 5824 : if ((j & 3) == 0)
772 : { /* guard against divergence */
773 1442 : if (eq > oldeq) return gc_NULL(av); /* regressing, abort */
774 1442 : oldeq = eq;
775 : }
776 5824 : q = gmul(q, gmulgu(z, j)); S = gadd(S, q);
777 5824 : if (gc_needed(av2, 1)) gerepileall(av2, 2, &S, &q);
778 : }
779 105 : if (DEBUGLEVEL > 2) err_printf("eint1: using asymp\n");
780 105 : S = expx? gdiv(S, expx): gmul(S, gexp(gneg_i(x), prec));
781 105 : return gerepileupto(av, gmul(S, ix));
782 : }
783 :
784 : /* eint1(x) = incgam(0, x); typ(x) = t_REAL, x > 0 */
785 : static GEN
786 6510 : eint1p(GEN x, GEN expx)
787 : {
788 : pari_sp av;
789 6510 : long l = realprec(x), bit = prec2nbits(l), prec, i;
790 : double mx;
791 : GEN z, S, t, H, run;
792 :
793 6510 : if (gamma_use_asymp(x, bit)
794 28 : && (z = eint1r_asymp(x, expx, l))) return z;
795 6482 : mx = rtodbl(x);
796 6482 : prec = l + nbits2extraprec((mx+log(mx))/M_LN2 + 10);
797 6482 : bit = prec2nbits(prec);
798 6482 : run = real_1(prec); x = rtor(x, prec);
799 6482 : av = avma; S = z = t = H = run;
800 615912 : for (i = 2; expo(S) - expo(t) <= bit; i++)
801 : {
802 609430 : H = addrr(H, divru(run,i)); /* H = sum_{k<=i} 1/k */
803 609430 : z = divru(mulrr(x,z), i); /* z = x^(i-1)/i! */
804 609430 : t = mulrr(z, H); S = addrr(S, t);
805 609430 : if ((i & 0x1ff) == 0) gerepileall(av, 4, &z,&t,&S,&H);
806 : }
807 6482 : return subrr(mulrr(x, divrr(S,expx? expx: mpexp(x))),
808 : addrr(mplog(x), mpeuler(prec)));
809 : }
810 : /* eint1(x) = incgam(0, x); typ(x) = t_REAL, x < 0
811 : * rewritten from code contributed by Manfred Radimersky */
812 : static GEN
813 140 : eint1m(GEN x, GEN expx)
814 : {
815 140 : GEN p1, q, S, y, z = cgetg(3, t_COMPLEX);
816 140 : long l = realprec(x), n = prec2nbits(l), j;
817 140 : pari_sp av = avma;
818 :
819 140 : y = rtor(x, l + EXTRAPREC64); setsigne(y,1); /* |x| */
820 140 : if (gamma_use_asymp(y, n))
821 : { /* ~eint1_asymp: asymptotic expansion */
822 14 : p1 = q = invr(y); S = addrs(q, 1);
823 560 : for (j = 2; expo(q) >= -n; j++) {
824 546 : q = mulrr(q, mulru(p1, j));
825 546 : S = addrr(S, q);
826 : }
827 14 : y = mulrr(p1, expx? divrr(S, expx): mulrr(S, mpexp(y)));
828 : }
829 : else
830 : {
831 126 : p1 = q = S = y;
832 24248 : for (j = 2; expo(q) - expo(S) >= -n; j++) {
833 24122 : p1 = mulrr(y, divru(p1, j)); /* (-x)^j/j! */
834 24122 : q = divru(p1, j);
835 24122 : S = addrr(S, q);
836 : }
837 126 : y = addrr(S, addrr(logr_abs(x), mpeuler(l)));
838 : }
839 140 : y = gerepileuptoleaf(av, y); togglesign(y);
840 140 : gel(z, 1) = y;
841 140 : y = mppi(l); setsigne(y, -1);
842 140 : gel(z, 2) = y; return z;
843 : }
844 :
845 : /* real(z*log(z)-z), z = x+iy */
846 : static double
847 8372 : mygamma(double x, double y)
848 : {
849 8372 : if (x == 0.) return -(M_PI/2)*fabs(y);
850 8372 : return (x/2)*log(x*x+y*y)-x-y*atan(y/x);
851 : }
852 :
853 : /* x^s exp(-x) */
854 : static GEN
855 10843 : expmx_xs(GEN s, GEN x, GEN logx, long prec)
856 : {
857 : GEN z;
858 10843 : long ts = typ(s);
859 10843 : if (ts == t_INT || (ts == t_FRAC && absequaliu(gel(s,2), 2)))
860 5264 : z = gmul(gexp(gneg(x), prec), gpow(x, s, prec));
861 : else
862 5579 : z = gexp(gsub(gmul(s, logx? logx: glog(x,prec+EXTRAPREC64)), x), prec);
863 10843 : return z;
864 : }
865 :
866 : /* Not yet: doesn't work at low accuracy
867 : #define INCGAM_CF
868 : */
869 :
870 : #ifdef INCGAM_CF
871 : /* Is s very close to a nonpositive integer ? */
872 : static int
873 : isgammapole(GEN s, long bitprec)
874 : {
875 : pari_sp av = avma;
876 : GEN t = imag_i(s);
877 : long e, b = bitprec - 10;
878 :
879 : if (gexpo(t) > - b) return 0;
880 : s = real_i(s);
881 : if (gsigne(s) > 0 && gexpo(s) > -b) return 0;
882 : (void)grndtoi(s, &e); return gc_bool(av, e < -b);
883 : }
884 :
885 : /* incgam using the continued fraction. x a t_REAL or t_COMPLEX, mx ~ |x|.
886 : * Assume precision(s), precision(x) >= prec */
887 : static GEN
888 : incgam_cf(GEN s, GEN x, double mx, long prec)
889 : {
890 : GEN ms, y, S;
891 : long n, i, j, LS, bitprec = prec2nbits(prec);
892 : double rs, is, m;
893 :
894 : if (typ(s) == t_COMPLEX)
895 : {
896 : rs = gtodouble(gel(s,1));
897 : is = gtodouble(gel(s,2));
898 : }
899 : else
900 : {
901 : rs = gtodouble(s);
902 : is = 0.;
903 : }
904 : if (isgammapole(s, bitprec)) LS = 0;
905 : else
906 : {
907 : double bit, LGS = mygamma(rs,is);
908 : LS = LGS <= 0 ? 0: ceil(LGS);
909 : bit = (LGS - (rs-1)*log(mx) + mx)/M_LN2;
910 : if (bit > 0)
911 : {
912 : prec += nbits2extraprec((long)bit);
913 : x = gtofp(x, prec);
914 : if (isinexactreal(s)) s = gtofp(s, prec);
915 : }
916 : }
917 : /* |ln(2*gamma(s)*sin(s*Pi))| <= ln(2) + |lngamma(s)| + |Im(s)*Pi|*/
918 : m = bitprec*M_LN2 + LS + M_LN2 + fabs(is)*M_PI + mx;
919 : if (rs < 1) m += (1 - rs)*log(mx);
920 : m /= 4;
921 : n = (long)(1 + m*m/mx);
922 : y = expmx_xs(gsubgs(s,1), x, NULL, prec);
923 : if (rs >= 0 && bitprec >= 512)
924 : {
925 : GEN A = cgetg(n+1, t_VEC), B = cgetg(n+1, t_VEC);
926 : ms = gsubsg(1, s);
927 : for (j = 1; j <= n; ++j)
928 : {
929 : gel(A,j) = ms;
930 : gel(B,j) = gmulsg(j, gsubgs(s,j));
931 : ms = gaddgs(ms, 2);
932 : }
933 : S = contfraceval_inv(mkvec2(A,B), x, -1);
934 : }
935 : else
936 : {
937 : GEN x_s = gsub(x, s);
938 : pari_sp av2 = avma;
939 : S = gdiv(gsubgs(s,n), gaddgs(x_s,n<<1));
940 : for (i=n-1; i >= 1; i--)
941 : {
942 : S = gdiv(gsubgs(s,i), gadd(gaddgs(x_s,i<<1),gmulsg(i,S)));
943 : if (gc_needed(av2,3))
944 : {
945 : if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"incgam_cf");
946 : S = gerepileupto(av2, S);
947 : }
948 : }
949 : S = gaddgs(S,1);
950 : }
951 : return gmul(y, S);
952 : }
953 : #endif
954 :
955 : static double
956 6419 : findextraincgam(GEN s, GEN x)
957 : {
958 6419 : double sig = gtodouble(real_i(s)), t = gtodouble(imag_i(s));
959 6419 : double xr = gtodouble(real_i(x)), xi = gtodouble(imag_i(x));
960 6419 : double exd = 0., Nx = xr*xr + xi*xi, D = Nx - t*t;
961 : long n;
962 :
963 6419 : if (xr < 0)
964 : {
965 833 : long ex = gexpo(x);
966 833 : if (ex > 0 && ex > gexpo(s)) exd = sqrt(Nx)*log(Nx)/2; /* |x| log |x| */
967 : }
968 6419 : if (D <= 0.) return exd;
969 4977 : n = (long)(sqrt(D)-sig);
970 4977 : if (n <= 0) return exd;
971 1841 : return maxdd(exd, (n*log(Nx)/2 - mygamma(sig+n, t) + mygamma(sig, t)) / M_LN2);
972 : }
973 :
974 : /* use exp(-x) * (x^s/s) * sum_{k >= 0} x^k / prod(i=1, k, s+i) */
975 : static GEN
976 6426 : incgamc_i(GEN s, GEN x, long *ptexd, long prec)
977 : {
978 : GEN S, t, y;
979 : long l, n, i, exd;
980 6426 : pari_sp av = avma, av2;
981 :
982 6426 : if (gequal0(x))
983 : {
984 7 : if (ptexd) *ptexd = 0.;
985 7 : return gtofp(x, prec);
986 : }
987 6419 : l = precision(x);
988 6419 : if (!l) l = prec;
989 6419 : n = -prec2nbits(l)-1;
990 6419 : exd = (long)findextraincgam(s, x);
991 6419 : if (ptexd) *ptexd = exd;
992 6419 : if (exd > 0)
993 : {
994 1666 : long p = l + nbits2extraprec(exd);
995 1666 : x = gtofp(x, p);
996 1666 : if (isinexactreal(s)) s = gtofp(s, p);
997 : }
998 4753 : else x = gtofp(x, l+EXTRAPREC64);
999 6419 : av2 = avma;
1000 6419 : S = gdiv(x, gaddsg(1,s));
1001 6419 : t = gaddsg(1, S);
1002 770875 : for (i=2; gexpo(S) >= n; i++)
1003 : {
1004 764456 : S = gdiv(gmul(x,S), gaddsg(i,s)); /* x^i / ((s+1)...(s+i)) */
1005 764456 : t = gadd(S,t);
1006 764456 : if (gc_needed(av2,3))
1007 : {
1008 0 : if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"incgamc");
1009 0 : gerepileall(av2, 2, &S, &t);
1010 : }
1011 : }
1012 6419 : y = expmx_xs(s, x, NULL, prec);
1013 6419 : return gerepileupto(av, gmul(gdiv(y,s), t));
1014 : }
1015 :
1016 : GEN
1017 2226 : incgamc(GEN s, GEN x, long prec)
1018 2226 : { return incgamc_i(s, x, NULL, prec); }
1019 :
1020 : /* incgamma using asymptotic expansion:
1021 : * exp(-x)x^(s-1)(1 + (s-1)/x + (s-1)(s-2)/x^2 + ...) */
1022 : static GEN
1023 2716 : incgam_asymp(GEN s, GEN x, long prec)
1024 : {
1025 2716 : pari_sp av = avma, av2;
1026 : GEN S, q, cox, invx;
1027 2716 : long oldeq = LONG_MAX, eq, esx, j;
1028 2716 : int flint = (typ(s) == t_INT && signe(s) > 0);
1029 :
1030 2716 : x = gtofp(x,prec+EXTRAPREC64);
1031 2716 : invx = ginv(x);
1032 2716 : esx = -prec2nbits(prec);
1033 2716 : av2 = avma;
1034 2716 : q = gmul(gsubgs(s,1), invx);
1035 2716 : S = gaddgs(q, 1);
1036 2716 : for (j = 2;; j++)
1037 : {
1038 123879 : eq = gexpo(q); if (eq < esx) break;
1039 121282 : if (!flint && (j & 3) == 0)
1040 : { /* guard against divergence */
1041 15778 : if (eq > oldeq) return gc_NULL(av); /* regressing, abort */
1042 15659 : oldeq = eq;
1043 : }
1044 121163 : q = gmul(q, gmul(gsubgs(s,j), invx));
1045 121163 : S = gadd(S, q);
1046 121163 : if (gc_needed(av2, 1)) gerepileall(av2, 2, &S, &q);
1047 : }
1048 2597 : if (DEBUGLEVEL > 2) err_printf("incgam: using asymp\n");
1049 2597 : cox = expmx_xs(gsubgs(s,1), x, NULL, prec);
1050 2597 : return gerepileupto(av, gmul(cox, S));
1051 : }
1052 :
1053 : /* gasx = incgam(s-n,x). Compute incgam(s,x)
1054 : * = (s-1)(s-2)...(s-n)gasx + exp(-x)x^(s-1) *
1055 : * (1 + (s-1)/x + ... + (s-1)(s-2)...(s-n+1)/x^(n-1)) */
1056 : static GEN
1057 546 : incgam_asymp_partial(GEN s, GEN x, GEN gasx, long n, long prec)
1058 : {
1059 : pari_sp av;
1060 546 : GEN S, q, cox, invx, s1 = gsubgs(s, 1), sprod;
1061 : long j;
1062 546 : cox = expmx_xs(s1, x, NULL, prec);
1063 546 : if (n == 1) return gadd(cox, gmul(s1, gasx));
1064 546 : invx = ginv(x);
1065 546 : av = avma;
1066 546 : q = gmul(s1, invx);
1067 546 : S = gaddgs(q, 1);
1068 52164 : for (j = 2; j < n; j++)
1069 : {
1070 51618 : q = gmul(q, gmul(gsubgs(s, j), invx));
1071 51618 : S = gadd(S, q);
1072 51618 : if (gc_needed(av, 2)) gerepileall(av, 2, &S, &q);
1073 : }
1074 546 : sprod = gmul(gmul(q, gpowgs(x, n-1)), gsubgs(s, n));
1075 546 : return gadd(gmul(cox, S), gmul(sprod, gasx));
1076 : }
1077 :
1078 : /* Assume s != 0; called when Re(s) <= 1/2 */
1079 : static GEN
1080 2401 : incgamspec(GEN s, GEN x, GEN g, long prec)
1081 : {
1082 2401 : GEN q, S, cox = gen_0, P, sk, S1, S2, S3, F3, logx, mx;
1083 2401 : long n, esk, E, k = itos(ground(gneg(real_i(s)))); /* >= 0 */
1084 :
1085 2401 : if (k && gexpo(x) > 0)
1086 : {
1087 245 : GEN xk = gdivgu(x, k);
1088 245 : long bitprec = prec2nbits(prec);
1089 245 : double d = (gexpo(xk) > bitprec)? bitprec*M_LN2: log(dblmodulus(xk));
1090 245 : d = k * (d + 1) / M_LN2;
1091 245 : if (d > 0) prec += nbits2extraprec((long)d);
1092 245 : if (isinexactreal(s)) s = gtofp(s, prec);
1093 : }
1094 2401 : x = gtofp(x, maxss(precision(x), prec) + EXTRAPREC64);
1095 2401 : sk = gaddgs(s, k); /* |Re(sk)| <= 1/2 */
1096 2401 : logx = glog(x, prec);
1097 2401 : mx = gneg(x);
1098 2401 : if (k == 0) { S = gen_0; P = gen_1; }
1099 : else
1100 : {
1101 : long j;
1102 854 : q = ginv(s); S = q; P = s;
1103 16926 : for (j = 1; j < k; j++)
1104 : {
1105 16072 : GEN sj = gaddgs(s, j);
1106 16072 : q = gmul(q, gdiv(x, sj));
1107 16072 : S = gadd(S, q);
1108 16072 : P = gmul(P, sj);
1109 : }
1110 854 : cox = expmx_xs(s, x, logx, prec); /* x^s exp(-x) */
1111 854 : S = gmul(S, gneg(cox));
1112 : }
1113 2401 : if (k && gequal0(sk))
1114 175 : return gadd(S, gdiv(eint1(x, prec), P));
1115 2226 : esk = gexpo(sk);
1116 2226 : if (esk > -7)
1117 : {
1118 1015 : GEN a, b, PG = gmul(sk, P);
1119 1015 : if (g) g = gmul(g, PG);
1120 1015 : a = incgam0(gaddgs(sk,1), x, g, prec);
1121 1015 : if (k == 0) cox = expmx_xs(s, x, logx, prec);
1122 1015 : b = gmul(gpowgs(x, k), cox);
1123 1015 : return gadd(S, gdiv(gsub(a, b), PG));
1124 : }
1125 1211 : E = prec2nbits(prec) + 1;
1126 1211 : if (gexpo(x) > 0)
1127 : {
1128 420 : long X = (long)(dblmodulus(x)/M_LN2);
1129 420 : prec += 2*nbits2extraprec(X);
1130 420 : x = gtofp(x, prec); mx = gneg(x);
1131 420 : logx = glog(x, prec); sk = gtofp(sk, prec);
1132 420 : E += X;
1133 : }
1134 1211 : if (isinexactreal(sk)) sk = gtofp(sk, prec+EXTRAPREC64);
1135 : /* |sk| < 2^-7 is small, guard against cancellation */
1136 1211 : F3 = gexpm1(gmul(sk, logx), prec);
1137 : /* ( gamma(1+sk) - exp(sk log(x))) ) / sk */
1138 1211 : S1 = gdiv(gsub(ggamma1m1(sk, prec+EXTRAPREC64), F3), sk);
1139 1211 : q = x; S3 = gdiv(x, gaddsg(1,sk));
1140 255523 : for (n = 2; gexpo(q) - gexpo(S3) > -E; n++)
1141 : {
1142 254312 : q = gmul(q, gdivgu(mx, n));
1143 254312 : S3 = gadd(S3, gdiv(q, gaddsg(n, sk)));
1144 : }
1145 1211 : S2 = gadd(gadd(S1, S3), gmul(F3, S3));
1146 1211 : return gadd(S, gdiv(S2, P));
1147 : }
1148 :
1149 : /* return |x| */
1150 : double
1151 11720444 : dblmodulus(GEN x)
1152 : {
1153 11720444 : if (typ(x) == t_COMPLEX)
1154 : {
1155 1803571 : double a = gtodouble(gel(x,1));
1156 1803571 : double b = gtodouble(gel(x,2));
1157 1803571 : return sqrt(a*a + b*b);
1158 : }
1159 : else
1160 9916873 : return fabs(gtodouble(x));
1161 : }
1162 :
1163 : /* Driver routine. If g != NULL, assume that g=gamma(s,prec). */
1164 : GEN
1165 11550 : incgam0(GEN s, GEN x, GEN g, long prec)
1166 : {
1167 : pari_sp av;
1168 : long E, l;
1169 : GEN z, rs, is;
1170 :
1171 11550 : if (gequal0(x)) return g? gcopy(g): ggamma(s,prec);
1172 11550 : if (gequal0(s)) return eint1(x, prec);
1173 9744 : l = precision(s); if (!l) l = prec;
1174 9744 : E = prec2nbits(l);
1175 9744 : if (gamma_use_asymp(x, E) ||
1176 8323 : (typ(s) == t_INT && signe(s) > 0 && gexpo(x) >= expi(s)))
1177 2716 : if ((z = incgam_asymp(s, x, l))) return z;
1178 7147 : av = avma; E++;
1179 7147 : rs = real_i(s);
1180 7147 : is = imag_i(s);
1181 : #ifdef INCGAM_CF
1182 : /* Can one use continued fraction ? */
1183 : if (gequal0(is) && gequal0(imag_i(x)) && gsigne(x) > 0)
1184 : {
1185 : double sd = gtodouble(rs), LB, UB;
1186 : double xd = gtodouble(real_i(x));
1187 : if (sd > 0) {
1188 : LB = 15 + 0.1205*E;
1189 : UB = 5 + 0.752*E;
1190 : } else {
1191 : LB = -6 + 0.1205*E;
1192 : UB = 5 + 0.752*E + fabs(sd)/54.;
1193 : }
1194 : if (xd >= LB && xd <= UB)
1195 : {
1196 : if (DEBUGLEVEL > 2) err_printf("incgam: using continued fraction\n");
1197 : return gerepileupto(av, incgam_cf(s, x, xd, prec));
1198 : }
1199 : }
1200 : #endif
1201 7147 : if (gsigne(rs) > 0 && gexpo(rs) >= -1)
1202 : { /* use complementary incomplete gamma */
1203 4746 : long n, egs, exd, precg, es = gexpo(s);
1204 4746 : if (es < 0) {
1205 602 : l += nbits2extraprec(-es) + 1;
1206 602 : x = gtofp(x, l);
1207 602 : if (isinexactreal(s)) s = gtofp(s, l);
1208 : }
1209 4746 : n = itos(gceil(rs));
1210 4746 : if (n > 100)
1211 : {
1212 : GEN gasx;
1213 546 : n -= 100;
1214 546 : if (es > 0)
1215 : {
1216 546 : es = mygamma(gtodouble(rs) - n, gtodouble(is)) / M_LN2;
1217 546 : if (es > 0)
1218 : {
1219 546 : l += nbits2extraprec(es);
1220 546 : x = gtofp(x, l);
1221 546 : if (isinexactreal(s)) s = gtofp(s, l);
1222 : }
1223 : }
1224 546 : gasx = incgam0(gsubgs(s, n), x, NULL, prec);
1225 546 : return gerepileupto(av, incgam_asymp_partial(s, x, gasx, n, prec));
1226 : }
1227 4200 : if (DEBUGLEVEL > 2) err_printf("incgam: using power series 1\n");
1228 : /* egs ~ expo(gamma(s)) */
1229 4200 : precg = g? precision(g): 0;
1230 4200 : egs = g? gexpo(g): (long)(mygamma(gtodouble(rs), gtodouble(is)) / M_LN2);
1231 4200 : if (egs > 0) {
1232 1946 : l += nbits2extraprec(egs) + 1;
1233 1946 : x = gtofp(x, l);
1234 1946 : if (isinexactreal(s)) s = gtofp(s, l);
1235 1946 : if (precg < l) g = NULL;
1236 : }
1237 4200 : z = incgamc_i(s, x, &exd, l);
1238 4200 : if (exd > 0)
1239 : {
1240 896 : l += nbits2extraprec(exd);
1241 896 : if (isinexactreal(s)) s = gtofp(s, l);
1242 896 : if (precg < l) g = NULL;
1243 : }
1244 : else
1245 : { /* gamma(s) negligible ? Compute to lower accuracy */
1246 3304 : long e = gexpo(z) - egs;
1247 3304 : if (e > 3)
1248 : {
1249 420 : E -= e;
1250 420 : if (E <= 0) g = gen_0; else if (!g) g = ggamma(s, nbits2prec(E));
1251 : }
1252 : }
1253 : /* worry about possible cancellation */
1254 4200 : if (!g) g = ggamma(s, maxss(l,precision(z)));
1255 4200 : return gerepileupto(av, gsub(g,z));
1256 : }
1257 2401 : if (DEBUGLEVEL > 2) err_printf("incgam: using power series 2\n");
1258 2401 : return gerepileupto(av, incgamspec(s, x, g, l));
1259 : }
1260 :
1261 : GEN
1262 1106 : incgam(GEN s, GEN x, long prec) { return incgam0(s, x, NULL, prec); }
1263 :
1264 : /* x a t_REAL */
1265 : GEN
1266 2926 : mpeint1(GEN x, GEN expx)
1267 : {
1268 2926 : long s = signe(x);
1269 : pari_sp av;
1270 : GEN z;
1271 2926 : if (!s) pari_err_DOMAIN("eint1", "x","=",gen_0, x);
1272 2919 : if (s < 0) return eint1m(x, expx);
1273 2779 : z = cgetr(realprec(x));
1274 2779 : av = avma; affrr(eint1p(x, expx), z);
1275 2779 : set_avma(av); return z;
1276 : }
1277 :
1278 : static GEN
1279 357 : cxeint1(GEN x, long prec)
1280 : {
1281 357 : pari_sp av = avma, av2;
1282 : GEN q, S, run, z, H;
1283 357 : long n, E = prec2nbits(prec);
1284 :
1285 357 : if (gamma_use_asymp(x, E) && (z = eint1_asymp(x, NULL, prec))) return z;
1286 252 : E++;
1287 252 : if (gexpo(x) > 0)
1288 : { /* take cancellation into account, log2(\sum |x|^n / n!) = |x| / log(2) */
1289 42 : double dbx = dblmodulus(x);
1290 42 : long X = (long)((dbx + log(dbx))/M_LN2 + 10);
1291 42 : prec += nbits2extraprec(X);
1292 42 : x = gtofp(x, prec); E += X;
1293 : }
1294 252 : if (DEBUGLEVEL > 2) err_printf("eint1: using power series\n");
1295 252 : run = real_1(prec);
1296 252 : av2 = avma;
1297 252 : S = z = q = H = run;
1298 48384 : for (n = 2; gexpo(q) - gexpo(S) >= -E; n++)
1299 : {
1300 48132 : H = addrr(H, divru(run, n)); /* H = sum_{k<=n} 1/k */
1301 48132 : z = gdivgu(gmul(x,z), n); /* z = x^(n-1)/n! */
1302 48132 : q = gmul(z, H); S = gadd(S, q);
1303 48132 : if ((n & 0x1ff) == 0) gerepileall(av2, 4, &z, &q, &S, &H);
1304 : }
1305 252 : S = gmul(gmul(x, S), gexp(gneg_i(x), prec));
1306 252 : return gerepileupto(av, gsub(S, gadd(glog(x, prec), mpeuler(prec))));
1307 : }
1308 :
1309 : GEN
1310 3283 : eint1(GEN x, long prec)
1311 : {
1312 3283 : switch(typ(x))
1313 : {
1314 357 : case t_COMPLEX: return cxeint1(x, prec);
1315 2541 : case t_REAL: break;
1316 385 : default: x = gtofp(x, prec);
1317 : }
1318 2926 : return mpeint1(x,NULL);
1319 : }
1320 :
1321 : GEN
1322 49 : veceint1(GEN C, GEN nmax, long prec)
1323 : {
1324 49 : if (!nmax) return eint1(C,prec);
1325 7 : if (typ(nmax) != t_INT) pari_err_TYPE("veceint1",nmax);
1326 7 : if (typ(C) != t_REAL) {
1327 7 : C = gtofp(C, prec);
1328 7 : if (typ(C) != t_REAL) pari_err_TYPE("veceint1",C);
1329 : }
1330 7 : if (signe(C) <= 0) pari_err_DOMAIN("veceint1", "argument", "<=", gen_0,C);
1331 7 : return mpveceint1(C, NULL, itos(nmax));
1332 : }
1333 :
1334 : /* j > 0, a t_REAL. Return sum_{m >= 0} a^m / j(j+1)...(j+m)).
1335 : * Stop when expo(summand) < E; note that s(j-1) = (a s(j) + 1) / (j-1). */
1336 : static GEN
1337 231 : mp_sum_j(GEN a, long j, long E, long prec)
1338 : {
1339 231 : pari_sp av = avma;
1340 231 : GEN q = divru(real_1(prec), j), s = q;
1341 : long m;
1342 4290 : for (m = 0;; m++)
1343 : {
1344 4290 : if (expo(q) < E) break;
1345 4059 : q = mulrr(q, divru(a, m+j));
1346 4059 : s = addrr(s, q);
1347 : }
1348 231 : return gerepileuptoleaf(av, s);
1349 : }
1350 : /* Return the s_a(j), j <= J */
1351 : static GEN
1352 231 : sum_jall(GEN a, long J, long prec)
1353 : {
1354 231 : GEN s = cgetg(J+1, t_VEC);
1355 231 : long j, E = -prec2nbits(prec) - 5;
1356 231 : gel(s, J) = mp_sum_j(a, J, E, prec);
1357 9624 : for (j = J-1; j; j--)
1358 9393 : gel(s,j) = divru(addrs(mulrr(a, gel(s,j+1)), 1), j);
1359 231 : return s;
1360 : }
1361 :
1362 : /* T a dense t_POL with t_REAL coeffs. Return T(n) [faster than poleval] */
1363 : static GEN
1364 364903 : rX_s_eval(GEN T, long n)
1365 : {
1366 364903 : long i = lg(T)-1;
1367 364903 : GEN c = gel(T,i);
1368 7536888 : for (i--; i>=2; i--) c = gadd(mulrs(c,n),gel(T,i));
1369 364903 : return c;
1370 : }
1371 :
1372 : /* C>0 t_REAL, eC = exp(C). Return eint1(n*C) for 1<=n<=N. Absolute accuracy */
1373 : GEN
1374 238 : mpveceint1(GEN C, GEN eC, long N)
1375 : {
1376 238 : const long prec = realprec(C);
1377 238 : long Nmin = 15; /* >= 1. E.g. between 10 and 30, but little effect */
1378 238 : GEN en, v, w = cgetg(N+1, t_VEC);
1379 : pari_sp av0;
1380 : double DL;
1381 : long n, j, jmax, jmin;
1382 238 : if (!N) return w;
1383 368641 : for (n = 1; n <= N; n++) gel(w,n) = cgetr(prec);
1384 238 : av0 = avma;
1385 238 : if (N < Nmin) Nmin = N;
1386 238 : if (!eC) eC = mpexp(C);
1387 238 : en = eC; affrr(eint1p(C, en), gel(w,1));
1388 3500 : for (n = 2; n <= Nmin; n++)
1389 : {
1390 : pari_sp av2;
1391 3262 : en = mulrr(en,eC); /* exp(n C) */
1392 3262 : av2 = avma;
1393 3262 : affrr(eint1p(mulru(C,n), en), gel(w,n));
1394 3262 : set_avma(av2);
1395 : }
1396 238 : if (Nmin == N) { set_avma(av0); return w; }
1397 :
1398 231 : DL = prec2nbits_mul(prec, M_LN2) + 5;
1399 231 : jmin = ceil(DL/log((double)N)) + 1;
1400 231 : jmax = ceil(DL/log((double)Nmin)) + 1;
1401 231 : v = sum_jall(C, jmax, prec);
1402 231 : en = powrs(eC, -N); /* exp(-N C) */
1403 231 : affrr(eint1p(mulru(C,N), invr(en)), gel(w,N));
1404 6041 : for (j = jmin, n = N-1; j <= jmax; j++)
1405 : {
1406 5810 : long limN = maxss((long)ceil(exp(DL/j)), Nmin);
1407 : GEN polsh;
1408 5810 : setlg(v, j+1);
1409 5810 : polsh = RgV_to_RgX_reverse(v, 0);
1410 370713 : for (; n >= limN; n--)
1411 : {
1412 364903 : pari_sp av2 = avma;
1413 364903 : GEN S = divri(mulrr(en, rX_s_eval(polsh, -n)), powuu(n,j));
1414 : /* w[n+1] - exp(-n C) * polsh(-n) / (-n)^j */
1415 364903 : GEN c = odd(j)? addrr(gel(w,n+1), S) : subrr(gel(w,n+1), S);
1416 364903 : affrr(c, gel(w,n)); set_avma(av2);
1417 364903 : en = mulrr(en,eC); /* exp(-n C) */
1418 : }
1419 : }
1420 231 : set_avma(av0); return w;
1421 : }
1422 :
1423 : /* erfc via numerical integration : assume real(x)>=1 */
1424 : static GEN
1425 14 : cxerfc_r1(GEN x, long prec)
1426 : {
1427 : GEN h, h2, eh2, denom, res, lambda;
1428 : long u, v;
1429 14 : const double D = prec2nbits_mul(prec, M_LN2);
1430 14 : const long npoints = (long)ceil(D/M_PI)+1;
1431 14 : pari_sp av = avma;
1432 : {
1433 14 : double t = exp(-2*M_PI*M_PI/D); /* ~exp(-2*h^2) */
1434 14 : v = 30; /* bits that fit in both long and double mantissa */
1435 14 : u = (long)floor(t*(1L<<v));
1436 : /* define exp(-2*h^2) to be u*2^(-v) */
1437 : }
1438 14 : incrprec(prec);
1439 14 : x = gtofp(x,prec);
1440 14 : eh2 = sqrtr_abs(rtor(shiftr(dbltor(u),-v),prec));
1441 14 : h2 = negr(logr_abs(eh2));
1442 14 : h = sqrtr_abs(h2);
1443 14 : lambda = gdiv(x,h);
1444 14 : denom = gsqr(lambda);
1445 : { /* res = h/x + 2*x*h*sum(k=1,npoints,exp(-(k*h)^2)/(lambda^2+k^2)); */
1446 : GEN Uk; /* = exp(-(kh)^2) */
1447 14 : GEN Vk = eh2;/* = exp(-(2k+1)h^2) */
1448 14 : pari_sp av2 = avma;
1449 : long k;
1450 : /* k = 0 moved out for efficiency */
1451 14 : denom = gaddsg(1,denom);
1452 14 : Uk = Vk;
1453 14 : Vk = mulur(u,Vk); shiftr_inplace(Vk, -v);
1454 14 : res = gdiv(Uk, denom);
1455 420 : for (k = 1; k < npoints; k++)
1456 : {
1457 406 : if ((k & 255) == 0) gerepileall(av2,4,&denom,&Uk,&Vk,&res);
1458 406 : denom = gaddsg(2*k+1,denom);
1459 406 : Uk = mpmul(Uk,Vk);
1460 406 : Vk = mulur(u,Vk); shiftr_inplace(Vk, -v);
1461 406 : res = gadd(res, gdiv(Uk, denom));
1462 : }
1463 : }
1464 14 : res = gmul(res, gshift(lambda,1));
1465 : /* 0 term : */
1466 14 : res = gadd(res, ginv(lambda));
1467 14 : res = gmul(res, gdiv(gexp(gneg(gsqr(x)), prec), mppi(prec)));
1468 14 : if (rtodbl(real_i(x)) < sqrt(D))
1469 : {
1470 14 : GEN t = gmul(divrr(Pi2n(1,prec),h), x);
1471 14 : res = gsub(res, gdivsg(2, cxexpm1(t, prec)));
1472 : }
1473 14 : return gerepileupto(av,res);
1474 : }
1475 :
1476 : static GEN
1477 7 : sererfc(GEN x, long prec)
1478 : {
1479 7 : GEN u, z = invr(sqrtr_abs(Pi2n(-2,prec)));
1480 7 : setsigne(z, -1); /* -2/sqrt(Pi) */
1481 7 : z = gmul(z, integser(gmul(derivser(x), gexp(gneg(gsqr(x)), prec))));
1482 7 : u = polcoef_i(x, 0, varn(x));
1483 7 : if (!gcmp0(u)) z = gadd(z, gerfc(u, prec));
1484 7 : return z;
1485 : }
1486 :
1487 : GEN
1488 70 : gerfc(GEN x, long prec)
1489 : {
1490 : GEN z, xr, xi, res;
1491 : long s;
1492 : pari_sp av;
1493 :
1494 70 : switch(typ(x))
1495 : {
1496 63 : case t_INT: case t_REAL: case t_FRAC: case t_COMPLEX:
1497 63 : break;
1498 7 : default:
1499 7 : av = avma;
1500 7 : if ((z = toser_i(x))) return gerepileupto(av, sererfc(z,prec));
1501 0 : return trans_eval("erfc",gerfc,x,prec);
1502 : }
1503 : /* x a complex scalar */
1504 63 : x = trans_fix_arg(&prec,&x,&xr,&xi, &av,&res);
1505 63 : s = signe(xr);
1506 63 : if (s > 0 || (s == 0 && signe(xi) >= 0)) {
1507 49 : if (cmprs(xr, 1) > 0) /* use numerical integration */
1508 14 : z = cxerfc_r1(x, prec);
1509 : else
1510 : { /* erfc(x) = incgam(1/2,x^2)/sqrt(Pi) */
1511 35 : GEN sqrtpi = sqrtr(mppi(prec));
1512 35 : z = incgam0(ghalf, gsqr(x), sqrtpi, prec);
1513 35 : z = gdiv(z, sqrtpi);
1514 : }
1515 : }
1516 : else
1517 : { /* erfc(-x)=2-erfc(x) */
1518 : /* FIXME could decrease prec
1519 : long size = nbits2extraprec((imag(x)^2-real(x)^2)/log(2));
1520 : prec = size > 0 ? prec : prec + size;
1521 : */
1522 : /* NOT gsubsg(2, ...) : would create a result of
1523 : * huge accuracy if re(x)>>1, rounded to 2 by subsequent affc_fixlg... */
1524 14 : z = gsub(real2n(1,prec+EXTRAPREC64), gerfc(gneg(x), prec));
1525 : }
1526 63 : set_avma(av); return affc_fixlg(z, res);
1527 : }
1528 :
1529 : /***********************************************************************/
1530 : /** **/
1531 : /** RIEMANN ZETA FUNCTION **/
1532 : /** **/
1533 : /***********************************************************************/
1534 : static const double log2PI = 1.83787706641;
1535 :
1536 : static double
1537 4585 : get_xinf(double beta)
1538 : {
1539 4585 : const double maxbeta = 0.06415003; /* 3^(-2.5) */
1540 : double x0, y0, x1;
1541 :
1542 4585 : if (beta < maxbeta) return beta + pow(3*beta, 1.0/3.0);
1543 4585 : x0 = beta + M_PI/2.0;
1544 : for(;;)
1545 : {
1546 7539 : y0 = x0*x0;
1547 7539 : x1 = (beta+atan(x0)) * (1+y0) / y0 - 1/x0;
1548 7539 : if (0.99*x0 < x1) return x1;
1549 2954 : x0 = x1;
1550 : }
1551 : }
1552 : /* optimize for zeta( s + it, prec ), assume |s-1| > 0.1
1553 : * (if gexpo(u = s-1) < -5, we use the functional equation s->1-s) */
1554 : static int
1555 13503 : optim_zeta(GEN S, long prec, long *pp, long *pn)
1556 : {
1557 : double s, t, alpha, beta, n, B;
1558 : long p;
1559 13503 : if (typ(S) == t_REAL) {
1560 5138 : t = 0.;
1561 5138 : s = rtodbl(S);
1562 : } else {
1563 8365 : t = fabs( rtodbl(gel(S,2)) );
1564 8365 : if (t > 2500) return 0; /* lfunlarge */
1565 8316 : s = rtodbl(gel(S,1));
1566 : }
1567 :
1568 13454 : B = prec2nbits_mul(prec, M_LN2);
1569 13454 : if (s > 0 && !t) /* positive real input */
1570 : {
1571 5089 : beta = B + 0.61 + s*(log2PI - log(s));
1572 5089 : if (beta > 0)
1573 : {
1574 2011 : p = (long)ceil(beta / 2.0);
1575 2011 : n = fabs(s + 2*p-1)/(2*M_PI);
1576 : }
1577 : else
1578 : {
1579 3078 : p = 0;
1580 3078 : n = exp((B - M_LN2) / s);
1581 : }
1582 : }
1583 8365 : else if (s <= 0 || t < 0.01) /* s < 0 may occur if s ~ 0 */
1584 3773 : { /* TODO: the crude bounds below are generally valid. Optimize ? */
1585 3773 : double l,l2, la = 1.; /* heuristic */
1586 3773 : double rlog, ilog; dcxlog(s-1,t, &rlog,&ilog);
1587 3773 : l2 = (s - 0.5)*rlog - t*ilog; /* = Re( (S - 1/2) log (S-1) ) */
1588 3773 : l = (B - l2 + s*log2PI) / (2. * (1.+ log((double)la)));
1589 3773 : l2 = dabs(s, t)/2;
1590 3773 : if (l < l2) l = l2;
1591 3773 : p = (long) ceil(l); if (p < 2) p = 2;
1592 3773 : n = 1 + dabs(p+s/2.-.25, t/2) * la / M_PI;
1593 : }
1594 : else
1595 : {
1596 4592 : double sn = dabs(s, t), L = log(sn/s);
1597 4592 : alpha = B - 0.39 + L + s*(log2PI - log(sn));
1598 4592 : beta = (alpha+s)/t - atan(s/t);
1599 4592 : p = 0;
1600 4592 : if (beta > 0)
1601 : {
1602 4585 : beta = 1.0 - s + t * get_xinf(beta);
1603 4585 : if (beta > 0) p = (long)ceil(beta / 2.0);
1604 : }
1605 : else
1606 7 : if (s < 1.0) p = 1;
1607 4592 : n = p? dabs(s + 2*p-1, t) / (2*M_PI) : exp((B-M_LN2+L) / s);
1608 : }
1609 13454 : *pp = p;
1610 13454 : *pn = (long)ceil(n);
1611 13454 : if (*pp < 0 || *pn < 0) pari_err_OVERFLOW("zeta");
1612 13454 : return 1;
1613 : }
1614 :
1615 : /* zeta(a*j+b), j=0..N-1, b>1, using sumalt. Johansonn's thesis, Algo 4.7.1 */
1616 : static GEN
1617 705 : veczetas(long a, long b, long N, long prec)
1618 : {
1619 705 : const long n = ceil(2 + prec2nbits_mul(prec, M_LN2/1.7627));
1620 705 : pari_sp av = avma;
1621 705 : GEN c, d, z = zerovec(N);
1622 : long j, k;
1623 705 : c = d = int2n(2*n-1);
1624 88465 : for (k = n; k > 1; k--)
1625 : {
1626 87760 : GEN u, t = divii(d, powuu(k,b));
1627 87750 : if (!odd(k)) t = negi(t);
1628 87792 : gel(z,1) = addii(gel(z,1), t);
1629 87823 : u = powuu(k,a);
1630 4113880 : for (j = 1; j < N; j++)
1631 : {
1632 4070121 : t = divii(t,u); if (!signe(t)) break;
1633 4022613 : gel(z,j+1) = addii(gel(z,j+1), t);
1634 : }
1635 89118 : c = muluui(k,2*k-1,c);
1636 87806 : c = diviuuexact(c, 2*(n-k+1),n+k-1);
1637 87747 : d = addii(d,c);
1638 87757 : if (gc_needed(av,3))
1639 : {
1640 7 : if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"zetaBorwein, k = %ld", k);
1641 7 : gerepileall(av, 3, &c,&d,&z);
1642 : }
1643 : }
1644 : /* k = 1 */
1645 53363 : for (j = 1; j <= N; j++) gel(z,j) = addii(gel(z,j), d);
1646 704 : d = addiu(d, 1);
1647 53408 : for (j = 0, k = b - 1; j < N; j++, k += a)
1648 52703 : gel(z,j+1) = rdivii(shifti(gel(z,j+1), k), subii(shifti(d,k), d), prec);
1649 705 : return z;
1650 : }
1651 : /* zeta(a*j+b), j=0..N-1, b > 1, a*(N-1) + b > 1, using sumalt.
1652 : * a <= 0 is allowed (including the silly a = 0) */
1653 : GEN
1654 224 : veczeta(GEN a, GEN b, long N, long prec)
1655 : {
1656 224 : pari_sp av = avma;
1657 : long n, j, k;
1658 : GEN L, c, d, z;
1659 224 : if (typ(a) == t_INT && typ(b) == t_INT)
1660 126 : return gc_GEN(av, veczetas(itos(a), itos(b), N, prec));
1661 98 : z = zerovec(N);
1662 98 : n = ceil(2 + prec2nbits_mul(prec, M_LN2/1.7627));
1663 98 : c = d = int2n(2*n-1);
1664 14197 : for (k = n; k; k--)
1665 : {
1666 : GEN u, t;
1667 14099 : L = logr_abs(utor(k, prec)); /* log(k) */
1668 14099 : t = gdiv(d, gexp(gmul(b, L), prec)); /* d / k^b */
1669 14099 : if (!odd(k)) t = gneg(t);
1670 14099 : gel(z,1) = gadd(gel(z,1), t);
1671 14099 : u = gexp(gmul(a, L), prec);
1672 898001 : for (j = 1; j < N; j++)
1673 : {
1674 890325 : t = gdiv(t,u); if (gexpo(t) < 0) break;
1675 883902 : gel(z,j+1) = gadd(gel(z,j+1), t);
1676 : }
1677 14099 : c = muluui(k,2*k-1,c);
1678 14099 : c = diviuuexact(c, 2*(n-k+1),n+k-1);
1679 14099 : d = addii(d,c);
1680 14099 : if (gc_needed(av,3))
1681 : {
1682 0 : if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"veczeta, k = %ld", k);
1683 0 : gerepileall(av, 3, &c,&d,&z);
1684 : }
1685 : }
1686 98 : L = mplog2(prec);
1687 5824 : for (j = 0; j < N; j++)
1688 : {
1689 5726 : GEN u = gsubgs(gadd(b, gmulgu(a,j)), 1);
1690 5726 : GEN w = gexp(gmul(u, L), prec); /* 2^u */
1691 5726 : gel(z,j+1) = gdiv(gmul(gel(z,j+1), w), gmul(d,gsubgs(w,1)));
1692 : }
1693 98 : return gc_GEN(av, z);
1694 : }
1695 :
1696 : GEN
1697 27444 : constzeta(long n, long prec)
1698 : {
1699 27444 : GEN o = zetazone, z;
1700 27444 : long l = o? lg(o): 0;
1701 : pari_sp av;
1702 27444 : if (l > n)
1703 : {
1704 27036 : long p = realprec(gel(o,1));
1705 27036 : if (p >= prec) return o;
1706 : }
1707 579 : n = maxss(n, l + 15);
1708 579 : av = avma; z = veczetas(1, 2, n-1, prec);
1709 579 : zetazone = gclone(vec_prepend(z, mpeuler(prec)));
1710 579 : set_avma(av); guncloneNULL(o); return zetazone;
1711 : }
1712 :
1713 : /* zeta(s) using sumalt, case h=0,N=1. Assume s > 1 */
1714 : static GEN
1715 598 : zetaBorwein(long s, long prec)
1716 : {
1717 598 : pari_sp av = avma;
1718 598 : const long n = ceil(2 + prec2nbits_mul(prec, M_LN2/1.7627));
1719 : long k;
1720 598 : GEN c, d, z = gen_0;
1721 598 : c = d = int2n(2*n-1);
1722 135672 : for (k = n; k; k--)
1723 : {
1724 135074 : GEN t = divii(d, powuu(k,s));
1725 135074 : z = odd(k)? addii(z,t): subii(z,t);
1726 135074 : c = muluui(k,2*k-1,c);
1727 135074 : c = diviuuexact(c, 2*(n-k+1),n+k-1);
1728 135074 : d = addii(d,c);
1729 135074 : if (gc_needed(av,3))
1730 : {
1731 0 : if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"zetaBorwein, k = %ld", k);
1732 0 : gerepileall(av, 3, &c,&d,&z);
1733 : }
1734 : }
1735 598 : return rdivii(shifti(z, s-1), subii(shifti(d,s-1), d), prec);
1736 : }
1737 :
1738 : /* assume k != 1 */
1739 : GEN
1740 5012 : szeta(long k, long prec)
1741 : {
1742 5012 : pari_sp av = avma;
1743 : GEN z;
1744 :
1745 5012 : if (!k) { z = real2n(-1, prec); setsigne(z,-1); return z; }
1746 5005 : if (k < 0)
1747 : {
1748 252 : if (!odd(k)) return gen_0;
1749 : /* the one value such that k < 0 and 1 - k < 0, due to overflow */
1750 252 : if ((ulong)k == (HIGHBIT | 1))
1751 0 : pari_err_OVERFLOW("zeta [large negative argument]");
1752 252 : k = 1-k;
1753 252 : z = bernreal(k, prec); togglesign(z);
1754 252 : return gerepileuptoleaf(av, divru(z, k));
1755 : }
1756 : /* k > 1 */
1757 4753 : if (k > prec2nbits(prec)+1) return real_1(prec);
1758 4746 : if (zetazone && realprec(gel(zetazone,1)) >= prec && lg(zetazone) > k)
1759 140 : return rtor(gel(zetazone, k), prec);
1760 4606 : if (!odd(k))
1761 : {
1762 : GEN B;
1763 2835 : if (!bernzone) constbern(0);
1764 2835 : if (k < lg(bernzone))
1765 2380 : B = gel(bernzone, k>>1);
1766 : else
1767 : {
1768 455 : if (bernbitprec(k) > prec2nbits(prec))
1769 0 : return gerepileupto(av, invr(inv_szeta_euler(k, prec)));
1770 455 : B = bernfrac(k);
1771 : }
1772 : /* B = B_k */
1773 2835 : z = gmul(powru(Pi2n(1, prec + EXTRAPREC64), k), B);
1774 2835 : z = k < 410? rtor(divri(z, mpfact(k)), prec)
1775 2835 : : divrr(z, mpfactr(k,prec));
1776 2835 : setsigne(z, 1); shiftr_inplace(z, -1);
1777 : }
1778 : else
1779 : {
1780 1771 : double p = prec2nbits_mul(prec,0.393); /* bit / log_2(3+sqrt(8)) */
1781 1771 : p = log2(p * log(p));
1782 3542 : z = (p * k > prec2nbits(prec))? invr(inv_szeta_euler(k, prec))
1783 1771 : : zetaBorwein(k, prec);
1784 : }
1785 4606 : return gerepileuptoleaf(av, z);
1786 : }
1787 :
1788 : /* Ensure |1-s| >= 1/32 and (|s| <= 1/32 or real(s) >= 1/2) */
1789 : static int
1790 13517 : zeta_funeq(GEN *ps)
1791 : {
1792 13517 : GEN s = *ps, u;
1793 13517 : if (typ(s) == t_REAL)
1794 : {
1795 5145 : u = subsr(1, s);
1796 5145 : if (expo(u) >= -5
1797 5117 : && ((signe(s) > 0 && expo(s) >= -1) || expo(s) <= -5)) return 0;
1798 : }
1799 : else
1800 : {
1801 8372 : GEN sig = gel(s,1);
1802 8372 : if (fabs(rtodbl(gel(s,2))) > 2500) return 0; /* lfunlarge */
1803 8323 : u = gsubsg(1, s);
1804 8323 : if (gexpo(u) >= -5
1805 8316 : && ((signe(sig) > 0 && expo(sig) >= -1) || gexpo(s) <= -5)) return 0;
1806 : }
1807 1526 : *ps = u; return 1;
1808 : }
1809 : /* s0 a t_INT, t_REAL or t_COMPLEX.
1810 : * If a t_INT, assume it's not a trivial case (i.e we have s0 > 1, odd) */
1811 : static GEN
1812 13524 : czeta(GEN s0, long prec)
1813 : {
1814 13524 : GEN ms, s, u, y, res, tes, sig, tau, invn2, ns, Ns, funeq_factor = NULL;
1815 : long i, nn, lim, lim2;
1816 13524 : pari_sp av0 = avma, av, av2;
1817 : pari_timer T;
1818 :
1819 13524 : if (DEBUGLEVEL>2) timer_start(&T);
1820 13524 : s = trans_fix_arg(&prec,&s0,&sig,&tau,&av,&res);
1821 13524 : if (typ(s0) == t_INT) return gerepileupto(av0, gzeta(s0, prec));
1822 13517 : if (zeta_funeq(&s)) /* s -> 1-s */
1823 : { /* Gamma(s) (2Pi)^-s 2 cos(Pi s/2) [new s] */
1824 1526 : GEN t = gmul(ggamma(s,prec), pow2Pis(gsubgs(s0,1), prec));
1825 1526 : sig = real_i(s);
1826 1526 : funeq_factor = gmul2n(gmul(t, gsin(gmul(Pi2n(-1,prec),s0), prec)), 1);
1827 : }
1828 13517 : if (gcmpgs(sig, prec2nbits(prec) + 1) > 0) { /* zeta(s) = 1 */
1829 14 : if (!funeq_factor) { set_avma(av0); return real_1(prec); }
1830 7 : return gerepileupto(av0, funeq_factor);
1831 : }
1832 13503 : if (!optim_zeta(s, prec, &lim, &nn))
1833 : {
1834 49 : long bit = prec2nbits(prec);
1835 49 : y = lfun(lfuninit(gen_1, cgetg(1,t_VEC), 0, bit), s, bit);
1836 49 : if (funeq_factor) y = gmul(y, funeq_factor);
1837 49 : set_avma(av); return affc_fixlg(y,res);
1838 : }
1839 13454 : if (DEBUGLEVEL>2) err_printf("lim, nn: [%ld, %ld]\n", lim, nn);
1840 13454 : ms = gneg(s);
1841 13454 : if (umuluu_le(nn, prec, 10000000))
1842 : {
1843 13454 : incrprec(prec); /* one extra word of precision */
1844 13454 : Ns = vecpowug(nn, ms, prec);
1845 13454 : ns = gel(Ns,nn); setlg(Ns, nn);
1846 13454 : y = gadd(gmul2n(ns, -1), RgV_sum(Ns));
1847 : }
1848 : else
1849 : {
1850 0 : Ns = dirpowerssum(nn, ms, 0, prec);
1851 0 : incrprec(prec); /* one extra word of precision */
1852 0 : ns = gpow(utor(nn, prec), ms, prec);
1853 0 : y = gsub(Ns, gmul2n(ns, -1));
1854 : }
1855 13454 : if (DEBUGLEVEL>2) timer_printf(&T,"sum from 1 to N");
1856 13454 : constbern(lim);
1857 13454 : if (DEBUGLEVEL>2) timer_start(&T);
1858 13454 : invn2 = divri(real_1(prec), sqru(nn)); lim2 = lim<<1;
1859 13454 : tes = bernfrac(lim2);
1860 : {
1861 : GEN s1, s2, s3, s4, s5;
1862 13454 : s2 = gmul(s, gsubgs(s,1));
1863 13454 : s3 = gmul2n(invn2,3);
1864 13454 : av2 = avma;
1865 13454 : s1 = gsubgs(gmul2n(s,1), 1);
1866 13454 : s4 = gmul(invn2, gmul2n(gaddsg(4*lim-2,s1),1));
1867 13454 : s5 = gmul(invn2, gadd(s2, gmulsg(lim2, gaddgs(s1, lim2))));
1868 1032106 : for (i = lim2-2; i>=2; i -= 2)
1869 : {
1870 1018652 : s5 = gsub(s5, s4);
1871 1018652 : s4 = gsub(s4, s3);
1872 1018652 : tes = gadd(bernfrac(i), gdivgunextu(gmul(s5,tes), i+1));
1873 1018652 : if (gc_needed(av2,3))
1874 : {
1875 0 : if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"czeta i = %ld", i);
1876 0 : gerepileall(av2,3, &tes,&s5,&s4);
1877 : }
1878 : }
1879 13454 : u = gmul(gmul(tes,invn2), gmul2n(s2, -1));
1880 13454 : tes = gmulsg(nn, gaddsg(1, u));
1881 : }
1882 13454 : if (DEBUGLEVEL>2) timer_printf(&T,"Bernoulli sum");
1883 : /* y += tes n^(-s) / (s-1) */
1884 13454 : y = gadd(y, gmul(tes, gdiv(ns, gsubgs(s,1))));
1885 13454 : if (funeq_factor) y = gmul(y, funeq_factor);
1886 13454 : set_avma(av); return affc_fixlg(y,res);
1887 : }
1888 : /* v a t_VEC/t_COL; is v[i] = a + b (i-1) for some a,b ? */
1889 : int
1890 42 : RgV_is_arithprog(GEN v, GEN *a, GEN *b)
1891 : {
1892 42 : pari_sp av = avma, av2;
1893 42 : long i, n = lg(v)-1;
1894 42 : if (n == 0) { *a = *b = gen_0; return 1; }
1895 42 : *a = gel(v,1);
1896 42 : if (n == 1) { * b = gen_0; return 1; }
1897 42 : *b = gsub(gel(v,2), *a); av2 = avma;
1898 77 : for (i = 2; i < n; i++)
1899 35 : if (!gequal(*b, gsub(gel(v,i+1), gel(v,i)))) return gc_int(av,0);
1900 42 : return gc_int(av2,1);
1901 : }
1902 :
1903 : GEN
1904 18592 : gzeta(GEN x, long prec)
1905 : {
1906 18592 : pari_sp av = avma;
1907 : GEN y;
1908 18592 : if (gequal1(x)) pari_err_DOMAIN("zeta", "argument", "=", gen_1, x);
1909 18557 : switch(typ(x))
1910 : {
1911 4774 : case t_INT:
1912 4774 : if (is_bigint(x))
1913 : {
1914 21 : if (signe(x) > 0) return real_1(prec);
1915 14 : if (mod2(x) == 0) return real_0(prec);
1916 7 : pari_err_OVERFLOW("zeta [large negative argument]");
1917 : }
1918 4753 : return szeta(itos(x),prec);
1919 13524 : case t_REAL: case t_COMPLEX: return czeta(x,prec);
1920 14 : case t_PADIC: return Qp_zeta(x);
1921 49 : case t_VEC: case t_COL:
1922 : {
1923 : GEN a, b;
1924 49 : long n = lg(x) - 1;
1925 49 : if (n > 1 && RgV_is_arithprog(x, &b, &a))
1926 : {
1927 42 : if (!is_real_t(typ(a)) || !is_real_t(typ(b))
1928 35 : || gcmpgs(gel(x,1), 1) <= 0
1929 42 : || gcmpgs(gel(x,n), 1) <= 0) { set_avma(av); break; }
1930 21 : a = veczeta(a, b, n, prec);
1931 21 : settyp(a, typ(x)); return a;
1932 : }
1933 : }
1934 : default:
1935 203 : if (!(y = toser_i(x))) break;
1936 35 : if (gequal1(y))
1937 7 : pari_err_DOMAIN("zeta", "argument", "=", gen_1, y);
1938 28 : return gerepileupto(av, lfun(gen_1,y,prec2nbits(prec)));
1939 : }
1940 189 : return trans_eval("zeta",gzeta,x,prec);
1941 : }
1942 :
1943 : /***********************************************************************/
1944 : /** **/
1945 : /** FONCTIONS POLYLOGARITHME **/
1946 : /** **/
1947 : /***********************************************************************/
1948 :
1949 : /* smallish k such that bernbitprec(K) > bit + Kdz, K = 2k+4 */
1950 : static long
1951 21 : get_k(double dz, long bit)
1952 : {
1953 : long a, b;
1954 21 : for (b = 128;; b <<= 1)
1955 21 : if (bernbitprec(b) > bit + b*dz) break;
1956 21 : if (b == 128) return 128;
1957 0 : a = b >> 1;
1958 0 : while (b - a > 64)
1959 : {
1960 0 : long c = (a+b) >> 1;
1961 0 : if (bernbitprec(c) > bit + c*dz) b = c; else a = c;
1962 : }
1963 0 : return b >> 1;
1964 : }
1965 :
1966 : /* m >= 2. Validity domain |log x| < 2*Pi, contains log |x| < 5.44,
1967 : * Li_m(x = e^z) = sum_{n >= 0} zeta(m-n) z^n / n!
1968 : * with zeta(1) := H_{m-1} - log(-z) */
1969 : static GEN
1970 21 : cxpolylog(long m, GEN x, long prec)
1971 : {
1972 : long li, n, k, ksmall, real;
1973 : GEN vz, z, Z, h, q, s, S;
1974 : pari_sp av;
1975 : double dz;
1976 : pari_timer T;
1977 :
1978 21 : if (gequal1(x)) return szeta(m,prec);
1979 : /* x real <= 1 ==> Li_m(x) real */
1980 21 : real = (typ(x) == t_REAL && (expo(x) < 0 || signe(x) <= 0));
1981 :
1982 21 : vz = constzeta(m, prec);
1983 21 : z = glog(x,prec);
1984 : /* n = 0 */
1985 21 : q = gen_1; s = gel(vz, m);
1986 28 : for (n=1; n < m-1; n++)
1987 : {
1988 7 : q = gdivgu(gmul(q,z),n);
1989 7 : s = gadd(s, gmul(gel(vz,m-n), real? real_i(q): q));
1990 : }
1991 : /* n = m-1 */
1992 21 : q = gdivgu(gmul(q,z),n); /* multiply by "zeta(1)" */
1993 21 : h = gmul(q, gsub(harmonic(m-1), glog(gneg_i(z),prec)));
1994 21 : s = gadd(s, real? real_i(h): h);
1995 : /* n = m */
1996 21 : q = gdivgu(gmul(q,z),m);
1997 21 : s = gadd(s, gdivgs(real? real_i(q): q, -2)); /* zeta(0) = -1/2 */
1998 : /* n = m+1 */
1999 21 : q = gdivgu(gmul(q,z),m+1); /* = z^(m+1) / (m+1)! */
2000 21 : s = gadd(s, gdivgs(real? real_i(q): q, -12)); /* zeta(-1) = -1/12 */
2001 :
2002 21 : li = -(prec2nbits(prec)+1);
2003 21 : if (DEBUGLEVEL) timer_start(&T);
2004 21 : dz = dbllog2(z) - log2PI; /* ~ log2(|z|/2Pi) */
2005 : /* sum_{k >= 1} zeta(-1-2k) * z^(2k+m+1) / (2k+m+1)!
2006 : * = 2 z^(m-1) sum_{k >= 1} zeta(2k+2) * Z^(k+1) / (2k+2)..(2k+1+m)), where
2007 : * Z = -(z/2Pi)^2. Stop at 2k = (li - (m-1)*Lz - m) / dz, Lz = log2 |z| */
2008 : /* We cut the sum in two: small values of k first */
2009 21 : Z = gsqr(z); av = avma;
2010 21 : ksmall = get_k(dz, prec2nbits(prec));
2011 21 : constbern(ksmall);
2012 469 : for(k = 1; k < ksmall; k++)
2013 : {
2014 469 : GEN t = q = gdivgunextu(gmul(q,Z), 2*k+m); /* z^(2k+m+1)/(2k+m+1)! */
2015 469 : if (real) t = real_i(t);
2016 469 : t = gmul(t, gdivgu(bernfrac(2*k+2), 2*k+2)); /* - t * zeta(1-(2k+2)) */
2017 469 : s = gsub(s, t);
2018 469 : if (gexpo(t) < li) return s;
2019 : /* large values ? */
2020 448 : if ((k & 0x1ff) == 0) gerepileall(av, 2, &s, &q);
2021 : }
2022 0 : if (DEBUGLEVEL>2) timer_printf(&T, "polylog: small k <= %ld", k);
2023 0 : Z = gneg(gsqr(gdiv(z, Pi2n(1,prec))));
2024 0 : q = gmul(gpowgs(z, m-1), gpowgs(Z, k+1)); /* Z^(k+1) * z^(m-1) */
2025 0 : S = gen_0; av = avma;
2026 0 : for(;; k++)
2027 0 : {
2028 0 : GEN t = q;
2029 : long b;
2030 0 : if (real) t = real_i(t);
2031 0 : b = prec + gexpo(t) / BITS_IN_LONG; /* decrease accuracy */
2032 0 : if (b == 2) break;
2033 : /* t * zeta(2k+2) / (2k+2)..(2k+1+m) */
2034 0 : t = gdiv(t, mulri(inv_szeta_euler(2*k+2, b),
2035 0 : mulu_interval(2*k+2, 2*k+1+m)));
2036 0 : S = gadd(S, t); if (gexpo(t) < li) break;
2037 0 : q = gmul(q, Z);
2038 0 : if ((k & 0x1ff) == 0) gerepileall(av, 2, &S, &q);
2039 : }
2040 0 : if (DEBUGLEVEL>2) timer_printf(&T, "polylog: large k <= %ld", k);
2041 0 : return gadd(s, gmul2n(S,1));
2042 : }
2043 :
2044 : static GEN
2045 42 : Li1(GEN x, long prec) { return gneg(glog(gsubsg(1, x), prec)); }
2046 :
2047 : static GEN
2048 203 : polylog(long m, GEN x, long prec)
2049 : {
2050 : long l, e, i, G, sx;
2051 : pari_sp av, av1;
2052 : GEN X, Xn, z, p1, p2, y, res;
2053 :
2054 203 : if (m < 0) pari_err_DOMAIN("polylog", "index", "<", gen_0, stoi(m));
2055 203 : if (!m) return mkfrac(gen_m1,gen_2);
2056 203 : if (gequal0(x)) return gcopy(x);
2057 203 : if (m==1) { av = avma; return gerepileupto(av, Li1(x, prec)); }
2058 :
2059 168 : l = precision(x);
2060 168 : if (!l) l = prec; else prec = l;
2061 168 : res = cgetc(l); av = avma;
2062 168 : x = gtofp(x, l+EXTRAPREC64);
2063 168 : e = gexpo(gnorm(x));
2064 168 : if (!e || e == -1) {
2065 21 : y = cxpolylog(m,x,prec);
2066 21 : set_avma(av); return affc_fixlg(y, res);
2067 : }
2068 147 : X = (e > 0)? ginv(x): x;
2069 147 : G = -prec2nbits(l);
2070 147 : av1 = avma;
2071 147 : y = Xn = X;
2072 68159 : for (i=2; ; i++)
2073 : {
2074 68159 : Xn = gmul(X,Xn); p2 = gdiv(Xn,powuu(i,m));
2075 68159 : y = gadd(y,p2);
2076 68159 : if (gexpo(p2) <= G) break;
2077 :
2078 68012 : if (gc_needed(av1,1))
2079 : {
2080 0 : if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"polylog");
2081 0 : gerepileall(av1,2, &y, &Xn);
2082 : }
2083 : }
2084 147 : if (e < 0) { set_avma(av); return affc_fixlg(y, res); }
2085 :
2086 28 : sx = gsigne(imag_i(x));
2087 28 : if (!sx)
2088 : {
2089 28 : if (m&1) sx = gsigne(gsub(gen_1, real_i(x)));
2090 21 : else sx = - gsigne(real_i(x));
2091 : }
2092 28 : z = divri(mppi(l), mpfact(m-1)); setsigne(z, sx);
2093 28 : z = mkcomplex(gen_0, z);
2094 :
2095 28 : if (m == 2)
2096 : { /* same formula as below, written more efficiently */
2097 21 : y = gneg_i(y);
2098 21 : if (typ(x) == t_REAL && signe(x) < 0)
2099 7 : p1 = logr_abs(x);
2100 : else
2101 14 : p1 = gsub(glog(x,l), z);
2102 21 : p1 = gmul2n(gsqr(p1), -1); /* = (log(-x))^2 / 2 */
2103 :
2104 21 : p1 = gadd(p1, divru(sqrr(mppi(l)), 6));
2105 21 : p1 = gneg_i(p1);
2106 : }
2107 : else
2108 : {
2109 7 : GEN logx = glog(x,l), logx2 = gsqr(logx), vz = constzeta(m, l);
2110 7 : p1 = mkfrac(gen_m1,gen_2);
2111 14 : for (i = m-2; i >= 0; i -= 2)
2112 7 : p1 = gadd(gel(vz, m-i), gmul(p1, gdivgunextu(logx2, i+1)));
2113 7 : if (m&1) p1 = gmul(logx,p1); else y = gneg_i(y);
2114 7 : p1 = gadd(gmul2n(p1,1), gmul(z,gpowgs(logx,m-1)));
2115 7 : if (typ(x) == t_REAL && signe(x) < 0) p1 = real_i(p1);
2116 : }
2117 28 : y = gadd(y,p1);
2118 28 : set_avma(av); return affc_fixlg(y, res);
2119 : }
2120 : static GEN
2121 119 : RIpolylog(long m, GEN x, long real, long prec)
2122 : {
2123 119 : GEN y = polylog(m, x, prec);
2124 119 : return real? real_i(y): imag_i(y);
2125 : }
2126 : GEN
2127 21 : dilog(GEN x, long prec) { return gpolylog(2, x, prec); }
2128 :
2129 : /* x a floating point number, t_REAL or t_COMPLEX of t_REAL */
2130 : static GEN
2131 42 : logabs(GEN x)
2132 : {
2133 : GEN y;
2134 42 : if (typ(x) == t_COMPLEX)
2135 : {
2136 7 : y = logr_abs( cxnorm(x) );
2137 7 : shiftr_inplace(y, -1);
2138 : } else
2139 35 : y = logr_abs(x);
2140 42 : return y;
2141 : }
2142 :
2143 : static GEN
2144 21 : polylogD(long m, GEN x, long flag, long prec)
2145 : {
2146 21 : long fl = 0, k, l, m2;
2147 : pari_sp av;
2148 : GEN p1, p2, y;
2149 :
2150 21 : if (gequal0(x)) return gcopy(x);
2151 21 : m2 = m&1;
2152 21 : if (gequal1(x) && m>=2) return m2? szeta(m,prec): gen_0;
2153 21 : av = avma; l = precision(x);
2154 21 : if (!l) { l = prec; x = gtofp(x,l); }
2155 21 : p1 = logabs(x);
2156 21 : if (signe(p1) > 0) { x = ginv(x); fl = !m2; } else setabssign(p1);
2157 : /* |x| <= 1, p1 = - log|x| >= 0 */
2158 21 : p2 = gen_1;
2159 21 : y = RIpolylog(m, x, m2, l);
2160 84 : for (k = 1; k < m; k++)
2161 : {
2162 63 : GEN t = RIpolylog(m-k, x, m2, l);
2163 63 : p2 = gdivgu(gmul(p2,p1), k); /* (-log|x|)^k / k! */
2164 63 : y = gadd(y, gmul(p2, t));
2165 : }
2166 21 : if (m2)
2167 : {
2168 14 : p1 = flag? gdivgs(p1, -2*m): gdivgs(logabs(gsubsg(1,x)), m);
2169 14 : y = gadd(y, gmul(p2, p1));
2170 : }
2171 21 : if (fl) y = gneg(y);
2172 21 : return gerepileupto(av, y);
2173 : }
2174 :
2175 : static GEN
2176 14 : polylogP(long m, GEN x, long prec)
2177 : {
2178 14 : long fl = 0, k, l, m2;
2179 : pari_sp av;
2180 : GEN p1,y;
2181 :
2182 14 : if (gequal0(x)) return gcopy(x);
2183 14 : m2 = m&1;
2184 14 : if (gequal1(x) && m>=2) return m2? szeta(m,prec): gen_0;
2185 14 : av = avma; l = precision(x);
2186 14 : if (!l) { l = prec; x = gtofp(x,l); }
2187 14 : p1 = logabs(x);
2188 14 : if (signe(p1) > 0) { x = ginv(x); fl = !m2; setsigne(p1, -1); }
2189 : /* |x| <= 1 */
2190 14 : y = RIpolylog(m, x, m2, l);
2191 14 : if (m==1)
2192 : {
2193 7 : shiftr_inplace(p1, -1); /* log |x| / 2 */
2194 7 : y = gadd(y, p1);
2195 : }
2196 : else
2197 : { /* m >= 2, \sum_{0 <= k <= m} 2^k B_k/k! (log |x|)^k Li_{m-k}(x),
2198 : with Li_0(x) := -1/2 */
2199 7 : GEN u, t = RIpolylog(m-1, x, m2, l);
2200 7 : u = gneg_i(p1); /* u = 2 B1 log |x| */
2201 7 : y = gadd(y, gmul(u, t));
2202 7 : if (m > 2)
2203 : {
2204 : GEN p2;
2205 7 : shiftr_inplace(p1, 1); /* 2log|x| <= 0 */
2206 7 : constbern(m>>1);
2207 7 : p1 = sqrr(p1);
2208 7 : p2 = shiftr(p1,-1);
2209 21 : for (k = 2; k < m; k += 2)
2210 : {
2211 14 : if (k > 2) p2 = gdivgunextu(gmul(p2,p1),k-1); /* 2^k/k! log^k |x|*/
2212 14 : t = RIpolylog(m-k, x, m2, l);
2213 14 : u = gmul(p2, bernfrac(k));
2214 14 : y = gadd(y, gmul(u, t));
2215 : }
2216 : }
2217 : }
2218 14 : if (fl) y = gneg(y);
2219 14 : return gerepileupto(av, y);
2220 : }
2221 :
2222 : static GEN
2223 175 : gpolylog_i(void *E, GEN x, long prec)
2224 : {
2225 175 : pari_sp av = avma;
2226 175 : long i, n, v, m = (long)E;
2227 : GEN a, y;
2228 :
2229 175 : if (m <= 0)
2230 : {
2231 28 : a = gmul(x, poleval(eulerianpol(-m, 0), x));
2232 28 : return gerepileupto(av, gdiv(a, gpowgs(gsubsg(1, x), 1-m)));
2233 : }
2234 147 : switch(typ(x))
2235 : {
2236 84 : case t_REAL: case t_COMPLEX: return polylog(m,x,prec);
2237 7 : case t_INTMOD: case t_PADIC: pari_err_IMPL( "padic polylogarithm");
2238 56 : default:
2239 56 : av = avma; if (!(y = toser_i(x))) break;
2240 21 : if (!m) { set_avma(av); return mkfrac(gen_m1,gen_2); }
2241 21 : if (m==1) return gerepileupto(av, Li1(y, prec));
2242 21 : if (gequal0(y)) return gc_GEN(av, y);
2243 21 : v = valser(y);
2244 21 : if (v < 0) pari_err_DOMAIN("polylog","valuation", "<", gen_0, x);
2245 14 : if (v > 0) {
2246 7 : n = (lg(y)-3 + v) / v;
2247 7 : a = zeroser(varn(y), lg(y)-2);
2248 35 : for (i=n; i>=1; i--)
2249 28 : a = gmul(y, gadd(a, powis(utoipos(i),-m)));
2250 : } else { /* v == 0 */
2251 7 : long vy = varn(y);
2252 7 : GEN a0 = polcoef_i(y, 0, -1), t = gdiv(derivser(y), y);
2253 7 : a = Li1(y, prec);
2254 14 : for (i=2; i<=m; i++)
2255 7 : a = gadd(gpolylog(i, a0, prec), integ(gmul(t, a), vy));
2256 : }
2257 14 : return gerepileupto(av, a);
2258 : }
2259 35 : return trans_evalgen("polylog", E, gpolylog_i, x, prec);
2260 : }
2261 : GEN
2262 133 : gpolylog(long m, GEN x, long prec) { return gpolylog_i((void*)m, x, prec); }
2263 :
2264 : GEN
2265 147 : polylog0(long m, GEN x, long flag, long prec)
2266 : {
2267 147 : switch(flag)
2268 : {
2269 105 : case 0: return gpolylog(m,x,prec);
2270 14 : case 1: return polylogD(m,x,0,prec);
2271 7 : case 2: return polylogD(m,x,1,prec);
2272 14 : case 3: return polylogP(m,x,prec);
2273 7 : default: pari_err_FLAG("polylog");
2274 : }
2275 : return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
2276 : }
|
