Line data Source code
1 : /* Copyright (C) 2000 The PARI group.
2 :
3 : This file is part of the PARI/GP package.
4 :
5 : PARI/GP is free software; you can redistribute it and/or modify it under the
6 : terms of the GNU General Public License as published by the Free Software
7 : Foundation; either version 2 of the License, or (at your option) any later
8 : version. It is distributed in the hope that it will be useful, but WITHOUT
9 : ANY WARRANTY WHATSOEVER.
10 :
11 : Check the License for details. You should have received a copy of it, along
12 : with the package; see the file 'COPYING'. If not, write to the Free Software
13 : Foundation, Inc., 51 Franklin Street, Fifth Floor, Boston, MA 02110-1301 USA. */
14 :
15 : /********************************************************************/
16 : /** **/
17 : /** ELLIPTIC and MODULAR FUNCTIONS **/
18 : /** (as complex or p-adic functions) **/
19 : /** **/
20 : /********************************************************************/
21 : #include "pari.h"
22 : #include "paripriv.h"
23 :
24 : #define DEBUGLEVEL DEBUGLEVEL_ell
25 :
26 : /* add3, add4, mul3, mul4 and these 2 should be exported as convenience
27 : * functions (cf dirichlet.c, lfunlarge.c, hypergeom.c) */
28 : static GEN
29 406 : gadd3(GEN a, GEN b, GEN c) { return gadd(gadd(a, b), c); }
30 : static GEN
31 182574 : gmul3(GEN a, GEN b, GEN c) { return gmul(gmul(a, b), c); }
32 : static GEN
33 181909 : gmul4(GEN a, GEN b, GEN c, GEN d) { return gmul(gmul(a, b), gmul(c,d)); }
34 :
35 : /********************************************************************/
36 : /** exp(I*Pi*x) with attention to rational arguments **/
37 : /********************************************************************/
38 :
39 : /* sqrt(3)/2 */
40 : static GEN
41 2079 : sqrt32(long prec) { GEN z = sqrtr_abs(utor(3,prec)); setexpo(z, -1); return z; }
42 : /* exp(i k pi/12) */
43 : static GEN
44 91155 : e12(ulong k, long prec)
45 : {
46 : int s, sPi, sPiov2;
47 : GEN z, t;
48 91155 : k %= 24;
49 91155 : if (!k) return gen_1;
50 91148 : if (k == 12) return gen_m1;
51 91148 : if (k >12) { s = 1; k = 24 - k; } else s = 0; /* x -> 2pi - x */
52 91148 : if (k > 6) { sPi = 1; k = 12 - k; } else sPi = 0; /* x -> pi - x */
53 91148 : if (k > 3) { sPiov2 = 1; k = 6 - k; } else sPiov2 = 0; /* x -> pi/2 - x */
54 91148 : z = cgetg(3, t_COMPLEX);
55 91148 : switch(k)
56 : {
57 88195 : case 0: gel(z,1) = icopy(gen_1); gel(z,2) = gen_0; break;
58 777 : case 1: t = gmul2n(addrs(sqrt32(prec), 1), -1);
59 777 : gel(z,1) = sqrtr(t);
60 777 : gel(z,2) = gmul2n(invr(gel(z,1)), -2); break;
61 :
62 1302 : case 2: gel(z,1) = sqrt32(prec);
63 1302 : gel(z,2) = real2n(-1, prec); break;
64 :
65 874 : case 3: gel(z,1) = sqrtr_abs(real2n(-1,prec));
66 874 : gel(z,2) = rcopy(gel(z,1)); break;
67 : }
68 91148 : if (sPiov2) swap(gel(z,1), gel(z,2));
69 91148 : if (sPi) togglesign(gel(z,1));
70 91148 : if (s) togglesign(gel(z,2));
71 91148 : return z;
72 : }
73 : /* z a t_FRAC */
74 : static GEN
75 128098 : expIPifrac(GEN z, long prec)
76 : {
77 128098 : GEN n = gel(z,1), d = gel(z,2);
78 128098 : ulong r, q = uabsdivui_rem(12, d, &r);
79 128098 : if (!r) return e12(q * umodiu(n, 24), prec); /* d | 12 */
80 36992 : n = centermodii(n, shifti(d,1), d);
81 36992 : return expIr(divri(mulri(mppi(prec), n), d));
82 : }
83 : /* exp(i Pi z), z a t_INT or t_FRAC */
84 : GEN
85 2170 : expIPiQ(GEN z, long prec)
86 : {
87 2170 : if (typ(z) == t_INT) return mpodd(z)? gen_m1: gen_1;
88 1974 : return expIPifrac(z, prec);
89 : }
90 :
91 : /* convert power of 2 t_REAL to rational */
92 : static GEN
93 160560 : real2nQ(GEN x)
94 : {
95 160560 : long e = expo(x);
96 : GEN z;
97 160560 : if (e < 0)
98 113867 : z = mkfrac(signe(x) < 0? gen_m1: gen_1, int2n(-e));
99 : else
100 : {
101 46693 : z = int2n(e);
102 46693 : if (signe(x) < 0) togglesign_safe(&z);
103 : }
104 160560 : return z;
105 : }
106 :
107 : /* round t_REAL x to 0 or 2^n if close to such a value */
108 : static GEN
109 754842 : mayberound(GEN x, long prec)
110 : {
111 754842 : if (!signe(x))
112 : {
113 262075 : if (expo(x) <= -prec) x = gen_0;
114 : }
115 : else
116 492767 : if (absrnz_equal2n(x)) x = real2nQ(x);
117 754842 : return x;
118 : }
119 : /* x a real number */
120 : GEN
121 192067 : expIPiR(GEN x, long prec)
122 : {
123 192067 : if (typ(x) == t_REAL) x = mayberound(x, prec);
124 192067 : switch(typ(x))
125 : {
126 3929 : case t_INT: return mpodd(x)? gen_m1: gen_1;
127 1763 : case t_FRAC: return expIPifrac(x, prec);
128 : }
129 186375 : return expIr(mulrr(mppi(prec), x));
130 : }
131 : /* z a t_COMPLEX */
132 : GEN
133 783654 : expIPiC(GEN z, long prec)
134 : {
135 : GEN pi, r, x, y;
136 783654 : if (typ(z) != t_COMPLEX) return expIPiR(z, prec);
137 592631 : x = gel(z,1);
138 592631 : y = gel(z,2); if (gequal0(y)) return expIPiR(x, prec);
139 591587 : pi = mppi(prec);
140 591587 : r = gmul(pi, y); togglesign(r); r = mpexp(r); /* exp(-pi y) */
141 591587 : if (typ(x) == t_REAL) x = mayberound(x, prec);
142 591587 : switch(typ(x))
143 : {
144 315751 : case t_INT: if (mpodd(x)) togglesign(r);
145 315751 : return r;
146 124361 : case t_FRAC: return gmul(r, expIPifrac(x, prec));
147 : }
148 151475 : return gmul(r, expIr(mulrr(pi, x)));
149 : }
150 : /* exp(I x y), more efficient for x in R, y pure imaginary */
151 : GEN
152 147 : expIxy(GEN x, GEN y, long prec) { return gexp(gmul(x, mulcxI(y)), prec); }
153 :
154 : /********************************************************************/
155 : /** PERIODS **/
156 : /********************************************************************/
157 : /* The complex AGM, periods of elliptic curves over C and complex elliptic
158 : * logarithms; John E. Cremona, Thotsaphon Thongjunthug, arXiv:1011.0914 */
159 :
160 : static GEN
161 52577 : ellomega_agm(GEN a, GEN b, GEN c, long prec)
162 : {
163 52577 : GEN pi = mppi(prec), mIpi = mkcomplex(gen_0, negr(pi));
164 52577 : GEN Mac = agm(a,c,prec), Mbc = agm(b,c,prec);
165 52577 : retmkvec2(gdiv(pi, Mac), gdiv(mIpi, Mbc));
166 : }
167 :
168 : static GEN
169 42864 : ellomega_cx(GEN E, long prec)
170 : {
171 42864 : pari_sp av = avma;
172 42864 : GEN roots = ellR_roots(E, prec + EXTRAPREC64);
173 42864 : GEN d1=gel(roots,4), d2=gel(roots,5), d3=gel(roots,6);
174 42864 : GEN a = gsqrt(d3,prec), b = gsqrt(d1,prec), c = gsqrt(d2,prec);
175 42864 : return gc_upto(av, ellomega_agm(a,b,c,prec));
176 : }
177 :
178 : /* return [w1,w2] for E / R; w1 > 0 is real.
179 : * If e.disc > 0, w2 = -I r; else w2 = w1/2 - I r, for some real r > 0.
180 : * => tau = w1/w2 is in upper half plane */
181 : static GEN
182 52577 : doellR_omega(GEN E, long prec)
183 : {
184 52577 : pari_sp av = avma;
185 : GEN roots, d2, z, a, b, c;
186 52577 : if (ellR_get_sign(E) >= 0) return ellomega_cx(E,prec);
187 9713 : roots = ellR_roots(E,prec + EXTRAPREC64);
188 9713 : d2 = gel(roots,5);
189 9713 : z = gsqrt(d2,prec); /* imag(e1-e3) > 0, so that b > 0*/
190 9713 : a = gel(z,1); /* >= 0 */
191 9713 : b = gel(z,2);
192 9713 : c = gabs(z, prec);
193 9713 : z = ellomega_agm(a,b,c,prec);
194 9713 : return gc_GEN(av, mkvec2(gel(z,1),gmul2n(gadd(gel(z,1),gel(z,2)),-1)));
195 : }
196 : static GEN
197 70 : doellR_eta(GEN E, long prec)
198 70 : { GEN w = ellR_omega(E, prec + EXTRAPREC64); return elleta(w, prec); }
199 :
200 : GEN
201 273833 : ellR_omega(GEN E, long prec)
202 273833 : { return obj_checkbuild_realprec(E, R_PERIODS, &doellR_omega, prec); }
203 : GEN
204 98 : ellR_eta(GEN E, long prec)
205 98 : { return obj_checkbuild_realprec(E, R_ETA, &doellR_eta, prec); }
206 :
207 : /* P = [x,0] is 2-torsion on y^2 = g(x). Return w1/2, (w1+w2)/2, or w2/2
208 : * depending on whether x is closest to e1,e2, or e3, the 3 complex root of g */
209 : static GEN
210 56 : zell_closest_0(GEN om, GEN x, GEN ro)
211 : {
212 56 : GEN e1 = gel(ro,1), e2 = gel(ro,2), e3 = gel(ro,3);
213 56 : GEN d1 = gnorm(gsub(x,e1));
214 56 : GEN d2 = gnorm(gsub(x,e2));
215 56 : GEN d3 = gnorm(gsub(x,e3));
216 56 : GEN z = gel(om,2);
217 56 : if (gcmp(d1, d2) <= 0)
218 0 : { if (gcmp(d1, d3) <= 0) z = gel(om,1); }
219 : else
220 56 : { if (gcmp(d2, d3)<=0) z = gadd(gel(om,1),gel(om,2)); }
221 56 : return gmul2n(z, -1);
222 : }
223 :
224 : static GEN
225 28735 : zellcx(GEN E, GEN P, long prec)
226 : {
227 28735 : GEN R = ellR_roots(E, prec+EXTRAPREC64);
228 28735 : GEN x0 = gel(P,1), y0 = ec_dmFdy_evalQ(E,P);
229 28735 : if (gequal0(y0))
230 0 : return zell_closest_0(ellomega_cx(E,prec),x0,R);
231 : else
232 : {
233 28735 : GEN e2 = gel(R,2), e3 = gel(R,3), d2 = gel(R,5), d3 = gel(R,6);
234 28735 : GEN a = gsqrt(d2,prec), b = gsqrt(d3,prec);
235 28735 : GEN r = gsqrt(gdiv(gsub(x0,e3), gsub(x0,e2)),prec);
236 28735 : GEN t = gdiv(gneg(y0), gmul2n(gmul(r,gsub(x0,e2)),1));
237 28735 : GEN ar = real_i(a), br = real_i(b), ai = imag_i(a), bi = imag_i(b);
238 : /* |a+b| < |a-b| */
239 28735 : if (gcmp(gmul(ar,br), gneg(gmul(ai,bi))) < 0) b = gneg(b);
240 28735 : return zellagmcx(a,b,r,t,prec);
241 : }
242 : }
243 :
244 : /* Assume E/R, disc E < 0, and P \in E(R) ==> z \in R */
245 : static GEN
246 28 : zellrealneg(GEN E, GEN P, long prec)
247 : {
248 28 : GEN x0 = gel(P,1), y0 = ec_dmFdy_evalQ(E,P);
249 28 : if (gequal0(y0)) return gmul2n(gel(ellR_omega(E,prec),1),-1);
250 : else
251 : {
252 0 : GEN R = ellR_roots(E, prec+EXTRAPREC64);
253 0 : GEN d2 = gel(R,5), e3 = gel(R,3);
254 0 : GEN a = gsqrt(d2,prec);
255 0 : GEN z = gsqrt(gsub(x0,e3), prec);
256 0 : GEN ar = real_i(a), zr = real_i(z), ai = imag_i(a), zi = imag_i(z);
257 0 : GEN t = gdiv(gneg(y0), gmul2n(gnorm(z),1));
258 0 : GEN r2 = ginv(gsqrt(gaddsg(1,gdiv(gmul(ai,zi),gmul(ar,zr))),prec));
259 0 : return zellagmcx(ar,gabs(a,prec),r2,gmul(t,r2),prec);
260 : }
261 : }
262 :
263 : /* Assume E/R, disc E > 0, and P \in E(R) */
264 : static GEN
265 70 : zellrealpos(GEN E, GEN P, long prec)
266 : {
267 70 : GEN R = ellR_roots(E, prec+EXTRAPREC64);
268 70 : GEN d2,d3,e1,e2,e3, a,b, x0 = gel(P,1), y0 = ec_dmFdy_evalQ(E,P);
269 70 : if (gequal0(y0)) return zell_closest_0(ellR_omega(E,prec), x0,R);
270 14 : e1 = gel(R,1);
271 14 : e2 = gel(R,2);
272 14 : e3 = gel(R,3);
273 14 : d2 = gel(R,5);
274 14 : d3 = gel(R,6);
275 14 : a = gsqrt(d2,prec);
276 14 : b = gsqrt(d3,prec);
277 14 : if (gcmp(x0,e1)>0) {
278 7 : GEN r = gsqrt(gdiv(gsub(x0,e3), gsub(x0,e2)),prec);
279 7 : GEN t = gdiv(gneg(y0), gmul2n(gmul(r,gsub(x0,e2)),1));
280 7 : return zellagmcx(a,b,r,t,prec);
281 : } else {
282 7 : GEN om = ellR_omega(E,prec);
283 7 : GEN r = gdiv(a,gsqrt(gsub(e1,x0),prec));
284 7 : GEN t = gdiv(gmul(r,y0),gmul2n(gsub(x0,e3),1));
285 7 : return gsub(zellagmcx(a,b,r,t,prec),gmul2n(gel(om,2),-1));
286 : }
287 : }
288 :
289 : static void
290 21 : ellQp_P2t_err(GEN E, GEN z)
291 : {
292 21 : if (typ(ellQp_u(E,1)) == t_POLMOD)
293 21 : pari_err_IMPL("ellpointtoz when u not in Qp");
294 0 : pari_err_DOMAIN("ellpointtoz", "point", "not on", strtoGENstr("E"),z);
295 0 : }
296 : static GEN
297 182 : get_r0(GEN E, long prec)
298 : {
299 182 : GEN b2 = ell_get_b2(E), e1 = ellQp_root(E, prec);
300 182 : return gadd(e1,gmul2n(b2,-2));
301 : }
302 : static GEN
303 133 : ellQp_P2t(GEN E, GEN P, long prec)
304 : {
305 133 : pari_sp av = avma;
306 : GEN a, b, ab, c0, r0, ar, r, x, delta, x1, y1, t, u, q;
307 : long vq, vt, Q, R;
308 133 : if (ell_is_inf(P)) return gen_1;
309 126 : ab = ellQp_ab(E, prec); a = gel(ab,1); b = gel(ab,2);
310 126 : u = ellQp_u(E, prec);
311 126 : q = ellQp_q(E, prec);
312 126 : x = gel(P,1);
313 126 : r0 = get_r0(E, prec);
314 126 : c0 = gadd(x, gmul2n(r0,-1));
315 126 : if (typ(c0) != t_PADIC || !is_scalar_t(typ(gel(P,2))))
316 7 : pari_err_TYPE("ellpointtoz",P);
317 119 : r = gsub(a,b);
318 119 : ar = gmul(a, r);
319 119 : if (gequal0(c0))
320 : {
321 7 : x1 = Qp_sqrt(gneg(ar));
322 7 : if (!x1) ellQp_P2t_err(E,P);
323 : }
324 : else
325 : {
326 112 : delta = gdiv(ar, gsqr(c0));
327 112 : t = Qp_sqrt(gsubsg(1,gmul2n(delta,2)));
328 112 : if (!t) ellQp_P2t_err(E,P);
329 105 : x1 = gmul(gmul2n(c0,-1), gaddsg(1,t));
330 : }
331 112 : y1 = gsubsg(1, gdiv(ar, gsqr(x1)));
332 112 : if (gequal0(y1))
333 : {
334 14 : y1 = Qp_sqrt(gmul(x1, gmul(gadd(x1, a), gadd(x1, r))));
335 14 : if (!y1) ellQp_P2t_err(E,P);
336 : }
337 : else
338 98 : y1 = gdiv(gmul2n(ec_dmFdy_evalQ(E,P), -1), y1);
339 98 : Qp_descending_Landen(ellQp_AGM(E,prec), &x1,&y1);
340 :
341 98 : t = gmul(u, gmul2n(y1,1)); /* 2u y_oo */
342 98 : t = gdiv(gsub(t, x1), gadd(t, x1));
343 : /* Reduce mod q^Z: we want 0 <= v(t) < v(q) */
344 98 : if (typ(t) == t_PADIC)
345 56 : vt = valp(t);
346 : else
347 42 : vt = valp(gnorm(t)) / 2; /* v(t) = v(Nt) / (e*f) */
348 98 : vq = valp(q); /* > 0 */
349 98 : Q = vt / vq; R = vt % vq; if (R < 0) Q--;
350 98 : if (Q) t = gdiv(t, gpowgs(q,Q));
351 98 : if (padicprec_relative(t) > prec) t = gprec(t, prec);
352 98 : return gc_upto(av, t);
353 : }
354 :
355 : static GEN
356 56 : ellQp_t2P(GEN E, GEN t, long prec)
357 : {
358 56 : pari_sp av = avma;
359 : GEN AB, A, R, x0,x1, y0,y1, u, u2, r0, s0, ar;
360 : long v;
361 56 : if (gequal1(t)) return ellinf();
362 :
363 56 : AB = ellQp_AGM(E,prec); A = gel(AB,1); R = gel(AB,3); v = itos(gel(AB,4));
364 56 : u = ellQp_u(E,prec);
365 56 : u2= ellQp_u2(E,prec);
366 56 : x1 = gdiv(t, gmul(u2, gsqr(gsubsg(1,t))));
367 56 : y1 = gdiv(gmul(x1,gaddsg(1,t)), gmul(gmul2n(u,1),gsubsg(1,t)));
368 56 : Qp_ascending_Landen(AB, &x1,&y1);
369 56 : r0 = get_r0(E, prec);
370 :
371 56 : ar = gmul(gel(A,1), gel(R,1)); setvalp(ar, valp(ar)+v);
372 56 : x0 = gsub(gadd(x1, gdiv(ar, x1)), gmul2n(r0,-1));
373 56 : s0 = gmul2n(ec_h_evalx(E, x0), -1);
374 56 : y0 = gsub(gmul(y1, gsubsg(1, gdiv(ar,gsqr(x1)))), s0);
375 56 : return gc_GEN(av, mkvec2(x0,y0));
376 : }
377 :
378 : static GEN
379 28833 : zell_i(GEN e, GEN z, long prec)
380 : {
381 : GEN t;
382 : long s;
383 28833 : (void)ellR_omega(e, prec); /* type checking */
384 28833 : if (ell_is_inf(z)) return gen_0;
385 28833 : s = ellR_get_sign(e);
386 28833 : if (s && typ(gel(z,1))!=t_COMPLEX && typ(gel(z,2))!=t_COMPLEX)
387 98 : t = (s < 0)? zellrealneg(e,z,prec): zellrealpos(e,z,prec);
388 : else
389 28735 : t = zellcx(e,z,prec);
390 28833 : return t;
391 : }
392 :
393 : GEN
394 28973 : zell(GEN E, GEN P, long prec)
395 : {
396 28973 : pari_sp av = avma;
397 28973 : checkell(E);
398 28973 : if (!checkellpt_i(P)) pari_err_TYPE("ellpointtoz", P);
399 28959 : switch(ell_get_type(E))
400 : {
401 133 : case t_ELL_Qp:
402 133 : prec = minss(ellQp_get_prec(E), padicprec_relative(P));
403 133 : return ellQp_P2t(E, P, prec);
404 7 : case t_ELL_NF:
405 : {
406 7 : GEN Ee = ellnfembed(E, prec), Pe = ellpointnfembed(E, P, prec);
407 7 : long i, l = lg(Pe);
408 21 : for (i = 1; i < l; i++) gel(Pe,i) = zell_i(gel(Ee,i), gel(Pe,i), prec);
409 7 : ellnfembed_free(Ee); return gc_GEN(av, Pe);
410 : }
411 84 : case t_ELL_Q: break;
412 28735 : case t_ELL_Rg: break;
413 0 : default: pari_err_TYPE("ellpointtoz", E);
414 : }
415 28819 : return gc_upto(av, zell_i(E, P, prec));
416 : }
417 :
418 : /********************************************************************/
419 : /** COMPLEX ELLIPTIC FUNCTIONS **/
420 : /********************************************************************/
421 :
422 : enum period_type { t_PER_W, t_PER_WETA, t_PER_ELL };
423 : /* normalization / argument reduction for elliptic functions */
424 : typedef struct {
425 : enum period_type type;
426 : GEN in; /* original input */
427 : GEN w1,w2,tau; /* original basis for L = <w1,w2> = w2 <1,tau> */
428 : GEN W1,W2,Tau; /* new basis for L = <W1,W2> = W2 <1,tau> */
429 : GEN ETA; /* quasi-periods for [W1,W2] or NULL */
430 : GEN a,b,c,d; /* t_INT; tau in F = h/Sl2, tau = g.t, g=[a,b;c,d] in SL(2,Z) */
431 : GEN z,Z; /* z/w2 defined mod <1,tau>, Z = z/w2 + x*tau+y reduced mod <1,tau>*/
432 : GEN x,y; /* t_INT */
433 : int swap; /* 1 if we swapped w1 and w2 */
434 : int some_q_is_real; /* exp(2iPi g.tau) for some g \in SL(2,Z) */
435 : int some_z_is_real; /* z + xw1 + yw2 is real for some x,y \in Z */
436 : int some_z_is_pure_imag; /* z + xw1 + yw2 in i*R */
437 : int q_is_real; /* exp(2iPi tau) \in R */
438 : int abs_u_is_1; /* |exp(2iPi Z)| = 1 */
439 : long prec; /* precision(Z) */
440 : long prec0; /* required precision for result */
441 : } ellred_t;
442 :
443 : /* compute g in SL_2(Z), g.t is in the usual
444 : fundamental domain. Internal function no check, no garbage. */
445 : static void
446 224742 : set_gamma(GEN *pt, GEN *pa, GEN *pb, GEN *pc, GEN *pd)
447 : {
448 224742 : GEN a, b, c, d, t, t0 = *pt, run = dbltor(1. - 1e-8);
449 224742 : long e = gexpo(gel(t0,2));
450 224742 : if (e < 0) t0 = gprec_wensure(t0, precision(t0)+nbits2extraprec(-e));
451 224742 : t = t0;
452 224742 : a = d = gen_1;
453 224742 : b = c = gen_0;
454 : for(;;)
455 44240 : {
456 268982 : GEN m, n = ground(gel(t,1));
457 268982 : if (signe(n))
458 : { /* apply T^n */
459 44829 : t = gsub(t,n);
460 44829 : a = subii(a, mulii(n,c));
461 44829 : b = subii(b, mulii(n,d));
462 : }
463 268982 : m = cxnorm(t); if (gcmp(m,run) > 0) break;
464 44240 : t = gneg_i(gdiv(conj_i(t), m)); /* apply S */
465 44240 : togglesign_safe(&c); swap(a,c);
466 44240 : togglesign_safe(&d); swap(b,d);
467 : }
468 224742 : if (e < 0 && (signe(b) || signe(c))) *pt = t0;
469 224742 : *pa = a; *pb = b; *pc = c; *pd = d;
470 224742 : }
471 : /* Im z > 0. Return U.z in PSl2(Z)'s standard fundamental domain.
472 : * Set *pU to U. */
473 : GEN
474 336 : cxredsl2_i(GEN z, GEN *pU, GEN *czd)
475 : {
476 : GEN a,b,c,d;
477 336 : set_gamma(&z, &a, &b, &c, &d);
478 336 : *pU = mkmat2(mkcol2(a,c), mkcol2(b,d));
479 336 : *czd = gadd(gmul(c,z), d);
480 336 : return gdiv(gadd(gmul(a,z), b), *czd);
481 : }
482 : GEN
483 294 : cxredsl2(GEN t, GEN *pU)
484 : {
485 294 : pari_sp av = avma;
486 : GEN czd;
487 294 : t = cxredsl2_i(t, pU, &czd);
488 294 : return gc_all(av, 2, &t, pU);
489 : }
490 :
491 : /* swap w1, w2 so that Im(t := w1/w2) > 0. Set tau = representative of t in
492 : * the standard fundamental domain, and g in Sl_2, such that tau = g.t */
493 : static void
494 253288 : red_modSL2(ellred_t *T, long prec)
495 : {
496 : long s, p;
497 253288 : T->tau = gdiv(T->w1,T->w2);
498 253288 : if (isintzero(real_i(T->tau))) T->some_q_is_real = 1;
499 253288 : s = gsigne(imag_i(T->tau));
500 253288 : if (!s) pari_err_DOMAIN("elliptic function", "det(w1,w2)", "=", gen_0,
501 : mkvec2(T->w1,T->w2));
502 253288 : T->swap = (s < 0);
503 253288 : if (T->swap) { swap(T->w1, T->w2); T->tau = ginv(T->tau); }
504 253288 : p = precision(T->tau); T->prec0 = p? p: prec;
505 253288 : if (T->type == t_PER_WETA)
506 : {
507 28882 : T->a = T->d = gen_1; T->W1 = T->w1;
508 28882 : T->b = T->c = gen_0; T->W2 = T->w2; T->Tau = T->tau;
509 : }
510 : else
511 : {
512 224406 : set_gamma(&T->tau, &T->a, &T->b, &T->c, &T->d);
513 : /* update lattice */
514 224406 : p = precision(T->tau);
515 224406 : if (p)
516 : {
517 223874 : T->w1 = gprec_wensure(T->w1, p);
518 223874 : T->w2 = gprec_wensure(T->w2, p);
519 : }
520 224406 : T->W1 = gadd(gmul(T->a,T->w1), gmul(T->b,T->w2));
521 224406 : T->W2 = gadd(gmul(T->c,T->w1), gmul(T->d,T->w2));
522 224406 : T->Tau = gdiv(T->W1, T->W2);
523 : }
524 253288 : if (isintzero(real_i(T->Tau))) T->some_q_is_real = T->q_is_real = 1;
525 253288 : p = precision(T->Tau); T->prec = p? p: prec;
526 253288 : }
527 : /* is z real or pure imaginary ? */
528 : static void
529 525588 : check_complex(GEN z, int *real, int *imag)
530 : {
531 525588 : if (typ(z) != t_COMPLEX) { *real = 1; *imag = 0; }
532 461594 : else if (isintzero(gel(z,1))) { *real = 0; *imag = 1; }
533 325780 : else *real = *imag = 0;
534 525588 : }
535 : static void
536 219639 : reduce_z(GEN z, ellred_t *T)
537 : {
538 : GEN x, Z;
539 : long p, e;
540 219639 : switch(typ(z))
541 : {
542 219639 : case t_INT: case t_REAL: case t_FRAC: case t_COMPLEX: break;
543 0 : case t_QUAD:
544 0 : z = isexactzero(gel(z,2))? gel(z,1): quadtofp(z, T->prec);
545 0 : break;
546 0 : default: pari_err_TYPE("reduction mod 2-dim lattice (reduce_z)", z);
547 : }
548 219639 : Z = gdiv(z, T->W2);
549 219639 : T->z = z;
550 219639 : x = gdiv(imag_i(Z), imag_i(T->Tau));
551 219639 : T->x = grndtoi(x, &e); /* |Im(Z - x*Tau)| <= Im(Tau)/2 */
552 : /* Avoid Im(Z) << 0; take 0 <= Im(Z - x*Tau) < Im(Tau) instead.
553 : * Leave round when Im(Z - x*Tau) ~ 0 to allow detecting Z in <1,Tau>
554 : * at the end */
555 219639 : if (e > -10) T->x = gfloor(x);
556 219639 : if (signe(T->x)) Z = gsub(Z, gmul(T->x,T->Tau));
557 219639 : T->y = ground(real_i(Z));/* |Re(Z - y)| <= 1/2 */
558 219639 : if (signe(T->y)) Z = gsub(Z, T->y);
559 219639 : T->abs_u_is_1 = (typ(Z) != t_COMPLEX);
560 : /* Z = - y - x tau + z/W2, x,y integers */
561 219639 : check_complex(z, &(T->some_z_is_real), &(T->some_z_is_pure_imag));
562 219639 : if (!T->some_z_is_real && !T->some_z_is_pure_imag)
563 : {
564 : int W2real, W2imag;
565 162883 : check_complex(T->W2,&W2real,&W2imag);
566 162883 : if (W2real)
567 7301 : check_complex(Z, &(T->some_z_is_real), &(T->some_z_is_pure_imag));
568 155582 : else if (W2imag)
569 135695 : check_complex(Z, &(T->some_z_is_pure_imag), &(T->some_z_is_real));
570 : }
571 219639 : p = precision(Z);
572 219639 : if (gequal0(Z) || (p && gexpo(Z) < 5 - p)) Z = NULL; /*z in L*/
573 219639 : if (p && p < T->prec) T->prec = p;
574 219639 : T->Z = Z;
575 219639 : }
576 : /* return x.eta1 + y.eta2 */
577 : static GEN
578 75208 : _period(ellred_t *T, GEN eta)
579 : {
580 75208 : GEN y1 = NULL, y2 = NULL;
581 75208 : if (signe(T->x)) y1 = gmul(T->x, gel(eta,1));
582 75208 : if (signe(T->y)) y2 = gmul(T->y, gel(eta,2));
583 75208 : if (!y1) return y2? y2: gen_0;
584 28167 : return y2? gadd(y1, y2): y1;
585 : }
586 : /* e is either
587 : * - [w1,w2]
588 : * - [[w1,w2],[eta1,eta2]]
589 : * - an ellinit structure */
590 : static void
591 253288 : compute_periods(ellred_t *T, GEN z, long prec)
592 : {
593 : GEN w, e;
594 253288 : T->ETA = NULL;
595 253288 : T->q_is_real = 0;
596 253288 : T->some_q_is_real = 0;
597 253288 : switch(T->type)
598 : {
599 210735 : case t_PER_ELL:
600 : {
601 210735 : long pr, p = prec;
602 210735 : if (z && (pr = precision(z))) p = pr;
603 210735 : e = T->in;
604 210735 : w = ellR_omega(e, p);
605 210735 : T->some_q_is_real = T->q_is_real = 1;
606 210735 : break;
607 : }
608 13671 : case t_PER_W:
609 13671 : w = T->in; break;
610 28882 : default: /*t_PER_WETA*/
611 28882 : w = gel(T->in,1);
612 28882 : T->ETA = gel(T->in, 2); break;
613 : }
614 253288 : T->w1 = gel(w,1);
615 253288 : T->w2 = gel(w,2);
616 253288 : red_modSL2(T, prec);
617 253288 : if (z) reduce_z(z, T);
618 253288 : }
619 : static int
620 71435 : ispair(GEN w) { return typ(w) == t_VEC && lg(w) == 3; }
621 : static int
622 253295 : check_periods(GEN e, ellred_t *T)
623 : {
624 253295 : if (typ(e) != t_VEC) return 0;
625 253295 : T->in = e;
626 253295 : switch(lg(e))
627 : {
628 210742 : case 17:
629 210742 : T->type = t_PER_ELL;
630 210742 : break;
631 42553 : case 3:
632 42553 : if (!ispair(gel(e,1)))
633 13671 : T->type = t_PER_W;
634 : else
635 : {
636 28882 : if (!ispair(gel(e,2))) return 0;
637 28882 : T->type = t_PER_WETA;
638 : }
639 42553 : break;
640 0 : default: return 0;
641 : }
642 253295 : return 1;
643 : }
644 : static int
645 253211 : get_periods(GEN e, GEN z, ellred_t *T, long prec)
646 : {
647 253211 : if (!check_periods(e, T)) return 0;
648 253211 : compute_periods(T, z, prec); return 1;
649 : }
650 :
651 : /* pi^2/3 */
652 : static GEN
653 219646 : pi23(long prec) { return divru(sqrr(mppi(prec)), 3); }
654 : /* 2iPi/x, more efficient when x pure imaginary (rectangular lattice) */
655 : static GEN
656 41685 : PiI2div(GEN x, long prec) { return gdiv(Pi2n(1, prec), mulcxmI(x)); }
657 : /* 2iPi/x)^2 = -4pi^2 / x */
658 : static GEN
659 4725 : PiI2div_sqr(GEN x, long prec)
660 : {
661 4725 : GEN p = sqrr(Pi2n(1, prec)); setsigne(p, -1);
662 4725 : return gdiv(p, gsqr(x));
663 : }
664 :
665 : static void
666 5222 : elleisnum_testk(long k)
667 : {
668 5222 : if (k<=0) pari_err_DOMAIN("elleisnum", "k", "<=", gen_0, stoi(k));
669 5215 : if (k&1) pari_err_DOMAIN("elleisnum", "k % 2", "!=", gen_0, stoi(k));
670 5201 : }
671 :
672 : /* quasi-periods eta1, eta2 attached to [W1,W2] = W2 [Tau, 1] */
673 : static GEN
674 66374 : elleta_W(ellred_t *T)
675 : {
676 : long prec;
677 : GEN e, E2;
678 :
679 66374 : if (T->ETA) return T->ETA;
680 37583 : prec = precision(T->W2)? T->prec: T->prec + EXTRAPREC64;
681 37583 : E2 = cxEk(T->Tau, 2, prec);
682 37583 : e = cxtoreal(gdiv(gmul(E2, pi23(prec)), gsqr(T->W2)));
683 : /* y2 Tau - y1 = 2i pi/W2 => y2 W1 - y1 W2 = 2i pi */
684 37583 : return mkvec2(gsub(gmul(T->W1, e), PiI2div(T->W2, prec)), gmul(T->W2, e));
685 : }
686 :
687 : GEN
688 28756 : ellperiods(GEN w, long flag, long prec)
689 : {
690 28756 : pari_sp av = avma;
691 : ellred_t T;
692 : GEN W;
693 28756 : if (!get_periods(w, NULL, &T, prec)) pari_err_TYPE("ellperiods",w);
694 28756 : W = mkvec2(T.W1, T.W2);
695 28756 : switch(flag)
696 : {
697 28735 : case 1: W = mkvec2(W, elleta_W(&T)); /* fall through */
698 28756 : case 0: break;
699 0 : default: pari_err_FLAG("ellperiods");
700 : }
701 28756 : return gc_GEN(av, W);
702 : }
703 :
704 : /* quasi-periods eta1, eta2 attached to [w1, w2] = w2 [tau, 1] */
705 : /* warning: w1*eta2 - w2*eta1 = sign(imag(tau))*2*Pi*I */
706 :
707 : GEN
708 84 : elleta(GEN om, long prec)
709 : {
710 84 : pari_sp av = avma;
711 : GEN y1, y2, E2, pi;
712 : ellred_t T;
713 :
714 84 : if (!check_periods(om, &T))
715 : {
716 0 : pari_err_TYPE("elleta",om);
717 : return NULL;/*LCOV_EXCL_LINE*/
718 : }
719 84 : if (T.type == t_PER_ELL) return ellR_eta(om, prec);
720 :
721 77 : compute_periods(&T, NULL, prec);
722 77 : prec = T.prec;
723 77 : pi = mppi(prec);
724 77 : E2 = cxEk(T.Tau, 2, prec); /* E_2(Tau) */
725 77 : if (signe(T.c))
726 : {
727 21 : GEN u = gdiv(T.w2, T.W2);
728 : /* E2 := u^2 E2 + 6iuc/pi = E_2(tau) */
729 21 : E2 = gadd(gmul(gsqr(u), E2), mulcxI(gdiv(gmul(mului(6,T.c), u), pi)));
730 : }
731 77 : y2 = gdiv(gmul(E2, sqrr(pi)), gmulsg(3, T.w2));
732 77 : if (T.swap)
733 : {
734 7 : y1 = y2;
735 7 : y2 = gsub(gmul(T.tau,y1), PiI2div(T.w2, prec));
736 : }
737 : else
738 70 : y1 = gsub(gmul(T.tau,y2), PiI2div(T.w2, prec));
739 77 : if (is_real_t(typ(T.w1))) y1 = real_i(y1);
740 77 : return gc_GEN(av, mkvec2(y1,y2));
741 : }
742 :
743 : /********************************************************************/
744 : /** Jacobi sine theta **/
745 : /********************************************************************/
746 :
747 : /* check |q| < 1 */
748 : static GEN
749 21 : check_unit_disc(const char *fun, GEN q, long prec)
750 : {
751 21 : GEN Q = gtofp(q, prec), Qlow;
752 21 : Qlow = (prec > LOWDEFAULTPREC)? gtofp(Q,LOWDEFAULTPREC): Q;
753 21 : if (gcmp(gnorm(Qlow), gen_1) >= 0)
754 0 : pari_err_DOMAIN(fun, "abs(q)", ">=", gen_1, q);
755 21 : return Q;
756 : }
757 :
758 : GEN
759 7 : thetanullk(GEN q, long k, long prec)
760 : {
761 : long l, n;
762 7 : pari_sp av = avma;
763 : GEN p1, ps, qn, y, ps2;
764 :
765 7 : if (k < 0)
766 0 : pari_err_DOMAIN("thetanullk", "k", "<", gen_0, stoi(k));
767 7 : l = precision(q);
768 7 : if (l) prec = l;
769 7 : q = check_unit_disc("thetanullk", q, prec);
770 :
771 7 : if (!odd(k)) { set_avma(av); return gen_0; }
772 7 : qn = gen_1;
773 7 : ps2 = gsqr(q);
774 7 : ps = gneg_i(ps2);
775 7 : y = gen_1;
776 7 : for (n = 3;; n += 2)
777 280 : {
778 : GEN t;
779 287 : qn = gmul(qn,ps);
780 287 : ps = gmul(ps,ps2);
781 287 : t = gmul(qn, powuu(n, k)); y = gadd(y, t);
782 287 : if (gexpo(t) < -prec2nbits(prec)) break;
783 : }
784 7 : p1 = gmul2n(gsqrt(gsqrt(q,prec),prec),1);
785 7 : if (k&2) y = gneg_i(y);
786 7 : return gc_upto(av, gmul(p1, y));
787 : }
788 :
789 : /* q2 = q^2 */
790 : static GEN
791 42039 : vecthetanullk_loop(GEN q2, long k, long prec)
792 : {
793 42039 : GEN ps, qn = gen_1, y = const_vec(k, gen_1);
794 42039 : pari_sp av = avma;
795 42039 : const long bit = prec2nbits(prec);
796 : long i, n;
797 :
798 42039 : if (gexpo(q2) < -2*bit) return y;
799 42039 : ps = gneg_i(q2);
800 42039 : for (n = 3;; n += 2)
801 227409 : {
802 269448 : GEN t = NULL/*-Wall*/, P = utoipos(n), N2 = sqru(n);
803 269448 : qn = gmul(qn,ps);
804 269448 : ps = gmul(ps,q2);
805 808344 : for (i = 1; i <= k; i++)
806 : {
807 538896 : t = gmul(qn, P); gel(y,i) = gadd(gel(y,i), t);
808 538896 : P = mulii(P, N2);
809 : }
810 269448 : if (gexpo(t) < -bit) return y;
811 227409 : if (gc_needed(av,2))
812 : {
813 0 : if (DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"vecthetanullk_loop, n = %ld",n);
814 0 : (void)gc_all(av, 3, &qn, &ps, &y);
815 : }
816 : }
817 : }
818 : /* [d^i theta/dz^i(q, 0), i = 1, 3, .., 2*k - 1] */
819 : GEN
820 0 : vecthetanullk(GEN q, long k, long prec)
821 : {
822 0 : long i, l = precision(q);
823 0 : pari_sp av = avma;
824 : GEN p1, y;
825 :
826 0 : if (l) prec = l;
827 0 : q = check_unit_disc("vecthetanullk", q, prec);
828 0 : y = vecthetanullk_loop(gsqr(q), k, prec);
829 0 : p1 = gmul2n(gsqrt(gsqrt(q,prec),prec),1);
830 0 : for (i = 2; i <= k; i += 2) gel(y,i) = gneg_i(gel(y,i));
831 0 : return gc_upto(av, gmul(p1, y));
832 : }
833 :
834 : /* [d^i theta/dz^i(q, 0), i = 1, 3, .., 2*k - 1], q = exp(2iPi tau) */
835 : GEN
836 0 : vecthetanullk_tau(GEN tau, long k, long prec)
837 : {
838 0 : long i, l = precision(tau);
839 0 : pari_sp av = avma;
840 : GEN q4, y;
841 :
842 0 : if (l) prec = l;
843 0 : if (typ(tau) != t_COMPLEX || gsigne(gel(tau,2)) <= 0)
844 0 : pari_err_DOMAIN("vecthetanullk_tau", "imag(tau)", "<=", gen_0, tau);
845 0 : q4 = expIPiC(gmul2n(tau,-1), prec); /* q^(1/4) */
846 0 : y = vecthetanullk_loop(gpowgs(q4,8), k, prec);
847 0 : for (i = 2; i <= k; i += 2) gel(y,i) = gneg_i(gel(y,i));
848 0 : return gc_upto(av, gmul(gmul2n(q4,1), y));
849 : }
850 :
851 : /********************************************************************/
852 : /* Riemann-Jacobi 1-variable theta functions, does not use AGM */
853 : /********************************************************************/
854 : /* theta(z,tau,0) should be identical to riemann_theta([z]~, Mat(tau))
855 : * from Jean Kieffer. */
856 :
857 : static long
858 112 : equali01(GEN x)
859 : {
860 112 : if (!signe(x)) return 0;
861 84 : if (!equali1(x)) pari_err_FLAG("theta");
862 84 : return 1;
863 : }
864 :
865 : static long
866 182 : thetaflag(GEN v)
867 : {
868 : long v1, v2;
869 182 : if (!v) return 0;
870 182 : switch(typ(v))
871 : {
872 126 : case t_INT:
873 126 : if (signe(v) < 0 || cmpis(v, 4) > 0) pari_err_FLAG("theta");
874 126 : return itou(v);
875 56 : case t_VEC:
876 56 : if (RgV_is_ZV(v) && lg(v) == 3) break;
877 0 : default: pari_err_FLAG("theta");
878 : }
879 56 : v1 = equali01(gel(v,1));
880 56 : v2 = equali01(gel(v,2)); return v1? (v2? -1: 2): (v2? 4: 3);
881 : }
882 :
883 : /* Automorphy factor for bringing tau towards standard fundamental domain
884 : * (we stop when im(tau) >= 1/2, no need to go all the way to sqrt(3)/2).
885 : * At z = 0 if NULL */
886 : static GEN
887 220192 : autojtau(GEN *pz, GEN *ptau, long *psumr, long *pct, long prec)
888 : {
889 220192 : GEN S = gen_1, z = *pz, tau = *ptau;
890 220192 : long ct = 0, sumr = 0;
891 220192 : if (z && gequal0(z)) z = NULL;
892 220367 : while (gexpo(imag_i(tau)) < -1)
893 : {
894 175 : GEN r = ground(real_i(tau)), taup;
895 175 : tau = gsub(tau, r); taup = gneg(ginv(tau));
896 175 : S = gdiv(S, gsqrt(mulcxmI(tau), prec));
897 175 : if (z)
898 : {
899 119 : S = gmul(S, expIPiC(gmul(taup, gsqr(z)), prec));
900 119 : z = gneg(gmul(z, taup));
901 : }
902 175 : ct++; tau = taup; sumr = (sumr + Mod8(r)) & 7;
903 : }
904 220192 : if (pct) *pct = ct;
905 220192 : *psumr = sumr; *pz = z; *ptau = tau; return S;
906 : }
907 :
908 : /* At 0 if z = NULL. Real(tau) = n is an integer; 4 | n if fl = 1 or 2 */
909 : static void
910 1510544 : clearim(GEN *v, GEN z, long fl)
911 : {
912 1510544 : if (!z || gequal0(imag_i(z)) || (fl != 1 && gequal0(real_i(z))))
913 905555 : *v = real_i(*v);
914 1510544 : }
915 :
916 : static GEN
917 377636 : clearimall(GEN z, GEN n, GEN VS)
918 : {
919 377636 : long nmod4 = Mod4(n);
920 377636 : clearim(&gel(VS,1), z, 3);
921 377636 : clearim(&gel(VS,2), z, 4);
922 377636 : if (!nmod4)
923 : {
924 377636 : clearim(&gel(VS,3), z, 2);
925 377636 : clearim(&gel(VS,4), z, 1);
926 : }
927 377636 : return VS;
928 : }
929 :
930 : /* Implementation of all 4 theta functions */
931 :
932 : /* If z = NULL, we are at 0 */
933 : static long
934 220269 : thetaprec(GEN z, GEN tau, long prec)
935 : {
936 220269 : long l = precision(tau);
937 220269 : if (z)
938 : {
939 219814 : long n = precision(z);
940 219814 : if (n && n < l) l = n;
941 : }
942 220269 : return l? l: prec;
943 : }
944 :
945 : static GEN
946 219807 : redmod2Z(GEN z)
947 : {
948 219807 : GEN k = ground(gmul2n(real_i(z), -1));
949 219807 : if (typ(k) != t_INT) pari_err_TYPE("theta", z);
950 219800 : if (signe(k)) z = gsub(z, shifti(k, 1));
951 219800 : return z;
952 : }
953 :
954 : /* Return theta[0,0], theta[0,1], theta[1,0] and theta[1,1] at (z,tau).
955 : * If pT0 != NULL, assume z != NULL and set *pT0 to
956 : * theta[0,0], theta[0,1], theta[1,0] and theta[1,1]' at (0,tau).
957 : * Note that theta[1,1](0, tau) is identically 0, hence the derivative.
958 : * If z = NULL, return theta[1,1]'(0) */
959 : static GEN
960 220192 : thetaall(GEN z, GEN tau, GEN *pT0, long prec)
961 : {
962 : pari_sp av;
963 : GEN zold, tauold, k, u, un, q, q2, qd, qn;
964 : GEN S, Skeep, S00, S01, S10, S11, u2, ui2, uin;
965 220192 : GEN Z00 = gen_1, Z01 = gen_1, Z10 = gen_0, Z11 = gen_0;
966 220192 : long n, ct, eS, B, sumr, precold = prec;
967 220192 : int theta1p = !z;
968 :
969 220192 : if (z) z = redmod2Z(z);
970 220185 : tau = upper_to_cx(tau, &prec);
971 220185 : prec = thetaprec(z, tau, prec);
972 220185 : z = zold = z? gtofp(z, prec): NULL;
973 220185 : tau = tauold = gtofp(tau, prec);
974 220185 : S = autojtau(&z, &tau, &sumr, &ct, prec);
975 220185 : Skeep = S;
976 220185 : k = gen_0; S00 = S01 = gen_1; S10 = S11 = gen_0;
977 220185 : if (z)
978 : {
979 219702 : GEN y = imag_i(z);
980 219702 : if (!gequal0(y)) k = roundr(divrr(y, gneg(imag_i(tau))));
981 219702 : if (signe(k))
982 : {
983 105511 : GEN Sz = expIPiC(gadd(gmul(sqri(k), tau), gmul(shifti(k,1), z)), prec);
984 105511 : S = gmul(S, Sz);
985 105511 : z = gadd(z, gmul(tau, k));
986 : }
987 : }
988 220185 : if ((eS = gexpo(S)) > 0)
989 : {
990 81989 : prec = nbits2prec(eS + prec2nbits(prec));
991 81989 : if (z) z = gprec_w(z, prec);
992 81989 : tau = gprec_w(tau, prec);
993 : }
994 220185 : q = expIPiC(gmul2n(tau,-2), prec); q2 = gsqr(q); qn = gen_1;
995 220185 : if (!z) u = u2 = ui2 = un = uin = NULL; /* constant, equal to 1 */
996 : else
997 : {
998 219702 : u = expIPiC(z, prec); u2 = gsqr(u); ui2 = ginv(u2);
999 219702 : un = uin = gen_1;
1000 : }
1001 220185 : qd = q; B = prec2nbits(prec);
1002 220185 : av = avma;
1003 220185 : for (n = 1;; n++)
1004 1226131 : { /* qd = q^(4n-3), qn = q^(4(n-1)^2), un = u^(2n-2), uin = 1/un */
1005 1446316 : long e = 0, eqn, prec2;
1006 : GEN tmp;
1007 1446316 : if (u) uin = gmul(uin, ui2);
1008 1446316 : qn = gmul(qn, qd); /* q^((2n-1)^2) */
1009 1446316 : tmp = u? gmul(qn, gadd(un, uin)): gmul2n(qn, 1);
1010 1446316 : S10 = gadd(S10, tmp);
1011 1446316 : if (pT0) Z10 = gadd(Z10, gmul2n(qn, 1));
1012 1446316 : if (z)
1013 : {
1014 1444503 : tmp = gmul(qn, gsub(un, uin));
1015 1444503 : S11 = odd(n)? gsub(S11, tmp): gadd(S11, tmp);
1016 1444503 : e = maxss(0, gexpo(un)); un = gmul(un, u2);
1017 1444503 : e = maxss(e, gexpo(un));
1018 : }
1019 1813 : else if (theta1p) /* theta'[1,1] at 0 */
1020 : {
1021 1624 : tmp = gmulsg(2*n-1, tmp);
1022 1624 : S11 = odd(n)? gsub(S11, tmp): gadd(S11, tmp);
1023 : }
1024 1446316 : if (pT0)
1025 : {
1026 1443759 : tmp = gmulsg(4*n-2, qn);
1027 1443759 : Z11 = odd(n)? gsub(Z11, tmp): gadd(Z11, tmp);
1028 : }
1029 1446316 : qd = gmul(qd, q2); qn = gmul(qn, qd); /* q^(4n^2) */
1030 1446316 : tmp = u? gmul(qn, gadd(un, uin)): gmul2n(qn, 1);
1031 1446316 : S00 = gadd(S00, tmp);
1032 1446316 : S01 = odd(n)? gsub(S01, tmp): gadd(S01, tmp);
1033 1446316 : if (pT0)
1034 : {
1035 1443759 : tmp = gmul2n(qn, 1); Z00 = gadd(Z00, tmp);
1036 1443759 : Z01 = odd(n)? gsub(Z01, tmp): gadd(Z01, tmp);
1037 : }
1038 1446316 : eqn = gexpo(qn) + e; if (eqn < -B) break;
1039 1226131 : qd = gmul(qd, q2);
1040 1226131 : prec2 = minss(prec, nbits2prec(eqn + B + 64));
1041 1226131 : qn = gprec_w(qn, prec2); qd = gprec_w(qd, prec2);
1042 1226131 : if (u) { un = gprec_w(un, prec2); uin = gprec_w(uin, prec2); }
1043 1226131 : if (gc_needed(av, 1))
1044 : {
1045 0 : if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"theta");
1046 0 : gc_all(av, pT0? 12: (u? 8: 6), &qd, &qn, &S00,&S01,&S10,&S11, &un,&uin,
1047 : &Z00,&Z01,&Z10,&Z11);
1048 : }
1049 : }
1050 220185 : if (u)
1051 : {
1052 219702 : S10 = gmul(u, S10);
1053 219702 : S11 = gmul(u, S11);
1054 : }
1055 : /* automorphic factor
1056 : * theta[1,1]: I^ct
1057 : * theta[1,0]: exp(-I*Pi/4*sumr)
1058 : * theta[0,1]: (-1)^k
1059 : * theta[1,1]: (-1)^k exp(-I*Pi/4*sumr) */
1060 220185 : if (!theta1p && mpodd(k)) { S01 = gneg(S01); S11 = gneg(S11); }
1061 220185 : S11 = z? mulcxpowIs(S11, ct + 3): gmul(mppi(prec), S11);
1062 220185 : if (pT0) Z11 = gmul(mppi(prec), Z11);
1063 220185 : if (ct&1L) { swap(S10, S01); if (pT0) swap(Z10, Z01); }
1064 220185 : if (sumr & 7)
1065 : {
1066 42 : GEN zet = e12(sumr * 3, prec); /* exp(I Pi sumr / 4) */
1067 42 : if (odd(sumr)) { swap(S01, S00); if (pT0) swap(Z01, Z00); }
1068 42 : S10 = gmul(S10, zet); S11 = gmul(S11, zet);
1069 42 : if (pT0) { Z10 = gmul(Z10, zet); Z11 = gmul(Z11, zet); }
1070 : }
1071 220185 : if (theta1p) S11 = gmul(gsqr(S), S11);
1072 220185 : if (pT0) Z11 = gmul(gsqr(Skeep), Z11);
1073 220185 : S = gmul(S, mkvec4(S00, S01, S10, S11));
1074 220185 : if (precold < prec) S = gprec_wtrunc(S, precold);
1075 220185 : if (pT0)
1076 : {
1077 219583 : *pT0 = gmul(Skeep, mkvec4(Z00, Z01, Z10, Z11));
1078 219583 : if (precold < prec) *pT0 = gprec_wtrunc(*pT0, precold);
1079 : }
1080 220185 : if (isint(real_i(tauold), &k))
1081 : {
1082 189042 : S = clearimall(zold, k, S);
1083 189042 : if (pT0) *pT0 = clearimall(NULL, k, *pT0);
1084 : }
1085 220185 : return S;
1086 : }
1087 :
1088 : static GEN
1089 455 : thetanull_i(GEN tau, long prec) { return thetaall(NULL, tau, NULL, prec); }
1090 :
1091 : GEN
1092 154 : theta(GEN z, GEN tau, GEN flag, long prec)
1093 : {
1094 154 : pari_sp av = avma;
1095 : GEN T;
1096 154 : if (!flag)
1097 : { /* backward compatibility: sine theta */
1098 14 : GEN pi = mppi(prec), q = z; z = tau; /* input (q = exp(i pi tau), Pi*z) */
1099 14 : prec = thetaprec(z, tau, prec);
1100 14 : q = check_unit_disc("theta", q, prec);
1101 14 : z = gdiv(gtofp(z, prec), pi);
1102 14 : tau = gdiv(mulcxmI(glog(q, prec)), pi);
1103 14 : flag = gen_1;
1104 : }
1105 154 : T = thetaall(z, tau, NULL, prec);
1106 147 : switch (thetaflag(flag))
1107 : {
1108 28 : case -1: T = gel(T,4); break;
1109 63 : case 0: break;
1110 14 : case 1: T = gneg(gel(T,4)); break;
1111 14 : case 2: T = gel(T,3); break;
1112 14 : case 3: T = gel(T,1); break;
1113 14 : case 4: T = gel(T,2); break;
1114 0 : default: pari_err_FLAG("theta");
1115 : }
1116 147 : return gc_GEN(av, T);
1117 : }
1118 :
1119 : /* Same as 2*Pi*eta(tau,1)^3 = - thetanull_i(tau)[4], faster than both. */
1120 : static GEN
1121 7 : thetanull11(GEN tau, long prec)
1122 : {
1123 7 : GEN z = NULL, tauold, q, q8, qd, qn, S, S11;
1124 7 : long n, eS, B, sumr, precold = prec;
1125 :
1126 7 : tau = upper_to_cx(tau, &prec);
1127 7 : tau = tauold = gtofp(tau, prec);
1128 7 : S = autojtau(&z, &tau, &sumr, NULL, prec);
1129 7 : S11 = gen_1; ;
1130 7 : if ((eS = gexpo(S)) > 0)
1131 : {
1132 0 : prec += nbits2extraprec(eS);
1133 0 : tau = gprec_w(tau, prec);
1134 : }
1135 7 : q8 = expIPiC(gmul2n(tau,-2), prec); q = gpowgs(q8, 8);
1136 7 : qn = gen_1; qd = q; B = prec2nbits(prec);
1137 7 : for (n = 1;; n++)
1138 42 : { /* qd = q^n, qn = q^((n^2-n)/2) */
1139 : long eqn, prec2;
1140 : GEN tmp;
1141 49 : qn = gmul(qn, qd); tmp = gmulsg(2*n+1, qn); eqn = gexpo(tmp);
1142 49 : S11 = odd(n)? gsub(S11, tmp): gadd(S11, tmp);
1143 49 : if (eqn < -B) break;
1144 42 : qd = gmul(qd, q);
1145 42 : prec2 = minss(prec, nbits2prec(eqn + B + 32));
1146 42 : qn = gprec_w(qn, prec2); qd = gprec_w(qd, prec2);
1147 : }
1148 7 : if (precold < prec) prec = precold;
1149 7 : S11 = gmul3(S11, q8, e12(3*sumr, prec));
1150 7 : S11 = gmul3(Pi2n(1, prec), gpowgs(S, 3), S11);
1151 7 : if (isint(real_i(tauold), &q) && !Mod4(q)) clearim(&S11, z, 1);
1152 7 : return S11;
1153 : }
1154 :
1155 : GEN
1156 35 : thetanull(GEN tau, GEN flag, long prec)
1157 : {
1158 35 : pari_sp av = avma;
1159 35 : long fl = thetaflag(flag);
1160 : GEN T0;
1161 35 : if (fl == 1) T0 = thetanull11(tau, prec);
1162 35 : else if (fl == -1) T0 = gneg(thetanull11(tau, prec));
1163 : else
1164 : {
1165 28 : T0 = thetanull_i(tau, prec);
1166 28 : switch (fl)
1167 : {
1168 7 : case 0: break;
1169 7 : case 2: T0 = gel(T0,3); break;
1170 7 : case 3: T0 = gel(T0,1); break;
1171 7 : case 4: T0 = gel(T0,2); break;
1172 0 : default: pari_err_FLAG("thetanull");
1173 : }
1174 : }
1175 35 : return gc_GEN(av, T0);
1176 : }
1177 :
1178 : static GEN
1179 70 : autojtauprime(GEN *pz, GEN *ptau, GEN *pmat, long *psumr, long *pct, long prec)
1180 : {
1181 70 : GEN S = gen_1, z = *pz, tau = *ptau, M = matid(2);
1182 70 : long ct = 0, sumr = 0;
1183 70 : while (gexpo(imag_i(tau)) < -1)
1184 : {
1185 0 : GEN r = ground(real_i(tau)), taup;
1186 0 : tau = gsub(tau, r); taup = gneg(ginv(tau));
1187 0 : S = gdiv(S, gsqrt(mulcxmI(tau), prec));
1188 0 : S = gmul(S, expIPiC(gmul(taup, gsqr(z)), prec));
1189 0 : M = gmul(mkmat22(gen_1, gen_0, gmul(z, PiI2n(1, prec)), tau), M);
1190 0 : z = gneg(gmul(z, taup));
1191 0 : ct++; tau = taup; sumr = (sumr + Mod8(r)) & 7;
1192 : }
1193 70 : if (pct) *pct = ct;
1194 70 : *pmat = M; *psumr = sumr; *pz = z; *ptau = tau; return S;
1195 : }
1196 :
1197 : /* computes theta_{1,1} and theta'_{1,1} together */
1198 :
1199 : static GEN
1200 70 : theta11prime(GEN z, GEN tau, long prec)
1201 : {
1202 70 : pari_sp av = avma;
1203 : GEN zold, tauold, k, u, un, q, q2, qd, qn;
1204 : GEN S, S11, S11prime, S11all, u2, ui2, uin;
1205 : GEN y, mat;
1206 70 : long n, ct, eS, B, sumr, precold = prec;
1207 :
1208 70 : if (z) z = redmod2Z(z);
1209 70 : if (!z || gequal0(z)) pari_err(e_MISC, "z even integer in theta11prime");
1210 70 : tau = upper_to_cx(tau, &prec);
1211 70 : prec = thetaprec(z, tau, prec);
1212 70 : z = zold = z? gtofp(z, prec): NULL;
1213 70 : tau = tauold = gtofp(tau, prec);
1214 70 : S = autojtauprime(&z, &tau, &mat, &sumr, &ct, prec);
1215 70 : k = gen_0; S11 = gen_0; S11prime = gen_0;
1216 70 : y = imag_i(z);
1217 70 : if (!gequal0(y)) k = roundr(divrr(y, gneg(imag_i(tau))));
1218 70 : if (signe(k))
1219 : {
1220 28 : GEN Sz = expIPiC(gadd(gmul(sqri(k), tau), gmul(shifti(k,1), z)), prec);
1221 28 : mat = gmul(mkmat22(gen_1, gen_0, gneg(gmul(k, PiI2n(1, prec))), gen_1), mat);
1222 28 : S = gmul(S, Sz);
1223 28 : z = gadd(z, gmul(tau, k));
1224 : }
1225 70 : if ((eS = gexpo(S)) > 0)
1226 : {
1227 28 : prec = nbits2prec(eS + prec2nbits(prec));
1228 28 : z = gprec_w(z, prec);
1229 28 : tau = gprec_w(tau, prec);
1230 : }
1231 70 : q = expIPiC(gmul2n(tau,-2), prec); q2 = gsqr(q); qn = gen_1;
1232 70 : u = expIPiC(z, prec); u2 = gsqr(u); ui2 = ginv(u2);
1233 70 : un = uin = gen_1;
1234 70 : qd = q; B = prec2nbits(prec);
1235 70 : for (n = 1;; n++)
1236 315 : { /* qd = q^(4n-3), qn = q^(4(n-1)^2), un = u^(2n-2), uin = 1/un */
1237 385 : long e = 0, eqn, prec2;
1238 : GEN tmp, tmpprime;
1239 385 : uin = gmul(uin, ui2);
1240 385 : qn = gmul(qn, qd); /* q^((2n-1)^2) */
1241 385 : tmp = gmul(qn, gsub(un, uin));
1242 385 : tmpprime = gmulsg(2*n - 1, gmul(qn, gadd(un, uin)));
1243 385 : S11 = odd(n)? gsub(S11, tmp): gadd(S11, tmp);
1244 385 : S11prime = odd(n)? gsub(S11prime, tmpprime): gadd(S11prime, tmpprime);
1245 385 : e = maxss(0, gexpo(un)); un = gmul(un, u2); e = maxss(e, gexpo(un));
1246 385 : qd = gmul(qd, q2); qn = gmul(qn, qd); /* q^(4n^2) */
1247 385 : eqn = gexpo(qn) + e; if (eqn < -B) break;
1248 315 : qd = gmul(qd, q2);
1249 315 : prec2 = minss(prec, nbits2prec(eqn + B + 64));
1250 315 : qn = gprec_w(qn, prec2); qd = gprec_w(qd, prec2);
1251 315 : un = gprec_w(un, prec2); uin = gprec_w(uin, prec2);
1252 : }
1253 70 : S11prime = gmul(S11prime, PiI2n(0, prec));
1254 70 : S11all = gmul(u, mkcol2(S11, S11prime));
1255 70 : S11all = mulcxpowIs(S11all, ct + 3);
1256 70 : if (sumr & 7) S11all = gmul(e12(sumr * 3, prec), S11all);
1257 70 : if (mpodd(k)) S11all = gneg(S11all);
1258 70 : if (precold < prec) S11all = gprec_w(S11all, precold);
1259 70 : return gc_upto(av, gmul(S, gmul(ginv(mat), S11all)));
1260 : }
1261 :
1262 : /* is q = exp(2ipi tau) a real number ? */
1263 : static int
1264 427 : isqreal(GEN tau) { return gequal0(gfrac(gmul2n(real_i(tau), 1))); }
1265 : static void
1266 427 : cxE4E6(GEN tau, GEN *pE4, GEN *pE6, long prec)
1267 : {
1268 427 : GEN z2, z3, z4, T0 = thetanull_i(tau, prec);
1269 427 : int fl = isqreal(tau);
1270 427 : z3 = gpowgs(gel(T0, 1), 4);
1271 427 : z4 = gpowgs(gel(T0, 2), 4);
1272 427 : z2 = gpowgs(gel(T0, 3), 4);
1273 427 : if (pE4)
1274 : {
1275 406 : GEN e = gadd3(gsqr(z2), gsqr(z3), gsqr(z4));
1276 406 : *pE4 = gmul2n(fl? real_i(e): e, -1); /* N.B. g2 = (2ipi)^4 E4 / 12 */
1277 : }
1278 427 : if (pE6)
1279 : { /* the roots (e1,e2,e3) of 4x^3 - g2x - g3 are z3+z4, -(z2+z3), z2-z4 */
1280 392 : GEN e = gmul3(gadd(z3, z4), gadd(z2, z3), gsub(z4, z2));
1281 392 : *pE6 = gmul2n(fl? real_i(e): e, -1); /* N.B. g3 = (2ipi)^6 E6 / -216 */
1282 : }
1283 427 : }
1284 :
1285 : /* Weierstrass elliptic data in terms of thetas */
1286 : /* tau,z reduced */
1287 : static GEN
1288 181972 : ellwp_cx(GEN tau, GEN z, GEN *pyp, long prec)
1289 : {
1290 181972 : GEN P, T0, T = thetaall(z, tau, &T0, prec);
1291 181972 : GEN z1 = gel(T0, 1), z3 = gel(T0, 3), t2 = gel(T, 2), t4 = gel(T, 4);
1292 181972 : P = gmul(pi23(prec), gsub(gmulgs(gsqr(gdiv(gmul3(z1, z3, t2), t4)), 3),
1293 : gadd(gpowgs(z1, 4), gpowgs(z3, 4))));
1294 181972 : if (pyp)
1295 : {
1296 181909 : GEN t1 = gel(T, 1), t3 = gel(T, 3);
1297 181909 : GEN c = gmul(Pi2n(1, prec), gsqr(gel(T0, 4)));
1298 181909 : *pyp = gdiv(gmul4(c, t1, t2, t3), gpowgs(t4, 3));
1299 : }
1300 181972 : return P;
1301 : }
1302 :
1303 : /* computes the numerical value of wp(z | L), L = om1 Z + om2 Z
1304 : * return NULL if z in L. If flall=1, compute also wp' */
1305 : static GEN
1306 181993 : ellwpnum_all(GEN e, GEN z, long flall, long prec)
1307 : {
1308 181993 : pari_sp av = avma;
1309 181993 : GEN yp = NULL, y, u1;
1310 : ellred_t T;
1311 :
1312 181993 : if (!get_periods(e, z, &T, prec)) pari_err_TYPE("ellwp",e);
1313 181993 : if (!T.Z) return NULL;
1314 181972 : prec = T.prec;
1315 :
1316 : /* Now L,Z normalized to <1,tau>. Z in fund. domain of <1, tau> */
1317 181972 : y = ellwp_cx(T.Tau, T.Z, flall? &yp: NULL, prec);
1318 181972 : u1 = gsqr(T.W2); y = gdiv(y, u1);
1319 181972 : if (yp) yp = gdiv(yp, gmul(u1, T.W2));
1320 181972 : if (T.some_q_is_real && (T.some_z_is_real || T.some_z_is_pure_imag))
1321 47866 : y = real_i(y);
1322 181972 : if (yp)
1323 : {
1324 181909 : if (T.some_q_is_real)
1325 : {
1326 181909 : if (T.some_z_is_real) yp = real_i(yp);
1327 134092 : else if (T.some_z_is_pure_imag) yp = mkcomplex(gen_0, imag_i(yp));
1328 : }
1329 181909 : y = mkvec2(y, yp);
1330 : }
1331 181972 : return gc_GEN(av, gprec_wtrunc(y, T.prec0));
1332 : }
1333 : static GEN
1334 553 : ellwpseries_aux(GEN c4, GEN c6, long v, long PRECDL)
1335 : {
1336 : long i, k, l;
1337 : pari_sp av;
1338 553 : GEN _1, t, res = cgetg(PRECDL+2,t_SER), *P = (GEN*)(res + 2);
1339 :
1340 553 : res[1] = evalsigne(1) | _evalvalser(-2) | evalvarn(v);
1341 553 : if (!PRECDL) { setsigne(res,0); return res; }
1342 :
1343 7245 : for (i=1; i<PRECDL; i+=2) P[i]= gen_0;
1344 553 : _1 = Rg_get_1(c4);
1345 553 : switch(PRECDL)
1346 : {
1347 553 : default:P[6] = gdivgu(c6,6048);
1348 553 : case 6:
1349 553 : case 5: P[4] = gdivgu(c4, 240);
1350 553 : case 4:
1351 553 : case 3: P[2] = gmul(_1,gen_0);
1352 553 : case 2:
1353 553 : case 1: P[0] = _1;
1354 : }
1355 553 : if (PRECDL <= 8) return res;
1356 546 : av = avma;
1357 546 : P[8] = gc_upto(av, gdivgu(gsqr(P[4]), 3));
1358 4550 : for (k=5; (k<<1) < PRECDL; k++)
1359 : {
1360 4004 : av = avma;
1361 4004 : t = gmul(P[4], P[(k-2)<<1]);
1362 16940 : for (l=3; (l<<1) < k; l++) t = gadd(t, gmul(P[l<<1], P[(k-l)<<1]));
1363 4004 : t = gmul2n(t, 1);
1364 4004 : if ((k & 1) == 0) t = gadd(gsqr(P[k]), t);
1365 4004 : if (k % 3 == 2)
1366 1435 : t = gdivgu(gmulsg(3, t), (k-3)*(2*k+1));
1367 : else /* same value, more efficient */
1368 2569 : t = gdivgu(t, ((k-3)*(2*k+1)) / 3);
1369 4004 : P[k<<1] = gc_upto(av, t);
1370 : }
1371 546 : return res;
1372 : }
1373 :
1374 : static int
1375 294 : get_c4c6(GEN w, GEN *c4, GEN *c6, long prec)
1376 : {
1377 294 : if (typ(w) == t_VEC) switch(lg(w))
1378 : {
1379 203 : case 17:
1380 203 : *c4 = ell_get_c4(w);
1381 203 : *c6 = ell_get_c6(w); return 1;
1382 91 : case 3:
1383 : {
1384 : GEN E4, E6, a2, a;
1385 : ellred_t T;
1386 91 : if (!get_periods(w,NULL,&T, prec)) break;
1387 91 : a = gdiv(pi23(T.prec + EXTRAPREC64), gsqr(T.W2));
1388 91 : cxE4E6(T.Tau, &E4, &E6, prec); a2 = gsqr(a);
1389 91 : *c4 = gmul(gmulgs(E4, 144), a2);
1390 91 : *c6 = gmul(gmulgs(E6, 1728), gmul(a2,a)); return 1;
1391 : }
1392 : }
1393 0 : *c4 = *c6 = NULL;
1394 0 : return 0;
1395 : }
1396 :
1397 : GEN
1398 42 : ellwpseries(GEN e, long v, long PRECDL)
1399 : {
1400 : GEN c4, c6;
1401 42 : checkell(e);
1402 42 : c4 = ell_get_c4(e);
1403 42 : c6 = ell_get_c6(e); return ellwpseries_aux(c4,c6,v,PRECDL);
1404 : }
1405 :
1406 : GEN
1407 0 : ellwp(GEN w, GEN z, long prec)
1408 0 : { return ellwp0(w,z,0,prec); }
1409 :
1410 : GEN
1411 182 : ellwp0(GEN w, GEN z, long flag, long prec)
1412 : {
1413 182 : pari_sp av = avma;
1414 : GEN y;
1415 :
1416 182 : if (flag && flag != 1) pari_err_FLAG("ellwp");
1417 182 : if (!z) z = pol_x(0);
1418 182 : y = toser_i(z);
1419 182 : if (y)
1420 : {
1421 105 : long vy = varn(y), v = valser(y);
1422 : GEN P, Q, c4,c6;
1423 105 : if (!get_c4c6(w,&c4,&c6,prec)) pari_err_TYPE("ellwp",w);
1424 105 : if (v <= 0) pari_err(e_IMPL,"ellwp(t_SER) away from 0");
1425 105 : if (gequal0(y)) {
1426 0 : set_avma(av);
1427 0 : if (!flag) return zeroser(vy, -2*v);
1428 0 : retmkvec2(zeroser(vy, -2*v), zeroser(vy, -3*v));
1429 : }
1430 105 : P = ellwpseries_aux(c4,c6, vy, lg(y)-2);
1431 105 : Q = gsubst(P, varn(P), y);
1432 105 : if (!flag)
1433 105 : return gc_upto(av, Q);
1434 : else
1435 : {
1436 0 : GEN R = mkvec2(Q, gdiv(derivser(Q), derivser(y)));
1437 0 : return gc_GEN(av, R);
1438 : }
1439 : }
1440 77 : y = ellwpnum_all(w,z,flag,prec);
1441 77 : if (!y) pari_err_DOMAIN("ellwp", "argument","=", gen_0,z);
1442 70 : return gc_upto(av, y);
1443 : }
1444 :
1445 : static GEN
1446 70 : ellzeta_cx(ellred_t *T)
1447 : {
1448 70 : GEN e, y, TALL = theta11prime(T->Z, T->Tau, T->prec), ETA = elleta_W(T);
1449 70 : y = gadd(gmul(T->Z, gel(ETA,2)),
1450 70 : gdiv(gel(TALL,2), gmul(gel(TALL,1), T->W2)));
1451 70 : e = _period(T, ETA);
1452 70 : if (T->some_q_is_real)
1453 : {
1454 70 : if (T->some_z_is_real)
1455 : {
1456 28 : if (e == gen_0 || typ(e) != t_COMPLEX) y = real_i(y);
1457 : }
1458 42 : else if (T->some_z_is_pure_imag)
1459 : {
1460 21 : if (e == gen_0 || (typ(e) == t_COMPLEX && isintzero(gel(e,1))))
1461 21 : gel(y,1) = gen_0;
1462 : }
1463 : }
1464 70 : return gprec_wtrunc(e != gen_0? gadd(y, e): y, T->prec0);
1465 : }
1466 : GEN
1467 161 : ellzeta(GEN w, GEN z, long prec0)
1468 : {
1469 161 : pari_sp av = avma;
1470 : ellred_t T;
1471 : GEN y;
1472 :
1473 161 : if (!z) z = pol_x(0);
1474 161 : y = toser_i(z);
1475 161 : if (y)
1476 : {
1477 91 : long vy = varn(y), v = valser(y);
1478 : GEN P, Q, c4,c6;
1479 91 : if (!get_c4c6(w,&c4,&c6,prec0)) pari_err_TYPE("ellzeta",w);
1480 91 : if (v <= 0) pari_err(e_IMPL,"ellzeta(t_SER) away from 0");
1481 91 : if (gequal0(y)) { set_avma(av); return zeroser(vy, -v); }
1482 91 : P = ellwpseries_aux(c4,c6, vy, lg(y)-2);
1483 91 : P = integser(gneg(P)); /* \zeta' = - \wp*/
1484 91 : Q = gsubst(P, varn(P), y);
1485 91 : return gc_upto(av, Q);
1486 : }
1487 70 : if (!get_periods(w, z, &T, prec0)) pari_err_TYPE("ellzeta", w);
1488 70 : if (!T.Z) pari_err_DOMAIN("ellzeta", "z", "=", gen_0, z);
1489 70 : return gc_GEN(av, ellzeta_cx(&T));
1490 : }
1491 :
1492 : static GEN
1493 37569 : ellsigma_cx(ellred_t *T, long flag)
1494 : {
1495 37569 : long prec = T->prec;
1496 37569 : GEN t0, t = thetaall(T->Z, T->Tau, &t0, prec), ETA = elleta_W(T);
1497 37569 : GEN y1, y = gmul(T->W2, gdiv(gel(t, 4), gel(t0, 4)));
1498 :
1499 : /* y = W2 theta_1(q, Z) / theta_1'(q, 0)
1500 : * = sigma([W1, W2], W2 Z) * exp(-eta2 W2 Z^2/2)
1501 : * We have z/W2 = Z + x Tau + y, so
1502 : * sigma([W1,W2], z) = (-1)^(x+y+xy) sigma([W1,W2], W2 Z) exp(W2 y1) where
1503 : * y1 = eta2 Z^2/2 + (x eta1 + y eta2)(Z + (x Tau + y)/2) */
1504 :
1505 37569 : y1 = gadd(T->Z, gmul2n(_period(T, mkvec2(T->Tau,gen_1)), -1));
1506 37569 : y1 = gadd(gmul(_period(T, ETA), y1),
1507 37569 : gmul2n(gmul(gsqr(T->Z),gel(ETA,2)), -1));
1508 37569 : if (flag)
1509 : {
1510 37499 : y = gadd(gmul(T->W2,y1), glog(y,prec));
1511 37499 : if (mpodd(T->x) || mpodd(T->y)) y = gadd(y, PiI2n(0, prec));
1512 : /* log(real number): im(y) = 0 or Pi */
1513 37499 : if (T->some_q_is_real && isintzero(imag_i(T->z)) && gexpo(imag_i(y)) < 1)
1514 7 : y = real_i(y);
1515 : }
1516 : else
1517 : {
1518 70 : y = gmul(y, gexp(gmul(T->W2, y1), prec));
1519 70 : if (mpodd(T->x) || mpodd(T->y)) y = gneg_i(y);
1520 70 : if (T->some_q_is_real)
1521 : {
1522 : int re, cx;
1523 70 : check_complex(T->z,&re,&cx);
1524 70 : if (re) y = real_i(y);
1525 49 : else if (cx && typ(y) == t_COMPLEX) gel(y,1) = gen_0;
1526 : }
1527 : }
1528 37569 : return gprec_wtrunc(y, T->prec0);
1529 : }
1530 : /* if flag=0, return ellsigma, otherwise return log(ellsigma) */
1531 : GEN
1532 37674 : ellsigma(GEN w, GEN z, long flag, long prec0)
1533 : {
1534 37674 : pari_sp av = avma;
1535 : ellred_t T;
1536 : GEN y;
1537 :
1538 37674 : if (flag < 0 || flag > 1) pari_err_FLAG("ellsigma");
1539 37674 : if (!z) z = pol_x(0);
1540 37674 : y = toser_i(z);
1541 37674 : if (y)
1542 : {
1543 98 : long vy = varn(y), v = valser(y);
1544 : GEN P, Q, c4,c6;
1545 98 : if (!get_c4c6(w,&c4,&c6,prec0)) pari_err_TYPE("ellsigma",w);
1546 98 : if (v <= 0) pari_err_IMPL("ellsigma(t_SER) away from 0");
1547 98 : if (flag) pari_err_TYPE("log(ellsigma)",y);
1548 91 : if (gequal0(y)) { set_avma(av); return zeroser(vy, -v); }
1549 91 : P = ellwpseries_aux(c4,c6, vy, lg(y)-2);
1550 91 : P = integser(gneg(P)); /* \zeta' = - \wp*/
1551 : /* (log \sigma)' = \zeta; remove log-singularity first */
1552 91 : P = integser(serchop0(P));
1553 91 : P = gexp(P, prec0);
1554 91 : setvalser(P, valser(P)+1);
1555 91 : Q = gsubst(P, varn(P), y);
1556 91 : return gc_upto(av, Q);
1557 : }
1558 37576 : if (!get_periods(w, z, &T, prec0)) pari_err_TYPE("ellsigma",w);
1559 37576 : if (!T.Z)
1560 : {
1561 7 : if (!flag) return gen_0;
1562 7 : pari_err_DOMAIN("log(ellsigma)", "argument","=",gen_0,z);
1563 : }
1564 37569 : return gc_GEN(av, ellsigma_cx(&T, flag));
1565 : }
1566 :
1567 : GEN
1568 181972 : pointell(GEN e, GEN z, long prec)
1569 : {
1570 181972 : pari_sp av = avma;
1571 : GEN v;
1572 :
1573 181972 : checkell(e);
1574 181972 : if (ell_get_type(e) == t_ELL_Qp)
1575 : {
1576 56 : prec = minss(ellQp_get_prec(e), padicprec_relative(z));
1577 56 : return ellQp_t2P(e, z, prec);
1578 : }
1579 181916 : v = ellwpnum_all(e,z,1,prec);
1580 181916 : if (!v) { set_avma(av); return ellinf(); }
1581 181902 : gel(v,1) = gsub(gel(v,1), gdivgu(ell_get_b2(e),12));
1582 181902 : gel(v,2) = gmul2n(gsub(gel(v,2), ec_h_evalx(e,gel(v,1))),-1);
1583 181902 : return gc_GEN(av, v);
1584 : }
1585 :
1586 : /********************************************************************/
1587 : /** Eisenstein series of level 1 **/
1588 : /********************************************************************/
1589 :
1590 : GEN
1591 262413 : upper_to_cx(GEN x, long *prec)
1592 : {
1593 262413 : long tx = typ(x), l;
1594 262413 : if (tx == t_QUAD) { x = quadtofp(x, *prec); tx = typ(x); }
1595 262413 : switch(tx)
1596 : {
1597 262392 : case t_COMPLEX:
1598 262392 : if (gsigne(gel(x,2)) > 0) break; /*fall through*/
1599 : case t_REAL: case t_INT: case t_FRAC:
1600 14 : pari_err_DOMAIN("modular function", "Im(argument)", "<=", gen_0, x);
1601 7 : default:
1602 7 : pari_err_TYPE("modular function", x);
1603 : }
1604 262392 : l = precision(x); if (l) *prec = l;
1605 262392 : return x;
1606 : }
1607 :
1608 : static GEN
1609 42116 : qq(GEN x, long prec)
1610 : {
1611 42116 : long tx = typ(x);
1612 : GEN y;
1613 :
1614 42116 : if (is_scalar_t(tx))
1615 : {
1616 42074 : if (tx == t_PADIC) return x;
1617 42060 : x = upper_to_cx(x, &prec);
1618 42046 : return cxtoreal(expIPiC(gmul2n(x,1), prec)); /* e(x) */
1619 : }
1620 42 : if (! ( y = toser_i(x)) ) pari_err_TYPE("modular function", x);
1621 42 : return y;
1622 : }
1623 :
1624 : /* P = ellwpseries_aux(E4, E6, 0, kmax), where kmax >= k+2. Beware we use
1625 : * E4,E6 instead of c4,c6: coeffs rescale to (k-1) G_k / (2pi)^k */
1626 : static GEN
1627 392 : Ek_from_wp(GEN P, long k)
1628 : { /* P[k+2] = Ek * (k-1) * 2 zeta(k) / (2pi)^k = Ek * (k-1) * |B_k| / k! */
1629 392 : return gdiv(gmul(gel(P, k + 2), muliu(mpfact(k-2), k)),
1630 : absfrac_shallow(bernfrac(k)));
1631 : }
1632 : /* P = ellwpseries(e, kmax), where kmax >= k+2 */
1633 : static GEN
1634 231 : elleis_from_wp(GEN P, long k)
1635 231 : { return gneg(gmul(gel(P, k + 2), gdiv(muliu(mpfact(k-2), k), bernfrac(k)))); }
1636 :
1637 : /* k > 0 even, tau reduced (in particular Im tau > 0). Return
1638 : * E_k(tau) = 1 + 2/zeta(1-k) * sum_n n^(k-1) q^n/(1-q^n) */
1639 : GEN
1640 42385 : cxEk(GEN tau, long k, long prec)
1641 : {
1642 42385 : pari_sp av = avma;
1643 42385 : GEN P, y, E4 = NULL, E6 = NULL;
1644 : long b;
1645 :
1646 42385 : if ((b = precision(tau))) prec = b;
1647 42385 : if (gcmpgs(imag_i(tau), (M_LN2 / (2*M_PI)) * (prec2nbits(prec)+1+10)) > 0)
1648 17 : return real_1(prec);
1649 42368 : if (k == 2)
1650 : { /* -theta^(3)(tau/2) / theta^(1)(tau/2) */
1651 42039 : y = vecthetanullk_loop(qq(tau,prec), 2, prec);
1652 42039 : return gdiv(gel(y,2), gel(y,1));
1653 : }
1654 329 : if (k > 8) cxE4E6(tau, &E4, &E6, k < 16? prec: prec + EXTRAPREC64);
1655 329 : switch (k)
1656 : {
1657 21 : case 4: cxE4E6(tau, &E4, NULL, prec); return gc_GEN(av, E4);
1658 21 : case 6: cxE4E6(tau, NULL, &E6, prec); return gc_GEN(av, E6);
1659 14 : case 8: cxE4E6(tau, &E4, NULL, prec); return gc_upto(av, gsqr(E4));
1660 28 : case 10: return gc_upto(av, gmul(E4, E6));
1661 14 : case 12:
1662 : {
1663 14 : GEN e = gadd(gmulsg(441, gpowgs(E4,3)), gmulsg(250, gsqr(E6)));
1664 14 : return gc_upto(av, gdivgs(e, 691));
1665 : }
1666 14 : case 14: return gc_upto(av, gmul(gsqr(E4), E6));
1667 : }
1668 217 : P = ellwpseries_aux(E4, E6, 0, k + 2);
1669 217 : return gc_GEN(av, gprec_wtrunc(Ek_from_wp(P, k), prec));
1670 : }
1671 :
1672 : static GEN
1673 4025 : E2_correction(ellred_t *T)
1674 4025 : { return gmul(mului(12, T->c), PiI2div(gmul(T->W2,T->w2), T->prec)); }
1675 :
1676 : /* Return y = (2iPi)^k E_k(L) = (2iPi/w2)^k E_k(tau), L = <w1,w2>, k > 0 even.
1677 : * Let G_k(L) = sum' 1/l^k = 2 zeta(k) E_k(L) = - y * B_k / k! then
1678 : * z^2 wp(L,z) = 1 + sum_{k > 1} (k-1)G_k z^k */
1679 : GEN
1680 4781 : elleisnum(GEN om, long k, long prec)
1681 : {
1682 4781 : pari_sp av = avma;
1683 : GEN y, w, Ek;
1684 : ellred_t T;
1685 :
1686 4781 : elleisnum_testk(k);
1687 4767 : if (checkell_i(om)) switch(k)
1688 : {
1689 14 : case 2:
1690 14 : y = ellR_eta(om, prec);
1691 14 : w = ellR_omega(om, prec);
1692 14 : return gc_upto(av, gdiv(gmulgs(gel(y,2), -12), gel(w,2)));
1693 14 : case 4: return gcopy(ell_get_c4(om));
1694 7 : case 6: return gneg(ell_get_c6(om));
1695 14 : default:
1696 14 : y = ellwpseries(om, 0, k + 2);
1697 14 : return gc_upto(av, elleis_from_wp(y, k));
1698 : }
1699 4718 : if (!get_periods(om, NULL, &T, prec)) pari_err_TYPE("elleisnum",om);
1700 4718 : Ek = cxEk(T.Tau, k, T.prec);
1701 4718 : y = cxtoreal( gmul(Ek, gpowgs(PiI2div_sqr(T.W2, T.prec), k/2)));
1702 4718 : if (k==2 && signe(T.c)) y = gsub(y, E2_correction(&T));
1703 4718 : return gc_GEN(av, gprec_wtrunc(y, T.prec0));
1704 : }
1705 :
1706 : GEN
1707 448 : elleisnum0(GEN om, GEN k, long prec)
1708 : {
1709 448 : pari_sp av = avma;
1710 448 : GEN iW2, W, E4, E6, vG, P = NULL;
1711 : long i, l, kmax;
1712 : ellred_t T;
1713 :
1714 448 : if (typ(k) == t_INT) return elleisnum(om, itos(k), prec);
1715 28 : if (typ(k) != t_VEC || !RgV_is_ZV(k)) pari_err_TYPE("elleisnum",k);
1716 28 : l = lg(k); if (l == 2) retmkvec(elleisnum(om, itos(gel(k,1)), prec));
1717 28 : k = ZV_to_zv(k); kmax = 0;
1718 462 : for (i = 1; i < l; i++)
1719 : {
1720 441 : elleisnum_testk(k[i]);
1721 434 : if (k[i] > kmax) kmax = k[i];
1722 : }
1723 21 : if (checkell_i(om))
1724 : {
1725 14 : if (l == 1) { set_avma(av); return cgetg(1, t_VEC); }
1726 14 : P = ellwpseries(om, 0, kmax + 2);
1727 14 : vG = cgetg(l, t_VEC);
1728 238 : for (i = 1; i < l; i++)
1729 : {
1730 224 : long ki = k[i];
1731 224 : gel(vG, i) = (ki == 2)? elleisnum(om, 2, prec) : elleis_from_wp(P, ki);
1732 : }
1733 14 : return gc_GEN(av, vG);
1734 : }
1735 7 : if (!get_periods(om, NULL, &T, prec)) pari_err_TYPE("elleisnum",om);
1736 7 : if (l == 1) { set_avma(av); return cgetg(1, t_VEC); }
1737 7 : cxE4E6(T.tau, &E4, &E6, kmax < 16? prec: prec + EXTRAPREC64);
1738 7 : if (kmax > 10) P = ellwpseries_aux(E4, E6, 0, kmax+2);
1739 7 : iW2 = PiI2div_sqr(T.W2, prec); /* (2iPi / W2)^2 */
1740 7 : W = gpowers0(iW2, kmax/2, iW2); /* .[k] = (2ipi/W2)^(2k) */
1741 7 : vG = cgetg(l, t_VEC);
1742 217 : for (i = 1; i < l; i++)
1743 : {
1744 210 : long ki = k[i];
1745 : GEN e, G;
1746 210 : switch(ki)
1747 : {
1748 7 : case 2: e = cxEk(T.Tau, 2, prec); break;
1749 7 : case 4: e = E4; break;
1750 7 : case 6: e = E6; break;
1751 7 : case 8: e = gsqr(E4); break;
1752 7 : case 10:e = gmul(E4, E6); break;
1753 175 : default: e = Ek_from_wp(P, ki);
1754 : }
1755 210 : G = cxtoreal( gmul(e, gel(W, ki/2)) ); /* (2iPi/W2)^ki E_k(W1/W2) */
1756 210 : if (ki == 2 && signe(T.c)) G = gsub(G, E2_correction(&T));
1757 210 : gel(vG, i) = gprec_wtrunc(G, T.prec0);
1758 : }
1759 7 : return gc_GEN(av, vG);
1760 : }
1761 :
1762 : /********************************************************************/
1763 : /** Eta function(s) and j-invariant **/
1764 : /********************************************************************/
1765 :
1766 : /* return (y * X^d) + x. Assume d > 0, x != 0, valser(x) = 0 */
1767 : static GEN
1768 21 : ser_addmulXn(GEN y, GEN x, long d)
1769 : {
1770 21 : long i, lx, ly, l = valser(y) + d; /* > 0 */
1771 : GEN z;
1772 :
1773 21 : lx = lg(x);
1774 21 : ly = lg(y) + l; if (lx < ly) ly = lx;
1775 21 : if (l > lx-2) return gcopy(x);
1776 21 : z = cgetg(ly,t_SER);
1777 77 : for (i=2; i<=l+1; i++) gel(z,i) = gel(x,i);
1778 70 : for ( ; i < ly; i++) gel(z,i) = gadd(gel(x,i),gel(y,i-l));
1779 21 : z[1] = x[1]; return z;
1780 : }
1781 :
1782 : /* q a t_POL s.t. q(0) != 0, v > 0, Q = x^v*q; return \prod_i (1-Q^i) */
1783 : static GEN
1784 28 : RgXn_eta(GEN q, long v, long lim)
1785 : {
1786 28 : pari_sp av = avma;
1787 : GEN qn, ps, y;
1788 : ulong vps, vqn, n;
1789 :
1790 28 : if (!degpol(q) && isint1(gel(q,2))) return eta_ZXn(v, lim+v);
1791 7 : y = qn = ps = pol_1(0);
1792 7 : vps = vqn = 0;
1793 7 : for(n = 0;; n++)
1794 7 : { /* qn = q^n, ps = (-1)^n q^(n(3n+1)/2),
1795 : * vps, vqn valuation of ps, qn HERE */
1796 14 : pari_sp av2 = avma;
1797 14 : ulong vt = vps + 2*vqn + v; /* valuation of t at END of loop body */
1798 : long k1, k2;
1799 : GEN t;
1800 14 : vqn += v; vps = vt + vqn; /* valuation of qn, ps at END of body */
1801 14 : k1 = lim + v - vt + 1;
1802 14 : k2 = k1 - vqn; /* = lim + v - vps + 1 */
1803 14 : if (k1 <= 0) break;
1804 14 : t = RgX_mul(q, RgX_sqr(qn));
1805 14 : t = RgXn_red_shallow(t, k1);
1806 14 : t = RgX_mul(ps,t);
1807 14 : t = RgXn_red_shallow(t, k1);
1808 14 : t = RgX_neg(t); /* t = (-1)^(n+1) q^(n(3n+1)/2 + 2n+1) */
1809 14 : t = gc_upto(av2, t);
1810 14 : y = RgX_addmulXn_shallow(t, y, vt);
1811 14 : if (k2 <= 0) break;
1812 :
1813 7 : qn = RgX_mul(qn,q);
1814 7 : ps = RgX_mul(t,qn);
1815 7 : ps = RgXn_red_shallow(ps, k2);
1816 7 : y = RgX_addmulXn_shallow(ps, y, vps);
1817 :
1818 7 : if (gc_needed(av,1))
1819 : {
1820 0 : if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"eta, n = %ld", n);
1821 0 : (void)gc_all(av, 3, &y, &qn, &ps);
1822 : }
1823 : }
1824 7 : return y;
1825 : }
1826 :
1827 : static GEN
1828 7639 : inteta(GEN q)
1829 : {
1830 7639 : long tx = typ(q);
1831 : GEN ps, qn, y;
1832 :
1833 7639 : y = gen_1; qn = gen_1; ps = gen_1;
1834 7639 : if (tx==t_PADIC)
1835 : {
1836 28 : if (valp(q) <= 0) pari_err_DOMAIN("eta", "v_p(q)", "<=",gen_0,q);
1837 : for(;;)
1838 56 : {
1839 77 : GEN t = gneg_i(gmul(ps,gmul(q,gsqr(qn))));
1840 77 : y = gadd(y,t); qn = gmul(qn,q); ps = gmul(t,qn);
1841 77 : t = y;
1842 77 : y = gadd(y,ps); if (gequal(t,y)) return y;
1843 : }
1844 : }
1845 :
1846 7611 : if (tx == t_SER)
1847 : {
1848 : ulong vps, vqn;
1849 42 : long l = lg(q), v, n;
1850 : pari_sp av;
1851 :
1852 42 : v = valser(q); /* handle valuation separately to avoid overflow */
1853 42 : if (v <= 0) pari_err_DOMAIN("eta", "v_p(q)", "<=",gen_0,q);
1854 35 : y = ser2pol_i(q, l); /* t_SER inefficient when input has low degree */
1855 35 : n = degpol(y);
1856 35 : if (n <= (l>>2))
1857 : {
1858 28 : GEN z = RgXn_eta(y, v, l-2);
1859 28 : setvarn(z, varn(y)); return RgX_to_ser(z, l+v);
1860 : }
1861 7 : q = leafcopy(q); av = avma;
1862 7 : setvalser(q, 0);
1863 7 : y = scalarser(gen_1, varn(q), l+v);
1864 7 : vps = vqn = 0;
1865 7 : for(n = 0;; n++)
1866 7 : { /* qn = q^n, ps = (-1)^n q^(n(3n+1)/2) */
1867 14 : ulong vt = vps + 2*vqn + v;
1868 : long k;
1869 : GEN t;
1870 14 : t = gneg_i(gmul(ps,gmul(q,gsqr(qn))));
1871 : /* t = (-1)^(n+1) q^(n(3n+1)/2 + 2n+1) */
1872 14 : y = ser_addmulXn(t, y, vt);
1873 14 : vqn += v; vps = vt + vqn;
1874 14 : k = l+v - vps; if (k <= 2) return y;
1875 :
1876 7 : qn = gmul(qn,q); ps = gmul(t,qn);
1877 7 : y = ser_addmulXn(ps, y, vps);
1878 7 : setlg(q, k);
1879 7 : setlg(qn, k);
1880 7 : setlg(ps, k);
1881 7 : if (gc_needed(av,3))
1882 : {
1883 0 : if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"eta");
1884 0 : (void)gc_all(av, 3, &y, &qn, &ps);
1885 : }
1886 : }
1887 : }
1888 : {
1889 7569 : long l = -prec2nbits(precision(q));
1890 7569 : pari_sp av = avma;
1891 :
1892 : for(;;)
1893 20750 : {
1894 28319 : GEN t = gneg_i(gmul(ps,gmul(q,gsqr(qn))));
1895 : /* qn = q^n
1896 : * ps = (-1)^n q^(n(3n+1)/2)
1897 : * t = (-1)^(n+1) q^(n(3n+1)/2 + 2n+1) */
1898 28319 : y = gadd(y,t); qn = gmul(qn,q); ps = gmul(t,qn);
1899 28319 : y = gadd(y,ps);
1900 28319 : if (gexpo(ps)-gexpo(y) < l) return y;
1901 20750 : if (gc_needed(av,3))
1902 : {
1903 0 : if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"eta");
1904 0 : (void)gc_all(av, 3, &y, &qn, &ps);
1905 : }
1906 : }
1907 : }
1908 : }
1909 :
1910 : GEN
1911 77 : eta(GEN x, long prec)
1912 : {
1913 77 : pari_sp av = avma;
1914 77 : GEN z = inteta( qq(x,prec) );
1915 49 : if (typ(z) == t_SER) return gc_GEN(av, z);
1916 14 : return gc_upto(av, z);
1917 : }
1918 :
1919 : /* s(h,k) = sum(n = 1, k-1, (n/k)*(frac(h*n/k) - 1/2))
1920 : * Knuth's algorithm. h integer, k integer > 0, (h,k) = 1 */
1921 : GEN
1922 6300 : sumdedekind_coprime(GEN h, GEN k)
1923 : {
1924 6300 : pari_sp av = avma;
1925 : GEN s2, s1, p, pp;
1926 : long s;
1927 6300 : if (lgefint(k) == 3 && uel(k,2) <= (2*(ulong)LONG_MAX) / 3)
1928 : {
1929 6293 : ulong kk = k[2], hh = umodiu(h, kk);
1930 : long s1, s2;
1931 : GEN v;
1932 6293 : if (signe(k) < 0) { k = negi(k); hh = Fl_neg(hh, kk); }
1933 6293 : v = u_sumdedekind_coprime(hh, kk);
1934 6293 : s1 = v[1]; s2 = v[2];
1935 6293 : return gc_upto(av, gdiv(addis(mulis(k,s1), s2), muluu(12, kk)));
1936 : }
1937 7 : s = 1;
1938 7 : s1 = gen_0; p = gen_1; pp = gen_0;
1939 7 : s2 = h = modii(h, k);
1940 35 : while (signe(h)) {
1941 28 : GEN r, nexth, a = dvmdii(k, h, &nexth);
1942 28 : if (is_pm1(h)) s2 = s == 1? addii(s2, p): subii(s2, p);
1943 28 : s1 = s == 1? addii(s1, a): subii(s1, a);
1944 28 : s = -s;
1945 28 : k = h; h = nexth;
1946 28 : r = addii(mulii(a,p), pp); pp = p; p = r;
1947 : }
1948 : /* at this point p = original k */
1949 7 : if (s == -1) s1 = subiu(s1, 3);
1950 7 : return gc_upto(av, gdiv(addii(mulii(p,s1), s2), muliu(p,12)));
1951 : }
1952 : /* as above, for ulong arguments.
1953 : * k integer > 0, 0 <= h < k, (h,k) = 1. Returns [s1,s2] such that
1954 : * s(h,k) = (s2 + k s1) / (12k). Requires max(h + k/2, k) < LONG_MAX
1955 : * to avoid overflow, in particular k <= LONG_MAX * 2/3 is fine */
1956 : GEN
1957 6293 : u_sumdedekind_coprime(long h, long k)
1958 : {
1959 6293 : long s = 1, s1 = 0, s2 = h, p = 1, pp = 0;
1960 11466 : while (h) {
1961 5173 : long r, nexth = k % h, a = k / h; /* a >= 1, a >= 2 if h = 1 */
1962 5173 : if (h == 1) s2 += p * s; /* occurs exactly once, last step */
1963 5173 : s1 += a * s;
1964 5173 : s = -s;
1965 5173 : k = h; h = nexth;
1966 5173 : r = a*p + pp; pp = p; p = r; /* p >= pp >= 0 */
1967 : }
1968 : /* in the above computation, p increases from 1 to original k,
1969 : * -k/2 <= s2 <= h + k/2, and |s1| <= k */
1970 6293 : if (s < 0) s1 -= 3; /* |s1| <= k+3 ? */
1971 : /* But in fact, |s2 + p s1| <= k^2 + 1/2 - 3k; if (s < 0), we have
1972 : * |s2| <= k/2 and it follows that |s1| < k here as well */
1973 : /* p = k; s(h,k) = (s2 + p s1)/12p. */
1974 6293 : return mkvecsmall2(s1, s2);
1975 : }
1976 : GEN
1977 28 : sumdedekind(GEN h, GEN k)
1978 : {
1979 28 : pari_sp av = avma;
1980 : GEN d;
1981 28 : if (typ(h) != t_INT) pari_err_TYPE("sumdedekind",h);
1982 28 : if (typ(k) != t_INT) pari_err_TYPE("sumdedekind",k);
1983 28 : d = gcdii(h,k);
1984 28 : if (!is_pm1(d))
1985 : {
1986 7 : h = diviiexact(h, d);
1987 7 : k = diviiexact(k, d);
1988 : }
1989 28 : return gc_upto(av, sumdedekind_coprime(h,k));
1990 : }
1991 :
1992 : /* eta(x); assume Im x >> 0 (e.g. x in SL2's standard fundamental domain) */
1993 : static GEN
1994 8477 : eta_reduced(GEN x, long prec)
1995 : {
1996 8477 : GEN z = expIPiC(gdivgu(x, 12), prec); /* e(x/24) */
1997 8477 : if (24 * gexpo(z) >= -prec2nbits(prec))
1998 7548 : z = gmul(z, inteta( gpowgs(z,24) ));
1999 8477 : return z;
2000 : }
2001 :
2002 : /* x = U.z (flag = 1), or x = U^(-1).z (flag = 0)
2003 : * Return [s,t] such that eta(z) = eta(x) * sqrt(s) * exp(I Pi t) */
2004 : static GEN
2005 8491 : eta_correction(GEN x, GEN U, long flag)
2006 : {
2007 : GEN a,b,c,d, s,t;
2008 : long sc;
2009 8491 : a = gcoeff(U,1,1);
2010 8491 : b = gcoeff(U,1,2);
2011 8491 : c = gcoeff(U,2,1);
2012 8491 : d = gcoeff(U,2,2);
2013 : /* replace U by U^(-1) */
2014 8491 : if (flag) {
2015 119 : swap(a,d);
2016 119 : togglesign_safe(&b);
2017 119 : togglesign_safe(&c);
2018 : }
2019 8491 : sc = signe(c);
2020 8491 : if (!sc) {
2021 2219 : if (signe(d) < 0) togglesign_safe(&b);
2022 2219 : s = gen_1;
2023 2219 : t = uutoQ(umodiu(b, 24), 12);
2024 : } else {
2025 6272 : if (sc < 0) {
2026 1764 : togglesign_safe(&a);
2027 1764 : togglesign_safe(&b);
2028 1764 : togglesign_safe(&c);
2029 1764 : togglesign_safe(&d);
2030 : } /* now c > 0 */
2031 6272 : s = mulcxmI(gadd(gmul(c,x), d));
2032 6272 : t = gadd(gdiv(addii(a,d),muliu(c,12)), sumdedekind_coprime(negi(d),c));
2033 : /* correction : exp(I Pi (((a+d)/12c) + s(-d,c)) ) sqrt(-i(cx+d)) */
2034 : }
2035 8491 : return mkvec2(s, t);
2036 : }
2037 :
2038 : /* returns the true value of eta(x) for Im(x) > 0, using reduction to
2039 : * standard fundamental domain */
2040 : GEN
2041 35 : trueeta(GEN x, long prec)
2042 : {
2043 35 : pari_sp av = avma;
2044 : GEN U, st, s, t;
2045 :
2046 35 : if (!is_scalar_t(typ(x))) pari_err_TYPE("trueeta",x);
2047 35 : x = upper_to_cx(x, &prec);
2048 35 : x = cxredsl2(x, &U);
2049 35 : st = eta_correction(x, U, 1);
2050 35 : x = eta_reduced(x, prec);
2051 35 : s = gel(st, 1);
2052 35 : t = gel(st, 2);
2053 35 : x = gmul(x, expIPiQ(t, prec));
2054 35 : if (s != gen_1) x = gmul(x, gsqrt(s, prec));
2055 35 : return gc_upto(av, x);
2056 : }
2057 :
2058 : GEN
2059 112 : eta0(GEN x, long flag,long prec)
2060 112 : { return flag? trueeta(x,prec): eta(x,prec); }
2061 :
2062 : /* eta(q) = 1 + \sum_{n>0} (-1)^n * (q^(n(3n-1)/2) + q^(n(3n+1)/2)) */
2063 : static GEN
2064 7 : ser_eta(long prec)
2065 : {
2066 7 : GEN e = cgetg(prec+2, t_SER), ed = e+2;
2067 : long n, j;
2068 7 : e[1] = evalsigne(1)|_evalvalser(0)|evalvarn(0);
2069 7 : gel(ed,0) = gen_1;
2070 483 : for (n = 1; n < prec; n++) gel(ed,n) = gen_0;
2071 49 : for (n = 1, j = 0; n < prec; n++)
2072 : {
2073 : GEN s;
2074 49 : j += 3*n-2; /* = n*(3*n-1) / 2 */;
2075 49 : if (j >= prec) break;
2076 42 : s = odd(n)? gen_m1: gen_1;
2077 42 : gel(ed, j) = s;
2078 42 : if (j+n >= prec) break;
2079 42 : gel(ed, j+n) = s;
2080 : }
2081 7 : return e;
2082 : }
2083 :
2084 : static GEN
2085 476 : coeffEu(GEN fa)
2086 : {
2087 476 : pari_sp av = avma;
2088 476 : return gc_INT(av, mului(65520, usumdivk_fact(fa,11)));
2089 : }
2090 : /* E12 = 1 + q*E/691 */
2091 : static GEN
2092 7 : ser_E(long prec)
2093 : {
2094 7 : GEN e = cgetg(prec+2, t_SER), ed = e+2;
2095 7 : GEN F = vecfactoru_i(2, prec); /* F[n] = factoru(n+1) */
2096 : long n;
2097 7 : e[1] = evalsigne(1)|_evalvalser(0)|evalvarn(0);
2098 7 : gel(ed,0) = utoipos(65520);
2099 483 : for (n = 1; n < prec; n++) gel(ed,n) = coeffEu(gel(F,n));
2100 7 : return e;
2101 : }
2102 : /* j = E12/Delta + 432000/691, E12 = 1 + q*E/691 */
2103 : static GEN
2104 7 : ser_j2(long prec, long v)
2105 : {
2106 7 : pari_sp av = avma;
2107 7 : GEN iD = gpowgs(ginv(ser_eta(prec)), 24); /* q/Delta */
2108 7 : GEN J = gmul(ser_E(prec), iD);
2109 7 : setvalser(iD,-1); /* now 1/Delta */
2110 7 : J = gadd(gdivgu(J, 691), iD);
2111 7 : J = gc_upto(av, J);
2112 7 : if (prec > 1) gel(J,3) = utoipos(744);
2113 7 : setvarn(J,v); return J;
2114 : }
2115 :
2116 : /* j(q) = \sum_{n >= -1} c(n)q^n,
2117 : * \sum_{n = -1}^{N-1} c(n) (-10n \sigma_3(N-n) + 21 \sigma_5(N-n))
2118 : * = c(N) (N+1)/24 */
2119 : static GEN
2120 14 : ser_j(long prec, long v)
2121 : {
2122 : GEN j, J, S3, S5, F;
2123 : long i, n;
2124 14 : if (prec > 64) return ser_j2(prec, v);
2125 7 : S3 = cgetg(prec+1, t_VEC);
2126 7 : S5 = cgetg(prec+1,t_VEC);
2127 7 : F = vecfactoru_i(1, prec);
2128 35 : for (n = 1; n <= prec; n++)
2129 : {
2130 28 : GEN fa = gel(F,n);
2131 28 : gel(S3,n) = mului(10, usumdivk_fact(fa,3));
2132 28 : gel(S5,n) = mului(21, usumdivk_fact(fa,5));
2133 : }
2134 7 : J = cgetg(prec+2, t_SER),
2135 7 : J[1] = evalvarn(v)|evalsigne(1)|evalvalser(-1);
2136 7 : j = J+3;
2137 7 : gel(j,-1) = gen_1;
2138 7 : gel(j,0) = utoipos(744);
2139 7 : gel(j,1) = utoipos(196884);
2140 21 : for (n = 2; n < prec; n++)
2141 : {
2142 14 : pari_sp av = avma;
2143 14 : GEN c, s3 = gel(S3,n+1), s5 = gel(S5,n+1);
2144 14 : c = addii(s3, s5);
2145 49 : for (i = 0; i < n; i++)
2146 : {
2147 35 : s3 = gel(S3,n-i); s5 = gel(S5,n-i);
2148 35 : c = addii(c, mulii(gel(j,i), subii(s5, mului(i,s3))));
2149 : }
2150 14 : gel(j,n) = gc_INT(av, diviuexact(muliu(c,24), n+1));
2151 : }
2152 7 : return J;
2153 : }
2154 :
2155 : GEN
2156 42 : jell(GEN x, long prec)
2157 : {
2158 42 : long tx = typ(x);
2159 42 : pari_sp av = avma;
2160 : GEN q, h, U;
2161 :
2162 42 : if (!is_scalar_t(tx))
2163 : {
2164 : long v;
2165 21 : if (gequalX(x)) return ser_j(precdl, varn(x));
2166 21 : q = toser_i(x); if (!q) pari_err_TYPE("ellj",x);
2167 14 : v = fetch_var_higher();
2168 14 : h = ser_j(lg(q)-2, v);
2169 14 : h = gsubst(h, v, q);
2170 14 : delete_var(); return gc_upto(av, h);
2171 : }
2172 21 : if (tx == t_PADIC)
2173 : {
2174 7 : GEN p2, p1 = gdiv(inteta(gsqr(x)), inteta(x));
2175 7 : p1 = gmul2n(gsqr(p1),1);
2176 7 : p1 = gmul(x,gpowgs(p1,12));
2177 7 : p2 = gaddsg(768,gadd(gsqr(p1),gdivsg(4096,p1)));
2178 7 : p1 = gmulsg(48,p1);
2179 7 : return gc_upto(av, gadd(p2,p1));
2180 : }
2181 : /* Let h = Delta(2x) / Delta(x), then j(x) = (1 + 256h)^3 / h */
2182 14 : x = upper_to_cx(x, &prec);
2183 7 : x = cxredsl2(x, &U); /* forget about Ua : j has weight 0 */
2184 : { /* cf eta_reduced, raised to power 24
2185 : * Compute
2186 : * t = (inteta(q(2x)) / inteta(q(x))) ^ 24;
2187 : * then
2188 : * h = t * (q(2x) / q(x) = t * q(x);
2189 : * but inteta(q) costly and useless if expo(q) << 1 => inteta(q) = 1.
2190 : * log_2 ( exp(-2Pi Im tau) ) < -prec2nbits(prec)
2191 : * <=> Im tau > prec2nbits(prec) * log(2) / 2Pi */
2192 7 : long C = (long)prec2nbits_mul(prec, M_LN2/(2*M_PI));
2193 7 : q = expIPiC(gmul2n(x,1), prec); /* e(x) */
2194 7 : if (gcmpgs(gel(x,2), C) > 0) /* eta(q(x)) = 1 : no need to compute q(2x) */
2195 0 : h = q;
2196 : else
2197 : {
2198 7 : GEN t = gdiv(inteta(gsqr(q)), inteta(q));
2199 7 : h = gmul(q, gpowgs(t, 24));
2200 : }
2201 : }
2202 : /* real_1 important ! gaddgs(, 1) could increase the accuracy ! */
2203 7 : return gc_upto(av, gdiv(gpowgs(gadd(gmul2n(h,8), real_1(prec)), 3), h));
2204 : }
2205 :
2206 : static GEN
2207 8372 : to_form(GEN a, GEN w, GEN C, GEN D)
2208 8372 : { return mkqfb(a, w, diviiexact(C, a), D); }
2209 : static GEN
2210 8372 : form_to_quad(GEN f, GEN sqrtD)
2211 : {
2212 8372 : long a = itos(gel(f,1)), a2 = a << 1;
2213 8372 : GEN b = gel(f,2);
2214 8372 : return mkcomplex(gdivgs(b, -a2), gdivgs(sqrtD, a2));
2215 : }
2216 : static GEN
2217 8372 : eta_form(GEN f, GEN sqrtD, GEN *s_t, long prec)
2218 : {
2219 8372 : GEN U, t = form_to_quad(redimagsl2(f, &U), sqrtD);
2220 8372 : *s_t = eta_correction(t, U, 0);
2221 8372 : return eta_reduced(t, prec);
2222 : }
2223 :
2224 : /* eta(t/p)eta(t/q) / (eta(t)eta(t/pq)), t = (-w + sqrt(D)) / 2a */
2225 : GEN
2226 2093 : double_eta_quotient(GEN a, GEN w, GEN D, long p, long q, GEN pq, GEN sqrtD)
2227 : {
2228 2093 : GEN C = shifti(subii(sqri(w), D), -2);
2229 : GEN d, t, z, zp, zq, zpq, s_t, s_tp, s_tpq, s, sp, spq;
2230 2093 : long prec = realprec(sqrtD);
2231 :
2232 2093 : z = eta_form(to_form(a, w, C, D), sqrtD, &s_t, prec);
2233 2093 : s = gel(s_t, 1);
2234 2093 : zp = eta_form(to_form(mului(p, a), w, C, D), sqrtD, &s_tp, prec);
2235 2093 : sp = gel(s_tp, 1);
2236 2093 : zpq = eta_form(to_form(mulii(pq, a), w, C, D), sqrtD, &s_tpq, prec);
2237 2093 : spq = gel(s_tpq, 1);
2238 2093 : if (p == q) {
2239 0 : z = gdiv(gsqr(zp), gmul(z, zpq));
2240 0 : t = gsub(gmul2n(gel(s_tp,2), 1),
2241 0 : gadd(gel(s_t,2), gel(s_tpq,2)));
2242 0 : if (sp != gen_1) z = gmul(z, sp);
2243 : } else {
2244 : GEN s_tq, sq;
2245 2093 : zq = eta_form(to_form(mului(q, a), w, C, D), sqrtD, &s_tq, prec);
2246 2093 : sq = gel(s_tq, 1);
2247 2093 : z = gdiv(gmul(zp, zq), gmul(z, zpq));
2248 2093 : t = gsub(gadd(gel(s_tp,2), gel(s_tq,2)),
2249 2093 : gadd(gel(s_t,2), gel(s_tpq,2)));
2250 2093 : if (sp != gen_1) z = gmul(z, gsqrt(sp, prec));
2251 2093 : if (sq != gen_1) z = gmul(z, gsqrt(sq, prec));
2252 : }
2253 2093 : d = NULL;
2254 2093 : if (s != gen_1) d = gsqrt(s, prec);
2255 2093 : if (spq != gen_1) {
2256 2065 : GEN x = gsqrt(spq, prec);
2257 2065 : d = d? gmul(d, x): x;
2258 : }
2259 2093 : if (d) z = gdiv(z, d);
2260 2093 : return gmul(z, expIPiQ(t, prec));
2261 : }
2262 :
2263 : typedef struct { GEN u; long v, t; } cxanalyze_t;
2264 :
2265 : /* Check whether a t_COMPLEX, t_REAL or t_INT z != 0 can be written as
2266 : * z = u * 2^(v/2) * exp(I Pi/4 t), u > 0, v = 0,1 and -3 <= t <= 4.
2267 : * Allow z t_INT/t_REAL to simplify handling of eta_correction() output */
2268 : static int
2269 84 : cxanalyze(cxanalyze_t *T, GEN z)
2270 : {
2271 : GEN a, b;
2272 : long ta, tb;
2273 :
2274 84 : T->u = z;
2275 84 : T->v = 0;
2276 84 : if (is_intreal_t(typ(z)))
2277 : {
2278 70 : T->u = mpabs_shallow(z);
2279 70 : T->t = signe(z) < 0? 4: 0;
2280 70 : return 1;
2281 : }
2282 14 : a = gel(z,1); ta = typ(a);
2283 14 : b = gel(z,2); tb = typ(b);
2284 :
2285 14 : T->t = 0;
2286 14 : if (ta == t_INT && !signe(a))
2287 : {
2288 0 : T->u = R_abs_shallow(b);
2289 0 : T->t = gsigne(b) < 0? -2: 2;
2290 0 : return 1;
2291 : }
2292 14 : if (tb == t_INT && !signe(b))
2293 : {
2294 0 : T->u = R_abs_shallow(a);
2295 0 : T->t = gsigne(a) < 0? 4: 0;
2296 0 : return 1;
2297 : }
2298 14 : if (ta != tb || ta == t_REAL) return 0;
2299 : /* a,b both non zero, both t_INT or t_FRAC */
2300 14 : if (ta == t_INT)
2301 : {
2302 7 : if (!absequalii(a, b)) return 0;
2303 7 : T->u = absi_shallow(a);
2304 7 : T->v = 1;
2305 7 : if (signe(a) == signe(b))
2306 0 : { T->t = signe(a) < 0? -3: 1; }
2307 : else
2308 7 : { T->t = signe(a) < 0? 3: -1; }
2309 : }
2310 : else
2311 : {
2312 7 : if (!absequalii(gel(a,2), gel(b,2)) || !absequalii(gel(a,1),gel(b,1)))
2313 7 : return 0;
2314 0 : T->u = absfrac_shallow(a);
2315 0 : T->v = 1;
2316 0 : a = gel(a,1);
2317 0 : b = gel(b,1);
2318 0 : if (signe(a) == signe(b))
2319 0 : { T->t = signe(a) < 0? -3: 1; }
2320 : else
2321 0 : { T->t = signe(a) < 0? 3: -1; }
2322 : }
2323 7 : return 1;
2324 : }
2325 :
2326 : /* z * sqrt(st_b) / sqrt(st_a) exp(I Pi (t + t0)). Assume that
2327 : * sqrt2 = gsqrt(gen_2, prec) or NULL */
2328 : static GEN
2329 42 : apply_eta_correction(GEN z, GEN st_a, GEN st_b, GEN t0, GEN sqrt2, long prec)
2330 : {
2331 42 : GEN t, s_a = gel(st_a, 1), s_b = gel(st_b, 1);
2332 : cxanalyze_t Ta, Tb;
2333 : int ca, cb;
2334 :
2335 42 : t = gsub(gel(st_b,2), gel(st_a,2));
2336 42 : if (t0 != gen_0) t = gadd(t, t0);
2337 42 : ca = cxanalyze(&Ta, s_a);
2338 42 : cb = cxanalyze(&Tb, s_b);
2339 42 : if (ca || cb)
2340 42 : { /* compute sqrt(s_b) / sqrt(s_a) in a more efficient way:
2341 : * sb = ub sqrt(2)^vb exp(i Pi/4 tb) */
2342 42 : GEN u = gdiv(Tb.u,Ta.u);
2343 42 : switch(Tb.v - Ta.v)
2344 : {
2345 0 : case -1: u = gmul2n(u,-1); /* fall through: write 1/sqrt2 = sqrt2/2 */
2346 7 : case 1: u = gmul(u, sqrt2? sqrt2: sqrtr_abs(real2n(1, prec)));
2347 : }
2348 42 : if (!isint1(u)) z = gmul(z, gsqrt(u, prec));
2349 42 : t = gadd(t, gmul2n(stoi(Tb.t - Ta.t), -3));
2350 : }
2351 : else
2352 : {
2353 0 : z = gmul(z, gsqrt(s_b, prec));
2354 0 : z = gdiv(z, gsqrt(s_a, prec));
2355 : }
2356 42 : return gmul(z, expIPiQ(t, prec));
2357 : }
2358 :
2359 : /* sqrt(2) eta(2x) / eta(x) */
2360 : GEN
2361 14 : weberf2(GEN x, long prec)
2362 : {
2363 14 : pari_sp av = avma;
2364 : GEN z, sqrt2, a,b, Ua,Ub, st_a,st_b;
2365 :
2366 14 : x = upper_to_cx(x, &prec);
2367 14 : a = cxredsl2(x, &Ua);
2368 14 : b = cxredsl2(gmul2n(x,1), &Ub);
2369 14 : if (gequal(a,b)) /* not infrequent */
2370 0 : z = gen_1;
2371 : else
2372 14 : z = gdiv(eta_reduced(b,prec), eta_reduced(a,prec));
2373 14 : st_a = eta_correction(a, Ua, 1);
2374 14 : st_b = eta_correction(b, Ub, 1);
2375 14 : sqrt2 = sqrtr_abs(real2n(1, prec));
2376 14 : z = apply_eta_correction(z, st_a, st_b, gen_0, sqrt2, prec);
2377 14 : return gc_upto(av, gmul(z, sqrt2));
2378 : }
2379 :
2380 : /* eta(x/2) / eta(x) */
2381 : GEN
2382 14 : weberf1(GEN x, long prec)
2383 : {
2384 14 : pari_sp av = avma;
2385 : GEN z, a,b, Ua,Ub, st_a,st_b;
2386 :
2387 14 : x = upper_to_cx(x, &prec);
2388 14 : a = cxredsl2(x, &Ua);
2389 14 : b = cxredsl2(gmul2n(x,-1), &Ub);
2390 14 : if (gequal(a,b)) /* not infrequent */
2391 0 : z = gen_1;
2392 : else
2393 14 : z = gdiv(eta_reduced(b,prec), eta_reduced(a,prec));
2394 14 : st_a = eta_correction(a, Ua, 1);
2395 14 : st_b = eta_correction(b, Ub, 1);
2396 14 : z = apply_eta_correction(z, st_a, st_b, gen_0, NULL, prec);
2397 14 : return gc_upto(av, z);
2398 : }
2399 : /* exp(-I*Pi/24) * eta((x+1)/2) / eta(x) */
2400 : GEN
2401 14 : weberf(GEN x, long prec)
2402 : {
2403 14 : pari_sp av = avma;
2404 : GEN z, t0, a,b, Ua,Ub, st_a,st_b;
2405 14 : x = upper_to_cx(x, &prec);
2406 14 : a = cxredsl2(x, &Ua);
2407 14 : b = cxredsl2(gmul2n(gaddgs(x,1),-1), &Ub);
2408 14 : if (gequal(a,b)) /* not infrequent */
2409 7 : z = gen_1;
2410 : else
2411 7 : z = gdiv(eta_reduced(b,prec), eta_reduced(a,prec));
2412 14 : st_a = eta_correction(a, Ua, 1);
2413 14 : st_b = eta_correction(b, Ub, 1);
2414 14 : t0 = mkfrac(gen_m1, utoipos(24));
2415 14 : z = apply_eta_correction(z, st_a, st_b, t0, NULL, prec);
2416 14 : if (typ(z) == t_COMPLEX && isexactzero(real_i(x)))
2417 0 : z = gc_GEN(av, gel(z,1));
2418 : else
2419 14 : z = gc_upto(av, z);
2420 14 : return z;
2421 : }
2422 : GEN
2423 42 : weber0(GEN x, long flag,long prec)
2424 : {
2425 42 : switch(flag)
2426 : {
2427 14 : case 0: return weberf(x,prec);
2428 14 : case 1: return weberf1(x,prec);
2429 14 : case 2: return weberf2(x,prec);
2430 0 : default: pari_err_FLAG("weber");
2431 : }
2432 : return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
2433 : }
2434 :
2435 : /********************************************************************/
2436 : /** Jacobi sn, cn, dn **/
2437 : /********************************************************************/
2438 :
2439 : static GEN
2440 42 : elljacobi_cx(GEN z, GEN k, long prec)
2441 : {
2442 42 : GEN K = ellK(k, prec), Kp = ellK(gsqrt(gsubsg(1, gsqr(k)), prec), prec);
2443 42 : GEN zet = gdiv(gmul2n(z, -1), K), tau = mulcxI(gdiv(Kp, K));
2444 42 : GEN T0, T = thetaall(zet, tau, &T0, prec);
2445 42 : GEN t1 = gneg(gel(T,4)), t2 = gel(T,3), t3 = gel(T,1), t4 = gel(T,2);
2446 42 : GEN z2 = gel(T0,3), z3 = gel(T0,1), z4 = gel(T0,2), z2t4 = gmul(z2, t4);
2447 : GEN SN, CN, DN;
2448 42 : SN = gdiv(gmul(z3, t1), z2t4);
2449 42 : CN = gdiv(gmul(z4, t2), z2t4);
2450 42 : DN = gdiv(gmul(z4, t3), gmul(z3, t4));
2451 42 : return mkvec3(SN, CN, DN);
2452 : }
2453 :
2454 : /* N >= 1 */
2455 : static GEN
2456 14 : elljacobi_pol(long N, GEN k)
2457 : {
2458 14 : GEN S = cgetg(N, t_VEC), C = cgetg(N+1, t_VEC), D = cgetg(N+1, t_VEC);
2459 14 : GEN SS, SC, SD, F, P, k2 = gsqr(k);
2460 : long n, j;
2461 14 : if (N == 1)
2462 : {
2463 7 : SS = cgetg(2, t_SER); SS[1] = evalsigne(0) | _evalvalser(1);
2464 7 : SC = cgetg(4, t_SER); SC[1] = evalsigne(1) | _evalvalser(0);
2465 7 : SD = cgetg(4, t_SER); SD[1] = evalsigne(1) | _evalvalser(0);
2466 7 : gel(SC, 2) = gel(SD, 2) = gen_1;
2467 7 : gel(SC, 3) = gel(SD, 3) = gen_0; return mkvec3(SS, SC, SD);
2468 : }
2469 : /* N > 1 */
2470 7 : gel(C,1) = gel(D,1) = gel(S,1) = gen_1;
2471 7 : P = matqpascal(2*N-1, NULL);
2472 63 : for (n = 1; n < N; n++)
2473 : {
2474 : GEN TD, TC, TS;
2475 63 : TC = gmulgs(gel(D, n), 2*n-1);
2476 63 : TD = gmulgs(gel(C, n), 2*n-1); /* j = 0 */
2477 315 : for (j = 1; j < n; j++)
2478 : {
2479 252 : GEN a = gmul(gcoeff(P, 1 + 2*n-1, 1 + 2*j+1), gel(S, j+1));
2480 252 : TC = gadd(TC, gmul(a, gel(D, n-j)));
2481 252 : TD = gadd(TD, gmul(a, gel(C, n-j)));
2482 : }
2483 63 : gel(C, n+1) = TC;
2484 63 : gel(D, n+1) = gmul(TD, k2);
2485 63 : if (n+1 == N) break;
2486 56 : TS = gadd(gel(C, n+1), gel(D, n+1)); /* j = 0 and n */
2487 252 : for (j = 1; j < n; j++)
2488 196 : TS = gadd(TS, gmul3(gcoeff(P, 1+2*n, 1+2*j), gel(C,j+1), gel(D,n+1-j)));
2489 56 : gel(S, n+1) = TS;
2490 : }
2491 7 : F = cgetg(2*N, t_VEC); gel(F,1) = gen_1;
2492 133 : for (j = 2; j < 2*N; j++) gel(F,j) = mulis(gel(F,j-1), odd(j)? j: -j);
2493 7 : SS = cgetg(2*N, t_SER); SS[1] = evalsigne(1) | _evalvalser(1);
2494 7 : SC = cgetg(2*N+2, t_SER); SC[1] = evalsigne(1) | _evalvalser(0);
2495 7 : SD = cgetg(2*N+2, t_SER); SD[1] = evalsigne(1) | _evalvalser(0);
2496 7 : gel(SC, 2) = gel(SD, 2) = gel(SS, 2) = gen_1;
2497 7 : gel(SC, 3) = gel(SD, 3) = gel(SS, 3) = gen_0;
2498 70 : for (j = 2; j <= N; j++)
2499 : {
2500 63 : GEN q = gel(F, 2*j-2); /* (-1)^(j-1) (2j-2)! */
2501 63 : gel(SC, 2*j) = gdiv(gel(C,j), q);
2502 63 : gel(SD, 2*j) = gdiv(gel(D,j), q);
2503 63 : gel(SC, 2*j+1) = gen_0;
2504 63 : gel(SD, 2*j+1) = gen_0;
2505 63 : if (j < N)
2506 : {
2507 56 : q = gel(F, 2*j-1); /* (-1)^(j-1) (2j-1)! */
2508 56 : gel(SS, 2*j) = gdiv(gel(S,j), q);
2509 56 : gel(SS, 2*j+1) = gen_0;
2510 : }
2511 : }
2512 7 : return mkvec3(SS, SC, SD);
2513 : }
2514 :
2515 : GEN
2516 70 : elljacobi(GEN z, GEN k, long prec)
2517 : {
2518 70 : pari_sp av = avma;
2519 70 : long N = (precdl + 3) >> 1;
2520 70 : if (!z) z = pol_x(0);
2521 70 : switch (typ(z))
2522 : {
2523 0 : case t_QUAD: z = gtofp(z, prec); /* fall through */
2524 42 : case t_INT: case t_REAL: case t_FRAC: case t_COMPLEX:
2525 42 : return gc_GEN(av, elljacobi_cx(z, k, prec)); break;
2526 7 : case t_POL:
2527 7 : if (lg(z) > 2 && !gequal0(gel(z,2)))
2528 7 : pari_err(e_IMPL, "elljacobi(t_SER) away from 0");
2529 0 : break;
2530 7 : case t_RFRAC:
2531 : {
2532 7 : GEN b = gel(z,2);
2533 7 : if (gequal0(gel(b,2)) || !gequal0(gsubst(gel(z,1), varn(b), gen_0)))
2534 7 : pari_err(e_IMPL, "elljacobi(t_SER) away from 0");
2535 0 : break;
2536 : }
2537 14 : case t_SER:
2538 14 : if (valser(z) <= 0)
2539 0 : pari_err(e_IMPL, "elljacobi(t_SER) away from 0");
2540 14 : N = lg(z) - 1; break;
2541 0 : default: pari_err_TYPE("elljacobi", z);
2542 : return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
2543 : }
2544 14 : return gc_upto(av, gsubst(elljacobi_pol(N, k), 0, z));
2545 : }
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