Line data Source code
1 : /* Copyright (C) 2000 The PARI group.
2 :
3 : This file is part of the PARI/GP package.
4 :
5 : PARI/GP is free software; you can redistribute it and/or modify it under the
6 : terms of the GNU General Public License as published by the Free Software
7 : Foundation. It is distributed in the hope that it will be useful, but WITHOUT
8 : ANY WARRANTY WHATSOEVER.
9 :
10 : Check the License for details. You should have received a copy of it, along
11 : with the package; see the file 'COPYING'. If not, write to the Free Software
12 : Foundation, Inc., 51 Franklin Street, Fifth Floor, Boston, MA 02110-1301 USA. */
13 :
14 : /*******************************************************************/
15 : /* */
16 : /* ROOTS OF COMPLEX POLYNOMIALS */
17 : /* (original code contributed by Xavier Gourdon, INRIA RR 1852) */
18 : /* */
19 : /*******************************************************************/
20 : #include "pari.h"
21 : #include "paripriv.h"
22 :
23 : static const double pariINFINITY = 1./0.;
24 :
25 : static long
26 69492 : isvalidcoeff(GEN x)
27 : {
28 69492 : switch (typ(x))
29 : {
30 60266 : case t_INT: case t_REAL: case t_FRAC: return 1;
31 9212 : case t_COMPLEX: return isvalidcoeff(gel(x,1)) && isvalidcoeff(gel(x,2));
32 : }
33 14 : return 0;
34 : }
35 :
36 : static void
37 9557 : checkvalidpol(GEN p, const char *f)
38 : {
39 9557 : long i,n = lg(p);
40 60604 : for (i=2; i<n; i++)
41 51054 : if (!isvalidcoeff(gel(p,i))) pari_err_TYPE(f, gel(p,i));
42 9550 : }
43 :
44 : /********************************************************************/
45 : /** **/
46 : /** FAST ARITHMETIC over Z[i] **/
47 : /** **/
48 : /********************************************************************/
49 : static THREAD long KARASQUARE_LIMIT, COOKSQUARE_LIMIT;
50 :
51 : /* fast sum of x,y: t_INT or t_COMPLEX(t_INT) */
52 : static GEN
53 13107726 : addCC(GEN x, GEN y)
54 : {
55 : GEN z;
56 :
57 13107726 : if (typ(x) == t_INT)
58 : {
59 11227614 : if (typ(y) == t_INT) return addii(x,y);
60 : /* ty == t_COMPLEX */
61 2044 : z = cgetg(3,t_COMPLEX);
62 2044 : gel(z,1) = addii(x, gel(y,1));
63 2044 : gel(z,2) = icopy(gel(y,2)); return z;
64 : }
65 : /* tx == t_COMPLEX */
66 1880112 : z = cgetg(3,t_COMPLEX);
67 1880112 : if (typ(y) == t_INT)
68 : {
69 22574 : gel(z,1) = addii(gel(x,1),y);
70 22574 : gel(z,2) = icopy(gel(x,2)); return z;
71 : }
72 : /* ty == t_COMPLEX */
73 1857538 : gel(z,1) = addii(gel(x,1),gel(y,1));
74 1857538 : gel(z,2) = addii(gel(x,2),gel(y,2)); return z;
75 : }
76 : /* fast product of x,y: t_INT or t_COMPLEX(t_INT) */
77 : static GEN
78 25142551 : mulCC(GEN x, GEN y)
79 : {
80 : GEN z;
81 :
82 25142551 : if (typ(x) == t_INT)
83 : {
84 20684058 : if (typ(y) == t_INT) return mulii(x,y);
85 : /* ty == t_COMPLEX */
86 13007 : z = cgetg(3,t_COMPLEX);
87 13007 : gel(z,1) = mulii(x, gel(y,1));
88 13007 : gel(z,2) = mulii(x, gel(y,2)); return z;
89 : }
90 : /* tx == t_COMPLEX */
91 4458493 : z = cgetg(3,t_COMPLEX);
92 4458493 : if (typ(y) == t_INT)
93 : {
94 1259518 : gel(z,1) = mulii(gel(x,1),y);
95 1259518 : gel(z,2) = mulii(gel(x,2),y); return z;
96 : }
97 : /* ty == t_COMPLEX */
98 : {
99 3198975 : pari_sp av = avma, tetpil;
100 : GEN p1, p2;
101 :
102 3198975 : p1 = mulii(gel(x,1),gel(y,1));
103 3198975 : p2 = mulii(gel(x,2),gel(y,2));
104 6397950 : y = mulii(addii(gel(x,1),gel(x,2)),
105 6397950 : addii(gel(y,1),gel(y,2)));
106 3198975 : x = addii(p1,p2); tetpil = avma;
107 3198975 : gel(z,1) = subii(p1,p2);
108 3198975 : gel(z,2) = subii(y,x); gerepilecoeffssp(av,tetpil,z+1,2);
109 3198975 : return z;
110 : }
111 : }
112 : /* fast squaring x: t_INT or t_COMPLEX(t_INT) */
113 : static GEN
114 21592722 : sqrCC(GEN x)
115 : {
116 : GEN z;
117 :
118 21592722 : if (typ(x) == t_INT) return sqri(x);
119 : /* tx == t_COMPLEX */
120 4334561 : z = cgetg(3,t_COMPLEX);
121 : {
122 4334561 : pari_sp av = avma, tetpil;
123 : GEN y, p1, p2;
124 :
125 4334561 : p1 = sqri(gel(x,1));
126 4334561 : p2 = sqri(gel(x,2));
127 4334561 : y = sqri(addii(gel(x,1),gel(x,2)));
128 4334561 : x = addii(p1,p2); tetpil = avma;
129 4334561 : gel(z,1) = subii(p1,p2);
130 4334561 : gel(z,2) = subii(y,x); gerepilecoeffssp(av,tetpil,z+1,2);
131 4334561 : return z;
132 : }
133 : }
134 :
135 : static void
136 3703315 : set_karasquare_limit(long bit)
137 : {
138 3703315 : if (bit<600) { KARASQUARE_LIMIT=8; COOKSQUARE_LIMIT=400; }
139 1176 : else if (bit<2000) { KARASQUARE_LIMIT=4; COOKSQUARE_LIMIT=200; }
140 0 : else if (bit<3000) { KARASQUARE_LIMIT=4; COOKSQUARE_LIMIT=125; }
141 0 : else if (bit<5000) { KARASQUARE_LIMIT=2; COOKSQUARE_LIMIT= 75; }
142 0 : else { KARASQUARE_LIMIT=1; COOKSQUARE_LIMIT= 50; }
143 3703315 : }
144 :
145 : /* assume lP > 0, lP = lgpol(P) */
146 : static GEN
147 7687561 : CX_square_spec(GEN P, long lP)
148 : {
149 : GEN s, t;
150 7687561 : long i, j, l, nn, n = lP - 1;
151 : pari_sp av;
152 :
153 7687561 : nn = n<<1; s = cgetg(nn+3,t_POL); s[1] = evalsigne(1)|evalvarn(0);
154 7687561 : gel(s,2) = sqrCC(gel(P,0)); /* i = 0 */
155 19722386 : for (i=1; i<=n; i++)
156 : {
157 12034825 : av = avma; l = (i+1)>>1;
158 12034825 : t = mulCC(gel(P,0), gel(P,i)); /* j = 0 */
159 12034825 : for (j=1; j<l; j++) t = addCC(t, mulCC(gel(P,j), gel(P,i-j)));
160 12034825 : t = gmul2n(t,1);
161 12034825 : if ((i & 1) == 0) t = addCC(t, sqrCC(gel(P,i>>1)));
162 12034825 : gel(s,i+2) = gerepileupto(av, t);
163 : }
164 7687561 : gel(s,nn+2) = sqrCC(gel(P,n)); /* i = nn */
165 13905161 : for ( ; i<nn; i++)
166 : {
167 6217600 : av = avma; l = (i+1)>>1;
168 6217600 : t = mulCC(gel(P,i-n),gel(P,n)); /* j = i-n */
169 6217600 : for (j=i-n+1; j<l; j++) t = addCC(t, mulCC(gel(P,j),gel(P,i-j)));
170 6217600 : t = gmul2n(t,1);
171 6217600 : if ((i & 1) == 0) t = addCC(t, sqrCC(gel(P,i>>1)));
172 6217600 : gel(s,i+2) = gerepileupto(av, t);
173 : }
174 7687561 : return normalizepol_lg(s, nn+3);
175 : }
176 : /* nx = lgpol(x) */
177 : static GEN
178 0 : RgX_s_mulspec(GEN x, long nx, long s)
179 : {
180 : GEN z, t;
181 : long i;
182 0 : if (!s || !nx) return pol_0(0);
183 0 : z = cgetg(nx+2, t_POL); z[1] = evalsigne(1)|evalvarn(0); t = z + 2;
184 0 : for (i=0; i < nx; i++) gel(t,i) = gmulgs(gel(x,i), s);
185 0 : return z;
186 : }
187 : /* nx = lgpol(x), return x << s. Inefficient if s = 0... */
188 : static GEN
189 0 : RgX_shiftspec(GEN x, long nx, long s)
190 : {
191 : GEN z, t;
192 : long i;
193 0 : if (!nx) return pol_0(0);
194 0 : z = cgetg(nx+2, t_POL); z[1] = evalsigne(1)|evalvarn(0); t = z + 2;
195 0 : for (i=0; i < nx; i++) gel(t,i) = gmul2n(gel(x,i), s);
196 0 : return z;
197 : }
198 :
199 : /* spec function. nP = lgpol(P) */
200 : static GEN
201 7829003 : karasquare(GEN P, long nP)
202 : {
203 : GEN Q, s0, s1, s2, a, t;
204 7829003 : long n0, n1, i, l, N, N0, N1, n = nP - 1; /* degree(P) */
205 : pari_sp av;
206 :
207 7829003 : if (n <= KARASQUARE_LIMIT) return nP? CX_square_spec(P, nP): pol_0(0);
208 140791 : av = avma;
209 140791 : n0 = (n>>1) + 1; n1 = nP - n0;
210 140791 : s0 = karasquare(P, n0); Q = P + n0;
211 140791 : s2 = karasquare(Q, n1);
212 140791 : s1 = RgX_addspec_shallow(P, Q, n0, n1);
213 140791 : s1 = RgX_sub(karasquare(s1+2, lgpol(s1)), RgX_add(s0,s2));
214 140791 : N = (n<<1) + 1;
215 140791 : a = cgetg(N + 2, t_POL); a[1] = evalsigne(1)|evalvarn(0);
216 140791 : t = a+2; l = lgpol(s0); s0 += 2; N0 = n0<<1;
217 140791 : for (i=0; i < l; i++) gel(t,i) = gel(s0,i);
218 140791 : for ( ; i < N0; i++) gel(t,i) = gen_0;
219 140791 : t = a+2 + N0; l = lgpol(s2); s2 += 2; N1 = N - N0;
220 140791 : for (i=0; i < l; i++) gel(t,i) = gel(s2,i);
221 140791 : for ( ; i < N1; i++) gel(t,i) = gen_0;
222 140791 : t = a+2 + n0; l = lgpol(s1); s1 += 2;
223 140791 : for (i=0; i < l; i++) gel(t,i) = gadd(gel(t,i), gel(s1,i));
224 140791 : return gerepilecopy(av, normalizepol_lg(a, N+2));
225 : }
226 : /* spec function. nP = lgpol(P) */
227 : static GEN
228 7406630 : cook_square(GEN P, long nP)
229 : {
230 : GEN Q, p0, p1, p2, p3, q, r, t, vp, vm;
231 7406630 : long n0, n3, i, j, n = nP - 1;
232 : pari_sp av;
233 :
234 7406630 : if (n <= COOKSQUARE_LIMIT) return nP? karasquare(P, nP): pol_0(0);
235 0 : av = avma;
236 :
237 0 : n0 = (n+1) >> 2; n3 = n+1 - 3*n0;
238 0 : p0 = P;
239 0 : p1 = p0+n0;
240 0 : p2 = p1+n0;
241 0 : p3 = p2+n0; /* lgpol(p0,p1,p2) = n0, lgpol(p3) = n3 */
242 :
243 0 : q = cgetg(8,t_VEC) + 4;
244 0 : Q = cook_square(p0, n0);
245 0 : r = RgX_addspec_shallow(p0,p2, n0,n0);
246 0 : t = RgX_addspec_shallow(p1,p3, n0,n3);
247 0 : gel(q,-1) = RgX_sub(r,t);
248 0 : gel(q,1) = RgX_add(r,t);
249 0 : r = RgX_addspec_shallow(p0,RgX_shiftspec(p2,n0, 2)+2, n0,n0);
250 0 : t = gmul2n(RgX_addspec_shallow(p1,RgX_shiftspec(p3,n3, 2)+2, n0,n3), 1);
251 0 : gel(q,-2) = RgX_sub(r,t);
252 0 : gel(q,2) = RgX_add(r,t);
253 0 : r = RgX_addspec_shallow(p0,RgX_s_mulspec(p2,n0, 9)+2, n0,n0);
254 0 : t = gmulsg(3, RgX_addspec_shallow(p1,RgX_s_mulspec(p3,n3, 9)+2, n0,n3));
255 0 : gel(q,-3) = RgX_sub(r,t);
256 0 : gel(q,3) = RgX_add(r,t);
257 :
258 0 : r = new_chunk(7);
259 0 : vp = cgetg(4,t_VEC);
260 0 : vm = cgetg(4,t_VEC);
261 0 : for (i=1; i<=3; i++)
262 : {
263 0 : GEN a = gel(q,i), b = gel(q,-i);
264 0 : a = cook_square(a+2, lgpol(a));
265 0 : b = cook_square(b+2, lgpol(b));
266 0 : gel(vp,i) = RgX_add(b, a);
267 0 : gel(vm,i) = RgX_sub(b, a);
268 : }
269 0 : gel(r,0) = Q;
270 0 : gel(r,1) = gdivgs(gsub(gsub(gmulgs(gel(vm,2),9),gel(vm,3)),
271 0 : gmulgs(gel(vm,1),45)),
272 : 60);
273 0 : gel(r,2) = gdivgs(gadd(gadd(gmulgs(gel(vp,1),270),gmulgs(Q,-490)),
274 0 : gadd(gmulgs(gel(vp,2),-27),gmulgs(gel(vp,3),2))),
275 : 360);
276 0 : gel(r,3) = gdivgs(gadd(gadd(gmulgs(gel(vm,1),13),gmulgs(gel(vm,2),-8)),
277 0 : gel(vm,3)),
278 : 48);
279 0 : gel(r,4) = gdivgs(gadd(gadd(gmulgs(Q,56),gmulgs(gel(vp,1),-39)),
280 0 : gsub(gmulgs(gel(vp,2),12),gel(vp,3))),
281 : 144);
282 0 : gel(r,5) = gdivgs(gsub(gadd(gmulgs(gel(vm,1),-5),gmulgs(gel(vm,2),4)),
283 0 : gel(vm,3)),
284 : 240);
285 0 : gel(r,6) = gdivgs(gadd(gadd(gmulgs(Q,-20),gmulgs(gel(vp,1),15)),
286 0 : gadd(gmulgs(gel(vp,2),-6),gel(vp,3))),
287 : 720);
288 0 : q = cgetg(2*n+3,t_POL); q[1] = evalsigne(1)|evalvarn(0);
289 0 : t = q+2;
290 0 : for (i=0; i<=2*n; i++) gel(t,i) = gen_0;
291 0 : for (i=0; i<=6; i++,t += n0)
292 : {
293 0 : GEN h = gel(r,i);
294 0 : long d = lgpol(h);
295 0 : h += 2;
296 0 : for (j=0; j<d; j++) gel(t,j) = gadd(gel(t,j), gel(h,j));
297 : }
298 0 : return gerepilecopy(av, normalizepol_lg(q, 2*n+3));
299 : }
300 :
301 : static GEN
302 3703315 : graeffe(GEN p)
303 : {
304 : GEN p0, p1, s0, s1;
305 3703315 : long n = degpol(p), n0, n1, i;
306 :
307 3703315 : if (!n) return gcopy(p);
308 3703315 : n0 = (n>>1)+1; n1 = n+1 - n0; /* n1 <= n0 <= n1+1 */
309 3703315 : p0 = new_chunk(n0);
310 3703315 : p1 = new_chunk(n1);
311 12211656 : for (i=0; i<n1; i++)
312 : {
313 8508341 : p0[i] = p[2+(i<<1)];
314 8508341 : p1[i] = p[3+(i<<1)];
315 : }
316 3703315 : if (n1 != n0)
317 1780076 : p0[i] = p[2+(i<<1)];
318 3703315 : s0 = cook_square(p0, n0);
319 3703315 : s1 = cook_square(p1, n1);
320 3703315 : return RgX_sub(s0, RgX_shift_shallow(s1,1));
321 : }
322 : GEN
323 6566 : ZX_graeffe(GEN p)
324 : {
325 6566 : pari_sp av = avma;
326 : GEN p0, p1, s0, s1;
327 6566 : long n = degpol(p);
328 :
329 6566 : if (!n) return ZX_copy(p);
330 6566 : RgX_even_odd(p, &p0, &p1);
331 : /* p = p0(x^2) + x p1(x^2) */
332 6566 : s0 = ZX_sqr(p0);
333 6566 : s1 = ZX_sqr(p1);
334 6566 : return gerepileupto(av, ZX_sub(s0, RgX_shift_shallow(s1,1)));
335 : }
336 : GEN
337 14 : polgraeffe(GEN p)
338 : {
339 14 : pari_sp av = avma;
340 : GEN p0, p1, s0, s1;
341 14 : long n = degpol(p);
342 :
343 14 : if (typ(p) != t_POL) pari_err_TYPE("polgraeffe",p);
344 14 : n = degpol(p);
345 14 : if (!n) return gcopy(p);
346 14 : RgX_even_odd(p, &p0, &p1);
347 : /* p = p0(x^2) + x p1(x^2) */
348 14 : s0 = RgX_sqr(p0);
349 14 : s1 = RgX_sqr(p1);
350 14 : return gerepileupto(av, RgX_sub(s0, RgX_shift_shallow(s1,1)));
351 : }
352 :
353 : /********************************************************************/
354 : /** **/
355 : /** MODULUS OF ROOTS **/
356 : /** **/
357 : /********************************************************************/
358 :
359 : /* Quick approximation to log2(|x|); first define y s.t. |y-x| < 2^-32 then
360 : * return y rounded to 2 ulp. In particular, if result < 2^21, absolute error
361 : * is bounded by 2^-31. If result > 2^21, it is correct to 2 ulp */
362 : static double
363 19746051 : mydbllog2i(GEN x)
364 : {
365 : #ifdef LONG_IS_64BIT
366 16988430 : const double W = 1/(4294967296. * 4294967296.); /* 2^-64 */
367 : #else
368 2757621 : const double W = 1/4294967296.; /*2^-32*/
369 : #endif
370 : GEN m;
371 19746051 : long lx = lgefint(x);
372 : double l;
373 19746051 : if (lx == 2) return -pariINFINITY;
374 19609949 : m = int_MSW(x);
375 19609949 : l = (double)(ulong)*m;
376 19609949 : if (lx == 3) return log2(l);
377 8968675 : l += ((double)(ulong)*int_precW(m)) * W;
378 : /* at least m = min(53,BIL) bits are correct in the mantissa, thus log2
379 : * is correct with error < log(1 + 2^-m) ~ 2^-m. Adding the correct
380 : * exponent BIL(lx-3) causes 1ulp further round-off error */
381 8968675 : return log2(l) + (double)(BITS_IN_LONG*(lx-3));
382 : }
383 :
384 : /* return log(|x|) or -pariINFINITY */
385 : static double
386 1111242 : mydbllogr(GEN x) {
387 1111242 : if (!signe(x)) return -pariINFINITY;
388 1111242 : return LOG2*dbllog2r(x);
389 : }
390 :
391 : /* return log2(|x|) or -pariINFINITY */
392 : static double
393 10230644 : mydbllog2r(GEN x) {
394 10230644 : if (!signe(x)) return -pariINFINITY;
395 10178488 : return dbllog2r(x);
396 : }
397 : static double
398 6776540 : dbllog2mp(GEN x) { return typ(x) == t_INT? mydbllog2i(x): mydbllog2r(x); }
399 : double
400 26052226 : dbllog2(GEN z)
401 : {
402 : double x, y;
403 26052226 : switch(typ(z))
404 : {
405 14020918 : case t_INT: return mydbllog2i(z);
406 791 : case t_FRAC: return mydbllog2i(gel(z,1))-mydbllog2i(gel(z,2));
407 8642247 : case t_REAL: return mydbllog2r(z);
408 : default: /*t_COMPLEX*/
409 3388270 : x = dbllog2mp(gel(z,1));
410 3388270 : y = dbllog2mp(gel(z,2));
411 3388270 : if (fabs(x-y) > 10) return maxdd(x,y);
412 3198887 : return x + 0.5*log2(1 + exp2(2*(y-x)));
413 : }
414 : }
415 : static GEN /* beware overflow */
416 552221 : dblexp(double x) { return fabs(x) < 100.? dbltor(exp(x)): mpexp(dbltor(x)); }
417 :
418 : /* find s such that A_h <= 2^s <= 2 A_i for one h and all i < n = deg(p),
419 : * with A_i := (binom(n,i) lc(p) / p_i) ^ 1/(n-i), and p = sum p_i X^i */
420 : static long
421 2882214 : findpower(GEN p)
422 : {
423 2882214 : double x, L, mins = pariINFINITY;
424 2882214 : long n = degpol(p),i;
425 :
426 2882214 : L = dbllog2(gel(p,n+2)); /* log2(lc * binom(n,i)) */
427 14213996 : for (i=n-1; i>=0; i--)
428 : {
429 11331782 : L += log2((double)(i+1) / (double)(n-i));
430 11331782 : x = dbllog2(gel(p,i+2));
431 11331782 : if (x != -pariINFINITY)
432 : {
433 11259047 : double s = (L - x) / (double)(n-i);
434 11259047 : if (s < mins) mins = s;
435 : }
436 : }
437 2882214 : i = (long)ceil(mins);
438 2882214 : if (i - mins > 1 - 1e-12) i--;
439 2882214 : return i;
440 : }
441 :
442 : /* returns the exponent for logmodulus(), from the Newton diagram */
443 : static long
444 480961 : newton_polygon(GEN p, long k)
445 : {
446 480961 : pari_sp av = avma;
447 : double *logcoef, slope;
448 480961 : long n = degpol(p), i, j, h, l, *vertex;
449 :
450 480961 : logcoef = (double*)stack_malloc_align((n+1)*sizeof(double), sizeof(double));
451 480961 : vertex = (long*)new_chunk(n+1);
452 :
453 : /* vertex[i] = 1 if i a vertex of convex hull, 0 otherwise */
454 480961 : for (i=0; i<=n; i++) { logcoef[i] = dbllog2(gel(p,2+i)); vertex[i] = 0; }
455 480961 : vertex[0] = 1; /* sentinel */
456 2005827 : for (i=0; i < n; i=h)
457 : {
458 1524866 : slope = logcoef[i+1]-logcoef[i];
459 7187651 : for (j = h = i+1; j<=n; j++)
460 : {
461 5662785 : double pij = (logcoef[j]-logcoef[i])/(double)(j-i);
462 5662785 : if (slope < pij) { slope = pij; h = j; }
463 : }
464 1524866 : vertex[h] = 1;
465 : }
466 480961 : h = k; while (!vertex[h]) h++;
467 480961 : l = k-1; while (!vertex[l]) l--;
468 480961 : avma = av;
469 480961 : return (long)floor((logcoef[h]-logcoef[l])/(double)(h-l) + 0.5);
470 : }
471 :
472 : /* change z into z*2^e, where z is real or complex of real */
473 : static void
474 3249272 : myshiftrc(GEN z, long e)
475 : {
476 3249272 : if (typ(z)==t_COMPLEX)
477 : {
478 770636 : if (signe(gel(z,1))) shiftr_inplace(gel(z,1), e);
479 770636 : if (signe(gel(z,2))) shiftr_inplace(gel(z,2), e);
480 : }
481 : else
482 2478636 : if (signe(z)) shiftr_inplace(z, e);
483 3249272 : }
484 :
485 : /* return z*2^e, where z is integer or complex of integer (destroy z) */
486 : static GEN
487 12178588 : myshiftic(GEN z, long e)
488 : {
489 12178588 : if (typ(z)==t_COMPLEX)
490 : {
491 2251478 : gel(z,1) = signe(gel(z,1))? mpshift(gel(z,1),e): gen_0;
492 2251478 : gel(z,2) = mpshift(gel(z,2),e);
493 2251478 : return z;
494 : }
495 9927110 : return signe(z)? mpshift(z,e): gen_0;
496 : }
497 :
498 : static GEN
499 620303 : RgX_gtofp_bit(GEN q, long bit)
500 : {
501 620303 : if (bit < 0) bit = 0;
502 620303 : return RgX_gtofp(q, nbits2prec(bit));
503 : }
504 :
505 : static GEN
506 23518757 : mygprecrc(GEN x, long prec, long e)
507 : {
508 : GEN y;
509 23518757 : switch(typ(x))
510 : {
511 17674923 : case t_REAL: return signe(x)? rtor(x, prec): real_0_bit(e);
512 : case t_COMPLEX:
513 4518639 : y = cgetg(3,t_COMPLEX);
514 4518639 : gel(y,1) = mygprecrc(gel(x,1),prec,e);
515 4518639 : gel(y,2) = mygprecrc(gel(x,2),prec,e);
516 4518639 : return y;
517 1325195 : default: return gcopy(x);
518 : }
519 : }
520 :
521 : /* gprec behaves badly with the zero for polynomials.
522 : The second parameter in mygprec is the precision in base 2 */
523 : static GEN
524 5869034 : mygprec(GEN x, long bit)
525 : {
526 : long lx, i, e, prec;
527 : GEN y;
528 :
529 5869034 : if (bit < 0) bit = 0; /* should rarely happen */
530 5869034 : e = gexpo(x) - bit;
531 5869034 : prec = nbits2prec(bit);
532 5869034 : switch(typ(x))
533 : {
534 : case t_POL:
535 3566887 : y = cgetg_copy(x, &lx); y[1] = x[1];
536 3566887 : for (i=2; i<lx; i++) gel(y,i) = mygprecrc(gel(x,i),prec,e);
537 3566887 : break;
538 :
539 2302147 : default: y = mygprecrc(x,prec,e);
540 : }
541 5869034 : return y;
542 : }
543 :
544 : /* normalize a polynomial p, that is change it with coefficients in Z[i],
545 : after making product by 2^shift */
546 : static GEN
547 1451586 : pol_to_gaussint(GEN p, long shift)
548 : {
549 1451586 : long i, l = lg(p);
550 1451586 : GEN q = cgetg(l, t_POL); q[1] = p[1];
551 1451586 : for (i=2; i<l; i++) gel(q,i) = gtrunc2n(gel(p,i), shift);
552 1451586 : return q;
553 : }
554 :
555 : /* returns a polynomial q in Z[i][x] keeping bit bits of p */
556 : static GEN
557 1142956 : eval_rel_pol(GEN p, long bit)
558 : {
559 : long i;
560 7970974 : for (i = 2; i < lg(p); i++)
561 6828018 : if (gequal0(gel(p,i))) gel(p,i) = gen_0; /* bad behaviour of gexpo */
562 1142956 : return pol_to_gaussint(p, bit-gexpo(p)+1);
563 : }
564 :
565 : /* returns p(R*x)/R^n (in R or R[i]), R = exp(lrho), bit bits of precision */
566 : static GEN
567 128715 : homothetie(GEN p, double lrho, long bit)
568 : {
569 : GEN q, r, t, iR;
570 128715 : long n = degpol(p), i;
571 :
572 128715 : iR = mygprec(dblexp(-lrho),bit);
573 128715 : q = mygprec(p, bit);
574 128715 : r = cgetg(n+3,t_POL); r[1] = p[1];
575 128715 : t = iR; r[n+2] = q[n+2];
576 785262 : for (i=n-1; i>0; i--)
577 : {
578 656547 : gel(r,i+2) = gmul(t, gel(q,i+2));
579 656547 : t = mulrr(t, iR);
580 : }
581 128715 : gel(r,2) = gmul(t, gel(q,2)); return r;
582 : }
583 :
584 : /* change q in 2^(n*e) p(x*2^(-e)), n=deg(q) [ ~as above with R = 2^-e ]*/
585 : static void
586 789591 : homothetie2n(GEN p, long e)
587 : {
588 789591 : if (e)
589 : {
590 597229 : long i,n = lg(p)-1;
591 597229 : for (i=2; i<=n; i++) myshiftrc(gel(p,i), (n-i)*e);
592 : }
593 789591 : }
594 :
595 : /* return 2^f * 2^(n*e) p(x*2^(-e)), n=deg(q) */
596 : static void
597 2573584 : homothetie_gauss(GEN p, long e, long f)
598 : {
599 2573584 : if (e || f)
600 : {
601 2345079 : long i, n = lg(p)-1;
602 2345079 : for (i=2; i<=n; i++) gel(p,i) = myshiftic(gel(p,i), f+(n-i)*e);
603 : }
604 2573584 : }
605 :
606 : /* Lower bound on the modulus of the largest root z_0
607 : * k is set to an upper bound for #{z roots, |z-z_0| < eps} */
608 : static double
609 2882214 : lower_bound(GEN p, long *k, double eps)
610 : {
611 2882214 : long n = degpol(p), i, j;
612 2882214 : pari_sp ltop = avma;
613 : GEN a, s, S, ilc;
614 : double r, R, rho;
615 :
616 2882214 : if (n < 4) { *k = n; return 0.; }
617 1179607 : S = cgetg(5,t_VEC);
618 1179607 : a = cgetg(5,t_VEC); ilc = gdiv(real_1(DEFAULTPREC), gel(p,n+2));
619 1179607 : for (i=1; i<=4; i++) gel(a,i) = gmul(ilc,gel(p,n+2-i));
620 : /* i = 1 split out from next loop for efficiency and initialization */
621 1179607 : s = gel(a,1);
622 1179607 : gel(S,1) = gneg(s); /* Newton sum S_i */
623 1179607 : rho = r = gtodouble(gabs(s,3));
624 1179607 : R = r / n;
625 4718428 : for (i=2; i<=4; i++)
626 : {
627 3538821 : s = gmulsg(i,gel(a,i));
628 3538821 : for (j=1; j<i; j++) s = gadd(s, gmul(gel(S,j),gel(a,i-j)));
629 3538821 : gel(S,i) = gneg(s); /* Newton sum S_i */
630 3538821 : r = gtodouble(gabs(s,3));
631 3538821 : if (r > 0.)
632 : {
633 3530838 : r = exp(log(r/n) / (double)i);
634 3530838 : if (r > R) R = r;
635 : }
636 : }
637 1179607 : if (R > 0. && eps < 1.2)
638 1178374 : *k = (long)floor((rho/R + n) / (1 + exp(-eps)*cos(eps)));
639 : else
640 1233 : *k = n;
641 1179607 : avma = ltop; return R;
642 : }
643 :
644 : /* log of modulus of the largest root of p with relative error tau. Assume
645 : * P(0) != 0 and P non constant */
646 : static double
647 308630 : logmax_modulus(GEN p, double tau)
648 : {
649 : GEN r, q, aux, gunr;
650 308630 : pari_sp av, ltop = avma;
651 308630 : long i,k,n=degpol(p),nn,bit,M,e;
652 308630 : double rho,eps, tau2 = (tau > 3.0)? 0.5: tau/6.;
653 :
654 308630 : r = cgeti(BIGDEFAULTPREC);
655 308630 : av = avma;
656 :
657 308630 : eps = - 1/log(1.5*tau2); /* > 0 */
658 308630 : bit = (long) ((double) n*log2(1./tau2)+3*log2((double) n))+1;
659 308630 : gunr = real_1_bit(bit+2*n);
660 308630 : aux = gdiv(gunr, gel(p,2+n));
661 308630 : q = RgX_Rg_mul(p, aux); gel(q,2+n) = gunr;
662 308630 : e = findpower(q);
663 308630 : homothetie2n(q,e);
664 308630 : affsi(e, r);
665 308630 : q = pol_to_gaussint(q, bit);
666 308630 : M = (long) (log2( log(4.*n) / (2*tau2) )) + 2;
667 308630 : nn = n;
668 308630 : for (i=0,e=0;;)
669 : { /* nn = deg(q) */
670 2882214 : rho = lower_bound(q, &k, eps);
671 2882214 : if (rho > exp2(-(double)e)) e = (long)-floor(log2(rho));
672 2882214 : affii(shifti(addis(r,e), 1), r);
673 2882214 : if (++i == M) break;
674 :
675 7720752 : bit = (long) ((double)k * log2(1./tau2) +
676 5147168 : (double)(nn-k)*log2(1./eps) + 3*log2((double)nn)) + 1;
677 2573584 : homothetie_gauss(q, e, bit-(long)floor(dbllog2(gel(q,2+nn))+0.5));
678 2573584 : nn -= RgX_valrem(q, &q);
679 2573584 : set_karasquare_limit(gexpo(q));
680 2573584 : q = gerepileupto(av, graeffe(q));
681 2573584 : tau2 *= 1.5; if (tau2 > 0.9) tau2 = 0.5;
682 2573584 : eps = -1/log(tau2); /* > 0 */
683 2573584 : e = findpower(q);
684 2573584 : }
685 308630 : if (!signe(r)) { avma = ltop; return 0.; }
686 289353 : r = itor(r, DEFAULTPREC); shiftr_inplace(r, -M);
687 289353 : avma = ltop; return -rtodbl(r) * LOG2; /* -log(2) sum e_i 2^-i */
688 : }
689 :
690 : static GEN
691 8660 : RgX_normalize1(GEN x)
692 : {
693 8660 : long i, n = lg(x)-1;
694 : GEN y;
695 8674 : for (i = n; i > 1; i--)
696 8667 : if (!gequal0( gel(x,i) )) break;
697 8660 : if (i == n) return x;
698 14 : pari_warn(warner,"normalizing a polynomial with 0 leading term");
699 14 : if (i == 1) pari_err_ROOTS0("roots");
700 14 : y = cgetg(i+1, t_POL); y[1] = x[1];
701 14 : for (; i > 1; i--) gel(y,i) = gel(x,i);
702 14 : return y;
703 : }
704 :
705 : static GEN
706 4929 : polrootsbound_i(GEN P)
707 : {
708 4929 : pari_sp av = avma;
709 : double d;
710 4929 : (void)RgX_valrem_inexact(P,&P);
711 4929 : P = RgX_normalize1(P);
712 4929 : switch(degpol(P))
713 : {
714 7 : case -1: pari_err_ROOTS0("roots");
715 63 : case 0: avma = av; return gen_0;
716 : }
717 4859 : d = logmax_modulus(P, 0.01) + 0.01;
718 4859 : avma = av; return dblexp(d);
719 : }
720 : GEN
721 4936 : polrootsbound(GEN P)
722 : {
723 4936 : if (typ(P) != t_POL) pari_err_TYPE("polrootsbound",P);
724 4929 : checkvalidpol(P, "polrootsbound");
725 4929 : return polrootsbound_i(P);
726 : }
727 :
728 : /* log of modulus of the smallest root of p, with relative error tau */
729 : static double
730 108410 : logmin_modulus(GEN p, double tau)
731 : {
732 108410 : pari_sp av = avma;
733 : double r;
734 :
735 108410 : if (gequal0(gel(p,2))) return -pariINFINITY;
736 108410 : r = - logmax_modulus(RgX_recip_shallow(p),tau);
737 108410 : avma = av; return r;
738 : }
739 :
740 : /* return the log of the k-th modulus (ascending order) of p, rel. error tau*/
741 : static double
742 52661 : logmodulus(GEN p, long k, double tau)
743 : {
744 : GEN q;
745 52661 : long i, kk = k, imax, n = degpol(p), nn, bit, e;
746 52661 : pari_sp av, ltop=avma;
747 52661 : double r, tau2 = tau/6;
748 :
749 52661 : bit = (long)(n * (2. + log2(3.*n/tau2)));
750 52661 : av = avma;
751 52661 : q = gprec_w(p, nbits2prec(bit));
752 52661 : q = RgX_gtofp_bit(q, bit);
753 52661 : e = newton_polygon(q,k);
754 52661 : r = (double)e;
755 52661 : homothetie2n(q,e);
756 52661 : imax = (long)(log2(3./tau) + log2(log(4.*n)))+1;
757 480961 : for (i=1; i<imax; i++)
758 : {
759 428300 : q = eval_rel_pol(q,bit);
760 428300 : kk -= RgX_valrem(q, &q);
761 428300 : nn = degpol(q);
762 :
763 428300 : set_karasquare_limit(bit);
764 428300 : q = gerepileupto(av, graeffe(q));
765 428300 : e = newton_polygon(q,kk);
766 428300 : r += e / exp2((double)i);
767 428300 : q = RgX_gtofp_bit(q, bit);
768 428300 : homothetie2n(q,e);
769 :
770 428300 : tau2 *= 1.5; if (tau2 > 1.) tau2 = 1.;
771 428300 : bit = 1 + (long)(nn*(2. + log2(3.*nn/tau2)));
772 : }
773 52661 : avma = ltop; return -r * LOG2;
774 : }
775 :
776 : /* return the log of the k-th modulus r_k of p, rel. error tau, knowing that
777 : * rmin < r_k < rmax. This information helps because we may reduce precision
778 : * quicker */
779 : static double
780 52661 : logpre_modulus(GEN p, long k, double tau, double lrmin, double lrmax)
781 : {
782 : GEN q;
783 52661 : long n = degpol(p), i, imax, imax2, bit;
784 52661 : pari_sp ltop = avma, av;
785 52661 : double lrho, aux, tau2 = tau/6.;
786 :
787 52661 : aux = (lrmax - lrmin) / 2. + 4*tau2;
788 52661 : imax = (long) log2(log((double)n)/ aux);
789 52661 : if (imax <= 0) return logmodulus(p,k,tau);
790 :
791 51604 : lrho = (lrmin + lrmax) / 2;
792 51604 : av = avma;
793 51604 : bit = (long)(n*(2. + aux / LOG2 - log2(tau2)));
794 51604 : q = homothetie(p, lrho, bit);
795 51604 : imax2 = (long)(log2(3./tau * log(4.*n))) + 1;
796 51604 : if (imax > imax2) imax = imax2;
797 :
798 159114 : for (i=0; i<imax; i++)
799 : {
800 107510 : q = eval_rel_pol(q,bit);
801 107510 : set_karasquare_limit(bit);
802 107510 : q = gerepileupto(av, graeffe(q));
803 107510 : aux = 2*aux + 2*tau2;
804 107510 : tau2 *= 1.5;
805 107510 : bit = (long)(n*(2. + aux / LOG2 - log2(1-exp(-tau2))));
806 107510 : q = RgX_gtofp_bit(q, bit);
807 : }
808 51604 : aux = exp2((double)imax);
809 51604 : aux = logmodulus(q,k, aux*tau/3.) / aux;
810 51604 : avma = ltop; return lrho + aux;
811 : }
812 :
813 : static double
814 63886 : ind_maxlog2(GEN q)
815 : {
816 63886 : long i, k = -1;
817 63886 : double L = - pariINFINITY;
818 174405 : for (i=0; i<=degpol(q); i++)
819 : {
820 110519 : double d = dbllog2(gel(q,2+i));
821 110519 : if (d > L) { L = d; k = i; }
822 : }
823 63886 : return k;
824 : }
825 :
826 : /* Returns k such that r_k e^(-tau) < R < r_{k+1} e^tau.
827 : * Assume that l <= k <= n-l */
828 : static long
829 77111 : dual_modulus(GEN p, double lrho, double tau, long l)
830 : {
831 77111 : long i, imax, delta_k = 0, n = degpol(p), nn, v2, v, bit, ll = l;
832 77111 : double tau2 = tau * 7./8.;
833 77111 : pari_sp av = avma;
834 : GEN q;
835 :
836 77111 : bit = 6*n - 5*l + (long)(n*(-log2(tau2) + tau2 * 8./7.));
837 77111 : q = homothetie(p, lrho, bit);
838 77111 : imax = (long)(log(log(2.*n)/tau2)/log(7./4.)+1);
839 :
840 671032 : for (i=0; i<imax; i++)
841 : {
842 607146 : q = eval_rel_pol(q,bit); v2 = n - degpol(q);
843 607146 : v = RgX_valrem(q, &q);
844 607146 : ll -= maxss(v, v2); if (ll < 0) ll = 0;
845 :
846 607146 : nn = degpol(q); delta_k += v;
847 607146 : if (!nn) return delta_k;
848 :
849 593921 : set_karasquare_limit(bit);
850 593921 : q = gerepileupto(av, graeffe(q));
851 593921 : tau2 *= 7./4.;
852 593921 : bit = 6*nn - 5*ll + (long)(nn*(-log2(tau2) + tau2 * 8./7.));
853 : }
854 63886 : avma = av; return delta_k + (long)ind_maxlog2(q);
855 : }
856 :
857 : /********************************************************************/
858 : /** **/
859 : /** FACTORS THROUGH CIRCLE INTEGRATION **/
860 : /** **/
861 : /********************************************************************/
862 : /* l power of 2 */
863 : static void
864 2152496 : fft(GEN Omega, GEN p, GEN f, long step, long l)
865 : {
866 : pari_sp ltop;
867 : long i, l1, l2, l3, rapi, step4;
868 : GEN f1, f2, f3, f02, f13, g02, g13, ff;
869 :
870 2152496 : if (l == 2)
871 : {
872 1195384 : gel(f,0) = gadd(gel(p,0),gel(p,step));
873 1195384 : gel(f,1) = gsub(gel(p,0),gel(p,step)); return;
874 : }
875 957112 : if (l == 4)
876 : {
877 527201 : f1 = gadd(gel(p,0), gel(p,step<<1));
878 527201 : f2 = gsub(gel(p,0), gel(p,step<<1));
879 527201 : f3 = gadd(gel(p,step),gel(p,3*step));
880 527201 : f02= gsub(gel(p,step),gel(p,3*step));
881 527201 : f02 = mulcxI(f02);
882 527201 : gel(f,0) = gadd(f1, f3);
883 527201 : gel(f,1) = gadd(f2, f02);
884 527201 : gel(f,2) = gsub(f1, f3);
885 527201 : gel(f,3) = gsub(f2, f02); return;
886 : }
887 :
888 429911 : ltop = avma;
889 429911 : l1 = l>>2; l2 = 2*l1; l3 = l1+l2; step4 = step<<2;
890 429911 : fft(Omega,p, f, step4,l1);
891 429911 : fft(Omega,p+step, f+l1,step4,l1);
892 429911 : fft(Omega,p+(step<<1),f+l2,step4,l1);
893 429911 : fft(Omega,p+3*step, f+l3,step4,l1);
894 :
895 429911 : ff = cgetg(l+1,t_VEC);
896 1746591 : for (i=0; i<l1; i++)
897 : {
898 1316680 : rapi = step*i;
899 1316680 : f1 = gmul(gel(Omega,rapi), gel(f,i+l1));
900 1316680 : f2 = gmul(gel(Omega,rapi<<1), gel(f,i+l2));
901 1316680 : f3 = gmul(gel(Omega,3*rapi), gel(f,i+l3));
902 :
903 1316680 : f02 = gadd(gel(f,i),f2);
904 1316680 : g02 = gsub(gel(f,i),f2);
905 1316680 : f13 = gadd(f1,f3);
906 1316680 : g13 = mulcxI(gsub(f1,f3));
907 :
908 1316680 : gel(ff,i+1) = gadd(f02, f13);
909 1316680 : gel(ff,i+l1+1) = gadd(g02, g13);
910 1316680 : gel(ff,i+l2+1) = gsub(f02, f13);
911 1316680 : gel(ff,i+l3+1) = gsub(g02, g13);
912 : }
913 429911 : ff = gerepilecopy(ltop,ff);
914 429911 : for (i=0; i<l; i++) f[i] = ff[i+1];
915 : }
916 :
917 : GEN
918 0 : FFTinit(long k, long prec)
919 : {
920 0 : if (k <= 0) pari_err_DOMAIN("FFTinit", "k", "<=", gen_0, stoi(k));
921 0 : return grootsof1(1L << k, prec);
922 : }
923 :
924 : GEN
925 0 : FFT(GEN x, GEN Omega)
926 : {
927 0 : long i, l = lg(Omega), n = lg(x);
928 : GEN y, z;
929 0 : if (!is_vec_t(typ(x))) pari_err_TYPE("FFT",x);
930 0 : if (typ(Omega) != t_VEC) pari_err_TYPE("FFT",Omega);
931 0 : if (n > l) pari_err_DIM("FFT");
932 :
933 0 : if (n < l) {
934 0 : z = cgetg(l, t_VECSMALL); /* cf stackdummy */
935 0 : for (i = 1; i < n; i++) z[i] = x[i];
936 0 : for ( ; i < l; i++) gel(z,i) = gen_0;
937 : }
938 0 : else z = x;
939 0 : y = cgetg(l, t_VEC);
940 0 : fft(Omega+1, z+1, y+1, 1, l-1);
941 0 : return y;
942 : }
943 :
944 : /* returns 1 if p has only real coefficients, 0 else */
945 : static int
946 67755 : isreal(GEN p)
947 : {
948 : long i;
949 399504 : for (i = lg(p)-1; i > 1; i--)
950 352144 : if (typ(gel(p,i)) == t_COMPLEX) return 0;
951 47360 : return 1;
952 : }
953 :
954 : /* x non complex */
955 : static GEN
956 47702 : abs_update_r(GEN x, double *mu) {
957 47702 : GEN y = gtofp(x, DEFAULTPREC);
958 47702 : double ly = mydbllogr(y); if (ly < *mu) *mu = ly;
959 47702 : setabssign(y); return y;
960 : }
961 : /* return |x|, low accuracy. Set *mu = min(log(y), *mu) */
962 : static GEN
963 992292 : abs_update(GEN x, double *mu) {
964 : GEN y, xr, yr;
965 : double ly;
966 992292 : if (typ(x) != t_COMPLEX) return abs_update_r(x, mu);
967 946746 : xr = gel(x,1);
968 946746 : yr = gel(x,2);
969 946746 : if (gequal0(xr)) return abs_update_r(yr,mu);
970 946620 : if (gequal0(yr)) return abs_update_r(xr,mu);
971 : /* have to treat 0 specially: 0E-10 + 1e-20 = 0E-10 */
972 944590 : xr = gtofp(xr, DEFAULTPREC);
973 944590 : yr = gtofp(yr, DEFAULTPREC);
974 944590 : y = sqrtr(addrr(sqrr(xr), sqrr(yr)));
975 944590 : ly = mydbllogr(y); if (ly < *mu) *mu = ly;
976 944590 : return y;
977 : }
978 :
979 : static void
980 73158 : initdft(GEN *Omega, GEN *prim, long N, long Lmax, long bit)
981 : {
982 73158 : long prec = nbits2prec(bit);
983 73158 : *Omega = grootsof1(Lmax, prec) + 1;
984 73158 : *prim = rootsof1u_cx(N, prec);
985 73158 : }
986 :
987 : static void
988 35402 : parameters(GEN p, long *LMAX, double *mu, double *gamma,
989 : int polreal, double param, double param2)
990 : {
991 : GEN q, pc, Omega, A, RU, prim, g, TWO;
992 35402 : long n = degpol(p), bit, NN, K, i, j, Lmax;
993 35402 : pari_sp av2, av = avma;
994 :
995 35402 : bit = gexpo(p) + (long)param2+8;
996 35402 : Lmax = 4; while (Lmax <= n) Lmax <<= 1;
997 35402 : NN = (long)(param*3.14)+1; if (NN < Lmax) NN = Lmax;
998 35402 : K = NN/Lmax; if (K & 1) K++;
999 35402 : NN = Lmax*K;
1000 35402 : if (polreal) K = K/2+1;
1001 :
1002 35402 : initdft(&Omega, &prim, NN, Lmax, bit);
1003 35402 : q = mygprec(p,bit) + 2;
1004 35402 : A = cgetg(Lmax+1,t_VEC); A++;
1005 35402 : pc= cgetg(Lmax+1,t_VEC); pc++;
1006 35402 : for (i=0; i <= n; i++) gel(pc,i)= gel(q,i);
1007 35402 : for ( ; i<Lmax; i++) gel(pc,i) = gen_0;
1008 :
1009 35402 : *mu = pariINFINITY;
1010 35402 : g = real_0_bit(-bit);
1011 35402 : TWO = real2n(1, DEFAULTPREC);
1012 35402 : av2 = avma;
1013 35402 : RU = gen_1;
1014 138138 : for (i=0; i<K; i++)
1015 : {
1016 102736 : if (i) {
1017 67334 : GEN z = RU;
1018 453949 : for (j=1; j<n; j++)
1019 : {
1020 386615 : gel(pc,j) = gmul(gel(q,j),z);
1021 386615 : z = gmul(z,RU); /* RU = prim^i, z=prim^(ij) */
1022 : }
1023 67334 : gel(pc,n) = gmul(gel(q,n),z);
1024 : }
1025 :
1026 102736 : fft(Omega,pc,A,1,Lmax);
1027 117054 : if (polreal && i>0 && i<K-1)
1028 14318 : for (j=0; j<Lmax; j++) g = addrr(g, divrr(TWO, abs_update(gel(A,j),mu)));
1029 : else
1030 88418 : for (j=0; j<Lmax; j++) g = addrr(g, invr(abs_update(gel(A,j),mu)));
1031 102736 : RU = gmul(RU, prim);
1032 102736 : if (gc_needed(av,1))
1033 : {
1034 0 : if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"parameters");
1035 0 : gerepileall(av2,2, &g,&RU);
1036 : }
1037 : }
1038 35402 : *gamma = mydbllog2r(divru(g,NN));
1039 35402 : *LMAX = Lmax; avma = av;
1040 35402 : }
1041 :
1042 : /* NN is a multiple of Lmax */
1043 : static void
1044 37756 : dft(GEN p, long k, long NN, long Lmax, long bit, GEN F, GEN H, long polreal)
1045 : {
1046 : GEN Omega, q, qd, pc, pd, A, B, C, RU, aux, U, W, prim, prim2;
1047 37756 : long n = degpol(p), i, j, K;
1048 : pari_sp ltop;
1049 :
1050 37756 : initdft(&Omega, &prim, NN, Lmax, bit);
1051 37756 : RU = cgetg(n+2,t_VEC) + 1;
1052 :
1053 37756 : K = NN/Lmax; if (polreal) K = K/2+1;
1054 37756 : q = mygprec(p,bit);
1055 37756 : qd = RgX_deriv(q);
1056 :
1057 37756 : A = cgetg(Lmax+1,t_VEC); A++;
1058 37756 : B = cgetg(Lmax+1,t_VEC); B++;
1059 37756 : C = cgetg(Lmax+1,t_VEC); C++;
1060 37756 : pc = cgetg(Lmax+1,t_VEC); pc++;
1061 37756 : pd = cgetg(Lmax+1,t_VEC); pd++;
1062 37756 : pc[0] = q[2]; for (i=n+1; i<Lmax; i++) gel(pc,i) = gen_0;
1063 37756 : pd[0] = qd[2]; for (i=n; i<Lmax; i++) gel(pd,i) = gen_0;
1064 :
1065 37756 : ltop = avma;
1066 37756 : W = cgetg(k+1,t_VEC);
1067 37756 : U = cgetg(k+1,t_VEC);
1068 37756 : for (i=1; i<=k; i++) gel(W,i) = gel(U,i) = gen_0;
1069 :
1070 37756 : gel(RU,0) = gen_1;
1071 37756 : prim2 = gen_1;
1072 120285 : for (i=0; i<K; i++)
1073 : {
1074 82529 : gel(RU,1) = prim2;
1075 82529 : for (j=1; j<n; j++) gel(RU,j+1) = gmul(gel(RU,j),prim2);
1076 : /* RU[j] = prim^(ij)= prim2^j */
1077 :
1078 82529 : for (j=1; j<n; j++) gel(pd,j) = gmul(gel(qd,j+2),gel(RU,j));
1079 82529 : fft(Omega,pd,A,1,Lmax);
1080 82529 : for (j=1; j<=n; j++) gel(pc,j) = gmul(gel(q,j+2),gel(RU,j));
1081 82529 : fft(Omega,pc,B,1,Lmax);
1082 82529 : for (j=0; j<Lmax; j++) gel(C,j) = ginv(gel(B,j));
1083 82529 : for (j=0; j<Lmax; j++) gel(B,j) = gmul(gel(A,j),gel(C,j));
1084 82529 : fft(Omega,B,A,1,Lmax);
1085 82529 : fft(Omega,C,B,1,Lmax);
1086 :
1087 82529 : if (polreal) /* p has real coefficients */
1088 : {
1089 61650 : if (i>0 && i<K-1)
1090 : {
1091 34524 : for (j=1; j<=k; j++)
1092 : {
1093 28659 : gel(W,j) = gadd(gel(W,j), gshift(mulreal(gel(A,j+1),gel(RU,j+1)),1));
1094 28659 : gel(U,j) = gadd(gel(U,j), gshift(mulreal(gel(B,j),gel(RU,j)),1));
1095 : }
1096 : }
1097 : else
1098 : {
1099 156684 : for (j=1; j<=k; j++)
1100 : {
1101 106764 : gel(W,j) = gadd(gel(W,j), mulreal(gel(A,j+1),gel(RU,j+1)));
1102 106764 : gel(U,j) = gadd(gel(U,j), mulreal(gel(B,j),gel(RU,j)));
1103 : }
1104 : }
1105 : }
1106 : else
1107 : {
1108 75187 : for (j=1; j<=k; j++)
1109 : {
1110 48443 : gel(W,j) = gadd(gel(W,j), gmul(gel(A,j+1),gel(RU,j+1)));
1111 48443 : gel(U,j) = gadd(gel(U,j), gmul(gel(B,j),gel(RU,j)));
1112 : }
1113 : }
1114 82529 : prim2 = gmul(prim2,prim);
1115 82529 : gerepileall(ltop,3, &W,&U,&prim2);
1116 : }
1117 :
1118 112368 : for (i=1; i<=k; i++)
1119 : {
1120 74612 : aux=gel(W,i);
1121 74612 : for (j=1; j<i; j++) aux = gadd(aux, gmul(gel(W,i-j),gel(F,k+2-j)));
1122 74612 : gel(F,k+2-i) = gdivgs(aux,-i*NN);
1123 : }
1124 112368 : for (i=0; i<k; i++)
1125 : {
1126 74612 : aux=gel(U,k-i);
1127 74612 : for (j=1+i; j<k; j++) aux = gadd(aux,gmul(gel(F,2+j),gel(U,j-i)));
1128 74612 : gel(H,i+2) = gdivgs(aux,NN);
1129 : }
1130 37756 : }
1131 :
1132 : #define NEWTON_MAX 10
1133 : static GEN
1134 190702 : refine_H(GEN F, GEN G, GEN HH, long bit, long Sbit)
1135 : {
1136 190702 : GEN H = HH, D, aux;
1137 190702 : pari_sp ltop = avma;
1138 : long error, i, bit1, bit2;
1139 :
1140 190702 : D = Rg_RgX_sub(gen_1, RgX_rem(RgX_mul(H,G),F)); error = gexpo(D);
1141 190702 : bit2 = bit + Sbit;
1142 356558 : for (i=0; error>-bit && i<NEWTON_MAX && error<=0; i++)
1143 : {
1144 165856 : if (gc_needed(ltop,1))
1145 : {
1146 0 : if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"refine_H");
1147 0 : gerepileall(ltop,2, &D,&H);
1148 : }
1149 165856 : bit1 = -error + Sbit;
1150 165856 : aux = RgX_mul(mygprec(H,bit1), mygprec(D,bit1));
1151 165856 : aux = RgX_rem(mygprec(aux,bit1), mygprec(F,bit1));
1152 :
1153 165856 : bit1 = -error*2 + Sbit; if (bit1 > bit2) bit1 = bit2;
1154 165856 : H = RgX_add(mygprec(H,bit1), aux);
1155 165856 : D = Rg_RgX_sub(gen_1, RgX_rem(RgX_mul(H,G),F));
1156 165856 : error = gexpo(D); if (error < -bit1) error = -bit1;
1157 : }
1158 190702 : if (error > -bit/2) return NULL; /* FAIL */
1159 190561 : return gerepilecopy(ltop,H);
1160 : }
1161 :
1162 : /* return 0 if fails, 1 else */
1163 : static long
1164 37756 : refine_F(GEN p, GEN *F, GEN *G, GEN H, long bit, double gamma)
1165 : {
1166 37756 : GEN f0, FF, GG, r, HH = H;
1167 37756 : long error, i, bit1 = 0, bit2, Sbit, Sbit2, enh, normF, normG, n = degpol(p);
1168 37756 : pari_sp av = avma;
1169 :
1170 37756 : FF = *F; GG = RgX_divrem(p, FF, &r);
1171 37756 : error = gexpo(r); if (error <= -bit) error = 1-bit;
1172 37756 : normF = gexpo(FF);
1173 37756 : normG = gexpo(GG);
1174 37756 : enh = gexpo(H); if (enh < 0) enh = 0;
1175 37756 : Sbit = normF + 2*normG + enh + (long)(4.*log2((double)n)+gamma) + 1;
1176 37756 : Sbit2 = enh + 2*(normF+normG) + (long)(2.*gamma+5.*log2((double)n)) + 1;
1177 37756 : bit2 = bit + Sbit;
1178 228317 : for (i=0; error>-bit && i<NEWTON_MAX && error<=0; i++)
1179 : {
1180 190702 : if (bit1 == bit2 && i >= 2) { Sbit += n; Sbit2 += n; bit2 += n; }
1181 190702 : if (gc_needed(av,1))
1182 : {
1183 0 : if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"refine_F");
1184 0 : gerepileall(av,4, &FF,&GG,&r,&HH);
1185 : }
1186 :
1187 190702 : bit1 = -error + Sbit2;
1188 190702 : HH = refine_H(mygprec(FF,bit1), mygprec(GG,bit1), mygprec(HH,bit1),
1189 : 1-error, Sbit2);
1190 190702 : if (!HH) return 0; /* FAIL */
1191 :
1192 190561 : bit1 = -error + Sbit;
1193 190561 : r = RgX_mul(mygprec(HH,bit1), mygprec(r,bit1));
1194 190561 : f0 = RgX_rem(mygprec(r,bit1), mygprec(FF,bit1));
1195 :
1196 190561 : bit1 = -2*error + Sbit; if (bit1 > bit2) bit1 = bit2;
1197 190561 : FF = gadd(mygprec(FF,bit1),f0);
1198 :
1199 190561 : bit1 = -3*error + Sbit; if (bit1 > bit2) bit1 = bit2;
1200 190561 : GG = RgX_divrem(mygprec(p,bit1), mygprec(FF,bit1), &r);
1201 190561 : error = gexpo(r); if (error < -bit1) error = -bit1;
1202 : }
1203 37615 : if (error>-bit) return 0; /* FAIL */
1204 35402 : *F = FF; *G = GG; return 1;
1205 : }
1206 :
1207 : /* returns F and G from the unit circle U such that |p-FG|<2^(-bit) |cd|,
1208 : where cd is the leading coefficient of p */
1209 : static void
1210 35402 : split_fromU(GEN p, long k, double delta, long bit,
1211 : GEN *F, GEN *G, double param, double param2)
1212 : {
1213 : GEN pp, FF, GG, H;
1214 35402 : long n = degpol(p), NN, bit2, Lmax;
1215 35402 : int polreal = isreal(p);
1216 : pari_sp ltop;
1217 : double mu, gamma;
1218 :
1219 35402 : pp = gdiv(p, gel(p,2+n));
1220 35402 : parameters(pp, &Lmax,&mu,&gamma, polreal,param,param2);
1221 :
1222 35402 : H = cgetg(k+2,t_POL); H[1] = p[1];
1223 35402 : FF = cgetg(k+3,t_POL); FF[1]= p[1];
1224 35402 : gel(FF,k+2) = gen_1;
1225 :
1226 35402 : NN = (long)(0.5/delta); NN |= 1; if (NN < 2) NN = 2;
1227 35402 : NN *= Lmax; ltop = avma;
1228 : for(;;)
1229 : {
1230 37756 : bit2 = (long)(((double)NN*delta-mu)/LOG2) + gexpo(pp) + 8;
1231 37756 : dft(pp, k, NN, Lmax, bit2, FF, H, polreal);
1232 37756 : if (refine_F(pp,&FF,&GG,H,bit,gamma)) break;
1233 2354 : NN <<= 1; avma = ltop;
1234 2354 : }
1235 35402 : *G = gmul(GG,gel(p,2+n)); *F = FF;
1236 35402 : }
1237 :
1238 : static void
1239 35402 : optimize_split(GEN p, long k, double delta, long bit,
1240 : GEN *F, GEN *G, double param, double param2)
1241 : {
1242 35402 : long n = degpol(p);
1243 : GEN FF, GG;
1244 :
1245 35402 : if (k <= n/2)
1246 26621 : split_fromU(p,k,delta,bit,F,G,param,param2);
1247 : else
1248 : {
1249 8781 : split_fromU(RgX_recip_shallow(p),n-k,delta,bit,&FF,&GG,param,param2);
1250 8781 : *F = RgX_recip_shallow(GG);
1251 8781 : *G = RgX_recip_shallow(FF);
1252 : }
1253 35402 : }
1254 :
1255 : /********************************************************************/
1256 : /** **/
1257 : /** SEARCH FOR SEPARATING CIRCLE **/
1258 : /** **/
1259 : /********************************************************************/
1260 :
1261 : /* return p(2^e*x) *2^(-n*e) */
1262 : static void
1263 0 : scalepol2n(GEN p, long e)
1264 : {
1265 0 : long i,n=lg(p)-1;
1266 0 : for (i=2; i<=n; i++) gel(p,i) = gmul2n(gel(p,i),(i-n)*e);
1267 0 : }
1268 :
1269 : /* returns p(x/R)*R^n */
1270 : static GEN
1271 300324 : scalepol(GEN p, GEN R, long bit)
1272 : {
1273 : GEN q,aux,gR;
1274 : long i;
1275 :
1276 300324 : aux = gR = mygprec(R,bit); q = mygprec(p,bit);
1277 1380590 : for (i=lg(p)-2; i>=2; i--)
1278 : {
1279 1080266 : gel(q,i) = gmul(aux,gel(q,i));
1280 1080266 : aux = gmul(aux,gR);
1281 : }
1282 300324 : return q;
1283 : }
1284 :
1285 : /* return (conj(a)X-1)^n * p[ (X-a) / (conj(a)X-1) ] */
1286 : static GEN
1287 97059 : conformal_pol(GEN p, GEN a)
1288 : {
1289 97059 : GEN z, r, ma = gneg(a), ca = gconj(a);
1290 97059 : long n = degpol(p), i;
1291 97059 : pari_sp av = avma;
1292 :
1293 97059 : z = mkpoln(2, ca, gen_m1);
1294 97059 : r = scalarpol(gel(p,2+n), 0);
1295 340544 : for (i=n-1; ; i--)
1296 : {
1297 340544 : r = RgX_addmulXn_shallow(r, gmul(ma,r), 1); /* r *= (X - a) */
1298 340544 : r = gadd(r, gmul(z, gel(p,2+i)));
1299 437603 : if (i == 0) return gerepileupto(av, r);
1300 243485 : z = RgX_addmulXn_shallow(gmul(z,ca), gneg(z), 1); /* z *= conj(a)X - 1 */
1301 243485 : if (gc_needed(av,2))
1302 : {
1303 0 : if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"conformal_pol");
1304 0 : gerepileall(av,2, &r,&z);
1305 : }
1306 243485 : }
1307 : }
1308 :
1309 : static const double UNDEF = -100000.;
1310 :
1311 : static double
1312 35402 : logradius(double *radii, GEN p, long k, double aux, double *delta)
1313 : {
1314 35402 : long i, n = degpol(p);
1315 : double lrho, lrmin, lrmax;
1316 35402 : if (k > 1)
1317 : {
1318 23189 : i = k-1; while (i>0 && radii[i] == UNDEF) i--;
1319 23189 : lrmin = logpre_modulus(p,k,aux, radii[i], radii[k]);
1320 : }
1321 : else /* k=1 */
1322 12213 : lrmin = logmin_modulus(p,aux);
1323 35402 : radii[k] = lrmin;
1324 :
1325 35402 : if (k+1<n)
1326 : {
1327 29472 : i = k+2; while (i<=n && radii[i] == UNDEF) i++;
1328 29472 : lrmax = logpre_modulus(p,k+1,aux, radii[k+1], radii[i]);
1329 : }
1330 : else /* k+1=n */
1331 5930 : lrmax = logmax_modulus(p,aux);
1332 35402 : radii[k+1] = lrmax;
1333 :
1334 35402 : lrho = radii[k];
1335 82290 : for (i=k-1; i>=1; i--)
1336 : {
1337 46888 : if (radii[i] == UNDEF || radii[i] > lrho)
1338 32668 : radii[i] = lrho;
1339 : else
1340 14220 : lrho = radii[i];
1341 : }
1342 35402 : lrho = radii[k+1];
1343 152701 : for (i=k+1; i<=n; i++)
1344 : {
1345 117299 : if (radii[i] == UNDEF || radii[i] < lrho)
1346 69618 : radii[i] = lrho;
1347 : else
1348 47681 : lrho = radii[i];
1349 : }
1350 35402 : *delta = (lrmax - lrmin) / 2;
1351 35402 : if (*delta > 1.) *delta = 1.;
1352 35402 : return (lrmin + lrmax) / 2;
1353 : }
1354 :
1355 : static void
1356 35402 : update_radius(long n, double *radii, double lrho, double *par, double *par2)
1357 : {
1358 35402 : double t, param = 0., param2 = 0.;
1359 : long i;
1360 234991 : for (i=1; i<=n; i++)
1361 : {
1362 199589 : radii[i] -= lrho;
1363 199589 : t = fabs(rtodbl( invr(subsr(1, dblexp(radii[i]))) ));
1364 199589 : param += t; if (t > 1.) param2 += log2(t);
1365 : }
1366 35402 : *par = param; *par2 = param2;
1367 35402 : }
1368 :
1369 : /* apply the conformal mapping then split from U */
1370 : static void
1371 32353 : conformal_mapping(double *radii, GEN ctr, GEN p, long k, long bit,
1372 : double aux, GEN *F,GEN *G)
1373 : {
1374 32353 : long bit2, n = degpol(p), i;
1375 32353 : pari_sp ltop = avma, av;
1376 : GEN q, FF, GG, a, R;
1377 : double lrho, delta, param, param2;
1378 : /* n * (2.*log2(2.732)+log2(1.5)) + 1 */
1379 32353 : bit2 = bit + (long)(n*3.4848775) + 1;
1380 32353 : a = sqrtr_abs( stor(3, 2*MEDDEFAULTPREC - 2) );
1381 32353 : a = divrs(a, -6);
1382 32353 : a = gmul(mygprec(a,bit2), mygprec(ctr,bit2)); /* a = -ctr/2sqrt(3) */
1383 :
1384 32353 : av = avma;
1385 32353 : q = conformal_pol(mygprec(p,bit2), a);
1386 202625 : for (i=1; i<=n; i++)
1387 170272 : if (radii[i] != UNDEF) /* update array radii */
1388 : {
1389 118950 : pari_sp av2 = avma;
1390 118950 : GEN t, r = dblexp(radii[i]), r2 = sqrr(r);
1391 : /* 2(r^2 - 1) / (r^2 - 3(r-1)) */
1392 118950 : t = divrr(shiftr((subrs(r2,1)),1), subrr(r2, mulur(3,subrs(r,1))));
1393 118950 : radii[i] = mydbllogr(addsr(1,t)) / 2;
1394 118950 : avma = av2;
1395 : }
1396 32353 : lrho = logradius(radii, q,k,aux/10., &delta);
1397 32353 : update_radius(n, radii, lrho, ¶m, ¶m2);
1398 :
1399 32353 : bit2 += (long)(n * fabs(lrho)/LOG2 + 1.);
1400 32353 : R = mygprec(dblexp(-lrho), bit2);
1401 32353 : q = scalepol(q,R,bit2);
1402 32353 : gerepileall(av,2, &q,&R);
1403 :
1404 32353 : optimize_split(q,k,delta,bit2,&FF,&GG,param,param2);
1405 32353 : bit2 += n; R = invr(R);
1406 32353 : FF = scalepol(FF,R,bit2);
1407 32353 : GG = scalepol(GG,R,bit2);
1408 :
1409 32353 : a = mygprec(a,bit2);
1410 32353 : FF = conformal_pol(FF,a);
1411 32353 : GG = conformal_pol(GG,a);
1412 :
1413 32353 : a = invr(subsr(1, gnorm(a)));
1414 32353 : FF = RgX_Rg_mul(FF, powru(a,k));
1415 32353 : GG = RgX_Rg_mul(GG, powru(a,n-k));
1416 :
1417 32353 : *F = mygprec(FF,bit+n);
1418 32353 : *G = mygprec(GG,bit+n); gerepileall(ltop,2, F,G);
1419 32353 : }
1420 :
1421 : /* split p, this time without scaling. returns in F and G two polynomials
1422 : * such that |p-FG|< 2^(-bit)|p| */
1423 : static void
1424 35402 : split_2(GEN p, long bit, GEN ctr, double thickness, GEN *F, GEN *G)
1425 : {
1426 : GEN q, FF, GG, R;
1427 : double aux, delta, param, param2;
1428 35402 : long n = degpol(p), i, j, k, bit2;
1429 : double lrmin, lrmax, lrho, *radii;
1430 :
1431 35402 : radii = (double*) stack_malloc_align((n+1) * sizeof(double), sizeof(double));
1432 :
1433 35402 : for (i=2; i<n; i++) radii[i] = UNDEF;
1434 35402 : aux = thickness/(double)(4 * n);
1435 35402 : lrmin = logmin_modulus(p, aux);
1436 35402 : lrmax = logmax_modulus(p, aux);
1437 35402 : radii[1] = lrmin;
1438 35402 : radii[n] = lrmax;
1439 35402 : i = 1; j = n;
1440 35402 : lrho = (lrmin + lrmax) / 2;
1441 35402 : k = dual_modulus(p, lrho, aux, 1);
1442 35402 : if (5*k < n || (n < 2*k && 5*k < 4*n))
1443 7108 : { lrmax = lrho; j=k+1; radii[j] = lrho; }
1444 : else
1445 28294 : { lrmin = lrho; i=k; radii[i] = lrho; }
1446 112513 : while (j > i+1)
1447 : {
1448 41709 : if (i+j == n+1)
1449 17321 : lrho = (lrmin + lrmax) / 2;
1450 : else
1451 : {
1452 24388 : double kappa = 2. - log(1. + minss(i,n-j)) / log(1. + minss(j,n-i));
1453 24388 : if (i+j < n+1) lrho = lrmax * kappa + lrmin;
1454 17992 : else lrho = lrmin * kappa + lrmax;
1455 24388 : lrho /= 1+kappa;
1456 : }
1457 41709 : aux = (lrmax - lrmin) / (4*(j-i));
1458 41709 : k = dual_modulus(p, lrho, aux, minss(i,n+1-j));
1459 41709 : if (k-i < j-k-1 || (k-i == j-k-1 && 2*k > n))
1460 28675 : { lrmax = lrho; j=k+1; radii[j] = lrho - aux; }
1461 : else
1462 13034 : { lrmin = lrho; i=k; radii[i] = lrho + aux; }
1463 : }
1464 35402 : aux = lrmax - lrmin;
1465 :
1466 35402 : if (ctr)
1467 : {
1468 32353 : lrho = (lrmax + lrmin) / 2;
1469 202625 : for (i=1; i<=n; i++)
1470 170272 : if (radii[i] != UNDEF) radii[i] -= lrho;
1471 :
1472 32353 : bit2 = bit + (long)(n * fabs(lrho)/LOG2 + 1.);
1473 32353 : R = mygprec(dblexp(-lrho), bit2);
1474 32353 : q = scalepol(p,R,bit2);
1475 32353 : conformal_mapping(radii, ctr, q, k, bit2, aux, &FF, &GG);
1476 : }
1477 : else
1478 : {
1479 3049 : lrho = logradius(radii, p, k, aux/10., &delta);
1480 3049 : update_radius(n, radii, lrho, ¶m, ¶m2);
1481 :
1482 3049 : bit2 = bit + (long)(n * fabs(lrho)/LOG2 + 1.);
1483 3049 : R = mygprec(dblexp(-lrho), bit2);
1484 3049 : q = scalepol(p,R,bit2);
1485 3049 : optimize_split(q, k, delta, bit2, &FF, &GG, param, param2);
1486 : }
1487 35402 : bit += n;
1488 35402 : bit2 += n; R = invr(mygprec(R,bit2));
1489 35402 : *F = mygprec(scalepol(FF,R,bit2), bit);
1490 35402 : *G = mygprec(scalepol(GG,R,bit2), bit);
1491 35402 : }
1492 :
1493 : /* procedure corresponding to steps 5,6,.. page 44 in RR n. 1852 */
1494 : /* put in F and G two polynomial such that |p-FG|<2^(-bit)|p|
1495 : * where the maximum modulus of the roots of p is <=1.
1496 : * Assume sum of roots is 0. */
1497 : static void
1498 32353 : split_1(GEN p, long bit, GEN *F, GEN *G)
1499 : {
1500 32353 : long i, imax, n = degpol(p), polreal = isreal(p), ep = gexpo(p), bit2 = bit+n;
1501 : GEN ctr, q, qq, FF, GG, v, gr, r, newq;
1502 : double lrmin, lrmax, lthick;
1503 32353 : const double LOG3 = 1.098613;
1504 :
1505 32353 : lrmax = logmax_modulus(p, 0.01);
1506 32353 : gr = mygprec(dblexp(-lrmax), bit2);
1507 32353 : q = scalepol(p,gr,bit2);
1508 :
1509 32353 : bit2 = bit + gexpo(q) - ep + (long)((double)n*2.*log2(3.)+1);
1510 32353 : v = cgetg(5,t_VEC);
1511 32353 : gel(v,1) = gen_2;
1512 32353 : gel(v,2) = gen_m2;
1513 32353 : gel(v,3) = mkcomplex(gen_0, gel(v,1));
1514 32353 : gel(v,4) = mkcomplex(gen_0, gel(v,2));
1515 32353 : q = mygprec(q,bit2); lthick = 0;
1516 32353 : newq = ctr = NULL; /* -Wall */
1517 32353 : imax = polreal? 3: 4;
1518 61697 : for (i=1; i<=imax; i++)
1519 : {
1520 60795 : qq = RgX_translate(q, gel(v,i));
1521 60795 : lrmin = logmin_modulus(qq,0.05);
1522 60795 : if (LOG3 > lrmin + lthick)
1523 : {
1524 59202 : double lquo = logmax_modulus(qq,0.05) - lrmin;
1525 59202 : if (lquo > lthick) { lthick = lquo; newq = qq; ctr = gel(v,i); }
1526 : }
1527 60795 : if (lthick > LOG2) break;
1528 33917 : if (polreal && i==2 && lthick > LOG3 - LOG2) break;
1529 : }
1530 32353 : bit2 = bit + gexpo(newq) - ep + (long)(n*LOG3/LOG2 + 1);
1531 32353 : split_2(newq, bit2, ctr, lthick, &FF, &GG);
1532 32353 : r = gneg(mygprec(ctr,bit2));
1533 32353 : FF = RgX_translate(FF,r);
1534 32353 : GG = RgX_translate(GG,r);
1535 :
1536 32353 : gr = invr(gr); bit2 = bit - ep + gexpo(FF)+gexpo(GG);
1537 32353 : *F = scalepol(FF,gr,bit2);
1538 32353 : *G = scalepol(GG,gr,bit2);
1539 32353 : }
1540 :
1541 : /* put in F and G two polynomials such that |P-FG|<2^(-bit)|P|,
1542 : where the maximum modulus of the roots of p is < 0.5 */
1543 : static int
1544 32488 : split_0_2(GEN p, long bit, GEN *F, GEN *G)
1545 : {
1546 : GEN q, b, FF, GG;
1547 32488 : long n = degpol(p), k, bit2, eq;
1548 32488 : double aux = dbllog2(gel(p,n+1)) - dbllog2(gel(p,n+2));
1549 :
1550 : /* beware double overflow */
1551 32488 : if (aux >= 0 && (aux > 1e4 || exp2(aux) > 2.5*n)) return 0;
1552 :
1553 32488 : aux = (aux < -300)? 0.: n*log2(1 + exp2(aux)/(double)n);
1554 32488 : bit2 = bit+1 + (long)(log2((double)n) + aux);
1555 :
1556 32488 : q = mygprec(p,bit2);
1557 32488 : b = gdivgs(gdiv(gel(q,n+1),gel(q,n+2)),-n);
1558 32488 : q = RgX_translate(q,b); gel(q,n+1) = gen_0; eq = gexpo(q);
1559 32488 : k = 0;
1560 65341 : while (k <= n/2 && (- gexpo(gel(q,k+2)) > bit2 + 2*(n-k) + eq
1561 32731 : || gequal0(gel(q,k+2)))) k++;
1562 32488 : if (k > 0)
1563 : {
1564 135 : if (k > n/2) k = n/2;
1565 135 : bit2 += k<<1;
1566 135 : FF = pol_xn(k, 0);
1567 135 : GG = RgX_shift_shallow(q, -k);
1568 : }
1569 : else
1570 : {
1571 32353 : split_1(q,bit2,&FF,&GG);
1572 32353 : bit2 = bit + gexpo(FF) + gexpo(GG) - gexpo(p) + (long)aux+1;
1573 32353 : FF = mygprec(FF,bit2);
1574 : }
1575 32488 : GG = mygprec(GG,bit2); b = mygprec(gneg(b),bit2);
1576 32488 : *F = RgX_translate(FF, b);
1577 32488 : *G = RgX_translate(GG, b); return 1;
1578 : }
1579 :
1580 : /* put in F and G two polynomials such that |P-FG|<2^(-bit)|P|.
1581 : * Assume max_modulus(p) < 2 */
1582 : static void
1583 32488 : split_0_1(GEN p, long bit, GEN *F, GEN *G)
1584 : {
1585 : GEN FF, GG;
1586 : long n, bit2, normp;
1587 :
1588 64976 : if (split_0_2(p,bit,F,G)) return;
1589 :
1590 0 : normp = gexpo(p);
1591 0 : scalepol2n(p,2); /* p := 4^(-n) p(4*x) */
1592 0 : n = degpol(p); bit2 = bit + 2*n + gexpo(p) - normp;
1593 0 : split_1(mygprec(p,bit2), bit2,&FF,&GG);
1594 0 : scalepol2n(FF,-2);
1595 0 : scalepol2n(GG,-2); bit2 = bit + gexpo(FF) + gexpo(GG) - normp;
1596 0 : *F = mygprec(FF,bit2);
1597 0 : *G = mygprec(GG,bit2);
1598 : }
1599 :
1600 : /* put in F and G two polynomials such that |P-FG|<2^(-bit)|P| */
1601 : static void
1602 35537 : split_0(GEN p, long bit, GEN *F, GEN *G)
1603 : {
1604 35537 : const double LOG1_9 = 0.6418539;
1605 35537 : long n = degpol(p), k = 0;
1606 : GEN q;
1607 :
1608 35537 : while (gexpo(gel(p,k+2)) < -bit && k <= n/2) k++;
1609 35537 : if (k > 0)
1610 : {
1611 0 : if (k > n/2) k = n/2;
1612 0 : *F = pol_xn(k, 0);
1613 0 : *G = RgX_shift_shallow(p, -k);
1614 : }
1615 : else
1616 : {
1617 35537 : double lr = logmax_modulus(p, 0.05);
1618 35537 : if (lr < LOG1_9) split_0_1(p, bit, F, G);
1619 : else
1620 : {
1621 26937 : q = RgX_recip_shallow(p);
1622 26937 : lr = logmax_modulus(q,0.05);
1623 26937 : if (lr < LOG1_9)
1624 : {
1625 23888 : split_0_1(q, bit, F, G);
1626 23888 : *F = RgX_recip_shallow(*F);
1627 23888 : *G = RgX_recip_shallow(*G);
1628 : }
1629 : else
1630 3049 : split_2(p,bit,NULL, 1.2837,F,G);
1631 : }
1632 : }
1633 35537 : }
1634 :
1635 : /********************************************************************/
1636 : /** **/
1637 : /** ERROR ESTIMATE FOR THE ROOTS **/
1638 : /** **/
1639 : /********************************************************************/
1640 :
1641 : static GEN
1642 138802 : root_error(long n, long k, GEN roots_pol, long err, GEN shatzle)
1643 : {
1644 138802 : GEN rho, d, eps, epsbis, eps2, aux, rap = NULL;
1645 : long i, j;
1646 :
1647 138802 : d = cgetg(n+1,t_VEC);
1648 1631596 : for (i=1; i<=n; i++)
1649 : {
1650 1492794 : if (i!=k)
1651 : {
1652 1353992 : aux = gsub(gel(roots_pol,i), gel(roots_pol,k));
1653 1353992 : gel(d,i) = gabs(mygprec(aux,31), DEFAULTPREC);
1654 : }
1655 : }
1656 138802 : rho = gabs(mygprec(gel(roots_pol,k),31), DEFAULTPREC);
1657 138802 : if (expo(rho) < 0) rho = real_1(DEFAULTPREC);
1658 138802 : eps = mulrr(rho, shatzle);
1659 138802 : aux = shiftr(powru(rho,n), err);
1660 :
1661 433239 : for (j=1; j<=2 || (j<=5 && cmprr(rap, dbltor(1.2)) > 0); j++)
1662 : {
1663 294437 : GEN prod = NULL; /* 1. */
1664 294437 : long m = n;
1665 294437 : epsbis = mulrr(eps, dbltor(1.25));
1666 3955299 : for (i=1; i<=n; i++)
1667 : {
1668 3660862 : if (i != k && cmprr(gel(d,i),epsbis) > 0)
1669 : {
1670 3335591 : GEN dif = subrr(gel(d,i),eps);
1671 3335591 : prod = prod? mulrr(prod, dif): dif;
1672 3335591 : m--;
1673 : }
1674 : }
1675 294437 : eps2 = prod? divrr(aux, prod): aux;
1676 294437 : if (m > 1) eps2 = sqrtnr(shiftr(eps2, 2*m-2), m);
1677 294437 : rap = divrr(eps,eps2); eps = eps2;
1678 : }
1679 138802 : return eps;
1680 : }
1681 :
1682 : /* round a complex or real number x to an absolute value of 2^(-bit) */
1683 : static GEN
1684 336350 : mygprec_absolute(GEN x, long bit)
1685 : {
1686 : long e;
1687 : GEN y;
1688 :
1689 336350 : switch(typ(x))
1690 : {
1691 : case t_REAL:
1692 220988 : e = expo(x) + bit;
1693 220988 : return (e <= 0 || !signe(x))? real_0_bit(-bit): rtor(x, nbits2prec(e));
1694 : case t_COMPLEX:
1695 100162 : if (gexpo(gel(x,2)) < -bit) return mygprec_absolute(gel(x,1),bit);
1696 97386 : y = cgetg(3,t_COMPLEX);
1697 97386 : gel(y,1) = mygprec_absolute(gel(x,1),bit);
1698 97386 : gel(y,2) = mygprec_absolute(gel(x,2),bit);
1699 97386 : return y;
1700 15200 : default: return x;
1701 : }
1702 : }
1703 :
1704 : static long
1705 31832 : a_posteriori_errors(GEN p, GEN roots_pol, long err)
1706 : {
1707 31832 : long i, n = degpol(p), e_max = -(long)EXPOBITS;
1708 : GEN sigma, shatzle;
1709 :
1710 31832 : err += (long)log2((double)n) + 1;
1711 31832 : if (err > -2) return 0;
1712 31832 : sigma = real2n(-err, LOWDEFAULTPREC);
1713 : /* 2 / ((s - 1)^(1/n) - 1) */
1714 31832 : shatzle = divur(2, subrs(sqrtnr(subrs(sigma,1),n), 1));
1715 170634 : for (i=1; i<=n; i++)
1716 : {
1717 138802 : pari_sp av = avma;
1718 138802 : GEN x = root_error(n,i,roots_pol,err,shatzle);
1719 138802 : long e = gexpo(x);
1720 138802 : avma = av; if (e > e_max) e_max = e;
1721 138802 : gel(roots_pol,i) = mygprec_absolute(gel(roots_pol,i), -e);
1722 : }
1723 31832 : return e_max;
1724 : }
1725 :
1726 : /********************************************************************/
1727 : /** **/
1728 : /** MAIN **/
1729 : /** **/
1730 : /********************************************************************/
1731 : static GEN
1732 108821 : append_clone(GEN r, GEN a) { a = gclone(a); vectrunc_append(r, a); return a; }
1733 :
1734 : /* put roots in placeholder roots_pol so that |P - L_1...L_n| < 2^(-bit)|P|
1735 : * returns prod (x-roots_pol[i]) */
1736 : static GEN
1737 102906 : split_complete(GEN p, long bit, GEN roots_pol)
1738 : {
1739 102906 : long n = degpol(p);
1740 : pari_sp ltop;
1741 : GEN p1, F, G, a, b, m1, m2;
1742 :
1743 102906 : if (n == 1)
1744 : {
1745 25917 : a = gneg_i(gdiv(gel(p,2), gel(p,3)));
1746 25917 : (void)append_clone(roots_pol,a); return p;
1747 : }
1748 76989 : ltop = avma;
1749 76989 : if (n == 2)
1750 : {
1751 41452 : F = gsub(gsqr(gel(p,3)), gmul2n(gmul(gel(p,2),gel(p,4)), 2));
1752 41452 : F = gsqrt(F, nbits2prec(bit));
1753 41452 : p1 = ginv(gmul2n(gel(p,4),1));
1754 41452 : a = gneg_i(gmul(gadd(F,gel(p,3)), p1));
1755 41452 : b = gmul(gsub(F,gel(p,3)), p1);
1756 41452 : a = append_clone(roots_pol,a);
1757 41452 : b = append_clone(roots_pol,b); avma = ltop;
1758 41452 : a = mygprec(a, 3*bit);
1759 41452 : b = mygprec(b, 3*bit);
1760 41452 : return gmul(gel(p,4), mkpoln(3, gen_1, gneg(gadd(a,b)), gmul(a,b)));
1761 : }
1762 35537 : split_0(p,bit,&F,&G);
1763 35537 : m1 = split_complete(F,bit,roots_pol);
1764 35537 : m2 = split_complete(G,bit,roots_pol);
1765 35537 : return gerepileupto(ltop, gmul(m1,m2));
1766 : }
1767 :
1768 : static GEN
1769 500006 : quicktofp(GEN x)
1770 : {
1771 500006 : const long prec = DEFAULTPREC;
1772 500006 : switch(typ(x))
1773 : {
1774 490430 : case t_INT: return itor(x, prec);
1775 4095 : case t_REAL: return rtor(x, prec);
1776 0 : case t_FRAC: return fractor(x, prec);
1777 : case t_COMPLEX: {
1778 5481 : GEN a = gel(x,1), b = gel(x,2);
1779 : /* avoid problem with 0, e.g. x = 0 + I*1e-100. We don't want |x| = 0. */
1780 5481 : if (isintzero(a)) return cxcompotor(b, prec);
1781 5481 : if (isintzero(b)) return cxcompotor(a, prec);
1782 5481 : a = cxcompotor(a, prec);
1783 5481 : b = cxcompotor(b, prec); return sqrtr(addrr(sqrr(a), sqrr(b)));
1784 : }
1785 0 : default: pari_err_TYPE("quicktofp",x);
1786 : return NULL;/*LCOV_EXCL_LINE*/
1787 : }
1788 :
1789 : }
1790 :
1791 : /* bound log_2 |largest root of p| (Fujiwara's bound) */
1792 : double
1793 120085 : fujiwara_bound(GEN p)
1794 : {
1795 120085 : pari_sp av = avma;
1796 120085 : long i, n = degpol(p);
1797 : GEN cc;
1798 : double loglc, Lmax;
1799 :
1800 120085 : if (n <= 0) pari_err_CONSTPOL("fujiwara_bound");
1801 120085 : loglc = mydbllog2r( quicktofp(gel(p,n+2)) ); /* log_2 |lc(p)| */
1802 120085 : cc = gel(p, 2);
1803 120085 : if (gequal0(cc))
1804 16906 : Lmax = -pariINFINITY-1;
1805 : else
1806 103179 : Lmax = (mydbllog2r(quicktofp(cc)) - loglc - 1) / n;
1807 477698 : for (i = 1; i < n; i++)
1808 : {
1809 357613 : GEN y = gel(p,i+2);
1810 : double L;
1811 357613 : if (gequal0(y)) continue;
1812 276742 : L = (mydbllog2r(quicktofp(y)) - loglc) / (n-i);
1813 276742 : if (L > Lmax) Lmax = L;
1814 : }
1815 120085 : avma = av; return Lmax + 1;
1816 : }
1817 :
1818 : /* Fujiwara's bound, real roots. Based on the following remark: if
1819 : * p = x^n + sum a_i x^i and q = x^n + sum min(a_i,0)x^i
1820 : * then for all x >= 0, p(x) >= q(x). Thus any bound for the (positive) roots
1821 : * of q is a bound for the positive roots of p. */
1822 : double
1823 24051 : fujiwara_bound_real(GEN p, long sign)
1824 : {
1825 24051 : pari_sp av = avma;
1826 : GEN x;
1827 24051 : long n = degpol(p), i, signodd, signeven;
1828 : double fb;
1829 24051 : if (n <= 0) pari_err_CONSTPOL("fujiwara_bound");
1830 24051 : x = shallowcopy(p);
1831 24051 : if (gsigne(gel(x, n+2)) > 0)
1832 : {
1833 24051 : signeven = 1;
1834 24051 : signodd = sign;
1835 : }
1836 : else
1837 : {
1838 0 : signeven = -1;
1839 0 : signodd = -sign;
1840 : }
1841 118113 : for (i = 0; i < n; i++)
1842 : {
1843 94062 : if ((n - i) % 2)
1844 : {
1845 49354 : if (gsigne(gel(x, i+2)) == signodd ) gel(x, i+2) = gen_0;
1846 : }
1847 : else
1848 : {
1849 44708 : if (gsigne(gel(x, i+2)) == signeven) gel(x, i+2) = gen_0;
1850 : }
1851 : }
1852 24051 : fb = fujiwara_bound(x);
1853 24051 : avma = av; return fb;
1854 : }
1855 :
1856 : static GEN
1857 182212 : mygprecrc_special(GEN x, long prec, long e)
1858 : {
1859 : GEN y;
1860 182212 : switch(typ(x))
1861 : {
1862 : case t_REAL:
1863 16259 : if (!signe(x)) return real_0_bit(minss(e, expo(x)));
1864 15838 : return (prec > realprec(x))? rtor(x, prec): x;
1865 : case t_COMPLEX:
1866 5789 : y = cgetg(3,t_COMPLEX);
1867 5789 : gel(y,1) = mygprecrc_special(gel(x,1),prec,e);
1868 5789 : gel(y,2) = mygprecrc_special(gel(x,2),prec,e);
1869 5789 : return y;
1870 160164 : default: return x;
1871 : }
1872 : }
1873 :
1874 : /* like mygprec but keep at least the same precision as before */
1875 : static GEN
1876 31832 : mygprec_special(GEN x, long bit)
1877 : {
1878 : long lx, i, e, prec;
1879 : GEN y;
1880 :
1881 31832 : if (bit < 0) bit = 0; /* should not happen */
1882 31832 : e = gexpo(x) - bit;
1883 31832 : prec = nbits2prec(bit);
1884 31832 : switch(typ(x))
1885 : {
1886 : case t_POL:
1887 31832 : y = cgetg_copy(x, &lx); y[1] = x[1];
1888 31832 : for (i=2; i<lx; i++) gel(y,i) = mygprecrc_special(gel(x,i),prec,e);
1889 31832 : break;
1890 :
1891 0 : default: y = mygprecrc_special(x,prec,e);
1892 : }
1893 31832 : return y;
1894 : }
1895 :
1896 : static GEN
1897 20627 : fix_roots1(GEN r)
1898 : {
1899 20627 : long i, l = lg(r);
1900 20627 : GEN allr = cgetg(l, t_VEC);
1901 106791 : for (i=1; i<l; i++)
1902 : {
1903 86164 : GEN t = gel(r,i);
1904 86164 : gel(allr,i) = gcopy(t); gunclone(t);
1905 : }
1906 20627 : return allr;
1907 : }
1908 : static GEN
1909 31832 : fix_roots(GEN r, GEN *m, long h, long bit)
1910 : {
1911 : long i, j, k, l, prec;
1912 : GEN allr, ro1;
1913 31832 : if (h == 1) return fix_roots1(r);
1914 11205 : prec = nbits2prec(bit);
1915 11205 : ro1 = grootsof1(h, prec) + 1;
1916 11205 : l = lg(r)-1;
1917 11205 : allr = cgetg(h*l+1, t_VEC);
1918 33862 : for (k=1,i=1; i<=l; i++)
1919 : {
1920 22657 : GEN p2, p1 = gel(r,i);
1921 22657 : p2 = (h == 2)? gsqrt(p1, prec): gsqrtn(p1, utoipos(h), NULL, prec);
1922 22657 : for (j=0; j<h; j++) gel(allr,k++) = gmul(p2, gel(ro1,j));
1923 22657 : gunclone(p1);
1924 : }
1925 11205 : *m = roots_to_pol(allr, 0);
1926 11205 : return allr;
1927 : }
1928 :
1929 : static GEN
1930 31478 : all_roots(GEN p, long bit)
1931 : {
1932 : GEN lc, pd, q, roots_pol, m;
1933 31478 : long bit0, bit2, i, e, h, n = degpol(p);
1934 : pari_sp av;
1935 :
1936 31478 : pd = RgX_deflate_max(p, &h); lc = leading_coeff(pd);
1937 31478 : e = (long)(2 * fujiwara_bound(pd)); if (e < 0) e = 0;
1938 31478 : bit0 = bit + gexpo(pd) - gexpo(lc) + (long)log2(n/h)+1+e;
1939 31478 : bit2 = bit0; e = 0;
1940 31832 : for (av=avma,i=1;; i++,avma=av)
1941 : {
1942 31832 : roots_pol = vectrunc_init(n+1);
1943 31832 : bit2 += e + (n << i);
1944 31832 : q = RgX_gtofp_bit(mygprec(pd,bit2), bit2);
1945 31832 : q[1] = evalsigne(1)|evalvarn(0);
1946 31832 : m = split_complete(q,bit2,roots_pol);
1947 31832 : roots_pol = fix_roots(roots_pol, &m, h, bit2);
1948 31832 : q = mygprec_special(p,bit2); lc = leading_coeff(q);
1949 31832 : q[1] = evalsigne(1)|evalvarn(0);
1950 31832 : if (h > 1) m = gmul(m,lc);
1951 :
1952 31832 : e = gexpo(gsub(q, m)) - gexpo(lc) + (long)log2((double)n) + 1;
1953 31832 : if (e < -2*bit2) e = -2*bit2; /* avoid e = -pariINFINITY */
1954 31832 : if (e < 0)
1955 : {
1956 31832 : e = bit + a_posteriori_errors(p,roots_pol,e);
1957 63310 : if (e < 0) return roots_pol;
1958 : }
1959 354 : if (DEBUGLEVEL > 7)
1960 0 : err_printf("all_roots: restarting, i = %ld, e = %ld\n", i,e);
1961 354 : }
1962 : }
1963 :
1964 : INLINE int
1965 7585 : isexactscalar(GEN x) { long tx = typ(x); return is_rational_t(tx); }
1966 :
1967 : static int
1968 4621 : isexactpol(GEN p)
1969 : {
1970 4621 : long i,n = degpol(p);
1971 8475 : for (i=0; i<=n; i++)
1972 7585 : if (!isexactscalar(gel(p,i+2))) return 0;
1973 890 : return 1;
1974 : }
1975 :
1976 : static GEN
1977 890 : solve_exact_pol(GEN p, long bit)
1978 : {
1979 890 : long i, j, k, m, n = degpol(p), iroots = 0;
1980 890 : GEN ex, factors, v = zerovec(n);
1981 :
1982 890 : factors = ZX_squff(Q_primpart(p), &ex);
1983 1780 : for (i=1; i<lg(factors); i++)
1984 : {
1985 890 : GEN roots_fact = all_roots(gel(factors,i), bit);
1986 890 : n = degpol(gel(factors,i));
1987 890 : m = ex[i];
1988 3546 : for (j=1; j<=n; j++)
1989 2656 : for (k=1; k<=m; k++) v[++iroots] = roots_fact[j];
1990 : }
1991 890 : return v;
1992 : }
1993 :
1994 : /* return the roots of p with absolute error bit */
1995 : static GEN
1996 4621 : roots_com(GEN q, long bit)
1997 : {
1998 : GEN L, p;
1999 4621 : long v = RgX_valrem_inexact(q, &p);
2000 4621 : int ex = isexactpol(p);
2001 4621 : if (!ex) p = RgX_normalize1(p);
2002 4621 : if (lg(p) == 3)
2003 7 : L = cgetg(1,t_VEC); /* constant polynomial */
2004 : else
2005 4614 : L = ex? solve_exact_pol(p,bit): all_roots(p,bit);
2006 4621 : if (v)
2007 : {
2008 112 : GEN M, z, t = gel(q,2);
2009 : long i, x, y, l, n;
2010 :
2011 112 : if (isrationalzero(t)) x = -bit;
2012 : else
2013 : {
2014 14 : n = gexpo(t);
2015 14 : x = n / v; l = degpol(q);
2016 56 : for (i = v; i <= l; i++)
2017 : {
2018 42 : t = gel(q,i+2);
2019 42 : if (isrationalzero(t)) continue;
2020 42 : y = (n - gexpo(t)) / i;
2021 42 : if (y < x) x = y;
2022 : }
2023 : }
2024 112 : z = real_0_bit(x); l = v + lg(L);
2025 112 : M = cgetg(l, t_VEC); L -= v;
2026 112 : for (i = 1; i <= v; i++) gel(M,i) = z;
2027 112 : for ( ; i < l; i++) gel(M,i) = gel(L,i);
2028 112 : L = M;
2029 : }
2030 4621 : return L;
2031 : }
2032 :
2033 : static GEN
2034 101735 : tocomplex(GEN x, long l, long bit)
2035 : {
2036 : GEN y;
2037 101735 : if (typ(x) == t_COMPLEX)
2038 : {
2039 96272 : if (signe(gel(x,1))) return mygprecrc(x, l, -bit);
2040 15040 : x = gel(x,2);
2041 15040 : y = cgetg(3,t_COMPLEX);
2042 15040 : gel(y,1) = real_0_bit(-bit);
2043 15040 : gel(y,2) = mygprecrc(x, l, -bit);
2044 : }
2045 : else
2046 : {
2047 5463 : y = cgetg(3,t_COMPLEX);
2048 5463 : gel(y,1) = mygprecrc(x, l, -bit);
2049 5463 : gel(y,2) = real_0_bit(-bit);
2050 : }
2051 20503 : return y;
2052 : }
2053 :
2054 : /* x,y are t_COMPLEX of t_REALs or t_REAL, compare lexicographically,
2055 : * up to 2^-e absolute error */
2056 : static int
2057 225647 : cmp_complex_appr(void *E, GEN x, GEN y)
2058 : {
2059 225647 : long e = (long)E;
2060 : GEN z, xi, yi, xr, yr;
2061 : long sxi, syi;
2062 225647 : if (typ(x) == t_COMPLEX) { xr = gel(x,1); xi = gel(x,2); sxi = signe(xi); }
2063 79368 : else { xr = x; xi = NULL; sxi = 0; }
2064 225647 : if (typ(y) == t_COMPLEX) { yr = gel(y,1); yi = gel(y,2); syi = signe(yi); }
2065 72104 : else { yr = y; yi = NULL; syi = 0; }
2066 : /* Compare absolute values of imaginary parts */
2067 225647 : if (!sxi)
2068 : {
2069 85103 : if (syi && expo(yi) >= e) return -1;
2070 : /* |Im x| ~ |Im y| ~ 0 */
2071 : }
2072 140544 : else if (!syi)
2073 : {
2074 3517 : if (sxi && expo(xi) >= e) return 1;
2075 : /* |Im x| ~ |Im y| ~ 0 */
2076 : }
2077 : else
2078 : {
2079 : long sz;
2080 137027 : z = addrr_sign(xi, 1, yi, -1);
2081 137027 : sz = signe(z);
2082 137027 : if (sz && expo(z) >= e) return (int)sz;
2083 : }
2084 : /* |Im x| ~ |Im y|, sort according to real parts */
2085 133769 : z = subrr(xr, yr);
2086 133769 : if (expo(z) >= e) return (int)signe(z);
2087 : /* Re x ~ Re y. Place negative absolute value before positive */
2088 41560 : return (int) (sxi - syi);
2089 : }
2090 :
2091 : static GEN
2092 31485 : clean_roots(GEN L, long l, long bit, long clean)
2093 : {
2094 31485 : long i, n = lg(L), ex = 5 - bit;
2095 31485 : GEN res = cgetg(n,t_COL);
2096 168029 : for (i=1; i<n; i++)
2097 : {
2098 136544 : GEN c = gel(L,i);
2099 136544 : if (clean && isrealappr(c,ex))
2100 : {
2101 34809 : if (typ(c) == t_COMPLEX) c = gel(c,1);
2102 34809 : c = mygprecrc(c, l, -bit);
2103 : }
2104 : else
2105 101735 : c = tocomplex(c, l, bit);
2106 136544 : gel(res,i) = c;
2107 : }
2108 31485 : gen_sort_inplace(res, (void*)ex, &cmp_complex_appr, NULL);
2109 31485 : return res;
2110 : }
2111 :
2112 : /* the vector of roots of p, with absolute error 2^(- prec2nbits(l)) */
2113 : static GEN
2114 4649 : roots_aux(GEN p, long l, long clean)
2115 : {
2116 4649 : pari_sp av = avma;
2117 : long bit;
2118 : GEN L;
2119 :
2120 4649 : if (typ(p) != t_POL)
2121 : {
2122 21 : if (gequal0(p)) pari_err_ROOTS0("roots");
2123 14 : if (!isvalidcoeff(p)) pari_err_TYPE("roots",p);
2124 7 : return cgetg(1,t_COL); /* constant polynomial */
2125 : }
2126 4628 : if (!signe(p)) pari_err_ROOTS0("roots");
2127 4628 : checkvalidpol(p,"roots");
2128 4621 : if (lg(p) == 3) return cgetg(1,t_COL); /* constant polynomial */
2129 4621 : if (l < LOWDEFAULTPREC) l = LOWDEFAULTPREC;
2130 4621 : bit = prec2nbits(l);
2131 4621 : L = roots_com(p, bit);
2132 4621 : return gerepileupto(av, clean_roots(L, l, bit, clean));
2133 : }
2134 : GEN
2135 4502 : roots(GEN p, long l) { return roots_aux(p,l, 0); }
2136 : /* clean up roots. If root is real replace it by its real part */
2137 : GEN
2138 147 : cleanroots(GEN p, long l) { return roots_aux(p,l, 1); }
2139 :
2140 : /* private variant of conjvec. Allow non rational coefficients, shallow
2141 : * function. */
2142 : GEN
2143 77 : polmod_to_embed(GEN x, long prec)
2144 : {
2145 77 : GEN v, T = gel(x,1), A = gel(x,2);
2146 : long i, l;
2147 77 : if (typ(A) != t_POL || varn(A) != varn(T))
2148 : {
2149 0 : checkvalidpol(T,"polmod_to_embed");
2150 0 : return const_col(degpol(T), A);
2151 : }
2152 77 : v = cleanroots(T,prec); l = lg(v);
2153 77 : for (i=1; i<l; i++) gel(v,i) = poleval(A,gel(v,i));
2154 77 : return v;
2155 : }
2156 :
2157 : GEN
2158 26864 : QX_complex_roots(GEN p, long l)
2159 : {
2160 26864 : pari_sp av = avma;
2161 : long bit;
2162 : GEN L;
2163 :
2164 26864 : if (!signe(p)) pari_err_ROOTS0("QX_complex_roots");
2165 26864 : if (lg(p) == 3) return cgetg(1,t_COL); /* constant polynomial */
2166 26864 : if (l < LOWDEFAULTPREC) l = LOWDEFAULTPREC;
2167 26864 : bit = prec2nbits(l);
2168 26864 : L = all_roots(Q_primpart(p), bit);
2169 26864 : return gerepileupto(av, clean_roots(L, l, bit, 1));
2170 : }
2171 :
2172 : /********************************************************************/
2173 : /** **/
2174 : /** REAL ROOTS OF INTEGER POLYNOMIAL **/
2175 : /** **/
2176 : /********************************************************************/
2177 :
2178 : /* Count sign changes in the coefficients of (x+1)^deg(P)*P(1/(x+1))
2179 : * The inversion is implicit (we take coefficients backwards). Roots of P
2180 : * at 0 and 1 (mapped to oo and 0) are ignored here and must be dealt with
2181 : * by the caller */
2182 : static long
2183 436019 : X2XP1(GEN P, long deg, int *root1, GEN *Premapped)
2184 : {
2185 436019 : const pari_sp av = avma;
2186 436019 : GEN v = shallowcopy(P);
2187 : long i, j, vlim, nb, s;
2188 :
2189 436019 : for (i = 0, vlim = deg+2;;)
2190 : {
2191 436089 : for (j = 2; j < vlim; j++) gel(v, j+1) = addii(gel(v, j), gel(v, j+1));
2192 436089 : s = -signe(gel(v, vlim));
2193 436089 : vlim--; i++; if (s) break;
2194 70 : }
2195 436019 : if (vlim == deg+1) *root1 = 0;
2196 : else
2197 : {
2198 70 : *root1 = 1;
2199 70 : if (Premapped) setlg(v, vlim + 2);
2200 : }
2201 :
2202 436019 : nb = 0;
2203 1621598 : for (; i < deg; i++)
2204 : {
2205 1554618 : long s2 = -signe(gel(v, 2));
2206 1554618 : int flag = (s2 == s);
2207 20377909 : for (j = 2; j < vlim; j++)
2208 : {
2209 18823291 : gel(v, j+1) = addii(gel(v, j), gel(v, j+1));
2210 18823291 : if (flag) flag = (s2 != signe(gel(v, j+1)));
2211 : }
2212 1554618 : if (s == signe(gel(v, vlim)))
2213 : {
2214 413174 : if (++nb >= 2) { avma = av; return 2; }
2215 239556 : s = -s;
2216 : }
2217 : /* if flag is set there will be no further sign changes */
2218 1381000 : if (flag && (!Premapped || !nb)) goto END;
2219 1185579 : vlim--;
2220 1185579 : if (gc_needed(av, 3))
2221 : {
2222 0 : if (!Premapped) setlg(v, vlim + 2);
2223 0 : v = gerepileupto(av, v);
2224 0 : if (DEBUGMEM > 1) pari_warn(warnmem, "X2XP1");
2225 : }
2226 : }
2227 66980 : if (vlim >= 2 && s == signe(gel(v, vlim))) nb++;
2228 : END:
2229 262401 : if (Premapped && nb == 1) *Premapped = v; else avma = av;
2230 262401 : return nb;
2231 : }
2232 :
2233 : static long
2234 0 : _intervalcmp(GEN x, GEN y)
2235 : {
2236 0 : if (typ(x) == t_VEC) x = gel(x, 1);
2237 0 : if (typ(y) == t_VEC) y = gel(y, 1);
2238 0 : return gcmp(x, y);
2239 : }
2240 :
2241 : static GEN
2242 2312164 : _gen_nored(void *E, GEN x) { (void)E; return x; }
2243 : static GEN
2244 13133663 : _mp_add(void *E, GEN x, GEN y) { (void)E; return mpadd(x, y); }
2245 : static GEN
2246 0 : _mp_sub(void *E, GEN x, GEN y) { (void)E; return mpsub(x, y); }
2247 : static GEN
2248 2936077 : _mp_mul(void *E, GEN x, GEN y) { (void)E; return mpmul(x, y); }
2249 : static GEN
2250 2803378 : _mp_sqr(void *E, GEN x) { (void)E; return mpsqr(x); }
2251 : static GEN
2252 2643218 : _gen_one(void *E) { (void)E; return gen_1; }
2253 : static GEN
2254 28879 : _gen_zero(void *E) { (void)E; return gen_0; }
2255 :
2256 : static struct bb_algebra mp_algebra = { _gen_nored, _mp_add, _mp_sub,
2257 : _mp_mul, _mp_sqr, _gen_one, _gen_zero };
2258 :
2259 : static GEN
2260 14754162 : _mp_cmul(void *E, GEN P, long a, GEN x) {(void)E; return mpmul(gel(P,a+2), x);}
2261 :
2262 : /* Split the polynom P in two parts, whose coeffs have constant sign:
2263 : * P(X) = X^D*Pp + Pm. Also compute the two parts of the derivative of P,
2264 : * Pprimem = Pm', Pprimep = X*Pp'+ D*Pp => P' = X^(D-1)*Pprimep + Pprimem;
2265 : * Pprimep[i] = (i+D) Pp[i]. Return D */
2266 : static long
2267 28377 : split_pols(GEN P, GEN *pPp, GEN *pPm, GEN *pPprimep, GEN *pPprimem)
2268 : {
2269 28377 : long i, D, dP = degpol(P), s0 = signe(gel(P,2));
2270 : GEN Pp, Pm, Pprimep, Pprimem;
2271 192817 : for(i=1; i <= dP; i++)
2272 192817 : if (signe(gel(P, i+2)) == -s0) break;
2273 28377 : D = i;
2274 28377 : Pm = cgetg(D + 2, t_POL);
2275 28377 : Pprimem = cgetg(D + 1, t_POL);
2276 28377 : Pp = cgetg(dP-D + 3, t_POL);
2277 28377 : Pprimep = cgetg(dP-D + 3, t_POL);
2278 28377 : Pm[1] = Pp[1] = Pprimem[1] = Pprimep[1] = P[1];
2279 221194 : for(i=0; i < D; i++)
2280 : {
2281 192817 : GEN c = gel(P, i+2);
2282 192817 : gel(Pm, i+2) = c;
2283 192817 : if (i) gel(Pprimem, i+1) = mului(i, c);
2284 : }
2285 233868 : for(; i <= dP; i++)
2286 : {
2287 205491 : GEN c = gel(P, i+2);
2288 205491 : gel(Pp, i+2-D) = c;
2289 205491 : gel(Pprimep, i+2-D) = mului(i, c);
2290 : }
2291 28377 : *pPm = normalizepol_lg(Pm, D+2);
2292 28377 : *pPprimem = normalizepol_lg(Pprimem, D+1);
2293 28377 : *pPp = normalizepol_lg(Pp, dP-D+3);
2294 28377 : *pPprimep = normalizepol_lg(Pprimep, dP-D+3);
2295 28377 : return dP - degpol(*pPp);
2296 : }
2297 :
2298 : static GEN
2299 824689 : bkeval_single_power(long d, GEN V)
2300 : {
2301 824689 : long mp = lg(V) - 2;
2302 824689 : if (d > mp) return gmul(gpowgs(gel(V, mp+1), d/mp), gel(V, (d%mp)+1));
2303 824689 : return gel(V, d+1);
2304 : }
2305 :
2306 : static GEN
2307 824689 : splitpoleval(GEN Pp, GEN Pm, GEN pows, long D, long bitprec)
2308 : {
2309 824689 : GEN vp = gen_bkeval_powers(Pp, degpol(Pp), pows, NULL, &mp_algebra, _mp_cmul);
2310 824689 : GEN vm = gen_bkeval_powers(Pm, degpol(Pm), pows, NULL, &mp_algebra, _mp_cmul);
2311 824689 : GEN xa = bkeval_single_power(D, pows);
2312 : GEN r;
2313 824689 : if (!signe(vp)) return vm;
2314 824689 : vp = gmul(vp, xa);
2315 824689 : r = gadd(vp, vm);
2316 824689 : if (gexpo(vp) - (signe(r)? gexpo(r): 0) > prec2nbits(realprec(vp)) - bitprec)
2317 41784 : return NULL;
2318 782905 : return r;
2319 : }
2320 :
2321 : /* optimized Cauchy bound for P = X^D*Pp + Pm, D > deg(Pm) */
2322 : static GEN
2323 28377 : splitcauchy(GEN Pp, GEN Pm, long prec)
2324 : {
2325 28377 : GEN S = gel(Pp,2), A = gel(Pm,2);
2326 28377 : long i, lPm = lg(Pm), lPp = lg(Pp);
2327 28377 : for (i=3; i < lPm; i++) { GEN c = gel(Pm,i); if (abscmpii(A, c) < 0) A = c; }
2328 28377 : for (i=3; i < lPp; i++) S = addii(S, gel(Pp, i));
2329 28377 : return subsr(1, rdivii(A, S, prec)); /* 1 + |Pm|_oo / |Pp|_1 */
2330 : }
2331 :
2332 : /* Newton for polynom P, P(0)!=0, with unique sign change => one root in ]0,oo[
2333 : * P' has also at most one zero there */
2334 : static GEN
2335 28377 : polsolve(GEN P, long bitprec)
2336 : {
2337 28377 : pari_sp av = avma, av2;
2338 : GEN Pp, Pm, Pprimep, Pprimem, Pprime, Pprime2, ra, rb, rc, Pc;
2339 28377 : long deg = degpol(P);
2340 28377 : long expoold = LONG_MAX, cprec = DEFAULTPREC, prec = nbits2prec(bitprec);
2341 : long iter, D, rt, s0, bitaddprec, addprec;
2342 28377 : if (deg == 1)
2343 0 : return gerepileuptoleaf(av, rdivii(negi(gel(P,2)), gel(P,3), prec));
2344 28377 : Pprime = ZX_deriv(P);
2345 28377 : Pprime2 = ZX_deriv(Pprime);
2346 28377 : bitaddprec = 1 + 2*expu(deg); addprec = nbits2prec(bitaddprec);
2347 28377 : D = split_pols(P, &Pp, &Pm, &Pprimep, &Pprimem); /* P = X^D*Pp + Pm */
2348 28377 : s0 = signe(gel(P, 2));
2349 28377 : rt = maxss(D, brent_kung_optpow(maxss(degpol(Pp), degpol(Pm)), 2, 1));
2350 28377 : rb = splitcauchy(Pp, Pm, DEFAULTPREC);
2351 : for(;;)
2352 : {
2353 28377 : GEN pows = gen_powers(rb, rt, 1, NULL, _mp_sqr, _mp_mul, _gen_one);
2354 28377 : Pc = splitpoleval(Pp, Pm, pows, D, bitaddprec);
2355 28377 : if (!Pc) { cprec++; rb = rtor(rb, cprec); continue; }
2356 28377 : if (signe(Pc) != s0) break;
2357 0 : shiftr_inplace(rb,1);
2358 0 : }
2359 28377 : ra = NULL;
2360 28377 : iter = 0;
2361 : for(;;)
2362 : {
2363 : GEN wdth;
2364 324744 : iter++;
2365 324744 : if (ra)
2366 177192 : rc = shiftr(addrr(ra, rb), -1);
2367 : else
2368 147552 : rc = shiftr(rb, -1);
2369 : do
2370 : {
2371 324744 : GEN pows = gen_powers(rc, rt, 1, NULL, _mp_sqr, _mp_mul, _gen_one);
2372 324744 : Pc = splitpoleval(Pp, Pm, pows, D, bitaddprec+2);
2373 324744 : if (Pc) break;
2374 0 : cprec++; rc = rtor(rc, cprec);
2375 0 : } while (1);
2376 324744 : if (signe(Pc) == s0)
2377 112974 : ra = rc;
2378 : else
2379 211770 : rb = rc;
2380 324744 : if (!ra) continue;
2381 205569 : wdth = subrr(rb, ra);
2382 205569 : if (!(iter % 8))
2383 : {
2384 31625 : GEN m1 = poleval(Pprime, ra), M2;
2385 31625 : if (signe(m1) == s0) continue;
2386 30813 : M2 = poleval(Pprime2, rb);
2387 30813 : if (abscmprr(gmul(M2, wdth), shiftr(m1, 1)) > 0) continue;
2388 28377 : break;
2389 : }
2390 173944 : else if (gexpo(wdth) <= -bitprec)
2391 0 : break;
2392 296367 : }
2393 28377 : rc = rb;
2394 28377 : av2 = avma;
2395 207407 : for(;; rc = gerepileuptoleaf(av2, rc))
2396 : {
2397 : long exponew;
2398 235784 : GEN Ppc, dist, rcold = rc;
2399 235784 : GEN pows = gen_powers(rc, rt, 1, NULL, _mp_sqr, _mp_mul, _gen_one);
2400 235784 : Ppc = splitpoleval(Pprimep, Pprimem, pows, D-1, bitaddprec+4);
2401 235784 : if (Ppc)
2402 235784 : Pc = splitpoleval(Pp, Pm, pows, D, bitaddprec+4);
2403 235784 : if (!Ppc || !Pc)
2404 : {
2405 41784 : if (cprec >= prec+addprec)
2406 3387 : cprec += EXTRAPRECWORD;
2407 : else
2408 38397 : cprec = minss(2*cprec, prec+addprec);
2409 41784 : rc = rtor(rc, cprec); continue; /* backtrack one step */
2410 : }
2411 194000 : dist = typ(Ppc) == t_REAL? divrr(Pc, Ppc): divri(Pc, Ppc);
2412 194000 : rc = subrr(rc, dist);
2413 194000 : if (cmprr(ra, rc) > 0 || cmprr(rb, rc) < 0)
2414 : {
2415 0 : if (cprec >= prec+addprec) break;
2416 0 : cprec = minss(2*cprec, prec+addprec);
2417 0 : rc = rtor(rcold, cprec); continue; /* backtrack one step */
2418 : }
2419 194000 : if (expoold == LONG_MAX) { expoold = expo(dist); continue; }
2420 162757 : exponew = expo(dist);
2421 162757 : if (exponew < -bitprec - 1)
2422 : {
2423 37697 : if (cprec >= prec+addprec) break;
2424 9320 : cprec = minss(2*cprec, prec+addprec);
2425 9320 : rc = rtor(rc, cprec); continue;
2426 : }
2427 125060 : if (exponew > expoold - 2)
2428 : {
2429 2866 : if (cprec >= prec+addprec) break;
2430 2866 : expoold = LONG_MAX;
2431 2866 : cprec = minss(2*cprec, prec+addprec);
2432 2866 : rc = rtor(rc, cprec); continue;
2433 : }
2434 122194 : expoold = exponew;
2435 207407 : }
2436 28377 : return gerepileuptoleaf(av, rtor(rc, prec));
2437 : }
2438 :
2439 : static GEN
2440 25441 : usp(GEN Q0, long deg, long flag, long bitprec)
2441 : {
2442 25441 : const pari_sp av = avma;
2443 : GEN Q, sol, c, Lc, Lk;
2444 25441 : long listsize = 64, nbr = 0, nb_todo, ind, deg0, indf, i, k, nb;
2445 :
2446 :
2447 25441 : sol = const_col(deg, gen_0);
2448 25441 : deg0 = deg;
2449 25441 : Lc = const_vec(listsize, gen_0);
2450 25441 : Lk = cgetg(listsize+1, t_VECSMALL);
2451 25441 : c = gen_0;
2452 25441 : k = Lk[1] = 0;
2453 25441 : ind = 1; indf = 2;
2454 25441 : Q = leafcopy(Q0);
2455 :
2456 25441 : nb_todo = 1;
2457 486901 : while (nb_todo)
2458 : {
2459 436019 : GEN nc = gel(Lc, ind), Qremapped;
2460 : pari_sp av2;
2461 : int root1;
2462 436019 : if (Lk[ind] == k + 1)
2463 : {
2464 136185 : deg0 = deg;
2465 136185 : setlg(Q0, deg + 3);
2466 136185 : Q0 = ZX_rescale2n(Q0, 1);
2467 136185 : Q = Q_primpart(Q0);
2468 136185 : c = gen_0;
2469 : }
2470 :
2471 436019 : if (!equalii(nc, c)) Q = ZX_translate(Q, subii(nc, c));
2472 :
2473 436019 : k = Lk[ind];
2474 436019 : c = nc;
2475 436019 : ind++;
2476 436019 : nb_todo--;
2477 :
2478 436019 : if (equalii(gel(Q, 2), gen_0))
2479 : { /* Q(0) = 0 */
2480 168 : GEN s = gmul2n(c, -k);
2481 : long j;
2482 210 : for (j = 1; j <= nbr; j++)
2483 126 : if (gequal(gel(sol, j), s)) break;
2484 168 : if (j > nbr) gel(sol, ++nbr) = s;
2485 :
2486 168 : deg0--;
2487 168 : for (j = 2; j <= deg0 + 2; j++) gel(Q, j) = gel(Q, j+1);
2488 168 : setlg(Q, j);
2489 : }
2490 :
2491 436019 : av2 = avma;
2492 436019 : nb = X2XP1(Q, deg0, &root1, flag == 1 ? &Qremapped : NULL);
2493 :
2494 436019 : if (nb == 0) /* no root in this open interval */;
2495 246387 : else if (nb == 1) /* exactly one root */
2496 : {
2497 41098 : GEN s = gen_0;
2498 41098 : if (flag == 0)
2499 0 : s = mkvec2(gmul2n(c,-k), gmul2n(addiu(c,1),-k));
2500 41098 : else if (flag == 1) /* Caveat: Qremapped is the reciprocal polynomial */
2501 : {
2502 28377 : s = polsolve(Qremapped, bitprec+1);
2503 28377 : s = divrr(s, addsr(1, s));
2504 28377 : s = gmul2n(addir(c, s), -k);
2505 28377 : s = rtor(s, nbits2prec(bitprec));
2506 : }
2507 41098 : gel(sol, ++nbr) = gerepileupto(av2, s);
2508 : }
2509 : else
2510 : { /* unknown, add two nodes to refine */
2511 205289 : if (indf + 2 > listsize)
2512 : {
2513 294 : if (ind>1)
2514 : {
2515 2702 : for (i = ind; i < indf; i++)
2516 : {
2517 2408 : gel(Lc, i-ind+1) = gel(Lc, i);
2518 2408 : Lk[i-ind+1] = Lk[i];
2519 : }
2520 294 : indf -= ind-1;
2521 294 : ind = 1;
2522 : }
2523 294 : if (indf + 2 > listsize)
2524 : {
2525 0 : listsize *= 2;
2526 0 : Lc = vec_lengthen(Lc, listsize);
2527 0 : Lk = vecsmall_lengthen(Lk, listsize);
2528 : }
2529 294 : for (i = indf; i <= listsize; i++) gel(Lc, i) = gen_0;
2530 : }
2531 205289 : nc = shifti(c, 1);
2532 205289 : gel(Lc, indf) = nc;
2533 205289 : gel(Lc, indf + 1) = addiu(nc, 1);
2534 205289 : Lk[indf] = Lk[indf + 1] = k + 1;
2535 205289 : indf += 2;
2536 205289 : nb_todo += 2;
2537 : }
2538 436019 : if (root1)
2539 : { /* Q(1) = 0 */
2540 70 : GEN s = gmul2n(addiu(c,1), -k);
2541 : long j;
2542 112 : for (j = 1; j <= nbr; j++)
2543 49 : if (gequal(gel(sol, j), s)) break;
2544 70 : if (j > nbr) gel(sol, ++nbr) = s;
2545 : }
2546 :
2547 436019 : if (gc_needed(av, 2))
2548 : {
2549 0 : gerepileall(av, 6, &Q0, &Q, &c, &Lc, &Lk, &sol);
2550 0 : if (DEBUGMEM > 1) pari_warn(warnmem, "ZX_Uspensky", avma);
2551 : }
2552 : }
2553 :
2554 25441 : setlg(sol, nbr+1);
2555 25441 : return gerepilecopy(av, sol);
2556 : }
2557 :
2558 : static GEN
2559 4221 : ZX_Uspensky_cst_pol(long nbz, long flag, long bitprec)
2560 : {
2561 4221 : switch(flag)
2562 : {
2563 0 : case 0: return zerocol(nbz);
2564 0 : case 1: retconst_col(nbz, real_0_bit(-bitprec));
2565 4221 : default: return utoi(nbz);
2566 : }
2567 : }
2568 :
2569 : /* ZX_Uspensky(P, [a,a], flag) */
2570 : static GEN
2571 28 : ZX_Uspensky_equal(GEN P, GEN a, long flag)
2572 : {
2573 28 : if (typ(a) != t_INFINITY && gequal0(poleval(P, a)))
2574 21 : return flag <= 1 ? mkcol(a): gen_1;
2575 : else
2576 7 : return flag <= 1 ? cgetg(1, t_COL) : gen_0;
2577 : }
2578 :
2579 : GEN
2580 29205 : ZX_Uspensky(GEN P, GEN ab, long flag, long bitprec)
2581 : {
2582 29205 : pari_sp av = avma;
2583 29205 : GEN a, b, sol = NULL, Pcur;
2584 : double fb;
2585 : long nbz, deg;
2586 :
2587 29205 : deg = degpol(P);
2588 29205 : if (deg == 0) return flag <= 1 ? cgetg(1, t_COL) : gen_0;
2589 29205 : if (ab)
2590 : {
2591 16710 : if (typ(ab) == t_VEC)
2592 : {
2593 8756 : if (lg(ab) != 3) pari_err_DIM("ZX_Uspensky");
2594 8756 : a = gel(ab, 1);
2595 8756 : b = gel(ab, 2);
2596 : }
2597 : else
2598 : {
2599 7954 : a = ab;
2600 7954 : b = mkoo();
2601 : }
2602 : }
2603 : else
2604 : {
2605 12495 : a = mkmoo();
2606 12495 : b = mkoo();
2607 : }
2608 29205 : switch (gcmp(a, b))
2609 : {
2610 7 : case 1: avma = av; return flag <= 1 ? cgetg(1, t_COL) : gen_0;
2611 21 : case 0: return gerepilecopy(av, ZX_Uspensky_equal(P, a, flag));
2612 : }
2613 29177 : nbz = ZX_valrem(P, &Pcur);
2614 29177 : deg -= nbz;
2615 29177 : if (!nbz) Pcur = P;
2616 29177 : if (nbz && (gsigne(a) > 0 || gsigne(b) < 0)) nbz = 0;
2617 29177 : if (deg == 0) { avma = av; return ZX_Uspensky_cst_pol(nbz, flag, bitprec); }
2618 27896 : if (deg == 1)
2619 : {
2620 7247 : sol = gdiv(gneg(gel(Pcur, 2)), pollead(Pcur, -1));
2621 7247 : if (gcmp(a, sol) > 0 || gcmp(sol, b) > 0)
2622 : {
2623 2940 : avma = av;
2624 2940 : return ZX_Uspensky_cst_pol(nbz, flag, bitprec);
2625 : }
2626 4307 : if (flag >= 2) { avma = av; return utoi(nbz+1); }
2627 1976 : sol = gconcat(zerocol(nbz), mkcol(sol));
2628 1976 : if (flag == 1) sol = RgC_gtofp(sol, nbits2prec(bitprec));
2629 1976 : return gerepilecopy(av, sol);
2630 : }
2631 20649 : switch(flag)
2632 : {
2633 : case 0:
2634 0 : sol = zerocol(nbz);
2635 0 : break;
2636 : case 1:
2637 10101 : sol = const_col(nbz, real_0_bit(-bitprec));
2638 10101 : break;
2639 : /* case 2: nothing */
2640 : }
2641 :
2642 20649 : if (typ(a) == t_INFINITY && typ(b) != t_INFINITY && gsigne(b))
2643 : {
2644 35 : fb = fujiwara_bound_real(Pcur, -1);
2645 35 : if (fb > -pariINFINITY) a = negi(int2n((long)ceil(fb))); else a = gen_0;
2646 : }
2647 20649 : if (typ(b) == t_INFINITY && typ(a) != t_INFINITY && gsigne(a))
2648 : {
2649 21 : fb = fujiwara_bound_real(Pcur, 1);
2650 21 : if (fb > -pariINFINITY) b = int2n((long)ceil(fb)); else b = gen_0;
2651 : }
2652 :
2653 20649 : if (typ(a) != t_INFINITY && typ(b) != t_INFINITY)
2654 : {
2655 : GEN den, diff, unscaledres, co, Pdiv, ascaled;
2656 : pari_sp av1;
2657 : long i;
2658 7287 : if (gequal(a,b)) /* can occur if one of a,b was initially a t_INFINITY */
2659 7 : return gerepilecopy(av, ZX_Uspensky_equal(P, a, flag));
2660 7280 : den = lcmii(Q_denom(a), Q_denom(b));
2661 7280 : if (!is_pm1(den))
2662 : {
2663 42 : Pcur = ZX_rescale(Pcur, den);
2664 42 : ascaled = gmul(a, den);
2665 : }
2666 : else
2667 : {
2668 7238 : den = NULL;
2669 7238 : ascaled = a;
2670 : }
2671 7280 : diff = subii(den ? gmul(b,den) : b, ascaled);
2672 7280 : Pcur = ZX_unscale(ZX_translate(Pcur, ascaled), diff);
2673 7280 : av1 = avma;
2674 7280 : Pdiv = cgetg(deg+2, t_POL);
2675 7280 : Pdiv[1] = Pcur[1];
2676 7280 : co = gel(Pcur, deg+2);
2677 56959 : for (i = deg; --i >= 0; )
2678 : {
2679 42399 : gel(Pdiv, i+2) = co;
2680 42399 : co = addii(co, gel(Pcur, i+2));
2681 : }
2682 7280 : if (!signe(co))
2683 : {
2684 77 : Pcur = Pdiv;
2685 77 : deg--;
2686 77 : if (flag <= 1)
2687 21 : sol = gconcat(sol, b);
2688 : else
2689 56 : nbz++;
2690 : }
2691 : else
2692 7203 : avma = av1;
2693 7280 : unscaledres = usp(Pcur, deg, flag, bitprec);
2694 7280 : if (flag <= 1)
2695 : {
2696 19719 : for (i = 1; i < lg(unscaledres); i++)
2697 : {
2698 12565 : GEN z = gmul(diff, gel(unscaledres, i));
2699 12565 : if (typ(z) == t_VEC)
2700 : {
2701 0 : gel(z, 1) = gadd(ascaled, gel(z, 1));
2702 0 : gel(z, 2) = gadd(ascaled, gel(z, 2));
2703 : }
2704 : else
2705 12565 : z = gadd(ascaled, z);
2706 12565 : if (den) z = gdiv(z, den);
2707 12565 : gel(unscaledres, i) = z;
2708 : }
2709 7154 : sol = gconcat(sol, unscaledres);
2710 : }
2711 : else
2712 126 : nbz += lg(unscaledres) - 1;
2713 : }
2714 20642 : if (typ(b) == t_INFINITY && (fb=fujiwara_bound_real(Pcur, 1)) > -pariINFINITY)
2715 : {
2716 : GEN Pcurp, unscaledres;
2717 11952 : long bp = (long)ceil(fb);
2718 11952 : if (bp < 0) bp = 0;
2719 11952 : Pcurp = ZX_unscale2n(Pcur, bp);
2720 11952 : unscaledres = usp(Pcurp, deg, flag, bitprec);
2721 11952 : if (flag <= 1)
2722 2940 : sol = shallowconcat(sol, gmul2n(unscaledres, bp));
2723 : else
2724 9012 : nbz += lg(unscaledres)-1;
2725 : }
2726 20642 : if (typ(a) == t_INFINITY && (fb=fujiwara_bound_real(Pcur,-1)) > -pariINFINITY)
2727 : {
2728 : GEN Pcurm, unscaledres;
2729 6209 : long i, bm = (long)ceil(fb);
2730 6209 : if (bm < 0) bm = 0;
2731 6209 : Pcurm = ZX_unscale2n(ZX_z_unscale(Pcur, -1), bm);
2732 6209 : unscaledres = usp(Pcurm, deg, flag, bitprec);
2733 6209 : if (flag <= 1)
2734 : {
2735 6538 : for (i = 1; i < lg(unscaledres); i++)
2736 : {
2737 4193 : GEN z = gneg(gmul2n(gel(unscaledres, i), bm));
2738 4193 : if (typ(z) == t_VEC) swap(gel(z, 1), gel(z, 2));
2739 4193 : gel(unscaledres, i) = z;
2740 : }
2741 2345 : sol = shallowconcat(unscaledres, sol);
2742 : }
2743 : else
2744 3864 : nbz += lg(unscaledres)-1;
2745 : }
2746 20642 : if (flag >= 2) return utoi(nbz);
2747 10101 : if (flag)
2748 10101 : sol = sort(sol);
2749 : else
2750 0 : sol = gen_sort(sol, (void *)_intervalcmp, cmp_nodata);
2751 10101 : return gerepileupto(av, sol);
2752 : }
2753 :
2754 : /* x a scalar */
2755 : static GEN
2756 35 : rootsdeg0(GEN x)
2757 : {
2758 35 : if (!is_real_t(typ(x))) pari_err_TYPE("realroots",x);
2759 28 : if (gequal0(x)) pari_err_ROOTS0("realroots");
2760 14 : return cgetg(1,t_COL); /* constant polynomial */
2761 : }
2762 : static void
2763 4674 : checkbound(GEN a)
2764 : {
2765 4674 : switch(typ(a))
2766 : {
2767 4674 : case t_INT: case t_FRAC: case t_INFINITY: break;
2768 0 : default: pari_err_TYPE("polrealroots", a);
2769 : }
2770 4674 : }
2771 : static GEN
2772 8422 : check_ab(GEN ab)
2773 : {
2774 : GEN a, b;
2775 8422 : if (!ab) return NULL;
2776 2337 : if (typ(ab) != t_VEC || lg(ab) != 3) pari_err_TYPE("polrootsreal",ab);
2777 2337 : a = gel(ab,1); checkbound(a);
2778 2337 : b = gel(ab,2); checkbound(b);
2779 3051 : if (typ(a) == t_INFINITY && inf_get_sign(a) < 0 &&
2780 1393 : typ(b) == t_INFINITY && inf_get_sign(b) > 0) ab = NULL;
2781 2337 : return ab;
2782 : }
2783 : GEN
2784 6141 : realroots(GEN P, GEN ab, long prec)
2785 : {
2786 6141 : pari_sp av = avma;
2787 6141 : long nrr = 0;
2788 6141 : GEN sol = NULL, fa, ex;
2789 : long i, j, v;
2790 :
2791 6141 : ab = check_ab(ab);
2792 6141 : if (typ(P) != t_POL) return rootsdeg0(P);
2793 6120 : switch(degpol(P))
2794 : {
2795 7 : case -1: return rootsdeg0(gen_0);
2796 7 : case 0: return rootsdeg0(gel(P,2));
2797 : }
2798 6106 : if (!RgX_is_ZX(P)) P = RgX_rescale_to_int(P);
2799 6106 : P = Q_primpart(P);
2800 6106 : v = ZX_valrem(P,&P);
2801 6106 : if (v && (!ab || (gsigne(gel(ab,1)) <= 0 && gsigne(gel(ab,2)) >= 0)))
2802 1190 : sol = const_col(v, real_0(prec));
2803 6106 : fa = ZX_squff(P, &ex);
2804 11043 : for (i = 1; i < lg(fa); i++)
2805 : {
2806 4937 : GEN Pi = gel(fa, i), soli, soli2 = NULL;
2807 4937 : long n, nrri = 0, h;
2808 4937 : if (ab)
2809 49 : h = 1;
2810 : else
2811 4888 : Pi = ZX_deflate_max(Pi, &h);
2812 4937 : soli = ZX_Uspensky(Pi, h%2 ? ab: gen_0, 1, prec2nbits(prec));
2813 4937 : n = lg(soli);
2814 4937 : if (!(h % 2)) soli2 = cgetg(n, t_COL);
2815 21913 : for (j = 1; j < n; j++)
2816 : {
2817 16976 : GEN elt = gel(soli, j); /* != 0 */
2818 16976 : if (typ(elt) != t_REAL)
2819 : {
2820 84 : nrri++; if (h > 1 && !(h % 2)) nrri++;
2821 84 : elt = gtofp(elt, prec);
2822 84 : gel(soli, j) = elt;
2823 : }
2824 16976 : if (h > 1)
2825 : {
2826 : GEN r;
2827 2732 : if (h == 2)
2828 2718 : r = sqrtr(elt);
2829 : else
2830 : {
2831 14 : if (signe(elt) < 0)
2832 7 : r = negr(sqrtnr(negr(elt), h));
2833 : else
2834 7 : r = sqrtnr(elt, h);
2835 : }
2836 2732 : gel(soli, j) = r;
2837 2732 : if (!(h % 2)) gel(soli2, j) = negr(r);
2838 : }
2839 : }
2840 4937 : if (!(h % 2)) soli = shallowconcat(soli, soli2);
2841 4937 : if (ex[i] > 1) soli = shallowconcat1( const_vec(ex[i], soli) );
2842 4937 : sol = sol? shallowconcat(sol, soli): soli;
2843 4937 : nrr += ex[i]*nrri;
2844 : }
2845 6106 : if (!sol) { avma = av; return cgetg(1,t_COL); }
2846 :
2847 6092 : if (DEBUGLEVEL > 4)
2848 : {
2849 0 : err_printf("Number of real roots: %d\n", lg(sol)-1);
2850 0 : err_printf(" -- of which 2-integral: %ld\n", nrr);
2851 : }
2852 6092 : return gerepileupto(av, sort(sol));
2853 : }
2854 :
2855 : /* P non-constant, squarefree ZX */
2856 : long
2857 15526 : ZX_sturm(GEN P)
2858 : {
2859 15526 : pari_sp av = avma;
2860 : long h, r;
2861 15526 : P = ZX_deflate_max(P, &h);
2862 15526 : if (odd(h))
2863 9625 : r = itos(ZX_Uspensky(P, NULL, 2, 0));
2864 : else
2865 5901 : r = 2*itos(ZX_Uspensky(P, gen_0, 2, 0));
2866 15526 : avma = av; return r;
2867 : }
2868 : /* P non-constant, squarefree ZX */
2869 : long
2870 2281 : ZX_sturmpart(GEN P, GEN ab)
2871 : {
2872 2281 : pari_sp av = avma;
2873 : long r;
2874 2281 : if (!check_ab(ab)) return ZX_sturm(P);
2875 1588 : r = itos(ZX_Uspensky(P, ab, 2, 0));
2876 1588 : avma = av; return r;
2877 : }
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